Nou Biaix, 43

17460_coberta NouBiaix 43 (5 mm).pdf 04/04/2019 13:43:58 - 1 - ( )

43

43

noubiaix

f ee mcat Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya

ISSN 2014-2021

9 772014 202008

43

Desembre 2018

noubiaix

Revista de la FEEMCAT i de la SCM

Desembre 2018

17460_interiorcoberta Nou Biaix 43 (5 mm).pdf 04/04/2019 13:49:43 - 1 - ( )

17460_coberta NouBiaix 43 (5 mm).pdf 04/04/2019 13:43:58 - 1 - ( )

noubiaix sumari

43

noubiaix Revista de la FEEMCAT i de la SCM

Desembre 2018

noubi ix a

número 43

43

3 Editorial f ee mcat

ISSN 2014-2021

Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya

9 772014 202008

articles

43

Desembre 2018

Consell de redacció: Lluís Mora / Josep Lluís Solé (coords.)

Marianna Bosch Joan Carles Ferrer Joan Miralles Josep Pla Romà Pujol Manuel Udina

8 Evolutes 24 Com es mesuren les distàncies als estels 36 La història com a context per a l’enriquiment Agustí Reventós

© dels autors dels articles Coediten: Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques (FEEMCAT) Campus de Montilivi, edifici P-IV 17071 Girona feemcat.org Societat Catalana de Matemàtiques (SCM), filial de l’Institut d’Estudis Catalans Carme, 47 08001 Barcelona scm.iec.cat noubiaix@gmail.com sites.google.com/site/noubiaix

Joan Girbau

competencial de l’activitat matemàtica Xavier Vilella Miró

51 Take a walk on the math side Alejandro Valero

seccions

60 Per pensar d’un minut a una hora 64 El racó de l’oriflèxia Jordi Deulofeu

Periodicitat: semestral Nombre d‘exemplars: 1.700

El cub de Sonobe, la joia de Takahama i els deltaedres estelats Jaume Coll Guerrero

Fotografia de la coberta: Semicercles concèntrics Coral Carmona ISSN: 2014-2021 Dipòsit legal: B-22.314-2012 Impressió: Gráficas Rey

71 La comissió per a l’impuls de les conclusions del Segon Congrés Català d’Educació Matemàtica.

Fent camí cap al C EM 2020: com ens hi impliquem?

Cecilia Calvo, Antoni Vila

79 El racó de l’estudiant Fórmula general per a qualsevol nombre poligonal Víctor Conchello Vendrell

Edicions de la Universitat de Barcelona Adolf Florensa, s/n 08028 Barcelona Tel.: 934 035 430 Fax: 934 035 531 comercial.edicions@ub.edu www.publicacions.ub.edu

85 L’espai de les associacions 25 anys de FEEMCAT Elisabet Saguer Canadell

Fem Matemàtiques: d’un temps, d’un país Xavier Vilella Miró

95 A Juanjo Cárdenas Ballestero, in memoriam Xavier Vilella Miró

Normes per a la presentació de contribucions 1. La revista Nou Biaix accepta per a la seva publicació contribucions originals relacionades amb experiències didàctiques, activitats d’ensenyament i aprenentatge, escrits d’opinió, de divulgació i d’investigació en el camp de la matemàtica i el seu ensenyament en qualsevol nivell educatiu.

2. Les contribucions rebudes seran sotmeses a una avaluació prèvia a càrrec de dos especialistes reconeguts. L’acceptació de la publicació serà notificada directament a l’autor amb una indicació de la data aproximada de publicació. En cas que una comunicació no fos acceptada, també se n’enviarà notificació.

3. Per a la presentació de treballs originals, l’autor trametrà a l’adreça noubiaix@gmail.com un arxiu, en Word o en LaTeX, amb un document a doble espai i amb marges amplis (65 caràcters per línia). Els gràfics, diagrames i figures hauran de ser originals (no fotocopiats). Els arxius gràfics es presentaran en format eps o tif.

4. La contribució haurà d’incloure el títol, el nom de l’autor o autors, la seva adreça professional completa i la seva adreça electrònica. S’adjuntarà un resum no més llarg de 300 paraules en català i anglès. Al final del document s’inclourà obligatòriament la bibliografia per ordre alfabètic de cognoms, d’acord amb la normativa APA; exemples: Articles Albertí, M. (2002). Les Matemàtiques des d’una perspectiva cultural: Etnomatemàtiques. Biaix, 20, 6-25.

Llibres Godino, J., Font, V. (2003). Razonamiento algebraico para maestros. Granada: Universidad de Granada.

Capítols de llibres Edo, M., Revelles, S. (2004). Situaciones matemáticas potencialmente significativas. Dins M. Antón i B. Moll (ed.), Educación Infantil. Orientaciones y recursos (0-6 años) (p. 410/103-410/179). Barcelona: Praxis.

Actes de congressos Morales, M., Font, V., Planas, N. (2004). Estudio microetnográfico en torno a un conocimiento matemático situado. Dins A. Franzé i altres (ed.), Actas de la I Reunión Científica Internacional sobre Etnografía y Educación (CD-ROM). València: Germanía, Polis Paideia.

Pàgines web Ibanyez, A., Paolu, N., Pedreira, J. (2007). Reloj Binario de sobremesa, a Microsiervos. http://www.microsiervos.com/archivo/gadgets/reloj-binario-sobremesa.html

5. Els continguts de Nou Biaix estan subjectes —llevat que s’indiqui el contrari en el text, en les fotografies o en altres il.lustracions— a una llicència de Reconeixement-No comercial-Sense obra derivada 3.0 de Creative Commons, el text complet de la qual es pot consultar a http://creativecommons.org/ licenses/by-nc-nd/3.0/es/deed.ca. Així, doncs, s’autoritza al públic en general a reproduir, distribuir i comunicar l’obra, sempre que es reconegui l’autoria i l’entitat que la publica, i no se’n faci un ús comercial ni es difongui cap obra derivada.

6. Els articles es publicaran en llengua catalana. Només es traduiran al català les contribucions acceptades realitzades per autors no residents als Països Catalans.

7. Els autors es responsabilitzaran del compliment de les normes establertes per a l’autorització de la reproducció de material procedent d’altres fonts bibliogràfiques.

8. Els articles tindran una extensió d’entre 6 i 12 pàgines de text —és a dir, un total màxim de 12.000 caràcters—, incloses les notes a peu de pàgina. Podran anar acompanyats d’il·lustracions, sempre que no superin l’extensió de dues pàgines. En definitiva, tot complet —quan el text contingui quadres, figures, fotografies, gràfics, mapes, etc.— no podrà superar, en cap cas, les 15 pàgines.

9. Fem notar que en aquesta publicació s’utilitza preferentment el punt per separar decimals, en lloc de la coma recomanada per l’IEC, per tal de facilitar la comprensió de les expressions matemàtiques.

desembre 2024 5

articles

articles

8 noubiaix 43

Evolutes Agustí Reventós Departament de Matemàtiques Universitat Autònoma de Barcelona

Resum Aquest article és un resum dels resultats sobre la cicloide que van aparèixer en el famós treball de Huygens Horologium oscillatorium. En particular, veiem com va construir la tangent en un punt qualsevol d’aquesta corba i com, utilitzant el concepte d’evoluta d’una corba (envolupant de les normals), calculà la seva longitud. Manipulant derivades segones geomètricament (abans del càlcul diferencial de Newton i Leibniz) va trobar també els radis de curvatura de la cicloide i d’altres corbes com ara la paràbola.

Abstract In this paper we summarize the results on the cycloid appearing in Huygens’ famous work Horologium oscillatorium. In particular, we look at how he constructed a tangent at an arbitrary point on this curve and how, using the evolute of a curve (envelope of normals), he could calculate its length. In this way, geometrically manipulating second derivatives (before the differential calculus of Newton and Leibniz), he obtained the curvature radius at every point of the cycloid and of other curves, such as the parabola.

1. Definició i propietats més importants En aquest text veurem1 que una idea simple, desenrotllar un fil situat en una corba, ha estat el fil conductor, mai millor dit, de resultats matemàtics interessants. En particular, aquesta idea va ser central per calcular la longitud de la cicloide.2 Avui dia calculem longituds de corbes fent una integral. Guanyem molt, però també perdem el coneixement profund de la corba en qüestió. Potser és cert que les matemàtiques no es poden explicar seguint el desenvolupament històric, però, independentment de si s’ha de fer així o no, hi ha coses que els matemàtics no podem ignorar.

Recordem primerament la definició d’evoluta d’una corba plana.

1. Notes basades en la conferència pronunciada el 6 d’abril de 2018 en el marc de la IX Jornada «Les matemàtiques entre la secundària i la universitat», organitzada per l’ICE i el Departament de Matemàtiques de la UAB i que versava sobre el paper de la història en l’ensenyament de les matemàtiques.

2. L’interès per aquest càlcul durant el segle XVII era essencialment teòric. Tot matemàtic que volgués ser apreciat havia de contribuir al problema. Vegeu Las raíces del cálculo infinitesimal en el siglo XVII, de P. M. González Urbaneja [1].

desembre 2018 9

Definició 1.1. L’evoluta d’una corba plana és l’envolupant de les seves rectes normals.

La família de rectes perpendiculars a una corba donada constitueix una família uniparamètrica de rectes, ja que n’hi ha una per a cada valor del paràmetre de la corba. L’envolvent d’una família uniparamètrica de rectes és, per definició, una corba tal que les seves tangents són les rectes de la família. Aquesta corba és la que l’ull humà detecta en mirar les infinites rectes d’una família.

Així doncs, tenim dues corbes, la inicial i la seva evoluta, i unes rectes que són a la vegada tangents a una i normals a l’altra.

L’evoluta d’un cercle és el seu centre. L’evoluta d’una el¨lipse és una corba amb quatre vèrtexs, com indica la figura 1. Les quatre punxes corresponen als quatre extrems de la curvatura de l’el¨lipse.

Figura 1. Normals a l’eł¨ lipse.

Però en general les evolutes poden ser molt complicades, com mostren les dues figures següents.3 Cada punxa correspon a extrems locals de curvatura.

Figura 2. Evolutes.

La primera corba té la funció de suport pptq “ 5 ` sinp2tq i la segona, pptq “ 40 ` sinp6tq.

Recordem que la funció de suport pptq és la distància fins a l’origen de la recta tangent a la corba px ptq,yptqq en el punt de coordenada t. La relació entre px ptq,yptqq i pptq ve donada per 3. Fetes per Eduard Gallego.

10 noubiaix 43

x ptq “ pptq cosptq ´ p1 ptq sinptq yptq “ pptq sinptq ` p1 ptq cosptq En lloc de considerar una corba i les seves normals per construir l’evoluta, podem procedir al revés: començar per una corba sobre la qual hi ha embolicat un cordill i anar-lo desplegant mantenint-lo sempre tangent a la corba inicial. L’extrem d’aquest cordill descriu una corba que que s’anomena desenvolupada o involuta de la primera. Es veu fàcilment4 que el cordill és automàticament perpendicular a la desenvolupada. Per tant, la corba inicial és l’evoluta de la desenvolupada.

La figura següent mostra la figura que s’obté en desplegar un fil inicialment enrotllat al cercle mantenint-lo sempre tangent.

Figura 3. Corba desenvolupada del cercle.

Recordem que una manera d’introduir el radi de curvatura d’una corba en un punt és considerar el cercle que passa per aquest punt i per dos punts més de la corba pròxims a aquest i fer el límit quan aquests dos punts s’acosten al primer. Es diu, de manera imprecisa, que el cercle osculador és el cercle que passa per tres punts «consecutius» de la corba. El seu radi és el radi de curvatura i el centre és el centre de curvatura de la corba en el punt de contacte.

Si ara pensem que les normals a la corba en aquests tres punts, comuns a la corba i al cercle osculador, són aproximadament normals també a aquest cercle, és clar que podem dir que tres normals «consecutives» es tallen en el centre del cercle osculador. I tenim, doncs, el resultat següent.

Teorema 1. La longitud del tros de cordill desplegat és el radi de curvatura de la desenvolupada.

Equivalentment, l’evoluta d’una corba és el lloc geomètric dels seus centres de curvatura.

4. Huygens ho prova en la proposició I, part III de l’Horologium, [4].

desembre 2018 11

2. Huygens i l’Horologium Oscillatorium Christiaan Huygens (1629-1695) va ser un matemàtic, físic i astrònom neerlandès (va néixer a la Haia) del segle XVII i un dels científics més influents en la seva època. El seu pare va tenir un paper important en la revolta dels neerlandesos contra Lluís XIV i va mantenir correspondència amb Descartes, Mersenne i Galileu, tots tres implicats en la història de la cicloide.

El 1645 va anar a la Universitat de Leiden. Va millorar les lents dels telescopis, cosa que li va permetre descobrir els anells de Saturn. En el treball del 1651 Theoremata de quadratura hyperboles [2], publicat a Leiden, refuta la quadratura del cercle donada per Grégoire de Saint-Vincent.

En aquesta època es dedica a problemes de rectificació, quadratura, curvatura, determinació de centres de gravetat, tangents a corbes, valors extrems, etc. Però no disposa de les eines adequades del càlcul diferencial.

Figura 4. Christiaan Huygens.

El 1657 publica el que es considera com el primer text de probabilitat, De Rationiis in Ludo Aleae [3]. El 1673 publica el seu famós treball Horologium oscillatorium [4].

Figura 5. Figures de l’Horologium.

12 noubiaix 43

Buscant un rellotge de pèndol precís, s’adona que l’ha de construir de manera que el període sigui independent de les variacions d’amplitud en les oscil¨lacions. Busca una corba (la descrita per l’extrem del pèndol) que sigui tautòcrona.5 S’adona que això vol dir que el pes al final del pèndol ha de descriure una cicloide. Com que l’evoluta d’una cicloide és una cicloide (vegeu la secció 4.3), només hem de penjar el pèndol al vèrtex de dues cicloides invertides.

Defineix evoluta com la corba sobre la qual inicialment hi ha un cordill que es va desplegant; concretament, en la definició IV de la tercera part de l’Horologium diu: «Illa vero cui filum circumplicatum erat, dicatur Evoluta».

D’aquesta manera, desenvolupa una teoria general d’evolutes i involutes i dona una expressió geomètrica del radi de curvatura molt abans del càlcul diferencial de Newton i Leibniz. És a dir, manipula derivades segones geomètricament.

L’Horologium consta de les cinc parts següents:6 1. Descripció del rellotge oscil¨latori.

2. Caiguda de pesos. Cicloide.

3. Evolutes i longitud de corbes.

4. Centre d’oscil¨lació.

5. Construcció d’altres tipus de rellotge.

El 1693 estudia la superfície de revolució generada per la tractiu, posteriorment anomenada pseudoesfera per Beltrami, i veu que te la mateixa àrea i la meitat del volum que l’esfera del mateix radi.

2. La cicloide abans de Huygens La cicloide és la corba descrita per un punt d’una circumferència quan aquesta gira sobre una línia recta. Sembla que la primera menció d’aquesta corba la va fer Charles Bouvelles el 1501, quan tractava de quadrar el cercle per procediments mecànics. Vegeu The Helen of Geometry, de John Martin [6].

Pascal, a Histoire de la Roulette [7], diu que qui primer es va preocupar d’aquesta corba i li va donar aquest nom de roulette va ser Mersenne, però no la va estudiar. Es va limitar a proposar el seu estudi als savis de l’època, en especial a Galileu. Era aproximadament el 1615.

No obstant això, en una carta a Cavalieri del 1640, Galileu diu que ell va començar a estudiar aquesta corba fa cinquanta anys.

L’any 1634, aproximadament, Gilles de Roberval va demostrar que l’àrea sota un arc de cicloide és igual a tres vegades l’àrea del cercle generador. Aquest resultat havia estat intuït anys abans per Galileu, quan va pesar l’arc de cicloide i va comparar-lo amb el pes del disc generador. La demostració de Roberval és molt simple i es basa en el principi de Cavalieri i la corba companya de la cicloide. Vegeu [6].

5. Una corba tautòcrona és aquella per a la qual el temps que triga un objecte que llisca sobre ella a arribar al seu punt més baix (suposem que sense fregament i sotmès només a l’acció de la gravetat), és independent del punt de partida.

6. En aquestes notes només ens interessarem per la cicloide i les evolutes.

desembre 2018 13

Figura 6. La cicloide i la seva companya.

La companya es construeix traslladant cada punt de la cicloide cap a la dreta una distància igual a la determinada per la recta paral¨lela a la base que passa per aquest punt amb el semidisc generatriu. Així és clar, pel principi de Cavalieri, que l’àrea entre la cicloide i la seva companya és igual a p1{2qπR2 . Per simetria i novament pel principi de Cavalieri, es veu que la companya divideix el rectangle ABCD en dues regions d’àrea igual. L’àrea sota la companya és, doncs, πR2 . Per tant, l’àrea sota mitja cicloide és p1{2qπR2 ` πR2 “ p3{2qπR2 , que és el resultat de Roberval.

El primer que va demostrar que la longitud d’un arc complet de cicloide és igual a quatre vegades el diàmetre del cercle generador, va ser Christoffer Wren, el 1658.7 A Horologium, desprès, de la proposició VII, part III, Huygens fa uns comentaris històrics i diu: Aquest excel¨lent geòmetra anglès, Christopher Wren, va descobrir per primera vegada aquesta propietat de la cicloide [longitud] per un altre camí llarg, i després va confirmar el seu resultat per una elegant demostració, que ha estat publicada en un llibre sobre la cicloide pel més destacat dels homes, John Wallis.

[Parla, a continuació, de la contribució de Pascal que hem comentat a la pàgina 12 i li dona prioritat sobre el càlcul dels centres de gravetat, i acaba reivindicant un dels seus resultats tot dient:] [...] També he estat el primer a trobar la mesura [àrea] d’una porció de la cicloide, limitada per una línia paral¨lela a la base, a través d’un punt de l’eix, que es pren a una quarta part de la distància del vèrtex, la qual cosa, òbviament,8 és igual a la meitat de l’àrea de l’hexàgon equilàter inscrit al cercle generador [es quadra l’àrea perquè és igual a l’àrea d’una figura rectilínia].

Figura 7. Àrea sota la cicloide a 1/4 del vèrtex.

7. En donem una prova més endavant, en la secció 4.4.

8. Si la cicloide és x “ Rpt ´ sinpt qq,y “ Rp1 ´ cospt qq, llavors l’àrea demanada és ż t1 ż t1 xdy “ pt sinpt q ´ sin2 pt qqdt, t0

t0

? amb t0 “ 2π{3 “ ´t1 . El resultat d’aquesta integral no em sembla obvi, però els càlculs donen 3 3R2 {4, com diu Huygens.

14 noubiaix 43

4. La cicloide a l’Horologium Donem en aquesta secció els càlculs de la tangent, la normal, l’evoluta i la longitud de la cicloide tal com apareixen en l’Horologium.

4.1. Tangent a la cicloide El traçat de la tangent en un punt de la cicloide es basa en el lema tècnic següent.9 Lema 2 (lema previ). Per a qualsevol punt E de la cicloide tracem la paral¨lela a la base que talla la circumferència generatriu corresponent al punt màxim B en un punt G. Llavors EG “ arc GB. Demostració. Per tal com es construeix la cicloide, es compleix que AK “ arc EK. Però, clarament, arc EK “ arc GD. Anàlogament, AD “ arc DGB. Per tant, KD “ AD ´ AK “ arc DGB ´ arc GD “ arc GB

Figura 8. Proposició XIV de l’Horologium.

Com que KD “ EG, hem acabat.

l

Ara ja estem en condicions de construir la tangent. Ens basarem en la figura de la proposició XV de l’Horologium.

Figura 9. Proposició XV de l’Horologium.

Teorema 3. Amb la notació de la figura, la tangent a la cicloide en el punt B és la recta pel punt B paral¨lela a la recta AE.

9. En aquesta secció mantenim la notació de Huygens. La construcció de la tangent que dona Huygens és gairebé la mateixa que la de Descartes, que potser coneixia a través del seu pare, no ho sé; tot i que Descartes construeix primer la normal i després la tangent. No obstant això, la justificació del resultat és totalment diferent.

Huygens utilitza el lema 2 i Descartes imagina que el que gira no és una roda, sinó un polígon (i després imagina que el polígon té cent mil milions de costats!).

desembre 2018 15

Demostració. La paral¨lela a la base pel punt B (figura 9) talla la circumferència generatriu en el punt E. Prenem un punt H sobre la recta per B paral¨lela a la recta AE. La paral¨lela a la base per H talla la cicloide en L, a la circumferència generatriu en K i al segment AE en M. Sabem que KL “ arc AK. Es compleix també que MK ă arc KE.10 Per tant, ML “ MK ` KL ă arc KE ` arc AK “ arc AE “ BE “ HM. Com que ML ă MH, el punt H és exterior a la cicloide. Fem un argument semblant per al punt N de la figura. Per tant, la recta per B paral¨lela a AE només té un punt en comú amb la cicloide i és, doncs, la seva tangent. l

4.2. Normal a la cicloide Com que l’angle inscrit que abraça un diàmetre és recte, per traçar la normal a l’evoluta per B només hem d’unir B amb el punt de contacte K de la circumferència generatriu per B amb l’eix horitzontal.

Figura 10. Construcció de la normal.

4.3. L'evoluta de la cicloide Les construccions que acabem de comentar de la tangent i la normal permeten ara a Huygens veure que l’evoluta d’una cicloide és la mateixa cicloide traslladada. En efecte, si posem una cicloide sobra una altra, simplement traslladant-la, de tal manera que la base de la segona sigui la tangent al vèrtex de la primera, amb la circumferència generatriu desplaçada mig arc, llavors les tangents de la primera són perpendiculars a la segona (prop V, part III).

Figura 11. Proposició V, part III. 10. Huygens no en fa cap comentari, però aquesta desigualtat es dedueix del fet que =MEK ă =EMK (en tot triangle, al major costat s’hi oposa el major angle i, per tant, MK ă KE). Per veure que =MEK ă =EMK observem que =EMK “ =ADE perquè tenen costats perpendiculars i que =MEK és menor que l’angle que forma AE amb la tangent a la circumferència en E; però aquest angle és igual a =OED “ =ADE, on O és el centre de la circumferència.

16 noubiaix 43

En efecte, amb la notació de la figura i seguint Huygens, només hem de veure que la tangent BK (paral¨lela per B a HA) talla perpendicularment la cicloide de dalt. Això és degut a que si es considera la circumferència tangent a AK per K, amb el mateix radi que la circumferència generatriu, se sap, pel lema 2, que AK “ HB “ arc AH. Com que =EKA “ =KAH, es compleix que arc AH “ arc KE. Per tant, AK “ arc KE, la qual cosa implica que E pertany a la cicloide i per la propietat de com es traça la normal, secció 4.2, la recta EK és normal a la cicloide superior (i tangent a la inferior). La cicloide superior és, doncs, la involuta de la inferior, com es volia veure.

