42
42
noubiaix Juny 2018
f ee mcat Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya
17450_coberta NouBiaix 42 (final, 6mm).pdf 1
ISSN 2014-2021
9 772014 202008
42
Juny 2018
noubiaix
Revista de la FEEMCAT i de la SCM
29/10/2018 20:06:36
noubiaix
42
número 42
Juanjo Cárdenas (responsable pàgina web) © dels autors dels articles Coediten: Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques (FEEMCAT) Campus de Montilivi, edifici P-IV 17071 Girona feemcat.org Societat Catalana de Matemàtiques (SCM), filial de l’Institut d’Estudis Catalans Carme, 47 08001 Barcelona scm.iec.cat noubiaix@gmail.com sites.google.com/site/noubiaix
noubiaix Revista de la FEEMCAT i de la SCM
f ee mcat Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya
ISSN 2014-2021
42
9 772014 202008
Juny 2018
3 Editorial
Juny 2018
noubiaix
sumari Consell de redacció: Lluís Mora / Josep Lluís Solé (coords.) Marianna Bosch Joan Carles Ferrer Joan Miralles Josep Pla Romà Pujol Manuel Udina
42
articles
8 Els primers, manual d’instruccions 30 Fotografia matemàtica 45 El laboratori de matemàtiques Maria Antònia Canals 56 Els problemes del Fem Matemàtiques a l’aula Xavier Xarles
Grup de fotografia matemàtica d’ABEAM
Jordi Font i Roger Grau
Mireia López Beltran i Cyntia Riquelme Carvallo (Grup de resolució de problemes d'ABEAM)
71 Quina relació hi ha entre els queviures, la fotografia i l’àlgebra de matrius? Joan Gómez i Urgellés
85 Discurs d’agraïment (ampliat) llegit a l’acte de lliurament del Premi Crítica Serra d’Or de Recerca Josep Pla i Carrera Periodicitat: semestral Nombre d‘exemplars: 1.700
seccions Fotografia de la coberta: Cúpules de Leonardo Enric Brasó
90 Construint matemàtiques. Experiències i emocions en educació matemàtica Anton Aubanell
ISSN: 2014-2021 Dipòsit legal: B-22.314-2012
Impressió: Gráficas Rey Edicions de la Universitat de Barcelona Adolf Florensa, s/n 08028 Barcelona Tel.: 934 035 430 Fax: 934 035 531 comercial.edicions@ub.edu www.publicacions.ub.edu
17450_interiorcoberta Nou Biaix (final, 6 mm) 42.pdf 1
97
El racó del CESIRE-CREAMAT. Matemàtiques i impressió en 3D
103 L’espai de les associacions. Desè aniversari de l’Associació Catalana de GeoGebra. Divulgació d’una eina imprescindible Pep Bujosa
116 El racó del MMACA. Les cúpules de Leonardo da Vinci Enric Brasó
Normes per a la presentació de contribucions 1. La revista Nou Biaix accepta per a la seva publicació contribucions originals relacionades amb experiències didàctiques, activitats d’ensenyament i aprenentatge, escrits d’opinió, de divulgació i d’investigació en el camp de la matemàtica i el seu ensenyament en qualsevol nivell educatiu. 2. Les contribucions rebudes seran sotmeses a una avaluació prèvia a càrrec de dos especialistes reconeguts. L’acceptació de la publicació serà notificada directament a l’autor amb una indicació de la data aproximada de publicació. En cas que una comunicació no fos acceptada, també se n’enviarà notificació. 3. Per a la presentació de treballs originals, l’autor trametrà a l’adreça noubiaix@gmail.com un arxiu, en Word o en LaTeX, amb un document a doble espai i amb marges amplis (65 caràcters per línia). Els gràfics, diagrames i figures hauran de ser originals (no fotocopiats). Els arxius gràfics es presentaran en format eps o tif. 4. La contribució haurà d’incloure el títol, el nom de l’autor o autors, la seva adreça professional completa i la seva adreça electrònica. S’adjuntarà un resum no més llarg de 300 paraules en català i anglès. Al final del document s’inclourà obligatòriament la bibliografia per ordre alfabètic de cognoms, d’acord amb la normativa APA; exemples: Articles Albertí, M. (2002). Les Matemàtiques des d’una perspectiva cultural: Etnomatemàtiques. Biaix, 20, 6-25. Llibres Godino, J., Font, V. (2003). Razonamiento algebraico para maestros. Granada: Universidad de Granada. Capítols de llibres Edo, M., Revelles, S. (2004). Situaciones matemáticas potencialmente significativas. Dins M. Antón i B. Moll (ed.), Educación Infantil. Orientaciones y recursos (0-6 años) (p. 410/103-410/179). Barcelona: Praxis. Actes de congressos Morales, M., Font, V., Planas, N. (2004). Estudio microetnográfico en torno a un conocimiento matemático situado. Dins A. Franzé i altres (ed.), Actas de la I Reunión Científica Internacional sobre Etnografía y Educación (CD-ROM). València: Germanía, Polis Paideia. Pàgines web Ibanyez, A., Paolu, N., Pedreira, J. (2007). Reloj Binario de sobremesa, a Microsiervos. http://www.microsiervos.com/archivo/gadgets/reloj-binario-sobremesa.html
5. Els continguts de Nou Biaix estan subjectes —llevat que s’indiqui el contrari en el text, en les fotografies o en altres il.lustracions— a una llicència de Reconeixement-No comercial-Sense obra derivada 3.0 de Creative Commons, el text complet de la qual es pot consultar a http://creativecommons.org/ licenses/by-nc-nd/3.0/es/deed.ca. Així, doncs, s’autoritza al públic en general a reproduir, distribuir i comunicar l’obra, sempre que es reconegui l’autoria i l’entitat que la publica, i no se’n faci un ús comercial ni es difongui cap obra derivada. 6. Els articles es publicaran en llengua catalana. Només es traduiran al català les contribucions acceptades realitzades per autors no residents als Països Catalans. 7. Els autors es responsabilitzaran del compliment de les normes establertes per a l’autorització de la reproducció de material procedent d’altres fonts bibliogràfiques. 8. Els articles tindran una extensió d’entre 6 i 12 pàgines de text —és a dir, un total màxim de 12.000 caràcters—, incloses les notes a peu de pàgina. Podran anar acompanyats d’il·lustracions, sempre que no superin l’extensió de dues pàgines. En definitiva, tot complet —quan el text contingui quadres, figures, fotografies, gràfics, mapes, etc.— no podrà superar, en cap cas, les 15 pàgines. 9. Fem notar que en aquesta publicació s’utilitza preferentment el punt per separar decimals, en lloc de la coma recomanada per l’IEC, per tal de facilitar la comprensió de les expressions matemàtiques.
07/11/2018 20:46:55
editorial
2009-2010• 3
editorial
Sense la iniciació en l’esperit científic un no posseeix les millors eines que la humanitat fins ara ha ideat per dirigir efectivament la reflexió. Sense aquestes, un falla a comprendre el significat complet del coneixement. John Dewey
Una de les possibilitats que permet el desenvolupament actual de les xarxes web és l’intercanvi entre usuaris de les activitats que desenvolupen. Això fa que en entorns rics on es produeixen molts recursos, aquestes possibilitats d’intercanvi siguin molt grans. Aquest és el cas del món de l’educació matemàtica a Catalunya, i un dels exemples més clars d’això que diem va ser el Congrés Català d’Educació Matemàtica (C2 EM) que va tenir lloc el juliol de l’any 2016. En aquest món hi tenim representades, entre altres entitats i associacions, primer de tot la Societat Catalana de Matemàtiques (SCM) i la FEEMCAT com a editores d’aquesta revista, però no hem d’oblidar el CESIRE-Creamat com a nexe d’unió amb el Departament d’Ensenyament de la Generalitat de Catalunya, ni el MMACA o l’Associació Catalana de Geogebra (ACGeogebra), col¨laboradors habituals d’aquesta revista. Menció especial mereix el GAMAR, un espai de reflexió i pràctica creat per Maria Antònia Canals. I també hi hem d’incloure les universitats catalanes i la gran quantitat d’activitats adreçades a estudiants de batxillerat que organitzen. Però no només és interessant el nom de les entitats que desenvolupen aquestes tasques, sinó que el que realment importa són les tasques que desenvolupen. En aquest sentit ens agradaria destacar, sense pretensió d’exhaustivitat, les activitats adreçades a estudiants. Podem començar amb les relacionades amb les proves Cangur, que mobilitzen més de cent mil estudiants de Catalunya, per seguir amb el Fem Matemàtiques, el `Mates, l’Estalmat, el Bojos per les Matemàtiques i l’Anem x ` Matemàtiques. No ens volem deixar les activitats adreçades a mestres i professors. A Catalunya podem assistir i intercanviar idees, en directe, en les cinc jornades d’ensenyament i aprenentatge de les matemàtiques que organitzen les associacions que formen part de la FEEMCAT, i també a la jornada conjunta organitzada per la FEEMCAT i la SCM i les societats germanes del País Valencià i les Illes Balears, SEMV Al-Khwarizmi i Xeix, així com aprendre sobre les eines digitals a la jornada de l’ACGeogebra.
4 noubiaix 42
Recull viu realitzat per CESIRE-CREAMAT, desembre 2014
En darrer lloc, i no per això menys important, també volem mencionar els diversos grups de treball sobre l’ensenyament de les matemàtiques que existeixen. Els podeu veure en el mapa adjunt. Volem agrair al CESIRE-CREAMAT el seu permís per publicar-lo. Entenem que a Catalunya hi ha creada una xarxa de mestres i professors que potencia totes les bones activitats que fem a les nostres aules, i ens agradaria afirmar, recordant aquell proverbi que diu que si volem anar lluny és millor anar-hi acompanyats, que cal aprofitar aquesta xarxa per anar molt lluny en l’ensenyament de les matemàtiques. Creiem que aquesta xarxa de docents queda molt ben reflectida en una gran part dels articles que podreu llegir en aquest número i també en les seccions habituals. En Xavier Xarles ens ha escrit un manual d’instruccions per als nombres primers en el qual ens mostra criteris per aconseguir nombres primers molt grans que ens siguin útils, sobretot per a la criptografia. Per als editors ha estat molt interessant llegir el manual sobre aquest món que desconeixíem, i esperem que els possibles lectors de la revista comparteixin aquesta sensació. En Josep Pla ens ha fet arribar el text (ampliat) que llegí a l’acte de l’entrega del Premi Crítica Serra d’Or de Recerca, que li donaren pels dos primers volums ja publicats del lloable i ambiciós projecte que porta a terme sobre la història de la matemàtica. És una mena d’obra que no s’ha realitzat mai en cap llengua, i tenim el privilegi que aquesta aportació cultural de tan gran volada s’escrigui originalment en la nostra.
juny 2018 5
El concurs de fotografia matemàtica de l’Associació de Barcelona per a l’Estudi i l’Aprenentatge de les Matemàtiques (ABEAM) es va iniciar el curs 1999-2000 amb motiu de l’Any Mundial de les Matemàtiques. A l’article, els seus organitzadors ens expliquen breument aquesta activitat per tal de fer-la arribar al màxim nombre de gent possible. Una altra experiència d’èxit que apareix reflectida a la revista és el laboratori de matemàtiques Maria Antònia Canals, a l’Institut Baix a Mar de Vilanova i la Geltrú. Jordi Font i Roger Grau intenten donar resposta a la pregunta: què entenem quan parlem d’un laboratori de matemàtiques? La tercera experiència d’èxit d’aquest número sorgeix del concurs Fem Matemàtiques, que es desenvolupa des de l’any 1995. Les professores Mireia López i Cyntia Riquelme ens mostren el web «Banc de Recursos del Fem Matemàtiques», web que té per objectiu mostrar com la col¨lecció de problemes d’aquest concurs pot ser útil a l’aula. I, finalment, Joan Gómez Urgellés ens proposa dues activitats que motiven que els nostres estudiants elaborin models matemàtics. Creiem que són articles que visualitzen la potència de l’educació matemàtica a Catalunya i la connexió que palesen tots els estaments que la integren. Cal mostrar i donar a conèixer la tasca matemàtica que es desenvolupa als nostres centres i fer-la arribar a la major part del professorat si volem que el canvi educatiu en l’ensenyament de les matemàtiques a l’aula arribi a tots els estudiants. Cal fer visible la importància de les matemàtiques en la vida i buscar maneres per tal que tothom tingui moments d’èxit matemàtic. Després podeu trobar-hi les nostres seccions. Val a dir que en aquest número estrenem una secció dedicada a Geogebra, que un cop a l’any ens mostrarà els secrets d’aquest programari i que complementa les seccions «Construint matemàtiques», «El racó del CESIRE-CREAMAT» i «El racó del MMACA». I també podeu llegir una síntesi de la Jornada de l’ABEAM, que es va celebrar, com cada any, el primer dissabte de novembre. Finalment, igual que en el darrer número, volem encoratjar tots els lectors a explicar, per mitjà d’aquesta revista, les propostes, experiències o idees que considereu d’interès per a la comunitat d’ensenyants de matemàtiques del nostre país. Esperem els vostres articles! Els editors
juny 2018 5
articles
articles
8 noubiaix 42
Els primers, manual d’instruccions Xavier Xarles Departament de Matemàtiques Universitat Autònoma de Barcelona xarles@mat.uab.cat
Resum En aquest manual expliquem com es fa realment per trobar nombres primers prou grans per ser utilitzats per a la criptografia. També fem una breu incursió en alguns mètodes de factorització.
Abstract This paper explains exactly how we find the prime numbers large enough to be used in cryptography. It also outlines some methods of factorization.
1. Introducció Quan ens parlen dels nombres primers, o quan els expliquem a classe, sempre es posa molt d’èmfasi en com són d’útils ara mateix. De fet, crec que no en som realment conscients, de la importància cabdal que tenen i han tingut aquests últims anys. Penseu que cada cop que ens connectem a una pàgina web segura (per exemple, les pàgines que comencen amb «https»), aquesta fa servir un sistema de comunicació xifrada que amb tota seguretat utilitza nombres primers molt grans (en parlarem després, però poden ser de prop d’unes sis-centes xifres decimals). I penseu que això ho feu diverses vegades al dia (probablement, moltes). Ara mateix, centenars de milers d’empreses necessiten utilitzar nombres primers enormes i, a més, que siguin diferents tots ells, i fins i tot anar-los canviant cada poc temps. Així doncs, sembla natural pensar que un mètode per trobar primers (o fins i tot els mateixos primers) pot tenir una sortida en el mercat (vaja, que algú compra primers). Una percepció completament equivocada. Aquesta percepció es deu, possiblement, al fet que no s’expliquen mètodes per trobar primers grans als nostres graus (de matemàtiques), no surten als llibres (no especialitzats), tot i que les eines necessàries per explicar-los són simples i, de fet, formen part del currículum de primer curs de moltes de les carreres científiques (des de Matemàtiques i Física fins a moltes enginyeries: d’Informàtica, Telecomunicacions, etc).
juny 2018 9
Aquest escrit, que m’he atrevit a qualificar de manual, pretén omplir aquest buit. No explicaré res de nou ni res que no es pugui trobar en els llibres, tot i que potser sovint no es posa l’èmfasi en la practicitat que jo sí que hi posaré. Una cosa vull dir: com que no he treballat per a la indústria dels primers, no puc saber amb seguretat si utilitza els mètodes que jo mencionaré, tot i que tinc força pistes que sí que ho fa. Sí que sé que fa servir els programes més utilitzats pels matemàtics, concretament pels aritmètics, com el SAGE, el PARI, el MAGMA, el MAPLE i altres. D’altra banda, podria haver-hi altres mètodes no públics (o secrets) que fossin millors, però d’això no en sé res (i, com s’acostuma a dir, si en sabés, ho negaria).
2. Eines preindustrials per detectar nombres primers Tots els matemàtics sabem de l’estranya fascinació que provoquen els nombres primers. És un tema que des dels elements d’Euclides [3], on es demostrava que hi havia primers tan grans com es volgués, i possiblement molt abans, ha ocupat la ment de molts dels millors matemàtics. Recordem que els nombres primers són els nombres que no es poden descompondre com a producte de nombres més petits (és a dir, són irreductibles) i, per tant, són els blocs a partir dels quals podem anar obtenint tots els altres nombres naturals a base de multiplicacions. La unicitat de la descomposició de tot nombre natural com a producte de primers és un dels pilars en què es fonamenta l’aritmètica (el teorema fonamental) i és el que permet demostrar el teorema de la infinitud de nombres primers. És a dir, no ens hem de preocupar per si s’acaben els primers del magatzem, perquè n’hi ha tants com en puguem necessitar. Tot i això, hi ha moltes més preguntes pràctiques que ens podem fer sobre els primers i que no queden resoltes dient que n’hi ha infinits. En vull destacar dues: què podem fer per trobar primers molt grans i quants n’hi ha realment. Sovint expliquem que una bona resposta a la primera pregunta és la que va donar Eratòstenes amb el seu famós mètode del garbell cap al 230 aC. La idea fonamental del seu mètode era que si volem veure que un nombre és primer, no ens cal veure que no és divisible per cap nombre més petit que ell, sinó que ho és només pels nombres més petits que la seva arrel quadrada. La realitat, però, és que aquest mètode no serveix per a res si el nostre nombre té, per exemple, més de 50 xifres decimals. De fet, s’ha determinat que el nombre de càlculs necessaris per comprovar que un nombre de 50 xifres és primer (si ho és) amb el garbell d’Eratòstenes és molt més gran que tots els càlculs fets en tota la història de la humanitat (podeu consultar, per exemple, la pàgina 7 de [2]). Observem que el mètode d’Eratòstenes no només prova si un nombre és o no primer, sinó que li troba un factor en cas que no ho sigui, una informació que en principi no volíem per a res si només ens interessava saber si el nombre és primer o no. Veurem que, de fet, el problema de la factorització és d’un ordre molt superior al problema de la primeritat. Així doncs, ens cal un mètode que detecti si un nombre és primer sense factoritzar-lo! La idea clau passa, curiosament, per adonar-se que és fàcil detectar nombres compostos.
10 noubiaix 42
3. Com detectar nombres compostos Com podem saber que un nombre és compost sense trobar-li un factor? Sols hem de veure que no compleix una propietat que tinguin tots els nombres primers, encara que algun nombre compost la tingui! Una propietat, és clar, que no faci referència (directa) a la seva reductibilitat. De propietats d’aquestes en coneixem algunes, però probablement la primera, històricament, és una de les més bones. I va ser enunciada per qui es pot considerar el pare (modern) de l’aritmètica: Pierre de Fermat. El 18 d’octubre de 1640 (i mentre a Catalunya començava la Guerra dels Segadors), en una carta al seu amic Frénicle de Bessy, Fermat afirmava el següent: per a tot nombre primer p, i per a tot nombre enter a, el nombre p divideix el nombre ap ´ a. En la carta, tal com va fer en altres ocasions, mencionava que tenia una demostració d’aquest fet, però deia que no l’escrivia per tal que la carta no fos massa llarga. De fet, Fermat mateix va anunciar el seu resultat d’una manera que serà la que utilitzarem: si a no es divisible per p, aleshores p divideix ap´1 ´ 1. Per tant, una manera de detectar que un nombre n és compost pot ser: escollir un nombre a no divisible per n, calcular el nombre an´1 ´ 1 i veure si surt o no divisible per n. Com a cas particular tenim el criteri simple següent. Criteri 1. Si un nombre senar n no divideix 2n´1 ´ 1, aleshores és compost. Per exemple, per al nombre n “ 143, quan dividim 2142 ´ 1 entre 143 ens surt un residu de 84; per tant n no és primer (de fet, n “ 11 ¨ 13). Compte, però, que això no serveix per detectar primers, ja que, per exemple, per a n “ 341 tenim que 2n´1 ´ 1 sí que és divisible per 341, però 341 “ 11 ¨ 31. Hi ha qui ha suggerit que en casos de persones amb síndrome de Savant, que són capaces de reconèixer nombres primers força grans, de fet el que podrien estar fent és aplicar el criteri però a l’inrevés: si el nombre n divideix a 2n´1 ´ 1, aleshores el declaren primer. Veurem que, tot i que això no és correcte, funciona prou bé en general! Per veure que el mètode és útil, però, ens cal trobar un algorisme ràpid i eficient per decidir si an´1 ´ 1 és o no divisible per n, i en particular un en què no ens calgui calcular efectivament an´1 , un nombre que pot tenir un nombre de xifres impracticable.
4. El càlcul de residus, teoria i pràctica Per tal de veure si un nombre molt gran és o no divisible per un altre nombre n no tan gran, s’utilitza el càlcul de residus, altrament dit teoria de congruències o càlcul mòdul n. El punt clau és que el residu de dividir per n la suma o el producte de dos nombres sigui igual al residu de la suma o el producte dels dos residus. Per tant, podem calcular-ho tot mòdul n.
juny 2018 11
Podem o bé utilitzar la notació deguda a K. F. Gauss, diu que a ” b pmod nq per dir que a i b tenen el mateix residu en dividir-los per n, o bé considerar el conjunt Z{nZ “ t0,1, . . . ,n ´ 1u de residus de manera que podem assignar a cada nombre enter un únic element de Z{nZ i, a més, podem sumar i multiplicar aquests residus prenent el residu de l’operació com a nombre enter. Obtenim aleshores un conjunt amb dues operacions que té estructura d’anell commutatiu i, per tant, compleix (la majoria de) les propietats usuals de la suma i la multiplicació. Compte, però, que en general no es compleix una propietat usual dels nombres: pot ser que el producte de dos nombres diferents de zero ens doni zero (habitualment es diuen divisors de zero). Per exemple, si n “ 6, aleshores els nombres 2 i 3, mirats com a residus mòdul 6, no són zero, però sí que ho és el residu del seu producte: 6 “ 2 ¨ 3. Únicament per als nombres primers p es compleix que Z{pZ no té divisors de zero i, de fet, és un cos, i per tant tot residu mòdul p diferent de zero té invers mòdul p. Dit d’una altra manera, per a tot nombre enter a no divisible per p, hi ha un nombre b tal que a ¨ b ´ 1 és divisible per p. Aquest fet és la clau per als resultats bàsics que necessitem i que resumim en el resultat següent, que és una ampliació d’un resultat de Fermat. Petit i ampliat teorema de Fermat. Considerem p un nombre primer i denotem per pZ{pZq˚ :“ Z{pZzt0u amb l’operació de multiplicació de residus. Aleshores pZ{pZq˚ és un grup cíclic amb p ´ 1 elements i, per tant, existeix g P pZ{pZq˚ , de manera que per a tot element a P pZ{pZq˚ hi ha un nombre 1 ď i ď p ´ 1 tal que a “ gi . A més, els únics residus mòdul p tal que els seus quadrats són 1 són ˘1. La demostració d’aquest resultat passa per uns quants resultats generals. Primer, i gràcies al teorema de Lagrange,1 en un grup finit de d elements tots els elements compleixen que ad “ 1. Per tant, tots els elements del grup pZ{pZq˚ són arrel del polinomi ppx q :“ x p´1 ´ 1. Aquest polinomi no té arrels múltiples, ja que el màxim comú divisor amb la seva derivada és 1 a Z{pZ, que és un cos. Així doncs, els elements de pZ{pZq˚ són arrels pp ´ 1q-èsimes de la unitat, i se sap que per a tot n ě 2 hi ha alguna arrel primitiva enèsima de 1, de manera que totes les altres són potències d’aquesta. L’última afirmació de l’enunciat és clara, ja que en un cos els polinomis de grau d tenen com a molt d arrels. És un problema força difícil trobar un generador del grup pZ{pZq˚ quan p és un nombre primer molt gran, però de fet només farem servir (en alguna demostració) que té algun generador. Exemple 2. Si el nombre n no és primer, hi ha enters a tals que a2 ” 1 pmod nq, però a ı ˘1 pmod nq. Per exemple, si n “ 15 i a “ 4, tenim que 42 “ 16 ” 1 pmod 5q. De fet, és fàcil de provar que si n és divisible per dos primers senars diferents, aleshores sempre hi ha un tal a. Tornem ara al problema que ens plantejàvem al final de la darrera secció: podem determinar ràpidament si an´1 ´ 1 és o no divisible per n? Veurem que la resposta és que sí i que,
1. Val a dir que, com acostuma a passar en matemàtiques, el teorema de Lagrange no el va enunciar ell. Gauss va demostrar el cas que ens interessa. I va ser C. Jordan qui el va demostrar del tot.
12 noubiaix 42
de fet, hi ha un mètode immillorable per fer-ho. Abans, però, he de parlar un moment de quins algorismes poden considerar-se ràpids quan estem parlant de nombres molt grans. Direm que un algorisme que depèn d’un nombre n és lineal en n si el nombre d’operacions elementals (essencialment, suma i producte) està fitat linealment pel nombre de xifres xif pnq de n (que, essencialment, és com el logaritme logpnq de n), o sigui si hi ha nombres A i B tals que el nombre d’operacions sigui menor o igual que A xif pnq ` B. Observeu que el nombre de xifres de n depèn de la base en la qual es calcula, però si ho calculem en una altra base no varia el seu caràcter (lineal, polinomial, exponencial, etcètera). La relació entre el nombre de xifres en base a i aquest nombre en base b ve donada aproximadament per la multiplicació pel loga pbq; per exemple, si un nombre té r xifres binàries, té aproximadament log2 p10qr « 0,3r xifres decimals. Utilitzarem xif pnq per denotar el nombre de xifres binàries. Més en general, direm que un algorisme és polinomial si el nombre d’operacions està fitat per un polinomi en xif pnq i, en canvi, és exponencial2 si està fitat per un polinomi en n i, per tant, per una funció exponencial en les xifres xif pnq de n. El punt clau és que els algorismes lineals o polinomials augmenten la seva duració de manera controlada en augmentar les xifres de n i, en canvi, els exponencials es tornen impracticables. Per exemple, un algorisme lineal sols doblarà el temps quan doblem el nombre de xifres. Donarem un algorisme que permet calcular potències de nombres en temps polinomial respecte a les xifres binàries xif pnq de n (de fet, el nombre de productes necessaris és lineal en xif pnq). La idea clau de l’algorisme és molt simple: si n és parell, aleshores an “ pa2 qn{2 ; i si n és senar, aleshores an “ apa2 qpn´1q{2 . Per tant, com a molt en dues multiplicacions reduïm el nombre de xifres binàries en 1. Exemple 3. Imaginem que volem calcular 211 . Aplicant repetidament l’observació anterior tenim ´ ` ˘2 ¯ 211 “ 2p22 q5 “ 2 2 p22 q2 ,
que ens redueix a la meitat els productes necessaris per fer la potència de la manera naïf. Si ho expressem com una funció recursiva expbinpa,nq, el que tenim és que
expbinpa,nq :“
$ ’ 1, ’ ’ & ’ ’ ’ %
si n “ 0,
expbinpa2 , 2n q,
si n és parell ą 0,
a expbinpa2 , n´2 1 q,
si n és senar.
Si preferim l’algorisme en forma iterativa, el podem escriure de la manera següent.
2. La denominació és molt confusa quan parlem des del punt de vista del nombre n i, en canvi, és molt més clara quan parlem des del punt de vista de les xifres xif pnq de n.
juny 2018 13
Algorisme d’exponenciació binària (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
Resultat = 1 Mentre n ą 1 Si n és senar Resultat = a ˚ Resultat n“n´1 a “ a2 n “ n{2 Resultat
En el nostre cas i com que el que ens interessa és trobar la potència de a però mòdul un nombre m, els passos 4 i 6 s’han d’interpretar com que hem de fer el següent: primer calculem el producte indicat i després calculem el residu mòdul m. El càlcul d’aquest residu també és molt ràpid: lineal en el nombre de xifres binàries del producte donat, que seran com a molt el doble de les xifres de m. En resum, l’algorisme per calcular el residu de dividir an entre m utilitza 2 xifpnq operacions «multiplicació seguida de càlcul del residu mòdul m» de dos nombres ď m. Aquestes operacions necessiten, de fet, unes 2 xifpmq4 operacions entre bits: xif pmq2 de multiplicar dos nombres de xif pmq xifres, 2 xifpmq2 de dividir un nombre de 2 xif pmq xifres entre un de xif pmq xifres. Per tant, si n i m tenen més o menys les mateixes xifres, com és el cas en calcular an´1 pmod nq, ens calen un màxim de 4 xifpnq5 operacions bit per fer-ho.
5. Els primers i els secrets Abans de veure com podem trobar nombres primers, per què ens són tan útils actualment els nombres primers. Tot passa per un mètode conegut per les inicials dels seus creadors: l’RSA (de Rivest, Shamir i Adleman). El mètode RSA és potser el mètode d’encriptació més utilitzat actualment en el món i és un mètode de clau pública que permet la comunicació secreta entre dues persones (a la pràctica, a través d’ordinadors) sense haver-se de posar d’acord prèviament en quina clau s’ha d’utilitzar. La idea és fer servir una operació que sigui molt ràpida de fer i molt lenta de desfer; en el nostre cas, la multiplicació d’enters (ràpida) i la factorització (lenta). Podem fer una analogia física per entendre el funcionament dels mètodes d’encriptació de clau pública. Imaginem que volem rebre paquets de manera que ningú els pugui obrir abans de nosaltres. El que podem fer és repartir arreu candaus oberts (la clau pública) dels quals només nosaltres tenim la clau (la clau secreta). Qui ens vulgui enviar un paquet, l’ha d’embolicar de forma prou ferma i tancar amb un dels nostres candaus (aquesta és l’operació fàcil de fer). A partir d’aleshores només nosaltres, que tenim la clau, podem obrir el candau, i encara que algú intercepti el paquet no podrà extreure el que té al seu interior (llevat que trenqui el candau, per la qual cosa ens hem d’assegurar que és prou fort per resistir aquests atacs).
