MÓDULO MÓDULO DE MATEMÁTICAS
CICLO V GRADO 10° 10°
INTRODUCCIÓN
El desarrollo del módulo de Matemáticas 10° se fundamenta en los lineamientos curriculares y en la propuesta actualizada de los estándares de competencias básicas para el área de matemáticas. Es el resultado de una reflexión pedagógica que presenta los contenidos relacionados con los pensamientos: numérico, espacial, aleatorio y variacional, relacionándolos con la vida cotidiana. Una selección de actividades que muestra a la matemática como herramienta para otras ciencias de manera práctica y transversal. Una preparación para la prueba de estado (ICFES) que busca fortalecer el desarrollo de competencias y practicar el manejo de las pruebas con respuesta única y con múltiple respuesta válida.
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MATEMATICAS
GRADO 10° 10°
TABLA DE CONTENIDO
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
PÁG.
GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS RESOLUCIÓN DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS (LEY DEL SENO Y EL COSENO) IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGINOMETRICAS SECCIONES CÓNICAS VECTORES OPERACIONES CON VECTORES COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES MEDIDAS DE POSICIÓN PROBABILIDAD CONDICIONAl ACTVIDAD 1 ACTVIDAD 2 ACTVIDAD 3 PRUEBA TIPO ICFES
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GRADO 10° 10°
ESTÁNDARES DE MATEMÁTICAS PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS
PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS
PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS
PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS
PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS
* Analizar representaciones decimales de los números reales para diferenciar entre racionales e irracionales.
*Identificar las propiedades de las curvas en los bordes obtenidos mediante cortes (longitudinal y transversal) en un cono y un cilindro.
*Diseñar estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de precisión específicos
*Comparar estudios provenientes de medios de comunicación.
*Utilizar las técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos.
COMPETENCIA GENERAL *Construir los significados de las operaciones con números Reales, para diferenciar entre racionales e irracionales y desarrollar el sentido operacional con distintas actividades para comprender y manejar situaciones problema.
INTERPRETATIVA
ARGUEMTATIVA
*Identificar definiciones, propiedades y resultados referidos a operaciones con números Secciones cónicas, que se encuentran en el entorno.
* Aplicar procesos matemáticos para encontrar resultados usando las operaciones matemáticas en problemas de la vida cotidiana
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PROPOSITIVA *Proponer alternativas de solución a diversas situaciones cotidianas haciendo uso de las operaciones con números Reales.
EJES TRANSVERSALES
* Educación ambiental y desarrollo del pensamiento. Competencias
Contenidos
* Establecer relaciones y diferencias entre secciones cónicas para decidir sobre su uso en una situación dada.
* Describir y modelar fenómenos periódicos del mundo real usando secciones cónicas. cónicas
* Aplicar procesos geométricos usando el cálculo en la vida cotidiana.
*Proponer
* Usar comprensivamente algunas medidas de centralización, localización, dispersión y correlación (percentiles, cuartiles, centralidad, distancia, rango, varianza, covarianza y normalidad).
*Identificar situaciones
*Aplicar los procesos de algunas medidas de centralización, localización, dispersión y correlación (percentiles, cuartiles,centralidad, distancia, rango, varianza, covarianza y normalidad).en diferentes contextos
*Proponer
relacionadas con datos en distintos ámbitos de la vida cotidiana.
* Educación en valores
nociones básicas relacionadas con el manejo de información (como población, muestra, mediadas de posición y probabilidad condicional condicional).
y desarrollo del pensamiento.
*Educación ambiental y desarrollo del pensamiento
y resolver diversas Situaciones cotidianas haciendo uso de medidas de centralización, localización, dispersión y correlación (percentiles, cuartiles, cuartiles,centralida d,distancia, rango, varianza,covarianz a y normalidad)
TE M A 1 : C O N V E R S I Ó ÓN N DE ÁNG GU ULOS CONVERSIÓN DE ÁNGULOS: Un
án g u l o
es
la
región
d el
p l an o
c co om mp pre en ndida
entre
dos
s e m i r r e c t a s co n o r i g en e n co m mú ú n . A l a s s e m i rrrr e c t a s s e l a s l l a ma ma l ad a d o s y a l o rrii g en c o mú n v é rt r t i c e. El
ángulo
sentido agujas
es
p o s i t i vo
co n t r a arr i o a all del
r el o j
y
si
se
d e s p l a za
en
m mo ovimie en n tto o de la as s n e g at i v vo o
e en n
cas so o
contrario. P a r a m e d i r án g u l o s s e ut i l i za n l a s s i gu i e n t e s u ni d a d e s : 1 G r ad o s e x ag e si m a l ( °) : S i s e di v i d de e l a ci r c u n nff e r e n ncc i a e n 3 6 0 p a r t e s i g u a l e s , el á n g u l o c e n t r al c o r r e s p o n d i e n t e a c a d a u n na a de sus
4
partes es un ángu ull o d e u n g r a d o ( 1 °) sse e x a g e s i m a l . U n g r ad o t i e n e 6 0 mi n u t o s ( ')) y u n m i n u t o t i e n e 6 0 s e g u n d o s ( ' ' ) . 2 R a d i án ( r a d ) : E s l a m e di d a d e un á n g u l o c u yo a r c o m i d e u n radio.
2
rad = 360° rad = 180°
30º
/3 rad
rad
º
T E MA 2 : R A Z ON O NE E S T R I G O N O ME T R RII C A AS S
R AZ O N E S TR TRIG GO O N O M E TR I C AS :
5
S e n o : S e n o d el á án ngulo B: es la razón entre el ca att e t o o p u e s t o a all ángulo
y
la
h i p o t en u s a. a.