4.4. Longitud de la cicloide El dibuix següent (figura 12), d’una cicloide i la seva desenvolupada, o d’una cicloide i la seva evoluta, depèn de com es miri, demostra directament que la longitud d’un arc complet de cicloide és vuit vegades el radi del cercle generador.

Figura 12. Evoluta de la cicloide.

En efecte, la mitja cicloide ABC es desenvolupa des de A passant per ABC 1 fins a arribar a AC 2 . Com que el moviment de C genera la cicloide inferior, ha de ser AC 2 “ 4r i, per tant, ABC “ 4r.

Longitud d’un segment de cicloide En una carta del 1659 Huygens diu que el resultat de Wren és un gran invent perquè potser la cicloide és l’única corba que es pot rectificar, és a dir, que se’n pot calcular la longitud (trobar un segment amb la mateixa longitud que la corba), i a la mateixa carta diu que ha generalitzat el mètode de Wren. L’ha generalitzat en el sentit que sap calcular la longitud d’un segment arbitrari de cicloide, no necessàriament tot l’arc de cicloide.

Aquesta construcció l’explica molt bé Flemming Sloth a [9]. Huygens demostra, no a l’Horologium,11 amb la notació de la figura, que la longitud de l’arc d’evoluta AG és el doble de la longitud de la corda AB (que implica que la longitud de mitja cicloide AH és dues vegades el diàmetre).

11. Vegeu [5], vol. XIV, p. 363-367.

desembre 2018 17

Figura 13. Longitud de la cicloide.

Per a això traça la bisectriu AD de =BAC i considera el punt M projecció de D sobre l’eix.

Llavors demostra, fent una aproximació tipus Arquimedes, que podeu trobar a l’article de Sloth abans esmentat, que l’arc de cicloide GH és igual a quatre vegades MC. Com que MC “ 1 ´

AB , 2

com provem a la nota següent, tenim que arc AG “ arc AH ´ arc GH “ 4 ´ arc GH “ 4 ´ 4p1 ´

AB q “ 2AB. 2

Nota. [Propietat de cordes i bisectrius en un cercle] Huygens utilitza la igualtat MC “ 1 ´

AB , 2

on B és un punt qualsevol del cercle de diàmetre AC, D és la intersecció amb el cercle de la bisectriu de l’angle =BAC i M és la projecció ortogonal de D sobre el diàmetre AC. Suposarem que el radi del cercle és 1.

Figura 14. Cordes i bisectrius.

18 noubiaix 43

Això es pot veure així per la propietat dels angles inscrits, el triangle CDB és isòsceles amb angle α a la base. Pel teorema del sinus CD BC BC “ “ 2. “ sin α sinpπ ´ 2αq sinp2αq Com que també =CDM “ α, tenim que sin α “ MC {CD. Per tant, MC “ 2 sin2 pαq, i així 1´

AB “ 1 ´ cosp2αq “ 2 sin2 pαq “ MC. 2

l

5. Evoluta de la paràbola (Horologium) Huygens, per calcular l’evoluta de la paràbola,12 demostra que el centre de curvatura D de la paràbola en un punt B d’aquesta és el punt sobre la normal a la paràbola en B, la qual és fàcil de construir, a distància ρ “ BD “ BM ` 2BZ,

(1)

on Z i M són els punts d’intersecció de la normal amb els eixos de coordenades, com indica la figura.

Figura 15. Centre de curvatura en un punt d’una paràbola.

12. A la proposició XI de la part III de l’Horologium calcula evolutes en general i posa la paràbola com exemple.

desembre 2018 19

Per demostrar la igualtat (1), Huygens procedeix de la manera següent.

1. Primer traça la tangent a la paràbola per B. Per a això construeix K com la intersecció amb l’eix de la paràbola amb la recta horitzontal per B i a continuació determina H sobre l’eix amb la condició AH “ AK (vegeu la figura següent).

2. Ara utilitza una propietat coneguda de les paràboles que diu que les paràboles de latus rectum a (y “ ax 2 ) compleixen que KM “ 12 a, on M és la intersecció amb l’eix de la normal a la paràbola per B. Com que això és cert per a qualsevol punt de la paràbola, tenim també que LN “ 12 a, on N és la intersecció amb l’eix de la normal a la paràbola per un punt arbitrari F de la paràbola i L és la intersecció amb l’eix de la recta horitzontal per F. Això implica que MN “ KL. Observem que, amb la notació de la figura, també MN “ KL “ BP.

Figura 16. Reproducció de la figura de l’Horologium, proposició XI, llibre III.

3. Pel teorema de Tales des de G, intersecció de les dues normals, tenim que GB BO “ , GM MN amb O intersecció de la normal per F amb la paral¨lela a l’eix per B. 4. Com que farem tendir el punt F a B, podem suposar que F pertany a la tangent per B. Això està d’acord amb la definició de tangent com a límit de les secants. Apliquem ara el teorema de Tales al «triangle» HNF i tenim HN BO BO “ “ , HL BP MN

20 noubiaix 43

i, per tant, HN GB “ HL GM

(2)

5. Novament pel teorema de Tales, tenim que BZ MB “ .

AK MK Posant B “ pb,ab2 q, tenim: MB BZ “ ab2 a{2 Per tant, utilitzant (2) i com que HK “ 2AK “ 2ab2 , tenim ˆ

BZ “ 2b2 pGB ´ GMq “ 2b2 MG “ 2b2 MG

HN ´1 HL

˙

LN a{2 “ 2b2 MG .

HL KL ` 2ab2

Si ara fem tendir F a B, la qual cosa implica que KL Ñ 0 i G Ñ D, aquesta fórmula ens diu que BZ “

1 MD. 2

I, per tant, BD “ BM ` 2BZ, com volíem.

Figura 17. Evoluta de la paràbola.

desembre 2018 21

Per acabar aquesta nota, comentem sense gaire detalls alguns resultats més relacionats amb evolutes.

A. Càustiques Les càustiques també es poden considerar com evolutes, ja que tota càustica és evoluta de l’ortotòmica.

Recordem que la càustica d’una corba C respecte d’un punt O és l’envolupant dels rajos lluminosos provinents de O (focus), reflectits per C.

Figura 18. Càustica.

L’ortotòmica d’una corba C respecte d’un punt O és el lloc geomètric dels simètrics d’O respecte de les tangents a C. Es pot veure que aquesta definició és equivalent a la següent: l’ortotòmica d’una corba C respecte d’un punt O és l’envolupant de les circumferències amb centre sobre C i que passen per O.

Figura 19. Ortotòmica.

22 noubiaix 43

La figura mostra de manera intuïtiva que, en construir la càustica, el raig OP surt reflectit en la direcció de la recta O1 P. En el límit, quan O1 descriu l’ortotòmica, el diàmetre O1 P, per tant, ortogonal al cercle, és també ortogonal a l’ortotòmica.

Figura 20. Càustica i ortotòmica.

Per exemple, si la corba C inicial és un cercle i el punt O pertany a aquest cercle, la càustica és la cardioide.

Figura 21. Cardioide.

B. Evolutes de corbes de doble curvatura El primer article de Gaspard Monge (1746-1818) va estar dedicat a generalitzar el concepte d’evoluta de corbes planes al concepte d’evolutes de corbes a l’espai, corbes de doble curvatura amb la terminologia de l’època.

La definició de Monge és la següent: l’evoluta d’una corba x psq de l’espai és una altra corba ypsq (la involuta) tal que x psq està continguda en la desenvolupable tangencial13 de ypsq i la

corba.

13. La desenvolupable tangencial d’una corba és la superfície reglada formada per les tangents a aquesta

desembre 2018 23

tangent a ypsq pertany al pla normal a x psq en el punt corresponent. Si desenrotllem un cordill prèviament embolicat a ypsq, mantenint-lo en la superfície de les tangents, obtenim x psq.

Podeu trobar aquest tema desenvolupat a [8].

C. Evolutes de superfícies La generalització de la idea de considerar la família de rectes normals a una corba plana donada, la generalitza Monge al cas de superfícies. Veu que si considerem les normals a una superfície al llarg d’una línia de curvatura, obtenim una superfície desenvolupable, és a dir, una superfície reglada amb curvatura de Gauss zero, o, equivalentment, una superfície reglada tal que el pla tangent és constant al llarg de les generatrius. En aquest cas, totes les rectes són tangents a una corba, de doble curvatura, que es diu eix de regressió.

La distància al llarg de la normal entre la superfície i l’eix de regressió és el radi de curvatura principal.

Podeu trobar aquest tema desenvolupat a [8].

Bibliografia [1] Pedro Miguel González Urbaneja (1992). Las raíces del cálculo infinitesimal en el siglo XVII. Madrid: Alianza Universidad.

[2] Christiaan Huygens (1651). Theoremata de quadratura hyperboles, ellipsis et circuli, ex dato portionum gravitatis centro quibus subjuncta est exetatis cyclometriae Cl. viri Gregorii a St Vincentino. Leiden, p. 12-13. Dins Oeuvres completes, vol. XI, Travaux mathematiques.

La Haia, 1645-1651.

[3] Christiaan Huygens (1657). De Ratiociniis in Ludo Aleae. Leiden, p. 50-91. Oeuvres completes, vol. XIV (neerladès i francès). https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k77862v.r=’’22ratiociniis in ludo aleae’’?

[4] Christiaan Huygens (1673). Horologium oscillatorium, siue, de motu pendulorum ad horologia aptato demonstrationes geometricae. París: Apud F. Muguet.

[5] Christiaan Huygens (1889). Oeuvres complètes. La Haia: Société Hollandaise des Sciences.

[6] John Martin (2010). The Helen of Geometry. College Mathematics Journal, 41, n. 1: 17-27.

Premi George Pólya 2011.

[7] Blaise Pascal (1658). Histoire de la Roulette, appellée autrement La Trochoïde ou la Cicloïde. Dins Oeuvres de Blaise Pascal, Hachette 1914, p. 195-209.

[8] Agustí Reventós, Gaspard Monge (2018). Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques, 33.

[9] Flemming Sloth. Chr. Huygens’s Rectification of the Cycloid (1969). Centaurus, n. 3-4: 278-284.

24 noubiaix 43

Com es mesuren les distàncies als estels Joan Girbau Departament de Matemàtiques Universitat Autònoma de Barcelona

Resum L’objectiu d’aquest article és explicar en detall els mètodes que s’han usat al llarg de la història per a mesurar les distàncies que ens separen dels estels i de les galàxies. Hem procurat que l’explicació sigui comprensible per qualsevol estudiant de batxillerat i que, per tant, pugui servir als professors de matemàtiques i física d’aquest nivell educatiu per a oferir exemples d’aplicació de les matèries que imparteixen.

Abstract The aim of this paper is to expound in detail the methods used by astronomers to mesure distances between Earth and the stars and galaxies. As the explanation is made at the level of high school student, we hope that it can serve to secondary school teachers in mathematics and physics to provide interesting examples of the matters they teach.

1. Introducció Quan llegim que tal o tal altra galàxia és a quatre mil milions d’anys llum de nosaltres, ens podem plantejar la pregunta «i com ho saben?», perquè és evident que per mesurar distàncies a estels o a galàxies no podem emprar una cinta mètrica!

L’objectiu d’aquest article és presentar els mètodes que s’han fet servir al llarg de la història per estimar aquestes distàncies, mètodes que, potser no en la seva totalitat, però sí en gran part, són a l’abast dels coneixements dels alumnes d’ensenyament mitjà. Confiem que aquesta exposició motivi els professors de batxillerat a trobar enunciats interessants de problemes de les matèries de trigonometria i de física que imparteixen.

No cal dir que, per tal que la nostra presentació resulti fàcil i entenedora, farem les simplificacions que calguin.

desembre 2018 25

2. Història del problema del càlcul de distàncies Tot i que la història de l’astronomia potser és tan antiga com la de la mateixa humanitat, el mesurament de distàncies a estels és relativament recent.

Johannes Kepler (1571-1639) va descobrir, a través de les seves observacions, les famoses lleis que porten el seu nom i que governen el moviment dels planetes entorn del Sol. Aquestes lleis van servir perquè posteriorment Isaac Newton (1643-1727) formulés la llei de gravitació universal, de la qual es desprenen les primeres. Des de mitjan segle XVII fins ben entrat el XIX l’astronomia computacional va estar dominada per l’estudi de les posicions dels planetes, incloent-hi tots els detalls de les seves òrbites (excentricitat, període, distància al Sol, etc.). I també per l’estudi dels satèl¨lits dels planetes (incloent-hi la Lluna). Així com les investigacions sobre planetes que es feien en aquella època eren quantitatives i comportaven càlculs, els treballs sobre estels es limitaven a estudis descriptius, perquè aleshores els astrònoms no estaven capacitats per determinar les distàncies que ens separen de les estrelles.

La primera estimació d’una tal distància la va efectuar a les darreries de 1838 l’astrònom Friedrich Bessel (1784-1846), que va establir que l’estrella 61 de la constel¨lació del Cigne es trobava a 10,3 anys llum de nosaltres. Actualment sabem que aquesta distància és d’11,4 anys llum, que no difereix gaire de la que Bessel va establir. Al llarg del segle XIX i començament del XX els telescopis es van anar fent més potents i precisos i el mètode de Bessel va permetre mesurar distàncies cada vegada més grans. Però el mètode tenia un límit i no es podia esperar utilitzar-lo per mesurar distàncies més grans que els nou-cents o mil anys llum. Tanmateix, el 3 de març de 1912, en la circular interna número 173 de l’Observatori de Harward, es va fer públic un nou mètode per mesurar distàncies descobert per Hernietta Leavitt (1868-1921) que revolucionaria la història de l’astronomia.

El nou mètode va permetre passar de cop i volta dels mil anys llum a uns quants milions.

En la dècada dels anys vint del segle passat l’astrònom Edwin Hubble (1889-1953), utilitzant aquest mètode de Leavitt, va mesurar la distància que ens separa d’un grapat de galàxies i aquests mesuraments li van permetre formular una llei (llei de Hubble) que fa possible estimar distàncies de galàxies molt llunyanes, tot i que no de manera precisa, sinó només probable.

Finalment, a la dècada dels noranta del segle passat, dos equips independents, un d’ells liderat per Samuel Perlmutter i l’altre encapçalat per Adam G. Riess i Brian P. Schmidt, van descobrir un mètode que permet calcular de manera precisa distàncies a galàxies per sobre dels sis mil milions d’anys llum. Aquests tres investigadors van rebre el Premi Nobel de Física l’any 2011.

Procurarem en aquest article donar una idea (comprensible per a alumnes de batxillerat) de tot aquest recorregut històric.

3. Distàncies dels planetes al Sol Les tres lleis de Kepler són: 1. L’òrbita d’un planeta és el¨líptica, amb el Sol situat en un dels focus.

26 noubiaix 43

2. El segment rectilini que uneix el Sol amb un planeta escombra àrees iguals en intervals de temps iguals (llei de les àrees).

3. El quadrat del període d’un planeta és proporcional al cub del semieix major de la seva òrbita el¨líptica.

D’aquestes tres lleis, la que ens interessa a nosaltres de cara al càlcul de distàncies és la tercera.

Suposem que P i Q són dos planetes. Designem per aP i aQ , respectivament, els semieixos majors de les seves òrbites i per TP i TQ els seus períodes; és a dir, el temps que triguen a recórrer tota l’òrbita des d’un pas pel periheli fins al següent. Llavors la tercera llei diu: TQ2 TP2 “ “ K, a3P a3Q on K és una constant de proporcionalitat (la mateixa per a tots els planetes).

Dels planetes clàssics (Mercuri, Venus, la Terra, Mart, Júpiter, Saturn, Urà i Neptú), el que té més excentricitat és Mercuri, amb un valor de 0,3871. Els altres tenen excentricitats molt petites (menors que 0,1). Per tant, per fer més fàcil la nostra explicació, suposarem que les òrbites dels planetes són circulars (excloem Mercuri dels nostres raonaments). Així doncs, si P és un dels nostres planetes, d’ara endavant designarem per rP el radi de la seva òrbita, que suposarem circular (rP “ aP ). Com que podem saber per observació directa els periodes de tots els planetes, si coneixem el radi de l’òrbita de qualsevol planeta, aleshores la tercera llei ens permet conèixer el radi de la de tots els altres.

Posem un exemple a mode de problema. Sabem, per observació directa, que el període de Júpiter és de 4.332,59 dies i el de la Terra, de 365,2564 dies. Expresseu la distància de Júpiter al Sol en unitats astronòmiques (una unitat astronòmica és la distància de la Terra al Sol).

Abans d’entrar en la solució del problema convindria fer un aclariment: la durada de l’any que usualment es fa servir és de 365,2422 dies, però aquesta durada (coneguda com «any tròpic») és l’interval de temps que transcorre des que comença la primavera fins que torna a començar. Tanmateix, el període que s’ha de fer servir en la tercera llei de Kepler no és aquest, sinó el temps que triga la Terra entre dues passades consecutives pel periheli, que és lleugerament diferent (de 365,2564 dies).

Entrem ara en la solució del problema. Sigui d la distància de Júpiter al Sol que ens demanen.

Com que ens la demanen en unitats astronòmiques i en aquestes unitats la distància de la Terra al Sol val 1, la llei de Kepler ens diu: 365,25642 4332,592 “ , 1 d3 d’on d “ 5,2012.

Així doncs, tal com hem dit, si en el Sistema Solar coneixem la distància d’un planeta al Sol (per exemple, de la Terra al Sol), coneixem la distància de tots ells al Sol.

desembre 2018 27

Figura 1

Figura 2

Però com podem saber la distància de la Terra al Sol, és a dir, el valor de la unitat astronòmica?

La resposta és que la podem conèixer per mètodes trigonomètrics, tal com explicarem.

El planeta que està més a prop de la Terra és Venus quan els dos estan en conjunció (vegeu la figura 1). Quan això es produeix, és possible mesurar trigonomètricament amb notable precisió la distància entre la Terra i Venus. Considerem el segment rectilini que uneix el centre V de Venus amb el centre O de la Terra en el moment de la conjunció. Dels infinits plans que contenen aquest segment, escollim-ne un (el que vulguem), que designarem per p. Aquest pla p és el pla del dibuix de la figura 2. Sigui P el punt d’intersecció del segment VO amb la superfície de la Terra. Escollim ara dos punts A i B sobre la circumferència intersecció de la superfície terrestre amb el pla p, situats a la mateixa distància angular ψ del punt P, un a cada costat de P. Suposem que ψ ă 900 . En un mateix instant de temps dos observadors terrestres situats respectivament en els punts A i B observen el centre V de Venus i situen la seva posició a l’esfera celeste (posició respecte a les estrelles fixes). La posició que hauran determinat aquests dos observadors no serà la mateixa. En efecte, l’observador B haurà vist Venus en la direcció BV, mentre que l’observador A l’haurà vist en la direcció AV. Si tracem per A la paral¨lela a la recta BV (línia de punts de la figura 2) i designem per s aquesta recta, la diferència angular de la posició de Venus respecte a les estrelles fixes observada pels dos observadors A i B serà l’angle α que formen en A les rectes s i AV. Aquest angle és el mateix amb què un observador situat a V veuria el segment terrestre AB (angles alterns interns entre paral¨leles).

Sigui C el punt mitjà del segment AB (que serà també el punt d’intersecció de VO i AB). En el triangle rectangle ACV, tindrem: dpVC q “

dpAC q , tan α2

28 noubiaix 43

on dpVC q i dpAC q designen les distàncies de V a C i de A a C, respectivament. I en el triangle rectangle ACO tindrem: dpCOq “ r cos ψ , dpAC q “ r sin ψ, on r és el radi de la Terra. Així doncs, ˆ

dpVOq “ dpVC q ` dpCOq “ r

˙ sin ψ ` cos ψ . tan α2

(1)

D’aquesta manera tenim la distància dpVOq entre Venus i la Terra en el moment de la conjunció. Remarquem que en la fórmula (1) la distància angular ψ entre A i P i entre B i P l’hem escollida nosaltres per situar els observadors A i B sobre la Terra, i l’única cosa que han mesurat aquests observadors és l’angle α.

A partir d’aquest valor de dpVOq calculat trigonomètricament, podem obtenir el valor de la unitat astronòmica (radi de l’òrbita de la Terra) per la tercera llei de Kepler. En efecte, els períodes de Venus i la Terra (que coneixem per observacions astronòmiques directes que no involucren distàncies) són respectivament de 224,7008 i 365,2564 dies, i la tercera llei de Kepler diu 365,25642 224,70082 “ , 3 u pu ´ dq3

(2)

on u és el valor de la unitat astronòmica que busquem i d és la distància dpVOq entre Venus i la Terra en el moment de la conjunció calculada mitjançant la fórmula (1). El valor de u s’obté aleshores resolent l’equació (2), de tercer grau en u.

Si, a mode d’exercici, voleu aplicar aquest mètode amb valors numèrics versemblants, podríeu usar les dades següents: radi de la Terra = r “ 6.371 km; distància angular entre Q i B = ψ = 600 ; angle α mesurat pels observadors = 0,01527530. Amb aquestes dades us sortirà un valor u de la unitat astronòmica proper a la realitat.

Comentari. El mètode que acabem d’explicar per mesurar el valor de la unitat astronòmica té un petit inconvenient. Com que Venus és un planeta interior, quan la Terra i Venus estan en conjunció, Venus no es veu perquè, com que cau gairebé en la mateixa direcció del Sol, la claror d’aquest impedeix veure el planeta. El mètode descrit seria aplicable a Mart, que és un planeta exterior i, per tant, quan està en conjunció amb la Terra cau en direcció oposada al Sol. Però com que Mart està més lluny, l’error que es faria aplicant el mètode a Mart seria molt més gran. Tornem a la conjunció entre Venus i la Terra perquè és molt més interessant. Els plans de les òrbites d’ambdós planetes són molt pròxims l’un de l’altre, però no coincideixen exactament. Per aquesta raó, quan estan en conjunció Venus no passa exactament per davant del Sol. Però a vegades sí que Venus passa per davant del disc solar. Quan això s’esdevé, es parla de «trànsit de Venus» per davant del Sol. Els trànsits de Venus no són gaire freqüents.

En aquests trànsits, Venus és observable i es pot aplicar a la perfecció el mètode que hem descrit. Això és el que van fer els astrònoms en el trànsit que es va produir el 4 de desembre de 1639, i van obtenir un valor bastant aproximat de la unitat astronòmica, valor que van anar refinant en trànsits posteriors, sobretot en els de 1874 i 1882.

desembre 2018 29

Figura 3

4. Distàncies a estrelles, mètode de la paral¨¨laxi El procediment que acabem d’explicar per mesurar la distància de Venus a la Terra quan ambdós estan en conjunció no serveix per mesurar la distància a cap estrella perquè l’angle α entre les direccions en què dos observadors terrestres A i B veurien l’estrella seria completament inapreciable (obtindrien α “ 0). Però ara que coneixem el valor de la unitat astronòmica (distància de la Terra al Sol) estem en condicions de modificar una mica el mètode anterior per aplicar-lo al mesurament de distàncies a estrelles.

