Issuu on Google+


01 ARQUIMEDES PLEC (1-7).qxt:01 PLEC_001-006.qxt

20/10/10

17:12

Pรกgina 1


01 ARQUIMEDES PLEC (1-7).qxt:01 PLEC_001-006.qxt

20/10/10

17:12

FUNDACIÓ BERNAT METGE ESCRIPTORS GRECS TEXT I TRADUCCIÓ

ARQUIMEDES

SOBRE L’ESFERA I EL CILINDRE

BARCELONA

Página 3


01 ARQUIMEDES PLEC (1-7).qxt:01 PLEC_001-006.qxt

20/10/10

17:12

L’edició d’aquesta obra ha comptat amb el suport de la Institució de les Lletres Catalanes Primera edició: octubre del 2010 © de la introducció, la revisió del text grec, la traducció, les notes i les figures, Ramon Masià Fornos, 2010 © d’aquesta edició, Editorial Alpha, 2010 © Institut Cambó, 2010 Reservats tots els drets ISBN 978-84-9859-155-2 Tela DIPÒSIT LEGAL:

B. 39.544-2010

www.institutcambo.org

Página 4


01 ARQUIMEDES PLEC (1-7).qxt:01 PLEC_001-006.qxt

20/10/10

17:12

ARQUIMEDES

SOBRE L’ESFERA I EL CILINDRE

INTRODUCCIÓ, TEXT REVISAT, TRADUCCIÓ, NOTES I FIGURES DE

RAMON MASIÀ FORNOS

BARCELONA FUNDACIÓ BERNAT METGE 2010

Página 5


01 ARQUIMEDES PLEC (1-7).qxt:01 PLEC_001-006.qxt

20/10/10

17:12

Aquest volum ha estat sotmès a les revisions de consuetud en les publicacions de la F.B.M.

Página 6


01 ARQUIMEDES PLEC (1-7).qxt:01 PLEC_001-006.qxt

20/10/10

17:12

Al Toni i al Ferran i, és clar, a la Teresa

Página 7


02 ARQUIMEDES INTRODUCCIO (8-40).qxt:03 HERODOT IV

20/10/10

17:16

Pรกgina 8


02 ARQUIMEDES INTRODUCCIO (8-40).qxt:03 HERODOT IV

27/10/10

13:45

INTRODUCCIÓ

Il faudrait d’abord étudier sur des figures géométriques le cône, le cube, le cylindre, la sphère. Quand on saurait rendre ces choses dans leurs formes et leurs plans, on saurait peindre. Paul CÉZANNE Una reconstrucció parcial de la figura d’Arquimedes, sorgida d’un interès merament arqueològic per la prehistòria dels mètodes infinitesimals i lligada a una visió «romàntica» de la història de les matemàtiques, va consolidar, durant la primera meitat del segle XX, una imatge estereotipada d’un personatge mític i de la recepció de la seva obra. Segons aquesta visió, Arquimedes hauria estat oblidat en l’Antiguitat tardana i en l’Edat Mitjana, i fins al desenvolupament dels nous mètodes matemàtics del segle XVII la seva obra no hauria estat compresa. En paraules de Bernard Vitrac,1 «a l’incompréhension du soldat romain devant les diagrammes géométriques tracés à même le sable sur lesquels méditait Archimède avant d’être assassiné aurait donc succédé l’indifférence historique». Les investigacions dutes a terme a partir de la segona meitat del segle passat han canviat força aquesta imatge incompleta, i han matisat la presumpta indiferència antiga pel nostre autor. 1. Bernard VITRAC, «Archimède et la tradition archimédienne», en M. BLAY & R. HALLEUX (eds.), La science classique. Dictionnaire critique, París, Flammarion, 1998, 416-431.

Página 9


02 ARQUIMEDES INTRODUCCIO (8-40).qxt:03 HERODOT IV

10

20/10/10

17:16

INTRODUCCIÓ

En l’edició de les obres d’Arquimedes que iniciem amb aquest volum dedicat a Sobre l’esfera i el cilindre recollirem totes les obres conservades del matemàtic siracusà juntament amb els comentaris d’Eutoci, que, en les principals edicions modernes, sempre les acompanyen. Voldríem, així, contribuir a posar fi a altres indiferències, no dels antics sinó dels nostres coetanis, i traslladar al català un llegat que ha perviscut durant més de dos mil anys, mercès a la voluntat de copistes desconeguts, papes lletraferits i bibliotecaris curosos, i també, cal dir-ho, a la qualitat i la resistència d’unes pells comercialitzades un dia a Pèrgam. La biografia d’Arquimedes ja ha estat esbossada en el volum dedicat al Mètode en aquesta mateixa col·lecció. Aquest volum conté també un comentari sobre les seves principals obres, així com una extensa nota sobre el denominat mètode d’exhaustió emprat per Arquimedes i altres explicacions complementàries sobre les tècniques matemàtiques usades per l’autor. És per això que centrarem la introducció en els aspectes textuals, per bé que no oblidarem aquelles qüestions tècniques i de vocabulari que en faciliten la lectura. També hem redactat una nota preliminar per a cadascun dels dos llibres que conformen l’obra, amb la intenció d’oferir el pla implícit de les obres, especialment del llibre primer, i una guia de lectura que faciliti la comprensió d’un text aspre i, de vegades, difícil, també en la nostra traducció. Finalment, oferim una breu bibliografia que complementa la que acompanya el volum dedicat al Mètode, i que conté, entre altres, alguns estudis que se centren en aspectes relacionats amb l’obra que ara editem. LES OBRES D’ARQUIMEDES S’han conservat les següents obres atribuïdes a Arquimedes (les acompanyem de l’abreviatura amb què ens hi referirem): Sobre l’esfera i el cilindre (dos llibres, EC I i II), Sobre les línies espirals (LE), Sobre els conoides i els esferoides (CE), So-

Página 10


02 ARQUIMEDES INTRODUCCIO (8-40).qxt:03 HERODOT IV

20/10/10

17:16

11

INTRODUCCIÓ 2

bre la mesura del cercle (MC), Arenarius o Psammités (AR), Sobre l’equilibri de figures planes (dos llibres, EP I i II), La quadratura de la paràbola (QP), Sobre els cossos flotants (dos llibres, CF I i II), Mètode (ME), Stomachion3 (ST), El problema dels bous (PB). Totes les edicions modernes i, de fet, tots els manuscrits principals llevat d’un, sempre han acompanyat les obres d’Arquimedes amb els comentaris d’Eutoci d’Ascaló (s. VI), que són els següents: Comentari a Sobre l’esfera i el cilindre I i II (Eut., EC I i II), Comentari a La mesura del cercle (Eut., MC), Comentari a Sobre l’equilibri de les figures planes I i II (Eut., EP I i II). La temàtica d’aquestes obres és ben variada, i en el volum sobre el Mètode (Introducció, capítol I) s’esbossa el contingut d’algunes de les més importants, que van des de la recerca d’àrees i volums de figures curvilínies, fins al recompte de la sorra que cabria a l’univers (Arenarius), passant per l’estudi dels principis de l’estàtica de fluids (Sobre els cossos flotants) o dels centres de gravetat (Sobre l’equilibri de figures planes) i, fins i tot, jeux d’esprit com són El problema dels bous i el Stomachion (tot i que aquest, darrerament, ha estat interpretat com un dels primers problemes complicats de combinatòria que es documenten).4 Algunes d’aquestes obres s’atribueixen a Arquimedes perquè contenen una carta que prologa el text o perquè apareixen presumiblement citades en algun d’aquests pròlegs; és el cas de Sobre l’esfera i el cilindre, Sobre les línies espirals, Sobre els conoides i els esferoides, Arenarius, La quadratura de la paràbola i el Mètode. L’atribució de la resta es basa en referències antigues a treballs d’Arquimedes que coincideixen amb els continguts de les obres conservades. El dialecte dòric 2. És a dir El problema de la sorra. 3. El terme στομάχιον, lligat a στόμαχος, es refereix, sembla, a un mal de panxa o de gola (potser provocat per la complexitat del tema tractat a l’obra), però el seu significat en aquest context és poc clar. L’obra també és coneguda en llatí com el loculus Archimedius. 4. Vegeu Reviel NETZ & William NOEL, The Archimedes Codex: How a Medieval Prayer Book Is Revealing the True Genius of Antiquity’s Greatest Scientist, Filadèlfia, Da Capo Press, 2009, 233-260.

Página 11


02 ARQUIMEDES INTRODUCCIO (8-40).qxt:03 HERODOT IV

12

20/10/10

17:16

INTRODUCCIÓ

també ha ajudat a l’atribució de les obres, per bé que no sigui gaire diferent de la κοινή διάλεκτος: es troben restes de dòric en gairebé totes les obres enumerades; molt poques en les comentades per Eutoci (la qual cosa que fa pensar que el comentari i la traducció entre dialectes van ser coetànies) i són especialment remarcables en Sobre les línies espirals, Arenarius, Sobre els conoides i els esferoides, Sobre l’equilibri de figures planes, La quadratura de la paràbola i Sobre els cossos flotants. Altres obres, ara perdudes, han estat atribuïdes a Arquimedes per diversos autors, especialment en la tradició àrab, però també en l’hebraica. Segons Netz5 és difícil establir la veracitat del que ens han transmès aquestes tradicions. Sembla que quatre dels tretze treballs atribuïts a Arquimedes en les fonts àrabs no tenen cap relació amb Arquimedes, cinc provenen de Sobre l’esfera i el cilindre, Sobre la mesura del cercle, Sobre els cossos flotants I i Stomachion, i les quatre restants tenen alguna relació amb obres perdudes d’Arquimedes, i serien: La construcció d’un heptàgon regular, Sobre els cercles tangents, El llibre dels lemes i El llibre de les assumpcions. Hi ha, a més, fonts antigues que mencionen diverses obres de les quals no conservem restes en cap llengua. Heiberg les enumera com a «fragments». Segons Netz, haurien pogut existir, documentades d’alguna manera, trenta-una obres atribuïbles a Arquimedes, però només per a deu hi ha evidències suficients: Sobre l’esfera i el cilindre I i II, Sobre les línies espirals, Sobre els conoides i els esferoides, Arenarius, Sobre l’equilibri de figures planes, La quadratura de la paràbola, Mètode, Sobre els cossos flotants I i II. Hi ha tres obres més que, si bé no plantegen dubtes seriosos sobre l’autoria, no és plausible que hagin sortit de les seves mans en l’estat en què nosaltres les hem rebut; es tracta de Sobre la mesura del cercle, El problema dels bous i Stomachion.

