Nou Biaix, 40

40

40

noubiaix

f ee mcat Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya

ISSN 2014-2021

9 772014 202008

40

Juliol 2017

noubiaix

Revista de la FEEMCAT i de la SCM

Juliol 2017

17080_interiorcoberta Nou Biaix (5 mm) 40.pdf 09/10/2017 20:45:33 - 1 - ( )

noubiaix

40

© dels autors dels articles Coediten: Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques (FEEMCAT) Campus de Montilivi, edifici P-IV 17071 Girona feemcat.org Societat Catalana de Matemàtiques (SCM) filial de l’Institut d’Estudis Catalans Carme, 47 08001 Barcelona scm.iec.cat noubiaix@gmail.com sites.google.com/site/noubiaix

f ee mcat Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya

ISSN 2014-2021

9 772014 202008

40

Juliol 2017

3 Editorial articles

6 Problemes de repartiment just i un joc de taula 23 L'ús de contextos històrics a l'aula de matemàtiques de Natàlia Castellana

secundària. El cas concret de la visualització en la connexió geometria-àlgebra Iolanda Guevara Casanova i Carme Burgués Flamarich

34 Utilitzar els recursos digitals d'internet a primària 51 Podem fer amb la plastilina el paper de la magdalena!

61 Entrevista a la professora Marta Civil Juanjo Cárdenas

Alba Requena Castellà i Kaouthar Boukafri Itahriouan

Manel Sol i Xavier Vilella

seccions Periodicitat: semestral Nombre d‘exemplars: 1.700

Fotografia de la coberta: Plans de simetria de l'icosàedre i del dodecàedre Josep Rey Nadal

70 Per pensar d’un minut a una hora 73 Construint matemàtiques 81 El racó del MMACA 92 El racó del CESIRE-CREAMAT

Impressió: Gráficas Rey Edicions de la Universitat de Barcelona Adolf Florensa, s/n 08028 Barcelona Tel.: 934 035 430 Fax: 934 035 531 comercial.edicions@ub.edu www.publicacions.ub.edu

Normes per a la presentació de contribucions 1. La revista Nou Biaix accepta per a la seva publicació contribucions originals relacionades amb experiències didàctiques, activitats d’ensenyament i aprenentatge, escrits d’opinió, de divulgació i d’investigació en el camp de la matemàtica i el seu ensenyament en qualsevol nivell educatiu.

2. Les contribucions rebudes seran sotmeses a una avaluació prèvia a càrrec de dos especialistes reconeguts. L’acceptació de la publicació serà notificada directament a l’autor amb una indicació de la data aproximada de publicació. En cas que una comunicació no fos acceptada, també se n’enviarà notificació.

3. Per a la presentació de treballs originals, l’autor trametrà a l’adreça noubiaix@gmail.com un arxiu, en Word o en LaTeX, amb un document a doble espai i amb marges amplis (65 caràcters per línia). Els gràfics, diagrames i figures hauran de ser originals (no fotocopiats). Els arxius gràfics es presentaran en format eps o tif.

4. La contribució haurà d’incloure el títol, el nom de l’autor o autors, la seva adreça professional completa i la seva adreça electrònica. S’adjuntarà un resum no més llarg de 300 paraules en català i anglès. Al final del document s’inclourà obligatòriament la bibliografia per ordre alfabètic de cognoms, d’acord amb la normativa APA; exemples: Articles Albertí, M. (2002). Les Matemàtiques des d’una perspectiva cultural: Etnomatemàtiques. Biaix, 20, 6-25.

Llibres Godino, J., Font, V. (2003). Razonamiento algebraico para maestros. Granada: Universidad de Granada.

Capítols de llibres Edo, M., Revelles, S. (2004). Situaciones matemáticas potencialmente significativas. Dins M. Antón i B. Moll (ed.), Educación Infantil. Orientaciones y recursos (0-6 años) (p. 410/103-410/179). Barcelona: Praxis.

Actes de congressos Morales, M., Font, V., Planas, N. (2004). Estudio microetnográfico en torno a un conocimiento matemático situado. Dins A. Franzé i altres (ed.), Actas de la I Reunión Científica Internacional sobre Etnografía y Educación (CD-ROM). València: Germanía, Polis Paideia.

Pàgines web Ibanyez, A., Paolu, N., Pedreira, J. (2007). Reloj Binario de sobremesa, a Microsiervos. http://www.microsiervos.com/archivo/gadgets/reloj-binario-sobremesa.html

Jordi Deulofeu

Anton Aubanell

Josep Rey Nadal i Manuel Udina Abelló

ISSN: 2014-2021 Dipòsit legal: B-22.314-2012

Juliol 2017

noubiaix

sumari

Juanjo Cárdenas (responsable pàgina web)

noubiaix Revista de la FEEMCAT i de la SCM

número 40

Consell de redacció: Lluís Mora / Josep Lluís Solé (coords.)

Marianna Bosch Joan Carles Ferrer Joan Miralles Josep Pla Romà Pujol Manuel Udina

40

5. Els continguts de Nou Biaix estan subjectes —llevat que s’indiqui el contrari en el text, en les fotografies o en altres il.lustracions— a una llicència de Reconeixement-No comercial-Sense obra derivada 3.0 de Creative Commons, el text complet de la qual es pot consultar a http://creativecommons.org/ licenses/by-nc-nd/3.0/es/deed.ca. Així, doncs, s’autoritza al públic en general a reproduir, distribuir i comunicar l’obra, sempre que es reconegui l’autoria i l’entitat que la publica, i no se’n faci un ús comercial ni es difongui cap obra derivada.

6. Els articles es publicaran en llengua catalana. Només es traduiran al català les contribucions acceptades realitzades per autors no residents als Països Catalans.

7. Els autors es responsabilitzaran del compliment de les normes establertes per a l’autorització de la reproducció de material procedent d’altres fonts bibliogràfiques.

8. Els articles tindran una extensió d’entre 6 i 12 pàgines de text —és a dir, un total màxim de 12.000 caràcters—, incloses les notes a peu de pàgina. Podran anar acompanyats d’il·lustracions, sempre que no superin l’extensió de dues pàgines. En definitiva, tot complet —quan el text contingui quadres, figures, fotografies, gràfics, mapes, etc.— no podrà superar, en cap cas, les 15 pàgines.

9. Fem notar que en aquesta publicació s’utilitza preferentment el punt per separar decimals, en lloc de la coma recomanada per l’IEC, per tal de facilitar la comprensió de les expressions matemàtiques.

editorial

2009-2010• 3

editorial

El primer número de la revista Biaix va veure la llum l’abril de 1992, sota la coordinació de Josep Solà, i ara arribem al número 40. Això implica que des de fa vint-i-cinc anys a Catalunya disposem, amb Biaix i la seva hereva Noubiaix, d’una revista que permet a professors i mestres de matemàtiques de qualsevol nivell educatiu disposar d’experiències d’aula i d’articles de divulgació i de didàctica per tal de millorar la nostra formació i, de retruc, la dels nostres estudiants. A més, l’evolució de la revista ha estat molt positiva, ja que ha anat sumant persones i entitats en la seva elaboració.

Va començar sent una revista de l’APMCM (Associació de Professors de Matemàtiques de les Comarques Meridionals), després va ser la revista de la FEEMCAT i ara és una revista conjunta de la FEEMCAT i la SCM. Dues coses importants han passat des del darrer número. La primera de totes és que en Manel Sol, que ha portat la coordinació de la revista en els darrers anys, ha deixat aquesta tasca. Com sabeu, la revista té, des que s’inicià la nova etapa, dos coordinadors, anomenats respectivament per la FEEMCAT i la SCM. Des del Consell de Redacció volem agrair-li l’enorme i eficaç feina que ha portat a terme. Ha deixat el llistó molt alt. Per a substituir-lo, la FEEMCAT ha nomenat en Lluís Mora, que actualment és també el director del CREAMAT. La segona notícia que volem destacar és el relleu de la junta de la FEEMCAT formada per la Victòria Oliu, el Raül Fernández i la Sílvia Margelí.

Deixen el seu càrrec amb la satisfacció de la tasca realitzada, destacant l’èxit que va representar el C2EM realitzat el passat mes de juliol de 2016 i unes importants perspectives de futur amb el nou congrés de l’any 2020. Els substitueixen en els càrrecs en Manel Sol com a president, en Francesc Campos com a secretari i la Charo Martin com a secretària. A tots ells els desitgem molts èxits i una bona feina.

Com hem dit abans, hem arribat al número 40.

Un número, com tots, interessant. Té 8 divisors que sumen 90, i per a moltes persones arribar a l’edat de 40 anys representa un pas important en la seva vida, el començament de la maduresa, però encara conservant la força de la joventut propera. Desitgem que per a la nostra revista també sigui així.

4 noubiaix 40

A continuació us presentem els articles que hem seleccionat per a aquest número, que esperem que siguin del vostre interès.

La Natàlia Castellana ens ha escrit un article sobre repartiments justos en què tracta, d’una manera amena i profunda, els casos del repartiment just d’un pastís i del preu del lloguer entre les persones que comparteixen un pis, així com un estudi del joc de taula anomenat HEX. Amb la teoria que proposa també ens fa una demostració constructiva molt bonica del conegut teorema de punt fix de Brouwer.

Iolanda Guevara ens proposa activitats sobre triangles rectangles i resolució d’equacions de segon grau a 3r d’ESO connectant l’àlgebra i la geometria.

L’Alba Requena i la Kaouthar Boukafri presenten problemes matemàtics visuals per a educació infantil, combinant les imatges amb la discussió oral de la situació.

En Juanjo Cárdenas ens proposa utilitzar la tecnologia que tenim a l’abast per al tractament de situacions properes als estudiants sense deixar de banda altres recursos.

En Xavier Vilella i en Manel Sol van entrevistar una de les conferenciants del passat C2EM, la Marta Civil, que ens explica la seva tasca als Estats Units al voltant de l’ensenyament de les matemàtiques amb estudiants emigrants.

Als racons tradicionals hi trobareu les propostes d’Anton Aubanell a «Construint matemàtiques», del CESIRE-CREAMAT, del MMACA, i la d’en Jordi Deulofeu a «Pensar d’un minut a una hora».

Salutacions i us desitgem que en gaudiu.

juliol 2017 5

articles

articles

6 noubiaix 40

Problemes de repartiment just i un joc de taula Natàlia Castellana Departament de Matemàtiques Universitat Autònoma de Barcelona natalia@mat.uab.cat

Resum En ciències socials i polítiques apareixen problemes de repartiment. Donats uns béns (divisibles o no), un es pregunta si existeix un repartiment just d’aquests entre uns participants. No busquem repartiments proporcionals, sinó que tothom estigui content amb el que té. Un concepte clau és el de repartiment sense enveja sota certes hipòtesis. Els problemes clàssics d’aquesta mena són els de repartir un pastís, però n’hi ha d’altres com el de repartir equips, habitacions, tasques...

Donarem un parell d’exemples d’aquest tipus de problemes i com un lema aparentment innocent és la clau per provar l’existència de solucions: és el lema de Sperner. Aquest lema és molt rellevant per donar una demostració constructiva del conegut teorema del punt fix de Brouwer. I acabem amb una part lúdica: el joc del HEX.

Abstract In political and social sciences, a fair division problem is a problem of dividing a set of goods or resources between several people, such that each person receives his/her due share. We are not interested in proportional division but in envy-free division, in which every partner is satisfied with his share and feels that his allocated share is at least as good as any other. Classical problems of this type are cutting cake and rental divisions. We present a couple of examples whose solution is based on a combinatorial lemma: Sperner’s lemma. The results also provide constructive proof of Brouwer’s Fixed Point Theorem. We conclude with an application to a table game: HEX.

1. Introducció Quantes vegades ens hem trobat en la situació d’haver de repartir un pastís entre els assistents a una festa. El que acaba passant en general és que, o bé s’intenta fer talls de la mateixa mida per a tots aquells que en volen menjar, o bé es van fent talls demanant per torns a qui li toqui que decideixi com el vol. El primer mètode és un mètode de repartiment proporcional en què s’intenta que tothom tingui un tall de la mateixa mida, però sempre hi ha qui no se l’acaba i qui en menjaria més. El segon mètode intenta corregir això ajustant-se a preferències

juliol 2017 7

individuals, però es fa de manera improvisada i s’acaba tendint al final a fer talls proporcionals perquè tohom en tingui; a més, depèn de l’ordre en què es reparteix entre els convidats.

Dels problemes de repartiment d’aquesta mena en diuen «problemes del pastís», però n’hi ha d’altres, com per exemple el del lloguer d’un pis compartit. Si les habitacions del pis no són totes iguals (amb finestra o no, diferents mides...), potser no tots els llogaters han de contribuir en la mateixa mesura al lloguer. Potser algú prefereix pagar més a canvi de disposar de finestra o algú altre s’estima més estalviar en el lloguer i no li importa tenir una habitació més petita. Hi ha alguna manera de repartir el lloguer i les habitacions entre els llogaters i que tothom quedi content amb l’habitació assignada i la part del lloguer que li toca? Fins i tot hi ha problemes d’assignació de tasques entre treballadors que poden rebre un sou diferent segons la feina assignada. Evidentment caldrà primer decidir què volem dir amb «que tothom quedi content».

Per tant, en lloc de tendir a repartiments proporcionals, podem buscar repartiments justos en un altre sentit: tots els participants estan satisfets amb el que els ha tocat al final (i el preu que en paguen si és el cas) i no envegen el que han obtingut els altres participants en el repartiment. En la branca de l’economia que estudia aquests tipus de situacions, aquests repartiments es diuen divisions sense enveja (envy-free en anglès). La primera pregunta que ens fem és si hi ha sempre una solució del problema de divisió sense enveja? Veurem com uns resultats clàssics de combinatòria de triangulacions permeten donar resposta a la pregunta.

2. El lema de Sperner i els problemes de divisió justa Per poder formalitzar el problema, el primer que hem de pensar és quin és l’espai on es troben totes les possibles particions de l’objecte a repartir. En el cas del pastís, per exemple, podem suposar que és rectangular de longitud 1 i que els talls són perpendiculars al costat de longitud 1. En aquest cas, per presentar un repartiment en n talls ens cal donar les n n longituds dels talls successius que denotarem per li ∈ [0,1] i que compleixen i=1 li = 1. Cal determinar doncs n − 1 valors l1 , . . . ,ln−1 amb suma menor o igual a 1. En el cas d’haverhi dos convidats estem parlant simplement de fixar un número entre 0 i 1, per tant, de l’interval [0,1]. En el cas més general estarem parlant d’escollir un punt (en coordenades baricèntriques com veurem) en un objecte geomètric: l’n-símplex. Primer veurem quin és el resultat teòric clau en l’algorisme per trobar particions justes sense enveja i després farem un parell d’aplicacions amb caraterístiques diferents: el problema del pastís i el del lloguer.

Aquestes i altres situacions estan descrites a l’article [6].

2.1. El lema de Sperner El lema de Sperner és una lema de combinatòria topològica sobre divisions de símplexs.

Anirem pas a pas per explicar què ens diu aquest resultat.

Comencem per l’interval I = [0,1]. El partim en n subintervals en els punts 0 = x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xn−1 ≤ 1 = xn . Els valors xi ara denotem elsAlspunts de tall i no les longituds dels corresponents talls. Als vèrtexs obtinguts els posem una etiqueta + o − amb l’única condició que els extrems x0 = 0 i el xn = 1 tinguin etiquetes diferents (figura 1). Un subinterval direm

8 noubiaix 40

que és positiu si els seus extrems tenen etiquetes del mateix signe i negatiu si tenen signes diferents. Aleshores podem afirmar que hi ha un nombre senar de subintervals negatius. Per què? Ja veiem que a la força hi ha d’haver un nombre senar de subintervals negatius (canvis de signe) si els extrems tenen signe diferent, però formalitzem ho amb un argument de comptar que ens servirà més endavant.

−

+ + −

+ +

Figura 1. El lema de Sperner per l’interval.

És una estratègia clàssica de comptar la mateixa quantitat de dues maneres diferents. Per a cada subinterval comptem quants + té en els seus extrems i ara fem la suma total mirant tots els intervals. Els subintervals de tipus negatiu contribueixen a la suma amb 1 i els de tipus positiu amb 0 o 2. Així, si veiem que la suma és senar ja tindrem que el número de subintervals de tipus negatiu també ho és.

Ara fem el mateix compte des del punt de vista dels vèrtexs i no dels intervals. Aquest número és també igual al doble de vèrtexs interiors amb etiqueta + (ja que pertanyen exactament a dos subintervals) més 1 (el que correspon a l’extrem +). I per tant, aquest número és senar. Ja ho tenim.

El que acabem de fer és el cas de dimensió 1 del lema de Sperner. Anem a veure com s’enunciaria una situació similar en dimensió 2. Sigui T un triangle amb una subdivisió del seu interior donada en regions també triangulars de manera que dues regions tenen intersecció o bé buida, o bé en una aresta sencera o bé en un vèrtex.

Ara els vèrtexs d’aquesta subdivisió estaran etiquetats amb elements del conjunt {0,1,2}, però de manera que se satisfan les dues condicions següents (vegeu la figura 2):

Figura 2. Etiquetatge d’una triangulació.

juliol 2017 9

1. Els vèrtexs principals del triangle T tenen etiquetes diferents {0,1,2}.

2. L’etiqueta corresponent a un vèrtex situat en una de les arestes exteriors de T només pot tenir una de les dues etiquetes que apareixen en els vèrtexs principals situats a l’aresta que determimen.

Aleshores, la versió en dimensió 2 del lema de Sperner ens dirà que hi ha un nombre senar de triangles de la subdivisió que tenen els vèrtexs etiquetats usant tots tres elements del conjunt {0,1,2} (figura 3). Per tant, en particular sempre n’hi haurà algun.

Figura 3. Triangles tipus (0,1,2).

Imitem l’argument de comptar que hem fet servir per a l’interval. Direm que un triangle és de tipus (a,b,c) si aquestes són les etiquetes dels seus vèrtexs (amb repetició si cal). Considerem les quantitats següents: 1. Q és el nombre de triangles de tipus (0,0,1) o (0,1,1).

2. R és el nombre de triangles de tipus (0,1,2).

3. X és el nombre d’arestes tipus (0,1) situades a la vora de T. 4. Y és el nombre d’arestes (0,1) interiors a T. El nombre total d’arestes tipus (0,1) un cop desmuntat el triangle en els seus subtriangles és 2Q + R si mirem els triangles que les contenen, ja que els triangles de tipus (0,0,1) o (0,1,1) (figura 4) contribueixen amb 2 a la suma i els de tipus (0,1,2) amb 1. Els altres tipus de triangles no tenen arestes (0,1).

1

0

1

0

0

1

Figura 4. Triangles tipus (0,0,1) i (0,1,1).

10 noubiaix 40

D’altra banda, també és 2Y + X si mirem les arestes, ja que les arestes interiors pertanyen a dos triangles i les exteriors a només 1. Per tant, obtenim que per a qualsevol manera que assignem les etiquetes i per a qualsevol triangulació, obtenim la fórmula 2Q + R = 2Y + X. Així, la paritat de R i X és la mateixa. Per tant, per a provar el que desitgem, cal veure que X és senar. Fins ara no hem fet servir les hipòtesis sobre l’etiquetatge i aquesta fórmula és vàlida per a qualsevol etiquetatge i triangulació.

Per les hipòtesis que tenim sobre els etiquetatges que considerem només hi ha arestes exteriors tipus (0,1) en un dels costats del triangle T, concretament en aquell costat en què els vèrtexs principals tenen etiquetes diferents 0 i 1. Si ens fixem, doncs, en aquesta aresta, i ens oblidem del triangle, tenim un segment subdividit i etiquetat amb elements de {0,1} de manera que els extrems tenen valors diferents. Aquest és el cas en dimensió 1 que tot just acabem de demostrar i, per tant, X és senar.

Aquesta demostració ens prova l’existència d’aquest tipus de triangles, però ara veurem una altra demostració que, a més, és constructiva, és a dir, que ens proporciona un algorisme per trobar aquests triangles. Imagineu que els triangles són habitacions i que només hi ha portes a les parets tipus (0,1). La hipotèsi de la triangulació ens diu que només hi ha portes d’entrada en un dels costats del triangle, i a més n’hi ha un nombre senar (cas de dimensió 1). Dins de la planta hi ha tres tipus d’habitacions: sense portes en cap de les parets (no hi podrem accedir de cap manera), amb dues portes i amb una sola porta (fixeu-vos que no podem tenir un triangle amb tres costats de tipus (0,1)). El nostre objectiu és arribar a una habitació amb una sola porta, és a dir, del tipus (0,1,2).

Què hem de fer? Entrem per una porta exterior (recordeu que n’hi ha un nombre senar) i ens fiquem en la primera habitació. Només tenim dues opcions: ja hem trobat l’habitació que buscàvem de tipus (0,1,2), perquè només té una porta (per on hem entrat i ja no en podem sortir), o bé té dues portes. En el segon cas travessem la porta que no hem utilitzat i entrem en una nova habitació, i aquí podem repetir l’argumentació anterior. Com que hi ha un número finit d’habitacions, o bé acabarem el camí en una de tipus (0,1,2) o bé aquest camí ens portarà cap a l’exterior altre cop. Si sortim a l’exterior segur que podem tornar a entrar per una porta que no haguem utilitzat abans, ja que, com sabem, hi ha un nombre senar de portes exteriors i n’he fet servir un número parell. Així que tard o d’hora trobarem una habitació de tipus (0,1,2).

Fixeu-vos que hem descrit un algorisme per trobar almenys un triangle tipus (0,1,2). Podem afirmar que n’hi ha un nombre senar? De les que són accessibles des de l’exterior sí que podem dir que n’hi ha un nombre senar, ja que els camins descrits anteriorment o bé acaben en un triangle d’aquest tipus havent gastat una o dues portes anteriors, respectivament.

Anem repetint l’operació i com que el número de portes exterior és senar també haurà d’haver-hi un número senar de camins que acabin en triangles de tipus (0,1,2).

Però hi pot haver habitacions de tipus (0,1,2) interiors a les quals no accedim amb aquest mètode. Bé, però fixeu-vos que han d’anar aparellades, perquè si comencéssim el recorregut

juliol 2017 11

en una d’elles, a la força hem d’acabar en una altra del mateix tipus interior, ja que no hi ha comunicació amb l’exterior del triangle.

En els dos casos hem demostrat el següent: donat un polígon amb una triangulació a la qual s’han assignat etiquetes {0,1,2} als vèrtexs, el nombre de triangles tipus (0,1,2) té la mateixa paritat que el nombre d’arestes (a,b), a = b (amb multiplicitat si són interiors). La condició sobre les etiquetes a la vora només ens assegura que aquests nombres són senars i el paper que a la demostració juguen les tipus (0,1) és totalment simètric si escollim (a,b), amb a = b.

Ara que ja tenim una mica d’intuïció, vegem el lema de Sperner en dimensions superiors.

Fixeu-vos que podríem repetir el que hem fet en dimensió tres fent servir tetraedres i subdivisions en tetraedres més petits. Introduïm els conceptes necessaris per enunciar-lo en general.

Definició 1 Donats n + 1 punts independents de manera afí a Rm amb m ≥ n, {p0 , . . . ,pn } (anomenats vèrtexs principals), un n-simplex Δ és l’embolcall convex d’aquest conjunt de punts.

Cada subconjunt finit de k + 1 elements de {p0 , . . . ,pn } determina un sub-símplex de dimensió k que s’anomena una k-cara de Δ.

Fixeu-vos que un n-símplex té sempre n + 1 cares del tipus (n − 1)-símplex. p2

p3 p0

p1

Figura 5. Un 3-símplex.