14 noubiaix 42
Per poder explicar el funcionament del mètode ens cal prèviament un resultat que generalitzi el petit teorema de Fermat a nombres compostos. Petit teorema d’Euler. Sigui n ě 2 un nombre enter, i sigui ϕ pnq la quantitat de nombres enters 1 ď m ď n ´ 1 que són primers amb n. Aleshores, per a tot a enter primer amb n, aϕ pnq ” 1 pmod nq. En particular, si n “ p ¨ q, on p i q són dos primers diferents, aleshores ϕ pnq “ n ´ p ´ q ` 1. La demostració del resultat passa per veure que el grup dels elements invertibles respecte de la multiplicació de les classes mòdul n té ϕ pnq elements (ja que la condició de ser invertible mòdul n és equivalent a la de ser primer amb n) i aplicar el teorema de Lagrange com hem fet abans per al cas n primer. El mètode de clau pública RSA funciona de la manera següent: el receptor que vol rebre missatges té una clau secreta que està formada per la parella de primers p i q, juntament amb un nombre 2 ď e ď ϕ pnq (i primer amb ϕ pnq).3 Amb això podem calcular d de manera que e ¨ d ” 1 pmod ϕ pnqq, i de fet hi ha un algorisme en temps polinomial per fer-ho (utilitzant el conegut algorisme d’Euclides per trobar el màxim comú divisor entre dos nombres i la identitat de Bezout). La clau pública és n i e. Si volem enviar un missatge, per exemple, que és un nombre 2 ď m ď n, calculem c ” me
pmod nq,
que és el que enviem. El receptor rep c i calcula cd pmod nq. El punt clau és que cd ” m pmod nq, gràcies al petit teorema d’Euler. Efectivament, tenim que cd “ med “ m1`kϕ pnq “ m ¨ pmϕ pnq qk ” m ¨ 1k “ m pmod nq Missatge
Encriptació
m
c ” me pmod nq
Transmissió Desencriptació m ” cd pmod nq
Missatge m
Si algú intercepta el missatge m i vol desencriptar-lo (o sigui, coneixent m, n i e, obtenir c), el que podria fer en teoria és el següent: 3. Sovint s’utilitza el nombre e “ 65537 per motius de rapidesa en la computació i de seguretat. Us repto a descobrir què té d’especial aquest nombre.
juny 2018 15
1. Factoritzar n i calcular ϕ pnq. 2. Calcular d tal que d ¨ e ” 1 pmod ϕ pnqq. 3. Calcular cd pmod nq. Dels tres passos, només el pas 1 és difícil (en el sentit que pot dur molt de temps, com veurem més endavant). Així doncs, la seguretat del sistema depèn molt d’escollir nombres n difícils de factoritzar. En aquests moments es recomana utilitzar nombres que siguin producte de dos primers d’unes 600 xifres decimals com a mínim: el que correspon a 1024 bits, o sigui 617 xifres decimals aproximadament, i per tant claus n d’uns 2048 bits, o 1234 xifres decimals. Observeu també que cada possible receptor vol tenir un nombre n diferent, i no n’hi ha prou amb tenir uns quants primers grans, ja que provant aquests podríem factoritzar les claus. De fet, idealment, ens calen nombres primers grans escollits a l’atzar!
6. Primers industrials Tornem ara a la nostra pregunta inicial: si volem un (i no un, sinó molts!) nombre primer d’unes 600 xifres, què podem fer per trobar-lo? La idea és simple: escollim a l’atzar un nombre senar n de les xifres desitjades i calculem 2n´1 pmod nq utilitzant el mètode d’exponenciació binària. Si ens surt 1, hi ha raons heurístiques per creure que aleshores el nombre és primer amb força probabilitat. Numèricament, podem veure que hi ha 78498 primers menors d’un milió i hi ha «només» 245 nombres menors d’un milió que compleixen que 2n´1 ” 1 pmod nq i no són primers.4 Si anem molt més enllà, hi ha 455052511 primers menors de 1010 , i dels altres sols 14884.5 Direm que un nombre n és un primer probable6 en base a ą 1 si compleix que an´1 ” 1 pmod nq. La idea del mètode industrial per trobar primers és buscar nombres a l’atzar que siguin pseudoprimers respecte a una base també a l’atzar. Com que és molt fàcil escollir sempre nombres senars, per exemple escollint un nombre m i després prenent n “ 2m ` 1, i ens estalviem de comprovar la meitat dels casos, és el que farem. De fet, usualment es comprova que el nombre escollit no sigui divisible per cap primer menor de 100 (o 1000), però només és una millora de rapidesa no gaire important pel que ens interessa. Algorisme per a trobar primers industrials Si volem un nombre primer n de N xifres decimals: (1) Escollim un nombre n (senar) a l’atzar amb N xifres decimals. (2) Escollim a l’atzar un nombre a (fins a 10000, per exemple). (3) Si an´1 no és ” 1 pmod nq, tornem a 1. (4) Si ho és, n és un primer industrial.
4. S’anomenen nombres de Poulet. 5. Podeu consultar aquestes dades a A055550 del [5]. 6. Noteu que els primers són primers probables, però no tots els primers probables són primers. Així doncs, estrictament parlant el nom és incorrecte: és el que en matemàtiques s’anomena un red herring.
16 noubiaix 42
Val a dir que habitualment es demana al nombre n, per tal de ser declarat primer industrial, que sigui primer probable en base a per a un nombre determinat de bases a escollides a l’atzar, habitualment 50. És difícil determinar amb exactitud quina és la probabilitat que un primer industrial de 617 xifres de fet no sigui un primer. Però tot fa pensar que és baixíssima, i ben segur que molt més baixa que la que mai es trobarà qualsevol empresa a l’hora de fer previsions sobre el seu futur. Així doncs, des del punt de vista del negoci, el problema s’ha acabat (a part de saber aproximadament quants càlculs ens caldrà fer per trobar-ne un a la pràctica). Però des del punt de vista d’un matemàtic, podem fer una lleugera millora al mètode que, com veurem després, ens proporcionarà una seguretat molt més gran amb molt poc esforç. Abans d’explicar-la, però, parlarem d’uns nombres molt especials que són primers probables en totes les bases (en totes les bases que són primeres amb ell mateix) sense ser primers: els nombres de Carmichael. De fet, es poden descriure com els nombres enters n tals que tots els seus divisors primers p compleixen que p ´ 1 divideix n ´ 1. Aquests nombres es coneixen des de fa força temps i els més petits, trobats per Carmichael el 1910, són els següents: 561 “ 3 ¨ 11 ¨ 17 1105 “ 5 ¨ 13 ¨ 17 1729 “ 7 ¨ 13 ¨ 19 2465 “ 5 ¨ 17 ¨ 29 2821 “ 7 ¨ 13 ¨ 31 6601 “ 7 ¨ 23 ¨ 41 8911 “ 7 ¨ 19 ¨ 67 Ell mateix va conjecturar que n’hi ha infinits, cosa que van poder provar el 1994 Alford, Granville i Pomerance. De fet, se sap que fins a X n’hi ha de l’ordre ą X 2{7 si X és prou gran [1]. Aquests nombres de Carmichael són nombres que serien declarats primers industrials sense ser primers encara que els passéssim el test per a moltes bases. Així doncs, si podem millorar l’algorisme per evitar que hi hagi nombres que el puguin passar en moltes bases sense serho, ens pot ser molt útil. I el fet és que hi ha una millora que no comporta fer més càlculs, ja que aprofita els càlculs que calen per mirar si un nombre és un primer probable. La idea per millorar el mètode és utilitzar el que ja he dit en el petit i ampliat teorema de Fermat: un residu r a Z{pZ per a p primer tal que r2 ” 1, ha de complir que r ” ˘1. Per tant, si p és primer senar i a és un nombre enter no divisible per p, tenim que: p´ 1
a 2 ” ˘1 pmod pq. Com que podria ser que p ´ 1 fos divisible per 2 més d’una vegada, podem utilitzar aquest criteri repetidament.
juny 2018 17
Criteri 4. Donat n un enter senar, escrivim n ´ 1 “ 2s ¨ r amb r senar. Si a és un enter primer amb n, i (1) ar ı 1 pmod nq (2) i t
ar¨2 ı ´1 pmod nq per a tot 0 ď t ď s ´ 1, aleshores n és compost. Un nombre enter n tal que en aplicar aquest criteri per a donat no doni compost, es diu que és un primer fortament probable en base a. Observeu que el criteri funciona, ja que si el nombre n és primer, aleshores an´1 ” 1 pmod nq 2s 2t i, per tant, si ar ı 1 pmod nq i com que par q ” 1 pmod nq, per a alguna t tenim que par q pmod pq és un nombre que no és 1 però el seu quadrat ho és, i per tant ha de ser ´1. Fixeu-vos que els càlculs necessaris no augmenten gens respecte als dels primers probables, ja que acabem calculant les potències de a que ja hauríem calculat per veure que és primer probable en base a. Exemple 5. Considerem el nombre n “ 561, que és el menor nombre de Carmichael. Tenim que n ´ 1 “ 24 ¨ 35. Calculem: ‚
‚
235 ” 263 pmod 561q
22¨35 ” 166 pmod 561q 2
‚
22 ¨35 ” 67 pmod 561q 3
‚
22 ¨35 ” 1 pmod 561q
i, per tant, és compost seguint el criteri 4. Utilitzant aquest criteri obtenim un algorisme lleugerament millorat per trobar primers industrials. Algorisme millorat per trobar nombres primers industrials Si volem un nombre primer n de N xifres decimals: (1) Escollim un nombre n (senar) a l’atzar amb N xifres decimals. (2) Escollim a l’atzar un nombre a (fins a 1000, per exemple). (3) Si n no és un pseudoprimer fort en base a, anem a (1). (4) Si ho és, n és un primer industrial fort.
18 noubiaix 42
Com en el cas dels primers industrials, normalment es demana que sigui un primer fortament probable per unes quantes bases, habitualment 50. Veurem més endavant que si un nombre és un primer fortament probable per a un nombre prou gran de bases, però no massa gran (de fet, el nombre de bases necessàries depèn linealment de les xifres del nombre en qüestió), podem estar del tot segurs (almenys si ens creiem una conjectura molt coneguda anomenada hipòtesi de Riemann generalitzada) que el nombre serà primer. Així doncs, des del punt de vista teòric i pràctic, aquest mètode és imbatible.
7. Un criteri a la Fibonacci Comentarem un criteri diferent, d’alguna manera ortogonal, per veure que un nombre és probablement primer. La idea, com abans, és veure si es compleix una propietat que és certa per als primers i que és fàcilment calculable. En aquesta secció haurem d’utilitzar alguns resultats més avançats de matemàtiques per a les demostracions. Considerem les successions del tipus Fibonacci donades de la forma següent. Fixem a, un nombre enter, i considerem les successions un paq i vn paq, donades les dues per la mateixa recurrència un paq “ un´1 paq ´ aun´2 paq si n ě 2 però amb termes inicials diferents: u0 paq “ 0 i u1 paq “ 1, i v0 paq “ 2 i v1 paq “ 1. Fixeu-vos que la successió de Fibonacci és un p´1q. De la mateixa manera que ? es pot veure que la successió de Fibonacci es pot expressar en 1` 5 termes del nombre d’or 2 , aquestes successions es poden posar en funció de les arrels ? ? αpaq :“ 1` 21´4a i β paq :“ 1´ 21´4a (reals o complexes) del polinomi x 2 ´ x ` a. De fet, tenim que vn paq “ αpaqn ` β paqn
i
un paq “
αpaqn ´ β paqn ? , 1 ´ 4a
que ens permet veure les fórmules recursives següents: u2n paq “ un paqvn paq v2n paq “ vn2 ´ 2an
u2n`1 paq “ v2n`1 “
u2n paq ` v2n paq 2
p1 ´ 4aqu2n paq ` v2n paq 2
El següent lema és l’equivalent en el món de les successions del petit teorema de Fermat. Lema de Lucas. Sigui p nombre primer de manera que 1 ´ 4a no sigui congruent mòdul p en cap nombre enter al quadrat. Aleshores up`1 paq ” 0 pmod pq.
juny 2018 19
La demostració s’utilitza que si 1 ´ 4a no és un quadrat mòdul p, aleshores el polinomi x 2 ´ x ` a no té arrels mòdul p. Per tant, les arrels αpaq i β paq mòdul p viuen en un cos més gran, que necessàriament ha de ser el cos de p2 elements Fp2 . En aquest cos es té en general que si α i β són les dues arrels d’un polinomi f px q quadràtic i irreductible amb coeficients a Fp , aleshores αp “ β . Això és degut que «elevar a p» respecta les operacions de suma i producte a Fp2 (i a qualsevol cos que contingui Fp ), d’on es dedueix que αp ha de ser una arrel de f px q, i com que no pot ser α, ha de ser l’altra arrel β . Obtenim, per tant, que αpaqp`1 ” β paqp`1 mòdul p. Utilitzant les fórmules anteriors obtenim el resultat. El problema per poder utilitzar aquest resultat passa per saber decidir si el meu nombre 1 ´ 4a és o no és congruent amb algun nombre enter al quadrat. La idea és utilitzar la famosíssima llei de reciprocitat quadràtica de Gauss,7 , de la qual es dedueix el resultat següent: Teorema 6. Prenem d “ 1 ´ 4a (que és un enter senar (positiu o negatiu) i d ” 1 pmod 4q) i p un nombre primer senar. Suposem que d és lliure de quadrats. Aleshores d és un quadrat mòdul p si p és un quadrat mòdul |d|. El resultat, de fet, és un si i només si quan |d| és un nombre primer. Obtenim així el criteri següent. Criteri 7. Sigui n un nombre senar. Busquem el menor enter dde la llista t5, ´ 7, ´ 11,13, ´ 15 . . . u dels enters senars lliures de quadrats (amb el signe adequat per tal que d ” 1 pmod 4q) de manera que n no és un quadrat mòdul |d|. Sigui a “ 1´4 d . Si un paq ı 0 pmod nq, aleshores és compost. Observeu que per calcular un paq utilitzant les fórmules recursives anteriors, ho podem fer d’una manera similar a l’exponenciació binària. Deixo al lector com a exercici l’algorisme en qüestió que el calcula. Val a dir que hi ha un test de Lucas fort, en un sentit similar al criteri 4 dels primers fortament probables en base a. Criteri 8. Sigui n un nombre senar. Busquem el menor enter dde la llista t5, ´ 7, ´ 11,13, ´ 15 . . . u dels enters senars lliures de quadrats (amb el signe adequat per tal que d ” 1 pmod 4q) de manera que n no és un quadrat mòdul |d|. Sigui a “ 1´4 d . Escrivim n ` 1 “ 2s ¨ r, amb r senar. Si ur paq ı 0 pmod nq i vr2t ı 0 pmod nq per a tot 0 ď t ă s, aleshores n és compost. 7. Enunciar i demostrar aquesta llei ens portaria per camins molt interessants, però potser allunyats de l’objectiu d’aquest manual. D’altra banda, recomano al lector interessat explorar a [4] alguna de les 246 demostracions conegudes d’aquesta llei, començant per les sis que va escriure Gauss.
20 noubiaix 42
Un nombre que superi aquest test (o sigui, que no digui que és compost) s’anomena primer fortament probable de Lucas. Combinant els tests que hem presentat obtindrem el que s’anomena el test de primeritat de Baillie-PSW, que és el que alguns programes d’ordinador apliquen quan els demanem si un nombre prou gran és primer. Algorisme més utilitzat per trobar nombres primers industrials Si volem un nombre primer n de N xifres decimals: (1) Escollim un nombre n (senar) a l’atzar amb N xifres decimals. (2) Mirem si és primer fortament probable en base 2. (3) Mirem si és primer fortament probable de Lucas. (4) Si supera els dos tests, declarem n primer industrial de Baillie-PSW.
Val a dir que no es coneix cap nombre senar n que sigui primer industrial de Baillie-PSW i no sigui primer.8 De fet, s’ha comprovat que tots els nombres amb menys de 64 bits que passen aquest test són primers. Tot i això, hi ha arguments heurístics per justificar que hi ha d’haver infinits nombres que superin aquest test i no siguin primers.
8. Quina és la probabilitat que un nombre sigui primer? Per tal que els mètodes que he explicat en la secció anterior siguin realment efectius, cal saber quants primers hi ha d’un nombre donat de xifres; o, dit d’una altra manera, quina és la probabilitat (aproximada) que un nombre de n xifres sigui primer. La resposta a aquesta pregunta, encara que ens pugui semblar mentida, és coneguda des de fa molt temps. De fet, el mateix K. F. Gauss als setze anys (el 1791) va conjecturar que el nombre de primers de n xifres hauria de ser aproximadament de n{ logpnq. Sembla que va fer aquesta hipòtesi després de comptar nombres de primers de mil en mil, que permet eliminar les fluctuacions en el nombre quan es consideren intervals massa petits (tal com si fossin errors experimentals). Altres matemàtics van fer i publicar conjectures equivalents, fins que l’any 1896 Jacques Hadamard i Charles Jean de la Vallée-Poussin van demostrar el resultat simultàniament i de manera independent, basant-se en les idees introduïdes per P. L. Txebixov i G. F. B. Riemann. Com a conseqüència, podem calcular quants nombres a l’atzar haurem d’escollir en els algorismes per obtenir primers industrials explicats anteriorment per tal de trobar un primer. Com que logp10617 q « 1421, la probabilitat que un nombre de 617 xifres sigui primer és aproximadament d’una entre 1421; o sigui, entre 710 si només agafem senars. Així doncs, de mitjana haurem d’escollir uns 700 nombres senars de 617 xifres decimals a l’atzar per trobar-ne algun que sigui nombre primer. 8. Fins i tot hi ha un premi en metàl¨lic per a qui en trobi un (de només 30 dòlars!), ofert per Pomerance, Selfridge i Wagstaff. Un exemple anàleg però per a un criteri similar amb els nombres de Fibonacci té una recompensa més alta (de 635 dòlars): s’anomena la conjectura de Selfridge.
juny 2018 21
Fixeu-vos que en doblar les xifres la probabilitat «sols» es divideix per 2. Per tant, si volem un primer amb el doble de xifres, 1234 xifres, haurem de repetir l’algorisme només el doble de cops.9
9. Primers computacionals: mètodes i certificats Imaginem ara que tenim un nombre del qual volem demostrar matemàticament que és un nombre primer (i no solament estar-ne molt segurs). Podem fer-ho utilitzant les idees explicades anteriorment? Resulta que sí que podem, gràcies a un resultat degut al matemàtic francès E. Lucas (i millorat per uns quants autors). Test de Lucas. Donat n ą 1 enter, si existeix un enter a ą 1 tal que an´1 ” 1 pmod nq i, per a tot primer p dividint n ´ 1, apn´1q{p ı 1 pmod nq, aleshores n és primer. La demostració del resultat és força senzilla. En efecte, si existeix un tal a, aleshores a és invertible a Z{nZ i, a més, té ordre n ´ 1. Però el nombre d’invertibles a Z{nZ és menor estrictament que n ´ 1 si n no és primer, d’on deduïm el resultat. Que per als nombres primers es compleix el resultat es deu a l’ampliació del petit teorema de Fermat que hem explicat a la secció 5; el nombre a que demana el teorema és qualsevol generador del grup pZ{nZ.q˚ De fet, aquest test es pot millorar de diverses maneres. Per exemple, en lloc de trobar un enter a que valgui per a tots els divisors primers p de n ´ 1, podem trobar un ap que ens serveixi per a cada p. Una altra millora, aquesta més interessant, és que no ens cal veure-ho per a tots els divisors primers, sinó per a suficients primers: si ho sabem per a tots els primers dividint m de manera ? que n ´ 1 “ md, amb m ą n ja en tenim prou (una millora que devem a Pocklington). Fins i tot hi ha millores que permeten considerar una factorització, però aquest cop amb ? m ą 3 n, o fins i tot una mica més petit, però no les explicarem aquí.10 Exemple 9. Considerem n “ 6271. Tenim que n ´ 1 “ 11 ¨ 19 ¨ 30 i 30 ă
?
n « 71.
Denotem per d1 :“ pn ´ 1q{11 “ 570 i d2 :“ pn ´ 1q{19 “ 330. Calculem 2d1 “ 2570 ” 4365 pmod 6271q
09. Per donar una idea del temps necessari he fet personalment l’experiment d’executar un programa simple sense optimitzar per calcular primers industrials forts, i li calen de mitjana menys de 4 segons per trobar-ne algun amb 617 xifres. 10. Podeu consultar-les al capítol 4 de [2].
22 noubiaix 42
2d2 “ 2330 ” 5016 pmod 6271q mentre que 2n´1 ” 1 pmod 6271q Per tant, 6271 és primer. De fet, podríem comprovar fàcilment que a “ 2 compleix també les altres condicions per a la resta de primers. Us podeu preguntar si és gaire difícil o no trobar un tal nombre a si n és primer (que s’anomena arrel primitiva mòdul n): la resposta és que no. De fet, se sap que si n és mes gran que el producte dels 11 primers nombres primers, aleshores el nombre de vegades que haureu d’escollir un a a l’atzar fins a trobar-ne un de bo és 2 logplogpnqq, que és molt petit.11 La dificultat més gran és factoritzar n ´ 1; per això és important la millora de Pocklington. De totes maneres, fins i tot quan puguem aplicar aquest criteri no està gens clar que tinguem realment una demostració que un nombre donat és primer. Perquè, imagineu que després d’un mes de càlculs amb l’ordinador obteniu com a resposta un sí pelat a la pregunta de si un nombre concret és primer; podem considerar que això és una demostració? Per aquest motiu, si es necessita una demostració que un nombre donat és primer, normalment es demana un certificat de primeritat. No, no es tracta d’un document on algú amb molta autoritat (jo mateix, per exemple!) certifiqui que el nombre és primer. Es tracta de donar unes dades que permetin repetir el càlcul que ens dona la primeritat, però aquest cop amb molta rapidesa. Per al cas del test de Lucas (o per al de Pocklington), és molt fàcil de descriure. Imagineu que per a un nombre n doneu els factors primers de n ´ 1 i el nombre a del criteri: comprovar aleshores que es compleix el criteri per a aquests nombres és molt ràpid (per a un ordinador). Observeu, però, que en donar els factors primers també esteu assegurant que aquests nombres són primers i, per tant, potser haureu de donar un certificat també per a aquests nombres.
10. Com factoritzar com un campió Ja hem vist que per poder demostrar que un nombre és primer utilitzant el test de Lucas ens cal saber factoritzar. De fet, si volem utilitzar els nostres nombres primers per construir claus de l’RSA (multiplicant dos primers grans), ens pot ser molt útil saber què cal fer per trencar aquesta clau (o sigui, factoritzant el nombre.12 ) Ens trobem en la situació següent: tenim un nombre que sabem que és compost (per exemple, perquè no és un primer probable en alguna base) i volem trobar-ne un factor no 11. Vegeu per exemple l’exercici 4.1 de [2]. 12. No és cert que el problema de factoritzar sigui equivalent al de trencar l’RSA, ja que hi ha mètodes que en alguns casos poden desxifrar certs missatges xifrats amb RSA sense factoritzar.
juny 2018 23
trivial. Si el meu nombre és un nombre a l’atzar és molt probable que tingui algun factor primer petit. Ens situarem, però, en el cas que el meu nombre no tingui un factor petit; per tant, suposarem que el nostre nombre no és parell, ni múltiple de 3, etcètera. Recordem que pretendre factoritzar un nombre que no sigui producte d’un primer petit (de menys de 20 xifres, per exemple) utilitzant l’algorisme d’Eratòstenes, és una idea pèssima. Així doncs, us proposo algunes idees per factoritzar (amb ordinador) de manera molt més eficient.
10.1. Comencem per dalt Aquest mètode vindria a ser una variant del mètode d’Eratòstenes però començant «per ? dalt». De manera naïf, el que podríem fer per factoritzar un nombre n és prendre r :“ t nu, que és el nombre enter més proper per sota a l’arrel quadrada,13 i ara provar si n és divisible per r, per r ´ 1, etcètera. El mètode, però, sols funciona bé si el nombre n és producte de dos nombres molt propers. És molt millor una lleugera variant del mètode. El que farem és prendre pr ` 1q2 ´ n i mirar si és o no un quadrat. Si ho és, tenim a2 “ b2 ´ n (on a “ r ` 1) i, per tant, n “ pb ` aqpb ´ aq i, per tant, una factorització no trivial. Si no, augmentem r en 1 i repetim. Exemple 10. Considerem n “ 14979829200673042122247562983237289188933 (l’he trobat fent producte de dos primers «quasiconsecutius» a l’atzar). Aleshores r “ 122392112493710321292. Tenim que pr ` 1q2 ´ n “ 542 i, per tant, n “ pr ` 1 ` 54qpr ` 1 ´ 54q “ 122392112493710321347 ¨ 122392112493710321239. Aquest mètode s’anomena de Fermat, tot i que no tinc clar que Fermat mateix fos qui el va desenvolupar. Una cosa curiosa és que alguns dels programes que factoritzen nombres no proven per defecte amb aquest mètode abans d’aplicar-ne altres de més sofisticats, de manera que podeu vèncer un programa com aquests amb aquest mètode per a aquest tipus de nombres.
10.2. Ens ho juguem al casino En lloc de començar per baix o per dalt, podem provar sort a veure si trobem algun factor a l’atzar. Però és clar que necessitem alguna manera d’incrementar les nostres possibilitats ? queno sigui purament escollir nombres a l’atzar menors que n i mirar si divideixen n. La primera idea és utilitzar la (mal anomenada) paradoxa de l’aniversari: que diu que si escollim prou (però menys de les que un creuria a priori) persones a l’atzar, hi ha molta probabilitat que n’hi hagi dues que celebrin el seu aniversari el mateix dia. De fet, si són tan sols 23, persones
13. Fàcilment calculable, per exemple, utilitzant el mètode de Newton.
24 noubiaix 42
la probabilitat és superior al 50%. Així, podríem escollir uns quants nombres a l’atzar entre 1 i n, i prenem totes les restes dos a dos. Amb sort, dos dels nombres seran equivalents mòdul factor de n, que podem trobar fent el màxim comú divisor amb n. El que farem és una modificació d’aquesta idea, deguda a J. Pollard, de l’any 1975 i que s’anomena la ρ de Pollard. La idea és considerar una funció g del conjunt t1, . . . ,nu que es comporti de manera similar a una funció a l’atzar. La funció que ell va considerar era gpx q “ x 2 ` 1 pmod nq, però (gairebé) qualsevol polinomi de grau ą 1 aniria bé. Els elements que construïm «a l’atzar» consisteixen a aplicar repetidament la funció g. A la pràctica ell proposa l’estratègia següent, basada en l’algorisme de la llebre i la tortuga de Floyd: escollim un nombre a i prenem la parella pr,sq :“ pgpaq,g2 paqq com a inicial. Si 1 ă mcdpn,r ´ sq ă n, ja tenim un factor. Si no, calculem la nova parella pr,sq “ pgprq,g2 psqq i repetim. Algorisme ρ de factorització (1) Escollim un nombre 1 ď a ď n a l’atzar (2) x “ a, y “ a, d “ 1 (3) Mentre d “ 1 (4) x “ x 2 ` 1 pmod nq (5) y “ y2 ` 1 pmod nq (6) y “ y2 ` 1 pmod nq (7) d “ mcdpx ´ y,nq (8) Si d “ n, aleshores ves a (1) (9) d Exemple 11. Considerem el nombre n “ 46357. Escollim a “ 2 i apliquem el mètode repetidament. Obtenim les parelles px,yq següents: p5,26q, p26,41117q, p677,32962q, p41117,39937q, p14257,16220q. Per a aquesta última parella tenim que mcdpy ´ x,nq “ mcdp1963,46357q “ 151, que és un factor no trivial de n. Finalment, tenim que n “ 151 ¨ 307. De fet, podeu comprovar que el mòdul 151, la funció gpx q “ x 2 ` 1, començant per x “ 2 pren els valors 2,5,26,73,45,63,44,125,73 . . ., i es repeteixen a partir d’aquí. Si ho dibuixem, obtenim la forma de ρ característica del mètode.14
14. De fet, s’anomena mètode ρ per la forma que fa un cicle, «amb cua», com el que fa les iteracions de g.
juny 2018 25
45 ‚ 73 ‚ 26 ‚ ‚ 125
‚ 63
5‚ ‚ 44
2‚
10.3. Com més serem, millor factoritzarem! Els millors mètodes per factoritzar actualment permeten subdividir els càlculs entre molts ordinadors. La idea prové del mètode de Fermat: per tal de factoritzar n en tenim prou amb trobar dos enters x i y tals que x 2 ” y2 pmod nq i x ‰ ˘y pmod nq: el factor que busquem serà mcdpx ´ y,nq. El que es fa es trobar un procediment que permet trobar parelles px,yq tals que x 2 ” y2 pmod nq, esperant trobar-ne alguna no trivial (a la pràctica la majoria ho són). La idea és simple: en lloc de trobar dos quadrats iguals mòdul n, el que farem és trobar quadrats iguals a productes de primers petits mòdul n. Si en tenim prou, podem multiplicarlos adequadament fins a trobar un quadrat. Aquest mètode va ser desenvolupat per primer cop als anys 1920 per Maurice Kraitchik i ha estat millorat al llarg dels anys fins a arribar a l’anomenat garbell dels cossos de nombres, que és el millor mètode conegut actualment per factoritzar nombres grans. Exemple 12. Factoritzem per aquest mètode el nombre n “ 15347. Si prenem r “ 124, que ? és la part entera per sobre de n, aleshores n ´ r2 “ 29. Tenim les igualtats següents: 1242 ” 29 pmod nq 1272 ” 2 ¨ 17 ¨ 23 pmod nq 1952 ” 2 ¨ 17 ¨ 23 ¨ 29 pmod nq Per tant, el seu producte és un quadrat; o sigui, si prenem a “ 124 ¨ 127 ¨ 195 ” 1460 pmod nq i b “ 2 ¨ 17 ¨ 23 ¨ 29 “ 22678, aleshores b ´ a “ 21218 i mcdpb ´ a,nq “ 103, que és un factor. Finalment, obtenim n “ 103 ¨ 149.