5. Reviel NETZ, The Works of Archimedes: The two books On the sphere and the cylinder, CUP, Cambridge, 2004, 12.

Página 12


02 ARQUIMEDES INTRODUCCIO (8-40).qxt:03 HERODOT IV

INTRODUCCIÓ

20/10/10

17:16

13

La cronologia de les obres La fixació cronològica de les obres planteja dues qüestions: ¿quin és l’ordre en què es van concebre els resultats de les obres? ¿quin és l’ordre en què van ser redactades i enviades? El primer problema és gairebé impossible de desentrellar, perquè hauríem de partir de molts apriorismes sobre el mètode de treball d’Arquimedes i, fins i tot, de la naturalesa del seu pensament. Tampoc no està resolta l’altra cronologia, per bé que hi ha un cert acord en un esquema bàsic; hi ha obres, però, que encara estan sotmeses a discussió. Evidentment, el rerefons d’aquestes discussions està més lligat al tema de la concepció de les obres que al fet concret de l’enviament i, per això, semblen irresolubles. Els continguts dels pròlegs epistolars de les obres contenen informació creuada que permet deduir una primera ordenació, de més a menys antic: La quadratura de la paràbola, Sobre l’esfera i el cilindre, Sobre les línies espirals, Sobre els conoides i els esferoides. A més, Sobre la mesura del cercle seria anterior a l’Arenarius. D’altra banda, la coherència interna de les obres fa aparentment necessari que Sobre els conoides i els esferoides sigui més antiga que Sobre els cossos flotants, i que Sobre l’equilibri de figures planes I precedeixi La quadratura de la paràbola, que al seu torn seria anterior a Sobre l’equilibri de figures planes II, perquè els escrits posteriors utilitzen, sense citar-los explícitament, resultats dels anteriors. Quedarien per situar en l’esquema general el Mètode i Sobre la mesura del cercle. Per la temàtica de l’obra, Heiberg6 havia suggerit, i la major part dels editors i estudiosos li han donat suport, que el Mètode caldria datar-lo entre les primeres, bé que seria posterior a La quadratura de la paràbola, mentre que Sobre la mesura del cercle, entre les últimes. Itard i Mugler van proposar, en canvi, una datació tardana per al Mèto-

6. Vegeu els seus Prolegomena a Archimedis opera omnia cum commentariis Eutocii, Stuttgart, Teubner, 1910-1915.

Página 13


05 ARQUIMEDES NOT PREL (46-63).qxt:02 N. PRELIMINAR

20/10/10

17:18

Pรกgina 46


05 ARQUIMEDES NOT PREL (46-63).qxt:02 N. PRELIMINAR

20/10/10

ARCHIMEDIS

DE SPHAERA ET CYLINDRO LIBRI II

17:18

Pรกgina 47


05 ARQUIMEDES NOT PREL (46-63).qxt:02 N. PRELIMINAR

20/10/10

17:18

Pรกgina 48


05 ARQUIMEDES NOT PREL (46-63).qxt:02 N. PRELIMINAR

LIBER PRIMVS

20/10/10

17:18

Pรกgina 49


05 ARQUIMEDES NOT PREL (46-63).qxt:02 N. PRELIMINAR

20/10/10

17:18

Pรกgina 50


05 ARQUIMEDES NOT PREL (46-63).qxt:02 N. PRELIMINAR

20/10/10

17:18

NOTÍCIA PRELIMINAR

El denominat llibre primer de Sobre l’esfera i el cilindre consta d’un pròleg en forma de carta d’Arquimedes a Dositeu, d’una introducció formada per les definicions i per les assumpcions, i d’una sèrie de resultats matemàtics, les proposicions, acompanyats de les demostracions respectives. El conjunt està perfectament estructurat amb la finalitat de demostrar les propietats enunciades en el pròleg: «en primer lloc, que la superfície de tota esfera és el quàdruple del cercle màxim dels seus cercles; després, que, igual a la superfície de tot segment d’esfera, hi ha un cercle el radi del qual és igual a la recta traçada des del vèrtex del segment fins a la circumferència del cercle que és base del segment; i, a més d’aquests, que, de tota esfera, el cilindre que té una base igual al cercle màxim dels cercles en l’esfera i una altura igual al diàmetre de l’esfera és, ell mateix, una hemiòlia de l’esfera, i la seva superfície una hemiòlia de la superfície de l’esfera». El pròleg és una peça bastant habitual en aquest tipus d’obres durant el període hel·lenístic (no tant en el període imperial; dels períodes anteriors no en sabem res perquè no ens ha arribat cap obra ni cap fragment prou llarg). És un text breu on es presenten les aportacions que l’autor desenvoluparà al llarg de l’obra, se’n pondera la importància i s’expliquen les motivacions que l’han portat a fer-les públiques. Es tracta d’un text d’estil radicalment diferent a la resta de l’obra perquè la seva funció està lligada a qüestions metamatemàtiques i contextuals.1

1. Bernard VITRAC, «Promenade dans les préfaces des textes mathématiques grecs anciens», en P. RADELET - DE -GRAVE , Liber amicorum Jean Dhombres, Turnhout, Brepols, 2008, 519-556.

Página 51


05 ARQUIMEDES NOT PREL (46-63).qxt:02 N. PRELIMINAR

52

20/10/10

17:18

NOTÍCIA PRELIMINAR

Les definicions i les assumpcions L’obra pròpiament dita comença amb la introducció, on es presenten les definicions i les assumpcions (o postulats, com s’anomenen habitualment). En aquest cas, les definicions, en essència, precisen el significat exacte que tindrà la noció de concavitat al llarg de tot el llibre (i, més concretament, les nocions de línia còncava sobre un mateix costat i de superfície còncava sobre un mateix costat). També es defineixen el sector sòlid i el rombe sòlid, que són figures construïdes a partir d’una combinació d’esferes i de cons. Les assumpcions, en canvi, són propietats bàsiques que l’autor considera absolutament evidents i que, per tant, no requereixen cap tipus de demostració. En aquest cas, de les cinc assumpcions, quatre fan referència a com es poden ordenar de menor a major certes línies còncaves i, també, certes superfícies còncaves. La cinquena assumpció, coneguda tradicionalment com el postulat d’Arquimedes (o d’Arquimedes-Eudox), afirma bàsicament que, donades dues magnituds desiguals del mateix tipus (línies, superfícies o volums), si restem la més petita de la més gran, la magnitud resultant és del mateix tipus que les originals i en cap cas no pot ser una quantitat infinitesimal (usant la terminologia actual), és a dir, ha de ser una quantitat prou gran, del mateix ordre que les originals. Abans d’avançar, potser caldria explicar al lector no especialitzat les definicions i les assumpcions d’una manera intuïtiva. En primer lloc, la qüestió de la concavitat. Pensem en una badia delimitada per dos caps: segons la definició arquimediana, la badia serà còncava si des de qualsevol lloc de la badia es pot observar tota la badia, de cap a cap. Si des d’algun lloc de la badia no es veu alguna zona de la mateixa badia, aleshores la badia no és còncava. Aquests diagrames ho il·lustren (fig. 1). La badia 1 és còncava, mentre que la badia 2 no ho és (hem unit amb una línia recta discontínua els caps que delimiten les badies). En la badia 2, si ens situem en el punt A no veurem el punt B. En el cas de la badia 1, en canvi, des de qualsevol lloc de la badia podem veure qualsevol altre punt de la mateixa badia. És fàcil intuir que això només passa quan la curvatura de la badia gira sempre cap al mateix costat,2 com passa en la badia 1. En canvi, en la badia 2 la curvatura canvia d’un costat a l’altre diverses vegades; per això no és còncava. La idea de concavitat, a més, es pot estendre naturalment a objectes de l’espai (en lloc de línies corbes hi haurà superfícies corbes, i en lloc de rectes que uneixen els extrems de les línies hi haurà una superfície plana que conté la vora de les superfícies).

2. Dit d’una altra manera, si circuléssim en cotxe per la línia d’aquesta badia, i anéssim de cap a cap, les rodes només girarien cap a un dels costats o estarien rectes, mai cap a l’altre.

