Nou Biaix, 38 by Institut d'Estudis Catalans

editorial

2009-2010• 3

editorial

Els dies 11,12 i 13 d’aquest juliol se celebrarà el segon congrés d’educació matemàtica de Catalunya, sota el lema «Construir matemàtiques. Compartir per aprendre». Un grup nombrós de professors hi ha treballat des de fa temps per fer-lo realitat. Des d’aquí desitgem que sigui un èxit i que contribueixi a la millora de l’ensenyament de les matemàtiques a tots els nivells. En el primer article d’aquest número del Nou Biaix, en Julià Cufí ens presenta la darrera lliçó que dictà, el 3 de juny de l’any passat, abans de la seva jubilació. És molt bonica i creiem que us interessarà. Es pot considerar com una continuació del treball d’en José Llorente sobre les desigualtats isoperimètriques, publicat en el número anterior. A l’article «Robòtica a l’escola», Josep Callís i Montserrat Sala expliquen una experiència d’incorporació de la robòtica, programada amb el llenguatge Scratch, a les aules de primària, la qual millorà molt la motivació dels seus alumnes. Metodològicament utilitzen estratègies de treball cooperatiu, per a projectes i resolució de problemes. El treball de Miquel Albertí planteja l’estudi de la rodonesa i investiga a l’aula amb ous de gallina i guatlla. Al final d’un procés d’interacció entre alumnes i professor s’arribarà a les definicions. És un bon exemple de com els estudiants construeixen el coneixement matemàtic. El professor Ramon Bergadà ens mostra la seva experiència de treballar mesures indirectes en contextos reals. Aquest article recull una part del que va ser guardonat, el 2014, amb un accèssit en el premi M. Antònia Canals d’innovació educativa. En Bernat Ancoechea ens presenta en el seu article «Resolució de problemes d’optimització amb Geogebra» les novetats de la nova versió d’aquest programa, i ens suggereix com preparar tasques d’aula amb el seu suport. A la secció «Per pensar d’un minut a una hora», Jordi Deulofeu ens proposa un quants problemes de tipus aritmètic i geomètric, amb diferents nivells de dificultat. Gaudiu-ne! A la seva secció habitual, en l’Anton Aubanell ens parla de la importància, per a l’educació matemàtica, de la visualització tant d’imatges com d’elements manipulables, fent bona la dita «una imatge val més que mil paraules». També, al racó del Museu, Josep Rey i Manuel Udina ens mostren uns mòduls que són un bon exemple d’aquest fet.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 1, 31/05/2016

4 noubiaix 38

La idea del treball per projectes va ser formulada per John Dewey, a finals del segle XIX, i per tant no és gens nova. Però com que no està massa generalitzada, encara la veiem com innovadora. Al racó del Cesire-Creamat hi trobareu algunes reflexions i exemples sobre això. Els editors

16336 Nou Biaix 38, pàgina 2, 31/05/2016

Congrés Català d’Educació Matemàtica 11 - 12 - 13 de juliol de 2016 Construir matemàtiques Compartir per aprendre

Conferència inaugural Abraham Arcavi Weizmann Institute of Science, Israel

Conferència de cloenda Marta Civil Universitat d’Arizona, EUA

Amb més de 100 comunicacions, tallers, pòsters i taules que aportaran els mestres i el professorat de matemàtiques de Catalunya Per saber-ne més: http://c2em.feemcat.org

16336 Nou Biaix 38, pàgina 3, 31/05/2016

desembre 2024 5

articles

8 noubiaix 38

La desigualtat isoperimètrica 1

Julià Cufí Departament de Matemàtiques Universitat Autònoma de Barcelona

Resum En aquest article repassem d’una manera breu la història del problema isoperimètric, posant de manifest alguns aspectes geomètrics que hi han tingut una importància cabdal. Així mateix, presentem una demostració analítica elemental de la desigualtat isoperimètrica que es pot explicar en un primer curs de Càlcul.

Abstract In this article we review briefly the history of the isoperimetric problem, showing some geometric aspects which have been of key importance. Also we present an elementary analytical proof of the isoperimetric inequality that can be explained in a first course in Calculus.

Introducció La desigualtat isoperimètrica, que serà discutida en aquest article, és una relació entre longituds i àrees. Pot ser útil, doncs, començar fent una discussió breu d’aquests conceptes en el context en el qual els farem servir.

Longitud Una corba a R2 serà una aplicació contínua γ : I → R2 on I és un interval tancat i acotat de la recta. Així, per a cada t ∈ I, γ(t) té dues components i posarem γ(t) = (x(t),y(t)) on x,y : I → R són funcions contínues. Sigui I = [a,b]; llavors es diu que la corba γ és tancada si γ(a) = γ(b). Es diu que γ és simple o de Jordan si γ és injectiva a [a,b] i, en el cas que γ sigui tancada, si γ és injectiva a [a,b).

1. Aquest article es basa en la darrera lliçó que donà, el 3 de juny de 2015, en Julià Cufí abans de la seva jubilació, corresponent a l’assignatura Funcions de variable real de primer curs de matemàtiques. Afortunadament, en Julià continua, ara com a professor emèrit, impartint classes i tots gaudint amb les seves lliçons.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 6, 26/05/2016

juny 2016 9

Un element geomètric molt important associat a una corba és el vector tangent en cada un dels seus punts. Per tal que aquest vector existeixi cal que la corba tingui una determinada regularitat: cal que sigui diferenciable. Direm que γ és diferenciable en el punt t0 ∈ I si existeix el límit següent: lim

t→t0

γ(t) − γ(t0 ) ≡ γ (t0 ). t − t0

Aquest límit existeix si i només si les funcions x(t), y(t) són totes dues derivables en el punt t0 i, en aquest cas, hom té: γ (t0 ) = (x (t0 ), y (t0 )).

Aquest vector γ (t0 ) s’anomena el vector tangent a γ en el punt γ(t0 ). Si pensem que γ(t) és la trajectòria d’un punt que es mou en funció del temps, llavors γ (t) és la velocitat del moviment. La norma del vector tangent, γ (t) , en aquest cas, s’anomena la celeritat del moviment. Una condició de regularitat més forta que l’existència de vector tangent a cada punt de la corba és que γ(t) sigui diferenciable per a tot t ∈ I i que l’aplicació γ : I → R2 que envia t ∈ I a γ (t) sigui contínua. De vegades convé també suposar, a més a més, que γ (t) = 0, t ∈ I. Llavors es diu que γ és regular. Per exemple, la funció γ(t) = (t − sin t,1 − cos t), t ∈ [0,2π], és una parametrització de la cicloide que és la corba descrita per un punt d’un cercle de radi 1, quan aquest cercle roda i fa una volta completa.

1 π

2π

Aquí el vector tangent és γ (t) = (1 − cos t, sin t). Sigui γ : [a,b] → R2 amb γ(t) = (x(t),y(t)), una corba qualsevol a R2 . Per a cada partició de l’interval [a,b], P = {a = t0 < t1 < · · · < tn = b}, podem considerar la línia poligonal formada pels segments que uneixen el punt γ(tk ) amb el punt γ(tk+1 ) per a k = 0,1, . . . ,n − 1.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 7, 26/05/2016

tn−1

10 noubiaix 38

La longitud d’aquesta poligonal és

Λ(P) =

n− 1

n− 1 γ(tk+1 ) − γ(tk ) = (x(tk+1 ) − x(tk ))2 + (y(tk+1 ) − y(tk ))2 .

k=0

Es diu que la corba γ és rectificable si sup Λ(P) < +∞ P

on P recorre el conjunt de totes les particions de l’interval [a,b]. En aquest cas es posa, per definició, Λ(γ) = sup Λ(P) P

i Λ(γ) s’anomena la longitud de γ. Si γ és prou regular, el resultat següent diu com es pot calcular la longitud de γ. Si γ : [a,b] → R2 és una corba diferenciable amb γ (t) contínua a [a,b], llavors γ és rectificable i b Λ(γ) = a

b γ (t) dt = x (t)2 + y (t)2 dt,

(1)

on γ(t) = (x(t),y(t)), t ∈ [a,b]. Quan γ és la cicloide trobem de seguida: Λ(γ) =

2π

√ 2 − 2 cos t dt = 2

2π sin 0

t dt = 8. 2

Per a les corbes regulars hi ha una parametrització canònica, fent servir el paràmetre arc, que és la següent: Sigui γ : [a,b] → R2 una corba regular, és a dir, γ (t) existeix i és una funció contínua a [a,b] i γ (t) = 0, per a t ∈ [a,b].

L ϕ = s−1

16336 Nou Biaix 38, pàgina 8, 26/05/2016

juny 2016 11

Per a cada t ∈ [a,b] posem: t s(t) = a

γ ( τ ) d τ ,

o sigui que s(t) és la longitud de l’arc de corba γ des de γ(a) fins a γ(t). Evidentment, es compleix s(a) = 0, s(b) = L ≡ Λ(γ). Pel teorema fonamental del càlcul sabem que s (t) = γ (t) > 0, t ∈ [a,b] i, per tant, s(t) és una funció estrictament creixent. Això vol dir que s[a,b] = [0,L] i que s té una inversa ϕ = s−1 : [0,L] −→ [a,b].

Així, podem definir la corba γ̃(s) = (x̃(s),ỹ(s)) ≡ x(ϕ (s)),y(ϕ (s)) ,

s ∈ [0,L]

que té a R2 la mateixa imatge que γ, i que dóna la corba parametritzada pel paràmetre arc s. I ara tenim, per la regla de la cadena, x̃ (s) = x (ϕ (s)) · ϕ (s); Però ϕ (s) =

ỹ (s) = y (ϕ (s)) · ϕ (s).

1 1 de manera que = s (t) γ (t) x̃ (s) =

x (t) y (t) , ỹ (s) = γ (t) γ (t)

que donen γ̃ (s) = x̃ (s)2 + ỹ (s)2 =

x (t)2 + y (t)2 = 1. γ (t)

És a dir, amb el paràmetre arc s, el vector tangent té longitud constant igual a 1 o, si es vol, la celeritat del moviment és constantment 1. Per exemple si considerem la circumferència de centre l’origen i radi r recorreguda una vegada, la funció s(t) és s(t) = t · r i el canvi t = s/r ens dóna:

16336 Nou Biaix 38, pàgina 9, 26/05/2016

12 noubiaix 38

s s x̃(s) = r cos , ỹ(s) = r sin , 0 ≤ s ≤ 2πr r r i, és clar, que x̃ (s)2 + ỹ (s)2 = 1.

Àrea La mateixa definició d’integral de Riemann ens dóna el concepte d’àrea d’un domini del pla del tipus subgraf. Si f : [a,b] → R és una funció no negativa i considerem la regió: Df = {(x,y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)},

llavors, suposant que f és integrable en el sentit de Riemann a [a,b], es pren com a àrea de Df : b f (x) dx.

àrea (Df ) = a

És una definició molt natural tenint en compte que la definició de la integral és, de fet, una aproximació de l’àrea de Df per la suma d’àrees de rectangles. Ara es tracta de calcular l’àrea d’una regió del pla més general que la regió subgraf anterior, la qual està limitada per tres segments de recta i el perfil marcat per la funció f (x). Considerem una corba plana γ(t) = (x(t),y(t)), a ≤ t ≤ b, amb γ(t) que tingui derivada contínua, que sigui tancada i de Jordan. Aquest tipus de corbes limiten una regió acotada del pla, anomenada l’interior de γ, que designarem per D. Suposarem, a més a més, que qualsevol recta vertical o bé horitzontal (és a dir, paral.lela als eixos de coordenades) talla γ en dos punts com a màxim. Per exemple, aquesta condició es compleix si la regió D és estrictament convexa. Per tal de calcular l’àrea de la regió D suposem que y(t) > 0, per a t ∈ [a,b] (si no fos així, només cal desplaçar γ verticalment, un moviment que no afecta l’àrea) i també que γ està recorreguda de manera que D queda a l’esquerra de γ. Siguin m1 = inf {x(t), a ≤ t ≤ b}, m2 = sup{x(t), a ≤ t ≤ b}.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 10, 26/05/2016

juny 2016 13

És fàcil veure que les verticals pels punts m1 i m2 tallen γ una vegada. Siguin els punts de tall C i A. y

y1 (x) D1 γ(c) = C

A = γ(a) = γ(b)

D2 y2 (x) m1

Podem suposar, sense pèrdua de generalitat, que A = γ(a) = γ(b) (si no fem una translació del paràmetre) i sigui c ∈ (a,b) tal que γ(c) = C. Ara per a cada punt x amb m1 < x < m2 hi ha dos punts de γ sobre la vertical per x, siguin y1 (x), y2 (x), de manera que y1 (x) > y2 (x). L’àrea de la regió D és la diferència entre les àrees de les regions tipus subgraf D1 = {(x,y) : m1 ≤ x ≤ m2 : y ≤ y1 (x)}, D2 = {(x,y) : m1 ≤ x ≤ m2 : y ≤ y2 (x)}. En conseqüència A ≡ àrea (D) = àrea (D1 ) − àrea (D2 ) =

m2 m1

y1 (x) dx −

m2 y2 (x) dx. m1

Ara fem, en cada una d’aquestes integrals, el canvi de variable x = x(t); a la primera integral t variarà entre c i a i a la segona integral t anirà de c a b. Així, resulta a A= c

y1 (x(t)) · x (t) dt −

b c

y2 (x(t)) · x (t) dt = −

y(t) · x (t) dt −

b c

y(t) · x (t) dt.

És a dir, b A=−

y(t) · x (t) dt.

(2)

Si haguéssim fet el raonament anterior en la direcció horitzontal hauríem trobat b A= a

x(t) · y (t) dt.

Finalment, si a més, sumem (2) i (3), obtenim la proposició següent:

16336 Nou Biaix 38, pàgina 11, 26/05/2016

(3)

14 noubiaix 38

Sigui γ(t) = (x(t),y(t)), a ≤ t ≤ b, una corba contínuament diferenciable, tancada i de Jordan. Sigui D la regió acotada limitada per γ i suposem que D és convexa. Llavors la regió D té una àrea A donada per b A=−

o bé A=

x (t)y(t) dt =

1 2

x(t)y (t) dt

(4)

b a

(x(t)y (t) − x (t)y(t)) dt.

(5)

Observació. Les fórmules anteriors són vàlides sota hipòtesis menys restrictives que les que hem imposat a la regió D. Per exemple, considerem una circumferència de radi 1 i en el seu interior una altra circumferència de radi 1/4 que es desplaça fent una volta sencera en contacte amb la circumferència grossa. El punt de contacte inicial P descriu una corba tancada anomenada astroide. És senzill comprovar que la parametrització d’aquesta corba és γ(t) = (x(t),y(t)),

0 ≤ t ≤ 2π

amb x(t) = cos3 (t), y(t) = sin3 (t).

P 1/ 4

Així, d’acord amb (5), s’obté com a àrea de l’astroide: A= =

1 2 1 2

3 = 2 =

3 8

2π

(x(t)y (t) − x (t)y(t)) dt =

2π (3 cos3 t sin2 t cos t + 3 sin3 t cos2 t sin t) dt = 0

2π

3 sin t cos t dt = 8

1 − cos 4t 3π dt = . 2 16

2π

16336 Nou Biaix 38, pàgina 12, 26/05/2016

sin2 2t dt =

juny 2016 15

El problema isoperimètric El problema isoperimètric apareix molt al començament de la història de les matemàtiques i ha estat present al llarg del seu desenvolupament. Això es deu a l’interès intrínsec del problema i també al fet que una demostració rigorosa de la desigualtat isoperimètrica no es va aconseguir fins a finals del segle xix. A més a més, el problema inicial s’ha estès a d’altres contextos i continua sent objecte d’estudi actualment. Una bona referència sobre l’evolució històrica d’aquest problema és [1]. El problema isoperimètric consisteix a determinar d’entre totes les figures planes de perímetre donat quina és la que tanca una àrea més gran. La primera referència a aquest problema cal buscar-la en l’Eneida de Virgili, on s’explica la llegenda de la princesa Dido, filla del rei de Tir, la qual, fugint de la cobdícia del seu germà Pigmalió, que havia matat el seu marit, va arribar a terres de l’actual Tunísia. Allà va demanar ser acollida i li va ser concedida tota la terra que pogués abastar amb una pell de brau. Aleshores Dido va tallar la pell de brau en tires molt fines amb les quals va encerclar un perímetre circular de terra. Així, la intel.ligent Dido va intuir que amb el perímetre de què disposava, el cercle era la figura que limitaria una àrea més gran. És fàcil trobar la formulació matemàtica del fet que la circumferència és el perfil que envolta una àrea màxima amb un perímetre fixat. Donada una longitud L, el radi del cercle de perímetre L serà R = L/2π, i l’àrea tancada, πR2 = L2 /4π. Per tant, la formulació del problema isoperimètric és la següent: Qualsevol regió plana limitada per un perímetre de longitud L té una àrea A que compleix A≤

L2 4π

(6)

i, a més, la igualtat es compleix només quan la regió està limitada per un cercle. Els grecs es van ocupar del problema isoperimètric i Zenodorus (200 aC-140 aC) va provar resultats que des de la perspectiva de la matemàtica de l‘època es poden considerar una primera solució del problema. Els resultats de Zenodorus són coneguts gràcies a l’obra de Pappus d’Alexandria (290 dC-350 dC), el qual veu en la intel.ligència de les abelles, posada de manifest en la construcció dels ruscs, un precedent natural per al problema isoperimètric. Pappus diu que entre totes les figures que les abelles podien considerar per a formar un rusc, que eren triangles, quadrats o hexàgons (evidentment regulars), van triar la de més costats, l’hexàgon, intuint que era la que permetria emmagatzemar més quantitat de mel invertint la mateixa quantitat de cera en la construcció. A continuació diu que, en conseqüència, els homes, encara més intel.ligents que les abelles, ens plantegem una afirmació més general: de totes les figures planes, amb angles i costats iguals i del mateix perímetre, és més gran la que té més costats i la més gran de totes és el cercle. Concretament, Zenodorus va provar amb mètodes geomètrics molt elegants els resultats següents:

16336 Nou Biaix 38, pàgina 13, 26/05/2016

16 noubiaix 38

•

Un polígon regular de n costats tanca més àrea que qualsevol altre polígon de n costats del mateix perímetre.

•

Per als polígons regulars del mateix perímetre, com més costats tenen més àrea tanquen.

•

Un cercle té més àrea que qualsevol polígon regular amb el mateix perímetre.

Podem trobar molta més informació històrica i molt més detallada sobre el problema isoperimètric a l’excel.lent article de J. González Llorente ‘‘El problema de Dido, abelles, billars i principis de màxims i mínims’’ [2].

La contribució de Steiner Per tal de trobar una aportació significativa de cara a la solució del problema isoperimètric hem d’arribar al segle XIX amb l’obra de J. Steiner, el qual dóna fins a cinc ‘‘demostracions’’ de la desigualtat isoperimètrica (6) que són molt interessants des d’un punt de vista geomètric, però que no són del tot rigoroses. En efecte, totes es basen en el pressupòsit que el problema té solució, és a dir, que hi ha una regió d’àrea màxima amb un perímetre prefixat. A continuació en descriurem alguna. La primera observació que cal fer és que n’hi ha prou de considerar la desigualtat isoperimètrica per a recintes convexos, observació que els grecs ja van fer. En efecte, si tenim una regió de perímetre L que L L̃ A

Ã

tanca una àrea A i fem la seva envolupant convexa, ens trobarem amb una regió de perímetre L̃ i àrea Ã i, òbviament, serà L̃ ≤ L, Per tant, si és certa la desigualtat Ã ≤

Ã ≥ A.

L2 L̃2 també ho serà A ≤ . 4π 4π

També convé observar que el problema isoperimètric admet una formulació dual: entre totes les figures planes d’àrea donada, la que té perímetre mínim és el cercle. Aleshores el que Steiner fa és el següent: donada una figura que no és un cercle, en construeix una altra que té el mateix perímetre, però àrea més gran, o bé una que té la mateixa àrea, però perímetre més petit. Dit d’una altra manera, que per a un perímetre fixat, una figura d’àrea mà-

16336 Nou Biaix 38, pàgina 14, 26/05/2016

juny 2016 17

xima ha de ser un cercle, però queda el problema de provar l’existència d’una figura d’àrea màxima. Les construccions de Steiner van ser publicades el 1842 i una d’elles és la següent: Suposem que tenim una regió plana convexa que no sigui un cercle. Dividim aquesta regió amb una línia recta en dues parts que tinguin la mateixa àrea i el mateix perímetre (més endavant justificarem que això és possible).

T̃

T A

Considerem una meitat que no sigui un semicercle. Hi ha d’haver un punt P a la seva vora tal no sigui recte (vegeu la figura anterior). L’àrea de la meitat considerada és que l’angle APB S1 + T + S2 . Ara fem lliscar els punts A, B sobre l’eix de divisió fins al moment en què l’angle en P sigui recte. Llavors la nova àrea és S1 + S2 + T̃ amb T̃ > T, ja que comparem dos triangles que tenen dos costats iguals i un dels quals és rectangle i, per tant, té àrea més gran. Així doncs, obtenim una àrea superior a l’àrea de partida, mentre que el perímetre es conserva. Si reflectim la nova configuració respecte de l’eix de divisió, obtindrem una figura que tindrà el mateix perímetre que la inicial, però una àrea més gran.

La conjectura de l’equipartició d’una regió En el raonament anterior es fa servir el fet que una regió convexa es pot dividir per una línia recta en dues parts de la mateixa àrea i el mateix perímetre. Com es pot justificar això? De la manera següent: És clar que hi ha una recta vertical i només una que divideix la regió en dos trossos de la mateixa àrea. En general, els trossos resultants no tindran el mateix perímetre: posem que siguin pd i pe amb pd − pe > 0. Si ara fem girar la línia divisòria de manera que sempre parteixi la regió en dues parts de la mateixa àrea, és senzill veure que la quantitat pd − pe varia contínuament. Quan hàgim girat 180◦ ens trobarem amb pd − pe < 0. Pel teorema de Bolzano, en algun moment hauríem tingut pd − pe = 0. Val la pena comentar breument un problema de plantejament molt senzill, però de solució matemàtica molt difícil i, de fet, encara desconeguda, que és l’extensió de la divisió anterior a un nombre de trossos superior a 2.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 15, 26/05/2016

18 noubiaix 38

L’any 2006, R. Nandakumar i R. Ramana Rao van proposar el problema següent: Donada una regió convexa del pla i un número natural N, existeix una partició de la regió en N parts, de manera que totes elles tinguin la mateixa àrea i el mateix perímetre?

El cas N = 2 és el que acabem de discutir, però el cas general és encara un problema obert. A aquest problema s’hi han aplicat mètodes de transport optimal, de topologia algebraica i de teoria de números. En aquest moment el resultat millor que es coneix és degut a Blagojević i Ziegler, el qual diu que si N és una potència d’un número primer i llavors la partició és possible (vegeu [4] per a més informació).

El procés de simetrització Una altra de les demostracions, mancada de rigor també, que va donar Steiner de la desigualtat isoperimètrica es basa en l’anomenat procés de simetrització, que ell va introduir i que té força interès en geometria. La simetrització d’un domini del pla D, respecte d’una línia recta L, consisteix a passar a un domini D∗ tal que i) D∗ és simètric respecte de L. ii) Qualsevol recta perpendicular a L que talla D o D∗ també talla l’altre domini i les dues interseccions tenen la mateixa longitud. iii) La intersecció de qualsevol recta perpendicular a L amb D∗ consisteix en un segment bipartit per L. Per exemple el simetritzat d’un semicercle respecte d’una recta paral.lela al seu diàmetre és una el.lipse.

D∗

És evident, pel principi de Cavalieri, que D i D∗ tenen la mateixa àrea. Steiner va observar que, a més, el perímetre de D∗ és més petit o igual que el perímetre de D i els perímetres són iguals només en el cas que D sigui simètric respecte d’una recta paral.lela a la línia de simetrització L. No és difícil justificar tot això analíticament.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 16, 26/05/2016

juny 2016 19

Considerem ara el problema isoperimètric dual i sigui D una regió convexa que tingui perímetre mínim d’entre totes les regions que tenen una àrea fixada (l’existència d’una tal regió s’hauria de provar). Fem ara la simetrització de D respecte d’una recta L; llavors la nova regió D∗ té la mateixa àrea que D i el seu perímetre, també igual al de D, perquè ha de ser menor o igual que el de D, però aquest hem suposat que era mínim. Llavors, pel que hem dit abans, D ha de ser simètric en la direcció de L i com que L és qualsevol recta es dedueix que D ha de ser un cercle. Les idees de Steiner van ser aprofitades més tard per a donar proves rigoroses de la desigualtat isoperimètrica tal com comentarem més endavant.

Les demostracions analítiques Quan arriben les primeres demostracions matemàticament correctes de la desigualtat isoperimètrica? Vénen de la mà de l’anàlisi i en van apareixent diverses basades en mètodes diferents. La primera és deguda a Weierstrass, que va donar una prova de l’existència de solució, l’any 1879, en les seves lliçons sobre el càlcul de variacions, i que va permetre donar una resposta rigorosa al problema. Però Weierstrass no va publicar mai aquests resultats i es va haver d’esperar fins a la publicació de les seves obres completes l’any 1927, en què apareixen reconstruïts a partir de les notes dels seus estudiants. Per aquest motiu s’acostuma a considerar la demostració que va donar Hurwitz l’any 1902, fent servir sèries de Fourier, com la primera prova rigorosa de la desigualtat isoperimètrica. Aquesta demostració apareix en un article, en el qual Hurwitz aplica el desenvolupament en sèrie de Fourier d’una funció i d’altres desenvolupaments a diversos problemes de la teoria de corbes i de superfícies. El treball de Hurwitz va marcar el començament d’una nova línia de recerca que ha donat resultats molt interessants al llarg dels anys posteriors. Una mica més tard, l’any 1909, Carathéodory va donar una altra demostració de la desigualtat isoperimètrica. Carathéodory va afegir el que li faltava a Steiner en el seu raonament mitjançant el procés de simetrització del qual ja hem parlat abans. És a dir, va provar que entre tots els dominis convexos d’àrea donada n’hi ha un que té perímetre mínim. Amb aquest resultat a la mà, el mètode de Steiner dóna que aquest domini de perímetre mínim ha de ser un disc. La idea per tal de provar l’existència del domini de perímetre mínim és la següent: donat un domini convex D = D0 , es pot construir una successió de dominis convexos D0 , D1 , D2 , . . . ,Dn , . . . , on Dn és el simetritzat de Dn−1 respecte d’alguna recta que passa per l’origen, de manera que els Dn ’s convergeixen cap a un domini D∞ i els perímetres dels Dn ’s decreixen cap al perímetre de D∞ . Resulta que la simetrització de Steiner no redueix el perímetre de D∞ , de manera que aquest domini té la mateixa àrea que D i perímetre mínim i ara ja sabem que D∞ ha de ser un disc. Com que la desigualtat isoperimètrica val per a D∞ , també val per a D. Abans de l’aparició de les obres de Weierstrass encara es va publicar una altra prova, molt curta i elegant, de la desigualtat isoperimètrica. Va ser deguda a Carleman, l’any 1921, i es basa

16336 Nou Biaix 38, pàgina 17, 26/05/2016

20 noubiaix 38

en el teorema fonamental de la representació conforme que permet aplicar conformement l’interior d’una corba simple en el disc unitat. Amb posterioritat als treballs que acabem de citar han aparegut altres proves de la desigualtat isoperimètrica amb mètodes diferents. Només direm que l’any 1953, el matemàtic català Lluís Santaló en va donar una fent servir resultats de la geometria integral, una branca de les matemàtiques que ell mateix va contribuir a desenvolupar d’una manera prominent. Es podrien citar moltes altres proves de la desigualtat isoperimètrica, com la de la projecció de Schmidt (1939), les de Gromov fent servir mètodes d’anàlisi vectorial per a dimensions qualssevol (1986), adaptada al pla per diversos autors, o la de Sawlov de les disseccions (1998). El que és més remarcable, però, és que també es pot demostrar la desigualtat isoperimètrica amb mètodes elementals, entenent per elementals els coneixements que s’expliquen en les assignatures de càlcul del primer curs dels estudis de matemàtiques o física de les nostres universitats. La prova que donarem a continuació respon a aquest esperit i és deguda a Lax [3].