26 noubiaix 42
Expliquem una mica més la idea bàsica. Primer cal escollir quants primers (i quins primers) considerarem com a primers petits: s’anomenen la base de factors. Cada cop que es troba un quadrat igual a un producte de primers de la base de factors, guardem el vector format per les potències en què apareixen aquests factors. El problema de trobar un producte de tals nombres que sigui un quadrat esdevé un problema de trobar una suma dels vectors que sigui múltiple de 2; i aquest problema, a més, es pot resoldre fàcilment utilitzant àlgebra lineal sobre el cos de dos elements F2 i considerant els vectors mòdul 2. És clar que el punt clau és com podem obtenir nombres el quadrat dels quals sigui congruent amb el producte de primers petits. Però el gran avantatge del mètode és que podem tenir diversos ordinadors (milions d’ordinadors, si cal) buscant aquest tipus d’igualtats, i quan en tenim prou les ajuntem i resolem l’àlgebra lineal a F2 en un ordinador central. Amb aquests mètodes es va aconseguir factoritzar nombres «difícils» de fins a 232 dígits decimals (768 bits) l’any 2009, en el que s’anomena el repte RSA, després de dos anys de feina de tot un equip de persones. Els programes públics poden factoritzar nombres d’uns 500 bits en un temps «raonable». Això ha causat controvèrsies com el cas de la clau de signatura de Texas Instruments, en què un usuari sense coneixements matemàtics especials va factorizar la seva clau RSA a l’estiu de l’any 2009 en una computació que va trigar uns 73 dies i després la va fer pública, cosa que va causar una disputa sobre si podia o no fer-ho legalment (la resposta oficial li va donar la raó, finalment).
11. Els primers són P Un cop hem vist que no coneixem algorismes ràpids (ni polinomials) per factoritzar nombres, que és el que necessitem per poder aplicar el test de Lucas a un nombre, ens podem preguntar si tot i això hi ha algun algorisme que en temps polinomial (respecte a les xifres del nombre) ens demostri si el nombre és o no primer. I la resposta, curiosament, és que sí que en coneixem! El primer algorisme (i potser el millor algorisme) per demostrar que un nombre és primer en temps polinomial el va calcular Miller15 el 1976. Només té una petita pega: per tal d’estar segurs de la veracitat del mètode, ens hem de creure una conjectura.16 Però no una conjectura qualsevol, no. Es tracta probablement de la conjectura més famosa de les matemàtiques: la hipòtesi de Riemann. De fet, ens cal una versió més general, anomenada la hipòtesi de Riemann generalitzada. Donem primer el mètode i després comentaré com s’utilitza aquesta conjectura. Criteri 13 (Miller). Si la conjectura generalitzada de Riemann és certa i un nombre n és un primer fortament probable en base a per a tot 2 ď a ď 2plogpnqq2 , aleshores és primer. Noteu que el mètode per decidir si un nombre n és primer fortament probable en base a és polinomial en el nombre de xifres de n; i el teorema ens diu que l’hem d’aplicar 2plogpnqq2 vegades. Per tant, el mètode que ens dona el teorema és en temps polinomial.
15. La versió que donem aquí és de Bach. 16. Cosa que pot canviar si algun dia algú la demostra.
juny 2018 27
I com s’utilitza aquesta conjectura per demostrar el resultat? Doncs, de fet, el que s’utilitza només és que la conjectura generalitzada de Riemann implica que per a tot nombre primer p hi ha algun nombre a ă 2plogppqq2 , de manera que a no és un quadrat mòdul p. Així doncs, durant molt temps va estar oberta la qüestió de si existia un mètode per provar primeritat que fos en temps polinomial i la veracitat del qual es pogués demostrar sense apel¨lar a cap conjectura com la hipòtesi de Riemann. Això va ser resolt l’agost del 2012 per M. Agrawal, N. Kayal i N. Saxena [6], que van donar un mètode (anomenat AKS, per les sigles dels seus autors) per demostrar la primeritat en temps polinomial sense usar cap conjectura. El test, de fet, és molt simple i utilitza una versió amb polinomis del test de Fermat dels primers probables. També és sorprenent que els autors no eren matemàtics teòrics, sinó de teoria de la computació, i dos d’ells (Kayal i Saxena), de fet, estaven fent la tesi de màster a Kanpur (Índia) i Agrawal era el seu director. El mètode AKS té, però, un problema. I és que tot i ser en temps polinomial, és molt més lent que els mètodes ja coneguts pels primers «petits» del tipus que normalment ens trobem: o sigui, amb els que podem realment calcular. Encara que això us resulti sorprenent, té relació amb el fet que ser en temps polinomial és bo a la llarga, però les constants involucrades poden ser enormes i, per tant, per als nombres que ara per ara podem utilitzar és prohibitiu. En resum, el mètode AKS és, tot i que sembla un mètode pràctic, més un resultat teòric que demostra l’existència d’un bon mètode que no pas un resultat utilitzable a la pràctica.
12. El futur de la factorització Com que les meves dots premonitòries són més aviat escasses, el que diré en aquesta última secció ho haurem de deixar com una simple especulació. Però sí que voldria comentar un parell d’idees sobre què ens pot oferir el futur respecte a aquest problema. I és que, encara que us pugui semblar un tema purament acadèmic, l’obtenció d’un mètode/procediment/aparell que permeti factoritzar nombres molt grans de manera pràctica podria provocar o bé una gran sacsejada a l’economia mundial si se sabés públicament, o bé que la persona o l’organisme que ho sabés fer tindria un poder immens per la possibilitat d’interceptar les comunicacions secretes mentre no s’implementés massivament una nova tècnica d’encriptació pública (cosa que no passaria mentre no fos pública l’existència de la tècnica).17 És clar que hom podria especular si això no passa ja realment. En primera instància, ens podem plantejar si és possible l’existència d’un algorisme que permeti factoritzar en temps polinomial. A diferència del cas ja tractat de decidir si un nombre és primer, en què prèviament al teorema AKS ja se sabia que l’existència d’un mètode en temps polinomial es podia deduir d’una conjectura prèvia força creïble, la majoria d’experts consideren que no existeix un tal mètode per a la factorització.18 El problema de la factorització està molt relacionat amb problemes bàsics de la teoria de la computació, però no és un problema central. D’una banda, no és cert que l’existència d’un
17. Podeu veure a la pel¨lícula The Travelling Salesman una discussió de tot això en una ficció molt realista. 18. En la meva humil impressió.
28 noubiaix 42
tal algorisme aportés una solució al problema més important respecte a la computabilitat, l’anomenat problema P versus NP, que pregunta si és cert que tot problema una solució del qual pot ser verificada en temps polinomial (com la factorització) pot ser de fet resolt en temps polinomial. Se sap que hi ha problemes tals que, si es pogués demostrar l’existència d’un algorisme per resoldre’ls en temps polinomial (o, millor encara, trobar-lo), aleshores tindríem resolt afirmativament el problema P versus NP: s’anomenen problemes NP-complets. Alguns exemples coneguts són el problema del viatjant de comerç, el problema de la motxilla o el colorit de grafs. Però no se sap si el problema de la factorització és NP-complet, tot i que hi ha motius teòrics per creure que no ho és. D’altra banda, és clar que si es pogués demostrar que no hi ha un algorisme per factoritzar en temps polinomial, aleshores el problema P versus NP quedaria resolt negativament. En segona instància, hi ha la possibilitat que es pugui fabricar un aparell que pugui factoritzar en temps polinomial. De fet, sorprenentment, aquest aparell ja ha estat dissenyat teòricament i fins i tot s’han construït prototips que ho fan... amb nombres molt petits. Es basa en el que s’anomena la computació quàntica, que permetria, mitjançant la superposició d’estats, detectar l’ordre r d’un enter a mòdul n en temps polinomial. Si aquest ordre és parell, aleshores ar{2 mòdul n és un nombre el quadrat del qual és 1, i si no és ni 1 ni ´1, ens dona un factor de n calculant simplement mcdpar{2 ´ 1,nq. No tinc clar fins a quin punt s’ha factoritzat nombres grans amb aquesta idea: se sap que un ordinador quàntic va factoritzar 21 utilitzant aquesta tècnica el 2012 (fet que possiblement no us deu impressionar gaire), però sembla que hi ha hagut alguna millora substancial recentment. De totes maneres i per motius obvis que ja he explicat, podria haver-hi un cert secretisme respecte al que realment se sap fer. Així doncs, podeu pensar que en poc temps es poden produir avenços molt grans en aquest problema, tot i que he de dir que de tot això ja fa temps que en parlem, i estem essencialment igual. Així, podem esperar que aquest manual seguirà vigent d’aquí a uns quants anys. I si voleu saber més dels primers, aquest cop sobre els seus aspectes més teòrics, no us perdeu el meu propi article [7].
Agraïments Tot i que m’he dedicat a l’aritmètica durant tota la meva carrera professional i que els nombres primers són omnipresents en la meva recerca, la veritat és que fins fa molt poc tots els primers que hi apareixien eren minúsculs o bé indeterminats (denotats per una simple lletra). Aquesta situació va canviar quan vaig començar a impartir l’assignatura d’aritmètica alguns dels darrers anys. Va ser aleshores quan em vaig preguntar com es feia realment per aconseguir nombres primers útils (criptogràficament parlant). He de dir que aquesta era una pregunta que em rondava pel cap des que l’Amparo López i l’Enric Nart em van parlar per primer cop de les aplicacions de l’aritmètica a la criptografia (ja fa potser massa anys), però per algun motiu no vaig arribar mai a verbalitzar-la. Així doncs, els ho agraeixo a ells dos, així com als alumnes que en els darrers anys han hagut de veure com jo anava aprenent amb ells. Finalment, voldria agrair a W. Pitsch que em demanés de fer la conferència inaugural dels graus de Matemàtiques i Estadística que són l’origen d’aquest manual (i d’un altre survey [6]), al referee desconegut (per a mi) pels comentaris, sugeriments i correccions proposades, així com la insistència de J. Ll. Solé perquè l’escrivís.
juny 2018 29
Referències [1] W. R. Alford, A. Granville i C. Pomerance. (1994). « There are Infinitely Many Carmichael Numbers», Annals of Mathematics, 139, 703-722. [2] R. Crandall i C. Pomerance. (2005). Prime numbers: a computational perspective, 2 a ed. Nova York. Springer. [3] Euclides. Els elements, circa 300. [4] F. Lemmermeyer. (2000). Reciprocity Laws. From Euler to Eisenstein. Berlín. Springer. [5] TheOn-LineEncyclopediaofIntegerSequences, publicada electrònicament a https://oeis.org. [6] M. Agrawal, N. Kayal, i N. Saxena. (2004). «PRIMES is in P». Annals of Mathematics, 160(2): 781-79. [7] X. Xarles. «Els primers, desvelats». Per aparèixer al Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques.
30 noubiaix 42
Fotografia matemàtica David Alonso Asensio, Anna Darnaculleta Esteve INS Moisès Broggi
Francesc Creixell Robert, Carles de Cubas Garcia INS Pla Marcell
Pilar Figueras Mestres INS Vila de Gràcia
Maite Gorriz Farré, Santi Vilches Latorre INS Vilamajor
Francisco Moreno Rigall INS XXV Olimpíada fotomatiques@gmail.com
Resum Prengui una fotografia familiar. Com sap si té una fotografia matemàtica? L’argument pitagòric que «tot és nombre» converteix qualsevol fotografia en matemàtica. Una selfie és una representació de l’1, una imatge dels pares ho és del 2... Aquesta visió fa que tota fotografia sigui matemàtica i, evidentment, manca de sentit. Oposadament, podem mirar-nos el món des d’un punt de vista platònic i afirmar que les matemàtiques pertanyen al món de les idees. Ergo, mai no aconseguirem una representació perfecta dels conceptes perquè és impossible fotografiar un punt o una recta. Per al nostre col¨lectiu, una fotografia matemàtica és un mitjà didàctic que facilita l’aprenentatge sistèmic de les matemàtiques; unes matemàtiques integrades en el nostre entorn, generadores de bellesa, font de creativitat i útils per tenir una visió crítica de la societat que ens envolta. La fotografia matemàtica ens ha de fer perdre la visió hermètica de les matemàtiques poc útils i ens ha d’ajudar a trobar entorns on desenvolupar matemàtiques properes a les persones. Dit això i amb l’ajut de l’experiència acumulada, una bona fotografia matemàtica ha de tenir una intencionalitat que ha de quedar recollida en un títol (imprescindible) que determini el concepte que es vol copsar. També ha de ser útil des del punt de vista didàctic, creativa i bella.
Abstract Take a family photograph. How do you know if you have a mathematical picture? The Pythagorean argument that «all things are numbers» turns any photograph into mathematics: a selfie is a representation of one, an image of the parents of two... This vision suggests all photography mathematical and devoid of meaning. On the other hand, we can look at the world from a Platonic point of view and affirm that mathematics belongs to the world of ideas, ergo we can never perfectly represent the concepts because it is impossible to photograph a point or a straight line. For us, a mathematical photography is a didactic tool that facilitates the systematic learning of mathematics: mathematics integrated into our environment, a source of beauty, a well of creativity, and useful in developing a critical vision of society. Mathematical photography should help us to forget our closed vision of barely useful mathematics, and to find surroundings in which to develop a mathematics of the people. Also, in our experience, good mathematical photography must have an intentionality that can be summarised in a title (essential) that defines the concept to be communicated. It should also be useful from the point of view of didactics, creativity and beauty.
juny 2018 31
1. L’espai web fotografiamatematica.cat Amb el pas del anys i vista la volada que estava agafant el Concurs de Fotografia Matemàtica de l’ABEAM (Associació de Barcelona per a l’Estudi i l’Aprenentatge de les Matemàtiques), iniciat l’any 2000 amb motiu de l’Any Mundial de les Matemàtiques, va semblar-nos una bona idea crear un portal on poguéssim difondre la nostra tasca. Així va ser com va néixer el 2014 la pàgina www.fotografiamatematica.cat.
Des d’aleshores hem vist com el nostre portal s’ha anat fent un lloc entre les pàgines de recursos didàctics que utilitzen els docents d’aquest país. La nostra idea inicial de tenir una finestra al món ha esdevingut una de les principals eines de treball que utilitzem en gairebé totes les activitats que fem. Dins la web s’hi poden trobar totes les fotografies que han rebut algun reconeixement en les divuit edicions del Concurs de Fotografia Matemàtica. Aquest conjunt d’imatges formen un fons d’aproximadament cinc-cents excel¨lents exemples d’idees matemàtiques expressades amb llenguatge fotogràfic. Aquestes imatges estan etiquetades segons conceptes matemàtics, de tal manera que és fàcil visualitzar totes les fotografies relacionades amb una idea matemàtica concreta. La pràctica totalitat dels conceptes matemàtics coberts des de la primària fins al batxillerat estan representats en aquesta col¨lecció, on, a cada nova edició del concurs, s’incorporen unes quaranta fotografies noves. La pàgina ens serveix per informar i gestionar les diferents activitats que portem a terme dins del grup. Així, per exemple, s’hi pot trobar informació detallada sobre l’exposició itinerant que
32 noubiaix 42
hem elaborat. També hi trobareu informació sobre el calendari fotomatemàtic que cada any editem amb algunes fotografies presentades al concurs, i alhora la web és un dels principals instruments que utilitzem per organitzar-lo. Una altra part de l’espai web, potser la més important, és el recull d’activitats didàctiques. Aquestes activitats d’aula proposen un treball matemàtic al voltant de la fotografia. A vegades el punt de partida és una fotografia que origina una reflexió o un treball sobre un concepte matemàtic. En altres ocasions, la proposta és aconseguir plasmar un problema o una idea matemàtica en una imatge. Volem que aquesta col¨lecció d’activitats sigui útil als docents i la millor mostra que la fotografia matemàtica pot ser un bon instrument per ensenyar matemàtiques. La nostra voluntat és anar engreixant aquesta col¨lecció de mica en mica, recollint les nostres pròpies propostes i també les que rebem d’altres docents.
Ens agrada imaginar-nos que docents i alumnes entren a la nostra web i s’hi submergeixen cercant un petit tresor: una idea original que els ajudarà a tirar endavant una activitat d’aula, un petit estímul que els farà avançar en l’aprenentatge de les matemàtiques, una fotografia que il¨lustrarà un concepte matemàtic concret que volen fer entendre...
2. L’exposició. Tot un èxit dinamitzador als centres Seguint amb les nostres ganes de generar recursos didàctics relacionats amb la fotografia matemàtica i de posar-los a l’abast de tothom, vam crear una exposició itinerant formada per deu plafons. L’exposició es va presentar el juliol del 2016 al claustre de la Facultat de Matemàtiques de la Universitat de Barcelona (UB) en el marc del C2 EM (Congrés Català d’Educació Matemàtica). En cadascun d’aquests plafons s’exposen diferents fotografies premiades al llarg de les disset edicions del concurs realitzades fins aleshores. Cada plafó engloba una mateixa temàtica i permet plantejar activitats amb l’alumnat per tal que cada centre educatiu tingui un recurs més per activar l’aprenentatge de les matemàtiques. El títols dels plafons intenten provocar i alhora fer sentir curiositat sobre el perquè de les fotografies.
juny 2018 33
1. Mira amb ulls matemàtics 2. Funcions pertot arreu 3. La bellesa és matemàtica 4. Efectes especials 5. Quin és quin? 6. Estadística i atzar 7. Simetries 8. On som? 9. Matemàtiques amb sentit... 10. Fem-la!
Institut Serra de Miramar, Valls.
La presència de l’exposició als centres és una bona oportunitat per fer matemàtiques. A la pàgina web hi ha recollides diverses propostes i també demanem als centres que ens facin arribar allò que elaboren. A partir de les respostes rebudes, podem afirmar que l’activitat relacionada amb el plafó «On som?» ocupa una posició privilegiada al rànquing de les més reeixides.
Imatges cedides pels instituts Marta Estrada, de Granollers; Viladomat, de Barcelona, i Vilamajor, de Sant Pere de Vilamajor.
L’activitat consisteix a trobar en quin lloc del món es va fer la fotografia «Vectors», d’Alba Mas. Per aconseguir-ho, primer han de fer un indicador en miniatura i l’han de situar en un poble de referència sobre un mapa de Catalunya. Llavors els companys han d’endevinar l’indret triat pels altres grups. Per completar el repte, es construeix un indicador amb fletxes de fusta en algun lloc ben visible de l’institut i es proposa posar al web del centre el repte de trobar «El nostre institut al món». Amb el plafó «Estadística i atzar» proposem un treball sobre el significat de les paraules mitja, mitjana, mediana, moda i mediana, o bé sobre el significat de segur, possible, probable,
34 noubiaix 42
impossible i improbable. També fem preguntes com: quan hi ha dues possibilitats, tenim la mateixa probabilitat que passin les dues coses? O bé: quin aspecte tenen els objectes posats a l’atzar? O fins i tot: com es relaciona la recta de regressió amb el camí d’unes formigues? Subratllem que el més important és que qualsevol nen o nena, qualsevol noi o noia, pot descobrir els misteris de l’atzar a través de la fotografia.
Aquí tenim una mostra de l’alumnat de l’Institut Pla Marcell, de Cardedeu, i de l’Escola Mercè Rodoreda, de Martorell, treballant l’estadística i l’atzar amb l’exposició de fotografia matemàtica.
3. De la fotografia a l’aula
3.1. Fotografia matemàtica i fraccions Observem que els temes que més s’han tractat a les classes de matemàtiques també es recullen més freqüentment a les fotografies que es presenten al concurs. Destaquem que les fraccions són un d’aquests temes. Moltes vegades apareixen lligades als conceptes de partició de la unitat, repartició, probabilitat, i també a situacions en què dues quantitats poden representar un numerador i un denominador. Tot i que és injust centrar-se en un exemple, sí que considerem que la fotografia de l’Ona Aguilera, que porta per títol «Fraccions equivalents», va una mica més enllà del tractament habitual de les fraccions perquè inclou el concepte d’igualtat amb un recurs de vegades utilitzat per explicar manipulacions algebraiques: la balança.
juny 2018 35
Aquesta fotografia ha donat molt bons resultats per introduir el tema de les fraccions en els primers cursos d’educació secundària obligatòria (ESO), tal com us descrivim a continuació. 1. Es projecta aquesta fotografia i es demana als alumnes que justifiquin el títol. 2. Normalment els alumnes argumenten que el contingut dels dos plats és el mateix. 3. Fent d’advocat del diable, el professor els fa veure que en un braç hi ha sis porcions i en l’altre, tres. 4. Ràpidament diuen que els uns són quarts i els altres són meitats, de manera que tres meitats equivalen a sis quarts. 3 6 5. Finalment, es demana un títol sense lletres i els alumnes acaben proposant “ . 2 4 En resum, a la classe introductòria hem treballat: la fracció com un conjunt de parts iguals d’un total, l’equivalència de fraccions, la simplificació de fraccions i la possibilitat de fotografiar fraccions. La proposta és demanar als alumnes que s’animin a mirar el món amb ulls matemàtics i busquin fraccions. L’objectiu és treballar a classe aquestes fotografies. Una bona part de les imatges sovint són de menjar, ja que diàriament a les cases es talla pa, formatge, pastissos i pizzes. Ara és el moment d’afegir un altre ingredient a la pizza: la matemàtica. Com? Amb una mica de provocació!
Imatge de Martí Peña.
36 noubiaix 42
En aquesta fotografia veiem una pizza tallada en vuit trossos: això vol dir que a casa sou vuit? Dius que és la manera més fàcil de tallar-la? Si a casa som cinc i volem que tots mengin el mateix, sembla que s’hauria d’haver tallat en cinc parts. Quan anem a fer la queixalada, sona el timbre i venen dos amics que tenen gana. Què fem? Tallar cada porció en dues meitats? Aleshores tindrem deu porcions, i som set! És important fer parts iguals! Aquí ja tenim un problema de fraccions, múltiples i divisors, i amb aquest teatre intentarem engrescar l’alumnat. Hi ha imatges que ens presenten la situació inversa: En aquesta fotografia veiem que una persona ja ha agafat la seva part de pizza. Si tots mengen el mateix, quantes persones se l’estant repartint?
Imatge de Mireia Roma.
Per donar una resposta a la pregunta és necessari conèixer quin angle fa el tros que falta, i en aquest sentit el programa Geogebra és un gran ajut. Si fa 46,91˝ , com que 360 “ 7,67, 46,91 vol dir que sou 7,67 persones? Hem aprofitat una imatge per treballar fraccions, angles i arrodoniments. Tot i que estem compartint una experiència d’aula que ens ha funcionat, entenem que el fet de deixar a l’atzar (en mans dels alumnes) l’aparició d’imatges didàcticament útils pot
juny 2018 37
generar dubtes. En aquesta mateixa línia també es poden treballar les fraccions amb imatges ad hoc. Proposem una altra activitat amb galetes, en la qual prèviament hem generat les fotografies i que pretén guiar els alumnes en la suma de fraccions amb diferent denominador. Considerem que la manera ideal de treballar-la és en grup. 1. Mostrem imatges de galetes rectangulars tallades transversalment i longitudinalment. Acompanyem les imatges amb una mica de ficció dient que a la meitat de la classe només els agraden les galetes tallades verticalment i a l’altra meitat, les tallades horitzontalment. Ho personalitzem en dues alumnes (la Marta i l’Ariadna) i expliquem que han tallat les seves galetes, se n’han menjat algun tros, han fet les fotografies i ens les han compartit al Drive:
2. Seguidament, posem dificultats afegint que la Marta i l’Ariadna volen menjar-se trossos de galeta de la mateixa mida, però com que han tallat les galetes de manera diferent, això no pot ser! 3. Ara és el moment de cedir el torn als alumnes per tal que busquin solucions. Se’ls demana que discuteixin com podrien tornar a tallar les galetes perquè tinguin trossos de la mateixa mida. Cal deixar ben clar que no importa que tinguin una quantitat diferent de trossos: el que importa és que siguin de la mateixa mida. Entenem que aquest és el punt més complicat de l’activitat i constatem que ajuda molt portar galetes a l’aula per tal que els alumnes puguin experimentar. A la imatge es pot veure els alumnes sumant fraccions amb pa de motlle i crema de formatge.
38 noubiaix 42
4. Finalment, proposem que descriguin el procés en llenguatge matemàtic. La consigna és que la Marta i l’Ariadna s’han menjat tots els trossos que han sortit de dividir les seves galetes i que ara s’ha d’escriure en forma de fracció la quantitat de galeta de cada una d’elles i la quantitat total de galeta que mengen entre les dues. 5. El premi per haver fet bé l’activitat és menjar-se les galetes!
3.2. Fotografiant equacions Durant tots els anys que hem estat fent el concurs de fotografia, hem rebut imatges sobre un tema recurrent: les equacions. Aquest fet reflecteix la gran preocupació de tots els docents del nostre país per resoldre equacions. No ens posarem a discutir sobre la importància o no d’aquest element del currículum, però sí que ens agradaria fer una reflexió sobre les fotografies que rebem, que mostren una manera de treballar a l’aula molt procedimental i poc reflexiva. Això sí, la vessant estètica de les fotos que rebem sobre equacions és indiscutible. Moltes d’elles ens han captivat i han estat premiades, com ara la fantàstica foto que ens va enviar l’Aina López, titulada «x aïllada». Malauradament, hem de dir que totes les fotografies rebudes contenen imatges que evoquen exclusivament la lletra x, com si la lletra definís el concepte.
Aquesta allau de lletres x fotografiades ens va fer plantejar una pregunta: les equacions són infotografiables? Calia posar fil a l’agulla. El resultat és la següent activitat d’aula, que titulem «En aquesta foto en total hi ha...». La seqüència didàctica consisteix a presentar la imatge següent als alumnes:
juny 2018 39
Tot seguit s’informa que a la foto hi ha un total de dotze fitxes i es demana que es calculi quantes fitxes hi ha sota cada got. Al nostre entendre, la principal virtut de l’activitat és visualitzar la manipulació algebraica. Recollim en un quadre el paral¨lelisme entre els dos mètodes de resolució. Solució gràfica En aquesta foto hi ha en total 12 fitxes:
Solució algèbrica Si x és la quantitat de fitxes que hi ha dins el pot, l’equació és: «en dos pots més 6 fitxes són 12 fitxes» 2x ` 6 “ 12
Si traiem les 6 fitxes, ens quedarà: 12 ´ 6 “ 6 fitxes
2x “ 12 ´ 6 2x “ 6
Visualment: el `6 que sumava a l’esquerra passa a la dreta restant ´6. Si repartim les 6 fitxes entre els 2 gots, toquen 3 fitxes per cada got: x“
6 “3 2
Visualment: el 2 que multiplicava a l’esquerra passa a la dreta dividint.
A partir d’aquí, encoratgem els alumnes a crear equacions. A l’exemple següent els animem a visualitzar els parèntesis i la propietat distributiva. Amb les mateixes indicacions que abans, informem que hi ha 29 fitxes.
40 noubiaix 42
Solució gràfica En aquesta foto veiem 3 plats iguals en cadascun dels quals hi ha 2 gots i 4 fitxes; a més, hi ha 5 fitxes en un costat. Però en total hi ha 29 fitxes.
Solució algèbrica
En cada pot hi ha x fitxes. Representem els plats amb parèntesis; per tant, hem de trobar quin nombre és x si 3p2x ` 4q ` 5 “ 29
El primer que fem és buidar els plats; per tant, tenim 6 gots, 12 fitxes i 5 fitxes més. I en total hi ha 29 fitxes.
Com que el que hi ha dins dels parèntesis ho tenim 3 cops, agafem el triple de tot el que hi ha dins els parèntesis. 6x ` 12 ` 5 “ 29
Aquest procés s’anomena propietat distributiva. Ajuntem les fitxes i, per tant, tenim 6 gots i 17 fitxes. Però en total hi ha 29 fitxes.
Sumem els nombres 12 ` 5 “ 17 6x ` 17 “ 29
Ara traiem les 17 fitxes i, per tant, queden 12 fitxes repartides en els 6 gots. El 17 que sumava a la esquerra ara resta a la dreta (passa a l’altra banda fent el contrari): 6x “ 29 ´ 17 6x “ 12
juny 2018 41
Solució gràfica
Solució algèbrica
Si repartim les 12 fitxes entre els 6 gots, queda clar que hi ha 2 fitxes a cada got. El 6 que multiplicava la x a l’esquerra passa dividint a la dreta i, per tant, x “ 2: x“
12 “2 6
Ara buscarem equacions amb incògnites als dos costats de la igualtat. El repte creix en dificultat si diem que l’única cosa que sabem és que a cada taula hi ha exactament el mateix nombre de fitxes. Arribats a aquest punt, qui dubta que les equacions es poden fotografiar i que són una fotografia de l’equació?
3.3. Fotografia matemàtica en la geometria La geometria és una de les disciplines de la matemàtica que més vegades es recull a les fotografies que rebem al concurs, ja que és present als currículums de tots els cursos i alhora descriu els objectes de la realitat. L’objectiu de l’activitat següent és treballar la geometria amb els alumnes de primer d’ESO a partir de les seves pròpies imatges. Això es farà iniciant el camí cap a la construcció dels cinc poliedres regulars, tot recordant i ampliant els conceptes de polígon i polígon regular. Mirarem de donar més presència als contextos reals dels alumnes amb la realització de fotografies matemàtiques. L’activitat consistirà a demanar a cada alumne que faci quatre o cinc fotografies amb el seu mòbil i posar títol a cadascuna per tal que aflorin els conceptes i les idees geomètriques. De l’anàlisi d’aquestes fotografies amb els seus títols podrem obtenir una primera avaluació inicial de cada alumne.
42 noubiaix 42
Hexàgons encaixats
Hexàgon
Polígon rodó
L’estudi i l’organització de les fotografies matemàtiques de l’alumnat esdevenen el motor de l’activitat: els alumnes presenten a classe les seves fotografies i entre tots acaben elaborant una definició de polígon. S’utilitza la mateixa tècnica per treballar el concepte de polígon regular: presentació de fotografies fetes pels alumnes, detecció dels polígons regulars i elaboració col¨lectiva de la definició. Per tal de reforçar els dos conceptes i treballar algunes de les propietats dels polígons regulars, es poden construir amb escuradents plans alguns d’aquests polígons, per exemple sumant els angles interiors d’un polígon regular. El Geogebra també és una bona eina per seguir investigant més propietats.
juny 2018 43
A continuació s’inicia el camí cap a la construcció dels cinc poliedres regulars i per tancar l’activitat podem demanar dues coses: noves fotografies matemàtiques que continguin els conceptes treballats o la modificació dels títols de les fotografies inicials. Haurem aconseguit construir coneixement geomètric?