Se
deno ott a
por
s en
B.
C o s en o : C o s en o de l á n g ul o B : e s l a ra r a z ó n en t r e e l c at e t o c co ontiguo a all ángulo
y
la
h i p o t en u s a. a.
Se
deno ott a
por
co s
B.
Ta n g e n t e : Ta n g en t e d e l á n g u l o B : e s l a r a z ó n en t r e e l c a att e t o o p u e st o al á án ngulo y el cate ett o co c o n t i g u o al á n g u l o . S e d e n o ott a p o r t g B .
C o s e c a n t e: C o s e ca n t e d e l á n g u l o B : e s l a r a zzó ón invers sa a de ell s e en no de B.
S e d e n ot a p o r c o s e c B .
6
S e c an t e : S e c a n t e d e l á n g u l o B : e s l a r a z ó n i n v er s a d e l c o s en o d e
B . S e d e n ot a p or s ec B .
C o t a n g en t e : C o t an g en tte e d e l á n g u l o B : e s l a r a zó n i n v e r s a d e l a t a n g en t e
de
B.
Se
denota
por
Seno,
cotg
coseno
B.
y
tangente de 30º y 60º: Si dibu ujj am o s u n t r i á n g u ull o e q u i l á t e err o A B C , c a d da a u n o d e s u s t r e s á n gu l o s m i d e 6 0 º y, s i t r a za m o s u n a a all t u urr a d e l m i s m o , h, e l á n g u l o d e l v ér é r t i ce A p o r e ell q u e l a h hem em o s t r a zza a d o q u e da d a d i vi vidido en dos igua all e s d e 3 0º c a d a u n o . R e ccu urriendo al Teo orr e em m a de d e P i t á g or a s, s, t e n em o s q u e l a a l t u r a e s :
7
S en o , co s en o y t a n g en t e d e 4 5 Âş
R a z o n e s t r i g o n om ĂŠt r i c a s d e ĂĄ n g u l o s n o t a b l e s :
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T E MA 3 : GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS f(x) = sen x
Dominio: 1,, 1] Recorrido: [−1 P e rí o d o : C o n ti n u i d a d : C o n t i n u a e n C r e c i en t e en : D e c r e ci e n t e e n : M á x i mo s : M í n i m o s: I m p a r : s e n ( − x ) = − se n x C o r t e s co n e l e j e O X : Función coseno
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f(x) = cos x
Dominio: Recorrido: [−1 1,, 1] P e rí o d o : C o n ti n u i d a d : C o n t i n u a e n C r e c i en t e en : D e c r e ci e n t e e n : M á x i mo s : M í n i m o s: P a r: c os (− −x) = cos x C o r t e s co n e l e j e O X : F u n ci ción tangen ntt e
10
f(x) = tg x
Dominio:
Recorrido: C o n ti n u i d a d : C o n t i n u a e n P e rí o d o : C r e c i en t e e n : M á x i mo s : N o t i e n e. e. M í n i m o s:: N o t i e n e . − x) = − t g x I m p a r : t g (− C o r t e s co n e l e j e O X :
11
F u n ci ó n co t a n g e en nte f(x) = cotg x
Dominio: Recorrido: C o n ti n u i d a d : C o n t i n u a e n P e rí o d o : D e c r e ci e n t e e n : M á x i mo s : N o t i e n e. e. M í n i m o s:: N o t i e n e . I m p a r : c o t g ( − x) = − −cc o t g x C o r t e s co n e l e j e O X :
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F u n ci ó n s e c an t e f(x) = sec x
Dominio:
R e c o r r i d o : ( − ∞ , − 1]
[1, ∞)
P e rí o d o : C o n ti n u i d a d : C o n t i n u a e n C r e c i en t e en : D e c r e ci e n t e e n : M á x i mo s : M í n i m o s: −x) = sec x P a r: s ec (− C o r t e s co n e l e j e O X :
No corta
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F u n ci ó n co s e c a n t e f(x) = cosec x
Dominio: R e c o r r i d o : ( − ∞ , − 1]
[1, ∞)
P e rí o d o : C o n ti n u i d a d : C o n t i n u a e n C r e c i en t e en : D e c r e ci e n t e e n : M á x i mo s : M í n i m o s: I m p a r : c o s e c ( − x) = − c o s e c x C o r t e s co n e l e j e O X :
No corta
TEMA 4: LEY DEL SENO
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RESOLUCIÓN DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS (LEY DEL SENO Y EL COSENO)
Te o r e m a d e l o s s en o s : C ad a l ad o d e u n t r i á án ngulo es directame en nte proporcional
al
seno
d el el
1 . ¿ R es o l v er
ángulo un
triángu ull o
opuesto. c o n o ccii e n nd do
u n l a d o y d o s á n g u l o s a d ya c e n t e s a él
De un triángulo sab bem em o s q u e e:: a = 6 m , B = 4 5 5°° y C = 1 0 05 5 °. C a l c u l a los restantes elementos.
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T E MA 5 : T E O R E MA O L E Y D E L C O S E N O Te o r e m a d e l c o s e n o : E n u n t rrii á n g u l o e l c u a ad d r ad o d e c a ad da la ad do es i g u a l a l a su m a d e l o s c cu u ad r a ad dos de los otros dos me en n o s el d o b l e p r o d u ct o d el p r o d u c t o d e a am mb b o s p o r e l co s en o d e l á án ngulo que f o r m an .