Tot x ∈ Δ, l’embolcall convex de {p0 , . . . ,pn }, s’expressa com una combinació lineal d’aquests

punts x = αi pi on αi = 1 i αi ≥ 0 per cada i. Els coeficients αi són les coordenades baricèntriques corresponents al punt x ∈ Δ, x = (α1 , . . . ,αn ).

Definició 2 Una triangulació d’un n-símplex Δ és una col·lecció finita de n-símplexs tals que la seva unió és Δ amb la propietat que, si dos d’aquests símplexs intersecten, aleshores ho fan en una cara sencera comuna a tots dos.

Ens falta precisar què vol dir etiquetar una triangulació d’un símplex, és a dir, estendre les condicions d’etiquetage del cas n = 2.

Definició 3 Donat un n-símplex S amb una triangulació, un etiquetatge de S amb etiquetes {0,1, . . . ,n} és una aplicació L del conjunt de vèrtexs al conjunt d’etiquetes {0,1, . . . ,n}. Direm que L és un etiquetatge propi si es compleixen les dues condicions següents: 1. Els vèrtexs principals pi = (0, . . . ,1i+1) , . . . ,0), per i = 0, . . . ,n, tenen etiquetes diferents, L(pi ) = L(pj ) per tot i = j ∈ {0,1, . . . ,n}.

12 noubiaix 40

2. Les etiquetes utilitzades en una cara exterior de dimensió n − 1 determinada per un subconjunt {pi1 , . . . ,pin } de vèrtexs principals corresponen només al conjunt {L(pi1 ), . . . ,L(pin )} de les etiquetes usades en aquests vèrtexs.

Direm que un n-subsímplex de la triangulació és distingit si els seus n + 1 vèrtexs utilitzen totes les etiquetes, és a dir, és de tipus (0,1, . . . ,n).

Lema de Sperner (1928) [5] Donada una triangulació amb un etiquetatge propi d’un n-símplex, hi ha un nombre senar de n-símplexs distingits a la triangulació.

Prova Ja hem demostrat els casos n = 1 i n = 2. Suposarem que el resultat és cert per símplexs de dimensions menors que n. Sigui K un n-símplex amb una triangulació i un etiquetatge propi. Considerem, com hem fet per als casos anteriors, les quantitats següents: 1. Q és el número de n-símplexs de tipus (0,1, . . . ,n − 1,i), on i = 0,1, . . . ,n − 1.

2. R és el número de n-símplexs de tipus (0,1, . . . ,n), és a dir, distingits.

3. X és el número de (n − 1)-símplexs a la vora de tipus (0,1, . . . ,n − 1).

4. Y és el número de (n − 1)-símplexs interiors de tipus (0,1, . . . ,n − 1).

En comptar els símplexs de tipus (0,1, . . . ,n − 1) (amb multiplicitat) veiem que se satisfà la igualtat 2Q + R = X + 2Y, essencialment repetint l’argumentació del cas del triangle. Així cal veure que X és senar. Noteu que els (n − 1)-símplexs a la vora de tipus (0,1, . . . ,n − 1) només es troben en una de les cares de dimensió n − 1, aquella determinada per aquells vèrtexs principals pi amb etiqueta al subconjunt {0,1, . . . ,n − 1}. El lema de Sperner per dimensió n − 1 ens diu que X és senar.

Igualment es pot demostrar de manera constructiva imitant l’argument donat per al cas n = 2. Ara pensem que només podem travessar els (n − 1)-símplexs de tipus (0,1, . . . ,n − 1).

Aleshores, dins la triangulació hi haurà, com abans, n-símplexs amb una sola entrada que són els distingits, dues entrades, o cap. El mateix raonament que hem fet servir per al cas de dimensió 2 ens porta a la mateixa conclusió, i obtenim així un algorisme per accedir a aquests símplexs distingits.

2.2. El problema del pastís Tornem a la festa a l’hora del pastís!

Suposem que tenim un pastís rectangular que cal tallar i repartir entre un grup de n convidats a una festa fent n − 1 talls amb el ganivet paral·lels al costat més petit del pastís. Però cada convidat pot tenir una opinió diferent sobre quin dels talls prefereix, per exemple, en funció

juliol 2017 13

de la gana que tingui o dels ingredients del pastís, que pot no ser homogeni i fins i tot preferir un tall en una zona especial del pastís. Algun convidat pot tenir poca gana, però preferir el tall que té més xocolata, o bé, el que té la cirereta... L’objectiu és tallar el pastís de manera que tots els convidats estiguin contents amb el tall que els ha tocat i no prefereixin el de cap altre convidat (repartició sense enveja). Podem trobar una solució al problema?

Suposarem que el pastís rectangular té longitud 1. Una possible repartició ve donada per

una n-tupla de números reals positius (x1 , . . . ,xn ) ∈ [0,1]n tals que xi = 1 on cada xi és la longitud del tall que es troba a la i-éssima posició.

x1

x2

x3

Figura 6. Exemple de repartició del pastís.

Per tant, l’espai de totes les possibles presentacions del pastís tallat forma un (n − 1)-símplex a Rn amb vèrtexs pi = (0, . . . ,1i) , . . . ,0) ∈ Rn , i = 0, . . . ,n − 1, que corresponen a un únic tall de longitud 1 del pastís. Cada repartició correspon a les coordenades baricèntriques d’un punt del (n − 1)-símplex i l’objectiu, doncs, és triar un punt que satisfaci a tothom.

Suposem que el pastís es presenta ja repartit als convidats. Direm que una persona prefereix un dels talls fixat si creu que cap altre tall del pastís és millor que l’escollit. Aquesta elecció és independent del que pensin els altres convidats, i assumim que sempre escull algun tall. A més, en aquest procés suposarem les dues condicions següents: 1. Els convidats tenen gana: sempre triaran un tall abans que quedar-se sense res, és a dir, d’alguna manera tots els tall són acceptables per als convidats, ja que tots tenen gana.

2. Condició de continuïtat: si una persona prefereix un tall en una successió convergent de possibles reparticions, aleshores prefereix el mateix tall en la repartició límit (és coherent en les seves eleccions per continuïtat).

Expliquem ara la condició de continuïtat amb un exemple en el cas de dos convidats. Si col·loquem el ganivet per tallar a la posició 13 − 21n pels diferents valors de n ∈ N i un convidat sempre prefereix el primer tall, aleshores si partim el pastís a la posició 13 , que és el límit dels punts anteriors, el convidat continua preferint el primer tall.

La idea de l’estratègia que presentarem és original de F.W. Simmons [6] (vegeu també [4]).

Treballarem amb dos etiquetatges del (n − 1)-símplex i les seves subdivisions: un representarà els convidats i l’altre les eleccions que van fent. Primer introduïm una manera estàndard de construir triangulacions a través dels baricentres dels triangles en un procés que es pot anar iterant.

14 noubiaix 40

Figura 7. Subdivisió baricèntrica.

Definició 4 Donat un n-símplex S amb vèrtexs {p0 ,p1 , . . . ,pn }, el baricentre b ∈ S és el punt de

1 coordenades b = n+1 pi .

Comencem amb els 1-símplexs o arestes. Afegim el baricentre de cadascun i considerem les noves arestes que apareixen. Ara mirem els 2-símplexs o triangles formats, i repetim en cada un la construcció anterior, és a dir, afegir el baricentre com un nou vèrtex i totes les arestes que van als vèrtexs que ja teníem del procés anterior; aixó no només crea noves arestes, sinó també una triangulació del 2-subsímplexs. I ara continuem si tenim tetraedres o 3-símplexs.

Afegim el seu baricentre com un vèrtex més, i totes les arestes del baricentre cap a tots els vèrtexs que hem afegit en el pas anterior i així generem a la vegada nous triangles i nous tetaredres. I anem iterant aquest procés si la dimensió és més gran, afegint el baricentre i creant tots els subsímplexs necessaris que el contenen (figura 7).

Observeu que, en la nova triangulació, els símplexs són «més petits»: el màxim dels diàmetres de tots els símplexs ha disminuït. Aquest procés de subdivisió baricèntrica es pot iterar tantes vegades com sigui necessari de manera que els diàmetres dels símplexs siguin tan petits com calgui: donat ε > 0, existeix n ≥ 0 tal que el màxim dels diamètres dels símplexs de la triangulació obtinguda iterant n vegades (o més) el procés de subdivisió baricèntrica és menor que ε. Anomenarem Sk la triangulació del n-símplex inicial obtinguda iterant k-vegades la subdivisió baricèntrica.

El conjunt {C1 , . . . ,Cn } denota la llista de convidats a la festa. Per cada i ≥ 0, i una iteració de subdivisió baricèntrica Sk del (n − 1)-símplex determinat per vèrtexs {p0 , . . . ,pn−1 }, li assignarem un etiquetatge LC amb valors a {C1 , . . . ,Cn } de manera que tots els triangles siguin distingits. És possible?

Vegem com aconseguir-ho (figura 9). Per i = 0, només cal assignar convidats diferents als n vèrtexs principals pi , per exemple LC (pi ) = Ci+1 (figura 8).

juliol 2017 15

2

3

1 Figura 8. Un triangle distingit, tipus (1,2,3).

1

1 2 2 2 1

1

3

2

2 2

3

3

1 2

3

1

2

1

2

3

2 2

3

2

2 3

2

1

2 1

1 Figura 9. Triangulacions etiquetades on tots els triangles són tipus (1, 2, 3).

En el pas següent fem el procediment que iterarem. Tots els vèrtexs que provenen del pas anterior s’assignen al mateix convidat C1 , els vèrtexs que són baricentres de subsímplexs 1dimensionals s’assignen a C2 , els vèrtexs que són baricentres de subsímplexs 2-dimensionals s’assignen a C3 i així successivament fins a assignar Cn als baricentres de subsímplexs (n − 1)dimensionals de la triangulació. Ara, cada cop que iterem la subvisió baricèntrica per obtenir una triangulació recol·loquem les etiquetes segons el procediment anterior. Informalment direm: donat un vèrtex v de C j , LC (v) és el propietari d’aquest vèrtex. Aquest etiquetatge clarament no és propi.

Amb aquest procediment, a cada pas tots els elements de la triangulació són distingits, però l’etiquetatge no és propi, ja que falla sempre la primera propietat a partir de la primera iteració.

Ara construirem un nou etiquetatge LP de la manera següent. Un vèrtex v = (x1 , . . . ,xn ) de Sj descriu una repartició del pastís en talls, i aleshores preguntarem al convidat LC (v) assignat al vèrtex v quin dels talls prefereix, i posarem etiqueta LP (v) = i si ha escollit el tall i-éssim. Es

16 noubiaix 40

llegeix dient que, si oferim el repartiment en talls descrit per les coordenades de v, el convidat designat per LC (v) prefereix el tall LP (v).

Ara sí que el nou etiquetage LC és propi. Els vèrtexs principals són de la forma pi = (0, . . . ,1i) , . . . ,0) i, per tant, com que els convidats tenen gana, sempre tindrem LC (pi ) = i + 1, ja que escolliran l’únic tall no buit i, per tant, es compleix la primera condició. Ara bé, els (n − 2)-subsímplexs es carateritzen perquè hi ha una coordenada fixada que sempre val zero (aquella que correspon al vèrtex oposat, que no apareix a la llista de vèrtexs {pi1 , . . . ,pi(n−1) } que la generen). I per tant, cap convidat escollirà aquell tall; així, si v és un vèrtex en aquell subsímplex es complirà que LC (v) ∈ {i1 , . . . ,i(n−1) }, i se satisfà la segona condició.

Així doncs, el lema de Sperner afirma que la triangulació Sj amb etiquetatge LP té un nombre senar de (n − 1)-símplexs distingits. Què vol dir això? Doncs que hi ha un (n − 1)-símplex de la triangulació de manera que els seus vèrtexs determinen talls de pastís amb la propietat que convidats diferents tenen preferències diverses, però evidentment cada vèrtex correspon a una forma distinta de tallar el pastís. Ara bé, podem agafar la iteració j de manera que el diàmetre d’aquest símplex sigui tan petit com vulguem. La condició de continuïtat ens diu que si apliquem un procés de pas al límit a través de fer subdivisions baricèntriques per obtenir símplexs distingits de diàmetre cada cop més petit obtindrem successions de vèrtexs que convergeixen a un punt del símplex amb la propietat que representa una partició del pastís en la qual convidats diferents tenen preferències diverses. La solució buscada serà repartir el pastís amb trossos de longitud les coordenades d’aquest punt límit. És a dir, obtenim el teorema següent.

Teorema 5 Amb les suposicions anteriors, existeix una manera de repartir el pastís de manera que cada persona prefereix un tall diferent.

Recordeu que el lema de Sperner té una demostració constructiva que descriu un algorisme per trobar símplexs distingits; per tant, és possible trobar aquest punt amb el problema del pas al límit. Però a la pràctica podem trobar una solució si fixem un nivell de tolerància. Així, el primer és acordar un nivell de tolerància ε > 0 entre els convidats, és a dir, que si un convidat prefereix un tall de pastís xi en un punt del símplex x = (x1 , . . . ,xn ), aleshores també prefereix el tall i-éssim en punts a distància menor que ε. Per tant, considerem directament una triangulació C j on tots els (n − 1)-símplexs tinguin diàmetre menor que ε, trobem amb un algorisme un (n − 1)-símplex distingit i prenem el baricentre d’aquest (n − 1)-símplex.

Aquesta serà la divisió justa i sense enveja del pastís.

2.3. El problema del lloguer Ara anem al problema del lloguer. Un grup d’estudiants vol llogar un pis per compartir. Han trobat un pis que els agrada a tots. D’entrada, el lloguer es divideix en parts iguals entre ells, però ara cal repartir-se les habitacions i no totes són iguals. Unes són més grans, altres tenen més llum, altres donen al carrer i són més sorolloses... És just que tots paguin per igual independentment de l’habitació que els toqui?

El nostre objectiu ara és trobar una repartició justa d’habitacions i lloguer de manera que tots ells estiguin satisfets amb l’habitació que tenen i el preu que en paguen.

juliol 2017 17

Com en l’exemple anterior, en aquest procés suposarem les dues condicions següents: 1. En qualsevol repartició del lloguer en habitacions, tothom troba una opció acceptable.

2. En qualsevol repartició del lloguer segons habitacions, un estudiant sempre preferirà una habitació de franc a una que no ho sigui.

3. Si un estudiant prefereix una habitació/preu en una successió convergent de possibles reparticions, aleshores prefereix la mateixa opció en la repartició límit.

Definició 6 En les condicions anteriors, existeix una repartició del lloguer en habitacions de manera que estudiants diferents prefereixen habitacions diferents.

Suposem que el lloguer del pis val 1. Enumerem les habitacions d’1 a n. Aleshores una tupla

x = (x1 , . . . ,xn ) ∈ Rn amb xi = 1 representa una repartició del lloguer en habitacions de manera que xi és el que cal pagar per ocupar l’habitació i. Així, el (n − 1)-símplex estàndard representa l’espai de totes les possibles opcions d’assignar preus a les habitacions.

Considerem triangulacions obtingudes amb la subdivisió baricèntrica amb etiquetat LP de manera que tots els triangles són distingits. Les etiquetes són els estudiants, que anomenarem {C1 , . . . ,Cn }, LP (v) = Ci voldrà dir que en el vèrtex v és l’estudiant Ci qui tria habitació, i amb aquesta elecció repetint el procediment de l’apartat anterior, si aquest estudiant tria, segons la repartició de preus que correspon al vèrtex, l’habitació j, obtenim un nou etiquetat LE (v) = j.

Es llegeix dient que en la repartició del lloguer que defineix el vèrtex v, l’estudiant LP (v) escull l’habitació LE (v).

Vegem quines condicions es compleixen amb les hipòtesis del problema. En els vèrtexs principals pi = (0, . . . ,1i) , . . . ,0) hi ha un munt d’habitacions de franc per escollir, així només podem afirmar per la segona condició que LE (pi ) = i. A més, en els (n − 2)-subsímplex que es carateritzen perquè hi ha una coordenada fixada k que sempre val zero, les condicions en les que es fa l’elecció imposa que LE (v) = k. Per tant, l’etiquetatge LE no és propi, sembla que justament és el dual. Com ho arreglem?

Considerem un nou (n − 1)-símplex T a Rn que obtenim afegint un nou vèrtex Ti , i = 1, . . . ,n, al símplex estàndard amb el qual hem començat, per cada cara de dimensió n − 2 on s’anul·la una coordenada (xi = 0). I a més afegim totes les cares necessàries des d’aquest vèrtex cap a la cara corresponent (figura 10).

Per a totes les triangulacions anteriors Sj , fem el mateix afegint els nous vèrtexs i obtenim triangulacions T j . En totes elles posem LE (Ti ) = i. Es pot interpretar com que afegim la possiblitat que un llogater rebi diners dels seus companys per quedar-se l’habitació i.

18 noubiaix 40

1

1o2

1

1

2 2

1

1o3

3

2 2

3 3 2o3

3

Figura 10. Etiquetatge dual.

Amb els nous vèrtexs i etiquetes, LE és un etiquetatge propi de T j i el lema de Sperner ens diu que hi ha un (n − 1)-símplex distingit. A més, aquest s’ha de trobar dins de Sj al triangle original per la manera com hem estès LE als vèrtexs que no hi pertanyen. És a dir, tenim un (n − 1)-símplex de manera que en les opcions que ofereixen els seus vèrtexs, diferents estudiants escullen habitacions distintes. Ara acabem l’argument de la mateixa manera que en l’exemple anterior: o bé fent un pas al límit o bé introduint el concepte de tolerància en l’elecció.

Fixeu-vos que amb l’estratègia per convertir LE en un etiquetatge propi, en realitat hem demostrat un lema de Sperner dual per un altre tipus de coloracions del graf.

3. El lema de Sperner i el teorema del punt fix de Brouwer La rellevància que va tenir el lema de Sperner el 1929 [2] va ser el fet que permetia donar una demostració d’un teorema conegut, el teorema del punt fix de Brouwer, via combinatòria topològica i en proporciona una demostració constructiva oposada a la demostració existencial originària de Brouwer.

Teorema del punt fix de Brouwer (1912) [1] Sigui Bn una bola de dimensió n. Tota aplicació contínua f : Bn → Bn té almenys un punt x ∈ Bn tal que f (x) = x.

Primer, aquest resultat és vàlid a espais deformables de manera contínua en una bola, i aquest és el cas dels símplexs. Per exemple, un triangle es pot deformar de manera contínua en un disc i al revés. Des d’un punt de vista més distès, el teorema del punt fix de Brouwer es pot explicar amb un got ple d’un líquid. De manera informal, cada partícula del líquid ocupa una posició a l’interior del got. Tot seguit remeneu el contingut de la manera que vulgueu (en un sentit, en l’altre, fent vuits...) i, quan el líquid torni a quedar quiet, afirmem que almenys una partícula està ocupant la mateixa posició que ocupava abans de remenar.

juliol 2017 19

Veurem com el lema de Sperner s’usa per a demostrar aquest resultat en aparença tan diferent. Ho farem per aplicacions contínues del símplex en ell mateix. Sigui S un n-símplex amb vèrtexs pi = (0, . . . ,1i+1) , . . . ,0), i = 0, . . . ,n en coordenades baricèntriques. Suposem que f : S → S és una aplicació contínua sense punts fixos, és a dir, f (x) = x per tot x ∈ S. Fixem una triangulació Sj obtinguda iterant j vegades la subdivisió baricèntrica i etiquetem els seus vèrtexs de la manera següent. Donat un vèrtex v = (x0 , . . . ,xn ) en coordenades baricèntriques, aleshores L(v) = i, i = 1, . . . ,n, si i és el subíndex més petit tal que la coordenada i-éssima de f (v), que anomenarem f (v)i , és més petita que la coordenada i-éssima

original de v. Com que f (v)i = xi = 1, aquest procediment està ben definit, ja que per hipòtesis no hi ha punts fixos. Comprovem que aquest etiquetatge és propi.

Es compleix la primera condició en els vèrtexs principals, ja que L(pi ) = i doncs f (0, . . . ,1i) , . . . ,0) ha de tenir coordenada i-éssima menor que 1 i les anteriors no poden disminuir. Els punts x ∈ S que es troben a la cara de dimensió n − 1 determinada per {pi1 , . . . ,pin } tenen la característica que una de les coordenades (la del vèrtex que no apareix a la llista) sempre és zero, aleshores L(x) mai prendrà el valor corresponent al símplex d’aquesta component, ja que no pot disminuir de valor en aplicar la funció f , és a dir, L(x) ∈ {i1 , . . . ,in }. Per tant, el lema de Sperner ens diu que hi ha almenys un n-símplex distingit a Sj amb vèrtexs {zj,0 , . . . ,zj,n } on L(zj,i ) = i.

Prenem aquest símplexs per cada iteració de la subdivisió baricèntrica construint una successió de símplexs. Ara farem servir que en el n-símplex tota successió de punts té una successió parcial convergent. Prenem la successió formada pels vèrtexs {zj,0 }, sabem que hi ha successió parcial convergent a un punt z0 . La continuïtat de f ens assegura que f (z0 )0 ≤ z00 .

Descartem els triangles que no formen part d’aquesta successió parcial convergent i repetim el mateix argument amb la successió de vèrtexs {zj,1 }. I obtenim z1 amb f (z1 )1 ≤ z11 . Com que els punts són vèrtexs de triangles amb diàmetre que tendeix a zero, tenim també que els límits coincideixen z1 = z0 . Repetint aquest procés fins a {zj,n }, obtenim un punt z∗ que compleix f (z∗)i ≤ zi∗ per tot i = 0, . . . ,n. Però això només és possible si f (z∗)i = zi∗ per tot i, arribant així a una contradicció, ja que hem suposat que f no tenia punts fixos.

El lema de Sperner apareix en molts contextos diferents. Una bona lectura és [3] en què, per exemple, podreu veure quina relació té amb el joc de tauler HEX.

4. El lema de Sperner i el joc del HEX El joc del HEX és un joc de tauler que va inventar Piet Hein el 1942, però que van popularitzar J. Nash i M. Gardner. Es juga en un tauler de regions hexagonals (figura 11). Un jugador té peces blanques i l’altre, negres, i col·loquen les peces al tauler per torns. Quan una casella està ocupada aleshores no es pot tornar a modificar. Dues bandes oposades del tauler corresponen al jugador de blanc i les altres dues al de negre i l’objectiu és fer un camí de peces que uneixi els costats oposats. Guanya el primer que ho aconsegueix.

Veurem que en una partida del HEX sempre hi ha un guanyador. És a dir, no és possible omplir el tauler de fitxes blanques i negres sense que hi hagi un camí de fitxes del mateix color que permeti guanyar a un dels jugadors. Per explicar-ho plantejarem el joc d’una manera equivalent: posem vèrtexs al centre de cada casella i una aresta per caselles veïnes. És a dir,

20 noubiaix 40

ens quedem amb el graf dual (figura 12). I ara jugarem a pintar vèrtexs amb l’objectiu de fer camins de vèrtexs del mateix color a través de les arestes.

Figura 11. Tauler del HEX.

N

E

S O Figura 12. Graf dual del tauler del HEX.

En el nostre graf afegirem els vèrtexs amb els punts cardinals per marcar les diferents regions de sortida/arribada i també les arestes que els uneixen amb els vèrtexs corresponents del seu costat (figura 13). A més, unirem els vèrtexs dels punts cardinals en sentit circular amb el veí.

N E

O

S

Figura 13. Graf dual amb els nodes cardinals.

juliol 2017 21

N E

O

S

Figura 14. Graf dual amb els nodes cardinals i vèrtexs grisos.

Suposem que hem acabat una partida i que tots els vèrtexs estan pintats de color blanc o negre, i sense cap guanyador. No hi ha cap camí ni blanc ni negre unint costats oposats. Ara afegim-hi un altre color: gris. Els vèrtexs blancs que no s’uneixen a cap camí que surti de E els repintem a gris. Els vèrtexs negres que no s’uneixen a cap camí que surti de N també els posem en gris. Així, com que no hi ha guanyadors, tenim que S i O són grisos (figura 14).

