BSCM, 40 1-2

BUTLLETÍ

DE LA SOCIETAT CATALANA DE MATEMÀTIQUES

Institut d’Estudis Catalans

Volum 40 • Número 1-2 • 2025-2026

BARCELONA

© dels autors dels articles

Editat per la Societat Catalana de Matemàtiques filial de l’Institut d’Estudis Catalans

Carrer del Carme, 47

08001 Barcelona

Text original revisat lingüísticament per la Unitat d’Edició del Servei Editorial de l’IEC

Compost per Rosa M. Rodríguez

Imprès a Ediciones Gráficas Rey, SL

ISSN (ed. impresa): 0214-316-X

ISSN (ed. electrònica): 2013-9829

Dipòsit Legal: B 19272-1987

Els continguts del butlletí de la societat catalana de matemàtiques estan subjectes —llevat que s’indiqui el contrari en el text o en el material gràfic— a una llicència Reconeixement - No comercial - Sense obra derivada 4.0 Internacional (by-nc-nd) de Creative Commons, el text complet de la qual es pot consultar a https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ca. Així doncs, s’autoritza el públic en general a reproduir, distribuir i comunicar l’obra sempre que se’n reconegui l’autoria i l’entitat que la publica i no se’n faci un ús comercial ni cap obra derivada

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.40,núm.1-2,2025–2026

Índex

AriadnaFarrésiÀngelJorba

Missionsespacials,velessolarsisistemesdinàmics................................5

DeliaGarijoiRodrigoI.Silveira

Problemesdedistànciesengrafscontinus.........................................43

JavierJ.Gutiérrez

Estructureshomotòpiquesd’ordresuperior: opèradesd’ordreinfiniticonjuntsdendroidals...................................69

JaumedeHaro

Al’ombrad’Einstein:històriairelecturadelarelativitatgeneral...............105

MartaSanz-Solé

Elroluniversaldel’equacióKPZ..................................................143

Englishsummaries.....................................................................171

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.40,núm.1-2,2025–2026.Pàg.5–42. DOI:10.2436/20.2002.01.118

Missionsespacials,velessolarsisistemesdinàmics AriadnaFarrésiÀngelJorba

Resum: Unavelasolarésunmètodedepropulsióperanausespacialsqueconsisteix enunagransuperfíciecompostaperunaodiverseslàminesreflectoresmoltlleugeres, capacesd’aprofitarlapressiólumínicadelaradiaciósolarperobtenirimpuls.Toti quelaforçaaixíobtingudaéspetita,lasevaaccióacumuladaeneltempspotsermolt gran.Enaquestarticlemostraremcoms’usenelssistemesdinàmicsperal’estudide missionsambvelessolars.

Paraulesclau: varietatsinvariants,velessolars,puntsd’equilibri,òrbitesperiòdiques, control.

ClassificacióMSC2020: 37J15,65P30,70F07.

1Introducció

Unavelasolarésunconcepterevolucionariperpropulsarunanauespaciala travésdel’espaisensenecessitatd’expulsarmassapropulsora,comseriael casdelsmotorsclàssics,queusenpropulsióquímica.Laideaésdotarunanau espacialambunavelasolar(ésadir,unasuperfíciegran,lleugeraialtament reflectant)perquèl’impacteilareflexiódelsfotonsemesospelSolprodueixin impulsil’accelerin.L’acceleracióques’obtéambunavelasolaréscomparable alad’unmotordepropulsióiònica—untipusdemotorqueacceleraionsi elsexpulsaagranvelocitatpergenerarempentademaneramolteficient—, ambladiferènciaque,enelcasdelavelasolar,ladirecciódel’acceleracióestà restringidaperladirecciódelaradiaciósolar.

EscreuqueJohannesKeplervaserelprimeraimaginarlaidead’unavela solar,quanvaobservarquelacuad’uncometaapuntavallunydelSoliva suggerirqueelSoleralacausad’aquestefecte.Enaquellmomentnotenia Notadelcomitèeditorial:Malauradament,l’ÀngelJorbavatraspassardurantl’elaboraciód’aquest article.Amblasevapublicació,volemcontribuiralrecorddelseugrantalentmatemàticidela sevabonhomia.

AriadnaFarrésiÀngelJorba

capmaneradedemostrarlasevahipòtesi,queeracorrecta.Tanmateix,enuna cartaaGalileul’any1608,vaescriure:«Proporcioneuvaixellsovelesadaptades alesbrisescelestials,ihihauràquis’enfrontaràfinsitotaaquestbuit», suggerintquealgundiaelshumansnavegarienperl’espai.LaideadeKepler noesconfirmariacomaviablefinsal1865,quanMaxwellvademostrarque lallumésunaonaelectromagnèticacapaçdetransportarenergiaiimpuls,i d’exercirpressiósobrealtresobjectes.

Lapressióderadiaciósolaréslaforçacausadaperl’intercanvid’impuls entreelsfotonsemesospelSolilasuperfíciedelanau.Elsfotonsincidents seranabsorbitsoreflectitsperlasuperfíciedelanau,onlestaxesd’absorciói reflexiódepenendelespropietatsfísiquesdelsmaterialsdelasevasuperfície. Pertant,l’acceleraciódegudaalapressióderadiaciósolarvariadepenentde lamidaiformadelanau,elsmaterialsdelasuperfícieilasevaorientació respectealalíniaSol-nauespacial.Totiserpetitaencomparacióamb l’atracciógravitatòriadelSolilaTerra,és,demitjana,almenysdosordresde magnitudmésgranquelapertorbaciógravitatòriad’altresplanetesalvoltant delsistemaTerra-Llunaitéunpaperrellevantenladinàmicad’unanauespacial. Laideadarrereelconcepted’unavelasolarésaprofitar-nosd’aquestaforça pertaldepropulsarunanausenselanecessitatdecombustible.

L’acceleracióqueprodueixunavelasolaréspetitaencomparacióamb lad’unsistemaclàssicdepropulsióquímica,peròlapressiódelaradiació solarésconstantiil.limitada,laqualcosalipermetassolirgransvelocitats allargtermini.Depenentdel’orientaciódelavela,laforçadegudaalallum solarpotaugmentarodisminuirlavelocitatorbitaldelanau.Aladècada de1970,laNationalAeronauticsandSpaceAdministration(NASA)vafinançar unestudipreliminarperdissenyarunavelasolarpertrobar-seambelcometa Halley.Laideaerautilitzarlavelasolar,primerperdisminuirlavelocitatde lanauimoure’senespiralcapalSol,perdesprés,quanestiguésprouaprop delSol,canviarl’orientaciódelavelaipermetrequelallumsolartransferís enormesquantitatsd’impulsalavela,ienviar-ladecamíatrobar-seamb elcometa.Malauradament,elrepted’empaquetaridesplegarunaestructura tangranal’espaivaacabarsuposantlacancel.laciódelamissió.

Novaserfinsal2010quevamveurelaprimeravelasolardesplegar-se ambèxitamblanauespacialIKAROS(InterplanetaryKite-craftAcceleratedby RadiationoftheSun),construïdaillançadaperl’Agènciad’ExploracióAeroespacialJaponesa(JAXA).LasondaIKAROSvaserdissenyadaperdemostrar quatretecnologiesclau:(1)desplegaricontrolarunamembranadevelasolar graniprima;(2)integrarcèl lulessolarsdepel lículaprimaperalimentarla càrregaútil;(3)mesurarl’acceleraciódegudaalapressiódelaradiaciósolar,i (4)controlarl’orientaciódelavelacanviantlareflectivitatdelspetitspanells solarsadheritsalavela.Lavelad’IKAROSconsistiaenunamembranaquadrada depoliimidaambunaàreaaproximadade200 m2 (14 m × 14 m),ungruixde l’ordredemicròmetresiunrecobrimentreflectantdissenyatpermaximitzarla pressióderadiaciósolar[33, 34].Unsmesosméstard,laNASAvadesplegar ambèxitlasevaprimeravelasolar,NanoSail-D,quevapassarmésde240dies

al’espai«navegant»alvoltantdelaTerra.Eldissenyd’aquestavelavaser completamentdiferentdeld’IKAROS;laveladeNanoSail-Desvaplegardins d’unCubeSat3U(unCubeSat3Uésunsatèl.litambformadeparal.lelepípede dedimensions10 × 10 × 30 cm3)ambunamassade4 kg iunasuperfíciede velade10 m2 aproximadament[18, 35].Totitenirunaàreadevelamoltmés petitaqueIKAROS,NanoSail-Dassolíunaacceleraciógairebéquatrevegades superior,acausadelasevarelaciómassa-àreasignificativamentmenor.Els materialsutilitzatsenlesvelessolarssónhabitualmentpel lículesdeKaptono Mylaraluminitzades,materialsquetambés’emprencomaaïllantstèrmicsen nausespacials[22].

Finsaladata,hihahagutdosdesplegamentsmésdevelessolarsambèxit, LightSail-1iLightSail-2,ambdósfinançatsperThePlanetarySociety.1 Aquestes duesvelessolarstambéesvanplegarenunCubeSat3U,ivanserllançadesa unaòrbitabaixaalvoltantdelaTerra.L’objectiuprincipaldeLightSail-1era desplegarambèxitlavelasolar,iLightSail-2vaaconseguirutilitzarlallum solarpercanviarlamidadelasevaòrbitaalvoltantdelaTerra[31].Actualment s’estanestudiantidesenvolupantdiversespropostesdemissionsambveles solars,tantenl’àmbitcientíficcomtecnològic,ambl’objectiud’explorarel potenciald’aquestatecnologiaperamissionsdellargaduradaiperal’estudi delSol.

2Lavelasolar

Unavelasolarésunasuperfíciegranialtamentreflectant,on,pertalde maximitzar-nel’empenta,lamassadelanauhadeserpetita.L’acceleració produïdaperl’intercanvidelaquantitatdemovimententreelsfotonsemesos pelSolilasuperfíciedelaveladependràdelmaterialdelavela,lasevaàrea ilamassadelanau.Elsfotonsincidentsseranabsorbitsoreflectitsperla superfíciedelavela,onlestaxesd’absorcióireflexiódepenendelespropietats dereflectivitatdelmaterial.

Unaprimeraaproximaciópermodelaraquestaacceleracióéssuposarquela velaésunasuperfíciecompletamentplanaiperfectamentreflectant,onlaforça produïdaperlapressióderadiaciósolarésperpendicularalasuperfíciedela velaiquedadefinidaperlasevaorientació(figura1dreta).Peraunavelasolar onl’àreadelasuperfícieés Avela ilamassadelanaués mnau,l’acceleracióve donadaper:

⃗ avela = 2 PprsAvela mnau ⟨⃗ rs , ⃗ n⟩2 ⃗ n, on ⃗ n ésunvectorunitarinormalalasuperfíciedelavela, ⃗ rs ésladireccióSolvela,i Pprs = P0(R0/Rs )2 éslapressióderadiaciósolaraunadistància Rs del Sol.Si R0 = 1UA(1UAésunaunitatastronòmica,equivalenta149597871 km, ladistànciamitjanaentrelaTerraielSol),llavors P0 = 4.563 × 10 6 N/m2 .

1 https://www.planetary.org/sci-tech/lightsail

AriadnaFarrésiÀngelJorba

Figura 1: Esquerra:forçaproduïdaperl’intercanvidemomentsentreels fotonsdelSolilasuperfíciedelavela.Dreta:representaciódelsangles quedefineixenl’orientaciódelavela(α,δ).(Font:elaboraciópròpia.)

2.1Nombredelleugeresa

Comquelapressióderadiacióésinversamentproporcionalalquadratdela distànciaalSol,éshabitualreescriureelterme2 PprsAvela mnau comunacorrecció del’atracciógravitatòriadelSol: βGmsol/R2 s ,on β corresponal nombrede lleugeresa delavelairepresentalasevaeficiència.Seguint[22],podemveure que β = σ ∗/σ ,on σ ∗ = 2P0R2 0 /Gmsol = 1 53 g/m2 (amb G laconstantgravitatòriauniversali msol lamassadelSol)i σ = mnau/Avela larelaciómassa-àrea delavelasolar.Aleshores,elparàmetre β espotveurecomlarelacióentre l’acceleraciópropulsoramàximageneradaperlavelaaunadistànciaheliocèntricadeterminadail’atracciógravitatòrialocaldelSol.Usantelnombrede lleugeresa β,l’acceleraciód’unavelasolarés:

Unaltreparàmetreinteressantperdescriurel’eficiènciadelavelaésl’acceleraciócaracterística(a0),querepresental’acceleracióexperimentadaperla naua1UAquanlavelaestàorientadaperpendicularmentalalíniaSol-vela. L’acceleraciócaracterísticaielnombredelleugeresadelavelaestanrelacionats per: a0 = βGmsol/R2 0

Lataula1ensmostralarelacióentreelsparàmetresdelavelaperadiferentsconfiguracionsdevelessolars.Elsparàmetresrepresentatssón:l’àreade velaaproximada(Avela),lamassadelanauespacial(mnau),elnombredelleugeresa(β)il’acceleraciócaracterística(a0).Lesprimeresmissionsdedemostració develessolarsLightSail-2vanaconseguirunnombredelleugeresadevela de β ≈ 0 01.

Missió Avela [m2] mnau [kg] a0 [mm/s2] β Estat

IKAROS 196m2 315kg 0.006mm/s2 0.00095 Llançadael2010

NanoSail-D 10m2 4kg 0.023mm/s2 0.00383 Llançadael2010

LightSail1 32m2 4 5kg 0 065mm/s2 0 01088 Llançadael2015

LightSail2 32m2 4 5kg 0 065mm/s2 0 01088 Llançadael2019

NEA-Scout 85m2 14kg 0 055mm/s2 0 00929 Llançadael2022

Taula 1: Valorsdelarelacióàrea-massa,l’acceleraciócaracterísticaiel nombredelleugeresadelavelaperadiferentsmissionsdevelasolar.

2.2Orientaciódelavela

L’orientaciódelavelasolarvedefinidaperladirecciónormalalasuperfície delavela,donadapelvectorunitari ⃗ n,queestàparametritzatperdosangles: l’angledelSol(α)il’angledelrellotgedelSol(δ),quemesurenladiferència entre ⃗ n i ⃗ rs .Ladirecciónormalalavelasolar ⃗ n s’expressacoma: ⃗ n = cos α ⃗ rs + sin α cos δ ⃗ p + sin α sin δ ⃗ q,on {⃗ rs , ⃗ p, ⃗ q} ésunsistemadereferènciaortonormal centratalcentredemassadelavela, ⃗ rs ésladireccióSol-vela, ⃗ p ésunvector unitarinormalalplaorbitali ⃗ q = ⃗ p × ⃗ rs .

Utilitzantaquestsistemadereferència,l’angledelSol α corresponal’angle entre ⃗ n i ⃗ rs ,il’angledelrellotge δ ésl’angleentre ⃗ q ilaprojeccióde ⃗ n enun plaortogonala ⃗ rs .Lafigura1(dreta)mostraunarepresentacióesquemàticade ladefiniciód’aquestsdosanglesdevela.L’acceleraciódelavelanopotapuntar capalSol,i,pertant,tenimque α ∈ [ 90, 90] grausi δ ∈ [0, 90] graus.

2.3Velanoperfectamentreflectant

Enalgunscasosvoldremincorporarmodelsunamicamésrealistesperrepresentarl’acceleraciódegudaalavelasolar.Hihadosefectesrellevantsque hauríemdeconsiderar;perunabanda,elfetquelavelanoseràperfectament plana,i,peraltrabanda,queelmaterialdelavelanoseràperfectamentreflectant.Elcasdeladeformaciódelasuperfíciedelavelaquedaforadelnostre estudi,jaquenoespotmodelarambexpressionstancades.Quèpassasila velanoésperfectamentreflectant?Enaquestcas,hihatresefectesdel’impacte delallumdelSolquehemdetenirencompte:l’absorció,lareflexióespeculari lareflexiódifusa[36],onlesràtiosd’absorció(ρa),reflexióespecular(ρs )ireflexiódifusa(ρd)depenendelmaterialdelavela,peròsatisfan ρa + ρs + ρd = 1.

Laforçadonadaperl’absorciódelsfotonsés ⃗ Fa = PprsAvela|⟨⃗ rs , ⃗ n⟩|⃗ rs ,la forçadonadaperlareflexióespecularés ⃗ Fs =−2PprsAvela|⟨⃗ rs , ⃗ n⟩|2 ⃗ n ilaforça donadaperlareflexiódifusaés ⃗ Fd = PprsAvela|⟨⃗ rs , ⃗ n⟩| rs 2 3 ⃗ n .Sumantaquests tresefectes, ⃗ Fa + ⃗ Fs + ⃗ Fd,i,dividintperlamassadelavela,tenimque:

⃗ avela = 2PprsAvela msat |⟨⃗ rs , ⃗ n⟩| 1 2 (1 ρs )⃗ rs ρs ⟨⃗ rs , ⃗ n⟩+ ρd 3 ⃗ n .

AriadnaFarrésiÀngelJorba

Elmaterialdelesvelessónpel lículesKaptoniMylaraluminitzades,quesón primes,fortesialtamentreflectants;pertant,generalment,lessevespropietats reflexivessatisfan ρs ≈ 1i ρa, ρd ≪ 1.

3Elproblemarestringitdetrescossos

Elproblemaméssenzilldelamecànicacelesteéselproblemadelsdoscossos iconsisteixaestudiarelsmovimentsdeduesmassespuntualssotmesesala sevaatracciógravitacionalmútua.Ésbenconegutqueaquestproblemaespot resoldreperquadraturesiquelessevessolucionssónseccionscòniques[26]. Quanhihamésdedoscossosinvolucrats,elproblemajanoespotresoldre perquadratures,iéssabutdesdefamésd’unseglequenoexisteixunasolució globalexplícitadelproblemadetrescossos[24].

Unproblemaméscomplicatqueelproblemadedoscossosperòméssenzill queeldetrescossosésl’anomenat problemarestringitdetrescossos (PRTC). Aquestésunproblemadetrescossosenquèsesuposaqueunadelesmasses éstanpetitaqueelseuefectesobrelesaltresduesésnegligible.Unexemple podriaserunsatèl.litartificialmovent-seenelsistemaTerra-Lluna.Calnotar que,sotaaquestescondicions,lesduesmassesgrans(anomenadestambé cossosprimaris)esmouencomenunproblemadedoscossos,jaquela terceramassa(anomenada cossecundari)nolesafecta.L’únicaincògnitaés llavorselmovimentdelaterceramassa,il’estudid’aquestmovimentésel ques’anomena PRTC.Unaversióparticulard’aquestproblemaésquanles duesmassesesmouenenòrbitescirculars,is’anomena problemarestringit circulardetrescossos (PRCTC),queéslasituacióconsideradaaquí.Totilaseva simplicitatcomparatambelproblemageneraldetrescossos,elPRCTCtampoc nopotserresoltperquadratures.

PerdescriureelPCRTCs’usencoordenadescartesianesgiratòries(anomenades coordenadessinòdiques)amborigenenelcentredemassesdelsdos cossos.L’eix x vedefinitperlarectaqueuneixelsdosprimaris(iorientatdel cospetitalcosgran),l’eix z ésperpendicularalplademovimentdelsdos primaris(iorientatsegonsladirecciódelmomentangular)il’eix y esdefineix pertenirunsistemadereferènciaortogonaliorientatpositivament.Launitat dedistànciaésladistànciaentreelsprimaris,launitatdemassaéslamassa totaldelsistemailaunitatdetempss’esculldemaneraqueelperíodede revoluciódelsprimarissigui2π .Ambaquestatria,laconstantdegravitació universalesdevé1.Llavors,elprimaripetittémassa µ iésa (µ 1, 0, 0),ielde massamésgran(1 µ)ésa (µ, 0, 0).Sotaaquestescondicions,lesequacions delmovimentespodenescriurecoma

distànciadelsecundarialprimarimésgrani r2 = (x µ + 1)2 + y 2 + z2 és ladistànciadelsecundarialprimaripetit.

Finalment,sidefinimelsmomentscoma px = x y, py = y + x i pz = z, lesequacionsdemovimentespodenposarenformahamiltoniana,onlafunció deHamiltonés:

Ésadir,sidefinim q = (x,y,z) i p = (px ,py ,pz),lesequacionsdemoviment són

Al’apèndixAtrobareuunapetitaintroduccióalamecànicahamiltoniana.

Desdelstreballsd’EuleriLagrangesesapque,encoordenadessinòdiques, elPRCTCtécincpuntsd’equilibri:tresd’aquestspuntsestrobensobrel’eix queuneixelsprimarisis’anomenen puntscolineals o L1,2,3,onladistància entreaquestspuntsielsprimarisdepèndelvalorde µ.Elsaltresdosformen untriangleequilàterambelsprimarisis’anomenen puntstriangulars o L4,5, talcomesmostraalafigura2.Enunsistemadereferènciainercial,aquests puntsgirensolidàriamentamblesmasses,imantenenlaconfiguraciódela figura2.Elspuntscolinealssóninestables,mentrequeelspuntstriangulars sónlinealmentestablessi µ ésmenorquel’anomenada massadeRouth, µR = 1 2 (1 23/27) = 0.03852 ... AquestéselcasTerra-Lluna,idelSolamb qualsevolplanetadelsistemasolar.PeramésdetallssobreelPRCTC,podeu consultarlesreferències[32,23].

Figura 2: ElscincpuntsdeLagrangedelPRCTCperalcasTerra-Sol. (Font:elaboraciópròpia.)

Uncopdescritselspuntsd’equilibri,elssegüentsobjectesdinàmicamentinteressantssónlesòrbitesperiòdiques.Lesòrbitesperiòdiquessóntrajectòries queesrepeteixencadacerttemps,anomenat període.Lasevaimportànciaen l’estudidelsproblemesde n cossosésbenconegudadesdelstreballspioners d’HenriPoincaré,quevaescriure:«D’ailleurs,cequinousrendcessolutions

AriadnaFarrésiÀngelJorba

périodiquessiprécieuses,c’estqu’ellessont,pourainsidire,laseulebrèche paroùnouspuissionsessayerdepénétrerdansuneplacejusqu’iciréputée inabordable»[25].Totiquehihaunaextensíssimaliteraturasobreòrbites periòdiques,nosaltresenslimitaremacomentaracontinuacióunesfamílies d’òrbitesperiòdiquesdelPRCTCquetenenunagranimportànciaperamissions espacials:lesòrbitesHalo.

LesòrbitesHalosónunessolucionsperiòdiquesdelPRCTCqueestroben alvoltantdelspuntscolineals L1,2,3.Perexplicar-les,parlemunamicamés delspuntscolineals.Silinealitzemlesequacionsenaquestspunts,elsistema linealobtingutésdeltipus sella × centre × centre.Lasellaielprimercentre estancontingutsenelplahoritzontal(z = z = 0).Elteoremadelcentrede Liapunov([23])diuque,sotahipòtesismoltgenerals(quesesatisfana L1,2,3), cadacentredelalinealitzaciódelesequacionsesdevéunafamíliauniparamètricad’òrbitesperiòdiquesenconsiderarelsistemanolinealcomplet.Aquestes famíliess’anomenen famíliesdeLiapunov,otambé òrbitesdeLiapunov.Una d’aquestesfamíliesestàcontingudaenelplahoritzontal (x,y),mentreque l’altraneixortogonalaaquestpla.Lafamíliahoritzontalexperimentaauna certadistànciadelpuntunabifurcació(d’untipusanomenat pitchfork),que donallocaunanovafamíliad’òrbitesforadelpla (x,y),lesòrbitesHalo.

projecció yz

Figura 3: ÒrbitaHalodelsistemaTerra-SolvistadesdelaTerra.(Font: elaboraciópròpia.)

Lafigura3mostralaprojecció (y,z) d’unaòrbitaHalodelsistemaTerra-Sol alvoltantdelpunt L1.Laprojecció (y,z) éslaqueesveuriasimiremcapal SoldesdelaTerra.Eldiscsolarestariasituatalcentredelafigura,mentreque l’òrbitaHalosembladonar-hivoltes(d’aquíelnomd’òrbitaHalo).Aquestes òrbitessónllocsidealspersituarmissionsd’estudidelSol,jaque,perunabanda,elSolsempreésvisiblei,perl’altra,permetenunacomunicaciópermanent

amblaTerra.Noteuque,si,perexemple,situemelsatèl litexactamentenel punt L1,desdelaTerraelveuremalmigdeldiscsolar,pertant,unaantenaque apuntésalsatèl.littambéapuntariaalSol,ilaradiaciósolarpodriaemmascarar elsenyalidificultarlescomunicacions.LesòrbitesHaloesvanutilitzarperprimercopl’any1978enlamissió InternationalSun-EarthExplorer-3(ISEE-3) i,méstard,l’any1996,enlamissióconjuntaNASA/ESA SolarandHeliospheric Observatory(SOHO),ontantelcàlculdel’òrbitafinaldelsatèl.litcomlatransferènciadesdelaTerravanferúsd’einesdesenvolupadespelGrupdeSistemes DinàmicsdeBarcelona,sotaladirecciódeCarlesSimó[13, 14, 11, 12].Finsal diad’avui,diversesmissionshanutilitzataquestesòrbitescomadestí,com perexempleelJamesWebbSpaceTelescope(JWST).Altressatèl litsitelescopis queorbitenalvoltantdelspuntsdeLagrangeinclouenGAIA,ACE,WIND,Euclid iHerschel&Planck,entred’altres.

3.1AugmentemelPRCTCambunavelasolar

ElPRCTCésunproblemamoltestudiatenmecànicaceleste,is’usacoma baseenmoltsestudisdemissionsespacialsalspuntsdeLagrange,que,com jahemdit,ofereixenunalocalitzacióprivilegiadaperobservarelSol(L1)o l’univers(L2).Unproblemainteressantésinvestigarquintipusdemissionssón possiblesambunavelasolarenelsistemaSol-Terra,i,pertant,elprimerpas ésentendrecomafectaunavelasolarladinàmicajaconegudadelPRCTC. Comamodeldinàmic,usemelPRCTCagafantelSolilaTerracomaprimaris iafegintlapressióderadiaciósolardegudaaunavelaperfectamentreflectant, talcompodemobservaralafigura4.L’acceleraciódegudaalavelasolarve donadaperl’equació(1),ilesequacionsdelmovimentsón

(4) on ⃗ rs = (x µ,y,z)/r1 ésladireccióSol-velai ⃗ n = (nx ,ny ,nz) éselvector normalalasuperfíciedelavela,queespotexpressarcoma:

nx = x µ r1 cos α (x µ)z rxy r1 sin α cos δ + y rxy sin α sin δ,

ny = y r1 cos α yz rxy r1 sin α cos δ + x µ rxy sin α sin δ,

nz = z r1 cos α + rxy r1 sin α cos δ, (5)

AriadnaFarrésiÀngelJorba

on α esl’angledelSoli δ l’angledelrellotgedelSoldefinitsalasecció2.2,i rxy = (x µ)2 + y 2 .

Figura 4: Conjuntdeforcesenelproblemarestringitdetrescossos ambvelasolar.(Font:elaboraciópròpia.)

Comjahemcomentatabans,elPRCTCtécincpuntsd’equilibri(Li, i = 1,..., 5).QuanlavelaésperpendicularalalíniaSol-vela(α = 0),elsistema tambétécincpuntsd’equilibri SL1,...,SL5,totsellslleugeramentdesplaçats capalSolrespectea L1,...,L5 iamblamateixaestabilitatqueelsseusgermans delPRCTC.Observemque,enaquestcas,essencialmentestemcanviantla magnituddelaforçad’atracciódelSol,peròmantenintlaforçacentrífugade larotacióalvoltantdelSol.

Quancanvieml’orientaciódelavela(α ≠ 0i/o δ ≠ 0),podemdesplaçar artificialmentelspuntsd’equilibri.Perexemple,siprenem δ = π/2ivariem α (nz = 0alpla z = 0),desplacemelspuntsd’equilibricapauncostatol’altrede lalíniaSol-vela,dinsdelpladel’eclíptica(aquí z = 0);encanvi,siprenem δ = 0 ivariem α (ny = 0alpla y = 0),desplacemelspuntsd’equilibripersobre opersotadelpladel’eclíptica.Prenentqualsevolaltrevalorfixde δ = δ∗ i variant α,desplacemelspuntsd’equilibrialllargd’unplainclinatqueconté Li i SLi [7].

Lafigura5mostralafamíliadepuntsd’equilibrienelpla z = 0(esquerra, pera α ∈ [ π/2,π/2] i δ = π/2)ielpla y = 0(dreta,pera α ∈ [ π/2,π/2] i δ = 0)pera β = 0 01,0 02,0 03,0 04i0 05.Podemobservarque,amesura que β augmenta,lessuperfícies2Ddepuntsd’equilibriaugmenten.Enel casde L2,lasuperfíciesempreéstopològicamentequivalentaunaesfera oncadapuntd’equilibriestàassociataunaorientaciódelavela (α∗,δ∗) ∈ [ π/2,π/2] × [0, 2π].Encanvi,enelcasde L1,pera β petitelcomportament éssimilaralde L2,peròentre β = 0.02i0.03lasuperfíciexocaamblasuperfície queconté L4 i L5,tenintunasuperfícietopològicamentequivalentauntorque contétotselspuntsdelibracióexcepte L2.Unaaltraconseqüènciad’aquesta col.lisióéslapèrduadelabijeccióentrel’orientaciódelavelaielspunts d’equilibri.Ambaixòvolemdirqueaquíhihadeterminadesorientacionsde

Velessolars

velesquenotenenunpuntd’equilibrialafamília L1.Aquestfenomenespot veurealafigura6,onesrepresentalavariaciódel’orientaciódelavela α en funciódelacoordenada y delpuntd’equilibriartificial,pera L1 aladretai L2 al’esquerra.

SL1 Punts d'Equilibri Artificial (ρ = 1.0, δ = 90o)

Figura 5: Famíliadepuntsd’equilibripera β = 0 01,0 02,0 03,0 04 i0.05.Esquerra:pera δ =−π/2totselspuntsa z = 0.Dreta:pera δ = 0 totselspuntsa y = 0.(Font:elaboraciópròpia.)

SL2 Punts d'Equilibri Artificial (ρ = 1.0, δ = 90o)

= 0.01

= 0.02

= 0.03

= 0.04 5 β = 0.0

Figura 6: Orientaciódelavela α vs. coordenada y delafamíliade puntsd’equilibrialafigura5.Pera β = 0.01,0.02,0.03,0.04i0.05 corresponenalsequilibrisdelpla z = 0.(Font:elaboraciópròpia.)

3.2Algunsaspectesdinàmics

JahemcomentatabansqueelPRCTCésunsistemahamiltoniàambfunció deHamiltondonadaperl’equació (2).Engeneral,lesequacionsdemoviment obtingudesenafegirlavelasolar(equació (4))nosónhamiltonianes,ésadir, noexisteixcapfunció H demaneraquelesequacions (4) tinguinlaforma

AriadnaFarrésiÀngelJorba

del’equació (3).Hiha,però,unparelldecasosparticularsenquèsíqueel problemaambvelaadmetformulacióhamiltoniana.Elprimeréselcastrivial ques’obtéenorientarlavelaparal.lelaaladirecciódelSol,perquè,llavors,la velanofacapefecteielproblemaesredueixalPRCTC(aquestcascorrespon aferqueelproducteescalar ⟨⃗ rs , ⃗ n⟩ queapareixal’equació (4) siguizero).El segoncascorresponaorientarlavelaperpendicularmentaladirecciódelSol, ésadir,agafar α = 0al’equació (5).Fixeu-vosque,enaquestcas,elvalor de δ ésirrellevant.Elhamiltoniàenaquestcasés

Espotveurequel’efectedelavela(donadapelparàmetre β)redueixl’efecte gravitatoridelSol.Podríemdirque,perlavela,éscomsielSoltinguésmenys massa(noteuqueaixònoésequivalentareduirlamassadelSolperquè,siho féssim,canviaríeml’òrbitadelaTerrai,pertant,elseuefectesobrelavela).

Unasituacióparticularinteressantésquan δ = 0(i α ∈ [ π/2,π/2]).En aquestcas,elsistemaésreversible.Unsistemad’equacionsdiferencialsordinàriess’anomena reversible quanexisteixunainvolució(i.e.,unaaplicació talquelasevainversaésellamateixa)quetransformaelsistemad’equacions diferencialsenelmateixsistemaques’obtéenferelcanvi t t alsistemaoriginal[27].Ésfàcilveureque R : (t,x,y,z, ˙ x, ˙ y, ˙ z) ( t,x, y,z, ˙ x, ˙ y, ˙ z) ésunainvolucióique,si δ = 0,éselmateixferelcanvidonatper R al’equació (4) queferelcanvi t t.Elssistemesreversiblestenenmoltespropietats encomúambelssistemeshamiltonians;enparticular,hiharesultatsmoltsemblantssobrel’existènciadefamíliesd’òrbitesperiòdiquesiquasiperiòdiquesa propdepuntsd’equilibriquetinguindireccionsel líptiques[4,27].

Calculantladiferencialdelesequacions (4) enelspuntsd’equilibri SL1 i SL2,esveuque,enelcasreversible(δ = 0),l’estabilitatdelspuntsésdel tipus sella × centre × centre i,pertant,podemgarantirl’existènciad’òrbites periòdiquesiquasiperiòdiquesalvoltantd’aquestspunts.

Ésfàcilveure(perexemple,usantelteoremadelafuncióimplícita)que,per a β petit,hihacincfamíliesdisconnexesdepuntsd’equilibriparametritzats pelsangles α i δ,queanomenem FL1,...,5 (segonselpuntdeLagrangeaquè corresponen, L1,...,5).Si δ = 0,tresd’aquestesfamílies(FL1,2,3)sónalpla y = 0,ilasevaestabilitatésdeltipus sella × centre × centre.Lesaltresdues famílies(FL4,5)sónapropdelspuntstriangulars L4,5,ilasevaestabilitatés deltipuspou × pou × fontopou × font × font.

3.3Unaaplicacióinteressant

Lestempestesgeomagnètiquesinflueixenenlanaturalesadel’espaiiinteractuenambelcampmagnèticdelaTerra.Igualquelameteorologiaterrestre,el tempsespacialtambépotsermoltextrem.Elsesdevenimentsmeteorològics espacialspodeninterferirambl’electrònicadelssatèl litsqueorbitenalvoltant delaTerra,lescomunicacionsderàdioielssenyalsGPSi,encasosextrems, finsitotamblesxarxeselèctriquesalaTerra.Ésimportantentendreicontrolar aquestsesdevenimentspertaldepredir-losiadaptar-losalsnostressistemes.

UnabonaubicacióperalesmissionsmeteorològiquesespacialséslaproximitatdelpuntLagrange L1,onlesmissionscomACEiSOHOfadècadesque observenelSolmentreorbitenalvoltantd’aquestaregió.ElpuntdeLagrange L1 estrobaalllargdelalíniaSol-Terraaaproximadament1500000 km de laTerra,ialseuvoltanthihafamíliesd’òrbitesperiòdiquesiquasiperiòdiques. AquestaubicaciópermetaunanauespacialmonitoritzarelSoliproporcionaravisosmilloratsd’esdevenimentsmeteorològicsespacials.Pertald’evitar problemesdecomunicació,lanauespacialhad’estara4-5grausdelalínia Sol-Terra,demaneraque,vistadesdelaTerra,estiguiforadeldiscsolar.Per aquestmotiu,s’evitaelpunt L1 iesprefereixutilitzaròrbitesHaloounaltre tipusd’òrbitesanomenades deLissajous [20].

Comhempogutveureenlasecció3.1,ambunavelasolarpodemdesplaçar artificialmentlaubicaciódelpuntdeLagrange L1,fetquedonaalesvelessolars dosclarsavantatgesperalesaplicacionsmeteorològiquesespacials.Enprimer lloc,perquèsimplement,degutal’efectedepressióderadiaciósolar(PRS),la ubicacióde L1 itoteslesòrbitesperiòdiquesiquasiperiòdiquess’acostenalSol. Perexemple,ambunamidadevelasolarcomLightSail-1(β ≈ 0.01),laubicació de L1 esdesplaçauns300000 km capalSol,cosaquepermetràdetectar (iavisar)abansdel’ejecciódemassacoronal(CME).Ensegonlloc,jugantamb l’orientaciódelavela,podemdesplaçarlaubicaciódelpuntd’equilibri L1 uns5grausdelalíniaSol-Terra,cosaquepotsimplificarelsrequisitsde comunicacióentrelanauilaTerra.

AquestconceptedemissióvaserproposatperprimeravegadapelJet PropulsionLaboratory(JPL)delaNASAl’estiude1996,desprésd’unasol.licitud delaNationalOceanicandAtmosphericAdministration(NOAA)perestudiar lesopcionsdemillorareltempsd’avísdetempestessolarsdesd’unsatèl lit a L1.Elnomdelamissióenaquellmomentera GeoStorm iesvapreveure unavelasolarmésgranperduplicarladistànciaentrelaTerrai L1.Aquest tipusdemissiórepresentaunaaplicacióquenomésespotduratermeamb unavelasolar.Peraquestmotiu,s’hamantingutal’agendadelesagències espacialsdurantmoltsanys,passantpelconceptededemostraciódevelasolar SunJammerques’esperavallançarel2015,finsalaSolarCruiser,quehaviade serllançadael2025comacàrregaútilsecundàriaambl’InterstellarMapping andAccelerationProbe(IMAP)abansdesercancel.lada.Alafigura7podem veureunarepresentacióesquemàticadelamissióGeoStorm.

Figura 7: RepresentacióesquemàticadelamissióGeoStorm.CMEindica ejecciódemassacoronal,mentrequeACEindica exploradordecomposicióavançat. (Font:elaboraciópròpia.)

AriadnaFarrésiÀngelJorba

4Mantenimentenestació

Enlaseccióanteriorhempresentatunaaplicacióperavelessolars,enquèes requereixmantenirunavelasolarpropd’unpuntd’equilibri.Comqueaquest puntd’equilibriésinestable,esnecessitauncontrolpertaldemantenir-s’hi alvoltant.Aquesttipusdecontrolesconeixcoma estratègiademanteniment enestació.Enaquestasecciódescriuremcomdissenyaraquestesestratègies alvoltantdepuntsd’equilibrienelPRCTC.Toticentrar-nosnomésenpunts d’equilibri,aquestesestratègiesespodenestendrealcasd’òrbitesperiòdiques inestablesialcasdemodelsdinàmicsméscomplexos.

Lesestratègiesdemantenimentenestacióqueexposaremacontinuaciófan úsdelespropietatsdinàmiquesdelPRCTCalvoltantd’unpuntd’equilibriper controlarunavelasolar.Ésadir,nousemalgorismesdeteoriadecontrol,sinó einesdesistemesdinàmicsperalnostrepropòsit.Comqueelpropulsord’una velasolarés,enprincipi,gratuïtiil.limitateneltemps,ielnostreobjectiués romandreapropd’unpuntd’equilibriod’unaòrbitaperiòdica,aparentment nohihacapfunciódecostdecombustibleperminimitzar.Elqueproposemés entendrelageometriadel’espaidefaseicomaquestaesveuafectadaperles variacionsenl’orientaciódelavela,iutilitzaraquestainformacióperderivar unaestratègiaqueenspermetimantenirlavelaapropd’unpuntd’equilibrio d’unaòrbitaperiòdicadurantmoltdetemps.Lamajoriadelesideesdarrere delnostreenfocamentprovenendelstreballsanteriorsdeGómez etal. [11] sobreelmantenimentenestacióalvoltantd’unaòrbitaHaloambpropulsor químicclàssic.

4.1Dinàmicaalvoltantd’unpuntd’equilibri

Comencemcentrant-nosenladinàmicaalvoltantd’unpuntd’equilibri.Ésben sabutque L1 i L2 sónlinealmentinestablesiqueelcomportamentlinealal voltantd’ellsésdeltipus sella × centre × centre.Quanafegiml’efectedelavela, elspuntsdesplaçats SL1 i SL2 heretenuncomportamentlinealsimilar.Enel casd’unsistemahamiltonià(α = 0),ladinàmicaéslamateixa,inoméscanvien quantitativamentelsvalorsivectorspropis.Peralarestadecasos,comqueel sistemaésconservatiu(ésadir,queelseufluxpreservalamesuradeLebesgue al’espaidefase),lasumadelsvalorspropisdelamatriujacobianadel’equació diferencialenelpuntd’equilibrisegueixsentzero,totiquealeshoresnopodem garantirqueelsvalorspropisvinguinenparelles,coméselcasdelssistemes hamiltonians.Enaquestscasos,ladinàmicalinealésunproductedirecteentre unasellaidosfocus,oncadaundelsfocuspotsertantatractorcomrepulsor. Ésadir,elsvalorspropisdeladiferencialdelcampsón:dosvalorsrealsque satisfan λ1 > 0, λ2 < 0,quatrevalorscomplexosdelaforma λ3 = ν1 + iω1, λ4 = λ3, λ5 = ν2 + iω2,i λ6 = λ5,quesatisfan 6 j=1 λj = 0.Amés,espot comprovarquelainestabilitatdonadapelsfocusrepulsorsésmoltpetitaen comparacióambladelasella(|λ1|≫|ν1|, |ν2|).Perdescriureelmoviment, suposaremqueladinàmicalinealvedonadapelproductecreuatd’unasellai doscentres,talcompodemveurealafigura8.

Figura 8: Representacióesquemàticadeladinàmicalinealilatrajectòria delavelaalvoltantd’unpuntd’equilibrideltipus sella × centre × centre. (Font:elaboraciópròpia.)

Aixòvoldir,queperaunpuntd’equilibri p0 corresponentaunaorientació develafixa (α0,δ0),unatrajectòriaquecomençapropde p0 s’escapaalllargde lavarietatinestable, Wu(p0),mentregiraalvoltantdelesprojeccionscentrals. Sicanviemlleugeramentl’orientaciódelavela α1 = α0 + ∆α, δ1 = δ0 + ∆

, elcomportamentqualitatiudel’espaidefaseéselmateix,peròlaposició relativadelnoupuntd’equilibri p1 (ilessevesvarietatsestablesiinestables quedominenladinàmica)canvia.Pertant,aralatrajectòrias’escaparàalllarg delanovavarietatinvariantinestable Wu(p1).

Pertaldecontrolarlatrajectòria,hemdetrobarunanovaorientacióde lavelatalquelavarietatinestabledelnoupuntd’equilibri Wu(p1) acostila trajectòriaalavarietatestablede p0, Ws (p0).Uncoplatrajectòriaésproperaa Ws (p0),restaurareml’orientaciódelavelaoriginal(α0,δ0) ideixarem actuarladinàmicadelproblema,quefaràquelanausegueixilavarietatinestable Ws (p0) is’acostia p0.Repetiremaquestprocésunavegadaiunaaltra percontrolarlainestabilitatacausadelaselladuranttotalavidaútildela missió.Tanmateix,tambéhemdetenirencomptelaprojecciódelatrajectòria alapartcentral,onunaseqüènciadecanvisenl’orientaciódelavelaesderiva enunaseqüènciaderotacionsalvoltantdelscorresponentspuntsd’equilibri. Aquestasuccessióderotacionspotcomportarunallunyamentprogressiudela trajectòria;lafigura9mostraunaideaesquemàticad’aquestfenomen.

Figura 9: Representacióesquemàticadelestrajectòriesd’unavelasolar projectadesalsplans sella × centre × centre,perapetitscanvisal’orientaciódelavela.Latrajectòriarepresentadaamblíniacontínuaéslaque segueixlanaupropde p0 pera α = α0, δ = δ0.Sicanvieml’orientacióde lavelaa α1, δ1,elnoupuntd’equilibriés p1 ilavelaseguiràlatrajectòria representadaamblíniadiscontínua,mentreque,sil’orientaciódelavela és α2, δ2,amb p2 comapuntd’equilibri,lavelaseguiràlatrajectòria representadaamblíniadepuntsiratlles.Permantenir-nosapropde p0 necessitemorientacionsdelavelaqueprodueixenelsefectescoma p2. (Font:elaboraciópròpia.)

AriadnaFarrésiÀngelJorba

Elpuntclaud’aquestmètodedecontroléstrobarlanovaorientacióde lavelaadequada,quedescriuremambmésdetallalasecció4.3.Perfer-ho, construiremunsistemadereferènciaquepermetiseguir,demanerasenzilla, latrajectòriadelavelapropd’unpuntd’equilibri.

4.2Unsistemadereferènciaadequat

Perferunseguimentdelatrajectòriaiprendredecisionssobrequanicomhem decanviarl’orientaciódelavelapertaldemantenir-nospropd’unpuntd’equilibri(p0),utilitzemunsistemadereferènciacentraten p0 iquetécomabaseels vectors { ⃗ v1,..., ⃗ v6} quedefineixenelplasellaielsdosplanscentrealvoltant de p0.Perfixarlanotació,anomenen φ(t0) laposició (x(t0),y(t0),z(t0)) i velocitat (vx (t0),vy (t0),vz(t0)) delavelasolaratemps t0,ianomenem si(t0) lescoordenadesdelatrajectòriaenaquestabase.Ésadir,

φ(t0) = (x(t0),y(t0),z(t0),vx (t0),vy (t0),vz(t0)) = p0 + 6 i=1 si(t0) ⃗ vi.

Persimplificarlanotació,anomenem p lescoordenades (x,y,z,vx ,vy ,vz). Siguin,doncs, ˙ p = f(p,α,δ) lesequacionsdemovimentperalavelasolar (ésadir,l’equació (4) enformacompacta),i p = Dpf(p0,α0,δ0)p elsistema linealitzatalvoltantdelpuntd’equilibri p0 pera α = α0, δ = δ0 (ésadir, f(p0,α0,δ0) = 0).Comjahemesmentatabans,elsvalorspropis {λ1,...,λ6} de Dpf(p0,α0,δ0) compleixenque λ1,2 sónreals(amb λ1 > 0i λ2 < 0),que λ3,...,6 sóncomplexos, λ3,4 = ν1 ± i ω1 i λ5,6 = ν2 ± i ω2.Aquestsvalorspropis ielsseusvectorspropisassociats(⃗ e1,..., ⃗ e6)tenenelsignificatgeomètric següent:

• Laprimeraparella (λ1,λ2) ∈ R s’associaalcaràcterhiperbòlicdelpunt d’equilibri.Elvectorpropi ⃗ e1 (corresponentalvalorpropi λ1 > 0)corresponaladirecciómésexpansiva:enelpuntd’equilibri, ⃗ e1 éstangenta lavarietatinestable W u(p0).Delamateixamanera,elvectorpropi ⃗ e2 (corresponenta λ2 < 0)s’associaalavarietatestabledelpuntd’equilibri Ws (p0).

• Lasegonailaterceraparelles (λ3,λ4),(λ5,λ6) ∈ C sóncomplexosconjugats (λ3 = λ4,λ5 = λ6).Degutal’estructuranohamiltonianadelsistema, podriaserquenofossinpuramentimaginaris.Ladinàmicalinealitzada restringidaalplainvariantgeneratpelsvectorsreals {Re(⃗ e3), Im(⃗ e3)} escompond’espiralsambunavelocitatderotaciódonadaper Γ1 = arctan(Im(λ3)/Re(λ3)) iunataxad’expansióocontracciódonadaper Re(λ3).Elmateixpassaenelpladonatper {Re(⃗ e5), Im(⃗ e5)},ambuna velocitatderotació Γ2 = arctan(Im(λ5)/Re(λ5)) iunataxad’expansió donadaper Re(λ5).Sempretriemelsegonparell,demaneraquel’oscillacióverticalde ⃗ e5 siguimésgranquelade ⃗ e3 (ésadir, |⃗ e5|z ≫|⃗ e3|z,on ⃗ e3, ⃗ e5 sónunitaris).

Siconsideremcomabasedelsistemadereferènciaelsvectors { ⃗ v1 = ⃗ e1/|⃗ e1|, ⃗ v2 = ⃗ e2/|⃗ e2|, ⃗ v3 = Re(⃗ e3)/|⃗ e3|, ⃗ v4 = Im(⃗ e3)/|⃗ e3|, ⃗ v5 = Re(⃗ e5)/|⃗ e5|, ⃗ v6 =

Im(⃗ e5)/|⃗ e5|},elsistemalinealitzat x = Dx f(p0,α0,δ0) prenlaforma y = J1y, onelcanvidecoordenadesvedonatper x = J1y,amb

Enaquestnousistemadereferència,ladinàmicaalvoltantd’unpunt d’equilibriésfàcildedescriure:enelplageneratper ⃗ v1, ⃗ v2,latrajectòria s’escapaalllargdeladireccióinestable ⃗ v1;enelplageneratper ⃗ v3, ⃗ v4,la trajectòriagira(enunaformaespiral)alvoltantdelpuntd’equilibri,ielmateix comportamentsucceeixalplageneratper ⃗ v5, ⃗ v6,talcomesdescriualafigura8.

4.3Comtrobarlanovaorientaciódelavela?

Talcomhemdescritalasecció4.1,quanlatrajectòriadelavelasolaréslluny delpuntd’equilibri, p0,volemtrobarunanovaorientaciódelavela α1, δ1 de maneraquelatrajectòriatornideformanaturalpropde p0.Laideaéscanviar l’espaidefasesdetalmaneraquelanovavarietatinestableensacostiala varietatestablede p0 sensedeixarquelesprojeccionsdelatrajectòriaalcentre creixin.

Elprimerquefareméscalcularcompetitesvariacionsenl’orientaciódela velan’afectenlatrajectòria.Combésabem,elfluxvariacionaldeprimerordre ensproporcionainformaciósobrecompetitesvariacionsenlescondicions inicialsafectenlatrajectòriafinal,i,igualment,elsvariacionalsdeprimerordre respectea α, δ (elsdosanglesquedefineixenl’orientaciódelavela)descriuen competitesvariacionsenl’orientaciódelavelaafectenlatrajectòriafinal. Faremservirelsvariacionalsaprimerordrerespectealsdosanglesperdecidir quinaorientaciódelavelaapropalatrajectòriaalpuntobjectiu.

Si φh(t0,x0,α0,δ0) éselfluxdelnostrecampvectorialeneltemps t = t0 + h delnostrecampvectorialcomençanteneltemps t0 peralacondició inicial (x0,α0,δ0),aleshores

F(∆α, ∆δ,h) = φh(t0,x0,α0,δ0) + ∂φh ∂α (t0,x0,α0,δ0)∆α+ + ∂φh ∂δ (t0,x0,α0,δ0)∆δ

ésl’aproximacióaprimerordredel’estatfinalperauncanvi ∆α, ∆δ al moment t = t0.Aquestaésunaexpressióexplícitadelsestatsfinalsdela trajectòriacomafunciódelsdosanglesieltemps.

Suposemqueenl’instantdetemps t = t1 tenimque |s1(t1)| (ladistància alllargdeladireccióinestable)ésgranivolemcanviarl’orientaciódelavela percorregir-la.Lafunció F(∆α, ∆δ, ∆t) ensofereixunmapadecomunpetit

AriadnaFarrésiÀngelJorba

canvienl’orientaciódelavela ∆α, ∆δ atemps t = t1 afectaràlatrajectòria

delavelaeneltemps t = t1 + ∆t.Volemtrobar ∆α∗ , ∆δ∗ i ∆t∗ demanera quelatrajectòriaatemps t∗ = t1 + ∆t∗ estiguiapropdelavarietatestable (ésadir, |s1(t∗)| petit)ilesprojeccionscentralsnocreixingaire(ésadir, |(s3(t∗),s4(t∗)|2 ≤|(s3(t1),s4(t1))|2, |(s5(t∗),s6(t∗))|2 ≤|(s5(t1),s6(t1))|2).

Hihamésd’unaformaderesoldreaquestproblema;nosaltresprocedimde lamanerasegüent:

1. Prenemunconjuntdetempsigualmentespaiats, {τi},enl’intervalde temps [t1+∆tmin,t1+∆tmax].Peracada tτi calculemelmapa F(∆α,∆δ,∆ti), on ∆ti = τi t1.Notemque ∆tmin éseltempsmínimpermèsentre maniobres,quedepèndelesrestriccionsdelamissió,mentreque ∆tmax éseltempsmàximentremaniobres,quedepèndelaprecisió de F(∆α, ∆δ, ∆tmax)

2. Peracada τi trobem ∆αi, ∆δi talque, s1(τi) = s5(τi) = s6(τi) = 0. Observeuqueaixòesredueixaresoldreunsistemalinealambduesincògnitesitresequacions.Utilitzemelmètodedemínimsquadratsper resoldreaquestsistemalinealitrobarlasoluciódelanormamínima.Alfinald’aquestprocéstenimunconjuntde {τi, ∆αi, ∆δi} talque ∥(s1(τi),s5(τi),s6(τi))|2 éspetit.

3. Finalment,delconjuntde {τi, ∆αi, ∆δi}, i = 1,...,n,escollimel j tal que |(s3(τj ),s4(τj ))|2 ≤|(s3(τi),s4(τi))|2 ∀i ≠ j.Ésadir,eltempsque minimitzalapartcentral.

Elconjuntdesitjatdeparàmetresquetornenlavelaalpuntd’equilibriés:

j ,δ

Volemferunesquantesobservacionssobreelmètodepresentat:

1. Noésevidentquesemprepuguemtrobar α∗ , δ∗ , ∆t∗ quefacintornarla trajectòriaa Ws ,jaqueestemenunespaidefaseen6Dinoméstenim tresparàmetresperjugar-hi.Utilitzant ∂φh ∂α , ∂φh ∂δ espotcomprovarsiles variacionsenlesduesorientacionsdelesvelespermetencol.locarunnou puntd’equilibrisobreelcomponentdeselladesitjada.Aixòenspermet,a mésamés,comprovarlacontrolabilitatdelpunt.

2. Observeuque,enllocdelspassos2i3,espodriaresoldreelsistema lineal s1(τi) = 0, s3(τi) = 0, s4(τi) = 0, s5(τi) = 0, s6(τi) = 0,on tindríemunsistemalinealambcincequacionsiduesincògnitesque podemresoldreambmínimsquadrats.Aixòtrobarialasoluciómínima, perònogaranteixquetant |(s3(t∗),s4(t∗))|2 i |(s5(t∗),s6(t∗))|2 siguin petits.Enaquestcasprioritzemcontrolarlamidade (s3,s4) sobre (s5,s6), resolentelsistemamitjançantelspassos2i3.D’aquestamaneraespot garantirque |(s3(t∗),s4(t∗))|2 seràalméspetitpossible.

3. Elvalorde ∆tmax estàfortamentrelacionatamblavalidesade F(∆α,∆δ,h), ésadir,comdebés’aproximaalcomportamentdelestrajectòriesproperesal’òrbitadereferència.SiconsideremunaexpansiódeTaylormés granentermesde α i δ,podríemobtenirtempsmésgransiprobablement millorsopcionspera ∆α, ∆δ.

4.4Algorismedemantenimentenestació

Peracadasimulaciódefiniremtresparàmetresquedepenendelsrequisitsde lamissióiladinàmicadelsistemaalvoltantdelpuntd’equilibri.Aquestssón: εmax,ladistànciamàximapermesafinsaladireccióestable,quefemservirper decidirquancanviarl’orientaciódelavela;i ∆tmin, ∆tmax,elstempsmínimi màximentremaniobrespermeses,quedepenendelsrequisitsdelamissióide lavalidesadelfluxvariacional.

Comencemamblavelaapropdelpuntobjectiu p0 ambunaorientació fixa α = α0, δ = δ0,ideixemqueladinàmicanaturalactuï.Quanestem llunyde p0,ésadir, |s1(t)| >εmax,triem(talcomhemdescritalasecció4.3) unanovaorientaciódelavela, α1, δ1,quealcapd’untemps, ∆t1,acostaràlatrajectòriaalavarietatestablede p0,ésadir, |s1(t)| petit.Uncop latrajectòriatornaprouapropde p0,recupereml’orientacióoriginaldela vela.

Calmencionarquel’estratègiadescritaaquínomésutilitzainformaciódela dinàmicalinealdelsistemaperprendredecisionssobreelscanvisd’orientació delavela,peròelconjuntcompletd’equacionsestéencomptedurantles simulacions.