Una demostració elemental Sigui C una corba simple tancada que limita una regió convexa plana d’àrea A. Suposarem que C és regular i que té longitud L. Volem provar la desigualtat (6): A≤

L2 4π

i que la igualtat només val si C és una circumferència. En primer lloc, observem que podem suposar L = 2π. En efecte, si suposem que l’origen queda a l’interior de C i apliquem una homotècia de centre l’origen i raó ρ , la nova corba ρ C té una longitud igual a ρ L i tanca una àrea igual a ρ 2 A, com es dedueix immediatament de les fórmules (1) i (4). Per tant, la desigualtat isoperimètrica per a la nova corba ρ C dóna: ρ2A ≤

ρ 2 L2 , 4π

equivalent a (6).

Així doncs, si triem ρ tal que ρ L = 2π, ja tenim justificada la hipòtesi que hem fet. Ara cal provar, doncs, que si C té longitud 2π i tanca una àrea A, llavors A ≤ π. A continuació suposarem que la corba C la tenim parametritzada amb el paràmetre arc. Posem, doncs, que C està definida per γ(s) amb γ(s) = (x(s),y(s)),

16336 Nou Biaix 38, pàgina 18, 26/05/2016

0 ≤ s ≤ 2π .

juny 2016 21

γ( π )

γ(0)

Movent la corba adequadament sense que variï la seva longitud ni l’àrea que tanca podem suposar que x(0) = x(π) = 0. Per la fórmula (3) tenim 2π

x(s)y (s) ds =

A= 0

2π

x(s)y (s) ds +

x(s)y (s) ds

i demostrarem que cadascuna de les dues últimes integrals és menor o igual que π/2. És suficient fer-ho per a una de les dues perquè el mateix raonament val per a l’altra. És a dir, volem veure que π

x(s)y (s) ds ≤

π 2

i discutir què passa en el cas que valgui la igualtat. Farem servir la desigualtat elemental a·b≤

1 2 (a + b2 ) si 2

a,b ∈ R,

on la igualtat val si i només si a = b. Per provar-la, només cal tenir en compte que aquesta desigualtat és equivalent a (a − b)2 ≥ 0. Així doncs, tenim π 0

x(s)y (s) ds ≤

1 2

(x(s)2 + y (s)2 ) ds =

1 2

(x(s)2 + 1 − x (s)2 ) ds,

(7)

on hem fet servir que x (s)2 + y (s)2 = 1, perquè amb el paràmetre arc el vector tangent a la corba té longitud igual a 1. Considerem ara la funció ϕ (s) definida per ϕ (s) =

16336 Nou Biaix 38, pàgina 19, 26/05/2016

x(s) , 0 < s < π. sin (s)

22 noubiaix 38

Aquesta funció de fet és contínua a l’interval tancat [0,π] si estenem la definició posant ϕ (0) = x (0), ϕ (π) = x (π). En efecte, per a s = 0, per exemple, tenim: x(s) = x (0) · s + o(s), s → 0, i per tant, x(s) x(s) o(s) = lim = lim x (0) + s→0 sin s s→0 s s→0 s

lim ϕ (s) = lim

s→0

= x (0).

A més a més, la funció ϕ (s) · sin s, 0 < s < π, també es pot estendre contínuament a l’interval [0,π]. Vegem-ho per a s = 0; tenim: x (s) · sin s − x(s) · cos s · sin s = s→0 sin2 s

lim ϕ (s) · sin s = lim

s→0

= lim x (s) − s→0

x(s) · cos s sin s

= 0.

En conseqüència, tenim, substituïnt a (7), x(s) per ϕ (s) · sin s i x (s) per ϕ (s) · sin s + ϕ (s) · cos s: π 0

1 x(s)y (s) ds ≤ 2

(ϕ (s)2 · sin2 s + 1 − ϕ (s)2 · sin2 s − ϕ (s)2 · cos2 s−

− 2ϕ (s)ϕ (s) · sin s · cos s) ds = 1 π d 1 π (1 − ϕ (s)2 · sin2 s) ds − (ϕ (s)2 · sin s · cos s) ds = = 2 0 2 0 ds 1 1 π π (1 − ϕ (s)2 · sin2 s) ds − ϕ (s)2 · sin s · cos s 0 = = 2 0 2 π 1 π (1 − ϕ (s)2 · sin2 s) ds ≤ , = 2 0 2

on hem fet servir el teorema fonamental del càlcul per tal d’avaluar la segona integral i que 1 − ϕ (s) sin2 s ≤ 1 per a la darrera desigualtat. Hem obtingut el que volíem i ara només ens falta mirar què passa en el cas que hi hagi igualtat. Si A = π, llavors hem de tenir 1 2

π 0

(1 − ϕ (s)2 · sin2 s) ds =

π 2

i, per tant, ϕ (s)2 · sin2 s = 0, 0 < s ≤ π, que implica ϕ (s) = 0, és a dir, ϕ (s) = k, k una constant, 0 ≤ s ≤ π. D’altra banda, la igualtat a (7) implica que x(s) = y (s) i tenim, finalment, x(s) = k · sin s, y (s) = k · sin s,

16336 Nou Biaix 38, pàgina 20, 26/05/2016

juny 2016 23

o bé: x(s) = k · sin s,

y(s) = −k · cos s + h,

h constant, per a 0 ≤ s ≤ π. Aquestes equacions són la parametrització d’un semicercle. Anàlogament obtindríem un altre semicercle per als valors del paràmetre s, π ≤ s ≤ 2π i arribem a la conclusió desitjada que la igualtat isoperimètrica només es compleix per als cercles.

Referències [1] Blåsjö, V. (2005). The isoperimetric problem, Amer. Math. Monthly, 112(6), 526-566. [2] González Llorente, J. (2015). El problema de Dido, abelles, billars i principis de màxims i mínims, NouBiaix, 37, 8-28. [3] Lax, P. D. (1995). A short path to the shortest path, Amer. Math. Monthly, 102(2), 158-159. [4] Ziegler, G. M. (2016). Matar mosques a canonades, Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques, 31(1) (en premsa).

16336 Nou Biaix 38, pàgina 21, 26/05/2016

24 noubiaix 38

Matemàtiques a l’estany Ramon Miquel Bergadà Marimon INS Martí l’Humà de Montblanc INS Terres de Ponent de Mollerussa rbergada@xtec.cat

Resum «Matemàtiques a l’estany» és una proposta de treball de les matemàtiques a l’ESO a través d’un itinerari formatiu que consta de sis etapes, i que té com a punt de partida l’estudi d’un problema o un projecte contextual en connexió amb els continguts a estudiar. La resolució d’aquesta proposta inicial provocarà la introducció de continguts matemàtics, l’ús de materials manipulatius i tecnològics, la realització d’activitats individuals i col.laboratives i compartir i presentar idees i resultats. L’avaluació està integrada en tot el procés i l’aula no es redueix a un espai físic, sinó que va molt més enllà, ja que inclou l’entorn més proper, l’entorn virtual i les eines tecnològiques de comunicació i de col.laboració. Tot això amb l’objectiu que l’alumnat «faci matemàtiques». «El que hem d’aprendre a fer ho aprenem fent-ho» (Aristòtil).

Abstract «Matemàtiques a l’estany» (mathematics at the pond) is a mathematics project proposal for secondary education, carried out by means of a training itinerary which consists of six stages. Its starting point is the study of a problem or a contextual project related to the contents to be studied. Solving this initial proposal will generate the introduction of mathematical contents, the use of manipulative and technological materials, carrying out individual or collaborative activities, as well as sharing and presenting ideas and results. Evaluation takes place during the entire process. The classroom is not limited to physical space, but goes much further, as it includes the immediate surroundings, virtual surroundings and technological tools of communication and collaboration. The objective is for the students to «do maths». «For the things we have to learn, we learn by doing them» (Aristotle).

Introducció L’aprenentatge comença amb preguntes. John Dewey El projecte neix de la reflexió sobre la pròpia pràctica docent, que porta a preguntar-se el perquè de les reaccions de l’alumnat quan se’ls parla per primera vegada d’algun contingut nou, com per exemple la trigonometria: «I això, què és?», «Això, per a què serveix?», «És molt difícil?». Són les preguntes habituals que adrecen al professor o a la professora.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 22, 26/05/2016

juny 2016 25

Tots aquests interrogants són un repte per al docent, i la seva resposta és fonamental per a incitar la curiositat de l’alumnat i implicar-lo activament en el procés apassionant d’adquirir nous coneixements i habilitats. El fet que les matemàtiques siguin un instrument de coneixement i anàlisi de la realitat ens suggereix de començar l’itinerari formatiu plantejant un seguit de preguntes sobre situacions de vida quotidiana i sobre el món que els envolta. Per respondre-les l’alumnat haurà d’utilitzar eines: regle, compàs, cinta mètrica, goniòmetre, GPS, etc., i recursos TIC: full de càlcul, Google Earth, Google Maps, web de l’Institut Cartogràfic i Geològic de Catalunya (ICGC), GeoGebra... Caldrà sortir del centre, prendre mides, fotografiar, filmar, calcular, comparar i contrastar els resultats. Es tracta de fer un plantejament lligat a la realitat que se sustenti en l’«aprenentatge reflexiu» com a principi general de la formació. Aquest aprenentatge es basa en una visió constructivista (Freudenthal, 1991), és a dir, la persona que es forma ho fa donant significat a uns continguts, i no rebent aquests continguts ja impregnats de significat. En resum, el projecte pretén que l’alumnat sàpiga fer matemàtiques. Per aconseguir-ho, ens basarem en els fets següents: •

La resolució de problemes és alhora el punt de partida i el nucli central del projecte. Aquesta dimensió és present al llarg de tot el projecte i li dóna sentit: no solament es treballa en unes tasques a realitzar al final del tema, sinó que, en aquest cas, és el desencadenant del trajecte d’aprenentatge.

•

Els continguts curriculars es treballen en contextos significatius que mostren l’origen concret dels conceptes matemàtics, les connexions entre ells i la seva aplicació a altres àrees del coneixement i a problemàtiques diverses de la vida quotidiana.

•

La classe es basa en la reflexió, el diàleg, la discussió, la comunicació i el contrast d’idees per a trobar raonaments i solucions alternatives i per a aprendre a reconèixer i controlar les conseqüències de la pròpia actuació i a respectar les intervencions dels altres.

•

Les competències estan totalment integrades en els continguts.

•

Les diverses formes de treball, individual i en grup, potenciaran el treball col.laboratiu i l’adquisició de les competències matemàtiques.

•

L’error no és un fracàs sinó un motor d’aprenentatge.

•

L’èxit en la resolució de problemes significarà, per a la majoria de l’alumnat, augmentar l’autoestima i la confiança.

•

Els recursos visuals i TIC, com els materials manipulatius, tenen un paper fonamental, ja que afavoreixen el raonament, la comprensió i l’experimentació.

•

L’avaluació és present en el procés d’ensenyament i en la comprovació dels aprenentatges assolits.

Objectius L’objectiu general és l’adquisició de les competències matemàtiques seguint un itinerari formatiu que té com a punt de partida un repte inicial que provoca la curiositat de l’alumne, potencia el treball reflexiu i col.laboratiu i afavoreix l’intercanvi d’idees i el respecte.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 23, 26/05/2016

26 noubiaix 38

Aquest procés d’adquisició de les competències matemàtiques segueix les directrius del document Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic, publicat pel Departament d’Ensenyament de la Generalitat de Catalunya, en el qual s’especifiquen les dotze competències que concreten les quatre dimensions o processos del currículum vigent: resolució de problemes, raonament i prova, connexions i comunicació i representació. Els objectius concrets del projecte són els previstos pel Decret 143/2007, del 26 de juny, d’ordenació del currículum de l’ESO.

Descripció de l’experiència i dels materials usats

Context L’experiència es desenvolupa a l’INS Terres de Ponent de Mollerussa, on des del curs 20102011 el 100 % de l’alumnat d’ESO disposa d’ordinador personal i on les aules estan equipades amb una pissarra digital interactiva (PDI) i tot el professorat i tot l’alumnat són usuaris de Moodle. •

L’aula. En aquest context l’aula ja no és un espai físic sinó un entorn d’aprenentatge sense les limitacions de la distància geogràfica ni dels horaris fixos de classe (figura 1).

Figura 1. Aula.

La possibilitat d’accedir als continguts digitals i de disposar de programari com el Moodle, el GeoGebra i la calculadora Wiris facilita el treball a partir de contextos, fer-ho col.laborativament i compartir aprenentatges. A més a més, el programari associat a la PDI permet saltar la barrera del temps, ja que els continguts de la pissarra són accessibles, abans, durant i després de la classe presencial. •

Els recursos. El projecte incorpora, de manera decidida, el valor afegit que aporten els recursos digitals: so, vídeo, applets, animacions, simulació, interacció, personalització, correcció immediata, col.laboració, cooperació, etc. Són un plus que se suma als recursos clàssics. En aquest context augmenta el protagonisme de la llibreta, perquè aquesta ha de recollir els conceptes i activitats fonamentals de la matèria. És, d’alguna manera, la carta de presentació de l’alumne, el portafoli que evidencia la seva evolució al llarg del curs, i és, per tant, un element important per a l’avaluació.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 24, 26/05/2016

juny 2016 27

L’itinerari formatiu El projecte que es presenta segueix l’esquema general d’un itinerari formatiu entès com una proposta d’estudi de cada una de les unitats didàctiques de la programació de matemàtiques i que segueix una seqüència que consta de sis etapes (figura 2). 6. Resumirà en un mapa conceptual

i s’aplicarà a:

tot això es

1. Un projecte contextual (capacitats)

5. Es compartiran (repositori) punt de partida

necessita uns

Unitat X

que

4. Activitats individuals i col·laboratives

2. Conceptes matemàtics relacionats

introduïts amb

3. Recursos: explicacions i documentació

Figura 2. Itinerari formatiu.

1. El punt de partida és la proposta d’un problema o projecte del context propi de l’alumnat, relacionat amb els continguts que es volen estudiar. 2. S’introdueixen els continguts de la unitat didàctica, els quals facilitaran la resolució del problema inicial. 3. S’utilitzen recursos clàssics com el llibre de text i la llibreta i recursos TIC: Moodle, Google, GeoGebra, Wiris, etc. 4. Es fan activitats individuals que consisteixen bàsicament en la resolució d’exercicis de tipus algorísmic o d’aplicació de tècniques més o menys automatitzades. I també activitats col.laboratives com, per exemple, el treball en grup entorn de projectes o en la resolució de problemes entesos com a situacions de resposta no immediata en les

16336 Nou Biaix 38, pàgina 25, 26/05/2016

28 noubiaix 38

quals, a partir d’unes dades i en un context concret, cal reflexionar, prendre decisions i dissenyar estratègies. 5. En les activitats col.laboratives, les respostes o les solucions trobades pels diferents grups es comparteixen amb la resta de la classe fent presentacions, elaborant glossaris digitals i participant en els fòrums. 6. Els continguts estudiats s’expliciten en un mapa conceptual amb l’objectiu de consolidar els nous conceptes i connectar-los amb els estudiats prèviament. Després de tancar l’itinerari formatiu, és el moment de replantejar-se el repte inicial sota la mirada dels nous conceptes i recursos estudiats. També és el moment de plantejar nous reptes o activitats que permetin tenir una visió més global de la matemàtica.

L’itinerari formatiu aplicat a la trigonometria L’itinerari formatiu es pot aplicar a qualsevol unitat didàctica del currículum de matemàtiques. En aquest cas, s’aplicarà a l’estudi de la trigonometria a quart d’ESO. 1. El punt de partida. En el procés d’aprenentatge hi ha situacions en les quals un alumne tot sol és incapaç de reeixir i, en canvi, amb el treball de tot el grup ho pot aconseguir. És per això que treballarem amb grups de dues o tres persones i cada grup haurà de resoldre una sèrie de problemes trigonomètrics i contextuals. Es compararan els resultats obtinguts i a partir d’aquest contrast caldrà identificar la solució correcta, analitzar quines han estat les confusions i treure’n conclusions per no repetir els mateixos errors. Exemples de problemes que poden ser el punt de partida de l’estudi de la trigonometria: Quina és la superfície del campus de l’institut? Quina és l’altura del campanar del teu poble? Quina és l’amplada màxima de l’estany d’Ivars i Vila-sana? A quina altura està la cistella de bàsquet? (figura 3).

Figura 3. Treball en grup.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 26, 26/05/2016

juny 2016 29

2. Els continguts. Els problemes no tenen un procés de resolució únic, i encara menys si són de caire obert, com es procura que siguin els del punt de partida. Per tant, el fet que, en part o en la seva totalitat, puguin ser resolts amb els coneixements previs de l’alumne, no impedirà la introducció dels continguts de trigonometria que han de permetre donar resposta als problemes plantejats i obtenir una solució alternativa en cas que s’hagin pogut resoldre sense aquests continguts nous. 3. Els recursos. Per introduir els continguts utilitzarem tots els recursos, digitals o no, que tinguem al nostre abast, com per exemple: •

Llibre de text.

•

Llibre de text digital; per exemple, el Projecte ed@d: http://recursostic.educacion.es/ descartes/web/edad.html.

•

ARC (Aplicació de Recursos al Currículum): http://apliense.xtec.cat/arc.

•

Proyecto Gauss.

•

GeoGebra.

•

GeoGebra Tube: http://www.geogebratube.org.

•

Moodle: http://www.moodle.terresdeponent.com.

•

Pissarra clàssica, digital o digital interactiva.

4. Les activitats. En les activitats, ja siguin individuals o col.laboratives, és on més s’incideix en la idea que el professor deixa de ser l’única font de coneixement per assumir la tasca de facilitar i guiar l’aprenentatge. Per aquesta raó: •

Donarà més protagonisme a l’alumnat. Aquest ha de participar més activament en en els processos d’aprenentatge. En paraules de George Pólya: «Ensenyar és donar als estudiants l’oportunitat de descobrir les coses per ells mateixos»; «Primer conjectureu, després demostreu». O en el decàleg de Pere Puig Adam: «Ensenyar alhora que es guia l’activitat creadora i descobridora de l’alumne/a».

•

No donarà les coses totalment fetes i acabades als alumnes. Emprarà el mètode d’interrogació progressiva, en què es formulen preguntes com a resposta a les preguntes de l’alumnat. Com diu Paul R. Halmos: «La part més dura de l’aprenentatge a partir de la formulació de preguntes a l’alumnat és la de tenir la boca tancada i aguantar. No expliquis, pregunta! No canviïs allò que està malament A per allò que està bé B; pregunta: «D’on ha sortit A?». Segueix amb la formulació de preguntes: «Això està bé, n’estàs segur?». No diguis: «No»; pregunta: «Per què?»».

•

Partirà dels coneixements previs que tenen els alumnes i els donarà confiança en el sentit que tots són capaços d’aportar al grup coses interessants.

•

Fomentarà la responsabilització i la reflexió de l’alumnat sobre el procés de resolució del problema en particular i de l’aprenentatge en general.

•

Treballarà els aspectes emotius i afectius i individualitzarà la interacció amb l’alumnat, per tal de percebre els diferents ritmes d’aprenentatge i donar possibilitats d’èxit a la gran majoria dels alumnes.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 27, 26/05/2016

30 noubiaix 38

Activitats individuals Les activitats individuals, majoritàriament, són exercicis de càlcul directe en els quals cal aplicar els conceptes trigonomètrics, les seves relacions i les aplicacions més immediates a la resolució de triangles que modelitzen una situació contextual. Entorns com el Moodle o el ThatQuiz (http://www.thatquiz.org/ca) faciliten la realització d’activitats individuals. El Moodle, entre altres opcions, permet la integració dels paquets d’activitats JClic i l’ús de qüestionaris. En aquests darrers, les preguntes s’han elaborat amb Wiris quizzes (figura 4). Aquestes preguntes es caracteritzen perquè comparteixen el text de l’enunciat però no les dades, ja que varien aleatòriament cada vegada que es genera la pregunta. A més a més, els qüestionaris de Moodle permeten l’autocorrecció a l’alumnat i faciliten el seguiment i l’avaluació al professorat. Calculeu l’altura de l’església sabent que la distància d mesura 15.81 m i que l’angle α és de 56.91º

Figura 4. Preguntes amb dades aleatòries.

Aquests tipus de preguntes es poden compartir en el repositori STEM collection (http://collection.wiris.com/quizzes), que permet descarregar-les sota llicència Creative Commons. L’entorn Moodle permet configurar els qüestionaris de manera que l’alumne els pugui repetir tantes vegades com vulgui. Caldrà que copiï cada pregunta a la seva llibreta i comprovi la resposta al qüestionari Moodle. Aquest procés l’haurà de repetir fins que totes les respostes siguin correctes. Una vegada més, considerarem els errors no com a aspectes negatius sinó com a elements fonamentals d’aprenentatge. El professor pot consultar l’historial de resolució de cada pregunta per part de cada alumne i els resultats globals de cada qüestionari, la qual cosa li permet disposar de més elements de seguiment i avaluació.

Activitats col·laboratives Glossaris Una activitat de treball col.laboratiu, que es fa a partir dels glossaris de Moodle, és la que consisteix a resoldre una col.lecció d’exercicis; per exemple, la que hi sol haver en qualsevol

16336 Nou Biaix 38, pàgina 28, 26/05/2016

juny 2016 31

llibre de text al final de cada unitat. La dinàmica és la següent: el professor reparteix entre tots els alumnes de la classe la totalitat d’exercicis a resoldre. Això comporta que a cadascú li pertoquin dos o tres exercicis, que haurà de resoldre a la seva llibreta i posteriorment introduir-los al glossari. Per això haurà de crear, per a cada exercici, una fitxa que constarà d’enunciat, resolució i resultat (figura 5).

Figura 5. Fitxa.

La interfície dels glossaris permet fer comentaris, amb la qual cosa el professor pot intervenir-hi i fer suggeriments, ja sigui per fer alguna correcció o per donar una solució alternativa. Aquest tipus d’exercicis no són només algorísmics, sinó que alguns es poden classificar com a problemes. És per això que la metodologia de treball consistirà a fer els resolguin en grups de dos. Així, cada grup serà els responsable de la realització i revisió de 4, 5 o 6 exercicis i el professor supervisarà la totalitat dels exercicis i obtindrà un altre element d’avaluació del procés d’aprenentatge de cada alumne. Fòrums Una altra activitat de tipus col.laboratiu és el fòrum. En aquest cas, es proposa un problema obert. Per tant, les respostes seran diverses i públiques: tothom podrà argumentar les seves intervencions, però caldrà arribar a una solució consensuada. El fòrum ens permetrà avaluar el nivell de competència matemàtica de la solució pròpia, de les aportacions fetes a les solucions alienes i, també, la capacitat d’acceptació i de respecte a les intervencions dels altres. 5. Compartir. La dimensió de comunicació i representació es treballa especialment en les activitats col.laboratives, ja que tant en els glossaris com en els fòrums cal descriure conceptes i relacions matemàtiques, representar idees amb claredat i precisió i comprendre les dels altres.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 29, 26/05/2016

Trigonometria

Triangles

Figura 6. Esquema.

32 noubiaix 38

16336 Nou Biaix 38, pàgina 30, 26/05/2016

juny 2016 33

Els repositoris d’exercicis obtinguts a partir dels glossaris i les aportacions als fòrums són una forma de treball col.laboratiu per a compartir i construir coneixement a partir d’idees matemàtiques. En les presentacions a la resta de la classe de les solucions trobades caldrà seleccionar i usar tecnologies diverses per a gestionar, visualitzar i estructurar les idees o els processos matemàtics que es volen compartir. 6. Els continguts (esquema resum). Fer un esquema amb els continguts del tema que evidenciï les relacions entre ells ajudarà a consolidar els nous conceptes i a connectarlos amb els estudiats amb anterioritat (figura 6). CmapTools és un programari que facilita aquesta tasca.

L’aula digital Una part de l’aula entesa no solament com un espai físic sinó com un entorn d’aprenentatge sense limitacions de distància geogràfica ni d’horari és el que anomenem aula digital o aula virtual. Consisteix en un espai web (http://vyew.com/s/) que funciona com una sala de conferències en temps real i que incorpora una pissarra on line, un xat, imatge i so (figura 7).

Figura 7. Aula digital.

Aquest recurs digital permet que alumnes i professors, des de llocs diferents, hi tinguin accés i puguin: consultar i resoldre els dubtes, proposar reptes i treballar en equip. Una activitat típica de l’aula digital consisteix en el fet que professor i alumnes acorden trobar-se un dia i una hora a l’aula digital per aclarir dubtes o per resoldre exercicis i problemes proposats pels alumnes o pel professor.

Matemàtiques a l’estany d’Ivars i Vila-sana Aquesta activitat es pot considerar la culminació de l’itinerari formatiu, el projecte final. La primera experiència es va portar a terme durant el curs 2007-2008 i des d’aleshores s’ha continuat fent en tots els cursos següents. En cada una de les noves edicions l’activitat ha

16336 Nou Biaix 38, pàgina 31, 26/05/2016

34 noubiaix 38

anat evolucionant. Actualment, els exercicis no són només d’espai, forma i mesura, sinó que s’estenen a la resta de blocs del currículum. També són més interdisciplinaris, perquè la sortida és en bicicleta i es fa conjuntament amb el departament d’educació física. I en el curs 2013-2014 ha estat intercentres, ja que s’ha fet conjuntament amb l’INS Martí l’Humà de Montblanc. L’activitat s’organitza de la manera següent: •

El trajecte de l’institut a l’estany es fa en bicicleta.

•

Es treballa en grups heterogenis de 4 persones.

•

Cada grup disposa de cinta mètrica, goniòmetre (figura 8) construït pels alumnes, calculadora científica, un plànol de l’estany i un dossier de treball en el qual hauran d’anotar les dades que aniran recollint i hi podran resoldre els exercicis.

Figura 8. Goniòmetre. •

Els grups hauran de fer un recorregut al voltant de l’estany, localitzar i identificar els elements a calcular i obtenir les dades necessàries per a la resolució dels exercicis plantejats en el dossier.

•

En acabar es comparteixen i es comparen els resultats i es contrasten, si és possible, amb els valors reals. Cal analitzar les causes de les possibles discrepàncies entre els resultats obtinguts i el motius que les han generat.

En aquest vídeo (http://www.tv3.cat/3alacarta/#/videos/2877390) del programa «El medi ambient» de TV3 es pot veure un resum de l’activitat tal com es va dur a terme el curs 2009-2010. Una explicació més exhaustiva de l’activitat es pot trobar a l’ARC, concretament a la fitxa del recurs de quart d’ESO «Trigonometria a l’estany» (http://apliense.xtec.cat/arc/node/1575).

16336 Nou Biaix 38, pàgina 32, 26/05/2016

juny 2016 35

La gimcana Des del curs 2011-2012, la resolució dels exercicis es fa a través d’una gimcana matemàtica. L’objectiu de l’activitat és aconseguir el màxim possible de punts trobant les fites que hi ha ubicades a l’entorn de l’estany i responent a les preguntes que hi ha dins de cada fita, en un temps limitat (figura 9).

Figura 9. Plànol i fita.

La resolució dels exercicis de cada fita es fa a la pàgina corresponent del dossier de què disposa cada grup. Les fites es poden buscar en l’ordre que vulgui cada equip. No totes les fites valen els mateixos punts; això dependrà de la dificultat de trobar-les, de la complexitat del problema que conté i del procediment utilitzat per a solucionar-lo. Alguns exemples de les peguntes de les fites es presenten en l’annex final.

Planificació temporal de les activitats Temporització de la unitat de trigonometria seguint l’itinerari formatiu: Etapa 1. Projecte inicial

2 i 3. Conceptes i recursos

4. Activitats

Hores Descripció 1

Presentació de la unitat. La trigonometria al llarg de la història. Proposta del projecte inicial (fòrum al Moodle).

Els angles i la seva mesura.

Raons trigonomètriques en un triangle rectangle i relacions entre elles.

Resolució de triangles rectangles.

Raons trigonomètriques d’un angle qualsevol.

Resolució d’exercicis amb GeoGebra.

Resolució d’exercicis amb Google Maps, Google Earth, web de l’Institut Cartogràfic i Geològic de Catalunya (ICGC).

16336 Nou Biaix 38, pàgina 33, 26/05/2016

36 noubiaix 38

Etapa

Hores Descripció

5. Compartir

Repositori d’exercicis amb els glossaris del Moodle.

6. Resum

Mapa conceptual de la unitat amb CmapTools

Preparació de la sortida a l’estany: construcció del goniòmetre i instruccions de l’activitat.

Sortida a l’estany.

Posada en comú: anàlisi, comparació, contrastació dels resultats i avaluació de la sortida.

