القدرات للزهراني by Hamza Sliti

...  ...            

‫ﻛﻠﻤﺔ ﺷﻜﺮ ﻭﺗﻘﺪﻳﺮ‬

‫ﻛﻠﻤﺔ ﺷﻜﺮ ﻭﺗﻘﺪﻳﺮ‬ ‫ﺃﻗﺪﻡ ﲪﺪﻱ ﻭﺷﻜﺮﻱ ﺃﻭ ﹰﻻ ﷲ ﺭﺏ ﺍﻟﻌﺎﳌﲔ ‪ ،‬ﰒ ﺃﺗﻘﺪﻡ ﺑﻮﺍﻓﺮ ﺍﻟﺸﻜﺮ ﻭﺍﻟﺜﻨﺎﺀ ﻭﺍﻻﻣﺘﻨﺎﻥ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ‬ ‫ﺳﺎﻧﺪﱐ ﻟﻜﻲ ﺃﳒﺰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ‪ ،‬ﻭﻣﻦ ﻫﻨﺎ ﻓﺈﻥ ﺍﻣﺘﻨﺎﱐ ﻻ ﻳﻘﻒ ﻋﻨﺪ ﺣﺪ ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ‪ /‬ﻋﺒﺪﺍﻟﻠﻄﻴﻒ ﺑﻦ‬ ‫ﻳﻮﺳﻒ ﺍﳊﺰﺍﻣﻲ – ﺭﺋﻴﺲ ﻗﺴﻢ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﺑﻮﺯﺍﺭﺓ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﺔ ﻭﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻢ – ﺍﻟﺬﻱ ﺧﺺ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻌﻤﻞ ﲜﺰﺀ ﻣﻦ ﻭﻗﺘﻪ‬ ‫ﺍﻟﺜﻤﲔ ﻭﺩﻋﻤﻪ ﲞﱪﺗﻪ ﻭﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺗﻪ ﺍﻟﻮﺍﺳﻌﺔ ﻭﺗﺎﺑﻊ ﳕﻮ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻌﻤﻞ ﻣﻨﺬ ﺑﺪﺍﻳﺘﻪ ﺇﱃ ﺃﻥ ﺃﻛﺘﻤﻞ ‪ ،‬ﻭﻟﻘﺪ ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫ﻣﺴﺎﻧﺪﺗﻪ ﻭﻣﻘﺘﺮﺣﺎﺗﻪ ﺍﻟﻨﲑﺓ ‪،‬ﻭﺩﻣﺎﺛﺔ ﺧﻠﻘﻪ ﺧﲑ ﻋﻮﻥ ﱄ ‪ -‬ﺑﻌﺪ ﻋﻮﻥ ﺍﷲ ﺳﺒﺤﺎﻧﻪ ﻭﺗﻌﺎﱃ ‪ -‬ﻭﺳﺒﺒ ﹰﺎ ﻭﺭﺍﺀ ﺇﳒﺎﺯﻱ‬ ‫ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ‪.‬‬ ‫ﻭﺃﺳﺠﻞ ﺷﻜﺮﻱ ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ‪ /‬ﻋﺪﻧﺎﻥ ﺑﻦ ﳏﻤﺪ ﺍﳉﺎﻣﻊ – ﺭﺋﻴﺲ ﻗﺴﻢ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﺑﺘﻌﻠﻴﻢ ﺍﻟﺸﺮﻗﻴﺔ – ﺍﻟﺬﻱ‬ ‫ﻗﺎﻡ ﲟﺴﺎﻧﺪﰐ ﰲ ﻛﻞ ﻣﺮﺍﺣﻞ ﺇﻋﺪﺍﺩ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ‪ . ،‬ﻓﻘﺪ ﻛﺎﻥ ﻳﺘﺎﺑﻊ ﻫﺬﺍ ﺍﳉﻬﺪ ﻣﻨﺬ ﺃﻥ ﻛـﺎﻥ ﻓﻜـﺮﻩ‬ ‫ﻲ ﻳﻮﻣـﺎ ﺑﺎﻟﺘﺸـﺠﻴﻊ ﻭﺍﻟﻨﺼـﺢ ﻭ ﲟﻼﺣﻈﺎﺗـﻪ ﻭﺗﻨﺒﻴﻬﺎﺗـﻪ ﺍﻟـﱵ‬ ‫ﻗﺒﻞ ﺛﻼﺙ ﺳﻨﻮﺍﺕ ﻭﺣﱴ ﻇﻬـﻮﺭﻩ ﻭﱂ ﻳﺒﺨـﻞ ﻋﻠـ ‪‬‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ – ﻭﱂ ﺗﺰﻝ – ﻣﻮﺿﻊ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭﻱ ﻭﺗﻘﺪﻳﺮﻱ ‪.‬‬ ‫ﻭﺃﺳﺠﻞ ﺷﻜﺮﻱ ﻭﺗﻘﺪﻳﺮﻱ ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ‪ /‬ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻦ ﻋﺎﻳﺾ ﺍﻟﻘﺤﻄﺎﱐ – ﻣﺸﺮﻑ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﺑﺘﻌﻠﻴﻢ‬ ‫ﺍﻟﺸﺮﻗﻴﺔ ‪ -‬ﺍﻟﺬﻱ ﺗﻜﺮ‪‬ﻡ ﺑﻘﺮﺍﺀﺓ ﻣﺴﻮﺩﺓ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﻭﱂ ﻳﺒﺨﻞ ﲟﻼﺣﻈﺎﺗﻪ ﻭﺗﻨﺒﻴﻬﺎﺗﻪ ﺍﻟﱵ ﻛﺎﻧﺖ – ﻭﱂ ﺗﺰﻝ –‬ ‫ﻣﻮﺿﻊ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭﻱ ﻭﺗﻘﺪﻳﺮﻱ ‪.‬‬ ‫ﻭﺃﺳﺠﻞ ﺷﻜﺮﻱ ﻭﺗﻘﺪﻳﺮﻱ ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ‪ /‬ﺃﲪﺪ ﺑﻦ ﻋﺒﺪﺍﻟﻌﺰﻳﺰ ﺍﳋﻔﻮﻱ – ﻣﺸﺮﻑ ﺍﻟﻠﻐﺔ ﺍﻟﻌﺮﺑﻴﺔ ﺑﺘﻌﻠﻴﻢ‬ ‫ﺍﻟﺸﺮﻗﻴﺔ ‪ -‬ﺍﻟﺬﻱ ﺗﻜﺮ‪‬ﻡ ﲟﺮﺍﺟﻌﺔ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﻟﻐﻮﻳ ﹰﺎ ﻭﱂ ﻳﺒﺨﻞ ﲟﻼﺣﻈﺎﺗﻪ ﻭﺗﻨﺒﻴﻬﺎﺗﻪ ﺍﻟﻠﻐﻮﻳﺔ ﺍﻟﱵ‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ – ﻭﱂ ﺗﺰﻝ – ﻣﻮﺿﻊ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭﻱ ﻭﺗﻘﺪﻳﺮﻱ ‪.‬‬ ‫ﻭﻛﺬﻟﻚ ﺃﺳﺠﻞ ﺷﻜﺮﻱ ﻟﻸﺳﺘﺎﺫﺓ ‪ /‬ﻣﻨﲑﺓ ﺑﻨﺖ ﻋﺒﺪﺍﻟﻌﺰﻳﺰ ﺍﳉﻠﻌﻮﺩ – ﻣﺸﺮﻓﺔ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﺑﺘﻌﻠﻴﻢ‬ ‫ﺍﻟﺸﺮﻗﻴﺔ ‪ -‬ﻋﻠﻰ ﻣﺮﺍﺟﻌﺘﻬﺎ ﳍﺬﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ‪ ،‬ﻭﺍﻟﱵ ﻗﺎﻣﺖ ﺑﺘﻜﺮﻳﺲ ﻧﻔﺴﻬﺎ ‪،‬ﻭﻭﻗﺘﻬﺎ ﻭﻋﻤﻠﺖ ﲜﻬﺪ ﺣﺜﻴﺚ ‪،‬‬ ‫ﻭﺗﻔﺎﻥ ﻣﻨﻘﻄﻊ ﺍﻟﻨﻈﲑ ﻟﻘﺮﺍﺀﺓ ﻭﻣﺮﺍﺟﻌﺔ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ‪ ،‬ﻭﺇﺩﺧﺎﻝ ﺍﻟﻌﺪﻳﺪ ﻣﻦ ﺍﻹﺿﺎﻓﺎﺕ ‪ ،‬ﻭﺍﻻﻗﺘﺮﺍﺣﺎﺕ ﺍﻟﺜﻤﻴﻨﺔ‬ ‫ﻋﻠﻴﻪ ‪.‬‬ ‫ﻭﺃﺧﲑﹰﺍ ‪ ،‬ﻭﻟﺌﻦ ﻛﻨﺖ ﺃﻭﺩ ﺗﻘﺪﱘ ﺍﻟﺸﻜﺮ ﺇﱃ ﺯﻭﺟﱵ ﺍﻟﱵ ﻭﻗﻔﺖ ﺧﻠﻒ ﺇﻇﻬﺎﺭ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻌﻤﻞ ‪ ،‬ﻓﺈﻥ ﻫﺬﺍ‬ ‫ﺍﻟﺸﻜﺮ ﻳﺘﻀﻤﻦ ﺍﻻﻋﺘﺬﺍﺭ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﻭﺇﱃ ﺃﺑﻨﺎﺋﻲ ﻋﻦ ﺍﻟﻮﻗﺖ ﺍﻟﺬﻱ ﺷﻐﻠﺖ ﺑﻪ ﻋﻨﻬﻢ ﰲ ﺗﺄﻟﻴﻒ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ‪.‬‬

‫‪-١-‬‬

‫ﺗﻘﺪﻳﻢ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ‬

‫ﺗﻘﺪﱘ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ‬

‫ﺑﻘﻠﻢ ﺍﻷﺳﺘﺎﺫ ‪ /‬ﻋﺒﺪﺍﻟﻠﻄﻴﻒ ﺑﻦ ﻳﻮﺳﻒ ﺍﳊﺰﺍﻣﻲ‬ ‫ﺭﺋﻴﺲ ﻗﺴﻢ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﺑﻮﺯﺍﺭﺓ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﺔ ﻭﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻢ‬

‫] ﻛﺜﺮﺓ ﺍﻻﺳﺘﺸﺎﺭﺓ ﺗﺪﻝ ﻋﻠﻰ ﻛﱪ ﺍﻟﻌﻘﻞ ﻭﺭﺟﺎﺣﺘﻪ ‪ ،‬ﻭﻣﺎ ﺧﺎﺏ ﻣﻦ ﺍﺳﺘﺸﺎﺭ [‬ ‫ﺍﳊﻤﺪ ﷲ ﻭﺍﻟﺸﻜﺮ ﻟﻪ ﻭﺍﻟﺼﻼﺓ ﻭﺍﻟﺴﻼﻡ ﻋﻠﻰ ﻧﺒﻴﻪ ﳏﻤﺪ ﺑﻦ ﻋﺒﺪﺍﷲ ﺧﲑ ﺍﻟﺒﺸﺮ ﻭﻋﻠﻰ ﺁﻟﻪ ﻭﺻـﺤﺒﻪ‬ ‫ﺃﲨﻌﲔ ‪ ،‬ﻭﺍﴰﻠﻨﺎ ﻣﻌﻬﻢ ﺑﺮﲪﺘﻚ ﻳﺎ ﺭﲪﺎﻥ ﻳﺎﺭﺣﻴﻢ ‪.‬‬ ‫ﻫﻨﺄﻧﺎ ﺍﷲ ﺑﺎﻹﳝﺎﻥ ﻭﻃﺎﻋﺘﻪ ﻭﳓﻤﺪﻩ ﻭﻧﺸﻜﺮﻩ ﻋﻠﻰ ﻣﻨﻪ ﻭﻓﻀﻠﻪ ﺍﻟﺬﻱ ﻭﻫﺐ ﻟﻨﺎ ﻫﺬﺍ ﺍﳍﻨﺎﺀ ﻭﺃﻭﻝ ﻫﻨﺎﺋﻪ‬ ‫ﻟﻨﺎ ﳏﻤﺪ ﺻﻠﻰ ﺍﷲ ﻋﻠﻴﻪ ﻭﺳﻠﻢ ﻭﻋﻠﻰ ﺁﻟﻪ ﻭﺻﺤﺒﻪ ﺃﲨﻌﲔ ﻭﻣﻦ ﺗﺒﻌﻬﻢ ﺑﺈﺣﺴﺎ ٍﻥ ﺇﱃ ﻳﻮﻡ ﺍﻟﺪﻳﻦ ‪ ...‬ﺃﻣﺎ ﺑﻌﺪ‪.‬‬ ‫ﻫﻨﻴﺌ ﹰﺎ ﳊﻜﻮﻣﺘﻨﺎ ﺍﻟﺮﺷﻴﺪﺓ ﻭﻭﻻﺓ ﺍﻷﻣﺮ ﻋﻠﻰ ﻣﺎ ﰎ ﺇﳒﺎﺯﻩ ﻣﻦ ﻣﻨﺠﺰﺍﺕ ﻳﺸـﻬﺪ ‪‬ـﺎ ﺍﻟﻌـﺪﻭ ﻗﺒـﻞ ﺍﻟﺼـﺪﻳﻖ ‪،‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺬﻱ ﺃﺧﺬ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﻟﺔ ﺭﻋﺎﻫﺎ ﺍﷲ ﺟﻬﺪﹰﺍ ﻛﺒﲑﹰﺍ ﻋﱪ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺴﻨﲔ ‪ ،‬ﻭﻫـﺎﻫﻲ ﺗﺴـﺘﺜﻤﺮ ﺟﻬﻮﺩﻫـﺎ ﻓﻴﻤـﺎ ﻳﻘﺪﻣـ ‪‬ﻪ‬ ‫ﺃﺑﻨﺎﺅﻫﺎ ﻣﻦ ﻋﻄﺎﺀ ﻷﺟﻞ ﺍﻟﺮﻗﻲ ﻭﺍﻟﺘﻘﺪﻡ ﻟﺮﻓﻌﺔ ﺍﻟﻮﻃﻦ ﻭﺍﳌﻮﺍﻃﻦ ﰲ ﺧﻄﻮﺍﺕ ﺛﺎﺑﺘﺔ ‪ ،‬ﻭﻣﺎ ﳓﻦ ﻓﻴﻪ ﻣﻦ ﺍﺳﺘﻌﺮﺍﺽ‬ ‫ﻛﺘﺎﺏ ﰲ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻣﻦ ﺇﻧﺘﺎﺝ ﺃﺣﺪ ﺷﺒﺎﺑﻨﺎ ﺍﻟﻄﻤﻮﺡ ﳍﻮ ﻣﻔﺨﺮﺓ ﻣﻦ ﻣﻔﺎﺧﺮ ﺍﻹﳒﺎﺯ ﻭﺍﻹﺑﺪﺍﻉ ﺣﻴـﺚ ﻳﻈﻬـﺮ ﰲ‬ ‫ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﻗﺪﺭﺓ ﺍﳌﺆﻟﻒ ﻋﻠﻰ ﻣﻮﺍﻛﺒﺔ ﺍﻟﺘﻄﻮﺭ ﻭﺍﻟﺘﺠﺪﻳﺪ ﻭﺗﻘﺪﱘ ﻣﺎ ﻳﻔﻴﺪ ﻭﳜـﺪﻡ ﺍﻟﻄﺎﻟـﺐ ﰲ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿـﻴﺎﺕ‬ ‫ﻭﻳﺰﻳﺪ ﻣﻦ ﺍﺳﺘﻴﻌﺎﺑﻪ ﳍﺎ ‪.‬‬ ‫ﻭﻗﺪ ﻭﻇﻒ ﺍﳌﺆﻟﻒ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﻟﻴﺨﺪﻡ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﰲ ﺍﻻﺳﺘﻌﺪﺍﺩ ﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﻭﻫـﻮ ﺃﻭﻝ ﻛﺘـﺎﺏ‬ ‫ﻳﻘﻊ ﺑﲔ ﻳﺪﻱ ﰲ ﻫﺬﺍ ﺍﻷﺳﻠﻮﺏ ﻣﻦ ﺍﳉﻮﺩﺓ ﻭﺗﻘﺪﱘ ﺍﳌﻔﻴﺪ ﰲ ﺗﻨﻤﻴﺔ ﺍﻟﺘﻔﻜﲑ‪.‬‬ ‫ﻭﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﻓﻴﻪ ﳏﺎﻭﻻﺕ ﺟﻴﺪﺓ ﻟﻠﻮﺻﻮﻝ ﰲ ﺃﺳـﻠﻮﺑﻪ ﺇﱃ ﲢﻘﻴـﻖ ﺗﻄﺒﻴـﻖ ﻟﻨﻈـﺎﻡ )ﺩﻭﻛـﺮﻭﱄ( ﺍﻟـﺬﻱ‬ ‫ﻳﺼﻨﻒ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺇﱃ ﺛﻼﺙ ﳎﻤﻮﻋﺎﺕ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪ -١‬ﺍﳌﻼﺣﻈﺔ ﻭﻫﻲ ﺍﻟﱵ ‪‬ﺪﻑ ﻟﺘﻨﻤﻴﺔ ﺍﻟﻘﺪﺭﺓ ‪.‬‬ ‫‪ -٢‬ﺍﻟﺮﺑﻂ ﻭﻳﻬﺪﻑ ﺑﻪ ﺗﻜﻮﻳﻦ ﺍﳊﻜﻢ ﻭﺍﻟﺘﻔﻜﲑ ﺍﳌﻨﻄﻘﻲ‪.‬‬ ‫‪ -٣‬ﺍﻟﺘﻌﺒﲑ ﻭﻫﺬﺍ ﻳﻌﲏ ﺍﻟﺘﻌﺒﲑ ﻋﻦ ﺍﻟﻔﻜﺮﺓ ﺑﺄﺳﻠﻮﺑﻪ ﺑﺸﺮﻁ ﺃﻥ ﻳﻔﻬﻤﻪ ﺍﻵﺧﺮﻭﻥ ‪.‬‬ ‫ﻫﻨﻴﺌ ﹰﺎ ﻟﻠﺪﻭﻟﺔ ﻭﻭﻻﺓ ﺍﻷﻣـﺮ ﻭﻟﻨـﺎ ﲨﻴﻌـ ﹰﺎ ﺑـﺄﻥ ﺗﺼـﻞ ﳐﺮﺟـﺎﺕ ﺗﻌﻠﻴﻤﻨـﺎ ﺇﱃ ﺃﻥ ﻳﻜـﻮﻥ ﺃﺣـﺪ ﺃﺑﻨﺎﺋﻨـﺎ ﻣﺜـﻞ‬ ‫ﺴﺎﻥ ﺍﻟﺰﻫﺮﺍﱐ ‪‬ﺬﺍ ﺍﳌﺴﺘﻮﻯ ﻣﻦ ﺍﻹﻧﺘﺎﺟﻴﺔ ﻭﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺓ ﺍﻟﱵ ﻗﺪﻡ ‪‬ـﺎ ﻛﺘﺎﺑـﻪ ﻫـﺬﺍ ‪،‬‬ ‫ﺍﻷﺳﺘﺎﺫ‪ /‬ﻋﺒﺪﺍﻟﻐﲏ ﺑﻦ ﺑ ‪‬‬ ‫ﻭﻫﻮ ﻳﻘﺪﻡ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﰲ ﳏﺎﻭﻟﺔ ﻣﻨﻪ ﰲ ﺇﺛﺒﺎﺕ ﻗﺪﺭﺍﺕ ﺟﺪﻳﺪﺓ ﺍﻛﺘﺴﺒﻬﺎ ﺃﺑﻨﺎﺀ ﺍﻟﺒﻠﺪ ﰲ ﺍﳉﻴـﻞ ﺍﻟﺜـﺎﱐ ﻣـﻦ‬ ‫ﺍﳌﺘﻌﻠﻤﲔ ﰲ ﳎﺎﻝ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻓﺘﻌﻠﻴﻤﻨﺎ ﲞﲑ ﻭﷲ ﺍﳊﻤﺪ ﻭﺍﳌﻨﺔ ‪.‬‬ ‫أ‬

