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3. Teoría de la Probabilidad 3.3. Conceptos Básicos de la Probabilidad 3.3.1. Introducción 3.3.2. Probabilidad de un evento 3.3.3. Postulados o Axiomas de la probabilidad 3.3.3.1. Ejercicios Resueltos 3.3.3.2. Ejercicios Propuestos 3.3.4. Tipos de eventos 3.3.4.1. Eventos mutuamente mutuamente no excluyentes

excluyentes

y

3.3.4.1.1. Ejercicios Resueltos 3.3.4.1.2. Ejercicios Propuestos 3.3.4.2. Eventos Independientes y dependientes 3.3.5. Tipos de probabilidades 3.3.5.1. Ejercicios Resueltos 3.3.5.2. Ejercicios Propuestos

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3.3.1 Introducción La probabilidad es una parte de nuestras vidas cotidianas. En la toma de decisiones personales y administrativas, nos enfrentamos constantemente a la incertidumbre y es aquí donde precisamente se tiene que hacer uso de la probabilidad. Cuando en la radio se escucha que existe un 70% de posibilidad de que llueva, inmediatamente las personas cambian de planes de salir de día de campo y se quedan en casa divirtiéndose con juegos de mesa. Antes de establecer una definición de probabilidad es necesario presentar y definir algunos conceptos, los cuales son utilizados constantemente en la teoría probabilística: ⇒ Experimento: Un experimento es el proceso mediante el cual se obtiene una observación. Al menos conceptualmente es posible imaginar experimentos en los cuales el resultado puede anticiparse. En el dominio de la estadística estos experimentos son de poco o ningún interés. Los experimentos de los que se ocuparán en esta sección reciben el nombre de experimentos aleatorios. ⇒ Experimento Aleatorio: Un experimento es aleatorio cuando sus resultados no son posibles de predecir antes de su realización y, por lo tanto, están sujetos al azar. ⇒ Espacio Muestral: El conjunto integrado por todos los resultados posibles de un experimento, recibe el nombre de espacio muestral, el cual se identificará con la letra “S”. El espacio muestral en probabilidad es el conjunto universal de la teoría de conjuntos. ⇒ Evento: Un evento es uno o más de los posibles resultados de un experimento. Un evento, haciendo uso de los términos de la teoría de conjunto, se puede definir como un subconjunto del espacio muestral. Cuando el evento consta de un sólo posible resultado recibe el nombre de “evento simple”, pero si está integrado por dos o más se llama “evento compuesto”. A continuación se ejemplifica estos conceptos. Ejemplo: Suponga el lanzamiento de una moneda . a) Defina el experimento b) Indique el espacio muestral c) Indique los eventos posibles Solución: a) Lanzamiento de una moneda b) S = { C, X } , donde: C = cara y X = cruz c) Los eventos son cara o cruz. Es importante indicar que existe otro método para representar el espacio muestral y sus posibles resultados: el diagrama de árbol.

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Ejemplo: Una caja contiene tres fichas de póker ( una roja, una blanca y otra verde ) y seleccionan dos de ellas con reposición o reemplazo ( esto significa que selecciona una ficha, se observa su color, y se repone o devuelve a la caja antes hacer la segundo selección ). Represente el espacio muestral por medio de diagrama de árbol.

se se de un

Solución: Observe

Observe y Analice: a) Como la extracción se está realizando con reemplazo, en la segunda selección aparece la opción de la primera selección. b) En un diagrama de árbol se generan pares ordenados (a, b), en donde el primer elemento lo forma la opción de la primera selección y el segundo elemento la opción de la segunda selección. Por lo tanto el espacio muestral está integrado por los siguientes eventos: S ={ ( R,R ), ( R,B ), ( R,V ), ( B,R ), ( B,B ), ( B,V ), ( V,R ), ( V,B ), (V,V ) } Ejemplo: Realice el mismo ejercicio anterior excepto que la extracción se hace sin reemplazo o sin reposición, es decir, la ficha se selecciona y no se devuelve a la caja antes de ser realizada la segunda selección. Solución: Realizando el diagrama de árbol:

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En forma de lista: S = { (R,B), (R,V), ( B,R), (B,V), (V,R), (V,B) } Observe y Analice: Como la extracción fué sin reposición, el elemento de la primera selección no aparece en la segunda selección.

3.3.2 Probabilidad de un Evento La probabilidad de que ocurra un evento se define como la frecuencia relativa con la que puede esperarse que ocurra un evento. Existen tres maneras para calcular la probabilidad de un evento: a) Planteamiento clásico. b) Planteamiento de frecuencia relativa. c) Planteamiento subjetivo. ⇒ Planteamiento Clásico: El planteamiento clásico define la probabilidad de que ocurra un evento como: Probabilidad de que ocurra un evento

P

N  de eventos favorables N  de eventos totales

Simbólicamente: P ( A ): la probabilidad de que ocurra el evento “A” La utilización de esta fórmula requiere de la existencia de un espacio muestral en donde cada resultado sea igualmente posible. Ejemplo: Considere el experimento del lanzamiento de una moneda, calcular la probabilidad de obtener una cara en un solo lanzamiento utilizando el planteamiento clásico. Vázquez, H. 2009

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Solución: S = { Cara, Cruz } n(S)=2 Sea A ={ cara } , entonces: n ( A ) = 1, por lo tanto P (A) = 1 → número de resultados posibles de que se produzca una cara 2 → número total de resultados en el lanzamiento ⇒ Planteamiento de Frecuencia Negativa: El planteamiento de la frecuencia relativa define la probabilidad de un evento como: a) La frecuencia relativa observada de un evento durante un gran número de intentos o b) La fracción de veces que un evento se presenta a la larga, cuando las condiciones son estables. Este método utiliza la frecuencia relativa de las presentaciones pasadas de un evento como probabilidad. Se determina que tan frecuente ha sucedido algo en el pasado y se utiliza esa cifra para predecir la probabilidad de que suceda de nuevo en el futuro. Ejemplo: Suponga que una compañía de seguros datos actuariales registrados, que de los 100 000 morirán en un período de un relativa estime la probabilidad de muerte

sabe, por la información obtenida de los hombres de 40 años de edad, 60 de cada año. Utilizando el método de frecuencia de ese grupo de edad en particular.

Solución: Sea S= { Hombres que mueren en un periodo de un año} , entonces, n (S) = 100 000 Sea D= { hombres de 40 años de edad que murieron en un período de un año} , entonces, n (D) = 60 Probabilidad de muerte de este grupo de edad =

60 ó 0.0006 100000

⇒ Planteamiento Subjetivo: La probabilidad subjetiva se define como la probabilidad asignada a un evento por parte de un individuo, basada en la evidencia que se tenga disponible. Ejemplo: Un juez debe decidir si permite la construcción de una planta nuclear en un lugar donde hay evidencia de que exista una falla geológica. Debe preguntarse a sí mismo ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente nuclear grave en este sitio?. El hecho de que no exista una frecuencia relativa de la presentación de la evidencia de accidentes anteriores en este sitio, no es suficiente para liberarlo de tomar la decisión. Debe utilizar su mejor sentido común para determinar la probabilidad subjetiva de que suceda un accidente nuclear. Vázquez, H. 2009

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3.3.3. Axiomas de la Probabilidad: Para poder calcular probabilidades de eventos es necesario conocer algunas reglas: 1.- La probabilidad del espacio muestral es igual a 1. P(S)=1 2.- La probabilidad de un evento se encuentra entre 0 y 1: Si el evento no puede ocurrir su probabilidad es de 0, pero si ocurre siempre su probabilidad es igual a 1. 0≤ P(A)≤ 1 3.- Si se suman las probabilidades de cada uno de los eventos que conforman el espacio muestral, la probabilidad total es igual a 1

4.- La probabilidad de un evento es igual a la suma de las probabilidades de sus posibles resultados.

