Head_First_Statystyka_Edycja_polska_hfstat

Page 1

Head First. Statystyka. Edycja polska Autor: Dawn Griffiths T³umaczenie: Przemys³aw Janicki ISBN: 978-83-246-2065-4 Tytu³ orygina³u: Head First Statistics Format: 200×230, stron: 452

Przekonaj siê, ¿e statystyka mo¿e byæ prosta! Jeœli statystyka wydaje Ci siê nudna i skomplikowana, to tylko dlatego, ¿e nie korzysta³eœ dot¹d z odpowiedniego podrêcznika! Ta innowacyjna, przyjazna dla czytelnika ksi¹¿ka z pewnoœci¹ zmieni Twoj¹ opiniê. Wiedzê z zakresu statystyki podano tu w sposób uwzglêdniaj¹cy najnowsze badania w zakresie efektywnego nauczania. Dziêki przyjêciu takiej formu³y tekst dostosowano do sposobu funkcjonowania Twojego mózgu, aby w pe³ni wykorzystaæ jego mo¿liwoœci i bezboleœnie wprowadziæ Ciê w œwiat skomplikowanych obliczeñ. Najwa¿niejsze zagadnienia zosta³y tu zilustrowane za pomoc¹ – nierzadko zabawnych – przyk³adów z ¿ycia codziennego, takich jak analiza statystyk sportowych, wyników gier hazardowych czy testów nowych leków. Dziêki tej ksi¹¿ce dowiesz siê m.in., jak wybraæ optymalny wykres do wizualizacji okreœlonych danych, szybko wskazaæ wartoœci reprezentatywne dla danego zbioru danych i za pomoc¹ rachunku prawdopodobieñstwa przewidywaæ skutki powtarzalnych zdarzeñ w d³ugich seriach. Z ³atwoœci¹ nie tylko przyswoisz zawart¹ tu wiedzê, ale i wykorzystasz j¹ w codziennym ¿yciu! • Wizualizacja danych • Wykresy • Praca z danymi zgrupowanymi • Rozk³ad geometryczny, dwumianowy i Poissona • Miary zró¿nicowania • Szacowanie parametrów populacji na podstawie próby • Kwartyle i wariancje • Prawdopodobieñstwo zdarzeñ • Konstruowanie przedzia³u ufnoœci • Podstawy kombinatoryki • Weryfikacja hipotez • Korelacja i regresja Z dobrym podrêcznikiem nawet statystyka mo¿e byæ ³atwa i ciekawa!

3PIS TREuCI

=ZS] ^\OÄMS ]U\ MYXc ¤ ¡ ` ^ U z ° ¤ ¡ ` ^

' |ª-J®RylR 'l®¥-ql®-Ao- J-y¬AiF lR ª ®R ª -¸RylR l- ¬ RyJRyAol ARy -qyRoF |a- Û |Jp- l- ¬ ® }¸ylA|ª-yl-F | Öa- ®ulRyy|²Al -ªJ| |J|7lRÍ ª| ®J- ®RÍF - ¥ - ¬®¬p- ¬ p R yR |®pt-J¬ -ªJ| |J|7lRÍ ª-F +- ®ÔJ®-u¬ |A®Rplª-yl-ul |J -ª¬ p|u7ly- | ¬plF | ®ÔJp¥oRu¬ |7lRp ¬ |®y-oRu¬ |®pt-J¬F aR|uR ¬A®y¬G Jª¥ul-y|ª¬ l |l |y-F -oRu¬ lÖ J¬ p R yl |®y-oRu¬ |®pt-J y| u-qy¬F '¬7lR -u¬ y| u-qy|²É |®y-oRu¬ |®pt-J y| u-qy¬ AJ F 'lÖARo yl¸ y| u-qy|²É ®R |ª-J®-u¬ q| |ª-ylRF |7lR -u¬ }7pÖ ®-A¥oRu¬ - -uR ¬ | ¥q-Aol y- |J -ªlR }7¬F |p|y¥oRu¬ |ARy |y ¥¥oRu¬ ®RJ®l-t¬ ¥\y|²AlF '¬ -¸-u¬ ®Rp|y-yl- 'R ¬\lp-Ao- il | R®F ARyl-u¬ \-p ¬ |®pt-J χ¤F J¬ -ª¬ lJÔ ylR | y- ®Ro u¬²ql | Rq-Ao- l Ra R o-F | ® u|oÔ qlylÔ |J- Rp ¥®¥ Rtyl-oÔA¬F ®lR lÖÉ y-oª-¸ylRo ®¬Ai ®RA®¬G p } R |ulyÖql²u¬ "-7qlAR - ¬ ¬A®yRF ®- Ru ®R7- A|² -ªJ®lÉ

¤ ¡z U¡ ¤ ^ ¤¡^ ¤ z ¡° ¡ ¡ ¡zz `^¡ ` z ^¤^ ^^z °^ `¡ U z^

=ZS] ^\OÄMS d Z\KaNdSaOQY dNK\dOXSK

A

AZ\YaKNdOXSO 4WÌJ MÌZG A STATYSTYKA -dc^K]d ^° U]S¦ÒU° ZYXSOaKÒ MRMO]d ]S° MdOQYÄ XK_Mdc¨

A ^cW MdK]SO >a T W dQ L°NdSO -S acÄaSKNMdK¸ Z\dc]¸_Q° NLKT¦M Y ^Y LcÄ ]S° dK LK\NdY XSO

Z\dOW°MdK¸ ,°NdSO -S ZYNZYaSKNK¸$ iDKTWST ]S° VOZSOT aKÒXSOT]dcWS ]Z\KaKWS XK Z\dcU¸KN

^cW TKUSMR NdSUSMR daSO\d¦^ ^\dOLK ]S° ac]^\dOQK¨ KVLY Mdc TOÒNÒOXSO XK ]XYaLYK\NdSO XKQY

^Y KLc XK ZOaXY NYL\c ZYWc]¸p 4KU a ^OT ]c^_KMTS W Q¸LcÄ Z\dOUYXK¨ ]a T W dQ ÒO >aYTO

ÒcMSO dKVOÒc YN dXKTYWYÄMS ]^K^c]^cUS) q- p|a| ®R®y-A®|y- oR - p lÔ¸p-

¤U

'lRu¬G A| |7lR ®RJ AiªlqÔ |u¬²q-tR²

¤z

R - |®y-ylR W u¬²qRylR | u¬²qRyl¥

¡

|G A| ") u|¸R ® ® |7lÉG 7¬ |7¥J®lÉ ª}o u}®a

¡¡

®RA®¬ -o |

¡`

RARy®RyAl uR ¬ | ¬A®yl

¡

|J®lÖp|ª-yl-

¡

3PIS TREuCI

ASd_KVSdKMTK NKXcMR

Zysk (w milionach złotych)

:SO\a]dO a\KÒOXSO #ZY MASZ PROBLEM ZE ZROZUMIENIEM FAKTÌW ZAPISANYCH W DANYCH

=^K^c]^cUS YZS]YaO ZYWYQ¦ -S d\Yd_WSO¨ dXKMdOXSO d¸YÒYXcMR dLSY\ a NKXcMR

.dS°US XSW LK\NdY d¸YÒYXO UaO]^SO ]^KX¦ ]S° d_ZO¸XSO Z\Y]^O 1Nc T_Ò TO d\Yd_WSO]d

S L°NdSO]d MRMSK¸ ZYNdSOVS¨ ]S° ^¦ aSONd¦ d SXXcWS d ZOaXYÄMS¦ dKSX^O\O]_TO -S°

ZY^OXMTK¸ VSMdXcMR ^OMRXSU aSd_KVSdKMTS NKXcMR TKUSO YPO\_TO ]^K^c]^cUK 4OÄVS MRMO]d

aS°M NYL\K¨ YZ^cWKVXc acU\O] NVK ]aYSMR NKXcMR aOÐ a \°U° ]a T Z¸K]dMd ]ZKU_T

_V_LSYXc ]_aKU VYQK\c^WSMdXc S \_]dKT d XKWS ZY Z\dcQYN° NY =^K^]`SVVO - ¬ ¬pl Ô ª ®ÖJ®lR

`°

| l J-J®Ô - ¬ ¬pl

`

-p | ® ª¬p R -ul 7¬t|

`¤

| ¬G qRA® 7- J®| ¥¸¬ RA®y¬ ª¬p R p|t|ª¬

`

'¬p R t¥ p|ª¬ oR 7- J®lRo RA¬®¬oy¬

`U

'¬p R p|q¥uy|ª¬

`U

2,5

'¬p R ªlR ®|ª¬

`z

2,0

' ®¬ p| oR pªR lÔ |J |ªlRJylRo p-ql

^°

1,5

'¬p| ®¬ -ylR p-ql 7R®ª®aqÖJyRo

^

1,0

-A- ® 7- J®lRo ®t|¸|y¬ul ®7l| -ul J-y¬Ai

^¤

0,5

- Ra| lR - qlA®7¬

^

Zysk firmy w ujęciu miesięcznym

0,0 Lip.

Sie.

Wrze.

Paź.

Lis.

Gru.

Miesiąc

฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀

฀ ฀ ฀

฀ ฀

฀

฀฀

฀ ฀฀

^

|y ¥¥oRu¬ il |a -u

^U

|p F p R²q ®R |p|²É t¥ p}ª il |a -u¥

`

|p ¤F | | ¥o ª¬ |p|²É t¥ p}ª il |a -u¥

^

|p ¡F '¬p R²q ª}o il |a -u

®¬u Ô A®Ö |²Al p¥u¥q|ª-yR

¤

-p ª¬p R²qlÉ A®Ö |²Al p¥u¥q|ª-yR

¡

-p ª¬7 -É |J |ªlRJyl ¬ ª¬p R ¥

฀฀ ฀฀

฀฀ Zysk (w milionach złotych)

฀

-A- ® J-y¬ul ®a ¥ |ª-y¬ul

Zysk firmy w ujęciu miesięcznym 2,5 2,4 2,3 2,2 2,1 2,0 Lip.

Sie.

Wrze.

Paź.

Miesiąc

Lis.

Gru.

3PIS TREuCI

7SK\c ^OXNOXMTS MOX^\KVXOT .\YQK Ã\YNUK .IEKIEDY TRZEBA PO PROSTU DOTRZE¿ DO SEDNA SPRAWY -dK]KWS ^\_NXY YQK\X¦¨

YQ\YW SXPY\WKMTS _U\c^cMR a Q¦]dMd_ NKXcMR :SO\a]dcW U\YUSOW WYÒO Lc¨ a aMdK]

acdXKMdOXSO Ä\ONXSMR =^K^c]^cMc XKdcaKT¦ TO WSK\KWS ^OXNOXMTS MOX^\KVXOT .dS°US XSW

ZY^\KPS¦ ]dcLUY a]UKdK¨ aK\^YÄMS \OZ\OdOX^K^caXO NVK NKXOQY dLSY\_ NKXcMR S XK ^OT

ZYN]^KaSO acMS¦QX¦¨ aKÒXO aXSY]US A ^cW \YdNdSKVO XK_Mdc]d ]S° acdXKMdK¨ aK\^YÄMS USVU_

XKTaKÒXSOT]dcMR S XKTZYZ_VK\XSOT]dcMR ]^K^c]^cU s Ä\ONXSOT WONSKXc S NYWSXKX^c DYLKMdc]d

TKU ¸K^aY S OPOU^caXSO WYÒXK dK SMR ZYWYM¦ NYUYXK¨ YZS]_ NKXcMR

฀

฀

฀

'l -u¬ ª |² |Jp¥ |Jy|ª¬

U`

-o | ¥q- ylRo ®Ô ² RJylÔ oR ² RJyl- - ¬ uR ¬A®y-

U^

' ²ªlRAlR ¬u7|ql

U

-p |7lR -J®lÉ ® ylRªl-J|u¬ul

U

' -A-u¬ J| ² RJylRo

UU

' }Éu¬ J| y- ®Ra| pq¥7¥

z

-¸J¬ ɪlA®¬t plRJ¬² p¥yak\¥

z¤

' y- ®¬Ai J-y¬Ai Ô ª- |²Al ylR ¬ |ªR

z^

®¬u Ô J-yR - ¬uR ¬A®yR

z

|®u|ª- ®¬ J¬ ¬7¥ | ®R

zU

+ |u|AÔ ®¬Ai|J®l y-u uRJl-y-

zz

-p ®y-qR´É uRJl-yÖ ª ®RAi | ¬Ai p |p-Ai

°°

- ® ly R R pªl ylR

°¡

-¥p- t¬ª-yl- Jq-V y-out|J ®¬Ai

°`

q-A®Ra| ² RJyl- l uRJl-y- ylR Ô ul- |J-oyR

°

-p u|¸Ru¬ |7lR -J®lÉ ® J-y¬ul Ra| ¬ ¥

°

-t- -ªJ- | ² RJylRo - ¬ uR ¬A®yRo

°z

®RJ -ªl-u¬ J|uly-y Ö u|JÖ

-p ®y-qR´É J|uly-y Ö ª ®RAi | ¬Ai p |p-Ai

¤

฀ ฀

3PIS TREuCI

7SK\c d\ ÒXSMYaKXSK

:Y^°QK dWSOXXYÄMS .IE WSZYSTKIEMU MO NA WIERZY¿ ALE JAK SIÃ O TYM PRZEKONA¿

Ã\ONXSO ZYdaKVKT¦ XKW ZYdXK¨ ^cZYa¦ aK\^YĨ NVK XK]dcMR NKXcMR KVO XSO W aS¦

XKW a]dc]^USOQY ?WSOWc T_Ò dXKTNYaK¨ aK\^YÄMS MOX^\KVXO dLSY\_ NKXcMR KVO Ä\ONXSK

K\c^WO^cMdXK WONSKXK Mdc NYWSXKX^K XSO dKa]dO ac]^K\MdKT¦ NY acMS¦QXS°MSK Q¸°L]dcMR

aXSY]U a A ^cW \YdNdSKVO ZY]dO\dcWc XK]d¦ aSONd° Y XK\d°NdSK NdS°US U^ \cW L°NdSOWc

WYQVS MYÄ ZYaSONdSO¨ Y d\ ÒXSMYaKXS_ XK]dcMR NKXcMR

' | ®¥plª-yl¥ ®-ª|Jylp-

¤¤

¥ lu¬ | }ªy-É ª¬ylpl p-yJ¬J- }ª

¤¡

A®¬u u}ªl |® Ö

¤`

7 R ª-AoR ylR ¬ |ªR |J®Ô RªlRy |7qRu

¤

¥ lu¬ ®y-qR´É | }7 y- |®7¬AlR lÖ |7 R ª-Aol ylR ¬ |ª¬Ai ¤z

฀

฀ ฀

฀

฀ ฀ ฀

฀ ฀

฀

฀

฀

฀฀ ฀

฀

฀ ฀ ฀ ฀฀

- - ¥yRp lR ®Ô pª- ¬qR

¡°

|® Ö ulÖJ®¬pª- ¬q|ª¬ ª¬pq¥A®- |7 R ª-AoR ylR ¬ |ªR

¡

y- |ul- pª- ¬ql

¡¤

lR u¥ lu¬ |a -ylA®-É lÖ ¬qp| J| pª- ¬ql

¡

®¬u Ô R ARy ¬qR

¡

'¬p R ¥JRtp|ª¬ J|7 ®R R®Ry ¥oR |® | ®RylR J-y¬Ai

¡U

+ulRyy|²É | A|² ªlÖARo yl¸ ¬qp| |® Ö

`¤

-p |7qlA®¬É |JAi¬qRylR |J ² RJylRo

`¡

+ulRyy|²É u|¸Ru¬ ®ulR ®¬É ®- |u|AÔ ª- l-yAolV

``

V-qR |JAi¬qRylR -yJ- J|ªR oR ul- Ô 7- J®lRo ly ¥lA¬oyÔ

`^

-t- -ªJ- | |JAi¬qRyl¥ -yJ- J|ª¬u

`

®¬7 ®¬ | }7 y- ª- l-yAoÖ aJ¬7¬²u¬ | ®R7|ª-ql ¥yp ¥ |JylR lRyl- Jq- | }ªy-Í -yJ- ¬®-Ao- J-y¬Ai | |7Ru y- lAi | }ªy¬ª-ylR

^ ^ ^

-p ly R R |ª-É J-yR ª¬ -yJ- ¬®|ª-yR

^U

- ®- J ¥¸¬y- ul ®Ru[

¡

3PIS TREuCI

:\KaNYZYNYLSOº]^aY dNK\dOº 8K^_\K \cdcUK YCIE PE NE JEST NIEPEWNOuCI -dK]KWS ^\_NXY TO]^ XKaO^ Z\dOaSNdSO¨ MY acNK\dc

]S° a MS¦Q_ XKTLVSÒ]dcMR ZK\_ WSX_^ =dKX]O dKTÄMSK ZOaXcMR dNK\dOº ]¦ TONXKU aS°U]dO XSÒ

SXXcMR MdOQY _Mdc XK] \KMR_XOU Z\KaNYZYNYLSOº]^aK =dKMYaKXSO Z\KaNYZYNYLSOº]^aK

dNK\dOº _¸K^aSK Z\dOaSNcaKXSO Z\dc]d¸YÄMS ZYXSOaKÒ ZYdaKVK YMOXS¨ TKU N_ÒO ]¦ ]dKX]O

SMR ac]^¦ZSOXSK + ^Y ZYdaKVK ZYNOTWYaK¨ LK\NdSOT ÄaSKNYWO acLY\c A ^cW \YdNdSKVO

NYaSO]d ]S° MdcW TO]^ Z\KaNYZYNYLSOº]^aY dNK\dOº S TKU WYÒO -S YXY ZYW M

dKZKXYaK¨ XKN Z\dc]d¸YÄMS¦

'lRqpl ®qRu

'RoJ´ J| a ¬[

-plR Ô u|oR ®-y R

°

+y-oJ¥oRu¬ -ªJ| |J|7lRÍ ª| ª¬a -yRo ª ¥qR pÖ

¡

| A®Ra| ®¬J-oÔ lÖ Jl-a -u¬ &Ryy-

`

|¸R ® -p¸R J|J-É -ªJ| |J|7lRÍ ª-

U°

+J- ®Ryl- |®tÔA®yR

U^

J¬ A®Ö²É ª }qy- -ªl- |7qRu

U

" |AiÖ y| -Aol

U

+y|ª¥ ylR¥J-y¬ |7 } V

z¡

-ªJ| |J|7lRÍ ª| ª- ¥yp|ªR

z`

7qlA®-u¬ -ªJ| |J|7lRÍ ª- ª- ¥yp|ªR

z^

-ªJ| |J|7lRÍ ª- ª- ¥yp|ªR u|¸y- ®RJ -ªlÉ y- J ®RªlR |Ai- ¬A®y¬u

z

®Rª- Ô |u|AyR ª |7qlA®-yl¥ -ªJ| |J|7lRÍ ª

z

|p F +y-oJ¥oRu¬ A®- yR∩ - ®¬ R

¤°^

|p ¤F +y-oJ¥oRu¬ - ®¬ R

¤°

|p ¡F +y-oJ¥oRu¬ A®- yR9 - ®¬ R

¤°U

'¬p| ®¬ -o -ªJ| |J|7lRÍ ª| A-tp|ªl RG 7¬ ®y-qR´É

¤ °

"ªlR J®RylR -¬R -

¤

J¬ ®J- ®Ryl- ª t¬ª-oÔ y- lR7lRG Ô ®J- ®Ryl-ul ®-qR¸y¬ul

¤ z

R²ql ®J- ®Ryl- ylR ª t¬ª-oÔ y- lR7lRG Ô ylR®-qR¸yR

¤¤°

lqp- t}ª | qlA®Ryl¥ -ªJ| |J|7lRÍ ª Jq- ®J- ®RÍ ylR®-qR¸y¬Ai

¤¤

3PIS TREuCI

.c]U\O^XO \YdU¸KNc Z\KaNYZYNYLSOº]^aK DK\d¦NdKWc YMdOUSaKXSKWS :DARZENIA MA O PRAWDOPODOBNE CZASEM SIÃ ZDARZAJ ALE JAKIE S ICH KONSEKWENCJE A ZYZ\dONXSW \YdNdSKVO Z\dOUYXKVSÄWc ]S° TKU \KMR_XOU

Z\KaNYZYNYLSOº]^aK WYÒO ZYW M XKW YMOXS¨ ]dKX]O dKTÄMSK ZOaXcMR dNK\dOº 4ONXKU XSO

ZYaSO XKW YX XSM XK ^OWK^ aZ¸ca_ ^cMR dNK\dOº XK XK]dO ÒcMSO -RY¨ Z\dc ]^YVO \_VO^US

MdK]OW ZKNK ]ZY\K acQ\KXK ^Y TONXKU s Mdc TO]^ YXK aK\^K ^cMR a]dc]^USMR ZSOXS°Ndc TKUSO

Z\dc YUKdTS WYÒXK ]^\KMS¨) A ^cW \YdNdSKVO ZYUKÒOWc -S TKU WYÒXK ZY]¸_Òc¨ ]S° \KMR_XUSOW

Z\KaNYZYNYLSOº]^aK NY Z\dOaSNcaKXSK ]U_^U a ZYa^K\dKVXcMR dNK\dOº a N¸_QSMR

]O\SKMR K ^KUÒO TKU WYÒXK YMOXS¨ NYU¸KNXYĨ ^KUSMR Z\YQXYd

' -A-u¬ J| p- ¬y- -y-

¤¡

"ª| ®¬u¬ |®pt-J -ªJ| |J|7lRÍ ª- ª¬a -yRo y- -¥ |u-AlR

¤¡z

'- |²É |A®Rplª-y- |®ª-q- ®RªlJ®lRÉ ª¬ylpV

¤`¤

V- ª- l-yAo- u}ªl | ¬uG o-p 7- J®| oR |y ®ulRyy¬

¤`¡

'- l-yAo- - |®pt-J -ªJ| |J|7lRÍ ª-

¤``

7qlA®-u¬ ª- l-yAoÖ Jq- y- ®Ra| ®¬pt-J¥

¤`^

J¬ ARy¬ lJÔ ª a} Ö

¤^°

lÖJ®¬ ( l ) l ylRoR ®ªlÔ®Rp qlyl|ª¬

¤^^

|J ¥u¥ou¬ y- ®R |®ª-¸-yl-

¤^

a}qyR ª®| ¬ y- ®Rp ® -tARyl- qlyl|ªR

¤^

-¸JR |AlÔaylÖAlR J´ªlayl oR ylR®-qR¸y¬u ®J- ®RylRu

¤ °

®¬J- yR p } ¬

¤

|ªR -¥ |u- ¬ ªAi|J®Ô J| a ¬[

¤

|J-o ( J| ) G 7¬ ¥®¬ p-É ( ) V

¤ U

Vq¥7 |JRoulo ) |J ( G 7¬ ¥®¬ p-É (X)

