Nou Biaix, 41

41

41

noubiaix Desembre 2017

f ee mcat Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya

17153_coberta NouBiaix 41 (5 mm).pdf 1

ISSN 2014-2021

9 772014 202008

41

Desembre 2017

noubiaix

Revista de la FEEMCAT i de la SCM

22/02/2018 9:11:06

noubiaix

41

número 41

Juanjo Cárdenas (responsable pàgina web) © dels autors dels articles Coediten: Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques (FEEMCAT) Campus de Montilivi, edifici P-IV 17071 Girona feemcat.org Societat Catalana de Matemàtiques (SCM), filial de l’Institut d’Estudis Catalans Carme, 47 08001 Barcelona scm.iec.cat noubiaix@gmail.com sites.google.com/site/noubiaix

Periodicitat: semestral Nombre d‘exemplars: 1.700

Fotografia de la coberta: Regressió infinita Lluís Mora

noubiaix Revista de la FEEMCAT i de la SCM

f ee mcat Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya

ISSN 2014-2021

41

9 772014 202008

Desembre 2017

3 Editorial

Desembre 2017

noubiaix

sumari Consell de redacció: Lluís Mora / Josep Lluís Solé (coords.)

Marianna Bosch Joan Carles Ferrer Joan Miralles Josep Pla Romà Pujol Manuel Udina

41

articles

6 Comptant poblacions amagades: el mètode de captura-recaptura Pere Puig

15 Experimentem amb miralls 22 La calculadora d’Ahmés 35 La multidimensionalitat de l’àlgebra escolar.

Ingrid Tena

Guillem Bonet

Una proposta d’itinerari didàctic Abraham de la Fuente i Jordi Deulofeu

53 Entrevista a Carles Barceló i Vidal 61 Bases del Premi Maria Antònia Canals Joan Carles Ferrer i Comalat

seccions

64 Per pensar d’un minut a una hora 68 La comissió per a l’impuls de les conclusions del Segon Jordi Deulofeu

Congrés Català d’Educació Matemàtica Oriol Busquets, Cecilia Calvo i Antoni Vila ISSN: 2014-2021 Dipòsit legal: B-22.314-2012

Impressió: Gráficas Rey

75 El racó de l’oriflèxia. L’origami dels poliedres platònics 87 L’espai de les associacions. XIV Jornada d’Ensenyament Jaume Coll Guerrero

de les Matemàtiques Edicions de la Universitat de Barcelona Adolf Florensa, s/n 08028 Barcelona Tel.: 934 035 430 Fax: 934 035 531 comercial.edicions@ub.edu www.publicacions.ub.edu

17153_interiorcoberta NB41 (5 mm, corregida).pdf 1

Pep Bujosa i Iolanda Guevara

Normes per a la presentació de contribucions 1. La revista Nou Biaix accepta per a la seva publicació contribucions originals relacionades amb experiències didàctiques, activitats d’ensenyament i aprenentatge, escrits d’opinió, de divulgació i d’investigació en el camp de la matemàtica i el seu ensenyament en qualsevol nivell educatiu.

2. Les contribucions rebudes seran sotmeses a una avaluació prèvia a càrrec de dos especialistes reconeguts. L’acceptació de la publicació serà notificada directament a l’autor amb una indicació de la data aproximada de publicació. En cas que una comunicació no fos acceptada, també se n’enviarà notificació.

3. Per a la presentació de treballs originals, l’autor trametrà a l’adreça noubiaix@gmail.com un arxiu, en Word o en LaTeX, amb un document a doble espai i amb marges amplis (65 caràcters per línia). Els gràfics, diagrames i figures hauran de ser originals (no fotocopiats). Els arxius gràfics es presentaran en format eps o tif.

4. La contribució haurà d’incloure el títol, el nom de l’autor o autors, la seva adreça professional completa i la seva adreça electrònica. S’adjuntarà un resum no més llarg de 300 paraules en català i anglès. Al final del document s’inclourà obligatòriament la bibliografia per ordre alfabètic de cognoms, d’acord amb la normativa APA; exemples: Articles Albertí, M. (2002). Les Matemàtiques des d’una perspectiva cultural: Etnomatemàtiques. Biaix, 20, 6-25.

Llibres Godino, J., Font, V. (2003). Razonamiento algebraico para maestros. Granada: Universidad de Granada.

Capítols de llibres Edo, M., Revelles, S. (2004). Situaciones matemáticas potencialmente significativas. Dins M. Antón i B. Moll (ed.), Educación Infantil. Orientaciones y recursos (0-6 años) (p. 410/103-410/179). Barcelona: Praxis.

Actes de congressos Morales, M., Font, V., Planas, N. (2004). Estudio microetnográfico en torno a un conocimiento matemático situado. Dins A. Franzé i altres (ed.), Actas de la I Reunión Científica Internacional sobre Etnografía y Educación (CD-ROM). València: Germanía, Polis Paideia.

Pàgines web Ibanyez, A., Paolu, N., Pedreira, J. (2007). Reloj Binario de sobremesa, a Microsiervos. http://www.microsiervos.com/archivo/gadgets/reloj-binario-sobremesa.html

5. Els continguts de Nou Biaix estan subjectes —llevat que s’indiqui el contrari en el text, en les fotografies o en altres il.lustracions— a una llicència de Reconeixement-No comercial-Sense obra derivada 3.0 de Creative Commons, el text complet de la qual es pot consultar a http://creativecommons.org/ licenses/by-nc-nd/3.0/es/deed.ca. Així, doncs, s’autoritza al públic en general a reproduir, distribuir i comunicar l’obra, sempre que es reconegui l’autoria i l’entitat que la publica, i no se’n faci un ús comercial ni es difongui cap obra derivada.

6. Els articles es publicaran en llengua catalana. Només es traduiran al català les contribucions acceptades realitzades per autors no residents als Països Catalans.

7. Els autors es responsabilitzaran del compliment de les normes establertes per a l’autorització de la reproducció de material procedent d’altres fonts bibliogràfiques.

8. Els articles tindran una extensió d’entre 6 i 12 pàgines de text —és a dir, un total màxim de 12.000 caràcters—, incloses les notes a peu de pàgina. Podran anar acompanyats d’il·lustracions, sempre que no superin l’extensió de dues pàgines. En definitiva, tot complet —quan el text contingui quadres, figures, fotografies, gràfics, mapes, etc.— no podrà superar, en cap cas, les 15 pàgines.

9. Fem notar que en aquesta publicació s’utilitza preferentment el punt per separar decimals, en lloc de la coma recomanada per l’IEC, per tal de facilitar la comprensió de les expressions matemàtiques.

22/02/2018 9:08:04

editorial

2009-2010• 3

editorial

Si bé aquestes escoles són diferents −escola infantil, escola primària, escola de l’adolescència i escola de la joventut−, no volem que s’ensenyin coses diferents, sinó les mateixes coses de maneres diferents.

Jan Amos Komenski (Comenius), Didàctica magna, s. XV

Estem deixant enrere un 2017 carregat d’activitats, notícies i tensions. El mes de juliol passat es va celebrar a Madrid el VIII CIBEM, Congreso Iberoamericano de Educación Matemática, en el qual es van integrar les JAEM corresponents a aquest any. Val a dir que el nombre de comunicacions de mestres i professors que venien de les terres on ens saludem dient «bon dia» va ser molt gran, com acostuma a passar; sembla que tenim una gran inquietud per comunicar allò que fem. Un altre dels esdeveniments generals d’intercanvi de coneixement va ser la Jornada Conjunta del 30 de setembre organitzada per la SCM, la FEEMCAT, Xeix i Al-Khwarizmi, en què, entre altres qüestions, es van presentar les noves bases del Premi Maria Antònia Canals, que podreu trobar en aquest número. Des de NouBiaix us volem animar a aportar-hi les vostres experiències. En aquest mateix número podeu trobar una síntesi dels debats i les experiències que s’hi van exposar. Un dels aspectes que també volem destacar és la presentació dels treballs de la Comissió per a l’impuls de les conclusions del c2em.

Des d’aquest número i de manera anual, ens aniran informant de com evolucionen els treballs d’aquesta comissió fins al proper Congrés d’Educació Matemàtica que tindrà lloc el proper 2020.

Atès que redactem aquest editorial a finals d’octubre, volem fer esment d’una qüestió que ha estat notícia darrerament i que té a veure amb el fet que hi ha polítics que opinen que els mestres i els professors de les escoles catalanes adoctrinen els seus estudiants. Recordem que adoctrinar és el procés d’inculcar a les persones idees, actituds, estratègies de coneixement o metodologies professionals; fins aquí tot bé. La situació negativa apareix quan la persona és incapaç de qüestionar-se o d’examinar críticament el que ha après; en aquest cas, diem que està adoctrinada. I estem segurs, i volem dir-ho molt alt i clar, que nosaltres, mestres i professors de Catalunya, intentem que els nostres estudiants siguin capaços de qüestionar-se i examinar críticament tot el que aprenen. Sembla força clar que en aquest cas la frontera entre educació i adoctrinament depèn de les intencions i dels ulls dels qui miren i jutgen.

En aquest número no hi trobareu dues de les seccions habituals: «El racó del MMACA» i «Per pensar d’un minut a una hora», ja que els editors han pensat que forçar a dues col·laboracions

4 noubiaix 41

a l’any era pressionar massa. És per això que algunes seccions passen a tenir una periodicitat anual, principi, però, que podem saltar-nos en qualsevol moment. Per a substituir-les, en aquest exemplar n’hi trobareu dues de noves: una al voltant del món de la papiroflèxia, que l’autor, Jaume Coll, anomena «El racó de l’oriflèxia», i l’altra sobre els treballs de la comissió de seguiment de les conclusions del c2em. També volem reservar un espai per a les activitats que desenvolupen les associacions que editen la revista.

A banda, podreu llegir els cinc articles que formen el gruix de la revista, que, com sempre, hem procurat que abastin tots els nivells educatius, des de primària fins a la Universitat, i que la seva lectura sigui interessant per a tothom.

En el primer treball, Pere Puig ens explica d’una manera molt amena les idees estadístiques que hi ha al darrere dels mètodes de comptatge anomenats de captura i recaptura. Ell és un investigador de primer nivell sobre aquest tema, i ha fet un esforç per escriure un article molt clar, de manera que sigui apropiat per als treballs a classe dels professors de batxillerat i de secundària. Els editors us recomanen, sense cap vacil·lació, que el llegiu. Creiem que us ho passareu molt bé.

Després podreu gaudir amb una entrevista amb Carles Barceló, en la qual es refereix al material sobre l’aprenentatge de l’estadística E3.

Guillem Bonet ens presenta, en el seu article «La calculadora d’Ahmes», una reflexió sobre el sistema de numeració i el significat de les seves operacions a través de la investigació, com a base de l’aprenentatge matemàtic.

Abraham de la Fuente i Jordi Deulofeu, en el seu article «La multidimensionalitat de l’àlgebra escolar. Una proposta d’itinerari didàctic», ens comenten les seves idees fruit de les reflexions i les conclusions que el primer autor va fer durant la seva tesi doctoral, tutoritzada pel segon. La tesi es titulava «Construcció del llenguatge algebraic en un entorn de resolució de problemes» i es va defensar el novembre de 2016 a la Universitat Autònoma de Barcelona.

Finalment, en l’article «Experimentem amb miralls», Ingrid Tena ens presenta una activitat que té per objectiu observar fenòmens matemàtics amb material manipulable.

Per acabar, volem encoratjar tots els lectors a explicar per mitja d’aquesta revista, la vostra, les propostes, experiències o idees que considereu d’interès per a la comunitat d’ensenyants de matemàtiques del nostre país. Esperem els vostres articles!

Els editors

desembre 2017 5

articles

articles

6 noubiaix 41

Comptant poblacions amagades: el mètode de captura-recaptura Pere Puig Departament de Matemàtiques Universitat Autònoma de Barcelona

Resum No sempre comptar és fàcil, perquè algunes vegades allò que volem comptar és poc accessible, o, fins i tot, pot estar amagat. En aquest article farem una petita introducció als mètodes de captura-recaptura, que són unes eines estadístiques molt útils per a estimar el nombre d’individus de les anomenades poblacions amagades.

Abstract Counting is not always a simple task, as sometimes what we want to count is not accessible or, indeed, can be hidden. This article presents a short introduction to capture-recapture methods, which are very useful statistical tools for estimating the number of individuals in so-called «hidden populations».

L’esser humà, d’ençà que existeix, ha volgut controlar el seu entorn. Una manera bàsica de fer-ho és comptant. Segurament va començar comptant coses quotidianes, com ara dits, aliments, animals o persones, desenvolupant pel camí sistemes de numeració i algorismes.

Però comptar no sempre és fàcil, perquè algunes vegades allò que volem comptar és poc accessible, o, fins i tot, pot estar amagat. Com comptar el nombre de peixos d’una certa espècie que hi ha dins d’un llac? Com saber el nombre de consumidors d’un cert tipus de droga en una ciutat? En aquest article farem una petita introducció dels anomenats mètodes de captura-recaptura, que són unes eines estadístiques molt útils per a estimar el nombre d’individus de les anomenades poblacions amagades.

Per a il·lustrar la metodologia més bàsica, començarem amb un experiment molt senzill que pot dur-se a terme en una aula de classe.

Quants cigrons hi ha a la tassa? L’experiment Tenim una tassa plena de cigrons i preguntem a la classe com saber (estimar) el nombre de cigrons sense haver-los de comptar un per un. Es pot explicar, per exemple, que la tassa pot

desembre 2017 7

representar un llac i que cada cigró seria un peix d’una determinada espècie. Algun estudiant podria suggerir pesar un cigró (o potser vint, segons la precisió que tingui la balança) i després pesar la tassa plena, i a partir d’aquí deduir el nombre de cigrons (descomptant el pes de la tassa buida). Tot i que aquest mètode podria ser molt bo per al nostre experiment, cal explicar als estudiants que en el cas del llac i els peixos seria irrealitzable i no tindria sentit.

Comencem per descriure el nostre mètode. Agafem amb la mà un grapat de cigrons, els comptem i els fem una marca amb un retolador vermell . El nombre de cigrons que hem agafat l’anomenem n1 . Vegeu la figura 1. Continuant el símil del llac, n1 seria el nombre de peixos que hauríem capturat utilitzant una xarxa, parant trampes o amb algun mètode no lesiu, de manera que els animals estiguin vius i no pateixin. La marca, també no lesiva, podria ser algun tipus d’anella o un punt de pintura resistent a l’aigua. D’altra banda, hi ha peixos que individualment es poden identificar per la diferent estructura de taques dels seus cossos (els neros, per exemple). En aquests casos, la manera de marcar-los seria simplement fer-los una fotografia.

Posem els n1 cigrons marcats dins de la tassa amb els altres i els barregem ben barrejats. És molt important que la barreja estigui ben feta. En el cas dels peixos, el que es faria en aquest punt del procés seria alliberar al llac els n1 peixos marcats prèviament i esperar un cert temps, de manera que els peixos es barregin els uns amb els altres.

Tornem a agafar un grapat de cigrons de la bossa i els comptem. El nombre de cigrons que hem agafat ara l’anomenem n2 . En principi, no importa si el valor de n2 és diferent o igual al de n1 . Amb aquesta segona captura trobarem que alguns cigrons ja estan marcats (recapturats), i d’altres, no. El nombre de cigrons que ja estan marcats l’anomenarem m. Vegeu la figura 2.

En el cas dels peixos, es faria una segona captura no lesiva, comptant-los (n2 ) i veient quants n’hi havia que ja estaven marcats (m).

Figura 1. Agafem de la tassa n1 = 83 cigrons, i els marquem amb un retolador.

8 noubiaix 41

Figura 2. Barregem bé el cigrons marcats amb els altres i agafem una nova mostra de n2 = 62 cigrons; en trobem m = 8 que ja estaven marcats i 54 que no.

Quants cigrons hi ha a la tassa? Els càlculs Resumint els resultats de l’experiment, tenim una primera captura de cigrons que marquem amb un retolador de mida n1 i una segona captura de mida n2 , dels quals trobem que m ja estaven marcats. Anomenem N el nombre total de cigrons que hi ha a la tassa, que és justament la quantitat que volem estimar. Observem que la proporció de cigrons marcats que hi ha a la tassa és n1 /N. D’altra banda, la proporció de cigrons marcats que trobem en la segona captura és m/n2 . Si la barreja dels cigrons marcats amb els altres ha estat ben feta, aquestes dues proporcions haurien de ser semblants, és a dir, n1 m ∼ N n2 D’aquí, aïllant N, trobem una manera aproximada de calcular (això ho anomenem estimar) el nombre de cigrons: N∼

n1 n2 m

(1)

Aquesta expressió és coneguda com l’estimador de Lincoln-Petersen. El nom prové de dos dels seus precursors, Frederick C. Lincoln i Carl G. J. Petersen. El primer va néixer a Denver, Colorado, el 1892, i va ser un dels principals desenvolupadors dels mètodes de registre, anellatge i seguiment d’ocells migratoris als EUA. Petersen va néixer a Dinamarca el 1860 i va estudiar l’abundància i les migracions de poblacions de peixos (en particular, palaies).

Tot i que aquest estimador ha passat a la historia de l’estadística amb el nom d’aquests dos científics, de fet molt abans, al voltant del 1662, John Graunt va estimar la població de Londres utilitzant mètodes molt semblants. De la mateixa manera, Laplace, a finals del segle xviii, va estimar també el nombre d’habitants de França. En ambdós casos, en lloc de fer una captura física dels individus es van fer servir llistes de registres públics. Aquesta és una manera molt freqüent d’aplicar els mètodes de captura i recaptura en medicina i en ciències socials, com veurem posteriorment.

desembre 2017 9

Condicions de validesa del model La realitat experimental no sempre permet que l’estimador de Lincoln-Petersen (1) ens proporcioni una bona estimació de N. Per a això es necessari assegurar-nos que certes condicions bàsiques experimentals es compleixen. Aquestes condicions són les següents: 1. La població ha de ser tancada. Això vol dir que N es considera constant durant el període d’estudi. No poden haver-hi naixements, morts ni migracions durant el període de captura-recaptura.

2. Tots els individus han de tenir la mateixa probabilitat de ser capturats, tant en la primera com en la segona captura. No hi pot haver diferencies degudes, per exemple, a la mida de l’animal, a l’edat o al sexe.

3. El marcatge no ha d’afectar la probabilitat de captura de l’individu. Per exemple, si la primera captura és traumàtica, és molt possible que sigui més difícil capturar l’animal la segona vegada i aleshores el model no seria vàlid. En el cas de poblacions humanes en què s’utilitzen llistes, aquest condicionament exigeix que les dues llistes siguin independents.

4. Els individus no han de perdre les marques entre la primera captura i la segona. Cada individu ha de ser perfectament identificable i distingible.

De totes aquestes condicions, la que falla més sovint és la segona. Quan passa això, una manera d’arreglar-ho és estratificant. Per exemple, en una espècie animal en què els individus joves són més fàcils de capturar que els vells, hauríem de fer a la pràctica dos experiments, comptant els joves i els vells per separat.

Funciona sempre aquest estimador? Parlem de probabilitats Notem en (1) que si m és zero, és a dir, si no trobem cigrons o peixos marcats en la segona captura, l’estimador no tindria sentit perquè estaríem dividint per zero. Intuïtivament ja es veu que això ho podem evitar si agafem n1 i n2 prou grans; però, com de grans? Per estudiar aquest problema, cal observar que la quantitat m és una variable aleatòria. És a dir, si tornem els cigrons novament a la tassa i repetim la segona captura (després de barrejar-los bé), agafant el mateix nombre de peixos o de cigrons n2 , el nombre d’individus marcats m serà segurament diferent, ja que aquest nombre varia a l’atzar, és fruit d’un experiment aleatori. Aleshores ens preguntem: quina és la probabilitat que m sigui zero? És freqüent o no que pugui passar això? Aquesta probabilitat es pot calcular amb l’anomenada regla de Laplace, segons la qual n’hi ha prou amb comptar i fer el quocient entre el nombre d’esdeveniments elementals que componen l’esdeveniment m = 0 i el nombre total d’esdeveniments elementals, que és el nombre total de maneres en què podem agafar n2 peixos d’un total de N, és a dir, les combinacions sense repetició de N elements presos de n2 en n2 , que s’expressen com a CN,n2 i que es calculen amb la coneguda fórmula: CN, n2 =

N! (N − n2 )! n2 !

10 noubiaix 41

Recordem que el signe d’admiració indica el factorial d’un número de manera que k! = 1 · 2 · 3 · . . . · (k − 1) · k sent per definició 0! = 1. D’altra banda, el nombre d’esdeveniments elementals que componen l’esdeveniment m = 0 és justament el nombre de maneres en què podem agafar n2 peixos d’un total de N − n1 que no estan marcats. Això novament ens porta al càlcul del nombre de combinacions sense repetició, en aquest cas de CN−n1 , n2 =

(N − n1 )!

(N − n1 − n2 )! n2 !

Naturalment, aquesta expressió només té sentit sempre que N ≥ n1 + n2 que és la situació habitual. Notem que si N < n1 + n2 mai podríem observar a la segona captura m = 0. Seguint ara la regla de Laplace, la probabilitat que m sigui zero, que denotarem com a P(m = 0), vindrà donada per l’expressió: P(m = 0) =

CN−n1 , n2 (N − n1 )!(N − n2 )! = CN, n2 (N − n1 − n2 )! N!

(2)

Per exemple, si el nombre de peixos en ell llac fos de N = 500 i en la primera captura n’agaféssim n1 = 20 i en la segona n2 = 25, aleshores tindríem: P(m = 0) =

480! 475!

455! 500!

Atès que aquests factorials donen valors molt grossos, és millor simplificar primer aquesta darrera expressió, obtenint: P(m = 0) =

480! 475! 475 · 474 · · · 457 · 456 475 474 457 456 · ··· · = = = 0,3512 455! 500! 500 · 499 · · · 482 · 481 500 499 482 481

En el pla numèric, per tal d’evitar overflows en fer operacions amb números molt grossos, és molt millor avaluar les 20 fraccions que hi ha entre 475/500 i 456/481 i després multiplicar els resultats. Això ho podem fer fàcilment amb una calculadora o amb un full d’Excel. Procedint així, finalment la probabilitat calculada ens està indicant que un 35,12% de les vegades que féssim una segona captura d’aquesta mida obtindríem un valor m = 0 i, per tant, l’estimador de Lincoln-Petersen no seria útil. Aquesta probabilitat la trobem massa alta! Això simplement ens està informant del fet que uns valors de n1 = 20 i de n2 = 25 no serien gaire apropiats per a mesurar una població de l’ordre de N = 500. A continuació plantegem com un exercici d’ampliació el càlcul de la probabilitat de trobar en la segona captura exactament k peixos marcats, on k és evident que pot variar entre 0 i n1 : Exercici. Demostreu que P(m = k) = Cn1 , k

CN−n1 , n2 −k CN, n2

(3)

Aquesta distribució de probabilitats de m, expressada a l’exercici, és coneguda en la literatura com a distribució hipergeomètrica. Podeu trobar molta informació sobre aquesta distribució en llibres d’introducció a la teoria de probabilitats i també en enllaços d’internet. El que té de bo de

desembre 2017 11

ser una distribució coneguda és que molts programes i aplicacions informàtiques la tenen implementada. Per exemple, per a calcular P(m = k) amb Excel només cal escriure =DISTR.HIPERGEOM(k; n2 ; n1 ;N) i automàticament obtindrem el resultat indicat en (3). D’aquesta manera, podem fer moltes exploracions i càlculs interessants. Per exemple, explorant la situació experimental en què n1 = n2 = n, podem fer un gràfic posant en l’eix de les abscisses els valors de la grandària poblacional N i en l’eix de les ordenades el valor de n que fa que P(m = 0) sigui petita, posem pel cas de 0,1 (10%). Per exemple, per a N = 500 i n = 20 trobem que =DISTR.HIPERGEOM(0; 20; 20; 500) ens dona 0,4349; per a n = 35 tenim que =DISTR.HIPERGEOM(0; 35; 35; 500) ens dona 0,0718, i així per tempteig trobem que el valor de n que proporciona la probabilitat més pròxima a 0,1 és n = 33 (sempre aproximem per defecte). La figura 3 ens mostra aquests valors de n en funció de la grandària poblacional N. Observem que per a una grandària N = 1.000 recomanaríem utilitzar una mida de la captura de n = 47, que representa un 4,7% de la població. En canvi, per a N = 100 resultaria n = 15, que representa un 15% de la població. Això ens indica una cosa que és molt lògica: per a poblacions petites el mètode de captura-recaptura no és gaire eficient.

