Issuu

17849_coberta NB 44 (5,5cm).pdf 11/10/2019 7:12:20 - 1 - ( )

noubiaix

f ee mcat Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya

ISSN 2014-2021

9 772014 202008

Juny 2019

noubiaix

Revista de la FEEMCAT i de la SCM

Juny 2019

desembre 2024 5

articles

4 noubiaix 44

Joies matemàtiques Armengol Gasull Departament de Matemàtiques Universitat Autònoma de Barcelona gasull@mat.uab.cat

Resum Un recull de demostracions senzilles i boniques que podem qualificar de petites, o grans, joies matemàtiques. Tot plegat dins la subjectivitat que presenten els termes «senzill» i «bonic». En aquest article, adreçat fonamentalment als entusiastes de les matemàtiques, s’exposen 20 demostracions que abracen des dels nombres primers, els números π i e, la geometria, els polinomis i les sèries. Podreu gaudir dels enunciats, les interpretacions i la mena d’arguments que han portat a les demostracions finals. Pot ser una magnifica porta a recopilacions molt més ambicioses.

Paraules clau Resolució de problemes, numeració i càlcul, espai i forma, demostracions.

Abstract A collection of simple and beautiful proofs that could be described as small ´ or great ´ mathematical gems; not forgetting the subjectivity implicit in the terms «simple» and «beautiful». Aimed primarily at mathematics enthusiasts, this article presents 20 proofs encompassing prime numbers, the numbers π and e, geometry, polynomials and series. Follow and enjoy the various hypotheses, interpretations, and arguments that lead to the final solutions. The article may serve as a gateway to more challenging collections.

Keywords Problem-solving, numbers and calculations, space and form, proofs.

El doble sentit de la paraula joia ens ha permès triar per a aquest treball un títol que conté la, també doble, motivació del treball. Més concretament, el que es pretén és recollir demostracions que en opinió de l’autor siguin senzilles i boniques i, a més, siguin tals que llegir-les i comprendre-les ens provoqui una certa felicitat. Senzill és un terme subjectiu, però per situar-lo en un context acadèmic podríem assimilar-lo al nivell de comprensió matemàtica que tenen els bons alumnes de primers anys d’universitat. Si senzill ja és subjectiu, què podem dir de bonic! Per descomptat, ni volem, ni sabem precisar-ho. En tot cas, un resultat per ser bonic ha d’interessar i no deixar indiferent a la majoria dels lectors matemàtics. A més, pot ser bonic per diferents raons: pel seu enunciat, per la seva interpretació o pel tipus d’argumentacions que han permès demostrar-lo. Uns

juny 2019 5

treballs que reflexionen sobre aquesta qüestió són [21, 30, 46, 48]. Segons Hardy ([23]), en els grans teoremes hi ha un grau molt alt de sorpresa, combinat amb inevitabilitat i economia.1 Una recopilació molt més ambiciosa és el famós llibre [1]. També s’ocupen de la mateixa qüestió els tres llibres clàssics [25, 26, 27], els llibres [2, 22, 39] i els treballs [37, 51]. Espero que el lector gaudeixi amb aquest recull tant com ho ha fet l’autor preparant-lo i hi trobi demostracions que no coneixia. El treball està estructurat en seccions independents que s’han intentat ordenar en funció de la seva dificultat. Quan ha estat possible, s’han contextualitzat les qüestions i proves presentades. Com no podia ser de cap altra manera, hi ha resultats que involucren els nombres primers, π, e, triangles, àrees, volums, polinomis, sèries, fraccions contínues, daus, etc.; vaja, els àtoms de les matemàtiques. Una altra cosa, també inevitable, és la quantitat de noms il.lustres que surten citats en el treball. Una versió ampliada d’aquest article és [20].

1. Una pregunta amb resposta sorprenent Hi ha dos nombres irracionals a i b tals que ab sigui racional? La prova, no constructiva, que la resposta és sí, és a la vegada senzilla i bonica. Agafem c “ ? ? ?2 2 . Si c és racional, ja hem acabat prenent a “ b “ 2. Si no, observem que ˆ ? ˙?2 ? 2 2 “ 2, per tant, podem prendre a “ c i b “

? 2.

Observem que la demostració anterior no ens aclareix si c és racional o no. De fet, l’any?1900 Hilbert va proposar com a problema VII de la seva famosa llista, decidir per exemple si 2 2 i eπ eren nombres transcendents (és a dir, no eren arrels de cap polinomi no nul amb coeficients enters). Aquestes qüestions van ser resoltes simultàniament per Gelfond i Schneider al 1934. El seu resultat, conegut com a teorema de Gelfond-Schneider, ens diu que si a i b són nombres algebraics (no transcendents), a R t0,1u i b és irracional, aleshores ab és transcendent. ? ? ?2 Anem a veure que la transcendència (i per tant la irracionalitat) dels nombres 2 2 , 2 i eπ se segueix del teorema. Observeu en primer lloc que si α és un número no algebraic, aleshores ? β “ α també ho és, ja que si β fos arrel d’un polinomi Ppx q, no ? nul amb coeficients enters, aleshores α seria arrel de Qpx q :“ Ppx?2 q. Per tant, com que 2 2 és transcendent, el mateix ? 2 amb la seva arrel quadrada, 2 . Finalment, com que eπ és un dels valors que pren `passa ˘ ´i ei π “ p´1q´i , també sabem que és transcendent.

És curiós observar que encara no se sap si ?

? ¯

? ?2 2 ? ?2 2 2 “ 2 ´

són irracionals o transcendents. 1. «In [great theorems] there is a very high degree of unexpectedness, combined with inevitability and economy.»

6 noubiaix 44

2. Hi ha infinits nombres primers Per a molts matemàtics, la prova d’Euclides que hi ha infinits nombres primers és immillorable. En la secció següent en veurem una variació. Recordem-la breument. Si n’hi hagués un nombre finit, p1 ,p2 , . . . ,pk arribaríem a una contradicció considerant p1 ,p2 , . . . ,pk ` 1, ja que o bé aquest nombre és un nou nombre primer, o bé té un nombre primer diferent dels n donats com a divisor. Recentment, el 2006, li ha sortit una competidora ([47]) que reproduïm a continuació. Considerem la següent successió de nombres naturals: xk`1 “ xk pxk ` 1q, 1 ă x1 P N. Demostrarem per inducció que la descomposició en factors primers de xk conté com a mínim k nombres primers diferents. El resultat és clarament veritat per a k “ 1. Suposem-lo cert per a k “ n i anem a provar-lo per a k “ n ` 1. Tenim que xk és divisible per k primers diferents. A més, per a tot 1 ă m P N, els nombres m i m ` 1 són primers entre si, ja que si p divideix m i m ` 1, divideix també la resta que és 1. Així, xn ` 1 conté algun primer en la seva descomposició en factors primers que no és a la descomposició de xn . Per tant, xn`1 és divisible, com a mínim, per n ` 1 nombres primers, tal com volíem demostrar. Entre els dos llibres [34, 44] hi ha una dotzena de proves diferents de l’existència d’infinits nombres primers.

3. Hi ha infinits nombres primers de la forma 4n ´ 1 Del fet que hi ha infinits nombres primers ja sabem que o bé n’hi ha un nombre infinit de la forma 4n ´ 1, o bé n’hi ha un nombre infinit de la forma 4n ` 1, o bé les dues opcions es donen. Anem a veure que la primera opció és certa. La prova és una senzilla i elegant adaptació de la prova d’Euclides de la infinitud dels nombres primers. Suposem que no, per tal d’arribar a la contradicció. Siguin p1 ,p2 , . . . ,pk tots els primers de la forma 4n ´ 1. Considerem N “ 4p1 ,p2 , . . . ,pk ´ 1. Aleshores N no pot ser primer, ja que seria de la forma 4n ´ 1 i no és a la llista de tots els primers d’aquesta forma. Clarament, cap pj divideix N. A més, en la descomposició de N en factors primers n’hi ha com a mínim un de la forma 4n ´ 1, ja que si tots fossin de la forma 4n ` 1, N també ho seria, ja que p4n ` 1qp4m ` 1q “ 4p4nm ` n ` mq ` 1. Aquest primer seria de la forma 4n ´ 1 i no és cap dels pj , j ď k, amb la qual cosa obtendríem la contradicció desitjada. De fet, Dirichlet al 1837 va demostrar que, variant n P N, qualsevol expressió an ` b amb a i b enters coprimers dona lloc a infinits nombres primers.

juny 2019 7

4. Un gran forat sense nombres primers Acabem de veure que hi ha infinits nombres primers. De fet, se sap molt més. Per exemple, l’any 1896 Hadamard i de la Vallée-Poussin van provar, usant idees de Riemann, que si πpnq denota el número de nombres primers menors o iguals que n, lim

nÑ8

πpnq lnpnq “ 1. n

Per això, a primera vista pot resultar sorprenent el següent resultat: per a tot m P N hi ha m nombres consecutius, de manera que cap d’ells és primer. Abans de seguir llegint potser ve de gust pensar-ho per a un mateix. Hi ha una prova senzillíssima d’aquest fet: per a m ě 2, podem prendre pm ` 1q! ` k, per a k P t2, . . . ,m ` 1u. Clarament, cada pm ` 1q! ` k és divisible per k.

5. Quadrats i més quadrats No és senzill dividir un quadrat en un nombre finit de quadrats més petits, tots disjunts i diferents; vegeu [14, cap. 2]. Aquestes construccions es poden relacionar amb el disseny de certes xarxes elèctriques; vegeu [6]. A l’esquerra de la figura 1 donem un quadrat de mida 112 ˆ 112 mm subdividit en 21 quadrats més petits i diferents, tots amb costats enters. Va ser trobat l’any 1978 per Duijvestijn i s’ha demostrat que és el més senzill possible amb aquestes característiques. El mateix problema però començant amb un rectangle té solucions més simples; vegeu de nou la mateixa figura, on es mostra un rectangle de 33 ˆ 32 mm, trobat l’any 1925 per Morón, dividit en 9 peces quadrades diferents, amb costats enters. També se sap que aquesta solució és minimal.

18 18

Figura 1. Quadrat i rectangle dividits en quadrats diferents.

El que és força curiós és que cap prisma rectangular amb costats sencers es pot dividir en un nombre finit de cubs més petits, tots diferents. Anem a provar-ho per reducció a l’absurd seguint [15, cap. 17]. Suposem que sí que es pogués. Aleshores, per exemple, la base de sota del prisma quedaria dividida en quadrats, tots amb costats diferents. Sigui Q1 el quadrat més petit. Sobre aquest quadrat, el cub corresponent, C1 , és tal que tots els que l’envolten són

8 noubiaix 44

més alts que ell mateix; vegeu la figura 2. Aleshores, la base de sobre d’aquest cub és un quadrat (de la mateixa mida que Q1 ), de manera que les bases de tots els cubs que estan recolzats en ell el divideixen en quadrats més petits i tots diferents. De nou, n’hi ha un que és el més petit, diguem-li Q2 . Podem raonar igual començant ara amb la cara superior del cub C2 , que té com a base Q2 , i continuar aquest procés fins a arribar que hi hauria cubs de costat més petit que 1, en contradicció amb el que suposàvem.

Figura 2. Impossibilitat de dividir un prisma rectangular en cubs diferents.

De fet, seguint un raonament semblant també podem demostrar que cap prisma rectangular (independentment de les mides dels seus costats) es pot subdividir en un nombre finit de cubs, tots diferents i tampoc amb costats necessàriament enters.

6. El teorema de Viviani Aquest teorema va ser provat per Viviani al segle XVII. Afirma que si P és un punt interior d’un triangle equilàter, aleshores la suma de les distàncies de P als tres costats del triangle AB, BC i CA no depèn de P i val l’alçada h del triangle. Recordem que si a és el costat del triangle, ? aleshores pel teorema de Pitàgores h “ 3a{2.

Figura 3. Teorema de Viviani: s ` t ` u és constant.

juny 2019 9

La prova només usa que l’àrea d’un triangle és el producte de la base per l’alçada entre dos. Així, l’àrea total del triangle, ah{2, és igual a la suma de les àrees dels tres triangles en què es pot dividir, APB, BPC i CPA; vegeu la figura 3. Aquestes àrees són as{2, at{2 i au{2. Per tant, s ` t ` u “ h, tal com volíem veure.

7. Dues conjectures d’Euler Expliquem a continuació dos problemes que va tractar Euler, pels quals el seu fabulós enginy no va ser suficient per a proposar respostes correctes. Fixat n P N, Euler va conjecturar l’any 1769 que si sumem k ą 1 potències n-èsimes de nombres naturals i obtenim una potència n-èsima, aleshores k ě n. Aquest resultat va mostrar-se fals i el primer contraexemple va ser per a n “ 5 i és de l’any 1966 ([29]): 275 ` 845 ` 1105 ` 1335 “ 1445 . Més endavant, l’any 1988, Frye va donar un contraexemple per a n “ 4, 958.004 ` 217.5194 ` 414.5604 “ 422.4814 . El segon problema és el següent: donats dos conjunts amb n elements A i B, un quadrat grecollatí d’ordre n és una quadrícula de mida n ˆ n de manera que a cada casella hi ha un element de cada conjunt, tots els elements de A ˆ B hi són i, a més, cada element de A i de B apareix a totes les files i totes les columnes. Aquests quadrats són coneguts des d’abans d’Euler, però ell els va popularitzar. El seu nom ve del fet que ell denotava els elements d’un dels conjunts amb lletres gregues i els de l’altre, amb lletres llatines. Avui en dia se sap que hi ha quadrats grecollatins per a tot n ě 3, excepte per a n “ 6, en contra del que va conjecturar Euler en el seu temps. En la figura 4 se’n mostren dos, un per a n “ 4, cosit per la meva mare en punt de creu amb fils de 8 colors, i un altre per a n “ 10. En els dos, es representen els elements dels conjunts com els colors de dins i de fora dels quadradets per a cadascun dels n2 quadrats que els formen.

Figura 4. Quadrats grecollatins 4 ˆ 4 i 10 ˆ 10 10.

10 noubiaix 44

8. Estrelles Donada una estrella qualsevol de cinc puntes, anem a demostrar, seguint les idees de [16, cap. 5], que la suma dels cinc angles que formen aquestes puntes és π. És a dir, que α1 ` α2 ` α3 ` α4 ` α5 “ π; vegeu la figura 5.

α4 α5

α3 α1 α2

Figura 5. Estrella de cinc puntes: α1 ` α2 ` α3 ` α4 ` α5 “ π .

7 π ´ α4

3 π ´ α5

8 α4 α5 4

2 π ´ α3 α3 1 α1 0 π ´ α1

α2

6 π ´ α2

5 Figura 6. Estrella de cinc puntes.

juny 2019 11

Comencem agafant un vector unitari, situat en un dels vèrtexs de l’estrella, paral.lel a un costat (vegeu el vector en la posició 0 en la figura 6). Aleshores el fem lliscar fins a la posició 1 . A continuació el girem un angle π ´ α3 fins a estar en la posició 2 . Fem el mateix passant per les posicions 3 , 4 , . . ., fins a arribar a 9 i finalment tornem a la posició 0 . Per una banda, és clar que el vector ha fet dues voltes i, per tant, el seu gir total ha estat de 4π radiants. Per altra banda, els angles que ha anat girant en cadascuna de les cinc puntes han estat π ´ α3 , π ´ α5 , π ´ α2 , π ´ α4 i π ´ α1 . Per tant, `

˘ ` ˘ ` ˘ ` ˘ ` ˘ π ´ α1 ` π ´ α2 ` π ´ α3 ` π ´ α4 ` π ´ α5 “ 4π,

d’on es dedueix que α1 ` α2 ` α3 ` α4 ` α5 “ π, tal com volíem veure. Clarament, usant la mateixa idea es poden obtenir resultats similars en el cas de polígons o d’estrelles amb més puntes. Per exemple, en el cas d’un triangle tenim que pπ´α1 q`pπ´α2 q` pπ´α3 q “ 2π i en el d’un quadrilàter convex, pπ´α1 q`pπ´α2 q`pπ´α3 q`pπ´α4 q “ 2π. Per tant, per als triangles α1 ` α2 ` α3 “ π i per als quadrilàters convexos, α1 ` α2 ` α3 ` α4 “ 2π. De fet, el resultat és cert per a tots els quadrilàters, com es pot veure, per exemple, dividint-los en dos triangles, però per als no convexos aquest argument no demostra el resultat desitjat. F n`1

F n´2

F n´1

Fn Figura 7. Nombres de Fibonacci i nombres triangulars.

9. Algunes proves sense paraules Les quatre proves presentades i moltes més es poden trobar a [35, 36]. Els famosos nombres de Fibonacci, Fn , que recordem que venen definits com Fn “ Fn´1 ` Fn´2 , amb F0 “ 0,F1 “ 1, o els nombres triangulars, Tn “ 1 ` 2 ` ¨ ¨ ¨ ` n, satisfan certes relacions. Per exemple: Fn2`1 “ 4Fn Fn´1 ` Fn2´2 ,

T2n “ 3Tn ` Tn´1 .

Tot i que no és gens difícil demostrar-les analíticament, les figures següents ens donen proves sense paraules de les mateixes figures. Una prova sense paraules de 12 ` 2 2 ` 3 2 ` ¨ ¨ ¨ ` n 2 “

npn ` 1qpn ` 1{2q , 3

(1)

12 noubiaix 44

Figura 8. Suma dels quadrats.

es mostra en la figura 8. No és difícil demostrar (1) usant inducció. Aquí la bellesa no està pas en el resultat, sinó en la prova visual. Les figures de la figura 9 demostren el teorema de Pitàgores, ja que la suma de les àrees dels quadrats vermells coincideix amb la del quadrat blau, és a dir, a2 ` b2 “ c2 , on a i b són els costats d’un triangle rectangle que formen angle recte i c és la seva hipotenusa.

Figura 9. Teorema de Pitàgores.

10. Ternes pitagòriques i números de Fibonacci Una terna pitagòrica és un triplet d’enters positius a,b,c que compleixen a2 ` b2 “ c2 , és a dir, que són els costats d’un triangle rectangle. Euclides ja va demostrar que totes les ternes pitàgoriques primitives (és a dir, tals que a,b i c no tenen cap divisor comú més gran que 1) venen donades per a “ u2 ´ v 2 , b “ 2uv, c “ u2 ` v 2 ,

(2)

juny 2019 13

amb u i v enters positius, u ą v, coprimers i els dos no senars a la vegada. La més coneguda és 32 ` 42 “ 52 i correspon a u “ 2 i v “ 1. Anem a demostrar-ho seguint [41]. Una primera observació és que els nombres a i b han de tenir diferent paritat i, a més, c ha de ser senar. Observem, per exemple que si c fos parell, aleshores c2 “ a2 ` b2 hauria de ser divisible per 4, però si a i b fossin els dos senars, és a dir, a “ 2k ` 1 i b “ 2ℓ ` 1, aleshores a2 ` b2 “ 4pk2 ` k ` ℓ2 ` ℓq ` 2, que no és divisible per 4. Així, suposarem sense pèrdua de generalitat que b és parell, i a i c, senars. Escrivim b2 “ c2 ´ a2 “ pc ` aqpc ´ aq. Com que c i a són primers entre si, i els dos senars, l’únic divisor comú entre c ` a i c ´ a és 2. En altres paraules, pc ` aq{2 i pc ´ aq{2 són naturals positius i primers entre si. Per tant, tenim la igualtat ˆ ˙2 ˆ ˙ˆ ˙ b c`a c´a “ . 2 2 2

Finalment, com que b{2 P N i pc ` aq{2 i pc ´ aq{2 no tenen factors en comú, la igualtat donada força que ambdós nombres siguin també quadrats. Així, pc ` aq{2 “ u2 i pc ´ aq{2 “ v 2 , amb u,v P N. Operant, c “ u2 ` v 2 , a “ u2 ´ v 2 i b2 “ 4u2 v 2 , com volíem demostrar. A partir de (2) és trivial trobar ternes pitagòriques amb nombres de Fibonacci, o amb els nombres que es vulgui. Seguint [5, 39] donarem un parell de casos elegants. Si prenem u “ Fn`1 , v “ Fn i usem que Fn2 ` Fn2`1 “ F2n`1 , obtenim ` 2 ˘2 2 2 Fn`1 ´ Fn2 ` p2Fn Fn`1 q “ F2n `1 .

La prova següent que F2n`1 “ Fn2`1 ` Fn2 és també força enginyosa. És senzill demostrar per inducció que ˆ 1 M :“ 1 n

1 0

˙n

ˆ F “ n`1 Fn

F n´1

Per tant, com que M2n “ Mn Mn , tenim que ˆ F2n`1 F2n

F2n F2n´1

ˆ “

F n`1 Fn

˙ˆ F n`1 F n´1 Fn

Fn F n´1

Fent el producte de matrius i igualant l’element de la primera fila i la primera columna, tenim que F2n`1 “ Fn2`1 ` Fn2 , tal com volíem provar. Si eliminem la condició F0 “ 0,F1 “ 1 dels nombres de Fibonacci obtenim uns nombres diferents, que denotarem per fn i anomenarem nombres de Fibonacci generalitzats. Per exemple, prenent F0 “ 2,F1 “ 1 obtenim els nombres de Lucas: 2,1,3,4,7,11,18 . . . La segona terna pitagòrica que presentem involucra 4 nombres de Fibonacci generalitzats consecutius, fn , fn`1 , fn`2 i fn`3 , i és

14 noubiaix 44

˘2 ` 2 2 pfn fn`3 q ` p2fn`1 fn`2 q “ fn2`1 ` fn2`2 .

Els 4 nombres es poden escriure com u ´ v,v,u,u ` v, i el resultat se segueix de nou de la 2 2 igualtat pu2 ´ v 2 q ` p2uv q2 “ pv 2 ` u2 q .

11. Arc capaç i molt més que Pitàgores Prenem dos punts A i B sobre una circumferència, de manera que l’arc que formen és 2α. Aleshores es pot demostrar que qualsevol punt C de la mateixa circumferència, i fora d’aquest arc, és tal que l’angle ACB és α; vegeu el gràfic de l’esquerra de la figura 10. Es diu que els punts C formen l’arc capaç del segment AB amb angle α. Així, el segment AB es veu sota un mateix angle α des dels punts d’aquest arc capaç. A δ

2α

π ´2 γ

π ´2 δ

γ β

π ´2 β

C δ

Figura 10. Arc capaç.

Per a demostrar l’afirmació anterior fem la construcció de la dreta de la figura 10. En aquesta figura suposem que el centre de la circumferència que passa pels tres punts és dins del triangle. El cas en què el centre és fora es pot tractar de manera semblant. En primer lloc, observem que dos costats de cadascun dels tres triangles petits són radis de la circumferència. Per tant, tenim que els tres triangles són isòsceles i cadascun d’ells té dos angles iguals, que anomenarem β , γ i δ, respectivament. Per tant, sumant els tres angles que tenen com a vèrtex el centre de la circumferència obtenim 2π “ pπ ´ 2β q ` pπ ´ 2γq ` pπ ´ 2δq “ 3π ´ 2pβ ` γ ` δq. Com a conseqüència, π ´ 2γ “ 2pβ ` δq, que és precisament el que volíem demostrar. Usant arcs capaços anem a provar el teorema de Ptolemeu, demostrat per aquest astrònom al segle II per a construir taules trigonomètriques; vegeu [9, cap. 10]. Aquest teorema afirma que per a un quadrilàter cíclic o inscrit, com el de la figura 11, és a dir, amb els quatre vèrtexs en una mateixa circumferència, es compleix aa1 ` bb1 “ dd1 . Observeu que, en el cas que el

juny 2019 15

quadrilàter sigui un rectangle, tenim que a “ a1 , b “ b1 , d “ d1 , i el teorema ens diu que a2 ` b2 “ d2 , és a dir, el teorema de Pitàgores.

a d1

b1 d

Figura 11. Teorema de Ptolemeu: aa1 ` bb1 “ dd1 .

A β

α β

α`β α α

Figura 12. Prova del teorema de Ptolemeu.

Demostrarem el teorema de Ptolemeu seguint [37]. En primer lloc, considerem la construcció de l’esquerra de la figura 12. Els angles ACB i ADB coincideixen ja en els punts A i B, que formen part de l’arc capaç del segment AB; els anomenarem α. De manera semblant, els angles DAC i DBC són iguals i anomenem γ l’angle que formen. A continuació considerem el segment DB i busquem un punt M en aquest segment de manera que l’angle DCM sigui també α. Aleshores veiem que l’angle CMB és α ` β . Usant tots els angles esmentats arribem que els triangles ACD i BCM són semblants i per tant |AD| |BM| “ , |AC | |BC |

on |PQ| denota la longitud del segment que uneix P i Q. Raonant de manera semblant amb la construcció de la dreta, amb els triangles ABC i DMC de la figura 12 obtenim que

16 noubiaix 44

|DC | |AC | “ . |DM| |AB|

Finalment, expressant les igualtats anteriors en termes de a,a1 , b,b1 , d,d1 , i anomenant |DM| “ d1 , |MB| “ d2 , tenim que d2 b “ 1 d1 b

d1 a1 “ . d1 a

Per tant, bb1 “ d2 d1 i aa1 “ d1 d1 . Com que d “ d1 ` d2 , sumant les dues igualtats tenim que aa1 ` bb1 “ dd1 . A més, anem a veure com el teorema de Ptolemeu, junt amb el famós teorema dels sinus, ens permet calcular el sinus d’una suma d’angles. Si en la figura de l’esquerra de la Figura 12 suposem que el segment DB passa pel centre de la circumferència, aleshores els triangles ABD i CBD són ambdós rectangles. A més, si la longitud del segment és 1, aleshores d “ 1, a “ |AB| “ sinpαq, b “ |DA| “ cospαq, a1 “ |DC | “ cospβ q i b1 “ |CB| “ sinpβ q. Finalment, a partir del teorema dels sinus tenim que d1 “ |AC | “ sinpα ` β q, i el teorema de Ptolemeu ens diu que sinpαq cospβ q ` cospαq sinpβ q “ sinpα ` β q. Per acabar, anem a veure que per a quadrilàters convexos qualssevol (és a dir, no necessàriament inscrits en una circumferència) es compleix la coneguda com a desigualtat de Ptolemeu, dd1 ď aa1 ` bb1 . Seguirem la prova de [3]. Per a això, pensem el quadrilàter inclòs en el pla complex, C, i considerem els quatre nombres complexos, u,v,w,z, associats als quatre vèrtexs de la figura. Si denotem per |s| la norma de s P C, tenim, per exemple, que a “ |v ´ w|, b “ |u ´ v |, a1 “ |u ´ z|, b1 “ |w ´ z|, d “ |u ´ w| i d1 “ |v ´ z|. És fàcil comprovar la identitat següent entre nombres complexos pu ´ wqpv ´ zq “ pv ´ wqpu ´ zq ` pu ´ v qpw ´ zq.

Així, si usem |z1 z2 | “ |z1 ||z2 | i |z1 ` z2 | ď |z1 | ` |z2 |, obtenim dd1 “ |u ´ w||v ´ z| “ |pu ´ wqpv ´ zq| “ |pv ´ wqpu ´ zq ` pu ´ v qpw ´ zq| ď |v ´ w||u ´ z| ` |u ´ v ||w ´ z| “ aa1 ` bb1 ,

tal com volíem provar. Ja sabem que la igualtat es dona per a quadrilàters inscrits en una circumferència. Amb una mica més de feina es pot veure que aquest és l’únic cas d’igualtat.

12. Fórmules d’Heró i Brahmagupta La fórmula que permet calcular l’àrea A d’un triangle en funció dels seus costats, a,b i c, s’atribueix a Heró d’Alexandria (segle I), tot i que hi ha autors que pensen que Arquimedes (segle III aC) ja la coneixia; veure [11, cap. 3]. Aquest bonic resultat ens diu

juny 2019 17

A“

a 1a pa ` b ` cqp´a ` b ` cqpa ´ b ` cqpa ` b ´ cq “ sps ´ aqps ´ bqps ´ cq, 4

on s “ pa ` b ` cq{2.

d c b c d h

a Figura 13. Prova de la fórmula d’Heró.

