Tesi di laurea igor trestini 2003

` DI BOLOGNA UNIVERSITA

Facolt`a di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni Comunicazioni Elettriche L-A

Tesi di Laurea

Analisi delle Prestazioni di Codici Spazio Tempo con Concatenazione Seriale

Relatori: prof. Marco Chiani Ing. Alexandre Graell i Amat Ing. Andrea Conti Candidato: Igor Trestini

Dicembre 2003

Sommario La rapida crescita di utenti nel traffico mobile vocale, di internet e di strumentazioni portatili ha aumentato rapidamente (e probabilmente aumenter`a ancora) la richiesta di servizi multimediali wireless. La ormai matura seconda generazione (2G) di sistemi digitali cellulari (GSM, Global System for Mobile Communications) fornisce una buona qualit`a vocale, tuttavia non riesce a garantire una altrettanto buona qualit`a nel servizio di trasmissioni dati ( a causa della limitata velocit`a di trasmissione del sistema). Il desiderio di supportare servizi di trasmissione dati a maggior velocit`a, in aggiunta al sevizio di telefonia mobile vocale, e` stato, e probabilmente sar`a, il fattore primario per lo sviluppo dei servizi della terza (3G) o future generazioni. La neonata terza generazione di servizi di comunicazione wireless europea (UMTS, Universal Mobile Telecomunications System Standard) basata sulla tecnologia wideband code division multiple access (WCDMA) supporta segnali di fonia e di trasmissione dati grazie all’alta velocit`a di trasmissione che pu`o arrivare fino a 2 Mbit/s.

Le barriere all’ulteriore sviluppo di questo tipo di servizi sono rappresentate dalla bassa frequenza di bit, dall’alto consumo di potenza e dall’alto costo per bit. I sistemi della terza generazione hanno aumentato la frequenza di bit e diminuito il costo per bit trasmesso. Tuttavia i metodi di processamento del segnale possono essere applicati per abbassare ulteriormente il tasso di errore, il consumo di potenza e il costo per bit. Inoltre i metodi di processamento del segnale possiedono le potenzialit`a per ottenere le future richieste di velocit`a di trasmissione senza espandere la richiesta di banda.

Tra i metodi di processamento del segnale e` possibile distinguere tra il processamento temporale del segnale che unisce assieme la modulazione e la codifica di canale e il processamento spazio temporale che utilizza antenne multiple in trasmissione e ricezione.

Il metodo di processamento temporale del segnale che viene analizzato dalla tesi e` la turbo codifica. Il punto di partenza verso i Turbo Codici e` stato il teorema di Shannon che nel 1948 in [1] ha sviluppato i limiti fondamentali sulla efficienza di un canale rumoroso. Il teorema di codifica asserisce che esistono codici con

I

tasso di codifica vicina alla capacit`a del canale e con probabilit`a di errore arbitrariamente vicina a zero. Da allora gli studiosi di codifica hanno lavorato per trovare codici che raggiungessero il limite di capacit`a di Shannon pur mantenendo un ritardo di decodifica ed una complessit`a accettabili. I codici concatenati di Forney sono stati il primo passo in questa direzione e i Turbo Codici, inizialmente presentati da Berrou in [2] nel 1993 e successivamente formalizzati in [3], rappresentano il punto culminante dello sforzo di costruire codici potenti utilizzando codici semplici. La versione originale dei Turbo Codici e` stata una concatenazione parallela di due codificatori convoluzionali costituenti in cui l’informazione di ingresso al secondo codificatore e` una versione permutata dell’informazione di ingresso al primo decodificatore. Le incredibili prestazioni dei Turbo Codici hanno motivato l’estensione del principio turbo ad altre strutture e il loro sfruttamento in applicazioni come l’equalizzazione e la codifica di sorgente. Questa tesi analizzer`a una architettura in cui i due codificatori siano concatenati in serie.

Il metodo di processamento spazio temporale invece utilizza antenne multiple in trasmissione e ricezione per minimizzare l’effetto del fading. Si e` appena evidenziato come un risultato importante nella codifica e` stato rappresentato dall’invenzione dei turbo codici che riescono ad avere performance vicine al limite di capacit`a di Shannon. Tuttavia, la codifica da sola non pu`o risolvere pienamente il problema dei cammini multipli di un canale: ci`o significa che la capacit`a per un canale a un’ingresso e ad una uscita (SISO, single-input single-output) e` limitata a un piccolo intervallo. Invece l’uso di antenne multiple in trasmissione e ricezione in combinazione con codifica e processamento del segnale e` una strada promettente per il miglioramento delle prestazioni di sistemi di comunicazione wireless in ambiente con fading. Un modello di analisi di un generico sistema spazio tempo che impieghi antenne multiple in trasmissione e ricezione e` rappresentato dal modello MIMO (multiple input multiple output) e la capacit`a di un canale MIMO con fading cresce, in teoria, linearmente con il numero di antenne in trasmissione e ricezione. Infatti scoperte recenti nella teoria dell’informazione hanno rivoluzionato il tradizionale punto di vista che vedeva i cammini multipli come un danno.

Per avvantaggiarsi di questi nuovi risultati e` stato recentemente inventato un metodo che fornisce sia guadagno di codifica sia vantaggi in diversit`a: la codifica spazio tempo. Sono state proposte varie tecniche per implementarlo e per trattare l’inevitabile interferenza mutua tra i multipli sottocanali SISO di un canale MIMO sfruttandone le potenzialit`a: la Bell Laboratories Space Time Wireless Architecture (BLAST), la Codifica Spazio Tempo a Blocco (STBC) e la Codifica Spazio Tempo a Traliccio (STTC). L’idea di base che risiede dietro a esse e` di utilizzare a proprio vantaggio i cammini multipli del canale piuttosto che di mitigarne gli effetti indesiderati.

II

La tesi si concentrer`a sulla codifica Spazio Tempo a Traliccio. Originariamente proposta da Tarokh at. al. [6] si ottiene introducendo ridondanza temporale attraverso le antenne trasmittenti. Questa codifica aggiunge la dimensione spaziale alla dimensione temporale assumendo come sconosciuta la conoscenza del canale al ricevitore. Infatti i bit di informazione della sorgente sono codificati in vari sottosegnali, uno per ogni antenna trasmittente, antenna da cui poi il sottosegnale viene trasmesso dopo essere stato modulato.

Ricapitolando: la turbo codifica e` un modo di avvicinarsi al limite di Shannon della capacit`a di canale mentre la codifica spazio tempo e` un modo di aumentare la capacit`a del canale affetto da fading sfruttando proprio i cammini multipli del canale MIMO affetto da fading. Allora una combinazione di codici turbo spazio tempo, che incorpori i due concetti, pu`o rappresentare la via per, contemporaneamente, aumentare e avvicinare la capacit`a limite di un canale MIMO. La tesi e` organizzata nel seguente modo. Nel capitolo (1) si espone una trattazione approfondita della turbo codifica e dell’algoritmo usato per la sua decodifica, basato sull’algoritmo BCJR dalle iniziali dei nomi dei suoi ideatori [4].

Nel capitolo (2) inizialmente si approfondiscono le tematiche legate alla codifica spazio tempo e se ne introducono le principali tecniche di implementazione.

Infine si descrive in dettaglio lo schema, proposto da questa dissertazione, di turbo codificatore concatenato in serie. Il lavoro della tesi, svolto in parte presso l’ Universitat Pompeu Fabra di Barcellona e in parte presso il Politecnico di Torino si propone lo studio di uno schema di codifica-decodifica caratterizzato dalla concatenazione seriale di un codice convoluzionale con un codice spazio tempo, entrambi ricorsivi. Per il codificatore si e` scelto un approcio a terminazione di traliccio, per il decodificatore si e` lavorato con la versione moltiplicativa dell’algoritmo BCJR. Si e` inoltre utilizzata la punturazione del codice esterno allo scopo di ottenere un tasso elevato senza aumentare la complessit`a della decodifica. Si utilizza una modulazione 4PSK, un interlacciamento sui bit, sequenze di informazione di 1024 e 100 simboli, due antenne in trasmissione e una o due antenne in ricezione.

Nel capitolo (3) si espongono i risultati delle simulazioni svolte con l’implementazione, in linguaggio C, dello schema proposto. Si confrontano varie tipologie di codice,per vari tipi di punturazione, due antenne in trasmissione, una e due antenne in ricezione. Si confrontano i risultati ottenuti per canali affetti da fast fading e da slow fading.

Infine nel capitolo (4) si presentano le conclusioni.

III

Ringraziamenti Grazie a tutti coloro che mi hanno sostenuto e aiutato nello svolgimento di questo lavoro.

IV

Indice Sommario

I

Ringraziamenti

IV

1 Turbo Codici 1.1 Introduzione alla codifica di canale . . . . . . . . .

1.1.1 Limite di capacit`a di Shannon . . . . . . .

1.2 I Codici Convoluzionali . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 I turbo Codici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1 Interlacciatore . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.2 Terminazione del traliccio . . . . . . . . .

1.3.3 Punturazione . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Decodifica iterativa dei TC . . . . . . . . . . . . .

1.4.1 L’algoritmo euristico di decodifica iterativa 1.4.2 L’algoritmo SISO . . . . . . . . . . . . .

2 Codici Turbo Spazio Tempo 2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Processamento Spazio Tempo . . . . . . . . . .

2.2.1 Codifica Spazio Tempo a Traliccio . . . .

2.2.2 Codifica Spazio Tempo a Blocco . . . . .

2.3 Turbo Codice Spazio Tempo Concatenato in Serie 2.3.1 Descrizione del Sistema di Codifica . . .

2.3.2 Descrizione del Sistema di Trasmissione .

2.3.3 Descrizione del Sistema di Decodifica . .

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17 17 18 19 21 22 23 24 25

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3 Implementazione e simulazioni sul canale affetto da fading 3.1 Codici Proposti dalla Tesi . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Confronto di prestazioni tra architetture equivalenti . . .

3.3 Punturazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Canale affetto da Slow Fading . . . . . . . . . . . . . .

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29 . 30 . 36 . 39 . 42

V

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1 1 3 4 4 6 7 7 8 10 15

INDICE

4 Conclusioni e ricerche future

43

Bibliografia

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VI

Elenco delle figure 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17

Diagramma a blocchi di un modello del sistema di trasmissione . .

Diagramma a blocchi del codificatore concatenato in serie . . . .

Diagramma a blocchi del codificatore concatenato in parallelo . .

Diagramma a blocchi del decodificatore concatenato in parallelo .

Codificatore a traliccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Singola sezione del traliccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Il modulo SISO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Modello di canale MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Modello di codifica spazio tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Modello di codifica spazio tempo a blocco . . . . . . . . . . . . .

Modello del turbo codificatore spazio tempo . . . . . . . . . . . .

Diagramma del sistema di trasmissione . . . . . . . . . . . . . .

Modello del turbo decodificatore spazio tempo . . . . . . . . . . .

Panoramica dei codici proposti dalla tesi, per canale affetto da fast fading, modulazione 4PSK e interlacciatore di dimensione 1024. .

Codificatori 164, 816 e 24 per R1 e R2. . . . . . . . . . . . . . .

Codificatori 84, 1616 e 88 per R1 e R2. . . . . . . . . . . . . . .

Codificatori 44, 168 e 44 per R1 e R2. . . . . . . . . . . . . . . .

Codificatori 48, 24 e 216 per R1 e R2. . . . . . . . . . . . . . . .

Codificatori proposti, nel caso R1. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Codificatori con codice esterno a 2 stati: 24, 28, 216. . . . . . . .

Codificatori con codice esterno a 4 stati: 44, 48, 416. . . . . . . .

