Nou Biaix, 45

17850_NB45 coberta (5 mm).pdf 17/02/2020 7:20:58 - 1 - ( )

45

noubiaix

45

f ee mcat Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya

ISSN 2014-2021

9 772014 202008

45

Desembre 2019

noubiaix

Revista de la FEEMCAT i de la SCM

Desembre 2019

editorial

2009-2010• 3 desembre 2019 1

editorial

‘‘No es tracta de fer aprendre definicions que, sovint, semblen exigències absurdes i es limiten a paraules sense sentit apreses de memòria. Cal incitar els alumnes, a través de problemes motivats per una dinàmica concreta i de les diverses qüestions de la realitat en què vivim, a construir ells mateixos les matemàtiques amb l’ajut del professor. Un ensenyament d’aquest tipus converteix les matemàtiques en una disciplina de les mes engrescadores.’’

Emma Castelnuovo (1981)

El treball en equip, ja sigui en cooperació, ja sigui en col¨laboració, és una de les competències que els experts situen com a fonamentals en l’ensenyament de qualsevol disciplina. Tant la Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya (FEEMCAT) com la Societat Catalana de Matemàtiques (SCM) ja fa força anys que l’han inclòs en les seves propostes d’activitats adreçades a estudiants. Per aquest motiu, es van posar en marxa diversos concursos i activitats amb l’objectiu que els seus participants resolguessin problemes treballant en equip, dues capacitats fonamentals. Així, tal com explicàvem en el número anterior, va aparèixer el Fem Matemàtiques adreçat a estudiants d’onze a catorze anys i, més recentment, el `Mates i els Problemes a l’esprint i la copa Cangur, entre d’altres, que cobreixen un ventall d’edats diferents, des de l’educació primària fins al batxillerat.

Però aquesta col¨laboració no només s’estén a les activitats adreçades a estudiants, sinó que també impregna molts dels projectes que desenvolupem. N’és un exemple la revista que teniu a les mans, Nou Biaix, un exemple de col¨laboració entre la SCM i la FEEMCAT que va sortir a la llum el setembre del 2011.

I un exemple molt més ampli d’aquesta col¨laboració que s’intenta que impregni tota la nostra manera de fer és el Premi Maria Antònia Canals. En el curs 2012-2013 les societats SBM-Xeix (Societat Balear de Matemàtiques) i Al-Khwarizmi (Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana, SEMCV) es van incorporar a la convocatòria i des d’aleshores es decideixen conjuntament les bases i els guanyadors.

A punt de tancar aquest número i amb temps per incloure-ho en l’editorial, hem rebut l’excel¨lent notícia de l’atorgament del Premi Maria Antònia Canals 2019 a Antoni Gomà, que valora la seva trajectòria vital en el món de l’educació i especialment de les matemàtiques.

2 noubiaix 45

Llegiu l’entrevista que li vam fer quan encara no coneixíem la notícia i us adonareu de seguida de l’encert del premi que la FEEMCAT, SCM, SEMCV i SBM-Xeix li han atorgat. Des del consell de redacció de la revista volem donar-li l’enhorabona.

Val a dir que l’entrevista l’ha realitzat Carles Barceló, professor emèrit de la Universitat de Girona, i fa un recorregut molt interessant, i de lectura obligada, per un període de temps que va estar farcit d’innovacions i de problemes.

A banda d’aquesta magnífica entrevista, també podreu llegir les seccions habituals i un recull d’articles de diferents nivells educatius.

La Rosario Delgado ens parla en la seva col¨laboració de les xarxes bayesianes, models matemàtics probabilístics, molt importants per a l’avaluació de riscos, un tema important en una societat on la incertesa cada vegada té un pes més important.

Joaquim Reyes ens mostra el canvi metodològic que va representar treballar amb material manipulatiu en l’àmbit de les matemàtiques a l’Escola Las Seguidillas de Badia del Vallès, i també amb aspectes significatius relacionats amb l’entorn on és situada l’escola.

La comunicació, com a procés fonamental en l’àmbit de les matemàtiques, és el punt de partida de la col¨laboració de Martí Cuquet i Agnes Schlüter, professors de matemàtiques i de català de l’Institut Domus d’Olivet. I ens mostren una col¨laboració triple, Matemàtic, Lingüístic i Digital. En aquest últim, amb la Viquipèdia de fons. Una experiència realitzada a tercer d’ESO. En les seccions, en aquest número trobareu la informació de les activitats que s’han realitzat durant aquest darrer any. És a dir, es presentaran la informació que han recollit, com l’han classificat i ordenat i com els docents s’han implicat en aquesta elaboració. I, sobretot, ens parlen dels propers passos que es desenvoluparan.

En la secció dedicada a l’oriflèxia, Jaume Coll parla dels diferents mosaics i tessel¨les que podem trobar a l’Alhambra de Granada. Ens situa en el que entenem per mosaic i després ens mostra com podem obtenir-los plegant paper. ‘‘Pensar d’un minut a una hora’’ és la secció on Jordi Deulofeu, a partir de problemes, ens fa donar voltes a les diferents situacions que ens proposa. En aquest número ens presenta quatre problemes joc per a dos jugadors que fàcilment podem portar a l’aula.

En la darrera secció de la revista mostrem com es generen els problemes del concurs Fem Matemàtiques. S’ha format un grup de treball per tal d’elaborar-los de manera conjunta, i això posa de manifest que una de les característiques de tot l’ecosistema català de treball matemàtic és la col¨laboració i cooperació entre els seus membres.

desembre 2024 5

articles

articles

4 noubiaix 45

Xarxes bayesianes: una metodologia per a avaluar riscos Rosario Delgado Departament de Matemàtiques Universitat Autònoma de Barcelona

Resum En aquest article presentem les xarxes bayesianes, que són models matemàtics probabilístics que es fan servir per modelar situacions en contextos d’incertesa i complexitat. Es poden fer servir, en particular, per a l’avaluació de riscos, és a dir, per estimar la probabilitat de fenòmens amb efectes negatius. Introduïm aquesta metodologia a partir d’exemples i presentem la fórmula de la probabilitat total i la fórmula de Bayes com a eines per actualitzar l’avaluació dels riscos. També parlem de (cor)relacions espúries i factors de confusió, i de com es pot fer servir l’odds ratio (o raó de versemblances) per valorar el pes de les evidències.

Abstract In this paper we introduce the Bayesian networks, which are probabilistic mathematical models that are used to model situations in contexts of uncertainty and complexity. They can be used, in particular, for the evaluation of risks, that is to say, to estimate the probability of phenomena with negative effects. We introduce this methodology from examples and present the Total Probability Formula and Bayes’ Formula, as tools to update the risk assessment. We also talk about spurious (cor)relationships and confounding factors, and about how the odds ratio (or likelihood ratio) can be used to assess the weight of the evidence.

1. Introducció En aquest article presentarem les xarxes bayesianes, que són una metodologia que es pot fer servir en contextos on hi ha incertesa per a l’avaluació del risc, és a dir, per estimar la probabilitat d’un fenomen amb efectes negatius. És, per tant, una metodologia probabilística en essència. Consisteix a construir un model matemàtic probabilístic (que acabarà sent estadístic, ja que els paràmetres del model, que són probabilitats, s’estimaran a partir d’una base de dades) per representar les relacions de dependència entre les variables que afecten el fenomen. Un cop construït el model, es pot fer servir per estimar el risc en diferents escenaris i ajudar en la presa de decisions.

desembre 2019 5

Introduirem la metodologia a partir d’exemples i també tractarem altres aspectes relacionats amb aquesta, com són les (cor)relacions espúries i els factors de confusió, que poden representar-se i ser entesos molt millor mitjançant les xarxes bayesianes.

Com acabem de dir, les xarxes bayesianes són models matemàtics probabilístics que es fan servir per modelar situacions en contextos d’incertesa i complexitat i, segons l’opinió de molts investigadors del camp de recerca de la intel¨ ligència artificial, la contribució més important en aquest àmbit en els darrers anys ([9]). Trobar la millor manera de raonar en situacions d’incertesa ha estat sempre un tema de preocupació per als científics.

La intel¨ligència artificial, si mai arriba a existir en sentit literal, serà una intel¨ligència desenvolupada pels humans però implementada com un mecanisme que, sens dubte, haurà de ser capaç de raonar lògicament i de fer front a la incertesa. És a dir, haurà de ser capaç de raonar probabilísticament, i així podrà tractar amb evidències que porten a creences basades en un coneixement incomplet, a partir de les quals s’arriba a conclusions fal¨libles, i podrà reconèixer la necessitat d’aprendre dels errors i de millorar. Per entendre el raonament humà tal com és, és a dir, restringit per la ignorància i la incertesa, l’únic mitjà de què disposem és la teoria de la probabilitat, que ens permet entendre i representar de manera adient la força de les nostres creences i el nostre grau d’incertesa mitjançant la probabilitat, i aplicar les eines de dita teoria per arribar a conclusions.

En una forma molt embrionària, la metodologia de les xarxes bayesianes es va començar a desenvolupar al segle XVII i des de llavors ha estat utilitzada per abordar una gran varietat de problemes que, tanmateix, han hagut de restringir-se quant a la seva mida i complexitat, a causa de la demanda computacional de fer front a problemes de grans dimensions. Fins i tot treballant amb versions simplificades de problemes reals, els humans tenim dificultats per fer els càlculs probabilístics necessaris per resoldrel’s. El desenvolupament de les xarxes bayesianes facilita aquest procés, automatitzant-lo i evitant així aquestes dificultats. D’altra banda, tant les millores en la capacitat computacional dels ordinadors actuals, com la facultat de les xarxes bayesianes d’aprofitar des d’un punt de vista computacional les relacions d’independència entre algunes variables del model, que és un dels seus trets més distintius, permetran en el futur ampliar i aprofundir en l’estudi del raonament probabilístic.

Ja de manera més formal, les xarxes bayesianes van ser introduides en la dècada de 1920, encara que no amb el nom i la nomenclatura actuals, com a eina gràfica que descriu el coneixement probabilístic de les relacions entre variables que afecten un determinat fenomen no determinista. Des de llavors han demostrat la seva enorme utilitat en els procediments de presa de decisions en un gran nombre de camps, i el seu ús per a l’avaluació de riscos està guanyant popularitat dia a dia i inclou aplicacions en àrees tan diverses com l’economia ([1]), la medicina ([18], [4], [20]), el risc mediambiental ([3], [17]), els desastres ecològics ([19]), els accidents amb residus nuclears ([10]) o la criminologia ([5, 6]), per esmentar alguns exemples.

El terme xarxa bayesiana i la metodologia en si, ja en el seu format actual, apareixen per primera vegada l’any 1985 en l’article A Model of Self-Activated Memory for Evidential Reasoning [15], de Judea Pearl (figura 1 (b)), enginyer, informàtic i filòsof nord-americà, on posa en relleu el paper fonamental que en aquesta metodologia té la fórmula de Bayes, introduïda pel matemàtic britànic i ministre presbiterià Thomas Bayes (figura 1 (a)) en el seu famós treball

6 noubiaix 45

(a) T. Bayes (Londres, 1702 ´ Tunbridge Wells, 1761).

(b) J. Pearl (Tel Aviv, 1936).

Figura 1

An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances [2], publicat pòstumament el 1763, justament 222 anys abans que el de Pearl. En aquest treball, Bayes tracta el problema de les causes mitjançant els efectes observats i enuncia la fórmula que porta el seu nom, de la qual parlarem en aquest article, presentant-la com a eina bàsica per tal d’actualitzar les probabilitats, que són una mesura de les nostres creences, a partir de noves evidències.

Juntament amb [15], el text que va marcar una nova era en l’aplicació del raonament probabilístic en la intel¨ligència artificial és el llibre del mateix autor, Probabilistic Reasoning in Intelligent Systems (1988) [16]. Va influir decisivament en altres investigadors, que es van sentir atrets per aquesta metodologia, com va ser el cas de Richard Neapolitan, que el 1990 va publicar Probabilistic Reasoning in Expert Systems [12], un llibre de text que complementa els de Pearl i és una referència bàsica per introduir-se en aquest tema. Aquests textos van establir les xarxes bayesianes com un camp d’estudi perfectament definit i delimitat, amb una gran projecció de futur i una enorme versatilitat i potencialitat quant a les aplicacions als àmbits més variats.

Com ja hem comentat, una de les aplicacions de més èxit de les xarxes bayesianes és l’avaluació de riscos. És en aquesta aplicació que ens centrarem en aquest article. A la secció 2 parlarem de què és el risc i com avaluar-lo. Primer presentarem l’aproximació tradicional i després, la nova eina per fer-ho: les xarxes bayesianes. Introduirem tant aquesta metodologia com la condició de Markov, la fórmula de la probabilitat total i la fórmula de Bayes, íntimament relacionades amb ella. Finalment, a la secció 3 parlarem de com es poden presentar les evidències mitjançant l’odds ratio, i de la seva interpretació.

L’objectiu de l’article és contribuir que es pugui entendre millor com les probabilitats ens ajuden a representar el nostre coneixement i les relacions entre variables que afecten fenòmens d’interès, i a interpretar la realitat, evitant errors i prejudicis. En definitiva, com ens ajuden a tenir una visió més crítica i a entendre millor el món que ens envolta.

desembre 2019 7

2. Avaluació del risc

2.1. El risc Segons la definició donada per l’organisme Committee of Sponsoring Organizations of the Treadway Commission1 el 2004, el risc és un esdeveniment que pot tenir conseqüències negatives. En canvi, d’un esdeveniment que pot tenir conseqüències positives en diem una oportunitat. Amb un abús del llenguatge, també s’anomena risc una mesura numèrica associada a l’esdeveniment que pot tenir conseqüències negatives. És en aquest sentit que farem servir aquest terme a partir d’ara.

Donat un esdeveniment que pot tenir conseqüències negatives, estimar el seu risc associat ens permetrà prendre decisions que ajudin a intentar evitar-ho o a pal¨liar les seves conseqüències. Exemples d’esdeveniments pels quals podem estar interessats en estimar el risc serien les catàstrofes naturals o les provocades per l’home. Una catàstrofe és, per definició, un escenari amb una baixa probabilitat de produir-se però amb unes conseqüències desastroses... Segons Craig Fugate, de la Federal Emergency Management Agency dels Estats Units, «treballant ara sobre els plans d’emergència, estarem millor preparats quan necessitem respondre a un esdeveniment així». L’emfàsi és, per tant, en la prevenció. I la prevenció passa per una estimació prou acurada del risc que es produeixi la catàstrofe.

Són catàstrofes naturals les erupcions volcàniques, com la del Kilauea, el més actiu dels cinc volcans de l’arxipèlag de Hawaii, que va entrar en erupció el maig del 2018 i, segons els experts, pot continuar durant mesos i, fins i tot, anys, provocant que rius de pedra fosa, fum i cendres corrin pel sud-est de l’illa Gran fins a les aigües del Pacífic. Altres catàstrofes són les tempestes tropicals, els ciclons i els huracans, així com les fortes inundacions o les tempestes de sorra, per esmentar-ne algunes.

A banda d’aquestes catàstrofes que es produeixen al si del nostre planeta, d’altres poden ser provocades des de l’exterior. Per exemple, la Terra es troba sota un bombardeig gairebé constant de partícules carregades que li arriben des de l’espai i que poden ser perjudicials.

La principal font d’aquestes partícules és el Sol. Les tempestes (o vents) solars causades per les flamarades solars, que són explosions que es produeixen a la nostra estrella i causen una expulsió de massa de la corona, ens fan arribar radiació electromagnètica que pot arribar massivament a la magnetosfera (zona d’aproximadament 100 Km al voltant de la Terra en la qual el camp magnètic terrestre desvia la major part del vent solar formant un escut protector contra les partícules carregades d’alta energia procedents del Sol) i aconseguir travessar-la, de manera que interferirà greument amb els satèl¨lits, els senyals de GPS i les ones de ràdio.

El 1859 es va produir una tempesta solar extremament forta en un moment en el qual la humanitat ja estava suficientment desenvolupada per notar les seves conseqüències, encara que no van ser gaire greus: afectacions al telègraf i els aparells elèctrics, i aurores boreals en punts del planeta on no es produïen mai. Aquest fenomen va rebre el nom d’esdeveniment 1. Aquest organisme és una iniciativa conjunta per combatre el frau corporatiu que va ser establerta als Estats Units per les cinc organitzacions del sector privat següents: American Accounting Association, American Institute of Certified Public Accountants, Financial Executives International, The Association of Accountants and Financial Professionals in Business i The Institute of Internal Auditors. Es dedica a guiar les administracions executives i les entitats de govern en aspectes rellevants de governança organitzativa, ètica empresarial, control intern, gestió de riscos empresarials, fraus i informes financers.

8 noubiaix 45

Carrington en honor del científic anglès que el va descriure. Segons els científics, més tard o més d’hora es tornarà a produir. I ara les seves conseqüències seran molt més greus per a tots nosaltres.

També de l’espai arriben els meteorits. El cràter Manicouagan (figura 2) és possiblement degut a l’impacte d’un meteorit de 5 Km de diàmetre que es va produir fa aproximadament uns 215,5 milions d’anys.

Figura 2. Cràter Manicouagan (Canadà). Fotografia de la NASA.

Hi ha un altre cràter més recent, d’uns 180 Km de diàmetre, a la península mexicana del Yucatán, anomenat Chicxulub, datat fa uns 65 milions d’anys. Molts científics creuen que la caiguda del meteorit que el va crear és la causa de l’extinció dels dinosaures. Es tractaria d’un dels meteorits que s’anomenen «destructors totals».

Podem valorar el risc de patir una catàstrofe? I podem estimar com aquest risc quedaria afectat si es prenen determinades mesures per intentar evitar-la, o per pal¨liar les seves conseqüències?

2.2. Aproximació tradicional La manera tradicional d’estimar el risc és multiplicar la probabilitat de l’esdeveniment amb conseqüències negatives per una mesura del seu impacte (negatiu), segons aquesta fórmula: risc “ probabilitat ˆ impacte Vegem ara amb un exemple senzill que aquesta aproximació és excessivament simplista i ha de ser substituida per una de més elaborada.

Un exemple: Armaggeddon Armaggeddon és el títol d’una pel¨lícula del 1998 dirigida per Michael Bay i protagonitzada per Bruce Willis, Ben Affleck i Liv Tyler. També és un terme bíblic que fa referència a la fi ca-

desembre 2019 9

tastròfica del món. El seu argument és el següent: els investigadors de la NASA descobreixen un meteorit destrutor total que va directe cap a la Terra i decideixen enviar-hi un grup de perforadors petroliers, dirigit pel personatge interpretat per Bruce Willis (figura 3), per tal de col¨locar unes bombes i fer-lo explotar, a fi d’evitar la col¨lisió.

Figura 3. L’equip de perforadors de la pel¨lícula Armaggeddon quan comencen la seva missió.

El món s’enfronta, doncs, a un esdeveniment amb conseqüències molt negatives: la col¨lisió del meteorit, una veritable catàstrofe! L’Armaggeddon es produiria com a conseqüència de la col¨lisió i es podria definir com una pèrdua total al planeta del 80% o més de vides humanes.

Si intetem calcular el risc de col¨lisió fent servir l’aproximació tradicional, ens trobem amb algunes dificultats. Per començar, no podem mesurar directament la probabilitat que es produeixi sense aprofundir una mica més... Per exemple, si segons els científics de la NASA la trajectòria del meteorit passa per la Terra, la probabilitat que es produeixi la col¨lisió seria 1..., però si és 1, quin sentit té enviar un equip a intentar evitar-la?

De fet, la probabilitat que el meteorit col¨lideixi contra la Terra està condicionada per altres esdeveniments (com la intervenció per intentar destruir-lo) i no té sentit assignar-li un valor directament sense tenir-los en compte.

Tampoc no podem obtenir de manera clara una mesura de l’impacte que tindria la col¨lisió del meteorit. A banda de la pregunta òbvia: «impacte sobre què?», és clar que no podem mesurar-ho sense considerar les possibles accions mitigants (com ara allotjar la quantitat més gran possible de gent en refugis subterranis tan lluny com sigui possible de la zona d’impacte).

Què podem fer per estimar el risc en aquesta situació? Construirem un model matemàtic probabilístic que permeti incloure tots els esdeveniments que poden condicionar tant la

10 noubiaix 45

probabilitat que es produeixi la col¨lisió del meteorit contra la Terra, com l’impacte que aquest fet tindria.

2.3. Aproximació mitjançant xarxes bayesianes Si continuem amb l’exemple de l’Armaggeddon, ens podem preguntar com serà el model matemàtic probabilístic que farem servir per a avaluar el risc associat a la col¨lisió del meteorit contra la Terra. Serà una representació gràfica de les relacions que hi ha entre les diferents variables que són rellevants en aquesta situació, és a dir, variables que afectin el risc associat a la col¨lisió del meteorit contra la Terra. Fent-lo servir, podrem realment avaluar aquest risc i prendre mesures.

Primer fem una versió simplificada. Considerem només dues variables per començar: X: Trajectòria de col¨lisió (Sí/No), i Y: Col¨lisió amb la Terra (Sí/No). La segona variable indica si realment es produeix la col¨lisió del meteorit amb el nostre planeta, que és l’esdeveniment de resultat negatiu que ens interessa, i està condicionada per la primera, que es refereix a si la trajectòria actual del meteorit és realment de col¨lisió, cas en el qual la col¨lisió es produirà, i que actua com a activador. En cas contrari, la col¨lisió no es produirà. Per tant, tindriem la representació gràfica de la figura 4, amb les probabilitats corresponents.

0,999 0,001

1,0

0,0

0,0

1,0

Figura 4. El primer pas en la construcció de la xarxa bayesiana per a l’exemple Armaggeddon.

En aquesta representació gràfica hi ha dos nodes que corresponen a les dues variables, amb una fletxa que indica la relació entre elles. Quant a les probabilitats, la taula de probabilitat de la variable Y: Col¨lisió amb la Terra condicionada a X: Trajectòria de col¨lisió, és prou intuïtiva.

La taula de probabilitats de la variable X: Trajectòria de col¨lisió, ens indica que creiem que els científics de la NASA han calculat bé la trajectòria del meteorit amb una probabilitat de 999 sobre 1.000, però que amb una probabilitat d’1 sobre 1.000 creiem que s’equivoquen i, en realitat, la trajectòria del meteorit no és de col¨lisió contra la Terra.

En un segon pas tindrem en compte també el possible efecte de l’expedició dels perforadors enviats per destruir el meteorit. Introduïm, doncs, una tercera variable: Z: Explosió meteorit (Sí/No), que és una mesura de control i ens indica si l’expedició aconsegueix amb èxit produir l’explosió del meteorit. Aquesta variable afecta la col¨lisió del meteorit, però no si la seva

desembre 2019 11

trajectòria actual és de col¨lisió. Per tant, quan l’afegim al nostre model inicial tindrem el nou model que ens mostra la figura 5, on la probabilitat de la variable Y: Col¨lisió amb la Terra ara està condicionada no només per X: Trajectòria de col¨lisió, sinó també per Z: Explosió meteorit, que són els seus «pares2 ». En efecte, si la trajectòria no és de col¨lisió, passi el que passi amb l’explosió del meteorit, amb probabilitat 1 no es produirà la col¨lisió amb la Terra (no considerem la possibilitat d’extrema mala sort consistent que el meteorit inicialment no té una trajectòria de col¨lisió amb la Terra però gràcies a l’èxit de l’expedició per fer-lo explotar, es desvia de la seva trajectòria original i la nova trajectòria sí que és de col¨lisió contra el nostre planeta). D’altra banda, si la trajectòria és de col¨lisió i l’expedició no aconsegueix fer explotar el meteorit, és a dir, fracassa, es produeix la col¨lisió amb seguretat (probabilitat 1), mentre que si l’expedició se’n surt, amb una probabilitat del 80% no es produeix la col¨lisió amb la Terra, però encara hi ha un 20% de probabilitat que l’efecte no sigui el desitjat i, tot i produir-se l’explosió, el meteorit acabi col¨lidint contra nosaltres. A més, creiem que en Bruce Willis i el seu equip tenen només una probabilitat d’èxit del 10% (taula de probabilitat de la variable Z en la figura 5). Sembla poc, però les condicions de la tasca són molt extremes, com es pot comprovar si es veu la pel¨lícula!

0,999 0,001

0,10 0,90

0,2

1,0

0,0

0,0

0,8

0,0

1,0

1,0

Figura 5. Segon pas en la construcció de la xarxa bayesiana per a l’exemple Armaggeddon.

Finalment, acabem de contruir el model considerant l’efecte mitigant de les conseqüències negatives de la col¨lisió del meteorit que s’obtindria refugiant la població sota terra, amb la variable T: Refugi subterrani (Sí/No), que indica si la mesura mitigant de refugi de la població s’ha pogut implementar amb èxit. El resultat negatiu de l’esdeveniment de la col¨lisió del meteorit amb el planeta seria la pèrdua de vides humanes, que si és massiva (almenys un 80% de la població mundial) anomenem Armaggeddon. Aquest resultat es representa per la variable W: Armaggeddon (Sí/No). A la figura 6 veiem el model final, amb totes les variables incorporades.

Només hem afegit les dues noves variables T i W, tenint en compte que T: Refugi subterrani només afecta W: Armaggeddon (i no la resta de variables), de la qual és pare juntament amb Y: Col¨lisió amb la Terra. Per tant, la taula de probabilitat condicionada de la variable W: Armag2. En la terminologia habitual de les xarxes bayesianes, en diem pares d’una variable o node als nodes que li envien una fletxa en la representació gràfica, dels quals depèn directament i n’és un fill. Quan un node no té pares, en diem que és un node arrel; quan no té fills, és a dir, nodes dels quals sigui pare, en diem que és un node fulla; i de la resta de nodes en diem que són intermedis. Del conjunt de nodes als quals es pot anar seguint en la direcció de les fletxes des d’un node fixat, se’n diu descendents del node, mentre que els seus ancestres són els nodes als quals es pot anar seguint en el sentit invers de les fletxes, és a dir, els nodes dels quals és descendent.

12 noubiaix 45

geddon depèn de Y: Col¨lisió amb la Terra i de T: Refugi subterrani, i de la resta de variables del model només a través de la primera. Si no es produeix la col¨lisió, independentment de l’èxit de la mesura mitigant, no es produirà l’Armaggeddon amb probabilitat 1. En canvi, si es produeix la col¨lisió, la probabilitat d’Armaggeddon dependrà de l’èxit de la mesura mitigant: si fracassa, l’Armaggeddon és segur (probabilitat 1), mentre que si té èxit, només es produeix amb probabilitat del 60%. D’altra banda, creiem que la probabilitat que la mesura del refugi subterrani es pugui acabar implementant és del 30% (taula de probabilitat de la variable T en la figura 6).

