Proporcionalidad numérica by Alex Javier

Proporcionalidad Numérica

La proporcionalidad numérica exige del estudiante el dominio de las operaciones de multiplicación y división de números enteros y por la unidad seguida de ceros, la equivalencia de fracciones, la fracción como expresión decimal y de una cantidad. La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles.

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Proporcionalidad Numérica

Es frecuente encontrarnos en nuestra vida cotidiana con situaciones como las siguientes: * El costo de un artículo hace un mes era de S/.48 actualmente es de S/.52. * La temperature en Chiclayo es de 20°C y en Puno es de 8°C. * Un automóvil inicia su desplazamiento con una velocidad de 20 m/s En los casos anteriores se observa que el costo, temperature, altura, velocidades son suceptibles de ser medidos de allí que se les define como magnitude matemática, se nota también que toda magnitude matemática viene asociada a una cantidad, lo cual nos permite hacer comparaciones y es precisamente ello lo que vamos a estudiar.

Para comprender el concepto de proporcionalidad, directa o inversa, debemos comenzar por comprender el concepto de razón.

O relación de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades. Dicha comparación podría indicarse como una razón, en cuatro formas distintas, de este modo: 1- a : b 2.- a ÷ b 3.4.- La razón de a es a b. Así, la razón de 8 a 4 se puede escribir: 8:4

8÷4

Razón de 8 a 4

De modo general, podemos decir que: Una razón es un cociente entre dos cantidades. El valor de ese cociente se llama valor de la razón. Si se tiene dos cantidades a y b, se dice“a es a b” y se escribe

. Al término

“a” le llamamos antecedente y al término “b” le llamamos consecuente. Ejemplo: Así, en la razón 8 ÷ 4, el antecedente es 8 y el consecuente 4. Hay que tener presente que las comparaciones por medio de una razón se hacen en unidades del mismo tipo. Por ejemplo, para expresar la relación entre 6 m y 30 cm ambas cantidades deben expresarse en la misma unidad. Entonces, la forma apropiada para esta relación es 600 cm: 30 cm, no 6m: 30 cm. Ejemplos

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Proporcionalidad Numérica 1- Suponga que en un curso hay 13 hombres y 25 mujeres. Entonces “la razón” entre hombres y mujeres del curso es

se lee “13 es a 25”

2- En una caja hay 5 bolas rojas y 7 verdes. La razón entre las bolas verdes y las bolas rojas es

, se lee “7 es a 5”

Como vemos en los ejemplos, debido a que la razón de dos cantidades no es más que una división indicada o una fracción, las propiedades de las razones serán las propiedades de las fracciones. 1) Si el antecedente (numerador) de una razón se multiplica o divide por un número, la razón queda multiplicada o dividida por ese número. 2) Si el consecuente (denominador) de una razón se multiplica o divide por un número, la razón queda divida en el primer caso y multiplicada en el segundo por ese mismo número. 3) Si el antecedente y el consecuente de una razón se multiplican o dividen por un mismo número, la razón no varía. De acuerdo con estas propiedades, los términos pueden reducirse o aumentarse, simplificarse, etcétera. Por ejemplo, para reducir la razón 15 : 20 a los términos de menor valor se escribe la razón como una fracción y luego se procede como éstas. Entonces, 15 : 20 se transforma en Y se lee 15 es a 20 como 3 es a 4. Por tanto, la razón de 15:20 es la que la razón de 3:4.

misma

Con frecuencia es útil comparar los números de una razón en el orden inverso. Para hacer esto simplemente intercambiamos el numerador y el denominador. Entonces, la inversa de 15:20 es 20:15. Cuando los términos de una razón se intercambian resulta una razón inversa.

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Proporcionalidad Numérica

Escriba las siguientes razones como una fracción y reduzca a los términos de menor valor. 1.- La razón de 5 kg a 15 kg 2.- $ 16 : $12 9.- 5 : 8 3.- 16 ÷ 4 4.- 1 mililitro a 1 centílitro 10.- 15 a 21 5.- 5x a 10x 11. Hallar la razón de: a) 60 y 12 6.Escriba la inversa de las siguientes razones: 7.- La razón de 6m a 18 m

b) c) 5:6 y 3:5 d) 3/8 y 0,02

8.12. Hallar la relación entre las edades de dos niños de 10 y 14 años. 13. Cite tres pares de números que estén en la relación de 2 y 3. 14. Cite tres pares de números cuya razón sea 15. Cite tres pares de números cuya relación sea de 1 a 6. 16. La razón de dos números es

. Si el menor es 20, ¿Cuál es el mayor?

17. El mayor de dos números es 42 y la relación entre ambos es de 5 a 7. Hallar el número menor. 18. Dos números son entre sí como 2 es a 17. Si el menor es 14, ¿cuál es el mayor?