La correcció de Chapman L’estimador de Lincoln-Petersen (1), tot i que és molt senzill i intuïtiu, no funciona gaire bé quan m és petit. És clar que en el cas extrem en què m = 0 el valor de l’estimador seria molt i molt gran: infinit! Però aquest estimador també tendeix a donar valors més grans del compte quan m és petit, és a dir, tendeix a sobreestimar el valor de la grandària poblacional per als valors petits de m, produint el que anomenem un biaix. Per aquesta raó, Douglas G. Chapman va introduir el 1951 una correcció de l’estimador de Lincoln-Petersen (1), que té millors propietats perquè redueix aquest biaix o sobreestimació de la grandària poblacional per a valors de m petits. L’estimador o correcció de Chapman és el següent: NC ∼

(n1 + 1)(n2 + 1) −1 m+1

(4)

50 45 40 35 30 n

25 20 15 10 5 0 100

300

500

700

900

Grandària poblacional N Figura 3. Mida recomanada de la captura n en funció de la grandària poblacional N .

12 noubiaix 41

Tot i que la correcció de Chapman elimina el problema que teníem quan m = 0, encara convé tractar d’evitar els valors petits de m agafant valors prou alts de n1 i n2 .

Aplicacions diverses A continuació descriurem alguns exemples d’aplicació, fora de l’àmbit de l’ecologia (abundància d’animals), per posar de manifest la utilitat d’aquesta metodologia en diverses àrees.

Càlcul del nombre de consumidors d‘heroïna: Bangkok 1994 Un clàssic en l’àmbit de les aplicacions dels mètodes de captura-recaptura en la salut pública és l’article de Mastro et al. (1994). En aquest article s’estima d’una manera certament enginyosa el nombre de consumidors d’opiacis (essencialment heroïna) per via injectada.

Es considera com a primera captura el conjunt de tots els individus que es troben sota tractament de metadona per tal de superar la seva addicció, en 18 centres d’atenció a la ciutat. Aquest valor és de n1 = 4.064. Com a segona captura, es consideren els registres policials d’individus sota detenció que donen positiu d’opiacis en una anàlisi d’orina. Això es fa en 72 comissaries i s’obté n2 = 1.540. El nombre d’individus coincidents en les dues llistes va ser de m = 171. Partint d’aquestes dades, l’estimador de Lincoln-Petersen (1) dona un ·1540 nombre de consumidors de N ∼ 4064171 = 36600.

En aquest cas, la correcció de Chapman (3) ens dona un valor molt semblant: NC ∼

4065 · 1541 − 1 = 36419 172

Malgrat que aquest exemple ha tingut una gran influència i ha servit com a punt de partida per a altres estudis que s’han fet en diversos indrets del món, cal assenyalar que algunes de les condicions de validesa del model són qüestionables. Si bé les condicions 1 i 4 les podem admetre, això no passa amb les condicions 2 i 3. És creïble que tots els consumidors d’heroïna tinguin la mateixa probabilitat d’aparèixer en una d’aquestes dues llistes? Creiem que no! Segurament existeix un perfil de consumidor que mai se sotmetrà a un tractament de metadona. Tampoc no és clar que tots els consumidors hagin de delinquir forçosament i hagin d’aparèixer tard o d’hora en un registre policial. Això no obstant, la xifra obtinguda sembla bastant raonable i proporcionalment similar a altres recollides en diferents ciutats en aquella època.

Càlcul del nombre de fumadors: Universitat de Barcelona, curs 1997-1998 Freixa et al. (2000) van portar a terme un interessant treball sobre el nombre de fumadors de deu o més cigarrets diaris entre els estudiants de les facultats d’Econòmiques i de Psicologia i l’Escola Universitària de Professorat de la Universitat de Barcelona. Les «captures» van consistir a passar una enquesta als estudiants que utilitzaven les màquines expenedores de tabac que hi havia en els serveis de bar-restaurant de la Facultat d’Econòmiques i del campus de la Vall d’Hebron. En la primera captura, obtinguda després d’una observació de vuit hores al llarg de dos dies, es va registrar un total de n1 = 111 estudiants. En la segona captura,

desembre 2017 13

també obtinguda després d’una observació de vuit hores al llarg de dos dies, diferents dels de la primera captura, però en la mateixa franja horària, el resultat va ser de n2 = 97 estudiants. El nombre d’estudiants que apareix en les dues captures és de m = 5. En aquest cas, l’estimador de Lincoln-Petersen (1) i la correcció de Chapman (3) ens donen uns valors de N ∼ 2153 i NC ∼ 1828. Els autors utilitzen aquesta estimació del nombre de fumadors, juntament amb la informació del nombre d’estudiants matriculats, per a estimar la prevalença dels fumadors.

Conductors «capturats» en controls d‘alcoholèmia: UK 2011-2015 El diari del Regne Unit The Guardian publicava el 30 de desembre de 2016 una relació del nombre de conductors que havien donat positiu en controls d’alcoholèmia entre 2011 i 2015.

En concret, la notícia es referia als conductors que havien rebut la sanció coneguda com a DR10 endorsement. La notícia especificava que 219.008 conductors havien donat positiu un cop, 8.068 havien donat positiu dos cops, 449 tres cops, 46 quatre, 5 cinc i 2 sis cops.

Notem que aquest és un patró de captura-recaptura molt més complex que el que hem descrit anteriorment, però el podem simplificar si considerem la primera captura com aquells individus que durant aquest període han donat positiu només en un control d’alcoholèmia, és a dir, n1 = 219.008. La grandària de la segona captura no la coneixem, perquè no tenim informació de quants conductors no han donat positiu en els controls d’alcoholèmia. Però el nombre de conductors recapturats sí que el tenim, i correspondria a aquells que han donat positiu més d’un cop, és a dir, m = 8068 + 449 + 46 + 5 + 2 = 8.570. Aleshores, pensant que l’esforç en la segona captura al llarg dels cinc anys d’estudi seria el mateix que en la primera, suposaríem que n2 = n1 = 219.008. Això, ho repetim, seria una simplificació del problema, que de fet és molt més complex. Partint d’aquí, l’estimació del nombre total de conductors que han conduït sota els efectes d’una ingestió no autoritzada d’alcohol seria de N ∼ 5.586.792 i NC ∼ 5.596.189. Cal dir que aquests valors són molt semblants als obtinguts utilitzant mètodes més sofisticats, tenint en compte el patró de captura-recaptura real d’aquest problema. Com a punt de reflexió comentarem que, segons The Guardian, el nombre total de conductors que han donat positiu en els controls ha estat de 227.578. Tenint en compte l’estimador de Chapman, aquesta xifra només representaria el 4,1% del total de conductors que donarien positiu en el cas que els aturessin per a fer un control. Aquest tant per cent és molt baix, però sincerament no ens sorprèn!

Les prostitutes de Costa d‘Ivori i de Kisumu, Kenya Els mètodes de captura-recaptura també s’han utilitzat per a mesurar grups de població socialment marginats, com és el cas de les prostitutes. Vuylsteke et al. (2010) estimen la població de prostitutes en tres ciutats de Costa d’Ivori i a Kisumu (Kenya). A les quatre ciutats la primera captura es va fer un dissabte. Els equips d’investigadors assignats per a aquesta tasca van visitar els punts clau de cada ciutat en hores punta de l’activitat. Van identificar les prostitutes i van obtenir el seu consentiment per a participar en l’estudi contestant a un petit qüestionari. A cadascuna se li va donar una targeta, que va ser el mecanisme de «marcatge».

Per exemple, amb aquest procediment experimental, a la ciutat de San Pedro es va obtenir n1 = 949 i a Kisumu el valor va ser de n1 = 651. La segona captura es va fer sis dies més tard, un divendres, en els mateixos llocs i hores que en la primera, utilitzant els mateixos equips d’investigadors i els mateixos procediments operatius. Aquesta vegada es van obtenir uns

14 noubiaix 41

valors de n2 = 862 a San Pedro i de n2 = 680 a Kisumu. A les prostitutes de la segona captura se’ls va preguntar si ja havien rebut anteriorment una targeta de reconeixement de la seva col·laboració. Aquelles que van contestar que sí van ser les «recapturades», i es van obtenir unes xifres de m = 427 a San Pedro i de m = 328 a Kisumu. Els valors de les grandàries de les poblacions en les dues ciutats estimades usant l’estimador de Lincoln-Petersen (1) van ser de N ∼ 1.916 i N ∼ 1.350, respectivament. Els autors de l’article fan, de fet, unes estimacions una mica més elaborades tenint en compte també el percentatge de prostitutes que van refusar de participar en l’estudi.

Com a cloenda: captura-recaptura, un ventall de possibilitats Els mètodes de captura-recaptura constitueixen una línia de recerca actual en estadística matemàtica, disciplina en què treballen molts investigadors. El llibre recent de Böhning et al. (2017) és un compendi de les aportacions més recents a la medicina i les ciències socials dins d’aquest àmbit. Si fem als nostres estudiants una petita introducció als mètodes de captura-recaptura, en termes similars al que hem tractat en aquest article, podem produir un feedback juntament amb uns punts de reflexió comuns que poden ser molt interessants.

Preguntem als estudiants, com un repte, on aplicarien aquesta metodologia. Quines poblacions amagades podrien ser del seu interès? És possible que tinguem sorpreses. Al llarg dels anys he sentit moltes propostes diferents, algunes assequibles, d’altres no, però moltes han estat singularment creatives. Des de propostes d’experiments per a mesurar quanta gent copia en un examen, o entra al metro sense pagar, fins a experiments per a saber quants cotxes Volkswagen escarabat de color groc hi ha a Barcelona. En qualsevol cas, pot ser un mitjà útil per a fomentar la seva imaginació i la seva creativitat.

Referències Bohning, D., Van der Heijden, P.G.M., Bunge, J. (2017). Capture-Recapture Methods for the Social and Medical Sciences. Series: Chapman & Hall/CRC Interdisciplinary Statistics, Chapman and Hall/CRC [ISBN 9781498745314] Freixa, M., Guàrdia, J., Luisa Honrubia, M., Peró, M. (2000). Estimación de la prevalencia a partir de los métodos de captura-recaptura. Psicothema, 12, Supl. 2, 231-235.

Mastro, T. D., Kitayaporn, D., Weniger, B.G. et al. (1994). Estimating the number of HIV-infected injection drug users in Bangkok: a capture-recapture method. American Journal of Public Health, 84(7), 1094-1099.

Vuylsteke, B., Vandenhoudt, H., Langat, L., Semde, G., Menten, J., Odongo, F., Anapapa, A., Sika, L., Buve, A., Laga, M. (2010). Capture-recapture for estimating the size of the female sex worker population in three cities in Côte d’Ivoire and in Kisumu, western Kenya. Tropical Medicine & International Health, 15, 1537-1543[DOI 10.1111/j.1365-3156.2010.02654.X]

desembre 2017 15

Experimentem amb miralls Ingrid Tena CEIP Mas Maria, Cabrils Grup de treball Àrea

Resum «L’objectiu principal de l’educació és crear persones capaces de fer coses noves i no simplement repetir el que altres generacions van fer» (Jean Piaget). Amb aquesta finalitat sorgeix «Experimentem amb miralls», que té com a objectiu observar fenòmens matemàtics mitjançant material manipulatiu que sovint destinem a un sol fi. És una activitat duta a terme a segon de primària i té com a objectiu treballar les simetries, observar transformacions geomètriques, els dobles, els triples i la introducció a les taules de multiplicar mitjançant miralls. Manipular, observar i provocar la reflexió és el que s’ofereix als alumnes, mentre la mestra està al seu costat escoltant i fent de guia en la construcció del seu aprenentatge. «La ment que s’obre a una nova idea mai tornarà a la seva mida original» (Albert Einstein).

Abstract «The principal goal of education . . . should be creating men and women who are capable of doing new things, not simply repeating what other generations have done» (Jean Piaget). Thus, «Experiments with mirrors», which aims to observe mathematical phenomena through inventive hands-on activities. Second-year primary students look at symmetry, geometric transformations, doubles and triples, and are introduced to multiplication tables using mirrors. They are encouraged to manipulate, observe and provoke reflections, with the teacher listening and providing guidance in the learning process. «The mind that opens to a new idea will never return to its original size» (Albert Einstein).

Els mestres sovint ens queixem de l’escassetat de recursos que tenim a l’aula, però sovint he pogut veure que a les escoles tenim materials entaforats a l’armari que no emprem perquè no sabem com usar-los, o que tendim a utilitzar-los amb un sol objectiu sense plantejar-nos si en podem extreure més benefici. La pregunta que em plantejo a vegades és: com els puc esprémer al màxim? He pogut comprovar que part de la resposta roman en la formació i la creativitat del mestre, escapçada en les darreres dècades per l’ús inqüestionable dels llibres de text entesos com a currículum, ignorant alhora el currículum normatiu.L’altra part, importantíssima i que sovint ens passa per alt, està en l’escolta activa d’allò que diuen els nostres alumnes, rics en idees, creativitat, coneixements i imaginació. Moltes vegades

16 noubiaix 41

tenim les propostes davant nostre, però no les escoltem, no les sabem veure, perquè ens encaparrem a voler que els alumnes ens donin la resposta correcta que nosaltres tenim al cap o que emprin la frase que surt en negreta en el llibre de text. Cal, doncs, que canviem la nostra perspectiva com a docents, que mantinguem la ment oberta i que tinguem present una gran frase d’Emma Castelnuovo: «Les matemàtiques s’aprenen, no s’ensenyen».

«Experimentem amb miralls» va sorgir d’aquesta manera, intentant emprar un material per a un objectiu que no era l’estipulat. Inicialment em vaig proposar un objectiu diferent del que hi havia fixat a la caixa, però els alumnes van anar més enllà, a anys llum del que la mestra tenia al cap. Ells mateixos van ampliar els continguts curriculars a treballar, només experimentant, compartint els descobriments, raonant i escrivint les seves troballes matemàtiques. El meu paper era plantejar dubtes o demanar als alumnes que comprovessin si allò que havien descobert es complia. Frases com: «N’estàs segur?», «Ho has comprovat?», «M’ho pots explicar?» fan que els alumnes hagin de comunicar el que han descobert, cosa que els obliga a estructurar el seu pensament i a organitzar les idees.

Així va començar tot...

Un dia vaig dur a l’aula dels Jocs Olímpics (2n de primària) un material anomenat «Mirror experiment box». En aquesta caixa podem trobar diversos miralls que es poden posar en diferents angles i que permeten fer diferents figures. L’objectiu d’aquest material és construir les simetries que se’ns proposen en unes targetes.

En aquesta ocasió, em vaig proposar emprar-lo amb l’objectiu que els alumnes experimentessin què eren els dobles i els triples. Així que em vaig presentar a l’aula amb aquest material tan atractiu. Els vaig deixar que manipulessin lliurement, sense donar cap instrucció, amb la finalitat que s’hi familiaritzessin.

Figura 1. Materials de «Mirror experiment box».

desembre 2017 17

Un cop s’hi van avesar, els vaig demanar que anotessin en un full què passava matemàticament. L’única norma que havien de complir era que només podien treballar amb un sol mirall. Va ser curiós perquè van aparèixer diferents tipologies de descobriments: hi havia nens o nenes que es fixaven en aspectes numèrics i d’altres que descobrien continguts de caire geomètric.

Figura 2. Experimentant.

És interessant no condicionar els infants per tal que surti el màxim de diversitat de descobriments. També em va confirmar la idea que treballar en parella pot ser molt bo per a compartir els seus aprenentatges, ja que comporta haver de verbalitzar allò que s’està pensant, estructurar-ho i organitzar el que volen dir amb l’objectiu que l’altre ho comprengui.

Figura 3. Alumnes descobrint els dobles.

18 noubiaix 41

Figura 4. Descobriments geomètrics.

Els alumnes anoten els seus descobriments geomètrics: «Si posem diverses figures es veu un dibuix igual».

Amb referència als descobriments numèrics, sorgeixen comentaris com: «Si en poso un se’n veuen dos, si en poso 4 en veig 8».

Alguns dels alumnes ja posen nom matemàtic i diuen: «És el doble! Surt la taula del dos!».

Es van engrescar i van demanar si podien agafar els reglets per tal de poder fer el doble de nombres més grans. De seguida van veure que era comptar dues vegades, i els qui es desenvolupaven amb més confiança van arribar a fer el doble de nombres molt grans, com per exemple: «Si poso quatre reglets de desena, veig 8 desenes. El doble de 40 és 80».

Un cop entès el mecanisme de fer el doble, els va ser molt senzill fer els dobles de qualsevol nombre. Algun d’agosarat va arribar a poder fer el doble de 1.168.

Arribats a aquest moment en què els alumnes se sentien més segurs i ho havien interioritzat, la intervenció de la mestra havia d’ajudar a anar una mica més enllà: «Ho podríem expressar d’una altra manera?». Aquesta pregunta es pot formular si l’alumnat està acostumat a investigar les propietats de les operacions.

Van començar dient: «Si quatre és el doble de dos, dos és la meitat de quatre».

D’aquesta manera, els nens i nenes van anar anotant en el seu full d’investigació els seus descobriments; per exemple: «El doble de 40 és 80, llavors la meitat de 80 és 40».

Altres alumnes es fixaven més en la part visual, és a dir, en la geometria. Feien comentaris com: «Si poso un quadrat davant del mirall, veig un rectangle»; «Si poso mig cercle en surt un de sencer»; «Però si poso mig porquet no surt un porquet sencer, surt la mateixa meitat. I amb el senyor passa el mateix».

desembre 2017 19

Alguns alumnes van descobrir que hi ha objectes simètrics i altres que no ho són. A més a més, van observar transformacions geomètriques, indispensables per a les funcions lògiques del pensament. No es van quedar amb una sola imatge de la figura, sinó que van descobrir algunes de les seves propietats emprant el pensament lògic, aspecte fonamental per a l’aprenentatge de la matemàtica.

Compartim descobriments La sessió següent va tenir com a objectiu compartir el que havien descobert matemàticament els alumnes en les darreres sessions manipulatives. La meva tasca de mestra fou escoltar, fer-los comprovar amb el material allò que deien i recollir els conceptes matemàtics que anaven sorgint, com ara doble, simètric o no simètric.

En el cas dels descobriments dels dobles, es va fer una llista conjunta a la pissarra amb tots els dobles que havien descobert. Vam plantejar com es podia escriure mitjançant un algorisme i va sorgir la suma reiterada del mateix nombre. Vam expressar-ho d’altres maneres, com ara: visual amb representacions, algorismes dels maies, reglets de la Maria Antònia Canals, algorisme hindú, etc.

Exemple d’algorisme maia: 2 × 2; per saber el resultat es compten els punts d’intersecció.

Figura 5. Algorisme maia.

No es va escriure l’algorisme de la multiplicació, ja que després van portar a terme una feina d’investigació amb la calculadora que els va ajudar a descobrir quin era el signe matemàtic que podia substituir la suma reiterada.

Miralls oberts Durant les sessions posteriors, els alumnes ja no tenien la consigna de treballar amb un sol mirall; podien obrir-lo. Continuaven treballant en parelles i anotant en el seu full d’observació els descobriments matemàtics que anaven fent.

Va passar el mateix que en les darreres sessions, en què van fer descobriments de caire numèric: van aparèixer els triples, els terços, els quàdruples, els quarts i fins i tot els quíntuples.

20 noubiaix 41

Figura 6. Representació dels quíntuples.

Van anar associant que, quan sortia el triple, el que realment estaven fent era construir la taula del tres. Amb quatre reflexos feien la taula del quatre i amb el reflex de cinc, la taula de multiplicar del nombre cinc. Els miralls els van ajudar a tenir una representació visual del que realment és multiplicar.

Figura 7. Simetries amb miralls oberts.

D’altra banda, van aparèixer altres descobriments de caire geomètric: «Amb un sol reflex puc aconseguir un òval»; «Però si tanco el mirall surt una flor»; «Si poso un llapis i tanco el mirall, puc veure un rombe». És important que, un cop hagin experimentat i anotat els seus descobriments, ho comparteixin de nou en gran grup i ho comprovin novament amb el material a la mà.

Més enllà...

Mentre els alumnes explicaven els descobriments de caire geomètric, se’ls va acudir una pregunta: «Com podríem fer que es veiés infinit?». La pregunta era interessant, així que vaig

desembre 2017 21

deixar via lliure perquè poguessin pensar com fer-ho possible. Van sortir les primeres reflexions: «Hem de posar molts objectes»; «Però han de ser petits, perquè n’hi càpiguen molts».

Un company semblava tenir la resposta: «Necessitem bales!»; «I molts miralls!».

Entre tots van començar a pensar la manera de col·locar els miralls per tal d’aconseguir molts reflexos i poder veure infinites bales. Van provar diverses posicions, fins que...

«Han d’estar envoltades de miralls i mirarem per un forat!».

Amb les aportacions de tots van decidir fer un poliedre hexagonal de miralls; d’aquesta manera, les bales estarien envoltades de miralls i es podrien veure moltíssimes bales. I aquest va ser el resultat, entre crits d’alegria i d’emoció.

Com podeu veure, els alumnes van treure més profit del material que el que la mestra tenia pensat inicialment. Els continguts i els aprenentatges que vam poder treballar durant aquestes sessions d’experimentació ens van donar recursos que vam poder aplicar en altres situacions, com per exemple en el racó de geometria i en la resolució de problemes, i ens van proporcionar moltes eines per al càlcul mental.

A manera de conclusió Aquesta activitat és un reflex del que fem les persones al llarg de la vida: aprenem perquè tenim l’oportunitat d’equivocar-nos, de raonar, de provar opcions diferents, de compartir coneixements i d’exposar idees o hipòtesis. L’escola hauria de ser precisament un lloc on se’ns entrenés amb aquest objectiu, un espai en el qual tot pogués ser possible, un indret on l’error esdevingués un aspecte essencial i s’entengués com una oportunitat per aprendre.

Aquesta experiència permet treballar les matemàtiques de manera manipulativa, des de la pròpia experimentació dels alumnes. Així es potencien aspectes de l’ensenyament i de l’aprenentatge realment imprescindibles, com ara la creativitat, la motivació, la il·lusió i la complicitat entre mestres i alumnat.

«Experimentem amb miralls» va ajudar als alumnes a «tocar» les matemàtiques, experimentarles. Com a mestra em va permetre veure com cadascú arribava fins allà on podia arribar respectant el seu ritme d’aprenentatge, sense pressions, comprovant allò que anaven descobrint, compartint coneixements, i el que és més important, gaudint aprenent.

El fet de poder aprendre experimentant, passant-ho bé i essent el protagonista del propi aprenentatge fa que l’alumne esdevingui competent en altres àmbits de la seva vida quotidiana i en el seu futur. Això corrobora una frase excepcional que hauríem de tenir molt present: «Si m’ho expliques, ho escolto; si m’ho ensenyes, ho recordo; si m’hi involucres, aprenc» (anònim).

22 noubiaix 41

La calculadora d’Ahmés

Reflexió i raonament entorn del propi sistema de numeració i del significat de les seves operacions a través de la investigació, com a base de l’aprenentatge matemàtic Guillem Bonet Carbó INS Santa Coloma de Farners gbonet2@xtec.cat

Roser Matas Nadal INS Santa Coloma de Farners rmatas2@xtec.cat

Resum Estudi del propi sistema de numeració decimal a través de la investigació del sistema de numeració egipci. Aquesta experiència ha estat realitzada amb els alumnes de 1r d’ESO de l’INS Santa Coloma de Farners en coordinació amb el Departament de Socials, i amb alguna col·laboració esporàdica de l’assignatura de visual i plàstica.

El procés d’investigació que es proposa consisteix a descobrir el sistema de numeració i diversos algorismes de càlcul a l’antic Egipte, dels quals l’alumnat estudia la validesa i extreu propietats aplicables al sistema de numeració.

Paral·lelament, en l’assignatura de Socials s’estudia la vida, els costums i l’oligarquia a l’antic Egipte.

Abstract A study of the decimal system by means of investigation of the Egyptian numbering system, based on exercises carried out with second-year secondary students at the INS Santa Coloma de Farners school, in coordination with their Social and Arts departments.

The project was designed to explore the numbering system and various calculation algorithms used in ancient Egypt, from which students could study their validity and identify properties applicable to our numbering system.

At the same time, in terms of social studies, the life, traditions and oligarchy of ancient Egypt were also considered.

desembre 2017 23

1. Metodologia L’activitat que es descriu a continuació, portada a terme pels alumnes de 1r d’ESO a l’INS Santa Coloma de Farners a l’inici del curs 2015-2016, forma part d’un projecte d’estudi de la civilització egípcia treballat des de les assignatures de Socials, Matemàtiques i Educació visual i plàstica.

El pes lectiu que ha suposat aquest treball per a l’assignatura de Matemàtiques (única part del projecte que es descriurà a l’article) és de 8 hores lectives (una hora setmanal durant 8 setmanes).

A l’hora de planificar l’activitat, es va voler donar un gir a l’enfocament metodològic pel que fa a l’adquisició dels conceptes corresponents al sistema de numeració decimal (p. e.: unitat, desena, centena...), intentant que l’activitat que es preparava fos rica competencialment, la qual cosa va implicar la necessitat de buscar reptes per als alumnes i maneres de treballar a l’aula diferents de les habituals.