El model que acabem de construir (figura 6), és una xarxa bayesiana.

0,999

0,10

0,001

0,90

0,30 0,2

1,0

0,0

0,0

0,8

0,0

1,0

1,0

0,70

W: Armaggeddon

Probabilitat d‘Armaggeddon

Armaggeddon

0,6

1,0

0,0

0,0

0,4

0,0

1,0

1,0

Figura 6. Pas final en la construcció de la xarxa bayesiana per a l’exemple Armaggeddon.

2.4. Les xarxes bayesianes i la condició de Markov Com hem vist en l’exemple de l’Armaggeddon, una xarxa bayesiana és un model matemàtic probabilístic que representa les relacions (sotmeses a l’atzar) entre unes variables, diguem X1 , . . . , Xn , rellevants per a cert esdeveniment (de conseqüències negatives, en el cas de l’evaluació de riscos) i que són variables discretes finites (numèriques que prenen un conjunt finit de possibles valors) o categòriques (els valors de les quals són un conjunt finit de categories).

El model consta d’una representació gràfica que és un graf acíclic dirigit (DAG, les sigles en anglès de Directed Acyclic Graph), que denotem per Γ, ja que les relacions entre les variables s’estableixen amb arcs que tenen una direcció (fletxes que van d’un node a un altre) i no està permès que, sortint d’un node i seguint el sentit de les fletxes, anem passant de node a node i tornem al de partida (si això passés, es tindria un cicle tancat). A més de la representació gràfica, tenim els paràmetres del model, que són les probabilitats condicionades de cada node als seus pares (incloent-hi les probabilitats sense condicionar dels nodes arrels). A partir d’aquestes probabilitats, podem definir una distribució de probabilitat conjunta de les variables del model de la manera següent (se’n diu regla de la cadena): per a tot x1 , . . . , xn possibles valors de X1 , . . . , Xn , respectivament, tenim:

desembre 2019 13

PpX1 “ x1 , . . . , Xn “ xn q “

n ź

PpXi “ xi {PApXi qq,

(1)

i “1

on PpXi “ xi {PApXi qq denota la probabilitat que la variable Xi prengui el valor xi condicionada que els seus pares prenguin els valors que correspongui dels x1, . . . , xn . Dit d’una altra manera: la probabilitat conjunta de les variables del model es calcula multiplicant les probabilitats condicionades de cada node als seus pares, començant pels nodes fulla i anant enrere en el DAG fins a acabar als nodes arrel.

Vegem-ho en l’exemple de l’Armaggeddon: suposem que volem calcular la probabilitat conjunta de totes les variables del model que correspon al fet que totes prenguin el valor Sí (anàlogament es faria amb qualsevol combinació de Sí i No per a les diferents variables).

Aplicant la regla de la cadena, aquesta probabilitat es calcula així: PpX = Sí, Y = Sí, Z =Sí, T=Sí, W=Síq “ PpW=Sí/Y = Sí, T=Síq PpT = Síq PpY = Sí/X=Sí, Z = Síq PpX = Síq PpZ=Síq “ 0,6 ˆ 0,3 ˆ 0,2 ˆ 0,999 ˆ 0,1 “ 0,0035964

Donat el DAG, la distribució de probabilitat conjunta definida d’aquesta manera verifica una propietat que s’anomena condició de Markov. Habitualment, aquest terme es refereix a la propietat de certs processos estocàstics (o aleatoris)3 que evolucionen en el temps i que «no tenen memòria». És a dir, processos pels quals conegut el present, el futur és independent del passat. Aquests processos reben el nom de cadenes de Markov en certs casos particulars i, en general, el de processos de Markov ([7]), en honor del gran matemàtic rus Andréi Andréyevich Márkov (figura 7).

Figura 7. A.A. Márkov (Ryazan, 1856 ´ Sant Petersburg, 1922), matemàtic rus conegut pels seus treballs en la teoria de la probabilitat.

3. La paraula estocàstic prové del grec stockhastikos, que és una paraula derivada de stockhos, que fa referència a l’atzar. La paraula aleatori prové del llatí aleatorius, paraula derivada de alea, que es refereix al joc dels daus i, en general, a l’atzar. Ambdues paraules es poden fer servir, indistintament, per referir-se a l’atzar. El costum ha fet que en determinats contextos s’utilitzi l’una o l’altra.

14 noubiaix 45

En el context dels DAG, la condició de Markov s’expressa d’aquesta altra manera: cada variable és condicionalment independent dels nodes que no són descendents seus, atès que es coneix l’estat dels seus pares.

Aquesta condició implica que en l’exemple de l’Armaggeddon, la variable W: Armaggeddon és independent de les variables X: Trajectòria de col¨lisió i Z: Explosió meteorit si coneixem els valors de les variables Y: Col¨lisió amb la Terra i T: Refugi subterrani, per posar un exemple.

Tenim el resultat següent: Teorema (Theorem 1.5 [13]) Si Γ és un DAG sobre el conjunt de variables V “ tX1 , . . . , Xn u i P és la distribució de probabilitat conjunta sobre V definida per (1), llavors el parell pΓ, Pq verifica la condició de Markov.

(Cor)relacions espúries i factors de confusió Les xarxes bayesianes ens permeten modelar i entendre un fenomen curiós que apareix quan dues variables que, atenent el sentit comú no tindrien cap relació, se’ns mostren com a (cor)relaciones entre elles. Es tracta del que s’anomena (cor)relació espúria. Això succeeix perquè hi ha una tercera variable (que s’anomena factor de confusió) que afecta ambdues però que no és evident i ens confon (per això s’anomena d’aquesta manera). Gràcies a les xarxes bayesianes entendrem aquest fenomen i evitarem caure en paranys. Posem-ne un exemple: Exemple: la venda de paraigües incrementa els accidents de trànsit. Observem que en un determinat indret els dies que es venen més paraigües també és més probable que hi hagi accidents de trànsit. Clarament, les variables F: Venda paraigües (Alta/Baixa) i G: Accident trànsit (Sí/No) no sembla que tinguin gaire a veure. Com s’explica, doncs, que estiguin (cor)relaciones? S’explica per un factor extern, que és la pluja, causa comuna de les dues variables. En efecte, la pluja afecta tant la venda de paraigües com la sinestralitat de trànsit, i les fa augmentar les dues. Podem modelitzar aquesta situació mitjançant la xarxa bayesiana de la figura 8, en la qual representem la causa comuna C: Pluja (Sí/No) i els seus dos efectes.

Figura 8. Xarxa bayesiana per a l’exemple de la venda de paraigües que incrementa els accidents de trànsit.

desembre 2019 15

Són independents els dos efectes? No ho són, tot i que cap d’ells és causa de l’altre. Però, si un no és causa de l’altre, com s’influeixen entre ells? Mitjançant la causa comuna. En efecte, si un dia la venda de paraigües és alta, serà més probable que sigui un dia plujós, i si ho és, a causa de la pluja augmentarà la probabilitat que hi hagi accidents de trànsit. Per tant, un determinat valor d’un dels efectes (Venda paraigües “ Alta) afecta la probabilitat amb què l’altre efecte pren els seus valors. Podem dir que hi ha una transmissió d’informació d’un dels efectes a l’altre a través de la causa comuna: de l’efecte 1 es transmet la informació a la causa, i de la causa, a l’efecte 2. Ara bé, si fixem el valor de la causa, per exemple, considerem un dia en què sabem que plou, la transmissió d’informació entre els efectes queda tallada i es fan independents, ja que, encara que sabéssim que Venda paraigües “ Alta, això no pot fer augmentar la probabilitat de pluja (ja sabem que està plovent!) i, per tant, no es modificarà la probabilitat que es produeixin accidents de trànsit. Fixem-nos que això no és més que la condició de Markov aplicada a aquest cas: com que coneixem l’estat del pare (variable C: Pluja), els dos fills són independents entre si ja que cap d’ells no és descendent de l’altre.

Una situació diferent però també interessant és la de dues causes independents però amb un efecte comú, que considerem en l’exemple següent.

Exemple: la gespa del jardí està mullada. Tenim un jardí amb gespa i reg automàtic que es posa en funcionament cada tres dies, faci el temps que faci. Per tant, les variables C: Pluja (Sí/No) i D: Reg automàtic (Sí/No), que fan referència a si un determinat dia plou i a si el reg automàtic s’ha posat en funcionament, són clarament independents. I, tanmateix, podríem crear una dependència entre elles mitjançant una tercera variable? Sí, sempre que sigui un efecte comú, com ara que la gespa del jardí estigui mullada. Fem servir la xarxa bayesiana de la figura 9 per representar la situació, on, a més de les dues variables inicials, tenim la variable efecte comú F: Gespa mullada (Sí/No).

Figura 9. Xarxa bayesiana per a l’exemple de la gespa mullada.

Fixem l’efecte comú, és a dir, fixem un dia en el qual ens adonem que la gespa està mullada.

Si és un dia en què no plou, com que una de les causes de l’efecte que hem observat no es dona, això implica que la probabilitat que es doni l’altra causa augmenta, és a dir, augmenta la probabilitat que el reg automàtic s’hagi posat en funcionament. De fet, si estem segurs que no hi ha cap altra causa possible de l’efecte que la gespa estigui mullada, l’absència d’una de les causes obliga a la presència de l’altra. En aquest cas, l’absència de pluja implica

16 noubiaix 45

necessàriament que el reg automàtic s’ha posat en funcionament i, per tant, si coneixem que F “ Sí, llavors C i D no són independents.

2.5. Avaluant el risc a priori: la fórmula de la probabilitat total El risc a priori és la probabilitat que es produeixin les conseqüències negatives de determinat esdeveniment, si no es disposa de cap més informació addicional. Reprenent l’exemple de l’Armaggeddon, el risc a priori és la probabilitat PpArmaggeddon = Síq. Per calcular aquesta probabilitat a partir dels paràmetres del model hem de tenir en compte que depèn dels valors que prenguin les seves variables pares: Y: Col¨lisió amb la Terra i T: Refugi subterrani.

Ens ajudem de la figura 10 per calcular PpArmaggeddon = Síq. Aquesta probabilitat es pot representar (és només una representació!) com l’àrea del conjunt A dins un rectangle d’àrea igual a 1, que representa la totalitat. Per tant, la probabilitat és la suma de quatre àrees, les de A1 , A2 , A3 i A4 , cadascuna d’elles corresponent a la intersecció entre A i una de les quatre parts en què s’ha dividit el rectangle d’àrea 1, B1 , B2 , B3 i B4 . Aquestes quatre parts venen donades per les combinacions de possibles valors dels dos pares. És a dir: PpArmaggeddon = Síq “ PpAq “ PpA1 q ` PpA2 q ` PpA3 q ` PpA4 q , i cadascuna d’aquestes probabilitats es calcula de la manera següent: PpAi q “ PpA X Bi q “ PpA{Bi q PpBi q.

(2)

Aquesta darrera fórmula per calcular la probabilitat de la intersecció de dos esdeveniments a partir de la probabilitat d’un d’ells condicionada a l’altre es pot justificar així: PpAi q “ PpA X Bi q és la proporció d’àrea que representa la porció Ai respecte del rectangle total i coincideix amb el producte de PpA{Bi q, que és la proporció d’àrea que representa A respecte de Bi , i de PpBi q, que és la proporció que representa Bi respecte del total. Per exemple, si l’àrea de Bi és 1{4 del total i l’àrea d’A representa 1{3 de l’àrea de Bi , llavors Ai “ A X Bi té una àrea que representa 1{3 ˆ 1{4 = 1{12 del total.

Refugi = Sí

Refugi = No

Col·lisió = Sí

B1

B2

Col·lisió = No

B3

B4

A

A = “Armaggeddon” = Sí

A1 “ A X B1 A2 “ A X B2 A3 “ A X B3 A4 “ A X B4

PpAq “ PpA1 q ` ppA2 q ` PpA3 q ` PpA4 q A1

A2

A3

A4

PpA1 q “ PpA{B1 qPpB1 q Proporció d’àrea A1 (resp. el total)

Proporció d’àrea A respecte de B1

Figura 10. Cap a la fórmula de la probabilitat total.

Proporció d’àrea B1 (resp. el total)

desembre 2019 17

En general, tenim que si dividim el rectangle que representa el total en n parts, B1 , . . . , Bn , la probabilitat de l’esdeveniment A es pot calcular sumant les probabilitats d’intersecció d’A amb cadascuna de les parts; és a dir: PpAq “

n ÿ i “1

PpA X Bi q “

n ÿ

PpA{Bi q PpBi q.

(3)

i “1

Aquesta expressió es coneix com a fórmula de la probabilitat total i, aplicant-la en el nostre cas, podem calcular el risc a priori de la manera següent (fent servir les probabilitats de la figura 6): PpW “ Síq “ PpW “ Sí{Y “ Sí,T “ SíqPpY “ Sí,T “ Síq ` PpW “ Sí{Y “ Sí, T “ Noq PpY “ Sí, T “ Noq ` PpW “ Sí{Y “ No, T “ Síq PpY “ No, T “ Síq ` PpW “ Sí{Y “ No, T “ Noq PpY “ No, T “ Noq “ 0,6 ˆ PpY “ Síq ˆ 0,3 ` 1,0 ˆ PpY “ Síq ˆ 0,7 ` 0,0 ˆ PpY “ Noq ˆ 0,3 ` 0,0 ˆ PpY “ Noq ˆ 0,7 “ 0,88 ˆ PpY “ Síq .

(4)

Observeu que les probabilitats conjuntes de les variables Y: Col¨lisió amb la Terra i T: Refugi subterrani, per exemple PpY “ Sí,T “ Síq (i el mateix amb les altres tres probabilitats), es calculen fent servir la condició de Markov, que ens assegura que són variables independents.

En efecte, condicionada als seus pares (que no en té o bé, el que és el mateix en aquest cas, sense condicionar), la variable T: Refugi subterrani és independent de Y: Col¨lisió amb al Terra, ja que aquesta no és un descendent seu. Així, com que les dues variables són independents, tenim que la probabilitat conjunta de les dues variables és producte de probabilitats. Això es pot justificar fàcilment a partir de la fórmula (2): per definició, dues variables discretes U i V són independents si (i només si) qualsevol parella d’esdeveniments de la forma tU “ uu i tV “ v u són independents i, en aquest cas, per la fórmula (2), PpU “ u, V “ v q “ PpU “ u{V “ v q “ PpV “ v q “ PpU “ uq PpV “ v q , on en la darrera igualtat hem fet servir la independència dels esdeveniments tU “ uu i tV “ v u (la qual cosa implica que condicionar per un d’ells no afecta la probabilitat de l’altre). Així, doncs: PpY “ Sí,T “ Síq “ PpY “ Síq “ PpT “ Síq “ PpY “ Síq ˆ 0,3 .

Per obtenir el valor numèric final a (4) necessitem calcular PpY “ Síq, i això ho fem, de nou, amb la fórmula de la probabilitat total, condicionant els possibles valors dels pares de la variable Y: Col¨lisió amb la Terra, que són X: Trajectòria de col¨lisió i Z: Explosió meteorit. Així, aplicant de nou la condició de Markov, que ens diu que les variables pares són independents i, per tant, la probabilitat conjunta és producte de probabilitats, tenim que

18 noubiaix 45

PpY “ Síq “ PpY “ Sí{X “ Sí, Z “ Síq PpX “ Sí, Z “ Síq ` PpY “ Sí{X “ Sí, Z “ Noq PpX “ Sí, Z “ Noq ` PpY “ Sí{X “ No, Z “ Síq PpX “ No, Z “ Síq ` PpY “ Sí{X “ No, Z “ Noq PpX “ No, Z “ Noq “ 0,2 ˆ 0,999 ˆ 0,1 ` 1,0 ˆ 0,999 ˆ 0,9 ` 0,0 ˆ 0,001 ˆ 0,1 ` 0,0 ˆ 0,001 ˆ 0,9 “ 0,91908 .

Per tant, finalment, el risc a priori s’obté susbstituint aquest valor a (4): PpArmaggeddon “ Síq “ 0,88 ˆ 0,91908 “ 0,8087904 « 81% Observació: hem calculat aquesta probabilitat fent servir la fórmula de la probabilitat total, juntament amb la condició de Markov. Exactament de la mateixa manera que si l’haguéssim calculat fent servir la regla de la cadena (1).

2.6. Avaluant el risc a posteriori: la fórmula de la probabilitat total condicionada Si ara disposem d’una evidència, és a dir, d’una informació rellevant per a l’avaluació del risc, podem actualitzar el seu valor obtenint un risc a posteriori. Per exemple, imaginem que l’evidència que tenim és que l’equip de perforadors ha fracassat en el seu intent de fer explotar el meteorit. Resulta obvi que aquesta informació modificarà el risc a l’alça, però quant augmenta el risc el fet de conèixer aquesta informació? Per contestar a la pregunta hem de calcular la probabilitat que la variable Armaggeddon sigui Sí condicionada a l’evidència del fracàs de l’equip. Farem servir la fórmula de la probabilitat total condicionada, que és com (3) però condicionant les probabilitats a una evidència E: PpA{E q “

n ÿ

PpA{Bi , E q PpBi {E q.

(5)

i “1

Així tenim: PpW “ Sí{Z “ Noq “ PpW “ Sí{Y “ Sí,T “ Sí,Z “ NoqPpY “ Sí,T “ Sí{Z “ Noq ` PpW “ Sí{Y “ Sí,T “ No,Z “ NoqPpY “ Sí,T “ No{Z “ Noq ` PpW “ Sí{Y “ No,T “ Sí,Z “ NoqPpY “ No,T “ Sí{Z “ Noq ` PpW “ Sí{Y “ No,T “ No,Z “ NoqPpY “ No,T “ No{Z “ Noq “ 0,6 ˆ PpY “ Sí{Z “ Noq ˆ 0,3 ` 1,0 ˆ PpY “ Sí{Z “ Noq ˆ 0,7 ` 0,0 ˆ PpY “ No{Z “ Noq ˆ 0,3 ` 0,0 ˆ PpY “ No{Z “ Noq ˆ 0,7 “ 0,88 ˆ PpY “ Sí{Z “ Noq

(6)

(compareu amb (4)). Noteu que hem hagut de calcular les probabilitats conjuntes de les variables Y: Col¨lisió amb la Terra i T: Refugi subterrani condicionades a l’evidència E: Z “ No, per exemple PpY “ Sí,T “ Sí{Z “ Noq (i el mateix amb les altres tres probabilitats). De manera anàloga al que hem fet quan no teníem cap evidència, ara tenim que

desembre 2019 19

PpY “ Sí,T “ Sí{Z “ Noq “ PpY “ Sí{Z “ NoqPpT “ Síq “ PpY “ Sí{Z “ Noq ˆ 0,3.

(7)

Aquí hem fet servir de nou (5) condicionant als possibles valors, però ara només del pare X: Trajectòria de col¨lisió de Y: Col¨lisió amb la Terra, ja que el valor de l’altre pare, Z: Explosió meteorit, està fixat perquè estem condicionant a l’evidència E: Z “ No. D’aquesta manera hem obtingut que PpY “ Sí,T “ Sí{Z “ Noq “ PpY “ Sí,T “ Sí{X “ Sí, Z “ Noq PpX “ Sí{Z “ Noq ` PpY “ Sí,T “ Sí{X “ No, Z “ Noq PpX “ No{Z “ Noq ,

que és igual a PpY “ Sí{X “ Sí, Z “ Noq PpT “ Sí{X “ Sí, Z “ Noq PpX “ Síq `PpY “ Sí{X “ No, Z “ Noq PpT “ Sí{X “ No, Z “ Noq PpX “ Noq

usant la condició de Markov (Y i T són independents donades X i Z, i també X és independent de Z). Si ara usem que T és independent de X i Z (de nou per la condició de Markov), tenim finalment (7): PpY “ Sí,T “ Sí{Z “ Noq “ PpY “ Sí{X “ Sí, Z “ Noq PpT “ Síq PpX “ Síq ` PpY “ Sí{X “ No, Z “ Noq PpT “ Síq PpX “ Noq “ PpY “ Sí{Z “ Noq PpT “ Síq ,

on en la darrera igualtat hem tret factor comú de PpT “ Síq i hem fet servir la fórmula de la probabilitat total condicionada.

Per obtenir el valor numèric final a (6) necessitem calcular PpY “ Sí{Z “ Noq, i això ho fem, de nou, amb la fórmula de la probabilitat total: PpY “ Sí{Z “ Noq “ PpY “ Sí{X “ Sí, Z “ NoqPpX “ Sí{Z “ Noq ` PpY “ Sí{X “ No, Z “ NoqPpX “ No{Z “ Noq “ PpY “ Sí{X “ Sí, Z “ NoqPpX “ Síq ` PpY “ Sí{X “ No, Z “ NoqPpX “ Noq “ 1,0 ˆ 0,999 ` 0,0 ˆ 0,001 “ 0,999

Finalment, el risc a posteriori donada l’evidència que l’expedició per fer explotar el meteorit ha fracassat, s’obté susbstituint aquest valor a (6): PpW “ Sí{Z “ Noq “ 0,88 ˆ 0,999 “ 0,87912 « 88%.

De manera anàloga, es podria obtenir el risc a posteriori donada l’evidència que l’expedició per fer explotar el meteorit ha tingut èxit, si fos el cas, i donaria el valor següent: PpW “ Sí{Z “ Síq “ 0,88 ˆ 0,1998 “ 0,175824 « 18%.

20 noubiaix 45

Hem vist que, com és lògic, fracassar en l’expedició fa augmentar el risc (el multiplica aproximadament per 1,1), mentre que tenir èxit el fa disminuir (el multiplica per 0,22 o, el que és el mateix, el divideix per 4,5). El model, però, ens permet quantificar tant l’augment com la disminució. I, a més, ens permet calcular fàcilment el risc a posteriori en escenaris més complexos, en els quals l’evidència que tenim involucra més d’una variable, quan la intuïció deixa de poder ajudar-nos. Per exemple, podem considerar escenaris en els quals tinguem evidència sobre l’èxit o el fracàs tant de l’expedició al meteorit per fer-lo explotar, com de la mesura mitigant consistent a preparar refugis subterranis per a la població. La taula de la figura 11 mostra que sempre que tinguem èxit en alguna de les dues mesures, el risc disminueix, però que si hem de triar, és més rendible invertir en l’expedició al meteorit que en la mesura mitigant, encara que el millor, lògicament, és que les dues tinguin èxit, en aquest cas obtindrem una reducció màxima del risc fins al 12%.

Estimació del risc d‘Armaggeddon A priori Explosió = Sí, Refugi = No

Explosió = No, Refugi = Sí

Explosió = Sí, Refugi = Sí

0,25

0,74

0,15

A posteriori

Figura 11. Risc a posteriori en escenaris més complexos de l’exemple de l’Armaggeddon.

En aquest exemple hem fet servir la fórmula de la probabilitat total condicionada per actualitzar riscos, és a dir, per calcular el risc a posteriori a partir d’una evidència. Depenent de com sigui la xarxa bayesiana, en comptes d’aplicar aquesta fórmula se n’haurà d’aplicar una altra, la fórmula de Bayes. Per explicar què és i com es pot fer servir, introduïm un exemple diferent en la secció següent.

2.7. Un exemple mèdic: el risc de patir càncer de pulmó Volem avaluar el risc de patir càncer de pulmó d’un individu. Per fer-ho, construïm un model amb la variable Càncer (Sí/No) i altres variables que poden ser rellevants per al diagnòstic:

Variables sociodemogràfiques ‚

Contaminació: indica si la persona viu en una zona amb contaminació ambiental alta o no (Alta/Baixa). L’abreugem i queda Contam.

‚

Fumador: indica si la persona és o no fumadora (Sí/No). L’abreugem i queda Fuma.

Variables clíniques ‚ ‚

Raigs X: resultat de la prova diagnòstica de raigs X (positiu `/negatiu ´).

Dispnea: indica si la persona pateix aquesta dificultat respiratòria o no (Sí/No). L’abreugem i queda Disp.

El model que construïm és la xarxa bayesiana que ve donada pel DAG i les probabilitats condicionades de la figura 12.

desembre 2019 21

0,90

Variables sociodemogràfiques

0,10

0,30 0,70

0,03

0,01

0,05

0,02

0,97

0,99

0,95

0,98

Raig X Càncer

Raigs X

Càncer 0,90

0,20

0,65

0,30

0,10

0,80

0,35

0,70

Figura 12. Xarxa bayesiana per a l’exemple del càncer de pulmó.

Calculem en primer lloc el risc a priori de patir càncer de pulmó PpCàncer = Síq fent servir la fórmula de la probabilitat total, condicionant pels valors dels dos pares de la variable Càncer, que són Contaminació i Fumador.

PpCàncer “ Síq “ PpCàncer “ Sí{Contam “ Baixa,Fuma “ SíqPpContam “ Baixa,Fuma “ Síq ` PpCàncer “ Sí{Contam “ Baixa, Fuma “ Noq PpContam “ Baixa, Fuma “ Noq ` PpCàncer “ Sí{Contam “ Alta,Fuma “ SíqPpContam “ Alta,Fuma “ Síq ` PpCàncer “ Sí{Contam “ Alta, Fuma “ Noq PpContam “ Alta, Fuma “ Noq “ 0,03 ˆ 0,90 ˆ 0,30 ` 0,01 ˆ 0,90 ˆ 0,70 ` 0,05 ˆ 0,10 ˆ 0,30 ` 0,02 ˆ 0,10 ˆ 0,70 “ 0,0173 ,

on hem fet servir que les variables Contaminació i Fumador són independents i, per tant, PpContam “ Baixa,Fuma “ Síq “ PpContam “ Baixaq PpFuma “ Síq , i anàlogament per a les altres tres probabilitats conjuntes de les variables Contaminació i Fumador. Per tant, el risc a priori de patir càncer de pulmó ha resultat: PpCàncer “ Síq “ 0,0173 « 17

Avaluant el risc a posteriori: la fórmula de Bayes Com es modifica el risc a priori si sabem que una persona pateix de dispnea, per exemple?

Intuïtivament, el risc augmentarà, però quant? Per contestar a la pregunta hem de calcular la probabilitat de patir càncer si conexíem l’evidència que la persona té dispnea, és a dir, hem de calcular PpCàncer “ Sí{Dispnea “ Síq, però no ho podem fer mitjançant la fórmula de la probabilitat total condicionada, com hem fet amb l’exemple de l’Armaggeddon, ja que la variable per la qual condicionem no és un ancestre, sinó un descendent (de fet, és un fill) de la variable Càncer. Així doncs, hem de calcular una probabilitat condicionada en un sentit invers de com venen donades les probabilitats per la xarxa bayesiana (probabilitats de la figura

22 noubiaix 45

12). Per fer-ho, ens ajudarem de la fórmula (2). En efecte, fent-la servir amb A: Càncer = Sí i Bi : Dispnea = Sí, podem aïllar la probabilitat condicionada i tenim que: PpCàncer “ Sí{Dispnea “ Síq “

PpCàncer “ Sí X Dispnea “ Síq .