Página 52


05 ARQUIMEDES NOT PREL (46-63).qxt:02 N. PRELIMINAR

20/10/10

17:18

53

NOTÍCIA PRELIMINAR

…ƒ’

cap

badia1

A



badia 2

cap

FIGURA 1

…

¿Quina pot ser, però, la utilitat de la definició de concavitat? Un dels objectius de la matemàtica grega és mesurar objectes o, més genèricament, comparar la mesura de diversos objectes. Així, donades dues línies (o dues superfícies, o dos objectes sòlids o tridimensionals), un dels primers objectius matemàtics és el d’esbrinar quina és més gran. Si les línies són rectes el problema es redueix, bàsicament, a superposar-les i veure quina excedeix l’altra. Si es tracta de superfícies o volums amb costats i cares rectilínies i planes, el procediment també és senzill, i s’explica en els Elements d’Euclides. Aquest sistema de comparació no és possible, però, amb línies corbes3 (potser hauríem d’estirar les línies, procés teòricament inextricable per als grecs), ni amb superfícies i volums de contorns ondulats. És per això que els matemàtics grecs s’aproximen a aquest problema per altres vies. L’ús de la concavitat n’és una de les més productives, i la base del procediment la trobem en les assumpcions de la nostra obra: si tenim dues línies (o superfícies) còncaves amb els mateixos extrems que compleixen una determinada condició, aleshores es pot afirmar que una és més gran que l’altra. La condició, essencialment, és aquesta (en el text arquimedià, però, és més completa): les dues línies han de ser còncaves sobre el mateix costat (és a dir, bàsicament, la seva curvatura és la mateixa) i una d’elles ha de trobar-se dintre de l’altra, un cop tancada per aquesta i per la recta que uneix els seus extrems. En aquest cas, i només en 3. Les línies poligonals, o en ziga-zaga, també les considerarem, com ho feien els grecs, corbes.

Página 53


05 ARQUIMEDES NOT PREL (46-63).qxt:02 N. PRELIMINAR

54

20/10/10

17:18

NOTÍCIA PRELIMINAR

aquest cas, Arquimedes assumeix que la corba de dintre és més petita que la corba de fora, sense necessitat de cap demostració; precisament perquè Arquimedes situa aquesta propietat entre les assumpcions sabem que Arquimedes la considera absolutament evident. Una cosa semblant assumeix amb les superfícies còncaves sobre el mateix costat. Podem il·lustrar-ho amb quatre exemples (fig. 2):

B

B

A

A

Cas1

A

Cas2

B

B A

Cas3

Cas4

FIGURA 2

En el cas 1 la corba A és dintre de la corba B, un cop tancada per la línia de traç discontinu que uneix els seus extrems, com hem dit abans, i totes dues són còncaves sobre el mateix costat (la seva curvatura és la mateixa); segons Arquimedes, podem afirmar, doncs, sense cap altra consideració que la corba A és més petita (més curta potser diríem nosaltres) que la corba B. En el cas 2, en canvi, la corba A és dintre de la corba B, però la corba A i la cor-

Página 54


05 ARQUIMEDES NOT PREL (46-63).qxt:02 N. PRELIMINAR

NOTÍCIA PRELIMINAR

20/10/10

17:18

55

ba B no són còncaves sobre el mateix costat (de fet, la curvatura de la corba A varia, mentre que la corba B té sempre la mateixa curvatura). Per tant, en aquest cas i a partir de les assumpcions d’Arquimedes, no podem establir d’antuvi quina de les dues serà la més gran; en principi, aquestes corbes queden excloses de la investigació d’Arquimedes. En el cas 3, la corba poligonal A i la corba B també són còncaves sobre el mateix costat i la corba A és dintre de la corba B; per tant, la corba A és menor que la corba B. En canvi, en el cas 4, la corba poligonal A no és dintre de la corba B ni tampoc no són còncaves sobre el mateix costat. Per tant, no podrem dir res sobre quina de les dues és més gran.

Els recursos tècnics i la seva aplicació en la demostració Amb la definició de concavitat i amb las propietats d’ordenació de menor a major que trobem en les assumpcions, i que acabem de comentar, ja podem endinsar-nos en les proposicions de l’obra d’Arquimedes, perquè la metodologia bàsica de treball és la comparació de magnituds còncaves com les dels casos 1 i 3. Ara bé, són indispensables les subtileses del postulat d’Arquimedes (assumpció 5) perquè l’estructura deductiva no tingui escletxes i, també, altres recursos tècnics recollits gairebé tots en els Elements d’Euclides (ben coneguts per tots els matemàtics de l’època): la demostració per doble reducció a l’absurd, el mal anomenat mètode d’exhaustió, la manipulació de raons usant la teoria de proporcions, etc. Tots aquests recursos (llevat, potser, del postulat d’Arquimedes), però, no són una aportació d’Arquimedes, i els deixarem de banda en aquesta nota: només pretenem explicar les aportacions de l’obra i donar clarícies per entendre el seu entrellat lògic, que, probablement, és el vessant més interessant per a qualsevol lector, especialista o no. La comparació de dues línies/superfícies còncaves de les mateixes característiques ens permet ordenar-les; però, ¿com ens pot ajudar aquest fet a mesurar-les efectivament? En els casos 1 i 3 de la il·lustració anterior, per exemple, si coneixem la longitud de la línia discontínua i de la corba B, només podem afirmar que la corba A és més gran que la línia i més petita que la corba B, però seguim sense conèixer-ne la mesura exacta. La resposta d’Arquimedes serà la d’encaixar la corba (o superfície) que vol mesurar entre una sèrie decreixent de corbes (o superfícies) més grans, i una sèrie creixent de corbes (o superfícies) més petites, totes de tipus poligonal, com en el diagrama de la pàgina següent (fig. 3). Les corbes A1, A2 i A3 són més petites (pel que acabem de veure) que la corba semicircular de longitud desconeguda, mentre que les corbes B1, B2 i B3 són més grans que la corba semicircular. A més, la longitud d’A3 és més propera a la de la corba semicircular que la longitud d’A2, i aquesta que la d’A1.

Página 55


05 ARQUIMEDES NOT PREL (46-63).qxt:02 N. PRELIMINAR

56

20/10/10

17:18

NOTÍCIA PRELIMINAR

FIGURA 3

El mateix passa amb les corbes del tipus B respecte de la corba semicircular. Si aconseguim posar més corbes poligonals del tipus A entre A3 i la corba semicircular, cada cop més properes a aquesta corba i, a més, posar més corbes del tipus B entre B3 i la corba semicircular, i coneixem el valor de les corbes A i B, estarem molt a prop de saber la longitud de la corba semicircular. Arribats en aquest punt, un matemàtic actual faria el següent: si sabem calcular la longitud de totes les corbes A i de totes les corbes B i, a més, els límits d’aquests valors en un i altre cas coincideixen, aleshores proclamarem que la longitud de la corba desconeguda és, precisament, el valor d’aquest límit. La matemàtica grega, però, no tenia cap desenvolupament teòric que recollís aquesta idea de límit. La seva aproximació era molt diferent: primer de tot, el valor de la longitud de la corba desconeguda havia d’intuir-se d’alguna manera4 i, només així, podien aplicar el mètode de la doble reducció a l’absurd5 per demostrar que, efectivament, aquest valor corresponia al valor de la

4. Per mètodes indirectes, per intuïció, per mètodes més o menys pràctics, etc. En el cas d’Arquimedes, es pensa que se servia del seu mètode mecànic. Normalment, la tècnica usada en la descoberta del valor exacte no era publicada. 5. El mètode demostratiu de doble reducció a l’absurd aplicat per Arquimedes parteix d’aquest fet bàsic: si tenim dues quantitats del mateix tipus, X

Página 56


05 ARQUIMEDES NOT PREL (46-63).qxt:02 N. PRELIMINAR

NOTÍCIA PRELIMINAR

20/10/10

17:18

57

longitud de la corba. Evidentment, en aquesta doble reducció a l’absurd les corbes poligonals encaixades faran un paper essencial. Així, doncs, tenim un mètode de demostració impecable (la doble reducció a l’absurd) i un mecanisme de comparació de longituds i àrees basat en la concavitat (i, és clar, també disposem de tots els conceptes i tècniques que apareixen en els Elements). Només ens falta engranar-los amb l’objectiu matemàtic del llibre. Tal com es declara al pròleg, l’objectiu és la mesura de la superfície i del volum d’una esfera6 (i, subsidiàriament, la mesura de la superfície d’un segment d’esfera i del volum d’un sector d’esfera, és a dir el càlcul de la superfície i del volum d’una porció d’una esfera escapçada). Una vegada establert l’objectiu de l’obra, tots els passos que s’aniran seguint estaran orientats al seu assoliment, per bé que mai s’explicarà la lògica interna que condueix tortuosament cap a aquest fi. És això el que procurarem fer a continuació, explicitar el fil argumental. Ara bé, cal subratllar que el següent apartat és més aviat una guia de lectura de l’obra, i no pretén pas revelar els mecanismes del pensament d’Arquimedes.

i Y, només es poden donar tres possibilitats excloents. Són aquestes: X és major que Y, X és menor que Y i, finalment, X és igual a Y. Si aconseguim demostrar que les dues primeres (d’aquí el terme doble) no són possibles (ni X és més gran que Y, ni X més petit que Y), aleshores, haurem d’assumir (i, per tant, quedarà demostrat) que, inevitablement, X és igual a Y. 6. Cal tenir en compte que els problemes de mesura (el càlcul de longituds, d’àrees i de volums, així com el càlcul d’angles) van enfocar-se d’una manera diferent de l’actual (en què l’objectiu és trobar una fórmula de càlcul). Per als matemàtics grecs es tracta de cercar un objecte la mesura del qual coneguem i de manera que l’objecte estudiat sigui mesurable amb aquest. Per exemple, quan volen calcular l’àrea d’una figura plana amb costats rectilinis, els matemàtics grecs busquen un quadrat que tingui la mateixa àrea. Un cop trobat el quadrat, consideren resolt el problema. En el cas de l’obra que ens ocupa, Arquimedes acaba trobant equivalències entre les superfícies i els volums de diverses figures de límits corbats (essencialment, la de l’esfera i les de cert cercle, de cert con i de cert cilindre); des d’un punt de vista modern, aquesta solució no seria satisfactòria o, si més no, completa. A més, és evident que la solució proposada per Arquimedes no inclou cap figura de costats rectilinis entre les equivalents a les mesures de l’esfera. I és que la relació entre objectes rectilinis i objectes curvilinis és un dels grans problemes de mesura per als grecs (és potser el gran problema de mesura per als grecs), i cal dir que, en el tractament d’aquest problema, no van assolir un desenvolupament teòric comparable al del tractament d’objectes de costats únicament rectilinis (resolt completament en els Elements).