Codificatori con codice esterno a 8 stati: 84, 88, 816. . . . . . . .

Codificatori con codice esterno a 16 stati: 164, 168, 1616. . . . . .

Codificatori con codice interno a 4 stati: 24, 44, 84 e 164. . . . . .

Codificatori con codice interno a 8 stati: 28, 48, 88 e 168. . . . . .

Codificatori con codice interno a 16 stati: 216, 416, 816 e 1616. .

Confronto nel caso R1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Confronto nel caso R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Punturazione P1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Confronto tra P1 e non punturati. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VII

2 5 5 8 13 14 14 18 20 21 23 24 25 30 31 32 32 33 34 34 35 35 36 37 37 38 38 39 40 40

ELENCO DELLE FIGURE

3.18 Confronto tra P1 e non punturati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.19 Punturazione P2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.20 Canale affetto da slow fading. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

VIII

Capitolo 1 Turbo Codici 1.1 Introduzione alla codifica di canale I progettisti dei primitivi sistemi di comunicazione digitale cercavano di raggiungere basse probabilit`a di errore sul bit trasmettendo ad alte potenze o usando bande pi`u larghe di quelle strettamente necessarie. Questo approcio ottiene buone prestazioni utilizzando le risorse pi`u preziose: la potenza e la larghezza spettrale di banda. Nel 1948 Shannon dimostr`o che alte prestazioni sono anche ottenibili chiamando in causa una terza risorsa: la complessit`a del sistema. Grazie a questa lezione attualmente sono largamente usate tecniche di codifica e di decodifica altamente complesse.

L’effetto dei difetti del canale, quali il rumore, le distorsioni, e l’attenuazione e` che il flusso binario destinato all’utente contiene errori. La probabilit`a di errore su questa sequenza binaria ricevuta e` uno dei pi`u importanti parametri di progetto di un sistema di comunicazione. Solitamente essa deve essere tenuta al di sotto di un certo valore prefissato che dipende dal campo di applicazione. Le tecniche di controllo della probabilit`a di errore sono basate sull’aggiunta di ridondanza alla sequenza di informazione. Il pi`u banale esempio e` la ripetizione dello stesso messaggio sul canale trasmissivo. Quando la ridondanza e` aggiunta a una sequenza binaria di sorgente di k cifre binarie si ottiene, in uscita dal codificatore di canale, una sequenza di n (con n > k) cifre binarie. In questo caso le 2k possibili sequenze di sorgente vengono mappate in un insieme di parole di codice di lunghezza n. Questo processo, eseguito dal codificatore di canale, e` senza memoria nel caso di codici a blocco e con memoria nel caso dei codici a traliccio di cui i codici convoluzionali ne sono un esempio. I codici sono classificati come codici a rivelazione di errore e come codici a correzione di errore (FEC, Forward Error correction). Come codici a rivelazione di errore nel caso in cui il decodificatore

1

1 – Turbo Codici

sorgente

u

codificatore di canale

x

modulatore

canale

utente

Figura 1.1.

decodificatore di canale

y

demodulatore

Diagramma a blocchi di un modello del sistema di trasmissione

di canale, osservando la sequenza ricevuta, si limiti a rivelare se si sono verificati o meno degli errori; esempi sono sistemi che utilizzano l’indicazione d’errore o la richiesta automatica di ripetizione (ARQ). Come codici a correzione di errore nel caso in cui il decodificatore di canale, osservando la sequenza ricevuta tenti di correggerli. Analizziamo i vantaggi che si ottengono usando la codifica di canale, rispetto a quelli che non la applicano, considerando il modello di figura (1.1). La sorgente emette cifre binarie alla frequenza di Rs bit/s e il codificatore di canale mappa ogni sequenza di k cifre di sorgente in una sequenza di codice di n cifre binarie. Rc , nk viene chiamato rate del codice.

Si sottintende in questo caso che l’ammontare di ridondanza della sorgente sia gi`a stata ridotta o idealmente rimossa.

La velocit`a di trasmissione sul canale deve essere aumentata fino al valore di Rs /Rc simboli binari al secondo pertanto la banda necessaria deve essere parimenti aumentata. Quindi l’utilizzo della codifica di canale diminuisce l’efficienza di banda rispetto alla trasmissione non codificata. Sebbene il risultato sembri negativo in realt`a, in un sistema di codifica correttamente progettato, il maggior numero di errori sui simboli di canale, dovuto alla diminuzione nell’efficienza nell’uso della banda, viene compensato dalle capacit`a di correzione dell’errore del codificatore. Pertanto una trasmissione codificata deve barattare l’efficienza nell’uso della banda con delle migliori prestazioni dal punto di vista della probabilit`a di errore, utilizzando la stessa potenza in trasmissione.

I simboli binari prodotti dal codificatore di canale sono presentati al modulatore e convertiti in una sequenza di forme d’onda utilizzando un sistema di modulazione.

Supponendo che il modulatore usi una modulazione binaria antipodale su canale AWGN, ogni simbolo binario codificato e` associato sul canale ad una forma d’onda binaria di durata T=Tc =Rc /Rs secondi. Questa durata e` inferiore a quella usata nel caso non codificato e indicando con Eb l’energia per bit di informazione, mantenendo costante la potenza trasmessa, possiamo concludere che la codifica diminuisce l’energia per simbolo di canale al valore Es = Eb Rc . Ancora ne risulta 2

1 – Turbo Codici

che un maggior numero di simboli di canale risulteranno errati rispetto al caso di trasmissione non codificata ma, come visto precedentemente, il maggior numero di errori sui simboli di canale verr`a compensato dalle capacit`a di correzione dell’errore del codificatore.

Rispetto alla operazione di codifica il codificatore si dice sistematico quando i primi k bit di ogni parola di codice x coincidono con i k bit della parola di dati u. E` uso comune dire che un codice, anzich`e il suo codificatore, e` sistematico.

Il demodulatore , nel caso sia hard, e` utilizzato per prendere la decisione se ogni forma d’onda binaria rappresenti uno 0 o un 1. Nel caso di decodifica a decisione hard l’uscita del demodulatore e` quantizzata su due livelli indicati con 1 e 0.

La sequenza di cifre binarie all’uscita del demodulatore e` inviata al decodificatore. Esso tenta di ricostruire la sequenza di informazione utilizzando la ridondanza o per rivelare o per correggere gli errori presenti all’uscita del demodulatore.

Invece nel caso di decodifica non quantizzata a decisione soft, l’uscita non quantizzata del demodulatore e` inviata al decodificatore. Esso memorizza le n uscite corrispondenti ad ogni sequenza di n forme d’onda binarie e costruisce 2k variabili di decisione. Il processo di decodifica consiste nel scegliere una fra le 2k possibili sequenze quale sequenza a massima verosimiglianza. E` intuitivo che tale approcio offra un’affidabilit`a maggiore di quella ottenibile con il sistema a decisione hard dato che il decodificatore pu`o trarre vantaggio dall’informazione aggiuntiva contenuta nei campioni non quantizzati che rappresentano ogni singola forma d’onda binaria trasmessa.

Il vantaggio di un sistema di trasmissione codificato rispetto ad uno non codificato e` misurato dal suo guadagno di codifica. Esso e` definito come la differenza in decibel nel valore di Eb /N0 richiesto per ottenere una data probabilit`a di errore rispetto ad una trasmissione binaria antipodale ideale non codificata.

1.1.1 Limite di capacit`a di Shannon Nel 1948 Shannon dimostr`o che dato uno schema di codifica-decodifica di canale adeguato possiamo trasmettere informazione digitale attraverso il canale ad una velocit`a inferiore alla capacit`a del canale con una probabilit`a di errore arbitrariamente piccola. La codifica a correzione di errore e` la tecnica usata per raggiungere questo obiettivo.

Il famoso limite di capacit`a di Shannon per un canale additivo gaussiano bianco (AWGN) a banda limitata e` : C = log2 (1 +

Es ) N0

dove Es e` l’energia per simbolo e N0 /2 e` la densit`a di rumore bilaterale.

3

1 – Turbo Codici

1.2 I Codici Convoluzionali In funzione del modo in cui il codificatore associa le sequenze di codice alle sequenze di informazione i codici si classificano in due classi: codici a blocco e codici convoluzionali. Nel caso dei codici a blocco la sequenza di informazione e` segmentata in blocchi codificati indipendentemente tra loro per formare la sequenza codificata come una successione di parole di codice indipendenti di lunghezza fissa. I codici convoluzionali si comportano in modo diverso. Gli n0 bit che il codificatore genera in corrispondenza dei k0 bit di informazione dipendono dai k0 bit di informazione e anche da alcuni frame di dati precedenti: il codificatore convoluzionale ha una memoria.

Un codificatore convoluzionale binario e` un sistema a memoria finita che produce in uscita n0 bit ogni k0 bit che si presentano in ingresso. Il tasso del codice e` definito come Rc = k0 /n0 . Inoltre gli n0 bit generati dipendono non solo dai corrispondenti k0 bit in ingresso ma anche dai precedenti (N-1)k0 bit. Indichiamo questo codice come codice convoluzionale (n0 ,k0 ,N ).

Per descrivere il codificatore si user`a la matrice funzione di trasferimento G   g1,1 . . . g1,n0  . .     . .

G= (1.1)    . .  gk0 ,1 . . . gk0 ,no dove gi,j , chiamato generatore, e` un vettore binario di N elementi e descrive le connessioni, ottenute attraverso sommatori a modulo-2, dall’ i-mo ingresso alla j-ma uscita.

Inoltre, sempre per descrivere il CC, si user`a una rappresentazione a traliccio che verr`a spiegata in maggior dettaglio successivamente.

1.3 I turbo Codici Comparando la frequenza di taglio e il limite di capacit`a di Shannon si pu`o osservare, ad esempio per codici di tasso 1/2, un guadagno di codifica addizionale di 2.4dB. Tuttavia l’eccessiva complessit`a, degli algoritmi di decodifica necessari a operare in questa regione, ha a lungo impedito di sfruttarlo. E` stato solo nel 1993 che, con l’articolo di Berrou et al. [2], si e´ constatata la possibilit´a di raggiungere prestazioni a solo 0.5 dB sopra al limite di Shannon, a una probabilit´a di errore per bit di 10−5 . Questo grazie a questa nuova classe di codici concatenati con

4

1 – Turbo Codici

u

codificatore esterno

Figura 1.2.

interlacciatore

x

codificatore interno

Diagramma a blocchi del codificatore concatenato in serie

Ys

u codificatore superiore

Yp1

interlacciatore

codificatore inferiore

Figura 1.3.

Yp2

Diagramma a blocchi del codificatore concatenato in parallelo

interlacciatori: i Turbo Codici(TC). Essi sono a tutt’oggi un metodo di codifica molto efficiente dal punto di vista della protezione dagli errori.

In generale il TC e` un codificatore a blocco con una struttura basata su due codici costituenti, che possono essere sia codici a blocco sia codici convoluzionali, e uno o pi`u interlacciatori. Possono essere connessi in serie o in parallelo. Nella figura (1.2), si mostra una concatenazione seriale, composta dalla cascata di un codice esterno (outer code) Co (k,p) con tasso Rco =k/p e uno interno (inner code) Ci (p,n) con tasso Rci =p/n, concatenati attraverso un interlacciatore di lunghezza N. Il codice complessivo Cs (n,k,N) ha un tasso Rcs =Rco Rci =k/n.