PpDispnea “ Síq

(8)

I ara l’apliquem de nou al numerador de (8) per expressar la probabilitat de la intersecció en termes de la probabilitat que coneixem, que és la de Dispnea = Sí condicionada a Càncer = Sí. En efecte, tenim que PpCàncer “ Sí X Dispnea “ Síq “ PpDispnea “ Sí{Càncer “ Síq PpCàncer “ Síq i substituint a (8) tenim: PpCàncer “ Sí{Dispnea “ Síq “

PpDispnea “ Sí{Càncer “ Síq PpCàncer “ Síq .

PpDispnea “ Síq

(9)

En general, la fórmula (9) es pot expressar així: PpA{Bq “

PpB{Aq PpAq PpBq

(10)

i es coneix com a fórmula de Bayes. Tal com ja hem comentat en la introducció, va ser introduïda per Thomas Bayes el 1763 a [2].

Apliquem, doncs, la fórmula de Bayes (9) amb les probabilitats de la figura 12, tenint en compte que PpCàncer “ Síq “ 0,0173 ho hem calculat abans (és el risc a priori), i que per obtenir el denominador PpDispnea “ Síq hem de fer servir la fórmula de la probabilitat total (3). Així, obtenim: PpCàncer “ Sí{Dispnea “ Síq “ PpDispnea “ Sí{Càncer “ Síq PpCàncer “ Síq PpDisp “ Sí{Càncer “ SíqPpCàncer “ Síq ` PpDisp “ Sí{Càncer “ NoqPpCàncer “ Noq 0,65 ˆ 0,0173 “ 0,03674 « 37 “ 0,65 ˆ 0,0173 ` 0,30 ˆ p1 ´ 0,0173q Ara tenim una nova evidència sobre la persona que sabem que pateix dispnea: se li ha fet la prova de raigs X i ha donat postitiu (`). Com augmentarà això el risc? Hem de fer el càlcul següent, aplicant de nou la fórmula de Bayes (i, al denominador, la fórmula de la probabilitat total), per calcular la probabilitat de Càncer = Sí condicionada a l’esdeveniment Dispnea = Sí, Raigs X = +, que és una intersecció de dos esdeveniments elementals.

PpCàncer “ Sí{Dispnea “ Sí, Raigs X “ `q “ PpDispnea “ Sí, Raigs X “ `{Càncer “ Síq PpCàncer “ Síq PpDispnea “ Sí,Raigs X “ `{Càncer “ SíqPpCàncer “ Síq` `PpDispnea “ Sí,Raigs X “ `{Càncer “ NoqPpCàncer “ Noq 0,65 ˆ 0,90 ˆ 0,0173 “ “ 0,146499 « 146 0,65 ˆ 0,90 ˆ 0,0173 ` 0,30 ˆ 0,20 ˆ p1 ´ 0,0173q

desembre 2019 23

Noteu que, a causa de la condició de Markov, les variables Dispnea i Raigs X són independents atesa la variable pare Càncer (vegeu la figura 12). Per això hem pogut calcular PpDispnea “ Sí, Raigs X “ `{Càncer “ Síq com el producte de probabilitats PpDispnea “ Sí{Càncer “ Síq PpRaigs X “ `{Càncer “ Síq “ 0,65 ˆ 0,90, i anàlogament quan es condiciona per Càncer = No. Les estimacions dels riscos que hem obtingut fins ara en l’exemple del càncer de pulmó apareixen a la figura 13, on veiem que tenir només l’evidència de patir dispnea multiplica per 2,18 el risc, mentre que si afegim un resultat positiu en la prova de raigs X, el risc es multiplica per 8,6. És a dir, tant patir dispnea com un resultat positiu en la prova de raigs X, són factors de risc per al càncer de pulmó.

A priori

Raigs X

A posteriori

2,18

8,6

Figura 13. Riscos a priori i a posteriori per a l’exemple del càncer de pulmó.

I què podem dir sobre el tabac? Ser fumador és un factor de risc? Vegem-ho. Calcularem PpCàncer “ Sí{Fumador “ Síq fent servir la fórmula de la probabilitat total condicionada (5) amb l’evidència E: Fumador = Sí. L’esdeveniment per al qual volem calcular la probabilitat és A: Càncer = Sí, i la resta són B1 : Contaminació = Baixa i B2 : Contaminació = Alta. Així, tenim que PpCàncer “ Sí{Fumador “ Síq “ PpCàncer “ Sí{Contam “ Baixa, Fuma “ Síq PpContam “ Baixa{Fuma “ Síq ` PpCàncer “ Sí{Contam “ Alta, Fuma “ Síq PpContam “ Alta{Fuma “ Síq “ 0,03 ˆ 0,90 ` 0,05 ˆ 0,10 “ 0,032 “ 32

on hem fet servir que, per la condició de Markov, les variables Contaminació i Fumador són independents i, per tant, PpContam “ Baixa{Fuma “ Síq “ PpContam “ Baixaq i PpContam “ Alta{Fuma “ Síq “ PpContam “ Altaq.

Anàlogament, s’obté que PpCàncer “ Sí{Fumador “ Noq “ 0,01 ˆ 0,90 ` 0,02 ˆ 0,10 “ 0,011 “ 11 . És a dir, pel que fa al càncer de pulmó, fumar és un factor de risc. Els resultats queden resumits en la taula de la figura 14.

A priori

A posteriori

1,88

0,65

Figura 14. El tabaquisme com a factor de risc per al càncer de pulmó.

24 noubiaix 45

Observació: en els exemples que hem introduït hem pogut fer els càlculs a mà perquè les xarxes bayesianes eren senzilles, és a dir, amb pocs nodes, i no gaire connectades (poques fletxes). En una situació real, amb molts nodes i connexions, és necesari l’ús d’un algortime informàtic que ens faciliti els càlculs. D’altra banda, en els exemples previs les xarxes bayesianes, tant les seves estructures o DAG, com els seus paràmetres, que són les probabilitats condicionades de cada node als seus pares en el DAG, incloent-hi les probabilitats sense condicionar dels nodes arrels, ens han vingut donades. A la pràctica, però, tant una cosa com l’altra s’han d’aprendre. Encara que l’opinió dels experts pot ser tinguda en compte, el més objectiu i habitual és fer aquest aprenentatge a partir d’una base de dades, mitjançant uns algoritmes informàtics implementats en algun lleguatge de programació, com ara l’R4 , que disposa de llibreries específiques per treballar amb xarxes bayesianes. Per exemple, en el cas del càncer de pulmó, seria a partir d’una base de dades de (molts) casos de persones per a les quals es coneixien les cinc variables de model, és a dir, si vivien en una zona amb contaminació alta o baixa, si eren o no fumadors, si patien de dispnea, si el resultat de la prova de raigs X havia estat positiu o negatiu i, finalment, si tenien o no càncer de pulmó. La base de dades es fa servir per aprendre el model, tant el DAG com els paràmetres, i també per validar-lo. Un cop validat, ja es pot fer servir per estimar les probabilitats d’interès, com ara el risc de partir càncer de pulmó d’un nou individu a partir del coneixement que tinguem sobre les dues variables sociodemogràfiques i les dades clíniques incloses en el model. Els detalls tècnics dels algoritmes que es fan servir per a l’aprenentatge automàtic de la xarxa bayesiana, cosa que justifica que es consideri una eina d’aprenentatge automàtic (Machine Learning en anglès), queden fora de l’abast d’aquest article.

3. Avaluant evidències: l’odds ratio o raó de contraris Als països anglosaxons és molt comú fer servir l’odds com a mesura del grau d’incertesa d’un esdeveniment, especialment en jocs d’atzar i al món de les apostes. Per exemple, es diu que «un equip de fútbol té un odds a favor de 3 a 2 de guanyar un partit». Què vol dir això? Donem primer la definició: Definició: donat un esdeveniment A, es defineix l’odds en contra d’A com OddspAc q “ PPppAAqq , i es defineix l’odds a favor d’A com OddspAq “ PPppAAcqq , és Ac on el complementari (o contrari) de l’esdeveniment A, de tal manera que PpAc q “ 1 ´ PpAq. c

Així, si diem que l’equip té un odds a favor de guanyar de 3 a 2, vol dir que si denotem per A l’esdeveniment «l’equip guanya el partit», PPppAAcqq “ 32 . En particular, això ens diu que PpAq ą PpAc q, és a dir, que la seva probabilitat de guanyar és més gran que la de perdre. Però podem trobar quina és exactament la probabilitat de guanyar el partit a partir de l’odds així: 3 PpAq PpAq 3 “ ùñ PpAq “ “ 0,6 “ 2 PpAc q 1 ´ PpAq 5

(11)

4. R és GNU S, un llenguatge i entorn lliure disponible per a la computació estadística i gràfica que proporciona una àmplia varietat de tècniques estadístiques i gràfiques: modelització lineal i no lineal, proves estadístiques, anàlisi de sèries temporals, classificació, etc. https://cran.r-project.org.

desembre 2019 25

Per tant, dir que «un equip de fútbol té un odds a favor de 3 a 2 de guanyar un partit» és equivalent a dir que «la seva probabilitat de guanyar el partir és 3{5 “ 0,6» (és una equivalència perquè en realitat la implicació de (11) és un si i només si).

Com que els riscos són probabilitats, podem expressar-los en termes d’odds. Tornem a l’exemple de l’Armaggeddon, quan diem que el risc a priori és 0,8087904 (aproximadament un 81%), equivalentment estem dient que l’odds a favor de l’Armaggeddon és aproximadament 4,23. És a dir, les apostes a priori estan aproximadament 4 a 1 a favor de l’Armaggeddon. En efecte, si diem A a l’esdeveniment Armaggeddon = Sí, tenim que PpAq “ 0,8087904 i, per tant, l’odds a favor de l’esdeveniment A és: PpAq PpAq 0,8087904 “ “ “ 4,229863 « 4,23 PpAc q 1 ´ PpAq 1 ´ 0,8087904 (les apostes estan aproximadament 4 a 1 a favor de l’Armaggeddon).

Si ara considerem el risc a posteriori condicionat a, per exemple, l’evidència E: Explosió = Sí, Refugi = No, com que la probabilitat de l’esdeveniment A condicionada era PpA{E q « 0,20 (vegeu la taula de la figura 11), tenim que ara l’odds a favor de l’esdeveniment A condicionat a l’evidència E és 0,25. És a dir, que ara les apostes estan 4 a 1 en contra de l’Armaggeddon.

Naturalment, ha canviat molt!

En el cas del risc a priori, obtenim un odds a priori a favor de l’Armaggeddon de 4,23 ą 1, que vol dir que és més probable que succeeixi, mentre que l’odds a posteriori a favor és 0,25 ă 1, que vol dir que en el nou escenari és més probable que no succeeixi. Si fem el quocient, tenim l’odds ratio: Odds ratio a favor “

odds a posteriori a favor 0,25 « “ 0,0591 odds a priori a favor 4,23

que ens indica quant han baixat les apostes en favor de l’Armaggeddon atesa l’evidència.

S’han multiplicat aproximadament per 0,059 o, el que és el mateix, s’han dividit per 16,95.

Podem reescriure els resultats de les taules de riscos ara en termes d’odds a priori i a posteriori, i de l’odds ratio. Així, la taula de la figura 11 serà equivalent a la de la figura 15.

Odds a favor de l‘Armaggeddon 4,23 (4 a 1, a favor de l‘Armaggeddon)

A priori

A posteriori

Evidència Explosió = Sí, Refugi = No

Evidència Explosió = No, Refugi = Sí

Evidència Explosió = Sí, Refugi = Sí

0,25 (4 a 1, en contra de l‘Armaggeddon)

1,5 (3 a 2, a favor de l‘Armaggeddon)

0,136 (7 a 1, en contra de l‘Armaggeddon)

0,059

0,355

0,032

Figura 15. Odds a priori, a posteriori i odds ratio en l’exemple de l’Armaggeddon.

26 noubiaix 45

L’odds ratio ens permet avaluar el pes de les evidències. En el cas de les de la taula de la figura 15, l’evidència que més canvia l’odds a priori és la de Explosió = Sí, Refugi = Sí, que la fa canviar de 4 a 1 a favor de l’Armaggeddon, a 7 a 1 en contra. És la més influent. La segona més influent és Explosió = Sí, Refugi = No, que la fa passar de 4 a 1 a favor, a 4 a 1 en contra.

I la menys influent, que només la fa passar de 4 a 1 a favor, a 3 a 2 a favor, és Explosió = No, Refugi = Sí.

Anàlogament, a partir de la taula de riscos de les figures 13 i 14, tenim la taula següent, en la figura 16, amb l’odds a priori, a posteriori, i l’odds ratio en l’exemple del càncer de pulmó.

0,0176

A priori

Raigs X A posteriori

0,0367

0,032

0,1465

8,32

2,09

0,011

1,82

0,625

Figura 16. Odds a priori, a posteriori i odds ratio en l’exemple del càncer de pulmó.

Aquí veiem que l’evidència de no ser fumador fa passar d’un 57 a 1 en contra de patir càncer de pulmó, a un 91 a 1 en contra. En canvi, les altres evidències considerades són factors de riscs, ja que es passa a estar en contra de patir càncer de 31 a 1, de 27 a 1 o de 7 a 1 (en ordre de menys a més importància de l’evidència). Per exemple, podem veure que ser fumador és un factor de risc, però una mica menys que patir de dispnea, mentre que patir de dispnea i donar positiu en la prova de raigs X és el factor de risc més important dels que hem considerat en l’exemple.

Interpretació de l'odds ratio a través de la raó de versemblances Considerem, en general, que tenim un esdeveniment A i l’odds a favor d’A: OddspAq “ PPppAAcqq , que és l’odds a priori. Donada una evidència E, tenim l’odds a posteriori a favor d’A: OddspA{E q “ PPppAAc{{EEqq . Com es relacionen? Recordem que per la Fórmula de Bayes (10), PpA{E q “

PpE {Aq PpAq PpE q

i

PpAc {E q “

PpE {Ac q PpAc q .

PpE q

Per tant, si fem el quocient, tindrem: PpA{E q PpE {Aq PpAq “ , c PpA {E q PpE {Ac q PpAc q

desembre 2019 27

ja que PpE q se simplifica i com a conseqüència tenim que OddspA{E q “

PpE {Aq OddspAq .

PpE {Ac q

(12)

El quocient PPppEE{{AAcqq s’anomena raó de versemblances (likelihood ratio en anglès, LR) perquè s’obté dividint PpE {Aq, que és una mesura de com de versemblant és l’evidència si sabem que l’esdeveniment A s’ha produït, entre PpE {Ac q, que mesura com de versemblant és l’evidència si sabem que l’esdeveniment A no s’ha produït. Per tant, aïllant de (12) tenim que la raó de versemblances és l’odds ratio a favor d’A: LR “

OddspA{E q OddspAq

La interpretació de la raó de versemblances és com segueix, en línies molt generals: $ ’ &« 1 LR ą 1 ’ % ă1

l’evidència E no dona suport a A ni al seu contrari, l’evidència E dona suport a A (més, com més gran sigui), l’evidència E dona suport al contrari d’A (més, com més petit sigui),

encara que en determinats àmbits s’ha concretat més. Per exemple, en ciències forenses s’usa l’escala SKL (Swedish National Laboratory of Forensic Science) [14].

Una mica d'història sobre la raó de versemblances A la dècada del 1940 el matemàtic britànic Alan Turing i el seu equip van fer servir l’LR per desxifrar els codis de la màquina Enigma dels nazis a Bletchley Park. Irving John Jack Good, un altre matemàtic britànic, company de Turing, va difondre’n lús en la ciència en general amb el seu llibre Probability and the weighing of evidence, publicat el 1950 [8]. Com a dada curiosa sobre Good, direm que Stanley Kubrick, director de 2001, una odisea a l’espai (1968), el va consultar com a especialista en supercomputadors per a la seva pel¨lícula.

(a) A. Turing (Paddington, Londres, 1912 ´ Wilmslow, Cheshire, 1954).

Figura 17

(b) I. J. Good (Londres, 1916 ´ Radford, Virginia, 2009).

28 noubiaix 45

Més tard, Dennis Lindley, estadístic britànic, que va ser un dels fundadors de l’escola d’estadística bayesiana, va contribuir a la introducció de l’LR de manera rigorosa en la ciència forense, a partir d’evidències recollides a l’escenari d’un delicte relatives a fragments de vidre, en un article del 1977 [11]. A partir de la dècada del 1990 es va començar a fer servir l’LR per ajudar a interpretar evidències d’ADN, especialment en tribunals de justícia dels països anglosaxons.

Figura 18. Dennis Lindley (Surbiton, Londres, 1923 ´ Somerset, 2013).

Un exemple final: el cas de l'atracador disfressat Un home alt, de 180 cm d’alçada, és detingut com a sospitós d’haver atracat un banc disfressat. La policia ha pogut accedir a una imatge digital gravada de l’atracador i ha pogut deduir que la seva alçada és de més de 175 cm. Per tant, tenim l’evidència E: L’atracador és una persona alta.

Com afecta aquesta evidència a l’odds en favor que el detingut és culpable?

Diem A a l’esdeveniment El detingut és culpable. Per tant, el seu complementari o contrari és Ac : El detingut és innocent. Per obtenir l’odds a priori en favor de la culpabilitat del detingut, necessitem poder calcular PpAq, que pot dependre d’altres circumstàncies del cas que no coneixem. No importa! Fent servir la raó de versemblances sabrem per quant multiplica l’odds a priori l’evidència, independentment de quin sigui el seu valor. En efecte, calcularem: LR “

PpE {Aq PpE {Ac q

i per fer-ho tenim en compte que PpE {Aq “ 1, ja que si el sospitós és culpable, com que és alt, segur que en observar l’alçada de l’atracador veurem que és una persona alta. D’altra banda, per calcular la probabilitat del denominador, de quina informació disposem? La representarem mitjançant una xarxa bayesiana amb tres nodes: Culpable (Sí/No) (referint-se al sospitós), Sexe (Home/Dona) i Alçada (Alt/Baix), ambdues referides a l’atracador, tal com apareix en la figura 19. Per tant, amb les notacions introduïdes, A: Culpable = Sí i E: Alçada = Alt.

desembre 2019 29

0,6

0,2

0,4

0,8

1,0

0,5

0,0

0,5

Figura 19. Xarxa bayesiana de l’exemple final de l’atracador disfressat.

En aquest model hem inclòs les dades que coneixem, que són que el 50% de la població són homes (simplificant) i que el 60% dels homes són alts (alçada ą 175 cm), mentre que de les dones, només ho són el 20%. Amb aquesta informació, relativament senzilla de trobar, podem calcular la probabilitat que ens interessa fent servir la fórmula de la probabilitat total condicionada (5), condicionant als esdeveniments B1 : Sexe = Home i B2 : Sexe = Dona, amb E: Alçada = Alt i Ac : Culpable = No, així: PpE {Ac q “ PpE {Home, Ac q PpHome{Ac q ` PpE {Dona, Ac q PpDona{Ac q “ 0,6 ˆ 0,5 ` 0,2 ˆ 0,5 “ 0,4

Noteu que per fer aquest càlcul no hem necessitat conèixer la probabilitat a priori de culpabilitat del sospitós i que per la condició de Markov, donada la informació sobre el sexe de l’individu, E i Ac són independents, per la qual cosa PpE {Home, Ac q “ PpE {Homeq

i

PpE {Dona, Ac q “ PpE {Donaq .

Llavors, LR “

PpE {Aq 1 “ “ 2,5 PpE {Ac q 0,4

i, per tant, tenim que sense dependre de l’odds a priori en favor de la culpabilitat del sospitós, el fet de conèixer l’evidència que l’atracador és alt, la multiplica per 2,5. Aquest és el pes de l’evidència!

Bibliografia [1] Adusei-Poku, K. (2005). Operational Risk management - Implementing a BN for Foreign Exchange and Money Market Settlement. Tesi doctoral. Göttingen: University.

30 noubiaix 45

[2] Bayes, T. (1763). «An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances».

Philosophical Transactions of the Royal Society, 53, 370-418.

[3] Borsuk, M.E.; Stow, C.A.; Reckhow, K.H. (2004). «A BN of eutrophication models for synthesis, prediction, and uncertainty analysis», Ecological Modeling, 173, 219-239.

[4] Cruz-Ramírez, N.; Acosta-Mesa, H.G.; Carrillo-Calvet, H.; Alonso Nava-Fernández, L.; Barrientos-Martínez, R.E. (2007). «Diagnosis of breast cancer using BN: A case study», Computers in Biology and Medicine, 37, 1553-1564.

[5] Delgado, R.; Tibau, X-A. (2015). «Las Redes Bayesianas como herramienta para la evaluación del riesgo de reincidencia: Un estudio sobre agresores sexuales», Revista Española de Investigación Criminológica, 13.

[6] Delgado, R.; González, J.L.; Sotoca, A.; Tibau, X.A.(2016). «A Bayesian Network Profiler for Wildfire Arsonists». A: Pardalos, P.; Conca, P.; Giuffrida, G.; Nicosia, G. (eds). Machine Learning, Optimization, and Big Data. MOD 2016. Lecture Notes in Computer Science, Cham: Springer.

[7] Gagniuc, P.A. (2017). Markov Chains: From Theory to Implementation and Experimentation.

New Jersey: John Wiley and Sons.

[8] Good, I.J. (1950). Probability and the weighing of evidence, 1a ed. C. Griffin.

[9] Korb, K.B.; Nicholson, A.E. (2011). Bayesian Artificial Intelligence, 2a ed. CRC Press (Taylor & Francis Group).

[10] Lee, C.; Lee, K.J. (2006). «Application of BN to the probabilistic risk assessment of nuclear waste disposal», Reliability Engineering and System Safety, 91(5), 515-532.

[11] Lindley, D.V. (1977). «A problem in forensic science». Biometrika, 64(2), 207-213.

[12] Neapolitan, R.E. (1989). Probabilistic reasoning in expert systems: theory and algorithms.

Wiley.

[13] Neapolitan, R.E. (2004). Learning Bayesian Networks. Prentice Hall.

[14] Nordgoaard, A.; Ansell, R.; Drotz, W.; Jaeger, L. (2012). «Scale of conclusions for the value of evidence». Law, Probability and Risk, 11, 1-24.

[15] Pearl, J. (1985). Bayesian Networks: A Model of Self-Activated Memory for Evidential Reasoning. UCLA Technical Report CSD-850017. Proceedings of the 7th Conference of the Cognitive Science Society, Irvine, CA: University of California.

[16] Pearl, J. (1988). Probabilistic Reasoning in Intelligent Systems. San Francisco CA: Morgan Kaufmann.

[17] Pollino, C.A.; Woodberry, O.; Nicholson, A.; Korb, K.; Hart, B.T. (2007). «Parameterisation and evaluation of a BN for use in an ecological risk assessment», Environmental Modelling and Software, 22, 1140-1152.

[18] Spiegelhalter, D.J. (2004). «Incorporating Bayesian ideas into healthcare evaluation», Statistical Science, 19, 156-174.

[19] Ticehurst, J.L., Newham, L.T.H., Rissik, D., Letcher, R.A., Jakeman, A.J. (2007). A BN approach for assessing the sustainability of coastal lakes in New South Wales, Australia, Environmental Modelling and Software 22 (8), 1129-1139.

[20] Walshe, T.; Burgman, M. (2010). «A Framework for Assessing and Managing Risks Posed

by Emerging Diseases», Risk Analysis, 30(2), 236-249.

desembre 2019 31

Una experiència de canvi metodològic en matemàtiques al cicle inicial de primària Joaquim Reyes Escola Las Seguidillas, Badia del Vallès

Resum A l’Escola Las Seguidillas de Badia del Vallès, a finals del curs 2013-2014 ens vam plantejar fer un canvi metodològic on el treball manipulatiu i els aspectes significatius relacionats amb l’entorn eren els centres de la nostra activitat educativa a l’àrea de matemàtiques. En aquest article us presentarem les motivacions que ens van conduir a fer aquest canvi, les claus de la metodologia que estem utilitzant, alguns exemples de les activitats que realitzem en el dia a dia a l’aula i, finalment, la valoració dels resultats assolits pels alumnes després de cinc cursos.

Abstract At Las Seguidillas School in Badía del Vallés, towards the end of the 2013-2014 academic year, we decided to implement a methodological change in mathematics teaching, putting manipulative work and significant aspects related to the environment at the core of our educational activities. In this paper we set out the motivations behind this change, the key concepts of our methodology, some examples of everyday classroom activities and, finally, an evaluation of the change, including the pupils’ results, after five years of experience.

Introducció Les matemàtiques són, per natura, una matèria viva que se’ns presenta en les nostres tasques diàries d’una manera contínua i significativa. És per això que, quan en el curs 2013-2014 vam reflexionar sobre l’adequació de la metodologia que estàvem portant a terme, del primer que ens vam adonar va ser que unes matemàtiques centrades en un llibre de text no tenien res a veure amb allò que el nostre alumnat es trobava en la vida real; i potser era per això que els resultats del nostre alumnat no eren tan satisfactoris com preteníem.

A partir d’aquí, ens vam plantejar impulsar un canvi metodològic en què el treball manipulatiu i els aspectes significatius relacionats amb l’entorn fossin els centres de la nostra activitat

32 noubiaix 45

educativa a l’àrea de matemàtiques. En les pàgines següents analitzarem pas a pas el perquè del canvi, les bases de la nostra metodologia, l’aplicació a l’aula, com avaluem aquests aprenentatges i els resultats que hem assolit aquests darrers anys.

1. Presentació. Contextualització de l’escola i l’alumnat L’Escola Las Seguidillas està situada al municipi de Badia del Vallès, a la comarca del Vallès Occidental, al costat mateix de Barberà del Vallès, Sabadell i Cerdanyola. Badia és una ciutat molt jove, creada a principis dels anys 70 com a conseqüència de la gran onada migratòria que vingué a Catalunya en aquesta època. Primer va formar part d’una mancomunitat dels municipis de Barberà del Vallès i Cerdanyola, i des de l’any 1994 és un municipi independent.

Actualment té uns 13.400 habitants i la seva població pertany majoritàriament als sectors dels serveis, de la construcció i de la indústria, en aquest mateix ordre. Hi ha un índex baix de persones amb titulació universitària.