Per a demostrar-la, seguint [42] dividim el triangle en dos triangles rectangles mitjançant una alçada; vegeu la figura 13. Aplicant el teorema de Pitàgores als dos triangles resultants tenim que a2 “ h2 ` pc ´ dq2 i b2 “ h2 ` d2. Restant les dues igualtats obtenim que a2 ´ b2 “ c2 ´ 2cd i, per tant, d “ p´a2 ` b2 ` c2 q{p2cq. Finalment, substituint aquest valor de d en la segona igualtat tenim ˙2 ´ a 2 ` b2 ` c 2 p2bcq2 ´ p´a2 ` b2 ` c2 q2 h “b ´d “b ´ “ 2c 4c2 ` ` ˘` ˘ ˘` ˘ 2 2 2 2 2 2 pb ` cq2 ´ a2 pa2 ´ pb ´ cq2 2bc ´ a ` b ` c 2bc ` a ´ b ´ c “ “ 4c2 4c2 pb ` c ` aqpb ` c ´ aqpa ` b ´ cqpa ´ b ` cq “ , 4c2 ˆ

on hem usat diverses vegades u2 ´ v 2 “ pu ` v qpu ´ v q. Per tant A“

ch 1a “ pa ` b ` cqp´a ` b ` cqpa ´ b ` cqpa ` b ´ cq , 2 4

tal com volíem veure. Hi ha altres maneres d’expressar l’àrea d’un triangle que són equivalents a la fórmula d’Heró. No detallarem els passos per veure-ho, tot i que no són gens evidents. Una d’elles és ˇ ˇ0 ˇ ˇ1 16A2 “ ´ ˇˇ ˇ1 ˇ1

1 0 a2 b2

1 a2 0 c2

ˇ 1 ˇˇ b2 ˇˇ . c2 ˇˇ 0ˇ

18 noubiaix 44

De fet, la matriu de la qual s’ha de calcular el determinant s’anomena matriu de Cayley-Menger i té una versió ampliada que permet calcular el volum de prismes n-dimensionals en funció de les seves arestes; vegeu per exemple [8]. L’altra manera, en lloc de donar l’àrea en termes dels costats del triangle, la dona en termes de les coordenades dels seus punts. Així, si els tres vèrtexs són pxi ,yi q, i “ 1,2,3, ˇ ˇ1 ˇ 4A2 “ ˇˇx1 ˇy1

1 x2 y2

ˇ2 1 ˇˇ x3 ˇˇ . y3 ˇ

Abans de passar als quadrilàters farem una «deducció» heurística de com hauria de ser la fórmula més senzilla que pogués donar A en termes de a,b i c, retrobant, sense càlculs, la fórmula d’Heró; vegeu [28]. Per a això, començarem amb una llista de propietats que ha de complir la funció que ens doni l’àrea al quadrat, ψpa,b,cq: ‚

‚ ‚

‚

Quan els tres punts estan alineats, l’àrea és zero, és a dir, ψpb ` c,b,cq “ ψpa,a ` c,cq “ ψpa,b,a ` bq “ 0. La funció ψ és simètrica, és a dir, ψpa,b,cq “ ψpa,c,bq “ ... “ ψpc,b,aq. La funció és homogènia de pes 4, és a dir, ψpλa,λb,λcq “ λ4 ψpa,b,cq, per a tot λ ą 0, ja que l’àrea és homogènia de pes 2. L’àrea al quadrat del triangle equilàter de costat 1 és 3{16.

La funció més senzilla que compleix la llista de propietats és ψpa,b,cq “

1 pa ` b ` cqp´a ` b ` cqpa ´ b ` cqpa ` b ´ cq, 16

que correspon precisament al resultat d’Heró. Hi ha una fórmula similar per a calcular l’àrea S d’un quadrilàter inscrit en una circumferència en funció dels seus quatre costats, a,b,c i d; vegeu la figura 14. És deguda a Brahmagupta (segle VII) i és aquesta: 1a p´a ` b ` c ` dqpa ´ b ` c ` dqpa ` b ´ c ` dqpa ` b ` c ´ dq 4 a “ ps ´ aqps ´ bqps ´ cqps ´ dq ,

S“

on s “ pa ` b ` c ` dq{2. Clarament, la fórmula d’Herò es dedueix d’aquesta prenent d “ 0, però el que farem ara és precisament el contrari. Seguint [24], la demostrarem a partir de la fórmula d’Heró. Per a provar la fórmula de Brahmagupta ens podem restringir al cas en què el quadrilàter no és un rectangle (si no, és trivialment certa) i podem suposar que estem en la situació de la figura 14. Usant un cop més les propietats dels arcs capaços (consulteu la secció 11) no és

juny 2019 19

c b x

y´1

Figura 14. Prova de la fórmula de Brahmagupta.

difícil provar que la suma de dos angles interns i oposats en un quadrilàter cíclic és π. Per tant, els dos triangles de la figura 14 són semblants i es compleix x y´a d “ “ “: λ ă 1. y x`c b

(3)

Així, l’àrea que busquem és S “ Ag ´ Ap , on Ag i Ap “ λ2 Ag són les àrees dels triangles gran i petit de la mateixa figura. Com que els costats del triangle gran són x ` c,y i b, utilitzant la ? fórmula d’Heró, Ag “ F1 F2 F3 F4 {4, on F1 “ x ` c ` y ` b, F2 “ ´x ´ c ` y ` b, F3 “ x ` c ´ y ` b i F4 “ x ` c ` y ´ b. Observem que, usant (3), tenim que p1 ´ λqF1 “ p1 ´ λqpx ` c ` y ` bq “ x ` c ` y ` b ´ py ´ a ` x ` dq “ a ` b ` c ´ d, p1 ` λqF2 “ p1 ` λqp´x ´ c ` y ` bq “ ´x ´ c ` y ` b ` p´y ` a ` x ` dq “ “ a ` b ´ c ` d, p1 ` λqF3 “ p1 ` λqpx ` c ´ y ` bq “ x ` c ´ y ` b ` py ´ a ´ x ` dq “ ´a ` b ` c ` d, p1 ´ λqF4 “ p1 ´ λqpx ` c ` y ´ bq “ x ` c ` y ´ b ´ py ´ a ` x ´ dq “ a ´ b ` c ` d.

Per tant, S “ Ag ´ λ2 Ag “ p1 ´ λ2 qAg “ “

1 4

˘` ˘` ˘` ˘ p1 ´ λqF1 p1 ` λqF2 p1 ` λqF3 p1 ´ λqF4

1a p´a ` b ` c ` dqpa ´ b ` c ` dqpa ` b ´ c ` dqpa ` b ` c ´ dq , 4

tal com volíem provar. Hi ha extensions d’aquestes fórmules per a polígons amb més costats, també inscrits en una circumferència; vegeu per exemple [45]. Per a quadrilàters generals és impossible que hi hagi una fórmula que doni la seva àrea només en funció dels costats, ja que són figures deformables sense canviar les mides dels costats (pensem, per exemple, en un quadrilàter fet amb quatre peces de Meccano). Per exemple, fixada la mida dels costats d’un quadrilàter, aquest es pot deformar de manera que tingui l’àrea tan petita com es vulgui. L’any 1842 Bretschneider va donar una fórmula per

20 noubiaix 44

a quadrilàters convexos que involucra també dos angles interiors oposats del quadrilàter, que anomenarem com α i γ. La fórmula ens diu que d ˆ

S“

ps ´ aqps ´ bqps ´ cqps ´ dq ´ abcd cos2

α`γ 2

vegeu per exemple [17, 40]. Observem que si agaféssim els altres dos angles oposats, aleshores la seva suma seria 2π ´ pα ` γq i el resultat no variaria. Recordem també que, per als quadrilàters cíclics, α ` γ “ π i, per tant, aquesta fórmula coincideix amb la de Brahmagupta. Hi ha versions equivalents de la mateixa fórmula canviant els angles per les diagonals del quadrilàter ([10]).

13. Els babilonis i Newton Els babilonis, al voltant dels anys 2000-1700 aC, calculaven arrels quadrades (amb una precisió suficient per als seus interessos) basant-se en una idea geomètrica molt suggeridora; veure [9, cap. 7]. Aquest mètode també va ser descrit per Heró d’Alexandria al segle I. Sigui x0 una ? bona aproximació de a. Aleshores construïm un rectangle amb base x0 i alçada tal que la seva àrea sigui a, és a dir, a{x0 . Si obtenim un quadrat, ja està, i x0 és l’arrel quadrada buscada. ? Si no, un dels costats és més gran que a i l’altre és més petit. Aleshores és natural pensar ? que la mitjana d’ambdós valors px0 ` a{x0q{2 serà una aproximació millor de a. En resum, ? aquesta idea geomètrica dona lloc al següent mètode iteratiu per a calcular a: x n`1 “

xn ` xan 2

x0 «

? a.

De fet, els babilonis feien només unes poques iteracions d’aquest procés. Seguint l’estela dels babilonis, anem a fer un raonament semblant amb cubs per a calcular ? ? 3 a. Donat x0 « 3 a, construïm un prisma de volum a, amb base quadrada i costats x0 ,x0 i ? a{x02 . Aleshores, x1 “ p2x0 ` a{x02q{3. Més en general, per a calcular k a, prenem en primer lloc un de costats x0 ,x0 , . . . ,x0 i a{x0k´1 , i com a aproximació següent ˘ ` prisma k-dimensional k ´1 x1 “ pk ´ 1qx0 ` a{x0 {k. És a dir, és natural considerar el mètode iteratiu per a calcular ? k a: x n`1 “

pk ´ 1qxn ` xka´1 n

? x0 « k a.

Per altra banda, un dels mètodes més eficients per a trobar una solució, s, d’una equació general f px q “ 0, amb f derivable, és l’anomenat mètode de Newton, que consisteix a considerar la successió x n`1 “ x n ´

f pxn q f 1 pxn q

x0 « s.

La seva interpretació geomètrica es mostra en la figura 15. Se sap que si x0 és prou a prop de s, aleshores la successió txn u convergeix cap a s; vegeu per exemple [43].

juny 2019 21

y “ f px q y “ f pxn q ` f 1 pxn qpx ´ xn q

xn x n`1

Figura 15. Mètode de Newton.

? Ara bé, si prenem f px q “ x k ´ a, aleshores s “ k a i el mètode basat en la idea babilònica coincideix amb el mètode de Newton, ja que

x´

pk ´ 1qx ` xka´1 xk ´ a “ . kx k´1 k

És força curiós com, per al cas particular f px q “ x k ´ a, el mètode de Newton, que sembla fortament basat en el càlcul d’una derivada, apareix també de manera natural usant només idees de geometria clàssica.

14. Posició de n punts en el pla L’any 1893, en una columna de problemes matemàtics, J. J. Sylvester va proposar el problema següent: demostrar que, donada qualsevol distribució de n ě 3 punts no alineats en el pla hi ha una línia que passa per només dos d’aquests punts. Vegeu un cas particular en la figura de l’esquerra de la figura 16. Intuïtivament és clar que el resultat sembla cert, però en una primera aproximació sembla difícil de formalitzar una prova. En aquest cas, el més maco és potser que, amb una mica d’enginy, el problema esdevé ben formalitzat i senzill. La qüestió va ser proposada de nou per Erdös l’any 1943 com a problema 4065 en l’American Mathematical Monthly. Reproduïm a continuació la prova de Gallai de 1944 que el resultat és cert; vegeu també [1, cap. 9]. De fet, es coneix avui en dia com a teorema de Sylvester-Gallai. A

ℓ

P1 B d c m P Figura 16. Problema de Sylvester.

22 noubiaix 44

Donada una recta que passa per dos punts qualssevol del conjunt de punts, hi ha uns quants punts que no són a la recta. Aleshores n’hi ha un (no té per què ser únic) que és el més proper a aquesta recta. Com que, fixats els n punts, hi ha un nombre finit de rectes passant per dos d’aquests, hi ha sempre una recta ℓ i un punt P del conjunt de punts (de nou, no necessàriament únics) tals que la distància d de P a ℓ és la més petita possible. Sigui P1 el punt de ℓ més proper a P; vegeu la figura dreta de la figura 16. Si a ℓ només hi ha dos punts del conjunt inicial de punts, ja hem acabat. Suposarem, per tal d’arribar a contradicció, que ℓ conté com a mínim tres punts, que denotarem per A, B i C. A més, com a mínim dos d’ells (diem B i C) són a un mateix costat de ℓztP1 u. Finalment, considerem la recta m, que passa per C (el punt més allunyat de P1 dels dos) i P. Sigui c la distància entre B i m. Com que els triangles rectangles P1 PC i B1 BC són semblants, és fàcil veure que c ă d, fet que contradiu la minimalitat de d.

Els primers dígits de π Les dues igualtats següents es poden obtenir fàcilment calculant primitives i aplicant la regla de Barrow: 0ă

ż1

p3x 2 ´ 1q2 dx “ 4pπ ´ 3q, 1 ` x2 0

0ă

ż1

x 4 p1 ´ x q4 22 dx “ ´ π, 2 1 ` x 7 0

(4)

; vegeu també [12]. Per exemple: i impliquen que 3 ă π ă 22 7 ż1

p3x 2 ´ 1q2 dx “ 1 ` x2 0

ż1ˆ 9x 2 ´ 15 ` 0

16 1 ` x2

` ˘ˇ1 “ 3x 3 ´ 15x ` 16 arctanpx q ˇ0 “ 3 ´ 15 ` 4π “ 4pπ ´ 3q.

Hi ha moltes igualtats semblants i han estat usades en diferents treballs per a obtenir algoritmes per a aproximar π; consulteu [4, 13, 19, 32, 33, 38]. La segona d’elles també ens permet conèixer fàcilment els primers dígits de π, ja que per a x P r0,1s, x 4 p1 ´ x q4 x 4 p1 ´ x q4 ď ď x 4 p1 ´ x q4 2 1 ` x2 ş1 i 0 x 4 p1 ´ x q4 dx “ 1{630. Per tant,

3,1412 . . . “

3.958 22 1 22 1 3.959 “ ´ ăπă ´ “ “ 3,1420 . . . . 1.260 7 630 7 1.260 1.260

(5)

Un cop trobada una aproximació de π, aquesta es pot millorar usant, per exemple, el procediment proposat a [49]. Aquest ens diu que si P és una aproximació de π, correcta fins a la xifra decimal k-èssima, aleshores P ` sinpPq és correcta fins a la xifra decimal 3k-èssima. No es pot negar que aquest resultat té un cert encant, tot i que si som justos és una mica truculent, ja que usar la funció sinus implica, de manera implícita, el coneixement de π.

juny 2019 23

Altres vies més naturals per a trobar més dígits de π es poden consultar, per exemple, a [18]. En qualsevol cas, si P “ 3, tenim que 3 ` sinp3q « 3,1411. De manera semblant, Q “ 3,141 ` sinp3,141q « 3,141592653555 i |Q ´ π| ă 4 ˆ 10´11 . Per a veure per què el mètode funciona, podem aplicar la fórmula de Taylor a f px q “ x ` sinpx q a x “ π. Tenim que x ` sinpx q “ π ´

cospsx q px ´ πq3 , 6

ja que f pπq “ π, f 1 pπq “ f ˇpπq “ 0 i f ˇ1 px q “ ´ cospx q, on sx està entre x i π. Per tant, per a x “ P, |P ´ π|3 |P ` sinpPq ´ π| ď , 6 tal com volíem veure. Iterant el procés obtenim que la successió recurrent Pn`1 “ Pn ` sinpPn q, amb P0 “ P, convergeix cúbicament cap a π.

Càlcul d’Arquimedes del volum de l’esfera Calculem a continuació el volum d’una esfera seguint les idees d’Arquimedes. El que va usar en el seu temps, per a un cas concret, és el que avui en dia coneixem com a principi de Cavalieri. Al seu torn, aquest principi és un cas molt particular del teorema de Fubini.

R d R

Figura 17. Volum de l’esfera.

Considerem la figura 17. A l’esquerra tenim mitja esfera de radi R, al mig un con amb base de radi R i alçada també R, i a la dreta un cilindre amb la mateixa base i la mateixa alçada. Si tallem les tres figures per un pla horitzontal, que està a distància d dels punts més alts de les tres figures, obtenim ? tres cercles. Ara bé, en el cas de l’esfera, usant el teorema de Pitàgores tenim un radi R2 ´ d2 ; en el cas del con, un radi d, i en el del cilindre, un radi R. Per tant, les àrees de les tres seccions, d’esquerra a dreta, són: Sesf :“ πpR2 ´ d2 q, Scon :“ πd2 i Scil “ πR2 . Així, es compleix Sesf ` Scon “ Scil . Com a conseqüència, volum de l’esfera ` volum del con “ volum del cilindre. 2 Per tant, sabent com calcular el volum d’un con i d’un cilindre, ja podem calcular el volum V de l’esfera a partir de la igualtat anterior: V πR3 ` “ πR3 . 2 3 Obtenim que V “ 4πR3 {3.

24 noubiaix 44

17. Daus de Sicherman Els daus de Sicherman van ser popularitzats l’any 1978 per Martin Gardner en la seva esperada columna al Scientific American. El que Sicherman va fer és construir dos daus, amb valors diferents als usuals en les seves sis cares, però tals que en tirar-los la probabilitat que la seva suma fos un cert valor coincidís amb la probabilitat que es té quan es tiren dos daus usuals. Així, mentre que els daus normals estan numerats amb 1,2,3,4,5,6, els daus de Sicherman es numeren amb 1,2,2,3,3,4 i 1,3,4,5,6,8, vegeu la figura 18. La prova que la probabilitat de la suma és la mateixa és una comprovació senzilla. Per exemple, la probabilitat d’obtenir una suma de 6 amb dos daus normals és 5{36, ja que aquesta suma es dona en les cinc parelles p1,5q,p2,4q,p3,3q,p4,2q i p5,1q. Per als daus de Sicherman també és 5{36, però en aquest cas les parelles són p1,5q,p2,4q,p2,4q,p3,3q i p3,3q.

Figura 18. Daus de Sicherman.

El que és maco és que el disseny d’aquests daus, i la prova que no n’hi ha més, es redueix a l’estudi de la descomposició a Zrx s, l’anell de polinomis amb coeficients enters, d’un cert polinomi, també de Zrx s. Consulteu per exemple [7], per a més detalls. Anem a veure per què. El secret està en la funció generatriu de probabilitats. Donada una variable aleatòria X que pren valors a N, es defineix la seva funció generatriu de probabilitats ϕX com la funció analítica ϕX psq :“

8 ÿ

PpX “ kqsk ,

k “0

on P denota la probabilitat. En el cas particular que X prengui un nombre finit de valors, aleshores ϕX psq és un polinomi. Per exemple, per al cas concret d’un sol dau, és el polinomi Qpsq :“

1 1 1 1 1 1 s ` s2 ` s3 ` s4 ` s5 ` s6 . 6 6 6 6 6 6

És clar que sempre ϕX p1q “ 1. Una de les propietats més importants de les funcions generatrius és que si X i Y són dues variables aleatòries independents, aleshores ϕX `Y “ ϕX ¨ ϕY . Això és degut que PpX ` Y “ kq “

k ÿ

PpX “ jqPpY “ k ´ jq.

j “0

Així, la funció generatriu de probabilitats de la variable aleatòria tirar dos daus i sumar els resultats obtinguts és

juny 2019 25

˘2 1` s ` s2 ` s3 ` s4 ` s5 ` s6 36 ˘ 1`2 “ s ` 2s3 ` 3s4 ` 4s5 ` 5s6 ` 6s7 ` 5s8 ` 4s9 ` 3s10 ` 2s11 ` s12 . 36

Q2 psq “

Observem que el coeficient de s6 és 5{36, que dona la probabilitat que la suma sigui 6, calculada a dalt. Eliminant l’1{36 per comoditat, tenim que ¯2 ´ ´ ¯2 Ppsq : “ s ` s2 ` s3 ` s4 ` s5 ` s6 “ sps ` 1qps2 ` s ` 1qps2 ´ s ` 1q “ s2 ps ` 1q2 ps2 ` s ` 1q2 ps2 ´ s ` 1q2

i, per tant, els daus que busquem corresponen a maneres de descompondre P a Zrss com a producte de dos polinomis P1 i P2 a Nrss tals que P1 p1q “ P2 p1q “ 6 (aquest 6 prové de ϕX p1q “ 1). Fent totes les combinacions possibles amb els vuit factors de P, només obtenim dues solucions: ˘2 ` ˘` ˘ ` Ppsq “ s ` s2 ` s3 ` s4 ` s5 ` s6 “ s ` 2s2 ` 2s3 ` s4 s ` s3 ` s4 ` s5 ` s6 ` s8 ,

que corresponen als dos daus normals i als daus de Sicherman, respectivament. A partir d’aquesta idea es pot jugar a dissenyar daus (de m cares) amb propietats curioses. Donem-ne un parell d’exemples. Els dos daus tetraèdrics (amb quatre cares) numerats amb 1,2,5,6 i 0,2,8,10, en llançar-los donen una distribució uniforme, amb setze valors entre 1 i 16. El motiu és que 16 ÿ

` ˘` ˘ sk “ sps ` 1qps2 ` 1qps4 ` 1qps8 ` 1q “ sps ` 1qps4 ` 1q ps2 ` 1qps8 ` 1q

k “1

˘` ˘ ` “ s ` s2 ` s5 ` s6 1 ` s2 ` s8 ` s10 .

Llançar un dodecàedre numerat amb 1,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,5 i dos daus numerats amb 1,3,4,5,6,8 i 1,1,3,3,5,5 equival a llançar tres daus normals. La raó és que ` ˘3 ` ˘` ˘ ˘ s ` s2 ` s3 ` s4 ` s5 ` s6 “ s ` 3s2 ` 4s3 ` 3s4 ` s5 s ` s3 ` s4 ` s5 ` s6 ` s8 ps ` s3 ` s5 .

18. La irracionalitat de e Reproduïm a continuació la prova de Fourier. Si definim Sn “ e “ lim Sn “ nÑ8

8 ÿ 1 . m! m “0

1 m“0 m! , aleshores

řn

26 noubiaix 44

Per tant, com que per j ě 1, n!{pn ` jq! ď 1{pn ` 1qj , amb igualtat només per j “ 1, 1 8 8 8 1 1 ÿ n! 1 ÿ n! 1 ÿ 1 1 p n`1 q 1 “ “ ă “ “ . e ´ Sn “ 1 j m! n! m! n! p n ` j q ! n! p n ` 1 q n! n!n 1 ´ p n`1 q m “n`1 m “n`1 j “1 j “1

8 ÿ

Prenent n “ 2, obtenim que 2ăeă

11 ă 3. 4

Suposem, per tal d’arribar a contradicció que e “ p{q P Q. Observem primer que q ě 2, ja que 2 ă e ă 3 i, per tant, e no pot ser enter. Si prenem la desigualtat anterior per n “ q, obtenim Sq ă e “

p 1 ă Sq ` . q q!q

Multiplicant-la per q! tenim que q!Sq ă q!e “ q!

1 p “ pq ´ 1q!p ă q!Sq ` ă q!Sq ` 1. q q

Com que q!Sq és enter, obtenim que pq ´ 1q!p és un enter situat entre dos enters consecutius, fet que ens dona la contradicció buscada. Usant la fórmula de Taylor, hi ha una manera alternativa d’obtenir una fita de e ´ Sn , ja que e “ Sn `

esn , sn P r0,1s pn ` 1q!

i, per tant, Sn ă e ă Sn ` 3{pn ` 1q!. A partir d’aquestes desigualtats es pot obtenir de manera semblant una contradicció.

19. Càlcul dinàmic del màxim comú divisor En el seu engrescador treball Cooking the Classics ([50]), Ian Stewart mostra una manera de calcular el màxim comú divisor a partir d’un sistema dinàmic discret (SDD) que reproduïm a continuació. Aquest mètode és una reformulació del mètode usat a la Grècia clàssica conegut com a anthyphaeresis. Donat un rectangle amb costats els dos mateixos números, aquest mètode consisteix a eliminar el màxim nombre possible de quadrats (amb costat el més petit dels del rectangle) fins a arribar a un nou rectangle on ja no es pot seguir, i després continuar amb el mateix procediment començant amb el nou rectangle i anar fent el mateix fins a arribar al conjunt buit; vegeu la figura 19. Dinàmicament, considerem l’aplicació no invertible F : N2 Ñ N2 , ` ˘ F px,yq “ máxpx,yq ´ minpx,yq, minpx,yq ,

juny 2019 27

que dona lloc a un semi-SDD. Com sempre, F 0 “ Id i F n “ F ˝ F n´1 . Anem a demostrar que per a cada pa,bq P N2 , ab ‰ 0, hi ha un m “ mpa,bq tal que F m pa,bq “ pmcdpa,bq,0q. 7

35 35

161

42 161

Figura 19. El màxim comú divisor de 203 i 161 és 7.

Per a demostrar-ho considerem les dues funcions V,W : Ω Ñ N definides com V px,yq “ x ` y i W px,yq “ mcdpx,yq, on Ω “ N2 ztpx,yq P N2 : xy “ 0u. De fet, veurem que aquestes funcions són una funció de Liapunov estricta i una integral primera, respectivament, pel semi-DDS donat per F sobre Ω. Com és habitual, direm que els punts px,yq,F px,yq,F 2px,yq, . . . ,F m px,yq, . . . són l’òrbita de px,yq. La funció V és de Liapunov a Ω, ja que per px,yq P Ω, V pF px,yqq “ máxpx,yq ă x ` y “ V px,yq. A més, V pF px,yqq “ V px,yq només quan xy “ 0. Per a veure que W és una integral primera, el que hem de demostrar és que W pF px,yqq “ W px,yq. Per això, observem que si z divideix x i y, també divideix máxpx,yq i minpx,yq, i per tant divideix ambdues components de F. Recíprocament, si z divideix máxpx,yq ´ minpx,yq i minpx,yq també divideix la seva suma, máxpx,yq, i per tant divideix x i y. Finalment, observeu que F px,yq “ p0,0q si i només si px,yq “ p0,0q. Per tant, com que V decreix estrictament i és positiva sobre les òrbites de punts de Ω, donat qualsevol parell px,yq P Ω ha d’existir k P N tal que V pF k px,yqq “ pz,0q o p0,zq, amb z ‰ 0. Com que F p0,zq “ pz,0q, el resultat que se segueix amb m és o bé k, o bé k ` 1. A més, com que tots els punts de l’òrbita tenen el mateix màxim comú divisor, z “ mcdpx,yq. De fet, es pot veure que aquest procediment és equivalent a l’algoritme d’Euclides, amb la diferència que no cal fer divisions. Un avantatge més d’aquest punt de vista és que es pot usar per a definir de manera molt natural el màxim comú divisor de dos nombres racionals positius. Si denotem Q` “ tx P Q : x ě 0u, aleshores, per a “ p{q, b “ r{s amb pa,bq P pQ` q2 i mcdpp,qq “ mcdpr,sq “ 1 hi ha un m “ mpa,bq i un nombre racional c tal que F m pa,bq “ pc,0q.

28 noubiaix 44

Aquest c s’anomenarà màxim comú divisor de a i b, mcdpa,bq. A més, c “ mcdpa,bq “

mcdpp,rq mcmpq,sq

mcmpa,bq :“

ab . mcdpa,bq

Anem a provar-ho. Per linealitat, F pa,bq “ F pqsa,qsbq{pqsq “ F pps,qrq{pqsq. Per al resultat sobre punts amb components enteres hi ha un m P N tal que ` ˘ mcdpps,qrq,0 F m pps,qrq “ F pa,bq “ qs qs ˙ ˆ ˙ ˆ mcdpp,rq mcdpq,sq mcdpp,rq p‹q “ ,0 “ ,0 , mcdpq,sq mcmpq,sq mcmpq,sq m

on p‹q hem usat que qs “ mcdpq,sq mcmpq,sq

mcdpps,qrq “ mcdpp,rq mcdpq,sq.