4.5Exempledemissió

Peril.lustraraquestaestratègiadecontrol,agafemcomaexemplelamissiódescritaalasecció3.3,onlavelasolarhaderomandreapropd’unpuntd’equilibri desplaçat5◦ respectealalíniaSol-Terra(vegeulafigura7).L’eficiènciadela velaquehemconsideratperaaquestexempleés β = 0.0388,queesconsidera realistaperalamissióSunjammer[16],ielpuntd’equilibriobjectiucorrespon a: p0 = ( 0 98334680272, 0 00146862443, 0 00000000000) (UA)pera α0 = 0.023954985rad, δ0 = 0.00rad.

Enaquestexempleconsiderem εmax = 5 × 10 5 (UA) ≈ 7479.89 km, ∆tmin = 0.02 UT ≈ 1.1626diesi ∆tmax = 2 UT ≈ 116.26dies.Lacondicióinicials’ha presal’atzarpropdelpuntobjectiu,ihemrealitzatl’estratègiademanteniment enestaciódurant10anys.

Figura 10: PeralamissióSunjammer,trajectòriadelavelasolarcontroladadurant10anys.D’esquerraadreta:pla XY ,pla YZ,pla XYZ.(Font: elaboraciópròpia.)

AriadnaFarrésiÀngelJorba

Figura 11: PeralamissióSunjammer,trajectòriadelavelasolarcontroladadurant10anys.D’esquerraadreta:plasella,placentregenerat per ( ⃗ v3, ⃗ v4) iplacentralgeneratper ( ⃗ v5, ⃗ v6).(Font:elaboraciópròpia.)

Lafigura10mostralatrajectòriacontroladadelavelasolarenelpla XY (esquerra),elpla YZ (almig)ilaprojecció XYZ (dreta),onpodemobservarquela trajectòriaromanapropdelpuntd’equilibridurantels10anys.Lafigura11 mostralaprojecciódelatrajectòriacontroladadelavelasolarenelsistema dereferència sella × centre × centre.Simiremlaprojeccióalasella(esquerra),podemveurecomcadacopquelatrajectòriaarribaa |s1(t)| >εmax,la trajectòriacanviadedirecciópertornarcapalavarietatestable(⃗ e2),ésadir, |s1(t)|≈ 0.D’altrabanda,simiremlaprojecciódelatrajectòriaalavarietat central,tenimquelaprimeracomponentcentral(mitjà)ésunasuccessióde rotacionsqueesmantenenacotades,mentrequel’oscil lacióvertical(dreta) s’anul.lacompletamentfora,ésadir, (s5(t),s6(t)) → (0, 0).Finalment,ala figura12veiemlavariaciódelsdosanglesquedefineixenl’orientaciódelavela α (esquerra)i δ (dreta)alllargdeltemps.Compodemveure,l’angle α té variacionsd’ordre ∼ 5◦,mentreque δ ésgairebézero.

Figura 12: PeralamissióSunjammer,trajectòriadelavelasolarcontroladadurant10anys.Variacióangle α (esquerra),variacióangle δ (dreta). (Font:elaboraciópròpia.)

5Dinàmicaapropd’unasteroide

Comhemcomentatabans,l’efected’unavelasolarespotveurecomuna pertorbació(dèbil)afegidaal’efectegravitacional(fort)d’altresmassesdel sistemasolar,comaralaTerra,laLlunaoelSol.Uncasespecialesprodueix quanusemunavelasolarpervisitarunasteroide.

Unasteroideésunobjecterocós,méspetitqueunplaneta,queesmoual voltantdelSol.LamajoriaesmouenentrelesòrbitesdeMartiJúpiterformant l’anomenat cinturód’asteroides.Degutalfetquelasevamassanoésmoltgran, lasevaatracciógravitatòriasobreunavelasolarésmenoril’efectedelapressió deradiaciósobrelavelapotserfinsitotmésgranquelagravetatdel’asteroide. Peraquestmotiuesrequereixuntractamentespecífic.Acontinuacióveurem unmodelperaaquestasituació.

5.1ElproblemadeHill

L’estudidelmovimentdelaLlunahaestatunproblemaclàssicdelamecànica celestedurantmoltsanys,moltdifícildetractaranalíticamentdegutprincipalmentalfortefectegravitatoridelSol.L’efectedelSolfaqueconsiderar elmovimentrelatiudeTerraiLlunacomunproblemadedoscossosdoni resultatsnogairepropersalarealitat.

Perintentarincorporarl’efectedelSoldemanerasenzilla,G.W.Hillva introduir,alasegonameitatdelsegle xix,unaversiósimplificadadelproblema restringitdelstrescossosperestudiarelmovimentdelaLlunaalvoltantdela Terra[17].Enaquestmodel,HillvasuposarqueelSolésmoltllunycomparat ambladistànciaTerra-Lluna,demaneraquelasevaforçad’atracciósobrela Llunaésconstant.Amés,suposaremquelaLlunatémassazero(ambaixò volemdirquelaLlunanoatraulaTerraielSol)peròésatretaperambdós. AgafaremunsistemadecoordenadessemblantaldelPRTCdemaneraquela Terraestàfixadaal’origen.Llavors,lesequacionsdemovimentperlaLlunasón

on r 2 = x2 + y 2 + z2 és(elquadratde)ladistànciadelaTerraalaLluna. Notemqueaquestmodeltambéésadequatcomaprimeraaproximacióper estudiarelmovimentd’unapetitanaualvoltantd’unasteroide.Enelcasd’una velasolar,ensfaltaafegirl’efectedelapressióderadiaciósolarsobrelavela.

5.2ElproblemadeHillaugmentat

ConsisteixaafegirlaforçaquefalavelaalmodeldeHill.Enaquestmodel,la massacentralésl’asteroide,elSolesconsiderasituatal’infinitiincorporem l’efectedelapressióderadiaciósolar,talcomesmostraalafigura13.Les equacionsdemovimentsón

AriadnaFarrésiÀngelJorba

on (x,y,z) denotalaposiciódelavela, r = x2 +y 2 +z2,ielvector (ax ,ay ,az) ésl’acceleraciódonadaperlapressióderadiació.Lesunitatsnormalitzades dedistànciaitempssón L = (µast/µsol)1/3R i T = 1/ω,on µast, µsol sónels paràmetresgravitacionalsperal’asteroideielSol, R ésladistànciamitjana Sol-asteroide,i ω = µsol/R3 éslasevafreqüència.

Enaquestcas,permodelarl’acceleraciódelavelasolar,tindremencompte l’absorcióilareflexiódelmaterialdelavela(ρa,ρs ≠ 0, ρd = 0).Enelmodel deHill,ladireccióSol-velavedonadaper rs = (1, 0, 0) ielvectornormalala vela ⃗ n = (cos α, sin α cos δ, sin α sin δ),pertant,tenimque:

ax = β(ρs cos2 α + 0.5(1 ρs ) cos α), ay = β(ρs cos2 α sin α cos δ), (6)

az = β(ρs cos2 α sin α sin δ),

onelvalor ρs éslaproporciódellumreflectidaperlavelai,pertant,ésproper a1.Sienllocd’unavelatinguéssimunpanellsolar(queabsorbeixlapràctica totalitatdelallumrebuda),elvalorde ρs seriapropera0.Enaquestúltimcas, tindríemque ay = az = 0,peròamb ax ̸= 0engeneral.

Figura 13: ElmodeldeHillaugmentat.(Font:elaboraciópròpia.)

Sidefinimelsmoments px = x y, py = y + x, pz = z,aquestsistema esdevéhamiltonià,onlafunciódeHamiltonés

H = 1 2 (p2 x + p2 y + p2 z ) + ypx xpy 1 2 (2x2 y 2 z2) 1 r ax x ay y azx.

Ésfàcildeveureque,sitraieml’efectedelavela(ax = ay = az = 0),llavorsel sistematédospuntsd’equilibri, L1,2,ambcoordenades (±3 1/3 , 0, 0).Silavela ésperpendicularaladirecciódelSol(ay = az = 0),laposicióde L1 s’allunya, mentreque L2 s’apropacapal’asteroideamesuraque ax augmenta[8].

IgualquepassaenelPRTC,l’estabilitatlinealdelspuntsd’equilibri L1,2 ésdelaforma sella × centre × centre i,pertant,sóninestables.Elteorema delcentredeLiapunov([23])ensasseguraqueencadaunadelesdireccions centredelspuntsd’equilibrineixunafamíliad’òrbitesperiòdiques.Degutala componentselladelspunts,aquestesòrbitessóninestables.Siagafemlesdues direccionsel líptiquesalhora,espotdemostrarqueelsdoscentresgeneren, conjuntament,unafamíliad’òrbitesquasiperiòdiques(ambduesfreqüències bàsiques)inestables[21].

5.3Reduccióalavarietatcentral

Pervisualitzarladinàmicaalvoltantd’aquestspuntsd’equilibri,usaremuna reduccióalavarietatcentral.Laideaésferunasèriedecanvisdevariablede maneraquelesequacionsadoptinunaexpressióméssenzilla,enlaquales puguinsepararlesdireccionsdelscentresdelesdireccionshiperbòliques.Un copfetaixò,restringiremlesequacionsalesdireccionsdetipuscentreper estudiarquinamenadetrajectòrieshiha.

5.3.1Canvisdevariable Araexplicaremdemaneramoltresumidaelprocés dereduccióalavarietatcentre.Peraunadescripciómésdetallada,podeullegir l’apèndixA.3oconsultar[11,19,20].

Elprimerpaséstraslladarelpuntd’equilibrial’origeniexpandirelhamiltoniàensèriedepotències,

H(q,p) = H2(q,p) + n≥3 Hn(q,p),

on Hn denotaunpolinomihomogenidegrau n.Noteuqueelvalor H(0, 0) és irrellevant(desapareixenescriurelesequacionsdemoviment (7))i,pertant, l’agafemzero,iqueelstermesdegrau1sónzeroperquèl’origenésunpunt d’equilibri.

Acontinuaciófemuncanvidevariable(lineal)per«diagonalitzar»elstermes d’ordre2delhamiltonià(ésadir,perdiagonalitzarlapartlinealdel’equació diferencial),

on λ1, ω2 i ω3 sónnombresreals.

Elscanvisdevariablesaordressuperiorss’implementenusantsèriesdeLie, quefacilitenlaimplementaciódecanvisdevariablesquepreservenlaforma hamiltoniana.Peracadagrau n ≥ 3determinemuncanvidevariableque desacoblalaparthiperbòlica(donadaperlesvariables q1, p1)delesdireccions el líptiques(donadesperlesvariables q2, p2 q3, p3).Nohihaunaúnicamaneradeferaquestdesacoblament;laquehemseleccionataquíesbasaaanar fentcanvisdevariablepercancel larelsmonomisquetenenl’exponentde q1 diferentdel’exponentde p1 (peraunaaltraopcióvegeu,perexemple,[29]).

AriadnaFarrésiÀngelJorba

Elsdetallsd’aquestprocésespodentrobaral’apèndixA.3.Aquestscanvis devariablesesvanfentordreaordre,finsaunordreprouelevat N (normalmentagafemunvalord’entre16i32),demaneraqueelhamiltoniàprenla forma

H(q,p) = HN (q,p) + RN+1(q,p),

on HN contéelstermesdegraumenoroiguala N.Llavors,descartemla resta RN+1 (ésmoltpetitenunentornadequatdel’origen).Araésimportant notarquelesequacionsdemovimentperalesvariables (q1,p1),

1 =

sóndelaforma

1 = q1G1, p1 = p1G2,

degutalfetqueelsmonomispresentsa HN tenenelmateixexponentper a q1 ipera p1.Aixòfaquelavarietat q1 = p1 = 0siguiinvariantpelfluxde l’equaciódiferencial,iladinàmicasobreaquestavarietatquedidescritaperles equacionsassociadesalhamiltonià HC (q2,q3,p2,p3) = HN (0,q2,q3, 0,p2,p3),

2 = ∂HC ∂p2 , q3 = ∂HC ∂p3 , p2 =− ∂HC ∂q

PervisualitzarladinàmicausaremunasecciódePoincaré.

5.3.2SeccionsdePoincaré UnasecciódePoincarévedefinidaperuna varietat(diferenciable)decodimensió1queéstravessadatransversalmentper lessolucionsdel’equaciódiferencial.Persimplicitat,lesseccionsméshabituals sónplans,totiquetambéesfanserviraltresvarietats.Explicaremelmésusat peral’estudideladinàmicaalavarietatcentral HC .

ComaprimeraopcióperferlasecciódePoincaré,consideremelpladesecció Σ ={(q2,q3,p2,p3) ∈ R4 talque q3 = 0}.Laideaésdibuixarlaintersecció delesòrbitesdelsistemaambaquestplaquan,perexemple, p3 > 0(ésadir, dibuixemelstallsde«pujada»,noelsde«baixada»).L’aplicaciódePoincaré esconstrueixdelamanerasegüent:donatunpunt ˆ z de Σ,lasevaimatgeper l’aplicaciódePoincarés’obtéagafantl’òrbitaquecomençaa ˆ z ibuscantla novainterseccióamb Σ quan p3 > 0.Peraunapresentaciómésformaldela secciódePoincaréespotconsultar,perexemple,lasecció6delcapítol vi del llibre[30].NoteuqueunaòrbitaperiòdicaquetallilasecciódePoincaréesdevé unpuntfixdel’aplicaciódePoincaré.

Comqueelnostresistemaéshamiltonià,lessuperfíciesdefinidesper HC = hc ,on hc ésunaconstantdonada,sóninvariantsperladinàmica.Aixòvol dirque,siagafemunacondicióinicialsobreaquestavarietat,lasolucióque

començaenaquestacondicióinicialestaràcontingudaenlavarietat,peratot temps(teniulademostracióal’apèndixA).Pertant,usaremelnivelld’energia comaparàmetrepersimplificarlavisualització.Vegem-hoambmésdetall.

Enprimerlloc,notemquel’origendelhamiltonià HC ésunpuntd’equilibri el.líptic,ambduesfreqüències ω1,2 > 0,quesónlesfreqüènciesdelibraciódel puntd’equilibri.Éssabut([32])queunadelesfreqüènciescorresponaoscillacionsenladirecció z,queanomenaremtambé direccióvertical.Lafreqüència d’aquestadireccióverticalés ω2 i,pertant,corresponalesvariables (q3,p3) delavarietatcentral.FaremunasecciódePoincarévertical q3 = 0amb p3 > 0,ésadir,tallaremlestrajectòriesquantravessenelpla«horitzontal»en direcció«capadalt».Ambaixò,representaremlestrajectòriesproperesalpunt d’equilibri(queviuenenunespaidedimensió4)comunpuntal’espaide dimensió3 (q2,p2,p3).Notemtambéqueelfetqueelhamiltoniàesconservi (quesiguiunaintegralprimera)implicaquelesvarietats HC = hC siguin invariantspelflux,cosaquepermetclassificarlesòrbitespelvalorde hC . Vegem-hoambmésdetall.Enprimerlloc,calnotarquelesduesfreqüències ω2 i ω3 sónnombresrealspositius,i,pertant,l’hessianade HC al’origenés definidapositiva,laqualcosafaquetinguiunmínimlocalal’origen(enaltres paraules,elstermesdegrau2de HC representenunparaboloideel.líptic). Pertant,perestudiarladinàmicapropdel’origennoméstésentitrestringir elvalordel’energia hC avalorspositius(inogairegrans),demaneraque lavarietat HC = hC siguicompacta.Peracabar,notemquel’equaciódela varietatpermetaïllar p3 de HC (q2,p2, 0,p3) = hC ique,pertant,podem considerarperacada hC elpla(dedimensió2) (q2,p2) comaseccióde Poincaré.

Enresum,donatunvalor hC > 0,agafempuntsdelpla (q2,p2) quecorrespondranaunacondicióinicial (q2,p2, 0,p3(q2,p2,hC )) quedonalloca unatrajectòriadelhamiltonià HC ,delaqualaniremdibuixantlescoordenades (q2,p2) delessuccessivesinterseccionsamb q3 = 0.

Perexemple,fixem β = 5i ρs = 0.85al’equació (6),iagafem α = 0(ésa dir,posemlavelaperpendicularaladirecciódelSol).Elprimergràficdela filasuperiordelafigura14mostralasecciódePoincaréhoritzontal (q2,p2) peralnivelld’energia hC = 0.4.Cadaunadelescorbesconcèntriquesques’hi observenéselresultatd’agafarunpuntdelpla (q2,p2) iiterar-loperl’aplicació dePoincaré.Elquesucceeixenferaixòésqueelssuccessiusiteratsvanomplint unacorbatancada.Podemimaginarlestrajectòriestallantaquestplaambun movimentoscil.latoriamuntiavall,mentrevantallantelplaenpuntsquevan omplintunad’aquestescorbes.Aquestescorbessóninvariantsperl’aplicació dePoincaréienshireferiremsimplementcoma corbesinvariants.Avegades selesanomena torsinvariants,perquèsóndifeomorfesa T1 (parlemde T1 ino de S1 perquè,sifemunacosasemblantadimensiómésalta,aquestescorbes invariantsesdevenensuperfíciesinvariantsdifeomorfesa Tr , r> 1).Peracada unad’aquestescorbesinvariants,podemagafarelsseuspuntsiimaginarles trajectòriesdelhamiltonià HC quegenerenfinsatornardenoualamateixa corba(enunaltrepunt).Lasuperfícieresultantésdifeomorfaa T2 iésuntor invariantdelhamiltonià.

AriadnaFarrésiÀngelJorba

Figura 14: SecciódePoincaréperladinàmicadelhamiltoniàrestringit alavarietatcentral,peradosnivellsdelafunciódeHamilton, HC = 0 4 (columnaesquerra)i HC = 0.8(columnadreta).Laprimerafilaésla secció (q2,p2) ilasegonaéslasecció (q3,p3).(Font:elaboraciópròpia.)

Continuemobservantelprimergràficdelafilasuperiordelafigura14.Si anemcapalcentred’aquestgràfic,esveucomlescorbesinvariantsesvan fentcadacopmésestretesfinsquel’últimaés,defet,unpunt.Aquestpunt corresponaunaLiapunovvertical.Sianemcapalapartdeforadelgràfic,hi haunaúltimacorbainvariantque,defet,estàtotacontingudaenlasecció dePoincaré,quecorresponaunaLiapunovplana.Aquestéselfinaldegràfic, jaqueestemrestringitsper HC = 0 4iaixòésunasuperfíciededimensió3, compactaisensevorade R4 (difeomorfaaunaesferadedimensió3)que,en tallar-lapelpladeseccióiprojectar-laalescoordenades (q2,p2),ensdona eldiscontenimlescorbesinvariants.Enresum,aquestgràficensdonauna descripciódetoteslestrajectòriespossiblesquan HC = 0.4:sónoscil.lacions verticalsque,almateixtemps,vangirant(iperaixòlessevesinterseccions ambelpla«horitzontal» (q2,p2) vanomplintunacorbatancada).

Fixem-nosaraenelsegongràficdelafilasuperiordelafigura14.Enprincipi, éselmateixquelafiguraanterior,peròaraenshemrestringita HC = 0.8.El

dibuix,totisemblant,téclaresdiferènciesrespecteal’anterior,degutalfet ques’haproduïtuncanvi(bifurcació)eneltipusdetrajectòries.Perajudara entendreelquehapassat,hemfetunasecciódiferent:hemusatlasecció q2 = 0, hemdibuixatelstallsdelestrajectòriesamblasecció (q3,p3) ihemposatels gràficsalasegonafiladelafigura14.Elprimergràficdelaprimerafilaiel primergràficdelasegonafilarepresentenlamateixadinàmica,peròvistaamb seccionsdiferents:elpuntfixquehihaalmigdelgràficsuperiorcorrespona latrajectòriamésexteriordelgràficinferior,iviceversa.Simiremaralasegona columna,alasegonafilaesveuclarqueelpuntfixdelcentredelaprimera imatgedelasegonafilas’haconvertitentrespuntsfixos.Elspuntsfixosdels costatscorresponenaòrbitesHalo(vegeulasecció3).Lasegonafilamostrala bifurcaciódemaneramoltmésclaraquelaprimeraperquèl’òrbitaquebifurca éslamésexteriordelaprimerafila,iestrobaenellloconlaprimerasecció acaba.Encanvi,enlasegonafila,hemportatl’òrbitaquebifurcaalcentredela seccióiperaquestmotiuesveudemaneramoltmésclara.

Figura 15: SecciódePoincaré (q2,p2) perladinàmicadelhamiltonià restringitalavarietatcentralpera α = 0 02i δ = π/2(radians),pera quatrenivellsdelafunciódeHamilton.(Font:elaboraciópròpia.)

AriadnaFarrésiÀngelJorba

D’aquestamanera,produintaquestsgràficsperdiversosvalorsdelsparàmetres,podemobtenirunadescripciócompletadeltipusdetrajectòriesque podemtrobarapropdelspunts L1,2 delmodeldeHillaugmentat.Perexemple, alafigura15esmostralaseccióhoritzontalcorresponental’orientaciódela veladonadaper α = 0.02i δ = π/2radians.Elfetd’agafar δ = π/2i α ̸= 0 trencalasimetriadelmodelifaquelabifurcacióqueesveualafigura14 (per δ = 0)perdiaquestasimetria.Elsgràficsdelafigura15donenunadescripciódetoteslestrajectòriesqueesmantenenapropdelpuntd’equilibri. Enparticular,esveul’existènciadediversesòrbitesperiòdiquesenvoltadesde torsinvariants.Calnotarquetotesaquestessolucionssóninestables,jaquea aquestadescripciólifaltalaparthiperbòlicaquehemeliminatambelprocés dereduccióalavarietatcentre.

ABreuintroduccióalamecànicahamiltoniana

Enaquestasecciódonaremunesnocionsbàsiquesdemecànicahamiltoniana, perfacilitarlalecturad’algunespartsdeltext.Peraunaintroducciómés formalicompletaespodenconsultar[1, 2, 15, 23, 9].Decaraasimplificarla presentació,suposaremquetoteslesfuncionsqueapareixenenaquestasecció sónanalítiques.Si f ésunafuncióquedepèndeltemps,denotaremamb ˙ f la sevaderivadarespectealtemps.

Demaneramoltbreu,unsistemahamiltoniàvegovernatperunesequacions diferencialsdeltipus

(7)

onlesvariables q ∈ Rn s’anomenen posicions ilesvariables p ∈ Rn esdenominen moments.Lafunció H ≡ H(q,p) s’anomenala funciódeHamilton (o hamiltonià)delsistema,ilesequacions (7) esdiuen equacionsdeHamilton. Elvalor n esconeixcomel nombredegrausdellibertat delhamiltonià.

Unexempledesistemahamiltoniàésl’oscil.ladorharmònic x + x = 0 (8)

Sidefinimla x comaposició,i x = y comamoment,llavorsl’equació (8) corresponalsistemahamiltoniàdonatper H = 1 2 y 2 + 1 2 x2.Enaquestcas,el nombredegrausdellibertatés n = 1.

Tornemalcasgeneral.Sidefinim

J = 0 I I 0 ,

on I éslamatriuidentitatdedimensió n,lesequacions (7) espodenescriure coma z = J∇H(z),z = (q,p).

Comque J⊤ =−J,aquestamatriudefineixunaformasimplèctica2 ω0 sobre R2n:

ω0(u,v) = u⊤Jv,u,v ∈ R2n .

Diremqueunamatriu M éssimplècticasisatisfà M ⊤JM = J.Hihaunarelació moltestretaentrelamecànicahamiltonianailageometriasimplècticaqueva mésenllàdelpropòsitd’aquestpetitresum.Ellectorinteressattrobaràuna extensabibliografiasobreeltema,entrelaqualmencionem[6,3].

Unafunciódeclasse C1 notrivialavalorsreals f = f(q,p) esdiuque ésuna integralprimera d’unhamiltonià H siprenunvalorconstantsobre cadatrajectòria.Enaltresparaules,silessuperfíciesdenivellde f (f(q,p) = ctant)sóninvariantspelfluxdelhamiltonià.Ésfàcilveurequeelmateix hamiltonià H ésunaintegralprimera:si (q(t),p(t)) ésunasolucióde (7), llavors H(q(t),p(t)) = H(q(0),p(0)).Perveure-ho,noméscalcomprovarque laderivadade H(q(t),p(t)) respectealtempsészero: d dt H(q(t),p(t)) = ∂H ∂q (q(t),p(t))˙ q(t) + ∂H ∂p (q(t),p(t)) ˙ p(t) = =−p(t)q(t) + q(t)p(t) = 0

Definimelfluxatemps t de (7) coml’aplicació Φt queenviacadacondició inicial (p0,q0) alvalordelacorresponentsolucióatemps t.Comquela divergènciadelcampvectorial(7)és0,espotusarelteoremadeLiouvilleper demostrarqueelfluxd’unsistemahamiltoniàpreservalamesuradeLebesgue: si D ésunconjunt(mesurable)decondicionsinicials,llavors mes(Φt (D)) = mes(D) (peraunademostracióvegeu,perexemple,[1,§16]).Defet,com veuremunamicamésendavant, Φt nonoméspreservalamesura,sinóque tambépreserval’estructurahamiltoniana.

Definició 1 Donadesduesfuncionsdeclasse C1 , f = f(q,p) i g = g(q,p), definimelseuparèntesidePoissoncoma

{f,g}=∇f ⊤J∇g =

ElparèntesidePoissonésunoperadorbilinealisimètric.Recordemqueun polinomidediversesvariablesesdiu homogeni quantotselsseusmonomis sóndelmateixgrau.

Proposició 2 Si f i g sóndospolinomishomogenisenlesvariables (q,p) degraus r i s,respectivament,llavors {f,g} ésunpolinomihomogenide grau r + s 2

Lademostracióésimmediata.

2Unaformasimplècticaésunaformabilinealantisimètricainodegenerada.

AriadnaFarrésiÀngelJorba

A.1Transformacionscanòniques

Unaeinahabitualenl’estudidelesequacionsdiferencialssónelscanvisde variable.Elseupropòsitéssimplificarlesequacionsperfacilitar-nel’estudi.

EnunsistemahamiltoniàésmillorferelscanvissobrelafunciódeHamilton. Laraóésque,sielsistematé n grausdellibertat,llavorstenim2n equacions diferencials,iésméssimpleferelscanvisaunasolafunció(elhamiltonià)que ales2n equacionsdiferencials.Elprincipalinconvenientésquenototsels canvisdevariablespreservenlaformahamiltoniana.3 Elscanvisquepreserven laformahamiltonianas’acostumenaanomenar canviscanònics,iunacondició suficientperquèuncanvisiguicanònicésquelasevadiferencialacadapunt siguiunamatriusimplèctica[23].Imposardirectamentqueuncanvidevariablessiguicanònicésunatascamoltdifícil,iperaquestmotiuhihadiverses maneresindirectesdeconstruir-los.Enscentraremenunmètodequeésmolt adequatdesdelpuntdevistacomputacional.Enscalenprimerunasèriede resultatsprevisquecomentemacontinuació.

ElresultatsegüentesdeuaH.Poincaré,ipodemtrobar-nelademostracióa moltstextos,perexemplea[15].

Teorema 3. Sigui Φt elfluxatemps t d’unsistemahamiltonià.Llavors, (q,p) = Φt (x,y) ésuncanvicanònic.

Proposició 4 Sigui G = G(q,p) unhamiltoniàamb n grausdellibertat,isigui (q0(t),p0(t)) unasolució(òrbita)de G.Llavors,peraqualsevolfuncióavalors reals f = f(q,p),tenimque

dt f(q0(t),p0(t)) ={f,G}(q0(t),p0(t)).

Prova.

d

dt f(q0(t),p0(t)) =

q0 +

Ambaquestsresultatsespotobtenirelresultatsegüent.

0(t)).

Teorema 5 Sigui H unhamiltonià,i ΦG t elfluxatemps t d’unaltrehamiltonià G.Llavors,elhamiltonià H = H ◦ ΦG t (x,y) espotescriurecoma H ≡ H +{H,G}+ t2 2! {{H,G},G}+ t3 3! {{{H,G},G},G}+··· , allàonlasèriesiguiconvergent.Elhamiltonià G s’anomenala funciógeneratriu delcanvidevariables ΦG t (x,y)

Lademostracióesbasaenl’úsdelafórmuladeTaylorpera t = 0a H ◦ ΦG t (x,y)

3 Preservarlaformahamiltonianavoldirque,siesfaelcanvialhamiltoniàinicial,lesequacions diferencialscorresponentsalnouhamiltoniàcoincideixenamblesequacionsques’obtenenen ferelcanvidevariablesalesequacionsdiferencialscorresponentsalhamiltoniàinicial.

Observació. Noteuque,reescalant G sical,espotagafar t = 1enlafórmula anterior.Peraquestmotiu,nosaltressempreconsideraremcanviscanònics definitspelfluxatempsunitatd’unhamiltonià.

A.2FormanormaldeBirkhoff

Consideremunhamiltonià H ambunpuntd’equilibrique,sensepèrduade generalitat,podemsuposaral’origen.Siexpandimensèriedepotènciesa l’origen,obtindrem

H(q,p) = H2(q,p) + H3(q,p) + H4(q,p) + H5(q,p) +··· , (9)

on Hj (q,p) ésunpolinomihomogenidegrau j (l’expansiócomençaagrau2 perquèl’origenésunpuntd’equilibri).L’objectiuaraésefectuarcanvisde variablealhamiltoniàexpandit(9)persimplificar-lo.

Comencempelstermesdegrau2, H2.Sinomésconsideremaqueststermes, lesequacionsdemovimentsónlineals,

z = J∇H2(z) = Az,z = (q,p),

on A ésunamatriuconstant.Abansdecontinuar,noteuque A noésunamatriu qualsevol(perexemple,jahemcomentatabansqueladivergènciadelcamp vectoriald’unhamiltoniàés0,laqualcosaimplicaquelatraçadelamatriuA és0).Peramésdetallssobrelespropietatsd’aquestesmatriuspodeuconsultar, perexemple,lasecció2.1de[23].

Persimplificarlapresentació,suposaremquelamatriu A éslaquecorresponalspunts L1,2 delPRCTC,fetqueensserviràperexplicarelscasosque apareixenaquí.Ésadir,suposaremque A ésunamatriuregulardedimensió6 ambdosvalorspropisreals, ±λ1,iquatrevalorspropisimaginarispurs, ±ωj i (j = 2, 3).

Nota. Suposaremquelesfreqüències ω2, ω3 sónlinealmentindependents sobreelsracionals.Aixòvoldirque

kω2 + ℓω3 ̸= 0, ∀(k,ℓ) ∈ Z2 \{0}.

Ésclarque,comqueelsvalorspropissóndiferents,hihauncanvireallineal(i canònic)ambelquallamatriu A diagonalitzaambelsvalors ±λ1, ±ω2,3 i ala diagonal.Éstrivialveureque,enaquestscoordenades,

Unadiscussiódetalladasobreelprocésperobteniraquestcanvilineales potveure,perexemple,a[19].Noteuqueperpoderdiagonalitzarlamatriu A enshacalgutentraralscomplexos.Peraquestmotiu,l’equació (10) també s’anomena formanormalcomplexa delstermesdesegonordredelhamiltonià. Espotevitarentraralscomplexosusantlaformanormalreal,

Elcanvi(canònic)devariablesquerelacionalesduesés

Enaquestcas,però,lamatriu A noesdevédiagonal,sinódiagonalperblocs,

onelselementsdeforadeladiagonalsónzeroi

Decaraasimplificarelscàlculsposteriors,usaremlescoordenadesenquè H2 ésdiagonal(10).

Elpassegüentéssimplificarelstermesdegrau3.Perveurecomva,miremquèpassasifemelcanvicanònicdonatpelfluxatemps1d’unhamiltonià G3 queésunpolinomihomogenidegrau3.Sianomenem H elnou hamiltonià,sabemque H ≡ H +{H,G3}+ 1 2! {{H,G3},G3}+ 1 3! {{{H,G3},G3},G3}+··· .

Siconsidereml’expansióensèriedepotènciesde H,labilinealitatdelparèntesi dePoissonilaproposició2,ésfàcilveureque H2 = H2,ique H3 = H3 +{H2,G3}.

Pertant,hemdeveurequin G3 ensprodueixun H3 alméssimplepossible. Introduïmaralanotaciósegüent:si z = (z1,z2,z3) i k = (k1,k2,k3) ∈ N3 , definim zk = z k1 1 z k2 2 z k3 3 , |k|= k1 + k2 + k3.

Pertant,escrivim H3 i G3 coma

H3(q,p) = |k|+|ℓ|=3 hk,ℓ qkpℓ,G3(q,p) = |k|+|ℓ|=3 gk,ℓ qkpℓ , on k = (k1,k2,k3) i ℓ = (ℓ1,ℓ2,ℓ3).Notemque,comque H2 estàenformadiagonalcomplexa (10),tenimque LH2 (·) ={H2, ·} ésunoperadorlinealdiagonal sobrel’espaidepolinomis, LH2 (qkpℓ) ={H2,qkpℓ}= [(ℓ1 k1)λ1 + i(ℓ2 k2)ω2 + i(ℓ3 k3)ω3]qkq pkp .

Pertant,ésimmediattrobarun G3 quefaci H3 = 0, G3(q,p) = |k|+|ℓ|=3 hk,ℓ (ℓ1 k1)λ1 + i(ℓ2 k2)ω2 + i(ℓ3 k3)ω3 qkq pkp

Noteuque G3 estàbendefinit,jaqueelsdenominadorssóndiferentsde zero:comque |k|+|ℓ| éssenar, k ̸= ℓ i,pertant,algundelsvalors ℓj kj del denominadorésdiferentdezero,cosaqueimplicaqueeldenominadorésno nul(recordemquelesfreqüències ω2 i ω3 sónlinealmentindependentssobre elsracionals).

Aplicaraquestcanvidevariablesésrelativamentsenzill,jaquenomés requereixefectuarparèntesisdePoissonambpolinomishomogenis.Perveure organitzacionseficientsdesd’unpuntdevistacomputacionald’aquestes operacions,espotconsultar,perexemple,[28,19].

Persimplificarlanotació,reanomenem H elnouhamiltonia,imantenim (q,p) comanomperalesnovesvariables.Desprésdelcanvidevariabledonat per G3,elhamiltoniàtélaforma

H = H2 + H4 + H5 +··· .

Elpassegüentenelprocésdesimplificaciódelhamiltoniàésintentarsuprimir elstermesd’ordre4, H4,ambunafunciógeneratriud’ordre4, G4.Igualque abans,ésfàcilveureque,sifemelcanvidevariablesdonatperunhamiltonià G4, queésunpolinomihomogenid’ordre4,elnouhamiltonià H verificaque H2 = H2, H3 = 0i

H4 = H4 +{H2,G4}

Notemaraquel’operador LH2 (·) ={H2, ·} noésbijectiusobreelspolinomis homogenisdegrau4(nisobreelsdecapgrauparell),jaque,si k = ℓ,es téque LH2 (qkpℓ) = 0.Aixòfaquenoespuguiaconseguirque H4 = 0ique, comquel’operador LH2 ésdiagonal,totselsmonomisamb k = ℓ de H4 no espuguinsuprimir.Aaquestsmonomisse’lsacostumaaanomenar monomis ressonants,otambé ressonànciesinevitables.

Aquestprocésespotcontinuarordreaordrei,desprésd’unnombrefinit depassos,obtenimunhamiltoniàdelaforma

H2 + H4 + H6 +···+ H2N + R2N+1, onelsúnicsmonomispresentsacada H2j sónelsquetenen k = ℓ.Aquesta expressiós’anomena formanormaldeBirkhoff.Eldominideconvergènciade lasèrieesvafentpetitamesuraque N creix.Siescontinuaelprocésatotsels ordres,totiqueelhamiltoniàinicialsiguianalític,eldominideconvergència esredueix,genèricament,a0.Enaquestcas,laformanormaldeBirkhoffés declasse C∞.Totilasevadivergència,lesformesnormalsdeBirkhoffsón moltútils,perexemple,perestudiarl’estabilitatdepuntsel.líptics[10, 28].En els(pocs)casosenquèsónconvergents,sónintegrablesidoneninformació completadeladinàmicaeneldominideconvergència[5].

A.3Reduccióalavarietatcentre

Tornemaraal’estudideladinàmicapropdelspunts L1,2 delsistemaTerraSol.Comjahemcomentatabans,aquestspuntstenenduesdireccionsellíptiquesiunadireccióhiperbòlica.Esteminteressatsasaberquinessolucions

AriadnaFarrésiÀngelJorba

esmantenenaunacertadistànciadelpuntd’equilibri,perquèpodenser adequadesperamissionsespacials.

Ésbensabutque,sotacondicionsgenèriquesdelhamiltonià,peracada direccióel lípticaneixunafamília1-paramètricad’òrbitesperiòdiques[23].La freqüèncialímitd’aquestesòrbitesperiòdiquesenacostar-sealpuntd’equilibri éslafreqüènciadel’oscil laciólinealdeladireccióel lípticacorresponent.Si consideremduesomésdireccionsel.líptiques,aquestesdonenllocaunafamília cantoriana(aixòvoldirqueestàparametritzadasobreunconjuntdeCantor ambmesuradeLebesguepositiva)desolucionsquasiperiòdiques[21].

Lasimulaciónumèricadirectadeladinàmicapropdelspunts L1,2 éscomplicadadegutalcaràcterfortamentinestabledelspunts,quefaquelestrajectòries sen’allunyinmoltràpidamentiquenoespuguiobservarcomsónlestrajectòriesperiòdiquesiquasiperiòdiquesquehihaaprop.Peraquestmotiu,farem unaseqüènciadecanvisdevariablealhamiltoniàpermirarde«desacoblar»la partinestabledelesdireccionsel.líptiquesirestringirelhamiltoniàaaquestes direccionsel.líptiques.Aquestprocéss’anomena reduccióalavarietatcentre. Vegem-hoambmésdetall.Considerem,doncs,unhamiltoniàambtres grausdellibertatambunpuntd’equilibrideltipus sella × centre × centre, quesuposaremqueésl’origen.Siconsideremlalinealitzaciódelesequacions diferencialsenaquestpunt,tenimqueladinàmicaespotdescriurecomel productededososcil.ladorsharmònicsiunasellalineal.Podemagafar,doncs, coordenades(ésadir,podemferuncanvilineal),demaneraquedesacoblem elsdososcil.ladorsharmònicsdelaparthiperbòlica.Perdesacoblarlapart hiperbòlicaaordrealtusaremunaformanormalparcial.Igualqueabans, expandimelhamiltoniàensèriedepotènciesalvoltantdel’origen,demanera que,enserl’origenpuntd’equilibri,l’expansiócomençaambtermesdegrau2. Comabans,usemcoordenadesdemaneraqueelstermesdegrau2tenenla forma

Elcanvidecoordenades(11)faque H2 estiguienformadiagonalcomplexa,

Ara,iniciemunprocésdeformanormal,perònopersimplificaralmàxim elhamiltonià,sinónomésperdesacoblarlaparthiperbòlica.Ésadir,només suprimiremelsmonomisresponsablesd’aquestacoblament.Concretament, noméseliminaremelsmonomistalsquel’exponentde q1 siguidiferentde l’exponentde p1 (perauncriterilleugeramentdiferent,vegeu[29]).Aquesta selecciótédiversosefectes.Enprimerlloc,noteuquelafunciógeneratriua ordre n tindràlaforma

Comque kq1 ̸= kp1 ,elsdenominadorsqueapareixenenaquestaexpressióestan acotatspersota,

iaquestaéslaraóquefaqueladivergènciadelprocéssiguimoltlentaquan n tendeixainfinit.Siaturemaquestestransformacionsdesprésd’unnombre finitdepassos,obtenim

H(q,p) = HN (q1p1,q2,q3,p2,p3) +R(q,p),

on HN contélapartd’ordre ≤ N (laquehem«arreglat»)i R éslarestaqueconté elstermesd’ordresuperior.Noteuque HN nodepèndelesvariables q1, p1 per separat,sinódelseuproducte.

Siaradescartemlaresta R (ésmoltpetitapropdel’origen),podemdefinir I1 = q1p1 ielhamiltoniàprenlaforma H = HN (I1,q2,q3,p2,p3).Noteuque l’equaciócorresponenta I1 és I1 = 0i,pertant, I1 ésunaintegralprimera.Si seleccionem I1 = 0,estemrestringintelhamiltonià HN aunavarietatinvariant, queéstangental’origenalapartcentredel’aproximaciólineal.Aquestprocés s’anomena reduccióalavarietatcentre

Uncopfixem I1 azero,obtenimunhamiltonià Hc ≡ HH (0,q2,p2,q3,p3) ambdosgrausdellibertat,ambl’origencomapuntd’equilibriel líptic.Aleshores,ésfàcilferunadescripciódeladinàmicapropdel’origen:l’espaide fasesésdedimensió4;sifixemunnivelld’energia Hc = hc ,tenimque ladinàmicatéllocenvarietatsdedimensió3,parametritzadespelvalor real hc .Ara,unasecciódePoincarétédimensió2i,pertant,espotvisualitzarladinàmicacomunacol lecciódeseccionsdedimensió2(unapera cadavalordelparàmetre hc escollit).D’aquestamaneraespodenobservarles diversesdinàmiquesqueapareixenal’entorn,comaralesòrbitesHalo[11].

Agraïments

Aquestarticlevacomençaragestar-sefamoltsanysirecullunapartimportant delafeinaquevamdesenvoluparplegatsdurantlamevatesidoctoralienels anysposteriors.Ladistànciailescircumstànciesvanferquelasevaelaboració s’allarguésmésdelquehauríemimaginat.Elgenerde2025ensvamretrobar enunRTNSivamacordarqueaquellseria,finalment,l’anyd’acabar-lo.Una setmanadesprés,l’Àngelensvadeixarinesperadament.Vaigprometreque acabariaaquestarticleenhonorseu,iaquestespàginessónunpetithomenatge alasevadedicació,alseumestratgeialasevaamistat.

Referències

[1] Arnold,V. Lesméthodesmathématiquesdelamécaniqueclassique.Moscou:ÉditionsMir,1976.[TraduïtdelrusperDjilaliEmbarek]

[2] Arnol’d,V.I.;Kozlov,V.V.;Ne˘ishtadt,A.I. DynamicalSystems.III Berlín:Springer-Verlag,1988.(EncyclopaediaMath.Sci.;3)[Traduïtdelrus perA.Iacob]

AriadnaFarrésiÀngelJorba

[3] Berndt,R. AnIntroductiontoSymplecticGeometry.Providence,RI:AmericanMathematicalSociety,2001.(Grad.Stud.Math.;26)[Traduïtdel’originalalemanyde1998perMichaelKlucznik]

[4] Devaney,R.L. «Reversiblediffeomorphismsandflows». Trans.Amer. Math.Soc.,218(1976),89–113.

[5] Duarte,G.;Jorba,À. «UsingnormalformstostudyOterma’stransitionin theplanarRTBP». DiscreteContin.Dyn.Syst.Ser.B,28(1)(2023),230–244.

[6] Eliashberg,Y.;Traynor,L.(ed.). SymplecticGeometryandTopology Providence,RI:AmericanMathematicalSociety;Princeton,NJ:Institutefor AdvancedStudy(IAS),1999.Conferènciesdel’Escolad’EstiudePostgrau celebradaaParkCity,Utah,del29dejunyal19dejuliolde1997.(IAS/Park CityMath.Ser.;7)

[7] Farrés,A. «CatalogueonthedynamicsofasolarsailaroundL1andL2». A: ProceedingsoftheFourthInternationalSymposiumonSolarSailing, Kyoto,Japó,17–20degenerde2017.

[8] Farrés,A.;Jorba,À.;Mondelo,J.-M. «Numericalstudyofthegeometry ofthephasespaceoftheaugmentedHillthree-bodyproblem». Celestial Mech.Dynam.Astronom.,129(1-2)(2017),25–55.

[9] Giorgilli,A. NotesonHamiltonianDynamicalSystems.Cambridge:CambridgeUniversityPress,2022.(LondonMath.Soc.Stud.Texts;102)

[10] Giorgilli,A.;Delshams,A.;Fontich,E.;Galgani,L.;Simó,C. «Effective stabilityforaHamiltoniansystemnearanellipticequilibriumpoint, withanapplicationtotherestrictedthree-bodyproblem». J.DifferentialEquations,77(1)(1989),167–198.

[11] Gómez,G.;Jorba,À.;Simó,C.;Masdemont,J. StudyRefinementofSemianalyticalHaloOrbitTheory.ESOCcontract8625/89/D/MD(SC),final report,EuropeanSpaceAgency,1991.Reimprèscoma: DynamicsandMissionDesignNearLibrationPoints.Vol.III.AdvancedMethodsforCollinear Points.RiverEdge,NJ:WorldScientificPublishingCo.,Inc.,2001.(World Sci.Monogr.Ser.Math.;4)

[12] Gómez,G.;Jorba,À.;Simó,C.;Masdemont,J. StudyofPoincaréMaps forOrbitsNearLagrangianPoints.ESOCcontract9711/91/D/IM(SC),final report,EuropeanSpaceAgency,1993.Reimprèscoma: Dynamicsand MissionDesignNearLibrationPoints.Vol.IV.AdvancedMethodsforTriangularPoints.RiverEdge,NJ:WorldScientificPublishingCo.,Inc.,2001. (WorldSci.Monogr.Ser.Math.;5)

[13] Gómez,G.;Llibre,J.;Martínez,R.;Simó,C. StationKeepingofLibrationPointOrbits.ESOCcontract5648/83/D/JS(SC),finalreport,European SpaceAgency,1985.Reimprèscoma: DynamicsandMissionDesignNearLibrationPoints.Vol.I.Fundamentals:TheCaseofCollinearLibration Points.AmbunpròlegdeWalterFlury.RiverEdge,NJ:WorldScientific PublishingCo.,Inc.,2001.(WorldSci.Monogr.Ser.Math.;2)

[14] Gómez,G.;Llibre,J.;Martínez,R.;Simó,C. StudyonOrbitsNearthe TriangularLibrationPointsinthePerturbedRestrictedThree-BodyProblem. ESOCcontract6139/84/D/JS(SC),finalreport,EuropeanSpaceAgency, 1987.Reimprèscoma: DynamicsandMissionDesignNearLibrationPoints. Vol.II:Fundamentals:TheCaseofTriangularLibrationPoints.RiverEdge, NJ:WorldScientificPublishingCo.,Inc.,2001.(WorldSci.Monogr.Ser. Math.;3)

[15] Hairer,E.;Lubich,C.;Wanner,G. GeometricNumericalIntegration. Structure-PreservingAlgorithmsforOrdinaryDifferentialEquations.2aed. Berlín:Springer-Verlag,2006.(SpringerSer.Comput.Math.;31)

[16] Heiligers,J.;Diedrich,B.;Derbes,B.;McInnes,C.R. «Sunjammer:PreliminaryEnd-to-EndMissionDesign».AIAA2014-4127.Session:Interplanetary andEarthOrbitalMissionDesignandAnalysisII.AIAA/AASAstrodynamicsSpecialistConference(2014).

[17] Hill,G.W. «ResearchesintheLunarTheory». Amer.J.Math.,1(1)(1878), 5–26;1(2)(1878),129–147;1(3)(1878),245–260.

[18] Johnson,L.;Whorton,M.;Heaton,A.;Pinson,R.;Laue,G.;Adams,C. «NanoSail-D:Asolarsaildemonstrationmission». ActaAstronaut.,68(5-6) (2011),571–575.SpecialIssue:Aosta2009Symposium.

[19] Jorba,À. «Amethodologyforthenumericalcomputationofnormalforms, centremanifoldsandfirstintegralsofHamiltoniansystems». Experiment. Math.,8(2)(1999),155–195.

[20] Jorba,À.;Masdemont,J. «Dynamicsinthecentermanifoldofthecollinearpointsoftherestrictedthreebodyproblem». Phys.D,132(1-2)(1999), 189–213.

[21] Jorba,À.;Villanueva,J. «Onthenormalbehaviourofpartiallyellipticlower-dimensionaltoriofHamiltoniansystems». Nonlinearity,10(4) (1997),783–822.

[22] McInnes,C.R. SolarSailing.Technology,DynamicsandMissionApplications.Londres:Springer,1999.(SpringerPraxisBooks)

[23] Meyer,K.R.;Offin,D.C. IntroductiontoHamiltonianDynamicalSystems andthe N-BodyProblem.3aed.Cham,Suïssa:Springer,2017.(Appl.Math. Sci.;90)

[24] Poincaré,H. «Surleproblèmedestroiscorpsetleséquationsdela dynamique». ActaMath.,1(2)(1890),1–271.

[25] Poincaré,H. Lesméthodesnouvellesdelamécaniquecéleste.Vol.1,2,3. París:Gauthier-Villars,1892–1899.

[26] Pollard,H. MathematicalIntroductiontoCelestialMechanics.Englewood Cliffs,NJ:Prentice-Hall,Inc.,1966.

[27] Sevryuk,M.B. ReversibleSystems.Berlín:Springer-Verlag,1986.(Lecture NotesinMath.;1211)

AriadnaFarrésiÀngelJorba

[28] Simó,C. «Estabilitatdesistemeshamiltonians». Mem.RealAcad.Cienc. ArtesBarcelona,48(7)(1989),5–36.

[29] Simó,C. «EffectivecomputationsinHamiltoniandynamics».A: Mécanique céleste.París:SociétéMathématiquedeFrance,1996,23p.(SMFJourn. Annu.;1996)

[30] Sotomayor,J. Liçõesdeequaçõesdiferenciaisordinárias.RiodeJaneiro: InstitutodeMatemáticaPuraeAplicada,1979.(ProjetoEuclides;11)

[31] Spencer,D.A.;Betts,B.;Bellardo,J.M.;Diaz,A.;Plante,B.;Mansell,J.R. «Thelightsail2solarsailingtechnologydemonstration». AdvancesinSpaceResearch,67(9)(2021),2878–2889.SpecialIssue:Solar Sailing:Concepts,Technology,andMissionsII.

[32] Szebehely,V. TheoryofOrbits.TheRestrictedProblemofThreeBodies NovaYork:AcademicPress,1967.

[33] Tsuda,Y.;Mori,O.;Funase,R.;Sawada,H.;Yamamoto,T.;Saiki,T.; Endo,T.;Kawaguchi,J. «FlightstatusofIKAROSdeepspacesolarsail demonstrator». ActaAstronaut.,69(9-10)(2011),833–840.

[34] Tsuda,Y.;Mori,O.;Funase,R.;Sawada,H.;Yamamoto,T.;Saiki,T.; Endo,T.;Yonekura,K.;Hoshino,H.;Kawaguchi,J. «Achievementof IKAROS-Japanesedeepspacesolarsaildemonstrationmission». ActaAstronaut.,82(2)(2013),183–188.7thIAASymposiumonRealisticAdvanced ScientificSpaceMissionsAosta,Italy,July2011.

[35] Whorton,M.;Heaton,A.;Pinson,R.;Laue,G.;Adams,C. «NanoSail-D: TheFirstFlightDemonstrationofSolarSailsforNanosatellites».22nd AnnualAIAA/USUConferenceonSmallSatellites(2008).

[36] Zardain,L.;Farrés,A.;Puig,A. «High-fidelitymodelingandvisualizing ofsolarradiationpressure:aframeworkforhigh-fidelityanalysis».A: Proceedingsofthe2020AAS/AIAAAstrodynamicsSpecialistConference, 2020.

AriadnaFarrés

GoddardPlanetaryandHeliophysicsInstitute UniversityofMarylandBaltimoreCounty 8800 GreenbeltRd,Greenbelt,MD 20771 afarres@umbc.edu

ÀngelJorba

DepartamentdeMatemàtiquesiInformàtica UniversitatdeBarcelona

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.40,núm.1-2,2025–2026.Pàg.43–67. DOI:10.2436/20.2002.01.119

Problemesdedistànciesengrafscontinus DeliaGarijoiRodrigoI.Silveira

Resum: L’estudideparàmetresassociatsadistànciestéunaposiciócentralenla teoriadegrafs,deguttantalseuinterèsteòriccomalessevesmúltiplesaplicacions. Tradicionalment,elsproblemesenestuditractavenambdistànciesentreelsvèrtexs delgraf,peròdurantladarreradècadahasorgitungraninterèsaexplorarunaversió contínuademoltsd’aquestsproblemes.Enlaversiódiscreta,lesarestesdelsgrafssón parellsdevèrtexs,mentrequeenlaversiócontínuasónconjuntsinfinitsdepunts.Això donallocalfetqueelnombrededistànciesaconsiderarsiguiinfinit,finsitotquanel nombredevèrtexsésfinit.Aquesttreballtécomaobjectiuoferirunapanoràmicadels estudisdesenvolupatssobreeldiàmetreiladistànciamitjanaenaquestnoucontext degrafscontinus.Incidiremenelsefectesdetraslladarnocionsbàsiquesdegrafsal terrenycontinu,tantdesdelpuntdevistaconceptualcomalgorísmic.

Paraulesclau: teoriadegrafs,geometriacomputacional,diàmetre,distànciamitjana, nombredeBorsuk.

ClassificacióMSC2020: 05C10,05C85,68R10,68Q25.

1Introducció

Elsgrafssónundelsobjectescombinatorisméssenzills,jaque,enlaseva versióméssimple,nomésconstend’unconjunt(habitualment,perònonecessàriament,finit),elselementsdelquals’anomenen vèrtexs,iparellsd’elements d’aquestconjunt,les arestes.Malgrataquestasimplicitat,lateoriadegrafsés summamentfèrtilipresentanombrosesramificacionsiinterconnexionsamb altresdisciplines:algebraica,numèrica,puramentcombinatòria,algorísmica, etc.Donadalasevagranversatilitatpermodelarsituacionsendiversoscamps, lessevesaplicacionssónincomptables.

Encaraquel’estudidelsgrafsesremuntaaEulerielfamósproblemadels pontsdeKönigsberg,espotconsiderarquedesdemitjansdelsanystrenta delseglepassathaviscutungranauge(vegeu,perexemple,lesressenyes publicadesenaquestbutlletí[50, 51]).Lesaplicacionshanestatunelement clauperaaquestimpuls,jaqueelsvèrtexspodenrepresentarqualsevolobjecte oconcepte,ilesarestesreflecteixenrelacionsentreaquestsobjectes.

Enmoltesaplicacions,elselementsquecomponenungrafportenassociada algunainformaciógeomètrica:elsvèrtexsescorresponenambpuntsenalgun espai,ilesarestes,ambcorbesenaquestespai.Unexemplesenzillésl’esquema comagrafd’unmapadecarreteresiunaltre(geomètricament)méssubtilés eldissenyd’unmicroxip,enelqualnonomésésimportantlaunióentreels diferentscomponents,sinócoms’uneixen:elscreuamentsnodesitjatss’eviten mitjançantpoligonalsortogonals,lesqualshandetenirlalongitudmínimaiel menornombredecolzes.

Demaneranaturalsorgeixaixíelconceptede longitud d’un camí enun graf,id’aquílanocióde distància entrevèrtexs.Elscaminsengrafssón, informalment,seqüènciesd’arestesqueconnectendosvèrtexs.Assignantun pesolongitudacadaaresta,lalongituddelcamíéslasumadelspesosdeles arestesqueelcomponen,iladistànciaentredosvèrtexséslalongitudmínima d’uncamíqueelsconnecta(vegeuenlafigura1ladistànciaentreelsvèrtexs v i w).