Nella figura (1.3) si mostra una concatenazione parallela, i due codici costituenti C1 con parametri (n1 ,k) e tasso R1 = k/n1 e C2 con parametri (n2 ,k) e tasso R2 = k/n2 hanno in comune le parole d’informazione in ingresso e sono concatenati attraverso un interlacciatore di lunghezza N. I blocchi di parole in ingresso al secondo codificatore sono una versione permutata dei corrispondenti blocchi di ingresso al primo. Il codificatore superiore produce poi i bit di parit`a Yp1 (n) con n=0,...,N-1 mentre quello inferiore produce i bit di parit`a Yp2 (n) con n=0,...,N-1.

5

1 – Turbo Codici

L’interlacciatore π = (π1 ,...,πN ) e` una permutazione i −→ π(i) che mappa una sequenza di N simboli di ingresso sulla stessa sequenza in un ordine diverso; N viene chiamata lunghezza dell’interlacciatore. Il corrispondente deinterlacciatore π −1 rovescia il processo. Per facilitare la decodifica, come vedremo, si fa in modo che il codificatore inizi la sua evoluzione nello stato nullo e la termini nello stesso stato. Questo costringe ad aggiungere alla stringa di bit di sorgente alcuni bit di terminazione di coda che hanno appunto questo scopo.

La particolare struttura di tali codici si presta ad una decodifica subottima ma di complessit`a accettabile di tipo iterativo. Le prestazioni risultanti sono prossime ai limiti teorici previsti dalla teoria dell’informazione.

Infatti sebbbene la concatenazione dei due codificatori costituenti crei un dizionario di codice altamente casuale, in realt`a il codificatore e` comunque una macchina sequenziale (lineare) con un numero finito di stati, e quindi in teoria il codice sarebbe decodificabile con algoritmi noti, come quello di Viterbi, per stimare a massima verosimiglianza la sequenza di simboli in un blocco. A causa del permutatore per`o, la memoria del codificatore e` molto profonda (pari in generale alla lunghezza dell’interlacciatore), quindi il numero di stati nella descrizione della macchina a stati finiti e` altissima. Questo impedisce ogni tentativo di decodifica tradizionale basata su algoritmo di Viterbi o similari a complessit`a ridotta.

In altre parole, gli algoritmi a massima verosimiglianza come Viterbi hanno una complessit`a che cresce esponenzialmente con il numero degli stati del traliccio.

Quindi non sono applicabili ai TC che hanno una complessit`a degli stati che cresce esponenzialmente con la lunghezza N degli interlacciatori. La chiave di volta per la risoluzione del problema e` stata, per i TC, l’invenzione di un algoritmo di decodifica iterativa. Esso ha reso possibile, con complessit´a ragionevole, la loro decodifica.

1.3.1 Interlacciatore La permutazione e` implementata dal blocco interlacciatore. Questa permutazione e` pseudocasuale perch`e l’interlacciatore ha lo scopo di sparpagliare i bit di sorgente in un blocco nella maniera pi`u casuale possibile. In questo modo si implementa la strategia di codifica casuale di Shannon. La combinazione di due codificatori con l’interlacciatore fornisce la soluzione a due importanti problemi associati alla codifica: la creazione di codici con buone propriet`a di distanza e che possano essere efficacemente decodificati, attraverso una decodifica iterativa. La ragione per cui gli interlacciatori rendono possibile l’uso della decodifica iterativa e` che essi decorrelano simboli o bit vicini tra loro nella sequenza di ingresso al decodificatore. Questo e` fondamentale dato che gli elementi vicini tra loro che siano correlati hanno una influenza distruttiva sulle prestazioni del decodificatore.

In generale l’interlacciatore pu`o processare stringhe continue, tuttavia si vedr`a il 6

1 – Turbo Codici

loro input come suddiviso in blocchi di lunghezza N. Il riordino e` quindi svolto all’interno di questi blocchi. Tipicamente le prestazioni di un interlacciatore aumenta all’aumentare della sua lunghezza, ci`o ha un effetto positivo sia sulle propriet`a del codice sia sulle prestazioni di decodifica iterativa.

Si rappresentano le regole di interlacciamento attraverso l’uso del vettore π di lunghezza N, contenente la posizione che ogni simbolo di ingresso occupa dopo l’interlacciamento. Cos`ı, π(i) e` la posizione che il simbolo o il bit di ingresso i-mo occupa dopo l’interlacciamento.

1.3.2 Terminazione del traliccio Le prestazioni di un codice dipendono fortemente dalla distanza di Hamming tra parole di codice. Se un codice convoluzionale venisse troncato potrebbero avvenire severe degradazioni della sua distanza spettrale. Una soluzione al problema e` la terminazione di traliccio. Vengono appesi alla fine della sequenza di informazione un numero di simboli ν pari al numero di elementi di memoria del codificatore.

Questi bit vengono scelti in modo che dopo la terminazione il codificatore termini nello stato zero. In questo modo la distanza spettrale e` preservata.

Nel caso di codici convoluzionali feed-forward (cio`e privi di retroazione) la terminazione di traliccio e` ottenuta facilmente appendendo ν simboli, tutti a zero, alla stringa codificata. Nel caso invece di codificatori ricorsivi i bit appesi deriveranno dall’osservazione del codificatore.

1.3.3 Punturazione La punturazione e` il processo di rimozione di alcuni simboli dalla stringa di codice, riducendone cos`ı la lunghezza ed aumentando il tasso complessivo. Un’appropriata misura della complessit`a del decodificatore a massima verosimiglianza per un un codice convoluzionale e` il numero di rami visitati per ogni bit decodificato. Un codice di tasso k0 /n0 ha 2k0 rami che partono ed arrivano ad ogni stato del traliccio, ed ha un numero di stati pari a Nσ = 2ν dove ν e` la memoria del codificatore. In questo modo, ogni sezione del traliccio, corrispondente a k0 bit di ingresso, ha un numero di rami totali pari a 2k0 +ν . Di conseguenza, un codice (n0 ,k0 ,N ) ha una complessit`a di decodifica 2k0 +ν D= k0 L’incremento della complesst`a nel passaggio da un codice di tasso 1/n0 ad uno di tasso k0 /n0 pu`o essere mitigata usando la cosiddetta punturazione del codice. Un 7

1 – Turbo Codici

deiterlacciatore Yp1

decodificore superiore

L12

Ys

interlacciatore

interlacciatore

Yp2

Figura 1.4.

decodificore inferiore

L21

Diagramma a blocchi del decodificatore concatenato in parallelo

codice convoluzionale punturato di tasso k0 /n0 pu`o essere ottenuto partendo da un codice con tasso 1/n0 , tipicamente 1/2, ed eliminando certi bit di codice. La punturazione permette di ottenere codici ad alto tasso limitandone la complessit`a di decodifica e senza introdurre una importante perdita nel guadagno di codifica.

Il decodificatore, partendo dalla conoscenza del pattern di punturazione, inserisce zeri nelle posizioni dei bit eliminati. In questo modo, l’algoritmo soft di decodifica iterativa non si vede alterato dalla punturazione, applicandosi ancora al trellis del codificatore di tasso 1/2, detto codificatore madre.

1.4 Decodifica iterativa dei TC Il processo di decodifica e` organizzato in due stadi, ciascuno relativo ad ognuno dei due codificatori costituenti. La peculiarit`a sta nel fatto che la decodifica e` iterativa, cio`e il decodificatore effettua pi`u volte la stessa elaborazione sul segnale in uscita dal canale riportando per`o all’indietro ogni volta una informazione relativa all’affidabilit`a del simbolo di sorgente su cui decidere, affidabilit`a che di volta in volta tende ad aumentare. Questo ripassare la stessa informazione pi`u volte viene assimilata al modo di rotazione vorticosa del turbo compressore di un motore a scoppio dando il nome ai turbo codici. L’architettura del decodificatore turbo e` mostrata nella figura (1.4).

Si nota l’informazione di affidabilit`a Lij , chiamata anche estrinseca, che viene riportata dall’uscita del secondo decodificatore verso l’ingresso del primo e propagata dal primo decodificatore verso il secondo. Nascono due domande: cosa sia l’informazione estrinseca e come si proceda alla decisione finale sul simbolo di sorgente.

8

1 – Turbo Codici

L’informazione estrinseca ha carattere continuo (soft). Per capirne la natura e` necessario capire come siano costituiti gli stadi di decodifica. Essi sono basati sull’algoritmo di decodifica a massima probabilit`a a posteriori (MAP) o BCJR dal nome dei suoi autori. Questo algoritmo opera su di un blocco di valori soft per fornire in uscita un blocco di N valori continui sui quali e` possibile prendere una decisione finale a soglia. La decisione presa in questa maniera massimizza la probabilit`a di una corretta decisione su ogni singolo simbolo condizionata all’avere osservato tutto il blocco di valori soft dato in ingresso all’algoritmo, cio`e segue un criterio di massima probabilit`a a posteriori.

La particolarit`a dell’algoritmo BCJR e` che opera in maniera ricorsiva incrociata con due ricorsioni che procedono in avanti a partire dal primo simbolo soft del blocco e indietro a partire dall’ultimo simbolo soft del blocco verso il primo.

L’algoritmo, a differenza della decodifica di Viterbi non e` causale e richiede, per effettuare una decisione ottima, anche l’osservazione di simboli soft futuri all’interno della finestra (blocco di osservazione). Ecco perch`e e` anche necessario conoscere lo stato in cui i decodificatori terminano la loro evoluzione: per far partire correttamente la ricorsione a ritroso.

I valori continui in uscita all’algoritmo BCJR sono le probabilit`a a posteriori che ogni simbolo assuma il valore di uno dei possibili simboli di ingresso condizionatamente all’osservazione dell’intera stringa di segnale. Quindi se indichiamo con r il vettore dei campioni soft di segnale all’uscita del canale rumoroso la probabilit`a a posteriori e` : e × Li × Le P (u = i | r) = L (1.2) dove u assume il valore di tutti i possibili simboli di ingresso. e che contiene i conL’APP pu`o essere quindi partizionata in tre parti. La prima (L) tributi dall’informazione a priori di ingresso. La seconda (Li ), chiamata informazione intrinseca, che contiene i contributi dell’osservazione del canale sistematico.

La terza chiamata appunto informazione estrinseca (Le ) dato che non dipende n`e dalle informazioni a priori n`e dalle informazioni del canale sistematico. In una iterazione, durante il processo di decodifica, la informazione a priori viene prelevata e non deve essere incluso nell’informazione dal codificatore costituente; quindi L da passare al decodificatore del successivo passo di decodifica. Ugualmente per Li dato che e` direttamente disponibile al successivo decodificatore attraverso l’osservazione del canale sistematico.

Allora l’unica porzione dell’APP che deve essere passata come informazione di affidabilit`a e` Le : l’informazione estrinseca appunto.

Questo valore costituisce l’informazione di affidabilit`a prodotta dal decodificatore BCJR necessaria al turbo decoder. Infine l’ APP permette di prendere decisioni a soglia (hard), infatti avr`a un valore maggiore per il simbolo pi`u probabile a posteriori. Quanto maggiore e` questa quantit`a tanto maggiore e` la probabilit`a 9

1 – Turbo Codici

del simbolo deciso rispetto all’altra e quindi tanto maggiore e` l’affidabilit`a della decisione.

Dalla figura si nota infine che ognuno dei due decodificatori ha tre ingressi:il segnale ricevuto,la parit`a rispettiva e l’informazione estrinseca di affidabilit`a proveniente dall’altro decodificatore. E` questa informazione addizionale che permette di migliorare ad ogni iterazione l’affidabilit`a delle decisioni, cio`e di diminuire ad ogni iterazione la probabilit`a di errore.

Lo schema e` fatto in modo che il secondo decodificatore fornisca al primo una informazione estrinseca basata sui bit di parit`a cui il primo non ha accesso e viceversa per l’informazione estrinseca in ingresso al secondo proveniente dal primo.