¤ z

|J|7yR | R -AoR u|¸R ® ª¬p|y¬ª-É y- ®ulRyy¬Ai ®Rp ® -tA-y¬Ai qlyl|ª|

¤ °

|®7ltR² 7-yp[

¤

3PIS TREuCI

:YN]^Kac UYWLSXK^Y\cUS :Y\d¦NU_TOWc YLSOU^c #ZASAMI KOLEJNOu¿ MA ZNACZENIE :YVSMdOXSO a]dc]^USMR WYÒVSacMR

]ZY]YL a Q\_ZYaKXSK Mdc ZY\d¦NUYaKXSK ZOaXOQY dLSY\_ YLSOU^ a WYÒO Lc¨

XSOdacUVO Z\KMYMR¸YXXO -d°]^Y TONXKU XSO WKWc acTÄMSK LY ^KUSO SXPY\WKMTO ]¦

UV_MdYaO NVK \KMR_XU_ Z\KaNYZYNYLSOº]^aK A ^cW \YdNdSKVO ZYdXKWc ]dcLUS

S OPOU^caXc ]ZY] L XK dNYLcMSO ^OQY \YNdKT_ SXPY\WKMTS U^ \c XSO acWKQK YN XK]

dXKTYWYÄMS a]dc]^USMR WYÒVSacMR acXSU a NYÄaSKNMdOXSK VY]YaOQY DY]^Kº aS°M

d XKWS K Z\dOUYXK]d ]S° TKU ¸K^aY WYÒXK dVSMdK¨ a]dc]^USO WYÒVSaYÄMS

Q\_ZYaKXSK S ZY\d¦NUYaKXSK YLSOU^ a

R 7¬ - ©lqqR

¤U°

'¬²Ala }opl p|yl

¤U

- lqR | |7}ª p|ylR u|aÔ ®Rp |A®¬É qlylÖ uR ¬

¤U¡

+qlA®-u¬ u|¸qlªR ¥ -ªlRyl- ®ª¬AlÖ®A}ª

¤U`

# -ªl-u¬ |7lRp ¬ ª |p Ôa

¤U^

®- y- ª¬²Ala y|ªlAo¥ ®¬

¤Uz

| ®ÔJp|ª-ylR pq- | A|² lyyRa| yl¸ | ®ÔJp|ª-ylR lAi RqRuRy }ª

¤z°

| ®ÔJp¥oRu¬ ®ªlR ®Ö - ªRJt¥a a- ¥yp¥

¤z

a}qy- \| u¥t- y- qlA®7Ö ¥ | ®ÔJp|ª-Í ª ®¬ -Jp¥ |ª } ®RÍ

¤z¤

®- y- ª¬²Ala Jª¥J®lR ¥ p|yl

¤z^

- lqR | |7}ª u|¸Ru¬ ®- RtylÉ ®¬ ulRo A- uRJ-q|ªR

¤z

7qlA®-u¬ ª- l-AoR

¤z

J¬ p|qRoy|²É ylR u- ®y-A®Ryl-

¤zU

lA®¬u¬ p|u7ly-AoR

¤zz

-t- -ªJ- | p|u7ly-Ao-Ai

¡°°

"| o¥¸ p|ylRA ®-ª|J}ª

¡°

3PIS TREuCI

! +_^YWK^

NY ZYZMY\X_

:YdXKTOWc \YdU¸KNc$ QOYWO^\cMdXc Na_WSKXYac S :YS]]YXK =^KTOWc ]S° Nc]U\O^XS 7YZNACZANIE ROZK ADÌW PRAWDOPODOBIEÊSTWA ZABIERA SPORO CZASU

ASOWc T_Ò TKU acdXKMdK¨ \YdU¸KNc Z\KaNYZYNYLSOº]^aK MRY¨ XSO dKa]dO TO]^ ^Y ¸K^aO

:OaXSO aS°M dQYNdS]d ]S° d XKWS ÒO Lc¸YLc NYL\dO QNcLc S]^XSK¸c YQ VXO LK\NdSOT _XSaO\]KVXO

\YdU¸KNc Z\KaNYZYNYLSOº]^aK U^ \cWS ¸K^aY WYÒXK Lc ]S° ZY]¸_QSaK¨ XK MY NdSOº A ^cW \YdNdSKVO

dKZ\OdOX^_TOWc USVUK ]^KXNK\NYacMR \YdU¸KN a Z\KaNYZYNYLSOº]^aK Y ÄMSÄVO YU\OÄVYXcMR

MRK\KU^O\c]^cUKMR 1Nc d\Yd_WSO]d TKU ^Y NdSK¸K L°NdSO]d a ]^KXSO a \OUY\NYaY ]dcLUSW MdK]SO

YLVSMdK¨ Z\KaNYZYNYLSOº]^aK aK\^YÄMS YMdOUSaKXO S aK\SKXMTO :\dcQY^_T ]S° aS°M XK ZYdXKXSO

\YdU¸KN a$ QOYWO^\cMdXOQY Na_WSKXYaOQY S :YS]]YXK 7S¸OT VOU^_\c

+_^YWK^

NY XKZYT a

฀

฀

฀

฀

฀

+y-oJ¥oRu¬ |®pt-J -ªJ| |J|7lRÍ ª- Jq- | lÔaylÖÉ i-J-

¡

ylRoR |®pt-J -ªJ| |J|7lRÍ ª-G p } ¬ J|7 ®R | l ¥oR y- ® |7qRu

¡ ¤

-ªJ| |J|7lRÍ ª| u|¸Ru¬ ®RJ -ªlÉ ®- |u|AÔ ª®| ¥

¡ ^

|®pt-J aR|uR ¬A®y¬ |®ª-q- | R |ª-É -p¸R y- ylR }ªy|²Al-Ai

¡

'- |²É |A®Rplª-y- Jq- |®pt-J¥ aR|uR ¬A®yRa|

¡ U

'- |²É |A®Rplª-y- ª¬y| l

¡ z

'- l-yAo- Jq- |®pt-J¥ aR|uR ¬A®yRa|

¡¤

} pl ®Rª|Jylp | |®pt-J®lR aR|uR ¬A®y¬u

¡¤¤

't-²ylR |®y-tR² |®pt-J aR|uR ¬A®y¬

¡¤^

A¬\ -oR ®¬

¡¤

R lRo a -É A®¬ oRJy-p ® R®¬ay|ª-É

¡¤z

#|a}qyl-u¬ |®pt-J y- ªlÖARo yl¸ ®¬ ®¬ -Jpl

¡¡

#|a}qyl-u¬ y- ®R ª®| ¬ oR ®A®R 7- J®lRo

¡¡`

qR ª¬y| l ª- |²É |A®Rplª-y- l ª- l-yAo- Jq- Ra| |®pt-J¥

¡¡

'- |²É |A®Rplª-y- l ª- l-yAo- |®pt-J¥ Jª¥ul-y|ªRa|

¡¡z

} pl ®Rª|Jylp | |®pt-J®lR Jª¥ul-y|ª¬u

¡`°

'- |²É |A®Rplª-y- l ª- l-yAo- Jq- |®pt-J¥ |l |y-

¡`

-pl oR ªlÖA |®pt-J -ªJ| |J|7lRÍ ª-

¡^°

lA®¬u¬ -ªJ| |J|7lRÍ ª- ®J- ®RÍ ®t|¸|y¬Ai Jq- |®pt-J¥ |l |y-

¡^

|®pt-J |l |y- ª ®R7 -yl¥

¡^`

} pl ®Rª|Jylp | |®pt-J®lR |l |y-

¡^

3PIS TREuCI

"

:YdXKTOWc \YdU¸KN XY\WKVXc AcLSO\KWc XY\WKVXYĨ $YSKRETNE ROZK ADY PRAWDOPODOBIEÊSTWA NIE W KA DEJ SYTUACJI SIà SPRAWDZAJ

A ZYZ\dONXSW \YdNdSKVO ZYdXKVSÄWc ^\dc \YdU¸KNc Z\KaNYZYNYLSOº]^aK NVK U^ \cMR LcVSÄWc a ]^KXSO

acWSOXS¨ a]dc]^USO aK\^YÄMS TKUSO WYÒO Z\dcT¦¨ dWSOXXK VY]YaK 8SO dKa]dO TONXKU TO]^ ^Y WYÒVSaO

8SOUSONc ZY]SKNKXO Z\dOd XK] NKXO a YQ VO XSO Z\dc]^KT¦ NY ÒKNXOQY d ^cMR ^\dOMR \YdU¸KN a

A ^cW \YdNdSKVO NYaSOWc ]S° Y S]^XSOXS_ \YdU¸KN a SXXOQY ^cZ_ ^KU daKXcMR MS¦Q¸cMR \YdU¸KN a

Z\KaNYZYNYLSOº]^aK Y\Kd ZYdXKWc TONOX d XKTaKÒXSOT]dcMR \YdU¸KN a a ]^K^c]^cMO s \YdU¸KN

XY\WKVXc

+ulRyyR J¬ p R yR ®¬ou¥oÔ ª¬7 -yR ª- |²AlV

¡ `

V-qR ylR ª ®¬ plR ®ulRyyR u¥ ®Ô 7¬É J¬ p R yR

¡ ^

qR 7ÖJ®lR A®Rp-É ¥qlR

¡

¥ lu¬ ®y-qR´É |®pt-J -ªJ| |J|7lRÍ ª- Jq- J-y¬Ai AlÔat¬Ai

¡

q- ®ulRyy¬Ai AlÔat¬Ai u|¸Ru¬ ª¬®y-A®¬É \¥ypAoÖ aÖ |²Al

¡ U

-ªJ| |J|7lRÍ ª| Y |qR |ªlR ®Aiyl

¡ z

7¬ |7qlA®¬É -ªJ| |J|7lRÍ ª|G ®y-oJ´ y-o lR ª \ « V

¡ °

V- y- Ö ylR |7qlA® -ªJ| |J|7lRÍ ª|G ª¬®y-A®-oÔA |qR

¡

+y-qR´ql²u¬ ®¥p-yR -ªJ| |J|7lRÍ ª|

¡ ^

®¥p-ylR 7 - ylRo J¥ ®¬

¡

|JRq¥oRu¬ ª® | uÖ¸A®¬®y

¡

|®pt-J y| u-qy¬ -y|ªl lJR-qy¬ u|JRq | l ¥ J-y¬Ai AlÔat¬Ai

¡ U

-p ®y-oJ|ª-É -ªJ| |J|7lRÍ ª- Jq- |®pt-J¥ y| u-qyRa| ¡ z lA®¬u¬ -ªJ| |J|7lRÍ ª| ª ®RAi p |p-Ai

¡U°

|p F '¬®y-A® - -uR ¬ JR\lyl¥oÔAR |®pt-J

¡U

|p ¤F |p|y-o -yJ- ¬®-AolG 7¬ | ®¬u-É °G

¡U¤

7¬ J|p|y-É -yJ- ¬®-AolG y-o lR ª ®R ¥ª-u¬ ² |JRp |®pt-J¥V

¡U¡

V- y- Ö ylR ®ulRyl-u¬ oRa| ®R |p|²É

¡U¡

7qlA®-u¬ +G Jq- p } Ro 7ÖJ®lRu¬ |JA®¬ ¬ª-É -ªJ| |J|7lRÍ ª|

¡U`

|p ¡F JA®¬ -o -ªJ| |J|7lRÍ ª| ® -7Rql

¡U

3PIS TREuCI

#

:YdXKTOWc \YdU¸KN XY\WKVXc MN AS°MOT XSÒ XY\WKVXYĨ 'DYBY TAK ISTNIA JEDYNIE ROZK AD NORMALNYa ÑcMSO Lc¸YLc Y aSOVO Z\Y]^]dO QNcLc

a]dc]^UY NK¸Y ]S° YZS]K¨ \YdU¸KNOW XY\WKVXcW 8SO ^\dOLK Lc ZYÄaS°MK¨ WX ]^aK MdK]_

XK acdXKMdKXSO \ ÒXcMR Z\KaNYZYNYLSOº]^a a ^KU aSOV_ \YdU¸KNKMR s WYÒXK Lc Z\dOdXKMdc¨

QY XK N_ÒY Z\dcTOWXSOT]dO \dOMdc XK Z\dcU¸KN XK \Yd\caU° 8K ]dMd°ÄMSO ]¦ ]ZY]YLc XK ^Y Lc

XKTLK\NdSOT d¸YÒYXO Z\YLVOWc \YdaS¦dcaK¨ \ aXSO ¸K^aY TKU a Z\dcZKNU_ \YdU¸KN_ XY\WKVXOQY

A ^cW \YdNdSKVO NYaSO]d ]S° USONc TO]^ WYÒVSaO dK]^¦ZSOXSO SXXOQY \YdU¸KN_ Z\dOd \YdU¸KN

XY\WKVXc S TKU ]S° ^Y \YLS a Z\KU^cMO ' ®¬ A¬ y- |pt-J |qRopl lt|²Al[ ¥u¥oRu¬ ®ulRyyR | |®pt-J®lR y| u-qy¬u -J-q oR | oRJy-p ª-a- -pl oR ªlÖA |®pt-J ª-al ut|JRo - ¬ +y-oJ¥oRu¬ -ªJ| |J|7lRÍ ª| 'lÖARo q¥J®l AiAR p| ®¬ -É ® |qRopl lt|²Al ®Rp ® -tARyl- qlyl|ªR |Jy| ®Ô lÖ J| ®ul-y ª- |²AlV V®ulRyyR ylR®-qR¸yR u}ªlÔ | ¬uG lqR }¸y¬Ai ª- |²Al | l-J- ® '- |²É |A®Rplª-y- l ª- l-yAo- Jq- ylR®-qR¸y¬Ai ®ulRyy¬Ai q| |ª¬Ai 'Ro²É J| a ¬ A®¬ ® R®¬ay|ª-É |®pt-J y| u-qy¬ ®¬Ai|J®l y-u ® |u|AÔ lRJ¬ | |ª-É ®¬7ql¸RylR |®pt-J¥ Jª¥ul-y|ªRa| |®pt-JRu y| u-qy¬u |y|ªy¬ ®¥ |p- y- |7qRu - |p ¬u-Aol |®pt-J Jª¥ul-y|ª¬ oR |®pt-JRu J¬ p R y¬uG - y| u-qy¬ W AlÔat¬u lR ®Ru¬ | -ªpÖ y- AlÔat|²É -t- -ªJ- | |®pt-J®lR y| u-qy¬u ' ®¬ A¬ y- |pt-J[ lRJ¬ u|¸y- - |p ¬u|ª-É |®pt-J |l |y- |®pt-JRu y| u-qy¬u q7 ®¬ul ¥pAR [

(

( ( ฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

( ( (

( ( ( (

`° `°¤ `°¡ `°^ `°U ` ¡ ` ` ` ^ ` `¤ `¤` `¤ `¡¤ `¡¡ `¡` ``¤ ``¡ ``^ `^

3PIS TREuCI

:\dOZ\YaKNdKWc VY]YaKXSO :YLSO\KWc Z\ LU° 3TATYSTYKA ZAJMUJE SIÃ ANALIZ DANYCH ALE SK D W AuCIWIE BIERZE DANE

-dK]KWS dOL\KXSO NKXcMR ZY^\dOLXcMR NY KXKVSd XSO TO]^ aMKVO ^\_NXO >KU Lc¸Y a^ONc

QNc ZY^\dOLYaKVSÄWc SXPY\WKMTS Y Z\dOMS°^XcW aSOU_ UVSOX^ a UV_L_ YNXYac Mdc ^OÒ NKXcMR

Y aSOVUYÄMS ]Z\dONKÒc QSO\ UYWZ_^O\YacMR +VO MY a ]c^_KMTS QNc ZY^\dOLXO XKW NKXO XSO ]¦ YQ VXSO

NY]^°ZXO S ^\dOLK TO a TKUSÄ ]ZY] L dNYLc¨) -dK]KWS SVYĨ \ ÒXcMR SXPY\WKMTS TKUSO ]¦ XKW ZY^\dOLXO

TO]^ XK ^cVO N_ÒK ÒO XSO aSOWc XKaO^ TKU ]S° NY SMR Q\YWKNdOXSK dKL\K¨ 9N MdOQY dKMd¦¨)

A ^cW \YdNdSKVO NYaSO]d ]S° TKU Q\YWKNdS¨ \dOMdcaS]^O NKXO a ]ZY] L OPOU^caXc

YNZYaSONXS NY ZY^\dOL S WYÒVSaSO TKU XKTXSÒ]dcW UY]d^OW AS^KWc a ÄaSOMSO VY]YaKº

Mighty Gumball Sp. z o.o.

'lRqpl R |J¥p }ª lai ¬ ¥u7-qq

`^`

l u- -Al ® |ª|J¥ ®¥¸¬ª-y¬Ai a¥u

`^^

®R |ª-J®-u¬ R ¬ y- }7ARG ylR y- A-tRo | ¥q-Aol

`^

-p ®R7lRa- J|7} }7¬

`^

lRJ¬ }7- ylR oR R R®Ry - ¬ªy-

`^U

-p J|7 -É }7Ö

` °

R\lyl¥oRu¬ | R - q| |ª-yl-

`

®- -ul J| -oRu¬ }7¬ |7AlÔ¸|yR

` ¤

± }Jt- |7AlÔ¸Ryl- }7¬

` ¡

-p ªt-²AlªlR J|7 -É }7Ö

` U

| |ª-ylR }7¬ | Ro

` U

-p ¥®¬ p-É }7Ö | Ô

` z

ylRoÔ -p¸R lyyR AiRu- ¬ q| |ª-yl-

` °

|¸Ru¬ ®R |ª-J®lÉ q| |ª-ylR ª- ª|ªRV

` °

Vq| |ª-ylR ®R |t|ªRV

`

V- y-ªR q| |ª-ylR ¬ Ru- ¬A®yR

`

lai ¬ ¥u7-qq J| -t ª|oÔ }7Ö

`

3PIS TREuCI

=dKM_TOWc ZK\KWO^\c ZYZ_VKMTS XK ZYN]^KaSO Z\ Lc .YUYX_TOWc YMOX #ZY NIE BY OBY WSPANIALE GDYBYuMY POTRAFILI SCHARAKTERYZOWA¿ POPULACJÃ GENERALN NA PODSTAWIE INFORMACJI ZAWARTYCH W POJEDYNCZEJ PRÌBIE

DKXSW L°NdSO]d W Q¸ ÄaS°^YaK¨ Y]S¦QXS°MSO LSOQ¸YÄMS a Z\YaKNdOXS_ LKNKº ]^K^c]^cMdXcMR

W_]S]d ]S° XK_Mdc¨ \YLS¨ a¸KÄMSac _Òc^OU d Z\ LUS ZYLSO\KXOT d ZYZ_VKMTS 7_]S]d aS°M ZY]S¦Ä¨

_WSOT°^XYĨ Z\dOaSNcaKXSK MRK\KU^O\c]^cU ZYZ_VKMTS XK ZYN]^KaSO SXPY\WKMTS dKaK\^cMR

a Z\ LSO Y\Kd XK_Mdc¨ ]S° TKU WYÒO]d YMOXS¨ aSK\cQYNXYĨ ]aYSMR ]dKM_XU a A ^cW \YdNdSKVO

ZYUKÒOWc -S a TKUS ]ZY] L ZY]SKNKXK Z\ LUK WYÒO Lc¨ _Òc^K TKUY _Òc^OMdXO Ð\ N¸Y SXPY\WKMTS

Y LKNKXOT ZYZ_VKMTS S `SMO `O\]K

-p- ªlÖA oR ®RA®¬ªl - ª-t|²É u-p¥ -u ¬Ai a¥u

`U°

+-A®ylou¬ |J | ®-A|ª-yl- ² RJylRo ª | ¥q-Aol

`U

¬u- | ¬ ¥yp |ªR |®ª-q-oÔ | ®-A|ª-É - -uR ¬ | ¥q-Aol `U¤ ®-A¥oRu¬ ª- l-yAoÖ | ¥q-Aol +y-oJ¥oRu¬ lyy¬ R ¬u- | yl¸ ª- l-yAo- ® }7¬

฀

฀

฀

฀ ฀

฀

฀฀ ฀ ฀฀

฀

฀

฀

฀฀

10 40 ludzi preferuje różowe!