Prova escrita sobre trigonometria

7. Sortida

Avaluació Total

15 classes i una sortida d’un dia

Avaluació El projecte pretén treballar els continguts del currículum d’ESO; per tant, l’avaluació del projecte ha de valorar el grau d’assoliment dels objectius previstos en el decret d’ordenació del currículum d’aquesta etapa de l’ensenyament obligatori. En aquest cas, l’avaluació és concretarà en els continguts de trigonometria. •

•

Avaluació inicial. L’avaluació diagnòstica o inicial es farà durant la primera classe, sondejant els coneixements previs de l’alumnat, i es completarà a partir de les intervencions al fòrum del projecte corresponent a la primera etapa de l’itinerari formatiu. Avaluació formativa. L’avaluació formativa es farà de forma contínua durant tot el projecte: — Mitjançant la interacció directa amb l’alumnat: intervencions a classe, seguiment i correcció dels deures, plantejament de preguntes, problemes i reptes. — A través de l’entorn Moodle: seguiment de les activitats JClic, intervencions als fòrums, respostes als qüestionaris i aportacions als glossaris. — Valorant els exercicis d’entorns interactius com el ThatQuiz. — Fent un seguiment del treball en grup: organització i distribució de les tasques, aportacions positives, grau de participació, implicació i respecte a les argumentacions alienes. Aquest seguiment es fa amb rúbriques d’avaluació, coavaluació i autoavaluació del treball en grup. — Amb la prova escrita final, les fitxes i els dossiers de treball que es faran durant i en acabar el projecte.

•

Avaluació sumativa. L’avaluació sumativa o acreditativa tindrà lloc al final del projecte com a recull global de tot el procés i es valoraran els criteris següents: — Utilitzar la trigonometria per obtenir mesures indirectes en la resolució de problemes d’àmbits diversos, i relacionar-ho amb els mitjans tecnològics que actualment s’utilitzen per a fer mesures indirectes.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 34, 26/05/2016

juny 2016 37

— Reconèixer models geomètrics en contextos no matemàtics o en d’altres matèries i utilitzar les seves característiques i propietats per a resoldre situacions que apareixen en treballs per a projectes realitzats des de la pròpia àrea o de manera interdisciplinària. — Analitzar i avaluar les estratègies i el pensament matemàtic dels altres, a través del treball en grup o bé de la posada en comú amb tota la classe. Expressar amb precisió, verbalment i per escrit, raonaments, conjectures, relacions quantitatives observades i informacions que incorporin elements matemàtics i contrastar-los amb els dels companys.

Conclusions Aquest projecte o aquesta manera de «fer matemàtiques» és una proposta d’apropament de l’alumnat a la matemàtica, fent-lo protagonista principal del seu procés d’aprenentatge i col.laborador necessari en el procés d’aprenentatge de tota la classe, és a dir, creant comunitat d’aprenentatge. Amb el convenciment que la matemàtica forma part de la seva vida i que ell o ella també pot fer matemàtiques, malgrat que li costin, s’equivoqui o no li agradin, acceptant l’error com una part del camí cap a l’èxit i assumint que el compromís i la responsabilitat en el treball en grup són imprescindibles per a l’èxit de l’equip. I tot això ho fem utilitzant els mitjans de què disposem, especialment, els més quotidians: el mòbil i l’ordinador, els quals, a més de ser una font inesgotable d’informació, permeten la comunicació i la col.laboració (el contacte) des de qualsevol lloc i a qualsevol hora. L’activitat de matemàtiques a l’estany, en els vuit anys ininterromputs de realització — del curs 2007-2008 al 2014-2015— , ha seguit sempre un procés d’evolució i millora. S’ha consolidat com una activitat que va més enllà de personalismes, que forma part de la tradició i del projecte educatiu de l’INS Terres de Ponent i que està oberta a la participació d’altres centres. Amb uns resultats molt satisfactoris: així ho posen de manifest tant els indicadors objectius, com poden ser els resultats de les proves d’avaluació, com els subjectius, obtinguts a partir de l’opinió del professorat i de l’alumnat. I, per acabar, una pregunta: «Com explicar que les matemàtiques, un producte de la ment humana, independent de l’experiència, s’adaptin tan admirablement bé als objectes de la realitat?» (Albert Einstein).

16336 Nou Biaix 38, pàgina 35, 26/05/2016

38 noubiaix 38

Annex Exemples d’algunes de les preguntes que es proposen a les fites de la gimcana. Fita 2

Càlcul de l’altura de la torre d’observació

10 punts

Feu-ho utilitzant dos mètodes diferents.

Fita 4

Càlcul de l’altura del niu de la cigonya (2)

Pista: Cal mesurar tres angles i una longitud.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 36, 26/05/2016

20 punts

juny 2016 39

Caminant

Fita 9

10 punts

La fotografia mostra les petjades d’un caminant al voltant de l’estany. La longitud del pas Pés la distància entre els extrems posteriors de dues petjades consecutives. Per als homes, la fórmula n/P = 140 dóna una relació aproximada entre n i P, essent n = nombre de passos per minut i P = longitud del pas en metres. Pregunta 1. Si se sap que un amic fa 70 passos per minut. Quina és la seva longitud de pas? Pregunta 2. Un altre amic sap que els seus passos són de 0,80 metres. Aplica la fórmula a les passes a aquest amic. Calcula la velocitat a què camina en metres per minut i en quilòmetres per hora. Les pomes

Fita 10

20 punts

Un pagès, veí de l’estany, planta pomeres en un terreny quadrat. Per tal de protegir les pomeres del vent, planta coníferes al voltant de l’hort. Aquí podeu veure un esquema d’aquesta situació, en què es pot apreciar la col.locació de les pomeres i de les coníferes per a qualsevol nombre (n) de files de pomeres: n=1

n=2

n=3

n=4

= conifera = pomera

Pregunta 1. Completeu la taula. n = Nombre de pomeres Nombre de coníferes 1

3 4 5

16336 Nou Biaix 38, pàgina 37, 26/05/2016

40 noubiaix 38

Pregunta 2. Per calcular el nombre de pomeres i el de coníferes amb el plantejament descrit anteriorment es poden utilitzar dues fórmules: Nombre de pomeres = n2 Nombre de coníferes = 8n essent n el nombre de files de pomeres Existeix un valor de n per al qual el nombre de pomeres coincideix amb el de coníferes. Trobeu aquest valor. Pregunta 3. Suposem que el pagès vol plantar un hort molt més gran, amb moltes files d’arbres. A mesura que vagi creixent la grandària de l’hort, què augmentarà més de pressa: el nombre de pomeres o el de coníferes? Expliqueu com heu trobat la resposta. Fita 14

Quin temps farà?

5 punts

Abans de fer la sortida a l’estany es va consultar al servei meteorològic la freqüència amb què plou en aquesta zona durant aquest període de l’any. El meteoròleg va dir: «En els pròxims vint dies, la possibilitat que no plogui és de dos sobre tres». Quina de les següents opcions reflecteix millor el significat de l’afirmació del meteoròleg? A. 2/3 × 20 = 13,3; aleshores entre 13 i 14 dies a partir d’ara no hi plourà. B. 2/3 és més gran que 1/2, per la qual cosa podem estar segurs que no plourà el dia de la sortida. C. La probabilitat que no plogui a l’estany el dia de la sortida és més gran que la probabilitat que plogui. No es pot dir què passarà, perquè ningú no pot estar segur del temps que farà.

Referències Alsina, A., Busquets, O., Esteve, O., Torra, M. (2006). La reflexió sobre la pròpia pràctica: una eina per progressar en l’ensenyament de les matemàtiques. Biaix, 25, 37-43. ARB (Assessment Resource Bank)-Mathematics. http://arb.nzcer.org.nz. Aubanell, A. (2006). Materials manipulables a l’aula de matemàtiques. Biaix, 25, 45-56. Aubanell, A. (2006). Recursos materials i activitats experimentals en l’educació matemàtica a secundària. http://www.xtec.cat/~aaubanel. Barberà, E. (2001). Pensar matemàticament: estratègies per al pensament. Escola catalana, 376.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 38, 26/05/2016

juny 2016 41

Bonals, J. (2000). El trabajo en pequeños grupos en el aula. Barcelona: Graó. Burgués, C., Sarramona, J. (2013) Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic. Identificació i desplegament a l’educació secundària obligatòria. Barcelona: Generalitat de Catalunya. Departament d’Ensenyament. Direcció General d’Educació Secundària Obligatòria i Batxillerat. Servei de Comunicació i Publicacions. Callís Franco, J., Canals Tolosa, M. A. (2003). Curs per a l’actualització de l’ensenyament/aprenentatge de la matemàtica. Barcelona: Generalitat de Catalunya. Departament d’Ensenyament. Resolució de problemes. Consideracions didàctiques. Servei de Publicacions de la Generalitat de Catalunya. Creamat. Barcelona: Generalitat de Catalunya. Departament d’Ensenyament. http://srvcnpbs. xtec.cat/creamat/joomla/index.php/inici. Edu3.cat. Portal de ràdio i televisió educatives per Internet. www.edu3.cat. Edu365.cat. Portal del Departament d’Ensenyament. Generalitat de Catalunya. http://www. edu365.cat. Esteve, O. (2007). Nuevas perspectivas en la formación de profesorado de lenguas: hacia el aprendizaje reflexivo o «Aprender a través de la pràctica». APAC quaterly magazine, 61. Freudenthal, H. (1991) Revisiting mathematics education: China lectures. Kluwer Academic Publishers. Freudenthal Institute. Applets for mathematics students. http://www.fi.uu.nl/wisweb/en. Grup Zero. (1985). Les funcions circulars. 2a. ed. Barcelona: Vicens-Vives (Col.lecció Matemàtiques Grup Zero). JClic. Entorn per a la creació, realització i avaluació d’activitats educatives multimèdia. http://clic.xtec.cat/ca/jclic. NRICH enriching mathematics. http://nrich.maths.org/frontpage. Oliu, V. (2011). Itineraris de matemàtiques: recobriment curricular amb seqüències didàctiques per a l’aula digital de secundària. https://sites.google.com/site/victoriaoliu. Pisa 2003. Ítems alliberats (2005). Barcelona: Generalitat de Catalunya. Departament d’Ensenyament. Consell Superior d’Avaluació del Sistema Educatiu. 03. Documents. Planas, N., Alsina, A. (2009.). Educación matemática y buenas prácticas: infantil, primaria, secundaria y educación superior. Graó, 257. Pòlya, G. (1967). La découverte des mathématiques. París: Dunod. Puig Adam, P. (1955). Decàleg per a la didàctica de la matemàtica.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 39, 26/05/2016

42 noubiaix 38

Queralt Gil, J. (2006). Moodle i el constructivisme social. V Jornades de Programari Lliure. Barcelona: UPC. Romo, G. (2008). TooMates. Web d’exercicis de matemàtiques. http://www.toomates.net. Thatquiz. Activitats i proves de matemàtiques per a alumnes i professors de tots els nivells. http://www.thatquiz.org/ca. XTEC. Competències bàsiques. http://www.xtec.cat/web/guest/hom.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 40, 26/05/2016

juny 2016 43

Què és més rodó? Miquel Albertí Palmer Institut Vallès (Sabadell), UAB

Resum Des d’una perspectiva constructivista de l’aprenentatge, les definicions i els teoremes no són el principi, sinó el final d’un procés que l’alumnat de matemàtiques hauria d’experimentar per a construir el seu propi aprenentatge. Amb diversos episodis d’aula de primer d’ESO s’il.lustra com es poden construir la definició de cercle i la de grau de rodonesa que s’usaran per a esbrinar quin ou és més rodó, el de guatlla o el de gallina. Mitjançant la guia del seu professor, la interacció social amb els seus col.legues i successives aproximacions d’exemples i contra exemples, els estudiants són capaços de concretar i de construir tant la definició de cercle com la del grau de rodonesa. El treball es tanca amb una anàlisi de les implicacions didàctiques del procés de cara a cursos posteriors de l’ESO.

Paraules clau aprenentatge matemàtic, constructivisme, cercle, grau de rodonesa.

Abstract From a constructivist viewpoint of learning, definitions and theorems are not the beginning but the end of a process that mathematics students should experience in order to build their own learning. By means of several experiences in a first year secondary education classroom, we show how the definitions of circle and degree of roundness are created. Both definitions are used to find out which of the following is rounder, a quail egg or a chicken egg. Under the guidance of the teacher, the social interaction with classmates and successive approximations of examples and counterexamples, students are able to specify and create both the definition of circle and the degree of roundness. The work finishes with an analysis of the didactic implications of the process with respect to future secondary education courses.

Key words mathematical learning, constructivism, circle, degree of roundness.

Introducció A l’Institut Vallès de Sabadell, els crèdits de síntesi de l’ESO es desenvolupen al voltant de lectures. Des de les diferents àrees es plantegen activitats d’ensenyament i aprenentatge adreçades a comprendre la narració i els elements que la componen i que l’alumnat treballa en grups de quatre o cinc persones.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 41, 26/05/2016

44 noubiaix 38

El crèdit de síntesi de primer d’ESO es basa en la Historia de una gaviota y del gato que le enseñó a volar, de l’escriptor xilè Luis Sepúlveda. L’obra relata la història d’un ou de gavina orfe del qual una comunitat de gats de carrer s’ha de fer càrrec amb la idea de salvar el germen de vida que inclou i educar-lo segons és propi de la seva natura d’au. Això implica que els gats hauran d’ensenyar a volar la gavineta, tot i que no tinguin ales ni sàpiguen fer-ho. La novel.la ve a ser la crònica d’un procés d’aprenentatge entre diferents, ja que «es fácil querer a los iguales, difícil amar a los diferentes» (p. 103-104). D’una banda, la gavina ha d’aprendre a volar. D’altra banda, els seus progenitors adoptius han d’aprendre a ensenyar-li allò que ni saben fer i que no forma part de la seva natura. El paradigma del coneixement enciclopèdic és present en la insistència amb què el gat Sabelotodo reitera una vegada i una altra que «todo está en la enciclopedia». L’enciclopèdia servirà als gats per a conèixer les necessitats alimentàries del pollet de gavina, però no l’ensenyarà a volar ni els gats aprendran la manera d’ensenyarli-ho. Al final, la gavina haurà d’arriscar-se: «Al borde del vacío comprendió lo más importante...» (p. 136). A volar, se n’aprèn volant, igual que, de matemàtiques, se n’aprenen fent-ne. Les activitats de matemàtiques del crèdit es plantegen transversalment, sobretot amb tecnologia i llengua. Però la més destacada és possiblement l’adreçada a esbrinar quin ou és més rodó, un ou de gallina o un de guatlla? L’ou és protagonista de la primera part de la novel.la. La seva forma és rodona, malgrat que no es tracta d’una esfera. Per tant, no és perfectament rodó. Així es planteja fins a quin punt ho és, de rodó. És a dir, cal quantificar el grau de rodonesa d’un ou. A la pràctica, és impossible disposar d’ous de gavina. Per això es treballa amb ous reals i bullits de gallina i de guatlla. En sessions de classe de tecnologia, es mesuren els ous, se’n dissenyen «nius geomètrics» ben ajustats amb forma de prisma recte (capsa) o de cilindre (tub amb tapes) circumscrits. La quantificació de la rodonesa s’assoleix mitjançant els passos següents: 1. Mesurament de la llargària i l’amplària dels ous de guatlla i de gallina. 2. Càlcul de la ràtio entre la llargària i l’amplària de cada ou. 3. Càlcul de la mitjana aritmètica de les ràtios. 4. La mitjana aritmètica més propera a 1 determina l’ou més rodó. Prèviament a la realització de les activitats, es desenvolupen diverses sessions de classe en què es reflexiona sobre la rodonesa fins a arribar a una quantificació del grau de rodonesa d’un rectangle. Això significa que els quatre passos esmentats no es dicten a l’alumnat — no se li diu que ho faci així— , sinó que són el resultat d’un procés constructiu que duu a terme amb la guia del professor. Però abans de mostrar el desenvolupament d’aquest procés, vegem quin és el marc teòric que l’inspira.

L’aprenentatge matemàtic

Constructivisme Jean Piaget i Lev Vigotski foren les persones més influents en la concepció constructivista de l’aprenentatge. El sistema de Piaget (1970) es basa en estructures cognitives corresponents

16336 Nou Biaix 38, pàgina 42, 26/05/2016

juny 2016 45

a quatre estadis de desenvolupament del nen: sensor i motriu (0-2 anys), preoperacional (2-7 anys), operacional concret (7-12 anys) i operacional formal (a partir dels 12 anys). Els processos d’assimilació i acomodament fonamenten l’aprenentatge. L’assimilació suposa interpretar els esdeveniments mitjançant estructures cognitives ja existents, mentre que l’acomodament significa canviar una estructura per donar sentit a l’entorn. El desenvolupament cognitiu consisteix en una constant adaptació a l’entorn mitjançant una successió d’assimilacions i acomodaments. La de Piaget és una perspectiva constructivista de l’aprenentatge que es pot facilitar amb activitats i situacions que posin l’estudiant davant reptes que necessitin assimilació i acomodament. Cadascuna d’aquestes activitats haurà de tenir en compte l’estadi de desenvolupament cognitiu del nen en relació amb la seva maduresa. Observeu que Piaget situa el pas del tercer al quart estadi, de les operacions concretes a l’abstracció de les operacions formals, al voltant dels 12 anys, l’edat en què una persona inicia l’ESO. Però Piaget no dóna un paper rellevant a l’entorn social del nen. L’amoïna més l’individu. Per a Vigotski (1978), en canvi, la interacció social juga un paper fonamental en el desenvolupament cognitiu. El grau d’habilitat que el nen pot assolir amb ajut amplia l’abast del que pot aconseguir per si sol creant l’anomenada «zona de desenvolupament proper» (ZDP), sense la qual el desenvolupament cognitiu no pot ser mai complet. A més, Vigotski considera dos tipus de conceptes: els científics, que es construeixen de dalt a baix i que de bon principi són abstractes, però que mitjançant l’aplicació a fenòmens concrets guanyen significat, i els espontanis, que es creen de baix cap amunt i que estan lligats a les situacions concretes i són rics en significat, però potser massa locals i deslligats els uns dels altres. S’aprecia en Vigotski una concepció estàndard i platònica de les idees científiques, ja que les considera com ens d’estrats superiors que s’aprenen mitjançant aplicacions a situacions reals. Hom diria que si Vigotski hagués d’ensenyar les matemàtiques de l’àmbit acadèmic ho faria a partir de definicions i teoremes que després s’aplicarien a situacions contextualitzades. D’altra banda, que consideri possible l’aprenentatge de conceptes a partir de situacions concretes i cap amunt ens porta a la importància que dóna al context en l’aprenentatge i que la dificultat en aquest tipus d’aprenentatge és lligar l’après fins a construir amb tot plegat conceptes de tipus científic. Això és quelcom que a matemàtiques es produeix quan, arran d’una situació concreta, se’n fan generalitzacions de les quals es treuen resultats i teoremes universals. Aquesta és la part més creativa de les matemàtiques. L’educador acadèmic pot desenvolupar un paper molt rellevant en la perspectiva de Vigotski, però observeu que la ZDP d’una persona no té per què limitar-se al seu mestre o professor, sinó que pot abastar els seus companys de classe i altres persones afins del seu àmbit social i familiar. Si Piaget estudiava el nen de ben a prop, aïllat de l’entorn social com acostuma a passar en un laboratori, Vigotski s’adona que no pot arrabassar l’individu del context social que l’envolta.

Cognició en la pràctica Dins de l’entorn social d’un individu, hi ha altres aspectes a tenir en compte que poden ser determinants en l’aprenentatge. Això és el que fa Jean Lave quan relaciona l’aprenentatge

16336 Nou Biaix 38, pàgina 43, 26/05/2016

46 noubiaix 38

directament amb la pràctica. En situacions reals i quotidianes, el pensament està al servei de l’acció i la gent se les enginya per a trobar solucions. Lave (1988) no veu il.lògic ni poc rigorós el pensament quotidià, sinó sensible i efectiu en el context pràctic en què es produeix. En activitats pràctiques, l’eficàcia és un objectiu primordial. Aquest és un dels aspectes que la investigació restringida al laboratori ha passat per alt. L’altre és que, en les pràctiques desenvolupades fins fa poc al laboratori (escola), la societat i la cultura hi han estat molt poc presents. Segons Lave (1988), el context, la interacció social i la cultura en la qual es desenvolupa una activitat són aspectes crucials de l’aprenentatge: el coneixement és situat i no hauria de presentar-se d’una manera abstracta deslligant-lo dels seus components decisius com s’acostumava a fer fins fa poc a les aules. De fet, hem de reconèixer que idees tan elementals, però fonamentals en matemàtiques, com el cercle parteixen de la percepció sensorial de figures circulars en l’entorn. Podem definir un quadrat o un cercle, però sempre hi haurà quelcom que se’ns escapa de l’aprenentatge si mai no hem traçat un quadrat o un cercle concrets amb regle i compàs. És a l’hora de construir realment aquestes figures quan ens fem conscients d’allò que en constitueix l’essència. Heus aquí el tercer aspecte primordial de la cognició en la pràctica de Lave: el paper que juguen els artefactes i les eines en l’aprenentatge. Aquest és un aspecte que remet a Piaget. En una activitat pràctica i en la resolució de problemes pràctics poden intervenir i resultar fonamentals processos corresponents a les quatre etapes cognitives, des de la percepció sensorial fins a la formalització, aquesta última especialment en pràctiques i problemes de tipus matemàtic.

Matemàtiques: una ciència experimental Dins de l’àmbit matemàtic, a mitjan segle XX, alguns matemàtics ja feren públic com era el procés en què es desenvolupaven les matemàtiques. George Pólya (1988) destacava l’aspecte experimental de les matemàtiques en reconèixer que, de portes endins, les matemàtiques es desenvolupen com una ciència experimental i que, d’acord amb la filosofia científica de Popper (1994), el seu producte és falsable. Una cosa és com es fan públics els resultats matemàtics i una altra de ben diferent és com s’han obtingut. Qui ha dut a terme activitat matemàtica sap que, per a resoldre un problema o una qüestió, val tot, qualsevol idea o estratègia que condueixi cap a la solució. Un cop obtinguda, el problema és aconseguir-la mitjançant el procés de validació del coneixement matemàtic que és la demostració. Però abans d’això, per a obtenir la solució, el matemàtic ha posat a prova intuïcions fallides i experiments i analogies no sempre encertats que l’han portat a fer el que Imre Lakatos (1994) anomenava «proves i refutacions». Tots aquests encerts i ensurts també formen part del desenvolupament matemàtic i representen l’ànima del seu aprenentatge. Es tracta d’aspectes menys formals i coneguts per aquells qui no es dediquen a les matemàtiques i que ja foren assenyalats per Courant i Robbins (1996) i Davis i Hersh (1988). En un context més educatiu com el de Pólya, val la pena destacar les estratègies constructivistes que proposa en la resolució de problemes i que, tot i tenir ja dècades, segueixen vives encara perquè són precisament essencials per fer matemàtiques i perquè serveixen per a l’autoaprenentatge: comprensió del problema, elaboració d’un pla de resolució, portar-lo a terme i revisar i contrastar la solució.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 44, 26/05/2016

juny 2016 47

L’aprenentatge significatiu També als voltants de mitjan segle XX, Hans Freudenthal s’adonà que, en els nivells més elementals, l’aprenentatge dels nens és discontinu i que actuen d’una manera intuïtiva, informal i, sobretot, manipulant objectes. Aquestes foren les bases del canvi que suposà no sols aplicar matemàtiques, sinó donar importància a la riquesa dels contextos en l’aprenentatge. Freudenthal criticà precisament l’aleshores anomenada matemàtica moderna, perquè representava una versió antididàctica en què les definicions i els axiomes constituïen el punt de partida, qüestió que capgira el vertader desenvolupament de les matemàtiques perquè els teoremes, les definicions i els axiomes són sempre el final del procés i no el principi. Per a Freudenthal (1972), una educació matemàtica realista ha de començar amb problemes rics en context i significat sobre els quals els estudiants reflexionin progressivament del concret a l’abstracte. És una perspectiva propera als conceptes científics ascendents de Vigotski i força allunyada de Piaget. El més significatiu d’aquesta anàlisi teòrica és que, possiblement, Vigotski plantejava el desenvolupament descendent dels conceptes científics perquè ell mateix no era un científic i no havia viscut l’ascens del concret a l’abstracte d’aquests conceptes. Però la immensa majoria dels conceptes s’han construït del concret a l’abstracte. Freudenthal s’inclina per construir els conceptes així, per aprendre així.

Què és un cercle? El primer pas per a parlar de la rodonesa és plantejar-se què és un cercle, la figura més perfectament rodona. Un professor ja sap el que és. Pot entrar a l’aula i definir el cercle com un lloc geomètric: Donat un punt P del pla al qual direm centre, i una distància r anomenada radi, la circumferència amb centre P i radi r està formada per tots els punts que es troben a distància r del punt P.

Tot seguit, podrà plantejar algunes activitats d’aplicació d’aquesta definició seguint el model de Piaget o el dels conceptes descendents de Vigotski perquè el concepte científic sigui assimilat i paït cognitivament. Poc importa aquí el que ja pugui saber la persona o les idees preconcebudes que del cercle pugui tenir, algunes de les quals motivades pel fet d’haver incorporat el mot «cercle» al seu vocabulari natural abans de tractar-lo en l’àmbit acadèmic. Des de la perspectiva constructivista de Freudenthal, el procés és a la inversa i parteix precisament de les concepcions i idees prèvies de la persona i de la seva manera d’expressarles. Per a il.lustrar aquesta idea, es transcriu a continuació un episodi d’aula sobre la concepció del cercle que es produí durant una sessió de matemàtiques de primer d’ESO. El tema a tractar era el de la divisibilitat, però foren la curiositat i les ganes de saber de l’alumnat les que feren canviar el centre d’interès portant-lo a l’àmbit geomètric. Veient que l’alumnat volia aprendre, el professor, en lloc de dir això ara no toca, no va defugir l’oportunitat que l’espontaneïtat del seu alumnat oferia.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 45, 26/05/2016

48 noubiaix 38

Construcció de la definició de cercle Als diàlegs següents, P assenyala les intervencions del professor i A les de l’alumnat en general, sense distingir entre alumnes ni el seu gènere. Per tant, A és, literalment, la inicial d’alumnat. A: El cercle perfecte no existeix. P: Això ho dius pel que heu fet en l’optativa de filosofia,2 no?

En sentir l’observació de l’alumne, el professor pregunta a la classe: P: Sabeu què és un cercle? Doneu-me’n una definició, digueu-me què es. A: Una línia tancada (DEF_01).

El professor traça dues línies tancades a la pissarra:

Tothom està d’acord que no són cercles. A: Una línia amb infinits costats (DEF_02).

El professor traça una altra línia tancada amb «infinits costats»:

També es fa evident que aquesta, malgrat compondre’s d’infinits costats, no respon a la idea de cercle que l’alumnat té al cap. La DEF_02 tampoc no és vàlida. Però, malgrat la seva incorrecció, aquesta perspectiva comporta implícitament la concepció del cercle, o almenys de la corba, com a límit dels polígons regulars. El professor pregunta: P: Per què ho has dit així? A: Perquè és com si anessis augmentant els costats, cada vegada, fins que serien infinits.

El professor es dirigeix a tota la classe per a expressar el pensament de la seva alumna i ajudar a consolidar la idea que, si anem augmentant el nombre de costats d’un polígon regular, la

2. El professor pensa en la matèria optativa «Pensar por pensar» que s’està duent a terme aquest curs i que consisteix a introduir la reflexió i l’argumentació sobre fenòmens que decideixen els alumnes mateixos. Al professor, li consta que en alguna sessió de l’esmentada optativa es va reflexionar sobre els ideals platònics i que precisament el cercle es va posar en discussió.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 46, 26/05/2016

juny 2016 49

figura resultant s’assembla cada cop més a un cercle (DEF_03). Però aquesta concepció no sembla haver-los satisfet, ja que algú torna a intervenir: A: Una línia tancada perfectament rodona (DEF_04).

Tothom està d’acord que és una definició encertada. Però porta associada una qüestió prou rellevant per a una definició. El professor pregunta a l’autor: P: I com s’aconsegueix que sigui perfectament rodona? A: Amb el compàs! P: Sí. Potser fóra bo ajudar-nos del compàs per dir què és un cercle.

El compàs sembla inspirar-los: A: Una figura que té radi (DEF_05).