Per exemple, F 11 p22{91,55{63q “ p11{819,0q. Aleshores, mcdp22{91,55{63q “ 11{819 i mcmp22{91,55{63q “ 110{7. Observeu que tots els quocients 22{91 “ 18, 11{819

55{63 “ 65, 11{819

110{7 “ 65, 22{91

110{7 “ 18, 55{63

són nombres naturals. Finalment, el procediment es pot estendre a condicions inicials de R` ˆ R` i es pot veure que dona lloc a l’expansió dels nombres reals en fraccions contínues. Només presentem un exemple. Se sap que π “ r3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3 . . .s 1 “3` 7 ` 15` 1 1 1`

1 292`...

i, per tant, els seus primers convergents són 3, 3 `

1 22 333 355 103993 104348 “ , , , , ... 7 7 106 113 33102 33215

(6)

Si calculem pan ,bn q :“ F n pπ,1q, per n P t3,3 ` 7 “ 10,10 ` 15 “ 25,25 ` 1 “ 26,26 ` 292 “ 318,318 ` 1 “ 319, . . .u obtenim a3 “ π ´ 3,

a10 “ 22 ´ 7π,

a25 “ 106π ´ 333,

a26 “ 355 ´ 113π,

a318 “ ´103993 ` 33102π,

a319 “ 104348 ´ 33215π,

recuperant els numeradors i denominadors de (6).

juny 2019 29

20. Divergència de la suma dels inversos dels nombres primers Detallem una prova senzilla i maquíssima, deguda a F. Gilfeather i G. Meisters i publicada a ř [31], que segons la qual p primer 1{p “ 1{2 ` 1{3 ` 1{5 ` 1{7 ` 1{11 ` ¨ ¨ ¨ és divergent. De fet, la primera prova de la divergència d’aquesta sèrie és deguda a Euler i data del 1737, i la prova que presentem s’inspira en la seva. Fixat 2 ď n P N, denotem per Pn el conjunt de tots els nombres primers p ď n. Tenim que ˙ źˆ p ˙ źˆ 1 ˙ źˆ 1 1 1 “ “ 1 ` ` 2 ` 3 ` ¨¨¨ . p´1 1 ´ 1{ p p p p pPP pPP pPP n

(7)

Com que tot enter positiu k ď n, descompon com a producte de primers menors o iguals que n elevats a potències enteres positives, és segur que 1{k surt com un terme del desenvolupament del producte de la dreta de (7). Per tant: n źˆ p ˙ ÿ 1 ą . p ´ 1 k pPP k “1 n

Prenent logaritmes de la desigualtat anterior, com que el logaritme és una funció creixent, ˜ ÿ`

˘ logppq ´ logpp ´ 1q ą log

pPPn

n ÿ 1 k “1

Per altra banda, ÿ

plogppq ´ logpp ´ 1qq “

pPPn

ÿ 2 ÿˆ 1 ˙ 1 ď dx ă . p´1 p p´1 x pPP pPP

ÿ żp pPPn

Usant les dues desigualtats obtingudes arribem a ÿ 1

1 ą log p 2 pPP n

n ÿ 1 k “1

i com que la sèrie harmònica és divergent, obtenim el resultat desitjat. Anem a veure com aquest resultat, a part de provar un cop més l’existència d’infinits nombres primers, ens dona també una informació força bona sobre el creixement de la sèrie. Comparant les sumes superior i inferior de la funció 1{x en els intervals r1,ns i r1,n ` 1s amb la seva integral, no és difícil veure que logpn ` 1q ă

n ÿ 1 k “1

ď logpnq ` 1.

30 noubiaix 44

Per tant, ÿ 1

p pPP

1 log plogpnq ` 1q . 2

Aquest resultat és bastant fi, ja que se sap que ř

lim

1 pPPn p

nÑ8 logplogpnqq

“ 1.

De fet, el 1{2 que apareix davant de la fita inferior prové del 2 de la desigualtat 1{pp ´ 1q ď 2{p, vàlida per a tot p ě 2. Aquest 2 es pot disminuir i acostar tant com es vulgui a 1, per sobre, prenent p prou gran.

Agraïments L’autor vol agrair a Gregori Guasp els seus comentaris i suggeriments durant la redacció d’aquest treball i la seva ajuda en la preparació de moltes de les il.lustracions que conté. L’autor rep el suport dels projectes MINECO MTM2016-77278-P FEDER i 2017SGR1617 de la Generalitat de Catalunya.

Bibliografia [1] M. Aigner, G. M. Ziegler, Proofs from The Book. Fifth edition. Including illustrations by Karl H. Hofmann. Springer-Verlag, Berlín, 2014. [2] C. Alsina, R. B. Nelsen, «Charming Proofs: A Journey into Elegant Mathematics», Dolciani Mathematical Expositions 42, 2010. [3] T. M. Apostol, « Ptolemy’s inequality and the chordal metric». Mathematics Magazine 40 (1967), 233-235. [4] N. Backhouse, «Pancake functions and approximations to π». Note 79.36, Mathematics Gazette 79 (1995), 371-374. [5] M. Bicknell-Johnson, «Pythagorean triples containing Fibonacci numbers: solutions for Fn2 ˘ Fk2 “ K 2 ». Fibonacci Quarterly 17 (1979), 1-12. [6] B. Bollobás, Modern Graph Theory. Springer, Nova York, NY, 1998. [7] D. Broline, «Renumbering of the faces of dice». Mathematics Magazine 52 (1979), 312-315. [8] L. M. Blumenthal, B. E. Gillam, «Distribution of points in n-space». American Mathematical Monthly 50 (1943), 181-185. [9] J.-L. Chabert et al., A history of algorithms. From the pebble to the microchip. Translated from the 1994 French original by Chris Weeks. Springer-Verlag, Berlín, 1999. [10] J. L. Coolidge, «A historically interesting formula for the area of a quadrilateral». American Mathematical Monthly, 46 (1939), 345-347. [11] H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer, Geometry Revisited, The Mathematical Association of America 1967. [12] D. P. Dalzell, «On 22{7». Journal of the London Mathematical Society 19, (1944), 133-134. [13] D. P. Dalzell, «On 22{7 and 355{113». Eureka: The Archimedian’s Journal 34 (1971), 10-13. [14] J.-P. Delahaye, Mathématiques pour le plaisir. Un inventarie de curiosités. Belin, Pour la Science, París 2010.

juny 2019 31

[15] M. Gardner, Mathematical Puzzles & Diversions. The University of Chicago Press, 1961. [16] M. Gardner, New Mathematical Diversions. The Mathematical Association of America, 1995. [17] C. E. Garza-Hume, M. C. Jorge, A. Olvera, «Quadrilaterals and Bretschneider’s Formula». The Mathematics Teacher 111 (2018), 310-314. [18] A. Gasull, «Integració de funcions racionals i π». Materials Matemàtics 2018, treball 2, 28 p. [19] A. Gasull, «Algoritmos sencillos para calcular π». La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española (en premsa). [20] A. Gasull, «Gemmes matemàtiques». Materials Matemàtics (en premsa). [21] M. Giaquinto, «Mathematical proofs: the beautiful and the explanatory». Journal of Humanistic Mathematics 6 (2016), 52-72. [22] M. de Guzmán, Aventuras matemáticas Una ventana hacia el caos y otros episodios. Pirámide, Madrid, 2004. [23] G. H. Hardy, A Mathematician’s Apology, Cambridge University Press, Cambridge, 1969. [24] A. Hess, «A highway from Heron to Brahmagupta». Forum Geometricorum 12 (2012), 191192. [25] R. Honsberger, Mathematical gems from elementary combinatorics, number theory, and geometry. The Dolciani Mathematical Expositions, 1. The Mathematical Association of America, Buffalo, 1973. [26] R. Honsberger, Mathematical gems. II. The Dolciani Mathematical Expositions, 2. The Mathematical Association of America, Washington DC, 1976. [27] R. Honsberger, Mathematical gems. III. The Dolciani Mathematical Expositions, 9. Mathematical Association of America, Washington DC, 1985. [28] D. A. Klain, « An intuitive derivation of Heron’s formula». American Mathematical Monthly 111 (2004), 709-712. [29] L. J. Lander, T. R. Parkin, «Counterexample to Euler’s conjecture on sums of like powers». Bulletin of the American Mathematical Society 72 (1966), 1079. [30] M. Lange, «Explanatory proofs and beautiful proofs». Journal of Humanistic Mathematics 6 (2016), 8-51. [31] W. G. Leavitt, «The sum of the reciprocals of the primes». Two-Year College Mathematics Journal 10 (1979), 198-199. [32] S. K. Lucas, «Integral proofs that 355{113 ą π». Australian Mathematical Society Gazette 32 (2005), 263-266. [33] S. K. Lucas, «Approximations to π derived from integrals with nonnegative integrands». American Mathematical Monthly 116 (2009), 166-172. [34] W. Narkiewicz, The Development of Prime Number Theory, Springer-Verlag, Nova York, 2000. [35] R. B. Nelsen, Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking, Mathematical Association of America, 1997. [36] R. B. Nelsen, Proofs without Words II: More Exercises in Visual Thinking, Mathematical Association of America, 2000. [37] J. Neunhäuserer, 122 beautiful mathematical theorems with short proofs. Reedició. [38] D. A. Nield (mal escrit Neild a l’article), «Rational approximations to pi». The New Zealand mathematics magazine 18 (1981-1982), 99-100. [39] B. Polster, Q.E.D. Beauty in mathematical proof. Wooden Books. Walker & Company, Nova York, 2004. [40] B. Pritsker, Geometrical Kaleidoscope. Courier Dover Publications, 2017, 144 pàgines.

32 noubiaix 44

[41] H. Rademacher, O. Toeplitz, Números y figuras. Alianza, Madrid, 1970. [42] C. H. Raifaizen, «A Simpler Proof of Heron’s Formula». Mathematics Magazine 44 (1971), 27-28. [43] A. Ralston, Afirstcourseinnumericalanalysis. McGraw-Hill Book Co., Nova York/Toronto/London, 1965. [44] P. Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer-Verlag, Nova York, 1996. [45] D. P. Robbins, «Areas of polygons inscribed in a circle». American Mathematical Monthly 102 (1995), 523-530. [46] G.-C. Rota, «The Phenomenology of Mathematical Beauty», Indiscrete Thoughts, a cap. 10, p. 121-133. Basilea: Birkhäuser Verlag AG, 1997. [47] F. Saidak, «A New Proof of Euclides’ Theorem». American Mathematical Monthly 113 (2006), 937-938. [48] D. Schattschneider, «Beauty and truth in mathematics», a N. Sinclair, D. Pimm,W. Higgenson (editors), Mathematics and the Aesthetic: New Approaches to an Ancient Affinity, Springer, Nova York, 2006, p. 41-57. [49] D. Shanks, «Improving an approximation for Pi». The American Mathematical Monthly 99 (1992), 263. [50] I. Stewart, «Cooking the classics». The Mathematical Intelligencer 33 (2011), 61-71. [51] V. G. Tikekar, «Some Interesting Mathematical Gems». Resonance-Journal of Science Education 11 (2006), 29-42.

juny 2019 33

Teie, quina estora vols? Trobar la millor proposta Montserrat Canet Mestra jubilada

Resum Aquesta experiència va ser realitzada durant el curs 2015-2016 a l’Escola Maria Mercè Marçal de Mataró a partir d’una observació dels alumnes de quart de Primària: en veure que els nens i les nenes d’educació infantil s’asseien a terra a la classe de música, van decidir buscar una solució a aquest problema. Vam començar a investigar per Internet i vam trobar Paviplay, un sistema de rajoles de goma encadellables, que utilitza materials segurs i saludables, a més d’oferir protecció fungicida i bacteriana. Paviplay ens permetria cobrir tota la superfície necessària i treure-la fàcilment quan no la necessitéssim. Aquesta experiència ens ha permès fer un treball interdisciplinari i cooperatiu. Dins l’àrea de matemàtiques s’han fet activitats que engloben tots els blocs curriculars. Pel que fa a la llengua, s’ha treballat tant l’expressió oral com l’escrita: ha calgut argumentar les propostes fetes, discutir-les, buscar solucions, arribar a acords i presentar propostes. Per acabar, hem hagut d’aprendre a presentar una proposta formal davant del Consell Escolar i a defensar-la. El treball en equip ha estat fonamental en tot el procés.

Paraules clau Primària, resolució de problemes, mesura, espai i forma.

Abstract This activity was carried out during the 2015-2016 academic year at the María Mercè Marçal de Mataró School, based on an observation of fourth-year primary school students: when they saw that school children had to sit on the floor in music class, they decided to find a solution to the problem. An Internet search found Paviplay, a system of soft interlocking floor tiles that uses safe and healthy materials and offers fungicidal and bacterial protection. Paviplay would allow the entire surface to be covered, and could be easily removed when not needed. The project gave us opportunities for cross-disciplinary and collaborative work. In the area of mathematics, activities covering all curricular units were carried out. In terms of language, both oral and written expression were employed, in arguing the proposals made, discussing them, finding solutions, reaching agreements, and presenting proposals. Finally, it was necessary to present a formal proposal before the School Council and to defend it, and teamwork was essential throughout the entire process.

Keywords Primary school, problem-solving, measures, space and form.

34 noubiaix 44

1. Introducció Aquesta activitat està emmarcada en la resolució de problemes aplicada en un context real dins la vida escolar. Si donem una ullada al currículum, veurem que ens diu que «una metodologia centrada en la resolució de problemes dona l’oportunitat de desvetllar en els alumnes el gust per enfrontar-se a un repte, lluitar-hi de manera tenaç, experimentar, cercar ajut adequat, si cal, assaborir l’èxit i adquirir confiança en les pròpies capacitats». Per tant, remarquem que aquesta experiència proposa reflexionar sobre l’ensenyament a través de la resolució de problemes. El simple fet de veure com uns nens s’asseuen a terra a la classe de música ens va fer pensar quina podria ser la solució al que els alumnes de la classe de quart veien com un problema. Investigant per la xarxa vam descobrir un material que encaixava perfectament amb la nostra demanda: unes planxes de goma suficientment grans, gruixudes, compactes i segures per als infants.

Diferents tipus de peces Paviplay.

Així, doncs, vam començar a buscar com era aquest material, quina seguretat oferia, quines mides tenia, quins colors hi havia i quin era el cost de cada una de les peces. Vam escriure un correu electrònic a l’empresa per a preguntar totes aquestes qüestions i si podíem fer servir el seu material per treballar aquesta proposta. L’empresa que fabrica el material va respondre a totes les nostres preguntes i vam començar a treballar en el projecte. Primerament ens vam fer tot un seguit de preguntes que ens servirien per ordenar tot el procés: 1. A quina part de l’aula ho col¨locaríem? 2. Quina superfície hauria de cobrir? 3. Quina llargada i amplada hauria de tenir? 4. Quines peces s’ajustarien més a la superfície que s’hauria de cobrir? Havíem de tenir en compte que es fabricaven peces de 50 cm, 60 cm, 100 cm i 120 cm. 5. Quin disseny proposaríem?

juny 2019 35

6. Quines i quantes peces necessitaríem, tenint en compte les diferents peces que es podien emprar? 7. Quin seria el cost real de l’estora? El treball en equip va ser essencial per poder resoldre aquesta situació. Es va haver de dialogar, argumentar, prendre decisions i arribar a acords. Cada grup va presentar una proposta, la qual van haver de defensar primerament davant de la classe i després, un cop triat el projecte guanyador, davant d’un òrgan representatiu de l’escola com és el Consell Escolar. La investigació ens va permetre la connexió entre diferents àrees d’aprenentatge com ara les matemàtiques, la llengua i l’educació visual i plàstica. L’ús de les tecnologies de la informació i la comunicació (TIC) també va tenir un paper important en la investigació.

2. Quin va ser el procés?

2.1. Mesurar l’espai Amb una cinta mètrica es va mesurar l’espai que s’havia de cobrir: 4,53 m de llargada i 4,20 m d’amplada. A la vista dels resultats es va decidir que el millor que es podia fer era arrodonir les quantitats, per la qual cosa finalment es va decidir que la llargada seria de 4,50 m i l’amplada, de 4 m. D’aquesta manera, si es triava la rajola de 50 cm, podríem cobrir perfectament l’espai necessari.

2.2. Superfície que s’havia de cobrir Un cop decidida la mida de l’estora, es va fer el càlcul de la superfície que s’havia de cobrir. Alguns grups van decidir utilitzar la calculadora, mentre que d’altres van utilitzar el càlcul escrit. El resultat va ser de 18 m2 .

36 noubiaix 44

Per tal de comprovar que el resultat era correcte vam utilitzar els GIGI Bloks, capses trepades de cartró que, una vegada muntades, es transformaven en prismes de 20 cm ˆ 10 cm ˆ 10 cm i cubs de 10 cm ˆ 10 cm ˆ 10 cm, molt adients per acabar d’assimilar els conceptes de perímetre i superfície.

Es va decidir que cada peça de 10 cm ˆ 10 cm ˆ 10 cm representés una rajola. Si utilitzàvem dos blocs de 20 cm ˆ 10 cm ˆ 10 cm, doncs, representaven 1 m2 . Per tant, un cop muntats els GIGI Bloks obtindríem l’estora a escala i això ens permetria continuar treballant en el nostre projecte d’una manera més entenedora.

Treballar amb aquest material ens va permetre introduir de manera molt planera el terme escala i el seu significat. La nostra estora l’havíem reduït i la raó era 1:5; és a dir, 1 cm del bloc equivalia a 5 cm en la realitat.

juny 2019 37

2.3. Peces necessàries Tenint en compte la maqueta de l’estora, era molt fàcil saber quantes peces necessitaríem en total i quantes de cada mida. Ara només ens faltava dibuixar-la i dissenyar-la. 9 peces (llargada) ˆ 8 peces (amplada) “ 72 peces Aquestes setanta-dues peces havien de ser de tres menes diferents: 4 peces cantoneres 26 peces exteriors ‚ 42 peces interiors ‚ ‚

2.4. Disseny Els fulls quadriculats, el regle i llapis de colors o retoladors van ser els materials necessaris per fer-ne el disseny.

38 noubiaix 44

Un cop realitzats tots els dissenys, es va procedir a la tria del que crèiem que seria la millor opció per pavimentar el terra. Després vam comptar quantes peces de cada tipus i color farien falta.

2.5. Cost Amb la informació que ens va enviar l’empresa, vam calcular l’import de l’estora tenint en compte que calia afegir l’IVA al preu. Però què és l’IVA? La majoria d’alumnes no sabien de què els parlàvem, però sempre n’hi ha algun que sí que ho sap, i van ser aquests alumnes els qui ho van explicar a la resta. Un cop havien entès què era l’IVA, es va plantejar un altre repte: afegir un percentatge a una quantitat. Com que ja tenien clar que 21% volia dir afegir 21 e a cada 100 e de cost, cada grup va decidir calcular-ho a la seva manera. Així van sorgir diferents estratègies per a aquest repte:

juny 2019 39

Alguns grups van adonar-se que si el preu total era 625,68 e, calia arrodonir-ho per fer els càlculs més fàcilment. A més, també van veure que 25,68 era pràcticament una quarta part de 100; per tant, van decidir que el cost total aproximat estaria entre 750 i 760 e. Molt bona aproximació!

2.6. Presentació Un cop triat el projecte i fets els càlculs corresponents, només ens faltava elaborar un pressupost per poder-lo presentar al Consell Escolar. Els alumnes van triar un grup d’alumnes per presentar el treball al Consell. Això ens va permetre: Conèixer què és el Consell Escolar i què s’hi fa. Defensar el projecte i participar d’una manera activa davant aquest organisme. ‚ Explicar l’experiència davant els companys i informar de la decisió presa. ‚ ‚

3. Dimensions, competències i continguts Tal com diu el currículum, l’enfocament competencial del currículum de matemàtiques evidencia la importància dels processos que es desenvolupen al llarg de tot treball matemàtic. Les competències matemàtiques de l’educació primària incorporen quatre dimensions competencials que es corresponen amb els processos inherents al treball matemàtic: resolució de problemes, raonament i prova, connexions i comunicació, i representació. Quines són, doncs, les competències matemàtiques i els continguts vinculats a cada dimensió que han d’estar presents en tota aquesta investigació? Abans, però, podríem definir cadascun d’aquests conceptes: ‚

‚

Dimensions: són les agrupacions de les competències bàsiques pròpies de cada àmbit que l’alumne/a ha d’assolir en acabar l’etapa i que contribueixen a l’assoliment de les competències bàsiques. Competències bàsiques: conformen la capacitat d’una persona per resoldre problemes reals en contextos diversos, integrant coneixements, habilitats pràctiques, actituds i altres components socials i de comportament que es mobilitzen conjuntament per assolir una acció eficaç i satisfactòria. Continguts clau: són els continguts que contribueixen en major mesura al desenvolupament de les competències pròpies de cada àmbit agrupades en dimensions.

40 noubiaix 44

Dimensió

Competència

Resolució de problemes

Competència 1. Traduir un problema a una representació matemàtica i emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre’l.

Competència 3. Fer preguntes i generar problemes de caire matemàtic.

Raonament i prova

Competència 4. Fer conjectures matemàtiques adients en situacions quotidianes i comprovar-les.

Competència 5. Argumentar les afirmacions i els processos matemàtics realitzats en contextos propers. Connexions

Competència 7. Identificar les matemàtiques implicades en situacions quotidianes i escolars i cercar situacions que es puguin relacionar amb idees matemàtiques concretes.

Competència 8. Expressar Dimensió comunicació i idees i processos matemàrepresentació tics de manera comprensible tot emprant el llenguatge verbal (oral i escrit).

Continguts clau Càlcul (mental, estimatiu, algorísmic, amb eines TIC) ‚ Patrons ‚ Magnituds mesurables. Unitats estàndard ‚ Figures geomètriques: elements, característiques (2D i 3D) i propietats ‚ Nombres. Relacions entre nombres ‚ Equivalències ‚ Tècniques i instruments de mesura ‚

Nombres. Relacions entre nombres Càlcul ‚ Patrons ‚ Equivalències ‚ Tècniques i instruments de mesura ‚ ‚

Sistema de numeració decimal Patrons ‚ Equivalència ‚ Figures geomètriques: elements, característiques (2D i 3D) i propietats ‚ ‚

Nombres. Relacions entre nombres Significat de les operacions, de les propietats i les relacions entre elles ‚ Equivalència ‚ ‚

Nombres. Relacions entre nombres Sistema de numeració decimal ‚ Patrons ‚ Magnituds mesurables. Unitats estàndard ‚ Figures geomètriques: elements, característiques (2D i 3D) i propietats ‚ ‚

Càlcul (mental, estimatiu, algorísmic, amb eines TIC) ‚ Equivalència ‚ Magnituds mesurables. Unitats estàndard ‚ Tècniques i instruments de mesura ‚ Figures geomètriques: elements, característiques (2D i 3D) i propietats ‚

juny 2019 41

Dimensió

Competència

Competència 10. Usar les eiDimensió nes tecnològiques amb cricomunicació i teri, de manera ajustada a representació la situació, i interpretar les representacions que ofereixen. Dimensió comunicació oral

Competència 3. Interactuar oralment d’acord amb la situació comunicativa, utilitzant estratègies conversacionals.

Dimensió comprensió lectora

Competència 7. Aplicar estratègies de cerca i gestió de la informació per adquirir coneixement propi.

Dimensió expressió escrita

Competència 8. Planificar l’escrit d’acord amb la situació comunicativa i el destinatari.

Competència 10. Revisar el text per millorar-lo i tenir cura de la seva presentació formal en funció de la situació comunicativa.

Continguts clau Càlcul (mental, estimatiu, algorísmic, amb eines TIC) ‚ Tècniques i instruments de mesura ‚ Figures geomètriques: elements, característiques (2D i 3D) i propietats ‚

Estratègies de participació activa i col¨laborativa en situacions espontànies i dirigides per planificar, organitzar el discurs i negociar el significat ‚ Elements expressius: to de veu, mirada, gest, entonació, ritme ‚ Normes que regeixen la interacció oral: torns de paraula, manteniment del tema, respecte per l’opinió dels altres... ‚

Estratègies de cerca: planificació, paraules clau, sinònims, ús de cercadors, tria i contrast de les fonts... ‚ Gestió i tractament de la informació: síntesi, tipus de contingut, emmagatzematge, organització, valoració i comunicació... ‚ Fonts d’informació. Suport paper i suport digital. Internet ‚

Elements per a la planificació: propòsit, destinatari, registre i context ‚ Tipologia textual ‚ Estratègies i recursos per a la planificació de textos: generació i selecció de les idees, organització de les idees (esquemes i esborranys...) i organització de la informació ‚

Organització del text: coherència i cohesió Correcció lingüística: lèxic, ortografia, estructures morfosintàctiques ‚ Adequació del registre al context, al destinatari i al propòsit ‚ Revisió ortogràfica: diccionaris i correctors de textos ‚ Presentació formal dels textos escrits en paper ‚ ‚

42 noubiaix 44

Continguts treballats per blocs Numeració i càlcul Comprensió del valor posicional de les xifres en el sistema de numeració decimal. Arrodoniment de nombres en context. ‚ Aplicació dels nombres decimals en contextos reals. ‚ Interpretació i ús de les unitats de mesura. ‚ Ús de les calculadores i altres recursos digitals per fer el càlcul i per explorar els nombres i les operacions. ‚ Selecció adequada del tipus de càlcul segons la situació: càlcul mental, càlcul escrit i amb calculadora i altres dispositius digitals. ‚ ‚

Relacions i canvis ‚ ‚

Relacions perímetre-longitud i àrea-superfície. Interpretació de l’equivalència en l’ús de diferents unitats de mesura.

Espai i forma Investigació de la relació entre figures a partir de la seva composició, descomposició i transformació. ‚ Creació i descripció d’imatges mentals d’objectes, patrons i camins. ‚

Mesura Magnituds de longitud, àrea i amplitud d’angles. Comprensió que la mesura obtinguda sempre és una aproximació. ‚ Equivalència entre les unitats de mesura més comunes en contextos significatius. ‚ Selecció de la unitat i l’instrument més adequats per realitzar una mesura. ‚ Ús del regle i de la cinta mètrica. ‚ Disseny d’activitats de mesura dins d’un context significatiu. ‚ Escales. ‚ ‚

4. Conclusió Encara que la decisió final del Consell fos que la proposta no era viable perquè va trobar el pressupost massa elevat, els va animar a buscar altres solucions que abaratissin el preu. Aquest projecte ha estat molt interessant i motivador. Els grups que es van crear eren força heterogenis i, com que es van utilitzar materials manipulatius, això va permetre que infants amb dificultats s’involucressin i col¨laboressin molt més en les tasques que es van proposar. Se’ls va donar via lliure per utilitzar calculadores si això els facilitava els càlculs. El fet d’introduir conceptes com escales, càlcul de percentatges i operacions amb decimals, que en principi no es treballen a quart, no va ser cap mena de problema. Per tant, això ens va fer pensar que no ens hauríem de posar límits respecte al que s’ha de fer en un curs o en un altre. Pot haver-hi més o menys dificultats, però he arribat a la conclusió que és molt positiu i engrescador per als alumnes.

juny 2019 43

També destaco que treballar per projectes permet crear connexions entre diferents àrees. En el nostre cas, també s’han treballat aspectes de les àrees de llengua i visual i plàstica. Aquest projecte ens ha empès a continuar treballant de manera cooperativa i, en concret, va impulsar el treball sobre mosaics que es va fer el curs 2017-2018 amb els mateixos alumnes. Vegeu-ho a: www.youtube.com/watch?v“tdDLAt4BnYc&t“46s&index“12&list“PL7uOLF_IPJ0Zy-zth9GFbT443oZlAEw4

44 noubiaix 44

L’avaluació de la resolució de problemes Joana Villalonga, Jordi Deulofeu

Resum L’ensenyament competencial de les matemàtiques i l’avaluació de les dimensions en què s’estructura la competència matemàtica en el currículum actual són dos punts molt rellevants de l’ensenyament de les matemàtiques en l’educació obligatòria. En aquest article plantegem un conjunt de reflexions sobre la resolució de problemes i l’avaluació reguladora (i autoreguladora) d’aquesta dimensió, que inclouen dos instruments per a una possible realització d’aquesta avaluació, la més rellevant, al nostre parer, per tal que l’avaluació esdevingui realment un instrument d’ajuda real al desenvolupament del procés d’aprenentatge dels alumnes. Aquestes reflexions sorgeixen de les conclusions d’una tesi doctoral sobre aquesta temàtica en la qual es va implementar i millorar, amb alumnes d’entre onze i tretze anys, una base d’orientació per a la resolució de problemes.