} - \| u¥t- A| |®y-A®-

`Uz

' ®¬ p| oR pªR lÔ | | Aol

`z¤

-pl u- | ®ªlÔ®Rp ® R ¬u-AoÔ - -uR }ª

`z

|®pt-J ® }7¬ R ¬u- | -

`zU

qR ª¬y| l ª- |²É |A®Rplª-y-

^°°

lqR ª¬y| l ª- l-yAo-

^°

# -q-u¬ |®pt-J

^°¤

u- |®pt-J y| u-qy¬

^°¡

¥ lu¬ ®y-qR´É |®pt-J Jq- ² RJylRo ® }7¬

^°z

|®pt-J ® }7¬ R ¬u- | - ² RJylRo

^ °

+y-oJ¥oRu¬ ª- |²É |A®Rplª-yÔ (

^ ¤

A| ® ª- l-yAoÔ ®ulRyyRo (

^ `

-pl oR ªlÖA p ® -t |®pt-J¥ ®ulRyyRo (

^ U

R²ql y oR |J |ªlRJyl| J¥¸RG |®pt-J ( oR ®7ql¸|y¬ J| |®pt-J¥ y| u-qyRa|

^ z

| ¥oRu¬ ARy -qyR ªlR J®RylR a -ylA®yR

`U `U

^¤°

3PIS TREuCI

5YX]^\__TOWc Z\dONdSK¸c _PXYÄMS Ac\KÒKWc Z\dOUYXKXSK #ZASAMI ESTYMACJA PUNKTOWA DAJE NIE DO KOÊCA TRAFIONE WYNIKI ASO]d T_Ò TKU

dK ZYWYM¦ O]^cWK^Y\ a Z_XU^YacMR _dc]UK¨ NYU¸KNXO YMOXc ZK\KWO^\ a ZYZ_VKMTS ^KUSMR

TKU aK\^YĨ YMdOUSaKXK aK\SKXMTK Mdc a]UKÐXSU ]^\_U^_\c 8SO dKa]dO TONXKU YMOXK a ZY]^KMS

ZYTONcXMdOT VSMdLc dK]ZYUYS a ZO¸XS >aYTO YMdOUSaKXSK ,Y TKU YMOXS¨ XK SVO TO]^ YXK NYU¸KNXK)

,¦NÐ MY L¦NÐ MK¸O aXSY]UYaKXSO Y ZYZ_VKMTS QOXO\KVXOT YZSO\K ]S° XK ]^Y]_XUYaY XSOVSMdXOT Z\ LSO

U^ \K Z\dOMSOÒ XSO dKa]dO W_]S a ZO¸XS YNdaSO\MSONVK¨ MRK\KU^O\c]^cUS ZYZ_VKMTS A ^cW \YdNdSKVO

ZYdXK]d SXX¦ WO^YN° ]dKMYaKXSK XSOdXKXcMR aK\^YÄMS ZK\KWO^\ a ZYZ_VKMTS U^ \K _adQV°NXSK

ZOaSOX ]^YZSOº XSOZOaXYÄMS YMOX S s MY aS°MOT s ZYdaKVK T¦ dWSO\dc¨ -dc^KT NKVOT K ZYdXK]d

a]dc]^USO ^KTOWXSMO Z\dONdSK¸ a _PXYÄMS

lai ¬ ¥u7-qq ®y}ª u- pt| |

^¤

|7qRuRu |®| -oR RA¬®o-

^¤

|®y-oRu¬ ®RJ®l-t¬ ¥\y|²Al

^¤U

'¬®y-A®-u¬ ®RJ®l-t ¥\y|²Al ª A® R RAi p |p-Ai

^¤z

|p F '¬7lR ® - -uR | ¥q-Aol

^¡°

|p ¤F +y-oJ´ |®pt-J oRa| R ¬u- | - ª }7lR

^¡°

|p ¡F '¬7lR ® |®l|u ¥\y|²Al

^¡¤

|p `F +y-oJ´ a -ylAR ®RJ®l-t¥ ¥\y|²Al

^¡`

+-A®ylRu¬ |J ª¬®y-A®Ryl- +

^¡^

+- l ¥oRu¬ -ªJ| |J|7lRÍ ª| ® ¥¸¬AlRu (

^¡

+y-oJ¥oRu¬ | - RA®ylR ª- |²É ®ulRyyRo (

^¡z

+y-qR´ql²u¬ | ®¥plª-y¬ ®RJ®l-t ¥\y|²Al

^`°

|J ¥u¥ou¬ ª¬p|y-yR p |pl

^`

#¸¬ RA®yR p } ¬ ®¬ ª¬®y-A®-yl¥ ®RJ®l-t}ª ¥\y|²Al

^`¤

|p F '¬7lR ® - -uR | ¥q-Aol

^`

|p ¤F +y-oJ´ |®pt-J oRa| R ¬u- | - ª }7lR

^`

|p ¡F '¬7lR ® |®l|u ¥\y|²Al

^^°

|p `F +y-oJ´ a -ylAR ®RJ®l-t¥ ¥\y|²Al

^^

|®pt-J k ¥JRy - - |®pt-J y| u-qy¬

^^¡

3PIS TREuCI

AO\cPSUKMTK RSZY^Od 9MOXSKWc PKU^c .IE WSZYSTKO CO DO #IEBIE DOCIERA MUSI BY¿ PRAWD 8KTQY\]dO TO]^ TONXKU ^Y

ÒO ^\_NXY TO]^ YMOXS¨ USONc WK ]S° NY MdcXSOXSK d Z\KaN¦ K USONc XSO AO\cPSUKMTK RSZY^Od

N\_QS YLYU O]^cWKMTS NdSK¸ aXSY]UYaKXSK ]^K^c]^cMdXOQY NKTO -S XK\d°NdSO NY YMOXc Z\KaNdSaYÄMS

^aSO\NdOº ]^K^c]^cMdXcMR DK TOT ZYWYM¦ L°NdSO]d W Q¸ YMOXS¨ XK SVO ^KUSO K XSO SXXO MRK\KU^O\c]^cUS

Z\ Lc WYQ¦ Lc¨ OPOU^OW NdSK¸KVXYÄMS YU\OÄVYXcMR ]S¸ ]^KXYaS¦McMR Y U]d^K¸MSO MK¸OT ZYZ_VKMTS

K XK SVO ]¦ TONcXSO NdSO¸OW Mdc]^OQY Z\dcZKNU_ D VOU^_\c ^OQY \YdNdSK¸_ NYaSO]d ]S° a TKUS ]ZY] L

WYÒO]d ZY^aSO\NdS¨ V_L YLKVS¨ ]aYTO Z\dcZ_]dMdOXSK YNXY]d¦MO ]S° NY Y^KMdKT¦MOT -S° \dOMdcaS]^YÄMS

¥J|ªy¬ qRp y- Ai - -ylR

SNORECULL

S K U TE C Z NY W 90% P R Z Y P A D KÓW ! K

L

RSTWO

NA

NA

CHRAPANIE

CHRAPAN

IE

SNORECULL

SNORECULLH! W TABLETKAC WSTNAOBRECULL JEDYNE JU JEDLETKACH! YNE DZA W W S OIM RTWO O W SWOIM RODZAJU LEKA EKARS

48 TABLETEK

48 TABLETE

^ °

a}qyR |o ®RylR y- |7qRu

^ `

'R ¬\lp-Ao- il | R® ª ®R²Al¥ p |p-Ai

^ ^

|p F \| u¥t¥o il | R®ÖG p } Ô AiAR ® ®ªR ¬\lp|ª-É

^

|p ¤F '¬7lR ® - ¬ ¬pÖ R |ªÔ -ªJ®l-y R ¥

^ z

|p ¡F p R²q |7 ®- |J ®¥ARÍ R |ª-yRo il | R®¬

^ °

|p `F +y-oJ´ -ªJ| |J|7lRÍ ª| kª- |²É

^ ¡

|p ^F -ªJ´G A®¬ -ªJ®l-y R ¥ ª -J- J| |7 ®- ¥ |J ®¥ARÍ

^ ^

|p F |JRoulo JRA¬®oÖ

^ ^

| 7¬ lÖ -t|G aJ¬7¬ }7- 7¬t- ªlÖp ®-

^ U

®R |ª-J®-u¬ p|qRoy¬ R

^U

|p F \| u¥t¥o il | R®ÖG p } Ô AiAR ® ®ªR ¬\lp|ª-É

^U

|p ¤F '¬7lR ® - ¬ ¬pÖ R |ªÔ -ªJ®l-y R ¥

^U¤

®¬7ql¸-u¬ |®pt-J - ¬ ¬pl R |ªRo |®pt-JRu y| u-qy¬u

^U^

|p ¡F p R²q |7 ®- |J ®¥ARÍ R |ª-yRo il | R®¬

^U

+-A®ylou¬ |J 7tÖJ¥ |J®-o¥

^z`

A| ® 7tÖJRu |J®-o¥

^z^

+y-oJ¥oRu¬ -ªJ| |J|7lRÍ ª- α l β ª y- ®¬u ®¬pt-J®lR

^z

+y-oJ¥oRu¬ ®7l} ª- |²Al |®- |7 ®- ¥ p ¬ ¬A®yRa|

^z

+y-oJ¥oRu¬ 7tÔJ |J®-o¥

^zU

|A ®¬7¬ª-

^zz

3PIS TREuCI

<YdU¸KN χ 1Nc ]Z\Kac SN¦ XSO ZY XK]dOT WcÄVS #ZASAMI SPRAWY TOCZ SIÃ ZUPE NIE INACZEJ NI SIÃ TEGO SPODZIEWALIuMY

5SONc NOMcN_TO]d ]S° XK YZS] ZOaXOQY dTKaS]UK dK ZYWYM¦ UYXU\O^XOQY \YdU¸KN_

Z\KaNYZYNYLSOº]^aK dacUVO WK]d TKUSOÄ acYL\KÒOXSK XK ^OWK^ ^OQY TKU ]S° YXY \YdaSXSO

a N¸_Ò]dcW YU\O]SO -dK]OW TONXKU ^O acYL\KÒOXSK MK¸UYaSMSO \YdWSTKT¦ ]S°

d \dOMdcaS]^YÄMS¦ -Y a^ONc ZYMd¦¨) =U¦N WK]d aSONdSO¨ Mdc NY]^\dOÒYXO \ ÒXSMO ]¦ TONcXSO

NdSO¸OW Z\dcZKNU_ Mdc ^OÒ WYÒO ZSO\a]d¦ YdXKU¦ L¸°NXcMR dK¸YÒOº VOÒ¦McMR _ ZYN]^Ka

Z\dcT°^OQY Z\dOd -SOLSO WYNOV_) A ^cW \YdNdSKVO ZYUKÒOWc -S TKU WYÒO]d ZY]¸_Òc¨ ]S°

\YdU¸KNOW χ NY YMOXc \Od_V^K^ a Lc W M a]UKdK¨ aÄ\ N XSMR ^O XKTLK\NdSOT ZYNOT\dKXO

®RJ p- ¬yRu -y- ¬ ¥oÔ lÖ pt| | ¬

°

®¬aqÔJ-u¬ lÖ -¥ |u- |u J| a ¬

°

|®pt-J χ¤ J|7 ®R u|JRq¥oR }¸ylAR

°z

A®¬u ªlÖA u}ªl - - ¬ ¬p-

°

t}ªyR ®- | |ª-yl- |®pt-J¥ χ¤

ν R R®Ry ¥oR qlA®7Ö | yl ª|7|J¬

¤

®¬u oR l | y|²É - ¬ ¬A®y-

¡

"R |ª-ylR il | R® ® |®pt-JRu χ

`

|®ªlÔ®-tR² -oRuylAÖ ª¬ |plAi ª¬a -y¬Ai ª a -Ai y- -¥ |u- -Ai

¤

-y u- oR ®A®R oRJRy |7qRu

¤¡

|®pt-J χ¤ -ªJ®- lÖ }ªylR¸ ª R -Ai ylR®-qR¸y|²Al

¤`

®Ö |²Al R| R ¬A®yR u|¸Ru¬ ª¬®y-A®¬É ª | - Al¥ | -Ai¥yRp -ªJ| |J|7lRÍ ª-

¤^

qR ªlÖA ª¬y| ®Ô A®Ö |²Al R| R ¬A®yR

¤

¥ lu¬ oR ®A®R |®y-É qlA®7Ö | yl ª|7|J¬

¤z

a}qy- uR |J- ª¬®y-A®-yl- qlA®7¬ | yl ª|7|J¬

¡`

®- Ru \| u¥t- u- | -ÉV

¡^

# - |ª-tR² p- ¬y| -y- |J 7-yp ¥A ª-

¡

3PIS TREuCI

5Y\OVKMTK S \OQ\O]TK -Y d WYT¦ VSXS¦) #ZY ZASTANAWIA Eu SIÃ KIEDYu W JAKIM STOPNIU DWIE RZECZY S ZE SOB POWI ZANE A ZYZ\dONXSMR \YdNdSK¸KMR Z\dcQV¦NKVSÄWc ]S° _ÒcMS_ ]^K^c]^cU U^ \O YZS]caK¸c

dLS \ NKXcMR d Z_XU^_ aSNdOXSK ac¸¦MdXSO TONXOT MOMRc s W aSVSÄWc XK Z\dcU¸KN Y ad\YÄMSO

W°ÒMdcdX Z_XU^KMR dNYLc^cMR Z\dOd dKaYNXSUK UY]dcU aUS Mdc ^OÒ Y ^\aK¸YÄMS ]WKU_ Q_W NY

Ò_MSK >cWMdK]OW S]^XSOT¦ ]^K^c]^cUS U^ \O ZYdaKVKT¦ YMOXS¨ ]S¸° daS¦dU_ WS°Ndc aS°U]d¦ VSMdL¦

dWSOXXcMR 3MR dXKTYWYĨ NY]^K\Mdc -S dXKMdXSO LYQK^]dcMR SXPY\WKMTS XK ^OWK^ Y^KMdKT¦MOQY -S°

ÄaSK^K U^ \O L°NdSO]d W Q¸ acUY\dc]^K¨ aO a¸K]XcW SX^O\O]SO A ^cW \YdNdSKVO ZYUKÒOWc -S TKU

acU\caK¨ daS¦dUS WS°Ndc dWSOXXcWS UY\dc]^KT¦M d WSK\ UY\OVKMTS S \OQ\O]TS

®¬o ®¬ou¬ lÖ J-y¬u y- Ru- \ RpªRyAol l y- t|yRA®ylRyl-

`^

®¥ |p- y- ª¬ul- ¬

`

'¬p R²q-u¬ J-yR Jª¥ª¬ul- |ªR

`

'¬p R ¬ |® ®¥ ¥ |p-®¥oÔ RyJ¬ |7RAyR ª J-y¬Ai

^°

| Rq-Ao- - ®¬A®¬y|ª|²É

^¤

'¬p| ®¬ ¥oRu¬ J| |ay|®|ª-yl- qlylÖ | y-oqR ®¬u J| - |ª-yl¥

^

-oqR ®R J| - |ª-ylR oR y-J-q ¬qp| J| - |ª-ylRu

^

ÖJ®lRu¬ ulylu-ql®|ª-É |JAi¬qRyl- |J ª- |²Al ®RA®¬ªl ¬Ai

^U

'¬®y-A®-u¬ ¥uÖ pª-J - }ª |JAi¬qRÍ

^z

+y-oJ¥oRu¬ ª- |²Al ylR®y-y¬Ai - -uR }ª

°

7qlA®-u¬ y-Ai¬qRylR qlyll y-oqR ®Ra| J| - |ª-yl-

7qlA®-u¬ y-Ai¬qRylR qlyll y-oqR ®Ra| J| - |ª-yl- AJ

¤

+y-qR´ql²u¬ 7G -qR A| ® -

¡

+y-qR´ql²u¬ ®ªlÔ®Rp ulÖJ®¬ JªlRu- ®ulRyy¬ul

}¸yR ¬ ¬ p| Rq-Aol

U

' }tA®¬yylp p| Rq-Aol ulR ®¬ ltÖ ®ªlÔ®p¥ ulÖJ®¬ ®ulRyy¬ul

z

|®y-oRu¬ ª®} y- ª- |²É ª }tA®¬yylp-

°

7qlA®-u¬ ª- |²É Jq- y- ®Ra| ®7l| ¥ J-y¬Ai

7qlA®-u¬ ª- |²É Jq- y- ®Ra| ®7l| ¥ J-y¬Ai AJ

¤

฀

฀ ฀

฀

฀

฀

฀

฀ ฀

฀

฀

3PIS TREuCI

+

.YNK^OU _d_ZO¸XSKT¦Mc .dSO]S°¨ XKTaKÒXSOT]dcMR \dOMdc

U^ \O ZYWSX°VSÄWc #HO¿ POWIEDZIELIuMY JU WIELE COu MUSIMY DOPOWIEDZIE¿ 4O]^ TO]dMdO USVUK

\dOMdc Y U^ \cMR XK]dcW dNKXSOW ZYaSXSOXOÄ aSONdSO¨ ,c¸YLc ^\YMR° XSO a ZY\d¦NU_

aYLOM -SOLSO QNcLcÄWc TO MK¸UYaSMSO Z\dOWSVMdOVS 8SO WK Z\dc ^cW dXKMdOXSK ÒO ]¦ ^Y

XKZ\KaN° ]Z\Kac U^ \O acWKQKT¦ ^cVUY U\ ^USOT adWSKXUS yyR RAiylpl ªl®¥-ql®-Aol J-y¬Ai

U¤

¤ y- |ul- |®pt-J¥ -ªJ| |J|7lRÍ ª-

U¡

¡ p R ¬uRy - ¬ ¬A®y¬

U`

` R |J- y-ouylRo ®¬Ai pª-J - }ª ª y| -Aol -q R y- ¬ªyRo

U

^ ' }tA®¬yylp JR R uly-Aol

U

+-qR¸y|²Al ylRqlyl|ªR

UU

®RJ®l-t ¥\y|²Al Jq- ª }tA®¬yylp- y-Ai¬qRyl- | Ro Ra R ol Uz U |®pt-J¬ ® }7¬ W }¸ylA- ulÖJ®¬ JªlRu- ² RJylul

,

z°

z |®pt-J¬ ® }7¬ W }¸ylA- ulÖJ®¬ ª p-´ylp-ul ¥p ¥ ¬

z

° ( l &- ( Jq- ®ulRyy¬Ai AlÔat¬Ai

z¤

>KLVSMO ]^K^c]^cMdXO -dK]OW ^\dOLK MYÄ ]Z\KaNdS¨ #O BYuMY POCZÃLI BEZ POCZCIWYCH TABLIC STATYSTYCZNYCH 8SO ac]^K\Mdc dXK¨

dK]^Y]YaKXSO ZY]dMdOQ VXcMR \YdU¸KN a ,K\NdY Md°]^Y ^\dOLK MYÄ ZYVSMdc¨ .YL\dO TO]^ WSO¨

a^ONc ZYN \°U¦ ^KLVSMO ]^K^c]^cMdXO dKaSO\KT¦MO ]^KXNK\NYaO Z\KaNYZYNYLSOº]^aK NVK

^cZYacMR \YdU¸KN a .VK^OQY ^OX dK¸¦MdXSU Z\OdOX^_TO ^KLVSMO NVK \YdU¸KN a$ XY\WKVXOQY

^ =^_NOX^K S χ -yJ- ¬®|ª-y¬ |®pt-J y| u-qy¬

=

z

'- |²Al p ¬ ¬A®yR Jq- |®pt-J¥ k ¥JRy -

zU

'- |²Al p ¬ ¬A®yR Jq- |®pt-J¥ χ¤

zz

=UY\YaSNd

°

5. Dyskretne rozkłady prawdopodobieństwa

DK\d¦NdKWc YMdOUSaKXSKWS ฀ ฀

฀ ฀ ฀ ฀ ฀

฀ ฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀

฀

:DARZENIA MA O PRAWDOPODOBNE CZASEM SIÃ ZDARZAJ ALE JAKIE S ICH KONSEKWENCJE A ZYZ\dONXSW \YdNdSKVO Z\dOUYXKVSÄWc ]S° TKU \KMR_XOU

Z\KaNYZYNYLSOº]^aK WYÒO ZYW M XKW YMOXS¨ ]dKX]O dKTÄMSK ZOaXcMR dNK\dOº 4ONXKU XSO

ZYaSO XKW YX XSM XK ^OWK^ aZ¸ca_ ^cMR dNK\dOº XK XK]dO ÒcMSO -RY¨ Z\dc ]^YVO \_VO^US

MdK]OW ZKNK ]ZY\K acQ\KXK ^Y TONXKU s Mdc TO]^ YXK aK\^K ^cMR a]dc]^USMR ZSOXS°Ndc TKUSO

Z\dc YUKdTS WYÒXK ]^\KMS¨) A ^cW \YdNdSKVO ZYUKÒOWc -S TKU WYÒXK ZY]¸_Òc¨ ]S° \KMR_XUSOW

Z\KaNYZYNYLSOº]^aK NY Z\dOaSNcaKXSK ]U_^U a ZYa^K\dKVXcMR dNK\dOº a N¸_QSMR ]O\SKMR

K ^KUÒO TKU WYÒXK YMOXS¨ NYU¸KNXYĨ ^KUSMR Z\YQXYd

TO JEST NOWY ROZDZIA 4

*EDNORÃKI BANDYTA

A\KMKWc NY UK]cXK .KXK ®¬ l "¬ |JJ-oR ® lÖ il y| ¬®¥oÔARu¥ ª t¬ª|ªl ula-oÔA¬Ai ²ªl- RtRp -¥ |u- ¥ J| a ¬ ®ª-yRa| oRJy| Öplu 7-yJ¬ Ô ®- Ru oR R² -ªJ®lª¬u ®A®Ö²Al- ®Ru ' - -y - ly| ®y-oJ¥oR lÖ A-t¬ ®ÔJ -¥ |u- }ª J| a ¬G p } R ¬qp| A®Rp-oÔ y- |G 7¬ p |² y- ylAi ®-a -t }7¥ou¬ ªlÖA l u¬ |AlÔaylÖAlR J´ªlayl p| ® ¥oR J|q- - | ªlRG u|¸R |®7loRu¬ 7-yp[

5Y]d^ Q\c$

฀

฀

฀

฀

'

UYVOTXYÀ¤ NYaYVXK

'

RJy| Öpl 7-yJ¬ - | l-J- ®¬ |plRyp-G ª p } ¬Ai |o-ªl-oÔ lÖ }¸yR ¬u7|qR J¬ |o-ªlÔ lÖ |yR ª |J |ªlRJylRo p|u7ly-AolG ® ¥ulR ®A®|yRa| |yl¸Ro | ª| ¥ | ¬ lÔ lÖ u|yR ¬

฀

฀

฀ ฀

'

'

฀ ฀

฀

฀

฀

฀ ฀฀

}¸G ª¬J-oR lÖG ¸R ®-y R R u|¸y- 7¬ t- ª| |qlA®¬É |yl¸Ro ®-ulR ®A®|y| -ªJ| |J|7lRÍ ª| |o-ªlRyl- lÖ J-yRa| ¬u7|q¥ ª |plRyp¥F

$

wisienka

cytrynka

inne

0,1

0,2

0,2

0,5

Wszystkie trzy okienka są od siebie niezależne, zatem pojawienie się danego symbolu w jednym z nich nie ma wpływu na to, co pojawi się w pozostałych okienkach.