4. De l’aula a la fotografia Fins ara hem mostrat situacions en què la fotografia és a la gènesi de l’activitat docent. Però volem destacar que també es pot aprofitar la potència de la imatge per resumir l’activitat docent realitzada. Considerem que condensar en una fotografia tot el que s’ha treballat en una unitat didàctica és un repte interessant que obliga a revisar la feina feta i mirar-la des d’altres angles de visió. Dins del projecte «Global Scholars», amb un grup d’alumnes de primer d’ESO es va treballar de manera transversal la nutrició arreu del món. Inicialment es va analitzar la nostra alimentació i després es va comparar amb la d’altres indrets del món. La primera activitat que es va fer es titulava «How much sugar do we drink?». En les dades de l’etiqueta d’una beguda es va trobar la proporció de sucre que contenia.
Sabent que un terròs de sucre equival a 4 g de sucre, es va calcular el nombre de terrossos de sucre que contenien les diverses begudes. Tot aquest procés es va resumir en la imatge de l’envàs amb la seva equivalència en terrossos de sucre apilats al costat. La segona activitat es titulava «How much sugar do we eat?». En aquesta activitat es va analitzar el sucre de les galetes o snacks que mengen els alumnes. Cada grup d’alumnes va portar una caixa de les seves galetes preferides. De l’etiqueta es va extreure la informació del sucre per cada 100 g de galetes. En aquest cas, es va trobar la proporció de sucre que hi ha en cada paquet individual de galetes. Amb unes balances es va pesar el sucre, es va posar en bossetes i es va elaborar un pòster amb la comparativa de sucre.
44 noubiaix 42
Ambdues exposicions es van penjar al passadís del centre. Això va obligar els alumnes a repassar el treball, a banda que va tenir un efecte divulgatiu i va fer que els alumnes de primer d’ESO se sentissin valorats per la seva tasca.
Bibliografia Alonso, D., Darnaculleta, A., Creixell, F., Cubas, C. de, Figueras, P., Gorriz, M., Moreno, F., Vilches, S. (2018). Fotografia matemàtica. http://fotografiamatematica.cat. Vilches, S., Gorriz, M. (2017). «La fotografía matemática como recurso didáctico». Suma. Monografía, 6, 41-57. Vilches, S. (2016). «Fotografia matemàtica. Vint anys mirant el món amb ulls matemàtics». SCM. Notícies, 39, 64-67.
juny 2018 45
El laboratori de matemàtiques Maria Antònia Canals Jordi Font i Roger Grau Institut Baix a Mar Vilanova i la Geltrú
Resum Experimentació, descoberta, conceptuació i demostració o formalització. Aquestes són les quatre etapes que un bon recurs didàctic hauria de tenir. On ho fem? Com ho fem? Què utilitzem? Aquestes preguntes, entre d’altres, són el punt de partida del laboratori Maria Antònia Canals de l’Institut Baix a Mar. El laboratori és un espai on l’alumnat té disponible material per experimentar. El laboratori és un espai on l’alumnat pot treballar conjuntament.
Abstract Experimentation, discovery, conceptualization, and demonstration or formalization: these are the four stages that a good learning resource should have. Where do we do it? How do we do it? What do we use? These questions, among others, formed the starting point for Maria Antònia Canals’ laboratory at the Institut Baix a mar, a space where students have material available to experiment with. The laboratory is a space where students can work together.
1. Context Què entenem per laboratori de matemàtiques? És una aula específica?, és un magatzem de materials manipulables?, és un espai de creació matemàtica?... Potser el més rellevant no és preguntar-se què és, sinó per a què serveix. La competència matemàtica, tal com es defineix al currículum, abasta una gran varietat d’habilitats i coneixements que s’han de desenvolupar als centres educatius. A secundària, es concreten en dotze competències matemàtiques agrupades en quatre dimensions (resolució de problemes, raonament i prova, connexions, i comunicació i representació). Per tal d’acomplir els objectius que determina el currículum, des del Departament de Matemàtiques de l’Institut Baix a Mar creiem que és molt interessant disposar d’un espai adequat per tal de realitzar unes matemàtiques més riques que fomentin l’assoliment de les competències. Un entorn basat en l’aprenentatge compartit i l’ús de materials manipulatius
46 noubiaix 42
matemàtics. És necessari comentar que la matèria de matemàtiques, en el nostre centre, està completament enfocada cap a un aprenentatge basat en la resolució de problemes, fugint de les activitats més calculístiques i repetitives, que fomentin l’autonomia de l’alumne, la investigació i la cooperació entre companys. Aquesta contextualització inicial és imprescindible per entendre la necessitat d’un laboratori de matemàtiques. Així, en el nostre centre, l’aparició d’un laboratori ha estat conseqüència d’una manera de fer, ha esdevingut una necessitat per tal de potenciar les activitats que ja s’estaven plantejant. En el fons, la definició de laboratori pot ser ambigua i cadascú l’ha d’elaborar en funció de les seves necessitats i dels recursos que tingui, però a l’hora d’entendre el nostre laboratori vam seguir la definició que Anton Aubanell va redactar en la seva llicència d’estudis: Moltes de les activitats pràctiques que s’esmenten en el nostre treball poden ser realitzades a la classe habitual però, en molts de casos, sembla més eficient realitzar-les en un entorn de laboratori específic. Per aquesta raó creiem que el present treball ha de dedicar una atenció especial a aquest entorn. En primer lloc potser caldria justificar el per què hem optat per emprar l’expressió laboratori de matemàtiques en lloc de les expressions taller de matemàtiques o aula de matemàtiques. No sembla que aquesta qüestió de nomenclatura sigui essencial però tal volta el mot laboratori ´que entronca també amb una rica tradició acadèmica i que etimològicament prové del terme llatí labor que significa treball´ suggereix un tipus d’activitat més ampli que el mot taller (sovint associat a tasques de construcció amb un fort accent tecnològic) i més concret que el mot aula (molt genèric i, per tant, poc descriptiu). Naturalment aquesta elecció pot ser discutible però el que ens sembla important no és tant el nom com el concepte que representa.1
Que el nostre laboratori porti el nom de Maria Antònia Canals (mestra, matemàtica i referent en relació amb l’aprenentatge a través de materials manipulatius) pretén ser un humil i modest homenatge a aquesta gran pedagoga catalana.
2. Procés de construcció Per tal de posar en marxa el Laboratori vam definir les etapes següents:
a) Proposta del projecte a l'equip directiu Per posar en marxa el projecte, des del Departament de Matemàtiques vam presentar un informe on exposàvem la necessitat de la creació del Laboratori. En l’informe es detallaven les característiques que havia de tenir l’espai, els materials inicials necessaris per iniciar el projecte i una justificació metodològica.
1. Anton Aubanell Pou (Institut Sa Palomera, Blanes), Recursos materials i activitats experimentals en l’educació matemàtica a secundària. Supervisor: Claudi Alsina Català. Barcelona: Universitat Politècnica de Catalunya. www.xtec.cat/sgfp/llicencies/200506/memories/1005m.pdf.
juny 2018 47
b) Disseny de l'espai i proposta de materials per comprar i construir el Laboratori Alguns elements que es van considerar essencials van ser taules grans per fomentar el treball en grup, un projector i una pissarra blanca, un suro gran i una zona d’estanteries per tal que l’alumnat tingui el material sempre a mà i no hagi d’anar obrint i tancant armaris. Una altra qüestió que calia tenir en compte era quins materials manipulatius s’havien de comprar i quins es construïen. Per prendre aquestes decisions, des del Departament de Matemàtiques es van plantejar (i se segueixen plantejant) les qüestions següents: Preu: hi ha materials el preu dels quals fa molt difícil adquirir-los. Aleshores la pregunta és: cal comprar-los? ‚ Constructivitat: és difícil construir-los? Aporta algun aprenentatge construir-los? Puig Adam deia que la mateixa construcció d’un material sovint porta intrínsec un elevat índex d’aprenentatge. ‚ Precisió: en cas que siguin construïts, el resultat final serà prou bo per tal que siguin «didàctics»? Hi ha materials que han de ser molt precisos i que, en cas que no ho siguin, perden el seu valor didàctic. ‚
c) Construcció del Laboratori Va generar la implicació del professorat de matemàtiques durant el mes de juliol. Una de les propostes que es van dur a terme va ser que els alumnes amb la matèria de matemàtiques pendent de superació podien venir durant el juliol per crear materials. Aquest treball se’ls comptabilitzaria positivament en la seva recuperació del setembre.
3. Proposta didàctica És absolutament essencial plantejar-se com es vol que siguin les activitats abans de començar a fer qualsevol problema. Sí que és cert que la construcció del Laboratori pot esdevenir un motor de transformació metodològica del centre, però hem de tenir la certesa de cap a on volem anar i de quines són les activitats que volem realitzar per tal que els aprenentatges dels alumnes siguin tan rics com sigui possible. En aquest sentit, la nostra proposta didàctica conté activitats de caràcter competencial, d’investigació, amb moderació del càlcul, de construcció, de raonament... Així, la línia metodològica segueix la seqüència següent: Experimentació: explorar, establir contacte amb les idees que estan en joc, temptejar, fer proves, prendre mides, comparar, contrastar, manipular, construir, etc. ‚ Descoberta: observar una regularitat experimental, sovint sorprenent, que apareix en proves successives. No es tracta d’un coneixement que ve de fora, sinó d’una descoberta personal, resultat de l’experiència. ‚ Conceptuació: posar en comú allò que s’ha descobert, perfilar bé la idea, sentir-la com a pròpia, esforçar-se a expressar-la correctament, arribar a una formulació compartida. ‚ Demostració o formalització: passar de la conjectura descoberta a la propietat demostrada a partir d’un raonament lògic. En alguns casos, la demostració no caldrà o no serà possible amb les eines conceptuals de què es disposa, o no millorarà la comprensió de la idea i ens quedarem amb la constatació experimental. ‚
48 noubiaix 42
Aquesta seqüència es proposa en el document Orientacions per a la millora pràctica de la geometria, realitzat per Anton Aubanell i que forma part dels documents curriculars del Departament d’Ensenyament.2 Ens agradaria afegir també una fase que es pot donar en qualsevol de les fases anteriors: la conjectura. Conjecturem abans de començar? O a mesura que anem descobrint coses? Podem conjecturar en haver demostrat quelcom que és el que passaria? Entenem que la conjectura es pot produir en qualsevol moment i que hem de generar situacions en què sigui necessària.
1. Experimentació
4. Demostració
Conjectura
3. Conceptuació
2. Descoberta
Feta aquesta contextualització metodològica essencial i després d’un cert procés de reflexió, hem dividit en cinc grans grups la tipologia d’activitats que realitzem. Val la pena comentar que tots els grups de l’ESO passen almenys dues hores per setmana al laboratori, però les sessions que duen a terme a l’aula ordinària es fan amb la mateixa filosofia i són una extensió de la idea de laboratori. No hi ha diferència entre el que passa físicament al laboratori i el que passa a l’aula habitual. Aleshores, ens podríem preguntar quina necessitat hi ha d’anar al laboratori? Bé, malgrat que la filosofia es manté intacta a l’aula ordinària, poder estar al laboratori facilita la proposta metodològica comentada anteriorment. Així, aquests cinc grans grups d’activitats són: 1. Activitats/problemes que es fan a la «llibreta»: activitats de perfil més clàssic, sovint de caràcter individual però que sempre parteixen d’algun problema o situació conflictiva. L’aprenentatge sempre es basa a fer que sigui el propi alumne el qui, a partir del problema, busqui i investigui la millor manera de resoldre’l. Un cop resolt, l’alumne pot cercar generalitzacions del problema o bé propietats matemàtiques generals. Exemple: aritmètica d’enters Bloc de numeració i càlcul. 1r/2n d’ESO. 1 sessió. Gomets de dos colors diferents, targetes de dos colors diferents. Activitat introductòria a la suma de nombres enters. Extreuen targetes amb números positius (blaves) i números negatius (vermelles) i han de fer la suma que hi apareix. La idea
2. http://xtec.gencat.cat/web/.content/alfresco/d/d/workspace/SpacesStore/0035/14114b3a-7752-46c49ccb-46542a9b680c/quaderns31orientacions.pdf.
juny 2018 49
és que representin cada valor amb gomets i observin que el resultat final és la diferència de gomets que hi ha.3
2. Jocs: activitats de caràcter més lúdic on es treballa la matemàtica a partir del joc. Sovint s’utilitzen per introduir conceptes matemàtics i familiaritzar-s’hi. De manera natural, en alguns casos l’alumnat cerca estratègies guanyadores (activitat d’un alt nivell didàctic). Exemple: quatre en quadrat Bloc d’espai i forma. 2n/3r/4t d’ESO. 1 o 2 sessions. Full quadriculat. En una quadrícula cada jugador marca alternativament un punt. La idea és que guanya qui construeix primer un quadrat. Existeix una estratègia guanyadora? Quin tipus de «quadrats» apareixen? Que hi té a veure el teorema de Pitàgores? Podem trobar el material i una versió en línia a Nrich.4
3. http://matematiquesmarines.blogspot.com.es/2015/10/sumes-i-restes-de-gomets.html. 4. https://nrich.maths.org/2526.
50 noubiaix 42
3. Propostes d’investigació amb materials: activitats d’investigació amb presència de materials manipulatius. Aquest perfil d’activitats intenta buscar el conflicte matemàtic i assolir generalitzacions del problema. Aquestes activitats sovint es duen a terme en grup i la seva durada acostuma a ser de diversos dies. Després de treballar amb els materials, és molt important que l’alumne traslladi les conclusions obtingudes a la llibreta o tauleta. Exemples: prismes amb policubs Bloc d’espai i forma. 3r/4t d’ESO. 3 o 4 sessions. Policubs. Volem apilar quaranta policubs formant prismes. De quantes maneres ho podem fer? Aquesta proposta d’investigació ens portarà a treballar propietats dels prismes, però també els nombres. Què passa amb el volum? Què passa amb l’àrea? Puc generalitzar algun cas?5
4. Projectes (popularment, anomenats treballs): activitats de diversos dies de durada i quasi sempre en grup. Es demana als alumnes la creació d’alguna producció en concret i un dossier que contingui tot el treball realitzat: càlculs, esbossos, metodologia, conclusions... Sovint aquests projectes constitueixen una unitat didàctica completa. Exemples: Voronoi va amb taxi Blocs d’espai i forma i de mesura. 4t d’ESO. 10 sessions. Paper vegetal, plàstics transparents, material de dibuix, retoladors permanents. A quin institut hauríem d’anar segons el lloc on vivim? Quina és la farmàcia més propera a casa nostra? Aquest projecte estudia la ciutat de Vilanova i la Geltrú a través dels diagrames de Voronoi i de la taxigeometria. L’activitat es divideix en una primera part de treball més general sobre Voronoi,6 una altra de t axigeometria7 i, finalment, l’aplicació de tot el que s’ha après a la ciutat.8 5. http://matematiquesmarines.blogspot.com.es/2015/11/prismes-amb-policubs.html. 6. http://matematiquesmarines.blogspot.com.es/2017/02/una-altra-geometria-voronoi-part-1.html. 7. http://matematiquesmarines.blogspot.com.es/2017/02/una-altra-geometria-taxigeometria-part-2.html. 8. http://matematiquesmarines.blogspot.com.es/2017/02/una-altra-geometria-el-trencaclosques.html.
juny 2018 51
Enrajolem Blocs de numeració i càlcul, d’espai i forma, i de mesura. 1r d’ESO. 8 sessions. Molts fulls quadriculats, paper d’embalar, colors per pintar. Activitat d’investigació que té com a objectiu la construcció d’un mosaic a partir de rajoles que tenen la meitat pintada. A partir d’un treball de dividir un quadrat en dues parts utilitzant diversos segments, els alumnes acaben construint les seves pròpies rajoles, fins que finalment decideixen quin enrajolat faran.9
9. http://matematiquesmarines.blogspot.com.es/2017/05/enrajolem.html.
52 noubiaix 42
Podeu veure una ampliació del treball fet amb Geogebra.10
5. Construcció de materials: activitats que tenen com a objectiu la construcció d’un material matemàtic. Aquesta tipologia d’activitats és interessant si la pròpia construcció incorpora un procés matemàtic interessant. Aquesta tipologia és la que menys hem utilitzat durant el curs. Exemples: poliedres amb brics Blocs d’espai i forma i de mesura. 3r d’ESO. 8 sessions. Brics, material de dibuix. Projecte on, a través de la construcció de poliedres de diferents famílies, es treballen propietats mètriques i propietats no mètriques (vèrtexs, arestes, cares, dualitat, angles, longituds...).
Alguns exemples d’aquestes activitats i d’altres es poden trobar al blog de matemàtiques del centre, «Matemàtiques marines»,11 i a les presentacions del laboratori realitzades al
10. http://matematiquesmarines.blogspot.com.es/2017/10/enrajolem-2.html. 11. http://matematiquesmarines.blogspot.com.
juny 2018 53
Congres d’Educació Matemàtica (C2EM)12 i al Congreso Iberoamericano de Educación Matemàtica.13
4. Un exemple més desenvolupat Des del moment de la seva creació, el Laboratori Maria Antònia Canals ha estat un espai d’investigació, descoberta, conceptuació i formalització. En les properes línies, el lector trobarà un exemple més d’activitats d’aquest tipus.
4.1. Balances algebraiques
Objectius ‚
Modelitzar l’equilibri d’una balança romana en funció del pes i de la posició que ocupa.
Descripció de la proposta L’activitat busca cercar l’equilibri d’una balança romana (vegeu la imatge inicial). De fet, es tracta de modelitzar les situacions d’equilibri en diferents circumstàncies. Propostes d’activitats per resoldre podrien ser les següents: 12. https://docs.google.com/presentation/d/1Tz0-iKTLyMW98BtsZ7LyvUQVG2lbNB-99u2Tp1-i05s/edit? usp=sharing. 13. https://docs.google.com/presentation/d/1blI72WDDgGqKN2zg0a-QwkiKo36oAQpuu3M84Ma96_4/ edit?usp=sharing.
54 noubiaix 42
‚
Situació 1. Observa la balança següent:
En quina posició s’han de disposar els tres pesos de color vermell per tal d’equilibrar la balança? ‚
Situació 2. Equilibra la balança següent (només pots afegir pesos en una posició):
Quantes solucions diferents té aquest problema? Què tenen en comú totes les solucions trobades? Expressa la relació entre les dues variables (pes i posició). ‚
Situació 3. En quines posicions has de situar els dos paquets donats (un d’una peça i un de dues peces) per tal d’equilibrar la balança?
Quantes solucions diferents té aquest problema? Què tenen en comú totes les solucions trobades? Quina relació hi ha entre les dues posicions de les dues peces?
Aspectes didàctics i metodològics Per dur a terme aquesta activitat a classe és imprescindible començar amb balances (vegeu l’apartat següent). No obstant això, la vida d’un material és finit (com a mínim des d’un punt
juny 2018 55
de vista didàctic). A mesura que l’alumne modelitzi el comportament de la balança, no li caldrà passar per la balança per cercar les solucions de la proposta. Però sempre podrem tenir-la com a element de comprovació dels resultats obtinguts.
Recursos emprats Per dur a terme aquesta activitat, proposem emprar una barra metàl¨lica perforada de manera equidistant, uns clips (per fer de ganxos) i cubs multilinks per fer de pesos.
Continguts, competències i processos que es treballen de forma destacada Aquesta activitat pot entrar a l’aula des de 2n d’ESO en endavant. Depenent de l’enfocament que es vulgui donar i de la diversitat de contextos/problemes que es treballin, el recurs pot ser més adient per a altres cursos. El contingut essencial que es treballa és la resolució de problemes amb funcions. Com s’indicava anteriorment, depenent de cada situació podrem treballar la funció de proporcionalitat directa, la de proporcionalitat inversa o l’equació de la recta.
Interdisciplinarietat, transversalitat, relacions amb l’entorn Les connexions de l’activitat amb el món de la física són molt evidents. De fet, l’activitat se sustenta en el fonament de la llei de la palanca. És una ocasió excel¨lent per treballar conjuntament amb el Departament de Física.
56 noubiaix 42
Els problemes del Fem Matemàtiques a l’aula Mireia López Beltran ICE Universitat Politècnica de Catalunya i Universitat Pompeu Fabra (Barcelona) mireia.lopez@gmail.com
Cyntia Riquelme Carvallo Mestra especialista en matemàtiques i ciències criquelmecarvallo@gmail.com
Resum En aquest treball us presentem el blog del Banc de Recursos del Fem Matemàtiques, creat a partir dels problemes de les diferents fases de l’activitat. Començarem pels motius que ens han portat a la creació del blog i les seves característiques principals. Per acabar, presentarem un parell d’exemples dels recursos que hi podeu trobar. En cada exemple s’inclouen, entre d’altres, produccions d’alumnes per a facilitar la tasca del professorat a l’hora de treballar la resolució de problemes a l’aula.
Abstract In this paper we present the blog «Banc de recursos del FEM Matemàtiques», which arose from the problems experienced in different stages of the activity. We begin with the reasons that led to the creation of the blog, and its main features. Following this we present several examples of the resources you can find. Each example includes, among other things, student initiatives to assist in the teachers tasks related to problem-solving in the classroom.
1. Introducció Durant més de vint anys, el Fem Matemàtiques (http://fm.feemcat.org/) ha acumulat una bona col¨lecció de problemes de les tres fases de què consta l’activitat. Un dels reptes pendents del Fem Matemàtiques era poder donar forma a aquest material i, juntament amb el treball realitzat per l’alumnat participant, convertir-lo en un recurs per a l’aula. El 2015 i dins del grup de treball de l’activitat de l’Associació de Barcelona per a l’Estudi i l’Aprenentatge de les Matemàtiques (ABEAM) es va engegar el blog Banc de Recursos del Fem Matemàtiques per donar resposta a la demanda històrica del professorat de trobar publicades les resolucions dels problemes de l’activitat.
juny 2018 57
En aquest article presentem els recursos del blog i una selecció de dos dels seus elements amb propostes per ajudar a dur aquests problemes a l’aula. Fem també un resum de les característiques dels problemes de la primera fase del Fem Matemàtiques i una breu descripció del que hi ha a la fitxa de cada problema. Atesa la riquesa de l’activitat, també hem cregut convenient exposar les característiques pròpies dels problemes de la segona fase. Finalment, s’exposen i s’analitzen els dos exemples seleccionats: un problema de la primera fase i un de la segona fase que trobareu intercalats en el text. La resta de materials publicats es troben en el blog http://bancfm.blogspot.com.es.
2. Característiques dels problemes de la primera fase del 2. Fem Matemàtiques Segons les orientacions de les Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic (Burgués i Sarramona, 2013a i 2013b), els problemes del Fem Matemàtiques s’adapten plenament a les característiques d’activitats que permeten un treball competencial perquè: proposen reptes i jocs que engresquen els alumnes; permeten reflexionar, prendre decisions i dissenyar estratègies; s’allarguen en el temps; afavoreixen l’intercanvi d’idees i la discussió de les propostes. Són «activitats competencialment riques» (CESIRE-CREAMAT, 2014) en què l’alumne pot demostrar tot el que sap i fer nous aprenentatges, ja que: ‚
Són problemes contextualitzats amb propostes properes als alumnes i reptes que engresquen fàcilment.
‚
Treballen més d’un procés o una dimensió alhora.
‚
Poden ser resoltes amb diverses estratègies o possibilitats d’atac.
‚
Fomenten l’autonomia i la iniciativa de l’alumnat.
‚
‚
‚
‚
‚
‚
Requereixen el treball en grup, on l’alumne dialogui, prengui decisions i apliqui connexions. Requereixen també un informe on l’alumne demostri la seva capacitat de comunicar idees justificant els processos emprats i les solucions argumentades i comprovades. Tots els problemes consten d’unes primeres activitats que poden començar a fer tots els alumnes. A partir d’aquí, hi ha diferents maneres de resoldre l’activitat en funció de l’estadi de cada alumne, totes vàlides. Aquesta diversitat de respostes dona riquesa al problema i mostra estratègies que, de vegades, els professors no haurien anticipat. Promouen la representació i l’ús progressiu del llenguatge matemàtic. En molts casos, proposen la utilització de recursos i materials manipulatius per ajudar al pensament diversificat proporcionant visions noves i diferents de la representació gràfica o del pensament abstracte. Permeten el paper dinamitzador del mestre en les diferents fases de treball del problema. En l’abordatge del problema, el professor proposa i anima a fer les primeres investigacions. Després pot fer el paper de guia per mitjà de «bones preguntes» quan els alumnes estiguin encallats en alguna fase o encoratjant-los a mostrar un nivell competencial més ric, fins i tot tendint a l’excel¨lència amb els alumnes que puguin accedir-hi. És
58 noubiaix 42
molt important que el mestre transmeti la importància de la bona comunicació en l’elaboració de l’informe amb respostes ben justificades i argumentades. També ha d’ajudar a establir connexions obrint noves línies d‘investigació amb noves preguntes per enllaçar temes o guiant en les possibles generalitzacions. ‚
‚
Permeten atendre la diversitat de l‘alumnat, ja que, encara que no tots els alumnes arribin a la solució completa, tots els alumnes en treuen profit. Per una banda, sempre hi ha apartats que tots els alumnes poden fer i, per l’altra, cal destacar la importància de la posada en comú, on els alumnes poden mostrar diverses estratègies i respostes a un apartat, i és en l’aprenentatge entre iguals on es fan més passos en la comprensió i la incorporació de noves estratègies. Permeten insistir en la comprovació de la coherència de la resposta amb la situació plantejada, que ha de ser possible encara que sigui aproximada, i en la correcció de la resposta o les respostes en el cas que n’hi pugui haver més d’una. És important que el mestre transmeti que el procés és tan o més important que la solució numèrica.1
3. Què podem trobar en el blog del Banc de Recursos? Les característiques dels problemes del Fem Matemàtiques els fan un bon recurs per als professors de matemàtiques que vulguin treballar les activitats competencials a l’aula. El nostre repte ha consistit a crear materials amb què el professorat pugui treballar a l’aula. Per fer-ho vam creure que, a més de l’enunciat i la solució, havíem de proporcionar: una sèrie d’orientacions relacionades amb el propòsit de cada problema; els continguts, conceptes i processos que intervenen en treballar-lo; les competències que s’hi veuen més implicades; les propostes d‘una avaluació competencial i les valoracions dels nivells. Per exemplificar els nivells competencials vam considerar fonamental mostrar produccions dels alumnes extretes de les respostes lliurades en la primera o la segona fase del concurs. Les indicacions del document de Burgués i Sarramona (2013b) ens van servir de guia per organitzar aquesta part. Atesa la riquesa dels problemes, no hem volgut parlar d’una única resolució i per això es procura sempre mostrar respostes diverses extretes dels informes dels alumnes participants en el concurs. Pensem que així donem una visió de l’ampli ventall de respostes, estratègies i processos que l’alumnat d’aquest nivell pot donar, moltes vegades sorprenents i diferents de les que la nostra visió d’adult donaria. A partir del problema i de les respostes dels alumnes, hem seleccionat les competències que creiem que han estat treballades amb més protagonisme d’aquests o bé les que han rebut les respostes més riques. Amb els diferents problemes hem procurat donar exemples de diferents competències. En cada fitxa també hem inclòs quines estratègies de resolució de problemes es poden treballar en cada proposta seguint el document del CESIRE-CREAMAT (2015). Per acabar, en molts casos hem afegit també recursos TIC i materials per abordar el treball a l’aula i propostes d’ampliació que connecten i interrelacionen conceptes i processos matemàtics que no surten en l’enunciat original dels problemes del concurs. El fet d’incloure propostes d’ampliació fa que aquests problemes ampliïn els cursos a què va destinada l’activitat, de manera que abasten des dels darrers cursos de primària (amb versions simplificades d’alguns problemes) fins al quart d’ESO i fins i tot el batxillerat (per exemple, amb algunes de les propostes d’ampliació o bé reduint la temporització de l’activitat). 1. http://bancfm.blogspot.com.es/p/blog.html.
juny 2018 59
En tots els casos les respostes dels alumnes han estat extretes d’una selecció d’aproximadament trenta informes de la primera fase o de les proves de la segona fase lliurats per a la participació en el concurs, cosa que ens ha permès disposar d’una bona mostra de respostes de diferents centres de la província de Barcelona. A continuació us presentem el problema de la primera fase seleccionat: «L’alçada de la torre».
4. L’alçada de la torre Tal com podem trobar a la introducció de la seva fitxa,2 en aquest problema es treballa la cerca de divisors d’un nombre d’una manera productiva i exhaustiva. La cerca dels divisors d’un nombre és un contingut curricular de primer d’ESO i, per tant, tenir bones propostes per treballar-lo a l’aula ens sembla d’especial interès. En aquest problema es fa un treball productiu seguint la proposta del PuntMat (2013a), ja que es proposa una cerca per a l’automatització de la destresa bàsica i, a més, s’ambienta amb la resolució d’un repte que resulta molt més motivador per als alumnes. També hi ha un treball exhaustiu perquè és necessari trobar una estratègia per saber que es tenen tots els divisors que es busquen (PuntMat, 2013b). També impulsa la investigació en la cerca de regularitats i patrons que permetin saber el nombre de divisors d’un nombre sense trobar-los explícitament i les característiques dels nombres amb un cert nombre de divisors. Aquest problema va ser proposat per l’Associació de Professors de Matemàtiques de les Comarques Meridionals (APMCM) en la primera fase del Fem Matemàtiques 2014. Per dur-lo a l’aula, proposem que es treballi amb grups heterogenis per fer un treball cooperatiu. El primer apartat és especialment adequat per poder repartir entre els diferents membres del grup la investigació de les torres amb nombres entre 20 i 30. Fins i tot es pot fer un treball cooperatiu entre els grups de la classe investigant més intervals de nombres. En els dos casos, el professor pot deixar a criteri dels integrants del grup la repartició dels nombres a investigar o els pot assignar el professor segons el que consideri pel que fa al tractament de la diversitat. Un dels recursos que proposem per treballar aquest problema a l’aula és l’ús de l’arbre de factors tal com ho proposa el PuntMat3 (també disponible en una miniaplicació o applet), ja que facilita l’observació de la descomposició factorial dels nombres i l’obtenció de la clau del patró que es demana en els darrers apartats de l’activitat. A continuació adjuntem l’enunciat del problema: En un joc cal fer torres amb peces cúbiques que tenen cadascuna un nombre. Cada torre es construeix amb els divisors del nombre que hi ha a la part superior (tots i sense deixar-se’n cap). Vegeu-ne un exemple:
Figura 1 2. http://bancfm.blogspot.com.es/2015/05/lalcada-de-la-torre.html. 3. http://puntmat.blogspot.com.es/2011/12/mes-sobre-larbre-de-factors.html.