P ( A )= Ejemplo: Una encuesta sobre el tránsito demuestra que en cierta intersección, la probabilidad de que los vehículos den vuelta a la izquierda es de 0.15, de 0.31 si dan la vuelta a la derecha, y de 0.54 si siguen de largo. a) Represente el espacio muestral. b) Indique los resultados posibles. c) Sea el evento C = Vehículo seleccionado de vuelta a cualquier lado en la intersección, calcular su probabilidad. Solución: a ) Sea: I = Vehículos que dan vuelta a la izquierda D = Vehículos que dan vuelta a la derecha L = Vehículos que se siguen de largo Entonces: 100 S ={ I, D, L} b) P ( I ) = 0.15 P ( D ) = 0.31 P ( L ) = 0.54 c) La probabilidad de que un auto de vuelta en cualquier dirección = probabilidad del auto que de vuelta a la izquierda + probabilidad del auto que de vuelta a la derecha P ( C ) = P ( I ) + P ( D ) = 0.15 + 0.31 =0.46 Vázquez, H. 2009

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Observe y Analice: a) La probabilidad de cada evento se encuentra entre 0 y 1. b)La suma de las probabilidades es 1. c) La probabilidad de un evento es igual a la suma de los resultados que lo conforman. Ejemplo: En una universidad se han clasificado a los docentes en maestros de tiempo completo y maestros de tiempo parcial y según su sexo. Esta clasificación se presenta en la siguiente tabla: SEXO / DOCENTE MASCULINO FEMENINO

Si se selecciona probabilidades:

a

un

TIEMPO COMPLETO 25 35

docente

TIEMPO PARCIAL 20 20

aleatoriamente,

determine

las

siguientes

a) Sea de sexo femenino. b) Sea de tiempo completo Solución: Para poder solucionar el problema se recomienda obtener los totales tanto de cada fila como de cada columna y dar a cada resultado un símbolo que los represente, para después poder obtener las probabilidades correspondientes. SEXO / DOCENTE MASCULINO (M) FEMENINO (F) TOTAL

TIEMPO COMPLETO (C) 25 35 60

TIEMPO PARCIAL (P) 20 20 40

TOTAL 45 55 100

a) P ( F ) = 35 + 20 = 55 = 0.55 100 100 100 O bien se puede obtener la probabilidad observando directamente la columna de totales. b) P ( C ) = 60 = 0.60 100

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3.3.3.1 Ejercicios resueltos Conceptos Básicos de Probabilidad: 1.- Se toma un litro de leche y se determina en el laboratorio el porcentaje de agua por volumen. a) Represente su espacio muestral b) Si se considera que un litro de leche con mas de un 90% de agua es inaceptable para quién realiza el análisis, represente este evento. Solución: a) S ={ x / 0 < x ≤ 100 } donde x = porcentaje de agua en el litro de leche examinado. b) A = {x / 90 < x < 100} 2.- Sea el lanzamiento de un dado no cargado, represente su espacio muestral y sus posibles resultados utilizando: a) Un diagrama de Venn - Euler. b) El método de enumeración c) El método de comprensión Solución: a)

b) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} c) S = { x / x representa una cara de un dado no cargado} 3.- Se lanzan dos monedas al mismo tiempo. Obtener el espacio muestral, a través de un diagrama de árbol.

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En forma de lista: S = { (C,C), (C,X), (X,C), (X,X) } 4.- Clasifique las siguientes estimaciones de probabilidad según su tipo ( clásica, frecuencia relativa o subjetiva ) a) La probabilidad de que un presidente electo en un año muera en su oficina es de 7 / 10. b) La probabilidad de que usted vaya a Europa este año es de 0.14. Solución: a) Frecuencia relativa o subjetiva. b) Subjetiva

3.3.3.2. Ejercicios Propuestos 1.- Sacar una carta de una baraja de americana, la cual está integrada por 52 cartas. a) Defina el experimento b) Indique el espacio muestral c) Indique 3 eventos simples y 3 compuestos. 2.- Un experimento consiste en tomar una caja de bulbos y probarlos de 3 en 3 con respecto a cierta característica de interés, si uno de ellos es defectuoso se le asigna la letra “d” y si no lo es la letra “n, de tal forma el evento (d, nd, nd) significa que el primer bulbo resultó ser defectuoso y los dos siguientes no lo son. Sean A, B, C los eventos siguientes: A el evento de que el primer bulbo sea defectuoso Vázquez, H. 2009

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B el evento de que el segundo bulbo sea defectuoso C el evento de que el tercer bulbo sea defectuoso a) Describa el espacio muestral del experimento. b) Enumere todos los resultados de los eventos siguientes: b.1) A b.2) B b.3) C b.4) A U B b.5) A ∩ B b.6) B U C b.7) B ∩ C 3.- Considere el siguiente experimento: Seleccionar una carta al azar de una baraja americana de 52 cartas, en donde “X” sea el evento “ la carta seleccionada es una figura” y “Y” “ la carta seleccionada es un diamante”. Traducir los siguientes eventos: a) X U Y b) X ∩ Y c) X - Y d) X´∩ Y´ e) X´U Y´ 4.- Si se tiene una bajara americana, calcular la probabilidad de obtener una figura, utilizando la probabilidad clásica. 5.- Clasifique las estimaciones de probabilidad siguientes según su tipo (clásica, frecuencia relativa o subjetiva) a) La probabilidad de anotar un tiro de castigo durante un juego de hockey sobre hielo es de 0.47. b) La probabilidad de que el director actual de la escuela renuncie es del 0.85. c) La probabilidad de obtener dos seises al lanzar dos dados al mismo tiempo es de 1/36.

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Glosario Ex p e r im e n t o: Un experimento es el proceso mediante el cual se obtiene una observación. Ex p e r im e n t o ale at or io: Un experimento es aleatorio cuando sus resultados no son posible predecir antes de su realización y, por lo tanto, están sujetos al azar. Esp acio m ue st r al: El conjunto integrado por todos los resultados posibles de un experimento, recibe el nombre de espacio muestral, el cual se identificará con la letra “S”. Ev e n t o: Un evento es uno o más de los posibles resultados de un experimento. Plan t e am ie n t o clásico: Define la probabilidad de que ocurra un evento como: Probabilidad de que ocurra un evento = número de resultados posibles del evento número total de resultados posibles Plan t e am ie n t o d e f r e cue n cia r e lat iv a: Define la probabilidad de un evento como: a) La frecuencia relativa observada de un evento durante un gran número de intentos o b) La fracción de veces que un evento se presenta a la larga, cuando las condiciones son estables. Plan t e am ie n t o sub je t iv o: La probabilidad subjetiva se define como la probabilidad asignada a un evento por parte de un individuo, basada en la evidencia que se tenga disponible.

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3.3.4. Tipos de Eventos 3.3.4.1. Eventos Mutuamente Excluyentes y Mutuamente No Excluyentes Caso Real: En la actualidad la seguridad social es un problema real, y las tiendas de autoservicio no están exentas, de aquí que sea necesario realizar estudios con el fin de poder tomar decisiones sobre incrementar la seguridad en ellas. Analice el siguiente caso: Los clientes de la tienda de autoservicio “Super descuento” han sido víctimas de asaltos. El gerente de seguridad ha implementado mediadas para reducir los asaltos cometidos a sus clientes. Como resultado de estas se ha podido aprehender a 250 ladrones. Se registró edad de cada infractor y si éste era su primer robo o si ya había sido sorprendido con anterioridad. Los datos se resumen en la tabla siguiente: INFRACCION / EDAD PRIMERA APREHENSION REINCIDENTE TOTAL

10 - 15 50 20 70

20 - 35 20 70 90

40 - 55 34 56 90

TOTAL 104 146 250

El gerente esta interesado en saber cual es la probabilidad de que, el asaltante sea reincidente, de que posea una edad de 40 a 55 años o sea su primera aprehensión. Todas estas preguntas y más pueden ser contestadas por medio de la teoría probabilística.

