Nou Biaix, 39

39

39

noubiaix Desembre 2016

f ee mcat Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya

coberta NouBiaix 39 (marques de tall).pdf 1

ISSN 2014-2021

9 772014 202008

39

Desembre 2016

noubiaix

Revista de la FEEMCAT i de la SCM

22/12/2016 11:54:41

noubiaix

39

39

noubiaix Revista de la FEEMCAT i de la SCM

número 39

Juanjo Cárdenas (responsable pàgina web) © dels autors dels articles Coediten: Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques (FEEMCAT) Campus de Montilivi, edifici P-IV 17071 Girona feemcat.org Societat Catalana de Matemàtiques (SCM) filial de l’Institut d’Estudis Catalans Carme, 47 08001 Barcelona scm.iec.cat noubiaix@gmail.com sites.google.com/site/noubiaix

3 Editorial

f ee mcat Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya

ISSN 2014-2021

39

9 772014 202008

Desembre 2016

Consell de Redacció: Manel Sol / Josep Lluís Solé (coords.)

Marianna Bosch Joan Carles Ferrer Joan Miralles Josep Pla Romà Pujol Manuel Udina

noubiaix

sumari

Desembre 2016

articles

6 La sèrie harmònica 32 Conclusions del Congrés Català d'Educació Matemàtica (C2EM) 35 Nombres perfectes, amics i sociables. Una proposta per a l'aula 52 Jugar a crear solucions 58 Examen de competència logicomatemàtica en la nova Armengol Gasull

Carles Dorce

Albert Mallart Solaz

prova d'accés als graus de mestre Núria Gorgorió, Lluís Albarracín i Aitor Villarreal

65 Reflexions i propostes didàctiques per a un bon ensenyament i aprenentatge de la proporcionalitat geomètrica Núria Cardet, Assumpta Estrada, María José Gros i Maria Ricart

Periodicitat: semestral Nombre d‘exemplars: 1.700 Fotografia de la coberta: Equilibris harmònics Gregori Guasp Universitat Autònoma de Barcelona

77 Parlar de matemàtiques per aprendre'n 98 3E Eines per a l’Ensenyament de l’Estadística a Secundària Teresa Serra Santasusana

seccions

100 Per pensar d’un minut a una hora 104 Construint matemàtiques 111 El racó del Mmaca 116 El racó del Cesire-Creamat Jordi Deulofeu

ISSN: 2014-2021 Dipòsit legal: B-22.314-2012

Anton Aubanell

Impressió: Gráficas Rey Edicions de la Universitat de Barcelona Adolf Florensa, s/n 08028 Barcelona Tel.: 934 035 430 Fax: 934 035 531 comercial.edicions@ub.edu www.publicacions.ub.edu

interiorcoberta Nou Biaix (6 mm) 39.pdf 1

Anton Aubanell

Saber matemàtiques. Ensenyar matemàtiques (araMat)

Normes per a la presentació de contribucions 1. La revista Nou Biaix accepta per a la seva publicació contribucions originals relacionades amb experiències didàctiques, activitats d’ensenyament i aprenentatge, escrits d’opinió, de divulgació i d’investigació en el camp de la matemàtica i el seu ensenyament en qualsevol nivell educatiu.

2. Les contribucions rebudes seran sotmeses a una avaluació prèvia a càrrec de dos especialistes reconeguts. L’acceptació de la publicació serà notificada directament a l’autor amb una indicació de la data aproximada de publicació. En cas que una comunicació no fos acceptada, també se n’enviarà notificació.

3. Per a la presentació de treballs originals, l’autor trametrà a l’adreça noubiaix@gmail.com un arxiu, en Word o en LATEX, amb un document a doble espai i amb marges amplis (65 caràcters per línia). Els gràfics, diagrames i figures hauran de ser originals (no fotocopiats). Els arxius gràfics es presentaran en format eps o tif.

4. La contribució haurà d’incloure el títol, el nom de l’autor o autors, la seva adreça professional completa i la seva adreça electrònica. S’adjuntarà un resum no més llarg de 300 paraules en català i anglès. Al final del document s’inclourà obligatòriament la bibliografia per ordre alfabètic de cognoms, d’acord amb la normativa APA; exemples: Articles Albertí, M. (2002). Les Matemàtiques des d’una perspectiva cultural: Etnomatemàtiques. Biaix, 20, 6-25.

Llibres Godino, J., Font, V. (2003). Razonamiento algebraico para maestros. Granada: Universidad de Granada.

Capítols de llibres Edo, M., Revelles, S. (2004). Situaciones matemáticas potencialmente significativas. Dins M. Antón i B. Moll (ed.), Educación Infantil. Orientaciones y Recursos (0-6 años) (p. 410/103-410/179). Barcelona: Praxis.

Actes de congressos Morales, M., Font, V., Planas, N. (2004). Estudio microetnográfico en torno a un conocimiento matemático situado. Dins A. Franzé i altres (ed.), Actas de la I Reunión Científica Internacional sobre Etnografía y Educación (CD-ROM). València: Germanía, Polis Paideia.

Pàgines web Ibanyez, A., Paolu, N., Pedreira, J. (2007). Reloj Binario de sobremesa, a Microsiervos. http://www.microsiervos.com/archivo/gadgets/reloj-binario-sobremesa.html

5. Els continguts de Nou Biaix estan subjectes —llevat que s’indiqui el contrari en el text, en les fotografies o en altres il.lustracions— a una llicència de Reconeixement-No comercial-Sense obra derivada 3.0 de Creative Commons, el text complet de la qual es pot consultar a http://creativecommons.org/ licenses/by-nc-nd/3.0/es/deed.ca. Així, doncs, s’autoritza al públic en general a reproduir, distribuir i comunicar l’obra, sempre que es reconegui l’autoria i l’entitat que la publica, i no se’n faci un ús comercial ni es difongui cap obra derivada.

6. Els articles es publicaran en llengua catalana. Només es traduiran al català les contribucions acceptades realitzades per autors no residents als Països Catalans.

7. Els autors es responsabilitzaran del compliment de les normes establertes per a l’autorització de la reproducció de material procedent d’altres fonts bibliogràfiques.

8. Els articles tindran una extensió d’entre 6 i 12 pàgines de text —és a dir, un total màxim de 12.000 caràcters—, incloses les notes a peu de pàgina. Podran anar acompanyats d’il·lustracions, sempre que no superin l’extensió de dues pàgines. En definitiva, tot complet —quan el text contingui quadres, figures, fotografies, gràfics, mapes, etc.— no podrà superar, en cap cas, les 15 pàgines.

9. Fem notar que en aquesta publicació s’utilitza preferentment el punt per separar decimals, en lloc de la coma recomanada per l’IEC, per tal de facilitar la comprensió de les expressions matemàtiques.

21/12/2016 20:12:24

editorial

2009-2010• 3

editorial

El mes de juliol es va celebrar el Congrés Català d’Educació Matemàtica (C2EM).

Van ser tres dies d’una activitat intensa en què més de 600 mestres i professors de tots els nivells educatius van poder intercanviar experiències, parlar i discutir amb altres docents sobre el que fem a les aules. Al final es van elaborar les catorze conclusions que trobareu en aquest Nou Biaix. Segons les valoracions dels assistents i dels organitzadors, es pot dir sense exagerar que el congrés va ser tot un èxit. Vam tornar a casa enriquits per les moltes idees i il·lusions, i amb un coneixement més ampli de com s’estan ensenyant les matemàtiques a Catalunya. Esperem que l’impuls amb què vam sortir del C2EM no decaigui a mesura que passi el temps i que portem a la pràctica aquelles idees que ens agradaren i les compartim amb els companys que no hi van poder assistir.

Les catorze conclusions finals haurien d’estimular i d’orientar les actuacions de millora de la nostra feina a partir d’ara. Des de la FEEMCAT es pretén mantenir viu aquest esperit renovador que el C2EM ens ha llegat. Per això s’ha creat una comissió de seguiment, coordinada pels professors Cecilia Calvo i Toni Vila, amb la participació de representants de les diferents associacions de professors de Catalunya. Les seves atribucions i el seu funcionament s’estan encara definint, però hi ha la voluntat que serveixi per a difondre les conclusions i que faciliti i promogui avançar en la direcció que ens assenyalen, tot esperant una nova edició del congrés d’aquí a quatre anys.

Ens cal sortir de les nostres aules per avançar i millorar en la nostra feina, participar en les activitats que s’organitzen des de les diferents associacions, des dels CRP o des dels ICE, i en els grups de treball que ja existeixen o crear-ne de nous per a compartir idees i materials. Les xarxes socials poden ajudar a fer més senzilla aquesta feina tal com recullen les conclusions finals. El Nou Biaix també vol col·laborar en aquesta tasca i per això, una vegada més, demanem que ens envieu les vostres experiències innovadores per a donar-les a conèixer a altres professors.

A continuació us presentem els articles que hem seleccionat per a aquest número, que esperem que siguin del vostre interès.

Armengol Gasull, col·laborador ja habitual d’aquesta revista, ha escrit un article molt bonic sobre la sèrie harmònica en el qual ens mostra distintes proves de la seva divergència, així com propietats curioses i no intuïtives. Algunes demostracions s’han de llegir amb cura, però les hem inclòs per a la completesa del treball. No us perdeu la secció final, en què es presenten

diferents situacions en les quals apareix la sèrie harmònica: el problema del col·leccionista, la barreja de cartes, els rècords, les cues d’autos en un túnel, la resistència d’una biga, la tria d’una secretària, la travessia del desert i, finalment, com es pot construir un arc que voli la distància que vulguem i no caigui!

El professor Albert Mallart ens explica una experiència amb alumnes de 4t d’ESO en la qual s’ha fet servir el joc com una eina per a una millor comprensió de les matemàtiques.

Una altra experiència de jocs a l’aula ens la presenta Carles Dorce, treballant el raonament matemàtic amb els alumnes en unes classes participatives i amenes.

Les professores de la Universitat de Lleida Assumpta Estrada, María José Gros, i Maria Ricart, junt amb la mestra Núria Cardet, comparen els raonaments sobre proporcionalitat d’un grup d’alumnes de primària i un altre d’alumnes del grau de mestre.

Des de fa temps hi ha una preocupació per la formació inicial en matemàtiques dels mestres.

Per intentar millorar-la s’ha pres la iniciativa, que s’aplicarà el proper curs per primera vegada, de fer una prova d’aptitud personal (PAP). Tres professors de la UAB ens expliquen com s’ha gestionat, en què consistirà, com s’ha dissenyat i quan es farà. No només és interessant per als futurs estudiants del grau d’infantil i primària, sinó també per als professors de secundària que ara els tenen a les seves aules i que hauran d’assegurar la seva preparació.

En l’enfocament actual de l’ensenyament de les matemàtiques, tant mestres com professors hem de conèixer el pensament de l’alumne. Tana Serra ens mostra com l’anàlisi de la conversa a l’aula ens ajuda a comprendre el procés d’aprenentatge.

Carles Barceló, amb la col·laboració de Pepus Daunis i Glòria Mateu, ens presenta molt breument les característiques del curs telemàtic sobre estadística que han dissenyat per a la formació del professorat.

Als racons tradicionals, Anton Aubanell ens explica com introduir un nou recurs innovador com el role-play, o escenificacions, a les classes de matemàtiques. Jordi Deulofeu ens proposa cinc problemes de caire geomètric per a fer-nos pensar. Des del Cesire ens comenten les diferents iniciatives que s’estan portant a terme en la formació permanent dels mestres i, finalment, el «Racó del Museu» ens mostra quatre mòduls relacionats amb diferents reptes sobre la proporcionalitat entre longituds de circumferències, àrees de cercles i volums de cilindres i esferes.

articles

articles

6 noubiaix 39

La sèrie harmònica Armengol Gasull Departament de Matemàtiques Universitat Autònoma de Barcelona gasull@mat.uab.cat

Resum En aquest treball estudiarem les propietats i aplicacions de la sèrie harmònica i de les seves sumes parcials. Començarem veient diferents proves de la seva divergència.

Estudiarem diversos resultats clàssics sobre la convergència o divergència de les seves subsumes, com per exemple la dels inversos dels números primers o la dels inversos dels números que no tenen cap nou entre les seves xifres. També recollirem situacions en les quals aquesta sèrie o les seves sumes parcials apareixen.

Així, entre d’altres, considerarem el problema del col·leccionista, el de la secretària, el dels rècords en sèries de dades, un problema de control de qualitat, el passeig aleatori i algunes qüestions de matemàtica recreativa.

Abstract In this work we study the properties and applications of the harmonic series and its partial sums. We will start showing different proofs of its divergence. We also will study several classical results on the convergence or divergence of some subsums, for instance those formed by the reciprocals of prime numbers, or the one given by the reciprocals of numbers that have not nines in their decimal expressions. We also present several situations where this series or its partial sums appear. In particular, we consider the so-called coupon collector’s problem, the secretary problem, the records in data series, the random walk and some questions on recreational mathematics.

1. Introducció La sèrie harmònica és l’exemple més antic i famós de successió de números positius, cada cop més petits i tendint a zero, però amb suma infinita. Aquest fet sembla que és conegut des del segle XIV. Si ho escrivim d’una manera informal, S=1+

1 1 1 1 1 1 + + + + + · · · + + · · · = + ∞, 2 3 4 5 6 n

i més rigorosament, introduint les sumes parcials, hn = 1 +

1 1 1 1 1 1 + + + + + ···+ , 2 3 4 5 6 n

desembre 2016 7

tenim que lim hn = lim

n→∞

n→∞

n

1 k=1

k

=

∞

1 k=1

k

= +∞.

De vegades, en lloc de dir que la suma és infinita, també es diu que la sèrie és divergent o, per abús de llenguatge, que convergeix cap a infinit. La primera secció la dediquem a explicar per què la sèrie que estudiem s’anomena harmònica.

Hi ha moltíssimes demostracions de la divergència de la sèrie harmònica. Per exemple, a [24, 25] se’n recopilen més de quaranta. A la segona secció d’aquest treball recollim una selecció d’algunes de les més elementals.

Un resultat encara més interessant i delicat, que ja va demostrar el matemàtic suís Leonhard P. Euler (1707-1783) el 1737, és que

1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + + + + + ··· p 2 3 5 7 11 13 17 19 p primer és divergent (vegeu, per exemple, [33]). A la secció 3.2 en donarem una demostració molt curta que féu, el 1938, el prolífic matemàtic hongarès Paul Erdös (1913-1996) (vegeu [1, 3, 10, 41]). Observeu que aquest resultat ens mostra l’abundància de nombres primers.

D’altra banda, per exemple, si només agafem els termes de la forma 21k ,k ∈ N, la sèrie obtinguda està formada pels termes d’una progressió geomètrica i convergeix cap a 1. En aquest cas, això es deu al fet que hem agafat molt pocs termes dels que formen tota la sèrie harmònica completa.

Un resultat molt curiós en aquesta direcció va ser provat el 1914 ([23]) pel matemàtic anglès/nord-americà Aubrey J. Kempner (1880-1973). Anomenem N el conjunt de tots els números naturals que no tenen cap 9 en la seva expressió en base 10. Aleshores, la suma

1 k∈ N k és convergent. Demostrarem aquest resultat, i més concretament que S < 90, a la secció 3.1. De fet, se sap que S ≈ 22.92 ([20, 36]). Eliminant una altra xifra o blocs més llargs de xifres, la convergència també es manté ([36]).

Tot i que, en principi, el resultat de Kempner pot sorprendre, després de reflexionar-hi una mica, intuïtivament és clar que la convergència de la sèrie és conseqüència del fet que «la majoria» dels nombres amb moltes xifres tenen algun 9 entre elles.

A la quarta secció introduirem la constant d’Euler γ ≈ 0.577218 i estudiarem la seva relació amb les sumes harmòniques hn . Farem els passos principals per a provar que hn = ln (n) + γ +

1 + R(n), amb 2n

lim nR(n) = 0,

n→∞

seguint les idees de [19, 39] (vegeu [14] per a tots els detalls). Aquesta relació ens serà molt útil per a aplicar-la a certs càlculs explícits que apareixeran a la secció següent. També introduírem les constants de Mertens i de Brun, associades respectivament a la suma dels inversos del nombres primers i a les sumes dels inversos dels primers bessons.

8 noubiaix 39

Figura 1. Torre de sis peces construïda basant-se en la sèrie harmònica.

La cinquena secció la dedicarem a estudiar diversos problemes famosos en els quals la sèrie harmonica o les seves sumes parcials juguen un paper fonamental. Així, considerarem el problema del col·leccionista, el de la secretària, el de barrejar cartes, el de la formació de blocs de cotxes en les carreteres amb un sol carril, el dels rècords en sèries de dades, un problema de control de qualitat, el passeig aleatori i un parell de qüestions ben famoses de matemàtica recreativa: com poder travessar un desert infinit i la construcció de torres amb molt vol a partir de peces amb forma de dòmino (vegeu la figura 1).

El treball [14] és una extensió d’aquest en el qual es consideren també diverses modificacions de la sèrie harmònica, incloent-hi signes i reordenacions dels seus termes, així com sèries aleatòries relacionades.

2. I per què harmònica?

Les tres successions més conegudes són les anomenades aritmètica, geomètrica i harmònica.

Aquestes són, respectivament, {bk + c}k≥0 ,

{br k }k≥0 ,

b k

k ≥1

(1)

,

on b, c, r són constants reals. El seus noms provenen del fet següent: donats dos nombres positius x i y, hi ha tres mitjanes ben conegudes que es poden calcular amb ells: √ x+y 2x y A(x,y) = , G(x,y) = x y , H(x,y) = = 2 x+y

1 x

+ 1y 2

− 1 .

S’anomenen mitjana aritmètica, geomètrica i harmònica, respectivament. Resulta que si denotem com a xk el terme k-èsim de cascuna de les tres successions, amb b i r positius, es compleix el següent:

desembre 2016 9

xk−1 + xk+1 b(k − 1) + b(k + 1) + 2c = = bk + c = xk , 2 2 √ √ Cas geomètric: G(xk−1 ,xk+1 ) = xk−1 xk+1 = brk−1 brk+1 = brk = xk , Cas aritmètic:

A(xk−1 ,xk+1 ) =

2b2

2xk−1 xk+1 b Cas harmònic: H(xk−1 ,xk+1 ) = = (kb−1)(k+1)b = = xk . xk−1 + xk+1 k + k+1 k −1 La mitjana aritmètica no necessita presentació, però les altres dues potser sí. Així, per exemple, si un capital C ens produeix el primer any un rèdit anual d’un x per 1 i el segon any un rèdit anual d’un y per 1, quan han passat dos anys tenim com a capital total (1+x)(1+y)C. Aleshores, el rèdit √ mitjà rM complirà (1+x)(1+y)C = (1+rM )2 C i, per tant, rM = (1 + x)(1 + y) − 1 = G(1+x,1+y) − 1.

De manera similar, si anem a un lloc que està a distància d amb velocitat x i tornem amb velocitat y, aleshores recorrem una distància 2d en un temps total dx + dy . Per tant, la velocitat 2xy 2d mitjana a la qual hem anat és d/x+d/y = x+y = H(x,y).

En aquest punt, és natural preguntar-se per què la mitjana H(x,y) es diu harmònica. Sembla ser que devem aquest nom als dos fets següents, estudiats per l’escola pitagòrica ([18, cap. 13], [40]).

Si agafem una corda de longitud ℓ de manera que quan vibra dóna lloc a un cert so, la corda amb longitud 2ℓ sona molt similar. A més, si agafem una tercera corda de longitud 2ℓ , obtenim un tercer so, més diferent. El fet notable observat pels pitagòrics és que, quan 3 fem vibrar les tres cordes simultàniament, escoltem un acord molt harmoniós (seria un acord tipus DO-SOL-DO), i resulta que ℓ 2ℓ ℓ2 H ℓ, = = . ℓ 2 3 ℓ+ 2 Un segon motiu per a l’adjectiu harmònic és que, d’entre els cinc sòlids platònics, el cub era de vegades qualificat com a harmònic. Un cub té 6 cares (c = 6), 12 arestes (a = 12) i 8 vèrtexs (v = 8). Doncs, H(c,a) = H(6,12) = 8 = v. De manera similar per a un altre sòlid platònic, l’octàedre H(v,a) = H(6,12) = 8 = c.

Si busquem més políedres que compleixin la mateixa condició que el cub o l’octàedre, H(c,a) = v o H(v,a) = c, i a aquesta condició li afegim la donada per la característica d’Euler c − a + v = 2, tenim que s’ha de complir una de les equacions diofàntiques següents:

10 noubiaix 39

(v − 1)2 − 2(c − 1)2 = −1 o (c − 1)2 − 2(v − 1)2 = −1.

Les equacions de la forma x 2 − 2y2 = −1 són de tipus Pell, anomenades així en honor del matemàtic anglès John Pell (1611-1685), i se sap que tenen infinites parelles de solucions enteres positives ([9, 28]). Resolent-les, obtenim que les solucions més petites del nostre problema (c,a,v) són les ternes {(6, 12, 8), (8, 12, 6), (30, 70, 42), (42, 70, 30), (170, 408, 240), (240, 408, 170), (986, 2378, 1394), (1394, 2378, 986),...}.

Hi ha un políedre conegut, amb nom Bicúpula pentagonal giroallargada, que correspon al quart punt d’aquesta llista (vegeu la figura 2). Aquest políedre és un dels 92 sòlids de Johnson, que són políedres convexos que tenen totes les cares formades per polígons regulars ([22]).

Agraeixo a en Jaume Coll per fer-me saber de la seva existència. El tercer punt correspon al seu políedre dual i no sabem que es conegui amb cap nom propi.

Figura 2. Políedres harmònics. La tercera figura té c = 42 42, a = 70 i v = 30 30.

Les cares són 2 pentàgons, 10 quadrats i 30 triangles.

De manera natural, associades a les tres successions (1), hi ha tres sèries: l’aritmètica, la geomètrica i l’harmònica, ∞

k=0

bk + c,

∞

k=0

brk ,

∞

b k=1

k

,

respectivament. La primera és sempre divergent. La segona és convergent si i només si |r| < 1 i es coneix tant la seva suma com l’expressió explícita de les seves sumes parcials. Com ja hem comentat, la tercera, amb b = 0, és divergent i és la que estudiem en aquest treball.

3. Divergència de la sèrie harmònica En aquesta secció presentarem diverses proves de la divergència de la sèrie harmònica.

1a prova. Comencem amb la prova més antiga del fet esmentat, de voltants de 1350, atribuïda al filòsof francès Nicole Oresme (1323-1382).

S=1+

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + · · · > 1 + + + + . . . = ∞.

2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 2

desembre 2016 11

Figura 3. N. Oresme.

Una escriptura més rigorosa ens diria que h2k ≥ 1 + 2k , i per tant limk→∞ h2k = ∞.

Una variació de la prova d’Oresme és la següent: hi ha 9 números amb un dígit, 1, 2, . . ., 9 i els 1 9 seus inversos són més grans que 10 , per tant h9 > 10 . Hi ha 90 números de dos dígits, des de 1 9 90 9 . Per tant, h99 > 10 + 100 = 2 10 10 fins a 99, amb inversos més grans que 100 . D’una manera

9 90 900 9 9k similar, h999 > 10 + 100 + 1000 = 3 10 . En general, h10k −1 > 10 , i per tant de nou deduïm que la suma és infinita.

2a prova. La prova descrita a continuació és atribuïda al matemàtic italià Pietro Mengoli (1626-1686) i no ens dóna una demostració directa, sinó que es basa en el mètode de reducció a l’absurd. Suposem que la sèrie harmònica té una suma finita, S. Observem, en primer lloc, que 1 1 2n 2n 2 = , n ≥ 2. + = > n − 1 n + 1 n2 − 1 n2 n 1 1 1 2 En particular, 12 + 14 > 23 , 15 + 17 > 26 , 18 + 10 > 29 , 11 + 13 > 12 . . . Per tant,

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + + + ··· 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1 2 1 2 1 2 1 >1+ + + + + + + + + · · · = 1 + S, 3 3 6 6 9 9 12 12

S=1+

+

és a dir, S > 1 + S, i hem arribat a una contradicció.

3a prova. Com l’anterior, usa la reducció a l’absurd per a demostrar la divergència de la sèrie. Si S fos finit, tenim

1 1 1 1 1 1 1 S= 1+ + + + + + + + ··· 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 > + + + + + + + + · · · = S, 2 2 4 4 6 6 8 8

12 noubiaix 39

on clarament la desigualtat és estricta, tot i que prové d’un pas al límit, i de nou arribem a una contradicció.

Una variació d’aquesta prova és com segueix. Si agafem només els inversos dels termes parells, la seva suma és 2S , ja que 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + ··· = 1 + + + + + ··· 2 4 6 8 10 2 2 3 4 5

=

S .

2

Per tant, si la suma és finita, els inversos dels termes senars haurien de sumar també 2S , però, 1 com que per a tot n ≥ 1, 2n1−1 > 2n , es compleix que 1+

1 1 1 1 S 1 1 1 1 1 + + + + ··· > + + + + + ··· = , 3 5 7 9 2 4 6 8 10 2

on de nou la desigualtat és estricta, i obtenim un cop més una contradicció.

4a prova. Donem a continuació una prova una mica més tècnica, ja que està basada en la desigualtat ex > 1 + x, per x = 0, però que trobem interessant. Considerem

1+ 12 + 13 + 14 +···+ n1

1

1

1

1

= e1 · e 2 · e 3 · e 4 · · · · e n e hn = e

1 1 1 1 > 1+1 · 1+ · 1+ · 1+ ··· · 1+ 2 3 4 n

=

n+1 2 3 4 5 · · · ··· = n + 1.

1 2 3 4 n

Per tant, limn→∞ hn ≥ limn→∞ ln (n + 1) = ∞, tal com volíem veure. Observem que aquesta prova també ens diu que, per a tot n, hn > ln (n + 1). De fet, també es compleix que hn < ln (n) + 1 (vegeu [14, 18, 27]).

Per tant, perquè hn sigui gran, el valor de n ha de ser realment gran: vegeu la taula 1. A la secció 4 es donen estimacions més precises de hn .

Taula 1. Valors de hn amb quatre xifres decimals significatives.

n hn

10

100

1.000

10.000 100.000 1.000.000

2.9290 5.1874 7.4855 9.7876 12.0901

14.3927

109

1012

21.3005 28.2082

5a prova. Acabarem la nostra selecció de proves amb una demostració que usa propietats de la successió de Fibonacci, {fn }n≥0 . Recordem que els seus termes vénen donats per la recurrència fn+2 = fn+1 +fn , amb f0 = 0, f1 = 1. Així, els primers són 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, . . .

Amb una mica de feina es pot demostrar que la seva expressió explícita és φ n − ( − φ ) −n fn = , 2φ − 1

on

√ 1+ 5 φ= 2

i compleix φ 2 − φ − 1 = 0.

desembre 2016 13

Per tant, fn+1 = φ, n→∞ fn lim

1 f n− 1 f n− 1 f n = lim = n→∞ fn+1 n→∞ fn fn+1 φ lim

2

=

1 1 1 = =1− . φ2 φ+1 φ

Aleshores, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S =1 + + + + + + + + + ···+ 2 3 4 5 6 7 8 9 13 1 1 1 1 + ···+ + + ··· + +··· + 14 21 22 34 ∞

f n− 1 1 1 2 3 5 8 13 >1 + + + + + , + + + ··· = 1+ 2 3 5 8 13 21 34 f n=2 n+1 és divergent, ja que el terme general de l’última sèrie no tendeix a zero.

3.1. Un tros convergent de la sèrie harmònica. El resultat de Kempner Dedicarem aquesta subsecció a provar el resultat de Kempner ja enunciat a la introducció i que diu que 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1+ + ···+ + + + ···+ + + ··· + k 2 8 10 11 18 20 21 28 k∈ N 1 1 1 1 1 1 1 +···+ + + ···+ + + + ···+ + + ··· , 80 81 88 100 101 108 110

(2)

és convergent, on N denota el conjunt de tots els números naturals que no tenen cap 9 en la seva expressió en base 10. Seguirem els mateixos passos que al seu treball ([23]).

Denotem per sn la suma de tots els números de la forma 1k amb 10n−1 ≤ k < 10n i k ∈ N , i per mn el nombre de termes que hi ha a la suma. Calcularem fites superiors dels mn i també dels sn , usant que tots els k’s són més grans que 10n−1 o iguals.

Així, en partir de (2) és clar que m1 = 8 < 9, s1 < 9 × 1 = 9, i de manera similar m2 = 8 × 9 < 92 1 i s2 < 92 10 . Denotem per Mn el nombre de termes de la suma amb k < 10n . És clar que Mn = m1 + m2 + · · · + mn . Així, M1 < 9 i M2 < 9 + 92 . Vegem, per inducció, que Mn < 9 + 92 + 93 + · · · + 9n , mn < 9n

i

sn <

9n .

10n−1

Per això dividim tot I n+1 = {k ∈ N : 0 < k < 10n+1 } en els deu subconjunts següents: I0n+1 = {k ∈ N : 0 < k < 10n }, i

Iαn+1 = {k ∈ N : α10n ≤ k < (α + 1)10n },

on α = 1,2, . . . ,9. L’interval I9n+1 és buit, ja que tots els seus números tenen un 9 en la seva expressió decimal. Cada un dels altres vuit Iαn+1 amb α > 0 té el mateix nombre d’elements, que coincideix amb el nombre d’elements de N que hi ha entre 0 i 10n , Mn , que per hipòtesi d’in-

14 noubiaix 39

ducció és menor que 9+92 +93 +· · ·+9n . Per tant, mn+1 < 8× 9+92 +93 +· · ·+9n = 8 9 9−−1 9 < 9n+1 , n+1

n+1

i també Mn+1 < 9+92 +93 +· · ·+9n +mn+1 < 9+92 +93 +· · ·+9n +9n+1 . Finalment, sn+1 < m10n+1n = 910n , tal com volíem demostrar.

Per acabar, 1 k∈ N

k

=

∞

sn+1 <

n=0

∞

9n+1 n=0

10

=9 n

∞

9 n=0

10

n

=9

1 9 = 90.

1 − 10

La prova no varia si en lloc del 9 eliminem qualsevol altre dígit excepte el 0. El cas del 0 és lleugerament diferent.

3.2. Un tros divergent de la sèrie harmònica. La suma dels inversos dels nombres primers

1 Reproduïm a continuació una prova per reducció a l’absurd del fet que p primer p és divergent deguda a Erdös ([1, 3, 10, 41]). Denotem per pi el primer i-èsim. Així, p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, . . . p100 = 541, . . . ,p1000 = 7919, . . . Suposem, per tal d’arribar a contradicció, que la sèrie és convergent. Aleshores, existirà un k ∈ N tal que ∞

1 i=k+1

pi

<

1 .

2

(3)

Donat m ∈ N, definim Am com el subconjunt de {1,2, . . . ,m} format per tots els números que no tenen cap pi amb i > k en la seva descomposició en factors primers. En altres paraules, la seva descomposició en factors primers és de la forma pj11 · · · pjkk amb tots els ju ∈ N ∪ {0}.

Fitant per sobre i per sota el nombre d’elements de Am , Car (Am ), i prenent un m prou gran arribarem a una contradicció.

Comencem fitant Car (Am ) per sobre. Tots el elements d’Am es poden escriure com a r · s2 , amb r ∈ N, sense cap factor primer en la seva descomposició amb exponent més gran que 1 i s ∈ N. Per tant, r = pℓ11 · · · pℓkk amb tots els ℓu ∈ {0,1} i com√a conseqüència només pot √ prendre 2k valors. A més, s ha de ser un element del conjunt {1,[ 2,], . . . ,[ m,]}, on [·] denota √ la part sencera. Aleshores, s només té [ m] possibilitats. Per tant, √ √ Car (Am ) ≤ 2k [ m] ≤ 2k m.

(4)

D’altra banda, {1,2, . . . ,m} \ Am , és un conjunt amb cardinal m − Car (Am ) i està format pels números menors o iguals que m que són divisibles per algun primer pi amb i > k. Per cada i fixat, i > k, hi ha com a molt [ m ] números dins d’aquest conjunt que són divisibles per aquest pi pi . En conseqüència, m − Car (Am ) ≤

∞ ∞ ∞

m m 1 m ≤ =m < , pi pi pi 2

i=k+1

on hem usat (3).

i=k+1

i=k+1

(5)

desembre 2016 15

Per tant, a partir de (4) i (5) arribem a √ m < Car (Am ) ≤ 2k m.

2

(6)

√ √ Si prenem qualsevol m ≥ 22k+2 , tenim que 2m ≥ 2k i, per tant, que m2 ≥ 2k m, que està

en contradicció amb (6). Per tant, p primer 1p és divergent, tal com volíem provar. Com hem comentat a la introducció, això ens dóna la intuïció que hi ha una quantitat suficient de primers per a fer divergir la sèrie dels seus recíprocs.

3.3. Una curiositat sobre els hn Una propietat curiosa i coneguda dels números hn ,n > 1 és que en el seu camí cap a infinit mai passen per cap número natural, és a dir, hn ∈ N, per n > 1.

Per a provar-ho, prenem la potència de 2 més gran que sigui menor o igual que n. És a dir, sigui k ∈ N, tal que 2k ≤ n < 2k+1 . A continuació, anomenem m el mínim comú múltiple de 1,2, . . . n, traient aquest 2k , m = mcm {1,2,3, . . . ,n} \ {2k } . Aleshores, m = 2k−1 s, amb s ∈ N, senar, ja que el 2 apareix a les descomposicions dels números dels quals fem el mcm elevat com a màxim a k − 1. Tenim, doncs, 1+

1 1 j 1 1 + + · · · + − k = k−1 , j ∈ N. 2 3 n 2 2 s

Per tant, hn = 1 +

1 1 1 1 1 j 1 + + · · · + − k + k = k −1 + k .

2 3 n 2 2 2 s 2

Multiplicant per 2k−1 s arribem a 2k−1 shn = j + 2s . Com que s és senar, 2k−1 s ∈ N i j ∈ N, tenim que hn ∈ N, com volíem demostrar.

4. Les constants d’Euler, Mertens i Brun Euler, el 1731, va provar que lim hn − ln (n) = γ ∈ [0,1),

n→∞

(7)

on γ és precisament el número que avui en dia anomenem constant d’Euler i que és una de les constants més famoses en matemàtiques: vegeu [18, 27]. El seu valor és γ ≈ 0.577218.

També s’anomena constant d’Euler-Mascheroni, ja que Mascheroni la va calcular l’any 1790 amb dinou xifres decimals correctes. L’any 1812, Gauss la va obtenir amb quaranta xifres significatives. Avui encara no se sap si γ és racional o irracional.

Per a demostrar que el límit (7) existeix, el que es prova és que la successió hn − ln (n) és decreixent i que està fitada inferiorment. Un refinament d’aquest fet és que hn = ln (n) + γ +

1 + R(n), amb 2n

lim nR(n) = 0,

n→∞

(8)

16 noubiaix 39

i és el que usarem en aquest treball. De fet, (8) és una conseqüència de les desigualtats provades per Young ([39]), 1 1 ≤ hn − ln (n) − γ ≤ , 2(n + 1) 2n

(9)

que es poden demostrar seguint el mètode introduït a [19], que usa les anomenades sèries telescòpiques.

Recordem que una sèrie telescòpica és una sèrie de la forma 0. Per a aquestes sèries, N

∞ n=1

an −an+1 amb limn→∞ an =

an − an+1 = a1 − a2 + a2 − a3 + a3 − a4 + · · · + aN − aN+1 = a1 − aN+1 .

n=1

∞ Per tant, S = n=1 an − an+1 = limN→∞ a1 − aN+1 = a1 . Observeu que les sumes parcials es pleguen com un telescopi!

Donem a continuació les idees principals de la prova de (9) (vegeu [14] per a més detalls).

Considerem el desenvolupament de Taylor,

1 ln 1 + n

= − ln 1 −

1 1 1 + ··· , = + n+1 n + 1 2(n + 1)2

(10)

1 cas particular per a x = − n+1 del desenvolupament de ln (1 + x) provat el 1668 pel matemàtic alemany Nikolaus Mercator (1620-1687), que no s’ha de confondre amb el famós matemàtic i cartògraf flamenc Gerardus Mercator (1512-1594). Basant-nos en aquest desenvolupament, es pot demostrar en primer lloc que

1 1 1 1 − − < hn − ln (n) − (hn+1 − ln (n + 1)) < .

2(n + 1) 2(n + 2) 2n 2(n + 1)

(11)

Observem que els seus tres termes tenen l’estructura d’una sèrie telescòpica. Considerant les desigualtats (11) per als valors n,n + 1,n + 2, . . . ,N, sumant-les i fent tendir N cap a infinit obtenim les desigualtats (9).

De fet, la funció R(n) introduïda a (8) es coneix amb molt més detall. Tot i que no els usarem en aquest treball, donem a continuació un parell de resultats més sobre R(n) (vegeu [18, 27, 38]). Euler, el 1775, va provar el desenvolupament asimptòtic a l’infinit següent:

desembre 2016 17 ∞

hn ∼ ln (n) + γ +

Bk 1 1 1 − + − · · · = ln (n) + γ − , 2 n 12 n2 120 n4 knk

(12)

k=1

on els Bk són els anomenats números de Bernoulli.

Una variació d’aquesta fórmula, que és equivalent, apareix als quaderns del matemàtic indi Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887-1920) (vegeu [7, p. 521]): hn ∼

1 1 1 1 1 − + − + ··· , ln (2 m) + γ + 2 12 m 120 m2 630 m3 1680 m4

on m = n(n+1) és l’enèsim número triangular.

2 Molt relacionada amb la constant d’Euler hi ha una altra constant C ≈ 0.261497, anomenada constant de Mertens, en honor del matemàtic alemany Franz Mertens (1840-1927), que el 1874 va provar ([29]) que

p primer, p≤n

1 = ln ( ln (n)) + C + T(n), amb p

lim T(n) = 0,

n→∞

(vegeu també [27, 33]). De fet, Euler mateix ja va conjecturar la relació anterior, però sense la constant de Mertens. Clarament, aquest resultat també implica la divergència de la sèrie formada pels inversos dels primers.

En aquest punt, un es pot preguntar què passaria si consideréssim la sèrie formada pels inversos dels primers bessons, és a dir, si només poséssim a la suma els inversos de números p i p + 2, quan ambdós són primers. El matemàtic noruec Viggo Brun (1885-1978) va demostrar el 1919 ([8]) que

p ,p+2 primers

1 p

+

1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + + + + + ··· p+2 3 5 5 7 11 13 29 31

és convergent. El valor de la seva suma es coneix avui en dia com la constant de Brun, B2 , i el seu valor aproximat és 1.90216 . . . ([16, 31, 41]). Observem que aquest resultat no demostra si hi ha infinites parelles de primers bessons o no, ja que és coherent amb ambdues situacions.

El que si que dóna és una via per a intentar veure que n’hi ha infinits: demostrar que B2 és irracional.

De fet, va ser durant el càlcul de B2 que, el 1994, Thomas Nicely ([31, 32]) va trobar el famós error (bug) en les divisions que feia el processador Intel Pentium, i més precisament quan considerava el parell de primers bessons 824 633 702 441 i 824 633 702 443 (vegeu [18]). El seu famós e-mail començava: Sembla que hi ha un error a la unitat de coma flotant (coprocessador numèric) de molts, i potser tots, els processadors Pentium. En resum, el Pentium FPU torna valors erronis per a determinades divisions. Per exemple, 1/824 633 702 441.0 es calcula incorrectament (tots els dígits més enllà del vuitè dígit significatiu són erronis)...

18 noubiaix 39

5. Aplicacions de la sèrie harmònica A la literatura hi ha diferents aplicacions de la divergència de la sèrie harmònica i també del coneixement de les seves sumes parcials hn (vegeu, per exemple, [18, Cap. 13] o [40]). Moltes de les que recollim aquí tenen un caire probabilístic i es basen o bé en el càlcul de l’esperança d’una variable aleatòria o bé en la distribució geomètrica. Per això, abans de començar a descriure-les, dedicarem l’inici d’aquesta secció a fer un breu recordatori de les propietats que necessitem.

Recordem que, donada una variable aleatòria X, que pren només valors enters positius k ∈ N, amb probabilitats respectives pk , es defineix la seva esperança E(X) com E(X) =

∞

k P {X = k },

k=1

sempre que la sèrie anterior sigui convergent. Si és divergent, es diu que X té esperança infinita. Així, per exemple, si X és el resultat de tirar un dau perfecte de sis cares, la probabilitat 6 d’obtenir qualsevol dels sis resultats és 16 i la seva esperança és E(X) = k=1 6k = 21 = 3.5.

6 La Llei forta dels grans nombres de Kolmogórov (vegeu per exemple, [21, 35]) implica que si tirem moltes vegades un dau i anem anotant els resultats obtinguts, la mitjana de les puntuacions s’acosta a 3.5, amb probabilitat 1. Així, intuïtivament, el valor esperat d’una variable aleatòria és aproximat per la mitjana dels resultats de repetir molts cops, i d’una manera independent, un mateix experiment aleatori.

Sigui U una variable aleatòria amb distribució de Bernoulli, que pren els valors {0,1} de manera que P{U = 1} = p,P{U = 0} = q = 1 − p, p ∈ [0,1]. El valor 1 s’associa normalment al resultat que volem que surti i el valor 0, al no desitjat.

La variable aleatòria V que consisteix a agafar una successió U1 ,U2 , . . . ,Uk , . . . de variables aleatòries independents, totes amb la mateixa distribució que U i que pren el valor k quan totes les Us amb s < k han pres el valor 0 i Uk ha pres el valor 1, s’anomena variable aleatòria amb distribució geomètrica. És clar que els valors que pren V són els enters positius, i per la independència de les Uk , P{V = k} = p qk−1 = pk , k = 1,2,3, . . . .

Les sumes següents són ben conegudes ∞

k=1

∞

k=1

p qk −1 =

p = 1, 1−q

k p q k −1 = p

∞

k=1

k qk −1 = p

∂ k 1 p ∂ 1 q =p = , = ∂q ∂q 1 − q (1 − q)2 p ∞

k=0

i tenen una interpretació probabilística ben clara. La primera ens diu que la suma de totes les probabilitats pk és 1. La segona ens diu que l’esperança de la variable aleatòria V és p1 , és a dir,

desembre 2016 19

E(V) =

∞

k=1

k · P {V = k } =

∞

k=1

k pk =

1 . p

Aquest resultat és el que farem servir sistemàticament en els exemples que segueixen. De manera més informal, el que ens diu és el següent: Si, en fer un experiment aleatori, un cert succés passa amb probabilitat p = N1 i anem repetint aquest experiment, cada cop de manera independent de totes les anteriors, el nombre esperat (mitjà) de vegades que l’hem de repetir perquè el succés desitjat ocorri és p1 = N. Així, per exemple, si p = 12 , aquest número de vegades serà 2. Això, és clar, no vol dir que algun cop necessitem repetir-lo tres o quatre cops (penseu, per exemple, en llençar una moneda fins que surti cara) o fins i tot cent o mil cops, si és 1 que tenim moltíssima mala sort! D’una manera semblant, si p = 100 , el número esperat de vegades serà 100.

5.1. El problema del col·leccionista Aquest és un problema clàssic que s’explica a molts cursos de probabilitat (vegeu, per exemple, [12, 34]) i que va ser plantejat per primer cop l’any 1708 pel matemàtic frances Abraham de Moivre (1667-1754).

Suposem que volem fer una col·lecció de N objectes diferents i els obtenim aleatòriament (per exemple, comprant successivament paquets tancats que continguin un dels objectes).

Cada paquet pot contenir qualsevol dels objectes amb la mateixa probabilitat N1 . Aleshores, la qüestió que es proposa és quin és el nombre esperat de paquets que hem de comprar per a poder acabar la col·lecció. Les aplicacions més famoses són les col·leccions de cromos o dels regals que apareixen a les capses de cereals. Observem el següent: •

•

•

El primer paquet que comprem segur que ens dóna un element de la col·lecció que no tenim.

En comprar el segon paquet, la probabilitat que contingui un element de la col·lecció 1 que ens falta és p = N− . Per tant, el nombre de paquets que hem de comprar per N a obtenir aquest segon element, un cop ja tenim el primer objecte, és una variable 1 aleatòria amb llei geomètrica de paràmetre p = N− i, per tant, el seu valor esperat N 1 N N serà p = N−1 . Aleshores haurem de comprar en total 1 + N− paquets per a tenir dos 1 elements de la col·lecció.

A continuació, la probabilitat que un element de la col·lecció que ens falta sigui en 2 un paquet és p = N− . Així, el nombre esperat de paquets que hem de comprar per a N N obtenir aquest tercer element un cop ja en tenim dos de diferents és 1p = N− . Per tant, 2 haurem de comprar 1+

1 N N 1 1 + =N + + N−1 N−2 N N−1 N−2

paquets per a tenir tres elements de la col·lecció.

•

Si seguim així, és clar que un cop ja tenim N − 1 elements de la col·lecció, la probabilitat d’obtenir l’últim és p = N1 , que necessita d’una compra (de mitjana) de N paquets més.

Així, poder acabar la col·lecció requereix una compra mitjana de

20 noubiaix 39

1+

1 N N 1 N 1 + + ···+ + N = N + + ···+ + 1 , N−1 N−2 2 N N−1 2

és a dir, N hN paquets. A la taula 1 ja s’han mostrat alguns valors de hn .

1 .

Com hem vist a la secció 4, Euler va demostrar que per a n gran, hn ≈ γ + ln (n) + 2n Així, per a una col·lecció de 100 cromos, de mitjana un col·leccionista necessitaria comprar 100 h100 ≈ 57.7 + 200 ln (10) + 12 ≈ 518.7 ≈ 519 cromos per a acabar la col·lecció.

5.2. Barrejant cartes Una de les maneres més senzilles de barrejar N cartes seria seguir el mètode següent. Per a nosaltres, un moviment consistirà senzillament a agafar la carta de sobre i posar-la a l’atzar a qualsevol lloc dels de sota. El procediment de barrejar-les consisteix a fer successivament moviments d’aquest tipus. En aquest context, la pregunta natural és: Quin és el nombre esperat de moviments que hem de fer per a assegurar (de mitjana) que tenim les cartes totalment barrejades? Veurem que aquest número esperat és N hN .

Anomenem S la carta que a l’inici és sota la baralla. Quan fem el primer moviment, la probabilitat que la carta de sobre passi a sota és N1 . Per tant, tal com hem explicat a l’inici d’aquesta secció, el nombre esperat de moviments perquè això passi és N. A continuació, la probabilitat que la carta de sobre passi a ser a sota de S és ara N2 i, com a conseqüència, el nombre esperat de moviments perquè S passi a ser al tercer lloc per sota de la baralla serà N + N2 . En aquesta situació, la probabilitat que la carta de sobre passi a ser a sota de S serà N3 , ja que ja pensem que hi ha dues cartes sota S. Per tant, el nombre esperat de moviments perquè S sigui la quarta per la cua serà N + N2 + N3 .

Observem que amb aquests tres moviments és raonable pensar que les tres cartes que hi ha per sota de S estan ben barrejades.

Raonant de la mateixa manera, el nombre esperat de moviments perquè S sigui sobre de la N baralla és N + N2 + N3 + · · · + N− . Amb un moviment més, S es col·loca a l’atzar entre les N − 1 1 cartes de sota. Per tant, el nombre esperat de moviments per a barrejar les N cartes és N+

N N N 1 1 1 + + ··· + + 1 = N 1+ + + ··· + = N hN .

2 3 N−1 2 3 N

Per a una baralla de 48 cartes, 48h48 ≈ 214.02 i per una de 52 cartes 52h52 ≈ 235.98.

5.3. Rècords Aquest també és un problema clàssic tractat a molt llocs (vegeu, per exemple, [2, 4]). Donada una successió ordenada de variables aleatòries amb lleis contínues {Xk }k≥1 , independents i idènticament distribuïdes, ens interessem pel nombre esperat de rècords quan considerem les diferents successions de N números, X1 (ω),X2 (ω),X3 (ω), . . . XN (ω). Aquí s’entén que Xk (ω) és un rècord si el seu valor és més gran que tots els anteriors de la successió.

La variable aleatòria Z que compta el nombre de rècords es pot construir com segueix.

desembre 2016 21

En primer lloc, observem que les variables aleatòries X1 ,X2 , . . . ,Xk prenen valors diferents amb probabilitat 1 i, per tant, que hi ha k! maneres diferents d’ordenar-les. Com que aquestes variables són independents i idènticament distribuïdes, la seva llei conjunta és simètrica.

Aquesta simetria implica que totes les ordenacions són equiprobables. Si Xk és un rècord, les variables restants es poden ordenar de (k − 1)! maneres diferents, totes equiprobables. Per tant, la probabilitat que Xk sigui un rècord és pk = (k−k!1)! = 1k .

A continuació, considerem la nova variable aleatòria de Bernoulli Yk , que val 1 si Xk és un rècord i val 0 en cas contrari. Aquesta pren el valor 1 amb probabilitat 1k i el valor 0 amb probabilitat 1 − 1k .

Aleshores, Z = Y1 + Y2 + · · · + YN . Per tant, com que E(Yk ) = 1 · 1k + 0 · (1 − 1k ) = 1k , E(Z) = E(Y1 + Y2 + · · · + YN ) = E(Y1 ) + E(Y2 ) + · · · + E(YN ) = 1 +

1 1 1 + + · · · + = hN .

2 3 N

(13)

S’ha comprovat en molts casos que el resultat anterior s’adequa perfectament a dades meteorològiques. Així, per exemple, a [4, 5] s’usa per a veure que els rècords de pluja caiguda a Barcelona el 17 d’octubre durant el període 1900-2006 i també els de pluja caiguda a Palma de Mallorca els mesos de febrer i octubre de 1862 a 2006 compleixen el resultat predit per (13).

A [26] es fa el mateix, recollint dades de la neu caiguda en un aeroport de Chicago durant el període 1966-2004 o amb el nombre anual rècord de tornados a Illinois entre 1956 i 2004. Per exemple, en aquests 49 anys, els rècords del nombre de tornados van ser durant els anys 1956 (el primer any sempre és un rècord), 1957, 1973, 1974 i 2003, és a dir, cinc rècords, i h49 ≈ 4,479.

Observeu que en aquest darrer cas, en el qual es compta el nombre anual de tornados, les variables aleatòries Xk són discretes, ja que prenen només valors naturals. Aleshores, s’hauria de tenir en compte també la possibilitat que dues d’elles coincideixin, ja que té probabilitat positiva. El model es pot modificar sense problemes perquè tingui en consideració aquest fet. De totes maneres, com hem vist a l’exemple, si el rang de Xk és prou ampli (hi ha anys amb més de 100 tornados), el mateix model dóna resultats raonables.

Fins ara hem pensat que tots els rècords són tals que Xk (ω) és més gran que tots els anteriors termes de la successió. És clar que la mateixa teoria es pot aplicar quan Xk (ω) és més petit que tots els anteriors. De fet, això ja es fa als treballs [4, 5] estudiant també els rècords amb menys pluviositat. L’exemple següent aprofitarà de nou aquest fet.

5.4. Cues en un túnel En aquest exemple estudiarem el trànsit en un túnel o un pont, prou llargs i amb un sol carril, en el qual és impossible fer avançaments. Suposarem també que hi entren N cotxes, amb N prou gran, i que les velocitats de tots els cotxes són variables aleatòries independents i idènticament distribuïdes.

En la situació descrita, el fet que hi hagi un rècord amb mínima velocitat provoca que darrere d’aquest cotxe es faci automàticament una petita cua formada per un bloc de cotxes que l’hauria avançat si la carretera ho hagués permès. El bloc de cotxes següent no es forma fins

22 noubiaix 39

que no apareix un altre vehicle que va a una velocitat inferior a la del primer vehicle. Per tant, raonant com a l’exemple anterior, de mitjana es formen hN blocs de cotxes, que es van separant més i més conforme van avançant en el túnel. Si hi ha 100 vehicles circulant, el nombre de blocs esperat serà 5.2. Aquest resultat s’observa en situacions reals de conducció.

5.5. Un problema de control de qualitat Suposem que volem veure la resistència per trencament d’una gran remesa de bigues de fusta. Per a conèixer la força que aguanta una biga, la recolzem pels seus extrems i apliquem una força F de manera contínua, i cap avall, al seu punt mitjà, just fins que es trenca (vegeu la figura 4).

F

Figura 4. Control de trencament.

Una manera d’estimar la resistència esperada de totes les bigues podria ser agafar-ne unes quantes a l’atzar, diguem N = 100, i anar fent la prova per a cadascuna fins que es trenquin.

D’aquesta manera, el mínim dels valors Fk , k = 1,2 . . . ,N ens donaria una bona estimació de la força que aguantarien totes les bigues de la remesa. El problema és que n’hauríem trencat N. Una manera més intel·ligent d’obtenir el mateix resultat, però trencant moltes menys bigues, és la que descriurem a continuació ([18]). Agafem la primera biga i anem augmentant F fins que es trenqui. Aleshores tenim ja un primer rècord, diguem-ne F1 . A continuació agafem una segona biga i anem augmentant la força, o bé fins que es trenqui o bé fins a arribar a F1 . Si no es trenca, la retirem i fem el mateix amb les següents. Quan una es trenqui abans d’arribar a F1 , tindrem un segon rècord, diguem-ne F2 . A continuació, procedim de la mateixa manera, però prenent com a força límit F2 . Si fem això fins a arribar a la N-èsima biga, el nombre esperat de bigues trencades serà només hN = h100 ≈ 5.2.

Tot i que podria passar que tinguéssim tanta mala sort que agaféssim les bigues de manera que cadascuna tingués menys resistència que l’anterior, això té una probabilitat petitíssima.

Per tant, amb aquest mètode, de mitjana només trencarem unes sis bigues i obtindrem la mateixa informació. Si volguéssim fer el mateix test amb mil bigues, de mitjana només n’acabaríem trencant h1000 ≈ 7.5.

Observem que amb el nou mètode només podem estimar la resistència per trencament de les bigues, però no podríem estimar quin és el valor mitjà de la F que les trenca. Per saber això, no ens quedaria cap més remei que trencar-ne N.

desembre 2016 23

5.6. El passeig aleatori al pla Considerem la retícula Z2 del pla. Suposem que estem a l’origen (0,0) i tirem un dau de quatre cares per a saber si anem amunt, avall, a la dreta o a l’esquerra. Per tant, amb probabilitat 1 estarem en un dels quatre punts contigus a l’origen: (1, 0), (−1, 0), (0, 1) i (0, −1). Si fem 4 això indefinidament, continuant cada cop al lloc on ens ha deixat el moviment anterior, la pregunta és si podem assegurar que tornarem a l’origen.

Anomenen pk la probabilitat de tornar a l’origen després d’haver tirar el dau k vegades (independentment de si és el primer cop que tornem o no) i qk la probabilitat de tornar per primer cop després de tirar exactament k vegades el dau. És clar que es compleix que p2k+1 = q2k+1 = 0. Amb una mica de feina (vegeu, per exemple, [6]) es pot demostrar que lim

k→∞

p2k 1 k

= C = 0, C ∈ R,

i

∞

k=1

1 qk = 1 − ∞

k=1 pk

.

∞ ∞ Per tant, el fet que la sèrie k=1 pk = k=1 p2k es comporti com la sèrie harmònica, que és ∞ divergent, ens assegura k=1 qk = 1, és a dir, que la probabilitat de retorn a l’origen és 1. De fet, es pot veure que la probabilitat de tornar-hi infinites vegades també és 1. Atesa aquesta propietat, es diu que el passeig aleatori al pla és recurrent.

D’una manera similar es por veure que en una xarxa 1-dimensional (els punts són Z dins de la línia real i anem cap al punt de la dreta o al de l’esquerra amb probabilitat 12 ) les p2k es comporten com √1k , que també dóna lloc a una sèrie divergent. De nou, la probabilitat de retorn a la posició inicial és 1 i tenim un passeig aleatori recurrent.

D’altra banda, en una xarxa 3-dimensional, p2k és com √1k3 i, per tant, la sèrie associada és convergent. De fet, en dimensió 3, la probabilitat que un passeig aleatori retorni a l’origen és només de 0.34 . . . ([6, 30]). És mala idea perdre’s a l’espai!

Va ser el matemàtic hongarès George Pólya (1887-1985) qui, el 1921, va demostrar, per primer cop, que en dimensions 1 i 2 el passeig aleatori retorna amb probabilitat 1 a l’origen mentre que això ja no succeeix en dimensions superiors (vegeu, per exemple, [11]).

5.7. El problema de la secretària Aquest és també un problema ben clàssic que usa la teoria de la probabilitat per a proposar una bona estratègia per a triar el «millor» candidat entre una quantitat N de persones per a fer una determinada tasca. Tot i que el bategem pel seu nom clàssic, aquest problema té moltíssimes altres aplicacions, com per exemple per la tria de parella, restaurant, aparcament per al cotxe... (vegeu [18, 37]).

La situació és la següent: Hi ha N persones (o objectes, o situacions) i hem de triar la «millor» per als nostres interessos. Aquestes persones arriben a nosaltres per ordre, i podem obtenir tota la informació que vulguem sobre elles. Aleshores hem de decidir si triem aquesta persona o no. Si no la triem, ja no tenim la possibilitat de tornar a contactar amb ella i passem a entrevistar la següent. La pregunta és: Quina és l’estratègia que hem de seguir per a augmentar

24 noubiaix 39

la probabilitat de triar la millor? Observem que, si triem una persona a l’atzar, la probabilitat que sigui la millor és N1 .

Per això es proposa l’estratègia següent, que anomenarem l’estratègia «r». Consisteix a fer el següent: Entrevistem les r primeres persones, r ∈ {0,1,2, . . . ,N − 1} i ens quedem amb la primera de les restants que és millor que les r primeres, o amb l’última si cap ho compleix. Com veurem a continuació, el càlcul del valor de la millor estratègia, que serà quan r val un cert valor r = R = R(N), ens proporcionarà una petita sorpresa.

Anomenem A el succés «triar el millor candidat», i Bi el succés «el millor candidat és al lloc i-èsim», 1 ≤ i ≤ N. Calculem la probabilitat Pr (A) que passi A si apliquem l’estratègia «r».

Tenim que Pr (A) =

N

Pr (A ∩ Bi ) =

i=1

N

Pr (A / Bi )Pr (Bi ) =

i=1

N N 1 1 Pr (A / Bi ) = Pr (A / Bi ), N i=1 N i=r+1

on hem usat els fets següents: •

•

•

El valor Pr (A / Bi ) indica la probabilitat que succeeixi A suposant que el millor candidat és al lloc i-èsim.

Es compleix que Pr (Bi ) = N1 , ja que la probabilitat que el millor candidat sigui al lloc i-èsim és la mateixa per a tots els valors d’i, i lògicament no depèn de l’estratègia «r».

L’estratègia «r» fa que mai triem cap dels r primers candidats. Per tant, Pr (A / Bi ) = 0 per i ≤ r.

De fet, la fórmula que hem usat per a calcular Pr (A) és la que s’anomena fórmula de les probabilitats totals. Per acabar el nostre càlcul només ens falta obtenir Pr (A / Bi ) per i > r.

Clarament, Pr (A / Br+1 ) = 1, ja que, si el millor candidat és al lloc r + 1, l’hem triat segur, perquè en particular és millor que els r primers. r D’una manera similar, Pr (A / Br+2 ) = r+1 , ja que només en el cas que el millor dels r + 1 primers 1 candidats sigui al lloc r + 1, no l’hem triat, i aquest cas té probabilitat r+1 . Així mateix, si i > r + 2,

Pr (A / Bi ) =

r , i−1

atès que, en aquesta situació, els casos favorables són que entre els i − 1 primers candidats el millor estigui a les r primeres posicions (així, els candidats r + 1,r + 2, . . . ,i − 1 són tots pitjors que el millor dels r primers). És a dir, Pr (A / Bi ) = i−r 1 , i = r + 1,r + 2, . . . ,N. Per tant, Pr (A), que denotarem també com a p(N,r), val 1 r N i=r+1 i − 1

1 1 1 1 = 1+r + + ··· + N r+1 r+2 N−1 N

p(N,r) : = Pr (A) =

=

1 1 + r hN−1 − hr N

.

(14)

desembre 2016 25

0.3

0.2

p 0.1

0 0

4

2

6

8

10

12

14

16

18

r Figura 5. Valors p(20, r) per r = 0, 1, . . . , 19 19.

Per acabar l’estudi, només ens falta saber, per a cada N fixat, per a quin valor r ∈ {0,1, . . . ,N − 1} la funció r → p(N,r) té un màxim. Aquest és un problema discret, que per a N petit es pot resoldre directament calculant quin dels N possibles valors de r dóna el màxim. Per exemple, a la figura 5 mostrem els valors per N = 20. En aquest cas, l’òptim es dóna per r = R = 7 i p(20,7) ≈ 0.384.

Per tant, hem vist que, si N = 20 i si triem el primer candidat que sigui millor que els set primers, en un 38.4% dels casos ens quedaríem amb el millor candidat; una gran millora respecte al 5% que s’obtindria si triéssim el candidat a l’atzar.

Vegem per acabar, i usant un cop més el resultat d’Euler que ens assegura que, per a n prou 1 gran, hn ≈ γ + ln (n) + 2n , que hi ha una manera analítica prou satisfactòria per a trobar una expressió explícita del valor r = R(N) que fa màxima la probabilitat p(N,r). Usant el resultat esmentat d’Euler i (14) tenim que, per a r prou gran, p(N,r) =

1 1 + r hN−1 − hr N

≈

1 1 1 + r hN−1 − γ + ln (r) + N 2r

=: p(N,r).

A continuació, fixat N, per a trobar una aproximació del màxim de p(N,r) el que fem és buscar el màxim de la seva aproximació p(N,r). Per això, resolem l’equació ∂ 1

p(N,r) = hN−1 − γ − ln (r) − 1 = 0. ∂r N Així, el màxim de p(N,r) està a r = R, on

(N − 1)e ln (N−1)+ 2(N−1) −1

= R = ehN−1 −γ−1 ≈ e e (N − 1) 1 + 2(N1−1) N − 12 ≈ = . e e 1

1 2(N−1)

26 noubiaix 39

Notem que hem usat de nou el resultat d’Euler per a aproximar hN−1 i també que ex ≈ 1 + x per x ≈ 0.

Per tant, aquesta aproximació ens diu que l’estratègia òptima seria prendre com a R el N− 1 N− 1 2 número , on el doble claudàtor denota l’enter més proper a e 2 . A tots els materials e

consultats se sol prendre com a estratègia òptima R = Ne , ja que la diferència entre ambdós és prou petita. Observem que, per a aquest valor de R, p(N,R) ≈ p(N, R) ≈ p(N, R) =

R + 12 1 ≈ .

N e

Així, per a N prou gran, l’estratègia proposada prenent r = R = Ne permet triar el millor candidat amb probabilitat aproximada 1e , és a dir, amb èxit, en un 36.79% dels casos. A la taula 2 veiem per a uns quants valors de N la diferència entre el resultat que acabem d’obtenir i aquell al qual s’arriba fent l’estudi directe de la funció cas per cas. Com es pot observar, per a N gran, ambdós resultats són indistingibles.

Taula 2. Valors de R(N) R(N), P(N, R(N)) i els corresponents valors estimats, [[ Ne ]] i 1e per a certs valors de N .

N

5

10

20

50

100

1000

R(N)

2

3

7

18

37

368

p(N,R(N)) [[N/e]] 1/e

0.433 0.399 0.384 0.374 0.371 0.368 2

4

7

18

37

368

0.368 0.368 0.368 0.368 0.368 0.368

5.8. Creuant el desert Exposarem aquí la versió del problema seguint [18]. Suposem que volem creuar un desert de mida d amb un jeep que funciona amb combustible (no elèctric) i que té una autonomia que li permet recórrer exactament una distància 1 (és a dir, prenem com a unitat de mesura de distàncies l’autonomia d’un jeep). Per a fer-ho disposem de tants jeeps i conductors com necessitem. L’objectiu és que, al final de tots els moviments dels jeeps, un d’ells hagi creuat el desert i els altres hagin pogut tornar al seu punt de partida, és a dir, ni cap jeep ni cap conductor poden quedar perduts al mig desert.

La pregunta és si és possible fer-ho i, si és que sí, quants jeeps necessitarem? Hi ha altres versions, igualment interessants del problema, en les quals només hi ha un jeep involucrat, però que permeten deixar dipòsits durant el camí. No les considerarem aquí, però admeten un tractament similar.

Vegem primer quan hauria de ser com a molt d per a poder travessar-lo amb dos jeeps, seguint les regles donades. Els dos jeeps J1 i J2 recorren 13 . Aleshores, el jeep J2 dóna 13 del

desembre 2016 27

seu combustible a J1 i torna al punt de sortida. Per tant, J1 pot recórrer una distància màxima de 13 + 1.

Si comencem amb tres jeeps, fem el següent. Els tres recorren primer 15 . Aleshores, J3 dóna 15 del seu combustible a J1 i un altre 15 a J2 . Per tant, a distància 15 de la base de partida hi ha els tres jeeps, J1 ,J2 i J3 , amb capacitats de recórrer distàncies respectives 1,1 i 25 . Continuant com en el cas de dos jeeps obtenim que J1 pot recórrer 15 + 13 + 1 i J2 pot tornar, arribant ja sense combustible, on l’espera J3 amb 25 de combustible. Els dos se’l reparteixen per a tornar a la base.

Raonant de la mateixa manera, és clar que, amb N jeeps, el primer podrà recórrer sN =

1 1 1 + + · · · + + 1.

2N − 1 2N − 3 3

N−1 El procés començaria amb els N jeeps recorrent 2N1−1 , i el jeep JN quedant-se amb 2N −1 del 1 seu combustible i donant 2N−1 parts a cada un dels jeeps J1 , J2 , . . . ,JN−1 i continuaria d’una manera semblant amb els N − 1 jeeps amb el dipòsit ple que estarien ja a distància 2N1−1 de la base. És clar que limN→∞ sN = ∞ i que, per tant, qualsevol desert pot ser creuat si N és prou gran.

Per acabar, vegem com obtenir la relació entre el N que necessitem i d en termes de certs hj .

Observem primer que h2N = 1 +

1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ···+ = 1+ + ···+ + + + ···+ = sN + hN .

2 3 2N 3 2N − 1 2 4 2N 2

1 Per tant, sN = h2N − 12 hN . Usant de nou que per a n prou gran hn ≈ γ + ln (n) + 2n , tenim que

1 γ + ln (4N) 1 1 γ + ln (N) + sN ≈ γ + ln (2N) + ) − ) = .

4N 2 2N 2 Igualant sN amb d i aïllant tenim que N ≈ 14 e2d−γ . Per tant, si d = 5, el nombre de jeeps que necessitaríem seria 14 e10−γ ≈ 3091.74. De fet, s3092 ≈ 5.000042.

5.9. Torres amb molta volada En aquest exemple final mostrarem una construcció en forma de torre, curiosa i ben coneguda amb N peces amb forma de dòmino. En aquesta torre, el que es vol és que, prenent N prou gran, i només tenint en compte la força de la gravetat, la torre sigui estable i la peça de dalt

28 noubiaix 39

s’allunyi cap a una banda, i tant com vulguem, respecte a la que hi ha a la base. La torre de la figura 1 n’és un exemple. Aquestes construccions han estat estudiades a molt llocs (vegeu, per exemple, [15, sec. 6.3] o [17, 32] i les seves referències).

No és restrictiu pensar que totes les peces tenen longitud 2 i pes 1. L’amplada no jugarà cap paper i l’alçada tampoc, però la pensarem bastant més petita que 2. Si agafem només una o dues peces, les torres buscades són les que es mostren a la figura 6. Vegem en primer lloc que la figura amb dues peces és estable calculant el seu centre de masses (cdm) i veient que cau sobre de la taula. És convenient agafar com a origen el cdm de la peça de sobre. Aleshores, el cdm de la torre se situa a x igual a −1 × 1 + 0 × 1 1 =− , 1+1 2

que correspon precisament a l’extrem dret de la taula. El vol total de la torre és h2 = 1 + 12 .

2 1 1

1 2

Figura 6. Torres amb una o dues peces.

Calculem, quan agafem tres o quatre peces, els cdm de les dues construccions de la figura 7.

De nou suposarem que x = 0 és al cdm de la peça de sobre. Aquests cdm estan situats als valors de x, 0 − 1 − (1 + 12 ) h1 + h2 =− 3 3

0 − 1 − (1 + 12 ) − (1 + 12 + 13 ) h1 + h2 + h3 =− , 4 4

i

2 respectivament. Com veurem a continuació, − h1 +h = 1 − h3 i − h1 +h42 +h3 = 1 − h4 . Per tant, en 3 ambdós casos, de nou el cdm coincideix amb l’extrem dret de la taula.

1 1 1 3

1 2

1 4

1 3

1 2

Figura 7. Torres amb tres o quatre peces.

En general, quan prenem N peces, i agafant com sempre x = 0 en el cdm de la peça de sobre, tenim que els cdm de les altres peces són a −h1 , −h2 , . . . , − hN−1 . Per tant, el cdm de la torre està situat a x igual a

desembre 2016 29

−

h1 + h2 + · · · + hN−1 = 1 − hN .

N

Mirem de provar aquesta última igualtat per inducció. La igualtat és equivalent a demostrar h1 + h2 + · · · + hN−1 = NhN − N. Ara bé, h1 = 2h2 − 2, i suposant-la certa per a N − 1, tenim h1 + h2 + · · · + hN−1 + hN = NhN − N + hN = (N + 1)hN − N

1 = (N + 1) hN+1 − − N = (N + 1)hN+1 − (N + 1), N+1 tal com volíem veure.

Així, hem provat que amb N peces podem construir una torre «harmònica» de manera que l’última peça «vola» una distància hN i s’allunya de la que hi ha a la base hN−1 . La divergència de la sèrie ens prova que agafant N prou gran podem volar tant com vulguem!

Hi ha un problema d’optimització molt interessant que consisteix a aconseguir que la torre voli el màxim possible respecte de la taula, però sense la condició que la peça més allunyada sigui la superior. Aleshores les construccions es fan d’una manera totalment diferent (vegeu [33]). Com hem vist per tres i quatre peces, les construccions «harmòniques» volen 1 + 12 + 13 = 11 ≈ 1.83 i 1 + 12 + 13 + 14 = 25 ≈ 2.083, respectivament. Les solucions òptimes 6√ 12 15−4 2 volen 2 i 4 ≈ 2.34 i són força divertides de trobar.

Agraïments Agraeixo a la Maria Jolis la seva ajuda en diversos llocs d’aquest treball. L’autor està secundat pels projectes MINECO MTM2013-40998-P i per la Generalitat de Catalunya, projecte 2014SGR568.