Escola Las Seguidillas

A causa de la seva situació geogràfica i la seva història, Badia és una ciutat limitada per l’espai, sense sòl urbanitzable i sense possibilitats de créixer. Per tant, sense possibilitats de creació de noves empreses o serveis, més enllà dels que ja disposa, per donar riquesa a una vila molt castigada per l’atur. Cal esmentar que actualment és la ciutat de Catalunya de més de mil habitants amb l’índex d’atur més alt (17,17%, maig 2019)1 i que té un nivell molt alt de joves que no aconsegueixen trobar la seva primera feina. També és la ciutat de Catalunya amb la renda per càpita més baixa (6.709 /hab.).2

És per tot això que una part de l’alumnat de l’Escola està inclosa en un entorn social que dificulta els seus aprenentatges, ja que les seves necessitats vitals no es corresponen amb

1. Diputació de Barcelona, Informació Estadística Local, programa Hermes, maig del 2019. Disponible a: www.diba.cat/hg2/presentacio.asp?prid“845 (consulta: 29 juny 2019).

2. Diputació de Barcelona, Informació Estadística Local, programa Hermes, any 2016 (consulta: 29 juny 2019).

Disponible a: www.diba.cat/hg2/presentacio.asp?prId“893&idioma“CAT&codi_any“2016&format“pantalla.

desembre 2019 33

aquelles que ofereix el sistema escolar tradicional. És un alumnat amb necessitat de moviment i amb dificultats per mantenir l’atenció gaire estona en activitats estàtiques i que no tinguin una rellevància especial per a ells. Si amb un alumnat sense aquestes característiques socials les escoles ja s’han de plantejar un canvi que acosti els alumnes a la realitat de l’entorn, en aquesta escola això és encara molt més necessari.

2. El perquè del canvi metodològic Després de diversos cursos estudiant i reflexionant sobre la introducció del treball de les competències bàsiques al centre, juntament amb les recomanacions d’inspecció educativa per tal d’augmentar el treball competencial a l’escola, i vista la situació social circumdant que convidava a un canvi de plantejament en les situacions d’ensenyament-aprenentatge, el maig del 2014 ens vam plantejar de manera seriosa fer un tomb a les programacions, deixant de tenir els llibres de text com a guia principal en les matèries de llengua i matemàtiques i iniciar el curs 2014-2015 una nova planificació al 1r nivell de primària basada en els aspectes manipulatius i significatius. En el curs següent aquesta programació es va implantar al 2n nivell i, després, amb més dificultats, s’ha anat introduint en els cursos següents de primària.

El perquè era molt clar: el treball basat eminentment en els llibres de text i en fitxes complementàries resultava avorrit i monòton i convidava els alumnes només a omplir fulls de continguts majoritàriament abstractes i sense gaire sentit per a ells. Les matemàtiques es convertien en una activitat en dues dimensions on predominava més l’escriptura de nombres i dades que la utilització d’aquests en contextos significatius que tinguessin un interès real per als nens i les nenes. I tal com hem esmentat abans, el nostre context social convidava de manera especial a evitar aquesta situació, ja que no podíem convertir l’ensenyament-aprenentatge de les matemàtiques en una activitat tan allunyada de la realitat circumdant.

Per altra banda, les matemàtiques s’havien convertit en una activitat la finalitat de la qual era resoldre els exercicis proposats, i no interactuar amb aquests problemes i plantejar situacions de debat, discussió i raonament sobre ells.

3. Bases de la nova metodologia És per tot això que a l’estiu del 2014 vam començar a construir una nova metodologia en què els llibres de text deixen de ser el centre de l’ensenyament-aprenentatge i només conservem uns quaderns d’activitats que en les properes línies clarificarem la utilitat que els vam atorgar.

Aquesta metodologia està basada en els punts següents: a) Les unitats de programació s’inicien amb una història significativa per als alumnes que dona peu a iniciar un treball basat en la manipulació i la recerca que abasta al llarg del curs els cinc grans eixos del currículum (numeració i càlcul, estadística i atzar, mesura, espai i forma, i relacions i canvi). Aquesta història pot ser un conte, una situació amb referències contextuals a l’espai de la classe o de l’escola que s’ha de resoldre amb un problema matemàtic o, per exemple, una escenificació d’una situació significativa de la

34 noubiaix 45

vida real que els nens i nenes poden trobar-se a casa seva, al carrer o a la ciutat i que necessita una solució matemàtica.

Una història: «Els nombres no han tornat de vacances». Doncs els construïm!

b) A partir d’aquesta història els alumnes intenten solucionar els reptes que se’ls plantegen de diferents maneres: b.1. Per mitjà de material eminentment matemàtic, com ara les regletes de Cuisinaire, els blocs lògics o els geoplans, però també amb material cercat per ells (peces de Lego, plastilina, escuradents o peces de diferents jocs que hi ha a la classe, per exemple). b.2. Per mitjà de la recerca d’informació o material a diferents agents educatius, que poden ser companys més hàbils de la classe, companys de cursos superiors, família o altres membres de la comunitats educativa (mestres, conserge...). b.3. Per mitjà de debats en parella o en grup per decidir quina és la millor manera d’afrontar l’activitat. Després segurament tendiran als mètodes explicitats en els punts b.1 i b.2 per resoldre el problema plantejat.

Activitat significativa al mercat.

desembre 2019 35

b.4. Per mitjà d’una sortida a un indret proper a l’escola on puguem trobar les dades per resoldre un problema (al mercat, per exemple) o on trobarem elements matemàtics que ens permetin fer una activitat (la numeració dels edificis del carrer, per exemple). c) L’objectiu de tota activitat se centra en el raonament i la deducció de quines passes seran necessàries per arribar al resultat final, i no en la consecució d’aquest. El més important és el procés, no pas la solució. Assolir un resultat final correcte no impedeix preguntar com s’ha arribat fins a aquest; de la mateixa manera que ho preguntem quan el resultat final és incorrecte. Ens interessen les explicacions lògiques, que bastants cops fins i tot seran diferents entre els nens i les nenes per a una mateixa activitat i un mateix resultat. Aquestes explicacions a vegades seran públiques i intentarem generar un debat a la classe sobre si podem trobar altres maneres de fer-ho o sobre si aquella que ens mostren ens sembla correcta. d) Malgrat que la base d’aquesta metodologia se centra en les activitats manipulatives i significatives, pensem que no es poden deixar de banda les tasques escrites. Els alumnes també han de ser capaços de resoldre activitats presentades en dues dimensions, ja que en el decurs de la seva vida també hauran de resoldre feines presentades en paper, tant en ambients lectius com personals. Per tant, aquests exercicis gràfics també esdevenen, a la fi, significatius. Per això disposem d’uns quaderns de fitxes referides a les diferents parts del temari, que complementaran la feina de caire significatiu i manipulatiu. Aquests quaderns, normalment, es presenten a les parts finals de la unitat o s’utilitzen com a deures per emportar-se a casa. També disposem de diferents tipus d’activitats presentades com a fitxes, que complementaran diferents apartats del temari. e) Les activitats digitals interactives realitzades a la classe amb la PDI,3 a la sala d’informàtica o amb la utilització de tauletes, esdevenen també un complement important de la nostra programació. Els mitjans audiovisuals són sempre un reclam per als alumnes i la introducció d’activitats de raonament expressades en forma digital representa un repte que els alumnes afronten, normalment, amb una elevada motivació. f) La distribució de l’alumnat varia segons les necessitats i els objectius de cada sessió.

Es plantegen activitats individuals, però es dona força importància al treball cooperatiu, ja sigui en parelles o bé en petits grups. També es fomenta la figura del company tutor, que ajuda els alumnes amb dificultats a entendre les activitats. Aquest company tutor té la consigna de no resoldre les activitats als seus companys, sinó només ajudar-los a comprendre allò que no entenen. g) El/La mestre/a proposa la història, organitza els grups per tal que majoritàriament siguin heterogenis, col¨loca el material estratègicament per tal que als alumnes els sigui més fàcil trobar-lo i intenta no donar mai solucions. La feina principal que té és interessar-se per què fa cada alumne o grup, fer preguntes, demanar explicacions sobre què estan fent i donar simplement lleugeres pistes per orientar la cerca dels alumnes. Però també és l’encarregat de presentar les feines més avorrides, les presentades en paper. Per acabar i com és obvi, també haurà d’avaluar els alumnes d’una manera diferent a l’habitual i que explicarem en el punt número 5 d’aquest article.

3. Pissarra digital interactiva.

36 noubiaix 45

Treball cooperatiu: com ens podem mesurar sense cinta mètrica?

Cal precisar que, malgrat que majoritàriament s’intenta compondre grups heterogenis, penso que també és important crear grups homogenis quant al nivell d’aprenentatge, pel fet que si no és així es crea entre els alumnes l’hàbit que uns (els de més nivell) «dirigeixen» i els altres (els de menys nivell) «obeeixen i fan». Si ajuntem infants de nivell similar elevat, hauran d’aprendre a arribar a acords, a controlar els egos i lideratges i a cercar entre tots de manera cooperativa les respostes a l’activitat plantejada. De la mateixa manera, si unim alumnes de nivells inferiors (als quals proposarem objectius de recerca adequats al seu nivell), aquests hauran d’aprendre a fer coses que normalment no fan, com prendre decisions, assumir el lideratge del grup i, també, és clar, arribar a acords amb companys i companyes sense la guia dels que «en saben més».

Treballem en grup per solucionar reptes.

desembre 2019 37

h) Aquest tipus d’activitats manipulatives presenten un aspecte clau per a l’aprenentatge dels nens i les nenes: es poden adaptar ràpidament al nivell de cada alumne/a. Es pot estar treballant amb un o diversos materials amb objectius diferenciats per a cadascun d’ells. És a dir, podem estar treballant en la zona de desenvolupament proper4 de cada alumne/a al mateix temps. i) Per acabar, cal ressaltar que no som «puristes» de les activitats significatives i manipulatives realitzades de manera activa. Penso que també és necessari, en certs moments, introduir algun aprenentatge de la manera tradicional: la classe magistral. Això passa, per exemple, quan introduïm la manera de fer els algoritmes de les operacions o amb els noms de les diferents parts de les figures geomètriques. L’únic requisit que s’ha de tenir en compte és no presentar-ho mai d’una manera avorrida, sinó buscant l’interès dels alumnes per mitjà de sistemes com llançar preguntes en el decurs de l’explicació que els motivin a implicar-se en el que s’explica.

4. Aplicació a l’aula i resposta dels alumnes En el moment en què ens vam plantejar introduir aquesta nova metodologia a l’escola, de seguida vam veure que la primera necessitat urgent era dotar les aules de material manipulatiu específic. Amb una visió de futur, es va fer una despesa inicial alta i vam aconseguir augmentar la quantitat d’unitats d’algun material que ja teníem, com les regletes de Cuisinaire o els tangrams, i vam introduir elements com les formes geomètriques per enfilar, les peces de fusta de diferents formes i mides, els dòminos de sumes i restes o els geoplans, entre d’altres. Material que, juntament amb altre que ja teníem, com els blocs lògics, les capses de monedes i bitllets o les capses de figures geomètriques, per exemple, va constituir la base per començar a canviar la manera de treballar amb els alumnes.

Amb les regletes construïm sèries numèriques.

Tot i això, de seguida vam veure que qualsevol material que teníem per la classe podia ser susceptible de formar part de les nostres activitats. És així com els jocs de construcció 4. Concepte introduït per Lev Vygotski (1931) i desenvolupat més endavant per diversos autors, els més importants dels quals són David Wood i Jerome Bruner.

38 noubiaix 45

o elements dels més diversos que hi podia haver per la classe es van convertir en material útil per a les nostres activitats de matemàtiques.

Activitat amb geoplans.

Tal com hem explicat anteriorment, les unitats es presenten habitualment com una història o un succés significatiu que dona peu a una argumentació matemàtica que presenta un problema que s’ha de solucionar. A partir d’aquí, el material per solucionar aquest problema s’aconsegueix de tres maneres diferents, que s’utilitzen aleatòriament segons els objectius previstos: 1a. Es facilita als alumnes un tipus de material determinat perquè l’utilitzin com a material prioritari per solucionar aquella activitat. Pot ser que més endavant els alumnes decideixin complementar-lo o canviar-lo per altres tipus de material.

2a. Es deixen preparades i repartides per diferents llocs de l’aula diferents capses amb material divers. Els alumnes triaran quin material volen utilitzar per solucionar el seu repte matemàtic.

desembre 2019 39

Si no tenim cintes per mesurar, busquem solucions amb material divers.

3a. No es deixa cap tipus de material preparat. Els alumnes el porten de casa o el cerquen entre els jocs o el material que hi ha habitualment a la classe. A vegades també l’han de buscar en altres llocs de l’escola.

Un cop tenen el material, els alumnes treballen de manera individual o en diferents associacions grupals. Si actuen en parella o en grup, es potencia que hi hagi un diàleg o debat serè i que tothom pugui aportar la seva opinió i el seu raonament. S’intenta evitar que els alumnes més hàbils del grup imposin les seves idees i es pretén que valorin les aportacions de tothom.

Durant el decurs dels debats, el mestre va voltant pels diferents llocs de treball, escoltant els raonaments que fan els alumnes o grups i fent preguntes adients per tal de despertar curiositats o raonaments nous en relació amb el que estan fent. Aquesta actuació és adequada en tots els casos, però sobretot quan els nens i les nenes tinguin dificultats per resoldre la situació plantejada i els seus primers raonaments no condueixin a un objectiu concret. El mestre actua com a guia, però sense resoldre res; simplement aporta preguntes que ajudin a avançar en el desenvolupament de l’activitat prevista.

Un cop s’arriba a una solució, els alumnes la presenten al mestre, tant de manera individual com grupal, i després és interessant que presentin els seus raonaments a tots els companys i companyes de la classe. El mestre no sempre dirà als alumnes si la solució trobada és correcta o no, sinó que, quan es presenti a la resta de la classe, ha de deixar que sigui aquesta qui valori la idoneïtat de la resposta donada.

Per tant, tal com es pot comprovar, es dona una importància notable durant tot el procés als raonaments logicodeductius. Així doncs, la valoració que farem de l’activitat se centrarà en aquests raonaments, independentment de si aporten una solució correcta o no. És més important el procés que el resultat. Així mateix, incitarem els alumnes que no han aconseguit una solució correcta a intentar trobar-la de nou. En aquest moment, introduirem, si ho creiem necessari, la figura del company tutor. Els companys que hagin arribat a una solució correcta en els seus plantejaments o els que hagin debatut la idoneïtat de la resposta donada, ajudaran els seus companys a trobar una resposta correcta. Queda palesa, doncs, la importància que donem al treball cooperatiu entre els alumnes.

40 noubiaix 45

Resolem un repte: construïm una sèrie regular d’objectes.

Seguidament, durant la unitat plantejarem diferents tipus d’activitats relacionades amb el nexe comú, que acabaran sempre amb un treball en paper. Creiem, tal com hem dit abans, que les feines escrites tenen també una rellevància expressa que els alumnes han de conèixer.

Evidentment, intentarem que una bona part d’aquestes activitats també siguin competencials i indueixin a fer raonaments, però tampoc no deixarem totalment de banda activitats mecàniques que els alumnes han de saber realitzar, com les operacions bàsiques.

Quant a la resposta dels alumnes a aquest tipus d’activitats, hem de constatar que ha estat tremendament positiva. No cal dir que, per als alumnes del cicle inicial, poder estar manipulant diferents tipus d’objectes ja és una motivació per si mateix, ja que per a ells això és un joc. A més a més, la presentació de les unitats en forma d’història significativa i haver de resoldre un repte que se’ls proposa ha esdevingut un al¨licient extra per als alumnes.

D’altra banda, un dels dubtes que teníem era si la presentació dels reptes i els raonaments que se’ls demanaven seria d’un nivell adequat per a aquestes edats. Una vegada han passat cinc cursos, cal dir que en bastants casos ens hem sorprès de la capacitat de raonament que han mostrat els i les alumnes. Fins i tot algunes vegades han aparegut explicacions lògiques que no ens esperàvem i que tenien una base totalment raonable.

Una altra de les preguntes que ens podríem fer és com s’han adaptat els nens i les nenes amb necessitats educatives especials a aquesta metodologia. La resposta té diverses vessants: en les activitats individuals no han tingut cap problema. Al contrari, aquestes activitats tenen l’avantatge de ser ràpidament modelables i adaptables al nivell de cada alumne. Es pot estar treballant amb material semblant, però amb objectius diferents adaptats a cada un d’ells.

En les activitats en parella, hem treballat de dues maneres: en parelles homogènies, per tal que no hi hagués un membre de la parella que eclipsés l’altre i tots dos fossin partícips dels raonaments; i en parelles heterogènies, on l’objectiu era molts cops que el nen o la nena més hàbil fes de mestre del menys hàbil i que fos aquest últim el que expliqués l’activitat al final.

desembre 2019 41

Amb això hem aconseguit que algunes activitats fossin més ben enteses pels alumnes que no pas amb la intervenció del mestre. El treball entre iguals ha afavorit la comprensió de les activitats.

Per acabar, l’objectiu marcat era que tots participessin en les activitats del grup i que cadascú tingués una feina per fer dins de l’equip. S’havien d’organitzar per tal que cada alumne tingués una tasca adequada al seu nivell.

En totes aquestes activitats, els alumnes amb necessitats educatives especials han respost majoritàriament de manera satisfactòria i pensem que ha estat un bon canvi per a ells.

5. Avaluació dels alumnes Un altre dels punts crucials d’aquesta metodologia recau en la manera d’avaluar els alumnes.

Una vegada entès que el treball per escrit queda reduït a la mínima expressió i que no realitzem controls escrits d’avaluació, la pregunta és: com avaluem?

La resposta és utilitzant un sistema d’avaluació contínua. Disposem d’una graella de doble entrada per a cada unitat, on anotem en un lateral el nom dels alumnes i a la part superior els ítems que volem avaluar a cada sessió. D’aquests ítems hem elaborat també una taula de rúbriques per facilitar fer-ne una valoració més objectiva.

Aquesta graella ens acompanya habitualment o la tenim en un lloc fàcilment accessible. De manera continuada anem anotant esquemàticament amb codis senzills, extrets de la taula de rúbriques, les observacions que anem realitzant dels diferents alumnes i que es refereixen, sobretot, a com van resolent els diferents processos de l’activitat i de quina manera utilitzen els raonaments i les deduccions. Tal com hem dit abans, valorem més els processos i la seva varietat que no pas les solucions. En tot cas, no entenem l’avaluació com una angoixa que s’ha de realitzar diàriament, sinó que anem decidint en quines sessions i en quins moments serà més idoni aplicar-la.

CRITERIS D’AVALUACIÓ 1

Àmbit

RÚBRIQUES INDICADORES DE QUALITAT NOVELL APRENENT AVANÇAT EXPERT

2

3

Exemple de rúbrica d’avaluació.

42 noubiaix 45

El procés d’avaluació també el veiem com un procés formatiu. Als alumnes se’ls fa valorar què fan malament i què fan bé per tal d’implicar-los en els seus processos d’aprenentatge.

D’altra banda, per tal d’objectivar més la qualitat dels seus aprenentatges en l’àmbit de la numeració i les operacions, realitzem periòdicament, cada mes i mig aproximadament, una prova d’agilitat de càlcul que motiva molt els alumnes. De la mateixa manera, utilitzem els problemes del Quinzet per estimular el raonament matemàtic. També cal dir que les poques fitxes que fan ens serviran de complement en aquesta avaluació, però en cap cas seran un element indispensable.

D’aquesta manera, la valoració de tots aquests aspectes ens dona una visió acurada de cada alumne i ens permet avaluar-lo competencialment.

6. Reflexió final En els apartats anteriors hem volgut presentar les idees bàsiques de la metodologia diferent de la tradicional que hem implantat a la nostra escola. Òbviament, no hem inventat res, sinó que simplement hem adaptat a la nostra realitat diferents elements que han existit des de sempre en les programacions escolars. La nostra intenció ha estat fer de les matemàtiques una matèria activa, una matèria viva, plena de significat i no centrada només a omplir fitxes.

L’ensenyament-aprenentatge de les matemàtiques s’ha de basar en els aspectes bàsics de tota ciència: la relació amb la vida real, la manipulació de diferents elements, l’experimentació, la descoberta, el raonament i la deducció. I és això el que hem volgut presentar als nostres alumnes.

Després de cinc cursos sencers aplicant aquesta metodologia i d’haver pogut completar ja dues vegades el període en què uns mateixos alumnes han realitzat tot el cicle inicial, podem concloure que l’experiència ha estat molt positiva. I no només per als nens i les nenes, sinó també per a nosaltres com a mestres. Podem dir que aquesta metodologia ens ha permès conèixer molt millor els nostres alumnes i expandir millor les seves capacitats i intel¨ligències. Hem pogut comprovar com alumnes que tenen problemes per solucionar activitats de caire més abstracte en paper, són capaços de presentar-nos raonaments lògics d’un nivell molt acurat.

Més específicament, hem pogut constatar que els alumnes han fet els progressos més notables en les activitats de numeració i descomposició de nombres. Han après la numeració en molt menys temps que en cursos anteriors i han sabut operar amb ella amb més facilitat.

O, per exemple, han sabut representar i entendre d’una manera més ferma conceptes com meitat, doble o triple.

I si comparem el nivell mitjà de la classe amb el dels cursos que van acabar anteriorment a la implantació d’aquesta metodologia, que treballaven eminentment amb llibres de text, constatem sens dubte que els alumnes actuals tenen uns coneixements més versàtils, adaptables a la realitat, i que són capaços d’emetre raonaments més elaborats. És clar que no tot és de color de rosa. Crear, escriure i implantar una programació nova des de pràcticament zero comporta un treball llarg i costós. A més a més, és obvi que la primera

desembre 2019 43

vegada que s’han introduït algunes activitats no han funcionat de la manera esperada i s’han hagut de modificar sobre la marxa. No és el mateix escriure el desenvolupament d’una unitat a casa que portar-la a la realitat amb els alumnes. Durant tot aquest procés hem anat refent les unitats perquè cada cop estiguessin més ben estructurades; modificant sessions fruit de l’anàlisi feta de cadascuna d’elles i del feedback rebut en el treball amb els alumnes; introduint nou material manipulatiu que millori la nostra acció, i sempre ho hem fet amb la il¨lusió renovada per continuar aprenent del dia a dia amb els alumnes.

Per acabar, l’experiència viscuda i els resultats obtinguts amb els alumnes ens porten, sens dubte, a convidar totes les persones que encara no ho han fet, a sortir de l’anomenada «zona de confort» i llançar-se a una implantació a la seva escola de metodologies significatives, manipulatives i actives. Nosaltres, actualment, només ens penedim de no haver començat abans.

44 noubiaix 45

Editar la Viquipèdia: punt de trobada de competències matemàtiques, lingüístiques i digitals Martí Cuquet Institut Domus d’Olivet mcuquet2@xtec.cat

Agnes Schlüter Institut Domus d’Olivet aschlute@xtec.cat

Resum La comunicació és una de les dimensions o processos clau de l’àmbit matemàtic. És també un aspecte de les matemàtiques que permet establir fàcilment connexions amb altres àmbits, com el lingüístic o el digital. En aquest article exposem un projecte d’edició d’articles matemàtics de la Viquipèdia amb alumnes de tercer d’ESO. El projecte es vincula amb el currículum competencial dels àmbits matemàtic, lingüístic i digital. Fer que els alumnes esdevinguin editors de la Viquipèdia és, a més, una oportunitat per a la seva alfabetització digital. L’objectiu principal del projecte és elaborar un article enciclopèdic d’un concepte matemàtic utilitzant fonts d’informació fiables. S’ha implementat mitjançant quatre fases: presentació, avaluació d’articles de la Viquipèdia, elaboració de l’article i avaluació. Els alumnes han valorat positivament el fet d’haver reforçat el seu vocabulari específic de matemàtiques i de produir un resultat que sigui útil a la societat. A més, la Viquipèdia permet treballar íntegrament en la seva plataforma i interactuar amb la comunitat editora, tot rebent avaluacions i recomanacions d’experts externs al centre.

Abstract Communication is one of the key dimensions or processes in mathematics. It is also an aspect of mathematics that allows for the easy establishment of connections with other areas, such as language and digital activities. In this article, we present a project to edit mathematical articles in Wikipedia with third-year secondary school students (14-15 years old). The project is linked to mathematical, linguistic and digital competences in the curriculum. Making the students become editors of Wikipedia is also an opportunity for their digital literacy. The main objective of the project is to develop an encyclopaedic article on a mathematical concept, using reliable sources of information. It has been implemented through four phases: presentation, evaluation of Wikipedia articles, article preparation, and evaluation. Students valued the reinforcement of their specific vocabulary in mathematics and their product being useful to society. In addition, Wikipedia allowed them to complete all their work on its own platform and to interact with the editing community, receiving evaluations and recommendations from experts outside the school.

desembre 2019 45

1. Introducció Totes les concrecions de les competències o els processos de l’àmbit matemàtic inclouen, d’una manera o altra, la utilització del llenguatge matemàtic i la comunicació. Per exemple, la concreció de competències de l’àmbit matemàtic del currículum català comprèn la competència d’expressar idees matemàtiques, tant a primària com a secundària (Burgués i Sarramona, 2013 i 2016). La comunicació és també un dels cinc processos per aprendre i aplicar contingut descrits pel National Council of Teachers of Mathematics. Per tant, sembla clar que es poden establir fàcilment connexions entre els àmbits lingüístic i matemàtic a partir d’aquest nexe. Podem trobar alguns exemples d’aquestes connexions en l’últim Congrés Català d’Educació Matemàtica (Albertí, 2016; Calvo i Obrador, 2016; Serra, 2016).

En aquest article presentem un projecte interdisciplinari d’edició d’articles matemàtics a la Viquipèdia. Els alumnes escullen un contingut relacionat amb el currículum de matemàtiques i creen o milloren un article de la Viquipèdia. L’objectiu no és tant l’aprenentatge d’aquest contingut, que, com menciona Domènech (2019), no sol ser gaire profund en el cas del tipus de projectes que anomena enciclopèdics, sinó que, tot elaborant l’article, els alumnes aprenguin a comunicar matemàtiques de manera clara i precisa en un entorn significatiu per a ells i extern al centre, a planificar, escriure i revisar textos d’estil enciclopèdic, a valorar la fiabilitat de fonts d’informació i a participar en un entorn de comunicació per compartir informació. El projecte desenvolupa, per tant, competències dels àmbits matemàtic, lingüístic i, de manera molt especial, digital.

En un context en què els alumnes disposen sovint de grans habilitats digitals desenvolupades fora de l’escola, el paper de l’educació formal s’ha de dirigir a contribuir que la tecnologia estigui al servei de l’alumne, i no al revés (Departament d’Ensenyament, 2008). Aquesta necessitat d’alfabetització digital s’ha institucionalitzat a través de, principalment, la competència digital (Comunidades Europeas, 2007, p. 7), la competència per a la utilització autònoma i creativa dels sistemes digitals (Llei 12/2009) i el seu desplegament en les onze competències de l’àmbit digital de l’educació secundària obligatòria (Marquès i Sarramona, 2017). A més, es troba també present en competències d’altres àmbits, com ara la competència de seleccionar i usar tecnologies diverses per gestionar i mostrar informació, i visualitzar i estructurar idees o processos matemàtics (Burgués i Sarramona, 2017), i la de desenvolupar estratègies de cerca i gestió de la informació per adquirir coneixement (Mallart i Sarramona, 2015), en els àmbits matemàtic i lingüístic, respectivament.