1. C o n o c i en e n d o d o s l a d o s y e l á n g u l o co m p r e en ndido
D e u n t r i á n g ul o s a b bem em o s q u e : a = 1 0 m , b = 7 m y C = 3 30 0 °. C a all c u ull a los restantes elementos.
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sen B > 1. No hay solución
s e n B = 1 Tr i án g u l o r e c t án g u l o s e n B < 1 . U n a o d o s so l u ci o n e s
S u p o n g am o s q u e t e n e em m o s a, b y A ; a l a p l i c a arr el t e o orr e em ma de los senos puede suced de er:
1.
sen B > 1. No hay solución n.
* R e s u el v e e l t r i án g u ull o d e d a t o ss:: A = 3 0 °, a = 3 m y b = 8 m .
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C om o e l s e n o d e u n á n g u l o n u n c a p pu u e d e s e r m a yo r q u e 1 , el p r o b l em a n o t i e n e s o l u ci ó n . L a f i g u r a m u e s t r a l a i m p o si sib bii l i d a d d e q u e e x i s t a e l t r i á n g u l o pl a n t e a d o . 2 . s e n B = 1. S o oll u ccii ó n ú n i c a : t r i á n g u l o r e c t á n g u l o R es e s u e l v e el t r i á n g u l o d e d a t o s: A = 3 0 °, a = 3 m y b = 6 m .
3. sen B < 1 1.. U n a o d o s s ol u c i o n e s * Resuelve e ell t r i á n gu g u l o d e d a t o s : A = 6 0°, a = 8 m y b = 4 m m..
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•
R e s u e l v e el t r i á n g u ull o d e d at o s : A = 3 0°, 0 °, a = 3 m y b = 4 m .
TEMA 6: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
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I D E N TI D AD E S
T R I G O N O ME T TR R I C AS :
Se
llaman
identidades
trigonométricas a igualdades en las que aparecen expresiones trigonométricas y para las que ocurre que sea cual sea el valor de los ángulos siempre se verifican.Por ejemplo: sen(2a)=2sen(a).cos(a) sen(2 c o s² α + s en ² α = 1 sec² α = 1 + tg² α cosec² α = 1 + c co otg² α
S a bi e n d o q u e s e n α = 3 / 5 , y q u e 9 0 º <α < 1 8 0 °. C a l c u ull a arr l a ass r e s t a n ntt e s r a z o n e s t r i g o n om é t r i c a s d e l á n g u l o α .
S a bi b i e n d o q u e t g α = 2, y q u e
1 8 0 º < α < 2 7 0 °. C a l c u l a r l a ass
r e s t a nt e s r a zzo o n e s t r i g o n om ét étricas de ell án á n g u l o α.
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T E MA 7 : E C U A C I O ON NES TRIGO ON N O MÉ T R I C A S E C U AC I O N E S T TR RIGO ON N O N O M E TR I C AS : las ecuaciones t r i g o n o m é t r i c a s i n t e r vvii e n e n f u n ccii o ne s t r i g o n om o m ét é t r i c a ss,, q u e s o n p e r i ó d i c a s y p o r t an t o s u s s o oll u ccii o n e s s e p u e d e n p r e s e n ntt a arr e n u n o o e n dos cuadrantes y además se rep pii t e n e en n todas las vue ell t a s . P a r a r e s o l v er u n a e c u a c i ó n t r i g o n o mé t ri c a h a r em o s l a s t r a n ssff o r m a ccii o n ne es necesaria ass p a r a t r a b aj a r c o n un a s o l a f u n ci ó n t r i g o n o om m é t r i cca a , p a r a el l o u t i l i z a r e em mo oss l a s i d e n t i d a d e s t rrii g o n o m é t r i c a s f u n d a m en t a l e s . E j em emplo oss .
R e s u e l v e l a s e c u a c i o n e s t r i g o n o m é tr tricas: 1
2
21
3 Tr a n s f o r m a mo mos la suma en producto
Divid dii m o s p o orr 2 e n l o s d o s m i em b brr o s e i g u a l a am mo oss c a d a f a ct ctor
TEMA 8: SECCIONES CÓNICAS
SECCIONES CÓNICAS
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a 0.
U n a s u p e rf i c i e có cónica de revolu ucc i ó n e ess t á e n g e n d drr a d a p o orr l a r ot o t a ccii ó n d e u n a r e c t a a all r e d e d o r d e o t r a r e c t a f i j a , l l a am mada eje, a la q u e c o r t a d e m o d o o b l i c u o. o . L a g en er a t r i z e s u n a c u a l q qu uiera de la ass rectas oblicuas. El vértice es e ell p u un nto central donde se cortan la ass g e n e r a t r i c es . L a s h o j a s s o n l a s d o s p ar t e s e n l a s q u e el v é r t i c e d i v i d e a l a s u p e r f i c i e c ó n i c a d e r e v o l uc i ó n . S e d e n o m i n a s e c c cii ó n c ó n i c a a l a c u r v a i n t e r s e c ci ó n d e u n c o n o c o n u n p l a n o q u e n o p a s a p o r s u v ér é r t i c e. e. E n f u n c i ó n d e l a r e l a c i ó n e xxii st e n t e e n t r e e l án ángulo de c co onicida ad d (α) y la i n c l i n a c i ó n d el p l a n o r e s p e c t o d el e j e d e l co n o ( β ) , p u e ed d e n o b t e n e r sse e d i f er e n t e s s e c c i o n e ess c ó n i c a s .