Malgrat que els estels tenen els seus moviments propis respecte al nostre Sol, estan tan lluny que nosaltres no apreciem aquests moviments sinó en el transcurs de molts anys. Les diferències entre les posicions en què nosaltres veiem una estrella en un curt període de temps es deuen més al nostre moviment de translació entorn del Sol que no al moviment propi de l’estrella.

Sigui E una estrella de la qual volem mesurar la distància a nosaltres i designem per S el Sol. D’acord amb el que acabem de dir, suposarem fixes les posicions de S i de E, però no la de la Terra (que gira entorn del Sol). Suposem de moment que la recta SE que uneix el Sol i l’estrella no és perpendicular al pla de l’òrbita terrestre entorn del Sol (anomenat pla de l’eclíptica).

Seria una vertadera casualitat que ho fos! Sigui p el pla que passa per S i és perpendicular a la recta SE, i sigui p1 el pla de l’eclíptica. Sigui r la recta intersecció d’aquests dos plans; r, per construcció, passa pel Sol i està continguda en el pla de l’eclíptica. Siguin A i B les dues interseccions de r amb l’òrbita de la Terra (que suposem circular). El mètode que estem descrivint consisteix a observar la posició de l’estrella E a la volta celeste quan la Terra passa per A i quan al cap de mig any passa per B (els punts A i B són diametralment oposats dintre de l’òrbita). Si l’estrella en qüestió no és massa allunyada, observarem que la seva posició ha canviat una mica. Sigui α (vegeu la figura 3) la diferència angular entre les dues posicions (les observades quan la Terra passa per A i per B). Aquest angle α coincideix amb l’angle amb què un observador situat a l’estrella E veuria el diàmetre AB de l’òrbita terrestre.

El triangle ASE és rectangle per construcció i el costat AS val una unitat astronòmica (recordeu que, en virtut de la secció anterior, en coneixem el valor). Per tant, tindrem:

30 noubiaix 43

sin

α 1 α 1 “ , tan “ .

2 dpAE q 2 dpSE q

D’on dpAE q “

1 1 . α , d pSE q “ sin 2 tan α2

(3)

Teòricament, dpAE q és la distància de l’estrella a la Terra i dpSE q, la de l’estrella al Sol. Com que α és extraordinàriament petit, ambdues distàncies coincideixen a la pràctica. L’angle α{2 amb què un observador situat a l’estrella veuria el radi de l’òrbita terrestre s’anomena «paral¨laxi» de l’estrella i el mètode que acabem de descriure es coneix amb el nom de mètode de la paral¨laxi, i és el que va usar Bessel l’any 1838.

La distància obtinguda per les fórmules (3) és expressada en unitats astronòmiques (per construcció). Si la volem en anys llum, hem de tenir en compte que un any llum equival aproximadament a 63.241 unitats astronòmiques.

En el cas que la recta SE que uneix el Sol i l’estrella fos perpendicular al pla de l’eclíptica (cas que hem exclòs), podríem aplicar exactament el procediment anterior, en què A és un punt qualsevol de l’òrbita terrestre i B, el diametralment oposat.

Ja hem dit en la secció 2 que per molt perfectes que siguin els instruments utilitzats per mesurar la paral¨laxi d’una estrella, aquest mètode no és utilitzable per a grans distàncies (superiors als mil anys llum). I també hem dit que l’any 1912 Henrietta Leavitt va descobrir un nou mètode que va permetre atènyer distàncies de milions d’anys llum. Abans d’explicar aquest mètode que va revolucionar l’astronomia i que va permetre que coneguéssim que l’univers s’expandeix i que té un principi (el Big Bang) que es va esdevenir fa aproximadament tretze mil milions d’anys, haurem, però, d’introduir alguns conceptes que necessitarem.

5. Lluminositat i brillantor dels estels S’anomena lluminositat d’un estel l’energia que emet per unitat de temps. S’anomena brillantor d’un estel l’energia que nosaltres rebem d’ell per unitat de superfície i unitat de temps. La brillantor d’un estel la podem determinar sempre experimentalment analitzant la intensitat de llum que, procedent d’ell, arriba al nostre telescopi. En canvi, la lluminositat no la podem conèixer si no coneixem la distància a què està l’estel.

Designem per L la lluminositat d’un determinat estel, per b la seva brillantor i per d la distància que el separa de nosaltres. Veurem fàcilment que aquestes tres magnituds estan relacionades per la fórmula següent: L “ 4πd2 b.

(4)

En efecte, sigui L l’energia que l’estrella emet entre els instants de temps t0 i t0 ` (on és una certa unitat de temps petita, per exemple, un segon). Aquesta energia es propaga

desembre 2018 31

radialment en totes direccions a la velocitat de la llum, que designarem per c, i arriba a tots els punts de l’esfera de radi d i centre l’estrella (esfera sobre la qual estem nosaltres). L’energia L que l’estrella ha emès entre els instants t0 i t0 ` travessarà aquesta esfera de radi d entre els instants t1 i t1 ` , on t1 “ t0 ` d{c. I, naturalment, aquesta energia serà igual a l’energia b que ha travessat l’esfera per unitat de superfície, multiplicada per la superfície de l’esfera, que és 4πd2 . Això demostra (4).

Per copsar la importància de la relació (4) resoldrem el problema següent.

L’estrella més brillant del firmament, observable des de l’hemisferi nord, és Sírius. La brillantor de Sírius mesurada amb un telescopi (amb fotòmetre incorporat) és b “ 7,5978703ˆ10´11bSol , on bSol és la brillantor del Sol. Sabent que Sírius és a 8,7 anys llum de nosaltres, calculeu la seva lluminositat en funció de la lluminositat del Sol. Agafem com a unitat de longitud la unitat astronòmica i com a unitat de lluminositat, la lluminositat del Sol. Apliquem la fórmula (4) al Sol: 1 “ 4π bSol .

Per tant, bSol “ 1{4π. Designem per b la brillantor de Sírius. Tindrem b “ 7,5978703 ˆ 10´11 bSol “

7,5978703 ˆ 10´11 .

4π

Apliquem ara la fórmula (4) a Sírius. Primer de tot hem d’expressar la seva distància en unitats astronòmiques. Com que un any llum equival a 63.241 unitats astronòmiques, 8,7 anys llum equivalen a 550.196,7 unitats astronòmiques. Designem per L la lluminositat de Sírius que busquem. Tindrem L “ 4π ˆ p550196,7q2 ˆ

7,5978703 ˆ 10´11 « 23.

4π

Per tant, Sírius és una estrella vint-i-tres vegades més lluminosa que el Sol.

6. Dades biogràfiques d’Henrietta Leavitt Henrietta Leavitt va néixer el 4 de juliol de 1868 a Lancaster, Massachussetts. Va estudiar en un college dependent de la Universitat de Harvard que s’anomenava Society for the Collegiate Instruction of Women i allà va obtenir un bachelor’s degree. Va assistir a cursos d’astronomia al Harvard College Observatory per graduar-se en astronomia, però mai no va acabar aquests estudis. Allà la van contractar com a dona calculadora.

Expliquem que en aquella època la feina mecànica de computació que ara fan els ordinadors la feien unes dones molt mal pagades, que no tenien el més mínim reconeixement científic.

Però el treball que li van encomanar a Henrietta no consistia a fer càlculs, sino a mesurar la brillantor dels estels que es fotografiaven en aquell observatori.

32 noubiaix 43

Tot i que les dones calculadores no podien aspirar a cap honor, ni científic ni de reconeixement social, l’any 1908 Henrietta va aconseguir publicar part del seu treball als Annals of the Harvard College Observatory. El seu article consistia en les dades de 1.777 estrelles situades en dues galàxies molt petites anomenades Gran Núvol de Magallanes i Petit Núvol de Magallanes, que són galàxies satèl¨lits de la nostra, la Via Làctia.

Els anys següents va anar revisant les dades d’aquelles 1.777 estrelles i, fixant-se només en 25 d’elles situades en el Petit Núvol de Magallanes, va fer el descobriment més important que s’havia fet en astronomia des de l’època de Kepler. Aquest descobriment, que aleshores no semblava tan absolutament transcendental com després ha resultat ser, va ser publicat l’any 1912 en la circular interna número 173 del Harvard College Observatory. Com que Henrietta Leavitt tenia una categoria laboral molt baixa dintre d’aquella institució, el treball no el va signar ella, sinó el seu cap, que es deia Edward Pickering. De totes maneres, aquest investigador va tenir la delicadesa d’escriure a l’article la frase següent: «The following statement regarding the periods of 25 variable stars in the Small Magellanic Cloud has been prepared

by Miss Leavitt».

Henrietta va morir el 12 de desembre de 1921 de càncer a Cambridge, Massachusetts. L’any 1925, quatre anys després de la seva mort, el matemàtic suec Mittag-Leffler, que no s’havia assabentat del decés, va escriure-li una carta en la qual li manifestava la seva intenció de proposar-la per al Premi Nobel de Física. Massa tard!

7. El descobriment d’Henrietta Leavitt Tal com acabem de dir, Henrietta Leavitt estudiava les fotografies astronòmiques que es feien a l’Observatori de Harvard i va participar molt activament en la confecció d’un catàleg de 1.777 estrelles variables situades als dos Núvols de Magallanes. Ara sabem (en aquella època no ho podien saber) que el Gran Núvol de Magallanes és una galàxia que es troba a 163.000 anys llum de nosaltres i el Petit Núvol de Magallanes, a 200.000, aproximadament. Entre totes les estrelles variables que va ajudar a catalogar, Henrietta es va fixar en unes quantes d’un tipus específic que s’anomenen variables Cefeides.

Aquest tipus d’estrelles, conegudes des del segle XVIII, es caracteritzen pel fet que la seva lluminositat varia de manera molt regular en un període curt de temps (de pocs dies). Reben aquest nom perquè la primera estrella d’aquest tipus que es va conèixer va ser l’estrella δ de la constel¨lació de Cepheus. La variació de lluminositat d’aquesta estrella va ser descoberta per John Goodricke el 1784. La variació de δ Cephei té un període molt exacte: 5 dies, 8 hores i 48 minuts. Això vol dir que la lluminositat de l’estrella ateny un màxim, després minva a poc a poc fins a atènyer un mínim, de cop i volta augmenta per tornar a atènyer el màxim, després torna a minvar, i així successivament. Doncs bé, entre màxim i màxim transcorren exactament 5 dies, 8 hores i 48 minuts.

Malgrat que el percentatge d’estrelles d’aquest tipus (en relació amb totes les altres estrelles) és baix, com que d’estrelles n’hi ha tantíssimes, de variables cefeides també n’hi ha moltes a l’Univers.

desembre 2018 33

Figura 4

Ara estem en condicions d’explicar què va fer Henrietta Leavitt. Va dibuixar dos eixos perpendiculars. Sobre l’eix de les x hi va col¨locar el període de les variables cefeides i sobre l’eix de les y, la lluminositat. D’aquesta manera, cada estrella variable cefeida que havia observat la va representar com un punt d’aquesta gràfica, el punt que tenia com a primera coordenada el període i com a segona coordenada la lluminositat d’aquella estrella. I va obtenir una gràfica com la de la figura 4, en la qual la lluminositat està mesurada agafant com a unitat la lluminositat del Sol. I va veure que el núvol de punts que així obtenia estava sobre una corba.

Per tant, va descobrir la llei següent: Llei de Leavitt. La lluminositat de les variables cefeides és una funció del seu període (funció donada per la gràfica de la figura 4, determinada de manera experimental).

En explicar això hem fet una mica de trampa per tal de fer més comprensible el relat. Direm ara quina trampa hem fet. Henrietta Leavitt va estudiar variables cefeides del Petit Núvol de Magallanes, que és una galàxia petita que ara sabem (aleshores no ho sabien) que es troba a 200.000 anys llum de nosaltres. Una distància completament impossible de mesurar per mètodes trigonomètrics. Així doncs, si ella no coneixia la distància d’aquelles estrelles, no en podia conèixer la lluminositat (d’acord amb el que hem explicat a la secció 5) i, per tant, no les podia representar, tal com hem explicat, en la gràfica de la figura 4. Però ella, amb una gran intuïció, va considerar que, com que totes les estrelles que havia observat pertanyien a una mateixa galàxia, totes estaven més o menys a la mateixa distància de nosaltres (la distància a la qual està la galàxia). En aquestes condicions les seves lluminositats eren proporcionals a les brillantors observades. Però ella no coneixia la constant de proporcionalitat. L’única cosa que podia fer, doncs, era dibuixar la gràfica de la figura 4 sense precisar les unitats emprades per la lluminositat a l’eix d’ordenades, unitats que depenen de la constant de proporcionalitat.

De totes maneres, això li va permetre enunciar la seva llei. Per calibrar exactament l’eix d’ordenades s’ha de fer una gràfica independent utilitzant només variables cefeides de les quals es conegui la distància a nosaltres per mètodes trigonomètrics.

Respecte a la gràfica de la figura 4, convé que fem encara l’aclariment següent: Aclariment sobre la gràfica de la figura 4. Les dues escales (tant la de l’eix d’abscisses com la de l’eix d’ordenades) són logarítmiques. La longitud entre dues marques consecutives és

34 noubiaix 43

de 0,25. Els valors de les marques de l’eix de les x són: 100,5 « 3, 100,75 « 5,6, 101 “ 10, 101,25 « 18, 101,5 « 32, 101,75 « 56, 102 “ 100. Les marques de l’eix de les y són: 102,75 « 562, 103 “ 1.000, 103,25 « 1.778, 103,5 « 3.162, 104 “ 10.000, 104,25 « 17.783, 104,5 « 31.623.

S’usen escales logarítmiques tant en els períodes (eix d’abscisses) com en les lluminositats (eix d’ordenades) perquè la gràfica surti lineal.

La llei de Leavitt ens permet calcular de manera molt precisa la distància a nosaltres de qualsevol estrella variable cefeida de la manera següent: 1) Observem el seu període mirant-la pel telescopi. 2) Mitjançant la gràfica de la figura 4 (llei de Leavitt) obtenim la seva lluminositat.

3) Mitjançant l’anàlisi de la llum que rebem d’ella a través del telescopi determinem la seva brillantor. 4) Com que aleshores ja coneixem tant la seva lluminositat com la brillantor, pel procediment explicat a la secció 5 determinem la distància.

Així doncs, per aquest procediment podem conèixer la distància de qualsevol variable cefeida, encara que estigui molt lluny. Observeu, però, que per aplicar el procediment a una variable cefeida llunyana s’han d’utilitzar totes les baules de la cadena històrica. No ens en podem saltar cap. En efecte: 1) Per determinar l’escala de la gràfica de la figura 4 cal aplicar el procediment a variables cefeides de les quals es coneix la distància, i això només ho podem aconseguir pel mètode de la paral¨laxi. 2) Per aplicar el mètode de la paral¨laxi a qualsevol estrella cal conèixer amb exactitud el radi de l’òrbita terrestre entorn del Sol, i per a això cal emprar la tercera llei de Kepler.

Ara ens podem preguntar per què és tan important el mètode de Leavitt si d’estrelles variables cefeides n’hi ha relativament poques. De què ens serveix poder conèixer amb exactitud la distància que ens separa d’elles? Doncs ens serveix per conèixer la distància de galàxies llunyanes. En efecte, una galàxia consta de milers de milions d’estrelles i entre elles segur que podrem localitzar algunes variables cefeides. Doncs bé, si en localitzem una (només una!) dintre d’una galàxia llunyana, pel procediment de Leavitt podrem mesurar la distància que ens separa d’ella i, per tant, la distància aproximada a la qual es troba la galàxia. Això és el que va fer Edwin Hubble (1889-1953) a la dècada dels anys vint del segle passat i va determinar d’aquesta manera la distància a què es troben un grapat de galàxies. Això va permetre constatar que l’Univers es dilata i que va tenir un principi (el Big Bang).

Ara bé, com més llunyana sigui la galàxia que observem, més difícil resultarà localitzar dintre d’ella una variable cefeida i mesurar-li el seu període i la seva brillantor. Per tant, el mètode de Leavitt no és aplicable a galàxies extraordinàriament llunyanes.

En relació amb la gràfica de la figura 4 i l’aclariment que hem fet, un possible problema que es podria proposar a estudiants de batxillerat seria el següent: trobeu una fórmula matemàtica que expressi la lluminositat L en funció del període de les variables cefeides i que aproximadament tingui per gràfica la de la figura 4.

8. Supernoves Cap al final del segle XX es va descobrir que les supernoves de tipus Ia es poden usar per mesurar distàncies a galàxies molt llunyanes per un mètode molt similar al de les variables cefeides. Les supernoves de tipus Ia no són gaire freqüents a l’Univers i sorgeixen ocasional-

desembre 2018 35

ment en els sistemes binaris d’estrelles quan una d’elles és una nana blanca de poca massa, al final de la seva vida, i explota per col¨lapse gravitatori i produeix una llum molt intensa. La seva lluminositat passa per un màxim i després va disminuint, i en el termini d’uns mesos es fa imperceptible. Resulta, però, que existeix una gràfica que relaciona els dies transcorreguts des de l’explosió inicial amb la lluminositat de l’estrella. Les supernoves de tipus Ia es poden usar, doncs, per mesurar distàncies, igual com es fa amb les variables cefeides, però amb l’avantatge que són extraordinàriament més lluminoses que aquestes. Això permet localitzar supernoves d’aquest tipus en galàxies molt llunyanes i calcular-ne la distància. El Premi Nobel de Física de 2011, tal com hem dit abans, va ser atorgat a Saul Perlmutter, Brian Schmidt i Adam Ries, directors de dos equips de recerca diferents (el de Perlmutter d’una banda, i el de Schmidt i Ries de l’altra) que van observar supernoves en galàxies molt llunyanes i van aportar evidències sobre el fet que l’Univers s’expandeix acceleradament.

36 noubiaix 43

La història com a context per a l’enriquiment competencial de l’activitat matemàtica Xavier Vilella Miró xvilella@xtec.cat Grup Vilatzara, ICE-UAB

Resum Els contextos ens ajuden a desenvolupar competència matemàtica d’alt nivell, prioritzant els significats i les relacions.

Presentem alguns exemples per a l’ESO que reforcen la idea que les matemàtiques són interessants, útils i sorprenents, i també assequibles en diferents nivells.

Partim de dades d’un poblat ibèric o d’una resta de ceràmica per realitzar reconstruccions usant eines matemàtiques.

Abstract Contexts help us develop high-level mathematical skills, prioritizing meanings and relationships. We present some secondary-school level examples that reinforce the idea that mathematics are interesting, useful and surprising, and also accessible at different levels. These take data from an Iberian settlement, or a piece of ceramics, for example, to perform reconstructions using mathematical tools.

Introducció La proposta que presentem és l’aportació del Grup Vilatzara a la IX Jornada «Les matemàtiques entre la secundària i la universitat», celebrada a la UAB l’any 2018. Està emmarcada en una línia de treball complexa basada en tres tipus de tasques ´activitats riques, petites investigacions i projectes´ que desenvolupen competència matemàtica (Bishop, 1999), i també en l’educació matemàtica realista (EMR) de l’Institut Freudenthal (Sol, Giménez i Rosich, 2007).

L’enfocament reflexiu (Brockbank i McGill, 2002; Perrenoud, 2004; Korthagen, 2001; Schön, 1983), que busca el nivell màxim de competència matemàtica ´seguint les recomanacions dels informes PISA´, és eficient perquè amb menys temps aconsegueixes millors resultats en termes de competència matemàtica, i permet:

desembre 2018 37

Establir els significats per damunt de la simple mecanització.

Prioritzar l’estudi de les relacions per damunt de la simple simbolització. ‚ Facilitar la transferència de coneixement d’un context a un altre. ‚ Desenvolupar processos matemàtics d’alt nivell. ‚ Desenvolupar competències matemàtiques en un context inicial atractiu i facilitador de la construcció de significats (pizzes i amanides, ofertes de telefonia mòbil, reconstrucció virtual d’edificis ibèrics, o de peces de ceràmica, etc.) per passar a un context totalment matemàtic, segons que el currículum ens ho demani. ‚ Aconseguir comprensió i fluïdesa en les dimensions de la competència matemàtica, és a dir, en els processos (resolució de problemes, raonament i prova, connexions, representació i comunicació), i alhora facilitar que cada alumne pugui assolir el nivell al qual pugui accedir. ‚ ‚

En aquesta proposta: Mirant objectes del nostre entorn amb mirada matemàtica, reconeixem la idea de variable i donem sentit a fórmules lineals. ‚ Constatem que la idea de proporció és molt útil per modelar fenòmens de l’entorn històric i que apareix quan relacionem mesures. ‚ Obtenim regularitats a partir de mesures conegudes i descobrim coses desconegudes mitjançant càlculs senzills: reconstruïm el passat amb l’ajuda de l’àlgebra. ‚ Les matemàtiques es mostren com unes eines magnífiques col¨laborant amb l’arqueologia. ‚

Contextualitzar l’activitat matemàtica a l’aula El fet que ningú discuteixi la importància de l’aprenentatge de les matemàtiques no vol dir que el nostre alumnat comparteixi aquesta opinió quan es veu obligat a dedicar a l’estudi de les matemàtiques moltes hores tant a classe com a casa. Convindria justificar d’alguna manera l’esforç que el professorat demana a l’alumne. Així tindria l’oportunitat de comprendre, amb la informació subministrada, per què ha de dedicar el temps i l’esforç que l’aprenentatge de les matemàtiques requereix.

Hi ha diverses maneres de fer realitat aquest propòsit. Una d’elles és contextualitzar les propostes que portem a l’aula. És clar que el context fa molt més que això, però no hauríem de menysprear el fet que pot donar sentit als continguts matemàtics que ensenyem. Bishop afirma que l’alumnat podrà transferir les matemàtiques que aprèn si desenvolupa un significat matemàtic que sigui dependent del seu entorn, és a dir, quan sigui capaç de connectar el seu coneixement amb el que reconeix en el món real (Bishop, 1985).

El context motiva i porta al descobriment, pot canviar actituds davant les matemàtiques (Boaler, 1993). El context facilita el plantejament de fer matemàtiques resolent problemes, promou la racionalitat, la construcció de conjectures que poden convertir-se en hipòtesis que faciliten el redescobriment matemàtic (Gravejmeier, 2007). També connecta sabers i entorns, facilita representacions, insinua models i ajuda a una bona comunicació de les idees matemàtiques. És a dir, desenvolupa les cinc dimensions de la competència matemàtica.

