Función de Regresión Polinomial para la Estimación del Volumen de la Laguna Palcacocha en Sus Diferentes Niveles de Cota
Resultados El análisis de regresión con la ecuación cúbica obtenida a partir de los datos provenientes de la laguna Palcacocha demuestra que existe una relación estadísticamente significativa entre las variables, y el ajuste que proporciona es mejor que lo obtenido con la ecuación cuadrática. Por tal motivo, esta expresión puede usarse para hacer estimaciones y predicciones de valores de la variable dependiente (volumen de agua de la laguna Palcacocha) a partir de valores de la variable independiente (niveles de cota de la laguna) que están dentro del rango de la muestra. Al realizar una estimación puntual de un valor de la variable respuesta Y dado un valor de de la variable independiente X, no se tiene idea alguna de la precisión asociada con el valor estimado. Por ello, aunque la función de regresión tenga el mejor ajuste y sea estadísticamente significativa, no solo se deben hacer estimaciones puntuales de los valores de Y, también es necesario realizar estimaciones de intervalos de predicción de la variable Y que correspondan a determinado valor de X. Supóngase que se desea estimar el volumen de agua que se tiene almacenada a un nivel de la cota igual a 4555.50 metros. Usando la función polinomial cúbica: Y = - 1.20E+11 + 93922079 X - 23964 X2 + 2.005 X3 Reemplazamos el valor X (cota) por 4535.50 y se obtiene: Y = 6682597.897 Para determinar un estimado del intervalo de predicción, debemos determinar primero la varianza asociada al volumen estimado de Y como un valor individual de Y. Esta varianza está formada por la suma de dos componentes: • La varianza de los valores individuales de Y respecto del promedio cuyo estimado es S2, • La varianza asociada al uso del estimador de Y para estimar E(Y) cuyo estimado es S2y. Así, el estimado de la varianza de un valor individual está dado por: S2ind = S2 + S(y)
Revista de Glaciares y Ecosistemas de Montaña 3 (2017): 59-66
Por consiguiente, un estimado de la desviación estándar de un valor estimado individual de Y está dado por (Ecuación 7).
…(7)
La ecuación general para un estimado del intervalo de predicción para un valor individual de Y dado un valor particular de X es:
Ŷ ± T α/2 * Sind
En donde el coeficiente de confianza es 1 y Tα/2 se basa en una distribución T-estudent con n-3 grados de libertad. Para determinar un estimado de intervalo de predicción del 95% para el volumen de agua de la laguna Palcacocha, se necesita el valor de T para α/2=0.025 y n–3= 67 grados de libertad. Así, con Ŷp = 6682597.897, T0.025 = 1.9960 y Sind = 95683.0, se tiene: LC (Ŷ) = 6682597.897 ± 1.9960 * 95683.0 Entonces, el LSC (Ŷ) = 6873581.165
LIC (Ŷ) = 6491614.629
Entonces, con una confianza del 95%, se puede decir que el volumen del agua que almacena la laguna Palcacocha, considerando un nivel de cota = 4535.50 se encuentra entre 6874173.777 y 6491022.017 metros cúbicos.
Discusión Uno de los conceptos fundamentales sobre el que se ha basado este análisis es que la ecuación de regresión cúbica, obtenida a partir de los datos de la muestra, es un estimado de los parámetros del modelo para la población. Por lo tanto, es posible determinar intervalos de confianza para los estimadores de regresión. El análisis de regresión muestra, por defecto, el intervalo de confianza del 95% para cada uno de los parámetros. La Tabla 2 presenta los valores inferior y superior para el intervalo de confianza del 95% de los parámetros del modelo. Para ŶPunt = 6682597.897, se tiene los intervalos de confianza: 6874173.777 y 6491022.017
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