23
Elipse
La
elipse
es
la
sección
producid da a
en
una
s u p e r f i ci e c ó n i c a de r e v o l u c i ó n p o r u n p l a n o o b l i c u o al e j e , q u e n o s e a p a r a l e l o a l a g e n er a t r i z y q u e f o rrm m e cco o n e l m i ssm mo un áng gu u l o m a yo r q u e e l q u e f or m a n ej e y g e n e r a t r i z . α < β < 9 0º L a e l i p s e e s u n a c u r v a c er r a d a . C i r c u nf e r e n c i a
L a c i r c u n f er en c i a e s l a s e c c i ó n p prr o d u c i d a p o r u n p l a n o p e r p e n d i c u l ar a l e j e . β = 9 0 º L a c i r c cu unfere en nc cii a e s u n c a s o p a r t i c u l ar d e e l i ps e .
24
Parábola:
L a p a r á b o l a e s l a s e c c i ó n p r o d uc i d a e n u n a s u p e rrff i c i e c ó n i c a d e r e v o l u ccii ón p o r u n p l a n o o b bll i c u o a l e j e e,, ssii e n d o p a r a l e ell o a l a g e n e r a t r i z . α = β L a p a r áb o l a e s u n a c u r v a a b i e err t a q u ue e se prolong ga a h a s t a el i nf i n i t o. H i p ér b o l a
La
hipérbola
es
la
s e c ci ó n
p prr o d du ucida
en
una
s u p e r f i ci e c ó n i c a d e r e v o l uc i ó n p o orr u un n plano oblicuo a all e j e , f o r m a n d o c o n é l u n á n g ul o m e n o r a all q u e f or m a n e j e y g e n e r a t r i z, z, po orr l o q u e i n ci cid de e e n l a s d o s h o j a s d e l a s u p er f i c i e c ó n i c a a.. α > β E C U AC I O N E S D E L A H I P E R RB BO OL L A, L A C I R C U N F E R E N C I A L a h i p é rb o l a e s u n a c u r v a a bi e r t a q u e s e p r o l o ng a i n d ef i n nii d a am men ntt e y c o n s t a d e d o s r a m a s s e p a r a d as .
25
E c u a c i ó n r e d u ci d a d e l a c i r c u nf e r e n c i a: a S i e l c e nt r o d e l a c i r c u nf e r e n c i a c o i n ccii d e c o n e l o r i g e n d e c o o r d e n a d a s l a e c u a c i ó n q u e da da reducida a
E j em p l o : E s c r i b i r l a e c u a ci ó n de l a c i r c u nf e r e nc i a d e c e en ntro (3, 4) y radio 2.
E c u a c i ó n r ed u c i d a d e l a el i p s e: Tom am o s c o m o c e n t r o d e
la
el i pse el ce nt r o l o s f o co s s o n:
de elipse
co m o
e ejj e s
de
coordenadas.
coordenadas Las
y
los
coordenadas
eje ess
de
de
los foco oss
s o n : F'( -c c , 0 ) y F( c , 0 )C ) ual qui e r pu nto de l a e l i pse ps e c cumpl umpl e :
Es ta e x xp p re s sii ó n da l ugar a :
Re al i z ándo l as
ope raci o ne s
l le ga g amo mo s
26
a:
la
E j em p lo : D ad a l a e cu a c ió n re d u c iid da de la e l i p se de
lo s
, h a l l a r l a s c o o rd en ad a s vértices
de
los
foc co os
y
la
e x c en tr i c i d ad .
; ;
; Ecuación de la hipérbola
S e l l a m a ec e cu u a c ió n re r ed d u c iid d a a l a ec e c u a c iió ó n d e l a h i p é rrb bola cuy yo os e j e s co in c i d e n c on llo o s e j e s c o o rd en a ad d a s , y, y , p o r tta a n t o , e l cen c en tro d e h ip i p é rb o l a c o n e l o r ig en d e c co o o rd e n ad a s. S i e l e j e rre e a l e s t á en en e l e j e d e a b s c i s as l a s c o o rd en e n a d as d e lo los foc co os s so o n : F ' ( - c, 0 ) y F ( c , 0 ) C u a lq l q u i e r p u n to d e l a h ip é r b o l a c cu um mp ple: e x p re r es s ió n d a lu g ar a :
E s ta Realizando
l a s o p e r a c io n e s l le g a amo mo s a:
27
E j e mp l o s: H al l a arr l a e c u a c i ó n d e l a h hii pé r b o l a d e f o c o F ( 4 , 0 ) , d e v é r t i c e A ( 2, 0 0)) y d e c e n t r o C ( 0, 0 ) .
E cu a ci ó n d e l a p ar arábola E cu c u a c i ó n r ed u ci d a d e l a p a r á b o l a
Dada la parábola
, c a l c u l ar s u v é r t i cce e, su foco y la recta
d i r e ct r i z.
T E MA 9 : V E C T O R E S U n v e ct o r f i j o
e s u n s e g m en t o o r i en t a d o q u e v a d e ell p u n t o A
( o r i g e n ) al p u n t o B ( e x t r e em mo o).
Ele em m e n t o s d e u n ve c t o r D i r e c c i ó n d e u n v ec ector L a d i r e c c c í o n d el v e c t o r e s l a d i r e c c i ó n d e l a r e c t a q u e c o n t i e n e al v e c t o r o d e c u al q u i e r r e ct a p ar a l e l a a el l a .
S en e n t i d o d e u n v e c to tor El se en n t i d o d el v e ct o r
e s e l q u e v a d e sd e e l o r i g e en n A a l ex t r e mo
B.
28
M ó d u l o d e u n v e ct o r
El módulo del vector por
es la longitud del segmento AB, se representa
.