Razón entre dos números Siempre que hablemos de Razón entre dos números nos estaremos refiriendo al cociente (el resultado de dividirlos) entre ellos. Entonces: Razón entre dos números a y b es el cociente entre Por ejemplo, la razón entre 10 y 2 es 5, ya que Y la razón entre los números 0,15 y 0,3 es

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Proporcionalidad Numérica Proporción numérica Ahora, cuando se nos presentan dos razones para ser comparadas entre sí, para ver cómo se comportan entre ellas, estaremos hablando de una proporción numérica. Entonces: Los números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que entre c y d. Es decir Se lee “a es a b como c es a d” Los números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5 es la misma que la razón entre 8 y 20.

Es decir En la proporción

hay cuatro términos; a y d se llaman extremos, c y b se llaman medios.

La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios. Así, en la proporción anterior

se cumple que el producto de los extremos nos da 2 x 20 = 40 y el producto de los medios nos da 5 x 8 = 40

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Proporcionalidad Numérica

Es uno cualquiera de los términos de una proporción discreta y se dice que cada uno de ellos es “cuarta proporcional” de los otros tres. Para calcularlo se divide por el opuesto, el producto de los otros dos términos.

Inicialmente se admite más de una respuesta, dependiendo de la ubicación de la incognita. Ejemplo: Halle la cuarta proporcional de 8, 10 y 20.  x / 8 = 10 / 20

entonces

x = 8(10)/20

de donde

x = 4

 8 / x = 10 / 20

entonces

8(20) = 10x

de donde

x = 16

 8 / 10 = x / 20

entonces

8(20) = 10x

de donde

x = 16

 8 / 10 = 20 / x

entonces

8x = 20(10)

de donde

x = 25

Con la finalidad de que ante un mismo problema la respuesta sea única, se adoptará la siguiente convención: “Cuando se pida hallar la cuarta proporcional se asumirá que corresponderá al término consecuente extremo, es decir el consecuente de la segunda razón de la proporción.

1- Calcula la cuarta proporcional geométrica entre 3 , 6 y 9.

10: 1 6  x :4 3- Calcula el valor de “m” en 8:4 10: m 2- Hallar el término desconocido en

4- Halla el valor de “x” en:

x4 x 1  0,3  2 3  0, 2

1 1 1 1:  0,75  2 5 20 es… 5- El valor de “x” en: x 2x  3 6- Calcula el valor de “x” en: a)

x 1 2  40 16 e)

2( x  2) 0,5  x 1, 2

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x3 5  24 8

3 x 5 x  8 6

x 8 x 3  4 9

Proporcionalidad Numérica

Una proporción es continua si tiene los dos medios iguales. Para calcular el medio proporcional de una proporción continua se extrae la raíz cuadrada del producto de los extremos. La media proporcional o media geométrica es cada uno de los términos medios de una proporción geométrica continua, es decir, cada uno de los términos medios de una proporción cuando son iguales. Así, en la proporción 12/6 = 6/3 la media proporcional es 6.

1- Encuentra la media proporcional de 12 y 6 2- Hallar el término medio proporcional entre 16 y 81 3- Hallar la media proporcional entre

En una proporción continua, se denomina tercero proporcional a cada uno de los términos desiguales. Un tercero proporcional es igual al cuadrado de los términos iguales, dividido por el término desigual.

Con la finalidad de que ante un mismo problema la respuesta sea única, se adoptará la siguiente convención: "cuando se pida hallar la tercera proporcional se asumirá que corresponderá al término consecuente extremo”.

1- Determina la tercera proporcional entre 3 y 6 2- Halla la tercera proporcional de 4 y 8 3- Calcula la tercera proporcional entre 2 5 y 4 5

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Propiedad 1: en toda proporción, la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su consecuente, como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su consecuente

a c ab cd    b d b d

a c a b c d    b d b d

Propiedad 2: en toda proporción, la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su antecedente, como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su antecedente.

a c ab cd    b d a c

a c a b c d    b d a c

Propiedad 3: en toda proporción, la suma entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a la diferencia entre los mismos, como la suma entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a la diferencia de los mismos.

a c ab cd    b d a b c d Ejemplo 1 Hallar los valores desconocidos de la siguiente serie de razones iguales.