38 noubiaix 43

El Grup Vilatzara ha desenvolupat propostes contextualitzades, durant els últims vint anys, de diferents blocs de continguts, especialment de relacions i canvi ´concretament sobre àlgebra i dependència funcional´, estadística i geometria (Vilatzara, 2005, 2017). El format de les propostes és molt variat, des de tallers a la Sagrada Família de Barcelona (Vilatzara, 2015, 2017) fins a seqüències didàctiques per a l’ESO, passant pels Projectes Matemàtics (Sol, 1998, 2007) i Vilatzara (2001). Part d’aquestes produccions es poden trobar a la web del Grup Vilatzara en el portal de l’ICE de la UAB i a diferents publicacions com Matemàtiques i història al Maresme (Vilatzara, 2000, 2001, 2002) i ¿Es posible viajar con las matemáticas? (Vilatzara, 2006), llibre que recull sis propostes en les quals treballem la introducció a la trigonometria, les transformacions geomètriques, les coordenades cartesianes, les relacions quantitatives, les relacions numèriques, les fórmules i les equacions equivalents. També es poden trobar aportacions a congressos, com ara «Álgebra en contexto» (Vilatzara, 2009).

En aquest article presentaré, en nom del Grup Vilatzara, la proposta «Dels ibers a l’àlgebra», que forma part d’una seqüència didàctica d’iniciació a l’àlgebra i a la dependència funcional als primers cursos de l’ESO.

Reconstruir el passat perdut, usant eines matemàtiques: la proposta contextualitzada L’arqueologia utilitza freqüentment recursos matemàtics en el seu treball de recerca. La població que vivia en un poblat ibèric pot estimar-se a partir del nombre i la mida dels habitatges excavats, del nombre i el volum de les sitges per al gra, o dels recipients per al vi o l’oli, i/o pel fet que es disposi d’un edifici públic amb dues plantes, com és el cas del poblat d’Ilduro, a Cabrera de Mar. Es poden fer altres estimacions: l’alçària dels habitants es pot deduir de la que calculem per a les seves cases, o la composició de les unitats familiars es pot saber a partir de les superfícies dels habitatges.

Però del poblat només queden restes cobertes de vegetació, pedres alineades que marquen les parets d’algunes cases, restes de muralla i de torres de defensa, alguna base de columna

desembre 2018 39

per a l’edifici gran... Aquí és on entren en acció les eines matemàtiques a fi de facilitar la reconstrucció virtual del poblat.

A prop del poble de Cabrera de Mar, sota el castell de Burriac, hi ha un poblat ibèric que té més de dos mil anys: Ilduro. Fem una sortida de matemàtiques per visitar les restes que en queden i fer algunes activitats matemàtiques com ara mesurar, dibuixar croquis a escala, fer localitzacions en plànols, etc. Amb aquestes dades recollides pels diferents equips, treballem a l’aula i tractem d’estimar la població que hi vivia i de fer la reconstrucció virtual dels edificis del poblat. Usem el programa SketchUp, un programa per fer models en 3D, per a la reconstrucció virtual. Posteriorment, fem un taller de reconstrucció de peces de ceràmica a partir d’un fragment.

Mirant al nord des d’Ilduro veiem el castell de Burriac al cim del turó.

Utilitzem eines matemàtiques com l’escala, l’orientació, la funció lineal, l’estimació, algunes propietats de la circumferència, el pendent...

Disposem de plànols: de la zona geogràfica on es troba l’institut i de la zona arqueològica que hem d’estudiar; de la ruta per carretera i camins fins al poblat, i també del poblat ibèric excavat. Aquests plànols es treballen en aspectes de localització, orientació i escala. També cada equip disposa d’una cinta mètrica de 30 m i d’una de 2 m.

40 noubiaix 43

Pedres grans, alineacions, disposicions perpendiculars.

Preparació de la sortida A l’aula comencem per discutir el punt clau de la sortida: recollir les dades que necessitarem per fer la reconstrucció virtual de diferents edificis del poblat ibèric. Després debatem sobre l’ús dels plànols de diferents escales, el recorregut que farem amb autobús i el que farem a peu, i la informació que buscarem una vegada dins del poblat (direccions, punts de referència, distàncies, localitzacions de les muralles, l’edifici públic, les cases amb habitacions, les cases unifamiliars, l’entrada amb dues torres...).

L' entrada del poblat, amb la base de dues torres, una a cada costat.

Prenent mides per al croquis.

Un punt molt important és el reconeixement de restes ibèriques, diferenciant-les de parets i murs posteriors, que han fet servir durant segles tant pagesos com ramaders per preparar

desembre 2018 41

Convé portar guants a causa de l'estat actual del poblat.

A l'edi ci públic, l'alumne assegut usa la base d'una columna per seure...

terrasses en terrenys inclinats, per cerclar els ramats o bé construir cabanes per als estris o com a refugi en cas de tempesta.

Per poder fer aquesta identificació es mostren dues característiques que poden indicar l’antiguitat: en primer lloc, la mida de les pedres que formen la base observada (les restes ibèriques es componen sovint amb pedres de mides considerables que un pagès no usaria mai perquè no li sortiria a compte l’esforç de tallar-les i traslladar-les per fer un mur de contenció d’una terrassa per plantar-hi olivera o vinya); en segon lloc, els angles de 90˝ (en els murs de contenció no servirien de res, però es poden confondre amb cabanes més recents). El fet de situar-nos dins d’un poblat ja excavat ajuda molt a evitar confusions, però l’estat de deixadesa del poblat fa d’aquesta primera part un descobriment que no entusiasma l’alumnat.

El descobriment, un repte per a tothom Una de les preguntes clau que posa en marxa l’activitat és: com pot ser que els arqueòlegs puguin saber com era una casa o un edifici a partir de les restes de pedres que queden en una excavació? Les pedres marquen, insinuen la direcció de les parets que tenia l’edifici, però... i l’alçària? Buscant com s’ho feien els arqueòlegs, el Grup Vilatzara va conèixer el mètode usat i l’eina matemàtica indispensable per aplicar-lo.

Es basa en dos fets, un d’ells ben conegut i l’altre potser no tant. És ben sabut que un mur amb una base més ampla permet aconseguir més alçària. Una filera de maons, posat l’un damunt de l’altre, permet aixecar la paret 1 m aproximadament, i menys en un terreny que no sigui del tot pla; però si usem maons que tinguin una base amb el doble d’àrea, més quadrats, arribarem ben bé a 2 m sense que ens caiguin els de dalt. ‚ Els arqueòlegs coneixen des de fa molts anys aquest fet físic, que van aprendre dels arquitectes. En arquitectura, des de fa segles es calcula quina amplària ha de tenir el ‚

42 noubiaix 43

mur per arribar a certa alçària. Aquesta relació alçària del mur / gruix (H/E) ´que permet aconseguir amb seguretat que no caurà´ depèn, evidentment, dels materials usats, de les tècniques disponibles, etc. Això fa que al llarg de la història cada cultura hagi aconseguit edificis d’una certa alçària. El tipus d’edifici també determina la relació, ja que per a un edifici públic, amb més d’una planta (o per a una catedral o un palau en cultures posteriors), els arquitectes s’hi esforçaran molt més que per a una simple casa d’un poblat. Així doncs, arribem a la conclusió que cada civilització té una raó n entre alçària/gruix pròpia, entre dos marges que poden ser amplis però determinats a partir de les restes trobades d’aquella civilització. Per exemple, els poblats ibèrics d’Ullastret, Cerro de los Santos o Campello, que han conservat alguns edificis molt complets, ens poden proveir de les dades numèriques que ens permetin establir la raó de proporcionalitat buscada per la cultura ibèrica de la Península (Gracia, Munilla, García, 1994). Es va definir, per tant, un concepte de delimitació per a l’arquitectura ibèrica d’un mòdul constructiu segons un patró de mesures proporcional. Si considerem tant la part baixa de pedra com la de tovot del damunt, que culmina la paret, a un gruix (E q d’uns 0,40 m correspon una alçària entre 2,4 i 3,6 m. És a dir, un anomenat factor de resistència n de valors entre 6 i 9 que, per a edificis grans i alts, pot arribar a ser de 12. La fórmula, per tant, queda així: H “ n ¨ E.

Alguns exemples dels croquis a partir de la presa de dades sobre el terreny d’Ilduro: en els dos primers, d’una casa gran amb separació d’estances o bé habitacions. El tercer és l’edifici públic, amb dues columnes.

No estan a escala.

Aquesta feina de determinar la raó de proporcionalitat H{E la fa l’alumnat a l’aula a la vista de les dades d’alguns d’aquests poblats. Ha de calcular el factor de resistència per a habitatges (primera taula) i per a edificis grans (segona taula).

desembre 2018 43

Poblat ibèric

E (m)

H (m)

Cerro de los Santos

0,40

2,40

Sant Miquel de Llíria

0,43

3,00

Ullastret A

0,45

2,90

Ullastret B

0,40

3,60

Poblat ibèric

E (m)

H (m)

Cerro los Santos

0,60

7,40

Sant Miquel de Llíria

0,43

4,90

Ullastret A

0,65

7,90

Ullastret B

0,40

4,72

Factor de resistència n per a edificis petits

Factor de resistència n per a edificis grans

Aquest resultat per a n, calculat per l’alumnat, és el que usarem per a la reconstrucció virtual dels habitatges i l’edifici públic d’Ilduro a partir de les dades recollides in situ pels grups de treball.

Es produeix una discussió interessant sobre els diferents resultats de la raó que hem obtingut, el rang acceptable per a les nostres reconstruccions i el valor que usarem per a cada edifici del poblat. Aquestes discussions ens porten a debatre sobre l’ús d’eines matemàtiques en el món real, els errors i les estimacions, el grau de confiança que hem de donar a les conjectures, etc. La comparació amb el context purament matemàtic i la idea de demostració apareixen inevitablement.

Amb aquestes taules l’alumnat ha d’establir quina expressió ens donarà l’alçària del mur (Hq a partir de conèixer el gruix (E q. Passem, doncs, al llenguatge simbòlic més senzill, però que ja representa una relació entre variables.

Seguidament se’ls proposa d’esbrinar quines de les fórmules següents serveixen i quines no, i en cada cas han d’argumentar la resposta: H “E¨n

H“n¨E

H “ E {n

E “ H {n

H {E “ n

E “ n{H

Cal assegurar que l’alumnat troba més d’una manera de reconèixer quines fórmules són certes i quines no (per exemple, substituint valors numèrics iguals o aplicant propietats com la commutativa).

També se’ls demana que agrupin les que volen dir el mateix i expliquin per què creuen que se les anomena fórmules equivalents.

Per acabar aquest apartat, se’ls demana que trobin totes les fórmules equivalents a la següent: a “ b ¨ c.

44 noubiaix 43

Càlcul de l’alçària dels murs Una vegada han tornat del poblat amb les dades del gruix dels murs, cada equip calcula l’alçària estimada usant la fórmula lineal H “ n ¨ E Casa núm.

E pmq

n

Hpmq

1 2 3 4 En el cas del poblat d’Ilduro, hi ha un edifici públic de dues plantes que permet l’ús de la raó més alta. La presència de les bases de dues columnes i l’àrea de la planta ens indiquen la importància de l’edifici. Cal recordar que cal usar la raó corresponent segons si es tracta d’un edifici gran o petit.

Una ampliació: Rondelet A principis del segle XIX, Jean Baptiste Rondelet ´arquitecte que va acabar el Panteó de París´ va plantejar en el seu tractat sobre arquitectura (Rondelet, 1802) una fórmula que desenvolupa l’esmentada anteriorment (E “ H{nq i que porta a càlculs molt més rigorosos: E“

H L ¨? 2 n L ` H2

on apareix una variable afegida a les anteriors, L, que és la longitud del mur considerat.

Aquesta expressió, que, d’entrada, espanta els alumnes, ens permet ajudar-los a comprendre com s’han d’analitzar expressions complicades però que, ben mirades, contenen pistes sobre el seu origen. Per exemple, l’arrel quadrada de la longitud al quadrat més l’alçària al quadrat, què ens pot suggerir?

Per facilitar aquesta observació, podem fer un dibuix del mur, en el qual apareix ràpidament la idea de la diagonal considerada hipotenusa d’un triangle rectangle.

H L

Per tant, Rondelet pren en consideració la longitud del mur perquè un mur llarg presentarà més dificultats que un mur curt. Però la dificultat també depèn de l’alçària, per això busca la relació entre llargària i alçària i la troba en la diagonal del mur. Pitàgores està servit.

Lliguem el llenguatge simbòlic amb el món real.

Evidentment, a l’arquitecte li interessa el gruix per obtenir una alçària segura, mentre que per als arqueòlegs és a la inversa: volen l’alçària que correspon a un gruix mesurat. Per tant, s’imposa un aïllament que per als primers cursos de l’ESO resulta una mica difícil. Tot i així, és una bona oportunitat per donar sentit a aquestes manipulacions algèbriques tan habituals a les aules.

desembre 2018 45

Rondelet aplicat al nostre poblat Ara cada equip ha de calcular de nou les alçàries usant la fórmula de Rondelet. Utilitzen un full de càlcul en el qual van introduint les dades i van avançant en la resolució de la fórmula.

Això provoca errors i discussions sobre les prioritats de les operacions.

Casa núm.

E pmq

n

Hpmq fórmula senzilla

Lpmq

Hpmq fórmula Rondelet

1 2 3 4 En disposar de les dues alçàries calculades usant la fórmula lineal o bé la de Rondelet, s’obre un debat sobre el significat de les diferències, la versemblança, el marge d’error en cada cas, la millora obtinguda quan usem més variables i eines algèbriques més potents. Queda clar que el model proporcional només era una primera aproximació al fenomen, i que si volem un millor ajust a la realitat necessitem usar una fórmula no proporcional més complexa.

La reconstrucció virtual Ara toca usar l’eina informàtica per representar l’aspecte que podria tenir l’edifici estudiat.

La utilització del programa SketchUp és força intuïtiva i els equips no tenen grans dificultats per usar-lo. Cal ser exigents amb el rigor en l’ús de les mesures fetes i calculades, cosa que ens assegura que les proporcions seran correctes. El resultat els és sorprenent: els alumnes se sorprenen que hagin arribat a aconseguir aquesta imatge a partir d’unes pedres alineades i apilades al terra. Aquí es fa un pas en l’empoderament de l’alumnat i en la confiança en les matemàtiques com a eina per comprendre el món.

Dues de les representacions de la reconstrucció de l’edifici públic, la d’en Gerard i la de na Lia.

Un bocí de ceràmica L’alumnat, ara que ha vist les possibilitats de les matemàtiques per reconstruir un habitatge, comença a creure que podrem reconstruir una peça sencera de ceràmica a partir d’un bocí, encara que no imagina com ho farà.

46 noubiaix 43

Se subministra a cada equip un bocí de ceràmica que tindrà part de la boca o de la base.

Aquest detall és important per assegurar que podran situar el centre de la circumferència de la base o de la boca de la peça.

Curs rere curs, l’alumnat intenta trobar el centre a partir de l’arc de circumferència del tros de què disposen, però creuen que el trobaran usant la tangent a la circumferència i la seva perpendicular. Convé deixar-los que s’equivoquin, fins que s’adonin que el punt que cerquen queda situat com a tall entre rectes (dues cordes).

El pendent que identifica Quan vam saber com els arqueòlegs establien quina mena de peça tenien entre les mans a partir d’un petit trosset excavat, ens va sorprendre: el que identifica el tipus de peça és una relació entre dues variables, el diàmetre i l’altura de la vora. Van deduir empíricament aquesta relació quantitativa, la qual es basa en la idea del pendent de la recta imaginària que passa per la vora i pel centre de la base de la peça. És ben evident que es tracta d’una bona idea: altura/radi de la base és un bon indicador de la forma de plat, de bol o de gerra.

El primer que es planteja als alumnes és que trobin què és el que caracteritza un plat que fa que sigui ben diferent d’una gerra. Una vegada establert que no és el diàmetre o l’altura de la vora, sinó la relació entre les dues variables, se’ls demana si són capaços de determinar la relació que hi ha entre altura i diàmetre en el cas d’un plat, en el d’un bol i en el d’una gerra.

Les peces petites es poden treballar en DINA4.

h 2 7 El pendent que identifica: un plat.

Trobar el centre de la circumferència amb un mínim de rigor demana l'ús d'eines matemàtiques.

r

desembre 2018 47

Tenim peces grans, de sitges, que requereixen treballar amb paper d'embalar.

La boca de la sitja costa més de dibuixar amb exactitud.

Per a aquesta activitat cal disposar a classe d’un seguit de mostres de tots tres tipus de peces, perquè l’alumnat ha de generalitzar el que veu en cadascuna d’elles per arribar a la relació entre variables que busquem. La relació que utilitzen els arqueòlegs és la següent:

48 noubiaix 43

Clau d’identificació En el dibuix, exemples per a gerra, bol i plat altura de la vora gerra bol plat

Fórmules que identifiquen: Per a una gerra: altura ą diàmetre Per a un plat: altura ď 2{7 radi Per a un bol: altura ď 1{3 diàmetre Atenció al fet que en arqueologia s’usa el diàmetre en uns casos i el radi en d’altres. Els valors intermedis entre gerra i bol no els consideren perquè gairebé mai no apareixen peces amb aquests valors.

Per acabar El treball desenvolupat en aquesta seqüència que proposem permet treballar les proporcions, la geometria, l’àlgebra i la funció proporcional com a eines valuoses per matematitzar fenòmens o situacions de la vida real.

La proposta presentada engloba tasques riques i també una gestió rica de l’activitat a l’aula (Vilella, 2009, 2010, 2013). La matematització és una resposta coherent i modelitzadora d’un procés de demanda que permet la reflexió i la construcció col¨lectiva del coneixement, atès que desenvolupa competències matemàtiques dels nivells reflexiu i connectiu i facilita l’atenció a la diversitat (Gorgorió et al., 2002).

La gran importància del context en aquesta proposta demana un final metareflexiu que porti l’alumnat a reflexionar sobre què ha après, com ho ha après i com ho pot aplicar a noves situacions. Ja és a punt per al pas a la matematització vertical (Freudenthal, 1991), d’estructuració i simbolització.

Referències i bibliografia Bishop, J.A. (1985). The social construction of meaning. A significant development for Mathematics Education. For the Learning of Mathematics, 5(1), 24-29.

Bishop, J.A. (1999). Enculturación matemática. La educación matemática desde una perspectiva cultural. Temas de Educación, 49. Barcelona: Paidós.

desembre 2018 49

Boaler, J. (1993). The role of contexts in the matemathics classroom: do they make mathematics more real? For the Learning of Mathematics, 13(2), 12-17.

Brockbank, A., McGill, I.(2002). Aprendizaje reflexivo en la educación superior. Madrid: Morata.

Freudenthal, H. (1991). Revising mathematics education. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Goñi, J. M. (coord.)(2003). Contextos para el aprendizaje de las matemáticas. UNO. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 32, monogràfic. Barcelona: Graó.

Gorgorió, N., Planas, N., Vilella, X. (2002). Immigrant children learning mathematics in mainstream schools. Dins G. Abreu, A.J. Bishop, N.C. Presmeg (ed.). Transitions Between Contexts of Mathematical Practices. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 23-52.

Gracia, F., Munilla, G., García. E. (1994). Modelos de análisis de la arquitectura ibérica. Espacio público y construcciones religiosas en medio urbano. Cota Zero, 160, 14-21.

Gravemeijer, K. (2007). Emergent modelling as a precursor to mathematical modelling. Dins W. Blum, P. Galbraith, H.-W. Henn, M. Niss. (eds.) (2007). Modelling and Applications in Mathematics Education. The 14th ICMI Study. Nova York: Springer Science/Business Media, LLC, 137-144.

Korthagen, F.A.J. (2001). Linking Practice and Theory. The Pedagogy of Realistic Teacher Education. Londres: Lawrence Erlbaum Associates.

Perrenoud, P. (2004). Desarrollar la práctica reflexiva en el oficio de enseñar: profesionalización y razón pedagógica. Barcelona: Graó.

Romberg, T., De Lange, J. et al. (1999). Matemáticas en contexto. Wisconsin: Center for Maths Education/Enciclopedia Britannica.

Rondelet, J.B. (1802). Traité théorique et practique de l’art de bâtir. París: Chez Firmin Didot Frères, Libraires.

Santacana, J. (coord.) (2006). L’arqueologia o el diàleg amb els objectes. GUIX Elements d’Acció Educativa, monogràfic. Barcelona: Graó.

Schön, D.A. (1983). The reflective practitioner. Nova York: Basic Books.

Sol, M. (1998). Proyectos matemáticos en la ESO: cómo los evaluamos. UNO. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 17, 105-114.

Sol, M., Jiménez, J., Rosich, N. (2007). Competencias y proyectos matemáticos realistas en la ESO. UNO. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 46, 43-60.

Sol, M. (2008). Projectes matemàtics a l’educació secundària obligatòria. Tesi doctoral.

Vilatzara, Grup (2000). Matemàtiques i història al Maresme. Íbers i romans. ICE-UAB/Ajuntament de Mataró/Ajuntament de Cabrera de Mar.

50 noubiaix 43

Vilatzara, Grup (2001). Matemàtiques i història al Maresme. Modernisme. ICE-UAB/Ajuntament de Mataró/Ajuntament de Vilassar de Mar. Vilatzara, Grup (2002). MatemàtiquesihistòriaalMaresme.Torresdeguaita. ICE-UAB/Ajuntament de Mataró/Ajuntament de Cabrera de Mar/Ajuntament de Vilassar de Mar. Vilatzara, Grup (2001). Experiencias sobre proyectos e investigaciones matemáticas en secundaria. Números. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 46, 29-47.

Vilatzara, Grup (2005). Àlgebra a l’ESO per a tothom. Reinventant a partir del context. BIAIX, 24, 41-47. FESPM. Vilatzara, Grup (2006). ¿Es posible viajar con las matemáticas? Viaje y matemáticas. Colección Matemáticas y Entorno, 1. Badajoz: FESPM/ICE-UAB. Vilatzara, Grup (2009). Álgebra en contexto. Dins Actas de las XIV JAEM. Girona.

Vilatzara, grup (2009). Taller ¿Álgebra sin incógnitas? Una introducción competencial al álgebra. Dins Actas de las XIV JAEM. Girona.

Vilatzara, Grup, Martín, A., Vilella, X. (2015). Secretos guardados en piedra. Superficies regladas en la Sagrada Familia de Antonio Gaudí. Dins Actas de las XVII JAEM. Cartagena.

Vilatzara, Grup, López, A., Mas, B., Sol, M. (2015). Secretos guardados en piedra. Superficies regladas en la Sagrada Familia de Antonio Gaudí. Dins Actas de las XVII JAEM. Cartagena.

Vilatzara, Grup, Vilella, X, (2016). L’estadística, més enllà dels paràmetres. Dins Actes del Congrés d’Educació Matemàtica CE2 M. Barcelona.

Vilatzara, Grup, Sol, M., Vilella, X. (2017). Más allá de los parámetros. UNO. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 76, 32-38.

Vilella, X. (2007). Matemáticas para todos. Enseñar en un aula multicultural. Cuadernos de Educación, 53. Barcelona: HORSORI/ICE Universitat de Barcelona.

