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CĂĄlculo multivariado CĂĄlculo integral vectorial
3.1 Integrales de lĂnea La definiciĂłn de la integral de una funciĂłn ha sido ampliamente explotada en una gran cantidad de aplicaciones. El estudio de este concepto te ofrecerĂĄ ventajas importantes, pues te permitirĂĄ calcular ĂĄreas y volĂşmenes sobre cualquier superficie, no importando quĂŠ tan irregular esta sea. Antes de abordar estos casos, comencemos con el estudio de un tipo de integral, la llamada integral de lĂnea; la cual tiene aplicaciones en el cĂĄlculo de ciertas cantidades escalares, a partir de cantidades vectoriales. Un ejemplo de ello, es el trabajo que realiza un campo conservativo sobre un objeto que se mueve dentro de ĂŠl. Particularmente, las aplicaciones de estos conceptos son usados en electrostĂĄtica y en mecĂĄnica clĂĄsica.
3.1.1 EvaluaciĂłn de integrales de lĂnea AnĂĄlogamente al procesamiento de una variable, en cĂĄlculo multivariado podrĂĄs determinar un amplio tipo de integrales. Particularmente, deseamos calcular la integral de lĂnea de una funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) dada, esto se logra mediante la parametrizaciĂłn de las variables de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ(đ?‘Ą), đ?‘Ś(đ?‘Ą)), en donde el paramĂŠtro đ?‘Ą ∈ [đ?‘Ž, đ?‘?]. Ahora, propongamos una fĂłrmula para resolver la integral de lĂnea de la funciĂłn mencionada: đ?‘? đ?‘‘đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ś 2 âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘† = âˆŤ đ?‘“đ?‘Ľ(đ?‘Ą), đ?‘Ś(đ?‘Ą))√( ) + ( ) đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘Ž
đ??ś
donde đ??ś representa el contorno sobre el cual se calcula la integral. Esta fĂłrmula te serĂĄ de gran utilidad en el momento de calcular la integral del ejemplo que se muestra a continuaciĂłn: Ejemplo 1 EvalĂşe la integral de lĂnea âˆŤđ??ś (2 + đ?‘Ľ 2 ) đ?‘‘đ?‘†, donde đ??ś es la mitad superior del cĂrculo unitario đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = 1 Antes de desarrollar la integral observemos la curva de la funciĂłn, la cual se puede ver en la figura 1.
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