4 5 1 4 1      4 3  b 1  b  12 b d 3 b 3 5 1   5 3  1 d  d  15 d 3 4 5 1 4 5 1      b d 3 12 15 3 Ejemplo 2 . Aplicar las propiedades de las proporciones. a) Dado: a+ b = 9

;

a / b = 1 / 2 Halla los valores de “a” y “b”

a c ab cd    b d a c 9 1 2 9 3 92    9 23 bb  6 b 2 b 2 3

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a b  9 a6  9  a  96  a  3

Proporcionalidad Numérica b) Dado: a - b = 2 ; a / b = 4 /3 Halla los valores de “a” y “b”

a c a b c d    b d a c 2 43 2 1 42     2 4  a 1 a  8 a 4 a 4 1

a b  2 8b  2  b  82 b  6

Aplica las propiedades de las proporciones para resolver los siguientes ejercicios:

x m  , siendo x  m  20 n 1- Si y calcula el valor de “m” y  n  45 , n  6 2- Siendo:

5 4 6   , sabiendo que: c + d + e = 120. Halla “c”, “d” y “e” c d e

3- La razón de dos números es de 8 a 3 y su diferencia es 55. Hallar los números. 4- La relación entre dos números es de 5 a 2. Hallar los números sabiendo que su suma es 49. 5- Si:

a m n   , hallar: a, m y n, sabiendo que: a + m + n = 86 2 3 4

6- Si:

a m  , además: a + m = 45 ; b + n = 40 y m = 5. Calcula el valor “n” b n

7- La suma entre dos números es igual a 175 y la razón entre ellos es

3 . ¿Cuáles 4

son los números que cumplen las condiciones? 8- La diferencia entre el dinero que tiene Juan y el que tiene Gustavo es de $400. La cantidad de dinero de Juan es a la de Gustavo como 9 es a 7. ¿Cuánto dinero tiene cada uno? 9- La suma entre dos números es igual a 10,5 y la razón entre ellos es

1 . ¿Cuáles 2

son los números? 10- La diferencia entre dos números es -3 y la razón es igual a 0,4. ¿Cuáles son los números? 11- Un veterinario sabe que la razón diaria de alimento para un perro boxer y un pequinés es de 2 kg. El perro boxer come tres veces más alimento que el pequinés. ¿Qué cantidad de alimento consume cada perro? 12- La diferencia entre dos números es -30 y la razón es igual a 0,25. ¿Cuáles son los números? 13- El anterior de un número es a su consecutivo como 5 es a 6. ¿Cuál es el número?

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Proporcionalidad Numérica 14- la diferencia entre dos números es -28 y su razón es 0,20. ¿Cuáles son los números? 15- ¿Cuál es el número cuyo doble es a su consecutivo como 3 es a 2? 16- ¿Cuál es el número cuyo triple es a su anterior como 30 es a 8?

Una serie de razones iguales es una igualdad entre dos o más razones.

a c e g     ... b d f h n

* La suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes como cada antecedente es a su propio consecuente.

a c e m acem     k b d f n bd  f n donde K es la constante de proporcionalidad * El producto de los antecedentes es al producto de los consecuentes como cada antecedente es a su propio consecuente elevados a un exponente que indicará la cantidad de razones que intervienen en la serie.

a c e a c e ...  a   c   e     ...        b d f b d f ...  b   d   f  n

* La raíz enésima del producto de los antecedentes es a la raíz enésima del producto de los consecuentes como cada antecedente es a su propio consecuente. n a c e a c e ... a c e    ...      ... n b d f ... b d f b d f n

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Proporcionalidad Numérica

1- Si se cumple:

a 20 18 8    ; halla: a + b + c 15 b 27 c

2- En una serie de 4 razones geométricas los consecuentes son 5; 7; 10 y 12. Si la suma de los dos primeros antecedentes es 84, hallar los otros antecedentes.

J E S I 4      k ; halla: J + E + S + I 972 J E S I a b c d 4- Si:    ; además: a + b = 48; halla: c x d 3 5 8 6 3- Si se cumple:

5- En una serie de 3 razones geométricas equivalentes la suma de las 3 razones es 3/4. Si el producto de los antecedentes es 225. Hallar el producto de los consecuentes. 6- Los consecuentes de tres razones geométricas equivalentes son 12; 5 y 10. Si el producto de los antecedentes es 16 200, halla la suma de los antecedentes.

Hacer un reparto directamente proporcional consiste en repartir algo en proporción directa a unas cantidades determinadas. Por ejemplo: repartir proporcionalmente 3000 € entre dos personas, A y B, según los días que hayan trabajado. Lo resolvemos por:

- A ha trabajado 6 días y B, 4 días - Días trabajados: 6 + 4 = 10 - Lo que se reparte: 3000 € - Lo que corresponde a una parte (un día): 3000 : 10 = 300 € - Lo que corresponde a (6 días): 300 • 6 = 1800 € - Lo que corresponde a B (4 días): 300 • 4 = 1200 €

Se forma una proporción entre lo que corresponde a cada perceptor (x, y, z...) y las partes (nº de días, años, etc.) que cada uno acredite. Así, en el ejemplo anterior tendríamos: . Lo que corresponde a A: x . Lo que corresponde a B: y

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Proporcionalidad Numérica . Partes (días) que acredita A: a (a = 6) . Partes (días) que acredita B: b (b = 4) . Suma de lo que corresponde a cada uno: x + y = 30000 . Suma de las partes (días) que acredita cada uno: a + b = 10 . Proporción:

x y x  y x y 30000      a b ab 6 4 10 De aquí operamos con la proporción formada por la segunda y tercera razón:

y 30000 30000 4   10 y  30000 4  y   y  12000 € 4 10 10 Para calcular x podemos hacerlo de dos maneras: la más fácil es restar 30000 – 12000 = 18000 €. La segunda manera es formar una proporción con la primera y segunda razón o con la primera y la tercera razón, llegando en ambos casos a que x = 18000 €.