Si ara ens fixem bé en la configuració, obtenim una regió poligonal triangulada amb els vèrtexs pintats de tres colors diferents. Si pensem en el triangle format pels tres vèrtexs N, E i S com a principals i que tenen etiquetes diferents, aleshores el vèrtex O és l’únic que es troba en una aresta exterior, l’aresta N-S, i el seu color compleix la condició de Sperner.

El lema de Sperner ens diu que hi ha un triangle tricolor i que en els seus vèrtexs hi són representats tots tres colors. Aquest triangle té un vèrtex de color gris, un de blanc i un de negre. Si el vèrtex gris era originàriament blanc, aleshores es pot unir al vèrtex blanc del triangle i, per tant, forma part d’un camí blanc que surt de E. Això no pot ser per com hem escollit els vèrtexs que canviàvem a color gris. Aleshores havia de ser negre abans de fer-lo gris, però el mateix argument ens diu que no pot ser. Arribem, doncs, a contradicció.

Aquest és un joc amb estratègies guanyadores; a l’article [3] en podeu trobar més detalls.

Referències [1] Brouwer, L.E.J. (1912). Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten. Math. Ann., 71, 97-115.

[2] Knaster, B., Kuratowski, C., Mazurkiewicz, S. (1929). Ein Beweis des Fixpuntktsatzes für n-dimensionale Simplexe. Fund. Math, 14(1), 132-137.

[3] Matoušek, J., Ziegler, G., Björner, A. (2014). Around Brouwer’s fixed point theorem, arXiv:1409.7890.

[4] Simmons, F., Su, F. (2003). Consensus-halving via theorems of Borsuk-Ulam and Tucker.

Math. Social Sci., 45, 15-25.

22 noubiaix 40

[5] Sperner, E. (1928). Neuer beweis für die invarianz der dimensionszahl und des gebietes.

Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 6, 265-272.

[6] Su, F. (1999). Rental Harmony: Sperner’s Lemma in Fair Division. Amer. Math. Monthly, 106, 930-942.

juliol 2017 23

L’ús de contextos històrics a l’aula de matemàtiques de secundària. El cas concret de la visualització en la connexió geometria-àlgebra Iolanda Guevara Casanova Departament d’Ensenyament de la Generalitat de Catalunya i Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències Experimentals de la UAB iguevara@xtec.cat

Carme Burgués Flamarich Departament d’Educació Lingüística i Literària i de Didàctica de les Ciències Experimentals i de la Matemàtica de la UB cburgues@ub.edu

Resum En l’educació secundària obligatòria, la introducció i l’ús del llenguatge algebraic són difícils per a la majoria de l’alumnat pel grau d’abstracció que comporten. En aquest article es presenten unes activitats sobre problemes de triangles rectangles i resolució d’equacions de segon grau, implementades amb alumnes de 3r d’ESO. S’hi relaciona el llenguatge simbòlic de l’àlgebra amb la geometria, es potencia el pensament i el raonament visual dels alumnes, per tal de millorar l’aprenentatge d’aquest nou llenguatge a base de fer-lo més significatiu i lligat a l’adquisició de les competències bàsiques de l’àmbit matemàtic. Els exemples utilitzats provenen de la història de les matemàtiques.

Abstract In secondary education, the introduction and use of algebraic language is difficult for most students due to the degree of abstraction involved. This article presents several exercises using right triangles and quadratic equations set for third-year secondary school students (14-15 years old). The main objective of these activities is that students use reasoning and visual thinking to relate the symbolic language of algebra with geometry. Thus, they improve in their learning of this new language, as it becomes more meaningful and related to the acquisition of basic mathematical skills. The examples used come from the history of mathematics.

24 noubiaix 40

Introducció En l’etapa de l’educació secundària obligatòria, l’ensenyament/aprenentatge de l’àlgebra inclou estructures, relacions i llenguatge, però la introducció i l’ús d’aquest llenguatge són difícils per a la majoria de l’alumnat pel grau d’abstracció que comporten.

L’estudi s’ha centrat en la visualització d’alguns processos matemàtics perquè diversos autors avalen aquest mètode, dins de l’àmbit educatiu i en particular en l’educatiu matemàtic (Arcavi, 2003; Burgués, 2008; Giaquinto, 2007; Mason et al., 2005), i també pel paper que tenen les imatges i la visualització en el món d’avui dia.

En el treball es planteja la idoneïtat de relacionar el llenguatge simbòlic de l’àlgebra amb la geometria, amb la intenció de potenciar el pensament i el raonament visual dels alumnes, per millorar l’aprenentatge d’aquest nou llenguatge a base de fer-lo més significatiu i lligat a l’adquisició de les competències bàsiques de l’àmbit matemàtic (Burgués i Serramona, 2013).

L’eina utilitzada per a establir la connexió geometria-àlgebra són els diagrames.

La introducció de diagrames pretén connectar el pensament simbòlic propi de l’àlgebra amb el pensament visual relacionat amb les figures geomètriques. Historiadors, pedagogs (Katz i Barton, 2007) i molts especialistes en didàctica de la matemàtica (NCTM, 2000; Niss i Hojgaard, 2011) defensen la connexió entre continguts aparentment diferents com una de les accions integrades en els processos matemàtics.

Els problemes proposats als alumnes corresponen a situacions en què intervenen triangles rectangles o bé resolució d’equacions de segon grau. En tots els casos, la proposta passa perquè els alumnes transfereixin el raonament expressat en forma lingüística (expressions algebraiques de segon grau) al raonament visual amb diagrames (figures amb quadrats i rectangles), que són la interpretació geomètrica de les expressions algebraiques de segon grau.

Per tant, la recerca està centrada en el procés d’aprenentatge dels alumnes, específicament en els resultats aconseguits pels estudiants utilitzant aquests diagrames.

Figura 1. Diagrames d’Els nou capítols en l’edició de Bao Huanzhi (1213), segons Chemla i Shuchun (2005).

juliol 2017 25

Figura 2. Al-Khwārizmı̄ (813), Tractat d’àlgebra, F. Rosen, 1831.

Els exemples utilitzats provenen de la història de les matemàtiques. Els problemes en què intervenen triangles rectangles corresponen al capítol 9 d’Els nou capítols, problemes 1-13 i 24 en la versió de Chemla i Shuchun (2005). En la figura 1 es reprodueix un d’aquests diagrames.

El que interessa destacar és la justificació del procediment de càlcul del text clàssic (segle I), amb els raonaments geomètrics que fa Liu Hui en l’edició de l’any 263. Aquests raonaments geomètrics han estat estudiats i transcrits en forma de figures per diferents historiadors de la matemàtica xinesa antiga (Cullen, 1996; Chemla i Shuchun, 2005; Dauben, 2007).

La resolució d’equacions de segon grau completant quadrats geomètrics s’ha desenvolupat a partir del text d’al-Khwārizmı̄, segons l’edició de F. Rosen (1831), en la reedició de 1986, i de les aportacions de Massa (2005), Guevara (2009) i Guevara i Massa (2009). En la figura 2 es reprodueix un d’aquests diagrames.

Aquesta comunicació té com a font principal de referència la tesi doctoral d’una de les autores (Guevara, 2015), que va tenir la direcció de l’altra autora, Carme Burgués Flamarich.

La introducció, els exemples presentats i comentats, així com les reflexions finals provenen d’aquest ampli període de temps que representa treballar en una recerca didàctica en forma de tesi doctoral.

Descripció de l’activitat A continuació es presenten les dues activitats objecte d’aquest estudi. a) Resolució de problemes de triangles rectangles amb diagrames de càlcul En general, en els problemes sobre triangles rectangles que es resolen aplicant el teorema de Pitàgores, es planteja una situació en la qual es coneixen dos costats d’un triangle rectangle i es demana el tercer. En canvi, la majoria dels problemes del capítol 9 d’Els nou capítols, corresponen a una situació una mica més complicada des del punt de vista de la relació entre les dades inicials i la demanda de cada problema, ja que les dades inicials que contenen no es corresponen amb dos dels costats d’un triangle rectangle, sinó només amb un d’ells i la diferència entre els altres dos.

Quan la relació entre les dades conegudes i les demanades en el problema s’expressa en forma algebraica, l’equació que es planteja requereix una certa destresa en la manipulació algebraica per poder ser resolta. Aquesta dificultat és la que es pretén salvar amb la

26 noubiaix 40

introducció del diagrames, perquè amb ells l’alumne raona d’una manera visual. Decideix el procés de càlcul a partir de manipular formes geomètriques que provenen d’interpretar geomètricament les fórmules algebraiques que relacionen les dades del problema.

El procés evolutiu de la seqüència de resolució d’un problema amb diagrames de dades i de càlcul consisteix a: − Construir un diagrama de dades, un triangle rectangle sobre el qual s’escriuen les dades conegudes i les que es volen trobar. − Decidir quin dels tres diagrames de càlcul correspon al problema que es vol resoldre. − Construir el diagrama de càlcul i escriure-hi les dades que es tenen. − Transformar aquest primer diagrama en altres diagrames successius, tants com necessiti la persona que resol el problema fins a ser capaç de llegir en el nou diagrama la solució del problema, o gairebé, tenint present que a cada transformació cal reinterpretar algebraicament les dades geomètriques per no perdre de vista la solució que s’està construint amb el raonament geomètric.

La figura 3 recull, en termes generals, la seqüència descrita per a resoldre un problema amb diagrames.

A continuació s’exemplifica el procés amb un problema concret. Primer es planteja l’activitat proposada, especificant l’enunciat i les condicions de treball. Després es recorre el procés seguit per un dels alumnes.

L’enunciat del problema: L’antena El tensor d’una antena, quan penja des de dalt de l’antena sense tibar-lo, sobrepassa en 6 m l’alçada de l’antena. Tibat, a 16 m de la base de l’antena, arriba just. Quina alçada té l’antena i quina longitud té el cable tensor?

Figura 3. Procés evolutiu de la seqüència de resolució d’un problema amb diagrames.

juliol 2017 27

Per a cada problema sobre triangles rectangles es demana als alumnes que segueixin el procediment següent: 1. Localitzeu el triangle rectangle i dibuixeu-lo.

2. Escriviu, damunt del dibuix, les dades que teniu i les que us demanen.

3. Decidiu amb quina figura fonamental el resoldreu i expliqueu per què l’heu triada.

4. Calculeu amb l’ajuda de la figura, utilitzant les mesures de les longitud i les àrees de la figura, les mesures que us demanen.

Un cop resolt el problema, expliqueu també el vostre raonament.

En aquestes condicions, una alumna va resoldre el problema anterior tal com es veu a la figura 4 i va explicar el seu raonament tal com es veu a la figura 5.

Figura 4. La resolució del problema de l’antena.

28 noubiaix 40

Figura 5. Les explicacions de la mateixa alumna.

Si s’analitza la producció de l’alumna, d’acord amb el procés general descrit anteriorment en relació amb la resolució de problemes amb diagrames de dades i de càlcul de la figura 3, s’obté un esquema com el que es veu a la figura 6. b) Resolució d’equacions completant quadrats geomètrics Des del punt de vista de la resolució d’equacions de segon grau, s’aposta per explicar aquest mètode a l’aula abans d’introduir-hi la fórmula √ −b ± b2 − 4ac , 2a que es deixa pel curs següent, i així forçar l’alumnat a relacionar les regles del càlcul simbòlic amb les regles geomètriques de transformacions de figures i d’àrees.

Figura 6. Quadre general del problema de l’antena exemplificat amb la producció d’una alumna.

juliol 2017 29

30 noubiaix 40

Davant de les dificultats dels alumnes a l’hora de manipular i calcular amb termes algebraics, s’opta pel raonament visual i es proposa convertir les equacions en figures geomètriques (quadrats i rectangles). Aquestes figures es manipulen i es transformen. Les transformacions i els canvis repercuteixen en les mesures de les seves longituds i àrees.

Es calculen les noves longituds i les noves àrees. Són càlculs senzills que no plantegen dificultats als alumnes de 3r d’ESO. Finalment, es reinterpreten les mesures d’aquestes figures i es dedueix directament la solució de l’equació, que és una de les mesures de la darrera figura obtinguda en les transformacions.

Les figures geomètriques que permeten obtenir els resultats dels càlculs algebraics sense fer-los, utilitzant raonaments visuals, són els diagrames de càlcul, segons la nomenclatura introduïda per Mason et al. (2005) i també per Giardino (2009).

Tant els diagrames successius de la resolució d’equacions de segon grau completant quadrats geomètrics com les figures fonamentals dels triangles rectangles són dos exemples de l’ús de diagrames de càlcul per facilitar la resolució d’alguns problemes algebraics característics de l’ESO. Els dos tipus de resolucions tenen característiques similars. La diferència entre el procediment utilitzat en els problemes sobre triangles rectangles i la resolució d’equacions de segon grau completant quadrats geomètrics és que aquí no hi ha diagrama de dades, sinó que directament es passa al primer diagrama de càlcul i a les seves transformacions. Això és així perquè ara l’enunciat del problema és la mateixa equació i a partir d’ella es construeix el diagrama de càlcul. En canvi, en els problemes sobre triangles cal un diagrama de dades per centrar-se en l’enunciat del problema, localitzar les dades, veure quina relació tenen entre elles i poder triar entre tres possibles diagrames de càlcul diferents.

En els problemes de triangles rectangles es parteix de la geometria; les dades són mesures d’un triangle rectangle, s’estableixen relacions algebraiques entre elles i es retorna a la geometria per resoldre’l, a la geometria del diagrama de càlcul.

En els problemes de resolució d’equacions de segon grau completant quadrats es parteix directament de l’àlgebra i es passa a la geometria del diagrama de càlcul per resoldre-les.

A continuació es mostra l’enunciat d’una de les activitats proposades. Primer es presenta l’equació i la demanda de resolució que es fa als alumnes. Després es presenta una resolució concreta d’un alumne i algunes consideracions específiques.

L’enunciat: Resol les equacions següents, escrivint tots els passos i els valors que vas deduint amb l’ajuda dels diagrames. Comprova després substituint que els teus resultats són correctes. a) x 2 + 6x = 40 b) x 2 − 6x = 40 La figura 7 mostra la producció d’una alumna davant d’aquestes peticions.

juliol 2017 31

Figura 7. Resolució de les dues equacions realitzada per una alumna.

Reflexió metodològica Aquesta manera de plantejar els problemes sobre triangles rectangles i les equacions de segon grau promou que els alumnes associïn el llenguatge algebraic i les seves regles de càlcul a transformacions de les àrees de figures geomètriques. S’associen longituds a termes de primer grau i àrees a termes de segon grau i fa que els alumnes arribin a un significat més profund del que representen els càlculs algebraics. Connecten l’àlgebra amb la geometria, com de fet va succeir al llarg de la història de les matemàtiques: durant molts segles es resolien amb raonaments geomètrics problemes que avui en dia es plantegen únicament i exclusivament amb termes algebraics.

Conclusions Vistos els resultats recollits en l’anàlisi de les activitats dels alumnes i les conclusions que s’han generat, es pot afirmar que l’ensenyament de l’àlgebra en els primers cursos hauria d’anar de la mà de raonaments visuals com els que faciliten l’ús de diagrames. És a dir, que la introducció de l’àlgebra, a més de ser una generalització de l’aritmètica, un model en què les regles amb nombres passen a ser regles amb lletres, hauria de tenir també un component visual, el que dona la interpretació geomètrica de les fórmules de l’àlgebra. En aquest paradigma, les expressions lineals es poden interpretar, en funció de la situació, com a àrees o com a longituds de segments, i les expressions quadràtiques s’interpreten com a àrees. Totes les operacions i les regles per realitzar-les tenen la seva interpretació en el model geomètric. D’aquesta manera, les propietats de les operacions no es justifiquen únicament

32 noubiaix 40

amb unes regles o amb una gramàtica dels símbols, sinó que tenen un equivalent en el model geomètric. Aquesta idea es va utilitzar en la recerca esmentada (Guevara, 2015) per dissenyar les activitats proposades: partir de problemes que són habituals del currículum escolar i resoldre’ls amb les eines dels matemàtics antics.

Aquesta primera implicació, la d’introduir la interpretació geomètrica en la lectura de les fórmules habituals en els inicis de l’àlgebra, es va posar en pràctica durant el temps de realització de la recerca, dos anys després d’haver recollit les activitats analitzades. El curs 2011-2012, l’autora va tornar a impartir classes a grups de 3r d’ESO. Aquesta vegada, a més del dossier de treball sobre la resolució de problemes amb triangles rectangles, es van dedicar cinc o deu minuts inicials de cada classe a corregir exercicis rutinaris de càlcul amb polinomis que els alumnes havien de resoldre a casa d’una classe a la següent.

Després de dues o tres sessions, diversos alumnes van expressar oralment, per a tota la classe, la coincidència que veien entre els càlculs amb les fórmules i els càlculs amb el suport de les figures geomètriques dient: «Ara ho entenc, aquestes operacions amb lletres són com els càlculs que estem fent amb les figures!». No cal dir que la satisfacció de la professora en aquell moment va ser màxima.

Referències Al-Khwārizmı̄ (1986). The Algebra of Mohammed ben Musa. Rosen, F. (ed. i trad.), (1a ed., Londres, 1831). Hildesheim/Zuric/Nova York: George Olms Verlag.

Arcavi, A. (2003). The role of visual representations in the learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics, 52, 215-241.

Barwise, J., Etchemendy, J. (1996). Visual Information and Valid Reasoning. Dins: G. Allwein, i J. Barwise, J. (ed.), Logical Reasoning with Diagrams (p. 3/23). New York: Oxford University Press.

Burgués, C. (2008). La representación de las idees matemáticas. Dins: M. M. Hervás- Asenjo (coord.), Competencia matemática e interpretación de la realidad (p. 23-40). Madrid: Secretaria General Técnica del MEC. Burgués, C., Serramona, J. (coord.) (2013). Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic. Barcelona: Departament d’Ensenyament, Generalitat de Catalunya http://ensenyament.gencat. cat/web/.content/home/departament/publicacions/colleccions/competencies-basiques/eso/ eso-matematic.pdf (Darrer accés: 02/09/16).

Chemla, K., Shuchun, G. (ed.) (2005). Les Neuf Chapitres, le classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires. Edició crítica bilingüe. París: Dunod.

Cullen, C. (1996). Astronomy and Mathematics in Ancient China: The Zhou bi suan jing.

Cambridge/Nova York: Cambridge University Press.

Dauben, J.W. (2007). Chinese Mathematics. Dins: V.J. Katz (ed.), The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India and Islam. A sourcebook (p. 187-384). Princeton, Nova Jersey: Princeton University Press.

juliol 2017 33

Giaquinto, M. (2007). Visual Thinking in Mathematics. Oxford: Oxford University Press.

Giardino, V. (2009). Towards a diagrammatic classification. The Knowledge Engineering Review, 00(0), 1-13.

Guevara, I. (2009). La història de les matemàtiques dins dels nous currículums de secundària: La introducció de contextos històrics a l’aula, un recurs per a millorar la competència matemàtica. http://www.xtec.cat/sgfp/llicencies/200809/memories/1864m.pdf (Darrer accés: 31/01/16).

Guevara, I (2015). L’úsdecontextoshistòricsa l’aula dematemàtiquesdesecundària: Elcasconcret de la visualització en la connexió geometria-àlgebra. Tesi doctoral. Barcelona: Universitat de Barcelona. http://hdl.handle.net/10803/301766 (Darrer accés: 02/09/16).

Guevara, I., Massa, M.R. (2009). La història de les matemàtiques en els nous currículums de secundària. Dins Actes d’història de la ciència i de la tècnica. Vol. 2(1), (p. 379-390). Barcelona: SCHCT. Guevara, I., Massa, M.R.; Romero, F. (2006). Textos históricos para la enseñanza de las matemáticas. Dins: J.A, Pérez-Bustamante et al. (coord.), Actas del IX Congreso de la Sociedad Española de Historia de las Ciencias y de las Técnicas (p. 1301-1304). Cadis: SEHCYT. Katz, V.J., Barton, B. (2007). Stages in the history of algebra with implications for teaching.

Educational Studies in Mathematics, 66, 185-201.

Massa, M.R. (2005). Les equacions de 2n grau al llarg de la història. Biaix, 24, 4-15. https://5ffae 0819e4690bb429ba787c40104e2d48658f9.googledrive.com/host/0B-nqW6g1Bd5iWXFnOU NtYUhCaVU/biaix24/equacions.pdf (Darrer accés: 02/09/16).

Mancosu, P. (2005). Visualitzation in Logic and Mathematics. Dins: P. Mancosu et al. (ed.), Visualitzacion, Explanation and Reasoning Styles in Mathematics (p. 13-30). Netherlands: Springer.

Mason, J., Graham, A., Johnston-Wilder, S. (2005). Developing Thinking in Algebra. SAGE Publications.

National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) (2000). Principios y estándares para la educación matemática. Granada: Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales.

Proyecto Sur Industrias Gráficas.

Niss, M., Hojgaard, T. (ed.) (2011). Competencies and Mathematical Learning. Ideas and inspiration for the development of mathematics teaching and learning in Denmark. Roskilde University: Department of Science, Systems and Models, IMFUFA tekst nr. 485. http://diggy.ruc.dk/bit stream/1800/7375/1/IMFUFA_485.pdf (Darrer accés: 31/01/16).

34 noubiaix 40

Utilitzar els recursos digitals d’internet a primària Juanjo Cárdenas Escola Sant Llorenç del Munt

Resum Si hem de fer un viatge, posem el GPS o ens ho mirem al Google Maps del mòbil; podem saber la distància, el temps que trigarem a arribar, els quilòmetres que hi ha... fins i tot el cost del viatge. No hem fet cap càlcul, únicament hem consultat una eina digital que ara ja és a l’abast de tothom. L’escola no pot donar l’esquena a l’ús de la tecnologia, especialment a primària, que és quan els nens comencen a fer-la servir. El que han de valorar els mestres és el pes que han de tenir ja les propostes digitals en l’aprenentatge de les matemàtiques que fan els nostres alumnes. Les eines com el llibre, el regle, el compàs... els materials com els jocs multicubs, el Creator... ja les tenim; aprofitem també els recursos digitals per facilitar l’aprenentatge i millorar la percepció de les matemàtiques que tenen els nostres alumnes.

Abstract These days when we go on a trip, we typically use GPS or look up the route on Google Maps with our phones; we can find out the distance, the duration, and even the cost of the trip. We don’t make any calculations ourselves, we just use digital tools now available to anyone. Schools cannot turn their backs on technology, especially in primary education, which is when children start using it, but teachers must now assess the role that each digital tool should play in our students’ learning of mathematics.

Workbooks, rulers, compasses... materials such multicube games, or the Creator... we have had all of them. Let’s now take advantage of the digital resources we have to make learning maths easier and more stimulating for our students.

Treballar en un entorn virtual amb eines digitals Quan decidim plantejar propostes en les quals l’ús de les eines digitals és clau per a l’aprenentatge, és important presentar aquestes activitats al professorat com un model innovador i d’obertura, i incorporar nous recursos didàctics i estratègies metodològiques que permetin el desenvolupament de les noves experiències matemàtiques per als nostres alumnes.

juliol 2017 35

En tot cas, no podem pensar que, si presentem la tasca digitalitzada, aquesta, per si sola, facilitarà aprenentatges significatius. Hem de garantir que el que estem oferint tingui qualitat en l’ús dels continguts, en la presentació i el desenvolupament tècnics, en la proposta matemàtica que ofereix i en el paper del docent durant el procés.