Página 57


05 ARQUIMEDES NOT PREL (46-63).qxt:02 N. PRELIMINAR

58

20/10/10

17:18

NOTÍCIA PRELIMINAR

El pla de l’obra La mesura de la superfície i el volum de l’esfera està íntimament relacionada amb la mesura de la longitud de la circumferència i l’àrea del cercle, senzillament perquè l’esfera es genera a partir de la rotació d’un semicercle al voltant del diàmetre (segons llegim a Elements, XI def. 14). Arquimedes, en la seva obra La mesura del cercle, utilitza el mètode d’encaixar el cercle entre polígons inscrits i polígons circumscrits de manera que, augmentant el nombre de costats, aconsegueix una aproximació de la longitud de la circumferència (i també de l’àrea del cercle) tan precisa com vol. Això és així perquè el cercle i els polígons inscrits i circumscrits tenen la mateixa curvatura i, per tant, la longitud de la circumferència és, com a màxim, el perímetre del polígon circumscrit i, com a mínim, el perímetre del polígon inscrit (i el mateix argument val per a l’àrea). En la figura 4 observem un cercle amb un polígon regular de dotze costats inscrit, i un altre de semblant de circumscrit. Intuïtivament, no és difícil concloure que l’augment en el nombre dels costats dels polígons causarà l’apropament progressiu dels polígons així generats a la figura circular. D’aquesta manera el seu perímetre i la seva àrea delimitaran, per excés i per defecte i amb la precisió que vulguem, el valor de la longitud de la circumferència i de l’àrea del cercle.

FIGURA 4 Aquesta mateixa idea pot estendre’s al cas de l’esfera, i és el que fa Arquimedes en el llibre primer de Sobre l’esfera i el cilindre; seguint molt de prop la definició euclidiana d’esfera que hem mencionat abans, a partir de la rotació de tot el cercle al voltant d’un dels seus diàmetres es genera una esfera.

Página 58


05 ARQUIMEDES NOT PREL (46-63).qxt:02 N. PRELIMINAR

20/10/10

17:18

59

NOTÍCIA PRELIMINAR

Així, si considerem la figura 4 i la fem girar tota (la circumferència i els dos polígons) al voltant del diàmetre vertical del cercle, obtindrem tres objectes com en la figura de la proposició 34 (fig. 5): Β

Α

Γ

Δ

FIGURA 5

Es tracta d’una esfera encaixada entre dues figures, totes tres essencialment amb la mateixa curvatura (amb la mateixa concavitat). Sembla evident, doncs, que la superfície de l’esfera queda delimitada per la superfície de la figura externa i per la superfície de la figura interna; una és més gran, i l’altra més petita. Per raons encara més evidents, el volum de la figura externa és més gran que el de l’esfera, perquè la conté, i el volum de la figura interna és més petit, perquè hi està continguda. La situació és, doncs, semblant a la dels polígons inscrit i circumscrit al cercle: com més costats tinguin els polígons circumscrit i inscrit al cercle, més properes seran les superfícies de les figures resultants a la superfície de l’esfera, i els seus volums al volum de l’esfera. En definitiva, només falta trobar la superfície (i el volum) d’aquestes figures i, a continuació, demostrar pel mètode de doble reducció a l’absurd que la superfície (el volum) de l’esfera és un valor concret7 entre els valors de les superfícies (els volums) d’aquestes figures inscrites i circumscrites, respectivament. 7. Recordem que la doble reducció a l’absurd no serveix per a trobar el valor de la superfície i del volum de l’esfera, sinó només per a demostrar que aquests valors són correctes. El valor concret s’ha de trobar per altres mitjans, que, com és habitual, no apareixen en l’obra.

Página 59


05 ARQUIMEDES NOT PREL (46-63).qxt:02 N. PRELIMINAR

60

20/10/10

17:18

NOTÍCIA PRELIMINAR

Pràcticament tot el llibre primer de Sobre l’esfera i el cilindre es concentra en aquestes dues tasques. A més, les dues es fan simultàniament. En farem un breu esbós sense entrar en els detalls tècnics. La figura inscrita (i també la circumscrita) en l’esfera està formada per diversos blocs (fig. 6): el de dalt i el de baix són cons, mentre que la resta són troncs de con (és a dir cons escapçats per la punta). L’estratègia més evident per al càlcul de la seva superfície i del seu volum hauria estat el càlcul de la superfície i del volum de cadascun d’aquests blocs; però Arquimedes no ho fa així. Aquesta estratègia no li hauria permès calcular el volum a partir de la superfície de la figura,8 qüestió que té una importància crucial en el desenvolupament de l’obra. Arquimedes prefereix calcular el volum descomponent la figura en altres formes derivades del con.9 En qualsevol cas, només es tracta d’una descomposició de la figura completa en peces més petites, de manera que la seva reunió serà igual al total.10 Fent-ho així aconsegueix calcular el volum de tota la figura a partir de la seva superfície i del seu apotema. con troncdecon

apotema

troncdecon

troncdecon

troncdecon con

FIGURA 6 8. El volum de la figura es calcula a partir d’aquesta superfície i del valor de l’apotema, definit com el segment que uneix el centre amb el punt mitjà de qualsevol dels costats. 9. Vegeu les il·lustracions de les proposicions 17-20. A més, és en aquest punt precís que necessita la figura que ha denominat rombe sòlid en les definicions: dos cons units per una mateixa base, amb el mateix eix i vèrtexs en costats oposats de la base. 10. Aquesta és una de les formes més habituals de calcular la mesura d’un objecte: dividir-lo en diverses parts la mesura de les quals sabem calcular.

Página 60


05 ARQUIMEDES NOT PREL (46-63).qxt:02 N. PRELIMINAR

NOTÍCIA PRELIMINAR

20/10/10

17:18

61

Atès que la superfície i el volum de la figura depenen, com acabem de veure, de formes derivades del con, el primer que li cal fer és conèixer les característiques d’aquestes formes. És per això que les proposicions 7-20 se centren en la superfície i el volum del con i, també, en la de certes formes derivades del con (les d’aquestes últimes, malgrat que són figures certament estrambòtiques, són senzilles de calcular a partir de les anteriors). Entre les proposicions susdites n’hi ha algunes, ben poques, que no es refereixen al con, sinó al cilindre, concretament a la seva superfície.11 Això és així perquè Arquimedes, en el porisma posterior a la proposició 34, decidirà expressar la superfície i el volum de l’esfera en relació amb la superfície i el volum d’un cert cilindre.12 Per tant, li cal estudiar la superfície del cilindre. La investigació de la mesura de cons i cilindres es fa usant recursos equivalents als que ja hem comentat: la concavitat i la doble reducció a l’absurd. En tots dos casos, cons i cilindres, Arquimedes també els encaixa entre figures conegudes (piràmides i prismes) que s’hi inscriuen i que s’hi circumscriuen, totes amb la mateixa curvatura. D’aquesta manera, pot usar la doble reducció a l’absurd per a determinar-ne13 la superfície i, en el cas del con, també el volum. En definitiva, si llegim el llibre de nou, ara ja podem entendre quin objectiu persegueix en cada moment, i per què la redacció no podia ser diferent: Proposicions 0-6: proposicions introductòries, que sovint es recolzen en el postulat d’Arquimedes per construir els elements bàsics que s’usaran d’una manera constant en les proposicions següents. Es tracta de preparar l’eina principal de càlcul d’àrees i volums en aquest llibre. Essencialment, es proporcionen els recursos tècnics per poder encaixar tan a prop com vulguem una figura curvilínia entre figures poligonals. Proposicions 7-22: proposicions preparatòries, on es mesuren cons i cilindres, tal com s’ha explicat abans. A més a més, la proposició 21 és clau per a poder comparar, posteriorment, la superfície d’una esfera amb la d’un cercle. Proposicions 23-34: nucli central de l’obra (tot i que no arriba a la cinquena part de la seva extensió). Aquí es construeixen les figures inscrita i cir-

11. La relació entre el volum del cilindre i el del con ja l’havia establert Eudox, tal com recorda el mateix Arquimedes en el pròleg, i ja hem dit que Arquimedes estudia el volum del con. Per això, no li cal investigar el volum del cilindre. 12. Tot i que anteriorment ja les havia expressat en relació amb la superfície de cert cercle i el volum de cert con i, per tant, ja havia resolt el problema de la mesura de l’esfera, com a mínim des de la perspectiva grega. 13. Tornem a recordar, una vegada més, que la doble reducció a l’absurd no li permet trobar els valors d’àrees i volums, sinó només demostrar que l’àrea (o el volum) és igual a un cert valor conegut.

