de sólidos, fractura de sólidos, flujo de fluidos, transferencia térmica, etc., es modelado con un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales con sus condiciones de borde y sus condiciones iniciales si el problema es evolutivo. Estos sistemas, en general, no pueden ser resueltos analíticamente y se debe recurrir a soluciones aproximadas utilizando métodos numéricos [5]. En nuestro caso, utilizamos el método de elementos finitos (MEF). No es el objetivo de este trabajo desarrollar las bases del MEF, para ello el lector interesado puede recurrir, entre otros libros de texto, a [3] o [6] y a los cursos que se dictan en la FIUBA3 . En el MEF, el problema se discretiza dividiendo el dominio del problema diferencial en elementos y estos elementos tienen un número variable de nodos. En la figura 3 mostramos un ejemplo de modelado de sólidos 3D.
Fig. 1: Esquema del proceso de fractura hidráulica2.
Los desplazamientos, según las tres direcciones coordenadas, se interpolan como: (01)
Donde es el número de nodos y las son las funciones de interpolación, las propiedades fundamentales de estas funciones de interpolación son [3] [6]: (02)
de las definiciones anteriores surge que el parámetro es el desplazamientos del nodo k en la dirección i. Las funciones son construidas de forma que los desplazamientos entre elementos sean continuos. Las deformaciones y tensiones no son necesariamente continuas y los saltos interelementales de deformaciones/tensiones son usados como indicadores de error [3]. Para poder interpolar exactamente movimientos rígidos y los estados de deformación constante, las funciones de forma de los nodos correspondientes a cada elemento (e) satisfacen la ecuación:
Fig. 2: Resolución utilizando un modelo lineal y uno nolineal.
(03)
Siendo .
el número de nodos del elemento
1
El shale o roca de esquisto es una formación sedimentaria que contiene gas y petróleo.
2
https://sites.google.com/site/ernestogmsite/articulos-y-ensayos/ energia/fracking
3
Introducción al MEF, Mecánica Continuo, MEF Avanzados en Sólidos, MEF Avanzados en CFD.
Fig. 3: Sólido cilíndrico modelado con elementos finitos.