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Eventos Mutuamente Excluyentes: Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si uno y sólo uno de ellos puede tener lugar en un mismo tiempo. Es decir o uno o el otro, pero no pueden suceder ambos al mismo tiempo. Con frecuencia interesa encontrar la probabilidad de que un resultado u otro suceda, Si éstos dos eventos son mutuamente excluyentes, se puede calcular esta probabilidad haciendo uso de la regla de adición para eventos excluyentes. Sean A y B dos eventos mutuamente excluyentes entonces:

P(AoB)=P(AUB)=P(A)+P(B) Se lee la probabilidad de que suceda A o B es igual a la suma de sus probabilidades. Observe y Analice: a) La probabilidad de que suceda A y B o ambos ( A ∩ B ) es de 0, puesto que no existen intersección entre los eventos. b) Note que se está utilizando el diagrama de Venn - Euler para representar la operación, claro, esto es lógico puesto que los eventos son subconjuntos del espacio muestral, así como los conjuntos son subconjuntos del conjunto universal. Ejemplo: Una encuesta sobre el tránsito demuestra que en cierta intersección, la probabilidad de que los vehículos den vuelta a la izquierda es de 0.15, de 0.31 si dan la vuelta a la derecha, y de 0.54 si siguen de largo. Calcular la probabilidad de que un auto de vuelta a la izquierda o a la derecha. Solución: Para calcular la probabilidad de eventos compuestos es aconsejable realizar un diagrama de Venn, para poder detectar el tipo de eventos. En este problema es claro que los eventos son mutuamente excluyentes, entonces su diagrama será:

P ( I U D ) = P ( I ) + P ( D ) = 0.15 + 0.31 = 0.46

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Eventos Mutuamente No Excluyentes: Sean los eventos A y B mutuamente no excluyentes y subconjuntos de un mismo espacio muestral S, entonces, la probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B es: P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩ B) En la siguiente figura aparece el diagrama de Venn - Euler representando dos eventos mutuamente excluyentes

En la figura se puede observar que: P ( A ) = P ( r1 ) + P ( r2 ) P ( B ) = P ( r2 ) + P ( r3 ) P ( A ∩ B ) = P ( r2) Por lo tanto, si se quisiera sumar P ( A ) con la P ( B ) para encontrar la P (AUB ) se estaría sumando la P (r2) dos veces, obteniéndose una probabilidad errónea. Debido a esta explicación es que para obtener la unión de dos eventos mutuamente no excluyentes es necesario sumar la probabilidad de los eventos analizados y restarle una vez su intersección. Ejemplo: Calcular la probabilidad de extraer un as o una espada de una baraja de 52 cartas tipo americana, en un sólo intento. Solución: S = { x/x sea una carta de una baraja americana de 52 cartas} ; n (S)= 52 Sea los eventos: A= { x/x sea un as} ; n (A)= 4 por lo tanto P (A) =4/52 B = { x/x sea una espada} ; n(B)= 13 por lo tanto P(B)= 13/52 P(AUB)=? Como existe una carta que es a la vez as y espada, entonces la probabilidad de que suceda el evento as y espada es: P ( A ∩ B ) = 1 / 52. Habiendo detectado que existe una intersección entre los eventos A y B, entonces se dice que son eventos mutuamente no excluyentes y por lo tanto para encontrar la probabilidad de extraer un as o una espada, es decir, P ( A U B ) , se tendrá que aplicar su fórmula correspondiente. P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩ B)= Vázquez, H. 2009

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Representando esta operación en un diagrama de Venn:

Observe y Analice: Siempre que en un problema se pida encontrar algún tipo de probabilidad es importante detectar el tipo de eventos a trabajar, puesto que existen diferentes fórmulas según sean los eventos. Si un problema de probabilidad involucra dos eventos, digamos A y B, entonces muchas de las probabilidades que entrañan estos dos eventos pueden expresarse mediante una tabla o bien utilizando un diagrama de Venn - Euler, como se mostró anteriormente. A continuación se explica el procedimiento por medio de una tabla. Sean A y B dos eventos pertenecientes a un mismo espacio muestral, entonces, la representación tabular de sus posibles probabilidades son: A P (A ∩ B); A y B

B B` Total

P (A∩ B´); A y No B P ( A ); A

A` P ( A´ ∩ B ) No A y B P(A´∩ B´) No A y No B P ( A´) ; No A

Total P ( B ); B P ( B ´) ; No B 1

Se puede observar: a) Los complementos de los conjuntos: A´: complemento de A, B´: complemento de B. b) Los totales tanto del evento A como del B, así como el de sus complementos. c) El espacio muestral ( P ( S ) = 1 ). Note que si se suman las columnas verticales como las filas horizontales se obtienen sus probabilidades totales respectivas, esto es: P P P P P P

( ( ( ( ( (

A ) = P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B´) B ) = P ( A ∩ B ) + P ( A´∩ B) A´) = P ( A´∩ B ) + P ( A´∩ B´) B´) = P ( A ∩ B´) + P ( A´∩ B´) A ) + P ( A´) = 1 B ) + P ( B´) = 1

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Ejemplo: En una comunidad el 30% de las personas son fumadoras, 55% son bebedoras y 20% fumadoras y bebedoras ( tanto bebedoras como fumadoras ). Si se selecciona una persona al azar encontrar las siguientes probabilidades: a) No fume b) No beba c) Fume pero no beba. d) Ni fume ni beba e) Beba pero no fume d) Fume o beba f) Fume o no beba Solución: A continuación se indicará un procedimiento muy sencillo para el llenado de la tabla: 1.- Representar simbólicamente a cada evento: Sean los eventos: F = { x / x sea un fumador} , por lo tanto, P ( F ) = 0.30 B = { x / x sea un bebedor} , por lo tanto, P ( B ) = 0.55 Por lo tanto, P ( F∩ B ) = 0.20 2.- Llenar la tabla en forma parcial con las probabilidades totales de cada evento y con su intersección

B B`

F 0.20

F`

0.30

TOTAL 0.55 1

3.- Llenar las celdas en la forma en que se indica a continuación

B

F 0.20

B`

0.30 – 0.20 = 0.10

TOTAL

0.30

F` 0.55 – 0.20= 0.35 * 0.45 – 0.10 = 0.35 1 – 0.30 = 0.70

TOTAL 0.55 1 – 0.55 = 0.45 1

* Llenar al final está celda 4.- Poner la tabla sólo con las probabilidades

B B` TOTAL

F 0.20 0.10 0.30

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F` 0.35 0.35 0.70

TOTAL 0.55 0.45 1

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5.- Ya elaborada la tabla, se procede a contestar las preguntas de probabilidad teniendo en cuenta que las celdas interiores son intersecciones de los eventos, y que la fila y columna final, son los totales de cada evento respectivo. a) No fume: P ( F´) = 0.70 b) No beba: P ( B´) = 0.45 c) Fume pero no beba: P ( F ∩ B´) = 0.10 d) Ni fume ni beba: P ( F´ ∩ B´) = 0.35 e) Beba pero no fume: P ( B ∩ F´) =0.35 d) Fume o beba: P ( F U B ) = P ( F ) + P ( B ) - P ( F ∩ B ) = 0.30+0.55-0.20 =0.65 f) Fume o no beba: P ( F U B´)= P (F) + P(B´) - P ( F ∩ B´) = 0.30+0.45- 0.10= 0.65 Ejemplo: Represente el ejemplo anterior por medio de un Diagrama de Venn Euler