Segons la nostra experiència, si volem que siguin realment interactives, hauríem de tenir en compte aquestes premisses: •

Ser reutilitzables en diferents propostes;

•

fer un ús eficient del suport multimèdia, i

•

ser eines obertes.

Sota aquestes premisses, la nostra metodologia de treball amb eines digitals i interactives entén l’aprenentatge com un procés de construcció propi produït per les interaccions individuals i grupals, dins i fora de l’aula i de l’entorn digital.

El que pretenem amb aquest article és que els mestres s’adonin que valorar la importància de les eines digitals que s’utilitzen en la vida quotidiana ens permet considerar les reflexions, les discussions i les opinions sobre el seu ús dels nostres alumnes com un element de motivació per aprendre.

D’altra banda, entendre que els alumnes tenen diferents maneres de construir l’aprenentatge i que el que arriben a interioritzar pot estar condicionat, no només pel que ja saben, sinó també per la qualitat del procés d’adquisició dels coneixements i pels materials que facin servir. Per això proposarem eines interactives i digitals que es facin servir i que incorporin una metodologia de construcció en la qual l’anàlisi i la resolució de problemes formin part del procés d’aprenentatge matemàtic.

Treballar amb un enfocament constructivista de les matemàtiques amb eines digitals ens ha fet adonar que en activitats desenvolupades per a la seva utilització a internet es poden agrupar tres tipus d’eines: les que proposen l’aprenentatge a través de la pràctica i la repetició, les que ajuden a la resolució de problemes facilitant el càlcul, la representació i la comunicació i les que fan una proposta completa, com les eines interactives.

Amb aquestes eines, estem proposant als nostres alumnes itineraris d’aprenentatge, propostes que poden ser multidisciplinàries en les quals l’alumne, tot coneixent els termes i comprenent el que ha de fer, per arribar a les solucions necessita fer servir les eines digitals adequades i elaborar una estratègia per aconseguir arribar al final.

L’objectiu d’aquest article és donar una panoràmica de les eines digitals que es poden fer servir a primària per a afavorir l’aprenentatge dels nostres alumnes, pensant que la metodologia que es proposi per desenvolupar la proposta de treball ha de ser coherent amb la forma en la qual els alumnes desenvoluparan l’activitat, amb el procés de construcció de l’aprenentatge, amb les eines que es facin servir i amb el procés de resolució de problemes com a forma principal de plantejar les propostes.

Vegem algunes eines digitals que ens poden ajudar a reflexionar i a donar un enfocament nou a les nostres propostes de treball.

36 noubiaix 40

Aprenentatge a través de la pràctica i la repetició Quan he demanat a mestres de primària que em proposessin activitats digitals que ells fessin servir per a treballar les matemàtiques, la majoria m’han dirigit a webs i blocs en els quals trobem exercicis per reforçar aprenentatges d’aula bàsicament de càlcul, operacions i problemes senzills. La raó, en la majoria dels casos, és la mateixa: repassar a l’hora d’informàtica les operacions bàsiques i el càlcul mental.

D’altra banda, tot i que moltes escoles disposen de pissarres digitals en la majoria de les aules i que els mestres desenvolupen propostes matemàtiques digitals en gran grup, en general no creuen que treballar les matemàtiques de forma digital sigui una prioritat.

De totes maneres, a poc a poc, els centres de primària es van dotant d’ordinadors portàtils que permeten treballar continguts matemàtics dintre de l’aula, d’una manera individual, per parelles i en petits grups. Això ha creat la necessitat de disposar d’eines digitals que facilitin la tasca docent especialment en la pràctica del càlcul i la numeració. Vegem alguns exemples d’aquests recursos digitals: ThatQuiz (http://www.thatquiz.org/ca/) permet preparar moltes activitats sistemàtiques, com per exemple les de càlcul mental (figura 1).

Figura 1. Activitat de càlcul mental preparada amb ThatQuiz.

Aquesta eina facilita el treball sistemàtic i personalitzat donada la facilitat amb què es poden preparar les diferents activitats per treballar continguts d’aritmètica, estadística, mesura, geometria, àlgebra, probabilitat, i d’altres (figura 2).

juliol 2017 37

Figura 2. Accés a totes les activitats que es poden preparar amb ThatQuiz.

JClic (http://clic.xtec.cat/db/listact_ca.jsp) té una base de dades amb centenars d’activitats preparades i llestes per utilitzar a l’aula. Els mestres únicament les han de seleccionar en funció del tema que s’estigui treballant i posar-les a l’abast del seus alumnes (figura 3).

Figura 3. Pàgina de cerca d’activitats JClic.

Si busquem per internet hi ha infinitat de pàgines web amb activitats recopilades per practicar diferents continguts matemàtics, des de les pàgines web oficials de les comunitats autònomes,

38 noubiaix 40

Figura 3. Pàgina de cerca d’activitats JClic.

com ara: edu365.cat (figura 4) (http://www.edu365.cat/primaria/muds/matematiques), fins a les que es dediquen a recopilar, d’una manera més o menys ordenada, tot tipus d’aplicacions educatives com fa JueduLand (figura 5) (http://roble.pntic.mec.es/arum0010/), en què podem trobar propostes de tota mena: càlcul, geometria, mesura, problemes senzills, activitats d’estratègia, que poden ajudar els mestres a reforçar tots aquells continguts que es treballen a l’aula i que els alumnes poden practicar d’una manera autònoma per a millorar el seu aprenentatge.

Figura 4. Pàgina web de l’edu365.cat de primària amb les activitats de matemàtiques.

juliol 2017 39

Figura 5. Web de recursos educatius que inclou diversos apartats organitzant els enllaços per nivells, per temàtiques, per etapes educatives, etc.

A més, aquest reforç autònom que es pot generar amb les eines digitals pot ajudar els mestres a trobar els espais de temps necessaris per a treballar d’una manera individual amb aquells alumnes que tenen més dificultat.

Facilitant el càlcul, la representació i la comunicació Pot ser que el full de càlcul sigui una de les eines que els mestres de primària fan servir més, tot i que s’utilitza bàsicament per a la representació gràfica de reculls estadístics.

A més de la utilització clàssica del full de càlcul que es fa a primària per a analitzar dades estadístiques i crear gràfics de barres, de sectors... hi ha altres maneres d’utilitzar el full de càlcul que seria bo que els mestres fessin servir per a treballar altres aspectes matemàtics: •

Fer sèries.

•

Fer llistes.

•

Fer càlculs amb les operacions bàsiques.

•

Fer conversions amb unitats de longitud i d’altres.

•

Fer càlculs d’àrees...

Us en mostren un exemple per entendre la relació entre els angles (figura 6) i un altre de com podem aprofundir en el tema de la proporcionalitat veient la relació entre la velocitat i el temps (figura 7).

40 noubiaix 40

Figura 6. Relació entre els angles.

Figura 7. Relació entre velocitat i temps.

Els fulls de càlcul es troben a l’abast de mestres i alumnes al núvol; ja no necessitem programes en local per poder desenvolupar propostes que demanin el tractament de les dades i la visualització del gràfics. Google Drive (http://drive.google.com), de Google, i oneDrive (http://onedrive.live.com/), de Microsoft, ens permeten treballar els fulls de càlcul i compartir-los amb altres usuaris.

GeoGebra (http://web.geogebra.org/app/) és una bona eina digital interactiva que permet treballar aspectes geomètrics d’una manera intuïtiva i és ideal per investigar les propietats de les figures geomètriques interactuant-hi (figura 8).

Figura 8. Treball d’angles amb GeoGebra en un quadrilàter.

D’altra banda, a la web hi ha propostes per treballar construccions geomètriques bàsiques (figura 9) que, tot i que poden fer-se fàcilment amb regle i compàs, GeoGebra en facilita la comprensió i són més motivadores per a l’alumnat (http://goo.gl/aFNXiJ).

Altres propostes alternatives (http://www.xtec.cat/~smora/geogebra/geogebra.htm) com les d’en Sebastià Mora poden ajudar els mestres de primària a treballar aspectes geomètrics amb GeoGebra (figura 10).

juliol 2017 41

Figura 9. Activitats «amb regle i compàs» treballades amb GeoGebra.

Figura 10. Activitats amb GeoGebra de S. Mora.

Eines interactives Una font de recursos digitals és ARC. En les seves bases de dades es poden trobar propostes interessants amb recursos TIC que són una bona eina de treball per al professorat donat que són activitats realitzades a l’aula i proporcionen documentació als mestres amb la descripció de la proposta, els aspectes metodològics i els recursos emprats (figura 11).

També proporciona fitxes de treball per a l’alumnat. Hi ha més de cinquanta propostes amb eines TIC per a matemàtiques a primària (http://goo.gl/z6fs2v). També hi ha propostes per a totes les altres àrees del currículum.

De vegades, eines pensades per a l’ús general dels usuaris poden ser utilitzades a l’escola; és el cas de Google Maps. Els mapes interactius són una bona eina de treball a l’aula, i els mapes de Google, per la seva interfície intuïtiva i la informació que proporciona, dóna possibilitats que altres materials no ofereixen (figura 12).

42 noubiaix 40

Figura 11. L’ARC és un espai per compartir propostes docents de qualitat.

Figura 12. Google Maps és un servei de cartografia en línia gratuït que té mapes i imatges reals.

Ja hem parlat de GeoGebra. A més del treball específic de geometria, a la xarxa trobem propostes com el projecte GAUSS (http://goo.gl/zqncwp), que a través d’eines senzilles poden ajudar els mestres a treballar diferents aspectes matemàtics (figura 13).

Durant els últims anys s’han posat en marxa diferents projectes que, tot i que no es dediquen exclusivament a les matemàtiques, incorporen propostes molt interessants, atractives i motivadores que podem fer servir a les nostres aules. El projecte Agrega (http://goo.gl/R0WNxU) proposa petites unitats interactives de totes les àrees, però les propostes amb contingut matemàtic i en català són especialment interessants (figura 14).

juliol 2017 43

Figura 13. Activitats interactives realitzades amb GeoGebra, ordenades temàticament i classificades per nivells.

Figura 14. Agrega és un repositori de continguts educatius digitals on descarregar material educatiu digital.

Amb el seu cercador podem trobar activitats que es poden treballar tant des de la pàgina web com en local, baixant-les a l’ordinador o incrustant-les en un Moodle.

44 noubiaix 40

Vegem aquesta proposta (http://jcardena.mdm.host-ed.me/taulesigrafics/contenido/) de taules i gràfics estadístics (figura 15).

Figura 15. Activitat per treballar els continguts «Taules i gràfics» d’Agrega.

Una proposta d’aula: itineraris Els itineraris volen ser una manera d’utilitzar els tres tipus d’activitats en una proposta més integrada i oberta. Aquests itineraris poden formar part d’una proposta de treball en context en la qual l’ús de les eines digitals ens ajudi a planificar un treball interdisciplinari no reproductiu que afavoreixi que l’alumne connecti conceptes i sigui més reflexiu amb el que està aprenent.

A l’aula disposem de portàtils que ens permeten treballar 2 × 1, i hem preparat el que hem anomenat «itineraris de treball».

Els itineraris estan pensats com una estratègia educativa d’atenció a la diversitat i d’innovació.

Creiem que afavoreixen una participació més intensa de l’alumnat en el seu aprenentatge i que li permet millorar l’adquisició de coneixement i analitzar el ritme de treball que necessita per superar els reptes.

Tenim diferents tipus d’itineraris cada un dels quals aborda una problemàtica concreta, ja sigui respecte de l’aprenentatge o de les dificultats de l’alumnat. Vegem-ne alguns exemples.

juliol 2017 45

L’itinerari interdisciplinari, que ens permet partir d’un context no matemàtic en el qual durant el desenvolupament de la proposta, i per avançar, necessitem conèixer conceptes matemàtics que no hem après o que s’han de reforçar. Un cop els hem treballat poden continuar desenvolupant els aprenentatges que determinen el context. Les matemàtiques són d’aquesta manera necessàries per continuar aprofundint en l’aprenentatge d’aquells conceptes que estem estudiant.

Estudiem a Coneixement del Medi el tema dels viatges que van permetre als segles XV i XVI fer el descobriment d’Amèrica. Els alumnes es pregunten: Com es navegava en un oceà: punts de referència?

Com sabien quina hora era durant el dia i durant la nit?

• Com feien els mapes?

• ...

• •

Per respondre aquestes preguntes i comprendre millor per què es van fer aquests viatges, el que van aconseguir aquests personatges i el que va suposar per als diferents països, els alumnes han de comprendre alguns conceptes matemàtics que en general no tenen.

Mesura del temps Manipulant una aplicació feta amb GeoGebra (http://goo.gl/hPHK7V) comencen a intuir com influeixen la latitud, la longitud, l’època de l’any i l’hora en l’ombra que produeix el sol i com es pot fer servir per a fer un rellotge de sol.

https://www.youtube.com/watch?v=1xIUO6zcGec

Fer mapes Utilitzant infografies podem veure la manera de realitzar mapes topogràfics d’una manera senzilla.

http://goo.gl/ByyGNg

Aquests tipus d’itinerari ens permet contextualitzar els aprenentatges matemàtics a partir d’un tema de coneixement del medi. Els alumnes treballen a partir de la recerca i el professor els acompanya per tal que aconsegueixin aprendre allò que necessiten per avançar.

Es donen itineraris de reforç quan el que pretenem és que treballin continguts que s’han fet a l’aula i s’han d’exercitar per garantir l’aprenentatge. Aquestes propostes es treballen a l’aula i a casa i es pretén que l’alumne s’organitzi el temps per presentar la feina acabada en una data concreta.

46 noubiaix 40

Figura 16. Organització de carpetes a través de Google Drive.

Presentem un dels itineraris més clàssics, que ens permet treballar aspectes de càlcul a cicle superior d’una manera autònoma i responsable per part de l’alumne.

Nosaltres presentem l’activitat a partir de la nostra plataforma de treball SuViTA (https://sites. google.com/site/escriptorisuvita/), que es gestiona a través de Google Apps per a l’Educació (figura 16).

La proposta es lliura com una fitxa de treball (https://goo.gl/GqbvYC) [els links de les activitats no funcionen] amb instruccions indicant: •

L’objectiu de l’itinerari.

•

Què es treballa en cada proposta.

•

El temps per fer la feina.

•

Suggeriments per organitzar-se millor.

A continuació mostrem una de les propostes d’un itinerari explicant quina és la feina concreta que es demana:

juliol 2017 47

Figura 17. Itinerari, seqüència d’activitats per practicar el càlcul mental.

El que es pretén amb aquest tipus d’itinerari és reforçar uns continguts determinats, afavorint l’autonomia i la responsabilitat (figura 17).

Els itineraris de resolució són itineraris que demanen la resolució d’un problema; el context és el propi problema i les eines que fa servir l’alumnat per treballar les decideix a mesura que va treballant. Són propostes de grup en què cada un des components ha de col·laborar amb els coneixements i les idees que tingui. Es resolen en un formulari de Google i finalment s’analitzen els diferents resultats obtinguts (figura 18).

48 noubiaix 40

Figura 18. Resolució de problemes: informe de la resolució.

juliol 2017 49

Aquest tipus de propostes (http://goo.gl/forms/Zut1de4U8K) permeten utilitzar diferents eines digitals: recerca de Google, full de càlcul, formularis, Google Maps, calculadores, edició d’imatge... L’anàlisi posterior dels resultats queda registrada i es poden debatre a l’aula les diferents idees i solucions que han tingut els grups.

Consideracions finals Si després de realitzat aquests tipus d’activitats amb eines digitals els nostres alumnes desenvolupen les capacitats següents: •

ser capaços de reconèixer situacions anàlogues,

•

ser capaços de triar l’estratègia més adequada per a una situació,

•

ser capaços de fer-se entendre pels altres,

•

haver adquirit una actitud crítica,

•

ser capaços de construir deduccions simples i cadenes de deduccions,

•

ser capaços de predir resultats i generalitzar,

•

ser capaços de construir models simples,

•

ser capaços de participar en una activitat col·lectiva...

...podrem dir que estaran millor preparats i seran una mica més competents.

El que han de valorar les escoles és el pes que han de tenir ja les propostes digitals en l’aprenentatge de les matemàtiques que fan els nostres alumnes.

Les eines com el llapis, el paper, el llibre, el regle, el compàs... els materials com els jocs multicubs, el Creator, els reglets, els miralls... i els llocs com els museus i les sales interactives... ja els teníem a l’abast; aprofitem aquests nous recursos digitals per facilitar l’aprenentatge i millorar la percepció de les matemàtiques que tenen els nostres alumnes (https://goo.gl/itktfj).

No estaria complet aquest article si no reflexionéssim sobre algunes de les dificultats que poden sorgir quan el professorat es planteja l’ús d’eines interactives a l’aula.

Aquestes dificultats poden ser significatives des del punt de vista didàctic i cal abordar-les des dels equips de mestres.

En primer lloc, la formació que ha de rebre el professorat suposa un element important per possibilitar l’ús efectiu de les eines digitals. Els mestres no són del tot negatius davant les eines digitals; en general, consideren que poden aportar molts beneficis al seu alumnat, però necessiten més motivació (millor formació, millor infraestructura, més ordinadors...) per tal que el seu ús sigui generalitzat. En segon lloc, la complicació de la coordinació entre docents per tal de conèixer quines són les eines més adequades per als seus alumnes dificulta la tasca d’aplicació d’aquestes eines digitals a l’aula.

A nosaltres, treballar les matemàtiques en format digital, fent servir els recursos que tenim a internet, ens ha fet pensar que havíem de canviar alguns aspectes de la nostra metodologia

50 noubiaix 40

i ens ha portat a fer un plantejament i a reflexionar sobre la diferència que suposa, per als nostres alumnes, treballar les matemàtiques d’una manera significativa a partir d’activitats creades especialment per a ser desenvolupades en un entorn digital.

Ens hem replantejat: •

La nostra pròpia experiència metodològica, la que tenim per facilitar el desenvolupament de les propostes d’aula i que ens pot plantejar un dubte: Quina ha de ser la participació dels docents quan els alumnes estan treballant les activitats digitals que hem preparat?

•

La metodologia pròpia de cada un dels aprenentatges matemàtics que proposem.

Sabem que per a cada un dels continguts hi ha unes activitats que afavoreixen el seu aprenentatge: Sabem si el desenvolupament i l’avaluació decada activitat digital quehem proposat és apropiada pel que fa al seu contingut matemàtic?

•

Uns nous hàbits de treball, que són propis dels entorns virtuals d’aprenentatge i que poden ser diferents als que els mestres i professors desenvolupen habitualment a l’aula.

Per això hem de preguntar-nos: En quina mesura les propostes creades per a un entorn digital han de ser diferents de les que habitualment es realitzen a l’aula?

No podem donar l’esquena al treball digital que cada cop serà més significatiu a l’aula i és per això que hem de conèixer les eines de les quals disposem i les que aniran apareixent i hem de pensar com incorporar-les en el nostre dia a dia de l’aula.

juliol 2017 51

Podem fer amb la plastilina el paper de la magdalena!

Alba Requena Castellà i Kaouthar Boukafri Itahriouan Universitat Autònoma de Barcelona albaa.requena@gmail.com; kaouthar.boukafri@uab.cat

Resum En aquest article es presenten dos problemes matemàtics visuals de resolució múltiple i es mostra l’anàlisi de les verbalitzacions i accions que fan dos grups d’infants de cinc anys a l’hora de resoldre’n un amb l’ajuda de suport material. Els problemes estan il·lustrats a partir d’una seqüència temporal de tres imatges (inici, operació/canvi i resultat final), una de les quals una està en blanc. I, mitjançant la discussió en petit grup, han de consensuar, i representar sobre paper, una solució per a resoldre’ls a partir de totes les estratègies individuals proposades. Aquesta metodologia permet adoptar un paper actiu davant de l’aprenentatge de les matemàtiques, potenciant la implicació i l’interès dels infants per a trobar una solució conjunta a un problema, de manera que pensar-la no és suficient, cal executar-la.

Abstract This article presents two visual maths problems with multiple possible answers, and an analysis of the verbalizations and actions produced by two groups of 5-year-old children when solving them using support materials. The problems are illustrated by a temporal sequence of three pictures (initial problem, partial solution, and final result), with one of them not shown. Children are divided in groups and, through discussion, they have to agree on how to solve the problem and represent it on paper. This methodology allows the children to take an active role in their mathematics learning, stimulating participation and interest in problem-solving, and encouraging them not only to think of a solution but also to put it into practice.

El llenguatge matemàtic, per a ser entès, ha de ser descobert per un mateix Maria Antònia Canals

52 noubiaix 40

En aquest article es presenta una experiència d’aula en un entorn de resolució de problemes, però no se centra en els resultats finals obtinguts, sinó que aquests són conseqüència de la necessitat de manipulació dels infants. L’experiència té lloc en una aula de P5 d’una escola de Terrassa, en la qual hi ha disset infants i dos mestres d’educació infantil. La proposta didàctica consisteix a plantejar dos problemes il·lustrats a partir d’una seqüència temporal de tres imatges per a cadascun (dues d’il·lustrades i una en blanc), i cada grup d’infants els podran resoldre amb l’ajuda de suport material, si ho volen. Aquesta classe està acostumada a treballar en petit grup i a resoldre problemes matemàtics amb l’ajuda de suport material; l’alumnat té un paper actiu en el seu aprenentatge, mentre que la mestra només els guia.

No obstant això, la classe no està gaire familiaritzada amb la resolució d’aquest tipus de problemes. Però... què entenem per resolució de problemes?

Un problema és una qüestió que no admet resposta per aplicació directa d’una tècnica i, en general, suposa una forta inversió de temps, energia i creativitat (Planas, 2010). Per tant, la resolució de problemes és l’escenari en el qual es mostren conceptes i habilitats logicomatemàtics i es dona lloc a diferents respostes, raonaments i estratègies per a un mateix problema, ja que cada infant organitza la seva ment d’una manera distinta (Molina, 2012). D’acord amb Martínez (2001), els infants, en les primeres edats, necessiten una contextualització real i creïble per tal de poder visualitzar el problema, pensar, raonar i donar una resposta. Així doncs, la resolució de problemes hauria de posar en pràctica estratègies aplicables a situacions properes, i obtenir-ne un aprenentatge significatiu. La resolució de problemes contribueix a la formació científica i intel·lectual dels infants, ja que els ajuda a ser capaços d’afrontar diferents situacions, desenvolupant capacitats bàsiques tals com reflexionar, pensar estratègies o revisar el procés de resolució (López, 2015).

L’objectiu d’aquest article és analitzar les diferents estratègies que sorgeixen per a solucionar dos problemes matemàtics de resolució múltiple i visual, partint de les verbalitzacions i les accions dels infants durant el procés de resolució en petit grup.

Així doncs, l’article consta d’una primera part en la qual es presenten les dues propostes de problema. A continuació, s’analitzen tant les verbalitzacions com les accions fetes pels infants durant la resolució d’un d’aquests problemes: el de les magdalenes (figura 2). I, finalment, es reflexiona sobre les implicacions de l’aprenentatge de les matemàtiques a partir de la manipulació.

La resolució de problemes a l’escola La finalitat de la tasca presentada en aquesta experiència d’aula és que cada grup arribi a un acord sobre la resolució d’un problema, representant-la en un full de paper entre tots els membres del grup. Per a fer-ho, cada infant pot explicar les seves idees a la resta i, mitjançant la discussió en petit grup, es forcen processos d’estructuració del pensament per tal d’argumentar les estratègies individuals, i també de negociació, per tal d’arribar a un consens (Castro et al., 2012).

A més a més, cada grup té l’ajuda de suport material per a modelar el problema, ja que el coneixement que es genera fruit de la manipulació d’objectes representatius es transfereix a la situació descrita i en facilita la resolució (Castro et al., 2012). I és que, tal com diu Maria

juliol 2017 53

Montessori, «la intel·ligència d’un infant és a la seva mà». Aquest material, alhora, facilita estratègies d’aproximació a un problema, ja que cada infant el pot usar d’una manera distinta (Boukafri, 2015).