‫ﺗﻘﺪﻳﻢ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ‬

‫ﺃﺳﺘﺎﺫﻧﺎ ﺍﻟﻜﺮﱘ ﺑﺬﻝ ﺟﻬﺪﹰﺍ ﺭﺍﺋﻌ ﹰﺎ ﰲ ﻋﻤ ٍﻞ ﺇﺑﺪﺍﻋﻲ ﻣﺘﻤﻴﺰ ﺩﻣﺞ ﻓﻴﻬﺎ ﻣﻬﺎﺭﺍﺗﻪ ﰲ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻭﺍﻟﻄﺮﻕ ﺍﳊﺪﻳﺜـﺔ‬ ‫ﰲ ﺍﻟﻌﺮﺽ ﻭﺗﻘﺪﱘ ﺍﳌﻮﺿﻮﻋﺎﺕ ﻭﻗﺪ ﺩﻣﺞ ﺃﺳﺎﻟﻴﺐ ﺍﻷﺳـﺌﻠﺔ ﻭﺍﻟﺘﻤـﺎﺭﻳﻦ ﻭﺍﻟﺘـﺪﺭﻳﺒﺎﺕ ﻣـﻊ ﺍﺧﺘﺒـﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺤﺼـﻴﻞ‬ ‫ﻭﺍﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﻭﻭﻇﻒ ﻓﻴﻬﺎ ﺃﺳﻠﻮﺏ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﳌﻮﺿﻮﻋﻴﺔ ﻭﺃﺳﻠﻮﺏ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ﻓﺠﺎﺀ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻜﺘـﺎﺏ ﺗﻨﻤﻴـ ﹰﺔ‬ ‫ﻟﻠﻔﻜﺮ ﺃﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻛﻮﻧﻪ ﻛﺘﺎﺏ ﴰﻞ ﺍﻟﻌﺪﻳﺪ ﻣﻦ ﺍﳌﻔﺎﻫﻴﻢ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ﻋﻠـﻰ ﻣﺴـﺘﻮﻯ ﺍﳌﺮﺍﺣـﻞ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴـﺔ ﻭﻣـﺎ‬ ‫ﳛﺘﺎﺟﻪ ﺧﺮﻳﺞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻳﺔ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﳌﻮﺍﺟﻬﺔ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ‪.‬‬ ‫ﺃﺗﻘﺪﻡ ﲜﺰﻳﻞ ﺍﻟﺸﻜﺮ ﻭﺍﻟﺘﻘﺪﻳﺮ ﻟﻠﻤﺆﻟﻒ ﻋﻠﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻹﳒﺎﺯ ﻭ ﻫﻨﻴﺌ ﹰﺎ ﻟﻨـﺎ ﺑـﻚ ﻭﺑﺄﻣﺜﺎﻟـﻚ ‪ ،‬ﻭﻫﻴـﺎ ﺃﻳﻬـﺎ‬ ‫ﺍﻟﻘﺎﺋﻤﻮﻥ ﻋﻠﻲ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﺃﺛﺒﺘﻮﺍ ﻛﻔﺎﺀﺗﻜﻢ ﻭﺃﺛﺒﺘﻮﺍ ﻟﻠﻌﺎﱂ ﻗﺪﺭﺓ ﺍﳌﻤﻠﻜﺔ ﻋﻠﻰ ﻫﺬﻩ ﺍﻹﺑﺪﺍﻋﺎﺕ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﻭﺃﺧﲑﹰﺍ ﻭﻟﻴﺲ ﺃﺧﺮﹰﺍ ﻓﻬﻨﻴﺌ ﹰﺎ ﳍﺬﺍ ﺍﻟﻮﻃﻦ ﺑﺄﺑﻨﺎﺋﻪ ﺍﻟـﱪﺭﺓ ﺍﳌﺒـﺪﻋﲔ ‪ ،‬ﻭﻫﻨﻴﺌـ ﹰﺎ ﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻨـﺎ ﺑﺈﳒـﺎﺯﺍ‪‬ﻢ ﺍﻹﺑﺪﺍﻋﻴـﺔ‬ ‫ﺍﳌﺜﻤﺮﺓ ﻭﻫﻨﻴﺌ ﹰﺎ ﻟﻨﺎ ﲟﺜﻞ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﻭﻣﺆﻟﻔﻪ ‪ .‬ﺣﻔﻆ ﺍﷲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻮﻃﻦ ﻭﻭﻻﺗﻪ ﻭﻣﻮﺍﻃﻨﻴﻪ ‪.‬‬ ‫ﻭﺃﺧﺮ ﻗﻮﻟﻨﺎ ﺳﺒﺤﺎﻧﻚ ﺍﻟﻠﻬﻢ ﻭﲝﻤﺪﻙ ﻭﺍﳊﻤﺪ ﷲ ﻋﻠﻰ ﻋﻄﺎﺋﻪ ﻭﺍﻟﺴﻼﻡ ﻋﻠﻰ ﺭﺳﻮﻟﻪ ﻋﺪﺩ ﺭﻣﺎﻝ ﺍﻟﺪﻫﻨﺎﺀ ﻭﺃﻛﺜﺮ‬ ‫ﺴﺎﻥ ﺍﻟﺰﻫﺮﺍﱐ‬ ‫ﻭﻣﱪﻭﻙ ﻣﱪﻭﻙ ﻟﻠﺪﻭﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻧﺘﺎﺝ ﺃﺑﻨﺎﺋﻬﺎ ﻣﺜﻞ ﺍﻷﺳﺘﺎﺫ‪ /‬ﻋﺒﺪﺍﻟﻐﲏ ﺑﻦ ﺑ ‪‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺴﻼﻡ ﺧﺘﺎﻡ ‪ ///‬ﻭﺗﻘﺒﻠﻮﺍ ﺍﻟﺘﺤﻴﺔ ﺍﻟﻄﻴﺒﺔ ‪.‬‬ ‫ﺭﺋﻴﺲ ﻗﺴﻢ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﺑﻮﺯﺍﺭﺓ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﺔ ﻭﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻢ‬ ‫ﻋﺒﺪﺍﻟﻠﻄﻴﻒ ﺑﻦ ﻳﻮﺳﻒ ﺍﳊﺰﺍﻣﻲ‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺽ ‪١٤٢٦/٢/٢‬ﻫـ‬

‫ب‬

‫ﺍﻟﻤﻘﺪﻣﺔ‬

‫ﻣﻘﺪﻣﺔ‬ ‫ﺍﳊﻤﺪ ﷲ ﻭﺍﻟﺼﻼﺓ ﻭﺍﻟﺴﻼﻡ ﻋﻠﻰ ﺃﺷﺮﻑ ﺍﻷﻧﺒﻴﺎﺀ ﻭﺍﳌﺮﺳﻠﲔ ‪ ،‬ﺳﻴﺪﻧﺎ ﳏﻤﺪ ﻭﻋﻠﻰ ﺁﻟﻪ ﻭﺻﺤﺒﻪ ﺃﲨﻌﲔ ‪.‬‬ ‫ﻳﺄﰐ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﻟﻴﻬﺘﻢ ﺑﺎﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﰲ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﻟﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻌﻪ ﻭﺍﻻﺳﺘﻌﺪﺍﺩ ﻟﻪ ‪.‬‬ ‫ﻛﺄﻭﻝ ﻛﺘﺎﺏ ﺿﻤﻦ "ﺳﻠﺴﻠﺔ ﺍﻟﺘﻴﺴﲑ ﰲ ﺗﻌﹼﻠﻢ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ " ﻭﺍﻟﱵ ‪‬ﺘﻢ ﺑﺘﻨﻤﻴﺔ ﺍﻟﺘﻔﻜﲑ ﻭﺍﻹﻋﺪﺍﺩ ﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ‪ ،‬ﻭﺍﳌﺴﺎﺑﻘﺎﺕ ﺍﶈﻠﻴﺔ ‪ ،‬ﻭﺍﻟﺪﻭﻟﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﻭﻗﺪ ﰎ ﺗﺼﻤﻴﻢ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﲝﻴﺚ ﻳﻨﺎﺳﺐ ﲨﻴﻊ ﻣﺴﺘﻮﻳﺎﺕ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻟﻠﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ‬ ‫ﺍﺳﺘﻌﺮﺍﺽ ﺍﻟﻜﺜﲑ ﻣﻦ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﻭﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺒﺎﺕ ﻭﺍﻻﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ‪ .‬ﻭﻳﺘﻜﻮﻥ ﻣﻦ ﺑﺎﺑﲔ ﺣﻴﺚ ﺍﺳﺘﻌﺮﺽ ﰲ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ‪ :‬ﺇﺭﺷﺎﺩﺍﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪ ( ١‬ﻭﻫﻲ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻦ ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ﺗﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﰲ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻭﺗﺴﺎﻋﺪ ﻋﻠﻰ ﺗﻄﻮﻳﺮ ﻣﻬﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﰲ ﺍﻟﺘﻔﻜﲑ ﻣﻊ ﺍﻟﺘﺮﻛﻴﺰ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺷﻜﺎﻝ‬ ‫ﺍﳍﻨﺪﺳﻴﺔ ﻭﺍﻟﺘﻮﺿﻴﺢ ﺑﺄﻣﺜﻠﺔ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪ :‬ﺇﺭﺷﺎﺩﺍﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪ ( ٢‬ﻭﻫﻲ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻦ ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ﻳﺴﺘﻌﺮﺽ ﻓﻴﻬﺎ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﻟﺘﻌﺎﻣﻞ‬ ‫ﻣﻊ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ ﻣﻊ ﺃﻣﺜﻠﺔ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ :‬ﺇﺭﺷﺎﺩﺍﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪ ( ٣‬ﻭﻫﻲ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻦ ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ﻳﺴﺘﻌﺮﺽ ﻓﻴﻬﺎ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﻟﺘﻌﺎﻣﻞ‬ ‫ﻣﻊ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ﻣﻊ ﺃﻣﺜﻠﺔ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ :‬ﺃﺷﺘﻤﻞ ﻋﻠﻰ ﺃﺭﺑﻌﺔ ﳕﺎﺫﺝ ﳐﺘﻠﻔﺔ ﻛﺎﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﲡﺮﻳﺒﻴﺔ ﻭﻛﻞ ﳕﻮﺫﺝ ﳛﺘﻮﻱ ﻋﻠﻰ ‪ ٦٠‬ﺳﺆﺍ ﹰﻻ‬ ‫ﻣﻮﺿﻮﻋﻴ ﹰﺎ ﻣﻨﻬﺎ ‪ ٥١‬ﺳﺆ ﹰﻻ ﻣﻦ ﻧﻮﻉ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ ‪‬ﻭ ‪ ٩‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﻣﻦ ﻧﻮﻉ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ ‪ :‬ﺃﺣﺘﻮﻯ ﻋﻠﻰ ‪:‬‬ ‫‪ (١‬ﺣﻠﻮﻝ ﲨﻴﻊ ﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺒﺎﺕ ﻭﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩﺓ ﺑﺎﻟﻜﺘﺎﺏ‬ ‫‪ (٢‬ﻣﻔﺎﺗﻴﺢ ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﻭﻳﺴﺘﻔﻴﺪ ﻣﻦ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺑﺎﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻷﻭﱃ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺍﻟﺒﺎﺣﺚ ﻋﻦ ﺍﻟﺘﻤﻴﺰ ﻭﺍﻟﺘﻔﻮﻕ ‪ ،‬ﻭﻛﺬﻟﻚ ﺍﳌﻌﻠﻤﲔ ﻟﺸﺮﺡ‬ ‫ﺑﻌﺾ ﺍﻷﻓﻜﺎﺭ ﻟﻄﻼ‪‬ﻢ ﻭﻣﺴﺎﻋﺪ‪‬ﻢ ﻋﻠﻰ ﺗﻨﻤﻴﺔ ﺍﻟﺘﻔﻜﲑ ﺍﻟﺴﻠﻴﻢ ‪.‬‬ ‫ﻭﻟﺘﻤﻴﻴﺰ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﻭﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺒﺎﺕ ﰲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﻓﻘﺪ ﺃﻋﻄﻰ ﻛﻞ ﻣﺜﺎﻝ ﺭﻗﻤ ﹰﺎ ﻣﺰﺩﻭﺟ ﹰﺎ ﲝﻴﺚ ﳝﺜﻞ ﺍﻟﺮﻗﻢ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫) ﺍﻷﳝﻦ ( ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺍﻟﻔﺼﻞ ﻭﺍﻟﺜﺎﱐ ) ﺍﻷﻳﺴﺮ ( ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺍﳌﺜﺎﻝ ﺃﻭ ﺍﳊﻘﻴﻘﺔ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ‪ ..‬ﺍﱁ ﺩﺍﺧﻞ ﺍﻟﻔﺼﻞ ‪،‬‬ ‫ﻼ ‪ :‬ﻣﺜﺎﻝ ) ‪ ( ٥ – ٣‬ﻳﻌﲏ ﺍﳌﺜﺎﻝ ﺍﳋﺎﻣﺲ ﺑﺎﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ‪.‬‬ ‫ﻓﻤﺜ ﹰ‬

‫‪I‬‬

‫ﺍﻟﻤﻘﺪﻣﺔ‬

‫ﻭﰲ ﺍﳋﺘﺎﻡ ‪ ،‬ﺃﺷﻜﺮ ﲨﻴﻊ ﺃﻋﻀﺎﺀ ﻫﻴﺌﺔ ﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺲ ﻭﺍﻟﻄﻼﺏ ﰲ ﺍﳌﺪﺍﺭﺱ ﺍﻟﱵ ﻃﺒﻘﺖ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻴﺔ ‪ ،‬ﻛﻤﺎ ﺃﺷﻜﺮ ﺇﺩﺍﺭﺓ ﺷﺆﻭﻥ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺑﺎﻹﺩﺍﺭﺓ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﺘﺮﺑﻴﺔ ﻭﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻢ ﺑﺎﻟﺸﺮﻗﻴﺔ ﳑﺜﻠ ﹰﺔ ﰲ ﻗﺴﻢ‬ ‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﻭﺃﺧﺺ ﺑﺎﻟﺸﻜﺮ ﺍﻷﺳﺘﺎﺫ ‪ /‬ﻣﻨﺼﻮﺭ ﺟﻮﺍﺩ ‪ -‬ﺭﺋﻴﺲ ﻗﺴﻢ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﺑﺘﻌﻠﻴﻢ ﺍﻟﺸﺮﻗﻴﺔ ‪ -‬ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﻌﺎﻭﻧﻪ ﰲ ﺗﺼﺤﻴﺢ ﻭ ﲢﻠﻴﻞ ﻧﺘﺎﺋﺞ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﻭﺍﻟﱵ ﺃﺩﺕ ﺇﱃ ﲢﺴﲔ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺍﻟﻔﻘﺮﺍﺕ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﻳﺔ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻴﺔ‬ ‫ﺍﳌﻠﺤﻘﺔ ‪‬ﺬﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ‪.‬‬ ‫ﻫﺬﺍ ‪ ،‬ﻭﻻ ﻳﻔﻮﺗﲏ ﺃﻥ ﺃﺗﻘﺪﻡ ﺑﺎﻟﺸﻜﺮ ﺍﳉﺰﻳﻞ ﻟﻸﺳﺘﺎﺫ ‪ /‬ﻋﺒﺪﺍﻟﻮﻫﺎﺏ ﺑﻦ ﺃﲪﺪ ﺍﻟﻐﺎﻣﺪﻱ ﺍﻟﺬﻱ ﻗﺎﻡ‬ ‫ﺑﺘﺼﻤﻴﻢ ﺍﻟﻐﻼﻑ ﻭﺑﻌﺾ ﺍﻟﺮﺳﻮﻣﺎﺕ ﺍﻟﺪﺍﺧﻠﻴﺔ ‪‬ﺬﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ‪.‬‬ ‫ﻭﻛﺬﻟﻚ ﺃﺷﻜﺮ ﺍﻟﺰﻣﻼﺀ ﺍﻷﻓﺎﺿﻞ ﺍﻷﺳﺘﺎﺫ‪ /‬ﻋﻠﻲ ﻗﺼﻘﻮﺹ ﻭ ﺍﻷﺳﺘﺎﺫ ‪ /‬ﻣﻨﺼﻮﺭ ﺍﳌﺮﻫﻮﻥ‬ ‫ﻭ ﺍﻷﺳﺘﺎﺫ ‪ /‬ﺣﺎﺯﻡ ﺍﳌﻐﺎﻭﺭﻱ ﻋﻠﻰ ﲡﺎﻭ‪‬ﻢ ﺍﻟﻜﺮﱘ ﻣﻊ ﻃﻠﺒﺎﰐ ﻟﺒﻌﺾ ﺍﳌﺮﺍﺟﻊ ﺍﻟﱵ ﻛﺎﻧﺖ ﺗﻨﻘﺺ ﻣﻜﺘﺒﱵ‬ ‫ﻭﺑﻌﺾ ﺍﻷﻋﻤﺎﻝ ﺍﻷﺧﺮﻯ ﺍﻟﱵ ﺗﻄﻠﺒﻬﺎ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻌﻤﻞ ﻭﺍﻟﺬﻳﻦ ﻭﻓﺮﻭﺍ ﲜﻬﺪﻫﻢ ﻫﺬﺍ ﻛﺜﲑﹰﺍ ﻣﻦ ﺍﻟﻮﻗﺖ ﺃﺛﻨﺎﺀ ﻋﻤﻠﻲ‬ ‫‪‬ﺬﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ‪.‬‬ ‫ﺧﺘﺎﻣ ﹰﺎ ‪ ،‬ﺁﻣﻞ ﺃﻥ ﺃﻛﻮﻥ ﻗﺪﻣﺖ ﺑﻌﻤﻠﻲ ﻫﺬﺍ ﻓﺎﺋﺪﺓ ﻟﻄﻼﺏ ﻭﻃﺎﻟﺒﺎﺕ ﺍﳌﺮﺣﻠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻳﺔ ﻟﻠﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ‬ ‫ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﰲ ﻣﺎﺩﺓ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ .‬ﻭﺁﻣﻞ ‪ ،‬ﺃﻥ ﺗﺼﻠﲏ ﻣﻼﺣﻈﺎﺗﻜﻢ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻨﻮﺍﻥ ﺍﻟﱪﻳﺪﻱ ﺃﺩﻧﺎﻩ ﻣﻊ ﺟﺰﻳﻞ‬ ‫ﺍﻟﺸﻜﺮ ﻭﺍﻟﺘﻘﺪﻳﺮ ﻟﻜﻢ ‪..‬‬ ‫ﻭﺍﷲ ﻣﻦ ﻭﺭﺍﺀ ﺍﻟﻘﺼﺪ ‪،،،،‬‬

‫ﺍﳌﺆﻟﻒ‬

‫ﻋﺒﺪ ﺍﻟﻐﲏ ﺑﻦ ﺑﺴ‪‬ﺎﻥ ﺍﻟﺰﻫﺮﺍﱐ‬ ‫ﺍﻟﺪﻣﺎﻡ – ﺻﻔﺮ ‪ ١٤٢٦‬ﻫـ‬

‫‪II‬‬

‫ﻓﻬﺮﺱ ﺍﻟﻤﺤﺘﻮﻳﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫‪١‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ‪ :‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ١‬‬ ‫ﲤﻬﻴﺪ‬

‫‪......................................................................................................................... .....................................................................................................................‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺭﺳﻢ ﺷﻜﻞ ﺗﻘﺮﻳﱯ ﻟﻠﺸﻜﻞ ﺇﻥ ﱂ ﻳﻜﻦ ﻣﺮﺳﻮﻡ‬

‫‪.......................................................................................................................‬‬

‫‪٨‬‬

‫ﺍﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ﺍﳌﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻣﻦ ﺷﻜﻞ ﻣﺮﺳﻮﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ‬

‫‪......................................................................................................................‬‬

‫‪١١‬‬

‫‪......................................................................................................................................‬‬

‫‪١٥‬‬

‫‪............................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪١٧‬‬

‫‪............................................................................‬‬

‫‪١٩‬‬

‫‪..............................................................................................................................................................‬‬

‫‪٢٢‬‬

‫‪................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪٢٥‬‬

‫‪...................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪٢٦‬‬

‫‪.............................................................................................................................................................................‬‬

‫‪٢٧‬‬

‫‪....................................................................................................................................‬‬

‫‪٢٨‬‬

‫‪.....................................................................................................................................................................‬‬

‫‪٢٩‬‬

‫‪................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪٣٠‬‬

‫‪...................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪٣٢‬‬

‫ﺇﻋﺎﺩﺓ ﺭﺳﻢ ﺷﻜﻞ ﻟﻴﺲ ﻣﺮﺳﻮﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ‬ ‫ﺍﻟﺘﻐﲑ ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﳌﻌﻄﻰ‬

‫ﺇﺿﺎﻓﺔ ﺑﻌﺾ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﳌﻌﻄﻰ ﻻﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ‬ ‫ﻻ ﺗﻌﻤﻞ ﺃﻛﺜﺮ ﳑﺎ ﻫﻮ ﻣﻄﻠﻮﺏ ﻣﻨﻚ‬ ‫ﺍﻧﺘﺒﻪ ﻟﻠﻮﺣﺎﺕ ﰲ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﻓﻜﺮ ﺑﺪﻭﻥ ﺁﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ‬

‫ﺿﻊ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﻣﻦ ﺍﳊﻠﻮﻝ ﺍﶈﺘﻤﻠﺔ‬

‫ﺍﺳﺘﻔﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻮﻡ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ ﺍﳌﻌﻄﺎﺓ ﰲ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺗﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ ﺍﻟﺮﻣﻮﺯ ﺍﻟﻐﺮﻳﺒﺔ ﺑﺎﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺃﻣﺜﻠﺔ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ‬

‫ﲤﺎﺭﻳﻦ ) ‪( ١ – ١‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪ :‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ٢‬‬ ‫‪..................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪٣٨‬‬

‫‪...........................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪٤١‬‬

‫‪...............................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪٤٢‬‬

‫‪........................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪٤٧‬‬

‫‪..............................................................................................................................................................‬‬

‫‪٤٩‬‬

‫‪....................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪٥٠‬‬

‫‪................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪٥٤‬‬

‫‪...................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪٥٨‬‬

‫ﺍﳊﻞ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ‬

‫ﺗﻌﻠﻢ ﻣﱴ ﺗﺒﺪﺃ ﺑﺎﳋﻴﺎﺭ ‪α‬‬ ‫ﺍﺳﺘﺒﺪﻝ ﺍﳌﺘﻐﲑﺍﺕ ﺑﺄﺭﻗﺎﻡ‬ ‫ﺍﺧﺘﺮ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﳌﻨﺎﺳﺒﺔ‬

‫ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺑﻌﺾ ﺍﳌﻌﺎﺩﻻﺕ ﻭﺗﻌﺎﻣﻞ ﻣﻌﻬﺎ‬ ‫ﺍﻟﺘﺨﻤﲔ ﺍﻟﺬﻛﻲ‬ ‫ﺃﻣﺜﻠﺔ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ‬

‫ﲤﺎﺭﻳﻦ ) ‪( ١ – ٢‬‬

‫‪i‬‬

‫ﻓﻬﺮﺱ ﺍﻟﻤﺤﺘﻮﻳﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ :‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ٣‬‬ ‫ﺍﺳﺘﺒﺪﻝ ﺍﳌﺘﻐﲑﺍﺕ ﺑﺄﻋﺪﺍﺩ‬

‫‪.............................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪٦٥‬‬

‫‪......................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪٦٩‬‬

‫‪........................................................................................................................‬‬

‫‪٧١‬‬

‫‪.........................................‬‬

‫‪٧٤‬‬

‫‪.................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪٧٦‬‬

‫‪....................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪٧٨‬‬

‫‪........................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪٨٠‬‬

‫‪...................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪٨١‬‬

‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬

‫‪٨٤‬‬

‫ﺍﺧﺘﺮ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﳌﻨﺎﺳﺒﺔ‬

‫ﺳﻬﻞ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﺑﻌﻤﻞ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻴﻐﺘﲔ‬

‫ﺃﺳﺎﻝ ﻫﻞ ﳝﻜﻦ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﺼﻴﻐﺘﲔ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﲔ ؟ ﺃﻭ ﻫﻞ ﳚﺐ ﺃﻥ ﺗﺘﺴﺎﻭﻯ ؟‬ ‫ﻻ ﺗﺴﺘﻬﻠﻚ ﺍﻟﻮﻗﺖ ﺑﺎﳊﺴﺎﺑﺎﺕ‬

‫ﺗﻌﻠﻢ ﻣﱴ ﺗﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭ ‪α‬‬

‫ﺗﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻜﺒﲑﺓ‬ ‫ﲤﺎﺭﻳﻦ ) ‪( ١ – ٣‬‬

‫ﲤﺎﺭﻳﻦ ﻋﺎﻣﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﱐ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ‪٩٣‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ :‬ﳕﺎﺫﺝ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﲡﺮﺑﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﻤﻮﺫﺝ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪..............................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪٩٧‬‬

‫ﺍﻟﻨﻤﻮﺫﺝ ﺍﻟﺜﺎﱐ‬

‫‪...........................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪١٠٩‬‬

‫ﺍﻟﻨﻤﻮﺫﺝ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫‪..........................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪١٢٣‬‬

‫ﺍﻟﻨﻤﻮﺫﺝ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪...........................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪١٣٧‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ ‪ :‬ﺇﺭﺷﺎﺩﺍﺕ ﺍﳊﻠﻮﻝ‬ ‫‪.....................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪١٥٢‬‬

‫ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻳﻦ ) ‪( ١ – ١‬‬

‫‪...........................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪١٥٦‬‬

‫ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻳﻦ ) ‪( ١ – ٢‬‬

‫‪.............................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪١٦٢‬‬

‫ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻳﻦ ) ‪( ١ – ٣‬‬

‫‪............................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪١٦٦‬‬

‫‪...................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪١٧٢‬‬

‫‪........................................................... ....................................................................................................................‬‬

‫‪١٧٩‬‬

‫‪.........................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪١٨٥‬‬