E l m ó d u l o d e u n v ec t o r e s u n n ú m e r o s i e m p r e p o s i t i vo o c e r o . M ó d u l o d e u n v e c t o r a p a r t i r d e su s co mp o n en t e s
M ó d u l o a p a r t i r d e l a s co o r d e n ad a s d e l o s p u n t o s
29
C o o r d e n a d as d e u n v e c t o r
S i l a s c o o r d e n a d a s d e l o s p u n t o s e xt r em o s , A y B , s o n:
L a s c o o r d e n ad a s d e l v e c t o r
s o n l a s c o o r d e n ad a s d el e x t r e mo
menos las coordenadas del origen.
C l as e s d e v e c t o r e s
V e c t o r e s e q u i p o l en t e s
30
D o s v e c t o r e s s o n eq u i p o l e n t e s c u a n do t i e n e n i g u al m ó d u l o , d i r e c c i ó n y sentido.
Vectores libres
El
c o nj u nt o
de
todos
los
v ec t o r e s
e q u i p o l e n t e s e n t r e s í s e l l a m a v e ct o r l i b r e . E s d e c i r l o s v e c to r e s l i b r e s t i e n e n e l m i s m o mó d u l o , d i r e c ci ó n y s e n t i d o . Vectores fijos
Un vector fijo es un representante del vector libre. Es decir, los v e c t o r es f i j o s t i e n e n e l m i s m o mó d u l o , d i r e c c i ó n , s e n t i d o y o r i g e n . V e c t o r e s l i g ad o s
31
L o s v e c t o r e s l i g a d o s s o n v e ct o r e s e q u i p o l e n t e s q u e a c t ú a n e n l a m i sm a r e c t a . E s d e c i r , l o s v e ct o r es f i j o s t i e n e n e l m i s m o mó d u l o , d i r e c c i ó n , s en t i d o y s e e n c u e n t r a n e n l a m i sm a r e ct a .
Vectores opuestos
L o s v e c t o r e s o p u es t o s t i e n e n e l m i s mo mó d u l o , d i r e c ci ó n , y d i s t i n t o sentido.
V e c t o r e s u n i t ar i o s
Vectores unitarios P a r a o b t e n er u n v e c t o r u n i t ar i o , d e l a m i sm a d i r e c ci ó n y s e n t i d o q u e e l v e c t o r d a d o s e d i v i d e é s t e p o r su m ó d u l o .
32
V e c t o r e s u n i t ar i o s
L o s v e c t o r e s co n cu r r en t e s t i e n e n el m i s m o o r i g e n .
Vector de posici贸n
E l ve c t o r
q u e u n e e l o r i g en d e c o o r d en a d a s O c o n u n p u n t o P s e
l l a m a v ec t o r d e p o s i c i 贸 n d e l p u n t o P .
V e c t o r e s l i n e al m en t e d e p en d i en t e s
33
V a r i o s v e c t o r e s l i b r e s d e l p l a n o s o n l i n e al m en t e d e p en d i en t e s s i e x i st e u n a c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e e l l o s q u e s e a i g u a l a l v e c t o r c e r o , s i n q u e s e a n c e ro t o d o s l o s c o ef i c i en t e s d e l a c o m b i n a c i ó n l i n e a l .
V e c t o r e s l i n e al m en t e i n d e p en d i en t e s
V a r i o s v e ct o r e s l i b r e s s o n l i n e a l m en te i n d e p en d i en t e s s i n i n g u n o d e ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros.
a1 = a2 = · · · = an = 0
Vectores ortogonales D o s v e c t o r e s s o n o r t o g o n a l e s o p e r p e n d i c u l ar e s si s u p r o d u ct o e s c a l a r es c er o . V e c t o r e s o r t o n o r ma l e s
D o s v e c t o r e s s o n o r t o n o r m a l e s si :
34
1 . S u p r o d u c t o e s ca c a l a r es c e r o . 2 . L o s d o s v e c t o r e s s o n u n i t ar i o s
TE MA 1 0 : PROBABILIDAD CONDICIONAl
PROBABILIDAD CONDICIONAl S e a n A y B d o s s u c e s o s d e u n m i ssm m o es p a c i o m u e sstt r a all E . S e l l a am ma p r o b ab i l i d ad de d e l s uc e s o A co n d i c i o n ad a a l B y s e r e p r es e en nta po orr P ( A/ B ) a l a p r o b a ab bilida ad d d e l su c e s so o A u n a v e z h a o cu c u r rrii d o e l B .
E j e m p l o : C a l c ul a r l a p r o b a b i l i d a d d e o b t e n e r u n 6 a l t i r a r u n d a d o sabiendo que ha salido par.
S u c e so s o s i n d e p en d i e n tte es: Dos suceso oss A y B s o n i n d e p e n d i e n t e s ssii p ( A/ B ) = p ( A)
S u c e so s o s d e p en d i en t e s : D o s s u c e s o s A y B s o n d e p e n di e en n t e s ssi p ( A/ B ) â&#x2030; p ( A) .
TEMA 11 : OPERACIONES CON VECTORES
S u m a d e v e ct o r e s
35
P a r a s um a r d o s v e c t o r e s l i b r e s
y
se escogen
c o m o r e p r e s e n t a n t e s d o s v e c t o r e s t al e s q u e e l e x t r em o f i n a l d e u n o c o i n c i d a c o n el e x t r em o or i g e n d el ot r o v e c t o r .