Els dos problemes visuals que es presenten mostren situacions properes i significatives per als infants, tals com la preparació d’un berenar de pa amb xocolata o l’elaboració de magdalenes.

S’han triat aquestes situacions d’aprenentatge, ja que ambdues possibiliten la manipulació de material per a la seva representació i potencien l’activació del pensament. Tots dos es basen en una seqüència temporal de tres imatges (inici, operació/canvi i resultat final), però mentre que en el primer la imatge corresponent a l’operació o canvi és desconeguda (figura 1), en el segon ho és el resultat final (figura 2).

?

Figura 1. Problema visual de la preparació d’un berenar de pa amb xocolata.

?

Figura 2. Problema visual de l’elaboració de magdalenes.

A l’hora de presentar els problemes a l’aula, es plantegen a partir d’instruccions verbals i per mitjà de preguntes que ajuden els infants a llegir les imatges, potenciant una millor comprensió de la situació per part de tots els membres del grup.

En aquesta experiència d’aula, els infants estan asseguts en quatre grups. Dos grups resolen un problema i els altres dos, l’altre, de manera que cada mestra s’encarrega de l’explicació d’un d’ells a dos grups. Des de l’inici, a cada taula es proporciona material modelable i de construcció (figura 3), un full de paper i llapis.

54 noubiaix 40

Figura 3. Material proporcionat per a resoldre els problemes.

Durant el procés, les mestres en fan el seguiment a partir de preguntes que facin reflexionar, influenciant-los al mínim possible, ja que han de ser els propis infants els qui triïn materials i provin estratègies. Passats 20 minuts, es retira aquest material manipulable, ja que la seva funció passa a ser lúdica, i es deixen uns 10 minuts més perquè el grup se centri en la representació i acabi d’escriure i dibuixar la solució que ha consensuat. Per a finalitzar, es fa una discussió en gran grup per tal de compartir les diferents estratègies.

Les magdalenes Per a un mateix problema han sorgit diferents solucions per tal d’ajudar la Maria. D’una banda, hi ha l’opció de compra, tant de paperets com de magdalenes. Tenint en compte que amb els dos paperets restants es poden fer dues magdalenes, se’n poden comprar dos més i fer-les o, directament, comprar dues magdalenes ja fetes. No obstant això, també es poden comprar quatre paperets, ja que s’han cremat quatre magdalenes, sense tenir en compte els dos paperets que han sobrat.

D’altra banda, però, hi ha l’opció d’aprofitar el que es té sense haver de comprar res més. Es poden partir per la meitat les dues magdalenes fetes amb els dos paperets restants, o bé es poden rentar les quatre magdalenes cremades amb aigua, com quan es vol aprofitar alguna peça de menjar que ha caigut a terra.

juliol 2017 55

La Maria convida a berenar tres amics, però se li cremen les quatre magdalenes que estava fent...

Solució

Alumnat

Comprar 2 magdalenes

Mestra: Com ho solucionem si només tenim 2 magdalenes?1 Nora: Comprar-ne una altra, dos més, i ja en tenim 4.

Comprar 2 paperets de magdalena

Genís: Va anar a comprar 2 papers i després els va omplir i se les va menjar.

Comprar 4 paperets de magdalena

Ignasi: Fent 2 magdalenes més i llavors poden venir més nens.

Mestra: Però són les que teniu?

Ignasi: No. Mestra: D’on surten les altres 2? D’on surten els paperets?

Nora: Comprar.

Mestra: Quants paperets haurem de comprar?

Ignasi: 4.

Partir les 2 magdalenes per la meitat

Tània: Com que són 2, ho podem partir així i així seran 4.

Rentar amb aigua les magdalenes cremades

Genís: Tenien tanta gana que les que es van cremar, li van tirar aigua i ja estaven normals i llavors les van repartir.

Representació grà ca

1. S’han diferenciat el mot «magdalenes» i «paperets», tot i que s’usen equitativament en alguns casos.

Figura 4. Recull de les múltiples solucions a partir de les verbalitzacions dels infants.

56 noubiaix 40

Ignasi: Les hem de fer nosaltres!

Durant la resolució del problema en petit grup, els infants ho han viscut com si la situació fos real i s’hagués fet el traspàs de responsabilitat cap a ells en haver de trobar una solució per a tenir berenar.

Ignasi: Ja, però no tenim forn per fer...

Fins i tot un infant s’ha arribat a plantejar que no tenien forn per a poder fer les magdalenes de veritat, però tots han vist clar que calia fer-les amb el material proposat per a poder tenir berenar, com si tinguessin l’obligació ja no tan sols de pensar una solució, sinó també d’executar-la, i això implica una organització.

Tània: Cadascú una bola!

Nora: Hem de fer moltes magdalenes, perquè mira, se n’han cremat 4, i hem de fer 4 magdalenes!

Tània: Com que som aquí 4 nens, com que som nosaltres 4 que som aquí a la nostra taula, doncs ho podrem fer: cadascú 1 bola!

Nora: Podem fer amb la plastilina el paper de la magdalena!

Els dos grups han donat el mateix ús al material per a representar les magdalenes: la plastilina per fer el paperet i el cub per representar la massa (figura 5).

Figura 5. Exemples de manipulació i produccions obtingudes en els dos grups.

I, de fet, un cop fetes les magdalenes, tenien cura que no es fessin malbé ni s’embrutessin, com si fossin comestibles.

Ignasi: Cuando se me ha caído, yo la he salvado.

juliol 2017 57

Ignasi: Aquí no es pot posar perquè estan cremades!

Fins i tot un grup ha col·locat les magdalenes fetes sobre els dos espais buits de la imatge de la safata del forn i, en veure que faltaven espais per a les dues restants, les han posat sobre els dos paperets buits de l’altra imatge (figura 6), ja que l’espai ocupat per les cremades no es podia ocupar.

Figura 6. Mostra de la col· locació de les produccions sobre les imatges del problema.

Àgata: Van anar a comprar a la botiga dos paperets de magdalenes!

Per acabar, es mostra la resposta final consensuada dels dos grups que han resolt aquest problema i la posada en comú.

1 2

Figura 7. Representació de la solució consensuada del grup 1.

1) Representació simbòlica: Van a comprar papers de les magdalenes, dos 2.

2) Representació gràfica: una botiga de magdalenes.

El grup 1 s’ha posat d’acord des d’un primer moment que calia anar a una botiga a comprar dos paperets de magdalena i així ho han escrit (figura 7.1). A més a més, també l’han volgut il·lustrar (figura 7.2). A la discussió en gran grup, la portaveu ha explicat la solució consensuada a la resta de companys i companyes interpretant el que havien representat al paper.

58 noubiaix 40

1

2

Figura 8. Representació de la solució consensuada del grup 2.

1) Representació simbòlica: Anem a comprar 2 magdalenes. S’han cremat les magdalenes.

2) Representació gràfica: Les quatre magdalenes cremades i les quatre magdalenes fetes de nou.

El grup 2, en canvi, després de rumiar diferents possibilitats com comprar magdalenes, paperets o partir per la meitat les que ja tenien, acaba consensuant la solució de comprar dues magdalenes perquè les que s’havien fet anteriorment s’havien cremat, i així ho han escrit (figura 8.1). Aquest grup també il·lustra la solució pensada i no tan sols dibuixa les quatre magdalenes fetes de nou, sinó també les quatre magdalenes cremades (figura 8.2).

A la discussió en gran grup, però, a través de preguntes guiades de la mestra, la portaveu acaba dient que s’han de comprar quatre paperets de magdalena, en comptes de fer saber a la resta de la classe la decisió consensuada.

Nora: La Maria va a comprar magdalenes, paperets, i se li’n van cremar 4 i després en van comprar 1 i després 2...

Mestra: Per què en va comprar 2? Quants en va comprar si ja en tenia 2 a casa?

Nora: 4.

Mestra: 4? Com és?

Nora: Perquè se’n van cremar 4.

Així doncs, mentre que el grup 1 ha tingut present de què disposaven per a resoldre el problema, la majoria de membres del grup 2 tan sols s’han centrat a aconseguir les quatre magdalenes i han donat una resposta directa al problema.

Què ha implicat la resolució de problemes en un context proper i amb suport material a l’educació infantil?

Després de l’experiència d’aula analitzada, s’ha evidenciat que proposar problemes que parteixen d’una situació propera i presentar-los a partir de fotografies reals permet als infants endinsar-se en una contextualització creïble. A més a més, gràcies al suport material es convida els infants a fer una simulació real que fa que pensar solucions possibles no sigui suficient per a ells, sinó que cal anar més enllà, cal executar-les. Així doncs, posar a l’abast

juliol 2017 59

materials manipulatius possibilita que els infants no tan sols tinguin una major apropiació dels processos de visualització (Boukafri, 2015), sinó que també expressin el seu raonament mental (Molina, 2012).

Gràcies a aquesta metodologia, es potencien la implicació i l’interès dels infants per a trobar una solució a un problema i, per tant, l’aprenentatge. Fruit d’aquest procés acaben sorgint diversitat d’estratègies, sovint lligades a les seves experiències prèvies. Darrere d’aquestes estratègies hi ha un raonament lògic per part de l’infant que l’ha pensada i, per tant, totes les solucions proposades poden ser vàlides.

Aquest discurs individual, però, evoluciona quan entren en joc les propostes d’altres infants durant la discussió en petit grup per tal d’arribar a un consens, ja que permet ampliar el ventall de solucions possibles per a resoldre un mateix problema, acotant una decisió final.

Per tant, la resolució de problemes requereix pensar en termes de construcció compartida de coneixement, de contrast d’idees i d’elaboració d’explicacions que convencin tot el grup (Planas, 2010).

Així doncs, per a resoldre problemes, cal adoptar un paper actiu davant de l’aprenentatge; cal observar, pensar, manipular, simular, compartir, argumentar i comunicar, de manera que tant la discussió en grup com les estratègies de modelització directa són de gran importància.

Després d’aquesta experiència d’aula podem afirmar que la resolució de problemes, emmarcats en un context proper als infants, amb l’ajuda de suport material i mitjançant la discussió en grup, no tan sols posa en joc tot un conjunt ampli d’habilitats i capacitats, sinó que també en facilita la comprensió i potencia la participació i acció dels infants, i possibilita així un ús funcional de les matemàtiques per tal d’entendre el món que ens envolta.

Agraïments Als nens i nenes de la classe del Peter Pan de P5 A de l’escola Enxaneta de Terrassa, a l’equip docent del centre i, en especial, a la Laura i la Mireia, tutores del grup.

Aquest treball està en el marc del Treball Final de Grau de l’Educació Infantil de la Universitat Autònoma de Barcelona.

Referències Boukafri, K (2015). Materiales manipulativos como recurso en la resolución de problemas de geometría. Uno: Revista de Didáctica de las Matemáticas, 70, 68-74.

Castro, C. de, Molina, E., Gutiérrez, Ma L., Martínez, S., Escorial, B. (2012). Resolución de problemas para el desarrollo de la competencia matemática en Educación Infantil. Números: Revista de Didáctica de las Matemáticas, 80, 53-70.

López, M.E. (2015). Problemas verbales de reparto igualatorio en la educación infantil. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 4(1), 48-81.

60 noubiaix 40

Martínez, C. (2001). La resolució de problemes en les primeres edats. Biaix, 18, 9-12.

Molina, E. (2012). Narración de un taller de resolución de problemas aritméticos con niños de 4 años. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 1(1), 63-79.

Planas, N. (coord.) (2010). Resolució de problemes. Dins N. Planas, Pensar i comunicar matemàtiques (p. 67-98). Barcelona: Fundació Propedagògic.

juliol 2017 61

Entrevista a la professora Marta Civil Manel Sol, Xavier Vilella Institut Vilatzara, Grup Vilatzara (ICE-UAB)

La professora Marta Civil imparteix classes de didàctica de la matemàtica als futurs mestres de primària a la Universitat d’Arizona, a la ciutat de Tucson. En aquest estat hi ha una forta presència de població hispana procedent de Mèxic. Els nens d’aquesta comunitat hispana, quan s’incorporen a l’escola, no sempre tenen l’oportunitat de demostrar les seves capacitats matemàtiques, com de vegades també passa amb els estudiants immigrants en altres països (per exemple, a Catalunya). El treball de la Marta està orientat a la integració de tots els alumnes en l’aprenentatge de les matemàtiques.

El mes de juliol de 2016 es trobava a Barcelona convidada pel Comitè Científic del C2EM per a fer la conferència de cloenda. Aprofitant aquesta avinentesa ens vam trobar amb ella perquè ens expliqués més coses sobre el seu treball. Va ser el primer dia del congrés, abans de la conferència inaugural, i vam poder preguntar-li durant una hora sobre diferents aspectes de la seva feina. El material que va resultar de la conversa era excessiu per a les possibilitats de la revista i hem hagut de seleccionar aquells aspectes que ens han semblat més interessants i que trobareu a continuació. Agraïm a la Marta la seva disponibilitat i amabilitat a l’hora d’atendre’ns. També volem fer públic el nostre agraïment a la professora Núria Gorgorió per totes les gestions fetes per a fer possible l’entrevista.

Manel Sol. Com va començar el teu interès per l’educació matemàtica?

Marta Civil. Quan vaig acabar la carrera de matemàtiques aquí a Barcelona, vaig estar dos anys sense saber ben bé què fer i em va sortir la possibilitat d’anar als Estats Units. Hi volia fer coses de lògica matemàtica i d’intel·ligència artificial, res a veure amb la didàctica. No sabia ni tan sols què era un camp d’estudi, però vaig agafar una assignatura que tractava sobre com fer servir els ordinadors per a ensenyar matemàtiques. Vaig pensar que, com que no hi seria més d’un any, quan tornés a Barcelona em reincorporaria a donar classes i que l’experiència m’aniria bé.

En acabar el curs, un dels professors em va proposar quedar-me per tal d’impartir un curs de continguts matemàtics fent servir els ordinadors adreçat als estudiants per a ser mestres.

Realment va ser casualitat. Quan vaig fer aquest curs vaig començar a treballar amb la gent que volia ser mestre. Em va semblar interessant i em vaig posar en coses de didàctica. Així és com em vaig interessar en el tema que després seria el de la meva tesi sobre creences (dels alumnes sobre les matemàtiques) i comprensió de les matemàtiques.

MS. Podries explicar una mica com arribes a interessar-te per l’equitat i la inclusió?

62 noubiaix 40

MC. L’any que vaig fer la tesi tenia un grup de vuit estudiants, ideal per a fer una tesi qualitativa. Dues eren una mica més grans, no gaire, que l’estudiant típica de carrera. Em vaig adonar que aquestes alumnes que eren més grans portaven experiències de la vida i tenien una manera d’enfocar els problemes més interessant, tot i que una sempre deia: «És que l’àlgebra, no sé, m’he de refiar de..., perquè ella, d’àlgebra, en sap molt». Però el que va resultar va ser que la que aparentment sabia àlgebra la sabia d’una manera molt mecànica; realment, no sabia com raonar. En canvi, la que deia «jo no sé àlgebra» raonava d’una manera molt coherent i fent connexions amb la vida real. A partir d’aquestes observacions vaig començar a interessar-me per tota la qüestió que en anglès s’anomena street math, la matemàtica al carrer, la matemàtica fora de l’escola, l’etnomatemàtica.

Xavier Vilella. Els brasilers això ho han treballat molt.

MC. A Tucson em van presentar el grup dels «fons de coneixement» (Funds of knowledge).

La idea és que, en qualsevol comunitat en què treballes, comunitat immigrant o no, però sobretot de pocs recursos econòmics, sempre hi ha coneixements i recursos, però potser no els reconeixem perquè són diferents dels que nosaltres tenim en compte. Així és com em vaig introduir en el treball amb estudiants o amb comunitats o famílies d’estudiants que no són de classe mitjana o ni tan sols de classe mitjana baixa o que vénen d’un altre lloc, de Mèxic, per exemple, com és el cas de Tucson. Així és com vaig anar entrant en el tema de l’equitat. Però jo també crec que són les experiències, perquè quan ets en un lloc fora de casa et trobes que ets diferent. És clar, jo parlo l’anglès, però parlo un anglès amb accent, sempre el parlaré amb accent, perquè vaig arribar als Estat Units de gran. Saps que ets diferent. I quan comences a veure-ho t’adones més de la diferència i et preguntes què passa... Pot ser positiu o negatiu.

Atenció a diversitat i llengua XV. Voldria saber la teva opinió sobre la llengua d’aprenentatge, perquè tu coneixes una mica el tema de les classes en llengües diferents de la materna.

MC. La Núria Planas i jo hem treballat aquest tema perquè Arizona en particular, que és on m’estic, és un estat molt repressiu pel que fa a la qüestió lingüística. Quan hi vaig arribar hi havia educació bilingüe. I funcionava bé, tot i que hi hauria gent que diria que no. I podies anar a escola i rebre classe en anglès i en espanyol; eren sobretot les escoles del sud de Tucson, on viu molta gent d’origen mexicà. Però l’any 2000 van aprovar una llei que deia que no es podia fer educació bilingüe, el 2008 es van posar encara més restrictius i ara el que fan és que, si un nen arriba i no parla anglès o no en té un nivell suficient, n’ha de fer quatre hores diàries, sense cap mena de contingut de cap assignatura. Perquè la teoria era que en un any aprens anglès. Però això és contradictori amb els estudis que s’han fet, que diuen que aprendre l’anglès acadèmic costa uns set anys; el social són només dos o tres, però l’acadèmic són set. Total, que a mi em va agafar en el gran projecte que he tingut durant molts anys, del 2004 al 2012, i al 2008 i al 2009 era obvi que hi havia com una escola dins d’una altra escola i que els nens estaven segregats, separats, perquè estaven quatre hores en les quals només se’ls ensenyava anglès. Ara sembla que s’ha relaxat una mica i a Califòrnia, que és l’estat on va començar la llei antibilingüe que després va arribar a Tucson, s’està parlant que podran tornar a tenir educació bilingüe un altre cop. Jo confio que això serà com l’efecte dominó, però ja es veurà.

juliol 2017 63

XV. Coneixes dades dels nens mexicans que aprenen matemàtiques en anglès?

MC. No. El problema on soc jo és una mica diferent. No tenim una aula multilingüe com teniu aquí, o a Nova York, o a San Francisco, etc. On jo soc tenim bàsicament l’espanyol i l’anglès.

Aleshores, què passa? Tot i que se’ls donin les classes d’immersió en anglès, els nens viuen en barris on el 90 % dels habitants són mexicans. Per això algun nen em deia: «Date cuenta, Marta, que hablo más español aquí que en México». És clar, penso jo, no m’estranya.

MS. Però aquests nens, a l’escola, què parlen?

MC. Els nens, a l’escola, entre ells parlen l’espanyol, és clar.

MS. I els mestres?

MC. Els mestres, depèn. Per exemple, el cas d’una professora mexicana que havia de donar la classe en anglès, perquè era el que deia la llei, però que el seu coneixement de l’anglès era més o menys com el dels nens, no era gaire bo. I jo era allà al·lucinant perquè tots havíem de parlar en anglès, encara que tots tinguéssim l’espanyol com a primer idioma. Vaig començar a fer servir l’espanyol perquè a mi no m’afectava la llei, no era la professora. La situació era que es va proposar un problema de volum de dos sòlids en anglès i un nen va sortir a la pissarra i, en acabar, els altres no deien res i el de la pissarra em va preguntar: « ¿Lo puedo explicar en español?». «Sí, sí, explícalo en español», i canvià totalment la dinàmica, començà a explicar en espanyol i la resta de nens de la classe van començar a participar i a fer preguntes de tota mena.

Vam tenir resultats molt macos des del punt de vista matemàtic perquè vam veure com s’involucraven en els problemes. Jo faig servir aquest exemple per a mostrar clarament que els nens mexicans, com qualsevol altre, si els interessen les matemàtiques, s’hi poden involucrar.

Però els has de donar les eines, no els pots deixar sense recursos.

XV. Això és molt significatiu. És clar, els altres alumnes no es queixen; ho entenguin o no, ho accepten i callen.

MC. En una aula en què es parlin dos idiomes, com en el nostre cas anglès i espanyol, es pot fer. Però en una aula multilingüe on es parli xinès, polonès i romanès és més difícil XV. A Catalunya hi ha molts llocs on estan fent el canvi de donar les classes de matemàtiques en anglès i no tenen grans maldecaps. Jo en soc crític, els demanen massa. El pitjor és que es basa en una valoració de les matemàtiques equivocada.

MC. A més a més, has de tenir professors que sàpiguen l’anglès acadèmic. Si fins i tot a mi m’està costant parlar en castellà, perquè quan penso en la xerrada de cloenda estic pensant en anglès, i això que em vaig criar aquí. Si hagués de donar la classe en castellà, em costaria.

Aleshores, imagina’t el que pot suposar per al professorat d’aquí fer les classes en anglès si no el domina molt bé.

Diversitat i estratègies d’aula MS. Sobre el tema de les estratègies per a atendre la diversitat de l’alumnat, bàsicament n’hi ha dues. Una és fer grups de nivell amb l’argumentació que així seran tractats d’una manera

64 noubiaix 40

més adient, i l’altra respon a les adaptacions curriculars. Però les dues opcions són criticades.

La gent que ha investigat sobre la qüestió és molt crítica i denuncia que ambdues estratègies no deixen de ser maneres encobertes de segregar. Quina és la teva idea? Com s’ha de fer ?

Quines altres opcions metodològiques existeixen?

MC. Sí, als Estats Units hi ha el mateix problema, el mateix dilema. Tenim el tracking, que són els grups de nivell, i també es fan les adaptacions. Tinc unes companyes que estan fent molta feina que anomenen complex instruction, una metodologia que ve de Stanford i que és força interessant, la veritat. És el treball en grups, però sobretot la idea és que tu no fas nivells, sinó que fas la classe heterogènia com sigui i no agrupes els alumnes per nivells. En primer lloc, has de creure en aquesta idea i en el fet que has de treballar sobre problemes de matemàtiques que siguin prou rics per a generar múltiples destreses; per exemple, si un alumne no té gaire facilitat per a la geometria, per dir-ho d’alguna manera, però en canvi és una persona que és molt bona en el càlcul. Has de tenir un problema tan ric que aquest alumne pugui aportar-hi coses i els altres també. La idea important és que tothom és necessari per a resoldre el problema, tot i que ha de ser un problema que permeti aquest enfocament. És difícil, però és aquí on hi ha la feina del professorat i on realment es crea un esperit de classe en què tothom té alguna cosa a aportar.

Però una altra cosa que és molt important i que m’interessa és l’estatus. Els estudiants i el professorat saben de seguida qui en sap i qui no. Aleshores tu, com a professor, has de fer que aquest tipus d’estatus canviï. Per exemple, si a un alumne li costen les matemàtiques, l’observaràs i en algun moment diràs: «Heu vist que tal persona ha sabut fer no sé què i no sé què més i tal i tal...?». S’ha de fer d’una manera molt estratègica perquè els altres diguin: «Ostres! Doncs tal persona potser té alguna cosa amb la qual pot contribuir». I és una cosa molt deliberada que s’ha de saber fer. La investigadora Jo Boaler va fer un estudi en una High School (batxillerat) de Califòrnia, o sigui que els alumnes eren dels més grans, dels 14 als 18 anys, i feien servir el complex instruction. Els estudis van demostrar clarament que aquests alumnes no només resolien problemes molt més complexos, sinó que tenien una actitud positiva cap a les matemàtiques.

MS. Amb l’estatus, a què et refereixes, al rol de l’alumne?