฀

2OZDZIA

฀

฀

฀ ฀

฀ ฀

฀฀

$YSKRETNE ROZK ADY PRAWDOPODOBIEÊSTWA

Wczuj się w rolę gracza Spójrz na planszę z wygranymi zamieszczoną na poprzedniej stronie. Wyobraź sobie, że jesteś graczem, który chce poznać prawdopodobieństwo pojawienia się każdej z kombinacji gwarantujących wygraną. Uzupełnij tabelkę. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że nie wygrasz nic?

Z\KaNYZYNYLSO¶]^aY

Z\KaNYZYNYLSO¶]^aY

UYVOTXYÀ¤ NYaYVXK

Z\KaNYZYNYLSO¶]^aY

Z\KaNYZYNYLSO¶]^aY

Z\KaNYZYNYLSO¶]^aY L\KU_ acQ\KXOT

JESTEu TUTAJ4

7CZUJ SIĂƒ W ROLĂƒ GRACZA 2OZWIÂ’ZANIE

Wczuj się w rolę gracza: Rozwiązanie Spójrz na planszę z wygranymi zamieszczoną na poprzedniej stronie. Wyobraź sobie, şe jesteś graczem, który chce poznać prawdopodobieństwo pojawienia się kaşdej z kombinacji gwarantujących wygraną. Uzupełnij tabelkę. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, şe nie wygrasz nic?

Z\KaNYZYNYLSOÂś]^aY

UYVOTXYĂ€¤ NYaYVXK

Z\KaNYZYNYLSOœ]^aY ฀ ฀ ฀ ฀ ฀

฀ ฀

฀

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀

฀

฀ ฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀ ฀

฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀

฀

฀

฀

฀ ฀ ฀ ฀฀

฀฀

฀

฀

฀

฀฀

฀

฀

฀ ฀

฀ ฀ ฀

฀

฀

฀ ฀

฀ ฀

฀

฀

฀

฀

฀ ฀ ฀

฀

฀

฀

฀ ฀ ฀ ฀ ฀

฀฀

2OZDZIAŒ

฀ ฀

฀ ฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀ ฀ ฀

฀ ฀

฀

฀ ฀ ฀ ฀

฀

฀

฀

฀ ฀

Z\KaNYZYNYLSOÂś]^aY L\KU_ acQ\KXOT

฀

฀

Z\KaNYZYNYLSOœ]^aY ฀ ฀ ฀ ฀

฀ ฀

฀

฀

Z\KaNYZYNYLSOÂś]^aY

฀

฀

฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀ ฀ ฀ ฀

฀

฀

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀ ฀

฀

฀

฀

฀฀

฀

฀ ฀

฀

฀

฀

฀

$YSKRETNE ROZK ADY PRAWDOPODOBIEÊSTWA

>aY\dcWc \YdU¸KN Z\KaNYZYNYLSOº]^aK acQ\KXOT XK K_^YWKMSO | -ªJ| |J|7lRÍ ª- |o-ªlRyl- lÖ ª ®¬ plAi p|u7ly-Aol ¬u7|ql aª- -y ¥oÔA¬Ai ª¬a -yÔF

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

Kombinacja

brak wygranej

cytrynki wisienki

dolary/ dolary wisienki

Prawdopodobieństwo

#!!

"

฀

฀ ฀ ฀

฀

฀ ฀

฀

฀

฀

฀ ฀ ฀

฀ ฀

฀

฀ ฀

"

฀

฀

฀ ฀

฀ ฀

฀

฀ ฀฀

-RMSOVSLcÄWc dXK¨ XSO ^cVUY Z\KaNYZYNYLSOº]^aY

acQ\KXOT KVO \ aXSOÒ ^Y TKU aSOVO WYQVSLcÄWc

acQ\K¨ - -®lR ®y-u¬ oRJ¬ylR -ªJ| |J|7lRÍ ª- |o-ªlRyl- lÖ y- -¥ |u-AlR | ®A®Ra}qy¬Ai p|u7ly-Aol ¬u7|qlG -qR ylR ªlRu¬ ylA | ª¬ |p|²Al RªRy ¥-qyRo ª¬a -yRo q- Ra| ylRA| ®u|J¬\lp¥oRu¬ y- ®Ô -7RqpÖG ®¬ | ®ÔJp|ª¥oÔA p|qRoyR -ªJ| |J|7lRÍ ª- J| |J |ªl-J-oÔARo lu ª¬a -yRo '¬ |p|²É ª¬a -yRo |JA®¬ -yÔ ® ly\| u-Aol ¥ulR ®A®|yRo y- -¥ |u-AlR |uylRo ®¬u¬ | pª| Ö J|q- -G p } Ô u¥ lu¬ ®- t-AlÉG 7¬ ª®lÔÉ ¥J®l-t ª a ®R

Kombinacja

brak wygranej

cytrynki wisienki

dolary/ dolary dolary

Wypłata

1$

4$

9$

14 $

19 $

"

"

Prawdopodobieństwo #!! ฀

฀

฀ ฀ ฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀ ฀ ฀

฀

฀

฀ ฀ ฀

฀

฀ ฀

฀

฀

฀ ฀

฀

฀

฀ ฀

฀

฀ ฀

฀

฀฀ ฀ ฀

฀฀

' -7Rql Ro ®-ª- | -p ®ª-y¬ rozkład prawdopodobieństwa ª¬ t- ® a ¬ y- -¥ |u-AlRG 7|ªlRu p-¸JRo ª¬a -yRo |uylRo ®|yRo | p| ® ª®lÖAl- ¥J®l-t¥ ª a ®R ®¬ | ®ÔJp|ª-y| -ªJ| |J|7lRÍ ª|G ® o-plu u|¸R |y- -²É

JESTEu TUTAJ4

2OZK ADY PRAWDOPODOBIEÊSTWA Z BLISKA

3OZK ADY PRAWDOPODOBIEÊSTWA Z BLISKA 7¬ ª| ®¬É |®pt-J -ªJ| |J|7lRÍ ª- ª¬ t- ® a ¬ y- -¥ |u-AlRG Jq- p-¸JRo u|¸qlªRo pª| ¬ ª¬ t- ¬ |7qlA®¬ql²u¬ -ªJ| |J|7lRÍ ª|G ® o-plu u|¸R |y- -²É ®¬ | l lR Ra| |J®-o¥ ®J- ®RÍ - ¬ ¬A¬ | t¥a¥oÔ lÖ -p ®ª-yÔ zmienną losowąG A®¬ql -pÔ ®ulRyyÔG p } - u|¸R ®¬ou|ª-É }¸yR ª- |²Al ® RªyRa| ®7l| ¥ ® |p R²q|y¬u -ªJ| |J|7lRÍ ªRu ' y- ®¬u ®¬pt-J®lR ®ulRyy- q| |ª- R R®Ry ¥oR ª¬ t- Ö ® a ¬G - ªlÖA ªlRqp|²ÉG o-pÔ u-u¬ ®-y Ö ®- |7lÉG |AlÔa-oÔA -® ®- J´ªlaylÖ -¥ |u- ¥ +ulRyyR q| |ªR |®y-A®-u¬ ®ª¬pqR ªlRqplul ql R -ul -q\-7R ¥ t-AlÍ plRa|G y- ®¬pt-J ( A®¬ ) | ®A®Ra}qyR ªlRqp|²AlG o-plR u|¸R ®¬oÔÉ ®ulRyy- -p ®ª-yR realizacje G |®y-A®-u¬ |J |ªl-J-oÔA¬ul lu u-t¬ul ql R -ulG y- ®¬pt-J « A®¬ ¬ "-p ªlÖA ®- l ( Y « |JA®¬ ¥oRu¬F -ªJ| |J|7lRÍ ª|G ¸R ®ulRyy- ( ®¬oulR ª- |²É « | y- ® |®pt-J -ªJ| |J|7lRÍ ª- ®- l -y¬ ®¬ ª¬p| ®¬ -yl¥ Ro y| -AolF ฀ ฀

฀ ฀ ฀

฀ ฀

฀

฀

฀ ฀

฀ ฀

Kombinacja brak wygranej

cytrynki wisienki dolary/wisienki

dolary

x

4$

9$

14 $

19 $

"

"

-1 $ #!!

P(X = x)

฀

฀ ฀

฀

฀

฀

฀ ฀

฀ ฀

฀

฀

฀ ฀ ฀

฀

"- ®ulRyy- q| |ª- oR ®ulRyyÔ dyskretną ®y-A®- |G ¸R ®¬ou¥oR |y- ¬qp| ª¬7 -yRG J|pt-JyR ª- |²Al |®pt-J |l |y- R¸ oR J¬ p R y¬G -qR ylR oR p|ÍA®|y¬ }A® ®RJ -ªlRyl- |®pt-J¥ -ªJ| |J|7lRÍ ª- ª \| ulR -7Rq- ¬A®yRo u|¸Ru¬ ®RJ -ªlÉ a| y- ª¬p R lRG A| ®y-A®ÔA| ¥t- ªl- J-q ®Ô -y-ql®Ö |®pt-J¥ |yl¸Ro ®-ulR ®A®|y| ®¬pt-J|ª¬ ª¬p R t¥ p|ª¬ Jq- |®pt-J¥ y- ®Ro ®ulRyyRo

P(X = x)

<YdU¸KN Z\KaNYZYNYLSOº]^aK acZ¸K^c a Q\dO

฀ ฀ ฀

฀

฀ ฀

฀

฀

฀

฀

฀ ฀

฀ ฀

฀

฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀

฀ ฀

-1 0

4

9

14

19

x

2OZDZIA

฀ ฀ ฀

฀

฀

฀

฀ ฀

฀

฀

$YSKRETNE ROZK ADY PRAWDOPODOBIEÊSTWA ฀

฀ ฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀ ฀ ฀ ฀

฀

฀ ฀

฀฀

฀

1Nc acdXKMdcWc T_Ò \YdU¸KN

Z\KaNYZYNYLSOº]^aK WYÒOWc ZY]¸_Òc¨ ]S°

XSW NY Y]dKMYaKXSK YMdOUSaKXOT \OKVSdKMTS

dWSOXXOT VY]YaOT ' y- ®¬u ®¬pt-J®lR u|aql7¬²u¬ ª¬p| ®¬ -É ª¬®y-A®|y¬ |®pt-J -ªJ| |J|7lRÍ ª- J| | ®-A|ª-yl-G o-plRo ª¬ t- ¬ u|aql7¬²u¬ |A®Rplª-É ª Jt¥alRo R ll |ª } ®RÍ a ¬ y- -¥ |u-AlR

8SO S]^XSOT¦

Q¸_ZSO Zc^KXSK

:

:$ -dc WYQ° acUY\dc]^K¨ NYaYVX¦

9

$ 9MdcaSÄMSO ÒO ^KU ZYN aK\_XUSOW

ÒO XSO L°NdSO ^Y Z\YaKNdS¸Y NY XSOZY\Yd_WSOº

8KTMd°ÄMSOT acUY\dc]^_TO ]S° VS^O\c d UYºMK

KVPKLO^_$ B C Mdc D

$ .VKMdOQY dKWSK]^ ]cWLYVS

NY L_NYac \YdU¸KN_ acUY\dc]^_TOWc

VSMdLc) -dc XKZ\KaN° ^KU aSOVO XK

^cW dc]U_TOWc) $ 9MdcaSÄMSO WYQVSLcÄWc ZY]¸_QSaK¨

]S° \ ÒXcWS ]cWLYVKWS TONXKU WKT¦ YXO

ZYN]^KaYa¦ aKN° s XSO XKNKT¦ ]S°

NY YLVSMdOº 4_Ò XSON¸_QY Z\dOUYXK]d ]S°

ÒO XK LKdSO \YdU¸KN_ YZS]KXOQY dK ZYWYM¦

VSMdL WYÒXK acdXKMdc¨ \ ÒXO ZK\KWO^\c

dWSOXXOT VY]YaOT 8SO Lc¸YLc ^Y WYÒVSaO

QNcLcÄWc ZY]¸_QSaKVS ]S° ac¸¦MdXSO

]cWLYVKWS

:$ -dc WYQ° Z\dON]^KaS¨ \YdU¸KN

Z\KaNYZYNYLSOº]^aK XK NSKQ\KWSO

@OXXK)

9

$ .SKQ\KWc @OXXK \KMdOT XSO XKNKT¦ ]S°

NY ^OQY MOV_ DK\ aXY YXO TKU S N\dOaK

]^YMRK]^cMdXO ]¦ ZYWYMXO Z\dc YLVSMdKXS_

Z\KaNYZYNYLSOº]^a XSOUYXSOMdXSO Z\dc SMR

aSd_KVSdKMTS

VS^O\° NY YdXKMdOXSK dWSOXXOT VY]YaOT)

9

:$ -dc dWSOXX¦ S TOT \OKVSdKMTO

ZYaSXSOXOW YdXKMdK¨ ^¦ ]KW¦ VS^O\¦)

9$ A dK]KNdSO W Q¸LcÄ _Òc¨ \ ÒXcMR

VS^O\ KVO TKU ]S° TO]dMdO XSO\Kd Z\dOUYXK]d

WYQ¸YLc ^Y XKNWSO\XSO _^\_NXS¨ \YdOdXKXSO

a NKXcMR 6OZSOT aS°M ZYdY]^K¨ Z\dc ^OT

]KWOT VS^O\dO

:

$ =^aSO\NdSVSÄMSO ÒO dWSOXXK

Nc]U\O^XK WYÒO Z\dcTWYaK¨ ^cVUY

acL\KXO NYU¸KNXO aK\^YÄMS

-dc XSO TO]^ ^Y \OQ_¸¦)

9$ 8SO TO]^ A Z\dcU¸KNdSO d iTONXY\°USW

LKXNc^¦p aSOWc d Q \c TKU¦ acZ¸K^°

QaK\KX^_T¦ ZY]dMdOQ VXO UYWLSXKMTO

]cWLYVS 8SQNc XSO _NK XKW ]S° _dc]UK¨

UYWLSXKMTS SXXOT XSÒ Z\dOaSNdSKXK Z\dOd

UYX]^\_U^Y\K K_^YWK^_

-dK]KWS WKWc NY MdcXSOXSK dO dWSOXXcWS

VY]YacWS U^ \O WYQ¦ Z\dcTWYaK¨

NYaYVX¦ aK\^YĨ d ZOaXOQY Z\dONdSK¸_

Ã\ONXSMK TKL¸UK WYÒO Z\dcTWYaK¨ NYaYVX¦

aK\^YĨ XK Z\dcU¸KN d Z\dONdSK¸_ r MW 8K \KdSO XSO W_]S]d ]S° TONXKU dK LK\NdY

^cW Z\dOTWYaK¨ A\ MSWc NY ^OQY

dKQKNXSOXSK a NKV]dOT Md°ÄMS U]S¦ÒUS 5KÒNK

dWSOXXK U^ \¦ L°NdSOWc ]S° dKTWYaK¨

a ^cW \YdNdSKVO L°NdSO dWSOXX¦ Nc]U\O^X¦

6SMdL XK^_\KVXcMR ^OÒ TO]^ XSO]UYºMdOXSO

aSOVO KVO dWSOXXK VY]YaK Z\dcTW_T¦MK

aK\^YÄMS XK^_\KVXO TO]^ XKNKV Nc]U\O^XK

JESTEu TUTAJ4

7ARTOu¿ OCZEKIWANA I WARIANCJA ROZK ADÌW DYSKRETNYCH

AK\^YĨ YMdOUSaKXK ZYdaKVK Z\dOaSNdSO¨ acXSUj +y-u¬ o¥¸ |®pt-J -ªJ| |J|7lRÍ ª- ª¬ t- ¬ ª a ®R y- -¥ |u-AlRG -qR ylR ªlRu¬G o-plRo -p y- -ªJÖ ª¬a -yRo u|aql7¬²u¬ |A®Rplª-É J |ªlRJ´ y- | ¬ -ylR J- y-u wartość oczekiwana R | oRJRy ® - -uR }ª |®pt-J¥ -ªJ| |J|7lRÍ ª-G u}ªlÔA¬ | ¬uG o-plRo ®RAlÖ yRo ª- |²Al ®ulRyyRo q| |ªRo y-qR¸¬ lÖ |J®lRª-É ª Jt¥alRo R ll oRo R-ql®-Aol

฀ ฀

'- |²É |A®Rplª-y- ®ulRyyRo ( ®¬ |uly- ylRA| ² RJylÔ - ¬ uR ¬A®yÔG ¬qR ¸R oR ª¬®y-A®-y- y- |J -ªlR |®pt-J¥ -ªJ| |J|7lRÍ ª- lA®¬u¬ oÔ ª 7- J®| |J|7y¬ | }7F ª- |²É p-¸JRo R-ql®-Aol « ®ulRyyRo q| |ªRo ( uy|¸¬u¬ ®R® oRo -ªJ| |J|7lRÍ ª|G - y- Ö ylR ¥u¥oRu¬ | ®¬u-yR lq|A®¬y¬ '- |²É |A®Rplª-yÔ ®ulRyyRo q| |ªRo ( |®y-A®-u¬ ®ª¬pqR ¬u7|qRu ( G oRJy-p }ªylR A®Ö | ª¬p| ®¬ ¥oR lÖ ¬u7|q wG p } ¬u ªA®R²ylRo |®y-A®-ql²u¬ ² RJylÔ - ¬ uR ¬A®yÔ | ª®} y- |qlA®RylR ª- |²Al |A®Rplª-yRo ( F

E(X) =

฀ ฀

฀

฀

฀ ฀

฀

฀

฀ ฀

฀ ฀

฀

฀ ฀

฀฀

฀

฀

| t¥¸¬u¬ lÖ ¬u ª®| Ru J| |qlA®Ryl- ª- |²Al |A®Rplª-yRo y- ®Ro ®ulRyyRo | oRo |®pt-J |ulyÖql²u¬ oRJy| pl F

x

–1

4

9

14

19

P(X = x)

#!!

"

"

( Y X x °Gz ` x °G°°U z x °G°°U ` x °G°° z x °G°° Y

Y X°Gz °G°¡¤ °G° ¤ °G°U` °G° z Y

Y X°G

฀ ฀

฀

฀

฀

฀ ฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀ ฀฀

yy¬ul t|ª¬G ®¬ J¥¸Ro qlA®7lR |ª } ®RÍ a ¬ |ªlylRyR² |A®Rplª-ÉG ¸R ª p-¸JRo ® ylAi -Al ® ®RAlÖ ylR °G J|q- - ®¬ql a -oÔA °° -®¬G u|¸R ® |A®Rplª-É - ¬ y- |®l|ulR J|q- }ª

2OZDZIA

฀

฀

฀

E(X) = μ

xP(X = x)

฀฀

฀

$YSKRETNE ROZK ADY PRAWDOPODOBIEÊSTWA

jK aK\SKXMTK W aS Y ^cW TKU LK\NdY TO]^ YX dWSOXXc '- |²É |A®Rplª-y- u}ªl | ¬uG o-plRo ®RAlÖ ylR ª¬ t- ¬ |ªlyyl²u¬ |A®Rplª-É ª |oRJ¬yA®Ro a ®R |ylRª-¸ ª y- ®¬u ®¬pt-J®lR oR |y- ¥oRuy-G ®- -y-ªl- ® lÖ ®- RªyRG Jq-A®Ra| q¥J®lR JRA¬J¥oÔ lÖ y- a Ö J |ªlRJ´ oR | -F |G ¸R |ªlylRyR² |A®Rplª-É -A®Ro - yl¸ ®¬ p}ª ® a ¬ y- -¥ |u-AlRG ylR |®y-A®- oR ®A®RG ¸R ylR u- ® ª |a}qR ®-y y- ª¬a -yÔ "-p o-p ² RJyl- - ¬ uR ¬A®y-G ª- |²É |A®Rplª-y- ylR u}ªl y-u ª ®¬ plRa| | J-y¬u |®pt-J®lR '¬ylpl p|qRoy¬Ai |JRo²É J| a ¬ u|aÔ lÖ J|²É ®y-A®ÔA| }¸ylÉ -p ÔJ®l ®G A®¬ u|¸Ru¬ ®ulR ®¬É Ö ®ulRyy|²É

P(X = x)

<YdU¸KN Z\KaNYZYNYLSOº]^aK acZ¸K^c a Q\dO

฀

-1 0

4

9

฀

฀

฀

14

฀ ฀

฀ ฀

฀

฀ ฀ ฀ ฀ ฀

฀

฀

x

฀

฀ ฀

฀

19 ฀

฀

฀

฀ ฀ ฀

฀

฀ ฀

฀ ฀

.VK dWSOXXcMR VY]YacMR \ aXSOÒ

acdXKMdKWc aK\SKXMT° '- |²É |A®Rplª-y- |®ª-q- | ®-A|ª-É ¬ |ªÔG ®RAlÖ yÔ R-ql®-AoÖ ®ulRyyRo q| |ªRoG -qR ylR u}ªl ylA | ¬uG o-p 7- J®| oRo ª- |²Al u|aÔ lÖ ®ulRyl-É ' y- ®¬u ®¬pt-J®lR ª- l-yAo- |®ª|ql y-u | ®-A|ª-ÉG o-p 7- J®| u|aÔ }¸ylÉ lÖ |J lR7lR ª¬ t- ¬ ª p|qRoy¬Ai |JRo²Al-Ai J| a ¬ |J|7ylR o-p ª rozdziale 3.G -p l ¥ -o | t¥¸¬u¬ lÖ wariancją o-p| ul- Ô |® | ®Ryl- +|7-A®u¬G o-p | ª¬aqÔJ- ª -p ¬AR