El professor treu un cordill del calaix de la seva taula, en lliga els extrems i el subjecta amb una xinxeta al suro que hi ha penjat en una paret. A través de l’extrem lliure, hi passa un retolador, tensa el fil i va preguntant, a mesura que va tacant el suro amb la punxa del retolador: P: Aquest punt és del cercle? A: Sí. P: I aquest? A: També! P: I aquest altre? P: També! P: Què tenen en comú tots aquests punts que faci que els considereu del cercle? A: La mateixa distància. P: Distància a on? A: Al punt clavat. P: Aleshores, ja tenim definició. Només cal concretar-la. Com es diu el punt clavat? A: És el centre. P: El centre de què? P: Del cercle. P: Per ser rigorosos, la línia obtinguda es diu circumferència. El cercle seria la zona delimitada per ella mateixa i el seu interior. I la distància, com es diu? A: És el radi del cercle. P: Molt bé. Per tant, ja tenim la definició de què és un cercle.

La definició es concreta (DEF_06) i s’escriu a la pissarra: Donat un punt P de la pissarra al qual direm centre, i una distància d a la qual anomenarem radi, la circumferència amb centre P i radi d està formada per tots els punts que es troben a distància d del punt P.

Revisió del marc teòric No sols el professor va actuar de guia en l’aprenentatge, també l’alumnat (Vigotski). La definició científica de cercle s’assolí mitjançant interacció social i d’una manera ascendent,

16336 Nou Biaix 38, pàgina 47, 26/05/2016

50 noubiaix 38

de baix a dalt (Vigotski), buscant que s’adaptés a la idea de cercle que tothom tenia al cap. Era una idea precisa de la forma a la qual mancava una expressió rigorosa. La precisió de la definició fou fruit de l’ús d’un instrument: el compàs. Però el compàs que es va fer servir no fou l’estàndard. En un compàs estàndard, el radi és invisible; en canvi, en un de cordill, el radi (cordill) és visible en tot moment. Aquesta eina no tan sols va facilitar la traça de la circumferència, sinó llur concepció i definició (Lave: cognició en la pràctica). El compàs no solament ajudà a concretar la definició i la idea de «perfectament rodó» del cercle, sinó que establí un context real i pràctic en el qual concretar el concepte. Mitjançant el compàs, s’assoleix el primer nivell de concreció del que és un cercle, un nivell que molts dels presents a l’aula no havien assolit i que es posa de manifest en les definicions i les respostes ambigües a les preguntes del professor. Amb el compàs, el cercle guanyà claredat i, sobretot, significat, perquè era tangible. El context n’enriqueix la concepció (Freudenthal) i encara l’enriquirà més en situacions reals en què sigui protagonista, com les que s’exposaran més endavant. Pel que fa a l’aprenentatge de l’alumnat, en lloc de donar directament la definició de cercle (perspectives de Piaget i descendent de Vigotski), el professor optà per reconstruir-la a partir del que sabien o recordaven els seus alumnes (perspectiva ascendent de Vigotski, pràctica de Lave i significativa de Freudenthal). La definició fou reconstruïda mitjançant interacció social guiada pel professor (Vigotski), que sabia on volia arribar i on portar el pensament dels seus alumnes. Pel que fa al desenvolupament matemàtic, l’atansament envers la definició fou mitjançant proves, refutacions i contraexemples de les definicions que anaven sorgint (Pólya i Lakatos). La sisena definició és la que, a hores d’ara, continua vigent. Però d’aquí uns anys tornarà a canviar quan el cercle se situï en un entorn més algèbric i abstracte com el de la geometria analítica del pla. Aleshores, aquests alumnes arribaran a la setena definició de cercle (DEF_07): Cercle C amb centre al punt P = (a,b) i radi r : (x, y) ∈ R2 /(x − a)2 + (y − b)2 ≤ r2 .

El grau de rodonesa La qüestió del grau de rodonesa tenia a veure amb el crèdit de síntesi al voltant de la lectura esmentada a la introducció. El problema de la quantificació de la rodonesa d’un rectangle es treballa en un parell de sessions els objectius de les quals són que l’alumnat aprengui que: 1. La rodonesa d’una figura és independent de la seva grandària. 2. Tot i no ser rodons, els rectangles més rodons són els quadrats. 3. El grau de rodonesa d’un rectangle no està vinculat a la diferència entre la llargària i l’amplària, sinó al quocient o ràtio entre ambdues dimensions. Des d’una perspectiva tradicional, això es pot fer per decret. Es poden definir la circumferència i el cercle, declarar què és rodó i què no ho és, i dictar què s’ha de fer per a decidir si un objecte o figura és més o menys rodó que un altre. Tot plegat, es pot fer en cinc minuts. Ara bé, si l’alumnat n’aprèn alguna cosa, el més probable és que el que aprengui sigui només acumulació de coneixement irreflexiu: empassant-se allò que el professor ordena

16336 Nou Biaix 38, pàgina 48, 26/05/2016

juny 2016 51

empassar-se. Un altre concepte científic per assimilar i aplicar a casos concrets. Des d’una perspectiva constructivista i significativa de l’aprenentatge, es corre el risc de patir un empatx. L’episodi següent és la crònica dels fets d’aula produïts en posar l’alumnat en les situacions (Lave) sobre les quals reflexionarem tots plegats, alumnes i professor (Vigotski) fins a arribar a assolir els quatre objectius esmentats en relació amb la rodonesa d’un rectangle. L’aprenentatge de l’alumnat no fou fruit d’una transferència de coneixement, sinó d’una construcció social mitjançant reflexió compartida i en la qual intervingueren i interactuaren cadascun dels alumnes, el professor i els companys de classe. Tot plegat desenvolupantse mitjançant successives experimentacions, proves, refutacions i contraexemples (Pólya, Lakatos).

La rodonesa no depèn de la grandària El professor entra a l’aula portant una bossa de la qual treu diversos objectes i els posa damunt la seva taula (imatge 1). Havent acabat de muntar la paradeta, pregunta a la classe: P: D’aquests objectes, quins són rodons?

Imatge 1. Diversos objectes, uns de més rodons que d’altres.

Tothom té opinió. Alguns observen que n’hi ha que són més rodons que d’altres. No hi ha cap mena de dubte que els objectes ben rodons són les pilotes de futbol i de tennis. D’altres es consideren rodons, però no del tot: pot, retoladors, got. N’hi ha que no són considerats gens rodons: l’esborrador i els fulls de paper. En sintonia amb la perspectiva ideal platònica de la qual s’ha parlat abans, n’hi ha que observen que, de ben rodó, ben rodó, no n’hi ha cap, ja que el cercle i l’esfera perfectes són impossibles de construir. El professor pregunta: P: Aquests objectes ben rodons, en què es diferencien?

16336 Nou Biaix 38, pàgina 49, 26/05/2016

52 noubiaix 38

Les respostes són diverses: A: Uns són més grans i uns altres, més petits. A: En la grandària. A: Tots són ben rodons, però uns més petits que els altres. P: Aleshores, com ho podem resumir tot això? A: Que és igual que siguin grans o petits. P: Quin és l’objecte més rodó? A: Una rodona. A: Un cercle. P: I si dibuixem un cercle gran i un de petit, quin és més rodó? A: Tots dos són igual de rodons. P: Per tant, allò que és ben rodó, tant se val que sigui molt gran o molt petit.

Expressat en un llenguatge més tècnic, podem dir que la rodonesa és independent de la grandària.3 L’objectiu 1 s’ha assolit. A continuació, el professor vol adreçar l’alumnat cap a l’objectiu 2, que era veure que, entre els objectes que no són rodons, n’hi ha que ho són més que d’altres. Concreta la qüestió en els rectangles.

Els més rodons dels rectangles El professor dibuixa dues figures a la pissarra. Una és una circumferència prou perfecta; l’altra és clarament ovoide. Un cop acabada la traça, pregunta a la classe quina és més rodona. No hi ha dubtes a declarar-ne una de més rodona que l’altra. Però quan els pregunta el motiu, molts queden en silenci. Només una persona fa una aportació rellevant. El professor la invita a comunicar-ho a tothom des de la pissarra per a poder assenyalar damunt de les figures les seves idees (imatge 2). Acompanya els traços amb el comentari següent: A: A la figura de l’esquerra, els radis són iguals; a la de la dreta, són diferents.

Imatge 2. La figura de l’esquerra no és ben rodona perquè «té radis diferents».

3. En un nivell superior, es podria aprofundir en la reflexió observant que el que fa la rodonesa és l’existència d’un radi. Això ens portaria a una conclusió paradoxal, ja que totes les circumferències serien igual de rodones. Forçant les coses, la circumferència de radi infinit (la recta) també mereixeria ser qualificada com a tan rodona com un anell. Una conclusió agosarada que podria provocar el canvi de paradigma fent revisar la concepció de rodonesa o fer-ne una revisió per a la rodonesa de corbes en què es faria necessari introduir el concepte de radi de curvatura. Aleshores, ambdues figures serien igual de rodones, però les corbes dels seus perfils, les circumferències, tindrien curvatures diferents.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 50, 26/05/2016

juny 2016 53

La rodonesa apareix per primera vegada relacionada amb la mesura o mesures de longituds (ROD_1). En un cercle, tots els radis són idèntics. En canvi, en qualsevol altre figura, els radis o segments que van del centre a la vora de la figura són diferents. Som davant d’una nova definició de cercle o circumferència (CIR_8): figura en la qual existeix un punt tal que tots els segments traçats des d’ell fins a la vora tenen la mateixa longitud.4 La persona autora havia traçat només dos dels molts «radis» possibles en cada figura; l’un era vertical i l’altre, horitzontal. Una qüestió de percepció visual s’havia transformat en una de matemàtica en la qual intervenia la mesura. Ja teníem els referents matemàtics per a quantificar la rodonesa: la relació d’igualtat o de desigualtat entre les longituds d’aquests «radis». Quan el professor pregunta a la classe què pensa de l’explicació i l’argumentació de la seva companya, tothom està d’acord que s’entén. De fet, molt possiblement, un professor expert no ho hauria expressat d’una manera tan clara i convincent perquè mai no se li hauria acudit parlar de «radis diferents». La ment del professional matemàtic no té aquesta llibertat creativa, fa anys que fou domesticada. Això invita a una reflexió didàctica perquè potser estaria bé tenir un mot per a descriure el segment que va des del centre a la vora de la figura.5 És a dir, un nom vinculat a figures construïdes mitjançant un punt fix anomenat centre, però amb un radi variable que canvia a mesura que l’anem girant. Aquesta persona havia creat un nou concepte matemàtic emprant incorrectament un mot matemàtic tan rigorós com és el radi d’un cercle. Però no tenia millor manera d’expressar-ho. La resta de companys i el professor ho han entès. Passar d’aquest parell de figures ovals a un parell de rectangles és senzill. El professor mostra a la classe la imatge 3, en què apareixen diversos rectangles, i pregunta al seu alumnat: P: I què direm de les dues figures següents; quina diríeu que és més rodona?

Imatge 3. Diversos rectangles, alguns més «rodons» que d’altres.

4. Però, des d’aquesta perspectiva, dos punts aïllats formarien una circumferència. Els tres vèrtexs d’un triangle equilàter també. Si no acceptem aquestes conseqüències, haurem de modificar la definició restringint-la a figures connexes i tindríem la DEF_09. 5. De cara al futur acadèmic de l’alumnat, aquests radis diferents als quals fa menció la noia són el que més endavant i en un context físic s’anomenaran radis vector de posició d’un punt en moviment a l’espai.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 51, 26/05/2016

54 noubiaix 38

Tampoc no hi ha dubtes en el fet que, tot i tractar-se de figures que no són rodones, n’hi ha que ho són més que d’altres. Dels sis rectangles, els tres quadrats són considerats més rodons que els altres. Aleshores, té sentit preguntar-se per què. P: Per què dieu que els quadrats són més rodons que els rectangles? A: Perquè són igual de llargs i amples. A: Els rectangles són allargats; els quadrats, no. P: Això, no s’assembla al que ha explicat la persona que ha sortit a la pissarra? A: Els dos radis eren diferents. P: Quins radis? A: El pla i el vertical. P: Exacte. I què passa en un quadrat i en un rectangle? A: Sí, al quadrat són iguals; als rectangles, diferents.

El professor tanca la qüestió centrant-se en el fet que el determinant és la llargària i l’amplària. Un quadrat és més rodó que un rectangle perquè és igual de llarg que d’ample. El pas següent és decidir quins rectangles no quadrats són més rodons que d’altres.

Grau de rodonesa d’un rectangle P: Ara imaginem-nos aquests dos rectangles; un, de costats 8 i 7; l’altre, de costats 9 i 4. Quin dels dos és més rodó? (imatge 4).

Imatge 4. Dos rectangles.

Tothom està d’acord que el primer és més rodó que el segon. Però el professor vol que l’alumnat arribi a quantificar el grau de rodonesa. P: Això ho dieu perquè es veu que el primer està més a prop de ser quadrat que no pas el segon. Com ho podem decidir a partir de les mesures dels costats? A: És com allò dels radis. A: Sí, els costats del primer són més iguals que l’altre. P: Com d’iguals? A: 8 i 7 són més iguals que 9 i 4. P: Sí, però, per què? A: És la diferència. P: Quin càlcul hem de fer? A: Restar. Si fas 8 menys 7, dóna 1. Si fas 9 menys 4, dóna 5.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 52, 26/05/2016

juny 2016 55

P: I en un quadrat, què passaria? A: Donaria igual. P: Què vol dir que donaria igual? A: No. Vull dir que, en un quadrat, seria 8 menys 8, que dóna zero. P: Aleshores, com decidim el grau de rodonesa entre dos rectangles que no són quadrats? A: Amb la resta. A: Sí. Si dóna quasi zero.

Hem arribat a veure que amb la resta dels costats tenim una primera quantificació del grau de rodonesa que representa una segona definició del concepte (ROD_2). Aquesta idea es basa a decidir el grau d’igualtat entre dues mesures, la llargària i l’amplària del rectangle. Com més iguals siguin, més quadrat, o més «rodó», serà el rectangle. Val la pena observar que així la igualtat no s’estableix d’una manera directa, sinó indirecta. La diferència o resta quantifica la proximitat entre dues longituds perquè quantifica la distància que les separa de zero. Implícitament, estem fent servir l’equivalència següent: a = b ⇔ a − b = 0. Que dos nombres siguin iguals equival a dir que la seva diferència és nul.la. Aquesta serà la primera forma de quantificar la rodonesa d’un rectangle de costats a i b, essent a > b (llargària a i amplària b). Com més a prop de zero estigui a − b, més quadrat (rodó) serà el rectangle.

El grau de rodonesa d’un rectangle Però el professor sap que això no és veritat i posa a prova aquesta decisió: P: Ara, ordeneu els rectangles següents, del més rodó al menys rodó.

El professor els dóna les mides de quatre rectangles estratègics, les mesures dels costats dels quals, prenent com a unitat la dels fulls quadriculats que tenen, són: 2 × 1, 3 × 1, 5 × 4 i 8 × 6. A: N’hi ha que donen el mateix. A: Dos rodons i dos que no. P: Efectivament. Si restem les longituds dels costats, els resultats són 1, 2, 1 i 2. És així? A: Sí. Però no és veritat. El petit 3 × 1 és més allargat que el 8 × 6. P: Això vol dir que restar els costats no serveix per a decidir el grau de rodonesa. Què podríem fer per arreglar-ho?

La classe es manté en silenci. El professor mira de reconduir la situació: P: Pensàvem que amb la resta ja podíem decidir quin era el més rodó de dos rectangles. Però acabem de veure que la resta no s’ajusta a la nostra idea i no serveix perquè els dos rectangles anteriors, aplicant-los la resta, surten igual de rodons i no haurien de ser així. Quina altra operació o càlcul podem fer per a decidir el grau de rodonesa? A: La divisió? P: Provem amb la divisió. Què passa amb la divisió dels costats d’un rectangle quadrat? A: Donarà 1. A: Sí. Si els costats són iguals, la divisió donarà 1.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 53, 26/05/2016

56 noubiaix 38

El professor observa que la divisió és una altra manera de decidir si dos nombres són iguals. Amb la resta, el resultat és 0; amb la divisió, el resultat és 1. Si abans la rodonesa s’associava amb la proximitat a zero de la resta, ara la relacionarem amb la proximitat a 1. P: Apliquem la divisió als quatre rectangles anteriors. Què surt? A: Les divisions donen 2, 3, 1,25 i 1,33. P: Per tant, quin és l’ordre dels quatre rectangles, de més a menys rodó? A: Seria 5 × 4, 8 × 6, 2 × 1 i 3 × 1. P: L’ordre ve determinat per les desigualtats. Però, què signifiquen aquestes divisions, per què poden servir per a decidir el grau de rodonesa dels rectangles?

La classe roman en silenci. El professor recorda el significat de la divisió, que en dividir un nombre entre un altre, el resultat diu quantes vegades més gran és un que l’altre o quantes vegades cap el segon dins del primer. Això vol dir que el rectangle 3 × 1 és tres vegades més llarg que ample (3/1 = 3), que el 2 × 1 és el doble de llarg que ample i que els altres dos són un xic més llargs que amples (8/6 = 1,33 i 5/4 = 1,25). La conclusió, sense entrar en qüestions de proporcionalitat geomètrica, és que el grau de rodonesa es pot quantificar dividint ambdues longituds, tercera definició (ROD_3). Usem ara una altra forma equivalent de la igualtat entre dos nombres o mesures: a=b ⇔

a =1 b

Hem refusat el model matemàtic additiu passant a un nou model multiplicatiu, un canvi cognitiu que porta el seu temps i que culminarà a segon d’ESO amb la proporcionalitat geomètrica.

La rodonesa d’un ou Volem arribar a decidir quin ou és més rodó, si el de guatlla o el de gallina. Acabem de trobar un referent per a quantificar la rodonesa d’un rectangle. Però els ous són objectes tridimensionals i no precisament rectangulars. Sorgeix el problema d’adaptar el model rectangular situat en el pla a una situació espacial real com és la dels ous de guatlla i de gallina. El pla és ampliar la idea de rodonesa dels rectangles a la dels ous. Per aconseguir-ho, el professor planteja la qüestió: P: Vist el que acabem de fer, com podem dir que un ou és més rodó que un altre? A: Vist de través, els radis són diferents. P: Què significa, vist de través? A: Vist de costat. L’ou és allargat. P: Però un ou, només té llargària i amplària? A: No, però... P: Si observeu un ou de través, com deia la persona que ha intervingut abans, què veieu? A: Com una rodona allargada. A: Sí, amb dos radis, un de més llarg que l’altre. P: Molt bé. Però si el mireu, diguem, de punxa. Aleshores, què veieu? A: Un cercle. P: És perfecte, aquest cercle?

16336 Nou Biaix 38, pàgina 54, 26/05/2016

juny 2016 57

A: Es veu perfecte, ben rodó. P: Com podríem saber si ho és o no? A: Amb el peu de rei. Comprovant-ho.6 P: Molt bé. I com ho comprovaríeu? A: Si unes quantes mides són iguals, ja seria un cercle. A: Però totes haurien de ser iguals. A: Vas girant. Poses el peu de rei amb la mesura i vas girant fent tota la volta. Ha de donar el mateix. P: En efecte, si ho feu, veureu que l’ou és molt rodó perquè, un cop presa la mida del gruix de l’ou, en girar el peu de rei no haureu de canviar la mida que heu pres.7 I aleshores, què farem per a decidir la rodonesa de l’ou? A: Si per un costat és rodó, només fa falta mirar els altres. P: I com són els altres? A: Miraríem la llargària i l’amplària.

El professor tanca i recapitula observant que l’ou té tres dimensions: llargària, amplària i profunditat. Vist transversalment, l’ou apareix com un cercle aixafat amb llargària i amplària diferents. Però vist de front, apareix com un cercle perfecte. Si vist d’una banda és rodó, només cal analitzar què passa amb els altres dos. Per tant, la rodonesa de l’ou es pot reduir a la rodonesa d’un rectangle calculant el quocient o ràtio entre la llargària i l’amplària. L’ou de ràtio més proper a la unitat serà el més rodó. En cas que fos perfecte, l’ou seria rodó des de totes tres perspectives i esdevindria esfèric, una mena de pilota de ping-pong.8

Valor de rodonesa: una qüestió estadística En tota la classe disposarem d’una trentena d’ous de cada tipus que caldrà mesurar i calcularne la ràtio entre llargària i amplària. L’últim pas serà trobar la mitjana de les ràtios de cada tipus d’ou i poder comparar la ràtio mitjana de cada tipus. La més propera a 1 determinarà l’ou més rodó. La primera part de l’activitat consisteix a mesurar la llargària i l’amplària dels ous amb peu de rei (imatge 5).

Imatge 5. Llargària d’un ou de guatlla: 33,7 mm.

6. A l’assignatura de tecnologia han après a mesurar amb peu de rei. 7. Ja tenim una nova definició de circumferència (DEF_10): aquella figura en la qual tots els diàmetres son iguals. 8. Entre tots els ous, els de tortuga són els més rodons: esferes quasi perfectes.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 55, 26/05/2016

58 noubiaix 38

En la segona fase es construeixen, també a tecnologia, les capses o nius geomètrics (imatge 6) en forma de prisma recte o cilindre per a cada ou.

Imatge 6. Desenvolupament pla del niu geomètric per a un ou de gallina.

Abans d’abordar la fase definitiva, se’ls proporciona una definició d’objecte rodó (imatge 7) basada en l’existència o no d’una secció perfectament circular. Es pretén que en justifiquin l’adequació als ous de guatlla i de gallina.

Imatge 7. Reflexió sobre el caràcter rodó dels ous en base a una secció circular.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 56, 26/05/2016

juny 2016 59

Aquesta perspectiva resulta interessant perquè, en tallar l’ou segons un pla perpendicular a l’eix longitudinal, apareixen dos cercles, el de l’ou en si i el del rovell que, en algunes ocasions, tal com mostra la imatge 8, pot ser concèntric o desplaçar-se fins a ser tangent. Aquesta definició precisa la perspectiva un xic ambigua d’observar l’ou transversalment o frontal.

Imatge 8. Posicions relatives entre el blanc i el rovell d’ou.

La tercera fase es realitza a classe de matemàtiques. La taula següent mostra les dades corresponents a set ous de cada tipus:

Ou de gallina

Ou de guatlla

Llargària

62,1

46,5

58,1

55,2

61,5

61,1

Amplària

46,6

36,2

49,9

46,8

Ràtio

1,33

1,28

1,16

1,20

1,31

1,24

Llargària

34,2

24,4

39,1

34,2

Amplària

26,1

21,7

25,9

25,3

24,6

Ràtio

1,31

1,12

1,51

1,26

1,39

1,36

1,26

1,32

Taula 1. Dimensions i ràtios dels ous de gallina i de guatlla.

Les ràtios obtingudes són força semblants. Però atès que 1,26 < 1,32, per menys d’una dècima la conclusió és que són més rodons els ous de gallina que els de guatlla 1,32.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 57, 26/05/2016

60 noubiaix 38

La mitjana de les ràtios no és la ràtio de les mitjanes A l’hora de fer els càlculs de les ràtios i llurs mitjanes aritmètiques es varen produir errades significatives. La primera fou que només tres dels set grups actuaren correctament (imatge 9) calculant les mitjanes de les ràtios per tal d’obtenir la ràtio mitjana.

Imatge 9. Les mitjanes de les ràtios més properes a la unitat determinen l’ou més rodó.

Els altres quatre grups varen calcular les ràtios de les mitjanes. És a dir, que dividiren la mitjana aritmètica de les longituds entre la mitjana aritmètica de les amplàries i van obtenir una ràtio (imatge 10) que no era la mitjana de les ràtios, sinó la ràtio de les mitjanes. Això va fer que molts resultats fossin incorrectes.

Imatge 10. Calculant la ràtio de les mitjanes en lloc de la mitjana de les ràtios.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 58, 26/05/2016

juny 2016 61

Aquest és un fenomen que mereix atenció, però pel qual no hauríem de culpabilitzar l’alumnat abans de plantejar-ne una reflexió. La desigualtat entre la mitjana de ràtios i la ràtio de mitjanes és fàcilment observable prenent dos rectangles de dimensions 4 × 2 i 6 × 5. Les ràtios són 2 i 1,2, respectivament, i la ràtio mitjana és 1,6. En canvi, la mitjana de les llargàries és 5; la de les amplàries, 3,5, i la ràtio d’aquestes mitjanes és 1,43. Essent ri les ràtios, i essent Li i Ai les llargàries i amplàries, estem dient que: r̄i =

L̄i . Āi

Una altra errada, aquesta de tipus procedimental, fou que, a les taules de dades elaborades per l’alumnat, s’apreciaven ous en els quals l’amplària era major que la llargària, la qual cosa feia que la ràtio fos inferior a la unitat i distorsionés la mitjana de ràtios posterior (imatge 11). Aquí no hi havia excusa, ja que s’havia precisat en sessions anteriors que la llargària d’un rectangle és la major de les dues longituds independentment de la posició en què es trobi la figura.

Imatge 11. Confusió en les llargàries i amplàries.

Conclusions: síntesi d’un crèdit de síntesi

Construir les matemàtiques En els processos i els episodis d’aula exposats, el professor actua com a guia de l’aprenentatge del seu alumnat governant cap on van les idees i controlant la manera en què van sorgint. Partint de situacions reals es va concretant la idea de rodonesa i la seva quantificació. En el procés, també els companys formen part de l’aprenentatge i del desenvolupament cognitiu de cadascun dels membres de la classe. L’entorn social del centre educatiu afavoreix aquest desenvolupament i la posada en pràctica de l’aprenentatge constructivista de Vigotski. La construcció dels conceptes i la seva quantificació no es fa de dalt a baix, sinó de baix cap amunt, tractant d’aprofitar les idees subjectives que ja tenen els nens i les nenes per arribar a concretar-les, precisar-les i fonamentar-les en noves idees més objectives. La rodonesa deixa de ser una qüestió d’aspecte de forma per a convertir-se en un aspecte quantificable de la forma. El desenvolupament ha posat de manifest processos assenyalats per Pólya, com ara basar-nos en problemes més senzills o que ja sabem resoldre i adaptar-ne la solució o la definició a situacions més complexes, però similars. Així, hem aprofitat una idea senzilla expressada per un alumne (que els «radis» de les figures no circulars són diferents) per a definir el grau de

16336 Nou Biaix 38, pàgina 59, 26/05/2016

62 noubiaix 38

rodonesa. Primer, d’un rectangle, una figura plana. Després, hem adaptat aquesta mateixa definició a l’ou, un objecte tridimensional. Les idees s’han anat contrastant amb contraexemples a l’estil de Lakatos fins a arribar a la versió que, a hores d’ara, considerem com a definitiva perquè no ha estat encara refusada. Així ha passat tant en la definició de cercle com en el grau de rodonesa. La definició CIR_6 del cercle i del grau de rodonesa ROD_4 basat en la proximitat de la ràtio a la unitat són les ara vigents. Però només ho seran fins que siguin posades a prova en els propers cursos. Els dies posteriors a la realització del crèdit, es va dedicar una sessió completa de matemàtiques a reflexionar sobre tot el procés. A més d’explicar per què s’havien plantejat les activitats que havien fet i no unes altres, s’analitzaren les errades exposades abans posant un seriós èmfasi en el fet que el propi alumnat s’hauria d’haver adonat d’alguns errors i corregir-los, com ara que la llargària d’un rectangle i d’un ou són majors que l’amplària.

Implicacions per a la proporcionalitat geomètrica, la trigonometria i l’estadística Altres implicacions per a l’aprenentatge toquen el currículum de quart d’ESO, ja que la interpretació geomètrica del fet que les mitjanes de les ràtios no sigui el mateix que la ràtio de les mitjanes ens porta a la trigonometria. Per veure-ho, n’hi ha prou a adossar per les diagonals una sèrie de rectangles de forma que tracin una línia poligonal continua (imatge 12). Aleshores, la suma de llargàries i amplàries determina la llargària i l’amplària del rectangle total definit per la sèrie: a4

a3 A3 a2 A2 a1

A1 b1

A b2

Imatge 12. Poligonal d’hipotenuses i hipotenusa total.