Vilella, X., Giménez, J. (2008). Teacher-researchers and encultured negotiation of meanings.

Dins Czarnocha, B. (ed.). Handbook of Mathematics Teaching Research. Cracòvia: University of Rzeszów.

Vilella, X. (2009). El diálogo en el aula de matemáticas como comunidad de prácticas. Dins Planas, N., Alsina, A (coords.). Educación matemática y buenas prácticas. Biblioteca de Aula, 257. Barcelona: Graó, 167-177.

Vilella, X. (2010). Enriquiment competencial de tasques matemàtiques. BIAIX, 28 i 29.

Vilella, X. (2013). Algunes claus del desenvolupament competencial a l’aula. Perspectiva Escolar, 367, 54-59.

desembre 2018 51

Take a walk on the math side Alejandro Valero avalero1@xtec.cat Institut Flos i Calcat (Nou Barris, Barcelona)

Resum En aquest article es presenta un projecte desenvolupat pel grup A de tercer d’ESO de l’Institut Flos i Calcat de Barcelona durant el curs 2017-2018. Amb el suport de l’aplicació Mobile History Map, l’alumnat crea un nomenclàtor matemàtic de la capital de Catalunya, un llistat i un mapa on s’indiquen els carrers i indrets de Barcelona amb noms relacionats amb les matemàtiques, i en clicar sobre cadascun d’ells s’accedeix a un joc de tres preguntes amb la ciutat i la nostra ciència com a protagonistes.

Abstract This paper presents a project developed by third-year Group A students at the Institut Flos i Calcat high school in Barcelona in the 2017-2018 school year. With the support of the Mobile History Map application, the students created a list and a map indicating the streets and places of the capital of Catalonia with names related to mathematics, where clicking on each one opens a game of three questions related to science and the city.

Del catet al carrer El de Pitàgores és, sens dubte, el més popular dels teoremes de les matemàtiques,1 i el nom del filòsof grec és un dels candidats indiscutibles a ser el més esmentat en una enquesta del tipus em podria dir vostè el nom d’un personatge matemàtic?

Comentant aquest fet amb l’alumnat de tercer d’ESO, vam detectar que aquesta popularitat arriba fins al punt que Pitàgores té un carrer dedicat a Barcelona, al nostre districte de Nou Barris: 1. Al llarg d’aquest escrit utilitzarem tant el terme matemàtiques com matemàtica; aquesta dualitat pot originar per si sola un debat i fins tot un article.

52 noubiaix 43

Encara més a prop del nostre centre educatiu, però ja al districte de Sant Andreu, coneixíem l’existència del carrer d’Arquímedes:

Així doncs i de manera natural, sorgeix a classe la qüestió quants carrers de Barcelona tenen nom de personatges de la matemàtica? I fem un pas més enllà: quants carrers de Barcelona tenen un nom relacionat amb la matemàtica?

El tema provoca interès i aturem les explicacions sobre catets i hipotenuses per tractar de contestar les preguntes anteriors. Hi ha respostes que apareixen a l’instant (Diagonal, Paral¨lel...), però, caram, som a la classe de matemàtiques i no ens conformem amb les solucions trivials. Per tant, ens donem una setmana de termini per tornar a classe amb un llistat de carrers, avingudes, places i similars que s’ajustin a les qüestions formulades. Per optimitzar aquest procediment i no anar a cegues sobre un plànol de Barcelona, utilitzarem el nomenclàtor de la ciutat en format digital, que ens permet determinar de manera ràpida si existeix o no un carrer anomenat, per exemple, del Rectangle, i en cas afirmatiu, indica la ubicació del lloc i fa una breu ressenya de l’origen de la denominació.

desembre 2018 53

Caçadors de noms Set dies després, fem el recull dels noms trobats. Molts d’ells provenen d’experimentar el mètode científic assaig-error en el nomenclàtor digital, però una part considerable també és fruit del coneixement propi de la ciutat i de la inspiració que aporten fets com anar de visita al CosmoCaixa i comprovar que la seva adreça és, quina casualitat!, el carrer de Newton.

El llistat, elaborat de manera conjunta per professor i alumnat, conté quinze indrets: Carrers: Arquímedes, Descartes, Euclides, Galileu, Hipàtia, Newton, Pitàgores, Triangle.

Avingudes: Diagonal, Meridiana, Paral¨lel. ‚ Places: Centre, Matemàtiques (en efecte, i per a sorpresa general, hi ha una plaça de Barcelona dedicada a aquesta noble branca del coneixement). ‚ Passatge: Igualtat. ‚ Jardins: Ada Byron. ‚ ‚

La tria dels noms no és tan simple com podria semblar i també és objecte d’un debat interessant. Així, per exemple, Galileu és reconegut bàsicament com a físic i astrònom, però l’acceptem dins d’aquest llistat per l’estreta relació d’aquestes disciplines al llarg del temps amb la matemàtica i perquè l’autor de la frase «el gran llibre de la naturalesa està escrit amb el llenguatge de les matemàtiques» s’ha guanyat aquest dret. Algú proposa rebatejar la plaça del Pi com a plaça de π i incloure-la al llistat; la proposta és divertida i dona un toc informal al conjunt, però finalment decidim que la llista ha de ser rigorosa i «un pi no és un π». Admetem, tot i que el motiu de la seva presència al nomenclàtor és ben diferent, el passatge de la Igualtat perquè aquesta paraula és polisèmica i té un significat matemàtic propi.

La proposta ha nascut gairebé per generació espontània, sense cap planificació prèvia perquè això passés així quan toqués el teorema de Pitàgores a classe, i ara comença a tenir vida pròpia. El currículum i la temporització ens empenyen a continuar amb els exercicis de càlculs

54 noubiaix 43

de catets, diagonals i distàncies, però hi ha un senyor Euclides i una senyora Hipàtia trucant a la porta de l’aula i interrogant-nos: no voleu saber per què també tenim un carrer a Barcelona?, quin paper tenim nosaltres en la història de les matemàtiques?, ja en teniu prou amb Pitàgores?

Llavors ens plantegem què fem amb aquest llistat i en aquest precís instant s’arriba a una situació d’aquelles en què es connecten els punts2 i la realització anterior d’un curs de formació del professorat provoca que tota la feina que hem fet fins ara esdevingui un veritable projecte.

Mobile History Map En efecte, el curs telemàtic Georeferenciació i Imatge Aèria ofert pel Departament d’Ensenyament inclou l’aprenentatge inicial de diferents eines, una de les quals és l’aplicació Mobile History Map (MHM), una plataforma que permet marcar punts d’interès sobre un mapa i a partir d’aquí crear escenaris de tres tipus: punts: descripció del lloc marcat jocs de preguntes: qüestions relacionades amb el punt georeferenciat ‚ jocs de pistes: trobar un lloc determinat a partir de les indicacions ‚ ‚

El que podia haver acabat en un bonic mapa de la ciutat penjat a l’aula amb la indicació dels carrers matemàtics, passa a ser un repte molt ben acollit per l’alumnat. Decidim que, per la naturalesa de la nostra matèria, el més adient és crear un joc de preguntes. El grup classe està format per vint-i-un estudiants, de manera que els agrupem en deu equips de dos més una persona que, voluntàriament, decideix treballar sola. Es procedeix a repartir els quinze noms; algun grup en farà dos, fet que en matemàtiques s’interpreta com una aplicació no bijectiva i en pedagogia, com a tractament de la diversitat.

2. En paraules de Steve Jobs, discurs a Stanford, 2005.

desembre 2018 55

Els punts georeferenciats en el joc de preguntes estan integrats per una petita introducció sobre el nom del lloc, les qüestions pròpiament dites en format «joc del penjat», en què s’han d’endevinar les lletres de la resposta, i un missatge de comiat i felicitació en contestar correctament, punt que permet afegir un vídeo de la xarxa. Fixem el nombre de qüestions en tres per carrer, així l’itinerari no resulta immediat ni massa llarg per arribar al final. Com a administrador de l’escenari, el professor supervisa la tasca dels alumnes i aquests poden georeferenciar i treballar amb llibertat els seus indrets, però no són visibles al mapa fins que el docent no dona el vistiplau i valida el punt. Hi ha casos en què les preguntes del joc flueixen ràpidament (Pitàgores, Triangle...) i d’altres de més complexos (Euclides, Ada Byron...) en què el professor actua com a inductor. La cerca de vídeos relacionats amb cada tema a Youtube esdevé una activitat molt engrescadora i ens permet descobrir filmacions suggestives sobre el món de la matemàtica.

Les imatges següents il¨lustren les fases de creació del punt en el cas de la plaça de les Matemàtiques: 1) Descripció

56 noubiaix 43

2) Joc del penjat

3) Felicitació i vídeo

El nom també fa escenari Un cop revisades les descripcions, les preguntes, les imatges i la resta de qüestions associades, es dona validesa als diferents carrers i el projecte ja està preparat per ser presentat en societat i fer-lo visible a l’MHM. Però encara falta un detall no menor: el nom de l’escenari.

Hi hem dedicat una hora setmanal durant un trimestre, de les corresponents a les classes ordinàries de matemàtiques, i durant tot aquest temps hem treballat amb el nom provisional d’Esborrany Flos. Una denominació definitiva força natural podria ser Nomenclàtor matemàtic de Barcelona, però sembla massa austera. La idea de fer un tomb virtual per Barcelona seguint els carrers de l’escenari unida a les fílies musicals pròpies del professor porten cap a Take a walk on the math side i, en una mena de transversalitat atemporal, reunim Descartes amb Lou Reed.

desembre 2018 57

Es pot observar que a la dreta del menú contextual superior hi ha una pestanya que permet triar l’idioma: català, castellà, anglès o aranès. Nosaltres hem incorporat a l’escenari els tres primers; la traducció entre aquestes llengües no és un servei automàtic de l’MHM, sinó que és una tasca que correspon als estudiants creadors del punt, que, com a gestors de la georeferència, són juntament amb el professor els únics que poden editar-lo.

Local i global En el moment en què ja s’ha fet visible, hem jugat amb l’escenari a diferents classes i podem concloure que és adient per a aquestes situacions: Activitat divulgativa en finalitzar un tema o un trimestre: Centre, Igualtat...

Motivació per a la recerca de temes més enllà del currículum: mesura dels meridians, les dones en la història de la ciència... ‚ Visualització de les matemàtiques a partir dels fets i els personatges que han marcat el seu desenvolupament. ‚ ‚

La confecció de l’escenari ha arribat al final. Ni d’entrada ni al llarg del procés ens hem plantejat el treball com la redacció d’un catàleg exhaustiu de carrers, de manera que sens dubte encara s’hi podrien afegir altres indrets si busquéssim amb més intensitat i ampliéssim el concepte de «relacionat amb la matemàtica». En aquest sentit, podríem dir que el projecte roman obert, però alhora està lligat al grup classe que l’ha fet possible, i és el moment de fer balanç. L’opinió generalitzada entre els estudiants és positiva: consideren que han pogut integrar nocions sobre les persones i la gènesi de les idees matemàtiques en el context històric corresponent i també han aprofundit en el coneixement de la ciutat. Com a responsable, he observat que ha estat una tasca motivadora per a ells i també per a mi, ja que el projecte m’ha permès parlar amb l’alumnat, a tall d’exemple, del significat de la paraula postulat i de l’evolució de la notació matemàtica. Tot això hauria quedat en el calaix dels temes perduts si no haguéssim continuat endavant amb el llistat de carrers.

58 noubiaix 43

Distingeixo tres fases en la realització del projecte i a cadascuna li dono un valor afegit: Documentació: cerca d’informació sobre el nom del carrer; aporta conceptes sobre història de les matemàtiques i sobre la ciutat de Barcelona. ‚ Digitalització: ús de la tecnologia per incorporar allò que s’ha treballat en l’etapa anterior a la plataforma MHM, amb l’afegit d’imatges i vídeos. ‚ Difusió: publicació de l’escenari a l’MHM. ‚

Una de les característiques principals de la matemàtica és la universalitat dels seus continguts.

Amb Take a walk in the math side hem utilitzat la georeferenciació com a eina divulgativa de les matemàtiques i, per aquest motiu, considero que la darrera fase esmentada és la que veritablement dona sentit al nostre treball, ja que permet que un projecte nascut en un petit institut de Barcelona passi a ser conegut i utilitzat per tota la comunitat educativa, se’l faci seu, i aporti més situacions en què sigui una eina auxiliar i complementària a les classes.

Pensa localment i actua globalment... O potser era a l’inrevés?

Referències Aplicació Mobile History Map: http://mschools.mobileworldcapital.com/ca/iniciatives/mobilehistory-map/ Nomenclàtor de Barcelona: www.bcn.cat/nomenclator/ Vídeo de presentació del projecte: http://agora.xtec.cat/iesflosicalcat/estudis/eso/take-awalk-on-the-math-side/ Escenari Take a walk on the math side: http://mhm.mobileworldcapital.com/ca_ES/escenari/ 327/showedit Boyer, Carl B. (1986). Historia de la matemática. Madrid: Alianza Universidad Textos.

juny 2016 111

seccions seccions

cions 16336 Nou Biaix 38, pàgina 93, 26/05/2016

pensar

noubiaix43 43 6060noubiaix

per pensar d’un minut a una hora Jordi Deulofeu Departament de Didàctica de les Matemàtiques i les Ciències Universitat Autònoma de Barcelona jordi.deulofeu@uab.cat

Recentment he tingut l’oportunitat de revisar el que fou el meu primer llibre de divulgació matemàtica, un llibre de recreacions matemàtiques, històries on les matemàtiques tenen una paper rellevant i reflexions sobre l’interès dels problemes per l’ensenyament de les matemàtiques. Feta la revisió i després d’actualitzar o canviar alguns problemes que havien quedat fora de context, he tingut l’avinentesa de publicar novament aquesta obra ‘‘primerenca’’, aquesta vegada en dos volums: el primer amb el títol La magia de los números i el segon titulat Relojes, medidas y calendarios. Tots dos formen part de la col¨lecció Retos Matemáticos, publicada conjuntament per les editorials Salvat i Gedisa, a qui agraeixo la possibilitat de recuperar uns materials que ja eren molt difícils de trobar. En aquesta col¨lecció han reaparegut, entre d’altres, diversos llibres del gran Martin Gardner, que sempre val la pena rellegir.

Així doncs, aprofitant l’efemèride esmentada, en l’article d’avui us proposo alguns dels problemes que apareixen en el primer dels volums, juntament amb algun altre que tenia entre mans per substituir els que havia eliminat, però que al final no hi ha cabut. Desitjo que gaudiu dels problemes i, si en voleu més, aquesta vegada ja sabeu on trobar-los. § Problema 1. Una curiositat numèrica: 1{27 “ 0,037037037 . . . , mentre que 1{37 “ 0,027027027 . . . És bonic, oi? Esbrineu què tenen d’especial el 27 i el 37, i trobeu altres parelles que tinguin relacions similars. Aquesta curiositat, podríem explicar-la, de manera general, dient que a un nombre li fem alguna cosa (en aquest cas, considerar l’invers i expressar-lo en forma decimal) i el resultat obtingut correspon a un altre nombre que, si li fem la mateixa cosa, ens donarà el primer.

La relació anterior em recorda els nombres amics, que són aquells la suma dels divisors propis d’un dels quals ens dona l’altre. El primer parell de nombres amics és el format per 220 i 284 i ja era conegut pels antics pitagòrics, que associaven a aquest parell de nombres propietats màgiques. En efecte, són dos nombres amics perquè, d’una banda, la suma dels divisors propis de 220 és: 1 ` 2 ` 4 ` 5 ` 10 ` 11 ` 20 ` 22 ` 44 ` 55 ` 110 “ 284; de l’altra, la suma dels divisors propis de 284 és: 1 ` 2 ` 4 ` 71 ` 142 “ 220. Altres parells de nombres amics són: 1.184, 1.210; 2.620, 2.924; 5.020, 5.564, i 6.232, 6.368.

desembre 2018 61

Diversos matemàtics àrabs van fer descobriments rellevants en relació amb aquests nombres.

En concret, l’iraquià ?ābit ibn Qurra, al segle IX, va proposar i demostrar la conjectura següent, que proporcionava un mètode per trobar nombres amics: si p “ 3 ¨ 2n´1 ´ 1, q “ 3 ¨ 2n ´ 1, r “ 9 ¨ 22n´1 ´ 1, són tres nombres primers (n ą 1), llavors resulta que: 2n ¨ p ¨ q i 2n ¨ r formen un parell de nombres amics. Aquesta expressió dona, per a n “ 2, el parell (220, 284); per a n “ 4, el parell (17.296, 18.416), i per a n “ 7, el parell (9.363.584, 9.437.056), però no s’han trobat altres parells amb aquesta configuració. Els nombres de la forma 3 ¨ 2n ´ 1 reben el nom de nombres de Tābit.

A partir dels nombres amics es pot establir la idea dels anomenats nombres sociables. Un conjunt de tres o més enters tals que el segon sigui igual a la suma dels divisors propis del primer, el tercer sigui igual a la suma dels divisors propis del segon i així successivament fins a tancar el cicle de manera que el primer sigui igual a la suma dels divisors de l’últim, formen el que s’anomena un conjunt o un cicle de nombres sociables. La quantitat de nombres és l’ordre del cicle. Així, tot cicle d’ordre 1 correspon a un nombre perfecte i tot cicle d’ordre 2 correspon a un parell de nombres amics. No es coneixen cicles d’ordre 3, però sí que se’n coneixen d’ordres més grans. Per exemple: 1.264.460, 1.547.860, 1.727.636, 1.305.184, formen un cicle d’ordre 4; mentre que 12.496, 14.288,15.472, 14.536, 14.264, és el cicle d’ordre 5 format pels menors enters positius que es coneix.

Seguint amb la mateixa idea, si triem un nombre compost qualsevol, podem definir la successió de manera que cada terme és la suma dels divisors propis del terme anterior.

Pot passar que la successió acabi en 1 (cosa que succeeix sempre que s’arribi a un nombre primer), formi un cicle (sempre que es repeteixi un dels números) o no acabi mai (sempre que tots els números de la successió siguin diferents). Es desconeix si la successió sempre acaba (en 1 o en un cicle) o bé hi ha casos en què no acaba. § Problema 2. Els nombres feliços. Preneu un nombre, per exemple, de dues xifres, eleveu cada xifra al quadrat i sumeu els resultats; torneu a elevar cada xifra i sumeu els resultats novament. Repetiu el mateix procés fins que passi alguna cosa interessant. Feu algunes proves i tracteu de descobrir què és el que passa. Aquesta és una mostra, si escollim el nombre 44:

42 ` 42 “ 32;

32 ` 22 “ 13;

12 ` 32 “ 10;

12 ` 02 “ 1.

Els nombres com el 44, que acaben el seu recorregut a l’1, es diuen nombres feliços.

Malauradament, com ja deveu haver comprovat, només alguns nombres tenen el privilegi de ser feliços. Investigueu sobre aquests nombres: quants n’hi ha de dues xifres, com pot generar-se’n una infinitat, etc. Si no en teniu prou, proveu què passa quan, en lloc d’elevar les xifres al quadrat, les eleveu al cub. Per cert, l’any 2019 és un nombre feliç!

Seguim parlant de nombres, però ara introduïm qüestions relacionades amb les operacions. § Problema 3. Els criptogrames, i en general les operacions en què cal substituir lletres per xifres de manera que es verifiquin les igualtats proposades, sempre m’han agradat. Els dos que us proposo són especialment bonics, però aquí les lletres no ens ajuden, perquè tan sols hi ha símbols i són iguals. El primer va ser ideat pel gran autor de recreacions H. E. Dudeney, té solució única i cal substituir-hi cada signe & per una xifra diferent, de l’1 al 9:

62 noubiaix 43

ˆ `

&

& &

&

& &

&

&

El segon consisteix en una divisió de la qual coneixem només la xifra central del quocient i que el residu és 0. Com abans, només té una solució, però ara no sabem res de les xifres; tanmateix, us ajudaré dient-vos que ara sí que apareix el 0 i ho fa diverses vegades, el 4 només surt al divisor i no apareixen ni el 5 ni el 7: x ´

x x

x x

x x

x

x

x

x

x ´

x x

x x x ´

x x x x

x x

x x

0

0

0

0

x x x x x 8 x x

§ Problema 4. El sistema de numeració posicional decimal és un dels conceptes fonamentals de les matemàtiques i a l’escola cal treballar-lo sempre i en tots els cursos, tant a partir de materials a l’inici, com a partir de problemes més endavant. Una activitat que em sembla interessant i m’agrada proposar és la d’ordenar nombres formats de diferents maneres i sense necessitat de computar-los. Per exemple, formar diversos nombres amb els mil primers nombres naturals: sumant-los tots, sumant les xifres, multiplicant-los tots, multiplicant les xifres, posant-los l’un a continuació de l’altre ´123456789101112. . . ´, elevant cadascun al següent, etc. Quin serà l’ordre, de gran a petit, d’aquests sis nombres?

Tanmateix, a vegades por ser interessant computar alguns d’aquests nombres. Per exemple, sabríeu trobar quantes xifres calen per escriure els nombres naturals d’1 a 1.000.000? Si per fer aquest càlcul heu emprat un mètode organitzat i estructurat, no us serà difícil trobar quina és la suma de totes aquestes xifres.

Acabarem l’article d’avui amb un problema on apareixen relacions entre longituds i volums i, una vegada més, quan trobem la solució sembla que la intuïció ens diu una altra cosa.

Sempre recordo un titular d’un conegut diari que deia: «amb el diari d’avui es podria fer una tira de paper que anés de la Terra a la Lluna». Una manera enginyosa de dir que el diari tenia moltes pàgines. Amb el paper d’aquest petit article també podríem emprar el mateix titular: n’hi ha prou que la tira de paper sigui més estreta!

Reconduir aquestes falses intuïcions en el cas del problema següent és senzill, però donar una prova general de la validesa de la solució a partir del que succeeix és una mica més delicat. § Problema 5. Tenim una certa quantitat de plastilina, que té un volum d’1 dm3 i amb tota la qual formem esferes que apilem l’una sobre l’altra. aq L’alçada de la pila serà igual o diferent, segons el nombre i la grandària de les esferes construïdes? bq Quantes esferes i de quins radis hem de fer per tal que la pila tingui una alçada igual o superior a 1 m? cq Amb

desembre 2018 63

un cert nombre d’esferes, quina és l’alçada màxima que aconseguiríem? dq És possible que l’alçada sigui tan gran com es vulgui (prescindint de limitacions físiques)? eq Què passaria si en lloc d’una esfera empréssim un políedre regular qualsevol?

Es poden fer aquestes i encara altres preguntes sobre aquesta interessant situació. Tanmateix, en les dues darreres qüestions, donar respostes generals que siguin demostracions del que s’afirma no és tan senzill com pot semblar quan ja intuïm què és el que succeeix.

Bibliografia Deulofeu, J. (2018). La magia de los números: 136 recreaciones aritméticas y geométricas.

