SADRŽAJ PREDGOVOR ..................................................................................................................7 REPETITORIJ FORMULA ......................................................................................9 1. ARITMETIKA I ALGEBRA ................................................................................11 2. GEOMETRIJA ......................................................................................................17 3. RAVNINSKA TRIGONOMETRIJA ....................................................................22 4. ANALITIČKA GEOMETRIJA.............................................................................25
ZADATCI .........................................................................................................................31 1. DIO PRVI (Zagrijavanje i razgibavanje)...............................................................33 2. DIO DRUGI (Trening) ..........................................................................................69 3. DIO TREĆI (Utakmica).......................................................................................101
POSTUPCI RJEŠAVANJA ZADATAKA .......................................................145
1. ARITMETIKA I ALGEBRA Razmjeri Ako je a ÷ b = c ÷ d i svi različiti od nule, tada je i 1) 2) 3) 4)
a÷c=b÷d d ÷c=b÷a d÷b=c÷a (ax ) ÷ (bx ) = c ÷ d , x ≠ 0
5) (ax ) ÷ b = (cx ) ÷ d
6) (a ± b ) ÷ (c ± d ) = a ÷ c = b ÷ d , c ± d ≠ 0
7) (a + b ) ÷ (c + d ) = (a − b ) ÷ (c − d ) , c ± d ≠ 0
Potencije
a x ⋅ a y = a x+ y , a x ÷ a y = a x− y , a 0 = 1 a −x =
( )
x y ⎛a⎞ , a x ⋅ b x = (ab ) x , a x ÷ b x = ⎜ ⎟ , a x = a x⋅ y ⎝b⎠ ax
1
Potencije binoma
n ∈ N , 0! = 1! = 1 , n! = n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n ⋅ ( n − 1)!
( nk ) = k!(nn-! k )! (a + b )n = a n + n a n −1b + (2n ) a n − 2b 2 + ... + (nn− 2 ) a 2b n − 2 + n a b n −1 + b n
(a − b) n = a n − na n−1b + ( 2n )a 2b n− 2 −
... +
n− 2
n−1
+ ( −1)
(
( n−n 2 )a b
2 n− 2
+ ( −1)
nab n−1 + ( −1) b n n
a 2n − b 2n = (a − b) ⋅ a 2n−1 + a 2n− 2 b + a 2n− 3 b 2 + ... + a 2 b 2n−3 + ab 2n− 2 + b 2n−1
(
a 2n+1 ± b 2n+1 = (a ± b) ⋅ a 2n ma 2n−1 b + a 2n− 2 b 2 m ... + a 2 b 2n− 2 mab 2n−1 + b 2n
) ) 11
Konvergentni geometrijski red (- 1 < q < 1) - možemo zbrojiti sve članove niza: a1 + a 2 + ... + a n + a n+1 + ... =
a1 . 1− q
Postotni račun
C - osnovna vrijednost, P - postotni iznos,
p 100
= p% - postotak.
Postotak je razlomak, a označuje se znakom %, npr. 5% =
5 = 0 .05 . 100
P : C = p : 100
p=
P ⋅ 100 C
Osnovna vrijednost uvećana za postotni iznos p ⎞ ⎛ C + P = C ⎜1 + ⎟. ⎝ 100 ⎠
Osnovna vrijednost umanjena za postotni iznos p ⎞ ⎛ C − P = C ⎜1 − ⎟. ⎝ 100 ⎠
Postotni iznos i osnovna vrijednost računaju se iz uvećane, odnosno umanjene vrijednosti po formuli P=
(C ± p ) ⋅ p 100 ± p
Jednostavni kamatni račun
k - kamati, C - glavnica, p - kamatnjak, n - vrijeme k=
C⋅ p⋅n 100
15
c= p+ q Euklidov teorem:
a 2 = p ⋅ c, b 2 = q ⋅ c, v 2 = p ⋅ q ab = cv Iz svega slijedi a 2 + b 2 = c 2 što je Pitagorin teorem. pravokutnik P = a ⋅b
d = a2 + b2 O = 2(a + b ) paralelogram
P = a ⋅ va
O = 2(a + b ) trapez
a+c ⋅v 2 O = a+b+c+d P=
O kružnici i krugu
P = r 2π O = 2rπ l=
( )
OA ⋅ OB = OC
2
OA ⋅ OB = OC ⋅ OD
rπα 180
19
C: 56π cm 2 D: 48π
ar + bs − q , tada je s jednako: t ar − q − pt s= b ar + bt − q s= b pt + q − ar s= b pt − ar − q s= b
11. Ako je p =
A: B: C: D:
12. Koliko cijelih brojeva zadovoljava uvjet 2 ≤
x+5 < 4? 2
A: 3 B: 4 C: 5 D: 6 13. Ako je x + 2y = 11, koliko je x 2 + 4 xy + 4 y 2 + 7 ? A: 49 B: 64 C: 96 D: 128
36
114. Funkcija f ( x ) = − x 2 + bx + c ima nultočke 1 i 7. Maksimalna vrijednost funkcije je: A: –9 B: 4 C: 9 D: 23 115. Za kompleksan broj z = −3 + 5i odredite z ⋅ z .