Quindi al termine di ogni iterazione l’affidabilit`a nel messaggio ricostruito tende a migliorare.

Due sono gli aspetti sfavorevoli dei TC. Il primo riguarda la decodifica tramite algoritmo BCJR la cui complessit`a non e` trascurabile. Il secondo e` legato al ritardo di decodifica che e` pari alla lunghezza di un blocco pi`u una ulteriore componente proporzionale al numero di iterazioni nella decodifica. Se il blocco di codice e` lungo, questo ritardo pu`o essere considerevole e pu`o risultare intollerabile in applicazioni che richiedono il tempo reale,ad esempio, una conversazione telefonica.

Si osserva infine che i codici turbo sono gi`a previsti dallo standard di trasmissione UMTS per la modalit`a dati non sensibile al ritardo.

1.4.1 L’algoritmo euristico di decodifica iterativa Si introduce un algoritmo di decodifica subottimo la cui complessit`a e` quasi indipendente dalla dimensione dell’interlacciatore e cresce linearmente con il numero di stati dei CCs. Il comportamento dell’algoritmo di decodifica in termini di convergenza e` lontana dall’essere capita. Tuttavia, nelle applicazioni reali l’algoritmo ha dimostrato di fornire risultati molto vicini al limite di Shannon ad una probabilit`a di errore per bit nell’ intervallo 10−5 ÷ 10−7 .

In seguito viene mostrata un’analisi euristica dell’algoritmo iterativo che implementa il calcolo delle probabili`a a posteriori(APP) mediante recursioni forward e backward. I risultati ottenuti rappresentano il punto di partenza per lo sviluppo di una versione modificata dell’algoritmo BCJR (SISO) analizzata in seguito.

La descrizione dell’algoritmo di decodifica iterativo sar`a basata sul sistema di riferimento di Fig. 1.4. Il nucleo della procedura di decodifica viene svolta dai due decodificatori SISO1 (Soft-Input Soft-Output) e SISO2, come si descriver`a nel seguito. I decodificatori ricevono in ingresso le informazioni a priori sui simboli ricevuti e portano a termine la rivelazione MAP(Massima Probabilit´a a Posteriori).Invece nel caso dell’algoritmo di Viterbi si implementava la rivelazione a massima verosimiglianza (ML).

Il decodificatore fornisce una stima b u della sequenza trasmessa u. La decisione 10

1 – Turbo Codici

ottima simbolo a simbolo MAP si basa sulla massimizzazione della probabilit`a a b posteriori(APP) dei simboli u uˆ = argmaxi [AP P (k,i)]

(1.3)

dove si definisce la probabilit`a a posteriori X

AP P (k,i) = p(uk = i,y1 ,y2 ) =

p(y1 |c1 (u))p(y2 |c2 (u))pa (u)

(1.4)

u:uk =1

p(y1 |c1 (u)) =

N1 Y

p(y1j |c1j (u))pa (u)

(1.5)

j=1

p(y2 |c2 (u)) =

N2 Y

p(y2m |c2m (u))

(1.6)

m=1

pa (u) =

K Y

pa (ul )

(1.7)

l=1

Come osservato precedentemente la valutazione di 1.3 per un PCCC ha una complessit`a computazionale che e` linearmente proporzionale al numero di stati del codice complessivo,rendendo cos`ı impossibile la valutazione dell’APP quando la lunghezza N dell’interlacciatore e` maggiore di 10−15 . Berrou [2] ha proposto una tecnica per valutare iterativamente (1.4), con una complessit`a che e` quasi indipendente dalla dimensione dell’interlacciatore. Nonostante questa sia una tecnica subottima ha dimostrato di lavorare bene in un gran numero di simulazioni.

Un’analisi euristica dell’algoritmo iterativo pu`o essere basata sull’assunzione di indipendenza che stabilisce che le probabilit`a(1.5) (1.6), riferite ai CCs, possono essere espresse come il prodotto di funzioni definite sui simboli di informazione individualmente: Y p(y1 |c1 (u)) ' Pe1l (ul ) (1.8) l

p(y2 |c2 (u)) '

Y

Pe2l (ul )

(1.9)

l

Quindi, dopo aver sostituito nella (1.4), si ottiene che gli APP devono soddisfare i seguenti sistemi non lineari: AP P (k,i) = [

X u:uk =1

p(y2 |c2 (u))

Y

Pe1l (ul )pa (ul )] × Pe1k (i) × pa (i)

l6=k

11

(1.10)

1 – Turbo Codici

AP P (k,i) = [

X

p(y1 |c1 (u))

u:uk =1

Y

Pe2l (ul )pa (ul )] × Pe2k (i) × pa (i)

l6=k

che ammettono come soluzioni( ammesso che esistano): Y X p(y1 |c1 (u)) Pe2l (ul )pa (ul ) Pe1k (i) = Pe2k (i) =

(1.11)

u:uk =1

l6=k

X

Y

p(y2 |c2 (u))

u:uk =1

Pe1l (ul )pa (ul )

(1.12) (1.13)

l6=k

Da queste soluzioni si pu`o determinare la APP del k-esimo bit di informazione come: AP P (k,i) = Pe1k (i) × Pe2k (i) × pa (i)

(1.14)

Il sistema non lineare (1.12)(1.13) e` il punto chiave per la valutazione iterativa dell’ APP(k,i). Lo schema di decodifica iterativa di Berrou pu`o sicuramente essere visto come un procedimento di calcolo iterativo della (1.13) come o Pe1k (i) = 1

k = 1,...,K · · · X Y (m−1) (m) Pe2l (ul )pa (ul ) k = 1,...,K Pe1k (i) = p(y1 |c1 (u)) u:uk =1 (m) Pe2k (i) =

X

p(y2 |c2 (u))

u:uk =1

(1.15)

l6=k

Y

(m) Pe1l (ul )pa (ul )

k = 1,...,K

l6=k

Rimane da vedere come risolvere le operazioni ( 1.15 ). Esse possono essere eseguite attraverso una ricorsione forward e una backward. Queste operazioni sono svolte da due blocchi SISO ( Soft-Input Soft-Output) il cui comportamento verr`a descritto nella prossima sezione.

Vediamo adesso alcune notazioni e definizioni.

Il Codificatore a traliccio L’algoritmo di decodifica che e` alla base del funzionamento del modulo SISO lavora su codici rappresentati con un traliccio. Si considereranno solo tralicci tempo-invarianti. Nella figura (1.5) si mostra un codificatore a traliccio, caratterizzato dai simboli di informazione in ingresso u e dai simboli di codice in uscita 12

1 – Turbo Codici

Codificatore a Traliccio

u

Figura 1.5.

c

Codificatore a traliccio

c. Il codificatore prende un gruppo di nu simboli consecutivi di ingresso ed emette un gruppo di nc simboli in accordo con la sezione del traliccio.

Alla sequenza di simboli in ingresso viene associata la sequenza di distribuzioni di probabilit`a a priori: P(U ) = [Pk (u)]k∈K

(1.16)

Pk (u) , P (Uk = u)

(1.17)

dove Invece alla sequenza dei simboli di uscita viene associata la sequenza di distribuzioni di probabilit`a: P (c) = (Pk (c))k∈K (1.18) Il Traliccio del Codice La dinamica di di un codice convoluzionale tempo-invariante e` completamente specificata da una singola sezione del traliccio che descrive le transizioni tra gli stati del traliccio in due consecutivi istanti di tempo. Una sezione del traliccio e` caratterizzata da: • Un insieme di N stati S = (s1 ,...,sN ). Lo stato del traliccio in un tempo k e` Sk = s, cons ∈ S • Un insieme di N · Ni rami ottenute dal prodotto cartesiano E = S × U = (e1 ,...,eN ¦N1 ) che rappresenta tutte le possibili transizioni tra gli stati del traliccio.

Ad ogni ramo e ∈ E sono associate le seguenti funzioni(figura 1.6) • Lo stato iniziale sS (e) • Lo stato finale sE (e) 13

(1.19)

1 – Turbo Codici

e

S S (e)

e

S E (e)

u(e),c(e)

Figura 1.6. Singola sezione del traliccio

P(u; O)

P(c; I ) SISO

P(c;O)

P(u; I ) Figura 1.7.

Il modulo SISO

• Il simbolo di ingresso u(e) • Il simbolo di uscita c(e) Nel seguito si assumer`a che la coppia [sS (e),c(e)] identifica univocamente lo stato finale sE (e); questa assunzione e` sempre verificata ed equivale a dire che, dato uno stato iniziale del traliccio, si ha soltanto una corrispondenza uno-uno tra le sequenze di ingresso e le sequenze di stato, propriet`a richiesta dal codice in modo che possa essere decodificato univocamente.

14

1 – Turbo Codici

Il modulo SISO Il modulo SISO (figura1.7) e` un dispositivo a quattro porte che accetta come ingressi le sequenze di distribuzione di probabilit`a: P(c,I)P(u,I)

(1.20)

P(c,O)P(u,O)

(1.21)

ottenute in accordo con i suoi ingressi e con la conoscenza della sezione del traliccio del codice. Si mostra infine l’algoritmo SISO.

1.4.2 L’algoritmo SISO Vediamo una variazione dell’algoritmo BCJR. Come gi`a anticipato l’algoritmo SISO permette il calcolo delle espressioni( 1.15 ). Si assume innanzitutto che l’insieme di indici temporali K = 1,...,n sia finito. L’algoritmo consta di due passi: 1. In un tempo K, le distribuzioni di probabilit`a di uscita sono calcolate come distribuzione di probabilit`a: X

eu Pek (u,O) = H

Ak−1 [sS (e)]Pk [c(e),I]Pk [u(e),I]Bk [sE ]

e:u(e)=u

ec Pek (c,O) = H

X

Ak−1 [sS (e)]Pk [c(e),I]Pk [u(e),I]Bk [sE ]

(1.22)

e:c(e)=c

2. Le quantit`a Ak (·) e Bk (·) sono ottenute attraverso le ricorsioni in avanti (forward) e indietro (backward), rispettivamente come: X Ak−1 [sS (e)]Pk [u(e),I]Pk [c(e),I] k = 1,...,k − 1 (1.23) Ak (s) = e:sE (e)=s

Bk (s) =

X

Bk+1 [sE (e)]Pk+1 [u(e),I]Pk+1 [c(e),I] k = k − 1,...,1

e:sS (e)=s

(1.24) con valori iniziali: ½ Ao (s) = ½ Bk (s) =

1 s = So 0 altrimenti 1 s = Sk 0 altrimenti

15

(1.25)

1 – Turbo Codici

eu, H e c sono costanti di normalizzazione definite come segue: Le quantit`a H X e H(c) → Pek (c,O) = 1 c

e H(u) →

X

Pek (u,O) = 1

(1.26)

u

Nelle equazioni ( 1.22 ) la quantit`a Pk [u(e),I]ePk [c(e),I] non dipendono da e e possono quindi essere estratte dalla sommatoria.Inoltre definendo le quantit`a Pk (c,O) , Hc Pk (u,O) , Hu

Pek (c,O) Pk (c,I) e Pk (u,O)

(1.27)

Pk (u,I)

dove Hc e Hu sono costanti di normalizzazione tali che X H(c) → Pk (c,O) = 1 c

H(u) →

X

Pk (u,O) = 1

(1.28)

u

si verifica facilmente che le equazioni ( 1.27 ) possono essere ottenute attraverso le espressioni X ec Pk (c,O) = Hc H Ak−1 [sS (e)]Pk [u(e),I]Bk [sE ] e:c(e)=c

eu Pk (u,O) = Hu H

X

Ak−1 [sS (e)]Pk [c(e),I]Bk [sE ]

(1.29)

e:u(e)=u

Le nuove distribuzioni di probabilit`a Pk (c,O)Pk (u,O) rappresentano una versione aggiornata delle distribuzioni di ingresso Pk (c,I)Pk (u,I), basate sui vincoli del codice ed ottenute usando le distribuzioni di probabilit`a di tutti i simboli della sequenza. Nella letteratura dei TC sono chiamate informazioni estrinseche e rappresentano il valore aggiunto, dei moduli SISO, alle distribuzioni di probabilit`a a priori.