Elsproblemesrelacionatsambdistànciessónparticularmentimportantsen lateoriadegrafs;enlaliteraturaespodentrobarcentenarsd’estudisemmarcatsenuncontextqueanomenem discret,onlesdistànciesqueesconsideren sónnomésentrevèrtexsdelgraf.Noobstantaixò,enladarreradècadas’ha començataexplorarunavariant contínua demoltsd’aquestsproblemes,la qualésmésnaturaldesdelpuntdevistadenombrosesaplicacions.Demanera informalpodemdirquelagrandiferènciaentreambduesvariantsésque,en elproblemaatractar,espassadeconsiderardistànciesnomésentrevèrtexs (discret)adistànciesentrequalssevoldospuntsqueestiguinsobrelesarestes delgraf(continu).Així,finsitotsielconjuntdevèrtexsésfinit,passemde considerarunnombrefinitdedistànciesaunnombreinfinit,laqualcosa augmentaenormementlacomplexitatdelproblemaenestudi. pq

Figura 1: Cadaarestadelgraftélongitud1.Ladistànciaentreels vèrtexs v i w és3iuncamímínim(enaquestcas,únic)elformen lesarestesambuntraçmésgruixut.Ladistànciamàximaenelgrafsi consideremtotselspuntssobrelesarestesnoesdonaentrevèrtexs, sinóentreelspunts p i q marcatsambunacreu(perobteniruncamí mínimentreellsn’hihaproud’afegirelsfragmentsd’aresta vp i wq al camídetraçmésgruixutqueuneix v i w).(Font:elaboraciópròpia.)

Lafigura1il.lustra,ambunexemplemoltsenzill,ladiferènciaentreles variantsdiscretaicontínuadelproblemadecalcularladistànciamàximaen ungraf.Elgrafdelafiguraésun grafpla,ésadir,ésunaimmersióenel plad’ungraf,demaneraquenohihatallsentrelesarestes(excepteenels

extrems).1 Siassignemlongitud1acadaaresta,ladistànciamàximaentre elsvèrtexsdelgrafrepresentatalafiguraés3,peròladistànciamàxima entreelspuntsqueestansobrelesarestes(formalment,elllocgeomètricdela imatgedelaimmersióenelpla)és4.

Així,ungrafcombinatori G defineixun grafcontinu2 G comelconjunt infinitdepuntsdeterminatpelsvèrtexsiarestesde G,oncadapuntsobreuna arestaéspartdelgraf.Formalitzemacontinuacióaquestaideadecontinuïtat engrafsi,enparticular,quèsignificaqueunpuntestiguisobreunaaresta.

Partimd’ungrafcombinatoriconnexnodirigit3 G = (V,A,ℓ) on V i A són, respectivament,elconjuntdevèrtexsiarestes,i ℓ ésunafuncióqueassigna unalongitud ℓ(a) ≥ 0acadaaresta a ∈ A (assumimquenototesleslongituds sónzero).

Peracadaaresta uv de G (denotadamitjançantelsseusvèrtexsextrems u, v),consideremenelpla R2 unsegmenttancat G(uv) delongitud ℓ(uv) amb lamètricaeuclidiana.Seleccionemarbitràriamentunextremdecadasegment.

Peracadavèrtex u de G,prenemelssegmentsquecorresponenaarestes incidentsen u iidentifiqueml’extremseleccionat(delsegmentcorresponent) amb u.L’espairesultantéselgrafcontinu G definitper G.

Caldestacarqueelgrafcontinu G espotpensarcomuncomplexsimplicial dedimensió1oncadaaresta uv ésisomètricaaunsegmentdelongitud ℓ(uv) Peraixò,ensreferimindistintamentavèrtexs(arestes)de G ode G.

Unpunt p de G vedonatperunatripleta (uv,u,λ) ∈ A × V × [0,ℓ(uv)], querepresentaelpuntdelsegment G(uv) adistància λ (sobreelsegment) del’extremidentificatamb u.Lestripletes (uv,u,λ) i (uv,v,ℓ(uv) λ) defineixenelmateixpuntde G.Utilitzem p ∈G perindicarque p ésunpuntdel grafcontinu G,idemaneraanàlogaindiquemlapertinençaaunaaresta.

Elsgrafscontinussónunaclassemésgeneraldelsanomenats grafsgeomètrics [43],enelsqualscadavèrtexésunpuntenelplaicadaarestaésun segmentqueconnectaelspuntscorresponents(i,amés,esrequereixquecap arestapassiperunaltrevèrtex).Totgrafgeomètricespotveurecomungraf continu,perònoal’inrevés.Perexemple,ungrafcontinu complet 4 ambquatre vèrtexsontoteslesarestestenenlongitud1noespotrealitzarcomungraf geomètric(jaquea R2 ésimpossiblequetotselsparellsdevèrtexsestiguina distància1).

Elsgrafsgeomètricshanestatàmpliamentestudiats,nonoméspelseu interèsteòric,sinótambéperlessevesmúltiplesaplicacionsenproblemesrelacionats,enparticular,ambeldissenydexarxesiamblainformaciógeogràfica; vegeu,perexemple,lesreferències[46,55].

1 Elsgrafsqueespodenrepresentarenunplad’aquestamanera,anomenats grafsplanars,van sercaracteritzatsperKuratowski[40].Caldistingirentreungrafplanariunaimmersiód’aquest grafenelpla,queésungrafpla.

2Tambéanomenat grafmètric enaltresàreesmésproperesal’anàlisi[28,41].

3 Enungrafconnexnodirigittotselsvèrtexsestanconnectatsperuncamíilesarestesestableixenrelacionssimètriquesentreelsvèrtexs.

4Ungrafés complet sitotparelldevèrtexsformaunaaresta.

Elsconceptesde camí i distància s’estenendemaneranaturaldelcontext discretalcontinu;defet,jahemutilitzataquestesideesenreferir-nosala figura1peril lustrarunadiferèncianumèricaentrelesduesvariants.

Enelcascontinu,elscaminsestandefinitsnonomésperarestes,sinótambé per,comamàxim,dosfragmentsd’arestes(comelscaminsentreelspunts p i q delafigura1).Ladistànciaentredospunts p,q ∈G esdenotaamb dG (p,q) Assumimqueladistànciaentreelsdosextremsd’unaaresta a és ℓ(a),perla qualcosa,si p = (uv,u,λ) i q = (uv,u,λ′) estansobrelamateixaaresta uv, estéque dG (p,q) =|λ λ′|.

Unexempletansenzillcomeldelafigura1jamostracomaugmenta ladificultatquanpassemdetractarambdistànciesen G adistànciesen G Lesdiferènciesnoesredueixenaunmervalornumèric,sinóquesorgeixen qüestionsmésprofundes:sienscentremenundelstrianglesdelafigura,la majordelesdistànciesdinsdeltriangleés1iaquestvalorl’assoleixenlestres parellesdevèrtexs,però,comagrafcontinu,cadascundelspuntsqueestan sobrelesarestesadmetunaltrepuntamàximadistància1 5dinsdeltriangle. Així,desd’unpuntdevistaalgorísmic,enelcascontinuenstrobemsovintamb ladificultatinicialdediscretitzarelproblema,fetquenopassasiconsiderem elmateixproblemaengrafscombinatoris.

Hemorganitzataquestarticleenduesseccionsprincipals.Alasecció2 expliquemcomabordaralgorísmicamentelproblemadelcàlculenelcas continudeparàmetresrelacionatsambdistàncies(moltestudiatsenlaseva variantdiscreta).Alasecció3enscentremarealitzarmodificacionssobre elsgrafscontinus:trasllademalcascontinuels problemesd’augment,ben conegutsdelcontextdiscret,iunparàmetreclàssicdelageometria,el nombre deBorsuk.Acadasecciódetallaremelstreballsrelacionatsiremarcaremles diferènciesipeculiaritatsdelcascontinurespectealdiscret.

2Mesuresperagrafscontinus

Elsparàmetresnumèricsproporcioneninformaciómoltdiversasobreelgrafal qualestanassociats;perexemple,sobrecoloracions,orientacionsofluxos.Ala literaturapodemtrobarmultitudd’estudisquecomprenenenfocamentsd’índolemoltdiferent,desdeproblemesalgorísmicsrelacionatsambelseucàlcul finsaqüestionsdetipusalgebraicqueelsrelacionenambinvariantspolinòmics degrafs.Elventalldeparàmetresnumèricsquetractenambdistàncieséstan ampliquenomésn’esmentemalgunsquehanestatmoltestudiats:diàmetre, radi,dilacióidistànciamitjana.Encaraquetotsaquestsparàmetresespoden traslladardemaneranaturalagrafscontinus,enaquestarticledescrivimtan solsalgunsestudisrelacionatsambeldiàmetreiambladistànciamitjana.

2.1Diàmetre

Adiferènciadel diàmetre d’ungrafcombinatori,queesdefineixcomelmàxim delesdistànciesentretotselsparellsdevèrtexs,enungrafcontinuelmàximes

prenentreunnombreinfinitdeparellsdepunts.Enefecte,eldiàmetred’un grafcontinu G o diàmetrecontinu de G,denotatamb diam(G),ésladistància màximaentrequalsevolparelldepuntsen G: diam(G) := max p,q∈G dG (p,q).

Dospuntsladistànciaentreelsqualsassoleixaquestvalors’anomenen punts diametrals o parelldiametral.

Elsproblemesquetractenambeldiàmetrecontinud’ungraf,tambéanomenat diàmetregeneralitzat [17],hanrebutunaatencióconsiderablerecentment; vegeu,perexemple,[2,5,13,15,29].

Figura 2: Enungrafcontinuquesigui,amés,uncicle,com aquestquadratdecostat1,totpuntéspartd’unparelldiametral: (p1,q1),(p2,q2),... Enparticular,totpuntentéunaltreadistància2, valorqueésigualaldiàmetre.(Font:elaboraciópròpia.)

2.1.1Parellsdiametrals Ésfàciltrobargrafscontinusonhihaunnombre infinitdeparellsdiametrals;perexemple,enqualsevolgrafquesiguiunúnic cicleeldiàmetrecontinuéslameitatdelperímetredelciclei,peratotpunten elcicle,n’existeixunaltreexactamentaaquestadistància;vegeulafigura2. Tanmateix,unaobservaciófonamentalésquepercalculareldiàmetrecontinun’hihaproud’estudiartansolsunconjuntfinitdeparellsdepunts,jaque semprehihaparellsdiametralsdisposatsd’unamaneraparticular.Enconcret, lessituacionspossibless’il.lustrenalafigura3,iesresumeixenenl’observació següent.

Observació([13]). Entotgrafcontinu G existeixunparelldiametral p, q que satisfàalgunadelescondicionssegüents:

(i) p i q sónvèrtexs,

(ii) p ésunvèrtexdegrau5 1i q ésunpuntinteriord’unaarestaelsextrems delaqualtenengraualmenys2,

(iii) p i q sónpuntsinteriorsd’aresteselsextremsdelesqualstenengrau almenys2.

5El grau d’unvèrtexéselnombred’arestesquetenenaquestvèrtexcomaextrem.

Enelcas(i)del’observació,quan p o q sónvèrtexs,noméshihatants candidatscomvèrtexs.Enelscasos(ii)i(iii),semblarianoestardeltotclar comtrobarelspunts p i q quansóninteriorsalesarestes(jaquehihaun nombreinfinitdecandidats).Afortunadament,elfetque p i q hagindeformar unparelldiametralrestringeixlespossiblesposicionsdinsd’unaaresta.La clauvedonadapelfetque,siunpunt p éspartd’unparelldiametral p, q,i p ésal’interiord’unaaresta,llavorshand’existirdoscaminsmínimsde p a q, unperacadaextremdel’aresta.Quanlauniód’aquestsdoscaminsésuncicle, comalafigura3(b),unargumentdecontinuïtatdemostraquesempreespot desplaçarundelsdospuntsfinsaunvèrtexde G

Enelcasdelafigura3(c),noéspossiblemoure p o q sensequeelparell deixideserdiametral.Així,laposiciódelpuntinterioral’arestaésúnica:

Figura 3: Tipusdeparellsdiametralsaungrafcontinu.(Font:elaboració pròpia.)

Observació. Sigui G ungrafcontinu,isigui p, q unparelldiametralde G, amb p al’interiord’unaaresta uv i q al’interiord’unaaresta wz,enlasituació delafigura3(c),ésadir,talquenoexisteixendoscaminsmínimsdisjunts entre p i q.Aleshoresnoexisteixcapaltraparelladepuntsalesarestes uv i wz quesiguindiametrals.Amés, p i q estanunívocamentdeterminatsper lesdistàncies dG (u,w), dG (u,z), dG (v,w), dG (v,z)

Aixòimplicaquepercalcular diam(G) éspossiblerestringir-seaparelles formadespervèrtexsiarestes,ésadir,parellesd’elementsdelconjunt V ∪ A; concretament,eldiàmetreéselmàximdelesdistànciesmàximesentreparelles d’aquesttipus.Ladistànciamàximaentreunvèrtexiunaarestaésladistància màximaentreelvèrtexiunpuntdel’aresta,onelmàximesprensobreels puntsdel’aresta.Ladistànciamàximaentreduesarestesesdefineixdemanera anàloga,prenent-lasobretoteslesparellesdepuntsoncadascunpertanya unadelesarestes.Així,ladistànciamàximaentrelesarestesdelafigura3(b) és dG (p,q) icoincideixambelsemiperímetredelciclequeformenelsdos caminsmínimsentreelspunts.

2.1.2Càlculdeldiàmetrecontinu Lesobservacionsanteriorsimpliquenque perdeterminareldiàmetred’ungrafcontinuéssuficientexaminarunnombre finitdevalors:tantscomparellesdevèrtexs,parellesd’arestesiparellesvèrtexarestahihagienelgraf.Tanmateix,prèviament,calcalcularlamatriude distànciesdelsvèrtexsdelgraf G (ésadir,lamatriudemida n × n queconté ladistànciaentrecadaparelldevèrtexsde G).

Elcàlculdelamatriudedistànciesd’ungraféscomputacionalmentcostós, ihaestatobjectedemoltsestudis.Elmilloralgorismedisponibleactualment percalcularelscaminsmínimsentretotselsparellsdevèrtexsd’ungrafamb pesosrealstéuntempsd’execucióde A(n,m) = O(nm log α(m,n)) [45], on α(m,n) éslainversadelafunciód’Ackermann,unafuncióambuncreixementextremadamentlent.Peraalgunesclassesdegrafsesconeixenalgorismesmésràpids,comaraelsgrafsplanarsambpesosnonegatius(on A(n,m) = O(n2) [36]),oelsgrafsambpesosentersnonegatius(perals quals A(n,m) = O(nm) [54]).

Així,uncopcalculadalamatriudedistànciesentemps A(n,m),eldiàmetre continud’ungrafamb n vèrtexsi m arestesespotcalcularentemps6 O(n2 + nm+m2) = O(m2) calculantcadascunadelesdistànciesiretornantlamàxima detotes[13,17].

Alapràctica,untemps O(m2) potserprohibitivamentalt.Recordemque ungraf,siésdens,pottenir m = Θ(n2) arestes,7 demaneraqueelcàlculdel diàmetrerequeririatemps Θ(n4),queésinassumibleenlamajoriadelscasos. Però,encaraqueelgraffosespars,ésadir,talque m = O(n),obtindríemun algorismequadràticenelnombredevèrtexs,quesovintésimpracticablefins itotperagrafsdemidamitjana.Aixòportaalapreguntadesiéspossible calculareldiàmetrecontinumésràpidament.

Aquestamateixapreguntaharebutmoltaatencióperalsgrafscombinatoris. Defet,elcàlculeficientdeldiàmetreésunproblemacentralsobrealgorismes alateoriadegrafs.Engrafscombinatorisoncadaarestatéunpesassociat, l’algorismemésnaturalconsisteixacalcular,desdecadavèrtex,lesdistànciesatotselsaltres.Fentaixòambunmètodeestàndardcoml’algorisme deDijkstra,eldiàmetreescalculaentemps O(nm + n2 log n).Peragrafs ambpesosreals,comjahemesmentatanteriorment,aixòespotmillorar a O(nm log α(m,n)) [45],cosaqueensindicaqueeldiàmetreespotcalcularenuntempsqueés,agranstrets, O(nm).Sielgrafésespars,aixòqueda en O(n2),quecontinuaessentmassaelevat.Tanmateix,pocmésespotferen general.L’any2013,RodittyiVassilevskaWilliams([49])vandemostrarqueno existeixenalgorismesdecomplexitat O(n2 ε),peraqualsevolconstant ε> 0, quepuguincalculareldiàmetreengrafs(combinatoris)esparsos,sempreque escompleixila hipòtesideltempsexponencial —unasuposicióàmpliament adoptadadinsdelacomplexitatcomputacional.

Aixòvaferquelarecercasecentrésacaracteritzarfamíliesdegrafsper alsqualseldiàmetreespoguéscalcularméseficientment.Avuidia,esconeixenalgorismessubquadràticsperaldiàmetredegrafsd’ampladad’arbre fitada[1, 7],grafsamb dimensióVC fitada[23],grafsdemediana(enanglès, mediangraphs)[4]i,lafamíliamésimportant,grafsplanars[11, 31].Tornant alsgrafscontinus,vallapenaesmentarquelafitainferiorperalcàlculdel

6 Elstempsdecòmputalsqualsensreferimenaquesttreballassumeixenunmodeldecòmput queenlamajoriadelscasosésel realRAM,estàndardengeometriacomputacionaldesqueva serproposatperShamos[52].

7 Femservirlanotació Θ(g(n)) perreferir-nosaunacotaajustadaasimptòtica;ésadir, f(n) = Θ(g(n)) siinoméssi f(n) = O(g(n)) i f(n) = Ω(g(n)).

diàmetred’ungrafcombinatoriespotestendreagrafscontinus.Defet,n’hiha proud’observarque,donatungrafcontinu,sis’hiafegeixuncamíproullarga cadavèrtex,eldiàmetredelgrafcontinuresultantcoincidiràambeldiàmetre delgrafcombinatoriassociat.D’aixòesdedueixque,siespoguéscalcularel diàmetreperaqualsevolgrafcontinuentempssubquadràtic,tambéespodria calculareldiàmetredequalsevolgrafcombinatorientempssubquadràtic.Per tant,engeneral,tampocnoéspossiblecalculareldiàmetred’ungrafcontinu entemps O(n2 ε).

Lapreguntadeperaquinesclassesdegrafscontinuséspossiblecalcular eldiàmetreentempssubquadràticestàmoltmésobertaqueenelcasdels grafscombinatoris.Atèsqueelsalgorismespercalculareldiàmetred’ungraf combinatori,engeneral,noserveixenpercalculareldiàmetrecontinu,calen novestècniques.Defet,actualmentnomésesconeixenduessituacionsgeneralsenquèesdisposad’algorismesméseficientspercalculareldiàmetre continu[12],queesmencionenacontinuació.

Grafsambampladad’arbrefitada. L’ampladad’arbre8 ésunparàmetred’un grafquequantificacomdesimilaraquestésaunarbre.Peraungrafamb n vèrtexs,l’ampladad’arbreésunvalorentre1i n 1.Perexemple,totarbre téampladad’arbre1,itotcicletéampladad’arbre2.Al’altreextrem,elgraf completamb n vèrtexstéampladad’arbre n 1.Peraunadefinicióformal d’ampladad’arbre,vegeu,perexemple,[19].Peraungrafambampladad’arbre constant k,espotdemostrarelresultatsegüent.

Teorema 1 ([12]). Sigui k ≥ 2 unaconstant.Eldiàmetrecontinud’ungraf amb n vèrtexsiampladad’arbrecomamàxim k espotcalcularentemps O(n log4k 2 n).

Lademostracióésmolttècnica,peròl’estratègiageneralespotresumir comsegueix.Elresultatexplotaunapropietatclaudelsgrafsambamplada d’arbrefitadaper k:queespodensepararendossubgrafsbalancejats(demida proporcionala n),utilitzantcomamàxim k vèrtexsseparadors.Eldiàmetre delgrafcontinuvedonatpelmàximentreelsdiàmetresdecadasubgrafila distànciamàximaentreelssubgrafs(donadaperdospunts,undecadasubgraf). Eldiàmetredecadasubgrafescalcularecursivament.Percalcularladistància màximaentreelsdossubgrafsesconsiderenleslongitudsdecaminsmínims tancatsquecontenenduesarestesdonades,unadecadasubgraf.Fixadauna delesarestes,espotmodelar,comapuntsenunespaide Θ(k) dimensions, comesmodifiquenaquesteslongitudsenfunciódelsvèrtexsseparadorsque utilitzaelcamíperanard’unsubgrafal’altre.Aixòpermetutilitzarestructures avançadesdecercaperrangortogonal[7]percalcularelmàximdetotes aquesteslongituds,quedonaladistànciamàximaentreelsdossubgrafs.

Grafsplanars. Enelcasdelsgrafsplanars,elques’haaconseguitfinsaraésun algorismelacomplexitatdelqualdepèndelnombredecaresdelgraf,denotat amb F .Lafórmulad’Eulerperagrafsplanars9 garanteixque,independentment delaimmersiódelgrafenelpla,elnombredecares F éssempreelmateix.

8Femservir ampladad’arbre comatraducciódeltermeanglès treewidth

9 Peraqualsevolgrafplanarconnexamb n vèrtexs, m arestesi f cares,lafórmulaestableix que n m + f = 2.

Teorema 2 ([12]). Eldiàmetrecontinud’ungrafplanaramb n vèrtexsi F cares espotcalcularentemps O(nF log n).

L’algorismeesbasaacalcular,peraqualsevolcara,ladistànciamàxima entredospuntsdelacaraentemps O(n log n).Aixòs’aconsegueixutilitzant tècniquespermantenirl’arbredecaminsmínimsdesd’unpuntalafronterade lacara,amesuraqueelpuntesdesplaçaperlafrontera.Elfetqueelgrafsigui continufaespecialmentcomplicatmantenirelscaminsmínims,peròaquest obstacleespotsuperarutilitzantestructuresdedadesdinàmiquesaddicionals.

Totiqueaquestalgorismeéssubquadràticquan F ∈ o n log n ,engeneral F potser Θ(n).Elprincipalproblemaobertenrelacióambelcàlculdeldiàmetreengrafscontinusés,sensdubte,trobarunalgorismedecomplexitat subquadràticaperaqualsevolgrafplanar.

2.2Distànciamitjana

La distànciamitjana d’ungrafcombinatori G = (V,A),denotadaamb µ(G),es defineixcomlamitjanaaritmèticadelesdistànciesentretotparelldevèrtexs:

µ(G) := 1 n 2 {u,v

onlasumaéssobretotselsparellsnoordenatsdevèrtexsde G (enlaliteratura, habitualmentesconsideraquetoteslesarestesdelgraftenenlongitud1). AquestconceptevaserintroduïtperMarchiSteadman([42,capítol14])enel contextdel’arquitectura,ambl’objectiudecompararplànolsd’edificis.Pocs anysdesprés,DoyleiGraver([20])vanserelsprimersaproposarladistància mitjanacomaparàmetred’estudienl’àmbitdelateoriadegrafs.Tanmateix, dècadesabanselconceptejahaviadespertatl’interèsdeWienerperalesseves aplicacionsenquímica([56]),quemésendavantvandonarllocalconegut índexdeWiener, 10 probablementl’índextopològicmolecularmésestudiat,amb centenarsdepublicacions.

Engrafscombinatoris,ladistànciamitjanahaestatobjected’intensosestudis;encertsgrafsmoltsimples,se’nconeixelvalorexacte.Perexemple,és1en qualsevolgrafcomplet,i (n + 1)/3sielgrafésuncamíamb n vèrtexs[20].Ara bé,quans’incrementalleugeramentlacomplexitatdelgraf,elcàlculd’aquest paràmetreescomplicaextraordinàriament.Amésdepresentarexpressions exactesperaalgunesclassesespecífiquesdegrafs[9, 10, 20],lamajoriade treballss’hancentratademostrarfitesinferiorsisuperiorsdeladistànciamitjanaenfunciódeparàmetresdiversos,comelnombredevèrtexs[20, 25, 47], elnombredevèrtexsiarestes[53],ilaconnectivitat[26].Ladistànciamitjana tambés’haestudiatperagrafsambpesosalsvèrtexs[18].

Enungrafcontinu G definitperungraf G = (V,A,ℓ),elconceptede distànciamitjanas’estén,demaneranatural,comlamitjanadelesdistàncies 10 Donatungrafambtoteslessevesarestesdelongitud1,elseu índexdeWiener éslasumade lesdistànciesentretotparell(noordenat)devèrtexs.

peratotparelldepuntsde G.Curiosament,aquestaideaambproufeinesha estatestudiada,exceptepelstreballsdeDoyleiGraver[21, 22],encaraque utilitzantunenfocamentdiferentdelqueaquíespresenta,i,moltrecentment, perBaptista etal. [3],queestudienqüestionsenl’àmbitdel’anàlisigeomètrica.

Donatunpunt p de G iunsubconjuntd’arestes A′ ⊆ A,esdefineixla distànciamitjanacontínua entre p i A′ coma

µc (p,A′) := 1

ℓ(A′) q∈A′ dG (p,q)dq, (1)

on ℓ(A′) éslalongitudtotalde A′,ésadir,lasumadeleslongitudsdetotes lesarestesdelconjunt A′ .

Perasubconjunts A′,A′′⊆ A,la distànciamitjanacontínua esdefineixcoma µc (A′,A′′) := 1 ℓ(A′)ℓ(A′′) p∈A′ ,q∈A′′ dG (p,q)dpdq. (2)

Abusantdelanotació,escrivim µc (p, G′) o µc (G′ , G′′),on G′ i G′′ sónels subgrafsde G ambconjuntsd’arestes A′ i A′′,respectivament.

Ladistànciamitjanad’ungrafcontinu G o distànciamitjanacontínua del seugrafassociat G = (V,A,ℓ) ésladistànciamitjanaentretoteslesarestes:

µc (G) := µc (A,A). (3)

L’avantatged’expressarladistànciamitjanabasant-seenladistànciamitjana entrearestesésqueelcàlculdeladistànciamitjanaentreduesarestesés abordable.Perexemple,l’observaciósegüentpresentaduespropietatssimples peròfonamentalsperal’estudidelcasgeneral.

Observació. Siguin uv i u′v ′ duesarestesde A.

(i)Qualsevolpunt p = (uv,u,λ) a uv satisfàque

µc (uv,u′ v ′) = λµc (up,u′v ′) + (ℓ(uv) λ)µc (pv,u′v ′) ℓ(uv) .

(ii) Siperacadapunt p ∈ uv icadapunt q ∈ u′v ′ sesatisfàque dG (p,q) = dG (p,v) + dG (v,q),aleshores: µc (uv,u′ v ′) = µc (uv,v) + µc (v,u′ v ′).

Unexemple:camins. Ésil.lustratiuveurecomlesexpressionsanteriorses podenaplicaraunexempleconcret,icomelresultatpotdiferirdelaversió discreta.Consideremuncamí P amb n vèrtexsitoteslesarestesdelongitud1. Comjahemesmentat,ladistànciamitjanadiscretad’aquestcamíés µ(P) = (n + 1)/3.Aixòespotgeneralitzardemaneranaturalaqualsevolcamí P en quècadaarestatinguilongitud α (longitudtotal α(n 1));enaquestcas,la distànciamitjanaés α(n + 1)/3.Tanmateix,perauncamí P ambarestesde

diferentlongitudnohihaunafórmulatancadapercalcularladistànciamitjana, jaquedepèndelvalorexactedelalongituddecadaaresta.Encanvi,éspossible obtenirdemanerasimpleunafórmulatancadapera µc (P) peraqualsevol camícontinu P amblongitudsd’arestespositivesarbitràries.

Uncamícontinu P delongitud t ∈ R>0 espotveurecoml’interval [0,t].Per aunpunt x ∈ [0,t],sigui d(x,[0,t]) lafunciódistànciaentre x iqualsevol altrepunt x′ del’interval [0,t].Elvalormitjàde d(x,[0,t]) és 1 2t (x2 + (x t)2) (recordeuqueelvalormitjàd’unafunció f sobreuninterval [a,b] esdefineix coma 1 b a b a f(x)dx).Pertant, µc (

Usantunenfocamentdiferent,a[21, 22]s’obtéelmateixresultatpera camins P enquètoteslesarestestenenlongitud α,amb α ∈ Q+

2.2.1Càlculdeladistànciamitjana

Amésdelscamins,poquesfamíliesde grafstenenunaestructuraprousimpleperpermetreobtenirunafórmulatancadadeladistànciamitjanacontínua:cicles,estrellesialgunescombinacions senzillesd’aquestssóndelespoquesexcepcions[21].

Percalcular-laperaungrafcontinuarbitrari,utilitzemlafórmulasegüent (conseqüènciadirectadelesequacions (2)–(4) idepropietatselementalsd’integració),queexpressa µc (G) comunasumaponderadadelesdistànciesmitjanes contínuesdetotselsparells ordenats d’arestes:

µc (G) = 1 ℓ(A)2 

(a,a′ )∈A×A,a≠a′ µc (a,a′)ℓ(a)ℓ(a′) + a∈A ℓ(a) 3 ℓ(a)2  (5)

L’equació (5) permetreduirelcàlculde µc (G) alcàlculdeladistànciamitjana contínuaentreduesarestes,laqualcosa,comhemmencionatanteriorment, ésabordable.Acontinuació,presentemunmètodepercalcular µc (a,a′) en tempsconstant,uncops’hacalculatlamatriudedistànciesdelsvèrtexsdel graf G entemps A(n,m) = O(nm log α(m,n)) [45].

Al’equació (5) distingimdoscasospercalcular µc (a,a′):quanlesarestes sóndiferents(a ≠ a′)iquansónlamateixa(a = a′).Elsegoncasesredueixa calcularladistànciamitjanacontínuad’uncamí,distànciaque—comhemvist al’equació (4)—ésiguala µc (a,a) = ℓ(a)/3,peraqualsevolaresta a.Pertant, enlarestad’aquestaseccióenscentremenladistànciamitjanaentredues arestesdiferents.

Percalcular µc (a,a′) peraarestesdiferents a i a′ calentendrelaforma delscaminsmínimsentreelles.Consideremduesarestes a = uv i a′ = u′v ′,i dospunts p ∈ a i q ∈ a′;vegeulafigura4.Elcamímínimdesde p finsa q ha desortirdel’aresta a perundelsseusextrems, u o v,ihad’entrara a′ per u′ o per v ′ . 11 Suposemqueelcamímínimperanarde p a q passaper v iper u′ . 11 Totiquepodriahaver-himésd’uncamímínimentre p i q,persimplicitatassumiremqueés únic.

Llavors, dG (p,q) = dG (p,v) + dG (v,u′) + dG (u′,q).Ésimportantobservar queelsegonsumand, dG (v,u′),corresponalalongitudd’uncamímínimentre dosvèrtexsde G,iaquestaseràsemprelamateixaindependentmentd’ones trobinexactament p i q alessevesrespectivesarestes.

Figura 4: Casosaconsiderarpercalcularladistànciamitjanacontínua entreduesarestesdiferents. (a) Casoslineals. (b) Casoscíclics.(Font: elaboraciópròpia.)

Elscaminsdelafigura4(a) s’anomenen lineals,perquè,peraqualsevol punt p ∈ a,elcamímínimcapaunpunt q ∈ a′ passaper v.Elscasosdela figura4(b) s’anomenen cíclics,iesprodueixenquanelcamímínimdesde punts p ∈ a finsapunts q ∈ a′ potpassarper u oper v,depenentdela posiciódelspunts p i q alessevesarestesrespectives.Entreelscasoscíclics, n’hihaund’especialmentsimple:succeeixquanleslongitudsde a ide a′ coincideixen,aixícomlesdistàncies dG (u,u′v ′) i dG (v,u′v ′),donadespels caminsmínimsentreelsextrems u u′ i v v ′,que,amés,sóndisjunts. L’anomenem casrectangular.Peraunadefiniciómésprecisadecadacas, vegeu[30].

Lema 3 ([30]). Siguin a = uv i a′ = u′v ′ duesarestesdiferentsd’ungraf G que defineixungrafcontinu G.

(i)Enelcaslineal, µc (uv,u′v ′) = ℓ(uv) 2 + µc (v,u′v ′).

(ii) Enelcasrectangular, µc (uv,u′v ′) = θ+ 2ρ 3 ,on θ = dG (u,u′) = dG (v,v ′) i ρ = ℓ(uv) = ℓ(u′v ′).

(iii) Enelcascíclic, µc (a,a′) espotcalcularcomasumaponderadade,coma màxim,quatrecasoslinealsiuncasrectangular.

Enellema3, µc (v,u′v ′) denotaladistànciamitjanaentreunvèrtexiuna aresta,iespotcalcularmitjançantunafórmulaqueinvolucralalongitudde l’aresta u′v ′ ilesdistàncies dG (v,u′) i dG (v,v ′) (vegeu[30,lema3.1]).

D’aquestesobservacionsesderivaelresultatprincipalsegüent:

Teorema 4 ([30]). Ladistànciamitjanacontínuad’ungrafamb n vèrtexsi m arestesespotcalcularentemps O(m2 + A(n,m)),on A(n,m) éseltemps requeritpercalculartoteslesdistànciesentreparellsdevèrtexsdelgraf.

Mitjançanttècniquessimilarsalesutilitzadespercalculareldiàmetred’un grafcontinu,recentments’hatrobatunamaneraeficientdecalcularladistància mitjanaengrafscontinusambampladad’arbrefitadaper k:

Teorema 5 ([12]). Sigui k≥2 unaconstant.Ladistànciamitjanacontínuad’un grafamb n vèrtexsiampladad’arbrecomamàxim k espotcalcularen temps O(n log4k 2 n).

3Modificacionsengrafscontinus

Enelsmodelsdexarxesgeogràfiquesésnaturalvolerfermodificacionsper millorardiversosfactors;perexemple,enunaxarxadecarreteresespodria volerreduirlacongestiódeltrànsitoeltempsdeviatge.Unadelesformesmés simplesdemodificarunaxarxaésafegir-hinovesarestespertald’augmentarnelaconnectivitati,potencialment,milloraraquestsfactors.Elgraudemillora espotmesurarentermesdelnombred’arestesquecalafegirperreduiralgun paràmetreassociatalaxarxa,normalmentrelacionatambdistàncies.Aquests sónelsanomenats problemesd’augment,elsqualshanestat(icontinuensent) àmpliamentestudiatsengrafscombinatorisperamesurescomeldiàmetre12 [5, 27],elradi[32, 33, 38]oladilatació[8, 34].Elsdarrersanys,elsproblemes d’augments’hanestèsalsgrafscontinus,ieldiàmetrehaestatelprimer paràmetreconsiderat[2,13,16,15,29].

Enaquestasecciópresentemunapanoràmicadelproblemad’augmentper aldiàmetreengrafscontinus(secció3.1)iproposemunnoutipusdemodificacióengrafscontinus,relacionadaamblaconeguda conjecturadeBorsuk [6] (secció3.2).Encaraqueenscentremeneldiàmetrecomaparàmetred’estudi,elsproblemestractatsespodenplantejardemaneraanàlogaperaaltres paràmetres.

Enambduesseccionsensrestringimagrafsgeomètrics(plans).Recordem queaquestssóngrafscontinusoncadavèrtexésunpuntdelplaicadaaresta esrepresentacomunsegmententreelspuntscorresponents.Amés,assumim queelssegmentsnoestallenexcepteenelsseusextrems,incloentaixíla planaritatenladefiniciómateixa.

3.1Problemesd’augmentengrafscontinus

Elproblemad’escollirlesarestesadequadesperafegiriaixíreduireldiàmetre d’ungrafgeomètric G és,jaenelcasdiscret,moltcomplexdesdelpuntdevista algorísmic.Peraquestmotiu,lamajoriadelstreballssecentrenenlaversió méssimple:afegirunaúnicaaresta,ques’anomena drecera.Siencomptesde

12 Aquestproblemaésconegutcoma problemadel’augmentació k-òptimadeldiàmetre (en anglès, Diameter-Optimal-k-Augmentationproblem),on k éselnombred’arestesafegides.

nomésreduir,l’objectiuésminimitzar(entretoteslespossiblesdreceres)el diàmetredelgrafresultant,llavorsladreceraesdiuqueés òptima.Aquests conceptess’estenendemaneranaturalalcascontinu,enelquallesdreceres sónsegmentsqueconnectenqualsevolparelldepuntsdelgrafgeomètric continu G encomptesdenoméselsvèrtexsde G

Caldestacarquenototselsgrafsadmetenunadrecera.Perexemple,enun cicle—tantdiscretcomcontinu—hihamúltiplesparellsdiametrals,inohiha caparestaqueperellamateixapuguireduireldiàmetredelcicle.

Hihadiferènciesfonamentalsentrelaversiódiscretailacontínuad’aquest problemad’augment,quen’incrementenenormementladificultatenelcas continu.D’unabanda,enlaversiódiscreta,lesarestess’afegeixenaungraf G connectantparellsdevèrtexs,i,pertant,hiha n 2 possiblescandidates.En canvi,enlaversiócontínua,espodenafegirnovesconnexionsentrequalsevol parelldepuntsde G,laqualcosaresultaenunnombreinfinitdecandidates.

D’altrabanda,enelcasdiscret,quans’afegeixunaaresta,eldiàmetrenomés potdisminuiroromandreigual(elprimercaspassasi,inoméssi,lanova arestaescurçaladistànciaentretotselsparellsdiametrals).Noéspossibleque afegirunaarestaempitjorieldiàmetre.Tanmateix,aixòsíquepotpassaren elcascontinu,jaquetotselspuntssobrelanovaarestapassenaparticipar enelcàlculdeldiàmetre,ilasevainclusiópodriaaugmentar-lo.Unexemple d’aquestasituaciócontraintuïtivaespotveurealafigura5.Efectivament,el fetquetotselspuntssobrelesarestesdelgrafhagindesertingutsencompte converteixelcàlculdedistànciesilacol.locaciód’unadreceraenunproblema moltmésdifícilqueenelcasdiscret.

Figura 5: Eldiàmetrecontinupotaugmentarenafegirunaaresta. (a) Graforiginal,ambdiàmetre2. (b) Grafdesprésd’afegirunaaresta:elseudiàmetrevedonatperunvèrtexoriginalielpuntmitjàdela novaaresta,iéssuperioral’original(2 + √3/2 > 2).(Font:elaboració pròpia.)

3.1.1Models Perpoderdefinircorrectamentelproblemadetrobaruna drecera (òptima) peraungrafcontinu,calprecisarquèpassasil’arestainserida tallaaltresarestesjaexistents.Aixòdonallocaduesvariantsdelproblema, segonscoms’insereixiladreceraenelgrafcontinu:

• Modeld’autopista:lesinterseccionsentreladrecerailesarestesdelgraf continunoestenenencompteenelgrafresultant,ésadir,nogeneren unnouvèrtex.Aixòimplicaqueuncamínoméspotentrarisortirdela dreceraatravésdelsseuspuntsextrems.

• Modelplanar:s’insereixunnouvèrtexencadapuntd’intersecció,que potserutilitzatpelscaminsenelgrafcontinuresultant.

Elmodelplanarésmésgeneral,jaquepotmodelarunagammamésàmplia desituacions,comaramodificacionsenxarxesviàriesodevianants.Desd’un puntdevistateòric,ladiferènciaentreambdósmodelsésmoltimportant:el modelplanargeneraproblemesméscomplexos,jaqueelfetqueunadrecera puguiserutilitzadanomésenpartimplicaquelainformacióestructuralsobre comcanvienlesdistànciesenelgrafdesprésd’afegirunsegmentésmésdifícil demanteniralgorísmicament.

3.1.2Càlculd’unadreceraòptima

Elproblemaalgorísmicdetrobaruna dreceraòptimaenungrafcombinatoriéssenzillsiensconformemamb qualsevolalgorismepolinòmic.Enefecte,comquehiha n 2 drecerespossibles, n’hihaproudeconsiderarcadascunad’elles,inserirl’aresta,recalcularel diàmetreiretornard’entretotesellesunadreceraqueproporcionieldiàmetre méspetit.Totaixòcondueixdirectamentaunalgorismedecomplexitat O(n4). Eldesafiamentenaquestproblemaconsisteixaobteniralgorismesméseficients, sobreelsqualsexisteixendesenesdetreballs.

Encanvi,peragrafscontinusnoexisteixunalgorismeexhaustiupolinòmic comenelcasdiscret,jaqueesparteixd’unnombreinfinitdesegments candidats.Laqüestió,doncs,requereixaplicartècniquesespecífiquesque aprofitinlageometriadelproblemaipermetindiscretitzar-lo.D’altrabanda, elmodelescollit(d’autopistaoplanar)determinaengranpartladificultatdel problema.

Peralmodeld’autopista,esconeixenalgorismeseficientsperadiverses classesdegrafs,comaracaminsiarbres.Peracaminsdelongitud n,De Carufel etal. ([16])vanproposarunalgorismepertrobarunadreceraòptimaen temps O(n);tambéentempslinealtrobenparellsòptimsdedreceresenelcas deciclesconvexos.Elsarbreshanestatestudiatsenuntreballposterior[15], onespresentaunalgorismepertrobarunadreceraòptimaperaunarbrede mida n entemps O(n log n).Tambéenelmodeld’autopista,Bae etal. ([2])han estudiatelcasparticulardegrafscontinustalqueelseuconjuntinfinitde puntsdescriuuncercleenelpla,ihanproposatestratègiesòptimesperafegir finsasetdreceres.

Elmodelplanarhaestatmoltmenysexplorat.Acontinuació,aprofundirem enaquestmodelperintentartransmetrepartdelesdificultatsdelproblema quesorgeixendelfetquelainserciód’unsegmentpuguicrearmúltiplesnous puntsd’entradaisortida(peralscamins)al’horadeprendreunadrecera.

Figura 6: (a) Uncamí,alquals’afegeixunsegment(líniadiscontínua) en (b). (c) Lainserciódelsegmentcreavuitcaresfitades. (d) Eldiàmetreenelnougrafvedonatperunaparelladepuntsenduesd’aquestes cares(lalíniadecolortaronjaindicauncamímínimentreaquestspunts).

(Font:elaboraciópròpia.)

Dreceraòptimaperauncamí. Eldiàmetred’uncamícontinu P sempreve donatperladistànciaentreelsseusextrems.Noobstantaixò,eninserirun segment s a P enelmodelplanar,obtenimungraf,quedenotemamb P∪ s, quenoésuncamí,sinóquelcompotencialmentmoltméscomplex.Talcom s’il.lustraalafigura6,lainserciód’unanovaarestapotcrearungrannombre decares(sielcamíté n vèrtexs,podensorgir Θ(n) cares).Eldiàmetrede P∪ s vindràdonatobéperladistànciamàximaentreduesd’aquestescares,obé perunacaraiunextremdelcamí,obépelsdosextrems.Alafigura,elnou diàmetrevedonatpelsdospuntsmésallunyatsdeduesdelesnovescares, talcoms’indicaalafigura6(d).Aixòimplicaqueperdeterminar diam(P∪ s) ésnecessaricalculartoteslescarescreadesiconsiderarlesdistànciesentre cadaparelldecares,itambélesdistànciesdelescaresalsextremsientreels extrems.

Calcularunadreceraòptimaésunrepteencaramésgran,finsalpuntque, actualment,ésunproblemaobertcomfer-hodemaneraeficient.Acontinuació presentemagranstretsunalgorismepercalcularunadreceraòptima horitzontal s perauncamícontinu P [29](horitzontal,odequalsevolaltraorientació fixa).Assumiremquenototselsvèrtexsde P estanalineats(demaneraque sempreexisteixialgunadrecera).

Unapropietatútildelesdreceresencaminsésque,siunsegmentésuna drecera,aleshoresqualsevolextensiód’aquestsegmenttambéhoserà.Més precisament,qualsevolsegmentqueinserimenuncamí(nocontingutenuna arestadelcamí)ésunadrecera(propietatquenoescompleixperaarbres,tal commostralafigura5);així,qualsevolsegmentquecontinguiunadrecera(i tinguielsseusextremsenelcamí)tambéseràunadrecera.Aixòsimplificala cerca,jaquepermetrestringir-seasegmentsmaximalso,elqueésequivalent, arecteshoritzontals.

L’algorismequedescrivimacontinuacióésunalgorismed’escombratque consideraimplícitamenttoteslesrecteshoritzontalsqueintersequenelcamí P, ilesrecorredebaixadalt.

Sigui r(y) larectahoritzontalquecreual’eixverticalal’altura y.Amesura que y augmenta, diam(P∪ r(y)) vacanviant.Recordemque,pera y fixa,el diàmetreéselmàximdelesdistànciesentretotselsparellsdecares(iels extremsdelcamí,peròapartird’araelstractaremcomduescaresmés,«degenerades»).Pertant,eldiàmetrecomafuncióde y éselmàximde O(n2) funcions. Espotdemostrarquecadascunad’aquestesfuncions,quedonaladistància màximaentreduescaresconcretes,ésunafunciólinealen y,queveurem geomètricamentcomarectaenelpla.Elmàximd’aquestes O(n2) funcions lineals,tambécomafuncióde y,espotrepresentargeomètricamentcom l’envolupantsuperior 13 deles O(n2) rectesassociadesacadaparelldecares.

Lafigura7mostraunexempleenelquallainserciód’unsegmental’altura y creaduescaresfitades.Considerant,amés,elsdosextremsdelcamí,entotal hihaquatrecares.Cadaparelld’aquestescaresresultaenunafunciólineal. L’envolupantsuperiordelessisrectesdel’exemple(enrosaalpanell (c)) estàformadaperporcionsconnexesdetresrectes;lacoordenada y delseu puntmínimproporcionaelvalorde y deladreceraòptima s,ésadir,dela rectahoritzontal s queproporcionaeldiàmetreméspetitpossiblede P∪ s.

Perconsegüent,laideaprincipaldel’algorismepertrobarunadrecerahoritzontalòptimade P consisteixaconsiderarlesrectesassociadesals O(n2) parellsdecares,calcular-nel’envolupantsuperioriextreure’nelpuntmínim.Un resultatclàssicdelageometriacomputacionalésquel’envolupantsuperiorde O(n2) rectesespotcalcularentemps O(n2 log n)

Aquestenfocament,però,presentaunproblema.Lescaresde P∪ r(y) varienamb y.Perexemple,alafigura7,lacara C3 noexisteixsi y ésmésgranque l’alturadel’extremdretdelcamí.Lesfuncionsdelafigura7(c) noméssónvàlidesperalsvalorsde y quedonenllocaaquestesquatrecares(concretament, pera y enelrangd’ordenades y delsextremsdelcamí).Aixòsignificaquecal recalcularlescares,funcionslinealsienvolupantsuperiorcadavegadaquela seqüènciadesegmentsdelcamíintersecatsperlarectahoritzontalcanvia. Ésfàcilobservarqueaixòocorrecadavegadaquelarectahoritzontalpassaper unvèrtexde P,perlaqualcosahiha n conjuntsdecaresaconsiderar. L’algorismequedaaleshorescomsegueix.Començantdesdelarectahoritzontalmésbaixaquepassaperunvèrtexdelcamí, r(y0),escalculenles caresde P∪ r(y0 + ε) (peraun ε> 0suficientmentpetit).Apartird’elles esrepresentenlesrespectivesfuncionslinealsdedistànciesmàximesentre cares,lasevaenvolupantsuperiorielseumínim.Acontinuació,esconsidera lacoordenadasegüent y (enordreascendent)d’entreelsvèrtexsdelcamí,i esrecalculatot.Afortunadament,noésnecessaricomençardesdezerocada vegadaqueespassaperunnouvèrtex.Existeixenalgorismes dinàmics,que permetenmantenirl’envolupantsuperior(ielseumínim)entrepassosconse-

13 L’envolupantsuperior d’unconjuntde k funcions f1(x),...,fk(x) és env(x)= max1≤i≤k fi(x).

cutius,demaneraqueelcostdepassarperunvèrtexsiguibaix(concretament, temps O(log n) peractualització).Ometentalgunsdetallstècnicsmés,obtenim elresultatsegüent.

Teorema 6 ([29]). Enelmodelplanar,donatuncamícontinu P amb n vèrtexs, espotdeterminarsiexisteixunadrecerahoritzontal,i,siésaixí,trobar-neuna d’òptimaentemps O(n2 log n).

Figura 7: (a) Uncamí. (b) Eninserirelsegmentmàximenlarectahoritzontalambcoordenada y,escreenduescaresfitades(C2, C3);els extremssóntractatscomacaresdegenerades(C1, C4). (c) Cadaparellde caresresultaenunafunciólinealen y,querepresentalasevadistància màxima.Peracadavalorde y,eldiàmetreéslamésgrand’aquestessis funcions.Lafunciómàximésl’envolupantsuperiord’aquestesfuncions(enrosa);l’ordenadamínimad’aquestaenvolupant(y ∗ )corresponaladreceraòptima.(Font:elaboraciópròpia.)

Dreceraòptimaperaungrafgeneral. Algunesdelesideesdel’algorisme anteriorespodenadaptaragrafsgeneralsidreceresambqualsevolorientació.Noobstantaixò,elsdetallssónintricatsidonenllocaunalgorismede complexitatmoltmésgran,encaraquepolinòmica.

Novament,laideageneralésrepresentarlafunciódiàmetregeomètricament, comelmàximd’unconjuntdefuncionsquedonenladistànciamàximaentre totparelld’arestesi/ovèrtexs.Aixòrequereixungrannombredefuncions, quealseutornhandeserclassificadesenungrannombredeclasses.

Elresultatquesegueixesbasaaconsiderar O(n4) funcionsenduesvariables a, b querepresentendistànciesmàximesentreparellsd’arestesovèrtexs desprésd’inserirunsegmentcontingutenlarecta y = ax + b.Alseutorn, ésnecessariclassificaraquestesfuncionsen O(n4) classesdiferents—segons quinesarestesdelgrafcontinu G intersecacadascuna—icadascunahadeser optimitzadaperseparat.Enrepresentargeomètricamentaquestesfuncions,es podenaplicarnovamenteinescomenvolupantssuperiors,araenunadimensió més,pertrobarladreceraòptimaentempspolinòmic.

Teorema 7 ([29]). Enelmodelplanar,donatungrafcontinu G amb n vèrtexs, espotdeterminarsiexisteixunadrecera,i,siésaixí,trobar-neunad’òptimaen tempspolinòmicen n.

Ésimportantdestacarqueelgrannombredefuncionsqueconsideraaquest algorismefaquelacomplexitat,encaraquepolinòmica,siguimassaaltaper serd’utilitatpràctica.

Ésunproblemaobertcomespottrobareficientmentunadreceraòptima. Altresproblemesobertsmenysambiciosos,perògensfàcils,sóndissenyarun algorismeeficientpercalcularunadreceraòptima(dequalsevolorientació) enuncamí,icalcularunadreceraòptimahoritzontalenunarbre.Mésenllà quedenelsproblemesoberts,encaramésnaturals,d’inserir k> 1dreceresper produirungrafambeldiàmetrecontinuméspetitpossible.

3.2LaconjecturadeBorsukengrafs

Unproblemaclàssicàmpliamentestudiatenelcontextdelageometriacombinatòriaésla conjecturadeBorsuk,laqualafirmaquetotconjuntfitatde l’espai d-dimensionalpotserdividiten d + 1subconjuntstancatsdemanera quecadascuntinguiundiàmetreestrictamentméspetitqueeldelconjunt original[6].Eldiàmetreaquèesrefereixaquestaconjecturaéselconcepte clàssic:elmàximdelesdistàncieseuclidianesentrequalssevoldospuntsdel conjunt.Desquelaconjecturavaserestablertael1933,vaatreurel’atenció d’ungrannombred’investigadors.Perkalel1947iEgglestonel1955vandemostrarquelaconjecturaeracerta,respectivament,peraconjuntsplansipera conjuntstridimensionals(d = 2, 3)[44, 24].Tambéesvaestablirlaveracitatde laconjecturaperaconjuntsconvexosambdiversostipusdepropietats[35, 48], però,el1993,KahniKalai([39])lavanrefutar:vandemostrarqueelnombre mínimdesubconjuntsnecessarisperdividirelconjunt,demaneraquetots tinguinundiàmetreméspetitquel’original,creixexponencialmentambla dimensió d.Aquestnombremínimesconeixcoma nombredeBorsuk ies denotaamb b(X) peraunconjunt X

LapreguntadeBorsukespotformularaleshorescoma: és b(X) ≤ d + 1 peraqualsevolconjuntfitat X ⊂ Rd? Enelseutreball,KahniKalaivanestablir d = 9162comafitasuperiorajustadapertalquelaconjecturasiguicerta.Des dellavors,trobarladimensióméspetitaperalaquallarespostaésnegativaha estatunobjectiuperamoltsinvestigadors,iactualmentelcontraexempleen dimensiómésbaixaqueesconeixésen d = 64[37].Remetemellectora[57] perampliarlainformaciósobrevariantsdelproblemadeBorsuk.

Recentment,s’hapresentatlaprimeraformulaciódelproblemadeBorsuk enelcontextdelateoriadegrafs[14].Laideaésanàloga:esvoldividirungraf geomètricplaensubgrafs,totdisminuintelseudiàmetrecontinu,ideterminar elnombremínimdesubgrafsnecessarisperfer-ho.Laprimeraqüestióque sorgeixdesprésd’aquestaideaéscomdividirdemaneracoherentungraf continu.

Unarecta r divideixungrafcontinu G endossubgrafs(undelsqualspossiblementbuit)alsqualsesrequereix,demaneranatural,quesiguinconnexos igualquehoeraelgraforiginal.Peraaixò,s’afegeixatotsdossubgrafsel segment s mésllargcontingutenlarecta r ielsextremsdelqualestanen G∪ r .

Així,enrealitat,laparticióperunarecta r donallocadossubgrafsde G∪ r :

G1 = (r + ∩G) ∪ s i G2 = (r ∩G) ∪ s,

on r + i r sónelssemiplansobertsdeterminatsperlarecta r .Amés,cadapunt d’intersecciódelsegment s amb G esconsideraunnouvèrtexencadascundels grafsresultants.Esdefineixaleshoresel nombredeBorsuk de G,iesdenota amb b(G),comlamidamínimad’unaparticióde G mitjançantrectes r1,...,rk ensubgrafs G1,..., Gk+1 (de G∪ r1 ∪···∪ rk)talque:

max{diam(G1),..., diam(Gk+1)} < diam(G).

Quancalutilitzarmésd’unarectaperdisminuireldiàmetre,laparticióes fademaneraseqüenciali,pertaldegarantirqueeltallcorresponentgenera comamàximdossubgrafs,cadarecta ri s’insereixnomésenundelssubgrafs generatsfinsaaquellmoment.

Lafigura8il.lustraaquestprocésdepartició;partimd’uncicledelongitud4 iungrafestrelladecincvèrtexs.Enelprimercas,podemreduirelseudiàmetre continuambunaúnicarectaigenerardossubgrafs,i,pertant,elseunombre deBorsukés2.Encanvi,ambunaúnicarectanopodemdisminuireldiàmetre continudel’estrelladelafigura;calenduesrectesquedividiranelgrafen tressubgrafsi,pertant,elseunombredeBorsukés3.

Figura 8: (a) Cadaarestadelcicletélongitud1i,pertant,elcicleté diàmetrecontinu2(donat,entred’altres,pelscaminsambarestesdecolorblau);larectaenlíniadiscontínuadivideixelcicleendosciclesde diàmetrecontinu1 5. (b) Particióseqüenciald’unaestrelladediàmetre continu2:enladivisióambunaprimerarecta,undelsdossubgrafs resultantstambétédiàmetre2(independentmentdelarectaescollida) i,pertant,esnecessitaalmenysunasegonarectapertaldereduirel diàmetre.(Font:elaboraciópròpia.)

ComquelaconjecturadeBorsukperaconjuntsenelplaéscerta[44],és adir, b(X) ≤ 3peraqualsevolconjuntplafitat X,laprimerapreguntaque esplantejaenl’extensiódelproblemaagrafséssiespotfitar b(G) peruna constant.Actualment,aquestésunproblemaobertilamilloraproximacióés unafitasuperiord’ordrelinealenelnombredevèrtexsde G [14].Laconstrucció quedonallocaaquestafitasuggereixque,peravançarenaquestproblema, caldrannovestècniques:ladificultatprincipalrauenelfetque,eninserirnous punts(pertanyentsalesrectesdetall),total’estructuradecaminsmínims

inicialspotresultarmodificadai,amblestècniquesactuals,nosesapcom explotarlainformaciódequèesdisposavaabansd’inserir-los.