Odgovor:_____________________________ 116. Riješite nejednadžbu x 2 + 2 x ≤ 3
Odgovor:_____________________________ 117. Kolika je mjera kuta u vrhu A?
Odgovor:_________°_________' ___________"
66
152. Ako na zemljovidu mjerila 1 : 5000 imamo duljinu 10 cm, koliko je to u stvarnosti? A: 500 mm B: 500 cm C: 500 dm D: 500 m 153. I umnožak i kvocijent dvaju brojeva jednaki su 1. Ako jednog od tih brojeva oduzmemo od drugog, dobit ćemo: A: –1 B: 0 C: 1 D: 2 154. Ako sam jučer pročitao četvrtinu knjige, a danas ostatak, koliko sam "brže" čitao danas u odnosu na jučer? A: 5 puta B: 2 puta C: 3 puta D: 4 puta
155. Koliko je
1 − 3 (1.5 − 1) ? 3 0.1 − 2 5
Odgovor: ____________________________
156. Riješite jednadžbu −5 x −
1 5 =− −x. 2 2
Odgovor: ____________________________
157. Ako 8 kg jabuka košta 44 kune, koliko košta 3 kg?
Odgovor: ____________________________
75
223. Ako su 3 i −
1 rješenja jednadžbe 2 x 2 − kx − 3 = 0 , koliki je k? 2
A: 2 B: 3 C: 5 D: 8 224. Koji broj nije realan? 1 A: 3 B: π C: –5 D: −4 225. Rješenje jednadžbe π ⋅ x + 10 = 0 nalaze se u intervalu: A: [–4, –3] B: [–3, –2] C: [–2, –1] D: [–1, 0] 226. Koliko iznosi AB ?
A: 1 B: 2 C: 3 D: 4
24
S
A
B
7 C
227. Koliko iznose opseg i površina trokuta na slici? 26
24
92
398. Baza uspravne četverostrane prizme je kvadrat čija je duljina stranice 10 cm. Duljina visine prizme je 12 cm. Koliko je njezino oplošje? A. 88 cm2 B. 240 cm2 C. 680 cm2 D. 1 200 cm2 399. Koje je rješenje jednadžbe 10x − (0.001)2 = 0? A. –6 B. –3 C. 3 D. 6
400. U cjeniku taksi službe piše: START 19.00 kn Vožnja po km 7.00 kn Prtljaga po komadu 3.00 kn Tomislav je imao 2 komada prtljage. Koliko se km Tomislav vozio taksijem ako je uz popust od 10% platio 117 kn? A. 12 km B. 13 km C. 14 km D. 15 km
401. Na zemljovidu mjerila 1:50 000 polumjer kruga iznosi 1.5 cm. Kolika je površina koju taj krug predočuje u prirodi? A. 1.1 km2 B. 1.8 km2 C. 2.4 km2 D. 3.5 km2 402. Zadana su dva cijela broja od kojih je jedan trostruko veći od drugoga. Njihov je zbroj 168. Kolika je razlika tih brojeva? A. 80 B. 84
139
u vrhu C, a za veći u vrhu A). To je teorem o sličnosti trokuta na temelju tri (dovoljno je i dva) jednaka kuta. Zato imamo:
C
15
A
9
B 9
x C
D
x 9 = 9 15
B
x=
⇒
27 5
Odgovor: B 15. y
1 0 1
x
Dovoljno je naći udaljenost AB i jer je to stranica kvadrata pomnožiti s četiri. O = 4 ⋅ AB = 4 ⋅
16. 2 x + 5 y = −1
( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 ⇒
= 4⋅
(1 − ( −2 ) )2 + ( −2 − ( −1) )2 = 4
10
1 5 x=− − y 2 2
3x − 4 y = 33 ⎛ 1 5 ⎞ 3 ⎜ − − y ⎟ − 4 y = 33 ⎝ 2 2 ⎠
151
114. f ( x ) = − ( x − 1)( x − 7 ) = − x 2 + 8 x − 7
⎛ b 82 − 4 ( −1)( −7 ) ⎞ b2 − 4ac ⎞ ⎛ 8 ,− = ⎜− Tražimo tjeme: ⎜ − , − ⎟ = ( 4,9 ) . ⎟ ⎜ 2a ⎟ ⎜ 2 ( −1) ⎟ 4 a 4 − 1 ( ) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Funkcija u x = 4 (točka maksimuma) postiže maksimum (maksimalnu vrijednost) y = 9. Odgovor: C 115. z = −3 + 5i
⇒
z = −3 − 5i
z ⋅ z = ( −3) − ( 5i ) = 9 + 25 = 34 2
2
116. x 2 + 2 x − 3 ≤ 0
( x − 1)( x + 3) ≤ 0 y
1 0 1
x
Oni x-evi za koje je graf ispod x-osi su rješenje nejednadžbe: x ∈ [ −3,1] 117. Označimo traženi kut s α. Tada je sin α =
dobijemo α ≈ 44°11'03.79" .
