Flexión de placas con energía de esfuerzo cortante
173
La transformación se efectúa mediante una jacobiana constate J0, evaluada en el centro del elemento, con objeto de garantizar el cumplimiento del patch test. ⎡x ,ξ J = ⎢x ⎢⎣ ,η 0
⎡J 110 J 120 ⎤ y,ξ ⎤ ⎥ ⎥ = ⎢⎢ 0 0 ⎥ y,η ⎥ ⎦ ξ =η =0 ⎢⎣J 21 J 22 ⎥⎦
(8.105)
El campo de momentos en el sistema cartesiano que se obtiene es: ⎧⎪ M ⎫⎪ ⎪⎪ x ⎪⎪ ⎪⎪⎨ M ⎪⎪⎬ = ⎪⎪ y ⎪⎪ ⎪⎪M xy ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪
⎡1 0 0 (J 0 )2 η (J 0 )2 ξ (J 0 )2 ξ (J 0 )2 η 2J 0 J 0 ξ 2J 0 J 0 η ⎤ ⎧ ⎫ 11 21 11 21 11 21 11 21 ⎥ ⎪α ⎪ ⎢ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ 0 1 0 (J 120 )2 η (J 220 )2 ξ (J 120 )2 ξ (J 220 )2 η 2J 120 J 220 ξ 2J 120 J 220 η ⎥ ⎪ ⎨ ... ⎬ (8.106) ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢0 0 1 J 0 J 0 η J 0 J 0 ξ J 0 J 0 ξ J 0 J 0 η ⎥ α ⎪ 9⎪ AJ ξ AJ η ⎥ ⎪ ⎪ ⎢⎣ 11 12 21 22 12 22 21 22 ⎩ ⎭ ⎦
Siendo AJ = J 110 J 220 + J 120 J 210 . Los coeficientes αi del ajuste en el sistema cartesiano son combinación lineal de los coeficientes iniciales αi y de los términos de J0 y son por lo tanto independientes. El campo de momentos interpolado debe satisfacer la ecuación de equilibrio, en sentido débil, con objeto de evitar el shear locking. Esto se cumple si se impone la condición de que el campo de momentos no acumule energía con cualquier estado de deformación no contenida en la interpolación de deformaciones supuesta, denominada deformación incompatible (Weissman y Taylor, 1990, 1992). Dicha condición es:
∫M
T
κin dA = 0
(8.107)
Siendo κin las curvaturas producidas por las deformaciones incompatibles win, cuyo valor es: κin = ∂ F win
(8.108)
Donde a su vez el operador ∂ F relaciona las curvaturas con las deformaciones. El cumplimiento de la ecuación de restricción anterior es sencillo, sin más que eliminar de la expresión de interpolación de momentos los términos afectados por los coeficientes α6 a α9 , dejando sólo un término en ξ y otro en η para cada momento, en la forma: ⎧ ⎪⎪ M x ⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ My ⎪ ⎬= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ M ⎪ xy ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
⎡1 0 0 (J 0 )2 η (J 0 )2 ξ ⎤ ⎧ ⎫ 11 21 α1 ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ 0 2 0 2 ⎪ ⎢ 0 1 0 (J 12 ) η (J 22 ) ξ ⎥ ⎨ ... ⎬⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢0 0 1 J 0 J 0 η J 0 J 0 ξ ⎥ ⎪ α5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭ ⎢⎣ 11 12 21 22 ⎥ ⎩ ⎦
(8.109)
Este campo de momentos ha demostrado ser muy eficiente para el desarrollo de elementos finitos, tanto si se emplean campos de deformaciones incompatibles como en caso contrario, y es empleado en numerosas ocasiones.