‫ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺒﺎﺕ‬

‫ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬

‫ﻣﻔﺎﺗﻴﺢ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﻟﻼﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ‬ ‫ﺍﳌﻼﺣﻖ ‪............‬‬

‫‪ii‬‬

‫ﻣﻘﺪﻣﺔ ﻟﻠﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﻣﻘﺪﻣﺔ‬ ‫ﰲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﻧﺴﺘﻌﺮﺽ ﺑﻌﺾ ﺍﻻﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﺍﻟﱵ ﲢﺘﺎﺟﻬﺎ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ ،‬ﺣﻴـﺚ‬ ‫ﳚﺐ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ ﻣﻠﻤ ﹰﺎ ﺑﺎﻟﻘﻮﺍﻋﺪ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻭﺍﻟﱵ ﺳﺒﻖ ﻟﻚ ﺩﺭﺍﺳﺘﻬﺎ ﺑﺎﳌﺮﺣﻠﺔ ﺍﳌﺘﻮﺳﻄﺔ ﻭﺑﺪﺍﻳﺔ ﺍﳌﺮﺣﻠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻳﺔ ‪،‬‬ ‫ﻭﻟﻴﺲ ﻓﻘﻂ ﺇﳌﺎﻣﻚ ﺑﺘﻠﻚ ﺍﻟﻘﻮﺍﻋﺪ ﻭﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺎﺕ ﺑﻞ ﳚﺐ ﻋﻠﻴـﻚ ﺃﻥ ﺗﻌـﺮﻑ ﻛﻴـﻒ ﺗﻮﻇﻔﻬـﺎ ﰲ ﻣﺴـﺎﺋﻞ ﺭﲟـﺎ‬ ‫ﺗﺸﺎﻫﺪﻫﺎ ﻷﻭﻝ ﻣﺮﺓ ‪.‬‬ ‫ﻭﺍﳍﺪﻑ ﻟﻴﺲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭﻙ ﰲ ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺗﻚ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ‪ ،‬ﻭﻟﻜﻦ ﻛﻴﻒ ﺗﻔﻜﺮ ﻭﻣﺎ ﻣﺴﺘﻮﻯ ﻣﻬﺎﺭﺓ ﺍﻟﺘﻔﻜﲑ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻲ‬ ‫ﻟﺪﻳﻚ ﻭﳚﺐ ﺃﻥ ﺗﻌﻠﻢ ﺃﻥ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﻳﺒﺘﻌﺪ ﻋﻦ ﺍﳌﺴﺎﺋﻞ ﺍﳌﻌﻘـﺪﺓ ﰲ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿـﻴﺎﺕ ﻭﻳﺮﻛـﺰ ﻋﻠـﻰ ﺃﺳـﻠﻮﺏ‬ ‫ﺍﻟﺘﻔﻜﲑ ﻭﺍﻻﺳﺘﻘﺮﺍﺀ ‪ .‬ﻭﳛﺘﻮﻱ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﻋﻠﻰ ﺛﻼﺛﺔ ﻓﺼﻮﻝ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪ (١‬ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ‪ :‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ )‪( ١‬‬ ‫‪ (٢‬ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪ :‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ )‪( ٢‬‬ ‫‪ (٣‬ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ :‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ )‪( ٢‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻦ ﻗﺒﻞ ﺍﻟﺪﺧﻮﻝ ﰲ ﺗﻠﻚ ﺍﻟﻔﺼﻮﻝ ﻳﺴﺘﺤﺴﻦ ﺇﻃﻼﻋﻚ ﻋﻠـﻰ ﺍﻟﺘﻌﺮﻳـﻒ ﺑﺎﺧﺘﺒـﺎﺭ ﺍﻟﻘـﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣـﺔ ﰲ ﻣـﺎﺩﺓ‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺑﻌﺾ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﺸﺎﺋﻌﺔ ﻋﻦ ﻫﺬﺍ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﰲ ﺍﻟﺼﻔﺤﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬

‫‪١‬‬

‫‪١‬ﺍﻧﻈﺮ ﺍﳌﺮﺍﺟﻊ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﳌﺰﻳﺪ ﻣﻦ ﺍﳌﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪(١‬‬

‫ﻋﻄﻴﺔ ﻧﻌﻴﻢ ‪ ١٤٢٣ ).‬ﻫـ ( ‪ .‬ﺭﺍﺋﺰ ﺍﻷﻫﻠﻴﺔ ﺍﳌﺪﺭﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﺒﻮﻝ ﺍﳉﺎﻣﻌﻲ ) ﺭﺍﻡ ‪ ، ( ١‬ﻣﺮﻛﺰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﻭﺍﻟﺘﻘﻴﻴﻢ ‪ ،‬ﺟﺎﻣﻌﺔ ﺍﳌﻠﻚ ﻓﻬﺪ ﻟﻠﺒﺘﺮﻭﻝ ﻭﺍﳌﻌﺎﺩﻥ‬

‫‪ ،‬ﺍﻟﻈﻬﺮﺍﻥ ‪ .‬ﺻﻔﺤﺔ ) ‪.( ٦١-٥٨‬‬

‫‪ ( ٢‬ﺍﳌﺮﻛﺰ ﺍﻟﻮﻃﲏ ﻟﻠﻘﻴﺎﺱ ﻭﺍﻟﺘﻘﻮﱘ ‪ ١٤٢٥ ).‬ﻫـ (‪ .‬ﺩﻟﻴﻞ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ‪ ،‬ﺍﻟﻄﺒﻌﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ‪ ،‬ﺍﻟﺮﻳﺎﺽ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺗﻤﻬﻴﺪ‪....................................................................................................‬ﺍﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ﺑﺎﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﻓﻲ ﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬

‫ﲤﻬﻴﺪ‬ ‫ﻣﺎ ﻫﻮ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ؟‬ ‫ﻫﻮ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﻻ ﻳﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﺣﻔﻆ ﺍﳌﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﺑﻘـﺪﺭ ﻣـﺎ‬ ‫ﻳﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﻗﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻄﺎﻟـﺐ ﻋﻠـﻰ ﺍﻟﻔﻬـﻢ ﻭﺍﻟﻘﻴـﺎﺱ‬ ‫ﻭﺍﻻﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ‪.‬‬ ‫ﻛﻴﻒ ﺃﻋﺪ ﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ؟‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛــﺎﻥ ﺍﳉﺴــﻢ ﻳﻨﻤــﻮ ﺑﺎﻟﺮﻳﺎﺿــﻴﺔ ﻭﺍﻟﺘــﺪﺭﻳﺐ ‪،‬‬ ‫ﻛـﺬﻟﻚ ﺍﻟﻌﻘــﻞ ﻳﻨﻤــﻮ ﺑﺎﻟﺘــﺪﺭﻳﺐ ‪ .‬ﻭﳚــﺐ ﺍﻹﻋــﺪﺍﺩ‬ ‫ﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺑـﺎﻹﻃﻼﻉ ﻋﻠـﻰ ﳕـﺎﺫﺝ ﳐﺘﻠﻔـﺔ ‪،‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺘــﺪﺭﻳﺐ ﻋﻠــﻰ ﺣــﻞ ﺍﳌﺴــﺎﺋﻞ ﻭﺗﻨﻤﻴــﺔ ﺍﻟــﺘﻔﻜﲑ‬ ‫ﻭﺍﻻﺳﺘﻔﺎﺩﺓ ﻣﻦ ﺍﻟﻔﺼﻮﻝ ﺍﳌﻌﺮﻭﺿـﺔ ‪‬ـﺬﺍ ﺍﻟﻜﺘـﺎﺏ‬ ‫ﻹﻋـــﺪﺍﺩ ﻧﻔﺴـــﻚ ﻻﺧﺘﺒـــﺎﺭ ﺍﻟﻘـــﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣـــﺔ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿــﻴﺎﺕ ﻭﻟﺘــﺬﻛﲑﻙ ﺑــﺒﻌﺾ ﺍﻟﻘــﻮﺍﻧﲔ ﺍﻟــﱵ‬ ‫ﲢﺘﺎﺟﻬــﺎ ﰲ ﺍﺧﺘﺒــﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﻘــﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴــﺔ ﳌــﺎﺩﺓ‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪.‬‬ ‫ﻣﺎﺫﺍ ﻳﻘﻴﺲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﰲ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ؟‬ ‫ﻳﺮﻛﺰ ﻋﻠﻰ ﻗﻴﺎﺱ ﻗﺪﺭﺓ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻋﻠﻰ ‪:‬‬ ‫‪ (١‬ﺣﻞ ﺍﳌﺴﺎﺋﻞ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ‬ ‫‪ (٢‬ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ‬ ‫‪ (٣‬ﺍﻻﺳﺘﻨﺘﺎﺝ‬ ‫‪ (٤‬ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻞ‬ ‫ﻣــﺎ ﻫــﻲ ﺃﻧــﻮﺍﻉ ﺍﻷﺳــﺌﻠﺔ ﰲ ﺍﺧﺘﺒــﺎﺭ ﺍﻟﻘــﺪﺭﺍﺕ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ؟‬

‫ﻣﺎ ﻫﻮ ﺍﳌﻘﺼﻮﺩ ﺑﺄﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ؟‬ ‫ﲢﺘﻮﻱ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧـﺔ ﻋﻠـﻰ ﺻـﻴﻐﺘﺎﻥ ‪ ،‬ﻭﺍﺣـﺪﺓ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤــﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪ ،‬ﻭﺍﻷﺧــﺮﻯ ﰲ ﺍﻟﻌﻤــﻮﺩ ﺍﻟﺜــﺎﱐ ‪،‬‬ ‫ﻭﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﻣﻨﻚ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ﺑـﲔ ﺍﻟﺼـﻴﻐﺘﲔ ﰒ ﺗﻈﻠـﻞ ﰲ‬ ‫ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﳊﺮﻑ‪:‬‬

‫‪ ( δ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﻣﻨﻬﺎ‬ ‫ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬

‫‪ ( χ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺼـﻴﻐﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﻤـﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﺻـﻐﺮ‬ ‫ﻣﻨﻬﺎ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬

‫‪ (β‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺼﻴﻐﺘﺎﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﲔ‬

‫‪ ( α‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﳌﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﺍﳌﻌﻄﺎﺓ ﻏﲑ ﻛﺎﻓﻴﺔ‬ ‫ﻣﺎ ﻫﻲ ﺍﳌﻬـﺎﺭﺍﺕ ﺍﳌﻄﻠﻮﺑـﺔ ﻷﺩﺍﺀ ﻣﺘﻤﻴـﺰ ﰲ ﺍﺧﺘﺒـﺎﺭ‬ ‫ﻗﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ؟‬ ‫ﻳﻌﺘﻤﺪ ﺍﺧﺘﺒـﺎﺭ ﺍﻟﻘـﺪﺭﺍﺕ ﻋﻠـﻰ ﺍﻟﻔﻬـﻢ ﻭﺍﻻﺳﺘﺒﺼـﺎﺭ‬ ‫ﻭﺗﻄﺒﻴﻖ ﺍﻟﻘـﻮﺍﻧﲔ ﻭﺍﳊﻘـﺎﺋﻖ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿـﻴﺔ ﺍﻷﺳﺎﺳـﻴﺔ‬ ‫ﻭﺍﻟــﱵ ﺩﺭﺳــﻬﺎ ﺍﻟﻄﺎﻟــﺐ ﺑﻨﻬﺎﻳــﺔ ﺍﳌﺮﺣﻠــﺔ ﺍﳌﺘﻮﺳــﻄﺔ‬ ‫ﻭﺑﺪﺍﻳﺔ ﺍﳌﺮﺣﻠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻳﺔ ﻣﻊ ﺍﺳﺘﺒﻌﺎﺩ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻞ‬ ‫ﻭﺍﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻭﻣﺴﺎﺋﻞ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ ‪.‬‬ ‫ﻫﻞ ﻳﺴﻤﺢ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﳊﺎﺳﺒﺔ ؟‬ ‫ﺇﱃ ﺍﻵﻥ – ﺗــﺎﺭﻳﺦ ﺇﻋــﺪﺍﺩ ﻫــﺬﺍ ﺍﻟﻜﺘــﺎﺏ – ﻏــﲑ‬ ‫ﻣﺴﻤﻮﺡ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﳊﺎﺳﺒﺔ ‪.‬‬ ‫ﻫﻞ ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﳌﺮﻛﺒﺔ ﰲ ﺍﳊﻞ ؟‬ ‫ﲨﻴﻊ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﳌﺴﺘﺨﺪﻣﺔ ﻫﻲ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ‪.‬‬

‫ﺗﻨﻘﺴﻢ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺇﱃ ﻗﺴﻤﲔ ﻭﳘﺎ ‪:‬‬ ‫‪ (١‬ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﺍﳌﺘﻌﺪﺩ‬ ‫‪ (٢‬ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ‬

‫‪٣‬‬

‫ﺗﻤﻬﻴﺪ‬

‫ﻣﺎ ﻫﻲ ﺍﳌﻮﺍﺿﻴﻊ ﺍﻟﱵ ﻋـﺎﺩﺓ ﻻ ﻳﺘﻄـﺮﻕ ﳍـﺎ ﺍﺧﺘﺒـﺎﺭ‬ ‫ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﰲ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ؟‬ ‫ﺍﻟــﱪﺍﻫﲔ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿــﻴﺔ ‪ ،‬ﺍﻷﺣﺠــﺎﻡ ﻟﻐــﲑ ﺍ‪‬ﺴــﻤﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺒﺴﻴﻄﺔ ‪ ،‬ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺑﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ ﻣﻌﻘﺪﺓ ‪ ،‬ﺟﺬﻭﺭ‬

‫‪ (٦‬ﺣــﻞ ﻣﺴــﺎﺋﻞ ﺗﺘﻌﻠــﻖ ﺑﺎﻟﺘﺮﺗﻴــﺐ ﺃﻭ ﺍﻟﺘﺘــﺎﺑﻊ‬ ‫ﻭﺇﳚﺎﺩ ﺍﳊﺪ ﺍﻟﻨﻮﱐ ﻭﺍﻟﻌﻜﺲ ‪.‬‬ ‫‪ (٧‬ﺍﻟﻨﺴـــﺒﺔ ﻭﺍﻟﺘﻨﺎﺳـــﺐ ﺑـــﲔ ﺍﻷﻋـــﺪﺍﺩ ﻭﰲ‬ ‫ﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﳍﻨﺪﺳﻴﺔ ‪.‬‬

‫ﺗﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺃﻭ ﺗﻜﻌﻴﺒﻴﺔ ﻣﻌﻘﺪﺓ ‪.‬‬

‫ﻫﻞ ﳝﻜﻦ ﺩﺧﻮﻝ ﺍﳊﺴـﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﻄﻮﻳﻠـﺔ ﺍﳌﻌﻘـﺪﺓ ﰲ‬

‫ﻫﻞ ﻳﻜﻔﻲ ﺣﻔﻆ ﺍﻟﻘﻮﺍﻧﲔ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ﻻﺟﺘﻴﺎﺯ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ‬

‫ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﻗﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ؟‬

‫ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﰲ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ؟‬

‫ﻻﳝﻜﻦ ﺩﺧﻮﳍﺎ ﺇﻻ ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﺍﻻﺧﺘﺰﺍﻝ ﻓﻘﻂ ‪.‬‬

‫ﺑﺎﻟﺘﺄﻛﻴــﺪ ﻻ ﻳﻜﻔــﻲ ﻷﻥ ﺍﳌﻄﻠــﻮﺏ ﻫــﻮ ﺗﻮﻇﻴــﻒ‬

‫ﻣﺎ ﻫﻲ ﺍﳌﻬﺎﺭﺍﺕ ﺍﳌﻄﻠﻮﺑﺔ ﰲ ﺍﳉﱪ ؟‬

‫ﺍﻟﻘــﻮﺍﻧﲔ ﰲ ﺍﳊــﻞ ﻭﺍﻻﺳــﺘﻨﺒﺎﻁ ﻭﺍﻟﻘﻴــﺎﺱ ﻭﻟــﻴﺲ‬ ‫ﺗﺬﻛﺮﻫﺎ ﻓﺤﺴﺐ ‪.‬‬ ‫ﻣﺎ ﻫﻲ ﺍﳌﻬـﺎﺭﺍﺕ ﻭﺍﳌﻔـﺎﻫﻴﻢ ﺍﻟـﱵ ﳚـﺐ ﺍﻟﺘﺮﻛﻴـﺰ‬ ‫ﻋﻠﻴﻬﺎ؟‬

‫‪ (١‬ﺍﻷﻋــﺪﺍﺩ ﺍﳊﻘﻴﻘﻴــﺔ ‪ ،‬ﺍﻟﺴــﺎﻟﺒﺔ ﻭﺍﳌﻮﺟﺒــﺔ‬ ‫ﻭﺍﻟﺼﻔﺮ‬ ‫‪ (٢‬ﺍﻟﺘﺤﻮﻳــﻞ ﻣــﻦ ﺍﻟﺘﻌــﺒﲑ ﺍﻟﻠﻔﻈــﻲ ﰲ ﺑﻌــﺾ‬ ‫ﺍﳌﺴﺎﺋﻞ ﺇﱃ ﺭﻣﺰﻱ ‪.‬‬

‫ﻫﻨﺎﻙ ﺃﺭﺑﻊ ﳎﺎﻻﺕ ‪ :‬ﺍﳊﺴﺎﺏ ‪ ،‬ﺍﳉﱪ ‪ ،‬ﺍﳍﻨﺪﺳـﺔ‬

‫‪ (٣‬ﺗﺒﺴﻴﻂ ﺍﳌﻘﺎﺩﻳﺮ ﺍﳉﱪﻳﺔ‬

‫ﻭﺍﻟﺘﺤﻠﻴــﻞ ﻭﺍﻹﺣﺼــﺎﺀ ﻭﺍﳌﻨﻮﻋــﺎﺕ‪ ،‬ﺣﻴــﺚ ﻳﻜﺸــﻒ‬

‫‪ (٤‬ﲢﻠﻴﻞ ﻣﻘﺎﺩﻳﺮ ﺑﺴـﻴﻄﺔ ) ﺛﻼﺛـﻲ ﺍﳊـﺪﻭﺩ ‪،‬‬

‫ﺍﺧﺘﺒــﺎﺭ ﺍﻟﻘــﺪﺭﺍﺕ ﻗــﺪﺭﺓ ﺍﻟﻄﺎﻟــﺐ ﰲ ﺗﻮﻇﻴــﻒ ﺗﻠــﻚ‬

‫ﻓـــﺮﻕ ﺑـــﲔ ﻣـــﺮﺑﻌﲔ ‪ ،‬ﻓـــﺮﻕ ﻭﳎﻤـــﻮﻉ‬

‫ﺍﳌﻬﺎﺭﺍﺕ ﰲ ﺣﻞ ﺍﳌﺴﺎﺋﻞ ‪.‬‬

‫ﻣﻜﻌﺒﲔ ( ‪.‬‬

‫ﻣﺎﻫﻲ ﺍﳌﻬﺎﺭﺍﺕ ﺍﳌﻄﻠﻮﺑﺔ ﰲ ﺍﳊﺴﺎﺏ ؟‬ ‫‪ (١‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ) ﺍﳉﻤﻊ ﻭﺍﻟﻄﺮﺡ‬ ‫ﻭﺍﻟﻀﺮﺏ ﻭﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ( ‪.‬‬ ‫‪ (٢‬ﺍﻟﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴـﺎﺕ ﺍﻟـﱵ ﺗﺘـﺪﺍﺧﻞ ﻓﻴﻬـﺎ‬ ‫ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ ﺍﻟﻌﺎﺩﻳﺔ ﻭﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ‪.‬‬ ‫‪ (٣‬ﺇﳚﺎﺩ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻭﺍﻟﻮﺳﻴﻂ ﻭﺍﳌﻨﻮﺍﻝ‬ ‫‪ (٤‬ﻣﻌﺮﻓــﺔ ﺧﺼــﺎﺋﺺ ﺍﻷﻋــﺪﺍﺩ ‪ :‬ﺍﻟﻔﺮﺩﻳــﺔ ‪،‬‬ ‫ﺍﻟﺰﻭﺟﻴﺔ ‪ ،‬ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ‪ ،‬ﺍﻟﺴـﺎﻟﺒﺔ ‪ ،‬ﺍﳌﻮﺟﺒـﺔ ‪،‬‬ ‫ﻗﻮﺍﺳﻢ ﻋﺪﺩ ‪ ،‬ﺍﳌﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ‪.‬‬ ‫‪ (٥‬ﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺗﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﺴﺮﻋﺔ ﻭﺍﻟﺰﻣﻦ ﻭﺍﳌﺴﺎﻓﺔ‬ ‫ﻭﺍﻟﻨﺴﺐ ﺍﳌﺌﻮﻳﺔ ‪ ،‬ﻭﻋﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻟﺮﺑﺢ ﻭﺍﳋﺴﺎﺭﺓ‬ ‫‪٤‬‬

‫‪ (٥‬ﺣﻞ ﺍﳌﻌﺎﺩﻻﺕ ﻭﺍﳌﺘﺮﺍﺟﺤﺎﺕ ‪.‬‬ ‫‪ (٦‬ﺍﺳﺘﺨﺮﺍﺝ ﺍﳉـﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴـﺔ ﻭﺍﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴـﺔ‬ ‫ﺍﳌﺄﻟﻮﻓﺔ ‪.‬‬ ‫‪ (٧‬ﻗﻮﺍﻧﲔ ﺍﻷﺳﺲ ﻭﺍﻟﺘﻄﺒﻴﻖ ﻋﻠﻴﻬﺎ‬

‫ﻣﺎ ﻫﻲ ﺍﳌﻬﺎﺭﺍﺕ ﺍﳌﻄﻠﻮﺑﺔ ﰲ ﺍﳍﻨﺪﺳﺔ ؟‬ ‫‪ (١‬ﺗﻄﺒﻴــﻖ ﺧﺼــﺎﺋﺺ ﺍﳌﺴــﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﳌﺘﻮﺍﺯﻳــﺔ‬ ‫ﻭﺍﳌﺘﻌﺎﻣﺪﺓ ‪.‬‬ ‫‪ (٢‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻼﻗﺔ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺑﺒﻌﻀﻬﺎ ‪ ،‬ﻭﺍﺳـﺘﺨﺮﺍﺝ‬ ‫ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﻣﻦ ﺃﺷﻜﺎﻝ ﻫﻨﺪﺳﻴﺔ ‪.‬‬

‫ﻫﻞ ﻫﻨﺎﻙ ﺃﻧـﻮﺍﻉ ﺃﺧـﺮﻯ ﻣـﻦ ﺍﻷﺳـﺌﻠﺔ ﻏـﲑ ﺃﺳـﺌﻠﺔ‬ ‫ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ ﻭﺍﳌﻘﺎﺭﻧـﺔ ﰲ ﺍﺧﺘﺒـﺎﺭ ﺍﻟﻘـﺪﺭﺍﺕ‬ ‫ﻟﻠﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ؟‬ ‫ﻧﻌﻢ ﻫﻨﺎﻙ ﻧﻮﻉ ﺛﺎﻟﺚ ﻭﻳﺴﻤﻰ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﳊﺮﺓ ﻭﱂ ﻳﺪﺭﺝ‬ ‫ﺇﱃ ﺗــﺎﺭﻳﺦ ﺇﻋــﺪﺍﺩ ﻫــﺬﺍ ﺍﻟﻜﺘــﺎﺏ ﰲ ﺍﺧﺘﺒــﺎﺭﺍﺕ‬