Página 61


05 ARQUIMEDES NOT PREL (46-63).qxt:02 N. PRELIMINAR

62

20/10/10

17:18

NOTÍCIA PRELIMINAR

cumscrita a l’esfera abans esmentades, i s’assoleix l’objectiu de demostrar, com s’havia proposat al pròleg, que «el cilindre que té una base igual al cercle màxim dels cercles en l’esfera i una altura igual al diàmetre de l’esfera és, ell mateix, una hemiòlia de l’esfera, i la seva superfície una hemiòlia de la superfície de l’esfera». La relativa brevetat d’aquesta part (llevat de les proposicions 33 i 34, on s’aplica la feixuga doble reducció a l’absurd) es deu al fet que la feina tècnica més important ja s’ha fet abans, i ara només cal engranar totes les peces, és clar, amb la perícia i, especialment, amb la intuïció habituals en Arquimedes. Una vegada assolit l’objectiu principal, el llibre té una coda en forma de deu proposicions (proposicions 35-44) on, mitjançant unes manipulacions equivalents a les del nucli central de l’obra, es demostren uns resultats semblants però aplicats a determinades porcions d’una esfera, essencialment la superfície i el volum d’un segment d’esfera (és a dir una porció d’una esfera escapçada per on vulguem). D’aquests resultats, només el primer havia estat declarat explícitament en el pròleg: «igual a la superfície de tot segment d’esfera, hi ha un cercle el radi del qual és igual a la recta traçada des del vèrtex del segment fins a la circumferència del cercle que és base del segment».

Per acabar La lectura d’una obra d’investigació matemàtica com la que aquí presentem no és una tasca fàcil. En primer lloc, perquè es tracta d’un gènere literari específic, amb recursos propis del gènere desconeguts per als llecs (en això s’assembla a altres gèneres literaris antics, com la poesia i el teatre); en tot cas, la mateixa lectura va revelant a poc a poc les entranyes del gènere. En segon lloc, perquè requereix uns coneixements sòlids sobre la matèria, tot i que tampoc excepcionals (sens dubte, un domini suficient dels Elements d’Euclides, ni que només sigui de forma intuïtiva). Finalment, cal tenir una noció mínima de cap a on es dirigeix l’obra i de quins recursos es disposa per a seguir aquest camí; és a dir tenir una idea clara de com ha estat planificada, encara que l’autor mai no ho hagi explicitat. Això, és clar, només es pot obtenir després d’una primera lectura més o menys superficial; en una segona lectura es podrà prestar més atenció als detalls de les demostracions sense oblidar mai l’esquema general. D’aquesta manera, encara que perdem algun detall, mai no perdrem el nucli bàsic de l’obra; en canvi, perdent de vista la planificació global, la lectura pot arribar a ser molt decebedora. És per això que en aquesta nota introductòria hem procurat explicitar el pla del llibre, més que no pas endinsar-nos en la frondositat dels detalls que s’hi escampen, davant dels quals deixem gairebé indefens el lector. Advertit com està, podrà endinsar-se en aquest bosc atapeït, amb el perill d’una esgarrinxada o, potser,

Página 62


05 ARQUIMEDES NOT PREL (46-63).qxt:02 N. PRELIMINAR

NOTÍCIA PRELIMINAR

20/10/10

17:18

63

d’algun maldecap. Si no ho vol, pot arrecerar-se a certa distància per fruir de l’interessantíssim pròleg, per aturar-se en cadascuna de les definicions i assumpcions (perquè vol gaudir de l’extraordinària subtilesa grega per captar les poques nocions que permeten engegar la potentíssima maquinària matemàtica), o bé per llegir els enunciats de les proposicions i pensar-hi mentre contempla els diagrames.

Página 63


06 ARQUIMEDES LLIBRE I (064-160).qxt

20/10/10

17:23

Página 64

ΒΙΒΛΙΟΝ A´ Ἀρχιμήδης Δοσιθέῳ χαίρειν.

Πρότερον μὲν ἀπέσταλκά σοι τῶν ὑφ’ ἡμῶν τεθεωρημένων γράψας μετὰ ἀποδείξεως, ὅτι πᾶν τμῆμα τὸ περιεχόμενον ὑπό τε εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς ἐπίτριτόν ἐστι τριγώνου τοῦ βάσιν τὴν αὐτὴν ἔχοντος τῷ τμήματι καὶ ὕψος ἴσον. ὕστερον δὲ ἡμῖν ὑποπεσόντων θεωρημάτων ἀξίων λόγου πεπραγματεύμεθα περὶ τὰς ἀποδείξεις αὐτῶν. ἔστιν δὲ τάδε, πρῶτον μέν, ὅτι πάσης σφαίρας ἡ ἐπιφάνεια τετραπλασία ἐστὶν τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν αὐτῇ, ἔπειτα δέ, ὅτι

1 χαίρειν BCDE : εὐπράτειν G || 5 τριγώνου τοῦ βάσιν τὴν αὐτὴν C : trigoni habentis basem eandem B : ταύτην τὴν βάσιν D : τριγώνου τοῦ ἔχοντος βάσιν τὴν αὐτὴν || 9 τῶν ἐν αὐτῇ BCG : om. D

5


06 ARQUIMEDES LLIBRE I (064-160).qxt

20/10/10

17:23

Página 64

LLIBRE I

Arquimedes a Dositeu,1 salut. De les propietats que hem investigat, t’he enviat anteriorment aquesta, que vam descriure acompanyant-la d’una demostració: que tot segment comprès per una recta i una secció de con recte2 és quatre terços d’un triangle que té la mateixa base que el segment i una altura igual.3 Després, però, com que se’ns van acudir4 alguns teoremes dignes de menció, hem treballat en la seva demostració. I són aquests: en primer lloc, que la superfície de tota esfera és el quàdruple del cercle màxim dels seus cercles;5 després, que, igual a la superfície de 1. Dositeu probablement era un investigador del cercle d’Alexandria, però poca cosa més en sabem, llevat que era el destinari d’algunes obres d’Arquimedes (Sobre l’esfera i el cilindre I i II, Sobre els conoides i els esferoides, Sobre les línies espirals i La quadratura de la paràbola). Sembla que com a científic no formava part del cercle que Arquimedes considerava el més elevat. Segons Reviel Netz (vegeu «The first jewish scientist?», Scripta Classica Israelica, 1998, 27-33), Dositeu podria haver estat el primer científic jueu conegut. 2. Arquimedes anomena la paràbola ὀρθογωνίου κώνου τομῆς, és a dir secció d’un con recte, seguint l’antiga denominació de Menecme (segle IV). Les traduccions llatines medievals també tradueixen koni rectanguli sectione. La denominació actual deriva del terme encunyat probablement per Apol·loni al segle III, παραβολή. 3. QP 17, 24. 4. El terme grec és ὑποπίπτω, literalment ‘caure a sobre’, en aquest context ‘em van acudir’, cosa que implica la passivitat del matemàtic en la intuïció de les idees que sorgeixen de la seva ment. 5. EC I 33.


06 ARQUIMEDES LLIBRE I (064-160).qxt

20/10/10

17:23

Página 65

ΒΙΒΛΙΟΝ A´

παντὸς τμήματος σφαίρας τῇ ἐπιφανείᾳ ἴσος ἐστὶ κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ εὐθείᾳ τῇ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ τμήματος ἀγομένῃ ἐπὶ τὴν περιφέρειαν τοῦ κύκλου, ὅς ἐστι βάσις τοῦ τμήματος, πρὸς δὲ τούτοις, ὅτι πάσης σφαίρας ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν μεν ἔχων ἴσην τῷ μεγίστῳ κύκλῳ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ, ὕψος δὲ ἴσον τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας αὐτός τε ἡμιόλιός ἐστιν τῆς σφαίρας, καὶ ἡ ἐπιφάνεια αὐτοῦ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας. Ταῦτα δὲ τὰ συμπτώματα τῇ φύσει προυπῆρχεν περὶ τὰ εἰρημένα σχήματα, ἠγνοεῖτο δὲ ὑπὸ τῶν πρό ἡμῶν περὶ γεωμετρίαν ἀνεστραμμένων οὐδενὸς αὐτῶν ἐπινενοηκότος, ὅτι τούτων τῶν σχημάτων ἐστὶν συμμετρία, διόπερ οὐκ ἂν ὀκνήσαιμι ἀντιπαραβαλεῖν αὐτὰ πρός τε τὰ τοῖς ἄλλοις γεωμέτραις τεθεωρημένα καὶ πρὸς τὰ δόξαντα πολὺ ὑπερέχειν τῶν ὑπὸ Εὐδόξου περὶ τὰ στερεὰ θεωρηθέντων, ὅτι πασα πυραμὶς τρίτον ἐστὶ μέρος πρίσματος τοῦ βάσιν ἔχοντος τὴν αὐτὴν τῇ πυραμίδι καὶ ὕψος ἴσον, καὶ ὅτι πας κῶνος τρίτον 65