JESTEu TUTAJ4

,ICZYMY WARIANCJÃ DLA ROZK ADÌW DYSKRETNYCH

AK\SKXMTK K \YdU¸KN Z\KaNYZYNYLSOº]^aK ' |®J®l-qR ¡ ª¬®y-A®-ql²u¬ ª- l-yAoÖ Jq- RªyRa| ®7l| ¥ qlA®7 ' lR ª ®¬u p |p¥ |7qlA®-ql²u¬ ª- |²É ª¬ -¸Ryl- « X w ¤ Jq- p-¸JRo qlA®7¬ ®R ®7l| ¥ J-y¬AiG - y- Ö ylR ª¬®y-A®-ql²u¬ lAi ² RJylÔ - ¬ uR ¬A®yÔ |J|7ylR u|¸Ru¬ | Ô lÉ ª ®¬ -Jp¥ ®ulRyyRo q| |ªRo lR 7ÖJ®lRu¬ oRJy-p qlA®¬É ² RJylRo ª¬ -¸Ryl- ( X w ¤G -qR oRa| ª- |²É |A®Rplª-yÔG -p o-p ª |yl¸ ®Ro \| u¥qRF ฀

฀

฀

฀

฀ ฀ ฀

฀

฀

฀฀

฀

฀

Var(X) = E(X - μ)2

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

|ª -t oRJy-p |7qRuF o-p |qlA®¬É ª- |²É |A®Rplª-yÔ (Xw ¤

4KU aS°M acdXKMdc¨ / Bru ) 7qlA®-ylR ( X w ¤ ®¬ |uly- 7- J®| qlA®RylR ®ª¬ptRo ( 7¬ |qlA®¬É ( G u¥ lu¬ ®Ruy|¸¬É p-¸JÔ ª- |²É ®ulRyyRo q| |ªRo ®R® |J |ªl-J-oÔAR oRo -ªJ| |J|7lRÍ ª|G - y- Ö ylR J|J-É J| lR7lR | ®¬u-yR lq|A®¬y¬ yy¬ul t|ª¬G | Ö ¥oRu¬ ªRJt¥a ª®| ¥F

( Y « ( Y «

฀

7¬ |qlA®¬É ª- l-yAoÖ ®ulRyyRo q| |ªRo (G ª¬®y-A®-u¬ ª- |²É ª¬ -¸Ryl- «Xw ¤ Jq- p-¸JRo ª- |²Al « ®ulRyyRo (G uy|¸¬u¬ Ö ª- |²É ®R® |J |ªl-J-oÔAR oRo -ªJ| |J|7lRÍ ª|G - y- Ö ylR J|J-oRu¬ | ®¬u-yR lq|A®¬y¬F ฀ ฀฀ ฀

฀

฀ ฀

E(X - μ)2 =

฀

฀ ฀

฀

฀ ฀

฀

(x - μ)2P(X = x) ฀

฀

฀ ฀

฀

yy¬ul t|ª¬G ®-ul- uy|¸¬É « ®R® |J |ªl-J-oÔAR u¥ -ªJ| |J|7lRÍ ª|G uy|¸¬u¬ ®R® ylR ª¬ -¸RylR | | -Al « X w ¤

2OZDZIA

฀ ฀

฀ ฀ ฀

฀

฀ ฀

$YSKRETNE ROZK ADY PRAWDOPODOBIEÊSTWA

9LVSMdKWc aK\SKXMT° NVK XK]dOQY Z\dcU¸KN_ +|7-A®u¬G o-p u|¸Ru¬ ª¬p| ®¬ -É Ö \| u¥tÖ J| ª¬®y-A®Ryl- ª- l-yAol y- ®Ro ®ulRyyRo q| |ªRo -o lR ª |JRoulRu¬ ª- |²É |A®Rplª-yÔ Ro ®ulRyyRo |J p-¸JRo ® oRo R-ql®-AolG |JylR lRu¬ Ö }¸ylAÖ J| pª-J - ¥G - y- Ö ylR |uy|¸¬u¬ oÔ ®R® -ªJ| |J|7lRÍ ª| ®¬ l -yR p-¸JRo R-ql®-Aol q- ®¬ |uylRyl-F ( G A®¬ql wG ª¬y| l X°G J|q- -

x

–1

P(X = x) #!! ฀

฀ ฀

฀

฀

฀

฀ ฀

฀ ฀

4

9

14

"

"

19

฀

&- ( Y ( X w ¤ Y

Y X °G ¤ x °Gz ` °G ¤ x °G°°U z °G ¤ x °G°°U ` °G ¤ x °G°° z °G ¤ x °G°° Y

Y X °G¤¡ ¤ x °Gz `G ¤ x °G°°U zG ¤ x °G°°U `G ¤ x °G°° zG ¤ x °G°° Y

Y °G°^ U¡¡ °G U¤°¤¡¤ °G ¡ ¤¡¤ G¡°Uz ` °G¡z°U^¤z Y

Y ¤G z

฀฀ ฀ ฀

฀ ฀

®y-A®- |G ¸R ª- l-yAo- ®ulRyyRo q| |ªRo ( ª¬ t- ¬ ª a ®R ª¬y| l ¤G z

฀

฀ ฀ ฀

฀

฀

฀ ฀

฀

:YNYLXSO TKU aK\SKXMT° NVK dWSOXXcMR VY]YacMR WYÒOWc

^KUÒO acdXKMdc¨ YNMRcVOXSO ]^KXNK\NYaO Rtyl |y| |J|7yÔ |qÖ o-p |JAi¬qRylR -yJ- J|ªRG p } R ª¬®y-A®¬ql²u¬ ª rozdziale 3. Jq- RªyRa| ®7l| ¥ qlA®7 p R²q- |y|G o-p J-qRp| |J ARy ¥u |®pt-J¥ ®y-oJ¥oÔ lÖ ®RAlÖ ylR ª- |²Al ®ulRyyRo "-p o-p | ®RJyl|G ª¬®y-A®-u¬ oR o-p| lR ªl- Rp pª-J - |ª¬ ® ª- l-yAolF

σ = Var(X)

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀ ฀

®y-A®- |G ¸R |JAi¬qRylR -yJ- J|ªR ª¬ t- ¬ ª a ®R y- y- ®¬u -¥ |u-AlR ª¬y| l √¤G z G A®¬ql G `¤ J|q- - |¸y- |ªlRJ®lRÉG ¸R ª¬ t- - ª a ®R }¸yl lÖ ®RAlÖ ylR | G `¤ J|q- - |J ª- |²Al |A®Rplª-yRoG ª¬y| ®ÔARo X°G J|q- -

AC=36

=D+</ 597 <53 -dc aYVK¸LcÄ Q\K¨ XK K_^YWKMSO U^ \c MRK\KU^O\cd_TO N_ÒK Mdc WK¸K dWSOXXYĨ acZ¸K^)

.VKMdOQY)

JESTEu TUTAJ4

.IE ISTNIEJ G UPIE PYTANIA

8SO S]^XSOT¦

Q¸_ZSO Zc^KXSK

:

:$ -dc aK\SKXMTK S YNMRcVOXSO

$ -dcVS aK\^YĨ YMdOUSaKXK TO]^

MdcWÄ a \YNdKT_ Ä\ONXSOT -dc NVK

\YdU¸KN a Z\KaNYZYNYLSOº]^aK

S]^XSOT¦ \ aXSOÒ YNZYaSONXSUS WONSKXc

S NYWSXKX^c)

:

$ 4KUK TO]^ aS°M \ ÒXSMK WS°Ndc

K_^YWK^OW Y WK¸OT aK\SKXMTS K ^cW

Y N_ÒOT aK\SKXMTS acZ¸K^)

]^KXNK\NYaO ^Y ^O ]KWO WSK\c

U^ \O acdXKMdKVSÄWc NVK dLSY\ a

VSMdL a \YdNdSKVO )

9

$ +_^YWK^ Y N_ÒOT aK\SKXMTS acZ¸KMK

QOXO\KVXSO LK\NdSOT d\ ÒXSMYaKXO UaY^c

=_W° TKU¦ a YQ VXcW Z\dcZKNU_

Y^\dcWK]d ^\_NXSOT TO]^ Z\dOaSNdSO¨

9$ A dK]KNdSO ^KU d acT¦^USOW ^OQY

9$ 7YÒXK acdXKMdc¨ aK\^YĨ dWSOXXOT

ÒO ^cW \KdOW YZO\_TOWc XK \YdU¸KNKMR

Z\KaNYZYNYLSOº]^aK 3 aK\SKXMTK

S YNMRcVOXSO ]^KXNK\NYaO ZYdY]^KT¦

TONXKU XKNKV WSK\KWS \YdZ\Y]dOXSK

U^ \K WK XKTacÒ]dO Z\KaNYZYNYLSOº]^aY

\OKVSdKMTS K aS°M MYÄ a \YNdKT_ NYWSXKX^c

DacUVO TONXKU XSO \YLS ]S° ^OQY

A Z\dcZKNU_ \YdU¸KN a ]^K^c]^cMc

XKTMd°ÄMSOT ZY]¸_Q_T¦ ]S° aK\^YÄMS¦

YMdOUSaKX¦ TKUY WSK\¦ ^OXNOXMTS MOX^\KVXOT

:$ 8SO NY UYºMK \Yd_WSOW NVKMdOQY

VSMdcWc / b r u -dc ^Y XSO ^Y ]KWY

TKU LcÄWc ZYVSMdcVS / b r u S ZYNXSOÄVS

acXSU NY UaKN\K^_)

:$ -dc aK\^YĨ YMdOUSaKXK XSO

9

ZYaSXXK dXKTNYaK¨ ]S° a dLSY\dO

WYÒVSacMR \OKVSdKMTS dWSOXXOT

VY]YaOT)

DKZKWS°^KT ÒO SW WXSOT]dK aK\SKXMTK

^cW LVSÒOT YMdOUSaKXOT acZ¸K^c L°N¦ ]S°

dXKTNYaK¨ UaY^c \dOMdcaSÄMSO acZ¸KMYXO

.OMcN_T¦M ]S° XK Q\° XK K_^YWKMSO

Y aS°U]dOT aK\SKXMTS L°NdSO]d W_]SK¸

]S° VSMdc¨ d acXSUSOW U^ \c ^\_NXSOT

Z\dOaSNdSO¨

$ 8SO ^Y NaSO \ ÒXO aK\^YÄMS

A Z\dcZKNU_ / b r u ZYNXY]SWc

NY ZY^°QS N\_QSOT ac\KÒOXSO b r u

NVK UKÒNOQY b K XK]^°ZXSO acdXKMdKWc

aK\^YĨ YMdOUSaKX¦ ^KUSMR ZY^°Q

1Nc XKTZSO\a acdXKMdcWc / b r u

K XK]^°ZXSO ZYNXSO]SOWc T¦ NY ZY^°QS

N\_QSOT Y^\dcWKWc d_ZO¸XSO SXXc acXSU

9

$ 8SOUYXSOMdXSO >KU TKU Ä\ONXSK XSO

W_]S dXKTNYaK¨ ]S° a dLSY\dO NKXcMR

NVK U^ \OQY dY]^K¸K acdXKMdYXK ^KU

S aK\^YĨ YMdOUSaKXK XSO W_]S dXKTNYaK¨

]S° a dLSY\dO \OKVSdKMTS dWSOXXOT VY]YaOT

>KU XKZ\KaN° a ZSO\a]dcW Z\dcZKNU_

VSMdcWc aS°M / b r u KVO _Z\K]dMdKWc

dKZS]

Podstawowe terminy

Podstawowe terminy ฀

฀ ฀ ฀฀฀฀฀฀

2OZDZIA

฀ ฀ ฀ ฀฀฀

฀

฀ ฀ ฀ ฀

฀

฀ ฀

฀฀฀฀฀

฀

฀ ฀ ฀

฀ ฀ ฀ ฀

฀

$YSKRETNE ROZKย ADY PRAWDOPODOBIEร STWA

Oto rozkล ad prawdopodobieล stwa zmiennej losowej X: ยงaSMdOXSO

x

1

P(X = x)

2

3

4

5

1. Ile wynosi E(X)?

2. Ile wynosi Var(X)?

JESTEu TUTAJ4

WICZENIE 2OZWI ZANIE

Oto rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X: §aSMdOXSO <YdaS¦dKXSO

x

1

P(X = x) ฀

฀

5

฀ ฀ ฀

฀

฀ ฀ ฀

฀

฀ ฀฀

฀

฀

฀ ฀

฀

฀

฀

฀ ฀ ฀฀

฀ ฀ ฀฀

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀ ฀฀

฀ ฀

฀ ฀ ฀฀

฀ ฀

฀฀

฀

฀

฀ ฀

฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀฀

฀ ฀

฀

฀ ฀ ฀

฀฀

฀

฀

2. Ile wynosi Var(X)? ฀

฀

฀Σ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀

฀

฀ ฀฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

2OZDZIA

4

฀

฀

3

฀฀ ฀ ฀

฀ ฀

1. Ile wynosi E(X)? ฀ ฀Σ

฀

2

฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀ ฀

฀ ฀ ฀฀ ฀ ฀

฀ ฀

฀฀ ฀฀

฀฀ ฀ ฀

฀ ฀ ฀฀ ฀ ฀

฀ ฀ ฀ ฀

฀฀

฀฀

฀ ฀

฀฀

฀ ฀ ฀ ฀

฀ ฀ ฀฀

฀฀

฀ ฀ ฀฀

฀฀

฀฀

฀

฀฀ ฀

฀ ฀ ฀ ฀

฀฀

฀

฀฀

฀

$YSKRETNE ROZK ADY PRAWDOPODOBIEÊSTWA

®¬ -JRp ² RJylAi ¥Ai|u¬Ai

/A TROPIE WIELKIEJ TAJEMNICY

|p-qy- -Ao- RqRªl®¬oy- ª - ©lqqR y-J-oR plqp- | ¥q- y¬Ai RqR ¥ ylRo}ªG ® p } ¬Ai y-oªlÖp ®Ô ªlJ|ªylÔ AlR ®¬ lÖ J´ y- A-t|²É -¸JRu¥ ¥A®R ylp|ªl ®-7-ª¬ R®Ry |ª-yR Ô p ®¬ypl ® ¥ulR ®A®|y¬ul ªRªyÔ ® lRylÖJ®ul Ra| ®-J-ylRu oR ª¬7} oRJyRo ® ylAi 7R® ®-aqÔJ-yl- J| ² |Jp- - Ö ylR p ®¬yplG p } R ylR ®| -t¬ ª¬7 -yR ®R® ®-ª|Jylp-G Ô | yl|ª| | ªlR -yR | ¥o-ªylRyl¥ ®-ª- |²Al p-¸JRo p|qRoy| | ªlR -yRo p ®¬ypl ®-ª|Jylp u¥ l ®JRA¬J|ª-ÉG A®¬ AiAR |®| -É ®¬ ª|lu lR ª| y¬u ª¬7| ®R J|p|y-y¬u ª AlRuy| G A®¬ R¸ ª¬7 -É lyyÔ |\R ÖG p } Ô ª ulÖJ®¬A®- lR ®t|¸¬t u¥ a| |J- ® |a -u¥ -¸J- ª¬a -y- ®-ª|Jylp- ªlÔ¸R lÖ ® J- plRu y- ulRo A|ªR |ª- ®¬ ª| | lRpl y-J \|p-ul #A®R ylp J®l lRo ®Ra| RqR ¥ ylRo¥ oR - ¬ ¬plRuk-u- | Ru +J-oR |7lR -ªÖ ® Ra|G ¸R ®y-q-®t7¬ lÖ ª J¥¸| qR ®¬u |t|¸Ryl¥G aJ¬7¬ |®y-t ª- |²É |A®Rplª-yÔ pª| ®-ulR ®A®|y¬Ai ª | ®A®Ra}qy¬Ai p ®¬yp-Ai 't-²ylR p|ÍA®¬t oÔ |7qlA®-ÉG aJ¬ |J ®RJt J| ylRa| |J¥ARy RqR ¥ ylRo¥ 'Ai|J®l -y y- -y RyÖ ®- ¡ uly¥ ¬ W |ªlRJ®l-t |J¥ARy +ulRylql²u¬ ®-ª- |²É | ®A®Ra}qy¬Ai p ®¬yRp +-ªlR -oÔ |yR R -® ylRu-q Jª- -®¬ ¬qR lRylÖJ®¬ A| J| Ro | ¬ R® ° J|q- }ª +-ª|Jylp |o ®-t y- |J¥ARy - ® ª¬ ®¥ Ru ®¬ | |®y-A®-G ¸R oRa| |7qlA®Ryl- | ®t¬ y- u- yR 'Ô lt ª |G 7¬ ª AlÔa¥ ®RAi uly¥ ¥J-t| u¥ lÖ ®R |ª-J®lÉ ª ®¬ plR |7qlA®Ryl- |J |A®Ô p¥ | ªlÖA |ªlylRy ® |7lÉ

Czy nasz zawodnik mógłby w prostszy sposób wyznaczyć wartość oczekiwaną, tak by nie zajęło mu to więcej niż 3 minuty?

JESTEu TUTAJ4

.OWY ROZK AD PRAWDOPODOBIEÊSTWA

1Nc MOXc SN¦ a Q \° ' AlÔa¥ plqp¥ | - ylAi uly¥ ªt-²AlAlRq p- ¬y- |Jyl} t ARyÖ ®-pt-J¥ ª a ®R y- -¥ |u- -AiG ®ªlÖp ®-oÔA oRJy|A®R²ylR ª¬a -yR | q-y ®- ® y|ª¬ul -ªp-ulF

฀ ฀

฀ ฀ ฀ ฀

฀

5Y]d^ Q\c$

฀ ฀

฀

฀

฀ ฀

'

UYVOTXYÀ¤ NYaYVXK

>O\Kd

Z´KM¬

\Kdc

' !

'

'

aS¬MOT

| ® ¥J®l-t¥ ª a ®R |AlÔaylÖAl- ®- J´ªlaylÖ -¥ |u- ¥ ª® } t J| ¤ J|q- }ªG -qR ª ²q-J ®- ¬u | ®t¬ ª a} Ö -ªpl ª¬a -y¬Ai W Ô R -® lÖÉ -®¬ ª¬¸ ®R R²ql ªlÖA ®A®Ö²AlR 7ÖJ®lR y-u ®¬o-ÉG ®- |7lu¬ J¥¸| ªlÖARo yl¸ | ®RJyl| | y|ª¬ |®pt-J -ªJ| |J|7lRÍ ª- ª¬ t- ª Ro a ®RF

y

-2

P(Y = y)

฀

฀ ฀ ฀

฀

฀ ฀

#!!

23

48

73

98

"

"

฀

฀ ฀

2OZDZIA

฀฀

฀

฀

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀

฀ ฀

฀

฀ ฀฀

$YSKRETNE ROZKÂŒADY PRAWDOPODOBIEĂŠSTWA

%)7;<:B 7–z?-3 Jaka jest wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Y? Jak się mają te wartości do wyznaczonych poprzednio: wartości oczekiwanej wynoszącej –0,77 dolara oraz wariancji równej 2,6971?

y P(Y = y)

-2 #!!

23

48

73

98

"

"

JESTEu TUTAJ4

:AOSTRZ O ÌWEK 2OZWI ZANIE

%)7;<:B 7 z?-3 7B?1 B)61y

-2

฀ ฀ ฀

฀

฀

฀

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀ ฀

73

98

"

"

฀ ฀ ฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀

฀

฀ ฀ ฀

฀฀

฀ ฀ ฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀

฀

฀

฀ ฀

฀฀

฀ ฀

฀ ฀

฀

฀ ฀ ฀

฀

฀

฀฀

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀ ฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀ ฀ ฀

฀

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀ ฀ ฀

฀

฀฀

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀

฀Σ ฀ ฀ ฀

฀

48

฀ ฀

฀

฀

23

#!!

P(Y = y)

Jaka jest wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Y? Jak się mają te wartości do wyznaczonych poprzednio: wartości oczekiwanej wynoszącej –0,77 dolara oraz wariancji równej 2,6971?

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀฀

฀ ฀

฀

฀

฀ ฀

฀ ฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀ ฀

฀

฀ ฀ ฀

฀ ฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀ ฀

฀

฀ ฀

฀

฀ ฀ ฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

=^K\O S XYaO ]^KaUS acQ\KXcMR ]¦ dO ]YL¦ ZYaS¦dKXO | ® ¥J®l-t¥ ª a ®R ®ªlÖp ®¬t lÖ J| ¤ J|q- }ªG ®-² -ªpl ª¬a -y¬Ai | ®t¬ ª a} Ö lÖAl|p | ylR p| | oR ulÖJ®¬ ylul -p | - l 7R® |² RJyl- ®-qR¸y|²ÉG | ª- | lÖ ®Rp|y-ÉG A®¬ |J|7yR ®-qR¸y|²Al l ylRoÔ }ªylR¸ ulÖJ®¬ - -uR -ul |®pt-J}ª ®ulRyy¬Ai ( l ) ®Rp|y-ou¬ lÖ ®- Ru

2OZDZIA

$YSKRETNE ROZK ADY PRAWDOPODOBIEÊSTWA

Łamigłówka -dK] XK YN\YLSX° KVQOL\c ?d_ZO¸XST V_US a ZYXSÒ]dcMR

YLVSMdOXSKMR YNZYaSONXSWS aK\^YÄMSKWS

dXKTN_T¦McWS ]S° a LK]OXSO 5KÒN¦ aK\^YĨ

WYÒO]d acUY\dc]^K¨ ^cVUY TONOX \Kd

MRY¨ XSOU^ \O XSO L°N¦ -S ZY^\dOLXO

a YQ VO 4OÄVS ^Y dKNKXSO acUYXK]d LOdL¸°NXSO

Y^\dcWK]d PY\W_¸° ZYUKd_T¦M¦ \OVKMT° WS°Ndc

]^K\cWS B S XYacWS C ]^KaUKWS acZ¸K^ a Q\dO

XK K_^YWKMSO a UK]cXSO .KXK

X = (stara stawka wygranej) – (stary koszt gry) = = (stara stawka wygranej) – ........................... (stara stawka wygranej) = ............................ + ............................ Y = 5 (stara stawka wygranej) – (nowy koszt gry) = = 5 (.............. + ...............) – ...................... = = 5 ................ + ................ – ..................... = = ..................