De manera anàloga a com Eco (1979, p. 16) defensava la necessitat d’una alfabetització mediàtica, si volem utilitzar els mitjans digitals en els processos d’ensenyament-aprenentatge hem de proporcionar als alumnes les eines i els criteris per entendre i utilitzar de manera crítica aquests mitjans (Buckingham, 2015). Es tracta, en poques paraules, d’anar més enllà del mer ús del maquinari i programari i passar a entendre els nous mitjans digitals a través del domini del codi i les formes de comunicació pròpies de la cultura digital (Área, 2011, p.

25; Buckingham, 2015).

L’ús de la Viquipèdia n’és un cas paradigmàtic. De vegades percebuda com un «enemic» per part del professorat per culpa del possible mal ús que en poden fer alumnes a través, per exemple, del famós copia-i-enganxa, s’arriba en alguns casos a prohibir-ne l’ús, tot i que a la vegada es plantegen activitats que implícitament la promocionen. Però la Viquipèdia és

46 noubiaix 45

present en la vida dels alumnes i, més que no pas ignorar-la deliberadament, cal utilitzar-la com una eina més de l’aprenentatge. Així, i parafrasejant Eco, si vols utilitzar la Viquipèdia per ensenyar alguna cosa a algú, primer has d’ensenyar-li com utilitzar la Viquipèdia. La solució sembla, doncs, ben senzilla: i si girem la truita i els fem editar a ells la Viquipèdia?

La Viquipèdia ofereix un entorn real i significatiu per al desenvolupament de les competències digitals dels alumnes. L’ús de la Viquipèdia s’ha estès tant entre la població que és actualment el cinquè lloc web més visitat del món, segons el rànquing Alexa, i els seus articles solen aparèixer entre els primers resultats en les cerques a la web. Aquest patró es reprodueix també en l’àmbit educatiu, on els alumnes l’utilitzen sobretot com a introducció a un tema que estan investigant o per aclarir conceptes (Selwyn i Gorard, 2016). Hi ha estudis sobre la percepció i l’ús de la Viquipèdia en entorns educatius, però se centren gairebé exclusivament en els nivells universitaris. En canvi, els estudis sobre l’ús per part de l’alumnat de secundària són limitats (vegeu, per exemple, Harouni, 2009; Bligstad-Balas, 2016; Valverde-Crespo i González-Sánchez, 2016). En un estudi en el nostre entorn amb cent quaranta-tres estudiants de secundària, un 99% dels estudiants (tots menys un) van afirmar que havien visitat alguna vegada la Viquipèdia, tant en la seva versió catalana com en la castellana i, en menor mesura, l’anglesa (Cuquet i García, 2019). El seu ús se centra principalment en àmbits com les ciències socials i, en canvi, és pràcticament nul pel que fa a les matemàtiques. Els alumnes en valoren principalment la rapidesa i la facilitat per trobar informació, la seva comprensibilitat i la gran cobertura temàtica; i, tot i que hi ha una consciència general sobre la possible manca de fiabilitat de la Viquipèdia, això no és un obstacle perquè sigui una de les seves principals fonts d’informació de manera regular (Cuquet i García, 2019).

En aquest article presentem una experiència pilot liderada des de l’àmbit matemàtic, en col¨laboració amb el lingüístic, per fer un salt qualitatiu en l’ús de la Viquipèdia per part dels alumnes, que passen de ser simples consumidors a ser editors de contingut real. Tot i que els continguts editats en aquest cas són matemàtics, l’objectiu principal és el desenvolupament de competències digitals relacionades amb l’avaluació crítica d’articles de fonts d’informació i la participació en espais comunitaris de creació de contingut; a més, és clar, de l’elaboració d’articles enciclopèdics i la comunicació matemàtica. D’aquesta manera, el projecte es pot adaptar fàcilment a molts àmbits diferents, que poden aportar els continguts dels articles, així com a llengües estrangeres a través de la traducció d’articles.

L’ús de la Viquipèdia com a recurs educatiu està relativament estès en l’àmbit universitari, amb propostes generalment orientades a la creació, l’edició i la millora d’articles amb l’objectiu de progressar en les habilitats de redacció crítica (Alonso i García, 2013; Brox, 2012; Di Lauro i Johinke, 2017; Forte i Bruckman, 2006; Hoffmann, 2016; Lerga i Aibar, 2015; Soler-Adillon, Pavlovic i Freixa, 2018; Sormunen i Lehtio, 2011; Wiki Education Foundation, 2014). Tanmateix, en l’educació secundària les experiències són més limitades. Harouni (2009) proposava ja fa deu anys l’ús de la Viquipèdia a secundària en la matèria d’estudis socials. En l’àmbit de la Viquipèdia en català, s’han dut a terme nombrosos projectes universitaris amb la col¨laboració de l’associació Amical Wikimedia1 (Rodríguez, Vidal i Mahy, 2015; Cuadros, Dengra i Marginet, 2016; Giralt, 2016). En l’àmbit de l’educació secundària a Catalunya, el nombre de projectes és, de nou, més reduït.2 1. https://ca.wikipedia.org/wiki/Categoria:Viquiprojectes_docents.

2. https://ca.wikipedia.org/wiki/Categoria:Viquiprojectes_docents_a_secundària.

desembre 2019 47

Tal com avançàvem abans, presentem l’experiència d’un projecte pilot d’edició d’articles matemàtics a la Viquipèdia amb un nombre reduït d’alumnes voluntaris. En la secció següent descrivim breument el projecte, els participants, els objectius i les competències més rellevants que s’hi treballen. Seguidament, presentem la seqüenciació del projecte en quatre fases, amb una breu descripció de les activitats que s’han implementat. Finalment, concloem l’article amb una breu presentació dels resultats del projecte i la seva discussió de cara a futures edicions.

Objectius i competències El projecte que es descriu a continuació l’han dut a terme de manera voluntària sis alumnes de tercer d’ESO de l’Institut Domus d’Olivet de Canovelles durant la segona meitat del curs 2018-2019. Es tracta d’un projecte pilot impulsat des de les àrees de matemàtiques i llengua catalana i literatura i que engloba competències i continguts clau dels àmbits digital, lingüístic i matemàtic. El projecte s’ha fet amb un grup reduït d’alumnes per poder-ne fer un seguiment més detallat amb l’objectiu de dissenyar un projecte a més gran escala de cara als cursos següents. Alguns dels alumnes participants formaven part d’un pla repte d’atenció a la diversitat a partir d’activitats que permeten augmentar l’aprofundiment i la complexitat dels coneixements tractats a l’aula.

L’objectiu del projecte és elaborar un article enciclopèdic de divulgació d’un concepte matemàtic tot utilitzant fonts d’informació fiables i interactuar amb una comunitat digital d’editors voluntaris per millorar la cobertura de l’àmbit matemàtic en la Viquipèdia en català.

Les principals competències involucrades corresponen als àmbits matemàtic (CM), lingüístic (CL) i digital (CD): CM10. Expressar idees matemàtiques amb claredat i precisió i comprendre les dels altres. ‚ CL3. Desenvolupar estratègies de cerca i gestió de la informació per adquirir coneixement. ‚ CL4, Cl5, CL6. Planificar, elaborar i revisar un text escrit, en el nostre cas enciclopèdic. ‚ CD4. Cercar, contrastar i seleccionar informació digital adequada per al treball que s’ha de realitzar, tot considerant diverses fonts i mitjans digitals. ‚ CD7. Participar en entorns de comunicació interpersonal i publicacions virtuals per compartir informació. ‚

Com sempre, les competències que es mobilitzen en les activitats són moltes més i si es posa el focus en altres aspectes (també segons l’article que s’està editant), es podrien avaluar també altres competències. En el cas de l’àmbit matemàtic, una d’elles és la competència de construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques. Cal tenir en compte, però, que la producció de l’argumentació dins l’article de la Viquipèdia no pot ser original, sinó a partir d’una font fiable, i l’aspecte que s’ha d’avaluar és el d’expressar i contrastar l’argumentació, més que no pas la seva construcció.

Segons el tipus d’article, també pot tenir un pes rellevant la representació de conceptes i relacions de diverses maneres. D’altra banda, si es treballa en grups reduïts en comptes de fer-ho individualment, com s’ha fet en aquesta prova pilot, també prenen rellevància

48 noubiaix 45

la comunicació i el treball col¨laboratiu. Finalment, també és important la competència de seleccionar i usar tecnologies diverses. Aquest aspecte és especialment interessant si s’opta, per exemple, per il¨lustrar articles amb diagrames fets amb GeoGebra.

Seqüenciació Hem dividit el projecte en quatre fases. Per a cada fase hem fet una sessió presencial per presentar els objectius del projecte i de la fase i resoldre dubtes, sobretot tècnics.

Fase 1. Presentació La primera fase ha consistit en la presentació del projecte. Després d’explicar breument el projecte en una sessió de la matèria de matemàtiques, hem creat la pàgina del Viquiprojecte a la Viquipèdia3 i una classe al Google Classroom amb els alumnes voluntaris. La pàgina conté una presentació dels objectius del projecte, una guia sobre què s’ha de fer i com s’ha de fer, una llista amb propostes d’articles per crear o millorar relacionats amb els continguts treballats o que es treballarien des de les matemàtiques, una llista amb fonts d’informació en línia (que inclou fonts generalistes com la Gran enciclopèdia catalana, però també fonts específiques: revistes de didàctica o de divulgació matemàtica, com Nou Biaix i Materials Matemàtics, entre d’altres) i una altra amb suggeriments de llibres que els alumnes poden trobar a la biblioteca local i que contenen informació rellevant per als articles proposats. La pàgina del projecte també inclou una rúbrica sobre l’avaluació d’articles matemàtics a la Viquipèdia, que valora aspectes formals, lingüístics, matemàtics i d’ús de les fonts d’informació. Aquesta rúbrica és la que mostra la taula 1.

Abans de fer cap sessió presencial, es va demanar als alumnes que duguessin a terme les activitats següents.

Activitat 1. Els alumnes van respondre un qüestionari inicial sobre l’ús i la percepció de la Viquipèdia a partir del model utilitzat per Cuquet i García (2019).

Activitat 2. Es va proposar als alumnes de fer un breu debat en línia sobre l’ús que fan de la Viquipèdia, a partir de les preguntes guia següents: «Utilitzeu la Viquipèdia? En quines matèries? És fiable? Us agrada? Sabeu que es pot editar lliurement? Per què creieu que la gent edita la Viquipèdia en el seu temps lliure?».

Activitat 3. Els alumnes van crear un usuari i van editar la pàgina del projecte, en la qual van afegir el nom d’usuari i l’article seleccionat per editar.

A continuació es va fer la primera sessió presencial, amb una breu presentació del projecte, els objectius i la seva temporització, així com de la metodologia de treball que seguiríem.

També es va aprofitar per presentar la Viquipèdia: el funcionament, les normes bàsiques i l’estructura estàndard d’un article a partir de l’article «Funció»4 com a exemple. Al final de la sessió vam dur a terme la quarta activitat.

3. https://ca.wikipedia.org/wiki/Viquiprojecte:INS_Domus_d’Olivet.

4. https://ca.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3.

desembre 2019 49

Activitat 4. En el taller d’edició els alumnes van crear la pàgina d’usuari i la pàgina de proves, en la qual els alumnes van poder seleccionar el seu article i començar a editar-lo. És recomanable, especialment en aquest nivell educatiu, editar primer l’article a la pàgina de proves i esperar a la revisió de contingut i forma per part del professor i els voluntaris externs abans de transferir l’article a l’espai principal de la Viquipèdia. Així s’evita desestructurar excessivament un article ja existent (en el cas que s’opti per millorar un article i no fer-ne un de nou). També s’evita rebre comentaris d’editors de la Viquipèdia que no siguin conscients que estan editant l’article alumnes de secundària i que podrien desanimar-los en un moment clau d’iniciació a l’edició col¨laborativa.

Fase 2. Avaluació d’articles Abans de començar a editar l’article seleccionat (més enllà d’un primer tastet), vam demanar als alumnes d’avaluar articles ja existents. L’objectiu d’aquesta fase és que els alumnes s’adonin que hi ha articles de qualitats diferents i que puguin detectar quins elements o quines característiques fan que un article sigui considerat bo.

Activitat 5. Els alumnes van avaluar set articles proposats de qualitats diferents («Nombre decimal», «Nombre racional», «Geometria del taxista», «Funció», «El¨lipse», «Successió» i «Paradoxes de Zenó»). Alguns d’ells ja els havíem proposat com a potencials articles per millorar i alguns alumnes els van seleccionar per a la seva millora posterior. Per a l’avaluació van utilitzar la rúbrica que es mostra a la taula 1, que va ser també la rúbrica utilitzada per avaluar el producte final.

Taula 1. Rúbrica d’avaluació d’articles matemàtics a la Viquipèdia.

4

3

2

1

Títol

L’article té un títol fàcil de trobar, precís, concís i coherent.

Introducció

La introducció ofereix una visió general concisa: defineix el tema, estableix el context, exposa per què és rellevant i resumeix els punts més importants.

Segueix el format adequat, amb el títol en negreta a la primera frase, i evita l’ús de fórmules matemàtiques.

La introducció ofereix una visió general, tot i que falta mencionar algun aspecte important de l’article o no se segueix el format adequat amb el títol en negreta a la primera frase.

La introducció té una mida adequada en relació amb l’article, però s’hi inclou informació no present en l’article, no és clara o no segueix un punt de vista neutral.

La introducció és excessivament llarga o inexistent.

Cos

Els paràgrafs són expositius, ni massa curts ni massa llargs.

En cas que l’article sigui suficientment llarg, s’utilitzen seccions de manera adequada i amb un ordre clar.

Els paràgrafs són expositius. En cas que l’article sigui suficientment llarg, es divideix en seccions, si bé no segueixen un ordre del tot clar.

Hi ha algunes seccions o se segueix una certa estructura lògica, però el text consisteix principalment en frases deslligades o paràgrafs excessivament llargs.

No se segueix cap estructura lògica, falten seccions i la redacció no és la pròpia d’un text expositiu.

No hi ha títol, és massa llarg o no queda clara la relació del títol amb el contingut de l’article.

50 noubiaix 45 4

3

2

1

Seccions finals

Se segueix l’ordre consensuat (pot haver-hi omissions): referències, bibliografia, «Vegeu també», enllaços externs. La llista «Vegeu també» és rellevant i curta. El nombre d’enllaços externs és el mínim possible (o no se n’hi inclou cap). L’article està classificat dins d’almenys una categoria i és rellevant.

Se segueix l’ordre consensuat (pot haver-hi omissions): referències, bibliografia, «Vegeu també», enllaços externs. Tanmateix, la llista «Vegeu també» no és rellevant, és massa llarga o hi ha massa enllaços externs. L’article està classificat dins d’almenys una categoria, però no dins la més rellevant.

Se segueix l’ordre consensuat (pot haver-hi omissions): referències, bibliografia, «Vegeu també», enllaços externs. Tanmateix, la llista «Vegeu també» no és rellevant, és massa llarga o hi ha massa enllaços externs, i no hi ha cap categoria.

No se segueix l’ordre consensuat: referències, bibliografia, «Vegeu també», enllaços externs. No hi ha seccions finals (com a mínim ha de tenir la secció de referències).

Ús de referències

Se citen les fonts de manera adequada per tal de facilitar la verificació de la veracitat de l’article, amb el format estàndard de la Viquipèdia. Les fonts són rellevants i fiables (llibres, revistes, diaris, conferències...).

Se solen citar les fonts, tot i que no totes són rellevants o fiables: s’hi inclouen, per exemple, blogs o altres fonts que no han seguit un procés de publicació fiable.

Falten referències i les que hi ha no són rellevants o fiables.

No se cita cap font.

Correcció ortogràfica

S’escriu amb plena correcció ortogràfica.

S’escriu amb una ortografia força correcta, hi ha alguns errors però no són greus.

Hi ha errors ortogràfics i alguns són greus.

Hi ha molts errors ortogràfics.

Estil enciclopèdic

Hi ha les diferents parts de l’article enciclopèdic. S’usa el registre formal. El lèxic és utilitzat de manera precisa. Se segueixen les normes d’estil de la Viquipèdia.

Hi ha les diferents parts de l’article enciclopèdic. S’usa el registre formal. El lèxic és adequat.

Tanmateix, no se segueixen altres normes lingüístiques de la guia d’estil, per exemple en l’ús de majúscules, acrònims, cursives, cometes, etc.

En alguna part del text el registre no és adequat. Es tracta el tema amb un cert deteniment, però es tendeix a utilitzar la primera persona (singular o plural) i llenguatge informal.

S’hi inclouen investigacions originals o inèdites, invencions o assaigs personals, o no es manté un punt de vista neutral.

Exposició matemàtica

S’utilitzen correctament les formes de representació pròpies de la matemàtica adequades al contingut (símbols, taules, gràfics, figures, esquemes). Es contextualitzen les idees matemàtiques de manera adequada a un article de divulgació.

S’exposa el contingut de manera clara i precisa tot utilitzant la terminologia matemàtica adequada. Falta contextualitzar les idees o bé la comunicació no és pròpia d’un article de divulgació.

S’exposa un concepte matemàtic de manera clara i precisa. Hi ha alguna imprecisió o falta de rigor en l’ús del llenguatge matemàtic.

L’article conté imprecisions grans, és poc clar o hi ha faltes de rigor greus en l’ús del llenguatge matemàtic.

Activitat 6. A continuació vam fer la segona sessió presencial, on vam discutir conjuntament l’avaluació que cada alumne havia fet dels articles.

desembre 2019 51

Fase 3. Elaboració de l’article En la segona sessió presencial també vam començar la tercera fase d’elaboració de l’article.

Activitat 7. De manera presencial, els alumnes van acabar de fer la selecció del concepte matemàtic del qual volien escriure un article, el van estructurar amb l’ajut dels professors i se’ls va proporcionar almenys una font d’informació a cada un. Els alumnes van acabar de cercar informació pel seu compte i van elaborar el contingut de l’article de manera autònoma.

Els articles elaborats o millorats van ser: «Plançó» (joc), «Geometria del taxista», «Paradoxa de les rodes d’Aristòtil», «Paradoxa de Galileu», «Cercle» i «Esponja de Menger».

Activitat 8. Una vegada elaborat l’article, dos voluntaris externs al centre, editors experimentats de la Viquipèdia, van fer una avaluació dels aspectes formals a partir de la guia d’estil i van oferir recomanacions per millorar l’article. Paral¨lelament, els dos professors responsables del projecte van avaluar els aspectes matemàtics i lingüístics, amb indicacions del que caldria modificar o afegir per millorar el contingut i la seva exposició. Totes aquestes comunicacions es van dur a terme des de la pàgina de discussió dels alumnes de la Viquipèdia. Amb les indicacions rebudes durant l’avaluació, els alumnes van revisar i corregir els textos i finalment van traslladar l’article a l’espai principal de la Viquipèdia.

Fase 4. Avaluació del projecte Per acabar, vam demanar als alumnes una breu reflexió sobre el projecte a partir d’algunes preguntes guia: «Què heu après? El repetiríeu? Què canviaríeu? Ha canviat la vostra opinió inicial sobre la Viquipèdia? Creieu ara que és una font fiable? Per què? Per què creieu que la gent edita la Viquipèdia en el seu temps lliure? Creieu que l’editareu en un futur, encara que no siguin articles de matemàtiques?».

Resultats i discussió Els alumnes, d’acord amb les seves respostes a l’inici del projecte, utilitzen bastant la Viquipèdia, sobretot per fer treballs de l’institut i per fer cerques d’informació. D’altra banda, comenten que no és del tot fiable i comparen els resultats de la recerca amb altres fonts. La consulten des de l’institut mateix i la majoria també des de casa. La llengua habitual dels alumnes és el castellà o el català i el castellà, i a l’hora de consultar la Viquipèdia ho fan majoritàriament en les versions catalana, castellana i, en menor mesura, anglesa. Pel que fa a les matèries, els resultats segueixen els obtinguts per Cuquet i García (2019) i la consulta d’articles matemàtics és nul¨la.

Els alumnes van valorar positivament el projecte i en concret el fet d’haver reforçat el seu vocabulari específic en matemàtiques, a banda de conèixer com funciona i com es pot contribuir a editar la Viquipèdia. També es va valorar explícitament que el resultat fos útil a la societat. En paraules d’una alumna, «[el repetiria] perquè he trobat que és una activitat que ajuda al meu vocabulari i a la gent que consulta la Viquipèdia». La mateixa alumna considerava que havia escrit l’article «per ajudar a altres persones». En general, els alumnes van mostrar interès per seguir editant-la. Cap d’ells havia editat la Viquipèdia amb anterioritat. Dels sis participants, una alumna va fer una edició rellevant d’un article desvinculat del

52 noubiaix 45

projecte (i de les matemàtiques) un mes després d’haver finalitzat. Pel que fa a la percepció sobre la fiabilitat, en general no va canviar: els alumnes continuaven pensant que qualsevol podia editar-la i, per tant, que la informació podia no estar contrastada. En aquest sentit, caldria segurament posar més èmfasi en la col¨laboració amb els editors externs al centre i incrementar el diàleg entre ells i els alumnes per tal de visibilitzar el procés de col¨laboració i comprovació de les contribucions.

Per la nostra banda, valorem positivament la implicació que han tingut els alumnes en un projecte totalment voluntari i fora de l’horari lectiu. Com a punts forts del disseny, considerem important treballar exclusivament a la mateixa plataforma de la Viquipèdia, haver fet un taller inicial d’edició i proporcionar una preselecció d’articles relacionats amb el currículum o amb activitats puntuals que s’han fet a l’aula, com ara el joc del plançó o la geometria del taxista.

També és especialment útil avaluar articles ja existents abans de començar a editar, i situar l’avaluació de l’article elaborat pels alumnes al mig del projecte, i no al final. Això permet incorporar explícitament l’avaluació com a part indispensable de l’elaboració del text i rebre indicacions per revisar-lo i per millorar l’expressió matemàtica.

D’altra banda, hem trobat que caldria donar més importància a diferenciar la fiabilitat de les fonts i identificar quines són vàlides per a la Viquipèdia i quines no. Un altre punt feble és que el projecte és difícilment escalable a tota una classe tot mantenint el treball individual dels alumnes, que sol ser millor de cara a convertir-los en futurs editors de la Viquipèdia. Una possible solució és repartir les tasques o parts de l’article entre els membres d’un grup i afegir la coavaluació entre els grups, que teníem prevista inicialment però no vam implementar per falta de temps.

Valorem com una gran oportunitat la disposició dels editors de la Viquipèdia i de l’associació Amical Wikimedia a fer de mentors i a avaluar els aspectes formals dels articles dels alumnes.

Tot i que ja els havíem avisat que això passaria, els alumnes se sorprenien positivament i la seva motivació i autoexigència augmentaven quan rebien comentaris de desconeguts a la seva pàgina de discussió. D’altra banda, la col¨laboració entre els àmbits de català i matemàtiques ha estat una experiència molt positiva i enriquidora. Aquesta col¨laboració es podria estendre també a l’àmbit de les llengües estrangeres, potencialment dins d’un projecte d’aprenentatge integrat de continguts i llengües estrangeres (AICLE) a través de la traducció d’articles ja existents en altres versions lingüístiques.

Agraïments Volem agrair als alumnes la seva participació en el projecte pilot i els seus comentaris sobre el projecte. També agraïm a les usuàries Barcelona i ESM de la Viquipèdia els comentaris i consells als alumnes sobre l’edició d’articles.

Referències Albertí, M. (2016). «Mates a català: bo per a les competències comunicativa, lingüística i matemàtica». Dins: Actes del Congrés Català d’Educació Matemàtica. Barcelona: Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya.

desembre 2019 53

Alonso, M.I. i García, J. (2013). «Colaboración activa en Wikipedia como método de aprendizaje». A: RIED. Revista Iberoamericana de Educación a Distancia, 16(1), 13-26. Área, M. (2011). «La alfabetización en la sociedad digital». Dins: Área, M., Gutiérrez, A. i Vidal, F. (eds.). Alfabetización digital y competencias informacionales. Madrid: Fundación Telefónica, 18-39.

Blikstad-Balas, M. (2016). «»You get what you need»: A study of students’ attitudes towards using Wikipedia when doing school assignments». Scandinavian Journal of Educational Research, 60(6), 594-608.

Brox, H. (2012). «The Elephant in the Room: A Place for Wikipedia in Higher Education?», Nordlit, 30, 143-155.

Buckingham, D. (2015). «Defining digital literacy - What do young people need to know about digital media?». Nordic Journal of Digital Literacy, 10 (Jubileumsnummer), 21-35.

Burgués, C. i Sarramona, J. (coords.) (2013). Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic.

Identificació i desplegament a l’educació primària. Barcelona: Generalitat de Catalunya, Servei de Comunicació i Publicacions.

Burgués, C. i Sarramona, J. (coords.) (2017). Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic.

Identificació i desplegament a l’educació secundària obligatòria. 2a ed. Barcelona: Generalitat de Catalunya, Servei de Comunicació i Publicacions.

Calvo, C. i Obrador, D. (2016). «De WODB fins a QUELI: reflexionar, deduir i defensar arguments a l’aula de matemàtiques». Dins: Actes del Congrés Català d’Educació Matemàtica. Barcelona: Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya.

Comunidades Europeas (2007). Competencias claves para el aprendizaje permanente. Un marco de referencia europeo. Luxemburg: Oficina de Publicaciones Oficiales de las Comunidades Europeas.

Cuadros, J., Dengra, X. i Marginet, R. (2016). «Usem la Viquipèdia per ensenyar química?».

Educació Química EduQ, 22, 38-47.

Cuquet, M. (2018). Geometría en la Wikipedia: La competencia digital en las matemáticas de Bachillerato. Tesi de màster. Logroño: Universidad Internacional de la Rioja.

Cuquet, M. i García, M.J. (2019). «Percepciones y uso de la Wikipedia en alumnos de educación secundaria». Education in the Knowledge Society, 20, 8.

Departament d’Ensenyament (2018). Currículum de batxillerat. Barcelona: Generalitat de Catalunya, Servei de Comunicació i Publicacions.

Di Lauro, F. i Johinke, R. (2017). «Employing Wikipedia for good not evil: innovative approaches to collaborative writing assessment». Assessment & Evaluation in Higher Education, 42(3), 478-491.