‫‪ (٣‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺧﺼﺎﺋﺺ ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ ﻭﺍﻟﺘﻄﺒﻴﻖ ﻋﻠﻴﻬﺎ ‪.‬‬

‫ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﱵ ﻳﺸﺮﻑ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺍﳌﺮﻛﺰ ﺍﻟﻮﻃﲏ ﻟﻠﻘﻴﺎﺱ‬

‫‪ (٤‬ﻗﻮﺍﻋﺪ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳـﺐ ﰲ ﺍﻷﺷـﻜﺎﻝ ﺍﳍﻨﺪﺳـﻴﺔ‬

‫ﻭﺍﻟﺘﻘﻮﱘ ﰲ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻢ ﺍﻟﻌﺎﱄ ‪ ،‬ﻟﺬﻟﻚ ﰎ ﺍﺳﺘﺒﻌﺎﺩﻫﺎ ﻣﻦ‬

‫ﻭﺍﻟﺘﻄﺒﻴﻖ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﰲ ﺣﻞ ﺍﳌﺴﺎﺋﻞ ‪.‬‬ ‫‪ (٥‬ﻗــﻮﺍﻧﲔ ﺗﺸــﺎﺑﻪ ﺍﳌﻀــﻠﻌﺎﺕ ﻭﺗﻄﺒﻴﻘﻬــﺎ ﰲ‬ ‫ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ‬

‫ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ‪.‬‬ ‫ﻣﺎ ﻫﻲ ﻧﺴﺐ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﺗﻠﻚ ﺍﳌﻬﺎﺭﺍﺕ ﰲ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ‬ ‫ﳌﺎﺩﺓ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ؟‬

‫‪ (٦‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺧﺼﺎﺋﺺ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ‪.‬‬

‫ﰲ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﻔﻌﻠﻴـﺔ ﺍﻟـﱵ ﻳﺘﻌـﺮﺽ ﳍـﺎ ﺍﻟﻄﺎﻟـﺐ‬

‫‪ (٧‬ﺍﳍﻨﺪﺳــﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴــﺔ ‪ ،‬ﺍﻻﳓــﺪﺍﺭ ‪ ،‬ﻗــﺮﺍﺀﺓ‬

‫ﻭﺍﳌﻌﺪﺓ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ ﺍﳌﺮﻛﺰ ﺍﻟﻮﻃﲏ ﻳﺘﻢ ﺗﻮﺯﻳـﻊ ﺍﻷﺳـﺌﻠﺔ‬

‫ﺍﻟﺮﺳﻮﻡ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ ‪ ،‬ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺕ ﻋﻠـﻰ ﺍﳌﺴـﺘﻮﻯ‬ ‫ﺃﻹﺣﺪﺍﺛﻲ ‪.‬‬ ‫‪ (٨‬ﻗــﻮﺍﻧﲔ ﺍﳍﻨﺪﺳــﺔ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏﻴــﺔ ) ﺍﳌﺴــﺎﺣﺎﺕ‬ ‫ﻭﺍﳊﺠﻮﻡ ﻟﻸﺷﻜﺎﻝ ﺍﳌﺄﻟﻮﻓﺔ ( ‪.‬‬ ‫ﻣﺎ ﻫـﻲ ﺍﳌﻬـﺎﺭﺍﺕ ﺍﳌﻄﻠﻮﺑـﺔ ﰲ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴـﻞ ﻭﺍﻹﺣﺼـﺎﺀ‬ ‫ﻭﺍﳌﻨﻮﻋﺎﺕ ؟‬ ‫‪ (١‬ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ‬ ‫‪ (٢‬ﺍﳌﻨﻄﻖ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻲ ﻭﺍ‪‬ﻤﻮﻋﺎﺕ‬ ‫‪ (٣‬ﺍﻟﺮﺳﻮﻡ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ ﻭﺍﳋـﺮﻭﺝ ﲞﻼﺻـﺔ ﺣـﻮﻝ‬ ‫ﺍﳌﻌﻄﻴﺎﺕ ﺍﻟـﱵ ﺗﺘﻀـﻤﻨﻬﺎ ﻫـﺬﻩ ﺍﻟﺮﺳـﻮﻡ ﺃﻭ‬ ‫ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ﺑﻴﻨﻬﺎ‬ ‫‪ (٤‬ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺎﺕ ﺍﳊﺴﺎﺑﻴﺔ ﻭﺍﳍﻨﺪﺳﻴﺔ‬ ‫‪ (٥‬ﺍﻟﺮﻣﻮﺯ ﺍﳋﺎﺻﺔ ‪.‬‬ ‫‪ (٦‬ﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺗﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﺘﻔﻜﲑ ﺍﻻﺳﺘﺪﻻﱄ ‪.‬‬

‫ﰲ ﺟﺰﺀ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻭﻓﻘ ﹰﺎ ﻟﻠﻨﺴﺐ ﺍﻟﺘﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ ⊆٤٠ (١‬ﰲ ﺍﳊﺴﺎﺏ‬

‫‪ ⊆ ٢٣ (٢‬ﰲ ﺍﳉﱪ‬

‫‪ ⊆ ٢٤ (٣‬ﰲ ﺍﳍﻨﺪﺳﺔ‬

‫‪ ⊆١٣ (٤‬ﰲ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻞ ﻭﺍﻹﺣﺼﺎﺀ‬ ‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ‬ ‫‪ (١‬ﻏﲑ ﻣﺴﻤﻮﺡ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻵﻟـﺔ ﺍﳊﺎﺳـﺒﺔ ﰲ‬ ‫ﺍﳊﻠﻮﻝ ﻟﻠﺘﺪﺭﻳﺐ ﺃﻭ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ‪.‬‬ ‫‪ (٢‬ﲨﻴﻊ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﳌﺴﺘﺨﺪﻣﺔ ﰲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ‬ ‫ﻫﻲ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ (٣‬ﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﳌﺮﺳﻮﻣﺔ ﰲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﻫـﻲ‬ ‫ﺃﺷﻜﺎﻝ ﻣﺮﺳـﻮﻣﺔ ﻋﻠـﻰ ﺍﻟﻘﻴـﺎﺱ ‪ ،‬ﻣـﺎﱂ‬ ‫ﻳﺬﻛﺮ ﺧﻼﻑ ﺫﻟﻚ‬

‫‪٥‬‬

‫ﺗﻤﻬﻴﺪ‬

‫ﺩﻟﻴﻞ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﺼﻮﺭ ﺍﻹﺭﺷﺎﺩﻳﺔ ﺍﳌﻮﺟﻮﺩﺓ ﺑﺎﻟﻜﺘﺎﺏ ‪:‬‬ ‫ﻳﻌﻄـﻰ ﻟـﻚ ﺑﻌـﺾ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺤــﺎﺕ‬ ‫ﻭﺗــﺬﻛﲑﻙ ﺑــﺒﻌﺾ ﺍﻷﻓﻜــﺎﺭ‬ ‫ﺍﳌﻨﺎﺳــــﺐ ﺍﺳــــﺘﺨﺪﺍﻣﻬﺎ ﰲ‬ ‫ﺍﳌﻮﺿﻮﻉ ﺍﻟـﺬﻱ ﻭﺭﺩ ﻓﻴـﻪ ﻫـﺬﺍ‬ ‫ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺢ ‪.‬‬ ‫ﰲ ﺑﻌﺾ ﺍﳌﺴﺎﺋﻞ ﻫﻨـﺎﻙ ﻃـﺮﻕ‬ ‫ﻛﺜﲑﺓ ﻟﻠﺤﻞ ‪ ،‬ﻭﻏﺎﻟﺒـ ﹰﺎ ﺗﻌﻄـﻰ‬ ‫ﻟﻚ ﺍﻟﻄﺮﻳﻘـﺔ ﺍﳌﻌﺘـﺎﺩﺓ ﰲ ﺣـﻞ‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﻛﻄﺮﻳﻘﺔ ﺛﺎﻧﻴﺔ ﻟﻠﺤﻞ ‪.‬‬ ‫ﰲ ﻫــﺬﻩ ﺍﻟﺘــﺪﺭﻳﺒﺎﺕ ﺍﳌﻄﻠــﻮﺏ‬ ‫ﻣﻨﻚ ﺍﻟﺘﻔﺎﻋﻞ ﻣﻊ ﺍﳌﺴـﺎﺋﻞ ﻣـﻦ‬ ‫ﺧـــﻼﻝ ﺇﻛﻤـــﺎﻝ ﺍﻟﻔـــﺮﺍﻍ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤــﺮﻳﻦ ﻭﻏﺎﻟﺒــ ﹰﺎ ﺗــﺄﰐ ﻫــﺬﻩ‬ ‫ﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺒﺎﺕ ﺑﻌـﺪ ﺃﻣﺜﻠـﺔ ﳏﻠﻮﻟـﺔ‬ ‫ﲢﺘــﻮﻱ ﻋﻠــﻰ ﻧﻔــﺲ ﺍﻟﻔﻜــﺮﺓ‬ ‫ﻼ‪.‬‬ ‫ﻭﺭﲟﺎ ﺗﻜﻮﻥ ﳐﺘﻠﻔﺔ ﻗﻠﻴ ﹰ‬

‫‪٦‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫اﺳﺘﺮاﺗﻴﺠﻴﺎت ﻋﺎﻣﺔ )‪( ١‬‬ ‫ﰲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺳﻮﻑ ﺗـﺘﻌﻠﻢ ﺑﻌـﺾ ﺍﻻﺳـﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ‬ ‫ﻭﺍﻹﺭﺷــﺎﺩﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣــﺔ ﻭﺍﻟــﱵ ﺗﺴــﺎﻋﺪﻙ ﰲ ﺗﻄــﻮﻳﺮ‬ ‫ﻣﻬﺎﺭﺍﺗــﻚ ﰲ ﺍﻟﺘﻌﺎﻣــﻞ ﻣــﻊ ﺑﻌــﺾ ﺃﻧــﻮﺍﻉ ﺃﺳــﺌﻠﺔ‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﺍﻟﱵ ﺗﺘﻌﺮﺽ ﳍـﺎ ﰲ ﺍﺧﺘﺒـﺎﺭ ﺍﻟﻘـﺪﺭﺍﺕ‪،‬‬ ‫ﻭﻫﻨــﺎﻙ ﻋــﺪﺓ ﺇﺭﺷــﺎﺩﺍﺕ ﺗﺴــﺎﻋﺪﻙ ﻋﻠــﻰ ﺗﻨﻈــﻴﻢ‬ ‫ﺍﻟــﺘﻔﻜﲑ ‪ ،‬ﻭﺳــﻮﻑ ﻧﺴــﺘﻌﺮﺽ ﻣﻨــﻬﺎ ﰲ ﺍﻟﺒﺪﺍﻳــﺔ‬

‫ﺗﻘﺮﻳﱯ – ﻣﺜﻞ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺍﻟﺼـﺤﻴﺢ ﺑﻘـﺪﺭ ﺍﻹﻣﻜـﺎﻥ ‪-‬‬ ‫ﻭﺑﻌﺾ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﻭﺍﻟﺘﻮﻗﻊ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ‪.‬‬ ‫ﻭﺍﳋﻄﻮﺓ ﺍﻷﻭﱃ ﰲ ﺍﻟﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣـﻊ ﺍﳌﺴـﺎﺋﻞ ﺍﳍﻨﺪﺳـﻴﺔ‬ ‫ﻭﺑﻌﺾ ﺍﳌﺴﺎﺋﻞ ﺍﳉﱪﻳﺔ ﺍﻷﺧﺮﻯ ﻫﻲ ﺍﻟﺮﺳﻢ‪.‬‬ ‫ﻭﺍﻵﻥ ﻧﺴﺘﻌﺮﺽ ﺃﻣﺜﻠﺔ ﺗﻄﺒﻴﻘﻴﺔ ﻣﻊ ﺍﻟﺸﺮﺡ ﻟﻸﻓﻜـﺎﺭ‬ ‫ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ‪.‬‬ ‫‪ ١‬رﺳﻢ ﺷﻜﻞ ﺗﻘﺮﻳﺒﻲ ﻟﻠﺸﻜﻞ أن ﻟﻢ ﻳﻜﻦ ﻣﺮﺳﻮﻣ ًﺎ‬

‫ﻣﺎﻳﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪ (١‬ﺭﺳــﻢ ﺷــﻜﻞ ﺗﻘــﺮﻳﱯ ﻟﻠﺸــﻜﻞ ﺃﻥ ﱂ ﻳﻜــﻦ‬ ‫ﻣﺮﺳﻮﻣ ﹰﺎ ‪.‬‬

‫‪ (٢‬ﺍﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ﺍﳌﻌﻠﻮﻣـﺎﺕ ﻣـﻦ ﺷـﻜﻞ ﻣﺮﺳـﻮﻡ ﻋﻠـﻰ‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ‬

‫‪ (٣‬ﺃﻋﺪ ﺭﺳﻢ ﺷﻜﻞ ﻟﻴﺲ ﻣﺮﺳﻮﻣ ﹰﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ‬

‫‪ (٤‬ﺃﻋﺪ ﺭﺳـﻢ ﺷـﻜﻞ ﻣﺮﺳـﻮﻡ ﻋﻠـﻰ ﺍﻟﻘﻴـﺎﺱ ﺇﱃ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١−١‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ ﺍﻟﺬﻱ ﻃﻮﻟﻪ ﺿـﻌﻒ ﻋﺮﺿـﻪ‬

‫ﻭﳏﻴﻄﺔ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﳏﻴﻂ ﻣﺮﺑﻊ ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ ‪ ١‬ﺳ ﻢ‪. ٢‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﺑﺪﺍﻳﺔ ﳚﺐ ﺃﻥ ﻧﺮﺳﻢ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫ﺷﻜﻞ ﻏﲑ ﻣﺮﺳﻮﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ‬

‫‪ (٥‬ﺃﺿﻒ ﺑﻌﺾ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﳌﻌﻄـﻰ‬ ‫ﻻﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ‬

‫‪ (٦‬ﺃﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﻈﻠﻠﺔ‪.‬‬

‫‪ (٧‬ﻻ ﺗﻌﻤﻞ ﺃﻛﺜﺮ ﳑﺎ ﻫﻮ ﻣﻄﻠﻮﺏ ﻣﻨﻚ‬ ‫‪ (٨‬ﺍﻧﺘﺒﻪ ﻟﻠﻮﺣﺪﺍﺕ ﰲ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪ (٩‬ﻓﻜﺮ ﺑﺪﻭﻥ ﺁﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ‬

‫‪ (١٠‬ﺿﻊ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﻣﻦ ﺍﳊﻠﻮﻝ ﺍﶈﺘﻤﻠﺔ ‪.‬‬

‫‪ (١١‬ﺍﺳﺘﻔﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻮﻡ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ ﺍﳌﻌﻄﺎﺓ ﺑﺎﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪ (١٢‬ﺗﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﺮﻣﻮﺯ ﺍﻟﻐﺮﻳﺒﺔ ﺑﺎﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫ﻭﺣﱴ ﺗﺴﺘﻄﻴﻊ ﺍﻻﺳﺘﻔﺎﺩﺓ ﻣﻦ ﺍﻹﺭﺷـﺎﺩﺍﺕ ﺍﻟﺴـﺎﺑﻘﺔ‬

‫ﳚﺐ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﻟـﺪﻳﻚ ﺍﻟﻘـﺪﺭﺓ ﻋﻠـﻰ ﺭﺳـﻢ ﺷـﻜﻞ‬

‫‪٨‬‬

‫ﲟﺎ ﺃﻥ ﳏﻴﻂ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ = ﳏﻴﻂ ﺍﳌﺮﺑﻊ ) ﻣﻌﻄﻰ (‬ ‫∴ ‪٤ = ε٢ ⇐ ٢ = ٤ = ε ⇔ ٤=ε٦‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣ ٦‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ = ‪ ٨ = ٤ ٢‬ﺳ ﻢ‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪٣ ٣‬‬

‫) () (‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢−١‬‬

‫ﺍﺳﺘﻬﻠﻜﺖ ﺳﻴﺎﺭﺓ ﰲ ﺍﻟﻴﻮﻡ ﺍﻷﻭﻝ ‪ ١‬ﻛﻤﻴﺔ ﺍﻟﻮﻗـﻮﺩ‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﰲ ﺧﺰﺍ‪‬ــﺎ ‪ ،‬ﰒ ﺍﺳــﺘﻬﻠﻜﺖ ﰲ ﺍﻟﻴــﻮﻡ ﺍﻟﺜــﺎﱐ ‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﳌﺘﺒﻘﻴﺔ ﰲ ﻫﺬﺍ ﺍﳋﺰﺍﻥ ‪ .‬ﻓﻤﺎ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺍﳉﺰﺀ‬ ‫ﺍﳌﺘﺒﻘﻲ ﻣﻦ ﺍﻟﻮﻗﻮﺩ ؟‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‪ ....‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ١‬‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪: ( ١−١‬‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﻧﺮﺳﻢ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﲔ ﻛﻞ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﻧﺼﻒ‬ ‫ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ‪ ،‬ﻭ ﺣﻴﺚ ﺃﻥ ﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺓ ﺍﺳﺘﻬﻠﻜﺖ ﺛﻠﺜﻲ‬ ‫ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﰲ ﺍﻟﻴﻮﻡ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪ ،‬ﻓﺈﻧﻪ ﳚﺐ ﺗﻘﺴﻴﻢ‬ ‫ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﺇﱃ ﺛﻼﺛﺔ ﺃﻗﺴﺎﻡ ﰒ ﻧﻈﻠﻞ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ‬ ‫ﺍﻷﻭﻝ ‪ ،‬ﻭﺧﻠﻴﺘﲔ ﻣﻦ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﻛﻤﺎ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﱄ ‪:‬‬

‫ﺣﺼﻞ ﻃﻔﻞ ﻣﻦ ﻭﺍﻟﺪﻩ ﻋﻠﻰ ‪ ٤٥‬ﺭﻳـﺎ ﹰﻻ ﻣﻜﺎﻓﺌـﺔ ﻟـﻪ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﺟﺘﻬﺎﺩﻩ ﺧﻼﻝ ﺃﺭﺑﻌﺔ ﺃﻳﺎﻡ ‪ .‬ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺎ ﺣﺼﻞ‬ ‫ﻋﻠﻴﻪ ﰲ ﺍﻟﻴﻮﻡ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﺿﻌﻒ ﻣﺎ ﺣﺼﻞ ﻋﻠﻴﻪ ﰲ ﺍﻟﻴﻮﻡ‬ ‫ﺍﻷﻭﻝ ‪ ،‬ﻭﻣﺎ ﺣﺼﻞ ﻋﻠﻴﻪ ﰲ ﺍﻟﻴﻮﻡ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﻧﺼـﻒ ﻣـﺎ‬ ‫ﺣﺼﻞ ﻋﻠﻴﻪ ﰲ ﺍﻟﻴﻮﻡ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪ ،‬ﻭﻣـﺎ ﺣﺼـﻞ ﻋﻠﻴـﻪ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﻴﻮﻡ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ﻧﺼﻒ ﻣﺎ ﺣﺼﻞ ﻋﻠﻴﻪ ﰲ ﺍﻟﻴﻮﻡ ﺍﻟﺜﺎﻟـﺚ ‪.‬‬

‫ﺍﻟﻴﻮﻡ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫ﺍﳌﺘﺒﻘﻲ‬

‫ﺍﻟﻴﻮﻡ ﺍﻟﺜﺎﱐ‬

‫ﻭﺍﺿﺢ ﺃﻥ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﳌﺘﺒﻘﻴﺔ ﻫﻲ ﺍﳉﺰﺀ ﻏﲑ ﺍﳌﻈﻠﻞ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃﻋﻼﻩ ﻭﻫﻲ ﲤﺜﻞ ‪١‬‬ ‫‪٦‬‬

‫ﻟﻨﻔﺘﺮﺽ ﺃﻥ ﻛﻤﻴﺔ ﺍﻟﻮﻗﻮﺩ ﰲ ﺍﳋﺰﺍﻥ ﺗﺴﺎﻭﻱ ‪١‬‬ ‫ﺍﳌﺘﺒﻘﻲ ﰲ ﺍﳋﺰﺍﻥ ﺑﻌﺪ ﺍﻟﻴﻮﻡ ﺍﻷﻭﻝ = ‪١ = ١ − ١‬‬ ‫‪٢ ٢‬‬ ‫ﻣﺎ ﰎ ﺍﺳﺘﻬﻼﻛﻪ ﰲ ﺍﻟﻴﻮﻡ ﺍﻟﺜﺎﱐ = ‪١ = ١ × ٢‬‬ ‫‪٣ ٢ ٣‬‬ ‫ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﳌﺘﺒﻘﻴﺔ = ‪١ = ١ + ١ − ١‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٣ ٢‬‬

‫)‬

‫(‬

‫ﻓﻤﺎ ﳎﻤﻮﻉ ﻣﺎﺣﺼﻞ ﻋﻠﻴﻪ ﰲ ﺍﻟﻴﻮﻣﲔ ﺍﻷﻭﻟﲔ ؟‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫ﻟﻨﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﻣﺎ ﺣﺼﻞ ﻋﻠﻴﻪ ﰲ ﺍﻟﻴﻮﻡ ﺍﻷﻭﻝ = ‪ ε‬ﺭﻳﺎﻝ‬ ‫ﳕﺜﻞ ﻣﻌﻄﻴﺎﺕ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﱄ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻴﻮﻡ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫ﺍﻟﺜﺎﱐ‬

‫‪ε‬‬ ‫∴‪+ ε‬‬

‫‪+‬‬

‫ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬ ‫‪ε١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٤٥ = ε ١ +‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٤٥ = ε‬‬

‫‪=ε‬‬ ‫‪=ε‬‬ ‫ﳎﻤﻮﻉ ﻣﺎ ﺣﺼﻞ ﻋﻠﻴﻪ ﰲ ﺍﻟﻴﻮﻣﲔ ﺍﻷﻭﻟﲔ ﻫﻮ ‪:‬‬

‫∴‪+ ε‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ‪.‬‬

‫‪٩‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٣ −١‬‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪: ( ٢−١‬‬

‫ﺻــﻨﺪﻭﻕ ﳛﺘــﻮﻱ ﻋﻠــﻰ ‪ ١٠‬ﻛــﺮﺍﺕ ﲪــﺮﺍﺀ ‪٣٠ ،‬‬ ‫ﻛﺮﺓ ﺧﻀﺮﺍﺀ ‪ ،‬ﻛﻢ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻜﺮﺍﺕ ﺍﳊﻤـﺮﺍﺀ ﺍﻟـﱵ‬ ‫ﳚــﺐ ﺃﻥ ﻧﻀــﻴﻔﻬﺎ ﻟﻜــﻲ ﳛﺘــﻮﻱ ﺍﻟﺼــﻨﺪﻭﻕ ﻋﻠــﻰ‬ ‫‪ ⊆ ٦٠‬ﻣﻦ ﺍﻟﻜﺮﺍﺕ ﺍﳊﻤﺮﺍﺀ ‪.‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺮﻏﻢ ﻣﻦ ﻗﺪﺭﺗﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺣﻞ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺴـﺆﺍﻝ ﺑـﺪﻭﻥ‬ ‫ﺭﺳﻢ ‪ ،‬ﻟﻜﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺍﻟﺘﻮﺿﻴﺤﻲ ﺍﻟﺘـﺎﱄ ﻳﺴـﺎﻋﺪ ﰲ‬ ‫ﺳﺮﻋﺔ ﺍﳊﻞ ‪.‬‬ ‫ﲪﺮﺍﺀ‬