A[14]espresentendiversesviesperaprofundirenl’estudidelafitaciódel nombredeBorsukperunaconstant.D’unabanda,s’estudiengrafscontinus quetenenunacertapropietatdemonotoniais’estableixunafitaquedepèn delnombrede conjuntsdiametrals disjuntsquetinguielgraf:donatunparelldepuntsdiametrals p, q d’ungrafcontinu G,elseuconjuntdiametral associatéslauniódetotselscaminsmínimsqueconnecten p i q;perexemple, uncicletéunnombreinfinitdeparellsdiametrals,però,peratotsells,el conjuntdiametraléselmateix(elciclemateix).Ladependènciad’aquestafita delsconjuntsdiametralscondueixal’estudidelnombredeconjuntsdiametrals disjuntsquepottenirungrafgeomètricpla,qüestióquetéinterèsperella mateixaiquetambécontinuaoberta.

D’altrabanda,a[14]esdemostraque b(T ) ≤ 3peratotarbrecontinu T de n vèrtexsiesproposaunalgorismequadràticen n perdeterminarelvalor exactedelnombredeBorsuk.Eldissenydel’algorismereflecteix,unavegada més,ladificultatd’analitzarelscanvisquepateixenelscaminsmínims,finsi totendividirunarbre.Aixòfapensarque,perduratermeunestudialgorísmic delnombredeBorsukd’ungrafcontinuarbitrari,tambécaldràdesenvolupar novestècniquesique,sensdubte,estractad’unproblemadesafiadorenel contextdelsgrafscontinus.

4Conclusions

Enaquestarticlehempresentatlanociódegrafscontinus,unageneralització naturaldelsgrafsquetrobaaplicacionsennombrososcontextos.Enshem centratenunadelesfamíliesdeproblemesmésimportantsenteoriadegrafs: elsdedistàncies.Enlaprimerapartd’aquesttreballtractem,enelcontext continu,elcàlculdeldiàmetreideladistànciamitjana,dosparàmetresclàssics queinvolucrendistàncies.Lasegonapartestàdedicadaadosproblemesde modificaciódegrafscontinus:afegirdreceresisubdividirungrafensubgrafs ambdiàmetrecontinuméspetit.Elsproblemesestudiatssónfonamentals irelativamentfàcilsd’enunciar,però,totiaixò,lamajoriadelespreguntes naturalssobreellscontinuenobertes.Elnostretreballdonaunaideadeles conseqüènciesdetraslladarnocionsbàsiquesiconegudessobregrafsalterreny delsgrafscontinus,ideixaenevidènciamoltesdelescomplicacionsqueaixò comportaanivellconceptuali,sobretot,algorísmic.

Agraïments

ElsautorsdonenlesgràciesaAlbertoMárquezperajudaraperfilaraquest treball;aVeraSacristán,permoltssuggerimentssobrecommillorarlapresentaciódel’article,ialsrevisors,permoltscomentarisquehanajudatamillorar encaraméselresultatfinal.

TreballrealitzatenelmarcdelprojectePID2023-150725NB-I00,finançat perMICIU/AEI/10.13039/501100011033.

DeliaGarijoiRodrigoI.Silveira

Referències

[1] Abboud,A.;VassilevskaWilliams,V.;Wang,J. «Approximationand fixedparametersubquadraticalgorithmsforradiusanddiameterinsparse graphs».A: ProceedingsoftheTwenty-SeventhAnnualACM-SIAMSymposiumonDiscreteAlgorithms.NovaYork:AssociationforComputing Machinery(ACM),2016,377–391.

[2] Bae,S.W.;deBerg,M.;Cheong,O.;Gudmundsson,J.;Levcopoulos,C. «Shortcutsforthecircle».A: 28thInternationalSymposiumonAlgorithms andComputation.Wadern:SchlossDagstuhl.Leibniz-ZentrumfürInformatik,2017,articlenúm.9,13p.(LIPIcs.LeibnizInt.Proc.Inform.;92)

[3] Baptista,L.N.;Kennedy,J.B.;Mugnolo,D. «Meandistanceonmetric graphs». J.Geom.Anal.,34(5)(2024),articlenúm.137,25p.

[4] Bergé,P.;Ducoffe,G.;Habib,M. «Subquadratic-timealgorithmforthe diameterandalleccentricitiesonmediangraphs». TheoryComput.Syst., 68(1)(2024),144–193.

[5] Bilò,D.;Gualà,L.;Leucci,S.;Sciarria,L.P. «Findingdiameter-reducing shortcutsintrees».A: AlgorithmsandDataStructures.Cham,Suïssa: Springer,2023,164–178.(LectureNotesinComput.Sci.;14079)

[6] Borsuk,K. «DreiSätzeüberdie n-dimensionaleeuklidischeSphäre». Fund. Math.,20(1)(1933),177–190.

[7] Bringmann,K.;Husfeldt,T.;Magnusson,M. «Multivariateanalysisof orthogonalrangesearchingandgraphdistances». Algorithmica,82(8) (2020),2292–2315.

[8] Buchin,K.;Buchin,M.;Gudmundsson,J.;Wong,S. «Bicriteriaapproximationforminimumdilationgraphaugmentation».A: 32ndAnnualEuropeanSymposiumonAlgorithms.Wadern:SchlossDagstuhl.LeibnizZentrumfürInformatik,2024,articlenúm.36,15p.(LIPIcs.LeibnizInt. Proc.Inform.;308)

[9] Buckley,F. «Meandistanceinlinegraphs». Congr.Numer.,32(1981), 153–162.

[10] Buckley,F.;Superville,L. «Distancedistributionsandmeandistance problems».A: ProceedingsoftheThirdCaribbeanConferenceonCombinatoricsandComputing.CaveHill:UniversityoftheWestIndies,CaveHill Campus,1981,67–76.

[11] Cabello,S. «Subquadraticalgorithmsforthediameterandthesumof pairwisedistancesinplanargraphs». ACMTrans.Algorithms,15(2)(2019), articlenúm.21,38p.

[12] Cabello,S.;Garijo,D.;Kalb,A.;Klute,F.;Parada,I.;Silveira,R.I. «Algorithmsfordistanceproblemsincontinuousgraphs».Preprint(2025). [Disponibleenlíniaa: https://arxiv.org/abs/2503.07769]

[13] Cáceres,J.;Garijo,D.;González,A.;Márquez,A.;Puertas,M.L.; Ribeiro,P. «ShortcutsetsforthelocusofplaneEuclideannetworks». Appl.Math.Comput.,334(2018),192–205.

[14] Cáceres,J.;Garijo,D.;Márquez,A.;Silveira,R.I. «TheBorsuknumber ofagraph».A: ProceedingsoftheDiscreteMathematicsDays.Madrid: UniversidaddeAlcalá,2024,141–146.

[15] DeCarufel,J.-L.;Grimm,C.;Maheshwari,A.;Schirra,S.;Smid,M. «Minimizingthecontinuousdiameterwhenaugmentingageometrictree withashortcut». Comput.Geom.,89(2020),101631,34p.

[16] DeCarufel,J.-L.;Grimm,C.;Maheshwari,A.;Smid,M. «Minimizingthe continuousdiameterwhenaugmentingpathsandcycleswithshortcuts». A: 15thScandinavianSymposiumandWorkshopsonAlgorithmTheory. Wadern:SchlossDagstuhl.Leibniz-ZentrumfürInformatik,2016,article núm.27,14p.(LIPIcs.LeibnizInt.Proc.Inform.;53)

[17] Chen,C.-K.E.;Garfinkel,R.S. «Thegeneralizeddiameterofagraph». Networks,12(3)(1982),335–340.

[18] Dankelmann,P. «Averagedistanceinweightedgraphs». DiscreteMath., 312(1)(2012),12–20.

[19] Diestel,R. GraphTheory.5aed.Berlín:Springer,2017.(Grad.Textsin Math.;173)

[20] Doyle,J.K.;Graver,J.E. «Meandistanceinagraph». DiscreteMath.,7(2) (1977),147–154.

[21] Doyle,J.K.;Graver,J.E. «Asummaryofresultsonmeandistancein shapes». EnvironmentandPlanningB:UrbanAnalyticsandCityScience, 9(2)(1982),177–179.

[22] Doyle,J.K.;Graver,J.E. «Meandistanceforshapes». J.GraphTheory, 6(4)(1982),453–471.

[23] Ducoffe,G.;Habib,M.;Viennot,L. «Diametercomputationon H-minor freegraphsandgraphsofbounded(distance)VC-dimension».A: Proceedingsofthe2020ACM-SIAMSymposiumonDiscreteAlgorithms.Filadèlfia,PA:SocietyforIndustrialandAppliedMathematics(SIAM),2020, 1905–1922.

[24] Eggleston,H.G. «Coveringathree-dimensionalsetwithsetsofsmaller diameter». J.LondonMath.Soc.,30(1955),11–24.

[25] Entringer,R.C.;Jackson,D.E.;Snyder,D.A. «Distanceingraphs». CzechoslovakMath.J.,26(101)(2)(1976),283–296.

[26] Favaron,O.;Kouider,M.;Mahéo,M. «Edge-vulnerabilityandmeandistance». Networks,19(5)(1989),493–504.

[27] Frati,F.;Gaspers,S.;Gudmundsson,J.;Mathieson,L. «Augmenting graphstominimizethediameter». Algorithmica,72(4)(2015),995–1010.

[28] Friedlander,L. «Genericityofsimpleeigenvaluesforametricgraph». IsraelJ.Math.,146(2005),149–156.

DeliaGarijoiRodrigoI.Silveira

[29] Garijo,D.;Márquez,A.;Rodríguez,N.;Silveira,R.I. «Computing optimalshortcutsfornetworks». EuropeanJ.Oper.Res.,279(1)(2019), 26–37.

[30] Garijo,D.;Márquez,A.;Silveira,R.I. «Continuousmeandistanceofa weightedgraph». ResultsMath.,78(4)(2023),articlenúm.139,36p.

[31] Gawrychowski,P.;Kaplan,H.;Mozes,S.;Sharir,M.;Weimann,O. «Voronoidiagramsonplanargraphs,andcomputingthediameterindeterministic ˜ O(N 5/3) time». SIAMJ.Comput.,50(2)(2021),509–554.

[32] Gudmundsson,J.;Sha,Y. «Algorithmsforradius-optimallyaugmenting treesinametricspace». Comput.Geom.,114(2023),articlenúm.102018, 10p.

[33] Gudmundsson,J.;Sha,Y. «Augmentinggraphstominimizetheradius». Comput.Geom.,113(2023),articlenúm.101996,14p.

[34] Gudmundsson,J.;Wong,S. «Improvingthedilationofametricgraph byaddingedges». ACMTrans.Algorithms,18(3)(2022),articlenúm.20, 14p.

[35] Hadwiger,H. «MitteilungbetreffendmeineNote:Überdeckungeiner MengedurchMengenkleinerenDurchmessers». Comment.Math.Helv.,19 (1946),72–73.

[36] Henzinger,M.R.;Klein,P.;Rao,S.;Subramanian,S. «Fastershortestpathalgorithmsforplanargraphs». J.Comput.SystemSci.,55(1)(1997), 3–23.

[37] Jenrich,T.;Brouwer,A.E. «A64-dimensionalcounterexampletoBorsuk’s conjecture». Electron.J.Combin.,21(4)(2014),articlenúm.4.29,3p.

[38] Johnson,C.;Wang,H. «Alinear-timealgorithmforradius-optimally augmentingpathsinametricspace». Comput.Geom.,96(2021),article núm.101759,21p.

[39] Kahn,J.;Kalai,G. «AcounterexampletoBorsuk’sconjecture». Bull.Amer. Math.Soc.(N.S.),29(1)(1993),60–62.

[40] Kuratowski,C. «Surleproblèmedescourbesgauchesentopologie». Fund.Math.,15(1930),271–283.

[41] Lumer,G. «Connectingoflocaloperatorsandevolutionequationson networks».A: PotentialTheory,Copenhagen1979.Berlín:Springer,1980, 219–234.(LectureNotesinMath.;787)

[42] March,L.;Steadman,P. TheGeometryofEnvironment.Londres:Royal InstituteofBritishArchitects,1971.

[43] Pach,J. «GeometricGraphTheory».A: HandbookofDiscreteandComputationalGeometry.3aed.BocaRaton,FL:CRCPressLLC,2017,257–279.

[44] Perkal,J. «Surlasubdivisiondesensemblesenpartiesdediamètre inférieur». Colloq.Math.,1(1947),45p.

[45] Pettie,S.;Ramachandran,V. «Ashortestpathalgorithmforrealweightedgraphs». SIAMJ.Comput.,34(6)(2005),1398–1431.

[46] Phillips,J.D.;Schwanghart,W.;Heckmann,T. «Graphtheoryinthe geosciences». Earth-ScienceReviews,143(2015),147–160.

[47] Plesník,J. «Onthesumofalldistancesinagraphordigraph». J.Graph Theory,8(1)(1984),1–21.

[48] Rissling,A.S. «DasBorsukscheProblemindreidimensionalenRäumen konstanterKrümmung». Ukrain.Geometr.Sb.,11(1971),78–83.

[49] Roditty,L.;Williams,V.V. «Fastapproximationalgorithmsforthe diameterandradiusofsparsegraphs».A: STOC’13—Proceedingsofthe 2013ACMSymposiumonTheoryofComputing.NovaYork:Association forComputingMachinery(ACM),2013,515–524.

[50] Rué,J. «Delateoriadegrafsclàssicaal’anàlisidelesgransxarxes». Butlletí delaSocietatCatalanadeMatemàtiques,38(1)(2023),67–105.

[51] Serra,O. «Límitsdegrafs». ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques,35(1)(2020),57–79.

[52] Shamos,M.I. «Computationalgeometry».Tesidoctoral.EUA:YaleUniversity,1978.

[53] Šoltés,L. «Transmissioningraphs:aboundandvertexremoving». Math. Slovaca,41(1)(1991),11–16.

[54] Thorup,M. «Undirectedsingle-sourceshortestpathswithpositiveinteger weightsinlineartime». J.ACM,46(3)(1999),362–394.

[55] Viana,M.P.;Strano,E.;Bordin,P.;Barthelemy,M. «Thesimplicityof planarnetworks». ScientificReports,3(2013),articlenúm.3495,6p.

[56] Wiener,H. «Structuraldeterminationofparaffinboilingpoints». J.Amer. Chem.Soc.,1(1947),17–20.

[57] Zong,C. «Borsuk’spartitionconjecture». Jpn.J.Math.,16(2)(2021), 185–201.

DeliaGarijo

DepartamentodeMatemáticaAplicadaI UniversidaddeSevilla Av.ReinaMercedes,s/n, 41012 Sevilla dgarijo@us.es

RodrigoI.Silveira

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatPolitècnicadeCatalunya

JordiGirona, 1–3, 08034 Barcelona rodrigo.silveira@upc.edu

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.40,núm.1-2,2025–2026.Pàg.69–103. DOI:10.2436/20.2002.01.120

Estructureshomotòpiquesd’ordresuperior: opèradesd’ordreinfiniticonjuntsdendroidals

JavierJ.Gutiérrez

Resum: Entopologiaalgebraicaienaltresàreesafinsapareixensovintestructures onlesigualtatsclàssiquesesrelaxeniesmantenennomésllevatd’homotopia,de maneracoherent.Aquestfenomenesmanifesta,perexemple,quanesvoldescriure sistemesd’operacionsmúltiplesquenosónestrictamentassociatives,sinóassociatives llevatd’homotopia.

Lesopèradesd’ordreinfinitproporcionenunmarcconceptualadequatperformalitzaraquesttipusdesituacions.Elsconjuntsdendroidals,introduïtsperMoerdijki Weiss,ofereixenunmodelcombinatoriespecialmentútilperestudiar-les,generalitzant elpaperquefanelsconjuntssimplicialsenlateoriadelescategoriesd’ordreinfinit.

Enaquestarticlepresentemunaintroduccióalsconjuntsdendroidalsialaseva relacióamblesopèradesd’ordreinfinit,ambl’objectiudedonarunavisióglobal deltemaidelseuinterèsdinslatopologiaalgebraica.Lesprimeresseccionsestan pensadesperoferirunaaproximacióconceptualallectornoexpert,mentrequeles partsfinalscontenendesenvolupamentsméstècnicsadreçatsalectorsfamiliaritzats ambleseinesdel’homotopiaabstractaicategoriesdemodels.

Paraulesclau: conjuntsimplicial, ∞-categoria,conjuntdendroidal,opèrada, ∞-opèrada.

ClassificacióMSC2020: 18G30,18D50,55U35.

1Introducció

Enmoltessituacionsentopologiaalgebraicaapareixenestructuresonles igualtatsclàssiques(comaral’associativitatolaunitalitatd’unaoperació)no sónprouflexiblesperdescriureadequadamentelsfenòmensqueesvolen modelitzar.Enaquestscontextos,lespropietatsalgebraiquesnoescompleixen demaneraestricta,sinónomésllevatd’homotopia,iaquestahomotopiahade satisfercertescondicionsdecoherència.

Aquestarticleconstitueixunaversióampliadadelcontingutd’uncursavançatsobreteoria homotòpicadeconjuntsdendroidalsimpartitperl’autoralaUniversitatdeSevilla,dinsdel ix EncuentrodeJóvenesTopólogos.

Unprimerexempleéseldelescategories.Recordemqueunacategoriaestà formadaperobjectesimorfismes,ambunacomposicióassociativaimorfismes identitat.Tanmateix,quanestreballaenunentornhomotòpic,ésnatural permetrequel’associativitatolesidentitatsnosiguinestrictes,sinóquees compleixinnomésllevatd’homotopia.Aquestpuntdevistacondueixalanoció decategoriesd’ordreinfinito ∞-categories,on,amésdelsmorfismeshabituals, apareixenmorfismesentremorfismes,iaixísuccessivament,organitzatsde maneracoherent.

Les ∞-categoriesproporcionen,pertant,unentornnaturalperalateoria modernadel’homotopia,l’àlgebrasuperiorilageometriaderivada,jaquepodenencabirrelacionshomotòpiquesicategòriquescomplexes.S’hanconvertit enunaeinaisobretotenunllenguatgefonamentalgràciesalstreballsdeJoyal iLurie[7,8,10].

Demaneraanàloga,quanesvolenestudiarestructuresamboperacions dediversesentrades,comaraproductes,accionsooperacionsmultilineals, lesopèradesclàssiquesresulteninsuficientsenuncontexthomotòpic.Les opèradesd’ordreinfinito ∞-opèradess’introdueixenprecisamentperformalitzarsistemesd’operacionsquesónassociatives,unitàriesocompatibles nomésllevatd’homotopia,incorporantexplícitamentlesdadesdecoherència necessàries.

Elsconjuntsdendroidals,introduïtsperMoerdijkiWeiss,proporcionenun modelcombinatoriespecialmentadequatperestudiarlesopèradesd’ordre infinit.Delamateixamaneraqueelsconjuntssimplicialspermetenmodelitzar categoriesicategoriesd’ordreinfinit,elsconjuntsdendroidalsgeneralitzen aquestformalismepertractarestructuresgovernadesperarbres,quecodifiquenoperacionsambdiversesentradesiunasortida.Aquestateoria,que constitueixl’anàlegoperàdicdeles ∞-categories,vaserdesenvolupadaprincipalmentperCisinski,Heuts,MoerdijkiWeiss[2,5,11,12,14].

L’objectiud’aquestarticleésoferirunaintroduccióalsconjuntsdendroidals ialasevarelacióamblesopèradesd’ordreinfinit,posantl’accentenlesidees conceptualsquemotivenaquestesnocions.Amblaintenciódepreservarel caràcterexpositiudeldocument,hemoptatpernoinclouredemostracions detalladesdelsresultatsprincipals.Totiaixí,totsaquestsresultatsestan degudamentreferenciatsperquèellectorinteressatpuguiconsultar-neles provescompletes.D’aquestamanera,pretenemoferirunavisióaccessiblei claradelsconceptesfonamentalsd’aquestateoria,perfacilitaraixíunaprimera aproximacióaltema.

Lesprimeresseccionsestanpensadesperproporcionarunaaproximació gradualaltema,adreçadaalectorsnoespecialistes,mentrequelesseccions finalspresentenresultatsiconstruccionsméstècniques,destinadesalectors familiaritzatsambleseinesdel’homotopiaabstracta.

L’articles’organitzadelamanerasegüent.Alasecció2esrevisenalguns aspectesbàsicsdel’homotopiasimplicialidelescategoriesd’ordreinfinit.A lasecció3s’introdueixenlesopèradesacoloridesilessevesvariantshomotòpi-

ques.Tambéexploremlarelacióexistententrelesopèradesilescategories.A lasecció4espresentenelsconjuntsdendroidalsilasevainterpretaciócom amodeld’opèradesd’ordreinfinit.Enaquestasecciótambédesenvolupem diversosaspectesrellevantsdelateoriadelsconjuntsdendroidals,comara elfunctornervidendroidalielproductetensorialdeconjuntsdendroidals. Finalment,alasecció5introduïml’estructurademodelsoperàdicadeCisinskiMoerdijkenlacategoriadelsconjuntsdendroidalsiexpliquemlarelacióentre aquestaestructurail’estructurademodelscanònicaenlacategoriadeles opèradesacolorides.

2Homotopiasimplicialicategoriesd’ordreinfinit

Enaquestasecciórecordaremalgunsaspectesbàsicsdelateoriad’homotopia simplicialqueserveixendepuntdepartidaperaladefiniciódelescategories d’ordreinfinit.L’objectiunoésdesenvoluparlateoriaambdetall,sinófixar elllenguatgeilesideesessencialsquepermetranentendre,mésendavant,la definicióde ∞-categoriaielpaperquehitenenelsconjuntssimplicials.El contingutd’aquestaseccióespottrobarenqualsevolmanualbàsicsobreteoria homotòpicadeconjuntssimplicials,perexemple,[3,5,8,10].

2.1Nocionsbàsiquesdeteoriadecategories

Començaremambalgunesnocionsfonamentalsdeteoriadecategoriesque utilitzaremalllargdeltext.Aquestasecciónopreténserexhaustiva,sinófixar lanotacióilesdefinicionsbàsiquesnecessàriesperalesseccionsposteriors.

Definició 1 Una categoria,quedenotaremper C,consisteixenlesdades següents:

(i) Unacol.leccióOb(C) d’objectes.

(ii) Peracadaparelld’objectes X, Y ,unconjunt C(X,Y) de morfismes de X a Y .

(iii) Peracadaobjecte X,unmorfismeidentitatidX ∈C(X,X).

(iv) Unalleidecomposició

◦ : C(Y,Z) ×C(X,Y) C(X,Z), queésassociativaitélesidentitatscomaunitats,ésadir, f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h,f ◦ idX = f, idY ◦f = f, peratotselsmorfismesqueespodencompondre.Diremque C és petita si Ob(C) ésunconjunt.

Donadaunacategoria C,laseva categoriaoposada Cop éslacategoriaque téelsmateixosobjectesque C ienlaqualelsmorfismesestaninvertits,ésa dir,

Cop(X,Y) =C(Y,X), amblacomposiciódefinidademaneranatural.

Exemple. Algunsexemplesfonamentalsdecategoriessónlacategoria Sets delsconjuntsiaplicacions,lacategoria Cat delescategoriespetites,iqualsevolcategoriaalgebraicadefinidapergeneradorsirelacions,comlacategoria delsgrups,ladelsgrupsabeliansiladelsmòduls.Perexemple,enlacategoria Sets,elsobjectessónconjunts,elsmorfismessónaplicacionsentre conjunts, Sets(X,Y) denotaelconjuntd’aplicacionsde X a Y ,ilacomposició éslacomposicióusuald’aplicacions.Altresexemplesinclouenlacategoria delsespaistopològicsilesaplicacionscontínuesolacategoriadelesvarietats diferenciablesilesaplicacionssuaus.

Definició 2. Donadesduescategories C i D,un functor F : C→D assigna:

(i) Acadaobjecte X de C,unobjecte F(X) de D.

(ii) Acadamorfisme f : X → Y de C,unmorfisme F(f) : F(X) → F(Y) de D, demaneraqueespreservenlesidentitatsilacomposició,ésadir,

F(idX ) = idF(X),F(g ◦ f) = F(g) ◦ F(f).

Diremque F : C→D és pleifidel si,peratotparelld’objectes X, Y de C, l’aplicació F : C(X,Y) →D(F(X),F(Y)) ésbijectiva.

Elsfunctorspermetenrelacionarcategoriesicompararestructuresmatemàtiquesdiferentsdinsd’unmateixmarcformal.

Exemple. L’assignacióaunespaitopològicpuntejat (X,x0) delseugrupfonamental π1(X,x0) ésunfunctordelacategoriad’espaistopològicspuntejatsa lacategoriadelsgrups.

Definició 3 Siguin F,G : C→D dosfunctors.Una transformaciónatural ε de F a G,quedenotaremamb ε : F ⇒ G,assignaacadaobjecte X de C un morfisme εX : F(X) → G(X) a D talque,peratotmorfisme f : X → Y de C, tenimundiagramacommutatiu

F(X) F(f)

εX F(Y)

εY

G(X) G(f) G(Y)

Definició 4. Unfunctor F : C→D admetunadjuntperl’esquerra siexisteix unfunctor G : D→C iunabijecciónatural

D(F(X),Y) ≊C(X,G(Y))

peratotselsobjectes X de C i Y de D.Enaquestcas,diemqueelparell (F,G) ésun parelldefunctorsadjunts ique F ésl’adjuntperl’esquerrai G l’adjunt perladreta.

Exemple. Unexempleclàssicd’adjuncióenàlgebraéselquerelacionaelfunctordegruplliureielfunctoroblit.Sidenotemamb F :Sets → Grp elfunctorque assignaacadaconjunt S el gruplliure F(S) generatper S,iamb U :Grp → Sets el functoroblit,queenviaungrupalseuconjuntsubjacent,aleshores,peratot conjunt S itotgrup G,existeixunabijecciónatural

Grp(F(S),G) ≊ Sets(S,U(G)), queassociaacadahomomorfismedegrups F(S) → G lasevarestriccióals generadors.Aquestabijeccióésnaturalenambduesvariables,imostraqueel functor F ésl’adjuntperl’esquerradelfunctor U

Lesadjuncionsapareixendemanerarecurrentenaquestarticle,enparticularenlarelacióentrecategories,opèradesacolorides,conjuntssimplicialsi conjuntsdendroidals.

Finalment,recordemqueunacategoria A donallocaunacategoriade prefeixos A= Fun(Aop , Sets) ambobjecteselsfunctorsde Aop a Sets iamb morfismeslestransformacionsnaturalsentreaquestsfunctors.Aquestaconstrucciótindràunpaperfonamentalenladefiniciótantdelsconjuntssimplicials comdelsconjuntsdendroidals.

2.2Conjuntssimplicials

Elsconjuntssimplicialsconstitueixenunllenguatgecombinatorimolteficaç percodificarinformacióhomotòpica.Intuïtivament,permetendescriureespais iestructuresalgebraiquesmitjançantdadesdiscretesorganitzadesperdimensions,juntamentamboperacionsquerelacionenaquestesdimensionsentre si.

Unconjuntsimplicial X ésunacol lecciódeconjunts {Xn}n≥0 juntament ambaplicacions cara di : Xn → Xn 1 i degeneracions si : Xn → Xn+1 pera tot0 ≤ i ≤ n quecompleixenles identitatssimplicials següents:

didj = dj 1di,i<j; sisj = sj+1si,i ≤ j;

disj =

sj 1di,i<j; id,i = j,j + 1; sj di 1, enqualsevolaltrecas.

Elselementsdelsconjunts Xn s’anomenen n-símplexs.Un n-símplex σ ∈ Xn esdiu degenerat siexisteixun σ ′ ∈ Xn 1 talque sj (σ ′) = σ peraalgun0 ≤ j ≤ n 1.Un n-símplexés nodegenerat sinoésdegenerat.

Performalitzaraquestaestructuradecaresidegeneracionsd’unamanera conceptual,ésconvenientintroduirunacategoriaindexantquerecullitotesles possiblesrelacionsentresímplexsdediferentsdimensions.

Definició 5 Lacategoria ∆ éslacategoriaquetécomaobjecteselsordinals finits [n] ={0, 1,...,n} icomamorfismeslesfuncionsquepreservenl’ordre, ésadir,lesfuncions f : [n] → [m] talsquesi i ≤ j,llavors f(i) ≤ f(j)

Enlacategoria ∆ tenimdostipusdemorfismesdistingits:

• Cares.Sónmorfismes di : [n] → [n + 1] amb0 ≤ i ≤ n + 1,quecorresponenaeliminarl’element i delaimatge.Perexemple, d2 : [2] → [3] es defineixcoma d2(0) = 0, d2(1) = 1i d2(2) = 3.

• Degeneracions.Sónmorfismes si : [n + 1] → [n] amb0 ≤ i ≤ n,que corresponenaduplicarl’element i alaimatge.Perexemple, s1 : [3] → [2] esdefineixcoma s1(0) = 0, s1(1) = 1, s1(2) = 1i s1(3) = 2.

Aquestsdostipusdemorfismesgenerentotselsmorfismesde ∆.Qualsevol morfismedelacategoria ∆ diferentdelaidentitatespotescriure,demanera única,comunacomposiciódecaresseguidad’unacomposiciódedegeneracions.

Fentserviraquestacategoria,podemdefinirunconjuntsimpliciald’una maneraméscompactacomunprefeixen ∆,ésadir,unfunctor X : ∆op → Sets, on ( )op denotalacategoriaoposadai Sets lacategoriadelsconjunts.Aquesta descripciópermetreformularladefiniciódeconjuntsimplicialdemaneramés conceptual,evitantreferènciesexplícitesatoteslesidentitatssimplicials.

Definició 6 Lacategoriadels conjuntssimplicials sSets éslacategoriade functors Fun(∆op , Sets) = Sets∆op = ∆.Elsseusobjectessónfunctors X : ∆op → Sets ielsseusmorfismesvenendonatsperlestransformacionsnaturalsentre functors.

Exemple. Elsexemplessegüentsil lustrencomelsconjuntssimplicialsapareixendemaneranaturaltantengeometriacomenàlgebra,icompermeten codificarestructuresconegudesdinsd’unmarcunificat.

(i) Representables.Sónelsconjuntssimplicialsdelaforma ∆( ,[n]) = ∆[n]. Intuïtivament,espodenpensarcomageneralitzacionsdetetraedresen dimensionssuperiors.Perexemple, ∆[3] téquatre0-símplexs,sis1-símplexs,quatre2-símplexsiun3-símplexnodegenerats.Gràficament,el podemrepresentaraixí

onelsnombres0,1,2,3representenels0-símplexsde ∆[3]

(ii) Voresibanyes.Donatunconjuntsimplicialrepresentable ∆[n],lacara i-èsima ∂i∆[n] éslaimatgede di

o,equivalentment,elsubconjuntsimplicialde ∆[n] generatpel (n 1)símplex di ∈ ∆[n]n 1.La vora ∂∆[n] éselsubconjuntsimplicialdonat perlauniódetoteslescares

∂∆[n] = n i=0 ∂i∆[n],

o,equivalentment,elsubconjuntsimplicialde ∆[n] generatpelconjuntde (n 1)-símplexs d0,...,dn ∈ ∆[n]n 1.La banya Λ[n,k] éselsubconjunt simplicialdonatperlauniódetoteslescares

Λ[n,k] = n i=0 i̸=k ∂i∆[n],

o,equivalentment,elsubconjuntsimplicialde ∆[n] generatpelconjuntde (n 1)-símplexs {d0,...,dk 1,dk,...,dn}∈ ∆[n]n 1.Entermes d’aplicacions,elselementsdelconjuntde m-símplexs Λ[n,k]m sóntoteslesaplicacions [m] → [n] laimatgedelesqualsnocontéelconjunt {1,...,n}\{k}.Lesbanyes Λ[n,k] amb0 <k<n esdiuen banyes internes ilesbanyes Λ[n, 0] i Λ[n,n] s’anomenen banyesexternes.Per exemple,podemrepresentargràficamentlestresbanyesde ∆[2] dela manerasegüent:

(iii) Productecartesiàiconjuntsimpliciald’aplicacions.Siguin X i Y dosconjuntssimplicials.El productecartesià X × Y éselconjuntsimplicialque téper n-símplexselsconjunts

(X × Y)n = Xn × Yn.

Lescaresidegeneracionsesdefinexennivellanivell, di(x,y) = (di(x), di(y)) i si(x,y) = (si(x),si(y)),peratot x ∈ Xn i y ∈ Yn.Observemque,anivellderepresentables, ∆[n] × ∆[m] ̸= ∆[n + m],excepte quan n = 0o m = 0.

El conjuntsimpliciald’aplicacions de X a Y ,quedenotemamb map(X,Y), téper n-símplexselsconjunts

map(X,Y)n = sSets(X × ∆[n],Y).

Ambelproductecartesiàielsconjuntssimplicialsd’aplicacions,lacategoria sSets ésunacategoriasimètricamonoidalambunitat ∆[0] itancada.

Aquestadarreracondicióvoldirque,peracada Y ∈ sSets,tenimuna adjunciódefunctors

−× Y :sSets sSets:map(Y, ),

on −× Y ésl’adjuntperl’esquerra,queensdonaunabijecciódeconjunts

sSets(X × Y,Z) ≊ sSets(X, map(Y,Z))

peratot X,Y,Z ∈ sSets.

(iv) Complexsingular.Sigui ∆n el n-símplextopològicestàndard: ∆n ={(x0,...,xn) ∈ Rn+1 | x0 +···+ xn = 1,xi ≥ 0}.

Podemdefiniraplicacions di : ∆n 1 →

n+1 → ∆n peratot i = 0,...,n delamanerasegüent.Lesaplicacions di insereixenun0en laposició i-èsimailesaplicacions si sumenlescoordenades xi i xi+1

Donatunespaitopològic X,elseucomplexsingular Sing(X) éselconjunt simplicialquetéper n-símplexslesaplicacionscontínuesde ∆n en X i lessevescaresidegeneracionsestaninduïdesperprecomposicióamb di i si , (Sing(X))n = Top(∆n,X).

Aquestaconstrucciódescriuunfunctordelacategoriadelsespaistopològicsenlacategoriadelsconjuntssimplicials,queésadjuntperladreta delfunctorrealitzaciógeomètrica|·|

|·| :sSets Top:Sing(·), queconverteixunconjuntsimplicialenunespaitopològiciespotdefinir comelquocient

on |X| télatopologiaquocient, Xn télatopologiadiscretai ∼ éslarelació d’equivalènciageneradaper (x,sj q) ∼ (sj x,q) i (x,diq) ∼ (dix,q).Per exemple, |∆[n]|= ∆n . (v) Nervi.Donadaunacategoriapetita C,podemassignar-liunconjuntsimplicial NC queesdiu nervi de C delamanerasegüent.Elconjuntdels n-símplexséselconjuntdels n morfismesa C queespodencompondre. Sidenotemamb [n] lacategoriaquetécomaobjectes0,...,n iunúnic morfisme i → i + 1peracada i,llavors

(NC)n = Cat([n], C), on Cat denotalacategoriadelescategoriespetites.Perexemple, (NC)0 i (NC)1 sónelconjuntd’objectesidemorfismesde C,respectivament.Les

aplicacionscarade NC s’obtenencomponentdosmorfismesconsecutius (oeliminantelprimerol’últimmorfisme),ilesdegeneracionss’obtenen inserintidentitats.Aquestaconstrucciódescriuunfunctor

N :Cat sSets

queésplenamentfidel,ésadir,Cat(C, D) ≊ sSets(NC,ND)

Amésamés,podemidentificarelsconjuntssimplicialsquesónenla imatged’aquestfunctornervi.Unconjuntsimplicial X éselnervid’una categoriasiinoméssiperaqualsevolbanyainterna Λ[n,k] → X,podem completareldiagramasegüentaundiagramacommutatiudemanera única peratot0 <k<n,

onelmorfismeverticaléslainclusió.Equivalentment, X éselnervid’una categoriasiinoméssil’aplicacióinduïdaperlainclusió

sSets(∆[n],X)

sSets(Λ[n,k],X)

ésbijectivaperatot0 <k<n.Sienlacondicióanteriorincloemtotes lesbanyes,ésadir,0 ≤ k ≤ n,llavorsobtenimelsconjuntssimplicials quesónnervisdegrupoides,quesóncategoriesenlesqualstotmorfisme ésinvertible.

Elfunctornervitambétéunadjuntperl’esquerra τ :sSets → Cat quees defineixperextensiódeKaniques’anomena categoriafonamental.

2.3 ∞-categories

L’últimexempledelaseccióanteriorésespecialmentrellevant,jaquemostra comlescategoriesordinàriesespodendescriurecompletamentmitjançant conjuntssimplicialsquesatisfanunapropietatd’unicitatforta.Lacondició d’existència,demaneraúnica,d’elevacionsperalesbanyesinternesveadir que,semprequepuguemcompondredosmorfismesenunacategoria,hihaessencialmentunaúnicamaneradefer-ho.Aquestapropietatreflecteixelfetque, enunacategoriaordinària,lacomposiciódemorfismesésestrictaiessencialmentúnica.Encontextoshomotòpics,aquestaunicitatresultamassarestrictiva. Debilitantaquestacondició,obtenimladefinicióde ∞-categoria(tambéanomenades quasicategories o (∞, 1)-categories),quedesprésgeneralitzaremalcas delesopèrades.

Definició 7 Una ∞-categoria ésunconjuntsimplicial X talquetotabanya internatéunaelevació.Ésadir, X ésuna ∞-categoriasiperaqualsevolaplicació

Λ[n,k] X, podemcompletareldiagramasegüentaundiagramacommutatiuperatot0 < k<n: Λ[n,k] ∀ X

[n]

onelmorfismeverticaléslainclusió.Equivalentment, X ésuna ∞-categoriasii noméssil’aplicacióinduïdaperlainclusió

sSets(∆[n],X) sSets(Λ[n,k],X), ésexhaustivaperatot0 <k<n.Sienlacondicióanteriorincloemtotesles banyes,ésadir,0 ≤ k ≤ n,llavorsobtenimlanocióde ∞-grupoide o complex deKan.

Exemple. Elssegüentssóndosexemplesbàsicsde ∞-categories.

(i) Peratotacategoriapetita C,elseunervi N(C) ésuna ∞-categoria.

(ii) Elsconjuntssimplicialsrepresentables ∆[n] són ∞-categoriespera tot n ≥ 0.

Totiqueelfunctornervi N :Cat → sSets ésplenamentfidel,noensproporciona unaequivalènciadecategories,jaquenoésessencialmentexhaustiu:notot conjuntsimplicialésuna ∞-categoria(evidentment,nototconjuntsimplicial télapropietatd’elevaciórespectedetoteslesbanyesinternes).

2.4Estructuresdemodelsenconjuntssimplicials

LesestructuresdemodelsdeQuillenproporcionenunmarcformalperestudiar lateoriad’homotopiad’unamaneraabstractaisistemàtica.Totiqueelsdetalls tècnicsd’aquestesestructuressónsofisticats,enaquestarticleensinteressen principalmentcomaeinapercomparardiferentsmodelshomotòpicsientendre larelacióentreconjuntssimplicials, ∞-categoriesicategoriesordinàries.En aquestcontext,unaestructurademodelsconsisteixentresclassesdistingides demorfismes: equivalènciesfebles, fibracions i cofibracions,cadascunadeles qualssatisfàpropietatsespecífiquesd’elevacióifactorització,quepermeten captarinformacióhomotòpicairealitzarconstruccionsanàloguesalesquees fanenespaistopològics.VanserdefinidesiestudiadesperQuillenen[13].

Lesclassesdistingidesdemorfismesdel’estructurademodelsclàssicao estàndarddeKan-Quillenperaconjuntssimplicialsesdefineixendelamanera següent:

• Equivalènciesfebles.Sónelsmorfismesdeconjuntssimplicials f : X →

Y queindueixenisomorfismesentotselsgrupsd’homotopiadesprés d’aplicarelfunctorderealitzaciógeomètrica |f | : |X|→|Y |.Aquestes equivalènciesfeblescorresponenalesequivalèncieshomotòpiquesenla categoriad’espaistopològics.

• Fibracions.SónlesfibracionsdeKan,ésadir,elsmorfismes f : X → Y deconjuntssimplicialsquesatisfanlapropietatd’aixecamentaladreta respecteatoteslesinclusions Λ[n,k] → ∆[n] peratot0 ≤ k ≤ n

LesfibracionsdeKansónl’anàlegsimplicialdelesfibracionsdeSerreen espaistopològics.Elsobjectesfibrantssónels complexosdeKan

• Cofibracions.Sónelsmonomorfismes,ésadir,elsmorfismesinjectiusde conjuntssimplicials.

ElteoremasegüentvaserdemostratperQuillenen[13,capítol ii].

Teorema 8 (Quillen). Lesequivalènciesfebles,fibracionsdeKanimonomorfismesformenunaestructurademodelsenlacategoriadelsconjuntssimplicials.

Denotaremamb sSetsKQ lacategoriadelsconjuntssimplicialsambl’estructurademodelsdeKan-Quillen.

Donadaunaestructurademodelsenunacategoria C,lipodemassociar lasevacategoriahomotòpica Ho(C).Aquestacategoriahomotòpicaesforma localitzantlacategoriaoriginalrespectealesequivalènciesfebles,ésadir, formalitzantl’inversdelsmorfismesquesónequivalèncieshomotòpiques.Dues categoriesdemodelssón equivalentsensentitdeQuillen silessevesrespectives categorieshomotòpiquessónequivalents.

L’estructurademodelsdeKan-Quillencaptural’homotopiaclàssicadels espaistopològics.Lasevacategoriahomotòpicaésequivalentalacategoria homotòpicad’espaistopològics.Defet,Quillenvadefinirunaestructurade modelsalacategoriad’espaistopològics TopQui amblesequivalèncieshomotòpiquesfeblescomaequivalènciesfebles,lacategoriahomotòpicadelaqualés equivalentaladeconjuntssimplicials.Amés,aquestaequivalènciaveinduïda pelparelladjuntrealitzaciógeomètricaicomplexsingular,ésadir,elparell adjunt

|·| :sSets Top:Sing(·) donallocaunaequivalènciadecategories

Ho(sSetsKQ) ≊ Ho(TopQui).

Lacategoriadeconjuntssimplicialsadmetunaaltraestructurademodels, quevaserdescobertamoltméstard,peralaqualelsobjectesfibrantssón precisamentles ∞-categories.Esdiu estructurademodelsdeJoyal o categòrica inoésequivalentaladeKan-Quillen.Lescofibracionssónlesmateixesque enl’estructuradeKan-Quillen,peròtémenysequivalènciesfebles.Lesclasses distingidesdemorfismesd’aquestaestructuraespodendefinirdelamanera següent:

• Equivalènciesfebles.Sónlesequivalènciescategòriquesfebles,ésadir, aquellsmorfismes f : X → Y deconjuntssimplicialstalsquel’aplicació induïdaentreelscomplexossimplicialsd’aplicacions

f ∗ :map(Y,A) map(X,A)

indueixunisomorfismeperatota ∞-categoria A desprésd’aplicarel functorquetransformaunconjuntsimplicialenelconjuntdeclasses d’isomorfismedelsobjectesdelasevacategoriafonamental.

• Fibracions.Sónlesisofibracions.Espodendefinircomelsmorfismesque tenenlapropietatd’aixecamentaladretarespectealsmorfismesquesón alhoraequivalènciesfeblesicofibracions.Elsobjectesfibrantssónles ∞-categories

• Cofibracions.Sónelsmonomorfismes,ésadir,elsmorfismesinjectiusde conjuntssimplicials.

L’estructurademodelsanteriorvaserdescritaperJoyalalsanysnoranta,tot iquelanocióde ∞-categoriaocomplexdeKanfebleesremuntaalstreballsde Boardman-Vogt[1].Joyalnovapublicarlasevaprovailaprimerademostració publicadadelteoremasegüentesdeuaLurie[10,secció2.2.5].

Teorema 9 (Joyal). Lesequivalènciescategòriques,isofibracionsimonomorfismesformenunaestructurademodelsenlacategoriadelsconjuntssimplicials.

L’estructurademodelsdeJoyalenlacategoriadelsconjuntssimplicials, quedenotaremamb sSetsJoyal,ésunmarcnaturalperal’estudidelateoria d’homotopiadeles ∞-categories.

2.4.1Estructurademodelscanònicaenlacategoriadelescategories L’estructurademodelsdeJoyalenconjuntssimplicialséscompatibleambl’estructurademodels canònica enlacategoriadelescategoriespetites,que descrivimacontinuació.

Una isofibració decategoriesésunfunctor f : C→D queaixecaisomorfismes,ésadir,unfunctorquetélapropietatd’aixecamentaladretarespectede lainclusió0 → J,on0éslacategoriaambunsolobjecteinoméselmorfisme identitat,i J éslacategoriaambdosobjectes0i1iunisomorfismeentreells.

Mésconcretamet,totdiagramacommutatiu

téunaelevació.Unademostraciódelteoremasegüentespottrobara[9].

Teorema 10. Lacategoria Cat admetunaestructurademodelsanomenada estructurademodelscanònica,quedenotaremamb Catcan,enlaquallesequivalènciesfeblessónlesequivalènciescategòriques,ésadir,functorsplensifidels iessencialmentexhaustius;lesfibracionssónlesisofibracions;ilescofibracions sónelsfunctorsinjectiusenobjectes.

Aquestaestructurademodelscanònicaéscompatibleambl’estructurade Joyalperales ∞-categories,enelsentitqueelparelladjuntdonatpelnerviila categoriafonamental

τ :Catcan sSetsJoyal : N

ésun parelldeQuillen,ésadir, τ preservacofibracionsi N preservafibracions.

3Opèradesacolorides

Lesopèradessónestructuresalgebraiquesdissenyadesperdescriuresistemes d’operacionsambdiversesentradesiunaúnicasortida,juntamentambles seveslleisdecomposició.Adiferènciadelescategories,quemodelitzencomposicionsbinàriesdemorfismes,lesopèradespermetentractaroperacions d’aritatarbitrària(ésadir,ambunnombred’argumentsdonat)ilesrelacions quehihaentreelles.

Aquesttipusd’estructuresapareixdemaneranaturalentopologiaalgebraica,perexemple,enl’estudidelsespaisdellaçosidelesàlgebres A∞ i E∞, onlespropietatsalgebraiquesescompleixennomésllevatd’homotopia.En aquestcontext,lesopèradesproporcionenunllenguatgeadequatpercodificar aquestesdadesd’unamaneracoherent.

Enaquestarticleenscentraremenles opèradesacolorides,quegeneralitzenalhoralescategoriesilesopèradesclàssiques,iqueconstitueixenel puntdepartidanaturalperaladefinicióde ∞-opèradesmitjançantconjunts dendroidals.

Intuïtivament,unaopèradaacoloridadescriuoperacionsentrediferents tipusd’objectes,enquèelscolorsindiqueneltipusdelesentradesidela sortida.

Definició 11. Sigui C unconjuntelselementsdelqualanomenarem colors.Una opèrada P acoloridaen C consisteixenunconjuntd’operacions P(c1,...,cn; c)

peracada (n + 1)-tupladecolors (c1,...,cn; c),amb ci,c ∈ C peratot i = 1,...,n,on c1,...,cn denotenels n colorsd’entradadel’operaciói c elcolor desortida.Totesaquestesoperacionsvenenequipadesamb:

(i) Unitats 1c ∈ P(c; c) peracada c ∈ C

(ii) Una acciódelgrupsimètric Σn,quevedonadaperunaaplicació

σ ∗ : P(c1,...,cn; c)

peracada σ ∈ Σn

(iii) Un productedecomposició

P(cσ(1),...,cσ(n); c)

P(c1,...,cn; c) × P(d11,...,d1k1 ; c1) ×···× P(dn1,...,dnkn ; cn)

P(d11,...,d1k1 ,...,dn1,...,dnkn ; c)

queésassociatiu,unitariicompatibleamblesaccionsdelsgrups Σn.

Lescondicionsanteriorsformalitzenelfetquelesoperacionsespoden compondredemaneraassociativa,queexisteixenoperacionsidentitatique l’ordredelesentradesespotpermutardemaneracoherent.

Exemple. Podemrepresentarcadaoperaciód’unaopèrada P comunarbre ambunsolvèrtex,lesfullesdelqualestanacoloridesperlesentradesil’arrel estàacoloridaperlasortida.D’aquestamanera,podemveureelproductede composiciócomun«empeltamentd’arbres»,quereflecteixdemaneragràfica l’estructuracombinatòriadelesoperacions.

c c1 c2 c3

p ∈ P(c1,c2,c3; c)

Els morfismes entreopèradesacoloridesenviencolorsacolorsioperacions aoperacions(delamateixaaritat).Si P ésunaopèradaacoloridaen C i Q ésuna opèradaacoloridaen D,llavorsunmorfisme f : P → Q ésunaaplicació f : C → D iaplicacions

fc1,...,cn;c : P(c1,...,cn; c) Q(f(c1),...,f(cn); f(c))

compatiblesambtoteslesaplicacionsd’estructurade P i Q (unitats,acciódel grupsimètriciproductedecomposició).

Denotaremamb Oper lacategoriadetoteslesopèradesacoloridesielsseus morfismes.

Exemple. Elsexemplessegüentsmostrencomlesopèradesacoloridesunifiquendiversesestructuresfamiliarsdinsd’unmateixmarcconceptual.

(i) Opèradesclàssiques.Sielconjunt C téunsolelement C ={c},llavors unaopèradaacoloridaen C éselmateixqueunaopèradaenelsentit clàssic.Enaquestcas,esdenota P(c, (n) ...,c; c) = P(n).Si P(n) ={∗} peratot n ≥ 0(ambl’accióielproductedecomposiciótrivials)o,si P(n) = Σn peratot n ≥ 0(ambl’acciódonadaperlamultiplicaciói elproductedecomposiciódonatperpermutacionsenbloc),tenimles opèrades commutativa i associativa,respectivament.

(ii) Categories.Si P ésunaopèradaacoloridaen C ambnomésoperacions d’aritatu,ésadir,elsúnicsconjuntsd’operacionsnobuitssónelsdela forma P(ci; cj ),llavors P ésunacategoriapetita,elconjuntd’objectesde laqualéselconjuntdecolors C de P .

(iii) Categoriesmonoidals.Totacategoriamonoidal (V , ⊗) espotveurecom unaopèradaacolorida PV .Elscolorsde PV sónelsobjectesde V iles operacionsesdefineixencoma

PV (X1,...,Xn; X) =V (X1 ⊗···⊗ Xn,X)

peracada X, Xi amb i = 1,...,n objectesde V

(iv) Opèradesnosimètriques.Sienladefiniciód’opèradaacoloridaeliminem lacondició(ii)relativaal’acciódelgrupsimètric,llavorsobtenimlanoció d’opèradaacoloridanosimètrica.

3.1Relacióentrecategoriesiopèradesacolorides

Unadelesraonsperlesqualslesopèradesacoloridessónespecialmentrellevantsenaquestcontextésquegeneralitzendemaneranaturallanocióde categoria.Enefecte,lescategoriesespodenrecuperarcomelcasparticular d’opèradesacoloridesambnomésoperacionsd’aritatu.Recíprocament,si tenimunaopèrada P acoloridaqualsevol,podemconsiderartoteslesseves operacionsd’aritatu,iobtenimunacategoriapetita,queesdiu categoriasubjacenta P .Aquestesduesconstruccionsespodenformalitzarexplícitament mitjançantfunctorsadjunts.

Podemdefinirelsegüentparelldefunctorsadjuntsentrelacategoriadeles categoriespetitesilacategoriadelesopèradesacolorides:

j! :Cat Oper: j∗ ,

on j! ésl’adjuntperl’esquerrai j∗ ésl’adjuntperladreta.Explícitament, donadaunacategoriapetita C,elfunctor j!(C) és C vistacomaopèrada,és adir,elscolorsde j!(C) sónelsobjectesde C isolamenttenimoperacions d’aritatu

j!(C)(c1; c2) =C(c1,c2),j!(C)(c1,...,cn; c) =∅ si n ̸= 1

Donadaunaopèradaacolorida P ,elfunctor j∗(P) ésunacategoriaqueté perobjecteselscolorsde P ,ipermorfismes,lesoperacionsd’aritatude P (j∗(P))(c1,c2) = P(c1; c2).

Recordemelfunctornerviquehemvistenunexempleanterior N :Cat → sSets,queassignaunconjuntsimplicialaunacategoriapetita.Donadauna categoria C,elconjuntde n-símplexs N(C)n = Cat([n], C).Aquestfunctor tambétéunadjuntperl’esquerra τ :sSets → Cat,queesdefineixperextensió deKan.Comquelacategoriadeconjuntssimplicialsésunacategoriadeprefeixos,totconjuntsimplicialésuncolímitderepresentables.Amés,elfunctor τ commutaambcolímitspelfetdeserunadjuntperl’esquerra.Pertant, τ queda completamentdeterminatpelseuvalorenelsrepresentables τ(∆[n]) = [n]. Elfunctor τ s’anomena categoriafonamental o categoriahomotòpica (quan s’aplicaauna ∞-categoria).

Aquestarelaciósuggereixlapossibilitatdecompararcategories,conjunts simplicialsiopèradesdinsd’unmateixesquemaconceptual.Enparticular,ens agradariadisposard’unobjecteanàlegalsconjuntssimplicialsquepermeti modelitzarversionshomotòpiquesdelesopèrades.Tenimeldiagramasegüent defunctorsadjunts Cat j! N Oper j

?

queensagradariacompletarenundiagramacommutatiuquedefineixiuna novacategoriadeprefeixosalacantonadainferiordretadelquadrat.Aquestacategoriahauriadeferelmateixpaperquetélacategoriadeconjunts simplicialsenlateoriadeles ∞-categoriesi,d’aquestamanera,proporcionar unmodelperal’estudideles ∞-opèrades.

Lasolucióaaquestproblemavedonadaperlacategoriadelsconjuntsdendroidals dSets,quegeneralitzalacategoriadelsconjuntssimplicialssubstituint elssímplexsperarbres.Aquestacategoriaproporcionaunmodeladequatper al’estudideles ∞-opèradesiseràl’objectecentraldelesseccionssegüents.

4Homotopiadendroidaliopèradesd’ordreinfinit

Enlesseccionsanteriorshemvistquelesopèradesacoloridesproporcionen unllenguatgeunificatperdescriureestructuresalgebraiquesamboperacions demúltiplesentrades,iquelacategoriadelsconjuntssimplicialstéunpaper fonamentalenlateoriadeles ∞-categoriesmitjançantelfunctornervi.Una preguntanaturaléssiexisteixunateoriaanàlogaquepermetiestudiar opèrades d’ordreinfinit ambelmateixgraudeflexibilitathomotòpica.

Lacategoriadelsconjuntsdendroidalsdonaunarespostaafirmativaa aquestapregunta.Estractad’unaextensiónaturaldelacategoriadelsconjunts

simplicialsenlaqualelssímplexs,quemodelitzencomposicionslinealsde morfismes,sónsubstituïtsperarbres,quepermetencodificarcomposicions d’operacionsmésgenerals.Aquestaampliacióreflecteixelpasdelateoriade lescategoriesalateoriadelesopèrades,iconstitueixelmarcadequatper definiriestudiarles ∞-opèrades.

Enaquestaseccióintroduïmlacategoriadelsconjuntsdendroidals,descrivimlasevarelacióamblescategoriesielsconjuntssimplicials,iexpliquemcom permetdefinirunanociód’homotopiaadequadaperaopèrades.Elscontinguts quepresentemesbasenprincipalmenten[2,4,5,11,12,14].

4.1Lacategoriad’arbres Ω

L’objectecombinatorifonamentaldelateoriadendroidaléslacategoriad’arbres Ω,quetéunpapercompletamentanàlegaldelacategoria ∆ enlateoria simplicial.Lacategoriadelsconjuntsdendroidalsésunacategoriadeprefeixos, comladelsconjuntssimplicials.Lasevacategoriad’índexséslacategoria d’arbres Ω deMoerdijk-Weiss.