54 noubiaix 45

Domènech, J. (2019). Aprenentatge basat en projectes, treballs pràctics i controvèrsies. Barcelona: Associació de Mestres Rosa Sensat.

Eco, U. (1979). «Can television teach?». Screen Education, 31, 15-24.

Forte, A. i Bruckman, A. (2006). «From Wikipedia to the Classroom: Exploring Online Publication and Learning». Dins: Proceedings of the 7th International Conference of the Learning Sciences. Indiana: Bloomington.

Giralt, S. (2016). «Una activitat didàctica amb vocació social: elaboració d’articles de la Viquipèdia sobre literatura llatina». Methodos, 3, 199-205.

Harouni, H. (2009). «High School Research and Critical Literacy: Social Studies With and Despite Wikipedia». Harvard Educational Review, 79(3), 473-494.

Hoffmann, S. (2016). Wikipedia in teaching. Improving autonomy in research, critical sense, and collaborative abilities in students, making them contribute to the free encyclopedia. Tesi de màster. Venècia: Università Ca’Foscari Venezia.

Lerga, M. i Aibar, E. (2015). Guia de bones pràctiques per a l’ús docent de Viquipèdia a la universitat. Barcelona: Universitat Oberta de Catalunya.

«Llei 12/2009, del 10 de juliol, d’educació». Diari Oficial de la Generalitat de Catalunya, 5422 (16 juliol 2009).

Mallart, J. i Sarramona, J. (coords.) (2015). Competències bàsiques de l’àmbit lingüístic. Identificació i desplegament a l’educació secundària obligatòria. 2a ed. Barcelona: Generalitat de Catalunya, Servei de Comunicació i Publicacions.

Marquès, P. i Sarramona, J. (coords.) (2017). Competències bàsiques de l’àmbit digital. Identificació i desplegament a l’educació secundària obligatòria. 2a ed. Barcelona: Generalitat de Catalunya, Servei de Comunicació i Publicacions.

Rodríguez, M.J., Vidal, J.M. i Mahy, J.N. (2015). «Aprenentatge de bioquímica fent servir Viquipèdia en el grau de Medicina». Dins: Vuitena trobada de professorat de ciències de la salut.

Universitat de Barcelona. Facultat de Medicina, 4, 5 i 6 de febrer de 2015.

Selwyn, N. i Gorard, S. (2016). «Students’ use of Wikipedia as an academic resource -- Patterns of use and perceptions of usefulness». The Internet and Higher Education, 28, 28-34.

Serra, T. (2016). «La conversa matemàtica a primària». Dins: Actes del Congrés Català d’Educació Matemàtica. Barcelona: Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya.

Soler-Adillon, J., Pavlovic, D. i Freixa, P. (2018). «Wikipedia in higher education: Changes in perceived value through content contribution». Comunicar, 26(54), 39-48.

desembre 2019 55

Sormunen, E. i Lehtio, L. (2011). «Authoring Wikipedia Articles as an Information Literacy Assignment: Copy-Pasting or Expressing New Understanding in One’s Own Words?». Information Research: An International Electronic Journal, 16(4).

Valverde-Crespo, D. i González-Sánchez, J. (2016). «Búsqueda y selección de información en recursos digitales: percepciones de alumnos de físcia y química de educación secundaria obligatoria y bachillerato sobre Wikipedia». Revista Eureka sobre Enseñanza y Divulgación de las Ciencias, 13(1), 67-83.

Wiki Education Foundation. (2014). Case Studies: How instructors are teaching with Wikipedia. https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/03/Wikipedia_Education_Program_Ca se_Studies.pdf.

56 noubiaix 45

Entrevista a Antoni Gomà Nasarre Precursor a Catalunya de les proves Cangur i de la introducció de les eines informàtiques per a l’ensenyament de les matemàtiques a secundària Carles Barceló i Vidal Professor emèrit de la Universitat de Girona barcelovidalcarles@gmail.com

Antoni Gomà Nasarre va néixer un dia d’abril del 1949 a Mataró, on viu actualment. Personalment, durant els anys vuitanta vam coincidir en algunes col¨laboracions en l’àmbit de l’ensenyament de les matemàtiques, tot i que ens coneixíem des de molt abans. Per tant, no només estic entrevistant un gran professional de l’ensenyament de les matemàtiques, sinó també un bon amic, en Toni.

A Internet, al web de l’Enciclopèdia de l’esport català es troba una entrada on s’explica que a final dels anys seixanta vas ser campió de Catalunya de curses de velocitat. D’on et venia aquesta afició per l’atletisme?

El meu pare feia de comentarista esportiu a les seves hores lliures. Jo, de petit, l’acompanyava i l’ajudava amb la gravadora quan entrevistava els atletes. A més, al col¨legi dels escolapis on anava, hi havia molt ambient esportiu. Quan tenia dotze i tretze anys em van portar a Barcelona a córrer la Jean Bouin, que vaig guanyar les dues vegades. Tot plegat em va fer créixer l’afició per l’atletisme. Tot i que vaig tenir l’oportunitat d’entrar a la Residència Blume, vaig preferir continuar vivint a casa i donar preferència als estudis per sobre de l’esport.

desembre 2019 57

Però mantens encara la teva afició per l’esport?

Sí, per a mi és un hobby. Ja fa molts anys que vaig córrer la marató, quan encara sortia de Mataró ´davant per davant de casa dels meus pares´ fins a Barcelona. Ara, operat dels dos genolls, em conformo a córrer la cursa de Mataró encara que només sigui per acompanyar els meus dos nets, que també hi participen. Passa, però, que al cap de pocs metres de la sortida ja els perdo de vista.

Al batxillerat vas ser un alumne molt brillant en gairebé totes les matèries. Què et va fer decantar per estudiar matemàtiques?

Tot i que alguns professors del col¨legi em suggerien que estudiés física nuclear, en Jaume Sistac ´l’excel¨lent professor de matemàtiques que vaig tenir al curs preuniversitari´ em va animar a presentar-me a l’Olimpíada Matemàtica. El fet de guanyar la fase catalana i ser el cinquè en la fase estatal de l’Olimpíada em va animar a fer la carrera de Ciències Exactes, ja que em van premiar amb una beca molt substanciosa per continuar aquests estudis.

Quins records tens d’aquells cinc anys de la carrera a la Universitat de Barcelona?

Tot i que l’enfocament d’algunes assignatures de la carrera no m’acabava de convèncer, em va anar prou bé. Guardo molt bon record dels doctors Josep Vaquer i Josep Grané, que vaig tenir de professors a les assignatures d’àlgebra i geometria.

L’any 1971 acabes la llicenciatura amb un premi extraordinari. Com és que, podent fer carrera professional com a professor universitari, optes finalment per l’ensenyament secundari?

De l’any 1971 al 1975 vaig compaginar la feina de professor ajudant d’universitat ´on feia classes de problemes i era encarregat de curs´ amb la de professor als escolapis de Mataró, on tenia els alumnes de COU. Aquests anys em van servir per adonar-me que em sentia més còmode amb la docència a secundària.

I, com fèiem gairebé tots els que aleshores acabàvem la carrera d’Exactes, vaig presentar-me a les oposicions de catedràtic d’institut per tal de tenir una cosa segura. Les vaig guanyar a l’octubre del 1975 (un mes abans de la mort de Franco) i l’any següent em vaig incorpo-

58 noubiaix 45

rar a la meva plaça a l’institut de Tortosa. Aquest distanciament geogràfic em va allunyar definitivament de la possibilitat de continuar fent docència a la universitat.

Tens bons records del teu pas per aquest institut?

Molt bons. Quan parlo del «meu institut», sempre em refereixo al de Tortosa. Amb la meva dona, l’Assumpció ´que aleshores era professora interina de matemàtiques al mateix institut´ hi vam passar uns anys molt macos. Vaig ser-ne director del 1977 al 1983 amb un equip directiu excel¨lent que crec que vam reeixir a donar un enfocament diferent a la manera de treballar la docència en uns anys de profundes transformacions socials.

A l’octubre del 1983 vas deixar un temps la docència per anar a l’Administració educativa. Com va ser això?

La Carme Laura Gil, que aleshores era directora general de Batxillerat i amb la qual havia coincidit en la Permanent de Directors, em va proposar ser el cap adjunt de Batxillerat dels serveis territorials de la província de Barcelona. Ho vaig ser fins al gener del 1986, quan vaig passar a ser inspector interí, amb l’encàrrec de triar els vint-i-cinc instituts de Catalunya on s’havien d’instal¨lar les primeres aules d’informàtica. Vaig recórrer tot el territori entrevistant els directors dels centres i els professors que aleshores, de motu proprio, havien començat a introduir l’ensenyament de la informàtica en el currículum. Vaig quedar molt satisfet de la feina que vaig fer. De mica en mica, però, vaig veure que la inspecció educativa era cada vegada més administrativa en detriment del contacte directe amb els professors, que era el que realment m’agradava. Per això el 1987 vaig decidir tornar a les aules, concretament a l’Institut Joanot Martorell d’Esplugues de Llobregat, el centre que em va tocar en el concurs de trasllats en què vaig participar per apropar-me a Barcelona.

Quins records tens del teu pas per l’Institut Joanot Martorell?

Era un institut amb molt bona fama, ja que anys enrere havia estat centre pilot de COU i la tasca que s’hi feia quan jo m’hi vaig incorporar continuava fent honor a la fama que tenia. Durant els primers anys vaig tenir grups d’alumnes molt bons, amb els quals es podia treballar amb molta eficàcia. Del 1993 al 1998, l’època d’implantació de l’educació secundària obligatòria (ESO), vaig ser cap d’estudis i altra vegada el treball en equip va ser crucial. Els tres anys següents vaig assumir la direcció del Joanot. El fet que el centre es convertís a la pràctica en l’institut de Can Vidalet ´aleshores, un barri força conflictiu d’Esplugues´ va fer que m’hagués d’enfrontar massa sovint a problemes no directament relacionats amb la docència, cosa que m’esgotava molt. Per això l’any 2001 vaig acceptar l’oferiment de treballar en el Programa d’Informàtica Educativa (PIE). Després d’una llicència per a estudis, em vaig reincorporar al Joanot el 2006 fins a la meva jubilació el 2009.

Tinc la impressió que molts professors com tu, que us heu entregat en cos i ànima a la vostra feina durant tants anys, quan arribeu als seixanta anys teniu molta pressa a deixar els centres. És cert: la majoria de professors, quan fem seixanta anys, marxem corrents dels instituts.

Per a mi, els darrers anys de docència després de la reincorporació a les aules van ser molt durs perquè això de l’ESO no ho vaig acabar de pair mai. Quan vaig tornar al Joanot, vaig voler fer una experimentació en dos grups de segon d’ESO per analitzar si la utilització del

desembre 2019 59

Geogebra millorava els resultats. Tot i que l’experiència amb el Geogebra va ser prou reeixida, no va ser-ho globalment en bona part perquè ho vam fer amb una promoció especialment conflictiva pel que fa al comportament, i això m’absorbia totes les energies.

I creus que la situació ha canviat?

No ho sé, no tinc elements per valorar-ho. El que sí que puc assegurar és que tots els meus col¨legues, quan han arribat a l’edat de la jubilació voluntària, l’han demanat sense pensar-s’ho. Crec que això hauria de fer reflexionar l’Administració educativa.

En Toni Gomà ha estat a la primera línia de moltes de les innovacions en l’àmbit de l’ensenyament de les matemàtiques que s’han anat produint en els gairebé quaranta anys de la seva activitat docent: des de la introducció de l’ensenyament de la informàtica als centres de secundària a mitjan anys vuitanta fins a la utilització del Geogebra i de la calculadora Wiris a les aules, passant per la incentivació de la utilització de software estadístic (Statgraphics, Minitab...) per a l’ensenyament d’aquesta disciplina. Va ser en el marc del Projecte Eix, per a l’elaboració de programes informàtics per a l’ensenyament de les matemàtiques, que en Toni i jo vam treballar plegats l’any 1983. Ell compaginava la seva dedicació al Projecte Eix amb la responsabilitat de cap de Serveis Territorials, cosa que li va permetre copsar les possibilitats de la informàtica educativa. Des d’aleshores, no ha parat d’impartir cursos presencials i en línia per facilitar als professors la utilització d’aquestes eines tecnològiques a l’aula.

Per què creus necessari que els alumnes de secundària coneguin i utilitzin totes aquestes eines? No creus ´com opinen alguns professors´ que això deixa de banda l’abstracció?

No. Crec que a l’aula s’han de combinar l’abstracció, el treball amb eines informàtiques i la manipulació de materials. Moltes de les comunicacions que faig sobre el Geogebra les començo mostrant la manera de treballar amb aquests materials i tot seguit explico com el Geogebra pot ajudar els alumnes a comprendre millor el concepte que pretenem ensenyar-los. Fins i tot els alumnes dels dos grups conflictius de segon d’ESO del Joanot dels quals et parlava, quan treballaven la geometria amb el Geogebra tenien una actitud molt més positiva que quan s’havien de limitar a escoltar les explicacions i fer activitats a l’aula sobre el paper.

60 noubiaix 45

Hi ha encara professors reticents a utilitzar aquestes eines?

Temo molt que sí. Tant és així que des de la Junta de la Societat Catalana de Geogebra ´de la qual he estat membre fins fa ben poc´ mai no hem gosat fer una consulta a una mostra representativa del professorat sobre la utilització del Geogebra a les aules, per por de confirmar aquest temor. Recordo que, en un curs d’estadística per a professors, el treball final que els vaig proposar va consistir a fer una enquesta sobre la utilització de les eines informàtiques a les aules de secundària. Els resultats van ser totalment decebedors. Tot i que l’enquesta es va fer el 2002, crec que la situació no ha canviat gaire.

I per què passa això?

No crec que sigui per la dificultat que pugui tenir el professor a dominar el Geogebra o qualsevol d’aquestes eines tecnològiques. M’imagino que és per la comoditat del professor de fer les classes seguint el llibre de text, que s’afegeix, potser, a la por que els alumnes el superin fàcilment en el maneig d’aquestes eines.

El nostre entrevistat fa anys que treballa incansablement en la tasca d’incentivar el coneixement de les matemàtiques entre l’alumnat de secundària. Ha col¨laborat decididament a impulsar programes com l’Estalmat, d’estímul del talent matemàtic, ha organitzat l’Esprint i altres concursos i, sobretot, sabem que des de fa vint-i-quatre anys figura com a secretari d’organització de la prova Cangur de la Societat Catalana de Matemàtiques (SCM).

Com va néixer i evolucionar la prova Cangur de la SCM? Després d’una primera comunicació informativa als centres i de rebre’n opinions molt favorables, l’any 1996 la SCM va iniciar la prova Cangur a casa nostra. Els primers anys era el professor Paco Bellot, de Valladolid ´representant espanyol a l’associació internacional Le Kangourou Sans Frontières´, qui ens passava gustosament els enunciats i ens autoritzava a fer-ne la versió catalana. Però l’any 1999, en la reunió anual de Le Kangourou que es va fer a Valladolid es va acceptar la petició de la SCM que Catalunya tingués representació pròpia en l’associació. Això va permetre que des de l’any 2000 la SCM sigui l’entitat titular de les proves Cangur en llengua catalana, i, sota aquest empara, des d’aleshores també es convoca la prova Cangur a les illes Balears i al País Valencià.

desembre 2019 61

D’on et ve aquesta afició per l’organització d’aquest tipus de proves, activitat que mantens encara ara, ja jubilat?

Suposo que em deu venir de la meva participació en les Olimpíades Matemàtiques, quan estudiava el curs preuniversitari. He dedicat moltes estones de lleure a iniciatives com les proves Cangur, els Problemes a l’Esprint i d’altres que deixen en un segon terme la competitivitat entre els alumnes per tal d’incentivar l’interès per les matemàtiques i ajudar-los a veure aquesta disciplina d’una altra manera, més creativa, més agradable.

Quina acollida tenen actualment les proves Cangur?

Dels 1.313 alumnes que van participar en la primera edició de la prova Cangur l’any 1996, vam passar a gairebé 22.000 l’any 2014. L’any següent es va iniciar la prova Cangur per a cinquè i sisè de primària, i l’any 2016 es va completar l’oferta afegint-hi primer i segon d’ESO. L’augment de la participació ens ha sorprès a tots, ja que aquest 2019 hem assolit la participació rècord de 125.000 alumnes i 1.200 centres. Si la premsa parlés de les proves Cangur, possiblement ho faria escrivint que «s’ha produït un creixement exponencial en la participació...», i el cas és que gairebé ho encertarien. Per tant, només puc dir que l’acollida és excel¨lent, que es tracta d’una iniciativa completament reeixida.

Avui dia, ja jubilat, continues essent el màxim responsable d’aquestes proves?

El màxim responsable no, però un dels qui hi dedica més estones sí. Recordo que el primer any de la prova Cangur érem nomes Sebastià Xambó, Josep Grané i jo mateix, tot i que al cap de poc també s’hi va afegir Pelegrí Viader. Actualment, l’organització de les proves és molt complexa i està en mans d’una comissió molt àmplia en la qual el treball col¨laboratiu esdevé imprescindible.

Creus que les proves Cangur han canviat la manera d’ensenyar matemàtiques dels professors de secundària?

No sé si hem aconseguit canviar gaire la mentalitat dels nostres professors, en general. Però em consta que alguns sí que ho han fet i han incorporat a les seves classes ordinàries molts enunciats proposats en les proves Cangur i que poden trobar a la web de les proves. Potser, a la llarga, en els llibres de text hi haurà seccions amb el títol «Fem Cangur», semblantment a les dels llibres de la meva neta on hi ha seccions amb el títol «Fem Pisa», en referència a les proves Pisa.

I de les proves Cangur van néixer els Problemes a l’Esprint. És així?

Efectivament. A partir de la proposta d’alguns centres participants en les proves Cangur, l’any 2000, coincidint amb l’Any Mundial de les Matemàtiques, es va començar un concurs per a equips per via telemàtica. Hi participen alumnes des dels dos últims cursos de primària fins al batxillerat, organitzats en quatre nivells. Els alumnes participants de cada centre s’organitzen en equips, al seu aire, per tal de resoldre al més ràpidament possible els problemes proposats.

Tota la interacció es fa en línia.

Quina acollida tenen aquests Problemes a l’Esprint?

Aquest any hi han participat uns 5.000 alumnes. Els membres de la comissió organitzadora n’estem molt satisfets perquè, tot i que l’objectiu inicial de l’activitat és resoldre correctament

62 noubiaix 45

al més aviat possible els problemes, estem veient que molts centres inculquen als alumnes que, més que la velocitat a enviar les respostes, interessa que siguin correctes i que les debatin entre tots els membres de l’equip. Per això, en la publicació dels resultats, a banda d’indicar els guanyadors (els que han contestat més ràpidament), ressaltem també els equips que resolen correctament els problemes proposats, que són gairebé un 90%. «Hem tardat dues hores a fer els problemes, però tots els de l’equip hem xalat d’allò més fent-los» ´ens escrivien unes alumnes en un correu electrònic. Correus com aquest ens estimulen a continuar organitzant els Problemes a l’Esprint.

També estàs involucrat en l’Estalmat, un programa per a l’estímul del talent matemàtic.

Estic ben informat?

Tot i que ara hi participo molt tangencialment, l’any 2003 vaig ajudar ´des de la FEEMCAT i la SCM´ a engegar l’Estalmat a Catalunya. Vam seguir les pautes que ens va donar el doctor Miquel de Guzmán, que uns anys abans havia endegat el programa a la Comunitat de Madrid.

En essència, consisteix que un grup reduït d’alumnes de secundària ´interessats per a les matemàtiques´ es trobin durant dos anys, tots els dissabtes al matí, per resoldre problemes de matemàtiques d’una certa dificultat que no es tracten en els currículums ordinaris. Ho fan sota la supervisió de dos professors. Els alumnes acaben molt contents. Alguns dels alumnes de les promocions anteriors ja han acabat la carrera i actualment estan en universitats estrangeres prestigioses.

Podríem continuar parlant d’altres activitats de divulgació matemàtica en què en Toni està involucrat: la Marató, l’Oliette, la Festa de les Matemàtiques a Mataró... Però és hora de canviar de registre.

Em consta, Toni, la teva afició pels castells. Ets membre de la colla castellera Capgrossos de Mataró. D’on et ve aquesta afició?

El meu fill Marc va fer a sisè curs d’educació general bàsica (EGB) un treball de recerca sobre els castells que va ser la llavor de la seva afició als castells, de la qual jo també em vaig encomanar. Quan fa uns anys ell i la seva parella van venir a viure a Mataró, es van apuntar de seguida als Capgrossos perquè hi van trobar un ambient molt maco i una manera de fer amics. I, al cap de poc, a través d’ell, jo també m’hi vaig incorporar.

Hi veus geometria en els castells?

Més que geometria, hi veig, sobretot, arquitectura.

Tot seguit, en Toni em mostra a la pantalla de l’ordinador ´superposada a una foto de la pinya d’un castell de tres de nou amb folre dels Capgrossos de Mataró´ una animació que ell mateix ha programat en Geogebra per mostrar com es va construint la

desembre 2019 63

pinya. Gràcies a la seva fortalesa i envergadura, se situa sovint en el primer cordó dels formatges de la pinya a l’hora d’aixecar un castell amb folre. La meva ignorància castellera m’impedeix assimilar tot el que m’explica amb entusiasme sobre la construcció del castell.

Quins records tens dels molts alumnes que has tingut durant tots els teus anys de docència?

He tingut alumnes excel¨lents que recordo perfectament, tant dels escolapis de Mataró com de l’institut de Tortosa i del Joanot. Reconec que m’engreixo força quan, de tant en tant, un company dels Capgrossos m’assenyala amb el dit mentre explica al seu fill, també casteller: «Saps?, en Toni em va fer classe de matemàtiques fa més de quaranta anys», i veig que ho diu amb un cert bon record.

Destacaries algun d’aquests alumnes?

Recordo un grup de cinc alumnes excel¨lents que l’any 1983 vaig tenir a l’institut de Tortosa.

Van fer un magnífic treball de recerca amb el títol «Traient suc d’un tetraedre». No només van aprofundir en geometria, sinó que també van escriure els programes en llenguatge BASIC per calcular els punts notables que veien en un tetraedre. A banda dels més coneguts ´baricentre, circumcentre...´, van definir un nou punt que van anomenar filcentre: el centre de l’esfera tangent a totes les arestes del tetraedre. A més, van caracteritzar els tetraedres que tenen aquest punt notable. I el més bo de tot és que l’any 2016 aquells cinc alumnes ´ja casats i emmainadats´ van voler assistir al Congrés Català d’Educació Matemàtica per acompanyar-me en el taller que vaig fer per presentar la resolució amb Geogebra del treball de recerca que ells havien fet trenta-tres anys abans amb un ordinador Sinclair ZX81 que no devia tenir més de 64 KiB de memòria. Aquest retrobament després de tants anys va ser molt emotiu.

En Toni m’ensenya un preciós mosaic de ceràmica de la Bisbal, record del desè aniversari de les proves Cangur. També ha portat de casa seva, per ensenyar-me’l, un llibre molt curiós que va fer servir per recrear una presentació de Geogebra. Es tracta de Planilandia, d’Edwin A. Abbot, publicat per primera vegada el 1884. La presentació, juntament amb altre material, es pot trobar al web personal www.xtec.catz~agoma.

64 noubiaix 45

Deixem la biblioteca Antoni Comas de Mataró, on ens hem trobat per fer l’entrevista, i caminem fins al local de la colla castellera dels Capgrossos, on en Toni em mostra satisfet el local on dos dies a la setmana assaja la construcció dels castells. Asseguts al bar del local, em confessa que se sent a gust amb les matemàtiques que l’han acompanyat tota la vida i que no pensa abandonar-les mentre pugui.

juny 2016 111

seccions seccions

cions 16336 Nou Biaix 38, pàgina 93, 26/05/2016

oriflèxia

noubiaix45 45 6666noubiaix

desembre 2017 75

el racó de l‘oriflèxia

Papiroflèxia d’alguns mosaics de l’Alhambra de Granada Jaume Coll Guerrero CFA Rafael Farré (Molins de Rei) Professor associat al Departament de Matemàtiques (UAB)

1. Mosaics i tessel¨¨les Els diferents motius dels mosaics de l’Alhambra de Granada són des de fa temps una font d’inspiració per a la creació artística i matemàtica. En aquest palau de la dinastia nassarita, construït entre els segles XIII i XV, es poden contemplar diferents motius geomètrics. Alguns d’aquests motius es coneixen amb un nom propi: ocellet nassarita, os nassarita, avió nassarita i ratpenat nassarita.

Però què és un mosaic? La seva etimologia ens diu que aquesta paraula prové del llatí mosaicum opus, és a dir, és una obra de les muses. Antigues civilitzacions, com la grega o romana, ja utilitzaven aquesta tècnica pictòrica per fer composicions decoratives amb petites peces de diferents colors i materials anomenades tessel¨les. Molts d’aquests antics mosaics i altres de més moderns, com els que es poden veure en les obres modernistes d’Antoni Gaudí, tot i la seva bellesa, no tenen cap tipus de simetria. També existeixen mosaics que mostren simetries, com els de les voreres del passeig de Gràcia de Barcelona, fets amb rajoles hexagonals, o els del pati d’entrada de l’Institut d’Estudis Catalans, elaborats amb rajoles catalanes. Des d’un punt de vista matemàtic, definirem un mosaic o tessel¨lació com una divisió del pla sense solapaments ni buits mitjançant una forma geomètrica anomenada tessel¨la pT Ă R2 q.

Per estudiar els mosaics respondrem a les preguntes següents: quins són els mosaics més simples?, com podem crear nous mosaics?, quants mosaics essencialment diferents existeixen?, com podem classificar els mosaics?

Els mosaics més simples, que anomenarem regulars, s’aconsegueixen prenent com a tessel¨la bàsica tres tipus de polígons regulars: el triangle equilàter, el quadrat i l’hexàgon regular. Els mosaics regulars tenen simetries centrals o rotacionals de 60, 90 i 120 graus, respectivament,

desembre 2019 67

així com diferents tipus de simetries axials en què els eixos de simetria formen entre si angles de 30, 45 i 60, graus respectivament.

mosaics regulars Es poden aconseguir nous mosaics fent modificacions en els mosaics regulars. Aquesta observació va ser desenvolupada en les obres de l’artista neerlandès Maurits Cornelius Escher, que va quedar impressionat pels motius decoratius dels mosaics nassarites en la seva visita a l’Alhambra l’any 1936.

quadrat

os nassarita

La tessel¨la os nassarita es pot aconseguir a partir d’un quadrat. En dos costats oposats d’un quadrat seccionem un trapezi que tingui per base major el costat del quadrat, per alçada la quarta part de la longitud del costat del quadrat i angles interns de 45, 135, 135 i 45 graus, i unim per la part exterior del quadrat la base major d’aquests trapezis als altres dos costats del quadrat, com es mostra en la figura superior.