Abstract The competency-based teaching trend of mathematics and the assessment of the different dimensions in which mathematics education is presented in the current curriculum are two main aspects of the current compulsory mathematics education. In the present article, we reflect on problem solving and the regulative (and self-regulative) assessment sense of this mathematics dimension. These reflections lead us to introduce two regulative assessment tools with the aim that assessment becomes a really useful learning resource for students. All these inspections arise from the conclusions of a PhD focused on this topic. In particular, the developed research settled on the design, implementation and improving of a problem solving-related orientation basis for 11-13-year-old students.

1. Introducció L’enfocament competencial del currículum català actual situa la resolució de problemes com la primera de les quatre dimensions en què es desglossa la competència matemàtica. Entesa com a procés que es desenvolupa al llarg de tot treball matemàtic, s’espera que els alumnes adquireixin les competències relacionades amb aquesta dimensió en el transcurs de la seva escolarització obligatòria. D’acord amb aquest objectiu, esdevé complex determinar com s’hauria de treballar la resolució de problemes a les aules sota aquesta perspectiva de manera conseqüent, així com avaluar els efectes de les seves intencions. Resoldre problemes, així com aprendre’n, implica pensar matemàticament i actuar de manera conseqüent. Accions que requereixen, al seu torn, un sistema de regulació consistent que permeti, a qui resol el problema, gestionar i prendre decisions de manera responsable. En aquest sentit, s’observa que justament aquesta

juny 2019 45

competència de caràcter regulador és la diferència principal entre els resolutors més competents i els menys competents. No obstant això, s’evidencia una manca de mecanismes d’avaluació reguladora de la resolució de problemes en l’ensenyament i l’aprenentatge de la resolució de problemes, que permetrien una adquisició més eficient de les competències que requereix aquesta dimensió matemàtica. Atesos el paper fonamental que té la regulació en la resolució de problemes i la falta del seu domini per part dels alumnes, ens demanem com s’hauria d’integrar l’avaluació de i per a la resolució de problemes de manera significativa i efectiva a les aules en un currículum com l’actual. Aquesta fou, en gran manera, la pregunta que promogué la realització de la tesi desenvolupada pel segon autor del present article i dirigida pel primer, i de la qual deriva la reflexió que es presenta aquí.

2. Resolució de problemes Hi ha un acord general en el fet quela resolució de problemes presenta un doble perfil. D’entrada, no hi ha dubte que la resolució de problemes és una de les activitats més genuïnes de la matemàtica, ja que amb ella es posen en joc i prenen significat tots els aspectes de l’educació matemàtica. Té sentit, doncs, que una intervenció educativa adequada promogui no només l’ensenyament de les matemàtiques per a resoldre problemes, sinó també un ensenyament de les matemàtiques a partir de la resolució de problemes. Ara bé, alhora, resoldre problemes és, en si mateix, un procés clau dintre del treball matemàtic. És per això que esdevé la primera de les quatre dimensions matemàtiques, entesa com a procés més enllà dels blocs de contingut, que els alumnes han d’adquirir en el transcurs de la seva escolarització i que es fa necessari l’ensenyament del seu aprenentatge. Pren sentit, aleshores, la voluntat educativa de promoure a l’aula un ambient de treball basat en la resolució de problemes i, alhora, estimular l’autonomia de l’alumne en el procés d’aprendre a resoldre problemes. Ara bé, per assolir aquest objectiu és necessari aclarir què entenem per problema matemàtic i què representa la seva resolució.

2.1. Resolució de problemes D’acord amb les referències utilitzades en la tesi esmentada i gens lluny de la proposta del currículum català actual, entenem per problema matemàtic tota situació desconeguda en què es plantegen algunes qüestions per a les quals qui es decideix a trobar-hi resposta no disposa de cap solució immediata ni procés matemàtic directe o rutinari per trobar-la. Al contrari, requereix processos d’indagació que impliquen connectar els seus coneixements matemàtics per afrontar els obstacles que es presentaran al llarg del procés. Al seu torn, amb aquest procés es fomenta la consolidació i/o formació de coneixements matemàtics, així com la generació de qüestions vinculades a l’heurística o a l’ús d’instruments de caire matemàtic. En aquest sentit, s’entén per connectar el fet d’usar i encaixar coneixements de què es disposa, que tant poden ser de caràcter conceptual o heurístic, com recursos materials o tècnics que permetin treballar aspectes matemàtics, com podria ser l’ús d’un transportador d’angles o una calculadora. A més d’aquests coneixements, s’hi poden veure involucrats

46 noubiaix 44

altres coneixements de naturalesa no matemàtica, generalment procedents del context en què es presenta la situació. D’aquesta descripció es desprèn la distinció entre un problema pròpiament dit, que és quan, tot i tenir els coneixements necessaris, es desconeix a priori com es pot resoldre la tasca, i un exercici, que és quan, d’entrada, la tasca es pot resoldre de manera automàtica o rutinària. D’altra banda, també es desprèn que la noció de problema matemàtic no és absoluta, sinó relativa a les habilitats matemàtiques de la persona que s’enfronta a la situació exposada, qui ha de sentir-se implicada i d’alguna manera atreta pel procés de buscar alguna resposta. Ha d’adquirir una participació activa que li comporti reflexionar, actuar de manera conseqüent i valorar la tasca que desenvolupa per si mateixa. Això l’ajudarà a voler superar els obstacles que es presentin al llarg del procés. En aquest sentit, la persona se sentirà involucrada en aquesta tasca quan es percebi a si mateixa com una investigadora que ha de trobar alguna conclusió respecte a les qüestions plantejades en la situació exposada de manera que li pugui proporcionar alguna satisfacció, ja sigui adquirint nous coneixements, ja sigui donant utilitat a qualsevol dels que ja tenia. Alhora, implica tenir el temps suficient per poder reflexionar sobre la tasca que està intentant desenvolupar.

2.2. Resoldre un problema matemàtic D’acord amb això anterior, resoldre un problema matemàtic esdevé una activitat creativa i personal dirigida a uns objectius concrets que requereix l’activació i la relació de diferents tipus de coneixements matemàtics (bàsics, heurístics i sobre recursos) per donar resposta a una qüestió plantejada, cosa que contribuirà, al seu torn, al foment d’altres coneixements i qüestions, i, per tant, dirigida a uns objectius concrets. Aquesta activitat queda definida per un procés no lineal, caracteritzat per moments d’entrebanc i etapes d’implicació concretes en el desenvolupament d’accions vinculades Resoldre un problema requereix prendre decisions de manera raonada i regulada i, alhora, integrar diverses habilitats que en certa manera es poden resumir en: pensament creatiu i pensament crític, comunicació assertiva, flexibilitat, auto-coneixement, capacitat de decisió control de les emocions i els sentiments. Resoldre un problema no és aliè a les experiències anteriors relatives a la resolució de problemes. S’observa que tant les pràctiques anteriors com les creences que el resolutor té sobre la pràctica de resoldre problemes, com també dels seus coneixements i les seves habilitats, són un factor clarament influent en la seva acció de resolució del problema. En aquest sentit, s’observa que la gestió de cada aula en particular per part del docent corresponent incideix de manera directa i notòria en aquests quatre factors que influeixen en la resolució de problemes dels alumnes. En particular, s’observa que amb la proposta de determinats problemes, així com l’ús o no de determinats instruments per a la resolució de problemes, es promou una major o menor connexió de coneixements. De manera paral¨lela, els costums que perviuen a les aules semblen influenciar molt directament les creences dels alumnes, especialment modelant la seva actitud envers la resolució de problemes. D’aquestes

juny 2019 47

observacions sorgeix la imatge 1, que intenta il¨lustrar l’actuació directa dels diferents factors descrits anteriorment en la presa de decisions.

Imatge 1. Factors que influeixen en l’adquisició de la competència en resolució de problemes i la confluència.

Atesa, però, la dificultat observada en els alumnes pel que fa a dominar la presa de decisions, s’evidencia la necessitat de potenciar en ells un sistema de regulació consistent que permeti fortificar aquest sistema de decisions i alhora fer front a les influències procedents de la resta de factors. Finalitat totalment possible però per a la qual es fa necessària la introducció d’instruments adequats i concrets més enllà de la proposició específica de problemes.

2.3. Perfils de resolutors de problemes En aquest sentit, s’observa que justament la competència reguladora és la diferència principal entre els resolutors més competents i els menys competents. Els resolutors més competents es defineixen per invertir més temps a comprendre i analitzar la situació del problema que a calcular i reflexionar contínuament sobre l’estat de resolució, així com a ser flexibles per anar amunt i avall en el procés de resolució. Per altra banda, els resolutors menys competents es caracteritzen per mostrar-se insegurs davant la resolució d’un problema, no acabar els processos iniciats, realitzar tasques aplicant maneres diferents, amb manca de coherència i d’ordre, o sense raonar, tot seguint processos algorítmics buits i sempre de manera lineal.

2.4. Finalitat de la resolució de problemes De l’estudi realitzat en la tesi es desprèn que la resolució de problemes, com a activitat d’aula, comporta, si més no, tres funcions fonamentals, encara que no necessàriament disjuntes. Així doncs, a l’hora de portar la resolució de problemes a l’aula, es fa necessari distingir: ‚

‚

La resolució de problemes com a mitjà per atraure la curiositat i l’interès matemàtic als alumnes. La resolució de problemes com a mitjà per donar utilitat als seus coneixements matemàtics i alhora descobrir-ne de nous.

48 noubiaix 44 ‚

La resolució de problemes com a fi en si mateix per aprendre a pensar matemàticament i actuar (fet que també comporta comunicar) de manera conseqüent. Això significa prendre consciència del que implica resoldre un problema per, de manera autònoma, anticipar un procés de resolució en situacions futures, cosa que requereix un sistema d’autoregulació que permeti el reconeixement i l’autogestió i, en particular, prendre decisions de manera responsable.

En aquest sentit, observem que la dimensió del currículum actual centrada en la resolució de problemes equival a aquesta última finalitat de la resolució de problemes.

2.5. La regulació en la resolució de problemes En parlar d’aquesta tercera finalitat de la resolució de problemes es detecta una absència de mecanismes dirigits a una avaluació reguladora tant de l’ensenyament com de l’aprenentatge de la resolució de problemes. En l’estudi desenvolupat pels autors, cap dels docents participants no coneixia ni disposava de cap instrument en aquest sentit. En canvi, però, tots van mostrar la seva preocupació quant a la gestió de l’autocontrol per part dels alumnes a l’hora de resoldre problemes, així com per poder-los ajudar a reconduir els estats que la manca d’aquesta regulació els comportava. Es desprèn d’aquí la necessitat d’indagar entre eines o mecanismes que ajudin els alumnes a regular les seves accions. En particular, que els permetin aprendre a avaluar i regular el seu propi pensament i, amb això, a desenvolupar les habilitats necessàries per a la resolució de problemes. Aquestes habilitats de resolució es poden resumir en: interpretar la situació plantejada, identificar subobjectius de realització, planificar l’estratègia que s’ha de desenvolupar i avaluar les habilitats desenvolupades. L’experiència desenvolupada mostra que, més enllà de proposar problemes de tipologia diversa i/o convidar a utilitzar diferents recursos amb els quals afrontar-los, cal proveir els alumnes d’eines que els ajudin a reconèixer i regular les seves accions. En altres paraules, cal assegurar que els alumnes disposin d’instruments específics que els permetin reflexionar sobre la seva pràctica, mantenir clars els objectius i prendre consciència de les seves accions de resolució i de connexió de coneixements, i que promoguin la seva motivació. En definitiva, instruments que assegurin una avaluació reguladora i, en particular, formadora tant en l’àmbit local com en l’àmbit global de la resolució de problemes. De manera paral¨lela, també és necessària l’existència d’instruments reguladors per als docents, que els possibilitin recopilar aquesta informació de manera conseqüent i, així, ser capaços d’intervenir, en cas que sigui necessari, en la regulació de com es treballa la regulació en la resolució de problemes a l’aula, en general, i per part de cadascun dels alumnes, en particular. En aquest sentit, podem dir que quan l’objectiu principal de la resolució de problemes és millorar la competència en el procés de resoldre problemes, a més de suggerir la resolució de problemes diversos, convé que els alumnes disposin d’instruments que els ajudin a regular les seves accions. Per a això, però, es fa imprescindible que els alumnes deixin constància del procés desenvolupat, del qual han de destacar els factors més rellevants, sobretot per ala pròpia comprensió, però també per a la d’altres, per tal que així es puguin considerar en altres situacions. Sorgeix així la necessitat que el resolutor no només resolgui

juny 2019 49

una situació, sinó que la doni a conèixer i destaqui els elements i processos portats a terme, així com els descobriments intermedis que donen peu a les conclusions finals. De la mateixa manera, és important que aprengui a destacar els obstacles amb què s’ha trobat i reflecteixi com han estat reconduïts.

3. Avaluació D’acord amb els últims currículums dels plans docents de Catalunya, entenem que l’avaluació ha d’anar dirigida a millorar l’aprenentatge de l’alumnat. En aquest sentit, es fa necessari que els alumnes siguin conscients dels objectius de l’aprenentatge, així com dels criteris i procediments amb els quals se’ls avaluarà. Al mateix temps, l’avaluació és l’única eina que permet regular alhora i de manera coordinada l’ensenyament i l’aprenentatge, atès que permet que mestres (avaluació formativa) i alumnes (avaluació formadora) puguin identificar les dificultats que sorgeixen al llarg del procés educatiu i prenguin les decisions oportunes per assolir els objectius acordats. Amb això es confirma que l’avaluació és la que lliga i dona coherència als processos d’ensenyament i aprenentatge, i això mostra que el procés educatiu està format per la terna avaluació-ensenyament-aprenentatge.Té sentit afirmar, doncs, que els processos avaluadors donen sentit i consistència a qualsevol procés d’ensenyament i aprenentatge. Observem que l’avaluació actua com a pont en doble sentit entre l’ensenyament i l’aprenentatge, de manera que el propi aprenentatge es converteix en mode d’ensenyament per a un mateix. La figura 2 pretén il¨lustrar la terna avaluació-ensenyament-aprenentatge que, en forma esfèrica, dona sentit a tot procés educatiu, l’interès del qual recau en l’aprenentatge dels alumnes perquè puguin aprendre i actuar de manera conseqüent i autònoma al llarg de la seva vida.

Imatge 2. Vinculació entre avaluació, ensenyament i aprenentatge.

Per dur a terme una avaluació consistent són imprescindibles tres accions fonamentals: la recollida de dades, l’anàlisi d’aquestes dades i, finalment, la presa de decisions d’acord amb l’anàlisi realitzada, ja sigui a càrrec del professorat, entre iguals o per un mateix. En tot cas, emetre judicis per a un mateix és la finalitat última d’un procés d’ensenyament en què es pretén que qui aprèn esdevingui una persona autònoma i responsable del seu propi procés d’aprenentatge. De fet, aprendre a avaluar-se és, segurament, la condició més important per aprendre a aprendre, així com per esdevenir més autònom a aprendre fent qualsevol activitat.

4. L’avaluació de la dimensió en la resolució de problemes L’estudi desenvolupat pels autors és un primer intent de mostrar que és possible fer una avaluació reguladora de la resolució de problemes.

50 noubiaix 44

No és fàcil avaluar el treball matemàtic que desenvolupa cada un dels alumnes en resoldre problemes, especialment a causa dels diversos tipus de pensament i d’errors que poden sorgir en les seves pràctiques, però és justament aquest treball el que permet ajustar els instruments d’avaluació als objectius finals desitjats. Per això esdevé una tasca essencial identificar ´a priori, així com a posteriori´ les competències necessàries i suficients que es veuen involucrades en les accionsque desenvolupen els alumnes durant la resolució d’un problema, i les habilitats necessàries per aconseguir cadascuna d’aquestes competències. D’acord amb tot això anterior, l’estudi ens ha permès identificar dos possibles instruments d’avaluació reguladora de l’ensenyament i l’aprenentatge de la dimensió en la resolució de problemes: la base d’orientació, entesa com l’instrument que resumeix de manera gràfica i ordenada les accions necessàries basades en el comportament de resolució de problemes dels resolutors més competents i que, d’acord amb l’edat i les necessitats dels alumnes per als quals s’elabora, pretén proporcionar-los, de manera emergent, autonomia a l’hora de resoldre problemes matemàtics; i la rúbrica de desenvolupament, entesa com la matriu que explicita els criteris de realització que s’han de tenir en compte per a l’avaluació de la dimensió en la resolució de problemes i els criteris de resultats corresponents als diferents nivells d’assoliment. Val a dir que, per a una avaluació coherent, les accions que descriu la base d’orientació i els criteris de realització que presenta la rúbrica han d’estar vinculats. Pel que fa a la base d’orientació, s’ha observat que hauria d’estar basada en els tres moments fonamentals en què tot resolutor es troba a l’hora de resoldre un problema: ‚

El concret, quan es tracta d’entendre què exposa la situació.

‚

El representatiu, quan cal dissenyar i aplicar com s’ha d’abordar el problema.

‚

L’abstracte, quan convé reflexionar sobre el fet per donar resposta i veure’n les aplicacions futures.

A més, cada etapa es pot desglossar, com a mínim, en dues accions (o subobjectius) de resolució fonamentals. D’aquestes conclusions sorgeix la taula 1: Taula 1. Nivells i subnivells d’implicació fonamentals del procés de resolució d’un problema.

Etapes de resolució Ó Nivells d’implicació Comprendre el problema

Tenir un pla

Validar el que s’ha realitzat

Subobjectius de resolució Ó Subnivells d’implicació ‚

Familiaritzar-se amb la situació i les condicions exposades en l’enunciat.

‚

Extreure la informació útil de l’enunciat i recompondre la necessària per entendre la situació matemàtica.

‚

Utilitzar la redefinició de l’enunciat per buscar maneres d’abordar la situació problemàtica.

‚

Convèncer-se que alguna de les maneres permet arribar a alguna conclusió sobre la situació exposada.

‚

Interpretar els resultats i amb ells donar una resposta coherent i consistent.

‚

Revisar i sintetitzar les solucions trobades.

juny 2019 51

Per altra banda, es conclou que una rúbrica per avaluar la resolució de problemes entesa com a dimensió, hauria de permetre la recollida de dades en relació amb els punts següents que estableix la taula 2: Taula 2. Proposta base pera la creació d’una rúbrica per a l’avaluació de la dimensió en resolució de problemes.

Què s’interpreta, i com, de la situació? ‚

Quines dades selecciona i utilitza.

‚

Com utilitza les dades.

‚

Com codifica les dades.

‚

Com relaciona les dades.

Estableix, i com, una via de resolució? ‚

Com examina possibles vies de resolució? ´ Fa proves sense estructura. ´ Fa deduccions. ´ Busca analogies.

‚

Com convenç d’una via de resolució? ´ Quin llenguatge utilitza: llenguatge verbal o llenguatge matemàtic. ´ Tipus de verbalització: argumentació, explicació o reproducció.

Valida, i com, la solució? ‚

Comprova les estratègies i les solucions d’acord amb les condicions de l’enunciat.

‚

Sintetitza les conclusions o les accions desenvolupades d’acord amb la qüestió formulada.

‚

Examina altres solucions o intenta millorar les respostes.

És flexible durant el procés? ‚

Coherència entre els llenguatges i les formes de representació utilitzats.

‚

Reconeix i recondueix moments d’entrebanc.

S’implica en el procés de resolució? ‚

Coherència i cohesió entre les accions de resolució desenvolupades.

‚

Inferències entre etapes de resolució.

‚

Evidència de descobertes o punts clau.

Som conscients que el conjunt d’implicacions didàctiques exposades aquí sobre la resolució de problemes, la seva gestió i la importància de la seva avaluació, exigeix una atenció i una dedicació importants per part del professorat. Amb l’article, doncs, simplement esperem haver estat capaços, amb la nostra investigació, d’aportar alguns elements útils, tant en termes de producte, com especialment de reflexió, sobre el procés d’ensenyament-aprenentatge de la resolució de problemes de matemàtiques i la seva possible avaluació.

52 noubiaix 44

5. Bibliografia

5.1. Referències principals Villalonga Pons, J. (2018). La competència matemàtica. Caracterització d’activitats d’aprenentatge i d’avaluació en la resolució de problemes en l’educació obligatòria. Tesi doctoral. Universitat Autònoma de Barcelona, Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències Experimentals. Villalonga Pons, J. i Deulofeu, J. (2017). «La base de orientación en la resolución de problemas. Reflexiones sobre las evidencias de su uso en el paso de la primaria a la secundaria». A: Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (eds.). VIII CIBEM. Madrid. En línia: http://www.cibem.org/images/site/LibroActasCIBEM/ComunicacionesLibroActas_CB301400.pdf (consulta: gener 2019). Villalonga Pons, J. i Deulofeu, J. (2017). «Representar problemas usando una base de orientación». UNO. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 75, 59-65. Villalonga Pons, J. i Deulofeu, J. (2016). «(Re)bastir la base d’orientació en la resolució de problemes. Una anàlisi dels entrebancs». A: FEEMCAT (ed.). Actes C2 EM. Barcelona.

5.2. Referències de la tesi Callejo, M. L. (1996). «Evaluación de procesos y progresos del alumnado en la resolución de problemas». UNO Revista de Didáctica de las Matemáticas, 8, 53-63. Corte, E. de, Verschaffel, L. (2003). «El desarrollo de habilidades de autoregulación en la solución de problemas matemáticos». Pensamiento Educativo, 32, 286-305. Departament d’Ensenyament. Generalitat de Catalunya (2016). Un currículum competencial per a l’educació primària. Un pas més cap a l’assoliment de les competències bàsiques. En línia: http://ateneu.xtec.cat/wikiform/wikiexport/_media/cursos/ curriculum/inf_pri/cape/info _prima_ria_29_6.pdf (consulta: gener 2019). Direcció General d’Educació Infantil i Primària. Departament d’Ensenyament. Generalitat de Catalunya (2013). Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic. Identificació i desplegament a l’educació primària(en línia). Barcelona: Servei de Comunicació i Publicacions. http:// ensenyament.gencat.cat/web/.content/home/departament/publicacions/colleccions/competencies-basiques/primaria/prim-matematic.pdf (consulta: gener 2019). Direcció General d’Educació Secundària Obligatòria i Batxillerat. Departament d’Ensenyament. Generalitat de Catalunya (2013). Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic. Identificació i desplegament a l’educació secundària obligatòria(en línia). Barcelona: Servei de Comunicació i Publicacions. http://ensenyament.gencat.cat/web/.content/home/departament/publicacions/colleccions/competencies-basiques/eso/eso-matematic.pdf (consulta: gener 2019). Lester, F. K., Kroll, D. L. (1991). «Evaluation: A new vision». The Mathematics Teacher, 84(4), 276-284.

juny 2019 53

Mason, J., Burton, L., Stacey, K. (1982). Thinking mathematically. Wokingham: Addison-Wesley. Sanmartí, N. (2010). Avaluar per aprendre. L’avaluació per millorar els aprenentatges de l’alumnat en el marc del currículum per competències. En línia: http://xtec.gencat.cat/web/.content/alfresco/d/d/workspace/SpacesStore/0024/fc53024f-626e-423b-877a-932148c56075/avaluar_per _aprendre.pdf (consulta: gener 2019). Schoenfeld, A. H. (2013). «Reflections on problem solving theory and practice».The Mathematics Enthusiast, 10(1&2), 9-34. Vila, A., Callejo, M. L. (2004). Matemáticas para aprender a pensar. El papel de las creencias en la resolución de problemas. Madrid: Narcea.

54 noubiaix 44

Experiència amb un recorregut d’estudi i investigació sobre la inferència estadística a l’educació primària. Què s’amaga dins l’ampolla? Carles Granell Col¨legi Sant Lluís, Nou Barris, Barcelona

Berta Barquero Universitat de Barcelona

Resum Aquest treball parteix de la problemàtica docent de com s’ha d’ensenyar el bloc d’atzar i estadística a l’escola primària, i situa el seu ensenyament en un paradigma escolar que integra experimentació i indagació i en què les eines i els coneixements estadístics apareixen davant la necessitat de donar resposta a certes qüestions amb sentit per al nivell escolar en el qual ens situem. En aquest treball presentem la proposta d’un recorregut d’estudi i investigació (REI) sobre l’atzar i la inferència estadística per a primària. Mostrarem els orígens d’aquesta activitat en els marcs de recerca dels treballs de la teoria de situacions didàctiques (Brousseau, 1997), posteriorment adaptada per la teoria antropològica del didàctic amb la proposta dels REI (Chevallard, 2006 i 2015). Descriurem primerament el disseny elaborat pel mestre responsable de l’experimentació, conjuntament amb l’equip d’investigadores, i ens centrarem posteriorment a descriure l’experiència desenvolupada amb estudiants de quart curs d’educació primària del Col¨legi Sant Lluís, de Nou Barris (Barcelona).

Abstract This work is based on the problem of how to teach randomness and statistics in primary school, and considers an educational paradigm that integrates experimentation and inquiry and in which statistics tools and knowledge are introduced as required to answer specific questions appropriate to the corresponding school level. The paper presents a proposal for a systematic review on random and statistical inference in primary education. The origins of this activity are shown within the frameworks of research on didactic theory (Brousseau, 1997), later adapted by the anthropological theory of didactics in other systematic review proposals (Chevallard, 2006 and 2015). Here, firstly, is a presentation of the design developed by the teacher responsible for the experiment in conjunction with the research team, and then a description of the experience as it played out with fourth-year primary students of the Sant Lluís School, Nou Barris (Barcelona).

juny 2019 55

1. Introducció En les últimes dècades, la comunitat docent i la investigadora han coincidit en la necessitat que l’ensenyament no sols se centri en la transmissió formal de coneixement, sinó que permeti que els estudiants explorin i aportin solucions pròpies a qüestions problemàtiques de diferents àmbits. Tanmateix, la superació d’aquest paradigma pedagògic tan arrelat no sembla una tasca senzilla, com mostren els molts anys i esforços dedicats a la innovació docent en el nostre país i arreu del món. Dins l’àmbit de la teoria antropològica del didàctic (TAD), ho formulem com un canvi en el paradigma pedagògic i escolar que ens ha de permetre passar d’un «monumentalisme» centrat a presentar als alumnes un conjunt de continguts aïllats i poc funcionals, a un paradigma basat en el «qüestionament del món» (Chevallard 2015). En relació amb l’ensenyament de les matemàtiques i les ciències experimentals, s’han detectat nombroses dificultats a implementar de manera sostenible aquestes noves formes d’ensenyament (Artigue i Blomhøj 2013; Bosch i Winsløw 2016). De fet, qualsevol proposta ha de sobreviure a un conjunt molt rígid de restriccions, encara poc conegudes, que van més enllà de l’àmbit propi d’actuació del professorat i de l’escola i que costen molt d’evidenciar. Per tal d’inscriure l’ensenyament de les matemàtiques (com d’altres disciplines) dins el paradigma del qüestionament del món, en el marc de la TAD apareix la proposta dels anomenats recorreguts d’estudi i investigació (REI) com a proposta didàctica per anar superant moltes de les restriccions que el monumentalisme imposa i anar avançant cap al paradigma del qüestionament del món (Chevallard 2006). Diverses investigacions prèvies mostren l’èxit de d’algunes experiències amb REI dissenyats i experimentats en diferents nivells educatius (infantil, primària, secundària i universitat) i que adopten diferents formats d’experimentació. Cal destacar, entre d’altres, els treballs de Ruiz-Higueras (2008) i Ruiz-Higueras i García (2011), amb propostes didàctiques per a l’ensenyament de la modelització en l’àmbit de la numeració a infantil i primària. Per a secundària trobem els treballs de García (2015), amb la proposta d’un REI sobre els plans d’estalvi que ve a reformular les relacions de proporcionalitat dins d’una de les possibles relacions funcionals que serveixen per modelar els plans d’estalvi, i de Rodríguez, Bosch i Gascón (2007), amb un estudi de diferents tarifes telefòniques creant diversos models d’ajust per poder fer previsions. En l’àmbit universitari, en el qual s’han desenvolupat més propostes de REI, trobem, per exemple, Barquero, Bosch i Gascón (2011), amb la proposta d’un REI sobre la dinàmica de poblacions que va permetre cobrir un curs anual de matemàtiques per als estudis universitaris de matemàtiques en l’àrea de Ciències Experimentals (p. ex. Biologia, Geologia o Ciències Ambientals). En termes generals, les propostes dels REI (Chevallard 2006 i 2015, i Winsløw, Matheron i Mercier 2013) es caracteritzen per: 1. El punt de partida d’un REI és una qüestió inicial Q0 , que anomenarem qüestió generatriu i a partir de la qual es genera tot el procés d’estudi. L’estudi d’aquesta qüestió generatriu ha de poder generar moltes qüestions derivades que guiaran l’evolució de l’estudi. 2. L’objectiu primordial d’un REI és que la comunitat encarregada de l’estudi de Q0 elabori respostes a les qüestions que se’n vagin derivant i una resposta final.