60 noubiaix 42
La torre coronada pel nombre 10 té quatre pisos. aq Investigueu una mica i construïu les torres dels nombres entre 20 i 30. bq Quins nombres hi ha al capdamunt de les torres de dos pisos? cq Quins són els nombres que coronen les torres de tres pisos? Digueu també tres nombres que coronin una torre de tres pisos. Trobeu-ne un de quatre xifres. dq Creus que hi haurà nombres que tinguin la torre de cinc pisos? Com hauran de ser aquests nombres? Trobeu-ne un de cinc xifres. eq Quin nombre menor de 100 corona la torre més alta? De quants pisos és? Expliqueu clarament el procés que seguiu fins a trobar-lo. f q Creieu que hi haurà torres de totes les alçades? Expliqueu la vostra resposta. En aquest problema es treballen continguts dels blocs «Numeració i càlcul» i «Canvi i relacions». Hem considerat que les estratègies de resolució de problemes que poden treball principalment són: fer dibuixos i esquemes, provar ordenadament, organitzar la informació, fer taules i cercar regularitats i patrons. Com en la majoria dels problemes del Fem Matemàtiques, les primeres tasques són sempre de presa de contacte i assequibles perquè tots els alumnes puguin començar la investigació. A l’apartat b («Quins nombres hi ha al capdamunt de les torres de dos pisos?») es pregunta per una de les regularitats que ells observen ràpidament: «Els nombres primers són els que tenen dos divisors». D’aquests nombres són el 23 i el 29 perquè són els únics nombres primers que hi ha entre el 20 i el 30, és a dir, que només tenen dos divisors, l’1 i ells mateixos. Figura 2. Proposta de solució d’alumnes de primer d’ESO, curs 2013-2014.
En demanar per les torres de tres pisos (apartat c, «Quins són els nombres que coronen les torres de tres pisos?»), apareixen els nombres quadrats perfectes. En aquest cas, cal, a més, que combinin els dos conceptes, ja que els quadrats perfectes han de ser-ho de nombres primers per tal que tinguin exactament tres divisors: El 9, el 49 i el 121. 9
49
121
Quadrats dels nombres primers
3
7
11
Nombres primers
1
1
1
Figura 3. Proposta de solució d’alumnes de primer d’ESO, curs 2013-2014.
juny 2018 61
En la pregunta d («Creus que hi haurà nombres que tinguin la torre de cinc pisos?») els alumnes comencen a necessitar trobar el patró, cosa que comporta una tasca de més complexitat que les anteriors: Hauran de ser el resultat de multiplicar un número primer a la 4ª potència, com per exemple: 2 elevat a 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 16 8 4 2 1
Número primer
Figura 4. Proposta de solució d’alumnes de primer d’ESO, curs 2013-2014.
Un altre raonament: Sí que hi ha nombres de 5 divisors, però també han de cumplir unes normes que són que tots els nombres que coronen una torre de cinc pisos ha d’estar composta per l’u, dos nombres diferents que es multipliquin entre ells, un nombre que es multipliqui per ell mateix (com en les torres de 3 pisos) i el nombre que corona la torre, el nombre principal. Figura 5. Proposta de solució d’alumnes de primer d’ESO, curs 2013-2014.
La pregunta e («Quin nombre menor de 100 corona la torre més alta?») demana un procés exhaustiu que ens permeti comprovar que no ens hem deixat cap nombre i que abasti totes les possibilitats. Per resoldre el problema de l’exhaustivitat, alguns alumnes han establert filtres previs per no haver de buscar els divisors de tots els nombres:
Figura 6. Proposta de solució d’alumnes de primer d’ESO, curs 2013-2014.
En aquest cas, adjuntem la transcripció de la proposta de solució per facilitar-ne la lectura: El procés que hem seguit fins a trobar aquests 5 nombres és: En primer lloc hem eliminat els nombres primers (aquells nombres que només tenen com a divisors l’1 i ell mateix). Seguidament hem eliminat els nombres imparells i ens hem quedat amb els parells, i a partir d’aquí hem anat prenent i eliminant nombres fins a quedar-nos amb aquests 5 (60, 72, 84, 90 i 96).
62 noubiaix 42
La major part dels treballs presentats pels alumnes no arriben a trobar la resposta a l’última pregunta («Creieu que hi haurà torres de totes les alçades?») i el seu raonament es resumeix en aquesta frase: Hem arribat a la conclusió que hi ha torres de totes les alçades, ja que existeix un in!nit de nombres naturals. Com a conseqüència un in!nit de nombres divisors. Figura 7. Proposta de solució d’alumnes de primer d’ESO, curs 2013-2014.
Sembla que en aquest cas la intuïció ha guiat adequadament la majoria dels alumnes, però per poder donar una resposta fonamentada cal una investigació que vagi més enllà. Cal trobar regularitats i patrons que permetin deduir amb antelació, observant el nombre, el nombre de divisors que tindrà i d’aquesta manera poder justificar que efectivament podrem trobar torres de totes les alçades. Aquesta és realment una bona proposta i, com que no és fàcil que els alumnes la resolguin, serà feina del professorat guiar-los amb «bones preguntes» en la cerca d’aquest patró. En aquest punt, dotar els alumnes amb alguns dels recursos com l’arbre de factors pot ser clau perquè els alumnes acabin la tasca amb èxit. En el cas de l’activitat del concurs, només dos equips dels trenta de la mostra donen una resposta adequada, tot i que amb matisos, a aquesta pregunta final:
Només hi ha una torre d’un pis: la del número 1. Creiem que sí haurá torres de totes les alçades perquè si hi ha nombres in"nits també hi podrien haver torres d’in"nites alçades. Un nombre amb la torre de 4 pisos serà el resultat d’un nombre primer al cub; un nombre amb la torre de 5 pisos serà el resultat d’un nombre primer a la quarta potència; un nombre amb la torre de 6 pisos serà el resultat d’un nombre primer a la cinquena potència... Figura 8. Proposta de solució d’alumnes de primer d’ESO, curs 2013-2014.
Sí, perquè quan eleves un número primer a una potència n s’obté una torre de n + 1 nivells. Ex.: 2"= 2 × 2 = 4 4 2 1
2# = 2 × 2 × 2 = 8
2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
8 4 2 1
16 8 4 2 1
Per tant, sempre podrás elevar un número primer a una potència més i així obtenir una torre también d’un pis o d’un nivell més. Figura 9. Proposta de solució d’alumnes de primer d’ESO, curs 2013-2014.
juny 2018 63
Creiem que val la pena, com a proposta d’ampliació per a primer, segon i tercer d’ESO, completar la feina per veure, a més del patró dels nombres primers, com fan els alumnes en els exemples anteriors, que per als nombres compostos també hi ha una regularitat. Si considerem la descomposició factorial del nombre n: n2 nk pn1 1 ¨ p2 ¨ ¨ ¨ pk
amb pi nombres primers i ni nombres naturals, aleshores el nombre de divisors de n serà: dpnq “ pn1 ` 1qpn2 ` 1qpn3 ` 1q ¨ ¨ ¨ pnk ` 1q Per exemple: 420 “ 22 31 51 71 i, per tant, tindrà (2 ` 1qp1 ` 1qp1 ` 1qp1 ` 1q “ 3 ¨ 2 ¨ 2 ¨ 2 “ 24 divisors. Per a l’avaluació competencial, ens hem fixat en les primeres preguntes que demanen pel patró numèric: les preguntes c i d, que demanen pels nombres que coronen les torres de tres i cinc pisos, on hi ha un major nombre de respostes. En proposar que l’alumne argumenti una regularitat numèrica trobada prèviament, hem considerat que la competència que es treballa de manera principal en aquest problema és la competència 5, «Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques», i els diferents nivells competencials s’establiran atenent la complexitat de l’argumentació, les estratègies que posen en joc i la capacitat per explicar el procés seguit (Burgués i Sarramona, 2013b). Hem seleccionat les respostes dels alumnes que hi ha a continuació per exemplificar els diferents nivells competencials mostrats. Nivell 1 c) En l’apartat “c” ens demana que diguem els nombres que coronen les torres de tres pisos. Nosaltres hem esbrinat que els nombres que coronen les torres de 3 pisos són apart de tenir el divisor 1 i ell mateix, tenen el divisor que es multiplica per si mateix, i ja no en té més. Per exemple, els divisors de 25 són: 1, 5 i 25. Perquè 1 · 25 = 25 i 5 · 5 = 25. Figura 10. Proposta de solució d’alumnes de primer d’ESO, curs 2013-2014.
En aquest cas, els alumnes mostren un nivell 1, ja que realitzen afirmacions i utilitzen exemples per a una millor comprensió. No obstant això, no fan cap generalització i no mencionen de manera explícita que el «divisor que es multiplica per si mateix» cal que sigui un nombre primer. Nivell 2 Encara que sigui poc probable, hi ha números que només tenen cinc pisos i es poden obtenir fent els quadrats dels nombres primers, com per exemple, el número 81 (3! = 9; 9! = 81). Aquests números són imparells, és a dir, no són divisibles entre dos. Figura 11. Proposta de solució d’alumnes de primer d’ESO, curs 2013-2014.
64 noubiaix 42
En aquest cas, els alumnes fan una generalització o una conjectura fent comprovacions que permetin justificar o rebutjar les seves afirmacions matemàtiques. Es troba a faltar una argumentació de la conjectura feta. També falta rigor i precisió per veure que no tots seran nombres imparells, com comenten a la darrera frase (16 és la quarta potència d’un nombre primer, 24 , té cinc divisors i és un nombre parell). Un altre exemple de nivell 2 seria:
Figura 12. Proposta de solució d’alumnes de primer d’ESO, curs 2013-2014.
En aquest cas, notem que els alumnes han generalitzat però sense explicar el procés deductiu que han seguit per arribar a aquest resultat. S’observa un ús sistemàtic dels exemples per avançar en l’argumentació. I, a més d’exemples, en el procés de raonament també han usat contraexemples per trobar que els nombres han de ser primers. Aquesta resposta, dins del nivell 2, estaria més a prop del nivell 3 que l’anterior. Nivell 3
Figura 13. Proposta de solució d’alumnes de primer d’ESO, curs 2013-2014.
En aquest cas, trobem diferents elements que ens indiquen que es tracta d’una resposta de tercer nivell: s’usa un procés deductiu per trobar com han de ser els nombres que tenen cinc divisors; la justificació de la conjectura va més enllà d’un exemple concret; l’argumentació
juny 2018 65
matemàtica està expressada amb precisió; s’usa un esquema per ajudar a la comunicació i la comprensió de la resolució. En els apartats següents introduïm les característiques i un exemple de la segona fase per tal d’ampliar el ventall de recursos que es poden trobar en el blog.
5. Característiques dels problemes de la segona fase 5. del Fem Matemàtiques Els problemes de la segona fase del Fem Matemàtiques són també activitats competencialment riques. La diferència amb els problemes de la primera fase és que són problemes que en el concurs es fan de manera individual, juntament amb tres problemes més i en un temps limitat d’una hora i quart. Proposen igualment reptes que engresquen els alumnes i afavoreixen el seu raonament matemàtic, però estan pensats per ser treballats en un període de temps molt més curt que els problemes de la primera fase. Són també activitats on es dona molta importància a la justificació dels processos, el nivell de les estratègies emprades i l’exposició de solucions argumentades, raonades i comprovades. També es valoren molt la representació i la complexitat del llenguatge matemàtic utilitzat. En la selecció de problemes per al blog hem prioritzat els que considerem que han tingut respostes més riques per part de l’alumnat i els que poden ser pràctics per introduir, treballar o avaluar conceptes a l’aula, per establir connexions o per a la utilització dels recursos de què disposem. També es comenten exemples de respostes d’alumnes per tal de facilitar la preparació del professor. Com en els problemes de la primera fase, també se selecciona la competència que es considera que es treballa amb més protagonisme dels alumnes o bé aquella de la qual s’han obtingut respostes més variades, i se n’exemplifiquen els diferents nivells obtinguts seguint Burgués i Sarramona (2013a i b). En definitiva, són activitats competencials amb un plantejament més curt en el temps i que a l’aula es poden utilitzar com a recurs de treball d’equip, individual, per introduir continguts o per fer connexions i, essencialment, per raonar matemàticament. A continuació exposarem el problema de la segona fase seleccionat, «Un decimal periòdic».
6. Un decimal periòdic Com en «La torre de divisors», en «Un decimal periòdic» també es treballa el concepte de divisió, però amb més protagonisme de la divisió no exacta. És un problema en què els alumnes han de realitzar un treball d’investigació de les relacions numèriques que ocorren en una divisió decimal periòdica. Se’ls demana que trobin un patró amb les xifres del període i també la generalització per a qualsevol longitud que es demani. Són un tipus d’exercicis que se solen treballar poc a l’aula i que, en canvi, donen una visió més àmplia dels diferents conceptes involucrats: divisió (entera i decimal), residu i període.
66 noubiaix 42
Enunciat Si calculeu, amb la calculadora, el quocient amb decimals de la divisió 9:37, la pantalla us mostrarà, com a màxim, tretze xifres decimals. Amb aquestes xifres podreu deduir la resposta a les preguntes següents: aq Quant sumen les 14 primeres xifres decimals del quocient? bq Quant sumen les 100 primeres xifres decimals del mateix quocient?
Notem que el problema se centra en l’obtenció d’una xifra concreta dins del període d’un decimal. L’alumne ha d’adonar-se que si planteja la divisió entera adequada, el quocient donarà informació del contingut del cicle i el residu, del lloc ocupat en el cicle incomplet. Aquest cicle forma una sèrie que ens ajuda a trobar o predir el valor d’una xifra en un lloc determinat, cosa que permetrà a l’alumne generalitzar el patró trobat. Les respostes dels alumnes de sisè a la segona fase de l’activitat indiquen que hi ha força dificultats per passar del recompte de les xifres del període a trobar una regla que permeti la predicció demanada. És, per tant, un bon problema per iniciar-se en la generalització d’un patró numèric a partir d’un context intramatemàtic central com és el concepte de divisió. En aquest problema, com en «La torre de divisors», també es treballen continguts dels blocs «Numeració i càlcul» i «Canvi i relacions». Hem considerat que les estratègies de resolució de problemes que es treballen principalment són: recomptar, reduir el problema o provar amb casos més senzills, mirar de quines eines disposem (sobre els conceptes clau en la divisió entera), cercar un patró. Tot i que és un problema més concret que «La torre de divisors», també hi trobem un primer apartat de presa de contacte amb la situació. En aquest primer apartat no és necessari haver trobat el patró per respondre a la pregunta i és per això que un major nombre d’alumnes hi podrà donar resposta. El segon apartat, tot i que formalment s’hi planteja la mateixa pregunta, matemàticament és bastant diferent, ja que la magnitud de la tasca proposada no fa possible respondre-la amb les mateixes eines que s’han utilitzat en el primer apartat. Permet, però, una estratègia d’aproximació amb casos més senzills que pot ajudar al raonament. És per això que el primer apartat no només facilita l’inici als alumnes, sinó que també ajuda a la utilització de l’estratègia de reduir el problema o provar amb casos més senzills. Cal que l’alumne investigui la situació tot conjecturant i experimentant per poder trobar el patró que permeti generalitzar i obtenir la xifra que ocupa el lloc número 100. En aquest cas, necessiten l’eina matemàtica de la divisió entera i també la informació que proporciona el residu de la divisió proposada sobre la posició de la xifra en el cicle incomplet. A continuació recollim algunes de les respostes dels alumnes de sisè participants en la segona fase del Fem Matemàtiques 2016, amb alumnes de vint centres diferents de la província de Barcelona. La majoria dels alumnes resolen l’activitat a sense necessitat de recórrer a la divisió entera i només fent un recompte:
juny 2018 67
Figura 14. Proposta de solució d’alumnes de siseè de primària, curs 2015-2016.
Només en algun cas trobem una argumentació fonamentada en el valor del quocient i el residu. En aquests casos, usen el raonament per resoldre tant l’apartat a com el b. Posem com a exemple la resposta de l’apartat b. En aquest cas, s’aplica el patró a un nombre gran sense dificultat i es dota de sentit el quocient i el residu de la divisió entera plantejada:
Figura 15. Proposta de solució d’alumnes de siseè de primària, curs 2015-2016.
En aquest problema, com en la majoria dels casos, no es treballa una sola competència. Per exemplificar el nivell competencial assolit, hem triat la competència 6 de primària (que té continuació en la competència 7 de secundària), sobre connexions on l’alumne ha d’establir relacions entre els diversos significats d’un concepte, en aquest cas entre la divisió decimal i la divisió entera i entre el significat del període i el del residu. Per a l’avaluació competencial hem considerat la tasca de trobar la suma de les cent primeres xifres decimals del nombre periòdic resultant de 9:37 i la cerca del patró que porta respondre a aquesta qüestió de manera general. Per a la graduació en els tres nivells tindrem en compte Burgués i Sarramona, 2013a.
68 noubiaix 42
Nivell 1
Figura 16. Proposta de solució d’alumnes de siseè de primària, curs 2015-2016.
Els alumnes han de mostrar que identifiquen els diversos significats del concepte en la situació proposada. En aquest cas, l’alumne dona significat a la divisió entera i a la divisió decimal (també a la repetició de les xifres decimals que formen el període). Pel que fa a comptar les cent primeres xifres, organitza la informació i la calcula correctament. S’observa, no obstant això, que no ha expressat com ha calculat la quantitat de xifres, és a dir, no ha expressat la divisió entera que ha realitzat ni ha donat sentit al seu residu. Nivell 2 Els alumnes fan un altre pas endavant i descriuen la connexió feta expressant de manera explícita la divisió decimal i la divisió entera. Estableixen la connexió, però no la justifiquen. Per exemple:
Figura 17. Proposta de solució d’alumnes de siseè de primària, curs 2015-2016.
Nivell 3 Els alumnes expliciten i connecten les dues operacions. A més, justifiquen la relació entre els dos conceptes: divisió decimal en la primera part i divisió entera en la segona (vegeu l’argumentació de la figura 15).
juny 2018 69
7. Conclusions L’objectiu que marca el currículum d’aconseguir que els alumnes assoleixin les competències clau obliga el professorat a proporcionar als alumnes activitats que facilitin un treball competencialment ric. Els problemes de les diferents fases del Fem Matemàtiques constitueixen una molt bona font de situacions riques per dur-les a l’aula. Són activitats competencialment riques perquè: proposen reptes per tal que tots puguin començar; afavoreixen el diàleg i el treball en equip, fins i tot el cooperatiu (distribució de la feina de comprovació de la torre de divisors dels cent primers nombres); afavoreixen el treball exhaustiu i, per tant, l’organització de la informació de manera sistemàtica o cercant estratègies per fer la tasca més fàcil; afavoreixen l’ús del llenguatge matemàtic en la comunicació d’un patró o una generalització; afavoreixen el treball productiu (per exemple, en la cerca de divisors d’un nombre); treballen els diferents tipus de raonament matemàtic (deductiu, inductiu, recursiu, analògic); potencien les connexions entre les diferents parts de les matemàtiques (en el nostre cas, entre diferents significats d’un mateix concepte, la divisió); permeten mostrar diverses estratègies i enfocaments que enriqueixen la resolució de problemes. Dins del grup de treball del Fem Matemàtiques de l’ABEAM s’ha creat el Banc de Recursos per tal de facilitar la tasca de dur aquestes activitats a l’aula. Amb les fitxes elaborades creiem que serà més senzill per al professorat la tasca de guiar l’alumnat en les seves investigacions, per exemple a partir de les produccions dels alumnes que s’hi mostren. Per a aquest article hem seleccionat dos problemes (un de la primera fase, «La torre de divisors», i un de la segona fase, «Un decimal periòdic») que treballen els conceptes de divisió i divisibilitat combinant-los amb la cerca de patrons i generalitzacions per exemplificar dues de les fitxes que es poden trobar en el blog. Pretenem animar el professorat en la tasca, no gens fàcil, de centrar la metodologia d’aula en la resolució de problemes competencials posant l’èmfasi en els processos matemàtics. En el blog trobareu recursos per proposar la resolució de problemes com a nucli de la classe de matemàtiques (López i Riquelme, 2016a) i enllaços a reflexions més enllà dels materials (López i Riquelme, 2016b). A més de la metodologia, l’avaluació també és una part fonamental del procés d’aprenentatge i és per això que les darreres entrades estan focalitzades en l’avaluació competencial. Des del grup de treball continuem treballant per proporcionar més eines que ajudin el professorat en aquesta tasca. Pretenem que el blog sigui una eina dinàmica on anem publicant sovint i per això us animem a seguir-nos.
Bibliografia Burgués, C., Sarramona, J. (2013a). Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic. Identificació i desplegament a l’educació primària. Generalitat de Catalunya. Departament d’Ensenyament. http://ensenyament.gencat.cat/web/.content/home/departament/publicacions/colleccions/ competencies-basiques/primaria/prim-matematic.pdf ´ (2013b). Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic Identificació i desplegament a l’ESO. Generalitat de Catalunya. Departament d’ensenyament. http://ensenyament.gencat.cat/web/.
70 noubiaix 42
content/home/departament/publicacions/colleccions/competencies-basiques/eso/eso-matematic.pdf López, M., Riquelme, C. (2016a). «Banc de recursos per a la resolució de problemes». A: Congrés Català d’Educació Matemàtica (C2EM). Barcelona: FEMCAT, 2016, 1-6. http://c2em.feemcat.org/ esdeveniments/banc-de-recursos-per-a-la-resolucio-de-problemes/ ´ (2016b). «Treballar per competències a partir de la resolució de problemes». Ponència presentada a la XIX Jornada Didàctica de l’ABEAM. Barcelona. http://abeam.feemcat.org/pluginfile.php/1886/mod_resource/content/1/XIXJornadaABEAM_ES_2.3.M.Lopez-C.Riquelme_Barcelona_2016-11-05.pdf
Recursos web CESIRE-CREAMAT (2014). Preguntes que poden servir d’indicadors del nivell de riquesa competencial d’una activitat. http://srvcnpbs.xtec.cat/creamat/joomla/images/stories/documents/indicadors_competencials.pdf ´ (2015). Estratègies per a resoldre problemes. Generalitat de Catalunya. Departament d’Ensenyament. http://srvcnpbs.xtec.cat/creamat/joomla/file/estretegies_per_a_resoldre_problemes.pdf
Generalitat de Catalunya. Departament d’Ensenyament (2015). Currículum educació secundària obligatòria. Àmbit matemàtic (matemàtiques). http://www.xtec.cat/monografics/documents/curriculum/secundaria/annex4.pdf López, M., Riquelme, C. (2015). Banc de Recursos del Fem Matemàtiques. http://bancfm.blogspot.com.es/ PuntMat (2013a). Pràctica productiva i pràctica reproductiva. http://puntmat.blogspot.com.es/ 2013/03/practica-productiva-i-practica.html ´ (2013b). Divisors i pensament exhaustiu. http://puntmat.blogspot.com.es/2013/09/divisorsi-pensament-exhaustiu.html.
juny 2018 71
Quina relació hi ha entre els queviures, la fotografia i l’àlgebra de matrius? Joan Gómez i Urgellés Escola Politècnica Superior d’Enginyeria de Vilanova i la Geltrú Universitat Politècnica de Catalunya
Resum Es proposen dues situacions reals, una relacionada amb el tractament d’imatges i l’altra relacionada amb les compres quotidianes, per tal que els estudiants construeixin models matemàtics. En concret, les situacions tenen per model la diferència de matrius i el producte de matrius, operacions que l’alumnat construeix de manera natural a partir de les situacions plantejades.
Abstract Two real-life situations are proposed: one related to image processing, and the other to everyday purchases, on the basis of which students build mathematical models. More specifically, the situations are modelled on both the difference of matrices and the product of matrices, operations that the students construct naturally from the situations posed.
1. Introducció Es presenta una proposta per a l’ensenyament/aprenentatge d’alguns elements de càlcul matricial a partir de la modelització matemàtica. En concret, s’estableixen situacions quotidianes que tenen per model matemàtic les matrius i les seves operacions. En particular s’exposa com podem construir models per il¨lustrar el concepte de matriu i presentar les operacions bàsiques de la diferència i el producte de matrius. Inicialment es mostra una matriu com a model matemàtic d’una imatge i a partir d’aquest model s’argumenta com la diferència de matrius esdevé un model per comparar imatges. Per a això ens cal disposar de l’eina anomenada Octave, que ens permetrà la recerca del model numèric d’una imatge en blanc i negre, que està representat per una matriu. Posteriorment veurem que el producte de matrius és un model que es pot deduir de manera natural de la situació quotidiana de la compra de queviures. La idea és destacar l’epistemologia del càlcul matricial per reforçar els aspectes cognitius dels estudiants i alhora oferir una visió contextualitzada en la vida real. Això enriqueix l’heurística i visualitza la connexió entre el simbolisme de les matemàtiques (implementat en el model) i les situacions reals.
72 noubiaix 42
L’experiència s’emmarca en el projecte «Desarrollo y evaluación de la competencia en análisis didáctico en la formación inicial de profesores de matemáticas de primaria y de secundaria. Su impacto en el desarrollo de otras competencias» (codi oficial: EDU2015-64646-P), en el marc dels projectes d’I`D del programa estatal de foment de la investigació científica, i hi participen les universitats següents: Universitat de Barcelona, Universidad de Los Lagos (Chile), Universidad Católica de la Santísima Concepción de Chile, Universitat Politècnica de Catalunya, Pontificia Universidad Católica del Perú, Universidad Autónoma de Querétaro (México), Universidad Nacional de Villa María (Argentina).
2. Treballem amb imatges: la diferència de matrius 2. com a model matemàtic
2.1. Una matriu com a model matemàtic d'una imatge en blanc i negre Quan parlem d’imatges, les matemàtiques també tenen un paper important. De fet, tècnicament, cada imatge es pot traduir en una taula de nombres (formalment anomenada matriu). Així, si diem «una imatge formada per m per n píxels», vol dir que es pot representar com una matriu numèrica de m fileres i n columnes, en general amb valors compresos entre 0 i 255 (256 elements). El nombre de píxels es diu resolució. L’obtenció de la matriu numèrica a partir de la imatge es fa mitjançant algoritmes matemàtics força sofisticats i que estan implementats en l’Octave (o en el Matlab ´de pagament´). Així, si diem 15 per 13 píxels, volem dir alguna cosa com ara això:
Si sentim a parlar de 5 megapíxels, vol dir que té 5 milions de píxels, i si llegim que la matriu de píxels és de 640 ˆ 480, vol dir que té 640 columnes i 480 files. Mostrem un cas real. Considerem una fotografia d’un violí:
juny 2018 73
A aquesta imatge del violí li correspon la matriu següent:
Observeu quina meravella de taula numèrica! Fins i tot la densitat i la distribució de números «dibuixen» el perfil de violí considerat. És francament una bellesa! Més endavant s’explica com s’obté el model. De fet, si podem escollir una imatge desada en el nostre ordinador, amb el ratolí situat sobre la imatge i clicant el botó dret i obrint la pestanya que diu «propietats» apareixerà tota la informació relativa a les dimensions de la imatge. Depenent de la qualitat i la resolució, i de l’espai que hi hagi al disc, hi ha diverses maneres de tenir imatges desades i, per tant, trobem els formats .bmp, .tiff, .jpg, etc.
74 noubiaix 42
Per obtenir el model matricial d’una imatge ens caldrà disposar de l’eina Octave. Formalment, l’Octave utilitza internament mètodes numèrics molt sofisticats per obtenir el model matricial. Tot seguit s’explica com es fa.
2.2. Octave: generar la matriu de píxels d'una imatge Octave és un programa informàtic per realitzar càlculs numèrics, és totalment gratuït i està disponible per a Windows, Mac i Linux a la web www.gnu.org/software/octave/. Va aparèixer al voltant de l’any 1988 i va ser creat per alumnes d’Enginyeria Química de la Universitat de Texas i la Universitat de Wisconsin-Madison amb la idea de dissenyar reactors químics. De fet, es va fer com a alternativa al conegut Matlab. Conté una gran quantitat d’eines que permeten resoldre problemes d’àlgebra, càlcul i estadística. A més a més, també és capaç de processar imatges digitals. Destaquem que hi ha una versió d’Octave per a telèfons intel¨ligents (smartphones). Ens fixarem en imatges en blanc i negre, ja que la matriu associada és una taula de números distribuïts únicament en fileres i columnes; les imatges en color serien «una matriu tridimensional», ja que cada color s’obté a partir dels tres colors bàsics, que en anglès es coneixen amb l’acrònim RGB (red, green, blue). Amb el programa Octave podem generar la matriu de píxels de qualsevol imatge. Com? Per aconseguir la matriu de píxels de qualsevol imatge hem seguir els passos que s’indiquen a continuació: 1. Per instal¨lar el programa cal anar a l’enllaç: www.gnu.org/software/octave/ o bé ftp://ftp.gnu.org/gnu/octave/windows/octave-4.0.0_0-installer.exe.