Col¨lecció Retos Matemáticos. Barcelona: Salvat/Gedisa.

Deulofeu, J. (2018). Relojes, medidas y calendarios. Un sinfín de historias matemáticas.Col¨lecció Retos Matemáticos. Barcelona: Salvat/Gedisa.

Gardner, M. (2018). Los enigmas del robot Farfel. Acertijos de ciencia ficción. Col¨lecció Retos matemáticos. Barcelona: Salvat/Gedisa.

Gardner, M. (2018). Secretos matemáticos de altos vuelos. Los extraños encuentros del Doctor Matrix. Col¨lecció Retos matemáticos. Barcelona: Salvat/Gedisa.

oriflèxia

noubiaix43 43 6464noubiaix

desembre 2017 75

el racó de l’oriflèxia

El cub de Sonobe, la joia de Takahama i els deltaedres estelats Jaume Coll Guerrero Centre de Formació d’Adults Rafael Farré Professor associat del Departament de Matemàtiques (UAB)

1. El cub de Sonobe El cub de Sonobe és el cub de paper més popular. És modular i està format per sis mòduls iguals, un per a cada cara del cub. El mòdul de Sonobe es construeix fent uns determinats plecs en un full quadrat de paper.

Pas 1

Pas 2

Pas 3

Comenceu amb un full quadrat.

Plegueu i desplegueu en vall per la meitat.

Plegueu i desplegueu en vall per la quarta part.

desembre 2018 65

Pas 4

Pas 5

Pas 6

Pas 7

Plegueu en vall.

Plegueu en vall.

Plegueu en vall.

Plegueu en muntanya.

Observeu que la construcció del mòdul de Sonobe és asimètrica; en efecte, en el pas 4 hem fet els plecs en dos vèrtexs oposats del quadrat. També es poden fer els plecs triant els altres dos vèrtexs oposats del quadrat i repetint els passos del 4 al 7, d’aquesta manera obtenim un mòdul simètric.

Pas 41

Pas 51

Pas 61

Pas 71

Plegueu en vall.

Plegueu en vall.

Plegueu en vall.

Plegueu en muntanya.

El mòdul de Sonobe té forma de romboide amb angles de 45 i 135 graus i la seva base és el doble de la seva alçada. Podeu comprovar que cada punt del romboide té quatre capes de paper i, per tant, la seva superfície és la quarta part del quadrat inicial. Per unir els sis mòduls romboidals i formar el cub no cal utilitzar cola; s’uneixen perquè cada mòdul té dues butxaques i dues pestanyes. Les dues butxaques estan situades a la diagonal menor del romboide, que també és una diagonal del quadrat central, i les pestanyes són els dos triangles rectangles isòscels laterals.

pestanya

butxaca

Mòdul de Sonobe:

h pestanya

butxaca b “ 2h

66 noubiaix 43

Per unir dos mòduls, en girem un 90 graus i introduïm una pestanya del primer mòdul en una butxaca del segon. La resta dels mòduls s’uneixen de la mateixa manera. El mòdul obtingut en el pas 7 no es pot encaixar de manera natural amb el mòdul del pas 71 . Per construir un cub cal fer sis mòduls idèntics com el del pas 7 o sis mòduls idèntics com en el pas 71 , en els dos casos l’efecte visual és el mateix. Si en el pas 7 o 71 fem un plec en vall en lloc de muntanya, aleshores quan unim sis mòduls obtindrem un cub amb les cares llises, no dividides en triangles.

Unió de 2 mòduls.

Unió de 6 mòduls del pas 7 o 71 en muntanya.

Unió de 6 mòduls del pas 7 o 71 en vall.

La joia de Takahama Fent un nou plec en el mòdul de Sonobe s’obté una variant que en aquesta secció anomenaré mòdul de Takahama.

Pas 81

Pas 8

Plegueu en muntanya Unint tres mòduls de Takahama obtenim un altre hexaedre: la bipiràmide triangular. La unió de dos mòduls de Takahama es fa com en el cas del mòdul de Sonobe. Les altres propietats del mòdul de Takahama són semblants a les del mòdul de Sonobe. El mòdul obtingut en el pas 8 no es pot encaixar de manera natural amb el mòdul del pas 81 . Per construir una bipiràmide triangular cal fer tres mòduls idèntics com el del pas 8, o tres mòduls idèntics com el del pas 81 ; en els dos casos l’efecte visual és el mateix. Si en els passos 7-8 o 71 -81 fem plecs en vall en lloc de muntanya, aleshores quan unim tres mòduls obtenim una bipiràmide triangular amb les cares llises, no dividides en triangles.

desembre 2018 67

Unió de 2 mòduls de Takahama

Unió de 3 mòduls dels passos 7-8 o 71 -81 en muntanya

Unió de 3 mòduls dels passos 7-8 o 71 -81 en vall

Segons l’historiador de l’origami David Lister (Grimsby, 1930-2013), la joia de Takahama fou publicada per primer cop l’any 1974 en el llibre Vida creativa amb origami creatiu [2], escrit en japonès per l’origamista nipona Toshie Takahama (Tòquio 1910-1999). El nom de joia és degut al fet que Toshie Takahama feia collarets unint uns quants d’aquests hexaedres amb una corda. A finals de la dècada dels anys seixanta Toshie Takahama va fundar el Sosaku Origami Group 67 (grup de creació i estudi de l’origami), del qual formaven part, entre d’altres, Mitsunobu Sonobe i Kunihiko Kasahara. Aquest petit grup de plegadors es reunia periòdicament a l’escola Tamagawa Gakuen, a l’oest de Tòquio.

David Lister també afirma que el cub de Sonobe fou publicat per primer cop l’any 1968 a les pàgines 10 i 11 de la segona de les set revistes editades pel Sosaku Origami Group 67.

Amb les publicacions de Toshie Takahama es va donar a conèixer el mòdul de Sonobe. Així, el cub de Sonobe i la joia de Takahama van ser les figures modulars que van donar lloc a l’especialitat actual de l’origami modular. El cub de Sonobe es va publicar posteriorment en diverses revistes i llibres de papiroflèxia amb el nom de caixa de colors, com ara en la pàgina 19 del número 0, volum 3, del butlletí de la NOA (Nippon Origami Association) de l’any 1974, del qual era directora Toshie Takahama.

Cubs de Sonobe i joies de Takahama.

Toshie Takahama i Mitsunobu Sonobe.

Mitsunobu Sonobe va néixer l’any 1937 al districte de Toshima-ku de la ciutat de Tòquio.

En el llibre Atarashii Origami Nyumon [1], editat pel Sosaku Origami Group 67 l’any 1973 i on apareix publicada la caixa de colors, podem llegir que tenia sis anys d’experiència en el plegatge de paper i que vivia al barri d’Ikebukuro. Treballava en un grup de teatre i el que

68 noubiaix 43

més li agradava era la creació de tot tipus de flors de paper. En el mateix llibre es fan petits apunts biogràfics dels altres membres del Sosaku Origami Group 67.

Als anys setanta Toshie Takahama era més coneguda que Mitsunobu Sonobe i durant algunes dècades el mòdul de Sonobe va ser conegut a Occident com a mòdul de Takahama, però és clar que l’autor d’aquest mòdul és Mitsunobu Sonobe, com apareix en el llibre Papiroflexia para expertos [5], dels mestres d’origami Kunihiko Kasahara i Toshie Takahama, contemporanis de Mitsunobu Sonobe.

Cal destacar la semblança entre el cub de Sonobe i el cub de paper anomenat tamatebako o cofre del tresor, que apareix en el llibre de fusta Ranma Zushiki, publicat l’any 1734 per Hayato Ohoka.

Podeu trobar un altre cub de paper força diferent del de Sonobe en el llibre Guía práctica del arte manual [3], publicat l’any 1977, tot i que les instruccions de la seva construcció no són gaire clares.

Deltaedres estelats Els deltaedres són poliedres en què totes les cares són triangles equilàters. Existeixen infinits deltaedres còncaus i tan sols vuit deltaedres convexos, de 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 i 20 cares, com van demostrar l’any 1947 Freudenthal i Van der Waerden («Over een bewering van Euclides», Simon Stevin 25: 115-128). Els valors mínim i màxim del nombre de cares d’un deltaedre convex és 4 i 20, respectivament, que es corresponen als sòlids platònics o regulars amb els valors mínim i màxim de cares: el tetraedre i l’icosaedre. Existeix un tercer poliedre, l’octaedre, que és deltaedre i sòlid platònic alhora. L’octaedre també es pot interpretar com una bipiràmide quadrangular. Els altres cinc deltaedres (les bipiràmides triangular i pentagonal, el dodecadeltaedre, el tetracaidecadeltaedre i l’hexacaidecadeltaedre) no són regulars en els seus vèrtexs. Cal destacar que no existeixen deltaedres convexos de 18 cares o d’un nombre de cares superior a 20.

El mòdul de Sonobe té moltes més possibilitats. Si en el pas 7 fem el plec en muntanya i en el pas 8 fem el plec en vall, aleshores obtenim una nou mòdul amb què es poden construir deltaedres estelats.

Pas 7

Pas 8

Plec en muntanya

Plec en vall

Mòdul final

Unió de 3 mòduls

desembre 2018 69

Unint tres d’aquests mòduls obtenim una piràmide triangular oberta en què la base és un triangle equilàter i els tres costats laterals són triangles rectangles isòsceles. Amb aquestes noves configuracions de segon nivell podem fer estelacions de deltaedres. Amb vuit piràmides obtenim un octaedre estelat i amb vint, un icosaedre estelat. Com que cada mòdul forma part de dues piràmides adjuntes, observem que es necessiten 12 mòduls per fer l’octaedre estelat i 30 mòduls per fer l’icosaedre estelat. En general, si tenim un deltaedre de C cares i volem fer un deltaedre estelat, ens calen 3C 2 mòduls. D’aquest raonament origàmic deduïm que qualsevol deltaedre té sempre un nombre parell de cares.

Observem que si fem l’estel¨lació del tetraedre amb aquest tipus de configuració de segon nivell, obtenim el cub de Sonobe. Això és així perquè es pot inscriure un tetraedre dins d’un cub, les 6 arestes del tetraedre coincideixen amb 6 de les 12 diagonals del cub. Aquest fet ja fou observat per Kepler en l’Harmonices Mundi (1619).

Kepler. Harmonices Mundi, Llibre V.

Segell amb un octaedre estelat.

De la il¨lustració del llibre de Kepler deduïm que la longitud de l’aresta del cub l coincideix amb la distància entre dues?arestes oposades del tetraedre, i la longitud de l’aresta del tetraedre regular inscrit val 2l. A més, la descomposició del cub en cinc tetraedres ens permet calcular el volum del tetraedre regular. l3 “ Vcub “ Vtetraedre regular ` 4 ¨ Vtetraedres no regulars 1 l3 “ Vtetraedre regular ` 4 ¨ l3 6 Vtetraedre regular “

l3 3

L’estel¨lació de l’octaedre apareix en un segell que es va emetre al Japó per commemorar la celebració a Kyoto l’any 1990 del XXI Congrés Internacional de Matemàtiques.

70 noubiaix 43

Els deltaedres estelats construïts amb aquest mòdul tenen les cares triangulades. Si invertim el tipus de plecs en el pas 7 (vall en lloc de muntanya) i el pas 8 (muntanya en lloc de vall), aleshores obtindrem els deltaedres estelats amb les cares llises.

Pas 7

Pas 8

Poliedre

Plec en muntanya Plec en vall Plec en muntanya Plec en vall Plec en muntanya Plec en vall

´ ´ Plec en muntanya Plec en vall Plec en vall Plec en muntanya

Cub de Sonobe amb cares triangulades Cub de Sonobe amb cares llises Joia de Takahama amb cares triangulades Joia de Takahama amb cares llises Deltaedres estelats amb cares triangulades Deltaedres estelats amb cares llises

Els 8 deltaedres estelats (mòdul de Sonobe).

Referències [1] Nyumon (1973). Atarashii Origami Nyumon, Sosaku Origami Group 67’.

[2] Toshie Takahama (1974). Creative Life with Creative Origami 1. (En japonès). Macau.

[3] Guía práctica del arte manual (1977). 1a edició. Barcelona: Kairós.

[4] Vicente Palacios (2011). Papiroflexia básica. Barcelona: Salvatella.

[5] Kunihiko Kasahara i Toshie Takahama (2011). Papiroflexia para expertos. 9a edició. Madrid: EDAF. [6] Mitsunobu Sonobe (2001). Okuru, kazaru, tanoshimu jitsuyoì origami: shiki o kazaru sutekina komono 110. Seibido Shuppan.

Agraïments: a Minerva Ciruela per introduir-me en el món de l’origami, a en Josep Ramis per la seva correcció de català, a en Joan Sallas per convidar-me a exposar aquest article en els tallers de papiroflèxia del 4t Aplec de Badalona i a en David Brill per facilitar-me la imatge d’una sessió del Sosaku Origami Group 67 en què apareixen Toshie Takahama i Mitsunobu Sonobe.

68 noubiaix 41

2

C EM

desembre desembre 2018 2018 71

segon congrés català d’educació matemàtica La comissió per a l’ impuls de les conclusions del Segon Congrés Català d’Educació Matemàtica.

Fent camí cap al C2EM 2020: com ens hi impliquem?

Cecilia Calvo i Antoni Vila

El 13 de juliol de 2016, al voltant de les sis de la tarda, en el marc solemne d’un Paranimf de la Universitat de Barcelona ple de gom a gom, es procedí a la lectura de les catorze conclusions del Segon Congrés Català d’Educació Matemàtica (C2 EM). El profund silenci amb què s’acompanyà la lectura i l’esclat perllongat i intens d’aplaudiments que es produí segons després de finalitzar-la, són una mostra de la rellevància que es va donar a aquelles conclusions.

Tot demanant disculpes per la reiteració, volíem començar aquestes línies reprenent aquest paràgraf publicat en el número 41 de Noubiaix.

72 noubiaix 43

Allí explicàvem quines eren les raons que feien rellevants aquestes conclusions. Explicàvem també com un equip de docents havia assumit el repte de l’encàrrec de registrar, difondre i impulsar actuacions i contextos que afavorissin l’evolució de l’educació matemàtica, entesa en un sentit ampli, en les direccions que assenyalen les conclusions esmentades. Aquest equip, organitzat en forma de comissió, havia posat en marxa un seguit de tasques des de cinc nodes de treball: la formació del professorat, les matemàtiques a l’aula, la matemàtica com a part de la formació integral de les persones, tot incloent-hi la seva imatge social, el fet de compartir i construir coneixement en xarxes i un cinquè node, més transversal, responsable del registre i la comunicació de la feina de la comissió.

Un cop explicades les tasques dutes a terme (ressenyades i actualitzades al lloc web http://c2em.feemcat.org/), encaminades a la identificació de mancances en relació amb les línies que marcaven les conclusions esmentades i també amb la identificació de demandes per part del col¨lectiu docent (el que hem anomenat internament diagnosi, malgrat que el terme sigui ben segur molt ambiciós), tancàvem aquelles línies amb tres reflexions que consideràvem cabdals i que són precisament el punt de partida de la fase següent de l’encàrrec que se’ns havia fet, la més important, l’impuls de les conclusions, fase sense la qual la tasca d’aquest equip de treball seria incompleta i clarament poc efectiva. Aquest punt de partida ens el plantejàvem en els termes següents, de declaració d’intencions: [...] amb la progressiva implantació i ampliació d’un treball en xarxa, i en l’itinerari estructurat i coherent aportat per les conclusions del C2 EM, es vol i es pot donar impuls a les iniciatives i experiències existents, amb la finalitat que aquestes en generin progressivament de noves, i que aquest impuls sigui tan eficient i perdurable com sigui possible.

Com es concreta aquesta voluntat impulsora?

Tot assumint aquesta idea, els membres de la comissió vam abordar la part més rellevant del repte: l’establiment i la difusió d’unes línies d’impuls relacionades amb les conclusions del C2 EM 2016. I aquestes línies d’impuls consideràvem que havien de ser a la vegada modestes però rellevants, viables i clarament formulades. Per tant, el seu establiment s’havia de produir a partir d’un treball intens, pausat, molt reflexionat, col¨laboratiu en el marc d’un equip ampli i posteriorment validat amb un consens encara més important.

Amb aquesta finalitat, els dies 11 i 12 de juliol passat es van realitzar a Sant Jaume dels Domenys unes jornades de treball que van convocar una trentena de docents, entre integrants de la comissió i representants de les associacions de la FEEMCAT. A partir d’un treball previ individual, en aquella trobada es va abordar l’objectiu d’elaborar les línies d’impuls esmentades, tot combinant, d’una banda, sessions de petits grups, per buscar el detall i l’aprofundiment, i, d’altra banda, sessions plenàries, per aconseguir el consens necessari en el redactat final.

La diagnosi realitzada (recordem: identificació de mancances i demandes) ens portava a elaborar unes línies d’impuls de forma transversal des de cinc perspectives: la selecció i gestió de pràctiques educatives, la millora de la imatge social de les matemàtiques, l’enriquiment professional, les xarxes com a eina d’intercanvi i l’actitud de canvi per a la millora.

desembre 2018 73

El redactat definitiu d’aquestes línies d’impuls és el de la figura 1. Tanmateix, hi havia un acord total a admetre que disposar de catorze línies d’impuls, necessàriament genèriques, seria poc més que una declaració d’intencions o de desitjos si no anava acompanyada de concrecions.

Per tant, el segon propòsit de les sessions de treball d’aquest equip va ser associar unes primeres accions a cada línia, i també uns responsables del seu seguiment. Aquesta tasca, iniciada en profunditat a les Jornades de Sant Jaume dels Domenys i represa en una sessió de treball posterior a finals del setembre passat, ha quedat plasmada en un document de treball que podem trobar al lloc web del C2 EM (http://c2em.feemcat.org/).

Malgrat tot, això no continuarà sent només una declaració de desitjos i bones intencions?

Efectivament, podria ser així: les reflexions de tots els implicats coincidien en relació amb el fet que la «utilitat i eficàcia» d’un document de treball tancat, per molta difusió que se’n fes, seria escassa i el document esdevindria novament la versió ampliada d’una declaració d’intencions o de desitjos.

Quin ha estat, doncs, el plantejament que s’ha pensat per a la seva estructura final i per als propers passos? Un cop més, es pretén combinar la màxima difusió amb la màxima implicació.

Però això, com es tradueix?

74 noubiaix 43

Posem algun exemple: la línia d’impuls 3 ens proposa textualment «posar en valor el paper de les matemàtiques dins dels projectes, de les activitats STEAM i d’altres propostes de treball globalitzat» i es concreta en un seguit d’accions, una de les quals és «donar a conèixer projectes on les matemàtiques siguin l’eix vertebrador i crear-ne de nous». En la mesura que aquesta acció es considera rellevant, cal plantejar actuacions molt concretes que siguin, d’una banda, un primer pas i que a la vegada posin en marxa la possible implicació posterior d’entitats, organismes, grups de treball o docents concrets, i aquestes actuacions han de tenir responsables (gairebé amb noms i cognoms) de la seva posada en marxa i del seu seguiment posterior, fins que aquesta actuació es consideri assolida, consolidada o fins que derivi en una actuació posterior encara més rellevant.

Seguint aquest exemple, el document inclou l’actuació següent: «rastreig dels projectes i activitats en aquesta línia, per tal de mantenir un contacte posterior amb els responsables», responsabilitat assignada a la FEEMCAT i a les diferents associacions que la integren. I seran els membres de l’equip redactor, que són a la vegada membres de la junta, els qui vetllaran per la seva activació i seguiment, actuació que cal desitjar que no acabi en ella mateixa, sinó que tingui continuïtat en una hipotètica, i en aquests moments fictícia, actuació que podria consistir inicialment a centralitzar un espai web on es poguessin registrar, analitzar i/o comentar les activitats i els projectes esmentats, o bé on es poguessin registrar els enllaços a altres llocs web on ja estan presentades i/o comentades, i també posteriorment a establir-ne uns canals de major difusió.

Un altre exemple dins de la mateixa línia d’impuls és el que fa referència a l’acció «donar a conèixer projectes globalitzats i fer-hi evident el paper que hi juguen les matemàtiques. Promoure i difondre trobades d’intercanvi d’idees, projectes, experiències. . . amb professorat de diferents disciplines», que, entre altres actuacions, es concreta en dues que en el moment de la publicació d’aquestes pàgines ja s’hauran realitzat: les jornades d’ABEAM i d’APMCM, al novembre del 2018, que consideren de forma especialment rellevant aquella finalitat. Però novament cal desitjar que aquesta actuació tingui continuïtat en una de nova i hipotètica

desembre 2018 75

que podria consistir que diferents grups d’assistents a aquestes jornades donin continuïtat a les experiències compartides allí, creant nous espais i moments d’intercanvi.

On és el treball en xarxa? Es tracta d’un document tancat?

El treball en xarxa comença ja en la gènesi del procés d’establiment de les línies d’impuls, accions i actuacions/activitats; però la xarxa encara és molt petita. Tanmateix, observarem que en els exemples anteriors hem fet palès el progressiu treball en xarxa que es podria i es busca produir.

Unes línies més amunt hem dit que aquest document i aquest plantejament havien de tenir la màxima difusió, perquè la difusió és el vehicle que ens pot ajudar a assolir l’objectiu realment important: aconseguir la màxima implicació posterior d’entitats, organismes, grups de treball o docents concrets, la fase final d’aquest treball en xarxa.

El document esmentat pretén ser «viu», obert a noves incorporacions d’actuacions i activitats que a poc a poc omplin de sentit, utilitat i eficàcia aquesta estructura de línies d’impuls. No hem de caure en l’error de crear un document «suposadament fantàstic», per molt bones intencions que pugui tenir, però al cap i a la fi... un document de bones intencions.

Per part de l’equip que hi estem treballant, ja hem pensat unes línies paral¨leles per a aquesta difusió. D’una banda, no per ser les més simples deixen de ser importants: podem trobar aquest document al lloc web del C2 EM i a la vegada s’ha editat un tríptic del qual s’està fent difusió. D’altra banda, en totes les jornades locals de les associacions de professorat de la FEEMCAT (APMCM, ADEMGI, APaMMs, ABEAM i Lleimat) s’estan realitzant uns tallers amb la idea de donar a conèixer les línies d’impuls i algunes de les accions ja posades en marxa, amb la finalitat que es vegi la diversitat d’agents implicats en aquesta tasca i de donar espais perquè els assistents participin en aquest impuls, i així afavorir aquesta complicitat que porti a una implicació posterior, tant en l’àmbit personal com en el de centre, en el de grups de treball i/o en el de zones geogràfiques. També s’està participant en altres jornades (com la jornada conjunta realitzada a Palma el passat mes de setembre) i trobades de professorat, amb la mateixa intenció, encara que no sempre es pugui amb la mateixa intensitat.

Com dèiem a l’inici, només la progressiva implantació i ampliació d’un treball en xarxa ha de permetre assolir un impuls més efectiu i perdurable.