Observe y Analice: Con el diagrama se puede contestar las preguntas establecidas, a continuación se analizarán sólo algunas de ellas: La probabilidad de que no fume: P ( F´) = 1 - P ( F ) = 1- 0.30 = 0.70 La probabilidad de que fume o beba: P(F U B)= P(F) + P(B) - P(F ∩ B)= 0.30 + 0.55 - 0.20 = 0.65 La probabilidad que no fume ni beba: P(F U B)´= 1 - P(F U B) = 1 -0.65 =0.35 La probabilidad de que fume pero no beba: P(F ∩ B´) = 0.10

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Eventos complementos El evento complemento de evento A, es aquél que posee todos los resultados del espacio muestral que no pertenecen al evento A. Simbólicamente se representa: P ( A ´) = P ( S ) - P ( A ) = 1 - P ( A ) Ejemplo:

Ejemplo: Una encuesta sobre el tránsito demuestra que en cierta intersección, la probabilidad de que los vehículos den vuelta a la izquierda es de 0.15, de 0.31 si dan la vuelta a la derecha, y de 0.54 si siguen de largo. a) Represente el espacio muestral. b) Indique los resultados posibles. c) Calcular la probabilidad de que un auto no de vuelta a la izquierda. Solución: a ) Sea: I = Vehículos que dan vuelta a la izquierda D = Vehículos que dan vuelta a la derecha L = Vehículos que se siguen de largo Entonces: S ={ I, D, L} b) Sea: P ( I ) = 0.15 P ( D ) = 0.31 P ( L ) = 0.54 c) Calcular la probabilidad de que un auto no de vuelta a la izquierda. Siendo P ( I ) =0.15 Entonces la probabilidad de que no de vuelta un auto a la izquierda es su evento complemento: P ( I ´) = 1 - P ( A ) = 1 - 0.15 = 0.85 Vázquez, H. 2009

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Probabilidad de Eventos: Los eventos compuestos se forman combinando varios eventos simples. A continuación se estudiará la probabilidades de los eventos compuestos. El evento complemento de evento A, es aquél que posee todos los resultados del espacio muestral que no pertenecen al evento A. Simbólicamente se representa: P ( A ´) = P ( S ) - P ( A ) = 1 - P ( A ) Una encuesta sobre el tránsito demuestra que en cierta intersección, la probabilidad de que los vehículos den vuelta a la izquierda es de 0.15, de 0.31 si dan la vuelta a la derecha, y de 0.54 si siguen de largo. Ejemplo: Calcular la probabilidad de que un auto no de vuelta a la izquierda. Solución: Siendo P ( I ) =0.15 Entonces la probabilidad de que no de vuelta un auto a la izquierda es su evento complemento: P ( I ´) = 1 - P ( A ) = 1 - 0.15 = 0.85

3.3.4.1.1. Ejercicios Resueltos 1- La tienda de autoservicio “Super descuento” ha sido víctima de asaltos durante el año pasado, pero debido al aumento de las condiciones de seguridad de la tienda se ha podido aprehender a 250 ladrones. Se registró la edad de cada infractor y si éste era su primer robo o si ya había sido sorprendido conanterioridad. Los datos se resumen en la tabla siguiente: INFRACCION / EDAD PRIMERA APREHENSION REINCIDENTE TOTAL

10 – 15 (A) 50 20 70

20 – 35 (B) 20 70 90

40 – 55 (C) 34 56 90

TOTAL 104 146 S = 250

Si se selecciona un infractor al azar, calcular las siguientes probabilidades: a) De que sea reincidente. Vázquez, H. 2009

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b) De que posea una edad de 40 a 55 años. Solución: a) P(R) = P(A) + P(B) + P(C) = 20 + 70 + 56 = 146 = 0.584 250 250 250 250 b) P ( C ) = 90 = 0.36 250 2.- La siguiente tabla contiene los datos sobre el tamaño de las familias de un cierto pueblo. Contestar las preguntas: a) ¿Cuál es la probabilidad de que una familia de este pueblo tenga cuatro o más hijos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una familia tenga 2 o 3 hijos? No. De hijos Proporcion de familias

0 (B)

1 (C)

2 (D)

3 (E)

4 (F)

5 (G)

6 (H)

0.05

0.10

0.30

0.25

0.15

0.10

0.05

Solución: a) Utilizando el concepto de evento complemento: Sea A = Familia que tiene menos de cuatro hijos A´= Familia que tiene cuatro o más hijos Entonces: P(A)= P(B) + P(C) + P(D) + P(D)= 0.05 + 0.10 + 0.30 + 0.25= 0.70 P (A´)= 1 -P(A) = 1 -0.70 = 0.30 b) Como los eventos D y E son mutuamente excluyentes, entonces: P(D o E) = P (D U E) = P(D) + P(E) = 0.30 + 0.25 = 0.55 3.- Considerese el lanzamiento de dos dados. a) Determine su espacio muestral b) Determine las siguientes probabilidades b.1) La suma de las dos caras sea 10 ó la suma de las caras de los dos dados se 7. b.2) La suma de las dos caras sea 10 ó la cara de cada dado muestre el mismo número. Solución: a) El espacio muestral “S” está definido por los siguientes eventos: Vázquez, H. 2009

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b.1) Sean los eventos: D={ Suma de las caras 10 }; n (D)= 3, por lo tanto, P(D) = 3/36 A = {Suma de las caras es 7}; n(A)= 6, por lo tanto P(A) = 6/36 Como lo eventos D y A son mutuamente excluyentes, no poseen resultados comunes, por lo tanto la probabilidad de que ocurra D o A, es decir, P(D U A) es: P(DUA)=P(D)+P(A)= Observe y Analice: En el espacio muestral, están indicados tanto los resultados del evento D como el A, con rectángulos, observe que no hay intersección entre ellos. b.2) Sean los eventos: D= {Suma de las caras 10} ; n (D)= 3, por lo tanto, P(D) = 3/36 B= {Caras iguales}; n (B)= 6, por lo tanto, P (B) = 6/36 El evento D y el evento B son mutuamente no excluyentes, puesto que tienen un resultado en común, (5,5), por lo tanto la probabilidad de que ocurra D ó B es: P(D o B) = P(D U B) = P(D) + P(B) - P(D Ç B) = Observe que los resultados del evento B se encuentran pintados levemente, en el espacio muestral. 4.- En un edificio de apartamentos de 200 familias, 180 tienen televisión (T), 150 tienen automóvil propio (C). Hay 14 familias que no tienen televisión pero sí automóvil propio. Calcular la probabilidad de que una familia seleccionada al azar: a) No tenga ni televisión ni auto propio. b) Tenga auto y televisión. c) Tenga televisión pero no tenga auto. d) Tenga televisión o no tenga automóvil. e) No tenga televisión pero sí auto. f) No tenga automóvil o no tenga televisión.

