K APITEL 3. U NTERSUCHUNGEN ZUR dlad-O PERATION
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Beweis. Offensichtlich gilt für alle Sprachen L, P : [ dlad(L, P ) = dlad(L, {π1 , π2 }) = π1 ,π2 ∈P
[
dlad(L, {π1 , π2 })
(3.1)
π1 ,π2 ∈P ∩sub(L)
= dlad(L, P ∩ sub(L)) Ist L ∈ FIN, dann ist sub(L) und somit auch P ∩ sub(L) ebenfalls endlich. Es gilt also einerseits: ∀L ∈ {REG, CF, CS, RE} : ∀P ∈ L : P ∩ sub(L) ∈ FIN und wegen P ∩ sub(P ) = P andererseits auch: ∀X ∈ FIN : ∃P, L | P ∩ sub(L) = X (z.B. für P = L = X). Hieraus folgt wegen Gleichung 3.1 die Gleichheit aller dlad(FIN, L) für L ∈ {FIN, REG, CF, CS, RE}, d.h.: dlad(FIN, L) = dlad(FIN, FIN) für alle L ∈ {REG, CF, CS, RE}. Es folgt der Beweis für dlad(FIN, FIN) ⊂ FIN. Zu zeigen ist: ∀X, P ∈ FIN : dlad(L, P ) ∈ FIN. Für jedes Wort wL ∈ L und jede Auswahl {π1 , π2 } ⊆ P ∩ sub({wL }) gilt: [ {x1 αvβx2 αuβx3 |w = x1 αuβx2 αvβx3 , x1 , x2 , x3 ∈ V ∗ , dlad(w, {π1 , π2 }) = u, v ∈ V + } α,β∈{π1 ,π2 } =
[ α,β∈{π1 ,π2 }
{x1 αvβx2 αuβx3 |w = x1 αuβx2 γvδx3 , x1 , x2 , x3 ∈ V ∗ , u, v ∈ V + }
Für letztere Menge läßt sich nun relativ leicht die Kardinalität abschätzen: Die Menge umfaßt alle Wörter z, die aus w = x1 αuβx2 γvδx3 (x1 , x2 , x3 ∈ V ∗ , u, v ∈ V + ) durch Vertauschen von u und v hervorgehen. Die Kardinalität dieser Menge ist somit nach oben hin beschränkt durch die Anzahl verschiedener Möglichkeiten für die Positionen der Zeiger α, β, γ, δ ∈ {π1 , π2 } . Dies entspricht, da eine Ordnung für die vier Positionen bereits gegeben ist, einer Kombination vierter Klasse ohne Wiederholung aus einer Menge, wobei n := #π1 (w) + #π2 (w). Somit gilt: n-elementigen n W = |dlad(w, {π1 , π2 })| ≤ Cn,k . 4 Hinsichtlich der Kardinalität von dlad(L, P ) läßt sich – mit oben angeführter Definition für n 5 – also feststellen :
[
[
|dlad(L, P )| =
dlad(w, {π1 , π2 })
w∈L π1 ,π2 ∈P ∩sub(L)
X X ≤ dlad(w, {π1 , π2 }) w∈L π1 ,π2 ∈P ∩sub(L)
=
X w∈L, π1 ,π2 ∈P ∩sub(L)
n ˜ 4
Aus der Endlichkeit von L und P folgt somit die von dlad(L, P ), was zu beweisen war. 5 In der nachfolgenden Formel wird ein n ˜ verwendet, um zu betonen, daß es sich hierbei nicht um eine Konstante, sonderen um eine Funktion über (w, π1 , π2 ) handelt.