‫‪ε‬‬

‫ﺧﻀﺮﺍﺀ‬

‫‪٣٠‬‬

‫ﲪﺮﺍﺀ‬ ‫‪١٠‬‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﺸـﻜﻞ ﺍﻟﺴـﺎﺑﻖ‪ ،‬ﻭﺍﺿـﺢ ﺃﻥ ﻋـﺪﺩ ﺍﻟﻜـﺮﺍﺕ‬

‫ﺑﺎﻟﺼﻨﺪﻭﻕ = ‪٤٠+ ε‬‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻜﺮﺍﺕ ﺍﳊﻤﺮﺍﺀ = ‪١٠+ ε‬‬ ‫ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ ‪٣ = ٦٠ = ⊆ ٦٠‬‬ ‫‪٥ ١٠٠‬‬ ‫ﺍﳌﻄﻠــﻮﺏ ﺇﳚــﺎﺩ ﻗﻴﻤــﺔ ‪ ε‬ﺍﻟــﱵ ﲢﻘــﻖ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟــﺔ‪:‬‬ ‫‪٣ = ١٠ + ε‬‬ ‫‪٥ ٤٠ + ε‬‬ ‫ﻭﲟﺎ ﺃﻥ ﺣﺎﺻـﻞ ﺿـﺮﺏ ﺍﻟﻄـﺮﻓﲔ ﻳﺴـﺎﻭﻱ ﺣﺎﺻـﻞ‬ ‫ﺿﺮﺏ ﺍﻟﻮﺳﻄﲔ ﻓﻨﺠﺪ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪١٢٠ + ε٣ = ٥٠ + ε٥‬‬ ‫‪٧٠ = ε٢‬‬

‫‪٣٥ = ε‬‬ ‫∴ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻜﺮﺍﺕ ﺍﳊﻤﺮﺍﺀ ﺍﳌﻄﻠـﻮﺏ ﺇﺿـﺎﻓﺘﻬﺎ ‪٣٥‬‬ ‫ﻛﺮﺓ ‪.‬‬

‫‪١٠‬‬

‫ﻗﺎﺩ ﺭﺟﻞ ﺳﻴﺎﺭﺗﻪ ‪ ٨‬ﻛﻢ ﻏﺮﺑ ﹰﺎ ‪ ،‬ﰒ ‪ ٦‬ﻛﻢ ﴰـﺎ ﹰﻻ‬ ‫ﰒ ‪ ٣‬ﻛﻢ ﺷﺮﻗ ﹰﺎ ‪ ،‬ﰒ ‪ ٦‬ﻛﻢ ﴰﺎ ﹰﻻ ‪.‬ﻓﻜـﻢ ﻳﺒﻌـﺪ‬ ‫ﻋﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻟﺒﺪﺍﻳﺔ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫)‪٢١ ( α‬‬

‫‪١٣‬‬

‫) ‪١٧ ( χ‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪ :‬ﻧﺮﺳﻢ ﺭﲰ ﹰﺎ ﺗﻘﺮﻳﺒ ﹰﺎ ﻟﻠﻤﻄﻠﻮﺏ‬

‫‪١٩‬‬

‫ﻧﻼﺣــﻆ ﻣــﻦ ﺍﻟﺸــﻜﻞ‬ ‫ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ ﺇﻥ ﺍﻟﺴﺎﺋﻖ ﺑﺪﺃ ﻣﻦ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻄــﺔ ‪ δ‬ﻭﺗﻮﻗــﻒ ﻋﻨــﺪ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ϖ‬‬

‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﺍﳌﻄﻠــــﻮﺏ ﻫــــﻮ‬

‫‪ = ϖδ‬؟‬

‫‪ ϖχδ‬ﻗــﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳــﺔ ﰲ ‪ χ‬ﻭﺑﺘﻄﺒﻴــﻖ ﻧﻈﺮﻳــﺔ‬ ‫ﻓﻴﺜﺎﻏﻮﺭﺱ ﳒﺪ ﺃﻥ‪:‬‬

‫‪ϖδ‬‬

‫‪٢‬‬

‫= ‪ϖχ + χδ‬‬ ‫=‬

‫‪∂ = ϖδ‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬

‫=‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﳝﻜﻨﻚ ﰲ ﺍﳌﺜﺎﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﺍﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﻄـﻮﻝ ﻣﺒﺎﺷـﺮﺓ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﻨــﺖ ﺗﻌﻠــﻢ ﺃﻥ ‪ ١٣ ، ١٢ ، ٥‬ﻫــﻲ ﺃﻃــﻮﺍﻝ‬ ‫ﺃﺿﻼﻉ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‪ ....‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ١‬‬

‫‪ ٢‬اﺳ ﺘﻨﺘﺎج اﻟﻤﻌﻠﻮﻣ ﺎت ﻣ ﻦ ﺷ ﻜﻞ ﻣﺮﺳ ﻮم ﻋﻠ ﻰ‬ ‫اﻟﻘﻴﺎس‬ ‫ﻼ ﻫﻨﺪﺳﻴ ﹰﺎ‪ ،‬ﻭﱂ ﻳﺬﻛﺮ ﺃﻥ ﺍﻟﺮﺳﻢ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﺃﻋﻄﻴﺖ ﺷﻜ ﹰ‬ ‫ﻟﻴﺲ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ‪ ،‬ﻓﻬﺬﺍ ﻳﻌﲏ ﺃﻧﻪ ﳝﻜﻦ ﺍﻻﻋﺘﻤـﺎﺩ‬ ‫ﻋﻠــﻰ ﺍﻟﺸــﻜﻞ ﺍﳌﻌﻄــﻰ ﰲ ﺍﺳــﺘﻨﺒﺎﻁ ﺍﳌﻌﻠﻮﻣــﺎﺕ‬ ‫ﺍﳌﻄﻠﻮﺑﺔ ‪.‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٤−١‬‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪: ( ٣ −١‬‬ ‫ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ‬

‫ﻣﺎ ﻗﻴﻤﺔ ‪ ε‬؟‬

‫)‪(δ‬‬ ‫)‪( χ‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫)‪٣٫٥ ( α‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪٢‬‬ ‫‪٢٫٥‬‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻮﺗﺮ =‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ ﺩﺍﺋﺮﺓ‬

‫ﻷﻥ‬

‫‪ ،٨،٦‬ﻫﻲ ﺃﻃﻮﺍﻝ ﺃﺿﻼﻉ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫∵ ‪= ε٤ ⇐ = ε + ε٣‬‬

‫ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ‪ ٥‬ﺳـﻢ ‪،‬‬ ‫ﺭﺳـــــــﻢ ﺩﺍﺧﻠـــــــﻬﺎ‬ ‫ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ‪ σωγδ‬ﻓﻴﻪ‬ ‫‪ ٨ = γδ‬ﺳﻢ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ‪ α‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ⎦⎤ ‪ ⎡⎣ γδ‬ﻭ ‪β‬‬ ‫ﻣﻨﺘﺼــﻒ ⎤⎦ ‪ ⎣⎡αδ‬ﻭ ‪ χ‬ﻣﻨﺘﺼــﻒ ⎤⎦ ‪ ⎣⎡ βδ‬ﻓﺄﻭﺟــﺪ‬

‫=‬

‫∴‪=ε‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﳌﻈﻠﻞ ‪.‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﻗﻄﺮ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ = ﻗﻄﺮ ‪ ١٠ = σωγδ‬ﺳﻢ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ = ﺍﻟﻄﻮﻝ × ﺍﻟﻌﺮﺽ‬

‫‪٤ = αδ ⇐ ٨ = γδ‬‬

‫⇐ ‪χβ = ١ = χδ ⇐ ٢ = βδ‬‬ ‫∴ ﺍﻟﻌﺮﺽ = ‪ ١ = χβ‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ωγδ‬ﻣﺜﻠﺚ ﻗـﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳـﺔ ﰲ ‪ γ‬ﺑﺘﻄﺒﻴـﻖ ﻧﻈﺮﻳـﺔ‬ ‫ﻓﻴﺜﺎﻏﻮﺭﺱ ﳒﺪ ﺃﻥ ‪ ٦ = ωγ :‬ﺳﻢ‬ ‫ﻭﻟﻜﻦ ‪ ٦ = ζ χ = ωγ‬ﺳﻢ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ = ‪ ٦ = ١× ٦‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫ﻻﺣﻆ ﺃﻥ ‪١٠،٨،٦ :‬ﻫﻲ ﺃﻃﻮﺍﻝ ﺃﺿﻼﻉ ﻣﺜﻠـﺚ ﻗـﺎﺋﻢ‬ ‫ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ‪.‬‬ ‫‪١١‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٥ −١‬‬

‫ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ‪:‬‬

‫‪ α β χ δ‬ﻣﺮﺑــــﻊ ‪،‬‬

‫ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧـﺔ ﻛﻤـﺎ ﰲ ﺍﳉـﺪﻭﻝ‬

‫ﻗﺴﻢ ﺇﱃ ﺃﺭﺑﻌﺔ ﻣﺜﻠﺜﺎﺕ‬

‫ﺃﺩﻧﺎﻩ ‪:‬‬

‫ﳏــﻴﻂ ﻛــﻞ ﻣﻨــﻬﺎ‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪ ١‬ﺳــــﻢ ‪ ،‬ﻓﻜــــﻢ‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺳـــﻨﺘﻴﻤﺘﺮﹰﺍ ﳏـــﻴﻂ‬ ‫ﺍﳌﺮﺑﻊ؟‬

‫‪٤‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫) ‪(١ − ٢∂ )٤ ( χ‬‬

‫ﺣﻴﺚ ﻳﻌﻄﻰ ﻟﻚ ﰲ ﻛـﻞ ﻋﻤـﻮﺩ ﻛﻤـﺎ ﰲ ﺍﳉـﺪﻭﻝ‬ ‫ﺃﻋﻼﻩ ﺻﻴﻐﺘﲔ ﻭﻳﻄﻠﺐ ﻣﻨﻚ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧـﺔ ﺑﻴﻨـﻬﻤﺎ ﺣﺴـﺐ‬

‫)‪(β‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٣‬‬

‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫‪ χ κδ‬ﻣﺜﻠﺚ ‪٩٠ − ٥٤٥ − ٥٤٥‬‬ ‫∴ ‪٢∂ ε = ε = κδ = χκ‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫∂‪٢‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪ε‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫ﳏﻴﻂ ‪ε + ٢∂ + ٢∂ = χκδ‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ε + ٢∂ ε = ١‬‬

‫‪( ١ + ٢∂ ) ε = ١‬‬

‫∴‪١ = ε‬‬ ‫∂‪١ + ٢‬‬ ‫∂‪١ − ٢‬‬ ‫‪× ١ =ε‬‬ ‫∂‪١ − ٢∂ ١ + ٢‬‬

‫= ‪ ( ١ − ٢∂ )٤‬ﺳﻢ‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪χ‬‬

‫‪١٢‬‬

‫ﰲ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ﻫﻨﺎﻙ ﺻـﻴﻐﺘﺎﻥ ‪ ،‬ﻭﺍﺣـﺪﺓ‬ ‫ﰲ ﺍﻟﻌﻤــﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪ ،‬ﻭﺍﻷﺧــﺮﻯ ﰲ ﺍﻟﻌﻤــﻮﺩ ﺍﻟﺜــﺎﱐ ‪،‬‬

‫ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ ﺍﳌﺮﺑﻊ = ‪ε‬‬

‫= ∂‪١ − ٢‬‬ ‫ﳏﻴﻂ ﺍﳌﺮﺑﻊ = ‪ε ٤‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ‬

‫ﻭﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﻣﻨﻚ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ﺑﲔ ﺍﻟﺼﻴﻐﺘﲔ ﰒ ﺍﻟﺘﻈﻠﻴﻞ ﰲ‬ ‫ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﳊﺮﻑ‪:‬‬ ‫‪ ( δ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﻣﻨﻬﺎ‬ ‫ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬ ‫‪ ( χ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧــﺖ ﺍﻟﺼــﻴﻐﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﻤــﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﺻــﻐﺮ‬ ‫ﻣﻨﻬﺎ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬ ‫‪ (β‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺼﻴﻐﺘﺎﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﲔ‬ ‫‪ ( α‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧــﺖ ﺍﳌﻌﻠﻮﻣــﺎﺕ ﺍﳌﻌﻄــﺎﺓ ﻏــﲑ ﻛﺎﻓﻴــﺔ‬ ‫ﻟﻠﻤﻘﺎﺭﻧﺔ‪.‬‬ ‫ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻭﺭﺩ ﻟﻔﻆ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻭ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﻓﺎﳌﻘﺼﻮﺩ ‪‬ﻤـﺎ‬ ‫ﺍﻟﺼﻴﻐﺘﺎﻥ ﺍﻟﻠﺘـﺎﻥ ﻭﺭﺩﺗـﺎ ﺑﺎﻟﺴـﺆﺍﻝ ‪ ،‬ﻭﺍﺧﺘﺮﻧـﺎ ﻟﻔـﻆ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﻟﺴﻬﻮﻟﺔ ﺍﻻﺳﺘﺪﻻﻝ ‪.‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‪ ....‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ١‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٦ −١‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٧ −١‬‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃﺩﻧﺎﻩ‬

‫‪γ‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪°١٧٠‬‬

‫‪ε‬‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ ﳎﻤﻮﻉ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺃﻱ ﺭﺑﺎﻋﻲ = ‪°٣٦٠‬‬ ‫∴ ‪°٣٦٠ = ε + °٩٠ + °٩٠ + °٣٥‬‬ ‫⇐ ‪°٢١٥ − °٣٦٠ = ε‬‬ ‫= ‪°١٤٥‬‬ ‫ﻻﺣﻆ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ = ‪°١٧٠‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ = ‪°١٤٥‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪δ‬‬

‫ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ ﺃﻱ ﳎﻤﻮﻉ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺃﻱ ﺭﺑﺎﻋﻲ ﺗﺴﺎﻭﻱ ﳎﻤـﻮﻉ‬ ‫ﺃﺭﺑﻊ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﻗﺎﺋﻤﺔ ‪.‬‬ ‫ﺃﻋﻄﻲ ﻟﻨﺎ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻗﺎﺋﻤﺘﺎﻥ ﰲ ﺍﻟﺸـﻜﻞ ‪ ،‬ﻭﺑﺎﻟﺘـﺎﱄ‬

‫ﻓﺈﻥ ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﺍﳌﺘﺒﻘﻴﺘﺎﻥ = ‪°١٨٠‬‬ ‫∴ ‪°١٨٠ = ε + °٣٥‬‬ ‫⇐ ‪°٣٥ − °١٨٠ = ε‬‬ ‫= ‪°١٤٥‬‬

‫‪ε‬‬

‫‪λ‬‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ ﳎﻤﻮﻉ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺃﻱ ﻣﺜﻠﺚ = ‪°١٨٠‬‬ ‫ﰲ ∆‪βχδ‬‬ ‫∵ ‪°١٨٠ = β + χ + δ‬‬ ‫∴‪١ ← °١٨٠ = ε + χ + ٩٠‬‬ ‫ﰲ ∆‪χαδ‬‬

‫∵ ‪°١٨٠ = α + χ + λ‬‬ ‫∴‪٢ ← °١٨٠ = ٩٠ + χ + λ‬‬ ‫ﲟﺴﺎﻭﺍﺓ )‪ (١‬ﻣﻊ )‪ ( ٢‬ﳒﺪ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪٩٠ + χ + λ = ε + χ + ٩٠‬‬ ‫∴‪λ = ε‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪β‬‬

‫ﰲ ∆‪ βχδ‬ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﰲ ‪δ‬‬ ‫‪ λ‬ﺗﺘﻤــﻢ ‪⎧⎪γ‬‬ ‫⎨⇐‪ε=λ‬‬ ‫‪ ε‬ﺗﺘﻤــﻢ ‪⎪⎩γ‬‬

‫‪١٣‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٨ −١‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٩−١‬‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ ﺃﻱ‬

‫ﻣﺜﻠــــــﺚ ﻓﻴــــــﻪ‬

‫ﻣﻦ ﺍﳋﻴﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬

‫‪βδ = χδ‬‬

‫‪،‬‬

‫ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ β − χ − δ − ١٨٠‬؟‬

‫ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬

‫) ‪β + δ( χ‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫) ‪β + χ + δ( δ‬‬

‫‪.ε‬‬

‫‪°١٣٥‬‬

‫) ‪β٢ + χ( α‬‬

‫) ‪°١٢٥ ( χ‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫ﻻﺣــــﻆ ﰲ ﺍﻟﺸــــﻜﻞ‬

‫) ‪β + χ( β‬‬

‫ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫‪( β + χ + δ)− = β − χ − δ −‬‬

‫ﻭﺣﻴــــﺚ ﺃﻥ ﳎﻤــــﻮﻉ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳــــﺎ ﰲ ﺍﻟﺸــــﻜﻞ‬ ‫ﺍﳌﻌﻄﻰ = ‪ °١٨٠‬ﻷ‪‬ﺎ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ‬

‫∴‪β٣ + χ٢ + δ = °١٨٠‬‬ ‫ﻭﺑﻄﺮﺡ ‪ β + χ + δ‬ﻣﻦ ﺍﻟﻄﺮﻓﲔ ﻳﻜﻮﻥ ‪:‬‬ ‫‪= β − χ − δ − °١٨٠‬‬

‫‪β٢ + χ = β − χ − δ − β٣ + χ٢ + δ‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪α‬‬

‫) ‪°١١٥ ( β‬‬ ‫) ‪°٦٥ ( α‬‬

‫ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ ﺃﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺃﻛﱪ‬ ‫ﻣﻦ ‪ °٩٠‬ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ‬ ‫ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭ ‪ α‬ﺑﺎﻟﺘﺨﻤﲔ ﺍﳉﻴﺪ ﳔﻤﻦ ﺃﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫ﺍﻷﺧﺮﻯ ﺗﺘﺮﺍﻭﺡ ﺑـﲔ‪ . °٢٥ − °٢٠‬ﻭﺑﺎﻟﺘـﺎﱄ ﻗﻴﻤـﺔ‬ ‫‪ ε‬ﺗﻜﻮﻥ ‪:‬‬

‫‪ °١١٠ = °٢٠ + °٩٠‬ﺃﻭ ‪°١١٥ = °٢٥ + °٩٠‬‬ ‫ﺍﳋﻴﺎﺭ ﺍﻷﻗﺮﺏ ﻟﻠﺘﺨﻤﲔ ﻫﻮ ‪β‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪β‬‬

‫ﲟﺎ ﺃﻥ ﺍﳌﺜﻠﺚ ‪ βχδ‬ﻣﺘﻄﺎﺑﻖ ﺍﻟﻀﻠﻌﲔ ﻓـﺈﻥ ﻗﻴـﺎﺱ‬

‫‪β=χ‬‬

‫ﻭﲟﺎ ﺃﻥ ﳎﻤﻮﻉ ﻗﻴﺎﺱ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺃﻱ ﻣﺜﻠﺚ = ‪°١٨٠‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪°٦٥ = β = χ‬‬ ‫∴‪°١١٥ = °٦٥ − °١٨٠ = ε‬‬

‫‪١٤‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‪ ....‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ١‬‬

‫‪ ٣‬إﻋﺎدة رﺳﻢ ﺷﻜﻞ ﻟﻴﺲ ﻣﺮﺳﻮﻣ ًﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻴﺎس‬ ‫ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﳌﺎﺩﺓ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ ،‬ﻳﻜﻮﻥ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﻐﺎﻟﺐ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺍﳌﻌﻄﻰ ﻣﻊ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﻟﻴﺲ ﻣﺮﺳﻮﻣ ﹰﺎ ﻋﻠﻰ‬

‫ﻹﻋﺎﺩﺓ ﺭﺳﻢ ﺷﻜﻞ ﻟﻴﺲ ﻣﺮﺳـﻮﻣ ﹰﺎ ﻋﻠـﻰ ﺍﻟﻘﻴـﺎﺱ ‪،‬‬ ‫ﳚﺐ ﰲ ﺍﻟﺒﺪﺍﻳﺔ ﺃﻥ ﺗﺴﺄﻝ ﻧﻔﺴﻚ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﺍﻟﺘﺎﱄ‪:‬‬

‫ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ‪ ،‬ﻭﻳﻜﺘﺐ ﻟﻠﻄﺎﻟﺐ ﻣﻼﺣﻈﺔ ﺑﺬﻟﻚ ‪ .‬ﻭﺣـﱴ‬

‫" ﻣﺎ ﻫﻮ ﺍﳋﻄﺄ ﰲ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺍﳌﻌﻄﻰ ؟ "‬

‫ﺇﻋﺎﺩﺓ ﺭﺳﻢ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﲝﻴﺚ ﻳﻜﻮﻥ ﺃﻗﺮﺏ ﻣﺎ ﻳﻜـﻮﻥ‬

‫ﻼ ﻟﻮ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﰲ ﺍﻟﺴـﺆﺍﻝ ‪ °٣٠‬ﻭﺭﲰـﺖ‬ ‫ﻓﻤﺜ ﹰ‬ ‫ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻛﺄ‪‬ﺎ ‪ . °٧٥‬ﺃﻋﺪ ﺍﻟﺮﺳﻢ‬

‫ﻧﺴﺘﻄﻴﻊ ﺍﻟﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻨـﻮﻉ ﻣـﻦ ﺍﳌﺴـﺎﺋﻞ ﳚـﺐ‬ ‫ﻟﻠﺮﺳﻢ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻭﻣﻦ ﰒ ﻧﺴﺘﻨﺒﻂ ﺍﳌﻌﻠﻮﻣـﺎﺕ ﺑـﻨﻔﺲ‬ ‫ﺍﻟﻄﺮﻳﻘــﺔ ﺍﻟــﱵ ﻭﺭﺩﺕ ﰲ ﺍﺳــﺘﻨﺘﺎﺝ ﺍﳌﻌﻠﻮﻣــﺎﺕ ﻣــﻦ‬ ‫ﺷﻜﻞ ﻣﺮﺳﻮﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ‬

‫ﺍﻟﺘﻮﺍﺯﻱ ‪.‬‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸــﻜﻞ ﺍﳌﻘﺎﺑــﻞ‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧــﺖ ﻗﻄﻌﺘــﺎ ﻣﺴــﺘﻘﻴﻢ ﳐــﺘﻠﻔﱵ ﺍﻟﻄــﻮﻝ ﰲ‬