Ara la ràtio entre la llargària i l’amplària de cadascun dels rectangles de la sèrie equival a la tangent de l’angle que cada diagonal forma amb la base del rectangle, és a dir, al seu pendent. La ràtio total equival al pendent de la diagonal que connecta el primer amb l’últim punt de la poligonal. El pendent d’aquesta hipotenusa és el pendent mitjà de la sèrie i no és la mitjana dels pendents dels rectangles que la formen. Expressat algebraicament:

Ràtio mitjana = i

ai n = bi

16336 Nou Biaix 38, pàgina 60, 26/05/2016

ai bi

= tg(A) = Pendent mitjà

juny 2016 63

Mitjana ràtios =

ai bi = n

tg(Ai ) n

= Mitjana pendents

Una ràtio és quelcom més que un quocient o una divisió, ja que quantifica la semblança. A segon curs d’ESO, l’alumnat aprendrà que dos rectangles són semblants si les ràtios de cadascun són iguals. Es tracta d’una situació més complexa, ja que la decisió no es basa en la proximitat al valor 1 de la ràtio, sinó en la igualtat entre ràtios. Adaptant la definició vigent de rodonesa, hauríem de dir que les figures igual de rodones són semblants, que és cert en el cas dels rectangles i dels cercles. La qüestió que les ràtios de les mitjanes no és el mateix que les mitjanes de les ràtios és prou important com per a tractar-lo en nivells superiors al de primer d’ESO dins de l’àmbit de l’estadística. I també en àmbits lingüístics, ja que la transposició dels termes d’una oració no sempre dóna lloc a una equivalència de significat, ans al contrari. Ens trobem de nou amb la relació d’igualtat en un context no matemàtic com és el lingüístic i que frega de ben a prop el de la lògica.

La relació d’igualtat Observeu el paper que juga la relació d’igualtat, la més important a matemàtiques, en totes aquestes situacions. La persona, l’estudiant, el nen passen de decidir l’existència de relacions d’igualtats comparant percepcions sensorials (visuals, tàctils, sonores...) com és corrent en la vida quotidiana a decidir-les segons un valor numèric concret (com la igualtat que ha d’haver-hi entre els diners lliurats per a pagar una compra i el canvi rebut) i establir gradacions d’igualtat segons la proximitat d’aquest valor numèric a 0 o a 1: a=b ⇔ a−b=0 a =1 b Són diferents nivells de relació d’igualtat corresponents als estadis cognitius de Piaget i que, amb l’ajut i la guia del professor, el nen pot anar construint (Vigotski), tal com s’ha posat de manifest. Encara es pot establir una altra equivalència a la igualtat a = b pensant en operacions més complexes que la resta o el quocient, però resulten inapropiades i fora de context: a = b ⇔ logb a = 1.

Grau de rodonesa al món real i pràctic També en cursos superiors, com ara a tercer d’ESO, el grau de rodonesa encara es pot precisar més basant-lo en una ràtio no esmentada fins ara i que és el referent que es fa servir per a quantificar la rodonesa de les pilotes amb les quals es practiquen diversos esports. La idea és que és més rodona la figura plana que més omple el cercle o és més rodó l’objecte

16336 Nou Biaix 38, pàgina 61, 26/05/2016

64 noubiaix 38

tridimensional que més omple l’esfera. Ara la ràtio no és entre longituds, sinó entre les àrees de la figura i del cercle que la circumscriu (al pla) i entre els volums de l’objecte i de l’esfera que el circumscriu (l’espai). Es tracta d’una nova definició de grau de rodonesa (ROD_5) expressable amb un percentatge. Arribar-hi no serà difícil posant a prova la definició ROD_04 amb polígons irregulars estrellats. La qüestió serà rellevant perquè és aquesta definició la que s’empra per a quantificar la rodonesa d’una pilota de futbol, un icosaedre truncat que s’obté tallant els vèrtexs d’un icosaedre i que ocupa un 86,74% del volum de l’esfera circumscrita (ràtio de 0,8674). Un cop inflada, la ràtio entre ambdós volums augmenta fins a 0,95 (95%). Però aquesta no és la solució òptima. Seria millor inflar un rombicosidodecaedre. Aquest, abans d’inflar-se, ja ocupa el 94,5% de l’esfera circumscrita. El problema pràctic és l’elevat cost que tindria la seva fabricació, ja que suposaria cosir 120 arestes, trenta més que les 90 de l’icosaedre truncat. Al número 123 de la revista Consumer-Eroski (juliol-agost, 2008) s’explica com es controla la qualitat de les pilotes de futbol: «Para determinar la esfericidad de un balón se hincha y se mide su diámetro en 16 puntos diferentes para calcular el diámetro medio. Después, se calcula la diferencia entre el diámetro máximo y el mínimo. Así, el número que se obtiene es la diferencia en porcentaje entre el diámetro máximo y mínimo sobre el diámetro medio. A los balones oficiales para las competiciones de la FIFA se les exige que no superen el 2%. Umbro, con un 2,2%, no es lo suficientemente redondo. Matt (2%) y Joma (1,9%) mostraron valores de esfericidad aceptables, pero elevados. Las esferas más perfectas fueron las de Astore (1,3% de esfericidad) y Diadora (1,3%).»

Sorando (2004) observa que aquest mètode es basa en una mesura inusual de la dispersió, ja que no empra la desviació mitjana ni la desviació típica, que són els paràmetres de dispersió més habituals. L’esfericitat o grau de rodonesa de les pilotes de futbol es quantifica mitjançant la dispersió estadística de setze mesures i calculant la seva mitjana aritmètica. Restant la mida més petita a la més gran, s’obté el rang d’aquesta distribució de dades. El que es valora és aquest rang com a percentatge sobre la mitjana.

Només vola qui gosa fer-ho Al final de la novel.la, la gavina educada pels gats es troba dalt d’un campanar acompanyada pel gat que assumí la seva cria i per un humà que els ha ajudat. Un cop en aquesta situació, la qüestió és volar o no, saltar o no, arriscar-se o no. El gat que ha ajudat la gavina ho expressa dient que només vola qui gosa fer-ho. Aprendre és arriscar-se. Procurar que els altres aprenguin, també. Mai no hauríem de defugir el desig d’aprenentatge, sinó aprofitar la seva curiositat mirant de transformar-la en creativitat, la seva i la nostra. No tinguem por que els resultats no siguin sempre perfectament rodons ni que ho siguin definitivament. Les imperfeccions i les aproximacions successives als conceptes i teoremes són part essencial del desenvolupament de les matemàtiques.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 62, 26/05/2016

juny 2016 65

Imatge 13. La rodonesa per aprendre a volar.

Referències Bishop, A. J. (1999). Enculturación matemática. La educación matemática desde una perspectiva cultural. Barcelona: Paidós Ibérica. Courant, R., Robbins, H. (1996). What is Mathematics? An elementary approach to ideas and methods. Revisió de Ian Stewart. Oxford: Oxford University Press. Davis, P., Hersh, R. (1988). Experiencia matemática. Barcelona: Labor, Ministerio de Educación y Ciencia. Freudenthal, H. (1972). Mathematics as an Educational Task. Springer. Lakatos, I. (1994). Pruebas y refutaciones. La lógica del descubrimiento matemático. Madrid: Alianza Universidad.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 63, 26/05/2016

66 noubiaix 38

Lave, J. (1988). Cognition in Practice. Mind, Mathematics and Culture in Everyday Life. Cambridge: Cambridge University Press. Piaget, J. (1970). The Science of Education and the Psychology if the Child. Nova York: Grossman. Pólya, G. (1988). How to Solve It. A New Aspect of Mathematical Method. Nova Jersey: Princeton Science Library. University Press. Popper, K. (1994). Conjeturas y refutaciones. El desarrollo del conocimiento científico. Barcelona: Paidós. Sepúlveda, L. (1996). Historia de una gaviota y del gato que la enseñó a volar. Barcelona: Tusquets. Sorando, J. M. (2004). Matemáticas en los deportes, a Matemáticas en tu mundo. http://catedu. es/matematicas_mundo/index.html. Vigotski, L. S. (1978). Mind in Society. Cambridge, MA: Harvard University Press.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 64, 26/05/2016

juny 2016 67

Resolució de problemes d’optimització amb GeoGebra Bernat Ancochea Departament de Matemàtiques INS Premià de Mar Vocal de l’Associació catalana de GeoGebra bancoche@xtec.cat

Resum En aquest article volem donar al professorat unes eines i unes pautes per a la resolució de problemes d’optimització fent ús del programa GeoGebra. Sovint ens trobem que no sabem com començar a treballar amb aquest programa i això fa que acabem descartant la possibilitat de fer-lo servir a l’aula. Amb les indicacions que es donen pas a pas, pensem que és possible superar aquesta fase inicial.

Abstract In this article we want to provide teachers with certain tools and guidelines in order to solve problems related to optimization, using the GeoGebra programme. We often do not know how to start working with this programme and end up ruling out the possibility to use it in class. By offering step-by-step instructions, we believe it is possible to overcome this initial difficulty.

1. GeoGebra, una eina molt potent per treballar a l’aula El programa GeoGebra,1 creat per Markus Hohenwarter,2 és una mostra fefaent del que es pot arribar a aconseguir amb un treball col.laboratiu, tant pel que fa a la seva elaboració i disseny com a la realització d’activitats en un rang molt ampli de nivells d’ensenyament. Com va dir Carlos Giménez, de l’Associació Catalana de GeoGebra, amb aquest programa «adaptem, adoptem, creem i compartim». Un professor també el va definir com «una pissarra molt potent». Pep Bujosa, a les darreres jornades de l’Associació que es van celebrar el mes de febrer d’enguany a Barcelona,3 va explicar com es pot construir, comprovar, conjecturar i demostrar amb GeoGebra. 1. http://www.geogebra.org. 2. https://www.geogebra.org/markus+hohenwarter. 3. Es poden descarregar els materials de la jornada a la web: http://acgeogebra.cat.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 65, 26/05/2016

68 noubiaix 38

Molts programes ens permeten fer el mateix que GeoGebra (i en alguns casos fins i tot millor), però aquests, a banda que no sempre són programari lliure, no tenen la diversitat de funcions i opcions que trobem actualment en un programa que ha arribat a un grau de desenvolupament tan gran que, fins i tot per a moltes persones que ja fa molt anys que el fem servir, es fa difícil conèixer tot el ventall de possibilitats que tenim a la nostra disposició. Tenim al nostre abast, en la darrera versió, els elements següents: •

Una barra de menús.

•

Una barra d’eines configurable i adaptada a cada una de les finestres que té el programa.

•

Un full de càlcul, també amb les seves eines, que té un funcionament semblant als fulls de càlcul habituals.

•

Una finestra de càlcul algebraic simbòlic (CAS) per introduir expressions algebraiques amb el seu corresponent motor de càlcul.

•

Una finestra algebraica en la qual apareixen tots els elements (punts, rectes, vectores, funcions, etc.) que anem creant. Es poden ordenar aquests elements per ordre alfabètic, per tipus i per ordre de creació.

•

Una finestra gràfica en la qual podem posar eixos de coordenades i una graella.

•

Una segona finestra gràfica en la qual podem incloure altres elements que no volem que surtin a l’anterior i que facilita la visibilitat.

•

Una finestra gràfica 3D que es pot veure amb ulleres estereoscòpiques i en la qual podem posar els eixos de coordenades i el pla de base amb una graella i definir-ne la visibilitat amb una caixa de representació.

•

Una finestra gràfica corresponent a un determinat pla a l’espai en el qual hem dibuixat alguna figura geomètrica, o per a mostrar interseccions d’aquest pla amb altres objectes.

•

Una finestra per a les propietats dels objectes que inclou la possibilitat de definir la visibilitat dels objectes (inclosa la seva opacitat) i les condicions per veure’ls així com seqüències de comandament lligades a aquest objecte.

•

La línia d’entrada que ens permet introduir expressions per crear els objectes amb el nom que ens interessi (si ho fem amb les eines, és el programa el que atorga el nom).

Figura 1. Les finestres de GeoGebra.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 66, 26/05/2016

juny 2016 69

Podem modificar la disposició de les finestres, fins i tot posar-les en posició horitzontal, però recordant de tenir obertes només les que són estrictament necessàries. El professor Mark Dawes, de la Universitat de Cambridge, defineix les tres modalitats de treball amb GeoGebra: La demostració del professor consisteix en la projecció a l’aula d’un arxiu creat prèviament pel mateix professor o per un altre autor mostrant el procés de creació pas a pas, de vegades amb la intervenció de l’alumnat. Els alumnes interactuen amb arxius creats pel professor amb l’objectiu que «descobreixin» conceptes i propietats, establint un punt de partida perquè puguin manipular l’arxiu. S’hi inclouen les instruccions necessàries sobre el que cal fer i les preguntes a les quals han de respondre fent servir l’arxiu. És possible posar a la seva disposició les eines necessàries sense haver d’incloure-les totes, la qual cosa podria provocar confusió i impedir arribar als objectius previstos. Es poden incloure arxius de GeoGebra en activitats de l’entorn Moodle. Els alumnes creen els seus propis arxius per poder resoldre un problema o per investigar sobre algun tema de la mateixa manera que fan servir, per exemple, un full de càlcul. Cal que l’alumnat estigui habituat a treballar i experimentar amb el programa.

D’altra banda, cal recordar que el programa està disponible com a aplicació dins dels principals navegadors i també per a tauletes i, properament, telèfons mòbils. Contínuament apareixen noves versions per incorporar millores, noves eines i funcions o redissenyar la interfície. GeoGebra s’actualitza constantment. La versió del 14 de febrer de 2016 porta el número 204 però està previst que surti aviat el GeoGebra 5.2. Poden haver-hi problemes i cal tenir paciència perquè el programa inclou cada vegada més opcions i potser s’ha fet massa gran. En tot cas, hi ha un equip al darrere que vetlla per anar resolent els errors. Cal tenir present també que la resolució de pantalla és un aspecte que cal tenir en compte quan volem utilitzar aplicacions fetes amb GeoGebra. Cal, doncs, provar primer els ordinadors de les aules per veure si hi apareixen correctament les finestres amb els seus objectes.

2. Disseny d’una activitat sobre un problema d’optimització 2. amb GeoGebra a partir de treballs d’altres autors Ens trobem sovint amb la situació que una bona part del professorat que ha seguit un curs de formació sobre el programa no l’acaba utilitzant perquè no es troba del tot segur en el seu ús a l’aula o per al dissenyar activitats. A més, si hi ha alguna dificultat o entrebanc, el desànim acaba frustrant les bones intencions inicials. Per això, en aquest article ens proposem mostrar com podem planificar i dissenyar una activitat amb GeoGebra amb tot el que cal tenir en compte i explicar un exemple concret en el qual podem veure molts dels elements que trobem en el programa. Hem escollit els problemes d’optimització perquè permeten posar de manifest de forma fefaent les possibilitats que té GeoGebra com a eina de suport de la docència. A banda del gran nombre de propostes d’exercicis sobre aquest tema que poden servir com a punt de partida per a dissenyar l’activitat, el primer que ens cal és veure què trobem a la

16336 Nou Biaix 38, pàgina 67, 26/05/2016

70 noubiaix 38

xarxa. Per això podem introduir els termes «optimització» (fent servir els idiomes habituals: català, castellà, anglès i francès) i «GeoGebra». Com sol succeir, hi ha moltes opcions, però podrem observar que apareix sovint com a encapçalament de les pàgines web l’expressió: www.geogebra.org/material/show/id/... En el cas de les pàgines web personals allotjades sovint en algunes institucions (com l’xtec), no podem accedir a l’aplicació perquè està blocada per un problema de seguretat. Alguns autors ja han resolt el problema en actualitzar la pàgina, però no sempre passa així. Cal tenir-ho present per no començar amb mal peu la nostra cerca. D’altra banda, cada cop més es fa servir l’estàndard HTML5 en lloc de Java. Totes dues versions, però, estan disponibles per a la major part de les aplicacions que trobem a la xarxa. On ens adreça l’encapçalament de què parlàvem? Al repositori d’arxius de GeoGebra que podem trobar a la mateixa web que el programa clicant a l’opció «Cerqueu materials» o bé accedint directament a la pàgina.4 Registrar-se és un procés ràpid que, quan haguem fet algun arxiu, ens permetrà desar-lo al repositori. En el GeoGebraTube també es poden fer «llibres» amb els arxius que hi anem posant amb el seu índex corresponent. Un cop registrats podem introduir en el cercador el terme «optimització» (podem provar també amb altres idiomes) i obtenir els arxius que inclouen aquesta paraula clau.

Figura 2. Resultat de la cerca.

Escollirem el material «Optimització 3D» de Pep Bujosa. Es tracta d’un «llibre de GeoGebra» amb 8 materials dels quals obrirem el 4, el cas del cilindre de volum màxim inscrit en un con. Aquesta aplicació ja la podem fer servir a l’aula, però si volem descarregar-la per afegir dades o indicacions o modificar-ne el disseny, clicarem a l’opció «Comparteix o copia» a la part inferior esquerra. La finestra que s’obre ens permet diferents opcions.

Figura 3. Opcions de treball amb una construcció dinàmica. 4. http://tube.geogebra.org.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 68, 26/05/2016

juny 2016 71

Podem afegir l’arxiu a un llibre que haguem creat sobre algun tema concret o per a un nivell determinat i en el qual anem afegint totes aquelles aplicacions que hem trobat interessants per a fer servir a l’aula, o bé descarregar-nos l’arxiu per treballar-hi.

Figura 4. Opcions de descàrrega.

L’arxiu que obtenim té l’extensió ggb i l’obrirem amb el programa GeoGebra:

Figura 5. Problema d’optimització amb GeoGebra de Pep Bujosa.

Podríem haver optat també pel llibre GeoGebra de Ramon Nolla «Problemes d’optimització».5 Particularment interessant és la proposta didàctica que fa a l’entorn del «problema del cinema».6 A la revista MathemaTICE de l’associació de professors francesos de matemàtiques Sésamath7 també hi podem trobar algunes propostes sobre problemes d’optimització, com les de l’article del professor Stéphan Manganelli8 de l’Institut de Carpentras.

5. http://tube.geogebra.org/material/show/id/84021. 6. http://www.xtec.cat/~rnolla/Geogebra/AVMacti.pdf. 7. http://www.sesamath.net. 8. http://revue.sesamath.net/spip.php?article627.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 69, 26/05/2016

72 noubiaix 38

L’aspecte de les finestres gràfiques és prou important. Potser caldria evitar espais de treball com aquest, extret precisament de l’article esmentat:

Figura 6. Exemple d’aplicació molt carregosa.

És preferible ser concís i incloure-hi opcions per no recarregar massa l’espai de treball fent servir, per exemple, caselles de verificació que controlin la visibilitat d’alguns objectes, com els textos i algunes figures, i punts lliscants que ens poden servir per a muntar una seqüència didàctica. Les possibilitats són infinites i el nostre criteri és el que mana. Quan fem servir l’arxiu d’un altre autor, podem veure la seqüència de construcció de tots els objectes de dues maneres diferents: •

En la vista algebraica podem ordenar els objectes segons l’ordre de construcció:

Figura 7. Opcions per ordenar els objectes d’una aplicació. •

Obrint la finestra de passos de la construcció:

Figura 8. Finestra dels passos de la construcció.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 70, 26/05/2016

juny 2016 73

Potser voldrem modificar un text (com seria el cas si l’arxiu està en un altre idioma) o situar-lo en una posició diferent per millorar-ne la visibilitat. En aquest cas, només cal clicar amb el botó dret del ratolí a sobre del text per obrir el següent menú contextual:

Figura 9. Menú contextual.

És molt important no fixar l’objecte per poder-lo moure, però, un cop feta l’acció, cal tornar a activar l’opció, com també la de la posició absoluta en pantalla. Provant d’activar o desactivar aquestes opcions i fent apropaments i allunyaments en la finestra gràfica podrem veure’n les conseqüències en un cas i en l’altre. Tenim encara més opcions per als textos. A totes hi podem accedir des de les propietats del text.

Figura 10. Propietats dels textos.

El text es pot fer més petit o més gran, modificar l’arrodoniment dels valors, canviar-ne el color, ajustar la posició a un punt concret de la finestra gràfica, mostrar-lo o no segons alguna condició, i també fer-lo visible en les finestres gràfiques que considerem convenients (en el menú «Avançat»). No hem d’oblidar que podem dissenyar la barra d’eines, si volem que l’alumnat faci servir l’aplicació, amb l’opció de personalitzar la barra d’eines del menú «Eines» a la part superior de l’aplicació. Podem personalitzar la barra d’eines de totes les finestres gràfiques: només ens cal clicar a sobre de la que volem dissenyar. A més, podem incloure o treure qualsevol element. Amb aquestes indicacions ja podem fer servir aplicacions d’altres autors descarregades del GeoGebra Tube i agrupar-les després en «llibres» com en el cas dels problemes d’optimització de Pep Bujosa. Podem fer un llibre a partir del que han fet altres autors.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 71, 26/05/2016

74 noubiaix 38

Figura 11. Finestra per al disseny de la barra d’eines.

3. Disseny personal d’una activitat sobre un problema d’optimització 3. amb GeoGebra Us proposo ara la creació d’unes aplicacions sobre problemes d’optimització pas a pas. Això us permetrà conèixer molts elements del programa i com podem arribar a desenvolupar idees que potser no crèiem que podríem presentar a l’alumnat de la forma dinàmica que permet el GeoGebra.

Consideracions generals En obrir el programa ens surten la finestra algebraica, la finestra gràfica i la finestra 3D (si no és així caldrà activar-ne la visualització). Clicant amb el botó dret a sobre de les finestres gràfiques apareix el menú que ens permet definir les característiques bàsiques de les finestres. Si cliquem a «Zona gràfica» encara tenim més possibilitats:

Figura 12. Propietats bàsiques de la zona gràfica.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 72, 26/05/2016

juny 2016 75

Per a la finestra 3D aconsello marcar les opcions que es veuen a la figura de sota:

Figura 13. Preferències de la zona gràfica 3D.

En el menú «Opcions», cliquem a Etiquetes per escollir l’opció «No etiquetis objectes nous». Si no ho feu, us podeu trobar amb un munt d’objectes amb l’etiqueta (el nom de l’objecte) corresponent. Si, en alguns casos, surt l’etiqueta, cliqueu amb el botó dret a sobre de l’objecte i desactiveu l’opció «Mostra etiqueta». També ho podeu fer des de la llista d’objectes a la finestra algebraica, com veurem més endavant. Per treballar tenim dues opcions: fer-ho amb les eines que ens dóna el programa o bé directament des de la línia d’«Entrada». En aquest segon cas, podem anomenar nosaltres els objectes, amb la qual cosa controlarem millor el desenvolupament de l’aplicació. En cas contrari, ho fa el programa d’una forma que potser no sempre ens serà pràctica. Podem optar per l’un o l’altre procediment. Cada eina té una ajuda contextual:

En introduir les instruccions a la línia d’«Entrada» també surt una ajuda contextual, de manera que ens estalviem d’escriure tota la instrucció. GeoGebra dóna per descomptat que, si escrivim un punt O, és l’origen de coordenades. Quan ens situem amb el cursor a sobre d’un objecte, aquest es destaca respecte als altres. Si l’espai de treball és molt atapeït, podem tenir problemes a l’hora de seleccionar un objecte.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 73, 26/05/2016

76 noubiaix 38

Sovint no ens convé l’escala d’algun dels eixos de coordenades. En aquest cas, clicarem a la icona:

Figura 14. Eina per a desplaçar la zona gràfica.

En situar-nos sobre l’eix d’ordenades, l’eina es visualitza d’una manera que ens permet modificar fàcilment l’escala. També ho podem fer des de la finestra de propietats de les zones gràfiques, clicant a les pestanyes dels eixos. Particularment interessant és l’opció «Enganxa a la vora», que ens permet visualitzar els eixos encara que estiguem centrats en un punt allunyat de l’origen de coordenades. Entre les altres funcions disponibles tenim el «Punt de vista», que ens permet veure la finestra gràfica 3D projectada segons els plans xOy, xOz i yOz:

Figura 15. Punts de vista a la part superior de la finestra gràfica 3D.

També podem disposar de la projecció per a les ulleres estereoscòpiques, que permeten una visió en 3D:

Figura 16. Projecció per a les ulleres també a la part superior de la finestra 3D.

Fixeu-vos que sempre disposem d’una ajuda contextual quan ens col.loquem a sobre d’una icona del programa.

Un primer exemple Plantejarem el problema de l’àrea que delimita la tangent a la gràfica de la funció f (x) = = x 2 − 3x + 2 amb els eixos de coordenades. Només ens caldrà visualitzar la primera i la segona finestra gràfiques i la finestra algebraica, que tancarem en acabar l’activitat. És un exemple d’activitat que podríem arribar a proposar a l’alumnat. Amb una casella d’entrada i sortida podem canviar la funció i fer un estudi de quines situacions es poden arribar a produir segons el tipus de funció que haguem escollit.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 74, 26/05/2016

juny 2016 77

Instruccions/Accions

Icona

f (x) = x − 3x + 2 2

Observacions/Preferències Definim una funció. Les potències es poden introduir amb les tecles ctrl (Mac) o alt (PC) i el valor de la potència. Creem una casella d’entrada/sortida, que situarem a l’angle superior esquerre. A la finestra que apareix hi escrivim la llegenda i l’objecte vinculat que surt en una llista. Es poden fixar objectes com ara caselles de verificació o punts lliscants amb el menú que apareix en clicar amb el botó dret a sobre l’objecte.

M = Punt[Eix X]

M = (x(M), f (M))

t = Tangent [M , f ]

A = Intersecció [t, Eix Y] B = Intersecció [t, Eix X] p = Polígon [O, A, B]

P = (x(M), p)

Creem un punt sobre l’eix d’abscisses. També el podem crear clicant a sobre de l’eix d’abscisses un cop escollida l’eina «Punt». Definim el punt sobre la corba que té l’abscissa de M. També podríem haver creat el punt sobre la corba i fer servir la seva abscissa. Dibuixem la tangent a la gràfica de la funció en el punt M . Amb l’eina clicarem a sobre del punt i de la gràfica. Compte a no moure la gràfica en clicar-hi a sobre! Determinem les interseccions de la recta amb els eixos de coordenades. Amb l’eina clicarem a sobre de la tangent i de l’eix. Amb l’eina clicarem, successivament, a l’origen de coordenades i als punts d’intersecció A i B. Definim el punt que ens donarà la gràfica de l’àrea del polígon en funció de la posició del punt M. A les propietats d’aquest punt hi activarem l’opció «Activa el traç». Clicant a les propietats dels objectes, a la pestanya «Avançat» i a la part inferior d’aquesta, podem escollir a quines finestres gràfiques els volem veure. En el cas del punt P, marcarem la casella de la segona finestra gràfica.

lg = LlocGeomètric [P, M]

16336 Nou Biaix 38, pàgina 75, 26/05/2016

Busquem el lloc geomètric del punt P, definit a partir d’un punt del lloc geomètric (el mateix P) i el punt base de la construcció (el punt M).

78 noubiaix 38

Un exemple en tres dimensions Tot seguit treballarem amb la finestra gràfica 3D. El ventall de possibilitats al nostre abast s’amplia considerablement. Veurem el procés pas a pas tot recordant de clicar a sobre de la finestra gràfica en la qual volem crear l’objecte i vetllant per clicar a l’eina del cursor per desactivar la que hem fet servir. Es tracta de la situació següent: H

G F

R D

C N

Figura 17. El problema del cub.

Volem saber per a quina posició del punt M el volum del prisma de base quadrada AMNTSRQP és màxim sabent que EP = AM9 i que el cub té una aresta de 6 cm. De nou és important recordar que si fem servir les icones, GeoGebra atribuirà un nom als objectes. Treballant des de la línia d’«Entrada» podem controlar els noms dels objectes. Instruccions/Accions

Icona

A = (0, 0)

Observacions/Preferències Definim el primer vèrtex del cub. Clicant a l’eina i al punt A, surt una finestra per a introduir la longitud del segment, que serà 6. Es crea el punt B.

c = Cub [A, B]

Es crea el cub d’aresta AB. Les etiquetes dels vèrtexs coincideixen amb les de la figura.

M = Punt [aresta AB]

Amb l’eina, cliquem sobre l’aresta AB a qualsevol de les finestres.

d = Distància [A, M]

Clicant a la icona i als punts A i M obtindrem la distància entre els dos punts.