Per tant, seguint les idees de Burgués (2013) −«L’adquisició de les competències matemàtiques demana maneres de treballar que en potenciïn el desenvolupament [...] El professor ha de provocar curiositat i proposar reptes i donar prou temps per investigar i reflexionar.

Ha d’encoratjar l’alumne a construir els seus aprenentatges i ajudar-lo a prendre consciència del seu progrés. [...] Això ajudarà a crear una cultura de classe més basada en la interrogació que en la cerca de respostes immediates»−, ens va semblar molt coherent basar l’aprenentatge en la investigació, la reflexió i el treball en grup.

Naturalment, el canvi en l’enfocament metodològic va suposar una transformació significativa en les dinàmiques habituals dins l’aula, ja que els rols de professor i alumne esdevenien els de «mer coordinador» i «petits arqueòlegs», respectivament. Els alumnes s’agrupaven en equips heterogenis de quatre membres i investigaven sobre els punts que es demanaven en cada sessió.

Finalment, tot i que l’estudi dels nombres egipcis no és un contingut curricular de 1r d’ESO, sí que ho és l’estudi en general del propi sistema de numeració i, en concret, dels nombres naturals, els nombres enters, els nombres racionals i les fraccions. Amb aquest treball es pretén, doncs, aprofundir en l’estudi del propi sistema de numeració a través de la investigació del sistema de numeració egipci i les seves regles de càlcul.

2. Primeres investigacions

Què ens proposem?

Abans de començar a endinsar-nos en el càlcul en nombres egipcis, cal entendre el marc en el qual ens movem: cal conèixer qui eren els antics egipcis, en quins territoris i en quins períodes van viure, com s’organitzaven, com treballaven... en definitiva, com vivien el dia a dia. Aquesta part, marc necessari del nostre treball matemàtic posterior, es treballa a l’assignatura de Socials.

24 noubiaix 41

A l’assignatura de Matemàtiques ens centrem més en la part científica de la cultura egípcia, sobretot en la necessitat de conèixer les matemàtiques i la necessitat de transmetre el coneixement adquirit. Es demana als alumnes que portin a terme diferents investigacions en aquest sentit, treballant en petits grups i usant com a font d’informació la biblioteca del centre i Internet.

Imatge 1. L’escriba Ahmés i Henry Rhind, que ambientaven les aules de 1r d’ESO.

En aquest context apareix de forma natural, o si cal artificialment a proposta del professor, la figura de l’escriba Ahmés, el papir Rhind i la figura de Henry Rhind, l’arqueòleg que va descobrir els escrits d’aquell. És important que es parli dels escribes i, en particular, d’Ahmés, perquè en la resta del treball ens endinsarem en una part de l’aritmètica mostrada al papir Rhind.

Reflexions del professor Un inconvenient amb què ens hem trobat en aquesta part del treball és que els alumnes tendeixen a copiar literalment tot el que troben a Internet relacionat amb el tema, sense cap mena de filtratge. Per tant, si ho considerem necessari, serà convenient mostrar als alumnes algunes pautes a seguir a l’hora de recollir informació d’Internet.

En el moment de la posada en comú del que s’ha trobat, del que els alumnes han considerat interessant en les seves cerques d’informació, han sortit idees molt interessants. Per exemple, alguns alumnes explicaven importants descobriments científics que s’havien fet, que donaven sentit a la recerca científica i que milloraven considerablement la vida dels antics egipcis. Una d’aquestes troballes era la predicció de les riuades del Nil, un fet important per a l’avenç de l’agricultura i de la geometria.

A mesura que es trobava informació interessant, el professor demanava als alumnes que desenvolupessin aquell punt en forma de pòster per exposar a l’aula. D’aquesta manera, el grup informava els altres companys de la seva troballa i s’ambientava l’aula amb material treballat, ambientació que era complementada amb els dibuixos de Roser Matas (vegeu l’exemple de la imatge 1).

desembre 2017 25

L’ambient que s’ha generat durant la setmana que ha durat aquesta primera part del treball ha estat molt positiu i engrescador per a tots els alumnes i això ha fet que fins i tot alguns dels que no acostumen a treballar s’hi arremanguessin les mànigues.

3. Anàlisi del sistema de numeració

Què ens proposem?

Amb aquesta activitat busquem que els alumnes analitzin el propi sistema de numeració decimal a través de l’estudi i l’anàlisi del sistema de numeració egipci. També volem consolidar l’ordre d’unitats del sistema decimal (unitats, desenes, centenes...) i arribar a una familiarització suficient que ens permeti deduir la suma i la resta sense dificultat. Aquest darrer punt el treballarem de forma manipulativa usant un àbac.

Desenvolupament de l’activitat Es demana als alumnes investigar sobre el sistema de numeració egipci. Se’ls proposa que busquin a Internet com es representen els nombres egipcis i que ho intentin explicar a través d’exemples.

Per ampliar l’activitat s’ha proposat als estudiants verificar les seves teories amb un àbac, com ho feien els antics egipcis. Aquest àbac l’han creat els mateixos alumnes a partir d’una ouera a la classe d’educació visual i plàstica.

L’ouera té unes dimensions de 6 × 2; per tant, podem considerar que té dues files de sis, o sis columnes de dos. A cada columna hi podem distribuir fins a 10 boles (però mai acceptarem 10 boles en una casella).

Les boles d’una columna tindran un color o una forma diferents dels de les altres columnes per poder-les diferenciar. D’aquesta manera, serà més fàcil de creure que una bola vermella «val» 10 boles verdes, per exemple. Amb aquesta notació es pot representar a l’ouera fins al nombre 999.999.

Imatge 2. Numeració egípcia i àbac improvisat amb una ouera representant el nombre 3.672.

26 noubiaix 41

Reflexions del professor A primer cicle de secundària els alumnes ja coneixen el sistema numèric romà, per la qual cosa els resulta especialment senzill assimilar el sistema egipci, més simple que el romà.

A l’hora de representar cada nombre i entendre la posició que hi ocupa cada xifra, els resulta fàcil de classificar, ja que amb els nombres egipcis s’usa un símbol diferent per a cada ordre d’unitats. Els alumnes que mostren dificultats per entendre l’equivalència entre les diferents unitats poden treballar amb material «Base 10» o «Material multibase», que són uns cubs petits d’1 cm de costat, apilables en tires de 10 cubs, en quadrats de 100 cubs o en cubs de 1.000 unitats de minicubs.

En general, els alumnes no mostren dificultat en l’ús de l’àbac per a representar nombres.

Col·loquen a la fila superior de l’ouera el nombre de boles que correspon a cada xifra del nombre i a la inferior les sobrants.

4. Anàlisi de les operacions suma i resta

Què ens proposem?

En aquest cas, i per posar en pràctica el sistema de numeració que s’acaba de veure en el punt anterior, ens proposem un exercici senzill: buscar un algorisme per calcular amb nombres egipcis la suma i la resta de dos nombres.

L’objectiu real d’aquesta activitat és que l’alumne investigui el funcionament de les operacions bàsiques en el propi sistema de numeració i entengui el mecanisme de càlcul de la suma i la resta (per què «en portem» quan sumem, o què passa amb les restes quan «en portem»).

Per ampliar l’activitat, s’ha proposat als alumnes que comprovin si el seu mètode de suma o resta funciona amb l’àbac-ouera que han construït a plàstica.

Desenvolupament de l’activitat Es proposa als alumnes intentar deduir com sumaven i restaven els antics egipcis. Per tant, han d’inventar, analitzar i explicar un algorisme de càlcul que els funcioni amb nombres egipcis (no poden fer servir la nomenclatura indoaràbiga).

També es proposa als alumnes, a mesura que van acabant la seva primera tasca, analitzar què succeeix quan «en porten» en una resta.

Exemples de propostes i resultats dels alumnes Proposta: Busqueu una forma de sumar i restar dos nombres egipcis sense usar l’escriptura indoaràbiga d’aquests nombres. Expliqueu les particularitats d’aquesta suma i aquesta resta.

Comproveu els dos resultats obtinguts.

desembre 2017 27

Imatge 3. Detall de la llibreta d’un alumne amb la proposta de suma i resta.

Reflexions del professor Els alumnes no tenen dificultats per deduir l’algorisme de la suma. Gairebé tothom dedueix que cal sumar cada símbol només amb aquells símbols que són iguals, i això dona sentit a les operacions que fem en el nostre sistema de numeració: sumem unitats amb unitats, desenes amb desenes...

Pel que fa a la resta, mentre l’alumne pugui «treure» unitats de cada símbol, no tindrà problemes; ara bé, quan ha de restar «portant-ne», ja ho veu un xic més difícil. Investigant aquesta situació, acaben resolent el conflicte convertint un símbol superior en la quantitat equivalent de símbols més petits. Ara bé, aquí els apareix un dilema: entenen perfectament el mètode egipci i comencen a dubtar del propi. No entenen per què a l’hora de «portar-ne» s’afegeix una unitat al subtrahend: l’antic algorisme xoca amb el que acaben de trobar. Cal aprofundir una miqueta més per descobrir (moltes vegades amb l’ajuda del professor) que és el mateix treure una xifra al minuend que afegir-ne una al subtrahend, ja que les xifres queden igual de «compensades». Un cop vist això, ja resulta més fàcil adonar-se que és més avantatjós i còmode afegir la xifra al subtrahend.

Alguns alumnes han mostrat alguna dificultat amb el càlcul de l’àbac, però es tractava d’alumnes amb problemes anteriors de càlcul (amb dificultats per a realitzar operacions bàsiques) que han acabat agraint la visualització i la manipulació del càlcul. Aquests alumnes han acabat el curs mostrant alguna millora en la suma i la resta, però amb dificultats en operacions més complicades.

Pensem que el fet d’haver estat capaços de descobrir aquestes propietats per si mateixos, i haver-les treballat de forma manipulativa amb l’àbac, reforça encara més la seva comprensió del càlcul bàsic en el propi sistema de numeració.

28 noubiaix 41

5. Anàlisi de les operacions producte i divisió

Què ens proposem?

Analitzar l’algorisme egipci del producte i la divisió a través de la resolució d’alguns problemes proposats i ambientats en l’antic Egipte.

Desenvolupament de l’activitat Es proposen diversos enunciats de problemes adaptats al nivell de l’alumne i que podria haver realitzat l’escriba Ahmés. Seguit de cada problema s’afegeixen amb nombres egipcis els càlculs que Ahmés hauria fet per resoldre el problema i la solució del mateix problema, també amb nombres egipcis.

Els alumnes comparen l’algorisme usat per Ahmés i la pròpia resolució del problema; comparen resultats (haurien de ser els mateixos), i després d’una anàlisi de diversos problemes acaben deduint que el mètode usat per l’escriba és un algorisme vàlid per fer qualsevol multiplicació, o divisió, segons el cas.

També es poden proposar problemes no resolts (vegeu el problema 3) perquè els alumnes els resolguin usant ambdós mètodes i comprovin que, efectivament, donen el mateix resultat.

En algun cas, i per reforçar l’efecte de desenvolupar un rol d’arqueòleg-egiptòleg, es pot posar el text en una llengua diferent de la pròpia de l’alumne, de manera que aquest no només hauria de desxifrar l’algorisme usat, sinó també el text. La traducció del text s’hauria de poder fer fàcilment (com a últim recurs, usant un traductor de Google, per exemple).

Exemples de propostes i resultats dels alumnes Problema 1: El faraó donarà 41 denaris a cadascun dels 105 soldats que han tornat de la batalla.

Quants denaris pagarà en total?

Imatge 4. Resolució d’Ahmés del problema 1, traducció i comprovació del resultat.

desembre 2017 29

Resposta dels alumnes-Problema 1: Per calcular els denaris que pagarà en total el faraó s’ha de multiplicar 41 × 105 i dona 4.305 denaris.

Anàlisi de l’operació-Problema 1: Veiem que a la primera columna hi posa el nombre de soldats i a la segona el que cobrarien aquests soldats. Va calculant els dobles de cada cosa. Finalment, suma els que creu convenients per aconseguir el total de soldats (105 = 1 + 8 + 32 + 64) i suma els sous que els corresponen (41 + 328 + 1.312 + 2.624 = 4.305).

Problema 2: Per motivar els generals que participen en la batalla, el Consell del faraó treu el decret següent: «Es donarà un terç del botí a Neith (deessa de la guerra) com a agraïment per la victòria aconseguida.

Un altre terç es donarà al faraó (fill legítim del déu Ra), que ens estima com un pare.

El darrer terç anirà repartit entre els generals victoriosos en la batalla; així com Ra els premia amb la victòria, també el faraó els premia amb la glòria».

Els sis generals en cap del faraó Amosis I (1567 aC) van entregar la victòria de la batalla de Canà sobre els hikses. Els vençuts van lliurar un botí de 702 sous al faraó. Quants sous corresponen a cada general?

Imatge 5. Detall de la llibreta d’un alumne amb la resolució del problema 2.

Problema 3: Per celebrar l’aniversari del faraó es decideix construir un palau a la ciutat de Rosetta que costarà 57.120 denaris. El cost d’aquest palau el pagaran a parts iguals els 42 diferents sepats (districtes) que formen l’imperi egipci. Els escribes i els comptables calcularan quant haurà de pagar cada sepat.

30 noubiaix 41

Reflexions del professor No tots els alumnes són capaços de trobar la relació entre els nombres i els càlculs efectuats per Ahmés; en aquest cas, alguns opten per preguntar als companys o al professor. En cas que es decantin per aquesta segona opció, pensem que el professor s’ha de mantenir en el rol d’un aficionat a l’egiptologia que no entén de matemàtiques. A cada pregunta de l’alumne el professor li hauria de contestar amb una altra pregunta que l’encaminés a resoldre per si mateix l’enigma de les operacions.

En alguns casos, els alumnes volen tirar pel dret i intenten buscar per Internet la solució al treball que realitzen. En aquest cas, buscarien «multiplicació egípcia» i trobarien de manera immediata l’explicació que els demanem. Aquesta activitat, però, té com a objectiu que els estudiants reflexionin sobre el procés usat per Ahmés i que busquin similituds amb el propi.

El que ens interessa més en aquesta activitat és el camí a seguir per trobar la solució, la resposta, no tant la resposta en si (que també és interessant). Per això, no hem de propiciar que els alumnes usin l’ordinador en aquesta activitat.

Pel que fa a la divisió, molts alumnes ja assumeixen com a propi el procés usat en la multiplicació; per tant, els és més fàcil relacionar els nombres que s’hi descriuen i en troben la suma més fàcilment. Un punt interessant a comentar és que els alumnes assimilen la divisió com l’operació inversa de la multiplicació (en aquest cas, la suma principal té lloc a la segona columna, mentre que la suma de la primera columna ens dona el resultat, d’una manera exactament inversa que en la multiplicació).

D’altra banda, sempre hi ha aquells alumnes que enllesteixen en un moment les tasques encomanades. Un cop acaben, cal revisar la feina feta i demanar-los que la millorin, ja sigui explicant amb més detall els seus resultats o perfeccionant-ne la presentació. Si considerem que no hi ha punts de millora en el treball de l’alumne, cal donar-los més tasques a realitzar: en aquesta ocasió, els proposaríem alguns dels problemes resolts per Ahmés sobre multiplicacions i divisions (aquest cop sense solucions), suggerint que ho fessin de les dues maneres proposades.

Un altre punt que cal comentar en aquest apartat és que la majoria dels alumnes acostumen a ser reticents a creure que l’algorisme de la multiplicació i la divisió d’Ahmés realment funcioni per a tots els nombres. Per aquest motiu, es pot proposar als alumnes que intentin posar com a suma de potències de dos tots els nombres menors de 50, o els nombres del 50 al 100. Un cop queda clar que qualsevol nombre es pot posar com a suma de potències de 2, només ens cal demanar-los que ells mateixos intentin buscar exemples de multiplicació de nombres i que ho facin tant pel mètode d’Ahmés com amb la calculadora.

6. Les fraccions, uns altres nombres

Què ens proposem?

En aquest punt del treball, ens proposem començar a estudiar els nombres que s’expressen en forma de fracció (els nombres racionals).

desembre 2017 31

Els antics egipcis ja tractaven aquests nombres de manera ben diferenciada dels nombres naturals. De fet, no treballaven amb qualsevol fracció, sinó que, donada una fracció, la descomponien en suma de fraccions unitàries; això es pot desprendre dels apunts d’Ahmés al papir Rhind. A l’inici d’aquest papir hi trobem una relació de cada fracció amb la seva descomposició en forma de suma de fraccions unitàries (fraccions amb el numerador 1) de la qual s’ajudava per fer qualsevol càlcul amb fraccions en els problemes que descriu al mateix papir.

Ens proposem, per tant, que, igual que els antics egipcis, els nostres alumnes vegin els nombres racionals com un tipus concret de nombres (un xic diferents dels nombres naturals); que els relacionin com a parts de «coses» i no com a nombre de «coses» senceres; que manipulin els nombres usant taules de fraccions manipulables, i que relacionin les fraccions amb nombres decimals (usant la calculadora).

Imatge 6. Taula de fraccions manipulables i d’algunes equivalències de fraccions d’Ahmés.

Desenvolupament de l’activitat Es demana als alumnes investigar la relació que hi ha entre les fraccions que es van trobar a la introducció del papir Rhind. Per a aquesta activitat se’ls facilita un full amb les fraccions que apareixen al papir, una calculadora i una taula de fraccions manipulable.

També els advertim que, un cop trobada una hipòtesi, una relació entre les fraccions, cal comprovar-la numèricament, cal mirar si la compleixen totes les fraccions i, per descomptat, cal expressar-la per escrit.

Finalment, es proposa als alumnes analitzar la resposta d’un problema resolt per Ahmés, en concret el problema número 3 del papir Rhind.

Exemples de propostes i resultats dels alumnes Proposta: A l’inici del papir d’Ahmés hi hem trobat un codi estrany amb moltes fraccions (vegeu la imatge 6). A tall d’exemple, a la primera fila tenim les fraccions: [2/5][1/3,1/15]. El cap de

32 noubiaix 41

l’expedició arqueològica de la qual formes part no entén què signifiquen aquestes xifres i et demana que com a matemàtic investiguis la relació entre les fraccions.

Detall geomètric de la resolució d’un grup d’alumnes en la primera línia de fraccions:

2 1 = 13 + 15 5

Imatge 7. Descomposició de la fracció 2/5.

En els altres grups de fraccions, aquests alumnes ja calculaven numèricament el resultat de la seva proposta sumant les fraccions unitàries per aconseguir la primera fracció.

Problema 3 del papir Rhind (Gillins, 1972): Repartir 6 barres de pa entre 10 homes.

Aquí Ahmés dona com a resultat 12 + 1/10 i ho soluciona de la manera següent:

Imatge 8. Resolució d’Ahmés del problema 3 del papir Rhind.

Reflexions del professor El gruix dels alumnes ha mostrat més dificultats en aquest apartat del treball que en els altres.

En algun grup es comenta que «resulta estrany veure fraccions en el papir d’Ahmés perquè els egipcis només utilitzaven fraccions amb numerador 1». Comentari que ha servit de pista per a molts alumnes. Conegut això, i lligat amb els nombres que falten (per exemple, no hi ha la fracció 2/4 ni la 2/6), ja han lligat que les fraccions de l’esquerra havien de ser equivalents a les fraccions de la columna de la dreta.

Fins i tot amb aquesta pista, no tots els alumnes acaben veient la relació entre les fraccions que hi ha a la primera columna i les que hi ha a les altres. En aquest cas, els podem insinuar que poden usar tant la calculadora com la taula de fraccions manipulable.

Per una banda, usant la taula de fraccions, els alumnes de seguida s’adonen que no la poden emprar correctament, ja que no poden usar totes les fraccions proposades per Ahmés; per exemple, no hi ha la fracció 1/15. Alguns grups han optat per fer un dibuix directament en paper, i altres, per crear les peces que mancaven en paper i jugar-hi.

desembre 2017 33

Per una altra banda, si usen la calculadora, acostumen a relacionar un nombre fraccionari amb un nombre decimal; i un cop en decimals els costa més descobrir la propietat que se’ls demana.

Ara bé, quan ja l’han descoberta no poden garantir al cent per cent que la propietat funciona fins que no fan servir la calculadora i ho comproven numèricament amb totes les fraccions.

A aquells alumnes que sempre demanen més, els podem proposar que intentin trobar la descomposició de les fraccions amb denominador 10 en fraccions unitàries (i si cal, usant també la fracció 2/3). En aquest cas, els que ho intenten comencen expressant la fracció en fraccions unitàries més petites usant la taula de fraccions manipulable; en algun cas, però, no podran trobar el resultat amb les fraccions que tenen i hauran de buscar altres arguments calculatoris per ajustar la fracció.

Si encara volem ampliar més, també es pot demanar que investiguin quines fraccions de la forma n/36 poden descompondre fàcilment en suma de fraccions unitàries. En aquest cas, estaríem treballant sobretot els divisors de 36. Com descompondríem 7/36? 7 no divideix 36, però podem posar 7 = 6 + 1 i, per tant, 7/36 = 6/36 + 1/36 = 1/6 + 1/36. No tots els alumnes arriben a aquestes conclusions, però els que les troben s’acaben emocionant amb les matemàtiques.

Finalment, pel que fa a la proposta del problema 3 d’Ahmés sobre el repartiment de les 6 barres de pa, els alumnes troben molta dificultat en l’anàlisi de la resposta de l’escriba (tot i tenir-ne la solució i els càlculs). Veuen el que fa, però els costa assimilar-ne el contingut.

7. Conclusions Pel que fa a la dinàmica del treball, les valoracions de l’activitat per part dels alumnes han estat positives, sobretot pel fet d’estar treballant el mateix a socials i a matemàtiques. També han valorat positivament el fet de poder comprovar un resultat de maneres diferents de les que ells coneixien. D’altra banda, cal admetre que no tots els alumnes van implicar-se en l’activitat. Per bé que, amb aquest canvi de dinàmica d’aula, alguns dels alumnes que habitualment no treballaven a l’aula de matemàtiques sí que havien participat en el treball en grup.

Pel que fa als aprenentatges, els alumnes que tenien un dèficit en el càlcul bàsic han millorat notablement en la comprensió i l’aplicació dels algorismes de la suma i la resta. El gruix del grup classe ha consolidat els coneixements existents sobre numeració, contrastant diferents maneres de representar el mateix concepte (nombres egipcis, romans i indoaràbics). També ha sortit reforçat el concepte de nombre fraccionari com un nombre diferent dels naturals, útil per a representar parts de coses.

Finalment, un cop muntada l’activitat, i sobretot un cop realitzada, estem segurs d’haver treballat totes les competències de l’àmbit matemàtic corresponents a les dimensions de resolució de problemes i de raonament i prova. Així com també bona part de les competències corresponents a la dimensió de comunicació i representació.

Hem volgut crear un context que permeti als alumnes experimentar, fer hipòtesis, raonar, escoltar les opinions dels companys i defensar les pròpies perquè en el fons creiem fermament

34 noubiaix 41

que buscant la superació de nous reptes (ABP) l’alumne desenvolupa més la creativitat, integra els nous coneixements amb els ja existents, dialoga i busca consens amb els seus companys sobre les idees considerades i busca motius i raons per eliminar un concepte erroni (i no simplement acata la nova versió del professor); és a dir, desenvolupa el pensament crític.

Tot plegat, aquesta forma de treballar familiaritza els alumnes amb el mètode científic en detriment dels procediments purament repetitius i memorístics.

Cal aconseguir que els alumnes investiguin, pensin i vegin el món com un científic. Però com ho aconseguim? Sir Isaac Newton, en una carta a Robert Hooke, escrivia: «Si hi he vist de tan lluny és perquè estic assegut sobre les espatlles de gegants». A vegades pot donar la sensació que el professor acostuma a mirar des de les espatlles dels gegants de què parla Newton mentre descriu als seus alumnes el que es veu des d’allí. Perquè l’aprenentatge sigui realment significatiu, els estudiants necessiten alguna cosa més que una descripció del que és la ciència: necessiten que els deixem veure amb els seus propis ulls la bellesa de la ciència enfilats sobre el gegant.

Esforcem-nos perquè els nostres alumnes es converteixin en veritables gegants i amb la seva ajuda algú altre pugui pujar més amunt i mirar més enllà.

Referències Burgués, C., Sarramona, J. (coord.) (2013). Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic.

Identificació i desplegament a l’educació secundària obligatòria. Barcelona: Generalitat de Catalunya.

García, A., Criado, A. M. (2007). Investigar para aprender, aprender para enseñar. Alambique: Didáctica de las ciencias experimentales. Barcelona: Graó. Dossier Enseñar y aprender investigando, abril, 73-83.

Gillins, Richard J. (1972). Mathermatics in the Time of the Pharaohs. Cambridge, Mass.: MIT Press.