Referències [1] Aigner, M. i Ziegler, G. M. (1988). Proofs from The Book. Berlín: Springer.

[2] Andel, J. (2001). Mathematics of Chance. John Wiley & Sons, Inc. Wiley Series in Probability and Statistics.

[3] Bagni, G. T. (2004). Prime Numbers are Infinitely Many: Four Proofs from History to Mathematics Education. Accessible a www.syllogismos.it/history/Icme10-TSG17.pdf [4] Bardina, X. (2007). Rècords: Quina és la probabilitat d’obtenir-ne? Quan apareixen?

Quins valors prenen?, But. Soc. Catalana de Matemàtiques, 22, 5-22.

[5] Bardina, X. (2007). Quants rècords veurem al llarg de la nostra vida? Materials Matemàtics (MAT2 ), treb. 3, 14 p.

[6] Bardina, X. (2008). Caminant a l’atzar tots els camins porten a Roma. Materials Matemàtics (MAT2 ), treb. 3, 29 p.

[7] Berndt, B. (1998). Ramanujan’s Notebooks. Vol. 5. Nova York: Springer.

[8] Brun, V. (1919). La série 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/31 + 1/41 + 1/43 + 1/59 + 1/61 + . . . , où les dénominateurs sont nombres premiers jumeaux est convergente ou finie. Bull. des Sci. Mathématiques, 43, 100-104 i 124-128.

30 noubiaix 39

[9] Conrad, K. Pell’s equation-I,II. Accessible a www.math.uconn.edu/∼kconrad/blurbs (consultat juliol 2016).

[10] Erdös, P. (1938), Über die Reihe 1/p. Mathematica, Zutphen, B 7, 1-2.

[11] Feller, W. (1950). An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Vol. I. Nova York: John Wiley & Sons, Inc. [12] Ferrante, M. i Saltalamacchia, M. (2014). The Coupon Collector’s Problem. Materials Matemàtics (MAT2 ), treb. 2, 35 p.

[13] Freniche, F. J. (2010). On Riemann’s Rearrangement Theorem for the Alternating Harmonic Series. Amer. Math. Monthly, 117, 442-448.

[14] Gasull, A. (2017). Sumes harmòniques, per aparèixer a Materials Matemàtics (MAT2 ).

[15] Graham, R. L., Knuth, D. E. i Patashnik, O. (1994). Concrete Mathematics. 2a ed. AddisonWesley Publishing Company, Inc. [16] Goldston, D. A. (2010). Are there infinitely many twin primes? Bay Area Math Adventure (BAMA). Accessible a www.math.sjsu.edu/∼ goldston/publications.htm.

[17] Hall, J. F. (2005). Fun with stacking blocks. American Journal of Physics, 73, 1107-1116.

[18] Havil, J. (2003). Gamma: Exploring Euler’s Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press.

[19] Hirschhorn, M. D. (2011). Approximating Euler’s Constant. Fibonacci Quart, 49, 243-248.

[20] Irwin, F. (1916). A Curious Convergent Series. Amer. Math. Monthly, 23, 149-153.

[21] Itô, K. (1984). An Introduction to Probability Theory. Cambridge University Press.

[22] Johnson, N. W. (1966). Convex Solids with Regular Faces. Canadian J. of Mathematics, 18, 169-200.

[23] Kempner, A. J. (1914). A Curious Convergent Series. Amer. Math. Monthly, 21, 48-50.

[24] Kifowit, S. J. (2006). More Proofs of Divergence of the Harmonic Series. Preprint. Accessible a: stevekifowit.com/pubs.

[25] Kifowit, S. J. i Stamps, T. A. (2006). The Harmonic Series Diverges Again and Again. The AMATYC Review, 27, 31-43.

[26] Kifowit, S. J. i Stamps, T. A. (2006). Serious About the Harmonic Series II, 31st Annual Conference of the Illinois Mathematics Association of Community Colleges. Monticello, IL. Accessible a: stevekifowit.com/pubs.

[27] Lagarias, J. C. (2013). Euler’s constant: Euler’s work and modern developments. Bul. of the AMS, 50, 527-628.

[28] Lenstra Jr., H. W. (2002). Solving the Pell Equation. Notices Amer. Math. Soc., 49, 182-192.

[29] Mertens, F. (1874). Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie. J. Reine Angew. Math., 78, 46-62.

[30] Montroll, E. W. (1956). Random Walks in Multidimensional Spaces, Especially on Periodic Lattices. J. SIAM, 4, 241-260.

[31] Nicely, T. R. (1994). Article sense títol sobre la falla en els divisors del Pentium. San Francisco Examiner, B-5.

[32] Nicely, T. R. (1999). Enumeration to 1.6 ∗ 1015 of the twin primes and Brun’s constant. Some Results of Computational Research in Prime Numbers (Computational Number Theory).

desembre 2016 31

[33] Paterson, M., Peres, Y., Thorup, M., Winkler, P. i Zwick, U. (2009). Maximum Overhang.

Amer. Math. Monthly, 116, 763-787.

[34] Pollack, P. (2015). Euler and the partial sums of the prime harmonic series. Elem. Math., 70, 13-20.

[35] Ross, S. (2012). A first course in probability. 9a ed. Pearson.

[36] Sanz-Solé, M. (1999). Probabilitats. Col·lecció UB, 28. Universitat de Barcelona.

[37] Schmelzer, T. i Baillie, R. (2008). Summing a Curious, Slowly Convergent Series. Amer.

Math. Monthly, 115, 525-540.

[38] Tijms, H. (2012). Understanding probability. 3a ed. Cambridge: Cambridge University Press.

[39] Villarino, M. B. (2008). Ramanujan’s harmonic number expansions into negative powers of a triangular number. J. of inequalities in pure and applied math., 9, 12 p.

[40] Young, R. M. (1991). Euler’s constant. Math. Gaz., 75, 187-190.

[41] Webb, J. (2000). In perfect harmony, +plus magazine 2000. https://plus.maths.org/content/ perfect-harmony.

[42] Diversos autors (2011). Suites & séries. Bibiliothèque Tangente HS, 41. POLE.

32 noubiaix 39

Conclusions del Congrés Català d’Educació Matemàtica (C2EM) El dies 11, 12 i 13 de juliol, a l’Edifici Històric de la Universitat de Barcelona, es va celebrar el Congrés Català d’Educació Matemàtica (C2EM) coorganitzat per la Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya (FEEMCAT) i la Facultat de Matemàtiques de la Universitat de Barcelona.

El congrés va reunir més de 600 mestres i professors d’educació infantil, primària, secundària, batxillerat i universitat principalment de Catalunya, amb l’assistència de professorat de les Illes Balears, la Comunitat Valenciana, el Principat d’Andorra i Madrid.

Els objectius del congrés van ser: •

Contribuir a l’enriquiment professional dels ensenyants de matemàtiques.

•

Compartir pràctiques d’aula que impulsin la construcció de coneixement matemàtic.

•

Destacar la contribució de l’educació matemàtica en la formació integral de la persona.

•

Apropar les matemàtiques a la societat.

•

Afavorir l’ús de xarxes per a mantenir l’intercanvi professional.

•

Acordar línies d’actuació per a la millora de l’educació matemàtica.

Atesos aquests objectius, es va adoptar com a lema del congrés:

Construir matemàtiques Compartir per aprendre

desembre 2016 33

Per tal d’assolir el sisè objectiu, ‘‘Acordar línies d’actuació per a la millora de l’educació matemàtica’’, es van portar a terme cinc debats moderats i coordinats pel comitè científic del congrés, cadascun dels quals corresponia a un dels cinc primers objectius: •

Formació: Necessitats, formats i amplitud.

•

Pràctiques d’aula que impulsen la construcció de coneixement matemàtic ric, valuós i significatiu.

•

Matemàtiques i formació integral de les persones.

•

Matemàtica escolar i imatge social de les matemàtiques.

•

Compartir per construir una millor educació matemàtica.

Una vegada definides unes primeres conclusions a partir de cadascun dels debats, es van fer trobades simultànies per a l’elaboració de les conclusions definitives entorn de cada objectiu del C2EM. Les conclusions finals, que es presenten a continuació, es van posar en comú en l’acte de cloenda del congrés.

Conclusions 1. Els ensenyants són responsables de la seva millora professional i han de poder decidir sobre la seva formació, tant a nivell individual com col·lectiu. La formació ha de ser planificada i s’ha de preveure un seguiment de la seva aplicació a l’aula i les posteriors anàlisi i reflexió, tant pel que fa a l’alumnat com al professorat.

2. La millora professional ha de despertar il·lusió i donar un coneixement específic per a la pràctica d’aula i ha de comportar, necessàriament, una reflexió crítica de la tasca docent.

Així mateix, la millora professional ha de tenir en compte diferents aspectes: • • •

continguts de caire matemàtic i didàctic, espais d’intercanvi d’experiències, i elements de creixement personal.

3. Les associacions de mestres i professors i els grups de treball, que tenen un coneixement directe de l’activitat docent, han de participar en la diagnosi de les necessitats de formació i fer suggeriments a l’Administració educativa, que l’ha de promoure i n’ha d’assegurar la generalització.

4. Es constata que a les nostres aules hi ha una presència desigual de diferents tipus d’activitats. En els propers anys, cal fer incidència en la selecció d’unes activitats més productives que reproductives i de caire més investigador. Cal també, d’una manera especial, fer, cada vegada més, una gestió d’aula en què els alumnes vagin assolint més protagonisme, s’interroguin sobre el que fan i siguin capaços de comunicar-ho a altres persones.

5. Tant el plantejament com la gestió de les pràctiques educatives han de fer-les motivadores, promoure la interacció i tenir en compte la incidència de les actituds i les emocions.

No s’ha de perdre de vista que han de contribuir a assolir els objectius de l’ensenyament

34 noubiaix 39

de les matemàtiques, entre els quals cal destacar els d’ajudar a interpretar el món i prendre decisions d’una manera raonada. Cal que els docents incitin a un debat que permeti fer explícits el sentit i els objectius d’aquestes pràctiques i treballar per tal de generalitzar la seva presència a l’aula d’una manera gradual i sostinguda.

6. L’avaluació no ha de consistir només en una acreditació d’allò que l’alumnat sap i sap fer. Ha de ser una anàlisi continuada i integrada en l’activitat habitual de l’aula, amb un ampli ventall d’eines i estratègies, que permeti, d’una banda, ajudar cadascun dels alumnes en el seu procés d’aprenentatge i, d’altra banda, ajustar la presa de decisions del professorat quant al disseny i la implementació de noves propostes. L’alumne ha de ser un agent actiu d’aquest procés d’avaluació.

7. La matemàtica és una eina fonamental per a entendre el món i resoldre els problemes reals amb què ens trobem. Cal una alfabetització matemàtica per a tota la població que contribueixi a la seva formació integral. Els alumnes poden no ser-ne conscients.

Per tant, el professorat ha de contribuir que l’alumnat en prengui consciència i mostrar com les matemàtiques són presents en moltes ocupacions a partir de l’experiència de professionals del sector.

8. És important contribuir a crear una imatge social més positiva de les matemàtiques, per la qual cosa cal: • • •

més divulgació matemàtica i més compromís com a col·lectiu en aquesta tasca, més i millor difusió de les activitats matemàtiques que ja es fan, i generar un sistema per a crear impulsos que ajudin a millorar la imatge social de les matemàtiques.

9. Promoure experiències positives en matemàtiques per a col·lectius de totes les edats, mostrant que les matemàtiques són per a tothom i que tothom pot fer-ne i gaudir-ne.

10. Promoure accions adreçades a les famílies per tal d’aconseguir que coneguin el que els seus fills treballen a les escoles i contribueixin a la imatge positiva de les matemàtiques.

11. Sensibilitzar els responsables socials i dels mitjans de comunicació per tal que les informacions que es donin amb contingut matemàtic siguin correctes.

12. Les xarxes de mestres i professors (associacions o espais virtuals) són una eina al servei de l’educació matemàtica que cal difondre •

• •

canvien i amplien la manera d’aprendre perquè permeten compartir i construir coneixement de manera col·lectiva, marquen tendències que la pròpia comunitat autoregula, i admeten diferents graus d’implicació dels usuaris.

13. A través de les xarxes es comparteixen experiències d’aula i materials. Per continuar avançant cal enriquir-les amb una implementació fonamentada.

14. Les trobades de mestres i professors són un mitjà, però no l’objectiu final. Les xarxes virtuals mantenen l’esperit de les trobades entre les unes i les altres. Suggerim #matxat per a mantenir-nos en contacte fins a la propera trobada.

Barcelona, 13 de juliol de 2016

desembre 2016 35

Nombres perfectes, amics i sociables.

Una proposta per a l’aula Carles Dorce Facultat de Matemàtiques Universitat de Barcelona cdorce@ub.edu

Resum El context buscat que ens ha de facilitar la introducció de certs temes en la classe de matemàtiques no sempre és l’idoni ni té els resultats esperats. Aquest és el cas dels exemples que trobem en multitud de llibres de text a l’hora de parlar sobre divisibilitat, ja que no tenen en compte que l’agrupament d’objectes no té gairebé cap interès per als nostres alumnes, i probablement, tampoc utilitat. No obstant això, les característiques de certs nombres i la capacitat que té l’alumnat per a jugar-hi poden servir d’excusa per a obrir idees i plantejar raonaments que els problemes tradicionals no recullen. D’aquesta manera, els nombres perfectes, els nombres amics, els nombres sociables i algunes de les seves variants poden ser un bon generador de raonament matemàtic.

Abstract The context we look for to introduce certain mathematical subjects in an easier way is not always suitable and may not have the expected results. This is the case with examples we find in many textbooks when talking about divisibility, since they do not take into account that the clustering of objects is not only of no interest to our students but probably of no use either.

However, the properties of certain numbers and the ability of students to play with them can be used to open up ideas and propose ways of thinking that are not included in traditional problems. Thus, perfect, amicable and sociable numbers and some of their variants can be very good generators of mathematical reasoning.

Introducció La descomposició dels nombres en producte de factors primers, la determinació dels múltiples i divisors d’un nombre i la cerca del màxim comú divisor i del mínim comú múltiple d’un conjunt de nombres no solen trobar-se dins de les activitats més ben considerades per

36 noubiaix 39

l’alumnat de l’Educació Secundària Obligatòria (ESO). Els motius poden ser diversos, com, per exemple, la desvinculació de contextos reals. Si bé no és difícil trobar situacions concretes amb aquest tipus de càlculs, de vegades la tipologia dels problemes plantejats està estretament lligada a solucions de poc interès per a l’alumnat. Agafant un exemple concret (Álvarez, Hernández i altres, 2011): La Cristina té 24 cotxes de joguina i els vol col·locar en fila, de manera que totes les files tinguin el mateix nombre de cotxes. De quantes maneres ho pot fer?

o aquest altre: L’Anna té 7 testos amb geranis i els vol posar en grups, de manera que cada grup ha de tenir el mateix nombre de testos i no n’ha de sobrar cap. Quants testos pot posar en cada grup?

quina diferència hi ha entre aquest tipus de problemes i, per exemple, el que planteja l’enunciat (Sigler, 2002): Hi ha un nombre que quan es divideix per 2, o per 3, o per 4, o per 5, o per 6, el romanent sempre és 1, i és veritablement divisible per 7. De quin nombre es tracta?

Aquest problema va ser plantejat per Leonardo de Pisa, també conegut amb el sobrenom de Fibonacci, en el seu Liber abaci, de 1202. Refent-lo amb la intenció d’adaptar-lo al primer exemple mostrat, ara llegiríem: La Cristina té un determinat nombre de cotxes de joguina i els vol col·locar en fila, de manera que totes les files tinguin el mateix nombre de cotxes. S’ha adonat que els pot col·locar en files de 7 cotxes, però que, si els col·loca en files de 2 cotxes, o de 3, o de 4, o de 5, o de 6, aleshores sempre li’n sobra un. Quina quantitat de cotxes té la Cristina?

Els dos problemes plantegen el mateix i no es pot considerar que el context en el qual s’ha volgut emmarcar la segona opció aporti cap benefici, ans al contrari: l’enunciat s’ha fet llarg i segueix sense tenir l’interès esperat per a l’alumnat.

En el currículum de l’Educació Primària (Decret 142/2007), la introducció de les fraccions es produeix en el bloc de Numeració i Càlcul del cicle inicial, en què s’especifica el primer ús de les fraccions un mig i un quart en contextos significatius. En el cicle mitjà, hi trobem l’ús de diferents models de representació de les fraccions, com ara la representació de nombres «fraccionaris més comuns (1/2, 1/3, 1/4)» sobre la recta numèrica o la seva relació com a nombres que aproximen la mesura. És en aquesta etapa el moment en el qual apareixen les primeres sumes i restes de fraccions «senzilles» acompanyades de la seva representació gràfica. Finalment, en el cicle superior, les fraccions prenen protagonisme i la seva aparició ja va lligada al seu ús i comprensió per a mesurar quantitats comunes en contextos significatius (com poden ser certs problemes geomètrics), així com la seva equivalència amb els nombres decimals i els percentatges corresponents. D’aquesta manera, s’inclou la cerca de fraccions equivalents i la comparació, ordre, suma i resta dels nombres racionals. En aquest cicle també s’han de començar a elaborar conjectures a partir de la cerca de les característiques dels nombres (primers, compostos, múltiples, divisors).

desembre 2016 37

A l’ESO (Decret 143/2007), l’estudi de les fraccions comença des del primer curs recollint tots els continguts ja explicats a Primària, i en els continguts del bloc de Numeració i Càlcul ens trobem també amb la «utilització de factoritzacions, múltiples i divisors en la resolució de problemes» i amb la comprensió del «significat i efecte produït per les operacions amb fraccions».

L’experiència ens diu que l’aparició a les aules dels criteris de divisibilitat, del ja citat càlcul de la factorització en producte de nombres primers i dels consegüents conceptes de divisors, màxim comú divisor, múltiples i mínim comú múltiple no sol ser un plat de bon gust per a la majoria de l’alumnat. A més a més, la recurrència d’aquests temes en els llibres de text dels quatre cursos de l’ESO tampoc no aporta al procés d’aprenentatge cap novetat que no sigui la repetició i consolidació del contingut, que no per ser molt necessàries són més útils. Davant d’aquest panorama, podem aportar algun recurs que ens faciliti la tasca de fer més amè el càlcul dels divisors d’un nombre? És a dir, podem aportar algun aspecte lúdic a aquest procés, en la línia de poder influir en l’«alfabetització emocional» de l’alumnat, la qual inclou la idea del control de la por a les matemàtiques per tal d’aconseguir «l’atenció necessària perquè s’aconsegueixi l’aprenentatge, l’autoconsciència, la motivació, l’entusiasme, la perseverança, l’empatia, l’agilitat mental, etc.» (Gómez Chacón, 1997)? Com està provat, si no hi ha una actitud favorable de l’alumnat vers la matèria, només un procés memorístic pot aconseguir algun tipus de bons resultats d’aprenentatge (Ausubel, Novak i Hanesian, 1983), malgrat que, a posteriori, aquest tipus d’aprenentatge és molt superficial i és de difícil assimilació.

En aquest sentit, la introducció de jocs sempre pot ser molt útil. L’experiència contrastada (Dorce, 2013a) obre la porta a la introducció de jocs numèrics que aportin classes participatives, interessants i amenes que s’oposin a les activitats mecàniques i repetitives que només tenen l’objectiu d’entrenar l’alumnat en rutines (Burgos i altres, 2006). Per tant, presentarem aquí un recurs que ens pot facilitar la introducció, reforç i consolidació del tema de la divisibilitat numèrica. Sense cap mena de dubte, el concepte de nombres perfectes, amics i sociables no és nou, però l’enfocament que aquí s’hi dóna pot ser força útil en les aules dels últims cursos de la Primària i de qualsevol dels cursos de la Secundària.

Nombres perfectes i nombres sublims Es diu que un nombre és perfecte si és igual a la suma dels seus divisors propis, és a dir, la suma dels divisors que són menors que ell. Per exemple, els divisors del nombre 6 són l’1, el 2, el 3 i el 6 i, per tant, el 6 és un nombre perfecte, ja que 6 = 1 + 2 + 3. Dit d’una altra manera,

si considerem la funció σ (n) = d, aleshores un nombre N és perfecte si σ (N) = 2N. d |n

Malgrat que aquest concepte sembla ser originari de les matemàtiques pitagòriques (Dorce, 2013b), la primera referència que tenim del concepte de nombre perfecte la trobem en l’última de les definicions del llibre VII dels enciclopèdics Elements que l’alexandrí Euclides va escriure al voltant del segle III aC, on llegim: «Nombre perfecte és aquell que és igual a les seves pròpies parts». A més a més, en la proposició 36 del llibre IX, Euclides també va demostrar que tot nombre de la forma N = 2n−1 (2n − 1) amb 2n − 1 primer, és perfecte. La demostració d’aquest resultat no és gens difícil, ja que, si anomenem p = 2n − 1, tenim que els divisors propis de N són 1, 2, 22 , . . . ,2n−2 , 2n−1 , p, 2p, 22 p, . . . ,2n−2 p, la suma dels quals és:

38 noubiaix 39

1 + 2 + 22 + · · · + 2n−2 + 2n−1 + p + 2p + 22 p + · · · + 2n−2 p = = (1 + 2 + 22 + · · · + 2n−2 + 2n−1 ) + (1 + 2 + 22 + · · · + 2n−2 ) p = =

2 n− 1 · 2 − 1 2 n− 2 · 2 − 1 + p = (2n − 1) + (2n−1 − 1) p = 2−1 2−1

= (2n − 1) + (2n−1 − 1) (2n − 1) = 2n−1 (2n − 1) Gairebé quatre segles més tard, Nicòmac de Gerasa va escriure una Introducció a l’aritmètica en què es va dedicar a estudiar aquest tipus de nombres, dels quals només en coneixia quatre (6, 28, 496 i 8128), i va arribar a donar unes quantes propietats: 1. Fixem-nos que hi ha un nombre perfecte d’una xifra, un altre de dues, un altre de tres i un altre de quatre. Per tant, Nicòmac va veure clar que hi havia d’haver un nombre perfecte per a cada unitat de la base 10. Així, el següent nombre perfecte havia de tenir cinc xifres.

2. Per tant, Nicòmac suposava l’existència d’infinits nombres perfectes.

3. És una evidència que els quatre nombres perfectes són parells i no seria d’estranyar que tots els nombres perfectes també ho fossin.

4. A més a més, observem també que els quatre nombres acaben successivament en 6, 8, 6 i 8. Per tant, el cinquè nombre perfecte hauria d’acabar en 6, el sisè en 8, etc.

5. Finalment, si s’havia de trobar un cinquè nombre perfecte s’havia de fer mitjançant la fórmula d’Euclides, ja que tots els nombres perfectes havien de ser d’aquesta forma.

Tot i aquestes pistes, Nicòmac no va ser capaç de trobar el cinquè nombre perfecte i no va ser fins al segle xiii que va veure la llum: Ismāc ı̄l ibn Ibrāhı̄m ibn Fallūs (m. c. 1250) va comentar l’Aritmètica de Nicòmac (Brentjes, 1987) i després de donar la fórmula d’Euclides N = 2n−1 (2n − 1) amb 2n − 1 primer, va calcular els casos n = 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19 i 23: n=2

N=6

Perfecte.

n=3

N = 28

Perfecte.

n=5

N = 496

Perfecte.

n=7

N = 8128

Perfecte.

n=9

N = 130816

Però 29 − 1 = 7 · 73. No perfecte.

n = 11

N = 2096128

Però 211 − 1 = 23 · 89. No perfecte.

n = 13

N = 33550336

Perfecte.

n = 17

N = 8589869056

Perfecte.

n = 19

N = 137438691328

Perfecte.

n = 23

N = 35184367894528

Però 223 − 1 = 47 · 178481. No perfecte.

Ibn Fallūs va cometre tres errades en la seva llista, però la taula ens serveix per a adonar-nos que, ja des del temps dels grecs, s’havia vist que n no podia ser parell si n > 2, ja que si n = 2k = 2, aleshores 2n − 1 no és un nombre primer: 2n − 1 = 22k − 1 = (2k )2 − 1 = (2k + 1) · (2k − 1)

desembre 2016 39

A més a més, les afirmacions primera i quarta de Nicòmac no eren certes i quedava per endavant un llarg període d’investigacions sobre aquests nombres. Els nombres perfectes havien arribat al món àrab de la mà de Thābit ibn Qurra (836-901) i, a banda de la llista d’Ibn Fallūs, va ser el gran Ibn al-Haytham (965-1040) qui més va acostar-se a donar un resultat important sobre el tema: el recíproc de la proposició d’Euclides, és a dir, que si N és un nombre perfecte parell, aleshores és de la forma N = 2n−1 (2n − 1) amb 2n − 1 primer (Rashed, 1994).

A l’Europa occidental, l’aparició dels nombres perfectes no va ser matemàtica sinó més aviat religiosa. Sant Agustí (354-430), en la seva Ciutat de Déu, va destacar que Déu havia construït el nostre món en sis dies justament perquè aquest nombre és perfecte! Matemàticament parlant, l’aparició del cinquè nombre perfecte, 33.550.336, es troba en un manuscrit anònim de 1458 i també en els papers de Johannes Müller, també conegut pel seu nom llatinitzat, Regiomontanus 1436-1476). El 1536, Hudalrichus Regius va trencar la idea que tot nombre de la forma 2n − 1 amb n primer havia de ser també primer a trobar la descomposició del cas n = 11. També va demostrar que 213 − 1 = 8191 és primer, trobant així indirectament aquest cinquè nombre perfecte.

El 1603, l’italià Pietro Cataldi (1548-1626) va escriure el Tractat dels nombres perfectes, en què es va dedicar a donar tots els nombres primers menors de 750. Amb l’ajut d’aquesta taula, va poder demostrar que 217 − 1 = 131071 i 219 − 1 = 524287 són nombres primers i, d’aquesta manera, va redescobrir el sisè i el setè nombres perfectes. A més a més, va atrevir-se a afirmar que 2n − 1 és primer per a n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 29, 31 i 37.

El següent pas, el trobem en una carta que el francès Pierre de Fermat (1601-1665) va enviar al pare Marin Mersenne (1588-1648) el 1640, en què es va dedicar a estudiar els nombres 2n − 1, als quals va denominar radicals. Fermat va arribar a la conclusió que: 1. n compost ⇒ 2n − 1 compost.

2. n primer ⇒ 2n − 2 és divisible per 2n.

3. n i p primers senars i 2n − 1 divisible per p ⇒ p − 1 és divisible per 2n. Així, si n és primer, aleshores 2n − 1 no pot ser divisible per cap altre primer que no sigui de la forma 2kn + 1.

Seguint darrere d’aquests nombres, el mateix Fermat va acabar deduint un resultat equivalent al seu petit teorema, és a dir, si p és un nombre primer i a és un enter no divisible per p, aleshores ap−1 − 1 és divisible per p. Fermat va poder demostrar, doncs, que els casos n = 23 i 37 de Cataldi eren erronis, ja que va aconseguir factoritzar-los. Per la seva banda, Mersenne va quedar força impressionat amb els avenços de Fermat i va arribar a publicar, sense demostrar-ho, que 2n − 1 és un nombre primer per n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 i 257. Per aquesta raó, els nombres de la forma Mn = 2n − 1 són coneguts actualment com a nombres de Mersenne.

Com a resultat interessant, cal dir que el 1732, Leonhard Euler (1707-1783) va demostrar el recíproc de la regla d’Euclides per a nombres perfectes parells donant veracitat així a la cinquena de les afirmacions de Nicòmac, que suposava que el nombre perfecte inicial era parell (Dickson, 1971).

40 noubiaix 39

La història d’anar trobant nombres perfectes a partir dels nombres de Mersenne encara perdura avui dia. El 25 de gener de 2013, el professor Curtis Cooper, de la Universitat Central de Missouri, va descobrir el 48è nombre perfecte trobat fins ara. Es tracta del cas n = 57885161, que converteix el nombre 257885161 − 1 en el nombre primer més gran conegut fins ara: té 17.425.170 xifres!

No s’ha demostrat encara si existeixen infinits nombres perfectes i tots els que s’han trobat són parells.

Ara bé, no es pot acabar de parlar sobre nombres perfectes sense considerar els dos únics nombres sublims coneguts. El primer és el 12, ja que, d’una banda, la suma dels seus divisors propis és igual a 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28, un nombre perfecte, i de l’altra, el nombre dels seus divisors propis és igual a 6, un altre nombre perfecte. Respecte del segon nombre sublim, es pot dir que és el S = 2126 (23 − 1) (25 − 1) (27 − 1) (219 − 1) (231 − 1) (261 − 1) i que té 76 xifres decimals i 8.128 divisors.

Nombres amics, amistosos i solitaris Seguint amb les sumes de divisors, un altre tipus de nombres curiosos i que també tenen el seu origen en els matemàtics pitagòrics és el corresponent als nombres amics. Calculem la suma dels divisors propis del nombre 220: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 Com es pot veure, el 220 és un nombre abundant, és a dir, la suma dels seus divisors propis és major que ell, però... i el 284? Els seus divisors propis sumen: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 Per tant, la suma dels divisors propis del 220 és igual al 284, i viceversa, la suma dels divisors propis del 284 és igual al 220 (amb què el 284 és un nombre deficient, ja que la suma dels seus divisors propis és menor que ell). Direm que el 220 i el 284 són dos nombres amics.

Curiosament, en el llibre del Gènesi (32:14), Jacob es preparava per a trobar-se amb el seu germà Esaú i li «va preparar un obsequi [...]: dues-centes cabres i vint bocs, dues-centes ovelles i vint moltons». Per explicar aquest nombre, el cabalista marroquí Abraham ben Mordecai Azulai (c. 1570-1643) va tenir-ho molt clar: El nostre avantpassat Jacob va preparar el seu regal d’una manera molt sàvia. El nombre 220 és un secret amagat, essent un dels dos nombres tals que les seves parts són iguals a les de l’altre, 284, i viceversa. I Jacob n’era conscient; això ha estat escollit pels antics per garantir l’amor dels reis i els dignataris.

Tornant al sentit estrictament matemàtic, els antics grecs van obviar aquesta propietat i no va ser fins a les investigacions de Thābit ibn Qurra al segle ix que no van revifar. Ibn Qurra va escriure un Tractat sobre els nombres amics en el qual va donar una regla per a trobar-ne: per a n > 1, si p = 3 · 2n−1 − 1, q = 3 · 2n − 1 i r = 9 · 22n−1 − 1 són tots tres primers, aleshores

desembre 2016 41

M = 2n pq i N = 2n r són amics. Així, si n = 2, es té que p = 5, q = 11 i r = 71 primers, i els nombres M = 4pq = 220 i N = 4r = 284 són amics. Després d’Ibn Qurra, la regla va ser coneguda a bastament en el món àrab i exemple d’això és la seva aparició en les obres d’Abū al-Saqr al-Qabı̄sı̄ (s. X), al-Karajı̄ (c. 953−c.1029), Abū Tāhir al-Bagdadı̄ (m. 1037), al-Zanjānı̄ (c. 1257), Kamāl al-Dı̄n al-Fārisı̄ (m. 1320), Ibn al-Bannā’ al-Marrakushı̄ (c. 1256−c.1321) i Jamshı̄d al-Dı̄n al-Kāshı̄ (1380-1429), entre d’altres. En els seus càlculs, al-Fārisı̄ va trobar la segona parella, 17296 i 18416, corresponent al cas n = 4. Arribats al segle XVII, Fermat i René Descartes (1596-1650) van redescobrir la fórmula entre els anys 1636 i 1638 i, a banda d’aquest cas n = 4, també van arribar al cas n = 7, és a dir, els nombres 9363584 i 9437056 (també al segle XVII, al-Jazdı̄ va arribar a aquesta última parella). Un segle més tard, el 1747, Euler va donar una llista de trenta parelles més, que ell mateix va augmentar a seixanta posteriorment (Euler, 1747).

Si bé actualment els nombres perfectes que coneixem no arriben a la cinquantena, hi ha milions de parelles de nombres amics. I, per descomptat, una curiositat: el 1866, un noi italià de 16 anys anomenat Niccolò Paganini, com el famós compositor, va ser capaç de descobrir el segon parell de nombres amics més petits que existeix: el 1184 i el 1210!

L’any 1913, L. E. Dickson va generalitzar aquesta idea i va definir els triplets de nombres amics en què la suma dels divisors propis d’un d’ells és igual a la suma dels altres dos (Dickson, 1913). Exemples d’aquests triplets són els nombres 293 · 337 A, 5 · 16.561 A i 99.371 A, en què A = 25 · 3 · 13, o 3 · 89 B, 11 · 29 B i 359 B, en què B = 214 · 5 · 19 · 31 · 151. Mitjançant un altre algorisme diferent del de Dickson, el 1960, A. Makowski va trobar el triplet 22 · 32 · 5 · 11 = 1980, 25 · 32 · 7 = 2016 i 22 · 32 · 71 = 2556 (Makowski, 1960 i 1961).

El 1921, T. E. Mason va generalitzar els triplets de Dickson a grups de n nombres amics en què la suma dels divisors propis d’un d’ells és igual a la suma dels altres n − 1 (Mason, 1921).

S’ha de dir que el grup de quatre nombres amics més petit que es coneix està format pels nombres 842448600, 936343800, 999426600 i 1110817800.

Un altre grup de parelles interessant és el dels nombres gairebé amics, és a dir, que no són amics per molt poc. Per exemple, si agafem el nombre 48, calculem els seus divisors propis i els sumem, obtenim 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 = 76. D’altra banda, si ara ens quedem amb el nombre 76 − 1 = 75 i fem el mateix, el resultat que obtenim és 1 + 3 + 5 + 15 + 25 = 49.

Una unitat més que el 48! En aquest cas, direm que la parella formada per 48 i 75 està formada per nombres gairebé amics (Guy, 1994). Les parelles 140 i 195, 1575 i 1648, i 1050 i 1925 en són altres exemples, i malgrat que sembli una condició més feble que la de ser amics, s’ha de dir que només hi ha 46 parelles d’aquests nombres menors que 107 i que totes són de paritat diferent.

Per acabar, C. W. Anderson i D. Hickerson van batejar com un parell amistós de nombres aquells dos nombres m i n que compleixen Σ (n) = Σ (m), en què Σ (n) = 1n σ (n) (Anderson i Hickerson, 1977). Per exemple, la parella formada per dos nombres perfectes sempre serà amistosa, ja que si N i M són perfectes, es complirà Σ (N) = Σ (M) = 2. Un altre exemple el trobem en la parella formada pels nombres 135 i 819, ja que Σ (135) = Σ (819) = 16 .

9 En contrapartida, es diu que un nombre és solitari si no està inclòs en cap parella amistosa de nombres. De moment podem constatar que si el màxim comú divisor de N i σ (N) és igual a

42 noubiaix 39

1, aleshores N és solitari. Així, els nombres primers són solitaris i també ho són el 4, el 8, el 9, el 16, el 21... No obstant això, encara queden moltes preguntes obertes, com ara quina és la condició de nombres com el 10, el 14 o el 15 (Hickerson, 2002).

Nombres sociables Una generalització tant dels nombres perfectes com dels nombres amics és el concepte de nombres sociables. Els introduirem amb un parell d’exemples. Suposem que agafem el 15, del qual ja sabem que no és perfecte i que no pertany a una parella de nombres amics. Aleshores, quin és el resultat de la suma dels seus divisors propis? Fem-la: σ∗ (15) = σ (15) − 15 = 1 + 3 + 5 = 9. Comprovem, en efecte, que no és perfecte. Vegem ara que no pertany a una parella de nombres amics: σ∗ (9) = σ (9) − 9 = 1 + 3 = 4. Tornem-hi. Què passa ara amb el 9?

Doncs σ∗ (9) = 4, σ∗ (4) = 3 i σ∗ (3) = 1.

Ja hem vist que quan ens dediquem a sumar divisors propis, de vegades obtenim directament el nombre buscat (és el cas dels nombres perfectes) i, d’altres vegades, obtenim el nombre inicial després d’haver passat per un pas intermedi (els nombres amics). És a dir, σ∗ (6) = 6 i σ∗ (220) = 284 → σ∗ (284) = 220. Ara, la pregunta és: existeixen nombres N1 , N2 , . . . ,Nk tals que σ∗ (Nj ) = Nj+1 per 1 ≤ j < k, i σ∗ (Nk ) = N1 ? En aquest cas, direm que els nombres N1 , N2 , . . . ,Nk són nombres sociables. Si k = 1, els nombres són perfectes, i si k = 2, els dos nombres són amics. Tot i així, la resposta a la pregunta anterior no és gens senzilla. De fet, el 1918, P. Poulet va determinar el grup de k = 5 nombres sociables 12496, 14288, 15472, 14536 i 14264, des del qual σ∗ (14264) = 12496 (Poulet, 1918). També va trobar que el nombre 14316 era el primer d’una cadena de 27 més (k = 28) i aquestes associacions van ser les úniques conegudes fins que el 1970, H. Cohen va trobar nou grups de k = 4 amb l’ajut d’un ordinador (Cohen, 1970).

Activitats d’aula Quan s’explica a l’aula la factorització d’un nombre en producte de nombres primers o, fins i tot, el concepte i el càlcul del màxim comú divisor o del mínim comú múltiple, la manipulació dels divisors primers d’un nombre ens dóna una oportunitat única per introduir tots aquests conceptes explicats. Suposem que tenim la gran sort d’haver de factoritzar el nombre 28 = 22 · 71 : 28 14 7 1

2 2 7

Com calculem tots els seus divisors? En primer lloc, podem començar determinant el nombre de divisors que hem de trobar, per tal de no deixar-nos-en cap: Proposició: Si N > 1 és un nombre natural tal que la seva descomposició en producte de factors primers és N = pn11 pn22 · · · pnk k , aleshores el seu nombre de divisors és n = (n1 + 1) (n2 + 1) · · · (nk + 1).

desembre 2016 43

Demostració: És evident que tots els possibles divisors de N són els sumands del producte (1 + p1 + p21 + · · · + pn11 ) · (1 + p2 + p22 + · · · + pn21 ) · · · · · (1 + pk + p2k + · · · + pnk k ) i, per tant, el nombre de sumands és n = (n1 + 1) (n2 + 1) · · · (nk + 1).

En el nostre cas, per a N = 28 tenim n1 = 2 i n2 = 1 i, consegüentment, el seu nombre de divisors és (2 + 1) · (1 + 1) = 3 · 2 = 6. A més a més, seguint el producte descrit en la proposició, no és difícil trobar quins són aquests divisors:

1

p1

p21

Multiplicat per 1:

1

2

4

Multiplicat per p2 = 7:

7

14

28

Ara és el moment de veure quines propietats té el nombre 28 i preguntar als alumnes sobre elles. Quines saben? Què en poden dir? Algunes possibles respostes són (en cursiva les reflexions del professor): 1. És un nombre parell. Per tant, no és senar. Molt bé.

2. És un nombre compost. Per tant, no és primer. Molt bé.

3. És el nombre de fitxes que té el dòmino. Bona observació, però no és una propietat numèrica.

4. És un múltiple de 4. I també de 7, de 14 i de 28.

5. És el nombre de dies del mes de febrer. No és una propietat numèrica, però algun dia hauríem de parlar sobre aquest tema.

6. El meu germà té 28 anys. Ah, sí?

7. Jo visc al número 28 del carrer... Prou, ara ja no anem enlloc.

Hi ha un moment en què la classe deixa de produir i és necessari dirigir la pauta: Observeu bé les seves dues xifres.

1. La primera és un 2 i la segona és un 8. S’esperava una mica més que aquesta observació tan òbvia.

2. 8 = 2 · 2 · 2 = 23 . Bona! Algun dia també hauríem d’estudiar aquest tipus de nombres. És força difícil que algú vegi que 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Tanmateix, un cop explicada aquesta propietat, es pot proposar si entre el 2 i el 10 són capaços de trobar-ne un altre:

N

Suma dels divisors

N

Suma dels divisors

1

1

6

1+2+3=6

2

1

7

1

3

1

8

1+2+4=7

4

1+2=3

9

1+3=4

5

1

10

1+2+5=8

44 noubiaix 39

A partir de la taula, es pot veure que 6 = 1 + 2 + 3 i... què més?

1. Si N és un nombre primer, la suma dels seus divisors propis sempre dóna 1. Correcte!

Evident perquè N només té l’1 i el propi N com a divisors.

2. Si la suma no dóna igual (el cas del 6), aleshores sempre dóna menor. Conjectura 1: la suma dels divisors propis d’un nombre sempre és igual o menor al nombre.

3. Hi ha més nombres que no tenen la propietat que busquem que no pas els que la tenen: només hem trobat el 6 entre els deu primers! Conjectura 2: hi ha pocs nombres perfectes.

Per poder investigar una mica més en aquestes dues conjectures, és interessant calcular la suma dels divisors propis entre l’11 i el 20:

N

Suma dels divisors

N

Suma dels divisors

11

1

16

1 + 2 + 4 + 8 = 15

12

1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16

17

1

13

1

18

1 + 2 + 3 + 6 + 9 = 21

14

1 + 2 + 7 = 10

19

1

15

1+3+5=9

20

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22

Desmuntada la conjectura 1, és el moment de definir el concepte de nombre perfecte i també el de nombre deficient i el de nombre abundant. A més a més, per començar a preparar el tractament de la conjectura 2, va bé avisar que, entre els primers deu mil nombres, només el 6, el 28, el 496 i el 8128 són perfectes. Comprovem-ho! L’alumnat els factoritza, calcula el nombre de divisors de cadascun d’ells i també els seus divisors i la seva suma: 6 = 1+2+3 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 Si, a més a més, estem treballant les operacions amb fraccions, convé saber que una de les propietats més curioses d’aquest tipus de nombres és que la suma dels inversos dels seus divisors sempre dóna 2: 1 1 1 1 6 3 2 1 12 + + + = + + + = =2 1 2 3 6 6 6 6 6 6 1 1 1 1 1 1 28 14 7 4 2 1 56 + + + + + = + + + + + = =2 1 2 4 7 14 28 28 28 28 28 28 28 28 Fixem-nos que, un cop fet el mínim comú múltiple, els numeradors obtinguts són justament tots els divisors del nombre perfecte.

desembre 2016 45

Una altra propietat interessant i que no és difícil de demostrar, malgrat que implica un cert grau d’abstracció i domini de les propietats de les potències, és el fet que tot nombre perfecte parell acaba en 6 o en 8. Com N = 2n−1 (2n − 1) amb n i 2n − 1 primers, n ha de ser senar i, per tant, n = 4k + 1 o bé n = 4k + 3. Si n = 4k + 1, aleshores: N = 24k (24k+1 − 1) = 16k (2 · 16k − 1) És evident que 16k sempre acabarà en 6 ja que 6 · 6 = 36. Per tant, 2 · 16k acabarà en 2 i 2 · 16k − 1 acabarà en 1, i el producte 16k (2 · 16k − 1) acabarà en 6. De la mateixa manera, si n = 4k + 1, aleshores: N = 24k+2 (24k+3 − 1) = 4 · 16k (8 · 16k − 1) En aquest cas, 16k acaba en 6, 4 · 16k acaba en 4, 8 · 16k acaba en 8 i 8 · 16k − 1 acaba en 7.

Per tant, 4 · 16k (8 · 16k − 1) acabarà en 8.

Finalment, una tercera propietat interessant és l’expressió que tenen els nombres perfectes en base 2. És difícil de poder implementar-la a classe perquè les bases de numeració no estan explícitament contemplades en el currículum obligatori de l’ESO (Decret 143/2007), però com que els canvis de base impliquen divisions, sempre pot usar-se com un estímul més a l’aula. Així, observem l’expressió dels quatre primers nombres perfectes expressats en base 2:

n

N = 2n−1 (2n − 1) en base 10

N = 2n−1 (2n − 1) en base 2

Nombre de xifres

Nombre d’uns

Nombre de zeros

2

6

110

3

2

1

3

28

11100

5

3

2

5

496

111110000

9

5

4

7

8.128

1111111000000

13

7

6

Fixem-nos que l’expressió en base 2 de cadascun dels quatre nombres té un total de 2n − 1 xifres, de les quals, n són 1 i n − 1 són 0. Per tant, no és difícil pronosticar que el cinquè nombre perfecte, corresponent a n = 13, tindrà 25 xifres, encapçalades per 13 uns seguits de 12 zeros. La demostració d’aquesta propietat és evident a partir de l’expressió euclidiana N = 2n−1 (2n − 1) = 22n−1 − 2n−1 .

Una curiositat final. Si sumem les xifres d’un nombre perfecte N > 6, i tornem a sumar les del resultat obtingut i així reiteradament fins a arribar a tenir una única xifra decimal, el resultat és: 28

2 + 8 = 10

1+0=1

496

4 + 9 + 6 = 19

1 + 9 = 10

1+0=1

8128

8 + 1 + 2 + 8 = 19

1 + 9 = 10

1+0=1

33550336

3 + 3 + 5 + 5 + 0 + 3 + 3 + 6 = 28

2 + 8 = 10

1+0=1

Sempre 1!

46 noubiaix 39

Una extensió del concepte de nombres perfectes són els nombres multiperfectes N, definits per la igualtat σ∗ (N) = kN per a un cert k (si k = 1 estem un cop més davant dels nombres perfectes). Però, què passa si k = 2 o k = 3? La recerca d’aquest tipus de nombres és força complicada perquè, per exemple, actualment només es coneixen sis nombres multiperfectes per a k = 2 i no se sap encara si són els únics: 120, 672, 523776, 459818240, 1476304896 i 51001180160. Per poder fer una aproximació al problema i seguir treballant amb la funció σ∗ , podem tornar a demanar a l’alumnat la confecció d’una taula amb el càlcul de la suma dels divisors propis dels nombres naturals compostos (ja que σ∗ (p) = 1 si p és primer) i la corresponent k obtinguda: N

σ∗ (N)

k

N

σ∗ (N)

k

N

σ∗ (N)

k

4

3

3 4

20

22

11 10

33

15

5 11

6

6

1

21

11

11 21

34

20

10 17

8

7

7 8

22

14

7 11

35

13

13 35

9

4

4 9

24

36

3 2

36

55

55 36

10

8

4 5

25

6

6 25

38

22

11 19

12

16

4 3

26

16

8 13

39

17

17 39

14

10

5 7

27

13

13 27

40

50

5 4

15

9

3 5

28

28

1

42

54

9 7

16

15

15 16

30

42

7 5

44

40

10 11

18

21

7 6

32

31

31 32

45

33

11 15

A la vista dels primers resultats, ja es fa evident la dificultat de trobar nombres multiperfectes. A més a més, si considerem la definició de nombre multiperfecte en funció de σ (N) = (k + 1) N = k N en lloc de σ∗ (N), la cerca de les k equival al càlcul de la funció Σ (N) que definia els nombres amistosos, els quals, com hem vist, són difícils de trobar. Posem un exemple més. La parella formada pels nombres 4320 i 4680 és amistosa: Σ (4.320) =

σ (4320) 15120 7 5 = = = k ⇒ k = 4320 4320 2 2

Σ (4.680) =

σ (4680) 16380 7 5 = = = k ⇒ k = 4680 4680 2 2

De la mida de la taula calculada, només tenim les parelles formades pel 12 i el 234 (k = 43 ), el 24 i el 91963648 (k = 32 ), el 30 i el 140 (k = 75 ) i el 40 i el 224 (k = 54 ). De fet, el 30 pertany a un grup amistós de cinc nombres format pel 30, el 140, el 2480, el 6200 i el 40640.

Així doncs, veiem com els nombres perfectes poden ser una font de problemes, debats, aportacions, propietats, curiositats, demostracions... amb què esdevenen un recurs molt útil a l’aula de matemàtiques.

desembre 2016 47

Igual que al començament s’ha definit la funció σ, ara també es pot definir la funció τ (n) =

d

d |n

i, aleshores, considerar els nombres N tals que τ (N) = N2 (Sándor, 2001). Per exemple, N = 6 compleix que el producte dels seus divisors és igual a τ (6) = 1 · 2 · 3 · 6 = 62 . En aquest cas, direm que el 6 és un nombre multiplicativament perfecte, o simplement, m-perfecte.

Deixant de banda els nombres primers p > 1, ja que és evident que τ (p) = p = p2 , podem confeccionar una taula per fer-nos una primera idea de si n’hi ha molts o pocs i de si són difícils de trobar (aquesta taula podria ser demanada a l’alumnat com a primer pas per començar una cerca de nombres m-perfectes): N

Producte dels divisors

N

Producte dels divisors

4

1 · 2 · 4 = 8 = 4

16

1 · 2 · 4 · 8 · 16 = 1024 = 162,5

6

1 · 2 · 3 · 6 = 36 = 62

18

1 · 2 · 3 · 6 · 9 · 18 = 5832 = 183

8

1 · 2 · 4 · 8 = 64 = 82

20

1 · 2 · 4 · 5 · 10 · 20 = 8.000 = 203

9

1 · 3 · 9 = 27 = 91,5

21

1 · 3 · 7 · 21 = 441 = 212

10

1 · 2 · 5 · 10 = 100 = 102

22

1 · 2 · 11 · 22 = 484 = 222

12

1 · 2 · 3 · 4 · 6 · 12 = 1728 = 123

24

1 · 2 · 3 · 4 · 6 · 8 · 12 · 24 = 331776 = 244

14

1 · 2 · 7 · 14 = 196 = 142

25

1 · 5 · 25 = 125 = 251,5

15

1 · 3 · 5 · 15 = 225 = 152

26

1 · 2 · 13 · 26 = 676 = 262

2

Podem observar algun patró? Evidentment que sí. Per guiar l’alumnat, només cal que classifiquin els nombres segons el resultat obtingut: No s’obté cap potència natural

τ (N) = N2

τ (N) = N3

τ (N) = N4

4 = 22

6=1 · 2 · 3

12 = 1 · 22 · 3

24 = 1 · 23 · 3

9 = 32

8 = 1 · 23

18 = 1 · 2 · 32

25 = 52

10 = 1 · 2 · 5

20 = 1 · 22 · 5

14 = 1 · 2 · 7 15 = 1 · 3 · 5 ...

Podem treure alguna conclusió? Algunes possibles respostes dels alumnes són: 1. Els nombres quadrats no són m-perfectes. Perfecte! Haurem de treballar la raó.

2. Els nombres de la forma N = p1 · p2 amb p1 = p2 sí que ho són. Molt bé.

3. I els de la forma N = p21 · p2 amb p1 = p2 compleixen τ (N) = N3 . Això s’anima.

4. I els de la forma N = p31 · p2 amb p1 = p2 compleixen τ (N) = N4 . I què hi ha de les potències?

5. De moment, si N = p31 sí que compleix τ (N) = N2 .

48 noubiaix 39

Per veure si podem trobar una regla general, és força interessant anar proposant nombres i, segons la seva descomposició factorial en producte de primers, anar comprovant les conjectures establertes. Per exemple: 1. N = 27 = 33 ⇒ τ (27) = 1 · 3 · 9 · 27 = 729 = 272 , d’acord amb la conjectura 5.

2. N = 28 = 22 · 7 ⇒ τ (28) = 1 · 2 · 4 · 7 · 14 · 28 = 21952 = 283 , d’acord amb la conjectura 3.

3. N = 30 = 2 · 3 · 5 ⇒ τ (30) = 1 · 2 · 3 · 5 · 6 · 10 · 15 · 30 = 81000 = 304 .

Aquest resultat no el teníem controlat. Provem-ne un altre de semblant: 1. N = 70 = 2 · 5 · 7 ⇒ τ (30) = 1 · 2 · 5 · 7 · 10 · 14 · 35 · 70 = 704 . Per tant, podem conjecturar que els nombres de la forma N = p1 · p2 · p3 compleixen τ (N) = N4 .

2. N = 32 = 25 ⇒ τ (32) = 1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 = 21952 = 323 . Ens surt una nova conjectura.

Un cop més, veiem la font de problemes i de raonaments que ens aporta aquest tipus de nombres. A partir d’aquí, no és difícil poder generalitzar algun dels resultats conjecturats amb llenguatge algebraic. Per exemple: Proposició: Si N > 1 és de la forma N = p1 · p2 amb p1 = p2 , aleshores τ (N) = N2 .

Demostració: Si N = p1 · p2 , aleshores els seus únics divisors són 1, p1 , p2 i p1 · p2 , i el seu producte és 1 · p1 · p2 · (p1 · p2 ) = p21 · p22 = (p1 · p2 )2 = N2 .

Per seguir amb les definicions curioses, si N és un nombre m-perfecte (τ (N) = N2 ) i també compleix τ (τ (N)) = N2 , aleshores s’anomena m-superperfecte, i si un nombre N compleix τ (N) = Nk per a un cert k, aleshores s’anomena m-multiperfecte. (Sándor, 2001). Amb aquestes noves definicions es pot demostrar que: 1. El 6 és l’únic nombre perfecte que és també m-perfecte.

2. El 28 és l’únic nombre perfecte que és també m-multiperfecte per a k = 3.

3. No hi ha cap nombre perfecte que sigui també m-multiperfecte per a k = 4.

4. El 496 és l’únic nombre perfecte que és també m-multiperfecte per a k = 5.

Finalment, una pregunta oberta: hi ha algun nombre m-superperfecte? Probablement, una primera aproximació numèrica al problema de seguida determinarà la seva dificultat, i evidenciarà també la necessitat de fer ús del llenguatge algebraic i d’una demostració general per a resoldre’l. Donant per fet que un nombre m-perfecte és de la forma N = p1 · p2 amb p1 = p2 o bé N = p31 , aleshores: Proposició: No existeixen nombres m-superperfectes.

Demostració: Si N = p1 · p2 amb p1 = p2 , aleshores τ (N) = (p1 · p2 )2 i, per tant, els seus divisors són 1, p1 , p21 , p2 , p1 p2 , p21 p2 , p22 , p1 p22 i p21 p22 , el producte dels quals és τ (τ (N)) = p91 · p92 = N9 .

De manera similar es fa en el cas N = p31 .

desembre 2016 49

Futures investigacions i aplicacions Un cop encetat aquest tema, s’ha de dir que hi ha molts més tipus de nombres susceptibles de ser usats a l’aula en diversos contextos i que ens poden servir igualment per a motivar l’alumnat i jugar-hi. Per exemple, els coneguts com a nombres de Harshad (del sànscrit harsha i da, que, traduït, vol dir quelcom semblant a ‘productor de goig’) o de Niven són els nombres divisibles per la suma de les seves xifres (Kaprekar, 1955, i Kennedy, Goodman i Best, 1980).

Per exemple, qualsevol nombre d’una xifra és divisible per ell mateix i, doncs, és un nombre de Harshad. Què passa amb els nombres de dues xifres? Un ràpid cop d’ull a tots els nombres 10 ≤ N ≤ 19 ens permet constatar que el 10, el 12 i el 18 són nombres de Harshad, i si ampliem la mostra fins a N ≤ 99, és fàcil comprovar que només hi ha 32 nombres menors que 100 amb aquesta propietat.

Aquest tipus de nombres poden ser una bona excusa per a repassar els criteris de divisibilitat o, fins i tot, mostrar propietats que haurien pogut passar desapercebudes d’una altra manera.

Per exemple, la determinació d’aquests primers nombres de Harshad es pot fer a partir d’anar considerant quines combinacions de dues xifres sumen el nombre pel qual hem de dividir: Nombre no divisible per la suma d de les seves xifres

d

Nombre de Harshad

1

10

2

20

3

12, 21, 30

4

40

13, 22, 31

5

50

14, 23, 32, 41

6

24, 42, 60

15, 33, 51

7

70

16, 25, 34, 43, 52, 61

8

80

17, 26, 35, 44, 53, 62, 71

9

18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90

11

10

19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91

11

29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92

12

48, 84

39, 57, 66, 75, 93

13

49, 58, 67, 76, 85, 94

14

59, 68, 77, 86, 95

15

69, 78, 87, 96

16

79, 88, 97

17

89, 98

Una propietat que podem veure ràpidament és per què s’ensenya el criteri de divisibilitat d’un nombre com el 9, ja que veiem clarament que tots els resultats obtinguts a la taula de multiplicar del 9 són múltiples d’aquest nombre.

50 noubiaix 39

A més a més, es poden intentar buscar sèries de nombres de Harshad consecutius i es pot apuntar que és demostrable que no hi ha cap d’aquestes sèries que contingui més de 20 nombres (Grundman, 1994).

Veiem, doncs, que en les propietats aritmètiques dels nombres tenim una gran font de curiositats, propietats i demostracions que poden convertir les nostres classes en moments tan divertits com interessants.

Referències Álvarez, M. D., Hernández, J. i altres (2011). Matemàtiques 1 ESO. Barcelona: Santillana.

Anderson, C. W., Hickerson, D. (1977). Friendly Integers. American Mathematical Monthly, 84, 65-66.

Ausubel, D. P., Novak, J. D., Hanesian, H. (1983). Psicología educativa: un punto de vista cognitivo.

Mèxic: Trillas.

Brentjes, S. (1987). Die ersten sieben volkommenen Zahlen und drei Arten befreudeter Zahlen in einem Werk zur elementaren Zahlentheorie von Ismāc ı̄l b. Ibrāhı̄m b. Fallūs.

NTM-Schriftenreihe für Geschichte der Naturwissenschaften, Technik und Medizin, 24, 1, 21-30.

Burgos, S., Domínguez, M., Rojas, F. J., Planas, N., Vilella, X. (2006). La participación en el aula de matemáticas. Dins J. M. Goñi (coord.), Matemáticas e interculturalidad (p. 49-62). Barcelona: Graó.

Cohen, H. (1970). On Amicable and Sociable Numbers. Mathematics of Computation, 24, 423-429.

Decret 142/2007 DOGC 4915. Currículum de l’Educació Primària - Àrea de matemàtiques.

Decret 143/2007 DOGC 4915. Currículum d’Educació Secundària Obligatòria - Àrea de matemàtiques.

Dickson, L. E. (1913). Amicable Number Triplets. American Mathematical Monthly, 20, 84-92.

Dickson, L. E. (1971). History of the Theory of Numbers. Vol. 1. Nova York: Chelsea Publishers Co. Dorce, C. (2013a). El Joc del 1089 en l’ensenyament dels nombres decimals i la introducció del llenguatge algebraic. NouBiaix, 33 (octubre 2013), 22-35.

Dorce, C. (2013b). Història de la matemàtica. Des de Mesopotàmia fins al Renaixement. Barcelona: Publicacions i Edicions de la Universitat de Barcelona.

Euler, L. (1747). De numeris amicabilibus. Dins Nova acta eruditorum, 1747, 267-269.

També dins Opera Omnia: sèrie 1, vol. 2, 59-61. És el document E100 de l’Euler Archive (http://eulerarchive.maa.org).

desembre 2016 51

Gómez Chacón, I. M. (1997). Un instrumento para la autorregulación de las emociones en Matemáticas. Boletín IEPS, 71 (desembre), 5-7.

Grundman, H. G. (1994). Sequences of Consecutive n-Niven Numbers. Fibonacci Quarterly, 32, 174-175.

Guy, R. K. (1994). Unsolved problems in Number Theory. Nova York: Springer-Verlag.

Hickerson, D. (2002). Re: friendly/solitary numbers [was: typos] seqfan@ext. jussieu.fr mailing list. 19 setembre 2002.

Kaprekar, D. R. (1955). Multidigital Numbers. Scripta Mathematica, 21, 27.

Kennedy, R., Goodman, R., Best, C. (1980). Mathematical Discovery and Niven Numbers.

MATYC J., 14, 21-25.

Makowski, A. (1960). On Some Equations involving functions φ (n) and σ(n). American Mathematical Monthly, 67 (1960), 668-670; correction en 68 (1961), 650.

Mason, T. E. (1921). On amicable numbers and their generalizations. American Mathematical Monthly, 28, 5, 195-200.

Poulet, P. (1918). Question 4865. L’interméd. des Math., 25, 100-101.

Rashed, R. (1994). The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra.

Dordrecht. Boston, Londres: Kluwer Academic Publishers.

Sándor, J. (2001). On Multiplicatively Perfect Numbers. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics. Vol. 2, 1, article 3.

Sigler, L. E. (2002). Fibonacci’s Liber Abaci. A Translation into Modern English of Leonardo Pisano’s Book of Calculation. Nova York, Berlín, Heidelberg, Hong Kong, Londres, Milà, París, Tòquio: Springer.

52 noubiaix 39

Jugar a crear solucions Albert Mallart Solaz Institut d’Educació Secundària (IES) Príncep de Girona Departament de Didàctica de la Matemàtica i les Ciències Experimentals Facultat d’Educació, Universitat de Barcelona alberto.mallart@gmail.com

Resum L’ensenyament de les matemàtiques hauria d’ajudar les persones a ser competents matemàticament en la seva vida quotidiana. No n’hi ha prou d’ensenyar un llenguatge, unes definicions i uns processos. Són necessàries les reflexions profundes que aconsegueixen passar de la comprensió a l’assimilació.

Una via per a aconseguir aquest propòsit és mitjançant la resolució de problemes.

Existeix una millor manera d’aprendre que jugant? Aquest article presenta un treball amb les recreacions matemàtiques com una estratègia engrescadora seguint una metodologia determinada. S’ha dut a terme amb tres grups d’alumnes de quart d’ESO d’un institut públic de Barcelona. Es constata una gran acceptació d’aquesta pràctica i una millora en l’atenció i l’anotació inicial sobre el conjunt de dades dels enunciats (resolucions escrites d’exàmens posteriors). Encara que les qualificacions dels alumnes en la resolució de problemes no millori, es constata que existeix un cert esperit crític davant la solució trobada i un interès per entendre-la (resolucions escrites amb comprovacions).

Abstract Teaching mathematics should help us to be mathematically competent in our daily lives.

It is not just a matter of teaching a language, definitions and processes. Deep thinking is required to go from comprehension to assimilation. One way to achieve this is through problem-solving. Is there a better way to learn than playing? This paper presents a motivating methodology of working with recreational mathematics. The experience has been carried out with 16-year-old students at a public high school in Barcelona. It is clear that this working method is well received by students. An improvement is observed with respect to paying attention and writing down the data of statements (written answers to later exams confirm this). Although the grades in problem-solving do not improve, results reflect students developing a critical eye when coming up with solutions and they show an interest in understanding the answers provided (written answers including verifications are collected).

Introducció La resolució de problemes es pot considerar un eix transversal del currículum de matemàtiques en l’educació secundària obligatòria. Ha de constituir un nucli fonamental de l’aprenentatge

desembre 2016 53

matemàtic. Les matemàtiques han d’aportar una manera d’afrontar les situacions conflictives del món que ens envolta. És a dir, cal saber aplicar les matemàtiques a situacions quotidianes i això es reflecteix en una inclusió en el disseny de currículums. L’informe de l’any 2003 d’OCDE/PISA és redactat sobre el Programa Internacional d’Avaluació d’Estudiants emparat per la Unesco i l’Organització per a la Cooperació i el Desenvolupament Econòmic. Aquest informe reflecteix la definició de competència matemàtica següent: La competència matemàtica és la capacitat d’un individu d’identificar i entendre el rol que juguen les matemàtiques en el món, emetre judicis ben fonamentats i utilitzar les matemàtiques en formes que li permetin satisfer les seves necessitats com a ciutadà constructiu, compromès i reflexiu (www.pisa.oecd.org).

L’esquema matemàtic de l’OCDE/PISA situa la definició de competència o «alfabetisme» matemàtic. La capacitat de llegir, escoltar, escriure i parlar un llenguatge són les eines més importants de la societat humana. Les matemàtiques es poden considerar un llenguatge; s’han de conèixer els elements fonamentals del discurs matemàtic (termes, símbols, signes, procediments...) i saber aplicar-los a la resolució de problemes sorgits de diverses situacions reals.

Els intents pràctics de proposar la resolució de problemes com a eix de l’ensenyament de les matemàtiques responen a tres interpretacions: 1) Ensenyar per resoldre (s’aprèn fent moltes resolucions i s’aprenen tècniques, mètodes i eines heurístiques); 2) Ensenyar sobre la resolució de problemes; 3) Ensenyar mitjançant la resolució de problemes (amb problemes generadors de teoria o bé extraient el màxim profit de cada problema).

Quant a la segona interpretació, ensenyar sobre la resolució de problemes, no n’hi ha prou de resoldre, cal una reflexió. El currículum preveu la reflexió sobre les tècniques que permeten resoldre problemes. Els problemes s’escullen per a aplicar una determinada eina heurística o, en paraules de Kilpatrick (1985), els procediments de representació i transformació dels problemes. Carrillo (1996) considera que un heurístic és una insinuació o suggeriment general o estratègia, independent de qualsevol tòpic particular o matèria d’estudi, que ajuda el resolutor a aproximar-se a un problema i a comprendre’l, i a endreçar eficientment els seus recursos per tal de resoldre’l.

Aprenent a resoldre problemes L’aprenentatge de les matemàtiques es pot focalitzar a transmetre als alumnes aquelles idees, estratègies, processos i actituds que s’han mostrat útils i eficaces per resoldre problemes.

Les propostes per a aquest tipus d’aprenentatge barregen diferents elements que Kilpatrick (1985) sintetitzà en cinc punts: a) Osmosi: se’ls pot submergir en un ambient de resolució de problemes adequat perquè practiquin; b) Memorització: es consideren models basats en l’enfocament conductista, però no es pot utilitzar amb problemes en què no s’apliquen els procediments ensenyats; c) Imitació: és una forma d’ensenyar a analitzar les conductes i els comportaments de models competents en resolució de problemes, però la resolució és molt personal i es barregen preferències, capacitats i limitacions amb el model; d) Cooperació: no només han de ser capaços d’observar i analitzar conductes per imitar-les, sinó també d’observar i analitzar les dels seus companys per cooperar-hi, i e) Reflexió: s’aprèn practicant puntualment i global sobre tot allò que es fa.

54 noubiaix 39

D’una altra banda, Abrantes i Serrazina (1996) subratllen la importància de la motivació com a eix fonamental per tirar endavant un bon aprenentatge de les matemàtiques quan parlen de la resolució de problemes com a ambient i com a naturalesa d’activitats d’aprenentatge.

Busquen un clima educatiu que afavoreixi la confiança de cada alumne en les seves pròpies capacitats d’aprenentatge, en el seu propi criteri, en què no tenen por d’equivocar-se, canviar raonadament d’opinió o dir que no ho saben; un ambient en què s’ho passin bé amb els reptes i amb la pròpia activitat intel·lectual, en què es valorin els processos i els progressos de cada alumne i no només les seves respostes, en què s’examini més d’un punt de vista per abordar o solucionar un problema, en què es formulin preguntes pertinents entorn de les situacions i es tingui cura de les generalitzacions i en què es revisin les pròpies creences.

Aquest ambient d’aprenentatge exigeix una determinada formació del professorat, així com certes actituds i creences.

Descripció d’algunes experiències didàctiques A continuació, es detallen quatre activitats pràctiques dutes a terme a l’IES Príncep de Girona amb tres grups d’alumnes de 4t d’ESO durant el primer i el segon trimestre del curs 2015-2016.

S’ha aconseguit un ambient de resolució de problemes adient a l’aula en el sentit expressat per Abrantes i Serrazina (1996) i en què els cinc punts destacats per Kilpatrick (1985) són tractats.

Totes les activitats escollides que pertanyen a un quadern d’activitats sempre en construcció (Mallart, 2008) s’han extret de diverses fonts: revistes de lògica mensuals, llibres d’enigmes i jocs matemàtics com per exemple l’obra de Segarra (2001) i part de saviesa popular aportada de vegades pels mateixos alumnes. Seguint les activitats es detallen l’objectiu, unes possibles orientacions didàctiques a tenir presents i la temporització. La seva pràctica ocupa un dia a la setmana durant tot el curs.

Prova de golf En Walter és convidat a seure en el club esportiu de Dinamarca i a assistir a l’Open de golf. Ha de relacionar correctament les dades de tots els participants a partir de les pistes facilitades.

1. L’esportista de 25 anys es classificà abans que Mr. Pinter.

2. El veneçolà va donar dos cops més que el jugador de 23 anys.

3. L’esportista de 28 anys i el que donà 139 cops no estan conformes amb el terreny.

4. Els dos primers classificats han donat 134 i 136 cops, respectivament.

5. L’esportista espanyol vesteix de blanc.

6. El de 26 anys viu amb la seva mare.

7. El francès donà dos cops més que Mr. Pinter.

8. W. Rood fou campió mundial fa molt de temps.

desembre 2016 55

9. A. Lowin quedà pitjor classificat que l’esportista veneçolà.

10. Aquell qui donà 137 cops i l’esportista de 25 anys utilitzen sabates sud-africanes.

11. D. Vara quedà pitjor classificat que l’esportista suís.

Resposta: Esportista

Edat

Nacionalitat

Marca

W. Rood

23

suís

134

D. Vara

25

veneçolà

136

M. Pinter

28

espanyol

137

A. Lowin

26

francès

139

•

Objectiu: El desenvolupament d’estratègies per estar atents i ser precisos en recollir tota la informació donada.

•

Orientacions didàctiques: L’alumne llegirà individualment l’enunciat per tal que pugui reorganitzar com desitgi tota la informació. El grup serà guiat pel professor corregint la graella amb les dades adients. La correcció mai serà imposada, sinó raonada pels alumnes i supervisada sempre pel professor. El professor insistirà en la importància de dedicar temps a capturar totes les dades donades d’una manera ordenada i precisa.

•

Temporització: Vint minuts.

Tallar una peça de roba Cal tallar una peça de roba per a fer-ne banderoles. Si es talla en peces de 3 m de llarg, en sobren 2 m; si es talla en peces de 4 m, en sobren 3 m, i si les peces són de 5 m, en sobren 4 m. Si se sap que la peça té menys de 75 m, pots dir la seva longitud?

Resposta: El nombre és 59.

•

Objectiu: El desenvolupament de la intuïció i la perspicàcia a partir d’una captura de dades exhaustiva. També es busca la superació de certs bloquejos mentals i falses hipòtesis i paradoxes.

•

Orientacions didàctiques: L’alumne escoltarà molt atent les dades que es llegiran. Restarà en silenci absolut, pensatiu. El professor, sense donar pistes, temptejarà mitjançant preguntes si la majoria l’ha resolt amb èxit. En cas contrari, el professor tornarà a llegir, però emfasitzant les dades. A continuació s’aplicarà un brainstorming guiant l’aparició d’idees cap a la resposta. En finalitzar, el professor comprovarà que tothom ho hagi entès preguntant sobre altres possibles respostes.

