Cap´ıtulo 5 Limites e Continuidade de Fun¸ c˜ oes Um fun¸ca˜o real f de vari´avel real ´e uma fun¸c˜ao definida num subconjunto Df ⊂ R assumindo valores reais, isto ´e, para cada x ∈ Df , f atribui o valor real f (x). Assim adotaremos a nota¸ca˜o f : Df → R x 7→ f (x) O dom´ınio Df da fun¸ca˜o f as vezes ser´a denotado por D(f ) ou simplesmente por D. Como vimos na se¸c˜ao ?, uma fun¸ca˜o est´a determinada por seu dom´ınio D e sua regra de correspondˆencia x 7→ f (x). Quando explicitamos unicamente a regra de correspondencia de uma fun¸c˜ao sem determinar o dom´ınio, entende-se que o dom´ınio desta fun¸c˜ao ´e o maior conjunto onde a regra de correspondˆencia faz sentido. Exemplo: a regra de correspondˆencia f (x) = 1/(x2 − 1) s´o n˜ao faz sentido em x = ±1, logo pode ser considerada uma fun¸ca˜o cujo dom´ınio ´e Df = R \ {1, −1}. Exemplo: As fun¸c˜oes cujas regras de correspondˆencia s˜ao dadas por √ √ √ f (x) = x(x − 1) e g(x) = x x − 1, n˜ao s˜ao iguais, dado que seus dom´ınios s˜ao dados por Df =] − ∞, 0] ∪ [1, ∞[,
Dg = [1, ∞[,
e n˜ao s˜ao os mesmos. A imagem da fun¸ca˜o f , denotada por Im(f ) ou f (Df ), ´e o conjunto de valores que a fun¸ca˜o assume, isto ´e Im(f ) = {f (x) : x ∈ Df }. 2
Por exemplo, a imagem da fun¸c˜ao f (x) = x2x+1 ´e [0, 1[, de fato, se y0 ∈ [0, 1[ encontramos que para √ y0 x0 = ± 1−y verifica-se f (x0 ) = y0 , claramente f n˜ao asumme valores fora desse intervalo, pois 0 0 ≤ f (x) < 1. O gr´afico da fun¸ca˜o ´e o conjunto de pontos (x, y) ∈ R2 tal que y = f (x), isto ´e, Graf(f ) = {(x, f (x)) : x ∈ Df } ⊂ R2
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