Pozuelos, F.J. (2007). Las TIC y la investigación escolar actual. Alambique: Didáctica de las ciencias experimentales. Barcelona: Graó. Dossier Enseñar y aprender investigando, abril, 20-27.

Pujol, R. (2007). Del treball conjectural al rigor: la resolució de problemes als ulls de l’alumne.

Biaix, 26, juny, 66-80.

desembre 2017 35

La multidimensionalitat de l’àlgebra escolar.

Una proposta d’itinerari didàctic Abraham de la Fuente i Jordi Deulofeu Universitat Autònoma de Barcelona

Resum Si aconseguim que els nostres alumnes no ignorin el significat dels símbols que fan servir, aconseguirem també que puguin usar el llenguatge algebraic com una eina apta per a comprendre i expressar generalitzacions, captar connexions estructurals, argumentar en matemàtiques i, en definitiva, resoldre problemes. En aquest article volem presentar un itinerari d’aprenentatge de l’àlgebra que té per objectiu aconseguir un equilibri entre les diferents concepcions dels símbols que l’alumnat vagi assumint a través de situacions significatives variades que els ajudin a comprendre la pertinència del llenguatge algebraic, la seva estructura i el significat dels conceptes fonamentals, amb l’objectiu que siguin capaços de mobilitzar el raonament algebraic per resoldre problemes.

Les idees que expressem en aquest article són fruit de les reflexions i les conclusions que el primer autor va fer durant la seva tesi doctoral, tutoritzada pel segon autor de l’article. La tesi es titulava «Construcció del llenguatge algebraic en un entorn de resolució de problemes» i es va defensar el novembre de 2016 a la Universitat Autònoma de Barcelona.

Abstract If we can help students understand the meaning of the algebraic symbols they use, we can teach them to use the language as a tool to understand and express general relationships, structural connections, mathematical arguments and, ultimately, to solve problems. Here we present a proposal for teaching algebra aimed at achieving a balance between the different conceptions of the symbols that students learn to work with, through situations with diverse meanings that help them understand the relevance of the algebraic language, its structure, and fundamental concepts. The final goal is to be able to employ algebraic reasoning to solve problems.

The ideas expressed in this paper come from reflections and conclusions that the first author made during his doctoral thesis, which was tutored by the second author of the article. This thesis was entitled, «Construction of algebraic language in a problem-solving environment», and was defended in November 2016 at the Autonomous University of Barcelona.

36 noubiaix 41

Introducció Podríem intentar copsar en una sola frase què entenem per àlgebra escolar dient que l’àlgebra és aquella part de les matemàtiques que estudia les relacions entre objectes matemàtics (nombres, funcions, figures geomètriques...) i les expressa usant simbolismes. Tot i que aquesta sentència no deixa del tot clara la multidimensionalitat d’aquest llenguatge, sí que posa en relleu la importància que té el significat (versus la sintaxi) dins d’aquest llenguatge que volem que els nostres alumnes aprenguin a utilitzar. També hem de tenir en compte que el llenguatge algebraic haurà de jugar un paper crucial com a transmissor de les idees entre professor i alumne durant el procés de resolució de problemes (Vila i Callejo 2004, pàg. 34).

Molts autors han donat versions diferents sobre el que hauria de ser l’àlgebra escolar. Malgrat els diferents enfocaments i la diversitat de definicions, el que tenen en comú és que totes afirmen que hi ha diverses formes de raonament algebraic i que totes s’han de desenvolupar si volem que el nostre alumnat construieixi el llenguatge algebraic en un sentit ampli. És per això que diem que l’aprenentatge del llenguatge algebraic té un caràcter multidimensional.

L’objectiu d’aquest article és, per tant, fer una proposta de categories d’aquest llenguatge que ens ajudi a desenvolupar un itinerari d’aprenentatge. Com que el nostre enfocament de l’ensenyament és la construcció del llenguatge algebraic en un entorn de resolució de problemes, hem caracteritzat les dimensions d’aquest llenguatge en termes de capacitats, atenent així a un llenguatge que ens ajudi també a mostrar l’enfocament competencial d’aquest aprenentatge. La definició d’àlgebra, la basarem, doncs, en aquelles que millor s’adapten a aquestes necessitats: Kaput (2000) i NCTM (2000). A més, no podem deixar de tenir en compte la necessitat de desenvolupar en els nostres alumnes les habilitats implícites en l’Early Algebra (Kieran, 2004) a causa del nostre posicionament constructivista de l’aprenentatge.

Així doncs, a partir d’ara ens referirem a les dimensions de l’àlgebra escolar de la manera següent: l’àlgebra escolar serà un llenguatge simbòlic que ha de servir per a: •

Generalitzar i formalitzar.

•

Representar estructures abstractes i fer càlculs amb elles.

•

Estudiar relacions i funcions.

•

Modelitzar.

La nostra elecció d’aquestes dimensions es basa en la idea que per poder construir el coneixement necessari per desenvolupar les habilitats de la següent dimensió serà necessària una certa habilitat en els processos implicats en les anteriors dimensions. Això quedarà clar i justificat amb els problemes d’exemple que anirem considerant en els següents apartats, en els quals veurem amb més detall a què fa referència cadascuna de les categories del llenguatge algebraic.

desembre 2017 37

Early Algebra Segons l’època i la tendència del moment, el llenguatge algebraic s’ensenyava als alumnes en diferents moments de la seva escolaritat. Va haver-hi un temps en què els símbols s’introduïen al més a l’inici possible i els últims anys s’ha tendit a fer-ne la introducció al més tard possible. El que ens diu l’experiència és que hi ha alumnes que estan preparats per fer servir el llenguatge algebraic molt d’hora i d’altres que fan servir els símbols de forma natural més tard. El que la recerca ens diu avui dia és que hi ha un conjunt d’habilitats de pensament algebraic que són necessàries per desenvolupar el llenguatge algebraic. Aquestes habilitats formen part del moviment que es coneix com a Early Algebra i estem d’acord que com abans es comencin a treballar millor.

D’acord amb Kieran (2004) i Kaput (2008), aquestes habilitats es podrien resumir dient que l’alumne ha de ser capaç de: 1. Identificar relacions aritmètiques.

2. Argumentar la solució d’un problema que sap solucionar.

3. Reconèixer les operacions inverses i saber usar-les per resoldre problemes.

4. Identificar els diferents significats del signe igual i, en general, de la resta de símbols.

5. Construir generalitzacions des raonaments aritmètics i quantitatius.

6. Descriure la variació (primeres idees sobre el concepte de funció).

7. Fer servir aquestes habilitats per expressar models. És evident que un mateix alumne pot estar a diferents nivells en cadascuna de les habilitats esmentades, i també és veritat que no cal que l’alumne tingui desenvolupades totes les habilitats al mateix nivell abans de començar a treballar amb el llenguatge simbòlic. Però sobretot en l’inici de l’ús del llenguatge algebraic, els professors de secundària hauríem de tenir molt presents aquestes habilitats per estar atents a les oportunitats d’aprenentatge que es donin a l’aula i que ens portin en la direcció de millora.

Generalitzar i formalitzar Creiem que el simbolisme del llenguatge algebraic s’ha de començar a construir fent servir tasques de generalització. El llenguatge algebraic necessari per generalitzar sorgeix en el moment en què es té la necessitat de comunicar patrons, ja siguin numèrics o geomètrics, o quan intentem expressar les lleis que governen les relacions numèriques. És per això que creiem que les tasques que el professor proposa a classe han d’animar els alumnes a interaccionar entre ells, a exposar els resultats en petits grups i després amb tot el grup classe. D’aquesta manera podrem aconseguir que per comunicar-se tinguin la necessitat de posseir un llenguatge prealgebraic o algebraic comú. Aquesta emergència es donarà les primeres vegades en la fase sincopada d’aquest llenguatge.

Per exemple, considerem el problema següent (Mason, Burton i Stacey 1992, p. 77):

38 noubiaix 41

(SUMES CONSECUTIVES) Alguns nombres es poden expressar com a suma d’una successió de nombres positius consecutius. Exactament quins números tenen aquesta propietat? Per exemple, s’observa que: 9=2+3+4 11 = 5 + 6 18 = 3 + 4 + 5 + 6

Aquest problema així proposat ja és de per si un problema ric que donarà molt de joc i que es podria proposar a molts nivells diferents. A nosaltres el que ens interessa és com el podem utilitzar per ajudar els nostres alumnes a construir el llenguatge algebraic necessari per generalitzar. Si proposem aquest problema a l’aula, els alumnes convencionalment voldran fer unes quantes proves que els serviran per a entendre l’enunciat. Si l’atenció sobre el problema es manté el temps suficient, és molt probable que algun alumne acabi fent la següent conjectura: «Amb els nombres senars sempre es pot». Aquest alumne està intentant generalitzar, ja que observa certs aspectes comuns en diferents casos particulars i ignora, en canvi, altres aspectes. Ara, un cop formulada, aquesta conjectura ha de ser investigada per veure si la podem confirmar o no (Mason, Burton i Stacey 1992, p. 35).

Per demostrar aquesta conjectura, l’alumne haurà de referir-se a tots els nombres imparells alhora d’alguna manera. I aquí serà on el professor haurà de jugar el seu paper i intentar que els alumnes arribin a escriure l’expressió 2n + 1 com a generalització dels nombres imparells.

Fins i tot es pot aprofitar per oferir una altra representació dels nombres parells i senars (figura 1), que al seu torn podria combinar el treball amb els alumnes de la segona dimensió de l’àlgebra escolar, la qual tractarem en l’apartat següent.

Figura 1. Representació geomètrica dels nombres parells i senars.

D’altra banda, si tenim posat el focus en les argumentacions dels alumnes, serà fàcil convèncer-los que el llenguatge algebraic també els ha de servir per a formalitzar les seves argumentacions. Per exemple, quan proposem als nostres alumnes que resolguin el següent problema de demostració (Azcárate i Deulofeu, 1998):

desembre 2017 39

És clar que els rectangles ratllats de la figura no són iguals. Però, en canvi, tenen la mateixa àrea. Argumenta-ho!

A

M

B

Q

N P

C

R

D

Figura 2. Rectangles diferents, però de la mateixa àrea.

Després de treballar una bona estona amb l’argumentació de forma oral, si volem fer la següent part de la tasca i així aprofitar per ajudar-los a construir el llenguatge necessari per a formalitzar, podríem demanar als alumnes que escriguin les seves argumentacions amb les seves pròpies paraules. Un cop ens hem assegurat que un alumne té la seva argumentació ben escrita, la segona part de la tasca consisteix a utilitzar les frases que tenim a continuació per tornar a escriure una argumentació que sigui correcta (ordenant-les, òbviament):

Figura 3. Frases per ordenar i per construir una argumentació formal (Azcárate i Deulofeu, 1998).

D’aquesta manera, estem modelant i fent una aproximació als alumnes de quin és el tipus de llenguatge que fem servir els matemàtics per fer demostracions formals.

40 noubiaix 41

Representar estructures abstractes i fer càlculs amb elles D’acord amb Schoenfeld i Arcavi (1988, p. 420), «el significat que tenen els objectes matemàtics es troba determinat més pels contextos en què es fan servir que no per les regles formals amb què s’usen». Si el que volem és aconseguir que l’àlgebra tingui un significat subjacent per als nostres alumnes, hem d’aconseguir que tinguin moltes experiències usant-la com un llenguatge que serveixi per a representar objectes matemàtics. És difícil que els alumnes s’apropiïn d’aquests objectes abstractes sense haver experimentat amb una diversitat de representacions dels mateixos. En termes de la teoria piagetiana, només en l’etapa de les operacions formals es pot esperar que per a l’alumne desaparegui la dependència dels referents concrets (Socas i Palarea, 1997, p. 11). Explicarem aquesta dimensió dividint-la en dos parts: canvis de representació i resolució d’equacions.

Canvis de representació El nostre primer exemple de canvi de representació ja l’hem vist en la tasca suggerida per la figura 1.1; és a dir, l’àlgebra constitueix un llenguatge que, a més de servir per a formalitzar generalitzacions, ha d’ajudar els nostres alumnes a comprendre com relacionar patrons geomètrics amb expressions simbòliques. Un altre exemple de tasca podria ser proposar a les nostres alumnes que utilitzin la figura 1.4 per argumentar la següent igualtat algebraica: 1 + 3 + · · · + (2n − 1) = n2 .

Per tant, necessitem que els nostres alumnes aprenguin a canviar la representació d’objectes matemàtics (en aquest cas una figura) i els símbols amb una certa fluïdesa.

Figura 4. Demostració visual que 1 + 3 + 5 + 7 = 42 .

Però és clar que necessitem també que els alumnes aprenguin a fer càlculs amb aquests símbols, per exemple, per comprovar l’equivalència entre diferents expressions. El següent problema és un bon exemple de com a través de la resolució d’un problema es pot aconseguir crear la necessitat de construir aquesta dimensió del llenguatge algebraic.

desembre 2017 41

Quants quadradets té la figura 5 sobre la seva zona perimetral?

Quants quadradets tindria sobre la seva zona perimetral la figura anàloga que té 37 quadradets de costat? Escriu en forma d’operació combinada els càlculs que has necessitat i argumenta la resposta.

Podries proposar una fórmula que serveixi per a calcular el nombre de quadradets de la zona perimetral de qualsevol figura com aquesta?

Figura 5. Comptem quadrats.

Aquest problema es podria desenvolupar a l’aula en diferents etapes. La primera i la segona, que corresponen a les primeres preguntes del problema, són dos casos particulars que serveixen per a assegurar que els alumnes entenen el problema i que són capaços de realitzar un càlcul concret i de particularitzar el problema en un cas més gran. És molt important demanar l’estratègia que han fet servir per fer el càlcul. Així és com fàcilment podrem demanar que generalitzin i que ens diguin com farien el càlcul per a un quadrat de qualsevol mida. És molt probable que, respecte del llenguatge algebraic, les argumentacions les facin usant l’àlgebra retòrica com a mitjà. És en aquests moments que hem de compartir els diferents mètodes de càlcul i així podrem escriure les diverses expressions algebraiques que hem anat obtenint. A la figura 6 tenim un exemple amb totes les generalitzacions que es van obtenir durant la resolució d’aquest problema amb una classe de 1r d’ESO.

Figura 6. Generalitzacions del problema obtingudes per una classe de 1r d’ESO.

42 noubiaix 41

Un cop hem recollit totes les generalitzacions, serà el moment en què sortirem de la dimensió de generalització i podrem entrar en el càlcul usant estructures abstractes. Podem mantenir viu el significat de les lletres durant molta estona i, a més, podrem anar introduint els alumnes en la manipulació de les lletres i en les operacions amb lletres. Per exemple, aquest és un problema per començar a posar en comú diverses maneres d’expressar un producte en àlgebra: 2 · n, 2 × n o 2n.

Aquest problema té encara una contribució més al desenvolupament del llenguatge algebraic: la resposta al problema és una fórmula, una expressió algebraica no tancada, i no una quantitat concreta. També podrem aprofitar aquest problema per treballar el concepte de variable i evitar així acabar treballant les lletres sense tenir en compte els múltiples significats que tenen (Schoenfeld i Arcavi, 1988). Això ens permetrà connectar fàcilmentel problema amb la següent categoria del llenguatge algebraic: l’estudi de relacions i funcions.

Resolució d’equacions Resoldre problemes mitjançant equacions no és només la forma històrica en què es va desenvolupar el llenguatge algebraic, sinó també una activitat fonamental en tots els currículums de matemàtiques del món. Per exemple, traduir enunciats verbals en equacions consisteix en la transició de l’aritmètica cap a l’àlgebra en termes de simbolismes ben raonats. És molt important tenir en compte que en la resolució d’equacions els símbols prenen uns significats molt concrets. Si no tenim això en consideració, podem induir els nostres alumnes a obstacles d’aprenentatge (Socas i Palarea, 1997). Per no caure en aquestes trampes, creiem que és millor presentar la resolució d’equacions a través d’un ventall de models que alhora ens serveixin per a mantenir aquesta visió de les múltiples representacions dels objectes matemàtics que volem ressaltar en aquest article.

Figura 7. Resolució d’una equació de primer grau usant la tècnica del Cover-up.

Creiem que un bon model per començar a construir tècniques de resolució d’equacions amb els nostres alumnes és la coneguda com a Cover-up. A la figura 7 tenim un exemple resolt usant aquesta tècnica de resolució d’equacions. Observem que per poder fer servir aquesta tècnica de resolució, l’alumne ha de tenir un bon control sobre la prioritat de les operacions i sobre l’ús d’operacions inverses (Early Algebra). A més, ha d’haver assumit el significat dels símbols que apareixen en una equació i quin és el paper que estan jugant en cada cas. És a dir, l’alumne haurà d’haver assumit les habilitats pròpies de l’Early Algebra a partir, per exemple, de les seves experiències aritmètiques prèvies.

S’ha de tenir en compte que aquesta estratègia de resolució d’equacions només funcionarà quan la incògnita aparegui una vegada en l’equació. En canvi, ens servirà per a introduir no

desembre 2017 43

només la resolució d’equacions de primer grau, sinó també per a altres tipus d’equacions més complexes; o bé, sense haver de parlar de mètodes específics, per a resoldre, per exemple, equacions de segon grau. No hi hauria d’haver cap problema perquè aquesta sigui una de les primeres equacions que els nostres alumnes han de resoldre (Calvo i altres, 2016):

80 =4 x2 + 1

Figura 8. Applet de la balança per resoldre equacions de primer grau desenvolupat per la universitat de Utah.

D’altra banda, i creiem que aquí és on resideix la màxima potència del mètode, aquesta estratègia no és només un camí per resoldre equacions, sinó que també suggereix una forma de registrar el procés, d’argumentar la solució. Com ja hem dit diverses vegades en aquest article, focalitzar sobre les argumentacions durant el procés d’aprenentatge ha de servir per a crear la necessitat de l’ús del llenguatge algebraic per formalitzar i també per a aconseguir fer que aquelles siguin més curtes i ràpides d’escriure.

El conegut model de la balança també és molt útil per donar eines de resolució d’equacions sense perdre de vista el significat dels símbols. A més, de nou ens proporciona una idea sobre com argumentar els successius passos que se segueixen per resoldre una equació, essencialment diferent de l’anterior. De nou, fent servir aquest mètode de resolució estarem focalitzant l’atenció sobre les operacions inverses. Mostrem una imatge de l’applet desenvolupat per la Universitat d’Utah (figura 8) que té també una solució molt original per coeficients negatius de les equacions, usant globus que aixequen la balança per representar els nombres negatius.

Hi ha molts més models per resoldre equacions i, de fet, com més varietat presentem als nostres alumnes, més riquesa estarem afegint a la seva capacitat de canvi de representació.

44 noubiaix 41

Estudiar relacions i funcions El llenguatge algebraic també ha de servir com a mitjà per comunicar i entendre la relació entre dues o més variables. En particular, l’estudi de funcions hauria d’ajudar al seu torn els alumnes a desenvolupar aquest llenguatge.

La geometria pot proporcionar-nos contextos rics perquè els nostres alumnes construeixin el llenguatge simbòlic necessari per entendre relacions entre dues o més variables, per exemple, mentre estudiem les fórmules de les àrees de les figures planes. El problema següent n’és un exemple: Segurament ja saps que l’àrea del trapezi és: A = (B + b) · h/2. Dedueix aquesta fórmula suposant que només saps les fórmules de l’àrea del rectangle, el triangle i el paral·lelogram. Fes-ho almenys de tres maneres diferents.

La figura 9 és una resolució d’una alumna de 1r d’ESO d’aquest problema. Podem observar com aquesta alumna és capaç de manipular els símbols per obtenir diferents fórmules equivalents de l’àrea del trapezi per després comprovar que efectivament totes porten a la mateixa expressió si es manipula adequadament.

Els fenòmens que impliquen canvis són els que generen l’estudi de les funcions. Aquest estudi es pot expressar fent servir diferents representacions. Una funció es pot representar mitjançant una descripció verbal, una gràfica, una taula de valors o una expressió algebraica. Per tant, ja queda clar que l’expressió algebraica d’una funció no és l’única manera en què ens hi podem referir. Aquesta varietat de representacions forma part de la riquesa que ens interessa ressaltar, i és la manera amb què podem connectar l’anterior dimensió del llenguatge algebraic amb la Figura 9. Diferents deduccions fetes per una qual estem presentant ara. Ens interessa que els alumna de 1r d’ESO. nostres alumnes coneguin tots els llenguatges útils per referir-se a les funcions com un objectiu importantíssim d’aprenentatge. I, de fet, aquesta interrelació entre els diferents llenguatges ens ha de servir per a dotar d’un significat més el llenguatge que ens ocupa en aquest article. Ara bé, ens agradaria remarcar que perquè la proposta d’activitats relacionades que suggerim sigui el més útil possible, és important que els alumnes hagin viscut experiències prèvies amb gràfiques de funcions, taules, etc. El fet de treballar amb gràfiques de funcions i no necessàriament amb les seves expressions algebraiques ens permetrà treballar amb una àmplia varietat de funcions, sense necessitat de limitar-nos a aquelles que tinguin una expressió algebraica senzilla.

desembre 2017 45

Començarem els exemples amb el conjunt de dades (adaptat d’Arcavi, 2008 p. 53) que ens servirà per a explicitar la connexió entre les diferents representacions d’una funció: Els estalvis d’Helena, en Rai, l’Andrea i la Júlia han canviat durant l’últim any tal com està descrit sota aquestes línies. Els números indiquen les quantitats de diners en euros i al final de cada setmana.

Helena: La taula mostra quants diners ha estalviat al final de cada setmana. La taula continua de la mateixa manera durant tot l’any.

Setmana

1

2

3

4

5

6 ...

Estalvi

7

14

21

28

35

42 ...

Rai: Durant tot l’any ha tingut estalviats 300 e.

Andrea: El gràfic descriu els seus estalvis durant les primeres vint setmanes. El gràfic continúa de la mateixa manera durant la resta de l’any.

Figura 10. Gràfic que descriu els estalvis d’Andrea.

Júlia: Els estalvis de la Júlia es poden descriure mitjançant l’expressió algebraica següent: E = 300 − 5S, sent S el nombre de setmanes i Eels estalvis en euros.

El problema que proposem a partir d’aquestes dades és que l’alumne hagi d’escollir la seva representació preferida dels estalvis i hagi de traduir tota la resta a aquest llenguatge. És a dir, que canviï la representació de les dades. Un cop fet això, voldrem que compari els estalvis de les quatre persones.

46 noubiaix 41

Un altre exemple que ens permet continuar amb la construcció del llenguatge algebraic a partir de la necessitat de comunicar relacions entre variables i funcions és el següent (adaptat d’Arcavi, 2008 p. 54): Les següents expressions descriuen els estalvis dels diferents néts de l’avi Joan (x denota el nombre de setmana): Mònica

7x

Gus

300

Anna

10x

Pere

60 + 3x

Javi

30 + 5x

Helena

−20 + 4x

Laura

300 − 5x

Gerard

−70 + 7x

Tots els nets viuen bastant a prop i han descobert que hi ha una manera molt divertida de poder-se comunicar entre ells: el Walkie-talkie. Per això han de comprar un transmissor per cada dos d’ells i, per fer-ho, ajuntaran els seus estalvis per poder arribar als 400 e que costen els de Walkie-talkie que volen comprar.

1) Troba expressions, tan curtes com sigui possible, per descriure la quantitat d’estalvis que es poden aconseguir ajuntant els estalvis per parella de totes les parelles possibles. Fes una descripció tant verbal com algebraica.

2) Quina de les parelles seria la primera a aconseguir estalviar els 400 e que costen els Walkie-Talkie?

3) Podries suggerir una agrupació de parelles que beneficiï tot el grup?

Amb aquest problema podem aconseguir treballar la traducció d’una expressió algebraica a llenguatge verbal dins d’un context amb un significat proper als alumnes com poden ser els estalvis i, a més, propiciem que aquest llenguatge, el verbal, pugui ser útil per a la pròpia construcció d’expressions algebraiques simbòliques. En Arcavi (2008, p. 55) podem trobar el següent diàleg entre dues alumnes mentre discuteixen els estalvis assolits per les parelles Mònica (7x) − Anna(10x) i Mónica (7x) − Javi(30 + 5x): Natally

Mònica aconsegueix 7 cada setmana, i Anna guanya 10 cada setmana; per tant, juntes aconsegueixen 17 cada setmana, 17x.

Eli

Elles aconseguiran la màxima quantitat d’estalvis.

Natally

Mònica i Javi. Si Mònica aconsegueix 7 i Javi 5, espera un moment! Javi té 30 e inicialment, no? Per tant, 5 + 7 = 12, OK. 30 + 12x.