56 noubiaix 44

3. Com a conseqüència d’aquesta dialèctica entre les qüestions i les respostes, els REI presenten una estructura arborescent i dinàmica de qüestions i respostes que delimiten les possibles trajectòries d’estudi que cal seguir. 4. El desenvolupament d’un REI provoca que diferents tipus de coneixements (en particular, matemàtics) es desenvolupin i connectin per poder donar resposta a les qüestions que s’aborden, promovent un ús funcional d’aquests coneixements disciplinaris. 5. Atesa la importància de la construcció col¨lectiva de les respostes, cal introduir canvis diversos en els rols i les responsabilitats d’estudiants i mestres. L’objectiu del nostre treball és descriure el disseny i l’experimentació amb un REI sobre l’atzar i la inferència estadística per a l’escola primària. En particular, ens centrarem en l’experiència desenvolupada amb estudiants de quart curs d’educació primària del Col¨legi Sant Lluís, de Nou Barris, Barcelona. El disseny d’aquesta proposta el va fer el mestre que va dur a terme la seva experimentació posterior, primer autor d’aquest treball, i dues investigadores de didàctica de la matemàtica, entre elles la segona autora d’aquest treball. En la secció següent introduirem les característiques principals del disseny del REI, que anomenarem «Què s’amaga dins l’ampolla?». Ens centrarem, a continuació, a explicar com es va desenvolupar l’activitat a l’aula amb els estudiants de quart de primària. Per acabar, mostrarem les principals conclusions a què hem arribat a partir de l’anàlisi d’aquesta experimentació, que ens portarà a plantejar certes qüestions que caldrà discutir en un futur sobre la transferibilitat i viabilitat d’aquests dissenys com a dispositiu per posar en contacte els resultats de la recerca i la pràctica docent innovadora a les aules.

2. Proposta d’un recorregut d’estudi i investigació sobre atzar i estadística La proposta que aquí presentem es pot emmarcar en el bloc d’atzar i estadística, un dels blocs principals de continguts del currículum de primària. Dins d’aquest, l’ensenyament s’acaba centrant, moltes vegades, a introduir els estudiants en què vol dir l’atzar i a practicar les tècniques de representació de dades (gràfics de barres i de sectors, pictogrames, histogrames, entre d’altres) i amb el càlcul dels estadístics numèrics més comuns (mitjana, mediana, moda, etc.). I tot plegat, treballant, la majoria de vegades, amb conjunts de dades reduïdes per no dificultar les tècniques de comptatge, càlcul i representació. Però quin és l’ús i quina és la funció que podem donar a aquestes eines i aquests coneixements de l’atzar i l’estadística? En quines situacions i davant de quines qüestions pot aparèixer la necessitat d’ensenyar i aprendre aquests coneixements? Tot i la innegable rellevància d’aquest bloc, cal també destacar les dificultats que existeixen escolarment (i socialment) per construir un medi experimental per referir-se a l’atzar i a la variabilitat estadística. En el nostre dia a dia, les observacions de fenòmens aleatoris són sempre molt limitades. D’aquí parteix l’objectiu principal de la nostra proposta didàctica, que és oferir la possibilitat de familiaritzar-se amb l’atzar i les lleis de l’atzar a partir de les simulacions experimentals per estudiar-ne la variabilitat estadística. Aquest fet ens portarà a aprofundir en l’ús, la funció i la rellevància de moltes de les eines estadístiques (càlcul de freqüències, representacions gràfiques, càlculs estadístics, estimacions de les probabilitats, etc.) com a eines per estudiar la variabilitat estadística i per avançar en la presa de decisions.

juny 2019 57

L’activitat original en la qual es fonamenta i de la qual parteix el disseny del REI «Què s’amaga dins l’ampolla?», prové dels treballs d’enginyeria didàctica realitzats entre els anys setanta i vuitanta del segle XX per l’investigador francès Guy Brousseau i el seu equip de Bordeus en el marc de la teoria de situacions didàctiques (Brousseau, 1997). En el treball de Brousseau, Brousseau i Warfield (2002) es descriu extensament l’activitat original que es va dissenyar i es va experimentar en diverses ocasions en un total de sis etapes en les quals es desenvolupaven vint-i-sis sessions d’aula per a alumnes de cinquè de primària. La nostra recerca presenta una adaptació del punt de partida d’aquesta activitat al context concret del Col¨legi Sant Lluís, de Nou Barris, Barcelona. L’experimentació es va dur terme amb un grup de vint-i-cinc nens i nenes de quart de primària i va tenir una durada de tres sessions d’aproximadament dues hores. El REI que descrivim a continuació representa una introducció a la que podria ser una seqüència molt més llarga que, com mostren Brousseau et al. (2002), permetria introduir i posar en ús eines estadístiques i probabilístiques molt més avançades.

2.1. La qüestió generadora del REI i delimitació de les diferents situacions El REI «Què s’amaga dins l’ampolla?» parteix d’una situació en què es presenten unes ampolles opaques dins les quals s’amaguen peces de diferents colors. Aquestes ampolles tenen un orifici a través del qual es pot veure el color de les peces quan aquestes se situen al coll de l’ampolla. La informació que sempre es dona als estudiants és el nombre de peces que s’amaguen a l’interior de l’ampolla i, opcionalment, pistes sobre el nombre màxim de colors diferents o les possibilitats de colors que hi ha. És totalment necessari aclarir de bon principi que aquestes ampolles no es poden obrir mai, és a dir, que sota cap circumstància no es pot tenir accés al contingut interior de l’ampolla. La qüestió generadora, punt de partida del REI, es formula en els termes següents: Q0 : Quantes peces de cada color creieu que s’amaguen dins l’ampolla? Quines hipòtesis podem donar sobre el contingut ocult de l’ampolla? Quin grau de «seguretat» tenen aquestes hipòtesis?

Després de preguntar als estudiants què farien per donar resposta a aquestes qüestions, cal aclarir que l’experiment consisteix a sacsejar bé l’ampolla i girar-la al revés fins que una de les peces se situï al coll de l’ampolla, moment en el qual es pot mirar i registrar el color d’una de les peces. Es repetirà successivament l’acciótantes vegades com es consideri necessari. A partir d’aquesta contextualització inicial, el REI s’estructura en tres situacions complementàries però de complexitat creixent, segons el valor que es doni a les diferents variables didàctiques (nombre de peces, tipologia de les peces, colors, grandària de la mostra recollida, etc.) i les qüestions que es plantegin. L’objectiu del conjunt de situacions és anar construint progressivament i col¨lectivament una experiència empírica sobre l’atzar i els fenòmens aleatoris, a través de la qual els estudiants comprenguin que allò important no és encertar la distribució exacta de peces que hi ha amagades, sinó tenir mitjans suficients per estar convençuts i poder justificar que les hipòtesis formulades són coherents amb l’experimentació realitzada. Presentem a continuació un breu resum d’aquestes situacions, que es desenvoluparan amb detall en la secció següent.

58 noubiaix 44

En la primera situació es dona la mateixa ampolla a tots els grups d’estudiants i s’hi amaga el mateix nombre de boles (cinc en l’experimentació que aquí ens ocupa) dels mateixos colors (dos en el cas de l’experimentació: groc i verd). Se’ls demana que formulin hipòtesis sobre quantes pilotes de cada color es poden trobar amagades dins d’una ampolla i expliquin quines eines els han ajudat a formular aquestes hipòtesis. Se’ls dona llibertat per decidir sobre la mida de la mostra que consideren necessària recollir i per elegir les eines de recollida i tabulació de les dades. En la segona situació es demana que cada grup dissenyi una composició diferent de peces dins de l’ampolla (grup dissenyador), dins la qual ha d’amagar diferents distribucions de pilotes de diferents colors, i que intercanviï aquest nou cas amb un altre grup (grup receptor). A més a més, es demana que el grup dissenyador formuli una sèrie de qüestions que el grup receptor haurà de respondre. En aquesta situació, els grups s’organitzen de dos en dos (dissenyador-receptor), així cadascun haurà de dissenyar un cas d’ampolla i un llistat de qüestions, i haurà de rebre i donar resposta a la proposta realitzada per un altre grup. Amb la tercera situació es presenta, de fet, la situació central d’aquesta activitat, per a la qual, però, és necessari construir tot el medi experimental que permeten les situacions 1 i 2. En aquesta situació es presenta l’encàrrec per al projecte Cosmos de l’escola, un projecte de vida social que es desenvolupa a l’escola des de l’inici del curs i que té per objectiu el desenvolupament de l’autonomia, la iniciativa, la responsabilitat i la participació de l’alumnat. El resultat de la consecució d’accions relacionades amb aquests aspectes es tradueix en l’acumulació de punts en forma de Hama Beads per a les diferents constel¨lacions, tal com mostren les imatges de la figura 1. Cada setmana, tant a les sessions de tutoria com als Consells de Cosmos, les nenes i els nens de l’escola valoren aquests aspectes i es fa el recompte de punts acumulats en aquest període segons uns criteris acordats pel claustre i l’alumnat.

Figura 1. El projecte Cosmos del Col¨legi Sant Lluís, curs 2017-2018.

Les qüestions plantejades en aquesta tercera situació se centren a investigar quina marca distribuïdora de Hama Beads, d’entre tres possibles, és millor per fer-li un encàrrec especial

juny 2019 59

per al projecte Cosmos de l’escola. El director de l’escola ens demana que l’ajudem a decidir a quina de les tres marques és més convenient fer-li l’encàrrec de moltes peces de tres colors diferents de Hama Beads. Cada empresa productora de Hama Beads ens envia una ampolla amb un nombre reduït de peces a partir de la qual podrem simular el seu procés de fabricació de les peces.

3. Anàlisi de l’experimentació del REI Desenvolupem aquí els detalls de l’experimentació realitzada durant el curs 2017-2018 durant tres sessions, una corresponent a cadascuna de les situacions acabades de descriure. Per a cadascuna d’aquestes situacions, donarem detalls sobre la durada (sessions i temps), el material i els recursos utilitzats, els rols i les responsabilitats dels grups de treball, i farem una descripció i una primera anàlisi del que va ocórrer durant l’experimentació. Cal comentar alguns aspectes comuns a totes les situacions, que poden ser entesos com a objectius comuns de la proposta. El primer objectiu, de tipus més disciplinari, és aconseguir que els estudiants es familiaritzin amb les lleis de l’atzar a través de l’experimentació d’un fenomen aleatori i que puguin començar a matematitzar-les emprant diverses eines i estratègies per a la recollida de dades i la seva anàlisi. El segon objectiu, sobre la gestió de l’aula, és fomentar el treball grupal col¨laboratiu, per a la qual cosa es demana als estudiants que assumeixin diferents rols i responsabilitats en la formulació de preguntes, l’elaboració de respostes i, en particular, la formulació d’hipòtesis sobre el contingut que s’amaga dins les ampolles. El tercer objectiu, centrant-nos en el treball individual-col¨lectiu, busca desenvolupar competències verbals, comunicatives i analítiques per a formular, discutir, redactar i exposar les diferents respostes. Es presta una atenció especial a com s’ha de facilitar el debat, la comparació i la reformulació d’hipòtesis a partir del treball en petit grup i en gran grup.

3.1. Primera situació: què s’amaga dins la primera ampolla? Durada: 1 sessió d’1 h 30 min Material i recursos: una ampolla per grup amb cinc boles de dos colors diferents, groc i verd; un informe individual, «Abans pensava |Ara penso», en el qual els estudiants anoten les seves hipòtesis inicials i finals sobre la distribució de pilotes de cada color; un mural conjunt, en el qual cada grup indica quina és la seva hipòtesi i les freqüències absolutes d’aparició de cada color, groc i verd. Rols i responsabilitats dels grups de treball: es forma un total de sis grups de treball heterogenis: cinc grups de quatre i un grup de cinc. En cada grup, els estudiants s’assignen un dels rols possibles: (aq el responsable-ampolla, qui mescla el contingut de l’ampolla i mostra el color de pilota que ha sortit en cada tirada; (bq l’enregistrador, qui fa el registre de totes les tirades; (cq l’informador, qui sintetitza en un informe grupal les seves respostes i conclusions després de l’experimentació, i (dq el portaveu, qui exposa els resultats en el grup classe. Desenvolupament de la situació: el mestre fa una introducció de la primera situació i presenta la primera ampolla amb la qual es treballa. A continuació es realitzen conjuntament deu registres i el mestre demana als estudiants que individualment anotin i justifiquin quina és

60 noubiaix 44

la seva primera hipòtesi sobre la distribució de pilotes de cada color que s’amaga a l’interior de l’ampolla, basant-se en les primeres dades recollides. A continuació es dona a cada grup de treball una ampolla amb la mateixa composició que la inicial i comencen la recollida de dades. S’observa com els grups opten per diferents tècniques de recollida de dades (vegeu la figura 2), des de les més organitzades fins a les que ho són menys, fet que comporta alguns errors en el recompte de les dades que després discutiran. També, els grups opten per recollir diferents mides mostrals, des del voltant de quaranta dades fins a cent cinquanta. En la posada en comú totes aquestes qüestions apareixen formulades pels mateixos estudiants: Q1.1 : Quantes extraccions són necessàries per respondre a les qüestions plantejades? Hi ha formes més segures o eficients de recollir les dades? És millor analitzar totes les dades recollides o cada sèrie d’extraccions? Variarien les nostres conclusions?

Es destina la part final del treball en grup a preparar un resum de les respostes i a ajudar l’informador i portaveu a preparar la posada en comú de tota la classe.

Figura 2. Exemples de tècniques de recollida de dades emprades pels grups.

Finalitzat el treball en grup, el mestre guia la posada en comú i demana que cada parella portaveu-informador exposi les seves respostes. A mesura que cada grup ho explica, se’ls demana que anotin en el mural comú les seves hipòtesis sobre quantes pilotes de cada color hi ha dins l’ampolla (vegeu la figura 3), així com la freqüència d’aparició de cada color.

Figura 3. Mural amb les hipòtesis fetes per tots els grups.

juny 2019 61

En la discussió es veu clarament que l’eina principal que els estudiants utilitzen per justificar la seva hipòtesi és la diferència entre freqüències absolutes de cada color (verd i groc). L’anàlisi de la proporció entre aquestes freqüències no apareix en cap cas. En alguns grups apareixen justificacions d’altra naturalesa, com ara, segons explica el grup C: «Tot i que han sortit més pilotes grogues, creiem que n’hi ha tres de verdes i dues de grogues, perquè les verdes pesen més i es queden al fons». Després que hagin participat tots els grups, sorgeixen qüestions molt importants sobre com es pot distingir l’opinió personal de les hipòtesis «coherent» o de les hipòtesis «certes», que el mestre aprofita per formular explícitament: Q1.2 : Què vol dir formular una hipòtesi «coherent»? Podem estar més «segurs» de les nostres hipòtesis si realitzem més extraccions? Com podem justificar la «validesa» de les hipòtesis que formulem? Què podem fer per a millorar les hipòtesis que formulem?

Per iniciar el tancament, el mestre confirma que totes les ampolles amb les quals han estat treballant tenen el mateix contingut i els planteja si, coneixent les dades recollides pels diferents grups sobre els colors de les pilotes, modificarien o no les seves hipòtesis sobre la composició d’aquesta primera ampolla. Per tancar la sessió, el mestre demana que individualment els estudiants reprenguin l’informe «Abans pensava |Ara penso» per completar la hipòtesi final que donarien sobre el contingut de la primera ampolla. En molts casos, els estudiants reformulen les seves hipòtesis i mostren ja eines més concretes per a l’anàlisi del treball experimental. Per exemple, la figura 4 (vegeu-ne la transcripció a continuació) mostra aquesta reformulació i la justificació que l’acompanya: Abans pensava: «Jo penso que n’hi ha quatre de grogues i una de verda perquè sempre surten pilotes grogues i cap de verda». Ara penso: «Ara penso que n’hi ha quatre de grogues i una de verda perquè en el meu grup n’han sortit quaranta-vuit de grogues i vint de verdes i és molta diferència».

Figura 4. Formulació individual d’hipòtesis («Abans pensava |Ara penso»).

Un cop finalitzada aquest primera situació, el mestre es reuneix amb l’equip d’investigadores per analitzar què cal retocar del disseny de la segona situació. Estem d’acord que, en les

62 noubiaix 44

properes sessions, cal donar molta importància a com avancem en la formulació d’hipòtesis i moure’ns de les opinions personals cap a la formulació d’hipòtesis coherents basades en l’anàlisi de les dades experimentals recollides. Per això es decideix introduir la que anomenarem línia de confiança, perquè els estudiants puguin situar el grau de certesa o seguretat amb el qual formulen les seves hipòtesis. Quedarà també pendent retornar a qüestions, una mica més avançades, que han sorgit en finalitzar aquesta primera situació, com ara: Q1.3 : Són possibles les dades enregistrades per tots els grups (veure grups C o E)? Era força probable haver registrat un nombre molt similar de boles grogues i verdes (veure grup E)?

Aquestes qüestions, però, no es van reprendre en la present experimentació, ja que requereixen eines molt més avançades, però no es descarta plantejar-les en cursos posteriors o, fins i tot, reobrir-les amb aquesta mateixa classe en els propers anys.

3.2. Segona situació: dissenyem les nostres pròpies ampolles Durada: 1 sessió d’1 h 30 min Material i recursos: ampolles buides, per al disseny d’un nou cas d’ampolla amb cinc pilotes de dos colors diferents; pilotes de diferents colors: groc, verd, blau i magenta; una targeta d’interacció perquè cada grup pugui transcriure les qüestions que formula a l’equip receptor. Rols i responsabilitats dels grups de treball: de la mateixa manera que en la situació 1, els estudiants s’assignen un dels rols possibles, i se’ls demana que ara n’escullin un dels que no hagin assumit amb anterioritat: (aq el responsable-ampolla, (bq l’enregistrador, (cq l’informador i (dq el portaveu. Desenvolupament de la situació: el mestre comença recordant algunes de les qüestions plantejades al final de la primera situació, principalment sobre la necessitat de distingir entre les opinions (crec que..., opino que...), les hipòtesis coherents (si observem/analitzem les dades recollides, ens indiquen que...) i la certesa o seguretat (segur que...). El mestre comença preguntant als estudiants si en la primera situació podien estar segurs d’alguna cosa; els estudiants responen que podien estar segurs de poques coses, però d’alguna sí; per exemple, que «hi havia pilotes», que «hi havia pilotes grogues i verdes». El mestre els proposa que en aquesta nova situació utilitzin la línia de confiança (vegeu la figura 5) i els demana que, a partir d’ara, quan formulin una hipòtesi han de situar-se en aquesta línia i indicar el grau de seguretat que tenen (des de considerar que la hipòtesi que donen és impossible fins a considerar-la totalment segura). Aquesta eina pretén ajudar els estudiants a distanciar-se de les opinions personals i a avançar en la necessitat de crear eines per defensar i justificar les hipòtesis que formulen i la seva coherència. Abans de començar el treball en petit grup, el mestre mostra un recull de les diferents estratègies o tècniques principals de recollida de dades i de construcció de taules de freqüències que els diferents grups de treball han utilitzat en l’estudi de la primera situació (veure les figures 2 i 3). L’objectiu és valorar l’eficàcia de les diferents tècniques i trobar un acord en les eines i les estratègies compartides abans d’iniciar la segona situació. El mestre passa aleshores a explicar que la segona situació consisteix que cada grup de treball dissenyi la seva pròpia composició de pilotes de colors per amagar dins de l’ampolla. Dona

juny 2019 63

llibertat a cada grup per fer les combinacions que vulgui però amb les restriccions següents: han d’utilitzar exactament cinc pilotes i com a màxim dos colors diferents de pilotes, a escollir entre groc, verd, blau i magenta. Els indica que, per grups, han de: 1) decidir quina distribució de pilotes de colors volen amagar dins de l’ampolla i 2) preparar una targeta amb les qüestions per tractar que rebrà el grup receptor del seu disseny d’ampolla (targeta d’interacció). Els grups s’organitzen per parelles i en un primer moment cadascuna realitza el disseny del contingut de l’ampolla i de la targeta d’interacció. A continuació es mostra un exemple de les targetes d’interacció bescanviades entre dos grups, l’A i el B, que transcrivim tot seguit per facilitar-ne la lectura (vegeu la figura 5). La consigna que dona el mestre és que cada grup receptor ha de treballar amb el nou cas d’ampolla que ha rebut i ha de donar resposta a les qüestions que el grup emissor hagi formulat. Dissenyador: grup A Ñ Receptor: grup B Quantes pilotes creieu que hi ha de cada color? 2 de blaves i 1 de groga. Quins colors creieu que hi ha? Blau i groc. De quina mida creieu que són? D’1 cm. Creieu que serà impossible respondre a les preguntes? No.

Dissenyador: grup B Ñ Receptor: grup A Quins colors hi ha a l’ampolla? Verd i blau. Quantes boletes hi ha de cada color? 3 de verdes i 2 de blaves. Quantes vegades ho podem comprovar? 47 vegades.

Figura 5. Qüestions intercanviades entre dos equips emissor i receptor.

Quan acaben de donar resposta a les qüestions, s’organitza una posada en comú en què sortiran alhora cada parella de grups, emissor-receptor, per tal que cada grup expliqui les respostes que ha donat a les qüestions que se’ls hagin plantejat. Se’ls explica prèviament que, sota cap concepte, l’equip dissenyador no pot validar mai si les hipòtesis que es formulen sobre la composició de l’ampolla són o no certes; el que sí que han de valorar és si aquestes respostes són prou coherents d’acord amb les dades que hagin recollit i l’anàlisi de l’experimentació que hagin realitzat. A partir d’aquesta posada en comú i la discussió que es pugui generar, es dona als grups la possibilitat que acabin de completar les seves respostes. Com a aspecte comú de les exposicions de tots els grups podem destacar que, en aquesta segona situació, els estudiants estableixen una distinció més clara entre hipòtesi coherent, certesa i opinió personal, d’acord amb les dades experimentals recollides i analitzades. Considerem que el fet d’incorporar la línia de confiança facilita que els estudiants busquin eines i estratègies per defensar la coherència de la seva hipòtesi. També estableixen una relació més

64 noubiaix 44

clara entre l’anàlisi de les freqüències absolutes observades i la inferència sobre la composició de l’ampolla. No obstant això, no sorgeixen noves eines d’anàlisi de les freqüències que podrien ser més fiables, com ara la raó o proporció entre el nombre de pilotes de cada color, o raó geomètrica. Totes les justificacions de l’alumnat se centren en l’anàlisi comparativa de la diferència entre freqüències absolutes, que, tot i les seves limitacions a l’hora de prendre decisions, revela que es tracta d’una eina molt natural per als infants, la qual és ràpidament eliminada per la matemàtica escolar per deixar pas a la raó geomètrica.

3.3. Tercera situació: quina marca de Hama Beads és millor per a l’escola? Durada: 1 sessió de 2 h Material i recursos: un total de sis ampolles, dues per a cadascuna de les tres marques estudiades, A, B i C. Cada ampolla conté un total de deu Hama Beads amb composicions diferents de colors: lila, taronja, rosa i marró; un informe grupal en el qual cada grup de treball formula la seva primera hipòtesi després de recollir cinquanta dades i la seva hipòtesi final després de recollir-ne cent; una carta de recomanació per al director de l’escola amb la resposta col¨lectiva sobre quina de les marques (A, B o C) de Hama Beads és millor per a l’escola. Rols i responsabilitats dels grups de treball: s’organitzen parelles de grups per estudiar una mateixa marca de Hama Beads (A, B o C). El primer grup s’encarrega d’estudiar si els colors que ens interessen (lila, taronja i rosa) apareixen en quantitats similars; el segon grup fa el control de les peces defectuoses, les marrons. Dins d’un grup s’assignen els mateixos rols que s’han descrit en les situacions anteriors. Quan cada parella de grups s’ajunta per comparar i ajuntar resultats, s’incorpora el rol de moderador, per organitzar la discussió i consensuar la hipòtesi final sobre la composició de Hama Beads de la marca estudiada. Desenvolupament de la situació: el mestre presenta la tercera situació, que tracta d’un encàrrec que rebem del director de l’escola, el qual necessita ajuda per decidir a quina marca de Hama Beads és millor fer una comanda per a l’escola. Es tracta d’una comanda per al projecte de l’escola Cosmos, per al qual necessitem encarregar tres colors de Hama Beads: lila, taronja i rosa. El director ha demanat, a tres marques que produeixen Hama Beads, un pressupost per encarregar paquets especials de Hama Beads amb aquests tres colors mesclats. Els tres pressupostos són molt similars, però el director els ha demanat que enviïn una mostra de la seva producció, ja que les tres empreses han avisat que no poden assegurar que, en lots grans, els tres colors apareguin en quantitats similars i també que en alguna ocasió la maquinària produeix peces defectuoses de color marró. Cadascuna de les marques productora de Hama Beads (A, B i C) és representada per una ampolla que simula el procés de fabricació de les peces. A l’escola arriben dues ampolles idèntiques per a cada empresa, amb una mostra de deu peces agafades a l’atzar. El director demana als estudiants que l’ajudin a decidir a quina de les tres marques és més convenient fer l’encàrrec. Així, al final de la sessió els estudiants han d’acordar quina recomanació han de fer al director de l’escola i han de redactar una carta breu on exposaran les conclusions del grup classe perquè ell pugui fer l’encàrrec avui mateix.

juny 2019 65

El mestre té sis ampolles sobre la taula, dues de cadascuna de les tres marques (A, B i C) que volem analitzar. El mestre els explica que el millor és repartir bé la feina entre els grups de treball per poder valorar el que ofereixen les diferents marques. El mestre organitza parelles de grups per estudiar una mateixa marca. El primer grup s’encarrega d’estudiar si els colors que ens interessen (lila, taronja i rosa) apareixen en quantitats similars; el segon grup farà el control de les peces defectuoses, les peces marrons. Qa : Quina quantitat de Hama Beads de color taronja, lila i rosa creieu que pot haver-hi dins l’ampolla? Qb : Quina quantitat de Hama Beads de color marró creieu que pot haver-hi dins l’ampolla?

El mestre entrega a cada parella de grups les dues ampolles que corresponen a una marca (A, B o C) i els assigna la qüestió concreta que han de tractar: Qa o Qb . Se’ls entrega l’informe grupal, on se’ls demana que recullin cinquanta dades, facin una primera hipòtesi com a resposta de la qüestió que estudien i indiquin sobre la línia de confiança el grau de confiança de les hipòtesis que defensen (vegeu la figura 6).