•

Temporització: Depèn dels estudiants. El que importa és que pensin i arribin a conclusions encara que sigui guiats. Les indicacions poden suggerir d’una manera més o menys rà-

56 noubiaix 39

pida la solució segons les diferents realitats de cada alumne. Com que es tracta d’un treball en grup, en la fase final la temporització anirà lligada al grup. Una orientació temporal seria cinc minuts per a pensar individualment i deu per a pensar en grup.

El problema de l’herència dels camells Un pare deixà en herència 17 camells als seus 3 fills. Al fill gran li’n deixà la meitat; al mitjà, la tercera part, i al petit, la novena part. No sabien com fer el repartiment. Un viatger que anava en camell es va oferir a ajudar-los a canvi d’una gran suma de diners. Els fills van accedir. El viatger els presentà la seva solució, que consistí a donar-los el seu camell. Ara hi havia un total de 18 camells i podien fer les reparticions: 9 camells per al fill gran, 6 per al mitjà i 2 per al petit. De fet, tots hi sortien guanyant, i la suma feia 17. Aleshores el viatger va demanar que se li tornés el seu camell i que se li pagués la suma de diners. Tots van quedar bocabadats. Què havia passat? Màgia?

Resposta: El nombre 17 no és divisible ni per 2, ni per 3, ni per 9 i cap fill està disposat a sacrificar cap camell. Abans que vingués el viatger, els corresponien 8 + 1/2, 5 + 2/3 i 1 + 8/9 camells.

Després els en corresponen 9, 6 i 2 i, per tant, hi surten guanyant (però no hi guanyen igual: el fill gran en guanya 1/2, el mitjà 1/3 i el petit 1/9). La repartició inicial no dóna 17, ja que 17/2 + 17/3 + 17/9 = 17 · 17/18; falta 1/18 dels 17 camells per repartir en herència. Justament és la suma de les quantitats en què surten guanyant els germans: 1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18.

•

Objectiu: El desenvolupament d’estratègies de tempteig i de revisió de resultats finals i parcials. Caldrà desenvolupar l’enginy tot vencent esforços infructuosos. Caldrà una revisió de les pròpies conclusions i dels propis càlculs.

•

Orientacions didàctiques: L’alumne intentarà resoldre-ho rellegint l’enunciat i fent els càlculs pertinents. Posteriorment, els alumnes comentaran la resposta si ho han descobert per ells mateixos. Altrament, el professor els guiarà mitjançant preguntes adients.

Es tracta de conduir el grup de manera que entre tots s’arribi a la solució amb una comprensió absoluta; l’explicació pot ser exposada pels alumnes mateixos (sempre supervisada pel professor).

•

Temporització: Cinc minuts per pensar individualment i el temps necessari, en principi deu minuts, per solucionar-ho en grup.

Reflexions finals El professor juga un paper rellevant en el procés d’aprenentatge de l’alumne, però a aquest no se li pot impedir el plaer de descobrir (Guzmán, 1992). Dubinsky (1996) confeccionà una llista a partir de les idees de Piaget en què proposava canviar el paper del mestre de disseminador d’informació a guia assistent. Tal com observen Chamoso i Rawson (2001), els estudiants aprenen quan divergeixen, pregunten, corregeixen, comproven, expliquen i generalitzen.

Com a resultat d’aquesta pràctica, s’obtenen diversos aprenentatges dels alumnes: adquisició o millora de l’hàbit de fer una llista exhaustiva i completa de totes les dades abans de co-

desembre 2016 57

mençar a resoldre el problema (ho proven les resolucions escrites dels problemes d’exàmens posteriors) i un augment en la comprensió del que es pregunta induït per una lectura més atenta. També existeix una adquisició o millora de la revisió de la solució (entesa com Puig, 1996), una capacitat per tenir en compte diverses solucions d’un mateix problema i una voluntat d’entendre el sentit de la solució. Però cal dir que, tot i que ara la majoria escrigui les comprovacions pertinents com queda reflectit en les proves escrites, no significa que sàpiguen resoldre els problemes.

Referències Abrantes, P., Serrazina, L. (1996). Matemática para todos (cap. 2). Cómo se aprende. Dins P. Abrantes i L. Serrazina, Lurdes, A matemática na Educaçao Básica. Lisboa: Ministério da Educação. Departamento de Educação Básica.

Carrillo, J. (1996). Creencias sobre la resolución de problemas. Modos de resolver problemas y concepciones sobre la matemática y su enseñanza de profesores de matemáticas de alumnos de más de 14 años. Algunas aportaciones a la metodología de la investigación y estudio de posibles relaciones. Tesi doctoral. Universitat de Sevilla.

Chamoso, J.M., Rawson, W. (2001). En la búsqueda de lo importante en el aula de matemáticas.

Suma, 36 (febrer), 33-41.

Dubinsky, E. (1996). Aplicación de la perspectiva piagetiana a la educación matemática universitaria. Educación Matemática, 8(3), 24-41.

Guzmán, M. de (1992). Tendències innovadores en educació matemàtica. Biaix, 7 (setembre), 7-33.

Kilpatrick, J. (1985). A Retrospective Account of the Past 25 Years of Research on Teaching Mathematical Problem Solving. Dins E.A. Silver (ed.), Teaching and Learning Mathematical Problem Solving: Multiple Research Perspectives (p. 1-15). Hillsdale: Lawrence Erlbaum.

Mallart, A. (2008). Estratègies de millora per a la resolució de problemes amb alumnes de segon d’ESO: ús de la matemàtica recreativa a les fases d’abordatge i de revisió. Tesi doctoral. Universitat Autònoma Barcelona.

Niss, M. (1999). Competencies and Subject Description. Uddanneise, 9, 21-29.

Puig, L. (1996). Elementos de resolución de problemas. Granada: Comares.

Segarra, L. (2001). Enigmes i jocs matemàtics. Barcelona: Proa.

Webgrafia Traducció realitzada per EDUTEKA de la secció corresponent a «Competencias en Matemáticas» del document ThePISA2003AssessmentFramework publicat per OCDE/PISA. http://www. pisa.oecd.org.

58 noubiaix 39

Examen de competència logicomatemàtica en la nova prova d’accés als graus de mestre 1

Núria Gorgorió, Lluís Albarracín, Aitor Villarreal2 Departament de Didàctica de la Matemàtica Universitat Autònoma de Barcelona nuria.gorgorio@uab.cat, lluis.abarracin@uab.cat, aitor.villarreal@uab.cat

Resum Per primera vegada, el 17 de juny de 2017, els nois i noies que vulguin estudiar per ser mestres en alguna de les universitats catalanes on s’imparteixen aquests graus hauran de superar una prova d’aptitud personal (PAP). En aquest escrit presentem un dels dos exàmens que constituiran la PAP, el de competència logicomatemàtica, i el camí recorregut fins a arribar al plantejament de l’examen tal com es proposarà als estudiants.

Abstract For the first time, on 17 June 2017, those who want to study to become a teacher in any of the Catalan universities offering this degree must pass a Personal Aptitude Test (PAP). In this paper we present one of the two exams that make up the PAP, the one assessing logical-mathematical competence, and the path followed to the exam as it will be given to students.

Context El 6 de novembre de 2013 es va establir un conveni de col·laboració entre la Generalitat de Catalunya, a través de la Secretaria d’Universitats i Recerca del Departament d’Economia i Coneixement, i les universitats catalanes que imparteixen graus de mestre per al desenvolupament del Programa de Millora i Innovació en la Formació de Mestres (MIF) (vegeu http://mif.cat).

1. Aquest escrit és una ampliació de la comunicació presentada al C2EM el juliol de 2016 amb el títol «Què recorden del que han après de matemàtiques els estudiants que accedeixen als graus de mestre».

2. Els resultats que es presenten són part del projecte «Estudi per a l’avaluació diagnòstica de les competències matemàtiques dels estudiants del grau en Educació Primària» (AGAUR ref. 2014 ARMIF-00041) i del projecte «Caracterización del conocimiento disciplinar en matemáticas para el Grado en Educación primaria: matemáticas para maestros» (DGU ref. EDU2013-4683-R).

desembre 2016 59

En el context del programa MIF, el Govern de la Generalitat i les universitats catalanes que imparteixen graus de mestre acorden establir una prova d’aptitud personal (PAP), obligatòria i comuna, per a accedir als graus en Educació Infantil i en Educació Primària. La Junta del Consell Interuniversitari de Catalunya (CIC) va aprovar, amb data del 30 de gener de 2014, la incorporació de la PAP i posteriorment les facultats varen aprovar incloure a les memòries dels graus la superació de la PAP com a requisit d’ingrés.

Inicialment, i d’una manera provisional, la superació de la PAP estava vinculada als exercicis de llengua catalana i llengua castellana de la fase general de les PAU. El 15 de desembre de 2014, la junta del CIC arriba a un acord, promogut des del Programa MIF, per a avançar cap a una PAP específica. L’acord estableix que, a partir del curs 2017-2018 inclòs, per a accedir al grau en Educació Infantil, al grau en Educació Primària i al doble grau en Educació Infantil i Primària de les universitats públiques i privades del sistema universitari català, els candidats hauran de superar una PAP que es proposarà des del programa MIF i s’articularà a través de l’Oficina d’Accés a la Universitat (OAU).

La nova PAP consistirà en dos exàmens: 1) Competència comunicativa i raonament crític, d’una banda (CCiRC), i 2) Competència logicomatemàtica (CLOM). El Consell de Coordinació del MIF (CC-MIF), reunit en sessió ordinària el 2 d’octubre de 2015, acorda encarregar el desenvolupament i la validació d’una proposta de PAP a una comissió −Comissió PAP− formada per tres persones, Mariona Casas (UVic-UCC), Jaume Ametller (UdG) i Núria Gorgorió (UAB), essent la primera la responsable dels aspectes de competència comunicativa, el segon dels de raonament crític i la tercera de la part de competència logicomatemàtica i de la coordinació del conjunt de la prova. La proposta de prova de competència logicomatemàtica es treballa en el marc del desenvolupament del projecte 2014ARMIF-00041 liderat per la primera autora d’aquest escrit.

Mentre que des de la Comissió PAP es treballa en la creació i el refinament de la prova, el 21 de desembre de 2015 apareix publicada al DOGC la Resolució ECO/2898/2015, del 30 de novembre, per la qual es dóna publicitat a l’acord de la Comissió d’Accés i Afers Estudiantils (CAAE) del CIC sobre la PAP. El 19 de febrer de 2016, la Comissió PAP presenta al CC-MIF, reunit en sessió extraordinària, la proposta d’exàmens que han de constituir la PAP i el procés de construcció i validació seguit. El CC-MIF aprova l’estructura de la PAP i els exàmens que la conformen, que es traspassen a la CAAE del CIC. El 9 de juny de 2016, la junta del CIC aprova els models d’examen que constituiran la PAP i la normativa que l’ha de regular. Està previst que a principi d’octubre de 2016 es faci un procés de pilotatge de la PAP i que la primera convocatòria de la PAP tingui lloc el 17 de juny de 2017, tal com marca la normativa reguladora aprovada per la junta del CIC. El Consell de Coordinació del programa MIF (CC-MIF) va establir que la PAP té únicament una funció discriminatòria, essent la seva qualificació APTE/NO APTE. Des d’aquest punt de vista, l’examen de matemàtiques de la PAP es planteja amb una triple finalitat. En primer lloc, es vol assegurar que tots els estudiants que inicien els graus de mestre tinguin un coneixement matemàtic mínim, discriminant possibles limitacions funcionals (Villarreal i altres, 2016).

D’altra banda, es pretén enviar un missatge als estudiants de batxillerat i cicles formatius, indicant-los que s’han de preparar si volen accedir a un grau de mestre. Alhora, s’intenta fomentar que els estudiants treballin amb antelació a la prova per poder superar possibles limitacions transitòries (Villarreal i altres, 2016). Finalment, a través d’un augment progressiu

60 noubiaix 39

del nivell d’exigència de la prova, s’espera que el nivell de coneixements dels alumnes en el moment de l’accés augmenti amb el temps.

Coneixement matemàtic fonamental (CMF) i competència matemàtica A Castro, Mengual, Prat, Albarracín i Gorgorió (2014) presentàvem una primera definició de CMF com el coneixement matemàtic necessari per a seguir amb aprofitament les matèries de matemàtiques i de didàctica de les matemàtiques dels graus de mestre, tenint en compte els requeriments de la pràctica professional i les competències matemàtiques pròpies de l’educació primària. El CMF és el coneixement disciplinari que els professors prenem com a punt de partida en les facultats, està basat en un coneixement aprofundit de les matemàtiques elementals i constitueix els fonaments que sostenen l’aprenentatge matemàtic i permeten que els diferents elements de la seva didàctica formin una estructura robusta.

Creiem que la prova de competència matemàtica de la PAP per a l’accés als graus de mestre hauria d’estar estretament relacionada amb el concepte de CMF. Entenem per competència matemàtica la capacitat d’utilitzar coneixements matemàtics d’una manera transversal en situacions i contextos matemàtics i no matemàtics. La competència matemàtica va més enllà del coneixement de procediments: es manifesta en l’ús de coneixement conceptual en diferents situacions pràctiques. Crooks i Alibali (2014) organitzen el coneixement conceptual en coneixement dels principis generals i coneixement subjacent als procediments. El primer es refereix al coneixement de regles, definicions i connexions i de l’estructura del domini.

El segon implica saber per què certs procediments funcionen per a determinats problemes, quin és el propòsit de cada pas d’un procediment, i conèixer les connexions entre aquests passos i els seus fonaments conceptuals.

La competència matemàtica d’una persona recolza en el domini d’elements de caràcter conceptual i requereix la capacitat d’usar coneixement de caràcter formal i explicitable, juntament amb coneixement tàcit. El primer pot ser avaluat de diferents maneres −qüestionaris escrits, observació, entrevistes−, mentre que el segon, el que entra en joc en les situacions de la pràctica, resulta difícilment avaluable en una prova escrita. Per això sembla clar que una PAP únicament pot avaluar la part de la competència matemàtica corresponent al coneixement de caràcter formal explicitable. Haurem de restringir-nos, doncs, a l’avaluació del coneixement conceptual a través d’exercicis i problemes referits al coneixement de principis generals i al subjacent als procediments.

A més, en l’elaboració de la PAP, ens enfrontem a la necessitat d’ajustar la definició de competència matemàtica per fer-la «operativa i raonable», fins i tot, si cal, restringint el significat atribuït al terme coneixement en el concepte CMF. Ha de ser «operativa» atès que ha de referir-se a alguna cosa susceptible de ser avaluada en una prova escrita de caràcter massiu. Ha de ser «raonable» en tant que pugui justificar-se davant els futurs candidats, aclarint que es limita a aquells aspectes del coneixement matemàtic a què han tingut accés durant l’escolarització obligatòria prèvia.

Per tot això, en el context de la PAP, considerarem que: l’examinand és matemàticament competent quan, en resoldre exercicis, problemes i situacions d’aplicació en contextos diversos, demostri que ha integrat i és capaç d’utilitzar

desembre 2016 61

coneixements i habilitats relatius a diferents àmbits de contingut matemàtic, sent capaç d’analitzar els resultats obtinguts des del punt de vista de la seva raonabilitat.

Continguts de matemàtiques a la PAP Els resultats de la recerca desenvolupada en el marc del projecte 2014ARMIF-00041 generen una proposta que s’eleva al Consell del MIF en relació amb els continguts que haurien de definir la competència logicomatemàtica en l’àmbit de la PAP. Una vegada aprovada la proposta pel Consell del MIF, es trasllada a la Comissió d’Accés del Consell Interuniversitari de Catalunya i posteriorment a la seva Junta, que els aprova.

El grup d’experts amb qui hem treballat per concretar el CMF ha determinat que es concreta a través de diversos coneixements i habilitats en relació amb els àmbits següents: •

Numeració i càlcul. Cal demostrar la comprensió i la capacitat de representar i d’utilitzar els nombres naturals, enters i racionals en situacions diverses; la comprensió del significat i les propietats de les operacions i de les relacions entre les unes i les altres; el coneixement del significat de divisor, i el domini de les habilitats necessàries per a resoldre situacions de factorització i divisibilitat de nombres naturals.

•

Relacions i canvi. Cal demostrar la capacitat d’identificar i generalitzar patrons no necessàriament numèrics; d’identificar i interpretar relacions de dependència entre variables; d’interpretar i construir gràfics que expressen relacions de canvi; també cal demostrar la comprensió integrada dels significats de proporcionalitat numèrica i raó i la capacitat d’usar aquests conceptes per a resoldre situacions diverses.

•

Espai i forma. Cal demostrar el coneixement de les característiques i les propietats de figures geomètriques de dues i tres dimensions i la capacitat d’aplicar-les en situacions diverses; la comprensió i la capacitat de representar i utilitzar reflexions, girs i translacions; la comprensió integrada dels significats de proporcionalitat geomètrica, semblança i escala, i la capacitat d’usar estratègies de visualització per a resoldre problemes que siguin o no geomètrics.

•

Mesura. Cal demostrar el coneixement del significat de magnitud mesurable (angle, longitud, àrea, volum, capacitat, massa i temps) i del procés de mesura; el domini de les habilitats necessàries per a mesurar-les en contextos quotidians; el coneixement de les unitats de mesura decimals i sexagesimals corresponents i dels mecanismes per a resoldre situacions de canvi d’unitats, i el domini dels coneixements i les habilitats necessàries per a resoldre situacions diverses relacionades amb les idees de perímetre, àrea i volum.

•

Estadística i atzar. Cal demostrar la capacitat d’interpretar, analitzar, treure conclusions i fer prediccions a partir de dades estadístiques; d’interpretar i construir gràfics estadístics; d’interpretar i calcular mesures de centralització, i comprendre el significat d’atzar.

Aquesta proposta dels àmbits de concreció del CMF fou recollida en l’annex 1, al punt 7, de l’Acord sobre les característiques generals de la prova d’aptitud personal per accedir als graus en educació infantil i primària, amb totes les seves denominacions, a partir del curs 2017-2018, de la Junta del Consell Interuniversitari de Catalunya, celebrada el 5 de juny de 2015.

62 noubiaix 39

L’examen de competència logicomatemàtica de la PAP Fruit de l’anàlisi de les dades recollides durant el procés de construcció i refinament de la prova, proposem al Consell del MIF un examen de 25 preguntes, en el qual s’ha de construir la resposta sense calculadora, distribuïdes en els àmbits de contingut referits a l’apartat anterior.

Els examinands disposaran de 90 minuts per fer la prova. La proposta d’examen, després de ser aprovada pel Consell del MIF, s’aprova el dia 26 de maig en el context de la Comissió d’Accés i Afers d’Estudiants del Consell Interuniversitari de Catalunya. Esperem que, després de l’estudi dels resultats del pilotatge, el MIF faci públic un model d’examen i les seves correccions a través del web de l’Oficina d’Accés a la Universitat.

La competència matemàtica requereix el coneixement de regles, definicions i connexions i de l’estructura del domini, i també saber per què certs procediments funcionen per a certs problemes, quin és el propòsit de cada pas d’un procediment, i fer les connexions entre aquests procediments i els seus fonaments conceptuals.

Per aquest motiu, l’examen conté, essencialment, dos tipus de preguntes. D’una banda, hi ha diverses preguntes de tipus aritmètic −ordenació de nombres decimals o càlculs aritmètics en diferents conjunts numèrics, entre d’altres− i, de l’altra, inclou problemes contextualitzats en els quals cal recórrer a operacions aritmètiques per resoldre’ls. Vam decidir no permetre l’ús de calculadora, atès que ens interessa estudiar el domini dels principis subjacents al càlcul bàsic com a part del CMF. Durant el procés de refinament de la prova, no permetre l’ús de la calculadora ens ha portat a detectar errors o llacunes conceptuals importants que d’altra manera no hauríem pogut observar. Si la finalitat de la PAP és discriminar limitacions funcionals, sembla evident que, encara que sigui un únic alumne qui cometi aquest tipus d’errors, és essencial poder identificar-lo. Les preguntes en què s’han d’utilitzar algoritmes avaluen el coneixement conceptual subjacent als procediments. Si l’alumne ha oblidat les regles que va memoritzar, només podrà resoldre l’exercici correctament si és capaç de reconstruir el procediment o d’utilitzar vies alternatives dotant la pregunta de significat.

Els nostres estudiants, durant l’escolarització, s’han enfrontat essencialment a coneixement acabat, desconeixent-ne el procés de construcció, memoritzant. En el moment d’enfrontar-se a la PAP hauran de reconstruir-lo, amb la qual cosa, fins i tot davant d’exercicis de caràcter aparentment procedimental, hauran de posar en joc coneixement conceptual. Això no obstant, amb el temps, quan hi hagi exemples accessibles de les proves, hi ha el risc que els estudiants es preparin per superar-les, tornant a la memorització. Llavors haurem de revisar el tipus de prova perquè segueixi estant d’acord amb els objectius proposats inicialment.

A més de les preguntes en què l’estudiant pot recórrer a un algoritme, a l’examen hi ha preguntes no rutinàries, és a dir, preguntes que no es poden abordar d’una manera automàtica i la solució de les quals requereix un profund coneixement dels conceptes i procediments involucrats. Per a aquestes preguntes, no hi ha cap algoritme senzill a disposició de l’estudiant per arribar a la resposta i quan n’hi ha un cal interpretar críticament el resultat en el context del problema.

desembre 2016 63

Hi ha algunes preguntes que podrien abordar-se pel «compte de la vella», però fer-ho d’aquesta manera seria pesat i requeriria molt temps. Com que l’examen té un temps limitat, l’alumne ha de generar un procediment matemàticament eficient per a resoldre-les. Les preguntes no rutinàries de l’examen tenen per finalitat avaluar la comprensió, per part dels estudiants, dels algoritmes i dels conceptes bàsics i la seva capacitat per establir connexions per passar de situacions concretes a models generals.

Per tant, tot i que les preguntes fan referència essencialment a idees que s’ensenyen a l’educació obligatòria, tal com estan plantejades exigeixen a l’estudiant que raoni i utilitzi les estructures matemàtiques més simples i que domini els coneixements involucrats en l’exercici que està resolent.

Algunes reflexions En molts països −Anglaterra, Austràlia, els Estats Units, Finlàndia, Nova Zelanda i Suïssa en són només alguns−, les proves competencials a l’inici dels estudis de mestre són un requisit nacional o bé una condició per a accedir a les institucions més prestigioses. Els responsables de la creació d’una proposta de PAP entenem que les competències i els coneixements inicials dels estudiants són un element clau perquè puguin seguir amb èxit les matèries que constituiran la seva formació. Una base competencial sòlida de partida és un dels elements que poden contribuir a la millora de la formació inicial dels mestres.

La PAP ha estat construïda tenint en compte que les vies d’accés als graus de mestre són múltiples −les més freqüents, el batxillerat en qualsevol de les seves modalitats i diversos cicles formatius de grau superior. Per aquest motiu, hem pres com a punt de partida les competències i els coneixements relatius a l’ensenyament obligatori, assumint que així la prova tracta de manera igual els candidats que provenen de les diferents vies.

La PAP ha estat definida com a instrument per a assegurar que tots els estudiants que accedeixen als graus de mestre tenen els coneixements i les competències fonamentals necessaris per a seguir amb aprofitament les matèries i les pràctiques del grau. Des d’aquest punt de vista, compartim amb el CC-MIF la idea que la PAP és un element important, encara que no l’únic, per a promoure la millora de la formació inicial dels mestres.

En aquest sentit, els primers resultats obtinguts, tant en el procés de refinament dels exàmens de la PAP com en el marc dels projectes 2014ARMIF 00041 i EDU2013-4683-R, fan evident que les competències inicials dels estudiants són encara lluny de les desitjables, confirmant així els resultats d’alguns estudis nacionals i internacionals. Malgrat tot, entenem que cal ampliar i consolidar els arguments sobre els quals se sosté la necessitat d’una PAP específica per als graus de mestre.

Tot i que, per plantejament, la PAP i la PAU són proves amb propòsits clarament diferents −la PAP avalua competències i la PAU, rendiments−, com que la PAP és un requisit afegit al que existia fins ara, cal justificar davant la societat la necessitat d’aquesta prova específica per a accedir als graus de mestre. Caldrà, a més, aportar evidències empíriques per a confirmar els supòsits d’especificitat de la PAP com a instrument diferent de les PAU que avalua les competències fonamentals per a iniciar la formació dels mestres.

64 noubiaix 39

Cal tenir present també que la implantació de la nova PAP es produirà en un escenari ple d’incerteses per als estudiants. Possiblement la més important de totes és la relacionada amb la substitució de les PAU per altres requisits, de caràcter més o menys universal, per a accedir a la universitat. Malgrat tot, la PAP, per tal com ha estat definida, seguirà tenint cabuda en qualsevol dels sistemes que puguin establir-se.

La implantació d’una PAP constitueix un canvi significatiu de la manera en què tradicionalment s’ha accedit a la formació inicial de mestres. A Catalunya són ben pocs els estudis que tenen com a requisit la superació d’una PAP (CAFE/INEF, Traducció i Interpretació en anglès, ESCAC, ESMUC, Pilot d’Aviació Comercial-URV). A més, en el cas dels graus de mestre, la PAP és comuna per a tot el sistema, tant per als centres públics com per als privats. Per això, encara que la seva necessitat sembla clara, les autoritats responsables de la política universitària poden veure-hi un instrument que afecti el perfil i el nombre d’estudiants que accedeixen als graus de mestre. Haurem d’argumentar que és possible compatibilitzar els requisits de la formació de mestres, la realitat actual dels alumnes i la política universitària.

Referències Castro, Á., Mengual, E., Prat, M., Albarracín, L., Gorgorió, N. (2014). Conocimiento matemático fundamental para el grado de Educación Primaria: inicio de una línea de investigación. Dins Investigación en educación matemática XVIII (p. 227-236). Salamanca: SEIEM. Crooks, N., Alibali, M.W. (2014). Defining and Measuring Conceptual Knowledge in Mathematics. Developmental Review, 34(4), 344-377.

Villarreal, A. Albarracín, L., Deulofeu, J., Pañellas, M., Prat, M., Sellas, N., Gorgorió, N. (2016) Què recorden del que han après de matemàtiques els estudiants que accedeixen als graus de mestre. Dins Actes del Congrés Català d’Educació Matemàtica (C2EM).

desembre 2016 65

Reflexions i propostes didàctiques per a un bon ensenyament i aprenentatge de la proporcionalitat geomètrica Núria Cardet Escola Joan Maragall, Lleida mcardet@xtec.cat

Assumpta Estrada, María José Gros, Maria Ricart Universitat de Lleida aestrada@matematica.udl.cat, mj.gros@matematica.udl.cat, maria.ricart@matematica.udl.cat

Resum Moltes vegades, el treball de la proporcionalitat a les escoles i als instituts queda reduït a l’estudi de la proporcionalitat aritmètica i a l’aplicació del teorema de Tales. Pensem que la proporcionalitat geomètrica hauria d’adquirir un paper més important a les nostres aules i treballar-se més significativament amb activitats que promouen la resolució de problemes i la descoberta de l’entorn, ja que permet treballar no només continguts d’espai i forma, sinó també de càlcul i mesura. En l’estudi que es presenta s’analitzen les respostes d’un grup d’estudiants de primària i un grup de futurs mestres a un mateix problema que se’ls va formular després d’haver treballat les escales a l’escola i a l’aula universitària. Els resultats indiquen que els raonaments són similars.

Abstract The study of proportionality is often reduced to arithmetical proportionality and to Thales’ Theorem. We believe that geometrical proportionality should be one of the main goals in our classes and it should be learnt through meaningful activities, which facilitate problem-solving and research.

Furthermore, geometrical proportionality allows us to not only work on the content of Geometry, but also that of Numbers and Operations and of Measurement. In this article we analyze the answers of a group of primary school students and of pre-service primary school teachers to the same problem, which was formulated after they had been learning about scales. Results show that their arguments are similar.

66 noubiaix 39

Introducció Els resultats de la Prova d’Avaluació de Quart d’ESO 2015 realitzada a Catalunya van evidenciar que els alumnes, en acabar aquesta etapa educativa, tenen carències en coneixements sobre geometria. Aquest fet ens va provocar una primera reflexió que va desembocar a preguntarnos sobre els continguts curriculars de la proporcionalitat geomètrica, que estudia les proporcions entre magnituds d’objectes geomètrics (Quintero, Molavoque i Guacaneme, 2012). Molts d’aquests estudiants es decantaran per estudis de grau d’Educació Primària i, en un futur, hauran de dur a terme processos d’ensenyament i aprenentatge en què hauran de treballar per desenvolupar el raonament proporcional dels seus alumnes.

La proporcionalitat, que no només és un contingut propi del cicle superior d’educació primària, sinó també de l’ESO, s’ha de treballar des de cursos inferiors. De fet, ja es fa (una multiplicació també ho és). Segons Fiol i Fortuny (1990), la proporcionalitat connecta i relaciona conceptes i problemes que es treballen des de primària fins a batxillerat: raó i proporció, fracció i nombre racional, canvi d’unitats, escales, mapes i maquetes, problemes d’aplicació de la regla de tres, de repartiments proporcionals, percentatges, gràfiques de funcions lineals, semblança de figures... Però el nom de proporcionalitat costa de sortir a les aules i la majoria de vegades els nostres alumnes només l’associen a la regla de tres, a un algorisme! Per què? Com es treballa la proporcionalitat? Buforn i Fernández (2014) conclouen que molts estudiants de grau d’Educació Primària, futurs mestres, es troben en un nivell de raonament preproporcional. Això justificaria que encara ara se segueixi utilitzant l’algorisme de la regla de tres, ja que, encara que no ajudi al desenvolupament del raonament proporcional, els estudiants arriben a respostes correctes (Lamon, 2007). Aquest fet es relaciona amb les investigacions de Fernández i Llinares (2012), que afirmen que estudiants capaços d’identificar i utilitzar les relacions multiplicatives en problemes proporcionals també les apliquen en situacions no proporcionals.

I la proporcionalitat geomètrica en particular? Com es treballa? Es treballa? Aquesta sí que es limita a l’aplicació del teorema de Tales i poc més, tot i que té continguts propis en el bloc d’espai i forma, tant en el currículum d’educació primària com en el de secundària, que van més enllà de Tales.

Arran d’aquestes reflexions es van triar quatre tasques sobre escales perquè les resolguessin tant estudiants de 6è de primària com estudiants de 2n del doble grau d’Educació Infantil i Primària amb l’objectiu de desenvolupar el seu raonament proporcional i identificar semblances i diferències en els raonaments i en les estratègies utilitzades. En aquest article s’analitzen i es comparen les respostes donades pels dos grups d’estudiants a la tasca final.

A més a més, s’exposa la metodologia de treball de la proporcionalitat geomètrica utilitzada pels dos grups d’estudiants abans de realitzar-la.

Com van treballar la proporcionalitat geomètrica a l’escola? I a l’aula universitària?

Pensem que les activitats que presentem a continuació són un bon model per treballar la proporcionalitat geomètrica d’una manera significativa i contextualitzada a l’escola. També cal dir que estan relacionades amb els projectes que es treballaven a l’escola dels estudiants de 6è de primària dels quals hem analitzat les respostes: «L’escola» a 5è i «El barri» a 6è.

desembre 2016 67

Totes les activitats es feren en petit grup o per parelles, tot i que el treball final, informe o comunicació, havia de ser individual. També es recollí el treball en murals i en fotografies.

La seqüència d’activitats fou: •

Dibuixar el plànol de l’escola a partir de les mesures preses amb el Google Maps (escala 1:100).

•

Mesurar distàncies de mapes llegint les escales.

•

Fer tapes de capses a escala. Construcció d’un mural per a veure-hi relacions.

•

Ampliar figures quadriculades.

•

Mesurar altures del pati aplicant el teorema de Tales.

La primera i la segona activitats es feren a 5è; a 6è es va tornar a treballar la segona i es portaren a terme les altres, de manera que s’havien d’anar recordant i connectant els aprenentatges anteriors.

El mestre ha d’adoptar el paper d’acompanyant i simular, en la mesura que sigui possible, que participa de la descoberta amb l’alumnat. També guiarà el treball ajudant a organitzar la informació en taules, a quantificar per facilitar les relacions numèriques que hi ha al darrere o al davant de qualsevol situació de proporcionalitat sigui o no geomètrica. Així, a poc a poc, s’anirà connectant coneixement, fent xarxa, i serà l’objectiu que entenguin en el sentit més ampli possible els conceptes i procediments que es treballen, per complexos que siguin.

Comentaris sobre les activitats

1. Dibuixem el plànol de l'escola Mesurar amb el Google Maps va resultar fàcil, com també anotar les mesures en un esquema de les formes de quadrilàters dels quatre edificis de l’escola. La necessitat de mostrar els valors en figures, com més semblants millor a la realitat, va fer necessari introduir el concepte d’escala. Els metres reals serien centímetres al paper i així podríem fer-los semblants. Com que les figures a escala mesuraven prop de 90 cm, vam fer un mural on encabir i situar els edificis tenint en compte l’orientació i posant els noms als carrers que les limiten. Escala 1:100!

Després, individualment, dibuixaren algun edifici a escala i l’afegiren a la carpeta del projecte.

Alguns alumnes en volgueren representar a escala 1:200 i descobriren que, com més gran és el nombre, la representació és més petita.

La majoria de l’alumnat féu bé aquesta activitat.

2. Mesurem distàncies amb mapes. Llegim escales Presenta la dificultat de passar de centímetres a metres i a quilòmetres. També cal ensenyar a mesurar amb el regle (posant-lo bé) la distància entre dos punts i treballar amb decimals fins als dècims.

68 noubiaix 39

Com que es feia en petit grup i amb el suport de la calculadora, tots van fer bé els càlculs, van comparar distàncies i se’n van adonar si algun valor no era correcte.

3. Fem tapes de capses a escala. Construïm un mural Aquesta activitat fou matemàtica i plàstica.

En una sessió plàstica es van repartir capses de cartró que s’havien de reproduir a escala 1:2 per grups. Primer van desmuntar-les i després van mesurar-les i van dividir per 2 la longitud dels costats. En una cartolina van construir la capsa nova. Com que l’objectiu era més plàstic que matemàtic, es féu la reflexió de quantes en cabrien sobre la tapa i quantes en cabrien a dins.

En la sessió més matemàtica es va partir de la tapa de la mateixa capsa i tots els grups, en folis de colors, van fer les reduccions proposades: 1:2, 1:3 i 1:4.

Com que a la classe som pocs alumnes, cada grup va poder fer més d’una reducció. No mostraven dificultat i era motivador.

Paral·lelament es va preparar el mural que havia d’ajudar a entendre’n el perquè.

Es va calcar la tapa i es va escriure l’escala 1:1 amb el diàleg previ que va comportar. Després es va calcar la tapa tres vegades més per poder enganxar les diferents reduccions. Se’ls va demanar que fessin les prediccions de quantes n’hi cabrien abans de dibuixar i, com era d’esperar, totes foren incorrectes. Certament, mentre enganxaven les reduccions, com es mostra a la figura 1, van anar corregint les prediccions i encertant-les.

S’adonaren que en la reducció 1:2 n’hi cabien 4, en la 1:3 n’hi cabien 9 i en la 1:4 n’hi cabien 16.

Sorgiren preguntes com: Pot ser a escala «al revés»? 2:1 Què passaria? Hi cabria al dibuix de la tapa?

Per acabar aquesta activitat es va preguntar què passaria amb l’escala 1:10. També es va demanar que busquessin a la classe una representació d’aquesta escala i la van trobar: era el metre quadrat amb els dm2 a dins!

Figura 1. Mural de «Fem tapes de capses a l’escola».

desembre 2016 69

4. Ampliem figures amb quadrícules Aquesta activitat fou individual, encara que el treball final de cerca de regularitats es va fer en gran grup.

Volia respondre a la pregunta: Hi ha escales «sense l’1 al davant»?

Es va donar un full quadriculat a cada alumne i se li demanà que en un racó del full dibuixés una figura d’un nombre petit de quadrats (de 10 a 20). Després s’havia d’ampliar 2:1, 3:1, 4:1 fins a 5:1 si els cabia al paper.

Comptaven els costats dels quadrats del perímetre i els quadrats de la superfície i ho anotaven en una taula. Alguns alumnes van tenir dificultats en comptar el perímetre més que en comptar els quadrats de la superfície.

La taula de valors és la clau per adonar-se de les regularitats, de les relacions que hi ha entre els nombres i alhora facilita fer conjectures i generalitzar si es pot.

5. Mesurem altures del pati Per finalitzar el tema de la proporcionalitat geomètrica calia parlar de Tales. Qui era? Per què fou conegut? Què podem aprendre’n?

Es va proposar de mesurar les ombres. Com que les ombres canviaven més ràpidament del que creien, calia algun referent: el metre de la pissarra.

Al pati vam posar el regle vertical, es va mesurar l’ombra i a terra, en guix, vam repassar l’ombra i vam escriure les fraccions que representaven les raons. Amb la calculadora es van fer els càlculs i així es va obtenir l’altura.

Per grups van triar altres elements del pati i en van mesurar indirectament l’altura amb el teorema.

Els futurs mestres van treballar a partir de l’espiral del coneixement de Wells (2004) i en un context d’avaluació formadora perquè «l’avaluació, entesa com a autoavaluació i coavaluació, constitueix forçosament el motor d’aprenentatge de tot el procés de construcció del coneixement» (Sanmartí, 2007, p. 23). En la primera fase de l’espiral, corresponent a compartir les experiències prèvies dels alumnes sobre el tema, els estudiants de grau van realitzar un pretest i un mapa conceptual sobre la proporcionalitat. A continuació, es van posar en comú les respostes dels estudiants i es va aprofitar per a repassar conceptes de proporcionalitat. A més a més, van fer un exercici d’autoregulació del pretest. Seguidament, en la segona fase de l’espiral, la de la «nova informació», van rebre instrucció per part de la professora sobre proporcionalitat geomètrica i sobre les escales en particular, i també van resoldre en grup quatre tasques sobre escales i semblança de polígons. Aquesta fase va acabar amb un procés de coavaluació intergrupal. La fase 3 de Wells va consistir en una posada en comú que va servir per a consolidar els nous aprenentatges; abans de dur-la a terme, els estudiants havien completat una rúbrica d’autoavaluació grupal. L’experiència va acabar amb un posttest i un nou mapa conceptual.

70 noubiaix 39

6. La tasca final Per acabar l’experiència d’ensenyament i aprenentatge de la proporcionalitat, als nens i nenes de l’escola se’ls va plantejar el problema següent: Quina de les escales següents utilitzaries per a dibuixar en un full DIN A4 una casa de 7 m d’altura i 5 m d’amplada? Raona la resposta.

1:24

1:100

1:10000

L’última tasca dels futurs mestres va consistir no només a resoldre aquest problema, sinó també a analitzar les respostes donades pels estudiants de primària i a identificar quins continguts matemàtics hi ha implicats en el mateix problema.

Aquesta situació problema permet avaluar sobretot el nivell d’assoliment de la competència bàsica matemàtica «Donar i comprovar la solució d’un problema d’acord amb les preguntes plantejades» de la dimensió de resolució de problemes i treballar el raonament espacial, a més a més dels nombres decimals.

Anàlisi i discussió Les respostes es van classificar en les categories següents segons el tipus de raonament: •

No es justifica l’escala elegida.

•

D’índole qualitativa: relacionen la mida del dibuix amb el número de l’escala que representa els centímetres de la realitat a què equival 1 cm del dibuix.

•

Naturalesa dels nombres i idea d’exactitud: en aquesta categoria hi ha les respostes dels estudiants que utilitzarien l’escala 1:100 perquè les mides de la representació de la casa a escala serien 5 cm × 7 cm, nombres naturals. En canvi, si utilitzen l’escala 1:24, han d’arrodonir el resultat (20,8 cm × 29,2 cm).

•

Justifiquen la resposta tenint en compte si la representació de la casa els cabrà al full.

Taula 1. Raonaments dels estudiants.

Estudiants 6è primària

Estudiants de 2n grau

Categoria

Freqüència absoluta (N = 20)

Freqüència (G = 9)

No justifica

5

0

Índole qualitativa

8

0

Naturalesa dels nombres i idea d’exactitud

2

3

Dimensions del DIN A4

2

5

Altres

3

1

desembre 2016 71

A la taula 1 es pot veure que hi ha cinc nens i nenes de primària que no justifiquen la resposta: o bé han encerclat l’escala que utilitzarien o bé no n’han encerclat cap, però no argumenten la resposta en cap cas. Això no obstant, un dels estudiants de primària que no ha triat cap escala, sota la pregunta ha fet un dibuix d’una casa tal com es mostra a la figura 2.

7 cm

5 cm Figura 2

Concretament, el rectangle gran té 7 cm d’altura i 5 cm de base, cosa que fa pensar que el nen ha intentat reproduir la casa a escala 1:100. Els costats del triangle mesuren, aproximadament, també 5 cm. Per tant, aquest nen no ha estat capaç d’elegir una escala i raonar la resposta, però sembla que entén el concepte d’escala i sap representar a escala.

Un 33% dels estudiants de primària presenta la justificació incorrecta següent d’índole qualitativa (figura 3) per raonar que utilitzarien l’escala 1:10000: afirmen que, com més gran és l’escala, més petit és el dibuix. Aquest raonament, segurament, prové del descobriment que feren en l’activitat de dibuixar el plànol de l’escola.

Figura 3. Categoria d’índole qualitativa, justificació incorrecta.

Això no obstant, utilitzant el mateix raonament d’índole qualitativa, un estudiant descarta l’escala 1:10000 i dóna una justificació parcialment correcta (figura 4):

Figura 4. Categoria d’índole qualitativa, justificació parcialment correcta.

72 noubiaix 39

Un altre tipus de raonament que s’observa tant en les evidències dels estudiants de primària (figura 5) com dels futurs mestres (figura 6) està lligat a la idea que als estudiants els agrada treballar amb nombres naturals o bé que les divisions siguin exactes. Alguns d’ells han triat l’escala 1:100 perquè d’aquesta manera cada centímetre del paper representa exactament 100 cm de la realitat; en canvi, si trien l’escala 1:24, han de treballar amb decimals.

Figura 5. Categoria naturalesa dels nombres i idea d’exactitud. Estudiant de 6è de primària.

Figura 6. Categoria naturalesa dels nombres i idea d’exactitud. Estudiants de grau.

En la figura 7 es pot veure que un dels grups d’estudiants del doble grau dóna un argument tenint en compte la naturalesa dels nombres, però afegeix que també utilitzaria l’escala 1:100 perquè, si utilitzés les altres dues, la representació seria molt petita o molt gran.

Figura 7. Categoria naturalesa dels nombres i idea d’exactitud. Índole qualitativa.

desembre 2016 73

Un altre tipus d’argument que donen tant per justificar l’elecció de l’escala 1:24 com de l’escala 1:100 és que «cap al full», però en les respostes no inclouen cap càlcul (figura 8).

Figura 8. Categoria dimensions DIN A4. Justificació incorrecta. Estudiants de grau.

A la resposta de la figura 8 es pot observar que la justificació que donen és incorrecta i és conseqüència o bé d’haver mesurat erròniament la llargada i l’amplada del DIN A4 o bé d’haver aproximat incorrectament les mides de la casa dibuixada a escala 1:24. A més a més, confonen «unitats» amb «escala».

En la resposta següent (figura 9), l’estudiant de primària no només fa un raonament totalment erroni, sinó que també mostra un error conceptual respecte al perímetre: argumenta que l’escala es troba fent el doble del perímetre de la figura real i, a més a més, per trobar el perímetre només suma dos dels costats de la figura. Aquesta suma dóna 12 i justament és la meitat de 24 (1:24). Amb aquesta informació no podem afirmar que l’estudiant sempre trobaria l’escala segons el raonament que ha donat, ja que també ha pogut buscar simplement una relació entre els nombres de la pregunta. Tot i això, pensem que aquest raonament té relació amb el fet d’haver mesurat el perímetre en l’activitat d’ampliar figures.

Figura 9. Categoria altres. Errors conceptuals.

Cal destacar que en cap de les respostes dels alumnes de primària es pot veure com han calculat les dimensions de les representacions a escala. Pel tipus de raonaments que han fet es dedueix que: •

No han fet cap mena de càlcul.

•

Si han fet alguna mena de càlcul: − Respecte a l’escala 1:100, mentalment.

74 noubiaix 39

− Respecte a l’escala 1:24, han vist que 100 no és divisible per 24 i/o han utilitzat la calculadora. − Respecte a l’escala 1:10.000, mentalment o no n’han fet cap.

Alguns dels futurs mestres han utilitzat els factors de conversió i la definició d’escala per raonar les seves respostes, però també s’observa que cap dels grups ha calculat quines serien les dimensions de la casa segons l’escala 1:10.000.

Pel que fa al nivell d’assoliment de competència dels estudiants de primària, es pot dividir en dos grups diferenciats: per un costat, s’identifica un conjunt nombrós d’alumnes que han elegit una escala incorrecta o bé que l’escala és correcta, però no fan un raonament correcte.

La majoria dels arguments que fan són d’índole qualitativa. El nivell de competència de la resta de nens i nenes és més elevat, ja que donen una solució correcta i una explicació parcialment correcta, tot i que no acompanyen les justificacions amb càlculs. El tipus de raonament que fan seria el de la naturalesa dels nombres i idea d’exactitud o bé el de les dimensions del DIN A4. D’aquest grup també es pot destacar que, en la majoria de les respostes, es dedueix que alguns dels estudiants han pensat en la possibilitat que hi hagi més d’una resposta correcta, però trien la que els sembla més raonable. Això no obstant, s’observa que els estudiants d’aquest grup entenen el concepte d’escala i saben com calcular les dimensions d’una reproducció feta a escala.

Respecte als estudiants de grau que han triat una possible solució correcta, també es detecten bàsicament dos nivells d’assoliment de la competència: el que correspon a aquells que només han justificat una sola opció i el que correspon als que, en les seves respostes, argumenten sobre «l’escala més adequada», és a dir, s’intueix que tenen en compte més d’una solució correcta, encara que no s’observa explícitament cap discussió respecte a les altres escales. Tot i això, cal destacar la justificació d’un dels grups dels futurs mestres, que dóna una resposta no vàlida perquè són els únics que calculen correctament les dimensions de la representació segons les tres escales, però conclouen erròniament a causa de no arrodonir bé els decimals i no ser acurats en el llenguatge matemàtic.

En les autoregulacions dels errors dels futurs mestres, ells mateixos consideren que no haver pensat en la possibilitat de més d’una resposta és conseqüència de la seva falta de comprensió lectora.

En definitiva, la majoria dels estudiants de l’escola i de la universitat han sabut interpretar el concepte d’escala, però no han estat capaços de comprovar si totes les opcions eren correctes matemàticament ni d’argumentar si eren o no raonables.

Conclusions La similitud en els raonaments dels dos tipus d’estudiantat, que en el cas de la universitat són estudiants de diferents indrets del país, ens fa reafirmar en la convicció que almenys la proporcionalitat geomètrica s’ha treballat poc a les escoles i als instituts i, en conseqüència, que molts dels futurs mestres no tenen desenvolupat ni un bon raonament espacial ni proporcional, essent aquest últim essencial per arribar a desenvolupar el raonament formal (Inhelder i Piaget, 1996). Per tant, pensem que des de l’escola s’han de fer activitats, d’una

desembre 2016 75

banda, més significatives i transversals i, de l’altra, menys algorítmiques pel que fa al treball de la proporcionalitat. Encara que el nivell competencial dels escolars amb qui hem dut a terme l’experiència no és gaire alt, pensem que això es deu al fet que es troben a l’inici del desenvolupament del raonament proporcional i que la proposta didàctica que hem presentat és un bon exemple a seguir per d’altres mestres a les escoles i instituts. S’ha de tenir present que el raonament proporcional es comença a treballar a primària, però que és un contingut clau del currículum de secundària.

Com a reflexió final, pensem que l’aplicació de l’espiral de Wells en un context d’avaluació formadora ha enriquit el procés d’ensenyament i aprenentatge, però que els estudiants per a mestre no tenen un nivell desitjable quant a resolució de problemes. Això ens fa replantejar l’experiència fins al punt d’introduir un canvi en les activitats corresponents a cada fase de l’espiral: pensem que una proposta de millora seria començar la fase de la nova formació per la pregunta que els vam plantejar, en lloc de començar per la instrucció. Això no obstant, creiem fermament que l’avaluació formadora ha ajudat a regular sobretot els errors dels mestres en formació.

Pel que fa a la metodologia seguida a l’escola, hem observat que facilita l’atenció a la diversitat, perquè, malgrat que no arribin a un cert nivell de comprensió del concepte, tots poden participar de les activitats i se’n senten part activa. Presentar les activitats a partir d’una bona pregunta, de simular que han de descobrir quelcom per explicar als altres (pot ser als companys de l’altre curs, a la pàgina web o elaborant un petit informe), és una bona manera de motivar i d’aprendre.

Segurament, la proporcionalitat geomètrica es treballa a l’escola, però pot ser que no se’n sigui prou conscient. El fet de reflexionar i de prendre consciència ens ha d’ajudar a millorar si ja es treballa o a introduir el tema quan s’ha d’encetar.

Referències Buforn, À., Fernández, C. (2014). Conocimiento de matemáticas especializado de los estudiantes para maestro de primaria en relación al razonamiento proporcional. Bolema, 28(48), 21-41.

Fernández, C., Llinares, S. (2012). Características del desarrollo del razonamiento proporcional en la educación primaria y secundaria. Enseñanza de las Ciencias, 30(1), 129-142.

Fiol, M.L., Fortuny, J.M. (1990). Proporcionalidad directa. La forma y el número. Madrid: Síntesis.

Inhelder, B., Piaget, J. (1996). De la lógica del niño a la lógica del adolescente: ensayo sobre la construcción de las estructuras operatorias formales. Barcelona: Paidós.

Lamon, S.J. (2007). Rational numbers and proportional reasoning: toward a theorical framework. Dins F. K. Lester (ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (p. 629-667). Charlotte: Information Age Publishing.

76 noubiaix 39

Quintero, A.L., Molavoque, M.J., Guacaneme, E. A. (2012). Diferencia entre semejanza y proporcionalidad geométrica desde una perspectiva histórica. Revista de Ciencias, 16, 75-85.

Sanmartí, N. (2007). 10 ideas clave. Evaluar para aprender. Barcelona: Graó.

Wells, G. (2004). El papel de la actividad en el desarrollo y la educación. Infancia y Aprendizaje, 27(2), 165-187.

desembre 2016 77

Parlar de matemàtiques per aprendre’n Teresa Serra Santasusana Mestra i psicopedagoga Fundadora de l’Escola Vila Olímpica tserra@xtec.cat

Resum La finalitat d’aquest article és valorar la conversa de matemàtiques a la classe per contribuir a la millora de l’aprenentatge de les matemàtiques dels nens i nenes d’educació primària. En aquest sentit, d’una banda, s’exposa el marc teòric des de la perspectiva socioconstructivista que la justifica, i d’altra banda, s’analitza una activitat matemàtica de classe en la qual la conversa juga un paper central.

Es presenta la Pauta d’observació de la conversa de matemàtiques a l’aula, que esdevé un instrument útil per a l’anàlisi del desenvolupament del procés d’aprenentatge de les matemàtiques dels infants i de la gestió de l’aula per part del mestre.

Abstract The objective of this article is to highlight the use of math conversation in class to contribute to the improvement of children’s learning of mathematics in primary education. On the one hand, it explains the theoretical framework from a social constructivist perspective that justifies it; and, on the other, it analyzes a particular mathematical activity in which conversation plays a central role.

It presents several guidelines for observing math conversation in the classroom, which becomes a useful tool for analyzing the development of the mathematical learning process of children and the management of the class by the teacher.

Introducció En aquest article es pretén posar en valor la conversa de matemàtiques a la classe i a l’escola; tal com indica el títol, parlar de matemàtiques per aprendre’n, i fer-ho des del començament, a l’educació infantil i primària.

El punt de partida és l’estudi realitzat dins del marc de la llicència d’estudis retribuïda concedida pel Departament d’Educació de la Generalitat de Catalunya (Resolució EDU/559/20099) i que alhora fou objecte del Premi Marta Mata de Pedagogia 2010.

78 noubiaix 39

Es descriu el marc teòric d’anàlisi que justifica la rellevància de la conversa de matemàtiques a primària per contribuir al desenvolupament del coneixement matemàtic, i s’aprofundeix en els criteris de gestió de la classe per fer fluir la conversa de matemàtiques.

Prenent un exemple d’activitat matemàtica a l’aula, es mostra la Pauta d’observació de la conversa de matemàtiques. Aquest instrument esdevé una aportació que ofereix criteris per tenir una mirada i una valoració contrastada i objectiva de la conversa de matemàtiques, amb la finalitat de contribuir a la millora en l’aprenentatge de les matemàtiques, sobretot centrada en la gestió de l’aula.

Per què parlar de matemàtiques a la classe?

Quina rellevància té la conversa de matemàtiques a l’educació primària? Aquest no és un aspecte sobre el qual sovint els mestres es facin preguntes quan es tracta sobre l’aprenentatge de les matemàtiques a les primeres etapes. Tanmateix esdevé important sobretot si és té en compte que a l’educació primària una de les finalitats és obrir i afermar el coneixement i l’ús del llenguatge matemàtic com una eina potentíssima de representació de la realitat, tant de fenòmens naturals com socials (Departament d’Educació de la Generalitat de Catalunya, 2007). Els nens i les nenes, en diferent grau segons les seves potencialitats, han de poder traduir situacions de vida al llenguatge matemàtic, alhora que han de poder farcir de realitat expressions matemàtiques.

En aquest sentit, es pot afirmar que és a l’educació primària on es genera i es fonamenta l’actitud d’obertura cap a la integració d’un nou llenguatge simbòlic i sintètic, el matemàtic, per comprendre millor el món. És sovint entorn dels deu o onze anys que massa criatures, a les nostres escoles, mostren un clar convenciment que les matemàtiques no han nascut per a elles i aleshores decideixen que no els agraden. Es fa difícil combatre aquesta actitud negativa un cop instal·lada en el fer de cadascú, per la qual cosa cal posar en marxa un tractament de les matemàtiques que no desemboqui en aquest desgrat.

La hipòtesi de treball subjacent d’aquest article és justament que l’ús de la conversa, acompanyat de l’experimentació i de les representacions pròpies del llenguatge matemàtic, pot esdevenir d’una gran ajuda i, consegüentment, pot fer de bastida en la incorporació del llenguatge simbòlic en les primeres etapes. El procés de representació, de traducció d’anada i tornada, és un camí complex que cal cuidar i acompanyar perquè tingui significat per a cada nen i nena, ja que només així el llenguatge matemàtic esdevindrà funcional i simbòlic, sempre dins de la concepció de l’aprenentatge socioconstructivista en què aprendre és el resultat de la interacció amb els altres i de la reflexió personal.

Cal, doncs, buscar evidències en l’estudi del paper que la conversa pot exercir en la construcció del coneixement i de la competència matemàtica: •

Bishop (1999) destaca el fet d’explicar com una de les de sis activitats matemàtiques que s’observen en el procés de desenvolupament del coneixement matemàtic de totes les cultures, per diferents que siguin. Explicar exposa relacions existents entre fenòmens i busca la unitat subjacent a la diversitat. Explicar s’ocupa de donar resposta al perquè. La relació explicativa cerca la similitud, la regularitat entre fets que en aparença difereixen.

desembre 2016 79

Les matemàtiques endeguen la cerca de patrons de regularitat davant de fets, situacions i processos que aparentment no tenen cap similitud i, en conseqüència, els expliquen.

•

Les converses en les quals s’exploren les idees matemàtiques des de diferents perspectives ajuden els participants a compartir el que pensen i a establir connexions. Els alumnes que s’involucren en discussions per a justificar solucions, especialment quan hi ha desacord, arriben a una millor comprensió matemàtica a mesura que intenten convèncer els seus companys dels seus punts de vista. Aquesta activitat contribueix al desenvolupament del llenguatge per expressar les idees matemàtiques i alhora a valorar la necessitat de la precisió del llenguatge (Hatano i Inagaki, 1991).

•

En oferir un espai i un temps a la classe per tal que els estudiants expressin les seves pròpies idees matemàtiques es fomenta que tant l’alumnat com la mestra argumentin.

En aquesta línia, Yackel (2002) conclou que l’èmfasi en l’argumentació col·lectiva pot esdevenir molt útil per promoure l’obertura de les discussions matemàtiques per a nous conceptes i instruments que poden emergir de la conversa, entenent per argumentació col·lectiva aquella que es dóna quan dos o més argumentacions individuals interactuen.

•

Aquestes maneres de mirar la classe de matemàtiques porten immersa la concepció de l’aula com a comunitat d’aprenentatge, on tots els nens i nenes i també la mestra aprenen en la mesura que interactuen. Sovint resulta difícil i complex per als mestres canviar el model d’ensenyament de l’àrea, desplaçant-se des d’un model directiu a un model més col·laboratiu sustentat en la creació d’una comunitat d’aprenentatge que inclogui els nens i les nenes i la mestra. En aquest últim model, la conversa hi té un lloc destacat (Mercer, 2001). Tanmateix, quan el professorat s’adona que els alumnes poden defensar les seves idees, qüestionar i clarificar les dels altres, la importància del discurs comença a guanyar terreny.

•

Hufferd-Ackles, Fuson i Sherin (2004) defineixen quatre nivells de complexitat en el desenvolupament de la conversa de matemàtiques de l’alumnat amb el mestre en la comunitat d’aprenentatge que és l’aula: − Nivell 0: Classe tradicional, directiva, l’alumnat dóna respostes breus. − Nivell 1: La mestra comença a centrar l’atenció en el pensament matemàtic de l’alumnat. La mestra juga el paper central en la comunitat d’aprenentatge de matemàtiques. − Nivell 2: La mestra modela i ajuda l’alumnat a assumir nous rols. Creix el coensenyament i el coaprenentatge entre alumnes mitjançant la conversa. − Nivell 3: La mestra actua com a comestra i coaprenent. La mestra gestiona tot el que passa a la classe. La mestra està a punt per ajudar, però d’una manera més perifèrica, menys directiva.

Aquests nivells estan íntimament vinculats a la concepció de construcció del coneixement matemàtic que té el professorat. Mentre que els primers nivells parteixen de concepcions molt centrades en la transmissió del coneixement, en què el mestre ofereix models de resolució que els alumnes copien i repliquen, els dos últims s’inscriuen dins del marc socioconstructivista, en què es fa palès que és l’alumne qui construeix, descobreix i inventa els models de resolució, conjuntament amb els altres i amb el mestre. Aquests nivells de complexitat són els referents de l’anàlisi de les converses dutes a terme en l’estudi al qual es refereix aquest article.

80 noubiaix 39

Posar l’atenció en la conversa de matemàtiques a la classe en el camí d’integració del llenguatge matemàtic dels nens i de les nenes fa emergir una determinada mirada de l’aprenentatge de les matemàtiques que se centra fonamentalment en el procés d’aprendre, sense deixar de banda l’anàlisi dels resultats. I que coincideix amb la que expressa el document de les Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic (2013), que focalitza en la resolució de problemes, el raonament i la prova, les connexions i la comunicació i representació. Analitzar el procés de desenvolupament de l’aprenentatge de les matemàtiques permet precisar en termes qualitatius els diferents nivells de competència matemàtica dels alumnes i genera consciència i voluntat de millora en el professorat.

La creació d’una actitud positiva cap a l’aprenentatge del llenguatge matemàtic; dit en d’altres paraules, la motivació per entrar en una nova manera de descriure i explicar el món de forma general i sintètica, esdevé responsabilitat única i exclusiva dels mestres de les etapes d’educació infantil i primària. Es tracta, doncs, d’una tasca molt rellevant per les conseqüències que comporta al llarg de l’aprenentatge dels infants.

Com organitzar la classe de matemàtiques per donar lloc a la conversa?

Abans que res, es fa imprescindible disposar d’una actitud oberta, d’escolta, flexible i constructiva per part del professorat per tal d’encaminar la classe de matemàtiques cap als nivells 2 i 3 que defineixen Hufferd-Ackles, Fuson i Sherin. És necessari que tots els actors confiïn en la conversa de matemàtiques a la classe per tal que flueixi i doni lloc a nous aprenentatges. Els alumnes, a mesura que se’ls vagi posant en aquesta situació, sempre que el mestre ho faci d’una manera sincera i convençuda, s’hi aniran acomodant i cada vegada desplegaran més habilitats en la comunicació i el contrast, però el mestre, que n’és el gestor, necessita, des de bon començament, tenir una actitud positiva cap a aquesta manera de fer.

Per parlar de matemàtiques, quines activitats triar?

La conversa de matemàtiques requereix temps per dur-la a terme; per tant, cal fer una tria acurada de les activitats que generin debat. D’acord amb la caracterització que fa el National Council of Teachers of Mathematics (2006), les activitats haurien de: •

centrar-se en coneixements matemàtics rellevants;

•

ser obertes;

•

fomentar l’experimentació;

•

fomentar un pensament complex i no només algorísmic que comporti contrast;

•

requerir transferència de coneixement;

•

demanar autoregulació (presa de decisions), i

•

acollir la iniciativa dels infants.

A tall d’exemple, es mostra una de les activitats que es va analitzar en l’estudi al qual fa referència aquest article.

desembre 2016 81

És una activitat per a nens i nenes de quart d’educació primària que es presenta com un problema obert que els alumnes van solucionar en petits grups heterogenis el primer dia i, posteriorment, en una altra ocasió, cada grup va exposar a la resta de la classe les vies de solució emprades.

Quina és la despesa d’aigua per a rentar-se les mans de tota la gent de l’escola en un dia?

Quan es planifica, si s’analitza la proposta d’acord amb els continguts i els processos del currículum de matemàtiques d’educació primària, es pot veure què es relaciona: Taula 1. Planificació de l’activitat. Relació dels continguts i dels processos o dimensions.

Numeració i càlcul Mesura estadística

Processos/Continguts Resolució de problemes

Raonament i prova

Comunicació i representació

Connexió

•

Cerca de dades: recollida de dades mitjançant observacions, planificació de la resolució, predicció.

•

Selecció de la unitat i de l’instrument més adequats per a realitzar una mesura.

•

Disseny d’activitats de mesura dins d’un context significatiu.

•

Realització de multiplicacions amb nombres naturals amb algoritmes estàndard.

Interpretació de la freqüència absoluta.

•

Acostament a la idea de mitjana.

•

Comprovació de la resposta d’un problema.

•

Descripció oral i escrita del procés de mesura.

•

Descripció oral, gràfica i escrita del procés seguit per a resoldre un problema.

•

Reconeixement i ús de l’estructura multiplicativa en el procés de mesurar.

•

Selecció adequada del tipus de càlcul segons la situació: càlcul mental, càlcul escrit i calculadora.

•

Cerca de relacions entre diferents processos de resolució.

D’acord amb els criteris relatius a la tria d’activitats, aquesta té com a element central la multiplicació, contingut del tot rellevant en aquest nivell. A més a més, aquest concepte es presenta vinculat a la realitat i relacionat amb d’altres processos i conceptes matemàtics, la mesura i el càlcul. La situació presentada demana la presa de decisions relatives a la recerca

82 noubiaix 39

de dades i, en aquest àmbit, l’ús de l’estadística per establir la mitjana de vegades que la gent es renta les mans a l’escola diàriament.

Com organitzar la classe perquè la conversa de matemàtiques flueixi?

Anteriorment ja s’ha indicat la conveniència de promoure el treball en grups d’alumnes heterogenis pel que fa al nivell de coneixement matemàtic, ja que la diversitat redunda en el contrast a l’hora de comunicar. En aquesta línia, el gran grup classe sempre conté l’heterogeneïtat.

L’experimentació, en aquest exemple, fou un aspecte del tot significatiu, després de representar quin podia ser el camí de solució del problema.

1. Es planteja el problema. Es discuteix com cercar les dades.

2. A la secretaria potser es pot descobrir una dada: quants mestres, monitors i altres treballadors hi ha a l’escola.

3. Mesura de l’aigua que surt per l’aixeta del lavabo quan es prem.

4. Es mesura amb precisió l’aigua recollida al lavabo.

Però, com conduir la conversa?

La intuïció sovint esdevé una bona guia i aquest fou el referent de l’autora de l’article durant molts anys. Tanmateix, l’estudi sobre la conversa representà una oportunitat per analitzar-ne

desembre 2016 83

i sistematitzar-ne els criteris essencials. En qualsevol conversa de matemàtiques a la classe, la mestra, tant per part seva com dels infants, hauria de considerar: Preguntes. Fer preguntes que provoquin el pensament i que fomentin el diàleg (preguntes obertes, amb perspicàcia, que posin en relleu dades essencials).

Fomentar que els nens i nenes formulin preguntes a la mestra i als companys.

Expressió del coneixement matemàtic. Utilitzar la recapitulació, l’exhortació i la reformulació per tal de fomentar que els alumnes comuniquin les idees pròpies. Sol·licitar la descripció i l’explicació dels processos realitzats. Facilitar el contrast de diferents resolucions. Fomentar l’ús de representacions diverses, verbals, gràfiques, amb material, i la seva relació. Sovint els infants necessitaran l’experimentació amb els materials per a fer explícit el seu coneixement matemàtic i el procés de pensament.

Font de les idees matemàtiques. Utilitzar les idees de l’alumnat com a guia per al desenvolupament de l’aprenentatge. Relacionar les idees dels alumnes amb els objectius planificats. Analitzar els errors i tractar-los com a oportunitats per a aprendre. Fomentar que l’alumnat exposi al·legacions i conjectures. Aquest criteri posa damunt de la taula la possibilitat que el mestre estiri l’activitat a partir de les propostes matemàtiques que fan els nens i nenes en la conversa, tot oferint la iniciativa als alumnes, filtrada per la seva mirada i la seva intenció.

Responsabilitat de l’aprenentatge. Donar temps als nens i nenes per a pensar i parlar. Encoratjar l’alumnat a l’aprenentatge. Actuar analitzant el context concret, oferint ajuda, deixant vèncer dificultats, proposant reptes... Fomentar la coresponsabilitat mitjançant: redir el que un altre ha dit, sol·licitar acords i desacords justificats, fomentar l’ajuda entre iguals, acceptar suggeriments. La finalitat resideix a posar l’estudiant en el centre de la responsabilitat de l’aprenentatge.

Conversa en petit grup:

5. Cadascú utilitza el procediment de càlcul que li sembla més adient.

6. Es contrasten diferents solucions.

84 noubiaix 39

Conversa en gran grup:

7. Cada grup repassa l’exposició que haurà de fer a la resta de la classe.

8. Un dels grups explica el seu procés de solució al problema.

9. Hi ha alguna cosa a dir sobre l’explicació que estan escoltant.

I després de la conversa?

Després de les converses en petit i gran grup i de les representacions dels alumnes, la mestra constata que el treball dut a terme supera amb escreix la planificació prèvia, justament per les aportacions realitzades gràcies a la conversa.

En aquest sentit, es descriuen els continguts matemàtics tractats en la solució del problema de l’aigua a través de la conversa i es marquen els que no s’havien planificat.

desembre 2016 85

Taula 2. Recull de l’activitat. Relació dels continguts i dels processos o dimensions.

Idees matemàtiques presents a la conversa de quart relacionades amb els continguts i els processos del currículum de matemàtiques Processos/Blocs contingut

Numeració i càlcul. Mesura

Resolució de problemes

Comprensió de l’abast d’un problema obert relacionat amb l’entorn: • Decisió sobre els límits de l’abast del problema.

• Decisió sobre les dades necessàries.

• Descobriment sobre la rellevància d’alguna dada no explícita.

• Anticipació del procés per a la cerca de les dades.

• Cerca de dades per a un problema.

Plantejament de problemes relatius als procediments de resolució: • Multiplicació de tres factors.

• L’algorisme de la multiplicació de decimals.

• L’algorisme de la multiplicació de 2 i 3 xifres.

• La prova de la multiplicació: multiplicació i divisió, operacions inverses.

• Cerca de solucions als problemes de procediment i contrast de les solucions.

Raonament i prova

Comunicació i representació

Connexió

Contrast, revisió i validació en la cerca de dades: cerca del procés per a trobar la resposta al problema.

• Establiment de supòsits per a resoldre el problema: comprovació del procés seguit per a resoldre un problema.

• Contrast de solucions trobades.

• Estimació del marge d’error en la resolució d’un problema obert.

• Aproximació de magnituds discretes i contínues per arrodoniment.

• Lectura de quantitats decimals.

• Ús adequat de les unitats de mesura de capacitat.

•

Recapitulació sobre les dades obtingudes per a resoldre un problema.

• Descripció del procés seguit per a obtenir les dades del problema.

• Descripció del procés seguit per a resoldre un problema.

•

Reconeixement del concepte de multiplicació relacionat amb la mesura.

• Decisió i ús adequat de diferents procediments de càlcul multiplicatiu: càlcul mental, calculadora, càlcul escrit, en funció del context.

•

86 noubiaix 39

Com analitzar les converses i amb quina finalitat?

Disposar de criteris clars, contrastats i objectivables per a analitzar la conversa de matemàtiques pot representar una ajuda a l’hora de fer una valoració qualitativa tant de les aportacions i les maneres de fer de la mestra com dels nens i nenes.

Si es focalitza en els alumnes, es podrà disposar de dades qualitatives que il·lustraran el seu nivell de desenvolupament del coneixement i competència matemàtica, mentre que si es focalitza en la mestra, s’obtindran dades relatives a la metodologia i gestió de l’aprenentatge que podran redundar en la millora de la pràctica docent. I si es du a terme una mirada contrastada i conjunta dels uns i els altres s’aconseguirà comprendre quin tipus d’aprenentatge s’està promovent i, per tant, la seva millora.

En aquest sentit, el repte de l’estudi, al qual es refereix aquest article, fou precisament la creació d’un instrument d’anàlisi de la conversa de matemàtiques: la Pauta d’observació de la conversa de matemàtiques (Serra, 2010), tant des de la perspectiva de la mestra com de la dels infants, que contribuís a poder categoritzar les converses d’acord amb els nivells definits per Hufferd-Ackles, Fuson i Sherin (2004).

En la Pauta d’observació s’han diferenciat les anàlisis de les aportacions del professorat de les de l’alumnat. Ambdues, però, segueixen un mateix patró d’observació, que s’organitza en quatre blocs que responen als processos més rellevants que apareixen en la conversa de matemàtiques i que contribueixen a la construcció del coneixement matemàtic: •

Les preguntes, tant de la mestra com de l’alumnat, tenen una presència preeminent en la conversa; sovint en són el motor que la propulsa.