12-13 οὐκ ἂν ὀκνήσαιμι C : non sum veritus B : ὁκνησαιμι D : om. G

5

10

15


06 ARQUIMEDES LLIBRE I (064-160).qxt

20/10/10

LLIBRE I

17:23

Página 65

65

tot segment d’esfera, hi ha un cercle el radi del qual és igual a la recta traçada des del vèrtex del segment fins a la circumferència del cercle que és base del segment;6 i, a més d’aquests, que, de tota esfera, el cilindre7 que té una base igual al cercle màxim dels cercles en l’esfera i una altura igual al diàmetre de l’esfera és, ell mateix, una hemiòlia de l’esfera, i la seva superfície, una hemiòlia de la superfície de l’esfera.8 Aquestes propietats referents a les figures esmentades preexistien en la natura, però eren desconegudes per als qui s’han ocupat de la geometria abans que nosaltres, i cap d’ells no havia arribat a concebre que la commensurabilitat9 era pròpia d’aquestes figures. I, precisament per això, jo no dubtaria a equiparar-les amb les investigades per la resta dels geòmetres, i també amb les més destacades de les investigades per Eudox10 sobre els sòlids: que tota piràmide és una tercera part d’un prisma que té la mateixa base que la piràmide i una altura igual; i que tot con és una tercera part del cilindre que té

6. EC I 42; 43. 7. Els editors han intentat traduir l’expressió «de tota esfera, el cilindre» (que també es troba a la introducció del segon llibre) d’una manera més entenedora, però el resultat normalment no reflecteix el text original. Nosaltres ho hem deixat tal com és, encara que no aventurem cap interpretació. ¿Podria ser que «el cilindre d’una esfera» fos una forma arcaica de denominar aquesta figura (de la mateixa manera que abans usa un arcaisme per a referirse a la paràbola? No ens convenç l’opció de fer de «tota esfera» un genitiu absolut. 8. EC I 34. 9. Aquest és el tema bàsic d’aquest llibre, i de la majoria de les obres d’Arquimedes (i un dels temes bàsics de la geometria grega): la recerca d’objectes commensurables, és a dir d’objectes que tenen una mesura comuna. En termes moderns (encara que no del tot adequats), el quocient de la mesura (longituds, àrees, volums) d’aquests objectes ha de ser un nombre racional. 10. Eudox va ser un gran matemàtic actiu durant la primera meitat del segle IV. Hi ha resultats del Elements d’Euclides que són atribuïts a Eudox, especialment pel que fa a la teoria de la proporció (llibre V dels Elements), tot i que no ens ha restat res del seu treball, i tampoc no sabem res de la seva vida, com de la major part dels matemàtics grecs. De fet, la citació d’Arquimedes és una de les fonts més fiables, i el resultat de què es parla es troba a El. XII 7.


06 ARQUIMEDES LLIBRE I (064-160).qxt

20/10/10

17:23

Página 66

ΒΙΒΛΙΟΝ A´

μέρος ἐστὶν τοῦ κυλίνδρου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὴν αὐτὴν τῷ κώνῳ καὶ ὕψος ἴσον, καὶ γὰρ τούτων προυπαρχόντων φυσικῶς περὶ ταῦτα τὰ ��χήματα, πολλῶν πρό Εὐδόξου γεγενημένων ἀξίων λόγου γεωμετρῶν συνέβαινεν ὑπὸ πάντων ἀγνοεῖσθαι μηδ’ ὑφ’ ἑνὸς κατανοηθῆναι. Ἐξέσται δὲ περὶ τούτων ἐπισκέψασθαι τοῖς δυνησομένοις. ὤφειλε μὲν οὖν Κόνωνος ἔτι ζῶντος ἐκδίδοσθαι ταῦτα, τῆνον γὰρ ὑπολαμβάνομεν που μάλιστα ἄν δύνασθαι κατανοῆσαι ταῦτα καὶ τὴν ἁρμόζουσαν ὑπὲρ αὐτῶν ἀπόφασιν ποιήσασθαι, δοκιμάζοντες δὲ καλῶς ἔχειν μεταδιδόναι τοῖς οἰκείοις τῶν μαθημάτων ἀποστέλλομεν σοι τὰς ἀποδείξεις ἀναγράψαντες, ὑπὲρ ὧν ἐξέσται τοῖς περὶ τὰ μαθήματα ἀναστρεφομένοις ἐπισκέψασθαι. Ἐρρωμένως. 66

Ἀξιώματα καὶ λαμβανόμενα

Γράφονται πρῶτον τά τε ἀξιώματα καὶ τὰ λαμβανόμενα εἰς τὰς ἀποδείξεις αὐτῶν.

2 τούτων BCG : που τῶν D || 12 περὶ CEGH : etiam B : τε D || 16 τά τε ἀξιώματα BCGH : τώ τε ἀξιωμα D : τό τε ἀξιωμα E

5

10

15


06 ARQUIMEDES LLIBRE I (064-160).qxt

20/10/10

17:23

Página 66

66

LLIBRE I 11

la mateixa base que el con i una altura igual. I, en efecte, bé que les propietats sobre aquestes figures preexistien naturalment i han estat molts els geòmetres dignes de menció abans d’Eudox, succeïa que tothom les desconeixia i que ni tan sols no havien estat mai considerades detingudament per ningú. I, als qui en tinguin la capacitat, els serà possible examinarles. Certament, s’haurien d’haver lliurat en vida de Conó,12 ja que suposem que és ell qui més podria entendre-les i fer-ne un judici afinat, però, admetent que és bo fer-ne partícips els familiaritzats amb les matemàtiques, t’enviem les demostracions que vaig anotar per escrit i que podran examinar els qui s’ocupen de les matemàtiques. Que estiguis bo. DEFINICIONS I ASSUMPCIONS13 Redactem primer les definicions i les assumpcions14 per a les demostracions de les propietats.

11. El. XII 10. 12. Conó és un matemàtic i astrònom nascut a Samos i mort abans que Arquimedes (c. 212 aC), segons aquest i altres testimonis del mateix Arquimedes. Fou, sembla, un dels matemàtics més respectats per Arquimedes. No en sabem gaire més, fora d’algunes breus citacions (a les Còniques d’Apolloni, introducció al llibre IV, a la introducció als Miralls ustòrics de Díocles i al poema 66 de Catul). 13. És molt probable que el text, tal com va sortir de les mans d’Arquimedes, no contingués ni l’enumeració de les proposicions ni els títols que de vegades van apareixent en passatges concrets. La majoria són afegitons posteriors, i no totes les edicions tenen les mateixes divisions. Nosaltres seguirem de prop l’edició de Heiberg, excepte en alguns petits detalls. L’enumeració de les definicions i assumpcions és de l’edició de Torelli, i no apareix als manuscrits. 14. Pel que fa al significat dels termes definicions i assumpcions, vegeu la Notícia preliminar.


06 ARQUIMEDES LLIBRE I (064-160).qxt

20/10/10

17:23

Página 67

ΒΙΒΛΙΟΝ A´

[1] Εἰσίτινες ἐν ἐπιπέδῳ καμπύλαι γραμμαὶ πεπερασμέναι, αἳ τῶν τὰ πέρατα ἐπιζευγνυουσῶν αὐτῶν εὐθειῶν ἤτοι ὅλαι ἐπὶ τὰ αὐτά εἰσιν ἢ οὐδὲν ἔχουσιν ἐπὶ τὰ ἕτερα. [2] Ἐπὶ τὰ αὐτὰ δὴ κοίλην καλῶ τὴν τοιαύτην γραμμήν, ἐν ᾗ ἐὰν δύο σημείων λαμβανομένων ὁποιωνοῦν αἱ μεταξὺ τῶν σημείων εὐθεῖαι ἤτοι πασαι ἐπὶ τὰ αὐτὰ πίπτουσιν τῆς γραμμῆς, ἢ τινὲς μὲν ἐπὶ τὰ αὐτά, τινὲς δὲ κατ’ αὐτῆς, ἐπὶ τὰ ἕτερα δὲ μηδεμία. [3] Ὁμοίως δὴ καὶ ἐπιφάνειαί τινές εἰσιν πεπερασμέναι, αὐταὶ μὲν οὐκ ἐν ἐπιπέδῳ, τὰ δὲ πέρατα ἔχουσαι ἐν ἐπιπέδῳ, αἵ τοῦ ἐπιπέδου, ἐν ᾧ τὰ πέρατα ἔχουσιν, ἤτοι ὅλαι ἐπὶ τὰ αὐτὰ ἔσονται ἢ οὐδὲν ἔχουσιν ἐπὶ τὰ ἕτερα. [4] Ἐπὶ τὰ αὐτὰ δὴ κοίλας καλῶ τὰς τοιαύτας ἐπιφανείας, ἐν αἷς ἂν δύο σημείων λαμβανομένων αἵ μεταξὺ τῶν σημείων εὐθεῖαι ἤτοι πασαι ἐπὶ τὰ αὐτὰ πίπτουσιν τῆς ἐπιφανείας, ἢ τινὲς μὲν ἐπὶ τὰ αὐτά, τινὲς δὲ κατ’ αὐτῆς, ἐπὶ τὰ ἕτερα δὲ μηδεμία. [5] Τομέα δὲ στερεὸν καλῶ, ἐπειδὰν σφαῖραν κῶνος τέμνῃ κορυφὴν ἔχων πρὸς τῷ κέντρῳ τῆς σφαίρας, τὸ ἐμπεριεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τῆς ἐπιφανείας τοῦ κώνου καὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας ἐντὸς τοῦ κώνου. [6] Ῥόμβον δὲ καλῶ στερεόν, ἐπειδὰν δύο κῶνοι τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντες τὰς κορυφὰς ἔχωσιν ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ ἐπιπέδου τῆς βάσεως, ὅπως οἱ ἄξονες αὐτῶν ἐπ’ εὐθείας ὦσι κείμενοι, τὸ ἐξ ἀμφοῖν τοῖν κώνοιν συγκείμενον στερεὸν σχῆμα. 67