2. Un cop instal¨lat el programa Octave, l’obrim i visualitzem alguna cosa semblant a la pantalla següent:
juny 2018 75
Escollim una imatge que prèviament hem desat al directori i a continuació seleccionem la imatge de la qual ens interessa conèixer la matriu de píxels associada. Recordem que per a això cal desar la imatge en la carpeta que per defecte crea l’Octave; en el cas que ens ocupa la ubicació és: C:zUserszalbbi. De fet, al si de la pantalla que ens mostra l’Octave hem de situar-nos en el directori on hi ha les imatges. Un cop tenim la imatge a la carpeta, s’ha d’introduir en la finestra d’ordres la instrucció següent: image = imread («nom de la imatge.extensió»)
2.3. Experiència de modelització Exposarem una experiència que es va realitzar a l’aula per tal de mostrar la diferència de matrius com a model matemàtic d’una situació de tractament d’imatge. A tall d’exemple, considerem dues imatges diferents en blanc i negre, desades prèviament al nostre ordinador, i les comparem. A l’ordinador les tenim desades amb els noms imatge1.jpg i imatge2.jpg:
Imatge 1
Imatge 2
Les fotografies són aparentment idèntiques, però això no és cert: la segona té un puntet diferent que hem destacat en color groc per tal que sigui visualitzat. Escriurem les línies següents a l’Octave: NomVariable1 = imread(«fotografia1.jpg»);
76 noubiaix 42
Com es pot veure, hem utilitzat I com a nom per a la variable. El que fem amb aquesta línia és guardar en la variable I la imatge 1. El que guardem realment és la matriu de la fotografia 1. Tot seguit escrivim la instrucció NomVariable2 = I2 = imread(«fotografia2.jpg»)
El que fem amb aquesta línia és guardar en la variable I2 la fotografia 2. En executar el programa (clicant la tecla de retorn, enter) després de cada instrucció, la pantalla mostra, respectivament, les matrius com a model matemàtic de cada imatge. S’obté respectivament:
Captura sencera de la matriu que correspon a la imatge 1:
juny 2018 77
I, anàlogament, per a la segona imatge:
Com es pot observar, les diferències entre les imatges queden plasmades en el fet que els valors dels models matricials són diferents. En altres paraules: podem captar les diferències entre imatges efectuant la diferència entre matrius i observant que on hi ha zeros no hi ha canvis i que als llocs on hi ha coeficients diferents de zero vol dir que hi ha canvis.
Per tant, la diferència de matrius seria un model matemàtic per comparar diferències entre imatges.
El model es va implementar a l’aula (en el primer curs d’informàtica a l’Escola Politècnica Superior d’Enginyeria de Vilanova i la Geltrú [EPSEVG]) com un treball en grup realitzat per estudiants procedents de cicles formatius i que en els currículums previs no havien treballat amb matrius, i els quals, tal com mostra la fotografia, el van exposar a la resta de companys.
78 noubiaix 42
El mateix programa Octave permet efectuar la diferència de les matrius obtingudes. Fins i tot es pot fer una selecció de la matriu que ens proporciona l’Octave i «enganxar-la» al full de càlcul d’Excel i efectuar la diferència. En el cas que ens ocupa, seria:
La diferència de matrius és:
juny 2018 79
Es pot observar que la matriu resultant ens indica les posicions de la imatge on hi ha diferències. Un altre exemple curiós és esbrinar les diferències existents entre dos dibuixos extrets de la premsa escrita.
Més detalladament, ens fixem que tenen com a model, respectivament, les matrius numèriques següents:
Notem que les diferències entre les imatges són a la filera 3, columna 10: el 91 es converteix en un 2. També a la filera 21, columna 20, s’observa que el 49 es transforma en un 240. És a dir, si restem les dues matrius, s’obtenen zeros a tot arreu, menys a la filera 3, columna 10, i a la filera 21, columna 20.
80 noubiaix 42
Als estudiants els podem comentar un exemple quotidià en què la diferència de matrius té un paper rellevant en temes de seguretat.
2.4. La diferència de matrius com a model de sistemes de seguretat Podem comparar imatges en funció dels resultats anteriors. Pensem en una hipotètica sèrie de fotogrames (en blanc i negre) captats per càmeres de seguretat dins d’una entitat bancària. Considerem els models de dues imatges consecutives: l’aparell efectua la diferència entre les dues matrius i si s’obté la matriu nul¨la podrem interpretar que no s’ha produït cap moviment, i en aquest cas l’aparell no caldrà que emmagatzemi les imatges associades a les matrius; altrament, voldrà dir que hi ha moviment. D’aquesta manera, la resta de matrius ens mostren si hi ha hagut algun moviment o no a l’entitat. Aquest exemple correspon a una situació simplificada de com treballen les càmeres de seguretat en la vigilància nocturna d’empreses.
3. Anem al mercat: un model del producte de matrius En la situació següent, els alumnes descobreixen de manera natural com es realitza el producte de matrius com a model que relaciona les quantitats de productes adquirits en un mercat i els seus preus, amb les despeses totals efectuades. Farem un estudi senzill per esbrinar quin és el supermercat més econòmic per fer les compres habituals que s’ha escollit entre dues propostes. Efectuem la compra següent dos dies a la setmana, amb els productes i les quantitats que indiquem en el quadre, en dos supermercats diferents (Alcampo i Carrefour): Llom (kg)
Taronges (kg)
Cabdells d’enciam (safata de 3 peces)
1r dia
1
3
1
2n dia
3
2
2
Aquesta taula la podem escriure com: Q“
˜
1 3 1 3 2 2
¸
Calcularem per a cada supermercat: ‚ ‚
quina és la despesa del primer dia. quina és la despesa del segon dia.
Calcularem globalment: ‚
quin és el supermercat més econòmic per cada dia.
Aquestes qüestions es poden plantejar als estudiants per tal que ells facin els càlculs i treguin les conclusions pertinents. A continuació indiquem les dades de cada supermercat:
juny 2018 81
Primer hipermercat
Podem escriure la relació de preus en la taula següent: Alcampo
Llom (kg)
Taronges (kg)
Cabdells d’enciam (safata de 3 peces)
Preu
6,49 e
1,25 e
0,75 e
Carrefour
Llom (kg)
Taronges (kg)
Cabdells d’enciam (safata de 3 peces)
Preu
5,90 e
0,85 e
1,25 e
Segon hipermercat
Càlculs quotidians de les despeses en cada supermercat: ‚
Alcampo 1r dia 2n dia
ñ
ñ
1 ¨ 6,49 ` 3 ¨ 1,25 ` 1 ¨ 0,75 “ 10,00 e 3 ¨ 6,49 ` 2 ¨ 1,25 ` 2 ¨ 0,75 “ 23,47 e
82 noubiaix 42
‚
Carrefour 1r dia
ñ
2n dia
ñ
1 ¨ 5,90 ` 3 ¨ 0,85 ` 1 ¨ 1,25 “ 9,70 e
3 ¨ 5,90 ` 2 ¨ 0,85 ` 2 ¨ 1,25 “ 21,90 e
Matemàticament, ho podem escriure com: ‚
Alcampo 1r dia 2n dia
‚
ñ
ñ
p1, 3, 1q ¨ p6,49, 1,25, 0,75q “ 10,00 e
p3, 2, 2q ¨ p6,49, 1,25, 0,75q “ 23,47 e
Carrefour 1r dia 1r dia
ñ
ñ
p1, 3, 1q ¨ p5,90, 0,85, 1,25q “ 9,70 e
p3, 2, 2q ¨ p5,90, 0,85, 1,25q “ 21,90 e
Notem que el que fem és l’anomenat producte escalar euclidià. Els estudiants han construït de manera natural el producte escalar.
En síntesi: una situació quotidiana com la compra de productes en un mercat té com a model matemàtic el producte escalar euclidià.
Globalment, podem escriure les despeses efectuades en cada supermercat com: Alcampo ˜
131 322
¸
¨
6,49
˛
˚ ‹ ¨ ˝ 1,25 ‚ “
0,75
˜
10,99
˜
9,70
23,47
¸
1r i 2n dia
Carrefour ˜
131 322
¸
¨
5,90
˛
˚ ‹ ¨ ˝ 0,85 ‚ “
1,25
21,90
¸
1r i 2n dia
Notem que el que fem, de manera natural, és construir el producte d’una matriu per un vector columna. Podem agrupar les taules de manera que visualitzem la situació i el model matricial:
juny 2018 83
Q: quantitats de productes Llom (kg)
Taronges (kg)
Cabdells d’enciam (safata de 3 peces)
Primer dia
1
3
1
Segon dia
3
2
2
Q“
˜
1 3 1 3 2 2
¸
P: preus de cada supermercat Alcampo
Llom (kg)
Taronges (kg)
Cabdells d’enciam (safata de 3 peces)
Preu
6,49 e
1,25 e
0,75 e
Carrefour
Llom (kg)
Taronges (kg)
Cabdells d’enciam (safata de 3 peces)
Preu
5,90 e
0,85 e
1,25 e
¨
6,49 5,90
˛
˚ ‹ P “ ˝ 1,25 0,85 ‚
0,75 1,25
D: taula de despeses Alcampo
Carrefour
Despesa primer dia
EUR10,90
9,70 e
Despesa segon dia
23,47 e
21,90 e
D“
˜
10,90
9,70
23,47 21,90
¸
D’aquesta manera podem introduir el que anomenem producte de matrius. El següent model matemàtic relaciona les quantitats (Qq, els preus (Pq i les despeses (Dq: Q¨P “ D
84 noubiaix 42
En síntesi: notem que a partir de relacionar quantitats comprades i preus s’obté de manera natural l’algoritme per multiplicar matrius.
Si tornem a la comparativa inicial dels dos hipermercats, cal dir que, si més no en aquest petit estudi, la cadena de venda de productes més adient és Carrefour. La despesa total al Carrefour representa, a grans trets, un estalvi considerable respecte a la feta a l’Alcampo. Els estudiants que van fer aquesta pràctica van descobrir com es multipliquen matrius de manera natural. D’altra banda, el professor pot plantejar situacions del tipus «si coneixem la matriu de despeses i la de quantitats, quins són els preus...?», i alhora introduir inverses i altres elements de càlcul matricial. Aquests exemples són útils per mostrar que a partir de situacions reals es poden trobar patrons (models) que ens proporcionen informació sobre les situacions plantejades. Òbviament, el lector pot plasmar la implicació de la modelització matemàtica en els currículums acadèmics i, alhora, observar que s’està fent un ensenyament totalment competencial.
juny 2018 85
Discurs d’agraïment (ampliat) llegit a l’acte de lliurament del Premi Crítica Serra d’Or de Recerca Josep Pla i Carrera1
Una de les diferències entre l’estudiós de les humanitats i l’estudiós de les ciències és que el segon no s’aproxima gairebé mai als textos dels seus clàssics i, per tant, els desconeix. Quin goig deu sentir l’estudiós del poeta de Sarrià J. V. Foix davant de textos com el que veiem a la portada del darrere de l’Àlbum Foix [3], amb les correccions que l’autor fa mentre escriu el text i unes altres que fa, posteriorment, amb vermell. Com es deu apropar, després d’una anàlisi acurada d’un grapat de textos com aquest, al pensament literari del poeta! L’any 1972, I. Bernhard Cohen [10] publicava la seva traducció anotada dels Principia d’Isaac Newton (de 974 pàgines). Actualment es considera «la traducció». Hi treballà durant quinze anys amb la col¨laboració d’Anne Whitman. Van analitzar totes les variants conegudes del text i tots els comentaris, inclosos els del mateix Newton. D’aquest convenciment, la necessitat de conèixer els clàssics, sorgeixen les obres premiades perquè, en la matemàtica, en concret, trobem quatre fets remarcables: 1. Els camins per arribar a demostrar un mateix teorema són diversos en èpoques i països diferents. Disposar dels textos permet veure allò que tenen en comú i allò en què difereixen. Com diu Alexandre Koiré: No hi ha res que sigui més instructiu que l’estudi de les demostracions d’un mateix teorema donades per Arquimedes i Cavalieri, Roverbal i Barrow [6, p. 7].
Això és així perquè aquests textos ens enfronten amb estils diferents de fer matemàtica. Com em va sorprendre i colpir, quan tot just feia un parell o tres d’anys que havia acabat la llicenciatura de Matemàtiques a la UB, el llibre Introducción al estilo matemàtico [8], 1. L’acte d’entrega del Premi Crítica Serra d’Or a Josep Pla i Carrera, pels dos primers volums de la seva Historia de la matemàtica [11, 12], se celebrà el 3 de maig de 2017.
86 noubiaix 42
del matemàtic i filòsof Javier de Lorenzo, que, per la voluntat de conèixer-lo de tant com em va frapar aquesta manera de mirar la matemàtica, ha esdevingut un amic i una ànima afí.2 2. Tot problema matemàtic és viu. Tan viu ara com en el moment en què es planteja, perquè és tan vàlid ara com ho era aleshores. Alguns d’aquests problemes o teoremes3 es resolen o es demostren en l’època en què es plantegen. Uns altres, en canvi, es resolen o es demostren molts segles més tard. I n’hi ha que resten sense resoldre. Així, per exemple, el volum d’un tronc de piràmide, en un cas particular, però establert de manera correcta, el trobem resolt al papir de Moscú (aproximadament, 1800 aC). I el problema mesopotàmic de determinar les longituds dels costats d’un rectangle d’àrea i perímetre donats en diverses tauletes (també del 1800 aC).4 A Grècia en trobem de tota mena: el problema pitagòric (segle VI aC) plantejat per la incommensurabilitat de la diagonal d’un quadrat (o d’un pentàgon) el va resoldre Èudox de Cnidos (segle IV aC) al si de l’Acadèmia de Plató. En canvi, el teorema «hi ha infinits nombres perfectes parells», és cert o fals? . No ho sabem! I també resta sense resposta el problema «Hi ha nombres perfectes senars»? No se n’ha trobat cap, però tampoc s’ha pogut demostrar que no n’hi ha cap.5 3. La matemàtica i els seus textos en català són cultura catalana. «Enriquir el parlar dels pares, que és el més dolç per a qui el sap confegir»,6 em va semblar una aportació cultural important de gran volada. I totes les afirmacions matemàtiques ´i també les filosòfiques, les culturals i les històriques´ que es fan en la Història de la matemàtica. Resultats, textos i contextos [11, 12] s’acompanyen de la traducció-adaptació al català dels textos, originals en el cas d’Egipte i Mesopotàmia, doxogràfics en el cas de Grècia. És una mena d’obra que no s’ha realitzat mai en cap llengua, que jo conegui. Dereck Thomas Tom Whiteside va dedicar vint anys de la seva vida (1963-1982) a l’estudi dels manuscrits de Sir Isaac Newton i va publicar vuit volums, en els quals recollia l’obra matemàtica de l’il¨lustre físic anglès i els fruits del seu estudi analític dels textos, a Mathematical Papers of Isaac Newton (1963-1982) [15]. Per altra banda, l’any 1980 Richard S. Westfall va publicar una gran biografia d’Isaac Newton, Never at Rest [14]. De fet, la podem considerar l’obra de la seva vida. Hi dedicà una quinzena d’anys. 4. En ocasions, la matemàtica i la filosofia dialoguen. El volum dedicat a la matemàtica grega uneix coneixements massa vegades plantejats com a antagònics: el pensament 02. I ara, després de la seva jubilació, ha escrit Estilos matemàticos en los inicios del siglo XX [9]. És una manera ben diferent de la que ens ofereixen també dues petites joies: Mirar y ver, de Miguel de Guzmán [5], i The beauty of Doing Mathematics de Serge Lang [7]. 03. Recordem que, a Grècia, s’establí la diferència entre problema i teorema. En els problemes s’ha de mostrar que l’objecte existeix, construint-lo; en els teoremes, s’ha de demostrar que allò que s’afirma és cert. 04. Tots els problemes que s’esmenten són d’un dels dos volums distingits amb el Premi [11, 12]. 05. Stricto sensu, no tenim coneixement que els grecs plantegessin aquestes qüestions concretes. 06. De la nadala de J. V. Foix També vindrem, Infant, a l’hora vella (el Port de la Selva, Nadal de 1948) [4].
juny 2018 87
matemàtic, per un costat, i el pensament filosòfic (metafísic, epistemològic, heurístic i erístic), per l’altre. En moments molt importants de la història del pensament humà, la matemàtica ha anat de bracet d’un pensament més ampli. Uns casos paradigmàtics són l’Acadèmia de Plató i el Liceu d’Aristòtil. És realment molt difícil entendre la matemàtica grega ´tal com ens ha arribat´ sense entendre el context filosòfic en què es desenvolupà. I són precisament els textos els que fan que els coneixements, filosòfics i matemàtics, dialoguin. Disposar-ne ens permet reflexionar sobre aquests vincles i comprendre millor ´des d’un punt de vista més ampli´ la matemàtica de cada moment. Permeteu-me acabar amb un exemple: el de la quadratura del cercle.7 1. Les figures poligonals planes són quadrables, és a dir, podem fer un quadrat amb la mateixa superfície que una d’aquestes figures, amb l’ús exclusiu del regle i el compàs. aq Tota figura poligonal és equivalent a un triangle.
bq Tot triangle és equivalent a un paral¨lelogram.
cq Tot paral¨lelogram és equivalent a un rectangle.
dq Tot rectangle és quadrable.8 2. Què passa, però, amb el cercle?
aq Al papir Rhind (1800 aC) trobem la primera quadratura del cercle de la història de la matemàtica: un cercle de diàmetre 9 unitats de longitud té aproximadament la mateixa superfície que un quadrat de costat 8 unitats de longitud.9 bq A Occident els filòsofs grecs són els primers a plantejar-se la possibilitat de resoldre aquest problema. i. Es diu que ja ho plantejà l’escola pitagòrica, al segle VI aC, però no tenim cap text que ho ratifiqui. ii. En canvi, disposem d’un text de Plutarc del segle II que diu que Anaxàgores de Clazòmenes (de l’època de Pèricles, segle V aC) reflexionà sobre la quadratura del cercle a la presó. iii. Però el text que em sembla rellevant és un fragment de la Física d’Aristòtil en el qual l’estagirita es refereix a dues maneres diferents de resoldre el problema: A. La que havia fet Hipòcrates de Quios (V aC) usant lúnules. B. La dels sofistes Antifont i Brisó (V aC) usant exhaustió.10 El que ens interessa és el que diu el filòsof grec: És feina del geòmetra escatir si el camí que havia usat el geòmetra Hipòcrates de Quios (V aC) és correcte. Però, en canvi, no li correspon analitzar el camí seguit pels sofistes Antifó i Brisó (V aC) ja que li correspon al filòsof. 07. Una breu història de recerca matemàtica i filosòfica. 08. Vegeu Elements, llibre I, proposicions 38 i 42, i llibre II, proposició 14. 09. Problemes 48 i 49 del papir Rhind. Vegeu Clagett [2]. 10. Ens trobem en la situació indicada en la citació de Koiré.
88 noubiaix 42
La raó d’aquesta darrera afirmació és que la solució per exhaustió recorre a l’infinit, que, per la seva naturalesa, és competència dels filòsofs, i no dels geòmetres. Això és, al meu entendre, el que ha de fer una història de la matemàtica i és el que hem mirat de fer en aquest projecte de l’Institut d’Estudis Catalans dirigit per l’amiga Dra. Pilar Bayer. I és el que ha merescut la distinció que m’heu atorgat i que vull agrair de tot cor. Gràcies.
Referències [1] BRACKENBRIDGE, J. B. (2000). «Book Review: Isaac Newton: Mathematical Principles of Natural Philosophy». 3rd Edition (1726). The British Journal for the History of Science, 33(2), 249-252. És un review de la nova traducció dels Principia feta per I. Bernard Cohen i Anne Whitman, amb un suplement d’I. Bernard Cohen. [2] CLAGETT, M. (1999). Ancient Egyptian Science. A Source Book. Volum 3, Ancient Egyptian Mathematics. American Philosophical Society. Filadèlfia, Pennsilvània, Estats Units [3] FOIX, J. V. (1990). Àlbum Foix. Una successió d’instants. Quaderns Crema, Barcelona. [4] FOIX, J. V. (1960). Onze Nadales i un cap d’any. Quaderns Crema, Barcelona. El 2017 se’n feu una edició excel¨lent i meravellosa. [5] GUZMÁN, M. (2004). Mirar y ver: nueve ensayos de geometría intuitiva. Nivola, Madrid. Edició revisada del llibre publicat el 1976. [6] KOYRÉ, A. (1973). Études d’histoire de la pensée scientifique. Éditions Gallimard, París. Traducció castellana d’E. Pérez i E. Bustos, Estudios de Historia del pensamiento científico. Siglo XXI editores, Madrid, 1983. [7] LANG, S. (1992). Serge Lang faits de Maths en public: 3 debats au Palais de la Découverte. 1984. Traducció de P. J. Sals, El placer estético de las matemáticas, Alianza, Madrid. Traducció italiana de M. Gherardelli, La Bellezza della Matematica, ampliada amb una segona part, Dialoghi con Studenti di Scuola Secondaria. Bollati Boriangheri, Torí. [8] LORENZO, J. (1971). Introducción al estilo matematico. Tecnos, Madrid. [9] LORENZO, J. (2014). Estilos matemáticos en los inicios del siglo XX. Nivola, Madrid. [10] NEWTON, I. (1999). The Principia: mathematical principles of natural philosophy. 1687. Vegeu-ne una nova traducció d’Anne Whitman, assistida per Julia Budenz, i precedida d’una guia, a Newton Pricipia d’I. Bernard Cohen. University of California Press, Berkeley. [11] PLA CARRERA, J. (2016). (Història de la matemàtica: Egipte i Mesopotàmia. Resultats, textos i contextos. Institut d’Estudis Catalans, Barcelona. [12] PLA CARRERA, J. (2016). Història de la matemàtica: Grècia (de Tales i Pitàgores a Plató i Aristòtil). Resultats, textos i contextos. Institut d’Estudis Catalans, Barcelona. [13] PLA CARRERA, J. (2018). Història de la matemàtica: Grècia IIa. Elements d’Euclides, llibres I, II, III, IV, V, VI. Institut d’Estudis Catalans, Barcelona. [14] WESTFALL, R. S. (1994). Never at Rest: A biography of Isaac Newton. Cambridge University Press. [15] WHITESIDE, D. T. (1967-1981). Mathematical Papers of Isaac Newton. Cambridge University Press.
juny 2018 87
seccions seccions
cions
construint 90 90 noubiaix noubiaix4242
juliol 2017 73
construint matemàtiques
Experiències i emocions en educació matemàtica Anton Aubanell
Experiències Seria discutible si la matemàtica és o no una ciència experimental, però sembla evident que l’educació matemàtica ha de tenir un important component d’experimentació. Henri Poincaré deia: Només hi ha dos mètodes per ensenyar fraccions: tallar, encara que sigui mentalment, un pastís, o fer-ho amb una poma. Amb qualsevol altre mètode d’ensenyament els escolars prefereixen sumar numeradors amb numeradors i denominadors amb denominadors.
Vaig conèixer aquesta frase a partir d’una citació de Vladimir Igorevitx Arnold inclosa en una conferència publicada al Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques1 on defensava obertament el vessant experimental de la matemàtica. Ni Poincaré ni Arnold són gens sospitosos de cap frivolitat matemàtica. No hi ha dubte que l’educació matemàtica ha d’aconseguir que l’alumne assoleixi capacitat d’abstracció i un cert domini del llenguatge formal, especialment els alumnes que desitgin prosseguir estudis científics o tecnològics. Tanmateix, el camí per arribar a aquests objectius ha de partir de l’experiència més concreta sense voler assolir des del primer dia allò que caldrà dominar l’últim i que s’haurà d’anar coent a poc a poc. Puig Adam, en el seu decàleg (1955), recomana «graduar acuradament els plans d’abstracció» i Aristòtil, a De Anima, diu que «res no hi ha en l’intel¨lecte que no hagi estat abans en els sentits». Una bona activitat d’experimentació pot ajudar-nos a avançar en el camí vers l’abstracció i el coneixement matemàtic profund perquè planteja preguntes no sempre trivials, perquè mostra la presència d’estructures matemàtiques en el que ens envolta, perquè convida a crear models generals, perquè posa de manifest la necessitat d’emprar eines matemàtiques... No és el mateix explicar una idea a la pissarra que fer-la evident des de l’experiència viscuda. 1. «Models matemàtics durs i models matemàtics tous». Conferència pronunciada el 25 de setembre de 1997 i publicada al Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques, vol. 13, núm. 1(1998), pàg. 7-26.
juny 2018 91
Un bonic exemple d’això és l’activitat següent, que vaig conèixer, en primer lloc, a partir de la Núria Guitart, mestra de l’Escola Guilleries, de Sant Hilari Sacalm,2 i després a través de Dan Meyer.3 Emma Castelnuovo, en el llibre Matematica Nella Realtà (p. 36 i 37) i en el llibre Documenti di un’Esposizione di Matematica (p. 74 i 75), explica una experiència molt semblant citant l’obra de Galileo Galilei (1638) Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze. La proposta també es pot relacionar amb l’activitat «Parallelepipedi di uguale superficie laterale» del llibre ja esmentat Matematica Nella Realtà (p. 25). En el nostre cas es fa un plantejament una mica diferent que es descriu tot seguit. Prenem dos fulls DIN A4, amb els quals volem construir dos cilindres sense tapes. Amb un full fem el cilindre unint amb cinta adhesiva els dos costats llargs del full i, amb l’altre, unint els dos costats curts. Vegeu la imatge 1. Els dos cilindres tenen la mateixa àrea lateral, però ¿tenen el mateix volum? ‚ Serà bo convidar els alumnes a pensar-hi i fer les seves conjectures argumentades. Normalment hi ha opinions diverses, però la majoria opten per suposar que els dos cilindres tenen el mateix volum. ‚ Després posem el cilindre gruixut sobre un plat i el cilindre prim dins del gruixut. ‚ Emplenem el cilindre prim amb mill fins dalt de tot i l’enrasem. ‚ Finalment, subjectem bé el cilindre gruixut al plat (inicialment l’enganxàvem amb cinta adhesiva, però si es va amb cura no cal fer-ho i queda més natural) i, prenent el cilindre prim amb dos dits, l’anem tirant amunt tot deixant que el mill que conté vagi sortint per la part inferior i vagi emplenant el cilindre gruixut. ‚
Imatge 1. Seqüència d’imatges que descriu l’activitat de comparació dels volums de dos cilindres amb la mateixa àrea lateral fets amb fulls DIN A4. 2. http://apliense.xtec.cat/arc/node/743. 3. www.youtube.com/watch?v=mH0QLSffq0c.
92 noubiaix 42
Observarem que l’alçada que assoleix el mill és molt inferior en el cilindre gruixut i descobrim així (cosa que sorprèn a molts alumnes!) que aquest cilindre té molt més volum que el prim. ‚ Si volem, depenent del curs, podem repetir l’experiència amb altres mides de fulls i deduir alguna regularitat en els resultats. ‚ A partir d’aquí, convé posar paraules a la nostra descoberta i treure’n el major profit didàctic, atès el nivell en què es faci l’experiència:
‚
´ Observem que la igualtat d’àrees laterals no implica igualtat de volums: una idea ben rellevant que trenca alguns preconceptes arrelats fins i tot en persones adultes. ´ Ho comparem amb el cordill de l’Emma Castelnuovo, una de les activitats més destacades de l’admirada professora italiana, que feia simplement amb un cordill lligat sobre si mateix amb el qual s’anaven formant diferents rectangles (naturalment, tots amb el mateix perímetre) que tenien diferents àrees (des d’àrea zero, quan el fil s’estira al màxim, fins a l’àrea d’un quadrat). L’analogia és clara: la igualtat de perímetres no implica igualtat d’àrees; és el mateix que hem observat amb els cilindres, però en una dimensió menys. Vegeu la imatge 2.
Imatge 2. Rectangles amb el perímetre igual i diferents àrees.
´ En els cursos avançats podem justificar-ho i parlar del fet que el volum d’un cilindre depèn linealment de l’altura i quadràticament del radi, de manera que, si volem aconseguir volums grans, ens convé més «invertir» en radi que en altura.
L’experiència és molt concreta, però les lectures que se’n deriven són d’ampli abast i gens superficials. En la línia del que hem comentat abans, observem que a partir de l’experimentació podem treballar idees matemàtiques de fons que poden contribuir a crear models abstractes de manera més eficient que una explicació clàssica. En una activitat com la que acabem de descriure s’observen molt bé els passos que ja han estat comentats en escrits anteriors d’aquesta secció: conjecturem (què passarà si...?), experimentem (mans a l’obra!), descobrim (l’esclat de la sorpresa!), conceptuem (posem paraules a l’experiència!) i, finalment, formalitzem i/o demostrem (si cal, atès el perfil de l’alumnat). Es tracta d’una seqüència didàcticament molt rica quan portem a terme activitats d’experimentació. Amb l’expressió «activitats d’experimentació» ens referim a les activitats que es desenvolupen entorn de materials manipulables o eines tecnològiques (com el GeoGebra o els fulls de càlcul). Tanmateix, cal distingir el material de l’activitat que li dona vida a l’aula. Un mateix material pot utilitzar-se en activitats diferents per respondre a propòsits didàctics específics. A continuació presentem exemples d’activitats diverses construïdes a partir de dos materials ben quotidians:
juny 2018 93
‚
Una llauna de conserves amb forma el¨líptica, calcant-la en un paper, ens permet determinar (aproximadament) els eixos de l’el¨lipse; a partir d’aquests, amb un compàs podem situar els focus i, finalment, comprovar, per a diferents punts, la condició mètrica que defineix l’el¨lipse. Fa anys un professor participant en una formació ens va fer observar que, en molts casos, en el disseny de la llauna es prenen els eixos de l’el¨lipse de manera que pugui inscriure’s en un rectangle auri. La imatge 3 presenta una petita construcció per mostrar aquest fet curiós.
Imatge 3. Una llauna de conserves el¨líptica inscrita en un rectangle auri. ‚
Un llapis com el de la imatge 4 és un material que pot utilitzar-se en activitats diverses. Així, per exemple, en l’educació infantil podem preguntar-nos si és més llarg o més curt que un altre objecte donat, més endavant potser el farem servir per identificar els cossos geomètrics que el formen (un prisma i un con) i potser en algun moment ens pot interessar mesurar-lo i calcular-ne el volum. Al batxillerat podem observar que les corbes que es produeixen entorn del con de la punta són branques d’hipèrbola, ja que resulten de la intersecció entre els plans de les respectives cares laterals i el con final. Vegeu la imatge 4.
