Estatica

ESTÁTICA

ING. LUIS ALBERTO BALLENA RENTERÍA

ÍNDICE ÍNDICE……………………... …………………………………………………………….…….2 PRESENTACIÓN………………………………………………………………………………5 INTRODUCCIÓN…………………………….…………………………………………………6 CAPÍTULO I: INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA 1.1

Definición……………………………………………………….………………………7

1.2

Conceptos y principios fundamentales……………………………………………...9

1.3

Sistemas de unidades. conversión de un sistema de unidades a otro…………12

CAPÍTULO II: VECTORES FUERZAS 2.1

Escalares y Vectores……………………………………………………………...…17

2.2

Operaciones Vectoriales………………………………………………………….…17

2.3

Vectores Cartesianos………………………………………………………………..21

2.4

Vectores de Posición.........................................................................................24

2.5

Producto Punto………………………………………………………………………25

CAPÍTULO III: EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA 3.1

Definición………………………………………………………..……………………26

3.2

Condiciones para el Equilibrio de una Partícula…………………………………26

3.3

El Diagrama de Cuerpo Libre……………………………………….……………..26

3.4

Resortes………………………………………………………………..…………….26

3.5

Sistemas de Fuerzas Coplanares…………………………………………………27

3.6

Sistemas Tridimensionales de Fuerzas…………………………………………..27

CAPÍTULO IV: CUERPOS RÍGIDOS–SISTEMAS EQUIVALENTES DE FUERZA 4.1

Definición……………………………………………………………………..…...….28

4.2

Momento de una Fuerza: Formulación Escalar y Vectorial……………………..28

4.3

Principio de los Momentos o Teorema de Varignon……………….…………….30

4.4

Momento de una Fuerza respecto a un Eje……………………….……………..30

CAPÍTULO V: EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS 5.1

Definición…………………………………………………………………..……..…..31

5.2

Condiciones para el Equilibrio de un Cuerpo Rígido y Ecuaciones……………31

5.3

Equilibrio en Dos Dimensiones ………………………………………….…….…..32

3 5.4

Equilibrio en Tres Dimensiones ……………………………………………………34

CAPÍTULO VI: FUERZAS DISTRIBUIDAS: CENTROIDE Y CENTRO DE GRAVEDAD 6.1

Definición……………………………………………………………………………...36

6.2

Centro de Gravedad y Centro de Masa para un Sistema de Partículas……….36 6.2.1 Centro de Gravedad………………………………………………….…..…36 6.2.2 Centro de Masa……………………………………………………..……….37

6.3

Centro de Gravedad, Centro y Centroide para un Cuerpo………………..….....37 6.3.1 Centro de Gravedad…………………………………………………..…….37 6.3.2 Centroides de Volúmenes, Superficies y Líneas………………….……..38

6.4

Teoremas de Pappus y Guldinus……………………………………….…….……40 6.4.1 Teorema 1: Área de una Superficie……………………………….………40 6.4.2 Teorema 2: Volumen de una Superficie………………………….……….40

6.5

Cargas Normales Distribuidas………………………………………………..…….41 6.5.1 Caso General………………………………………………………...………41 6.5.2 Cargas Normales sobre Superficies Planas……………………..……….42 6.5.3 Cargas Distribuidas………………………………………………...……….43 6.5.4 Presión Uniforme sobre Superficies Curvas……………………….…..…44 6.5.5 Presión de Líquidos……………………………………………………...….45

CAPÍTULO VII: ANÁLISIS ESTRUCTURAL 7.1

Definición………………………………………………………………………….…..46

7.2

Armaduras………………………………………………………………….…………46 7.2.1 Método de los Nudos………………………………………………………..47 7.2.2 Método de las Secciones………………………………………………......48

7.3

Armazones…………………………………………………………………………...49

7.4

Máquinas………………………………………………………………………..….…50

CAPÍTULO VIII: FUERZAS INTERIORES EN MIEMBROS ESTRUCTURALES 8.1

Definición….………………………………………………………..…………………51

8.2

Viga……………………………………………………………….……………………51 8.2.1 Tipos de Vigas Estáticamente Determinadas……………….……………51 8.2.2 Ttipos de Vigas Estáticamente Indeterminadas…………….……………53

4 8.2.3 Tipos de Cargas…………………………………………………………..…53 8.2.4 Fuerza Cortante (V)…………………………………………………………54 8.2.5 Momento Flector (M)………………………………….……………….……55 8.2.6 Criterio de Signos de la Fuerza Cortante y el Momento Flexionante….56 8.2.7 Ecuaciones de la Fuerza Cortante y el Momento Flexionante………....56 8.2.8 Diagramas de la Fuerza Cortante y el Momento Flexionante…………..57 8.2.9 Relación entre la Fuerza Cortante y el Momento Flexionante…….……57 CAPÍTULO IX: ROZAMIENTO 9.1

Definición de Rozamiento…………………………..……….…………….58

9.2

Tipos de Fricción……………………………………..……….……………..58 9.2.1 El Rozamiento Fluido……………………….….………………..…58 9.2.2 El Rozamiento Seco…………………………….………………….59

9.3

Teoría de Coulomb sobre la Fricción Seca………………………………59 9.3.1 Caso Estático………………………………………….…………….59 9.3.2 Caso del Deslizamiento Inminente………………………………..59 9.3.3 Caso Dinámico…………………………………………….………..60 9.3.4 Análisis Adicional de la Fricción de Coulomb……………......….61

9.4

Angulo de Fricción; Cuñas y Tornillos………………………………...….62 9.4.1

Angulo de Fricción………………………………………………….62

9.4.2

Cuñas………………………………………………………………..64

9.4.3

Tornillos de Rosca Cuadrada………………………………….….65

9.4.4

Cuerdas y Bandas Planas…………………………………………66

CAPÍTULO X: MOMENTO DE INERCIA 10.1

Definición de Momento de Inercia……………………………….………..67

10.2

Determinación del Momento de Inercia de un Área……………………..68

10.3

Momento de Inercia de Áreas Conocidas:………….……………………69

10.4

Radio de Giro de un Área………………………………………………….70

10.5

Teorema de los Ejes Paralelos o Teorema de Steiner………………….70

10.6

Momentos de Inercia de Áreas Compuestas…………………….………71

BIBLIOGRAFIA……………………….………………………………………….……73 ANEXOS Anexo 1: Propiedades de Secciones de Acero Laminado………………………. 74

5 PRESENTACIÓN

La Estática, es un curso básico que forma parte de la formación de los estudiantes de Ingeniería Civil Ambiental; y representa el eje fundamental de la disciplina de Estructura. Constituye la base de muchas áreas de la ingeniería y es por lo tanto esencial para la formación del ingeniero civil. El dominio de los temas de este curso,

requiere un claro entendimiento de los

principios y experiencia en la aplicación de un amplio rango de situaciones. El curso se inicia con el desarrollo del estudio a la introducción a la mecánica para ingenieros, los conceptos y principios fundamentales; se hace un breve repaso del sistema de unidades, y la conversión de un sistema de unidades a otro. El estudio de la Estática introduce los conceptos de fuerzas, momento y equilibrio; además, se estudia los conceptos de centroides, segundos momentos del área, análisis estructural, fuerzas internas y momentos en vigas. Así mismo, se estudia el concepto de fricción seca con aplicaciones a las cuñas, bandas y mecanismos comunes.

6 INTRODUCCIÓN

El estudio de la Estática suele ser el primero dentro del área de la mecánica clásica, debido a que los procedimientos implicados suelen usarse a lo largo de los demás cursos de ingeniería civil ambiental. Resulta de aplicación en ingeniería estructural y construcción, siempre que se quiera construir una estructura fija. Para el análisis de una estructura en movimiento es necesario considerar la aceleración de las partes y las fuerzas resultantes. Este material de estudio, pretende facilitar al estudiante los conocimientos básicos teóricos y prácticos, de la mecánica para ingenieros en la parte de la Estática. Dentro de las competencias a alcanzar, tenemos que el estudiante: -

Domina las tres leyes de movimiento de Newton reconociendo su amplia aplicación en la ingeniería, mostrando interés y respetando la opinión del resto de sus compañeros.

Analiza e interpreta el equilibrio de partículas y cuerpos rígidos haciendo uso del álgebra vectorial de una manera rápida, interesada y dispuesta al trabajo en equipo.

Define la ubicación plana y espacial del centroide de figuras y sólidos, momentos de inercia denotando practicidad y agudeza.

Analiza estructuras, vigas y cables utilizando los métodos estándar haciendo uso de orden, disciplina e interés por el tema.

CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA

1.1

DEFINICIÓN

La Mecánica se puede definir como la ciencia que describe y predice las condiciones de reposo o movimiento de los cuerpos bajo la acción de las fuerzas. La Estática, es la parte de la mecánica que analiza condiciones de equilibrio de un cuerpo, partícula o sistema de partículas, se basa en las leyes de la fuerza y del movimiento de Newton, que las conocemos como “Leyes de Newton”

Figura 1: División de la Mecánica

Figura 2: Diagrama conceptual de la Estรกtica

9 1.2

CONCEPTOS Y PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

Existen varias definiciones y conceptos que son fundamentales para el estudio de la mecánica y que deben comprenderse desde el principio. Las cuatro cantidades siguientes se utilizan en el equilibrio: Longitud.- La Longitud es necesaria para localizar la posición de un punto en el espacio y así describir el tamaño de un sistema físico. Tiempo.- El Tiempo es concebido como una sucesión de eventos. Masa.- La Masa es una propiedad de la materia por medio de la cual es posible comparar la acción de un cuerpo con la de otro. Fuerza.- La Fuerza es considerada como un “empuje” o un “jalon” ejercido por un cuerpo sobre otro. Esta interacción puede ocurrir cuando existe un contacto directo entre los cuerpos, por ejemplo, una persona empujando sobre una pared. Una fuerza se caracteriza por su magnitud, dirección y punto de aplicación.

Idealizaciones básicas: Los modelos o idealizaciones, se usan en mecánica para simplificar la aplicación de la teoría. Partícula.- Es el modelo matemático de un punto de masa. No tiene dimensiones pero si tiene masa, y su posición se puede especificar en el espacio. Por ejemplo, el tamaño de la Tierra es insignificante comparado con el tamaño de su órbita, y por lo tanto la Tierra se puede tomar como una partícula cuando se estudia su movimiento orbital en un modelo. Cuerpo Rígido.- Es un modelo matemático de un cuerpo material o de un sistema de partículas en el cual la distancia entre dos puntos masa cualesquiera permanece constante. En otras palabras, un cuerpo rígido es un sistema tal que el cambio de distancia entre dos cualesquiera de sus partículas, entendido como deformación, no tiene lugar. Fuerza concentrada.- Una fuerza concentrada representa el efecto de una carga que se supone está actuando en un punto sobre un cuerpo. Ej. La fuerza de contacto entre una rueda y el terreno.

10 Leyes del Movimiento de Newton: El tema de la mecánica del cuerpo rígido está formulado con base en las tres leyes del movimiento de Newton. Fueron formuladas por Sir Isaac Newton a finales del siglo XVII y pueden enunciarse como sigue: Primera Ley de Newton o Ley de Inercia.- Todo cuerpo material continúa en estado de reposo o de movimiento uniforme, a menos que se le someta a cambiar ese estado, como consecuencia de la acción de fuerzas que se le impongan. La resistencia al cambio de estado de movimiento, o de reposo, es una propiedad de la materia que se denomina inercia.

Figura 3: Primera Ley de Newton o Ley de Inercia

Segunda Ley de Newton o Ley del Movimiento.- Una partícula sobre la que actúa una fuerza desbalanceada F experimenta una aceleración a que tiene el mismo sentido que la fuerza y una magnitud que es directamente proporcional a la fuerza. F = ma (La fuerza que actúa sobre un cuerpo es directamente proporcional a su aceleración).

Figura 4: Segunda Ley de Newton o Ley del Movimiento

11 Tercera Ley o Ley de Acción y Reacción.- Las fuerzas mutuas de acción y reacción entre dos partículas son iguales, opuestas y colineales. Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, éste ejerce sobre el primero una fuerza igual y de sentido opuesto.

Figura 5: Tercera Ley de Newton o Ley de Acción y Reacción.

La Ley de Gravitación Universal de Newton: La Ley de la Gravitación Universal es una ley física clásica que describe la interacción gravitatoria entre distintos cuerpos con masa. Ésta fue presentada por Isaac Newton en su libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicado en 1687, donde establece por primera vez una relación cuantitativa (deducida empíricamente de la observación) de la fuerza con que se atraen dos objetos con masa. Así, Newton dedujo que la fuerza con que se atraen dos cuerpos de diferente masa únicamente depende del valor de sus masas y de la distancia que los separa. También se observa que dicha fuerza actúa de tal forma que es como si toda la masa de cada uno de los cuerpos estuviese concentrada únicamente en su centro, es decir, es como si dichos objetos fuesen únicamente un punto, lo cual permite reducir enormemente la complejidad de las interacciones entre cuerpos complejos.

Figura 6: La Ley de Gravitación Universal de Newton

Expresando lo anterior en términos formales, esta ley establece que la fuerza que ejerce un objeto dado con masa m1 sobre otro con masa m2 es directamente proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa: Poniendo lo anterior en una fórmula, tenemos:

Donde: es el módulo de la fuerza ejercida entre ambos cuerpos, y su dirección se encuentra en el eje que une ambos cuerpos. es la constante de la Gravitación Universal. G = (6.67428 + 0.00067) x 10 -11 N m2 kg -2, en unidades del sistema internacional. y

son las masas de los dos objetos,

es la distancia que separa sus centros de gravedad.

1.3

SISTEMAS DE UNIDADES. CONVERSIÓN DE UN SISTEMA DE UNIDADES

A OTRO Las cuatro cantidades básicas: fuerza, masa, longitud y tiempo, no son todas independientes una de otra; de hecho están relacionadas por la segunda ley de Newton; F = m.a. Debido a esto en general una unidad de medida toma su valor a partir de un patrón o de una composición de otras unidades.

13 Las primeras se denominan unidades básicas y las segundas son unidades derivadas. Todas las unidades denotan cantidades escalares. En el caso de las magnitudes vectoriales, se interpreta que cada una de las componentes está expresada en la unidad indicada. El sistema Internacional de Unidades (SI) es la versión moderna del sistema métrico que ha recibido reconocimiento mundial. Como se muestra en la tabla 1, El SI especifica la longitud en metros (m), el tiempo en segundos (s) y la masa en kilogramos (Kg). La unidad de fuerza, llamada newton (N), se deriva de F = m.a. Así, un newton es igual a una fuerza requerida para dar a 1 Kg de masa una aceleración de 1 m/s² (N=Kg.m/s².) Si el peso de un cuerpo situado en la ubicación estándar va a ser determinado en newtons, entonces debe aplicarse la ecuación. Aquí g = 9.80665m/s², sin embargo para los cálculos se usará el valor g =9.81 m/s2 entonces: W=m.g (g=9.81 m/s²)

CANTIDAD

UNIDAD

SÍMBOLO

FÓRMULA

Aceleración

Metro por segundo al cuadrado

…

m / s2

Ángulo

Radián

rad

Aceleración angular

Radián por segundo al cuadrado

…

rad / s2

Velocidad angular

Radián por segundo

…

rad / s

Área

Metro cuadrado

…

Densidad

Kilogramo por metro cúbico

…

kg / m3

Energía

Joule

N.m

Fuerza

Newton

Kg. m / s2

Frecuencia

Hertz

s-1

Impulso

Newton – segundo

…

Kg. m / s

Longitud

Metro

Masa

Kilogramo

Momento de una fuerza

Newton – metro

…

N. m

Potencia

Watt

J/s

Presión

Pascal

N / m2

Esfuerzo

Pascal

N / m2

Tiempo

Segundo

Velocidad

Metro por segundo

...

m/s

Sólidos

Metro cúbico

...

Líquidos

Litro

10-3 m3

N.m

Volumen

Trabajo

Joule

Tabla 1: Principales unidades en el SI usadas en la mecánica

14 En Estados Unidos, en el sistema de unidades empleado comúnmente (FPS) la longitud se mide en pies (ft), la fuerza en libras (lb) y el tiempo en segundos (s), tabla 2. La unidad de masa llamada slug es derivada de F = m.a. Por lo tanto un slug es igual a la cantidad de materia que es acelerada a 1 pie/s² cuando actúa sobre ella una fuerza de 1 lb (slug=lb.s²/pies).

NOMBRE

LONGITUD

TIEMPO

MASA

FUERZA

Sistema

Metro

Segundo

Kilogramo

Newton (N)

(m)

(s)

(kg)

Pie

Segundo

Slug

Libra

(ft)

(s)

(lb.s²/ft)

(lb)

internacional de

(kg.m/s²)

unidades (SI)

Sistema de unidades en Estados Unidos (FPS)

Tabla 2: Sistemas de Unidades

Conversión de unidades. La tabla 3 proporciona un conjunto de factores de conversión directa entre unidades FPS y SI para las cantidades básicas .Recuérdese que además, en el sistema FPS 1pie = 12 pulg. (Pulgada), 5280 pies = 1mi (milla), 1000lb =1kip (kilo- pound) y 2000 lb. =1 ton (tonelada).