Aquestes línies d’impuls, així com tot el treball previ i tot el treball en xarxa que comportarà la seva difusió i els passos endavant que esperem que es puguin fer, tenen com a principal finalitat preparar el camí per a la futura organització del proper Congrés Català d’Educació Matemàtica (C2 EM 2020), que se celebrarà entre Reus i Tarragona els dies 7, 8 i 9 de juliol de 2020, d’una banda implicant i dinamitzant el professorat i, de l’altra, preparant el terreny per tal que el futur Comitè Científic pugui definir, amb el major encert, les línies de treball del Congrés.

Pel que fa a la valoració de si realment haurem aconseguit aquestes fites, ni que sigui parcialment, ens comprometem que es realitzi durant el Congrés, on ja ens emplacem tots plegats!

76 noubiaix 43

Figura 1

LÍNIA D’IMPULS 1 Contribuir a la millora de la formació inicial del professorat i a estendre una cultura d’actualització científica i didàctica en educació matemàtica.

Promoure la necessitat d’una formació inicial i contínua sòlida en els aspectes d’actualització científica i didàctica.

LÍNIA D’IMPULS 2 Incorporar noves modalitats de formació contínua en educació matemàtica.

Potenciar les modalitats de formació ja existents i promoure’n de noves com ara l’acompanyament i les visites a centres partint de l’anàlisi de la pràctica docent a l’aula. Les temàtiques de les formacions permanents han d’atendre les necessitats del moment.

LÍNIA D’IMPULS 3 Posar en valor el paper de les matemàtiques dins dels projectes, de les activitats STEAM i d’altres propostes de treball globalitzat.

En els treballs globalitzats hem de tenir cura que les matemàtiques no quedin relegades a un paper auxiliar o merament instrumental. El que es proposa és que en aquestes tasques també hi hagi construcció de coneixement matemàtic, de manera que s’utilitzin processos matemàtics rellevants, com també que s’apliquin continguts ja coneguts en nous contextos o s’aprofiti per introduir-ne de nous. Aquests treballs globalitzats no ens han de fer perdre de vista que cal donar importància que es duguin a terme projectes en què les matemàtiques siguin l’eix vertebrador.

desembre 2018 77

LÍNIA D’IMPULS 4 Aplicar a l’aula resultats de recerca i innovació en educació matemàtica i potenciar la realització de noves investigacions properes a la realitat de les nostres aules.

La finalitat d’aquesta difusió és poder utilitzar aquests resultats com a fonamentació i argumentari de determinats plantejaments educatius, més enllà de la seva defensa en el pla de les creences. En aquest sentit, serà necessari connectar escola i universitat i tendir que les diferents associacions de professorat esdevinguin referents, tot generant documents i propostes de treball.

LÍNIA D’IMPULS 5 Millorar la imatge social de les matemàtiques des de l’escola i des de les famílies.

Atès que l’escola i les famílies són els agents principals de la formació dels nois i les noies, tenen un paper clau en la seva educació matemàtica. Per tant, les actituds, les accions i la col¨laboració d’aquests tenen efectes en la imatge actual i futura de les matemàtiques.

LÍNIA D’IMPULS 6 Millorar la imatge de les matemàtiques des de tots els àmbits i per al conjunt de la societat.

La competència matemàtica és clau per a tots els ciutadans i la societat hauria d’implicar-se en el coneixement i l’extensió d’aquesta competència. Per tant, seria bo promoure accions per a la millora de la imatge de les matemàtiques des de tots els àmbits de la societat.

LÍNIA D’IMPULS 7 Millorar la imatge social del professorat que ensenya matemàtiques.

Les actuacions del professorat són determinants en el desenvolupament de la competència matemàtica dels alumnes, la qual és indispensable per a l’exercici de la ciutadania. Per tant, la societat, la comunitat matemàtica i l’escola haurien de conèixer la tasca docent de qualitat per poder valorar-la positivament.

LÍNIA D’IMPULS 8 Promoure els laboratoris de matemàtiques.

Cal entendre el laboratori de matemàtiques com l’àmbit propici per a l’experiència matemàtica.

LÍNIA D’IMPULS 9 Impulsar estratègies per connectar ensenyants.

Per tal de poder potenciar l’intercanvi a través de les xarxes cal fomentar la relació entre mestres i professorat del mateix centre i intercentres tot promovent espais que facilitin aquesta connexió entre iguals, de manera que tothom se senti acompanyat en la seva tasca diària.

78 noubiaix 43

LÍNIA D’IMPULS 10 Acostar al professorat els materials que hi ha a la xarxa i fer-ne difusió.

Cal promoure que els mestres i el professorat utilitzin recursos de qualitat dels diferents repositoris existents i, per altra banda, fomentar que comparteixin els seus materials amb la resta de docents.

LÍNIA D’IMPULS 11 Crear i mantenir xarxes de referents i formadors.

Des de les diferents institucions i entitats cal impulsar la creació de xarxes de persones formadores referents en temes importants, que donin resposta a les necessitats del col¨lectiu per millorar la seva pràctica a l’aula.

LÍNIA D’IMPULS 12 Eixamplar la base de les diferents xarxes dedicades a l’educació i la divulgació de les matemàtiques.

Es pren com a objectiu arribar a la gent que habitualment no participa en els diferents actes promoguts per les associacions i institucions, ja sigui per desconeixement, ja sigui per desconnexió respecte a allò que s’ofereix, tot potenciant la imatge de la FEEMCAT. LÍNIA D’IMPULS 13 Aconseguir que cada vegada més professorat assumeixi la necessitat de millora i expandeixi la seva zona de confort.

Assumir reptes de millora representa una oportunitat per eixamplar la zona de confort. En un marc d’acompanyament es podrien aprofitar les necessitats externes (com ara el canvi en l’avaluació) per engrescar amb propostes atractives i més efectives.

LÍNIA D’IMPULS 14 Promoure l’entusiasme per les matemàtiques com un element definitori del docent i com a motor de l’aprenentatge de l’alumne.

estudiant 110 noubiaix 39

desembre desembre2018 2018 79 79

el racó de l’estudiant

Fórmula general per a qualsevol nombre poligonal Víctor Conchello Vendrell Institut Jaume Vicens Vives

Nombre poligonal: Nombre representat com a punts disposats en forma de polígon regular.

Per calcular un nombre poligonal, es fa servir la fórmula següent: n “ o p2 ´ oq `

co po ´ 1q , 2

on n és el nombre poligonal, c és el nombre de costats del polígon segons el qual es busca aquest nombre i o és l’ordre:

80 noubiaix 43

Desenvolupament Com es pot comprovar, tots els nombres poligonals es poden representar com la suma d’una progressió aritmètica de la qual el primer nombre és 1:

Per tant, podem aplicar la fórmula de la suma d’una progressió aritmètica: Sn “

n pa1 ` an q 2

Sabem que a1 és 1 i, com podem veure a la taula, n és l’ordre (oq. Si s’aconsegueix trobar an , es podrà substituir i ja tindrem la fórmula que busquem.

Per trobar-lo cal fixar-se en el que es fa geomètricament.

En les representacions següents s’estudien els casos dels nombres poligonals quadrats, pentagonals i hexagonals. Es posa en gris el nombre poligonal d’un ordre menys i en altres colors, l’afegit en aquest ordre. Així mateix, es fan servir unes el¨lipses imaginàries per fer el recompte de què s’ha afegit.

desembre 2018 81

82 noubiaix 43

Com podem comprovar amb aquestes representacions, en cada pas s’afegeix un únic punt (nombre) al vèrtex inferior i diverses el¨lipses imaginàries. El nombre d’aquestes és sempre el nombre de costats del polígon menys 2 i el nombre de punts dins seu és sempre l’ordre menys 1. Per tant: an “ 1 ` pc ´ 2q po ´ 1q Si ara ho substituïm a la fórmula de la suma d’una progressió aritmètica, tenim: n“

p1 ` r1 ` pc ´ 2q po ´ 1qsq o .

2

I si desenvolupem aquesta fórmula, arribem al resultat següent: n “ o p2 ´ oq `

co po ´ 1q .

2

desembre 2018 83

Variacions de la fórmula En la fórmula anterior, l’ordre 1 és únicament un punt, que es podria considerar que no és un nombre poligonal. Per tant, en la primera variació es canviarà o per u ` 1, on u representa l’ordre si no es té en compte un punt com a nombre poligonal: n “ ru ` 1s p2 ´ ru ` 1sq `

c ru ` 1s pru ` 1s ´ 1q 2

Si ho desenvolupem, arribarem al resultat següent: n “ 1 ´ u2 `

cu pu ` 1q .

2

Una altra possible variació s’aconsegueix si es té en compte que no existeixen nombres poligonals amb un o dos costats. Llavors, en lloc de tenir en compte els costats es podria tenir en compte el tipus: els nombres triangulars es podrien considerar de tipus 1; els quadrats, de tipus 2; els pentagonals, de tipus 3, etcètera. Per tant, en la variació següent es canviarà c per t ` 2, on t representa el tipus: n “ o p2 ´ oq `

rt ` 2s o po ´ 1q .

2

Si ho desenvolupem, arribarem a: n“o`

p o ´ 1q .

2

En l’última variació es fan les dues anteriors a la vegada: n “ ru ` 1s p2 ´ ru ` 1sq `

rt ` 2s ru ` 1s pru ` 1s ´ 1q 2

Un cop desenvolupat, obtenim la fórmula següent: n“u`1`

tu pu ` 1q 2

Conclusions En començar aquest escrit tenia bastant clar com es podia arribar a aquesta fórmula mitjançant una successió geomètrica, però realment no hi veia la raó. Vaig pensar que dibuixar la representació geomètrica dels diferents nombres potser tindria alguna utilitat en aquest aspecte, ja que és així com s’haurien de buscar si no se sabés la fórmula. Fer-ho m’ha ajudat a mi mateix a comprendre que realment la fórmula no es compleix per aleatorietat, sinó que hi ha un perquè.

M’han sorprès bastant les diferents variacions. Resulta interessant veure que un canvi en el punt de vista que es té no comporta grans canvis. M’esperava que, en fer aquests canvis,

84 noubiaix 43

resultessin fórmules més complicades que la que havia trobat inicialment, però realment tenen el mateix grau de complexitat.

M’agradaria veure si es podria aplicar el que he trobat a altres aspectes matemàtics o en alguna altra branca de la ciència. Per exemple, en química potser serviria per determinar el nombre d’àtoms que hi ha en algunes xarxes cristal¨lines.

associacions 110 noubiaix 39

desembre desembre2018 2018 85 85

l’espai de les associacions

25 anys de FEEMCAT Elisabet Saguer Canadell Professora jubilada de matemàtiques de Girona, sòcia fundadora d’ADEMGI

El febrer de l’any 1994 es va formalitzar la creació de la Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya (FEEMCAT) i va esdevenir membre de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM).

A finals dels anys setanta aparegueren molt moviments de renovació pedagògica de les matemàtiques arreu, moment en què la implementació de la matemàtica moderna per part de la Llei general d’ensenyament representava un gran fracàs i generava molta preocupació entre els ensenyants. Grups de professors s’organitzaven per discutir i treballar una formació més adequada i pedagògica per aprendre les matemàtiques.

Fruit d’aquests moviments, l’any 1977 va néixer la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas Isaac Newton, amb l’objectiu de millorar el nivell professional i pedagògic dels professors de matemàtiques, servir de nexe entre ells i organitzar cursos, conferències i publicacions, entre d’altres. A aquesta societat la van seguir d’altres i l’any 1988 la societat canària, l’aragonesa i dues d’andaluses van crear la FESPM. Catalunya no era aliena a aquesta preocupació i als inicis dels anys noranta hi havia una gran ebullició. Diversos grups experimentaven, treballaven i investigaven per una millora necessària de l’ensenyament--aprenentatge de les matemàtiques, una matèria que calia renovar la seva presencia a les aules, fer-la més atractiva i impulsar la resolució de problemes, la tasca pròpia d’aquesta matèria.

L’embrió de l’aventura FEEMCAT va néixer a la ciutat de Reus de la ma de joves professors, animats per professorat que havia participat en Jornades de didàctica fora de Catalunya i engrescats per publicar les seves experiències i compartir-les, per promoure una millor didàctica seguint les noves directrius dels especialistes d’arreu. A finals del 1990 va néixer APMCM, l’Associació de professorat de matemàtiques de les comarques meridionals.

86 noubiaix 43

El camí per tirar endavant la creació d’una associació d’aquest tipus era desconegut i complex.

S’havia de determinar l’abast territorial, els objectius, redactar els estatuts, fer una revista, organitzar activitats, donar-se a conèixer... L’any 1992 es va editar per primer cop Biaix, la revista de l’APMCM. Es van registrar a la FESPM l’any 1993 i aviat van comprendre la necessitat de cercar altres embrions a Catalunya per crear noves associacions.

A Girona van contactar amb dos grups de treball, l’equip ICE de Matemàtiques de la UdG i el Grup Perímetre liderat per la prestigiosa professora Maria Antònia Canals i així el 1992, s’inicià el camí de la creació d’ADEMGI, Associació d’ensenyants de matemàtiques de les comarques gironines, amb objectius similars i amb la voluntat de cooperar en un projecte més global.

Amb la paperassa burocràtica feta, també es va voler inscriure a la FESPM però com que només es podia inscriure una associació per autonomia es van iniciar reunions d’ambdues Juntes per trobar una sortida.

La solució va ser enginyosa. Tots sabíem que no es podia crear una associació representant de Catalunya sense comptar amb els companys d’altres contrades com Barcelona, Lleida...

L’any 1994 es va crear la Federació d’Entitats per a l’ensenyament de les matemàtiques a Catalunya, que de moment va incloure les dues entitats referides i que de ben segur s’aniria ampliant, cobrint tot el territori de les comarques catalanes.

Va ser el tercer escenari a Catalunya. L’àmbit territorial estava determinat però es van haver de definir els objectius que donarien sentit a la Federació, la relació entre les diverses associacions, les activitats comunes i els seus estatuts.

Van ser moltes les reunions a Reus, a Girona i a mig camí. Biaix va esdevenir la revista d’aquesta Federació, i aquesta va ser admesa a la FESPM. Es van realitzar algunes jornades amb una gran il¨lusió de sentir-se protagonistes d’uns fets que creiem importants i necessaris per una revolució de l’ensenyament-aprenentatge d’una matèria present a tots els àmbits de la societat, de la ciència i de les arts.

En aquell moment l’UAB va oferir un màster en la resolució de problemes que va tenir molt d’èxit de participació i va sorgir una gran debat sobre si era possible impartir a les aules dels centres d’ensenyament els continguts de matemàtiques mitjançant la resolució de problemes. Aquest curs ens va influenciar molt als participants, ens va qüestionar com ensenyar i a afrontar-nos a problemes reals i no a mers exercicis de comprensió de la teoria.

Va ser un aprenentatge col¨lectiu i molt beneficiós per a la comunitat educativa.

L’activitat genuïna de la Federació va ser el Fem Matemàtiques, concurs adreçat a l’alumnat d’entre 11 i 14 anys, que tenia la voluntat de promoure la resolució de problemes en grup a l’aula. La primera edició va ser el curs, 1994-95. Els concursants van resoldre en els centres els problemes proposats en grups de tres o quatre alumnes. Recordo encara un problema proposat per professors entusiastes que era molt novador i que incloïa càlculs aproximats en la seva resolució. El grup guanyador va participar a la VI Olimpíada Nacional que va organitzar la Societat Valenciana.

desembre 2018 87

El segon Fem Matemàtiques es va reestructurar en tres fases i la final es va fer a la ciutat de Girona. Incloïa una prova individual i els guanyadors del nivell superior van participar a la Olimpíada Nacional que organitza cada any una de les associacions que componen la FESPM. I ja portem vint-i-cinc anys del Fem Matemàtiques!

La FEEMCAT ha anat creixent amb activitats i entitats. Actualment la componen cinc associacions que per ordre de creació són, APMCM, ADEMGI, APaMMs, ABEAM i Lleimat.

Per molts anys! I que per molt de temps segueixi impulsant la millora de l’ensenyament de les matemàtiques, doni recolzament al professorat novell i promogui trobades, activitats i noves motivacions.

88 noubiaix 43

Fem Matemàtiques: d’un temps, d’un país...

Xavier Vilella Miró APaMMs

Deixeu-me començar fent un reconeixement a les persones, mestres, professors i professores de matemàtiques, que, sovint anònimament, posen la llavor d’activitats d’educació matemàtica que fructifiquen espectacularment al caps dels anys. Persones que han treballat (i treballen) de manera desinteressada per mantenir en actiu un esdeveniment educatiu únic en el panorama de l’ensenyament a casa nostra: el Fem Matemàtiques.

Tot té un inici Durant el curs 1994-1995 es va anar organitzant i posant en marxa la primera fase del Fem Matemàtiques, dirigida als nivells de sisè, setè i vuitè d’educació general bàsica (EGB). Fou en la primavera del 1995 que es va fer la primera final del Fem Matemàtiques. A l’editorial del número 8 del Biaix s’afirma que es pretén «posar un gra de sorra més en el plantejament, entre tot plegats, d’unes matemàtiques per a tothom». I més endavant es diu: «Hi ha un gran acord a entendre la resolució de problemes, en el seu sentit més ampli, com l’eix central de l’educació matemàtica». S’afirma també: «Unes matemàtiques on els problemes proposats a l’aula plantegen situacions a l’abast de tothom, no bloquegen d’entrada, interessen, es converteixen en reptes, afavoreixen l’intercanvi d’idees, admeten diferents nivells de resposta (lligats a les diferents capacitats o estils), provoquen una posterior ampliació o revisió [...]».

Com es pot comprovar, el Fem Matemàtiques va néixer amb la vocació d’afavorir una manera de treballar les matemàtiques a l’aula que lliga amb el constructivisme, amb els corrents mundials de la didàctica de la matemàtica dels anys de la reforma, i ho fa des del professorat de matemàtiques i organitzat sota la forma d’un concurs que comença amb una primera fase de treball d’equip en els centres i que a partir del 1996 inclou una fase individual, com en l’Olimpíada estatal, a proposta del primer grup de treball creat a la Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya (FEEMCAT), integrat per Elisabet Saguer, Antoni Vila i Anna Pol. Aquest format és el que apliquem des de la final de Girona del 1996. Un detall: la fase final del Fem Matemàtiques es fa coincidir, aproximadament, amb l’aniversari

desembre 2018 89

del naixement de Pere Puig Adam, el 12 de maig, designat Dia Escolar de les Matemàtiques a tot l’Estat espanyol.

Organitzar el Fem Matemàtiques representà un desafiament i una oportunitat per a la Federació de societats catalanes, atès que era la primera activitat conjunta que s’organitzava.

El 1995 hi van participar 97 grups de 33 escoles, 465 nois i noies d’arreu de Catalunya. Des d’aquella primera edició ja es va posar una de les bases del que seria en el futur: la col¨laboració imprescindible del professorat (i de les famílies). No fou fins al curs següent que s’implantà la fase presencial i començà la final rotativa a càrrec de cada associació federada. Tanmateix, quatre representants catalans de vuitè d’EGB van poder participar en la VI Olimpíada Matemática Nacional, que es va fer a Benicàssim i Alacant i que reunia els representants de les diferents comunitats autònomes d’Espanya que disposaven d’una societat de professors de matemàtiques que formés part de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM).

El nom identifica Comencem analitzant el nom que van posar a aquesta activitat: Fem Matemàtiques.

Fem Matemàtiques: en primera persona del plural. Nosaltres fem matemàtiques. Un encert de les persones creadores de l’activitat: la idea de construcció social del coneixement. No van crear un concurs tipus olimpíada, a la manera dels països europeus i de l’Estat espanyol, en què s’enfronten els alumnes individualment, sinó que el Fem Matemàtiques s’inicia amb un treball en equip sobre problemes d’una certa complexitat i valora la qualitat de la resposta, consistent en un informe. Comunicació d’idees matemàtiques, una de les dimensions de les competències matemàtiques: onze anys abans de la Llei orgànica d’educació (LOE) i la Llei d’educació de Catalunya (LEC). ‚ Fem Matemàtiques: no es va utilitzar la paraula sabem o bé aprenem, sinó fem. El missatge és clar: per aprendre matemàtiques cal fer matemàtiques. I fer matemàtiques vol dir fonamentalment resoldre problemes. Érem als anys noranta i ja hi havia precedents internacionals que hi insistien. ‚

A casa nostra disposem d’un precedent, Pere Puig Adam, qui, en un article del 1959 titulat «Un punto de vista cibernético sobre el problema de los problemes», defensa la resolució de problemes com a mètode per ensenyar matemàtiques i dona suport a la concepció heurística de George Polya.

Brousseau presenta en el 27è Congrés de la Comissió Internacional per a l’Estudi i la Millora de l’Ensenyament de les Matemàtiques (CIEAEM), del 1976, una aportació referida als obstacles epistemològics i els problemes de matemàtiques, i escriu: «Un alumne no fa matemàtiques si no planteja i no resol problemes. Tothom està d’acord en això».

El 1980 l’ICME 4, celebrat a Berkeley, dedicà una sessió a la resolució de problemes. John Mason edità el llibre Pensar matemáticamente el 1987. I Miguel de Guzmán edità diferents llibres sobre aquesta qüestió (Cuentos con cuentas, Para pensar mejor, Aventuras matemáticas) el 1984, el 1991 i el 1995.

90 noubiaix 43

L’informe Cockcroft s’edita el 1982. A la pàgina 90 podem llegir: «Les matemàtiques només són útils en la mesura que puguin aplicar-se a una situació quotidiana». I més endavant: «Tots els alumnes han d’adquirir certa experiència en l’aplicació de les matemàtiques apreses a les situacions quotidianes i a la resolució de problemes que no siguin exactament repeticions dels exercicis ja practicats». I en la pàgina 242: «L’ensenyament de les matemàtiques a tots els nivells ha d’incloure [...] resolució de problemes, incloent-hi l’aplicació de les matemàtiques a les situacions de la vida quotidiana».

A Biaix van apareixent articles relacionats amb la resolució de problemes: en el número 2, del 1992, el de Josep Gascón «Què s’entén per resolució de problemes de matemàtiques?»; en el número 5, d’abril del 1994, una entrevista a Jan de Lange, director de l’Institut Freudhental, qui afirma, en resposta a les preguntes de Carme Burgués, que «cal desenvolupar un pensament més matemàtic, treballar la resolució de problemes, adquirir una actitud crítica i habilitats de comunicació»; en el número 6, Paulo Abrantes, entrevistat per Joaquim Giménez, afirma que la idea de projecte està lligada a la resolució de problemes; en el mateix número apareix el Racó de Problemes, a càrrec de Ramon Nolla; en el número 7, l’article de Josep Maria Fortuny i Mari Luz Callejo «Avaluació del procés de resolució de problemes de matemàtiques».