Enaquestcontext,un arbre T ésungrafconnexfinitisenseciclesenelqual escollimunaarestadistingidaqueanomenem arrel.Cadavèrtextéunconjunt d’arestesd’entrada(quepotserbuit)iunaarestadesortida.Unaarestaés exterior sinoméstéunvèrtexadjacent.Encascontrari,s’anomena arestainterior

Totarbre T téassociadaunaopèradaacoloridaquedenotaremamb Ω(T). Elscolorsde Ω(T) sónlesarestesde T ilesoperacionsde Ω(T) estangenerades pelsvèrtexsde T

Exemple. Considereml’arbre T següent:

L’opèrada Ω(T) tésiscolors a, b, c, d, e i f .Aleshores, v ∈ Ω(T)(e,f ; b), w ∈ Ω(T)( ; d) i r ∈ Ω(T)(b,c,d; a) sónelsgeneradors,mentrequelesaltresoperacionssónlesunitats1a, 1b,..., 1f ilesoperacionsobtingudesper composicions,perexemple, r ◦1 v ∈ Ω(T)(e,f,c,d; a), r ◦3 w ∈ Ω(T)(b,c; a), i

r(v, 1c ,w) = (r ◦1 v) ◦4 w = (r ◦3 w) ◦1 v ∈ Ω(T)(e,f,c; a).

Definició 12. Lacategoriad’arbres Ω téperobjecteselsarbresambarrelno planarsipermorfismeselconjunt

Ω(S,T) = Oper(Ω(S), Ω(T)).

Tenim,pertant,unainclusióplenaifideldecategories Ω → Oper queenvia cadaarbre T alasevaopèradaassociada Ω(T).

Observació. Elsobjectesdelacategoria ∆ elspodemveurecomaarbres lineals.D’aquestamanera,l’objecte [n] represental’arbrelineal Ln amb n vèrtexsi n + 1arestes. 0

Amés,podemcomprovarque ∆([n],[m]) = Oper(Ω(Ln), Ω(Lm)) itenim, pertant,unainclusióplenaifideldecategories i : ∆ Ω.

4.1.1Caresidegeneracionsa Ω Delamateixamaneraquelacategoria ∆ estàgeneradapercaresidegeneracions,lacategoria Ω admetunadescripció generadorasimilar,totiquesubstancialmentmésrica,acausadelapresència d’automorfismesidelacomplexitatcombinatòriadelsarbres.

• Caresinteriors. Sigui T unobjectede Ω i b unaarestainteriorde T ,com eneldibuixsegüent.Denotemamb T/b l’arbreobtingutde T encontraure b.Corresponentaaquestaoperació,l’aplicaciódecara ∂b : T/b → T éslainclusiósobreelscolorsde Ω(T/b) isobrelesoperacionsgeneradoresde Ωp(T/b),excepteperal’operació u,ques’enviaa v ◦b w

Lescares ∂b associadesaarestesinteriorsd’aquestamaneras’anomenen caresinteriors de T .

• Caresexteriors. Sigui T unobjectede Ω i w unvèrtexde T ambexactamentunaarestainterioradjunta,comesmostraaldibuix.Enaquestcas,si eliminemde T elvèrtex w itoteslesfullesadjacentsaell,obtenimunnou arbre T/w.Associadaaaquestaoperació,l’aplicaciócara ∂w : T/w → T éslainclusiósobreelscolorsilesoperacionsgeneradoresde Ω(T/w). Lesaplicacionsd’aquesttipuss’anomenen caresexteriorsde T .

Lapossibilitatd’eliminarl’arrelde T tambéestàinclosaenaquestadefinició.Aquestasituaciónoméspotocórrersil’arreltéunaúnicaaresta interior.

Hihaunaaltrasituacióparticularquerequereixunaatencióespecial:la inclusiódel’arbresensevèrtexs,denotatamb η,enunarbreambunsol vèrtex,anomenat corol la.Enaquestcas,silacorol laté n fulles,tenim n + 1cares.L’opèrada Ω(η) téunúniccoloril’operacióidentitatsobreell. Així,unaaplicaciód’opèrades Ω(η) → Ω(T) éssimplementunaelecció d’unaarestade T .

• Degeneracions. Sigui T unobjectede Ω i v unvèrtexde T ambvalència1. Sigui a l’únicaarestaentranti b l’arestasortintde v.Obtenimunnou arbre T \ v eliminant v de T iidentificant a amb b (eneldibuixsegüent denotemaquestanovaarestaamb e).Hihaunaaplicació σv : T → T \ v a Ω queenviaelscolors a i b de Ω(T) a e,envial’operaciógeneradora v

a ide iéslaidentitatenelsaltrescolorsioperacions.Lesaplicacions d’aquesttipuss’anomenen degeneracions de T .

• Isomorfismes. Adiferènciadelquepassaalacategoria ∆,a Ω podem tenirmorfismesnotrivialsd’unarbreensimateix.Sigui T unobjecte de Ω.Cadaelementdelgrup Aut(T) d’isomorfismesnoplanarsde T és unmorfismea Ω.Perexemple,si T éslacorol.laamb n fulles,aleshores Aut(T) éselgrupsimètric Σn en n elements.

Observació. Sirestringimelsmorfismesanteriorsa Ω alsarbreslineals,recuperemlescaresidegeneracionsde ∆.Recordemque ∆ s’incloua Ω identificant [n] ambl’arbrelineal Ln de n vèrtexsi n + 1arestes.

Igualqueenlacategoria ∆,lescaresilesdegeneracions(juntamentambels isomorfismes)a Ω generentotselsmorfismesd’aquestacategoria;vegeu[11, secció3.2]o[5,secció3.3.5].

Proposició 13 Totaaplicació f : S → T a Ω esdescomponcoma f = d ◦ π ◦ s, on s ésunacomposiciódedegeneracions, π ésunisomorfisme,i d ésuna composiciódecares.

4.1.2Identitatsdendroidals Enaquestasecciófaremexplícitesalgunes delesrelacionsentrelescaresilesdegeneracionsde Ω.Aquestesrelacions s’anomenen relacionsdendroidals igeneralitzenlesidentitatssimplicialsa lacategoria ∆ quehemvistalasecció2.2.Enpresentaremnomésalgunes atalld’exemple.Unallistaexhaustivadetoteslesidentitatsdendroidalsespot trobara[5,secció3.3.4].

• Relacionsentrecares.Siguin ∂a : T/a → T i ∂b : T/b → T caresinternesdistintesde T .Llavors,lescaresinternes ∂a : (T/b)/a → T/b i ∂b : (T/a)/b → T/a existeixen,tenimque (T/a)/b = (T/b)/a,ieldiagramasegüentcommuta:

Siguin ∂v : T/v → T i ∂w : T/w → T caresexternesdistintesde T ,isuposem que T téalmenystresvèrtexs.Aleshores,lescaresexternes ∂w:(T/v)/w → T/v i ∂v : (T/w)/v → T/w tambéexisteixen, (T/v)/w = (T/w)/v,iel diagramasegüentcommuta:

• Relacionsentredegeneracions. Siguin σv : T → T \v i σw : T → T \w dues degeneracionsde T .Aleshores,lesdegeneracions σv : T \w → (T \w)\v i σw : T \v → (T \v)\w existeixen,tenimque (T \v)\w = (T \w)\v,iel diagramasegüentcommuta:

• Relacionscombinades. Siguin σv : T → T \v unadegeneraciói ∂ : T ′ → T unaaplicaciócaratalque σv : T ′ → T ′\v tésentit(ésadir, T ′ encara conté v ilessevesduesarestesadjacentscomasubarbre).Aleshores, existeixunaaplicaciócarainduïda ∂ : T ′\v → T \v determinadapelmateix vèrtexoarestaque ∂ : T ′ → T .Amés,eldiagramasegüentcommuta:

4.2Conjuntsdendroidals

Amblacategoriad’arbres Ω,podemdefinirelsconjuntsdendroidalsexactamentdelamateixamaneraqueelsconjuntssimplicialsesdefineixencoma prefeixossobre ∆.

Definició 14 Un conjuntdendroidal ésunfunctor X : Ωop → Sets.Peracada arbre T en Ω,denotemamb XT = X[T] elconjuntde T -dendrexs.Un morfisme deconjuntsdendroidals f : X → Y ésunatransformaciónaturalde X a Y .La categoriadelsconjuntsdendroidals dSetséslacategoriadeprefeixossobre Ω, ésadir,lacategoriadefunctorsFun(Ωop , Sets) = SetsΩop = Ω.

Jahemvistcomcadaobjectedelacategoria Ω donallocaunaopèradaacolorida.Depenentdeltipusd’opèradaquevulguemestudiar,podemrestringir-nos adiferentssubcategoriesde Ω.Perexemple,podemconsiderarlacategoria Ωp,

queconsisteixúnicamentenelsarbresplanars.Cadaobjectede Ωp donalloc aunaopèradaacoloridanosimètrica.Tambépodemconsiderarlasubcategoria Ω0,ambobjectesdonatspelsarbresenquètotselsvèrtexstenenalmenys unaarestaentrant.Cadaobjectede Ω0 donallocaunaopèradaacoloridasense operacionsd’aritat0.

Anàlogamentacomdefinimlacategoriadelsconjuntsdendroidals,podem definirlacategoriadels conjuntsdendroidalsplanars pdSets = Fun(Ωop p , Sets) i lacategoriadels conjuntsdendroidalsoberts odSets = Fun(Ωop 0 , Sets)

4.2.1Relacióentre dSets i sSets Recordemdelasecció4.1quetenimuna inclusiódecategories i : ∆ → Ω,oncadaobjecte [n] de ∆ elveiemcomun arbrelinealamb n vèrtexsi n + 1arestes.PerextensiódeKanalllargdel functordeYoneda,aquestainclusióindueixunparelldefunctorsadjunts

i! :sSets dSets: i∗ ∆ i Y Ω Y dSets i∗ sSets i!

Donatunconjuntdendroidal X,elconjuntde n-símplexsde i∗(X) és i∗(X)n = Xi[n] = XLn .

Elfunctor i∗ s’anomena nuclisimplicial.D’altrabanda,si X ésunconjunt simplicial,aleshoreselconjuntdendroidal i!(X) esdefineixcoma i!(X)T = Xn si T ≊ i[n] = Ln, ∅ enunaltrecas.

Sidenotemamb η l’arbrequenoméstéunaarestaicapvèrtex,aleshores lacategoria«slice» Ω/η = ∆,jaque Ω(T,η) ̸=∅ siinoméssi T = Ln per algun n ≥ 0.

4.2.2Relacióentre dSets i Oper Recordemdelasecció4.1que,donatun arbre T ,podemconstruirlasevaopèradaacoloridaassociada Ω(T).Aquesta construccióensdefineixunfunctor Ω( ) : Ω → Oper.Denou,perextensióde KanalllargdelfunctordeYoneda,aquestfunctorindueixunparelldefunctors adjunts

τd :dSets Oper: Nd Ω Ω( ) Y Oper Nd dSets τd

L’adjuntperladreta Nd esdenomina nervidendroidal.Donadaunaopèrada acolorida P ,elconjuntdendroidal Nd(P) téperdèndrexs1

Nd(P)T = Oper(Ω[T],P),

1 Estractad’ununtermetraduïtdel’anglès«dendrex»o«dendrice»,nodocumentatfinsara encatalà.Un dèndrex éslageneralitzaciód’unsímplexbasadaenunarbregeomètric.

on Ω[T] denotaelconjuntdendroidalrepresentable Ω( ,T).Elnervidendroidaléspleifideliesténelfunctornervisimplicialdecategoriesaconjunts simplicials.

Comque dSets ésunacategoriadeprefeixos,totobjecteésuncolímitde functorsrepresentables,i,pertant,laimatgedel’adjuntperl’esquerra τd quedadeterminadapelseuvalorenaquestsfunctors,queés τd(Ω[T]) = Ω(T) Elfunctor τd tambéesténelfunctor τ :sSets → Cat adjuntal’esquerradel nervisimplicial,ésadir, τ(X) = j∗τd(i!(X)) peratotconjuntsimplicial X.En particular,estéundiagramacommutatiudefunctorsadjunts

(j!,j∗) ésl’adjunciódecategoriesdonadaenlasecció3.1.

4.3 ∞-opèrades

L’objectiufinaldelateoriadendroidalésdefinirunanocióde ∞-opèradaque generalitzisimultàniamentlesopèradesestrictesiles ∞-categories.Igualqueen elcassimplicial,aquestadefinicióesbasaenunacondiciód’elevaciódebanyes, queexpressal’existènciadecomposicionshomotòpiquescoherents.

Perpoderdefinirles ∞-opèradesdelamateixamaneraqueesdefinien les ∞-categories,elprimerquenecessitemésgeneralitzarlanociódebanya enlacategoriadelsconjuntsdendroidals.Sigui α : S → T unacomposició d’aplicacionscaraen Ω.Aquestaaplicació α indueixunmorfismedefunctors representables Ω[α] : Ω[S] → Ω[T].Esdefineixla α-carade Ω[T] coma

∂αΩ[T] = im(Ω[α]),

on im(Ω[α]) denotaelsubconjuntdendroidaldonatperlaimatgede Ω[α].La vorade Ω[T] esdefineixcomlauniódetoteslessevescares,ésadir, ∂Ω[T] = α∈cares(T)

αΩ[T].

Finalment,la α-banyaesdefineixcoma

Λα[T] = β∈cares(T) α̸=β

βΩ[T].

Si X ésunconjuntdendroidal,una α-banya en X ésunaaplicació

Λα[T] X.

Observació. Si T = Ln ésunarbrelineali α = dk ésunaaplicaciócaraen ∆, llavors Λα[T] = Λ[n,k] irecuperemlesbanyessimplicials.

Definició 15 Una ∞-opèrada ésunconjuntdendroidal X talquetotabanya internatéunaelevació.Ésadir, X ésuna ∞-opèradasiperaqualsevolaplicació

Λe[T] X,

amb e unaarestainteriorde T ,podemcompletareldiagramasegüentaun diagramacommutatiuperatot T itotaarestainterior e: Λe[T] j ∀ X

[T] ∃

onelmorfismevertical j éslainclusió.Equivalentment, X ésuna ∞-opèradasi inoméssil’aplicacióinduïdaperlainclusió

j∗ :dSets(Ω[T],X) dSets(Λe[T],X)

ésexhaustivaperatot T itotaarestainterior e de T .

Exemple. Algunsexemplesbàsicsde ∞-opèradessónelssegüents.

(i) Peratotaopèradaacolorida P ,elseunervidendroidal Nd(P) ésuna ∞-opèrada.

(ii) Elsconjuntsdendroidalsrepresentables Ω[T] són ∞-opèradesperatot arbre T .

(iii) Sigui X unconjuntsimplicial.Elconjuntdendroidal i!(X) ésuna ∞-opèradasiinoméssi X ésuna ∞-categoria.

4.4Unproductetensorialalacategoriadelsconjuntsdendroidals

Amésdelasevaestructurahomotòpica,lacategoriadelsconjuntsdendroidals admetunaestructuratensorialquereflecteixelproductetensorialclàssic d’opèrades.

Lacategoriadelsconjuntssimplicialsilacategoriadelsconjuntsdendroidalssóncategoriescartesianes.Defet,qualsevolcategoriadeprefeixos Fun(Aop , Sets) éscartesiana,ambelproductedefinitnivellanivell,és adir,si X i Y sóndosobjectesde Fun(Aop , Sets),aleshores (X × Y)a = Xa × Ya peratotobjecte a de A.Lacategoriadeconjuntsdendroidalstambétéun productetensorial quepodemdefiniratravésdelfunctornervidendroidali elproductetensorialdeBoardman-Vogtd’opèradesacolorides,quedescrivim acontinuació.

4.4.1ElproductetensorialdeBoardman-Vogt Sigui P unaopèrada C-acoloridai Q unaopèrada D-acolorida.El productetensorialdeBoardman-Vogt P ⊗BV Q ésunaopèradaambconjuntdecolors C × D ilessevesoperacionsestan generades perlesoperacionsdelsdostipussegüents:

• Operacionsqueprovenendel’opèrada P .Sóndelaforma

p ⊗ d ∈ (P ⊗BV Q)(c1 × d,...,cn × d; c × d),

amb p ∈ P(c1,...,cn; c) i d ∈ C

• Operacionsqueprovenendel’opèrada Q.Sóndelaforma

c ⊗ q ∈ (P ⊗BV Q)(c × d1,...,c × dm; c × d),

amb q ∈ Q(d1,...,dm; d) i c ∈ C

Aquestesoperacionsestansubjectesaunasèriederelacions:

(i) Elmorfisme −⊗d : P → P ⊗BV Q ésunmorfismed’opèradesperatot d ∈ D, ésadir,escompleixque

• p ◦ (p1,...,pn) ⊗ d = (p ⊗ d) ◦ (p1 ⊗ d,...,pn ⊗ d).

• σ ∗(p ⊗ d) = σ ∗p ⊗ d peratot σ ∈ Σn.

(ii) Elmorfisme c⊗− : Q → P ⊗BV Q ésunmorfismed’opèradesperatot c ∈ C, ésadir,escompleixque

• c ⊗ q ◦ (q1,...,qm) = (c ⊗ q) ◦ (c ⊗ q1,...,c ⊗ qm).

• σ ∗(c ⊗ q) = c ⊗ σ ∗q peratot σ ∈ Σm.

(iii) Relaciód’intercanvideBoardman-Vogt.Peratotparelld’operacions p ∈ P(c1,...,cn; c) i q ∈ Q(d1,...,dm; d) escompleixque (p ⊗ d) ◦ (c1 ⊗ q,...,cn ⊗ q) = σ ∗ n,m((c ⊗ q) ◦ (p ⊗ d1,...,p ⊗ dm)), on σn,m éslapermutacióde Σnm quetransformalasuccessiódecolors (c1 × d1,...,c1 × dm,...,cn × d1,...,cn × dm) en (c1 × d1,...,cn × d1,...,c1 × dm,...,cn × dm).

Exemple. Sigui P unaopèrada C-acoloridai Q unaopèrada D-acolorida.Siguin n = 2, m = 3, p ∈ P(c1,c2; c) i q ∈ Q(d1,d2,d3; d).Podemrepresentarla composició (p ⊗ d) ◦ (c1 ⊗ q,...,cn ⊗ q) mitjançantl’arbresegüent:

(c1,d2)

(c1,d1)

c1⊗q •

(c1,d3)

(c2,d2)

(c2,d1)

(c1,d) • (c2,d)

◦ (c,d) p⊗d

(c2,d3)

c2⊗q

onelsvèrtexsblancsdenotenlesoperacionsqueprovenende P ,ielsvèrtexs negres,lesoperacionsqueprovenende Q.Larelació(iii)ensdiuquel’operació anterioren P ⊗BV Q ésigualalarepresentadaperl’arbre

desprésd’aplicarlapermutació σ2,3 = (2453) de Σ6

Elresultatsegüentespottrobara[11,secció4.1].

Teorema 16. Lacategoria Oper ésunacategoriasimètricaimonoidalambel productetensorialdeBoardman-Vogt ⊗BV .Launitatésl’opèradaambunúnic coloriunaúnicaoperaciód’aritatu.

4.4.2Elproductetensorialdeconjuntsdendroidals Elproductetensorial deBoardman-Vogtenspermetestendreaquestaestructuraalacategoriadels conjuntsdendroidals.Podemconstruirunfunctor

Ω × Ω dSets

delamanerasegüent.Donatsdosobjectes S i T ,podemconsiderarlesseves opèradesacoloridesassociades Ω(S) i Ω(T).Arapodemprendreelproducte tensorialdeBoardman-Vogtiaplicarseguidamentelfunctornervidendroidal, iobtenimelconjuntdendroidal

Nd(Ω(S) ⊗BV Ω(T)).

PerextensiódeKanalllargdelfunctordeYoneda,obtenimunfunctor

−⊗− :dSets × dSets dSets Ω × Ω Y ×Y dSets

dSets × dSets ⊗

Aquestfunctorestàcompletamentdeterminatpelfetqueconservacolímitsen cadavariableielseuvalorenelsrepresentables,ésadir,tenimque

Ω[S] ⊗ Ω[T] = Nd(Ω(S) ⊗BV Ω(T)), colimi∈I (Xi ⊗ Y) = (colimi∈I Xi) ⊗ Y, colimj∈J (X ⊗ Yj ) = X ⊗ (colimj∈J Yj ).

Elproductetensorialdeconjuntssimplicialséssimètric,ésadir,peratota parelladeconjuntssimplicials X i Y estéque X × Y ≊ Y × X.Amés,satisfàles propietatsdecompatibilitatambelproductetensoriald’opèradesielproducte cartesiàdeconjuntssimplicialssegüents:

(i) τd(X ×Y) ≊ τd(X)⊗BV τd(Y) peratotaparelladeconjuntsdendroidals X i Y

(ii) i!(X × Y) ≊ i!X ⊗ i!Y peratotaparelladeconjuntssimplicials X i Y

Observació. Ésimportantremarcarqueelproductetensorialdeconjunts dendroidalsnoproporcionaunaestructuramonoidalenaquestacategoria,ja quenoésassociatiullevatd’isomorfismescoherents.

4.5Barregesd’arbres

Comhemvistalaseccióanterior,elproductetensorialdeconjuntsdendroidals estàdeterminatpelproductedefunctorsrepresentables Ω[S] ⊗ Ω[T].Per estudiaraquestproductetensorial,vegemquèpassaenprimerllocenelcas simplicial.

Sifemelproductededosconjuntssimplicialsrepresentables ∆[n] × ∆[m], nos’obtéunaltrerepresentable,sinóunauniódeconjuntssimplicialsrepresentables.Mésconcretament,

∆[n] × ∆[m] = (n,m)-barreges

∆[n + m] peratot n,m ≥ 0.

Una (n,m)-barreja ésuncamídelongitudmàximaenelconjuntparcialment ordenat [n] × [m],on [n] ={0, 1,...,n}.

Exemple. Consideremelproductecartesiàdelsrepresentables ∆[2] i ∆[1].En aquestcastenimque

[2] × ∆[1] = (2,1)-barreges

[3].

Podemrepresentarelconjuntparcialmentordenat [2] × [1] mitjançantel diagramasegüent,onlesfletxes → representenlarelació < 01 11 21 00 10 20

Hihatrescaminsdelongitudmàximaentre00i21,quesón (00, 10, 20, 21), (00, 10, 11, 21) i (00, 01, 11, 21).Cadascund’aquestsésuna (2, 1)-barrejai

contribueixambunacòpiade ∆[3] alproductecartesià.Així, ∆[2] × ∆[1] correspondriaalprisma

quepodemdescompondrecomlaunió(nodisjunta)delssegüentstrestetraedres

(00, 01, 02, 12) (00, 01, 11, 12) (00, 10, 11, 12)

Engeneral,elnombrede (n,m)-barregeséselnombrecombinatori n+m n .

Lageneralitzaciódeles (n,m)-barregesalcasd’arbresésméscomplicadai requereixalgunadefinicióprèvia.

Definició 17. Siguin S i T dosobjectesde Ω.Una barrejade S i T ésun arbre R talque

(i) Arestes(R) ⊂ Arestes(S) × Arestes(T)

(ii) L’arrelde R estàetiquetada (rS ,rT ),on rS i rT sónlesarrelsde S i T ,respectivament.Lesfullesde R estanetiquetadesperatotselsparells (lS ,lT ), on lS i lT sónfullesde S i T ,respectivament.

(iii) Elsvèrtexsde R sónd’unadelesduesformessegüents

(s1,t) (sn,t) (s,t) u obé

(s,t1) (s,tm) (s,t) v on u ésunvèrtexde S ambentrades (s1,...,sn) isortida s i v ésun vèrtexde T ambentrades (t1,...,tm) isortida t

Estructureshomotòpiquesd’ordresuperior

Ladescripciósegüentdelproductetensorialdedosrepresentablesespot trobara[11,secció4.3]i[5,secció4.1].

Proposició 18. Siguin S i T dosobjectesde Ω.Llavors, Ω[S] ⊗ Ω[T] = N i=1 Ω[Ri],

on Ri amb i = 1,...,N sóntoteslespossiblesbarregesde S i T .

Exemple. Consideremelsarbres S i T següents: b c a d e f S x y T

Elseuconjuntdebarregesestàformatpelsarbressegüents: (a,x)

(b,x) (c,x)

(b,y) (d,x) (d,y) (e,x) (e,y) (f,x) (f,y) R1 (a,x) (b,x) (c,x) (b,y) (d,y) (c,y) (e,y) (f,y) R2 (a,y) (a,x) (b,y) (d,y) (c,y) (e,y) (f,y)

R3

Exemple. Consideremelsarbres S i T següents:

Elseuconjuntdebarregesestàformatpels14arbressegüents:

Observació. Elnombredebarregesentredosarbrespotsermoltgran,finsi totperaarbrespetits.Trobarunafórmulatancadapercalcularelnombrede barregesentredosarbresarbitrarisésunproblemaobert,finsitotenelcas d’arbresbinaris[6,secció3].

5Estructuresdemodelsenconjuntsdendroidals

Enaquestadarrerasecciómostremcomelsconjuntsdendroidalspermeten estudiarles ∞-opèradesdesdelpuntdevistadelateoriadecategoriesde models.Desprésd’haverintroduïtelsconjuntsdendroidalscomunaextensió naturaldelsconjuntssimplicialsid’haver-nedescritlarelacióamblesopèrades acolorides,veuremqueaquestarelacióespotferprecisamitjançantestructures demodelsdeQuillenadequades.Aquestenfocamentunificalesconstruccions presentadesprèviamentimostracomlesteoriesclàssiquesdeles ∞-categories idelesopèradesesrecuperencomacasosparticularsdinsd’unmateixmarc conceptual.

Perdefinirlesfamíliesdemorfismesdistingidesd’aquestaestructurade modelsen dSets,queanomenarem estructurademodelsoperàdica o deCisinskiMoerdjk,necessitemintroduirlesnocionsprèviessegüents.Sigui f : X → Y unaaplicaciódeconjuntsdendroidals.Diremque

• f ésuna fibraciódeKaninterior sitélapropietatd’aixecamentala dretarespecteatoteslesbanyesinternes Λe[T] → Ω[T],ésadir,sitot diagramacommutatiu

Λe[T] X f

Ω[T] Y admetunaelevació.

• f ésun monomorfismenormal siésunmonomorfismei,amés,elgrup d’automorfismesAut(T) actualliurementsobreelconjunt YT \ f(XT ).

• f ésuna fibraciótrivial sitélapropietatd’aixecamentaladretarespecte atoteslesinclusionsdelaforma ∂Ω[T] → Ω[T],ésadir,sitotdiagrama commutatiu

∂Ω[T] X f Ω[T] Y admetunaelevació.

L’existènciadel’estructurademodelsoperàdicaenconjuntsdendroidalsva serdemostradaa[2].

Teorema 19 (Cisinski-Moerdijk). Lacategoriadeconjuntsdendroidalsadmet unaestructurademodelsdeQuillen,quedenotaremcoma dSetsCM,ambles classessegüentsdemorfismesdistingits:

• Cofibracions. Sónelsmonomorfismesnormals.

• Equivalènciesfebles. Estàformadaperlaclasseméspetitademorfismes talque

(i) Satisfàlapropietat2de3,ésadir,sitenimtresaplicacions f : X → Y , g : Y → Z i g ◦ f : X → Z iduesd’ellessónequivalènciesfebles,també hoéslatercera.

(ii) Contélasaturaciódellesbanyesinternes Λe[T] → Ω[T].

(iii) Contélesfibracionstrivialsentreles ∞-opèrades.

• Fibracions. Sónlesaplicacionsquetenenlapropietatd’aixecamentala dretarespecteatoteslesaplicacionsdeconjuntsdendroidalsquesóna lavegadacofibracionsiequivalènciesfebles.Elsobjectesfibrantssónles ∞-opèrades.

5.1Estructurademodelscanònicaenlacategoriadelesopèrades

Siguin P unaopèrada C-acoloridai Q unaopèrada D-acolorida.Unmorfisme f : P → Q esdiu:

• Plenamentfidel sil’aplicació f: P(c1,...,cn; c) → Q(f(c1),...,f(cn); f(c)) ésunisomorfismeperatota n-tupladecolors (c1,...,cn)

• Essencialmentexhaustiu siperatot d ∈ D existeixun c ∈ C talque d és isomorfa f(c).

Recordemquehihaunaadjuncióentrelacategoriadecategoriespetitesi lacategoriad’opèradesacolorides

j! :Cat Oper: j∗ .

L’adjuntperladreta j∗ associaacadaopèrada C-acoloridalasevacategoria subjacentambconjuntd’objectes C.Calnotarqueunmorfismed’opèrades f ésessencialmentexhaustiusiinoméssi j∗(f) ésessencialmentsubjectiu.

L’existènciadel’estructurademodelscanònicaenlacategoriadelesopèradesespottrobara[14,secció1.6].

Teorema 20. Lacategoria Oper d’opèradesacoloridesadmetunaestructura demodelsanomenada estructurademodelscanònica,quedenotaremcom a Opercan,enlaquallesequivalènciesfeblessónlesequivalènciesoperàdiques, ésadir,elsmorfismesd’opèradesquesónplenamentfidelsiessencialment exhautius;lesfibracionssónelsmorfismes f talsque j∗(f) ésunaisofibració;i lescofibracionssónelsmorfismesinjectiusenelscolors.

Aquestaestructurademodelscanònicaéscompatibleambl’estructurade Cisinski-Moerdijkperales ∞-opèrades,enelsentitqueelparelladjuntdonat pelnervidendroidalielseuadjuntperl’esquerra

τd :Opercan dSetsCM : Nd ésun parelldeQuillen,ésadir, τd preservacofibracionsi Nd preservafibracions.Amés,lesfibracionsentre ∞-opèradesen dSetsCM espodemcaracteritzar comlesfibracionsdeKaninteriors f talsque τd(f) ésunafibracióaOpercan

Eneldiagramadefunctorsadjuntsquerelacionalescategoriesdeconjunts simplicials,conjuntsdendroidals,opèradesicategoriespetites,totselsadjunts sónparellsdeQuillen,ésadir,eneldiagramacommutatiu

totselsadjuntsperl’esquerraconservencofibracionsitotselsadjuntsperla dretaconservenfibracions.

Observació. Finalment,calremarcarquelateoriadelsconjuntsdendroidals contélateoriadelsconjuntssimplicialscomuncasparticular.Mésconcretament,sidenotemamb η l’arbretrivialambunasolaarestaicapvèrtex,lacategoriadeconjuntssimplicialsespotrecuperarcomlacategoria«slice» dSets /Ω[η] quetéperobjecteslesaplicacions X → Ω[η] ipermorfismes,elstriangles commutatius.Aixòésdegutalfetquenoméshihaaplicacions T → η a Ω quan T ésunarbrelineal.

Lesestructuresdemodelsobtingudesenelsdosdarrersteoremespermeten recuperar,mitjançantaquestaconstrucció,l’estructurademodelsdeJoyal ensSetsil’estructurademodelscanònicaenCat,comacasosparticulars.

Conclusions

Enaquestarticlehempresentatunaintroduccióalateoriadelsconjunts dendroidalscomamarcnaturalperal’estudidelesopèradesd’ordreinfinit. Partintdelanocióclàssicad’opèradaacolorida,hemvistcomlescategories ilesopèradesespodenentendredemaneraunificada,icomaquestarelació suggereixl’existènciad’unateoriahomotòpicaanàlogaaladeles ∞-categories. Laideafonamentaldelateoriadendroidaléssubstituirelssímplexs,adequatsperdescriurecomposicionslinealsdemorfismes,perarbres,quepermetenmodelarcomposicionsd’operacionsmésgenerals.Aquestasubstitució condueixalacategoriadelsconjuntsdendroidals,definidacomlacategoriade prefeixossobrelacategoriad’arbres Ω,iproporcionaunentornflexibleperdefinirnocionsd’homotopiaidecomposiciócoherentsenelcontextd’opèrades. Hemvistquelateoriadendroidalestàestretamentrelacionadatantamb lateoriasimplicialcomamblateoriaclàssicad’opèrades:elnervidendroidal generalitzaelnervisimplicialdecategories,iles ∞-opèradesescaracteritzen mitjançantunacondiciód’elevaciódebanyesinternes,enparal lelambla definicióde ∞-categories.Amés,lapresènciad’unproductetensorialreflecteix lainteracciónaturalentreestructuresoperàdiques.

Finalment,hemvistcomdotarlacategoriadelsconjuntsdendroidalsd’una estructurademodelsdeQuillenadequadaiquelesestructuresdemodels conegudesdeles ∞-categoriesidelescategoriesordinàriesesrecuperencom acasosparticularsdinsd’aquestesquemageneral.Aquestfetreforçalaidea queelsconjuntsdendroidalsconstitueixenunaextensiónaturaliunificadora delsconjuntssimplicials.

Referències

[1] Boardman,J.M.;Vogt,R.M. HomotopyInvariantAlgebraicStructures onTopologicalSpaces.Berlín;NovaYork:Springer-Verlag,1973.(Lecture NotesinMath.;347)

[2] Cisinski,D.-C.;Moerdijk,I. «Dendroidalsetsasmodelsforhomotopy operads». J.Topol.,4(2)(2011),257–299.

[3] Goerss,P.G.;Jardine,J.F. «Simplicialhomotopytheory».Basilea:BirkhäuserVerlag,1999.(Progr.Math.;174)

[4] Gutiérrez,J.J.;Lukacs,A.;Weiss,I. «Dold-Kancorrespondencefordendroidalabeliangroups». J.PureAppl.Algebra,215(7)(2011),1669–1687.

[5] Heuts,G.;Moerdijk,I. SimplicialandDendroidalHomotopyTheory.Cham, Suïssa:Springer,2022.(Ergeb.Math.Grenzgeb.(3);75)

[6] Hoffbeck,E.;Moerdijk,I. «Shufflesoftrees». EuropeanJ.Combin.,71 (2018),55–72.

[7] Joyal,A. «Quasi-categoriesandKancomplexes».Volumespecialper celebrarel70èaniversaridelprofessorMaxKelly. J.PureAppl.Algebra, 175(1-3)(2002),207–222.

[8] Joyal,A. «Thetheoryofquasi-categoriesanditsapplications». CRMQuaderns,45(2)(2008).[Disponibleenlíniaa: https://mat.uab.cat/~kock/ crm/hocat/advanced-course/Quadern45-2.pdf]

[9] Joyal,A.;Tierney,M. «Strongstacksandclassifyingspaces».A: Category Theory.Berlín:Springer-Verlag,1991,213–236.(LectureNotesinMath.; 1488)

[10] Lurie,J. HigherToposTheory.Princeton,NJ:PrincetonUniversityPress, 2009.(Ann.ofMath.Stud.;170)

[11] Moerdijk,I. «Lecturesondendroidalsets».A: SimplicialMethodsfor OperadsandAlgebraicGeometry.NotesescritesperJavierJ.Gutiérrez. Basilea:Birkhäuser/SpringerBaselAG,2010,1–118.(Adv.CoursesMath. CRMBarcelona)

[12] Moerdijk,I.;Weiss,I. «Dendroidalsets». Algebr.Geom.Topol.,7(2007), 1441–1470.

[13] Quillen,D.G. HomotopicalAlgebra.Berlín;NovaYork:Springer-Verlag, 1967.(LectureNotesinMath.;43)

Estructureshomotòpiquesd’ordresuperior

[14] Weiss,I. «Dendroidalsets».PhDthesis,UtrechtUniversity(2007).SupervisatperI.Moerdijk.

DepartamentdeMatemàtiquesiInformàtica UniversitatdeBarcelona GranViadelesCortsCatalanes 585 javier.gutierrez@ub.edu

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.40,núm.1-2,2025–2026.Pàg.105–142. DOI:10.2436/20.2002.01.121

Al’ombrad’Einstein: històriairelecturadelarelativitatgeneral

JaumedeHaro

Toteslesteoriesfísiquessóncreacionslliuresdelamenthumana.Noexisteixcap camílògicquecondueixidel’experiència alsprincipisfonamentals;noméslaintuïció, sostingudaperunaprofundacomprensió empírica,potportar-nos-hi.Lalògicaens potensenyarquèimplicaunateoria,però noquinateoriahemd’adoptar.

AlbertEinstein,1933

Resum: Enaquesttreballpresentemduesperspectivescomplementàriessobrela relativitatgeneral.Enprimerlloc,n’oferimunalecturahistòricaacuradaquerevisa elspuntsclau,sovintpassatsperaltoinsuficientmentdocumentats,quevanconduir Einsteinalllargprocésqueculminàamblesequacionsdefinitivesdelcampelnovembre de1915.Ensegonlloc,proposemunaviaalternativa,desvinculadadelageometriariemanniana,fonamentadaexclusivamentenl’extensiódelprincipideFermatapartícules materials,lacaigudalliuregalileanailainvariànciadeLorentz.Aquestcamíconceptual, queEinsteinhauriapogutseguirjacapal1912,permetobtenirdemaneranaturaluna formulaciócorrectadelrègimdecampfeblesensenecessitatd’emprarelplageomètric complet;imostra,apartirdel’estructuraresultantdelesequacionslinealitzades,que l’únicaextensiócoherentacampsfortsésprecisamentlaquepassapeltensorde Ricci,d’acordamblescondicionsdelteoremadeLovelock.Així,eneldominifeble, ladinàmicagravitacionalpotserreinterpretadademaneraclaraieconòmicasense recórrerinicialmentalacurvatura,alhoraqueesrecuperademaneraunívocalateoria d’Einsteinquans’exigeixconsistèncianolineal.

Paraulesclau: principid’equivalència,argumentdelforat,tempspropi,transformació deLorentz.

ClassificacióMSC2020: 01A60,83C05,83C99.

JaumedeHaro

1Introducció

Lateoriageneraldelarelativitatés,sensdubte,undelsassolimentscientífics mésextraordinarisdelsegle xx.Elméssorprenentésquevanéixerdela perseverançad’unasolamentvisionària—AlbertEinstein—,que,ambpoques peròvaluosescol.laboracions,vasercapaçdecanviarpersemprelanostra manerad’entendrel’univers.

Newtonhaviaimaginatlagravetatcomunaforçamisteriosaqueactuava instantàniamentadistància[41].Einstein,encanvi—comsovints’explica—, vamirarmésenllàivaveureallòqueningúnohaviavistabans:lagravetat noésunaforçaadistància,sinól’ombravisibledelacurvaturadel’espaiidel temps[18].Quanlamatèriahideixalasevaempremta,l’espaitempssembla deformar-seilallumielsplanetesnotenenaltraopcióqueseguir-neels plecsielspendents.Aquestaidea,d’unabellesaconceptualprofunda,éssovint presentadademanerapoètica—comacabemdeferara—,peròcaltenirpresent quenoreflecteixfidelmentlavisiómésmadurad’Einstein([15]),enlaqualno existeixcapmitjàfísicqueesdeformi.Lacurvaturaés,mésaviat,unamanera econòmicaipotentdedescriurelesrelacionsdinàmiquesentrelamatèriaiel moviment.

Alesaulesienmoltsllibres([40, 50, 7, 30]),larelativitatgeneralsol presentar-secomençantperl’aparellmatemàticnecessari:lageometriade Riemann,amblessevesmètriques,connexions—especialmentladeLeviCivita—itensorsdecurvatura,comelsdeRiemanniRicci.Uncopestablert aquestllenguatge,esformulenelsprincipisfísicsfonamentals:elprincipide relativitat,eld’equivalènciaieldecovariància,iesdefineixeltensorenergiaimpuls,quedescriuelcontingutmaterialdel’univers.Ambtotsaquestsingredients,apareixenlesequacionsdecampd’Einstein,quelliguendemanera elegantlageometriadel’espaitempsamblamatèriaquel’habita,totiquecal recordarquel’espaitempsnoésestrictamentunavarietatriemanniana,sinó unapseudoriemanniana([45]),o,comdiuenelsfísics:unavarietatdeLorentz. TotplegatespotcondensarenaquellafrasetanevocadoradeJohnArchibaldWheeler([51]):

Lamatèriadiual’espaitempscoms’hadecorbar,il’espaitempsdiualamatèria coms’hademoure.

Laformulacióésaparentmentsimple,gairebéinevitableuncopesconeixen leseines.Però,aleshores,compotserqueEinsteintriguésvuitanysplensde dubtes,corbesirectificacionsperarribar-hi?Aquestaéslapreguntaqueens proposemexplorarenaquesttreball:quèhihadarrered’aquellprocéslent, feixucialhorafascinantquevaculminarenunadelesteoriesmésprofundes delahistòriadelaciència.

Mirantunamicamésdeproplateoria,laprimerapreguntaquesolaparèixer és:quèvoldirexactamentquel’espaitempsestàcorbat?Sovints’utilitzauna analogiagràfica:imaginemunagranmassacol.locadadamuntd’unmatalàs elàstic.Elmatalàsesdeformai,sihideixemrodolarunabolapetita,aquesta segueixunatrajectòriacorbada.L’analogiapreténsuggerir,demaneravisual,

Al’ombrad’Einstein:històriairelecturadelarelativitatgeneral 107

comelmovimentpotdeixardeserrectilinisenseinvocarunaforçaqueactua adistància.

Tanmateix,caldeixarclarqueaquestaimatgeésnomésunrecurspedagògic: faservirel«pes»delamassasobreelmatalàs—laforçagravitatòrianewtoniana quelaTerraexerceixsobreella—inoreflecteixliteralmentelquediulateoria. Rasicurt,intentarrefutarlagravetatnewtonianapartintdelsmateixossupòsits éstanabsurdcomintentardemostrarl’existènciadeDéuperlescincviesde santTomàsd’Aquinomentre,senseadonar-nos-en,jadonempercertala sevaexistència.Ésunjocderaonamentquepotsemblarelegant,peròquea lapràcticanomésensembolicaencercles.

Amésamés,aquestaanalogiapotportaraconfusionsifinsitotaadoptar unaposiciócontràriaalarelativitatgeneral,comperexemplemostràNikola Tesla.Enlessevespròpiesparaules([52]):

Sostincquel’espainopotsercorbat,perlasenzillaraóquenopottenir cappropietat...Dirque,enpresènciadegranscossos,l’espaiescorbaés equivalentaafirmarquealgunacosapotactuarsobreres.Jo,personalment, emnegoasubscriure’maaquestavisió.

D’altrabanda,convédestacarquèéselquetésignificatfísicenrelativitat general:nosónlescoordenadesnilaformaconcretadelaprimeraforma fonamentaldelavarietat(lamètrica),sinólesquantitatsinvariants,ilamés importantd’elleséseltempspropi.Eltempspropi,introduïtperprimera vegadaperMinkowski([39]),ésladuradamesuradaperunrellotgequesegueix unatrajectòriaconcretadinsdel’espaitemps;éseltemps«experimentat» perl’observadorqueesmouseguintaquestatrajectòria,elquelimarcael seurellotge,inodepèndelsistemadecoordenadesutilitzatperdescriure l’espaitemps.

Enaquestcontextapareixunaqüestiófilosòficamentsubtilperòcentral peralarelativitatgeneral:l’anomenat argumentdelforat (enanglès, hole argument)[31, 35, 26],formulatperEinsteincapal1913ique,sorprenentment, sovintésabsentdelstractatsconvencionals.Enllenguatgemodern,l’argument tractalainvariànciadelstensorsdecurvaturasotadifeomorfismesactius,ésa dir,aquellsquerecol.loquenelspuntsdelavarietat.Lesequacionsdecamp d’Einsteinsóninvariantsrespecteauntipusespeciald’aquestsdifeomorfismes, elsquedeixenfixoselspuntsonhihasituadalamatèria.Aquestainvariància implicaunresultataparentmentparadoxal:ambelmateixcontingutmaterial, lesequacionsdecamppodenadmetreinfinitesmètriquesdiferents.Això semblaxocarfrontalmentambl’esperitdel principideMach ([36]),segonsel qualladistribuciódemassa-energiahauriadedeterminardemaneraúnicales trajectòriesdelespartícules,i,pertant,l’estructurainercialdel’univers.

Lamanerad’harmonitzaraquestano-unicitatambelprincipimachiàés reconèixerquetotesaquestesmètriquessón,enrealitat,físicamentequivalents. Iaquestaconstataciótéunaconseqüènciafilosòficaprofunda:elspuntsde l’espaitempsperdenelseusentitontològic.Nohihacapcriterifísicquepermeti distingirunpunt«aquí»d’unpunt«allà»enabsènciadecontingutmaterial;un puntésnomésunaetiquetasensesignificatpropi.

JaumedeHaro

Einsteinhovaexpressarambunaclaredatsorprenentquanvaafirmarque l’únicqueposseeixsignificatfísicsónlescoincidènciesdepunts(enanglès, point-coincidences):elsesdevenimentsons’interesequenlíniesdemón,on elscossososenyalsestrobenirealmentpassencoses.Aquestescoincidències sóninvariantssotaqualsevoldifeomorfismeactiuiconstitueixen,pertant,els veritablesobservablesdelateoria.

Desd’aquestaperspectiva,undifeomorfismeactiunorepresentacaptransformaciófísica:ésnomésunreetiquetatgedelspuntsdelavarietat.Canvia elsnoms,perònolesrelacionsentreesdeveniments.Elqueésreal,segons aquestalecturarelacionalista,nosónelspunts,sinólaxarxaderelacions entreesdeveniments:quiestrobaambqui,quanion,quineslíniesdemón s’intersequeniambquinadinàmica.L’espaitempscomaentitatambpunts preexistentsesdevé,així,unaestructuradescriptivaredundant,mentrequela físicarauenelpatród’interaccionsicorrelacionsentrecossosicamps.

Enaquestmarcconceptual,lavisióidealitzadadelarelativitatgeneralcom unateoria«puramentgeomètrica»deixapasaunalecturamésprofunda:la geometrianoconstitueixl’essènciaontològicadelmónfísic,sinóelllenguatge ambquèdescrivimlainteraccióentregravetatidinàmica.Aquestaperspectiva reforçaunalecturarelacional,segonslaqualnilagravetatnilamatèriatenen significatpersimateixes,sinónomésatravésdelesrelacionsqueestableixen. Enaquestsentit,lageometrias’interpretacomunarepresentaciód’aquest entramatrelacional,inocomunaentitatfísicaindependent[15].

Seguintaquestalínia,lateoria—demaneraanàlogaal’electrodinàmica— admetunainterpretaciódetipus gauge ([32]):pertalderealitzarcàlculs concretscalfixarunamètricadeterminada,ésadir,escollirunrepresentant dinsd’unaclassed’equivalènciademètriquesrelacionadesperdifeomorfismes actius.Aquestaelecció,queenelllenguatgedelafísicas’anomenahabitualment triarungauge,notésignificatfísicpersimateixa.Elcontingutfísicdelateoria resideixexclusivamentenaquellesquantitatsinvariantssotal’acciódelgrup dedifeomorfismes—comaraeltempspropi—,lesqualsnodepenennide l’eleccióconcretadelrepresentantdelaclassed’equivalèncianidelsistema decoordenadesutilitzat.

Perconcloure,apartirdelstreballsoriginalsd’Einstein,alasecció2reconstruiremelspassosquevaseguir,aixícomlesdificultatsconceptualsqueva trobar,finsaarribaralesequacionsdecamp.Alasecció3,proposaremuna viaalternativaperincorporarlagravetatdinslarelativitatespecial,basada exclusivament—senserecórreral’aparellmatemàticdelcàlculdiferencial absolut—enlacaigudalliuregalileana,elprincipideFermatestèsapartícules ambmassa,lestransformacionsdeLorentzielpotencialnewtoniàretardat introduïtperMaxAbrahaml’any1911[1].Aquestaviaconstitueixuncamí conceptualqueEinsteinhauriapogutseguirperobtenir,enelrègimdecamps feblesrellevantsaescaladelSistemaSolar,lesmateixessolucionsqueesderivendelesequacionsdecampde1915.Finalment,alasecció4,mostrarem quel’extensiód’aquestsresultatsalrègimdecampsfortscondueixdemanerainexorablealtensordeRicci,ambelqual—inomésambell—espoden formularlesequacionsdefinitivesdelarelativitatgeneral.

Al’ombrad’Einstein:històriairelecturadelarelativitatgeneral 109

2Delaintuïcióalesequacions:unabreuhistòria delarelativitatgeneral

Hihamoltstreballsquedocumentenambdetalllagènesidelarelativitat general[47, 44, 48].Tanmateix,aquínomésrevisaremalgunspuntsclauque sovintpassendesapercebutsonoespresentenamblaprecisiónecessària. L’objectiunoésoferirunareconstruccióexhaustivadelprocéshistòric—tasca jaexcel.lentmentdesenvolupadaenlaliteraturaespecialitzada—,sinódestacar aquellsaspectesconceptualsimetodològicsquetenenunarellevànciadirecta peralmarcteòricqueesproposaenaquesttreball.

Ditaixò,l’apariciód’Einsteinenl’escenacientíficaesprodueixel1905amb lapublicaciódelseuarticle«Ontheelectrodynamicsofmovingbodies»[8],que avuiconeixemcomeltextfundacionaldelarelativitatespecial.Eltreballés sorprenentmentsobriipuramentoperacional:Einsteinevitamodelsmecànics —coml’èterclàssic—ieslimitaaanalitzarquèmesurenrealmentelsrellotgesi lesreglesquanelsobservadorsesmouenuniformementelsunsrespecteals altres.

Elpuntdepartidasóndospostulats:

1. Principiderelativitat.EinsteinparteixdelprincipiformulatperGalileu alsseus Discorsi [24]:alaTerra,leslleisdelamecànicasónlesmateixes peratotselsobservadorsqueesmouenambvelocitatconstant.

Siunhomeestiguésdinsd’unvaixellquenavegauniformementisense tremolors,inopoguésveureelmarnitocarelventnil’aire,nopodria, percapexperimentrealquefesdinsdelvaixell,sabersiestàenrepòso enmoviment.

ElquefaEinsteinésunpasconceptualenorme:consideralarelativitat galileanaensistemes inercials —aquellsenquèlespartículeslliureses mouenenmovimentrectiliniuniforme—ielevaaquestprincipilocalde lamecànicaaunprincipiuniversal,afirmantquetotesleslleisfísiques, incloseslesdel’electrodinàmicail’òptica,handetenirlamateixaforma entotselssistemesqueesmouenavelocitatconstant.

2. Constànciadelavelocitatdelallum.Lallumespropagaenelbuitauna velocitatconstant c0,independentmentdelmovimentdelafontemissora. NoteuquelesequacionsdeMaxwellmostrenqueelscampselectromagnèticsgeneratsperunacàrregaocorrentespropaguenaunavelocitat fixa c0 enelbuit.Aquestapropagació,ambretarddeterminatperladistància,ésindependentdelmovimentdelafontemissora.Així,lavelocitat delallumnodepèndequil’hagenerada:ésunapropietatintrínsecadel buit,iestableixaixíunlímituniversalqueinspiralaconstànciadela velocitatdelallumentotselssistemesinercials.

Aquestsdospostulats,prescindintdequalsevolmitjàmecàniccoml’èter, condueixendemaneragairebéinevitablealfetquelestransformacionsque relacionendosobservadorsenmovimentuniformenopodenserlesdeGalileu,

JaumedeHaro

sinólestransformacionsdeLorentz.Einsteinnoparteixdelesequacionsde MaxwellperobtenirlestransformacionsdeLorentz:arribaaLorentzdirectamentdelacompatibilitatentreelsseusdospostulats.

Uncopestablertesaquestestransformacions,Einsteinaplicaelseumètodeoperacionalal’electromagnetisme.ExigeixquelesequacionsdeMaxwell mantinguinlamateixaformaentotselssistemesinercialsi,ambaquestcriteri d’invariància,dedueixleslleisdetransformaciódelscampselèctricimagnètic. Elresultatésextraordinari:elmagnetismeapareixcomunefecterelativista d’uncampelèctricvistdesd’unaltresistema.

El1905Einsteinconstrueixaixíunateoriadel’espaiideltempstotalment alliberadad’hipòtesismecàniquessupletòries:ésunateoriaformuladaestrictamententermesderellotges,regles,observadorsiprincipisfísics,iaquesta economiaconceptualvaserunadelesclausdelasevarevolució.

Méstard,concretamentl’any1908,HermannMinkowskientraenescena ambelseufamósarticle«RaumundZeit»[39],enquèdonaformamatemàtica definitivaalarelativitatespeciald’Einstein.Mentrequeeltreballd’Einstein de1905conservavaencarauncertcaràcterliterari—que,totielseuprofundvalorconceptual,noanticipavaplenamentlasevaformulaciógeomètrica posterior—,Minkowskihiintrodueixunaestructuramatemàticarigorosaque esdevindràfonamental.Ésenaquestarticleenquèapareixexplícitamentl’elementclaudelarelativitatespecial:l’invariantespaitemps ds2,unaquantitat queromaninalteradasotatransformacionsdeLorentzique,pertant,mantéla mateixaestructuraformalperatotselsobservadorsinercials.

Enunsistemaenmovimentrectiliniuniforme,ambcoordenades (t, x),on femservirlanotació x ≡ (x,y,z),Minkowskiescriul’invariantcoma

ds2 = c2 0 dt2 dx · dx,

on dx dx = dx2 + dy 2 + dz2 éselproducteescalareuclidià.

Perdeduirlaformad’aquestinvariant,consideremunapartículaqueesmou ambvelocitat v respecteaunsistema Σ ambcoordenades (t, x).Sidenotem amb dτ eldiferencialdetempsdelrellotgequeportalapartícula—el diferencial detempspropi—,larelacióentre dτ i dt hadeserdelaforma

dτ = F(v)dt amb F(0) = 1

Consideremaraunaltresistemainercial Σ′ movent-serespectede Σ amb velocitat u = (u, 0, 0) alllargdel’eix OX.

LatransformaciódeLorentzdona

dt′ = γu dt udx c2 0 = γu 1 uvx c2 0 dt,

on γu = (1 u2/c2 0 ) 1/2 éselfactordeLorentzi vx éslacomponentdela velocitat v enladirecciódel’eix OX

Al’ombrad’Einstein:històriairelecturadelarelativitatgeneral 111

D’altrabanda,lacomposiciódevelocitatsés v ′ x = vx u 1 uvx c2 0 , v ′ ⊥ = v⊥ γu 1 uvx c2 0 ,

on,persimplificar,hemusatlanotació v⊥ = (vy ,vz). Comqueeltempspropiésuninvariant,ésadir,éselmateixmesuraten totsdossistemes, F(v ′)dt′ = F(v)dt, isubstituint dt′: F(v ′)γu 1 uvx c2 0 = F(v). (1)

Aquestarelaciófuncionalhadesercertaperaqualsevol v iqualsevol u.

Pertrobarlaformaexplícitade F ,consideremlapartículaenrepòsen Σ′,és adir, v′ = 0.Perlalleidecomposiciódevelocitats,lasevavelocitaten Σ és v = u.Substituinta(1): F(0)γu 1 u2 c2 0 = F(u).

Comque1 u2/c2 0 = γ 2 u ,obtenim

u) = F(0) 1 γu = 1 γu = 1 u2 c

Comque u eraunavelocitatarbitrària,podemescriure

dt, i,escrivint v = dx dt ,podemintroduirl’invariant:

, icalculareltempspropid’unapartículacoma τ = ds c0 .

Demaneraanàlogaalcasdemovimentrectiliniuniforme,consideremara unobservadorqueesmouamb movimentarbitrari.Podemaproximarlaseva trajectòriaperuna poligonal,ésadir,perpetitstramsenquèlavelocitatés pràcticamentconstant.Encadasegmentcalculemeltempspropicomenelcas develocitatconstant,sumemtotselstempspropisdelssegmentsifinalment prenemel límit quanaquestssegmentsesfaninfinitamentpetits.

Aquestprocedimentcondueixal’expressiógeneraldeltempspropitranscorregutentredossuccessos

JaumedeHaro

onlaintegrals’avaluaalllargdelalíniad’universdelapartículadeprovaque connecta P1 amb P2,i v(t) éslasevavelocitatinstantània. AixíéscomMinkowskiintrodueixelconceptede tempspropi:eltemps quemarcaelteupropirellotge,invariantiindependentdelsistemadereferència,perquèésunapropietatintrínsecadelmovimentdel’observadoren l’espaitemps.