CANTIDAD

UNIDAD DE MEDICIÓN (FPS)

FUERZA

4.448 2 N

MASA

slug

14.593 8 Kg

LONGITUD

0.304 8m

IGUAL A

UNIDAD DE MEDICIÓN (SI)

Tabla 3: Factores de conversión de FPS a SI

15 Considerando al SI como sistema estándar mundial de medidas, se deben conocer las reglas para su uso y parte de la terminología que es importante en la mecánica. Prefijos y aplicación: cuando una cantidad numérica es muy grande o muy pequeña, las unidades usadas para definir su tamaño pueden ser modificadas mediante un prefijo, algunos de estos se muestran en la tabla 4.

MÚLTIPLO

FORMA

PREFIJO

SIMBOLO SI

EXPONENCIAL

1 000 000 000

109

giga

1 000 000

106

mega

1 000

103

kilo

FORMA

PREFIJO

SIMBOLO

SUBMÚLTIPLOS

EXPONENCIAL

0.001

10-3

mili

0.000 001

10-6

micro

0.000 000 001

10-9

nano

Tabla 4: Múltiplos y submúltiplos

Una cifra significativa es cualquier dígito, incluido el cero, siempre que no se use para especificar la posición del punto decimal para el número. Ej. Los números 18678, 44678 y 139.12 tienen cada uno cinco cifras significativas. Cuando los números empiezan o terminan con ceros, es difícil decir cuántas cifras contienen. El número 800 ¿Tiene una (8), dos (80), o tres (800) cifras significativas? Para solucionar éste problema, el número debe ser reportado usando potencias de 10. Usando la notación de ingeniería, el exponente es exhibido en múltiplos de tres para facilitar la conversión de unidades SI a unidades con un prefijo apropiado. Así, 800,

16 expresado con una cifra significativa, sería 0.8 (10³). Igualmente, 8300 y 0.00246 expresados con tres cifras significativas serían 8.30 (10³) y 2.46 (10-3).

Reglas para redondear un número a n cifras significativas: 1. Si el dígito n + 1 es menor que 5, el dígito n + 1 y los dígitos que le siguen se cancelan. Por ejemplo, 4.236 y 0.2316, redondeados a n = 2 cifra significativas, serán 4.2 y 0.23. 2. Si el dígito n + 1 es igual a 5 con ceros siguiéndolo, entonces redondee el n- ésimo dígito a un número par. Por ejemplo, 2.845(10³) y 0.8275, redondeados a n = 3 cifras significativas, se convierte en 2.84 (10³) y 0.828. 3. Si el dígito n + 1 es mayor que 5, o igual a 5 sin dígitos ni ceros siguiéndolo, entonces incremente el n-ésimo dígito en 1 y cancele el n + 1 y los dígitos siguientes. Por ejemplo, 0.835 67 y 445.550 2, redondee a n = 4 cifras significativas, se convierten en 0.8357 y 445.6

CAPÍTULO II VECTORES FUERZA Un vector es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física definida por su módulo (o longitud), su dirección (u orientación) y su sentido (que distingue el origen del extremo). 2.1

ESCALARES Y VECTORES

Escalar es una cantidad caracterizada por un número positivo o negativo. Por ejemplo, masa, volumen y longitud son cantidades escalares empleadas a menudo en la Estática. Cuando decimos que un estanque tiene un volumen 1000 Lt, lo que estamos haciendo es especificar su magnitud, es decir, su valor numérico (o módulo) y la unidad utilizada (Lt) en la medida. Vector es una cantidad que tiene tanto magnitud como dirección. En Estática las cantidades vectoriales encontradas con frecuencia son la posición, la fuerza y el momento. Un vector se representa gráficamente por medio de una flecha, la cual se usa para definir su magnitud, dirección y sentido: La magnitud (intensidad) del vector es la longitud de la flecha. La dirección es definida por el ángulo entre un eje de referencia y la línea de acción de la flecha. El sentido queda indicado por la cabeza de la flecha.

Figura 7: vector

2.2

OPERACIONES VECTORIALES

Multiplicación y división de un vector por su escalar Cuando un vector se multiplica por un escalar, resulta otro vector en la misma dirección y de módulo igual a tantas veces el escalar por el módulo del vector dado El sentido de aA es el mismo que A siempre que a sea positivo, y es opuesto a A si a es negativo, en particular el negativo de un vector se forma multiplicando por el escalar (-1). Ejemplo:

Figura 8: Multiplicación y división escalar

Suma de vectores Dos vectores pueden sumarse para formar un vector resultante R = A + B usando la ley del paralelogramo o la construcción triangular. Ley del paralelogramo, se trazan líneas paralelas desde la cabeza de cada vector cortándose en un punto común y la resultante R es la diagonal del paralelogramo.

Figura 9: Ley del paralelogramo

Construcción triangular, en forma de cabeza a cola, conectando cabeza de A con la cola de B, la resultante R, se forma desde la cola de A hasta la cabeza de B

Figura 10: Construcción Triangular

19 Suma de vectores colineales, un caso muy especial, se reduce a una suma algebraica

Figura 11: Suma de vectores colineales

Resta de vectores, se define como un caso especial de la suma y se aplican las mismas reglas.

Figura 12: Resta vectorial

Suma vectorial de fuerzas Los problemas que implican la suma de fuerzas pueden resolverse usando la ley del parelogramo y trigonometria.

Figura 13: Ley de senos y Ley de cosenos

Suma de un sistema de fuerzas coplanares Resolveremos cada fuerza en sus componentes rectangulares Fx y Fy, las cuales se encuentran a lo largo de los ejes x y y, como se ve en la figura 14; pero pueden estar dirigidos con cualquier inclinación. F = Fx + Fy

Figura 14: Fuerzas coplanares

Notación escalar Como los ejes x y y, tienen asignadas direcciones positivas y negativas, la magnitud y el sentido direccional pueden expresarse en términos de escalares algebraicos. Notación vectorial También es posible representar una fuerza en términos de sus vectores unitarios cartesianos; en dos dimensiones, los vectores unitarios son i y j, se usan para designar las direcciones de x y y respectivamente. V = Vx i + Vy j

Figura 15: Fuerzas en términos de sus vectores unitarios cartesianos

21 Resultante de fuerzas coplanares Se descomponen las tres fuerzas como un vector cartesiano, y luego obtenemos el vector resultante.

Figura 16: Resultante de fuerzas coplanares

En el caso general las componentes x y y de la resultante de cualquier número de fuerzas coplanares pueden ser representadas simbolicamente por medio de una suma algebraica de las componente x y y de todas las fuerzas

La magnitud de FR se encuentra entonces con el Teorema de Pitágoras:

El ángulo

2.3

de dirección, se determina por trigonometría:

VECTORES CARTESIANOS Se dice que un sistema rectangular, o sistema coordenado derecho, es derecho si el pulgar de la mano derecha señala en dirección al eje z positivo cuando los dedos de la mano derecha se enrollan alrededor de este eje y están dirigidos de x positivo a hacia el eje y negativo.

Figura 17: Sistema coordenado derecho

22 Un vector A puede tener una, dos o tres componentes a lo largo de los ejes coordenados x, y y z. Entonces mediantes dos aplicaciones sucesivas de la ley del paralelogramo podemos resolver:

Figura 18: componentes rectangulares de un vector

La direcci贸n de A puede ser especificada utilizando un vector unitario (tiene magnitud 1)

Figura 19: Vector unitario de A

Figura 20: Vectores unitarios en tres dimensiones i, j y k; se usan para designar las direcciones de los ejes x, y y z, respectivamente.

Podemos escribir a A en forma vectorial cartesiana

podemos obtener su magnitud

Y su dirección con “cosenos directores”

Figura 21: Representación de un vector

Suma y Resta de vectores cartesianos Las operaciones vectoriales de suma y resta de dos o más vectores se simplifican considerablemente si los vectores son expresados en términos de sus componentes cartesianas.