Figura 6. Formulació d’hipòtesis després de 50 i 100 tirades sobre Qa del grup B.

Una vegada els grups han acabat d’omplir la part esquerra de l’informe («Hipòtesi després de 50 tirades»), el mestre demana que s’ajuntin els grups-parelles que s’encarreguen de la mateixa marca. En aquesta interacció, els grups comparteixen les dades recollides i expliquen quines primeres hipòtesis han formulat sobre les qüestions Qai Qb , respectivament. D’aquesta interacció cal destacar dues aportacions principals. La primera és que permet als grups ampliar la seva mostra, ja que passen d’analitzar cinquanta dades a analitzar-ne cent, i alguns d’ells reformulen les seves primeres hipòtesis a partir de l’anàlisi d’aquesta nova mostra o bé la utilitzen per donar més validesa a les seves primeres propostes («Hipòtesi després de 100 tirades»). A més a més, en tots els casos els permet avançar la posició en la qual se situen en

66 noubiaix 44

la línia de confiança, tot i que són molt conscients de la impossibilitat d’estar-ne totalment segurs. Així ho explica el grup B en la figura 6: Creiem que n’hi ha 4 de taronges, 3 de liles, 2 de roses i 1 de marró. Perquè n’han sortit 55 de taronges, 27 de liles, 17 de roses i 1 de marró. En la línia de confiança hem posat això perquè no estem totalment segurs de quantes Hama Beads hi ha de cada color, perquè no hem obert l’ampolla. La segona aportació és que els grups comencen a discutir quins criteris prioritzarem, si tenir un nombre equiparable de nombre de peces de colors lila, taronja i rosa i/o tenir menys quantitat de peces defectuoses. Una vegada els grups-parella van posant-se d’acord, comença la posada en comú en el grup classe, on les parelles de grups aniran intervenint l’una rere l’altra. Els dos portaveus dels dos grups que han estudiat una mateixa marca surten per explicar les seves conclusions; el mestre modera i ajuda a emfatitzar les respostes i argumentacions que utilitzen. Quan cada parella de grups ha explicat la seva hipòstesi, es pengen a la paret els dos informes grupals i expliquen quina ha estat la hipòtesi consensuada sobre quina és la distribució de colors de Hama Beads que s’amaga dins l’ampolla de la marca que estudien. Quan acaben d’explicar-ho, enganxen en una tira preparada els gomets dels quatre colors corresponents a les peces de Hama Beads (vegeu la figura 7) de la hipòtesi consensuada.

Figura 7. Recollida de dades amb l’ampolla de Hama Beads.

El mestre els explica que ara que ja tenen consensuades les diferents hipòtesis sobre la distribució de colors de les tres marques, és el moment de redactar la carta de recomanació per al director de l’escola. Per a això, el grup classe ha d’acordar quins criteris estableixen per prioritzar o no les diferents marques, A, B i C. Els estudiants individualment fan diferents propostes i el mestre les va anotant. Els raonaments de l’alumnat es fonamenten en els dos objectius d’estudi, és a dir, tant l’equitat en el nombre de Hama Beads de cada color, com la baixa presència de Hama Beads defectuoses. Així, doncs, el grup arriba al consens

juny 2019 67

de descartar la marca A per l’alta presència de Hama Beads no utilitzables que conté. A partir d’aquí, alguns grups recorren a altres criteris per defensar la seva hipòtesi, com ara l’aprofitament de les peces de Hama Beads sobrants per fer alguna manualitat o, fins i tot, la defensa de la proposta amb més Hama Beads de la seva constel¨lació, ja que creuen que la seva constel¨lació resultarà vencedora i, per tant, en necessitaran més. Finalment, es fa una votació i s’acaba acordant que la millor opció és la marca B. Aquesta tercera situació acaba amb la redacció d’una carta per al director de l’escola. El mestre comparteix un document comú que es projecta a la pissarra digital i redacten tots junts la carta al director sobre què han decidit pel que fa a la comanda de Hama Beads.

4. Conclusions i perspectives En aquest treball hem volgut mostrar les característiques principals del disseny i l’experimentació d’un recorregut d’estudi i investigació (REI) que hem anomenat «Què s’amaga dins l’ampolla?», a través del qual es treballen diverses eines del bloc d’atzar i estadística. Més concretament, la proposta d’aquest REI parteix de la necessitat de construir un medi experimental per referir-se a l’atzar i a la variabilitat estadística i a partir del qual emergeix la necessitat de construir moltes de les eines estadístiques (recull de dades, tabulació, càlcul i anàlisi de freqüències, representacions gràfiques, càlculs estadístics, estimacions de les probabilitats, etc.) per a la formulació d’hipòtesis i la discussió de la seva coherència i fiabilitat. A partir dels treballs originals de Brousseau et al. (2002) hem presentat una adaptació que s’ha realitzat gràcies a una estreta col¨laboració entre un mestre de primària, format prèviament en la metodologia dels REI, i investigadores en didàctica de la matemàtica. En aquest treball sols hem mostrat l’inici d’una activitat que podria estendre’s encara molt més. Així ho mostren els dissenys originals, que es desenvolupaven en un total de vint-i-sis sessions amb estudiants de cinquè de primària. Tot i la introducció a la proposta original, hem de destacar la possibilitat de reprendre moltes de les qüestions que han quedat obertes, dins del mateix curs o en cursos posteriors, en l’àrea de matemàtiques o en altres àrees de coneixement. De fet, així ho està fent el mestre encarregat de l’experimentació, qui en el present curs 2018-2019 està reprenent a cinquè de primària moltes de les qüestions que van quedar pendents en l’experimentació d’un any abans. A més a més, aquesta mateixa activitat va ser experimentada a la mateixa escola, durant el mateix curs que la que aquí s’ha analitzat, amb uns altres dos grups de cinquè i sisè de primària durant dues sessions de dues hores. Serà objecte de recerca en treballs futurs analitzar i comparar aquestes tres experimentacions realitzades per tal d’estudiar-ne els punts comuns i les principals diferències i per estudiar com es podria treballar en el disseny d’un REI que tingués continuïtat entre diversos cursos. Així mateix, hem d’afegir que aquesta mateixa activitat ha estat experimentada en nivells molt diferents: des de primària fins a la universitat, per exemple en estudis del grau d’Administració d’Empreses i en la formació inicial dels mestres de primària (Barquero, Bosch i Granell, 2018), amb adaptacions diverses. Aquest darrer context d’experimentació és especialment rellevant per aprofundir en la transferibilitat i la viabilitat d’aquests dissenys com a dispositius per posar en contacte resultats de la recerca amb la pràctica docent innovadora a les aules.

68 noubiaix 44

Referències bibliogràfiques Artigue, M. i Blomhøj, M. (2013). «Conceptualizing inquiry-based education in mathematics». ZDM Mathematics Education, 45, 797-810. Barquero, B. i Bosch, M. (2015). «Didactic Engineering as a Research Methodology: From Fundamental Situations to Study and Research Paths». A: A. Watson i M. Ohtani (eds.). Task Design in Mathematics Education. New ICMI Study Series. Cham: Springer, 249-272. Barquero, B., Bosch, M. i Gascón, J. (2011). «Los recorridos de estudio e investigación y la modelización matemática en la enseñanza universitaria de las ciencias experimentales». Enseñanza de las Ciencias: Revista de Investigación y Experiencias Didácticas, 29 (3), 339-352. Barquero, B., Bosch, M. i Granell, C. (2018). «Els recorreguts d’estudi i investigació en la formació de mestres. El cas d’un REI-FM sobre l’ensenyament de l’atzar i l’estadista». Revista CIDUI 2018. www.cidui.org/revistacidui. Bosch, M. i Winsløw, C. (2016). «Linking problem solving and learning contents: the challenge of self-sustained study and research processes». Recherches en Didactique des Mathematiques, 35 (3), 357-401. Brousseau, G. (1990). «?‘Qué pueden aportar a los enseñantes los diferentes enfoques de la didáctica de las matemáticas? (Primera parte)». Enseñanza de las Ciencias, 8 (3), 259-267. http://ddd.uab.es/pub/edlc/02124521v8n3p259.pdf. Brousseau, G. (1997). Theory of didactical situations in mathematics. Dordrecht: Kluwer Academic. Brousseau, G., Brousseau, N. i Warfield, V. (2002). «An experiment on the teaching of statistics and probability». Journal of Mathematical Behaviour, 20 (3), 363-411. Chevallard, Y. (2006). «Steps towards a new epistemology in mathematics education». A: M. Bosch (ed.). Proceedings of the 4th Conference of the European Society for Research in Mathematics Education (CERME 4). Barcelona: FUNDEMI-IQS, 21-30. Chevallard, Y. (2015). «Teaching Mathematics in Tomorrow’s Society: A Case for an Oncoming Counter Paradigm». A: S.J. Cho (ed.). Proceedings of the 12th International Congress on Mathematical Education. Dordrecht: Springer, 173-187. García, F.J. (2005). La modelización como instrumento de articulación de la matemática escolar. De la proporcionalidad a las relaciones funcionales. Jaén: Universidad de Jaén. Ruiz-Higueras, L. (2008). «Modelización matemática en la escuela primaria: la reconquista escolar de dominios de realidad». A: M. M. Hervás (ed.). Competencia matemática e interpretación de la realidad, 87-119.

juny 2019 69

Ruiz-Higueras, L. i García, F.J. (2011). «Análisis de praxeologías didácticas en la gestión de procesos de modelización matemática en la escuela infantil». RELIME. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 14 (1), 41-70. Rodríguez, E., Bosch, M. i Gascón, J. (2008). «An anthropological approach to «Metacognition»: the research and study courses». A: D. Pitta-Pantazi i G. Pilippou (eds.). Proceedings of the fifth congress of the European society for research in mathematics education. Cyprus: University of Cyprus, 1798-1807. Winsløw, C., Matheron, Y. i Mercier, A. (2013). «Study and research courses as an epistemological model for didactics». Educational Studies in Mathematics, 83 (2), 267-284.

70 noubiaix 44

MATRIX III, Congrés Internacional a Cornellà Sergio Belmonte

Resum El mes d’octubre de 2018 va tenir lloc a Cornellà la 3a trobada internacional de Museus de Matemàtiques, Matrix. L’impulsor del projecte és el MoMath i l’encarregat de l’organització va ser el MMACA. L’esdeveniment va constar de tres conferències plenàries inspiradores, dues conferències plenàries obertes al públic en general que van tenir lloc al CosmoCaixa i setze grups de conversa sobre temes diversos, des de la relació entre el Museu i l’Escola fins a com es poden impulsar nous museus. Aquestes activitats es van complementar amb una sessió de pòsters i una mostra de materials on els assistents van poder experimentar de primera mà els objectes que dissenyen aquestes entitats.

Paraules clau Comunicació, xarxa, entitats.

Abstract The 3rd International Matrix Conference of Mathematics Museums took place in October 2018 in Cornellà de Llobregat (Barcelona), promoted by MoMath and organized by MMACA. The event consisted of three inspiring plenary sessions, two plenary conferences open to the general public held at CosmoCaixa, and 16 discussion groups on various topics, ranging from museum ´ school relationships to how to establish new museums. This was complemented with a poster session and an exhibition of materials, where attendees could experience objects designed by these entities first-hand.

Keywords Communication, networks, entities.

1. Introducció Matrix és la paraula anglesa per a matriu (matriz en castellà). L’arrel de la paraula és el vocable llatí mater, que vol dir ‘mare’. Els sufixos -ix, -iu i -iz fan referència al caràcter femení de qui realitza l’acció. Així, matrix és la cavitat de la dona (mare) en la qual creix l’ésser humà, és un element matemàtic essencial per a la vida de les matemàtiques (com la mare de totes les ciències) i és el nom que es va donar ja fa tres edicions a la Trobada Internacional de Museus de Matemàtiques (MATRIX “ Mathematics Awareness, Training, Resource & Information eXchange), que vol esdevenir la mare de les trobades de matemàtiques. El nom no és gratuït.

juny 2019 71

Com a impulsor principal del projecte, el MoMath (National Museum of Mathematics) de Nova York tria un partner europeu com a encarregat de l’organització de la Trobada: la primera va ser a Dresden (Alemanya) i la segona, a Leeds (Anglaterra). A l’octubre es va dur a terme la tercera edició, per a l’organització de la qual va ser triat el Museu de Matemàtiques de Catalunya (MMACA). Un repte en tota regla i alhora un reconeixement internacional a la tasca d’apropament de les matemàtiques als diferents sectors de la societat que desde fa anys estem portant a terme, com també al suport que es fa a mestres i professors en la seva tasca docent. Activitats, tallers, xerrades, assessorament, projectes nacionals i internacionals, jornades matemàtiques i, òbviament, les exposicions (permanent i itinerants), estan contribuint any rere any (i cada cop més amb més èxit de públic) a donar una visió de les matemàtiques més amable, més artística i més propera a la realitat. Per tot això, uns dels objectius que ens vam marcar era intentar que l’esdeveniment fes un salt de prestigi dins l’àmbit internacional, per tal de posar-lo al centre de les trobades matemàtiques en relació amb l’educació no-formal, la cultura i la divulgació matemàtiques. Des del MMACA es va buscar de seguida la col¨laboració de les institucions públiques (Ajuntament de Cornellà, Diputació de Barcelona i Generalitat de Catalunya), de les fundacions privades («la Caixa» i Cellex) i de les agències culturals i educatives (universitats, Museu de les Aigües, CosmoCaixa, Societat Catalana de Matemàtiques, Cesire) per fer front a aquest repte i vam rebre una resposta molt positiva, cosa que ens va permetre poder comptar amb persones amb una dedicació quasi exclusiva a l’organització: un comitè organitzador, un comitè científic, una persona responsable de comunicació, tota l’estructura del MMACA donant suport al projecte i, sobretot, molta molta il¨lusió. Tot això ens va permetre conformar un programa força ambiciós que tractava tots els temes culturals i educatius que són d’interès avui dia en relació amb les matemàtiques i que ens permeten replantejar l’ensenyament i la visió de les matemàtiques tant des del punt de vista formal com des del no formal.

72 noubiaix 44

En aquesta edició també van tenir presència tots els agents educatius, des de mestres d’escoles fins a professorat universitari, cosa que va propiciar molt l’intercanvi d’idees i de maneres de fer i d’entendre l’ensenyament de les matemàtiques. Una educació no formal com a complement en l’ensenyament de les matemàtiques més formal ha de ser una eina bàsica per a l’adquisició de les competències que es requereixen en aquesta matèria i que des de la societat mateixa s’estan reclamant. La tasca dels museus i la divulgació matemàtica esdevenen essencials en aquest àmbit per fomentar una cultura matemàtica que cada cop més s’està fent evident que és imprescindible (tant per a molts llocs de treball com per a la formació integral de la persona). La idea d’una experiència matemàtica transformadora (i també la de museu transformador) és el que es va fer present en l’agenda de tota aquesta trobada. Una experiència matemàtica ha de ser capaç de canviar la visió i el sentit respecte a les matemàtiques de la persona que entra, mira, escolta i toca. La presència en la inauguració de la Trobada del president de la Generalitat de Catalunya, Quim Torra, i de l’alcalde de Cornellà de Llobregat, Antonio Balmón, acompanyant els responsables del Museu de les Aigües, de la Fundació «la Caixa», del MoMath de Nova York i del MMACA, va ser una molt apreciada i significativa demostració de l’interès suscitat pel Matrix i de l’aposta de les institucions públiques per l’educació i la cultura.

Van ser tres dies (29, 30 i 31 d’octubre de 2018) carregats d’activitats i de moments per compartir. El programa va constar de quatre blocs principals d’activitats: cinc conferències plenàries, setze grups de conversa, sessió de pòsters i mostra de materials, i visita als museus (Museu de les Aigües, CosmoCaixa i MMACA).

Conferències plenàries inspiradores 1. «El fenomen del Big Data», a càrrec d’Eulàlia Soler.

juny 2019 73

2. «Avaluar l’impacte en les vocacions científiques», a càrrec de Digna Couso, Sergio Marco i Lluís Noguera. 3. «Role play de coordenades i dansa de funcions», a càrrec del grup Cúbic, Grup de Didàctica de la Facultat de Matemàtiques i Informàtica de la Universitat de Barcelona. Aquestes conferències es van oferir en exclusiva a les persones inscrites a la Trobada i van tenir lloc al fantàstic i espectacular auditori Àgora del Museu de les Aigües.

Conferències plenàries obertes 1. «Art i matemàtiques», a càrrec de Rinus Roelofs. 2. «Catàstrofes, malalties i crims: prevenir el risc amb les matemàtiques», a càrrec de Rosario Delgado. Aquestes dues conferències van tenir lloc al CosmoCaixa i van ser obertes al públic general.

Grups de conversa Aquesta era una aposta particular del MMACA, ja que aquest format no s’havia adoptat en cap de les edicions anteriors. La idea que vam tenir és la de crear uns espais de conversa i de debat sobre els temes inspiradors per a la transformació educativa i cultural envers les matemàtiques i els museus. A partir d’aquests grups havien de sortir noves idees, compartir experiències i avançar en el poder transformador que poden tenir els museus i agents divulgadors en l’ensenyament de les matemàtiques. Els grups sempre eren portats per un moderador, que llançava una idea la qual generava un debat en què la resta de participants compartien entre ells la seva visió particular, les seves experiències i les seves conclusions.

74 noubiaix 44

1. Museu/Escola: no ensenyem, però aprenen. 2. Matemàtiques i nens (0-8 anys): no hi ha matemàtica petita; no hi ha petits matemàtics. 3. Hands-on i virtual hands-on: el virtual és virtuós?

4. International Math Week: fem alguna cosa tots junts? 5. Museus i formació docent: no siguis tan formal! 6. Museus i vocació científica: mamà, vull ser científica! 7. Estadística: en el museu i per al museu. 8. Matemàtiques, museus i difusió: anar més enllà, aprofundir. 9. In E-motion: el moviment i l’emoció estimulen la creActivitat. 10. Museu i modelització de la realitat: pancarta a la sortida del museu: «Ara accedeixes al veritable museu de les matemàtiques». 11. Investigació en estadística: el big data és un gegant amable? 12. Impulsant nous museus: és fàcil! Bé, no és tan difícil! Vull dir: és difícil, però és divertit! 13. Compartint mòduls: compartir és viure. 14. Emoció o diversió? El museu transformador: jo m’he divertit molt. Jo tinc un munt de preguntes. 15. Gran o impactant? Les dimensions no compten. 16. Museus i universitat: com podria explicar-te això?

SESSIÓ DE PÒSTERS I MOSTRA DE MATERIALS La sessió de pòsters i mostra de materials va repetir el mateix format que ja es coneix d’altres esdeveniments similars i congressos: roll-ups i taules on les diferents entitats poden compartir els seus materials i les accions que estan duent a terme; per exemple, una mostra de construccions artístiques, informació sobre concursos i jornades internacionals, programari i

juny 2019 75

realitat virtual, jocs, enigmes, puzles, activitats matemàtiques i recursos diversos per gaudir d’una experiència matemàtica diferent. Una de les coses que vam tenir molt clara de bon principi des de l’organització és que calia deixar dins l’horari espais lliures que facilitessin l’intercanvi d’impressions i el contacte entre els participants, i així ho vam fer. A part de les hores dels àpats, també vam deixar franges de lleure per tal que els assistents poguessin passejar per la fira de pòsters i materials, visitar els museus i fer aquest intercanvi d’impressions tan necessari. Un dels principals objectius del MATRIX és precisament aquest, i el vam voler potenciar molt. Des de l’experiència sabíem que segurament aquests moments són els més importants en tota trobada d’aquestes característiques.

Al final, una assistència total d’unes cent vint persones provinents d’una vintena de països d’arreu del món ha fet que es posi la llavor perquè aquest congrés esdevingui un referent mundial en aquest àmbit. La presència de tots els agents del món educatiu formal i no formal (escoles, universitats, museus i entitats de divulgació) ha enriquit molt els continguts tractats durant el congrés i la cooperació entre les diferents visions sobre l’aprenentatge de les matemàtiques. A partir del congrés s’ha obert un període de reflexió i d’acció. Ha sortit, per exemple, la idea de crear la figura del Matrix ambassador per tal de facilitar la difusió d’aquest esdeveniment a escala mundial i poder arribar més fàcilment a racons del món als quals avui dia encara costa d’apropar-se. Ara toca pair tot el que es va generar, no perdre l’impuls que es va agafar i intentar que tota la feina feta tingui una continuïtat i una posada en pràctica en el futur i, així, el 2020, en el proper MATRIX, puguem compartir alguns fruits de les llavors que s’han plantat en aquest. Podreu trobar tota la informació del congrés i més al web que es va crear per a l’esdeveniment: http://matrix2018.mmaca.cat. Tenim esperança, tenim il¨lusió i tenim molt de marge de millora. En això treballem i per això continuarem.

juny 2016 111

seccions seccions

cions 16336 Nou Biaix 38, pàgina 93, 26/05/2016

geogebra 7878noubiaix noubiaix44 44

desembre 2017 75

associació catalana de Geogebra

Estimacions i tractament de l’error en el càlcul de Pi Introduint el GeoGebra al laboratori de matemàtiques Guillem Bonet Carbó i Manel Martínez Pascual Associació Catalana de Geogebra

Introducció En articles anteriors d’aquesta mateixa secció, el nostre company Pep Bujosa ens ha anat comentant diferents funcionalitats del GeoGebra. Hi ha mostrat també diferents idees per introduir el programa a l’aula, com ara exemples de miniaplicacions (miniaplicacions ) concretes en els quals s’aprofita la potencialitat de càlcul del programa per visualitzar i treballar amb els alumnes diferents propietats matemàtiques. En aquest article pretenem donar diferents idees per usar el GeoGebra a l’aula o, més precisament, al laboratori de matemàtiques. Volem que el nostre alumnat descobreixi el potencial del GeoGebra i l’utilitzi en les seves activitats d’experimentació matemàtica. Donarem idees per convertir-lo en el nostre aliat. Per fer-ho ens centrarem en l’estudi de l’error en diferents temptatives d’investigació al voltant del nombre Pi. Utilitzarem el GeoGebra per afinar els errors de mesura i de càlcul.

Aproximant el nombre Pi: diferents exemples

Referents històrics Pi és un nombre que fascina i ha fascinat a la majoria dels matemàtics. Tant és així que, des dels inicis de la història de la matemàtica, els estudiosos més importants s’han dedicat a investigar sobre aquest nombre, que ja era descrit l’any 1600 aC al papir Rhind com a relació entre el perímetre i el diàmetre d’un cercle. Ràpidament es va iniciar una cursa entre tots els

juny 2019 79

estudiosos per veure qui el podia definir amb més precisió. Al-Khwarizmi (s. IX dC) apuntava el següent sobre les aproximacions de Pi: «L’home pràctic usa 22{7 com a valor de Pi, el geòmetra usa el 3 i l’astrònom 3,1416». Molts anys abans que al-Khwarizmi fes aquesta categorització, Arquimedes (287-212 aC) va buscar un mètode recurrent per aproximar-se al nombre Pi a través de l’acotació de la circumferència per dos polígons, l’un inclòs i l’altre exclòs. Tant era el seu interès per trobar una bona aproximació a aquest nombre, que va arribar a fitar la longitud del cercle entre les longituds de dos polígons de 96 costats i, d’aquí, dividint pel diàmetre del cercle aconseguia dues bones fites del nombre Pi, l’una superior i l’altra inferior. Per tant, aconseguia afirmar que 223 / 71 <π <22 / 7 i podia prendre com a aproximació de Pi qualsevol d’aquestes dues fites o, encara millor, la mitjana entre les dues 3.123 “ 3,1418511 . . . 994 “ 3,14166, usant la idea Segles més tard, Ptolemeu (s. II dC) acaba aproximant Pi per 377 120 d’Arquimedes amb un polígon de 720 costats. Un segle més tard, Liu Hui (s. III dC) va usar polígons de fins a 3.072 costats per aconseguir una aproximació de 3,14159. Al cap d’uns segles, Viète va aproximar la circumferència amb un polígon de 3 ¨ 217 i va aconseguir 9 xifres decimals de Pi. Alguns anys més tard, Ludolf van Ceulen (1540-1610) va aproximar Pi amb un polígon de 262 costats i va aconseguir 35 xifres decimals exactes.

Aquesta idea que han usat tants matemàtics, la podem treballar a l’aula amb tot tipus d’alumnes, ja sigui trobant numèricament el perímetre d’un dels polígons, ja sigui aprofitant miniaplicacions del GeoGebra com les que us presentem:

«Donant voltes al número Pi» www.geogebra.org/m/zRTKx9jA

«Aproximacions d’Arquimedes» www.geogebra.org/m/vquebkm5

Imatge 1. Miniaplicacions de Bernat Ancochea i Guillem Bonet, respectivament, sobre aproximacions poligonals al cercle.

En aquestes dues miniaplicacions els alumnes poden visualitzar la idea llegada per Arquimedes. Amb un petit domini del programa, també poden crear ells mateixos l’aplicació que calculi no només el perímetre, sinó també l’error produït en cada aproximació.

80 noubiaix 44

La investigació de Pi i la temptació de copsar, amb una bona demostració, la seva irracionalitat, o d’aconseguir la millor precisió en les seves xifres, també ha passat a èpoques més modernes, en què ha rebut l’atenció de grans matemàtics com Wallis, Leibnitz, Machin, Gauss o Euler. Va ser precisament Euler qui va arribar a la relació més coneguda: eiπ ` 1 “ 0.

π2 1 n“1 n2 “ 6 , o a una altra fórmula encara

ř8

La relació d’Euler es pot treballar a l’aula analíticament amb fulls de càlcul del GeoGebra, com a l’estudi de la convergència de les successions corresponents que surten d’aplicar la fórmula només a un nombre finit de termes. El mateix exercici es pot fer usant altres fórmules com la de Leibnitz o la de Viète. Una visualització de les tres convergències es pot veure a la miniaplicació de Bernat Ancochea www.geogebra.org/m/u2f9vvsp, que ha creat usant la funció seqüència del GeoGebra. Més endavant i en l’època ja actual, s’han creat programes numèrics per aconseguir més decimals d’aquest nombre. Euler va ser el primer que va utilitzar el símbol π per expressar la raó de la proporció existent entre el perímetre i el diàmetre d’una circumferència. El toc que aporta la història de l’evolució del pensament matemàtic a la nostra aula és i ha de ser un referent en la nostra programació. Malgrat això, no tots aprofitem els recursos històrics a l’hora de treballar el nombre Pi. Altres, amb recursos més manipulatius, ja des del cicle superior de primària es posen a investigar la relació de proporcionalitat evident entre el perímetre de la circumferència i el seu diàmetre.

Imatge 2. Miniaplicació «Tot buscant Pi», de Manel Martínez, www.geogebra.org/m/HgTkq2FH.

juny 2019 81

Cada alumne/a fa una fotografia d’un objecte circular. La insereix al GeoGebra i aprèn a construir la circumferència, que passa per tres punts mitjançant les mediatrius. Posteriorment calcula el perímetre que envolta l’objecte escollit i l’acaba dividint pel seu diàmetre. Tot l’alumnat haurà aconseguit arribar aproximadament a Pi mitjançant objectes circulars diferents. Haurem passat per les fases d’experimentació i descoberta, i estarem en la situació idònia per arribar a la conceptualització. La versió no digital d’aquesta activitat es du a terme mesurant el diàmetre i el perímetre de pots cilíndrics de diferents mides amb una corda. L’alumnat veu amb sorpresa que totes les seves proporcions ens porten aproximadament a un mateix nombre que té un valor un xic major que 3. Alguns docents aprofiten aquesta experiència, per cert molt potent a l’hora d’introduir Pi a primer d’ESO, per aconseguir consolidar la proporció perímetre-diàmetre com a representació del valor de Pi. Tanmateix, a més de la conscienciació sobre el vertader significat de Pi, una de les utilitats que pot tenir aquesta investigació és el treball de l’error. Haurem experimentat amb diferents objectes circulars i per a tots ens haurà donat un petit error en el càlcul de Pi. Així, doncs, l’activitat ens pot portar a grans preguntes, com ara per què no ens ha donat exactament el nombre Pi, i d’aquí sortiran grans respostes dels alumnes. Finalment, ells mateixos descobreixen el problema de falta de precisió dels materials o dels mètodes usats. Aprofundint sobre possibles errors produïts en relació amb com hem pres la mesura, ens podem plantejar quin seria l’error si el fil seguís una el¨lipse en lloc d’una circumferència. La següent miniaplicació permet visualitzar aquesta aproximació:

Imatge 3. Miniaplicació «Perseguint l’error de Pi», de Guillem Bonet, www.geogebra.org/m/qnnmdts9.