9. http://ressources.sesamath.net/coll_docs/cah/valide/manuel_2014_2PO.pdf

16336 Nou Biaix 38, pàgina 76, 26/05/2016

juny 2016 79

Instruccions/Accions

Icona

aux = Circumferència [E, d, aresta EH]

P = Intersecció [c, aresta AE ]

q = Polígon [A, M, 4]

p = Prisma [q, P]

R = (d, p)

Observacions/Preferències Definim una circumferència per construir el punt P de la figura. Clicant a la icona, al punt E i sobre l’aresta EH apareixerà una finestra en la qual haurem d’introduir el radi d. Clicant a la icona, a la circumferència aux i a l’aresta AE obtindrem la intersecció dels dos objectes. Ocultem tot seguit la circumferència. Definim el quadrat de costat AM. Definim el prisma de base quadrada i altura AP. El valor de p que surt a la finestra algebraica és el volum del prisma. Li podem posar com a color el blau. Definim un punt de coordenades el valor de la distància de A a M i el volum del prisma. Escollim un color verd, per exemple, i n’activem el traç.

Visualitzem la segona finestra gràfica i fem visible el punt R només en aquesta finestra fent servir les propietats avançades del punt com a l’exemple anterior. Donat el valor de la segona coordenada del punt R, ens caldrà modificar l’escala de l’eix d’ordenades.

l = LlocGeomètric [R, M]

Busquem el lloc geomètric del punt R, definit a partir d’un punt del lloc geomètric (el mateix R) i el punt base de la construcció (el punt M). cal que la corba resultant sigui visible a la segona finestra gràfica amb el procediment que ja hem explicat.

Podem afegir un text amb el valor del volum del prisma i que segueixi al punt R sobre la corba. A la finestra gràfica principal, un altre text ens pot donar el valor de la distància AM. Hi afegim un botó per esborrar el traç. A la finestra que s’obre hi escrivim el títol del botó i la seqüència de comandaments, en aquest cas amb la comanda «Apropa», que actualitza la finestra gràfica.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 77, 26/05/2016

80 noubiaix 38

Investiguem En aquest últim exemple podrem veure més objectes i funcions del GeoGebra. El problema no té una solució analítica senzilla i es tracta, doncs, d’investigar fent servir GeoGebra. Volem estudiar l’àrea del polígon resultant de la intersecció d’un poliedre amb un pla. Segons la direcció del vector normal al pla ens podem trobar amb diferents situacions. Podem obtenir una finestra gràfica corresponent al pla secant i veure com es va modificant la forma del polígon a mesura que anem desplaçant el pla secant. L’activitat que mostrem amb un octaedre es pot desenvolupar també amb altres poliedres (tetraedre, icosaedre...). Podem crear punts sobre objectes clicant, amb l’eina «Punt» activa, a sobre de l’objecte. Instruccions/Accions

Icona

Observacions/Preferències

e = Esfera [0, 1]

Crea una esfera de radi 1 a la finestra 3D. A la finestra algebraica l’objecte surt definit amb el seu volum. Amb la icona, hem de clicar al centre de l’esfera i introduir el radi a la finestra que apareix.

A = Punt [e]

Creem un punt a sobre de l’esfera. Podem donar-li per defecte un color determinat que no sigui el negre.

B = Punt [Eix X]

Aquest punt, a sobre de l’eix d’abscisses, ens permetrà modificar les dimensions del poliedre. Podem moure els punts a la finestra gràfica 3D clicant-hi a sobre i prement una o dues vegades segons el tipus de translació que vulguem aplicar. També podem moure punts sobre superfícies. Cliquem a sobre del punt blau, a la finestra algebraica, per ocultar l’esfera.

o = Octaedre [O, B] o també: Tetraedre, Dodecaedre o Icosaedre. Properament hi haurà la instrucció «Poliedre».

Observem a la finestra algebraica que apareix l’expressió o = volum de l’octaeNo implementada dre. A més, també hi trobem la longitud de les arestes i les àrees de les cares. Ocultem els vèrtexs de l’octaedre per facilitar la visibilitat. Creem un punt lliscant a la finestra gràfica posant-li com a nom «d». Acceptem els paràmetres que ens dóna GeoGebra.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 78, 26/05/2016

juny 2016 81

Instruccions/Accions

Icona

Observacions/Preferències

r = Recta [O, A]

Amb el mateix color que el punt A.

n = Vector [O, A]

Un cop creat el podem ocultar. És un vector unitari, ja que el punt A està sobre una esfera de centre O i radi 1.

M=O+d∗ n

El punt M ens permetrà moure el pla que crearem tot seguit. Observeu què passa si movem el punt lliscant.

p = PlaPerpendicular [M, n]

Aquest pla és el que intersecarem amb l’octaedre. També es pot ocultar.

i = Intersecció [p, o]10

Fent servir la icona, ens costarà crear la intersecció del pla i l’octaedre a la finestra gràfica, però podem fer servir els objectes a la finestra algebraica. També podrem determinar la intersecció amb les cares.

Modifiquem les propietats del polígon i

Accedint amb el botó dret del ratolí a les propietats de i, des de la finestra algebraica, li donarem una opacitat del 100% (pestanya «Color») i un gruix de línia de 5 (pestanya) «Estil»). De la mateixa manera, clicarem a l’opció «Mostrar i en 2D». Surt una altra finestra gràfica amb el polígon.

P = (d, i)

Definim un punt de coordenades, el valor del punt lliscant i l’àrea del polígon. Escollim un color verd, per exemple.

Activem la traça del punt P.

Hi afegim un botó per esborrar el traç.

A la finestra que s’obre hi escrivim el títol del botó i la seqüència de comandaments, en aquest cas amb la comanda «Apropa», que actualitza la finestra gràfica.

10. És possible que GeoGebra afegeixi un subíndex (i1 ) al nom que hem donat a l’objecte, perquè una intersecció pot tenir diferents elements. Caldrà escriure aleshores i_1 per referir-nos a aquest polígon.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 79, 26/05/2016

82 noubiaix 38

Instruccions/Accions

Icona

Observacions/Preferències Busquem el lloc geomètric del punt P, definit a partir d’un punt del lloc geomètric (el mateix P) i el punt base de la construcció (el punt lliscant d).

l = LlocGeomètric [P, d]

Cliquem a l’eina text per visualitzar el valor de l’àrea del polígon. Escrivim el text que volem i després del signe igual cliquem a «Objectes» per escollir el valor «i», que és l’àrea del polígon. A les propietats del text li donem el color i la mida i el posem en negreta. A més, el fixem i marquem «Posició absoluta en pantalla». Recordem que, clicant a les propietats dels objectes, podem escollir a quines finestres gràfiques els volem veure. Tanquem la finestra amb la visió en 2D del polígon i obrim el full de càlcul amb el menú «Visualitza». A la finestra algebraica, clicant amb el botó dret al polígon, hi apareix una nova opció: «Enregistra al full de càlcul». La marquem, acceptem les dades de la finestra que s’obre i la tanquem. Si movem el punt lliscant, observem com van apareixent en el full de càlcul els valors de l’àrea del polígon.

Podem simplificar el problema introduint com a plans secants a l’ortoedre els plans xOy, xOz o zOy, per exemple. Per això, només cal escriure a la línia d’entrada la definició del punt A, que defineix l’orientació del pla: A = (0, 0, 1), A = (0, 1, 0) o A = (1, 0, 0) També podem definir el centre de l’esfera en un punt com ara (5,5,5) per tal de moure més fàcilment el punt A, que serà així més fàcil de visualitzar. La segona finestra gràfica, que no hem fet servir en aquest exemple, és molt útil per a posar-hi instruccions, punts lliscants, caselles de verificació i textos per tal de no atapeir la finestra gràfica principal, en la qual posarem la part més gràfica de l’aplicació.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 80, 26/05/2016

juny 2016 83

Podem donar un toc personal a l’aplicació escollint els colors i altres propietats d’alguns objectes. A la pestanya «Estil» de les propietats podem modificar el gruix d’una recta o d’un punt, per exemple. També podem definir-ne l’opacitat i fins i tot l’estil de línia oculta:

Figura 18. Els estils de línia oculta.

També podem provar d’introduir alguna opció de caire més agosarat amb la instrucció «Desplegament»: Instruccions/Accions

Icona

Observacions/Preferències Creem un punt lliscant anomenat «k» amb valors entre 0 i 1.

Desplegament [o, k]

Despleguem l’ortoedre per deixar més visible el polígon d’intersecció amb el pla. A les propietats de l’octaedre li afegim una condició de manera que l’objecte només es mostri quan no està desplegat. Creem una casella de control per a mostrar el desplegament. A la llegenda hi escrivim «Desplegament» i a la llista d’objectes hi afegim el punt lliscant «k» i el desplegament.

Per desar el fitxer al GeoGebra Tube, anem a l’opció «Comparteix» del menú «Fitxer». Si estem registrats al repositori, hi accedirem directament i només ens caldrà seguir les instruccions que aniran apareixent. És important treballar amb la configuració avançada per tal, per exemple, de posar o no les barres de menú o les eines. Tots els fitxers d’aquest article — tot i que poden haver-hi problemes en visualitzar l’activitat i, per això, és millor descarregar-la— els podreu trobar a l’adreça següent: http://tube.geogebra.org/book/title/id/1157173# I, també en vídeo, la tercera proposta, treballant principalment amb les icones, a: https://www.youtube.com/watch?v=rB_rAiJ8gQU&feature=youtu.be

16336 Nou Biaix 38, pàgina 81, 26/05/2016

84 noubiaix 38

Referències Hi ha una bibliografia considerable sobre GeoGebra, tant en articles en revistes especialitzades com en llibres i ponències en jornades i congressos d’arreu del món. Ens limitarem aquí a tres documents molt concrets i representatius: Dawes, M. (2009). Geogebra, the Mathematician’s tool. http://www.acgeogebra.cat/iv_jornades.html. Bu, L., Schoen, R. et al. (2011). Model-Centered Learning. Pathways Mathematical Understanding Using GeoGebra. Rotterdam: Sense Publishers. López Beltran, M. (2014). Las Matemáticas en el aula de secundaria. Dins I. Fuentes Gil (coord.), GEOmetría+álGEBRA=GEOGEBRA. La Gaceta de la RSME, vol. 17, 2, 349-359.

Webs d’interès Llibre GeoGebra amb activitats en 3D, de Manuel Sada Allo https://tube.geogebra.org/student/b1097993#. Tutorials de GeoGebra 3D, a càrrec de Rafael Pérez Laserna https://www.youtube.com/user/perezlaser/videos.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 82, 31/05/2016

juny 2016 85

Robòtica a l’escola. Canviar el paradigma educatiu i el mètode d’aprenentatge Josep Callís i Franco Mestre. Professor de Didàctica de les Matemàtiques UdG. Coordinador dels grups «a+a+»

Montserrat Sala i Pesarrodona Mestra. Membre del grup «a+a+»

Resum L’article presenta l’experiència d’introducció de la robòtica dins la planificació curricular d’una escola de primària a través d’un procés progressiu i graduat. La realitat dels resultats obtinguts mostra, a través dels criteris emesos pel propi alumnat, el benefici educatiu que representa l’ús de la robòtica com a element generador de motivació i interès per l’aprenentatge. Metodològicament es treballa des d’una perspectiva de treball cooperatiu, mètode de projectes i resolució de problemes amb un fort component de contingut interdisciplinari. En aquest marc es constata la gran transcendència i necessitat del treball competencial en l’àmbit matemàtic.

Paraules clau Educació tecnològica digital, capacitació matemàtica, educació activa, interdisciplinarietat, resolució de problemes.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 83, 26/05/2016

Abstract The article describes the experience of progressively introducing robotics into the curriculum planning of a primary school. The results obtained, according to the criteria of the students themselves, show the educational benefit of the use of robotics as an element generating motivation and interest in learning. Methodologically speaking, a teamwork approach is adopted, a project and problem-solving method containing a strong component of interdisciplinary content. Within this framework, we observe the crucial importance and the need of competency-based work in the field of mathematics.

Key words Digital technological education, mathematics training, active education, interdisciplinarity, problem-solving.

86 noubiaix 38

Vivim immersos en la revolució de la comunicació i de les tecnologies. Res no s’escapa d’aquesta transformació i la nostra vida, cada dia més, resta controlada i necessitada dels estris tecnològics i els cervells artificials que els possibiliten. D’això no se n’escapa tampoc el món educatiu, dins el qual vivim moments de forta influència de les noves tecnologies com a font de renovació i innovació educativa. La robòtica forma part dels reptes d’aquesta innovació pedagògica. La revolució tecnològica que ha portat fins a la robòtica educativa va néixer a partir de les investigacions i aplicacions fetes als anys seixanta del segle passat per Seymour Papert (Mindstorms, 1993) i altres investigadors del Laboratori d’Intel.ligència Artificial del Massachusetts Institute of Technology (MIT), que començaren a crear dispositius tecnològics que permetien als infants construir edificis i màquines. El Logo o programació amb la tortuga fou el primer pas en aquest camí de disseny tecnològic en què es poden planificar les accions que executarà el programa dissenyant els moviments que cal aplicar i generant les corresponents imatges a la pantalla. En la dècada del 1980, el programa ja s’havia expandit pel món i s’aplicava en multitud de projectes educatius. El plantejament de com millorar-lo en la seva direccionalitat i funcionalitat va fer que el mateix Seymour Papert entengués que calia fer-lo evolucionar per tal que pogués arribar a ser el mateix infant qui determinés el programa d’acció i que l’acció sortís de la pantalla i es convertís en una realitat construïda pels infants. La robòtica educativa es fonamenta en aquesta filosofia . L’entrada a les escoles dels mitjans informàtics ha portat, com a nova fase evolutiva — si bé encara en aquests moments de manera experimental i d’abast limitat— , la introducció de la robòtica, que ha generat una elevada expectativa sobre les seves virtuts i possibilitats.

Per què introduir la robòtica a l’aula? La societat actual està altament informatitzada i els ordinadors s’han convertit en una eina imprescindible per a la gestió del treball, de manera que estem immersos en una nova revolució social i industrial fruit de l’aplicació del llenguatge de programació en tots els processos. La informàtica ha envaït la vida de qualsevol persona. La tecnologia es troba arreu i la programació informàtica interna gestiona els aparells que necessitem o utilitzem en el dia a dia: ordinadors, smartphones i telèfons mòbils, tauletes tàctils...; en qualsevol mitjà de transport: cotxes, avions, trens, vaixells...; en els electrodomèstics: rentadores, rentavaixelles, cafeteres, frigorífics, microones...; en el controls ambientals: aire condicionat, calefacció...; en el món productiu industrial: màquines, robots...; en la gestió circulatòria: semàfors, dispositius de navegació GPS...; en la medicina, l’arquitectura, les arts... En qualsevol àmbit en què centrem la mirada constatarem que tot hi resta impregnat i fonamentat en el món de la programació. Aquesta realitat fa imprescindible la capacitació de les persones per tal de poder gestionar el món en què viuen i els infants el món amb el qual es trobaran, i és, per tant, necessari aquest domini per a qualsevol professió, tal com indica Mitchel Resnick, creador del llenguatge Scratch desenvolupat pel grup Lifelong Kindergarten del MIT Media Lab: «Tothom hauria de saber llegir i escriure i tothom hauria d’aprendre a programar». Aprendre a programar no vol pas dir que l’objectiu sigui crear programadors professionals, com tampoc aprendre matemàtiques o aprendre a escriure no significa fer matemàtics o escriptors sinó persones

16336 Nou Biaix 38, pàgina 84, 26/05/2016

juny 2016 87

capaces d’entendre comprensivament el seu món amb capacitat comunicativa i interpretativa. Aprendre a programar significa entendre el funcionament de les màquines i poder-s’hi comunicar en el seu idioma per aconseguir que facin allò que volem que facin, o sigui que ensenya com «pensen» els robots, fet que comporta la comprensió que tot problema es resol a partir de desgranar-lo en les seves parts constitutives. Treballar la robòtica a l’escola és un repte que aporta eines i estratègies per veure com els alumnes, de manera motivadora, apliquen els coneixements adquirits a les diferents àrees de manera competencial mitjançant un treball transversal i cooperatiu. Darrere, però, hi ha implícit com a objectiu essencial el desenvolupament del «pensament computacional», terme encunyat l’any 2006 per Jeannette Wing i entès com un procés de resolució de problemes que, segons la Societat Internacional de la Tecnologia en l’Educació (ISTE), inclou el desenvolupament de les competències operatives següents: •

Formular problemes que per a la seva resolució necessitin l’ús de l’ordinador i altres eines.

•

Organitzar i analitzar lògicament la informació i automatitzar el pensament algorísmic, o sigui la capacitat d’establir seqüències ordenades de passos per a arribar a la solució.

•

Representar la informació a través d’abstraccions amb models i simulacions.

•

Identificar, analitzar i implementar possibles solucions amb l’objectiu d’obtenir la combinació més efectiva i eficient de passos i recursos.

•

Generalitzar i transferir el procés de resolució a altres situacions de la realitat.

L’adquisició d’aquestes competències, que són les mateixes que configuren l’aprenentatge matemàtic, de la ciència, la tecnologia o l’enginyeria, fa que tingui una incidència multidisciplinària d’una gran repercussió. La robòtica, a nivell general, permet treballar a l’escola a partir d’una metodologia de projectes amb un treball fortament cooperatiu tot potenciant l’esperit innovador i emprenedor. D’altra banda, ajuda a entendre l’aplicació de les matemàtiques i la ciència a l’entorn real i a vivenciar la programació com un llenguatge de comunicació, facilitant-ne així la comprensió. Així mateix, és una eina que ajuda els alumnes a despertar i potenciar la seva creativitat i la seva capacitat d’innovació, proporcionant experiències que són molt gratificants i pràctiques. Paral.lelament, podem interrelacionar de manera interdisciplinària els continguts d’àrees de coneixement ben diverses i aprofundir en l’expressió oral i escrita si fem elaborar informes, crear contes... i exposar-los en públic. El Lego We-do, l’Scratch i el Lego Mindstorms són eines de llenguatge de programació que faciliten aquestes iniciatives en l’educació primària, ja que són programes i materials molt intuïtius i de fàcil programació i manipulació. El procés d’iniciació en el llenguatge de programació no porta solament a aprendre a programar, sinó que, com remarca Mitchel Resnick (2007), es programa per aprendre, ja que, «programar computació és una extensió de l’escriptura, perquè aquesta habilitat permet a les persones escriure noves coses: animacions, simulacions, històries interactives i jocs. Convida a involucrar aquesta pràctica a l’educació escolar pel fet que en aquest procés els estudiants aprenen conceptes matemàtics i computacionals, a més d’estratègies per a solucionar problemes, dissenyar projectes i comunicar idees.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 85, 26/05/2016

88 noubiaix 38

I això, sense diferenciació d’edat, origen, interessos i oficis». Aquest procés d’aprenentatge s’estructura en el que es defineix com a «aprenentatge en moviment en espiral», integrat per les fases d’imaginar, crear, jugar, compartir, reflexionar i de nou imaginar per reiniciar el camí.

Què comporta i què aporta la introducció de la robòtica a les aules? Portar la robòtica a les aules implica necessàriament canvis metodològics i conceptuals que obliguen a modificar paradigmes educatius preestablerts en les nostres ments i hàbits metodològics aplicats en la transmissió de l’aprenentatge. Comporta dissenyar una línia de treball que tingui com a objectius utilitzar eines engrescadores i intuïtives que afavoreixin el desenvolupament de les capacitats dels alumnes, desenvolupar els processos d’aprenentatge a partir de la resolució de situacions problemàtiques reals i lligades en el seu propi entorn i plantejar reptes i discutir les possibles estratègies per a arribar a solucions utilitzant el mètode científic. Així doncs, podem constatar que la introducció de la robòtica aporta una renovació en la metodologia emprada tradicionalment a l’escola, en la qual l’alumnat sol ser un subjecte receptiu, per convertir-lo en subjecte actiu i creatiu de les decisions que cal prendre. La reflexió i la metodologia de resolució de problemes es converteix en centre bàsic dels projectes, en una dinàmica que resulta molt engrescadora i motivadora per als alumnes, ja que els dóna eines per a desenvolupar les seves habilitats i aconseguir millores en l’aprenentatge i en la seva autoestima.

La nostra experiència A l’escola Mil.lenari de Cardedeu, aquesta experiència és va iniciar ara fa quatre anys amb alumnes de sisè de primària utilitzant els robots Lego Mindstorms. Actualment seguim endavant tot aplicant el projecte «Creació d’una empresa per a dissenyar un robot pigall», projecte que portem a terme seguint les fases o actuacions següents: a) Creació i organització de l’empresa. Disseny del logotip i dels cartells publicitaris. b) Creació i funcionament de departaments per a treballar en equips. c) Proposta d’encàrrec a dur a terme. Un exemple seria: «Construir un robot pigall que acompanyi una persona invident a diferents punts del poble: el CAP, l’Ajuntament, el Centre Cultural, el camp d’esports, l’estació , els instituts...». d) Construcció del robot. e) Distribució i programació de les rutes. f ) Programació d’un comptador de línies que simula un pas de vianants. g) Exposició en sessions obertes al públic (companys, pares...) del treball realitzat. Cada sessió de classe es desenvolupa seguint tres fases: •

La primera, que és molt curta, recorda en quin punt s’està, els continguts necessaris per a anar resolent les actuacions següents i quina tasca caldrà fer o continuar fent aquell dia.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 86, 26/05/2016

juny 2016 89

•

La segona, que és la més llarga, és la del treball per grups per tal d’avançar i continuar en el projecte.

•

L’última fase de la sessió és la posada en comú de la feina realitzada per cada grup tot presentant i definint les dificultats que s’han trobat i com s’han solucionat.

Durant el projecte es crea un departament comercial dedicat a elaborar tot el procés de màrqueting. Se’ls ensenya a exposar en públic, a elaborar una presentació del producte i a dissenyar el logotip i els cartells publicitaris. L’èxit d’aquesta experiència ens ha portat a fer-la extensible a cursos inferiors, integrant-la en el cinquè de primària i també en tot el cicle mitjà. Sobre la base d’aquesta ampliació longitudinal del projecte, la seqüència didàctica planificada es fonamenta bàsicament a partir d’uns objectius diferenciats per a CM i CS. A CM es tracta que entrin en contacte amb el món de la robòtica amb el programa Scratch, iniciant així els primers passos de creació i programació, molt lligats al desenvolupament paral.lel d’altres àrees com la llengua, l’expressió plàstica i la lògica matemàtica. A grans trets pot sintetitzar-se així: •

Els alumnes de tercer programen un laberint senzill, dissenyen les animacions i l’escenari, i a partir d’aquí elaboren un conte. La base inicial d’aquest procés es treballa de manera vivencial: cadascú és el robot i per tal de poder efectuar les accions per complir un objectiu determinat cal que donem unes ordres ben estructurades, senzilles i precises. Aquesta comprensió serà la fonamentació intel.lectiva del que representa el llenguatge computacional, i a partir d’aquí podrem entrar en el treball amb els primers programes informàtics amb l’Scratch.

•

Els alumnes de quart, a partir de petits reptes, dissenyen jocs per als més petits, amb diferents nivells de dificultats: petits contes a través de diàlegs, concursos de preguntes i jocs matemàtics, i un petit piano per a crear música.

•

A nivell de CS s’amplia el repertori de programes i a més de l’Scratch es treballa també amb el Lego We-Do. A cinquè s’introdueix la construcció de robots com una eina que permet treballar de manera cooperativa i incidir en l’apartat de lògica matemàtica. En aquests tallers es programen jocs amb diferents nivells de dificultat, concursos de preguntes i jocs matemàtics, i es creen contes i històries compartides. Primer, en grups, pensen una història i escullen els personatges, que són els robots. A continuació, en grups de dos, construeixen i programen el robot i dissenyen l’escenari. Finalment, relacionen els dos o tres personatges i escriuen la història final en la qual interactuen els diferents robots.

•

A sisè es fan projectes contracte que han de solucionar problemàtiques reals.

Valorant els resultats La introducció de la robòtica a l’escola ens ha permès valorar l’aplicació dels coneixements adquirits en les àrees de matemàtiques i llengua, però també ens ha creat la necessitat de revisar la programació de l’àrea de matemàtiques per competències i d’elaborar un document annex que modifiqui la línia metodològica.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 87, 26/05/2016

90 noubiaix 38

Resulta prou eloqüent i evidencia la riquesa d’aquests aprenentatges la valoració feta pels mateixos alumnes a partir de les respostes donades anònimament a un qüestionari que se’ls passa a tots des de tercer fins a sisè. L’anàlisi de les respostes porta a les conclusions següents: 1. Valor i importància de la introducció de la robòtica a l’aula El 96% pensa que la robòtica és engrescadora i, si fos possible, voldrien dedicar-hi més temps. • El 80% considera que entendre el programa ha estat fàcil. • Al 96% li ha agradat programar. • Al 91% li ha agradat construir el robots (cinquè i sisè). • Al 98% li ha agradat dissenyar escenaris, animacions, cartells i logos, i s‘han sentit creatius. •

2. Millora d’hàbits de treball i de l’autoconfiança personal El 99% veu la necessitat de llegir i entendre i alhora tenir organitzades i ordenar bé les etiquetes perquè funcioni el programa. • El 71%, en finalitzar el curs, es veu capaç de crear un petit programa sense ajuda. • El 70% valora que a mesura que ha anat avançant el taller ha necessitat menys ajuda. • El 85% és conscient de la seva millora a l’hora de parlar en públic (sisè). •

3. Potenciació del treball cooperatiu i del respecte democràtic El 93% és conscient que ha col.laborat amb els seus companys per aconseguir l’objectiu planificat. • El 96% considera que ha millorat a treballar en equip i a saber compartir. •

4. Potenciació de la interdisciplinarietat del coneixement El 92% considera que la robòtica l’ha ajudat a entendre millor altres aprenentatges. Un 90% dels alumnes de quart i cinquè considera que ha necessitat aplicar i dominar coneixements d’altres àrees, especialment matemàtiques, català, música i plàstica, i igualment un 90% de sisè indica que ha utilitzat i necessita especialment els coneixements de matemàtiques, català i anglès. • El 94% manifesta que els dominis matemàtics són essencials i que la robòtica implica treballar principalment geometria, càlcul, mesura i lògica. • •

A partir d’aquestes opinions, en síntesi, es pot deduir que: La robòtica els ajuda a implicar-se activament en el seu propi procés d’aprenentatge. Desenvolupen la seva capacitat científica i tecnològica. • Assumeixen habilitats d’autonomia, imaginació i creativitat. • S’interessen i veuen utilitats en les matemàtiques i en la tecnologia científica. • Potencien les habilitats de recerca i de resolució de problemes. • Milloren les capacitats de lectura, escriptura i les habilitats comunicatives i per a fer presentacions. • •

16336 Nou Biaix 38, pàgina 88, 26/05/2016

juny 2016 91

El que ens aporta en l’aprenentatge matemàtic Les valoracions de l’alumnat deixen clara la importància del domini i els coneixements matemàtics per poder fer front al repte de la creació de projectes robòtics, però alhora també posen en evidència que a través d’ells es potencia l’adquisició i l’aprenentatge matemàtic i que els continguts geomètrics són per a ells els més imprescindibles. Entre aquests continguts cal destacar el domini dels moviments en el pla i els diferents mètodes i procediments geomètrics per a determinar la posició d’un punt en el pla, el món dels polígons i els seus factors definitoris i la descomposició i composició de formes, etc. Tots aquests elements incideixen en la millora del domini espacial. Qualsevol activitat planificada per tal que el robot actuï posa en joc una multitud de capacitats geomètriques de tipus conceptual i procedimental que possibiliten la seva aplicació a situacions noves. L’experiència pràctica porta a desenvolupar processos inductius o deductius que permeten la comprensió conceptual dels continguts geomètrics i que, a més, potencien l’adquisició de continguts procedimentals, que són la clau per a poder aplicar els coneixements adquirits en noves situacions. Per exemplificar aquesta adquisició d’aprenentatge geomètric conceptual i procedimental, detallarem una de les moltes activitats de les fases inicials de descoberta dels procediments bàsics per a poder planificar el moviment del robot i, posteriorment, dissenyar accions més complexes. La proposta de treball consisteix a planificar el moviment del robot per tal que faci un recorregut que hem determinat prèviament i que al final retorni al punt d’origen. Els exercicis previs per iniciar-se en el domini del moviment del robot ha portat l’alumnat a deduir i descobrir que el robot, i per tant qualsevol objecte, només pot fer dos tipus de moviments en el pla: o bé es desplaça en línies rectes (moviment de translació) o gira sobre un punt (gir). L’activitat proposada de seguir un itinerari determinat o dibuixat a terra, que en definitiva no és res més que un polígon qualsevol, porta a la necessitat de determinar amb precisió l’angle de gir d’aquells punts del circuit en què hi ha un canvi de direcció, però també la distància que ha de recórrer per anar d’un punt a un altre on hi ha aquest canvi. Resulta evident que la programació d’aquest procés és diferent si l’itinerari és un polígon regular, i per tant amb un procés repetitiu, o bé irregular, de manera que s’arriba a una definició de polígon regular o irregular a partir de les diferències en l’elaboració del programa. Queda clar que en tot procés definitori d’un recorregut o d’una forma poligonal es fa imprescindible la precisió de l’angle de gir i de la distància o costat, i això permet entendre que l’angle important per a poder definir o construir el recorregut en la realitat o a nivell mental resulta ser l’exterior i no l’interior. Aquest darrer és l’obertura que hi hauria si es fes la perllongació del camí que se segueix vers la direcció que cal agafar de nou, i l’amplitud o valor de l’angle no depèn de la llargada dels costats. Alhora es constata que la suma dels angles exteriors d’un recorregut tancat (polígon) és sempre de 360◦ , altrament no retornaríem al punt d’origen. Activitats manipulatives diverses com retallar amb paper cadascun dels angles exteriors recorreguts i ajuntar-los ens confirmen les deduccions. Els diversos aprenentatges fets amb aquesta activitat porten a la capacitat d’abstracció i generalització que es concreten en potencialitats, com el fet de poder definir o explicar amb precisió matemàtica un recorregut o itinerari a d’altres persones, o també que, donades unes informacions d’angles de gir i longituds dels costats, davant una sèrie de recorreguts diversos

16336 Nou Biaix 38, pàgina 89, 26/05/2016

92 noubiaix 38

hi ha una millora evident per a poder escollir el correcte. Així doncs, aquesta activitat amb el robot ha permès millorar, entre d’altres, les concepcions relatives als polígons i adquirir una capacitat de visualització mental i un poder de manipulació de les imatges mentals, factors essencials i imprescindibles per al domini geomètric. I així en qualsevol de les altres activitats que comporta el projecte.

