Distribución Multinomial

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El signo de exclamación en la expresión anterior representa el símbolo de factorial.

Ejemplode distribución binomial

Imaginemos que un 80% de personas en el mundo ha visto el partido de la final del último mundial de fútbol. Tras el evento, 4 amigos se reúnen a conversar, ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellos hayan visto el partido?

Definamos las variables del experimento:

n = 4 (es el total de la muestra que tenemos)

x = número de éxitos, que en este caso es igual a 3, dado que buscamos la probabilidad de que 3 de los 4 amigos lo hayan visto.

p = probabilidad de éxito (0,8)

q = probabilidad de fracaso (0,2). Este resultado se obtiene al restar 1-p.

Tras definir todas nuestras variables, simplemente sustituimos en la formula.

El numerador del factorial se obtendría de multiplicar 4*3*2*1 = 24 y en el denominador tendríamos 3*2*1*1 = 6. Por lo tanto, el resultado del factorial sería 24/6=4. Fuera del corchete tenemos dos números. El primero sería 0,8^3=0,512 y el segundo 0,2 (dado que 4-3 = 1 y cualquier número elevado a 1 es el mismo).

Por tanto, nuestro resultado final sería: 4*0,512*0,2 = 0,4096. Si multiplicamos por 100 tenemos que hay una probabilidad del 40,96% de que 3 de los 4 amigos haya visto el partido de la final del mundial.

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En teoría de probabilidad, ladistribución multinomialodistribución multinómicaes una generalización de ladistribución binomial.

La distribución binomial es la probabilidad de un número de éxitos en N sucesos de Bernoulli independientes, con la misma probabilidad de éxito en cada suceso. En una distribución multinomial, el análogo a la distribución de Bernoulli es ladistribución categórica, donde cada suceso concluye en únicamente un resultado de un número finito K de los posibles, con

probabilidades{\displaystyle p_{1},\dots ,p_{k}} (tal que{\displaystyle p_{i}\geq 0}

para i entre 1 y K y{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}p_{i}=1} ); y con n sucesos independientes.

Entonces sea la variable aleatoria{\displaystyle X_{i}} , que indica el número de veces que se

ha dado el resultado i sobre los n sucesos. El vector{\displaystyle X=(X_{1},...,X_{k})} sigue

una distribución multinomial con parámetros n y p, donde{\displaystyle p=(p_{1},...,p_{k})}

Nótese que en algunos campos las distribuciones categórica y multinomial se encuentran unidas, y es común hablar de una distribución multinomial cuando el término más preciso sería una distribución categórica.

La distribución multinomial es una generalización de la distribución binomial. En este caso, en un experimento interesa estudiar no la ocurrencia de un único suceso o la de su contrario, sino la de varios sucesos (tres o más).

La distribución multinomial,M(n,p1,...,pn)proporciona probabilidades de obtener, enmrepeticiones independientes de un experimento, x1veces el suceso A1, x2veces el suceso A2,..., xnveces el suceso An, donde dichos sucesos forman una partición del espacio muestral, es

decir,

cumple . tal que para y donde , por tanto, se