És a dir, que amb aquest tipus d’activitats els alumnes poden ser capaços de sumar dues expressions algebraiques (cosa que no havien après a fer quan es va fer aquesta experiència) sense recórrer a les regles sintàctiques de l’àlgebra. Podríem, a més, aprofitar aquest problema per parlar sobre el pendent d’una recta i començar així a veure com el model donat per la funció lineal y = mx + b ens ajuda a resoldre alguns problemes, cosa que connecta amb la següent dimensió de la que parlarem.

desembre 2017 47

Modelitzar Volem que els nostres alumnes es mostrin flexibles a l’hora de descriure i interpretar el món dels fenòmens que els envolten. I, d’acord amb Azcárate i Deulofeu (1998): «Tot docent coincideix a considerar el paper essencial de l’estudi de funcions en les matemàtiques, a partir del segle XVIII, com a font de models i instruments que permeten descriure i interpretar comptant el món físic com els fenòmens i les relacions socials». Així doncs, creiem que la modelització matemàtica ha de permetre desenvolupar aquesta sensibilitat. El que pretenem en aquest apartat és veure com el llenguatge algebraic pot servir per a presentar i entendre els models que ens permeten interpretar el nostre entorn.

D’acord amb els principis exposats, aquesta dimensió del llenguatge algebraic ha d’incloure ser capaç de construir significat a partir de diferents representacions (gràfics, taules, fórmules, etc.) d’un mateix fenomen i també de de transformar diferents representacions en altres d’equivalents per comprendre-les i extreure conclusions. Però fixem-nos que si només parlem d’aquests aspectes, no tindrem una necessitat clara de dir que l’àlgebra ha de servir per a modelitzar i distingir al seu torn aquesta dimensió de la de l’estudi de funcions. Per exemple, podríem dir que quan un alumne tradueix del llenguatge verbal un problema i escriu una equació que servirà per a resoldre-ho també està canviant de representació i, per tant, ja estaria modelitzant. Certament, també podríem dir que aquest procés pertany a la dimensió de modelització. Llavors, per què ens interessa mantenir una dimensió separada per al procés de modelització?

D’acord amb Solar, Deulofeu i Azcárate (2015), la modelització serà el conjunt de fases necessàries per resoldre un problema provinent d’una situació real per mitjà d’un model matemàtic. «El procés de modelització s’inicia generalment amb una situació extramatemàtica, se simplifica a un model real i es matematitza per obtenir un model matemàtic, es resol la situació dins el model i s’interpreta la solució d’una manera coherent amb la situació inicial; finalment, s’avalua si respon amb la situació original» (Solar, Deulofeu i Azcárate, 2015, p.

193). Així, tornant a la nostra qüestió anterior: els processos que generen una necessitat essencialment diferent respecte a l’ús del llenguatge algebraic de la resta de categories són els que a la figura 11 hem anomenat matematitzar.

Figura 11. El procés de modelització.

48 noubiaix 41

A la taula 1 podem trobar una sèrie d’exemples de models matemàtics extrets d’Aleksandrov, Kolmogorov i Laurentiev (1973, p. 66-67). Aquí es pot veure com a partir de tres contextos diferents i sent un d’ells un context purament matemàtic, podem fer emergir el mateix model funcional per matematitzar les diferents situacions. Creiem que, d’alguna manera, el fet que el model sigui el mateix donarà legitimitat al professorat de matemàtiques davant dels seus alumnes per motivar l’estudi de les funcions parabòliques a l’aula.

Taula 1. Exemple de modelitzacions matemàtiques.

Situacions problemàtiques Energia d’un cos que cau E=

m v2 2

m = massa v = velocitat

Quantitat de calor generada en un conductor en la unitat de temps, al pas d’un corrent elèctric Q=

R I2 2

Superfície d’un triangle rectangle S=

I = intensitat R = resistència

1 2 x tg(α) 2

x = costat del triangle α = angle agut adjacent a x

Model matemàtic f (x) =

1 2 ax 2

Tancar el cercle de la modelització complet i arribar fins a aquest punt de motivació amb els nostres alumnes pot ser costós pel que fa al temps necessari per fer-ho, però creiem que val la pena que això passi encara que siguin unes poques vegades durant la seva educació obligatòria. Per tant, caldria buscar contextos en què es donin aquestes situacions i en què la seva complexitat estigui a l’abast dels nostres alumnes.

Un exemple de tasca que podríem dur a terme amb els nostres alumnes per fer emergir les diferents fases del procés de modelització a les nostres aules és l’estudi de la relació existent entre la freqüència del so obtingut tocant una corda d’una guitarra i la seva longitud.

La relació entre aquestes dues variables és de proporcionalitat inversa i, concretament, si anomenem L la longitud de la corda, i F a la freqüència, tenim que: F=

K L

sent K una constant que depèn de la corda particular. Podem fer servir aquesta idea a l’aula mesurant la freqüència amb qualsevol mesurador digital (per exemple, utilitzant una aplicació per a telèfon mòbil) i veient com varia en funció d’on estiguem prement la corda de la guitarra. Així, els alumnes podran acabar trobant la relació anterior amb una corda concreta.

Després els podríem demanar que, ja sense usar el mesurador de freqüències digitals, facin el mateix procés amb una altra corda i que representin la informació que relaciona freqüència i longitud de forma verbal, gràficament, en una taula de valors i també a través d’una expressió algebraica. Només caldrà donar-los una dada: la freqüència que correspon a la corda de la guitarra en sonar solta. A la figura 12 podem veure el resultat d’aquesta tasca plantejada en

desembre 2017 49

una classe de 2n d’ESO. En la meva opinió, és en aquesta part de l’experiment que el professor té l’oportunitat de convèncer els alumnes de l’interès de l’ús d’aquest model matemàtic, en el moment en què gràcies a les matemàtiques podem estudiar el fenomen sense haver de repetir l’experiment.

Figura 12. Diferents representacions de la relació entre la longitud d’una corda d’una guitarra i la freqüència que emet en tocar-la.

Considerem ara la família de rectangles que tenen àrea K cm2 (rectangles equivalents). Si tenim en compte la relació entre la base (b) i l’altura (a) d’aquests rectangles, de nou obtenim la relació següent: a=

K b

A la figura 13 veiem la representació gràfica que es va fer implementant aquesta activitat a la mateixa aula de 2n d’ESO en la qual es va proposar el treball que hem mostrat anteriorment.

Es va demanar que es construïssin molts rectangles equivalents d’àrea 36 cm2 per ajuntar-los després tots i estudiar la relació que s’obtenia entre àrea i alçada observant el vèrtex del rectangle que queda més allunyat de l’origen de coordenades si els col·loquem tal com veiem en la imatge.

50 noubiaix 41

Figura 13. Rectangles equivalents de 36 cm2 d’àrea representant una funció de proporcionalitat inversa.

Finalment, dins d’un context tradicional d’una classe de Tecnologia (o a la mateixa aula de Matemàtiques), es podria parlar de la llei d’Ohm: V =I·R en què I és la intensitat del corrent (quantitat d’electrons que circulen en un punt per unitat de temps), R és la resistència dels materials que formen part del circuit i V és el voltatge que proporciona la font d’energia. Cal notar que, mantenint constant el voltatge V, les variables I i R són inversament proporcionals. Llavors, si en un endoll que proporciona un voltatge constant de 220 V, què passarà si hi posem els dits? Resulta que el nostre cos no ofereix gairebé cap resistència al circuit, de manera que si la resistència tendeix a zero, la intensitat tendirà a infinit, produint la conseqüent guspira en el cable a causa de l’elevat nombre d’electrons que intenten passar a través seu. De nou l’estudi de la funció de proporcionalitat inversa ens ofereix un bon model matemàtic per fer aquest estudi.

Segur que la gran majoria dels professors estan convençuts que l’estudi de la funció de proporcionalitat inversa (y = k/x) és important en classe de matemàtiques, però tot aquest recorregut pel procés de modelització és el que en realitat dotarà de raons els alumnes perquè ells també creguin que és important estudiar aquest model matemàtic i romandre en l’abstracció estudiant com varia la funció segons els diferents valors del paràmetre k d’aquest model funcional.

Conclusions En aquest article hem volgut evidenciar el caràcter multidimensional de l’aprenentatge de l’àlgebra. Però no només això: també és molt important parar compte en l’ordre escollit per a la seva formulació. Sempre que dissenyem un procés d’ensenyament-aprenentatge hem de determinar un itinerari. Per això l’ordre que hem escollit a l’hora de determinar quines són

desembre 2017 51

les habilitats que hauríem d’ajudar a desenvolupar als nostres alumnes no és aleatori, amb el benentès que tampoc no és un ordre únic.

Segons la seqüenciació suggerida, els alumnes haurien de poseir en primer lloc les habilitats pròpies de l’Early Algebra, és a dir, el pensament algebraic necessari per generalitzar a partir de relacions aritmètiques, descriure la variació i modelitzar (Kaput, 2008). Només quan l’alumne té una certa competència en aquests aspectes està preparat per poder començar a fer servir símbols per expressar aquests pensaments.

De la mateixa manera, per tal que un alumne pugui comprendre el procés de resolució d’equacions, en primer lloc ha de ser capaç de donar significat a les lletres i als símbols en general, i per això els ha d’haver fet servir per comunicar generalitzacions.

I, per acabar, difícilment un alumne podrà donar significat a un model matemàtic en el qual necessiti comprendre el significat dels paràmetres d’una determinada funció si abans no ha tingut experiències amb el llenguatge algebraic per expressar funcions.

Bibliografia Aleksandrov, A.D., Kolmogorov, A.N., Laurentiev, M.A. (1973). Matemática: contenido, métodos y significado. Traducció de Manuel López Rodríguez. Madrid: Alianza Editorial.

Arcavi, A. (2008). Modelling with graphical representations. For the Learning of Mathematics, FLM Publishing Association, Edmonton, Alberta, Canada, 28, 2.

Azcárate, C., Deulofeu, J. (1998). Matemáticas ESO. Guías Praxis para el profesorado. Barcelona: Praxis.

Calvo, C., Deulofeu, J., Jareño, J., Morera, L. (2016). Aprender a enseñar matemáticas en la educación secundaria obligatoria. Editorial Síntesis.

Fuente, A. de la (2016). Construcción del lenguaje algebraico en un entorno de resolución de problemas. El rol del conocimiento del profesor. Tesi doctoral. Universitat Autònoma de Barcelona.

Kaput, J. (2000). Teaching and learning a new algebra with understanding. University of Massachussets-Dartmouth.

Kaput, J. (2008). What is Algebra? What is Algebraic Reasoning? Dins J. Kaput, D.W. Carraher i M.L. Blanton, Algebra in the Early Grades (p. 5-18). Nova York: Lawrence Erlbaum Associates.

Kieran, C. (2004). Algebraic thinking in the early grades: what is it? The Mathematics Educator, 8 (1), 139-151.

Mason, J., Burton, L., Stacey, K. (1992). Pensar matemáticamente. Barcelona: Labor.

52 noubiaix 41

National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, Va.: NCTM. Edició espanyola: Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales (2003). Principios y estándares para la Educación Matemática. Traducció de Manuel Fernández Reyes. Sevilla: SAEM Thales.

Schoenfeld, A.H., Arcavi, A. (1988). On the Meaning of Variable. MathematicsTeacher, setembre, p. 420-427.

Socas, M.M., Palarea, M. (1997). Las fuentes de significado, los sistemas de representación y errores en el álgebra escolar. Uno: Revista de Didáctica de las Matemáticas, 14, octubre, p. 7-24.

Solar, H., Deulofeu, J., Azcárate, C. (2015). Competencia de modelización en interpretación de gráficas funcionales. Enseñanza de las ciencias, 33.2, p. 191-210.

Vila, A., Callejo, M.L. (2004). Matemáticas para aprender a pensar: El papel de las creencias en la resolución de problemas. Madrid: Narcea.

desembre 2017 53

Entrevista a Carles Barceló i Vidal

Premi Jaume Vicens Vives a la qualitat docent universitària i impulsor del curs 3E d’eines per a l’ensenyament de l’estadística a secundària

Joan Carles Ferrer Comalat Professor de matemàtiques de la Universitat de Girona joancarles.ferrer@udg.edu

Carles Barceló i Vidal, nascut a Girona l’octubre de 1949, és actualment professor emèrit del Departament d’Informàtica, Matemàtica Aplicada i Estadística de la Universitat de Girona (UdG). Llicenciat i doctor en ciències matemàtiques, al llarg de la seva trajectòria professional ha impartit docència de matemàtiques i estadística a diversos centres d’ensenyament

54 noubiaix 41

secundari i universitari. La seva metodologia d’ensenyament de l’estadística sempre ha estat molt pràctica i innovadora, i el 2013 es va fer mereixedor del Premi Jaume Vicens Vives a la Qualitat Docent Universitària. La dotació econòmica d’aquest prestigiós premi, l’està utilitzant per endegar el projecte 3E, amb l’objectiu general d’influir en la millora de l’ensenyament de l’estadística en l’àmbit de l’educació secundària.

Parlem amb ell sobre els inicis de la seva vocació per les matemàtiques i l’estadística en particular, sobre la seva experiència docent i sobre els seus projectes actuals.

Parlem dels teus inicis com a estudiant universitari de matemàtiques. Com, quan i per què et vas interessar per les matemàtiques?

Vaig néixer a Girona el 1949, el meu pare era fuster i la meva mare era treballadora del tèxtil. Malgrat la seva poca formació acadèmica, sempre em van animar a estudiar.

Recordo d’haver tingut facilitat des de sempre per les matemàtiques, suposo que perquè les trobava lògiques, en comparació amb les altres matèries que es basaven només en la memorització dels continguts. Tant a primària com més tard al batxillerat, les matemàtiques m’agradaven i em divertien. En el moment d’accedir a la universitat, moltes persones tenen dubtes sobre quins estudis iniciar. Recordo que al meu pare li hauria agradat que estudiés arquitectura, segurament per la vessant artística del seu ofici d’artesà de la fusta. També m’atreia la medicina. Però, finalment, suposo que per aquesta facilitat innata que tenia per les matemàtiques, em vaig decantar cap a aquests estudis, perquè em sentia molt còmode i content rumiant en teoremes i comprenent demostracions. És curiós que hagi culminat la meva carrera docent ensenyant estadística a la Facultat de Medicina, ajuntant en certa manera les dues dèries que sempre he tingut: les matemàtiques i la medicina.

Quan i on vas començar els teus estudis universitaris de matemàtiques? Com va ser el trànsit del batxillerat al món universitari?

Vaig iniciar els estudis de matemàtiques el curs 1967-1968, a la Universitat de Barcelona (UB).

En aquella època el primer curs era selectiu, comú per als estudis de ciències i les carreres tècniques. El salt de les matemàtiques del batxillerat a les que estudiàvem a la universitat era considerable, ja que el nivell d’abstracció era enormement més alt. Recordo, per exemple, les dificultats que tenia per comprendre el concepte de successió convergent, que a la universitat el professor ens va explicar en poc menys d’un minut. No hi vaig entendre res i suposo que em va passar allò que sovint succeeix en matemàtiques, que interiorment vas madurant el concepte i, un bon dia −recordo que estava viatjant en el metro−, se’m va aclarir tot de cop i vaig experimentar una agradable sensació de felicitat. És la joia que dona el fet d’entendre un concepte o una demostració bonica. Ara bé, la veritat és que el meu primer trimestre d’universitat va ser molt dur: no entenia gairebé res del que m’explicaven per l’excessiva abstracció i l’enfocament «bourbakià» dels continguts de l’anàlisi matemàtica. Però, en canvi, vaig quedar extasiat quan vaig veure com s’integraven d’una manera natural la geometria i l’àlgebra que m’explicaven. Amb la geometria vaig descobrir la bellesa de les matemàtiques.

Recordes algun professor que, d’alguna manera, hagi estat rellevant per a tu i que t’hagi marcat com a mestre?

Ja ho crec. Han estat uns quants els professors i companys que han influït positivament en el meu coneixement de les matemàtiques. Per dir-te’n algun −i lligant amb el que t’he dit de la

desembre 2017 55

meva passió per la geometria−, tinc un bon record de les classes de geometria diferencial del Dr. Sancho, que feia unes demostracions sintètiques, elegants i entenedores per presentar resultats matemàtics de gran transcendència. També recordo l’ordre i la precisió de les classes de càlcul infinitesimal del Dr. Ortega, i la meva introducció al món de l’abstracció de la mà del Dr. Vaquer a l’assignatura d’Àlgebra i Geometria de primer curs. I tants d’altres: el professor Castellet, de topologia; el Dr. Marco, professor de física de segon; el Dr. Mallol, professor d’àlgebra de quart curs, el Dr. Orús, professor d’astronomia a segon...

Ja sé que vas ser un dels millors alumnes de la teva promoció. He consultat els anuaris de la Universitat i he vist que fores mereixedor del premi extraordinari de llicenciatura l’any 1973.

Caram! On ho has llegit això? Bé, la veritat és que per mi va ser una sorpresa, ja que no ho esperava. Va ser mentre estava fent el servei militar a l’Aragó que un company m’ho va fer saber, i no m’ho acabava de creure.

Doncs, amb aquest full de serveis, ja veig que s’augurava un futur interessant. Què vas fer després d’acabar els estudis?

Tant bon punt vaig acabar la llicenciatura de matemàtiques, el curs següent, el 1972-1973, vaig començar a treballar com a docent a l’institut de batxillerat Jaume Vicens Vives, de Girona. Sempre recordaré les meves primeres classes a sisè de batxillerat (equivalent al que seria actualment el primer curs de batxillerat), en què, d’acord amb el programa oficial, em tocava explicar «Introducción al número real. Sucesiones de Cauchy». Ningú em va donar cap indicació de com donar les classes a aquells alumnes de batxillerat. Em van dir únicament que anés seguint el llibre de text de matemàtiques de sisè, del professor Alfonso Gironza.

Com que el primer tema estava dedicat a explicar els nombres reals a partir de les successions de Cauchy, i jo ho tenia fresc de la carrera, endavant amb les successions de Cauchy! Les cares d’estranyesa que feien els meus alumnes de setze anys em van fer adonar de seguida que no anava per bon camí. Has de pensar que, en aquell moment, la filosofia «bourbakiana» no només impregnava la carrera de matemàtiques, sinó que havia traspassat també al batxillerat. Aleshores vaig començar a aplicar intuïtivament les meves pròpies estratègies per fer mínimament entenedors els conceptes matemàtics que havia d’ensenyar.

Efectivament, jo també tinc el record que l’ensenyament en aquesta teva primera època era excessivament basat en el formalisme. Com van anar evolucionant les teves inquietuds educatives?

Bé. Has de pensar que durant el curs següent, el 1973-1974, vaig haver de deixar momentàniament l’ensenyament per anar a fer el servei militar. Allà vaig aprofitar el temps per preparar les oposicions a càtedra d’institut. A mitjan octubre de 1974 vaig acabar alhora la mili i les oposicions. Vaig tenir sort de treure el número u de tot Espanya (en aquell temps les oposicions es feien a Madrid) i vaig poder triar entre totes les places disponibles. Tot i que inicialment, amb la Maria Rosa, la meva muller, volíem anar a l’institut de Cambados, a Galícia, al final vàrem triar l’institut Bernat Metge, al barri del Besòs de Barcelona. Però no vaig poder prendre possessió de la càtedra fins al curs 1975-1976.

56 noubiaix 41

I així, com i on et vas reincorporar a l’ensenyament?

Esperant la destinació, durant el curs 1974-1975 vaig fer una substitució a l’Institut Maragall de Barcelona, on vaig coincidir amb la Griselda Pascual, catedràtica d’institut i, alhora, professora de teoria de nombres a la UB. Era un institut femení. Va ser una experiència fantàstica, ja que vaig ensopegar amb un grup d’alumnes molt treballadores, de cinquè curs de batxillerat. Precisament enguany volen celebrar els quaranta anys d’acabament del COU i m’han demanat que participi en la seva festa. Ho faré amb molt de gust. En el fons, a qualsevol professor el reconforta veure que unes alumnes, després de més de quatre dècades, guarden un bon record de tu. Encara conservo la llibreteta d’espiral amb les seves fotos on feia les anotacions de classe. El curs següent, 1975-1976, vaig prendre possessió de la meva càtedra de matemàtiques al Bernat Metge. Només hi vaig estar un curs, ja que la Maria Rosa i jo teníem moltes ganes de tornar anar a Girona. I així fou com el curs 1976-1977, amb l’encàrrec de posar en funcionament el segon institut de Girona, em van concedir una comissió de serveis per a ser el primer director de l’actual institut Salvador Espriu, de Salt. Donat que l’any 1976 Salt no existia com a municipi, ja que havia estat annexionat a Girona uns anys abans, la denominació oficial del nou institut era Instituto de Bachillerato Mixto n.Âo 2 de Gerona, Barrio de Salt. Durant el present curs se n’han celebrat els quaranta anys, i m’ha satisfet molt que em convidessin a participar-hi. Va ser durant la meva estada al Salvador Espriu que vaig anar concebent i consolidant la meva manera d’ensenyar i entendre les matemàtiques. Ja veus que de tot el que parlem ja en fa quaranta anys. Massa temps!

Sí, noi, el temps passa d’una revolada. I com ha anat la teva decantació cap a l’estadística?

Mira, a mi m’agradava l’estadística, però no en sabia gens, perquè a la carrera n’havia fet molt poca i a secundària gairebé no s’explicava. Va ser gràcies a un bon company, l’Antoni Gomà, que casualment em va informar d’una conferència d’estadística que el Dr. Eduard Bonet havia de fer a la Universitat Autònoma de Barcelona (UAB). Hi vaig anar i allà vaig coincidir de nou amb el Dr. Bonet, que havia estat professor meu en els cursos de doctorat que havia començat a fer anys enrere.

Caram, recordo el professor Eduard Bonet del primer llibre que vaig veure en català d’estadística, Espais de probabilitat finits, i que quan jo començava la meva activitat docent vaig assistir a un seminari de diversos dies que tu vas impartir amb el Dr. Bonet.

Allà fou on et vaig conèixer, diria que era a l’any 1986. Com va anar l’organització d’aquest curs?

Doncs, bé, arran de la trobada amb l’Eduard Bonet, em va passar un extens material d’estadistica que s’anomenava The statistics in your world i que era publicat per la Universitat de Sheffield. Aleshores em va demanar d’organitzar unes jornades basades en aquell material, que són a les que tu, Joan Carles, fas referència. De seguida vaig connectar amb l’enfocament eminentment pràctic que els anglosaxons apliquen a l’hora d’ensenyar l’estadística. A més, l’Eduard Bonet em va facilitar l’estada durant un mes al Center for Statistical Education de la Universitat de Sheffield i allà vaig poder contactar amb el seu director, el Dr. Peter Holmes. Allò va ser l’empenta definitiva que em va fer decantar per l’estudi i l’ensenyament de l’estadística i la renovació total del seu ensenyament a secundària. Vaig començar-ho a aplicar en una assignatura optativa de caràcter experimental d’estadística dirigida a alumnes de tercer curs de BUP de l’àmbit de les humanitats. Vaig prescindir del programa oficial i vaig centrar el curs en el procés estadístic, que comença amb el plantejament d’un problema i la corresponent

desembre 2017 57

recollida de dades abans no s’arriba a les conclusions finals. Va ser un curs interdisciplinari en el qual van participar professors d’altres matèries.

Em pots explicar alguns exemples dels treballs que fèieu en aquest curs?

En fèiem molts. Per exemple, des del pont de l’autopista A7 que hi havia a prop de l’institut comptàvem el nombre de cotxes que passaven en successius intervals d’un minut de durada.

Això em donava l’excusa per introduir la distribució de Poisson. També, amb la col·laboració del professor de física, els alumnes comptaven el nombre de partícules radioactives per minut que emetien les caputxes de les bombones de càmping-gas que es feien servir aleshores.

Era un altre exemple per introduir la llei de Poisson. Aplicàvem de manera intuïtiva els procediments propis del control de qualitat controlant, per exemple, el pes dels ous envasats o de les bossetes de sucre que et donen amb el cafè. Per descomptat que els alumnes mesuraven també els seus pesos, alçades i envergadures i valoraven la possible correlació d’aquestes mesures. Ja et dic que fou una experiència molt motivadora, i aleshores, totalment innovadora en el camp de l’ensenyament de l’estadística a Catalunya.

Va ser així, doncs, com et vas anar introduint cap a l’ensenyament de l’estadística, que és amb el que has anat treballant fins al moment de la jubilació?

Efectivament. De fet, l’any 1990, quan vaig deixar l’institut, vaig començar a impartir classes a l’Escola Politècnica Superior (EPS) de Girona, que aleshores depenia de la Universitat Politècnica de Catalunya (UPC). Combinava les classes de càlcul amb les d’estadística.

L’estadística que s’ensenyava a la universitat era també totalment teòrica. Vaig aconseguir que l’EPS comprés un software estadístic amb el qual els alumnes van començar a fer pràctiques treballant i analitzant dades reals. En paral·lel, vaig completar la meva formació estadística cursant a la UPC un màster d’estadística aplicada al món industrial.