A manera de conclusió La valoració feta pels alumnes ens mostra la incidència formativa que té la introducció de la robòtica a l’aula alhora que ens ens il.lustra sobre la direccionalitat didàctica i competencial que cal tenir en compte per tal que aquesta introducció sigui al més eficient i eficaç possible. S’evidencia l’íntima interconnexió que té amb el desenvolupament dels aprenentatges matemàtics — i a la inversa, com aquests possibiliten més el domini de la robòtica— i també amb altres àrees del saber, de manera que es converteix en un nucli aglutinador d’interdisciplinarietat. De manera general, la introducció de la robòtica aporta canvis importants pel que fa a l’estructuració de les metodologies a l’aula i com a factor d’ajut en la creació i assoliment d’habilitats personals, ja que: •

Potencia l’autosuficiència i el pensament creatiu personal amb l’increment de la seguretat personal i la confiança en el maneig de situacions complexes.

•

Fa perdre la por a l’error i aquest es consolida com una font d’aprenentatge i no d’avaluació.

•

Estimula l’ automotivació i l’aprenentatge autodidàctic.

•

Fomenta l’habilitat en la resolució de problemes gràcies a l’adquisició d’estratègies de raonament lògic, analític i de pensament crític, habilitats essencials per al desenvolupament de totes les àrees científiques, però també humanístiques, artístiques i professionals.

•

Prepara per a fer front a les situacions competitives del món, especialment en les ciències tecnològiques, les de major demanda en l’actualitat i per al pròxim futur.

•

Capacita en la persistència i en l’esforç i estimula el repte de treballar amb problemes difícils.

•

Habilita per a comunicar-se i treballar amb altres per aconseguir una fita comuna.

•

Els coneixements matemàtics prenen un sentit de realisme.

L’èxit d’aquesta iniciativa ens anima a continuar ireflexionant per a millorar-la i integrar-la en la dinàmica general de l’escola com a factor de transformació conceptual i didàctica. En conseqüència, el treball amb la robòtica és un procediment extraordinari per a desenvolupar metodologies fonamentades en la resolució de problemes i en l’aplicació del mètode de projectes. Aquests són aspectes que les persones que formem part del grup «a+a+» de Rosa Sensat en innovació en didàctica de les matemàtiques a infantil, primària i educació especial tenim clars en el nostre treball diari a partir d’una metodologia que apliquem i que evoluciona des de la vivenciació fins a la manipulació i d’aquesta als processos de treball simbòlic per a arribar a l’abstracció i a la generalització.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 90, 26/05/2016

juny 2016 93

Si voleu, podeu visitar la nostra pàgina web, on trobareu més informació i fotografies que il.lustren aquest projecte: http://www.xtec.cat/ceipmil-lenari/ I, per acabar, des d’aquesta experiència voldríem animar-vos perquè us decidiu a provar-ho

Referències Arkin, R. C (1997). Behaviour based robotics. MIT Press. ATTE (2011). Aprendre tecnologia, eina de futur. Perspectiva Escolar, 359. ATTE. (2014). Imagina, programa, comparteix. Perspectiva Escolar, 377. ATTE (2005). Hacia las sociedades del conocimiento. Informe Mundial de la Unesco. París. http://bit.lysEz74F Barrientos, A., Peñín, L. F., Balaguer, C., Aracil, F. (1997). Fundamentos de robótica. McGraw-Hill. Callís, J. (2008). El què, com, quan i per què de la manipulació (p. 8-21). A: Manipular per aprendre. Perspectiva Escolar, 329. Delgado, J. (2013). Aprendizaje de la programación en Citilab. CTS Magazine, 23. Freixenet, J., Muntaner, E., Niell, M., Peracaula, M., Sabaté, F., Cufí, X. (2014). Aprendre geometria amb robots i altres estris computacionals. Dins Geometria. Perspectiva Escolar, 380. Fu, K. S., González, R. C., Lee, C. S. G. (1988). Robótica: control, detección, visión e inteligencia. McGraw-Hill. Generalitat de Catalunya (2013). Identificació i desplegament de les competències bàsiques: Àmbit digital. Barcelona: Departament d’Ensenyament. Ollero, A. (2001). Robótica: Manipuladores y robots móviles. Barcelona: Marcombo. Papert, S. (1993). Minstorms. Nova York: Basics Books. Resnick, M. (2001). Tortugas, termitas y atascos de tráfico. Exploraciones sobre micromundos y movimientos paralelos. Madrid: Gedisa. — (2007). Sembrando semillas para una sociedad más creativa. Massachusetts: Laboratorio de Medios del MIT. Torres, F., Pomares, J., Gil, P., Puente, S. T., Aracil, F. (2002). Robots y sistemas sensoriales. Prentice Hall. Vivancos, J. (2008). Tratamiento de la información y competencia digital. Alianza Editorial. Madrid.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 91, 26/05/2016

94 noubiaix 38

Un petit enigma Quin és el terme següent de la successió?

Foto: Joan Gasull i Jolis

16336 Nou Biaix 38, pàgina 92, 26/05/2016

juny 2016 111

seccions seccions

cions 16336 Nou Biaix 38, pàgina 93, 26/05/2016

96 noubiaix 38

Crònica: La jornada d’associacions de parla catalana Els dies 5 i 6 de març va tenir lloc a la Vall d’en Bas la sisena edició de la trobada de societats de parla catalana. S’hi van aplegat 45 mestres i professors de matemàtiques d’arreu dels països catalans, representants de diferents societats de professors de matemàtiques de les terres de parla catalana: la Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya, amb cinc associacions federades de les diferents comarques catalanes, la Societat Catalana de Matemàtiques, que és filial de l’Institut d’Estudis Catalans, la Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana (Al-Kwarizmi) i la Societat Balear de Matemàtiques (Xeix). Enguany també hi han estat convidats membres del Museu de Matemàtiques de Catalunya i del Cesire-Creamat, entitat que forma part del departament d’Ensenyament de la Generalitat de Catalunya. Aquestes trobades se celebren alternativament a Mallorca, el País Valencià i Catalunya, amb l’objectiu de preparar la jornada conjunta anual sobre l’ensenyament de les matemàtiques que celebrem cada any a l’octubre i que enguany per primer cop se celebrarà a València. A més, aprofiten la trobada per conèixer el país i els fets que agermanen els territoris de parla catalana. Un dels fets científics que ens agermana és el meridià de París, que passa per les nostres comarques, i també creua per la majoria de territoris dels països catalans. Per això una de les propostes de treball en aquesta trobada ha estat recollir i organitzar activitats matemàtiques entorn del Meridià. Fa més de dos-cents anys un grup de científics francesos i espanyols van mesurar una part del meridià amb la intenció de definir el metre patró com a la deumilionèsima part del quadrant d’un meridià terrestre. Aquesta mesura es va fer amb eines de precisió com el cercle de Borda. El grup de científics va haver de viatjar per les nostres muntanyes a fi de mesurar angles entre cims, i a través dels angles, emprant trigonometria, mesurar les distàncies que van servir per obtenir la mesura del meridià i establir el metre patró. El Puigsacalm va jugar un paper clau en aquests mesuraments. En homenatge a aquesta gesta científica que va creuar tots els països catalans, s’havia previst collocar una placa commemorativa a la font de la Martingala, a Vidrà, durant el matí del diumenge dia 6 de març, donat que aquesta font es troba a tocar del meridià de París. Però per causa de l’estat dels camins, amb neu congelada, no vam poder pujar a la font, i vam fer la presentació de la placa homenatge a la Val d’en Bas. La placa va quedar custodiada a l’ajuntament de la Vall fins que el temps ens permeti instal.lar-la al seu lloc definitiu, a la font de Vidrà. Vam tenir un temps esplèndid, contra tot pronòstic, i la trobada es va desenvolupar segons el programa previst. Vam tingut una gran acollida per part de les autoritats i amics de la Vall, que van col.laborar en tot moment per facilitar-nos les sortides i activitats de coneixement de la zona. Una gent fantàstica que fan un país encantador.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 94, 26/05/2016

pensar

97 juny 2016 97

per pensar d’un minut a una hora Jordi Deulofeu Departament de Didàctica de les Matemàtiques i de les Ciències Experimentals Universitat Autònoma de Barcelona jordi.deulofeu@uab.cat

Quan estic acabant de redactar aquest article m’arriba la tradicional felicitació de les festes nadalenques i de l’any nou, en forma de problema, de l’amic Ignasi del Blanco. Encara que molts de vosaltres també l’haureu rebut, i segurament solucionat, el recordo per a aquells que no el tinguin: Intercalar les operacions que es vulgui als nombres 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 per tal que el resultat sigui 2016, tot mantenint l’ordre dels nombres. Si acceptem l’ús de parèntesis, no us costarà gaire trobar una de les moltes solucions possibles, però si volem evitar-los, per obtenir una solució ben «elegant», la cosa ja no és tant senzilla. De fet, després de pensar-hi una estona i no haver-ne trobat cap, seguia sospitant que n’hi hauria una, o potser més d’una, fins que l’amic Joan Jareño em va mostrar un munt de solucions boniques d’alumnes de l’institut Baix a Mar, de Vilanova. Una de les solucions, trobada per un alumne d’en Jordi Font, era magnífica i no utilitzava cap parèntesi. Us animo a trobar-les i, si es resisteixen, sempre podeu consultar el web del creamat. Tornem al 2016, el quart any de traspàs del mil.lenni, any internacional de la llum i, per sobre de tot, any del Congrés Català d’Educació Matemàtica. D’entrada, no sembla ser un nombre gaire excepcional, més enllà de tenir un nombre considerable de divisors, i que aquest nombre és divisor de 2016, a diferència dels tres anys precedents, que en tenien força menys. L’elevat nombre de divisors fa que sigui un nombre abundant (la suma dels seus divisors és 6552) i es pot expressar com a suma de tan sols tres dels seus divisors: 1008 + 672 + 336. És clar que això no és gaire excepcional, ja que passa per qualsevol nombre que sigui múltiple de 6. La cosa s’anima, ja que, a més, resulta que és el 63è nombre triangular, és a dir, 1+2+3+· · ·+63 = = 2016. A partir d’aquí comencen a sorgir propietats boniques, relacionades amb aquest tipus de nombres, com m’ha mostrat l’Anton Aubanell, que ha passat una bona estona estudiant aquest magnífic nombre. Com diu l’Anton, atès que l’anterior triangular és el 1953, i el següent serà el 2080, fa que per a molta gent aquest sigui el triangular de la seva vida. És clar que altres, que com jo tenim alguns anys més, tindrem el privilegi d’haver viscut en

16336 Nou Biaix 38, pàgina 95, 26/05/2016

98 noubiaix 38

dos anys triangulars. Viure’n tres no sembla a l’abast de cap de nosaltres: els nascuts el 1953 haurien de viure almenys 127 anys! També resulta que 2016 és el 32è nombre hexagonal, és a dir, pertany a la successió: 1, 6, 15, 28... que correspon als triangulars senars. D’altra banda, fixeu-vos que l’expressió binària de 2016 és 11111100000, la qual cosa indica que 2016 es pot expressar com a suma de 6 potències de dues consecutives. Finalment, si el dividim per 4, és a dir, el factor que fa que sigui any de traspàs, obtenim 504, que es un nombre un xic més curiós. En efecte, 504 = 12 × 42, i també, 504 = 21 × 24. Hi ha 13 parells de nombres de dos dígits tals que en invertir els dígits el producte es manté. El més gran és el 3024 = 36 × 84 = 63 × 48... A veure si trobeu els altres onze parells! I ja que hem començat amb nombres enters, seguim amb aquests i proposem un parell de situacions que permeten fer matemàtiques senzilles però interessants. La primera és un excel.lent problema per fer, tant a primària, en relació amb el valor de posició, com a l’ESO, si la relacionem amb el pas de l’aritmètica a l’àlgebra. La trobareu desenvolupada a l’apartat «Investiguem» (proposta 14, octubre de 2015) del web del creamat. Problema 1. En un tauler 2 × 2 situem nombres diferents, de l’1 al 9, en les quatre caselles. Després formem quatre nombres de dues xifres, considerant les files i les columnes del tauler. Finalment, sumem aquests quatre nombres i obtenim el total. Exemple: Posant 3, 7, 4 i 1, tal com es veu al tauler, s’obtenen els nombres 37, i 41 (horitzontal) i 34 i 71 (vertical), la suma o total dels quals és 183. 3 7 4 1 A partir d’aquesta situació ens podem fer moltes preguntes, com per exemple: a) Quins nombres haurem de posar a la taula per obtenir un total de 200? b) Quin és el total més gran, i el més petit, que podem obtenir? c) Quins nombres posarem per obtenir un total parell (o senar)? d) Es poden obtenir tots els valors entre el mínim i el màxim? I tantes altres preguntes que vosaltres o els vostres alumnes podeu generar. El següent problema l’he extret de les proves a l’esprint per a tercer i quart d’ESO, realitzades el desembre de 2015. M’ha semblat un repte molt interessant i un xic difícil per als nois i noies d’aquesta edat, encara que cal dir que formava part dels problemes de «propina», aquells que es fan una vegada acabat el concurs. Problema 2. Trobeu el menor valor dels nombres enters positius m i n, de manera que les fraccions pròpies: m/n, (m + 1)/(n + 1), (m + 2)/(n + 2) · · · (m + 5)/(n + 5), siguin totes reductibles. Una vegada resolt el problema per a 6 fraccions no us costarà gaire generalitzar-lo a un nombre qualsevol p i argumentar que tindrà solució per a qualsevol quantitat de fraccions.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 96, 26/05/2016

juny 2016 99

Deixem els nombres, que fins ara ens han servit per a plantejar reptes interessants, i anem a la geometria. Seguint amb els problemes a l’esprint, aquest correspon al concurs que es va realitzar el dissabte 19 de desembre de 2015, i era un dels darrers problemes de primer nivell. Haig de dir que va ser un problema difícil per als alumnes amb talent que porten a terme aquesta activitat, tot i que a mi no m’ho havia semblat quan el vaig resoldre. Una vegada més, es confirma la poca familiaritat amb problemes de geometria que tenen els nostres alumnes, en comparació amb els problemes numèrics. L’enunciat estava plantejat a partir d’un dibuix que ometré per fer-lo un xic més difícil, tot i que estic segur que aquells a qui us agraden els problemes geomètrics no només el resoldreu amb una certa facilitat, sinó que, a més, trobareu una interessant generalització. Problema 3. S’inscriu un rectangle en un quadrat donat (s’entén que el rectangle té un vèrtex sobre cada costat del quadrat) i es coneix la raó entre la llargada i l’amplada del rectangle; per exemple, 4. Quina és la raó entre l’àrea del rectangle i l’àrea de la part del quadrat externa al rectangle? Seguint amb la geometria, plantejaré un petit joc d’estratègia per a dos jugadors, d’aquells que tant m’agraden. Problema 4. Partim d’un tetraedre i a cada jugada el jugador que té el torn elimina una cara, una aresta o un vèrtex. Això fa que s’eliminin altres elements del tetraedre (una cara s’elimina quan li falta alguna de les arestes que la componen, una aresta quan falta un dels vèrtexs que la delimiten i un vèrtex quan queden menys de dues arestes que hi conflueixen). El jugador que en eliminar un element aconsegueix que no en quedi cap és el guanyador de la partida. Quina és l’estratègia que permet guanyar a un dels dos jugadors? Quan l’hagueu trobat per al cas del tetraedre, penseu què passaria si la figura inicial fos un altre poliedre. En Jordi Font, professor de matemàtiques de Vilanova, em va proposar un problema, a mig camí entre la geometria i els nombres, força bonic i molt més complicat del que pot semblar a primera vista. En tot cas, la seva resolució genera matemàtiques interessants i això és el que fa que sigui un problema al qual val la pena dedicar una bona estona. Problema 5. Si coneixem el volum d’un prisma i aquest s’expressa amb un nombre enter, quines són les longituds de les seves arestes si sabem que també s’expressen amb nombres enters? Per exemple, si el volum és de 6 unitats cúbiques, hi ha tan sols dues solucions: 1,1,6 i 1,2,3, mentre que si el volum és 12, ara el nombre de solucions és 4. És clar que si el volum s’expressa amb un nombre primer, tan sols hi ha una solució, però a mesura que augmenten els divisors la cosa es complica, i molt! Si us hi atreviu, penseu quantes solucions hi hauria per a un volum de 2016 unitats cúbiques. Força més senzill és considerar el problema en el pla, és a dir, coneguda l’àrea d’un rectangle, que s’expressa amb un nombre enter, trobar quant mesuren els seus costats sabent que també s’expressen amb nombres enters. Acabaré amb un altre problema de geometria, que al meu parer és força més difícil que tots els anteriors. Me’l va proposar fa poc en Josep Maria Fortuny, company del departament.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 97, 26/05/2016

100 noubiaix 38

Segurament molts de vosaltres coneixeu el Teorema de Viviani (matemàtic italià que visqué a Florència entre 1622 i 1703 i que va treballar amb Galileu), d’acord amb el qual la suma de les distàncies als tres costats d’un triangle equilàter des d’un punt interior del triangle és constant, és a dir, no depèn del punt, i equival a l’altura del triangle. D’aquest teorema se n’han donat diverses demostracions, algunes de les quals molt boniques i estrictament visuals. És fàcil veure que si el triangle no és equilàter, el teorema no es compleix i, per tant, es pot plantejar el següent problema d’extrems. Problema 6. Quin és el punt del pla tal que la suma de les distàncies des d’aquest punt als tres costats d’un triangle donat és mínima? Amb aquest problema, que espero que us tingui entretinguts una bona estona, m’acomiado de tots i totes fins a la propera ocasió.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 98, 26/05/2016

construint juny juny2016 2016 101 101

construint matemàtiques La visualització: eina i contingut en educació matemàtica

claudio.alsina@upc.edu

Anton Aubanell claudio.alsina@upc.edu

El terme visualització, segons el diccionari de l’IEC, s’aplica a l’acció i a l’efecte de visualitzar i, segons la mateixa font, visualitzar significa fer visible una informació per mitjà d’un recurs tècnic determinat. Si bé el diccionari precisa que aquest terme s’usa en el camp de la informàtica, cal reconèixer que actualment, immersos com estem en una societat en la qual la comunicació a través d’imatges és present arreu, s’aplica amb justesa en molts altres camps, en particular a l’educació matemàtica, en què la visualització és alhora camí i destí, eina d’ensenyament i contingut d’aprenentatge. La XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques, que, organitzada per la FEEMCAT, la SCM de l’IEC, la SBM-XEIX i la SEMCV Al-Kwharizmi, es va portar a terme l’octubre de l’any passat sota el títol «Matemàtiques. Ara ho veig!», va posar un accent especial en la visualització. Tanmateix l’expressió «Ara ho veig!», quan s’empra en educació, sovint va més enllà de la simple visió i es refereix a un «Ara ho percebo!», de caire més multisensorial, que pot sorgir no tan sols de l’ús d’imatges sinó també de la manipulació de materials físics. Certament, una bona imatge pot valer més que mil paraules, però també un bon material pot valer més que mil imatges! Tenim un bonic exemple d’aquest fet si observem el diagrama que apareixia en el cartell de l’esmentada Jornada (imatge 1):

Imatge 1. Demostració del Teorema de Pitàgores, cartell de la XII Jornada d’Ensenyament de les Matemàtiques.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 99, 26/05/2016

102 noubiaix 38

Aquest diagrama és magnífic, però probablement la seva eficiència didàctica podrà accentuarse encara una mica més si el reproduïm amb materials físics que el mateix alumne pugui moure tot donant realitat a la transformació que el dibuix representa (imatge 2):

Imatge 2. Reproducció, movent materials, de la demostració del teorema de Pitàgores de la imatge 1.

Fent encara un pas més, aquell «Ara ho veig! Ara ho percebo!», en l’ensenyament, sovint pren un sentit cognitiu i equival a un «Ara ho entenc!». Em comentava un company del MMACA que hi ha alumnes invidents que, manejant un mòdul manipulable, diuen: «Ara ho veig!». Són aquestes consideracions les que, en el camp de l’educació matemàtica, conviden a atorgar al mot visualització un significat que va més enllà de les imatges i que inclou també la manipulació física de materials. Des d’aquesta perspectiva una mica més àmplia trobem exemples molt bonics de com la visualització és una eina potent per a construir el coneixement matemàtic i donar-li sentit. A continuació s’apunten dos exemples, un en el camp de l’aritmètica i l’altre en el de les probabilitats.

Primer exemple: càlcul d’arrels L’arrel quadrada és una operació aritmètica, però adquireix tot el seu sentit quan li atorguem un significat geomètric: l’obtenció del costat d’un quadrat del qual coneixem l’àrea. Aquesta representació suggereix un procediment de càlcul tan eficient com √ intuïtiu que seria ben interessant d’incorporar a l’ESO. Imaginem que desitgem calcular 19. Es tractarà de trobar la longitud del costat d’un quadrat de 19 unitats quadrades d’àrea. D’entrada sembla que això és difícil de fer a cop d’ull, però el que resulta molt fàcil és prendre un rectangle d’1 unitat (que

16336 Nou Biaix 38, pàgina 100, 26/05/2016

juny 2016 103

anomenarem u) d’altura per 19u d’amplada. La seva àrea és de 19u2 , però, malauradament, no és un quadrat. A partir d’aquí podem començar un procés iteratiu per a «quadrar» aquest rectangle de manera que, en cada pas, tinguem un nou rectangle una mica «més quadrat». Prenent les altures d’aquesta successió de rectangles obtindrem aproximacions cada vegada més precises de l’arrel buscada (vegeu la imatge 3). Som-hi! 1. L’altura del rectangle de partida serà 1u.La seva amplada serà 19u. Així, xo = 1. 2. Fem un primer pas per «quadrar una mica» aquest rectangle: prenem com a nova altura la mitjana entre l’altura i l’amplada del rectangle anterior, 1+19 = 10u. L’amplada 2 d’aquest nou rectangle haurà de ser de 19 = 1,9u per tal que la seva àrea continuï sent 10 de 19u2 . Així, obtenim una nova aproximació x1 = 10. 3. Fem un segon pas per «quadrar encara més» aquest rectangle i prenem com a nova altura la mitjana entre l’altura i l’amplada del rectangle anterior, 10+1,9 = 5,95u. L’amplada 2 19 d’aquest nou rectangle haurà de ser de 5,95 = 3,1932773 . . . ≈ 3,1933u per tal que la seva àrea continuï sent de 19u2 . Així, obtenim una nova aproximació x2 = 5,95. 4. Continuant aquest procés de fer mitjanes i divisions (s’arrodoneixen els resultats a quatre xifres decimals encara que els càlculs es fan amb més decimals), obtindrem: x3 = 4,5716, x4 = 4,3638, x5 = 4,3589. 19 ≈ 4,3589u, igual fins 5. Quan calculem l’amplada d’aquest últim rectangle obtenim 4,3589 al quart decimal a la seva √altura. Pràcticament estem davant d’un quadrat, de manera que podem afirmar que 19 ≈ 4,3589, amb un notable nivell de precisió.

Imatge 3. Progressiva «quadratura» del rectangle (el primer rectangle s’ha situat invertint base i altura per tal que s’observi millor el procés de «quadratura»).

Quan aquest procés es fa per primer cop a classe es poden construir els rectangles amb paper prenent com a unitat un centímetre (si es treballa individualment amb figures petites) o un decímetre (si es fa conjuntament amb figures grans). Atès que es tracta de rectangles amb la mateixa àrea, si es col.loquen en uns eixos de coordenades, situant el vèrtex inferior esquerre sobre l’origen i els dos costats que hi conflueixen sobre els semieixos positius, els vèrtexs superiors drets estaran sobre la hipèrbola x · y = 19. En la imatge 4 es mostren els sis rectangles tallats en fullola. Les mitjanes, en cada pas, es poden obtenir físicament tirant un fil al llarg de dos costats consecutius del rectangle (que seran l’altura i l’amplada) i prenent la meitat plegant-lo sobre si mateix. La longitud obtinguda serà l’altura del nou rectangle.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 101, 26/05/2016

104 noubiaix 38

Imatge 4. Els cinc primers rectangles construïts en fullola per mostrar a classe (novament el primer rectangle s’ha situat invertint base i altura per la mateixa raó que en la imatge 3).

Es tracta d’un procés de «quadratura» basat en la visualització geomètrica, amb un sentit matemàtic que va molt més enllà de la simple operació aritmètica tot posant en joc, de manera natural i intuïtiva, idees de fons com el mateix significat de l’arrel quadrada, els algorismes iteratius, la convergència de successions, el progressiu assoliment de precisió... El valor de l’arrel no té cap importància (una calculadora ens el dóna fàcilment), però el camí que s’ha fet és extraordinàriament ric. Aquest mètode, que s’atribueix a Heró d’Alexandria (segle i dC), està descrit en el blog del Calaix +ie d’en Joan Jareño (http://calaix2.blogspot.com.es/2012/04/les-arrels-de-les-arrelsquadrades.html), on s’inclou un applet fet amb GeoGebra que permet «quadrar rectangles» de manera interactiva. Personalment, vaig conèixer aquesta idea a través de Guido Ramellini. Després, pensant-hi, he observat aspectes que encara la fan més atractiva: √ És sorprenent que aquest procés, formulat en termes generals per obtenir k, coincideix amb el mètode de Newton-Raphson aplicat a determinar un zero de la funció f (x) = x 2 − k que es basa en successives aproximacions al gràfic de la funció f (x) a través de rectes tangents. S’escull una primera aproximació a la solució (en el nostre cas xo = 1) i s’estableix un procés iteratiu que, a partir d’una aproximació xn , calcula una nova aproximació xn+1 prenent l’abscissa del punt de tall entre l’eix y = 0 i la recta tangent al gràfic de funció f (x) en el punt (xn , f (xn)). Un càlcul senzill mostra que:

xn+1 = xn −

f (xn ) f (xn )

Un dels aspectes més bonics de la matemàtica són les seves connexions internes: arrels, àrees de rectangles, «quadratura», derivades i rectes tangents al gràfic d’una funció... Sembla estrany que el procediment geomètric d’anar «quadrant» un rectangle fent mitjanes acabi coincidint amb un mètode com el de Newton-Raphson que s’estudia en les assignatures de càlcul numèric dels primers cursos de les carreres científiques i tècniques. Una bonica mostra de com, sovint, els mètodes més visualment intuïtius ajuden a construir bases matemàtiques molt sòlides.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 102, 26/05/2016

juny 2016 105

√ 3 Imaginem que ara volem calcular k. Es tractarà d’obtenir l’aresta d’un cub de volum k. No sembla immediat poder trobar aquest cub, però podem fer un procés de «cubicació» semblant al que hem fet abans de «quadratura».