11 αἵ Heiberg et all. : καὶ codd.; ἔχουσιν D : habent B : ἔχουσαι CEGH || 19 τῷ κέντρῳ C : τὸ κέντρον DEGH

5

10

15

20

25


06 ARQUIMEDES LLIBRE I (064-160).qxt

20/10/10

LLIBRE I

17:23

Página 67

67

1. Hi ha en el pla determinades línies corbes limitades15 que, o bé són totes sobre el mateix costat16 de les rectes17 que uneixen els seus límits, o bé no tenen res sobre l’altre costat. 2. Anomeno, doncs, còncava sobre el mateix costat aquella línia en la qual, si prenem dos punts qualssevol, les rectes entre aquests punts, o bé cauen totes sobre el mateix costat de la línia, o bé unes sobre el mateix costat i les altres per la mateixa línia, i cap sobre l’altre costat. 3. D’una manera semblant, doncs, també hi ha superfícies limitades que, tot i no estar situades en un pla, però tenint els seus límits en un pla, o bé són totes sobre el mateix costat del pla en el qual tenen els límits, o bé no tenen res sobre l’altre costat. 4. Anomeno, doncs, còncaves sobre el mateix costat aquelles superfícies en les quals, si prenem dos punts qualssevol, les rectes entre aquests punts, o bé cauen totes sobre el mateix costat de la superfície, o bé unes sobre el mateix costat i les altres per la mateixa recta, i cap sobre l’altre costat. 5. I, quan un con talla una esfera, tenint el vèrtex en el centre de l’esfera, anomeno sector sòlid la figura compresa per la superfície del con i la superfície de l’esfera dins del con. 6. I, quan dos cons que tenen la mateixa base tinguin els vèrtexs sobre cadascun dels costats del pla de la base, de manera que els seus eixos estiguin tirats sobre una recta, anomenaré rombe sòlid la figura sòlida recomposta a partir d’ambdós cons.

15. Segons el comentari d’Eutoci, també s’inclouen entre les corbes les línies tipus ziga-zaga. El terme limitada exclou, també, les línies tancades (circumferències, per exemple), perquè tampoc no tenen límits. Per tant, les corbes han de ser limitades i obertes. 16. La noció de «sobre el mateix costat» no s’explica enlloc. Apareix per primer cop en El. I post. 5, i la forma completa és ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη, que és la que Euclides usa habitualment. 17. Usem el terme recta, i no segment, tot i que no es correspon a la noció moderna de recta. Vegeu la Notícia preliminar.


06 ARQUIMEDES LLIBRE I (064-160).qxt

20/10/10

17:23

Página 68

ΒΙΒΛΙΟΝ A´

Λαμβάνω δὲ ταῦτα· [1] Τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν γραμμῶν ἐλαχίστην εἴναι τὴν εὐθεῖαν. [2] Τῶν δὲ ἄλλων γραμμῶν, ἐὰν ἐν ἐπιπέδῳ οὖσαι τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχωσιν, ἀνίσους εἴναι τὰς τοιαύτας, ἐπειδὰν ὦσιν ἀμφότεραι ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοῖλαι, καὶ ἤτοι ὅλη περιλαμβάνηται ἡ ἑτέρα αὐτῶν ὑπὸ τῆς ἑτέρας καὶ τῆς εὐθείας τῆς τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχούσης αὐτῇ, ἢ τινὰ μὲν περιλαμβάνηται, τινὰ δὲ κοινὰ ἔχῃ, καὶ ἐλάσσονα εἶναι τὴν περιλαμβανομένην. [3] Ομοίως δὲ καὶ τῶν ἐπιφανειῶν τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν, ἐὰν ἐν ἐπιπέδῳ τὰ πέρατα ἔχωσιν, ἐλάσσονα εἶναι τὴν ἐπίπεδον. 68

7 ἑτέρας Barrow Heiberg et al. : altera B : ἑτέρας ἐπιφάνειας cett. codd.

5

10


06 ARQUIMEDES LLIBRE I (064-160).qxt

20/10/10

LLIBRE I

17:23

Página 68

68

I assumeixo això: 1. La menor18 de les línies que tenen els mateixos límits és la recta.19 2. I, de les altres línies, si trobant-se en un pla tenen els mateixos límits, dues línies20 són desiguals quan ambdues són còncaves sobre el mateix costat i, o bé una d’aquestes està tota continguda per l’altra i per la recta que té els mateixos límits que aquesta, o bé una part està continguda i l’altra la té en comú, i la més petita és la continguda. 3. I, d’una manera semblant, la més petita de les superfícies que tenen els mateixos límits, si tenen els límits en un pla, també és la superfície plana.21 18. El terme ἐλαχίστην, ‘menor’, és un hàpax en aquesta obra; Arquimedes usa sempre el comparatiu, mai més el superlatiu (com es pot veure en l’assumpció 3, on s’expressa una propietat equivalent per als plans). Algunes traduccions no sembla que s’adonin d’aquest fet. Podríem dir que és un recurs estilístic per destacar la importància de la propietat que s’enuncia: la menor de les línies que comparteixen els extrems és la recta. 19. A diferència d’altres traduccions, no considerem que la recta sigui el subjecte. Si fos així, podria semblar, erròniament, que es tracta d’una definició de recta. En aquest punt, seguim el criteri de Michel Federspiel, «Sur les emplois et les sens de l’adverve ἀεί dans les mathématiques grecques», Études Classiques, 4, 2004, 289-311. 20. A l’original no hi surt pas dues. El fet es deriva de la forma que tenen aquest tipus de construccions en la matemàtica grega. Els punts 1 i 2 formen una estructura unitària comparable a altres que apareixen en Euclides (v.g. El. III 7, 8, 15). Aquestes estructures presenten la forma següent (vegeu FEDERSPIEL, «Sur les emplois» cit.): 1. <superlatiu+genitiu> és <objecte> 2. de les altres, si en prenem dues, la menor (o la major) compleix <propietat>. Cal el punt 1 perquè a la recta no se li pot aplicar el punt 2. 21. Moltes edicions tradueixen pla, i no superfície plana. El text és clar, perquè hi apareix l’article femení. A més, Arquimedes diferencia entre la superfície plana i el pla, aquest darrer amb article neutre. De fet, Euclides (El. def. I 7) usa ἐπίπεδος ἐπιφάνεια (en femení) en la definició de pla, però en la resta del text sempre empra l’article neutre. Arquimedes, en canvi, se serveix altres vegades de l’article femení amb pla (cosa que indica que es refereix a una superfície plana), però majoritàriament usa el neutre. De les poques ocurrències en femení podem aventurar que Arquimedes escriu «superfície plana» quan la vora d’aquesta superfície la imagina irregular (és a dir no formada per rectes). No sembla que aquest matís tingui cap conseqüència pràctica.


06 ARQUIMEDES LLIBRE I (064-160).qxt

20/10/10

17:23

Página 69

ΒΙΒΛΙΟΝ A´

[4] Τῶν δὲ ἄλλων ἐπιφανειῶν καὶ τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν, ἐὰν ἐν ἐπιπέδῳ τὰ πέρατα ᾖ, ἀνίσους εἶναι τὰς τοιαύτας, ἐπειδὰν ὦσιν ἀμφότεραι ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοῖλαι, καὶ ἤτοι ὅλη περιλαμβάνηται ὑπὸ τῆς ἑτέρας ἡ ἑτέρα ἐπιφάνεια καὶ τῆς ἐπιπέδου τῆς τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχούσης αὐτῇ, ἢ τινὰ μὲν περιλαμβάνηται, τινὰ δὲ κοινὰ ἔχῃ, καὶ ἐλάσσονα εἶναι τὴν περιλαμβανομένην. [5] Ἔτι δὲ τῶν ἀνίσων γραμμῶν καὶ τῶν ἀνίσων ἐπιφανειῶν καὶ τῶν ἀνίσων στερεῶν τὸ μεῖζον τοῦ ἐλάσσονος ὑπερέχειν τοιούτῳ, ὃ συντιθέμενον αὐτὸ ἑαυτῷ δυνατόν ἐστιν ὑπερέχειν παντὸς τοῦ προτεθέντος τῶν πρὸς ἄλληλα λεγομένων. 69

5

10

[0]

Τούτων δὲ ὑποκειμένων, ἐὰν εἰς κύκλον πολύγωνον ἐγγραφῇ, φανερόν, ὅτι ἡ περίμετρος τοῦ ἐγγραφέντος πολυγώνου ἐλάσσων ἐστὶν τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας· ἑκάστη γὰρ τῶν τοῦ πολυγώνου πλευρῶν ἐλάσσων ἐστὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας τῆς ὑπὸ τῆς αὐτῆς ἀποτεμνομένης.

1 καὶ CDEGH : om. B || 4 ἡ add. Heiberg

15


06 ARQUIMEDES LLIBRE I (064-160).qxt

20/10/10

LLIBRE I

17:23

Página 69

69

4. I, de les altres superfícies que també tenen els mateixos límits, si els límits són en un pla, dues superfícies22 són desiguals quan ambdues són còncaves sobre el mateix costat i, o bé una superfície està tota continguda per l’altra i per la superfície plana que té els mateixos límits que aquesta, o bé una part està continguda i l’altra la té en comú, i la més petita és continguda. 5. I, a més, la més gran de dues línies desiguals (i de dues superfícies desiguals i de dos sòlids desiguals) supera la més petita en una quantitat tal que, afegida a ella mateixa, és possible superar tota quantitat proposada de les que diem que, l’una respecte de l’altra, <tenen relació>.23 024 I suposant el mateix, si inscrivim un polígon en un cercle, és clar que el perímetre del polígon inscrit és més petit que la circumferència del cercle, ja que cadascun dels costats del polígon és més petit25 que la circumferència del cercle retallat per aquest.