Poc després de crear-se la Universitat de Girona (UdG) el curs 1991-1992 vaig guanyar plaça de catedràtic d’escola universitària, i des d’aleshores he anat impartint classes d’estadística a totes les carreres tècniques de l’Escola Politècnica, posteriorment a les de ciències, i més tard als estudis d’infermeria i medicina.

Tota aquesta experiència acumulada suposo que t’ha fet reflexionar molt sobre com s’ha d’enfocar la docència de l’estadística i de les matemàtiques en general. Com creus que s’ha d’encarar actualment l’ensenyament de les matemàtiques?

Al meu entendre, l’ensenyament de les matemàtiques no es pot separar del context general de l’ensenyament durant l’etapa obligatòria. Cada vegada crec menys en la divisió en matèries, a vegades massa forçada, dels coneixements i aprenentatges que han d’adquirir els nostres nens i joves. Opino que la pedagogia basada en la resolució de projectes és el camí correcte per afrontar els reptes actuals de formació. Els coneixements matemàtics, ja siguin numèrics, geomètrics o abstractes, que ha d’adquirir l’alumne d’infantil i de primària li vindran marcats per la necessitat de resoldre determinats problemes o situacions proposades pel professor, i també per la necessitat de comprendre la realitat en què es mou. A secundària, principalment a partir de la segona etapa, caldrà que l’alumne sistematitzi els coneixements matemàtics adquirits en els anys anteriors, i no és fins passats els setze anys que s’hauria d’abordar, si és el cas, l’ensenyament de la matemàtica més acadèmica i formal. De tota manera, crec que estem lluny d’aquest plantejament.

58 noubiaix 41

Després de la teva llarga experiència en l’ensenyament de l’estadística, darrerament als estudiants de medicina, l’any 2013 i coincidint amb la teva jubilació, el Govern de la Generalitat et concedeix el Premi Vicens Vives a la qualitat docent universitària. Tinc entès que és a partir d’aquest reconeixement que et planteges posar en marxa el curs 3E. Efectivament. Vaig ser proposat per al premi pels meus companys de la UdG, i em fou concedit per la Generalitat de Catalunya. Com que el guardó va acompanyat d’una dotació econòmica i les meves arrels en l’ensenyament secundari són molt profundes, em va semblar que una bona manera de retornar tot allò de bo que m’ha donat la secundària era endegar aquest curs 3E, adreçat als professors d’aquest nivell. Com que al meu parer els graduats de matemàtiques tenen, en general, molta formació matemàtica, però no tanta en estadística, em va semblar que era interessant proporcionar a tots els docents que ho necessitin i ho vulguin una eina que els facilités l’ensenyament de l’estadística a secundària.

Doncs, mira, justament el motiu que ens ha mogut als membres del consell de redacció del NouBiaix de fer-te aquesta entrevista és l’interès que tenim a donar a conèixer als docents aquesta eina en què estàs treballant. Explica’ns en poques paraules en què consisteix el curs 3E. 3E és la denominació que hem triat per referir-nos al curs d’Eines per a l’ensenyament de l’estadística a secundària (prenent les 3 es (eines, ensenyament, estadística) que formarien l’acrònim). Es tracta d’un moodle que penja de la Càtedra Lluís Santaló d’Aplicacions de la Matemàtica de la UdG, en el qual el professor de secundària interessat hi pot trobar la informació necessària que, des del meu punt de vista, pot necessitar a l’hora d’introduir l’activitat estadística a les aules, ja sigui d’ESO o de batxillerat.

I quin és l’objectiu primordial que t’has plantejat en dissenyar aquest curs?

Fonamentalment, que el professor adquireixi una visió actualitzada i moderna de l’estadística descriptiva, basada en l’anàlisi −no només numèrica, sinó també gràfica− de dades reals, deixant en un segon terme els aspectes més matemàtics. Per això es fa molt d’èmfasi en la terminologia i els procediments que són propis de l’anàlisi de dades, i també en les eines informàtiques bàsiques necessàries per aplicar-los a conjunts nombrosos de dades. Alhora, al llarg del curs, s’insisteix en la importància de seguir la metodologia pròpia del mètode científic a l’hora de plantejar i intentar resoldre un problema que requereix l’aplicació de procediments estadístics.

Ens pots explicar com s’estructura el curs?

Consta d’onze unitats didàctiques que van des d’una primera unitat en la qual reflexionem sobre el paper que juga l’estadística en la nostra societat avui en dia, fins a una darrera unitat en què es presenten les pautes que cal tenir en compte a l’hora de preparar una enquesta, passant per unes unitats més estàndard en què s’introdueixen els estadístics habituals com són la mediana, la mitjana, la desviació estàndard... Al final s’inclou una secció amb nombrosos exemples d’activitats que el professor por portar a l’aula per iniciar els seus alumnes en l’activitat estadística.

Veig que lliga molt amb els teus inicis amb l’estadística i el que ens has explicat abans del projecte Sheffield. Què hi trobem en les unitats didàctiques del curs 3E?

desembre 2017 59

Les unitats consten de diferents apartats. Els continguts específics de cada una s’expliquen i es recullen en un vídeo. Al final sempre hi ha un apartat en el qual es proporciona (o s’indica on es pot trobar) una relació de material molt divers per completar o ampliar els continguts.

En alguns casos s’inclou una sessió pràctica i totalment guiada en la qual, amb l’ajuda del paquet estadístic R, s’exerciten les activitats que es presenten en la unitat. Hi ha també un parell d’unitats que inclouen documents i enllaços que haurien de permetre al professor dissenyar les seves pròpies activitats estadístiques per portar a l’aula.

Pel que ens expliques, la idea del curs sembla molt engrescadora i molt interessant.

Què més aporta de diferent el curs 3E respecte al que podem trobar en els llibres de text o en molts tutorials d’estadística que es troben a Internet?

Sobretot es diferencia en la metodologia que se segueix en el curs. Per a mi no té sentit ensenyar estadística si no és a partir de l’anàlisi de dades reals. I aquestes dades s’obtenen a partir de la necessitat de resoldre un problema determinat, que pot ser més o menys complicat. Com t’he dit abans quan t’explicava que l’estadística comença amb la recollida correcta de les dades, és a partir d’aquest llarg procés que va des del plantejament i definició del problema fins a l’intent de resolució, que s’han d’anar introduint els diferents conceptes estadístics.

Pel que ens dius, penses que té poc sentit ensenyar estadística sense dades reals?

Efectivament. Per a mi, no té sentit definir, sense més ni més, per exemple, la mediana o la mitjana d’un conjunt de dades quantitatives sense indicar el context en que han estat recollides. Això és del tot indispensable si, després de calcular mecànicament aquests estadístics, volem interpretar-los.

En la meva opinió, un dels problemes de l’ensenyament de l’estadística a secundària és que majoritàriament està en mans de graduats en matemàtiques, els quals, a causa de la seva formació acadèmica eminentment teòrica, donen una importància excessiva als conceptes, desvinculant-los de les dades sobre els quals s’apliquen. És per això que els continguts de tots els vídeos del curs 3E tenen sempre com a fil conductor un o més conjunts de dades reals, com poden ser els pesos dels nadons nascuts en un hospital o els sous dels jugadors d’un equip de bàsquet de la NBA. Què cal fer per accedir als continguts del curs? Cal matricular-se en algun lloc?

No, de cap manera. Qualsevol hi pot accedir lliurement anant a l’adreça d’internet http://webimae.udg.edu/curs3e/ i entrant anònimament al moodle com a convidat.

Tot i que el moodle està organitzat en forma seqüencial com si es tractés d’un curs, es pot disposar en qualsevol moment de tot el material del curs excepte dels qüestionaris d’autoavaluació, els quals només estan actius quan el moodle del curs s’utilitza en el context d’un curs telemàtic tutoritzat, com el que, per exemple, va organitzar l’ICE de la UdG el curs passat, del qual el professor Raül Fernández va ser el tutor. Val a dir que el centenar de professors que hi van participar van valorar molt satisfactòriament el curs.

60 noubiaix 41

Qui formeu l’equip responsable del curs 3E? Per al bo i per al dolent, en soc l’únic responsable, tant dels continguts com del disseny del curs, tot i que he rebut l’ajut inestimable d’en Pepus Daunis i de la Glòria Mateu, que són dos col·legues del Departament que m’estimo molt.

A més dels continguts actuals que estan a disposició lliure de tots els interessats, tens prevista la creació de nous continguts en el curs 3E? De moment, el curs només cobreix l’àmbit de l’estadística descriptiva, però tinc previst que al llarg d’aquest any s’ampliï amb els continguts bàsics d’inferència estadística que es tracten al batxillerat. Hi he començat a treballar, però encara hi ha molta feina per fer. Espero tenir la salut i l’empenta suficients per acabar-ho i posar-ho a disposició dels professors de secundària interessats.

Moltes gràcies, Carles, per donar-nos a conèixer tota aquesta tasca que estàs duent a terme en pro de l’ensenyament de l’estadística a secundària. Ja veiem que, tot i estar oficialment jubilat, segueixes molt actiu dins aquest món de les matemàtiques que tant ens apassiona. Tot i així, tens altres inquietuds més enllà de les matemàtiques?

Ja ho crec. Les matemàtiques han estat molt importants per a mi i m’han fet molt feliç. Però la vida té molts altres components agradables que mereixen ser viscuts i compartits. Ara mateix m’he matriculat a l’Aula d’Escriptura de la Mercè de Girona i estic gaudint molt com a aprenent d’escriptor, descobrint molts aspectes que fins ara desconeixia i que em resulten apassionants. Vull agrair-vos l’oportunitat que m’heu donat d’explicar-vos, ni que sigui en unes poques pinzellades, la meva modesta trajectòria en l’ensenyament d’aquesta disciplina, la matemàtica, que malgrat els esforços de tants mestres i professors continua essent força incomprensible per a molts.

Bases del Premi Maria Antònia Canals Objecte del Premi Té com a finalitat incentivar pràctiques d’innovació educativa dirigides a l’ensenyament de la matemàtica.

Bases del premi El premi l’atorguen conjuntament les societats de professors de matemàtiques de parla catalana FEEMCAT, SEMCV Al-khwarizmi, SBM Xeix i SCM. El premi s’atorgarà anualment en la jornada conjunta de les societats convocants.

El premi és per una experiència d’aula innovadora implementada que pot referir-se a una experiència concreta, una seqüència o una trajectòria per una metodologia realitzada a algun dels diferents nivells educatius, des de infantil fins a universitat, i que hagi estat publicada (en llengua catalana) o bé presentada en alguna de les Jornades que celebren les diferents associacions convocants.

Cada societat presentarà al jurat del premi una proposta justificada dels candidats que cregui que són mereixedors de la distinció.

El jurat estarà format per un representant de cada una de les societats convocants que sigui expert en didàctica de la matemàtica, però que no pertanyi a cap junta directiva de les associacions convocants, i un especialista en didàctica de la matemàtica proposat per l’associació que és seu de la jornada conjunta de les associacions. El secretari de la societat que és seu de la jornada actuarà com a secretari del tribunal amb veu, però sense vot.

Presentació de les candidatures Les candidatures poden referir-se a una persona a o a un grup de persones.

Les candidatures han d’aportar una memòria justificativa que consti de: •

Descripció de l’experiència d’aula realitzada amb alumnes, detallant a quin centre i en quin nivell s’ha portat a terme.

•

Justificació de quina innovació aporta, ressaltant els aspectes didàctics.

•

Antecedents, d’articles publicats, presentacions en jornades o congressos.

•

Cartes d’adhesió d’altres persones, grups o institucions que avalin la proposta.

L’experiència d’aula ha d’haver estat implementada.

L’experiència presentada no pot haver rebut cap altre premi.

L’experiència presentada s’ha d’haver realitzat en llengua catalana.

El termini de presentacions de candidatures finalitza el dia 31 de juliol a les 23 hores 59 minuts.

Veredicte del jurat El jurat decidirà sobre les candidatures rebudes. Podrà atorgar fins a dos premis en cada convocatòria.

Podrà fer menció especial si ho considera necessari. Per prendre la decisió, el jurat pot consultar amb els experts que consideri oportú o demanar ampliacions de les informacions rebudes.

La decisió del jurat serà inapel·lable.

El jurat pot declarar desert el premi si considera que cap proposta no té la qualitat suficient.

El premi El premi tindrà una dotació de 600 euros.

En el cas que el premi sigui compartit per dos projectes, tindrà una dotació de 400 euros per a cada un.

El premiat o premiats es comprometen a presentar l’experiència o una part d’ella a la jornada conjunta d’aquell any i a difondre-la de la millor manera possible.

desembre 2017 69

seccions seccions

cions

pensar

noubiaix41 41 6464noubiaix

per pensar d’un minut a una hora Jordi Deulofeu Departament de Didàctica de les Matemàtiques i les Ciències Universitat Autònoma de Barcelona jordi.deulofeu@uab.cat

Dedicaré l’article d’avui a la que segurament és la successió més coneguda de les matemàtiques, l’anomenada successió de Fibonacci. Leonardo de Pisa, que va viure a cavall dels segles XII i XIII, és, sens dubte, el matemàtic més rellevant de l’època medieval a Occident. La seva obra més destacada és el Liber Abaci (1202), nom que representa una certa contradicció, ja que a l’inici d’aquest extens treball de més de sis-centes pàgines Leonardo introdueix els nombres hindús i ens ensenya a operar-hi, mostrant que amb aquests algorismes és possible alliberar-se de l’ús dels àbacs, fins llavors instruments indispensables per a la realització de qualsevol tipus de càlculs.

El nom de Fibonacci el va escriure per primera vegada l’historiador francès Guillaume Libri, el 1838, i pocs anys després, a la dècada de 1870, el matemàtic Edouard Lucas (1842 - 1891) va anomenar la successió que resol el famós problema de la reproducció de conills, i que comença amb els nombres: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... com la successió de Fibonacci, i els nombres que la formen com a nombres de Fibonacci. Lucas mateix va estudiar àmpliament la successió i va fer-ne la generalització, és a dir, en lloc de considerar la successió que comença per 1, 1, va suposar que els dos primers termes eren dos enters qualssevol a i b, tot mantenint la mateixa llei de formació: cada terme és suma dels dos anteriors. Per això, la successió que comença amb 1, 3, 4, 7, 11, 18... s’anomena successió de Lucas.

Problema 1. Una qüestió ben senzilla, després d’identificar la llei recurrent de formació de la successió, que poden descobrir, analitzar i discutir els alumnes de primària, consisteix a determinar el patró que formen els nombres de la successió de Fibonacci pel que fa a la paritat. Si observem els primers termes, sembla clar: senar, senar, parell, senar, senar, parell... i això és així pel fet que els dos primers termes són senars. Què passa en els altres casos, és a dir, quan un terme és parell i l’altre senar, o bé quan els dos termes són parells? Descobrir primer i argumentar després la validesa dels patrons trobats és una bona manera de començar a conèixer aquesta successió, les propietats de la qual semblen no tenir fi.

Patrons similars es poden trobar per a qualsevol altre nombre primer que formi part de la successió. Per exemple, si observem els nombres de la successió pel que fa al 3 i als seus

desembre 2017 65

múltiples, veurem que el 3 és el quart terme i que totes les posicions múltiples de 4 estan ocupades per múltiples de tres. Passa el mateix per al 5? I per al 13? Formulem una conjectura plausible relacionada amb aquesta curiosa regularitat.

Problema 2. A partir de la recurrència definida per la suma de dos termes consecutius, podem plantejar-nos què passa si sumem els tres primers termes, els quatre primers, els cinc primers, i en general els n primers termes. Quina conjectura es pot formular? Què passa si sumem els n primers termes parells? I els n primers termes senars?

En relació amb la divisibilitat, hi ha també nombroses propietats interessants.

Problema 3. És possible que dos termes consecutius de la successió de Fibonacci tinguin algun divisor comú, llevat de l’1? Per què?

En relació amb els nombres primers, de les propietats anteriors es dedueix que si un nombre és primer i forma part de la successió, ha d’ocupar un lloc que també correspon a un nombre primer. No obstant això, el recíproc no és cert; un primer contraexemple el trobem a: a 19 = 4.181 = 113 · 37. Això ens porta a preguntar-nos si hi ha infinits nombres primers que són nombres de Fibonacci. Encara que tot sembla indicar que si, la resposta definitiva a aquesta pregunta segueix oberta.

Observem ara les propietats que tenen relació amb sumes i diferències de quadrats. Per exemple, la suma dels quadrats de dos termes consecutius de la successió és també un terme de la successió, i és precisament el terme que ocupa el lloc corresponent a la suma dels llocs ocupats pels dos termes. Per exemple, prenem els termes consecutius cinquè i sisè, que són 5 i 8. Resulta: 25 + 64 = 89, que és el terme onzè.

Si en lloc de sumar els quadrats de dos nombres consecutius sumem els quadrats de dos nombres de la successió deixant un lloc entre ells, el resultat és el doble d’un nombre de Fibonacci, concretament: a2n + a2n+2 + = 2a2n+1 Problema 4. Possiblement una de les propietats més interessants és la que permet relacionar el quadrat d’un terme amb el producte del terme anterior pel posterior. Sabríeu conjecturar-la?

Aquesta igualtat, enunciada pel matemàtic francès Albert Girard (1595-1632) i la demostració de la qual pot fer-se per inducció, va ser la que va permetre construir, justificar i resoldre, al segle XVIII, la curiosa i coneguda paradoxa d’Hooper, segons la qual amb un puzle construït ad hoc es «demostra» que 64 = 65 i amb la qual s’inauguren les paradoxes de la unitat desapareguda que després plantejarà Sam Loyd, entre d’altres. Cal observar que la propietat descoberta per Girard ens diu, per exemple, que: 52 = 3 · 8 + 1, mentre que per al següent terme, 82 = 5 · 13 − 1; en el següent tindrem, 132 = 8 · 21 + 1, i així successivament, sumant o restant una unitat alternativament.

Acabarem amb un altre problema, en aquest cas de tipus geomètric, que tot i la diferència amb els anteriors manté una estreta relació amb la successió de Fibonacci.

66 noubiaix 41

Problema 5. Disposem de les fitxes d’un joc de dòmino, que són rectangles d’amplada 1 u. i llargada 2 u., i volem formar amb elles un rectangle d’amplada 2 i de llargada un nombre natural n. Conegut n, ¿de quantes maneres diferents podrem formar aquest rectangle? Un estudi dels primers casos ens permetrà conjecturar que el nombre de possibilitats és 1 per a n = 1, 2 per a n = 2, 3 per a n = 3 i 5 per a n = 4 (vegeu el dibuix amb els tres primers casos). n=1

n=2

n=3

Imatge 1. Els tres primers casos.

Una de les preguntes que ens podem fer sobre la successió de Fibonacci és el seu tipus de creixement. És més gran que el d’una progressió aritmètica (en la qual cada terme és suma de l’anterior més una quantitat fixa), ja que la mateixa regla de formació ens indica que a mesura que augmenten els termes la quantitat que sumem a un d’ells per obtenir el següent és cada vegada més gran. Llavors podem preguntar-nos si aquest creixement serà similar al d’una progressió geomètrica (ara cada terme és l’anterior per una quantitat fixa), i en cas que fos així, quina seria aquesta quantitat.

Si fem l’estudi dels quocients que s’obtenen en dividir cada terme pel seu anterior, observem que aquests no són iguals, però sí que tendeixen a estabilitzar-se, tot i que la successió dels quocients no és monòtona, sinó alternada.

En efecte, si disposem aquests quocients en una taula formant dues successions de manera alternada (taula que val la pena construir), constatarem que la primera de les successions (la formada pels quocients de dividir els successius termes parells pel seu anterior) és creixent, mentre que la segona (formada per els quocients de dividir cada terme imparell pel seu anterior) és decreixent i, a més, tots els termes de la segona són més grans que els de la primera.

Llavors resulta que el límit de les dues successions és el mateix, i aquest nombre és √ Φ = (1 + 5)/2, nombre irracional conegut com el nombre d’or. D’aquesta manera, els nombres de Fibonacci ens proporcionen aproximacions tan bones com vulguem del nombre d’or, tant per defecte com per excés; n’hi ha prou amb fer el quocient de dos termes

desembre 2017 67

consecutius de la successió. Si prenem un terme parell i el dividim pel seu anterior, l’aproximació serà per defecte, i en cas contrari serà per excés.

Aquest resultat va ser establert l’any 1753 pel matemàtic escocès Robert Simpson i és fonamental per comprendre el creixement de la successió i per trobar una expressió no recurrent que permeti determinar un terme de la successió sense necessitat de calcular els anteriors.

En efecte, suposant que el límit anterior existeix, i anomenant x aquest límit, una senzilla manipulació algebraica que resulta d’aplicar la recurrència que√determina la successió ens permet obtenir l’equació x = 1 − x 2 , que té per solució (1 + 5)/2. En conseqüència, el límit dels quocients dels successius termes, quan el nombre de termes és infinit, és igual al nombre Φ.

Si us ha interessat la successió de Fibonacci i en voleu saber més coses, la seva relació amb el nombre d’or i, en general, sobre l’obra de Leonardo de Pisa, us proposo la lectura de tres llibres: un de Ricardo Moreno, de la col·lecció «La matemática en sus personajes»; un altre molt recent de Keith Devlin, i el tercer, de Fernando Corbalán; els trobareu a la bibliografia.

D’aquí a uns mesos, a la col·lecció «Grandes matemáticos» de l’editorial RBA, encara en sortirà un altre que estic escrivint ara mateix sobre aquest interessant personatge i la seva obra, que tanta importància va tenir per a l’esdevenir de la matemàtica occidental.

Bibliografia Corbalán, F. (2010). La proporción áurea, el lenguaje matemático de la belleza. Col·lecció «El mundo es matemático». Barcelona: RBA. Devlin, K. (2017). Finding Fibonacci. Princeton (NJ): Princeton University Press.

Moreno, R. (2007). Fibonacci, el primer matemático medieval. Madrid: Nivola.

6868noubiaix noubiaix41 41

2

C EM

desembre 2017 75

segon congrés català d’educació matemàtica

La comissió per a l’ impuls de les conclusions del Segon Congrés Català d’Educació Matemàtica Oriol Busquets, Cecilia Calvo i Antoni Vila claudio.alsina@upc.edu

1. Les conclusions. El seu valor El 13 de juliol de 2016, al voltant de les sis de la tarda, en el marc solemne d’un Paranimf de la Universitat de Barcelona ple de gom a gom, es procedí a la lectura de les 14 conclusions del Segon Congrés Català d’Educació Matemàtica (C2 EM). El profund silenci amb què s’acompanyà la lectura i l’esclat perllongat i intens d’aplaudiments que es produí segons després de finalitzar-la són una mostra de la rellevància que es va donar a aquelles conclusions.

Quines són les raons que fan que aquestes conclusions es considerin tan importants?

desembre 2017 69

D’una banda, sorgeixen d’un congrés amb una participació molt gran, de més de siscentes persones, de professionals de l’educació matemàtica amb un espectre molt divers de procedències que abracen des de l’educació infantil fins a l’ensenyament universitari.

D’una altra banda, les conclusions són el producte d’un procés participatiu d’una gran amplitud i profunditat. A partir dels cinc debats que formaven part de la programació del congrés, se n’elaborà una primera proposta. Aquesta proposta de conclusions de cada un dels debats se sotmeté a la consideració de tothom qui volgués participar en trobades simultànies en les quals s’anaren destil·lant i concretant els enunciatsd’acord amb la rellevància que es considerava que tenien. Finalment, es procedí a un intent de donar coherència al redactat final i a unificar-ne l’estil. Cal destacar que l’assistència als debats fou molt nombrosa, sempre al voltant del centenar de persones.

2. Les conclusions. Les seves característiques Com indica el seu nom, les conclusions van servir per a cloure el congrés. Però la seva funció i importància va molt més enllà de limitar-se a descriure la situació de l’educació matemàtica a Catalunya en el present o en el passat: marquen quines podrien ser les línies d’actuació que caldria seguir i potenciar en el futur. Per confirmar aquesta afirmació, només cal adonar-se que en cada conclusió hi ha una exhortació a actuar o avançar en una determinada direcció: «s’ha de...», «cal que...», etc.

El fet que les conclusions es generin a partir dels cinc debats que tingueren lloc en el congrés fa que l’establiment d’aquestes línies d’actuació abracin molts dels aspectes que en aquests moments preocupen la comunitat educativa: la formació del professorat, l’activitat a les aules, la divulgació de coneixements matemàtics, la imatge social de les matemàtiques, les matemàtiques com a part de la formació integral de les persones, la presència de les matemàtiques en els mitjans de comunicació i l’ús de les xarxes de comunicació en l’educació matemàtica...

Finalment, cal destacar que les conclusions no marquen fites a les quals arribar, sinó que proposen direccions a seguir per poder avançar de manera adequada.