Un cop aconseguides les respostes inicials al problema de la no exactitud dels resultats en les diferents aproximacions de π que han obtingut els alumnes, ens podem preguntar com es podria reduir l’error. Els alumnes trobaran algunes respostes a aquestes preguntes, com ara calcular una mitjana dels resultats trobats per al diàmetre i per al radi, o usar un regle amb una graduació més fina que ens permeti jugar amb un xic més de precisió en les dades inicials. En aquest cas, la miniaplicació www.geogebra.org/m/whwwbu2u pot servir per visualitzar com augmenta l’error segons l’aproximació obtinguda del perímetre o del diàmetre.

82 noubiaix 44

Efectivament, aquestes dues mesures redueixen l’error i és molt positiu que els alumnes les hagin trobat, però hi ha un experiment que ens pot donar no només una bona aproximació del perímetre, sinó també una idea brillant per reduir aquest error. L’experiment en qüestió consisteix a mesurar el perímetre de la base tot fent unes quantes voltes al pot amb un fil ben prim. En el cas de fer-hi 10 voltes, el possible error comès en la mesura quedaria dividit per 10! Sorprenent, oi? Però què podem fer perquè els alumnes visualitzin aquesta reducció de l’error? Una bona idea seria introduir les diferents mesures obtingudes amb una volta, dues voltes, tres voltes..., i veure que els diferents punts es van apropant a la fita que representa el valor teòric del perímetre. Aquest pot ser un bon exemple per parlar de límits de successions relacionant-ho amb el nombre π. Si volem, també es pot calcular la successió de les diferents aproximacions dividint pel diàmetre. Per cert, podem usar el mateix mètode per reduir l’error de mesura en el càlcul del diàmetre: clavant dues agulles al pot en extrems oposats i fent que el fil vagi repetidament de l’una a l’altra, unes quantes vegades.

Aproximació estadística de π Usant la mateixa idea de càlcul de perímetres amb un fil i pots de diferents mides, podem aprofitar l’estudi de l’error en la recollida de les dades per fer un estudi bivariant. Demanem a tots els alumnes que individualment o per parelles mesurin el perímetre i el diàmetre de tots els pots. D’aquesta manera obtindrem n aproximacions de π si dividim aquestes quantitats, o n punts del pla si considerem les dues dades diàmetre-perímetre de cada una de les mesures realitzades. En tots dos casos podem fer un estudi estadístic de les nostres dades, o bé un estudi univariant si considerem només les aproximacions trobades, o bé un estudi bivariant si considerem els punts de coordenades diàmetre-perímetre.

Imatge 4. Anàlisi bivariant de les dades recollides amb una regressió lineal. Creada amb GeoGebra.

juny 2019 83

En el primer cas, estudiarem paràmetres de centralització, com ara la mitjana o la mediana, i buscarem l’error que es comet en la seva aproximació de π. També estudiarem paràmetres de dispersió, com el rang i la variància, atenent els valors mínims i màxims i preguntant-nos què els ha diferenciat dels altres per allunyar-se més de la mitjana. Finalment, ens preguntarem quins valors ens han donat més error en π i el possible motiu d’aquest error. En el segon cas, podem arribar a calcular fins al coeficient de correlació i la recta de regressió. Si els nostres alumnes tot just s’estan introduint en l’estudi estadístic, podem usar el full de càlcul del GeoGebra, que ens permetrà tota mena d’estudis estadístics.

Una altra aproximació geomètrica Una altra idea geomètrica per calcular el nombre π ja la van trobar els antics egipcis. Apareix al papir Rhind, l’any 1600 aC. En aquest cas, l’escriba Ahmès aproximava l’àrea de la circumferència inscrita en un quadrat de costat 1, amb l’àrea de l’octògon que resulta de dividir el quadrat de costat 1 en 9 quadrats iguals i escapçar-ne per la diagonal els quatre quadrats que toquen el vèrtex.

Imatge 5. Imatge de l’aproximació poligonal d’Ahmès i ampliació de la mateixa figura.

Com es pot veure, l’error produït per excés en la circumferència és compensat pel que es produeix per defecte en altres punts. En aquest cas, podem calcular les dues àrees i es troba fàcilment l’error produït en l’aproximació de π. L’àrea de l’octògon creat és 7{9 “ 0,77777 . . ., mentre que la del cercle és π4 “ 0,78539 . . . Així, l’error produït en l’aproximació de l’àrea és 0,785398´0,777777 “ 0,007620, que no està malament. En el nostre cas, l’aproximació de π suggerida per Ahmès és π » 4 ¨ 79 “ 28 “ 3,1111 . . . 9 Parlant del càlcul d’àrees per deduir π, podríem haver usat una estratègia semblant a la d’Aristòtil amb el matís de buscar ara les àrees en lloc dels perímetres. En aquest cas, han de ser els nostres alumnes els qui calculin algunes àrees que sí que poden trobar mitjançant alguns

84 noubiaix 44

càlculs, com la del quadrat inscrit i circumscrit. Segurament els caldrà emprar el teorema de Pitàgores i si han sabut trobar les àrees dels quadrats, potser podran passar a l’octògon, i així anar doblant el nombre de costats. També es pot fer algun raonament interessant a partir del triangle equilàter i de l’hexàgon. Precisament, Ramon Nolla ens proposa en la seva miniaplicació «Aproximació recurrent al càlcul de π», www.geogebra.org/m/r8f7y3Y7, una activitat semblant que podreu trobar enllaçada en el seu full de treball.

Imatge 6. Miniaplicació de Ramon Nolla per a l’aproximació recurrent de π .

Un cop entesa la idea, podem visualitzar com anem fitant l’error amb el mateix mètode usant el potencial de càlcul del programa: demanem al GeoGebra que calculi l’àrea de polígons inscrits i polígons circumscrits a la nostra circumferència de cada cop més costats. Una versió semblant a la de la segona miniaplicació que hem proposat, «Aproximacions d’Arquímedes», ens ofereix la possibilitat d’anar aproximant l’àrea de la circumferència entre la de polígons inscrits i polígons circumscrits. Aquesta fitació permet trobar una nova aproximació de π.

Càlcul de l’àrea d’un cercle Una altra idea que podem considerar amb els nostres alumnes és la que habitualment s’utilitza per calcular l’àrea per sota d’una corba. La idea és molt intuïtiva i els nostres alumnes visualitzen la validesa de l’aproximació molt ràpidament. A més, si el nombre d’intervals és petit, els mateixos alumnes poden buscar l’alçada dels rectangles usant el teorema de Pitàgores, per exemple. La idea és tan simple que un alumne de tercer d’ESO ja podria aplicar aquest mètode en l’aproximació a l’àrea d’una circumferència.

juny 2019 85

Un cop fets els primers intents d’ajust a mà, és convenient anar un xic més enllà i veure que, a mesura que afinem l’interval, les sumes inferiors i superiors acoten de manera molt més precisa l’àrea de la circumferència.

Imatge 7. Miniaplicació «Aproximant l’àrea del cercle», de Guillem Bonet.

Observació: aquesta mateixa idea es pot fer usant trapezis, l’àrea de cadascun dels quals resulta la mitjana aritmètica dels rectangles superior i inferior que el defineixen. Aquesta feina ens servirà a batxillerat per introduir les integrals definides i, abans, a quart d’ESO, per treballar els límits de successions. Sense estendre’ns en aquest punt, en cas de voler treballar les integrals definides, no podem deixar de mencionar la troballa de Gauss, que dona una bona equivalència de π amb integrals: ż `8 ´8

ex dx “

? π

En cas que ens interessi una visualització d’aquest resultat, si ampliem l’interval d’integració ? en la miniaplicació www.geogebra.org/m/sma5vhykpodem trobarem aproximacions de π.

Cerca de π mitjançant mètodes probabilístics La llei dels grans nombres és un dels resultats més coneguts en probabilitat. Assegura que si un experiment és repetit un nombre gran de vegades, la mitjana dels resultats obtinguts tendirà a un valor expectat, i s’aproximarà més com més vegades intentem l’experiment. El mètode de Montecarlo és un mètode no determinista que utilitza la llei dels grans nombres per aproximar àrees de figures a través de l’elecció aleatòria d’infinites mostres de punts. En concret, es poden portar a l’aula experiments que ens ajudin a mesurar l’àrea d’un cercle de radi 1 inscrit en un quadrat de costat 2. L’aproximació a l’àrea del cercle la farem escollint punts dins del quadrat de manera aleatòria. Alguns d’aquests punts cauen dins del cercle i altres, no.

86 noubiaix 44

Si hem escollit els punts dins del quadrat aleatòriament, tindrà sentit pensar que es conserven les proporcions: punts dins del cercle àrea del cercle π¨r 2 π “ “ 2 “ punts dins del quadrat àrea del quadrat 4 p2r q Per això podem aproximar l’àrea del cercle i, per tant, també π.

Imatge 8. Miniaplicació de Jordi Font sobre el mètode de Montecarlo, www.geogebra.org/m/bFVcagEF.

Aplicant el mètode unes quantes vegades, veiem que ens anem apropant a π. També es pot fer amb mostres petites, llançant una infinitat de dards a una diana de cartró quadrada, dibuixant a posteriori la circumferència inscrita i calculant la proporció ja explicada. Cal dir també que l’aproximació no és gaire ràpida, però dona una bona idea de com funciona el mètode Montecarlo.

Imatge 9. Miniaplicació «Aproximem Pi?», de Josep Font, aplicant l’agulla de Buffon, www.geogebra.org/m/fXJjzkQF.

juny 2019 87

El mètode de l’agulla de Buffon treballa de manera similar i usant també la llei dels grans nombres. Llancem aleatòriament agulles sobre una superfície en la qual s’han traçat rectes paral¨leles separades entre si de manera uniforme. Es pot veure que si la distància entre les rectes és igual a la longitud de l’agulla, la probabilitat que una sola agulla toqui una recta és 2 . Per tant, si ho fem amb moltes agulles, segons la llei dels grans nombres, la freqüència π d’agulles que toquen i les totals s’acosta a aquesta quantitat. A partir d’aquí podem buscar aproximacions de Pi. Aquesta pràctica també es pot treballar llançant agulles o escuradents i preguntant-nos com buscaríem la probabilitat que una toqui les rectes. Un cop fet, podem usar la miniaplicació proposada per multiplicar el nombre de llançaments.

Conclusions i tancament de l’article Per acabar, volem comentar que tot aquest recull s’ha pogut fer gràcies a la feina desinteressada de tots els que comparteixen els materials d’aula. Totes i cadascuna de les miniaplicacions que hem recomanat en aquest article es poden trobar a la pàgina de materials del GeoGebra, en la qual, si busqueu bé, podeu trobar un munt de recursos per portar a la vostra aula.

Imatge 10. Captura de pantalla de la pàgina de materials entorn del nombre Pi.

Us recomanem, per tant, que visiteu amb regularitat la pàgina de materials del GeoGebra (www.geogebra.org/materials) a fi de conèixer de primera mà totes les novetats que van sortint. Us sorprendrà veure les aplicacions creades per altres docents amb inquietuds semblants a les vostres i que us poden oferir idees que de ben segur enriquiran la vostra pràctica a l’aula.

grup cúbic 8888noubiaix noubiaix4444

desembre 2017 75

grup de didàctica de les matemàtiques Una mirada matemàtica a l’obra de Josep Estalella i Graells en commemoració del centenari de la publicació del seu llibre Ciència recreativa

Introducció El passat 30 de novembre es va dur a terme la II Jornada de Didàctica de les Matemàtiques de la Facultat de Matemàtiques i Informàtica de la UB. Des del grup Cúbic, Grup de Didàctica de la Facultat de Matemàtiques i Informàtica de la UB, compost per professorat de matemàtiques de secundària i batxillerat, es va voler retre homenatge a Josep Estalella i Graells aprofitant la commemoració del centenari de la publicació del seu llibre Ciència recreativa (1918). Recordem que Josep Estalella forma part de la Línia del temps de l’educació matemàtica a Catalunya presentada en el Congrés Català d’Educació Matemàtica C2 EM l’any 2016. Paral¨lelament a la Jornada, des de la Biblioteca de Matemàtiques i Informàtica es va fer una exposició de llibres de Josep Estalella i de l’Institut Escola del Parc de la Ciutadella, del qual va ser director entre els anys 1932 i 1938. A la vegada es va publicar l’exposició virtual titulada «Una mirada matemàtica a l’obra de Josep Estalella i Graells». També es va col¨laborar amb l’Institut Verdaguer, de Barcelona, i l’Escola Estalella i Graells, de Vilafranca del Penedès. El programa de la Jornada va ser el següent: 17.00 h: presentació de la Jornada i benvinguda. 17.10 h: L’avi Josep. L’Estalella més familiar, a càrrec de Toni Comas. ‚ 17.30 h: Josep Estalella: l’ànima de l’Institut Escola del Parc, a càrrec de Claudi Alsina. ‚ 17.45 h: visita a l’exposició de llibres i mostra de materials de Josep Estalella i Graells i l’Institut Escola, a la Biblioteca de la Facultat de Matemàtiques i Informàtica. ‚ ‚

juny 2019 89

‚ ‚

18.15 h: Ciència recreativa: aventures matemàtiques! 19.50 h: cloenda.

En la primera presentació, Toni Comas (besnet de Josep Estalella) ens va presentar Josep Estalella des del punt de vist familiar, recordant els llocs, les experiències vitals i les anècdotes més destacades de la seva vida.

Imatge 1. L’avi Josep. L’Estalella més familiar.

A continuació, Claudi Alsina ens va presentar el paper clau que va tenir Josep Estalella al capdavant de l’Institut Escola del Parc, inspirat en el model de l’Instituto-Escuela de Madrid, però revisat i adaptat per tal d’oferiruna formació cultural catalana de qualitat i amb professorat amb un prestigi innovador reconegut. Va ser sorprenent la revisió que es va fer dels principis que fonamentaven el funcionament del centre, que resumim a continuació. ‚

‚

A nivell organitzatiu: Hi havia coeducació en grups classe de màxim 30 alumnes, grups que eren batejats amb noms de llocs catalans. Els horaris es revisaren ponderant adequadament treball i esbarjo. A les classes hi havia materials i taules de treball per a treballar en grup, cooperativament. Sovint es feien activitats al Parc de la Ciutadella, visites a museus o a la ciutat, i també colònies. Al centre hi havia espais per fer esport, tallers de música, tallers per fer activitats de belles arts, manualitats o d’oficis (impremta, enquadernació, fusteria...). A nivell formatiu: El gran objectiu era facilitar la formació integral de la persona i els seus valors cívics, morals, solidaris... Les matèries s’ensenyaven cíclicament, repassant el ja

90 noubiaix 44

fet però cada cop amb més nivell, amb classes actives sense llibres de text, amb apunts, àlbums, etc., suprimint els processos de memorització però treballant l’observació directa. S’eliminaren els exàmens tradicionals i les notes foren substituïdes per informes qualitatius.

Imatge 2. Josep Estalella: l’ànima de l’Institut Escola del Parc.

A tall de conclusió de la presentació, Claudi Alsina va finalitzar amb el text següent: «Quan avui es parla de renovació pedagògica i d’innovacions, podríem recomanar, sense risc d’equivocar-nos, el següent: recuperem el que va fer Josep Estalella, i endavant». A continuació ens vam desplaçar a la Biblioteca de la Facultat de Matemàtiques i Informàtica per visitar l’exposició de llibres i la mostra de materials elaborats pel grup Cúbic, en la qual es va intentar fer una relectura d’algunes de les activitats proposades per Estalella en el llibre Ciència recreativa, agafant com a punt de partida les idees que hi ha al darrere de cada activitat, per ampliar-les i materialitzar-les. La mostra es va organitzar en forma de sis minipresentacions rotatòries de cinc minuts de durada cadascuna. Les activitats presentades van ser: Taula 1 ‚ ‚

218 - El centre d’Espanya 116 - Traçat d’una espiral

Taula 2 ‚ ‚

55 - Demostracions gràfiques de teoremes d’aritmètica i àlgebra 74 - Un teorema demostrat fàcilment

Taula 3 ‚ ‚

152 - El talp triple 67 - El tauler d’escacs

Taula 4 ‚ ‚

106 - On es demostra que 64 és igual que 65 112 - Transformació d’un cercle en dos ovals

juny 2019 91

Taula 5 ‚ ‚

33 - Sumands repetits 438 - Miralls convexos

Taula 6 ‚

Exposició de llibres de Josep Estalella i l’Institut Escola del Parc de la Ciutadella

Imatge 3. Exposició de materials.

Tots els materials portaven associada una fitxa de treball, les quals es poden descarregar al web del grup Cúbic (www.ub.edu/cubic/?page_id=294). Per tancar la Jornada es va fer una gimcana titulada «Ciència recreativa: aventures matemàtiques!», on es proposaven diferents activitats de tipus experimental inspirades en propostes del llibre de Josep Estalella Ciència recreativa. La gimcana tenia un doble objectiu: per una banda, retre homenatge a Josep Estalella a través de la seva obra, i, per l’altra, presentar una mostra de propostes pràctiques per a l’educació matemàtica que, plantejades en forma de repte, poguessin ser treballades amb material manipulable i tractessin de manera motivadora continguts matemàticament rics.

92 noubiaix 44

Ens va semblar que un bon format per presentar propostes en forma de repte era enllaçar-les en el marc d’una gimcana que tenia com a objectiu obrir el cadenat d’una caixa que contenia el tresor. La participació es feia en grups d’entre quatre i sis persones i les proves s’anaven succeint a intervals regulars de temps. Tanmateix, els equips es podien organitzar de manera que, paral¨ lelament, poguessin continuar resolent les proves que encara no havien acabat. Es va fer una selecció de reptes del llibre Ciència recreativa i es va intentar donar-los una realitat material, portant-los cap a territoris més generals, situant-los en nous contextos o capgirar-los per aprofundir alguna idea matemàtica. Ens vam deixar portar per la imaginació (i fins i tot per l’humor) i vam teixir històries que, plantejant reptes matemàticament significatius, poguessin resultar motivadores per als participants. La intenció era mostrar, des de la pràctica, que l’educació matemàtica pot enriquir-se amb la incorporació d’activitats d’experimentació. En aquesta línia, en molts casos vam construir material manipulable que pogués ser útil per a la resolució del repte.

Imatge 4. Materials de la gimcana.

Vam procurar presentar els diversos reptes a través de mitjans diferents (un escrit, un còmic, un àudio, un vídeo...) per tal de subratllar la idea que, a part del text escrit, altres formats de comunicació també poden estar presents en l’educació matemàtica. S’accedia als àudios i al vídeo a través d’un codi QR que es llegia amb el telèfon mòbil. Cada prova es va presentar immersa en una petita història bastida entorn d’uns personatges. El resultat d’algunes de les proves ja era directament una pista; en d’altres, l’assoliment permetia demanar una pista externa. Les diferents proves plantejades van ser: ‚

‚

Xifratge del Cèsar. L’Astèrix i l’Obèlix han interceptat un missatge xifrat que el Cèsar envia a les seves tropes. A través d’un còmic, se’ns demana que els ajudem a desxifrar-lo. El text ens explicarà la mecànica general de la gimcana. Disseccions. Mitjançant un enregistrament d’àudio, Jack el Destrossador de Figures Geomètriques ens convida a construir cinc figures amb cinc peces. Per fer-ho més

juny 2019 93

còmodament, disposarem d’una plantilla. Els equips hauran de fer una fotografia a cada figura i, un cop aconseguides totes, obtindran una pista. ‚

‚

Codi binari. A través d’una notícia d’agència que ens arriba per escrit, es confirma la desaparició d’Indiana Jones quan participava en una expedició a la recerca del codi perdut. L’últim cop que se’l va veure va ser quan entrava en una cova propera al camp base 2. L’única esperança de trobar-lo rau en la interpretació d’uns esquemes que va deixar escrits en un paper a la seva motxilla. Haurem d’intentar-ho! Triangle equilàter. L’Hortènsia (que alguns anomenen Or) i en Robert (que els seus amics anomenen Gami) són una parella molt especial que, a través d’un àudio, ens proposen construir, amb paper, un triangle equilàter. Si ho aconseguim, obtindrem una nova pista. Grafs eulerians (el Correcamins). Un petit vídeo ens explica que el Correcamins ha caigut en una depressió a causa dels seus dubtes sobre si ha aconseguit recórrer tots els senders del seu territori. Per això decideix consultar el vell Coiot, que li dona un mapa de camins que es tallen en punts assenyalats per unes caixes de color sobre les quals hi ha un clau clavat. Amb un tros de cordill ha d’aconseguir recórrer tots els trams de camí només una vegada. El Coiot li assegura que trobarà el secret de la seva felicitat en el color de la caixa de sortida. Potser nosaltres hi trobarem una nova pista. Escuradents. Un enregistrament d’àudio ens explica que en Lucky Luke, en la seva persecució dels germans Dalton, s’enfronta al repte de construir unes figures amb escuradents sobre unes plantilles. Si volem obtenir una nova pista, l’haurem d’ajudar a fer-ho. No fallem al pobre i solitari cowboy! Dòmino pitagòric. Al Capone i dos honorables col¨legues de negocis es troben cada setmana per jugar una innocent partida de dòmino. De manera inesperada, amb les peces del joc es planteja un repte que relaciona les fitxes, les seves puntuacions i el teorema de Pitàgores. La situació s’explica a través d’un àudio, s’utilitza una plantilla per facilitar el raonament i el resultat correcte permet obtenir una nova pista. Demostració incorrecta. Un àudio ens explica que Sherlock Holmes ha d’investigar la mort d’un vell professor. Sembla que algú va deixar malèvolament sobre la seva taula una falsa demostració. La preocupació que li va produir no poder descobrir l’errada, el va portar a la mort. Potser si ho descobrim tindrem informació clau per al nostre propòsit.

Amb tota la informació obtinguda de les diferents proves, els equips podien identificar una carpeta que contenia un codi xifrat (també referenciada en el llibre d’Estalella), que els conduïa a un sobre on hi havia un fragment d’un gran rètol. Únicament amb un dels fragments no es podia anar més enllà. Però quan s’ajuntaven els fragments obtinguts per tots els equips, s’aconseguia compondre un número de quatre xifres que era el codi per obrir el cadenat que donava accés al tresor. Així, era necessària la col¨laboració de tots els equips per assolir el repte final. No hi havia un equip guanyador, sinó que l’èxit era el resultat d’una tasca col¨lectiva. El tresor contenia, a part d’un petit pastís de llaminadures (amb espelmes d’aniversari incloses) que van endolcir el final de la Jornada, un breu text d’Estalella i el desig d’un feliç centenari del seu llibre Ciència recreativa.

94 noubiaix 44

Imatge 5. Grups en plena activitat.

Amb aquesta gimcana i amb totes les activitats de la Jornada vam voler mostrar la solidesa matemàtica de l’obra d’Estalella i les enormes possibilitats que ofereix per generar aplicacions a l’aula. Estem convençuts que les activitats d’experimentació han de tenir un paper clau en l’educació matemàtica bàsica i que, en aquest sentit, els treballs de professors com Josep Estalella o Puig Adam van obrir camins en els quals, encara avui, queda molta feina per fer.

Bibliografia Estalella, Josep. Ciencia recreativa. Barcelona: Gustavo Gili, 1918.

Webgrafia Exposició virtual de la Biblioteca de la Facultat de Matemàtiques i Informàtica http://crai.ub. edu/ca/coneix-el-crai/biblioteques/biblioteca-matematiques/mirada-matematica-josep-estalella-graells Línia del temps d’educació matemàtica a Catalunya https://sites.google.com/site/matematiquesacatalunya/ Web del grup Cúbic http://www.ub.edu/cubic/

creamat 116 noubiaix 39

juny juny2019 2019 95 95

el racó del cesire-creamat

A l’educació matemàtica entre zero i vuit anys, li ha arribat l’hora?

Sembla que sí, que a l’educació matemàtica entre zero i vuit anys li ha arribat l’hora. L’Organització per a la Cooperació i el Desenvolupament Econòmics (OCDE) ha iniciat un estudi (https://bit.ly/2VW92zs) sobre l’educació de nens i nenes més petits de tres anys que abraça tant aspectes de formació i condicions de treball del professorat, com d’altres sobre el benestar i l’aprenentatge de la mainada. D’altra banda, l’augment i la diversitat de les situacions d’atenció a la primera infància està modificant clarament els primers nivells del sistema educatiu.

Figura 1. C2 EM, exposició de materials d’escola bressol. Font: C2 EM.

96 noubiaix 44

La mainada aprèn arreu, no només a l’escola. I cada vegada hi ha més propostes educatives i de més qualitat fora de l’àmbit formal. Això és així a totes les edats, però en aquesta franja les coincidències entre l’educació formal i la no formal són molt més evidents, probablement perquè és més lliure de pressions curriculars que altres edats i això facilita la col¨laboració entre ambdós mons. Al Centre de Recursos Pedagògics Específics de Suport a la Innovació i la Recerca Educativa (CESIRE), quan es fan propostes de primària, sempre s’ha considerat el parvulari com una part essencial. Mirant-ho ara amb perspectiva, però, s’observa clarament un canvi a partir del C2 EM, el II Congrés Català d’Educació Matemàtica, celebrat el juliol del 2016.1 La participació de la franja d’edat de zero a tres anys al C2 EM va obrir, en el nostre àmbit, un nou marc per a l’educació infantil. El parvulari va deixar de ser vist, entre el professorat de matemàtiques, com el cicle de preparació per a la primària, i es va començar a considerar l’educació infantil, des dels zero fins als sis anys, com una sola etapa, la importància de la qual ja no es discuteix. Les propostes que es van presentar i els materials que es van mostrar al Congrés, no van deixar cap dubte sobre la qualitat i la importància d’aquesta fase de l’aprenentatge. Malgrat que el parvulari acostuma a estar ubicat dins l’escola primària i que les llars d’infants i les escoles bressol no estan generalment en el mateix edifici ni tenen les mateixes condicions laborals, cada vegada és més clar que l’educació infantil no comença als tres anys. Dit d’una altre manera: la franja de zero a sis anys és una sola etapa educativa. Si per al professorat de matemàtiques assistent al Congrés aquesta visió, en general, va representar una descoberta, per a les professionals de l’etapa infantil va ser un reconeixement. Ser considerades al costat de la resta de professorat de matemàtiques i percebre la valoració i el respecte per la seva feina, va representar una bona empenta que ha fet augmentar l’activitat relacionada amb l’educació matemàtica en aquesta franja. Parlem de grups de treball per compartir experiències, d’un interès renovat en la capacitat per «veure» matemàtiques en situacions de la vida quotidiana i, en ser-ne conscients, aprofitar-les més. També es va concretar i realitzar, posteriorment, una llicència d’estudis compartida per educadores de les escoles bressol de l’Ajuntament de Barcelona. El cert és que, en el CESIRE, aquesta situació ens ha portat a identificar un caràcter propi i una continuïtat no només en l’etapa d’educació infantil, sinó fins i tot més enllà, fins als vuit anys. És en el primer cicle de primària que es completen unes trajectòries d’aprenentatge de les matemàtiques que ens permeten identificar clarament una progressió, un augment de la complexitat. L’edat en què s’assoleixen les fites pot variar entre els uns i els altres, especialment en funció de les oportunitats d’aprenentatge que han tingut. Dels zero als vuit anys es posen les bases que fonamenten el pensament abstracte, s’inicia el llenguatge matemàtic i s’organitzen l’espai i el temps. La realitat actual a les escoles mostra, de manera molt evident, que és més realista pensar en l’aprenentatge de la matemàtica com una trajectòria en la qual es va avançant, que no pas organitzar-lo en funció de l’edat cronològica. La diferència entre els nens i les nenes que s’incorporen als tres anys a parvulari provinents d’un altre centre educatiu i els que venen de casa, les característiques culturals de les famílies i les incorporacions fruit de la immigració,

juny 2019 97

que molt sovint porten associat l’aprenentatge d’una nova llengua, fan que s’hagi de partir d’una visió més inclusiva i, alhora, més realista. La trajectòria permet situar un infant determinat en un punt del procés d’aprenentatge a partir de l’observació del que fa i, a la vegada, ens ajuda a saber què li podem proposar perquè sabem que estarà al seu abast. Els tres cicles que conformen la franja dels zero als vuit anys agrupen nens i nenes que, molt probablement, estaran en moments d’aprenentatge diferents. El que convé és tenir eines per fer-los avançar.