.................. + .....................

Uwaga: każda wartość może być użyta tylko jeden raz! 1 X 1

X X

1 2

2 5 5

3

X

JESTEu TUTAJ4

|AMIGÂŒĂŒWKA 2OZWIÂ’ZANIE

Ĺ amigĹ‚Ăłwka: RozwiÄ…zanie -dK] XK YN\YLSX° KVQOL\c ?d_ZO¸XST V_US a ZYXSĂ’]dcMR

YLVSMdOXSKMR YNZYaSONXSWS aK\^YĂ„MSKWS

dXKTN_TÂŚMcWS ]S° a LK]OXSO 5KĂ’NÂŚ aK\^YĂ„¨

WYĂ’O]d acUY\dc]^K¨ ^cVUY TONOX \Kd MRY¨

XSOU^Âœ\O XSO L°NÂŚ -S ZY^\dOLXO a YQÂœVO 4OĂ„VS

^Y dKNKXSO acUYXK]d LOdL¸°NXSO Y^\dcWK]d

PY\W_¸° ZYUKd_TŒMŒ \OVKMT° WS°Ndc ]^K\cWS

B S XYacWS C ]^KaUKWS acZ¸K^ a Q\dO XK

K_^YWKMSO a UK]cXSO .KXK

฀

X = (stara stawka wygranej) – (stary koszt gry) = 1 = (stara stawka wygranej) – ...........................

X 1 (stara stawka wygranej) = ............................ + ............................

฀

฀

฀

฀

2OZDZIAŒ

฀

฀ ฀

฀

฀ ฀

Y = 5 (stara stawka wygranej) – (nowy koszt gry) = ฀ = 5 (.............. X 2 1 + ...............) – ...................... = X 5 2 = 5 ................ + ................ – ..................... = 3 5 X = .................. .................. + .....................

Uwaga: kaşda wartość moşe być uşyta tylko jeden raz!

฀ ฀

฀

฀

฀

฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀

฀ ฀฀ ฀

฀

฀

฀

$YSKRETNE ROZKÂŒADY PRAWDOPODOBIEĂŠSTWA

7S°Ndc / B S / C S]^XSOTO daSÂŚdOU VSXSYac 'lRuÂŹÂ&#x;o¼¸GÂ&#x;¸RÂ&#x;ulĂ–JÂŽÂŹÂ&#x;ÂŽulRyyÂŹulÂ&#x;(Â&#x;„˜ -–-Â&#x;ª‚t- -Â…Â&#x;lÂ&#x;)Â&#x;Â&#x; „y|ÂŞ-Â&#x;ª‚t- -Â…Â&#x;l˜ ylRoRÂ&#x;ÂŽ-qR¸y|²Ă‰Â&#x;qlyl|ÂŞ-Â&#x;‚|˜ -AlÂ&#x;)Â&#x;YÂ&#x;^(Â&#x;ŠÂ&#x;¥‡Â&#x; iAlRql7²uÂŹÂ&#x;˜lĂ–Â&#x; R–-ÂŽÂ&#x;J|ÂŞlRJÂŽlRÉGÂ&#x;AÂŽÂŹÂ&#x;‚|J|7y-Â&#x;ÂŽ-qR¸y|²Ă‰Â&#x;l˜ ylRoRÂ&#x; ulĂ–JÂŽÂŹÂ&#x; „(Â…Â&#x;lÂ&#x; „)Â…Â&#x;|–-ÂŽÂ&#x;&-–„(Â…Â&#x;lÂ&#x;&-–„)…‡ JÂŹ7ÂŹÂ&#x;ÂĽJ-t|Â&#x;y-uÂ&#x;˜lĂ–Â&#x;‚| ªlR–JÂŽlÉÂ&#x;l˜ ylRylRÂ&#x; -plRoÂ&#x;ÂŽ-qR¸y|²AlGÂ&#x;p|qRoyRÂ&#x; ÂŽul-yÂŹÂ&#x;˜ -ÂŞRpÂ&#x;ÂŞÂ&#x;p-Â˜ÂŹylRÂ&#x; -y-Â&#x;ylRÂ&#x;7ÂŹtÂŹ7ÂŹÂ&#x;Jq-Â&#x;y-˜Â&#x;‚–|7qRuRu‡Â&#x; | Â–-\lql7²uÂŹÂ&#x;7|ÂŞlRuÂ&#x;t- ª|Â&#x;ÂŞÂŹÂŽy-AŽÉÂ&#x;y|ÂŞĂ”Â&#x;ÂŞ-– |²Ă‰Â&#x;|AÂŽRplÂŞ-yĂ”Â&#x; lÂ&#x;ÂŞ-–l-yAoĂ–Â&#x;y-Â&#x;‚|J˜ -ÂŞlRÂ&#x;lAiÂ&#x;ÂŞ-– |²AlÂ&#x;˜‚–ŽRJÂ&#x;ÂŽul-y‡

%)7;<:B 7–z?-3 Spróbujmy sprawdzić, czy istnieje zaleşność między E(X) i E(Y) oraz Var(X) i Var(Y). 1. E(X) = –0,77, zaś E(Y) = –0,85. Ile wynosi 5 × E(X)? A ile 5 × E(X) + 3? Jak się to ma do E(Y)?

2. Var(X) = 2,6971, zaĹ› Var(Y) = 67,4275. Ile wynosi 5 Ă— Var(X)? A ile 52 Ă— Var(X)? Jak siÄ™ to ma do Var(Y)?

3. Czy dałoby się uogólnić zaobserwowane zaleşności dla dowolnych zmiennych losowych pozostających w relacji: Y = aX + b?

JESTEu TUTAJ4

:AOSTRZ O ÌWEK 2OZWI ZANIE

%)7;<:B 7 z?-3 7B?1 B)61-

Spróbujmy sprawdzić, czy istnieje zależność między E(X) i E(Y) oraz Var(X) i Var(Y).

1. E(X) = –0,77, zaś E(Y) = –0,85. Ile wynosi 5 × E(X)? A ile 5 × E(X) + 3? Jak się to ma do E(Y)? ฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀ ฀ ฀

฀ ฀ ฀ ฀

฀ ฀

2. Var(X) = 2,6971, zaś Var(Y) = 67,4275. Ile wynosi 5 × Var(X)? A ile 52 × Var(X)? Jak się to ma do Var(Y)? ฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀

3. Czy dałoby się uogólnić zaobserwowane zależności dla dowolnych zmiennych losowych pozostających w relacji: Y = aX + b? ฀ ฀ ฀ ฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀ ฀ ฀ ฀

:YN]_W_TWc XK]dO \YdaKÒKXSK |J ¥u¥ou¬ |G A®Ra| J|ªlRJ®l-tR² lÖ y- plqp¥ | - ylAi |y-Ai -o lR ª |7qlA®¬tR² ª- |²É |A®Rplª-yÔ l ª- l-yAoÖ ®ulRyyRo q| |ªRo (G p } - R R®Ry ¥oR ª¬ t- Ö ª |oRJ¬yA®Ro a ®R y- -¥ |u-AlR - Ö ylR AiAl-tR² lÖ ®Rp|y-ÉG o-pl ª t¬ª y- - -uR ¬ |®pt-J¥ ®ulRyyRo ( ª¬ª ®R ®ul-y- -ªRp ®- ®ÔJ®|y- ®R® -y-G ªt-²AlAlRq- p- ¬y- lR AiAl-tR² oRJy-p qlA®¬É ª ®¬ plRa| |J |A®Ô p¥G Jq- Ra| }7|ª-tR² ®y-qR´É Rq-AoÖ ulÖJ®¬ - -uR -ul - Ra| l y|ªRa| |®pt-J¥ -ªJ| |J|7lRÍ ª- ®Rp|y-tR² lÖG ¸RF ^( ¡ Y ^ ( ¡ &- ^( ¡ Y ^¤&- (

2OZDZIA

>O\Kd

Z´KM¬

\Kdc

aS¬MOT

$YSKRETNE ROZK ADY PRAWDOPODOBIEÊSTWA

9Q VXO adY\c XK Z\dOU]d^K¸MOXSK VSXSYaO - ®R R®¥q - ¬ u|¸Ru¬ ¥|a}qylÉ y- J|ª|qyÔ ®ulRyyÔ q| |ªÔ q- p-¸JRo ®ulRyyRo q| |ªRo ( ®-Ai|J®Ô |yl¸ ®R }ªy|²AlF ฀

E(aX + b) = aE(X) + b

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀ ฀

฀ ฀ ฀

฀

2

Var(aX + b) = a Var(X) "Ra| |J®-o¥ -y \| u-AoR y-®¬ª-u¬ ®Rp ® -tARyl-ul qlyl|ª¬ulG |ylRª-¸ ®ulRyy- ( ª¬ Ö ¥oR ª lR ª ®Ro | ÖJ®RG - | ®ulRyyRo ) u}ªlu¬G ¸R oR \¥ypAoÔ ( +ulRyl-u¬ ¥ oRJ¬ylR | RyAo-qyR ª- |²Al (G ®Rp ® -tA-oÔA oR J| | -Al -( 7G qRA® ylR ®ulRyl-oÔA -ªJ| |J|7lRÍ ª- lAi R-ql®-Aol

8SO S]^XSOT¦

Q¸_ZSO Zc^KXSK

:$ -dc K S L W_]d¦ Lc¨ ]^K¸cWS VSMdLKWS) 9$ 7_]d¦ 4OÄVS K S L XSO ]¦ ]^K¸O ZYacÒ]dO adY\c XSO ]¦

Z\KaNdSaO

:$ -Y ]S° ]^K¸Y d L aO adY\dO XK aK\SKXMT°) 9$ .YNKXSO _]^KVYXOT aK\^YÄMS NY dWSOXXOT VY]YaOT XSO dWSOXSK TOT

aK\SKXMTS K TONcXSO aK\^YĨ YMdOUSaKX¦

=ZYaYN_TO YXY Z\dO]_XS°MSO Ä\YNUK \YdU¸KN_ a ZOaXcW

USO\_XU_ KVO XSO dWSOXS YQ VXOQY U]d^K¸^_ TOQY acU\O]_ 9dXKMdK

^Y ÒO dWSOXS ]S° aK\^YĨ YMdOUSaKXK KVO \Yd\d_^ NKXcMR K aS°M

S aK\SKXMTK ZYdY]^KXSO XSOdWSOXSYXc

:$ DK]UYMdc¸Y WXSO ^Y ÒO aK\SKXMT° ^\dOLK ZYWXYÒc¨

Z\dOd K .VKMdOQY XSO Z\dOd K)

9

$ 7XYÒ¦M dWSOXX¦ VY]Ya¦ Z\dOd ]^K¸¦ UKÒN¦ TOT aK\^YĨ

WXYÒcWc Z\dOd ^¦ ]^K¸¦

AO adY\dO XK aK\SKXMT° aK\^YÄMS dWSOXXOT VY]YaOT ZYNXY]dYXO

]¦ NY ZY^°QS N\_QSOT .VK^OQY QNc ZYWXYÒcWc TO Z\dOd K aK\SKXMTK

daS°U]dc ]S° K \Kdc

:$ -dc XKZ\KaN° W_]d° ZKWS°^K¨ adY\c

XK Z\dOU]d^K¸MOXSK VSXSYaO ZK\KWO^\ a)

-dc ]¦ YXO KÒ ^KU aKÒXO)

9$ >KU ]¦ aKÒXO .dS°US XSW WYÒO]d dKY]dMd°NdS¨ WX ]^aY MdK]_

U^ \c W_]SK¸LcÄ Z\dOdXKMdc¨ XK acdXKMdKXSO aK\^YÄMS ZK\KWO^\ a

\YdU¸KN_ dK UKÒNcW \KdOW QNc dWSOXSKT¦ ]S° aK\^YÄMS dWSOXXOT

VY]YaOT DKWSK]^ aS°M acdXKMdK¨ \YdU¸KN XYaOT dWSOXXOT YLVSMdK¨

YN XYaK TOT aK\^YĨ YMdOUSaKX¦ S aK\SKXMT° W_]S]d ZYN]^KaS¨

TONcXSO NY YNZYaSONXSOQY adY\_ ]^K\O aK\^YÄMS ZK\KWO^\ a DXKTYWYĨ ^cMR adY\ a WYÒO ]S° ^OÒ Z\dcNK¨ a MdK]SO

OQdKWSX a dO ]^K^c]^cUS DXKTYWYĨ ^OQY \YNdKT_ ]U\ ^ a

ZYdaYVS -S Y]dMd°NdS¨ ]ZY\Y MOXXOQY MdK]_ 7_]S]d ^OÒ ZKWS°^K¨

ÒO XK OQdKWSXKMR XSO dKa]dO ZYNKaKXO ]¦ ZO¸XO \YdU¸KNc

Z\KaNYZYNYLSOº]^aK K TONcXSO ZOaXO SMR MRK\KU^O\c]^cUS

8SOUSONc aS°M WYÒO]d XSO WSO¨ acTÄMSK

:

$ :\ LYaK¸OW acdXKMdc¨ YLK ZK\KWO^\c XK ZSOMRY^°

KVO Y^\dcWK¸OW SXXO aK\^YÄMS .VKMdOQY)

9

$ + dK^OW Z\dOUYXK¸OÄ ]S° ÒO VSMdOXSO XK ZSOMRY^° WYÒO Lc¨

\cdcUYaXO :Y N\YNdO WK]d LYaSOW aSOVO YUKdTS NY ZYZO¸XSOXSK

L¸°N a DKa]dO USONc WK]d ^KU¦ WYÒVSaYĨ ZYaSXSOXOÄ UY\dc]^K¨

dO dXKXcMR -S ]U\ ^ a

JESTEu TUTAJ4

7IELKA TAJEMNICA ROZWI ZANA

®¬ -JRp ² RJylAi ¥Ai|u¬AiF |®ªlÔ®-ylR ®¬ y- ® ®-ª|Jylp u}at7¬ ª | ®¬ | }7 ª¬®y-A®¬É ª- |²É |A®Rplª-yÔG -p 7¬ ylR ®-oÖt| u¥ | ªlÖARo yl¸ ¡ uly¥ ¬ ®R® p } pÔ AiªlqÖ y- ® ®-ª|Jylp |®aqÔJ-t lÖ yR ª|ª| J|p|t-G oRJy-p ®¬7p| lÖ ¥ |p|lt +ul-y- -ªRp ª¬a -yRo | ª p|ÍA¥ ylR -pl J¥¸¬ |7qRu

8IELKA TAJEMNICA ROZWI ZANA

¥¸ -® |qlA®¬t ª- |²É |A®Rplª-yÔ pª| ®y-oJ¥oÔA¬Ai lÖ ª p|qRoy¬Ai p ®¬yp-AiG A| J-t| u¥ o-pl² |aqÔJ Ra|G lqR u|¸R ª¬a -É ª ¬u RqR ¥ ylRo¥ |J¥ARy |a -u¥ |ªlRJ®l-tG ¸R y|ªR pª| ¬ lRylÖJ®¬ ¥p ¬ R ª p ®¬yp-Ai Ô ylRu-q Jª- -®¬ ª¬¸ ®R |J J| ¬AiA®- |ª¬AiG ® J|pt-Jy|²AlÔ J| ° J|q- }ª ®y-A®- |G ¸R ulÖJ®¬ y|ª¬ul ) l - ¬ul ( pª| -ul l ylRoR qly|ª¬ ®ªlÔ®RpG p } ¬ u|¸y- 7¬ ®- l -É o-p| ) Y ¤( X ° "| |®ª-q- ®¬7p| |7qlA®¬É ) ®¬ ª¬p| ®¬ -yl¥ \-p ¥G ¸R ¤( X ° Y ¤ ( X ° +- Ru oRJ¬yRG A| |ªlylRy ® |7lÉ y- ® ®-ª|JylpG | |uy|¸¬É |7qlA®|yÔ ªA®R²ylRo ª- |²É |A®Rplª-yÔ ª¬a -yRo ®R® ¤ l |J Ra| ª¬ylp¥ |JoÔÉ ° J|q- }ª

Podstawowe terminy ฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀

฀

฀

฀ ฀฀ ฀

฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

-/68/ =:9=><D/Ñ/83+

¢

¢

¢

¢

<YdU¸KN Z\KaNYZYNYLSOº]^aK Z\dcZS]_TO UKÒNOT

aK\^YÄMS dWSOXXOT VY]YaOT Z\KaNYZYNYLSOº]^aY TOT

\OKVSdKMTS AK\^YĨ YMdOUSaKXK SXPY\W_TO Y Z\dOMS°^XOT \OKVSdKMTS

dWSOXXOT VY]YaOT a N¸_QSOT ]O\SS ZYa^ \dOº 9dXKMdK ]S°

T¦ TKUY / B V_L u S YLVSMdK dO adY\_$ / B ' Σb: B ' b AK\^YĨ YMdOUSaKXK P_XUMTS dWSOXXOT VY]YaOT B NKXK

TO]^ adY\OW$ / P B ' ΣP b : B ' b AK\SKXMT° dWSOXXOT VY]YaOT B acdXKMdK ]S° aON¸_Q

adY\_$ @K\ B ' / B r u

2OZDZIA

¢

¢

9NMRcVOXSO ]^KXNK\NYaO dWSOXXOT VY]YaOT NKXO TO]^

adY\OW$ ' √ @K\ B

D Z\dOU]d^K¸MOXSOW VSXSYacW dWSOXXOT VY]YaOT

B WKWc NY MdcXSOXSK a^ONc QNc TOT aK\^YÄMS

Z\dOU]d^K¸MKWc NY YQ VXOT ZY]^KMS$ KB L QNdSO

K S L ]¦ aK\^YÄMSKWS _]^KVYXcWS AK\^YĨ YMdOUSaKXK

S aK\SKXMTK Z\dOU]d^K¸MYXOT dWSOXXOT ]¦ \ aXO$

/ KB L ' K/ B L

@K\ KB L ' K @K\ B

$YSKRETNE ROZK ADY PRAWDOPODOBIEÊSTWA ฀ ฀

฀

฀

฀

฀

฀ ฀ ฀

฀

฀ ฀

฀ ฀

฀

฀ ฀ ฀

฀

฀

฀ ฀

:\dOU]d^K¸MOXSK VSXSYaO XSO ]Z\KaNd¦ ]S° a^ONc QNc dWSOXSK

]S° Z\KaNYZYNYLSOº]^aY \OKVSdKMTS dWSOXXOT ' ª¬ylp¥ qlyl|ªRa| ®Rp ® -tARyl- ®ulRyyRo q| |ªRo ®ulRyl-oÔ lÖ oRJ¬ylR ª- |²AlG o-plR u|¸R |y- ®¬oÔÉ -ªJ| |J|7lRÍ ª- lAi R-ql®-Aol ylR ¥qRa-oÔ ®ul-ylR lR ®ulRyl- lÖ }ªylR¸ qlA®7- | RyAo-qy¬Ai ª- |²Al J¬ u¬²qlu¬ | |®Ra -yl¥ plqp¥ alR ® ®ÖJ¥G |®pt-J -ªJ| |J|7lRÍ ª- ª¬ t- ¬ 7ÖJ®lR A-tp|ªlAlR lyy¬F ®ulRylÔ lÖ ®- }ªy| ª- |²Al -uRo ®ulRyyRoG o-p l -ªJ| |J|7lRÍ ª- lAi R-ql®-Aol lR ª¬ - A®¬ ªlÖA |qlA®¬É ª¬tÔA®ylR y|ªR ª- |²Al |®pt-J¥G -qR l lAi -ªJ| |J|7lRÍ ª-G A| ylR u¥ l 7¬É ®-J-ylRu t- ª¬u }o ®u¬ y- ®¬pt-J +-t}¸u¬G ¸R a - |A®¬ lÖ y- 7- J®| | ¬u -¥ |u-AlRG p } ¬ |\R ¥oR ª¬ t- ¬ ªRJt¥a |yl¸ ®Ra| |®pt-J¥F

x

–1

P(X = x)

#

฀

Aby znaleźć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej 2X, wystarczy pomnożyć przez 2 wszystkie wartości zmiennej X:

-2

P(2X = 2x)

฀

10

#

-p ª¬aqÔJ-t7¬ |®pt-J -ªJ| |J|7lRÍ ª- ª¬ t- ¬ ® a ¬ ®¬ ®-t|¸Ryl¥G ¸R ®-a -ql7¬²u¬ Jª¥p | ylR "¬u -®Ru ª ®¬ plR -ªJ| |J|7lRÍ ª- u¥ lu¬ |7qlA®¬É |J y|ª-G |® - ¥oÔA ª ®¬ plR u|¸qlªR p|u7ly-AoR ª¬a -yRo ®Ra -yRo ª |7¥ a -AiF ฀ ฀ ฀ ฀ ฀

฀

฀

w P(Y = y) ฀ ฀ ฀ ฀ ฀

฀

฀

฀

-2 "

ZYNa TXSO

฀

฀ ฀ ฀ ฀฀

฀

฀

2x

>O\Kd

Z´KM¬

5

4

10

"

฀

"¬u -®Ru ®- }ªy| ª- |²Al ®ulRyyRoG o-p l lAi -ªJ| |J|7lRÍ ª- Ô ylRA| lyyR ®¬ l ylRoR o-pl² | }7 y- p }ARylR |7qlA®RÍ ª |J|7y¬Ai ®¬ -Jp-Ai