‫ﻣﺎ ﻗﻴﻤﺔ ‪ ε‬؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫) ‪°٦٠ ( χ‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫ﻭﱂ ﻳﻌﻄــﻰ ﻟــﻚ ﺃﻱ ﻣﻌﻠﻮﻣــﺔ ﰲ ﺍﻟﺴــﺆﺍﻝ ﻋﻨــﻬﻤﺎ ‪،‬‬ ‫ﻓﻴﺠﺐ ﺇﻋﺎﺩﺓ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﲝﻴﺚ ﺗﻼﺣﻆ ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻋﺪﻡ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١٠−١‬‬

‫‪°٧٥‬‬

‫ﻟﻮ ﻛﺎﻥ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻳﺒﺪﻭﺍﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﲔ ﰲ ﺍﻟﺸـﻜﻞ ‪،‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﻭﻟﻜﻦ ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻛﺄ‪‬ﻤـﺎ ﻣﺘﻄـﺎﺑﻘﺘﲔ ‪،‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫)‪(α‬‬

‫‪°٤٥‬‬ ‫‪°٣٠‬‬

‫ﻧﻼﺣﻆ ﻣﻦ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﳌﻌﻄﻰ ﺃﻥ ‪ χδ‬ﻟﻴﺲ ﺿـﻌﻒ‬ ‫‪ . βχ‬ﻭﺑﺎﻟﺘــﺎﱄ ﻛــﺄﻭﻝ ﺧﻄــﻮﺍﺕ ﺍﳊــﻞ ﳚــﺐ‬

‫ﺇﻋﺎﺩﺓ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﲝﻴﺚ ﻳﻜﻮﻥ ‪ χδ‬ﺿﻌﻒ ‪βχ‬‬ ‫ﻛﻤــــﺎ ﰲ ﺍﻟﺸــــﻜﻞ‬ ‫ﺍ‪‬ــــﺎﻭﺭ ﺍﳌﺜﻠــــﺚ ﺍﻵﻥ‬ ‫ﺃﺻــﺒﺢ ﻣــﺄﻟﻮﻑ ﻟــﺪﻳﻨﺎ‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﺳﻬﻞ ﺇﳚﺎﺩ‬

‫ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ‪ ،‬ﻓﻨﺤﻦ ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳـﺔ ﺍﶈﺼـﻮﺭﺓ ﺑـﺎﻟﻮﺗﺮ‬ ‫ﻭﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﻃﻮﻟﻪ ﻧﺼﻒ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻮﺗﺮ ﺗﺴﺎﻭﻱ‬

‫ﻓﻬﻨﺎ ﳚﺐ ﺇﻋﺎﺩﺓ ﺭﺳﻢ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﲝﻴﺚ ﻳﻜﻮﻥ ﻭﺍﺿﺢ‬ ‫ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬

‫ﲢﺬﻳﺮ‬ ‫ﺇﻋﺎﺩﺓ ﺭﺳﻢ ﺷﻜﻞ ﲢﺘﺎﺝ ﻟﻮﻗﺖ ﻋﺎﺩﺓ ﺃﻧﺖ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ‬ ‫ﺍﻟﻘــﺪﺭﺍﺕ ﰲ ﺃﻣــﺲ ﺍﳊﺎﺟــﺔ ﺇﻟﻴــﻪ ‪ .‬ﻟــﺬﻟﻚ ﻻ ﺗﻠﺠــﺄ‬ ‫ﻹﻋﺎﺩﺓ ﺍﻟﺮﺳـﻢ ﺇﻻ ﺇﺫﺍ ﱂ ﻧﺴـﺘﻄﻴﻊ ﻗـﺮﺍﺀﺓ ﺍﻟﺸـﻜﻞ‬ ‫ﻣﺒﺎﺷﺮﺓ ﻭﺗﺴﺘﻨﺞ ﻣﻨﻪ ﺍﳌﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﺍﳌﻄﻠﻮﺑﺔ ‪ .‬ﻭﰲ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺳﻮﻑ ﻧﺴﺘﻌﺮﺽ ﺑﻌـﺾ ﺍﻷﺷـﻜﺎﻝ ﺍﻟـﱵ ﱂ‬ ‫ﻳﻜﻦ ﻫﻨﺎﻙ ﺩﺍﻋﻲ ﻹﻋـﺎﺩﺓ ﺭﺳـﻢ ﺍﻟﺸـﻜﻞ ﻓﻴﻬـﺎ ‪،‬‬ ‫ﻭﻛﺎﻧﺖ ﻟﻠﺘﻮﺿﻴﺢ ﻓﻘﻂ ‪.‬‬

‫‪°٦٠‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪χ‬‬ ‫‪١٥‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١١−١‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١٢−١‬‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸــﻜﻞ ﺍﳌﻘﺎﺑــﻞ ﺇﺫﺍ‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃﺩﻧﺎﻩ‬

‫ﻛـــــــــــــــــــﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪βδ‬‬

‫‪βχ‬‬

‫‪χδ‬‬

‫ﻓﺄﻱ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫ﺃﻛﺜﺮ ﺻﺤﺔ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪°٦٠‬‬

‫) ‪°٦٠ ( χ‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫‪β‬‬

‫‪δ‬‬

‫)‪δ (β‬‬ ‫)‪δ (α‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪β‬‬

‫ﻧﻌﻴﺪ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻭﻓﻖ ﺍﻟﺸـﺮﻭﻁ ﺍﳌﻌﻄـﺎﺓ ﰲ ﺍﻟﺴـﺆﺍﻝ ﺃﻱ‬

‫ﻭﻓﻖ ﺍﻟﺸﺮﻁ ‪βδ :‬‬

‫‪χδ‬‬

‫‪βχ‬‬

‫ﻣﻦ ﺍﻟﻮﺍﺿﺢ ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳـﻢ‬ ‫ﺃﻥ ‪ βδ‬ﻫـــﻮ ﺃﻃـــﻮﻝ‬ ‫ﺿﻠﻊ ﺑﺎﳌﺜﻠﺚ ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ‬ ‫ﻳﻘﺎﺑﻠﻪ ﺃﻛـﱪ ﺯﺍﻭﻳـﺔ ﰲ ﺍﳌﺜﻠـﺚ ‪ .‬ﻭﺑﺎﻟﺘـﺎﱄ ﻧﺴـﺘﺒﻌﺪ‬ ‫ﺍﳋﻴﺎﺭ ‪. β‬‬ ‫ﻭﻣــﻦ ﺍﻟﺸــﻜﻞ ﻳﺘﻀــﺢ ﻟﻨــﺎ ﺃﻥ ‪ . β δ‬ﻭﺑﺎﻟﺘــﺎﱄ‬ ‫ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭ ‪ . α‬ﺑﻘﻲ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﳋﻴﺎﺭﺍﻥ ‪χ ، δ‬‬ ‫ﻼ ﻣـﻦ ﺍﻟـﺰﺍﻭﻳﺘﲔ‬ ‫ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻳﺘﻀـﺢ ﻟﻨـﺎ ﺃﻥ ﻛـ ﹰ‬ ‫‪ β ، δ‬ﺃﻗــﻞ ﻣــﻦ ‪ ) °٦٠‬ﻣــﻦ ﺍﳋﻴــﺎﺭﻳﻦ ‪( χ ، δ‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻦ ﳚﺐ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﺇﺟﺎﺑـﺔ ﻭﺍﺣـﺪﺓ ﻓﻘـﻂ‬ ‫ﺻﺤﻴﺤﺔ ‪ .‬ﻭﲟﺎ ﺃﻥ‪ β δ :‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﱵ ﳚـﺐ‬ ‫ﺃﻥ ﺗﻜــﻮﻥ ﺃﻗــﻞ ﻣــﻦ ‪ °٦٠‬ﻫــﻲ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳــﺔ ‪ . δ‬ﺃﻱ ﺃﻥ‬

‫‪°٦٠ δ‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪. χ‬‬

‫‪١٦‬‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫‪١٠‬ﺳﻢ‬

‫‪χδ‬‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﰲ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺍﳌﻌﻄﻰ ﻫﻨﺎﻙ ﻣﻼﺣﻈﺘﺎﻥ ﳘﺎ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﺮﺳﻮﻣﺔ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ‪ °٤٠‬ﻭﻫﻲ ﺭﲟـﺎ ‪ °٦٠‬ﺃﻭ‬ ‫‪. °٧٠‬‬

‫‪βχ‬‬

‫‪ βδ‬ﻋﻠــﻰ ﺍﻟــﺮﻏﻢ ﺃﻥ ﺍﻟﻄــﻮﻝ ﺍﳌﻌﻄــﻰ‬

‫ﻟﻜﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ ‪ ١٠‬ﺳﻢ ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﺍﳋﻄﻮﺓ ﺍﻷﻭﱃ ﻟﻠﺤﻞ ﻫﻲ‬ ‫ﺇﻋــﺎﺩﺓ ﺭﺳــﻢ ﺍﻟﺸــﻜﻞ‬ ‫ﻛﻤـــﺎ ﰲ ﺍﻟﺸـــﻜﻞ‬ ‫ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ‬ ‫ﻭﺍﺿﺢ ﻣﻦ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺑﻌﺪ ﺇﻋﺎﺩﺓ ﺭﲰﻪ ﺑﺸﻜﻞ ﺃﻗـﺮﺏ‬ ‫ﻣﺎ ﻳﻜﻮﻥ ﻟﻠﺸﻜﻞ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﺑﺄﻥ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪. δ‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‪ ....‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ١‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١٣ −١‬‬

‫‪ ٤‬اﻟﺘﻐﻴﻴﺮ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻌﻄﻰ‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃﺩﻧﺎﻩ‬

‫ﺃﺣﻴﺎﻧـ ﹰﺎ ﻗــﺪ ﻳﻜــﻮﻥ ﻣــﻦ ﺍﳌﻨﺎﺳــﺐ ﺗﻐــﻴﲑ ﺍﻟﺸــﻜﻞ‬ ‫‪٢ = βχ‬‬ ‫‪٤ = κδ‬‬

‫ﺍﳌﻌﻄﻰ ‪ ،‬ﲟﻌﲎ ﺃﻧﻪ ﻟﻮ ﺃﻋﻄﻲ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻋﻠـﻰ ﺍﻟﻘﻴـﺎﺱ‬ ‫ﻓﻨﺤﺘﺎﺝ ﺇﱃ ﺇﻋﺎﺩﺓ ﺭﲰﻪ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻣﺒﺎﻟﻎ ﻓﻴﻬـﺎ ﺣـﱴ‬ ‫ﺗﺘﻀــﺢ ﺍﻟﺼــﻮﺭﺓ ) ﺃﻱ ﻳﻜــﻮﻥ ﺍﻟﺮﺳــﻢ ﻟــﻴﺲ ﻋﻠــﻰ‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ( ﻟﻴﺴﻬﻞ ﻋﻠﻴﻨـﺎ ﺇﳚـﺎﺩ ﺍﳌﻄﻠـﻮﺏ ﻛﻤـﺎ ﰲ‬ ‫ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪.‬‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪°٤٥‬‬

‫‪ε‬‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﺃﻭﻝ ﺧﻄــﻮﺓ ﻫــﻲ ﺇﻋــﺎﺩﺓ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١٤−١‬‬ ‫ﰲ ﺍﻟﺸـــﻜﻞ‬ ‫ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ‬

‫ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻛﻤﺎ ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫ﺍ‪‬ــﺎﻭﺭ ‪ ،‬ﻧﻼﺣــﻆ ﻣــﻦ‬ ‫ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻭﺍﻟﺬﻱ ﻫﻮ ﻗﺮﻳﺐ‬

‫ﺟﺪﹰﺍ ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺍﳊﻘﻴﻘﻲ ﺃﻥ ‪ε °٤٥ :‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻫﻲ ‪. δ‬‬

‫‪αδ‬‬

‫‪βχ‬‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﳌﻌﻄـﻰ ﻣﺮﺳـﻮﻡ ﻋﻠـﻰ ﺍﻟﻘﻴـﺎﺱ ) ﻷﻧـﻪ ﱂ‬ ‫ﻳﻜﺘﺐ ﻋﻠﻴﻪ ﻣﺎ ﻳﻔﻴﺪ ﻋﻜﺲ ﺫﻟﻚ ( ﻭﺻﻌﺐ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻣﺒﺎﺷﺮﺓ ‪ ،‬ﻷﻥ ﻃﻮﱄ ﺍﻟﻀﻠﻌﲔ ﺍﳌﻄﻠـﻮﺏ‬

‫∵ ‪χκ = κδ ، κδ ١ = βχ‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫∴ ‪κχ ١ = βχ‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫⇐ ‪°٣٠ = ε‬‬ ‫∵‪ε °٤٥ ⇐ ٣٠ ٤٥‬‬

‫ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﰲ ﺍﻟﺸـﻜﻞ ﻣﺘﺴـﺎﻭﻳﺎﻥ ‪ .‬ﻟـﺬﺍ ﳚـﺐ‬ ‫ﺇﻋﺎﺩﺓ ﺍﻟﺮﺳـﻢ ﻭﻟﻜـﻦ ﻟـﻴﺲ ﻋﻠـﻰ ﺍﻟﻘﻴـﺎﺱ ﲝﻴـﺚ‬ ‫ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ‪ α‬ﺃﺻﻐﺮ ﺑﻜﺜﲑ ﻣﻦ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ‪β‬‬

‫ﻛﻤــﺎ ﰲ ﺍﻟﺸــﻜﻞ‬ ‫ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ ﻭﺍﺿﺢ ﻣﻦ‬

‫ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃﻥ ‪αδ‬‬

‫‪βχ‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪δ‬‬

‫‪١٧‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١٥ −١‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١٦ −١‬‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪ε‬‬

‫‪°٤٥‬‬ ‫ﺍﳊﻞ‪:‬‬ ‫ﺃﻋﺪ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺑﺸﻜﻞ‬ ‫ﻣﺒﺎﻟﻎ ﻓﻴﻪ ﲝﻴﺚ‬ ‫ﻳﻜﻮﻥ ‪βχ‬‬

‫‪ χ δ‬ﻛﻤﺎ ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃﻋﻼﻩ‬

‫ﻭﺍﺿﺢ ﻣﻦ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﳉﺪﻳﺪ ﺃﻥ ‪ε °٤٥ :‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪δ‬‬

‫‪ε‬‬

‫‪λ‬‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﳝﻜﻨﻨﺎ ﺇﻋﺎﺩﺓ ﺭﺳﻢ ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪ ،‬ﺑﺄﻱ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺑﺸـﺮﻁ‬ ‫ﺃﻥ ﳓﺎﻓﻆ ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ ﻗﻴـﺎﺱ ﺍﻟـﺰﺍﻭﻳﺘﲔ ﺍﳌﻌﻄـﺎﺓ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﺮﺳﻢ ‪ .‬ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ λ = ε‬ﻛﻤﺎ ﰲ ﺍﻟﺮﺳـﻢ‬ ‫ﺍﳌﻌﻄﻰ ﻓﻴﺠﺐ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻧﺎ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﲔ ﻛﻤﺎ ﰲ ﺍﻟﺮﺳﻢ‬ ‫ﺃﺩﻧﺎﻩ ‪:‬‬

‫ﻭﻛﺬﻟﻚ ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﺘــﺎﱄ ﻧﺴــﺘﻨﺘﺞ ﺃﻧــﻪ ﻻ ﻳﻜﻔــﻲ ﺍﻟﺮﺳــﻢ ﺍﳌﻌﻄــﻰ‬ ‫ﻟﻠﻤﻘﺎﺭﻧﺔ ‪ ،‬ﺃﻱ ﻻ ﺗﻮﺟﺪ ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻛﺎﻓﻴﺔ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪α‬‬

‫‪١٨‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‪ ....‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ١‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١٧ −١‬‬

‫‪ ٥‬إﺿ ﺎﻓﺔ ﺑﻌ ﺾ اﻟﻤﺴ ﺘﻘﻴﻤﺎت ﻋﻠ ﻰ اﻟﺸ ﻜﻞ‬ ‫اﻟﻤﻌﻄﻰ ﻻﺳﺘﻨﺘﺎج اﻟﻤﻄﻠﻮب‬

‫ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ‬

‫ﻗﺪ ﳓﺘـﺎﺝ ﺃﺣﻴﺎﻧـ ﹰﺎ ﻹﺿـﺎﻓﺔ ﺑﻌـﺾ ﺍﳌﺴـﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺃﻭ‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸـــــﻜﻞ‬

‫ﺍﻟﻘﻄﻊ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﻋﻠـﻰ ﺍﻟﺸـﻜﻞ ﺍﳌﻌﻄـﻰ ﻟﻠﻮﺻـﻮﻝ‬ ‫ﻟﻠﻤﻄﻠﻮﺏ ‪.‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪ε‬‬

‫‪λ‬‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻟﻴﺲ ﻋﻠـﻰ ﺍﻟﻘﻴـﺎﺱ ‪ ،‬ﻧﻌﻴـﺪ ﺭﺳـﻢ ﺍﻟﺸـﻜﻞ‬ ‫ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ‪ .‬ﻭﺣﻴﺚ ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺑﺎﻟﺴﺆﺍﻝ ﺇﻻ ﺷﺮﻁ ﺍﻟﺘـﻮﺍﺯﻱ‬ ‫ﺍﻟﺬﻱ ﳚﺐ ﺍﶈﺎﻓﻈﺔ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﺈﻧﻪ ‪:‬‬ ‫ﳝﻜﻨﻨـــــﺎ ﲢﺮﻳـــــﻚ‬ ‫ﺍﳌﺴــﺘﻘﻴﻢ ﺍﻵﺧــﺮ ‪ ،‬ﻣــﻊ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١٨ −١‬‬ ‫ﰲ ﺍﻟﺸـــﻜﻞ ﺍ‪‬ـــﺎﻭﺭ‬ ‫ﻣﺴــــﺘﻄﻴﻞ ‪βκχ δ‬‬ ‫ﺭﺳﻢ ﺩﺍﺧﻞ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟـﱵ‬

‫ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ‪ ، κ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ‬

‫ﻃﻮﻝ ﻗﻄﺮﻩ ‪ ٣ = βχ‬ﺳﻢ ﻓﻤﺎ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ؟‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫ﺍﶈﺎﻓﻈﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸـﺮﻁ ‪.‬‬

‫ﻼ‪:‬‬ ‫ﺩﻋﻨﺎ ﻧﻔﻜﺮ ﻗﻠﻴ ﹰ‬

‫ﻭﺑﺎﻟﺘــﺎﱄ ﳒــﺪ ﺃﻧــﻪ‪ .‬ﻻ‬

‫ﺃﻭ ﹰﻻ ‪:‬ﺍﻟﺮﺳــﻢ ﻣﺮﺳــﻮﻡ ﻋﻠــﻰ ﺍﻟﻘﻴــﺎﺱ ﻟﻌــﺪﻡ ﻭﺟــﻮﺩ‬

‫ﳝﻜﻦ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ﺑﲔ‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ ﺗﻔﻴﺪ ﺑﻌﻜﺲ ﺫﻟﻚ ‪.‬‬

‫ﻃﻮﱄ ‪ λ،ε‬ﻷﻧﻪ ﻻ ﺗﻮﺟﺪ ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻛﺎﻓﻴﺔ‬

‫ﺛﺎﻧﻴ ﹰﺎ‪ :‬ﺣﱴ ﻧﻮﺟﺪ ﻣﺴـﺎﺣﺔ ﺍﻟـﺪﺍﺋﺮﺓ ﻳﻠﺰﻣﻨـﺎ ﻣﻌﺮﻓـﺔ‬

‫‪.‬ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪α‬‬

‫ﻧﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﺮ ‪ . Ω‬ﺍﻵﻥ ﺃﻗﻄﺎﺭ ﺍﳌﺴـﺘﻄﻴﻞ ﻣﺘﺴـﺎﻭﻳﺔ‬ ‫ﻭﻟﻨﺮﺳﻢ ﺍﻟﻘﻄﺮ ﺍﻵﺧﺮ ⎦⎤ ‪⎡⎣ κδ‬‬ ‫ﻓﻴﻜﻮﻥ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻛﻤﺎ‬ ‫ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ‬ ‫ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ‪:‬‬ ‫‪ ٣ = κδ = Ω‬ﺳﻢ‬ ‫∴ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ = ‪ π٩ = ٢ Ωπ‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫‪١٩‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ )‪: ( ٤ − ١‬‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸــﻜﻞ‬

‫ﳝﻜﻨﻚ ﺭﺳﻢ ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸـﻜﻞ ﲝﻴـﺚ‬

‫ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ ‪ ،‬ﻣـﺎ‬

‫ﻳﻜﻮﻥ ﺑﺎﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬

‫ﻣﺴـــــــﺎﺣﺔ‬ ‫‪ αβχδ‬؟‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﲟﺎ ﺃﻧﻪ ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﻫﻨﺎﻟـﻚ ﺻـﻴﻐﺔ ﺭﻳﺎﺿـﻴﺔ ﺗﺴـﺎﻋﺪﻧﺎ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺇﳚﺎﺩ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃﻋﻼﻩ ‪ ،‬ﻓﺴﻮﻑ ﻧﻀﻴﻒ‬ ‫ﻟــﻪ ﺑﻌــﺾ ﺍﻟﻘﻄــﻊ ﺍﳌﺴــﺘﻘﻴﻤﺔ ﺣــﱴ ﳓﺼــﻞ ﻋﻠــﻰ‬ ‫ﺃﺷﻜﺎﻝ ﻣﻌﺮﻭﻓﺔ ﻣﺴﺎﺣﺎ‪‬ﺎ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ ‪:‬‬

‫ﺍﻵﻥ ﻣﺴـــﺎﺣﺔ ‪ = αβχ δ‬ﻣﺴـــﺎﺣﺔ ‪+ βχδ‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪. αβδ‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪γβ × χδ ١ = βχδ‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫= ‪ = × × ١‬ﺳﻢ‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪ωβ × αδ ١ = αβδ‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫= ‪ = × × ١‬ﺳﻢ‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪ = + = αβχδ‬ﺳﻢ‬

‫‪٢٠‬‬

‫ﻭﺗﻜﻮﻥ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﳌﻌﻄﻰ =‬

‫ﻣﺴــﺎﺣﺔ ‪ ϖκχδ‬ﻧﺎﻗﺼــ ﹰﺎ ﻣﺴــﺎﺣﱵ ﺍﳌﺜﻠــﺜﲔ ‪:‬‬ ‫‪ϖβα ، βχκ‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‪ ....‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ١‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١٩−١‬‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪: ( ٥ −١‬‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸـــــــــــــﻜﻞ‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸـــﻜﻞ ﺍ‪‬ــﺎﻭﺭ‬

‫ﺍﳌﻘﺎﺑــﻞ ‪، αβχδ‬ﰎ‬

‫‪ ، αβχ δ‬ﺭﲰﻨـــﺎ‬

‫ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺿﻠﻌﻪ ﺇﱃ ﺛﻼﺛـﺔ‬

‫ﺭﺑﻌﻲ ﺩﺍﺋﺮﺗﲔ‬

‫ﻣﺮﻛﺰﻳﻬﻤﺎ ‪ ، α،β‬ﻓﻤﺎ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺰﺀ ﺍﳌﻈﻠﻞ ؟‬