16

Capitolo 2 Codici Turbo Spazio Tempo 2.1 Introduzione La richiesta di traffico wireless per applicazioni multimediali e` rapidamente cresciuto negli ultimi anni. Le barriere allo sviluppo di questo tipo di servizi sono rappresentate dalla bassa frequenza di bit, dall’alto consumo di potenza e dall’alto costo per bit. I metodi di processamento del segnale possono essere efficacemente applicati per abbatterle senza espandere l’efficienza di banda. Tra questi metodi e` possibile distinguere tra il processamento temporale del segnale che unisce assieme la modulazione e la codifica di canale e il processamento spazio temporale che utilizza antenne multiple in trasmissione e ricezione. Scoperte recenti nella teoria dell’informazione hanno rivoluzionato il tradizionale punto di vista che vedeva i cammini multipli come un danno. Nuovi risultati mostrano che e` possibile raggiungere alti guadagni di capacit`a attraverso l’uso di antenne multiple in trasmissione e in ricezione. Per avvantaggiarsi di questi nuovi risultati e` stato recentemente inventato un metodo che fornisce sia guadagno di codifica sia vantaggi in diversit`a: la codifica spazio tempo.

Un risultato importante nella codifica, evidenziato nel capitolo precedente, e` rappresentato dall’invenzione dei turbo codici che riescono ad avere prestazioni di solo 0.5 dB sopra il limite di capacit`a di Shannon. Tuttavia, la codifica da sola non pu`o risolvere pienamente il problema dei cammini multipli di un canale: ci`o significa che la capacit`a per un canale a un’ingresso e ad una uscita (SISO, singleinput single-output) e` limitata a un piccolo intervallo. Da qui l’idea di fondere le propriet`a dei turbo codici e dei codici spazio tempo in un’unica struttura. Si ottiene questo risultato utilizzando codificatori spazio tempo come blocchi costituenti dei turbo codici.

17

2 – Codici Turbo Spazio Tempo

Figura 2.1.

T1

R1

Tn

Rn

Modello di canale MIMO

2.2 Processamento Spazio Tempo L’uso di antenne multiple in trasmissione e ricezione, in collegamenti wireless, e in combinazione con tecniche di codifica di canale e` un modo promettente di migliorare le prestazioni del sistema in un ambiente con fading. L’obbiettivo del processamento spazio tempo e` l’ottimizzazione dell’efficienza spettrale. Un sistema con antenne multiple in trasmissione e in ricezione viene chiamato sistema MIMO (multiple input multiple output) mostrato in figura (2.1).

In teoria la capacit`a di un canale MIMO con fading pu`o crescere linearmente con il numero di antenne trasmittenti o riceventi. Migliori prestazioni possono essere raggiunte sfruttando la diversit`a spaziale e temporale associata al rispettivo canale wireless con camini multipli. Il processamento spazio tempo ha le potenzialit`a per migliorarne in modo significativo la capacit`a.

In un ambiente privo di fading antenne multiple possono essere usate per aumentare il guadagno dell’ antenna trasmittente mentre in un ambiente con fading se il trasmettitore e il ricevitore hanno un vettore di antenne con elementi sufficientemente distanziati (almeno mezza lunghezza d’onda) si produce una vasta pluralit`a di sottocanali che condividono le stesse frequenze.

Antenne multiple in ricezione e trasmissione permettono un segnale spaziale avente una maggior dimensionalit`a, senza un corrispondente aumento di banda.

In un canale affetto da Rayleigh block-fading, un collegamento wireless senza memoria che utilizzi delle multi antenne ha una capacit`a teorica che cresce linearmente con il numero di antenne riceventi e trasmittenti. Questo purch`e si sia fatto in modo che i coefficienti complessi del canale tra ogni coppia di antenne trasmittenti e riceventi siano statisticamente indipendenti e noti al ricevitore (non al trasmettitore). Infatti, l’indipendenza dei coefficienti assicura diversit`a spaziale e pu`o essere ottenuta separando fisicamente le antenne di trasmissione e di ricezione di qualche lunghezza d’onda.

18

2 – Codici Turbo Spazio Tempo

Recentemente sono state proposte varie tecniche per trattare l’inevitabile interferenza mutua tra i multipli sottocanali SISO di un canale MIMO e per sfruttarne le potenzialit`a: la Bell Laboratories Space Time Wireless Architecture (BLAST), la Codifica Spazio Tempo a Traliccio (STTC) e la Codifica Spazio Tempo a Blocco (STBC). L’idea di base che risiede dietro a esse e` di utilizzare a proprio vantaggio i cammini multipli del canale piuttosto che di mitigarne gli effetti indesiderati.

L’obiettivo e` quello di raggiungere alte efficienze spettrali. Ci si occuper`a nella prossima sezione con maggior dettaglio delle ultime due strategie.

Completa diversit`a spaziale La completa diversit`a spaziale, per un dato numero di antenne trasmittenti e riceventi e` il massimo vantaggio in diversit`a raggiungibile. nt antenne in trasmissione forniscono nt cammini indipendenti tra trasmettitore e ricevitore. Distribuendo i dati di informazione agli nt cammini, e processando propriamente il segnale al ricevitore, questo canale MIMO e` molto migliore rispetto al caso del canale SISO. Il segnale trasmesso (parola di codice) pu`o essere interpretato come una matrice nt × L, dove L e` la lunghezza della parola di codice. Il rango di questa matrice di valori complessi determina la diversit`a spaziale. Aumentando il rango, cio`e aumentando la diversit`a, si riduce la probabilit`a di errore che e` rappresentata dalla pendenza asintotica della curva delle prestazioni in scala logaritmica.

Si definiscono due concetti. Il vantaggio in diversit`a descrive il decremento esponenziale del tasso di errore di decodifica contro il rapporto segnale rumore (pendenza asintotica della curva delle prestazioni in scala logaritmica). Il guadagno di codifica non agisce sulla pendenza asintotica della curva ma produce uno spostamento delle prestazioni della curva.

2.2.1 Codifica Spazio Tempo a Traliccio Originariamente proposta da Tarokh at. al. [6] si ottiene introducendo ridondanza temporale attraverso le antenne trasmittenti. Questa codifica aggiunge la dimensione spaziale alla dimensione temporale assumendo come sconosciuta la conoscenza del canale al ricevitore. Un esempio di codifica spazio tempo e` mostrata in figura(2.2) per una modulazione 4-PSK. Si mostra un diagramma a blocchi con due antenne in trasmissione e in ricezione. Il codificatore spazio tempo ha memoria ν = 3 ed e` rappresentato dal corrispondente traliccio a 8 stati. I bit di informazione della sorgente, appartenenti a un alfabeto U, sono codificati nel segnale [S1 ,S2 ] secondo i diagrammi e il traliccio di figura. Ogni sottosegnale [S1 ,S2 ] e` modulato e trasmesso attraverso le

19

2 – Codici Turbo Spazio Tempo

S1 U

T1

R1

seriale parallelo

codificatore

S2

y1 decodificatore spazio tempo

demodulatore spazio tempo y2

R2

T2

Us

Codificatore Spazio Tempo 00 01 02 03 10 11 12 13 20 21 22 23 30 31 32 33 22 23 20 21 32 33 30 31 02 03 00 01 12 13 10 11

1 2

0

00 01 10 11

0 1 2 3

3

Figura 2.2. Modello di codifica spazio tempo

antenne T1 e T2 rispettivamente. I diagrammi e il traliccio di figura devono interpretarsi come segue. Il codificatore ST genera per ogni coppia di bit in ingresso due simboli [S1 ,S2 ] ∈ {0,..,3}, li modula quindi li trasmette contemporaneamente dalle due antenne trasmittenti. L’efficienza spettrale e` quindi di 2 bit/s/Hz. Se, ad esempio, ci si trova nello stato 1 e viene ricevuto un 2 allora lo stato successivo sar`a lo stato 6 e il segnale emesso complessivo sar`a 7: 1 (+j) per l’antenna T1 e 2 (-1) per l’antenna T2 .

Il decodificatore utilizza un algoritmo di Viterbi che prende una decisione basata sulla minima metrica accumulata.

In Bevan et al. si dimostra che la codifica spazio tempo, comparata al sistema BLAST, offre il miglior equilibrio tra prestazioni e complessit`a.

Inoltre questo schema raggiunge lo stesso vantaggio in diversit`a dello schema Maximal Ratio Receive Combining (MRRC) e pu`o raggiungere un buon guadagno di codifica.

Nel caso di strutture di codici ST concatenati i codificatori costituenti utilizzati sono spesso ricorsivi. Infatti e` stato mostrato in un lavoro di Benedetto e Montorsi che i codici turbo ne hanno bisogno per lavorare propriamente.

20

2 – Codici Turbo Spazio Tempo

T1

h1 combinatore

T2

h1

h2

h2

stimatore di canale

n1n2

Figura 2.3.

decisore a massima verosimiglianza

Modello di codifica spazio tempo a blocco

2.2.2 Codifica Spazio Tempo a Blocco Nel tentativo di ridurre la complessit`a esponenziale del STT, Alamouti [5] ha proposto un semplice schema di trasmissione. Questo codificatore raggiunge lo stesso vantaggio in diversit`a della tecnica MRRC ma con una struttura notevolmente pi`u semplice. Bisogna tuttavia osservare che non c’`e memoria tra blocchi consecutivi e che la lunghezza tipica di blocco e` molto corta. Quindi bisogna aspettarsi un guadagno di codifica molto limitato.

La forma piu semplice di codificatore STB in banda base e` rappresentata in figura (2.3).

La matrice di trasmissione e` µ G2 =

x1 x2 −x2 x1

¶

Ad ogni istante di tempo vengono simultaneamente trasmessi due segnali dalle antenne T1 e T2 . Al tempo t l’antenna T1 trasmette il segnale x1 e l’antennaT2 trasmette il segnale x2 . Al tempo t+1 vengono trasmessi rispettivamente i segnali −x2 e x1 (i coniugati dei simboli x1 e x2 ).

In questo caso siamo in presenza di due canali differenti che andremo a generare considerando anche la loro fase. Consideriamo un generico istante t e chiamiamo h1 il coefficiente di fading tra l’antenna ricevente e l’antenna trasmittente 1 e h2 quello nel caso dell’antenna trasmittente 2.

Se assumiamo che il fading sia costante per due simboli consecutivi, allora possiamo scrivere le espressioni dei coefficienti di fading, per due diversi istanti di tempo, come:

21

2 – Codici Turbo Spazio Tempo

h1 = α1 ejθ1

(2.1)

h2 = α2 ejθ2

(2.2)

A monte del ricevitore si avr`a quindi la somma data dai due segnali trasmessi che avranno percorso due cammini differenti, e dal rumore ni che rappresenta il rumore del ricevitore e l’interferenza. Naturalmente in due istanti di tempo consecutivi si ottengono due segnali in banda base, che indico con x1 ed x2 e quindi il rumore sar`a n1 all’istante t ed n2 all’istante t+1: y1 = h1 x1 + h2 x2 + n1

(2.3)

y2 = −h1 x2 + h2 x1 + n2

(2.4)

Per determinare il simbolo trasmesso si deve estrarre il segnale x1 e x2 dal segnale ricevuto y1 e y2 quindi entrambi i segnali ricevuti sono passati al combinatore. Questo, aiutato dallo stimatore di canale, che ne fornisce una stima perfetta, combina i segnali ricevuti ottenendo: x e1 = h1 y1 + h2 y 2 = (| h1 |2 + | h2 |2 )x1 + h1 n1 + h2 n2

(2.5)

x e2 = h2 y1 − h1 y 2 = (| h1 |2 + | h2 |2 )x2 + h2 n1 − h1 n2

(2.6)

Come si pu`o vedere i segnali x1 e x2 sono stati separati attraverso una semplice moltiplicazione e addizione. Questo grazie all’ortogonalit`a del codice.