1. Tres niños van al dentista y por comportarse bien el dentista les da 12 piruletas con proporcionalita a su edad. Si Ana tiene 4 años, David 6 y Fernandino 8. ¿Qué cantidad de piruletas le tocará a cada uno en proporción a su edad? 2. En un partido de baloncesto Pau Gasol mete 20 puntos, Garbajosa 30 y Calderón 13. Por el partido ganaron 50.000 € ¿Cuántos € gana cada uno si el reparto se hace de manera directamente proporcional a los puntos que encestó cada uno? 3. Florentino Pérez quiere pagar a sus jugadores proporcionalmente según el número de partidos jugados, en total quiere gastar 20.000€. Si el portero jugó 10 partidos, el defensa 14 y el delantero 6 ¿cuánto cobrará cada uno? 4. En la fábrica de caramelos están repartiendo caramelos para las carrozas de la cabalgata de Navidad. La primera carroza tendrá 15 personas, la segunda 13 y la tercera 9 personas. ¿Cuántos caramelos les deben de repartir a cada carroza si reparten 40.000 caramelos de manera directamente proporcional al número de personas? 5. Tres vendedores ambulantes de la calle real ganan 327€ vendiendo películas, lo quieren repartir proporcionalmente entre ellos. ¿Cuánto ganará cada uno si Sergi vendió 2 películas, Juan 23 y Jorge 48? 6. María trae 5 euros en gominolas, va a repartirlas en función de las notas que saquen sus tres mejores amigas, una saca un 8, otra un 6 y la última un 5

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Proporcionalidad Numérica ¿Cuantos euros de gominolas le tocaran a cada una? 7. Unos novios se van a casar, y tres de sus invitados deciden regalarles un cuadro muy valioso que cuesta 5000 €. Quieren repartir el gasto en función de sus ingresos, que son: el primero gana 5000 € al mes, el segundo cobra 2500 €, y el tercero 1500 €. ¿Cuánto debe pagar cada uno de estos tres invitados? 8. En un concurso de televisión quieren repartir un premio de 10000 €. Cada concursante obtendrá una parte del dinero dependiendo del número de respuestas acertadas. El primero acierta 34 preguntas, el segundo 40 y el tercero 28. ¿Qué cantidad del premio obtendrá cada concursante? 9. En una carrera hay un premio de 2000€, que se reparte de manera proporcional entre los participantes. Si uno ha recorrido 2 Km, otro 3 Km, y el tercero 5 Km, ¿cuánto le tocará a cada uno? 10. Un padre quiere repartir 1000 g de helado entre sus cuatro hijos. El primero pesa 70 Kg, el segundo 63 Kg, el tercero 55 Kg, y el cuarto 46 Kg. Si desea repartir el helado de manera proporcional en función del peso de cada niño, ¿cuántos gramos de helado le tocará a cada hijo? 11. Reparte 90 caramelos en partes directamente proporcionales a las edades de tres niños de 4, 6 y 8 años. 12. La comunidad de vecinos de un edificio cuesta 3.000€ al mes. Esta cantidad se reparte de manera directamente proporcional al número de metros cuadrados de cada vivienda. ¿Cuánto debe pagar Juan, que tiene un piso de 60m2; Susana, que tiene uno de 140 m2 y Nuria, que vive en un piso de 100 m2? 13. Marta quiere dar 50€ por un premio que ganaron 3 alumnos en el colegio. Quiere repartirlos proporcionalmente, dándole más dinero al mayor y menos al pequeño. Si Martín tiene 16 años, Carmen 7 y Natalia 12. ¿Cuánto dinero le tocará a cada uno?

Comprendido el concepto de proporción como una relación entre números o magnitudes, ahora veremos que esa relación puede darse en dos sentidos: Las dos magnitudes pueden subir o bajar (aumentar o disminuir) o bien si una de las magnitudes sube la otra baja y viceversa. Si ocurre, como en el primer caso, que las dos magnitudes que se comparan o relacionan pueden subir o bajar en igual cantidad, hablaremos de Magnitudes directamente proporcionales. Si ocurre como en el segundo caso, en que si una magnitud sube la otra baja en la misma cantidad, hablaremos de Magnitudes inversamente proporcionales.

