International Journal of Modern Engineering Research (IJMER) www.ijmer.com Vol.2, Issue.6, Nov-Dec. 2012 pp-4244-4255 ISSN: 2249-6645 The flexibility matrix of the structure can be determined using the principle of virtual work. By applying the unit load theorem the deflection in beams or frames can be determined for the combined action of the internal stresses, bending moment and axial forces with đ??ˇ=
đ?‘€đ?‘€ đ??¸đ??ź
đ?‘ đ?‘
đ?‘‘đ?‘ +
đ??¸đ??´
đ?‘‘đ?‘ .
.
.
1 đ?‘‘ 11
12đ??¸đ??ź1 đ??ź2 đ??´1
=
đ??ź1 đ??´1 đ?‘™ 3 +6đ??ź2 đ??´1 đ?‘™ 2 â„Ž +24đ??ź1 đ??ź2 â„Ž
đ?‘‘ 33 2 đ?‘‘ 22 đ?‘‘ 33 −đ?‘‘ 23
(9)
đ?‘‘ 32
Where đ?‘€ and đ?‘ are the virtual internal stresses while M and N are the real/actual internal stresses.
2 đ?‘‘ 22 đ?‘‘ 33 −đ?‘‘ 23
đ?‘‘ 22
.
. .
= 2đ??´
3đ??¸đ??ź1 đ??´2 (đ?‘™đ??ź1 +2â„Žđ??ź2 ) 2 2 3 4 2 â„Ž đ?‘™đ??ź1 +3đ??ź1 đ?‘™ +đ??´2 â„Ž đ??ź2 +6â„Žđ?‘™đ??ź1 đ??ź2
= 2đ??´
−3đ??¸đ??ź1 đ??ź2 đ??şđ??´2 â„Ž 2 2 2 3 4 2 â„Ž đ?‘™đ??ź1 +3đ??ź1 đ?‘™ +đ??´2 â„Ž đ??ź2 +6â„Žđ?‘™đ??ź1 đ??ź2
(15a)
.
(15c)
đ??¸đ??ź1 đ??ź2 2đ??´2 â„Ž 3 +3đ??ź1 đ?‘™ 3 2đ??´2 â„Ž đ?‘™đ??ź1 +3đ??ź12 đ?‘™ 2 +đ??´2 â„Ž 4 đ??ź2 +6â„Žđ?‘™đ??ź1 đ??ź2
=
(15b)
.
(15d)
E is the modulus of elasticity of the structural material
2 đ?‘‘ 22 đ?‘‘ 33 −đ?‘‘ 23
A is the cross-sectional area of the element (McGuire et al, 2000; Nash, 1998)
Equation (12) is evaluated to get the redundant forces and these are substituted into the structures force equilibrium (superposition) equations to obtain the internal stresses at any point.
If dij is the deformation in the direction of i due to a unit load at j then by evaluating equation (9) the following are obtained: đ?‘‘11 =
đ??ź1 đ??şđ??´1 đ?‘™ 3 +6đ??ź2 đ??´1 đ?‘™ 2 â„Ž +12đ??ź1 đ??ź2 â„Ž 12đ??¸đ??ź1 đ??ź2 đ??´1
đ?‘‘12 = 0 .
.
đ?‘‘13 = 0 . đ?‘‘22 = đ?‘‘23 = đ?‘‘33 =
−ℎ 2 đ??¸đ??ź1
.
.
đ??¸đ??ź1 đ??ź2
.
. .
.
đ?‘™đ??ź1 +2â„Ž đ??ź2
(10a)
. .
.
3đ??¸đ??ź1 đ??´2
.
. .
.
2đ??´2 â„Ž 3 +3đ??ź1 đ?‘™
.
(10b)
.
(10c) (10d)
.
.
.
(10e)
.
.
(10f)
From Maxwell’s Reciprocal theorem and Betti’s Law dij = dji. The structure’s compatibility equations can be written thus �11 �21 �31
đ?‘‘11 đ?‘‘21 đ?‘‘31
đ?‘‘11 đ?‘‘21 đ?‘‘31
đ?‘‘10 đ?‘‹1 đ?‘‹2 + đ?‘‘20 = 0 . đ?‘‹3 đ?‘‘30
i.e. đ?‘“đ??š + đ?‘‘đ?‘œ = 0 .
đ?‘“ −1 =
đ??´đ?‘‘đ?‘— đ?‘“
.
(12)
.
1
đ?‘“ −1 = 0 0
0
8đ??¸đ??ź1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(17b)
đ?‘‘30 =
−đ?‘¤ đ?‘™ 2 (đ?‘™đ??ź1 +6â„Žđ??ź2 ) 24đ??¸đ??ź1 đ??ź2
.