Infine le stime dei segnali x1 e x2 vengono passate al decisore a massima verosimiglianza che determina il simbolo trasmesso pi`u probabile.

2.3 Turbo Codice Spazio Tempo Concatenato in Serie La codifica/decodifica turbo e` un modo di avvicinarsi al limite di Shannon della capacit`a di canale. Invece la codifica spazio tempo e` un modo di aumentare la capacit`a del canale sfruttando i cammini multipli di un canale MIMO. Una combinazione di turbo codici spazio tempo che incorpori i due concetti pu`o fornire un modo per aumentare entrambi e per avvicinare la possibile capacit`a del canale MIMO.

22

2 – Codici Turbo Spazio Tempo

S

U

codificatore convoluzionale

X

Xp

P

Π

' Xp

S1 codificatore Space-Time

S2

Figura 2.4. Modello del turbo codificatore spazio tempo

Full coding rate Per turbo STC si ottiene full coding rate quando il numero totale di bit in uscita da tutte le antenne e` uguale al numero di bit in uscita da ogni codificatore spazio tempo costituente, in ogni time slot.

In questa sezione si introduce il sistema considerato in questa tesi che combina il guadagno di codifica tipico dei turbo codici e il vantaggio di diversit`a tipico dei codici spazio tempo. Si presenter`a in dettaglio il codificatore e il decodificatore di questo sistema. Si studier`a sia il caso di due antenne trasmittenti e una ricevente, sia il caso di due antenne trasmittenti e due riceventi. Inoltre verranno implementati e confrontati diversi codici, sia convoluzionali che spazio tempo ricorsivi.

2.3.1 Descrizione del Sistema di Codifica Lo schema a blocchi del codificatore e` mostrato in figura (2.4).

La sorgente fornisce stringhe di bit pseudocasuali u. La lunghezza della stringa per le simulazioni viene fissata a 1024 bit.

Il codificatore convoluzionale ha un tasso di codifica Rc = 1/2; per ogni bit di ingresso fornisce in uscita simboli di 2 bit ciascuno. Si implementeranno codificatori con un numero di stati Nσ da 2 a 16 con Nσ = 2νcc dove νcc e` la memoria del codificatore convoluzionale. Inoltre la stringa codificata viene terminata allo stato zero quindi il codificatore le aggiunger`a νcc simboli di terminazione.

La parola di codice generata dal codificatore convoluzionale viene punturata ed interlacciata.

Il punturatore interviene sui bit di informazione ma non sui bit di terminazione.

L’interlacciatore e` di tipo S-random.

Il codificatore spazio tempo a traliccio codifica a sua volta i simboli di ingresso secondo le regole del suo traliccio e termina il codice con νst simboli spazio tempo (4 bit ciascuno) dove νst e` la memoria del codificatore spazio tempo. Infine 23

2 – Codici Turbo Spazio Tempo

Sk S

uk

codificatore

yk demdulatore soft

mappatore 4-PSK

P(uk|Y)

decisore MAP

canale

uks

Figura 2.5. Diagramma del sistema di trasmissione

trasmette la sequenza codificata su due diverse antenne. Si implementeranno unicamente codificatori spazio tempo ricorsivi, con un numero di stati NσST da 4 a 16. Si e` infatti gi`a osservato come la ricorsivit`a del codice interno sia pi`u appropriata all’architettura dei turbo codici seriali.

Inoltre i codici saranno tutti full diversity.

La modulazione e` di tipo 4-PSK e viene applicata sul segnale delle due antenne separatamente come si vedr`a nella prossima sezione.

2.3.2 Descrizione del Sistema di Trasmissione In figura (2.5) si mostra un diagramma schematico del sistema di trasmissione.

La sorgente genera una sequenza di informazione di simboli uk che nel nostro caso appartengono ad un alfabeto 0,1 dato che la sorgente e` binaria. Il codificatore (composto dai codificatori convoluzionale e spazio tempo) codifica il simbolo uk in nt simboli ( con nt = 2 antenne trasmittenti). Non si considera in questa parte generica l’operazione di terminazione.

Gli nt simboli vengono inviati al mappatore 4-PSK che emette i simboli Sk = [Sk1 ,Sk2 ].

Il canale e` rappresentato dalla matrice di canale H di dimensioni [nt × nr ] con nr uguale al numero di antenne riceventi. Per nr =2 la matrice di canale diventa: ¶ µ h11 h12 H= h21 h22 dove hij e` il coefficiente di fading tra l’antenna trasmittente j e l’antenna ricevente i.

Il canale verr`a assunto affetto da fading alla Rayleigh, quindi gli elementi della 24

2 – Codici Turbo Spazio Tempo

Rx

decodificatore APP1 Space-Time

Π -1

decodificatore APP2 convoluzionale

P-1

D

1 Ψ

Ψ Π

P

Figura 2.6. Modello del turbo decodificatore spazio tempo

matrice H sono variabili aleatorie complesse, a valor medio nullo, identicamente distribuite, a varianza unitaria e mutuamente indipendenti. Noi assumiamo infatti che i coefficienti di fading siano incorrelati tra di loro.

Il rumore bianco additivo e` indicato dal vettore nk . Il rumore e` assunto AWGN: complesso, con distribuzione Gaussiana, a valor medio nullo e varianza: σ2 =

Nt Es 2( N ) 0

Es e` l’energia per simbolo e N0 e` la densit`a di potenza bilatera del rumore a radio frequenza. Le componenti del vettore del rumore sono assunte indipendenti e identicamente distribuite.

Il simbolo in uscita dal canale MIMO pu`o essere espresso come p yk = Es Hsk + nk

Infine il simbolo yk viene inviato al decodificatore soft che deve generare la probabilit`a a posteriori, o APP, P (uk |Y)per tutti i possibili simboli di ingresso e solo dopo aver ricevuto tutta la sequenza trasmessa. Quando le APP sono state calcolate, cio`e dopo varie iterazioni, il decisore deve fornire la stima hard uks del simbolo trasmesso scegliendo la quantit`a a pi`u alta probabilit`a.

2.3.3 Descrizione del Sistema di Decodifica Lo schema a blocchi del decodificatore e` mostrato in figura (2.6).

La struttura e` iterativa e i due decodificatori, quello spazio tempo e quello convoluzionale, sono moduli concatenati in serie che calcolano la probabilit`a a posteriori (APP) sui simboli di codice attraverso l’algoritmo maximum a posteriori 25

2 – Codici Turbo Spazio Tempo

(MAP).

L’algoritmo di decodifica iterativa e` stato approfondito nel precedente capitolo e si richiamano qui i passaggi fondamentali.

L’algoritmo APP Si mostra adesso un generico algoritmo APP, evoluzione del BCJR [4], per il calcolo delle probabilit`a a posteriori per un codificatore a traliccio, data la sequenza ricevuta di un canale MIMO. Le APP all’istante k valgono: P (uk = u(i) |Y) =

XX

P (uk = u(i) ,σk ,σk+1 |Y)

(2.7)

σk σk+1

doveP (uk = u(i) ,σk ,σk+1 |Y) e` la probabilit`a congiunta che data Y la transizione tra lo stato σk e lo stato σk+1 avvenga con il simbolo di informazione uk = u(i) .

Applicando la regola di Bayes si ottiene: XX (i) P (uk = u(i) |Y) = αk (σk )γk (σk ,σk+1 ,yk )βk+1 (σk+1 ) (2.8) σk σk+1

dove: (i)

• γk (σk ,σk+1 ,yk ) e` la probabilit`a congiunta della transizione dallo stato σk allo σk+1 con ingresso u(i) e dell’osservazione di yk e pu`o essere calcolata come: (i) γk (σk ,σk+1 ,yk ) = p(yk |σk ,uk = u(i) )P (uk = u(i) ) in cui il primo fattore pu`o essere calcolato come: p(yk |σk ,uk = u(i) ) = (πN0 )−M exp(−

p 1 kyk − Es Hsk k2 ) N0

sk e` il vettore di simboli associati alla coppia (σk ,uk =u(i) ).

• αk+1 (σk+1 ) = Σσk αk (σk )γ(σk ,σk+1 ,yk ) • βk (σk ) = Σσk+1 βk+1 (σk+1 )γ(σk ,σk+1 ,yk )

26

(2.9)

2 – Codici Turbo Spazio Tempo

L’algoritmo MAP L’algoritmo MAP calcola le APP, di ogni transizione di stato dei tralicci, e i simboli di sorgente, data la sequenza ricevuta (y) dal canale rumoroso e affetto da fading.

Il MAP utilizza le APP in uscita dai decodificatori, associati ai rispettivi codificatori costituenti, per raffinare in un processo iterativo l’informazione soft che questi condividono.

Alla fine di tutte le iterazioni, quando tutte le APP sono state calcolate e sufficientemente raffinate, viene presa una decisione hard scegliendo la quantit`a a maggior probabilit`a.

Se si definisce la quantit`a L(uk = u(i) ) come la informazione a priori: L(uk = u(i) ) = P (uk = u(i) ) e la quantit`a M (uk = u(i) |Y) come la probabilit`a a posteriori: M (uk = u(i) |Y) = P (uk = u(i) |Y) allora la informazione sistematica e estrinseca risulta: ψ(yk |u(i) ) = M (uk = u(i) |Y)/L(uk = u(i) ) L’algoritmo MAP e` il seguente.

Si suppone per ora che sia gi`a stata svolta la prima iterazione. I pedici 1 e 2 indicheranno rispettivamente il primo e il secondo decodificatore. Dalle relazioni precedenti si osserva che l’uscita dei due decodificatori pu`o essere divisa in due parti: l’informazione a priori L(uk = u(i) ) e l’informazione assieme estrinseca e sistematica ψ(yk |u(i) ). La chiave dell’algoritmo MAP e` che l’ingresso a priori di ogni decodificatore pu`o essere ottenuto dall’uscita dell’altro.Spieghiamo l’algoritmo iterativo. Si assuma che l’uscita del primo decodificatore per uk = u(i) sia M1 (uk = u(i) |Y). Questa quantit`a deve essere usata per derivare l’ingresso a priori del secondo decodificatore L2 (uk = u(i) ). Si vuole inoltre passare al secondo decoder solo informazione nuova generata dal primo decoder. Questo lo si ottiene rimuovendo da M1 (uk = u(i) |Y) l’informazione a priori al primo decodificatore che aveva contribuito a generare M1 (uk = u(i) |Y). Allora l’informazione a priori da fornire al secondo decodificatore la si ottiene dal primo decodificatore e per uk = u(i) al generico istante k risulta: L2 (uk = u(i) ) =

M1 (uk = u(i) |Y) = ψ1 (yk |u(i) ) L1 (uk = u(i) ) 27

2 – Codici Turbo Spazio Tempo

Adeso il secondo decodificatore pu`o generare l’uscita M2 (uk = u(i) |Y) e l’algoritmo pu`o continuare a iterare per un numero di volte che viene impostato come parametro di progetto del simulatore.