El teorema de Fedorov (1891) ens diu que tan sols existeixen disset tipus de mosaics essencialment diferents [6]. Els diferents tipus de mosaic venen descrits per disset grups de simetries. Aquests grups també es coneixen amb el nom de grups cristal¨logràfics plans, perquè Fedorov els va trobar estudiant la manera en què cristal¨litzen en la natura els minerals.

Els diferents grups cristal¨logràfics G són certs subgrups del grup d’isometries del pla real, és a dir, del grup generat per totes les traslacions, rotacions i reflexions.

G Ă IsopR2 q El grup cristal¨logràfic associat a una tessel¨lació actua sobre el pla real R2 i deixa invariant la tessel¨lació. Per a qualsevol tessel¨la T de la tessel¨lació, existeix un subconjunt C del grup G que compleix:

68 noubiaix 45

R2 “

ď

g¨T

gPC

g ¨ T̊ X h ¨ T̊ “ H, @g,h P C Ă G Ă IsopR2 q Existeixen diferents notacions equivalents per classificar els grups cristal¨logràfics plans: Pólya, Conway, Fejes Thót-Cadwell, Niggli, Speiser, Shubinov-Koptsik, Wells-Bell, internacional llarga, etc. En la taula següent s’utilitza la notació internacional curta.

Angle mínim de rotació

Sí

No

360 {6 “ 60

0

p6m

p6

360 {4 “ 90

0

Tots els centres de rotació estan sobre els eixos de reflexió?

p4

0

0

Existeix alguna reflexió?

Sí: p4m 360 {3 “ 120 0

0

Tots els centres de rotació estan sobre els eixos de reflexió?

Sí: p31m

360 0 {2 “ 180 0

360 {1 “ 0 0

0

No: p4g p3

No: p3m1

Existeixen reflexions amb eixos perpendiculars?

Sí Tots els centres de rotació estan sobre els eixos de reflexió?

Sí : cmm No: pmm

Existeix alguna reflexió amb lliscament?

No pmg

Existeix alguna reflexió amb lliscament amb eix diferent d’un eix de reflexió?

Sí: cm No: pm

Sí: pgg

No: p2

Existeix alguna reflexió amb lliscament?

Sí: pg No: p1

A l’Alhambra de Granada hi ha catorze dels disset tipus de mosaics, si es tenen en compte els colors [9], i els disset si no es tenen en compte els colors [8].

Grup cristal·logràfic cmm

Grup cristal·logràfic p4g

desembre 2019 69

2. Mosaics de paper A continuació es descriu un mòdul de paper que permet fer mosaics. Aquest mòdul i les seves variants es coneixen amb el nom de variacions Froebel, perquè van ser utilitzades en el segle XIX pel pedagog alemany Frederic Fröbel en els Kindergarten (jardins d’infància).

Pas 1

Pas 2

Pas 3

Pas 4

Pas 5

Plecs en vall

Plecs en vall

Plecs en muntanya

Mòdul final

Per aconseguir diferents tipus de motius és necessari utilitzar un paper bicolor, com ara el paper de tipus kami (blanc - color). En el pas 1 comencem amb la cara de color al davant i la de color blanc al darrere; en el pas 2 pleguem verticalment en vall el paper per la meitat i per la quarta part; en el pas 3 fem el mateix que en el pas 2, però horitzontalment; en el pas 4 pleguem en muntanya els quatre vèrtexs del quadrat cap al centre, i en el pas 5 obtenim el mòdul final col¨lapsant els quatre costats del quadrat cap a l’interior.

Unió de 5 mòduls Per aconseguir els motius os nassarita i avió nassarita cal fer els plecs següents en el mòdul final:

70 noubiaix 45

Combinant els colors en els mosaics fets amb la tessel¨la de l’os nassarita es poden aconseguir onze de les disset configuracions dels grups cristal¨logràfics.

p4g

p4

pmm

cmm

pmg

pgg

p2

cm

pm

pg

p1

3. Tessel¨¨lacions del cub És clar que el desenvolupament pla del cub té sis quadrats; vist a l’inrevés, es pot pensar que el cub és un mosaic tridimensional format per sis tessel¨les quadrades. D’aquesta manera podem construir diferents tipus de mosaics cúbics fent modificacions en el quadrat llis inicial; per exemple, si considerem sis tessel¨les de l’os nassarita o de l’avió nassarita, es pot fer un mosaic cúbic tridimensional amb cadascun d’aquests motius.

desembre 2019 71

Desenvolupament del cub

Desenvolupament del cub os nassarita

Desenvolupament del cub avió nassarita

Es poden construir cubs amb els tres motius anteriors amb sis mòduls idèntics fent determinats plecs. El primer motiu, un quadrat llis, correspon al cub de Mitsunobu Sonobe. El cub avió nassarita es pot fer amb els plecs següents: Pas 1

Pas 2

Pas 3

Pas 5

Pas 6

Pas 7

Mòdul final

Unió de 2 mòduls

Pas 4

Unió de 6 mòduls

Si en la construcció anterior, en lloc de la diagonal, prenem un segment que passi pel centre del quadrat amb pendent aleatori m P R, aleshores obtenim una infinitud no numerable de motius.

Pas 1

Pas 2

Pas 3

Pas 5

Pas 6

Pas 7

Mòdul final

Unió de 2 mòduls

Unió de 6 mòduls

Pas 4

Cub modular mosaic aleatori

72 noubiaix 45

La tessel¨lació del cub amb el motiu os nassarita es pot fer amb els plecs següents: Pas 1

Pas 2

Pas 3

Pas 4

Pas 5

Pas 6

Pas 7

Pas 8

Pas 9

Pas 10

Unió de 2 mòduls

Unió de 6 mòduls

Finalitzem aquesta dissertació amb una figura no modular multiforme: la construcció d’un tetràedre obtingut mitjançant el col¨lapse d’un ocellet nassarita tridimensional.

Pas 1

Pas 2

Pas 5

Pas 6

Pas 3

Pas 7

Pas 4

Pas 8

desembre 2019 73

Pas 9

Pas 10

Pas 11

Pas 12

Pas 13

Pas 14

Pas 15

Pas 16

Pas 17

Pas 18

Pas 21

Pas 22

Pas 25

Pas 26

ocellet nassarita

Pas 19

Pas 23

Pas 20

Pas 24

Pas 27

tetràedre

Agraïments A Minerva Ciruela per introduir-me en el món de l’origami, a en Josep Ramis per la seva correcció de català i a en Joan Sallas per convidar-me a exposar aquest article en els tallers de papiroflèxia del 4t-APLEC de Badalona.

74 noubiaix 45

Bibliografia [1] Àlvarez, R. i Pujol, R. (1999). L’altra geometria, Casals.

[2] Caboblanco, F.J. (1995). «Alhambra Star 2», Das Diagramm, 25, pàg. 46.

[3] Coll, J. (2017). «Cubo mosaico avión nazarí. Cubo mosaico aleatorio», Libro de la XX Convención Internacional de la AEP. Santiago de Compostela, vol. 11.

[4] Coll, J. (2018). «Pajarita nazarí y tetraedro». Libro del encuentro de origami de Bogotá.

[5] Fernández, I.; Reyes, M.E. (2008). Geometría con el hexágono y el octógono, Granada: Proyecto Sur de Ediciones.

[6] Fyodorov, Y. (1891). «Simmetrija na ploskosti». Zapiski Imperatorskogo Sant-Petersburgskogo Mineralogicheskogo Obshchestva, s. 2, 28, 245-291.

[7] Gimeno, J. (2003). «Homenaje a la Alhambra (Estudio n˝ 2)». Pajarita, 84, pàg. 28.

[8] Montesinos, J.M. (1987). Classical Tessellations and Three-Manifolds, Nova York: Springer.

[9] Müller, E. (1946). «El estudio de ornamentos como aplicación de la teoría de grupos de orden finito», Euclides (Madrid), 6, pàg. 42-52.

[10] Prüfer, J. (1930). Federico Froebel, Barcelona: Labor.

pensar

desembre 2019 75

per pensar d‘un minut a una hora Jordi Deulofeu Departament de Didàctica de les Matemàtiques i les Ciències Universitat Autònoma de Barcelona jordi.deulofeu@uab.cat

Els que em seguiu coneixeu la meva afició als jocs i la seva relació amb les matemàtiques.

L’anàlisi d’un joc és sovint un bon problema de matemàtiques i algunes vegades, com veurem avui, de força dificultat. Aquest anar i venir, dels jocs a les matemàtiques i de les matemàtiques als jocs, és un bon exercici que pot ser moltes vegades matemàticament productiu i, en general, altament satisfactori. Per totes aquestes raons, dedicaré la secció d’avui a plantejar els quatre darrers petits jocs d’estratègia que he conegut, procedents de fonts diferents. § Problema 1. Footsetps, o qui estira millora la corda

Brain Games és el títol del llibre de David Pritchard que em va donar a conèixer fa poc temps l’amic Oriol Comas, que l’acabava de descobrir. Una vegada llegit, a tots dos ens va venir al cap la mateixa pregunta: com pot ser que se’ns hagués escapat aquesta petita joia, que ja té trenta-set anys? Començarem amb un exemple d’un joc per a dos jugadors proposat en aquest llibre.

En un tauler de set caselles posem una única fitxa al centre. Un jugador, quan guanyi el seu torn, mourà la fitxa cap a la dreta, i l’altre mourà la mateixa fitxa cap a l’esquerra. El jugador que aconsegueixi portar la fitxa a l’extrem del seu costat, és a dir, a una distància 3 del centre, serà el guanyador de la partida. Dit d’una altra manera, per guanyar una partida cal guanyar tres torns més que l’altre jugador.

Guanya el jugador 2

Guanya el jugador 1

Quan comença el joc, cada jugador té trenta punts. Les jugades són simultànies, és a dir, els dos jugadors diuen, al mateix moment, els punts que inverteix cadascun d’ells en aquell torn (mínim un punt i màxim tots els punts que tingui en aquell moment). El jugador que ha

76 noubiaix 45

invertit més punts en el torn guanya la jugada i avança la fitxa una casella cap al seu costat.

La partida continua amb els punts que li queden a cada jugador, una vegada restats els punts invertits en la jugada anterior. En cas d’empat, la fitxa no es mou. Si un jugador exhaureix els punts, l’altre pot continuar jugant (ara amb un sol punt ja guanya el torn). Si els dos acaben els punts sense guanyar la partida, es pot decidir que qui té la fitxa més a prop de l’objectiu guanya mig punt, i s’entén que guanyar una partida val un punt. Qui arribi a cinc punts guanya la ronda.

Quan hagueu practicat una mica el joc, ben segur que us fareu la pregunta: com s’ha de jugar per guanyar? Aquí no és pertinent preguntar-se quin dels dos jugadors té avantatge, ja que juguen simultàniament. Aquest és el punt clau: no es pot aplicar el conegut teorema de la teoria de jocs segons el qual, en un joc finit per a dos jugadors, sense intervenció de l’atzar i en el qual no es pot fer taules, hi ha una estratègia guanyadora per a un dels dos jugadors. Aquí més aviat sembla el contrari: si apliquem una estratègia fàcil d’identificar per l’altre jugador, aquest no trigarà a guanyar-nos... Sembla, doncs, que el que cal és no aplicar cap estratègia (jugar a l’atzar?), però aviat veureu que tampoc no és així.

Aquest és el tipus de joc que interessa a la teoria de jocs, perquè esdevé una bona situació per aprendre a prendre decisions sense conèixer el comportament immediat de l’altra part.

Si hi penseu una estona, probablement trobareu idees interessants, no per guanyar sempre, però sí per millorar les vostres jugades i potser per guanyar més de la meitat de les vegades, que és una manera de guanyar. § Problema/joc 2. Movent-se per un polígon per arribar a 23

Es tracta d’un joc d’estratègia per a dos jugadors que anomeno, a falta d’un nom més original, arribar a 23, i que em va fer conèixer, fa poc temps, l’amic Xavier Valls. Partim d’un triangle amb els vèrtexs numerats amb els nombres 1, 2 i 3. El primer jugador posa una fitxa en un vèrtex del triangle (el que vulgui) i suma els punts indicats en el vèrtex. El segon jugador mou la fitxa a un altre vèrtex i suma els punts indicats. Així, van jugant alternativament (sempre és obligat moure la fitxa a un altre vèrtex). El primer jugador que arribi a quinze, guanya la partida. Si un jugador no pot jugar perquè es veu obligat a superar el nombre de punts als quals cal arribar, perd la partida. El joc és molt semblant a tenir una pila de fitxes i retirar-ne alternativament d’una a tres, però amb la diferència que si un jugador n’ha retirat una certa quantitat, l’altre en la següent jugada no pot retirar aquesta mateixa quantitat.

1

2

3

Una vegada haureu resolt el joc (aquest cas no presenta gaire dificultat i serveix per preparar el següent), canvieu el tauler i dibuixeu un pentàgon (amb els vèrtexs numerats de l’1 a 5). Es juga de la mateixa manera i guanya el jugador que arriba a vint-i-tres punts. Trobar

desembre 2019 77

l’estratègia guanyadora en aquest cas és força més entretingut que abans, com podreu comprovar. Penseu per què no us proposo jugar amb un tauler en forma de quadrat, o de qualsevol polígon amb un nombre parell de vèrtexs. I si voleu dedicar-hi estona, ara la generalització no és gens senzilla, penseu què passaria amb altres taulers amb un nombre major, però sempre senar, de vèrtexs.

Encara un altre joc similar consisteix a jugar amb un dau. El primer jugador indica els punts de la seva jugada i deixa el dau sobre la taula de manera que el nombre de la cara superior indica els punts. L’altre jugador mou el dau 90˝ i el nombre de punts de la seva jugada queda indicat per la cara superior. I així successivament, fins a arribar a la quantitat establerta.

Observeu que, en el cas del dau, un jugador no pot jugar el mateix nombre de punts que l’anterior, ni tampoc el complementari fins a set (ja que en el dau les cares oposades sumen set), la qual cosa complica considerablement la recerca de l’estratègia guanyadora.

Tanmateix, aquesta hi és i ben segur que la sabreu trobar. § Problema/joc 3. Traffic light o el joc dels semàfors

Aquest és un interessant joc d’estratègia per a dos jugadors, com els anteriors, que em va ensenyar Sergi Belmonte fa poc temps i que pertany a aquesta gran col¨lecció de jocs que anomenem d’alineació. Tots aquests jocs tenen per objectiu alinear, és a dir, disposar seguides sobre una recta, tres, quatre, cinc o, fins i tot, sis fitxes d’un mateix color. El tic-tac-toe, el tres en ratlla, el connecta 4, el go bang, el pente, el marro (de sis, de nou o de dotze), el six o el quarto, són alguns dels jocs d’aquesta tipologia.

El nom del joc és el semàfor, pel fet que combina fitxes verdes, grogues i vermelles i que les primeres es canvien per les segones i aquestes per les terceres. En un tauler de nou caselles quadrades, formant un quadrat de 3 ˆ 3, dos jugadors poden realitzar en el seu torn una de les tres accions següents: Col¨locar una fitxa verda en una casella buida qualsevol.

Canviar una fitxa verda ja col¨locada per una de groga. ‚ Canviar una fitxa groga ja col¨locada per una de vermella. ‚ ‚

Quan un jugador, en fer la seva jugada, aconsegueix que tres fitxes d’un mateix color estiguin alineades, guanya la partida. Sabríeu trobar una estratègia que permeti guanyar a un dels dos (el primer o el segon) jugadors?

Per a un tauler de 3 ˆ 3, trobar l’estratègia no és gaire difícil. Ara bé, si canviem el tauler i el fem una mica més gran, per exemple un rectangle de 3 ˆ 4, la cosa es complica molt. Quan el tauler es fa gran, cal recordar que l’objectiu és alinear tres fitxes seguides, és a dir, sense deixar cap espai entre elles. § Problema/joc 4. Un reparteix i l’altre tria

El darrer joc d’avui torna a ser un joc d’estratègia per a dos jugadors i el va proposar el divulgador de les matemàtiques Eduardo Sáenz de Cabezón en l’excel¨lent conferència que va impartir al CosmoCaixa el passat mes de juny amb motiu de la clausura del curs d’Estalmat, en

78 noubiaix 45

la qual vam celebrar els quinze anys d’existència d’aquest curs per a joves talents matemàtics a Catalunya.

El joc és una possible simulació del conegut problema sobre com s’ha de repartir una certa quantitat, dividida en parts diferents, entre dues persones, de manera que totes dues intenten aconseguir la part més gran. Es tracta d’un joc d’estratègia per a dos jugadors que es pot enunciar de la manera següent: fixem una quantitat de fitxes senar més gran que sis, per exemple vint-i-nou. Un dels jugadors distribueix com vol aquesta quantitat en un tauler de sis caselles, de manera que en totes hi hagi almenys una fitxa. Per exemple:

4

5

4

3

7

6

L’altre jugador comença a treure fitxes: tria una de les dues caselles dels extrems i agafa totes les fitxes de la casella (és a dir, pot agafar 4 fitxes ´casella de l’esquerra´ o 6 fitxes ´casella de la dreta´). Ara juga l’altre jugador, que agafa totes les fitxes d’una de les dues caselles dels extrems (tria entre 5 o 6 fitxes, si el primer n’ha agafat 4, o bé 4 o 7, si el primer n’ha agafat 6). El joc continua fins que s’acaben les fitxes i el jugador que obté més fitxes és el guanyador del joc.

Sabríeu trobar una estratègia guanyadora per al jugador que comença a agafar fitxes, sigui quina sigui la distribució de les fitxes feta per l’altre jugador? D’entrada sorprèn una mica que hi hagi una estratègia que no depengui de la distribució, és a dir, que valgui per a qualsevol cas, però aviat veureu que és així. Quan la trobeu, entendreu per què a l’inici hem dit que el nombre total de fitxes havia de ser senar i també per què el nombre de caselles del tauler ha de ser parell.

Acabaré l’article d’avui animant-vos a consultar un web en el qual he estat participant, http://juegosydesafiosmatematicos.com, de l’editorial Gedisa, on, a més de presentar una col¨lecció de llibres de recreacions matemàtiques amb alguns dels autors més grans del segle XX, com Gardner, Smullyan o Kordemsky, i en la qual he publicat un dels meus llibres d’aquesta temàtica, La magia de los números, s’ofereixen continguts lliures sobre jocs, problemes, històries i aplicacions de les matemàtiques, i en la qual participen, entre d’altres, Joan Miralles, que s’ocupa de presentar la vida i l’obra d’alguns grans matemàtics, el grup SET, grup de jocs de l’Associació de Barcelona per a l’Estudi i l’Aprenentatge de les Matemàtiques (ABEAM), que presenta fitxes de jocs i orientacions per portar-los a l’aula, i jo mateix, que redacto les altres dues seccions.

Bibliografia Deulofeu, J. (2019). La magia de los números. Barcelona: Gedisa.

Kordemsky, B. (2019). Los enigmas de Moscú. Barcelona: Gedisa.

Pritchard, D. (1982). Brain Games. UK, Penguin.

feemcat 90 noubiaix 42

desembre desembre2019 2019 79 79

federació d‘entitats per a l‘ensenyament de les matemàtiques a Catalunya

Resolució de problemes del Fem Matemàtiques Carme Vicens i Cyntia Riquelme Membres del Grup de Resolució de Problemes FEEMCAT

Totes les bones iniciatives que perduren al llarg del temps ho fan perquè evolucionen i s’adapten segons les necessitats del moment, ja que són ens vius. En aquest cas, parlem d’una iniciativa que ara compleix vint-i-cinc anys i que es va arrelant a tot el nostre territori escolar engrescant alumnes i docents a gaudir de les matemàtiques a partir de reptes i problemes competencials.

Tot va néixer fa vint-i-cinc anys en el cap de tres professors de Reus, en el niu d’una societat immersa en un moviment d’innovació didàctica que va fer néixer grups de treball i associacions d’ensenyants de Catalunya compromesos amb el mateix objectiu. L’Associació de Professors de Matemàtiques de les Comarques Meridionals (APMCM) va néixer, d’una banda, perquè hi havia una inquietud entre el professorat de Reus (una vintena de docents) per crear una revista (Biaix, que després seria de tota la Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya [FEEMCAT] i després canviaria de nom), si bé ja estava fent molta activitat formativa i divulgativa de plantejaments innovadors, i, de l’altra, perquè volia fer activitats dirigides a l’alumnat. L’APMCM es va constituir el 1991 i l’Associació d’Ensenyants de Matemàtiques de les Comarques Gironines (ADEMGI) el 1992, i les primeres converses «gestant el FM» es van produir el 1994. Podeu llegir la història completa en els magnífics articles de Xavier Vilella i Elisabet Saguer en el número 43 de Nou Biaix.

En aquell moment s’havien de proposar alumnes candidats per a les olimpíades matemàtiques (vegeu la història) i se’ls va ocórrer fer la selecció a partir d’un petit concurs de resolució de problemes on es poguessin ponderar els raonaments i les justificacions matemàtiques, a més dels resultats correctes.

I la iniciativa es va anar estenent alhora que creixia la necessitat de fer-hi participar tot l’alumnat de Catalunya. Ho va fer gràcies a la xarxa d’associacions catalanes de matemàtiques. El FM del 1995 va ser la primera activitat conjunta de la FEEMCAT.

80 noubiaix 45

D’una primera fase de treball d’equips, única per a totes les associacions, es va passar a fer segones fases locals i individuals, i la tercera fase o final era la que seleccionava els alumnes per representar Catalunya a les olimpíades nacionals. Així és encara avui en dia. Cada any, una de les associacions, per torns, pren la responsabilitat de preparar els problemes de les fases primera i final, i les segones fases es fan de manera local.

Com hem dit abans, els projectes van agafant formes i models que s’adapten a les necessitats dels grups i de la societat a les quals van dirigits. I així, des del curs 2018-2019, totes les societats catalanes agrupades en la FEEMCAT vam decidir unir els nostres esforços amb l’objectiu de fer un projecte global i únic sense haver de perdre les característiques locals de cada grup i vam crear un grup de treball únic: Grup de Resolució de Problemes FEEMCAT per al concurs Fem Matemàtiques, que vol anar més enllà del que significa fer els problemes de les fases de manera conjunta.

Sabem que el Fem Matemàtiques és un molt bon recull de problemes competencials i ens agradaria que aquests problemes entressin a les aules com a recurs, aprofitant el camí fet durant els vint-i-cinc anys del concurs. Creiem que el banc de problemes del FM té riquesa suficient per omplir tot el currículum. Però potser caldria fer un pas més en l’anàlisi per veure si, per exemple, els problemes cobreixen tots els blocs de continguts, com cal treballar els problemes de la fase 1 a l’aula o si es poden adaptar més a les noves tecnologies o a la tipologia d’alumne actual. Fins i tot ens podem preguntar si el format seria compatible amb les noves metodologies, com ara l’elaboració d’un projecte matemàtic. Per què no?

També considerem que el treball conjunt i en equip enriquirà mútuament els grups que es dediquen al concurs, en formar un grup més ampli de docents amb el mateix interès.

Els problemes proposats en totes les fases, per tant, són els mateixos, escollits amb els mateixos criteris i avaluats també amb un enfocament més competencial, posant el pes en els processos matemàtics que promouen les dimensions del nostre currículum.

Aquests van ser els nostres propòsits quan vam començar el curs amb el bon regust de saberse acompanyat i amb la perspectiva d’un treball enriquit pel fet de fer un grup més potent.

En aquests moments la paraula competencial està molt de moda, però de ben segur que qualsevol dels problemes amb què va començar el concurs és vigent avui en dia.

En el Nou Biaix número 8, l’any 1995, es publicà un monogràfic sobre el concurs i la didàctica de resolució de problemes que té per objectiu principal «ensenyar a pensar matemàticament» (A. Vila, 1995). Si llegiu amb deteniment alguns d’aquests paràgrafs, veureu que s’hi descriuen exactament els mateixos objectius que aquest grup de treball es proposa avui, al 2019!

desembre 2019 81

El que sentim els que agafem el relleu és una gran admiració pels que ja intuïen el camí per fer dels problemes una forma de pensar matemàticament amb tot el que es considera: «modelitzar, simbolitzar, abstraure i aplicar idees matemàtiques a un ampli rang de situacions». I també somiaven a fer problemes «a l’abast de tothom, que no bloquegen d’entrada, interessen, es converteixen en reptes, afavoreixen l’intercanvi d’idees [. . . ]».

Ens encanta veure que ja en els seus orígens es considerava una avaluació amb pes en els processos:

D’aquesta manera, els problemes permetien diversos graus de resposta i totes eren encertades i, per tant, eren un bon instrument per al tractament de la diversitat a l’aula i per reforçar la capacitat d’autoestima dels alumnes:

82 noubiaix 45

I el que és més important, per canviar l’enfocament de les matemàtiques a l’aula:

Havent llegit tot això, ens adonem que els enfocaments amb fonament sempre es poden aplicar, que les innovacions didàctiques en el camp de l’educació són lentes d’instaurar, però són perdurables en el temps, i que el que cal fer és contagiar i estendre les bases d’aquell esperit fundador, més actual que mai.

Sabeu això que «quan llegeixes certes idees ja no hi ha res més a afegir. . . Tot està dit!».

Quins grans objectius!

Aquest és un dels problemes proposats en aquell primer Fem Matemàtiques per a tots els nivells (6è, 7è i 8è d’EGB) per resoldre en equip en la que seria la fase 1 actual. Tot i que el problema era el mateix, les resolucions eren diferents en funció del nivell:

desembre 2019 83

Solucions:

grup de 6è

grup de 7è El grup de 8è, per fer aquests càlculs:

van fer els passos següents amb la calculadora (ja que no podien utilitzar les tecles 9, 6 i 0):

84 noubiaix 45

Els problemes actuals del concurs es recullen en la pàgina web http://fm.feemcat.org/. S’hi poden trobar els problemes de cada edició de totes les fases, juntament amb les instruccions per participar-hi mitjançant la inscripció en les diverses associacions i amb les notícies de cada edició: convocatòries, alumnes finalistes...

Si hi feu una ullada, segur que hi trobareu problemes que us agraden i que us poden ajudar a iniciar el camí cap a unes matemàtiques competencials. Penseu que, per exemple, aquest any hi ha nou problemes de la fase 1, nou més de la fase 2 i nou més de la fase final!

Vegeu a continuació unes mostres de problemes del concurs de les diferents fases d’aquest any passat.