‫) ‪π − ١٠( δ‬‬

‫) ‪( π − ٥ )٢( χ‬‬ ‫) ‪( π٢ − ٥ )٢( β‬‬ ‫) ‪( π + ٣ )٢( α‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ = × =‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺘﺎ ﺭﺑﻌـﻲ ﺍﻟـﺪﺍﺋﺮﺗﲔ = ﻣﺴـﺎﺣﺔ ﻧﺼـﻒ ﺩﺍﺋـﺮﺓ‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ‪ ٢‬ﺳﻢ = ‪ π٢ = ٢ ( ٢ )π ١‬ﺳﻢ‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺸـﻜﻞ ﺍﳌﻈﻠـﻞ = ﻣﺴـﺎﺣﺔ ﺍﳌﺴـﺘﻄﻴﻞ ‪−‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻧﺼﻒ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﳌﻈﻠﻞ =‬

‫=‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪.....‬‬

‫‪−‬‬

‫ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺃﺟﺰﺍﺀ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ‪ .‬ﻓﻤﺎ‬ ‫ﻫﻲ ﻧﺴﺒﺔ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺰﺀ ﺍﳌﻈﻠﻞ ﺇﱃ ﻣﺴـﺎﺣﺔ ﺍﳉـﺰﺀ‬ ‫ﻏﲑ ﺍﳌﻈﻠﻞ ؟‬ ‫)‪١ (δ‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫)‪١ ( χ‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫)‪١ (β‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫)‪١ (α‬‬ ‫‪٤‬‬

‫ﺣﻴﺚ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﺴـﺒﺔ ﻻ ﺗﻌﺘﻤـﺪ ﻋﻠـﻰ ﺍﳌـﺘﻐﲑ ‪ ε‬ﻣﻬﻤـﺎ‬

‫ﻛﺎﻧﺖ ﻗﻴﻤﺘﻪ ‪ ،‬ﻟﺬﺍ ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ ‪. ١ = ε‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺮﺑﻊ ‪٩ = ٢٣‬‬ ‫ﺍﳉﺰﺀ ﺍﳌﻈﻠﻞ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋـﻦ ﻣﺮﺑـﻊ ﻃـﻮﻝ‬

‫ﺿﻠﻌﻪ ‪ε‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ = ‪١‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺰﺀ ﻏﲑ ﺍﳌﻈﻠﻞ‬

‫= ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺮﺑﻊ ‪ −‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺰﺀ ﺍﳌﻈﻠﻞ‬

‫∴ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺰﺀ ﻏﲑ ﺍﳌﻈﻠﻞ = ‪٨ = ١ − ٩‬‬ ‫ﺍﳉــﺰﺀ ﺍﳌﻈﻠــﻞ = ‪١‬‬ ‫ﺍﳉﺰﺀ ﻏــﲑ ﺍﳌﻈﻠــﻞ ‪٨‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪χ‬‬

‫‪٢١‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪: ( ٦ −١‬‬ ‫ﰲ ﺍﻟﺸــﻜﻞ ﺍ‪‬ــﺎﻭﺭ ﰲ‬

‫‪ ، αβχδ‬ﺭﲰﻨــــﺎ‬

‫ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ﻣﺮﻛـﺰ‬

‫ﺍﳌﺮﺑﻊ ‪ . κ‬ﺃﻭﺟﺪ ‪χγ‬‬ ‫) ‪١( δ‬‬

‫) ‪٢∂ − ٢( χ‬‬ ‫) ‪٢ − ٢∂ ٢( β‬‬ ‫) ‪١ − ٢∂ ( α‬‬

‫‪ ٦‬ﻻ ﺗﻌﻤﻞ أآﺜﺮ ﻣﻤﺎ هﻮ ﻣﻄﻠﻮب ﻣﻨﻚ‬ ‫ﻧﻘﺼــﺪ ‪‬ــﺬﺍ ﺍﻟﻌﻨــﻮﺍﻥ ‪ ،‬ﺑﺄﻧــﻪ ﳚــﺐ ﻋﻠﻴــﻚ ﺍﳊــﻞ‬ ‫ﺑﺄﻓﻀﻞ ﻭﺃﻗﺼﺮ ﺍﻟﻄﺮﻕ ‪ .‬ﻭﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻮﺿﺢ ﺫﻟﻚ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢٠−١‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ٢٠ = ( ٧ − ε٣ )٥ :‬ﻓﺄﻭﺟﺪ ‪ ٨ − ε٣‬؟‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﻳﺘﺒﺎﺩﺭ ﺇﱃ ﺍﻟﺬﻫﻦ ﺍﳊﻞ ﺍﳌﻌﺘﺎﺩ ﺍﻟﺘﺎﱄ ‪:‬‬ ‫‪٢٠ = ٣٥ − ε١٥ ⇐ ٢٠ = ( ٧ − ε٣ )٥‬‬

‫‪٥٥ = ε١٥‬‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫ﻧﻜﻤـــﻞ ﺭﺳـــﻢ ﻗﻄـــﺮ ﺍﳌﺮﺑـــﻊ ] ‪ ، [ αχ‬ﰒ‬

‫ﻧﺮﺳﻢ ] ‪ ⎡⎣αδ ⎤⎦ [ ϖπ‬ﻛﻤﺎ ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ‬ ‫‪ αχ δ‬ﻣﺘﻄـــــــﺎﺑﻖ‬ ‫ﺍﻟﻀــــﻠﻌﲔ ﻓﻴﻜــــﻮﻥ‬

‫‪٢∂٢ = αχ‬‬ ‫∴ ‪= αχ ١ = κχ‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻃﻮﻝ ﻗﻄﺮ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ = ‪= πϖ‬‬

‫∴ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ = ‪= γκ‬‬ ‫∴ ‪γκ − κχ = γχ‬‬ ‫= ‪−‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪..........‬‬

‫∴ ‪٨ − ١١ × ٣ = ٨ − ε٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫= ‪٨ − ١١‬‬

‫=‪٣‬‬ ‫ﻭﻫﻮ ﺣﻞ ﺻﺤﻴﺢ ﺑﺎﻟﺘﺄﻛﻴـﺪ ﻭﻟﻜﻨـﻪ ﻗـﺪ ﻳﺴـﺘﻐﺮﻕ‬ ‫ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻮﻗﺖ ﺍﻟﺬﻱ ﺃﻧﺖ ﲝﺎﺟﺔ ﻣﺎﺳـﺔ ﺇﻟﻴـﻪ ‪ .‬ﻟـﺬﻟﻚ‬ ‫ﻼ ﰲ ﺍﳌﻄﻠـﻮﺏ ﻭﻛﻴـﻒ ﳝﻜـﻦ‬ ‫ﺩﻋﻨﺎ ﻧﻔﻜـﺮ ﻗﻠـﻴ ﹰ‬ ‫ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﻟﻪ ‪.‬‬

‫ﺍﻗﺴﻢ ﺍﻟﻄﺮﻓﲔ ﰲ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﻌﻄﺎﺓ ﻋﻠﻰ ‪٥‬‬ ‫‪٤ = ٧ − ε٣ ⇐ ٢٠ = ( ٧ − ε٣ )٥‬‬ ‫ﺣﱴ ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ ‪ ٨ − ε٣‬ﻧﻄﺮﺡ ‪١‬ﻣـﻦ ﺍﻟﻄـﺮﻓﲔ‬ ‫ﰲ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺃﻋﻼﻩ ‪:‬‬

‫‪٣ = ٨ − ε٣ ⇐ ٤ = ٧ − ε٣‬‬ ‫ﻭﻫﻮ ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ‪.‬‬

‫‪٢٢‬‬

‫‪٥٥ = ε‬‬ ‫‪١٥‬‬ ‫= ‪١١‬‬ ‫‪٣‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‪ ....‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ١‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢١−١‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢٢−١‬‬

‫ﻋﺪﺩﺍﻥ ﳎﻤﻮﻋﻬﻤﺎ ‪ ١٢‬ﻭﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮ‪‬ﻤﺎ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪٤‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﳎﻤﻮﻉ ﻣﻘﻠﻮﺏ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﻦ ؟‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸـــﻜﻞ ﺍ‪‬ـــﺎﻭﺭ‬ ‫ﺩﺍﺋﺮﺗــــﺎﻥ ﻣﺘﺤــــﺪﺗﺎﻥ‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫ﺑﺎﳌﺮﻛﺰ ‪ ،‬ﻭﺗﺒﺘﻌﺪﺍﻥ ﻋﻦ‬

‫ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﳌﻌﺘﺎﺩﺓ ﻫﻲ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ ‪:‬‬

‫ﺑﻌﻀﻬﻤﺎ ﲟﻘﺪﺍﺭ ‪١٠‬‬ ‫ﻭﺣﺪﺍﺕ ‪ .‬ﻣﺎ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﲔ ﳏﻴﻄﻲ ﻫﺎﺗﲔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺗﲔ ؟‬

‫ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﻭﻝ = ‪ε‬‬

‫ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ = ‪λ‬‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫ﻧﻜﻮﻥ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺘﲔ ‪:‬‬

‫ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﳌﻌﺘﺎﺩﺓ ﻫﻲ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫‪٤ = λε ،١٢ = λ + ε‬‬

‫ﻧﻮﺟﺪ ﻗﻄﺮﻱ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺗﲔ ‪ ،‬ﻭﻣﻦ ﰒ ﻧﻮﺟﺪ ﳏﻴﻄﻴﻬﻤـﺎ‬

‫ﻭﺑﺎﺳــﺘﺨﺪﺍﻡ ﻃﺮﻳﻘــﺔ ﺍﻟﺘﻌــﻮﻳﺾ ‪ ،‬ﺳــﻮﻑ ﺗﺼــﻞ‬

‫ﻭﺃﺧﲑﹰﺍ ﻧﻮﺟﺪ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬

‫ﺑﺎﻟﺘﺄﻛﻴﺪ ﺃﻥ ﱂ ﺗﺮﺗﻜﺐ ﺃﻱ ﺧﻄﺄ ﻓﺴﻮﻑ ﺗﺘﻮﺻـﻞ‬ ‫ﻟﻠﻘﻴﻢ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬

‫‪٢∂٤ ± ٦ = ε‬‬ ‫‪٢∂٤ ± ٦ = λ‬‬ ‫ﰒ ﺗﻮﺟﺪ ﻣﻘﻠﻮﺏ ﻫﺬﻳﻦ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﻦ ﰒ ﺣﺎﺻﻞ ﲨﻌﻬﻤﺎ ‪.‬‬ ‫ﻭﻫﺬﻩ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﻃﻮﻳﻠﺔ ﻭﺷﺎﻗﺔ ‪.‬‬ ‫ﺩﻋﻨﺎ ﻧﻔﻜﺮ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﺃﺧﺮﻯ‬ ‫ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﻫﻮ ‪١ + ١ :‬‬ ‫‪λ ε‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻦ ‪ε + λ = ١ + ١ :‬‬ ‫‪λε‬‬ ‫‪λ ε‬‬ ‫ﻭﲟﺎ ﺃﻥ ‪٤ = λε ،١٢ = λ + ε :‬‬

‫∴ ‪٣ = ١٢ = ١ + ١‬‬ ‫‪٤ λ ε‬‬ ‫ﻻﺣﻆ ﺃﻥ ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﻟﻴﺲ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﺋﻴﺔ ﻟـ ‪λ،ε‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻦ ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﳎﻤﻮﻉ ﻣﻘﻠﻮﺑﻴﻬﻤﺎ ‪.‬‬

‫ﻭﻟﻨﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﺍﻟـﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﺼـﻐﺮﻯ ﻳﺴـﺎﻭﻱ‬ ‫‪ ، ε‬ﻓﻴﻜــﻮﻥ ﻧﺼــﻒ ﻗﻄــﺮ ﺍﻟــﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻜــﱪﻯ‬

‫= ‪١٠ + ε‬‬ ‫∴ ﳏﻴﻂ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻜﱪﻯ = ‪π ( ١٠ + ε )٢‬‬ ‫ﳏﻴﻂ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﺼﻐﺮﻯ = ‪πε٢‬‬

‫ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﲔ ﳏﻴﻄﻲ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺗﲔ ‪:‬‬ ‫= ‪πε٢ − π ( ١٠ + ε )٢‬‬

‫= ‪π٢٠‬‬ ‫ﻭﻫﺬﺍ ﻫﻮ ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ‪.‬‬

‫ﰲ ﺍﳌﺜﺎﻝ ) ‪ ( ٢٢−١‬ﺍﻟﺴـﺎﺑﻖ ﺍﺣﺘﺠﻨـﺎ ﺟﻬـﺪ ﻭﻭﻗـﺖ‬ ‫ﻼ ﻓﺴﻮﻑ‬ ‫ﻟﻠﻮﺻﻮﻝ ﻟﻠﻤﻄﻠﻮﺏ ‪ .‬ﻭﻟﻜﻦ ﻟﻮ ﻓﻜﺮﻧﺎ ﻗﻠﻴ ﹰ‬ ‫ﻧﺼﻞ ﻟﻠﻤﻄﻠﻮﺏ ﺑﺪﻭﻥ ﻣﺸﻘﺔ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫ﲣﻴﻞ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﺼﻐﺮﻯ ﺑﺪﺃﺕ ﺗﺼـﻐﺮ ﺣـﱴ ﺻـﺎﺭ‬ ‫ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ﺻﻔﺮ ‪ .‬ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻳﺼـﺒﺢ ﻧﺼـﻒ ﻗﻄـﺮ‬

‫‪٢٣‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻜﱪﻯ ‪ ١٠‬ﻭﺣـﺪﺍﺕ ‪ .‬ﻭﲢـﻮﻝ ﺍﻵﻥ ﺍﻟﻔـﺮﻕ‬

‫ﺩﻋﻨﺎ ﺍﻵﻥ ﻧﻔﻜﺮ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﺃﺧﺮﻯ ‪:‬‬

‫ﺑﲔ ﳏﻴﻄﻲ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺗﲔ ﺇﱃ ﳏﻴﻂ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻜﱪﻯ‬

‫ﲜﻤﻊ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺘﲔ ﳒﺪ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫ﻭﻫﻮ ‪π٢٠‬‬

‫‪٣٦ = λ١٠ + ε١٠‬‬ ‫ﻭﺑﻘﺴﻤﺔ ﺍﻟﻄﺮﻓﲔ ﻋﻠﻰ ‪ ١٠‬ﳒﺪ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢٣ −١‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪:‬‬

‫‪ ،١٧ = λ٣ + ε٧‬ﻭ ‪ . ١٩ = λ٧ + ε٣‬ﻓﻤﺎ‬

‫ﻫﻮ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻠﻤﻘﺪﺍﺭﻳﻦ ‪ λ،ε :‬؟‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻠﻤﻘﺪﺍﺭﻳﻦ ‪ λ،ε :‬؟‬ ‫ﻫﻮ ‪. λ + ε‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﳌﻌﺘﺎﺩﺓ ﻫﻲ ﺣـﻞ ﻧﻈـﺎﻡ ﺍﳌﻌـﺎﺩﻟﺘﲔ ﻭﻣـﻦ ﰒ‬

‫ﺇﳚﺎﺩ ﻗﻴﻤﱵ ‪ λ،ε‬ﻭﳘﺎ ‪:‬‬ ‫‪٣١ = ε‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪٤١ = λ‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪٤١ + ٣١‬‬ ‫∴ ‪٢٠ ٢٠ = λ + ε‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫=‪٩‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﻻﺣﻆ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﱂ ﻳﻜﻦ ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﻓﻴﻪ ﺇﳚـﺎﺩ‬

‫ﻗﻴﻤﱵ ‪λ،ε‬‬

‫ﻭﻟﻜﻦ ﻷﻧﻨﺎ ﺗﻌﻮﺩﻧﺎ ﻋﻠﻰ ﳕﻂ ﺗﻔﻜﲑ ﻣﻌﺘﺎﺩ ﺃﻭﺟﺪﻧﺎ‬ ‫ﻗﻴﻤﺘﻴﻬﻤﺎ ‪.‬‬

‫‪٢٤‬‬

‫‪٣٫٦ = λ + ε‬‬ ‫∴ ‪٩ = ٣٦ = ٣٫٦ = λ + ε‬‬ ‫‪٥ ٢٠ ٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢٤−١‬‬ ‫ﻋﻤﻞ ﳏﻤـﺪ ﻣـﻦ ﺍﻟﺴـﺎﻋﺔ ‪ ٩ :٤٥‬ﺻـﺒﺎﺣ ﹰﺎ ﻭﺣـﱴ‬ ‫ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ‪ ١٢:١١‬ﻣﺴﺎ ًﺀ ‪ ،‬ﻭﻋﻤﻞ ﻓﻬـﺪ ﻣـﻦ ﺍﻟﺴـﺎﻋﺔ‬ ‫‪ ٩ :١١‬ﺻﺒﺎﺣ ﹰﺎ ﻭﺣﱴ ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ‪ ١٢:٤٥‬ﻣﺴﺎ ًﺀ ‪.‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺪﻗﺎﺋﻖ ﺍﻟﱵ‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺪﻗﺎﺋﻖ ﺍﻟﱵ‬

‫ﻋﻤﻠﻬﺎ ﳏﻤﺪ‬

‫ﻋﻤﻠﻬﺎ ﻓﻬﺪ‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﳌﻌﺘﺎﺩﺓ ﻫﻲ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﺪﻗﺎﺋﻖ ﺍﻟﱵ ﺍﺳﺘﻐﺮﻗﻬﺎ‬ ‫ﻼ ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺟﻠﲔ ﻭﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬ ‫ﻛ ﹰ‬ ‫ﻭﻟﻜﻦ ﻻ ﺗﺴـﺘﻬﻠﻚ ﻭﻗـﺖ ﰲ ﻣﺜـﻞ ﻫـﺬﻩ ﺍﳌﺴـﺎﺋﻞ ‪،‬‬ ‫ﻓﻜﻞ ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﻣﻨـﻚ ﻣﻌﺮﻓـﺔ ﺃﻳﻬﻤـﺎ ﺍﺳـﺘﻐﺮﻕ ﻭﻗـﺖ‬ ‫ﺃﻃﻮﻝ ‪ ،‬ﻭﲟﺎ ﺃﻥ ﻓﻬﺪ ﺑﺪﺃ ﻣﺒﻜـﺮﹰﺍ ﻭﺍﻧﺘـﻬﻰ ﻣﺘـﺄﺧﺮﹰﺍ‬ ‫ﻣﻘﺎﺭﻧﺔ ﻣﻊ ﳏﻤـﺪ ﻓﻬـﻮ ﺑﺎﻟﺘﺄﻛﻴـﺪ ﺍﻟـﺬﻱ ﺍﺳـﺘﻐﺮﻕ‬ ‫ﺩﻗﺎﺋﻖ ﺃﻛﺜﺮ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻞ ‪.‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪χ‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‪ ....‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ١‬‬

‫‪ ٧‬اﻧﺘﺒﻪ ﻟﻠﻮﺣﺪات ﻓﻲ اﻟﺴﺆال‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢٦ −١‬‬

‫ﰲ ﺍﻟﻐﺎﻟــﺐ ﺗﻜــﻮﻥ ﺍﻟﻮﺣــﺪﺍﺕ ﺍﳌﻌﻄــﺎﺓ ﰲ ﺍﻟﺴــﺆﺍﻝ‬

‫ﺩﺧﻞ ﻫﻴﺜﻢ ﰲ ﻣﺴﺎﺑﻘﺔ ﺍﻟﻘﻔﺰ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿـﻲ ‪ ،‬ﻋﻠـﻰ ﺃﻥ‬

‫ﲣﺘﻠﻒ ﻋـﻦ ﺍﻟﻮﺣـﺪﺍﺕ ﰲ ﺍﻹﺟﺎﺑـﺔ ‪ ،‬ﻟـﺬﻟﻚ ﳚـﺐ‬ ‫ﺍﻻﻧﺘﺒﺎﻩ ﻟﻠﻤﻌﻄﻴﺎﺕ ﻭﻭﺿﻊ ﺧﻂ ﲢﺖ ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ‪ .‬ﻏﺎﻟﺒ ﹰﺎ‬ ‫ﳛﺘﻮﻱ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﻋﻠﻰ ﺇﺟﺎﺑـﺔ ﺧﺎﻃﺌـﺔ ﺑـﻨﻔﺲ ﺍﻟﻮﺣـﺪﺓ‬ ‫ﺍﻟﱵ ﺃﻋﻄﻴﺖ ﺑﺎﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢٥ −١‬‬ ‫ﺳﺮﻋﺔ ﺳﻴﺎﺭﺓ ‪ ٤٨‬ﻛﻠﻢ ‪ /‬ﺍﻟﺴـﺎﻋﺔ ‪ ،‬ﻛـﻢ ﺩﻗﻴﻘـﺔ‬ ‫ﲢﺘﺎﺝ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺓ ﻟﺘﻘﻄﻊ ﻣﺴﺎﻓﺔ ‪ ٣٢‬ﻛﻢ ؟‬ ‫‪٢‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫) ‪٤٠ ( β‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫)‪٣ ( χ‬‬ ‫) ‪٢٤٠٠ ( α‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺴﺮﻋﺔ‬ ‫ﺍﻟﺰﻣﻦ =‬ ‫ﺍﳌﺴـــﺎﻓﺔ‬ ‫ﻳﺘﺒﺎﺩﺭ ﺇﱃ ﺫﻫﻨﻚ ﻣﺒﺎﺷﺮﺓ ﺳﻬﻮﻟﺔ ﺍﳊﻞ ﻓﻴﻜﻮﻥ ‪:‬‬ ‫‪ ٢ = ٣٢‬ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺓ ﺳﻮﻑ ﺗﺴﺘﻐﺮﻕ ‪ ٢‬ﺳـﺎﻋﺔ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣ ٤٨‬‬ ‫ﻟﻘﻄﻊ ﺍﳌﺴﺎﻓﺔ ﺍﳌﻄﻠﻮﺑﺔ ‪ ،‬ﻭﲣﺘﺎﺭ ﺍﻹﺟﺎﺑـﺔ ‪ ) δ‬ﻭﻫـﺬﻩ‬ ‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﳌﻌﻄﺎﺓ ﺑﺎﻟﺴـﺆﺍﻝ ( ‪ .‬ﻭﻟﻜـﻦ ﳚـﺐ ﺍﻻﻧﺘﺒـﺎﻩ‬ ‫ﻟﻠﻮﺣﺪﺍﺕ ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ‪ ،‬ﻭﻫﻲ ﺍﻟﺪﻗﺎﺋﻖ ‪.‬‬ ‫ﳓﻮﻝ ﺍﻟﺴﺎﻋﺎﺕ ﺇﱃ ﺩﻗﺎﺋﻖ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ ‪:‬‬ ‫‪ ٤٠ = ٢٠٦٠ × ٢‬ﺩﻗﻴﻘﺔ )ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪(β‬‬ ‫‪٣‬‬