Nella prima iterazione la informazione a priori del primo decodificatore non e` disponibile, allora la si imposta come vettore di tutti 1, ovvero come se tutti i simboli di codice fossero equiprobabili; questo vettore di probabilit`a si raffiner`a poi nelle iterazioni successive.

Alla fine dell’ultima iterazione il secondo decodificatore invia la APP al decisore che deve fornire la stima hard uks del simbolo trasmesso scegliendo la quantit`a a pi`u alta probabilit`a a posteriori.

Si descrive infine il caso specifico del sistema di figura (2.6).

Il ricevitore calcola la quantit`a (2.9) osservando tutta la sequenza ricevuta Y e la fornisce al primo decodificatore.

Il decodificatore Spazio Tempo ha due ingressi: l’ingresso dal canale fornito dal ricevitore e l’informazione estrinseca sulla parola di codice (appartenente all’alfabeto (0,.., 3)) fornita dal decodificatore convoluzionale nella semi iterazione precedente ma settata a vettore di 1 nella prima iterazione.

L’informazione estrinseca sulla parola di codice che produce viene deinterlacciata e depunturata a livello di bit e inviata al secondo decodificatore.

Si osserva che i due decodificatori condividono l’informazione estrinseca sulla parola di codice dell’alfabeto (0,..,3).

Il decodificatore convoluzionale ha anch’esso due ingressi e nel primo utilizza l’informazione estrinseca sulla parola di codice dal primo decodificatore mentre nel secondo ingresso,relativo all’informazione estrinseca sui bit di sorgente (appartenenti all’alfabeto (0,1)) viene imposto a 1 in tutte le iterazioni. La prima uscita del decodificatore convoluzionale rappresenta l’informazione estrinseca sulle parole di codice da passare al decodificatore convoluzionale, dopo averla punturata e interlacciata a livello di bit, per svolgere la seconda iterazione. Invece la seconda uscita rappresenta le APP, sui simboli di sorgente, che deve essere inviata al decisore MAP dopo l’ultima iterazione.

Viene infine calcolato il tasso di errore per frame (FER, frame error rate) come rapporto tra i frame decodificati in modo errato ed i frame simulati.

28

Capitolo 3 Implementazione e simulazioni sul canale affetto da fading In questo capitolo si presentano i risultati delle simulazioni sulle prestazioni del turbo codificatore spazio tempo concatenato in serie per modulazioni 4-PSK. Inizialmente si analizza un modello del canale affetto da fast fading (l’attenuazione cambia simbolo a simbolo) quindi si osserveranno gli effetti di un canale affetto da slow fading ( l’attenuazione cambia da sequenza a sequenza). La dimensione degli interlacciatori e` espressa in termini di numero di simboli per sequenza trasmessa. Si utilizzano sequenze di 1024 simboli, per il primo tipo di canale, e di 100 simboli, per il secondo tipo di canale. Nelle simulazioni si utilizzano 2 antenne trasmittenti; verranno invece studiati i due casi di 1 e 2 antenne in ricezione. Nella leggenda delle figure si specifica il numero di antenne riceventi (ad esempio, R2 corrisponde a 2 antenne riceventi). Ogni singolo codice e` indicato in base al numero di stati del codice esterno ed interno (ad esempio, 48 corrisponde ad un codice esterno a 4 stati ed un codice interno a 8 stati).

Si e` scelto di implementare codici esterni convoluzionali ricorsivi a 2, 4, 8 e 16 stati e codici interni spazio tempo ricorsivi a 4, 8 e 16 stati. I codici esterni 1 sono: il 2 stati con polinomi generatori [1, 1+D ], il 4stati con polinomi generatori 2 1+D+D3 1+D [1, 1+D+D2 ], l’8 stati con polinomi generatori [1, 1+D 2 +D 3 ], il 16 stati con polinomi 1+D2 +D3 +D4 generatori [1, 1+D+D4 ]. I codici interni utilizzati sono presentati in [8]. Si utilizzer`a un codice esterno di tasso 1/2.

Inizialmente si analizzano le prestazioni di questi codici sul canale affetto da fast fading. Poi si far`a un confronto con i codici ( un codice esterno a 2 e 4 stati ed un codice interno a 4 stati), implementati da Gulati in [7] con una architettura analoga a quella proposta in questa tesi.

29

3 – Implementazione e simulazioni sul canale affetto da fading

1,E+00

Frame Error Rate

1,E-01

1,E-02

1,E-03

1,E-04

1,E-05

1,E-06 -2,5

-1,5

-0,5

0,5

1,5

2,5

3,5

4,5

5,5

SNR 44_R1

84_R1

164_R1

168_R1

1616_R1

44_R2

84_R2

164_R2

168_R2

1616_R2

48_R1

416_R1

88_R1

816_R1

48_R2

416_R2

88_R2

816_R2

24_R1

28_R1

216_R1

24_R2

28_R2

216_R2

Figura 3.1. Panoramica dei codici proposti dalla tesi, per canale affetto da fast fading, modulazione 4PSK e interlacciatore di dimensione 1024.

Si analizzeranno quindi due diverse punturazioni per ottenere un codice con rate 2/3 e 3/4 punturando il codice esterno di tasso 1/2.

Infine si analizza un canale affetto da slow fading.

3.1 Codici Proposti dalla Tesi In figura (3.1) si presenta una panoramica di tutti i codificatori implementati. Vi si mostrano le prestazioni per una modulazione 4-PSK, canale affetto da fast fading, interlacciatore di dimensione 1024, nel caso di una antenna ricevente (etichetta R1) e di due antenne riceventi (etichetta R2), dopo 10 iterazioni del decodificatore nel caso R1 e dopo 6 iterazioni nel caso R2. In ascissa si riporta il rapporto senale rumore espresso in dB ( SNR ), in ordinata il tasso di errore di frame.

Per una migliore leggibilit`a delle curve e per facilitare un confronto tra il caso di una antenna in ricezione (R1) e di due antenne in ricezione (R2) si suddivide figura (3.1) nelle seguenti figure: figura (3.2) dove si confrontano i codici 164, 816 e 24 , figura (3.3) dove si confrontano i codici 84, 1616 e 88 , figura (3.4) dove si 30

3 – Implementazione e simulazioni sul canale affetto da fading

1,E+00

Frame Error Rate

1,E-01

1,E-02

1,E-03

1,E-04 164_R1 164_R2 816_R1

1,E-05

816_R2 24_R1 24_R2

1,E-06 -2,5

-1,5

-0,5

0,5

1,5

2,5

3,5

4,5

5,5

SNR

Figura 3.2. Codificatori 164, 816 e 24 per R1 e R2.

confrontano i codici 44, 168 e 44 e figura (3.5) dove si confrontano i codici 48, 24 e 216.

Si pu`o osservare dalle figure un guadagno di codifica, nel caso di due antenne riceventi rispetto al caso di una sola antenna ricevente, di circa 4dB. La spiegazione teorica del fenomeno e` stata spiegata in dettaglio nel capitolo precedente.

Inoltre si osserva, sia nel caso R1 che R2 , che i codificatori con prestazioni migliori risultano, rispettivamente dal migliore al peggiore : il 164, l’84 e il 44.

Quindi, gi`a ad una prima analisi, risultano migliori quelle combinazioni di codici in cui un complesso codice esterno sia abbinato ad un meno complesso codice interno. Infatti e` questa una caratteristica generale di questo tipo di codificatori e proseguendo con l’analisi questo fatto diventer`a pi`u evidente.

A questo scopo nella figura (3.6) si raccolgono tutti i codici proposti nel caso di una sola antenna ricevente, codici che nelle figure successive vengono poi confrontati. Prima si confrontano codificatori accomunati dal fatto di avere lo stesso codice esterno ( a 2, 4, 8, 16 stati rispettivamente) poi codificatori accomunati dal fatto di avere lo stesso codice interno ( a 4, 8, 16 stati rispettivamente). Nella figura (3.7) si confrontano codificatori con codice esterno a 2 stati: 24, 28, 216.

Nella figura (3.8) si confrontano codificatori con codice esterno a 4 stati: 44, 48, 31

3 – Implementazione e simulazioni sul canale affetto da fading

1,E+00

Frame Error Rate

1,E-01

1,E-02

1,E-03

1,E-04 84_R1 1616_R1

1,E-05

84_R2 1616_R2 88_R1 88_R2

1,E-06 -2,5

-1,5

-0,5

0,5

1,5

2,5

3,5

4,5

5,5

SNR

Figura 3.3. Codificatori 84, 1616 e 88 per R1 e R2.

1,E+00

Frame Error Rate

1,E-01

1,E-02

1,E-03

1,E-04 44_R1 168_R1 44_R2

1,E-05

168_R2 416_R1 416_R2

1,E-06 -2,5

-1,5

-0,5

0,5

1,5

2,5

3,5

4,5

SNR

Figura 3.4.

Codificatori 44, 168 e 44 per R1 e R2.

32

5,5

3 – Implementazione e simulazioni sul canale affetto da fading

1,E+00

Frame Error Rate

1,E-01

1,E-02

48_R1

1,E-03

48_R2 24_R1 216_R1 24_R2 216_R2

1,E-04 -2,5

-1,5

-0,5

0,5

1,5

2,5

3,5

4,5

5,5

SNR

Figura 3.5.

Codificatori 48, 24 e 216 per R1 e R2.

416 . Nella figura (3.9) si confrontano codificatori con codice esterno a 8 stati: 84, 88, 816 . Nella figura (3.10) si confrontano codificatori con codice esterno a 16 stati: 164, 168, 1616 . Poi nella figura (3.11) si confrontano codificatori con codice interno a 4 stati: 24, 44, 84 e 164. Nella figura (3.12) si confrontano codificatori con codice interno a 8 stati: 28, 48, 88 e 168. Infine nella figura (3.13) si confrontano codificatori con codice interno a 16 stati: 216, 416, 816 e 1616.

Nella figura (3.7) si osserva che le prestazioni sono migliori per codici interni pi`u complessi. Mentre ancora nelle figure (3.8), (3.12) e (3.10) avviene l’inverso: le prestazioni migliorano al diminuire della complessit`a del codice interno.

La spiegazione risiede nel fatto che un codice esterno a 2 stati ha una semplicit`a minimale quindi un codice interno complesso non pu`o che migliorarne le prestazioni. Tuttavia nelle altre tre figure ritroviamo la regola generale.

Proseguendo, e confrontando i codificatori secondo il loro codice interno, abbiamo un’ulteriore verifica delle affermazioni precedenti. Infatti nella figura (3.11), dove il codice interno e` semplice (un 4 stati), ritroviamo la gerarchia appena descritta mentre nelle figure (3.12) (3.13), dove il codice interno e pi`u complesso, le prestazioni migliorano in modo contrario alla regola generale. Tuttavia bisogna osservare le prestazioni delle ultime due figure sono inferiori di almeno 1 33

3 – Implementazione e simulazioni sul canale affetto da fading

1,E+00

Frame Error Rate

1,E-01

1,E-02

1,E-03 44_R1 84_R1 164_R1

1,E-04

168_R1 1616_R1 48_R1 416_R1 88_R1

1,E-05

816_R1 24_R1 28_R1 216_R1

1,E-06 2,5

3,5

4,5

5,5

SNR

Figura 3.6. Codificatori proposti, nel caso R1.

1,E+00

Frame Error Rate

1,E-01

1,E-02

1,E-03

24_R1

1,E-04

28_R1 216_R1

1,E-05 2,5

3,5

4,5

5,5

SNR

Figura 3.7.

Codificatori con codice esterno a 2 stati: 24, 28, 216.

34

3 – Implementazione e simulazioni sul canale affetto da fading

1,E+00

Frame Error Rate

1,E-01

1,E-02

1,E-03

1,E-04 44_R1

1,E-05

48_R1

416_R1

1,E-06 2,5

3,5

4,5

5,5

SNR

Figura 3.8.