.
(17c)
By substituting the values of equations (17a) – (17c) into equations (12)
đ?‘‹3 =
.
.
.
.
(18a)
−đ??´2 đ??ź1 đ?‘¤â„Ž 2 đ?‘™ 3
.
2đ??´2 â„Ž 3 đ?‘™đ??ź1 +3đ??ź12 đ?‘™ 2 +đ??´2 â„Ž 4 đ??ź2 +6â„Žđ?‘™đ??ź1 đ??ź2
đ?‘¤ đ?‘™ 2 2đ??´2 â„Ž 3 đ?‘™đ??ź1 +3đ??ź12 đ?‘™ 2 +3đ??´2 â„Ž 4 đ??ź2 +18â„Žđ?‘™đ??ź1 đ??ź2 24 2đ??´2 â„Ž 3 đ?‘™đ??ź1 +3đ??ź12 đ?‘™ 2 +đ??´2 â„Ž 4 đ??ź2 +6â„Žđ?‘™đ??ź1 đ??ź2
.
(18b) (18c)
Evaluating equation (16) for different points on the structure using the force factors obtained in equations (18a) – (18c) 2đ?‘¤đ?‘™ 3 đ??ź1 â„Ž 3 đ??´2 −3đ?‘™đ??ź1
đ?‘€đ??´ = 12
2đ??´2 â„Ž 3 đ?‘™đ??ź1 +3đ??ź12 đ?‘™ 2 +đ??´2 â„Ž 4 đ??ź2 +6â„Žđ?‘™đ??ź1 đ??ź2
đ?‘€đ??ľ = 24
2đ??´2 â„Ž 3 đ?‘™đ??ź1 +3đ??ź12 đ?‘™ 2 +đ??´2 â„Ž 4 đ??ź2 +6â„Žđ?‘™đ??ź1 đ??ź2
. .
(19)
−2đ?‘¤đ?‘™ 3 đ??ź1 2â„Ž 3 đ??´2 +3đ?‘™đ??ź1
. .
(20)
.
(21)
0
đ?‘‘ 33
−đ?‘‘ 32
2 đ?‘‘ 22 đ?‘‘ 33 −đ?‘‘ 23 −đ?‘‘ 23
2 đ?‘‘ 22 đ?‘‘ 33 −đ?‘‘ 23 đ?‘‘ 22
2 đ?‘‘ 22 đ?‘‘ 33 −đ?‘‘ 23
2 đ?‘‘ 22 đ?‘‘ 33 −đ?‘‘ 23
From equations 10a – 10f
(16)
(13)
(Stroud, 1995) đ?‘‘ 11
� ℎ 2�2
.
(11b)
.
.
đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ą đ?‘“
đ?‘‘20 =
đ?‘‹2 = 4 .
.
đ?‘‘10 = 0 . . (17a)
đ?‘‹1 = 0 .
.
.
Where M is the required stress at a point, Mo is the stress at that point for the reduced structure, Mi is stress at that point when the only the redundant force Xi =1 acts on the reduced structure. For the loaded portal frame of Figure 3, the deformations of the reduced structure due to external loads are
(11a)
Where F is the vector of redundant forces X1, X2, X3 and do is the vector deformation d10, d20, d30 due to external load on the basic system (Jenkins, 1990). đ??š = đ?‘“ −1 (−đ?‘‘đ?‘œ ) .
đ?‘€ = đ?‘€đ?‘œ + đ?‘€1 đ?‘‹1 + đ?‘€2 đ?‘‹2 + đ?‘€3 đ?‘‹3 .
.
(14)
đ?‘€đ??ś = đ?‘€đ??ś =
www.ijmer.com
−2đ?‘¤ đ?‘™ 3 đ??ź1 2â„Ž 3 đ??´2 +3đ?‘™đ??ź1 24 2đ??´2 â„Ž 3 đ?‘™đ??ź1 +3đ??ź12 đ?‘™ 2 +đ??´2 â„Ž 4 đ??ź2 +6â„Žđ?‘™đ??ź1 đ??ź2 −đ?‘¤ đ?‘™ 3 đ??ź1 8đ??ź2 â„Ž 3 +đ?‘ 2 đ?‘™ 3 đ??ź1 12 4â„Ž 3 đ??ź2 2đ?‘™đ??ź1 +â„Ž đ??ź2 +đ?‘ 2 đ?‘™ 3 đ??ź1 đ?‘™đ??ź1 +2â„Ž đ??ź2
4246 | Page