2.11907.Elprincipid’equivalència

L’any1907,Einsteinvaescriureunarticledesíntesisobrelarelativitatespecial titulat«Ontherelativityprincipleandtheconclusionsdrawnfromit»[9]. Alfinald’aquesttreball,Einsteinintrodueixperprimeravegadaelprincipi d’equivalència.Enaquestaprimeraformulaciós’hipotllegir:

Consideremdossistemesdereferència Σ1 i Σ2.Suposemque Σ1 estàaccelerat enladirecciódel’eix OX,ique a éslasevaacceleració,constanteneltemps. Suposemque Σ2 estàenrepòs,peròsituatenuncampgravitatorihomogeni queimparteixatotselsobjectesunaacceleració a enladirecciódel’eix OX

Pelquesabem,leslleisdelafísicareferidesa Σ1 nodifereixendelesreferides a Σ2;aixòesdedueixdelfetquetotselscossossónacceleratsigualenaquest campgravitatori.Així,notenimcapmotiu,segonslanostraexperiència,per suposarqueelssistemes Σ1 i Σ2 difereixind’algunamanera,i,pertant,apartir d’araassumiremlatotalequivalènciafísicaentreuncampgravitatorihomogeni ilacorresponentacceleraciódelsistemadereferència.

Unacaracterísticanotabled’aquestaprimeraversiódelprincipid’equivalènciaéselseucaràcterglobal.Einsteinhiveuunfetfonamental:peraell, aral’acceleracióabsolutarespectedel’espaiabsolutnewtoniàdeixadetenir contingutfísic,delamateixamaneraquelavelocitatabsolutanotésentitenla relativitatespecial.Aixòlipermetampliarelprincipiderelativitatamoviments uniformementacceleratsi,alhora,gràciesalasevaequivalènciaambelscamps gravitatorisuniformes,incloureaquestscampsdinslarelativitatespecial.El pasdefinitiuseràestendreelprincipiderelativitataqualsevolsistemaen movimentarbitrarii,així,incorporartambélagravetatalarelativitatespecial.

Aquestalecturafísicaiglobaldelprincipid’equivalènciacontrastademaneramarcadaamblaversiómoderna,d’arrelgeomètrica,queesdevingué estàndardapartirdelareinterpretaciódeWolfgangPauli.

Enlaconcepciód’Einstein,elprincipiexpressavasimplementunaequivalènciafísicarealentreunsistemauniformementacceleratiuncampgravitatori homogeni.L’estatd’ingravidesaencaigudalliurenohadeserdegutnecessàriamentala«desaparició»geomètricadelagravetat,sinó,mésaviat,albalanç entreduesforcesrealsioposadesqueactuensobreelmateixcos,seguintl’estil delprincipideD’Alembert([5]),enquèlasegonalleideNewtonesreinterpreta comelbalançentrelagravetatilainèrcia.

Al’ombrad’Einstein:històriairelecturadelarelativitatgeneral 113

Encanvi,perauncampgravitatorigeneral,laformulaciódePaulide1921 introduïaunconceptefonamentalmentdiferent.Pauliafirmavaque([46]):

Peracadaregiódelmóninfinitamentpetita(ésadir,unaregiótanpetitaque s’hipuguinnegligirlesvariacionsespacialsitemporalsdelcampgravitatori), sempreexisteixunsistemadecoordenades...enelquallagravetatnoexerceix capinfluèncianisobreelmovimentdelespartículesnisobrecapaltreprocés físic.

Aquestareformulaciódesplaçaval’èmfasideladinàmicaalageometria.El principid’equivalènciadeixavadedescriureunaidentitatfísicaentreacceleracióigravetat,peresdevenirunaafirmaciómatemàticasobrelespropietats localsdel’espaitemps.Eraaraunprincipidecoordinació:encadapunt,hom potintroduircoordenadesenlesqualslamètricaéslocalmentminkowskiana ielssímbolsdeChristoffels’anul.len—exactamentcomenlageometriadiferenciald’unasuperfíciecorba,onéspossibleintroduircoordenadesnormals geodèsiquesque aplanen lasuperfícieenunaregióinfinitesimal.

Aquest aplanament localnoreflecteixcaprealitatfísica,sinóunatriade coordenadesqueocultalacurvaturaalprimerordre.Així,laversiódePauli convertiaelprincipioriginald’Einstein—arrelatenlainteracciódinàmicaentre inèrciaigravetat—enunapropietatpuramentcinemàticadelaconnexió.

Totiqueaquestaformulaciólocalésessencialperal’estructuramatemàtica delarelativitatgeneral,s’allunyadelaconcepciód’Einsteinentre1907i1911, queeraglobalifísica,nopasinfinitesimaligeomètrica.MentrequeEinstein descriviaunaequivalènciafísicarealentreuncampgravitatorihomogenii unsistemauniformementaccelerat,Paulinomésgarantiaque,enunentorn infinitamentpetitdequalsevolpunt,elmovimentdelespartículespotésser aproximatcomauniformeirectilinidesprésd’unaeleccióapropiadadecoordenades.Aixòésexactamentelmateixquepassaenlateoriadesuperfíciesde Gauss:lacurvaturaglobalcontinuaessent-hi,peròlocalmentsempreespoden triarcoordenadesquelafacinimperceptiblealprimerordre.

2.21911.Aplicaciódelprincipid’equivalència

Talcomveurem,peraEinsteinelprincipid’equivalènciatéunpaperpràctic moltimportant.Aquestprincipidiuquetotallòquepassadinsd’unsistema ques’accelerademanerauniformetambéespotaplicarauncampgravitatori uniforme.Aixòlipermetutilitzarelcomportamentd’unsistemaacceleratper intuircomhauriendeserelsefectesdelagravetatensituacionsmésgeneralsi complexes.

Tresanysiescaigdesprésdel’articlede1907,Einsteinpublicaelseusegon treballdedicatalagravetat,«Ontheinfluenceofgravitationonthepropagation oflight»[10].Enaquestarticlefaunpasconceptualdecisiu:mostraquela presènciad’uncampgravitatorialteraelpasdeltemps.Elseuraonament combinalarelativitatespecialambelprincipid’equivalència,iconstitueixla primeraformulacióexplícitadelqueavuianomenem desplaçamentgravitatori alroig (gravitationalredshift).

JaumedeHaro

Perpresentarlasevaideademaneraencaraméstransparent,oferiremaquí unadeducciódirectabasadaenl’efecteDopplernorelativista.

Aixídoncs,consideremlafórmuladel’efecteDopplerclàssic:

ν = v + vr v + vf ν0,

on ν éslafreqüènciaobservada, ν0 lafreqüènciaemesa, v lavelocitatdel’ona, vr lavelocitatdelreceptori vf lavelocitatdelafont.

Peralallum(v ≡ c0)iamblafontenrepòs,aquestaexpressióesredueixa

ν = 1 + vr c0 ν0.

Sielreceptortéunaacceleracióconstant a enladirecció OZ,laseva velocitatauninstant t serà vr = at = ah/c0,on h ésl’alturaalaqualestroba elreceptor.Així,obtenim ν = 1 + ah c2 0 ν0.

Aplicarelprincipid’equivalènciapermetsubstituir ah pelpotencialgravitatorihomogeni Φ,iaixòdonaelresultataproximatdelcorrimentgravitatoride freqüència: ν =

Aquestadeduccióésestrictamentno-relativistainomésvàlidaperavelocitatspetitesicampsfebles.Totiaixí,mostrademaneramoltdirectala connexióentreacceleració,gravetatidesplaçamentdelafreqüència,ievitael formalismerelativistacompletdelraonamentd’Einsteinde1911.

Einsteininterpretavaaquestresultatcomunamodificacióaparentdela velocitatdelallumsotal’acciód’unpotencialgravitatori.Demaneraheurística, sidefinim c comlavelocitatdelallumlocal,irecordemque c = c0 enabsència degravetat,tenim:

on λ éslalongitudd’ona.

Unaconseqüènciaimportantd’aquestresultat,comvademostrarEinstein, ésladeflexiódelallumperuncampgravitatori,encaraqueelvalorqueva obtenirenaquestaaproximacióinicialésnoméslameitatdelresultatcorrecte preditposteriormentperalarelativitatgeneral.

2.31912.Sistemesaccelerats

L’any1912,Einsteinpublicadosarticlesfonamentals—«Thespeedoflightand thestaticsofthegravitationalfield»[11]i«Onthetheoryofthestaticgravitationalfield»[12]—,enquèdesenvolupa,ambmésrigor,larelacióentresistemes

Al’ombrad’Einstein:històriairelecturadelarelativitatgeneral 115

estàticsisistemesuniformementaccelerats.Aqueststreballsrepresentenun pasintermedicrucialentreelprincipid’equivalènciade1907ilaformulació definitivade1915.

Lesideesquehipresentapodenresumir-seaixí.Einsteinconsideraunsistemauniformementaccelerat,queanomenarem Σ1 ambcoordenades (t, x),que s’accelera,ambacceleració a,enladirecciódel’eix OX respecteaunsistema Σ2 encoordenades (T, X),querepresental’espaitempsdelarelativitatespecial (sensegravetat).Enaquestsistemainercial,l’intervalespaitempsconservala formaminkowskiana:

ds2 = dT 2 dX dX, on,persimplicitat,apartird’ara,usaremsempreunitatsenquèlavelocitatde lallumenelbuitval c0 = 1.

D’altrabanda,Einsteinsuposaque,peraunobservadorenelsistema accelerat Σ1,l’invarianttélaforma

ds2 = c2(x)dt2 dx · dx, ésadir,quel’acceleraciódelsistemaesreflecteixenunamodificaciódel coeficientquemultiplica dt2,queellinterpretacomunavariacióespacial delavelocitatdelallum.Encanvi,lapartespacialdel’intervalesmanté euclidiana.Avuisabemqueaquestaassumpcióésincompleta:enunveritable campgravitatoritambéapareixenmodificacionsdeltermeespacial.Peròcal remarcarque,l’any1912,Einsteinavançavaperterrenydesconegut;aquests articlessónintentspreliminars,encarallunydelaformulaciógeomètrica maduraquedesenvolupariaentre1913i1915.

Einsteinusalasevaintuïciófísicaiassumeixque,peratemps t petits,la relacióentrecoordenadesésdelaforma:

Y = y,Z = z,X = λ + αt2 +··· ,T = β + γt + δt2 +··· .

Substituintal’invarianticomparantcoeficients,s’arribaalfetquelatransformació,finsaordre t2,hadeser:

X = x + ac(x) 2 t2,Y = y,Z = z,T = c(x)t, (2) amb c(x) = 1 + ax

Ara,usantelprincipid’equivalènciaiidentificant ax ambuncampgravitatoriuniforme Φ,l’invariantadquireixlaforma ds2 = (1 + Φ)2 dt2 dx · dx.

Vegemaracoméselmovimentlliuresotal’acciód’uncampgravitatori. Usant(2)al’instant t = 0—iaixòésimportant,perquèexactamentnomésval a t = 0—,Einstein,sabentqueenelsistema Σ2 lestrajectòriessónlíniesrectes, obtélesequacionsdinàmiquesenelsistema Σ1:

JaumedeHaro

Apartird’aquestesequacions,Einsteins’adonaquelaquantitat

ésconstant.Aleshores,lesequacionsespodenescriurecoma:

quecoincideixamblesques’obtenenenoptimitzareltempspropi s = ds. AixòésfonamentalperaEinstein,jaqueveuquelesequacionsdinàmiques sorgeixend’aquestprincipivariacional,totique,comhemditabans,les equacionsquetrobaEinsteinnoméssónexactamentvàlidesal’instant t = 0. Detotesmaneres,enlasevamaneradefer,elldonaperboaquestprincipi,ia partird’aquestmomentlesequacionsdinàmiquessemprelestrobaràapartir delprincipivariacional δ ds = 0.

D’altrabanda,enaquesttreball,Einsteinintentageneralitzarelresultatque hatrobatperacampsgravitatorishomogenisacampsestàticsmésgenerals. Continuaproposantuninvariantdelaforma

ds2 = c2(x)dt2 dx · dx,

on c(x) téelpaperd’unpotencialgravitatoriefectiu.Defet,desprésdels treballsanteriors,Einsteinjatéclarque,peracampsfebles,larelacióhade seraproximadament

c2(x) ≊ 1 + 2Φ(x),

on Φ(x) éselpotencialnewtonià.

Elseuobjectiuéstrobarl’equacióque,enellímitfeble,reprodueixil’equació dePoisson

∆Φ = 4πGρ, on ρ ésladensitatdemassa.Enelseuintent,Einsteinproposalageneralització

∆c = κcρ, (4) on κ ésunaconstantuniversal.

Elfetquealadretaapareguielfactor c ésfonamental:sihomreescalael temps t → bt,llavors c(x) estransformaen bc(x),il’equacióanteriorésl’única queromaninvariantsotaaquestareescalatemporal.Aquestaconsideració d’invariànciaera,peraEinstein,uncriterifísicnatural.

Noobstantaixò,Einsteinvaveuredeseguidaqueaquestaequacióésincompatibleamblaconservaciódel’energiaielmoment.Enuncampgravitatori estàtic,ladensitatd’energiadelcamphadecontribuirtambéalafontgravitatòria.Peròl’equacióproposadanoadmetcapformaconsistentd’incloure aquestaenergiadelcampsenseviolarlaidentitatdecontinuïtat

∂t (energia) +∇· (fluxdemoment) = 0

Al’ombrad’Einstein:històriairelecturadelarelativitatgeneral 117

Aquestproblemaesfaevidentquans’intentaconstruiruntensorenergiaimpulsdelcampgravitatoriquesiguicompatibleambl’equacióproposadaper a c(x).L’equaciólineal (4) nopermetincorporarcaptermed’autointeracciódel camp—necessariperquèelcampgravitatoritransportaenergia—senseperdre laconsistènciamatemàtica.PeraixòEinsteinesveuforçataintroduirtermes nolinealsenl’equació.

Tanmateix,aquestescorreccionsnolinealsgeneravennousproblemes.El mésimportanteraqueobligavenEinsteinarenunciaralseuprincipid’equivalència,oarestringir-lonomésaregionsextremamentpetitesdel’espai.Aixòel desconcertavamolt,perquèenaquellmomentelprincipid’equivalènciaera elpaldepallerdetotalasevateoria.

Capal’estiude1912,Einsteinestrobaenuncul-de-sacconceptual.La sevateoriaencaramantél’espaiplainomésmodificaelcoeficienttemporal delamètrica,peròcadaintentdegeneralitzarl’equaciódecamptopaamb contradiccionsinternes.

Aquestacrisielportaaungirradical.Començaaadonar-sequelamanera naturald’incorporarlaconservaciódel’energia-momentil’acciódelcampsobre simateix—queésinherentmentnolineal—exigeixabandonarlaidead’un espaieuclidiàimmutable.Laclauésquelesidentitatsdeconservaciópoden expressar-sedemaneraelegantinecessàriasis’utilitzalanociódederivada covariantenunespaicorbat.EnunacartaaArnoldSommerfeldl’any1915, Einsteinliescriu:

Jaquetotaconfiançaenelsresultatsielmètodedel’antigateoriahavia desaparegut,vaigveureclarquenomésmitjançantunaconnexióamblateoria generalmentcovariant—ésadir,amblacovariànciariemanniana—espodia trobarunasoluciósatisfactòria.

Així,capal’agostde1912,Einsteindecideixorientarlasevarecercacapa unenfocamentmatemàticmoltméspotentbasatenlageometriariemanniana. Aquestpasconstitueixl’inicidela tournantgéométrique de1912–1913,que culminaràposteriormentenlacol.laboracióambMarcelGrossmannienlaformulaciódelprincipidecovariànciageneralcomapedraangulardelarelativitat general.

2.41913–1914.Col laboracióambMarcelGrossmann

Comacabemdedir,elcanviradicaldedirecciód’Einsteinilasevapoca preparacióengeometriadiferencialfanquebusquil’ajudadelseuamiciantic companyd’estudis,elmatemàticMarcelGrossmann.Grossmannl’introdueixen lageometriariemannianai,sobretot,enelcàlcultensorialqueRicci-Curbastro iLevi-Civitahaviendesenvolupataprincipisdesegle.Aquestacol.laboració resultadecisiva:perprimeravegada,Einsteindisposadelllenguatgematemàtic adequatperdescriurecampsgravitatorisenunespaitempsnoeuclidià.

Fruitd’aquesttreballconjunt,escriuenl’article«Outlineofageneralizedtheoryofrelativityandofatheoryofgravitation»[19],conegutpopularmentcom l’Entwurfpaper.L’articleconstadeduespartsbendiferenciades:unaprimera

JaumedeHaro

part,decaràcterprincipalmentfísic,redactadaperEinstein,iunasegonapart, decontingutmatemàtic,degudaaGrossmann.Aquestaestructurareflecteix perfectamentlacomplementarietatentretotsdos:l’impulsfísicd’Einsteiniel rigorgeomètricdeGrossmann.

EnlapartescritaperEinstein,elprimerquequedaclarésquelestrajectòries delespartículess’obtenendelprincipivariacional

δ ds = 0, peròaral’invariant ds pottenirlaformamésgeneralpossible.Einsteinno presenta ds comeltempspropiinfinitesimal,sinócomla«distàncianatural mesurada»entredospuntsproupropersdel’espaitemps.Aquestaformulaciósuggereixqueestàconcebentl’espaitempscomunavarietatdiferenciable —similaraunavarietatriemanniana—,totique,comsabem,ésmésadequadamentunavarietatdeLorentz.

Elqueresultarealmentsorprenentésque,apartirdelesequacionsdinàmiques,Einstein conjectura laformadelaconservaciódeltensorenergia-impuls peraunfluiddepols.Aquestallei,basadaenlasevaintuïciófísica,elguiarà posteriormentenlaformulaciódefinitivadelesequacionsdelarelativitat general.

Eltensord’energia-impulsqueproposatélaforma:

T = ρ u♭ ⊗ u♭ ,

on u éselcampdequadrivelocitatsil’operador flat indicaeldualcovariantdel vector.

Avuiendiasabemquelaconservaciód’aquesttensor,ésadir, div(T) = 0, ésequivalentalsistemad’equacions([2]):

dρ ds =−ρ div(u) i Du ds = 0, on D/ds indicaladerivadacovariantalllargdelestrajectòriesqueoptimitzen eltempspropi.Així,efectivament,escompleix

Du ds = 0.

Pertant,pergarantirlaconservaciódeltensord’energia-impuls,ésnecessari assumirqueelfluidsatisfàl’equaciódecontinuïtatrelativista:

dρ ds =−ρ div(u).

Unaltrepuntrealmentimportantqueapareixalasecció5éslametodologiaempradaperobtenirlesequacionsdecampquehauriendegeneralitzar

Al’ombrad’Einstein:històriairelecturadelarelativitatgeneral 119

l’equacióclàssicadePoisson.Einsteinproposaqueelcampgravitatorisatisfà unaequaciódelaforma

U = κT,

on κ ésunaconstantuniversali U ésuntensorpuramentgeomètricconstruïta partirdelscoeficientsdel’invariant ds2.Peranalogiaambl’equaciódePoisson, exigeixque U continguiderivadesdelcampgravitatori,ésadir,delamètrica, finsasegonordre,perònosuperiors.

Enaquestpuntjas’intueixqueelcandidatnaturalperdescriurelagravetat hauriadesereltensordeRicci,quedenotaremamb Ric. Tanmateix,Einstein iGrossmannafirmen—senseaportar-necapdemostració—quenoexisteix captensordesegonordreque,enellímitdèbil,recuperil’equaciódePoisson. Avuisabemqueaquestaafirmacióésincorrecta:comveuremmésendavant,el tensordeRiccisíquecondueixcorrectamental’equaciódePoissonenelrègim newtonià.

Moltshistoriadorssostenenquelaconfusiód’EinsteiniGrossmannpodria derivardelfetquetreballavenambuninvariantenquèlapartespaciales manteniaeuclidiana[49].Aquestaelecciófaimpossibleobtenirl’equacióde Poissonenellímitfeble,ihihaindicistextualsqueapuntenqueEinstein realmentmanteniaencaraaquestaidea.Lasevapròpiaconfessióautobiogràfica ésreveladora([17]):

Durantmoltdetempsvaigvolermantenirlaideaquelapartespacialdela mètricapodiacontinuaressenteuclidiana.

Així,davantl’aparentimpossibilitatdetrobaruntensoramblespropietatsadequades,irebutjantexplícitamentqualsevolexpressióqueinclogués derivadesd’ordresuperioralsegon,EinsteiniGrossmannesveierenabocatsa renunciaralacovariànciageneral.Enaltresparaules,renunciaren—simésno temporalment—aformularunaequaciótensorialvàlidaenqualsevolsistema decoordenades.

Unparèntesisobrelaidead’Einsteindecovariància PeraEinstein,covariànciavoliadirquelesequacionsdecamphaviendetransformar-secoma tensorssotauncanvidecoordenades:

Ellteniaunavisiófortamentlligadaalescoordenades:unaequacióeracovariant si,escritaencoordenades,manteniaexactamentlamateixaformadesprésd’un canvidecoordenades.

Desd’unpuntdevistageomètricmodern,encanvi,lacovariànciasignifica simplementqueleslleisfísiquesexpressenrelacionsentreobjectesintrínsecsde lavarietat(tensors,camps,od’altresobjectesnotensorials),i,pertant,laseva formaésindependentdelsistemadecoordenades.Aquestadistincióconceptual —entrecovariànciaformalicaràctergeomètricintrínsec—encaranoeraclara enelpensamentd’Einsteinel1913.I,pertant,peraellnoteniasentitpresentar lesequacionsdecampcomunarelacióentreobjectesintrínsecs(encaraqueno fossintensors)delavarietat.

JaumedeHaro

Tornemaraalproblemacentral.Uncoprenuncienalacovariànciageneral, EinsteiniGrossmannbusquenequacionsdecampinvariantsnoméssotatransformacionslinealsdecoordenades.Peròaquíapareixunadificultatessencial, nomencionadaexplícitamental’article,iqueconstitueixlaclaudevoltadela sevarenúncia.

TantEinsteincomGrossmannhavienconsiderateltensordeRiccicoma candidatnatural,ielpodemescriurecoma

Ric(g(t, x)), on g éslamatriuformadapelscoeficientsqueapareixenenlaformamés generalde ds2.Aquesttensorestransformasotauncanvidecoordenadesen

Ric(g ′(t′ , x ′)), preservantlasevaestructurageomètrica.

Suposemaraquefemuncanvidecoordenadesquepreservaeltensor d’energia-impulsenelsentitque,enelsuportde T,tenim (t, x) = (t′ , x′). Llavorsobtenim:

Ric(g ′(t′ , x ′)) = κ T(t′ , x ′), i,redefinintlesvariables,

Ric(g ′(t, x)) =

T(t, x).

Aixídoncs,si g(t, x) ésunasoluciódelesequacionsdecamp,tambého és g′(t, x).Pertant,hihamúltiplessolucionsgeomètricamentdiferents[31, 35].

PeraEinstein,aixòerainacceptable:anavaencontradelasevainterpretació àla Machdelainèrcia,segonslaqualladistribuciódemassahavia dedeterminardemaneraunívocalestrajectòriesdelespartícules.Aixíneix elfamós argumentdelforat,queenaquellmomentliserveixperjustificar l’abandonamentdelacovariància.

Sabemquelaconclusiód’Einsteineraerrònia:eltensordeRicciésinvariantsotadifeomorfismesactius,i,siapliquemundifeomorfismequedeixi invarianteltensord’energia-impuls(ésadir,quenomésreorganitzipuntsfora delsuportde T),obtenimunasoluciómatemàticamentdiferentperòfísicament equivalent.ElqueEinsteininterpretavacomuna«mancad’unicitat»noerares mésquelallibertatdegaugegeomètricapròpiadelacovariànciageneral(la invariànciaperdifeomorfismesactius),peròaixòjahodiscutiremalapropera secció.

2.51915.Lesequacionsdelcamp

Einsteinnovaestarmaideltotsatisfetamblesequacionsdel’Entwurf(que aquínoescriuremdegutalasevaformaexageradamentllargaipoccompacta), especialmentdesprésdedescobrirquenoexplicavenlaprecessióobservada delperihelideMercuri.Aquestadiscrepància,juntamentamblamancade

Al’ombrad’Einstein:històriairelecturadelarelativitatgeneral 121

covariànciacompleta,elvaconvèncerquel’estructurafonamentaldelateoria eraincompleta.PeraixòvatornaraltensordeRicci—unobjecteque,com jahemassenyalat,haviaconsideratidescartatprèviament—comapossible fonamentperalesequacionsdelcampgravitatori,iambelseuúsvasercapaç decalcularcorrectamentlaprecessiódelperihelideMercuri[14].

Abansd’adoptar-lo,però,Einsteinhaviaderesoldreelseuargumentdel forat,quesemblavaimplicarunarupturadeldeterminismesotalacovariància general:silesequacionsdecamperencovariantsdemanerageneral,aleshores duesmètriquesdiferentsrelacionadesperundifeomorfismeactiuquedeixa invarianteltensorenergia-impulssatisfarienlesmateixesequacionspera lamateixadistribuciódematèria,cosaqueviolariaaparentmentlaunicitat. Inicialment,Einsteinvaveureaixòcomundefectefataldelacovariància general.Afinalsde1915,però,vaadonar-sequesolucionsdifeomòrfiqueshan derepresentarlamateixasituaciófísica—meresdescripcionsdiferentsd’una mateixarealitat.Aquestaideanosolsvarestaurarlacovariànciageneral,sinó quetambévapreservar,enunaformanovaiméssubtil,laideadeMachsegons laqualladistribuciódelamatèriadeterminal’estructurainercialdel’espai.

Desd’unaperspectivamoderna,aixòsignificaquelarelativitatgeneral nodeterminaunúniccampmètric(laprimeraformafonamental g),sinó totaunaclassed’equivalènciadesolucionsrelacionadesperdifeomorfismes.El contingutfísicnorauencaprepresentantparticulard’aquestaclasse,sinó,com jahemdit,enelsinvariantscomunsatotsells.Enaquestsentit,larelativitat generalésveritablementunateoriadegauge:elgrupdedifeomorfismestéun paperanàlegalgrupdegaugeenl’electrodinàmica,onpotencialsrelacionats perunatransformaciódegaugedescriuenelmateixcampelectromagnètic.Per fercàlculsexplícits,però,calseleccionarunrepresentantconcret(ésadir,fixar ungauge)dinsd’aquestaclasse.

Uncopasseguradalacovariància,Einsteinvaafrontarlatascad’identificar lalleidinàmicacorrecta.Lasevaprimerapropostafou

Ric = κT.

Aquestaformafuncionavaperalscampselectromagnètics,eltensord’energia-impulsdelsqualstétraçanul.la,peròfracassavaperalamatèriaordinària: latraçanonul la(l’invariantdeLaue)implicavaunaviolaciódelaconservació d’energia-impuls,contradictòriaambelresultatquejahaviaintuïtquanva escriurel’Entwurf.

Alarecercadecoherència,Einsteinadoptàtemporalmentladenominada condicióunimodular det(g) =−1,quesimplificaval’estructuradeltensor deRicciilipermetiaprovardiferentscombinacionscovariants.Mitjançant refinamentssuccessius,arribàal’expressiópresentadael25denovembre de1915([13]):

on T éslatraçade T

JaumedeHaro

Aquestaformulaciónomésdifereixperunareordenaciódelaversiómoderna,

Ric 1 2 gR = κT,

on R ésl’escalardeRicci.Enaquestaforma,lesidentitatsdeBianchicontretes([3])garanteixenqueladivergènciacovariantdeltensord’energia-impuls s’anul.la,

div(T) = 0, cosaqueasseguralaconservaciólocald’energiaimoment.

Caldestacarqueelraonamentd’Einsteinprocediaendireccióoposada:la conservaciódel’energiaielmomentnoerenunaconseqüència,sinóunprincipiguia.Talcomsubratllàenlasevarevisióde1916,l’energia-momenttotal —inclosaladelcampgravitatori—hadeconservar-se.Aquestrequisitelconduí amodificarlasevaequacióinicial Ric = κT finsalaformaequilibrada (5), oneltermedelatraçacompensaexactamentladivergènciade Ric.Enaquest sentit,lesequacionsfinalsdelcamppodeninterpretar-secoml’expressiód’un equilibridinàmicentrematèriaiinèrcia,mésquenopascomunpostulatpuramentgeomètric.Lageometriaemergeix,així,comlarepresentaciómatemàtica d’aquestequilibri—unllenguatgeformalquecodificalainteracciómútuaentre gravitacióiinèrciadinsd’unmarcgeneralmentcovariant.

3Unarutaalternativaalcamíconvencional1

Situem-nosal’any1912,quanEinsteinencaranohaviafetelgirdecisiucapa lageometriariemanniana.Lesequacionsdinàmiques (3) reprodueixen,enel límitfebleiperavelocitatspetites,lalleideNewton.Enefecte,quan c ≊ 1 + Φ i dx dt ≪ 1,s’obté

d2x

dt2 =−∇Φ, fetque—encaraque,perexemple,alcampterrestrenomésreprodueixaproximadamentelresultatdeGalileu—peraEinsteinjaeraunindicadorquees trobavaenladirecciócorrecta.

Recordemtambélametodologiaqueellmateixaplicaenaquestperíode: parteixdelseuprincipiderelativitatensistemesinercialsi,mitjançantelprincipid’equivalènciade1907,argumentaquel’acceleracióabsolutanewtoniana notésentitfísic.Aquestaobservaciólipermetestendreelprincipiderelativitat asistemesuniformementacceleratsi,perequivalència,asistemesenuncamp gravitatoriuniforme.Ambaquestaextensiópotdeterminarcomesmodifica l’invariantdeMinkowskiquanlagravetatéspresent.

Nosaltresoptaremperuncamíalternatiu,mésessencialiconceptual, queevocal’enfocamentgalileà:començarperlesideesfonamentalsideixarque ellesmateixesguiïnlaformafinaldelateoria.Lesnostreseinessón:

1Aquestaseccióesbasaenelsresultatsobtingutsa[28].

Al’ombrad’Einstein:històriairelecturadelarelativitatgeneral 123

1. L’invariantdeMinkowski perasistemesinercials,ésadir,sensegravetat, queproporcionaeltempspropiinfinitesimal ds.

2. L’experimentdeGalileu ([24]),ons’observaqueuncosdeixatcauredes delrepòsexperimentaunaacceleraciópràcticamentconstant g,independentdelasevamassa,cosaqueconstitueixlabaseempíricadelprincipi decaigudalliure.

3. ElprincipiderelativitatdeGalileu esformulaprenentcomalaboratori lasuperfícieterrestre,onelcampgravitatoriés,localment,pràcticament uniforme.Aixòsignificaquelagravetatuniformejaestàincorporadaen elmateixenunciatdelprincipi:capexperimentmecànic—i,perextensió, capfenomenelectromagnèticoòpticrealitzatenunentornambgravetat uniformementdistribuïda—nopermetdistingirsiunsistemaestroba enrepòsoenmovimentrectiliniiuniforme.Enestendreelprincipials fenòmenselectromagnètics,lestransformacionsentresistemesquees desplacenl’unrespecteal’altreambvelocitatconstantjanopodenser lesdeGalileu,sinónecessàriamentlesdeLorentz.

Apartirdelsdosprimerspunts,podemdescriurelacaigudalliuresense apel.lardirectamentalasegonalleideNewton.Perfer-ho,adoptaremunpunt devistavariacionalinspiratenelprincipideFermat([20]),segonselqualla llumtriaelcamíquerequereixmenystemps.Ambaquestesperitvariacional, postulemquelestrajectòriesdelespartículesmaterialssónaquellesquemaximitzeneltempsmesuratpelseupropirellotge.Lahipòtesiésque,imposant queaquestacondicióreprodueixiexactamentlacaigudalliureambacceleració constant—talcomexigeixelresultatdeGalileu—,podemdeterminarlaforma quehadetenirl’invariantquanuncampgravitatoriuniformeéspresent.

Aquestaaproximacióenspermetreconstruirlaformamodificadadel’invariantdeMinkowskid’unamaneraestrictamentfísica:partintdeltempspropii delfetexperimentalquetotselscossoscauenigual,senserecórrerencaraala geometriariemanniana.Defet,ambaquestplantejament,Einsteinhauriapogut arribarjael1912aunaformulaciócorrectadelagravetatencampsfebles, comelspresentsalSistemaSolar,sensenecessitatdetotl’aparellmatemàtic deRiemann,ievitantelsproblemesinterpretatiusderivatsdelanocióde curvaturadel’espaicomaentitatfísica.

Observació. Fixem-nosqueexigirquelestrajectòriesmaximitzineltemps propiresponaunprincipifísicdeperseverançao conatus (lapartículabusca existirelmàximtempspossible),delamateixamaneraqueengeometriariemannianas’exigeixminimitzarladistància.Aaquestestrajectòries,enambdós casos,lesanomenem geodèsiques.Arabé,enunavarietatpseudoriemanniana, podemseguirusantaquestanomenclaturaperdesignarlestrajectòries,però sempretenintencompteelprincipifísic:laminimitzaciódeltempsquemarca elrellotgedelapartículadeprova.

Pertant,sotal’acciód’uncamphomogeni,perexemple Φ(z) = gz,buscarem uninvariant,queconsideremisotròpic([29,27]): ds2 = A(z)dt2 B(z)dx · dx, iqueenspermetiexpressardinàmicamentelquehaviaobservatGalileu.

JaumedeHaro

Maximitzemeltempspropi δ ds = 0 perunacaigudalliurealllargde l’eix OZ,itenim: d2z ds2 =− 1 2A(z)B(z) ∂zA + ∂z(AB) dz ds 2 .

Perobtenirunaacceleracióconstant,ésnecessariimposarqueeltermede ladretaquedepèndelavelocitatdesaparegui.Aquestacondiciós’acompleix quan A(z)B(z) = C,on C ésunaconstantquepodemigualara1reescalantles coordenades.

Llavors,obtindrem: d2z ds2 =− 1 2 ∂zA, iperarribaralresultatdesitjathemdetriar

A(z) = b + 2Φ(z) ⇒ ds2 = (b + 2Φ(z))dt2 (b + 2Φ(z)) 1 dx · dx, (6) on b ésunaconstantquehemd’igualara1perrecuperarl’invariantde Minkowskiquanelcampgravitatoridesaparegui.

Podeminterpretaraquestresultatdientque,perauncampgravitatori uniformedescritper Φ(z) = gz,unobjecteencaigudalliureobeeixlasegona lleideNewtonquans’agafal’acceleraciócomlacomponentespacialdela quadriacceleraciódelarelativitatespecial d2z ds2 .

Aquestaobservacióconnectadirectamentamblaformulacióoriginaldel principid’equivalènciad’Einsteinde1907:unobservadorencaigudalliure noexperimentaelseupropipes.Desd’aquestpuntdevista,lasensació d’ingravidesanoimplicaquelagravetatdeixid’actuar.Ansalcontrari,les forcesgravitatòriaiinercialescompensenexactamentdurantlacaigudalliure. Elcoscontinuaessentacceleratperlagravetat,peròelsseusesforçosinterns desapareixenperquèaquestaacceleracióquedaequilibradadinàmicamentper lasevapròpiareaccióinercial,comsuggereixelprincipideD’Alembert[5].En aquestainterpretació,elprincipid’equivalèncianoafirmaladesaparicióde lagravetat,sinólacompensacióexactaentreduesforcesrealsioposades—la gravitatòriailainercial—queactuensobreelmateixcos.Lacaigudalliure representa,així,unestatd’equilibridinàmic,nopasl’absènciadegravetat.

Observacióimportant. Si,encanvi,s’adopta—comvaferEinsteinel1912 [11,12]—l’invariant

ds2 = (1 + 2gz)dt2 dx · dx, (7) l’equaciódemovimentcorresponentprenlaforma d2z ds2 =− g 1 + 2gz 1 + dz ds 2

Enaquestcas,lalleigalileananomésesrecuperaenellímitsimultanide campgravitatorifeble, |gz|≪ 1,idevelocitatspetites, dz ds ≪ 1.

Al’ombrad’Einstein:històriairelecturadelarelativitatgeneral 125

Percontra,lalinealitzaciódel’invariant(6)condueixa

ds2 = (1 + 2gz)dt2 (1 2gz)dx · dx, (8)

apartirdelquals’obté

sempreque |gz|≪ 1,independentmentdelavelocitatdelapartícula.

Aixòproporcionauncriteridinàmicclar:l’invariant (8) preservalallei galileanaenelrègimdecampfeblesenseimposarcaprestricciósobrela velocitat,mentrequel’invariant (7) nohofa.Peraquestmotiu, (8) constitueix unlímitdecampfeblefísicamentconsistent.

Unadiferènciaaddicional—iconceptualmentcrucial—fareferènciaalgauge harmònic.L’invariant (7) nosatisfàlacondiciódegaugeharmòniclineal(vegeu lasecció4).Aquestfetajudaaentendreperquè,enlateoriaEntwurf([19]), EinsteiniGrossmannvanacabarrebutjanteltensordeRicciel1913:només dinsdelgaugeharmòniclinealitzateltensordeRicciesredueix,enellímitde campfeble,al’equacióclàssicadePoisson.

Percontra,l’invariant (8) satisfàelgaugeharmònicjaanivelllineal.Coma resultat,condueixdemaneranaturalallímitnewtoniàcorrectei,comveurem alasecció4,permetunacompleciónolinealconsistentbasadaeneltensorde Ricci.

3.1Integraciódelagravetatenlateoriaespecialdelarelativitat: absènciadepressió

Basant-nosenelresultatanteriorsobrecampsgravitatorisuniformes,onper l’invariant

ds2 = (1 + gz)dt2 (1 + gz) 1 dx dx hemvistqueladinàmicad’unapartículadeprovaencaigudalliureenla direcciódel’eix OZ vedonadaperl’equaciónewtoniana z =−g,onladerivada ésrespectealtempspropi,considerarem,peraunpotencialestàtic,l’invariant següent([50]): ds2 = (1 + 2Φ(x))dt2 (1 + 2Φ(x)) 1 dx · dx. (9)

Apartirdeladefiniciódel’invariant,podemescriure ds = (1 + 2Φ(x)) ˙ t2 (1 + 2Φ(x)) 1x · x ds.

Aplicantlanormalitzaciódelquadrivectorvelocitat (1 + 2Φ(x)) ˙ t2 (1 + 2Φ(x)) 1x · x = 1, podemeliminarl’arreliobtenirdirectament

ds = ds2 ds2 ds = ((1 + 2Φ(x))t2 (1 + 2Φ(x)) 1x · x)ds.

JaumedeHaro

Aleshores,del’optimitzaciódeltempspropi, δ ds = 0,s’obtél’equació dinàmica x =−∇Φ 2 |˙ x|2 1 + 2Φ ∇⊥Φ, (10) on ∇⊥Φ =∇Φ x ·∇Φ |x|2 x

denotalacomponentde ∇Φ ortogonalalvectorvelocitat ˙ x

Quanlavelocitatésparal lelaalgradientde Φ,esrecuperaexactament l’equaciódeNewton x =−∇Φ, quereflecteixelprincipid’equivalència.

Enaquestcontext,laforçainercial—la visinsita deNewton[41]—queactua sobreunapartículademassainercial mi s’identificaamblacomponentespacial delaquadriforça mix introduïdaenlarelativitatespecial.Denotantlamassa gravitationalcoma mg,l’equaciódinàmicaesdevéunbalançdeforces:

amb mi = mg .

Ésadir,lareaccióinercialcompensaexactamentl’atracciógravitatòria,en l’esperitclàssicdeD’Alembert[5].Enaquestasituacióelcosnoexperimentacap força—plenamentcoherentamblainterpretacióiniciald’Einsteindelprincipi d’equivalència(1907–1912),segonslaquallacaigudalliureescaracteritzacom unestatenquènosesentcapforça.

Amésamés,aquestinvariantdonallocalaconservaciódel’energia. Efectivament,multiplicantescalarmentl’equació (10) pelmoment mx obtenim m|˙ x|2 2 + mΦ(x) = E.

3.1.1Massesenmoviment

Estudiemaraelsefectesgravitatorisproduïts enl’invariant ds2 quanlaconfiguraciódelesmassesnoésestàtica,ésadir, quanlesfontsesmouen.

Aquíensrestringimalrègimdecampfeble,conservantúnicamentelstermeslinealsenelpotencialgravitatori.Elmotiuésestrictamentfísic.Pertal d’estendrel’invariantestàtic ds2 amatèriaenmoviment,apliquemtransformacionsdeLorentz,lesqualsestandefinidesenabsènciadegravitaciói,pertant, nomésincorporenlagravetataordrezero.

Comaconseqüència,unatransformació(enanglès, boost)deLorentznomés espotaplicardemaneraconsistentalapartlinealdel’invariantgravitatori.Els termesd’ordresuperiorenelpotencialrepresentenefectesgenuïnsd’autointeracciógravitatòria,quenoquedenrecollitsperunatransformaciócinemàtica definidasobrel’espaitempsdeMinkowski.Manteniraqueststermesimplicaria barrejarordresd’aproximaciódiferentsd’unamanerainconsistent.

Al’ombrad’Einstein:històriairelecturadelarelativitatgeneral 127

Peraquestmotiu,noméslaformalinealitzadadel’invariantestàtices potestendredemanerasignificativaalcasdefontsenmovimentmitjançant transformacionsdeLorentz.L’únicaextensióconsistentd’aquestaconstrucció mésenllàdelrègimdecampfebleseràabordadaalasecciófinal.

SeguintKennethNordtvedt([43]),consideremunaltresistemadereferència K′ movent-seambvelocitat v′ respectealsistemaestàtic K.Equivalentment, K esmouambvelocitat

respectea K′

Sigui γ elfactordeLorentz

Aleshores,latransformaciódeLorentzinfinitesimalmésgeneralés:

dt = γ(dt′ v ′ dx ′).

Elpuntclauésque,donadesduesconstants a i b,laquantitat adt2 + bdx · dx estransformaen

Eliminantles«primes»,l’invarianten K′ espotescriure,desprésdelinealitzarrespectedelpotencialilavelocitat,coma ds2 = (1 + 2Φ)dt2

)dx dx, (11) on,perincorporarelsefectesderetardicontinuarsentcompatibleamblarelativitatespecial,elpotencialnewtonià—seguintlateoriad’Abrahamde1911[1] (vegeutambé[42])—vedonatper Φ(t, x) =−G ρ(tr, x) |x x| dV ⇒ ✷Φ =−4πGρ,

on tr = t −|x x| éseltempsretardat,i ✷ = ∂2 t2 ∆ l’operadordeD’Alembert. Enparal lel,peranalogiaamblaformulaciórelativistadelalleideBiot-Savart, elvectorgravitatori N satisfà N(t, x) =−G ρ(tr, x) v(tr, x) |x x| dV ⇒ ✷N =−4πGρ v, onlesfontscorresponenaladensitatdecorrent.

JaumedeHaro

Perobtenirlaformaexplícitadelspotencialsgravitatorisgeneratsper unadistribuciócontínuadematèria,hemdetenirencomptequelescontribucionsdecadaelementinfinitesimalsónadditives:cadaelementactuade maneraindependentenlaconfiguraciódel’invariant.Comquediversoselementspodentenirvelocitatsdiferents,latransformaciódeLorentzapropiada s’had’aplicarindividualmentacadascund’ells,d’acordambelseuestatlocaldemoviment.L’expressiócompletas’obtéaleshorescombinantaquestes contribucions,integrantformalmentsobretotaladistribució.

Enconcret,espotdividirelcontingutdematèriaen N petitescel les,cadascunaambdensitat ρk ivolum ∆Vk.L’invariantespotaproximaraleshores coma

onhemintroduïtlanotació

AplicarlatransformaciódeLorentzapropiadaacadascunad’aquestes contribucionslocalsidesprésprendreellímitcontinureprodueixexactament lamètrica (11).Aixòmostraquelareinterpretaciódinàmica,juntamentambla conservaciódeltensord’energia-impuls,introduïtalasecció2.4, div(T) = 0, ésplenamentcoherentamblarelativitatgeneralenelrègimdecampfeble.

Quanesconserventotselstermesenlavelocitatiestenenencompteels efectesderetard,l’invariantadquireixlaforma

(12) onelstrespotencialsrestants,

Pertant,l’expressió (12) coincideixambelresultatobtingutenlarelativitat generallinealitzadaenelgaugeharmònic([22]),quaneltensord’energia-impuls esconsideraal’espaideMinkowski,iaixí,laquadrivelocitatvedonadaper

Al’ombrad’Einstein:històriairelecturadelarelativitatgeneral 129

Aquestacorrespondènciaconfirmaquelapresentformulacióreprodueix —enelrègimdecampfebleiperasistemesambpressiónegligible,comelsque estrobenalSistemaSolar—elmateixcontingutfísicquelarelativitatgeneral linealitzadaenelgaugeharmònic,totevitantlaintroduccióexplícitadela curvatura.Així,l’estructurageomètricadel’espaitempsemergeixaquícomuna descripcióefectivadelesrelacionsdinàmiquessubjacentsentrelamatèriaila inèrcia.

Caldestacarque,enelcasestàtic,l’invariant (9) jasatisfàelgaugeharmònic, icomqueaquestgaugeespreservasotatransformacionsdeLorentz,l’invariant satisfànecessàriamentlamateixacondició.Aixòexplicaperquèlesexpressions obtingudesperamassesenmovimentcoincideixenamblesdelarelativitat generallinealitzadaformuladaenelgaugeharmònic.

EnlíniaamblainterpretaciódeFock([22]),aquestresultatsuggereixqueles coordenadesharmòniquestenenunveritablesignificatfísiciproporcionenel queellconsideravaladescripciómésnaturaldelcampgravitatori.Desd’aquest puntdevista,elgaugeharmònicnoéssimplementunatriamatemàticament convenient,sinóunsistemadecoordenadesenelqualelcontingutdinàmicde lagravetat—encabitdinsl’invariant—esmostraenlasevaformamésclara.

Aquestalecturaespotrelacionaramblacomprensióiniciald’Einsteindela gravetatenelcasestàtic[10].Lasevaanàlisideldesplaçamentalroiggravitatori varevelarqueelsrellotgessituatsmésprofundamentenunpoupotencial avancenméslentamentqueaquellsqueestrobenaregionsmésaltes,cosa queindicaquelagravetatesmanifestamitjançantunamodificaciódelcursdel tempspropi.Lacurvaturaespacialnomésentràenescenamésendavant,un copesvadesenvolupartotal’estructuradelarelativitatgeneral(vegeu[40, 30]).

Noteuquenos’afirmaquelaperspectivaquehempresentatespugui extrapolaralrègimnolinealdelateoria,onlacurvaturaesdevéessencial. Tanmateix,elsimplefetqueespuguiconstruirunadescripciódecampfeble ambfonamentfísicenlaqualeltempspropi—inounavarietatabstracta— tinguielpapercentral,mostraqueelrelacionalisme(enquèl’espaitempsno ésunescenaribuitonlamatèriaexisteix,sinóunaxarxaderelacionsque lamatèriacreaenexistir),sovintpresentatcomlamillorlecturafísicade l’argumentdelforatd’Einstein([31, 35]),noéspasunacaracterísticainherent delagravitacióatoteslesescales.Mésaviatelrelacionalismesorgeixnomés sotacondicionsàmpliesigenerals,mentrequenocionsméssubstantivesde tempsidedinàmicacontinuenessentplenamentadequadesiconceptualment transparentsentoteldominidecampfeble,quejacomprènunampliventall desituacionsfísicamentrellevants.

3.2Integraciódelagravetatenlateoriaespecialdelarelativitat: matèriaambpressió

Perestendrel’anàlisianteriormésenllàdelamatèriasensepressió,enscentrem araendistribucionsdematèriacapacesdesuportarpressióinterna.Unpuntde partidaconvenientésladescripciónewtonianad’uncosesfèrichomogenique potexpandir-seocontreure’sdinsdel’espaieuclidiàordinari.Aquestentorn simplejaincorpora,d’unamaneracoherent,larelacióentredensitat,pressiói potencialgravitatori.

JaumedeHaro

Consideremunaesferahomogèniaderadi a(t)R idensitatdemassa σ(t) Lamassatotalcontingudadinsés,doncs, M = 4π 3 σ(t)a3(t)R3

Triantelcentredelabolacomaorigen,denotemlaposiciód’unpunt genèric P amb a(t)x,demaneraquelasevadistànciafísicaalcentreés r ≡ a(t)|x|

Pelteoremadelescapes([41]),noméslamassainclosadinsdelradi r contribueixalaforçagravitatòria.Pertant,unapartículadeprovamomentàniament enrepòsa P sentunaforçaradial F =− 4πGm 3 σ(t)a(t)x, on m éslasevamassa.

AplicantlasegonalleideNewtoniutilitzantlanaturalesaradialdelaforça, obtenim m d2r dt2 =− 4πGm 3 σr ⇒ d2r dt2 =− GM(r) r 2 , on M(r) = 4π 3 r 3σ éslamassaencercladadinsl’esferaderadi r

Aquestaequaciótambéespotobtenirapartird’unprincipivariacional. Consideremellagrangiànewtonià([38]) L = 1 2 dr dt 2 + 4πG 3 r 2σ ⇐⇒ L = 1 2 dr dt 2 V(r), ambpotencial V(r) =− GM(r) r

L’equaciód’Euler-Lagrangeportaa d2r dt2 = 4πG 3 d dr (r 2σ).

L’assumpciódelaconservaciódelamassadinsdelaboladeradi r implica dM(r) dt = 0 ⇐⇒ d dt 4π 3 r 3σ = 0 ⇐⇒ dr dt d dr (r 3σ) = 0

⇐⇒ d dr (r 3σ) = 0, i,aleshores, d dr (r 2σ) =−rσ.

Substituintal’equaciód’Euler-Lagrange,s’obté d2r dt2 =− 4πG 3 σr.

Al’ombrad’Einstein:històriairelecturadelarelativitatgeneral 131

Perincorporarlapressióiobtenirunadescripciógeneral,calinclourel’energiainternailasevarelaciótermodinàmicaambelvolum.Aixòs’aconsegueix substituintladensitatdemassaperladensitatd’energiatotalhomogènia ρ, fetquecondueixallagrangiànewtoniàmodificat([25])

Usantl’equaciód’Euler-Lagrangejuntamentamblaprimeralleidelatermodinàmicaaplicadaal’esferaderadi r ,

on p éslapressió,trobem

L’equaciódinàmicanoésresmésquelaconegudasegonaequacióde Friedmann([23]) d2r dt2 =− 4πG 3 (ρ + 3p)r ⇒

ésla massagravitatòriaactiva,introduïdaencosmologianewtonianaa[37, 4].

Pertant,lacombinació ρ + 3p actuacomla densitatdemassagravitatòria activa

Enparticular,quanlamassasuportapressió,elpotencialnewtonià,diemn’hi Φ1,assumiremquesatisfà ✷Φ1 =−4πG(ρ + 3p).

Araconsideremeltensord’energia-impuls T = (ρ + p)u♭ ⊗ u♭ p g

Lalleideconservació div(T) = 0enl’espaideMinkowski ds2 = dt2 dx·dx comporta dρ ds =−(ρ + p) div(u),(ρ + p) du ds = grad(p) dp ds u,

on (ρ + p)du/ds éslaquadriforçarelativista.Aleshores,podemidentificar ρ + p ambla densitatefectivademassainercial enelsentitdeWeinbergi Landau-Lifshitz[53,33].

JaumedeHaro

Aquestesconsideracionsmotiven,enelcasestàtic,introduirl’invariant linealitzat ds2 = (1 + 2Φ1)dt2 (1 2Φ2)dx dx,

elspotencialsdelqualsatisfan

+ bp), on b ésunaconstantadimensionalquevindràfixadaperargumentsfísics.

Desprésd’aplicarlatransformaciódeLorentzdescritaanteriorment,s’obté finsal’ordrelineal

onelvectorpotencialgravitatorisatisfà

Comqueelvectorpotencialésgeneratperladensitatdecorrent ∼ (ρ + p)v, laconsistènciarequereix b =−1.Aleshores

Incloenttotselstermesquedepenendelavelocitat,l’invariantesdevé

Aquestinvariantreprodueixexactamentl’expressiódecampfeblederivadaenlarelativitatgenerallinealitzadaquans’imposaelgaugeharmònic. Equivalentment,coincideixambl’invariantgovernatperl’equaciólineald’Einstein([18])quaneltensord’energia-impulsesconsideraal’espaideMinkowski:

on η ≡ diag(1, 1, 1, 1). Elspotencials ˆ Υ , ˆ N,i ˆ t sóngeneratsperladensitatdemassainercial ρ + p Lainterpretacióde Φ2 ésméssubtil.Notantque

p = 2(ρ + p) (ρ + 3p), introduïmelspotencials ˆ Φ1 i ˆ Υ1,definitsper

iobtenim

Al’ombrad’Einstein:històriairelecturadelarelativitatgeneral 133

Entermesd’aquestspotencials,l’invariantesdevé ds2 = (1+2(Φ1 +2 ˆ

Finalment,uncoplaformalinealitzadadel’invariant ds2 s’escriuentermes d’aquestspotencialsgravitatoris,ladinàmicadelesfontslapodemobtenir apartirdel’equaciódeconservació div(T) = 0,complementadaambuna equaciód’estat p = p(ρ).Aquíhemdeserprecisosidirqueestemtractantel tensord’energia-impulsal’espaideMinkowski,i,pertant,estemsuposantque lamatèrianointeractuaambelcampquegenera.Així,tenim: T = (ρ +

Lalleideconservaciódeltensorenergia-impulsdonallocalesequacions decontinuïtatid’Euler(senseinteractuaramblagravetat)relativistes([2]):

on ds ésl’invariantdeMinkowski.

Entermesdelavelocitat v,podemescriureaquestesequacionsdelamanera següent:

∂t ρ +∇· (ρ + p) v 1 −|v|2 =

Tornantal’equaciólineal (13),sifemlatraçarespecteal’invariantde Minkowski,s’obté ✷h = 16πGT ,on h éslatraçade h.Enconseqüència,l’equaciódecamplinealitzadapotescriure’scoma

Siaraimposem,al’espaideMinkowski,laconservaciódeltensorenergiaimpuls, div(T) = 0,aleshores,prenentladivergènciadel’equacióanterior, s’obtéimmediatament div h 1 2 ηh = 0, quenoésaltracosaquelaformalinealitzadadelacondiciódegaugeharmònic.

Alternativament,sipartimdelarelativitatgeneralformuladaengauge harmònic,observemquelasevaversiólinealitzadaimplicadirectamentla conservaciódeltensorenergia-impuls.Així,enelrègimlinealdelarelativitatgeneral,lacondiciódegaugeharmònictéunpaperequivalentaldeles identitatsdeBianchienlateoriacompleta.

JaumedeHaro

Podemresumirelnostremètodeaixí:ensbasemenlalleigalileanadela caigudalliure,queensrecordaquetotselscossos,gransopetits,cauenamb lamateixaacceleracióenuncampgravitatoriuniforme.Introduïmeltemps propicomamesuraabsolutadelrecorregutd’unapartícula,talcomelva conceptualitzarMinkowski,iapliquemelprincipideFermatacossosamb massa:lestrajectòriesfísiquessónaquellesqueminimitzeneltempspropi,de maneraanàlogaacomlallumseleccionaelcamíòpticextrem.Quanelscossos estanenmoviment,únicamentimposemlasimetriadeLorentz.

SenserecórreralalleideNewtonniinvocar apriori unageometriade l’espaitemps,aquestenfocamentcondueixdemaneranaturalaunaestructura invariantquecoincideixexactamentamblarelativitatgeneralenelrègimde campsfebles.Enaquestlímit,lateoriaresultantésequivalentalarelativitatgenerallinealitzadaengaugeharmònic,laqualcosaéssuficientperexplicartots elstestsclàssicsdelagravetatobservacional.ComassenyalaWeinberg([53]):

Totselstestsclàssicsdelarelativitatgeneral—laprecessiódelesòrbites planetàries,ladeflexiódelallumieldesplaçamentgravitatoricapalvermell— espodenderivarapartirdelesequacionsdelcamplinealitzades.