Imatge 4. Branques d’hipèrbola resultants de la intersecció entre el con de la punta d’un llapis i les seves cares laterals.
Els dos exemples anteriors evidencien la fèrtil complementarietat entre recursos materials i eines tecnològiques (les construccions s’han fet amb GeoGebra) i mostren com es poden generar activitats molt riques a partir d’objectes ben quotidians. És la mirada professional del docent la que és capaç de crear bones activitats a partir de materials, a vegades, insospitats. En aquesta «conversa» entre el mestre i el material per crear l’activitat, cal tenir sempre en compte dos aspectes:
94 noubiaix 42
El contingut matemàtic que podem tractar, la càrrega de coneixement que aporta. Si no hi ha contingut, l’activitat és buida i es pot convertir en focs d’artifici. ‚ La capacitat motivadora que té, el seu poder per captar i mantenir l’interès de l’alumne, sense el qual es compromet la transmissió del missatge.
‚
Aquest procés en què el professor o la professora «descobreix» un material o una aplicació TIC i crea una activitat per ajudar els seus alumnes a construir idees matemàtiques, té alguna cosa de màgica, molt d’emocionant i és un dels millors exercicis per mantenir-nos professionalment joves.
Emocions Tota experiència d’ensenyament i d’aprenentatge està amarada d’emocions. Professors i alumnes vivim emocions diverses que no per ser intangibles o dissimulades són menys reals i rellevants per entendre la relació educativa que construïm cada dia. Hem de reconèixer que els docents, afortunadament, som molt vulnerables respecte del retorn que rebem dels nostres alumnes! Convé que no ens quedem només amb l’actitud de desinterès o fins i tot de menyspreu d’un alumne concret i que valorem les coses bones que ens passen a classe: l’atenció de molts altres alumnes, una mirada agraïda, un «ara ho he entès!», un somriure... Més en general, hauríem de procurar compartir entre nosaltres (especialment amb els companys i les companyes del propi centre) les emocions positives, perquè s’encomanen! El professorat de matemàtiques a casa nostra tenim la sort de gaudir de moltes oportunitats per compartir idees i sentiments, disposem d’un teixit associatiu excepcionalment ric i d’abundants iniciatives (xarxes virtuals, jornades, congressos...) que, a banda d’aportar coneixement, ens fan sentir més acompanyats en la nostra tasca. En l’ofici d’ensenyar és clau ser conscient de les emocions dels alumnes i tenir-les en compte. L’any 1993 el professor Jean Therer de la Universitat de Lieja va publicar, en forma de decàleg, la Declaració de drets de l’aprenent. Alguns d’aquests «drets» estan relacionats amb les emocions: Tothom té dret a aprendre amb gust. Tothom té dret a aprendre al seu propi ritme i a prendre’s el seu temps. ‚ Tothom té dret a equivocar-se, a errar una experiència, en una situació d’aprenentatge. ‚ Tothom té dret a expressar els seus sentiments i les seves emocions en el decurs d’una situació de formació. ‚ ‚
Com a docents, podem contribuir a crear emocions positives en les nostres classes a través de la gestió adequada del temps, de l’error, de l’èxit, de la cooperació... El temps escolar és un bé limitat que hem d’emprar no per fer moltes coses, sinó per fer-les molt bé en un ambient serè que convidi a fer-se preguntes, a raonar, a enfrontar reptes, a crear converses matemàtiques interessants, a construir idees... A cada classe, un grapat de joves posen a les nostres mans una hora del seu temps (un «microsegle», deia Von Neumann), i hauríem d’aconseguir que sempre s’emportessin alguna cosa a la motxilla.
juny 2018 95
Hi ha alumnes que, al llarg dels anys, han tingut una relació amb les matemàtiques feta tan sols d’errors, de manera que, a poc a poc, han anat interioritzant la creença que s’expressa en la frase «jo no serveixo per a les matemàtiques», que hem sentit a dir tantes vegades a nois i noies que encara haurien de veure obertes davant seu, de bat a bat, totes les portes de la vida. Ens ho podem permetre? Tant de bo encertéssim a fer una gestió no devaluadora de l’error, que invités a millorar i que sempre posés en valor algun aspecte positiu, per petit que fos. La cooperació entre alumnes pot ser útil en aquest sentit i pot resultar molt estimulant per ajudar a superar dificultats matemàtiques. En si mateix, el treball en equip té un component emocional molt potent. En la XX Jornada Didàctica Matemàtica de l’ABEAM, que tingué lloc la tardor passada, amb el lema «Emocionar per aprendre i ensenyar matemàtiques» el Cúbic, Grup de Didàctica de la Facultat de Matemàtiques i Informàtica de la UB va convidar els participants a portar a terme «en gran» el role-play de coordenades que descrivíem en aquesta secció del darrer número del NouBiaix. Cent participants, cadascun amb un bonic paraigües blau, es van situar en una quadrícula de 10 ˆ 10 dibuixada prèviament al terra. Es van assignar coordenades i es va convidar a obrir el paraigües els participants les coordenades dels quals complissin certes condicions algebraiques (equacions i inequacions lineals amb dues incògnites). Les formes que anaven apareixent eren enregistrades per un dron i van ser projectades després a l’aula.4 Vegeu la imatge 5.
Imatge 5. Quatre fotografies de l’enregistrament realitzat des d’un dron del role-play de coordenades portat a terme en la XX Jornada Didàctica Matemàtica de l’ABEAM. 4. El control del dron i l’enregistrament van ser realitzats per Guillermo Barguñó.
96 noubiaix 42
Molts de nosaltres ens vam emocionar primer fent-ho i després veient-ho. Bona part d’aquest sentiment provenia del treball col¨lectiu ben fet, de l’objectiu acomplert entre tots i totes, de l’èxit conjunt en forma de boniques imatges derivades de condicions algebraiques! Hem de ser provocadors d’èxits matemàtics en els nostres alumnes perquè res és més motivador que l’èxit. De diverses maneres, amb diversos graus de profunditat, tothom pot fer coses en matemàtiques bàsiques i tot alumne, tota alumna, hauria de sentir que creiem en les seves possibilitats i hauria de gaudir dels seus minuts de glòria matemàtica. Hauríem de procurar que els alumnes assaborissin les emocions genuïnes de la matemàtica seleccionant bons reptes, fent bones preguntes, donant-los temps, guardant silenci... Després ja serà la mateixa matemàtica qui farà la feina! Allò de la matemàtica que ens va seduir a nosaltres (la solidesa dels seus raonaments, la seva bellesa formal, les seves aplicacions, el plaer íntim d’assolir la solució d’un bon problema, la suau satisfacció d’entendre una idea...) també pot seduir a molts dels nostres alumnes. Tot llegint un poema de Goethe que, en la traducció de Joan Maragall (1910), s’inicia amb el vers «Si vols una bona vida...», vaig pensar que intentaria fer un poema amb una estructura semblant i que resumís algunes de les idees que he expressat en aquest escrit. Tinc la gosadia de transcriure’l tot comptant amb la benevolència del lector, que espero que l’accepti més com a resultat de la meva emoció que de la meva perícia: Si vols ser feliç ensenyant no et planyis mai del passat. Comença sempre la classe pensant que tot és possible. Intenta que cada concepte tingui sentit i emoció. Procura que cada moment porti quelcom especial. Complau-te en allò que ensenyes i valora el que l’alumne fa. Creu que tothom pot aprendre i deixa que la bella matemàtica faci encara més que tu.
Tant de bo aconseguim que els nostres alumnes tinguin un munt d’experiències emocionants construint matemàtiques!
creamat
juny juny2018 2018 97 97
116 noubiaix 39
el racó del cesire-creamat
Matemàtiques i impressió en 3D
De mica en mica, les impressores en 3D comencen a entrar als centres. Com altres eines tecnològiques, sovint arriben sense un acompanyament clar sobre el seu ús educatiu i poden acabar arraconades perquè no se sap ben bé què es pot fer amb elles. Per altra banda, són aparells que funcionen amb un material fungible relativament car, són delicades pel que fa al manteniment, lentes en la impressió... I, per acabar-ho d’adobar, la impressió no és directa, com en el cas de la impressió en paper, i calen programaris intermedis. Significa tot això que són una mala inversió? La resposta és que no... si se’n fa un ús racional i pedagògic. Perquè, entre altres coses, les impressores en 3D ens permeten fer objectes o prototips amb una qualitat més que digna i amb una precisió de mesura difícil d’obtenir amb altres tipus de materials. Mirem, com a exemple, un parell de situacions en les quals la impressió en 3D ens pot ser de gran ajuda.
‚
Imaginem que estem treballant la proporcionalitat geomètrica a partir de la realització de mesures indirectes. Una de les possibilitats és construir una ballestina, també coneguda com a pal de Jacob, un estri format per dos pals en forma de creu que, ja al segle xiii, es feia servir per a la navegació i el càlcul de mesures. És molt interessant, per exemple, quan s’han de fer mesures de peu inaccessible, com seria el cas de mesurar l’altura d’una torre que està a l’altre costat d’un riu. Podeu veure el mètode en aquest
98 noubiaix 42
enllaç: https://goo.gl/Tq81Xn. En la ballestina un dels braços de la creu s’ha de poder moure sobre l’altre. La impressora en 3D ens permet dissenyar una peça, ben ajustada a la mida de les fustes, que faciliti aquest moviment. ‚
Hi ha materials que són difícils d’obtenir perquè no estan comercialitzats o perquè, si ho estan, són força cars. Una manera d’obtenir-los és mitjançant una impressora en 3D. En el cas dels materials comercialitzats, haurem de mirar si serà realment més econòmic fer-los amb la impressora. No té sentit, per exemple, fer geoplans quadrats tradicionals amb una impressora en 3D, ja que els podem comprar a preus raonables. El con d’Apol¨loni, en canvi, pot ser un exemple clar de material costós en fusta i ajustat de preu si es fa amb una impressora en 3D.
Con d’Apol¨ loni. ‚
Una altra qüestió és la seva utilitat per complementar materials. A l’article «Materials per a construir mosaics... i matemàtiques!», d’Anton Aubanell (Nou Biaix, núm. 36, https://goo.gl/kCDutC), es parla d’un mosaic que va estudiar Puig Adam i que consta de dos tipus de peces: triangles rectangles isòsceles i rombes de 135˝ i 45˝ .
juny 2018 99
Aquest material es pot combinar amb un altre material comercialitzat com ara els Pattern Blocks, altres tipus de peces, totes amb el mateix costat (triangle equilàter, quadrat, hexàgon regular i dos rombes de 30˝ i 60˝ com a angles aguts i 120˝ com a angle obtús). No trobarem cap objecte a la venda que combini les peces dels dos materials, però amb la impressora en 3D no és difícil obtenir un conjunt de peces del mosaic de Puig Adam que tinguin un costat idèntic a les dels Pattern Blocks. Combinar els dos tipus de peces obre noves possibilitats. Per exemple, amb els Pattern Blocks podem obtenir dodecàgons regulars, però no octògons. Amb les peces de Puig Adam, o combinant els dos materials, sí que és possible. A més, podem obtenir octògons de diferents mides.
Cal tenir en consideració també que existeixen molts repositoris d’objectes ja predissenyats que podem descarregar directament per portar-los a les nostres impressores. Vegeu els recollits al web Thingiverse (https://goo.gl/QVy7pn). Són bancs d’objectes als quals també podem aportar els nostres dissenys.
El més important: dissenyar Quedar-nos només amb un ús «reproductor» de la impressora seria autolimitar-se molt. De fet, el que considerem més enriquidor i el que fa realment interessant la presència d’aquesta tecnologia als centres és que siguin els alumnes els que dissenyin els materials que s’han d’imprimir. Un cicle complet de creació d’un objecte implica diferents fases següents. ‚ ‚
Detecció d’una necessitat Cerca d’una solució
100 noubiaix 42
Definició de l’objecte que s’ha de construir Predisseny basat en l’anàlisi de l’objecte ‚ Disseny amb un programari adient ‚ Impressió ‚ Test ‚ Si cal, postproducció (polir, pintar...) ‚
‚
No sempre caldrà fer tot el procés, ja que els objectes que s’han d’imprimir poden ser prou senzills o fàcils d’analitzar i a vegades només caldrà fer adaptacions. Durant el curs 2016-2017 des del CESIRE-CREAMAT vam estudiar diferents possibilitats de treball en aquesta línia i vam arribar a fabricar una petita col¨lecció d’objectes que s’han anat presentant en diferents jornades educatives (APMCM, ACG, ABEAM...). En l’exposició s’han pogut veure compassos auris, diferents tipus de trencaclosques, fractals plans i en volum, poliedres estrellats, tessel¨lacions planes i de l’espai, etc. I tots els objectes, acompanyats de fitxes de treball a l’aula. L’exploració pràctica feta s’ha orientat també a veure les característiques de diferents programes de disseny en 3D per valorar les possibilitats que cadascun ofereix. A més, s’ha experimentat amb diferents tipus d’impressores i materials d’impressió, i s’han fet proves amb diversos tipus de pintura que milloren l’acabat dels objectes. En aquest últim apartat hem rebut l’ajut d’Ester Forné, de l’àmbit de visual i plàstica del CESIRE. També s’ha indagat l’ús de GeoGebra per a la seva conversió posterior en objectes en 3D imprimibles. Però el que més ens ha interessat, per sobre de tot, ha estat estudiar els possibles usos didàctics de les impressores.
Durant el curs 2017-2018 hem començat a publicar al web del CESIRE-CREAMAT un seguit de propostes, algunes basades en els objectes creats durant el curs anterior i altres basades en objectes nous.. Abans de comentar-les, però, cal esmentar també un altre treball publicat,
juny 2018 101
aquest cop al web del CESIRE: 2D Ø3D´Tecnologies creatives (Idees per a educació primària) (https://goo.gl/RkhQs9). En aquest document es fan diferents propostes de treball previ o complementari al disseny en 3D. Es parteix de la base que el disseny en ordinador es fa sempre en dues dimensions, per molt que puguem girar els objectes virtualment i canviar la seva visualització. Per tant, el treball d’interpretació tridimensional de representacions bidimensionals i, a la inversa, el treball de representació en dues dimensions d’objectes de tres, mereixen un tractament didàctic específic. Entre les propostes que es tracten hi ha activitats amb figures impossibles, dibuix en perspectiva mitjançant trames isomètriques, interpretació d’estructures fetes amb multilink, representació per vistes o la investigació de les seccions i els truncaments de poliedres.
Quants cubs té aquesta construcció?
La campanya «Impressió 3D i matemàtiques» En aquesta campanya (https://goo.gl/vHXfL1), a més de compartir les idees i els projectes en què hem estat treballant, hi ha petits tutorials d’alguns dels programes que es fan servir, exposats de manera especialment detallada en el cas dels més senzills, com ara el Tinkercad (www.tinkercad.com), que és utilitzable a educació primària. A més, es proposen activitats per realitzar a l’aula, així com possibles ampliacions. També es poden descarregar tots els dissenys directament per imprimir-los. En el moment d’escriure aquest article ja tenim sis propostes publicades: ‚
‚
El cub soma. És una de les construccions més senzilles per iniciar-se en la impressió en 3D i es pot realitzar fàcilment amb Tinkercad. A més del soma, es presenten altres puzles cúbics com el cub-7, el cub diabòlic, l’O’berine o el de Bedlam. Les activitats amb soma van des de la resolució de diferents figures fins a l’estudi de com anotar les solucions trobades. Jocs de blocs lliscants. Es presenten diferents problemes de blocs lliscants i se centren en un de particular, el Dad’s puzle. S’explica com s’ha de dissenyar el joc i, sobretot, la caixa que l’ha de contenir, ja que en aquest tipus de trencaclosques això facilita molt la seva manipulació.
102 noubiaix 42
‚
‚
‚
‚
El tangram de vuit elements. És un tangram de vuit peces que s’obtenen de la dissecció d’un triangle equilàter feta de tal manera que si s’agafa com a unitat d’àrea la peça més petita (que també és un triangle equilàter), les àrees de les set peces restants són creixents d’una unitat en una unitat. La particularitat d’aquesta proposta, que s’acompanya d’altres tangrams, és que s’hi explica com fer la construcció amb GeoGebra, per millorar la precisió de la construcció de cadascuna de les peces, i com convertir aquest disseny geomètric en un format imprimible. Quadrats geomàgics. Són quadrats màgics de formes. Amb les peces situades a les columnes, files i diagonals es pot aconseguir una mateixa figura. En la de la imatge que posem d’exemple es pot aconseguir sempre un rectangle de 3 ˆ 5. És una proposta de disseny en 3D que es pot fer amb els mateixos programes que les propostes anteriors.
Talls i seccions d’un cub i un tetraedre. S’introdueix l’ús del programa Sketchup per dissenyar el tall d’un cub en una secció hexagonal, la divisió del cub en tres piràmides iguals i la secció quadrada d’un tetraedre. El cub encadellat i el tap triple. S’utilitza el mateix programa anterior per dissenyar objectes que no es troben comercialitzats i que es poden tenir com a models a l’aula o al laboratori de matemàtiques. S’explica com fabricar dos objectes aparentment impossibles: un cub fet de dues peces encadellades amb un encaix inversemblant i un tap «universal» que pot obturar tres forats de formes ben diferents (quadrat, cercle i triangle).
Com en les altres campanyes anteriors (Geometria, Estadística i Investigacions), l’objectiu és anar afegint progressivament més propostes. A més de presentar els materials que fins ara s’han anat elaborant, continuarem explicant altres programes de disseny en 3D, com l’OpenSCad o GeoGebra 3D, i donarem a conèixer alguns repositoris de materials.
associacions 110 noubiaix 39
juny 2018 juny 2018103 103
l’espai de les associacions
Desè aniversari de l’Associació Catalana de GeoGebra. Divulgació d’una eina imprescindible Pep Bujosa (ACG)
Enguany es compleix el desè aniversari de la creació de l’Associació Catalana de GeoGebra. Un grup de professors de secundària i d’universitat vam decidir el 2008 respondre a la crida feta per Markus Hohenwarter, autor del programa GeoGebra, per tal que els usuaris s’associessin per territoris i aquestes associacions passessin a formar part de l’International Geogebra Institute (IGI). D’aquesta manera vam constituir l’Associació Catalana de Geogebra (ACG), la vam registrar i vam demanar el seu reconeixement com a seu catalana de l’IGI, cosa que se’ns va concedir. L’ACG té com a objectius i així consta en els seus estatuts: Potenciar projectes de recerca, el seguiment d’experiències i la divulgació de continguts Crear, recopilar, adaptar i traduir material didàctic ‚ Fomentar activitats de formació i impulsar-ne el reconeixement dins del Pla de Formació del Departament d’Educació ‚ Desenvolupar una estructura de suport al professorat ‚ Impulsar el disseny del GeoGebra mitjançant propostes de millora ‚
‚
Com va començar tot? El GeoGebra va néixer l’any 2002 com a part del projecte de la tesi doctoral de Markus Hohenwarter a la Universitat de Salzburg.
104 noubiaix 42
En aquells moment existien programes CAS (computer algebra systems), com el Derive i el Mathematica, i programes DGS (dynamic geometry software), com el Cabri, el Cinderella, l’Euklid Dynageo, el Geometer’s Sketchpad, el Geonext i el Ruler and Compass. Per altra banda, les calculadores TI-92 ja incorporaven aplicacions amb els dos tipus de programari, però amb poca qualitat visual. A partir d’aquesta realitat i davant les mancances que veia en tot aquest programari, en Markus crea un programa per a l’aprenentatge de les matemàtiques (inicialment, sobretot la geometria) que reuneix els avantatges dels diferents sistemes, que connecta en tots dos sentits la part algebraica i la part gràfica o geomètrica dels objectes matemàtics i que té una presentació i una notació prou clares perquè l’alumnat el pugui fer servir ràpidament. A tots aquests avantatges hi hem d’afegir la característica que és un programari lliure. Aquesta primera versió va aparèixer al gener del 2002 i tenia aquest aspecte:
Imatge treta de la tesi doctoral.
juny 2018 105
En aquesta primera versió observem que: És, sobretot, de geometria. Hi ha una relació biunívoca entre la finestra gràfica i l’algebraica. ‚ Només s’hi poden entrar funcions polinòmiques de primer i segon graus i còniques. ‚ S’hi pot operar amb vectors. ‚ No s’hi poden introduir textos. ‚ No hi ha graella. Els eixos són molt simples. ‚ No hi ha l’eina segment. ‚ No hi ha l’eina polígon. ‚ Dona molta importància a les còniques. ‚ Hi ha incorporada l’eina de relació entre objectes. ‚ Els idiomes disponibles són l’anglès i l’alemany. ‚ ‚
Després de diverses actualitzacions, el gener del 2004 apareix la versió 2.0, que presenta una gran millora en tot. Hi apareixen les gràfiques de funcions, les derivades i les integrals.
I a Catalunya, què? En aquell temps, l’any 2004, el programa era desconegut a Catalunya, tret de molt poques excepcions. En relació amb les matemàtiques, en els catàlegs de formació del Departament d’Ensenyament/Educació d’aquests anys hi trobem:
106 noubiaix 42
Anys 2003 i 2004 Aplicacions educatives del full de càlcul en l’entorn Excel Desenvolupament d’activitats en l’entorn Clic ‚ Estadística amb Excel ‚ Geometria amb Cabri-Géomètre-II (Windows) ‚ Ús de la calculadora Wiris com a recurs didàctic ‚ ‚
Aquesta era la formació oficial. En els diferents instituts de ciències de l’educació (ICE), el Derive també era un programa que es feia servir, i menys el Mathematica. Per tant, a part d’aquests, els programes més emprats per a l’ensenyament de les matemàtiques eren la Wiris, el Clic i l’Excel. Fixeu-vos que aquests programes no eren lliures. Tot i així, des del Departament es comença a apostar pel Linnux i per l’ofimàtica lliure. També s’ha de remarcar que és el moment de la creació i el desenvolupament dels Quaderns Virtuals, que també aporten aplicacions puntuals a l’ensenyament de les matemàtiques. Any 2005 Curs de full de càlcul avançat Desenvolupament d’activitats educatives en l’entorn JClic ‚ Estadística amb el full de càlcul ‚ Geometria amb Cabri-Géomètre-II ‚ Internet i les matemàtiques a primària ‚ Internet i les matemàtiques a secundària ‚ Introducció al full de càlcul ‚ La calculadora Wiris com a recurs didàctic ‚ ‚
A part dels retocs i les reconfiguracions dels cursos anteriors, apareixen dos cursos específics de matemàtiques a primària i a secundària. Aquests dos cursos són molt innovadors perquè recullen tot tipus de materials i d’activitats accessibles per Internet, però sense cap referència al GeoGebra, que ja es coneix a altres llocs fora de Catalunya. Així doncs, puc afirmar sense por d’equivocar-me que el començament del coneixement col¨lectiu i, més endavant, massiu del GeoGebra al nostre país va començar als despatxos de l’antiga Subdirecció General de Tecnologies de la Informació (SGTI) cap al mes d’abril del 2005. En aquells moments hi havia un interès creixent en el programari lliure i un debat sobre la implantació d’aquest programari als centres d’ensenyament catalans. En aquest context, Santi Manrique ens va demanar a Jaume Bartrolí i a mi que cerquéssim programes de matemàtiques d’aquestes característiques. Després d’un temps de recerca i de rebuig de diferents aplicacions, vam quedar-nos amb dos programes: Geonext i GeoGebra. La versió que vam provar va ser la 2.5 i, evidentment, quan vam veure les possibilitats del GeoGebra ja no vam dubtar més. En una reunió amb Santi Manrique i Francesc Busquets el vam presentar i vam proposar que es traduís i es promocionés des del Departament. Aquesta proposta, es va acceptar i vam començar la feina. En pocs dies vaig aprendre a utilitzar les eines bàsiques i vaig fer una petita web on vaig incloure les meves primeres construccions i aplicacions. Estava convençut que aquest
juny 2018 107
programa ajudaria a canviar la metodologia de les classes de matemàtiques, com així ha estat. En aquell moment el programa estava disponible en onze llengües (alemany, anglès, castellà, xinès, croat, danès, eslovè, francès, hongarès, italià i portuguès). El primer pas per a la difusió del programa era la traducció al català. El 12 d’abril de 2005 ens vam posar en contacte amb en Markus i ell, immediatament, ens va facilitar els fitxers necessaris per fer la traducció. En el seu missatge de resposta ens deia, entre altres coses: Many thanks for your interest in translating GeoGebra to Catalan! There is noone working on this yet and you are very welcome to do this translation. Thank you for your intention to support the GeoGebra project in this way!
Jaume Bartrolí va traduir les eines i els menús i Roser Sebastián va fer la traducció de l’ajuda. La primera versió en català (2.6b) va aparèixer al setembre del 2005.
Després la història ha anat molt de pressa: cursos de formació, cursos dels ICE, cursos en màsters i diplomes de la universitat, intervencions en diverses jornades d’aquí i de fora, fundació de l’ACG, les nostres jornades, aparició de la revista Cònica... El passat mes de febrer vam celebrar la desena edició de les Jornades de GeoGebra de l’ACG. En totes aquestes edicions hem intentat portar experts catalans, espanyols i internacionals
108 noubiaix 42
en el programa, que ens han mostrat les novetats que anaven apareixent contínuament. El GeoGebra és un programa molt viu i que està en constant actualització. Cada any hi hem trobat nous al¨licients per aplicar a les nostres classes. Per altra banda, en les nostres jornades s’han explicat multitud d’experiències concretes d’aula. Aquest aspecte s’ha valorat molt positivament perquè, al capdavall, les experiències concretes són el millor estímul per atreure nous usuaris i practicants de la nova tasca docent.
El GeoGebra, una eina imprescindible Un dels elements més importants en la pràctica docent de les matemàtiques és la manipulació d’objectes per conjecturar i descobrir determinades propietats. Anton Aubanell, en el seu article «Orientacions pràctiques per a la millora de la geometria» (2015), proposa unes línies d’actuació. A continuació en reprodueixo una. Impulsar la presència a les classes d’activitats que permetin viure, en primera persona, l’experiència de construir coneixement geomètric. Un tipus d’activitat que poden ser útils són les que segueixen, de manera més o menys estricta, quatre etapes: Experimentació: explorar, establir contacte amb les idees que estan en joc, temptejar, fer proves, prendre mesures, comparar, contrastar, manipular, construir, etc. ‚ Descoberta: observar una regularitat experimental, sovint sorprenent, que apareix en proves successives. No es tracta d’un coneixement que ve de fora sinó d’una descoberta personal, resultat de l’experiència. ‚ Conceptuació: posar en comú allò que s’ha descobert, perfilar bé la idea, sentir-la com a pròpia, esforçar-se a expressar-la correctament, arribar a una formulació compartida. ‚ Demostració o formalització: passar de la conjectura descoberta a la propietat demostrada a partir d’un raonament lògic. En alguns casos, la demostració no caldrà o no serà possible amb les eines conceptuals de què es disposa o no millorarà la comprensió de la idea i ens quedarem amb la constat acció experimental. ‚
A continuació afirma: Emprar més material manipulable i més programari tipus GeoGebra en l’ensenyament de la geometria. El material manipulable i el GeoGebra (o altres programes de geometria dinàmica) poden contribuir molt a fer que la geometria escolar recuperi l’experiència, la vivència directa, la intuïció...
Estic totalment d’acord amb aquestes afirmacions. El GeoGebra ha esdevingut una de les eines imprescindibles per al treball a l’aula. Però no només en referència a la geometria, sinó respecte a la pràctica totalitat del currículum de secundària. El GeoGebra no és un programa de geometria dinàmica, sinó un programa de matemàtica dinàmica. A continuació veurem uns quants exemples que ho il¨lustren.
Tipus d’activitats Quan el professor o la professora ja coneix prou el programa, pot fer les seves pròpies aplicacions per portar a classe. Però la manca de domini del GeoGebra no ha de ser un im-
juny 2018 109
pediment per fer-lo servir. A la xarxa hi ha un magatzem d’aplicacions ja fetes que es poden utilitzar (https://www.geogebra.org/materials). Ara bé, potser n’hi ha massa i cal fer una cerca intel¨ligent per trobar el que es necessita. En aquest apartat us presento diferents exemples d’activitats per fer a classe que reuneixen bona part de les característiques comentades en l’apartat anterior. Les he classificant en quatre tipus: Construccions geomètriques i representacions gràfiques Visualització i descobriment de propietats ‚ Cerca i comprovació de models i simulacions ‚ Investigacions i resolució de problemes ‚ ‚
Per no allargar-me massa, us explico de manera detallada uns quants exemples. Si en voleu veure més, accediu a https://www.geogebra.org/m/fVXM6fs4. També trobareu altres materials al meu espai del magatzem: https://www.geogebra.org/u/pep+bujosa. Tots aquests materials són lliures i els podeu baixar, respectant l’autoria i sense finalitats comercials, naturalment. Fins i tot hi podeu fer les modificacions que cregueu oportunes.
Construccions geomètriques i representacions gràfiques En aquests exemples l’alumnat fa servir el programa per construir i representar gràficament objectes geomètrics o funcions. Aquestes construccions porten associats conceptes i propietats que han treballat en el procés. Altures d’un triangle https://www.geogebra.org/m/DtawMpuX#material/VNdjMw77
110 noubiaix 42
Ens hem trobat moltes vegades amb alumnes que tenen dificultats per construir i mesurar les tres altures d’un triangle, sobretot si no està ben posat. Aquesta primera aplicació indica com es dibuixen les tres altures per a qualsevol triangle. Cada vegada que es prem el botó «Triangle nou» apareix un nou triangle a l’atzar i l’usuari pot triar la representació de cada altura. A més, en cada cas, es calcula l’àrea. Una vegada l’alumnat ha practicat i ha observat les diferents possibilitats, proposem que faci construccions pel seu compte i calculi l’àrea per a cada base i altura. Per a això farem servir aquesta segona aplicació: https://www.geogebra.org/m/fVXM6fs4#material/ecaf92HQ.