Figura 2. C2 EM, mestres observant els materiales. Font: C2 EM.

L’àmbit de matemàtiques del CESIRE i el Museu de Matemàtiques de Catalunya (MMACA) han seguit en molts aspectes evolucions paral¨leles. També en l’interès actual per aquesta franja d’edat. Tant és així que en la III Trobada Internacional de Museus de Matemàtiques, MATRIX, celebrada a l’octubre del 2018 i adreçada als museus de matemàtiques de tot el món, un dels setze grups de conversa estava dedicat a aquesta franja, duia el títol CG2 There are not small mathematics, there are not small mathematicians. Mathematics and children (0-8) i va ser presentat i conduït des del CESIRE. Aproximadament en les mateixes dates hi havia prevista una exposició europea sobre matemàtiques entre els tres i els vuits anys que finalment no es va poder fer per problemes burocràtics. És un fet que la intervenció en aquesta franja d’edat és una preocupació compartida amb més persones del món de l’educació, tant la formal com la no formal, i també a escala internacional. Amb aquesta idea, des del CESIRE treballem en tres iniciatives:

98 noubiaix 44

Curs AraMat, adreçat a la franja 0-8 anys En el context de l’itinerari de formació AraMAT. Saber-ne més per ensenyar-les millor, enguany s’ha pilotat un mòdul adreçat a mestres d’educació infantil: del primer cicle (0-3), del segon cicle (3-6) i del cicle inicial d’educació primària (6-8). La idea és fomentar el coneixement mutu i les característiques de cadascuna de les franges per ressaltar-ne la continuïtat i afavorir la inclusió. Aquest objectiu ha estat molt ben valorat pels assistents, que reconeixen el desconeixement que hi ha entre tots els cicles i agraeixen haver descobert lligams i aspectes compartits. Algunes aportacions comunes a aquesta franja 0-8 són: Una manera de treballar consistent a proposar materials, ben pensats i ben presentats, amb uns objectius clars per part de l’educadora, però sense donar consignes o, si de cas, només unes normes. Deixar que siguin els nens i les nenes els que facin el que els materials els suggereixin, permet observar què fan i anar modificant les propostes en la direcció que ells mateixos marquen, millorant-les. Aquesta manera de treballar, que és molt utilitzada a l’escola bressol, és una aportació important pel que representa de respecte per la seva iniciativa i per la informació que pot proporcionar a la mestra. ‚ La idea que ens interessa més el raonament que el resultat. Davant d’un resultat incorrecte, la prioritat de la mestra ha de ser descobrir què ha pensat l’infant, què ha fet per arribar-hi. Descobrir on hi ha hagut una interpretació diferent de l’esperada, o bé una confusió per alguna raó determinada, pot portar a comprendre-ho millor i a modificar el resultat des del convenciment. La valoració de l’aprenentatge que es transmet així és ben diferent i molt més viva i constructiva que la de corregir únicament la resposta. ‚ Tenir present una seqüència (fer, pensar, comunicar i sentir) que pot ajudar a completar activitats. En aquesta franja resulta especialment important tenir cura de la gestió de l’aula. És imprescindible que hi hagi activitat; per tant, alguna cosa per fer, per construir, per manipular, per moure’s... També cal que es tingui en compte que s’ha de pensar; que no ens podem quedar simplement amb l’acció, sinó que cal que hi hagi una intenció, un propòsit, i que, de mica en mica, en vagin tenint consciència. Comunicar és un altre pas que cal considerar, encara que en alguns nivells no és senzill fer-ho a través del llenguatge. Quan la mestra posa paraules al que estan fent, comunica no només amb les paraules, sinó també amb la seva actitud, que diu «m’interessa el que fas, per a mi ets important». Finalment, i no per ser la darrera qüestió és la menys important, cal fer sentir, és a dir, fer viure l’activitat, a partir de procurar que tingui relació amb alguna cosa que interessi a l’infant o perquè el fet de resoldre-la faci que se senti capaç i li aporti benestar. Sabem que la vivència i l’emoció són factors que afavoreixen l’aprenentatge. ‚

Tenir en compte aquests aspectes i compartir-los des dels zero fins als vuit anys ha de fer que els infants esdevinguin més autònoms i crítics i que reverteixi en un aprenentatge més efectiu. Trajectòries d’aprenentatge També treballem per posar a l’abast dels mestres un document que presenta les trajectòries d’aprenentatge identificades per Douglas Clements i Julie Sarama,1 organitzades de manera que es pot observar l’evolució en el temps de cadascuna de les onze trajectòries (quantitat i

juny 2019 99

nombre, comptatge verbal, orientació espacial, imatges i visualització espacial, formes, etc.) i la coincidència de les diverses trajectòries en un moment determinat. Pensem que aquest material pot ser un instrument molt útil a les persones que treballen amb mainada d’aquestes edats per situar l’aprenentatge en el moment evolutiu concret de cada alumne i, alhora, representa una ajuda per planificar situacions tan ajustades com sigui possible a les seves possibilitats. Impulsar la creació, conjuntament amb el MMACA, d’una comunitat de pràctiques amb l’objectiu de contribuir a l’aprenentatge de les matemàtiques en aquesta franja Volem compartir experiències molt diverses amb persones que treballen tant en l’educació formal com en la no formal per construir un discurs més articulat sobre diverses competències. Hi ha persones, entitats i grups que treballen entorn de les característiques dels espais, dels materials, de les formes d’intervenció, etc., adreçades a infants d’aquestes edats, i junts podem començar a recollir allò en què coincidim, contrastar els aspectes que valorem de manera diferent, així com identificar els aspectes sobre els quals encara no tenim un criteri format i experimentar els aspectes sobre els quals tenim dubtes. Considerem important trencar barreres entre l’àmbit escolar i el de l’educació no formal i informal per avançar conjuntament en propostes que ens ajudin a promoure de manera més encertada el pensament matemàtic dels més petits, i compartir-les amb tothom. Esperem fer realitat, entre tots, que a l’educació matemàtica dels més petits li hagi arribat l’hora.

Bibliografia [1] D. Clemens i J. Sarama (2015), El aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas a temprana edad: el enfoque de las trayectorias de aprendizaje.

mmaca

100100 noubiaix 44 44 noubiaix

juliol 2017 81

el racó del mmaca

El tangram egipci: diari de disseny Carlos Luna-Mota Museu de Matemàtiques de Catalunya, MMACA carlos.luna@mmaca.cat

Què és un tangram? El tangram que tots coneixem és un trencaclosques d’origen xinès format per set peces planes, cinc triangles i dos quadrilàters, amb les quals es poden crear un gran nombre de figures [Gardner, 1988].

Figura 1. Tangram xinès.

En la seva vessant més lúdica, el tangram s’acompanya d’un llibret on apareixen les siluetes de diverses figures, i el repte consisteix a recobrir completament cadascuna de les siluetes fent servir les set peces sense que sobresurtin de la figura o s’encavalquin entre elles. Sovint, les figures representen objectes o persones amb gran realisme, cosa sorprenent si tenim en compte la simplicitat geomètrica de les peces del tangram [Loyd, 2007].

Figura 2. Tangram xinès: silueta realista i solució.

juny 2019 101

Des d’un punt de vista educatiu, resulta interessant estudiar les propietats matemàtiques de les seves peces. Fent servir com a unitat de mesura el costat de la ? peça quadrada, es pot determinar que totes les longituds que apareixen són potències de 2, que tots els angles són múltiples de 45˝ i que totes les àrees són múltiples de 12 . També podem fer-nos preguntes sobre les figures que es poden formar amb les peces del tangram i demostrar que no és possible crear un triangle equilàter amb elles o que només tretze d’aquestes figures són polígons convexos [Hsiung, 2001].

Figura 3. Tangram xinès: les tretze figures convexes.

A mig camí entre la vessant lúdica i la purament matemàtica hi ha un bon grapat de reptes que autors com Sam Loyd o Henry Dudeney han incorporat als seus llibres d’enigmes. Potser els més destacables són les anomenades paradoxes, parells de figures que semblen iguals però tenen un tret distintiu que fa que sembli impossible que totes dues facin servir les set peces del tangram [Loyd, 2007].

Figura 4. Tangram xinès: paradoxa amb solució.

El tangram s’emmarca en una família més àmplia de trencaclosques, les disseccions, que consisteixen a tallar una figura en un nombre reduït de peces, de manera que, en reordenar-les, es formi una altra figura amb la mateixa àrea (sovint un quadrat). La majoria de disseccions, però, es limiten a buscar la manera més senzilla i elegant de transformar una figura en una altra sense tenir en compte la possibilitat de formar altres figures amb aquestes mateixes peces [Frederickson, 1997].

102 noubiaix 44

Figura 5. La dissecció dodecàgon-quadrat permet deduir que l’àrea del dodecàgon val 3R2 (on R és el seu radi).

Tanmateix, hi ha molts altres trencaclosques que segueixen la mateixa premissa que el tangram xinès: un nombre reduït de peces, de natura geomètrica senzilla, que donen peu a un gran nombre de figures interessants. Tots s’agrupen sota el nom genèric de tangram i se’ls afegeix un cognom que els distingeix. Així, a banda del tangram xinès, del qual ja hem parlat, trobem altres disseccions del quadrat, com ara el tangram japonès [Gardner, 1988] o el tangram Double Square [Stegmann, 2019].

Figura 6. Tangram japonès i tangram Double Square.

També trobem disseccions de ? rectangles de diferents mides, com ara el tangram V & Diamond [Ito,a2006], de proporcions 3 : 2, o el tangram de Brügner [Brügner, 1984], de proporcions 1 : φ.

Figura 7. Tangram V & Diamond i tangram de Brügner.

I fins i tot és possible trobar disseccions de figures corbes, com ara el tangram de l’ou o el tangram del cor [De Marchi, 2009].

Figura 8. Tangram de l’ou i tangram del cor.

juny 2019 103

Tots aquests tangrams comparteixen algunes propietats interessants que enumerarem a continuació i que mirarem de reproduir amb un nou disseny: el tangram egipci.

Com és un bon tangram? De tangrams n’hi ha de molts tipus. Alguns tenen molt poques peces, com ara el tangram de Brügner, que només en té tres. D’altres en tenen moltes, com l’Ostomachion d’Arquimedes, que en té catorze [Netz i Noel, 2009].

Figura 9. Ostomachion d’Arquimedes.

El nombre de peces d’un tangram és generalment reduït per diversos motius. D’una banda, és més fàcil construir i manipular un tangram amb poques peces que un que en tingui moltes. D’altra banda, és evident que, donats dos tangrams que tinguin el mateix grau de versatilitat, considerarem més interessant i enginyós el que tingui menys peces. D’altra banda, semblen més interessants els tangrams que permeten crear figures simètriques a partir d’un nombre senar de peces que no pas els que en fan servir un nombre parell. Així, no és estrany que la majoria dels tangrams tinguin cinc o set peces. De fet, cinc sembla un nombre interessant de peces, especialment si ens fixem en tres dels tangrams amb una millor ràtio de versatilitat per peça: el subtangram xinès (format per les cinc peces petites del tangram xinès), el tangram de la creu de Sam Loyd [Coffin, 2006] i el tangram dels cinc triangles [Brinnitzer et al., 2017, MMACA, 2018].

Figura 10. Subtangram xinès, tangram de la creu i tangram dels cinc triangles.

Si el nombre de peces és un factor important, el disseny d’aquestes peces no ho és menys. En general és desitjable que un tangram tingui poques peces repetides (o cap). També és raonable demanar que siguin totes d’àrea similar i d’igual complexitat geomètrica. Sovint aquestes dues propietats entren en conflicte. Per exemple, si comparem el tangram de la creu i el subtangram xinès veurem que el primer sembla millor pel fet de no tenir peces repetides però, d’altra banda, les peces del segon són totes triangles i quadrilàters convexos d’àrees similars, mentre que al tangram de la creu l’hexàgon còncau és set vegades més gran que el triangle petit.

104 noubiaix 44

Per tal de poder crear diferents figures és important que les peces es puguin encaixar de moltes maneres. Per això, a l’hora de dibuixar les peces és preferible fer servir segments de recta més que no pas corbes, que són més difícils de tallar i quedaran inevitablement relegades al perímetre de les figures. També és molt important que les longituds d’aquests segments siguin tan compatibles com sigui possible. Si portem a l’extrem aquesta darrera observació imposant la condició que tots els segments tinguin una mida que sigui múltiple d’una longitud donada, obtindrem peces formades per la unió de polígons regulars, com ara els dotze pentòminos (unió de cinc quadrats) o els dotze hexamants (unió de sis triangles equilàters). Aquest tipus de trencaclosques també són molt interessants però s’allunyen de l’esperit original dels tangrams [Coffin, 2006].

Figura 11. Els dotze pentòminos i els dotze hexamants.

Si som una mica més laxos amb les mides de les nostres peces podem permetre longituds del tipus a ¨ w ` b ¨ x, on w i x són nombres incommensurables i a i b són nombres enters. Si escollim w com a unitat ? de mesura (fixant w “ 1), x?serà, tot sovint, l’arrel quadrada d’un enter. Per exemple, x “ 2 al subtangram xinès i x “ 5 al tangram de la creu.

Figura 12. Costats incommensurables del subtangram xinès i del tangram de la creu.

Podem, també,?afegir un ? tercer terme, a ` b ¨ x ` c ¨ y, com passa amb el tangram dels cinc triangles (x “ 2 i y “ 5), o fins i tot un quart terme, a ` b ¨ x ` c ¨ y ` d ¨ z, però cal tenir en compte que com més termes tingui l’expressió, més difícil serà trobar un disseny que permeti que les peces encaixin entre si de moltes maneres diferents. Anàlogament, la commensurabilitat dels angles incrementa la versatilitat d’un tangram. De nou, busquem angles de la forma m ¨ α ` n ¨ β , on α i β normalment seran l’arc tangent d’una fracció. Al tangram xinès tots els angles són de la forma m ¨ arctan p 11 q, mentre que al tangram de la creu són de la forma a ¨ arctan p 10 q ` b ¨ arctan p 12 q. Una manera fàcil d’assolir un alt grau de commensurabilitat de costats i angles és dissenyar les peces a partir de la intersecció de dues o més retícules superposades [Coffin, 2006]. Una altra seria dissenyar les peces com a unió d’unitats bàsiques menors [Horn, 2016]. Si fem una mica d’enginyeria inversa, podem mirar d’endevinar quina estructura subjacent ha inspirat alguns dels tangrams dels quals hem estat parlant fins ara i ens adonarem que sovint només cal superposar dues o tres retícules per generar-los.

juny 2019 105

Figura 13. Retícules del subtangram xinès i del tangram de la creu.

Des d’un punt de vista pràctic, cal tenir en compte que, a l’hora de manufacturar o de fer servir un tangram, és millor evitar els angles massa petits (menors de 20˝ ) i els massa grans (majors de 240˝ ) perquè requereixen una gran precisió en el tall, tendeixen a trencar-se i són difícils d’encaixar. Més en general, evitar el tall de corbes i angles còncaus o evitar fer servir coordenades irracionals a l’hora de definir les peces són factors que faciliten la producció material d’un tangram. Tanmateix, és important que els angles i les longituds que són teòricament incommensurables siguin fàcilment distingibles, de manera que petits errors en la producció del material no enganyin l’usuari. És útil, doncs, que el tangram no tingui peces massa petites, ja que les seves proporcions es veurien afectades més severament per qualsevol petit error en el tall.

El tangram egipci Amb tot el que hem après fins ara, ja estem preparats per presentar un nou tangram i estudiar-ne les propietats. Aquest nou tangram va sorgir a partir de l’estudi d’alguns dels tangrams esmentats abans. Més concretament, de l’estudi del tangram de la creu i el tangram dels cinc triangles. L’observació clau va ser que bona part de la versatilitat d’aquests dos tangrams rau en un únic tall:

Figura 14. Tangram de dues peces.

Aquest senzill tangram de dues peces dona lloc a cinc figures matemàticament interessants: un quadrat, un trapezi isòsceles, un paral¨lelogram, un triangle rectangle i un quadrilàter irregular.

Figura 15. Cinc figures per al tangram de dues peces.

106 noubiaix 44

Probablement es tracta del tall més interessant que es pot fer en un quadrat amb vista a obtenir un tangram de dues peces, i sembla raonable fer-lo servir de base per al disseny d’un nou tangram. Podem preguntar-nos ara quin seria el següent millor tall que podríem afegir a aquest tangram de dues peces. Aquest tipus de disseny incremental voraç (on a cada pas triem l’opció que millora més el producte) no garanteix, en general, que trobem el millor dels dissenys possibles, però constitueix una bona heurística de disseny, especialment en dominis tan restringits com el que ens ocupa. L’exploració inicial permet destacar tres opcions que generen figures interessants, així que, a priori, podríem continuar el procés a partir de qualsevol d’elles.

Figura 16. Tres tangrams de tres peces i les seves retícules associades.

Una observació més detallada, però, revela que n’hi ha dues que comparteixen la mateixa retícula base i són, per tant, més compatibles entre si que no pas amb la tercera opció. A més, l’estrella de vuit puntes que apareix en aquesta retícula és una figura coneguda per les seves interessants propietats geomètriques [Pol i Borrell, 1998]. Sembla natural, doncs, explorar la interacció d’aquestes dues opcions.

Figura 17. Tangram egipci.

Si observem la figura resultant ens adonarem, per primera vegada, que tenim un candidat a tangram que compleix moltes de les propietats desitjables descrites a la secció anterior: ‚ ‚

Té un nombre raonable de peces (cinc) i són fàcils de definir i retallar. Totes les peces són polígons senzills (quatre triangles rectangles i un quadrilàter irregular).

juny 2019 107

Totes les peces són diferents però tenen àrees ? similars (concretament: 1, 4, 4, 5 i 6). Totes les longituds són de la forma: a ` b ¨ 5 (amb a i b enters) ‚ Tots els angles són de la forma: m ¨ 90˝ ` n ¨ arctan p 1 q) (amb m i n enters) 2 ‚ ‚

És hora, doncs, d’estudiar de manera més detallada les peculiaritats d’aquest tangram. Inicialment destaca el fet que quatre de les cinc peces poden descompondre’s en un conjunt ? de triangles rectangles congruents de proporcions 1:2: 5 (com també passa amb les peces del tangram de la creu).

Figura 18. Descomposició de les peces del tangram egipci i del tangram de la creu en triangles congruents.

El triangle gran no pot descompondre’s d’aquesta manera i trenca la regularitat del disseny. Es podria esperar que les seves proporcions fossin d’allò més irregulars sent com és l’excedent d’un patró regular. Res més lluny de la veritat: es tracta d’un triangle rectangle de proporcions 3:4:5, també conegut com a triangle egipci, i la seva sorprenent aparició en una composició ? dominada pels triangles del tipus 1:2: 5 és el motiu que ens ha portat a donar a aquesta dissecció el nom de tangram egipci. L’altra peça?que destaca, evidentment, és el quadrilàter. Tot i ser un quadrilàter irregular de ? costats 1:3: 5 : 5, no és difícil demostrar (tenint en compte que els seus angles oposats sumen 180˝ ) que el podem inscriure en un cercle. Aquest, de fet, no és l’únic cercle notable del tangram egipci: hi ha tres cercles més que passen pel vèrtex interior de la figura, i un d’aquests passa pel centre de tots els altres.

Figura 19. Quatre cercles notables del tangram egipci.

Si estudiem les mides de les peces trobarem una manera fàcil de referir-nos-hi. Tenim quatre triangles rectangles que anomenarem T1, T4, T5 i T6 en referència a les seves àrees, i un quadrilàter que anomenarem Q4 pel mateix motiu.

108 noubiaix 44

Amb x “

Peça

Àrea

Mides

Angles

1, 2, x

α, β , α-β

2, 4, 2x

α, β , α-β

x, 2x, 5

α, β , α-β

3, 4, 5

α, α-2β , 2β

1, 3, x, x

α, α-β , α, α ` β

? 5 » 2,236

α “ 90˝

` ˘ β “ arctan 12 » 26,565˝

Si ens fixem ara en les figures que podem crear fent servir el tangram egipci, trobarem que, malgrat que les seves peces són totes diferents i asimètriques, hi ha combinacions que són intercanviables o presenten algun tipus de simetria.

Figura 20. Equivalències i simetries.

Aquestes equivalències i simetries impliquen que la solució d’alguns dels reptes no serà única. La no-unicitat és una propietat poc desitjable en els trencaclosques en general, però força comuna entre els tangrams, ja que en aquest cas es valora més la versatilitat que proporciona la combinatòria de peces que no pas la unicitat de les solucions. El quadrat, en particular, té tres solucions essencialment diferents, però que tenen una interessant propietat en comú: en tots els casos, quatre dels sis angles rectes que tenen les peces resten a l’interior de la figura, mentre que dues de les cantonades del quadrat estan formades per una suma d’angles aguts. Aquest fet fa una mica més difícil i contraintuïtiva la resolució d’aquesta figura.

juny 2019 109

Figura 21. Tangram egipci: les tres solucions del quadrat.

A banda del quadrat, hi ha moltes altres figures que es poden formar amb el tangram egipci. A continuació presentem una selecció de les més interessants i animem el lector a intentar trobar totes les solucions possibles per a cada silueta. Altres reptes serien: trobar totes les figures amb solució única, trobar tots els quadrilàters que es poden formar amb les cinc peces o bé determinar quin és el mínim nombre de peces que cal moure per transformar una figura en qualsevol de les altres.

Figura 22. Tangram egipci: figures amb les cinc peces.

110 noubiaix 44

Si relaxem la condició de fer servir totes cinc peces, apareixen un bon grapat de nous reptes. En particular, si fem servir només els quatre triangles podem formar diverses figures geomètricament interessants. Tant és així que aquest conjunt de peces, que anomenarem el subtangram egipci, ja es pot considerar un trencaclosques notable per si mateix.

Figura 23. Subtangram egipci: figures amb els quatre triangles.

Altres reptes que impliquen un nombre variable de?peces són el de formar tots els possibles triangles rectangles semblants (de proporcions 1:2: 5):

? Figura 24. Sis triangles 1:2: 5 que es poden construir amb les peces del tangram egipci.

o resoldre les següents sumes de figures semblants:

= =

+ +

Figura 25. Suma de figures semblants: {T1, T4, T5, T6, Q4} = {T1, T5, T6, Q4} + T4 {T1, T4, T5, T6, Q4} = {T1, T4, T5, T6} + Q4.

Conclusions i futurs reptes L’estudi d’una família de trencaclosques, els tangrams, ens ha dut a comprendre les propietats que caracteritzen els millors representants d’aquesta família i, fixant-nos en els elements que tenen en comú dos d’aquests representants notables, a trobar un nou candidat a tangram, que hem anomenat tangram egipci. Les propietats geomètriques i combinatòries del tangram egipci permeten fer-ne un ús recreatiu i educatiu i el situen al nivell d’altres tangrams més coneguts.

juny 2019 111

A partir d’aquest treball s’obren diverses línies d’investigació: Aprofundir en l’estudi general de les propietats dels tangrams i definir un criteri objectiu que permeti avaluar la qualitat del seu disseny automàticament. ‚ Ampliar la cerca de nous tangrams per incloure-hi també els basats en retícules isomè? triques (angles múltiples de 30˝ i distàncies de la forma a ` b ¨ 3), com el tangram del triangle equilàter o el tangram de l’hexàgon regular, tots dos encara en fase de desenvolupament. ‚

Figura 26. Tangram del triangle equilàter i tangram de l’hexàgon regular.

Desenvolupar nous reptes per al tangram egipci: trobar noves figures de caire realista o geomètric, cercar parelles paradoxals, trobar tots els quadrilàters o totes les figures convexes possibles, etc. ‚ Dissenyar activitats matemàtiques relacionades amb el tangram egipci: teorema de Pitàgores, classificació de quadrilàters, estudi de triangles rectangles inscrits i quadrilàters cíclics, fórmules d’Heron i Brahmagupta, etc. ‚ Adaptar el tangram egipci a l’entorn museístic: triar un material resistent i agradable al tacte, determinar quines mides ha de tenir per poder ser manipulat fàcilment, escollir un subconjunt de reptes que resulti atractiu al públic potencial, afegir pistes visuals que ajudin a determinar les dimensions de les peces, etc. ‚

Figura 27. Prototip de tangram egipci al MMACA.

Finalment, volem puntualitzar que ens sorprèn que un trencaclosques tan conceptualment senzill com el tangram egipci no hagi aparegut prèviament en l’àmbit de la matemàtica recreativa. Per aquest motiu, estarem molt agraïts a qui ens aporti informació d’usos anteriors d’aquesta dissecció del quadrat. Els trencaclosques més propers al tangram egipci que hem trobat fins ara són el puzle egipci [Stegmann, 2019] i Tangents, un disseny de Jean-Philippe Rossinelli per a l’empresa Naef Spiele. El primer és una dissecció del quadrat estructuralment semblant al tangram de la creu, mentre que el segon afegeix un tall addicional al tangram egipci, que divideix les peces Q4, T5 i T6.

112 noubiaix 44

Figura 28. El puzle egipci i Tangents.

Referències [Brinnitzer et al., 2017] Brinnitzer, E., Collado, M., Panizza, G., Gallego, M., Pérez, S. i Santamaría, F. (2017). El juego en la enseñanza de la matemática. Actividades para los ejes: número, operaciones, magnitudes y medida, geometría, estadística y probabilidad. Biblioteca Didáctica. Noveduc. [Brügner, 1984] Brügner, G. (1984). «Three triangle tangram». BIT, 24(3). [Coffin, 2006] Coffin, S. (2006). Geometric Puzzle Design. AK Peters Series. Taylor & Francis. [De Marchi, 2009] De Marchi, I. (2009). El libro del tangram (3a ed.). Lulu.com. [Frederickson, 1997] Frederickson, G. (1997). Dissections: Plane and Fancy. Cambridge University Press. [Gardner, 1988] Gardner, M. (1988). Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. W.H. Freeman. [Horn, 2016] Horn, F. (2016). «The development of a tangram family». Game & Puzzle Design, 2(2). [Hsiung, 2001] Hsiung, C. (2001). Selected Papers of Chuan-Chih Hsiung. World Scientific [Ito, 2006] Ito, T. (2006). Tangraphy Series a Ito Puzzle Land. http://www.itooffice.com/puzzle/. [Loyd, 2007] Loyd, S. (2007). Sam Loyd’s Book of Tangrams. Dover Recreational Math Series. Dover Publications, Incorporated. [MMACA, 2018] MMACA (2018). «Para todas las edades: números, figuras y puzles». Suma, 89. [Netz i Noel, 2009] Netz, R. i Noel, W. (2009). The Archimedes Codex: How a Medieval Prayer Book Is Revealing the True Genius of Antiquity’s Greatest Scientist. Hachette Books. [Pol i Borrell, 1998] Pol, A. i Borrell, F. (1998). «Situacions-nucli, una manera d’organitzar els problemes de matemàtiques». Biaix, 13. [Stegmann, 2019] Stegmann, R. (2019). Assembly a Rob’s Puzzle Page. http://robspuzzlepage. com/.