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Solución: Recuerde que es útil la elaboración de una tabla que contenga los eventos que intervienen en el experimento. a) Simbolizar cada evento: Sean los eventos: T= Familias que tienen televisión; n(T)=180, por lo tanto, P(T) =180/200=0.90 C= Familias que tienen auto propio; n(C)=150, por lo tanto, P(C) =150/200= 0.75 Otro dato que da el problema es: P(T´∩ C)= 14/200=0.03 b) Elaborar la tabla con los datos

C 0.68 0.07 0.75

T T` TOTAL

C` 0.22 0.03 0.25

TOTAL 0.90 0.10 1

c) Contestando las preguntas: a) No tenga ni televisión ni auto propio: P ( T´ ∩ C´ )= 0.03 b) Tenga auto y televisión: P ( T ∩ C ) = 0.68 c) Tenga televisión pero no tenga auto: P ( T ∩ C´ )= 0.22 d) Tenga televisión o no tenga automóvil: P(T U C´)= P(T) +P(C´) -P(T ∩ C´)= 0.90 +0.25 -0.22= 0.93 e) No tenga televisión pero sí auto: P(T´U C)= P(T´) +P(C) -P(T´∩ C)= 0.10 +0.75 -0.07= 0.78 f) No tenga automóvil o no tenga televisión: P(C´U T´)= P(C´) +P(T´) -P(C´∩ T´)= 0.25 +0.10 -0.03= 0.32 5. En una universidad se han clasificado a los docentes en maestros de tiempo completo y maestros de tiempo parcial y según su sexo. Esta clasificación se presenta en la siguiente tabla:

SEXO/DOCENTE MASCULINO FEMENINO

TIEMPO COMPLETO 25 35

TIEMPO PARCIAL 20 20

Si se selecciona a un docente aleatoriamente, calcular la probabilidad de que, al seleccionar un maestro, éste no sea de tiempo completo. Solución: Sea Vázquez, H. 2009

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C = Maestros con tiempo completo C´= Maestros sin tiempo completo Si: P ( C ) = 60 = 0.60 100 Entonces: P ( C´) = 1 - 0.60 = 0.40

3.3.4.1.2. Ejercicios Propuestos 1.- Cinco estudiantes por igual capaces esperan la fecha en que se les hará una entrevista para trabajar en el verano, la compañía solicitante ha anunciado que contratará a sólo uno de los cinco, mediante una selección aleatoria. EL grupo está integrado por los siguientes estudiantes: Juan, Teresa, Pedro, María y Carolina. ¿Cuál es la probabilidad de que Juan o Tere sean elegidos? 2.- Una agencia de Volkswagen del estado de Puebla realiza un estudio sobre el número de autos vendidos en el año de 1996, para así programar sus ventas para el próximo año, los datos que recaba son los siguientes: De los 200 autos vendidos: 92 Fueron tipo Sedan, 80 fueron Golf, 28 fueron Jetta, 8 Sedan, Golf y Jetta, 60 Sedan y Golf, 10 Jetta y Golf, 18 Sedan y Jetta. Si se selecciona un registro de venta al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que se haya vendido: a) Sólo Jetta b) Sedán o Golf c) Sólo Sedán y Jetta ( Sedán y Jetta pero no Golf ) d) Ninguno de los tres tipos e) Golf o Jetta o Sedán f) Por lo mucho sea de dos tipos de autos 3.- Los empleados de cierta compañía han elegido a cinco de ellos para que los representen en el consejo administrativo y de personal sobre productividad. Los perfiles de los cinco son: 1.- Hombre

edad 30

2.- Hombre 3.- Mujer 4.- Mujer 5.- Hombre Vázquez, H. 2009

32 45 20 40 24


Este grupo debe elegir un vocero, la elección se efectúa aleatoriamente. ¿ Cuál es la probabilidad de que el vocero sea mujer o cuya edad esté por arriba de 35 años? 4. En la clase de matemáticas del Ing. Rafael Ortíz, se encuentra 102 alumnos; sean los conjuntos: A= {x¦x es un alumno que obtuvo MB en el examen final } B= {x¦x es un alumno que obtuvo B en el examen final } C= {x¦x es un alumno que obtuvo S en el examen final } D= {x¦x es un alumno que obtuvo NA en el examen final } a) Defina el complemento del conjunto D con respecto al conjunto de los alumnos del salón de clases de matemáticas. b) Si 12 alumnos obtuvieron la calificación MB, 23 la calificación B y 56 la calificación S, en el examen final, ¿Cuál es el número de elementos del complemento del conjunto D?. c) ¿Cuál es el complemento del conjunto de los alumnos que pasaron el examen final de matemáticas?.

5. A continuación se tiene una distribución de frecuencias de las comisiones anuales por ventas tomadas de un estudio de 300 vendedores promedio: Comisión anual $( 0- 5,000] (5,000- 10,000] (10,000-15,000] (15,000-20,000] (20,000-25,000] (25,000- +

Frecuencia 15 25 35 125 70 30

Basándose en esta información ¿Cuál es la probabilidad de que un vendedor promedio obtenga una comisión de: a) De por lo menor $11, 000 b) Por lo mucho $ 15,000 c) No más de $20,000 Total de resultados = 25

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3.3.4.2 Eventos Independientes y dependientes (Probabilidad Condicional)

Eventos Dependientes e Independientes Dos eventos A y B son independientes si Dos eventos A y B son dependientes si la probabilidad de que ocurra alguno de se cumple la siguiente condición: ellos no depende de la ocurrencia del P( A / B ) ¹ P ( A ), esto quiere decir otro, es decir la presentación de uno de que, para obtener la probabilidad de ellos no tiene efecto sobre la que ocurra “A” existe la condición de probabilidad de presentación de que primero ocurra “B”. cualquier otro evento. Existen tres tipos de probabilidad que se Existen tres tipos de probabilidad que se presentan bajo la dependencia presentan bajo la independencia estadística estadística: a) Probabilidad marginal a) Probabilidad marginal La probabilidad marginal en condiciones Una probabilidad marginal es la de dependencia estadística se calcula probabilidad simple de presentación de mediante la suma de las probabilidades un evento. de todos los eventos conjuntos en los que se presenta el evento sencillo. b) Probabilidad Conjunta: b) Probabilidad Condicional Se define a la probabilidad conjunta como la probabilidad de que dos o más Sean A y B dos eventos eventos se presenten juntos o en estadísticamente dependientes, sucesión, es decir la P(A y B) La entonces, la probabilidad probabilidad de que dos o más eventos condicional de A dado B, denotada por P independientes se presenten juntos o en (A / B), es la probabilidad de que sucesión es el producto de sus suceda A dado que se sabe que el probabilidades marginales. evento B ocurrió. Matemáticamente se escribe como: La fórmula para calcular la probabilidad P(AnB)=P(A)P(B) condicional para eventos dependientes es: c) Probabilidad condicional Sean A y B dos eventos independientes, entonces, la probabilidad de que suceda A dado que se sabe que el evento B ocurrió, se denomina probabilidad condicional de A dado B, denotada por P (A / B) P( A / B ) = P ( A ) A

P(A/B)= c) Probabilidad conjunta En el caso de eventos dependientes, basta con despejar de la formula de probabilidad condicional, la probabilidad P(A n B ): P(A n B ) = P ( B ) P ( A / B )

Caso Real: Probabilidad Suponga que usted es el gerente general de la zona sureste de una compañía privada de paquetería, y que está preocupado por la posibilidad de que algunos de sus empleados se vayan a huelga. Usted estima que la probabilidad de que sus Vázquez, H. 2009

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pilotos se vayan a huelga es de 0.75, y la probabilidad de que sus choferes hagan huelga es de 0.65. Además, sabe que si los choferes se van a huelga, existe el 90% de posibilidad de que los pilotos realicen un paro solidario de actividades. Usted quiere saber, ¿Cuál es la probabilidad de que los choferes se vayan a huelga como acto de solidaridad, si los pilotos hacen huelga ?