•

L’expressió del coneixement matemàtic es vincula molt estretament amb les diverses formes de representació que pot adoptar un concepte matemàtic, formes que van de les més concretes, utilitzant el material manipulable, a les més abstractes, amb l’ús del llenguatge matemàtic. Resulta cabdal tenir cura i acompanyar d’una manera especial el procés de representació que fan els alumnes quan aprenen matemàtiques per tal que puguin donar sentit i significat al llenguatge matemàtic.

•

La font de les idees matemàtiques fa una referència clara a la concepció de la classe com una comunitat d’aprenentatge, en el sentit de comprendre que les idees matemàtiques poden aparèixer per part dels alumnes i de la mestra, si bé és la mestra qui gestiona la conversa i qui ha establert prèviament els objectius de treball.

•

La responsabilitat de l’aprenentatge aprofundeix en la idea que, en una comunitat d’aprenentatge, mestra i alumnes tenen responsabilitat en el procés d’aprendre.

Dins de cada bloc, s’han definit diferents categories i indicadors que permeten realitzar l’anàlisi de la conversa a partir de l’observació i el registre de fets que es desenvolupen a l’aula. Les unes i els altres van des d’un model de classe més directiva fins a un model de classe més col·laborativa. A continuació es mostren les categories i els indicadors relatius a cadascun dels blocs (Serra, 2010).

desembre 2016 87

Taula 3. Pauta d’observació de la conversa de matemàtiques. Aportacions del professorat.

Bloc 1: Preguntes La mestra fa preguntes, expressions o actuacions que regulen la interacció.

1. Només pregunta la mestra.

2. Demana als alumnes que l’escoltin.

3. Demana als alumnes atenció a les seves explicacions.

4. Espera que els alumnes es facin preguntes entre ells relacionades amb la seva feina.

La mestra formula preguntes o expressions que fomenten el coneixement.

1. Fa preguntes breus i freqüents.

2. Fa preguntes tancades.

3. Fa algunes preguntes sobre com pensen els alumnes o sobre els processos de resolució que utilitzen.

4. Fa preguntes obertes.

5. Fa preguntes amb perspicàcia.

6. Demana als alumnes que justifiquin les seves respostes. Per què?

7. Les preguntes de la mestra guien el discurs de la classe.

8. Fa preguntes que fomenten que es posi de manifest la rellevància d’algunes dades.

9. Les preguntes que fa la mestra fomenten les connexions.

10. Repeteix preguntes clau.

La mestra formula preguntes o expressions que fomenten la col·laboració.

1. Fa preguntes a un alumne relatives als treballs dels altres.

2. Facilita que els alumnes preparin preguntes sobre els treballs d’altres alumnes.

3. Planteja preguntes per aclarir els processos de resolució dels alumnes. (Les preguntes de la mestra tenen en compte les limitacions d’alguns alumnes per comprendre les explicacions dels altres.)

Bloc 2: Expressió del pensament matemàtic La mestra és el centre d’atenció de l’expressió del pensament matemàtic.

1. Centra l’atenció en les respostes dels alumnes.

2. Ofereix força explicacions.

3. Fa poques intervencions que estimulin les explicacions de les estratègies utilitzades pels alumnes.

4. S’exposen una o dues estratègies de resolució d’una mateixa tasca.

La mestra fomenta l’aparició de diferents expressions verbals del pensament matemàtic dels alumnes.

1. Dóna suport, mitjançant comentaris i preguntes, a les descripcions dels processos que fan els alumnes.

2. Facilita l’expressió d’un ventall d’estratègies dels alumnes.

3. Segueix de molt a la vora les descripcions que fan els alumnes del seu pensament.

88 noubiaix 39

La mestra fomenta l’aparició de diferents representacions del pensament matemàtic dels alumnes a través del material manipulable.

1. Aporta i suggereix l’ús de materials manipulables per a l’expressió del pensament matemàtic dels alumnes.

La mestra fomenta l’aparició de diferents representacions del pensament matemàtic dels alumnes mitjançant els gràfics, els diagrames o el llenguatge simbòlic.

1. Aporta imatges, diagrames, taules i gràfics rellevants per a l’expressió del pensament matemàtic.

2. Utilitza metàfores, analogies o històries per a expressar el pensament matemàtic.

La mestra fomenta el contrast de diferents expressions del pensament matemàtic dels alumnes.

1. Suggereix als alumnes que descriguin els processos exposats per altres.

2. Suggereix als alumnes que valorin justificadament els processos exposats per altres.

3. Suggereix als alumnes que utilitzin els processos exposats per altres.

Bloc 3: Font de les idees matemàtiques La mestra és la font de les idees matemàtiques.

1. Se situa físicament a la pissarra amb el guix a la mà.

2. Explica i mostra als alumnes com es fan matemàtiques.

3. Encara és la font principal d’idees, però fomenta que es manifestin algunes idees dels alumnes.

La mestra fa emergir les idees matemàtiques a través de recollir les aportacions dels alumnes.

1. Per explicar, utilitza les respostes i les aportacions dels alumnes.

2. Posa paraules a les accions dels alumnes.

3. Permet que els alumnes interrompin les seves explicacions amb comentaris.

4. Fomenta, mitjançant comentaris i preguntes, que els alumnes expliquin les seves pròpies estratègies.

La mestra fa emergir les idees matemàtiques a través de contrastar les aportacions dels alumnes.

1. Compara i contrasta les explicacions dels alumnes.

La mestra fa emergir les idees matemàtiques a través d’analitzar els errors dels alumnes.

1. Amb els seus comentaris, fomenta que emergeixin idees errònies o incompletes per tal d’analitzar-les i millorar-les.

2. Utilitza els errors com a oportunitats per a aprendre.

desembre 2016 89

La mestra condueix les lliçons de matemàtiques a partir de recollir les idees dels alumnes mitjançant comentaris, justificacions o recapitulacions.

1. Incorpora les notacions i el llenguatge matemàtic a les idees dels alumnes.

2. Aporta justificacions a les solucions dels alumnes.

3. Fa recapitulacions a partir de les aportacions dels alumnes.

4. Decideix la importància del que cal continuar explorant i aprofundint.

5. Utilitza les idees dels alumnes i els processos com a bases per a desenvolupar les lliçons.

Bloc 4: Responsabilitat de l’aprenentatge Les actuacions de la mestra mostren la seva responsabilitat en l’aprenentatge dels alumnes.

1. Repeteix a tota la classe les respostes, que van dirigides a ella.

2. Contesta als alumnes per verificar la correcció de les respostes.

3. Només ella fa el feedback.

4. Mostra diverses actuacions d’acord amb les diferents necessitats dels alumnes.

5. En funció del context, aporta informació, dóna pistes, clarifica, modelitza.

6. En funció del context, deixa als alumnes que vencin les dificultats.

7. Amb les seves actuacions, mostra claredat en els objectius d’aprenentatge.

Les actuacions de la mestra fomenten la coresponsabilitat de l’aprenentatge amb els alumnes.

1. Dóna temps perquè els alumnes participin.

2. Fa propostes que faciliten que els alumnes s’escoltin i s’ajudin entre ells.

3. Amb els seus comentaris i actuacions, encoratja els alumnes perquè es responsabilitzin de comprendre les idees dels altres.

4. Demana l’opinió, l’acord o el desacord, amb formes de resolució dels altres i la justificació de l’opinió.

5. Suggereix que els alumnes afegeixin quelcom.

La mestra fomenta amb les seves propostes i comentaris la col·laboració entre alumnes.

Taula 4. Pauta d’observació de la conversa de matemàtiques. Aportacions de l’alumnat.

Bloc 1: Preguntes Els alumnes responen o intervenen per iniciativa de la mestra.

1. No hi ha conversa matemàtica entre els alumnes.

2. Quan un alumne respon una pregunta de la mestra, els altres escolten passivament o esperen el seu torn.

3. Fan preguntes sobre el treball dels altres, sovint encoratjats per la mestra.

90 noubiaix 39

Els alumnes intervenen per iniciativa pròpia.

1. Poden iniciar la conversa per iniciativa pròpia, sense dependre de la mestra.

2. Fan preguntes sobre el treball dels altres, per iniciativa pròpia.

3. S’escolten atentament.

Els alumnes donen respostes diferents.

1. Donen respostes breus únicament a la mestra.

2. Fan descripcions completes del seu pensament.

Els alumnes suggereixen preguntes, problemes, justificacions, aclariments.

1. Fan preguntes i escolten les respostes.

2. Suggereixen problemes.

3. Moltes de les preguntes que fan són perquès que demanen respostes justificades.

4. Repeteixen les preguntes fins que comprenen bé les respostes.

Bloc 2: Expressió del pensament matemàtic El centre d’atenció són les respostes (finals) dels alumnes.

1. El centre d’atenció del treball són les respostes breus dels alumnes.

2. Hi ha poques intervencions voluntàries dels alumnes.

3. Normalment aporten informació quan la mestra ho suggereix.

Els alumnes comuniquen els seus processos de resolució verbalment.

1. Aporten informació i explicacions voluntàriament.

2. Fan descripcions breus del seu pensament.

Els alumnes comuniquen els seus processos de resolució utilitzant diferents representacions no només verbals.

1. Usen el material manipulable per a expressar el seu pensament.

2. Utilitzen gràfics, diagrames, per a descriure els seus processos de resolució.

3. Fan servir metàfores i analogies per a explicar les seves idees.

4. Utilitzen diferents representacions per a expressar els processos emprats, algunes d’inventades i lliures i altres de convencionals.

Els alumnes justifiquen els processos de resolució.

1. Justifiquen les seves respostes amb l’ajuda de petites insinuacions de la mestra.

2. Justifiquen les seves respostes per ells sols.

3. Els arguments presentats per alguns no són rellevants per als altres.

4. Els arguments que presenten alguns alumnes són rellevants per als altres.

desembre 2016 91

Bloc 3: Font de les idees matemàtiques Els alumnes imiten la mestra quan parlen de matemàtiques.

1. Imiten la mestra. No mostren les seves pròpies idees matemàtiques.

Els alumnes aporten algunes idees pròpies quan parlen de matemàtiques.

1. Emergeixen algunes de les seves idees en les discussions, però no s’analitzen a fons.

2. Mostren confiança i seguretat en explicar els seus raonaments i estratègies i compartir-los amb els altres.

3. Les seves idees esdevenen sovint la guia de la lliçó.

4. Aporten les seves idees quan la mestra o altres alumnes estan ensenyant.

Els alumnes aporten propostes d’avenç del coneixement matemàtic.

1. Fan al·legacions (proposicions assertives).

2. Fan conjectures.

3. Justifiquen al·legacions.

4. Suggereixen explorar exemples i contraexemples per investigar conjectures.

Els alumnes contrasten idees matemàtiques.

1. Espontàniament, comparen, contrasten i construeixen les seves idees.

Bloc 4: Responsabilitat de l’aprenentatge Els alumnes mostren poca responsabilitat o iniciativa en el seu aprenentatge.

1. Mostren una actitud passiva, intenten imitar la mestra.

2. Algunes vegades, repeteixen el que d’altres han dit.

3. Ajuden els altres quan la mestra ho demana.

4. L’ajuda entre els alumnes se centra a mostrar com han solucionat el problema.

5. Imiten el model de la mestra en el treball per parelles i de gran grup.

6. Quan la mestra ho demana, posen paraules a les idees dels altres.

Els alumnes mostren coresponsabilitat en el seu aprenentatge.

1. S’impliquen a aclarir idees dels altres per a fer-les seves.

2. S’escolten els uns als altres.

3. S’escolten i contribueixen a aclarir idees pròpies i dels altres en les discussions de gran grup, petit grup i parelles.

4. Ajuden els altres a comprendre i a corregir els errors, oferint pistes, fent preguntes, suggerint analogies.

5. Decideixen quin suport donen a les seves descripcions de les solucions.

6. Escullen i manifesten camins de resolució propis, que no s’han suggerit a l’aula.

7. Escullen i manifesten camins de resolució propis, que no s’han suggerit a l’aula, i els justifiquen.

92 noubiaix 39

Algunes de les converses que va generar el problema de l’aigua i la seva anàlisi Context de la conversa: La mestra amb el petit grup. Es ressitua el problema obert amb les dades recollides fins ara.

M.: Mira, podeu aprofitar que el Pau G. acaba d’arribar i expliqueu com s’ha... portat...

Pau O.: Heu de mesurar quanta aigua es gasta a l’escola quan tots ens rentem les mans. I hem decidit primer, i a la biblioteca hem vist quanta gent hi ha... quants nens, després hem anat a baix a l’Anna a preguntar-li quants monitors, mestres i tutors i... cuiners i monitors de menjador... i ens han dit 69. I hem fet la suma de 450, que eren els nens més 69, i tenim 519 persones.

M.: Molt bé i ara podríeu potser explicar-ne algun altre.

David: I després hem anat a baix, primer hem dit que havíem de calcular quanta aigua gastàvem entre tothom... Crec que la Maria o el Pau...

M.: Un de nosaltres.

David: Un de nosaltres ha dit que necessitàvem una gerra petita, aleshores la Teresa ens l’ha donat, però hem dit que no, que necessitàvem alguna cosa més grossa per mesurar.

Hem anat a baix, hem anat a agafar un bol, hem vist quanta aigua gastem, però tenim un problema...

M.: Però, abans d’arribar a aquest problema que el preocupa tant, m’interessaria que apuntéssiu la dada de cada vegada que premem l’aixeta, quina quantitat aigua ha sortit?

Pau O.: La segona dada, gasta... 2 litres... 2 litres i...

M.: 97.

Pau O.: 2,97...

Pau G.: 2,97? Litres?

Pau O.: Sí.

M.: És a dir, si arrodoníssim el 2,97, quant seria? Quants litres ens sortirien?

Maria: 3.

M.: Molt bé.

David: Ara hem de fer la multiplicació...

M.: No, no, no. Jo crec que aquest problema, si no el podem solucionar, el deixarem una mica a banda i miraríem el resultat final. Diu que hi ha gent que malgasta l’aigua...

desembre 2016 93

David: Que es creuen llestos...

M.: Que malgasta l’aigua. Això no cal que ho diguis. Que malgasten l’aigua i aleshores gasten més del compte. I, és clar, si hem de comptar l’aigua, aquesta dada no la sabem. No la sabem i és impossible saber-la.

David: Impossible saber-la.

M.: Impossible saber-la. De moment, el que podríem fer és... no ho sé. Què podríem fer? Què creieu?

Pau G.: És possible... si tothom guarda la seva aigua en un bol i la fica... però és que... (riu).

M.: Però ho podem fer això ara?

Tots els alumnes: No. Pau O.: No hi ha suficients bols per a 450 persones.

M.: Però seria una manera de controlar-ho?

A. (?): Podríem fer-ho...

A. (?): Podríem fer-ho, però...

M.: Si ho tinguéssim, seria una manera de controlar-ho? Aleshores, què et sembla, David... tirem endavant amb aquests números o...? No ho sé, jo vaig fent resums.

David: Sí.

Context de la conversa: Resolució del problema en petit grup. Es parla del procediment d’operar amb les dades i apareixen preguntes relatives a multiplicar tres factors i a multiplicar amb nombres decimals.

M.: A veure, faig un resum. Sabem el nombre de persones, sabem la quantitat d’aigua que surt cada vegada que es prem l’aixeta i sabem, hem decidit, heu decidit, perdó, arrodonir a cinc cops que es renten totes aquestes persones per un dia. Doncs, i ara què heu de fer?

Pau O.: Hauríem de fer...

Pau G.: 6 per 519 (parlen alhora).

M.: Un moment, no parleu tots alhora.

Pau O.: Jo crec que hauríem de fer 519.

M.: Xit. Un moment, deixa que... deixa que...

Pau G.: Una pregunta... Es poden fer multiplicacions. (Mira el full i pensa.) Ah! La tercera dada era el 5, no?

94 noubiaix 39

M.: Sí, cinc vegades.

Pau G.: Es podria fer una multiplicació així? (Mostra les dades a la mestra, una multiplicació de tres factors.)

M.: Ah! No ho sé.

Pau G.: Es podria fer una multiplicació amb tres, però no sé com fer-ho.

M.: Es podria fer? Agafar aquestes tres dades i multiplicar-les?

Pau G.: Sí, però encara no estem tan avançats.

David: Sí, però hi ha una altra manera de fer això. Primer fem dues coses i amb el resultat multipliquem per la tercera.

M.: Què? Sí?

(Alguns assenteixen.)

Pau O.: Jo crec que hauríem de fer...

M.: Fem una cosa, aquí hi ha una proposta. Quina és la teva? (ho pregunta al Pau O.).

Pau O.: Que jo crec que primer hem de fer 519 per 279, després posem la coma i després ho multipliquem per 5.

M.: Aleshores...

Pau G.: La coma després de les multiplicacions, la coma al final.

David: Jo crec que la coma hauria de desaparèixer.

Pau G.: La coma després de les multiplicacions.

David: No, que el meu pare em va ensenyar que, si no saps dividir... Ai! Si no saps multiplicar 2,97 per... treus la coma i després et donarà el mateix.

Pau O.: Ja, però després has de posar la coma.

Pau G.: És clar, i al final, és el que estic dient jo. Els tres últims... després de les tres multiplicacions...

M.: Mireu, fem una cosa...

Pau O.: Jo ho trobo bé i vosaltres? (es dirigeix a l’Elena i a la Maria). Perquè fer multiplicacions de tres pisos no sé si funcionarà, perquè no sé ni com es fa.

M.: Mira, un pot fer una cosa, l’altre pot fer l’altra i l’altre pot fer els tres pisos i després comparem els resultats.

desembre 2016 95

Pau O.: Però, tres pisos! Si és que no sabem com es fa.

M.: Aleshores no podem proposar de fer-ho, perquè jo ara no ensenyo res, eh?

David.: Sí, amb la calculadora.

Pau O.: Amb la calculadora? Si hem de pensar amb el cap.

Pau G.: Podríem fer 519 per 297 per 5 i ens donarà el resultat.

M.: Feu-ho...

S’ofereixen els resultats de les aportacions de la mestra en les converses, que representen un 66%, i es destaquen les categories amb més presència: fomenta l’aparició de diferents expressions verbals del pensament matemàtic dels alumnes, formula preguntes o expressions que fomenten el coneixement, així com les seves actuacions mostren la seva responsabilitat en l’aprenentatge dels alumnes.

26. 62%

29. 65%

Preguntes Expressió coneixement matemàtic

29. 44%

14. 29%

Font idees matemàtiques Responsabilitat aprenentatge

Figura 1. Aportacions del professorat per blocs de categories. Conversa quart.

Pel que fa a l’anàlisi de les aportacions de l’alumnat, són del 34% i les categories més destacables, perquè hi són amb freqüència: els alumnes aporten idees pròpies quan parlen de matemàtiques, mostren coresponsabilitat en el seu aprenentatge i el centre d’atenció de l’expressió del pensament matemàtic són les seves respostes.

19.67%

Preguntes

26.36% Expressió coneixement matemàtic

20.08%

Font idees matemàtiques

33.89%

Responsabilitat aprenentatge

Figura 2. Aportacions de l’alumnat per blocs de categories. Conversa quart.

Es pot concloure que aquesta conversa se situa en el nivell 2 de complexitat del desenvolupament de la conversa definit per Hufferd-Ackles, Fuson i Sherin (2004): la mestra modela i ajuda els alumnes a assumir nous rols. Creix el coensenyament i el coaprenentatge entre alumnes

96 noubiaix 39

mitjançant la conversa. Tot i que la mestra té un paper central, els nens i les nenes prenen cada vegada més protagonisme i iniciativa en la conversa. La mestra facilita, mitjançant preguntes, suscitacions, recapitulacions, exhortacions i reformulacions que els alumnes se sentin confiats i segurs per comunicar els resultats i els processos emprats per arribar-hi, i que no temin l’expressió de possibles errors. Els alumnes comencen a discutir i contrastar maneres de fer entre ells, encoratjats per la mestra.

Conclusions La importància de la conversa de matemàtiques a la classe, entre la mestra i l’alumnat, s’inscriu clarament dins del currículum de matemàtiques per a l’educació primària, que considera del tot rellevant que la comunicació i la representació dels resultats i processos que realitzen els infants durant l’aprenentatge són un dels components de la competència matemàtica.

La conversa de matemàtiques a la classe s’entén dins del marc de l’aula i l’escola com a comunitat d’aprenentatge, on nens i nenes i mestra avancen conjuntament en el coneixement matemàtic mitjançant les interaccions verbals sobre activitats matemàtiques que esdevinguin reptes (Serra, 2008).

Per als aprenents, la conversa pot esdevenir un pont cap a la comprensió i la representació, tot fent ús del llenguatge matemàtic, alhora que pot afavorir la connexió i la transferència de conceptes matemàtics. Per als docents, la conversa es pot convertir en una eina que afavoreix l’ajuda pedagògica, ja sigui de la mestra o dels companys de classe, i alhora es pot utilitzar com a instrument d’autoavaluació de la docència i d’avaluació de l’alumnat. És necessari, però, un bon guiatge de la conversa, a més a més de la planificació d’activitats que portin els alumnes a fer matemàtiques. La gestió de l’aula per part de la mestra durant la conversa esdevé fonamental. Els blocs de categories, definits en la Pauta d’observació de la conversa de matemàtiques, les preguntes, l’expressió del coneixement matemàtic, la font de les idees matemàtiques i la responsabilitat de l’aprenentatge, conjuntament amb les categories i els indicadors, poden ser una guia a considerar tant per a obtenir recursos concrets d’actuació a l’aula com per a avaluar la metodologia emprada.

Referències Alsina, C., Burgués, C., Fortuny, J., Giménez, J., Torra, M. (1995). Ensenyar matemàtiques.

Barcelona: Graó.

Bishop, A. (1999). Enculturación matemática. La educación matemática desde una perspectiva cultural. Barcelona: Paidós.

Departament d’Educació de la Generalitat de Catalunya (2013). Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic. Educació Primària. Barcelona. http://ensenyament.gencat.cat/web/.content/ home/departament/publicacions/colleccions/competencies-basiques/primaria/prim-mate matic.pdf (consultat gener 2016).

desembre 2016 97

Departament d’Educació de la Generalitat de Catalunya (2015). Currículumd’Educació Primària.

Matemàtiques. Barcelona. http://xtec.gencat.cat/ca/curriculum/primaria/ (consultat gener 2016).

Hatano, G., Inagaki, K. (1991). Sharing Cognition through Collectives Comprehension Activity.

Dins Perspectives on Socially Shared Cognition. Washington, DC: American Psychollogical Assotiation.

Hufferd-Ackles, K., Fuson, K., Sherin, M. (2004). Describing Levels and Components of MathTalk Learning Community. Journal for Research in Mathematics Education, 35, 81-116.

Kamii, C. (1988). El niño reinventa la aritmética. Madrid: Visor.

Mercer, N. (2001). Palabras y mentes. Barcelona: Paidós.

National Council of Teachers of Mathematics (2006). Curriculum Focal Points. Reston: NCTM. National Council of Teachers of Mathematics (2010). Illuminations. Resources for Teaching Maths. http://illuminations.nctm.org/Lessons.aspx (consultat febrer 2016).

Niss, M. (2003). Mathematical Competencies and the Learning of Mathematics: the Danish Kom Project. IMFUFA. Roskilde University, P.O. BOX 260, DK-4000 Roskilde, Denmark.

Serra, T. (2008). Fent i parlant aprenem amb els altres. Àmbits de Psicopedagogia, 24, 24-29.

Serra, T. (2010). La conversa de matemàtiques: una eina per a la millora de la competència matemàtica de tot l’alumnat de l’educació primària. Llicència retribuïda. Modalitat A. Departament d’Educació.

Serra, T. (2011). Parlant de matemàtiques per aprendre’n. Barcelona: Rosa Sensat.

Serra, T. (2012). La conversa de matemàtiques a l’educació primària: una eina per aprendre. Àmbits de Psicopedagogia, 36, 24-34.

Serra, T., Vinós P. J. (2008). Currículum de matemàtiques en format taula. http://phobos.xtec.cat/ creamat/joomla/index.php?option=com_content&task=view&id=278&Itemid=81 (consultat novembre 2011).

Yackel, E. (2002). What we can learn from analyzing the teacher’s role in collective argumentation. Journal Mathematical Behavior, 21, 423-440.

98 noubiaix 39

3E Eines per a l’Ensenyament de l’Estadística a secundària Eines per a l’Ensenyament de l’Estadística a secundària (3E) és un moodle concebut com un curs telemàtic dirigit fonamentalment al professorat de secundària de qualsevol àrea interessat a adquirir, actualitzar o reforçar els coneixements bàsics d’estadística descriptiva que estan recollits en els currículums d’ESO. L’èmfasi del curs rau més en els continguts i els coneixements estadístics que no en la seva aplicació a l’aula. El curs 3E està patrocinat per la Càtedra Lluís Santaló d’Aplicacions de la Matemàtica de la Universitat de Girona (UdG).

Els objectius del curs són: a) adquirir una visió actualitzada i moderna de l’estadística descriptiva basada en l’anàlisi numèrica i gràfica de dades reals, deixant en un segon terme l’aproximació estrictament matemàtica; b) conèixer i dominar la terminologia i els procediments bàsics d’anàlisi que són propis de l’estadística descriptiva de dades; c) disposar (i saber-les aplicar) d’unes eines informàtiques bàsiques que facilitin la realització de les anàlisis estadístiques (numèriques i gràfiques) de conjunts nombrosos de dades, i d) adquirir una visió general del procediment estadístic que cal seguir a l’hora de plantejar un problema que requereix l’aplicació de l’estadística.

El curs 3E s’estructura en onze unitats didàctiques: 1) què és l’estadística?; 2) els cinc estadístics resum; 3) el centre de les dades i els valors extrems; 4) la dispersió de les dades; 5) la distribució de les dades; 6) les variables categòriques; 7) les relacions entre variables quantitatives i categòriques; 8) les relacions entre dues variables categòriques; 9) les relacions entre dues variables quantitatives; 10) la recollida de dades, i 11) la metodologia d’enquestes.

Al final, s’inclou una secció amb un recull de nombrosos exemples d’activitats estadístiques a l’aula.

Les unitats didàctiques consten de diferents apartats: a) continguts, amb un vídeo que presenta un resum dels continguts més importants de la unitat; b) sessió pràctica, en què, amb l’ajuda del paquet estadístic R (de lliure distribució), s’exerciten les activitats que es presenten a la unitat; c) material de consulta, en què es proporciona (o s’indica on es pot trobar) una relació de material molt divers per a completar (o ampliar) els continguts de la unitat, i d) a l’aula, en què es recullen diferents documents i enllaços que permeten dissenyar activitats estadístiques a l’aula de secundària.

El curs 3E es pot seguir en dues modalitats diferents: a) tutoritzat, quan la persona hi accedeix prèvia inscripció des d’alguna institució impulsora del curs (p.e., un ICE), i b) per lliure, quan el professor-alumne segueix el curs ‘‘al seu aire’’ i pot accedir a tot el material, excepte als qüestionaris d’autoavaluació.

L’autor del curs 3E és Carles Barceló, amb la col·laboració de Pepus Daunis i Glòria Mateu, tots tres professors doctors del Departament d’Informàtica, Matemàtica Aplicada i Estadística de la UdG. Es pot accedir al curs anant a l’adreça http://webimae.udg.edu/curs3e i entrant al moodle com a convidat.

pensar

noubiaix 100100 noubiaix 3939

per pensar d’un minut a una hora Jordi Deulofeu Departament de Didàctica de les Matemàtiques i de les Ciències Experimentals Universitat Autònoma de Barcelona jordi.deulofeu@uab.cat

Malgrat els esforços per generar idees i materials, acompanyats de sessions de formació permanent del professorat, que permetin desenvolupar el treball relacionat amb la geometria a l’educació obligatòria, sembla que aquesta part de les matemàtiques segueix essent aquella que més dificultats representa per als nostres alumnes, segons indiquen els resultats de les proves de competències d’aquest 2016. Entre els materials disponibles, que des d’aquí us animo a revisar, destaca el treball que sobre el tema ha realitzat l’amic Anton Aubanell i que porta per títol «Orientacions pràctiques per a la millora de la geometria a l’ESO», un excel ·lent compendi d’activitats i suggeriments.

Seguint en aquesta línia, dedicarem l’article d’avui a presentar i comentar diversos problemes de caire geomètric, tenint en compte que la geometria proporciona situacions que poden ser analitzades des de punts de vista diversos, com l’àlgebra o les funcions, la qual cosa ens permet establir connexions entre temes matemàtics diferents, mostrant la unitat de les matemàtiques i les interrelacions entre conceptes i les seves representacions.

Començarem amb un problema que s’ha plantejat a les proves cangur d’enguany (2016) que m’ha semblat especialment interessant i que permet variacions, extensions i generalitzacions que, segurament, encara ho són més. És una situació que permet generar diversos problemes de dificultat variable.

Problema 1. Preneu una corda formada per 12 segments de longitud igual (fent, per exemple, 12 nusos equidistants) i lligueu-ne els extrems. Amb aquesta corda podem formar un triangle els vèrtexs del qual siguin tres nusos de la corda. Suposem que el triangle format és equilàter (en cada costat hi haurà tres nusos, a banda dels tres vèrtexs). Quants triangles es poden formar? Si ara imposem la condició que els triangles han de ser diferents (no congruents), quants triangles podrem construir? Què passa amb la quantitat de triangles si amb la mateixa corda formem inicialment un triangle no equilàter: disminueix, augmenta o es manté constant?

Em sembla un bon problema per dur a terme el vuitè «manament» del decàleg de Pere Puig Adam, que apareix en el seu darrer llibre, La enseñanza de la matemática actual (1960), i que

desembre 2016 101

em permeto reproduir, ja que el text, malgrat ser escrit en un castellà que avui sembla antic, no té pèrdua. Deia Puig Adam: VIII.−Conseguir cierta maestría en las soluciones antes de automatizarlas. Suele ser expediente cómodo de preparadores suministrar cuanto antes las reglas y repetir sus aplicaciones a saturación. Pero procediendo de esta suerte se crea en los alumnos el más rígido automatismo mental. Este proceder es tanto más peligroso cuanto que el alumno mismo, en su afán de acción, acoge con alegría las reglas que le permiten actuar rápidamente antes de asimilar las esencias metódicas; alegría tanto mayor cuanto más discursivos y aburridos son los procedimientos de asimilación a que se le somete. La necesidad de la regla no es sentida cuando la acción del alumno se desenvuelve en los procesos mismos de adquisición. Muchos pedagogos, pasándose por ello a la reacción contraria, abominan de toda regla ante el peligro de automatismo que pueda provocar.

Sin embargo, la regla, cuando es posterior al dominio del procedimiento, tiene un valor: el de la condensación expresiva del acto dominado. Pero sólo es aconsejable cuando existe tal dominio previo, dominio que significa flexibilidad de adaptación a cada caso particular y no rigidez de acción. Solamente cuando la síntesis expresiva del procedimiento no corra el riesgo de convertirse en imperativo simplista de acción es cuando la regla resulta lícita pedagógicamente y aun aconsejable como recurso último.

Del llibre de Derek Holton Problem Solving. The creative side of mathematics (2010) he seleccionat aquesta interessant situació que, més que un problema, és una petita investigació en què l’objectiu és la seva generalització, anomenada per l’autor The Rolling Square Problem: Problema 2. En un vèrtex d’un quadrat format per nou quadrats iguals (3 × 3) situem un altre quadrat (vegeu la figura). Fem rodar, sense lliscar, el quadrat petit al voltant del gran.

Quin és el lloc geomètric descrit per cadascun dels vèrtexs del quadrat petit? Generalitzeu la situació, primer per a un quadrat gran de n × n i posteriorment per a un rectangle de dimensions n × m.

La següent activitat l’he extret del capítol de geometria del llibre Aprender a enseñar matemáticas en la Educación Secundaria, que hem escrit la Cecilia Calvo, en Joan Jareño, la Laura Morera i jo mateix, i que quan escric l’article està a punt de ser publicat. Més que un problema és una activitat que permet treballar la relació perímetre -- àrea i veure que, donada una figura, és possible trobar totes les combinacions: perímetre menor, igual o major i àrea també menor, igual o major, que una figura donada.

102 noubiaix 39

Problema 3. Observeu la figura següent. En cadascun del vuit quadrats que volten la figura dibuixada, heu de dibuixar una figura −formada per un nombre enter de quadrats petits− de tal manera que el perímetre creixi d’esquerra a dreta (si està més a l’esquerra de la figura central ha de tenir el perímetre menor i si està més a la dreta, més gran) i l’àrea creixi de dalt a baix (si està més amunt ha de tenir l’àrea menor i si està més avall ha de ser més gran).

Seguint amb el tema perímetre−àrea, us presento una altra activitat del llibre esmentat.

Problema 4. Dibuixeu una circumferència i vuit punts equidistants sobre ella. Trieu quatre punts i dibuixeu un quadrilàter. Repetiu el procés de manera que obtingueu tots els quadrilàters diferents possibles. A partir de les figures dibuixades es poden plantejar nombroses qüestions: Classifiqueu els quadrilàters. Ordeneu les figures obtingudes segons el seu perímetre. Feu el mateix amb l’àrea. Tingueu en compte que no és necessari fer càlculs d’àrees, sinó que es pot resoldre per comparació directa. Penseu altres maneres de comparar les figures dibuixades com, per exemple, segons els eixos de simetria. Segur que trobareu altres qüestions per a ampliar aquesta activitat.

Acabaré l’article d’avui amb una activitat que vaig conèixer el mes de juliol passat a l’ICME 13 d’Hamburg, en una magnífica sessió taller dedicada a la matemàtica realista dels holandesos.

El professor P. Drijvers va formular el problema següent (al qual em permeto canviar el context i apropar-lo a casa nostra): Problema 5. Hem fet un recorregut en cotxe en tres etapes: des de Tavascan fins a Begur; en total, 226 km. Hem passat per la Seu d’Urgell (Tavascan-Seu d’Urgell, 85 km) i per Olot (Seu d’Urgell-Olot, 54 km), per acabar a Begur (Olot-Begur, 87 km). Es tracta de dibuixar un gràfic del recorregut en uns eixos cartesians, de manera que en l’eix de les abscisses representem la distància del vehicle a la Seu d’Urgell i en l’eix de les ordenades, la distància a Olot. S’entén que la distància es mesura sempre seguint la carretera.

El dibuix del gràfic no és complicat, però fa pensar... i molt! Una vegada fet aquest gràfic podeu plantejar nombroses variacions: en general, tenim 4 ciutats (A, B, C, D) i anem de A a D passant per B i per C. Si coneixem les distàncies de A a B, de B a C i de C a D, podem dibuixar els diferents gràfics del recorregut en uns eixos cartesians, de manera que en un dels eixos representem la distància a una de les ciutats i en l’altre la distància a una altra de les ciutats.

Espero que les propostes d’avui us hagin resultat interessants, tant per a vosaltres com per a proposar-les als vostres alumnes.

desembre 2016 103

Referències Calvo, C., Deulofeu, J., Jareño, J., Morera, L. (2016). Aprender a enseñar matemáticas en la Educación Secundaria. Madrid: Síntesis (en premsa).

Holton, D. (2010). Problem Solving. The creative side of mathematics. Leicester (UK): The Matematical Association.

Puig Adam, P. (1960). La matemática y su enseñanza actual. Madrid: Ministerio de Educación Nacional.

editorial

2009-2010• 3

editorial

El mes de juliol es va celebrar el Congrés Català d’Educació Matemàtica (C2EM).

Van ser tres dies d’una activitat intensa en què més de 600 mestres i professors de tots els nivells educatius van poder intercanviar experiències, parlar i discutir amb altres docents sobre el que fem a les aules. Al final es van elaborar les catorze conclusions que trobareu en aquest Nou Biaix. Segons les valoracions dels assistents i dels organitzadors, es pot dir sense exagerar que el congrés va ser tot un èxit. Vam tornar a casa enriquits per les moltes idees i il·lusions, i amb un coneixement més ampli de com s’estan ensenyant les matemàtiques a Catalunya. Esperem que l’impuls amb què vam sortir del C2EM no decaigui a mesura que passi el temps i que portem a la pràctica aquelles idees que ens agradaren i les compartim amb els companys que no hi van poder assistir.

Les catorze conclusions finals haurien d’estimular i d’orientar les actuacions de millora de la nostra feina a partir d’ara. Des de la FEEMCAT es pretén mantenir viu aquest esperit renovador que el C2EM ens ha llegat. Per això s’ha creat una comissió de seguiment, coordinada pels professors Cecilia Calvo i Toni Vila, amb la participació de representants de les diferents associacions de professors de Catalunya. Les seves atribucions i el seu funcionament s’estan encara definint, però hi ha la voluntat que serveixi per a difondre les conclusions i que faciliti i promogui avançar en la direcció que ens assenyalen, tot esperant una nova edició del congrés d’aquí a quatre anys.

Ens cal sortir de les nostres aules per avançar i millorar en la nostra feina, participar en les activitats que s’organitzen des de les diferents associacions, des dels CRP o des dels ICE, i en els grups de treball que ja existeixen o crear-ne de nous per a compartir idees i materials. Les xarxes socials poden ajudar a fer més senzilla aquesta feina tal com recullen les conclusions finals. El Nou Biaix també vol col·laborar en aquesta tasca i per això, una vegada més, demanem que ens envieu les vostres experiències innovadores per a donar-les a conèixer a altres professors.

A continuació us presentem els articles que hem seleccionat per a aquest número, que esperem que siguin del vostre interès.

Armengol Gasull, col·laborador ja habitual d’aquesta revista, ha escrit un article molt bonic sobre la sèrie harmònica en el qual ens mostra distintes proves de la seva divergència, així com propietats curioses i no intuïtives. Algunes demostracions s’han de llegir amb cura, però les hem inclòs per a la completesa del treball. No us perdeu la secció final, en què es presenten

diferents situacions en les quals apareix la sèrie harmònica: el problema del col·leccionista, la barreja de cartes, els rècords, les cues d’autos en un túnel, la resistència d’una biga, la tria d’una secretària, la travessia del desert i, finalment, com es pot construir un arc que voli la distància que vulguem i no caigui!

El professor Albert Mallart ens explica una experiència amb alumnes de 4t d’ESO en la qual s’ha fet servir el joc com una eina per a una millor comprensió de les matemàtiques.

Una altra experiència de jocs a l’aula ens la presenta Carles Dorce, treballant el raonament matemàtic amb els alumnes en unes classes participatives i amenes.

Les professores de la Universitat de Lleida Assumpta Estrada, María José Gros, i Maria Ricart, junt amb la mestra Núria Cardet, comparen els raonaments sobre proporcionalitat d’un grup d’alumnes de primària i un altre d’alumnes del grau de mestre.

Des de fa temps hi ha una preocupació per la formació inicial en matemàtiques dels mestres.

Per intentar millorar-la s’ha pres la iniciativa, que s’aplicarà el proper curs per primera vegada, de fer una prova d’aptitud personal (PAP). Tres professors de la UAB ens expliquen com s’ha gestionat, en què consistirà, com s’ha dissenyat i quan es farà. No només és interessant per als futurs estudiants del grau d’infantil i primària, sinó també per als professors de secundària que ara els tenen a les seves aules i que hauran d’assegurar la seva preparació.

En l’enfocament actual de l’ensenyament de les matemàtiques, tant mestres com professors hem de conèixer el pensament de l’alumne. Tana Serra ens mostra com l’anàlisi de la conversa a l’aula ens ajuda a comprendre el procés d’aprenentatge.

Carles Barceló, amb la col·laboració de Pepus Daunis i Glòria Mateu, ens presenta molt breument les característiques del curs telemàtic sobre estadística que han dissenyat per a la formació del professorat.

Als racons tradicionals, Anton Aubanell ens explica com introduir un nou recurs innovador com el role-play, o escenificacions, a les classes de matemàtiques. Jordi Deulofeu ens proposa cinc problemes de caire geomètric per a fer-nos pensar. Des del Cesire ens comenten les diferents iniciatives que s’estan portant a terme en la formació permanent dels mestres i, finalment, el «Racó del Museu» ens mostra quatre mòduls relacionats amb diferents reptes sobre la proporcionalitat entre longituds de circumferències, àrees de cercles i volums de cilindres i esferes.

articles

articles

6 noubiaix 39

La sèrie harmònica Armengol Gasull Departament de Matemàtiques Universitat Autònoma de Barcelona gasull@mat.uab.cat

Resum En aquest treball estudiarem les propietats i aplicacions de la sèrie harmònica i de les seves sumes parcials. Començarem veient diferents proves de la seva divergència.

Estudiarem diversos resultats clàssics sobre la convergència o divergència de les seves subsumes, com per exemple la dels inversos dels números primers o la dels inversos dels números que no tenen cap nou entre les seves xifres. També recollirem situacions en les quals aquesta sèrie o les seves sumes parcials apareixen.

Així, entre d’altres, considerarem el problema del col·leccionista, el de la secretària, el dels rècords en sèries de dades, un problema de control de qualitat, el passeig aleatori i algunes qüestions de matemàtica recreativa.

Abstract In this work we study the properties and applications of the harmonic series and its partial sums. We will start showing different proofs of its divergence. We also will study several classical results on the convergence or divergence of some subsums, for instance those formed by the reciprocals of prime numbers, or the one given by the reciprocals of numbers that have not nines in their decimal expressions. We also present several situations where this series or its partial sums appear. In particular, we consider the so-called coupon collector’s problem, the secretary problem, the records in data series, the random walk and some questions on recreational mathematics.

1. Introducció La sèrie harmònica és l’exemple més antic i famós de successió de números positius, cada cop més petits i tendint a zero, però amb suma infinita. Aquest fet sembla que és conegut des del segle XIV. Si ho escrivim d’una manera informal, S=1+

1 1 1 1 1 1 + + + + + · · · + + · · · = + ∞, 2 3 4 5 6 n

i més rigorosament, introduint les sumes parcials, hn = 1 +

1 1 1 1 1 1 + + + + + ···+ , 2 3 4 5 6 n

desembre 2016 7

tenim que lim hn = lim

n→∞

n→∞

n

1 k=1

k

=

∞

1 k=1

k

= +∞.

De vegades, en lloc de dir que la suma és infinita, també es diu que la sèrie és divergent o, per abús de llenguatge, que convergeix cap a infinit. La primera secció la dediquem a explicar per què la sèrie que estudiem s’anomena harmònica.

Hi ha moltíssimes demostracions de la divergència de la sèrie harmònica. Per exemple, a [24, 25] se’n recopilen més de quaranta. A la segona secció d’aquest treball recollim una selecció d’algunes de les més elementals.

Un resultat encara més interessant i delicat, que ja va demostrar el matemàtic suís Leonhard P. Euler (1707-1783) el 1737, és que

1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + + + + + ··· p 2 3 5 7 11 13 17 19 p primer és divergent (vegeu, per exemple, [33]). A la secció 3.2 en donarem una demostració molt curta que féu, el 1938, el prolífic matemàtic hongarès Paul Erdös (1913-1996) (vegeu [1, 3, 10, 41]). Observeu que aquest resultat ens mostra l’abundància de nombres primers.

D’altra banda, per exemple, si només agafem els termes de la forma 21k ,k ∈ N, la sèrie obtinguda està formada pels termes d’una progressió geomètrica i convergeix cap a 1. En aquest cas, això es deu al fet que hem agafat molt pocs termes dels que formen tota la sèrie harmònica completa.

Un resultat molt curiós en aquesta direcció va ser provat el 1914 ([23]) pel matemàtic anglès/nord-americà Aubrey J. Kempner (1880-1973). Anomenem N el conjunt de tots els números naturals que no tenen cap 9 en la seva expressió en base 10. Aleshores, la suma

1 k∈ N k és convergent. Demostrarem aquest resultat, i més concretament que S < 90, a la secció 3.1. De fet, se sap que S ≈ 22.92 ([20, 36]). Eliminant una altra xifra o blocs més llargs de xifres, la convergència també es manté ([36]).

Tot i que, en principi, el resultat de Kempner pot sorprendre, després de reflexionar-hi una mica, intuïtivament és clar que la convergència de la sèrie és conseqüència del fet que «la majoria» dels nombres amb moltes xifres tenen algun 9 entre elles.

A la quarta secció introduirem la constant d’Euler γ ≈ 0.577218 i estudiarem la seva relació amb les sumes harmòniques hn . Farem els passos principals per a provar que hn = ln (n) + γ +

1 + R(n), amb 2n

lim nR(n) = 0,

n→∞

seguint les idees de [19, 39] (vegeu [14] per a tots els detalls). Aquesta relació ens serà molt útil per a aplicar-la a certs càlculs explícits que apareixeran a la secció següent. També introduírem les constants de Mertens i de Brun, associades respectivament a la suma dels inversos del nombres primers i a les sumes dels inversos dels primers bessons.

8 noubiaix 39

Figura 1. Torre de sis peces construïda basant-se en la sèrie harmònica.

La cinquena secció la dedicarem a estudiar diversos problemes famosos en els quals la sèrie harmonica o les seves sumes parcials juguen un paper fonamental. Així, considerarem el problema del col·leccionista, el de la secretària, el de barrejar cartes, el de la formació de blocs de cotxes en les carreteres amb un sol carril, el dels rècords en sèries de dades, un problema de control de qualitat, el passeig aleatori i un parell de qüestions ben famoses de matemàtica recreativa: com poder travessar un desert infinit i la construcció de torres amb molt vol a partir de peces amb forma de dòmino (vegeu la figura 1).

El treball [14] és una extensió d’aquest en el qual es consideren també diverses modificacions de la sèrie harmònica, incloent-hi signes i reordenacions dels seus termes, així com sèries aleatòries relacionades.

2. I per què harmònica?

Les tres successions més conegudes són les anomenades aritmètica, geomètrica i harmònica.

Aquestes són, respectivament, {bk + c}k≥0 ,

{br k }k≥0 ,

b k

k ≥1

(1)

,

on b, c, r són constants reals. El seus noms provenen del fet següent: donats dos nombres positius x i y, hi ha tres mitjanes ben conegudes que es poden calcular amb ells: √ x+y 2x y A(x,y) = , G(x,y) = x y , H(x,y) = = 2 x+y

1 x

+ 1y 2

− 1 .

S’anomenen mitjana aritmètica, geomètrica i harmònica, respectivament. Resulta que si denotem com a xk el terme k-èsim de cascuna de les tres successions, amb b i r positius, es compleix el següent:

desembre 2016 9

xk−1 + xk+1 b(k − 1) + b(k + 1) + 2c = = bk + c = xk , 2 2 √ √ Cas geomètric: G(xk−1 ,xk+1 ) = xk−1 xk+1 = brk−1 brk+1 = brk = xk , Cas aritmètic:

A(xk−1 ,xk+1 ) =

2b2

2xk−1 xk+1 b Cas harmònic: H(xk−1 ,xk+1 ) = = (kb−1)(k+1)b = = xk . xk−1 + xk+1 k + k+1 k −1 La mitjana aritmètica no necessita presentació, però les altres dues potser sí. Així, per exemple, si un capital C ens produeix el primer any un rèdit anual d’un x per 1 i el segon any un rèdit anual d’un y per 1, quan han passat dos anys tenim com a capital total (1+x)(1+y)C. Aleshores, el rèdit √ mitjà rM complirà (1+x)(1+y)C = (1+rM )2 C i, per tant, rM = (1 + x)(1 + y) − 1 = G(1+x,1+y) − 1.

De manera similar, si anem a un lloc que està a distància d amb velocitat x i tornem amb velocitat y, aleshores recorrem una distància 2d en un temps total dx + dy . Per tant, la velocitat 2xy 2d mitjana a la qual hem anat és d/x+d/y = x+y = H(x,y).

En aquest punt, és natural preguntar-se per què la mitjana H(x,y) es diu harmònica. Sembla ser que devem aquest nom als dos fets següents, estudiats per l’escola pitagòrica ([18, cap. 13], [40]).

Si agafem una corda de longitud ℓ de manera que quan vibra dóna lloc a un cert so, la corda amb longitud 2ℓ sona molt similar. A més, si agafem una tercera corda de longitud 2ℓ , obtenim un tercer so, més diferent. El fet notable observat pels pitagòrics és que, quan 3 fem vibrar les tres cordes simultàniament, escoltem un acord molt harmoniós (seria un acord tipus DO-SOL-DO), i resulta que ℓ 2ℓ ℓ2 H ℓ, = = . ℓ 2 3 ℓ+ 2 Un segon motiu per a l’adjectiu harmònic és que, d’entre els cinc sòlids platònics, el cub era de vegades qualificat com a harmònic. Un cub té 6 cares (c = 6), 12 arestes (a = 12) i 8 vèrtexs (v = 8). Doncs, H(c,a) = H(6,12) = 8 = v. De manera similar per a un altre sòlid platònic, l’octàedre H(v,a) = H(6,12) = 8 = c.

Si busquem més políedres que compleixin la mateixa condició que el cub o l’octàedre, H(c,a) = v o H(v,a) = c, i a aquesta condició li afegim la donada per la característica d’Euler c − a + v = 2, tenim que s’ha de complir una de les equacions diofàntiques següents:

10 noubiaix 39

(v − 1)2 − 2(c − 1)2 = −1 o (c − 1)2 − 2(v − 1)2 = −1.

Les equacions de la forma x 2 − 2y2 = −1 són de tipus Pell, anomenades així en honor del matemàtic anglès John Pell (1611-1685), i se sap que tenen infinites parelles de solucions enteres positives ([9, 28]). Resolent-les, obtenim que les solucions més petites del nostre problema (c,a,v) són les ternes {(6, 12, 8), (8, 12, 6), (30, 70, 42), (42, 70, 30), (170, 408, 240), (240, 408, 170), (986, 2378, 1394), (1394, 2378, 986),...}.

Hi ha un políedre conegut, amb nom Bicúpula pentagonal giroallargada, que correspon al quart punt d’aquesta llista (vegeu la figura 2). Aquest políedre és un dels 92 sòlids de Johnson, que són políedres convexos que tenen totes les cares formades per polígons regulars ([22]).

Agraeixo a en Jaume Coll per fer-me saber de la seva existència. El tercer punt correspon al seu políedre dual i no sabem que es conegui amb cap nom propi.

Figura 2. Políedres harmònics. La tercera figura té c = 42 42, a = 70 i v = 30 30.

Les cares són 2 pentàgons, 10 quadrats i 30 triangles.

De manera natural, associades a les tres successions (1), hi ha tres sèries: l’aritmètica, la geomètrica i l’harmònica, ∞

k=0

bk + c,

∞

k=0

brk ,

∞

b k=1

k

,

respectivament. La primera és sempre divergent. La segona és convergent si i només si |r| < 1 i es coneix tant la seva suma com l’expressió explícita de les seves sumes parcials. Com ja hem comentat, la tercera, amb b = 0, és divergent i és la que estudiem en aquest treball.

3. Divergència de la sèrie harmònica En aquesta secció presentarem diverses proves de la divergència de la sèrie harmònica.

1a prova. Comencem amb la prova més antiga del fet esmentat, de voltants de 1350, atribuïda al filòsof francès Nicole Oresme (1323-1382).

S=1+

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + · · · > 1 + + + + . . . = ∞.

2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 2

desembre 2016 11

Figura 3. N. Oresme.

Una escriptura més rigorosa ens diria que h2k ≥ 1 + 2k , i per tant limk→∞ h2k = ∞.

Una variació de la prova d’Oresme és la següent: hi ha 9 números amb un dígit, 1, 2, . . ., 9 i els 1 9 seus inversos són més grans que 10 , per tant h9 > 10 . Hi ha 90 números de dos dígits, des de 1 9 90 9 . Per tant, h99 > 10 + 100 = 2 10 10 fins a 99, amb inversos més grans que 100 . D’una manera

9 90 900 9 9k similar, h999 > 10 + 100 + 1000 = 3 10 . En general, h10k −1 > 10 , i per tant de nou deduïm que la suma és infinita.

2a prova. La prova descrita a continuació és atribuïda al matemàtic italià Pietro Mengoli (1626-1686) i no ens dóna una demostració directa, sinó que es basa en el mètode de reducció a l’absurd. Suposem que la sèrie harmònica té una suma finita, S. Observem, en primer lloc, que 1 1 2n 2n 2 = , n ≥ 2. + = > n − 1 n + 1 n2 − 1 n2 n 1 1 1 2 En particular, 12 + 14 > 23 , 15 + 17 > 26 , 18 + 10 > 29 , 11 + 13 > 12 . . . Per tant,

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + + + ··· 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1 2 1 2 1 2 1 >1+ + + + + + + + + · · · = 1 + S, 3 3 6 6 9 9 12 12

S=1+

+

és a dir, S > 1 + S, i hem arribat a una contradicció.

3a prova. Com l’anterior, usa la reducció a l’absurd per a demostrar la divergència de la sèrie. Si S fos finit, tenim

1 1 1 1 1 1 1 S= 1+ + + + + + + + ··· 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 > + + + + + + + + · · · = S, 2 2 4 4 6 6 8 8

12 noubiaix 39

on clarament la desigualtat és estricta, tot i que prové d’un pas al límit, i de nou arribem a una contradicció.

Una variació d’aquesta prova és com segueix. Si agafem només els inversos dels termes parells, la seva suma és 2S , ja que 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + ··· = 1 + + + + + ··· 2 4 6 8 10 2 2 3 4 5

=

S .

2

Per tant, si la suma és finita, els inversos dels termes senars haurien de sumar també 2S , però, 1 com que per a tot n ≥ 1, 2n1−1 > 2n , es compleix que 1+

1 1 1 1 S 1 1 1 1 1 + + + + ··· > + + + + + ··· = , 3 5 7 9 2 4 6 8 10 2

on de nou la desigualtat és estricta, i obtenim un cop més una contradicció.

4a prova. Donem a continuació una prova una mica més tècnica, ja que està basada en la desigualtat ex > 1 + x, per x = 0, però que trobem interessant. Considerem

1+ 12 + 13 + 14 +···+ n1

1

1

1

1

= e1 · e 2 · e 3 · e 4 · · · · e n e hn = e

1 1 1 1 > 1+1 · 1+ · 1+ · 1+ ··· · 1+ 2 3 4 n

=

n+1 2 3 4 5 · · · ··· = n + 1.

1 2 3 4 n

Per tant, limn→∞ hn ≥ limn→∞ ln (n + 1) = ∞, tal com volíem veure. Observem que aquesta prova també ens diu que, per a tot n, hn > ln (n + 1). De fet, també es compleix que hn < ln (n) + 1 (vegeu [14, 18, 27]).

Per tant, perquè hn sigui gran, el valor de n ha de ser realment gran: vegeu la taula 1. A la secció 4 es donen estimacions més precises de hn .

Taula 1. Valors de hn amb quatre xifres decimals significatives.

n hn

10

100

1.000

10.000 100.000 1.000.000

2.9290 5.1874 7.4855 9.7876 12.0901

14.3927

109

1012

21.3005 28.2082

5a prova. Acabarem la nostra selecció de proves amb una demostració que usa propietats de la successió de Fibonacci, {fn }n≥0 . Recordem que els seus termes vénen donats per la recurrència fn+2 = fn+1 +fn , amb f0 = 0, f1 = 1. Així, els primers són 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, . . .

Amb una mica de feina es pot demostrar que la seva expressió explícita és φ n − ( − φ ) −n fn = , 2φ − 1

on

√ 1+ 5 φ= 2

i compleix φ 2 − φ − 1 = 0.

desembre 2016 13

Per tant, fn+1 = φ, n→∞ fn lim

1 f n− 1 f n− 1 f n = lim = n→∞ fn+1 n→∞ fn fn+1 φ lim

2

=

1 1 1 = =1− . φ2 φ+1 φ

Aleshores, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S =1 + + + + + + + + + ···+ 2 3 4 5 6 7 8 9 13 1 1 1 1 + ···+ + + ··· + +··· + 14 21 22 34 ∞

f n− 1 1 1 2 3 5 8 13 >1 + + + + + , + + + ··· = 1+ 2 3 5 8 13 21 34 f n=2 n+1 és divergent, ja que el terme general de l’última sèrie no tendeix a zero.

3.1. Un tros convergent de la sèrie harmònica. El resultat de Kempner Dedicarem aquesta subsecció a provar el resultat de Kempner ja enunciat a la introducció i que diu que 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1+ + ···+ + + + ···+ + + ··· + k 2 8 10 11 18 20 21 28 k∈ N 1 1 1 1 1 1 1 +···+ + + ···+ + + + ···+ + + ··· , 80 81 88 100 101 108 110

(2)

és convergent, on N denota el conjunt de tots els números naturals que no tenen cap 9 en la seva expressió en base 10. Seguirem els mateixos passos que al seu treball ([23]).

Denotem per sn la suma de tots els números de la forma 1k amb 10n−1 ≤ k < 10n i k ∈ N , i per mn el nombre de termes que hi ha a la suma. Calcularem fites superiors dels mn i també dels sn , usant que tots els k’s són més grans que 10n−1 o iguals.

Així, en partir de (2) és clar que m1 = 8 < 9, s1 < 9 × 1 = 9, i de manera similar m2 = 8 × 9 < 92 1 i s2 < 92 10 . Denotem per Mn el nombre de termes de la suma amb k < 10n . És clar que Mn = m1 + m2 + · · · + mn . Així, M1 < 9 i M2 < 9 + 92 . Vegem, per inducció, que Mn < 9 + 92 + 93 + · · · + 9n , mn < 9n

i

sn <

9n .

10n−1

Per això dividim tot I n+1 = {k ∈ N : 0 < k < 10n+1 } en els deu subconjunts següents: I0n+1 = {k ∈ N : 0 < k < 10n }, i

Iαn+1 = {k ∈ N : α10n ≤ k < (α + 1)10n },

on α = 1,2, . . . ,9. L’interval I9n+1 és buit, ja que tots els seus números tenen un 9 en la seva expressió decimal. Cada un dels altres vuit Iαn+1 amb α > 0 té el mateix nombre d’elements, que coincideix amb el nombre d’elements de N que hi ha entre 0 i 10n , Mn , que per hipòtesi d’in-

14 noubiaix 39

ducció és menor que 9+92 +93 +· · ·+9n . Per tant, mn+1 < 8× 9+92 +93 +· · ·+9n = 8 9 9−−1 9 < 9n+1 , n+1

n+1

i també Mn+1 < 9+92 +93 +· · ·+9n +mn+1 < 9+92 +93 +· · ·+9n +9n+1 . Finalment, sn+1 < m10n+1n = 910n , tal com volíem demostrar.

Per acabar, 1 k∈ N

k

=

∞

sn+1 <

n=0

∞

9n+1 n=0

10

=9 n

∞

9 n=0

10

n

=9

1 9 = 90.

1 − 10

La prova no varia si en lloc del 9 eliminem qualsevol altre dígit excepte el 0. El cas del 0 és lleugerament diferent.

3.2. Un tros divergent de la sèrie harmònica. La suma dels inversos dels nombres primers

1 Reproduïm a continuació una prova per reducció a l’absurd del fet que p primer p és divergent deguda a Erdös ([1, 3, 10, 41]). Denotem per pi el primer i-èsim. Així, p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, . . . p100 = 541, . . . ,p1000 = 7919, . . . Suposem, per tal d’arribar a contradicció, que la sèrie és convergent. Aleshores, existirà un k ∈ N tal que ∞

1 i=k+1

pi

<

1 .

2

(3)

Donat m ∈ N, definim Am com el subconjunt de {1,2, . . . ,m} format per tots els números que no tenen cap pi amb i > k en la seva descomposició en factors primers. En altres paraules, la seva descomposició en factors primers és de la forma pj11 · · · pjkk amb tots els ju ∈ N ∪ {0}.

Fitant per sobre i per sota el nombre d’elements de Am , Car (Am ), i prenent un m prou gran arribarem a una contradicció.

Comencem fitant Car (Am ) per sobre. Tots el elements d’Am es poden escriure com a r · s2 , amb r ∈ N, sense cap factor primer en la seva descomposició amb exponent més gran que 1 i s ∈ N. Per tant, r = pℓ11 · · · pℓkk amb tots els ℓu ∈ {0,1} i com√a conseqüència només pot √ prendre 2k valors. A més, s ha de ser un element del conjunt {1,[ 2,], . . . ,[ m,]}, on [·] denota √ la part sencera. Aleshores, s només té [ m] possibilitats. Per tant, √ √ Car (Am ) ≤ 2k [ m] ≤ 2k m.

(4)

D’altra banda, {1,2, . . . ,m} \ Am , és un conjunt amb cardinal m − Car (Am ) i està format pels números menors o iguals que m que són divisibles per algun primer pi amb i > k. Per cada i fixat, i > k, hi ha com a molt [ m ] números dins d’aquest conjunt que són divisibles per aquest pi pi . En conseqüència, m − Car (Am ) ≤

∞ ∞ ∞

m m 1 m ≤ =m < , pi pi pi 2

i=k+1

on hem usat (3).

i=k+1

i=k+1

(5)

desembre 2016 15

Per tant, a partir de (4) i (5) arribem a √ m < Car (Am ) ≤ 2k m.

2

(6)

√ √ Si prenem qualsevol m ≥ 22k+2 , tenim que 2m ≥ 2k i, per tant, que m2 ≥ 2k m, que està

en contradicció amb (6). Per tant, p primer 1p és divergent, tal com volíem provar. Com hem comentat a la introducció, això ens dóna la intuïció que hi ha una quantitat suficient de primers per a fer divergir la sèrie dels seus recíprocs.

3.3. Una curiositat sobre els hn Una propietat curiosa i coneguda dels números hn ,n > 1 és que en el seu camí cap a infinit mai passen per cap número natural, és a dir, hn ∈ N, per n > 1.

Per a provar-ho, prenem la potència de 2 més gran que sigui menor o igual que n. És a dir, sigui k ∈ N, tal que 2k ≤ n < 2k+1 . A continuació, anomenem m el mínim comú múltiple de 1,2, . . . n, traient aquest 2k , m = mcm {1,2,3, . . . ,n} \ {2k } . Aleshores, m = 2k−1 s, amb s ∈ N, senar, ja que el 2 apareix a les descomposicions dels números dels quals fem el mcm elevat com a màxim a k − 1. Tenim, doncs, 1+

1 1 j 1 1 + + · · · + − k = k−1 , j ∈ N. 2 3 n 2 2 s

Per tant, hn = 1 +

1 1 1 1 1 j 1 + + · · · + − k + k = k −1 + k .

2 3 n 2 2 2 s 2

Multiplicant per 2k−1 s arribem a 2k−1 shn = j + 2s . Com que s és senar, 2k−1 s ∈ N i j ∈ N, tenim que hn ∈ N, com volíem demostrar.

4. Les constants d’Euler, Mertens i Brun Euler, el 1731, va provar que lim hn − ln (n) = γ ∈ [0,1),

n→∞

(7)

on γ és precisament el número que avui en dia anomenem constant d’Euler i que és una de les constants més famoses en matemàtiques: vegeu [18, 27]. El seu valor és γ ≈ 0.577218.

També s’anomena constant d’Euler-Mascheroni, ja que Mascheroni la va calcular l’any 1790 amb dinou xifres decimals correctes. L’any 1812, Gauss la va obtenir amb quaranta xifres significatives. Avui encara no se sap si γ és racional o irracional.

Per a demostrar que el límit (7) existeix, el que es prova és que la successió hn − ln (n) és decreixent i que està fitada inferiorment. Un refinament d’aquest fet és que hn = ln (n) + γ +

1 + R(n), amb 2n

lim nR(n) = 0,

n→∞

(8)

16 noubiaix 39

i és el que usarem en aquest treball. De fet, (8) és una conseqüència de les desigualtats provades per Young ([39]), 1 1 ≤ hn − ln (n) − γ ≤ , 2(n + 1) 2n

(9)

que es poden demostrar seguint el mètode introduït a [19], que usa les anomenades sèries telescòpiques.

Recordem que una sèrie telescòpica és una sèrie de la forma 0. Per a aquestes sèries, N

∞ n=1

an −an+1 amb limn→∞ an =

an − an+1 = a1 − a2 + a2 − a3 + a3 − a4 + · · · + aN − aN+1 = a1 − aN+1 .

n=1

∞ Per tant, S = n=1 an − an+1 = limN→∞ a1 − aN+1 = a1 . Observeu que les sumes parcials es pleguen com un telescopi!

Donem a continuació les idees principals de la prova de (9) (vegeu [14] per a més detalls).

Considerem el desenvolupament de Taylor,

1 ln 1 + n

= − ln 1 −

1 1 1 + ··· , = + n+1 n + 1 2(n + 1)2

(10)

1 cas particular per a x = − n+1 del desenvolupament de ln (1 + x) provat el 1668 pel matemàtic alemany Nikolaus Mercator (1620-1687), que no s’ha de confondre amb el famós matemàtic i cartògraf flamenc Gerardus Mercator (1512-1594). Basant-nos en aquest desenvolupament, es pot demostrar en primer lloc que

1 1 1 1 − − < hn − ln (n) − (hn+1 − ln (n + 1)) < .

2(n + 1) 2(n + 2) 2n 2(n + 1)

(11)

Observem que els seus tres termes tenen l’estructura d’una sèrie telescòpica. Considerant les desigualtats (11) per als valors n,n + 1,n + 2, . . . ,N, sumant-les i fent tendir N cap a infinit obtenim les desigualtats (9).

De fet, la funció R(n) introduïda a (8) es coneix amb molt més detall. Tot i que no els usarem en aquest treball, donem a continuació un parell de resultats més sobre R(n) (vegeu [18, 27, 38]). Euler, el 1775, va provar el desenvolupament asimptòtic a l’infinit següent:

desembre 2016 17 ∞

hn ∼ ln (n) + γ +

Bk 1 1 1 − + − · · · = ln (n) + γ − , 2 n 12 n2 120 n4 knk

(12)

k=1

on els Bk són els anomenats números de Bernoulli.

Una variació d’aquesta fórmula, que és equivalent, apareix als quaderns del matemàtic indi Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887-1920) (vegeu [7, p. 521]): hn ∼

1 1 1 1 1 − + − + ··· , ln (2 m) + γ + 2 12 m 120 m2 630 m3 1680 m4

on m = n(n+1) és l’enèsim número triangular.

2 Molt relacionada amb la constant d’Euler hi ha una altra constant C ≈ 0.261497, anomenada constant de Mertens, en honor del matemàtic alemany Franz Mertens (1840-1927), que el 1874 va provar ([29]) que

p primer, p≤n

1 = ln ( ln (n)) + C + T(n), amb p

lim T(n) = 0,

n→∞

(vegeu també [27, 33]). De fet, Euler mateix ja va conjecturar la relació anterior, però sense la constant de Mertens. Clarament, aquest resultat també implica la divergència de la sèrie formada pels inversos dels primers.

En aquest punt, un es pot preguntar què passaria si consideréssim la sèrie formada pels inversos dels primers bessons, és a dir, si només poséssim a la suma els inversos de números p i p + 2, quan ambdós són primers. El matemàtic noruec Viggo Brun (1885-1978) va demostrar el 1919 ([8]) que

p ,p+2 primers

1 p

+

1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + + + + + ··· p+2 3 5 5 7 11 13 29 31

és convergent. El valor de la seva suma es coneix avui en dia com la constant de Brun, B2 , i el seu valor aproximat és 1.90216 . . . ([16, 31, 41]). Observem que aquest resultat no demostra si hi ha infinites parelles de primers bessons o no, ja que és coherent amb ambdues situacions.

El que si que dóna és una via per a intentar veure que n’hi ha infinits: demostrar que B2 és irracional.

De fet, va ser durant el càlcul de B2 que, el 1994, Thomas Nicely ([31, 32]) va trobar el famós error (bug) en les divisions que feia el processador Intel Pentium, i més precisament quan considerava el parell de primers bessons 824 633 702 441 i 824 633 702 443 (vegeu [18]). El seu famós e-mail començava: Sembla que hi ha un error a la unitat de coma flotant (coprocessador numèric) de molts, i potser tots, els processadors Pentium. En resum, el Pentium FPU torna valors erronis per a determinades divisions. Per exemple, 1/824 633 702 441.0 es calcula incorrectament (tots els dígits més enllà del vuitè dígit significatiu són erronis)...

18 noubiaix 39

5. Aplicacions de la sèrie harmònica A la literatura hi ha diferents aplicacions de la divergència de la sèrie harmònica i també del coneixement de les seves sumes parcials hn (vegeu, per exemple, [18, Cap. 13] o [40]). Moltes de les que recollim aquí tenen un caire probabilístic i es basen o bé en el càlcul de l’esperança d’una variable aleatòria o bé en la distribució geomètrica. Per això, abans de començar a descriure-les, dedicarem l’inici d’aquesta secció a fer un breu recordatori de les propietats que necessitem.

Recordem que, donada una variable aleatòria X, que pren només valors enters positius k ∈ N, amb probabilitats respectives pk , es defineix la seva esperança E(X) com E(X) =

∞

k P {X = k },

k=1

sempre que la sèrie anterior sigui convergent. Si és divergent, es diu que X té esperança infinita. Així, per exemple, si X és el resultat de tirar un dau perfecte de sis cares, la probabilitat 6 d’obtenir qualsevol dels sis resultats és 16 i la seva esperança és E(X) = k=1 6k = 21 = 3.5.

6 La Llei forta dels grans nombres de Kolmogórov (vegeu per exemple, [21, 35]) implica que si tirem moltes vegades un dau i anem anotant els resultats obtinguts, la mitjana de les puntuacions s’acosta a 3.5, amb probabilitat 1. Així, intuïtivament, el valor esperat d’una variable aleatòria és aproximat per la mitjana dels resultats de repetir molts cops, i d’una manera independent, un mateix experiment aleatori.

Sigui U una variable aleatòria amb distribució de Bernoulli, que pren els valors {0,1} de manera que P{U = 1} = p,P{U = 0} = q = 1 − p, p ∈ [0,1]. El valor 1 s’associa normalment al resultat que volem que surti i el valor 0, al no desitjat.

La variable aleatòria V que consisteix a agafar una successió U1 ,U2 , . . . ,Uk , . . . de variables aleatòries independents, totes amb la mateixa distribució que U i que pren el valor k quan totes les Us amb s < k han pres el valor 0 i Uk ha pres el valor 1, s’anomena variable aleatòria amb distribució geomètrica. És clar que els valors que pren V són els enters positius, i per la independència de les Uk , P{V = k} = p qk−1 = pk , k = 1,2,3, . . . .

