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TEORIA DE LOGARITMOS En matemática, el logaritmo de un número en una base determinada es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener el número. Es la función matemática inversa de la función exponencial. Por ejemplo, el logaritmo con base b de un número x es el exponente n al que hay que elevar esa misma base para que nos dé dicho número x.
La base b tiene que ser positiva y distinta de 1 X = tiene que ser un numero positivo (x > 0). n = puede ser cualquier número real
.
Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.
Por ejemplo: Ejemplos, resolver utilizando la definición de logaritmos
•
•
•
•
• 2
Logaritmo neperiano (ln) Se denomina logaritmo neperiano (ln) o logaritmo natural al logaritmo en base
e
de un
número o resultado dado por el exponente.
Ejemplo:
• Identidades logarítmicas Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos: •
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
•
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
•
El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.
•
El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.
3
Resolver los siguientes ejercicios
Logaritmo en base b (cambio de base) Son comunes los logaritmos en base e (logaritmo neperiano), base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, debido a que se pueden hacer conversiones de una base a otra de forma sencilla. Para ello, es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto "b" como "k" son diferentes de 1):
en la que "k" es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos:
4
En la práctica, se emplea el logaritmo decimal, que se indica como
, en ciencias que
hacen uso de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada pH) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad (candela), del sonido(dB), de la energía de un terremoto (escala de Richter), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces. Las propiedades de los logaritmos son una base que facilita aún más su resolución.
EJERCICIOS
1.
2. log(x + 4) = 1 - log(x - 5) log(x + 4) = log 10 - log(x - 5) = log (10/(x - 5)) x + 4 = 10/(x - 5) x2 - x - 30 = 0 x=6 x = - 5 (esta solución, no es válida).
5
FUNCIÓN MATEMÁTICA En matemáticas, una función, aplicación o mapeo f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x). Se denota por:
Formalmente, pedimos que se cumplan las siguientes dos condiciones: 1. Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y, es decir,
2. Condición de unicidad: Cada elemento de X está relacionado con un único elemento de Y, es decir, si
Notación y nomenclatura
Al dominio también se le llama conjunto de entrada o conjunto inicial. Se denota por o
.
A los elementos del dominio se les llama habitualmente argumento de la función. Al codominio, también llamado, conjunto de llegada, conjunto final o rango de f se le denota por
o codomf Cabe señalar que el término rango es ambiguo en la literatura, ya que puede hacer referencia tanto al codominio como al conjunto imagen. Por ello, es aconsejable usar el término codominio. Si x es un elemento del dominio al elemento del codominio asignado por la función y denotado por f(x) se le llama valor o imagen de la función f de x. Al subconjunto del codominio formado 6
por todos los valores o imágenes se le llama imagen, alcance o recorrido de la función. Se denota por
o
o
Una pre imagen de un
.
es algún
tal que
.
Note que puede haber algunos elementos del codominio que no sean imagen de un elemento del dominio, pero que cada elemento del dominio es pre imagen de al menos un elemento del codominio. Ejemplos
La función definida por
, tiene como dominio, codominio e imagen a todos los
números reales
Función con Dominio X y Rango Y •
Para la función codominio son iguales a
tal que
, en cambio, si bien su dominio y
, sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y
+∞ que sean el cuadrado de un número real. •
En la figura se puede apreciar una función
, con
Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente,
Esta función representada como relación, queda: 7
Ejemplo: 1. Sea f: A ⊂ Ν→ Ν, una función tal que: (x, y) ∈ f ↔ 3x + y = 17; Hallar el dominio y rango
Clasificación de las funciones •
Función Inyectiva:
Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las Y no se repiten. Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.