Codificatori con codice esterno a 4 stati: 44, 48, 416.

1,E+00

Frame Error Rate

1,E-01

1,E-02

1,E-03

1,E-04 84_R1

1,E-05

88_R1

816_R1

1,E-06 2,5

3,5

4,5

5,5

SNR

Figura 3.9.

Codificatori con codice esterno a 8 stati: 84, 88, 816.

35

3 – Implementazione e simulazioni sul canale affetto da fading

1,E+00

Frame Error Rate

1,E-01

1,E-02

1,E-03

164_R1

1,E-04

168_R1

1616_R1

1,E-05 2,5

3,5

4,5

5,5

SNR

Figura 3.10.

Codificatori con codice esterno a 16 stati: 164, 168, 1616.

dB a quelle di figura (3.11), cio`e alle prestazioni dei codificatori 164, 84 e 44.

3.2 Confronto di prestazioni tra architetture equivalenti Gulati in [7] implementa un turbo codificatore spazio tempo, equivalente a quello proposto da questa tesi, ma con codici diversi. Si sono utilizzati questi codici per avviare delle simulazioni da confrontare con le simulazioni mostrate nelle figure precedenti.

Nelle figure (3.14) e (3.15) si osserva il risultato delle simulazioni nel di una e due antenne riceventi ( R1 e R2 ). Si sono utilizzati codici esterni a 2 e 4 stati e codici interni a 4 stati. Si sono indicati i codici presentati in [7] con le etichette G24 e G44. Dal confronto si evince che i codici proposti dalla tesi hanno prestazioni di circa 1,5dB migliori.

36

3 – Implementazione e simulazioni sul canale affetto da fading

1,E+00

Frame Error Rate

1,E-01

1,E-02

1,E-03

1,E-04

44_R1

84_R1

1,E-05

164_R1

24_R1

1,E-06 2,5

3,5

4,5

5,5

SNR

Figura 3.11.

Codificatori con codice interno a 4 stati: 24, 44, 84 e 164.

1,E+00

Frame Error Rate

1,E-01

1,E-02

1,E-03 168_R1

48_R1

1,E-04 88_R1

28_R1

1,E-05 2,5

3,5

4,5

5,5

SNR

Figura 3.12.

Codificatori con codice interno a 8 stati: 28, 48, 88 e 168.

37

3 – Implementazione e simulazioni sul canale affetto da fading

1,E+00

Frame Error Rate

1,E-01

1,E-02

1,E-03 1616_R1 416_R1

1,E-04

816_R1 216_R1

1,E-05 2,5

3,5

4,5

5,5

SNR

Figura 3.13.

Codificatori con codice interno a 16 stati: 216, 416, 816 e 1616.

1,E+00

Frame Error Rate

1,E-01

1,E-02

1,E-03

1,E-04 44_R1 24_R1

1,E-05

G_24_R1 G_44_R1

1,E-06 2,5

3,5

4,5

5,5

SNR

Figura 3.14.

Confronto nel caso R1

38

6,5

7,5

3 – Implementazione e simulazioni sul canale affetto da fading

1,E+00

Frame Error Rate

1,E-01

1,E-02

44_R2

1,E-03

24_R2

G_24_R2

G_44_R2

1,E-04 -2,5

-1,5

-0,5

0,5

1,5

2,5

3,5

SNR

Figura 3.15.

Confronto nel caso R2

3.3 Punturazione Si puntura la sequenza di informazione, di tasso 1/2, per ottenere un codice di tasso 2/3. I motivi per cui punturare sono stati approfonditi nel primo capitolo.

In figura (3.16) si mostrano le prestazioni, di tutti i codici prima proposti, dopo la punturazione. Si nota l’accentuato error floor del codificatore 24. Si spiega questo andamento col fatto che il pattern di punturazione non e` stato ottimizzato per ogni codice; di conseguenza la distanza libera diminuisce causando il fenomeno dell’error floor.

Nelle figure (3.17) e (3.18) si confrontano le prestazioni di alcuni codificatori punturati (indicati con l’etichetta P1) con il loro equivalente non punturato. Si pu`o notare un peggioramento delle prestazioni di 2 dB, per la versione punturata, nel caso di una antenna ricevente e di 1,5 dB nel caso di due antenne riceventi.

Si analizza un secondo codice punturato di tasso 3/4. In figura (3.19) si mostrano le prestazioni dei codificatori punturati 84 e 164, indicati con l’etichetta P2.

Ancora il 164 presenta un error floor, i motivi sono gli stessi discussi pi`u sopra.

39

3 – Implementazione e simulazioni sul canale affetto da fading

1,E+00

Frame Error Rate

1,E-01

1,E-02

1,E-03

1,E-04

1,E-05

1,E-06 4

5

6

7

8

9

SNR 168_1110_R1

1616_1110_R1

164_1110_R1

24_1110_R1

28_1110_R1

216_1110_R1

44_1110_R1

48_1110_R1

416_1110_R1

84_1110_R1

88_1110_R1

816_1110_R1

Figura 3.16.

Punturazione P1.

1,E+00

Frame Error Rate

1,E-01

1,E-02

1,E-03 44_R1 84_R1

1,E-04

164_R1 P1_44_R1 P1_84_R1

1,E-05

P1_164_R1

1,E-06 2,5

3,5

4,5

5,5

SNR

Figura 3.17. Confronto tra P1 e non punturati.

40

6,5

3 – Implementazione e simulazioni sul canale affetto da fading

1,E+00

Frame Error Rate

1,E-01

1,E-02

168_R1

1,E-03

416_R1 88_R1

1,E-04

P1_416_R1 P1_88_R1 P1_168_R1

1,E-05 2,5

3,5

4,5

5,5

6,5

SNR

Figura 3.18. Confronto tra P1 e non punturati.

1,E+00

Frame Error Rate

1,E-01

1,E-02

1,E-03 44_R1

1,E-04

84_R1 164_R1 P2_164_R1

1,E-05

P2_84_R1 P2_44_R1

1,E-06 2,5

3,5

4,5

5,5

6,5

7,5

SNR

Figura 3.19.

Punturazione P2.

41

8,5

9,5

3 – Implementazione e simulazioni sul canale affetto da fading

1,E+00

Frame Error Rate

1,E-01

44_R2

84_R2

164_R2

164_Slow_R2

44_Slow_R2

84_Slow_R2

164_fast_100_R2

1,E-02

1,E-03

1,E-04

1,E-05

1,E-06 -2,5 -1,5 -0,5

0,5

1,5

2,5

3,5

4,5

5,5

6,5

7,5

8,5

9,5 10,5

SNR

Figura 3.20. Canale affetto da slow fading.

3.4 Canale affetto da Slow Fading Si analizza il canale affetto da slow fading. Per rendere verosimile l’ipotesi si utilizza una sequenza di informazione di 100 simboli. Si utilizzano due antenne in ricezione. Nella figura (3.20) sono mostrate le prestazioni, per il canale affetto da slow fading, dei codificatori 164, 84 e 44. Inoltre si mostra la curva delle prestazioni del codificatore 164 con canale affetto da fast fading ma con sequenza trasmessa di 100 simboli. Infine si mostrano le tre curve dei codificatori 44, 84, 164 con canale affetto da fast fading e sequenza trasmessa di 1024 simboli.

Le prestazioni peggiorano in parte utilizzando una sequenza di soli 100 simboli ma si deteriorano ulteriormente ipotizzando un canale affetto da slow fading.

In questo caso infatti il codificatore spazio tempo non pu`o pi`u avvantaggiarsi dei cammini multipli, tra loro indipendenti, come avviene in canale affetto da fast fading, come e` gi`a stato discusso in dettaglio nel capitolo precedente.

42

Capitolo 4 Conclusioni e ricerche future La tecnica della turbo codifica, che e` stata introdotta nel 1993 [2], e` un modo di concatenare due semplici codificatori convoluzionali in parallelo per ottenere un potente codificatore complessivo. Tuttavia la codifica da sola non pu`o sfruttare la ricchezza offerta da un canale affetto da cammini multipli. Recenti risultati sulla capacit`a mostrano infatti che antenne multiple in trasmissione e ricezione possono aumentare le prestazioni senza espandere la larghezza di banda. Per sfruttare le potenzialit`a di un canale multiple input multiple output (MIMO) sono necessarie nuove tecniche che combinino la turbo codifica con la diversit`a spaziale in ricezione e trasmissione.

Si e` cos`Äą proposto uno schema di turbo codificatore spazio tempo concatenato in serie, con due antenne in trasmissione e una o due antenne in ricezione, che combini i vantaggi di potenti turbo codificatori con i vantaggi della diversit`a in trasmissione e ricezione dei codificatori spazio tempo. Lo schema utilizza codici costituenti ricorsivi, un algoritmo iterativo maximum a posteriori per la decodifica. Inoltre il sistema e` studiato per modulazione 4-PSK , per un canale affetto da fast fading e per un canale affetto da slow fading e opera un interlacciamento sui bit.

Sono stati proposti ed analizzati vari codici a 2, 4, 8 e 16 stati. Si e` verificato come le migliori prestazioni siano offerte da codificatori turbo spazio tempo che utilizzino un codificatore convoluzionale a molti stati come codice esterno( un 16 o 8 stati nel caso dei codici proposti), ed un pi`u semplice codice spazio tempo come codificatore interno (un 4 stati sempre nell’ambito dei codici proposti).

Si sono proposte ed analizzate due diverse punturazioni, per aumentare il tasso del codice senza aumentare la complessit`a del codificatore. Tuttavia queste non sono state ottimizzate al codice e in vari casi causano il problema dell’error floor.

Il lavoro richiederebbe ricerche future. Uno studio sulla implementazione dei

43

4 – Conclusioni e ricerche future

codici spazio tempo a blocco (STB) come codificatore interno. Una ottimizzazione dei pattern di punturazione per limitare l’error floor. Una analisi sull’interlacciamento sui simboli. L’implementazione di antenne in trasmissione e ricezione in numero maggiore di due. Uno studio sulla convergenza dell’algoritmo di decodifica tramite il programma exit charts in [9].

44

Bibliografia [1] C.E. Shannon, A mathematical theory of communications, Bell System Technical Journal, 1948.

[2] C. Berrou, A. Glavieux and P. Thitimajshima, Near Shannon Limit ErrorCorrecting Coding and Decoding: Turbo-Codes, Proceedings IEEE ICC’93, Geneva, Switzerland, 1993.

[3] C. Berrou and A. Glavieux Near optimum error correcting coding and decoding: Turbo-Codes, IEEE Transaction on Communications, Oct 1996.

[4] L.R. Bahl, J. Cocke, F. Jelinek and J. Raviv, Optimal Decoding of Linear Codes for Minimizing Symbol Error Rate IEEE Trans. Inform. Theory, vol.

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[6] V. Tarokh,N. Seshadri and A.R. Calderbank Space-Time codes for high data rates wireless communications: performance criterion and code construction, IEEE Transactions on Information Theory, 1998.

[7] V. Gulati, K.R. Narayanan, Concatenated Codes for Fading Channels Based on Recursive Space-Time Codes IEEE Transaction on wireless communications, 2003.

[8] Branka Vucetic Design of Space-Time Turbo TCM on Fading Channels ITW2001, Cairns, Australia, 2001.

[9] S.Brink, Convergence of iterative decoding Electron. Letters,May 1999.

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[11] A.J. Viterbi, An Intuitive Justification and a Simplified Implementation of the MAP Decoder for Convolutional Codes IEEE J Sel Areas Commun, vol.

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45

Bibliografia

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