Les sumes següents són ben conegudes ∞

k=1

∞

k=1

p qk −1 =

p = 1, 1−q

k p q k −1 = p

∞

k=1

k qk −1 = p

∂ k 1 p ∂ 1 q =p = , = ∂q ∂q 1 − q (1 − q)2 p ∞

k=0

i tenen una interpretació probabilística ben clara. La primera ens diu que la suma de totes les probabilitats pk és 1. La segona ens diu que l’esperança de la variable aleatòria V és p1 , és a dir,

desembre 2016 19

E(V) =

∞

k=1

k · P {V = k } =

∞

k=1

k pk =

1 . p

Aquest resultat és el que farem servir sistemàticament en els exemples que segueixen. De manera més informal, el que ens diu és el següent: Si, en fer un experiment aleatori, un cert succés passa amb probabilitat p = N1 i anem repetint aquest experiment, cada cop de manera independent de totes les anteriors, el nombre esperat (mitjà) de vegades que l’hem de repetir perquè el succés desitjat ocorri és p1 = N. Així, per exemple, si p = 12 , aquest número de vegades serà 2. Això, és clar, no vol dir que algun cop necessitem repetir-lo tres o quatre cops (penseu, per exemple, en llençar una moneda fins que surti cara) o fins i tot cent o mil cops, si és 1 que tenim moltíssima mala sort! D’una manera semblant, si p = 100 , el número esperat de vegades serà 100.

5.1. El problema del col·leccionista Aquest és un problema clàssic que s’explica a molts cursos de probabilitat (vegeu, per exemple, [12, 34]) i que va ser plantejat per primer cop l’any 1708 pel matemàtic frances Abraham de Moivre (1667-1754).

Suposem que volem fer una col·lecció de N objectes diferents i els obtenim aleatòriament (per exemple, comprant successivament paquets tancats que continguin un dels objectes).

Cada paquet pot contenir qualsevol dels objectes amb la mateixa probabilitat N1 . Aleshores, la qüestió que es proposa és quin és el nombre esperat de paquets que hem de comprar per a poder acabar la col·lecció. Les aplicacions més famoses són les col·leccions de cromos o dels regals que apareixen a les capses de cereals. Observem el següent: •

•

•

El primer paquet que comprem segur que ens dóna un element de la col·lecció que no tenim.

En comprar el segon paquet, la probabilitat que contingui un element de la col·lecció 1 que ens falta és p = N− . Per tant, el nombre de paquets que hem de comprar per N a obtenir aquest segon element, un cop ja tenim el primer objecte, és una variable 1 aleatòria amb llei geomètrica de paràmetre p = N− i, per tant, el seu valor esperat N 1 N N serà p = N−1 . Aleshores haurem de comprar en total 1 + N− paquets per a tenir dos 1 elements de la col·lecció.

A continuació, la probabilitat que un element de la col·lecció que ens falta sigui en 2 un paquet és p = N− . Així, el nombre esperat de paquets que hem de comprar per a N N obtenir aquest tercer element un cop ja en tenim dos de diferents és 1p = N− . Per tant, 2 haurem de comprar 1+

1 N N 1 1 + =N + + N−1 N−2 N N−1 N−2

paquets per a tenir tres elements de la col·lecció.

•

Si seguim així, és clar que un cop ja tenim N − 1 elements de la col·lecció, la probabilitat d’obtenir l’últim és p = N1 , que necessita d’una compra (de mitjana) de N paquets més.

Així, poder acabar la col·lecció requereix una compra mitjana de

20 noubiaix 39

1+

1 N N 1 N 1 + + ···+ + N = N + + ···+ + 1 , N−1 N−2 2 N N−1 2

és a dir, N hN paquets. A la taula 1 ja s’han mostrat alguns valors de hn .

1 .

Com hem vist a la secció 4, Euler va demostrar que per a n gran, hn ≈ γ + ln (n) + 2n Així, per a una col·lecció de 100 cromos, de mitjana un col·leccionista necessitaria comprar 100 h100 ≈ 57.7 + 200 ln (10) + 12 ≈ 518.7 ≈ 519 cromos per a acabar la col·lecció.

5.2. Barrejant cartes Una de les maneres més senzilles de barrejar N cartes seria seguir el mètode següent. Per a nosaltres, un moviment consistirà senzillament a agafar la carta de sobre i posar-la a l’atzar a qualsevol lloc dels de sota. El procediment de barrejar-les consisteix a fer successivament moviments d’aquest tipus. En aquest context, la pregunta natural és: Quin és el nombre esperat de moviments que hem de fer per a assegurar (de mitjana) que tenim les cartes totalment barrejades? Veurem que aquest número esperat és N hN .

Anomenem S la carta que a l’inici és sota la baralla. Quan fem el primer moviment, la probabilitat que la carta de sobre passi a sota és N1 . Per tant, tal com hem explicat a l’inici d’aquesta secció, el nombre esperat de moviments perquè això passi és N. A continuació, la probabilitat que la carta de sobre passi a ser a sota de S és ara N2 i, com a conseqüència, el nombre esperat de moviments perquè S passi a ser al tercer lloc per sota de la baralla serà N + N2 . En aquesta situació, la probabilitat que la carta de sobre passi a ser a sota de S serà N3 , ja que ja pensem que hi ha dues cartes sota S. Per tant, el nombre esperat de moviments perquè S sigui la quarta per la cua serà N + N2 + N3 .

Observem que amb aquests tres moviments és raonable pensar que les tres cartes que hi ha per sota de S estan ben barrejades.

Raonant de la mateixa manera, el nombre esperat de moviments perquè S sigui sobre de la N baralla és N + N2 + N3 + · · · + N− . Amb un moviment més, S es col·loca a l’atzar entre les N − 1 1 cartes de sota. Per tant, el nombre esperat de moviments per a barrejar les N cartes és N+

N N N 1 1 1 + + ··· + + 1 = N 1+ + + ··· + = N hN .

2 3 N−1 2 3 N

Per a una baralla de 48 cartes, 48h48 ≈ 214.02 i per una de 52 cartes 52h52 ≈ 235.98.

5.3. Rècords Aquest també és un problema clàssic tractat a molt llocs (vegeu, per exemple, [2, 4]). Donada una successió ordenada de variables aleatòries amb lleis contínues {Xk }k≥1 , independents i idènticament distribuïdes, ens interessem pel nombre esperat de rècords quan considerem les diferents successions de N números, X1 (ω),X2 (ω),X3 (ω), . . . XN (ω). Aquí s’entén que Xk (ω) és un rècord si el seu valor és més gran que tots els anteriors de la successió.

La variable aleatòria Z que compta el nombre de rècords es pot construir com segueix.

desembre 2016 21

En primer lloc, observem que les variables aleatòries X1 ,X2 , . . . ,Xk prenen valors diferents amb probabilitat 1 i, per tant, que hi ha k! maneres diferents d’ordenar-les. Com que aquestes variables són independents i idènticament distribuïdes, la seva llei conjunta és simètrica.

Aquesta simetria implica que totes les ordenacions són equiprobables. Si Xk és un rècord, les variables restants es poden ordenar de (k − 1)! maneres diferents, totes equiprobables. Per tant, la probabilitat que Xk sigui un rècord és pk = (k−k!1)! = 1k .

A continuació, considerem la nova variable aleatòria de Bernoulli Yk , que val 1 si Xk és un rècord i val 0 en cas contrari. Aquesta pren el valor 1 amb probabilitat 1k i el valor 0 amb probabilitat 1 − 1k .

Aleshores, Z = Y1 + Y2 + · · · + YN . Per tant, com que E(Yk ) = 1 · 1k + 0 · (1 − 1k ) = 1k , E(Z) = E(Y1 + Y2 + · · · + YN ) = E(Y1 ) + E(Y2 ) + · · · + E(YN ) = 1 +

1 1 1 + + · · · + = hN .

2 3 N

(13)

S’ha comprovat en molts casos que el resultat anterior s’adequa perfectament a dades meteorològiques. Així, per exemple, a [4, 5] s’usa per a veure que els rècords de pluja caiguda a Barcelona el 17 d’octubre durant el període 1900-2006 i també els de pluja caiguda a Palma de Mallorca els mesos de febrer i octubre de 1862 a 2006 compleixen el resultat predit per (13).

A [26] es fa el mateix, recollint dades de la neu caiguda en un aeroport de Chicago durant el període 1966-2004 o amb el nombre anual rècord de tornados a Illinois entre 1956 i 2004. Per exemple, en aquests 49 anys, els rècords del nombre de tornados van ser durant els anys 1956 (el primer any sempre és un rècord), 1957, 1973, 1974 i 2003, és a dir, cinc rècords, i h49 ≈ 4,479.

Observeu que en aquest darrer cas, en el qual es compta el nombre anual de tornados, les variables aleatòries Xk són discretes, ja que prenen només valors naturals. Aleshores, s’hauria de tenir en compte també la possibilitat que dues d’elles coincideixin, ja que té probabilitat positiva. El model es pot modificar sense problemes perquè tingui en consideració aquest fet. De totes maneres, com hem vist a l’exemple, si el rang de Xk és prou ampli (hi ha anys amb més de 100 tornados), el mateix model dóna resultats raonables.

Fins ara hem pensat que tots els rècords són tals que Xk (ω) és més gran que tots els anteriors termes de la successió. És clar que la mateixa teoria es pot aplicar quan Xk (ω) és més petit que tots els anteriors. De fet, això ja es fa als treballs [4, 5] estudiant també els rècords amb menys pluviositat. L’exemple següent aprofitarà de nou aquest fet.

5.4. Cues en un túnel En aquest exemple estudiarem el trànsit en un túnel o un pont, prou llargs i amb un sol carril, en el qual és impossible fer avançaments. Suposarem també que hi entren N cotxes, amb N prou gran, i que les velocitats de tots els cotxes són variables aleatòries independents i idènticament distribuïdes.

En la situació descrita, el fet que hi hagi un rècord amb mínima velocitat provoca que darrere d’aquest cotxe es faci automàticament una petita cua formada per un bloc de cotxes que l’hauria avançat si la carretera ho hagués permès. El bloc de cotxes següent no es forma fins

22 noubiaix 39

que no apareix un altre vehicle que va a una velocitat inferior a la del primer vehicle. Per tant, raonant com a l’exemple anterior, de mitjana es formen hN blocs de cotxes, que es van separant més i més conforme van avançant en el túnel. Si hi ha 100 vehicles circulant, el nombre de blocs esperat serà 5.2. Aquest resultat s’observa en situacions reals de conducció.

5.5. Un problema de control de qualitat Suposem que volem veure la resistència per trencament d’una gran remesa de bigues de fusta. Per a conèixer la força que aguanta una biga, la recolzem pels seus extrems i apliquem una força F de manera contínua, i cap avall, al seu punt mitjà, just fins que es trenca (vegeu la figura 4).

F

Figura 4. Control de trencament.

Una manera d’estimar la resistència esperada de totes les bigues podria ser agafar-ne unes quantes a l’atzar, diguem N = 100, i anar fent la prova per a cadascuna fins que es trenquin.

D’aquesta manera, el mínim dels valors Fk , k = 1,2 . . . ,N ens donaria una bona estimació de la força que aguantarien totes les bigues de la remesa. El problema és que n’hauríem trencat N. Una manera més intel·ligent d’obtenir el mateix resultat, però trencant moltes menys bigues, és la que descriurem a continuació ([18]). Agafem la primera biga i anem augmentant F fins que es trenqui. Aleshores tenim ja un primer rècord, diguem-ne F1 . A continuació agafem una segona biga i anem augmentant la força, o bé fins que es trenqui o bé fins a arribar a F1 . Si no es trenca, la retirem i fem el mateix amb les següents. Quan una es trenqui abans d’arribar a F1 , tindrem un segon rècord, diguem-ne F2 . A continuació, procedim de la mateixa manera, però prenent com a força límit F2 . Si fem això fins a arribar a la N-èsima biga, el nombre esperat de bigues trencades serà només hN = h100 ≈ 5.2.

Tot i que podria passar que tinguéssim tanta mala sort que agaféssim les bigues de manera que cadascuna tingués menys resistència que l’anterior, això té una probabilitat petitíssima.

Per tant, amb aquest mètode, de mitjana només trencarem unes sis bigues i obtindrem la mateixa informació. Si volguéssim fer el mateix test amb mil bigues, de mitjana només n’acabaríem trencant h1000 ≈ 7.5.

Observem que amb el nou mètode només podem estimar la resistència per trencament de les bigues, però no podríem estimar quin és el valor mitjà de la F que les trenca. Per saber això, no ens quedaria cap més remei que trencar-ne N.

desembre 2016 23

5.6. El passeig aleatori al pla Considerem la retícula Z2 del pla. Suposem que estem a l’origen (0,0) i tirem un dau de quatre cares per a saber si anem amunt, avall, a la dreta o a l’esquerra. Per tant, amb probabilitat 1 estarem en un dels quatre punts contigus a l’origen: (1, 0), (−1, 0), (0, 1) i (0, −1). Si fem 4 això indefinidament, continuant cada cop al lloc on ens ha deixat el moviment anterior, la pregunta és si podem assegurar que tornarem a l’origen.

Anomenen pk la probabilitat de tornar a l’origen després d’haver tirar el dau k vegades (independentment de si és el primer cop que tornem o no) i qk la probabilitat de tornar per primer cop després de tirar exactament k vegades el dau. És clar que es compleix que p2k+1 = q2k+1 = 0. Amb una mica de feina (vegeu, per exemple, [6]) es pot demostrar que lim

k→∞

p2k 1 k

= C = 0, C ∈ R,

i

∞

k=1

1 qk = 1 − ∞

k=1 pk

.

∞ ∞ Per tant, el fet que la sèrie k=1 pk = k=1 p2k es comporti com la sèrie harmònica, que és ∞ divergent, ens assegura k=1 qk = 1, és a dir, que la probabilitat de retorn a l’origen és 1. De fet, es pot veure que la probabilitat de tornar-hi infinites vegades també és 1. Atesa aquesta propietat, es diu que el passeig aleatori al pla és recurrent.

D’una manera similar es por veure que en una xarxa 1-dimensional (els punts són Z dins de la línia real i anem cap al punt de la dreta o al de l’esquerra amb probabilitat 12 ) les p2k es comporten com √1k , que també dóna lloc a una sèrie divergent. De nou, la probabilitat de retorn a la posició inicial és 1 i tenim un passeig aleatori recurrent.

D’altra banda, en una xarxa 3-dimensional, p2k és com √1k3 i, per tant, la sèrie associada és convergent. De fet, en dimensió 3, la probabilitat que un passeig aleatori retorni a l’origen és només de 0.34 . . . ([6, 30]). És mala idea perdre’s a l’espai!

Va ser el matemàtic hongarès George Pólya (1887-1985) qui, el 1921, va demostrar, per primer cop, que en dimensions 1 i 2 el passeig aleatori retorna amb probabilitat 1 a l’origen mentre que això ja no succeeix en dimensions superiors (vegeu, per exemple, [11]).

5.7. El problema de la secretària Aquest és també un problema ben clàssic que usa la teoria de la probabilitat per a proposar una bona estratègia per a triar el «millor» candidat entre una quantitat N de persones per a fer una determinada tasca. Tot i que el bategem pel seu nom clàssic, aquest problema té moltíssimes altres aplicacions, com per exemple per la tria de parella, restaurant, aparcament per al cotxe... (vegeu [18, 37]).

La situació és la següent: Hi ha N persones (o objectes, o situacions) i hem de triar la «millor» per als nostres interessos. Aquestes persones arriben a nosaltres per ordre, i podem obtenir tota la informació que vulguem sobre elles. Aleshores hem de decidir si triem aquesta persona o no. Si no la triem, ja no tenim la possibilitat de tornar a contactar amb ella i passem a entrevistar la següent. La pregunta és: Quina és l’estratègia que hem de seguir per a augmentar

24 noubiaix 39

la probabilitat de triar la millor? Observem que, si triem una persona a l’atzar, la probabilitat que sigui la millor és N1 .

Per això es proposa l’estratègia següent, que anomenarem l’estratègia «r». Consisteix a fer el següent: Entrevistem les r primeres persones, r ∈ {0,1,2, . . . ,N − 1} i ens quedem amb la primera de les restants que és millor que les r primeres, o amb l’última si cap ho compleix. Com veurem a continuació, el càlcul del valor de la millor estratègia, que serà quan r val un cert valor r = R = R(N), ens proporcionarà una petita sorpresa.

Anomenem A el succés «triar el millor candidat», i Bi el succés «el millor candidat és al lloc i-èsim», 1 ≤ i ≤ N. Calculem la probabilitat Pr (A) que passi A si apliquem l’estratègia «r».

Tenim que Pr (A) =

N

Pr (A ∩ Bi ) =

i=1

N

Pr (A / Bi )Pr (Bi ) =

i=1

N N 1 1 Pr (A / Bi ) = Pr (A / Bi ), N i=1 N i=r+1

on hem usat els fets següents: •

•

•

El valor Pr (A / Bi ) indica la probabilitat que succeeixi A suposant que el millor candidat és al lloc i-èsim.

Es compleix que Pr (Bi ) = N1 , ja que la probabilitat que el millor candidat sigui al lloc i-èsim és la mateixa per a tots els valors d’i, i lògicament no depèn de l’estratègia «r».

L’estratègia «r» fa que mai triem cap dels r primers candidats. Per tant, Pr (A / Bi ) = 0 per i ≤ r.

De fet, la fórmula que hem usat per a calcular Pr (A) és la que s’anomena fórmula de les probabilitats totals. Per acabar el nostre càlcul només ens falta obtenir Pr (A / Bi ) per i > r.

Clarament, Pr (A / Br+1 ) = 1, ja que, si el millor candidat és al lloc r + 1, l’hem triat segur, perquè en particular és millor que els r primers. r D’una manera similar, Pr (A / Br+2 ) = r+1 , ja que només en el cas que el millor dels r + 1 primers 1 candidats sigui al lloc r + 1, no l’hem triat, i aquest cas té probabilitat r+1 . Així mateix, si i > r + 2,

Pr (A / Bi ) =

r , i−1

atès que, en aquesta situació, els casos favorables són que entre els i − 1 primers candidats el millor estigui a les r primeres posicions (així, els candidats r + 1,r + 2, . . . ,i − 1 són tots pitjors que el millor dels r primers). És a dir, Pr (A / Bi ) = i−r 1 , i = r + 1,r + 2, . . . ,N. Per tant, Pr (A), que denotarem també com a p(N,r), val 1 r N i=r+1 i − 1

1 1 1 1 = 1+r + + ··· + N r+1 r+2 N−1 N

p(N,r) : = Pr (A) =

=

1 1 + r hN−1 − hr N

.

(14)

desembre 2016 25

0.3

0.2

p 0.1

0 0

4

2

6

8

10

12

14

16

18

r Figura 5. Valors p(20, r) per r = 0, 1, . . . , 19 19.

Per acabar l’estudi, només ens falta saber, per a cada N fixat, per a quin valor r ∈ {0,1, . . . ,N − 1} la funció r → p(N,r) té un màxim. Aquest és un problema discret, que per a N petit es pot resoldre directament calculant quin dels N possibles valors de r dóna el màxim. Per exemple, a la figura 5 mostrem els valors per N = 20. En aquest cas, l’òptim es dóna per r = R = 7 i p(20,7) ≈ 0.384.

Per tant, hem vist que, si N = 20 i si triem el primer candidat que sigui millor que els set primers, en un 38.4% dels casos ens quedaríem amb el millor candidat; una gran millora respecte al 5% que s’obtindria si triéssim el candidat a l’atzar.

Vegem per acabar, i usant un cop més el resultat d’Euler que ens assegura que, per a n prou 1 gran, hn ≈ γ + ln (n) + 2n , que hi ha una manera analítica prou satisfactòria per a trobar una expressió explícita del valor r = R(N) que fa màxima la probabilitat p(N,r). Usant el resultat esmentat d’Euler i (14) tenim que, per a r prou gran, p(N,r) =

1 1 + r hN−1 − hr N

≈

1 1 1 + r hN−1 − γ + ln (r) + N 2r

=: p(N,r).

A continuació, fixat N, per a trobar una aproximació del màxim de p(N,r) el que fem és buscar el màxim de la seva aproximació p(N,r). Per això, resolem l’equació ∂ 1

p(N,r) = hN−1 − γ − ln (r) − 1 = 0. ∂r N Així, el màxim de p(N,r) està a r = R, on

(N − 1)e ln (N−1)+ 2(N−1) −1

= R = ehN−1 −γ−1 ≈ e e (N − 1) 1 + 2(N1−1) N − 12 ≈ = . e e 1

1 2(N−1)

26 noubiaix 39

Notem que hem usat de nou el resultat d’Euler per a aproximar hN−1 i també que ex ≈ 1 + x per x ≈ 0.

Per tant, aquesta aproximació ens diu que l’estratègia òptima seria prendre com a R el N− 1 N− 1 2 número , on el doble claudàtor denota l’enter més proper a e 2 . A tots els materials e

consultats se sol prendre com a estratègia òptima R = Ne , ja que la diferència entre ambdós és prou petita. Observem que, per a aquest valor de R, p(N,R) ≈ p(N, R) ≈ p(N, R) =

R + 12 1 ≈ .

N e

Així, per a N prou gran, l’estratègia proposada prenent r = R = Ne permet triar el millor candidat amb probabilitat aproximada 1e , és a dir, amb èxit, en un 36.79% dels casos. A la taula 2 veiem per a uns quants valors de N la diferència entre el resultat que acabem d’obtenir i aquell al qual s’arriba fent l’estudi directe de la funció cas per cas. Com es pot observar, per a N gran, ambdós resultats són indistingibles.

Taula 2. Valors de R(N) R(N), P(N, R(N)) i els corresponents valors estimats, [[ Ne ]] i 1e per a certs valors de N .

N

5

10

20

50

100

1000

R(N)

2

3

7

18

37

368

p(N,R(N)) [[N/e]] 1/e

0.433 0.399 0.384 0.374 0.371 0.368 2

4

7

18

37

368

0.368 0.368 0.368 0.368 0.368 0.368

5.8. Creuant el desert Exposarem aquí la versió del problema seguint [18]. Suposem que volem creuar un desert de mida d amb un jeep que funciona amb combustible (no elèctric) i que té una autonomia que li permet recórrer exactament una distància 1 (és a dir, prenem com a unitat de mesura de distàncies l’autonomia d’un jeep). Per a fer-ho disposem de tants jeeps i conductors com necessitem. L’objectiu és que, al final de tots els moviments dels jeeps, un d’ells hagi creuat el desert i els altres hagin pogut tornar al seu punt de partida, és a dir, ni cap jeep ni cap conductor poden quedar perduts al mig desert.

La pregunta és si és possible fer-ho i, si és que sí, quants jeeps necessitarem? Hi ha altres versions, igualment interessants del problema, en les quals només hi ha un jeep involucrat, però que permeten deixar dipòsits durant el camí. No les considerarem aquí, però admeten un tractament similar.

Vegem primer quan hauria de ser com a molt d per a poder travessar-lo amb dos jeeps, seguint les regles donades. Els dos jeeps J1 i J2 recorren 13 . Aleshores, el jeep J2 dóna 13 del

desembre 2016 27

seu combustible a J1 i torna al punt de sortida. Per tant, J1 pot recórrer una distància màxima de 13 + 1.

Si comencem amb tres jeeps, fem el següent. Els tres recorren primer 15 . Aleshores, J3 dóna 15 del seu combustible a J1 i un altre 15 a J2 . Per tant, a distància 15 de la base de partida hi ha els tres jeeps, J1 ,J2 i J3 , amb capacitats de recórrer distàncies respectives 1,1 i 25 . Continuant com en el cas de dos jeeps obtenim que J1 pot recórrer 15 + 13 + 1 i J2 pot tornar, arribant ja sense combustible, on l’espera J3 amb 25 de combustible. Els dos se’l reparteixen per a tornar a la base.

Raonant de la mateixa manera, és clar que, amb N jeeps, el primer podrà recórrer sN =

1 1 1 + + · · · + + 1.

2N − 1 2N − 3 3

N−1 El procés començaria amb els N jeeps recorrent 2N1−1 , i el jeep JN quedant-se amb 2N −1 del 1 seu combustible i donant 2N−1 parts a cada un dels jeeps J1 , J2 , . . . ,JN−1 i continuaria d’una manera semblant amb els N − 1 jeeps amb el dipòsit ple que estarien ja a distància 2N1−1 de la base. És clar que limN→∞ sN = ∞ i que, per tant, qualsevol desert pot ser creuat si N és prou gran.

Per acabar, vegem com obtenir la relació entre el N que necessitem i d en termes de certs hj .

Observem primer que h2N = 1 +

1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ···+ = 1+ + ···+ + + + ···+ = sN + hN .

2 3 2N 3 2N − 1 2 4 2N 2

1 Per tant, sN = h2N − 12 hN . Usant de nou que per a n prou gran hn ≈ γ + ln (n) + 2n , tenim que

1 γ + ln (4N) 1 1 γ + ln (N) + sN ≈ γ + ln (2N) + ) − ) = .

4N 2 2N 2 Igualant sN amb d i aïllant tenim que N ≈ 14 e2d−γ . Per tant, si d = 5, el nombre de jeeps que necessitaríem seria 14 e10−γ ≈ 3091.74. De fet, s3092 ≈ 5.000042.

5.9. Torres amb molta volada En aquest exemple final mostrarem una construcció en forma de torre, curiosa i ben coneguda amb N peces amb forma de dòmino. En aquesta torre, el que es vol és que, prenent N prou gran, i només tenint en compte la força de la gravetat, la torre sigui estable i la peça de dalt

28 noubiaix 39

s’allunyi cap a una banda, i tant com vulguem, respecte a la que hi ha a la base. La torre de la figura 1 n’és un exemple. Aquestes construccions han estat estudiades a molt llocs (vegeu, per exemple, [15, sec. 6.3] o [17, 32] i les seves referències).

No és restrictiu pensar que totes les peces tenen longitud 2 i pes 1. L’amplada no jugarà cap paper i l’alçada tampoc, però la pensarem bastant més petita que 2. Si agafem només una o dues peces, les torres buscades són les que es mostren a la figura 6. Vegem en primer lloc que la figura amb dues peces és estable calculant el seu centre de masses (cdm) i veient que cau sobre de la taula. És convenient agafar com a origen el cdm de la peça de sobre. Aleshores, el cdm de la torre se situa a x igual a −1 × 1 + 0 × 1 1 =− , 1+1 2

que correspon precisament a l’extrem dret de la taula. El vol total de la torre és h2 = 1 + 12 .

2 1 1

1 2

Figura 6. Torres amb una o dues peces.

Calculem, quan agafem tres o quatre peces, els cdm de les dues construccions de la figura 7.

De nou suposarem que x = 0 és al cdm de la peça de sobre. Aquests cdm estan situats als valors de x, 0 − 1 − (1 + 12 ) h1 + h2 =− 3 3

0 − 1 − (1 + 12 ) − (1 + 12 + 13 ) h1 + h2 + h3 =− , 4 4

i

2 respectivament. Com veurem a continuació, − h1 +h = 1 − h3 i − h1 +h42 +h3 = 1 − h4 . Per tant, en 3 ambdós casos, de nou el cdm coincideix amb l’extrem dret de la taula.

1 1 1 3

1 2

1 4

1 3

1 2

Figura 7. Torres amb tres o quatre peces.

En general, quan prenem N peces, i agafant com sempre x = 0 en el cdm de la peça de sobre, tenim que els cdm de les altres peces són a −h1 , −h2 , . . . , − hN−1 . Per tant, el cdm de la torre està situat a x igual a

desembre 2016 29

−

h1 + h2 + · · · + hN−1 = 1 − hN .

N

Mirem de provar aquesta última igualtat per inducció. La igualtat és equivalent a demostrar h1 + h2 + · · · + hN−1 = NhN − N. Ara bé, h1 = 2h2 − 2, i suposant-la certa per a N − 1, tenim h1 + h2 + · · · + hN−1 + hN = NhN − N + hN = (N + 1)hN − N

1 = (N + 1) hN+1 − − N = (N + 1)hN+1 − (N + 1), N+1 tal com volíem veure.

Així, hem provat que amb N peces podem construir una torre «harmònica» de manera que l’última peça «vola» una distància hN i s’allunya de la que hi ha a la base hN−1 . La divergència de la sèrie ens prova que agafant N prou gran podem volar tant com vulguem!

Hi ha un problema d’optimització molt interessant que consisteix a aconseguir que la torre voli el màxim possible respecte de la taula, però sense la condició que la peça més allunyada sigui la superior. Aleshores les construccions es fan d’una manera totalment diferent (vegeu [33]). Com hem vist per tres i quatre peces, les construccions «harmòniques» volen 1 + 12 + 13 = 11 ≈ 1.83 i 1 + 12 + 13 + 14 = 25 ≈ 2.083, respectivament. Les solucions òptimes 6√ 12 15−4 2 volen 2 i 4 ≈ 2.34 i són força divertides de trobar.

Agraïments Agraeixo a la Maria Jolis la seva ajuda en diversos llocs d’aquest treball. L’autor està secundat pels projectes MINECO MTM2013-40998-P i per la Generalitat de Catalunya, projecte 2014SGR568.

Referències [1] Aigner, M. i Ziegler, G. M. (1988). Proofs from The Book. Berlín: Springer.

[2] Andel, J. (2001). Mathematics of Chance. John Wiley & Sons, Inc. Wiley Series in Probability and Statistics.

[3] Bagni, G. T. (2004). Prime Numbers are Infinitely Many: Four Proofs from History to Mathematics Education. Accessible a www.syllogismos.it/history/Icme10-TSG17.pdf [4] Bardina, X. (2007). Rècords: Quina és la probabilitat d’obtenir-ne? Quan apareixen?

Quins valors prenen?, But. Soc. Catalana de Matemàtiques, 22, 5-22.

[5] Bardina, X. (2007). Quants rècords veurem al llarg de la nostra vida? Materials Matemàtics (MAT2 ), treb. 3, 14 p.

[6] Bardina, X. (2008). Caminant a l’atzar tots els camins porten a Roma. Materials Matemàtics (MAT2 ), treb. 3, 29 p.

[7] Berndt, B. (1998). Ramanujan’s Notebooks. Vol. 5. Nova York: Springer.

[8] Brun, V. (1919). La série 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/31 + 1/41 + 1/43 + 1/59 + 1/61 + . . . , où les dénominateurs sont nombres premiers jumeaux est convergente ou finie. Bull. des Sci. Mathématiques, 43, 100-104 i 124-128.

30 noubiaix 39

[9] Conrad, K. Pell’s equation-I,II. Accessible a www.math.uconn.edu/∼kconrad/blurbs (consultat juliol 2016).

[10] Erdös, P. (1938), Über die Reihe 1/p. Mathematica, Zutphen, B 7, 1-2.

[11] Feller, W. (1950). An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Vol. I. Nova York: John Wiley & Sons, Inc. [12] Ferrante, M. i Saltalamacchia, M. (2014). The Coupon Collector’s Problem. Materials Matemàtics (MAT2 ), treb. 2, 35 p.

[13] Freniche, F. J. (2010). On Riemann’s Rearrangement Theorem for the Alternating Harmonic Series. Amer. Math. Monthly, 117, 442-448.

[14] Gasull, A. (2017). Sumes harmòniques, per aparèixer a Materials Matemàtics (MAT2 ).

[15] Graham, R. L., Knuth, D. E. i Patashnik, O. (1994). Concrete Mathematics. 2a ed. AddisonWesley Publishing Company, Inc. [16] Goldston, D. A. (2010). Are there infinitely many twin primes? Bay Area Math Adventure (BAMA). Accessible a www.math.sjsu.edu/∼ goldston/publications.htm.

[17] Hall, J. F. (2005). Fun with stacking blocks. American Journal of Physics, 73, 1107-1116.

[18] Havil, J. (2003). Gamma: Exploring Euler’s Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press.

[19] Hirschhorn, M. D. (2011). Approximating Euler’s Constant. Fibonacci Quart, 49, 243-248.

[20] Irwin, F. (1916). A Curious Convergent Series. Amer. Math. Monthly, 23, 149-153.

[21] Itô, K. (1984). An Introduction to Probability Theory. Cambridge University Press.

[22] Johnson, N. W. (1966). Convex Solids with Regular Faces. Canadian J. of Mathematics, 18, 169-200.

[23] Kempner, A. J. (1914). A Curious Convergent Series. Amer. Math. Monthly, 21, 48-50.

[24] Kifowit, S. J. (2006). More Proofs of Divergence of the Harmonic Series. Preprint. Accessible a: stevekifowit.com/pubs.

[25] Kifowit, S. J. i Stamps, T. A. (2006). The Harmonic Series Diverges Again and Again. The AMATYC Review, 27, 31-43.

[26] Kifowit, S. J. i Stamps, T. A. (2006). Serious About the Harmonic Series II, 31st Annual Conference of the Illinois Mathematics Association of Community Colleges. Monticello, IL. Accessible a: stevekifowit.com/pubs.

[27] Lagarias, J. C. (2013). Euler’s constant: Euler’s work and modern developments. Bul. of the AMS, 50, 527-628.

[28] Lenstra Jr., H. W. (2002). Solving the Pell Equation. Notices Amer. Math. Soc., 49, 182-192.

[29] Mertens, F. (1874). Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie. J. Reine Angew. Math., 78, 46-62.

[30] Montroll, E. W. (1956). Random Walks in Multidimensional Spaces, Especially on Periodic Lattices. J. SIAM, 4, 241-260.

[31] Nicely, T. R. (1994). Article sense títol sobre la falla en els divisors del Pentium. San Francisco Examiner, B-5.

[32] Nicely, T. R. (1999). Enumeration to 1.6 ∗ 1015 of the twin primes and Brun’s constant. Some Results of Computational Research in Prime Numbers (Computational Number Theory).

desembre 2016 31

[33] Paterson, M., Peres, Y., Thorup, M., Winkler, P. i Zwick, U. (2009). Maximum Overhang.

Amer. Math. Monthly, 116, 763-787.

[34] Pollack, P. (2015). Euler and the partial sums of the prime harmonic series. Elem. Math., 70, 13-20.

[35] Ross, S. (2012). A first course in probability. 9a ed. Pearson.

[36] Sanz-Solé, M. (1999). Probabilitats. Col·lecció UB, 28. Universitat de Barcelona.

[37] Schmelzer, T. i Baillie, R. (2008). Summing a Curious, Slowly Convergent Series. Amer.

Math. Monthly, 115, 525-540.

[38] Tijms, H. (2012). Understanding probability. 3a ed. Cambridge: Cambridge University Press.

[39] Villarino, M. B. (2008). Ramanujan’s harmonic number expansions into negative powers of a triangular number. J. of inequalities in pure and applied math., 9, 12 p.

[40] Young, R. M. (1991). Euler’s constant. Math. Gaz., 75, 187-190.

[41] Webb, J. (2000). In perfect harmony, +plus magazine 2000. https://plus.maths.org/content/ perfect-harmony.

[42] Diversos autors (2011). Suites & séries. Bibiliothèque Tangente HS, 41. POLE.

32 noubiaix 39

Conclusions del Congrés Català d’Educació Matemàtica (C2EM) El dies 11, 12 i 13 de juliol, a l’Edifici Històric de la Universitat de Barcelona, es va celebrar el Congrés Català d’Educació Matemàtica (C2EM) coorganitzat per la Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya (FEEMCAT) i la Facultat de Matemàtiques de la Universitat de Barcelona.

El congrés va reunir més de 600 mestres i professors d’educació infantil, primària, secundària, batxillerat i universitat principalment de Catalunya, amb l’assistència de professorat de les Illes Balears, la Comunitat Valenciana, el Principat d’Andorra i Madrid.

Els objectius del congrés van ser: •

Contribuir a l’enriquiment professional dels ensenyants de matemàtiques.

•

Compartir pràctiques d’aula que impulsin la construcció de coneixement matemàtic.

•

Destacar la contribució de l’educació matemàtica en la formació integral de la persona.

•

Apropar les matemàtiques a la societat.

•

Afavorir l’ús de xarxes per a mantenir l’intercanvi professional.

•

Acordar línies d’actuació per a la millora de l’educació matemàtica.

Atesos aquests objectius, es va adoptar com a lema del congrés:

Construir matemàtiques Compartir per aprendre

desembre 2016 33

Per tal d’assolir el sisè objectiu, ‘‘Acordar línies d’actuació per a la millora de l’educació matemàtica’’, es van portar a terme cinc debats moderats i coordinats pel comitè científic del congrés, cadascun dels quals corresponia a un dels cinc primers objectius: •

Formació: Necessitats, formats i amplitud.

•

Pràctiques d’aula que impulsen la construcció de coneixement matemàtic ric, valuós i significatiu.

•

Matemàtiques i formació integral de les persones.

•

Matemàtica escolar i imatge social de les matemàtiques.

•

Compartir per construir una millor educació matemàtica.

Una vegada definides unes primeres conclusions a partir de cadascun dels debats, es van fer trobades simultànies per a l’elaboració de les conclusions definitives entorn de cada objectiu del C2EM. Les conclusions finals, que es presenten a continuació, es van posar en comú en l’acte de cloenda del congrés.

Conclusions 1. Els ensenyants són responsables de la seva millora professional i han de poder decidir sobre la seva formació, tant a nivell individual com col·lectiu. La formació ha de ser planificada i s’ha de preveure un seguiment de la seva aplicació a l’aula i les posteriors anàlisi i reflexió, tant pel que fa a l’alumnat com al professorat.

2. La millora professional ha de despertar il·lusió i donar un coneixement específic per a la pràctica d’aula i ha de comportar, necessàriament, una reflexió crítica de la tasca docent.

Així mateix, la millora professional ha de tenir en compte diferents aspectes: • • •

continguts de caire matemàtic i didàctic, espais d’intercanvi d’experiències, i elements de creixement personal.

3. Les associacions de mestres i professors i els grups de treball, que tenen un coneixement directe de l’activitat docent, han de participar en la diagnosi de les necessitats de formació i fer suggeriments a l’Administració educativa, que l’ha de promoure i n’ha d’assegurar la generalització.

4. Es constata que a les nostres aules hi ha una presència desigual de diferents tipus d’activitats. En els propers anys, cal fer incidència en la selecció d’unes activitats més productives que reproductives i de caire més investigador. Cal també, d’una manera especial, fer, cada vegada més, una gestió d’aula en què els alumnes vagin assolint més protagonisme, s’interroguin sobre el que fan i siguin capaços de comunicar-ho a altres persones.

5. Tant el plantejament com la gestió de les pràctiques educatives han de fer-les motivadores, promoure la interacció i tenir en compte la incidència de les actituds i les emocions.

No s’ha de perdre de vista que han de contribuir a assolir els objectius de l’ensenyament

34 noubiaix 39

de les matemàtiques, entre els quals cal destacar els d’ajudar a interpretar el món i prendre decisions d’una manera raonada. Cal que els docents incitin a un debat que permeti fer explícits el sentit i els objectius d’aquestes pràctiques i treballar per tal de generalitzar la seva presència a l’aula d’una manera gradual i sostinguda.

6. L’avaluació no ha de consistir només en una acreditació d’allò que l’alumnat sap i sap fer. Ha de ser una anàlisi continuada i integrada en l’activitat habitual de l’aula, amb un ampli ventall d’eines i estratègies, que permeti, d’una banda, ajudar cadascun dels alumnes en el seu procés d’aprenentatge i, d’altra banda, ajustar la presa de decisions del professorat quant al disseny i la implementació de noves propostes. L’alumne ha de ser un agent actiu d’aquest procés d’avaluació.

7. La matemàtica és una eina fonamental per a entendre el món i resoldre els problemes reals amb què ens trobem. Cal una alfabetització matemàtica per a tota la població que contribueixi a la seva formació integral. Els alumnes poden no ser-ne conscients.

Per tant, el professorat ha de contribuir que l’alumnat en prengui consciència i mostrar com les matemàtiques són presents en moltes ocupacions a partir de l’experiència de professionals del sector.

8. És important contribuir a crear una imatge social més positiva de les matemàtiques, per la qual cosa cal: • • •

més divulgació matemàtica i més compromís com a col·lectiu en aquesta tasca, més i millor difusió de les activitats matemàtiques que ja es fan, i generar un sistema per a crear impulsos que ajudin a millorar la imatge social de les matemàtiques.

9. Promoure experiències positives en matemàtiques per a col·lectius de totes les edats, mostrant que les matemàtiques són per a tothom i que tothom pot fer-ne i gaudir-ne.

10. Promoure accions adreçades a les famílies per tal d’aconseguir que coneguin el que els seus fills treballen a les escoles i contribueixin a la imatge positiva de les matemàtiques.

11. Sensibilitzar els responsables socials i dels mitjans de comunicació per tal que les informacions que es donin amb contingut matemàtic siguin correctes.

12. Les xarxes de mestres i professors (associacions o espais virtuals) són una eina al servei de l’educació matemàtica que cal difondre •

• •

canvien i amplien la manera d’aprendre perquè permeten compartir i construir coneixement de manera col·lectiva, marquen tendències que la pròpia comunitat autoregula, i admeten diferents graus d’implicació dels usuaris.

13. A través de les xarxes es comparteixen experiències d’aula i materials. Per continuar avançant cal enriquir-les amb una implementació fonamentada.

14. Les trobades de mestres i professors són un mitjà, però no l’objectiu final. Les xarxes virtuals mantenen l’esperit de les trobades entre les unes i les altres. Suggerim #matxat per a mantenir-nos en contacte fins a la propera trobada.

Barcelona, 13 de juliol de 2016

desembre 2016 35

Nombres perfectes, amics i sociables.

Una proposta per a l’aula Carles Dorce Facultat de Matemàtiques Universitat de Barcelona cdorce@ub.edu

Resum El context buscat que ens ha de facilitar la introducció de certs temes en la classe de matemàtiques no sempre és l’idoni ni té els resultats esperats. Aquest és el cas dels exemples que trobem en multitud de llibres de text a l’hora de parlar sobre divisibilitat, ja que no tenen en compte que l’agrupament d’objectes no té gairebé cap interès per als nostres alumnes, i probablement, tampoc utilitat. No obstant això, les característiques de certs nombres i la capacitat que té l’alumnat per a jugar-hi poden servir d’excusa per a obrir idees i plantejar raonaments que els problemes tradicionals no recullen. D’aquesta manera, els nombres perfectes, els nombres amics, els nombres sociables i algunes de les seves variants poden ser un bon generador de raonament matemàtic.

Abstract The context we look for to introduce certain mathematical subjects in an easier way is not always suitable and may not have the expected results. This is the case with examples we find in many textbooks when talking about divisibility, since they do not take into account that the clustering of objects is not only of no interest to our students but probably of no use either.

However, the properties of certain numbers and the ability of students to play with them can be used to open up ideas and propose ways of thinking that are not included in traditional problems. Thus, perfect, amicable and sociable numbers and some of their variants can be very good generators of mathematical reasoning.

Introducció La descomposició dels nombres en producte de factors primers, la determinació dels múltiples i divisors d’un nombre i la cerca del màxim comú divisor i del mínim comú múltiple d’un conjunt de nombres no solen trobar-se dins de les activitats més ben considerades per

36 noubiaix 39

l’alumnat de l’Educació Secundària Obligatòria (ESO). Els motius poden ser diversos, com, per exemple, la desvinculació de contextos reals. Si bé no és difícil trobar situacions concretes amb aquest tipus de càlculs, de vegades la tipologia dels problemes plantejats està estretament lligada a solucions de poc interès per a l’alumnat. Agafant un exemple concret (Álvarez, Hernández i altres, 2011): La Cristina té 24 cotxes de joguina i els vol col·locar en fila, de manera que totes les files tinguin el mateix nombre de cotxes. De quantes maneres ho pot fer?

o aquest altre: L’Anna té 7 testos amb geranis i els vol posar en grups, de manera que cada grup ha de tenir el mateix nombre de testos i no n’ha de sobrar cap. Quants testos pot posar en cada grup?

quina diferència hi ha entre aquest tipus de problemes i, per exemple, el que planteja l’enunciat (Sigler, 2002): Hi ha un nombre que quan es divideix per 2, o per 3, o per 4, o per 5, o per 6, el romanent sempre és 1, i és veritablement divisible per 7. De quin nombre es tracta?

Aquest problema va ser plantejat per Leonardo de Pisa, també conegut amb el sobrenom de Fibonacci, en el seu Liber abaci, de 1202. Refent-lo amb la intenció d’adaptar-lo al primer exemple mostrat, ara llegiríem: La Cristina té un determinat nombre de cotxes de joguina i els vol col·locar en fila, de manera que totes les files tinguin el mateix nombre de cotxes. S’ha adonat que els pot col·locar en files de 7 cotxes, però que, si els col·loca en files de 2 cotxes, o de 3, o de 4, o de 5, o de 6, aleshores sempre li’n sobra un. Quina quantitat de cotxes té la Cristina?

Els dos problemes plantegen el mateix i no es pot considerar que el context en el qual s’ha volgut emmarcar la segona opció aporti cap benefici, ans al contrari: l’enunciat s’ha fet llarg i segueix sense tenir l’interès esperat per a l’alumnat.

En el currículum de l’Educació Primària (Decret 142/2007), la introducció de les fraccions es produeix en el bloc de Numeració i Càlcul del cicle inicial, en què s’especifica el primer ús de les fraccions un mig i un quart en contextos significatius. En el cicle mitjà, hi trobem l’ús de diferents models de representació de les fraccions, com ara la representació de nombres «fraccionaris més comuns (1/2, 1/3, 1/4)» sobre la recta numèrica o la seva relació com a nombres que aproximen la mesura. És en aquesta etapa el moment en el qual apareixen les primeres sumes i restes de fraccions «senzilles» acompanyades de la seva representació gràfica. Finalment, en el cicle superior, les fraccions prenen protagonisme i la seva aparició ja va lligada al seu ús i comprensió per a mesurar quantitats comunes en contextos significatius (com poden ser certs problemes geomètrics), així com la seva equivalència amb els nombres decimals i els percentatges corresponents. D’aquesta manera, s’inclou la cerca de fraccions equivalents i la comparació, ordre, suma i resta dels nombres racionals. En aquest cicle també s’han de començar a elaborar conjectures a partir de la cerca de les característiques dels nombres (primers, compostos, múltiples, divisors).

desembre 2016 37

A l’ESO (Decret 143/2007), l’estudi de les fraccions comença des del primer curs recollint tots els continguts ja explicats a Primària, i en els continguts del bloc de Numeració i Càlcul ens trobem també amb la «utilització de factoritzacions, múltiples i divisors en la resolució de problemes» i amb la comprensió del «significat i efecte produït per les operacions amb fraccions».

L’experiència ens diu que l’aparició a les aules dels criteris de divisibilitat, del ja citat càlcul de la factorització en producte de nombres primers i dels consegüents conceptes de divisors, màxim comú divisor, múltiples i mínim comú múltiple no sol ser un plat de bon gust per a la majoria de l’alumnat. A més a més, la recurrència d’aquests temes en els llibres de text dels quatre cursos de l’ESO tampoc no aporta al procés d’aprenentatge cap novetat que no sigui la repetició i consolidació del contingut, que no per ser molt necessàries són més útils. Davant d’aquest panorama, podem aportar algun recurs que ens faciliti la tasca de fer més amè el càlcul dels divisors d’un nombre? És a dir, podem aportar algun aspecte lúdic a aquest procés, en la línia de poder influir en l’«alfabetització emocional» de l’alumnat, la qual inclou la idea del control de la por a les matemàtiques per tal d’aconseguir «l’atenció necessària perquè s’aconsegueixi l’aprenentatge, l’autoconsciència, la motivació, l’entusiasme, la perseverança, l’empatia, l’agilitat mental, etc.» (Gómez Chacón, 1997)? Com està provat, si no hi ha una actitud favorable de l’alumnat vers la matèria, només un procés memorístic pot aconseguir algun tipus de bons resultats d’aprenentatge (Ausubel, Novak i Hanesian, 1983), malgrat que, a posteriori, aquest tipus d’aprenentatge és molt superficial i és de difícil assimilació.

En aquest sentit, la introducció de jocs sempre pot ser molt útil. L’experiència contrastada (Dorce, 2013a) obre la porta a la introducció de jocs numèrics que aportin classes participatives, interessants i amenes que s’oposin a les activitats mecàniques i repetitives que només tenen l’objectiu d’entrenar l’alumnat en rutines (Burgos i altres, 2006). Per tant, presentarem aquí un recurs que ens pot facilitar la introducció, reforç i consolidació del tema de la divisibilitat numèrica. Sense cap mena de dubte, el concepte de nombres perfectes, amics i sociables no és nou, però l’enfocament que aquí s’hi dóna pot ser força útil en les aules dels últims cursos de la Primària i de qualsevol dels cursos de la Secundària.

Nombres perfectes i nombres sublims Es diu que un nombre és perfecte si és igual a la suma dels seus divisors propis, és a dir, la suma dels divisors que són menors que ell. Per exemple, els divisors del nombre 6 són l’1, el 2, el 3 i el 6 i, per tant, el 6 és un nombre perfecte, ja que 6 = 1 + 2 + 3. Dit d’una altra manera,

si considerem la funció σ (n) = d, aleshores un nombre N és perfecte si σ (N) = 2N. d |n

Malgrat que aquest concepte sembla ser originari de les matemàtiques pitagòriques (Dorce, 2013b), la primera referència que tenim del concepte de nombre perfecte la trobem en l’última de les definicions del llibre VII dels enciclopèdics Elements que l’alexandrí Euclides va escriure al voltant del segle III aC, on llegim: «Nombre perfecte és aquell que és igual a les seves pròpies parts». A més a més, en la proposició 36 del llibre IX, Euclides també va demostrar que tot nombre de la forma N = 2n−1 (2n − 1) amb 2n − 1 primer, és perfecte. La demostració d’aquest resultat no és gens difícil, ja que, si anomenem p = 2n − 1, tenim que els divisors propis de N són 1, 2, 22 , . . . ,2n−2 , 2n−1 , p, 2p, 22 p, . . . ,2n−2 p, la suma dels quals és:

38 noubiaix 39

1 + 2 + 22 + · · · + 2n−2 + 2n−1 + p + 2p + 22 p + · · · + 2n−2 p = = (1 + 2 + 22 + · · · + 2n−2 + 2n−1 ) + (1 + 2 + 22 + · · · + 2n−2 ) p = =

2 n− 1 · 2 − 1 2 n− 2 · 2 − 1 + p = (2n − 1) + (2n−1 − 1) p = 2−1 2−1

= (2n − 1) + (2n−1 − 1) (2n − 1) = 2n−1 (2n − 1) Gairebé quatre segles més tard, Nicòmac de Gerasa va escriure una Introducció a l’aritmètica en què es va dedicar a estudiar aquest tipus de nombres, dels quals només en coneixia quatre (6, 28, 496 i 8128), i va arribar a donar unes quantes propietats: 1. Fixem-nos que hi ha un nombre perfecte d’una xifra, un altre de dues, un altre de tres i un altre de quatre. Per tant, Nicòmac va veure clar que hi havia d’haver un nombre perfecte per a cada unitat de la base 10. Així, el següent nombre perfecte havia de tenir cinc xifres.

2. Per tant, Nicòmac suposava l’existència d’infinits nombres perfectes.

3. És una evidència que els quatre nombres perfectes són parells i no seria d’estranyar que tots els nombres perfectes també ho fossin.

4. A més a més, observem també que els quatre nombres acaben successivament en 6, 8, 6 i 8. Per tant, el cinquè nombre perfecte hauria d’acabar en 6, el sisè en 8, etc.

5. Finalment, si s’havia de trobar un cinquè nombre perfecte s’havia de fer mitjançant la fórmula d’Euclides, ja que tots els nombres perfectes havien de ser d’aquesta forma.

Tot i aquestes pistes, Nicòmac no va ser capaç de trobar el cinquè nombre perfecte i no va ser fins al segle xiii que va veure la llum: Ismāc ı̄l ibn Ibrāhı̄m ibn Fallūs (m. c. 1250) va comentar l’Aritmètica de Nicòmac (Brentjes, 1987) i després de donar la fórmula d’Euclides N = 2n−1 (2n − 1) amb 2n − 1 primer, va calcular els casos n = 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19 i 23: n=2

N=6

Perfecte.

n=3

N = 28

Perfecte.

n=5

N = 496

Perfecte.

n=7

N = 8128

Perfecte.

n=9

N = 130816

Però 29 − 1 = 7 · 73. No perfecte.

n = 11

N = 2096128

Però 211 − 1 = 23 · 89. No perfecte.

n = 13

N = 33550336

Perfecte.

n = 17

N = 8589869056

Perfecte.

n = 19

N = 137438691328

Perfecte.

n = 23

N = 35184367894528

Però 223 − 1 = 47 · 178481. No perfecte.

Ibn Fallūs va cometre tres errades en la seva llista, però la taula ens serveix per a adonar-nos que, ja des del temps dels grecs, s’havia vist que n no podia ser parell si n > 2, ja que si n = 2k = 2, aleshores 2n − 1 no és un nombre primer: 2n − 1 = 22k − 1 = (2k )2 − 1 = (2k + 1) · (2k − 1)

desembre 2016 39

A més a més, les afirmacions primera i quarta de Nicòmac no eren certes i quedava per endavant un llarg període d’investigacions sobre aquests nombres. Els nombres perfectes havien arribat al món àrab de la mà de Thābit ibn Qurra (836-901) i, a banda de la llista d’Ibn Fallūs, va ser el gran Ibn al-Haytham (965-1040) qui més va acostar-se a donar un resultat important sobre el tema: el recíproc de la proposició d’Euclides, és a dir, que si N és un nombre perfecte parell, aleshores és de la forma N = 2n−1 (2n − 1) amb 2n − 1 primer (Rashed, 1994).

A l’Europa occidental, l’aparició dels nombres perfectes no va ser matemàtica sinó més aviat religiosa. Sant Agustí (354-430), en la seva Ciutat de Déu, va destacar que Déu havia construït el nostre món en sis dies justament perquè aquest nombre és perfecte! Matemàticament parlant, l’aparició del cinquè nombre perfecte, 33.550.336, es troba en un manuscrit anònim de 1458 i també en els papers de Johannes Müller, també conegut pel seu nom llatinitzat, Regiomontanus 1436-1476). El 1536, Hudalrichus Regius va trencar la idea que tot nombre de la forma 2n − 1 amb n primer havia de ser també primer a trobar la descomposició del cas n = 11. També va demostrar que 213 − 1 = 8191 és primer, trobant així indirectament aquest cinquè nombre perfecte.

El 1603, l’italià Pietro Cataldi (1548-1626) va escriure el Tractat dels nombres perfectes, en què es va dedicar a donar tots els nombres primers menors de 750. Amb l’ajut d’aquesta taula, va poder demostrar que 217 − 1 = 131071 i 219 − 1 = 524287 són nombres primers i, d’aquesta manera, va redescobrir el sisè i el setè nombres perfectes. A més a més, va atrevir-se a afirmar que 2n − 1 és primer per a n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 29, 31 i 37.

El següent pas, el trobem en una carta que el francès Pierre de Fermat (1601-1665) va enviar al pare Marin Mersenne (1588-1648) el 1640, en què es va dedicar a estudiar els nombres 2n − 1, als quals va denominar radicals. Fermat va arribar a la conclusió que: 1. n compost ⇒ 2n − 1 compost.

2. n primer ⇒ 2n − 2 és divisible per 2n.

3. n i p primers senars i 2n − 1 divisible per p ⇒ p − 1 és divisible per 2n. Així, si n és primer, aleshores 2n − 1 no pot ser divisible per cap altre primer que no sigui de la forma 2kn + 1.

Seguint darrere d’aquests nombres, el mateix Fermat va acabar deduint un resultat equivalent al seu petit teorema, és a dir, si p és un nombre primer i a és un enter no divisible per p, aleshores ap−1 − 1 és divisible per p. Fermat va poder demostrar, doncs, que els casos n = 23 i 37 de Cataldi eren erronis, ja que va aconseguir factoritzar-los. Per la seva banda, Mersenne va quedar força impressionat amb els avenços de Fermat i va arribar a publicar, sense demostrar-ho, que 2n − 1 és un nombre primer per n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 i 257. Per aquesta raó, els nombres de la forma Mn = 2n − 1 són coneguts actualment com a nombres de Mersenne.

Com a resultat interessant, cal dir que el 1732, Leonhard Euler (1707-1783) va demostrar el recíproc de la regla d’Euclides per a nombres perfectes parells donant veracitat així a la cinquena de les afirmacions de Nicòmac, que suposava que el nombre perfecte inicial era parell (Dickson, 1971).

40 noubiaix 39

La història d’anar trobant nombres perfectes a partir dels nombres de Mersenne encara perdura avui dia. El 25 de gener de 2013, el professor Curtis Cooper, de la Universitat Central de Missouri, va descobrir el 48è nombre perfecte trobat fins ara. Es tracta del cas n = 57885161, que converteix el nombre 257885161 − 1 en el nombre primer més gran conegut fins ara: té 17.425.170 xifres!

No s’ha demostrat encara si existeixen infinits nombres perfectes i tots els que s’han trobat són parells.

Ara bé, no es pot acabar de parlar sobre nombres perfectes sense considerar els dos únics nombres sublims coneguts. El primer és el 12, ja que, d’una banda, la suma dels seus divisors propis és igual a 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28, un nombre perfecte, i de l’altra, el nombre dels seus divisors propis és igual a 6, un altre nombre perfecte. Respecte del segon nombre sublim, es pot dir que és el S = 2126 (23 − 1) (25 − 1) (27 − 1) (219 − 1) (231 − 1) (261 − 1) i que té 76 xifres decimals i 8.128 divisors.

Nombres amics, amistosos i solitaris Seguint amb les sumes de divisors, un altre tipus de nombres curiosos i que també tenen el seu origen en els matemàtics pitagòrics és el corresponent als nombres amics. Calculem la suma dels divisors propis del nombre 220: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 Com es pot veure, el 220 és un nombre abundant, és a dir, la suma dels seus divisors propis és major que ell, però... i el 284? Els seus divisors propis sumen: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 Per tant, la suma dels divisors propis del 220 és igual al 284, i viceversa, la suma dels divisors propis del 284 és igual al 220 (amb què el 284 és un nombre deficient, ja que la suma dels seus divisors propis és menor que ell). Direm que el 220 i el 284 són dos nombres amics.

Curiosament, en el llibre del Gènesi (32:14), Jacob es preparava per a trobar-se amb el seu germà Esaú i li «va preparar un obsequi [...]: dues-centes cabres i vint bocs, dues-centes ovelles i vint moltons». Per explicar aquest nombre, el cabalista marroquí Abraham ben Mordecai Azulai (c. 1570-1643) va tenir-ho molt clar: El nostre avantpassat Jacob va preparar el seu regal d’una manera molt sàvia. El nombre 220 és un secret amagat, essent un dels dos nombres tals que les seves parts són iguals a les de l’altre, 284, i viceversa. I Jacob n’era conscient; això ha estat escollit pels antics per garantir l’amor dels reis i els dignataris.

Tornant al sentit estrictament matemàtic, els antics grecs van obviar aquesta propietat i no va ser fins a les investigacions de Thābit ibn Qurra al segle ix que no van revifar. Ibn Qurra va escriure un Tractat sobre els nombres amics en el qual va donar una regla per a trobar-ne: per a n > 1, si p = 3 · 2n−1 − 1, q = 3 · 2n − 1 i r = 9 · 22n−1 − 1 són tots tres primers, aleshores

desembre 2016 41

M = 2n pq i N = 2n r són amics. Així, si n = 2, es té que p = 5, q = 11 i r = 71 primers, i els nombres M = 4pq = 220 i N = 4r = 284 són amics. Després d’Ibn Qurra, la regla va ser coneguda a bastament en el món àrab i exemple d’això és la seva aparició en les obres d’Abū al-Saqr al-Qabı̄sı̄ (s. X), al-Karajı̄ (c. 953−c.1029), Abū Tāhir al-Bagdadı̄ (m. 1037), al-Zanjānı̄ (c. 1257), Kamāl al-Dı̄n al-Fārisı̄ (m. 1320), Ibn al-Bannā’ al-Marrakushı̄ (c. 1256−c.1321) i Jamshı̄d al-Dı̄n al-Kāshı̄ (1380-1429), entre d’altres. En els seus càlculs, al-Fārisı̄ va trobar la segona parella, 17296 i 18416, corresponent al cas n = 4. Arribats al segle XVII, Fermat i René Descartes (1596-1650) van redescobrir la fórmula entre els anys 1636 i 1638 i, a banda d’aquest cas n = 4, també van arribar al cas n = 7, és a dir, els nombres 9363584 i 9437056 (també al segle XVII, al-Jazdı̄ va arribar a aquesta última parella). Un segle més tard, el 1747, Euler va donar una llista de trenta parelles més, que ell mateix va augmentar a seixanta posteriorment (Euler, 1747).

Si bé actualment els nombres perfectes que coneixem no arriben a la cinquantena, hi ha milions de parelles de nombres amics. I, per descomptat, una curiositat: el 1866, un noi italià de 16 anys anomenat Niccolò Paganini, com el famós compositor, va ser capaç de descobrir el segon parell de nombres amics més petits que existeix: el 1184 i el 1210!

L’any 1913, L. E. Dickson va generalitzar aquesta idea i va definir els triplets de nombres amics en què la suma dels divisors propis d’un d’ells és igual a la suma dels altres dos (Dickson, 1913). Exemples d’aquests triplets són els nombres 293 · 337 A, 5 · 16.561 A i 99.371 A, en què A = 25 · 3 · 13, o 3 · 89 B, 11 · 29 B i 359 B, en què B = 214 · 5 · 19 · 31 · 151. Mitjançant un altre algorisme diferent del de Dickson, el 1960, A. Makowski va trobar el triplet 22 · 32 · 5 · 11 = 1980, 25 · 32 · 7 = 2016 i 22 · 32 · 71 = 2556 (Makowski, 1960 i 1961).

El 1921, T. E. Mason va generalitzar els triplets de Dickson a grups de n nombres amics en què la suma dels divisors propis d’un d’ells és igual a la suma dels altres n − 1 (Mason, 1921).

S’ha de dir que el grup de quatre nombres amics més petit que es coneix està format pels nombres 842448600, 936343800, 999426600 i 1110817800.

Un altre grup de parelles interessant és el dels nombres gairebé amics, és a dir, que no són amics per molt poc. Per exemple, si agafem el nombre 48, calculem els seus divisors propis i els sumem, obtenim 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 = 76. D’altra banda, si ara ens quedem amb el nombre 76 − 1 = 75 i fem el mateix, el resultat que obtenim és 1 + 3 + 5 + 15 + 25 = 49.

Una unitat més que el 48! En aquest cas, direm que la parella formada per 48 i 75 està formada per nombres gairebé amics (Guy, 1994). Les parelles 140 i 195, 1575 i 1648, i 1050 i 1925 en són altres exemples, i malgrat que sembli una condició més feble que la de ser amics, s’ha de dir que només hi ha 46 parelles d’aquests nombres menors que 107 i que totes són de paritat diferent.

Per acabar, C. W. Anderson i D. Hickerson van batejar com un parell amistós de nombres aquells dos nombres m i n que compleixen Σ (n) = Σ (m), en què Σ (n) = 1n σ (n) (Anderson i Hickerson, 1977). Per exemple, la parella formada per dos nombres perfectes sempre serà amistosa, ja que si N i M són perfectes, es complirà Σ (N) = Σ (M) = 2. Un altre exemple el trobem en la parella formada pels nombres 135 i 819, ja que Σ (135) = Σ (819) = 16 .

9 En contrapartida, es diu que un nombre és solitari si no està inclòs en cap parella amistosa de nombres. De moment podem constatar que si el màxim comú divisor de N i σ (N) és igual a

42 noubiaix 39

1, aleshores N és solitari. Així, els nombres primers són solitaris i també ho són el 4, el 8, el 9, el 16, el 21... No obstant això, encara queden moltes preguntes obertes, com ara quina és la condició de nombres com el 10, el 14 o el 15 (Hickerson, 2002).

Nombres sociables Una generalització tant dels nombres perfectes com dels nombres amics és el concepte de nombres sociables. Els introduirem amb un parell d’exemples. Suposem que agafem el 15, del qual ja sabem que no és perfecte i que no pertany a una parella de nombres amics. Aleshores, quin és el resultat de la suma dels seus divisors propis? Fem-la: σ∗ (15) = σ (15) − 15 = 1 + 3 + 5 = 9. Comprovem, en efecte, que no és perfecte. Vegem ara que no pertany a una parella de nombres amics: σ∗ (9) = σ (9) − 9 = 1 + 3 = 4. Tornem-hi. Què passa ara amb el 9?

Doncs σ∗ (9) = 4, σ∗ (4) = 3 i σ∗ (3) = 1.

Ja hem vist que quan ens dediquem a sumar divisors propis, de vegades obtenim directament el nombre buscat (és el cas dels nombres perfectes) i, d’altres vegades, obtenim el nombre inicial després d’haver passat per un pas intermedi (els nombres amics). És a dir, σ∗ (6) = 6 i σ∗ (220) = 284 → σ∗ (284) = 220. Ara, la pregunta és: existeixen nombres N1 , N2 , . . . ,Nk tals que σ∗ (Nj ) = Nj+1 per 1 ≤ j < k, i σ∗ (Nk ) = N1 ? En aquest cas, direm que els nombres N1 , N2 , . . . ,Nk són nombres sociables. Si k = 1, els nombres són perfectes, i si k = 2, els dos nombres són amics. Tot i així, la resposta a la pregunta anterior no és gens senzilla. De fet, el 1918, P. Poulet va determinar el grup de k = 5 nombres sociables 12496, 14288, 15472, 14536 i 14264, des del qual σ∗ (14264) = 12496 (Poulet, 1918). També va trobar que el nombre 14316 era el primer d’una cadena de 27 més (k = 28) i aquestes associacions van ser les úniques conegudes fins que el 1970, H. Cohen va trobar nou grups de k = 4 amb l’ajut d’un ordinador (Cohen, 1970).

Activitats d’aula Quan s’explica a l’aula la factorització d’un nombre en producte de nombres primers o, fins i tot, el concepte i el càlcul del màxim comú divisor o del mínim comú múltiple, la manipulació dels divisors primers d’un nombre ens dóna una oportunitat única per introduir tots aquests conceptes explicats. Suposem que tenim la gran sort d’haver de factoritzar el nombre 28 = 22 · 71 : 28 14 7 1

2 2 7

Com calculem tots els seus divisors? En primer lloc, podem començar determinant el nombre de divisors que hem de trobar, per tal de no deixar-nos-en cap: Proposició: Si N > 1 és un nombre natural tal que la seva descomposició en producte de factors primers és N = pn11 pn22 · · · pnk k , aleshores el seu nombre de divisors és n = (n1 + 1) (n2 + 1) · · · (nk + 1).

desembre 2016 43

Demostració: És evident que tots els possibles divisors de N són els sumands del producte (1 + p1 + p21 + · · · + pn11 ) · (1 + p2 + p22 + · · · + pn21 ) · · · · · (1 + pk + p2k + · · · + pnk k ) i, per tant, el nombre de sumands és n = (n1 + 1) (n2 + 1) · · · (nk + 1).

En el nostre cas, per a N = 28 tenim n1 = 2 i n2 = 1 i, consegüentment, el seu nombre de divisors és (2 + 1) · (1 + 1) = 3 · 2 = 6. A més a més, seguint el producte descrit en la proposició, no és difícil trobar quins són aquests divisors:

1

p1

p21

Multiplicat per 1:

1

2

4

Multiplicat per p2 = 7:

7

14

28

Ara és el moment de veure quines propietats té el nombre 28 i preguntar als alumnes sobre elles. Quines saben? Què en poden dir? Algunes possibles respostes són (en cursiva les reflexions del professor): 1. És un nombre parell. Per tant, no és senar. Molt bé.

2. És un nombre compost. Per tant, no és primer. Molt bé.

3. És el nombre de fitxes que té el dòmino. Bona observació, però no és una propietat numèrica.

4. És un múltiple de 4. I també de 7, de 14 i de 28.

5. És el nombre de dies del mes de febrer. No és una propietat numèrica, però algun dia hauríem de parlar sobre aquest tema.

6. El meu germà té 28 anys. Ah, sí?

7. Jo visc al número 28 del carrer... Prou, ara ja no anem enlloc.

Hi ha un moment en què la classe deixa de produir i és necessari dirigir la pauta: Observeu bé les seves dues xifres.

1. La primera és un 2 i la segona és un 8. S’esperava una mica més que aquesta observació tan òbvia.

2. 8 = 2 · 2 · 2 = 23 . Bona! Algun dia també hauríem d’estudiar aquest tipus de nombres. És força difícil que algú vegi que 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Tanmateix, un cop explicada aquesta propietat, es pot proposar si entre el 2 i el 10 són capaços de trobar-ne un altre:

N

Suma dels divisors

N

Suma dels divisors

1

1

6

1+2+3=6

2

1

7

1

3

1

8

1+2+4=7

4

1+2=3

9

1+3=4

5

1

10

1+2+5=8

44 noubiaix 39

A partir de la taula, es pot veure que 6 = 1 + 2 + 3 i... què més?

1. Si N és un nombre primer, la suma dels seus divisors propis sempre dóna 1. Correcte!

Evident perquè N només té l’1 i el propi N com a divisors.

2. Si la suma no dóna igual (el cas del 6), aleshores sempre dóna menor. Conjectura 1: la suma dels divisors propis d’un nombre sempre és igual o menor al nombre.

3. Hi ha més nombres que no tenen la propietat que busquem que no pas els que la tenen: només hem trobat el 6 entre els deu primers! Conjectura 2: hi ha pocs nombres perfectes.

Per poder investigar una mica més en aquestes dues conjectures, és interessant calcular la suma dels divisors propis entre l’11 i el 20:

N

Suma dels divisors

N

Suma dels divisors

11

1

16

1 + 2 + 4 + 8 = 15

12

1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16

17

1

13

1

18

1 + 2 + 3 + 6 + 9 = 21

14

1 + 2 + 7 = 10

19

1

15

1+3+5=9

20

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22

Desmuntada la conjectura 1, és el moment de definir el concepte de nombre perfecte i també el de nombre deficient i el de nombre abundant. A més a més, per començar a preparar el tractament de la conjectura 2, va bé avisar que, entre els primers deu mil nombres, només el 6, el 28, el 496 i el 8128 són perfectes. Comprovem-ho! L’alumnat els factoritza, calcula el nombre de divisors de cadascun d’ells i també els seus divisors i la seva suma: 6 = 1+2+3 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 Si, a més a més, estem treballant les operacions amb fraccions, convé saber que una de les propietats més curioses d’aquest tipus de nombres és que la suma dels inversos dels seus divisors sempre dóna 2: 1 1 1 1 6 3 2 1 12 + + + = + + + = =2 1 2 3 6 6 6 6 6 6 1 1 1 1 1 1 28 14 7 4 2 1 56 + + + + + = + + + + + = =2 1 2 4 7 14 28 28 28 28 28 28 28 28 Fixem-nos que, un cop fet el mínim comú múltiple, els numeradors obtinguts són justament tots els divisors del nombre perfecte.

desembre 2016 45

Una altra propietat interessant i que no és difícil de demostrar, malgrat que implica un cert grau d’abstracció i domini de les propietats de les potències, és el fet que tot nombre perfecte parell acaba en 6 o en 8. Com N = 2n−1 (2n − 1) amb n i 2n − 1 primers, n ha de ser senar i, per tant, n = 4k + 1 o bé n = 4k + 3. Si n = 4k + 1, aleshores: N = 24k (24k+1 − 1) = 16k (2 · 16k − 1) És evident que 16k sempre acabarà en 6 ja que 6 · 6 = 36. Per tant, 2 · 16k acabarà en 2 i 2 · 16k − 1 acabarà en 1, i el producte 16k (2 · 16k − 1) acabarà en 6. De la mateixa manera, si n = 4k + 1, aleshores: N = 24k+2 (24k+3 − 1) = 4 · 16k (8 · 16k − 1) En aquest cas, 16k acaba en 6, 4 · 16k acaba en 4, 8 · 16k acaba en 8 i 8 · 16k − 1 acaba en 7.