3. La comissió. Què és i com s’organitza?

Considerant, tal com s’ha dit, que les conclusions no són un punt final del congrés, sinó un punt i seguit en què el més important és el que ha de venir després i no el que hi ha hagut fins ara, la FEEMCAT va proposar crear una comissió que fes un seguiment de les actuacions que anessin en les direccions d’avenç que s’establien en les conclusions i, sobretot, procurés el seu impuls.

Els objectius generals d’aquesta comissió són: •

Identificar, fer seguiment i impulsar activitats per compartir, comunicar i construir en les línies marcades per les conclusions i el lema del C2 EM.

70 noubiaix 41 •

Mantenir una continuïtat: mantenir viva la flama entre el final del C2 EM i el C3 EM, que s’ha de celebrar el 2020, donant visibilitat a actuacions que facin avançar l’educació matemàtica en les línies marcades per les conclusions del C2 EM.

Així doncs, com es veu, la intenció de la Comissió és que si al final del C3 EM es volen redactar unes noves conclusions, es pugui constatar que s’ha avançat de manera significativa en les línies evolutives marcades per les conclusions del C2 EM.

La comissió és coordinada per Antoni Vila i Cecilia Calvo i, inicialment, ha estat integrada per membres de les comissions i els comitès de l’organització del C2 EM. Aquesta composició, però, no és més que el punt de partida, ja que se’n preveu un dinamisme que permeti que es produeixin canvis, baixes i incorporacions al llarg del seu període d’actuació. De fet, s’ha consultat a tots els assistents al congrés sobre la seva disponibilitat a participar-hi.

La comissió s’ha organitzat en grups que s’anomenen «nodes», i no subcomissions, per remarcar el caràcter de xarxa amb què es vol treballar. El que ha de predominar és la interacció entre els nodes i no l’encàrrec de tasques, esquema de funcionament, que respondria més a una estructura jerarquitzada que no pas a una d’interactiva, que és la que es vol potenciar.

El node 6 és el responsable del registre i comunicació de l’activitat de la comissió. Cadascun dels nodes restants correspon a un nucli temàtic del C2 EM, excepte en el cas dels nodes 3 i 4, que finalment es va decidir agrupar tenint en compte la proximitat dels seus camps d’actuació. Així, el node 1 atén les conclusions relatives a la formació del professorat; el node 2, les conclusions relatives a les matemàtiques a l’aula; el node 3-4, les conclusions relatives a la matemàtica com a part de la formació integral de les persones i en la seva imatge social, i el node 5, les conclusions relatives al fet de compartir i construir coneixement en xarxes.

4. La comissió. Què hauria de fer?

Considerant els objectius generals de la Comissió per a l’impuls de les conclusions del C2 EM, les seves actuacions s’haurien d’encaminar a registrar, difondre i impulsar actuacions i contextos que afavoreixin l’evolució de l’educació matemàtica, entesa en un sentit ampli, en les direccions que assenyalen les conclusions.

desembre 2017 71

Algunes actuacions que s’emmarcarien en aquesta línia de treball, serien: •

Posar a l’abast, o facilitar l’accés a, recursos útils per a aquesta evolució, tant des de la perspectiva de posar en valor els recursos i bancs de recursos que en aquest moment ja són de domini públic i compartit, encara que potser alguns amb poca difusió, com, també, pel que fa a la creació o redefinició d’altres, atenent a indicadors que els identifiquin com a referencials.

•

Facilitar el contacte entre persones o institucions que tenen la intenció d’avançar en una mateixa direcció, coherent amb les línies definides per les conclusions, en els diversos àmbits de l’educació matemàtica, i ajudar-les a compartir experiències. En particular, potenciar la idea de «compartir entre iguals», impulsant canals que ho afavoreixin i creant o potenciant espais i moments d’intercanvi i de reflexió.

•

Registrar experiències d’èxit relacionades amb la difusió d’una imatge social positiva de les matemàtiques, tot identificant-hi els principals valors, per tal de poder impulsar posteriorment noves accions en la mateixa direcció.

•

Crear i mantenir un lloc web en què s’exposin les diferents actuacions de la comissió i els productes de la tasca que desenvolupa.

•

Tenir una presència activa en fòrums de format divers (jornades, congressos, revistes...) en els quals es plantegin avenços en l’educació matemàtica que siguin coherents amb les línies indicades en les conclusions del C2 EM.

5. La comissió. Què ha fet, què fa i què farà?

A continuació, descriurem quina ha estat l’activitat de la comissió al llarg dels mesos que han transcorregut des de la seva constitució.

Una de les primeres coses que es van fer va ser consensuar el tipus d’informació que interessava recollir, els canals a través dels quals s’obtindria aquesta informació i els criteris i categories amb què es registraria.

72 noubiaix 41

Una manera entenedora de descriure les actuacions dutes a terme per la comissió és concretant-les en relació amb cadascun dels nodes: •

El node 1 ha iniciat una recollida d’informació sobre l’oferta de formació inicial i permanent que prové de l’Administració educativa, de les Universitats i d’altres institucions.

•

El node 2 es proposa recollir, i de fet ja ha començat a fer-ho, informació referida a pràctiques educatives de referència i sobre bancs de recursos, identificant-ne, en aquest cas, les característiques que els poden fer especialment valuosos. Des d’aquest node es va elaborar un qüestionari, que es va adreçar a tots els assistents del C2 EM, per tal de «quantificar la intensitat de les conclusions del congrés» un any després de la seva celebració, recollir opinions en relació amb allò que caldria impulsar per tal de revertir aquells aspectes que s’hi diagnosticaven com a més negatius i identificar obstacles i possibles vies d’avenç. Es reberen gairebé dues-centes respostes, a partir de les quals s’ha elaborat un informe que ha estat utilitzat com a font d’informació per la resta de nodes. Aquest informe s’ha publicat en l’espai web de la comissió, del qual es parlarà en la relació d’actuacions corresponents al node 6.

•

El node 3-4 té informació recollida, i en continua recollint, sobre: − concursos de resolució de problemes, de fotografia, de vídeos, de relats o dibuixos matemàtics; − exposicions; − activitats d’educació matemàtica dirigides a les famílies; − experiències relacionades amb la presència de les matemàtiques als mitjans de comunicació; − experiències rellevants de divulgació matemàtica o de divulgació de l’activitat matemàtica escolar.

•

El node 5 recull informació sobre les xarxes de mestres existents i la seva contribució a l’intercanvi professional. Es descriu el tipus d’activitats que s’hi porten a terme i els vincles que s’estableixen entre les diverses xarxes.

•

En l’àmbit d’actuació del node 6, de moment s’han fet les actuacions següents: − Posada en marxa d’un espai web que serveix de suport als registres d’informació i s’utilitza com a canal de comunicació bidireccional entre la comissió i el col·lectiu docent, en particular, i la societat en general. Aquest espai web s’ha construït reconvertint la web del C2 EM (http://c2em.feemcat.org), que continua allotjant la informació més significativa del congrés. − Monitoratge de la divulgació de les conclusions del C2 EM, recollint les referències que s’hi han anat fent en diferents àmbits: revistes, pàgines web,... El document que conté aquests registres, com altres que s’esmenten en aquest article, és accessible des de la web de la Comissió. − Difusió de les conclusions del C2 EM en les jornades de les associacions federades en la FEEMCAT. S’han fet cinc presentacions que incloïen una proposta de taller amb els assistents, en què es recollien les seves aportacions entorn de la qüestió: «Què puc fer jo per impulsar aquestes conclusions: individualment, en el meu centre, en el meu col·lectiu?». Es va elaborar un informe que recull l’anàlisi i la

desembre 2017 73

categorització d’aquestes aportacions. De fet, aquesta difusió es va iniciar abans de la constitució de la Comissió, com una tasca que havien assumit com a pròpia el coordinador general del congrés (Sergi Múria) i els dos coordinadors del comitè científic (Anton Aubanell i Lluís Mora), però en constituir-se la comissió es va incorporar com una de les seves activitats.

Dintre de l’àmbit d’actuació del node 6, també cal destacar que la comissió va participar en la Jornada conjunta (FEEMCAT, SCM, SBM-Xeix i SEMCV-Al Khwarizmi) celebrada el 30 de setembre de 2017. També participarà en les jornades locals del curs 2017/2018 de les diferents associacions integrades en la FEEMCAT, en sessions que tindran una primera part de retorn de les aportacions recollides en l’edició del 2016/2017 i una segona part de treball participatiu, en què els assistents definiran actuacions que vagin en la línia dels suggeriments recollits en les mateixes jornades del curs anterior.

En un futur immediat, al llarg del curs 2017/2018, la comissió pretén enllestir aquesta fase d’identificació «panoràmica» dels referents a considerar i de les mancances a analitzar. A continuació, caldrà començar a plantejar valoracions i propostes que permetin continuar avançant en la direcció d’impuls esmentada al llarg d’aquest article. Cal assumir, però, que la comissió no té, ni ha de tenir, capacitat organitzativa per tirar endavant projectes, més enllà de la ja prou ambiciosa proposta del pla d’impuls, sense que això vulgui dir que no calgui adreçar-se a «qui correspongui» per tal de potenciar aquest impuls. Entenent, per descomptat, que l’expressió «a qui correspongui» ens inclou a tots.

La comissió no pot pretendre l’exhaustivitat. No es pot fer el seguiment, ni el registre, de tot allò que es fa d’interessant en el camp de l’educació matemàtica. La comissió tampoc no pot pretendre atorgar segells exclusius de qualitat. Ben segur que es fan activitats interessantíssimes que tenen una repercussió i un grau de visibilitat molt reduïts i que, per tant, sovint passen desapercebudes. El que sí que pot i ha de fer és, en el període que va del C2 EM al C3 EM, mantenir viu i present el referent que signifiquen les catorze conclusions que van cloure el C2 EM i testimoniar, i en la mesura del possible impulsar, avenços en les direccions que s’hi assenyalaven.

6. A tall de cloenda Per acabar, exposem tres idees referencials que defineixen les dimensions en què creiem que s’ha de contextualitzar l’actuació de la comissió: 1. És rellevant donar un impuls a les moltes iniciatives i experiències que, de manera continuada, es generen en el col·lectiu de persones dedicades a l’educació matemàtica.

I és adequat plantejar que les conclusions del C2 EM assenyalen una mena d’itinerari estructurat, per la seva coherència interna i pel procés que es va seguir en la seva gènesi.

2. La comissió pot jugar un paper essencialment impulsor, ja que, volgudament, no té capacitat organitzativa ni executiva. Sense deixar de reclamar que l’Administració exerceixi el paper que li correspon, no hem de renunciar mai al nostre paper com a professionals. Tanmateix, cal ser conscients que el treball aïllat de cadascun de nosaltres és limitat i vulnerable.

74 noubiaix 41

3. La progressiva implantació i ampliació d’un treball en xarxa ha de permetre assolir un impuls més efectiu i perdurable. La identificació de les xarxes actuals ha de ser un dels treballs cabdals d’aquesta comissió.

oriflèxia

110 noubiaix 39

desembre desembre2017 2017 75 75

el racó de l’oriflèxia

L’origami dels poliedres platònics Jaume Coll Guerrero CFA Rafael Farré (Molins de Rei) Professor associat Departament de Matemàtiques (UAB)

1. Els humans i els poliedres Fa milers d’anys que els humans coneixen els poliedres. Un dels exemples més antics, enigmàtic i emotiu, és la gran piràmide de Kheops, segon faraó de la IV dinastia egípcia.

Aquesta construcció faraònica està situada a la planura de Gizeh, avui dia al costat de la ciutat del Caire o Al-Qahira (La Victoriosa). Essent la més gran de totes les piràmides egípcies té una alçada de h = 146,6 m i el costat de la base fa b = 230,4 m de longitud, d’on podem deduir que la seva inclinació té un valor numèric que es pot aproximar per l’arrel quadrada del nombre auri m = tan √ (α) ≈ φ , amb un error relatiu del 0,04%, o també un valor aproximat de m = tan (α) ≈ 12 18, amb un error relatiu del 0,01%. En la resta de les piràmides de l’antic Egipte no es donen aquestes aproximacions numèriques i, per tant, cal esperar que aquestes i d’altres aproximacions expressades amb funcions senzilles siguin casualitats numèriques.

h α

b = 230,4 Altres poliedres força enigmàtics es poden veure en el Musée gallo-romain de la ciutat francesa de Lió. A més de daus i compassos de l’època romana, aquest museu té dos dodecaedres de bronze datats al voltant dels segles II i III de la nostra era. En les seves 12 cares foradades per cercles de diferents mides es poden veure algunes marques circulars, i

76 noubiaix 41

en cadascun dels seus 20 vèrtexs que connecten les 30 arestes hi ha unes petites esferes.

Avui dia es coneixen més de 100 d’aquests dodecaedres, la majoria trobats a França, i un únic icosaedre al Rheinisches Landesmuseum de Bonn. Encara no es coneix quina era la utilitat d’aquests objectes perquè no s’han trobat referències històriques documentades.

Com han arribat els humans a conèixer figures geomètriques tan regulars? Una part de la resposta és que observessin aquestes formes geomètriques a la natura. Molts minerals cristal·litzen macroscòpicament en diferents tipus de poliedres força regulars. Aquest procés natural es produeix a l’escorça de la terra des de milions d’anys abans de l’aparició dels humans. Així tenim que la pirita cristal·litza en cubs, octaedres i dodecaedres, i la fluorita i la magnetita en octaedres gairebé perfectes per a l’ull humà. Aquests són tres exemples de poliedres en què totes les cares són polígons regulars iguals i en tots els vèrtexs conflueixen el mateix nombre de cares. Aquests poliedres s’anomenen poliedres regulars o sòlids platònics en honor de Plató, que els menciona en el Timeu: «El foc està format per tetraedres; l’aire, d’octaedres; l’aigua, d’icosaedres; la terra, de cubs; com que encara és possible una cinquena forma, Déu ha utilitzat aquesta, el dodecaedre pentagonal, perquè serveixi de límit al món».

La pirita també pot cristal·litzar en forma de cuboctaedre, que és un poliedre semiregular o arquimedià format per 6 quadrats i 8 hexàgons regulars. Un darrer exemple és el granat, que pot cristal·litzar com a dodecaedre ròmbic, que és un dels 13 poliedres de Catalan.

Magnetita, octaedre sòlid platònic.

Granat, dodecaedre ròmbic sòlid de Catalan.

2. Per què cinc sòlids platònics?

Els poliedres estan formats per elements de dimensió 2 (les cares C), de dimensió 1 (les arestes A) i de dimensió zero (els vèrtexs V). Per a qualsevol poliedre homeomorf a l’esfera, aquests elements estan relacionats per la fórmula d’Euler: C+V =A+2

(1)

Leonhard Euler (Basilea, 1707-Sant Petersburg, 1783) va proposar aquesta igualtat en una carta escrita a Berlín amb data 14 de novembre de 1750 i dirigida al seu amic Christian Golbach, que vivia a Sant Petersburg. Podeu visitar la tomba d’Euler a l’ala esquerra del

desembre 2017 77

cementiri del monestir ortodox Alexandre Nevski d’aquesta antiga capital russa. La primera demostració rigorosa de la fórmula d’Euler no fou donada fins al 1847 per Karl Von Staudt.

Aquesta equació diofàntica lineal (1) té infinites solucions, però no totes es corresponen a un poliedre; per exemple, no existeix cap poliedre amb els valors C = V = A = 2, tot i que aquests valors compleixen la relació d’Euler 2 + 2 = 2 + 2. Per demostrar que tan sols existeixen 5 sòlids platònics imposarem condicions de regularitat a aquesta fórmula. Naturalment, cada aresta està limitada per dos vèrtexs. A cada aresta conflueixen dues cares, i dues cares comparteixen com a molt una única aresta. Com que el poliedre és regular, totes les cares que el formen són polígons regulars amb n arestes i n vèrtexs; a més, a cada vèrtex del poliedre conflueixen m cares i m arestes. Evidentment, n ≥ 3 i m ≥ 3. Aquesta informació ens permet obtenir relacions entre el nombre de cares C, el nombre d’arestes A i el nombre de vèrtexs V: A=

nC nC 2A , V= , V= 2 m m

(2)

Substituint aquestes expressions en la fórmula d’Euler (1) obtenim els valors C,A,V ∈ N en funció dels paràmetres naturals n,m ∈ N: nC nC = +2 m 2

=⇒ C =

4m 2n + 2m − nm

2A 2A + =A+2 n m

=⇒ A =

2nm 2n + 2m − nm

C+

(3)

4n mV mV +V = + 2 =⇒ V = n 2 2n + 2m − nm Ara cal resoldre aquestes tres noves equacions diofàntiques algebraiques. Primer de tot veurem que un dels paràmetres val tres: n = 3 o bé m = 3. En efecte, és evident que el denominador d’aquestes expressions és positiu: 2n + 2m − nm > 0 =⇒

1 1 1 + > n m 2

(4)

Si els dos paràmetres són diferents de 3, aleshores n ≥ 4 i m ≥ 4, i obtenim la següent contradicció: 1 1 1 1 1 1 = + ≥ + > 2 4 4 n m 2 Si n = 3, de la desigualtat (4) deduïm que m ≤ 5, i per simetria de les variables n,m en la mateixa desigualtat (4) tenim que n ≤ 5 si m = 3. Així doncs, tenim 5 possibilitats, i amb les expressions (3) podem deduir el nombre de cares, arestes i vèrtexs. n m C A V 3 5 20 30 12 3 4 8 12 6 3 3 4 6 4 4 3 6 12 8 5 3 12 30 20

Icosaedre Octaedre Tetraedre Cub Dodecaedre

78 noubiaix 41

Observem que el nombre d’arestes sempre és un múltiple de 6 i que el nombre de cares i de vèrtexs és parell.

3. Què és la papiroflèxia?

Aquesta mateixa pregunta es devien fer l’any 1938 els lectors del llibre Papirolas. Tratado de papiroflexia, publicat a l’Argentina per l’odontòleg burgalès Vicente Solórzano Sagredo.

Sembla ser que aquesta és la primera publicació en què apareix la paraula papiroflèxia. De fet, en el títol d’aquest llibre apareixen dues paraules creades pel doctor Solórzano: •

papirola: figura que se hace doblando una y otra vez una hoja de papel.

•

papiroflexia: es el arte geométrico de hacer plegados para las papirolas.

Aquestes dues paraules, així com papirofléxico, no van ser incloses al diccionari de la RAE fins a l’any 1986, tot i que sí que apareixien en altres diccionaris. El doctor Solórzano també va fundar l’any 1954 el Museo de Papiroflexia a la ciutat de Buenos Aires. Posteriorment, l’any 1961, aquesta col·lecció es va traslladar a Valladolid, on un dels seus companys d’estudis, Nemesio Montero Pérez, la va dipositar en el museu de ciències naturals d’aquesta ciutat.

Amb els anys i després d’algunes gestions amb les germanes del doctor Montero, les figures d’aquesta col·lecció van ser cedides a l’Asociación Española de Papiroflexia (AEP), a la seu de la qual es conserven actualment en dos grans baguls, pendents d’estudi i catalogació.

Trenta-sis anys abans de la publicació del llibre del doctor Solórzano, quan encara no existia la paraula papiroflèxia, l’escriptor i filòsof Miguel de Unamuno va publicar un apèndix al llibre Amor y Pedagogía amb el títol Apuntes para un tratado de Cocotología; en aquest apèndix podem llegir el següent: La palabra cocotología se compone de dos, de la francesa cocotte, pajarita de papel, y de la griega logia, de logos, tratado. La palabra francesa cocotte es una palabra infantil y que se aplica en su sentido primitivo y recto a los pollos y por extensión a las aves. En sentido traslaticio, a las pajaritas de papel y a las mozas de vida alegre.

Poques llengües del món tenen una paraula pròpia equivalent a papiroflèxia. Trobem la paraula paperfolding en anglès, papierfalten en alemany i origami en japonès (de oru, plegar, i kami, paper). Aquesta darrera paraula és la que s’utilitza en la majoria de llengües del món per designar aquest art de plegar el paper.

La paraula oriflèxia, amb accent obert a la e, que és el títol d’aquesta secció, no té cap significat, senzillament és la contracció de la paraula oriental origami i de l’occidental papiroflèxia.

desembre 2017 79

Avui dia no és clar que la papiroflèxia s’originés al Japó. D’aquest país, a més d’imposar-se la paraula origami en les altres llegües del món, es coneix el llibre més antic dedicat íntegrament a la papiroflèxia. És un anònim de 1797 que porta per títol Hiden Senbazuru Orikata i que podríem traduir per El secret del plegat de les 1000 grues, on es descriuen les construccions de diferents tipus de grues de paper. Del Japó també es coneix documentalment un cub de paper anomenat Tamatebako o cofre del tresor, publicat l’any 1734 per Hayato Ohoka en el llibre Ranma Zushiki.

Caixa de Catherine de Clèves.

Tamatebako.

A Occident la figura d’origami documentada més antiga que es coneix és la caixa del Llibre de les Hores de Catherine de Clèves (s. XV). Uns 500 anys més tard podem trobar la descripció de la seva construcció en la figura número 6 del llibre anònim Una hoja de papel, publicat per l’Editorial Salvatella. Vicente Palacios Garrido, expresident de la AEP i actualment resident a Barcelona, va esbrinar que aquest llibre fou escrit per Lorenzo Sainz Herrera. Molt probablement Lorenzo Sainz no coneixia el Llibre de les Hores de Catherine de Clèves i, per tant, cal esperar que aquesta caixa i d’altres figures tradicionals i molt populars que apareixen en el mateix llibre, com l’ocellet (pajarita en castellà, cocotte en francès), s’hagin transmès per tradició oral al llarg dels segles.

A més de la papiroflèxia clàssica, en què es construeix una figura a partir d’un únic paper, que normalment és un full DIN A4 o un paper quadrat, avui dia existeixen diferents branques de la papiroflèxia, com la papiroflèxia modular, en què es construeixen figures de paper unint diferents cops un mateix mòdul, o la papiroflèxia cinètica, en què es construeixen figures de paper amb moviment. En el següent apartat veurem com podem construir amb paper els 5 sòlids platònics amb tècniques modulars.

4. Mòduls aresta Per fer poliedres de paper amb tècniques de papiroflèxia modular es poden utilitzar mòduls de tipus cara, mòduls de tipus vèrtex o mòduls de tipus aresta. El més conegut i popular és el mòdul de Mitsunobu Sonobe, publicat el 1968 al magazine 2 del Sosaku Origami Group 67; unint 6 d’aquests mòduls de tipus cara es pot fer un cub. Un mòdul molt versàtil i resistent de tipus aresta és el Kantenmodul (2002) de l’alemanya Carmen Sprung; amb aquest mòdul es poden construir molts poliedres, com per exemple la família dels 8 deltaedres, en particular el tetraedre, l’octaedre i l’icosaedre. També cal destacar els mòduls aresta de 120 graus, 135

80 noubiaix 41

graus (1987) i 144 graus (2013) de l’origamista de Singapur Francis Ow, que permeten fer els 13 poliedres arquimedians. Els mòduls aresta de 60, 90 i 105 graus que es descriuen a continuació són modificacions dels mòduls 120 i 135 de Francis Ow i del Kantenmodul de Carmen Sprung. Aquests tres darrers mòduls aresta es fan a partir d’un paper quadrat; jo he optat per utilitzar com a paper inicial un full DIN A5, és a dir, la meitat d’un DIN A4. De fet, la construcció d’aquests mòduls es pot fer amb qualsevol format de paper de tipus DIN o adaptar-la a altres tipus de paper amb format rectangular.

Per fer els mòduls utilitzarem els següents plecs bàsics de l’origami: A

B A

B

D

C

D

C

plec en vall

D

C

A

B

plec en muntanya

A D

B

C

Els mòduls aresta que es descriuen a continuació tenen en cada extrem una pestanya i una butxaca; la unió de dos mòduls es fa introduint una pestanya del primer mòdul en una butxaca del segon mòdul. butxaca

pestanya

pestanya

butxaca

desembre 2017 81

4.1. Mòdul aresta de 60 graus Pas 1

Pas 2

Pas 3

Comenceu amb un full de mida DIN A5.

Plegueu i desplegueu en vall per la meitat.

Plegueu i desplegueu en vall per la quarta part.

Pas 4

Pas 5

Pas 6

L

P Plec en vall.

Porteu el punt P al costat L.

Plegueu en vall i aixafeu.

Pas 7

Pas 8

Pas 9 A

B

A

C

Repetiu els passos 4-6.

Roteu el paper 180 graus.

Plegueu i desplegueu en vall la bisectriu de l’angle ⬔ABC. Porteu el costat superior AB al costat lateral BC.

B

D

Plegueu i desplegueu en vall la bisectriu de l’angle ⬔ABD. Porteu el costat superior AB al costat lateral BD.

82 noubiaix 41

Pas 10

Pas 11

Pas 12

Pas 13

Roteu el paper 180 graus.