R eg l a
d el
p a r al e l o g r am o
S e t o m a n c om o r e pr e s e n t a n t e s d o s v ec t o r e s c o n el o r i g en e n c o m Ăş n, se
trazan
r e ct a s
p a r a l el a s
a
l os
v e c t or e s
o b t e ni ĂŠ n d o s e
un
p a r a l e l o g r am o c u ya d i a g o n a l c oi n ci d e c o n l a s um a d e l o s v e c t o r e s . P a r a su m ar d o s v e c t o r e s s e s u m a n s u s r e s p e c t i v a s co m p o n en t e s .
R e s t a d e v e ct o r e s
P a r a r e s t a r d o s v e c t o r e s l i b r es con el opuesto de
y
se suma
. L a s c o mp o n en t e s d e l v e c t o r r e st a s e
o b t i en en r e s t an d o l a s co m p o n e n t e s d e l o s v e c t o r e s .
36
P r o d u c t o d e u n n 煤 m e r o p o r u n v e c t o r : E l p r o d u c t o d e u n n 煤m e r o k p o r u n v e c t or
e s o t r o v e c t o r : D e i g u a l d i r e c c i 贸 n q u e e l v e ct o r
D e l m i s m o s en t i d o q u e e l v e c t o r D e s en t i d o co n t r a ri o d el v e c t or
.
s i k e s p o s i t i vo . s i k e s n eg a ti v o .
De m贸dulo
L a s co m p o n e n t e s d el v e c t o r r e su l t an t e s e o b ti en e n m u l t i p l i can d o p o r K l a s co mp o n en t e s d e l v e ct o r .
37
T E MA 1 2 : C O MB I N A C I Ó N L I N E A L D E V E C T O R E S . Dados dos vectores:
y
, y dos números: a y b, el vector
s e d i c e q u e e s u na c o m b i n a ci ó n l i n e a l d e
y
.Una
c o mb i n a c i ó n l i n e a l d e d o s o m á s v ec t o r e s e s e l v e c t o r q u e s e obtiene
al
su m a r
esos
v e ct o r e s
multiplicados
por
sendos
escalares.
C u a l q ui er v e c t o r s e p u e d e p o n e r c o m o c o mb i n a c i ó n l i n e a l d e o t r o s dos que tengan distinta dirección.
Esta
c om b i n ac i ó n
lineal ,
E l v e ct o r los vectores
hallar
es
única. el
vector
Dados
los
co mb i n a ci ó n
v e c t or e s l i n e al
, ¿ s e p u ed e e x p r e s a r c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e al d e ?
38
ACTIVIDAD 1 1 E x p r e s a e n g r a d o s s e x a g e si m a l e s l o s s i g ui e nt e s á n g ul o s: * 3 rad * 2 π / 5 r a d. 2 E x p r e s a e n r a d i a n e s l os si g ui e n t e s á n g u l o s : *316° * 10° 3 S a bi e n d o q u e c o s α = ¼ , y q u e 2 7 0 º < α < 3 6 0 °. C al c u l a r l as r e s t a nt e s r a z o n e s t ri g o n om ét r i c a s d el án g u l o α. 4 S a b i e n d o q u e t g α = 2 , y q u e 1 8 0 º < α < 2 7 0 °. C al c ul a r l as r e s t a nt e s r a z o n e s t ri g o n om ét r i c a s d el án g u l o α. 5 S a bi e n d o q u e s e c α = 2 , 0 < α <
/ 2 , ca l c u l ar l a s r es t a n t es
r a zo n e s t r i g o n o m é t r i c a s. 6 C a l c u l a l a s r a zo n e s d e l o s s i g ui e nt e s á n g u l o s: *225° * −840º 7 C o m p r o b a r l a s i d e n t i d a d e s:
39
* *
* R E S O L V E R L AS S I G U I E N TE S E C U AC I O N E S :
*
* * 8 . D e u n t r i á n g u l o s a b em o s q u e : a = 6 m , B = 4 5 ° y C = 1 0 5 °. C a l c u l a l os r e s t a nt e ess e l em e n t o s . 9 . D e u n t r i á n g ul u l o s a b em o s q u e e:: a = 1 0 m , b = 7 m y C = 3 0°. 0 °. C a l c u l a l os r e s t a nt nte ess e l em e n t o s . 1 0 . R e s u el v e e l t r i án g u l o d e d a t os : A = 3 0 °, a = 3 m y b = 8 m . 1 1 . R e s u el v e e l t r i án g u l o d e d a t os : A = 3 0 °, a = 3 m y b = 6 m . 1 2 . C a l c u l a l a d i sstt a n c i a q u e s e p a r a e l inaccesible B.
40
p pu u n t o A y d e l p u nt nto
AC T I V I D AD 2 1 D e t er m i n a l a s c o o r d e n a d a s d e l c e nt r o y d e l r a d i o d e l a s c i r c u nf e r en c i a s : * 2 C a l c u l a l a e c u a ci ó n d e l a c i r c u n f e r e n c i a q u e t i e n e s u c e n t r o e n ( 2 , - 3) y e s t a n g e n t e al e j e d e a b s c i sa s . 3 C a l c u l a l a e c u a ci ó n d e l a c i r c u n f e r e n c i a q u e t i e n e s u c e n t r o e n ( - 1 , 4 ) y e s t a n g e n t e al e j e d e or d e na d a s . 4.Dada la parábola
, c a l c ul a r s u v é r t i c e , s u f oc o y l a
r e c t a d i r e ct r i z . 5 - D a d a l a p a r á b ol a
, c a l c ul a r s u v ér t i c e , s u f o c o y l a
r e c t a d i r e ct r i z . 6 . H a l l a r l a ec u a c i ón d e l u g a r g e o m é t r i c o d e l o s p u n t o s P ( x . y) c u ya s um a d e d i s t an c i a s a l o s p u n t o s f i j o s ( 4 , 2) y ( - 2 , 2 ) s e a i g u al a 8. 7 . H al l a r l o s el e m e n t o s c a r a c t e r í st i c o s y l a e c u a c i ó n r e d uc i da d e l a e l i p s e d e f o c os : F '( - 3 , 0 ) y F ( 3 , 0) , y s u e j e m a yo r m i d e 1 0 .