Per tant, 4 · 16k (8 · 16k − 1) acabarà en 8.

Finalment, una tercera propietat interessant és l’expressió que tenen els nombres perfectes en base 2. És difícil de poder implementar-la a classe perquè les bases de numeració no estan explícitament contemplades en el currículum obligatori de l’ESO (Decret 143/2007), però com que els canvis de base impliquen divisions, sempre pot usar-se com un estímul més a l’aula. Així, observem l’expressió dels quatre primers nombres perfectes expressats en base 2:

n

N = 2n−1 (2n − 1) en base 10

N = 2n−1 (2n − 1) en base 2

Nombre de xifres

Nombre d’uns

Nombre de zeros

2

6

110

3

2

1

3

28

11100

5

3

2

5

496

111110000

9

5

4

7

8.128

1111111000000

13

7

6

Fixem-nos que l’expressió en base 2 de cadascun dels quatre nombres té un total de 2n − 1 xifres, de les quals, n són 1 i n − 1 són 0. Per tant, no és difícil pronosticar que el cinquè nombre perfecte, corresponent a n = 13, tindrà 25 xifres, encapçalades per 13 uns seguits de 12 zeros. La demostració d’aquesta propietat és evident a partir de l’expressió euclidiana N = 2n−1 (2n − 1) = 22n−1 − 2n−1 .

Una curiositat final. Si sumem les xifres d’un nombre perfecte N > 6, i tornem a sumar les del resultat obtingut i així reiteradament fins a arribar a tenir una única xifra decimal, el resultat és: 28

2 + 8 = 10

1+0=1

496

4 + 9 + 6 = 19

1 + 9 = 10

1+0=1

8128

8 + 1 + 2 + 8 = 19

1 + 9 = 10

1+0=1

33550336

3 + 3 + 5 + 5 + 0 + 3 + 3 + 6 = 28

2 + 8 = 10

1+0=1

Sempre 1!

46 noubiaix 39

Una extensió del concepte de nombres perfectes són els nombres multiperfectes N, definits per la igualtat σ∗ (N) = kN per a un cert k (si k = 1 estem un cop més davant dels nombres perfectes). Però, què passa si k = 2 o k = 3? La recerca d’aquest tipus de nombres és força complicada perquè, per exemple, actualment només es coneixen sis nombres multiperfectes per a k = 2 i no se sap encara si són els únics: 120, 672, 523776, 459818240, 1476304896 i 51001180160. Per poder fer una aproximació al problema i seguir treballant amb la funció σ∗ , podem tornar a demanar a l’alumnat la confecció d’una taula amb el càlcul de la suma dels divisors propis dels nombres naturals compostos (ja que σ∗ (p) = 1 si p és primer) i la corresponent k obtinguda: N

σ∗ (N)

k

N

σ∗ (N)

k

N

σ∗ (N)

k

4

3

3 4

20

22

11 10

33

15

5 11

6

6

1

21

11

11 21

34

20

10 17

8

7

7 8

22

14

7 11

35

13

13 35

9

4

4 9

24

36

3 2

36

55

55 36

10

8

4 5

25

6

6 25

38

22

11 19

12

16

4 3

26

16

8 13

39

17

17 39

14

10

5 7

27

13

13 27

40

50

5 4

15

9

3 5

28

28

1

42

54

9 7

16

15

15 16

30

42

7 5

44

40

10 11

18

21

7 6

32

31

31 32

45

33

11 15

A la vista dels primers resultats, ja es fa evident la dificultat de trobar nombres multiperfectes. A més a més, si considerem la definició de nombre multiperfecte en funció de σ (N) = (k + 1) N = k N en lloc de σ∗ (N), la cerca de les k equival al càlcul de la funció Σ (N) que definia els nombres amistosos, els quals, com hem vist, són difícils de trobar. Posem un exemple més. La parella formada pels nombres 4320 i 4680 és amistosa: Σ (4.320) =

σ (4320) 15120 7 5 = = = k ⇒ k = 4320 4320 2 2

Σ (4.680) =

σ (4680) 16380 7 5 = = = k ⇒ k = 4680 4680 2 2

De la mida de la taula calculada, només tenim les parelles formades pel 12 i el 234 (k = 43 ), el 24 i el 91963648 (k = 32 ), el 30 i el 140 (k = 75 ) i el 40 i el 224 (k = 54 ). De fet, el 30 pertany a un grup amistós de cinc nombres format pel 30, el 140, el 2480, el 6200 i el 40640.

Així doncs, veiem com els nombres perfectes poden ser una font de problemes, debats, aportacions, propietats, curiositats, demostracions... amb què esdevenen un recurs molt útil a l’aula de matemàtiques.

desembre 2016 47

Igual que al començament s’ha definit la funció σ, ara també es pot definir la funció τ (n) =

d

d |n

i, aleshores, considerar els nombres N tals que τ (N) = N2 (Sándor, 2001). Per exemple, N = 6 compleix que el producte dels seus divisors és igual a τ (6) = 1 · 2 · 3 · 6 = 62 . En aquest cas, direm que el 6 és un nombre multiplicativament perfecte, o simplement, m-perfecte.

Deixant de banda els nombres primers p > 1, ja que és evident que τ (p) = p = p2 , podem confeccionar una taula per fer-nos una primera idea de si n’hi ha molts o pocs i de si són difícils de trobar (aquesta taula podria ser demanada a l’alumnat com a primer pas per començar una cerca de nombres m-perfectes): N

Producte dels divisors

N

Producte dels divisors

4

1 · 2 · 4 = 8 = 4

16

1 · 2 · 4 · 8 · 16 = 1024 = 162,5

6

1 · 2 · 3 · 6 = 36 = 62

18

1 · 2 · 3 · 6 · 9 · 18 = 5832 = 183

8

1 · 2 · 4 · 8 = 64 = 82

20

1 · 2 · 4 · 5 · 10 · 20 = 8.000 = 203

9

1 · 3 · 9 = 27 = 91,5

21

1 · 3 · 7 · 21 = 441 = 212

10

1 · 2 · 5 · 10 = 100 = 102

22

1 · 2 · 11 · 22 = 484 = 222

12

1 · 2 · 3 · 4 · 6 · 12 = 1728 = 123

24

1 · 2 · 3 · 4 · 6 · 8 · 12 · 24 = 331776 = 244

14

1 · 2 · 7 · 14 = 196 = 142

25

1 · 5 · 25 = 125 = 251,5

15

1 · 3 · 5 · 15 = 225 = 152

26

1 · 2 · 13 · 26 = 676 = 262

2

Podem observar algun patró? Evidentment que sí. Per guiar l’alumnat, només cal que classifiquin els nombres segons el resultat obtingut: No s’obté cap potència natural

τ (N) = N2

τ (N) = N3

τ (N) = N4

4 = 22

6=1 · 2 · 3

12 = 1 · 22 · 3

24 = 1 · 23 · 3

9 = 32

8 = 1 · 23

18 = 1 · 2 · 32

25 = 52

10 = 1 · 2 · 5

20 = 1 · 22 · 5

14 = 1 · 2 · 7 15 = 1 · 3 · 5 ...

Podem treure alguna conclusió? Algunes possibles respostes dels alumnes són: 1. Els nombres quadrats no són m-perfectes. Perfecte! Haurem de treballar la raó.

2. Els nombres de la forma N = p1 · p2 amb p1 = p2 sí que ho són. Molt bé.

3. I els de la forma N = p21 · p2 amb p1 = p2 compleixen τ (N) = N3 . Això s’anima.

4. I els de la forma N = p31 · p2 amb p1 = p2 compleixen τ (N) = N4 . I què hi ha de les potències?

5. De moment, si N = p31 sí que compleix τ (N) = N2 .

48 noubiaix 39

Per veure si podem trobar una regla general, és força interessant anar proposant nombres i, segons la seva descomposició factorial en producte de primers, anar comprovant les conjectures establertes. Per exemple: 1. N = 27 = 33 ⇒ τ (27) = 1 · 3 · 9 · 27 = 729 = 272 , d’acord amb la conjectura 5.

2. N = 28 = 22 · 7 ⇒ τ (28) = 1 · 2 · 4 · 7 · 14 · 28 = 21952 = 283 , d’acord amb la conjectura 3.

3. N = 30 = 2 · 3 · 5 ⇒ τ (30) = 1 · 2 · 3 · 5 · 6 · 10 · 15 · 30 = 81000 = 304 .

Aquest resultat no el teníem controlat. Provem-ne un altre de semblant: 1. N = 70 = 2 · 5 · 7 ⇒ τ (30) = 1 · 2 · 5 · 7 · 10 · 14 · 35 · 70 = 704 . Per tant, podem conjecturar que els nombres de la forma N = p1 · p2 · p3 compleixen τ (N) = N4 .

2. N = 32 = 25 ⇒ τ (32) = 1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 = 21952 = 323 . Ens surt una nova conjectura.

Un cop més, veiem la font de problemes i de raonaments que ens aporta aquest tipus de nombres. A partir d’aquí, no és difícil poder generalitzar algun dels resultats conjecturats amb llenguatge algebraic. Per exemple: Proposició: Si N > 1 és de la forma N = p1 · p2 amb p1 = p2 , aleshores τ (N) = N2 .

Demostració: Si N = p1 · p2 , aleshores els seus únics divisors són 1, p1 , p2 i p1 · p2 , i el seu producte és 1 · p1 · p2 · (p1 · p2 ) = p21 · p22 = (p1 · p2 )2 = N2 .

Per seguir amb les definicions curioses, si N és un nombre m-perfecte (τ (N) = N2 ) i també compleix τ (τ (N)) = N2 , aleshores s’anomena m-superperfecte, i si un nombre N compleix τ (N) = Nk per a un cert k, aleshores s’anomena m-multiperfecte. (Sándor, 2001). Amb aquestes noves definicions es pot demostrar que: 1. El 6 és l’únic nombre perfecte que és també m-perfecte.

2. El 28 és l’únic nombre perfecte que és també m-multiperfecte per a k = 3.

3. No hi ha cap nombre perfecte que sigui també m-multiperfecte per a k = 4.

4. El 496 és l’únic nombre perfecte que és també m-multiperfecte per a k = 5.

Finalment, una pregunta oberta: hi ha algun nombre m-superperfecte? Probablement, una primera aproximació numèrica al problema de seguida determinarà la seva dificultat, i evidenciarà també la necessitat de fer ús del llenguatge algebraic i d’una demostració general per a resoldre’l. Donant per fet que un nombre m-perfecte és de la forma N = p1 · p2 amb p1 = p2 o bé N = p31 , aleshores: Proposició: No existeixen nombres m-superperfectes.

Demostració: Si N = p1 · p2 amb p1 = p2 , aleshores τ (N) = (p1 · p2 )2 i, per tant, els seus divisors són 1, p1 , p21 , p2 , p1 p2 , p21 p2 , p22 , p1 p22 i p21 p22 , el producte dels quals és τ (τ (N)) = p91 · p92 = N9 .

De manera similar es fa en el cas N = p31 .

desembre 2016 49

Futures investigacions i aplicacions Un cop encetat aquest tema, s’ha de dir que hi ha molts més tipus de nombres susceptibles de ser usats a l’aula en diversos contextos i que ens poden servir igualment per a motivar l’alumnat i jugar-hi. Per exemple, els coneguts com a nombres de Harshad (del sànscrit harsha i da, que, traduït, vol dir quelcom semblant a ‘productor de goig’) o de Niven són els nombres divisibles per la suma de les seves xifres (Kaprekar, 1955, i Kennedy, Goodman i Best, 1980).

Per exemple, qualsevol nombre d’una xifra és divisible per ell mateix i, doncs, és un nombre de Harshad. Què passa amb els nombres de dues xifres? Un ràpid cop d’ull a tots els nombres 10 ≤ N ≤ 19 ens permet constatar que el 10, el 12 i el 18 són nombres de Harshad, i si ampliem la mostra fins a N ≤ 99, és fàcil comprovar que només hi ha 32 nombres menors que 100 amb aquesta propietat.

Aquest tipus de nombres poden ser una bona excusa per a repassar els criteris de divisibilitat o, fins i tot, mostrar propietats que haurien pogut passar desapercebudes d’una altra manera.

Per exemple, la determinació d’aquests primers nombres de Harshad es pot fer a partir d’anar considerant quines combinacions de dues xifres sumen el nombre pel qual hem de dividir: Nombre no divisible per la suma d de les seves xifres

d

Nombre de Harshad

1

10

2

20

3

12, 21, 30

4

40

13, 22, 31

5

50

14, 23, 32, 41

6

24, 42, 60

15, 33, 51

7

70

16, 25, 34, 43, 52, 61

8

80

17, 26, 35, 44, 53, 62, 71

9

18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90

11

10

19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91

11

29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92

12

48, 84

39, 57, 66, 75, 93

13

49, 58, 67, 76, 85, 94

14

59, 68, 77, 86, 95

15

69, 78, 87, 96

16

79, 88, 97

17

89, 98

Una propietat que podem veure ràpidament és per què s’ensenya el criteri de divisibilitat d’un nombre com el 9, ja que veiem clarament que tots els resultats obtinguts a la taula de multiplicar del 9 són múltiples d’aquest nombre.

50 noubiaix 39

A més a més, es poden intentar buscar sèries de nombres de Harshad consecutius i es pot apuntar que és demostrable que no hi ha cap d’aquestes sèries que contingui més de 20 nombres (Grundman, 1994).

Veiem, doncs, que en les propietats aritmètiques dels nombres tenim una gran font de curiositats, propietats i demostracions que poden convertir les nostres classes en moments tan divertits com interessants.

Referències Álvarez, M. D., Hernández, J. i altres (2011). Matemàtiques 1 ESO. Barcelona: Santillana.

Anderson, C. W., Hickerson, D. (1977). Friendly Integers. American Mathematical Monthly, 84, 65-66.

Ausubel, D. P., Novak, J. D., Hanesian, H. (1983). Psicología educativa: un punto de vista cognitivo.

Mèxic: Trillas.

Brentjes, S. (1987). Die ersten sieben volkommenen Zahlen und drei Arten befreudeter Zahlen in einem Werk zur elementaren Zahlentheorie von Ismāc ı̄l b. Ibrāhı̄m b. Fallūs.

NTM-Schriftenreihe für Geschichte der Naturwissenschaften, Technik und Medizin, 24, 1, 21-30.

Burgos, S., Domínguez, M., Rojas, F. J., Planas, N., Vilella, X. (2006). La participación en el aula de matemáticas. Dins J. M. Goñi (coord.), Matemáticas e interculturalidad (p. 49-62). Barcelona: Graó.

Cohen, H. (1970). On Amicable and Sociable Numbers. Mathematics of Computation, 24, 423-429.

Decret 142/2007 DOGC 4915. Currículum de l’Educació Primària - Àrea de matemàtiques.

Decret 143/2007 DOGC 4915. Currículum d’Educació Secundària Obligatòria - Àrea de matemàtiques.

Dickson, L. E. (1913). Amicable Number Triplets. American Mathematical Monthly, 20, 84-92.

Dickson, L. E. (1971). History of the Theory of Numbers. Vol. 1. Nova York: Chelsea Publishers Co. Dorce, C. (2013a). El Joc del 1089 en l’ensenyament dels nombres decimals i la introducció del llenguatge algebraic. NouBiaix, 33 (octubre 2013), 22-35.

Dorce, C. (2013b). Història de la matemàtica. Des de Mesopotàmia fins al Renaixement. Barcelona: Publicacions i Edicions de la Universitat de Barcelona.

Euler, L. (1747). De numeris amicabilibus. Dins Nova acta eruditorum, 1747, 267-269.

També dins Opera Omnia: sèrie 1, vol. 2, 59-61. És el document E100 de l’Euler Archive (http://eulerarchive.maa.org).

desembre 2016 51

Gómez Chacón, I. M. (1997). Un instrumento para la autorregulación de las emociones en Matemáticas. Boletín IEPS, 71 (desembre), 5-7.

Grundman, H. G. (1994). Sequences of Consecutive n-Niven Numbers. Fibonacci Quarterly, 32, 174-175.

Guy, R. K. (1994). Unsolved problems in Number Theory. Nova York: Springer-Verlag.

Hickerson, D. (2002). Re: friendly/solitary numbers [was: typos] seqfan@ext. jussieu.fr mailing list. 19 setembre 2002.

Kaprekar, D. R. (1955). Multidigital Numbers. Scripta Mathematica, 21, 27.

Kennedy, R., Goodman, R., Best, C. (1980). Mathematical Discovery and Niven Numbers.

MATYC J., 14, 21-25.

Makowski, A. (1960). On Some Equations involving functions φ (n) and σ(n). American Mathematical Monthly, 67 (1960), 668-670; correction en 68 (1961), 650.

Mason, T. E. (1921). On amicable numbers and their generalizations. American Mathematical Monthly, 28, 5, 195-200.

Poulet, P. (1918). Question 4865. L’interméd. des Math., 25, 100-101.

Rashed, R. (1994). The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra.

Dordrecht. Boston, Londres: Kluwer Academic Publishers.

Sándor, J. (2001). On Multiplicatively Perfect Numbers. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics. Vol. 2, 1, article 3.

Sigler, L. E. (2002). Fibonacci’s Liber Abaci. A Translation into Modern English of Leonardo Pisano’s Book of Calculation. Nova York, Berlín, Heidelberg, Hong Kong, Londres, Milà, París, Tòquio: Springer.

52 noubiaix 39

Jugar a crear solucions Albert Mallart Solaz Institut d’Educació Secundària (IES) Príncep de Girona Departament de Didàctica de la Matemàtica i les Ciències Experimentals Facultat d’Educació, Universitat de Barcelona alberto.mallart@gmail.com

Resum L’ensenyament de les matemàtiques hauria d’ajudar les persones a ser competents matemàticament en la seva vida quotidiana. No n’hi ha prou d’ensenyar un llenguatge, unes definicions i uns processos. Són necessàries les reflexions profundes que aconsegueixen passar de la comprensió a l’assimilació.

Una via per a aconseguir aquest propòsit és mitjançant la resolució de problemes.

Existeix una millor manera d’aprendre que jugant? Aquest article presenta un treball amb les recreacions matemàtiques com una estratègia engrescadora seguint una metodologia determinada. S’ha dut a terme amb tres grups d’alumnes de quart d’ESO d’un institut públic de Barcelona. Es constata una gran acceptació d’aquesta pràctica i una millora en l’atenció i l’anotació inicial sobre el conjunt de dades dels enunciats (resolucions escrites d’exàmens posteriors). Encara que les qualificacions dels alumnes en la resolució de problemes no millori, es constata que existeix un cert esperit crític davant la solució trobada i un interès per entendre-la (resolucions escrites amb comprovacions).

Abstract Teaching mathematics should help us to be mathematically competent in our daily lives.

It is not just a matter of teaching a language, definitions and processes. Deep thinking is required to go from comprehension to assimilation. One way to achieve this is through problem-solving. Is there a better way to learn than playing? This paper presents a motivating methodology of working with recreational mathematics. The experience has been carried out with 16-year-old students at a public high school in Barcelona. It is clear that this working method is well received by students. An improvement is observed with respect to paying attention and writing down the data of statements (written answers to later exams confirm this). Although the grades in problem-solving do not improve, results reflect students developing a critical eye when coming up with solutions and they show an interest in understanding the answers provided (written answers including verifications are collected).

Introducció La resolució de problemes es pot considerar un eix transversal del currículum de matemàtiques en l’educació secundària obligatòria. Ha de constituir un nucli fonamental de l’aprenentatge

desembre 2016 53

matemàtic. Les matemàtiques han d’aportar una manera d’afrontar les situacions conflictives del món que ens envolta. És a dir, cal saber aplicar les matemàtiques a situacions quotidianes i això es reflecteix en una inclusió en el disseny de currículums. L’informe de l’any 2003 d’OCDE/PISA és redactat sobre el Programa Internacional d’Avaluació d’Estudiants emparat per la Unesco i l’Organització per a la Cooperació i el Desenvolupament Econòmic. Aquest informe reflecteix la definició de competència matemàtica següent: La competència matemàtica és la capacitat d’un individu d’identificar i entendre el rol que juguen les matemàtiques en el món, emetre judicis ben fonamentats i utilitzar les matemàtiques en formes que li permetin satisfer les seves necessitats com a ciutadà constructiu, compromès i reflexiu (www.pisa.oecd.org).

L’esquema matemàtic de l’OCDE/PISA situa la definició de competència o «alfabetisme» matemàtic. La capacitat de llegir, escoltar, escriure i parlar un llenguatge són les eines més importants de la societat humana. Les matemàtiques es poden considerar un llenguatge; s’han de conèixer els elements fonamentals del discurs matemàtic (termes, símbols, signes, procediments...) i saber aplicar-los a la resolució de problemes sorgits de diverses situacions reals.

Els intents pràctics de proposar la resolució de problemes com a eix de l’ensenyament de les matemàtiques responen a tres interpretacions: 1) Ensenyar per resoldre (s’aprèn fent moltes resolucions i s’aprenen tècniques, mètodes i eines heurístiques); 2) Ensenyar sobre la resolució de problemes; 3) Ensenyar mitjançant la resolució de problemes (amb problemes generadors de teoria o bé extraient el màxim profit de cada problema).

Quant a la segona interpretació, ensenyar sobre la resolució de problemes, no n’hi ha prou de resoldre, cal una reflexió. El currículum preveu la reflexió sobre les tècniques que permeten resoldre problemes. Els problemes s’escullen per a aplicar una determinada eina heurística o, en paraules de Kilpatrick (1985), els procediments de representació i transformació dels problemes. Carrillo (1996) considera que un heurístic és una insinuació o suggeriment general o estratègia, independent de qualsevol tòpic particular o matèria d’estudi, que ajuda el resolutor a aproximar-se a un problema i a comprendre’l, i a endreçar eficientment els seus recursos per tal de resoldre’l.

Aprenent a resoldre problemes L’aprenentatge de les matemàtiques es pot focalitzar a transmetre als alumnes aquelles idees, estratègies, processos i actituds que s’han mostrat útils i eficaces per resoldre problemes.

Les propostes per a aquest tipus d’aprenentatge barregen diferents elements que Kilpatrick (1985) sintetitzà en cinc punts: a) Osmosi: se’ls pot submergir en un ambient de resolució de problemes adequat perquè practiquin; b) Memorització: es consideren models basats en l’enfocament conductista, però no es pot utilitzar amb problemes en què no s’apliquen els procediments ensenyats; c) Imitació: és una forma d’ensenyar a analitzar les conductes i els comportaments de models competents en resolució de problemes, però la resolució és molt personal i es barregen preferències, capacitats i limitacions amb el model; d) Cooperació: no només han de ser capaços d’observar i analitzar conductes per imitar-les, sinó també d’observar i analitzar les dels seus companys per cooperar-hi, i e) Reflexió: s’aprèn practicant puntualment i global sobre tot allò que es fa.

54 noubiaix 39

D’una altra banda, Abrantes i Serrazina (1996) subratllen la importància de la motivació com a eix fonamental per tirar endavant un bon aprenentatge de les matemàtiques quan parlen de la resolució de problemes com a ambient i com a naturalesa d’activitats d’aprenentatge.

Busquen un clima educatiu que afavoreixi la confiança de cada alumne en les seves pròpies capacitats d’aprenentatge, en el seu propi criteri, en què no tenen por d’equivocar-se, canviar raonadament d’opinió o dir que no ho saben; un ambient en què s’ho passin bé amb els reptes i amb la pròpia activitat intel·lectual, en què es valorin els processos i els progressos de cada alumne i no només les seves respostes, en què s’examini més d’un punt de vista per abordar o solucionar un problema, en què es formulin preguntes pertinents entorn de les situacions i es tingui cura de les generalitzacions i en què es revisin les pròpies creences.

Aquest ambient d’aprenentatge exigeix una determinada formació del professorat, així com certes actituds i creences.

Descripció d’algunes experiències didàctiques A continuació, es detallen quatre activitats pràctiques dutes a terme a l’IES Príncep de Girona amb tres grups d’alumnes de 4t d’ESO durant el primer i el segon trimestre del curs 2015-2016.

S’ha aconseguit un ambient de resolució de problemes adient a l’aula en el sentit expressat per Abrantes i Serrazina (1996) i en què els cinc punts destacats per Kilpatrick (1985) són tractats.

Totes les activitats escollides que pertanyen a un quadern d’activitats sempre en construcció (Mallart, 2008) s’han extret de diverses fonts: revistes de lògica mensuals, llibres d’enigmes i jocs matemàtics com per exemple l’obra de Segarra (2001) i part de saviesa popular aportada de vegades pels mateixos alumnes. Seguint les activitats es detallen l’objectiu, unes possibles orientacions didàctiques a tenir presents i la temporització. La seva pràctica ocupa un dia a la setmana durant tot el curs.

Prova de golf En Walter és convidat a seure en el club esportiu de Dinamarca i a assistir a l’Open de golf. Ha de relacionar correctament les dades de tots els participants a partir de les pistes facilitades.

1. L’esportista de 25 anys es classificà abans que Mr. Pinter.

2. El veneçolà va donar dos cops més que el jugador de 23 anys.

3. L’esportista de 28 anys i el que donà 139 cops no estan conformes amb el terreny.

4. Els dos primers classificats han donat 134 i 136 cops, respectivament.

5. L’esportista espanyol vesteix de blanc.

6. El de 26 anys viu amb la seva mare.

7. El francès donà dos cops més que Mr. Pinter.

8. W. Rood fou campió mundial fa molt de temps.

desembre 2016 55

9. A. Lowin quedà pitjor classificat que l’esportista veneçolà.

10. Aquell qui donà 137 cops i l’esportista de 25 anys utilitzen sabates sud-africanes.

11. D. Vara quedà pitjor classificat que l’esportista suís.

Resposta: Esportista

Edat

Nacionalitat

Marca

W. Rood

23

suís

134

D. Vara

25

veneçolà

136

M. Pinter

28

espanyol

137

A. Lowin

26

francès

139

•

Objectiu: El desenvolupament d’estratègies per estar atents i ser precisos en recollir tota la informació donada.

•

Orientacions didàctiques: L’alumne llegirà individualment l’enunciat per tal que pugui reorganitzar com desitgi tota la informació. El grup serà guiat pel professor corregint la graella amb les dades adients. La correcció mai serà imposada, sinó raonada pels alumnes i supervisada sempre pel professor. El professor insistirà en la importància de dedicar temps a capturar totes les dades donades d’una manera ordenada i precisa.

•

Temporització: Vint minuts.

Tallar una peça de roba Cal tallar una peça de roba per a fer-ne banderoles. Si es talla en peces de 3 m de llarg, en sobren 2 m; si es talla en peces de 4 m, en sobren 3 m, i si les peces són de 5 m, en sobren 4 m. Si se sap que la peça té menys de 75 m, pots dir la seva longitud?

Resposta: El nombre és 59.

•

Objectiu: El desenvolupament de la intuïció i la perspicàcia a partir d’una captura de dades exhaustiva. També es busca la superació de certs bloquejos mentals i falses hipòtesis i paradoxes.

•

Orientacions didàctiques: L’alumne escoltarà molt atent les dades que es llegiran. Restarà en silenci absolut, pensatiu. El professor, sense donar pistes, temptejarà mitjançant preguntes si la majoria l’ha resolt amb èxit. En cas contrari, el professor tornarà a llegir, però emfasitzant les dades. A continuació s’aplicarà un brainstorming guiant l’aparició d’idees cap a la resposta. En finalitzar, el professor comprovarà que tothom ho hagi entès preguntant sobre altres possibles respostes.

•

Temporització: Depèn dels estudiants. El que importa és que pensin i arribin a conclusions encara que sigui guiats. Les indicacions poden suggerir d’una manera més o menys rà-

56 noubiaix 39

pida la solució segons les diferents realitats de cada alumne. Com que es tracta d’un treball en grup, en la fase final la temporització anirà lligada al grup. Una orientació temporal seria cinc minuts per a pensar individualment i deu per a pensar en grup.

El problema de l’herència dels camells Un pare deixà en herència 17 camells als seus 3 fills. Al fill gran li’n deixà la meitat; al mitjà, la tercera part, i al petit, la novena part. No sabien com fer el repartiment. Un viatger que anava en camell es va oferir a ajudar-los a canvi d’una gran suma de diners. Els fills van accedir. El viatger els presentà la seva solució, que consistí a donar-los el seu camell. Ara hi havia un total de 18 camells i podien fer les reparticions: 9 camells per al fill gran, 6 per al mitjà i 2 per al petit. De fet, tots hi sortien guanyant, i la suma feia 17. Aleshores el viatger va demanar que se li tornés el seu camell i que se li pagués la suma de diners. Tots van quedar bocabadats. Què havia passat? Màgia?

Resposta: El nombre 17 no és divisible ni per 2, ni per 3, ni per 9 i cap fill està disposat a sacrificar cap camell. Abans que vingués el viatger, els corresponien 8 + 1/2, 5 + 2/3 i 1 + 8/9 camells.

Després els en corresponen 9, 6 i 2 i, per tant, hi surten guanyant (però no hi guanyen igual: el fill gran en guanya 1/2, el mitjà 1/3 i el petit 1/9). La repartició inicial no dóna 17, ja que 17/2 + 17/3 + 17/9 = 17 · 17/18; falta 1/18 dels 17 camells per repartir en herència. Justament és la suma de les quantitats en què surten guanyant els germans: 1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18.

•

Objectiu: El desenvolupament d’estratègies de tempteig i de revisió de resultats finals i parcials. Caldrà desenvolupar l’enginy tot vencent esforços infructuosos. Caldrà una revisió de les pròpies conclusions i dels propis càlculs.

•

Orientacions didàctiques: L’alumne intentarà resoldre-ho rellegint l’enunciat i fent els càlculs pertinents. Posteriorment, els alumnes comentaran la resposta si ho han descobert per ells mateixos. Altrament, el professor els guiarà mitjançant preguntes adients.

Es tracta de conduir el grup de manera que entre tots s’arribi a la solució amb una comprensió absoluta; l’explicació pot ser exposada pels alumnes mateixos (sempre supervisada pel professor).

•

Temporització: Cinc minuts per pensar individualment i el temps necessari, en principi deu minuts, per solucionar-ho en grup.

Reflexions finals El professor juga un paper rellevant en el procés d’aprenentatge de l’alumne, però a aquest no se li pot impedir el plaer de descobrir (Guzmán, 1992). Dubinsky (1996) confeccionà una llista a partir de les idees de Piaget en què proposava canviar el paper del mestre de disseminador d’informació a guia assistent. Tal com observen Chamoso i Rawson (2001), els estudiants aprenen quan divergeixen, pregunten, corregeixen, comproven, expliquen i generalitzen.

Com a resultat d’aquesta pràctica, s’obtenen diversos aprenentatges dels alumnes: adquisició o millora de l’hàbit de fer una llista exhaustiva i completa de totes les dades abans de co-

desembre 2016 57

mençar a resoldre el problema (ho proven les resolucions escrites dels problemes d’exàmens posteriors) i un augment en la comprensió del que es pregunta induït per una lectura més atenta. També existeix una adquisició o millora de la revisió de la solució (entesa com Puig, 1996), una capacitat per tenir en compte diverses solucions d’un mateix problema i una voluntat d’entendre el sentit de la solució. Però cal dir que, tot i que ara la majoria escrigui les comprovacions pertinents com queda reflectit en les proves escrites, no significa que sàpiguen resoldre els problemes.

Referències Abrantes, P., Serrazina, L. (1996). Matemática para todos (cap. 2). Cómo se aprende. Dins P. Abrantes i L. Serrazina, Lurdes, A matemática na Educaçao Básica. Lisboa: Ministério da Educação. Departamento de Educação Básica.

Carrillo, J. (1996). Creencias sobre la resolución de problemas. Modos de resolver problemas y concepciones sobre la matemática y su enseñanza de profesores de matemáticas de alumnos de más de 14 años. Algunas aportaciones a la metodología de la investigación y estudio de posibles relaciones. Tesi doctoral. Universitat de Sevilla.

Chamoso, J.M., Rawson, W. (2001). En la búsqueda de lo importante en el aula de matemáticas.

Suma, 36 (febrer), 33-41.

Dubinsky, E. (1996). Aplicación de la perspectiva piagetiana a la educación matemática universitaria. Educación Matemática, 8(3), 24-41.

Guzmán, M. de (1992). Tendències innovadores en educació matemàtica. Biaix, 7 (setembre), 7-33.

Kilpatrick, J. (1985). A Retrospective Account of the Past 25 Years of Research on Teaching Mathematical Problem Solving. Dins E.A. Silver (ed.), Teaching and Learning Mathematical Problem Solving: Multiple Research Perspectives (p. 1-15). Hillsdale: Lawrence Erlbaum.

Mallart, A. (2008). Estratègies de millora per a la resolució de problemes amb alumnes de segon d’ESO: ús de la matemàtica recreativa a les fases d’abordatge i de revisió. Tesi doctoral. Universitat Autònoma Barcelona.

Niss, M. (1999). Competencies and Subject Description. Uddanneise, 9, 21-29.

Puig, L. (1996). Elementos de resolución de problemas. Granada: Comares.

Segarra, L. (2001). Enigmes i jocs matemàtics. Barcelona: Proa.

Webgrafia Traducció realitzada per EDUTEKA de la secció corresponent a «Competencias en Matemáticas» del document ThePISA2003AssessmentFramework publicat per OCDE/PISA. http://www. pisa.oecd.org.

58 noubiaix 39

Examen de competència logicomatemàtica en la nova prova d’accés als graus de mestre 1

Núria Gorgorió, Lluís Albarracín, Aitor Villarreal2 Departament de Didàctica de la Matemàtica Universitat Autònoma de Barcelona nuria.gorgorio@uab.cat, lluis.abarracin@uab.cat, aitor.villarreal@uab.cat

Resum Per primera vegada, el 17 de juny de 2017, els nois i noies que vulguin estudiar per ser mestres en alguna de les universitats catalanes on s’imparteixen aquests graus hauran de superar una prova d’aptitud personal (PAP). En aquest escrit presentem un dels dos exàmens que constituiran la PAP, el de competència logicomatemàtica, i el camí recorregut fins a arribar al plantejament de l’examen tal com es proposarà als estudiants.

Abstract For the first time, on 17 June 2017, those who want to study to become a teacher in any of the Catalan universities offering this degree must pass a Personal Aptitude Test (PAP). In this paper we present one of the two exams that make up the PAP, the one assessing logical-mathematical competence, and the path followed to the exam as it will be given to students.

Context El 6 de novembre de 2013 es va establir un conveni de col·laboració entre la Generalitat de Catalunya, a través de la Secretaria d’Universitats i Recerca del Departament d’Economia i Coneixement, i les universitats catalanes que imparteixen graus de mestre per al desenvolupament del Programa de Millora i Innovació en la Formació de Mestres (MIF) (vegeu http://mif.cat).

1. Aquest escrit és una ampliació de la comunicació presentada al C2EM el juliol de 2016 amb el títol «Què recorden del que han après de matemàtiques els estudiants que accedeixen als graus de mestre».

2. Els resultats que es presenten són part del projecte «Estudi per a l’avaluació diagnòstica de les competències matemàtiques dels estudiants del grau en Educació Primària» (AGAUR ref. 2014 ARMIF-00041) i del projecte «Caracterización del conocimiento disciplinar en matemáticas para el Grado en Educación primaria: matemáticas para maestros» (DGU ref. EDU2013-4683-R).

desembre 2016 59

En el context del programa MIF, el Govern de la Generalitat i les universitats catalanes que imparteixen graus de mestre acorden establir una prova d’aptitud personal (PAP), obligatòria i comuna, per a accedir als graus en Educació Infantil i en Educació Primària. La Junta del Consell Interuniversitari de Catalunya (CIC) va aprovar, amb data del 30 de gener de 2014, la incorporació de la PAP i posteriorment les facultats varen aprovar incloure a les memòries dels graus la superació de la PAP com a requisit d’ingrés.

Inicialment, i d’una manera provisional, la superació de la PAP estava vinculada als exercicis de llengua catalana i llengua castellana de la fase general de les PAU. El 15 de desembre de 2014, la junta del CIC arriba a un acord, promogut des del Programa MIF, per a avançar cap a una PAP específica. L’acord estableix que, a partir del curs 2017-2018 inclòs, per a accedir al grau en Educació Infantil, al grau en Educació Primària i al doble grau en Educació Infantil i Primària de les universitats públiques i privades del sistema universitari català, els candidats hauran de superar una PAP que es proposarà des del programa MIF i s’articularà a través de l’Oficina d’Accés a la Universitat (OAU).

La nova PAP consistirà en dos exàmens: 1) Competència comunicativa i raonament crític, d’una banda (CCiRC), i 2) Competència logicomatemàtica (CLOM). El Consell de Coordinació del MIF (CC-MIF), reunit en sessió ordinària el 2 d’octubre de 2015, acorda encarregar el desenvolupament i la validació d’una proposta de PAP a una comissió −Comissió PAP− formada per tres persones, Mariona Casas (UVic-UCC), Jaume Ametller (UdG) i Núria Gorgorió (UAB), essent la primera la responsable dels aspectes de competència comunicativa, el segon dels de raonament crític i la tercera de la part de competència logicomatemàtica i de la coordinació del conjunt de la prova. La proposta de prova de competència logicomatemàtica es treballa en el marc del desenvolupament del projecte 2014ARMIF-00041 liderat per la primera autora d’aquest escrit.

Mentre que des de la Comissió PAP es treballa en la creació i el refinament de la prova, el 21 de desembre de 2015 apareix publicada al DOGC la Resolució ECO/2898/2015, del 30 de novembre, per la qual es dóna publicitat a l’acord de la Comissió d’Accés i Afers Estudiantils (CAAE) del CIC sobre la PAP. El 19 de febrer de 2016, la Comissió PAP presenta al CC-MIF, reunit en sessió extraordinària, la proposta d’exàmens que han de constituir la PAP i el procés de construcció i validació seguit. El CC-MIF aprova l’estructura de la PAP i els exàmens que la conformen, que es traspassen a la CAAE del CIC. El 9 de juny de 2016, la junta del CIC aprova els models d’examen que constituiran la PAP i la normativa que l’ha de regular. Està previst que a principi d’octubre de 2016 es faci un procés de pilotatge de la PAP i que la primera convocatòria de la PAP tingui lloc el 17 de juny de 2017, tal com marca la normativa reguladora aprovada per la junta del CIC. El Consell de Coordinació del programa MIF (CC-MIF) va establir que la PAP té únicament una funció discriminatòria, essent la seva qualificació APTE/NO APTE. Des d’aquest punt de vista, l’examen de matemàtiques de la PAP es planteja amb una triple finalitat. En primer lloc, es vol assegurar que tots els estudiants que inicien els graus de mestre tinguin un coneixement matemàtic mínim, discriminant possibles limitacions funcionals (Villarreal i altres, 2016).

D’altra banda, es pretén enviar un missatge als estudiants de batxillerat i cicles formatius, indicant-los que s’han de preparar si volen accedir a un grau de mestre. Alhora, s’intenta fomentar que els estudiants treballin amb antelació a la prova per poder superar possibles limitacions transitòries (Villarreal i altres, 2016). Finalment, a través d’un augment progressiu

60 noubiaix 39

del nivell d’exigència de la prova, s’espera que el nivell de coneixements dels alumnes en el moment de l’accés augmenti amb el temps.

Coneixement matemàtic fonamental (CMF) i competència matemàtica A Castro, Mengual, Prat, Albarracín i Gorgorió (2014) presentàvem una primera definició de CMF com el coneixement matemàtic necessari per a seguir amb aprofitament les matèries de matemàtiques i de didàctica de les matemàtiques dels graus de mestre, tenint en compte els requeriments de la pràctica professional i les competències matemàtiques pròpies de l’educació primària. El CMF és el coneixement disciplinari que els professors prenem com a punt de partida en les facultats, està basat en un coneixement aprofundit de les matemàtiques elementals i constitueix els fonaments que sostenen l’aprenentatge matemàtic i permeten que els diferents elements de la seva didàctica formin una estructura robusta.

Creiem que la prova de competència matemàtica de la PAP per a l’accés als graus de mestre hauria d’estar estretament relacionada amb el concepte de CMF. Entenem per competència matemàtica la capacitat d’utilitzar coneixements matemàtics d’una manera transversal en situacions i contextos matemàtics i no matemàtics. La competència matemàtica va més enllà del coneixement de procediments: es manifesta en l’ús de coneixement conceptual en diferents situacions pràctiques. Crooks i Alibali (2014) organitzen el coneixement conceptual en coneixement dels principis generals i coneixement subjacent als procediments. El primer es refereix al coneixement de regles, definicions i connexions i de l’estructura del domini.

El segon implica saber per què certs procediments funcionen per a determinats problemes, quin és el propòsit de cada pas d’un procediment, i conèixer les connexions entre aquests passos i els seus fonaments conceptuals.

La competència matemàtica d’una persona recolza en el domini d’elements de caràcter conceptual i requereix la capacitat d’usar coneixement de caràcter formal i explicitable, juntament amb coneixement tàcit. El primer pot ser avaluat de diferents maneres −qüestionaris escrits, observació, entrevistes−, mentre que el segon, el que entra en joc en les situacions de la pràctica, resulta difícilment avaluable en una prova escrita. Per això sembla clar que una PAP únicament pot avaluar la part de la competència matemàtica corresponent al coneixement de caràcter formal explicitable. Haurem de restringir-nos, doncs, a l’avaluació del coneixement conceptual a través d’exercicis i problemes referits al coneixement de principis generals i al subjacent als procediments.

A més, en l’elaboració de la PAP, ens enfrontem a la necessitat d’ajustar la definició de competència matemàtica per fer-la «operativa i raonable», fins i tot, si cal, restringint el significat atribuït al terme coneixement en el concepte CMF. Ha de ser «operativa» atès que ha de referir-se a alguna cosa susceptible de ser avaluada en una prova escrita de caràcter massiu. Ha de ser «raonable» en tant que pugui justificar-se davant els futurs candidats, aclarint que es limita a aquells aspectes del coneixement matemàtic a què han tingut accés durant l’escolarització obligatòria prèvia.

Per tot això, en el context de la PAP, considerarem que: l’examinand és matemàticament competent quan, en resoldre exercicis, problemes i situacions d’aplicació en contextos diversos, demostri que ha integrat i és capaç d’utilitzar

desembre 2016 61

coneixements i habilitats relatius a diferents àmbits de contingut matemàtic, sent capaç d’analitzar els resultats obtinguts des del punt de vista de la seva raonabilitat.

Continguts de matemàtiques a la PAP Els resultats de la recerca desenvolupada en el marc del projecte 2014ARMIF-00041 generen una proposta que s’eleva al Consell del MIF en relació amb els continguts que haurien de definir la competència logicomatemàtica en l’àmbit de la PAP. Una vegada aprovada la proposta pel Consell del MIF, es trasllada a la Comissió d’Accés del Consell Interuniversitari de Catalunya i posteriorment a la seva Junta, que els aprova.

El grup d’experts amb qui hem treballat per concretar el CMF ha determinat que es concreta a través de diversos coneixements i habilitats en relació amb els àmbits següents: •

Numeració i càlcul. Cal demostrar la comprensió i la capacitat de representar i d’utilitzar els nombres naturals, enters i racionals en situacions diverses; la comprensió del significat i les propietats de les operacions i de les relacions entre les unes i les altres; el coneixement del significat de divisor, i el domini de les habilitats necessàries per a resoldre situacions de factorització i divisibilitat de nombres naturals.

•

Relacions i canvi. Cal demostrar la capacitat d’identificar i generalitzar patrons no necessàriament numèrics; d’identificar i interpretar relacions de dependència entre variables; d’interpretar i construir gràfics que expressen relacions de canvi; també cal demostrar la comprensió integrada dels significats de proporcionalitat numèrica i raó i la capacitat d’usar aquests conceptes per a resoldre situacions diverses.

•

Espai i forma. Cal demostrar el coneixement de les característiques i les propietats de figures geomètriques de dues i tres dimensions i la capacitat d’aplicar-les en situacions diverses; la comprensió i la capacitat de representar i utilitzar reflexions, girs i translacions; la comprensió integrada dels significats de proporcionalitat geomètrica, semblança i escala, i la capacitat d’usar estratègies de visualització per a resoldre problemes que siguin o no geomètrics.

•

Mesura. Cal demostrar el coneixement del significat de magnitud mesurable (angle, longitud, àrea, volum, capacitat, massa i temps) i del procés de mesura; el domini de les habilitats necessàries per a mesurar-les en contextos quotidians; el coneixement de les unitats de mesura decimals i sexagesimals corresponents i dels mecanismes per a resoldre situacions de canvi d’unitats, i el domini dels coneixements i les habilitats necessàries per a resoldre situacions diverses relacionades amb les idees de perímetre, àrea i volum.

•

Estadística i atzar. Cal demostrar la capacitat d’interpretar, analitzar, treure conclusions i fer prediccions a partir de dades estadístiques; d’interpretar i construir gràfics estadístics; d’interpretar i calcular mesures de centralització, i comprendre el significat d’atzar.

Aquesta proposta dels àmbits de concreció del CMF fou recollida en l’annex 1, al punt 7, de l’Acord sobre les característiques generals de la prova d’aptitud personal per accedir als graus en educació infantil i primària, amb totes les seves denominacions, a partir del curs 2017-2018, de la Junta del Consell Interuniversitari de Catalunya, celebrada el 5 de juny de 2015.

62 noubiaix 39

L’examen de competència logicomatemàtica de la PAP Fruit de l’anàlisi de les dades recollides durant el procés de construcció i refinament de la prova, proposem al Consell del MIF un examen de 25 preguntes, en el qual s’ha de construir la resposta sense calculadora, distribuïdes en els àmbits de contingut referits a l’apartat anterior.

Els examinands disposaran de 90 minuts per fer la prova. La proposta d’examen, després de ser aprovada pel Consell del MIF, s’aprova el dia 26 de maig en el context de la Comissió d’Accés i Afers d’Estudiants del Consell Interuniversitari de Catalunya. Esperem que, després de l’estudi dels resultats del pilotatge, el MIF faci públic un model d’examen i les seves correccions a través del web de l’Oficina d’Accés a la Universitat.

La competència matemàtica requereix el coneixement de regles, definicions i connexions i de l’estructura del domini, i també saber per què certs procediments funcionen per a certs problemes, quin és el propòsit de cada pas d’un procediment, i fer les connexions entre aquests procediments i els seus fonaments conceptuals.

Per aquest motiu, l’examen conté, essencialment, dos tipus de preguntes. D’una banda, hi ha diverses preguntes de tipus aritmètic −ordenació de nombres decimals o càlculs aritmètics en diferents conjunts numèrics, entre d’altres− i, de l’altra, inclou problemes contextualitzats en els quals cal recórrer a operacions aritmètiques per resoldre’ls. Vam decidir no permetre l’ús de calculadora, atès que ens interessa estudiar el domini dels principis subjacents al càlcul bàsic com a part del CMF. Durant el procés de refinament de la prova, no permetre l’ús de la calculadora ens ha portat a detectar errors o llacunes conceptuals importants que d’altra manera no hauríem pogut observar. Si la finalitat de la PAP és discriminar limitacions funcionals, sembla evident que, encara que sigui un únic alumne qui cometi aquest tipus d’errors, és essencial poder identificar-lo. Les preguntes en què s’han d’utilitzar algoritmes avaluen el coneixement conceptual subjacent als procediments. Si l’alumne ha oblidat les regles que va memoritzar, només podrà resoldre l’exercici correctament si és capaç de reconstruir el procediment o d’utilitzar vies alternatives dotant la pregunta de significat.

Els nostres estudiants, durant l’escolarització, s’han enfrontat essencialment a coneixement acabat, desconeixent-ne el procés de construcció, memoritzant. En el moment d’enfrontar-se a la PAP hauran de reconstruir-lo, amb la qual cosa, fins i tot davant d’exercicis de caràcter aparentment procedimental, hauran de posar en joc coneixement conceptual. Això no obstant, amb el temps, quan hi hagi exemples accessibles de les proves, hi ha el risc que els estudiants es preparin per superar-les, tornant a la memorització. Llavors haurem de revisar el tipus de prova perquè segueixi estant d’acord amb els objectius proposats inicialment.

A més de les preguntes en què l’estudiant pot recórrer a un algoritme, a l’examen hi ha preguntes no rutinàries, és a dir, preguntes que no es poden abordar d’una manera automàtica i la solució de les quals requereix un profund coneixement dels conceptes i procediments involucrats. Per a aquestes preguntes, no hi ha cap algoritme senzill a disposició de l’estudiant per arribar a la resposta i quan n’hi ha un cal interpretar críticament el resultat en el context del problema.

desembre 2016 63

Hi ha algunes preguntes que podrien abordar-se pel «compte de la vella», però fer-ho d’aquesta manera seria pesat i requeriria molt temps. Com que l’examen té un temps limitat, l’alumne ha de generar un procediment matemàticament eficient per a resoldre-les. Les preguntes no rutinàries de l’examen tenen per finalitat avaluar la comprensió, per part dels estudiants, dels algoritmes i dels conceptes bàsics i la seva capacitat per establir connexions per passar de situacions concretes a models generals.

Per tant, tot i que les preguntes fan referència essencialment a idees que s’ensenyen a l’educació obligatòria, tal com estan plantejades exigeixen a l’estudiant que raoni i utilitzi les estructures matemàtiques més simples i que domini els coneixements involucrats en l’exercici que està resolent.

Algunes reflexions En molts països −Anglaterra, Austràlia, els Estats Units, Finlàndia, Nova Zelanda i Suïssa en són només alguns−, les proves competencials a l’inici dels estudis de mestre són un requisit nacional o bé una condició per a accedir a les institucions més prestigioses. Els responsables de la creació d’una proposta de PAP entenem que les competències i els coneixements inicials dels estudiants són un element clau perquè puguin seguir amb èxit les matèries que constituiran la seva formació. Una base competencial sòlida de partida és un dels elements que poden contribuir a la millora de la formació inicial dels mestres.

La PAP ha estat construïda tenint en compte que les vies d’accés als graus de mestre són múltiples −les més freqüents, el batxillerat en qualsevol de les seves modalitats i diversos cicles formatius de grau superior. Per aquest motiu, hem pres com a punt de partida les competències i els coneixements relatius a l’ensenyament obligatori, assumint que així la prova tracta de manera igual els candidats que provenen de les diferents vies.

La PAP ha estat definida com a instrument per a assegurar que tots els estudiants que accedeixen als graus de mestre tenen els coneixements i les competències fonamentals necessaris per a seguir amb aprofitament les matèries i les pràctiques del grau. Des d’aquest punt de vista, compartim amb el CC-MIF la idea que la PAP és un element important, encara que no l’únic, per a promoure la millora de la formació inicial dels mestres.

En aquest sentit, els primers resultats obtinguts, tant en el procés de refinament dels exàmens de la PAP com en el marc dels projectes 2014ARMIF 00041 i EDU2013-4683-R, fan evident que les competències inicials dels estudiants són encara lluny de les desitjables, confirmant així els resultats d’alguns estudis nacionals i internacionals. Malgrat tot, entenem que cal ampliar i consolidar els arguments sobre els quals se sosté la necessitat d’una PAP específica per als graus de mestre.

Tot i que, per plantejament, la PAP i la PAU són proves amb propòsits clarament diferents −la PAP avalua competències i la PAU, rendiments−, com que la PAP és un requisit afegit al que existia fins ara, cal justificar davant la societat la necessitat d’aquesta prova específica per a accedir als graus de mestre. Caldrà, a més, aportar evidències empíriques per a confirmar els supòsits d’especificitat de la PAP com a instrument diferent de les PAU que avalua les competències fonamentals per a iniciar la formació dels mestres.

64 noubiaix 39

Cal tenir present també que la implantació de la nova PAP es produirà en un escenari ple d’incerteses per als estudiants. Possiblement la més important de totes és la relacionada amb la substitució de les PAU per altres requisits, de caràcter més o menys universal, per a accedir a la universitat. Malgrat tot, la PAP, per tal com ha estat definida, seguirà tenint cabuda en qualsevol dels sistemes que puguin establir-se.

La implantació d’una PAP constitueix un canvi significatiu de la manera en què tradicionalment s’ha accedit a la formació inicial de mestres. A Catalunya són ben pocs els estudis que tenen com a requisit la superació d’una PAP (CAFE/INEF, Traducció i Interpretació en anglès, ESCAC, ESMUC, Pilot d’Aviació Comercial-URV). A més, en el cas dels graus de mestre, la PAP és comuna per a tot el sistema, tant per als centres públics com per als privats. Per això, encara que la seva necessitat sembla clara, les autoritats responsables de la política universitària poden veure-hi un instrument que afecti el perfil i el nombre d’estudiants que accedeixen als graus de mestre. Haurem d’argumentar que és possible compatibilitzar els requisits de la formació de mestres, la realitat actual dels alumnes i la política universitària.

Referències Castro, Á., Mengual, E., Prat, M., Albarracín, L., Gorgorió, N. (2014). Conocimiento matemático fundamental para el grado de Educación Primaria: inicio de una línea de investigación. Dins Investigación en educación matemática XVIII (p. 227-236). Salamanca: SEIEM. Crooks, N., Alibali, M.W. (2014). Defining and Measuring Conceptual Knowledge in Mathematics. Developmental Review, 34(4), 344-377.

Villarreal, A. Albarracín, L., Deulofeu, J., Pañellas, M., Prat, M., Sellas, N., Gorgorió, N. (2016) Què recorden del que han après de matemàtiques els estudiants que accedeixen als graus de mestre. Dins Actes del Congrés Català d’Educació Matemàtica (C2EM).

desembre 2016 65

Reflexions i propostes didàctiques per a un bon ensenyament i aprenentatge de la proporcionalitat geomètrica Núria Cardet Escola Joan Maragall, Lleida mcardet@xtec.cat

Assumpta Estrada, María José Gros, Maria Ricart Universitat de Lleida aestrada@matematica.udl.cat, mj.gros@matematica.udl.cat, maria.ricart@matematica.udl.cat

Resum Moltes vegades, el treball de la proporcionalitat a les escoles i als instituts queda reduït a l’estudi de la proporcionalitat aritmètica i a l’aplicació del teorema de Tales. Pensem que la proporcionalitat geomètrica hauria d’adquirir un paper més important a les nostres aules i treballar-se més significativament amb activitats que promouen la resolució de problemes i la descoberta de l’entorn, ja que permet treballar no només continguts d’espai i forma, sinó també de càlcul i mesura. En l’estudi que es presenta s’analitzen les respostes d’un grup d’estudiants de primària i un grup de futurs mestres a un mateix problema que se’ls va formular després d’haver treballat les escales a l’escola i a l’aula universitària. Els resultats indiquen que els raonaments són similars.

Abstract The study of proportionality is often reduced to arithmetical proportionality and to Thales’ Theorem. We believe that geometrical proportionality should be one of the main goals in our classes and it should be learnt through meaningful activities, which facilitate problem-solving and research.

Furthermore, geometrical proportionality allows us to not only work on the content of Geometry, but also that of Numbers and Operations and of Measurement. In this article we analyze the answers of a group of primary school students and of pre-service primary school teachers to the same problem, which was formulated after they had been learning about scales. Results show that their arguments are similar.

66 noubiaix 39

Introducció Els resultats de la Prova d’Avaluació de Quart d’ESO 2015 realitzada a Catalunya van evidenciar que els alumnes, en acabar aquesta etapa educativa, tenen carències en coneixements sobre geometria. Aquest fet ens va provocar una primera reflexió que va desembocar a preguntarnos sobre els continguts curriculars de la proporcionalitat geomètrica, que estudia les proporcions entre magnituds d’objectes geomètrics (Quintero, Molavoque i Guacaneme, 2012). Molts d’aquests estudiants es decantaran per estudis de grau d’Educació Primària i, en un futur, hauran de dur a terme processos d’ensenyament i aprenentatge en què hauran de treballar per desenvolupar el raonament proporcional dels seus alumnes.

La proporcionalitat, que no només és un contingut propi del cicle superior d’educació primària, sinó també de l’ESO, s’ha de treballar des de cursos inferiors. De fet, ja es fa (una multiplicació també ho és). Segons Fiol i Fortuny (1990), la proporcionalitat connecta i relaciona conceptes i problemes que es treballen des de primària fins a batxillerat: raó i proporció, fracció i nombre racional, canvi d’unitats, escales, mapes i maquetes, problemes d’aplicació de la regla de tres, de repartiments proporcionals, percentatges, gràfiques de funcions lineals, semblança de figures... Però el nom de proporcionalitat costa de sortir a les aules i la majoria de vegades els nostres alumnes només l’associen a la regla de tres, a un algorisme! Per què? Com es treballa la proporcionalitat? Buforn i Fernández (2014) conclouen que molts estudiants de grau d’Educació Primària, futurs mestres, es troben en un nivell de raonament preproporcional. Això justificaria que encara ara se segueixi utilitzant l’algorisme de la regla de tres, ja que, encara que no ajudi al desenvolupament del raonament proporcional, els estudiants arriben a respostes correctes (Lamon, 2007). Aquest fet es relaciona amb les investigacions de Fernández i Llinares (2012), que afirmen que estudiants capaços d’identificar i utilitzar les relacions multiplicatives en problemes proporcionals també les apliquen en situacions no proporcionals.

I la proporcionalitat geomètrica en particular? Com es treballa? Es treballa? Aquesta sí que es limita a l’aplicació del teorema de Tales i poc més, tot i que té continguts propis en el bloc d’espai i forma, tant en el currículum d’educació primària com en el de secundària, que van més enllà de Tales.

Arran d’aquestes reflexions es van triar quatre tasques sobre escales perquè les resolguessin tant estudiants de 6è de primària com estudiants de 2n del doble grau d’Educació Infantil i Primària amb l’objectiu de desenvolupar el seu raonament proporcional i identificar semblances i diferències en els raonaments i en les estratègies utilitzades. En aquest article s’analitzen i es comparen les respostes donades pels dos grups d’estudiants a la tasca final.

A més a més, s’exposa la metodologia de treball de la proporcionalitat geomètrica utilitzada pels dos grups d’estudiants abans de realitzar-la.

Com van treballar la proporcionalitat geomètrica a l’escola? I a l’aula universitària?

Pensem que les activitats que presentem a continuació són un bon model per treballar la proporcionalitat geomètrica d’una manera significativa i contextualitzada a l’escola. També cal dir que estan relacionades amb els projectes que es treballaven a l’escola dels estudiants de 6è de primària dels quals hem analitzat les respostes: «L’escola» a 5è i «El barri» a 6è.

desembre 2016 67

Totes les activitats es feren en petit grup o per parelles, tot i que el treball final, informe o comunicació, havia de ser individual. També es recollí el treball en murals i en fotografies.

La seqüència d’activitats fou: •

Dibuixar el plànol de l’escola a partir de les mesures preses amb el Google Maps (escala 1:100).

•

Mesurar distàncies de mapes llegint les escales.

•

Fer tapes de capses a escala. Construcció d’un mural per a veure-hi relacions.

•

Ampliar figures quadriculades.

•

Mesurar altures del pati aplicant el teorema de Tales.

La primera i la segona activitats es feren a 5è; a 6è es va tornar a treballar la segona i es portaren a terme les altres, de manera que s’havien d’anar recordant i connectant els aprenentatges anteriors.

El mestre ha d’adoptar el paper d’acompanyant i simular, en la mesura que sigui possible, que participa de la descoberta amb l’alumnat. També guiarà el treball ajudant a organitzar la informació en taules, a quantificar per facilitar les relacions numèriques que hi ha al darrere o al davant de qualsevol situació de proporcionalitat sigui o no geomètrica. Així, a poc a poc, s’anirà connectant coneixement, fent xarxa, i serà l’objectiu que entenguin en el sentit més ampli possible els conceptes i procediments que es treballen, per complexos que siguin.

Comentaris sobre les activitats

1. Dibuixem el plànol de l'escola Mesurar amb el Google Maps va resultar fàcil, com també anotar les mesures en un esquema de les formes de quadrilàters dels quatre edificis de l’escola. La necessitat de mostrar els valors en figures, com més semblants millor a la realitat, va fer necessari introduir el concepte d’escala. Els metres reals serien centímetres al paper i així podríem fer-los semblants. Com que les figures a escala mesuraven prop de 90 cm, vam fer un mural on encabir i situar els edificis tenint en compte l’orientació i posant els noms als carrers que les limiten. Escala 1:100!

Després, individualment, dibuixaren algun edifici a escala i l’afegiren a la carpeta del projecte.

Alguns alumnes en volgueren representar a escala 1:200 i descobriren que, com més gran és el nombre, la representació és més petita.

La majoria de l’alumnat féu bé aquesta activitat.

2. Mesurem distàncies amb mapes. Llegim escales Presenta la dificultat de passar de centímetres a metres i a quilòmetres. També cal ensenyar a mesurar amb el regle (posant-lo bé) la distància entre dos punts i treballar amb decimals fins als dècims.

68 noubiaix 39

Com que es feia en petit grup i amb el suport de la calculadora, tots van fer bé els càlculs, van comparar distàncies i se’n van adonar si algun valor no era correcte.

3. Fem tapes de capses a escala. Construïm un mural Aquesta activitat fou matemàtica i plàstica.

En una sessió plàstica es van repartir capses de cartró que s’havien de reproduir a escala 1:2 per grups. Primer van desmuntar-les i després van mesurar-les i van dividir per 2 la longitud dels costats. En una cartolina van construir la capsa nova. Com que l’objectiu era més plàstic que matemàtic, es féu la reflexió de quantes en cabrien sobre la tapa i quantes en cabrien a dins.

En la sessió més matemàtica es va partir de la tapa de la mateixa capsa i tots els grups, en folis de colors, van fer les reduccions proposades: 1:2, 1:3 i 1:4.

Com que a la classe som pocs alumnes, cada grup va poder fer més d’una reducció. No mostraven dificultat i era motivador.

Paral·lelament es va preparar el mural que havia d’ajudar a entendre’n el perquè.

Es va calcar la tapa i es va escriure l’escala 1:1 amb el diàleg previ que va comportar. Després es va calcar la tapa tres vegades més per poder enganxar les diferents reduccions. Se’ls va demanar que fessin les prediccions de quantes n’hi cabrien abans de dibuixar i, com era d’esperar, totes foren incorrectes. Certament, mentre enganxaven les reduccions, com es mostra a la figura 1, van anar corregint les prediccions i encertant-les.

S’adonaren que en la reducció 1:2 n’hi cabien 4, en la 1:3 n’hi cabien 9 i en la 1:4 n’hi cabien 16.

Sorgiren preguntes com: Pot ser a escala «al revés»? 2:1 Què passaria? Hi cabria al dibuix de la tapa?

Per acabar aquesta activitat es va preguntar què passaria amb l’escala 1:10. També es va demanar que busquessin a la classe una representació d’aquesta escala i la van trobar: era el metre quadrat amb els dm2 a dins!

Figura 1. Mural de «Fem tapes de capses a l’escola».

desembre 2016 69

4. Ampliem figures amb quadrícules Aquesta activitat fou individual, encara que el treball final de cerca de regularitats es va fer en gran grup.

Volia respondre a la pregunta: Hi ha escales «sense l’1 al davant»?

Es va donar un full quadriculat a cada alumne i se li demanà que en un racó del full dibuixés una figura d’un nombre petit de quadrats (de 10 a 20). Després s’havia d’ampliar 2:1, 3:1, 4:1 fins a 5:1 si els cabia al paper.

Comptaven els costats dels quadrats del perímetre i els quadrats de la superfície i ho anotaven en una taula. Alguns alumnes van tenir dificultats en comptar el perímetre més que en comptar els quadrats de la superfície.

La taula de valors és la clau per adonar-se de les regularitats, de les relacions que hi ha entre els nombres i alhora facilita fer conjectures i generalitzar si es pot.

5. Mesurem altures del pati Per finalitzar el tema de la proporcionalitat geomètrica calia parlar de Tales. Qui era? Per què fou conegut? Què podem aprendre’n?

Es va proposar de mesurar les ombres. Com que les ombres canviaven més ràpidament del que creien, calia algun referent: el metre de la pissarra.

Al pati vam posar el regle vertical, es va mesurar l’ombra i a terra, en guix, vam repassar l’ombra i vam escriure les fraccions que representaven les raons. Amb la calculadora es van fer els càlculs i així es va obtenir l’altura.

Per grups van triar altres elements del pati i en van mesurar indirectament l’altura amb el teorema.

Els futurs mestres van treballar a partir de l’espiral del coneixement de Wells (2004) i en un context d’avaluació formadora perquè «l’avaluació, entesa com a autoavaluació i coavaluació, constitueix forçosament el motor d’aprenentatge de tot el procés de construcció del coneixement» (Sanmartí, 2007, p. 23). En la primera fase de l’espiral, corresponent a compartir les experiències prèvies dels alumnes sobre el tema, els estudiants de grau van realitzar un pretest i un mapa conceptual sobre la proporcionalitat. A continuació, es van posar en comú les respostes dels estudiants i es va aprofitar per a repassar conceptes de proporcionalitat. A més a més, van fer un exercici d’autoregulació del pretest. Seguidament, en la segona fase de l’espiral, la de la «nova informació», van rebre instrucció per part de la professora sobre proporcionalitat geomètrica i sobre les escales en particular, i també van resoldre en grup quatre tasques sobre escales i semblança de polígons. Aquesta fase va acabar amb un procés de coavaluació intergrupal. La fase 3 de Wells va consistir en una posada en comú que va servir per a consolidar els nous aprenentatges; abans de dur-la a terme, els estudiants havien completat una rúbrica d’autoavaluació grupal. L’experiència va acabar amb un posttest i un nou mapa conceptual.

70 noubiaix 39

6. La tasca final Per acabar l’experiència d’ensenyament i aprenentatge de la proporcionalitat, als nens i nenes de l’escola se’ls va plantejar el problema següent: Quina de les escales següents utilitzaries per a dibuixar en un full DIN A4 una casa de 7 m d’altura i 5 m d’amplada? Raona la resposta.

1:24

1:100

1:10000

L’última tasca dels futurs mestres va consistir no només a resoldre aquest problema, sinó també a analitzar les respostes donades pels estudiants de primària i a identificar quins continguts matemàtics hi ha implicats en el mateix problema.

Aquesta situació problema permet avaluar sobretot el nivell d’assoliment de la competència bàsica matemàtica «Donar i comprovar la solució d’un problema d’acord amb les preguntes plantejades» de la dimensió de resolució de problemes i treballar el raonament espacial, a més a més dels nombres decimals.

Anàlisi i discussió Les respostes es van classificar en les categories següents segons el tipus de raonament: •

No es justifica l’escala elegida.

•

D’índole qualitativa: relacionen la mida del dibuix amb el número de l’escala que representa els centímetres de la realitat a què equival 1 cm del dibuix.

•

Naturalesa dels nombres i idea d’exactitud: en aquesta categoria hi ha les respostes dels estudiants que utilitzarien l’escala 1:100 perquè les mides de la representació de la casa a escala serien 5 cm × 7 cm, nombres naturals. En canvi, si utilitzen l’escala 1:24, han d’arrodonir el resultat (20,8 cm × 29,2 cm).

•

Justifiquen la resposta tenint en compte si la representació de la casa els cabrà al full.

Taula 1. Raonaments dels estudiants.

Estudiants 6è primària

Estudiants de 2n grau

Categoria

Freqüència absoluta (N = 20)

Freqüència (G = 9)

No justifica

5

0

Índole qualitativa

8

0

Naturalesa dels nombres i idea d’exactitud

2

3

Dimensions del DIN A4

2

5

Altres

3

1

desembre 2016 71

A la taula 1 es pot veure que hi ha cinc nens i nenes de primària que no justifiquen la resposta: o bé han encerclat l’escala que utilitzarien o bé no n’han encerclat cap, però no argumenten la resposta en cap cas. Això no obstant, un dels estudiants de primària que no ha triat cap escala, sota la pregunta ha fet un dibuix d’una casa tal com es mostra a la figura 2.

7 cm

5 cm Figura 2

Concretament, el rectangle gran té 7 cm d’altura i 5 cm de base, cosa que fa pensar que el nen ha intentat reproduir la casa a escala 1:100. Els costats del triangle mesuren, aproximadament, també 5 cm. Per tant, aquest nen no ha estat capaç d’elegir una escala i raonar la resposta, però sembla que entén el concepte d’escala i sap representar a escala.

Un 33% dels estudiants de primària presenta la justificació incorrecta següent d’índole qualitativa (figura 3) per raonar que utilitzarien l’escala 1:10000: afirmen que, com més gran és l’escala, més petit és el dibuix. Aquest raonament, segurament, prové del descobriment que feren en l’activitat de dibuixar el plànol de l’escola.

Figura 3. Categoria d’índole qualitativa, justificació incorrecta.

Això no obstant, utilitzant el mateix raonament d’índole qualitativa, un estudiant descarta l’escala 1:10000 i dóna una justificació parcialment correcta (figura 4):

Figura 4. Categoria d’índole qualitativa, justificació parcialment correcta.

72 noubiaix 39

Un altre tipus de raonament que s’observa tant en les evidències dels estudiants de primària (figura 5) com dels futurs mestres (figura 6) està lligat a la idea que als estudiants els agrada treballar amb nombres naturals o bé que les divisions siguin exactes. Alguns d’ells han triat l’escala 1:100 perquè d’aquesta manera cada centímetre del paper representa exactament 100 cm de la realitat; en canvi, si trien l’escala 1:24, han de treballar amb decimals.

Figura 5. Categoria naturalesa dels nombres i idea d’exactitud. Estudiant de 6è de primària.