Així,fenòmenscomlaprecessióanòmaladelperihelideMercuri,ladeflexió delallumpercampsgravitatoris,eldesplaçamentgravitatorialvermelloel retardtemporaldeShapiroquedencompletamentdescritsdinsd’aquestrègim feble.Enaquestcontext,lagravetatnoemergeixnicomunaforçanewtoniana nicomunageometriaabstractaplenamentnolineal,sinócomunmoduladorfísicdeltempspropi.Elcamíseguités,enaquestsentit,gairebégalileà: directe,conceptualiarrelatenl’experiència,imostraquelafenomenologiagravitatòriaobservadapotentendre’scompletamentsenserecórreracurvatures espaciotemporalsfortes.

4EltensordeRiccienelgaugeharmònicilesequacions d’Einstein

Enaquestasecciópresentemunaformulaciócompactaimatricialdeltensorde Riccienel gaugeharmònic (ode DeDonder/Lorenz),queenspermetràarribar alesequacionsfinalsdelarelativitatgeneral.Aquestaformulacióevitauna granquantitatd’índexsiexpressalescontribucionsnolinealsdeltensorde Riccimitjançantproductesmatricials,tracesisimetritzacions.

Perdenotarlescoordenades,faremanarlanotacióqueesfaservirenfísica: x0 = t, x1 = x, x2 = y, x3 = z.Ambaquestanotació,laformamésgeneralde l’invariantserà: ds2 = gµν dxµ dxν .

Usaremlanotaciómatricialsegüent:

• seguimdenotantamb g lamatriudecomponents gµν iamb g 1 laseva inversa;

• Γ α éslamatriudecomponents (Γ α)µν = Γ α µν (símbolsdeChristoffel);

• (∂αg)µν = ∂αgµν ,i (∂gα)µν = ∂µ gαν ;

• Sim[A] = 1 2 (A + AT ) iTrdenotalatraça.

Al’ombrad’Einstein:històriairelecturadelarelativitatgeneral 135

Araintroduiremelgaugeharmònic.Perfer-ho,hemdepartirdel’operador deLaplace-Beltramiassociata g:

on g éseldeterminantde g

Aleshores,consideremlesanomenades coordenadesharmòniques,definides per

EntermesdelssímbolsdeChristoffel,aquestacondicióésequivalental gaugeharmònic:

onhemusatque g ésinvertible.

Desprésd’uncàlculunamicafeixuc,escomprovaqueenelgaugeharmònic eltensordeRicciprenl’expressió:

enquè,encoordenadesharmòniques,l’expressiódel’operadordeLaplaceBeltramiéssimplement:

Aquestaexpressiócontélapartlineal(l’operadordeLaplace-Beltramiaplicat a gµν )itotselstermesquadràticsenderivadesde g querecullenlanolinealitat deltensor.

QuanlaprimeraformafonamentalésunapertorbaciódeladeMinkowski, g = η + h,enl’aproximaciólineals’obté:

Pertant,apartirdeltensordeRiccis’obtél’únicageneralitzaciónatural —aixòsí,pagantelpreudel’argumentdelforat—del’equaciólinealitzada (13):

Ric = 8πG T 1 2 g T amb u = dt ds , dx ds , (15)

laqualcoincideixamblaformadelesequacionsdecampqueEinsteinva presentarl’any1915.

AixòesconseqüènciadelteoremadeLovelock([34]),queestableixque,si volemuntensorsimètricconstruïtlocalmentapartirdederivadesdesegon ordredelaprimeraformafonamental g,iquegaranteixiautomàticamentla conservaciódeltensorenergia-impuls,l’únicaopcióéslacombinacióde Ric+Λg i gT queapareixalaversióoriginald’Einstein (15) amb Λ = 0,iqueméstard tambévausarperdescriureelseumodelcosmològic[16].Ésmoltimportant

JaumedeHaro

destacarque,enaquestaformulaciódelarelativitatgeneral,eltensorde Riccinoapareixcomunpostulatgeomètricprevi,sinócoml’únicacompleció covariantpossibledel’operadord’onaquegovernalapropagaciódelcamp gravitatori,exigidaperlaconservaciódeltensorenergia-impuls.

Comentari. Alternativament,apartirdel’equaciólinealitzada (13),podem concloureque,encoordenadesharmòniques,lasevageneralitzaciónolineal hadeprendrelaforma:

on T éseltensorenergia-impulscompletdelamatèria,

i U ésuntermenocovariantquedepènde g ilessevesprimeresderivades.

Aquesttermenoéscovariant,jaque ✷gg noésuntensor;inoméslacombinació ✷gg + U defineixuntensor.Perconstrucció, U s’anul laenl’aproximació lineal.

Prenentaralatraçade (16),espoteliminarexplícitamentlapartescalarde lafont T ,is’obté

on U ≡ Tr(U).

Enaquestaforma,eltermedelcostatdretnoméscontéeltensorenergiaimpulsdelamatèria,mentrequetoteslescontribucionsquedepenende g iles sevesprimeresisegonesderivadesquedencompletamentcodificadesalcostat esquerre.

Prenentaraladivergènciacovariantd’aquestaequació,irecordantque estemtreballantencoordenadesharmòniques,toteslesderivadesterceresde g escancel.lenidènticament.Comaconseqüència,iimposantlacompatibilitat amblaconservaciódeltensorenergia-impuls, div(T) = 0,s’arribaaunaequació diferencialdeprimerordreperaltermenocovariant U,enlaqualintervenen únicament g ilessevesprimeresisegonesderivades.

Aquestaequaciófixaunívocamentelterme U,lasoluciódelqualés:

Unavegadadisposemdel’expressiódeltensordeRiccienelgaugeharmònic, podemposardemanifestelsignificatprofunddelesequacionsd’Einstein.Per fer-ho,escriviml’expressió(14)enlaforma

on R éslatraçade Ric.

Al’ombrad’Einstein:històriairelecturadelarelativitatgeneral 137

Observemaraque Tr Ric 1 2 gR =−R.Aixòenspermetintroduirelsegüentpseudotensor—calremarcarquenoésuntensorcovariant,jaqueel terme 1 2 ✷gg tampocnohoés;noméslasevasumatotalconstitueixeltensor deRicci—definitcoma:

Ambaquestadefinició,eltensordeRicciespotdescompondredelamanera següent:

on t = Tr(t).

Substituint-hiaquestaexpressió,lesequacionsd’Einsteinprenenlaforma

Aquestaexpressióposademanifestquelesequacionsd’Einsteinpoden interpretar-secomunaequaciód’onanolinealpera g (recordemque ✷g = gµν ∂2 µν ),onlafontnoésnoméseltensorenergia-impulsdelamatèria,sinó tambéelterme t,quepotinterpretar-secomelpseudotensorenergia-impuls delpropicampgravitatori.

Així,lagravetatnonomésresponalamatèria,sinóquegravitasobresi mateixa,iaquestaautointeraccióésprecisamentl’origendelanolinealitatde larelativitatgeneral.

Observació. L’expressiódelesequacionsd’Einsteinencoordenadesharmòniquespermetdonarunainterpretaciódinàmicaclaradelseucontingutfísic, quevamésenllàdelaformulaciópuramentgeomètricahabitual.Aquesta estructuraésconceptualmentanàlogaalaformulaciódinàmicadelagravitació desenvolupada,entred’altres,perFeynmaniDeser([21, 6]),enlaquallarelativitatgeneralemergeixcomlacompleciónolinealconsistentd’unateoria decampambpartículessensemassaidespin2ques’acoblauniversalmenta l’energia-impuls.Enaquestsentit,lesequacionsd’Einsteinpodenentendre’s comlaformacovariantitancadaqueencapsulatoteslesautointeraccions necessàriesdelcampgravitatoripergarantirlaconservaciódel’energia-impuls ilaconsistènciadinàmicadelateoria.

5Conclusions

Eldesenvolupamentdelarelativitatgeneralencarnaunainteraccióprofunda entreprincipisfísicsiformalismematemàtic.Desdelaunificaciódel’espaii eltempsperpartdeMinkowskifinsalsintentsd’Einstein,entre1907i1912, d’incorporarlagravitaciómitjançantl’invariant ds2,elfilconductorfousemprelafísica:elprincipid’equivalència,laconservaciód’energiaimoment,i elprincipiderelativitat.Lageometriahientràdecisivamentnomésel1913, quanGrossmannintroduíEinsteinalsmètodesriemannians,quevanculminarenlesequacionsdecampde1915.Calacceptarque,senseaquesteseines

JaumedeHaro

matemàtiquesavançades,lesequacionsdelarelativitatgeneralnohaurien pogutserformulades,peròelpreupagatenaquellmomentfouprobablement massaalt:desplaçarl’èmfasidelafísicacapalamatemàtica.Iaquestavisió s’hamantingutfinsavui.

Lainterpretaciópredominanttractalagravitaciógeomètricament:l’espaitempscomunavarietatpseudoriemanniana,lacurvaturasubstituintlaforça newtoniana,lespartículeslliuresseguintgeodèsiques,ilamatèria-energia modelantlageometria.Noobstantaixò,talcommostral’argumentdelforat, tractarlamètricacomunasubstànciafísicaamenaçaeldeterminisme.Laresoluciód’Einstein—quesolucionsdifeomòrficamentrelacionadesrepresentenla mateixasituaciófísica—jaapuntacapaunacomprensiórelacionaldel’espaitemps,enquèlageometriaserveixprincipalmentcomamarcdescriptiumés quenopascomunaontologiafísica.

Seguintaquestaúltimalíniadepensament,aquesttreballsubratllauna perspectivacomplementàriaqueelmateixEinsteinhauriapogutexplorarabans de1913:unaformulacióenquèl’invariant ds2 ésdeterminatdinàmicament perlamatèriamitjançantl’extensiódelprincipideFermatilainvariànciade Lorentz,senseinvocarlacurvaturacomapostulatfonamental.Enaquesta comprensió, ds ilasevaintegralalllargd’unalíniad’univers, s = ds,tenen elpapercentral.EnlarelativitatespecialdeMinkowski, s representaeltemps propialllargd’unatrajectòria;enpresènciadegravitació,eltempspropies modificademaneraquelespartículesencaigudalliuresegueixencamins estacionarisde s.Lagravitacióapareixaixícomunamodificaciódelfluxdel tempspropi,quegovernatantelmovimentcomlamesuradeltemps.

Enelrègimdecampfeble,talcomhemvist,aquestmarcrecuperanaturalmentellímitnewtonià—incloent-hilescorreccionsdependentsdelavelocitat— ievitalesdificultatsconceptualssubratlladesperl’argumentdelforat.En aquestcontext,l’invariant ds,interpretatcomladiferencialdetempspropi, noactuatantcomla«distància»enunageometriasubstantivalista,sinócom l’expressiódinàmicadelainteraccióentrelamatèriail’estructurainercial.És aquestaestructurainercial—inounespaitempsontològicamentpredonat— allòquedeterminalestrajectòriesdelespartícules.

Uncopestablertaquestlímitfeble,lamateixaestructuradelesequacions queemergeixenéslamateixaqueladelesequacionsd’Einstein linealitzades engaugeharmònic.Aquestaobservacióéscrucial:mostraquelateoria,sense haverpostulatprèviamentlacurvatura,proporcionaunaguianaturalperala generalitzacióacampsforts.L’estructuradeltensordeRicciencoordenades harmòniquesindicacomprolongarcoherentmentelcomportamentdinàmic identificatenelrègimfeble.

Aquestpasnoésarbitrari.ElteoremadeLovelockdemostraque,enquatre dimensionsisotacondicionsgenerals(derivadesfinsalsegonordreiconservaciódeltensorenergia-impuls), l’únicaextensiónolinealconsistentd’aquestes equacionslinealsésprecisamentatravésdeltensordeRicci.Així,lacurvatura del’espaitempsemergeixnocomunpostulatmetafísic,sinócoml’únicmecanismematemàticquepermetestendredemaneracoherentelcomportament dinàmicidentificatenelrègimfeble.

Al’ombrad’Einstein:històriairelecturadelarelativitatgeneral 139

Enconclusió,larelativitatgeneralenelseulímitdecampfebleadmetdues lecturescomplementàries:comunateoriageomètricadel’espaitempscorbati comunmarcdinàmicquedescriulainteraccióentrematèriaiinèrciamitjançant l’invariant ds.Totiquelainterpretaciógeomètricacontinuasentelegant ipoderosa,non’esgotaelcontingutfísic.Recuperantlarelativitatgeneral linealitzadaenelgaugeharmònic,laperspectivadesenvolupadaaquírestitueix elfonamentfísicdelateoriaiproporcionaunacomprensióconceptualment transparentdelagravitacióenelseurègimfeble.

Agraïments

AquesttreballcomptaambelsuportdelasubvencióespanyolaPID2021123903NB-I00finançadaperMCIN/AEI/10.13039/501100011033iper«FEDER UnamaneradehacerEuropa».

Referències

[1] Abraham,M. «Sullateoriadellagravitazione». AttiAccad.Naz.Lincei Rend.Cl.Sci.Fis.Mat.Natur.(5),20(2)(1911),678–682.

[2] Andersson,N.;Comer,G.L. «Relativisticfluiddynamics:Physicsformany differentscales». LivingRev.Relativ.,10(1)(2007).

[3] Bianchi,L. «SuisimboliaquattroindiciesullacurvaturadiRiemann». AttiAccad.Naz.LinceiRend.Cl.Sci.Fis.Mat.Natur.(5),11(1)(1902),3–7.

[4] Callan,C.;Dicke,R.H.;Peebles,P.J.E. «CosmologyandNewtonian mechanics». Amer.J.Phys.,33(2)(1965),105–108.

[5] D’Alembert,LeRondJ. Traitédedynamique.París:Davidl’aîné,1743. [Disponibleenediciómoderna:Blanchard,1965]

[6] Deser,S. «Self-interactionandgaugeinvariance». Gen.RelativityGravitation,1(1)(1970/71),9–18.

[7] Dirac,P.A.M. GeneralTheoryofRelativity.NovaYork:JohnWiley&Sons, 1975.

[8] Einstein,A. «ZurElektrodynamikbewegterKörper». AnnalenderPhysik, 17(1905),891–921.

[9] Einstein,A. «Ontherelativityprincipleandtheconclusionsdrawnfrom it». JahrbuchfürRadioakt.undElektronik,4(1907),411–462.

[10] Einstein,A. «Ontheinfluenceofgravitationonthepropagationoflight». AnnalenderPhysik,35(1911),898–908.

[11] Einstein,A. «Thespeedoflightandthestaticsofthegravitationalfield». AnnalenderPhysik,38(1912),355–369.

[12] Einstein,A. «Onthetheoryofthestaticgravitationalfield». Annalender Physik,38(1912),443–458.

JaumedeHaro

[13] Einstein,A. «DieFeldgleichungenderGravitation».Sitzungsberichteder KöniglichPreußischenAkademiederWissenschaften(Berlín)(1915),844–847.

[14] Einstein,A. «ExplanationoftheperihelionmotionofMercuryfromgeneralrelativitytheory».LecturegiventothePrussianAcademyofSciences inBerlin,18November1915.

[15] Einstein,A. «Etherandthetheoryofrelativity».Lecturegiventothe UniversityofLeideninHolland,5May1920.

[16] Einstein,A. «Cosmologicalconsiderationsonthegeneraltheoryofrelativity».A: Lorentz,H.A.;Einstein,A.;Minkowski,H.;Weyl,H. (ed.). ThePrincipleofRelativity.Londres:MethuenandCompany,Ltd.,1923, 175–188.

[17] Einstein,A. «Autobiographicalnotes».A: Schilpp,P.A. (ed.). AlbertEinstein:Philosopher-Scientist.Vol.7intheLibraryofLivingPhilosophers.Nova York:MJFBooks,1949,1–94.

[18] Einstein,A. TheMeaningofRelativity.5aed.Princeton,NJ:Princeton UniversityPress,1955.

[19] Einstein,A.;Grossmann,M. «EntwurfeinerverallgemeinertenRelativitätstheorieundeinerTheoriederGravitation.I.PhysikalischerTeilvon AlbertEinstein.II.MathemathischerTeilvonMarzelGrossmann». ZeitschriftfürMathematikundPhysik,62(1913),225–261.

[20] Fermat,P. VariaOperaMathematicaD.PetrideFermat.Tolosae:Pech, 1679.

[21] Feynman,R.P. FeynmanLecturesonGravitation.Reading,MA:AddisonWesley,1995.(FrontiersinPhysics)

[22] Fock,V. TheTheoryofSpace,TimeandGravitation.2aed.revisada.Nova York:TheMacmillanCompany,1964.[TraduïtdelrusperN.Kemmer]

[23] Friedmann,A. «ÜberdieKrümmungdesRaumes». Z.Phys.,10(1)(1999), 377–386.Traduccióanglesa:«Onthecurvatureofspace». GeneralRelativityandGravitation,31(12)(1999),1991–2000.

[24] Galilei,G. Diàlegsobreelsdosmàximssistemesdelmón.Barcelona:Edicions62,1998.[Traducciócatalanade DialogoSopraiDueMassimiSistemi delMondo,1632]

[25] deHaro,J. «RelationsbetweenNewtonianandrelativisticcosmology». Universe,10(6)(2024),263,14p.

[26] deHaro,J. «Ontheholeargumentandthephysicalinterpretationof generalrelativity». Universe,10(2)(2024),91,16p.

[27] deHaro,J. «OnthemetricLorentzinvariantNewtoniancosmology». Universe,11(7)(2025),232,22p.

[28] deHaro,J. «AdynamicalapproachtoGeneralRelativitybasedonproper time». Universe,12(3)(2026),79,36p.

Al’ombrad’Einstein:històriairelecturadelarelativitatgeneral 141

[29] deHaroJ.;Elizalde,E. «Isgravitytrulybalanced?Ahistorical-critical journeythroughtheequivalenceprincipleandthegenesisofspacetime geometry». Symmetry,17(8)(2025),1340,24p.

[30] Hawking,S.W.;Ellis,G.F.R. TheLargeScaleStructureofSpace-Time.Londres;NovaYork:CambridgeUniversityPress,1973.(CambridgeMonogr. Math.Phys.;1)

[31] Johns,O.D. «ValidityoftheEinsteinholeargument». Stud.Hist.Philos. Sci.BStud.Hist.Philos.ModernPhys.,68(2019),62–70.

[32] Krasnov,K. «Gravityasadiffeomorphisminvariantgaugetheory». Phys. Rev.D,84(2011),024034.

[33] Landau,L.D.;Lifshitz,E.M. TheClassicalTheoryofFields.3aed.en anglèsrevisada.Oxford;NovaYork:PergamonPress,1971.(Courseof TheoreticalPhysics:2)[TraduïtdelrusperMortonHamermesh]

[34] Lovelock,D. «TheEinsteintensoranditsgeneralizations». J.MathematicalPhys.,12(1971),498–501.

[35] Macdonald,A.L. «Einstein’sholeargument». Amer.J.Phys.,69(2)(2001), 223–225.

[36] Mach,E. Lamécanique:exposéhistoriqueetcritiquedesondéveloppement París:LibrairieScientifiqueA.Hermann,1904.

[37] McCrea,W.H. «Relativitytheoryandthecreationofmatter». Proc.Roy. Soc.LondonSer.A,206(1951),562–575.

[38] Minazzoli,O.;Harko,T. «NewderivationoftheLagrangianofaperfect fluidwithabarotropicequationofstate». Phys.Rev.D,86(2012),087502.

[39] Minkowski,H. «RaumundZeit». JahresberichtederDeutschenMathematiker-Vereinigung,18(1909),75–88.

[40] Misner,C.W.;Thorne,K.S.;Wheeler,J.A. Gravitation.SanFrancisco, CA:W.H.FreemanandCo.,1973.

[41] Newton,I. Philosophiænaturalisprincipiamathematica.Londres:Jussu SocietatisRegiæacTypisJosephStreater,1687.Traduccióanglesa: The Principia:MathematicalPrinciplesofNaturalPhilosophy.Universityof CaliforniaPress,1999.

[42] Nordstrøm,G. «Theprincipleofrelativityandgravitation». Phys.Zeit., 13(1912),1126–1129.

[43] NordtvedtJr.,K. «TestingEinsteins’sinhomogeneousgravitationalfield equations».ThirdAwardforEssaysonGravitation.GravityResearchFoundation(1968).

[44] Norton,J. «HowEinsteinfoundhisfieldequations:1912–1915». Historical StudiesinthePhysicalSciences,14(2)(1984),253–316.

[45] O’NeillB. Semi-RiemannianGeometrywithApplicationstoRelativity.Londres:AcademicPress,1983.

[46] Pauli,W. TheoryofRelativity.NovaYork:DoverPublications,Inc.,1981. (DoverBooksonPhysics)

JaumedeHaro

[47] Renn,J.(ed.) TheGenesisofGeneralRelativity.4vol.Dordrecht,Països Baixos:Springer,2007.

[48] Renn,J.;Sauer,T. «HeuristicsandmathematicalrepresentationinEinstein’ssearchforagravitationalfieldequation».A: TheExpandingWorlds ofGeneralRelativity.Boston,MA:BirkhäuserBoston,Inc.,1999,87–125. (EinsteinStud.;7)

[49] Straumann,N. «Einstein’s‘Zürichnotebook’andhisjourneytogeneral relativity». Ann.Phys.,523(6)(2011),488–500.

[50] Synge,J.L. Relativity:TheGeneralTheory.Amsterdam:North-Holland PublishingCo.;NovaYork:IntersciencePublishers,Inc.,1960.(Seriesin Physics)

[51] Taylor,E.F.;WheelerJ.A. SpacetimePhysics:IntroductiontoSpecial Relativity.2aed.NovaYork:W.H.FreemanandCompany,1992.

[52] TeslaN. «Pionnerradioengineergivesviewonpower».Articlepublicat al NewYorkHeraldTribune l’11desetembrede1932.

[53] Weinberg,W. GravitationandCosmology:PrinciplesandApplicationsof theGeneralTheoryofRelativity.NovaYork:JohnWiley&Sons,Inc.,1972.

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatPolitècnicadeCatalunya CarrerColom 5,Terrassa jaime.haro@upc.edu

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.40,núm.1-2,2025–2026.Pàg.143–170. DOI:10.2436/20.2002.01.122

Elroluniversaldel’equacióKPZ

MartaSanz-Solé

Resum: Unadelescaracterístiquesdelmovimentbrowniàéslacentralitato universalitat,entesacomlapropietatdeserellímitd’unaclasseàmpliadeprocessos convenientmentescalats.Mésenllàdelmovimentbrownià,enlarecercad’unmodel matemàticperadescriurelesinterfíciesdeprocessosdecreixement,vasorgirunprocésaleatoridescritmitjançantl’equacióenderivadesparcialsestocàsticaanomenada equacióKPZ.Demanerasimilaralmovimentbrownià,aquestnouprocéspresenta tambéuncaràcteruniversal,peròtépropietatsestadístiquesdiferentsimésdificultats conceptuals.Aquestarticleésunaintroduccióal’equacióKPZenelqualestractendos temesentrellaçats:lespeculiaritatsdel’equacióielseucaràcteruniversal.Ambdues qüestionshandirigitlarecercaenanàlisiestocàsticadurantelsdarrerstrentaanys ihanconfluïtenlacreaciód’unateoriarobustad’equacionsenderivadesparcials estocàstiquesnolinealsienelconeixementfísicavançatdelaclassed’universalitatde laKPZ,conjecturadaal’articlearrel[24].

Paraulesclau: universalitat,equacionsenderivadesparcialsestocàstiques,modelsde deposicióaleatòria,equacióKPZ.

ClassificacióMSC2020: 60H15,60H17,81S20,82C28.

1Introducció

L’any2021,elPremiNobeldeFísicafouatorgataSyukuroManabe,KlausHasselmanniGiorgioParisipelsestudisdefenòmenscaòticsiaparentmentaleatoris. LacitacióquecorresponaParisiparlaconcretamentdelessevescontribucionsrevolucionàriesalateoriadelsmaterialsdesordenatsidelsprocessos estocàstics,ambladescobertadepatronsdesconegutsquehanfetpossiblela comprensiódefenòmensaleatorisdiversos,nosolamentdelafísica,sinótambé delesmatemàtiques,labiologia,laneurociènciaidel’aprenentatgeautomàtic (https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2021/press-release/).

Segurament,enelcampdel’anàlisiestocàstica,lacontribuciódeParisique hatingutmésimpacteéslapropostad’unmodelperal’evoluciódelperfil

MartaSanz-Solé

d’unainterfícieencreixement.Ensreferimal’anomenada equacióKPZ,una equacióenderivadesparcialsestocàsticaqueportalesinicialsdelscognoms deMehranKardar,GiogioParisiiYi-ChengZhang,elstresautorsdel’article pioner[24].

L’interèsperl’estudid’aquestaequacióhadonatllocaunaactivitatderecercamoltconsiderableques’hadesenvolupatseguintdueslíniesencreuades. Unad’ellesgiraentorndelanociód’universalitat o centralitat,unaidead’estabilitatestadísticaquepreténclassificarlesfluctuacionsdesistemesaleatorisen compartiments.Esconjecturaqueund’aquestscompartimentsoclassesestà associatal’equacióKPZ.L’altralíniaestàcentradaenelsaspectesestrictament matemàticsdel’equació.Ésundelsmoltsexemplesenquèlaintuïciófísicaha preceditlacreaciódeteoriesmatemàtiquesihaoberthoritzonsamplispera lacol laboracióentrelesduesdisciplines.

Enaquestarticlefemunapresentaciódel’equacióKPZidelesdueslínies derecercaqueacabemd’esmentar.Laprimeratélessevesarrelsalafísica,en l’intentdeclassificaciódecomportamentscríticsdesistemesreals.Lasegona, alesmatemàtiques,enqüestionstanfonamentalsisovintdifícilscomelmateix bonplantejament d’unaequació.Elfilquerelacionalesdueslínieséslateoria delaprobabilitat,queproporcionalametodologiaisuggereixelsproblemes quecalabordar.

Ambl’objectiud’arribaralectorsambunapràcticadelesmatemàtiques heterogèniaimotivarl’interèsperunaprofundimentposterior,sacrifiquem detallstècnicsipartderigorperdonarpasaunrelatintuïtiu,descriptiu,sovint heurísticicontextualitzatcronològicament.

L’articleconstadequatreseccions.Alasecció2s’introdueixl’equacióKPZ comamodelmatemàticdefenòmensdiversosiesremarcalacomplexitatmatemàticadelasevaexpressió;tambésecitenlesrelacionsdelaKPZambaltres equacionsenderivadesparcialsestocàstiquesméselementals.Alasecció3 esdefineixlanociód’escalatge,quetéunafuncióconceptualiinstrumental importantenl’estudidelauniversalitatiésnecessàriaperalaformulació delsresultatsqueesdonenalllargdel’article.Lasecció4esdedicaaladiscussiódelanociód’universalitatassociadaalaKPZ.S’introdueixlaideade comportamentid’objecteuniversalenl’àmbitaleatoriil.lustrant-hoambles sevesarrels:elteoremadellímitcentraldelesprobabilitats.Després,s’exposen diferentsnocionsd’universalitatperal’equacióKPZ,seguintelfilhistòricde lasevaintroduccióiestudi.Fent-hod’aquestamaneraesprenconsciència delesdificultatsquehansorgitenlacomprensiógradualdelconcepte.Al llargd’aquestprocés,esdescobreixlarelacióestadísticaentrel’equacióKPZ imodelsdiscretsdedeposiciódematerialsodeformaciód’apilaments,que estrobaal’origendelapropostadel’equació.Lasecció5presentalesidees fonamentalspertaldedonarunaformulaciómatemàticamentrigorosade l’equacióKPZileseinesperal’estudidelessevespropietats.Consisteixen unaintroducciómoltsuperficialdelsavençosextraordinarisques’hanobtingut ambla teoriadelesestructuresregulars deM.Hairer.Laseccióacabaamb l’apartat5.3,onconflueixenlesduesdireccionsderecercaalesqualshem

al luditmésamunt.Esdemostraunteoremadeconvergènciacapalasolucióde l’equacióKPZ,unabonaprovadecomlateoriadelesestructuresregularsha pogut,finalment,enfortirlesevidènciesdelcaràcteruniversaldel’equacióKPZ, talcomestrobaformulata[24].

Alllargdel’article,elsacrònimsSPDEiSPDEss’utilitzemcomaabreviatures delesdenominacions equacióenderivadesparcialsestocàstiques ensingulari enplural,respectivament.

2L’equacióKPZ

Fenòmensfísicsobiològics,comelcreixementd’agregatsdepartícules,detumors,decolòniesdebacterisodenúvols,lesvariacionsenelsperfilsde deposiciódematerialsgeològics,deflocsdeneu,defrontsenprocessosdesolidificacióod’incendis,vanmotivarlapropostad’unmodelmatemàticgenèric peral’evoluciótemporald’interfíciesaescalamicroscòpicaqueestrobaal’article[24]iqueavuianomenem equacióKPZ.Estractadel’equacióenderivades parcialsestocàstica

∂t h(t,x) = ν ∆h(t,x) + λ 2 (∇h)2(t,x) + ση(t,x),t> 0,x ∈ Rd , (2.1)

h(0,x) = h0(x).Lesconstants ν, λ i σ sónnombresrealspositiusquetenenun significatfísic, ∆ denotal’operadordeLaplaceolaplaciàen Rd , ∇ ésl’operador gradienti (∇h)2 denota ∥∇h∥2.Tambéespotconsiderarl’equació (2.1) en dominis(regulars)fitats;enaquestcas,calafegircondicionsadequadesala voradeldomini.

Elterme ν ∆h(t,x) descriularelaxaciódelainterfícieambuncoeficientde tensiósuperficial ν,quemesuralaintensitatdeladifusió.Elterme λ 2 (∇h)2(t,x) s’obtécalculantelcreixementlateralalllargdel’evolucióielparàmetre λ indica laintensitatd’aquestcreixement.Finalment, η = (η(t,x),t ≥ 0,x ∈ Rd) ésel componentaleatoridel’equació,observableaescalamicroscòpica;suposem que η ésun sorollblancenespaiientemps,ésadir,unprocésestocàstic gaussià,centratiambfunciódecovariància

Cov[η(t,x)η(s,y)] = δ0(t s)δ0(x y),

on δ0 denotala deltadeDirac en0.L’elecciódelafunciódecovariànciaexpressaheurísticamentlaideaque η consisteixenimpulsosaleatorisindependents entempsienespai,amblleinormal.Laconstant σ (queindicalaintensitatdelsoroll)modificalafunciódecovariànciade η(t,x) amblaconstant multiplicativa σ 2,perònocanviaessencialmenteltipusdesoroll.

Alllargd’aquestarticleconsideremúnicamentelcas d = 1.Ensreferirem a h(t,x) comla funciód’alturadelainterfície iescriureml’equació (2.1) coma

∂t h(t,x) = ν∂2 x h(t,x) + λ 2 (∂x h)2(t,x) + ση(t,x),t> 0,x ∈ R. (2.2)

2.1Casosparticulars

Fixantvalorsparticularsdelsparàmetres ν, λ i σ s’obtenenexemplesconeguts d’equacionsqueajudenacontextualitzarl’equacióKPZ.

Cas1. σ = 0.Enaquestcas,elcomponentaleatoriésnulil’expressió (2.2) és unaequacióenderivadesparcials.Consideremla transformaciódeHopf-Cole, definidaperfuncions (t,x) u(t,x) positives, h(t,x) = 2ν λ ln[u(t,x)]. (2.3)

Comqueformalment,

t h(t,x)

, (2.4)

substituinta (2.2) (amb σ = 0)cadascunadelesderivadesparcialsperaquests valors,s’obtél’equaciódelacalor

u(0,x) = e λ 2ν h0(x) =: u0(x)> 0.Lasolucióde (2.5) espotescriureapartirdel nucligaussià(lasoluciófonamentaldel’operadordelacalor ∂t ∂2 x ), Gν (t,x) = (4πνt) 1 2

coma

u(t,x) = R u0(y)Gν (t,x y)dy.

Observi’sque u(t,x)> 0.Pertant,tornantaaplicarlatransformació (2.3) s’obté h(t,x) = 2ν λ ln R dy (4πνt)1/2 exp (x y)2 4νt + λ 2ν h0(y) .

Cas2. σ ̸= 0.L’equació (2.2) téuncomponentaleatoriefectiu.L’expressió (2.2) ésuna equacióenderivadesparcialsestocàstica.Desdelpuntdevistaanalític, lasituacióésmoltméscomplexaquealCas1,degutalescaracterístiquesde l’aplicació (t,x) η(t,x).Enefecte,pera d ≥ 1,elsorollblanc (η(t,x)) és unelementdel’espaidedistribucionsdeSchwartz S′(R × Rd).Comafunció de x, η(t, ∗) ∈Cα(Rd),amb α< d+2 2 i,comafuncióde t, η(·,x) ∈Cβ , amb β< d+2 4 .Recordemque,perdefinició,l’espai Cγ amb γ< 0ésl’espaide

Besov Bγ ∞,∞ (vegeu[36]peradetallssobreladefiniciód’aquestsespais).Per tant,nopodemesperarmassaregularitatperalasolució h(t,x) o,entotcas, nolasuficientperaassegurarqueelterme (∂x h)2(t,x) siguiunafuncióben definida.Mésendavantdiscutiremaquestproblemaambmésdetall.

Dinsd’aquestcasconsideremtressubcasos.

Cas2.1. λ = ν = 0.L’expressió (2.2) ésuna equaciódiferencialordinària estocàstica,donatquenohihavariaciórespectealavariable x.Lasolució,amb condicióinicial h(0,x) = h0(x),és

h(t,x) = h0(x) + σ t 0 η(s,x)ds.

Aquestaexpressióésformal,jaque η(s,x) ésunadistribuciódeSchwartz. Arabé,delespropietatsde η(t,x) se’ndedueixque (h(t,x)) ésunprocés gaussiàtalque,pera x ̸= y,lesvariablesaleatòries h(t,x) i h(t,y) són independentsi,peracada x ∈ R,ésunmovimentbrownià(noestàndard)amb valormitjà h0(x) ivariància xσ 2t.

A[24]esdiuqueaquestcascorresponaunmodeldedeposicióaleatòria ambinterfíciedifusiva(h(t,x) ∼ t1/2).Alasecció4.3expliquemquinésel significatd’aquestcomentari.

Cas2.2. λ = 0, ν ̸= 0.Aquestcascorresponal’equaciódelacalorestocàstica linealdirigidaperunsorollblancenespaiientemps.Suposantqueelvalor inicial h(0,x) = h0(x) satisfàlacondiciód’integrabilitat

R e ay 2 |h0(y)| dy< ∞, peratota a> 0,

lasoluciódel’equacióésúnica(vegeu[13,capítol3])itél’expressió

h(t,x) = R Gν (t,x y)h0(y)dy + t 0 R Gν (t s,x y)W(ds,dy), (2.7)

on,formalment, W(ds,dy) = η(s,y)dsdy i Gν estàdefinidaa (2.6).Lasegona integraldelsegonmembreésunaintegralestocàsticarespectealsorollblanc espaitemps(vegeu[13,capítol2]).

Abansqueexistísunateoriadecàlculestocàstic,alaliteraturadelafísica jaestrobaaquesttipusd’equació.Perexemple,a[38],esproposacomamodel peralainterfíciedelprocéslímit(quan t →∞)demodelsdedeposicióaleatòria sensedesplaçamentshoritzontals.

L’equació (2.7) ésunadelesSPDEsméselementalsiestudiades.Aquíens interessadestacarlaregularitatdelcampaleatoriquen’éslasolució,ésa dir,quinessónlespropietatsdelestrajectòries (t,x) h(t,x).Sesapque sónlocalmentconjuntamentHöldercontínuesen (t,x) ambexponent α ∈ (0, 1/4) entempsi β ∈ (0, 1/2) enespai,respectivament,i,també,queaquests exponentssónòptims([13,capítol3]).

MartaSanz-Solé

Cas2.3. λ ̸= 0, ν ̸= 0.Aquestéselcasde«l’autèntica»KPZ,ontotsels termesde (2.2) sónpresents.Percomençar,calobservarqueaquestaSPDE noestàbendefinida.Enefecte,laregularitatqueespotesperardelestrajectòries (t,x) h(t,x) és,comamàxim,lamateixaqueladel’equacióde lacalorestocàstica(λ = 0).Enconseqüència,elterme ∂x h(t,x) notésentit comafunciói (∂x h)2(t,x) noestàbendefinit,nitansolsenelmarcdeles distribucionsdeSchwartz.

Aquestproblema,forçarecurrentenmodelsdelafísica,hamotivatunapart moltimportantdelarecercaenSPDEsalllargdel’últimdecenni.Dediquemla secció5alasevadiscussió.

2.2Relacionsambaltresequacions

Unprocedimenttípicenl’estudid’equacionsambtermesnolinealsésel d’aplicartransformacionsquelessimplifiquin.Perexemple,latransformació deHopf-Coleques’haintroduïtalasecció2.1faaquestpaperenconvertir (2.2) (amb σ = 0)en (2.5).Enaquestapartat,aplicantaquestaestratègia,obtenim duesSPDEsderivadesdelaKPZ,peròméssimples.

SoluciódeHopf-Cole

ConsideremnovamentlatransformaciódeHopf-Cole (2.3).Utilitzantles expressions(2.4),l’equació(2.2)estransformaen

∂t u(t,x) = ν∂2 x u(t,x) + λ 2ν σu(t,x)η(t,x), (2.8) amblacondicióinicial u(0,x) = e

(x) =: u0(x)> 0.Aquestaequació,conegudacomel modeld’Andersonparabòlic,ésunaequaciódelacalorestocàstica nolineal(elsorollportaelfactormultiplicatiu σu(t,x)).Espotinterpretar comunaequacióenderivadesparcialsambpotencialaleatori λ 2ν η(t,x),is’ha utilitzatperaladescripciódel’evoluciódepolímersenmedisaleatoriside cintesd’ADNensuspensióenmedisbioquímics.

Pera d = 1,Muellerdemostraa[27]que,quasisegurament, u(t,x)> 0 peratot t> 0, x ∈ R,i,pertant, h(t,x) = 2ν λ ln u(t,x) estàbendefinit. Aquestaexpressiós’anomena soluciódeHopf-Cole del’equacióKPZ.Finsala publicacióde[17],enquèesdonaunsentitrigorósal’equació (2.2),lasolució deHopf-ColeesvaprendrecomladefiniciódesoluciódelaKPZ.

LinealitzacióiequaciódeBurgers

Definimformalment v(t,x) =−∂x h(t,x) iderivem(formalment) (2.2) respectedelavariable x.Obtenim

∂t v(t,x) = ν∂2 x v(t,x) λv(t,x)∂x v(t,x) + σ∂x η(t,x), (2.9) v(0,x) =−∂x h(0,x)

LaSPDE (2.9) ésl’equaciódeBurgers[9]delafísica.Igualquel’equacióKPZ, tampocnoestàbendefinida:nielterme v(t,x)∂x v(t,x) niladerivadadel soroll ∂x η(t,x) notenensentit.Malgrataquestsproblemes,enelmomentdela publicacióde[24]jaeraunaequacióforçaestudiada.Experimentalmentes vantrobarevidènciesd’uncomportamentestadísticdiferentdeldel’equació delacalorestocàstica,fetqueproporcionaindicisdel’existènciad’unaclasse d’universalitat nova,nogaussiana,coms’indicaa[24].Alasecció4explicarem quinéselsentitd’aquestesnocions.

3EscalatgedelaKPZ

L’escalatgeésunmecanismebàsicperaentendreelssistemesfísicsensituacionsanomenades crítiques.EnelcasdelesSPDEsi,enparticular,del’equacióKPZ,l’escalatgepermetidentificarlesfluctuacionsobservablesdelmodela llargterminiiagranescala,ésadir,aspectesdelcomportamentestadísticdel fenomenrepresentatperl’equació.

Perl’equació(2.2)esdefineix l’escalatgedinàmic

on b,z ∈ (0, ∞).

Observemque,quan ε → 0,eltempsil’espaiescalats, t := ε zt i x := ε 1x, respectivament,tendeixenainfinit.Peraixò t expressael llargtermini i x la granescala,expressionsquehemutilitzatmésamunt.Elparàmetre b està relacionatamblesfluctuacionsdelsistema(aleatori).Enelssistemesfísics, aquestessónobservablesprecisamentquan t i x sóngrans.Encanvi,acurt terminiipetitaescala,elcomportamentésdesordenatocaòtic.

Al’horadedeterminarl’escalatgedinàmicadequatperaunaSPDEconcreta, ounafamíliadeSPDEs,ambsorollblancenespaiientemps,ésimportant saberquinsescalatgesdeixeninvariantlalleideprobabilitatdelsoroll.Per a η(t,x),definiml’escalatge

Aleshores,fentservirlapropietatd’escalatgedelamesuradeLebesgue,es dedueixqueelprocés (ηε(t,x)) télamateixalleideprobabilitatque (η(t,x)), ésadir, (ηε(t,x)) éstambéunsorollblancespaitemps.Utilitzemlanotació

perreferir-nosaaquestapropietat.

L’article[24]proposaelsvalorsde b = 1 2 i z = 3 2 peral’escalatgedinàmic delaKPZ(3.1).Lapropostaescondensasimbòlicamentenlaseqüència

unaternaqueprovédeduplicarelsvalorsdelsexponentsdel’escalatgedel temps(z),del’espai(1)idelesfluctuacions(b).Certsautorsfanservirla seqüènciaensentitinvers:1:2:3.

Elmètodeutilitzaten[24]perajustificaraquestsvalorsesbasaenel grup derenormalitzaciódinàmica introduïten[22]iaplicataunainterpretacióde l’equació (2.2) quenoésrigorosadesdelpuntdevistamatemàtic.Encomptes dedescriureambmésdetallaquestametodologia,optemperexposaralguns argumentsheurísticsperarribara(3.3),quehemextretde[29].

Deladefinició(3.1)se’ndedueix

∂t hε(t,x) = εb z∂t h(ε zt,ε 1x),∂x hε(t,x) = εb 1∂x h(ε zt,ε 1x),

2 x hε(t,x) = εb 2∂x h2(ε zt,ε 1x),[∂x hε(t,x)]2 = ε2b 2[∂x h(ε zt,ε 1x)]2 .

Fentserviraquestesexpressionsi (2.2),obteniml’equacióenderivadesparcials pera hε(t,x): ∂t hε(t,x) = εb z

1

Aplicantlapropietatd’escalatgedelsorollblanc (3.2),veiemque hε(t,x) satisfà unaSPDEsimilara (2.2),onlesconstants ν i λ són νε2 z i λε2 z b,respectivament,ielsorollblanc η(t,x) estransformaenunprocésestocàsticqueté lamateixalleideprobabilitatque ε

.Aquestéstambéunsoroll blancenespaiientempsambunavariànciaquedifereixdelainicialenla constant ε2b z+1.Ésadir,

(3.5) amb

EspotdemostrarqueladistribucióestacionàriaperalaKPZ(lalleideprobabilitatdelasolucióallargtermini)estàestretamentrelacionadaambla delmovimentbrownià.Pertant,quan t ésgran,lesfluctuacionsdelaKPZ handesercomlesdelmovimentbrownià,isesapquesónd’ordre b = 1 2 . Prenentaquestvalor,unamanerad’eliminarproblemesambeltermenolineal (quan ε → 0)ésposar z = 3 2 (enaquestcas,2 z b = 0).Aleshores,fent servir(3.4),l’equació(3.5)esdevé

∂t hε(t,x) = νε 1 2 ∂2 x hε(t,x) + λ 2 [∂x hε(t,x)]2 + ε 1 4 η(t,x).

Sovintespren ν = 1 2 , λ = 1,perasimplificar.

Observacions.

(1) Ambelsvalors b = 1 2 i z = 3 2 ,posant ε := t 2 3 ,l’escalatgedinàmic (3.1) resulta h t 2 3 (t,x) = t 1 3 h(t,t 2 3 x).

Aquestaexpressiódel’escalatges’utilitzaràalasecció4enlaformulaciódelesdiferentsnocionsd’universalitat.Enconseqüència,ladescripció3:2:1representasistemesquemostrenfluctuacionsd’ordre 1 3 i correlacionsespacialsd’ordre 2 3 .

(2) Unajustificaciórigorosadel’elecció z = 3 2 estrobaa[4].

Observemquel’escalatge (3.1) nodeixainvariantl’equacióKPZ.Enefecte, laSPDE (3.5) nocoincideixambla (2.2).Encanvi,siconsidereml’equaciódela calorestocàstica (2.2) amb λ = 0(posem ν = σ = 1,persimplificar),l’escalatge definitper u

(t,x) :=

2 u(ε2t,εx) ladeixainvariant.Enefecte,fentservirlapropietat(3.2)ielscàlculs

obtenim

∂t uε(t,x) = ∂2 xx uε(t,x) + η(t,x).

A[12]s’introdueixunaideainteressantperamantenirlaKPZinvariant apartird’escalatges(vegeutambé[29]).Esdiu escalatgetunejat. 1 Laideaés aplicarsimultàniamentunescalatgecomel (3.1) iunescalatgeenelscoeficients del’equació.Hoil lustremambdosexemples.

Considereml’escalatge (3.1).Sitriem b = 1 2 i z = 2,aleshores,utilitzant (3.4), veiemquel’equació

∂t h(t,x) = ν∂2 x h(t,x) + λ 2 ε 1 2 (∂x h(t,x))2 + η(t,x) estransformaen

∂t hε(t,x) = ν∂2 x hε(t,x) + λ 2 (∂x hε(t,x))2 + η(t,x).

Fixantara b = 0i z = 2,utilitzantelsmateixosarguments,veiemque l’equació

∂t h(t,x) = ν∂2 x h(t,x) + λ 2 (∂x h(t,x))2 + ε 1 2 η(t,x) estransformaen

∂t hε(t,x) = ν∂2 x hε(t,x) + λ 2 (∂x hε(t,x))2 + η(t,x).

1 Sibéésuntermehabitualenl’àmbitautomobilístic,aquíempreminformalmentelverb «tunejar»ielsseusderivatsperaindicarquel’escalatges’ajustademaneraconvenient.

MartaSanz-Solé

Aixídoncs,obétunejantlanolinealitatobétunejantelsoroll(ambla intenciódefer-lopetit),obteniminvariànciaperescalatgedelaKPZ.Aquesta ideahaestatutilitzadaenl’estudidelauniversalitatdelaKPZ,untemaque abordemalasecciósegüent.

4Universalitatassociadaal’equacióKPZ

Alllibre Lesmeravellesdelssistemescomplexos ([28]),GiorgioParisidescriula ideafísicadela universalitat referint-sealtermeencunyatpelfísicLeoKadanoff (1937–2015)relatiualssistemesmagnètics.Enobservaraquestssistemes, esconstataqueelseucomportamentnodepèngairedelquefacadascun delsobjecteselementalsqueelformen(ésadir,delsdetallsmicroscòpics), sinódelqueocorrecol.lectivament(comportamentmacroscòpic).Perexemple, elsfenòmensdetransiciódefaseesdescriuenmitjançantelvalord’algun paràmetre(exponent)específic,ielsfenòmensquecomparteixenelmateix exponentpertanyenalamateixaclassed’universalitat.

4.1Antecedents

Alateoriadelaprobabilitathitrobemexemplesd’universalitat.Elprimerésla versiódelteoremadellímitcentral(TLC),querecordemtotseguit:

Sigui (Xn,n ≥ 1) unasuccessiódevariablesaleatòriesindependentsambdistribuciódeBernoullideparàmetre p ∈ (0, 1) (corresponalllançamentd’unamonedaambprobabilitat p quesurticara).Definim Sn = n j=1 Xj ,queésuna variablealeatòriaambvalormitjà E(Sn) = np ivariància Var Sn = np(1 p). Aleshores,

enelsentitdelaconvergènciaendistribució.

Pera p = 1/2,aquestresultatfoudemostratpelmatemàticfrancèsAbraham deMoivre(1733).ComençantperLaplace(1812),queelvademostrarpera qualsevol p ∈ (0, 1),iseguintméstardperLiapunov(1901),hihahagut unnombreconsiderabled’extensionsd’aquestresultatrealmentexcepcional. Senseentrarendetallsniaspiraralamàximageneralitat,esmentemque (4.1) s’haestèsalcasdesuccessions (Xn,n ≥ 1) devariablesaleatòries(arbitràries) independentsiidènticamentdistribuïdesambmomentsdesegonordrefinitsi positius.Mésconcretament,si an = nE(X1) i σ 2 = Var X1,esté

n→∞ Sn an √nσ d = N(0, 1). (4.2)

Peranalogiaambelquepresentaremmésendavant,diremque (4.2) descriu elcomportament,pera n gran,d’unaclassedesistemesaleatorisdiscrets,convenientmentnormalitzats(ambelstermes an i bn = √nσ ).Independentment deltipusd’aleatorietat,laconvergènciaéscapalalleiN(0, 1).Elfactor n 1 2 en eldenominadorvisualitzal’exponent b =− 1 2 peralesfluctuacions(variàncies) delsistema.

Elteoremadellímitcentraldefineixla classed’universalitatnormalogaussiana,caracteritzadaperun objecteuniversal,lavariablealeatòriaN(0, 1),i l’ordre 1 2 delesfluctuacions.

Introduïmaralaversiócontínua(oendimensióinfinita)delTLC,queésel teoremadeDonsker

Apartirdelasuccessió {Sn,n ≥ 0} quehemdefinitabans,associadaa unasuccessió (Xn,n ≥ 1) devariablesaleatòriesindependentsiidènticament distribuïdesiposant S0 = 0,construïmperinterpolaciólinealunafunció contínua:Peratot t ≥ 0,denotemamb [t] lasevapartenteraidefinim

Perasimplificar,suposemquelesvariablesaleatòries (Xn,n ≥ 1) tenenvalor mitjànul.Femunescalatgedelestrajectòries {Yt ,t ≥ 0} seguintelpatró delTLCidefinim B(n) t := 1 σ √n Ynt ,t ≥ 0.

ElteoremadeDonskerdiuque,enl’espaidelesfuncionscontínuessobre R dotatdelaconvergènciauniformesobrecompactes,lasuccessiódeprocessos estocàstics (B(n) t ,t ≥ 0)n≥1 convergeixendistribució(quan n →∞)capala mesuradeWiener,queéslalleidelmovimentbrownià.Enconseqüència,el movimentbrownià,quetéfluctuacionsd’ordre 1 2 ,ésl’objecteuniversal d’una classed’universalitatgaussiana quecontéelsprocessosdeltipus (Yt ,t ≥ 0) definitsen (4.3),peraqualsevolelecciódelasuccessió (Xn,n ≥ 1) amb variànciafinitaipositiva.

4.2Mésenllàdelauniversalitatgaussiana

L’estudidelaKPZformapartd’unalíniaderecerca,iniciadafaunstrentaanys, enelcampdelafísicaidelesmatemàtiques,quetécomaobjectiul’anàlisi desistemessobreelsqualshihaindicis,apartird’experimentsodecàlculs numèrics,denopertànyeralaclassed’universalitatgaussiana.Lacausas’atribueixalarelaciónolinealentrelesobservacionsielsorollaleatori.Al’inicide lasecció2hemexposatalgunsexemplessusceptiblesd’aquestcomportament. Encontrastamblaclassed’universalitatgaussiana,a[24]esconjecturaque l’equacióKPZ,iunavarietatdemodelsquedescriuenfenòmenssimilarsal delaKPZ,presentenfluctuacionsd’ordre 1 3 icorrelacionsespacialsd’ordre 2 3 , coincidintambelsconfirmatsexperimentalmentperl’equaciódeBurgers([9]). Noexisteixunadefinició(ensentitmatemàtic)d’universalitat.Elsignificat concretd’aquestanociódepèndelessituacionsqueesconsiderenielsproblemesqueespretenenanalitzar.EntornalaKPZ,esformulenbàsicamentdues nocionsqueestanrelacionades.

Laprimera,la universalitatfeble (vegeuladefinició1),técomaelementsfonamentalselsparàmetresdel’escalatgedelesfluctuacionsidelescorrelacions espacials,senseferesmentacapobjecteuniversal.

MartaSanz-Solé

Lasegonanociód’universalitat,formuladacomla conjecturaKPZ iel punt fixKPZ (definicions2i4,respectivament),vamésenllàdelaprimera;amés delsparàmetresd’escalatgeconsideratsaladefinició1,técomaelement centrallalleideprobabilitatdelaclassed’universalitat,ésadir,identifica elcomportamentestadísticdelsmodelsquan t ésgran.Aquestaéslanoció d’universalitatquepodemcompararambversionsdelTLCo,mésgeneralment, amblanocióprobabilistade dominid’atracció (vegeu e.g. [8]).Ésinteressant destacarque,segonselsresultatsques’handemostrat,lesclassesd’universalitatrelacionadesamblaKPZdepenendelacondicióinicialdelssistemesquees consideren.

4.3Conceptesd’universalitatKPZ

Enaquestasecciódefinimlesnocionsd’universalitatentorndel’equacióKPZ quehemesmentatalaseccióanterioripresentemalgunsresultatsimportants associatsacadascunad’elles.

Definició 1 ([11, 29]). La classed’universalitatfebleKPZ estàformadapels modelsquecomparteixenl’escalatged’ordre 1 3 perlesfluctuacionsi 2 3 perles correlacions.

Caracteritzaraquestaclassed’universalitatésunproblemaobert.Hiha, però,moltsresultatsendiferentsmodelsquecontribueixenalasevacomprensió.Enparticular,enelsmodelsde deposicióaleatòria trobemexemplesque pertanyenalaclassed’universalitatfebleKPZ.

Elterme deposicióaleatòria esrefereixalprocésdeformaciód’unapilament al’atzar.Larelacióentrel’equacióKPZielsmodelsdedeposicióaleatòriaja s’esmentaa[24].

Elsmodelsteòricsdedeposicióaleatòriaenelplaespodenvisualitzar delamanerasegüent:esllancenblocsunitaris(perexemple,quadrats)des d’undeterminatnivell(queanomenarem sostre)sobrecolumnes(posicions) determinadesperdosvalorsentersconsecutius, x i x + 1.Elllançamentes produeixeninstantsaleatorisilacol locaciódelsblocsesfaseguintcertes reglesquedepenendelmodel.Ambaquestprocedimentesprodueixuna interfíciedinàmicaentrelescolumnesdeblocsqueesvanformantilarestadel pla.Esdescriumitjançantlafunció v(t,x),quedonal’alturaal’instant t de lacolumnadeblocsqueocupenl’espaiidentificatambl’enter x,posantla condicióinicial v(0,x) ≡ 0.

Modeldedeposicióaleatòriasimple

Éselméssenzilldelsmodelsdedeposició.Obeeixalmecanismesegüent. Elsllançamentsdeblocss’efectuendeformaindependentencadacolumna (indexadaper x ∈ Z)iesprodueixeneninstantsaleatoris,demaneraqueel tempsentredosllançamentsconsecutiussónvariablesaleatòries X independentsambdistribucióexponencialambparàmetre λ> 0.Aixòimplicaqueel creixementdecadacolumnaésindependentdelesaltresisegueixun procés dePoisson deparàmetre λ> 0.Pertant,nohihacorrelacionsespacialsentre

lescolumnes.Espodenfercàlculsexplícitsdelsmomentsdeprimerisegon ordrede v(t,x) (t> 0, x ∈ Z)iaplicarlalleidelsgransnombresielTLCpera obtenir lim t→∞ v(t,x) t = 1, lim t→∞ v(t,x) t t 1 2 = N(x) d = N(0, 1),

respectivament,on (N(x)) sónvariablesaleatòriesindependents,toteselles ambdistribucióN(0, 1).Elprimerlímitésenelsentitdelaconvergènciaquasi segurai,elsegon,endistribució.Veiem,doncs,que v(t,x) = O(t) pera t →∞ ilafluctuacióalvoltantde t ésdel’ordre t 1 2 .Pertant,aquestmodelpertanya laclassed’universalitatgaussiana.