Eventos independientes y dependientes Probabilidad de Eventos Independientes y Eventos Dependientes Suponga que usted es gerente de una compañía seguros y elige a una persona para desempeñar cierta función entre 50 aspirantes. Entre los candidatos algunos poseen título universitario, otros poseen experiencia previa en el área de seguros y algunos cumplen ambos requisitos (ver la siguiente tabla):

Usted quiere saber, ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una persona con experiencia previa?, pero también está interesado en conocer ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una persona que posea experiencia previa considerando sólo aquellos candidatos que posean título universitario?, ¿Será el mismo resultando para las dos preguntas?. La respuesta es NO. Para poder resolver éste tipo de problemas es necesario conocer dos tipos de eventos: Independientes y Dependientes, los cuales se tratarán en ésta sección. Cuando se presentan dos eventos el resultado del primero puede tener un efecto en el resultado del segundo, o puede no tenerlo, esto es los eventos son dependientes o independientes respectivamente. En esta sección se examinará primero los eventos que son estadísticamente independientes, y posteriormente los dependientes. Probabilidad bajo condiciones de independencia estadística: Dos eventos A y B son independientes si la probabilidad de que ocurra alguno de ellos no depende de la ocurrencia del otro, es decir la presentación de uno de ellos no tiene efecto sobre la probabilidad de presentación de cualquier otro evento. Vázquez, H. 2009

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3.3.5. Tipos de probabilidades Existen tres tipos de probabilidad que se presentan bajo la independencia estadística: a) Marginal b) Conjunta c) Condicional a) Probabilidad marginal Una probabilidad marginal es la probabilidad simple de presentación de un evento. Considere el siguiente ejemplo: Ejemplo: Se lanza una moneda no cargada (normal), la probabilidad de que salga cara es de 0.5 y la probabilidad de que salga cruz es también del 0.5. Esto es cierto para cada lanzamiento, no importando cuántas veces se lance la moneda o cuáles hayan sido los resultados anteriores. En consecuencia, el resultado de cada lanzamiento de una moneda es estadísticamente independiente de los resultados de cualquier otro lanzamiento de ella. Este experimento se puede representar utilizando un diagrama de árbol de probabilidades, el cual se elabora de forma similar a la descrita en la sección en donde se trato el tema de la representación del espacio muestral, la diferencia está en que hay que presentar todos los resultados posibles con sus respectivas probabilidades. A continuación se presenta el diagrama de árbol del lanzamiento de una moneda no cargada: b) Probabilidad

b) Probabilidad Conjunta La probabilidad de que dos o más eventos independientes se presenten juntos o en sucesión es el producto de sus probabilidades marginales. Matemáticamente se escribe como: P(AnB)=P(A)P(B) Vázquez, H. 2009

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Donde: P ( A n B ) = Probabilidad de que los eventos A y B se presentes juntos o en sucesión, se le conoce como probabilidad conjunta. P ( A ) = Probabilidad marginal de que se presente el evento A P ( B ) = Probabilidad marginal de que se presente el evento B Para mostrar éste tipo de probabilidad, considérese el siguiente ejemplo. Ejemplo: Se lanzan una moneda dos veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras?. Solución: La obtención en el primer lanzamiento del “evento cara” es independiente de obtener en el segundo lanzamiento el “evento cara” por lo tanto, para obtener la probabilidad buscada, se aplicará la fórmula de probabilidad conjunta, puesto que piden la probabilidad de obtener “cara en el primer lanzamiento y cara en el segundo lanzamiento”. Sea el evento C1= Obtener el evento cara en el primer lanzamiento, P(C1)=0.5 C2= Obtener el evento cara en el segundo lanzamiento, P(C2)=0.5 Por lo tanto: P ( C1 n C2 ) = P(C1) P(C2)=(0.5) (0.5)=0.25 Para elaborar el diagrama de árbol considérese lo siguiente: Si se realiza el primer lanzamiento, existen dos opciones posibles: cara y cruz, suponga que se obtiene cara, si se vuelve a lanzar la moneda también existen dos resultados posibles, cara y cruz, cada uno con probabilidad de 0.5, y así sucesivamente se va obteniendo el árbol:

A partiendo del diagrama de árbol se pueden obtener varias probabilidades, por ejemplo: a) La probabilidad de obtener cruz en el primer lanzamiento y cara en el segundo. Vázquez, H. 2009

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b) La probabilidad de obtener por lo menos una cara c) La probabilidad de no obtener caras. Solución: Analizando el diagrama: a) P(X1 n C2)=0.25 b) Sea el evento A= {Obtener por lo menos una cara}, recuerde que el término por lo menos significa como mínimo, de aquí que sus eventos incluyen aquellos resultados en donde se obtiene una cara (CI y X2), (X1 y C2) y en donde se obtiene dos caras (C1 y C2), por lo tanto sus resultados posibles son: A = { (CI y X2), (X1 y C2) (C1 y C2) } Para encontrar la probabilidad del evento A( probabilidad marginal), es necesario sumar las probabilidades ( conjunta ) de cada resultado, las cuales se obtienen, analizando la rama correspondiente en el diagrama de árbol. P(A) = P(C1n X2) + P(X1n C2) + P(C1nC2) = (0.25)+ (0.25)+ (0.25)= 0.75. c) La probabilidad de no obtener caras en dos lanzamientos de una moneda, se puede resolver de dos formas: 1.- Utilizando el diagrama: Sea el evento B={No obtener dos caras},por lo tanto sus resultados posibles son: (C1 y X1), (X1 y C2 ), (X1 y X2), B= {(C1 y X1), (X1 y C2 ), (X1 y X2)}, de aquí que la probabilidad marginal buscada es igual a la suma de las probabilidades conjuntas correspondientes: P(B) = P (C1nX1) + P(X1nC2) + P (X1nX2) = 0.25 + 0.25 + 0.25 = 0.75 2.- Utilizando el concepto de evento complemento: Si C={obtener dos caras}, su resultado es (C1yC2), por lo tanto, P(C)= P(C1nC2) =0.25 C´= { no obtener dos caras}, de aquí que: P(C´)= 1 - P(C) = 1 - 0.25 = 0.75 Observe y Analice: a) La suma de las probabilidades en cada lanzamiento debe ser igual a 1. b) Para encontrar la probabilidad marginal de un evento se suman probabilidades conjuntas de sus resultados posibles.

las

c) Probabilidad condicional A continuación se definirá el concepto de probabilidad condicional: Sean A y B dos eventos, entonces, la probabilidad de que suceda A dado que se sabe que el evento B ocurrió, se denomina probabilidad condicional de A dado B, denotada por P (A / B). Note que el evento que va en el denominador de la expresión, es el que debe suceder primero, para que posteriormente pueda presentarse el segundo evento, el cual va en el numerador de la expresión. Para eventos independientes la probabilidad de que suceda el evento A dado Vázquez, H. 2009

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que el evento B ya sucedió es simplemente la probabilidad de A. P( A / B ) = P ( A ) A esta relación se le conoce como condición de independencia. En los experimentos que se realizan con reemplazo, se encuentran bajo independencia estadística, puesto que al reemplazar la primera selección, la segunda selección no se ve influida por la primera. Ejemplo: Suponga que se extraen 3 cartas, con reemplazo, de un conjunto de 52 cartas americanas. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean ases? Solución: Como la extracción se realizó con reemplazo, se aplicará la fórmula de probabilidad conjunta para eventos independientes: Sean los eventos A1= {Obtener as en la primera extracción}, P(A1) = 4/52 A2= {Obtener as en la segunda extracción}, P(A2) = 4/52 A3= {Obtener as en la segunda extracción}, P)A3) = 4/52 Entonces la probabilidad de obtener tres ases es: P(A1n A2n A3 ) = P(A1) P(A2) P(A3) = (4/52) (4/52) (4/52) = 64/140608 = 0.0005 Observe y Analice: Al seleccionar el segundo as el espacio muestral (52) no disminuye puesto que el as obtenido en la primera extracción se ha devuelto antes de seleccionar el segundo as, y la operación se repite para la extracción del tercer as Probabilidad bajo condiciones de dependencia estadística Se dice que dos eventos A y B son dependientes si se cumple la siguiente condición: P( A / B ) ¹ P ( A ), esto quiere decir que, para obtener la probabilidad de que ocurra “A” existe la condición de que primero ocurra “B”. De la misma manera que los eventos independientes, existen tres tipos de probabilidad bajo condiciones de dependencia estadística: a) Probabilidad condicional. b) Probabilidad Conjunta. c) Probabilidad marginal. a) Probabilidad condicional Sean A y B dos eventos estadísticamente dependientes, entonces, la probabilidad condicional de A dado B, denotada por P (A / B), es la probabilidad de que suceda A dado que se sabe que el evento B ocurrió. La fórmula para calcular la probabilidad condicional para eventos dependientes es: P(A/B)= Donde: Vázquez, H. 2009