MC. Sí. Per exemple, potser tu no ets bo en matemàtiques, però sí en esports, i ja tens high status i ets respectat en qualsevol àmbit. Recordo un alumne en una classe de cinquè que quan deia qualsevol cosa tothom hi estava d’acord perquè era molt bo en esports, però no perquè estigués bé el que deia, sinó per l’estatus que tenia. Aquest mètode de complex instruction crec que té més futur. Bé, té futur, però ja fa anys que funciona en l’ensenyament.

MS. El repte està en el fet que has de dissenyar aquestes tasques que no són immediates.

XV. Hi ha aquestes teories de repartir rols: tu fas de secretari, tu fas de... Jo crec que no cal. Si la tasca està ben pensada ja sorgeix d’una manera natural; si t’hi fixes, vas observant com es van organitzant: cadascú va agafant el seu rol.

MS. Però hi ha dues coses, una de les quals és la tasca en si. En el nostre país no tenim tradició de fer-ho; en canvi, en el món anglosaxó trobem més recursos. Però la segona cosa que has dit feia referència a les creences dels professors, i això és definitiu. En una tarda treballant pots obtenir una bona tasca, però no canviar la creença del professor.

juliol 2017 65

MC. El professor ha de canviar realment el xip i veure que aquest alumne que sembla que no en sap gaire deu saber alguna cosa. Moltes vegades posem problemes que només se centren en un tipus d’intel·ligència. Per exemple, jo no soc gens visual. Em posen una cosa visual i ja està, però soc molt de lògica i de tot el que és abstracte.

Continguts i processos MS. Una altra qüestió d’aquest procés de canvi en què es troba l’educació matemàtica és la dificultat de portar les innovacions a les aules. Abans ens deies que va costar molt que els estàndards arribessin a les aules i, de fet, no hi van arribar d’una manera generalitzada.

Aquí ens passa una cosa una mica similar, perquè l’any 2007 es va aprovar el currículum de Catalunya que desenvolupava la LOE i que marcava l’ensenyament per competències, entre les quals les matemàtiques basades en les de PISA. El 2015 se n’han aprovat uns altres de nous, que són vigents actualment, igualment basats en les competències. Tenim dos eixos, un de competències i processos i un altre de continguts. El professorat que es planteja la seva feina des d’aquesta perspectiva competencial s’enfronta a una lluita, ja que les competències ens indiquen que l’accent s’ha de posar en els processos i, en canvi, al professor li preocupen molt els continguts. Com es poden combinar?

MC. Tinc la impressió que la gent d’aquí és una mica més crítica i que hi ha un cert grau d’escepticisme. En el fons, el que diuen és que aquí s’han de donar més continguts. I als Estats Units això també passa, però els professors de primària moltes vegades no tenen (suposo que aquí també deu passar una mica igual) una base matemàtica gaire bona, la veritat, i aleshores això dels procediments els agrada, però, com que no saben prou matemàtiques, tot queda molt diluït, no sé com dir-ho. Es pensen que estan fent la reforma, però no hi ha prou matemàtiques, i al nivell més alt de batxillerat passa el contrari: saben més matemàtiques i s’interessen més pels continguts. Jo crec que la problemàtica és la mateixa que teniu aquí i que existeix a tot arreu. A més a més, després ens trobem amb els exàmens. Què miraran? Els continguts? No, miren els procediments.

Els estàndards han fet que ara es focalitzi en la justificació, la perseverança, la modelització i d’altres, però, com ho avalues això? En canvi, una suma de fraccions... Ah! Això sí que es pot avaluar. Aleshores, jo crec que el professorat té aquest dilema: «Què em passarà si no surten bé els nens? El responsable seré jo», Però això ens torna a portar al tema de les creences; no tinc clar que la gent, en general, pensi en la importància dels processos. Per a molta gent, la matemàtica és el contingut, la mecànica; deixem-nos d’històries.

Però això és el que està passant als Estats Units. Una amiga m’explicava que a l’aula de matemàtiques posen un pòster que convida al raonament matemàtic i em deia: «Marta, és patètic. Els tenen allà posats i de tant en tant diuen que ara han raonat», però és com un afegit, no està integrat en el treball de fer matemàtiques.

MS. És possible canviar-ho? Pel que dius, tant és aquí com als Estats Units; segurament deu ser a tot el món.

MC. Jo crec que el que passa és que trobes illes i escoles, com per exemple aquella a la qual m’he referit abans, on Jo Boaler va fer l’estudi, en què tot el professorat del Departament de Matemàtiques va dir «fora llibres i farem això». Treball d’equip.

66 noubiaix 40

Potser trobaràs aquesta situació, però te n’aniràs a l’institut del costat i no ho faran així.

Generalitzar és difícil.

Recerca en didàctica MS. Hi ha un altre tema que és el de la relació del professor d’aula amb la recerca. En l’àmbit de la salut és impensable que la investigació i el personal sanitari dels hospitals no vagin junts; en canvi, en el terreny de l’educació tenim, d’una banda, uns professors que s’enfronten a uns problemes determinats a les aules i, de l’altra, el professorat de la universitat, que investiga sobre aquests mateixos problemes i hi busca solucions. Però els uns i els altres s’ignoren i fins i tot hi ha professors d’aula que no coneixen l’existència dels altres. I si alguna vegada les investigacions arriben a tenir alguna influència a l’aula ha passat molt de temps. Aquesta situació, és així als Estats Units?

MC. Sí, és curiós, als Estats Units tenim el mateix problema. Una professora amiga d’aquí, de Catalunya, m’ho va dir així mateix: «D’això que tu fas, de recerca, com és que no ens n’arriba res a l’aula? Què s’ha de fer perquè ens arribi? Una resposta és participar en congressos.

Els professors han d’anar a congressos; en el de l’NCTM, a escala nacional, fan congressos multitudinaris, de deu mil persones. Ara, amb la qüestió econòmica, han baixat una mica els números i, a més, n’hi ha molts de regionals, revistes de divulgació com teniu aquí també, pàgines web, coses així. Però, és clar, la millor o una de les millors maneres seria la investigació-acció, però aleshores, com ho fas perquè formi part de la seva pràctica quotidiana? Tu no li pots dir a un professor que ja va molt carregat, i als Estats Units hi van tots, que faci investigació-acció. Als Estats Units, el professorat de la pública no té temps, i de vegades no té ni reunions de departament per a planificar conjuntament.

XV. Aquí es fa formació fora de l’horari amb tot un claustre i hi van pràcticament tots els professors.

MC. Als Estats Units, si no els pagues o ho fas en horari escolar, és difícil que hi vagin.

El que més m’ha agradat és quan he pogut treballar amb professors a l’aula, on hem fet investigacions conjuntes. Soc allà treballant amb el mestre, el vaig a veure, etc.

XV. Així és com enfoquem nosaltres la formació. Però som quatre gats. Exigeixes que hi hagi una pràctica de millora d’aula. És la idea del coaching.

MC. Això sí. La meva feina és ser a l’aula de classe, a la comunitat, on sigui. No soc de la gent de la universitat a la qual envien un estudiant a fer entrevistes o a fer el que sigui i després escriu un article; aquesta manera de fer no em va. Als Estats Units es dona bastant el fet de ser-hi picant pedra. En general, els professors són molt macos i sempre diuen: ‘‘Sí, sí, vine quan vulguis». Però s’hi han de posar recursos, perquè si jo he d’anar a la teva classe, però després vull que et reuneixis amb mi, si no tinc diners, si no tinc res a oferir, no vindràs si no és que casualment estiguis fent un màster.

El que també he vist és que teniu molts recursos i eines penjades a les pàgines web. He estat mirant la pàgina de la FEEMCAT, XTEC, i teniu coses superinteressants. Els profes, les fan servir? Naveguen per aquestes pàgines?

juliol 2017 67

XV. Jo continuo pensant que el problema és que tot el centre ha d’anar unit. De motu proprio, la gran majoria de professors segueixen llibres. Per tant, com introdueixes una activitat que és magnífica si estan donant la lliçó 13 i després toca la 14? Aleshores, agafar la lliçó 13 i veure que allò va de derivades i pensar com podria enriquir-les no ho fan.

MC.- El problema que tenim nosaltres amb el llibre de text és que durant molt de temps als Estats Units es deia no al llibre de text, el menyspreaven. Però si no tenies una bona formació matemàtica, i estic parlant més dels de primària, què passava? Que aleshores el que feien era dir: «Hoy voy a hacer geoplano».

XV. Quines matemàtiques són? La lliçó de material?

MC.- Exactament. I això és el que em preocupa més. Els de secundària sempre han sigut una mica més tradicionals i de llibre de text, no sé si aquí passa igual.

MS. El que passa és que descarrega molta feina al professor. No ha de pensar res, ni què fa primer ni què fa després. Ja té l’ordre establert, els exercicis posats. Però si et pares a pensar una mica en quin tipus de matemàtiques estan aprenent realment els teus alumnes, llavors és quan comences a qüestionar-te aquests materials.

El segon problema és que mires els llibres i veus que aporten molt poca cosa. Si els llibres reunissin aquelles activitats de què parlàvem abans, que siguin riques, potents, etc., però resulta que no. Alguns llibres que s’estan editant ara, l’any 2016, la idea de competència matemàtica que traslladen és penosa.

XV. A la xerrada que faré demà presento una diapositiva que he tret d’un llibre que acaba d’arribar a l’institut que és vergonyós. Es tracta d’una arrel cúbica elevada a no sé què. A més, es pregunten quina competència es treballa i donen la resposta «resolució de problemes i comunicació». Seguir un llibre de text és perillós. Si el professor no pren decisions i no té criteri per a prendre decisions, s’equivoca, i què estan ensenyant? Per exemple, en un grup de quart d’ESO en què tens alumnes alguns dels quals l’any següent plegaran i uns altres que aniran a estudis de llengües. Què els estàs ensenyant? Més operacions que es poden fer amb la calculadora?

MC. Als Estats Units, el que està passant és que amb això del Common Core han aparegut molts materials, alguns de molt bons i uns altres no tant, i internet també ha facilitat la difusió, sovint gratuïta, de molts materials de qualitats diverses. Al final no queda clar que els materials que es fan servir a les aules siguin sempre els més adients.

juliol 2017 69

seccions seccions

cions

pensar

noubiaix40 40 7070noubiaix

per pensar d’un minut a una hora Jordi Deulofeu

Departament de Didàctica de les Matemàtiques i de les Ciències Experimentals Universitat Autònoma de Barcelona jordi.deulofeu@uab.cat

El NouBiaix arriba al número 40, un número ben bonic i força rodó. Què en podem dir? És un nombre compost que té 8 divisors i, per tant, el nombre de divisors és divisor del nombre. La suma dels seus divisors és 90; per tant, és un nombre abundant, és a dir, la suma dels seus divisors propis és major que el nombre. Com a tal, es pot expressar com a suma d’alguns dels seus divisors propis: 20 + 10 + 8 + 2, o bé, 20 + 10 + 5 + 4 + 1, o encara, 20 + 8 + 5 + 4 + 2 + 1, que és la suma de tots els seus divisors propis menys un (el 10). Si el pensem com a nombre figurat, 40 és el quart nombre octogonal; aquests nombres són els que es poden expressar de la forma 3n2 − 2n i corresponen a les successives ampliacions d’un octògon (1, 8, 21 són els tres nombres octogonals anteriors a 40, mentre que 65 i 96 són els posteriors menors que 100); en total, hi ha sis nombres octogonals inferiors a 100. Així mateix, 40 és un nombre regular, també anomenat nombre de Hamming, és a dir, un nombre que divideix a 60 o a una potència de 60; aquests nombres tenen com a factors primers 2, 3 i 5 −o alguns d’ells. El nostre nombre d’avui, en base dos, s’escriu 101000, en base vuit, 50, i en base dotze, 34.

El conjunt de problemes de l’article és eclèctic, ja que hi trobarem situacions de joc, tant d’estratègia com de probabilitat, al costat d’altres problemes, un de tipus lògic, un altre de determinació de superfícies i encara un altre corresponent a un repartiment geomètric.

Finalment, trobareu un parell d’equacions diofàntiques que per la seva dificultat són autèntics problemes.

Començarem amb un joc que s’ha plantejat a la fase final de la LIII Olimpíada Matemàtica Espanyola, celebrada el 25 de març de 2017 a Alcalá de Henares. Per variar, és un petit (o no tant petit, matemàticament parlant) joc d’estratègia, d’aquells que tant m’agraden i per això us el proposo per iniciar l’article d’avui.

Problema 1. Joc d’estratègia per a dos jugadors. Tenim un tauler format per una fila de 2.018 caselles, numerades de manera consecutiva del 0 al 2017, i posem una sola fitxa a la casella 0. A cada torn cadascun dels dos jugadors mou la fitxa (tots dos la mateixa) i poden fer dues coses: avançar 53 caselles o retrocedir-ne 2. No és possible que, en fer una jugada, algun dels jugadors surti del tauler (ni per sota del 0 ni per sobre del 2017). Guanya la partida el

juliol 2017 71

jugador que col·loca la fitxa a la casella 2017. Quin jugador, el primer o el segon, té avantatge?

Quina és l’estratègia guanyadora?

Es clar que, tal com està redactat, no és gaire per jugar-hi, sinó per pensar la solució; és a dir, es tracta d’un autèntic problema, com sol passar en aquests concursos. Tanmateix, si el simplifiquem, de manera que es pugui avançar 5 caselles o retrocedir-ne 2 i en lloc d’arribar al 2017 ens conformem a arribar al 23, potser ja tindrem un petit joc practicable del qual podem trobar la solució; i potser el que descobrim per a aquest cas ens ajuda a resoldre l’altre. Com ho veieu? Em consta que en Joan Jareño ha publicat al seu magnífic blog (http://calaix2.blogspot.com.es/) un exhaustiu estudi d’aquest joc-problema.

Dels jocs d’estratègia passem als de probabilitat, concretament a l’elaboració de parelles de daus diferents que donin distribucions de probabilitat iguals.

Problema 2. Sabeu que si tirem una parella de daus «normals» (cúbics i numerats de l’1 al 6) i calculeu la suma, els resultats que van de 2 a 12 no són equiprobables, però obtenim una distribució de la probabilitat simètrica i amb certes propietats interessants. El problema és el següent: és possible trobar una altra parella de daus (cúbics, però numerats diferentment) de manera que, quan els tireu els dos i calculeu la seva suma, els casos siguin els mateixos (és a dir del 2 al 12) i la distribució de la probabilitat també sigui la mateixa? Segur que trobareu una parella de daus que serà solució i a més no tindrà nombres repetits a dins de cada dau; els nombres emprats en cadascun seran consecutius, però no utilitzarà només nombres enters positius. Com a mínim n’hi ha una altra que utilitza nombres enters positius, però, en aquest cas, amb alguna repetició. Aquesta costa una mica més de trobar, però us asseguro que existeix.

El problema següent me l’ha fet conèixer en Francesc Creixell, amb qui he compartit una sessió a Estalmat sobre resolució de problemes. És d’aquells problemes no gaire difícils, però en el quals cal un raonament afinat per tal que la demostració sigui completa. Quan el resolgueu veureu que s’utilitza un conegut principi que permet resoldre molts problemes de demostració similars a aquest.

Problema 3. En una celebració, a mesura que van arribant els convidats, es van saludant.

Demostra que com a mínim sempre hi haurà dos convidats que hauran saludat exactament el mateix nombre de persones.

Els problemes de repartiments sovint tenen detalls curiosos, tant de tipus aritmètic o algebraic com també geomètric; això darrer és el que succeeix amb el cas que presentem a continuació.

Problema 4. Un repartiment curiós. Dues persones es reparteixen una pizza circular de la manera següent. S’elegeix un punt qualsevol de la pizza i es fa un tall recte que passi per aquest punt; després es fa un altre tall recte, perpendicular a l’anterior que passi pel mateix punt. A continuació es fa un altre tall recte i el seu perpendicular sempre passant pel mateix punt.

Amb això tenim la pizza dividida en 8 parts. Ara les dues persones van agafant els trossos alternativament seguint un ordre circular. Com que el nombre de parts és parell, els dos tindran la mateixa quantitat de trossos, però, es pot assegurar que les dues persones tindran la mateixa quantitat de pizza? Generalitzeu el problema per n parts.

72 noubiaix 40

El problema següent me l’ha proposat en Guillem Bonet, amb qui he coincidit al seminari sobre resolució de problemes de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM) realitzat a Castro Urdiales. Es tracta de trobar l’àrea d’un triangle i d’entrada sembla que no hi hagi prou dades per determinar-la, però ben aviat es veu que tot s’arregla i l’àrea queda ben determinada.

Problema 5. Un problema de geometria. Determineu l’àrea del triangle AED, sabent que el costat AB mesura 9 cm, el costat AC mesura 14 cm, el segment DF mesura 4 cm i el segment EF mesura 8 cm.

A

14 cm

C

9 cm D B

4 cm E

8 cm

F

Acabarem l’article amb un parell de qüestions relacionades amb les equacions diofàntiques, aquelles en les quals es consideren tan sols les soluciones enteres. Totes dues són per a mi autèntics problemes; la primera, perquè hi ha una via directa relacionada amb la divisibilitat per demostrar la inexistència de solucions i que evita la necessitat d’intentar resoldre-la. La segona per la seva dificultat, molt més gran del que pot semblar a primera vista, i perquè, com l’anterior, té una manera de resoldre-la utilitzant una heurística similar a assaig i error que s’allunya dels mètodes estàndards de resolució d’aquest tipus d’equacions.

Problema 6. A) Demostreu que l’equació X 2 + Y 2 = 4Z + 3 no té cap solució (X, Y, Z) amb valors enters. B) Trobeu valors per a X, Y, Z, enters positius, tals que: X/(Y + Z) + Y/(X + Z) + Z/(X + Y) = 4.

Espero que passeu una bona estona resolent alguns, o potser tots, d’aquests problemes de temàtica tan variada.

construint 112 noubiaix 39

juliol 2017 2017 73 juliol

construint matemàtiques

Nosaltres com a recurs: role-plays a classe de matemàtiques (i 2) Anton Aubanell claudio.alsina@upc.edu

En el número anterior del NouBiaix ja dedicàvem aquesta secció a l’ús de role-plays per a l’educació matemàtica. Després d’una introducció general, presentàvem alguns exemples de role-play (representació de l’algorisme d’ordenació pel mètode de la bombolla, construcció de la corba tractriu, representació de corbes de persecució, descoberta de l’espiral logarítmica a partir del vol del falcó). Al final del text, s’indicava que, en el següent número del NouBiaix, es proposarien altres role-plays per treballar idees matemàtiques. Aquest serà, doncs, l’objectiu del present escrit, en el qual descriurem amb molt de detall el primer role-play (sobre coordenades en el pla) i després, ja més breument, n’apuntarem d’altres.

Representació de condicions algebraiques sobre els punts del pla Aquest és un dels role-plays més potents que conec. Intentaré descriure’l amb una mica de detall. D’entrada, situarem els alumnes asseguts formant una quadrícula (de 5 × 5, 5 × 6, 6 × 6..., dependrà del nombre de participants) i, successivament, demanarem que es posin drets els alumnes que compleixen determinades condicions (els que tenen una «a» en el nom, els nascuts el mes de juny, els que tenen una mascota a casa seva...). En cada cas, un grup d’alumnes es posarà dempeus i serà interessant subratllar la irregularitat del «dibuix» que formen les persones dretes, fet que després es posarà en contrast amb la regularitat dels resultats derivats de condicions algebraiques.

A continuació, els diem que ara seran punts del pla, éssers geomètrics que ja no tenen nom, ni data de naixement, ni altres característiques «personals», però que, gràcies a Descartes, tenen dues coordenades que els defineixen. Procedim, doncs, a assignar aquest parell de nombres

74 noubiaix 40

a cada alumne-punt. Tot movent-nos per davant de la primera fila, anirem assenyalant les diverses columnes indicant-los la seva primera coordenada: «La vostra primera coordenada és 0. Sentiu-vos contents, sou l’eix d’ordenades! La vostra primera coordenada és 1, la vostra primera coordenada és 2...». Després, movent-nos lateralment, anirem assenyalant cada fila indicant-los la seva segona coordenada: «La vostra segona coordenada és 0. Quin goig, sou l’eix d’abscisses! La vostra segona coordenada és 1, la vostra segona coordenada és 2...».

Arribats aquí cada alumne-punt ja té les seves coordenades. És important assegurar-se que les recordin. Es pot recomanar que les escriguin en un paper i, alhora, fer comentaris que els vinculin a les seves coordenades: «Tot un honor ser l’origen de coordenades» (assenyalant la persona corresponent), «Maria, quines coordenades tens?» (quan la Maria respongui, se li pot dir «Però no havíem quedat que ja no eres la Maria?»). Comentaris com aquests els ajudaran a entrar en el seu paper com a punts.

A continuació, començarem a posar condicions sobre les coordenades. És bo enunciar la condició i demanar-los que no es posin drets de seguida, sinó que pensin un moment si la compleixen o no. Després ja els direm «ara poseu-vos drets». Això dona temps perquè tothom faci el càlcul sense la pressió del moviment dels més ràpids. Després, el procés ja s’accelerarà. Així, començarem a posar condicions com les següents: «Que es posin dempeus aquells alumnes-punts les coordenades dels quals sumin 4!».

Apareixerà una recta. Ara, els «dibuixos» formats pels punts que compleixen les condicions són regulars!

«Ara que es posin dempeus aquells alumnes-punts que tenen les dues coordenades iguals!».

Apareixerà una altra recta.

«Ara aquells que la primera coordenada menys la segona doni 1!»...

Anirem imposant condicions com aquestes i obtindrem diferents rectes.

Aviat s’evidenciarà la conveniència d’escriure les condicions a la pissarra. Serà una bona oportunitat per passar dels enunciats verbals al llenguatge algebraic. Així, anomenant x a la primera coordenada i y a la segona, escriurem a la pissarra expressions com x + y = 4, x = y, x − y = 1... Donat que les coordenades de cada alumne-punt són enteres és recomanable no emprar gaires condicions en les quals les coordenades quedin multiplicades per coeficients diferents d’1, ja que podria ser que fossin complides per pocs alumnes-punts o, fins i tot, per cap.

Després passarem a les condicions compostes posant drets els alumnes que en compleixin una, a continuació els que compleixin l’altra i finalment demanant que es posin drets els que compleixin les dues. Així estarem resolent sistemes d’equacions lineals del tipus: x+y =4 x=y

x+y =5 x−y =1

Serà interessant donar importància a l’alumne-punt solució subratllant que s’ha aixecat en les dues condicions. A partir d’aquí, podrem plantejar algun sistema incompatible (observant que ningú s’aixeca dues vegades) o compatible indeterminat (observant que s’aixequen els mateixos conjunts d’alumnes-punts). Si proposem un sistema del tipus

juliol 2017 75

x+y =3 x−y =0

observarem que no apareix cap alumne-punt que el compleixi malgrat que no és incompatible.

Una reflexió que ajudarà a «descobrir» les limitacions de treballar tan sols amb coordenades enteres.

Ara passarem a les inequacions demanant que, successivament, es posin dempeus els alumnes-punts que compleixin condicions com les següents: x + y > 4, x + y ≥ 4, x + y ≤ 4, x + y < 4, x > y, x ≥ y, x < y, x ≤ y... S’observarà que ara ja no apareixen rectes, sinó semiplans que podran o no contenir la recta frontera segons valgui o no la igualtat. Convé deixar que els alumnes ho descobreixin i ho expressin amb les seves pròpies paraules. També podrem «construir» les regions corresponents a condicions del tipus x + y = 4, x = y, observant que són la unió dels semiplans corresponents a cadascuna de les dues desigualtats estrictes.

Si establim una dinàmica àgil, el role-play es convertirà en una espècie de coreografia.