Repetiu els passos 8 i 9.

Mòdul nal.

Unió de dos mòduls.

Amb aquest mòdul es poden construir els tres sòlids platònics formats per triangles: tetraedre (6 mòduls), octaedre (12 mòduls) i icosaedre (30 mòduls).

4.2. Mòdul aresta de 90 graus Pas 1

Pas 2

Pas 3

Comenceu amb un full de mida DIN A5.

Plegueu i desplegueu en vall per la meitat.

Plegueu i desplegueu en vall per la quarta part.

desembre 2017 83

Pas 4

Pas 5

Pas 6

Plegueu i desplegueu en vall.

Plegueu en vall.

Plegueu en vall i aixafeu.

Pas 7

Pas 8

Pas 9

Roteu el paper 180 graus.

Repetiu els passos 5 i 6.

Plegueu en muntanya.

Pas 10

Pas 11

Pas 12

Plegueu i desplegueu en vall.

Plegueu i desplegueu en vall.

Unió de dos mòduls.

Amb 12 d’aquests mòduls podem fer un cub.

84 noubiaix 41

4.3. Mòdul aresta de 105 graus Pas 1

Pas 2

Pas 3

Comenceu amb un full de mida DIN A5.

Plegueu i desplegueu en vall per la meitat.

Plegueu i desplegueu en vall per la quarta part.

Pas 4

Pas 5

Pas 6

Plegueu i desplegueu en vall.

Plec en vall.

Plec en vall.

Pas 7

Pas 8

Pas 9

Plec en vall.

Plec en vall.

Plec en vall i aixafeu.

desembre 2017 85

Pas 10

Pas 11

Pas 12

Roteu el paper 180 graus.

Repetiu els passos 4-10.

Plecs en muntanya.

Pas 13

Pas 14

Pas 15

Pas 16

Plec en vall.

Plec superior en vall i inferior en muntanya.

Mòdul nal.

Unió de 2 mòduls.

Unint 30 d’aquests mòduls podem construir un dodecaedre. De fet, en aquest mòdul el que es fa és construir un angle de 107,945... graus en lloc d’un angle de 105 graus i, per tant, es comet un error relatiu del 2,8%, inapreciable per a l’ull humà. Aquests tres tipus de mòduls aresta i d’altres tipus de mòduls aresta semblants són casos particulars d’un mòdul aresta teòric més general...

Bibliografia Anònim (1964). Una hoja de papel. Barcelona: Editorial Salvatella.

Dunham, William (2000). Euler: El maestro de todos los matemàticos. Madrid: Nivola.

86 noubiaix 41

Gil, Eduardo (2007). Papiroflexia y geometría. Barcelona: Editorial Salvatella.

Grupo Riglos (2003). El libro de las pajaritas de papel. Madrid: Alianza Editorial.

Palacios, Vicente (1988). Papirogami. Barcelona: Editorial Salvatella.

Pujol, Romà, Àlvarez, Ramon (1999). L’altra geometria. Barcelona: Casals.

Solórzano, Vicente (1938). Papirolas. Tratado de Papiroflexia. Figuras geométricas de papel doblado. Buenos Aires.

Sprung, Carmen (2011). Origami. 21 Sterne.

Unamuno, Miguel de (1964). Amor y pedadogía. Apuntes para un tratado de Cocotología.

Colección Austral no 161. Madrid: Espasa Calpe.

Von Staudt (1847). Geometrie der Lage

Agraïments A Minerva Ciruela per introduir-me en el món de l’origami, a en Josep Ramis per la seva correcció de català, a Juan Gimeno per les seves converses sobre el tema.

associacions 110 noubiaix 39

desembre desembre2017 2017 87 87

l’espai de les associacions

XIV Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques Xarxes per comunicar, compartir i cooperar en l’educació matemàtica

Pep Bujosa (ACG) Iolanda Guevara (SCM)

El 30 de setembre de 2017 es va celebrar a la seu de l’Institut d’Estudis Catalans, a Barcelona, la XIV Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques, organitzada per la SCM, la FEEMCAT, la SBM-XEIX i la SEMCV-Al-Khwarizmi i que va comptar amb la col·laboració del CESIRECREAMAT. Des de l’any passat, que es va fer a València, aquesta jornada anual es va celebrant, de manera alternativa, en els tres territoris de les entitats que l’organitzen. En cada edició es vol reflexionar sobre l’ensenyament de les matemàtiques i es presenten experiències i activitats del professorat de matemàtiques dels Països Catalans.

El tema d’aquesta edició, a la qual van assistir 114 persones, va ser «Xarxes per comunicar, compartir i cooperar en l’educació matemàtica», títol extret de la conclusió 12 del Congrés Català d’Educació Matemàtica (C2 EM) que es va celebrar a Barcelona el juliol de 2016.

88 noubiaix 41

Conferència de Ferran Ruiz Després de l’obertura de la jornada per part de Manel Sol (FEEMCAT), Pep Lluís Pol (SBMXEIX), Tomás Queralt (SEMCV-Al-Khwarizmi) i Xavier Jarque (SCM), Iolanda Guevara va fer la presentació del ponent Ferran Ruiz, expresident del Consell Escolar de Catalunya (2011-2016) i autor de diverses publicacions i conferències sobre tecnologia i educació matemàtica.

En la seva conferència, «Canvi, professió i coneixement: les xarxes i l’educació matemàtica», va començar afirmant que el sistema educatiu és una xarxa de relacions entre persones, que encara està basada en la uniformitat i que té un excés de normatives. Tot seguit va passar a comentar les conclusions del C2 EM. Va dir que compartia molt el sentit general d’aquestes conclusions, encara que hi havia una sèrie de detalls que volia comentar: •

A part de la referència a les xarxes, les conclusions semblen atemporals. Es podien haver escrit anys enrere.

•

No posen en qüestió els actuals objectius de l’educació matemàtica, ni els continguts ni les estructures sota les quals es desenvolupen.

•

Parlen poc de l’alumnat, aquest nou alumnat que està en contacte amb les tecnologies de comunicació des de molt aviat.

•

No s’hi troben paraules com recerca, digital, proves externes, amb el seu gran condicionament per a la feina dels ensenyants.

•

No s’hi discuteix la política educativa.

•

No s’entra en la personalització de l’aprenentatge. El ponent es pregunta, per exemple, per què els «Bojos per les Matemàtiques» s’han de fer fora i no dins del currículum.

•

La paraula aprenentatge només surt un cop i lligada a l’avaluació.

•

El paper de les xarxes apareix sota una visió massa innocent, com si la seva bondat fos una cosa garantida.

A continuació, va citar la publicació del 2013 del CEC sobre l’impacte sistèmic de la tecnologia, en la qual s’afirmava que la tecnologia comporta la reconstrucció de les regles socials, de les institucions, de l’entorn i de les mateixes persones. Això vol dir que les tecnologies actuals obliguen a reconstruir l’educació escolar. Aquesta reconstrucció hauria d’entrar en el debat de l’educació matemàtica que volem.

Després va comentar detalls molt interessants sobre les empreses que controlen el món de les xarxes: Google, Apple, Facebook (amb WhatsApp), Amazon i Microsoft. Grans empreses amb grans beneficis econòmics, que poden obtenir molta informació dels usuaris i que provoquen en els joves una dependència molt significativa.

Sobre el tema de les xarxes i el canvi, va dir que encara no sabem quin canvi volem.

Per il·lustrar el poder actual de les xarxes, va citar l’exemple de les grans concentracions de reivindicacions polítiques i socials que s’han portat a terme en aquests anys, en què les persones s’han convocat mútuament fent servir del xarxes socials de comunicació. En aquestes concentracions s’han aplegat multituds que compartien els mateixos objectius de canvi social. Però, si tanta gent té ganes de coincidir en un objectiu de canvi, com és que

desembre 2017 89

tenen tan poc èxit a l’hora d’aconseguir-ho? Segons Zeynep Tufecki, sociòloga especialista en l’estudi de les influències de les xarxes en la política i la societat, «en la manera que la tecnologia empodera els moviments socials, paradoxalment el que fa és debilitar-los».

Aquesta idea és corroborada pel sociòleg César Rendueles. Els grans moviments populars que s’han portat a terme amb l’ajuda de les xarxes i que sembla que tenen tant d’èxit perden de vista la força enorme de l’estructura de poder que tenen enfront: les institucions. Aquestes es poden canviar més fàcilment amb organitzacions més tradicionals.

Si això ho apliquem a l’ensenyament, veiem que l’administració educativa i els mateixos centres d’ensenyament condicionen totalment la manera de treballar dels ensenyants. Per tant, per molt ben organitzats en xarxa que estiguem, si no canviem les institucions no aconseguirem els objectius. Dins dels objectius mateixos hi ha d’haver el canvi institucional i no ens podem acontentar amb canvis més lleus, com el curricular. En resum, el canvi ha de tenir en compte que: •

L’essència no és el mitjà (la xarxa), sinó la capacitat de pensar i treballar conjuntament.

Les organitzacions més clàssiques ja ho fan.

•

Els objectius han d’incloure la modificació de les institutcions.

•

Els col·lectius han de voler influir en àmbits de decisió més amplis que el propi.

Així doncs, les xarxes han de servir per a aconseguir canvis en les institucions i no només per a millorar la nostra feina i la nostra formació.

90 noubiaix 41

A continuació va passar a l’apartat de xarxes i professió. Sembla que la nostra professió està encara protegida de la intromissió de les xarxes, però als Estats Units ja hi ha correctors d’exàmens que reben per xarxa els exàmens que han de corregir i els criteris de correcció són totalment arbritaris, segons els resultats globals que es vulguin obtenir. Qui diu que això aviat no arribarà aquí? La LOMCE ja mig ho insinua.

Allà també ja hi ha agències que corregeixen els exàmens que té per corregir qualsevol ensenyant. Fins i tot hi ha centres educatius que ja els contracten de manera sistemàtica. Amb les despeses de funcionament paguen aquests serveis per xarxa per tal que el professorat no hagi de corregir exàmens.

A la xarxa també es poden trobar empreses que fan classes particulars de qualsevol matèria i webs que s’ofereixen per fer treballs a l’alumnat que ho vulgui, amb garanties que no hi haurà plagi. Fins i tot hi ha webs que venen materials a professors fets per altres professors.

Amazon té una companyia, TenMarks, d’ensenyament de matemàtiques. Aquesta empresa viu de les deficiències del model tradicional de l’ensenyament de les matemàtiques.

En definitiva, les xarxes canvien contextos i de professions.

Després passà a la tercera part: xarxes i coneixement. Va començar preguntant-se si la recerca actual serveix de res.

Va afirmar que en la majoria de recerques es parla de resultats i recursos i de les seves relacions. En canvi, segons la seva opinió, el més important és el professorat i l’alumnat. La feina i l’organització és el fonamental. Va citar com a exemple de recerca ben feta la de l’equip de Robin Alexander sobre l’ensenyament de primària a la Gran Bretanya. En aquest treball

desembre 2017 91

també s’afirma que des del poder es dirigeix massa els ensenyants sobre la manera com han d’ensenyar. Al final el professor es converteix en una persona que només ha d’obeir les ordres que li van arribant en els múltiples documents que les autoritats publiquen. El ponent considera molt negatiu l’excés de normativa i conclou que les xarxes també han de servir per a denunciar l’excessiu nivell d’intervencionisme de les institucions. Les proves externes es converteixen en un condicionant molt gran per a la feina dels ensenyants. Les tres cultures del món educatiu són l’empírica (ensenyants) l’acadèmica i l’administrativa. Aquestes dues últimes tendeixen a controlar la primera. Hi hauria d’haver una relació més d’igual a igual.

Tot seguit exposà uns estudis sobre els coneixements matemàtics de l’alumnat a nivell internacional, en els quals es veu que l’educació matemàtica no va gaire bé. No deu ser, es pregunta, que tenim els objectius mal enfocats? No deu ser que tenim un «cafè per a tots» i això s’hauria d’acabar d’una vegada? Caldria diversificar molt més el currículum per tal que tothom gaudeixi de les matemàtique que realment necessita. Va fer notar que, en el sistema educatiu actual, l’alumnat a qui no li va bé el sistema no se’n pot sortir fins a una certa edat. Si volem mantenir aquesta exigència social, cal canviar els objectius, sobretot ara que l’escola ja no té l’exclusivitat de la informació.

Va concloure afirmant que l’essencial de l’escolarització és la relació interpersonal, tenint present que un canvi en l’educació matemàtica ha de servir per a tenir una vida millor per a tothom, plantejada, sobretot, com un benefici per a l’alumnat. https://youtu.be/ZQ5BPIO9GyI

Taules sobre experiències d’aula A continuació, vam sortir al pati a voltar per les taules on es presentaven diferents experiències d’aula. En total n’hi havia dotze, amb experiències molt diverses de primària i secundària: •

Càlcul llampec (Ramon Martí). Són targetes autocorregibles de sumes, restes, multiplicacions i divisions, pensades per a practicar i consolidar el càlcul mental, basat en la descomposició numèrica.

•

Al-Game (Mikel Martín Fede Martín). Es presenta una proposta de joc algebraic posada en pràctica amb alumnat de primer i segon d’ESO de la Fundació Llor i com a introducció al llenguatge algebraic a través de la ludificació, Experiències de geometria (Joan Folguera Farré). Aprenem jugant amb la geometria, càlcul de volum de les piràmides, tetraedre regular, octaedre, dodecaedre.

•

Problemàtiques (Cecília Calvo Pesce). Projecte a través del qual els alumnes de cicle superior d’una dotzena d’escoles de Catalunya resolen les mateixes quatre activitats del tipus rich tasks i que permet als seus mestres reflexionar conjuntament entre ells.

•

Maleta didàctica del MMACA. Hem fet una selecció de 40 mòduls que, en format DIN A3 i DIN A4, poden servir per a muntar una exposició, per a l’alumnat tant de primària com de secundària.

92 noubiaix 41

•

Superfícies seleccionades (Maria Garcia Monera). En aquesta taula veiem com, gràcies a unes seccions especials produïdes per la intersecció d’una superfície amb una família de plans, és possible reproduir un model real de la superfície.

•

La calculadora científica a l’aula (Maria Teresa Navarro, Lluís Bonet).

Presentem una selecció d’activitats que poden servir per a l’alumnat de secundària des de primer fins a quart.

•

Simulacions d’aula (Roger Grau, Anna Garravé). El cicle vital d’una bona activitat (experimentació, descoberta i conceptuació) pren encara més sentit si parlem d’activitats de caràcter probabilístic.

•

Matemàtiques i impressió 3D (Sergi Múria, Joan Jareño, Lluís Mora). Petita exposició de materials elaborats amb impressora 3D i que poden servir d’exemple del que es pot dissenyar a les aules.

•

Retallant el quadrat (Guillem Bonet, Sílvia Margelí, Raül Fernández, Victòria Oliu, Francesc Massich). Dividir, tallar, partir un quadrat (o qualsevol altra figura) no representa cap problema per als alumnes. Doncs bé, ens hem proposat que precisament això tan senzill sigui la base per a uns quants problemes matemàtics que us proposem.

•

Calendari SEMCV (Rafa Martínez). Presentació del calendari matemàtic que anualment publica la SEMCV

•

To (Marisa Monsergas, Ivon Cárdenas, Sílvia Zurita, Dani Ribó). Activitats diverses sobre equacions, mesura del diàmetre de la Terra i treball matemàtic amb Lego.

desembre 2017 93

Taula rodona En tornar a la sala, va començar la taula rodona, moderada per la Cecília Calvo Pesce, sobre el tema de la Jornada. Hi van participar, Lluís Bonet Juan, Carles Giménez Esteban, Joan Gómez Urgellés i Sara Sánchez Camins.

Cadascú va parlar de les seves experiències personals sobre el tema de les xarxes, posant èmfasi sobretot en les xarxes de professors i en les xarxes com a eines d’aula.

Comissió per a l’impuls de les conclusions del C2 EM Després, Antoni Vila i Raül Fernández van presentar les tasques fetes per la Comissió per a l’Impuls de les conclusions de C2 EM (CIC). L’Antoni, un dels coordinadors de la CIC, va agrair a Ferran Ruiz els comentaris que havia fet sobre les conclussions i va dir que en prenia bona nota. Tot seguit va explicar com estava estructurada la CIC i quines tasques s’havient fet fins ara. Aquesta feina serà molt útil per a l’organització del proper congrés.

A continuació, Raül Fernández va presentar (http://c2em.feemcat.org/) la nova web que recull tota la informació relativa al congrés i també els treballs de la CIC.

Premi Maria Antònia Canals Tot seguit, Manel Sol va exposar les noves bases que tindrà, a partir d’aquest any, el Premi Maria Antònia Canals. El premi, convocat per FEEMCAT, SBM-XEIX, SEMCV-Al-Khwarizmi i, en les properes edicions, també la SCM, ara s’atorgarà anualment, però en cada edició només es premiaran dos dels quatre nivells educatius als quals va adreçat.

Es premia una experiència d’aula innovadora realitzada en qualsevol nivell educatiu (infantil, primària, secundària i universitat). També, una trajectòria per una metodologia innovadora implementada a les aules.

Sessions paral··leles de la tarda Després del dinar, la jornada va continuar amb les sessions de la tarda, en què es van tractar els temes següents:

Primera sessió •

•

Teixint nous espais d’aprenentatge (Manel Martínez i Carles Giménez). En aquesta sessió es va presentar una experiència d’aula consistent en l’ús d’un espai virtual d’aprenentatge proporcionat per l’entorn del GeoGebra que permet el treball en xarxa entre docents i alumnes de batxillerat de dos centres.

La Xarxa, un espaicol·laboratiuper aldesenvolupamentdel’aprenentatge (Juanjo Cárdenas i Ximo Altur). Els ponents van presentar allò que fan a l’aula, compartint la seva expe-

94 noubiaix 41

riència en el desenvolupament d’un treball en xarxa en què els alumnes investiguen i s’empoderen del seu aprenentatge.

Segona sessió •

De la formiga matemàtica a les Webquest (Sebastià Capellà). La formiga matemàtica, un primer pas de «Xarxes per comunicar, compartir i cooperar en l’educació matemàtica».

•

De la formiga matemàtica a les Webquest (Enric Brasó). Presentació del projecte «Viquimarató matemàtica» iniciat el curs passat per la SCM.

Cada assistent a la jornada va poder triar una de les comunicacions de cada sessió.

Així va acabar aquesta profitosa jornada dedicada a les xarxes en l’ensenyament de les matemàtiques.

noubiaix

41

número 41

Juanjo Cárdenas (responsable pàgina web) © dels autors dels articles Coediten: Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques (FEEMCAT) Campus de Montilivi, edifici P-IV 17071 Girona feemcat.org Societat Catalana de Matemàtiques (SCM), filial de l’Institut d’Estudis Catalans Carme, 47 08001 Barcelona scm.iec.cat noubiaix@gmail.com sites.google.com/site/noubiaix

Periodicitat: semestral Nombre d‘exemplars: 1.700

Fotografia de la coberta: Regressió infinita Lluís Mora

noubiaix Revista de la FEEMCAT i de la SCM

f ee mcat Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya

ISSN 2014-2021

41

9 772014 202008

Desembre 2017

3 Editorial

Desembre 2017

noubiaix

sumari Consell de redacció: Lluís Mora / Josep Lluís Solé (coords.)

Marianna Bosch Joan Carles Ferrer Joan Miralles Josep Pla Romà Pujol Manuel Udina

41

articles

6 Comptant poblacions amagades: el mètode de captura-recaptura Pere Puig

15 Experimentem amb miralls 22 La calculadora d’Ahmés 35 La multidimensionalitat de l’àlgebra escolar.

Ingrid Tena

Guillem Bonet

Una proposta d’itinerari didàctic Abraham de la Fuente i Jordi Deulofeu

53 Entrevista a Carles Barceló i Vidal 61 Bases del Premi Maria Antònia Canals Joan Carles Ferrer i Comalat

seccions

64 Per pensar d’un minut a una hora 68 La comissió per a l’impuls de les conclusions del Segon Jordi Deulofeu

Congrés Català d’Educació Matemàtica Oriol Busquets, Cecilia Calvo i Antoni Vila ISSN: 2014-2021 Dipòsit legal: B-22.314-2012

Impressió: Gráficas Rey

75 El racó de l’oriflèxia. L’origami dels poliedres platònics 87 L’espai de les associacions. XIV Jornada d’Ensenyament Jaume Coll Guerrero

de les Matemàtiques Edicions de la Universitat de Barcelona Adolf Florensa, s/n 08028 Barcelona Tel.: 934 035 430 Fax: 934 035 531 comercial.edicions@ub.edu www.publicacions.ub.edu

17153_interiorcoberta NB41 (5 mm, corregida).pdf 1

Pep Bujosa i Iolanda Guevara

Normes per a la presentació de contribucions 1. La revista Nou Biaix accepta per a la seva publicació contribucions originals relacionades amb experiències didàctiques, activitats d’ensenyament i aprenentatge, escrits d’opinió, de divulgació i d’investigació en el camp de la matemàtica i el seu ensenyament en qualsevol nivell educatiu.

2. Les contribucions rebudes seran sotmeses a una avaluació prèvia a càrrec de dos especialistes reconeguts. L’acceptació de la publicació serà notificada directament a l’autor amb una indicació de la data aproximada de publicació. En cas que una comunicació no fos acceptada, també se n’enviarà notificació.

3. Per a la presentació de treballs originals, l’autor trametrà a l’adreça noubiaix@gmail.com un arxiu, en Word o en LaTeX, amb un document a doble espai i amb marges amplis (65 caràcters per línia). Els gràfics, diagrames i figures hauran de ser originals (no fotocopiats). Els arxius gràfics es presentaran en format eps o tif.

4. La contribució haurà d’incloure el títol, el nom de l’autor o autors, la seva adreça professional completa i la seva adreça electrònica. S’adjuntarà un resum no més llarg de 300 paraules en català i anglès. Al final del document s’inclourà obligatòriament la bibliografia per ordre alfabètic de cognoms, d’acord amb la normativa APA; exemples: Articles Albertí, M. (2002). Les Matemàtiques des d’una perspectiva cultural: Etnomatemàtiques. Biaix, 20, 6-25.

Llibres Godino, J., Font, V. (2003). Razonamiento algebraico para maestros. Granada: Universidad de Granada.

Capítols de llibres Edo, M., Revelles, S. (2004). Situaciones matemáticas potencialmente significativas. Dins M. Antón i B. Moll (ed.), Educación Infantil. Orientaciones y recursos (0-6 años) (p. 410/103-410/179). Barcelona: Praxis.

Actes de congressos Morales, M., Font, V., Planas, N. (2004). Estudio microetnográfico en torno a un conocimiento matemático situado. Dins A. Franzé i altres (ed.), Actas de la I Reunión Científica Internacional sobre Etnografía y Educación (CD-ROM). València: Germanía, Polis Paideia.

Pàgines web Ibanyez, A., Paolu, N., Pedreira, J. (2007). Reloj Binario de sobremesa, a Microsiervos. http://www.microsiervos.com/archivo/gadgets/reloj-binario-sobremesa.html

5. Els continguts de Nou Biaix estan subjectes —llevat que s’indiqui el contrari en el text, en les fotografies o en altres il.lustracions— a una llicència de Reconeixement-No comercial-Sense obra derivada 3.0 de Creative Commons, el text complet de la qual es pot consultar a http://creativecommons.org/ licenses/by-nc-nd/3.0/es/deed.ca. Així, doncs, s’autoritza al públic en general a reproduir, distribuir i comunicar l’obra, sempre que es reconegui l’autoria i l’entitat que la publica, i no se’n faci un ús comercial ni es difongui cap obra derivada.

6. Els articles es publicaran en llengua catalana. Només es traduiran al català les contribucions acceptades realitzades per autors no residents als Països Catalans.

7. Els autors es responsabilitzaran del compliment de les normes establertes per a l’autorització de la reproducció de material procedent d’altres fonts bibliogràfiques.

8. Els articles tindran una extensió d’entre 6 i 12 pàgines de text —és a dir, un total màxim de 12.000 caràcters—, incloses les notes a peu de pàgina. Podran anar acompanyats d’il·lustracions, sempre que no superin l’extensió de dues pàgines. En definitiva, tot complet —quan el text contingui quadres, figures, fotografies, gràfics, mapes, etc.— no podrà superar, en cap cas, les 15 pàgines.

9. Fem notar que en aquesta publicació s’utilitza preferentment el punt per separar decimals, en lloc de la coma recomanada per l’IEC, per tal de facilitar la comprensió de les expressions matemàtiques.

22/02/2018 9:08:04

41

41

noubiaix Desembre 2017

f ee mcat Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya

17153_coberta NouBiaix 41 (5 mm).pdf 1

ISSN 2014-2021

9 772014 202008

41

Desembre 2017

noubiaix

Revista de la FEEMCAT i de la SCM

22/02/2018 9:11:06