Figura 6. Categoria naturalesa dels nombres i idea d’exactitud. Estudiants de grau.

En la figura 7 es pot veure que un dels grups d’estudiants del doble grau dóna un argument tenint en compte la naturalesa dels nombres, però afegeix que també utilitzaria l’escala 1:100 perquè, si utilitzés les altres dues, la representació seria molt petita o molt gran.

Figura 7. Categoria naturalesa dels nombres i idea d’exactitud. Índole qualitativa.

desembre 2016 73

Un altre tipus d’argument que donen tant per justificar l’elecció de l’escala 1:24 com de l’escala 1:100 és que «cap al full», però en les respostes no inclouen cap càlcul (figura 8).

Figura 8. Categoria dimensions DIN A4. Justificació incorrecta. Estudiants de grau.

A la resposta de la figura 8 es pot observar que la justificació que donen és incorrecta i és conseqüència o bé d’haver mesurat erròniament la llargada i l’amplada del DIN A4 o bé d’haver aproximat incorrectament les mides de la casa dibuixada a escala 1:24. A més a més, confonen «unitats» amb «escala».

En la resposta següent (figura 9), l’estudiant de primària no només fa un raonament totalment erroni, sinó que també mostra un error conceptual respecte al perímetre: argumenta que l’escala es troba fent el doble del perímetre de la figura real i, a més a més, per trobar el perímetre només suma dos dels costats de la figura. Aquesta suma dóna 12 i justament és la meitat de 24 (1:24). Amb aquesta informació no podem afirmar que l’estudiant sempre trobaria l’escala segons el raonament que ha donat, ja que també ha pogut buscar simplement una relació entre els nombres de la pregunta. Tot i això, pensem que aquest raonament té relació amb el fet d’haver mesurat el perímetre en l’activitat d’ampliar figures.

Figura 9. Categoria altres. Errors conceptuals.

Cal destacar que en cap de les respostes dels alumnes de primària es pot veure com han calculat les dimensions de les representacions a escala. Pel tipus de raonaments que han fet es dedueix que: •

No han fet cap mena de càlcul.

•

Si han fet alguna mena de càlcul: − Respecte a l’escala 1:100, mentalment.

74 noubiaix 39

− Respecte a l’escala 1:24, han vist que 100 no és divisible per 24 i/o han utilitzat la calculadora. − Respecte a l’escala 1:10.000, mentalment o no n’han fet cap.

Alguns dels futurs mestres han utilitzat els factors de conversió i la definició d’escala per raonar les seves respostes, però també s’observa que cap dels grups ha calculat quines serien les dimensions de la casa segons l’escala 1:10.000.

Pel que fa al nivell d’assoliment de competència dels estudiants de primària, es pot dividir en dos grups diferenciats: per un costat, s’identifica un conjunt nombrós d’alumnes que han elegit una escala incorrecta o bé que l’escala és correcta, però no fan un raonament correcte.

La majoria dels arguments que fan són d’índole qualitativa. El nivell de competència de la resta de nens i nenes és més elevat, ja que donen una solució correcta i una explicació parcialment correcta, tot i que no acompanyen les justificacions amb càlculs. El tipus de raonament que fan seria el de la naturalesa dels nombres i idea d’exactitud o bé el de les dimensions del DIN A4. D’aquest grup també es pot destacar que, en la majoria de les respostes, es dedueix que alguns dels estudiants han pensat en la possibilitat que hi hagi més d’una resposta correcta, però trien la que els sembla més raonable. Això no obstant, s’observa que els estudiants d’aquest grup entenen el concepte d’escala i saben com calcular les dimensions d’una reproducció feta a escala.

Respecte als estudiants de grau que han triat una possible solució correcta, també es detecten bàsicament dos nivells d’assoliment de la competència: el que correspon a aquells que només han justificat una sola opció i el que correspon als que, en les seves respostes, argumenten sobre «l’escala més adequada», és a dir, s’intueix que tenen en compte més d’una solució correcta, encara que no s’observa explícitament cap discussió respecte a les altres escales. Tot i això, cal destacar la justificació d’un dels grups dels futurs mestres, que dóna una resposta no vàlida perquè són els únics que calculen correctament les dimensions de la representació segons les tres escales, però conclouen erròniament a causa de no arrodonir bé els decimals i no ser acurats en el llenguatge matemàtic.

En les autoregulacions dels errors dels futurs mestres, ells mateixos consideren que no haver pensat en la possibilitat de més d’una resposta és conseqüència de la seva falta de comprensió lectora.

En definitiva, la majoria dels estudiants de l’escola i de la universitat han sabut interpretar el concepte d’escala, però no han estat capaços de comprovar si totes les opcions eren correctes matemàticament ni d’argumentar si eren o no raonables.

Conclusions La similitud en els raonaments dels dos tipus d’estudiantat, que en el cas de la universitat són estudiants de diferents indrets del país, ens fa reafirmar en la convicció que almenys la proporcionalitat geomètrica s’ha treballat poc a les escoles i als instituts i, en conseqüència, que molts dels futurs mestres no tenen desenvolupat ni un bon raonament espacial ni proporcional, essent aquest últim essencial per arribar a desenvolupar el raonament formal (Inhelder i Piaget, 1996). Per tant, pensem que des de l’escola s’han de fer activitats, d’una

desembre 2016 75

banda, més significatives i transversals i, de l’altra, menys algorítmiques pel que fa al treball de la proporcionalitat. Encara que el nivell competencial dels escolars amb qui hem dut a terme l’experiència no és gaire alt, pensem que això es deu al fet que es troben a l’inici del desenvolupament del raonament proporcional i que la proposta didàctica que hem presentat és un bon exemple a seguir per d’altres mestres a les escoles i instituts. S’ha de tenir present que el raonament proporcional es comença a treballar a primària, però que és un contingut clau del currículum de secundària.

Com a reflexió final, pensem que l’aplicació de l’espiral de Wells en un context d’avaluació formadora ha enriquit el procés d’ensenyament i aprenentatge, però que els estudiants per a mestre no tenen un nivell desitjable quant a resolució de problemes. Això ens fa replantejar l’experiència fins al punt d’introduir un canvi en les activitats corresponents a cada fase de l’espiral: pensem que una proposta de millora seria començar la fase de la nova formació per la pregunta que els vam plantejar, en lloc de començar per la instrucció. Això no obstant, creiem fermament que l’avaluació formadora ha ajudat a regular sobretot els errors dels mestres en formació.

Pel que fa a la metodologia seguida a l’escola, hem observat que facilita l’atenció a la diversitat, perquè, malgrat que no arribin a un cert nivell de comprensió del concepte, tots poden participar de les activitats i se’n senten part activa. Presentar les activitats a partir d’una bona pregunta, de simular que han de descobrir quelcom per explicar als altres (pot ser als companys de l’altre curs, a la pàgina web o elaborant un petit informe), és una bona manera de motivar i d’aprendre.

Segurament, la proporcionalitat geomètrica es treballa a l’escola, però pot ser que no se’n sigui prou conscient. El fet de reflexionar i de prendre consciència ens ha d’ajudar a millorar si ja es treballa o a introduir el tema quan s’ha d’encetar.

Referències Buforn, À., Fernández, C. (2014). Conocimiento de matemáticas especializado de los estudiantes para maestro de primaria en relación al razonamiento proporcional. Bolema, 28(48), 21-41.

Fernández, C., Llinares, S. (2012). Características del desarrollo del razonamiento proporcional en la educación primaria y secundaria. Enseñanza de las Ciencias, 30(1), 129-142.

Fiol, M.L., Fortuny, J.M. (1990). Proporcionalidad directa. La forma y el número. Madrid: Síntesis.

Inhelder, B., Piaget, J. (1996). De la lógica del niño a la lógica del adolescente: ensayo sobre la construcción de las estructuras operatorias formales. Barcelona: Paidós.

Lamon, S.J. (2007). Rational numbers and proportional reasoning: toward a theorical framework. Dins F. K. Lester (ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (p. 629-667). Charlotte: Information Age Publishing.

76 noubiaix 39

Quintero, A.L., Molavoque, M.J., Guacaneme, E. A. (2012). Diferencia entre semejanza y proporcionalidad geométrica desde una perspectiva histórica. Revista de Ciencias, 16, 75-85.

Sanmartí, N. (2007). 10 ideas clave. Evaluar para aprender. Barcelona: Graó.

Wells, G. (2004). El papel de la actividad en el desarrollo y la educación. Infancia y Aprendizaje, 27(2), 165-187.

desembre 2016 77

Parlar de matemàtiques per aprendre’n Teresa Serra Santasusana Mestra i psicopedagoga Fundadora de l’Escola Vila Olímpica tserra@xtec.cat

Resum La finalitat d’aquest article és valorar la conversa de matemàtiques a la classe per contribuir a la millora de l’aprenentatge de les matemàtiques dels nens i nenes d’educació primària. En aquest sentit, d’una banda, s’exposa el marc teòric des de la perspectiva socioconstructivista que la justifica, i d’altra banda, s’analitza una activitat matemàtica de classe en la qual la conversa juga un paper central.

Es presenta la Pauta d’observació de la conversa de matemàtiques a l’aula, que esdevé un instrument útil per a l’anàlisi del desenvolupament del procés d’aprenentatge de les matemàtiques dels infants i de la gestió de l’aula per part del mestre.

Abstract The objective of this article is to highlight the use of math conversation in class to contribute to the improvement of children’s learning of mathematics in primary education. On the one hand, it explains the theoretical framework from a social constructivist perspective that justifies it; and, on the other, it analyzes a particular mathematical activity in which conversation plays a central role.

It presents several guidelines for observing math conversation in the classroom, which becomes a useful tool for analyzing the development of the mathematical learning process of children and the management of the class by the teacher.

Introducció En aquest article es pretén posar en valor la conversa de matemàtiques a la classe i a l’escola; tal com indica el títol, parlar de matemàtiques per aprendre’n, i fer-ho des del començament, a l’educació infantil i primària.

El punt de partida és l’estudi realitzat dins del marc de la llicència d’estudis retribuïda concedida pel Departament d’Educació de la Generalitat de Catalunya (Resolució EDU/559/20099) i que alhora fou objecte del Premi Marta Mata de Pedagogia 2010.

78 noubiaix 39

Es descriu el marc teòric d’anàlisi que justifica la rellevància de la conversa de matemàtiques a primària per contribuir al desenvolupament del coneixement matemàtic, i s’aprofundeix en els criteris de gestió de la classe per fer fluir la conversa de matemàtiques.

Prenent un exemple d’activitat matemàtica a l’aula, es mostra la Pauta d’observació de la conversa de matemàtiques. Aquest instrument esdevé una aportació que ofereix criteris per tenir una mirada i una valoració contrastada i objectiva de la conversa de matemàtiques, amb la finalitat de contribuir a la millora en l’aprenentatge de les matemàtiques, sobretot centrada en la gestió de l’aula.

Per què parlar de matemàtiques a la classe?

Quina rellevància té la conversa de matemàtiques a l’educació primària? Aquest no és un aspecte sobre el qual sovint els mestres es facin preguntes quan es tracta sobre l’aprenentatge de les matemàtiques a les primeres etapes. Tanmateix esdevé important sobretot si és té en compte que a l’educació primària una de les finalitats és obrir i afermar el coneixement i l’ús del llenguatge matemàtic com una eina potentíssima de representació de la realitat, tant de fenòmens naturals com socials (Departament d’Educació de la Generalitat de Catalunya, 2007). Els nens i les nenes, en diferent grau segons les seves potencialitats, han de poder traduir situacions de vida al llenguatge matemàtic, alhora que han de poder farcir de realitat expressions matemàtiques.

En aquest sentit, es pot afirmar que és a l’educació primària on es genera i es fonamenta l’actitud d’obertura cap a la integració d’un nou llenguatge simbòlic i sintètic, el matemàtic, per comprendre millor el món. És sovint entorn dels deu o onze anys que massa criatures, a les nostres escoles, mostren un clar convenciment que les matemàtiques no han nascut per a elles i aleshores decideixen que no els agraden. Es fa difícil combatre aquesta actitud negativa un cop instal·lada en el fer de cadascú, per la qual cosa cal posar en marxa un tractament de les matemàtiques que no desemboqui en aquest desgrat.

La hipòtesi de treball subjacent d’aquest article és justament que l’ús de la conversa, acompanyat de l’experimentació i de les representacions pròpies del llenguatge matemàtic, pot esdevenir d’una gran ajuda i, consegüentment, pot fer de bastida en la incorporació del llenguatge simbòlic en les primeres etapes. El procés de representació, de traducció d’anada i tornada, és un camí complex que cal cuidar i acompanyar perquè tingui significat per a cada nen i nena, ja que només així el llenguatge matemàtic esdevindrà funcional i simbòlic, sempre dins de la concepció de l’aprenentatge socioconstructivista en què aprendre és el resultat de la interacció amb els altres i de la reflexió personal.

Cal, doncs, buscar evidències en l’estudi del paper que la conversa pot exercir en la construcció del coneixement i de la competència matemàtica: •

Bishop (1999) destaca el fet d’explicar com una de les de sis activitats matemàtiques que s’observen en el procés de desenvolupament del coneixement matemàtic de totes les cultures, per diferents que siguin. Explicar exposa relacions existents entre fenòmens i busca la unitat subjacent a la diversitat. Explicar s’ocupa de donar resposta al perquè. La relació explicativa cerca la similitud, la regularitat entre fets que en aparença difereixen.

desembre 2016 79

Les matemàtiques endeguen la cerca de patrons de regularitat davant de fets, situacions i processos que aparentment no tenen cap similitud i, en conseqüència, els expliquen.

•

Les converses en les quals s’exploren les idees matemàtiques des de diferents perspectives ajuden els participants a compartir el que pensen i a establir connexions. Els alumnes que s’involucren en discussions per a justificar solucions, especialment quan hi ha desacord, arriben a una millor comprensió matemàtica a mesura que intenten convèncer els seus companys dels seus punts de vista. Aquesta activitat contribueix al desenvolupament del llenguatge per expressar les idees matemàtiques i alhora a valorar la necessitat de la precisió del llenguatge (Hatano i Inagaki, 1991).

•

En oferir un espai i un temps a la classe per tal que els estudiants expressin les seves pròpies idees matemàtiques es fomenta que tant l’alumnat com la mestra argumentin.

En aquesta línia, Yackel (2002) conclou que l’èmfasi en l’argumentació col·lectiva pot esdevenir molt útil per promoure l’obertura de les discussions matemàtiques per a nous conceptes i instruments que poden emergir de la conversa, entenent per argumentació col·lectiva aquella que es dóna quan dos o més argumentacions individuals interactuen.

•

Aquestes maneres de mirar la classe de matemàtiques porten immersa la concepció de l’aula com a comunitat d’aprenentatge, on tots els nens i nenes i també la mestra aprenen en la mesura que interactuen. Sovint resulta difícil i complex per als mestres canviar el model d’ensenyament de l’àrea, desplaçant-se des d’un model directiu a un model més col·laboratiu sustentat en la creació d’una comunitat d’aprenentatge que inclogui els nens i les nenes i la mestra. En aquest últim model, la conversa hi té un lloc destacat (Mercer, 2001). Tanmateix, quan el professorat s’adona que els alumnes poden defensar les seves idees, qüestionar i clarificar les dels altres, la importància del discurs comença a guanyar terreny.

•

Hufferd-Ackles, Fuson i Sherin (2004) defineixen quatre nivells de complexitat en el desenvolupament de la conversa de matemàtiques de l’alumnat amb el mestre en la comunitat d’aprenentatge que és l’aula: − Nivell 0: Classe tradicional, directiva, l’alumnat dóna respostes breus. − Nivell 1: La mestra comença a centrar l’atenció en el pensament matemàtic de l’alumnat. La mestra juga el paper central en la comunitat d’aprenentatge de matemàtiques. − Nivell 2: La mestra modela i ajuda l’alumnat a assumir nous rols. Creix el coensenyament i el coaprenentatge entre alumnes mitjançant la conversa. − Nivell 3: La mestra actua com a comestra i coaprenent. La mestra gestiona tot el que passa a la classe. La mestra està a punt per ajudar, però d’una manera més perifèrica, menys directiva.

Aquests nivells estan íntimament vinculats a la concepció de construcció del coneixement matemàtic que té el professorat. Mentre que els primers nivells parteixen de concepcions molt centrades en la transmissió del coneixement, en què el mestre ofereix models de resolució que els alumnes copien i repliquen, els dos últims s’inscriuen dins del marc socioconstructivista, en què es fa palès que és l’alumne qui construeix, descobreix i inventa els models de resolució, conjuntament amb els altres i amb el mestre. Aquests nivells de complexitat són els referents de l’anàlisi de les converses dutes a terme en l’estudi al qual es refereix aquest article.

80 noubiaix 39

Posar l’atenció en la conversa de matemàtiques a la classe en el camí d’integració del llenguatge matemàtic dels nens i de les nenes fa emergir una determinada mirada de l’aprenentatge de les matemàtiques que se centra fonamentalment en el procés d’aprendre, sense deixar de banda l’anàlisi dels resultats. I que coincideix amb la que expressa el document de les Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic (2013), que focalitza en la resolució de problemes, el raonament i la prova, les connexions i la comunicació i representació. Analitzar el procés de desenvolupament de l’aprenentatge de les matemàtiques permet precisar en termes qualitatius els diferents nivells de competència matemàtica dels alumnes i genera consciència i voluntat de millora en el professorat.

La creació d’una actitud positiva cap a l’aprenentatge del llenguatge matemàtic; dit en d’altres paraules, la motivació per entrar en una nova manera de descriure i explicar el món de forma general i sintètica, esdevé responsabilitat única i exclusiva dels mestres de les etapes d’educació infantil i primària. Es tracta, doncs, d’una tasca molt rellevant per les conseqüències que comporta al llarg de l’aprenentatge dels infants.

Com organitzar la classe de matemàtiques per donar lloc a la conversa?

Abans que res, es fa imprescindible disposar d’una actitud oberta, d’escolta, flexible i constructiva per part del professorat per tal d’encaminar la classe de matemàtiques cap als nivells 2 i 3 que defineixen Hufferd-Ackles, Fuson i Sherin. És necessari que tots els actors confiïn en la conversa de matemàtiques a la classe per tal que flueixi i doni lloc a nous aprenentatges. Els alumnes, a mesura que se’ls vagi posant en aquesta situació, sempre que el mestre ho faci d’una manera sincera i convençuda, s’hi aniran acomodant i cada vegada desplegaran més habilitats en la comunicació i el contrast, però el mestre, que n’és el gestor, necessita, des de bon començament, tenir una actitud positiva cap a aquesta manera de fer.

Per parlar de matemàtiques, quines activitats triar?

La conversa de matemàtiques requereix temps per dur-la a terme; per tant, cal fer una tria acurada de les activitats que generin debat. D’acord amb la caracterització que fa el National Council of Teachers of Mathematics (2006), les activitats haurien de: •

centrar-se en coneixements matemàtics rellevants;

•

ser obertes;

•

fomentar l’experimentació;

•

fomentar un pensament complex i no només algorísmic que comporti contrast;

•

requerir transferència de coneixement;

•

demanar autoregulació (presa de decisions), i

•

acollir la iniciativa dels infants.

A tall d’exemple, es mostra una de les activitats que es va analitzar en l’estudi al qual fa referència aquest article.

desembre 2016 81

És una activitat per a nens i nenes de quart d’educació primària que es presenta com un problema obert que els alumnes van solucionar en petits grups heterogenis el primer dia i, posteriorment, en una altra ocasió, cada grup va exposar a la resta de la classe les vies de solució emprades.

Quina és la despesa d’aigua per a rentar-se les mans de tota la gent de l’escola en un dia?

Quan es planifica, si s’analitza la proposta d’acord amb els continguts i els processos del currículum de matemàtiques d’educació primària, es pot veure què es relaciona: Taula 1. Planificació de l’activitat. Relació dels continguts i dels processos o dimensions.

Numeració i càlcul Mesura estadística

Processos/Continguts Resolució de problemes

Raonament i prova

Comunicació i representació

Connexió

•

Cerca de dades: recollida de dades mitjançant observacions, planificació de la resolució, predicció.

•

Selecció de la unitat i de l’instrument més adequats per a realitzar una mesura.

•

Disseny d’activitats de mesura dins d’un context significatiu.

•

Realització de multiplicacions amb nombres naturals amb algoritmes estàndard.

Interpretació de la freqüència absoluta.

•

Acostament a la idea de mitjana.

•

Comprovació de la resposta d’un problema.

•

Descripció oral i escrita del procés de mesura.

•

Descripció oral, gràfica i escrita del procés seguit per a resoldre un problema.

•

Reconeixement i ús de l’estructura multiplicativa en el procés de mesurar.

•

Selecció adequada del tipus de càlcul segons la situació: càlcul mental, càlcul escrit i calculadora.

•

Cerca de relacions entre diferents processos de resolució.

D’acord amb els criteris relatius a la tria d’activitats, aquesta té com a element central la multiplicació, contingut del tot rellevant en aquest nivell. A més a més, aquest concepte es presenta vinculat a la realitat i relacionat amb d’altres processos i conceptes matemàtics, la mesura i el càlcul. La situació presentada demana la presa de decisions relatives a la recerca

82 noubiaix 39

de dades i, en aquest àmbit, l’ús de l’estadística per establir la mitjana de vegades que la gent es renta les mans a l’escola diàriament.

Com organitzar la classe perquè la conversa de matemàtiques flueixi?

Anteriorment ja s’ha indicat la conveniència de promoure el treball en grups d’alumnes heterogenis pel que fa al nivell de coneixement matemàtic, ja que la diversitat redunda en el contrast a l’hora de comunicar. En aquesta línia, el gran grup classe sempre conté l’heterogeneïtat.

L’experimentació, en aquest exemple, fou un aspecte del tot significatiu, després de representar quin podia ser el camí de solució del problema.

1. Es planteja el problema. Es discuteix com cercar les dades.

2. A la secretaria potser es pot descobrir una dada: quants mestres, monitors i altres treballadors hi ha a l’escola.

3. Mesura de l’aigua que surt per l’aixeta del lavabo quan es prem.

4. Es mesura amb precisió l’aigua recollida al lavabo.

Però, com conduir la conversa?

La intuïció sovint esdevé una bona guia i aquest fou el referent de l’autora de l’article durant molts anys. Tanmateix, l’estudi sobre la conversa representà una oportunitat per analitzar-ne

desembre 2016 83

i sistematitzar-ne els criteris essencials. En qualsevol conversa de matemàtiques a la classe, la mestra, tant per part seva com dels infants, hauria de considerar: Preguntes. Fer preguntes que provoquin el pensament i que fomentin el diàleg (preguntes obertes, amb perspicàcia, que posin en relleu dades essencials).

Fomentar que els nens i nenes formulin preguntes a la mestra i als companys.

Expressió del coneixement matemàtic. Utilitzar la recapitulació, l’exhortació i la reformulació per tal de fomentar que els alumnes comuniquin les idees pròpies. Sol·licitar la descripció i l’explicació dels processos realitzats. Facilitar el contrast de diferents resolucions. Fomentar l’ús de representacions diverses, verbals, gràfiques, amb material, i la seva relació. Sovint els infants necessitaran l’experimentació amb els materials per a fer explícit el seu coneixement matemàtic i el procés de pensament.

Font de les idees matemàtiques. Utilitzar les idees de l’alumnat com a guia per al desenvolupament de l’aprenentatge. Relacionar les idees dels alumnes amb els objectius planificats. Analitzar els errors i tractar-los com a oportunitats per a aprendre. Fomentar que l’alumnat exposi al·legacions i conjectures. Aquest criteri posa damunt de la taula la possibilitat que el mestre estiri l’activitat a partir de les propostes matemàtiques que fan els nens i nenes en la conversa, tot oferint la iniciativa als alumnes, filtrada per la seva mirada i la seva intenció.

Responsabilitat de l’aprenentatge. Donar temps als nens i nenes per a pensar i parlar. Encoratjar l’alumnat a l’aprenentatge. Actuar analitzant el context concret, oferint ajuda, deixant vèncer dificultats, proposant reptes... Fomentar la coresponsabilitat mitjançant: redir el que un altre ha dit, sol·licitar acords i desacords justificats, fomentar l’ajuda entre iguals, acceptar suggeriments. La finalitat resideix a posar l’estudiant en el centre de la responsabilitat de l’aprenentatge.

Conversa en petit grup:

5. Cadascú utilitza el procediment de càlcul que li sembla més adient.

6. Es contrasten diferents solucions.

84 noubiaix 39

Conversa en gran grup:

7. Cada grup repassa l’exposició que haurà de fer a la resta de la classe.

8. Un dels grups explica el seu procés de solució al problema.

9. Hi ha alguna cosa a dir sobre l’explicació que estan escoltant.

I després de la conversa?

Després de les converses en petit i gran grup i de les representacions dels alumnes, la mestra constata que el treball dut a terme supera amb escreix la planificació prèvia, justament per les aportacions realitzades gràcies a la conversa.

En aquest sentit, es descriuen els continguts matemàtics tractats en la solució del problema de l’aigua a través de la conversa i es marquen els que no s’havien planificat.

desembre 2016 85

Taula 2. Recull de l’activitat. Relació dels continguts i dels processos o dimensions.

Idees matemàtiques presents a la conversa de quart relacionades amb els continguts i els processos del currículum de matemàtiques Processos/Blocs contingut

Numeració i càlcul. Mesura

Resolució de problemes

Comprensió de l’abast d’un problema obert relacionat amb l’entorn: • Decisió sobre els límits de l’abast del problema.

• Decisió sobre les dades necessàries.

• Descobriment sobre la rellevància d’alguna dada no explícita.

• Anticipació del procés per a la cerca de les dades.

• Cerca de dades per a un problema.

Plantejament de problemes relatius als procediments de resolució: • Multiplicació de tres factors.

• L’algorisme de la multiplicació de decimals.

• L’algorisme de la multiplicació de 2 i 3 xifres.

• La prova de la multiplicació: multiplicació i divisió, operacions inverses.

• Cerca de solucions als problemes de procediment i contrast de les solucions.

Raonament i prova

Comunicació i representació

Connexió

Contrast, revisió i validació en la cerca de dades: cerca del procés per a trobar la resposta al problema.

• Establiment de supòsits per a resoldre el problema: comprovació del procés seguit per a resoldre un problema.

• Contrast de solucions trobades.

• Estimació del marge d’error en la resolució d’un problema obert.

• Aproximació de magnituds discretes i contínues per arrodoniment.

• Lectura de quantitats decimals.

• Ús adequat de les unitats de mesura de capacitat.

•

Recapitulació sobre les dades obtingudes per a resoldre un problema.

• Descripció del procés seguit per a obtenir les dades del problema.

• Descripció del procés seguit per a resoldre un problema.

•

Reconeixement del concepte de multiplicació relacionat amb la mesura.

• Decisió i ús adequat de diferents procediments de càlcul multiplicatiu: càlcul mental, calculadora, càlcul escrit, en funció del context.

•

86 noubiaix 39

Com analitzar les converses i amb quina finalitat?

Disposar de criteris clars, contrastats i objectivables per a analitzar la conversa de matemàtiques pot representar una ajuda a l’hora de fer una valoració qualitativa tant de les aportacions i les maneres de fer de la mestra com dels nens i nenes.

Si es focalitza en els alumnes, es podrà disposar de dades qualitatives que il·lustraran el seu nivell de desenvolupament del coneixement i competència matemàtica, mentre que si es focalitza en la mestra, s’obtindran dades relatives a la metodologia i gestió de l’aprenentatge que podran redundar en la millora de la pràctica docent. I si es du a terme una mirada contrastada i conjunta dels uns i els altres s’aconseguirà comprendre quin tipus d’aprenentatge s’està promovent i, per tant, la seva millora.

En aquest sentit, el repte de l’estudi, al qual es refereix aquest article, fou precisament la creació d’un instrument d’anàlisi de la conversa de matemàtiques: la Pauta d’observació de la conversa de matemàtiques (Serra, 2010), tant des de la perspectiva de la mestra com de la dels infants, que contribuís a poder categoritzar les converses d’acord amb els nivells definits per Hufferd-Ackles, Fuson i Sherin (2004).

En la Pauta d’observació s’han diferenciat les anàlisis de les aportacions del professorat de les de l’alumnat. Ambdues, però, segueixen un mateix patró d’observació, que s’organitza en quatre blocs que responen als processos més rellevants que apareixen en la conversa de matemàtiques i que contribueixen a la construcció del coneixement matemàtic: •

Les preguntes, tant de la mestra com de l’alumnat, tenen una presència preeminent en la conversa; sovint en són el motor que la propulsa.

•

L’expressió del coneixement matemàtic es vincula molt estretament amb les diverses formes de representació que pot adoptar un concepte matemàtic, formes que van de les més concretes, utilitzant el material manipulable, a les més abstractes, amb l’ús del llenguatge matemàtic. Resulta cabdal tenir cura i acompanyar d’una manera especial el procés de representació que fan els alumnes quan aprenen matemàtiques per tal que puguin donar sentit i significat al llenguatge matemàtic.

•

La font de les idees matemàtiques fa una referència clara a la concepció de la classe com una comunitat d’aprenentatge, en el sentit de comprendre que les idees matemàtiques poden aparèixer per part dels alumnes i de la mestra, si bé és la mestra qui gestiona la conversa i qui ha establert prèviament els objectius de treball.

•

La responsabilitat de l’aprenentatge aprofundeix en la idea que, en una comunitat d’aprenentatge, mestra i alumnes tenen responsabilitat en el procés d’aprendre.

Dins de cada bloc, s’han definit diferents categories i indicadors que permeten realitzar l’anàlisi de la conversa a partir de l’observació i el registre de fets que es desenvolupen a l’aula. Les unes i els altres van des d’un model de classe més directiva fins a un model de classe més col·laborativa. A continuació es mostren les categories i els indicadors relatius a cadascun dels blocs (Serra, 2010).

desembre 2016 87

Taula 3. Pauta d’observació de la conversa de matemàtiques. Aportacions del professorat.

Bloc 1: Preguntes La mestra fa preguntes, expressions o actuacions que regulen la interacció.

1. Només pregunta la mestra.

2. Demana als alumnes que l’escoltin.

3. Demana als alumnes atenció a les seves explicacions.

4. Espera que els alumnes es facin preguntes entre ells relacionades amb la seva feina.

La mestra formula preguntes o expressions que fomenten el coneixement.

1. Fa preguntes breus i freqüents.

2. Fa preguntes tancades.

3. Fa algunes preguntes sobre com pensen els alumnes o sobre els processos de resolució que utilitzen.

4. Fa preguntes obertes.

5. Fa preguntes amb perspicàcia.

6. Demana als alumnes que justifiquin les seves respostes. Per què?

7. Les preguntes de la mestra guien el discurs de la classe.

8. Fa preguntes que fomenten que es posi de manifest la rellevància d’algunes dades.

9. Les preguntes que fa la mestra fomenten les connexions.

10. Repeteix preguntes clau.

La mestra formula preguntes o expressions que fomenten la col·laboració.

1. Fa preguntes a un alumne relatives als treballs dels altres.

2. Facilita que els alumnes preparin preguntes sobre els treballs d’altres alumnes.

3. Planteja preguntes per aclarir els processos de resolució dels alumnes. (Les preguntes de la mestra tenen en compte les limitacions d’alguns alumnes per comprendre les explicacions dels altres.)

Bloc 2: Expressió del pensament matemàtic La mestra és el centre d’atenció de l’expressió del pensament matemàtic.

1. Centra l’atenció en les respostes dels alumnes.

2. Ofereix força explicacions.

3. Fa poques intervencions que estimulin les explicacions de les estratègies utilitzades pels alumnes.

4. S’exposen una o dues estratègies de resolució d’una mateixa tasca.

La mestra fomenta l’aparició de diferents expressions verbals del pensament matemàtic dels alumnes.

1. Dóna suport, mitjançant comentaris i preguntes, a les descripcions dels processos que fan els alumnes.

2. Facilita l’expressió d’un ventall d’estratègies dels alumnes.

3. Segueix de molt a la vora les descripcions que fan els alumnes del seu pensament.

88 noubiaix 39

La mestra fomenta l’aparició de diferents representacions del pensament matemàtic dels alumnes a través del material manipulable.

1. Aporta i suggereix l’ús de materials manipulables per a l’expressió del pensament matemàtic dels alumnes.

La mestra fomenta l’aparició de diferents representacions del pensament matemàtic dels alumnes mitjançant els gràfics, els diagrames o el llenguatge simbòlic.

1. Aporta imatges, diagrames, taules i gràfics rellevants per a l’expressió del pensament matemàtic.

2. Utilitza metàfores, analogies o històries per a expressar el pensament matemàtic.

La mestra fomenta el contrast de diferents expressions del pensament matemàtic dels alumnes.

1. Suggereix als alumnes que descriguin els processos exposats per altres.

2. Suggereix als alumnes que valorin justificadament els processos exposats per altres.

3. Suggereix als alumnes que utilitzin els processos exposats per altres.

Bloc 3: Font de les idees matemàtiques La mestra és la font de les idees matemàtiques.

1. Se situa físicament a la pissarra amb el guix a la mà.

2. Explica i mostra als alumnes com es fan matemàtiques.

3. Encara és la font principal d’idees, però fomenta que es manifestin algunes idees dels alumnes.

La mestra fa emergir les idees matemàtiques a través de recollir les aportacions dels alumnes.

1. Per explicar, utilitza les respostes i les aportacions dels alumnes.

2. Posa paraules a les accions dels alumnes.

3. Permet que els alumnes interrompin les seves explicacions amb comentaris.

4. Fomenta, mitjançant comentaris i preguntes, que els alumnes expliquin les seves pròpies estratègies.

La mestra fa emergir les idees matemàtiques a través de contrastar les aportacions dels alumnes.

1. Compara i contrasta les explicacions dels alumnes.

La mestra fa emergir les idees matemàtiques a través d’analitzar els errors dels alumnes.

1. Amb els seus comentaris, fomenta que emergeixin idees errònies o incompletes per tal d’analitzar-les i millorar-les.

2. Utilitza els errors com a oportunitats per a aprendre.

desembre 2016 89

La mestra condueix les lliçons de matemàtiques a partir de recollir les idees dels alumnes mitjançant comentaris, justificacions o recapitulacions.

1. Incorpora les notacions i el llenguatge matemàtic a les idees dels alumnes.

2. Aporta justificacions a les solucions dels alumnes.

3. Fa recapitulacions a partir de les aportacions dels alumnes.

4. Decideix la importància del que cal continuar explorant i aprofundint.

5. Utilitza les idees dels alumnes i els processos com a bases per a desenvolupar les lliçons.

Bloc 4: Responsabilitat de l’aprenentatge Les actuacions de la mestra mostren la seva responsabilitat en l’aprenentatge dels alumnes.

1. Repeteix a tota la classe les respostes, que van dirigides a ella.

2. Contesta als alumnes per verificar la correcció de les respostes.

3. Només ella fa el feedback.

4. Mostra diverses actuacions d’acord amb les diferents necessitats dels alumnes.

5. En funció del context, aporta informació, dóna pistes, clarifica, modelitza.

6. En funció del context, deixa als alumnes que vencin les dificultats.

7. Amb les seves actuacions, mostra claredat en els objectius d’aprenentatge.

Les actuacions de la mestra fomenten la coresponsabilitat de l’aprenentatge amb els alumnes.

1. Dóna temps perquè els alumnes participin.

2. Fa propostes que faciliten que els alumnes s’escoltin i s’ajudin entre ells.

3. Amb els seus comentaris i actuacions, encoratja els alumnes perquè es responsabilitzin de comprendre les idees dels altres.

4. Demana l’opinió, l’acord o el desacord, amb formes de resolució dels altres i la justificació de l’opinió.

5. Suggereix que els alumnes afegeixin quelcom.

La mestra fomenta amb les seves propostes i comentaris la col·laboració entre alumnes.

Taula 4. Pauta d’observació de la conversa de matemàtiques. Aportacions de l’alumnat.

Bloc 1: Preguntes Els alumnes responen o intervenen per iniciativa de la mestra.

1. No hi ha conversa matemàtica entre els alumnes.

2. Quan un alumne respon una pregunta de la mestra, els altres escolten passivament o esperen el seu torn.

3. Fan preguntes sobre el treball dels altres, sovint encoratjats per la mestra.

90 noubiaix 39

Els alumnes intervenen per iniciativa pròpia.

1. Poden iniciar la conversa per iniciativa pròpia, sense dependre de la mestra.

2. Fan preguntes sobre el treball dels altres, per iniciativa pròpia.

3. S’escolten atentament.

Els alumnes donen respostes diferents.

1. Donen respostes breus únicament a la mestra.

2. Fan descripcions completes del seu pensament.

Els alumnes suggereixen preguntes, problemes, justificacions, aclariments.

1. Fan preguntes i escolten les respostes.

2. Suggereixen problemes.

3. Moltes de les preguntes que fan són perquès que demanen respostes justificades.

4. Repeteixen les preguntes fins que comprenen bé les respostes.

Bloc 2: Expressió del pensament matemàtic El centre d’atenció són les respostes (finals) dels alumnes.

1. El centre d’atenció del treball són les respostes breus dels alumnes.

2. Hi ha poques intervencions voluntàries dels alumnes.

3. Normalment aporten informació quan la mestra ho suggereix.

Els alumnes comuniquen els seus processos de resolució verbalment.

1. Aporten informació i explicacions voluntàriament.

2. Fan descripcions breus del seu pensament.

Els alumnes comuniquen els seus processos de resolució utilitzant diferents representacions no només verbals.

1. Usen el material manipulable per a expressar el seu pensament.

2. Utilitzen gràfics, diagrames, per a descriure els seus processos de resolució.

3. Fan servir metàfores i analogies per a explicar les seves idees.

4. Utilitzen diferents representacions per a expressar els processos emprats, algunes d’inventades i lliures i altres de convencionals.

Els alumnes justifiquen els processos de resolució.

1. Justifiquen les seves respostes amb l’ajuda de petites insinuacions de la mestra.

2. Justifiquen les seves respostes per ells sols.

3. Els arguments presentats per alguns no són rellevants per als altres.

4. Els arguments que presenten alguns alumnes són rellevants per als altres.

desembre 2016 91

Bloc 3: Font de les idees matemàtiques Els alumnes imiten la mestra quan parlen de matemàtiques.

1. Imiten la mestra. No mostren les seves pròpies idees matemàtiques.

Els alumnes aporten algunes idees pròpies quan parlen de matemàtiques.

1. Emergeixen algunes de les seves idees en les discussions, però no s’analitzen a fons.

2. Mostren confiança i seguretat en explicar els seus raonaments i estratègies i compartir-los amb els altres.

3. Les seves idees esdevenen sovint la guia de la lliçó.

4. Aporten les seves idees quan la mestra o altres alumnes estan ensenyant.

Els alumnes aporten propostes d’avenç del coneixement matemàtic.

1. Fan al·legacions (proposicions assertives).

2. Fan conjectures.

3. Justifiquen al·legacions.

4. Suggereixen explorar exemples i contraexemples per investigar conjectures.

Els alumnes contrasten idees matemàtiques.

1. Espontàniament, comparen, contrasten i construeixen les seves idees.

Bloc 4: Responsabilitat de l’aprenentatge Els alumnes mostren poca responsabilitat o iniciativa en el seu aprenentatge.

1. Mostren una actitud passiva, intenten imitar la mestra.

2. Algunes vegades, repeteixen el que d’altres han dit.

3. Ajuden els altres quan la mestra ho demana.

4. L’ajuda entre els alumnes se centra a mostrar com han solucionat el problema.

5. Imiten el model de la mestra en el treball per parelles i de gran grup.

6. Quan la mestra ho demana, posen paraules a les idees dels altres.

Els alumnes mostren coresponsabilitat en el seu aprenentatge.

1. S’impliquen a aclarir idees dels altres per a fer-les seves.

2. S’escolten els uns als altres.

3. S’escolten i contribueixen a aclarir idees pròpies i dels altres en les discussions de gran grup, petit grup i parelles.

4. Ajuden els altres a comprendre i a corregir els errors, oferint pistes, fent preguntes, suggerint analogies.

5. Decideixen quin suport donen a les seves descripcions de les solucions.

6. Escullen i manifesten camins de resolució propis, que no s’han suggerit a l’aula.

7. Escullen i manifesten camins de resolució propis, que no s’han suggerit a l’aula, i els justifiquen.

92 noubiaix 39

Algunes de les converses que va generar el problema de l’aigua i la seva anàlisi Context de la conversa: La mestra amb el petit grup. Es ressitua el problema obert amb les dades recollides fins ara.

M.: Mira, podeu aprofitar que el Pau G. acaba d’arribar i expliqueu com s’ha... portat...

Pau O.: Heu de mesurar quanta aigua es gasta a l’escola quan tots ens rentem les mans. I hem decidit primer, i a la biblioteca hem vist quanta gent hi ha... quants nens, després hem anat a baix a l’Anna a preguntar-li quants monitors, mestres i tutors i... cuiners i monitors de menjador... i ens han dit 69. I hem fet la suma de 450, que eren els nens més 69, i tenim 519 persones.

M.: Molt bé i ara podríeu potser explicar-ne algun altre.

David: I després hem anat a baix, primer hem dit que havíem de calcular quanta aigua gastàvem entre tothom... Crec que la Maria o el Pau...

M.: Un de nosaltres.

David: Un de nosaltres ha dit que necessitàvem una gerra petita, aleshores la Teresa ens l’ha donat, però hem dit que no, que necessitàvem alguna cosa més grossa per mesurar.

Hem anat a baix, hem anat a agafar un bol, hem vist quanta aigua gastem, però tenim un problema...

M.: Però, abans d’arribar a aquest problema que el preocupa tant, m’interessaria que apuntéssiu la dada de cada vegada que premem l’aixeta, quina quantitat aigua ha sortit?

Pau O.: La segona dada, gasta... 2 litres... 2 litres i...

M.: 97.

Pau O.: 2,97...

Pau G.: 2,97? Litres?

Pau O.: Sí.

M.: És a dir, si arrodoníssim el 2,97, quant seria? Quants litres ens sortirien?

Maria: 3.

M.: Molt bé.

David: Ara hem de fer la multiplicació...

M.: No, no, no. Jo crec que aquest problema, si no el podem solucionar, el deixarem una mica a banda i miraríem el resultat final. Diu que hi ha gent que malgasta l’aigua...

desembre 2016 93

David: Que es creuen llestos...

M.: Que malgasta l’aigua. Això no cal que ho diguis. Que malgasten l’aigua i aleshores gasten més del compte. I, és clar, si hem de comptar l’aigua, aquesta dada no la sabem. No la sabem i és impossible saber-la.

David: Impossible saber-la.

M.: Impossible saber-la. De moment, el que podríem fer és... no ho sé. Què podríem fer? Què creieu?

Pau G.: És possible... si tothom guarda la seva aigua en un bol i la fica... però és que... (riu).

M.: Però ho podem fer això ara?

Tots els alumnes: No. Pau O.: No hi ha suficients bols per a 450 persones.

M.: Però seria una manera de controlar-ho?

A. (?): Podríem fer-ho...

A. (?): Podríem fer-ho, però...

M.: Si ho tinguéssim, seria una manera de controlar-ho? Aleshores, què et sembla, David... tirem endavant amb aquests números o...? No ho sé, jo vaig fent resums.

David: Sí.

Context de la conversa: Resolució del problema en petit grup. Es parla del procediment d’operar amb les dades i apareixen preguntes relatives a multiplicar tres factors i a multiplicar amb nombres decimals.

M.: A veure, faig un resum. Sabem el nombre de persones, sabem la quantitat d’aigua que surt cada vegada que es prem l’aixeta i sabem, hem decidit, heu decidit, perdó, arrodonir a cinc cops que es renten totes aquestes persones per un dia. Doncs, i ara què heu de fer?

Pau O.: Hauríem de fer...

Pau G.: 6 per 519 (parlen alhora).

M.: Un moment, no parleu tots alhora.

Pau O.: Jo crec que hauríem de fer 519.

M.: Xit. Un moment, deixa que... deixa que...

Pau G.: Una pregunta... Es poden fer multiplicacions. (Mira el full i pensa.) Ah! La tercera dada era el 5, no?

94 noubiaix 39

M.: Sí, cinc vegades.

Pau G.: Es podria fer una multiplicació així? (Mostra les dades a la mestra, una multiplicació de tres factors.)

M.: Ah! No ho sé.

Pau G.: Es podria fer una multiplicació amb tres, però no sé com fer-ho.

M.: Es podria fer? Agafar aquestes tres dades i multiplicar-les?

Pau G.: Sí, però encara no estem tan avançats.

David: Sí, però hi ha una altra manera de fer això. Primer fem dues coses i amb el resultat multipliquem per la tercera.

M.: Què? Sí?

(Alguns assenteixen.)

Pau O.: Jo crec que hauríem de fer...

M.: Fem una cosa, aquí hi ha una proposta. Quina és la teva? (ho pregunta al Pau O.).

Pau O.: Que jo crec que primer hem de fer 519 per 279, després posem la coma i després ho multipliquem per 5.

M.: Aleshores...

Pau G.: La coma després de les multiplicacions, la coma al final.

David: Jo crec que la coma hauria de desaparèixer.

Pau G.: La coma després de les multiplicacions.

David: No, que el meu pare em va ensenyar que, si no saps dividir... Ai! Si no saps multiplicar 2,97 per... treus la coma i després et donarà el mateix.

Pau O.: Ja, però després has de posar la coma.

Pau G.: És clar, i al final, és el que estic dient jo. Els tres últims... després de les tres multiplicacions...

M.: Mireu, fem una cosa...

Pau O.: Jo ho trobo bé i vosaltres? (es dirigeix a l’Elena i a la Maria). Perquè fer multiplicacions de tres pisos no sé si funcionarà, perquè no sé ni com es fa.

M.: Mira, un pot fer una cosa, l’altre pot fer l’altra i l’altre pot fer els tres pisos i després comparem els resultats.

desembre 2016 95

Pau O.: Però, tres pisos! Si és que no sabem com es fa.

M.: Aleshores no podem proposar de fer-ho, perquè jo ara no ensenyo res, eh?

David.: Sí, amb la calculadora.

Pau O.: Amb la calculadora? Si hem de pensar amb el cap.

Pau G.: Podríem fer 519 per 297 per 5 i ens donarà el resultat.

M.: Feu-ho...

S’ofereixen els resultats de les aportacions de la mestra en les converses, que representen un 66%, i es destaquen les categories amb més presència: fomenta l’aparició de diferents expressions verbals del pensament matemàtic dels alumnes, formula preguntes o expressions que fomenten el coneixement, així com les seves actuacions mostren la seva responsabilitat en l’aprenentatge dels alumnes.

26. 62%

29. 65%

Preguntes Expressió coneixement matemàtic

29. 44%

14. 29%

Font idees matemàtiques Responsabilitat aprenentatge

Figura 1. Aportacions del professorat per blocs de categories. Conversa quart.

Pel que fa a l’anàlisi de les aportacions de l’alumnat, són del 34% i les categories més destacables, perquè hi són amb freqüència: els alumnes aporten idees pròpies quan parlen de matemàtiques, mostren coresponsabilitat en el seu aprenentatge i el centre d’atenció de l’expressió del pensament matemàtic són les seves respostes.

19.67%

Preguntes

26.36% Expressió coneixement matemàtic

20.08%

Font idees matemàtiques

33.89%

Responsabilitat aprenentatge

Figura 2. Aportacions de l’alumnat per blocs de categories. Conversa quart.

Es pot concloure que aquesta conversa se situa en el nivell 2 de complexitat del desenvolupament de la conversa definit per Hufferd-Ackles, Fuson i Sherin (2004): la mestra modela i ajuda els alumnes a assumir nous rols. Creix el coensenyament i el coaprenentatge entre alumnes

96 noubiaix 39

mitjançant la conversa. Tot i que la mestra té un paper central, els nens i les nenes prenen cada vegada més protagonisme i iniciativa en la conversa. La mestra facilita, mitjançant preguntes, suscitacions, recapitulacions, exhortacions i reformulacions que els alumnes se sentin confiats i segurs per comunicar els resultats i els processos emprats per arribar-hi, i que no temin l’expressió de possibles errors. Els alumnes comencen a discutir i contrastar maneres de fer entre ells, encoratjats per la mestra.

Conclusions La importància de la conversa de matemàtiques a la classe, entre la mestra i l’alumnat, s’inscriu clarament dins del currículum de matemàtiques per a l’educació primària, que considera del tot rellevant que la comunicació i la representació dels resultats i processos que realitzen els infants durant l’aprenentatge són un dels components de la competència matemàtica.

La conversa de matemàtiques a la classe s’entén dins del marc de l’aula i l’escola com a comunitat d’aprenentatge, on nens i nenes i mestra avancen conjuntament en el coneixement matemàtic mitjançant les interaccions verbals sobre activitats matemàtiques que esdevinguin reptes (Serra, 2008).

Per als aprenents, la conversa pot esdevenir un pont cap a la comprensió i la representació, tot fent ús del llenguatge matemàtic, alhora que pot afavorir la connexió i la transferència de conceptes matemàtics. Per als docents, la conversa es pot convertir en una eina que afavoreix l’ajuda pedagògica, ja sigui de la mestra o dels companys de classe, i alhora es pot utilitzar com a instrument d’autoavaluació de la docència i d’avaluació de l’alumnat. És necessari, però, un bon guiatge de la conversa, a més a més de la planificació d’activitats que portin els alumnes a fer matemàtiques. La gestió de l’aula per part de la mestra durant la conversa esdevé fonamental. Els blocs de categories, definits en la Pauta d’observació de la conversa de matemàtiques, les preguntes, l’expressió del coneixement matemàtic, la font de les idees matemàtiques i la responsabilitat de l’aprenentatge, conjuntament amb les categories i els indicadors, poden ser una guia a considerar tant per a obtenir recursos concrets d’actuació a l’aula com per a avaluar la metodologia emprada.

Referències Alsina, C., Burgués, C., Fortuny, J., Giménez, J., Torra, M. (1995). Ensenyar matemàtiques.

Barcelona: Graó.

Bishop, A. (1999). Enculturación matemática. La educación matemática desde una perspectiva cultural. Barcelona: Paidós.

Departament d’Educació de la Generalitat de Catalunya (2013). Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic. Educació Primària. Barcelona. http://ensenyament.gencat.cat/web/.content/ home/departament/publicacions/colleccions/competencies-basiques/primaria/prim-mate matic.pdf (consultat gener 2016).

desembre 2016 97

Departament d’Educació de la Generalitat de Catalunya (2015). Currículumd’Educació Primària.

Matemàtiques. Barcelona. http://xtec.gencat.cat/ca/curriculum/primaria/ (consultat gener 2016).

Hatano, G., Inagaki, K. (1991). Sharing Cognition through Collectives Comprehension Activity.

Dins Perspectives on Socially Shared Cognition. Washington, DC: American Psychollogical Assotiation.

Hufferd-Ackles, K., Fuson, K., Sherin, M. (2004). Describing Levels and Components of MathTalk Learning Community. Journal for Research in Mathematics Education, 35, 81-116.

Kamii, C. (1988). El niño reinventa la aritmética. Madrid: Visor.

Mercer, N. (2001). Palabras y mentes. Barcelona: Paidós.

National Council of Teachers of Mathematics (2006). Curriculum Focal Points. Reston: NCTM. National Council of Teachers of Mathematics (2010). Illuminations. Resources for Teaching Maths. http://illuminations.nctm.org/Lessons.aspx (consultat febrer 2016).

Niss, M. (2003). Mathematical Competencies and the Learning of Mathematics: the Danish Kom Project. IMFUFA. Roskilde University, P.O. BOX 260, DK-4000 Roskilde, Denmark.

Serra, T. (2008). Fent i parlant aprenem amb els altres. Àmbits de Psicopedagogia, 24, 24-29.

Serra, T. (2010). La conversa de matemàtiques: una eina per a la millora de la competència matemàtica de tot l’alumnat de l’educació primària. Llicència retribuïda. Modalitat A. Departament d’Educació.

Serra, T. (2011). Parlant de matemàtiques per aprendre’n. Barcelona: Rosa Sensat.

Serra, T. (2012). La conversa de matemàtiques a l’educació primària: una eina per aprendre. Àmbits de Psicopedagogia, 36, 24-34.

Serra, T., Vinós P. J. (2008). Currículum de matemàtiques en format taula. http://phobos.xtec.cat/ creamat/joomla/index.php?option=com_content&task=view&id=278&Itemid=81 (consultat novembre 2011).

Yackel, E. (2002). What we can learn from analyzing the teacher’s role in collective argumentation. Journal Mathematical Behavior, 21, 423-440.

98 noubiaix 39

3E Eines per a l’Ensenyament de l’Estadística a secundària Eines per a l’Ensenyament de l’Estadística a secundària (3E) és un moodle concebut com un curs telemàtic dirigit fonamentalment al professorat de secundària de qualsevol àrea interessat a adquirir, actualitzar o reforçar els coneixements bàsics d’estadística descriptiva que estan recollits en els currículums d’ESO. L’èmfasi del curs rau més en els continguts i els coneixements estadístics que no en la seva aplicació a l’aula. El curs 3E està patrocinat per la Càtedra Lluís Santaló d’Aplicacions de la Matemàtica de la Universitat de Girona (UdG).

Els objectius del curs són: a) adquirir una visió actualitzada i moderna de l’estadística descriptiva basada en l’anàlisi numèrica i gràfica de dades reals, deixant en un segon terme l’aproximació estrictament matemàtica; b) conèixer i dominar la terminologia i els procediments bàsics d’anàlisi que són propis de l’estadística descriptiva de dades; c) disposar (i saber-les aplicar) d’unes eines informàtiques bàsiques que facilitin la realització de les anàlisis estadístiques (numèriques i gràfiques) de conjunts nombrosos de dades, i d) adquirir una visió general del procediment estadístic que cal seguir a l’hora de plantejar un problema que requereix l’aplicació de l’estadística.

El curs 3E s’estructura en onze unitats didàctiques: 1) què és l’estadística?; 2) els cinc estadístics resum; 3) el centre de les dades i els valors extrems; 4) la dispersió de les dades; 5) la distribució de les dades; 6) les variables categòriques; 7) les relacions entre variables quantitatives i categòriques; 8) les relacions entre dues variables categòriques; 9) les relacions entre dues variables quantitatives; 10) la recollida de dades, i 11) la metodologia d’enquestes.

Al final, s’inclou una secció amb un recull de nombrosos exemples d’activitats estadístiques a l’aula.

Les unitats didàctiques consten de diferents apartats: a) continguts, amb un vídeo que presenta un resum dels continguts més importants de la unitat; b) sessió pràctica, en què, amb l’ajuda del paquet estadístic R (de lliure distribució), s’exerciten les activitats que es presenten a la unitat; c) material de consulta, en què es proporciona (o s’indica on es pot trobar) una relació de material molt divers per a completar (o ampliar) els continguts de la unitat, i d) a l’aula, en què es recullen diferents documents i enllaços que permeten dissenyar activitats estadístiques a l’aula de secundària.

El curs 3E es pot seguir en dues modalitats diferents: a) tutoritzat, quan la persona hi accedeix prèvia inscripció des d’alguna institució impulsora del curs (p.e., un ICE), i b) per lliure, quan el professor-alumne segueix el curs ‘‘al seu aire’’ i pot accedir a tot el material, excepte als qüestionaris d’autoavaluació.

L’autor del curs 3E és Carles Barceló, amb la col·laboració de Pepus Daunis i Glòria Mateu, tots tres professors doctors del Departament d’Informàtica, Matemàtica Aplicada i Estadística de la UdG. Es pot accedir al curs anant a l’adreça http://webimae.udg.edu/curs3e i entrant al moodle com a convidat.

desembre 2016 99

seccions seccions

cions

pensar

noubiaix 100100 noubiaix 3939

per pensar d’un minut a una hora Jordi Deulofeu Departament de Didàctica de les Matemàtiques i de les Ciències Experimentals Universitat Autònoma de Barcelona jordi.deulofeu@uab.cat

Malgrat els esforços per generar idees i materials, acompanyats de sessions de formació permanent del professorat, que permetin desenvolupar el treball relacionat amb la geometria a l’educació obligatòria, sembla que aquesta part de les matemàtiques segueix essent aquella que més dificultats representa per als nostres alumnes, segons indiquen els resultats de les proves de competències d’aquest 2016. Entre els materials disponibles, que des d’aquí us animo a revisar, destaca el treball que sobre el tema ha realitzat l’amic Anton Aubanell i que porta per títol «Orientacions pràctiques per a la millora de la geometria a l’ESO», un excel ·lent compendi d’activitats i suggeriments.

Seguint en aquesta línia, dedicarem l’article d’avui a presentar i comentar diversos problemes de caire geomètric, tenint en compte que la geometria proporciona situacions que poden ser analitzades des de punts de vista diversos, com l’àlgebra o les funcions, la qual cosa ens permet establir connexions entre temes matemàtics diferents, mostrant la unitat de les matemàtiques i les interrelacions entre conceptes i les seves representacions.

Començarem amb un problema que s’ha plantejat a les proves cangur d’enguany (2016) que m’ha semblat especialment interessant i que permet variacions, extensions i generalitzacions que, segurament, encara ho són més. És una situació que permet generar diversos problemes de dificultat variable.

Problema 1. Preneu una corda formada per 12 segments de longitud igual (fent, per exemple, 12 nusos equidistants) i lligueu-ne els extrems. Amb aquesta corda podem formar un triangle els vèrtexs del qual siguin tres nusos de la corda. Suposem que el triangle format és equilàter (en cada costat hi haurà tres nusos, a banda dels tres vèrtexs). Quants triangles es poden formar? Si ara imposem la condició que els triangles han de ser diferents (no congruents), quants triangles podrem construir? Què passa amb la quantitat de triangles si amb la mateixa corda formem inicialment un triangle no equilàter: disminueix, augmenta o es manté constant?

Em sembla un bon problema per dur a terme el vuitè «manament» del decàleg de Pere Puig Adam, que apareix en el seu darrer llibre, La enseñanza de la matemática actual (1960), i que

desembre 2016 101

em permeto reproduir, ja que el text, malgrat ser escrit en un castellà que avui sembla antic, no té pèrdua. Deia Puig Adam: VIII.−Conseguir cierta maestría en las soluciones antes de automatizarlas. Suele ser expediente cómodo de preparadores suministrar cuanto antes las reglas y repetir sus aplicaciones a saturación. Pero procediendo de esta suerte se crea en los alumnos el más rígido automatismo mental. Este proceder es tanto más peligroso cuanto que el alumno mismo, en su afán de acción, acoge con alegría las reglas que le permiten actuar rápidamente antes de asimilar las esencias metódicas; alegría tanto mayor cuanto más discursivos y aburridos son los procedimientos de asimilación a que se le somete. La necesidad de la regla no es sentida cuando la acción del alumno se desenvuelve en los procesos mismos de adquisición. Muchos pedagogos, pasándose por ello a la reacción contraria, abominan de toda regla ante el peligro de automatismo que pueda provocar.

Sin embargo, la regla, cuando es posterior al dominio del procedimiento, tiene un valor: el de la condensación expresiva del acto dominado. Pero sólo es aconsejable cuando existe tal dominio previo, dominio que significa flexibilidad de adaptación a cada caso particular y no rigidez de acción. Solamente cuando la síntesis expresiva del procedimiento no corra el riesgo de convertirse en imperativo simplista de acción es cuando la regla resulta lícita pedagógicamente y aun aconsejable como recurso último.

Del llibre de Derek Holton Problem Solving. The creative side of mathematics (2010) he seleccionat aquesta interessant situació que, més que un problema, és una petita investigació en què l’objectiu és la seva generalització, anomenada per l’autor The Rolling Square Problem: Problema 2. En un vèrtex d’un quadrat format per nou quadrats iguals (3 × 3) situem un altre quadrat (vegeu la figura). Fem rodar, sense lliscar, el quadrat petit al voltant del gran.

Quin és el lloc geomètric descrit per cadascun dels vèrtexs del quadrat petit? Generalitzeu la situació, primer per a un quadrat gran de n × n i posteriorment per a un rectangle de dimensions n × m.

La següent activitat l’he extret del capítol de geometria del llibre Aprender a enseñar matemáticas en la Educación Secundaria, que hem escrit la Cecilia Calvo, en Joan Jareño, la Laura Morera i jo mateix, i que quan escric l’article està a punt de ser publicat. Més que un problema és una activitat que permet treballar la relació perímetre -- àrea i veure que, donada una figura, és possible trobar totes les combinacions: perímetre menor, igual o major i àrea també menor, igual o major, que una figura donada.

102 noubiaix 39

Problema 3. Observeu la figura següent. En cadascun del vuit quadrats que volten la figura dibuixada, heu de dibuixar una figura −formada per un nombre enter de quadrats petits− de tal manera que el perímetre creixi d’esquerra a dreta (si està més a l’esquerra de la figura central ha de tenir el perímetre menor i si està més a la dreta, més gran) i l’àrea creixi de dalt a baix (si està més amunt ha de tenir l’àrea menor i si està més avall ha de ser més gran).

Seguint amb el tema perímetre−àrea, us presento una altra activitat del llibre esmentat.

Problema 4. Dibuixeu una circumferència i vuit punts equidistants sobre ella. Trieu quatre punts i dibuixeu un quadrilàter. Repetiu el procés de manera que obtingueu tots els quadrilàters diferents possibles. A partir de les figures dibuixades es poden plantejar nombroses qüestions: Classifiqueu els quadrilàters. Ordeneu les figures obtingudes segons el seu perímetre. Feu el mateix amb l’àrea. Tingueu en compte que no és necessari fer càlculs d’àrees, sinó que es pot resoldre per comparació directa. Penseu altres maneres de comparar les figures dibuixades com, per exemple, segons els eixos de simetria. Segur que trobareu altres qüestions per a ampliar aquesta activitat.

Acabaré l’article d’avui amb una activitat que vaig conèixer el mes de juliol passat a l’ICME 13 d’Hamburg, en una magnífica sessió taller dedicada a la matemàtica realista dels holandesos.

El professor P. Drijvers va formular el problema següent (al qual em permeto canviar el context i apropar-lo a casa nostra): Problema 5. Hem fet un recorregut en cotxe en tres etapes: des de Tavascan fins a Begur; en total, 226 km. Hem passat per la Seu d’Urgell (Tavascan-Seu d’Urgell, 85 km) i per Olot (Seu d’Urgell-Olot, 54 km), per acabar a Begur (Olot-Begur, 87 km). Es tracta de dibuixar un gràfic del recorregut en uns eixos cartesians, de manera que en l’eix de les abscisses representem la distància del vehicle a la Seu d’Urgell i en l’eix de les ordenades, la distància a Olot. S’entén que la distància es mesura sempre seguint la carretera.

El dibuix del gràfic no és complicat, però fa pensar... i molt! Una vegada fet aquest gràfic podeu plantejar nombroses variacions: en general, tenim 4 ciutats (A, B, C, D) i anem de A a D passant per B i per C. Si coneixem les distàncies de A a B, de B a C i de C a D, podem dibuixar els diferents gràfics del recorregut en uns eixos cartesians, de manera que en un dels eixos representem la distància a una de les ciutats i en l’altre la distància a una altra de les ciutats.

Espero que les propostes d’avui us hagin resultat interessants, tant per a vosaltres com per a proposar-les als vostres alumnes.

desembre 2016 103

Referències Calvo, C., Deulofeu, J., Jareño, J., Morera, L. (2016). Aprender a enseñar matemáticas en la Educación Secundaria. Madrid: Síntesis (en premsa).

Holton, D. (2010). Problem Solving. The creative side of mathematics. Leicester (UK): The Matematical Association.

Puig Adam, P. (1960). La matemática y su enseñanza actual. Madrid: Ministerio de Educación Nacional.

construint 104 104 noubiaix 39

construint matemàtiques

Nosaltres com a recurs: role-plays a classe de matemàtiques (1) Anton Aubanell claudio.alsina@upc.edu Un company de ciències experimentals, Adolf Cortel, em comentava fa temps que tenia la sensació que com més muscles mou un alumne per fer un aprenentatge millor el fa. La veritat és que el moviment fa que l’alumne tingui un paper més actiu en l’experiència i que les idees que es posen en joc tinguin un suport vivencial molt més potent.

En aquesta secció, ens hem referit repetidament a recursos didàctics de tipus material. Avui analitzarem les possibilitats didàctiques d’uns «materials» molt especials: nosaltres mateixos, alumnes i professors, i ens convertirem en recursos adoptant el paper d’entitats matemàtiques i comportant-nos en coherència amb aquest rol. Sovint s’utilitza l’expressió role-play amb referència a aquest tipus d’activitats en què cada participant adopta el paper d’un personatge i actua en conseqüència. En català potser es podria parlar d’actuació, d’escenificació, de dramatització, de representació, d’interpretació, de simulació...

Hi ha bons exemples escolars de teatralització d’escenes de la història de la matemàtica o de biografies de matemàtics. Aquest tipus de representacions no seran objecte de la nostra atenció. En aquest escrit i en el del proper número del NouBiaix ens centrarem en role-plays en què els alumnes representaran ens matemàtics i, a través de la seva posició, de la seva relació o de la seva acció, donaran vida, realitat dinàmica, a situacions matemàtiques de les quals emergiran idees rellevants des del punt de vista didàctic. Es tracta, doncs, de realitzar simulacions de fets que passen en el món de les matemàtiques fent el paper d’éssers matemàtics com ara nombres, punts, funcions...

En alguns casos, hi participarà tot l’alumnat; en d’altres, alguns alumnes seran espectadors.

Tanmateix, aquest tipus d’activitats són molt inclusives. Ningú queda exclòs d’una experiència viscuda d’una manera directa encara que les interpretacions dels uns i dels altres puguin ser més o menys significatives.

Cal tenir en compte que, després d’un role-play, cal donar-nos un temps per a posar paraules a les idees, compartir-les amb el grup (en-raonant raonem), perfilar conceptes i, si cal, for-

desembre 2016 105

malitzar-los. Per als alumnes es pot comparar aquest procés amb el d’elaboració d’un reportatge periodístic després d’un esdeveniment esportiu. Poden fer petites cròniques d’unes poques línies a la llibreta i compartir-les millorant-ne el redactat. També pot haver-hi alumnes que hagin fet alguna fotografia. Els reportatges gràfics són benvinguts! Aquesta fase de conceptuació és clau per a aclarir, enriquir i recollir les idees treballades, així com per a deixar-ne un testimoni escrit o gràfic que ajudi a recordar-les. A vegades, aquestes narracions seran estrictament descriptives de les accions que s’han portat a terme, però és desitjable que també deixin constància de les idees que s’hi han posat en joc o de les descobertes fetes.

Els role-plays són unes de les activitats docents en què, d’una manera més clara, es posa de manifest la construcció col·lectiva d’un nou coneixement, harmonitzant accions individuals en una representació conjunta que hi aporta valor afegit.

A continuació es presenta una petita mostra (que es continuarà en el proper número del Nou Biaix) de role-plays d’aquesta mena referits a temes matemàtics diversos (curriculars i no curriculars) per a nivells distints i que plantegen diferents dinàmiques. En cada cas, d’una manera més o menys breu, s’intentarà descriure el paper que representa cada participant, què ha de fer, què s’observa, què es descobreix...

Representació d’algorismes: ordenació pel mètode de la bombolla Mai s’insistirà prou en la importància de poder incorporar algunes pinzellades de programació en el treball escolar. Des dels robotets a l’Scratch i a altres llenguatges menys gràfics, actualment hi ha possibilitats molt suggeridores en aquest sentit. La programació és una manera de «fer realitat» algorismes que concreten estratègies per a assolir objectius. Les dimensions curriculars de resolució de problemes, de comunicació i representació, de raonament i prova i de connexions poden fer-se molt presents en aquest tipus d’activitats. Un algorisme d’ordenació especialment elegant i instructiu (encara que no pas el més eficient) és el de la bombolla que, partint d’una llista de nombres (emmagatzemada en forma de vector), consisteix a anar fent successius «rastreigs» de manera que, en cadascun, portem cap a les posicions de més a la dreta el terme més gran. Es tracta de fer dos processos iteratius amb comparacions entre termes consecutius i, en cas que calgui, intercanvi de posicions. Una excel·lent manera d’entendre aquest algorisme és representar-lo amb persones. En un grup de deu o dotze alumnes es demana que cadascun representi un nombre (escollit lliurement) i que l’escrigui en un full ben visible. Es posen en fila aleatòriament i pretenem ordenar-los de manera que el més petit estigui a l’esquerra i el més gran a la dreta. Comencem per l’alumne de més a l’esquerra i el comparem (identifiquem l’alumne amb el nombre que representa) amb el del seu costat. Si aquest és més gran o igual, els deixem en la mateixa posició en què estan; si és més petit, els intercanviem. Després fem el mateix amb la parella formada pel segon alumne (que potser acaba d’ocupar aquesta posició com a resultat de l’intercanvi anterior) i el tercer, més tard amb la parella formada pel tercer i el quart i així successivament fins a arribar als dos alumnes de més a la dreta. Com a resultat d’aquest procés, el nombre més gran haurà quedat en la primera posició de la dreta. Ara tornem a començar per l’esquerra fent el mateix, però seguit d’intercanvis fins a arribar a la segona posició començant per la dreta (ja que l’última posició està ocupada pel més gran), en la qual quedarà col·locat el nombre més gran zona «rastrejada». Un cop fet això ja tindrem situats a la dreta els dos termes més grans, ordenats. Anant-ho repetint amb tot el grup de nombres que queden a l’esquerra, anem

106 noubiaix 39

«fent pujar» els més grans cap a la dreta, talment les bombolles van enfilant-se per les parets d’un got d’aigua amb gas. Es tracta d’un procediment d’ordenació molt bonic i intuïtiu que, un cop representat i entès, pot ser implementat a través d’un petit programa.

A Youtube hi ha un vídeo realitzat per un grup de la Sapientia University de Tirgu Mures (Romania) representant aquest role-play tot ballant una dansa folklòrica hongaresa: https://www.youtube.com/watch?v=lyZQPjUT5B4.

Aquesta proposta vol ser un petit homenatge (reivindicatiu) a l’enyorada programació en la qual la representació de les instruccions a través de role plays és un recurs molt eficaç.

Construcció de la corba tractriu Necessitem un objecte una mica pesat (però que es pugui arrossegar) que tingui lligat un tros llarg de cordill (per concretar, suposarem que és d’una longitud de 5 m, però, segons lloc on ho fem, pot tenir altres longituds). En un espai ampli assenyalem dos eixos de coordenades cartesianes (podem emprar les juntures de l’enrajolat, per exemple, o línies de senyalització de camps d’esport). Situem l’objecte sobre un punt del semieix positiu d’ordenades a una distància de 5 m de l’origen, de manera que un alumne situat a l’origen subjecta el cordill tens (el cordill pot ser una mica més llarg per tal que es pugui agafar millor).