M’agrada acabar aquesta part de l’activitat amb un punt d’emoció i la frase «Us n’adoneu que esteu ballant al ball que us toca l’àlgebra?». Em sembla una bona manera de subratllar la relació entre l’expressió analítica d’una condició algebraica amb dues incògnites i la seva representació gràfica en el pla.

Finalment, passarem als sistemes d’inequacions lineals, com per exemple: y ≤x+1 x+y ≤5

Observarem que ara obtenim regions del pla que apareixen com a intersecció de semiplans.

Serà interessant abordar els casos de regions «especials» com franges infinites com x+y ≤5 x+y ≥1 y ≥x+1 o sistemes incompatibles com x−y ≥1

.

El fet de posar en joc únicament punts de coordenades enteres aconsella plantejar condicions algebraiques simples, però en el cas de les inequacions, és possible complicar les expressions, ja que no es tracta tant de representar el límit de la zona (que potser no conté gaires punts de coordenades enteres) com la regió que compleix la condició. Així, fins i tot es poden plantejar inequacions de segon grau amb dues incògnites.

L’activitat pot acabar representant sistemes d’inequacions més complexos com els que determinen la regió admissible en els problemes de programació lineal. Per exemple: ⎧ y ≤x+2 ⎪ ⎪ ⎨ y≥1 0≤x≤4 ⎪ ⎪ ⎩ x+y ≤6

76 noubiaix 40

Així apareixerà una regió convexa del pla com a intersecció de diversos semiplans que, en aquest cas, inclouen totes les fronteres. En el marc de la programació lineal, un cop s’ha determinat la regió admissible, serà interessant que cada alumne-punt de la regió avaluï la funció objectiva «en ell», s’observin les direccions de variació i s’identifiqui el punt (o els punts) que l’optimitzen.

Un cop realitzat el role-play, quan els alumnes encara estan situats formant una quadrícula, és interessant representar a la pissarra la pròpia distribució posant, al costat de cada punt, les tres primeres lletres del nom de l’alumne corresponent i refent les representacions realitzades, però ara amb colors sobre la pissarra. És un pas clau per avançar cap a la progressiva abstracció. Finalment, com en quasi totes les activitats d’experimentació, serà bo convidar els alumnes a fer compartir i comentar «cròniques» gràfiques o escrites de l’activitat duta a terme. Això ajuda a fixar les idees treballades.

Naturalment, aquest role-play surt millor com més alumnes hi participen. També pot enriquirse si se situa una càmera en un punt elevat i es projecten les imatges en una pantalla on, en temps real, s’hi puguin veure els mateixos participants. Així encara es visualitzen, d’una manera més clara, les formes que van sortint.

Aquest és un role-play molt agraït, que es pot fer en diferents cursos, motivador, que no exclou ningú i eficient pel que fa a l’aportació d’idees matemàtiques significatives.

Representació de situacions combinatòries L’estudi de l’agrupament i l’ordenació d’elements segons determinats criteris es pot enriquir amb l’ús de petits role-plays en els quals són els propis alumnes els que formen els grups i s’ordenen. L’experiència personal ajuda a descobrir les idees clau de combinatòria i facilita l’establiment de tècniques de recompte. A diferència d’altres casos, aquí el participant en el role-play interpreta un paper de persona en un escenari realista, però el conjunt de l’acció representa una idea matemàtica. En el vídeo Quant tardarien en ocupar totes les posicions possibles 13 persones en una fila?, creat pels alumnes de l’Institut Pere Fontdevila de Gironella sota la direcció dels seus professors, Susanna Bardés, Salvador Cardona i Dolors Marina, i presentat al VídeoMat, es mostra un exemple brillant i sorprenent d’aquest tipus de role-plays (https://goo.gl/K5zNmB). Tretze alumnes d’educació infantil es proposen asseure’s de totes les maneres possibles en tretze cadires; van provant i, a dues ordenacions per segon (una velocitat notable!), va passant el temps, es van fent grans i envelleixen... Més de 98 anys! Tota una vida, com afirma un dels personatges del vídeo. Vegeu la imatge 1.

Representació de funcions En aquest cas, els alumnes faran el paper de nombres enters consecutius i es col·locaran alineats al llarg, per exemple, de la paret de davant de l’aula. Donada una funció, cadascú calcularà el valor d’aquesta funció «en ell», és a dir, el resultat de substituir la variable independent pel nombre que l’alumne representa. Després, els alumnes-nombres aniran dient els corresponents valors de la funció i podran representar-los aixecant més o menys la mà per sobre del cap (fins i tot pujant sobre una cadira), situant la mà plana sobre del pit per

juliol 2017 77

Imatge 1. Quatre ordenacions de les que apareixen en el vídeo. Tota una vida!

indicar el zero o abaixant més o menys la mà (fins i tot ajupint-se) per indicar valors negatius.

A la mà poden portar un paper de color per visualitzar millor el resultat conjunt. Anirà bé escollir un interval de nombres en què hi hagi valors positius i negatius de les imatges. Aquest és un role-play relativament simple, però didàcticament potent perquè posa en joc aspectes fonamentals per introduir els gràfics de funcions: idea de la funció com una correspondència entre nombres, tendències en els valors de la funció, creixement, decreixement, zeros...

A continuació, descrivim un exemple d’aquest tipus de role-plays. Assignem a onze alumnes els nombres −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 i 6, i els convidem a situar-se ordenadament davant de la pissarra. Després donem la funció f (x) = x 2 − 2x − 8 demanant que cada alumne-nombre calculi el valor de la funció «en ell»: 16, 7, 0, −5, −8, −9, −8, −5, 0, 7 i 16. A continuació aniran indicant verbalment (i si pot ser gestualment) els valors de les respectives imatges i procurarem «viure» la seva evolució: comencen essent positius, després decreixen fins al 0 i continuen decreixent fins arribar a un mínim a partir del qual creixen passant pel zero i tornant a valors positius...

Les funcions i els intervals numèrics que es poden «representar» en aquest role-play són diversos: es pot començar per funcions lineals i afins (prenent intervals en els quals s’obtinguin imatges positives i negatives) i arribar fins a funcions que amaguen alguna sorpresa com la de proporcionalitat inversa (prenent intervals que continguin el 0).

78 noubiaix 40

El professor Manel Martínez, en el col·legi La Salle Bonanova, fa un role-play gegantí per introduir els conceptes bàsics de funcions. Els alumnes es divideixen en dos grups (A i B) i, dins de cada grup, es numeren a partir de l’1 seguint qualsevol criteri. Cada alumne del grup A tria, si vol, un número dels del grup B, però no el diu. Després es va al pati i se situen els dos grups (ordenats) en dues semirectes perpendiculars (que seran els eixos de coordenades i que delimitaran el primer quadrant). Llavors cada alumne del grup A diu el nombre que ha escollit (pot no haver-ne escollit cap, cas en què estaria fora del domini) i l’alumne corresponent del grup B col·loca un objecte (jaqueta, motxilla...) a l’altura on es trobi ell i l’alumne que l’ha triat.

Així s’aniran posant en joc diferents conceptes bàsics en l’estudi de funcions: conjunt inicial i final, relació, variable independent, variable dependent, imatge d’un element, antiimatges, domini i recorregut... És molt recomanable llegir la descripció d’aquest role-play i veure’n les imatges en el blog El punt singular (https://goo.gl/6W87mK).

Diagrames estadístics En aquest cas, els alumnes formen diagrames que representen dades estadístiques. La imatge 2 conté dues fotografies corresponents a activitats de l’equip de mestres de l’escola Sadako de Barcelona. La primera (presentada al concurs de fotografia matemàtica de l’ABEAM) mostra un diagrama de barres basat en el color de la bata i la segona la distribució de freqüències dels alumnes segons el mes de naixement.

Imatge 2. Diagrames de barres «humans». Escola Sadako, Barcelona.

juliol 2017 79

Visualització dels nombres primers i compostos Sovint les propietats aritmètiques són les que més dificultat presenten per ser treballades fora de la pissarra i dels quaderns. Això encara fa més encantador un role-play entorn dels nombres primers i compostos que portava a terme el professor Albert Herrero amb els seus alumnes del Club Matemàtic Googolplex (Canet de Mar-Sant Cebrià de Vallalta-Sant Pol de Mar). Es tracta d’una coreografia en la qual, sempre en moviment, hi participen successivament 1 alumne, 2 alumnes, 3 alumnes, 4 alumnes... Quan el nombre d’alumnes és primer s’agrupen en una única rotllana, quan és compost fan diverses rotllanes d’igual nombre d’alumnes. Una activitat bonica i dinàmica que pot veure’s en el vídeo <https://goo.gl/Q5Jhth>. La imatge 3 en recull quatre escenes.

Imatge 3. Quatre escenes del role-play de nombres primers i compostos.

80 noubiaix 40

Aquests són tan sols alguns exemples d’ús de role-plays en educació matemàtica. Se’n podrien afegir d’altres, segur que molts mestres i professors tenen els seus; tanmateix, aquest escrit i el del número anterior del NouBiaix no tenen cap pretensió d’exhaustivitat, sinó que volen ser una invitació a emprar i compartir aquest tipus de recursos en els quals, d’una manera dinàmica, es conjuga l’acció personal amb la representació col·lectiva de situacions matemàtiques riques des del punt de vista didàctic. Després d’haver realitzat el role-play de coordenades amb un grup d’alumnes, se’ls va demanar que en fessin una valoració. Un d’aquests alumnes va escriure: «És interessant com fent una cosa tan simple com aixecar-se quan toca es pot explicar una cosa tan difícil». És el valor afegit d’allò que és coral, de l’experiència compartida de construcció de coneixement matemàtic.

El mes de juliol de 2017 alguns d’aquests role-plays varen ser presentats al VIII Congreso Iberoamericano de Educación Matemática a Madrid pel nostre grup Cúbic, Grup de Didàctica de les Matemàtiques de la Facultat de Matemàtiques i Informàtica de la Universitat de Barcelona. Els components del grup que ho vàrem presentar són: Sergi Belmonte Palmero, Anna Bosch Camós, Abraham de la Fuente Pérez, Raül Fernández Hernández, Jordi Font González, Paula Lopez Serentill, Sílvia Margelí Voelp, Manel Martínez Pascual, Francesc Massich Vall, Laia Miró Manasanch, Lluís Mora Cañellas, Laura Morera Úbeda, Sergi Muria Maldonado, Anton Aubanell Pou.

mmaca

110 noubiaix 39

juliol juliol2017 2017 81 81

el racó del mmaca

Calidoscopis i políedres Josep Rey Nadal Manuel Udina Abelló

En combinar tres reflexions... s’obté un efecte summament agradable.

Sir David Brewster (1781-1841)

En les diverses exposicions que el mmaca ha anat presentant, sempre han destacat per la seva espectacularitat i la seva llum els grans calidoscopis on es poden observar amb detall els políedres regulars i molts del políedres arquimedians. En aquest article, conversarem sobre aquests mòduls, tot i que el millor lloc per parlar-ne seria en una visita en directe a l’exposició, perquè és difícil referir-se a imatges (virtuals) complexes sense poder-les veure.

En tot cas, aquest text pot servir per ajudar a gaudir millor una visita a què els lectors sou tots convidats. O potser, més modestament, seria com un llibret d’instruccions per a la interacció amb aquests mòduls. Podríem parlar de miralls i políedres.

Sí, la gràcia dels miralls és que els podem fer servir per a veure políedres que només hem construït parcialment. En les figures següents es pot veure un octàedre escapçat sencer, mig, un quart i 1/8 del políedre i en tots els casos els miralls ens permeten veure’l sencer.

Figura 1

82 noubiaix 40

Figura 2

En aquest racó de tres miralls perpendiculars (que es pot anomenar catadiòptric), amb només un triangle ja podríem «veure» un octàedre regular.

De fet, una altra manera de generar aquest calidoscopi seria considerar a partir d’un octàedre regular la piràmide formada amb vèrtex en el centre de l’octàedre i que tingués com a base una de les cares de l’octàedre. Si les cares laterals (interiors) de la piràmide fossin miralls ja tindríem aquest calidoscopi octaèdric (que multiplica per 8).

Aquesta experiència és tota una sorpresa: es pot entendre que els miralls actuïn com a plans de simetria, però és la interacció de l’observador amb les imatges que es generen el que provoca un resultat impactant. La realització per part del mirall d’un pla de simetria ens permet reconstruir la imatge virtual d’un objecte del qual només tenim una petita part. La capacitat que tenim de poder-nos moure i veure aquesta imatge des de distints punts de vista comporta una experiència emocionant.

Calidoscopis «regulars» Aquest calidoscopi octaèdric, el podem considerar un calidoscopi regular?

Sí, i podem fer el mateix amb la resta de políedres regulars, és a dir, considerar la piràmide amb vèrtex al centre del políedre i base una de les cares. Si les cares laterals d’aquestes piràmides són miralls obtindrem els calidoscopis que a partir d’una cara generen els diversos políedres regulars: Calidoscopi tetraèdric o 1/4, Calidoscopi cúbic o 1/6.

Calidoscopi octaèdric o 1/8.

Calidoscopi dodecaèdric o 1/12.

Calidoscopi icosaèdric o 1/20.

juliol 2017 83

tetraèdric

cúbic

octaèdric

dodecaèdric

icosaèdric

Figura 3

En aquestes imatges estan representats els cinc calidoscopis regulars amb peces que s’hi han posat per poder veure’n el políedre esmentat. La diferència entre les imatges que podríem veure en viu i les que es reprodueixen en la fotografia justifica una altra vegada la visita a les exposicions del mmaca.

Però els políedres regulars tenen més plans de simetria. Per exemple, en el cas de l’octàedre, a més dels tres plans de simetria que hem comentat, en té sis més com podem veure en la figura següent (dos que passen per cada una de les tres parelles de vèrtexs oposats i són plans bisectors dels ja descrits).

Figura 4

Veiem que els plans de simetria divideixen cada cara en sis triangles, i aquest fet el podem utilitzar per fer un calidoscopi en què podrem veure un octàedre a partir de la piràmide amb base la sisena part d’una cara, és a dir, 1/48 de l’octàedre.

Aquest és un calidoscopi que es pot considerar «minimal», perquè permet generar l’octàedre a partir de la sisena part d’una cara i les simetries realitzades pels miralls.

Per cada políedre regular podem considerar quin seria el seu corresponent minimal.

Calidoscopis minimals Calidoscopi minimal tetraèdric En el cas del tetràedre regular, per cada cara hi passen tres plans de simetria que divideixen la cara en sis triangles. Això ens portarà a considerar el calidoscopi minimal tetraèdric 1/24.

84 noubiaix 40

Una piràmide amb vèrtex en el centre i amb un d’aquests sis triangles com a base i les parets laterals interiors de mirall permetrà generar el tetràedre. La cara del tetràedre és perpendicular a una de les arestes corresponent a un angle dièdric de 60◦ . Quan es veu per primera vegada com els miralls de les cares laterals de la piràmide generen el políedre complet és un moment que té un punt de màgic.

Els angles dièdrics de les cares laterals de la piràmide són 60◦, 60◦ i 90◦ . Quan es secciona amb un pla perpendicular a una de les arestes de 60◦ veurem un tetràedre i quan el seccionem amb un pla perpendicular a l’aresta de 90◦ veurem un cub.

Figura 5

En aquesta figura cal fixar-se en les tres arestes que surten del centre dels políedres, que són les mateixes (però de diferent llargada) en els dos casos. S’ha ressaltat l’aresta del calidoscopi que és perpendicular a la cara del políedre en cada cas.

Calidoscopi minimal cuboctaèdric En el cas del cub, el minimal correspondria a la piràmide de base un vuitè de la cara del cub i vèrtex en el centre del cub. És a dir, seria 1/48 del cub.

De fet, el minimal del cub és igual al que ja hem comentat de l’octàedre, perquè el cub i l’octàedre tenen els mateixos plans de simetria.

Costa una mica veure que són iguals perquè en el cas del cub és una piràmide amb base un triangle que és la vuitena part d’un quadrat, i en el de l’octàedre la base és la sisena part d’un triangle equilàter i són dos triangles diferents.

El que és igual és el calidoscopi i no les piràmides: si ens fixem en les cares laterals d’aquestes piràmides veurem que els angles dièdrics entre aquestes cares són un angle recte (el díedre multiplica per 4), un angle de 60◦ (díedre que multiplica per 6) i un angle de 45◦ (díedre que multiplica per 8). En seccionar aquest calidoscopi trièdric de tres maneres diferents, amb plans perpendiculars a cada una de les arestes, els triangles que s’obtenen són, respectivament, la quarta part del rombe del dodecàedre ròmbic, la sisena part de la cara de l’octàedre i la vuitena part de la cara del cub.

juliol 2017 85

Figura 6

En aquesta figura es poden veure les tres seccions del calidoscopi. S’ha ressaltat l’aresta de la piràmide perpendicular a cada secció.

Calidoscopi minimal icosidodecaèdric I passarà el mateix amb els minimals de l’icosàedre i el dodecàedre?

Sí, perquè aquests dos políedres tenen els mateixos plans de simetria. Si partim del dodecàedre veiem que cada cara pentagonal es pot dividir en deu triangles seguint els eixos de simetria del pentàgon. La piràmide des del centre i amb base un d’aquests triangles formaria el calidoscopi minimal dodecaèdric. Els angles dièdrics d’aquesta piràmide serien de 90◦ , 60◦ i 36◦ (multiplicarien per 4, per 6 i per 10).

Aquest minimal coincideix amb el minimal icosaèdric pel fet que el dodecàedre i l’icosàedre són duals i tenen els mateixos plans de simetria. És un calidoscopi que «multiplica per 120» (120 = 12 ∗ 10 = 20 ∗ 6).

En fer les seccions d’aquest calidoscopi amb plans perpendiculars a cada una de les arestes obtindrem la sisena part de la cara de l’icosàedre (aresta de 60◦ ), la desena part de la cara del dodecàedre (aresta de 36◦ ) i la quarta part de la cara del triacontàedre ròmbic (aresta de 90◦ ).

Figura 7

86 noubiaix 40

Calidoscopis ròmbics El problema dels calidoscopis minimals és que són molt estrets i profunds, i no permeten una visualització òptima.

Els calidoscopis de l’exposició són «ròmbics»: obtinguts amb la «unió» de quatre calidoscopis minimals iguals (fent coincidir les arestes d’angle recte de les piràmides). Tenen l’avantatge «museístic» que és molt més fàcil de posar i de treure (i que s’aguantin bé) les peces que generaran els políedres i s’aconsegueix una millor visualització. (Les peces que s’hi posaran són simètriques en el sentit que quadruplicarien la peça que faria el mateix efecte en un calidoscopi minimal.)

Aquests calidoscopis els podem designar per l’ordre dels angles dièdrics que contenen: així, la unió de quatre minimals tetraèdrics té els quatre angles dièdrics iguals de 120o i, per tant, que «multipliquen per 3». Diem, doncs, que és del tipus 3-3-3-3.

Calidoscopi (*)3-3-3-3. Format per la unió de quatre calidoscopis minimals tetraèdrics (1/24), per la qual cosa serà un calidoscopi que «multiplica per 6» (de fet, aquest calidoscopi coincideix amb el calidoscopi regular del cub). Està format per quatre miralls (o plans de simetria) que dos a dos formen angles dièdrics de 120◦ . Podem veure que la seva secció horitzontal és un quadrat. Si posem una aresta horitzontalment entre els dos díedres oposats veurem que s’ajunten tres triangles a cada vèrtex i es forma un tetràedre regular.

En aquest calidoscopi, posant-hi les peces adequades que estan a disposició del visitant de l’exposició, hi podrem veure: el tetràedre regular, el tetràedre escapçat, l’octàedre, l’octàedre escapçat, el cub, el cub escapçat i el cuboctàedre.

En la foto es poden veure dos tetràedres escapçats a partir de les peces de l’esquerra situades en un calidoscopi 3-3-3-3.

Figura 8

juliol 2017 87

Calidoscopi (**) 3-4-3-4. Format per la unió de quatre calidoscopis minimals cuboctaèdrics (1/48), per la qual cosa serà un calidoscopi que «multiplica per 12». Està format per quatre miralls (o plans de simetria) amb dos dels angles dièdrics oposats de 120o i els altres dos de 90o . Si posem l’aresta com abans veurem o bé quatre triangles que s’ajunten en un vèrtex, l’octàedre, o amb l’altra diagonal tres quadrats units en un vèrtex que ens donarà el cub.

Podem veure que la seva secció perpendicular a l’eix del calidoscopi és un rombe de raó entre les diagonals arrel de 2. Aquest rombe situat en el calidoscopi ens permetrà observar un dodecàedre ròmbic.

Amb aquest calidoscopi també podrem veure l’octàedre escapçat, el cuboctàedre, el cub escapçat i els gran i petit rombicuboctàedres. En observar-los en el calidoscopi, s’entén el complicat nom d’aquests darrers políedres: es veu com 12 quadrats provenen del dodecàedre ròmbic, els triangles o hexàgons de l’octàedre, i els 6 quadrats o octògons del cub.

Aquests calidoscopis faciliten molt el comptatge de cares, arestes i vèrtexs: per exemple, en el cas del gran rombicuboctàedre, veiem que la peça que el genera conté 4 vèrtexs, 4 arestes senceres (d’un quadrat) i 4 mitges arestes (dels octògons). En total són 6 arestes que cal multiplicar per 12. Aquest políedre té, doncs, 72 arestes i 4 ∗ 12 = 48 vèrtexs. Les cares són les 12 que provenien del dodecàedre ròmbic més les 6 provinents del cub més les 8 hereves de l’octàedre: en total 26. Comprovem la fórmula d’Euler: 26 + 48 − 72 = 2.

En la foto es pot veure un cuboctàedre a partir de la peça de l’esquerra situada en un calidoscopi 3-4-3-4.

Figura 9

Calidoscopi (***) 3-5-3-5. Format per la unió de quatre calidoscopis minimals icosidodecaèdrics (1/120), per la qual cosa serà un calidoscopi que «multiplica per 30». Està format per quatre miralls (o plans de simetria) amb dos dels angles dièdrics oposats de 120o i els altres dos de 72◦ . Si fem el mateix d’abans tindrem o bé tres pentàgons en un vèrtex i veurem el dodecàedre o cinc triangles si usem l’altra diagonal i veurem un icosàedre. La secció

88 noubiaix 40

perpendicular a l’eix central del calidoscopi és un rombe la diagonal curta del qual ens donaria el dodecàedre i la llarga l’icosàedre. La figura global que es forma és el triacontàedre ròmbic, que té tantes cares (30) com arestes tenen el dodecàedre i l’icosàedre.

Amb aquest calidoscopi també podrem veure el dodecàedre escapçat, l’icosidodecàedre, l’icosàedre escapçat i els gran i petit rombicosidodecàedres.

En la foto es pot veure el gran rombicosidodecàedre a partir de la peça de l’esquerra situada en un calidoscopi 3-5-3-5.

Figura 10

Com hem vist, en els diversos calidoscopis que hem comentat s’hi poden veure els políedres regulars i molts dels políedres arquimedians. De fet, els calidoscopis ròmbics poden ser útils per donar a conèixer aquests políedres, que sorgeixen de manera natural en escapçar successivament els políedres regulars. Els únics políedres arquimedians que no es poden generar en els calidoscopi són el cub rom i el dodecàedre rom (o xatos), perquè no tenen plans de simetria. Els duals dels políedres arquimedians (que són els políedres de Catalan) també podríem veure’ls en aquests calidoscopis amb les peces adequades (de fet, el dodecàedre ròmbic i el triacontàedre ròmbic que són políedres de Catalan ja hem vist que apareixien entre les imatges dels calidoscopis ròmbics).