Problema fase 1 6è FM19

desembre 2019 85

Problema de la fase final 6è FM19

Problema de la fase final, 2n, FM 2019

86 noubiaix 45

Problema de la fase 1, 1r ESO, FM 2019 Per acabar i amb el mateix esperit de portar aquests problemes competencials a l’aula i com a guia per al professorat, s’ha creat el Banc de Recursos del Fem Matemàtiques, https://bancfm.blogspot.com/, que va començar recollint els problemes més interessants del FM i les seves solucions, però, en veure la riquesa de les diferents aportacions i respostes dels alumnes, va anar més enllà. Actualment s’hi pot trobar una exhaustiva anàlisi competencial d’alguns dels problemes del FM, la qual fa un èmfasi especial en els diferents nivells d’assoliment per afavorir una avaluació competencial. Tot això es fa a partir d’exemples de resolucions i raonaments dels mateixos alumnes, que recullen les diverses estratègies i processos que potencien aquests tipus de problemes.

desembre 2019 87

Sopar d’espelmes: https://bancfm.blogspot.com/2017/05/lavaluacio-competencial-treball.html Des de la web del Centre de Recursos per Ensenyar i Aprendre Matemàtiques (CREAMAT), en la seva campanya «Dimensió Web» trobareu una referència al Banc de Recursos i tot el que hi podeu trobar:

https://sites.google.com/xtec.cat/cesire-matematiques-campanyes/inici/dimensi%C3%B3web/banc-de-recursos-del-fem-matem%C3%A0tiques?authuser“0 Com podeu veure, una primera llavor sembrada amb pocs recursos però amb molta il¨lusió s’ha anat fent gran fins a esdevenir un arbre robust i que cada cop té més ramificacions.

Això ha estat així gràcies a l’esforç altruista de moltes professores i professors que l’han regat durant aquests vint-i-cinc anys. Queda a les nostres mans continuar fent-ho, ja que els fruits que dona són d’una gran riquesa per a la formació matemàtica del nostre alumnat.

noubiaix4545 8888noubiaix

2

C EM

desembre 2018 71

segon congrés català d’educació matemàtica La Comissió per a l’Impuls de les Conclusions del Segon Congrés Català d’Educació Matemàtica.

Continuem fent camí cap al C2EM 2020 Cecilia Calvo i Antoni Vila

En els dos articles anteriors de la Comissió per a l’Impuls de les Conclusions del Segon Congrés Català d’Educació Matemàtica 2016 (CIC C2 EM 2016) vam descriure el procés d’elaboració d’aquestes conclusions i els primers passos fets per impulsar-les, passos que van acabar concretant-se en l’establiment d’un llistat de línies d’impuls relacionades amb cinc qüestions: la selecció i gestió de pràctiques d’aula, la millora de la imatge social de les matemàtiques, l’enriquiment professional, les xarxes com a eina d’intercanvi i l’actitud de canvi per a la millora.

En aquest tercer article complementarem aquesta informació amb el relat del treball realitzat durant l’últim any per difondre i aprofundir aquestes línies d’impuls. Un treball que ha tingut en tot moment com a principal finalitat preparar el camí per a la futura organització del proper Congrés Català d’Educació Matemàtica (C2 EM 2020), que se celebrarà entre Reus i Tarragona els dies 7, 8 i 9 de juliol de 2020, d’una banda implicant i dinamitzant el professorat i, de l’altra, preparant el terreny per tal que el futur Comitè Científic pugui definir, amb l’encert més gran possible, les línies de treball del Congrés.

Els tallers organitzats per la Comissió Primer des de l’organització del C2 EM 2016 i després des de la CIC, es va apostar per la participació en les jornades locals de les diferents associacions de professorat que integren la FEEMCAT, com a via preponderant per mantenir viva la flama de les conclusions del C2 EM 2016 i per anar fent camí cap al C2 EM 2020.

Així s’està fent des de fa tres anys i es pretén mantenir també durant el curs 2019-2020.

Diferents representants de la CIC han participat en les jornades anuals organitzades des

desembre 2019 89

del juliol del 2016, dinamitzant tallers que buscaven la reflexió i la participació activa del professorat assistent. ‚

El primer any, a més de fer arribar el llistat de conclusions del C2EM a les persones que no hi havien assistit, es va voler fer un pas més i es van recollir idees dels participants sobre què podia fer cadascú per promoure aquestes conclusions, tant en l’àmbit individual com en el col¨lectiu, ja sigui des del seu centre de treball o des de la seva associació de professorat.

‚

El segon any, a més d’exposar els resultats de la consulta feta l’any anterior, es va proposar una acció concreta, derivada d’aquesta consulta, per impulsar les conclusions del Congrés: compartir experiències portades a l’aula i donar peu a la reflexió. Amb aquesta finalitat es va demanar als assistents que debatessin en petits grups què podia oferir cadascú i què li agradaria aprendre d’altres companys i companyes.

‚

El tercer any es va plantejar com a objectiu important difondre les línies d’impuls elaborades a partir dels dos primers anys de treball de la CIC, tot mantenint-nos fidels al propòsit de no quedar-nos en la transmissió d’informació, sinó d’anar més enllà i demanar l’opinió als i les mestres participants en les jornades. En cada jornada es va focalitzar l’atenció en tres o quatre línies concretes i es va demanar informació i debat en petits grups sobre quines accions, ja dutes a terme en aquesta direcció, coneixien els i les mestres i sobre quines creien que serien les accions prioritàries que calia impulsar en el futur pròxim.

La informació recollida En relació amb les accions que s’han estat portant a terme en la direcció de les línies d’impuls analitzades, es va obtenir una valuosa informació que el Comitè Científic del C2EM 2020 haurà de procurar que es faci pública en el mateix Congrés a través de comunicacions i tallers.

90 noubiaix 45

Creiem que té interès compartir aquí algunes d’aquestes accions que els mestres participants en les jornades valoren com a importants per ser impulsades en relació amb les línies 3, 5, 8 i 14:

Hem triat aquestes quatre línies d’impuls per relatar-ne aquí la informació recollida perquè, d’una banda, amb petits matisos, aquestes van ser les línies explícitament treballades en totes cinc jornades locals i, d’altra banda, representen els diferents àmbits del conjunt de les línies d’impuls: selecció i gestió de pràctiques d’aula, millora de la imatge social de les matemàtiques, enriquiment professional, xarxes com a eina d’intercanvi i actitud de canvi per a la millora.

La manera que hem triat per fer aquest relat està completament impregnada de l’objectiu que perseguim en demanar la participació de les persones assistents a les jornades: buscar que les accions que emprengui la CIC estiguin en consonància amb les demandes del professorat.

Algunes de les propostes d’accions que es considera important impulsar requeriran involucrar l’Administració; en destaquem una, tenint en compte que ja va aparèixer entre les aportacions de les jornades del curs 2017-2018: els mestres consideren com una oportunitat molt valuosa de formació contínua la possibilitat de visitar altres escoles on s’estiguin portant a terme projectes interessants.

En relació amb les associacions de professorat, els i les mestres els demanen ajuda a través d’accions com ara: ‚

Difusió entre el professorat d’experiències d’aula reeixides, essencialment de dos tipus: ´ Projectes interdisciplinaris en què les matemàtiques siguin l’eix vertebrador o bé, sense ser-ho, hi tinguin un paper rellevant i no en siguin només una eina. ´ Activitats en què l’experimentació matemàtica i l’ús de materials manipulatius tinguin un paper central.

‚

Accions destinades a les famílies en relació amb la difusió d’activitats matemàtiques que es realitzen dins de l’aula i també d’activitats que tenen lloc fora de l’àmbit escolar però que poden influir positivament en la visió que, com a part de la societat, tenen de les matemàtiques.

‚

Accions de divulgació matemàtica adreçades al conjunt de la societat per tal de millorar la seva imatge des de tots els àmbits.

desembre 2019 91

Però de cap manera l’actitud dels assistents ha estat la de demanar sense compromís.

L’enorme majoria de les accions que van considerar necessàries per avançar en la direcció de les línies d’impuls, van ser d’àmbit individual o factibles d’acordar en el seu entorn més proper.

La implicació del professorat Els i les mestres assistents es plantegen accions que tenen al seu abast i que consideren que podrien contribuir a la millora de la seva pràctica; per exemple, es proposen: ‚

Enriquir les activitats que porten a l’aula per fer-les més motivadores.

‚

Potenciar l’ús de les eines digitals.

‚

Relacionar més el que es fa a l’aula amb la realitat, tractant temes propers a l’alumnat o d’actualitat.

‚

Incorporar la coavaluació i l’autoavaluació perquè l’alumnat prengui consciència del seu procés d’aprenentatge.

‚

Convèncer l’alumnat que ells poden generar coneixement.

Més enllà de continuar millorant els materials que utilitzen a les aules, les activitats que proposen al seu alumnat i la gestió d’aula que fan, alguns dels docents assistents a les jornades es proposen promoure particularment el treball interdisciplinari i l’experimentació.

Per aconseguir aquestes fites, proposen, d’una banda, potenciar projectes en què les matemàtiques siguin l’eix vertebrador i, d’altra banda, organitzar-se en departaments STEAM, és a dir, en equips interdisciplinaris que promoguin i facilitin l’execució de treballs transversals, que possibilitin impartir assignatures diferents de manera conjunta i que potenciïn l’ús significatiu de les matemàtiques en activitats globalitzades.

92 noubiaix 45

A més d’això, consideren pertinent promoure l’existència de laboratoris matemàtics als centres com a espai on desar el material i com a espai específic on treballar les matemàtiques còmodament i en un ambient matemàtic. Respecte a aquesta qüestió fan propostes concretes per posar en funcionament aquests laboratoris; per exemple: quin tipus de materials haurien d’encabir i com aconseguir-los, o crear una comissió amb professorat de diferents etapes per coordinar i aprofitar al màxim l’espai i el seu contingut. Mentre no disposin d’aquests espais als centres, entenen que es pot anar fent passos en aquesta direcció, com ara crear caixes de recursos materials que es puguin portar a les diferents aules, o compartir espai amb altres laboratoris o amb la biblioteca del centre, o fer formació d’alumnes perquè facin d’ajudants i ajudantes de laboratori guiant l’alumnat més petit en les activitats manipulatives.

De manera més general, valoren els beneficis de crear una comissió de matemàtiques per liderar el projecte matemàtic del centre, per tal de crear, recollir, documentar i organitzar el material generat en cada etapa i, especialment, per promoure iniciatives com ara: ‚

Organitzar visites entre mestres del mateix centre a les classes respectives.

‚

Participar en concursos per a alumnat organitzats des de les associacions de professorat, com Videomat, Fem Matemàtiques, Cangur, Copa Cangur, Problemes a l’Esprint, Fotografies Matemàtiques, Dibuixos Matemàtics, Relats Matemàtics, Olimpíades...

‚

Promoure sortides matemàtiques, tallers, activitats lúdiques entre diferents etapes, exposicions en diferents espais del centre.

‚

Celebrar jornades matemàtiques a l’escola i efemèrides (per exemple, el Dia Pi o el Dia Escolar de les Matemàtiques).

Una altra línia d’actuació que esmenten està relacionada amb la difusió de les experiències que es fan a l’aula, aprofitant les xarxes socials o els blogs del professorat o dels centres. Valoren la possibilitat de compartir amb les famílies el que es treballa a les aules de matemàtiques, buscant complicitats a través d’explicar-los com s’ensenyen actualment les matemàtiques.

D’aquesta manera, consideren que poden contribuir a millorar la imatge social de les matemàtiques a les escoles. També fan altres propostes que no passen pel contacte virtual, sinó per la cerca d’espais per implicar les famílies i crear vincles. Això podria concretar-se, per exemple: ‚

Convidant les famílies a participar en alguna activitat matemàtica: fires al carrer, jocs de taula, sortides amb ulls matemàtics.

‚

Incorporant activitats matemàtiques a les jornades de portes obertes.

‚

Fent exposicions de la feina matemàtica de l’alumnat en llocs de l’escola que siguin visibles també per a les famílies.

‚

Organitzant fires de divulgació matemàtica on l’alumnat exposi i proposi activitats matemàtiques a les famílies.

‚

Preparant tallers matemàtics per a les famílies, i convidant-les que directament experimentin les matemàtiques.

desembre 2019 93

Els propers passos A més de fer arribar la informació que aquí hem resumit a la FEEMCAT, que és a qui rendeix comptes la CIC, ens comprometem a fer-ne la devolució als assistents a les properes jornades locals amb la intenció de donar valor al treball que cada any realitzen des dels tallers que els proposem. I, sobretot, amb la intenció de continuar avançant plegats cap a la millora de l’educació matemàtica, que és la finalitat última dels C2 EM. Per altra banda, traspassarem aquesta informació al Comitè Científic del C2 EM 2020 perquè en faci l’ús més oportú en la seva programació del pròxim Congrés, on ja ens citem tots plegats!

Reus i Tarragona, del 7 al 9 de juliol de 2020 c2em.feemcat.org

Primer anunci En un món que canvia constantment, l’educació matemàtica té un paper fonamental per poder entendre la realitat que ens envolta i la seva ràpida evolució. Des dels diferents centres educatius, els docents treballen dia a dia a les aules per formar els ciutadans del futur, promovent un aprenentatge més significatiu i funcional. A més, des de les diferents institucions i associacions, es promou un potent treball en xarxa que amplia i enriqueix la tipologia de les propostes que s’ofereixen a l’alumnat (concursos, tallers, fires, etc.), així com les activitats de formació i d’intercanvi entre el professorat d’arreu del territori.

Enguany és un bon moment per continuar amb aquesta feina i impulsar un espai de trobada de la comunitat d’ensenyants de matemàtiques. Per aquesta raó, la Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya (FEEMCAT) organitza el Congrés Català d’Educació Matemàtica 2020 (C2 EM).

Antecedents Els mestres i professors de matemàtiques de Catalunya, en el marc de les respectives associacions i institucions, han anat organitzant trobades d’educació matemàtica: Jornades anuals de les diverses associacions: APMCM, ADEMGI, APaMMs, ABEAM i LleiMat. ‚ Jornada conjunta de la FEEMCAT, la Societat Catalana de Matemàtiques, la Societat Balear de Matemàtiques Xeix i la Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana Al-Khwarizmi. ‚ Jornades específiques organitzades per les universitats catalanes. ‚ Jornades de l’Associació Catalana de GeoGebra i activitats del MMACA adreçades al professorat. ‚ Accions impulsades des del CESIRE CREAMAT (Departament d’Educació). ‚ Trobades de grups de treball. ‚

A banda d’aquestes activitats de caire anual, en els darrers anys s’han celebrat un seguit de grans congressos: Congrés d’Educació Matemàtica (CEM) a Mataró l’any 2000.

Jornadas para el Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas (JAEM) a Girona el 2009. ‚ Jornades de Didàctica de les Matemàtiques a les Comarques Meridionals, a Tarragona el 2012. ‚ Congrés Català d’Educació Matemàtica a Barcelona el 2016. ‚ ‚

A partir de les conclusions del darrer congrés, durant aquests anys s’ha treballat en unes línies d’impuls de l’educació matemàtica a Catalunya que han de servir per engegar aquesta propera gran trobada.

El Congrés Català d’Educació Matemàtica Des de la FEEMCAT, amb el suport del Departament d’Enginyeria Informàtica i Matemàtiques de la Universitat Rovira i Virgili com a coorganitzador i amb la col¨laboració del Departament d’Educació i d’altres entitats i institucions, s’està organitzant el Congrés Català d’Educació Matemàtica (C2 EM), que abastarà tots els nivells educatius i se celebrarà el juliol del 2020.

S’ha iniciat la formació dels grups que impulsaran els diferents àmbits organitzatius (comitè científic, tresoreria, relacions institucionals, mitjans de comunicació, cerca de patrocinis, activitats paral¨leles, voluntariat, etc.). En aquest camí que iniciem ens agradaria tenir la col¨laboració de totes les institucions i entitats que es mouen en el camp de l’educació matemàtica a casa nostra, perquè la tasca és tan àmplia com engrescadora. L’organització pretén: Buscar la continuïtat del C2 EM 2016, tot recollint la feina feta en els quatre anys de període entre congressos per la Comissió d’Impuls de les Conclusions d’aquell Congrés. ‚ Cercar maneres àgils i eficients de comunicar, debatre, contrastar i compartir opinions, tot buscant nous formats que afavoreixin l’aprenentatge entre iguals. ‚ Dissenyar un programa d’actes que resulti atractiu per als docents i sigui eficaç per fer possible l’intercanvi d’idees, tot pretenent sacsejar, transformar, ordenar i millorar. ‚ Cercar el màxim ressò de l’esdeveniment en els mitjans i, a través d’activitats paral¨leles, contribuir a donar presència social a les matemàtiques. ‚ Generar un ambient i un espai real per tal que la comunitat que hagi participat en el Congrés continuï col¨laborant després del C2 EM. ‚

Per fer això i molt més, caldran mitjans i voluntats, complicitats i entusiasme, temps i feina: els materials que fan possible construir projectes i obrir camins de millora. És una iniciativa oberta a totes les idees i maneres de fer i de ser de mestres i professors, que vol projectar-se cap al futur amb impulsos d’innovació i de recerca educativa.

Lema i objectius del Congrés Els objectius d’aquest congrés són: 1. Contribuir a l’enriquiment professional dels ensenyants de matemàtiques.

2. Millorar els vincles entre la recerca i la innovació en educació matemàtica i els docents.

3. Compartir pràctiques d’aula que impulsin la construcció de coneixement matemàtic.

4. Millorar la imatge social de les matemàtiques, de l’educació matemàtica i del professorat.

5. Eixamplar la base de les diferents xarxes dedicades a l’educació i a la divulgació de les matemàtiques.

6. Donar continuïtat a la feina començada en el C2 EM2016 projectant-la cap al futur.

D’acord amb aquests objectius, hem adoptat com a lema del Congrés el següent:

Compromesos amb l’ E ducació Matemàtica Compartim per aprendre

Estructura de les jornades S’organitzaran diferents blocs d’activitats: Dues conferències plenàries a càrrec de persones destacades de l’àmbit de l’educació matemàtica convidades pel comitè científic del Congrés.

Comunicacions. Intervencions breus per compartir experiències escolars, idees o punts de vista sobre l’educació matemàtica i resultats de recerques a l’aula. En cas que es presentin activitats o experiències concretes implementades a l’aula, serà important que incloguin una reflexió metodològica. Les presentacions orals han de ser sintètiques i directes: cal destacar les idees més rellevants i deixar una explicació més àmplia per a la versió escrita.

Tallers. Sessions pràctiques d’activitats que el professorat ha dut a terme a les aules. La finalitat principal d’aquestes sessions és la manipulació interactiva de material o programari (software) i l’exposició d’activitats concretes. Es diferencien de les comunicacions en el fet que han de tenir un plantejament dinàmic basat en la participació activa dels assistents.

Taules. Exposicions en petit format d’activitats d’aula, experiències i materials, explicades pels mestres, professorat o alumnat que les han portat a la pràctica.

Presentacions 2020. Presentacions en forma virtual per compartir experiències escolars, idees o punts de vista sobre l’educació matemàtica i els resultats de recerques a l’aula, que són presentades a través de vint imatges en vint segons cadascuna.

Debats. Sessions en les quals es convida els assistents a participar en l’intercanvi d’opinions per tal d’arribar a consensos, previsiblement en forma de reptes que s’han d’assolir de cara al proper C2 EM. En aquests debats hi ha uns relators que són els responsables de donar les paraules, prendre nota i mantenir el ritme i la fluïdesa del debat.

Espais d’intercanvi. Moments i espais que l’organització promou, però no dirigeix, per tal de facilitar l’intercanvi entre docents amb interessos similars i d’afavorir l’aprenentatge entre iguals.

Els interessats a presentar comunicacions, tallers, pòsters, taules o altres activitats trobaran les orientacions per enviar la proposta (terminis, consignes, detalls operatius, formulari, requisits, etc.) a la web del Congrés, c2em.feemcat.org, a partir de finals d’octubre.

Franja del Congrés dedicada als i les docents del cicle 0-3 Seguint la idea ja iniciada en el C2 EM2016 per atendre la dificultat d’assistència dels i les docents d’aquest cicle i per promoure la seva participació activa, l’organització del Congrés preveu concentrar totes les aportacions (comunicacions i tallers) d’aquest cicle en el dijous 9 de juliol i fer-les simultànies a altres activitats i/o aportacions que puguin ser d’interès. En aquest cas, s’estableix una quota reduïda per a aquests/es docents.

Taxonomies que s’han de considerar en les aportacions Cadascuna de les aportacions que seran presentades al Congrés quedarà definida per un conjunt de taxonomies que presentem a continuació.

Taxonomies que s’han de considerar en les aportacions

Nuclis temàtics ‚

N1. Formació inicial i permanent. En general, es fa referència a les línies d’impuls L1, L2, L4 i L11 proposades per la CIC1 i, en particular i per exemple, a: ´ cerca de noves modalitats de formació continua ´ vincles amb recerca i innovació

‚

N2. Enriquiment de les pràctiques d’aula. En general, es fa referència a les línies d’impuls L3, L5, L8 proposades per la CIC i, en particular i per exemple, a: ´ projectes, treballs interdisciplinaris, STEAM, jocs, laboratori... ´ divulgació, imatge escolar de les matemàtiques ´ gestió d’aula i avaluació ´ transferència a l’aula dels resultats de la recerca i la innovació

‚

N3. Compromís també fora de l’aula. En general, es fa referència a les línies d’impuls L5, L6, L7, L14 proposades per la CIC i, en particular i per exemple, a: ´ divulgació, imatge social de les matemàtiques ´ millora de la imatge de la feina dels mestres, entusiasme com a element clau

1. CIC: Comissió per a l’Impuls de les Conclusions del C2 EM2016, que per encàrrec de la FEEMCAT va presentar 14 línies d’impuls a la comunitat educativa, consultables a http://c2em.feemcat.org/2258-2/

´ treball amb les famílies ´ experiències d’aprenentatge servei lligades amb portar les matemàtiques fora de l’aula (ex: alumnes de tercer d’ESO que fan xerrades de matemàtiques, fan reforç en un casal, fan jocs, etc.) ‚

N4. Treball en xarxa. En general, es fa referència a les línies d’impuls L9, L10, L12, L13 proposades per la CIC i, en particular i per exemple, a: ´ treball en equip (tant en l’àmbit matemàtic com interdisciplinari), aprenentatge entre iguals ´ actitud d’aprenentatge continu sense por als canvis, disposició a eixamplar la zona de confort

Etapes Infantil, on tot comença Primària, un moment clau ‚ Secundària obligatòria, matemàtiques per a tothom ‚ Batxillerat i formació professional, camins d’aprofundiment ‚ Universitat, l’especialització i la formació docent inicial ‚ Educació no formal, fora de l’aula ‚ Formació d’adults i en ambients especials (rural, hospitalari, domiciliari. . . ), camins d’aprenentatge que volem cuidar ‚ ‚

Dimensions de la competència matemàtica Resolució de problemes Raonament i prova ‚ Connexions ‚ Comunicació i representació ‚ ‚

Data i lloc de celebració El C2 EM se celebrarà del dimarts 7 al dijous 9 de juliol de 2020. Les sessions plenàries tindran lloc en el marc del teatre Fortuny de Reus i a l’auditori August del Palau Firal i de Congressos de Tarragona, i les sessions paral¨leles i complementàries es faran a l’Institut Salvador Vilaseca de Reus i el Campus Catalunya de la Universitat Rovira i Virgili de Tarragona.

Inscripcions La inscripció al C2 EM es farà a través de la pàgina web del Congrés a partir del mes de gener de 2020.

Actes de les jornades Després de la celebració del C2 EM es podran consultar tots els textos de les conferències, ponències, comunicacions, tallers i taules a la web del Congrés. La publicació dels textos s’haurà de cenyir a les normes que es trobaran detallades a les instruccions de la pàgina web.

Punts d’informació i correspondència Correu electrònic: c2em@feemcat.org Pàgina web del Congrés: c2em.feemcat.org

Dates importants 15 de maig de 2020: data límit per al primer període d’inscripció.

1 de març de 2020: data límit per a la presentació dels resums de les comunicacions, tallers i altres activitats. ‚ 31 de maig de 2020: data límit per a la presentació dels textos complets de les comunicacions, tallers i altres activitats. ‚ 15 de juny de 2020: data límit per a la inscripció al Congrés, condicionada a un nombre màxim de 550 inscripcions. ‚ ‚

Membres dels comitès del C2 EM 2020 Coordinació del comitè organitzador Mònica Cardona Roca. Institut La Mitjana de Lleida. LleiMat Sílvia Margelí. CESIRE, àmbit de Matemàtiques. Ademgi ‚ Miquel Maydeu. Col¨legi Sagrat Cor de Vic. APaMMs ‚ Sergi Múria. Institut 22@ de Barcelona. ABEAM ‚ José Rey. Institut Fontanelles de les Borges del Camp. APMCM ‚ ‚

Comitè Científic Àngel Alsina. Universitat de Girona Sergio Belmonte. Museu de Matemàtiques de Catalunya, MMACA ‚ Carme Burgués. Universitat de Barcelona ‚ Cecília Calvo. Coordinadora. Escola Sant Gregori. Universitat Pompeu Fabra (Barcelona) ‚ Núria Cardet. Institut Ronda (Lleida) ‚ Abraham de la Fuente. Institut Escola Costa i Llobera (Barcelona) ‚ Jordi Deulofeu. Universitat Autònoma de Barcelona ‚ Cyntia Riquelme. Col¨legi Padre Damián Sagrados Corazones (Barcelona) ‚ Fàtima Romero. Inspectora del Departament d’Ensenyament de la Generalitat de Catalunya. Centre de Recerca per a la Història de la Tècnica ‚ Isabel Sellas. Universitat de Vic ‚ Joan Carles Tinoco. Institut Bitàcola (Barcelona) ‚ Antoni Vila. Coordinador. Institut Gabriel Ferrater (Reus) ‚ ‚

Comitè Assessor Anton Aubanell. Universitat de Barcelona. MMACA Lluís Mora. Revista d’Educació Matemàtica NouBiaix ‚ Sergi Múria. Institut 22@ (Barcelona) ‚ ‚

Comitè Organitzador Local Virginia Carmona. Institut Joan Amigó i Callau (l’Espluga de Francolí) María Luisa Girondo. DEIM de la Universitat Rovira i Virgili ‚ Carme Julià. DEIM de la Universitat Rovira i Virgili ‚ Salvador Grané. Escola Cèsar August (Tarragona) ‚ Misericòrdia Nomen. Institut Salvador Vilaseca (Reus) ‚ M. del Carme Olivé. DEIM de la Universitat Rovira i Virgili ‚ José Rey. Institut Fontanelles de les Borges del Camp ‚ Iris Rodríguez Silva. Escola Manel de Castellví i Feliu (Vilabella). ZER l’Atzavara ‚ ‚

Organitza

f ee mcat Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya

Amb el suport de

ins salvador vilaseca l’institut