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Proporcionalidad Numérica

Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde doble, triple... cantidad de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales. Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir el valor de una de ellas por un número, el valor correspondiente de la otra queda multiplicado o dividido por el mismo número. Dos magnitudes A y B se dice que son directamente proporcionales si el cociente entre ellas es una constante (k), es decir,

A k B

La manera más sencilla de reconocer una proporción directa es observar el comportamiento de sus variables, si una de ellas aumenta su valor, la otra lo hará también y viceversa. Ejemplo Un saco de papas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos? Un cargamento de papas pesa 520 kg ¿Cuántos sacos de 20 kg se podrán hacer? Número sacos

Peso en kg

...

520

...

Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20 Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20 Observa que Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales. La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es 20. Esta manera de funcionar de las proporciones nos permite adentrarnos en lo que llamaremos Regla de tres y que nos servirá para resolver una gran cantidad de problemas matemáticos.

Ejemplo 1 En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5.200 gramos de sal?

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Proporcionalidad Numérica Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en triple, triple, etc. Las magnitudes cantidad de agua ycantidad de sal son directamente proporcionales. Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal, y formamos la siguiente tabla: Litros de agua

Gramos de sal

1.300

5.200

Se verifica la proporción: Y como en toda proporción el producto de medios es igual al producto de extremos (en palabras simples, se multiplican los números en forma cruzada) resulta: 50 por 5.200 = 1.300 por x Es decir En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:

Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple directa. Ejemplo 2 Un automóvil gasta 5 litros de bencina cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 litros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el automóvil?

Luego, con 6 litros el automóvil recorrerá 120 km

1- En 50 litros de agua de may hay 1 300 g de sal. Averigua cuántos litros se necesitará para obtener 5 200 g de sal. 2- Un coche gata 5 litros de gasolina cada 100 km. Calcula cuántos km recorrerá con 28 litros de gasolina. 3- Una rueda da 4 590 vueltas en 9 minutos. Calcula el número de vueltas que dará en 2 horas y media. 4- Si para pintar 180 m2 de pared se necesitan 24 kg de pintura. Calcula cuántos kg se necesitarán para pintar una superficie de 270 m2.

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Proporcionalidad Numérica 5- Averigua cuántos kg de lana se necesitarán para tejer una tela que mide 160 m si para hacer una tela de la misma calidad de 96 m se necesitan 30 kg de lana.

Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales. Ejemplo Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo? En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto, las magnitudes son inversamente proporcionales (también se dice que son indirectamente proporcionales). Formamos la tabla: Hombres

...

Días

...

Vemos que los productos 3 por 24 = 6 por 12 = 9 por 8 = 72 Por tanto 18 por x = 72 O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo Nótese que aquí la constante de proporcionalidad, que es 72, se obtiene multiplicando las magnitudes y que su producto será siempre igual. Importante: Como regla general, la constante de proporcionalidad entre dos magnitudes inversamente proporcionales se obtiene multiplicando las magnitudes entre sí, y el resultado se mantendrá constante.

Ejemplo 1 Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de forraje a 450 vacas?

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Proporcionalidad Numérica Vemos que con el mismo forraje, si el número de vacas se duplica, tendrá para la mitad de días; a triple número de vacas, tercera parte de días, etc. Por tanto, son magnitudes inversamente proporcionales. X = número de días para el que tendrán comida las 450 vacas Nº vacas

Nº de días

220

450

Se cumple que: 220 por 45 = 450 por x, de donde En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:

Luego 450 vacas podrán comer 22 días Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple inversa. Ejemplo 2 Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál deberá ser la capacidad de esos toneles?

Pues la cantidad de vino = 8 por 200 = 32 por x Debemos tener 32 toneles de 50 litros de capacidad para poder envasar la misma cantidad de vino.

1- Si 12 vacas se comen el heno de un granero en 80 días, calcula cuánto tardarían 30 vacas en comerse la misma cantidad de heno. 2- Seis caballos tienen ración para 15 días si se aumenta 3 caballos más. ¿Para cuántos días alcanzará la ración anterior? 3- Mario gasta S/.24 en pintar un cubo de Madera de 10 cm de arista. ¿Cuánto gastará para pintar un cubo de triple arista? 4- Dos caños pueden llenar un estanque en 5 horas, en que tiempo podrán llenar el estanque 5 caños de igual rendimiento.

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Proporcionalidad Numérica 5- Si 3 hombres necesitan 24 horas para hacer un trabajo. ¿Cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo?