Políedres al catadiòptric Tornem a fixar-nos en el calidoscopi octaèdric (o catadiòptric), que té la característica d’estar format pels tres plans d’un sistema de coordenades rectangular. Tots els políedres que tinguin aquests plans de simetria es podran visualitzar en aquest calidoscopi. Al començament d’aquest article ja hem parlat de l’octàedre escapçat, que es genera amb la seva vuitena part (i la «màgia» dels miralls).

juliol 2017 89

Per exemple, només observant aquestes imatges

Figura 11

Figura 12

Figura 13

Figura 14

90 noubiaix 40

«veiem» com el dodecàedre i l’icosàedre es generen en el catadiòptric a partir de la seva «traça» en el primer quadrant de l’espai.

Els calidoscopis dèltics Podríem citar també els calidoscopis dèltics: es tracta d’ajuntar dos calidoscopis minimals per la seva «hipotenusa» (la cara oposada a l’angle dièdric recte), amb la qual cosa es formaran el calidoscopi 3-4-3-4 (aquest coincideix amb el segon dels calidoscopis ròmbics), el 3-4-4-4 i el 3-4-5-4.

Calidoscopi 3-4-4-4. És la unió de dos minimals cuboctaèdrics (1/48) Per tant, «multiplicarà per 24». Una diagonal ens donarà el dodecàedre ròmbic i l’altra el seu dual: el cuboctàedre.

Figura 15

Calidoscopi 3-4-5-4. És la unió de dos minimals icosidodecaèdrics (1/120). Multiplica per 60.

Una diagonal ens permet veure el triacontàedre ròmbic i l’altra el seu dual: l’icosidodecàedre.

juliol 2017 91

Figura 16

Els calidoscopis de l’exposició del mmaca es poden gaudir a diferents nivells segons les capacitats o els coneixements dels visitants. Per als més joves, el fet de posar les peces en el calidoscopi i veure la forma que s’obté ja és prou impactant. Pot plantejar-se reconèixer el políedre format en les imatges o les formes exposades. En un segon nivell pot ser d’interès analitzar les formes que s’obtenen segons l’angle dels díedres formats pels miralls i veure com els políedres que s’obtenen en cada calidoscopi comparteixen els plans de simetria. En tot cas, es tracta d’uns mòduls que permeten compartir emocions i converses sobre geometria i sobre la bellesa de les formes que els miralls ens retornen.

Bibliografia Coxeter, H.S.M. (1973). Regular polytopes. Dover.

Cundy, H.M., Rollet, A.P. (1961). Mathematical Models. Oxford UP. Guillén Soler, G. (1991). El mundo de los poliedros. Síntesis.

Wenninger, M. (1966). Polyhedron models for the classroom. NTCM. Wenninger, M. (1971). Polyhedron models. Cambridge UP. Wenninger, M. (1979). Spherical models. Cambridge UP.

creamat noubiaix4040 9292noubiaix

el racó del cesire-creamat

Dimensionant l’avaluació per dimensions El currículum implantat a Catalunya l’any 2007 va implicar un canvi paradigmàtic important.

El focus no es posava només sobre els continguts conceptuals, procedimentals o actitudinals (el tres eixos del currículum LOGSE), sinó que s’hi afegia la idea de competència. Moltes són les definicions de competència que s’han mogut en aquests anys, cadascuna amb els seus matisos. En tot cas, totes comparteixen la idea de no buscar únicament el domini d’un coneixement sinó també de desenvolupar la capacitat de reconèixer quan un determinat contingut pot ser d’utilitat, emprar-lo, justificar-ne l’ús o connectar-lo per construir coneixements nous.

En el cas de les matemàtiques, en el currículum del 2007 es va realitzar un interessant procés d’unificació de la forma de presentació a primària i secundària, tant en l’agrupament dels blocs de continguts (numeració i càlcul, espai i forma...) com en l’estil obert de redactar-los.

També es van incloure uns continguts especials, els processos (resolució de problemes, raonament i prova, connexions i comunicació i representació). Aquests continguts, com indica el seu nom, es van assolint d’una manera progressiva al llarg del temps i estan molt lligats al desenvolupament de la competència.

Per acompanyar el canvi d’orientació cap al desenvolupament de les competències, el Departament d’Ensenyament va publicar els documents d’identificació i desplegament de les competències bàsiques de diferents àrees. Els de matemàtiques, tant de primària com de secundària, es van fer públics durant el curs 2013 (Document de primària: https://goo.gl/cP1GmC|Document de secundària: https://goo.gl/nqe4W3). El 2015, amb la publicació d’un nou currículum, realitzat per adaptar-se als requisits imposats per la LOMCE, es va fer un pas més incorporant les competències bàsiques de cada àrea. Amb aquesta actuació, les competències passaven de ser orientatives a ser-ne part integrant, cosa que obliga, a partir d’ara, a programar-les i avaluar-les.

Però els canvis curriculars o la publicació de documents, tot i ser necessaris, no són suficients per canviar les pràctiques d’aula. Sovint els currículums no es llegeixen o es confon el que apareix en els llibres de text amb el propi currículum. En la majoria de casos, les editorials han fet únicament petits canvis formals perquè sembli que es preveu el treball orientat al desenvolupament de les competències quan, en realitat, hi trobem els mateixos plantejaments i activitats de sempre. D’altra banda, si bé és cert que hi ha hagut accions formatives orientades als aspectes competencials, també ho és que aquestes formacions no han estat ni massives ni prescriptives, com en el moment dels canvis promoguts per la LOGSE.

juliol 2017 93

Portem deu anys parlant de competències, desglossant-les, matisant-les, discutint sobre les gradacions en el seu nivell d’assoliment. Però ha estat justament el curs 2016-2017, al final del qual s’està redactant aquest article, quan s’ha rellançat la discussió. L’espurna que l’ha revifat és l’obligatorietat d’avaluar les dimensions que agrupen les competències a primària per primera vegada i la previsió, per al curs 2017-2018, de fer-ho també a secundària. Enguany, l’avaluació de l’assoliment de la competència només és obligatòria a final de curs, però una pregunta clau que se’n deriva és si es pot avaluar l’evolució i el progrés en la competència sense fer activitats que la impulsin. Resulta ja ineludible anar incorporant aquest enfocament al treball del dia a dia i a l’avaluació formativa.

Al llarg d’aquest article parlarem d’algunes de les preocupacions que sorgeixen davant d’aquesta nova normativa sobre avaluació, a la qual s’afronta ara l’educació primària i que el curs vinent afectarà també la secundària.

Neguits diversos Durant tot el curs 2016-2017 hi ha hagut una remor de fons sobre l’avaluació de les competències. Aquesta remor ha anat creixent a mesura que s’ha anat acostant el moment de l’avaluació final de curs. Els centres són molt diversos i n’hi ha que han fet més camí que d’altres en el treball competencial. En el cas de les matemàtiques, podríem parlar de quatre eixos al voltant dels quals giren aquests neguits: •

Els significats de les dimensions. Els tutors de primària es troben davant la situació d’haver-se d’apropiar dels significats de les competències de totes les àrees, i aquesta és una feina que requereix temps i reflexió. Sembla clar que, en el cas de les matemàtiques, aquests significats no estan prou clars per a tothom i, d’una manera molt especial, hi ha dificultats per comprendre com avaluar les competències referides a raonament i prova i a connexions. Potser aquestes dificultats neixen de no haver incorporat fins ara temes com l’argumentació o la conjectura i la comprovació com quelcom que cal «ensenyar».

De la mateixa manera que només s’acostuma a considerar les connexions amb l’entorn i no s’expliciten les connexions internes entre diferents conceptes matemàtics, com pot ser entre nombres i geometria. Cal que aquests significats siguin assumits per tothom i compartits en el claustre.

•

L’estreta relació entrelesdiferentsdimensions. En poques àrees com en la de matemàtiques les dimensions estan tan interrelacionades. En matemàtiques, la resolució de problemes inclou i vertebra totes les altres que, d’altra banda, es retroalimenten. Ho veiem clar, per exemple, si ens fem la pregunta: com es pot argumentar sense comunicar o representar a la vegada? I quan s’argumenta sempre és per respondre alguna pregunta, per resoldre un problema.

•

La relació entre conceptes-habilitats i competències. Existeixen un parell d’idees generalitzades i contraposades. Una és que les competències i els conceptes s’han d’avaluar per separat, com si la part competencial fos un complement, un afegit. Una altra idea és que ara només s’avaluen les competències i la part conceptual s’ha deixat d’avaluar. En tot cas, hi ha dificultats per saber fins a quin punt s’han d’avaluar conjuntament i, si és així, com fer-ho.

94 noubiaix 40 •

Activitats d’avaluació i nivells d’assoliment. També hi ha la creença que el grau de coneixement dels conceptes o de domini dels procediments és més mesurable. Potser perquè pensem que tenim experiència de com fer-ho. Però decidir el nivell de competència d’un alumne és més difús i encara no ens hem apropiat d’instruments o d’indicadors d’avaluació «tan precisos» ni ens hem creat prou experiència com per fer-ho amb la mateixa seguretat

Intentarem, a continuació, posar una mica de llum sobre cadascun d’aquests eixos.

El significat de les dimensions Aquest és el nus principal a desfer perquè en depenen, en major o menor mesura, els altres.

Interioritzar què representa cada dimensió, de quin procés ens parla i quines competències s’hi associen és la clau, no només per avaluar, sinó per guiar la tipologia d’activitats a proposar a l’aula, la tria de les activitats concretes i la seva gestió. És impossible, i fins i tot pot ser contraproduent, resumir el que se’ns explica en els documents d’orientacions esmentats abans. També és difícil precisar els significats sense exemples abundants d’activitats que ens permetin fer-ho. Tot i així, presentem un intent de veure les dimensions i les competències de primària d’un cop d’ull, una proposta fàcilment adaptable a secundària.

Dimensió: Resolució de problemes (3 competències) •

comprensió i traducció d’una situació a llenguatge matemàtic

•

estratègies de resolució de problemes i comprovació de solucions

•

fer-se preguntes

Dimensió: Raonament i prova (2 competències) • •

fer conjectures o suposicions argumentar

Dimensió: Connexions (2 competències) •

establir relacions entre diferents idees matemàtiques...

•

... i amb altres coneixements i/o amb l’entorn

Dimensió: comunicació i representació (3 competències) •

expressió d’idees matemàtiques

•

ús de diferents formes de representació...

•

... i de la tecnologia

juliol 2017 95

Una mirada al quadre ens pot ajudar a observar què és allò que fem, i allò que no fem, quotidianament a l’aula. Però no només això, sinó que ens orienta també en la reflexió sobre allò que deixem fer o no als nostres alumnes. Si per exemple a l’hora de corregir un problema a classe els animem a compartir les diferents solucions o, en canvi, ens limitem a «corregir», el missatge que donem és ben diferent. En un cas comuniquem que només hi ha una manera de fer les coses i no permetem que puguin sorgir i ser acceptades altres estratègies de resolució que les estandarditzades. No permetem, tampoc, que els alumnes argumentin les pròpies estratègies ni que facin ús del llenguatge verbal, del llenguatge matemàtic, de la representació amb gràfics o material per a sustentar-les, validar-les, contrastar-les, i tampoc apareixeran noves preguntes, etc. No hi ha altra manera d’ajudar a desenvolupar la competència que donar opció perquè això passi. I les nostres accions s’han d’orientar, d’una manera conscient, a la creació d’un espai que ho possibiliti i ho potenciï.

D’altra banda, aquesta interiorització dels significats de les competències ens permetrà saber sempre cap on volem anar. Però aquests significats no han de ser només propis, sinó que han de ser compartits per tot el centre. Si les competències bàsiques s’han de desenvolupar al llarg de tota l’escolaritat és obligat que la metodologia emprada a l’aula tingui la continuïtat garantida.

I per acabar aquest apartat: només si comprenem i compartim els significats de les competències i hem treballat en la línia de desenvolupar-les, podrem avaluar-les. És ben clar que no podem avaluar una cosa que no hem fet i que no tenim prou clar en què consisteix.

L’estreta relació entre les diferents dimensions D’alguna manera, la resposta a aquest neguit ja l’hem contestada. Tot els processos van lligats i creixen més o menys conjuntament. Una activitat rica, però, no té perquè tractar-los tots. És inevitable que es treballi més d’una dimensió a la vegada, però potser a l’aula ens interessa focalitzar, en alguns moments, en alguna de les dimensions o, fins i tot, en algunes de les competències associades. La focalització conscient ens pot ajudar en diferents sentits: •

Treballar amb objectius clars una determinada competència o dimensió, tot fent predominar les nostres intervencions en una direcció concreta.

•

Ajudar-nos a veure si al llarg de tot el curs les hem treballat totes d’una manera equilibrada.

•

Fixar aquells aspectes determinats que voldrem avaluar.

De vegades, fins i tot, la nostra tria d’activitats pot estar determinada per aquesta focalització.

Així, per exemple, si volem fixar la nostra atenció en aspectes d’argumentació o de comunicació una activitat tipus QUELI ens pot ser d’una gran utilitat. Podeu ampliar la informació sobre aquest tipus d’activitats a les actes del C2EM, concretament a la comunicació de Cecilia Calvo i David Obrador (https://goo.gl/Z9i3Ly).

96 noubiaix 40

Activitat Queli: «Quina figura creus que sobra? Per què?».

La relació entre conceptes-habilitats i competències La resposta és relativament senzilla: no es poden treballar ni avaluar les competències sense referir-se a aprenentatges conceptuals o d’habilitats. Si es tracta d’aprendre, o bé d’avaluar, la capacitat de representar, cal que es representin nombres, figures, dades... Cal fer un canvi en l’objectiu de l’avaluació. No ens interessa només saber si un alumne sap multiplicar amb l’algoritme estàndard. Ens interessa més esbrinar si sap identificar diferents situacions multiplicatives, si resol els càlculs d’una manera més o menys eficient, si és capaç d’explicar per què ha fet aquesta operació i d’interpretar el resultat que obté. Com resol cadascuna d’aquestes situacions ens informarà del seu grau de competència, alhora que sabrem si sap multiplicar. I el que hem dit sobre la multiplicació també ho podem aplicar a secundària quan parlem, per exemple, de l’ús del llenguatge algebraic o de la resolució d’equacions.

Si en una activitat treballem d’una manera conjunta els dos tipus de continguts, conceptuals i de processos, no podem separar-los tampoc a l’hora d’avaluar-los. Dèiem que la resposta era «relativament senzilla». Aquesta relativitat depèn del temps que necessitem per entrenar aquesta nova mirada.

Si mirem els criteris d’avaluació que surten al currículum podrem observar com apareixen connectats els dos tipus de coneixements. Per exemple, el criteri 2 de cicle inicial diu: «Cercar semblances i diferències entre objectes i situacions (en particular, els canvis que es produeixen en una seqüència), i classificar i ordenar objectes d’acord amb diferents criteris)».

Se’ns està parlant dels continguts del bloc de relacions i canvi, però directament associada hi haurà la dimensió de raonament i prova.

juliol 2017 97

Activitats d’avaluació i nivells d’assoliment L’avaluació que hauria de tenir més pes és la formativa, la que fem en la nostra intervenció directa, dia a dia, amb els alumnes. Atendre les seves intervencions i preguntes, veure com orienten i reorienten les tasques, interpretar els perquès de la seva manera de resoldre problemes, analitzar les eines que utilitzen... ens dona moltíssima informació per poder avaluar. Dit d’una altra manera: les activitats d’aula ja són activitats d’avaluació. Per aquest motiu potser no són sempre absolutament necessàries activitats d’avaluació específiques, i si les considerem necessàries, serà per esbrinar el grau d’assoliment d’algun aspecte molt concret. D’altra banda, i per coherència, les activitats d’avaluació no haurien de ser gaire diferents de les activitats d’aula habituals.

Una part important de la nostra feina, com a mestres i professors, és saber escoltar o llegir els nostres alumnes. El que diuen, el que fan, el que escriuen o dibuixen... ens explica molt sobre com pensen i treballen. Però, donat que les competències relacionades amb la comunicació i la representació, com totes les altres, es van desenvolupant d’una manera progressiva, sovint haurem de fer un esforç d’interpretació sobre el que realment volen dir, han escrit o han dibuixat. Aquestes anàlisi i interpretació també ens permetran calibrar el grau d’assoliment (en correspondència a cada edat) i, de passada, ens orientaran sobre com preparar intervencions per ajudar cada alumne en el seu progrés. Els treballs escrits ens deixaran un registre sobre aquesta evolució. Potser per algunes de les intervencions no escrites, com poden ser les orals, haurem de crear alguna mena de registre manejable com fer un petit diari d’aula. Mantenint sempre un equilibri, perquè l’obsessió pel registre excessiu no acabi matant la nostra capacitat d’observació.

No podem oblidar tampoc tenir en compte l’ús d’eines d’autoavaluació que ajuden en aquesta avaluació formativa i que poden dur a explicitar als alumnes aquells aspectes que podem considerar que tenen una importància especial. Ens referim, per exemple, a la utilització de rúbriques o bases d’orientació. Un exemple d’ús de rúbriques el podem trobar al blog del Banc de Recursos del Fem Matemàtiques (https://goo.gl/2tXnfx) o en bases d’orientació com la que van presentar Joana Villalonga i Jordi Deulofeu en el C2EM (https://goo.gl/Hq29Ez).

I una observació final Per acabar, només volem recordar que, de la mateixa manera que quan programem les activitats hem de mirar que hi hagi un equilibri en el treball de tots els continguts (de conceptes, procediments i processos); també per avaluar hem de mirar que fem les observacions d’una manera equilibrada tenint-los tots en compte. Com hem dit abans, les dimensions en matemàtiques, els processos, van totes lligades i totes són importants.

17080_interiorcoberta Nou Biaix (5 mm) 40.pdf 09/10/2017 20:45:33 - 1 - ( )

noubiaix

40

© dels autors dels articles Coediten: Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques (FEEMCAT) Campus de Montilivi, edifici P-IV 17071 Girona feemcat.org Societat Catalana de Matemàtiques (SCM) filial de l’Institut d’Estudis Catalans Carme, 47 08001 Barcelona scm.iec.cat noubiaix@gmail.com sites.google.com/site/noubiaix

f ee mcat Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya

ISSN 2014-2021

9 772014 202008

40

Juliol 2017

3 Editorial articles

6 Problemes de repartiment just i un joc de taula 23 L'ús de contextos històrics a l'aula de matemàtiques de Natàlia Castellana

secundària. El cas concret de la visualització en la connexió geometria-àlgebra Iolanda Guevara Casanova i Carme Burgués Flamarich

34 Utilitzar els recursos digitals d'internet a primària 51 Podem fer amb la plastilina el paper de la magdalena!

61 Entrevista a la professora Marta Civil Juanjo Cárdenas

Alba Requena Castellà i Kaouthar Boukafri Itahriouan

Manel Sol i Xavier Vilella

seccions Periodicitat: semestral Nombre d‘exemplars: 1.700

Fotografia de la coberta: Plans de simetria de l'icosàedre i del dodecàedre Josep Rey Nadal

70 Per pensar d’un minut a una hora 73 Construint matemàtiques 81 El racó del MMACA 92 El racó del CESIRE-CREAMAT

Impressió: Gráficas Rey Edicions de la Universitat de Barcelona Adolf Florensa, s/n 08028 Barcelona Tel.: 934 035 430 Fax: 934 035 531 comercial.edicions@ub.edu www.publicacions.ub.edu

Normes per a la presentació de contribucions 1. La revista Nou Biaix accepta per a la seva publicació contribucions originals relacionades amb experiències didàctiques, activitats d’ensenyament i aprenentatge, escrits d’opinió, de divulgació i d’investigació en el camp de la matemàtica i el seu ensenyament en qualsevol nivell educatiu.

2. Les contribucions rebudes seran sotmeses a una avaluació prèvia a càrrec de dos especialistes reconeguts. L’acceptació de la publicació serà notificada directament a l’autor amb una indicació de la data aproximada de publicació. En cas que una comunicació no fos acceptada, també se n’enviarà notificació.

3. Per a la presentació de treballs originals, l’autor trametrà a l’adreça noubiaix@gmail.com un arxiu, en Word o en LaTeX, amb un document a doble espai i amb marges amplis (65 caràcters per línia). Els gràfics, diagrames i figures hauran de ser originals (no fotocopiats). Els arxius gràfics es presentaran en format eps o tif.

4. La contribució haurà d’incloure el títol, el nom de l’autor o autors, la seva adreça professional completa i la seva adreça electrònica. S’adjuntarà un resum no més llarg de 300 paraules en català i anglès. Al final del document s’inclourà obligatòriament la bibliografia per ordre alfabètic de cognoms, d’acord amb la normativa APA; exemples: Articles Albertí, M. (2002). Les Matemàtiques des d’una perspectiva cultural: Etnomatemàtiques. Biaix, 20, 6-25.

Llibres Godino, J., Font, V. (2003). Razonamiento algebraico para maestros. Granada: Universidad de Granada.

Capítols de llibres Edo, M., Revelles, S. (2004). Situaciones matemáticas potencialmente significativas. Dins M. Antón i B. Moll (ed.), Educación Infantil. Orientaciones y recursos (0-6 años) (p. 410/103-410/179). Barcelona: Praxis.

Actes de congressos Morales, M., Font, V., Planas, N. (2004). Estudio microetnográfico en torno a un conocimiento matemático situado. Dins A. Franzé i altres (ed.), Actas de la I Reunión Científica Internacional sobre Etnografía y Educación (CD-ROM). València: Germanía, Polis Paideia.

Pàgines web Ibanyez, A., Paolu, N., Pedreira, J. (2007). Reloj Binario de sobremesa, a Microsiervos. http://www.microsiervos.com/archivo/gadgets/reloj-binario-sobremesa.html

Jordi Deulofeu

Anton Aubanell

Josep Rey Nadal i Manuel Udina Abelló

ISSN: 2014-2021 Dipòsit legal: B-22.314-2012

Juliol 2017

noubiaix

sumari

Juanjo Cárdenas (responsable pàgina web)

noubiaix Revista de la FEEMCAT i de la SCM

número 40

Consell de redacció: Lluís Mora / Josep Lluís Solé (coords.)

Marianna Bosch Joan Carles Ferrer Joan Miralles Josep Pla Romà Pujol Manuel Udina

40

5. Els continguts de Nou Biaix estan subjectes —llevat que s’indiqui el contrari en el text, en les fotografies o en altres il.lustracions— a una llicència de Reconeixement-No comercial-Sense obra derivada 3.0 de Creative Commons, el text complet de la qual es pot consultar a http://creativecommons.org/ licenses/by-nc-nd/3.0/es/deed.ca. Així, doncs, s’autoritza al públic en general a reproduir, distribuir i comunicar l’obra, sempre que es reconegui l’autoria i l’entitat que la publica, i no se’n faci un ús comercial ni es difongui cap obra derivada.

6. Els articles es publicaran en llengua catalana. Només es traduiran al català les contribucions acceptades realitzades per autors no residents als Països Catalans.

7. Els autors es responsabilitzaran del compliment de les normes establertes per a l’autorització de la reproducció de material procedent d’altres fonts bibliogràfiques.

8. Els articles tindran una extensió d’entre 6 i 12 pàgines de text —és a dir, un total màxim de 12.000 caràcters—, incloses les notes a peu de pàgina. Podran anar acompanyats d’il·lustracions, sempre que no superin l’extensió de dues pàgines. En definitiva, tot complet —quan el text contingui quadres, figures, fotografies, gràfics, mapes, etc.— no podrà superar, en cap cas, les 15 pàgines.

9. Fem notar que en aquesta publicació s’utilitza preferentment el punt per separar decimals, en lloc de la coma recomanada per l’IEC, per tal de facilitar la comprensió de les expressions matemàtiques.

40

40

noubiaix

f ee mcat Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya

ISSN 2014-2021

9 772014 202008

40

Juliol 2017

noubiaix

Revista de la FEEMCAT i de la SCM

Juliol 2017