฀ ฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀

฀ ฀

฀

฀

฀

฀ ฀฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

JESTEu TUTAJ4

7PROWADZAMY ZMIENNE NIEZALE NE

5KÒNO ZYMS¦QXS°MSO NÐaSQXS TO]^ XSOdKVOÒXcW dNK\dOXSOW -¸JÔ a Ö u|¸Ru¬ -p |ª-É o-p| ylR®-qR¸yR ®J- ®RylRG | l ¬ª-yR ®- |u|AÔ |JJ®lRqyRo ®ulRyyRo q| |ªRoG - oRo ª¬ylp o-p| |JJ®lRqyÔ |7 R ª-AoÖ ' ®¬ plR |7 R ª-AoR 7ÖJÔAR R-ql®-Ao-ul ®ulRyy¬Ai q| |ª¬Ai | ¬u -u¬u |®pt-J®lRG u-oÔ Ö -uÔ ª- |²É |A®Rplª-yÔ l ª- l-yAoÖG Ai|É -uR ª |7lR u|aÔ lÖ |J lR7lR }¸ylÉ W ®- p-¸J¬u -®Ru u|¸Ru¬ ¥®¬ p-É ylRA| lyyÔ pª| Ö

5KÎNK Q\K ^Y

TONXY dNK\dOXSO

AcXSU UKÎNOT

Q\c ^Y TONXK

YL]O\aKMTK

®¬J-t7¬ y-u lÖ o-pl² | }7 y- |G 7¬ t- ª| |J }¸ylÉ |J lR7lR | ®A®Ra}qyR ®J- ®Ryl- A®¬ |7 R ª-AoR R²ql ª¬ t- Ö ª |oRJ¬yA®Ro a ®R |®y-A®¬ql²u¬ ®R® (G | ®ulRyyR | l ¥oÔAR ª¬a -yR ª | ®A®Ra}qy¬Ai p|qRop-Ai u|aql7¬²u¬ |®y-A®¬É y- ®¬pt-J | ®R® ( G (¤ l J

฀ ฀ ฀

฀

฀ ฀

฀ ฀ ฀

฀

฀ ฀

฀

฀

฀

X1

X2

7lR ®ulRyyRF ( l (¤ u-oÔ R -uR -ªJ| |J|7lRÍ ª- R-ql®-Aol | -® Ö -uÔ ª- |²É |A®Rplª-yÔ l ª- l-yAoÖ A| ®ulRyy- ( yy¬ul t|ª¬G u-oÔ |yR Ry -u |®pt-JG Ai|É ª ®RA®¬ªl |²Al Ô | |JJ®lRqyR ®ulRyyRG p } ¬Ai ®-|7 R ª|ª-yR ª- |²Al u|aÔ lÖ }¸ylÉ

฀

฀

฀

฀

฀

2OZDZIA

฀฀

x

-1

5

P(X = x)

#

฀

฀

x1

-1

5

x2

-1

5

P(X1 = x1)

#

P(X2 = x2)

#

R²ql ªlÖA AiARu¬ ®y-qR´É ª- |²É |A®Rplª-yÔ l ª- l-yAoÖ tÔA®yRo ª¬ t- ¬ ª |7¥ a -AiG -p y- -ªJÖ u¥ lu¬ |qlA®¬É oR Jq- ¥u¬ ®ulRyy¬Ai ( (¤ }o ®u¬G o-p u|¸Ru¬ Ra| J|p|y-É o-p y-ouylRo ®¬u p| ® Ru

฀

฀

฀

฀ ฀ ฀

฀฀ ฀฀ ฀฀

฀

฀

฀

฀

$YSKRETNE ROZK ADY PRAWDOPODOBIEÊSTWA

:\dcNK^XO ]U\ ^c }7¥ou¬ ®y-qR´É ª- |²É |A®Rplª-yÔ l ª- l-yAoÖ Jq- ¥u¬ ®ulRyy¬Ai ( (¤

X1 + X2 to nie to samo co 2X.

AK\^YĨ YMdOUSaKXK |qlA®u¬ y-o lR ª ( (¤ F ( (¤ Y ( (¤ Y

Y ( ( Y

Y ¤ (

฀ ฀

฀ ฀

฀

฀

฀฀

฀

Sumując zmienne X1 i X2, musisz się oprzeć na realizacjach każdej z nich. 2X oznacza tylko jedną realizację, tyle że podwojoną w stosunku do X.

Uwaga!

฀ ฀ ฀ ฀

฀ ฀

yy¬ul t|ª¬G -7¬ ª¬®y-A®¬É ( (¤ G ª¬ - A®¬ |uy|¸¬É ( ®R® ¤ J¬7¬²u¬ ªlÖA Jª¥p | ylR ®-a -ql y- -¥ |u-AlRG Jq- p } Ra| ( Y X°G J|q- -G u|aql7¬²u¬ |A®Rplª-É - ¬ y- |®l|ulR X °G x¤G A®¬ql X G^` J|q- - '¬ylp Ry u|¸Ru¬ ¥|a}qylÉ y- J|ª|qyÔ qlA®7Ö ®ulRyy¬Ai J¬7¬²u¬ AiAlRql ª¬®y-A®¬É ª- |²É |A®Rplª-yÔ n ®ulRyy¬Ai Ra| |J®-o¥G u|aql7¬²u¬ ª¬p| ®¬ -É ª®} F

฀

฀ ฀

฀ ฀

฀

฀ ฀

E(X1 + X2 + ... Xn) = nE(X) AK\SKXMTK o-p |qlA®¬É &- ( (¤ J |ªlRJ´ |yl¸RoF &- ( (¤ Y &- ( &- (¤ Y

Y &- ( &- ( Y

Y ¤&- (

฀฀ ฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀ ฀

฀

฀

฀

฀฀ ฀

q- Ra| ª- l-yAo- ª¬ t- ¬ ª ®¬ -Jp¥ Jª¥p | yRo a ¬ y- -¥ |u-AlR | ª- l-yAol }ªyRo ¤G z ª¬yl| t-7¬ ¤ × ¤G z G A®¬ql ^G¡z`¤ '¬ylp Ry u|¸Ru¬ ¥|a}qylÉ y- J|ª|qyÔ qlA®7Ö ylR®-qR¸y¬Ai |7 R ª-Aol J¬7¬²u¬ AiAlRql ª¬®y-A®¬É ª- l-yAoÖ n |7 R ª-Aol Ra| |J®-o¥G u|aql7¬²u¬ ª¬p| ®¬ -É ª®} F

฀

฀

฀

฀

฀

Var(X1 + X2 + ... Xn) = nVar(X) |J ¥u|ª¥oÔAF -7¬ ®y-qR´É ª- |²É |A®Rplª-yÔ l ª- l-yAoÖ ª ®¬ -Jp¥ ªlRq|p | yRo a ¬G |uy}¸ ( l &- ( ®R® qlA®7Ö |7 R ª-Aol p|qRoRp a ¬

JESTEu TUTAJ4

.IE ISTNIEJ G UPIE PYTANIA

8SO S]^XSOT¦

Q¸_ZSO Zc^KXSK

:

$ -dc / B B ^Y XSO ^Y ]KWY

MY / B )

9

$ 8SO MRY¨ \dOMdcaSÄMSO acQV¦NKT¦

ZYNYLXSO

/ B TO]^ aK\^YÄMS¦ YMdOUSaKX¦ dWSOXXOT

VY]YaOT U^ \OT aK\^YÄMS dY]^K¸c ZYNaYTYXO

adQV°NOW dWSOXXOT B 7KWc aS°M

NY MdcXSOXSK d aK\^YÄMSKWS TONXOT dWSOXXOT / B B ^Y aK\^YĨ YMdOUSaKXK ]_Wc

Na MR \ ÒXcMR dWSOXXcMR VY]YacMR$ B S B

4OÄVS B YdXKMdK acQ\KX¦ a TONXOT Q\dO K B

a N\_QSOT B B YdXKMdK¨ L°NdSO ¸¦MdX¦

acQ\KX¦ a YL_ Q\KMR

:$ <Yd_WSOW aS°M ÒO B S B

]¦ ^cW ]KWcW)

:$ .VKMdOQY aK\SKXMTK a Z\dcZKNU_

X dWSOXXcMR acXY]S X@K\ B

K XSO X @K\ B TKU NVK dWSOXXcMR

Z\dOU]d^K¸MYXcMR VSXSYaY)

9

$ 8SOd_ZO¸XSO 9LSO dWSOXXO WKT¦

^OX ]KW \YdU¸KN Z\KaNYZYNYLSOº]^aK

MRY¨ ]¦ ^Y NaSO \ ÒXO dWSOXXO B WYÒO

YdXKMdK¨ acQ\KX¦ a TONXOT UYVOTMO K B

a N\_QSOT -RY¨ WKT¦ ^OX ]KW \YdU¸KN

Z\KaNYZYNYLSOº]^aK ^Y acQ\KXO

a UKÒNOT UYVOTMO WYQ¦ ]S° YN ]SOLSO

dXKMd¦MY \ ÒXS¨

9

$ >cW \KdOW WKWc NY MdcXSOXSK

d ]dO\OQSOW XSOdKVOÒXcMR dWSOXXcMR

VY]YacMR Y ^cW ]KWcW \YdU¸KNdSO

Z\KaNYZYNYLSOº]^aK -K¸UYaS^¦ aK\SKXMT°

WYÒOWc acdXKMdc¨ TKUY ]_W° aK\SKXMTS

ZY]dMdOQ VXcMR dWSOXXcMR :YXSOaKÒ

WKWc X dWSOXXcMR XSOdKVOÒXcMR

acXY]S YXK X@K\ B

A Z\dcZKNU_ dWSOXXOT XB UKÒN¦ d aK\^YÄMS

dWSOXXOT B WXYÒcWc Z\dOd X :YXSOaKÒ

a PY\W_VO XK aK\SKXMT° ac]^°Z_T¦

UaKN\K^c ^cMR aK\^YÄMS ]^¦N a acXSU_

X @K\ B K XSO X@K\ B

Podstawowe terminy ฀ ฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀

฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀

฀

-/68/ =:9=><D/Ñ/83+

¢

¢

AK\^YĨ YMdOUSaKXK dWSOXXOT VY]YaOT B YZS]_TO

Z\dOMS°^Xc acXSU WYÒVSac NY _dc]UKXSK a N¸_QSOT ]O\SS

ZYa^ \dOº 9dXKMdKWc T¦ TKUY / B V_L u S YLVSMdKWc

dO adY\_$

¢

<YdU¸KN Z\KaNYZYNYLSOº]^aK YZS]_TO

Z\KaNYZYNYLSOº]^aY \OKVSdKMTS UKÒNOT WYÒVSaOT

aK\^YÄMS dWSOXXOT VY]YaOT

/ B ' b: B'b

AK\SKXMTK dWSOXXOT VY]YaOT B NKXK TO]^ adY\OW$

@K\ B ' / B u

2OZDZIA

¢

¢

9NMRcVOXSO ]^KXNK\NYaO σ TO]^ ZSO\aSK]^USOW

UaKN\K^YacW d aK\SKXMTS :\dOU]d^K¸MOXSO VSXSYaO ZYVOQK XK Z\dOU]d^K¸MOXS_

dWSOXXOT B a dWSOXX¦ KB L QNdSO K S L ]¦ ]^K¸cWS

AK\^YĨ YMdOUSaKX¦ S aK\SKXMT° XYaOT dWSOXXOT WYÒXK

YLVSMdc¨ dO adY\ a$

/ KB L ' K/ B L @K\ KB L ' K @K\ B

$YSKRETNE ROZK ADY PRAWDOPODOBIEÊSTWA

;NJFOOF QS[FLT[UB DPOF D[Z OJF[BMF OF |yl¸Ro ®-ulR ®A®|y| | l ¬ plqp¥ ¬ ¥-Aol ® ¸¬Al- A|J®lRyyRa| +-pt-J-oÔAG ¸R ®y- ® |®pt-J ®ulRyyRo (G ®JRA¬J¥oG A®¬ ª¬ Ö ¥oÔAR ª | l -Ai ®J- ®Ryl- u|¸y- | l -É ®- |u|AÔ ®Rp ® -tARyl- qlyl|ªRa| \¥ypAol ®ulRyyRo (G A®¬ R¸ ª¬ Ö ¥oÔ ª ylAi ®ulRyyR ylR®-qR¸yR

®Rp ® -tARylR qlyl|ªR

+ulRyyR ylR®-qR¸yR

Ilość kawy, która składa się na dużą porcję; X — ilość kawy zawarta w standardowej porcji.

Spożywanie dodatkowego kubka kawy każdego dnia; X — ilość kawy w jednym kubku.

Wypłata możliwa do uzyskania po nabyciu 10 losów na loterii; X — wypłata możliwa do uzyskania po nabyciu jednego losu.

Wypłata możliwa do uzyskania po nabyciu pojedynczego losu, którego cena poszła w górę; X — wypłata możliwa do uzyskania po nabyciu pojedynczego losu w starej cenie.

Kupno dodatkowych kur znoszących jajka; X — liczba znoszonych jaj w zależności od gatunku kury.

JESTEu TUTAJ4

:MIENNE PRZEKSZTAŒCONE CZY NIEZALE˜NE 2OZWI’ZANIE

;NJFOOF QS[FLT[UBÂŒDPOF D[Z OJF[BMF˜OF |yl¸RoÂ&#x;ÂŽ-ulR˜ŽAÂŽ|y|Â&#x;|‚lÂ˜ÂŹÂ&#x;plqpÂĽÂ&#x;Â˜ÂŹÂ ÂĽ-AolÂ&#x;ÂŽÂ&#x;¸Al-Â&#x;A|JÂŽlRyyRa|‡Â&#x; +-pt-J-oĂ”AGÂ&#x;¸RÂ&#x;ÂŽy-˜ŽÂ&#x;–|ÂŽpt-JÂ&#x;ÂŽulRyyRoÂ&#x;(GÂ&#x;ÂŽJRAÂŹJÂĽoGÂ&#x;AÂŽÂŹÂ&#x;ÂŞÂŹÂ˜ Ă–‚¼oĂ”ARÂ&#x;Â&#x; ÂŞÂ&#x;|‚l˜-AiÂ&#x;ÂŽJ-–ŽRyl-Â&#x;u|¸y-Â&#x;|‚l˜-ÉÂ&#x;ÂŽ-Â&#x;‚|u|AĂ”Â&#x;‚–ŽRp˜Ž -tARyl-Â&#x;qlyl|ÂŞRa|Â&#x; „\ÂĽypAolÂ…Â&#x;ÂŽulRyyRoÂ&#x;(GÂ&#x;AÂŽÂŹÂ&#x; R¸Â&#x;ÂŞÂŹÂ˜ Ă–‚¼oĂ”Â&#x;ÂŞÂ&#x;ylAiÂ&#x;ÂŽulRyyRÂ&#x;ylRÂŽ-qR¸yR‡

+ulRyyRÂ&#x; ylRÂŽ-qR¸yR

–ŽRp˜Ž -tARylRÂ&#x; qlyl|ÂŞR Ilość kawy, ktĂłra skĹ‚ada siÄ™ na duşą porcjÄ™; X — ilość kawy zawarta w standardowej porcji.

Spoşywanie dodatkowego kubka kawy kaşdego dnia; X — ilość kawy w jednym kubku.

Wypłata moşliwa do uzyskania po nabyciu 10 losów na loterii; X — wypłata moşliwa do uzyskania po nabyciu jednego losu.

฀ ฀ ฀ ฀

Wypłata moşliwa do uzyskania po nabyciu pojedynczego losu, którego cena poszła w górę; X — wypłata moşliwa do uzyskania po nabyciu pojedynczego losu w starej cenie.

Kupno dodatkowych kur znoszących jajka; X — liczba znoszonych jaj w zaleşności od gatunku kury.

2OZDZIAŒ

฀ ฀

฀

฀

฀ ฀

฀

฀

฀ ฀

฀

฀ ฀

฀

฀

฀ ฀

฀

฀ ฀

฀

$YSKRETNE ROZK ADY PRAWDOPODOBIEÊSTWA

§aSMdOXSO

Lokalna cukiernia włączyła do swojej oferty ciasteczka z niespodzianką. Ich cena to 0,5 dolara za sztukę. Większość ciasteczek zawiera pomyślną wróżbę na przyszłość, ale w niektórych kryją się pieniądze. Prawdopodobieństwo wygrania 2 dolarów wynosi 0,1, 5 dolarów — 0,07, zaś 10 dolarów — 0,03. Niech X oznacza wypłatę (wygrana pomniejszona o koszt ciasteczka) z tej „gry”. Sporządź rozkład prawdopodobieństwa zmiennej X. Ile wynosi E(X) i Var(X)?

Cukiernia zdecydowała się podnieść cenę ciasteczek do 1 dolara za sztukę. Ile teraz wynosi wartość oczekiwana i wariancja wypłaty?

JESTEu TUTAJ4

Â&#x;WICZENIE 2OZWIÂ’ZANIE

Lokalna cukiernia wĹ‚Ä…czyĹ‚a do swojej oferty ciasteczka z niespodziankÄ…. Ich cena to 0,5 dolara za sztukÄ™. WiÄ™kszość ciasteczek zawiera pomyĹ›lnÄ… wróşbÄ™ na przyszĹ‚ość, ale w niektĂłrych kryjÄ… siÄ™ pieniÄ…dze. PrawdopodobieĹ„stwo wygrania 2 dolarĂłw wynosi 0,1, 5 dolarĂłw — 0,07, zaĹ› 10 dolarĂłw — 0,03.

§aSMdOXSO <YdaSŒdKXSO

Niech X oznacza wypłatę (wygrana pomniejszona o koszt ciasteczka) z tej „gry�. Sporządź rozkład prawdopodobieństwa zmiennej X. Ile wynosi E(X) i Var(X)? ฀

฀

฀

฀

฀ ฀

฀ ฀ ฀

฀

฀

฀

฀฀

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀฀

฀ ฀

฀ ฀

฀฀

฀ ฀

฀ ฀

฀

฀ ฀

฀฀

฀฀

฀ ฀

฀฀

฀฀

฀

฀ ฀

฀฀

฀฀ ฀

฀

฀Σ ฀ ฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀ ฀ ฀

฀฀

฀฀ ฀฀

฀ ฀

฀฀

฀฀

฀ ฀

฀฀

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀ ฀฀

฀ ฀

฀฀

฀฀

฀ ฀

฀

฀ ฀

฀฀

฀

฀

Cukiernia zdecydowała się podnieść cenę ciasteczek do 1 dolara za sztukę. Ile teraz wynosi wartość oczekiwana i wariancja wypłaty? ฀

฀ ฀฀

฀ ฀

฀

฀ ฀

฀ ฀

฀

฀

฀

฀ ฀

฀

฀

฀ ฀฀

฀

฀

2OZDZIAŒ

฀฀ ฀

฀

฀

฀ ฀ ฀

฀

฀ ฀

฀

฀฀

฀฀

฀฀

฀

$YSKRETNE ROZK ADY PRAWDOPODOBIEÊSTWA

8YaO K_^YWK^c aMRYNd¦ NY Q\c 't-²AlAlRq p- ¬y- |ª-J®lt A-tplRu y|ª¬ u|JRq -¥ |u- }ª J| a ¬ -¸J- a - p| ® ¥oR R -® ªlÖARoG -qR oR²ql ®A®Ö²AlR 7ÖJ®lR l ®¬o-ÉG 7ÖJ®lR ® u}at qlA®¬É y- y- -ªJÖ | R lRylÔJ®R | y|ª¬ |®pt-J -ªJ| |J|7lRÍ ª-F

฀ ฀

฀ ฀ ฀

฀ ฀ ฀

฀

฀ ฀฀

x

-5

395

P(X = x)

##

Nowość!

'lRu¬ o¥¸G o-p ª¬®y-A®¬É ª- |²É |A®Rplª-yÔ l ª- l-yAoÖ ®- }ªy| ª |oRJ¬yA®Ro a ®RG o-p l ª ®¬ -Jp¥ plqp¥ alR |®Ra -y¬Ai y- ¬u -u¬u -¥ |u-AlR | 7¬ lÖ oRJy-p -t|G aJ¬7¬²u¬ AiAlRql |®Ra -É plqp- p|qRoRp l y- - ¬AiG l y- y|ª¬Ai ¥ ®ÔJ®Ryl-Ai ' Ro ¬ ¥-Aol u-u¬ J| A®¬ylRyl- ® Jª|u- ylR®-qR¸y¬ul |®pt-J-ul -ªJ| |J|7lRÍ ª- W Jq- u- ®¬y - Ra| l y|ªRa| ¬ ¥F

x

-5

395

P(X = x)

##

฀

฀

฀

y

-2

23

48

73

98

P(Y = y)

#!!