8 . D a d a l a e c u a ci ó n r e d u c i d a d e l a e l i p s e
, hallar
l a s c o o r d e n a d a s d e l o s v é r t i c e s d e l o s f o c o s y l a e x c e n t r i ci d a d . 9 . H a l l a r l a e c u a c i ó n d e l a h i p é r b ol a d e f o c o F ( 4, 0 ) , d e v é rt i ce A ( 2, 0) y d e c e n t r o C ( 0, 0) .
41
1 0 . H a l l a r l a e c u a ci ó n y l a e x c e n t r i c i da d d e l a h i p é r b o l a q u e t i e n e c o m o f oc o s l o s p u n t o s F ' ( - 5, 0 ) y F ( 5, 0 ) , y 6 c o m o d i f e r e n c i a d e l o s r a di o s v e c t o r e s . 1 1 . H a l l ar l a s c o o r d e n a d a s d e l o s v é r t i c e s y d e l o s f o c os , l as e c u a c i o n e s d e l a s a s í n t ot a s y l a e x c e n t r i c i d a d
AC T I V I D AD 3 1 S e a n A y B d o s s uc e s o s a l e a t o r i o s c on p ( A ) = 1 / 2 , p( B ) = 1 / 3 , p ( A B ) = 1 / 4 . D e t e r m i n ar : * * 2 - E n u n c e nt r o e s c o l a r l o s a l um n o s pu e d e n o p t ar p o r c u r s a r c o m o l e n g u a e x t r a n j e r a i n g l é s o f r a n c é s . E n u n d e t e r m i n a d o c u r s o , e l 9 0% d e l o s a l um n o s e s t u d i a i n gl é s y e l r e s t o f r a nc é s . E l 3 0 % d e l o s q u e e s t u d i a n i n gl é s s o n c h i c o s y d e l o s q u e e s t u d i a n f r a n c és s on c h i c o s e l 4 0 % . E l el e gi d o u n a l um n o al a za r , ¿ c u á l e s l a p r o b a bi l i d a d d e q u e s e a c hi c a ? 3 - D e u n a b ar a j a d e 4 8 c a r t a s s e e xt r a e s i m u l t á n e am e n t e d o s d e e l l as . C a l c u l a r l a p r o b a bi l i d a d d e q u e : * L a s d o s s e an c o p as . *Al menos una sea copas. *Una sea copa y la otra espada.
42
4 - A nt e u n e x a m e n, u n a l u m n o s ól o h a e s t u d i a d o 1 5 d e l o s 2 5 t em a s c o r r e s p o n d i e nt e s
a
la
m a t er i a
del
m i sm o.
Éste
se
r e a l i za
e x t r a ye n d o a l a z a r d o s t em a s y d e j a n do q u e e l a l um n o e sc o j a u n o d e l o s d o s p a r a s e r e x am i n ad o d e l m i s m o . H a l l ar l a p r o b ab i l i d a d de q u e e l a l um n o p ue d a e l e g i r e n e l e x a m e n u n o d e l o s t em as e s t u d i a d os . 5 - U n a cl a s e e st á f o r m a d a p o r 1 0 c h i c os y 1 0 c h i c a s ; l a m i t ad d e l as chicas
y
la
mitad
de
los
chicos
ha n
elegido
francés
como
a s i g n a t ur a o pt a t i v a . * ¿ C u á l e s l a pr o b ab i l i d a d d e q u e u n a p e r s o n a e l e gi d a a l a za r sea chico o estudie francés? * ¿ Y l a p r o b a bi l i d a d d e q u e s e a c hi c a y n o e s t u di e f r an c é s ? 6 - U n t a l l e r s a b e q ue p o r t é r m i n o m e d i o a c u d e n : p o r l a m a ñ a n a t r es a u t o m ó vi l e s
con
p r o b l em a s
e l é ct r i c o s ,
ocho
con
p r o b l em as
m e c á n i c o s y t r e s co n p r o b l em a s d e c ha p a , y p o r l a t a r d e d o s c on p r o b l em a s el é c t r i c os , t r e s c o n p r o bl e m a s m e c á n i c os y u n o c o n p r o b l em a s d e c h a p a. * H a c e r u n a t a b l a o r d e n a n d o l o s d at o s an t e r i o r e s. * C al c ul a r e l p o r c e nt a j e d e l os q u e a c u d e n p o r l a t ar d e . * C al c ul a r e l p o r c en t a j e d e l os q u e a c u d e n p o r p r o b l em as mecánicos. * C al c ul a r l a p r o b a bi l i d a d d e q u e u n a u t om ó v i l c o n pr o b l em a s e l é c t r i c o s a c u d a p or l a m a ñ a n a.
43
7 - U n a cl a s e c o n s t a d e s e i s n i ñ a s y 1 0 n i ñ o s . S i s e e sc o g e u n c om i t é d e t r e s a l a z a r , h a l l a r l a p r o b a b i l i d a d d e : * S e l e c c i o n ar t r es ni ñ o s . * S el e c c i o n a r e x a c t am e n t e d o s n i ñ o s y u n a n i ñ a. * S el e c c i o n a r p o r l o m e n o s u n n i ñ o .