Cuando intervienen más de dos magnitudes relacionadas entre sí proporcionalmete, estamos ante un problema de Proporcionalidad Compuesta. A la hora de resolver problemas de este tipo, se hace necesario determinar el tipo de proporcionalidad extistente entre la incógnita y el resto de magnitudes que intervienen la que puede ser directa o inversamente porporcionales. Ejemplo: 5 pintores pintan 100 metros de muro en 4 días, ¿Cuántos metros pintarán 7 pintores en 6 días? Tenemos 3 variables: número de pintores, días trabajados y metros de valla pintados. El resultado de esta actividad son los “metro de valla pintados”, tenemos que ver las otras 2 variables qué relación guardan con la variable resultado: Número de pintores y metros de valla: relación directamente proporcional ya que a más pintores, más metros pintados. Número de días y metros de valla: relación directamente proporcional ya que a más días, más metros pintados. Para resolver el problema aplicamos:

Vamos a calcular cuantos metros de valla pinta un pintor en un día Si 5 obreros en 4 días pintan 100 metros de valla, en un día los 5 obreros pintarían:

100  25 m . 4 Si 5 obreros en 1 días pintan 25 metros de valla, en un día 1 obrero pintaría:

25  5m 5 Ya tenemos el valor unitario: 1 obrero en 1 día pinta 5 metros de valla. Luego 7 pintores en 6 días pintarán: 7 x 6 x 5 = 210 metros

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Proporcionalidad Numérica También se puede resolver este problema aplicando

5 7

pintores pintores

(A) ------> (D+) ------>

4 6

días días

(B) ------> 100 (E+) ------> “z”

metros metros

(C+)

Para despejar “z”:

z

DxExC 7 x6 x100 z  z  210 m AxB 5x4

1- Por enviar un paquete de 5 kg de peso a una población que está a 60 km de distancia una empresa de transportes me ha cobrado 9 soles. Calcula cuánto me costará enviar un paquete de 15 kg a 200 km de distancia. 2- Una pieza de tela de 2,5 m de lago y 80 cm de ancho cuesta 30 euros. Cuánto costará otra pieza de tela de la misma calidad de 3 m de largo y 1,20 m de ancho. 3- Cinco máquinas embotelladoras envasan 7 200 litros de aceite en una hora. Cuántos litros envasarán 3 máquinas en dos horas y media. 4- Doce obreros, trabajando 8 horas diarias, terminan un trabajo en 25 días. ¿Cuánto tardarán en hacer ese mismo trabajo 5 obreros trabajando 10 horas diarias? 5- Cincuenta terneros consumen 4 200 kg de alfalfa a la semana. Calcula cuántos kg de alfalfa se necesitarán para alimentar a 20 terneros durante 15 días. 6- Si 5 obreros trabajan 6 horas diarias para construir un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros, trabajando 7 horas diarias para realizar el mismo muro? 7- Una contratista cuenta con 24 obreros para realizar un trabajo en 46 días trabajando 7 horas al día. ¿Cuántos días emplearán si se aumenta el número de obreros a 40 y trabajan 8 horas diarias? 8- Doce obreros, trabajando 8 horas al día, terminan una obra en 25 días. ¿Cuánto tardarán en realizar el mismo trabajo 5 obreros, trabajando 10 horas diarias? 9- Una familia compuesta de 6 personas consume en 2 días 3 kg de pan. ¿cuántos kg de pan se consumirán en 5 días, estando dos personas ausentes? 10- Quince obreros comienzan la construcción de una casa trabajando 7 horas diarias y la terminan en 40 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para construir 8 casas iguales en 60 días, trabajando 8 horas por día?

Mg. Javier A. Huamán A.

Proporcionalidad Numérica

El porcentaje significa cuántas partes corresponden a 100 unidades de algo. Hallar el porcentaje de una cantidad es calcular cuántas partes le corresponden a esa cantidad sabiendo que si la cantidad fuera 100 le correspondería el porcentaje indicado. Así, por ejemplo, hallar el 8 % de 420, es calcular cuántas partes hay que tomar de 420, sabiendo que si hubiera 100 tomaríamos 8. Ejemplo 1: Al comprar un frigorífico de 350 € me descuentan el 6%. ¿Cuánto me descuentan? PRECIO

DESCUENTO (Interpretación)

100

(Si costara 100 €, me descontarían 6 €)

350

(Como cuesta 350 €, me descontarán x)

100 6 350 6   100 x  350 6  x   x  21 € 350 x 100 Ejemplo 2: En una clase de 24 alumnos han aprobado el control de matemáticas 18 alumnos. ¿Qué % ha aprobado y qué % ha suspendido? ALUMNOS

APROBADOS

(Interpretación)

(De 24 alumnos aprueban 18)

100

(De 100 alumnos aprobarán x)

24 18 100 18   24 x  100 18  x   x  75% 100 x 24

1- En un pueblo de 9800 habitantes el 56% son mujeres. ¿Qué porcentaje de varones hay? ¿Cuántos varones son? 2- Una camisa vale 40 euros. Me hacen una rebaja del 10%. ¿Cuánto debo pagar? 3- Un artículo se rebaja de 2.700 euros a 2.400 euros. ¿Cuál es el porcentaje de rebaja? 4- Una camisa valía 72 € antes de las rebajas. ¿Cuánto costará si le aplican un descuento del 30%? ¿Cuánto la han rebajado?

Mg. Javier A. Huamán A.