Figura 22: suma y resta de vectores cartesianos

2.4

VECTORES DE POSICIÓN

El vector posición r se define como un vector fijo que localiza un punto en el espacio con relación a otro punto. Por ejemplo r puede ser expresado como un vector cartesiano como en el caso más general (ver figura 22)

Figura 23: vector r

Y si no parte del origen, como el vector rAB (ver figura 24)

ó bien:

Figura 24: vector rAB

Vector fuerza dirigido a lo largo de una línea Podemos formular F como un vector cartesiano observando que esta fuerza tiene la misma dirección y el mismo sentido que el vector de posición dirigido desde el punto A hasta el punto B sobre la cuerda. Esta dirección común se especifica mediante el vector unitario

. Por tanto:

2.5

PRODUCTO PUNTO

Es una operaciรณn entre vectores. Grรกficamente: Sean P y Q en el mismo plano que forman un รกngulo entre ellos. V perpendicular al plano que contiene a P x Q. La magnitud de V es el producto de las magnitudes P y Q multiplicado por el seno del รกngulo entre ellos. P x Q = PQ sen La direcciรณn de V se obtiene a partir de la regla de la mano derecha

Figura 25: vector V = P x Q

CAPÍTULO III EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA

3.1

DEFINICIÓN

Se dice que un cuerpo está en equilibrio si la resultante del sistema de fuerzas que actúa sobre un cuerpo se anula. Equilibrio significa que tanto la fuerza resultante como el par resultante son iguales a cero. Equilibrio estático: Todo cuerpo que no se mueve, o se mueve con velocidad constante está en equilibrio estático.

3.2

CONDICIONES PARA EL EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA

Para mantener el equilibrio es necesario satisfacer la primera ley de Newton, la cual requiere que la fuerza resultante que actúa sobre una partícula sea a igual a cero.

3.3

EL DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE.

Este diagrama es simplemente un croquis que muestra una partícula libre de su entorno con todas las fuerzas que actúan sobre ella. Procedimiento para trazar un DCL Establecer los ejes x y y en una orientación apropiada. Rotule sobre el diagrama todas las magnitudes y las direcciones de las fuerzas conocidas y desconocidas. El sentido de una fuerza con una magnitud desconocida puede ser supuesto.

3.4

RESORTES

Ley de Hooke: Fuerza ejercida por un resorte deformado La figura 26(a) muestra un resorte no deformado, y la figura 26(b) presenta el mismo resorte distendió por medio de un dinamómetro, el cual mide la fuerza de tensión F ejercida por el muelle cuando su alargamiento es igual a X (observe que X representa el incremento en la longitud del resorte).

27 Podemos comprobar experimentalmente que Al duplicar el alargamiento (a 2x), la fuerza se duplica (a 2f) Al triplicar el alargamiento (a 3x), la fuerza se triplica (a 3f), etc. Este mismo resultado podría comprobarse comprimiendo el resorte en vez de estirarlo. Por tanto, el experimento demuestra que la fuerza ejercida por un resorte es directamente proporcional a su deformación. Este resultado se conoce como la ley de Hooke, pues fue Robert Hooke, un científico ingles, quien observó por primera vez esta propiedad (en realidad, esta ley solo es verdadera si las deformaciones del resorte no son muy grandes). F = k*X Donde k es una constante de proporcionalidad, distinta para cada resorte, que se denomina constante elástica. Al trazar la grafica F x X, obtenemos una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es igual a k.

Figura 26: Fuerza ejercida por un resorte deformado

3.5

SISTEMAS DE FUERZAS COPLANARES

Si una partícula está sometida a un sistema de fuerzas coplanares que se encuentran en el plano x – y, entonces cada fuerza puede ser resuelta por sus componentes i y j

3.6

SISTEMAS TRIDIMENSIONALES DE FUERZAS

Para el equilibrio de una partícula en tres dimensiones, cada fuerza puede ser resuelta por sus componentes i, j y k. Para garantizar el equilibrio es necesario:

CAPÍTULO IV CUERPOS RÍGIDOS – SISTEMAS EQUIVALENTES DE FUERZA 4.1

DEFINICIÓN

Un cuerpo rígido es aquel cuya forma no varía pese a ser sometido a la acción de fuerzas externas. Eso supone que la distancia entre las diferentes partículas que lo conforman resulta invariable a lo largo del tiempo. El cuerpo rígido es un modelo ideal que se utiliza para realizar estudios de mecánica de materiales. Sin embargo, en la práctica, todos los cuerpos se deforman, aunque sea de forma mínima, al ser sometidos al efecto de una fuerza externa. Por lo tanto, las máquinas y las estructuras reales nunca pueden ser consideradas absolutamente rígidas. 4.2

MOMENTO DE UNA FUERZA: FORMULACIÓN ESCALAR Y VECTORIAL

El momento de una fuerza con respecto a un punto o eje proporciona una medida de la tendencia de la fuerza a ocasionar que un cuerpo gire alrededor de un punto o eje.

Figura 27: Momento

La magnitud

donde d es referido como brazo de momento o distancia perpendicular del eje en el punto O a la línea de acción de la fuerza. Las unidades de la magnitud del momento son el producto de fuerza multiplicada por la distancia, esto es N.m o lb.pies. La dirección del M0 será especificada usando la regla de la mano derecha.

29 Si el sistema de fuerzas se encuentra en el plano x-y. el momento resultante MRo del sistema puede ser determinado sumando simplemente los momentos de todas las fuerzas algebraicamente.

El momento de una fuerza puede expresarse usando el producto cruz:

Aquí r representa un vector posición trazado desde O hasta cualquier punto que se encuentre sobre la línea de acción de F (ver figura 28), como el producto cruz no es conmutativo es necesario que se mantenga el orden correcto de r y F

Figura 28: Momento

Donde rx , ry , rz representan las componentes x, y, z del vector posición trazado desde el punto O hasta cualquier punto sobre la línea de acción de la fuerza; Fx, Fy , Fz representan las componentes x, y, z del vector fuerza (ver figura 29)

Figura 29: Momento con respecto a un punto

30 4.3

PRINCIPIO DE LOS MOMENTOS O TEOREMA DE VARIGNON

Este principio establece que el momento de una fuerza con respecto a un punto es igual a la suma de los momentos de las componentes de la fuerza con respecto a un punto MRo = ( r x F1) + (r x F2) + ( r x F3) + ( r x F4)

Figura 30: Teorema de Varignon

4.4

MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE

Considérese la fuerza F que actúa sobre un cuerpo rígido y el momento Mo de dicha fuerza con respecto a O (figura 31). Sea OL un eje a través de O; el momento MOL de F con respecto a OL se define como la proyección OC del momento Mo sobre el eje OL. Representando el vector unitario a lo largo de OL como λ, se tiene: MOL = λ. MO = λ. (r x F)

lo cual demuestra que el momento MOL de F con respecto al eje OL es el escalar que se obtiene formando el producto triple escalar de λ, r y F.

Figura 31: Momento con respecto a un eje

CAPÍTULO V EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS

Por definición una partícula puede tener solo movimiento de traslación. Si la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula es cero, la partícula está moviéndose con velocidad constante o está en reposo; en este último caso se dice que está en equilibrio estático. Pero el movimiento de un cuerpo rígido en general es de traslación y de rotación. En este caso, si la resultante tanto de las fuerzas como de los torques que actúan sobre el cuerpo rígido es cero, este no tendrá aceleración lineal ni aceleración angular, y si está en reposo, estará en equilibrio estático. 5.1

DEFINICIÓN

Cuando la fuerza y el par son iguales a cero, las fuerzas externas forman un sistema equivalente a cero y se dice que el cuerpo rígido se encuentra en equilibrio. Por lo tanto, las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rígido son:

Por medio de las seis ecuaciones escalares que se presentan a continuación

Se pueden emplear para determinar fuerzas desconocidas que están aplicadas sobre el cuerpo rígido o reacciones desconocidas ejercidas sobre éste por sus puntos de apoyo. Es esencial identificar primero todas las fuerzas que actúan sobre dicho cuerpo y, entonces, dibujar el diagrama de cuerpo libre correspondiente en estructuras bidimensionales y tridimensionales.

5.2

CONDICIONES PARA EL EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO Y

ECUACIONES Requieren que un cuerpo rígido permanezca en equilibrio, que la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo sea igual a cero, y la suma de las fuerzas externas con respecto a un punto sea igual a cero.

La aplicación exitosa de las ecuaciones de equilibrio requiere de una especificación completa de todas las fuerzas externas conocidas y desconocidas que actúan sobre un cuerpo. La mejor manera de tomar en cuenta estas fuerzas es trazando en DCL del cuerpo. Es necesario conocer los diversos tipos de reacciones que ocurren en soportes y puntos de soporte entre cuerpos sometidos a sistemas coplanares de fuerzas. Como regla general, si un soporte previene la traslación de un cuerpo en una dirección dada, entonces una fuerza es desarrollada sobre el cuerpo en esa dirección. Igualmente, si una rotación es prevenida, sobre el cuerpo se ejerce un momento de par.