118. f ( x ) = 0
180
⇒
9.2 . Uz pomoć džepnog računala 13.2
2 −b ± b2 − 4ac −2 ± 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( −8 ) x1,2 = = 2a 2 ⋅1
152. 10 cm = 0.1 m ; 0.1 ⋅ 5000 m = 500 m
Odgovor: D
x =1 ⇒ y 1 − 1 = −1 − ( −1) = 0
153. x ⋅ y = 1,
x = y , x 2 = y 2 = 1,
x = y = 1 ili x = y = −1
Odgovor: B 154. Jučer sam pročitao
"brže" nego jučer.
1 3 , a danas knjige što znači da sam danas čitao tri puta 4 4
Odgovor: C ⎛3 ⎞ 1 1 − 3 ⋅ ⎜ − 1⎟ 1 − 3 − 2 ⎠ ⎝ 2 = 2 = 10 = 1 = 155. 1 13 1 − 26 25 50 5 − − 10 5 10 10 156. −5 x −
1 5 =− −x 2 2
1 5 − + = 5x − x 2 2
⇒
4x = 2
⇒
x=
1 2
44 = 5.5 kuna košta 1 kg jabuka pa 3 kg koštaju 3 ⋅ 5.5 = 16.50 , tj. 16 kuna i 8 50 lipa. 157.
158. Trokut je očito pravokutan. AC = 3 ,
opseg 3 + 4 + 5 = 12.
190
AB = 4 i BC = 33 + 42 = 5 pa je
Ili p =
350 P ⋅ 100 = ⋅ 100 = 35% 100 C
223. 2 x 2 − kx − 3 = 0
Viète: x1 + x2 = −
b 1 5 k = 3− = = 2 2 2 a
k =5 Odgovor: C 224. Odgovor: D
225. x = −
10
π
≈ −1.0066 ∈ [ −2, −1]
Odgovor: C 2
2
2
2
226. SC = SA + AC = SB = 242 + 72
⇒
SB = 25
AB = SB − SA = 25 − 24 = 1 Odgovor: A 227. Treća stranica (druga kateta!) iznosi 262 − 242 = 10 pa je opseg 10 ⋅ 24 10 + 24 + 26 = 60 , a površina = 120 . 2
Odgovor: A 228. 2 x ⋅ 2 x + 4 x = 22 x + 22 x = 2 ⋅ 22 x = 22 x+1
Odgovor: C 229. 2 x + α y + 1 = 0 ,
3x + 4 y − 7 = 0
203
398.
a = 10 v = 12
v
a a
O = 2 B + P = 2 ⋅ a 2 + 4 ⋅ a ⋅ v = 2 ⋅ 102 + 4 ⋅ 10 ⋅ 12 = 680 cm 2 . Odgovor: C
399. 10 x − ( 0.001) = 0 2
( )
⇒ 10 x = 10−3
2
⇒ 10 x = 10−6
⇒ x = −6
Odgovor: A 400. Ako je Tomislav platio 117 kn uz 10% popusta, onda to znači da je 117 kn 90% završne cijene. Kolika je to cijena? 90 100 ⋅ 117 90% ⋅ x = 117 ⇒ ⋅ x = 117 ⇒ x = = 130 100 90 Dakle, Tomislav je trebao platiti (bez popusta!) 130 kn. Imao je dva komada prtljage (to je 6 kn) i naravno – start (to je 19 kn). 130 – 19 – 6 = 105, a to znači da je čiste kilometraže bilo za 105 kn. Kako je 1 km = 7 kn slijedi da se Tomislav 105 = 15 km. vozio 7
Odgovor: D
246