Proporcionalidad Numérica 5- Al comprar un producto nos rebajan un 8 %. Pagué 48.000 euros. ¿Cuál era el precio original? 6- En un escaparate he visto el precio de un ordenador: 1000 euros + 16% de IVA. ¿Cuánto cuesta el ordenador? Si sobre el precio total me hacen un descuento del 5% ¿Cuánto debo pagar por el ordenador? 7- El precio de una lavadora es 300 euros (IGV incluido). Si el comerciante decide no cobrarme el 16 % de IGV. ¿Cual es el precio de la lavadora sin IGV? 8- Al abonar la carrera de un taxi decido pagar un 10% más del precio, costándome 8,25 euros. ¿Cuál era el precio que señalaba el taxímetro? 9- Calcula lo que le rebajan a una persona que debe 3425 euros, si se le hace una rebaja del 3% por ser buen cliente. 10- En un negocio he obtenido un 36% de ganancias sobre el capital que invertí. Ahora mi capital asciende a 21 760 soles. Cuánto dinero tenía al principio. 11- Por no pagar una multa de 150 soles me han aplicado un 12% de recargo. Cuándo es lo que debo pagar en total. 12- En una tienda ofrecen un 15% de descuento al comprar una lavadora que cuesta 420 soles. Cuánto supone el descuento, cuál es el precio final de la lavadora. 13- Una camisa costaba 34 euros y en temporada de rebajas se vende a 24 euros. Qué porcentaje de descuento se ha aplicado sobre el precio anterior. 14- Al comprar un ordenador me ofrecen un 12% de descuento por pagarlo al contado. He pagado 528 euros. Cuánto valía el ordenar sin descuento.

ENCADENAMIENTO DE AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES Se trata de aplicar de forma consecutive dos o más aumentos o disminuciones porcentuales a una cantidad. Para encadenar aumentos y disminuciones porcentuales, se multiplican los índices de variación de los sucesivos pasos. Ejemplo 1 Un juguete vale en una juguetería 40 euros. Durante las fiestas navideñas sube un 18 %, y una vez que éstas han pasado baja un 10 %. Calcular su precio final. 1° Aumentar un 18%.

2° Disminuir un 10%

* Índice de variación del aumento de 18%  1 

18  1,18 100

* Índice de variación de la disminución de 10%  1 

Mg. Javier A. Huamán A.

10  0,9 100

Proporcionalidad Numérica Cantidad Inicial x I.V.1 x I.V.2 = Cantidad final

40 x 1,18 x 0, 9  42, 48 Ejemplo 2 Un traje costaba en noviembre 60 euros. En le mes de diciembre subió su precio un 5%, y en las rebajas de enero bajo un 25%. Calcula el precio final. 1° Aumentar un 5%.

2° Disminuir un 25%

* Índice de variación del aumento de 5%  1 

5  1, 05 100

* Índice de variación de la disminución de 25%  1 

25  0, 75 100

Cantidad Inicial x I.V.1 x I.V.2 = Cantidad final

60 x 1, 05 x 0, 75  47, 25 1- El precio de un artículo que costaba 250 euros sufre estas variaciones a lo largo de un año: baja un 15%, sube un 5% y baja un 8%. ¿Cuál es su índice de variación total? ¿Qué porcentaje de rebaja supone? ¿Cuánto cuesta al final? 2- El precio de un artículo que costaba 175 euros ha sufrido estas variaciones: subida del 8%, bajada del 10% y subida del 5%. ¿Cuál es el índice de variación total? ¿Qué porcentaje de aumento supone? ¿Cuál es el precio final? 3- Unas acciones que valían 1000 soles suben el 60%, después vuelven a subir el 25% 4- Una guitarra de 800 soles sube el 50%, después baja el 50%, ¿Queda como estaba? 5- El precio de una enciclopedia, 520 €, primero sube un 10 %, después sube otro 25 % y, finalmente, baja un 30 %. a) ¿Cuál es el precio final?; b) ¿Cuál es el índice de variación total?; c) ¿A qué porcentaje de aumento o de disminución corresponde? 6- El precio inicial de una vajilla era de 480 euros, y ha sufrido una subida del 10%, luego otra subida del 22% y al final bajó un 30%. ¿Cuál es el índice de variación total? ¿Cuál es el precio actual? 7- El coste de la vida subió un 10% en 1990 y un 8% en 1991. Pero en 1992 bajó un 5% (estos datos no son reales). ¿Cuál fue la subida desde comienzos de 1990 hasta finales de 1992?

Mg. Javier A. Huamán A.

Proporcionalidad Numérica 8- La masa forestal de un bosque sufrió las siguientes variaciones a lo largo de tres décadas: de 1950 a 1960 aumentó un 28%; de 1960 a 1970 disminuyó un 40%; de 1970 a 1980 aumentó un 15%. ¿Qué variación porcentual experimentó de 1950 a 1980? 9- En un año el precio de un artículo sube un 40%, después baja un 10% y, por último, baja un 20% ¿Qué variación porcentual ha experimentado a lo largo del año? 10- En tiendas Sagafalabella un Smath Tv tiene un costo de S/.4860. Por año nuevo se oferta un descuento del 12%, pasada las fiestas sufre un increment del 16%, por el día de la Madre hacen un descuento del 8% y finalmente normalizan su precio con un aumento del 6%. Averigua la variación porcentual que experiment el artículo, el precio final del mismo.