5.3

EQUILIBRIO EN DOS DIMENSIONES

Se considera el equilibrio de una estructura bidimensional, si se supone que la estructura que se está analizando y las fuerzas aplicadas sobre la misma están contenidas en el mismo plano. Las ecuaciones de equilibrio se pueden emplear para determinar fuerzas desconocidas que están aplicadas sobre el cuerpo rígido o reacciones desconocidas ejercidas sobre éste por sus puntos de apoyo.

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE. Al resolver un problema relacionado con el equilibrio de un cuerpo rígido, es esencial que se consideren todas las fuerzas que actúan sobre éste, además es importante excluir cualquier fuerza que no esté dada directamente sobre dicho cuerpo.

Omitir o agregar una fuerza extraña podría destruir las condiciones de equilibrio. Por tanto, el primer paso en la solución del problema es esquematizar un diagrama de cuerpo libre rígido en consideración.

Figura 32: Soportes Bidimensionales

34 5.4

EQUILIBRIO EN TRES DIMENSIONES

El primer paso para resolver problemas tridimensionales de equilibrio, como en el caso de los bidimensionales es trazar un diagrama de cuerpo libre del cuerpo ( o grupo de cuerpos considerados como sistema).Sin embargo , antes de mostrar esto , es necesario analizar los tipos de reacci贸n que pueden presentarse en los soportes.

REACCIONES DE SOPORTE: Debe advertirse que los soportes de chumacera y el pasador y la articulaci贸n muestran que soportan componentes tanto de fuerza como de momento par .Sin embargo, si esos soportes se usan junto con otras chumaceras y pasadores o articulaciones para mantener un cuerpo r铆gido en equilibrio y los soportes est谩n apropiadamente alineados cuando se conectan al cuerpo, entonces las reacciones de fuerza en esos soportes pueden por si solos ser adecuadas para soportar el cuerpo. En otras palabras los momentos de par resultan redundantes y no se muestran en el diagrama de cuerpo libre.

Figura 33: Apoyos Tridimensionales

Figura 34: Soportes Tridimensionales

CAPÍTULO VI FUERZAS DISTRIBUIDAS: CENTROIDE Y CENTRO DE GRAVEDAD

La atracción ejercida por la Tierra sobre un cuerpo rígido se denomina fuerza de gravedad o peso del cuerpo, de hecho la Tierra ejerce una fuerza sobre cada una de las partículas que constituyen al cuerpo. Se aprenderá como determinar el centro de gravedad, el punto de aplicación de la resultante 6.1

, para cuerpos de varias formas.

DEFINICIÓN

La resultante de las fuerzas de gravedad que actúan sobre un cuerpo, que se conoce como peso del cuerpo, actúa a través de un punto llamado centro de gravedad del cuerpo. El centro de gravedad es determinado entonces por la distribución del peso dentro del cuerpo. El centro de masa de un cuerpo es un concepto muy importante en dinámica (es el punto a través del cual actúa la fuerza de inercia resultante), es una propiedad de la distribución de masa dentro del cuerpo. Como el peso y la masa difieren sólo por un factor constante (siempre que el campo gravitacional sea uniforme), se encuentra que el centro de masa y gravedad coinciden en la mayoría de las aplicaciones.

6.2

CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTRO DE MASA PARA UN SISTEMA DE

PARTÍCULAS 6.2.1 CENTRO DE GRAVEDAD El centro de gravedad G es un punto que ubica el peso resultante de un sistema de partículas.

representan las coordenadas del centro de gravedad G del sistema de partículas

representan las coordenadas de cada partícula presente en el sistema. es la suma resultante de los pesos de todas las partículas presentes en el sistema Por integración:

, la ecuación resulta:

6.2.2 CENTRO DE MASA Si la aceleración debido a la gravedad g para cada partícula es constante, entonces W=mg. Sustituyendo, cancelando g en el denominador y numerador resulta:

6.3

CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO Y CENTROIDE PARA UN CUERPO. 6.3.1 CENTRO DE GRAVEDAD Un cuerpo rígido, está compuesto de un número infinito de partículas y si los principios usados para determinar las ecuaciones son aplicados al sistema de partículas que componen un cuerpo rígido, resulta necesario usar integración en vez de una suma discreta de términos.

Un cuerpo compuesto consiste en una serie de cuerpos más simples conectados los cuales pueden ser rectangulares, triangulares, semicirculares, etc.

representan las coordenadas del centro de gravedad G del cuerpo compuesto representan las coordenadas del centro de gravedad de parte componente del cuerpo. es la suma de los pesos de todas las partes componentes del cuerpo o simplemente el peso total del cuerpo.

6.3.2 CENTROIDES DE VOLÚMENES, SUPERFICIES Y LÍNEAS El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su ubicación puede ser determinada a partir de formulas similares a las usadas para encontrar el centro de gravedad del cuerpo o centro de masa. Si el material que compone un cuerpo es homogéneo, la densidad o peso específico será constante en todo el cuerpo, y por tanto el término saldrá de las integrales y se cancelara. Las formulas resultantes definen al centroide del cuerpo ya que son independientes del peso del cuerpo y dependen solo de la geometría de este. VOLUMEN

Figura 35: Centroide De Volumen

39 ÁREA

Figura 36: Centroide de Área

LÍNEA

Figura 37: Centroide de Línea

40 6.4

TEOREMAS DE PAPPUS Y GULDINUS.

Los dos teoremas de Pappus y Guldinus se usan para encontrar el área superficial y el volumen de cualquier objeto de revolución. 6.4.1 TEOREMA 1: ÁREA DE UNA SUPERFICIE El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dicha curva al momento de generar la superficie.

= área superficial de revolución = ángulo de revolución medido en radianes = distancia perpendicular del eje de revolución al centroide de la curva generatriz = Longitud de la curva generatriz

Figura 38: Área de una Superficie

6.4.2 TEOREMA 2: VOLUMEN DE UNA SUPERFICIE El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide del área al momento de generar el cuerpo.

= Volumen de revolución = ángulo de revolución medido en radianes = distancia perpendicular del eje de revolución al centroide de la área generatriz = área generatriz

Figura 39: Volumen

6.5

CARGAS NORMALES DISTRIBUIDAS

En ocasiones es posible que un área muy grande de un cuerpo esté sujeta a la acción de cargas distribuidas, tales como las causadas por el viento, fluidos, o simplemente el peso de material soportado por la superficie de dicho cuerpo. La intensidad de estas cargas en cada punto de la superficie se define como la presión p (fuerza por unidad de área), que puede medirse en unidades de libra/pie2 o pascales (Pa) donde 1 Pa = 1 N/m2. 6.5.1 CASO GENERAL Consideremos el caso general de una carga normal distribuida mostrada en la figura. Se supone que la carga actúa normal al área cargada sA y su magnitud está dada por p (x,y,z), que es la intensidad de carga(fuerza por unidad de área). Si dR es la fuerza que actúa sobre el área diferencial dA (en la dirección de p). La resultante de la carga distribuida es entonces la fuerza R mostrada en la figura, donde:

Figura 40: Carga Normal Distribuida

6.5.2 CARGAS NORMALES SOBRE SUPERFICIES PLANAS La carga mostrada en la figura es paralela al eje z y se supone distribuida sobre el área de carga sA, que se encuentra en el plano xy. En este caso la intensidad de carga p es una función sólo de x y y.

Figura 41: Cargas Normales Sobre Superficies Planas

La magnitud de la fuerza resultante y su línea de acción, son determinadas por:

Donde V es el volumen de la región V entre la superficie de carga y el área de carga. La magnitud de la fuerza resultante es igual al volumen de la región entre el área de carga y la superficie de carga.

43 La línea de acción de la fuerza resultante pasa por el centroide del volumen limitado por el área de carga y la superficie de carga. 6.5.3 CARGAS DISTRIBUIDAS Siempre que el ancho del área de carga sea despreciable comparado con su longitud, una carga distribuida puede representarse como una carga de línea. Las cargas de líneas se caracterizan por la intensidad de carga w, que es una función de la distancia medida a lo largo de la línea de distribución.

Figura 42: Cargas Distribuidas

La magnitud de la fuerza resultante es igual al área bajo el diagrama de carga.

La línea de acción de la fuerza resultante pasa por el centroide del área bajo el diagrama de carga.

44 6.5.4 PRESIÓN UNIFORME SOBRE SUPERFICIES CURVAS La presión uniforme se refiere al caso especial en que la magnitud de la intensidad de carga es constante. Si p es constante, entonces:

Donde Ax, Ay y Az son las proyecciones del área de carga sobre los planos de coordenadas. En principio, las ecuaciones de momentos podrían usarse para determinar la línea de acción de R. Sin embargo, en muchos casos la línea de acción puede determinarse por simetría.