22. Vegeu n. 20. 23. Aquesta assumpció és l’anomenada propietat d’arquimedianitat, i en essència afirma que la diferència entre dues quantitats homogènies qualssevol diferents ha de ser del mateix tipus que les quantitats implicades; dit d’una altra manera, que aquesta diferència no pot ser una quantitat infinitesimal. Aquesta propietat dóna una bona mesura de la maduresa a què havien arribat les matemàtiques gregues: per bé que no s’usen quantitats infinitesimals (llevat del Mètode), això no es deu pas al fet que el concepte hagués passat desapercebut, sinó més aviat al fet que no s’havia aconseguit un desenvolupament teòric i tècnic prou sòlid que permetés la manipulació d’infinitesimals. 24. Gairebé cap edició no indica aquest resultat com una proposició, perquè és gairebé evident. Ara, atès que no correspon a les definicions i assumpcions, i és diferent de la següent proposició, hem optat per segregar-la, tot atorgant-li el número 0, per evitar haver de numerar les altres proposicions de nou. 25. Assumpció 1.


06 ARQUIMEDES LLIBRE I (064-160).qxt

20/10/10

17:23

Página 70

ΒΙΒΛΙΟΝ A´ α´

[α´]

70

Ἐὰν περὶ κύκλον πολύγωνον περιγραφῇ, ἡ τοῦ περιγραφέντος πολυγώνου περίμετρος μείζων ἐστὶν τῆς περιμέτρου τοῦ κύκλου. Περὶ γὰρ κύκλον πολύγωνον περιγεγράφθω τὸ ὑποκείμενον. λέγω, ὅτι ἡ περίμετρος τοῦ πολυγώνου μείζων ἐστὶν τῆς περιμέτρου τοῦ κύκλου. Ἐπεὶ γὰρ συναμφότερος ἡ ΒΑΛ μείζων ἐστὶ τῆς ΒΛ περιφερείας διὰ τὸ τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαν περιλαμβάνειν τὴν περιφέρειαν, ὁμοίως δὲ καὶ συναμφότερος μὲν ἡ ΔΓ, ΓΒ τῆς ΔΒ, συναμφότερος δὲ ἡ ΛΚ, ΚΘ τῆς ΛΘ, συναμφότερος δὲ ἡ ΖΗΘ τῆς ΖΘ, ἔτι δὲ συναμφότερος ἡ ΔΕ, ΕΖ τῆς ΔΖ, ὅλη ἄρα ἡ περίμετρος τοῦ πολυγώνου μείζων ἐστὶ τῆς περιφερείας τοῦ κύκλου. Α

Λ

Β

Κ

Γ

Δ

Θ

Ε

Ζ

Η

5

10


06 ARQUIMEDES LLIBRE I (064-160).qxt

20/10/10

17:23

Página 70

70

LLIBRE I 1

1 Si circumscrivim un polígon al voltant d’un cercle, el perímetre del polígon circumscrit és més gran que el perímetre del cercle.26 En efecte, hem circumscrit un polígon, el proposat, al voltant d’un cercle. Jo dic que el perímetre del polígon és més gran que el perímetre del cercle. En efecte, atès que ΒΑΛ, conjuntament, és més gran que la circumferència ΒΛ, pel fet que tenen els mateixos límits i que <ΒΑΛ> conté la circumferència27 i, d’una manera semblant, també ΔΓ i ΓΒ, conjuntament, és més gran que ΔΒ, mentre que ΛΚ i ΚΘ, conjuntament, més gran que ΛΘ, i ΖΗΘ, conjuntament, més gran que ΖΘ i, a més, ΔΕ i ΕΖ, conjuntament, que ΔΖ, aleshores, tot el perímetre del polígon és més gran que la circumferència del cercle. Α Β

Λ

Γ Κ Δ Ε Θ

Ζ

Η

26. Curiosa expressió que substitueix l’habitual circumferència del cercle. El terme perímetre l’usa exclusivament, llevat d’aquest cas, per a designar el perímetre de polígons tancats. 27. Assumpció 2.


06 ARQUIMEDES LLIBRE I (064-160).qxt

71

20/10/10

17:23

Página 71

ΒΙΒΛΙΟΝ A´ β´

[β´]

Δύο μεγεθῶν ἀνίσων δοθέντων δυνατόν ἐστιν εὑρεῖν δύο εὐθείας ἀνίσους, ὥστε τὴν μείζονα εὐθεῖαν πρὸς τὴν ἐλάσσονα λόγον ἔχειν ἐλάσσονα ἢ τὸ μεῖζον μέγεθος πρὸς τὸ ἔλασσον. Ἔστω δύο μεγέθη ἄνισα τὰ ΑΒ, Δ, καὶ ἔστω μειζον τὸ ΑΒ. λέγω, ὅτι δυνατόν ἐστι δύο εὐθείας ἀνίσους εὑρεῖν τὸ εἰρημένον ἐπίταγμα ποιούσας. Κείσθω [διὰ τὸ β´ τοῦ α´ τῶν Εὐκλείδου] τῷ Δ ἴσον τὸ ΒΓ, καὶ κείσθω τις εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΖΗ· τὸ δὴ ΓΑ ἑαυτῷ ἐπισυντιθέμενον ὑπερέξει τοῦ Δ. πεπολλαπλασιάσθω οὖν, καὶ ἔστω τὸ ΑΘ, καὶ ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΘ τοῦ ΑΓ, τοσαυταπλάσιος ἔστω ἡ ΖΗ τῆς ΗΕ· ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ΘΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς ΗΕ. καὶ ἀνάπαλίν ἐστιν, ὡς ἡ ΕΗ πρὸς ΗΖ, οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς ΑΘ. καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστιν τὸ ΑΘ τοῦ Δ, τουτέστι τοῦ ΓΒ, τὸ ἄρα ΓΑ πρὸς τὸ ΑΘ λόγον ἐλάσσονα ἔχει ἤπερ τὸ ΓΑ πρὸς ΓΒ. ἀλλ᾽ ὡς τὸ ΓΑ πρὸς ΑΘ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς ΗΖ. ἡ ΕΗ ἄρα πρὸς ΗΖ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΓΑ πρὸς ΓΒ. καὶ συνθέντι ἡ ΕΖ ἄρα πρὸς ΖΗ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΑΒ πρὸς ΒΓ [διὰ λῆμμα]. ἴσον δὲ τὸ ΒΓ τῷ Δ· ἡ ΕΖ ἄρα πρὸς ΖΗ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Δ.

3 ἢ τὸ μεῖζον BDEGH : ἤτοι μείζων C || 5 ἔστω BC : ὥστε DEGH; μεῖζον DEGH : μείζων C; τὸ C : τὰ DEGH || 8 κείσθω διὰ τὸ β᾽ τοῦ α᾽ τῶν Εὐκλείδου codd. Heiberg et al. : secl. Netz || 11 ἡ G : τὸ CDEGH || 16 ἀλλ᾽ ὡς τὸ ΓΑ πρὸς ΑΘ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς ΗΖ. ἡ ΕΗ ἄρα πρὸς ΗΖ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΓΑ πρὸς ΓΒ C : om. BDEGH; ἄρα codd. : secl. Heiberg

5

10

15

20


01 APOLLODOR PLEC (1-7).qxt:01 PLEC_001-006.qxt

14/10/10

08:14

Pรกgina 2


09 ARQUIMEDES RESULTATS (202-212).qxt:03 HERODOT IV

212 El. XII 12

El. XII 13

El. XII 14

El. XII 15

20/10/10

17:29

RESULTATS D’EUCLIDES

Οἱ ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ἐν ταῖς βάσεσι διαμέτρων. Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔσται ὡς ὁ κύλινδρος πρὸς τὸν κύλινδρον, οὕτως ὁ ἄξων πρὸς τὸν ἄξονα.

Els cons i els cilindres semblants són l’un amb l’altre en una raó triple dels diàmetres en les bases. Si tallem un cilindre amb un pla que és paral·lel als plans oposats, com el cilindre respecte del cilindre, així serà l’eix respecte de l’eix.

Οἱ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντες κῶνοι Els cons i els cilindres que καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους són sobre bases iguals són εἰσὶν ὡς τὰ ὕψη. l’un amb l’altre com les altuΤῶν ἴσων κώνων καὶ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν· καὶ ὧν κώνων καὶ κυλίνδρων ἀντι πεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσοι εἰσὶν ἐκεῖνοι.

res.

Les bases dels cons i dels cilindres iguals són inversament proporcionals a les altures; i els cons i els cilindres les bases dels quals són inversament proporcionals a les altures són iguals.

Página 212


10 ARQUIMEDES INDEX (213-214).qxt:19 Index general (146-)

20/10/10

ÍNDEX

Introducció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Bibliografia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Sigla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Llibre primer Notícia preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Text i traducció. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51 64

Llibre segon Notícia preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Text i traducció. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163 168

Resultats d’Euclides emprats en Sobre l’esfera i el cilindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

203

17:29

Página 21


10 ARQUIMEDES INDEX (213-214).qxt:19 Index general (146-)

20/10/10

17:29

Pรกgina 21


Sobre l'esfera i el cilindre