Per començar, l’usuari ha de prémer el botó «Triangle» i li apareixerà un triangle a l’atzar. A continuació, fent servir les eines que té a la seva disposició, ha de construir la perpendicular, trobar la intersecció amb la base, mesurar base i altura, escriure aquests valors a les caselles corresponents i observar el càlcul de l’àrea que surt automàticament. Després ha de repetir el procés per a les altres altures i comprovarà, si ho ha fet bé, que l’àrea surt igual o quasi igual. En aquest sentit, és interessant comentar entre tots la causa de la manca d’exactitud en alguns casos. Aquesta activitat s’hauria de completar amb la construcció en paper de diferents exemples. Vegeu més aplicacions d’aquest estil: ‚
‚
‚
Els centres dels triangles i les seves propietats. https://www.geogebra.org/m/fVXM6fs4#material/PY3JrRPc Gràfiques de funcions polinòmiques, arrels i factorització. https://www.geogebra.org/m/mJugtzKn Construccions bàsiques. https://www.geogebra.org/m/PnbnPhyq
juny 2018 111
Visualització i descobriment de propietats Uns dels aspectes més interessants del GeoGebra és la facilitat que dona per fer conjectures i tot seguit comprovar si es poden generalitzar i conceptualitzar fins a esdevenir propietats. El teorema de Pitàgores Aquestes dues activitats que proposo són un bon exemple de la manipulació d’objectes per conjecturar una propietat. Vegeu https://www.geogebra.org/m/Ghn28dx5. Comencem restringint la manipulació només a triangles rectangles.
Activa l’opció «Quadrats». Desplaça els vèrtexs d’aquest triangle i observa la relació que hi ha entre les àrees dels quadrats situats en els seus costats. Quina propietat observes? Com són aquests triangles? Sigui ala hipotenusa i b i c els catets. Escriu correctament la propietat que has observat. Es complirà sempre? L’alumnat va movent els vèrtexs del triangle i va observant les corresponents àrees que van sortint. Això sí, sempre surten triangles rectangles. Al final es voldrà que s’escrigui una relació correcta. Això no és immediat i caldrà escriure primer unes quantes relacions numèriques que es vagin comprovant numèricament. Aquesta aplicació també es pot aprofitar per treballar els nombres pitagòrics. En la segona activitat es proposa que el triangle que s’ha de manipular no sigui obligatòriament rectangle.
112 noubiaix 42
Activa l’opció «Quadrats». Desplaça els vèrtexs d’aquest triangle i observa la relació que hi ha entre les àrees dels quadrats situats en els seus costats. Quines propietats has observat? Enuncia-les correctament. Aquí l’alumnat ha d’arribar a la conclusió que el teorema de Pitàgores només es compleix en els triangles rectangles. En els altres es compleixen unes determinades desigualtats. Tot seguit es poden fer les següents activitats proposades en el mateix lloc. Vegeu més aplicacions del mateix estil: ‚
Rectes. https://www.geogebra.org/m/X6F9tzb4
‚
Paràboles. https://www.geogebra.org/m/nz56SmfP
‚
Derivades. https://www.geogebra.org/m/RjDK9hTr
‚
Teorema de Varignon. https://www.geogebra.org/m/fVXM6fs4#material/a2gYTJvD
‚
Teorema de Viviani. https://www.geogebra.org/m/z425scGG
‚
Àrea d’un trapezi. https://www.geogebra.org/m/wvejcqYH
Cerca i comprovació de models i simulacions Una altra de les característiques del GeoGebra és que permet incorporar imatges a la finestra gràfica. Això fa que es puguin trobar objectes matemàtics que s’adaptin a figures reals. Aquí també hi podríem incloure les simulacions.
juny 2018 113
Paràbola o catenària Aquestes dues corbes s’assemblen molt. Ara bé, pot ser interessant que, quan veiem un pont o un arc, puguem saber si es tracta de l’una o de l’altra. El GeoGebra ens ajuda a aconseguir-ho; vegeu https://www.geogebra.org/m/K42pEJDM.
Quan s’introdueix una fotografia a la finestra gràfica, es pot fer, sobre la fotografia, qualsevol construcció. En aquest cas, seleccionant les caselles corresponents podem superposar paràboles i catenàries, de manera que modificant els paràmetres podem observar quina de les dues s’ajusta millor a l’arc.
114 noubiaix 42
Es pot proposar que l’alumnat faci fotografies a determinats objectes semblants a paràboles o catenàries, i que els classifiqui fent servit el GeoGebra. Vegeu més aplicacions del mateix estil: ‚
Monuments amb proporció àuria. https://www.geogebra.org/m/GUwYS6rr
‚
Punt de Fermat a The Tridge (Carlos Giménez). https://www.geogebra.org/m/BrVatMRC
‚
Llançament de daus. Simulació. https://www.geogebra.org/m/m9ay5wNU
‚
Astronomia propera. https://www.geogebra.org/m/M6j4GKCJ
Investigacions i resolució de problemes El GeoGebra també serveix per resoldre problemes i fer petites investigacions. En aquest cas, el programa és una eina que ajuda i guia cap a la resolució, encara que arribi a la solució completa. Repartiment de terres Tenim un terreny rectangular, ABCD, que està dividit en dues parts d’àrea desigual per la tanca EF, com es veu a la figura. Contesta raonadament les preguntes següents. aq Sense tocar el punt E, situa el punt F sobre el segment AB de manera que la tanca EF divideixi el terreny en dues parts d’àrea igual. Raona la resposta.
bq On s’hauria de situar el punt L per tal que les tanques EL i FL divideixin el terreny rectangular inicial en dues parts d’àrea igual? Quantes solucions hi ha?
juny 2018 115
Vegeu més aplicacions del mateix estil: ‚
‚
‚
‚
Investigacions dissenyades per José Antonio Mora Mantenir la distància: http://jmora7.com/GG5/Mdist/Indice.html La meitat d’un quadrat: http://jmora7.com/GG5/Mitad/Indice.html Problema del cangur (Toni Gomà). https://www.geogebra.org/m/zBWXrr89 Problema i solució https://www.geogebra.org/m/wrzqd2ud https://www.geogebra.org/m/zyFtKC3a Construcció del punt de Gergonne. https://www.geogebra.org/m/j5Cd0IDL
Per acabar Com heu pogut veure, el descobriment del GeoGebra ha estat fonamental per a mi i crec que per a molts altres professors i professores. Espero que des de l’Associació Catalana de GeoGebra, en aquests deu anys d’existència, hàgim pogut contribuir a la seva divulgació i promoció per així col¨laborar en la millora de l’aprenentatge de les matemàtiques a les nostres aules.
mmaca
noubiaix 116116 noubiaix 42 42
juliol 2017 81
el racó del mmaca
Les cúpules de Leonardo da Vinci Enric Brasó
Introducció En aquest article presentem el material didàctic Leonardome, que consisteix en un conjunt de peces que, utilitzant el principi de l’encavalcament mutu, permeten aixecar les cúpules de Leonardo. Leonardome es presenta en diferents formats: en el format més gran, les cúpules són estructures de 4 a 5 m de diàmetre i aproximadament 1 m d’altura, que un grup de 25 persones pot construir en 20 minuts. La col¨locació de les peces pot seguir patrons geomètrics de més o menys complexitat. En el treball volem explicar els orígens d’aquesta idea, el seu interès didàctic, el desenvolupament del taller de construcció i els detalls del disseny que provoquen la deformació dels patrons plans i la seva curvatura. Finalment, estudiem diferents aspectes d’aquestes particulars tessel¨lacions i en concret demostrem que n’existeixen infinites.
L’origen
Figura 1. Pont autosostenible. Full 71 del Codex Atlanticus de Leonardo da Vinci.
juny 2018 117
Fa més de cinc-cents anys el genial Leonardo da Vinci va fer aquest dibuix d’un pont autosostenible (figura 1). Els bastons que formen el pont s’encavalquen mútuament, de manera que se sostenen sense cap element de subjecció i permeten abastar així una distància molt més llarga que la mida individual de cadascun d’ells. Desconeixem si la idea del pont va ser portada a la pràctica en temps de Leonardo da Vinci, però d’ençà de la moderna revalorització dels seus quaderns d’apunts, aquest pont ha estat un element present a les exposicions i els museus de ciència d’arreu del món. El pont de Leonardo disposa els bastons en una sola direcció per cobrir la distància entre dos punts. És natural estendre la idea de l’encavalcament mutu a dues direccions per cobrir així una superfície (figura 2).
Figura 2. Primers passos de la construcció d’una cúpula encavalcant bastons en dues direccions.
L’escultor contemporani holandès Rinus Roelofs (figura 3), reconegut per les seves obres d’inspiració geomètrica, fou el primer a adonar-se, i investigar, aquesta idea.1 Rinus, cercant en l’obra de Leonardo da Vinci, va trobar uns esbossos d’enreixats de bastons en dues direccions (figura 4). L’obra de Rinus Roelofs aprofundeix en les possibilitats artístiques i geomètriques d’aquestes estructures, que permeten crear múltiples variacions i derivacions.
Figura 3. L’escultor Rinus Roelofs.
Figura 4. Full 889 del Codex Atlanticus de Leonardo da Vinci amb els esbossos de l’encavalcament en dues direccions. 1. www.rinusroelofs.nl/structure/basic-grids/davinci-131.html.
118 noubiaix 42
Al Museu de Matemàtiques, on tenim des dels nostres inicis el pont de Leonardo, ens vam adonar també de la possibilitat d’estendre la idea de l’encavalcament mutu a dues direccions. Hem treballat, investigat i dissenyat diferents simulacions i prototips centrades en l’aspecte didàctic. És interessant comprovar que la nostra investigació ha convergit, pel que fa a la forma i les dimensions, amb la recerca de Rinus Roelofs centrada en l’aspecte artístic. Tot i que d’entrada vam penjar el nostre disseny dels pals a la xarxa,2 ha estat amb la producció i comercialització dels kits didàctics Leonardome que hem aconseguit la difusió del recurs. Els bastons de 50 cm Leonardome es presenten en una caixa de 250 peces que inclou una guia didàctica (figura 5). A més, a la web www.leonardome.com es proposen activitats i tallers i s’ofereix suport personalitzat.
Figura 5. El kit didàctic Leonardome.
Estem preparant també la comercialització en caixes de 50 peces, més manejables i econòmiques. Aquesta quantitat de peces és suficient per construir petites cúpules de forma autònoma i és un material idoni per a les escoles que vulguin organitzar un racó o ambient de geometria. A més d’aquests bastons grans, al Museu de Matemàtiques de Catalunya (MMACA) hem dissenyat i produït peces petites de 15 cm que permeten construir cúpules de sobretaula (figura 6). Acompanyem tot aquest material amb propostes didàctiques com les descrites en aquest article.
Figura 6. Les caixes amb les peces de 15 cm de fusta i de plàstic, amb curvatura i sense. 2. www.mmaca.cat.
juny 2018 119
Comencem a construir El MMACA ofereix, al Palau Mercader de Cornellà, el taller de construcció de cúpules de Leonardo per a les escoles que ens visiten i els diumenges per a les famílies. També l’organitzem a les exposicions temporals, a les escoles, als centres i a les fires que ens ho demanen. El taller és una activitat sorprenent que adaptem a totes les edats, des de grups escolars amb nens i nenes de cinc anys fins a universitaris i públic familiar. En uns 20 minuts, un grup d’unes 20 persones aconsegueix aixecar una cúpula d’aproximadament 1 m d’altura i 4-5 m de diàmetre. A l’inici de l’activitat escollim el patró que seguirem d’entre els 11 que es proposen (figura 7). Són suficients poques instruccions per iniciar la construcció. L’experiència ens porta a començar normalment per un dels tres primers patrons amb els bastons en dues direccions perpendiculars. Els participants es troben de sobte amb un treball mental inusual: han de decidir, de forma repetida, el lloc i la manera de col¨locar cada peça imaginant-se com el patró bidimensional segueix a partir del que ja està construït i, a més a més, han de tenir en compte la col¨locació per sobre o per sota dels encaixos. És instructiu fer verbalitzar aquests raonaments, ja que es posen de manifest les múltiples maneres de visualitzar l’estructura i com cadascú es fixa en aspectes diferents per anar col¨locant i encaixant els bastons. L’aparició immediata del resultat, l’estructura que creix i s’eleva, és un estímul col¨lectiu de gran valor. És imprescindible fer-la créixer de manera uniforme i coordinada per tot el seu perímetre; per tant, és una oportunitat per potenciar la cooperació i el suport mutu. La cúpula, un cop construïda, es percep com el resultat del treball del grup.
Figura 7. Els onze patrons que utilitzem al MMACA.
120 noubiaix 42
Un cop feta la cúpula, són possibles diferents activitats. Òbviament, els petits es deleixen per entrar-hi. Els grups de secundària i els adults, l’aixequen coordinadament entre tots per veure-la des de sota. Un cop aixecada, es pot fer rodar o moure i es pot comprovar com la seva flexibilitat li confereix resistència als terratrèmols. Hem sentit dir moltes vegades a la Maria Antònia Canals que l’aprenentatge geomètric s’ha d’acompanyar amb la manipulació i amb la vivència motriu. Les cúpules permeten satisfer una de les seves recomanacions: viure els polígons i les figures geomètriques des de dins. El moment de la caiguda és el punt àlgid del taller. En fallar un punt de suport, les peces cauen com si es tractés d’un castell de cartes.
D’on prové la curvatura? Una part important del taller és el moment per a la reflexió, les preguntes i la discussió. Apareixen qüestions sobre Leonardo, la gènesi de la idea o l’aplicació real d’aquestes cúpules en arquitectura. Per a nosaltres són especialment interessants les qüestions geomètriques: ‚
‚
En lloc d’aturar la construcció, es podria continuar posant peces fins a completar una esfera? Si els patrons són enrajolats plans, per què s’aixequen les cúpules?
La resposta es pot descobrir mirant amb atenció el disseny dels bastons i constatant que el fons de les quatre osques no és al mateix nivell (figura 8). Aquesta diferència provoca la deformació de l’estructura plana.
Figura 8. El disseny de la peça de 50 ˆ 5 cm.
La curvatura de les cúpules és determinada per aquesta diferència de nivells. Si les osques estiguessin alineades, obtindríem una estructura plana. El nostre disseny3 està ajustat per tal d’aconseguir cúpules prou grans per encabir un grup de vint-i-cinc nens. Per fer possible la curvatura de l’estructura plana cal que tingui flexibilitat, i això ho dona l’amplitud dels encaixos. L’estructura deformada està lluny de ser un poliedre: de la mateixa manera que les rajoles se separen quan les arrels d’un arbre bomben un enrajolat, a les cúpules els vèrtexs dels polígons adjacents no coincideixen i els polígons deixen de tenir els seus elements dins d’un sol pla. L’amplitud dels encaixos i el tipus de patró donen el límit de creixement de les cúpules. Els qui han construït cúpules s’adonen que, a mesura que la cúpula creix, la posició inclinada de les peces fa que la gravetat no treballi tan eficaçment.
3. Es pot descarregar amb llicència Creative Commons lliure a www.mmaca.cat/les-cupules-de-leonardo.
juny 2018 121
Amb aquests patrons, doncs, les cúpules no poden créixer indefinidament. Rinus Roelofs ha treballat en diferents direccions, una de les quals és la recerca de patrons polièdrics construïbles amb bastons de Leonardo. En teniu un exemple en l’esfera que està sostenint a la seva fotografia (figura 3). Al MMACA hem preparat i oferim una versió dels bastons de Leonardo de 15 cm en què les osques estan alineades i, per tant, no creen curvatura (figura 9). Amb aquests bastons, en lloc de cúpules, es creen enreixats plans que poden créixer indefinidament. Són una bona eina per investigar sobre els diferents patrons i les seves característiques.
Figura 9. L’enreixat d’un nou patró fet amb les peces que no generen curvatura.
Les tessel¨¨lacions de Leonardo Els patrons amb què aixequem les cúpules són deformacions d’enrajolats o tessel¨lacions planes. A continuació tractarem algunes de les seves característiques sense tenir en compte aquesta deformació. Formalment podem definir una tessel¨lació de Leonardo com l’enrajolat del pla format per segments iguals, amb quatre punts de contacte mutu, els dos extrems amb polaritat positiva i els dos punts que el divideixen en tres parts iguals amb polaritat negativa i de manera que tots els punts de contacte quedin aparellats positiu amb negatiu (figura 10).
Figura 10. Formalització de les peces com a segments amb quatre punts de contacte + - - +.
122 noubiaix 42
Els onze patrons de la figura 7 són tessel¨lacions de Leonardo, però no són pas les úniques, ja que les figures 9, 11 i 15 ens en mostren algunes més.
Figura 11. Altres patrons o tessel¨ lacions de Leonardo.
Es poden distingir dos grups de tessel¨lacions de Leonardo: les deformables i les rígides.
El grup de les tessel¨¨lacions de Leonardo deformables Les tessel¨lacions 1, 2 i 3 de la figura 7 tenen la particularitat que estan formades exclusivament per paral¨lelograms, els seus bastons estan orientats sols en dues direccions i l’angle entre aquestes direccions és variable, com mostra la figura 12. Precisament aquesta és una de les activitats interessants del taller de construcció. Una vegada construïda i aixecada una cúpula d’un d’aquests tres patrons, es poden identificar les direccions de les diagonals; llavors les persones diametralment oposades a aquestes direccions es poden acostar i allunyar alternativament i es pot comprovar com es deforma l’estructura. Aquesta deformació no és possible amb els altres patrons, ja que contenen triangles o altres polígons. És una manera pràctica de veure i entendre aquesta característica dels paral¨lelograms de múltiples aplicacions.
Figura 12. Els patrons o tessel¨ lacions de Leonardo 1, 2 i 3 mostrant que l’angle entre les direccions dels seus segments pot ser diferent de 90˝ .
A l’inici de la construcció de la cúpula del patró 1 ens podem adonar que hi ha dues maneres de fer el quadrat gran, les estructures resultants no es poden enllaçar. Existeixen, doncs, dues tessel¨lacions de quadrats grans i petits que són simètriques: 1a i 1b (figura 13).
juny 2018 123
Figura 13. Dues maneres simètriques d’iniciar la cúpula del patró 1.
La tessel¨lació 2, en canvi, és simètrica respecte a ella mateixa, mentre que la tessel¨lació 3 torna a tenir dues versions simètriques: 3a i 3b. Aquestes cinc tessel¨lacions són les úniques amb angles variables.
Figura 14. Les cinc tessel¨ lacions de Leonardo deformables i les configuracions corresponents.
És instructiu també fixar-se en com estan situades les quatre peces en contacte amb una peça determinada. Són les configuracions que es mostren a la part inferior de la figura 14.
El grup de tessel¨¨lacions de Leonardo amb angles fixats Totes les altres tessel¨lacions tenen com a característica que els angles entre segments són sempre de 60˝ o de 120˝ . Podem considerar-les dibuixades sobre una trama isomètrica.4 D’aquestes tessel¨lacions destaquen per la seva simplicitat les que tenen tots els bastons amb la mateixa configuració. Són les mostrades a la figura 15.
Figura 15. Els patrons amb angles fixats i configuració de bastons en contacte única. 4. També anomenada graella axonomètrica, la qual està formada per triangles equilàters iguals i s’utilitza en dibuix tècnic.
124 noubiaix 42
Excepte el patró 10, els altres no tenen simetria axial i, per tant, hem de considerar també la seva versió especular. El nombre de tessel¨lacions de Leonardo és infinit. És la conseqüència d’haver trobat la sèrie infinita que mostra la figura 16, que està construïda a partir del patró 8, format per hexàgons envoltats d’una sanefa de triangles i rombes, que es pot generalitzar envoltant dos, tres, quatre... hexàgons per una sanefa de triangles i rombes.
Figura 16. Els quatre primers patrons d’una sèrie infinita de patrons.
A més, els diferents patrons es poden enllaçar entre ells (figura 17).
Figura 17. Alguns patrons enllaçats.
Aquestes tessel¨lacions mixtes sols tenen translacions en una direcció. No es poden considerar regulars perquè no tenen una rajola fonamental que els reprodueixi amb translacions en dues direccions.
Els polígons convexos de Leonardo Un exercici possible és el consistent a construir o dibuixar sobre una trama isomètrica tots els polígons convexos realitzables amb els bastons de Leonardo. No és una tasca simple perquè és fàcil d’ometre’n algun, atès que n’hi ha vint. Cercant tessel¨lacions de Leonardo que utilitzin aquests polígons hem descobert nous patrons, com els mostrats a les figures 9 i 11. Treballant empíricament hem aconseguit crear patrons amb tots els vint polígons de la figura 18 excepte amb el trapezi de costats 1, 2, 1, 3, assenyalat amb un asterisc (*) i per al qual no hem trobat cap tessel¨lació que l’utilitzés. Un dels reptes pendents d’aconseguir és la demostració formal d’aquesta i altres qüestions referents a aquestes tessel¨lacions.
juny 2018 125
Figura 18. Els vint polígons convexos construïbles amb bastons de Leonardo.
La densitat de les tessel¨¨lacions de Leonardo Una qüestió que apareix comparant els onze patrons que utilitzem és la diferent separació entre les peces. Per quantificar aquesta idea, es pot definir el concepte de densitat com els bastons per unitat de superfície. Per calcular la densitat convé trobar la rajola fonamental de cada tessel¨lació a partir de les translacions mínimes en dues direccions de cada patró. Dividint la suma dels bastons inclosos en la rajola fonamental per la seva superfície (mesurada utilitzant com a unitat el quadrat que té de costat el bastó) s’obtenen els resultats de la figura 19.
Figura 19. Els onze patrons utilitzats pel MMACA ordenats segons la seva densitat. Es mostra també la rajola fonamental de cadascun.
126 noubiaix 42
Conclusions Leonardome és un material polifacètic en molts sentits: Pel que fa als destinataris: des dels petits de cinc anys fins a universitaris i públic familiar. Pel que fa al format: taller de construcció amb cues-centes cinquanta peces grans, espai de racons amb cinquanta peces grans i tallers d’aula amb peces de sobretaula amb curvatura i sense. ‚ Pel que fa a la transversalitat de continguts i competències, no sols es treballen aspectes geomètrics i d’educació en valors, sinó que també es dona entrada a la història, l’art i la tecnologia. ‚ ‚
Agraïm als educadors del MMACA i a tots els qui han treballat amb aquest material l’enriquiment que han significat les seves idees, formes de presentació i noves activitats. Estem segurs que seguirem recollint aportacions, ja que la proposta ha rebut una acollida impressionant per part de tots els col¨lectius. L’equilibri entre els aspectes lúdics i didàctic i les reflexions i els diàlegs que Leonardome provoca, confirmen el seu caràcter competencial i el seu indiscutible valor pedagògic.
Referències Canals, M. Antònia (2009). Documents de treball de Maria Antònia Canals. Torrent (València): Federació Espanyola de Societats de Professors de Matemàtiques. Da Vinci, Leonardo (1475-1519). Codice Atlantico. Disponible en línia a la Biblioteca Leonardiana: http://www.leonardodigitale.com (consulta: 30-5-2018). Popovic, Olga (2008). Reciprocal Frame Architecture. Londres: Architectural Press. Roefols, Rinus (2003). Leonardo da Vinci’s Bar Grids. A: Meeting Alhambra, ISAMA-BRIDGES Conference Proceedings. Granada: Universidad de Granada, pàg. 229-234. Disponible en línia a: http://archive.bridgesmathart.org/2003/bridges2003-229.pdf (consulta: 30-5-2018).
noubiaix
42
número 42
Juanjo Cárdenas (responsable pàgina web) © dels autors dels articles Coediten: Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques (FEEMCAT) Campus de Montilivi, edifici P-IV 17071 Girona feemcat.org Societat Catalana de Matemàtiques (SCM), filial de l’Institut d’Estudis Catalans Carme, 47 08001 Barcelona scm.iec.cat noubiaix@gmail.com sites.google.com/site/noubiaix
noubiaix Revista de la FEEMCAT i de la SCM
f ee mcat Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya
ISSN 2014-2021
42
9 772014 202008
Juny 2018
3 Editorial
Juny 2018
noubiaix
sumari Consell de redacció: Lluís Mora / Josep Lluís Solé (coords.) Marianna Bosch Joan Carles Ferrer Joan Miralles Josep Pla Romà Pujol Manuel Udina
42
articles
8 Els primers, manual d’instruccions 30 Fotografia matemàtica 45 El laboratori de matemàtiques Maria Antònia Canals 56 Els problemes del Fem Matemàtiques a l’aula Xavier Xarles
Grup de fotografia matemàtica d’ABEAM
Jordi Font i Roger Grau
Mireia López Beltran i Cyntia Riquelme Carvallo (Grup de resolució de problemes d'ABEAM)
71 Quina relació hi ha entre els queviures, la fotografia i l’àlgebra de matrius? Joan Gómez i Urgellés
85 Discurs d’agraïment (ampliat) llegit a l’acte de lliurament del Premi Crítica Serra d’Or de Recerca Josep Pla i Carrera Periodicitat: semestral Nombre d‘exemplars: 1.700
seccions Fotografia de la coberta: Cúpules de Leonardo Enric Brasó
90 Construint matemàtiques. Experiències i emocions en educació matemàtica Anton Aubanell
ISSN: 2014-2021 Dipòsit legal: B-22.314-2012
Impressió: Gráficas Rey Edicions de la Universitat de Barcelona Adolf Florensa, s/n 08028 Barcelona Tel.: 934 035 430 Fax: 934 035 531 comercial.edicions@ub.edu www.publicacions.ub.edu
17450_interiorcoberta Nou Biaix (final, 6 mm) 42.pdf 1
97
El racó del CESIRE-CREAMAT. Matemàtiques i impressió en 3D
103 L’espai de les associacions. Desè aniversari de l’Associació Catalana de GeoGebra. Divulgació d’una eina imprescindible Pep Bujosa
116 El racó del MMACA. Les cúpules de Leonardo da Vinci Enric Brasó
Normes per a la presentació de contribucions 1. La revista Nou Biaix accepta per a la seva publicació contribucions originals relacionades amb experiències didàctiques, activitats d’ensenyament i aprenentatge, escrits d’opinió, de divulgació i d’investigació en el camp de la matemàtica i el seu ensenyament en qualsevol nivell educatiu. 2. Les contribucions rebudes seran sotmeses a una avaluació prèvia a càrrec de dos especialistes reconeguts. L’acceptació de la publicació serà notificada directament a l’autor amb una indicació de la data aproximada de publicació. En cas que una comunicació no fos acceptada, també se n’enviarà notificació. 3. Per a la presentació de treballs originals, l’autor trametrà a l’adreça noubiaix@gmail.com un arxiu, en Word o en LaTeX, amb un document a doble espai i amb marges amplis (65 caràcters per línia). Els gràfics, diagrames i figures hauran de ser originals (no fotocopiats). Els arxius gràfics es presentaran en format eps o tif. 4. La contribució haurà d’incloure el títol, el nom de l’autor o autors, la seva adreça professional completa i la seva adreça electrònica. S’adjuntarà un resum no més llarg de 300 paraules en català i anglès. Al final del document s’inclourà obligatòriament la bibliografia per ordre alfabètic de cognoms, d’acord amb la normativa APA; exemples: Articles Albertí, M. (2002). Les Matemàtiques des d’una perspectiva cultural: Etnomatemàtiques. Biaix, 20, 6-25. Llibres Godino, J., Font, V. (2003). Razonamiento algebraico para maestros. Granada: Universidad de Granada. Capítols de llibres Edo, M., Revelles, S. (2004). Situaciones matemáticas potencialmente significativas. Dins M. Antón i B. Moll (ed.), Educación Infantil. Orientaciones y recursos (0-6 años) (p. 410/103-410/179). Barcelona: Praxis. Actes de congressos Morales, M., Font, V., Planas, N. (2004). Estudio microetnográfico en torno a un conocimiento matemático situado. Dins A. Franzé i altres (ed.), Actas de la I Reunión Científica Internacional sobre Etnografía y Educación (CD-ROM). València: Germanía, Polis Paideia. Pàgines web Ibanyez, A., Paolu, N., Pedreira, J. (2007). Reloj Binario de sobremesa, a Microsiervos. http://www.microsiervos.com/archivo/gadgets/reloj-binario-sobremesa.html
5. Els continguts de Nou Biaix estan subjectes —llevat que s’indiqui el contrari en el text, en les fotografies o en altres il.lustracions— a una llicència de Reconeixement-No comercial-Sense obra derivada 3.0 de Creative Commons, el text complet de la qual es pot consultar a http://creativecommons.org/ licenses/by-nc-nd/3.0/es/deed.ca. Així, doncs, s’autoritza al públic en general a reproduir, distribuir i comunicar l’obra, sempre que es reconegui l’autoria i l’entitat que la publica, i no se’n faci un ús comercial ni es difongui cap obra derivada. 6. Els articles es publicaran en llengua catalana. Només es traduiran al català les contribucions acceptades realitzades per autors no residents als Països Catalans. 7. Els autors es responsabilitzaran del compliment de les normes establertes per a l’autorització de la reproducció de material procedent d’altres fonts bibliogràfiques. 8. Els articles tindran una extensió d’entre 6 i 12 pàgines de text —és a dir, un total màxim de 12.000 caràcters—, incloses les notes a peu de pàgina. Podran anar acompanyats d’il·lustracions, sempre que no superin l’extensió de dues pàgines. En definitiva, tot complet —quan el text contingui quadres, figures, fotografies, gràfics, mapes, etc.— no podrà superar, en cap cas, les 15 pàgines. 9. Fem notar que en aquesta publicació s’utilitza preferentment el punt per separar decimals, en lloc de la coma recomanada per l’IEC, per tal de facilitar la comprensió de les expressions matemàtiques.
07/11/2018 20:46:55
42
42
noubiaix Juny 2018
f ee mcat Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya
17450_coberta NouBiaix 42 (final, 6mm).pdf 1
ISSN 2014-2021
9 772014 202008
42
Juny 2018
noubiaix
Revista de la FEEMCAT i de la SCM
29/10/2018 20:06:36