Figura 43: Proyecciones de Áreas

Figura 44: Presión Uniforme Sobre Superficies Curvas

6.5.5

PRESIÓN DE LÍQUIDOS

Si una superficie está sumergida en un líquido de peso específico ejercida por el liquido es p =

, la presión

h, donde h es la profundidad medida desde la superficie

libre de líquido. La resultante de ésta presión podría obtenerse por integración, pero si la superficie es curva, el análisis puede resultar complicado porque tanto la magnitud como la dirección de p varían

CAPÍTULO VII ANÁLISIS ESTRUCTURAL

Estudian problemas que tratan sobre el equilibrio de estructuras formadas por varías partes que están conectadas entre sí. Determina las fuerzas externas e internas. 7.1

DEFINICIÓN

Una estructura puede concebirse como un conjunto de partes o componentes que se combinan en forma ordenada para cumplir una función dada. Ésta puede ser: salvar un claro, como los puentes; encerrar un espacio, como sucede en los distintos tipos de edificios; o contener un empuje, como en los muros de contención, tanques o silos. La estructura debe cumplir la función a la que está destinada con un grado de seguridad razonable y de manera que tenga un comportamiento adecuado en las condiciones normales de servicio. Además, deben satisfacerse otros requisitos, Tales como mantener el costo dentro de límites económicos y satisfacer determinadas exigencias estéticas.

7.2

ARMADURAS

Diseñadas para soportar cargas y por lo general son estructuras estacionarias que están totalmente restringidas. Las armaduras son elementos sujetos a dos fuerzas, esto es, elementos sobre los cuáles actúan dos fuerzas iguales y opuestas que están dirigidas a lo largo del elemento.

Figura 45: Armadura

47 Las armaduras consisten exclusivamente de elementos rectos, que están conectados con nodos localizados en los extremos de cada elemento. Por lo tanto, los elementos de una armadura son elementos sujetos a dos fuerzas, estos es, elementos sobre las cuales actúan dos fuerzas iguales u opuestas que están dirigidas a lo largo de los elementos. Los dos procedimientos comunes para calcular las fuerzas internas en una armadura son: el método de los nudos y el método de las secciones.

7.2.1 MÉTODO DE LOS NUDOS Al calcular las fuerzas en los miembros de un armadura, usando el método de los nudos, se aplican las ecuaciones de equilibrio a nudos (o pasadores) individuales de la armadura. Como los miembros son cuerpos de dos fuerzas, las fuerzas en el Diagrama de Cuerpo Libre de un nudo son concurrentes. En consecuencia, se tienen dos ecuaciones de equilibrio independientes para cada nudo. Procedimiento: Trazar el DCL El DCL del nudo debe tener por lo menos una fuerza conocida y a lo mucho dos fuerzas desconocidas Si este nudo esta en uno de los soportes entonces puede ser necesario conocer reacciones externas en los soportes de una armadura Aplique ecuaciones de equilibrio Continuar con el análisis de los otros nudos Un elemento o miembro de una armadura puede trabajar por comprensión (empuja sobre el nudo) o por tensión o tracción (jala al nudo)

Figura 46: Método de los Nudos

7.2.2 MÉTODO DE LAS SECCIONES Este método se basa en el hecho de que si una armadura, tomada como un conjunto, está en equilibrio, cualquier parte de ella también lo estará. Entonces, si se toma una porción de la estructura mediante un corte, de tal manera que no tenga más de tres incógnitas, es posible, mediante las tres ecuaciones independientes disponibles en el caso de fuerzas coplanares, determinar las fuerzas en los miembros involucrados en el corte para obtener la solución respectiva. Procedimiento: Tomar un corte o sección de la armadura de acuerdo a las fuerzas que deben determinarse Antes de seleccionar la sección apropiada puede ser necesario determinar primero las reacciones de la armadura Trazar el DCL de la armadura sobre la que actué el menor número de fuerzas. Aplicar el método propiamente dicho

Figura 47: Método de las Secciones

7.3

ARMAZONES

Diseñadas para soportar cargas, se usan también como estructuras estacionarias que están totalmente restringidas. Los Armazones siempre contienen por lo menos un elemento sujeto a varías fuerzas, esto es, un elemento sobre el cual están tres o más fuerzas que, en general no están dirigidas a lo largo del elemento.

Figura 48: Armazones

7.4

MÁQUINAS

Diseñadas para transmitir y modificar fuerzas, son estructuras que contienen partes en movimiento. Las máquinas al igual que los Armazones, siempre contienen por lo menos un elemento sujeto a varías fuerzas.

Figura 49: Máquinas

CAPÍTULO VIII FUERZAS INTERIORES EN MIEMBROS ESTRUCTURALES

El análisis de vigas que soportan cargas transversales trata con el cálculo de fuerzas y pares internos. 8.1

DEFINICIÓN

La determinación de las fuerzas internas es un paso fundamental en el diseño de miembros que soportan cargas. Sólo después de que se ha efectuado éste cálculo, el ingeniero de diseño puede seleccionar las dimensiones apropiadas para un miembro o escoger el material con el que éste debe fabricarse. 8.2

VIGA

Se define como viga a una barra sometida a fuerzas o pares, situados en un plano que contiene a su eje longitudinal. Se supone que las fuerzas actúan perpendicular a dicho eje longitudinal. 8.2.1 TIPOS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS a)

VIGAS EN VOLADIZO

Si la viga está sujeta solamente en un extremo, de tal manera que su eje no pueda girar en ese punto. En la figura, el extremo derecho puede flectar libremente, mientras que el izquierdo está sujeto rígidamente. De ordinario, se dice que el extremo izquierdo está empotrado. La reacción del muro de la izquierda que soporta a la viga sobre ésta, consiste en una fuerza vertical junto con un par, que actúan en el plano de las cargas aplicadas.

Figura 50: Viga en Voladizo

52 b)

VIGAS SIMPLEMENTE APOYADAS

Aquella viga que está apoyada libremente en los dos extremos. Implica que los apoyos extremos son capaces de ejercer sobre la barra solamente fuerzas y no momentos; por lo que no existe impedimento al giro de los extremos de la barra en los apoyos cuando flexa bajo las cargas. En las vigas simplemente apoyadas, uno de los apoyos ha de ser capaz de sufrir un movimiento horizontal, de modo que no exista ninguna fuerza en la dirección del eje de la viga. Si ninguno de los dos extremos fuera capaz de moverse horizontalmente se produciría alguna fuerza axial en la viga cuando se deformara bajo la carga.

Figura 51: Viga Simplemente Apoyada

VIGAS CON VOLADIZOS

Viga apoyada libremente en dos puntos y que tiene uno o los dos extremos que continúan más allá de esos puntos.

Figura 52: Viga con Voladizos

53 8.2.2 TIPOS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS Cuando el número de reacciones que se dan sobre la viga supera al número de ecuaciones de equilibrio estático.

Figura 53: Viga Estáticamente Indeterminada

8.2.3 TIPOS DE CARGAS a) CARGAS AISLADAS: Aquellas cargas aplicadas en un punto.

Figura 54: Cargas Aisladas

b) CARGAS

UNIFORMEMENTE

DISTRIBUIDA:

Aquellas

cargas

uniformemente repartidas, aplicadas a lo largo o en uno o varios tramos de la viga.

Figura 55: Cargas Uniformemente Distribuida

c) CARGAS

VARIABLES UNIFORMEMENTE: Aquellas cargas que

difieren a lo largo, en uno o varios tramos de la viga.

Figura 56: Cargas Variable Uniformemente

8.2.4 FUERZA CORTANTE (V) Las fuerzas que se encuentran en el plano de la secci贸n transversal, que tienden a deslizar o cortar las partes de la barra situadas en cualquier lado de la secci贸n transversal relativa a la otra, se llaman fuerzas cortantes.

Figura 57: Fuerza Cortante

8.2.5 MOMENTO FLECTOR (M) La suma algebraica de los momentos de las fuerzas exteriores situadas a un lado de una secci贸n determinada que tienden a doblar una viga, se llaman momentos flexionantes.

Figura 58: Momento Flector

56 8.2.6 CRITERIO DE SIGNOS DE LA FUERZA CORTANTE Y EL MOMENTO FLEXIONANTE Una fuerza que tiende a flexar la viga de modo que la concavidad esté hacia arriba, como se representa en el esquema, se dice que produce un momento flector positivo. Una fuerza que tiende a cortar la viga como se indica en el esquema, se dice que produce un esfuerzo cortante positivo. Un método más sencillo para determinar el signo algebraico del momento flector en una sección cualquiera es considerar que las fuerzas exteriores dirigidas hacia arriba producen momentos flectores positivos y las dirigidas hacia abajo, momentos negativos.