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P ( A / B ) = Probabilidad de que ocurra el segundo evento A, dado que el primer evento B ya ocurrió. P (A n B ) = Probabilidad de que ocurra A y B. P ( B ) = Probabilidad de que ocurra el primer evento B Se lee: la probabilidad de que ocurra A dado que B ya ocurrió, es igual a la razón entre la probabilidad de que ocurra A y B, y la probabilidad de que se dé el evento B, el cual tiene que haber sucedido primero. Es importante indicar que cuando se muestrea sin reemplazo en una población finita, los valores de probabilidad asociados con los diversos eventos dependen de qué eventos han ocurrido. Ejemplo: En una muestra de 150 residentes, se preguntó a cada persona si estaba a favor de la propuesta de contar con un solo cuerpo policiaco en un distrito. El distrito esta formado por una ciudad grande y varios suburbios. En la siguiente tabla se resumen los datos obtenidos: Lugar de residencia En la ciudad (C) Fuera de la ciudad (C´) Total

A favor (F)

Total

80 20

En contra (F´) 40 10

100

50

150

120 30

Si se selecciona al azar un de los residentes, ¿Cuál es la probabilidad? a) De que esté a favor b) De que esté a favor dado que reside en la ciudad c) Son independientes los eventos “a favor” y “reside en la ciudad” Solución: a) P( F ) = b) P ( F / C ) = c) Trabajando con la condición de independencia P(F/C)=P(F) Por lo tanto los eventos a favor y reside en la ciudad son independientes. b) Probabilidad conjunta Se había definido a la probabilidad conjunta como la probabilidad de que dos o más eventos se presenten juntos o en sucesión, es decir la P(A y B). En el caso de eventos dependientes, basta con despejar de la formula de probabilidad condicional, la probabilidad P(A n B ): P(A n B ) = P ( B ) P ( A / B ) Vázquez, H. 2009

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Donde: P(A n B)= Probabilidad de que suceda A y B ( probabilidad conjunta ) P(B)= Probabilidad de que suceda el primer evento. P(A / B)= Probabilidad de que suceda el segundo evento dado que el primero ya sucedió. Ejemplo: Según una investigación, la probabilidad de que una familia sea dueña de dos automóviles si sus entradas anuales son mayores a $35,000 es de 0.75. De las amas de casa entrevistadas 0.60 tuvieron entradas superiores a $35,000 y el 0.52 tenían dos autos. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia tenga dos automóviles y una entrada mayor a $ 35,000? Solución: Sean los eventos: A= {x / x sea una familia que posee dos autos} , P(A)= 0.52 B= {x / x sea una familia con entradas superiores a $35000}, P(B)=0.60 Por lo tanto: P( A / B ) = 0.75 Como en el problema preguntan P(A n B), entonces: P(A n B ) = P ( B ) P ( A / B ) = ( 0.65 ) ( 0.75 ) = 0.49 c) Probabilidad marginal La probabilidad marginal en condiciones de dependencia estadística se calcula mediante la suma de las probabilidades de todos los eventos conjuntos en los que se presenta el evento sencillo. Ejemplo: De 12 cuentas que están en un archivo cuatro contienen un error de procedimiento en su elaboración de saldos. a) Si un auditor selecciona una cuenta el azar ¿Cuál es la probabilidad de que contenga un error de procedimiento? b) Si un auditor selecciona 2 cuentas al azar ¿ Cuál es la probabilidad de que ninguna de las cuentas posean error de procedimiento? c) Si el auditor selecciona 3 de sus cuentas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una de ellas tenga error de procedimiento? Realice un diagrama de árbol de probabilidad. Solución: a) Sea el evento: E ={ Cuenta con error} , por lo tanto, P(E)=4/12 b) Nota: Cuando se realiza una selección al azar significa que se está realizando sin reemplazo, y que por lo tanto los eventos son estadísticamente dependientes. Sea el evento E´= {Cuenta sin error}, por lo tanto, P(E´)= 1 - P(E)= 1 - 4/12 = 8/12

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A= {Ninguna de las dos cuentas posean error} Al realizarse la selección al azar, significa que al seleccionar la primera cuenta ésta no es regresada al archivo, y por lo tanto la segunda selección está afectada por la primera, entonces: La probabilidad de que la primera cuenta no tenga error será: P (E1´) = 8/12 La probabilidad de la segunda cuenta no posea error depende de que la primera no haya tenido error, por lo tanto, tanto el número de cuentas sin error como el espacio muestral disminuye en una unidad, puesto que ya se extrajo una cuenta y ésta fué sin error, de aquí que, la probabilidad de que la segunda cuenta no tenga error dado que la primera no tuvo es: P (E2´/ E1´) = 7 / 11 Como están preguntando la probabilidad de que en la primera selección se obtenga una cuenta sin error y que en la segunda selección también la cuenta no posea error, se trata entonces de una probabilidad conjunta P ( E1´n E2´), de aquí que aplicando la fórmula de probabilidad conjunta: P ( A ) = P( E1´n E2´) = P(E1´) P( E2´/ E1´)= ( 8 / 12 ) ( 7 / 11) = 0.42 Este problema se puede resolver realizando un diagrama de árbol, considerando dos extracción sin reemplazo.

Observe y Analice: a) En la primera extracción puede salir un carta con error (E1) o bien sin error, (E1´), siento éste evento el complemento, lo cual quiere decir que la suma de ambos debe dar 1 ( 4/12 + 8/12 = 12/12). b) En la segunda extracción , cada opción anterior, tendrá 2 opciones: cuenta con error (E2) y cuenta sin error (E2´), pero como los eventos son dependientes, es necesario considerar que la probabilidad cada evento va disminuyendo tanto en el numerador como en el denominador, según sea el evento que haya sucedido anteriormente. Por ejemplo en la primera rama la probabilidad de que la segunda Vázquez, H. 2009

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cuenta tenga error dado que la primera tuvo error es de 3/11, P(E2/E1)=3/11, puesto que ya se extrajo una con error. De manera similar se van calculando las probabilidades condicionales de las demás ramas. c) La suma de cada ramificación tendrá que ser igual a 1, por ejemplo, en la primera ramificación : 3/11 + 8/11 = 1. d) La suma de las probabilidades conjuntas de las ramificaciones de cada rama tiene que ser igual a la probabilidad de la rama, por ejemplo, tomando como base la primera rama: P(E)=4/12=0.33, por lo tanto las sumas de la probabilidades conjuntas de sus ramificaciones, P(E1 y E2) + P( E1 y E2´) = 0.09 + 0.24 = 0.33. e) Es importante agregar la columna de probabilidad conjunta para cada rama, claro está, aplicando la fórmula correspondiente para eventos dependientes. Por ejemplo la probabilidad conjunta de la primera rama es: P ( E1 n E2 )= P(E1) P ( E2/E1)= ( 4/12 )(3/12)= 0.09. El cálculo de las probabilidades probabilidades marginales.

conjuntas

facilitará

la

obtención

de

las

c) Realizar el diagrama de árbol

La pregunta planteada en este inciso se puede resolver de dos maneras: a) Utilizando evento complemento Sea T={ Obtener por lo menos una cuenta con error } T´={ Obtener una cuenta con ningún error }, entonces su resultado es: (E1´, E2´,E3´), por lo tanto: P(T´)= P(E1´ n E2´ n E3´) = 0.26 P(T)= 1 - ( T´)= 1 - 0.255 = 0.74.