44
PRUEBA DE MATEMATICAS TIPO ICFES SEÑALE LA RESPUESTA CORRECTA. RESPONDA LAS PREGUNTAS 1 A 5 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN Se realizaron unas pruebas con esferas de un metal experimental. Se descubrió que si se deja caer a una determinada altura una esfera de volumen V se divide en dos esferas de volumen V/2 y luego estas esferas, al caer desde la misma altura, se dividen en cuatro esferas de volumen V/4 y así sucesivamente. A continuación se muestra un dibujo que representa la prueba planteada:
1.
Al practicar estas pruebas, se afirma que el número de esferas que se tendrá en el escalón 6 es 64, esto es debido a que A. el número de esferas de un escalón determinado es un número par B. escalón a escalón se duplican las esferas y ésta es la sexta duplicación C. el número de esferas se obtiene elevando 2 al número del escalón deseado D. escalón a escalón se aumenta en un número par de esferas
2.
Con base en la variación o aumento de esferas por escalón se puede afirmar que
A. se tendrá siempre el doble de esferas de un escalón a otro B. el número de esferas en un escalón se representa por medio de una potencia de uno C. del escalón 0 al 1, 1 al 2, 2 al 3, 3 al 4,... aumenta 2, 4, 8, 16,... esferas respectivamente D. del escalón 0 al 1, 1 al 2, 2 al 3, 3 al 4,... aumentan 1, 2, 4, 8,... esferas respectivamente 3.
Se encontró una regularidad frente al aumento de esferas por escalón, la expresión que muestra el número de esferas en un escalón a partir del número del escalón es n
2 , porque si n es el número del escalón se logra 1,2,4,8,16... esferas, empezando desde A. el escalón cero
45
2n, debido a que se logra el número de esferas esperadas en los escalones 1 y 2 si n B. representa el número del escalón n-1 2 , ya que representa el número de esferas de un escalón, siendo n el número del C. escalón siguiente al deseado 2
D. 2 , porque representa el número de esferas en el escalón dos Al empezar el experimento con tres esferas en el escalón cero y comparando con las características del experimento anterior, puede suceder que
4.
A.
frente a la prueba anterior el número de esferas en un escalón aumenta en 3 esferas
en el experimento actual el número de esferas que se tienen en un escalón es tres veces B. el número de esferas del escalón anterior en cada escalón habrá el triple de esferas que había en el mismo escalón en la prueba C. anterior en el experimento actual el número de esferas que se tienen en un escalón es el doble de D. los que se tenían en el escalón anterior Los encargados de realizar las pruebas desean construir una representación que muestre el número de esferas por escalón y la suma de los volúmenes de las esferas por escalón, ¿Cuál considera usted que es la representación adecuada?
5.
A.
B.
C.
46
D
RESPONDA LAS PREGUNTAS 6 Y 7 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN Para tomar la decisión de construir una plaza de mercado en el barrio Los Rosales, la Junta de Acción Comunal desea contar con el apoyo de la mayoría de las familias que allí viven. Para determinar qué quiere la mayoría, realizaron un sondeo en el que preguntaron: "¿Cree usted que sería de beneficio para el sector la construcción de una plaza de mercado?". Los resultados se muestran en la siguiente tabla: Respuestas No. de familias Si 225 No 150 esta inseguro 75 No respondió 300 La Junta de Acción Comunal se inclinó por NO construir una plaza de mercado, debido a que los resultados del sondeo muestran que
6.
A. el 70% de familias encuestadas no respondió afirmativamente B. la mitad de familias encuestadas estuvieron inseguras o no respondieron la encuesta el número de familias que respondieron "sí", supera a quienes respondieron C. negativamente en un 50% D. el número de familias que respondieron "no" es el doble de las que están inseguras Un gráfico que se podría presentar a los habitantes del barrio, sobre los resultados del sondeo, es
7.
A.
B.
47
C.
D.
RESPONDA LAS PREGUNTAS DE LA 8 A LA 10 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN Se construyó un cubo formado por cubitos, cada uno de ellos con aristas de longitud una unidad, como se presenta en el dibujo.
8.
Para fijar el cubo construido se coloca una cinta por todos sus bordes. La longitud de la cinta para lograr este fin debe ser A. 12 unidades que corresponden al número de aristas del cubo B. el producto entre 12 unidades y el número de cubitos que conforman el cubo C. 36 unidades, que corresponden a la longitud de las aristas del cubo D. las unidades de cinta con las cuales se cubren los bordes de 3 cubitos
9.
Al quitar el cubito que aparece sombreado en el dibujo, el volumen de la figura obtenida disminuye una unidad de volumen, pero su superficie total no cambia. ¿Cómo obtener una figura cuyo volumen sea dos unidades menos que el del cubo, pero con la misma superficie total de éste? A. quitando un cubito interior y uno lateral que esté junto a él B. quitando 2 cubitos de la esquina C. quitando un cubito de la esquina y uno lateral que esté junto a él D. quitando 2 cubitos laterales
10.
Al quitar los 6 cubitos interiores del cubo, ¿qué cambios se presentan en la figura obtenida en comparación al cubo inicial?
48
A. la superficie y el volumen se mantienen iguales B. la superficie aumenta en 24 unidades cuadradas y el volumen disminuye C. el volumen disminuye en 6 unidades cĂşbicas y la superficie aumenta
49