Llavors demanem a l’alumne que es desplaci sobre l’eix d’abscisses, en el sentit positiu, tot arrossegant l’objecte i fent que el cordill de 5 m sempre es mantingui tens. A mesura que l’alumne es vagi desplaçant, l’objecte anirà descrivint una trajectòria que, en cada punt, serà tangent al cordill i que s’aproparà asimptòticament a l’eix d’abscisses. Si tornem a fer el mateix, però desplaçant-se l’alumne en el sentit d’abscisses negatives, l’objecte descriurà una trajectòria simètrica a l’anterior respecte de l’eix d’ordenades. La corba formada per aquestes dues trajectòries s’anomena corba tractriu, una corba amb una bonica relació amb la catenària que fou estudiada ja per Newton i Huygens (figura 1). La deducció de l’expressió analítica d’aquesta corba depassa els continguts de secundària; tanmateix la seva construcció pràctica, a través d’aquesta representació, pot ser instructiva per a il·lustrar dinàmicament conceptes com el de recta tangent o el comportament asimptòtic tot mostrant una aplicació pràctica de les gràfiques de funcions.

Figura 1. Corba tractriu prenent una distància de 5 unitats.

desembre 2016 107

És important que l’objecte sigui pesat per tal que es vagi mantenint sempre el cordill tens. Si es fa sobre sorra, el rastre ja va quedant dibuixat. Si es fa sobre una altra superfície, un alumne pot anar resseguint amb guix gruixut la trajectòria que segueix l’objecte arrossegat. Amb aquesta construcció viscuda, el nom tractriu queda ben justificat, i també el fet que formi part de la família de corbes de persecució a altres membres de la qual parla l’apartat següent.

Representació de corbes de persecució Quatre persones (A, B, C i D) se situen inicialment en els vèrtexs d’un quadrat que indicarem, respectivament, per A1, B1, C1 i D1 (primera posició de cadascuna d’elles). Vegeu la figura 2.

B té la instrucció de situar-se sempre mirant en la direcció d’A. C té la instrucció de situar-se sempre mirant en la direcció de B. D té la instrucció de situar-se sempre mirant en la direcció de C. A té la instrucció de situar-se sempre mirant en la direcció de D. Llavors A es desplaça des d’A1 fins a A2, avançant un tram en direcció a D. En la construcció gràfica que es mostra, els trams d’avenç s’han agafat sempre iguals a una dècima part de la separació entre la posició inicial i el punt on està situada la persona en la direcció de la qual s’avança. Així,

Figura 2. Quatre punts que, partint dels vèrtexs d’un quadrat, es persegueixen mútuament d’una manera cíclica.

Això provoca que la persona situada a B1 hagi de reorientar-se en la direcció d’A2. A continuació avança un tram en aquesta direcció fins a situar-se en B2. En aquest cas, la persona situada a C1 s’orientarà cap a B2 i avançarà fins a C2 en la direcció de B2, de manera que la persona situada a D1 s’orientarà cap a C2 i avançarà fins a D2 en la direcció de C2, de manera que...

108 noubiaix 39

La persona situada a A2 s’orientarà cap a D2 i avançarà fins a A3 amb el mateix criteri que abans. La persona situada a B2 s’orientarà cap a A3 i avançarà fins a B3. La persona situada a C2 s’orientarà cap a B3 i avançarà fins a C3. La persona situada a D2 s’orientarà cap a C3 i avançarà fins a D3. Continuant el mateix procediment, la persona situada a A3 passarà a A4, la situada a B3 passarà a B4, la situada a C3 passarà a C4 i la situada a D3 passarà a D4. Si es va repetint això d’una manera indefinida, s’observarà que les posicions de la persona A seran successivament A1, A2, A3, A4, A5..., les posicions de la persona B seran successivament B1, B2, B3, B4, B5..., les posicions de la persona C seran successivament C1, C2, C3, C4, C5... i les posicions de la persona D seran successivament D1, D2, D3, D4, D5... Aquestes posicions aniran convergint cap al centre i formaran un gràfic molt bonic (figura 3).

Figura 3. Posicions successives de les quatre persones.

Unint amb segments els punts de la figura 3 obtindrem una aproximació (a partir d’un procés discret, amb avenços no infinitesimals) a les corbes de persecució corresponents als quatre punts inicials. Vegeu la figura 4.

Figura 4. Perfils aproximats de les corbes de persecució a partir de quatre punts situats en els vèrtexs d’un quadrat.

desembre 2016 109

En la posada en pràctica d’aquest role-play amb alumnes cal tenir presents diverses coses: •

Els avenços es prenen inicialment d’un pas curt o d’un peu i, quan ens anem apropant cap al centre, es van fent més petits. No cal una precisió excessiva en aquestes mesures.

•

Per tal que vagin quedant assenyalades les corbes de persecució convé que darrere de cadascun dels quatre alumnes que van canviant de posició s’hi col·loqui un company amb un guix gruixut que vagi marcant els punts i unint-los amb petits segments o arcs.

•

Es pot fer una «construcció» similar prenent tres punts en els vèrtexs d’un triangle equilàter, o cinc punts en els vèrtexs d’un pentàgon regular o sis punts en els vèrtexs d’un hexàgon regular...

Del vol del falcó a l’espiral logarítmica La direcció de mirada òptima dels falcons és a 40◦ de l’eix del seu cap (vegeu la figura 5), de manera que, quan un falcó caça una presa, mentre avança en la direcció del seu bec ha de mantenir la visual de la presa sempre a 40◦ respecte de la direcció d’avenç.

Com serà la trajectòria del falcó en apropar-se a la seva presa? Aquesta pregunta és tota una invitació a un role-play molt interessant per fer al pati. Un alumne fa de falcó i un altre fa de presa, quiet en un punt. Donem a l’alumne que faci de falcó una petita estructura amb dos llistons de fusta formant un angle de 40◦ que assenyalin, respectivament, la direcció d’avenç i la de la mirada a la presa (això es pot substituir simplement per unes ulleres amb els vidres tapats llevat d’una escletxa a 40◦ ).

Direcció de mirada òptima

Direcció d’avenç

Direcció de mirada òptima

Figura 5. La direcció de mirada òptima del falcó està a 40◦ de l’eix del seu cap.

L’alumne-falcó ha d’avançar a petits passos i, després de cada pas, haurà de girar lleugerament per mantenir enfocada la presa a 40◦. Darrere d’aquest alumne, un altre anirà assenyalant amb un guix gruixut la seva trajectòria i observarem amb sorpresa que fa una espiral «diferent» de les que habitualment es dibuixen a classe, en la qual, per a cada punt, l’angle que forma la recta tangent a l’espiral i la recta que l’uneix amb la posició de la presa és constant. Es tracta de l’espiral logarítmica que es representa en la figura 6 i que fou estudiada per Jakob Bernoulli

110 noubiaix 39

(1654-1705) que, amb admiració, l’anomenava Spira mirabilis. Aquesta és una manera molt fàcil d’introduir una família de corbes tan bonica com interessant: les corbes amb angle constant. La seva expressió analítica depassa el nivell de secundària, però la idea d’aquest tipus de corbes és molt instructiva i pot ser entesa perfectament en aquesta etapa. Aquest role-play és un exemple ben il·lustratiu del fet que un bon recurs pot permetre introduir fàcilment continguts avançats que, explicats únicament a la pissarra, perdrien sentit. En casos com aquests, no ens hauria de fer por avançar idees; el que ens hauria de fer por seria avançar-ne la formalització.

Figura 6. El vol del falcó, en apropar-se a una presa, descriu una espiral logarítmica.

En aquesta secció del proper número del Nou Biaix proposarem més role-plays per a treballar idees matemàtiques.

desembre 2016 desembre 2016111 111

110 noubiaix 39

mmaca

el racó del mmaca

Longitud, àrea i volum Anton Aubanell

En aquest escrit ens proposem comentar quatre mòduls del Museu de Matemàtiques de Catalunya (MMACA) que formen una seqüència que convé que el visitant vagi passant d’una manera ordenada, ja que planteja un seguit de reptes encadenats amb algunes característiques comunes: •

Es proposen quatre reptes successius i relacionats cadascun dels quals convida a conjecturar, experimentar i obtenir una conclusió.

•

En tots els casos, fins i tot mitjançant el propi encadenament dels reptes, es vol generar una certa sorpresa en el visitant a través d’una discrepància entre el que probablement hagi conjecturat i el resultat de l’experiment. Serà aquesta sorpresa la que el convidarà a cercar respostes que vagin una mica més enllà de la seva intuïció inicial.

•

Tots els reptes tracten sobre proporcionalitat entre longituds de circumferències, àrees de cercles i volums de cilindres i esferes.

•

En quasi tots els casos, la relació entre els radis de les figures o els cossos que es comparen és 2:1. L’únic cas en què no és així és el segon dels reptes que componen el primer mòdul.

A continuació, analitzarem els quatre mòduls i els reptes que plantegen.

Mòdul 1 Aquest mòdul presenta dos reptes a través dels materials que es mostren en les figures 1 i 2.

En el primer repte es pregunta al visitant què tindrà més longitud, una circumferència de 30 cm de diàmetre o dues de 15 cm. Com es veu en la figura 1, en el mòdul es presenten les circumferències encaixades per posar en evidència la relació entre els diàmetres i s’hi inclou un cordó per a resseguir aquestes circumferències i poder comparar així, físicament, les seves longituds. Després de fer conjectures (que, en aquest cas, solen quedar força ben repartides

112 noubiaix 39

entre les tres possibilitats), amb el cordó es comprova que tenen la mateixa longitud. Es tracta d’un primer resultat sorprenent que convida al raonament següent formulat en termes més generals: Si R és el radi de la circumferència gran i r és el de la circumferència petita, de manera que R = 2r, és evident que la longitud de la circumferència gran és igual a la suma de la de les dues circumferències petites, ja que 2πR = 2π (2r) = 2 (2πr).

Figura 1. Comparació de longituds de circumferència amb relació 1:2 entre diàmetres.

Figura 2. Comparació de longituds de circumferència encaixades.

En el segon repte es pregunta al visitant què serà més gran, la longitud d’una circumferència de 30 cm de diàmetre o la suma de les longituds d’una de 10 cm de diàmetre i d’una de 20 cm de diàmetre. És una pregunta similar a l’anterior, però ara es tracta de dues circumferències «petites» diferents. Com es veu en la figura 2, en el mòdul es presenten també les circumferències encaixades per posar en evidència la relació entre els diàmetres i s’hi inclou un cordó per a resseguir aquestes circumferències i poder comparar així, físicament, les seves longituds. En aquest cas, les conjectures sorgeixen ràpidament i es decanten cap a la igualtat,

desembre 2016 113

que fàcilment es comprova amb el cordó. En termes generals, es pot fer el raonament següent per a justificar-ho: Si R és el radi de la circumferència gran i r1 i r2 són els radis de les petites, de manera que R = r1 + r2 , és evident que la longitud de la gran és igual a la suma de les longituds de les dues circumferències petites, ja que 2πR = 2π (r1 + r2 ) = 2πr1 + 2πr2 . Malgrat que, en aquest escrit, és natural que s’incloguin raonaments formals com l’anterior, en el context del MMACA, volem accentuar els aspectes més intuïtius de l’experiència matemàtica.

En el cas de visites escolars, segons el nivell educatiu, de retorn a l’escola, poden ser oportuns raonaments d’aquesta mena, però tenint sempre molta cura de no malmetre el valor de la intuïció, tan fràgil com potent en l’educació matemàtica.

Els dos reptes d’aquest mòdul tenen en comú la relació lineal que hi ha entre la longitud d’una circumferència i el seu radi.

Mòdul 2 Aquest mòdul també presenta dos reptes.

En el primer repte es mostra un tub de 20 cm de diàmetre i, al costat, dos de 10 cm de diàmetre (vegeu la figura 3), i es pregunta per on passarà més aire, pel tub de 20 cm o pels dos de 10 cm. La tendència inicial, alimentada pel resultat dels reptes del mòdul anterior, és decantar-se per la igualtat. Tanmateix, fent una secció dels tubs de manera que els dos petits quedin encaixats en els grans (figura 4), ja es veu que la secció del tub gran supera en molt la secció conjunta dels dos petits.

Figura 3. Comparació de seccions de tubs circulars.

Figura 4. Secció dels tubs encaixats.

114 noubiaix 39

El segon repte d’aquest mòdul convida el nostre visitant a quantificar tot preguntant-li quantes vegades la secció del tub gran és més gran que la del petit. És evident que més de dues! Després de conjecturar, procedirem a mesurar àrees d’una manera experimental emprant una estranya unitat, el cigró. Emplenarem la secció interior del tub petit amb cigrons (evitant forats i superposicions) i després situarem els mateixos cigrons en un dels dos espais que queden entre els tubs petits i el tub gran i descobrirem amb sorpresa que les dues àrees són iguals (figura 5). Així doncs, hem deduït experimentalment que la secció del tub gran és 4 vegades la del tub petit. Formalment això es demostra a partir de la relació quadràtica que hi ha entre l’àrea d’un cercle i el seu radi: Si R és el radi del cercle gran i r és el del cercle petit, de manera que R = 2r, és evident que l’àrea del cercle gran serà igual a 4 vegades la del cercle petit, ja que πR2 = π (2r)2 = 4πr2 .

Figura 5. Comparació d’àrees amb cigrons.

Mòdul 3 Aquest mòdul presenta unes balances i un conjunt de cilindres de fusta, tots de la mateixa altura, un dels quals té el diàmetre doble que els altres (un té 60 mm de diàmetre i la resta tenen 30 mm de diàmetre). Vegeu la figura 6.

Es pregunta al visitant quants cilindres petits caldrà posar en un dels platets de la balança per a equilibrar el cilindre gran posat en l’altre platet.

Amb aquesta qüestió, més òbvia potser que les anteriors, ens proposem consolidar la idea que havia sorgit de l’experiència del mòdul anterior.

Per això, és freqüent que es conjecturi que caldran 4 cilindres petits, com es podrà comprovar

Figura 6. Comparació d’àrees amb cigrons.

desembre 2016 115

fent l’experiment amb la balança. Això es deu al fet que la relació entre el volum d’un cilindre i el seu radi és quadràtica (recordem que l’altura és la mateixa). Naturalment, en la prova experimental, estem suposant que la densitat de la fusta de tots els cilindres és la mateixa per tal que la relació entre els volums sigui idèntica entre els pesos.

Mòdul 4 Aquest mòdul presenta també unes balances, però ara hi ha un conjunt d’esferes totes del mateix diàmetre (40 mm) llevat d’una que té el diàmetre doble que la resta (80 mm). Vegeu la figura 7. En aquest cas, com en el mòdul anterior, preguntem al visitant quantes esferes petites ens caldran per a equilibrar la gran, suposant com abans que la fusta de totes té la mateixa densitat.

Les conjectures inicials solen ser diverses: 4, 6, 8... Emprant la balança s’observa que calen 8 esferes petites per a equilibrar la gran. Això es dedueix a partir de la relació cúbica que hi ha entre el volum d’una esfera i el seu radi: Si R és el radi de l’esfera gran i r és el radi de la petita, de manera que R = 2r, el volum de l’esfera gran serà igual a 8 vegades el de la petita, ja que 4 πR3 = 43 π (2r)3 = 8 43 πr 3 .

3

Figura 7. Comparació dels volums d’esferes.

Observem que, llevat del segon repte del primer mòdul, en tots els casos la relació entre els radis de les circumferències, els cercles o les esferes que es comparen és 1:2 i que això implica que la relació entre les longituds també sigui de 1:2, que la relació entre les àrees sigui de 1:22 i que la relació entre els volums sigui de 1:23 .

Es tracta de quatre mòduls encadenats que permeten descobrir experimentalment unes relacions de proporcionalitat entre longituds, àrees i volums que són molt interessants per al públic general i que poden oferir un bon suport acadèmic per als nostres visitants escolars, especialment si es té en compte que formen un recorregut transversal a través d’idees (longitud, àrea, volum) que sovint es tracten en unitats didàctiques separades.

116 noubiaix 39

creamat

el racó del cesire-creamat

Saber matemàtiques. Ensenyar matemàtiques (araMAT) Un dels objectius clau del nostre ofici d’ensenyants, si no és «l’objectiu clau», és que els nostres alumnes aprenguin matemàtiques. No estem parlant d’explicar matemàtiques, sinó de facilitar que l’alumnat adquireixi un bon nivell de competència matemàtica partint de la pròpia acció i la pròpia experiència. Per aconseguir-ho, proposem a l’aula diferents activitats i les treballem d’una manera diversa. A més, intentem utilitzar una gamma variada de recursos.

D’altra banda, l’actuació del mestre consistirà a acompanyar els alumnes en la realització de les tasques, a orientar-los, a proposar ampliacions de les activitats o a seguir els nous interrogants que plantegin. Conduirem debats i discussions, ajudarem a contrastar argumentacions... De tant en tant, també «explicarem»; entre altres moments, quan calgui formalitzar. En conjunt, una manera de fer complexa i que, pel fet que es propiciï que sigui l’alumne qui construeixi el seu propi coneixement, no redueix el nostre paper actiu a l’aula. El canvi més notable fa referència a la nostra manera d’interactuar. Però, recordem, les nostres intervencions sempre han d’orientar-se a l’objectiu que en resulti un aprenentatge matemàtic. Per arribar-hi, ens cal un doble coneixement sobre les matemàtiques que han d’aprendre els nostres alumnes: el dels conceptes i procediments que volem treballar i el de la seva didàctica. I aquest doble coneixement ha de ser equilibrat. Si no sabem la matemàtica subjacent en una activitat, no la conduirem d’una manera adequada a l’aula. Si no tenim una idea clara sobre com conduir les activitats, tampoc no ens servirà saber molta matemàtica. Un dels temes que ens ha de preocupar i ocupar ha de ser que tant la formació inicial del professorat com la continuada garanteixin aquest doble coneixement professionalment necessari.

Si fem una mirada a la formació inicial, observarem que no és fàcil garantir aquest equilibri. En el cas de la secundària, per exemple, constatarem que la substitució de l’antic CAP pels nous màsters és una millora, especialment orientada als aspectes didàctics. Però també veurem que si, des dels propis estudis de grau i en determinades branques, s’incorporés l’educació com una possibilitat d’especialització, el pas cap a la millora didàctica seria molt més gran.

Alhora cal recordar que no necessàriament hem de donar per garantit el coneixement matemàtic pur en els aspirants a professors de matemàtiques de secundària. De fet, després de constatar en les primeres promocions que en alguns casos específics hi havia dèficits en aquest aspecte, s’ha hagut d’implantar una prova inicial que és de caràcter obligatori segons el grau d’origen (PAP). A més, en aquesta línia de doble formació, podem esmentar que el Cesire-Creamat va col·laborar durant el curs 2015-2016 en el disseny d’un curs de geometria, amb la participació de la UOC, per a professorat de secundària i que va tenir més de 360 inscripcions: Orientacions pràctiques per a la millora de la geometria a l’ESO.

desembre 2016 117

Sessió del màster de formació del professorat de secundària de matemàtiques.

El cas de la primària, al qual dedicarem la resta de l’article, té altres característiques. Per exemple, referint-nos de nou a la formació inicial, també s’han evidenciat mancances en el coneixement matemàtic dels aspirants a mestres i, així, difícilment es pot avançar en l’estudi de la didàctica. Aquí les causes són altres i, en molts casos, provenen de la pèrdua de contacte amb les matemàtiques durant l’educació secundària postobligatòria. Aquest problema no es pot resoldre suficientment durant els estudis de grau (aprendre matemàtiques/aprendre’n la didàctica). Properament s’aplicarà una prova d’aptitud personal (PAP) als estudiants que vulguin començar a fer els estudis de grau de mestre de primària el curs 2017-2018. Aquesta «prova filtre» ja es fa sobre el coneixement de la llengua. Lluny de ser una solució, tampoc no ataca la clau del problema: la manca d’una especialització final reconeguda en educació matemàtica.

Als centres de primària, encara hi hem de sumar un altre aspecte. Els especialistes en ciències i matemàtiques de l’antiga EGB ja no estan majoritàriament en actiu a les escoles: uns van passar a secundària i d’altres s’han anat jubilant. Aquests especialistes sovint jugaven un paper important, ja que servien de referent en els propis centres i podien orientar i dinamitzar la manera de treballar les matemàtiques a tota l’escola. Aquesta manca de mestres de referència també afecta altres àrees com la llengua, les ciències de la natura, les socials o l’educació plàstica, però no sembla una problemàtica tan greu, sinó que, més o menys naturalment, s’arriba a un cert equilibri en els centres per tal de trobar algun mestre amb una predisposició especial cap a aquestes matèries, cosa que fa que el dèficit conjunt no sigui tan alarmant. Però en el cas de les matemàtiques no sembla ser així.

Quina és la realitat que ha produït la confluència d’aquests dos fets: de la desaparició de «vells» especialistes, per un costat, i de la manca d’incorporació de «nous», per l’altre? Un dèficit en l’orientació de l’educació matemàtica a les escoles. I un dèficit que sovint prové d’una manca

118 noubiaix 39

de domini del propi contingut matemàtic a treballar i que afecta la manera de treballar a classe.

Actualment no és difícil accedir a un gran ventall d’activitats matemàtiques potencialment molt riques, però per treure’ls tot el profit hem de conèixer bé les matemàtiques que hi porten.

En positiu, hem de dir que, cada vegada més, es nota una preocupació a les escoles per la millora de l’ensenyament de les matemàtiques. Els mestres mateixos s’han conscienciat sobre aquest problema. La prova és l’èxit de la participació en les diferents propostes formatives en educació matemàtica: jornades, cursos... o el darrer Congrés d’Educació Matemàtica (C2EM), amb més d’una quarta part d’inscripció de primària.

«Ara matemàtiques» 1a fase Des del Cesire-Creamat sempre hem procurat tenir una atenció especial a fer intervencions formatives adreçades a l’educació infantil i primària. Tot i pensar que en la seva essència, en la seva naturalesa general, les propostes didàctiques no han de ser diferents en les diverses etapes educatives, sí que hi ha especificitats que mereixen ser tractades d’una manera separada. Així, al web del Creamat podeu trobar, per a esmentar-ne un exemple, els vídeos del cicle de conferències sobre càlcul a primària, el treball en geometria o l’ús de contextos en educació infantil (http://srvcnpbs.xtec.cat/creamat/joomla/index.php/formacio-creamat).

Un altre dels models formatius en el qual hem participat ha estat l’elaboració de tres itineraris guiats de formació interna de centre (FIC) per a primària dedicats a la competència matemàtica, al càlcul i a la resolució de problemes. Per a secundària, n’hi ha dos més d’orientats a la competència matemàtica i a la geometria. Aquest model de «formació sense formador» és una ajuda a la construcció d’acords de centre al voltant d’aquests temes, acords que poden vertebrar l’enfocament global de l’escola sobre la manera de treballar les matemàtiques amb uns criteris unificats i consensuats per tothom. En general, podem dir que s’han mostrat útils per als centres que els han realitzat. Però aquests itineraris s’enfoquen més als aspectes relatius a la didàctica que a la formació directa en continguts. És durant el curs 2014-2015 que, a partir tant de la percepció de la preocupació dels mestres «per no saber prou matemàtiques» com de la pròpia iniciativa del Departament d’Ensenyament, del qual formem part, que comencem a bastir un projecte general per a la millora de les matemàtiques a l’educació primària que, entre altres aspectes com la promoció del Cangur de Primària, atengui una formació en continguts. Aquesta formació es va concretar el curs 2015-2016 en el disseny i pilotatge d’un primer mòdul formatiu que es va anomenar «Ara Matemàtiques: Saber-ne més per ensenyar-les millor». Pensem que és interessant explicar com es va preparar i portar a terme aquesta formació.

En una primera fase, amb la col·laboració més que desinteressada de Carme Burgués i David Barba, es va acordar un marc general basat en certes idees clau. En destaquem algunes: •

Al curs, tot i tenir com a eix central la millora en continguts, haurien de tenir un pes cabdal els aspectes didàctics relacionats.

•

S’haurien de basar en activitats de caràcter obert i que permetin el desenvolupament competencial.

desembre 2016 119

•

D’una manera transversal s’hauria de destacar el paper dels processos (resolució de problemes, raonament i prova, comunicació i representació, connexions).

•

Es potenciaria l’ús de materials manipulables i d’eines digitals.

•

S’analitzarien produccions d’alumnes.

També es van decidir els temes de cadascuna de les cinc sessions d’aquest primer mòdul: sentit numèric, operacions (multiplicació i divisió), geometria plana, geometria de l’espai i patrons i relacions.

Exemple d’activitat del curs.

En una segona fase es va crear un grup de treball, d’àmplia representació territorial, constituït per deu parelles d’educadors. Cada parella estava integrada per una persona amb un perfil més orientat cap a la formació inicial i una altra amb relació directa a l’aula i amb experiència en formació continuada. Hem de destacar i agrair la gran implicació en el projecte de tot l’equip. Per preparar els materials de cada sessió específica es van fer subgrups de quatre persones que després van compartir les seves propostes amb la resta. Aquesta fase va ocupar tot el primer trimestre. Finalment, durant el segon i tercer trimestre, es van dur a terme, en fase de pilotatge, deu cursos de quinze hores en CRP de cadascun dels serveis territorials existents. Així, es van fer cursos a Barcelona, Tarragona, Girona, Tàrrega, Rubí, Badalona, Manresa, Granollers, Amposta i Sant Feliu de Llobregat, i alguns es van duplicar per la seva gran demanda. A cada curs hi eren presents els dos formadors i a tots, amb petites adaptacions, es van utilitzar els mateixos materials de base. D’aquesta manera es va crear un model de curs unificat, però no monolític, dotat també d’una certa flexibilitat.

Les valoracions generals del curs van ser molt positives i, en tot cas, es va constatar que les quinze hores de durada van quedar curtes i que calia ampliar-les. Aquestes valoracions, juntament amb la dels formadors, ens han permès confirmar la seva necessitat i veure que la diagnosi prèvia del problema no anava desencaminada.

120 noubiaix 39

La continuació en el curs 2016-2017 Per a aquest curs s’estan atenent quatre fronts: •

El disseny i pilotatge del segon mòdul del curs amb un sistema semblant al del primer.

Una de les modificacions és que la durada del curs augmentarà en cinc hores i passarà de quinze a vint. Les sessions es dedicaran a altres camps de continguts com les relacions pla-espai, estadística i probabilitat, així com a l’aprofundiment en altres aspectes del sentit numèric o de les operacions. Aquest segon mòdul es durà a terme als mateixos llocs on es va fer el primer per propiciar-ne la continuïtat.

•

La repetició, durant el primer trimestre, del mòdul 1 als deu serveis territorials, però en CRP diferents. Són a càrrec d’aquesta formació part dels membres de l’equip del curs 2015-2016. D’aquesta manera, es continua fent extensiu aquest model formatiu.

•

La realització d’un curs específic per a preparar nous educadors que puguin replicar el primer mòdul en el futur. Bàsicament, aquesta formació es farà incorporant-los com a formadors-col·laboradors als cursos del primer mòdul que es duen a terme als diferents serveis territorials, a més de la posada en funcionament d’algunes sessions específiques amb tot el grup.

•

La creació d’una xarxa de treball amb els mestres que van assistir als cursos del mòdul realitzat durant el curs 2015-2016. L’objectiu bàsic és portar a l’aula un conjunt d’activitats que se’ls proposaran i recollir produccions d’alumnes per poder presentar models de gestió de l’activitat i d’interpretació de resultats.

Primera sessió del curs de nous formadors.

I després?

Aquí, de moment, hem de parlar més de les línies que estem dibuixant (setembre de 2016) i que esperem que, en el moment de la publicació d’aquest article, puguin estar més concretades.

desembre 2016 121

A més d’un aspecte evident, que és l’extensió en nombre dels cursos dels dos primers mòduls, s’està pensant en la continuació amb un objectiu a més llarg termini i que apuntàvem com una necessitat a l’inici de l’article: recuperar els «mestres de referència» en matemàtiques. D’aquí que els possibles futurs mòduls no atenguin ja només el reforçament en el coneixement del contingut matemàtic, sinó que entrin en la seva anàlisi per poder aprofundir en les connexions, en la seva seqüenciació, en les característiques d’aquells que són clau per a poder progressar en l’aprenentatge, així com en aspectes com la dinamització de centre. En un moment en què s’han començat a definir i reconèixer determinats perfils professionals no és exagerat somiar que en un futur pugui existir-ne un de relacionat amb les matemàtiques.

Si més no, ens hi hem d’anar encaminant.

construint 104 104 noubiaix 39

construint matemàtiques

Nosaltres com a recurs: role-plays a classe de matemàtiques (1) Anton Aubanell claudio.alsina@upc.edu Un company de ciències experimentals, Adolf Cortel, em comentava fa temps que tenia la sensació que com més muscles mou un alumne per fer un aprenentatge millor el fa. La veritat és que el moviment fa que l’alumne tingui un paper més actiu en l’experiència i que les idees que es posen en joc tinguin un suport vivencial molt més potent.

En aquesta secció, ens hem referit repetidament a recursos didàctics de tipus material. Avui analitzarem les possibilitats didàctiques d’uns «materials» molt especials: nosaltres mateixos, alumnes i professors, i ens convertirem en recursos adoptant el paper d’entitats matemàtiques i comportant-nos en coherència amb aquest rol. Sovint s’utilitza l’expressió role-play amb referència a aquest tipus d’activitats en què cada participant adopta el paper d’un personatge i actua en conseqüència. En català potser es podria parlar d’actuació, d’escenificació, de dramatització, de representació, d’interpretació, de simulació...

Hi ha bons exemples escolars de teatralització d’escenes de la història de la matemàtica o de biografies de matemàtics. Aquest tipus de representacions no seran objecte de la nostra atenció. En aquest escrit i en el del proper número del NouBiaix ens centrarem en role-plays en què els alumnes representaran ens matemàtics i, a través de la seva posició, de la seva relació o de la seva acció, donaran vida, realitat dinàmica, a situacions matemàtiques de les quals emergiran idees rellevants des del punt de vista didàctic. Es tracta, doncs, de realitzar simulacions de fets que passen en el món de les matemàtiques fent el paper d’éssers matemàtics com ara nombres, punts, funcions...

En alguns casos, hi participarà tot l’alumnat; en d’altres, alguns alumnes seran espectadors.

Tanmateix, aquest tipus d’activitats són molt inclusives. Ningú queda exclòs d’una experiència viscuda d’una manera directa encara que les interpretacions dels uns i dels altres puguin ser més o menys significatives.

Cal tenir en compte que, després d’un role-play, cal donar-nos un temps per a posar paraules a les idees, compartir-les amb el grup (en-raonant raonem), perfilar conceptes i, si cal, for-

desembre 2016 105

malitzar-los. Per als alumnes es pot comparar aquest procés amb el d’elaboració d’un reportatge periodístic després d’un esdeveniment esportiu. Poden fer petites cròniques d’unes poques línies a la llibreta i compartir-les millorant-ne el redactat. També pot haver-hi alumnes que hagin fet alguna fotografia. Els reportatges gràfics són benvinguts! Aquesta fase de conceptuació és clau per a aclarir, enriquir i recollir les idees treballades, així com per a deixar-ne un testimoni escrit o gràfic que ajudi a recordar-les. A vegades, aquestes narracions seran estrictament descriptives de les accions que s’han portat a terme, però és desitjable que també deixin constància de les idees que s’hi han posat en joc o de les descobertes fetes.

Els role-plays són unes de les activitats docents en què, d’una manera més clara, es posa de manifest la construcció col·lectiva d’un nou coneixement, harmonitzant accions individuals en una representació conjunta que hi aporta valor afegit.

A continuació es presenta una petita mostra (que es continuarà en el proper número del Nou Biaix) de role-plays d’aquesta mena referits a temes matemàtics diversos (curriculars i no curriculars) per a nivells distints i que plantegen diferents dinàmiques. En cada cas, d’una manera més o menys breu, s’intentarà descriure el paper que representa cada participant, què ha de fer, què s’observa, què es descobreix...

Representació d’algorismes: ordenació pel mètode de la bombolla Mai s’insistirà prou en la importància de poder incorporar algunes pinzellades de programació en el treball escolar. Des dels robotets a l’Scratch i a altres llenguatges menys gràfics, actualment hi ha possibilitats molt suggeridores en aquest sentit. La programació és una manera de «fer realitat» algorismes que concreten estratègies per a assolir objectius. Les dimensions curriculars de resolució de problemes, de comunicació i representació, de raonament i prova i de connexions poden fer-se molt presents en aquest tipus d’activitats. Un algorisme d’ordenació especialment elegant i instructiu (encara que no pas el més eficient) és el de la bombolla que, partint d’una llista de nombres (emmagatzemada en forma de vector), consisteix a anar fent successius «rastreigs» de manera que, en cadascun, portem cap a les posicions de més a la dreta el terme més gran. Es tracta de fer dos processos iteratius amb comparacions entre termes consecutius i, en cas que calgui, intercanvi de posicions. Una excel·lent manera d’entendre aquest algorisme és representar-lo amb persones. En un grup de deu o dotze alumnes es demana que cadascun representi un nombre (escollit lliurement) i que l’escrigui en un full ben visible. Es posen en fila aleatòriament i pretenem ordenar-los de manera que el més petit estigui a l’esquerra i el més gran a la dreta. Comencem per l’alumne de més a l’esquerra i el comparem (identifiquem l’alumne amb el nombre que representa) amb el del seu costat. Si aquest és més gran o igual, els deixem en la mateixa posició en què estan; si és més petit, els intercanviem. Després fem el mateix amb la parella formada pel segon alumne (que potser acaba d’ocupar aquesta posició com a resultat de l’intercanvi anterior) i el tercer, més tard amb la parella formada pel tercer i el quart i així successivament fins a arribar als dos alumnes de més a la dreta. Com a resultat d’aquest procés, el nombre més gran haurà quedat en la primera posició de la dreta. Ara tornem a començar per l’esquerra fent el mateix, però seguit d’intercanvis fins a arribar a la segona posició començant per la dreta (ja que l’última posició està ocupada pel més gran), en la qual quedarà col·locat el nombre més gran zona «rastrejada». Un cop fet això ja tindrem situats a la dreta els dos termes més grans, ordenats. Anant-ho repetint amb tot el grup de nombres que queden a l’esquerra, anem

106 noubiaix 39

«fent pujar» els més grans cap a la dreta, talment les bombolles van enfilant-se per les parets d’un got d’aigua amb gas. Es tracta d’un procediment d’ordenació molt bonic i intuïtiu que, un cop representat i entès, pot ser implementat a través d’un petit programa.

A Youtube hi ha un vídeo realitzat per un grup de la Sapientia University de Tirgu Mures (Romania) representant aquest role-play tot ballant una dansa folklòrica hongaresa: https://www.youtube.com/watch?v=lyZQPjUT5B4.

Aquesta proposta vol ser un petit homenatge (reivindicatiu) a l’enyorada programació en la qual la representació de les instruccions a través de role plays és un recurs molt eficaç.

Construcció de la corba tractriu Necessitem un objecte una mica pesat (però que es pugui arrossegar) que tingui lligat un tros llarg de cordill (per concretar, suposarem que és d’una longitud de 5 m, però, segons lloc on ho fem, pot tenir altres longituds). En un espai ampli assenyalem dos eixos de coordenades cartesianes (podem emprar les juntures de l’enrajolat, per exemple, o línies de senyalització de camps d’esport). Situem l’objecte sobre un punt del semieix positiu d’ordenades a una distància de 5 m de l’origen, de manera que un alumne situat a l’origen subjecta el cordill tens (el cordill pot ser una mica més llarg per tal que es pugui agafar millor).

Llavors demanem a l’alumne que es desplaci sobre l’eix d’abscisses, en el sentit positiu, tot arrossegant l’objecte i fent que el cordill de 5 m sempre es mantingui tens. A mesura que l’alumne es vagi desplaçant, l’objecte anirà descrivint una trajectòria que, en cada punt, serà tangent al cordill i que s’aproparà asimptòticament a l’eix d’abscisses. Si tornem a fer el mateix, però desplaçant-se l’alumne en el sentit d’abscisses negatives, l’objecte descriurà una trajectòria simètrica a l’anterior respecte de l’eix d’ordenades. La corba formada per aquestes dues trajectòries s’anomena corba tractriu, una corba amb una bonica relació amb la catenària que fou estudiada ja per Newton i Huygens (figura 1). La deducció de l’expressió analítica d’aquesta corba depassa els continguts de secundària; tanmateix la seva construcció pràctica, a través d’aquesta representació, pot ser instructiva per a il·lustrar dinàmicament conceptes com el de recta tangent o el comportament asimptòtic tot mostrant una aplicació pràctica de les gràfiques de funcions.

Figura 1. Corba tractriu prenent una distància de 5 unitats.

desembre 2016 107

És important que l’objecte sigui pesat per tal que es vagi mantenint sempre el cordill tens. Si es fa sobre sorra, el rastre ja va quedant dibuixat. Si es fa sobre una altra superfície, un alumne pot anar resseguint amb guix gruixut la trajectòria que segueix l’objecte arrossegat. Amb aquesta construcció viscuda, el nom tractriu queda ben justificat, i també el fet que formi part de la família de corbes de persecució a altres membres de la qual parla l’apartat següent.

Representació de corbes de persecució Quatre persones (A, B, C i D) se situen inicialment en els vèrtexs d’un quadrat que indicarem, respectivament, per A1, B1, C1 i D1 (primera posició de cadascuna d’elles). Vegeu la figura 2.

B té la instrucció de situar-se sempre mirant en la direcció d’A. C té la instrucció de situar-se sempre mirant en la direcció de B. D té la instrucció de situar-se sempre mirant en la direcció de C. A té la instrucció de situar-se sempre mirant en la direcció de D. Llavors A es desplaça des d’A1 fins a A2, avançant un tram en direcció a D. En la construcció gràfica que es mostra, els trams d’avenç s’han agafat sempre iguals a una dècima part de la separació entre la posició inicial i el punt on està situada la persona en la direcció de la qual s’avança. Així,

Figura 2. Quatre punts que, partint dels vèrtexs d’un quadrat, es persegueixen mútuament d’una manera cíclica.

Això provoca que la persona situada a B1 hagi de reorientar-se en la direcció d’A2. A continuació avança un tram en aquesta direcció fins a situar-se en B2. En aquest cas, la persona situada a C1 s’orientarà cap a B2 i avançarà fins a C2 en la direcció de B2, de manera que la persona situada a D1 s’orientarà cap a C2 i avançarà fins a D2 en la direcció de C2, de manera que...

108 noubiaix 39

La persona situada a A2 s’orientarà cap a D2 i avançarà fins a A3 amb el mateix criteri que abans. La persona situada a B2 s’orientarà cap a A3 i avançarà fins a B3. La persona situada a C2 s’orientarà cap a B3 i avançarà fins a C3. La persona situada a D2 s’orientarà cap a C3 i avançarà fins a D3. Continuant el mateix procediment, la persona situada a A3 passarà a A4, la situada a B3 passarà a B4, la situada a C3 passarà a C4 i la situada a D3 passarà a D4. Si es va repetint això d’una manera indefinida, s’observarà que les posicions de la persona A seran successivament A1, A2, A3, A4, A5..., les posicions de la persona B seran successivament B1, B2, B3, B4, B5..., les posicions de la persona C seran successivament C1, C2, C3, C4, C5... i les posicions de la persona D seran successivament D1, D2, D3, D4, D5... Aquestes posicions aniran convergint cap al centre i formaran un gràfic molt bonic (figura 3).

Figura 3. Posicions successives de les quatre persones.

Unint amb segments els punts de la figura 3 obtindrem una aproximació (a partir d’un procés discret, amb avenços no infinitesimals) a les corbes de persecució corresponents als quatre punts inicials. Vegeu la figura 4.

Figura 4. Perfils aproximats de les corbes de persecució a partir de quatre punts situats en els vèrtexs d’un quadrat.

desembre 2016 109

En la posada en pràctica d’aquest role-play amb alumnes cal tenir presents diverses coses: •

Els avenços es prenen inicialment d’un pas curt o d’un peu i, quan ens anem apropant cap al centre, es van fent més petits. No cal una precisió excessiva en aquestes mesures.

•

Per tal que vagin quedant assenyalades les corbes de persecució convé que darrere de cadascun dels quatre alumnes que van canviant de posició s’hi col·loqui un company amb un guix gruixut que vagi marcant els punts i unint-los amb petits segments o arcs.

•

Es pot fer una «construcció» similar prenent tres punts en els vèrtexs d’un triangle equilàter, o cinc punts en els vèrtexs d’un pentàgon regular o sis punts en els vèrtexs d’un hexàgon regular...

Del vol del falcó a l’espiral logarítmica La direcció de mirada òptima dels falcons és a 40◦ de l’eix del seu cap (vegeu la figura 5), de manera que, quan un falcó caça una presa, mentre avança en la direcció del seu bec ha de mantenir la visual de la presa sempre a 40◦ respecte de la direcció d’avenç.

Com serà la trajectòria del falcó en apropar-se a la seva presa? Aquesta pregunta és tota una invitació a un role-play molt interessant per fer al pati. Un alumne fa de falcó i un altre fa de presa, quiet en un punt. Donem a l’alumne que faci de falcó una petita estructura amb dos llistons de fusta formant un angle de 40◦ que assenyalin, respectivament, la direcció d’avenç i la de la mirada a la presa (això es pot substituir simplement per unes ulleres amb els vidres tapats llevat d’una escletxa a 40◦ ).

Direcció de mirada òptima

Direcció d’avenç

Direcció de mirada òptima

Figura 5. La direcció de mirada òptima del falcó està a 40◦ de l’eix del seu cap.

L’alumne-falcó ha d’avançar a petits passos i, després de cada pas, haurà de girar lleugerament per mantenir enfocada la presa a 40◦. Darrere d’aquest alumne, un altre anirà assenyalant amb un guix gruixut la seva trajectòria i observarem amb sorpresa que fa una espiral «diferent» de les que habitualment es dibuixen a classe, en la qual, per a cada punt, l’angle que forma la recta tangent a l’espiral i la recta que l’uneix amb la posició de la presa és constant. Es tracta de l’espiral logarítmica que es representa en la figura 6 i que fou estudiada per Jakob Bernoulli

110 noubiaix 39

(1654-1705) que, amb admiració, l’anomenava Spira mirabilis. Aquesta és una manera molt fàcil d’introduir una família de corbes tan bonica com interessant: les corbes amb angle constant. La seva expressió analítica depassa el nivell de secundària, però la idea d’aquest tipus de corbes és molt instructiva i pot ser entesa perfectament en aquesta etapa. Aquest role-play és un exemple ben il·lustratiu del fet que un bon recurs pot permetre introduir fàcilment continguts avançats que, explicats únicament a la pissarra, perdrien sentit. En casos com aquests, no ens hauria de fer por avançar idees; el que ens hauria de fer por seria avançar-ne la formalització.

Figura 6. El vol del falcó, en apropar-se a una presa, descriu una espiral logarítmica.

En aquesta secció del proper número del Nou Biaix proposarem més role-plays per a treballar idees matemàtiques.

desembre 2016 desembre 2016111 111

110 noubiaix 39

mmaca

el racó del mmaca

Longitud, àrea i volum Anton Aubanell

En aquest escrit ens proposem comentar quatre mòduls del Museu de Matemàtiques de Catalunya (MMACA) que formen una seqüència que convé que el visitant vagi passant d’una manera ordenada, ja que planteja un seguit de reptes encadenats amb algunes característiques comunes: •

Es proposen quatre reptes successius i relacionats cadascun dels quals convida a conjecturar, experimentar i obtenir una conclusió.

•

En tots els casos, fins i tot mitjançant el propi encadenament dels reptes, es vol generar una certa sorpresa en el visitant a través d’una discrepància entre el que probablement hagi conjecturat i el resultat de l’experiment. Serà aquesta sorpresa la que el convidarà a cercar respostes que vagin una mica més enllà de la seva intuïció inicial.

•

Tots els reptes tracten sobre proporcionalitat entre longituds de circumferències, àrees de cercles i volums de cilindres i esferes.

•

En quasi tots els casos, la relació entre els radis de les figures o els cossos que es comparen és 2:1. L’únic cas en què no és així és el segon dels reptes que componen el primer mòdul.

A continuació, analitzarem els quatre mòduls i els reptes que plantegen.

Mòdul 1 Aquest mòdul presenta dos reptes a través dels materials que es mostren en les figures 1 i 2.

En el primer repte es pregunta al visitant què tindrà més longitud, una circumferència de 30 cm de diàmetre o dues de 15 cm. Com es veu en la figura 1, en el mòdul es presenten les circumferències encaixades per posar en evidència la relació entre els diàmetres i s’hi inclou un cordó per a resseguir aquestes circumferències i poder comparar així, físicament, les seves longituds. Després de fer conjectures (que, en aquest cas, solen quedar força ben repartides

112 noubiaix 39

entre les tres possibilitats), amb el cordó es comprova que tenen la mateixa longitud. Es tracta d’un primer resultat sorprenent que convida al raonament següent formulat en termes més generals: Si R és el radi de la circumferència gran i r és el de la circumferència petita, de manera que R = 2r, és evident que la longitud de la circumferència gran és igual a la suma de la de les dues circumferències petites, ja que 2πR = 2π (2r) = 2 (2πr).

Figura 1. Comparació de longituds de circumferència amb relació 1:2 entre diàmetres.

Figura 2. Comparació de longituds de circumferència encaixades.

En el segon repte es pregunta al visitant què serà més gran, la longitud d’una circumferència de 30 cm de diàmetre o la suma de les longituds d’una de 10 cm de diàmetre i d’una de 20 cm de diàmetre. És una pregunta similar a l’anterior, però ara es tracta de dues circumferències «petites» diferents. Com es veu en la figura 2, en el mòdul es presenten també les circumferències encaixades per posar en evidència la relació entre els diàmetres i s’hi inclou un cordó per a resseguir aquestes circumferències i poder comparar així, físicament, les seves longituds. En aquest cas, les conjectures sorgeixen ràpidament i es decanten cap a la igualtat,

desembre 2016 113

que fàcilment es comprova amb el cordó. En termes generals, es pot fer el raonament següent per a justificar-ho: Si R és el radi de la circumferència gran i r1 i r2 són els radis de les petites, de manera que R = r1 + r2 , és evident que la longitud de la gran és igual a la suma de les longituds de les dues circumferències petites, ja que 2πR = 2π (r1 + r2 ) = 2πr1 + 2πr2 . Malgrat que, en aquest escrit, és natural que s’incloguin raonaments formals com l’anterior, en el context del MMACA, volem accentuar els aspectes més intuïtius de l’experiència matemàtica.

En el cas de visites escolars, segons el nivell educatiu, de retorn a l’escola, poden ser oportuns raonaments d’aquesta mena, però tenint sempre molta cura de no malmetre el valor de la intuïció, tan fràgil com potent en l’educació matemàtica.

Els dos reptes d’aquest mòdul tenen en comú la relació lineal que hi ha entre la longitud d’una circumferència i el seu radi.

Mòdul 2 Aquest mòdul també presenta dos reptes.

En el primer repte es mostra un tub de 20 cm de diàmetre i, al costat, dos de 10 cm de diàmetre (vegeu la figura 3), i es pregunta per on passarà més aire, pel tub de 20 cm o pels dos de 10 cm. La tendència inicial, alimentada pel resultat dels reptes del mòdul anterior, és decantar-se per la igualtat. Tanmateix, fent una secció dels tubs de manera que els dos petits quedin encaixats en els grans (figura 4), ja es veu que la secció del tub gran supera en molt la secció conjunta dels dos petits.

Figura 3. Comparació de seccions de tubs circulars.

Figura 4. Secció dels tubs encaixats.

114 noubiaix 39

El segon repte d’aquest mòdul convida el nostre visitant a quantificar tot preguntant-li quantes vegades la secció del tub gran és més gran que la del petit. És evident que més de dues! Després de conjecturar, procedirem a mesurar àrees d’una manera experimental emprant una estranya unitat, el cigró. Emplenarem la secció interior del tub petit amb cigrons (evitant forats i superposicions) i després situarem els mateixos cigrons en un dels dos espais que queden entre els tubs petits i el tub gran i descobrirem amb sorpresa que les dues àrees són iguals (figura 5). Així doncs, hem deduït experimentalment que la secció del tub gran és 4 vegades la del tub petit. Formalment això es demostra a partir de la relació quadràtica que hi ha entre l’àrea d’un cercle i el seu radi: Si R és el radi del cercle gran i r és el del cercle petit, de manera que R = 2r, és evident que l’àrea del cercle gran serà igual a 4 vegades la del cercle petit, ja que πR2 = π (2r)2 = 4πr2 .

Figura 5. Comparació d’àrees amb cigrons.

Mòdul 3 Aquest mòdul presenta unes balances i un conjunt de cilindres de fusta, tots de la mateixa altura, un dels quals té el diàmetre doble que els altres (un té 60 mm de diàmetre i la resta tenen 30 mm de diàmetre). Vegeu la figura 6.

Es pregunta al visitant quants cilindres petits caldrà posar en un dels platets de la balança per a equilibrar el cilindre gran posat en l’altre platet.

Amb aquesta qüestió, més òbvia potser que les anteriors, ens proposem consolidar la idea que havia sorgit de l’experiència del mòdul anterior.

Per això, és freqüent que es conjecturi que caldran 4 cilindres petits, com es podrà comprovar

Figura 6. Comparació d’àrees amb cigrons.

desembre 2016 115

fent l’experiment amb la balança. Això es deu al fet que la relació entre el volum d’un cilindre i el seu radi és quadràtica (recordem que l’altura és la mateixa). Naturalment, en la prova experimental, estem suposant que la densitat de la fusta de tots els cilindres és la mateixa per tal que la relació entre els volums sigui idèntica entre els pesos.

Mòdul 4 Aquest mòdul presenta també unes balances, però ara hi ha un conjunt d’esferes totes del mateix diàmetre (40 mm) llevat d’una que té el diàmetre doble que la resta (80 mm). Vegeu la figura 7. En aquest cas, com en el mòdul anterior, preguntem al visitant quantes esferes petites ens caldran per a equilibrar la gran, suposant com abans que la fusta de totes té la mateixa densitat.

Les conjectures inicials solen ser diverses: 4, 6, 8... Emprant la balança s’observa que calen 8 esferes petites per a equilibrar la gran. Això es dedueix a partir de la relació cúbica que hi ha entre el volum d’una esfera i el seu radi: Si R és el radi de l’esfera gran i r és el radi de la petita, de manera que R = 2r, el volum de l’esfera gran serà igual a 8 vegades el de la petita, ja que 4 πR3 = 43 π (2r)3 = 8 43 πr 3 .

3

Figura 7. Comparació dels volums d’esferes.

Observem que, llevat del segon repte del primer mòdul, en tots els casos la relació entre els radis de les circumferències, els cercles o les esferes que es comparen és 1:2 i que això implica que la relació entre les longituds també sigui de 1:2, que la relació entre les àrees sigui de 1:22 i que la relació entre els volums sigui de 1:23 .

Es tracta de quatre mòduls encadenats que permeten descobrir experimentalment unes relacions de proporcionalitat entre longituds, àrees i volums que són molt interessants per al públic general i que poden oferir un bon suport acadèmic per als nostres visitants escolars, especialment si es té en compte que formen un recorregut transversal a través d’idees (longitud, àrea, volum) que sovint es tracten en unitats didàctiques separades.

116 noubiaix 39

creamat

el racó del cesire-creamat

Saber matemàtiques. Ensenyar matemàtiques (araMAT) Un dels objectius clau del nostre ofici d’ensenyants, si no és «l’objectiu clau», és que els nostres alumnes aprenguin matemàtiques. No estem parlant d’explicar matemàtiques, sinó de facilitar que l’alumnat adquireixi un bon nivell de competència matemàtica partint de la pròpia acció i la pròpia experiència. Per aconseguir-ho, proposem a l’aula diferents activitats i les treballem d’una manera diversa. A més, intentem utilitzar una gamma variada de recursos.

D’altra banda, l’actuació del mestre consistirà a acompanyar els alumnes en la realització de les tasques, a orientar-los, a proposar ampliacions de les activitats o a seguir els nous interrogants que plantegin. Conduirem debats i discussions, ajudarem a contrastar argumentacions... De tant en tant, també «explicarem»; entre altres moments, quan calgui formalitzar. En conjunt, una manera de fer complexa i que, pel fet que es propiciï que sigui l’alumne qui construeixi el seu propi coneixement, no redueix el nostre paper actiu a l’aula. El canvi més notable fa referència a la nostra manera d’interactuar. Però, recordem, les nostres intervencions sempre han d’orientar-se a l’objectiu que en resulti un aprenentatge matemàtic. Per arribar-hi, ens cal un doble coneixement sobre les matemàtiques que han d’aprendre els nostres alumnes: el dels conceptes i procediments que volem treballar i el de la seva didàctica. I aquest doble coneixement ha de ser equilibrat. Si no sabem la matemàtica subjacent en una activitat, no la conduirem d’una manera adequada a l’aula. Si no tenim una idea clara sobre com conduir les activitats, tampoc no ens servirà saber molta matemàtica. Un dels temes que ens ha de preocupar i ocupar ha de ser que tant la formació inicial del professorat com la continuada garanteixin aquest doble coneixement professionalment necessari.

Si fem una mirada a la formació inicial, observarem que no és fàcil garantir aquest equilibri. En el cas de la secundària, per exemple, constatarem que la substitució de l’antic CAP pels nous màsters és una millora, especialment orientada als aspectes didàctics. Però també veurem que si, des dels propis estudis de grau i en determinades branques, s’incorporés l’educació com una possibilitat d’especialització, el pas cap a la millora didàctica seria molt més gran.

Alhora cal recordar que no necessàriament hem de donar per garantit el coneixement matemàtic pur en els aspirants a professors de matemàtiques de secundària. De fet, després de constatar en les primeres promocions que en alguns casos específics hi havia dèficits en aquest aspecte, s’ha hagut d’implantar una prova inicial que és de caràcter obligatori segons el grau d’origen (PAP). A més, en aquesta línia de doble formació, podem esmentar que el Cesire-Creamat va col·laborar durant el curs 2015-2016 en el disseny d’un curs de geometria, amb la participació de la UOC, per a professorat de secundària i que va tenir més de 360 inscripcions: Orientacions pràctiques per a la millora de la geometria a l’ESO.

desembre 2016 117

Sessió del màster de formació del professorat de secundària de matemàtiques.

El cas de la primària, al qual dedicarem la resta de l’article, té altres característiques. Per exemple, referint-nos de nou a la formació inicial, també s’han evidenciat mancances en el coneixement matemàtic dels aspirants a mestres i, així, difícilment es pot avançar en l’estudi de la didàctica. Aquí les causes són altres i, en molts casos, provenen de la pèrdua de contacte amb les matemàtiques durant l’educació secundària postobligatòria. Aquest problema no es pot resoldre suficientment durant els estudis de grau (aprendre matemàtiques/aprendre’n la didàctica). Properament s’aplicarà una prova d’aptitud personal (PAP) als estudiants que vulguin començar a fer els estudis de grau de mestre de primària el curs 2017-2018. Aquesta «prova filtre» ja es fa sobre el coneixement de la llengua. Lluny de ser una solució, tampoc no ataca la clau del problema: la manca d’una especialització final reconeguda en educació matemàtica.

Als centres de primària, encara hi hem de sumar un altre aspecte. Els especialistes en ciències i matemàtiques de l’antiga EGB ja no estan majoritàriament en actiu a les escoles: uns van passar a secundària i d’altres s’han anat jubilant. Aquests especialistes sovint jugaven un paper important, ja que servien de referent en els propis centres i podien orientar i dinamitzar la manera de treballar les matemàtiques a tota l’escola. Aquesta manca de mestres de referència també afecta altres àrees com la llengua, les ciències de la natura, les socials o l’educació plàstica, però no sembla una problemàtica tan greu, sinó que, més o menys naturalment, s’arriba a un cert equilibri en els centres per tal de trobar algun mestre amb una predisposició especial cap a aquestes matèries, cosa que fa que el dèficit conjunt no sigui tan alarmant. Però en el cas de les matemàtiques no sembla ser així.

Quina és la realitat que ha produït la confluència d’aquests dos fets: de la desaparició de «vells» especialistes, per un costat, i de la manca d’incorporació de «nous», per l’altre? Un dèficit en l’orientació de l’educació matemàtica a les escoles. I un dèficit que sovint prové d’una manca

118 noubiaix 39

de domini del propi contingut matemàtic a treballar i que afecta la manera de treballar a classe.

Actualment no és difícil accedir a un gran ventall d’activitats matemàtiques potencialment molt riques, però per treure’ls tot el profit hem de conèixer bé les matemàtiques que hi porten.

En positiu, hem de dir que, cada vegada més, es nota una preocupació a les escoles per la millora de l’ensenyament de les matemàtiques. Els mestres mateixos s’han conscienciat sobre aquest problema. La prova és l’èxit de la participació en les diferents propostes formatives en educació matemàtica: jornades, cursos... o el darrer Congrés d’Educació Matemàtica (C2EM), amb més d’una quarta part d’inscripció de primària.

«Ara matemàtiques» 1a fase Des del Cesire-Creamat sempre hem procurat tenir una atenció especial a fer intervencions formatives adreçades a l’educació infantil i primària. Tot i pensar que en la seva essència, en la seva naturalesa general, les propostes didàctiques no han de ser diferents en les diverses etapes educatives, sí que hi ha especificitats que mereixen ser tractades d’una manera separada. Així, al web del Creamat podeu trobar, per a esmentar-ne un exemple, els vídeos del cicle de conferències sobre càlcul a primària, el treball en geometria o l’ús de contextos en educació infantil (http://srvcnpbs.xtec.cat/creamat/joomla/index.php/formacio-creamat).

Un altre dels models formatius en el qual hem participat ha estat l’elaboració de tres itineraris guiats de formació interna de centre (FIC) per a primària dedicats a la competència matemàtica, al càlcul i a la resolució de problemes. Per a secundària, n’hi ha dos més d’orientats a la competència matemàtica i a la geometria. Aquest model de «formació sense formador» és una ajuda a la construcció d’acords de centre al voltant d’aquests temes, acords que poden vertebrar l’enfocament global de l’escola sobre la manera de treballar les matemàtiques amb uns criteris unificats i consensuats per tothom. En general, podem dir que s’han mostrat útils per als centres que els han realitzat. Però aquests itineraris s’enfoquen més als aspectes relatius a la didàctica que a la formació directa en continguts. És durant el curs 2014-2015 que, a partir tant de la percepció de la preocupació dels mestres «per no saber prou matemàtiques» com de la pròpia iniciativa del Departament d’Ensenyament, del qual formem part, que comencem a bastir un projecte general per a la millora de les matemàtiques a l’educació primària que, entre altres aspectes com la promoció del Cangur de Primària, atengui una formació en continguts. Aquesta formació es va concretar el curs 2015-2016 en el disseny i pilotatge d’un primer mòdul formatiu que es va anomenar «Ara Matemàtiques: Saber-ne més per ensenyar-les millor». Pensem que és interessant explicar com es va preparar i portar a terme aquesta formació.

En una primera fase, amb la col·laboració més que desinteressada de Carme Burgués i David Barba, es va acordar un marc general basat en certes idees clau. En destaquem algunes: •

Al curs, tot i tenir com a eix central la millora en continguts, haurien de tenir un pes cabdal els aspectes didàctics relacionats.

•

S’haurien de basar en activitats de caràcter obert i que permetin el desenvolupament competencial.

desembre 2016 119

•

D’una manera transversal s’hauria de destacar el paper dels processos (resolució de problemes, raonament i prova, comunicació i representació, connexions).

•

Es potenciaria l’ús de materials manipulables i d’eines digitals.

•

S’analitzarien produccions d’alumnes.

També es van decidir els temes de cadascuna de les cinc sessions d’aquest primer mòdul: sentit numèric, operacions (multiplicació i divisió), geometria plana, geometria de l’espai i patrons i relacions.

Exemple d’activitat del curs.

En una segona fase es va crear un grup de treball, d’àmplia representació territorial, constituït per deu parelles d’educadors. Cada parella estava integrada per una persona amb un perfil més orientat cap a la formació inicial i una altra amb relació directa a l’aula i amb experiència en formació continuada. Hem de destacar i agrair la gran implicació en el projecte de tot l’equip. Per preparar els materials de cada sessió específica es van fer subgrups de quatre persones que després van compartir les seves propostes amb la resta. Aquesta fase va ocupar tot el primer trimestre. Finalment, durant el segon i tercer trimestre, es van dur a terme, en fase de pilotatge, deu cursos de quinze hores en CRP de cadascun dels serveis territorials existents. Així, es van fer cursos a Barcelona, Tarragona, Girona, Tàrrega, Rubí, Badalona, Manresa, Granollers, Amposta i Sant Feliu de Llobregat, i alguns es van duplicar per la seva gran demanda. A cada curs hi eren presents els dos formadors i a tots, amb petites adaptacions, es van utilitzar els mateixos materials de base. D’aquesta manera es va crear un model de curs unificat, però no monolític, dotat també d’una certa flexibilitat.

Les valoracions generals del curs van ser molt positives i, en tot cas, es va constatar que les quinze hores de durada van quedar curtes i que calia ampliar-les. Aquestes valoracions, juntament amb la dels formadors, ens han permès confirmar la seva necessitat i veure que la diagnosi prèvia del problema no anava desencaminada.

120 noubiaix 39

La continuació en el curs 2016-2017 Per a aquest curs s’estan atenent quatre fronts: •

El disseny i pilotatge del segon mòdul del curs amb un sistema semblant al del primer.

Una de les modificacions és que la durada del curs augmentarà en cinc hores i passarà de quinze a vint. Les sessions es dedicaran a altres camps de continguts com les relacions pla-espai, estadística i probabilitat, així com a l’aprofundiment en altres aspectes del sentit numèric o de les operacions. Aquest segon mòdul es durà a terme als mateixos llocs on es va fer el primer per propiciar-ne la continuïtat.

•

La repetició, durant el primer trimestre, del mòdul 1 als deu serveis territorials, però en CRP diferents. Són a càrrec d’aquesta formació part dels membres de l’equip del curs 2015-2016. D’aquesta manera, es continua fent extensiu aquest model formatiu.

•

La realització d’un curs específic per a preparar nous educadors que puguin replicar el primer mòdul en el futur. Bàsicament, aquesta formació es farà incorporant-los com a formadors-col·laboradors als cursos del primer mòdul que es duen a terme als diferents serveis territorials, a més de la posada en funcionament d’algunes sessions específiques amb tot el grup.

•

La creació d’una xarxa de treball amb els mestres que van assistir als cursos del mòdul realitzat durant el curs 2015-2016. L’objectiu bàsic és portar a l’aula un conjunt d’activitats que se’ls proposaran i recollir produccions d’alumnes per poder presentar models de gestió de l’activitat i d’interpretació de resultats.

Primera sessió del curs de nous formadors.

I després?

Aquí, de moment, hem de parlar més de les línies que estem dibuixant (setembre de 2016) i que esperem que, en el moment de la publicació d’aquest article, puguin estar més concretades.

desembre 2016 121

A més d’un aspecte evident, que és l’extensió en nombre dels cursos dels dos primers mòduls, s’està pensant en la continuació amb un objectiu a més llarg termini i que apuntàvem com una necessitat a l’inici de l’article: recuperar els «mestres de referència» en matemàtiques. D’aquí que els possibles futurs mòduls no atenguin ja només el reforçament en el coneixement del contingut matemàtic, sinó que entrin en la seva anàlisi per poder aprofundir en les connexions, en la seva seqüenciació, en les característiques d’aquells que són clau per a poder progressar en l’aprenentatge, així com en aspectes com la dinamització de centre. En un moment en què s’han començat a definir i reconèixer determinats perfils professionals no és exagerat somiar que en un futur pugui existir-ne un de relacionat amb les matemàtiques.

Si més no, ens hi hem d’anar encaminant.

noubiaix

39

39

noubiaix Revista de la FEEMCAT i de la SCM

número 39

Juanjo Cárdenas (responsable pàgina web) © dels autors dels articles Coediten: Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques (FEEMCAT) Campus de Montilivi, edifici P-IV 17071 Girona feemcat.org Societat Catalana de Matemàtiques (SCM) filial de l’Institut d’Estudis Catalans Carme, 47 08001 Barcelona scm.iec.cat noubiaix@gmail.com sites.google.com/site/noubiaix

3 Editorial

f ee mcat Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya

ISSN 2014-2021

39

9 772014 202008

Desembre 2016

Consell de Redacció: Manel Sol / Josep Lluís Solé (coords.)

Marianna Bosch Joan Carles Ferrer Joan Miralles Josep Pla Romà Pujol Manuel Udina

noubiaix

sumari

Desembre 2016

articles

6 La sèrie harmònica 32 Conclusions del Congrés Català d'Educació Matemàtica (C2EM) 35 Nombres perfectes, amics i sociables. Una proposta per a l'aula 52 Jugar a crear solucions 58 Examen de competència logicomatemàtica en la nova Armengol Gasull

Carles Dorce

Albert Mallart Solaz

prova d'accés als graus de mestre Núria Gorgorió, Lluís Albarracín i Aitor Villarreal

65 Reflexions i propostes didàctiques per a un bon ensenyament i aprenentatge de la proporcionalitat geomètrica Núria Cardet, Assumpta Estrada, María José Gros i Maria Ricart

Periodicitat: semestral Nombre d‘exemplars: 1.700 Fotografia de la coberta: Equilibris harmònics Gregori Guasp Universitat Autònoma de Barcelona

77 Parlar de matemàtiques per aprendre'n 98 3E Eines per a l’Ensenyament de l’Estadística a Secundària Teresa Serra Santasusana

seccions

100 Per pensar d’un minut a una hora 104 Construint matemàtiques 111 El racó del Mmaca 116 El racó del Cesire-Creamat Jordi Deulofeu

ISSN: 2014-2021 Dipòsit legal: B-22.314-2012

Anton Aubanell

Impressió: Gráficas Rey Edicions de la Universitat de Barcelona Adolf Florensa, s/n 08028 Barcelona Tel.: 934 035 430 Fax: 934 035 531 comercial.edicions@ub.edu www.publicacions.ub.edu

interiorcoberta Nou Biaix (6 mm) 39.pdf 1

Anton Aubanell

Saber matemàtiques. Ensenyar matemàtiques (araMat)

Normes per a la presentació de contribucions 1. La revista Nou Biaix accepta per a la seva publicació contribucions originals relacionades amb experiències didàctiques, activitats d’ensenyament i aprenentatge, escrits d’opinió, de divulgació i d’investigació en el camp de la matemàtica i el seu ensenyament en qualsevol nivell educatiu.

2. Les contribucions rebudes seran sotmeses a una avaluació prèvia a càrrec de dos especialistes reconeguts. L’acceptació de la publicació serà notificada directament a l’autor amb una indicació de la data aproximada de publicació. En cas que una comunicació no fos acceptada, també se n’enviarà notificació.

3. Per a la presentació de treballs originals, l’autor trametrà a l’adreça noubiaix@gmail.com un arxiu, en Word o en LATEX, amb un document a doble espai i amb marges amplis (65 caràcters per línia). Els gràfics, diagrames i figures hauran de ser originals (no fotocopiats). Els arxius gràfics es presentaran en format eps o tif.

4. La contribució haurà d’incloure el títol, el nom de l’autor o autors, la seva adreça professional completa i la seva adreça electrònica. S’adjuntarà un resum no més llarg de 300 paraules en català i anglès. Al final del document s’inclourà obligatòriament la bibliografia per ordre alfabètic de cognoms, d’acord amb la normativa APA; exemples: Articles Albertí, M. (2002). Les Matemàtiques des d’una perspectiva cultural: Etnomatemàtiques. Biaix, 20, 6-25.

Llibres Godino, J., Font, V. (2003). Razonamiento algebraico para maestros. Granada: Universidad de Granada.

Capítols de llibres Edo, M., Revelles, S. (2004). Situaciones matemáticas potencialmente significativas. Dins M. Antón i B. Moll (ed.), Educación Infantil. Orientaciones y Recursos (0-6 años) (p. 410/103-410/179). Barcelona: Praxis.

Actes de congressos Morales, M., Font, V., Planas, N. (2004). Estudio microetnográfico en torno a un conocimiento matemático situado. Dins A. Franzé i altres (ed.), Actas de la I Reunión Científica Internacional sobre Etnografía y Educación (CD-ROM). València: Germanía, Polis Paideia.

Pàgines web Ibanyez, A., Paolu, N., Pedreira, J. (2007). Reloj Binario de sobremesa, a Microsiervos. http://www.microsiervos.com/archivo/gadgets/reloj-binario-sobremesa.html

5. Els continguts de Nou Biaix estan subjectes —llevat que s’indiqui el contrari en el text, en les fotografies o en altres il.lustracions— a una llicència de Reconeixement-No comercial-Sense obra derivada 3.0 de Creative Commons, el text complet de la qual es pot consultar a http://creativecommons.org/ licenses/by-nc-nd/3.0/es/deed.ca. Així, doncs, s’autoritza al públic en general a reproduir, distribuir i comunicar l’obra, sempre que es reconegui l’autoria i l’entitat que la publica, i no se’n faci un ús comercial ni es difongui cap obra derivada.

6. Els articles es publicaran en llengua catalana. Només es traduiran al català les contribucions acceptades realitzades per autors no residents als Països Catalans.

7. Els autors es responsabilitzaran del compliment de les normes establertes per a l’autorització de la reproducció de material procedent d’altres fonts bibliogràfiques.

8. Els articles tindran una extensió d’entre 6 i 12 pàgines de text —és a dir, un total màxim de 12.000 caràcters—, incloses les notes a peu de pàgina. Podran anar acompanyats d’il·lustracions, sempre que no superin l’extensió de dues pàgines. En definitiva, tot complet —quan el text contingui quadres, figures, fotografies, gràfics, mapes, etc.— no podrà superar, en cap cas, les 15 pàgines.

9. Fem notar que en aquesta publicació s’utilitza preferentment el punt per separar decimals, en lloc de la coma recomanada per l’IEC, per tal de facilitar la comprensió de les expressions matemàtiques.

21/12/2016 20:12:24

39

39

noubiaix Desembre 2016

f ee mcat Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya

coberta NouBiaix 39 (marques de tall).pdf 1

ISSN 2014-2021

9 772014 202008

39

Desembre 2016

noubiaix

Revista de la FEEMCAT i de la SCM

22/12/2016 11:54:41