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b) Obteniendo una probabilidad marginal, mediante la suma de las probabilidades conjuntas de los resultados que formen el evento. Sea T= { Obtener por lo menos una cuenta con error }, éste evento inmiscuye todos aquellos resultados que poseen una cuenta con error, dos errores y tres errores, de aquí que sus resultados son: T = { (E1,E2´,E3´), (E1´,E2 ,E3´), (E1´,É2´, E3), (E1, E2, E3´), (E1, E2´, E3), (E1´, E2, E3),(E1, E2, E3) }. Para obtener la probabilidad marginal del evento “T” se tendrá que sumar las probabilidades conjuntas de sus resultados: P(T) = P (E1nE2´nE3´) + P (E1´nE2nE3´) + P (E1´nÉ2´nE3) + P (E1nE2nE3´) + P (E1n E2´nE3) + P (E1´nE2nE3) + P (E1nE2nE3), por lo tanto: P(T)= 0.169 + 0.169 + 0.169 + 0.072 + 0.072 + 0.072 + 0.018 = 0.74

Glosario Probabilidad bajo condiciones de independencia estadística Dos eventos A y B son independientes si la probabilidad de que ocurra alguno de ellos no depende de la ocurrencia del otro. Probabilidad marginal Una probabilidad marginal es la probabilidad simple de presentación de un evento. Probabilidad Conjunta La probabilidad de dos o más eventos independientes se presentes juntos o en sucesión es el productos de sus probabilidades marginales. Matemáticamente se escribe como: P(AnB)=P(A)P(B) Probabilidad condicional Sean A y B dos eventos, entonces, la probabilidad de que suceda A dado que se sabe que el evento B ocurrió, se denomina probabilidad condicional de A dado B, denotada por P (A / B). P( A / B ) = P ( A ) A esta relación se le conoce como condición de independencia. Probabilidad bajo condiciones de dependencia estadística Se dice que dos eventos A y B son dependientes si se cumple la siguiente condición: P( A / B ) ¹ P ( A ), esto quiere decir que, para obtener la probabilidad de que ocurra “A” existe la condición de que primero ocurra “B”. Probabilidad condicional

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Sean A y B dos eventos estadísticamente dependientes, entonces, la probabilidad condicional de A dado B, denotada por P (A / B), es la probabilidad de que suceda A dado que se sabe que el evento B ocurrió. P(A/B)= Probabilidad conjunta Se había definido a la probabilidad conjunta como la probabilidad de que dos o más eventos se presenten juntos o en sucesión, es decir la P(A y B). En el caso de eventos dependientes, basta con despejar de la formula de probabilidad condicional, la probabilidad P(A n B ): P(A n B ) = P ( B ) P ( A / B ) Probabilidad marginal La probabilidad marginal en condiciones de dependencia estadística se calcula mediante la suma de las probabilidades de todos los eventos conjuntos en los que se presenta el evento sencillo.

3.3.5.1 Ejercicios resueltos Con base en datos geológicos, una compañía petrolera estima que hay una probabilidad de 0.3 de encontrar petróleo en cierta región. Se sabe por experiencia previa que si se ha de encontrar petróleo, hay una probabilidad de 0.4 de hallarlo en la primera serie de perforaciones. Si esta primera serie de perforaciones no resulta exitosa ¿ Cuál es la probabilidad de hallar petróleo a larga ? Solución: Sean los eventos: A1= Exista petróleo A2 = No exista petróleo B = Resulte exitosa B´= No resulte exitosa Datos: P(A1) = 0.3 P(A2) = 1 - 0-3 = 0.7 P ( B / A1 )= 0.4 P ( A1 / B´ ) = ? Al ser los eventos “Exista petróleo”, “ No exista petróleo” mutuamente excluyentes y el evento” Resulte exitosa” el evento secuencial se tendrá que aplicar el Teorema de Bayes:

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Dado que: P ( B / A1 ) = 0.4, entonces, P( B´ / A1 )= 1 - P ( B / A1 ) = 1 - 0.4 = 0.6 La probabilidad de que la perforación no sea fructífera dado que no exista petróleo es de: P( B´ / A2 ) = 1, lo cual es lógico, puesto que si no existe petróleo la perforación no resulta exitosa. Sustituyendo la ecuación:

Tres máquinas A, B y C producen respectivamente 60%, 30% y 10% del número total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de desperfectos de producción de éstas máquinas son respectivamente 2%, 3% y 4%, si se selecciona un artículo al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un artículo haya sido producido por la máquina C dado que es defectuoso? Solución: Sean los eventos: A = Máquina A B = Máquina B C = Máquina C D = Artículo defectuoso Partiendo de datos: P(A) = 0.60, P(B) = 0.30, P(C) = 0.10 P( D / A ) = 0.02, P( D / B ) = 0.03, P( D / C ) = 0.04 a) P( D ) = ? Como existen artículos defectuosos tanto de la máquina A, como de la B y C; para calcular la probabilidad marginal de seleccionar un artículo defectuoso, se tendrán que sumar sus probabilidades conjuntas, es decir, P(D) = P ( D ∩ A ) + P( D ∩ C ) + P ( D ∩ C ) Como los eventos A, B y C son mutuamente excluyentes y el evento D es un evento secuencial, por lo tanto, aplicando la fórmula de probabilidad conjunta para eventos dependientes:

Sustituyendo datos:

b) ¿ Cuál es la probabilidad de que un artículo haya sido producido por la máquina C, sabiendo que es defectuoso ?

Vázquez, H. 2009

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P(C/D)=? Aplicando el Teorema de Bayes:

Observe y Analice: La probabilidad conjunta del denominador de la fórmula de Bayes, ya se había calculado en el inciso a).

3.3.5.2 Ejercicios Propuestos A un consultor administrativo se le pide su opinión acerca de la razón por la cual la secretaria de un ejecutivo, insatisfecha, renunció a su trabajo. Sin poder obtener alguna información directa acerca de la secretaria, toma los siguientes datos de una moraleja y estudio de motivación corporativos a gran escala: entre todas las secretarias insatisfechas, el 20% lo están porque les desagrada su trabajo, el 50% porque sienten que están mal pagadas y el 30% porque les desagrada su jefe. Además, las probabilidades correspondientes de que renuncien son 0.60, 0.40 y 0.90. Con base a estos datos, a) ¿Cuál es la probabilidad de que la secretaria haya renunciado? Si la secretaria renunció: b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea por que le desagrada su trabajo? c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea por que es mal pagada? Tres servicios de mensajería anuncia que entregarán un paquete en cualquier parte de México en 5 horas o menos. Las compañías A, B y C transportan 55%, 35% y 10% del número total de los paquetes que se entregan. Si el 6% de los paquetes entregados por la compañía A, el 3% de los entregados por la B, y el 2% de la compañía C fueron entregados con retraso. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se entren los paquetes con retraso? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete entregado con retraso haya sido llevado por la compañía B? c) ¿Cuál es la probabilidad de que se entren los paquetes sin retraso? d) ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete entregado sin retraso haya sido llevado por la compañía C?

Vázquez, H. 2009

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3.3 Eventos con probabilidades