•
Función Sobreyectiva:
Sea f una función de A en B , f es una función epiyectiva (también llamada sobreyectiva) , si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A , bajo f . A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos iguales en un conjunto de llegada. Es decir, si todo elemento R es imagen de algún elemento X del dominio. Ejemplo: X = { 1 ,2 , 3 , 4 } Y={a,b,c} f={(1,a),(2,b),(3,c),(4,c)}
8
•
Función Biyectiva:
Sea f una función de A en B , f es una función biyectiva , si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez . Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la función es Inyectiva. En cambio, la función es Sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se cumplen simultáneamente las dos condiciones tenemos una función BIYECTIVA. Ejemplo: A={a,e,i,o,u} B={1,3,5,7,9} f={(a,5),(e,1),(i,9),(o,3),(u,7)
Resumen
Inyectiva, no sobreyectiva
Biyectiva
Sobreyectiva, no inyectiva
No sobreyectiva, no inyectiva 9
GRAFICA DE UNA FUNCION
Se puede definirse como el conjunto formado por todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f; y se denota por Graf. (f) Ejemplo:
Graficar la función f(x) = 2x + 4
ALGEBRA DE FUNCIONES Igualdad de funciones
Adición, sustracción, multiplicación y división de funciones
Sea X un conjunto cualquiera no vacío y sea las funciones de X en se pueden extender a
Sean
el conjunto formado por todas
. Muchas de las operaciones y propiedades algebraicas de los Reales , como veremos a continuación.
elementos de
. Definimos operaciones entre funciones,
punto a punto por
•
Suma de Funciones. 10
•
Resta de Funciones.
•
Producto de Funciones.
EJERCICIOS Calcula la función suma de las siguientes funciones con sus dominios respectivos: 1.- f1(x)=x2+1 ys
=y1+y2
f2(x)= - 2x2+4 =
x2+1-2x2+4
= -x2+5.
Entonces
2.- Dadas las funciones y1=x+1
y
y2=x+2
calcula yp (producto) así como yc(cociente) con sus
dominios respectivos.
4.- Dadas las calcula yp (producto) así como yc(cociente) con sus dominios respectivos.
11
y
3. Dadas dos funciones definidas en los reales por
,
determinar f(x)+g(x), e igualmente su dominio:
Como podemos observar el
y
, luego
será
intersección de los dos dominios; por consiguiente:
LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Dadas las funciones f: A → B y g: B → C , (o sea, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g), se define una función composición (g ο f ): A → C tal que
(g ο f)(x) = g
(f(x)), para todos los elementos x de A.
EJERCICIOS
•
Sean las funciones:
Calcular:
1
12
2
Ahora hallar el dominiode gof y fog
FUNCIÓN INVERSA
, se llama una (función) inversa de
Dada una función
, a una función
tal que se cumple las siguientes condiciones:
. Decimos también que la función f es invertible Cuando existe una función inversa de f, se demuestra que esa función es única, por lo que se habla de la inversa y se la denota por
.
Se verifica también las siguientes propiedades. •
Una función tiene inversa si, y sólo si, es biyectiva.
•
La función inversa de una función es invertible, y su inversa es la función original. O sea que (f − 1) − 1 = f.
•
La composición de dos funciones invertibles es invertible, y su inversa es la composición de las inversas de los factores pero con el orden invertido. .
13
EJEMPLOS 2. Calcular la función inversa de:
•
• •
• •
Vamos a comprobar el resultado para x = 2
• •
2.
14
FUNCIONES PARES E IMPARES Se dice que una funciรณn es par si f(x) = f(-x), en el caso de que f(x) = -f(-x) se dice que la funciรณn es impar.
Ejemplos 1: La funciรณn Y(x)=x es impar ya que:
f(-x) = -x
, pero como f(x) = x entonces: f(-x) = - f(x).
Ejemplo 2: Otra funciรณn impar es y = 1/x
Cuando f(x) = -f(-x)
Ejemplo 3: La funciรณn f(x)=x2 es par ya que f(-x) = (-x)2 =x2
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MATRICES Y DETERMINANTES Una matriz m×n es una tabla o arreglo rectangular A de números reales con m reglones (o filas) y n columnas. (Reglones son horizontales y columnas son verticales.) Los números m y n son las dimensiones de A. Los números reales en la matriz se llaman sus entradas. La entrada en reglón i y columna j se llama aij o Aij.
Ejemplo Aquí es una matriz 4×5. 0 1 2 0 3 1/3 -1 10 1/3 2 A=
A45 3 1 0 1 -3 2 1 0 0 1
Operaciones con matrices Trasposición La matriz traspuesta, AT, de la matriz A es la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Sea A una matiz m×n y B = AT, entonces B es la matriz n×m con bij = aji. Ejemplos Hallar la transpuesta de la siguiente matriz 16
0 1/3
T
0 1 2
=
1 -1
1/3 -1 10 2 10
Suma, Resta Sea A y B matrices con las mismas dimensiones, entonces sus suma, A+B, se obtiene sumando entradas correspondientes. En símbolos, (A+B)ij = Aij + Bij. En forma parecida, su resta, A - B, obtiene restando entradas correspondientes. En símbolos, (A-B)ij = Aij - Bij.