"

"

฀

฀

฀

฀

฀

®¬ u|¸Ru¬ t- ª| |qlA®¬É ª- |²É |A®Rplª-yÔ l ª- l-yAoÖ ª¬ t- ¬ ª ®¬ -Jp¥ ªlRq|p | yRo a ¬ y- |7¥ |J®-o-Ai -¥ |u- }ª

฀ ฀

฀ ฀

฀

฀ ฀

฀ ฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀฀

JESTEu TUTAJ4

3UMA I RÌ NICA ZMIENNYCH

.YNKT / B NY / C Lc _dc]UK¨ / B C j iARu¬ ®y-qR´É ª- |²É |A®Rplª-yÔ l ª- l-yAoÖ ª¬ t- ¬ ®¬ ®-t|¸Ryl¥G ¸R a -u¬ -® y- -¥ |u-AlR - Ra| ¬ ¥ l -® y- -¥ |u-AlR y|ªRa| ¬ ¥ yy¬ul t|ª¬G ly R R ¥oR y- ª- |²É ( ) l &- ( ) G aJ®lR ( l ) Ô ®ulRyy¬ul q| |ª¬ul | l ¥oÔA¬ul a Ö y- - ¬Ai l y|ª¬Ai ¥ ®ÔJ®Ryl-Ai Ô | ®ulRyyR ylR®-qR¸yR ' ¬u ARq¥ u|aql7¬²u¬ ª¬®y-A®¬É |®pt-J -ªJ| |J|7lRÍ ª- ¥u¬ ( )G - y- Ö ylR ®y-qR´É oRa| ª- |²É |A®Rplª-yÔ l ª- l-yAoÖ

x

฀

฀

y

฀

฀

฀

฀

฀

฀

x+y

- ®A®Ö²AlR ylR u¥ lu¬ Ra| |7lÉ 7¬ ®y-qR´É ( ) G u|¸Ru¬ | | ¥ J|J-É J| lR7lR ( l )

฀ ฀

฀

฀ ฀

฀ ฀ ฀฀ ฀ ฀ ฀ ฀

฀

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

®¬®y- ® -uG ¸R u- | Ry J¬7¬² a -t ª JªlR a ¬G ®¬ A®¬u ª lR ª ®Ro |A®Rplª-t7¬² ª¬a -yRo ª ª¬ |p|²Al ^ J|q- }ªG - ª J ¥alRo ° J|q- }ªG tÔA®ylR |J®lRª-t7¬² lÖ ª¬a -É ^ ° Y ^ J|q- }ª

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)

|J|7ylR u|¸Ru¬ | Ô lÉ ª ®¬ -Jp¥ ª- l-yAol 7¬ ®y-qR´É &- ( ) G u|¸Ru¬ J|J-É J| lR7lR ª- l-yAoR |7¥ ®ulRyy¬Ai RJy-p ¬qp| ª RJ¬G aJ¬ ( l ) Ô ®ulRyy¬ul ylR®-qR¸y¬ul

E(X + Y) E(X) E(Y)

=

+ 0

0

Var(X)

Var(Y)

Var(X + Y)

฀

2OZDZIA

Uwaga!

0

฀

฀ ฀

฀ ฀

Swobodnie można dodawać tylko wariancje zmiennych niezależnych.

฀ ฀

Jeśli X i Y nie są zmiennymi niezależnymi, wtedy Var(X+Y) nie jest równa Var(X) + Var(Y).

$YSKRETNE ROZK ADY PRAWDOPODOBIEÊSTWA

jV_L YNOTWST / C YN / B Lc _dc]UK¨ / B r C ' |J|7y¬ | }7 u|¸Ru¬ }ªylR¸ ª¬®y-A®¬É - -uR ¬ ®ulRyyRo 7ÖJÔARo }¸ylAÔ Jª}Ai ®ulRyy¬Ai q| |ª¬AiG A®¬ql ( X )

E(X - Y) = E(X) – E(Y)

}ªylR t- ª| o-p ª ®¬ -Jp¥ ¥u¬ ®ulRyy¬Ai u|¸y- ª¬®y-A®¬É ( X ) '¬ - A®¬ |JoÔÉ ) |J (

Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y)

| u¥t- y- ª- l-yAoÖ oR ylRA| uylRo ly ¥lA¬oy- 7¬ ®y-qR´É &- ( X ) G u¥ lu¬V J|J-É J| lR7lR &- ( l &- )

฀ ฀ ฀ ฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

Wyznaczając wariancję różnicy zmiennych losowych, zsumuj ich wariancję.

฀ ฀

Uwaga!

:YXSOaKÒ a ^cW Z\dcZKNU_

dWSOXXYĨ \ aXSOÒ ]S° daS°U]dK i|Al-¸ |JRou¥oRu¬ |J lR7lR JªlR ®ulRyyR q| |ªRG | ª- l-yAo- |®pt-J¥ ª¬ylp|ªRa| ylR ®uylRo ®- lÖG -qR ®ªlÖp ®-

E(X)

-

Łatwo tu o pomyłkę, ponieważ w pierwszej chwili wydaje się to sprzeczne z intuicją. Zapamiętaj jednak, że jeśli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, to Var(X – Y) = Var(X) + Var(Y).

E(X - Y)

E(Y)

= ฀

0

฀

฀ ฀

฀ ฀

0

Var(X)

Var(Y)

'- l-yAo- ®ulRyyRo 7ÖJÔARo }¸ylAÔ Jª}Ai ylR®-qR¸y¬Ai ®ulRyy¬Ai q| |ª¬Ai oR J|pt-JylR -p- -u-G o-p ª- l-yAo- ®ulRyyRo 7ÖJÔARo lAi ¥uÔ ' |7¥ ®¬ -Jp-Ai ®ulRyy|²É u|¸R oRJ¬ylR ª® | yÔÉ

Var(X - Y)

9NT¬MSO YN ]SOLSO Na MR

dWSOXXcMR VY]YacMR

daS¬U]dK aK\SKXMT¬ JESTEu TUTAJ4

3UMA I RÌ NICA ZMIENNYCH PRZEKSZTA CONYCH

:YNYLXO YZO\KMTO WYÒO]d acUYXcaK¨

XK dWSOXXcMR Z\dOU]d^K¸MKXcMR VSXSYaY "| oR ®A®R ylR ª ®¬ p| }A® J|J-ª-yl- l |JRou|ª-yl- -u¬Ai ®ulRyy¬Ai q| |ª¬Ai R -uR | R -AoR u|¸y- ª¬p|y¬ª-É y- lAi ®Rp ® -tARyl-Ai qlyl|ª¬Ai +- -y}ª lÖG A| 7¬ lÖ -t|G aJ¬7¬ ªt-²AlAlRq p- ¬y- ®ulRylt -ªpl | t- l ª¬a -y¬Ai ª u- ®¬y-Ai - Ra| l y|ªRa| ¬ ¥ - ylÔ ®RA®ÔG o-pÔ AiAlRql7¬²u¬ |7lÉG | ª| ®¬É |J |A®Ô p¥ oR ®A®R oRJRy |®pt-J -ªJ| |J|7lRÍ ª- l ª¬®y-A®-É oRa| - -uR ¬ - ®A®Ö²AlR l ylRoR ª¬a|Jy- J |a- y- p } ¬ +-t}¸u¬G ¸R -y ®ulRylt -ªpl ª¬a -y¬Ai y- ª ®¬ plAi u- ®¬y-Ai J| Ö y¬Ai ª p- ¬ylRG -p ¸R ª¬ t- - ® u- ®¬y - Ra| ¬ ¥ ®ulRylt- lÖ ® ( y- -(G ®-² ® ) y- 7)G aJ®lR - l 7 Ô ¥ -q|y¬ul ª- |²Al-ul

฀฀ ฀

X

aX

Y

bY

฀

7¬ ®y-qR´É ª- |²É |A®Rplª-yÔ l ª- l-yAoÖ qlyl|ªRo p|u7ly-Aol -( l 7)G u|¸Ru¬ | Ô lÉ ª | l -y¬ yl¸Ro | }7

฀

฀

=_W_TOWc KB S LC '- |²É |A®Rplª-yÔ l ª- l-yAoÖ ®ulRyyRo -( 7) ®y-oJ®lRu¬G p| ®¬ -oÔA ®R ª®| }ªF

E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) Var(aX + bY) = a2Var(X) + b2Var(Y) ' \| u¥qR y- ª- l-yAoÖ ª¬ Ö ¥oÔ pª-J - ¬G |ylRª-¸ u-u¬ ¥ -o J| A®¬ylRyl- ® ®Rp ® -tARylRu qlyl|ª¬u

฀ ฀

฀

฀

฀ ฀ ฀

9NOTW_TOWc KB S LC R²ql AiARu¬ ®y-qR´É (X) q¥7 &- (X) G u|¸Ru¬ p| ®¬ -É ® |yl¸ ®¬Ai \| u¥tF

E(aX - bY) = aE(X) - bE(Y) Var(aX - bY) = a2Var(X) + b2Var(Y) "-p o-p | ®RJyl|G J|J-oRu¬ ª- l-yAoR |7¥ ®ulRyy¬AiG Ai|É ®¥p-u¬ ª- l-yAol lAi }¸ylA¬

2OZDZIA

฀

฀

฀

$YSKRETNE ROZK ADY PRAWDOPODOBIEÊSTWA

8SO S]^XSOT¦

Q¸_ZSO Zc^KXSK

:$ =UY\Y B S C YdXKMdKT¦ acZ¸K^c

:$ .VKMdOQY Z\dc VSMdOXS_ @K\ B r C :$ -dc ^O ]KWO YLVSMdOXSK WYÒOWc

9$ DKZS] KB LC Z\dON]^KaSK a¸KÄMSaSO

$ -RY¨ d ZYdY\_ WYÒO ]S° ^Y acNKaK¨

]Z\dOMdXO d SX^_SMT¦ ^Y TONXKU YNOTW_T¦M

YN ]SOLSO NaSO dWSOXXO VY]YaO

daS°U]dKWc dWSOXXYĨ aK\^YÄMS dWSOXXOT

acXSUYaOT NVK^OQY TOT aK\SKXMTK \YÄXSO

AK\SKXMTK ]_Wc Na MR dWSOXXcMR

XSOdKVOÒXcMR TO]^ ^KUK ]KWK TKU aK\SKXMTK

SMR \ ÒXSMc

a Na MR Q\KMR ^Y Mdc KB LC

YdXKMdK ¸¦MdX¦ acQ\KX¦ a K Q\KMR B

S L Q\KMR C)

]_W° Na MR Z\dOU]d^K¸MOº VSXSYacMR

dWSOXXcMR B S C 3XXcWS ]¸Yac dWSKXSO

_VOQKT¦ dK\ aXY aK\^YÄMS dWSOXXOT B TKU S C

:$ 8SO aSOW Mdc USONcUYVaSOU

Z\dcNK WS ]S° dXKTYWYĨ \YdU¸KN_

B r C -dc WK YX a YQ VO TKUSÄ ]OX])

9$ BrC Z\dcNKTO ]S° a aMdK] QNc

SX^O\O]_T¦ XK] \ ÒXSMO WS°Ndc NaSOWK

aSOVUYÄMSKWS / B r C NKTO YNZYaSONÐ

XK Zc^KXSO$ i4KUSOT \ ÒXSMc WS°Ndc

B S C YMdOU_TO]d)p @K\ B r C SXPY\W_TO

Y aK\SKXMTS ^KUSOT \ ÒXSMc

W_]SWc NYNK¨ aK\SKXMTO dWSOXXcMR B

S C) -dc XSO ZYaSXXSÄWc SMR YNT¦¨)

9

7YÒXK ^Y acTKÄXS¨ TO]dMdO SXKMdOT$

Z\dc VSMdOXS_ aK\SKXMTS ZYNXY]SWc

NY UaKN\K^_ aK\^YÄMS dWSOXXcMR VY]YacMR

@K\ B LC TO]^ \ aXK @K\ B L @K\ C

:YN]^KaSKT¦M L ' r Y^\dcWKWc ]d_UKX¦

@K\ B r C :YXSOaKÒ r ' dK^OW

@K\ B r C ' @K\ B @K\ C

acUYXcaK¨ NVK dWSOXXcMR U^ \O XSO

]¦ XSOdKVOÒXO)

9

$ 8SO PY\W_¸c NVK aK\SKXMTS dKMRYa_T¦

aKÒXYĨ ^cVUY a Z\dcZKNU_ dWSOXXcMR

XSOdKVOÒXcMR 4OÄVS MRMO]d acdXKMdc¨

@K\ B C NVK dWSOXXcMR U^ \O ]¦ dKVOÒXO

W_]S]d XKTZSO\a acdXKMdc¨ \YdU¸KN

Z\KaNYZYNYLSOº]^aK dWSOXXOT B C

:$ AcQV¦NK XK ^Y ÒO ^O ]KWO dK]KNc

U^ \O ]^Y]_T¦ ]S° NY B C ]¦ \ aXSOÒ

Z\KaNdSaO a Z\dcZKNU_ B B

7KW \KMT°)

9

$ 9MdcaSÄMSO 7YÒO]d TO ]^Y]YaK¨

NY a]dc]^USMR dWSOXXcMR VY]YacMR

ZYN aK\_XUSOW ÒO ]¦ YXO XSOdKVOÒXO

-/68/ =:9=><D/Ñ/83+

¢

¢

¢

:\dOd XSOdKVOÒXO YL]O\aKMTO dWSOXXOT B \Yd_WSO¨

XKVOÒc UYVOTXO \OKVSdKMTO dWSOXXOT B 7YÒXK TO YZS]K¨

YNNdSOVXcWS dWSOXXcWS VY]YacWS d U^ \cMR UKÒNK WK

^OX ]KW \YdU¸KN Z\KaNYZYNYLSOº]^aK MY B 4OÄVS B B B j BX ]¦ dWSOXXcWS XSOdKVOÒXcWS

Y \YdU¸KNdSO ^KUSW TKU B a aMdK]$

/ B B BX ' X/ B

@K\ B B BX ' X@K\ B

¢

AK\^YĨ YMdOUSaKX¦ S aK\SKXMT° VSXSYacMR P_XUMTS

dWSOXXcMR VY]YacMR B S C WYÒXK acdXKMdc¨

dO adY\ a$

/ KB LC ' K/ B L/ C

/ KB LC ' K/ B L/ C

@K\ KB LC ' K @K\ B L @K\ C

@K\ KB LC ' K @K\ B L @K\ C

4OÄVS B S C ]¦ XSOdKVOÒXcWS dWSOXXcWS VY]YacWS

Z\KaNdSaO ]¦ adY\c$

/ B C ' / B / C

/ B C ' / B / C

@K\ B C ' @K\ B @K\ C

@K\ B C ' @K\ B @K\ C

JESTEu TUTAJ4

Â&#x;WICZENIE

§aSMdOXSO

Parametr E(aX + b)

Var(aX + b)

E(X)

E(f(X))

Var(aX - bY)

Var(X)

E(aX - bY)

E(X1 + X2 + X3)

Var(X1 + X2 + X3)

E(X2)

Var(aX - b)

2OZDZIAŒ

W poniĹźszej tabeli zamieszczono wartoĹ›ci oczekiwane i wariancje róşnych zmiennych losowych. SprĂłbuj podać najprostszy sposĂłb na wyznaczenie kaĹźdej z tych wartoĹ›ci. W razie potrzeby przyjmij zaĹ‚oĹźenie o niezaleĹźnoĹ›ci zmiennych losowych.

SposĂłb obliczenia

$YSKRETNE ROZKÂŒADY PRAWDOPODOBIEĂŠSTWA

§aSMdOXSO

Pewna restauracja oferuje dwa menu: jedno przeznaczone na dni robocze, drugie waĹźne w weekendy. KaĹźde z nich zawiera potrawy w czterech róşnych kategoriach cenowych. RozkĹ‚ady prawdopodobieĹ„stw wydatkĂłw klientĂłw zamieszczono w poniĹźszych tabelkach: Dni robocze:

Weekend:

x

10

15

20

25

P(X = x)

y

15

20

25

30

P(Y = y)

Kto, Twoim zdaniem, wyda więcej pieniędzy na posiłek w tej restauracji: grupa 20 klientów weekendowych czy 25 klientów odwiedzających restaurację w pozostałe dni?

JESTEu TUTAJ4

Â&#x;WICZENIE 2OZWIÂ’ZANIE

§aSMdOXSO <YdaSŒdKXSO

Parametr E(aX + b)

W poniĹźszej tabeli zamieszczono wartoĹ›ci oczekiwane i wariancje róşnych zmiennych losowych. SprĂłbuj podać najprostszy sposĂłb na wyznaczenie kaĹźdej z tych wartoĹ›ci. W razie potrzeby przyjmij zaĹ‚oĹźenie o niezaleĹźnoĹ›ci zmiennych losowych.

Sposób obliczenia ฀ ฀

Var(aX + b)

E(X)

฀ ฀

E(f(X))

฀ ฀

฀ ฀

Var(aX - bY)

Var(X)

E(aX - bY)

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

E(X1 + X2 + X3)

Var(X1 + X2 + X3)

E(X2)

Var(aX - b)

2OZDZIAŒ

฀ ฀

฀ ฀

$YSKRETNE ROZKÂŒADY PRAWDOPODOBIEĂŠSTWA

§aSMdOXSO <YdaSŒdKXSO

Pewna restauracja oferuje dwa menu: jedno przeznaczone na dni robocze, drugie waĹźne w weekendy. KaĹźde z nich zawiera potrawy w czterech róşnych kategoriach cenowych. RozkĹ‚ady prawdopodobieĹ„stw wydatkĂłw klientĂłw zamieszczono w poniĹźszych tabelkach: Dni robocze:

x

10

15

20

25

P(X = x)

y

15

20

25

30

P(Y = y)

Weekend:

Kto, Twoim zdaniem, wyda więcej pieniędzy na posiłek w tej restauracji: grupa 20 klientów weekendowych czy 25 klientów odwiedzających restaurację w pozostałe dni? ฀ ฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀ ฀

฀฀

฀ ฀ ฀฀

฀ ฀

฀

฀ ฀ ฀

฀ ฀ ฀ ฀

฀

฀

฀ ฀ ฀ ฀฀

฀

฀

฀

฀ ฀

฀ ฀

฀ ฀

฀

฀

฀

฀

฀ ฀

฀

฀ ฀

฀

฀

฀

฀฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀ ฀

฀฀

฀ ฀ ฀

฀ ฀฀

฀ ฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀฀

฀

฀

฀ ฀

฀

฀฀

฀ ฀

฀ ฀ ฀ ฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀ ฀ ฀ ฀

฀ ฀

฀

฀

฀ ฀

฀

฀ ฀

฀฀

฀ ฀

฀฀ ฀

฀ ฀ ฀ ฀ ฀

฀ ฀

฀฀

฀ ฀

฀ ฀฀

฀

฀฀ ฀ ฀ ฀฀

฀ ฀ ฀

฀ ฀

฀

฀

JESTEu TUTAJ4

*ESTEu MISTRZEM W ZARZ DZANIU OCZEKIWANIAMI

<YdLS¸OÄ LKXU ' ¬u |®J®l-qR | ¥ ®¬ql²u¬ A-tplRu | | ®-a-JylRÍ |ªlRJ®l-tR² lÖG o-p u|¸y- | t¥¸¬É lÖ |®pt-JRu -ªJ| |J|7lRÍ ª-G ª- |²AlÔ |A®Rplª-yÔ l ª- l-yAoÔ ®ulRyyRo q| |ªRo J| ®RªlJ¬ª-yl- ª¬a -yRo ª - Al¥ ® oRJy| Öplu 7-yJ¬ Ô |ªlRJ®l-tR² lÖ }ªylR¸G o-p ®- |u|AÔ ®Rp ® -tARÍ qlyl|ª¬Ai ª¬®y-A®¬É y|ªR ª- |²Al - -uR }ªG aJ¬ ®ulRyl- lÖ |\lq ª¬ t- ¬ ª a ®R ®lÖpl ªlRJ®¬ | ¬uG A®¬u Ô ®ulRyyR ylR®-qR¸yRG ¥ulR ® o¥¸ ª¬®y-A®-É - -uR ¬ |®pt-J¥ ª ®¬ -Jp¥ alR ®t|¸|y¬Ai ® ªlRq¥ p|qRoRp

2OZDZIA

$YSKRETNE ROZKÂŒADY PRAWDOPODOBIEĂŠSTWA

Dys

§aSMdOXSO

Sam zwykł jadać w dwóch restauracjach. Restauracja A jest droşsza niş B, ale serwuje znacznie lepsze jakościowo dania.

rr

PoniĹźsze tabelki prezentujÄ… rozkĹ‚ady prawdopodobieĹ„stw wydatkĂłw Sama w obu restauracjach. Jak mĂłgĹ‚byĹ› scharakteryzować róşnicÄ™ w poziomie cen miÄ™dzy restauracjÄ… A i B? Ile wynosi jej wariancja?

Ćwi

Restauracja A:

Restauracja B:

x

20

30

40

45

P(X = x)

y

10

15

18

P(Y = y)

Res x

P(X

Res y

P(Y

<<k

JESTEu TUTAJ4

Â&#x;WICZENIE 2OZWIÂ’ZANIE

Sam zwykł jadać w dwóch restauracjach. Restauracja A jest droşsza niş B, ale serwuje znacznie lepsze jakościowo dania.

§aSMdOXSO <YdaSŒdKXSO

PoniĹźsze tabelki prezentujÄ… rozkĹ‚ady prawdopodobieĹ„stw wydatkĂłw Sama w obu restauracjach. Jak mĂłgĹ‚byĹ› scharakteryzować róşnicÄ™ w poziomie cen miÄ™dzy restauracjÄ… A i B? Ile wynosi jej wariancja? Restauracja A:

Restauracja B:

฀ ฀ ฀

฀฀

฀ ฀ ฀

฀

฀ ฀ ฀

฀

฀

฀

฀ ฀ ฀฀ ฀฀ ฀ ฀ ฀

฀฀

฀

฀ ฀

฀ ฀ ฀ ฀

฀฀

฀

฀

฀

฀฀

฀

฀

฀ ฀

฀

฀

฀฀

20

30

40

45

P(X = x)

y

10

15

18

P(Y = y)

฀

฀ ฀

฀฀

฀ ฀฀ ฀ ฀

฀

฀

฀฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀฀ ฀ ฀ ฀ ฀

฀

x

฀ ฀

฀฀

฀ ฀

฀฀

฀ ฀

฀

฀ ฀ ฀ ฀฀ ฀฀ ฀ ฀ ฀

฀ ฀

฀฀

฀ ฀

฀

฀฀

฀ ฀ ฀ ฀

฀฀

฀

฀฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀ ฀

฀ ฀ ฀ ฀ ฀

฀

฀

฀

฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀ ฀ ฀ ฀

฀

฀

฀฀

฀

฀

฀ ฀

฀

฀

฀

฀ ฀ ฀฀

฀฀

฀฀ ฀ ฀ ฀฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀

฀

฀ ฀

฀

฀

฀

฀

฀ ฀

฀

฀

฀

฀

฀

฀ ฀ ฀ ฀

฀ ฀

฀฀ ฀฀

฀฀

฀

฀ ฀

฀

฀

฀

฀฀ ฀฀

2OZDZIAŒ

฀ ฀ ฀฀

฀

฀ ฀ ฀฀

฀฀

฀ ฀ ฀ ฀ ฀

฀฀

฀ ฀฀

฀฀

฀

฀฀

฀

Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.