Figura 59: Criterio de Signos en Fuerzas Internas

8.2.7 ECUACIONES DE LA FUERZA CORTANTE Y EL MOMENTO FLEXIONANTE Generalmente es conveniente introducir un sistema coordenado a lo largo de la viga con origen en un extremo de la misma. Es conveniente conocer el esfuerzo cortante y el momento flector en todas las secciones de la viga, para lo cual se escriben dos ecuaciones, una que da la fuerza cortante V en función de la distancia, x, a un extremo de ella, y la otra que da el momento flector M en función de x. Los resultados permiten al ingeniero estructural seleccionar una viga adecuada que sea capaz de soportar las cargas aplicadas.

57 8.2.8 DIAGRAMAS DE LA FUERZA CORTANTE Y EL MOMENTO FLEXIONANTE La representación gráfica de estas ecuaciones en V y M se conoce como diagrama del fuerza cortante y del momento flector, respectivamente. En estos gráficos, las abscisas (horizontales) indican la posición de la sección a lo largo de la viga y las ordenadas (verticales) representan los valores de la fuerza cortante y el momento flector, respectivamente. Por tanto, indican gráficamente la variación de esas dos magnitudes en una sección a lo largo de la barra. Es muy fácil determinar, con esos gráficos, el valor máximo de cada una de ellas.

8.2.9 RELACIÓN ENTRE LA FUERZA CORTANTE Y EL MOMENTO FLEXIONANTE Para un valor cualquiera de x, el esfuerzo cortante V y el momento flector M están relacionados por la ecuación:

V = d M / dx

CAPÍTULO IX ROZAMIENTO o FRICCIÓN

La fuerza de rozamiento surge al tratar de desplazar un objeto apoyado en otro, tiene dirección paralela al plano de deslizamiento y sentido tal que se opone al movimiento. 9.1

DEFINICIÓN DE ROZAMIENTO

La fuerza de rozamiento es una fuerza que aparece cuando hay dos cuerpos en contacto y es muy importante cuando se estudia el movimiento de los cuerpos. Su origen está en la rugosidad que podemos apreciar a nivel microscópico incluso en superficies pulimentadas. En muchas situaciones las fuerzas de fricción son útiles. Por ejemplo, la fricción nos permite caminar sin resbalar, mantiene los clavos y tornillos en su lugar y permite la transmisión de potencia por medio de embragues y bandas. Por otra parte, la fricción también puede ser perjudicial; puede ocasionar el desgaste de máquinas y reducir la eficiencia en la transmisión de potencia al convertir la energía mecánica en calor.

Figura 60: Rozamiento

9.2

TIPOS DE FRICCIÓN

En ingeniería se encuentra frecuentemente dos tipos principales de rozamiento: el fluído y el seco. 9.2.1 EL ROZAMIENTO FLUÍDO: Describe la fuerza que se opone al deslizamiento de dos capas de fluído que se mueven con celeridades diferentes. El rozamiento fluído depende de la celeridad relativa de las capas de fluído en movimiento. La fricción en una chumacera lubricada se clasifica como fricción en fluidos porque las dos mitades de la chumacera no están en contacto directo, sino separadas por una capa delgada de lubricante líquido.

59 9.2.2 EL ROZAMIENTO SECO: Describe la fuerza que se opone al deslizamiento de la superficie de un sólido sobre la de otro. El rozamiento seco depende de la fuerza normal que aprieta una superficie contra otra y de la naturaleza de los materiales en contacto.

9.3

TEORÍA DE COULOMB SOBRE LA FRICCIÓN SECA

La teoría de Coulomb consta de varios postulados, las cuáles son: 9.3.1 CASO ESTÁTICO: Coulomb propuso la siguiente ley: si no hay movimiento relativo entre dos superficies en contacto, la fuerza normal N y la fuerza de fricción F, cumple la siguiente relación: F ≤ F MÁX = µSN

Donde FMÁX es la máxima fuerza de fricción estática que puede existir entre las superficies de contacto y µS se conoce como coeficiente de fricción estática. El coeficiente de fricción estática es una constante experimental que depende de la composición y rugosidad de la superficie en contacto.

Materiales en contacto

µS

µk

Acero duro sobre acero duro

0.78

0.42

Alumínio sobre acero Dulce

0.61

0.47

Teflón sobre acero

0.04

---

Níquel sobre níquel

1.10

0.53

Cobre sobre hierro fundido

1.05

0.29

Tabla 5 : Coeficiente aproximados de fricción para superfícies secas.

9.3.2 CASO DEL DESLIZAMIENTO INMINENTE: Sucede cuando la fuerza de fricción es igual a su valor límite, es decir: F = F MÁX = µSN

60 Para ésta condición, las superficies están a punto de deslizarse, una condición conocida como deslizamiento inminente. F MÁX siempre se opone al deslizamiento inminente

9.3.3 CASO DINÁMICO: Si dos superficies en contacto están deslizándose entre sí, la fuerza de fricción F se postula igual a F = F K = µKN

Donde N es la fuerza normal de contacto, µK es una constante experimental llamada coeficiente de fricción cinética o dinámica y FK se denomina fuerza de fricción cinética o dinámica. F K siempre se opone al deslizamiento

Figura 61: Casos de Rozamiento

9.3.4 ANÁLISIS ADICIONAL DE LA FRICCIÓN DE COULOMB Para ilustrar las leyes de la fricción de Coulomb, consideremos la figura siguiente: El bloque de peso W se supone en reposo sobre una superficie horizontal al estar sometido a la fuerza horizontal P. (En este caso nuestra atención se limita al movimiento deslizante; la posibilidad de que el bloque se voltee alrededor de su arista se considerará después)

Figura 62: Rozamiento-Fuerza Horizontal Menor

El diagrama de cuerpo libre del bloque se muestra en la figura 63. Como en la fuerza de fricción F se opone a la tendencia del bloque al deslizamiento, F está dirigida en sentido opuesto a P. Ahora se abordará la variación de F con P cuando ésta se incrementa poco a poco desde cero. Si P es relativamente pequeña, el bloque permanecerá en reposo y las ecuaciones de fuerza de equilibrio, ∑Fx = 0 y ∑Fy = 0 dan F = P y N = W. Por lo tanto, mientras el bloque permanezca en reposo, la fuerza de fricción F es igual a la fuerza aplicada.

Figura 63: Rozamiento-Fuerza Horizontal Mayor

La figura 64 muestra la gráfica de F contra P. En la región estática, 0 ≤ F ≤ FMÁX. la variación está dada por una línea recta con pendiente unitaria. Cuando F = FMÁX, el bloque aún está en equilibrio estático pero el deslizamiento es inminente. Sin embargo, el más ligero incremento de P generará el deslizamiento. En la figura 64, el punto que se refiere al deslizamiento inminente marca el fin de la región estática. Cuando P excede a FMÁX, el bloque empieza a deslizarse y la fuerza de fricción F desciende a su valor cinético Fk. Si P se incrementa aún más, F permanece constante

62 en FK. En consecuencia, la gráfica de F contra P es una línea horizontal en el rango dinámico.

Figura 64: Rozamiento -Fuerza Horizontal

9.4

ÁNGULO DE FRICCIÓN; CUÑAS Y TORNILLOS 9.4.1

ÁNGULO DE FRICCIÓN

En ciertos casos, resulta conveniente reemplazar la fuerza normal N y la fuerza de fricción F por su resultante R. Consideremos de nuevo un bloque de peso W que descansa sobre una superficie horizontal plana. Si no se aplica ninguna fuerza horizontal sobre el bloque, la resultante R coincide con la fuerza normal N (Fig. 65).

Figura 65: Bloque Sin Fricción

Si la fuerza aplicada P tiene una componente horizontal Px que tiende a mover al bloque, la fuerza R tendrá una componente horizontal F por lo que formará, cierto ángulo Φ con la normal de la superficie .Fig.66).

Figura 66: Bloque Sin Movimiento

Si P se incrementa hasta que el movimiento sea inminente, el ángulo entre R y la vertical crece hasta alcanzar un valor máximo (Fig. 67)

Figura 67: Bloque con Movimiento Inminente

A este valor se le llama ángulo de fricción estática y se le denota por Φs. A partir de la geometría de la figura 67 notamos que:

Si el bloque comienza a moverse, la magnitud de la fuerza de fricción cambia súbitamente a Fk; de la misma manera el ángulo entre R y N cambia y adquiere un valor más pequeño Φk llamado ángulo de fricción cinética (Fig. 68).