A poc a poc s’estén el coneixement dels treballs de Polya i de desenvolupadors com Schoenfeld, qui edita el llibre A Source Book for College Mathematics Teachingel 1990. Schoenfeld diu: «L’ensenyament de les matemàtiques ha de proporcionar als alumnes l’oportunitat d’explorar un ampli ventall de problemes i de situacions des dels simples exercicis fins a problemes oberts, i situacions de recerca». El 1985 publica Mathematical Problem Solving.

FEEMCAT: l’eina d’innovació que necessitàvem A casa nostra ens calia una eina associativa adequada al repte de renovar la didàctica de les matemàtiques i va ser en el decenni 1990-2000 que la vam dreçar: les associacions del professorat de matemàtiques van constituir la Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya (FEEMCAT). Els primers passos els va fer l’Associació de Professors de Matemàtiques de les Comarques Meridionals (APMCM) i posteriorment es va constituir l’Associació d’Ensenyants de Matemàtiques de les Comarques Gironines (ADEMGI), amb la valuosa aportació del Grup Perímetre, de Maria Antònia Canals (primera presidenta de la Federació), del grup de l’Institut de Ciències de l’Educació (ICE) de la Universitat de Girona (UdG) i de grups de treball com l’Almosta de l’Associació de Mestres Rosa Sensat. Sense el treball d’aquestes dues associacions, APMCM i ADEMGI, se’m fa difícil pensar que el Fem Matemàtiques pogués ser una realitat tal com avui el coneixem. El 1995 s’hi afegeix APaMMs, amb seu a Vilassar de Mar. Dos anys més tard, l’ADEMGI, amb seu a Barcelona; l’Associació del Garraf, del 2000 al 2005; i, finalment, el 2014, l’associació de les comarques lleidatanes, Lleimat. Ja tenim completa la FEEMCAT actual. Cada ampliació de la Federació va significar un impuls del Fem Matemàtiques, amb fases primera i segona a càrrec de cada associació, i més possibilitats organitzatives per a la final de Catalunya, amb caràcter rotatiu.

desembre 2018 91

La resolució de problemes Les arrels del Fem Matemàtiques les hem de buscar en els canvis derivats de la investigació en educació matemàtica i les propostes successives d’innovació a les aules de matemàtiques d’Europa i altres zones del món. La resolució de problemes anà agafant protagonisme en el debat. Seguíem l’estela de la investigació en didàctica de les matemàtiques i del moviment d’innovació europeu (i dels Estats Units), que ens portava uns anys d’avançada: la traducció al castellà del llibre de Morris Kline en el qual critica la matemàtica moderna es va publicar el 1976.

Les anomenades matemàtiques recreatives i el joc com a eina didàctica a matemàtiques es desenvolupen amb força: Yakov Perelman publica Matemáticas recreativas el 1968; Martin Gardner, les Paradojas Ajà el 1975 i la primera edició d’Inspiración Ajà el 1978; Brian Bolt i Ian Steward publiquen llibres que plantegen la resolució de problemes en forma de projecte o de matemàtica recreativa i jocs. A Galícia se celebren el 1994 les I Xornadas de Matemática Recreativa, amb l’impuls de Manuel Coque Pazos i tot el seu grup. A Catalunya Lluís Segarra, des del 1980, ja publica articles i llibres de matemàtica recreativa, i funda El Quinzet amb David Barba l’any 1988.

Per altra banda, el National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) dels Estats Units d’Amèrica publica el 1980 Agenda for action (la primera de les vuit recomanacions és posar el focus en la resolució de problemes) i el1984 i el 1985 informes que assenyalen diverses possibilitats d’innovació en l’ensenyament de les matemàtiques.

A Espanya, la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM) organitzà el congrés mundial ICME VIII a Sevilla el 1996, dins del qual tingué lloc la conferència plenària de Jan de Lange «Real Problems with Real World Mathematics». El Grupo Temático 10 se centra en «La resolución de problemas en el currículum».

Els corrents de caire competencial començaven a obrir-se camí ´encara sense aquest nom´ amb l’informe Delors a la UNESCO, el DE.SE.CO de l’OCDE, l’Institut Freudhental a Holanda, el Shell Center a Anglaterra. Començàvem a albirar un horitzó de desenvolupament i d’avaluació de capacitats, que va portar al concepte de competència, al Projecte PISA uns anys després, i a la LOE i a la LEC el 2006 i el 2007, respectivament.

I a Catalunya?

Els anys 1990-2000 es va desenvolupar intensament la innovació en educació matemàtica a Catalunya. Un punt clau era la resolució de problemes.

A la revista SUMA, de la FESPM, trobem articles dedicats a la resolució de problemes (núm. 20, 21 i 22, del 1995 i el 1996). En el monogràfic de la revista UNO dedicat a jocs i matemàtiques (núm. 18, octubre del 1998), Fernando Corbalán i Jordi Deulofeu fan una introducció en què destaquen els jocs com a reptes per superar, que porten al plaer del descobriment, de vèncer les dificultats, com a contraposició de tècniques i algoritmes ja provats, presentats com a productes acabats a punt per ser consumits, sense reflexió, sense construcció. I el primer article d’aquest número és d’Alan J. Bishop, «El papel de los juegos en educación

92 noubiaix 43

matemática». El Grup F9 també treballa des del 1996 en l’aprofitament dels videojocs per a diferents àrees, també les matemàtiques. El joc es planteja com una manera de resoldre problemes. Jordi Deulofeu publica a La Vanguardia, des del 1991 fins al 1996, les conegudes recreacions matemàtiques «Para pensar desde un minuto a una hora». Mariano Mataix publica una vintena de llibres i també col¨labora en diaris i revistes.

Carme Burgués, en el número 211 de la revista Guix, de maig del 1995, afirma: «[...] cal triar situacions que siguin realment problemes, com més reals millor. Com a mètodes de resolució s’ha d’introduir l’ús de materials manipulatius, el tempteig, l’elaboració de taules i llistes, els diagrames, la recerca de regularitats, etc.».

L’any 1998 la Universitat Autònoma de Barcelona (UAB) i el Centre de Recerca Matemàtica organitzen el Trimestre Intensiu d’Educació Matemàtica (TIEM98), dirigit per Alan J. Bishop i Núria Gorgorió, un trimestre farcit de seminaris i conferències de primeres figures mundials (Balacheff, Clements, Hilton, Bolt, Presmeg, Nesher, Goffree, Dreyfus, de Abreu).

El debat a Catalunya es trobava en extensió, amb un grup de professors i professores dels departaments de didàctica i dels ICE de les universitats, i mestres i professors de totes les etapes educatives, que maldaven per generalitzar-lo, seguint la millor tradició de Puig Adam, Santaló, Coromines, Maria Rúbies, etc., i es va estendre ràpidament a cercles cada vegada més amplis del professorat, tant d’infantil i primària com de secundària. Hi van ajudar diferents estaments i organitzacions: els departaments de didàctica de les universitats (per exemple, la UAB va oferir el Postgrau en Resolució de Problemes); la revista UNO, amb monogràfics (per exemple, el núm. 8, d’abril del 1996) i articles d’educadors matemàtics d’arreu del món i dels catalans i espanyols involucrats en la tasca de portar la investigació a les aules; les revistes Perspectiva Escolar i Guix editaren monogràfics sobre matemàtiques i concretament sobre resolució de problemes (per exemple, el núm. 223, de març del 1998, amb aportacions de Maria Antònia Canals, Luisa Girondo, Antoni Vila, Àngel Alsina i altres). Destaquem l’esforç de grups de recerca i innovació, com el Grup Perímetre (Josep Callís i Elvira Figueras, per exemple, publiquen el maig del 1995 a Guix l’article «Aprofitar els interessos de l’alumnat en l’aprenentatge matemàtic», farcit de reflexions i propostes relacionades amb el repte, el dubte, la descoberta, l’error) o el Grup Vilatzara, de l’ICE de la UAB, des del 1996 actiu ininterrompudament fins avui dia, amb publicacions i participacions en congressos i jornades que han conreat aquesta línia de treball. També són els temps d’assaig de la reforma (la que seria la LOGSE), generalitzada el 1995, que impulsà una manera d’entendre l’educació matemàtica lligada al constructivisme social, a l’aprenentatge significatiu.

Per acabar Ens podem sentir molt orgullosos dels vint-i-cinc anys del Fem Matemàtiques, de tota la feina feta, i cal continuar desenvolupant el Fem Matemàtiques: el seu valor no és només el nombre de participants, de molts milers d’alumnes, sinó el fet que els objectius fundacionals s’estan complint. Felicitem-nos!

desembre 2018 93

Referències i bibliografia Abrantes, P. (1996). El papel de la resolución de problemas en un contexto de innovación curricular. UNO, 8, p. 7-18.

Bolt, B.; Hobbs, D. (1991). 101 proyectos matemáticos. Barcelona: Labor.

Brousseau, G. (1976). Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques.

Dins J. Vanhamme i W. Vanhamme (eds.), La problématique et l’enseignement des mathématiques. Comptes rendus de la XXVIIIe rencontre organisée par la Commission Internationale pour l’Etude et l’Amélioration de l’Enseignement des Mathématiques (p. 101-117). Louvain la Neuve.

Brousseau, G. (1998). Théorie des situations didactiques. Grenoble: La Pensée Sauvage.

Callejo, M.L. (1992). Currículum de matemáticas y resolución de problemas. SUMA, 10, p. 2535.

Callejo, M.L. (1995). Avaluació del procés de resolució de problemes matemàtics. Biaix, 7, p.

18-21 Deulofeu, J. (1999). Recreaciones, juegos y actividades matemáticas». UNO, 20, p. 89-101 Deulofeu, J. (2000). Pensant en el 2001: resolució de problemes, activitat matemàtica i raonament». Perspectiva Escolar, 242, p. 36-43 Girondo, L. (2001). Capacitats, objectius, i ara competències! Biaix, 18, p. 30-32.

Cockcroft, W.H. (1985). Las matemáticas sí cuentan. Informe Cockcroft. Madrid: Ministerio de Educación y Ciencia.

Kline, M. (1976). El fracaso de la matemática moderna. Madrid: Siglo XXI. Mason, J.; Burton, L.; Stacey, K. (1982). Pensar matemáticamente. Madrid: Labor / MEC. Gardner, M. (2018). !‘Ajá! Paradojas que hacen pensar. Barcelona: RBA Libros.

Gardner, M. (1983). Inspiración Ajà. Barcelona: Labor.

Guzmán, M. de (1977). Mirar y ver. Madrid: Alhambra.

Guzmán, M. de (1986). Aventuras matemáticas. Madrid: Pirámide.

Guzmán, M. de (1994). Para pensar mejor. Madrid: Pirámide.

Mataix, M. (1979). Divertimentos lógicos y matemáticos. Marcombo. Barcelona.

Mataix. M. (1979). El discreto encanto de las matemáticas. Barcelona: Marcombo.

94 noubiaix 43

N.C.T.M. (1980). An Agenda for Action. Reston, Virginia: NCTM. N.C.T.M. (1991). Estándarescurricularesydeevaluación parala educación matemática. Traducció de la SAEM Thales. Sevilla. (Ed. or. en anglès: 1989) OCDE (2001). Definition and Selection of Compentencies: Theoretical and Conceptual Foundations (DeSeCo). Background paper. En línia: www.deseco.admin.ch. Data de la consulta: 25-1-2003.

Perelman, Y. (1968). Matemáticas recreativas. Barcelona: Martínez Roca.

Perelman, Y. (1975). Problemas y experimentos recreativos. Moscou: Mir. Polya, G. (1965). Cómo plantear y resolver problemas. Mèxic: Trillas. (Ed. or. en anglès: 1945) Puig Adam, P. (1952). «Matemática y cibernética».Discurs pronunciat amb motiu de l’entrada en la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de Madrid.

Segarra, L. (1985). Repertorio, matemática recreativa. Barcelona: Teide.

Segarra, L. (1987). La cuadratura del círculo. Matemática recreativa. Barcelona: Graó.

Segarra, L. (2000). Problemates. Biblioteca de Guix. Barcelona: Graó.

Schoenfeld, A. (ed) (1990). A Source Book for College Mathematics Teaching. The Mathematical Association of America.

Schoenfeld, A. (1985). Mathematical Problem Solving. Nova York: Academic Press.

Schoenfeld, A. (1985). Sugerencias para la enseñanza de la resolución de problemas matemáticos. Dins La enseñanza de la matemática a debate. Madrid: MEC, p. 31-65.

Stewart, I. (1990). Ingeniosos encuentros entre juegos y matemática. Barcelona: Gedisa.

UNESCO (1996). La educación encierra un tesoro. Comisión Internacional sobre la Educación para el Siglo XXI. UNESCO. Vila, A. (1998). La idea de problema entre l’alumnat. Reflexions per a la creació d’un ambient de resolució de problemes a l’aula. Biaix, 11, p. 16-22. Vila, A.; Callejo, M.L. (2004). Matemáticas para aprender a pensar. El papel de las creencias en la resolución de problemas. Madrid: Narcea.

desembre 2018 95

A Juanjo Cárdenas Ballestero, in memoriam Xavier Vilella Miró

Amb les ulleres de sol sempre més amunt del front, un somriure als llavis, la mirada intel¨ligent, sincera i animada...

Si mai no vau observar una de les seves classes del tercer cicle de primària, us heu perdut una lliçó pràctica magistral de com s’ha d’ensenyar. Era un magnífic professor d’aula, un mestre, que posava a treballar tots els alumnes de la classe, del primer a l’últim. Tant li feia que fos un gitanet enjogassat com un morenet morrut, un noiet de família xinesa com una noia embolicada en un xador, o un terrassenc «de tota la vida»: quan ell donava el senyal, totes, tots es posaven en marxa, especialment quan tocava matemàtiques. Jo no el vaig veure mai cridar o renyar ´potser sí que alguna vegada ho feia, però mai en les diferents ocasions que el vaig observar treballant´: no li calia. Quan es tractava de fer un treball en equip, el seu alumnat col¨laborava de bon grat, amb eficiència, sense necessitat d’estructurar gaire el treball, perquè aconseguia un ambient de recerca, una veritable comunitat d’indagació a l’aula, en la qual la curiositat, la imaginació i el pensament crític es desenvolupaven dia a dia.

Ens vam conèixer fa molts anys en una formació intensiva única que va organitzar el desaparegut Programa d’Informàtica Educativa (PIE) a la Universitat Laboral de Tarragona. La convivència dels participants durant els quinze dies que vam estar tancats en règim de quasi internat va facilitar que apareguessin llaços basats en interessos comuns, més enllà de la tecnologia, que a poc a poc s’anaven convertint en amistat. Aquests interessos compartits i la coincidència en propostes per afrontar els reptes educatius del moment ens van dur a crear el Grup F9 de Videojocs i Educació, amb la Lluïsa, l’Antònia, el Manel, el Jose, la Begoña, ell i jo, i al cap dels anys vam produir tres llibres i centenars d’articles i fitxes didàctiques sobre aquest tema, així com un bon nombre de formacions del professorat per difondre el que els videojocs podien aportar a l’ensenyament en les nostres aules. L’interès per les matemàtiques ens va unir encara més, i disposar d’una organització com APaMMs ens va permetre trobar-nos amb altres companys i companyes i desenvolupar una activitat constant en favor de l’educació matemàtica. Ens trobàvem còmodes treballant en equip i vam compartir moltes formacions del professorat en més de vint-i-cinc centres de diferents comarques i indrets de Catalunya, i algunes per l’Estat espanyol.

A mi m’agradava molt treballar amb ell. Tenia idees pròpies i les defensava amb energia, aportant al seu voltant noves maneres d’encarar vells problemes; però, alhora, reconeixia sense embuts quan l’havies convençut i tenia l’habilitat d’incorporar allò nou al seu discurs.

En sabia molt, de pedagogia, i insistia que a la facultat va tenir alguns bons mestres que el van fer bon alumne. Era capaç de destil¨lar el bo i millor de la seva llarga experiència per incorporar-ho a les seves teories, amb t minúscula, de què parla la pràctica reflexiva, de la

96 noubiaix 43

qual era un defensor i divulgador: sempre millorar el treball a l’aula, però sempre a partir de l’anàlisi de la pròpia pràctica i del treball en equip del professorat.

En Juanjo era una bona persona, un gran amic dels seus amics, un bon conferenciant, sempre disposat a treballar, a exercir un càrrec sense remuneració, a administrar un web o un bloc, a aportar el seu esforç per organitzar una jornada, un concurs, un congrés, o per ajudar des d’on podia l’associacionisme del professorat de matemàtiques, especialment des d’APaMMs i la FEEMCAT. El Juanjo ens va deixar de manera sobtada el passat 10 de gener. El trobarem molt a faltar...

17460_interiorcoberta Nou Biaix 43 (5 mm).pdf 04/04/2019 13:49:43 - 1 - ( )

17460_coberta NouBiaix 43 (5 mm).pdf 04/04/2019 13:43:58 - 1 - ( )

noubiaix sumari

43

noubiaix Revista de la FEEMCAT i de la SCM

Desembre 2018

noubi ix a

número 43

43

3 Editorial f ee mcat

ISSN 2014-2021

Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya

9 772014 202008

articles

43

Desembre 2018

Consell de redacció: Lluís Mora / Josep Lluís Solé (coords.)

Marianna Bosch Joan Carles Ferrer Joan Miralles Josep Pla Romà Pujol Manuel Udina

8 Evolutes 24 Com es mesuren les distàncies als estels 36 La història com a context per a l’enriquiment Agustí Reventós

© dels autors dels articles Coediten: Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques (FEEMCAT) Campus de Montilivi, edifici P-IV 17071 Girona feemcat.org Societat Catalana de Matemàtiques (SCM), filial de l’Institut d’Estudis Catalans Carme, 47 08001 Barcelona scm.iec.cat noubiaix@gmail.com sites.google.com/site/noubiaix

Joan Girbau

competencial de l’activitat matemàtica Xavier Vilella Miró

51 Take a walk on the math side Alejandro Valero

seccions

60 Per pensar d’un minut a una hora 64 El racó de l’oriflèxia Jordi Deulofeu

Periodicitat: semestral Nombre d‘exemplars: 1.700

El cub de Sonobe, la joia de Takahama i els deltaedres estelats Jaume Coll Guerrero

Fotografia de la coberta: Semicercles concèntrics Coral Carmona ISSN: 2014-2021 Dipòsit legal: B-22.314-2012 Impressió: Gráficas Rey

71 La comissió per a l’impuls de les conclusions del Segon Congrés Català d’Educació Matemàtica.

Fent camí cap al C EM 2020: com ens hi impliquem?

Cecilia Calvo, Antoni Vila

79 El racó de l’estudiant Fórmula general per a qualsevol nombre poligonal Víctor Conchello Vendrell

Edicions de la Universitat de Barcelona Adolf Florensa, s/n 08028 Barcelona Tel.: 934 035 430 Fax: 934 035 531 comercial.edicions@ub.edu www.publicacions.ub.edu

85 L’espai de les associacions 25 anys de FEEMCAT Elisabet Saguer Canadell

Fem Matemàtiques: d’un temps, d’un país Xavier Vilella Miró

95 A Juanjo Cárdenas Ballestero, in memoriam Xavier Vilella Miró

Normes per a la presentació de contribucions 1. La revista Nou Biaix accepta per a la seva publicació contribucions originals relacionades amb experiències didàctiques, activitats d’ensenyament i aprenentatge, escrits d’opinió, de divulgació i d’investigació en el camp de la matemàtica i el seu ensenyament en qualsevol nivell educatiu.

2. Les contribucions rebudes seran sotmeses a una avaluació prèvia a càrrec de dos especialistes reconeguts. L’acceptació de la publicació serà notificada directament a l’autor amb una indicació de la data aproximada de publicació. En cas que una comunicació no fos acceptada, també se n’enviarà notificació.

3. Per a la presentació de treballs originals, l’autor trametrà a l’adreça noubiaix@gmail.com un arxiu, en Word o en LaTeX, amb un document a doble espai i amb marges amplis (65 caràcters per línia). Els gràfics, diagrames i figures hauran de ser originals (no fotocopiats). Els arxius gràfics es presentaran en format eps o tif.

4. La contribució haurà d’incloure el títol, el nom de l’autor o autors, la seva adreça professional completa i la seva adreça electrònica. S’adjuntarà un resum no més llarg de 300 paraules en català i anglès. Al final del document s’inclourà obligatòriament la bibliografia per ordre alfabètic de cognoms, d’acord amb la normativa APA; exemples: Articles Albertí, M. (2002). Les Matemàtiques des d’una perspectiva cultural: Etnomatemàtiques. Biaix, 20, 6-25.

Llibres Godino, J., Font, V. (2003). Razonamiento algebraico para maestros. Granada: Universidad de Granada.

Capítols de llibres Edo, M., Revelles, S. (2004). Situaciones matemáticas potencialmente significativas. Dins M. Antón i B. Moll (ed.), Educación Infantil. Orientaciones y recursos (0-6 años) (p. 410/103-410/179). Barcelona: Praxis.

Actes de congressos Morales, M., Font, V., Planas, N. (2004). Estudio microetnográfico en torno a un conocimiento matemático situado. Dins A. Franzé i altres (ed.), Actas de la I Reunión Científica Internacional sobre Etnografía y Educación (CD-ROM). València: Germanía, Polis Paideia.

Pàgines web Ibanyez, A., Paolu, N., Pedreira, J. (2007). Reloj Binario de sobremesa, a Microsiervos. http://www.microsiervos.com/archivo/gadgets/reloj-binario-sobremesa.html

5. Els continguts de Nou Biaix estan subjectes —llevat que s’indiqui el contrari en el text, en les fotografies o en altres il.lustracions— a una llicència de Reconeixement-No comercial-Sense obra derivada 3.0 de Creative Commons, el text complet de la qual es pot consultar a http://creativecommons.org/ licenses/by-nc-nd/3.0/es/deed.ca. Així, doncs, s’autoritza al públic en general a reproduir, distribuir i comunicar l’obra, sempre que es reconegui l’autoria i l’entitat que la publica, i no se’n faci un ús comercial ni es difongui cap obra derivada.

6. Els articles es publicaran en llengua catalana. Només es traduiran al català les contribucions acceptades realitzades per autors no residents als Països Catalans.

7. Els autors es responsabilitzaran del compliment de les normes establertes per a l’autorització de la reproducció de material procedent d’altres fonts bibliogràfiques.

8. Els articles tindran una extensió d’entre 6 i 12 pàgines de text —és a dir, un total màxim de 12.000 caràcters—, incloses les notes a peu de pàgina. Podran anar acompanyats d’il·lustracions, sempre que no superin l’extensió de dues pàgines. En definitiva, tot complet —quan el text contingui quadres, figures, fotografies, gràfics, mapes, etc.— no podrà superar, en cap cas, les 15 pàgines.

9. Fem notar que en aquesta publicació s’utilitza preferentment el punt per separar decimals, en lloc de la coma recomanada per l’IEC, per tal de facilitar la comprensió de les expressions matemàtiques.