1. Prenem com a primera aproximació d’aquesta arrel cúbica el valor 1, xo = 1, i construïm un ortoedre d’altura (a) 1u, de llargada (b) 1u i d’amplada (c) k u. El seu volum serà k u3 . 2. Per tal d’intentar «cubicar» aquest ortoedre farem la mitjana de les longituds a, b i c. Aquesta serà la nostra següent aproximació: x1 = 1+1+k . Ara prendrem un ortoedre amb 3 a = x1 , b = x1 i c = xk2 , una mica més cúbic i amb volum k. 1

3. A partir de l’ortoedre amb a = xn , b = xn i c = xk2 (imatge 5) passarem a l’ortoedre amb n

a = xn+1 , b = xn+1 i c = x2k prenent n+1

xn + xn + xn+1 =

k xn2

2xn3 + k 3xn2

xn k xn2 xn Imatge 5. Ortoedre en el pas n.

4. Com a resultat de fer les mitjanes, l’ortoedre obtingut s’aproparà cada vegada més a un cub, de manera que la successió de valors x1 , x2 , x3 , . . . ,xn , . . . tendirà a l’aresta del cub, és a dir, a l’arrel cúbica que estem buscant. Es pot observar que també aquest procediment coincideix amb el mètode de NewtonRaphson aplicat a la funció f (x) = x 3 − k. √ m Ara imaginem que volem calcular k. Es tractarà de trobar l’aresta d’un hipercub de «volum» k en un espai de dimensió m. Podem partir d’un «hiperortoedre» d’arestes 1, 1, . . . ,1,k i iniciar un procés com en els casos anteriors fent, en cada pas, la mitjana de les arestesi ajustant l’última de les m noves arestes per tal que el «volum» continuï sent k. A partir de l’«hiperortoedre» amb arestes xn , xn , . . . ,xn , xmk−1 calcularem xn+1 fent la mitjana: n

(m − 1)xn + xn+1 =

16336 Nou Biaix 38, pàgina 103, 26/05/2016

k xnm−1

(m − 1)xnm + k . mxnm−1

106 noubiaix 38

Novament observem que aquesta fórmula iterativa és la del mètode de Newton-Raphson aplicat a la funció f (x) = x m − k. Vàrem comentar aquestes idees amb els companys del Grup de Didàctica de la Facultat de Matemàtiques de la UB i l’endemà en Jordi Font ja havia creat uns fulls de càlcul que implementaven aquests mètodes iteratius basats en fer mitjanes per als casos d’arrels quadrades i arrels cúbiques obtenint, amb molt poques iteracions, més de deu xifres decimals exactes. Uns procediments de càlcul ben interessants per a treballar a classe enllaçats amb el seu sentit intuïtiu. Observem com, a partir d’un raonament visual de base geomètrica, hem explorat territoris plens de possibilitats per a la formació matemàtica dels nostres alumnes.

Segon exemple: un problema de probabilitats A continuació es presenta un segon exemple (per a cursos més avançats que en el cas anterior) del valor instrumental de la visualització en educació matemàtica que entronca molt bé amb el comentari que fèiem sobre l’activitat de les monedes de Buffon en aquesta mateixa secció del número 37 del NouBiaix. Ens plantegem el problema següent: Quina és la probabilitat que, en escollir a l’atzar dos nombres entre 0 i 1, el primer sigui més gran que el quadrat del segon i el segon sigui més gran que el quadrat del primer? Es tracta d’un problema de probabilitats basat en una condició aritmètica que poden complir els nombres entre 0 i 1. D’entrada no sembla evident trobar una estratègia de resolució, però si ens imaginem que cada parella de nombres x i y escollits són les coordenades d’un punt (xy) interior del quadrat [0, 1] × [0, 1], es posa en marxa un enfocament visual molt prometedor. Es tracta de determinar la zona del quadrat unitat tal que y > x 2 i, alhora, x > y2 o el que en √ els reals positius és equivalent, y < x. En la imatge 6 es mostren les zones que compleixen √ respectivament les desigualtats y > x 2 (primera figura) i y < x (segona figura), i la zona dels punts que compleixen les dues desigualtats alhora (tercera figura). Plantejat així, és evident que la probabilitat que el problema ens demana és que el punt escollit a l’atzar dins del quadrat estigui en la zona compresa enmig de les dues corbes. Aquesta probabilitat es podrà calcular a partir de la relació entre l’àrea d’aquesta zona i l’àrea del quadrat, que 1 és 1. La part de quadrat per sota de la paràbola y = x 2 té àrea 13 del quadrat unitat, ja que 0 x 2 dx = 13 . Per √ simetria (vegeu la imatge 7), l’àrea de la part del quadrat per sobre de la paràbola y = x també serà 13 i, per tant, l’àrea de la zona compresa entre les dues paràboles serà de 13 del quadrat unitat. Així, la probabilitat que se’ns demana serà 13 . En la resolució del problema és clau el salt que s’ha fet al terreny de la geometria, ja que ens ha permès visualitzar la probabilitat com l’àrea d’una determinada zona del quadrat unitat. En general, la resolució d’inequacions amb dues incògnites sempre acaba amb la representació gràfica de la zona, de manera que la visualització és un pas obligat. Un aspecte especialment bonic d’aquest exemple és el fet que, a través d’un mètode geomètric amb un fort accent visual, hem resolt un problema de probabilitats basat en unes condicions aritmètiques. Una nova joia de connexions internes! El càlcul de probabilitats a partir de la mesura d’àrees està en la base de l’anomenada geometria integral, una part de les matemàtiques al desenvolupament de la qual va contribuir decisivament el matemàtic gironí Lluís A. Santaló. Ell mateix recorda unes paraules

16336 Nou Biaix 38, pàgina 104, 26/05/2016

juny 2016 107

de Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon, reivindicant el paper que pot jugar la geometria en el càlcul de probabilitats: «L’anàlisi ha estat l’únic instrument que fins avui s’ha utilitzat en la ciència de les probabilitats, com si la geometria no fos adient per a aquests fins, mentre que en realitat n’hi ha prou amb una mica d’atenció per observar que l’avantatge de l’anàlisi sobre la geometria és tan sols accidental, i que l’atzar és tan propi de la geometria com de l’anàlisi».1

Imatge 6. Zones de punts del pla que compleixen les desigualtats y>x 2 i y<

√

Imatge 7. Àrees de les tres zones del quadrat unitat.

1. «Essai d’Arithmétique Morale», dins del quart volum del Supplément à l’Histoire Naturelle, générale et particulière, avec la description du cabinet du Roi, París, 1777.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 105, 26/05/2016

108 noubiaix 38

En els paràgrafs anteriors s’han descrit dos exemples de com la visualització contribueix de manera decisiva, fent una aportació genuïna, a donar sentit a idees matemàtiques. N’hi ha molts més, però no podem acabar aquest escrit sense citar dos aspectes de l’educació matemàtica en què la visualització juga un paper clau: l’aportació de contextos i la representació i interpretació de dades. Les imatges (estàtiques o dinàmiques) ofereixen la possibilitat de portar «trossets de mona» la classe de matemàtiques. A través de fotografies i vídeos, fets amb càmeres o telèfons mòbils i penjats a Instagram, en webs de centres, en blogs... es pot fer emergir la presència de les matemàtiques al nostre entorn i la seva aplicació en àmbits diversos. Cal citar la bona feina que fan en aquest terreny els concursos de fotografia matemàtica (organitzats per associacions de professorat o per centres concrets) o de vídeos matemàtics (com el vídeoMAT) en els quals, a més de posar en joc continguts, es contribueix a educar la mirada matemàtica dels alumnes. Les eines de visualització també ens permeten presentar i entendre dades de diferents tipus. La construcció i la interpretació de representacions gràfiques diverses (més enllà dels gràfics funcionals i dels diagrames estadístics habituals) anirà esdevenint un contingut cada cop més important en l’ensenyament de les matemàtiques. El futur ciutadà haurà d’estar especialment preparat per a saber llegir críticament representacions visuals d’informacions quantitatives que li permetin tenir opinions sòlides i prendre decisions encertades. Amb massa freqüència apareixen en els mitjans de comunicació representacions incorrectes, a vegades greument errònies. Són petits «assassinats matemàtics» (emprant una expressió que l’amic Claudi Alsina ha consagrat) que haurien de merèixer més rebuig per part de l’opinió pública. Tanmateix — siguem justos— , també hi ha moltes representacions visuals de dades que estan fetes amb cura i que poden ser un excel.lent recurs per a les nostres aules. Voldria esmentar els magnífics gràfics que, número rere número, apareixen a la revista del National Geographic que reben molts centres docents. Aquestes representacions podrien ser un magnífic material de classe per a treballar (tot interpretant les informacions que presenten) idees sobre estadística i proporcionalitat de longituds i d’àrees. Seria una activitat motivadora pels temes que es tracten, interdisciplinària en els arguments que es posen en joc i eficaç per a educar l’art de llegir dades expressades gràficament. És un territori que esperem explorar de manera més àmplia en propers números del Nou Biaix. Amb aquest escrit s’han intentat mostrar dues cares de la visualització. Per un costat, s’ha subratllat el seu paper com a eina per a ensenyar matemàtiques (per a demostrar, per a donar sentit...), i per l’altre, s’ha assenyalat breument el fet que es tracta d’un contingut d’aprenentatge en si mateix (la representació i la interpretació d’informació visual). La visualització és, doncs, alhora, eina i contingut en educació matemàtica, instrument per a construir coneixement i material de construcció.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 106, 26/05/2016

juny 2016 juny 2016109 109

mmaca

el racó del mmaca

Fórmules inductives Josep Rey Nadal Manuel Udina Abelló Associació mmaca

En les exposicions del mmaca es presenten algunes fórmules inductives amb propostes que, tot i tenir l’aparença d’un trencaclosques més, ens ajuden a suggerir i entendre el paper de fórmules que, vistes sense cap manipulació activa, podrien semblar molt llunyanes. L’objectiu d’aquests mòduls no és tant que el visitant assimili la fórmula com fer-li viure una experiència d’aproximació a propietats numèriques amb suport geomètric.

1. Imparells i quadrats Aquest mòdul que permet anar formant els successius quadrats dels nombres naturals tot afegint els successius nombres senars ajuda a visualitzar aquesta propietat que lliga la representació geomètrica dels quadrats amb propietats aritmètiques. La suma d’imparells consecutius ens va donant els diferents quadrats. Això, que podríem veure-ho amb la fórmula de la suma dels n primers termes d’una progressió aritmètica 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n − 1) = (1 + 2n − 1) · n/2 = n2 , ho visualitzem amb un mòdul en què els nombres senars estan representats en forma de L, de manera que ens permet comprovar com passar d’un quadrat al següent, o, dit d’una altra manera, que la diferència de dos quadrats consecutius és un nombre senar. Aquest mòdul té molt poca dificultat de manipulació, però il.lustra prou bé (geomètricament) propietats numèriques bàsiques. Una altra observació que es pot fer amb aquest mòdul és «veure» geomètricament que els quadrats dels nombres imparells sempre seran de la forma 4 · k + 1. Si partim de la peça unitat i l’anem rodejant amb les successives «eles», obtindrem els nombres quadrats centrats (o, dit d’una altra manera, els successius quadrats dels nombres imparells), que ens permeten

16336 Nou Biaix 38, pàgina 107, 26/05/2016

110 noubiaix 38

«veure» geomètricament la propietat esmentada. També es podria deduir treballant amb l’expressió del quadrat d’un nombre imparell, (2n − 1)2 = 4(n2 − n)+ 1 = 4k +1, amb k = n2 − n. Una altra propietat aritmètica (implícita en l’anterior) que es pot il.lustrar amb aquest mòdul és que la suma de dos senars consecutius és múltiple de 4 (amb dues L consecutives es pot formar un quadrat).

2. Suma de nombres quadrats Podem representar els quadrats d’uns quants nombres consecutius (a partir de l’1) com una «piràmide graonada» de cubs unitat en la qual cada pis té tants cubets com el quadrat corresponent. Si pensem en la descomposició del cub en les tres piràmides formades cada una per un vèrtex i una de les tres cares oposades a aquest vèrtex, podem intentar reconstruir el cub amb les piràmides de cubets i veurem que no és possible fer un cub perfecte, perquè una cara queda a mitges. Però, si partim de 6 d’aquelles piràmides, ja podrem formar l’ortòedre d’arestes n, n+1, 2n+1 (tot ajuntant les dues cares irregulars de les dues configuracions). Per tant, podem escriure Sn (suma dels quadrats dels primers n nombres naturals) = 1/6n · (n + 1) · (2n + 1). L’interès d’aquest mòdul és que no és trivial dur a terme la construcció, i així es dóna temps al visitant per entendre d’una manera manipulativa el significat de la fórmula. Tot i que molts visitants no llegeixen amb cura el que es proposa, el repte de construir l’ortòedre dibuixat és potent, i, atès que no surt «a la primera», observem que hi ha molts visitants que s’hi entretenen (o demanen ajuda) i quan aconsegueixen el repte n’estan prou satisfets.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 108, 26/05/2016

juny 2016 111

Quan un visitant es bloqueja una mica intentant la construcció proposada, se li pot suggerir que, posant tres piràmides formant una L, es tracta de girar les dues dels extrems per completar la del mig. Si fossin piràmides no esgraonades ja tindríem el cub, però en haver-les «discretitzat» veurem com una de les cares queda migpartida. Fent un procés anàleg amb les altres tres podrem completar l’ortòedre. Una altra observació que podem fer amb aquest mòdul és: si posem quatre de les piràmides esgraonades formant una piràmide conjunta, obtenim la suma dels primers quadrats de nombres parells. Per tant, si anomenem SPn la suma dels quadrats dels n primers nombres parells, deduïm que SPn = 4 · 1/6n · (n + 1) · (2n + 1) = 2/3n · (n + 1) · (2n + 1). I a partir de la fórmula per a la suma dels quadrats parells en podem deduir una altra per a la suma dels quadrats dels n primers nombres senars, que denotem per SIn : SIn = 1/62n · (2n + 1) · (4n + 1) − 2/3n · (n + 1) · (2n + 1) = = 1/3(2n + 1) · [4n2 + n − 2n2 − 2n] = 1/3n · (2n + 1) · (2n − 1) = 1/3n · (4n2 − 1).

3. Suma de nombres triangulars És un mòdul similar a l’anterior, però té l’interès afegit de presentar dues disposicions simètriques (enantiomorfes) dels diferents pisos de nombres triangulars. Hi ha peces «dextrogires» i «levogires» i es pot comprovar que en la disposició de la solució s’aparellen convenientment. De fet, una de les maneres de solucionar el puzle és construir les tres peces que agrupen dues a dues peces simètriques i obtenir una mena de piràmides formades de manera que a cada pis hi ha un rectangle (doble d’un nombre triangular) i amb les tres configuracions obtingudes podem fer un procés anàleg al descrit en el mòdul anterior (posar-les en L i plegar-les cap al mig).

16336 Nou Biaix 38, pàgina 109, 26/05/2016

112 noubiaix 38

L’ortòedre que es construeix (de 5 × 6 × 7) es pot «obrir» en les tres direccions i en dos dels casos s’obtenen configuracions esgraonades simètriques.

4. Imparells i cubs És un mòdul diferent dels anteriors perquè, més que utilitzar la inducció, aprofita una propietat dels nombres senars, que, agrupats consecutivament de n en n, permeten «construir» els cubs successius. Els primers grups són {1}, {3, 5}, {7, 9, 11}, . . . Per exemple, a partir de peces de 13, 15, 17 i 19 cubs construïm el cub de 4 (la mitjana d’aquests nombres és 16 i és com si tinguéssim 4 setzes). Hem optat per fer els agrupaments de cada nombre amb formes irregulars perquè la resolució dels puzles sigui més entretinguda. Després 21, 23, 25, 27, i 29 permetrien formar el cub de 5, i així successivament. El cub de qualsevol nombre k es construiria amb k peces. També en aquest mòdul es visualitza geomètricament una propietat numèrica, i es pot considerar el paper que juga la mitjana dels nombres de cada grup, que correspon a un dels pisos del cub a formar.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 110, 26/05/2016

juny 2016 113

5. Quadrats i cubs Es tracta de comprovar la validesa de la fórmula (1 + 2 + 3 + · · · + n)2 = 13 + 23 + 33 + · · · + n3 tot desplaçant les peces que ens permeten passar d’una configuració a l’altra.

De fet, la «demostració» d’aquesta propietat equival a l’observació que els diferents pisos d’un cub format a partir dels quadrats d’un nombre seguint la pauta indicada corresponen als que poden ocupar la franja en forma de L que permet passar d’un n al següent. És d’interès observar la diferència entre els cubs dels nombres parells (cal partir un dels pisos) i els dels senars. Aquest és també un mòdul amb poca dificultat pràctica, però que il.lustra una propietat aritmètica una mica sorprenent.

6. Nombres hexagonals centrats I per acabar aquesta passejada per fórmules inductives numèriques amb el seu correlat geomètric volem citar el mòdul que tracta amb els nombres hexagonals centrats. Aquests nombres juguen amb els cubs consecutius un rol similar al que hem vist que fan els imparells amb els quadrats. En el moment d’escriure aquest article el mòdul encara està en preparació. Així com els nombres imparells es poden disposar en forma de L de braços iguals, els nombres hexagonals centrats es poden disposar en tres cares que concorren en un vèrtex d’un cub tal com es veu a la il.lustració següent:

16336 Nou Biaix 38, pàgina 111, 26/05/2016

114 noubiaix 38

HC1 = 1

HC2 = 7

HC3 = 19

I així com una L (nombre imparell) permet passar d’un nombre quadrat al següent, un nombre hexagonal centrat disposat d’aquesta manera permet passar d’un nombre cúbic al següent, tal com es veu a la il.lustració següent, en què es palesa que HC2 + 13 = 23 i que HC3 + 23 = 33 :

També es pot apreciar que, anàlogament al fet que la suma d’imparells consecutius a partir d’1 dóna un nombre quadrat, la suma d’hexagonals centrats consecutius a partir d’1 dóna un nombre cúbic. Una manera senzilla de representar amb material els nombres hexagonals centrats s’aconsegueix si es pot disposar d’una certa quantitat de llapis hexagonals. El primer nombre, l’1, es representaria amb un llapis; el segon, 7, contindria el llapis inicial i sis llapis més que el rodegen, i així successivament obtindrem els HC 1, 7, 19, 37, 61,... que, sumats, van donant els cubs successius: 1, 8, 27, 64, 125, ...

16336 Nou Biaix 38, pàgina 112, 26/05/2016

juny 2016 juny 2016115 115

creamat

el racó del cesire-creamat

Les matemàtiques en els projectes Fa molts anys que existeix una preocupació per l’excessiva separació a les aules entre els diferents àmbits de coneixement. La divisió d’aquest en matèries té avantatges organitzatius evidents per a la preparació d’activitats, l’organització horària, per tenir en consideració l’especialització del professorat o els seus interessos... Que el propi currículum estigui organitzat per assignatures i que la normativa sobre avaluació també imposi aquesta divisió conviden a continuar treballant així. Però sabem que els coneixements, en realitat i en la realitat, estan interrelacionats i que treballar-los d’una manera tan separada impedeix que els alumnes els connectin. Centres d’interès, treball globalitzat, interdisciplinari, integrat, transversal... són termes propers que, fins i tot, de vegades s’han utilitzat com a sinònims i dels quals fa dècades que en parlem. En l’educació infantil i primària, un sol mestre sol fer gran part de les matèries amb els seus alumnes. Això li permet reorganitzar més fàcilment els horaris i connectar matèries (encara que quedar-se només en «connectar» no sigui condició suficient per a parlar de treball interdisciplinari). El treball «per projectes» s’està generalitzant cada vegada més, tot deixant de ser una opció puntual d’orientació de l’activitat de l’aula per esdevenir un dels seus eixos vertebradors. Seria interessant, en algun moment, estudiar com s’ha anat estenent aquest model de treball: de l’educació infantil a la primària, d’un centre a un altre... En l’educació secundària, l’especialització del professorat té un pes molt determinant i, en la majoria de casos, la inclusió de treballs interdisciplinaris depèn sovint de l’opció didàctica personal del professor o, amb sort, del grup de professors d’un centre. L’enfocament s’ha acostumat a fer des de la mateixa àrea de matemàtiques i amb la idea central que s’han de treballar contextualitzades. Tenim exemples abundants d’aquest enfocament que van des del plantejament general de la programació del curs fins a la proposta de projectes concrets a realitzar en algun moment d’aquest. Però, per dissort nostra, aquest model no està tan estès com en la primària. A banda d’aquesta orientació cap al treball interdisciplinari des de l’àmbit de les matemàtiques, alguna cosa s’està removent en l’educació secundària, ja que cada vegada són més els centres que estan trencant «horaris» i «matèries» per posar al bell mig del seu projecte didàctic el treball transversalitzat. No entrarem en aquest article a defensar les bondats d’aquesta manera de treballar, ni que sigui només de forma puntual. Cauen pel seu propi pes. Tampoc no entrarem a parlar de les dificultats sobre la seva implantació i implementació. Ens les podem imaginar. L’orientació que li volem donar és la de posar sobre la taula algunes reflexions sobre el joc que poden fer les matemàtiques en aquests projectes, sobre com s’hi poden integrar.

16336 Nou Biaix 38, pàgina 113, 26/05/2016

116 noubiaix 38

En primer lloc, però, considerem important destacar una qüestió: no pensem que tot el currículum de matemàtiques es pugui recórrer a partir d’aquests tipus de projectes. Aquesta afirmació és diferent de dir que no es puguin treballar sempre a partir de contextos, especialment tenint en compte que el «pròpiament matemàtic» n’és un. Les matemàtiques tenen un llenguatge i unes eines pròpies als quals s’han de dedicar unes activitats, un temps i una metodologia específica per a propiciar-ne l’aprenentatge. No és una reflexió únicament adreçada a les matemàtiques. Les llengües també haurien de tenir també un tractament diferenciat. Ara sí, entrem en el capítol de les reflexions, tot i tenint en compte que la primera és la més evident. Les intentarem presentar diferenciades i de forma encadenada. •

Cal aprofitar els contextos per veure la funcionalitat de les matemàtiques, el seu caràcter instrumental. D’aquesta manera, donem sentit a aquesta faceta de la matemàtica. Quantificar, mesurar, calcular... a partir de les informacions que la situació ens proposa o per buscar informacions noves. També trobarem fàcilment temes relacionats amb proporcions, escales temporals, espacials... Segurament és la manera més usual d’integrar les matemàtiques en els projectes, tot i que...

•

...no cal posar les matemàtiques en un projecte perquè «toquen». Si la integració és forçada, millor obviar-la. Especialment perquè tampoc no es tracta d’aprofitar el projecte només per a repetir i repetir coses que els alumnes ja saben o per a ampliar la col.lecció de problemes clàssics «d’aplicació». Ens continua interessant més produir que reproduir, dit en els termes que sovint utilitza el PuntMat (http://puntmat.blogspot.com.es). Perquè, en els projectes, el que hauríem de fer és...

•

...procurar que hi hagi aprenentatges nous. Totes les àrees que hi participin, que s’hi incorporin, haurien de preveure línies de progrés sobre el que ja és conegut. En aquest sentit, cal posar-hi imaginació i...

•

...diversificar les tasques i els continguts. Per exemple, incorporant més la geometria, la probabilitat i l’estadística treballada de forma complexa i completa (vegeu la taula 1). O, també, aprofitar el context per a proposar problemes més oberts, sense les dades totalment definides, amb més d’una resposta. O tenir en compte que la classificació inclou molts aspectes matemàtics. O treballar qüestions relacionades amb les estimacions (de càlcul, de quantitats, de mesures...). Sense oblidar que...

•

...els processos (resolució de problemes, raonament i prova, representació i comunicació, connexions internes i externes) són també continguts matemàtics que poden sortir fàcilment en el desenvolupament del projecte, tot aprofitant el context per a utilitzar-los i aprendre’ls. Només cal estar atents que estiguem treballant comunicació matemàtica, connexió matemàtica, etc. El fet que l’eix central dels projectes vingui marcat habitualment per l’àmbit de les ciències naturals o les socials, amb processos propis però no sempre del tot llunyans, no ha d’emmascarar els matemàtics. Sobretot perquè...

•

...les matemàtiques també haurien de ser l’eix central d’alguns projectes. Les preguntes inicials, les fites a obtenir, els propòsits a concretar, no sempre tenen per què estar «al servei de...». Mirant els vídeos del recull històric del vídeoMAT podreu veure molts exemples de projectes en què les matemàtiques són el nucli. I, a banda d’aquestes reflexions, ens agradaria afegir una idea més...

16336 Nou Biaix 38, pàgina 114, 26/05/2016

juny 2016 117

•

...si incorporem l’ús d’eines digitals (scracht, fulls de càlcul, GeoGebra...), el camp d’integració de les matemàtiques se’ns amplia. Fase

Consideracions

Partir d’una pregunta amb sentit

Ha d’implicar dades mesurables

Preparar i fer una enquesta, si cal

Las preguntes han de ser pertinents

Recollir/buscar dades

Importància de la mostra. Fiabilitat de les dades

Representar-les

Fer taules. Triar bé el tipus de gràfic

Interpretar les dades

Mitjana? Mediana? Moda? Rang?, tc.

Contestar la pregunta

Treure conclusions. Idees de millora Taula 1. Treball estadístic.

Algunes idees com a exemple En les reflexions anteriors hem proposat diversificar les activitats matemàtiques. Lligat a la diversificació, també hem demanat intentar fer un esforç imaginatiu per anar més enllà de les «primeres idees que ens vinguin al cap». En mostrem algunes a tall d’exemple. Si estem tractant temes com l’alimentació, el consum..., el treball sobre etiquetes pot ser molt ric. Estan plenes d’informacions numèriques que s’han d’interpretar i situar (què significa cada dada, quines són les unitats, les proporcions, les mesures «saludables», com funcionen els codis de barres...). Podem trobar un exemple d’activitat per a primària, fàcilment adaptable a secundària, explicada per Jaume Venegas (http://goo.gl/iNm0bf), que se centra en el treball comparatiu de productes estàndard i light d’una mateixa marca. A la taula següent podem veure la comparació feta amb tres tipus de Coca-Cola. Només la seva observació ja ens porta a noves preguntes: és veritat que la light no té calories? Quina és la diferència entre la zero i la light?, etc. Coca-Cola

Normal

Light

Zero

Valor energètic

42 kcal

0,2 kcal

Sucres

10,6 g

Sal

0,02 g

En el context d’un projecte, la curiositat dels alumnes, la necessitat de donar respostes, ens pot portar, sobretot a primària, a treballar amb tipus de nombres i grandàries de quantitats que van més enllà delsque sovint s’acostumen a treballar per l’edat. En comptes de posar límits, és una magnífica oportunitat per entrar en aquests temes. L’únic que hem de procurar és que aquests nombres i les quantitats associades tinguin un cert sentit. Hem d’ajudar a visualitzar-les d’alguna manera en comptes de passar-hi superficialment. Per exemple, treballant amb dades a gran escala, els milions apareixen sovint. Però, com de gran és un milió? Podem fabricar un model físic del milió, per exemple amb grans d’arròs, i sense

16336 Nou Biaix 38, pàgina 115, 26/05/2016

118 noubiaix 38

comptar-los un per un? Seria factible? I si cada gra representa cent unitats? I si fem estimacions de quant trigaríem a comptar un milió en veu alta o l’espai que ocuparia escriure tots els nombres de l’u al milió? Si el tema està relacionat amb l’agricultura, podem explorar les formes dels camps. Actualment es poden trobar conreus, habitualment de gran superfície, circulars. A Catalunya en tenim, per exemple, a La Noguera o al Segrià. Només d’observar aquesta imatge extreta del GoogleMaps (Santa Maria de Gimenells) rebem una impressió de Sangakoo «natural». Podem aprofitar les eines de mesura de GoogleMaps per a realitzar activitats o inserir-les en GeoGebra. El darrer exemple el proposem referit al treball amb fòssils, tot i que es pot adaptar al treball sobre cargols. Aquí tenim la imatge d’un fòssil trencat. Més enllà del que ens diu l’experiència, com podem reforçar la idea de que representa una espiral? Hi ha més d’un tipus d’espirals? Com són? Com les podem dibuixar?

C CE = 3.39

EF = 1.61 FG = 0.8 IJ = 0.72 KD = 2.41

HI = 0.77 JK = 1.59 CD = 12.5

16336 Nou Biaix 38, pàgina 116, 26/05/2016