Producto escalar Sea A una matriz y c un número (llamado un escalar en este contexto), definimos el producto escalar por la matriz, cA, como la matriz que se obtiene multiplicando cada entrada de A por c. En símbolos, (cA)ij = c(Aij). Producto Sea A una matriz con dimensiones m×n y B una matriz con dimensiones n×p, entonces el producto AB está definido, y tiene dimenciones m×p. La entrada (AB)ij se obtiene por multiplicar reglón i de A por columna j de B, hecho por multiplicar sus entradas correspondientes y sumar las resultados. Suma y producto escalar
0 1
1 -1 +2
1/3 -1
2 -1 =
2/3 -2
5/3 -5
Producto
0 1
1 -1
2/3 -2 =
1/3 -1
2/3 -2
-1/3 5/3
Álgebra de matrices La matriz unidad de orden n×n es la matriz I de orden n×n en la cual todas las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. En símbolos:
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Iij = 1 si i = j y Iij = 0 si i ≠ j. Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas son cero. Ejemplos La siguiente es la matriz unidad de orden 4×4: 1000 0100 I= 0010 0001 Las operaciones de adición, multiplicación escalar, multiplicación entre matrices se cumplen las siguientes reglas: A+(B+C) = (A+B)+C
Regla asociativa de adición
A+B = B+A
Regla conmutativa de adición
A+O = O+A = A
Regla unidad de adición
A+( - A) = O = ( - A)+A Regla inversa de adición c(A+B) = cA+cB
Regla distributiva
(c+d)A = cA+dA
Regla distributiva
1A = A
Unidad escalar
0A = O
Cero escalar
A(BC) = (AB)C
Regla asociativa de multiplicación
AI = IA = A
Regla unidad de multiplicación
A(B+C) = AB + AC
Regla distributiva
(A+B)C = AC + BC
Regla distributiva
OA = AO = O
Multiplicación por matriz cero
(A+B)T = AT + BT
Trasposición de una suma
(cA)T = c(AT)
Trasposición de un producto escalar
(AB)T = BTAT
Trasposición de un producto matriz
La única regla que está notablemente ausente es la de conmutatividad del producto entre matrices. El producto entre matrices no es conmutativo: AB no es igual a BA en general.
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El fallo de la regla conmutativa para el producto entre matrices se muestra por el siguiente ejemplo:
0 1 A=
1 -1 B=
1/3 -1
2/3 -2
2/3 -2 AB = -1/3 5/3 -1/3 2 BA = -2/3 8/3
DETERMINATE DE UNA MATRIZ El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución de sistemas lineales y el cálculo de la matriz inversa, entre otras aplicaciones.
Matrices de orden inferior El caso de matrices de orden inferior (orden 2 o 3) es tan sencillo que su determinante se calcula con sencillas reglas conocidas. Dichas reglas son también deducibles del teorema de Laplace Los determinantes de una matriz de orden 2:
se calculan con la siguiente fórmula:
Observación. La interpretación geométrica es que es el área orientada del paralelogramo que determinan los vectores (a11, a12) y (a21, a22). Se puede ver con detalle en Interpretación Geométrica del determinante
CÁLCULO DE DETERMINANTES DE ÓRDENES 3 19
En este Ăşltimo caso, para acordarnos de todos los productos posibles y sus correspondientes signos se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquema grĂĄfico para los productos positivos y otro para los negativos:
OTROS METODOS
Ejercicio 1. Calcula los siguientes determinantes:
20
a)
,
b)
,
c)
.
Propiedades de los determinantes Las propiedades que vamos a enunciar son generales para determinantes de cualquier orden. Pueden comprobarse en los de orden dos o tres. 1. El determinante no varía si se traspone la matriz. Es decir: det A = det At . (Esta propiedad permite enunciar las demás sólo para filas o columnas). 2. Si permutamos entre sí dos filas (o columnas) el determinante cambia de signo. 3. Si multiplicamos (o dividimos) una fila o columna por un número el determinante queda multiplicado por dicho número. (Esta propiedad sirve para poder sacar factor común en un determinante) 4. Si todos los elementos de una fila (o columna) son nulos, el determinante también lo es. 5. Si dos filas (o columnas) son iguales (o proporcionales)el determinante es 0.