Figura 68: Bloque con Movimiento

9.4.2

CUÑAS

La cuña es un dispositivo simple que se usa para obtener el mismo efecto que con una palanca, es decir, para producir una ventaja mecánica; consiste en una pieza de madera o de metal terminada en ángulo diedro muy agudo. Técnicamente es un doble plano inclinado portátil. Sirve para hender o dividir cuerpos sólidos, para ajustar o apretar uno con otro, para calzarlos o para llenar alguna raja o círculo. El funcionamiento de la cuñas responden al mismo principio del plano inclinado. Al moverse en la dirección de su extremo afilado, la cuña genera grandes fuerzas en sentido perpendicular a la dirección del movimiento. Ejemplos muy claros de cuñas son hachas, cinceles y clavos aunque, en general, cualquier herramienta afilada, como el cuchillo o el filo de las tijeras, puede actuar como una cuña.

Figura 69: Cuña

65 9.4.3

TORNILLOS DE ROSCA CUADRADA

Los tornillos de rosca cuadrada se utilizan en gatos mecánicos, prensas y otros dispositivos que producen una gran fuerza axial al aplicar un par relativamente pequeño respecto al eje del tornillo. Un tornillo de rosca cuadrada puede considerarse como una barra de sección transversal rectangular enrollada alrededor de un cilindro en forma de hélice, como se muestra en la figura.

Figura 70: Tornillos de Rosca Cuadrada

El ángulo θ de la hélice se llama ángulo de avance, la distancia ρ entre las roscas se conoce como paso y el radio medio de las roscas se denota como r. Estos parámetros están relacionados por: Ρ = 2πr tan θ

La figura, muestra un tornillo que se usa como gato mecánico. Suponiendo que el par Co llamado par de torsión es suficientemente grande, ocasionará que el tornillo avance, elevando así el peso W. El análisis de éste problema se simplifica al recordar que en la Teoría de Coulomb la fuerza de fricción es independiente del área de contacto.

Figura 71: Tornillo que se usa como Gato Mecánico

Par de Torsión mínimo que ocasionará que el peso W se mueva hacia arriba, es:

(Co)hacía arriba = Wr tan(Φs + θ)

Par de Torsión mínimo que ocasionará que el peso W se mueva hacia abajo, es:

(Co)hacía abajo = Wr tan(Φs - θ)

9.4.4

CUERDAS Y BANDAS PLANAS

La teoría de la fricción de Coulomb también puede usarse para analizar las fuerzas que actúan ente un cuerpo flexible, como una cuerda o banda, y una superficie con fricción. La figura muestra un peso W que se mantiene en equilibrio estático por una cuerda que pasa sobre una espiga. Si la espiga no tiene fricción, entonces P = W; es decir, la espiga simplemente invierte la dirección de la cuerda sin cambiar la tensión. Si la superficie de contacto entre la espiga y la cuerda tiene fricción, la fuerza de fricción ayudará a impedir que el cuerpo caiga. En este caso, es posible tener P W y aún así mantener el equilibrio. Las bandas motrices y los frenos de banda, son ejemplos concretos de éste caso. En una banda motriz, la fricción entre la banda y las poleas permite que se transmita potencia entre ejes giratorios. Los frenos de banda usan la fricción entre una banda (o correa) y un tambor cilíndrico para reducir la velocidad de maquinaria rotatoria.

Figura 72: Cuerdas y Bandas Planas

CAPÍTULO X MOMENTO DE INERCIA

La inercia es la propiedad de la materia que hace que ésta resista a cualquier cambio en su movimiento, ya sea de dirección o de velocidad. Esta propiedad se describe con precisión en la primera ley del movimiento del científico británico Isaac Newton, que dice lo siguiente: “un objeto en reposo tiende a permanecer en reposo, y un objeto en movimiento tiende a continuar moviéndose en línea recta, a no ser que actúe sobre ellos una fuerza externa”. Por ejemplo, los pasajeros de un automóvil que acelera, sienten contra la espalda la fuerza del asiento, que vence su inercia y aumenta su velocidad. Cuando éste frena, los pasajeros tienden a seguir moviéndose y salen despedidos hacia delante. Si realiza un giro, un paquete situado sobre el asiento se desplazará lateralmente, porque la inercia del paquete hace que tienda a seguir moviéndose en línea recta.

10.1

DEFINICIÓN DE MOMENTO DE INERCIA

Cualquier cuerpo que gira alrededor de un eje presenta inercia a la rotación, es decir, una resistencia a cambiar su velocidad de rotación y la dirección de su eje de giro. La inercia de un objeto a la rotación está determinada por su momento de inercia, que no es más que la resistencia que un cuerpo en rotación opone al cambio de su velocidad de giro. El momento de inercia desempeña en la rotación un papel equivalente al de la masa en el movimiento lineal. Por ejemplo, si una catapulta lanza una piedra pequeña y una grande, aplicando la misma fuerza a cada una, la piedra pequeña se acelerará mucho más que la grande. Cuanto más lejos está la masa del centro de rotación, mayor es el momento de inercia.

Figura 73: Momento de Inercia

El momento de inercia de un objeto depende de su masa y de la distancia de la masa al eje de rotación. Este momento no es una cantidad única y fija, ya que si se rota el objeto en torno a un eje distinto, tendrá un momento de inercia diferente, puesto que la distribución de su masa en relación al nuevo eje es normalmente distinta.

10.2

DETERMINACIÓN DEL MOMENTO DE INERCIA DE UN ÁREA

En la figura 74, la superficie de área A está contenida en el plano x-y. Los momentos de inercia elementales del elemento dA respecto a los x e y son, por definición:

Las ecuaciones rectangulares.

anteriores,

son

conocidas

como

momentos

Figura 74: Momento de Inercia de un Área

Donde la integración se extiende a toda la superficie. El momento de inercia respecto al polo O (eje z) es, por definición:

llamado momento polar de inercia. Como de la figura 74:

es evidente que:

inercia

69 10.3

MOMENTO DE INERCIA DE ÁREAS CONOCIDAS:

Figura 75: Momento de Inercia de Áreas Conocidas

70 10.4

RADIO DE GIRO DE UN ÁREA

El radio de giro de área, es comúnmente usado en algunas aplicaciones estructurales de la ingeniería. Los radios de giro de un área respecto al eje x, al eje y y al punto O se definen como:

La dimensión del radio de giro es (L). Sin embargo, el radio de giro no es una distancia con un claro significado físico, ni puede ser determinado por medición directa; su valor puede determinarse sólo por cálculo usando las ecuaciones anteriores.

10.5

TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS O TEOREMA DE STEINER:

Existe una relación simple entre los momentos de inercia respecto a dos ejes paralelos, siempre que uno de los ejes pase por el centroide del área.

Figura 76: Teorema de los Ejes Paralelos

71 En la figura 76, los ejes pasan por el centroide C de la superficie, Vamos a determinar los momentos de inercia de la superficie respecto a los ejes X – Y paralelos a ellos. Por definición, el momento de inercia del elemento respecto al eje X es:

Conviene recalcar dos hechos. Primero, los ejes entre los que se traslada el momento de inercia deben ser paralelos y, segundo, uno de esos ejes debe pasar por el centroide de la superficie. Si se desea trasladar el momento de inercia entre dos ejes ninguno de los cuales pase por el centroide, primero habría que trasladarlo desde el primer eje al eje centroidal paralelo a ese primer eje y, luego, desde ese eje centroidal al segundo eje. El Teorema de Steiner es también válido para los radios de giro. Donde sustituyendo se tiene:

10.6

MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREAS COMPUESTAS

Un área compuesta A, que está constituida por varias áreas componentes A1, A2, A3…. Como la integral que representa el momento de inercia de A puede subdividirse en integrales evaluadas sobre A1, A2, A3…, el momento de inercia de A con respecto a un eje dado se obtiene sumando los momentos de las áreas A1, A2, A3…con respecto al mismo eje. Este procedimiento, conocido como el método de las áreas compuestas, se deriva directamente de la propiedad de las integrales definidas: la integral de una suma es igual a la suma de las integrales.

Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas 1. Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples 2. Determinar las áreas de las partes, designarlas por

3. Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes respecto a los ejes X e Y. Y calcular el cdm por todas las áreas parciales anteriores.

con

de toda la figura formada

72 4. Calcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total de la figura. 5. Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de masas (que serán paralelos a x e y). Designar como: i-ésima.

, para el área

6. Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y aplicando el teorema del eje paralelo, es decir, el Teorema de Steiner: y 7. Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los momentos anteriores:

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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ANEXOS

ANEXO 1: PROPIEDADES DE SECCIONES DE ACERO LAMINADO (Sistema estadounidense)