Entendemos por aumentos sucesivos a aquellos aumentos que se van efectuando uno a continuación de otro considerando como el nuevo 100% a la cantidad que se va formando. Ejemplo: Si el precio de un televisor es 240 dólares y sufre dos aumentos sucesivos del 20% y 25% respectivamente ¿Cuál será su nuevo precio? Solución : * 1er aumento: 20% de 240 =

20 100

x 240 = 48

Nuevo precio 240 + 48 =288 * 2do aumento: Observe bien, es el 25% de 288 = 25 100

x 288 = 72

Nuevo precio : 288 + 72 = 360

Dos aumentos sucesivos del a1% y a2% equivalen a un aumento único de

Ejemplo: Dos aumentos sucesivos del 25% y 40% equivalen a un único aumento de :

A.U.  25  40  25  40  75% 100

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Proporcionalidad Numérica

Se entiende por descuentos sucesivos, a aquellos descuentos que se van efectuando uno a continuación de otro considerando como el nuevo 100% a la cantidad que va quedando. Ejemplo: Si al precio de una grabadora que cuesta 300 dólares se le hace dos descuentos sucesivos del 20% y 10%, ¿cuál será su nuevo precio? Solución : Precio Inicial: 300 * 1er Descuento:

20% de 300 =

20 100

x 300 = 60

Nuevo precio : 300 - 60 = 240 * 2do Descuento: 10 100

¡Cuidado! es el 10% de 240 =

x 240 = 24

Precio Final: 240 - 24 = 216

Dos descuentos sucesivos del d1 % y d2 % equivalen a un único descuento de:

Ejemplo: En las tiendas Wong anuncian descuentos sucesivos del 20% y 20%, en todas las conservas y vinos. ¿A qué descuento único equivalen?

D.U  20  20 - 20  20  36% 100

1- Si un objeto cuesta 4280 pesos y me hacen dos descuentos sucesivos del 15% y 10%, entonces finalmente me descontaran. 2- Zenaida compra un bolso y le hacen dos descuentos sucesivos del 40% y del 30% del precio de venta ahorrándose así 1160 pesos. ¿Cuál era el precio de venta inicial del bolso? 3- A los lado de un cuadrado se les disminuyo sucesivamente su 25% y 28%, entonces la variación que experimenta su área será:

Mg. Javier A. Huamán A.

Proporcionalidad Numérica 4- Una cartera cuesta 4000 pesos, como no le alcanzaba el dinero le hicieron un primer descuento del 20% y luego otro descuento del X% al nuevo precio, obteniendo un rebaja total de 1120 pesos. Hallar el valor de X. 5- Juan Carlos le vende a Daniel un objeto, haciéndole 3 descuentos sucesivos del 40%, 20% y 10% respectivamente; el descuento único que puede reemplazar a los 3 anteriores será de: 6- En una tienda se ofrecen 3 tipos de descuentos para escoger, uno del 30%, otro equivalente a dos descuentos sucesivos del 10% y 22% ó el equivalente a tres descuentos sucesivos del 5%, 20% y 10%. ¿Cuál es el más conveniente? 7- Hallar el descuento único que reemplace a dos descuentos sucesivos de 15% y 20%. 8- Un incremento del 15%, seguido por un descuento del 15%, ¿a qué descuento o incremento equivale? 9- A qué porcentaje único de aumento equivalen tres aumentos sucesivos del 10%, 10% y 30%. 10- A qué porcentaje único de aumento equivalent res aumentos sucesivos del 10%, 20% y 25%. 11- Tres descuentos sucesivos de 10%, 40% y 20% equivalen a un único del… 12- Si a un artículo cuyo precio es 480 soles se le hace dos descuentos sucesivos del 20% y 10%. ¿Cuál es su nuevo precio? 13- Si a cierta cantidad se le suma su 60% y a este resultado se le suma su 25% y a este nuevo resultado se le resta su 62%. ¿Qué porcentaje de la cantidad inicial es la cantidad final? 14- En un partido de fútbol de 90 minutos de juego se pierde el 10% con retención de pelota, el 10% del tiempo restante en fouls, el 10% del tiempo que ahora resta en amonestaciones. ¿Cuántos minutos de juego efectivo se realizará en el partido de fútbol? 15- Después de realizer dos descuentos del 25% y el 20% se vende un artículo en S/.540. ¿A cuántos soles equivale el descuento?

Mg. Javier A. Huamán A.

Proporcionalidad Numérica

Mg. Javier A. Huamán A.