Ejemplo.
= 0, pues las dos primeras filas son proporcionales.
6. Si todos los elementos de una línea se descomponen en suma de dos sumandos, el determinante puede descomponerse también como suma de dos determinantes. Ejemplo :
=
+
(Comprobarlo)
21
7. Si una fila o columna es c.l. de las otras su determinante es cero.
Ejemplo.
= 0,
pues la 3ª columna es la suma de las dos primeras.
8. Si a una fila (columna) de una matriz se le suma otra fila (columna) multiplicada por un nºel determinante no varía.
Determinantes de orden cualquiera. Menores complementarios – procedimiento a. Se elige la fila o columna de mayor cantidad de ceros b. Se toma los menores complementario de cada elemento de la fila o columna elegida con su respectivo signo de acuerdo a la regla
Signo =
(+); si i + j es par ( - ); si i + j es impar
Donde i, j son la ubicaciones de la fila y columna respectivamente del elemento El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una línea por sus adjuntos correspondientes:
22
Ejemplo
= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63
Matriz inversa Sea A una matriz cuadrada, es decir, una matriz cuyo número de reglones es igual a su número de filas, entonces es posible a veces despejar a X en una ecuación matriz AX = B por "dividir por A." Precisamente, una matriz cuadrada A puede tener una inversa, que se escribe como A-1, con la propiedad AA-1 = A-1A = I. La matriz 2×2
a b A= c d Es invertible si ad - bc no es cero y es singular si ad - bc = 0. El número ad - bc se llama el determinante de la matriz. Cuando la matriz es invertible su inversa se expresa por la formula
CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ
Una de las aplicaciones más importantes de los determinantes es que nos da un criterio para decidir cuándo una matriz posee inversa.
Teorema. Una matriz cuadrada A es inversible Û ½A½¹ 0. Además su inversa es:
23
A-1 =
.
Demostraci贸n. Es consecuencia inmediata de las proposiciones 1 y 2. (Comprobarlo) Este teorema nos da un m茅todo para calcular la inversa:
1) Se calcula det A. Si det. A = 0: A no tiene inversa. Si det. A distinto de 0:
2) Se calcula la matriz adjunta de A, adj A, es decir, la que tiene por elementos a los adjuntos de A:
(adj A)=
3) Se traspone la matriz adjunta. (adj A)
t
4) Se divide por el determinante de A. El resultado es la inversa de A. Es decir:
A-1 =
Ejemplo. Calcula la inversa de la matriz A =
Soluci贸n. El determinante de A vale 5, luego tiene inversa.
La matriz adjunta de A es
, su traspuesta es
y A-1=
.
24
Comprobación
=
=
Aplicaciones a la resolución de sistemas lineales I) Resolución de sistemas lineales por el método de la inversa. Sea AX =B
(1)
un sistema de n ecuaciones con n incógnitas.
Si la matriz de los coeficientes, A, tiene un determinante distinto de cero, entonces será invertible, luego multiplicando ambos miembros de (1) por A-1,obtenemos : A-1 (AX) =
A-1B, de donde:.
X= A-1B
II) Regla de Cramer. Definición. Un sistema con n ecuaciones lineales y n incógnitas se dice que es de Cramer, cuando el determinante de la matriz de los coeficientes es diferente de 0. Consecuencia. Todo sistema de Cramer es compatible determinado. En efecto: S1 AX =B es un sistema de Cramer, entonces existe A-1, luego nos da la solución única. Regla de Cramer Veamos la expresión de las soluciones en el caso de n = 3. La inversa vimos que es:
A-1 =
De donde:
.Þ
x=
=
( b1A11 + b2 A21+ b3 A31)
25
.:
An谩logamente que constituye la llamada regla de Cramer.
Ejemplo. Resuelve, usando la regla de Cramer, el sistema:
Soluci贸n
,
A=
x=
=
= 4 0, luego es de Cramer.
,
y=
= -30, z =
= -11
26
EJERCICIOS
. Halla su inversa y calcula A2 – 2ª
2. Sea la matriz
3. Obtener de forma razonada la matriz X que verifica AX = 2B-C
4. Resolver la ecuación matricial XA = B + C, donde
A=
,
B=
,
C=
5. Obtener, en función de a, b y c el valor del determinante:
6. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Cramer:
27
7. Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:
28