Elmodeldedeposicióaleatòriasimple(vegeulafigura1)estàrelacionat amblaversiódiscretadel’equacióKPZamb λ = ν = 0.Observi’stambéqueel modelésrobustrespecteamodificacionsdeladistribuciódeprobabilitatde lesvariablesaleatòries X

Modeldedeposicióbalística

Elmarcéselmateixqueeldeladeposicióaleatòriasimple.Ladiferènciarau enellloconsesitua(enganxa)elblocqueesllança:enladeposicióbalística, hofaalaprimeraposicióonespotenganxaralcostatd’unblocjaexistent. Perexemple,enlasituaciódelafigura2,elblocesllançaalacolumna x,però l’alturadelacolumna x 1éssuperiorala x;pertant,elblocs’enganxarà alcostatdelblocmésaltdelacolumna x 1,demaneraquelacolumna x passaràatenirl’alturadelacolumna x 1.Aquestprocedimentprodueix cornisesifinestres.Denotemamb v(t,x) l’alturamàximaal’instant t per damuntdelaposició x,queestàocupadaperunbloc.

Figura 2: Modeldedeposicióbalística.(Font:elaboraciópròpia.)

Figura 1: Modeldedeposicióaleatòriasimple.(Font:elaboraciópròpia.)

MartaSanz-Solé

Simulantelsdosmodels—simpleibalístic—,trobemdiferènciesnotables. Enambdues,lafunciód’alturatéuncreixementlineal,peròenelmodelbalístic ésmésràpid([35]).Lesfluctuacionsdelperfilsónmésgransenelprimer queenelsegon.D’altrabanda,enelmodelbalísticapareixencorrelacions laterals.Finsara,pelmodelbalísticnos’hanpoguttrobarelsordresexactes delesfluctuacionsilescorrelacionslaterals.Falteneinesimètodes.Arabé, simulacionsnumèriquesindiquenquel’ordredelesfluctuacionshauriade ser 1 3 ,ieldelescorrelacionstransversals, 2 3 ([5]).D’altrabanda,comexpliquem mésavall,peramodelsmoltsimilarsaldeladeposicióbalística,s’hanprovat rigorosamentaquestsfets.Pertant,elmodelbalísticésuncandidatambmoltes possibilitatsdepertànyeralaclassed’universalitatfebleKPZ.

Processosd’exclusió

Els«modelsmoltssimilarsaladeposicióbalística»,quehemcitatalparàgraf anterior,elstrobemalateoriadelssistemesdepartículeseninteraccióiestan motivats,entred’altres,peltransportdemassaiperlagestiódeltràficicues. L’avantatged’aquestsmodelsésque,engeneral,espodenanalitzarutilitzant mètodesalgebraicsquepermetencàlculsexplícits.Unexempleésel procés d’exclusiósimple,queintroduïmtotseguit.

Esparteixinicialmentd’unconjuntdepartículessituadesenpuntsde Z. Lesdinàmiquesdelespartículessónindependentsentreelles,peròtenen elmateixcomportamentaleatori:cadapartículaesperauntempsaleatori, ambdistribuciódeprobabilitatexponencialambparàmetre1,peracanviarde posició,iesdesplaçaal’enterjustalasevaesquerra,ambprobabilitat q ∈ [0, 1], oalasevadreta,ambprobabilitat p = 1 q.S’imposa,però,larestricciósegüent: sielllocdedestítriatestrobaocupat,sesuprimeixelsalt.

Aquestadinàmicaaleatòriadepèndelvalor γ := q p = 1 2p ∈ [ 1, 1], quemesural’asimetriadel’evolució.Pera γ = 1,elprocéss’anomena procés d’exclusiósimpletotalmentasimètric.Apatird’araendirem TASEP (del’anglès totallyasymetricexclusiónprocess).Altrescasosinteressantssónel γ = 0 (procésd’exclusiósimètric, SEP)iel γ> 0(procésd’exclusióparcialmentsimètric, PASEP).

Unamaneraequivalentd’introduirelprocésTASEPésmitjançantunacadena deMarkovatempscontinu (Xt ,t ≥ 0),definidasobrel’espaimostraldel sistemadepartícules,ambconjuntd’estats {−1, 1}Z,onrepresentemper 1 unlloclliure(sensepartícula)iper1unllococupat.

Figura 3: DinàmicaTASEP.(Font:elaboraciópròpia.)

Pera t fix,unaconfiguraciócomladelafigura3potrepresentar-semitjançantuncamícontinuobtingutperinterpolació:

Figura 4: DinàmicaTASEPcontínua.(Font:elaboraciópròpia.)

Elsmàximsimínimslocalsdelafigura4passenamínimsimàximslocals quanlaconfiguraciócanvia,segonsindicalafigura5.

Figura 5: TransicionsdelTASEP.(Font:elaboraciópròpia.)

Aquestprocedimentportaaladefiniciódelafunciód’altura [0, ∞) × Z ∋ (t,x) v(t,x) pelsprocessosd’exclusiósimple.Laideaés,peracada t,determinarelnombredepartículesques’hansituatalaposició x.Comveuremmés endavant,elTASEPpertanyalaclassed’universalitatfebleKPZi,mésencara,es potidentificarexactamentelcomportamentlímitdelprocésconvenientment escalat.

Universalitatiescalatge

Introduiremaraunanovanociód’universalitatrelacionadaambl’operació d’escalatge.Respectealadefinició1,aquestaopciórepresentauncanvide paradigma:s’alineaamblauniversalitatgaussianaformuladaenelTLCienel teoremadeDonsker.Estractad’identificarprocessosestocàsticsquedefineixin dominisd’atracció enelsentitdelateoriadelaprobabilitat,ésadir,processos quesónlímitsdecertssistemesfísicsescalats,commodelsdedeposició aleatòriaopolímersenmedisaleatoris.La conjecturaKPZ,formuladaala definició2,expressaque,aplicantadeterminatssistemesl’escalatge3:2:1 introduïtalasecció3,espotidentificareldominid’atracció.Enparticular,això hauriadeserpossibleperalamateixaequacióKPZ.

Definició 2 (Laconjecturad’universalitatKPZ[12]). Si h(t,x) éslafunciód’alturad’unainterfíciedecreixementquepertanyalaclassed’universalitat febleKPZ(enelsentitdeladefinició1),aleshoresexisteixun procésuniversal A(x) iconstants c1, c2 i c3 (quedepenendelmodel)talsque,peratot x, lim t→∞ 1 t1/3 [h(c1t,c2t2/3x) c3t] d =A(x), (4.4) enelsentitdelaconvergènciaendistribució.

MartaSanz-Solé

Observemque,posant t := ε 3/2,lacondició(4.4)s’escriu:

Ambaquestcanvidevariableveiemquel’escalatgedelafunció h segueixel patró3:2:1introduïtalasecció3peralaKPZ.

Aladefinició2,elqualificatiu«universal»voldirqueelprocés A(x) nomésdepèndelacondicióinicial h(0,x) (defet,nomésdelvalorde limε→0 ε 1 2 h(0,c2ε 1x)).

Peralssistemesquecompleixenlaconjecturad’universalitatKPZ,elprocés A(x) téunpapersimilaraldelmovimentbrowniàenelteoremade Donsker.Mésendavantposemexemplesdefuncionsd’alturad’interfíciesque compleixenlaconjectura;sónresultatsquehansuposatavençosmoltnotables delateoria.Tambéveuremquediferentscondicionsinicials h(0,x) donen límitsdiferents.Mésconcretament,l’escalatge 1 3 , 2 3 delprelímitesconserva, peròelprocés A(x) canvia.Ésadir,l’estadísticaexactadellímitnoesmanté i,enconseqüència,hihatotunventalldesubclassesd’universalitatKPZ!Un resumdelsresultatsperdiferentstipusdecondicionsinicialsestrobaa[11, p.16,figura4].Elsprocessoslímit A(x) obtingutsestanrelacionatsambfuncionsdedistribuciódelateoriadematriusaleatòries.Il.lustremaquestsfets ambdosresultatssobreelmodelTASEP.

ConsideremdoscasosparticularsdecondicionsinicialspelTASEP: falca i plana.

Elteoremasegüentestableixlavalidesadelaconjecturad’universalitatKPZ (definició2)pelprocésTASEPenelsdoscasosdecondicióinicial: falca i plana. Ladescripciód’aquestescondicionsestrobaalesreferènciesqueesdonenal teorema.

Teorema 3. Sigui h(t,x) lafunciód’alturadelmodelTASEP.Aleshores,enla convergènciaendistribució,tenimelsresultatssegüents.

(1) ([3,23]) Silacondicióinicialésdeltipus falca,peratot x ∈ R esté

lim t→∞ 1 t1/3 [h(2t, 2t2/3x) t] =A2(x) x2 ,

on (A2(x),x ∈ R) éselprocés Airy2

(2) ([7, 33]) Silacondicióinicialésdeltipus plana,peratot x ∈ R escompleix

lim t→∞ 1 t1/3 [h(2t, 2t2/3x) t] =A1(x),

on (A1(x),x ∈ R) éselprocés Airy1.

Elsprocessosaleatorislímit,Airy2 iAiry1,sóncomplicatsdedefinir;estan relacionatsambconceptesdelesmatriusaleatòries.AquestasorprenentrelacióentrelauniversalitatdelaKPZilesmatriusaleatòriesnotéencarauna explicacióclara.

Acontinuacióclarifiquemlaconnexióentre Airy2 i Airy1 iclassesdematrius aleatòries.Consideremdosconjuntsdematriusaleatòries N × N.Elprimer ésel conjuntunitarigaussià,quedesignaremperGUE(del’anglès Gaussian unitaryensemble),iestàformatpermatriusaleatòriesgaussianes,ambcomponentscomplexes,ihermítiques.Elsegonésel conjuntortogonalgaussià,que designaremperGOE(del’anglès Gaussianorthogonalensemble),formatper matriusaleatòriesgaussianesortogonals.

Denotemamb λGUE max elmésgrandelsvalorspropisd’unamatriudeGUE.Se sapque λGUE max ∼ 2N + N 1 3 χ,N →∞, on χ ésunavariablealeatòriaquenodepènde N.Lafunciódedistribucióde χ s’anomena distribuciódeTracy-WidomGUE,esdenotaamb FGUE itél’expressió

FGUE(z) = exp ∞ z (w z)2q2(w)dw

Lafunció q éslasoluciódel’equaciódiferencialdePainlevéII q ′′ (w) = 2q3(w) + wq(w),

amblacondició q(w) ∼ Ai(w),quan w →∞,on (Ai)′′ (w) w Ai(w) = 0.El procés (Airy2(x)) télapropietatque,peratot x ∈ R,lafunciódedistribució delavariablealeatòriaAiry2(x) éslafunció FGUE. Elprocés (Airy1(x)) s’obtémitjançantunprocéssimilar,substituintGUE perGOE.

Adrecemellectora[2]peramésdetallssobrelateoriadelesmatrius aleatòriesia[31]peraunaintroduccióalsprocessosd’Airy.

LaKPZcompleixlaconjecturad’universalitatKPZ

Lademostraciódelaprimeraversiód’aquestresultattélesarrelsen[6] iprencomasoluciódelaKPZlasoluciódeHopf-Cole (2.3).Consisteixa obtenirlafunciódedistribucióexactadelavariablealeatòria h(t,x) per acada t> 0(distribucióunivariant)idemostrarque,pera t →∞,escalantamb elpatró3:2:1,s’identificaunlímit.Elresultatvaserobtingutsimultàniament iindependentmenta[1]i[34].Laprovautilitzaunaaproximaciódelasolució deHopf-ColedelaKPZmitjançantlatransformaciódeHopf-Colediscreta d’unprocésd’exclusiósimple.Recomanemallector[11]peraunaexposició detalladadelresultatilasevademostració.

PuntfixKPZ

Alanociód’universalitatdeladefinició2elvalorde x estàfixat(vegeu (4.4) o (4.5))i,pertant,noescaptalainformaciósobreladinàmicatemporalde lainterfície.Ambl’objectiud’eliminaraquestarestriccióitenirunavisiómés àmpliadelcomportamentuniversal,s’introdueixa[12]laideade puntfixKPZ,

que,comveurem,generalitzaladefinició2i,actualment,esprencomlabona definiciódelaclassed’universalitatKPZ(segons[26]).Formulemtotseguit aquestconcepte.

Definició 4 ([12, 32]). Sigui h(t,x) lafuncióquedescriul’alturad’unainterfíciedecreixementquepertanyalaclassed’universalitatKPZ,ésadir,quepresentafluctuacionsd’ordre t1/3 icorrelacionsespacialsd’ordre t2/3.Aleshores existeixun procésuniversal H= (H (t,x),(t,x) ∈ (0, ∞) × R) iconstants c1, c2 i c3 (quedepenendelmodel)talsque

enlaconvergènciaendistribució.Elprocés H s’anomena puntfixKPZ i ésuniversal,enelsentitquenomésdepèndelacondicióinicial H0(x) := limε→0 ε 1 2 H (0,c2ε 1x).

Observemque,sien (4.6) fixem t = 1,retrobemelprocésespacial A(x) de(4.5).ElpuntfixKPZfaelpaperd’atractor.

Sobreelprocés (H (t,x),t ≥ 0,x ∈ R) s’esperen(oconjecturen)lespropietatssegüents:

1. PropietatdeMarkov.Finsara,elsexemplesdeprelímitspelsqualss’ha identificatelpuntfixKPZsónprocessosdeMarkoviaquestapropietat hauriadetransferir-sealprocéslímit H (t,x)

2. Invariància3:2:1:Sipera α> 0,definim H α 0 (x) = α 1H0(α2x),aleshores αH (α 3t,α 2x; H α 0 ) =H (t,x; H0). (4.7)

A[28],G.Parisidiuquelainvariànciaperescalatgeexpressalanecessitat que«elresultatdelanostraobservaciónodepenguid’enquinamesura femservirelzoom».

Caltenirencomptequeelprocés puntfixKPZ noéslasoluciódel’equacióKPZ.Defet,aquestaequaciónocompleixlapropietatd’invariància(4.7).

Undelsreptesdelsdarrersdeuanyshaestatdemostrarl’existènciad’elementsdelaclasse puntfixKPZ,donar-neconstruccionsenexemplesconcrets, trobar-nelespropietatsprobabilistesiconnexionsamblateoriadelesmatrius aleatòriesisistemesintegrables.Laterminologia sistemesintegrables fareferènciaamodelsaleatorissobreelsqualsespodenfercàlculsprecisos,perexemple, donarlaformaexactadelafunciódeprobabilitatunivariantomultivariant, sovintrelacionadesambsolucionsd’equacionsdiferencialsordinàries.

Enaquestalínia,calesmentarcomatreballpioner[26],onestrobael puntfixKPZpelprocésTASEPiesdeterminenlessevespropietats;totaixòa partird’unametodologiainnovadoraqueclarificalesconnexionsmencionades anteriormentimarcaunfullderutaperatractaraltresexemples.Perun càlculdemarlginals,esrecuperenelsresultatsdelteorema3.Unaversió

simplificadade[26],ambunapresentaciómésassequiblealsnoespecialistes, estrobaa[32].

Unaaltrareferènciad’estilsimilaral’anteriorés[30],onesdemostraque unaltreexemple,el modeldecreixementpolinuclearPNG,tambésatisfàla definició4i,comen[32],espresentad’unamaneraassequiblelametodologia de[26],aplicadaaquíalnoucas.

Tenintencomptequetotsaquestsestudishanestatmotivatsperl’equacióKPZ,ésnaturalpreguntar-sesiaquestaequaciósatisfàladefinició4.La respostaafirmativaaaquestaqüestióestrobaa[37]i[39].

Lesmatemàtiquessubjacentsalsresultatsd’aquestasecciócombinenelementsd’àlgebra,anàlisiiprobabilitats.Enparticular,teoriad’operadors,determinantsdeFredholm,polinomisortogonalsipropietatsasimptòtiquesianàlisi estocàstica.

5Formulaciórigorosadel’equacióKPZ

Desdelpuntdevistaanalíticl’equacióKPZ (2.2) ésproblemàtica.Si λ = 0però ν i σ sóndiferentsdezero,teniml’equacióestocàsticadelacalor ambsorollblancespaitempsi,coms’haindicatalasecció2.2,sesapque lestrajectòriessónlocalmentHöldercontínues,conjuntamenten (t,x) ∈ (0, ∞) × R,d’ordre α ∈ (0, 1/4) en t iordre β ∈ (0, 1/2) en x.Pertant,no sóndiferenciablesensentitclàsicielterme (∂x h)2 noespotdefinircomuna funció.AquestésunproblemarecurrentenlesSPDEsnolineals.

Unamaneranaturald’intentardonarsentitalesSPDEs«problemàtiques» consisteixaregularitzar-lesi,després,estudiarlarelacióentrelaregularitzada il’original.Acontinuaciódetallemaquestprocedimentialgunsdelsproblemes quesorgeixen.

Consideremunafamíliaaproximadora(o aproximaciódelaidentitat)en espaiientemps, (ϕε,ε> 0),ésadir,lesfuncions ϕε sónregularsenespai ientemps,tenenunsuportdemida ε i limε→0 ϕε(x) = δ0 (ladeltadeDirac en0).

DonadaunaSPDE(genèrica)relativaaunafunció v,ambsorollblanc espaitemps η (perexemple,l’equació (2.2)),esregularitzaelsoroll η mitjançant elproductedeconvolucióamblafamília (ϕε): ηε(t,x) = (ϕε ∗ η)(t,x),ε> 0.

Perunaclasseàmpliad’aproximacionsdelaidentitatespotdemostrarque limε→0 ηε = η al’espai Cα parabòlic, α< 3 2 enespaii β< 3 4 entemps. Recordemque,pera α< 0,l’espai Cα (α ∈ R)ésl’espaideBesov Bα ∞,∞ (vegeu[36]).

Sigui v ε lasoluciódelamateixaSPDE(relativaa v)onsesubstitueixel soroll η per ηε.AquestanovaSPDEés,enrealitat,unaPDE regular.Sipera cada ε> 0hihaunasolució,seriaraonableproposarquelasoluciódela SPDEinicialsigui v := limε→0 v ε,oncaldriaprecisarelsentitd’aquestlímit.

MartaSanz-Solé

Observem,però,quelapropostapotdependredelsdiferentsmecanismes d’aproximacióidelcàlculestocàsticques’utilitzi(d’ItôodeStratonòvitx). Veiemonenscondueixaquestprocésenelcasdel’equacióKPZ.Persimplificarl’exposicióposarem ν = σ = 1i λ = 2.PartimdelasoluciódeHopfCole, hε(t,x) = log uε(t,x),on uε(t,x) éslasoluciódelaSPDEregularitzada de(2.8).Comque

∂t uε(t,x) = uε(t,x)∂t hε(t,x),

∂x uε(t,x) = uε(t,x)∂x hε(t,x),

∂2 x uε(t,x) = uε(t,x)[∂2 x hε(t,x) + (∂x hε(t,x))2],

enaplicar(formalment)lafórmulad’Itôalafunció f(z) = log z,obtenim

∂t hε(t,x) = ∂2 x hε(t,x) + (∂x hε(t,x))2 C ε(t,x) + ηε(t,x). (5.1)

Elterme C ε(t,x) provédelacontribuciódelasegonaderivadadelafunció log enl’aplicaciódelafórmulad’Itôiespotveure,apartirdecàlculs explícitsquenodonemaquí,que limε→0 C ε =∞.D’altrabanda,ésconegutque limε→0 uε(t,x) = u(t,x) quasisegurament,enconseqüència, limε→0 hε(t,x) existeix.

D’aquestesconsideracionsesdedueixquelasoluciódeHopf-Colede (2.2) introduïdaalasecció2.2,defet,laquehaestatconsideradacom«lasolució delaKPZ»finsaltreball[17],satisfàlaSPDE«formal»

∂t h(t,x) = ∂2 x h(t,x) + [(∂x h(t,x))2 −∞] + η(t,x). (5.2)

Compodeminterpretaraquestanovaescripturadel’equacióKPZ?L’equació (2.2) ésunaexpressióformaladoptadaa[24]comamodeld’unasèrie defenòmens,coms’explicaalcomençamentdelasecció2.Lespropietats estadístiquesques’hanatribuïtalmodeliquecompleixlasoluciódeHopf-Cole surtend’evidènciesexperimentalsinumèriquesis’hancontrastatrigorosament apartirderesultatsd’aproximaciómitjançantmodelsdiscrets.Alasecció4 donemalgunesil.lustracions.Arabé,matemàticamentnil’expressió (2.2) ni la(5.2)notenensentit,peròsónacceptablescomaformesd’escriptura.

Siposemelfocusadonaruna«bona»definiciódesolucióde (2.2),elque alateoriadelesPDEséselconceptede«bonplantejament»(well-posedness), larepresentació (5.2) ésmésadequadaquela (2.2),jaque,comhemvist,es derivadel’aplicaciódelcàlculestocàstic(fórmulad’Itô)peraobtenir (5.1). Siespotdemostrarqueel limε→0[(∂x hε(t,x))2 C ε(t,x)] existeix,comque limε→0 hε(t,x) tambéexisteix,ésforçanaturalrepresentaraquestvalormitjançant (5.2).Aquestaequaciós’anomena versiórenormalitzada del’equacióKPZ. Respectealanociódesolucióclàssica,aquestadiscussiócondueixauncanvi deparadigmeque,apartirdel2010aproximadament,s’haconsolidatamb elsuportd’uncosteòricdesenvolupatbàsicamentambduesmetodologies diferents:les estructuresregulars ([17, 18])iles distribucionsparacontrolades ([16]).Enparlarembreumentalasecció5.2.

5.1Renormalització

Alafísicaquàntica,larenormalitzacióésunametodologiaalgebraicaquepermettransformaroperacionsnolinealsentredistribucions,puramentformals, end’altresquetenenunsentitmésrigorós.Unaideadelseusignificatfísices trobaaladescripcióplaneraqueenfaGiorgioParisia[28]:

Lesfluctuacionsdelssistemesfísicss’estudienapartirdemodelsmesoscòpics onjanoesfareferènciaalsdetallsmicroscòpics,sinóqueesconsideren grupsd’àtomsmésomenysnombrososquepassend’unafaseaunaaltra(en l’escenarimicroscòpicesconsiderenelsàtomsindividualment).Lesfluctuacions (delsgrupsd’àtoms)ilessevesinteraccionsrecíproquessónindependentsde l’escalaquefemservirperanalitzarelsistema.Peraformalitzaraquestaidea, KennethWilson,alcomençamentdelsanyssetanta,vadesenvoluparunaeina anomenada renormalització (basadaenideesdeKadanoff)quelivavalerel PremiNobell’any1982.L’efectedelarenormalitzacióéspassard’unaescalaa unaaltramenysfina,reduintelnombredevariantsquecaltenirenconsideració, demaneraquelanovarepresentaciósiguiencarabona,peròaralamirema travésd’unsedàsmésgruixut.

EnelcontextgeneraldelesSPDEsnolineals(conjuntquecontél’equacióKPZ),larenormalització,demaneramoltsimplificada,esconcretaasostreuretermesalesexpressionsnolinealsdelaSPDEregularitzada,comels C ε demésamunt(enteoriaquànticadecamps,s’anomenen contratermes),tals que,malgratque limε→0 C ε =∞,ellímitquan ε → 0delaSPDEregularitzadaimodificadaamblasostracciódetermes C ε existeixi.Aleshores,elvalor d’aquestlímités,perdefinició,lasoluciódelaSPDE.

EnelcasparticulardelaKPZ,itriantlasoluciódeHopf-Colecomareferència,hemdonatindicacionssobrecomsónelstermes C ε.L’equació (5.2) ésuna manerad’expressarquelasoluciódeHopf-Coledel’equacióformal(2.2)és

(t,x), on (hε(t,x)) éslasolucióde(5.1).

Malgratqueaquestadarreranocióexisteixsenseambigüitat,finsaquí, encaranosabemsilasolucióHopf-Coleésl’únicasoluciópossible.

ElmecanismequehemdescritperproposarsolucionsalesSPDEsnolineals basatenlesetapesderegularitzacióirenormalitzacióplantejaimmediatament algunesqüestions:comestrobenels C ε?Elvalordellímitésindependentdel tipusdemecanismederegularitzacióques’utilitza?

PeralaSPDE Φ(4) (d = 2),queésunaaltraequaciónolinealimportantala físicaquàntica,unarespostaaaquestesqüestionsestrobaa[14].Enlaforma renormalitzada(coms’hafetperal’equacióKPZa (5.2)),l’equació Φ(4) téla forma ∂t Φ(t,x) = ∂2 x Φ [Φ3 −∞Φ](t,x) + η(t,x), (5.3)

MartaSanz-Solé

onhemeliminatl’exponentde Φ(4) persimplificarlanotació.Mitjançantuna manipulacióespecíficadelterme (Φε)3,obtingutenelprocésd’aproximació de(5.3),s’obtélaSPDEregularitzada

onels C ε tenenexpressionsexplícitesquecompleixen limε→0 C ε =∞.Com enelcasdel’equacióKPZ(vegeu (5.1)),elcàlculdeles C ε ésunexemple derenormalització.Malauradament,elmètodede[14]noespotestendrea dimensions d> 2,nitampocserveixd’inspiracióperatractarl’equacióKPZ. Tanmateix,lesideesde[14]s’hanaplicatperaobtenirdefinicionsrigorosesde solucióperaaltresSPDEs,coml’equaciódeNavier-Stokes,lasine-Gordoniel modeld’Anderson,itambéhaninspiratunapartdelsavençosquedescrivima laproperasecció.

5.2Teoriesgenerals

L’article[17]deMartinHairervamarcarl’inicid’unaetapafascinantimolt fructíferadelarecercasobreequacionsenderivadesparcialsestocàstiques. Perprimeravegadas’estableixquel’equacióKPZestàbenplantejada,quela nociódesolucióproposadaéscoherentamblasoluciódeHopf-Coleiqueés establerespecteaunaclasseàmpliad’aproximacions.

Haireraconsegueixaquestsobjectiusdesenvolupantunametodologiaen dimensióinfinitabasadaen l’anàlisidecaminsirregulars,unateoriaintroduïda perT.J.Lyons[25]ambunenfocamenttrajectorialdelesequacionsdiferencialsestocàstiques.Elsresultatsde[17]vanproporcionarunavalidacióde moltsprogressosanteriorsentorndel’equacióKPZnodeltotjustificats,però, sobretot,[17]vaserlallavord’unanovateoriaoriginalipotent,presentada a[18],la teoriadelesestructuresregulars,perlaqualHairervarebrelaMedalla Fieldsal’InternationalCongressofMathematicians(ICM)2014.

Lateoriadelesestructuresregularstél’objectiuambiciósdedonaruna formulacióadequadadenociódesolució,iestudiar-nelespropietats,pera SPDEsendominisde Rd , d ≥ 1,quecomparteixenl’estructura

Lu = F(u,η), (5.5) on L ésunoperadorparabòlicoel líptic, F ésuntermenolinealquedepèn de u idelessevesderivadesfinsauncertordre,i η ésunsorollaleatori.Les equacionsKPZ (5.2) i Φ(4) (5.3) sóncasosparticularsde (5.5),amb L= ∂t ∂2 x Comalaprimerapartdelasecció5,elplantejamentconsisteixaregularitzarelsoroll η enespaiientempsmitjançantconvolucióambunafamília aproximadora (ϕε),demaneraqueespassade(5.5)a

uε = F ε(uε,ηε). (5.6)

Enelcasdel’equacióKPZ, (5.5) és (5.2) i (5.6) és (5.1).Peral’equació Φ(4) , (5.5) és (5.3) i (5.6) és (5.4).Percoherènciaambl’enunciatdelteorema5(de mésendavant),éspreferibleconsiderarlesversionsrenormalitzadesdeles duesSPDEs.

L

Lateoriadelesestructuresregularspermetdemostrarun«teoremadebon plantejament»peraSPDEscomla (5.5).Centrant-nosenl’equacióKPZ (5.2) i l’equació (5.3),l’enunciat(vagueperòexacte)éselteorema5,onlanotació u (respectivament, uε)s’aplicatantalasoluciódel’equacióKPZcomalade la Φ(4) (respectivament,alessevesregularitzades).

Teorema 5. Existeixenunafamília (C ε,ε> 0),quecompleix limε→∞ C ε =∞,i unprocésestocàstic u talque lim ε→∞ uε = u, localmententemps,enlaconvergènciaenprobabilitat.

Ellímit u ésuniversalenelsentitsegüent:malgratque (C ε) depèndels detallsdelaregularitzaciómitjançantunafamíliaaproximadora ϕε,ellímit u noendepèn.

EnelcasparticulardelesSPDEs (5.2) i (5.1),laconvergènciaenprobabilitat téllocenuncertespaidefuncionsHöldercontínuesconjuntamentenespaii entemps.

Lametodologiadelademostraciódelteorema5(igeneralitzacionsaSPDEs comla(5.2))espotdividirentresetapes(vegeu[18]).

1. Esconstrueix l’estructuraregular quepermetassociarunproblemade puntfixal’equació (5.2).Una estructuraregular ésunobjectealgebraic quefaelpaperquefanelspolinomisenelsdesenvolupamentsdeTaylor, ipermetobtenirelscoeficientsd’untipusdedesenvolupamentdela solucióenunentorndecadapunt (t,x).Aquestprocéstransformalesno linealitatsdelesSPDEsenexpressionsméstractables(omenyssingulars). L’estructuraregulardepèndelaformadelstermesnolinealsdelaSPDE isónfuncionsdelsoroll η.Aquestaetapaté,bàsicament,uncaràcter algebraic.

2. Esresolelproblemadepuntfixformulatenl’etapaanterior.Aquestapart introdueixlaregularitzaciódelaSPDEiésanalítica.

3. Esprocedeixalarenormalitzaciópertaldedonarsentitalslímitsdeles SPDEsregularitzades(quan ε → 0).Enelsexemplesquehemposatabans, aixòesconcretaatrobarels (C ε).Elprocésdepènfortamentdeltipusde soroll η.S’hadedonarunsentitrigorósatotselstermesquenoentenen enelmarcclàssiciidentificar-neelslímitsquan ε → 0.Aquestaetapa finalutilitzatècniquesdelcàlculestocàstic.

Lesetapesalgebraiquesianalítiquesesduenatermemitjançantunacaixa d’einesaplicableaunavarietatdeSPDEs.L’etapaprobabilista,encanvi,esfaa midadelaSPDEqueesconsidera.Tanmateix,ambposterioritatalapublicació de[18],a[10]esdonaunametodologiaperauntractamentsistemàtici automàticperalarenormalitzacióianàlisidelsmomentspelstermesque apareixenenl’etapaprobabilista.

MartaSanz-Solé

Sientréssimméseneldetalldelesaplicacionsdelteorema5aSPDEsno lineals,veuríemquelametodologiadelesestructuresregularsdona(essencialment)unasoluciótrajectorialdesolució,aproximacionsrobustesdeles solucionsiresultatssobrelaregularitatdelasolució.Enparticular,pera l’equacióKPZs’obtéquelasoluciódeHopf-Colecoincideixambl’obtinguda mitjançantaquestateoria.

Entermesmésabstractes,lateoriadelesestructuresregularsreconsideralametodologiadelarenormalitzaciódelafísicailatransformaenuna metodologiaestàndardperseraplicadaaunagammaàmpliad’EDPssingulars. Enparal.lela[18],Gubinelli,ImkelleriPerkowskivandesenvolupara[16]un mètodealternatiualesestructuresregularsbasatenlateoriadelesdistribucionsparacontrolades.Comparatamblesestructuresregulars,aquestmètode tél’avantatgedelasimplicitat,peròésmenyssistemàticielseuàmbitd’aplicacióésmésreduït.Unaexposiciósimplificadaiil lustradaambl’equacióKPZen dimensió d = 1estrobaa[15].

5.3RetornalauniversalitatdelaKPZ

Enaquestapartattornemalaidead’universalitatdel’equacióKPZ,mésdirecta inatural,queestrobaa[24]:

L’equacióKPZs’obtécomalímituniversald’unaclasseàmpliad’interfícies contínuesdemodelsdecreixement.

Gràciesa[17],ladefiniciódel’objecte límit éstotalmentrigorosa,jaquees disposad’unanocióprecisad’existènciaiunicitatdesoluciódel’equacióKPZ. Adiferènciadelesnocionsquehemdonatalasecció4.3,lasolucióde l’equacióKPZsesituaaquícoml’objecteuniversal,ielsprelímitssónmodels decreixementcontinus.

Enelteorema6d’aquestasecciódonemunexemplequepertanyala classe àmplia quesecitaalaformulaciódelaconjectura.Comesmentemenel punt(4)del’observació7,s’handemostratresultatsenlamateixadirecció ensituacionsdiferents,laqualcosaajudaaperfilarl’àmbitdevalidesadela conjectura.

Sigui F : R → R unpolinomiparelldegrau2m.ConsideremlaSPDE

∂t h(t,x) = ∂2 x h(t,x) + ε 1 2 F(∂x h(t,x)) + η(t,x). (5.7)

Si F(x) = x2,aquestaequacióéslaKPZ (2.2) amb ν = σ = 1, λ = 2ε 1 2 .Suposem que x variaenunintervalfitatde R (perfixarlesidees,prenem (0, 2π))ifixem condicionsalavoraperiòdiquesque,persimplificar,suposemnul.les.

Consideremunaregularitzaciódelsoroll η definidadelamanerasegüent.Donadaunafunció ρ : R2 → R regular,ambsuportcompacteitalque R2 ρ(t,x)dtdx = 1,esdefineix ρε(t,x) = ε 3ρ(ε 2t,ε 1x) i ηε = ρε ∗ η,ε> 0

Aplicantl’escalatge hε(t,x) = ε 1 2 h(ε 2t,ε 1x),laSPDE(5.7)estransformaen

Teorema 6 ([19,teorema1.2]). Sigui α

.Definim

x G ∗ ρ)(t,x),

on G denotalafunciódeGreendel’equaciódelacaloren [0, 2π] ambcondicions alavoraperiòdiquesinul.les.Sigui µ0 ladensitatd’unallei N(0,C0).Esdefineix

Aleshores,existeixunaconstant c talque,peratot T> 0,lafamíliadevariables aleatòries (hε(t,x) (ε 1 ˆ λ + c)t,(t,x) ∈ [0,T] × [0, 2π]),ε> 0, convergeixenprobabilitat,al’espaidefuncions Cα([0,T] × [0, 2π]),capala soluciódelaKPZ

t h(t,x) = ∂2 x h(t,x) + λ[∂x h(t,x)]2 + η(t,x). (5.8)

Observació 7.

(1) Lademostraciód’aquestteoremafaservirlateoriadelesestructures regulars[18].

(2) Laconvergènciaenprobabilitatqueesprovaenelteoremaéscapala soluciódeHopf-ColedelaKPZ.Aixònorepresentacaprestricciódonat que,segons[17],lasolucióde (5.8) ésúnicailarepresentaciódeHopf-Cole associadaa(5.8)ésunasolució.

(3) Enl’equacióKPZlímit,elvalordelparàmetremultiplicatiu λ delano linealitatdepèndelafunció F

(4) S’handemostratvariantsigeneralitzacionsdelteorema6.Perexemple, a[20]esconsideraunsoroll η nogaussiài F(x) = x2;a[21]esconsideren funcions F mésgeneralsqueelspolinomis.

Referències

[1] Amir,G.;Corwin,I.;Quastel,J. «Probabilitydistributionofthefree energyofthecontinuumdirectedrandompolymerin1 + 1dimensions». Comm.PureAppl.Math.,64(4)(2011),466–537.

[2] Anderson,G.W.;Guionnet,A.;Zeitouni,O. AnIntroductiontoRandom Matrices.Cambridge:CambridgeUniversityPress,2010.(CambridgeStud. Adv.Math.;118)

[3] Baik,J.;Deift,P.;Johansson,K. «Onthedistributionofthelengthofthe longestincreasingsubsequenceofrandompermutations». J.Amer.Math. Soc.,12(4)(1999),1119–1178.

[4] Balázs,M.;Quastel,J.;Seppäläinen,T. «Fluctuationexponentofthe KPZ/stochasticBurgersequation». J.Amer.Math.Soc.,24(3)(2011), 683–708.

[5] Barabási,A.-L.;Stanley,H.E. FractalConceptsinSurfaceGrowth.Cambridge:CambridgeUniversityPress,1995.

[6] Bertini,L.;Giacomin,G. «StochasticBurgersandKPZequationsfrom particlesystems». Comm.Math.Phys.,183(3)(1997),571–607.

[7] Borodin,A.;Ferrari,P.L.;Prähofer,M.;Sasamoto,T. «Fluctuation propertiesoftheTASEPwithperiodicinitialconfiguration». J.Stat.Phys., 129(5-6)(2007),1055–1080.

[8] Breiman,L. Probability.Reading,Mass.;Londres;DonMills,Ont.:AddisonWesleyPublishingCo.,1968.

[9] Burgers,J.M. TheNonlinearDiffusionEquation.AsymptoticSolutions andStatisticalProblems.Dordrecht,PaïsosBaixos;Boston,EUA:D.Reidel PublishingCompany,1974.

[10] Chandra,A.;Hairer,M. «AnanalyticBPHZtheoremforregularitystructures».Preprint(2016).[Disponibleenlíniaa arXiv:1612.08138v5]

[11] Corwin,I. «TheKardar-Parisi-Zhangequationanduniversalityclass». RandomMatricesTheoryAppl.,1(1)(2012),1130001,76p.

[12] Corwin,I.;Quastel,J.;Remenik,D. «Renormalizationfixedpointofthe KPZuniversalityclass». J.Stat.Phys.,160(4)(2015),815–834.

[13] DalangR.C.;Sanz-Solé,M. StochasticPartialDifferentialEquations, Space-timeWhiteNoiseandRandomFields.Cham,Suïssa:Springer,2026. (SpringerMonographsinMathematics)

[14] DaPrato,G.;Debussche,A. «Strongsolutionstothestochasticquantizationequations». Ann.Probab.,31(4)(2003),1900–1916.

[15] Gubinelli,M. «ApanoramaofsingularSPDEs».A: ProceedingsoftheInternationalCongressofMathematicians—RiodeJaneiro2018.Vol.III.Invited Lectures.Hackensack,NJ:WorldScientificPublishingCo.Pte.Ltd.,2018, 2311–2338.

[16] Gubinelli,M.;Imkeller,P.;Perkowski,N. «Paracontrolleddistributions andsingularPDEs». ForumMath.Pi,3(2015),e6,75p.

[17] Hairer,M. «SolvingtheKPZequation». Ann.ofMath.(2),178(2)(2013), 559–664.

[18] Hairer,M. «Atheoryofregularitystructures». Invent.Math.,198(2) (2014),269–504.

[19] Hairer,M.;Quastel,J. «AclassofgrowthmodelsrescalingtoKPZ». ForumMath.Pi,6(2018),e3,112p.

[20] Hairer,M.;Shen,H. «AcentrallimittheoremfortheKPZequation». Ann. Probab.,45(6B)(2017),4167–4221.

[21] Hairer,M.;Xu,W. «Largescalelimitofinterfacefluctuationmodels». Ann. Probab.,47(6)(2019),3478–3550.

[22] Halperin,B.I.;Hohenberg,P.C.;Ma.S.-K. «Calculationofdynamiccritical propertiesusingWilson’sexpansionmethods». Phys.Rev.Lett.,29(23) (1972),1548–1551.

[23] Johansson,K. «Shapefluctuationsandrandommatrices». Comm.Math. Phys.,209(2)(2000),437–476.

[24] Kardar,M.;Parisi,G.;Zhang,Y.-C. «Dynamicscalingofgrowinginterfaces». Phys.Rev.Lett.,56(9)(1986),889–892.

[25] Lyons,T.J. «Differentialequationsdrivenbyroughsignals». Rev.Mat. Iberoamericana,14(2)(1998),215–310.

[26] Matetski,K.;Quastel,J.;Remenik,D. «TheKPZfixedpoint». ActaMath., 227(1)(2021),115–203.

[27] Mueller,C. «Onthesupportofsolutionstotheheatequationwithnoise». StochasticsStochasticsRep.,37(4)(1991),225–245.

[28] Parisi,G. Lesmeravellesdelssistemescomplexos.Barcelona:AngleEditorial,2023.(Inspira;89)[TraduccióalcatalàdeJoanCassas]

[29] Quastel,J. «IntroductiontoKPZ».A: CurrentDevelopmentsinMathematics,2011.Somerville,MA:InternationalPress,2012,125–194.

[30] Quastel,J. «IntegrablePDE’sforrandomgrowth».A: ProceedingsECM 2024.Berlín:EMSPress.[Enpremsa]

[31] Quastel,J.;Remenik,D. «Airyprocessesandvariationalproblems».A: TopicsinPercolativeandDisorderedSystems.NovaYork:Springer,2014, 121–171.(SpringerProc.Math.Stat.;69)

[32] Remenik,D. «IntegrablefluctuationsintheKPZuniversalityclass».A: ICM—InternationalCongressofMathematicians.Vol.6.Sections12–14. Berlín:EMSPress,2023,4426–4450.

[33] Sasamoto,T. «Spatialcorrelationsofthe1DKPZsurfaceonaflatsubstrate». J.Phys.A,38(33)(2005),L549–L556.

[34] Sasamoto,T.;Spohn,H. «ExactheightdistributionsfortheKPZequation withnarrowwedgeinitialcondition». NuclearPhys.B,834(3)(2010), 523–542.

[35] Seppäläinen,T. «Stronglawoflargenumbersfortheinterfaceinballistic deposition». Ann.Inst.H.PoincaréProbab.Statist.,36(6)(2000),691–736.

[36] Triebel,H. Theoryoffunctionspaces.II. Basilea:BirkhäuserVerlag,1992. (Monogr.Math.;84)

[37] Virág,B. «TheheatandthelandscapeI».Preprint(2020).[Disponibleen líniaa arXiv:2008.07241v1]

[38] Wilkinson,D.R.;Edwards,S.F. «Spontaneousinterparticlepercolation». Proc.Roy.Soc.LondonSer.A,381(1780)(1982),33–51.

[39] Wu,X. «TheKPZequationandthedirectedlandscape».Preprint(2023). [Disponibleenlíniaa arXiv:2301.00547v3]

DepartamentdeMatemàtiquesiInformàtica UniversitatdeBarcelona GranViadelesCortsCatalanes 585

Institutd’EstudisCatalans ReialAcadèmiadeCiènciesiArtsdeBarcelona marta.sanz@ub.edu

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.40,núm.1-2,2025–2025.Pàg.171–173

Englishsummaries

AriadnaFarrésandÀngelJorba

Spacemissions,solarsails,anddynamicalsystems

Asolarsailisapropulsionmethodforspacecraftconsistingofalargesurfacemadeofoneormoreverylightreflectivesheets,capableofharnessing theradiationpressureofsolarlighttogainmomentum.Althoughtheforce obtainedinthiswayissmall,itscumulativeactionovertimecanbeverylarge. Inthisarticle,wewillshowhowdynamicalsystemsareusedtostudysolarsail missions.

Keywords: invariantmanifolds,solarsails,equilibriumpoints,periodicorbits, control.

MSC2020SubjectClassification: 37J15,65P30,70F07.

DeliaGarijoandRodrigoI.Silveira

Distanceproblemsoncontinuousgraphs

Thestudyofparametersassociatedwithdistancesiscentralingraphtheory, duetobothitstheoreticalinterestanditsmanyapplications.Traditionally,the problemsunderstudydealwithdistancesbetweentheverticesofthegraph, butoverthepastdecade,therehasbeenagrowinginterestinexploringa continuousversionofmanyoftheseproblems.Inthediscreteversion,graph edgesarepairsofvertices,whereasinthecontinuousversiontheyareinfinite setsofpointsforminglinesegments.Asaresult,thenumberofpossible distancesbecomesinfinite,evenwhenthenumberofverticesisfinite.This workaimstoprovideanoverviewofrecentworkondistanceproblemson

continuousgraphs,suchasdiameterandmeandistance,amongothers.We willfocusontheeffectsoftransferringbasicgraphnotionsfromthediscrete tothecontinuoussetting,bothattheconceptualandalgorithmiclevels.

Keywords: graphtheory,computationalgeometry,diameter,meandistance, Borsuknumber.

MSC2020SubjectClassification: 05C10,05C85,68R10,68Q25.

JavierJ.Gutiérrez

Higher-orderhomotopystructures:infinity-operadsanddendroidalsets

Inalgebraictopologyandrelatedfields,structuresoftenarisewhereclassical equalitiesarerelaxedandholdonlyuptohomotopy,inacoherentmanner. Thisphenomenonmanifests,forexample,whendescribingsystemsofmultipleoperationsthatarenotstrictlyassociative,butratherassociativeupto homotopy.

Infinity-operadsprovideasuitableconceptualframeworkforformalizing thesesituations.Dendroidalsets,introducedbyMoerdijkandWeiss,offera particularlyusefulcombinatorialmodelforstudyingthem,generalizingthe rolethatsimplicialsetsplayinthetheoryofinfinity-categories.

Inthisarticle,wepresentanintroductiontodendroidalsetsandtheir relationshipwithinfinity-operads,aimingtoprovideaglobaloverviewofthe subjectanditssignificancewithinalgebraictopology.Theopeningsectionsare designedtoofferaconceptualapproachforthenon-expertreader,whilethe finalpartscontainmoretechnicaldevelopmentsintendedforreadersfamiliar withthetoolsofabstracthomotopyandmodelcategories.

Keywords: simplicialset, ∞-category,dendroidalset,operad, ∞-operad.

MSC2020SubjectClassification: 18G30,18D50,55U35.

JaumedeHaro

InEinstein’sshadow:historyandrereadingofGeneralRelativity

Inthiswork,wepresenttwocomplementaryperspectivesonGeneralRelativity. First,weofferameticuloushistoricalreadingthatreviewsthekeypoints—often overlookedorinsufficientlydocumented,thatledEinsteinthroughthelong processculminatinginthefinalfieldequationsinNovember1915.Second,we

proposeanalternativepath,detachedfromRiemanniangeometry,basedexclusivelyontheextensionofFermat’sPrincipletomaterialparticles,Galileanfree fall,andLorentzinvariance.Thisconceptualpath,whichEinsteincouldhave followedasearlyas1912,allowsforanaturalformulationoftheweak-field regimewithouttheneedforthefullgeometricframework.Furthermore,based ontheresultingstructureofthelinearizedequations,itdemonstratesthat theonlycoherentextensiontostrongfieldsispreciselytheoneinvolvingthe Riccitensor,inaccordancewiththeconditionsofLovelock’stheorem.Thus,in theweak-fielddomain,gravitationaldynamicscanbereinterpretedinaclear andeconomicalmannerwithoutinitiallyresortingtocurvature,whileuniquely recoveringEinstein’stheorywhennon-linearconsistencyisrequired.

Keywords: EquivalencePrinciple,holeargument,propertime,Lorentztransformation.

MSC2020SubjectClassification: 01A60,83C05,83C99.

MartaSanz-Solé

TheuniversalroleoftheKPZequation

OneofthedefiningcharacteristicsofBrownianmotionisitscentrality,or universality,understoodasthepropertyofarisingasthescalinglimitofa broadclassofstochasticprocesses.BeyondBrownianmotion,inthesearchfor amathematicalmodeltodescribetheinterfacesofgrowthprocesses,another randomprocessemerged,governedbythestochasticpartialdifferentialequationknownastheKPZequation.SimilarlytoBrownianmotion,thisprocess alsoexhibitsauniversalcharacter;however,itpossessesdifferentstatistical propertiesandpresentsgreaterconceptualchallenges.Thisarticleprovides anintroductiontotheKPZequation,focusingontwointertwinedthemes:the peculiarfeaturesoftheequationitselfanditsuniversalcharacter.Bothissues havedrivenresearchinstochasticanalysisoverthepastthirtyyearsandhave convergedinthedevelopmentofarobusttheoryofnonlinearstochasticpartial differentialequations,aswellasinanadvancedphysicalunderstandingofthe KPZuniversalityclass,conjecturedintheseminalarticle[24].

Keywords: universality,stochasticpartialdifferentialequations,randomdepositionmodels,KPZequation.

MSC2020SubjectClassification: 60H15,60H17,81S20,82C28.

Instruccionsperalsautors

Elsarticlessotmesosapublicaciós’hand’enviaralseditorsoaqualsevol membredelcomitèeditorialpercorreuelectrònic,preferentmentenformat PDF.Elsoriginalshandecontenirlaversióanglesadeltítol,unresumbreuen catalàienanglès,paraulesclauencatalàienanglèsielscodisdelaclassificació permatèriesMSC2020.

Lesversionsdefinitivesdelsarticlesacceptatss’handepresentarencodiTEX, preferentmentenl’estilLATEXpropidel butlletí.Aquestestilespotobtenira lespàgineswebdelaSocietatCatalanadeMatemàtiques(SCM).Esrecomana unaextensiód’entre15i35pàgines.Femnotarqueenaquestapublicació s’utilitzapreferentmentelpuntperaseparardecimals,enllocdelacoma recomanadaperl’IEC,perapoderfacilitarlacomprensiódelesexpressions matemàtiques.Pertald’accelerarelprocésdeproducció,espregaalsautors quesegueixinlesindicacionscontingudeseneldocumentd’exemple.

Laversióenpaperdel butlletí s’imprimeixenblancinegre.Quanunarticle continguifiguresencoloriesconsidericonvenient,l’autorproporcionaràuna versiódelsgràficssubstituintelcolorpertonsdegrisosilíniesdegruix variable.Aixímateix,modificaràelscomentarisquefacinreferènciaalcolorde lesfigures.Enqualsevolcas,el butlletí publicaràl’originalencolorenelseu formatelectrònic.

Lapropietatintel.lectualdelsarticlesésdelsrespectiusautors.

Elsautors,enelmomentdelliurarelsarticlesal butlletí perasol licitar-ne lapublicació,acceptenelstermessegüents:

—ElsautorscedeixenalaSCM(filialdel’Institutd’EstudisCatalans)els dretsdereproducció,comunicaciópúblicaidistribuciódelsarticlespresentats peraserpublicatsal butlletí

—ElsautorsresponendavantlaSCMdel’autoriail’originalitatdelsarticles presentats.

—Ésresponsabilitatdelsautorsl’obtenciódelspermisosperalareproducciódetotelmaterialgràficinclòsenelsarticles.

—LaSCMestàexemptadetotaresponsabilitatderivadadel’eventual vulneraciódedretsdepropietatintel lectualperpartdelsautors.

CadaautorrebràunacòpiaenPDFd’altaqualitatdelaversiódigitaldelseu articleiunexemplarimprèsdelnúmerodel butlletí enelqualespubliqui.

Lacorrespondènciaadministrativarelacionadaambel butlletí s’had’adreçaralaSCM.

Pelquefaalaprotecciódedadespersonals,l’Institutd’EstudisCatalans(IEC) compleixelqueestableixelReglamentgeneraldeprotecciódedadesdelaUnió Europea(Reglament2016/679,del27d’abrilde2016).Deconformitatamb aquestanorma,s’informaque,ambl’acceptaciódelesnormesdepublicació, elsautorsautoritzenquelessevesdadespersonals(nomicognoms,dadesde contacteidadesdefiliació)puguinserpublicadesenelcorresponentvolum del butlletí

Aquestesdadesseranincorporadesauntractamentqueésresponsabilitat del’IECamblafinalitatdegestionaraquestapublicació.Únicaments’utilitzaranlesdadesdelsautorsperagestionarlapublicaciódel butlletí ino serancedidesatercers,niesproduirantransferènciesatercerspaïsosoorganitzacionsinternacionals.Uncoppublicatel butlletí,aquestesdadeses conservarancomapartdelregistrehistòricd’autors.Elsautorspodenexercir elsdretsd’accés,rectificació,supressió,oposició,limitacióeneltractament iportabilitat,adreçant-seperescrital’Institutd’EstudisCatalans(carrerdel Carme,47,08001Barcelona),obéenviantuncorreuelectrònical’adreça dades.personals@iec.cat,enquès’especifiquidequinapublicacióestracta.

Comitèeditorial

AntoniGuillamon(editorencap) DepartamentdeMatemàtiques UniversitatPolitècnicadeCatalunya antoni.guillamon@upc.edu

RosaCamps(editoraadjunta)

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatAutònomadeBarcelona rosa.camps@uab.cat

FrancescPlanas(editoradjunt)

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatPolitècnicadeCatalunya francesc.planas@upc.edu

MaríaJesúsÁlvarez

Dep.deMatemàtiquesiInformàtica UniversitatdelesIllesBalears chus.alvarez@uib.es

CarmeCascante

Dep.deMatemàtiquesiInformàtica UniversitatdeBarcelona cascante@ub.edu

BartomeuColl

Dep.deMatemàtiquesiInformàtica UniversitatdelesIllesBalears tomeu.coll@uib.cat

SílviaCuadrado

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatAutònomadeBarcelona silvia.cuadrado@uab.cat

NúriaFagella

Dep.deMatemàtiquesiInformàtica UniversitatdeBarcelona fagella@maia.ub.es

ArmengolGasull

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatAutònomadeBarcelona armengol.gasull@uab.cat

GáborLugosi

ICREAiDepartamentd’Economia UniversitatPompeuFabra gabor.lugosi@upf.edu

MarcNoy

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatPolitècnicadeCatalunya marc.noy@upc.edu

LluísQuer

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatAutònomadeBarcelona lluis.quer@uab.cat

JoanSaldaña

Dep.d’Informàtica,Mat.AplicadaiEstadística UniversitatdeGirona joan.saldana@udg.edu

MartaSanz-Solé

Dep.deMatemàtiquesiInformàtica UniversitatdeBarcelona marta.sanz@ub.edu

GilSolanes

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatAutònomadeBarcelona gil.solanes@uab.cat

Enelperíodedecomposiciód’aquestvolum,MaríaJesúsÁlvarez,SílviaCuadradoiLluísQuer s’hanincorporatalcomitèeditorial,mentrequeRosaCamps,BartomeuColl,ArmengolGasulli MartaSanz-Solén’hansortit.Volemagrairprofundamentelserveial butlletí delsmembres sortints,queenalgunscasosesremuntamésdevintanysenrere,i,enespecial,alaRosaCamps, quehadesenvolupatlatascad’editoraadjuntadurantmésdetretzeanys.

SocietatCatalanadeMatemàtiques

La SocietatCatalanadeMatemàtiques(SCM) ésunasocietatfilialdel’Institutd’EstudisCatalansquecontinualesactivitatsdelaSecciódeMatemàtiques delaSocietatCatalanadeCiències,quefoufundadaperl’Institutl’any1931. Lesfinalitatsdela SCM són:elconreudelesciènciesmatemàtiques,l’extensió delseuconeixementenlasocietatcatalana,elfomentdelseuensenyament idelasevainvestigacióteòricaiaplicada,aixícomlapublicaciódetotamena detreballsques’adeqüinaaquestsobjectius.La SCM desenvolupalesseves activitatsenlesterresdellenguaiculturacatalanes.Elcatalàés,doncs,la llenguapròpiadela SCM ilaqueésusadanormalmententotselsseusactesi publicacions.

La SCM editalespublicacionsperiòdiques SCM/Notícies, ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques, NouBiaix (encol laboracióamblaFEEMCAT)i Reports@SCM.Elssocisdela SCM reben,gratuïtament,aquestespublicacions.

La SCM téconvenisdereciprocitatambdiversessocietatsmatemàtiques d’arreudelmón,mitjançantelsqualselssocisdela SCM obtenenunareduccióenlaquotadesocid’aquestessocietats.Aixímateix,elssocisdela SCM podenfer-sesocisdelaSocietatMatemàticaEuropeapagantunaquota complementària.

LaJuntaDirectivadela SCM estàconstituïdaperlespersonessegüents:

Presidenta:MontserratAlsinaiAubach

Vicepresident:JosepVivesiSanta-Eulàlia

Secretària:MargaridaMitjanaiRiera

Tresorer:AlbertGranadosiCorsellas

Vocals:ClaraMateoCampo,AinoaMurilloLópez,AlbertRuizCirera, DavidVirgiliCorreas

Delegatdel’IEC:JoaquimBrunaiFloris

L’adreçadela SCM éscarrerdelCarme,47,08001Barcelona.Telèfon: 933248583.Fax:932701180.Correuelectrònic: scm@iec.cat.Adreçaweb: https://scm.iec.cat