‫ﻳﻘﻔﺰ ‪ ١٠‬ﻗﻔﺰﺍﺕ ﺗﺰﻳﺪ ﻛﻞ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﻣﻨﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﳌﺘﺮ‪،‬‬ ‫ﻋﻠــﻰ ﺃﻥ ﻳﻨــﺎﻝ ‪ ٥‬ﻧﻘــﺎﻁ ﻟﻜــﻞ ﻗﻔــﺰﺓ ﻧﺎﺟﺤــﺔ ‪،‬‬ ‫ﻭﻧﻘﻄﺘﺎﻥ ﻟﻜﻞ ﻗﻔﺰﺓ ﺧﺎﺳﺮﺓ ‪ ،‬ﻭﰲ ‪‬ﺎﻳـﺔ ﺍﳌﺴـﺎﺑﻘﺔ‬ ‫ﲨــﻊ ﻫﻴــﺜﻢ ‪ ٤١‬ﻧﻘﻄــﺔ ‪ ،‬ﻛــﻢ ﻋــﺪﺩ ﺍﻟﻘﻔــﺰﺍﺕ‬ ‫ﺍﳋﺎﺳﺮﺓ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪١٠‬‬

‫)‪٧ ( χ‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫)‪٥ (β‬‬ ‫)‪٣ (α‬‬

‫ﳚﺐ ﺍﻻﻧﺘﺒﺎﻩ ﰲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺴـﺆﺍﻝ ‪ ،‬ﺑـﺄﻥ ﺍﳌﻄﻠـﻮﺏ ﻫـﻮ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻘﻔﺰﺍﺕ ﺍﳋﺎﺳﺮﺓ ‪ ،‬ﻭﻫﻮ ﻣﺎ ﳚﺐ ﺃﻥ ﻧﺘﺬﻛﺮﻩ‬ ‫ﻭﻧﺒﺤﺚ ﻋﻨﻪ ‪.‬‬ ‫ﻟﻨﻔﺮﺽ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻘﻔﺰﺍﺕ ﺍﻟﻨﺎﺟﺤﺔ = ‪ε‬‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻘﻔﺰﺍﺕ ﺍﳋﺎﺳﺮﺓ = ‪ε − ١٠‬‬

‫ﻧﻮﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪ ε‬ﻣﻦ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪٤١ = ( ε − ١٠)٢ + ε٥‬‬ ‫‪٤١ = ε٢ − ٢٠ + ε٥‬‬

‫‪٢٠ − ٤١ = ε٣‬‬ ‫‪٢١ = ε٣‬‬ ‫‪٧=ε‬‬ ‫ﻻﺣﻆ ﺑﺄﻥ ﺍﻟﺬﻱ ﺣﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻴـﻪ ﻫـﻮ ﻋـﺪﺩ ﺍﻟﻘﻔـﺰﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﻨﺎﺟﺤﺔ ‪ .‬ﻭﻫﻮ ﻟـﻴﺲ ﺍﳌﻄﻠـﻮﺏ ﰲ ﺍﻟﺴـﺆﺍﻝ ‪ ،‬ﻋﻠـﻰ‬ ‫ﺍﻟﺮﻏﻢ ﺑﺄﻧﻪ ﻛﺎﻥ ﻣﻦ ﺿﻤﻦ ﺍﳋﻴﺎﺭﺍﺕ ‪.‬‬

‫ﻟﻮ ﻛﺎﻥ ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﺑﺎﻟﺜﻮﺍﱐ ﻓﺈﻥ ﺍﻹﺟﺎﺑـﺔ ﺍﻟﺼـﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﻫﻲ ‪. α‬‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻘﻔﺰﺍﺕ ﺍﳋﺎﺳﺮﺓ = ‪٣ = ٧ − ١٠‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪. α‬‬ ‫‪٢٥‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪ ٨‬ﻓﻜﺮ ﺑﺪون ﺁﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ‬ ‫ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﳊﺎﺳﺒﺔ ﰲ ﺃﺩﺍﺀ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘـﺪﺭﺍﺕ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﻮﻗﺖ ﺍﻟﺮﺍﻫﻦ ﻏﲑ ﻣﺴﻤﻮﺡ ﺑﻪ ‪ ،‬ﻟﺬﻟﻚ ﳚﺐ ﺍﻟﺘﻌـﻮﺩ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺗﻨﻤﻴﺔ ﻣﻬﺎﺭﺍﺗﻚ ﰲ ﺍﳊﻞ ﺑﺪﻭﻥ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﳊﺎﺳﺒﺔ ‪.‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢٩−١‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢٧ −١‬‬

‫ﳝﻠﻚ ﳏﻤﺪ ﻣﺒﻠﻎ ﻭﻗﺪﺭﻩ ‪ ١٥٠‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ‪ ،‬ﺍﺷﺘﺮﻯ ﻫﺪﻳﺔ‬

‫) ‪٣٧ ∂ + ( ٣٫٧٥ × ٢‬‬ ‫)‪٧ (δ‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫) ‪٣٥ ( α‬‬

‫‪٢٨‬‬

‫) ‪١٤ ( χ‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫) ‪١٤ = ٦ + ( ٤ × ٢‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧــــﺖ ‪ Ξ = ٢ ε‬ﻓﻤــــﺎ ﻗﻴﻤــــﺔ ﺍﳌﻘــــﺪﺍﺭ‬ ‫‪ ١ −ε ١ +ε‬؟‬ ‫‪ε‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫) ‪٢∂ + ١ ( β‬‬ ‫)‪١ (δ‬‬ ‫) ‪٢∂ + ٢ ( α‬‬ ‫) ‪١٫٥ ( χ‬‬

‫)‬

‫(‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﺲ ﻫﻨﺎﻙ ﺣﺎﺟﺔ ﻻﺳـﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻵﻟـﺔ ﺍﳊﺎﺳـﺒﺔ ‪ ،‬ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻛﻨﺖ ﺗﺘـﺬﻛﺮ ﺃﻥ ﺍﳌﻘـﺪﺍﺭ ﺍﳌﻌﻄـﻰ ﻫـﻮ ﻓـﺮﻕ ﺑـﲔ‬ ‫ﻣﺮﺑﻌﲔ ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫‪٢٦‬‬

‫ﺍﳊﻞ‪:‬‬

‫ﲦﻦ ﺍﳍﺪﻳﺔ = ‪ ٧٫٥ = ١٥٠×٠٫٠٥‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ‬ ‫ﻣﻘﺪﺍﺭ ﻣﺎ ﺃﻧﻔﻖ = ‪١٣٥ = ٧٫٥ + ١٢٧٫٥‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ‬ ‫ﺍﳌﺒﻠﻎ ﺍﳌﺘﺒﻘﻲ = ‪ ١٥ = ١٣٥ − ١٥٠‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ‪.‬‬ ‫ﻭﻛﻞ ﺧﻄﻮﺓ ﻣﻦ ﺍﳋﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﺑﻌـﺾ ﺍﻟﻄـﻼﺏ‬ ‫ﺳﻮﻑ ﳛﺘﺎﺟﻮﻥ ﻟﻶﻟﺔ ﺍﳊﺎﺳﺒﺔ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﺍﻟﺴـﺮﻋﺔ ﰲ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢٨ −١‬‬

‫()‬

‫‪ ⊆ ٨٥‬ﻣﻦ ﺍﳌﺒﻠﻎ ‪ .‬ﻛﻢ ﺍﳌﺒﻠﻎ ﺍﳌﺘﺒﻘﻲ ﻣﻌﻪ؟‬

‫‪ ١٢٧٫٥ = ١٥٠×٠٨٥‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ‬ ‫ﲦﻦ ﺍﻵﻟﺔ = ‪ℜ‬‬

‫‪ ٦‬ﻷﻥ ∂ ‪٦ = ٣٦‬‬

‫‪٤ ٣٫٧٥‬‬ ‫∴ ) ‪٣٧ ∂ + ( ٣٫٧٥ × ٢‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪. χ‬‬

‫ﲟﻘــﺪﺍﺭ ‪ ⊆ ٥‬ﻣــﻦ ﺍﳌﺒﻠــﻎ ‪ ،‬ﻭﺁﻟــﺔ ﺣﺎﺳــﺒﺔ ﲟﻘــﺪﺍﺭ‬

‫ﻣﻌﻈﻢ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺳﻮﻑ ﻳﻔﻜﺮﻭﻥ ﺑﺎﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬

‫ﻧﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﺘﻘﺮﻳﺐ ﻓﻨﺠﺪ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫∂‪٣٧‬‬

‫)‬

‫()‬

‫(‬

‫‪١ − ٢ε = ١ − ε ١ + ε‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫= ‪١٫٥ = ١ − ٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪χ‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﻟﻮﻗﺖ ‪ .‬ﻭﻟﻜﻦ ﺣﻴﺚ ﺃﻥ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﳊﺎﺳﺒﺔ ﻏﲑ ﻣﺴﻤﻮﺡ‬ ‫‪‬ﺎ ﻓﻴﺠﺐ ﺃﻥ ﻧﻔﻜﺮ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺗﺴـﺘﻬﻠﻚ ﺃﻗـﻞ‬ ‫ﻭﻗﺖ ﳑﻜﻦ ﻭﺫﻟﻚ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ ‪:‬‬

‫ﻧﺴﺒﺔ ﻣﺎ ﺃﻧﻔﻘﻪ ﳏﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺮﺍﺀ = ‪⊆ ٩٠‬‬ ‫ﻧﺴﺒﺔ ﺍﳌﺘﺒﻘﻲ ﻣﻌﻪ ﻣﻦ ﺍﳌﺒﻠﻎ = ‪⊆ ١٠‬‬

‫∴ ﺍﳌﺒﻠﻎ ﺍﳌﺘﺒﻘﻲ = ‪١٥ = ١٥٠×٠٫١٠‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ‪.‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‪ ....‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ١‬‬

‫‪ ٩‬ﺿﻊ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﻠﻮل اﻟﻤﺤﺘﻤﻠﺔ‬

‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻋﺪﺩ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﱵ ﻭﺿﻌﻨﺎﻫﺎ ﻫﻲ ‪ ١٥‬ﻋـﺪﺩﹰﺍ‬

‫ﺃﺣﻴﺎﻧ ﹰﺎ ﺗﻜﻮﻥ ﺻﻴﻐﺔ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ )ﻛﻢ ﻋـﺪﺩ ‪ ...‬؟ ( ﻭﰲ‬

‫ﻭﻟﻜﻦ ﺍﻟﺼﻔﺮ ﻟﻴﺲ ﻋﺪﺩﹰﺍ ﺻﺤﻴﺤ ﹰﺎ ﻣﻮﺟﺒ ﹰﺎ ‪ .‬ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ‬

‫ﻣﺜﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﻣـﻦ ﺍﳌﻨﺎﺳـﺐ ﺟـﺪﹰﺍ ﻭﺿـﻊ ﻗﺎﺋﻤـﺔ‬ ‫ﺑﺎﳊﻠﻮﻝ ﺍﶈﺘﻤﻠﺔ ‪ ،‬ﻭﻣﻦ ﰒ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﺍﳊﻞ ﺍﻷﻧﺴﺐ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٣٠−١‬‬ ‫ﻛﻢ ﻋﺪﺩ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺍﳌﻮﺟﺒﺔ ﻭﺍﻟﱵ ﺃﺻـﻐﺮ‬ ‫ﻣﻦ ‪ ١٠٠‬ﻭﺍﻟﱵ ﳍﺎ ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ﻧﻔﺴﻪ ﻋﻨﺪ ﻗﺴﻤﺘﻬﺎ ﻋﻠـﻰ‬ ‫ﻼ ﻣﻦ ‪ ٧‬ﺃﻭ ‪. ٥‬‬ ‫ﻛ ﹰ‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﰲ ﻣﺜﻞ ﻫـﺬﺍ ﺍﳌﺜـﺎﻝ ‪ ،‬ﳚـﺐ ﻭﺿـﻊ ﲨﻴـﻊ ﺍﳊﻠـﻮﻝ‬ ‫ﺍﳌﻤﻜﻨــﺔ ‪ ،‬ﻭﻣــﻦ ﰒ ﺍﺧﺘﻴــﺎﺭ ﺍﻷﻧﺴــﺐ ﻣﻨــﻬﺎ ﻭﺫﻟــﻚ‬ ‫ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ ‪:‬‬ ‫ﻧﻮﺟﺪ ﺃﻭ ﹰﻻ ﲨﻴﻊ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼـﺤﻴﺤﺔ ﻭﺍﻟـﱵ ﺃﺻـﻐﺮ‬ ‫ﻣﻦ ‪ ١٠٠‬ﻭﺑﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ‪ ٧ ، ٥‬ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺮ‬ ‫ﻓﻨﺠﺪ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ‪٧٠،٣٥ ،٠ :‬‬ ‫ﺍﻵﻥ ﻧﻀــﻴﻒ ﺍﻟﺒــﺎﻗﻲ ﺍﳌﻄﻠــﻮﺏ ﻟﻸﻋــﺪﺍﺩ ﺍﻟﺴــﺎﺑﻘﺔ‬ ‫ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ ‪:‬‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺍﻟﱵ ﺑـﺎﻗﻲ ﻗﺴـﻤﺘﻬﺎ ﻋﻠـﻰ ‪، ٥‬ﻭ‬

‫‪ ٧‬ﻣﻌ ﹰﺎ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪ ﻫﻲ ‪٧١،٣٦ ،١ :‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ‪٧٢ ،٣٧ ، ٢ : ٢‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ‪٧٣ ،٣٨ ، ٣ : ٣‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ‪٧٤ ،٣٩ ،٤ : ٤‬‬

‫ﻓﺈﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ١٤‬ﻋﺪﺩﹰﺍ ‪.‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٣١−١‬‬

‫ﺛﻼﺛﺔ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺻﺤﻴﺤﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﺣﺎﺻﻞ ﺿـﺮ‪‬ﺎ ‪٣٠٠‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺃﺣﺪ ﻫﺬﻩ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ‪ . ٥‬ﻓﻤﺎ ﻫﻮ ﺃﻗﻞ ﳎﻤﻮﻉ‬ ‫ﻟﻠﻌﺪﺩﻳﻦ ﺍﻵﺧﺮﻳﻦ ؟‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﲟﺎ ﺃﻥ ﺃﺣـﺪ ﻫـﺬﻩ ﺍﻷﻋـﺪﺍﺩ ﻫـﻮ ‪ ، ٥‬ﻓـﺈﻥ ﺣﺎﺻـﻞ‬ ‫ﺿـــﺮﺏ ﺍﻟﻌـــﺪﺩﻳﻦ ﺍﻵﺧـــﺮﻳﻦ ﻳﺴـــﺎﻭﻱ ‪ ) ٦٠‬ﻷﻥ‬ ‫‪ ، ( ٣٠٠ = ٦٠× ٥ ⇐ ٦٠ = ٣٠٠‬ﳓﻠﻞ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪٦٠‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﺇﱃ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﻋﺪﺩﻳﻦ ‪ χ ، δ‬ﻛﻤﺎ ﰲ ﺍﳉـﺪﻭﻝ‬ ‫ﺍﻟﺘﺎﱄ ‪:‬‬

‫‪δ‬‬

‫‪χ‬‬

‫‪χ+δ‬‬

‫‪١‬‬

‫‪٦٠‬‬

‫‪٦١‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٣٠‬‬

‫‪٣٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٢٠‬‬

‫‪٢٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪١٥‬‬

‫‪١٩‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪١٢‬‬

‫‪١٧‬‬

‫‪٦‬‬

‫‪١٠‬‬

‫‪١٦‬‬

‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﺃﻗﻞ ﳎﻤﻮﻉ ﻟﻠﻌﺪﺩﻳﻦ ﺍﻵﺧﺮﻳﻦ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪.١٦‬‬

‫ﻭﺣﻴﺚ ﺃﻧﻪ ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﺒـﺎﻗﻲ ﻟـﻪ‬ ‫ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ‪ ٥‬ﻋﻨﺪ ﻗﺴـﻤﺔ ﺍﻟﻌـﺪﺩ ﻋﻠـﻰ ‪ ، ٥‬ﻟـﺬﻟﻚ‬ ‫ﻧﺘﻮﻗﻒ ‪.‬‬

‫‪٢٧‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪ ١٠‬اﺳﺘﻔﺪ ﻣﻦ اﻟﺮﺳﻮم اﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ اﻟﻤﻌﻄﺎة ﺑﺎﻟﺴﺆال‬

‫ﺍﻟﺸـــﻜﻞ ﻋﺒـــﺎﺭﺓ ﻋـــﻦ ﺷـــﺒﻪ ﻣﻨﺤـــﺮﻑ ﻓﻴـــﻪ‬

‫ﺑﻌﺾ ﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﳌﺮﺳﻮﻣﺔ ﻋﻠﻰ ﺷﺒﻜﺔ ﺗﺮﺑﻴﻊ ‪ ،‬ﻫﻲ‬

‫⎦⎤ ‪[ αβ ] ⎡⎣ χδ‬‬

‫ﺃﺷﻜﺎﻝ ﳝﻜﻦ ﺍﻻﺳـﺘﻔﺎﺩﺓ ﻣﻨـﻬﺎ ﻭﻫـﻲ ﰲ ﺍﻟﻐﺎﻟـﺐ‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ =‬

‫ﻼ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﱄ ‪:‬‬ ‫ﺩﻗﻴﻘﺔ ﻓﻤﺜ ﹰ‬

‫=‬

‫‪( χδ + αβ ) × κδ‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪( +‬‬

‫×)‬ ‫‪٢‬‬ ‫=‬

‫=‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪.......‬‬

‫ﻭﺣﺪﺓ ﻣﺮﺑﻌﺔ‬

‫ﳝﻜﻨﻨﺎ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﻣﻨﻪ ﻣﺎﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫ﺃﻃﻮﺍﻝ ﺃﺿﻼﻉ ﺍﳌﺜﻠﺚ ‪ ،‬ﳏﻴﻄـﻪ ‪ ،‬ﻣﺴـﺎﺣﺘﻪ ‪ ،‬ﻣﻴـﻞ‬ ‫ﺃﻱ ﺿﻠﻊ ﻓﻴﻪ ‪.‬‬

‫ﺇﳚــﺎﺩ ﻣﺴــﺎﺣﺔ ﺷــﺒﻪ ﺍﳌﻨﺤــﺮﻑ ‪ ،‬ﻭﰲ ﺣﺎﻟــﺔ ﻋــﺪﻡ‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪: ( ٧ −١‬‬

‫ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪. αβχδ‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫) ‪٢١ ( χ‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫) ‪٢٥٫٥ ( β‬‬ ‫) ‪٢٧ ( α‬‬

‫ﻣﻦ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﳒﺪ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﺎﺕ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‪:‬‬

‫‪٢٨‬‬

‫ﺗﺬﻛﺮﻩ ‪ ،‬ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﳌﺜﻠﺜﲔ ﻭﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ‬ ‫ﺍﻟﻨﺎﲡﺔ ﻣﻦ ﲡﺰﺋﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪ ،‬ﰒ ﺃﲨـﻊ ﻣﺴـﺎﺣﺎ‪‬ﺎ‬ ‫ﻟﺘﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻛﺎﻣﻞ‪.‬‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃﺩﻧﺎﻩ‬

‫‪١٩٫٥‬‬

‫ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﺇﺫﺍ ﻛﻨﺖ ﺗﺘﺬﻛﺮ ﻗﺎﻧﻮﻥ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‪ ....‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ١‬‬

‫‪ ١١‬ﺗﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ ﺑﻌﺾ اﻟﺮﻣﻮز اﻟﻐﺮﻳﺒﺔ ﺑﺎﻟﺴﺆال‬

‫‪٢ =○ ⇐ ٦ = ٩ +○+٤ +١‬‬

‫ﰲ ﺑﻌﺾ ﺍﳌﺴـﺎﺋﻞ ﺗﺘﻌـﺮﺽ ﻋﻠـﻰ ﺗﻌﺮﻳـﻒ ﻟﻌﻤﻠﻴـﺎﺕ‬

‫∴ ○ ‪٨ = ٥ + ١+ ٢ = + +‬‬ ‫ﻻﺣﻆ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﳉﻤﻊ ﺍﳌﻌﺘﺎﺩﺓ ﺑﻌـﺪ ﺍﺳـﺘﺒﺪﺍﻝ ﺍﻟﺮﻣـﻮﺯ‬

‫ﺭﻳﺎﺿﻴﺔ ﻏﲑ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﳌﻌﺘﺎﺩﺓ ‪.‬‬

‫ﺑﺎﻷﻋﺪﺍﺩ ‪:‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪١ ٥‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٣٢−١‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻋﺮﻓﻨ‪‬ــﺎ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴــﺔ ‪ λ ⊗ ε‬ﺑﺎﻟﺼــﻮﺭﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴــﺔ ‪:‬‬

‫‪ .١+ ( λ × ε ) = λ ⊗ ε‬ﻓﺄﻭﺟﺪ ‪٢ ⊗ ٣ :‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫‪١+ ( ٢× ٣ ) = ٢ ⊗ ٣‬‬

‫‪+‬‬

‫‪٦‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٤‬‬

‫‪٢ ٨‬‬ ‫‪٩ ٩‬‬ ‫‪١ ٦ ٩‬‬

‫= ‪١+ ٦‬‬ ‫=‪٧‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٣٣ −١‬‬ ‫ﺍﻷﺷــﻜﺎﻝ ○ ‪، ،‬‬

‫ﲤﺜــﻞ ﺃﺭﻗﺎﻣـ ﹰﺎ ﺻــﺤﻴﺤﺔ ﰲ‬

‫ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﳉﻤﻊ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪○ ٨ ٦ +‬‬ ‫‪٩ ٩‬‬ ‫‪٦ ٩ ٦‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﺣﺎﺻﻞ ﺍﳉﻤﻊ ○ ‪. + +‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫○ ‪ ، ،‬ﲤﺜﻞ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺻـﺤﻴﺤﺔ ﺃﻛـﱪ ﺃﻭ ﺗﺴـﺎﻭﻱ‬ ‫ﺍﻟﺼﻔﺮ ﻭﺃﻗﻞ ﻣﻦ ‪. ١٠‬‬

‫ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﳒﺪ ﺃﻥ ‪٥ = ⇐ ٦ = +٦ + ٥ :‬‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﳒﺪ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫‪١= ⇐ ٩ = ٩ + ٨ + +١‬‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﳒﺪ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫‪٢٩‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫أﻣﺜﻠﺔ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٣٤−١‬‬ ‫ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ـﺎﻭﺭ ﻣﺴـﺎﺣﺔ‬ ‫ﺍﻟــﺪﺍﺋﺮﺓ ﺗﺴــﺎﻭﻱ ‪ ١٢‬ﻭﺣــﺪﺓ‬ ‫ﻣﺮﺑﻌــﺔ ‪ .‬ﻣــﺎ ﻫــﻲ ﻣﺴــﺎﺣﺔ‬ ‫ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ﺍﳌﻈﻠﻠﺔ ؟‪.‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﻧﻌﻴﺪ ﺭﺳﻢ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﲝﻴﺚ ﻳﻜﻮﻥ ﺃﻗﺮﺏ ﻣـﺎ ﻳﻜـﻮﻥ‬ ‫ﻟﻠﺸﻜﻞ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻛﻤﺎ ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ‬ ‫ﻭﺍﺿﺢ ﻣـﻦ ﺍﻟﺸـﻜﻞ ﺃﻥ‬ ‫ﺍﻟــﺪﺍﺋﺮﺓ ﻗﺴــﻤﺖ ﺇﱃ ‪٨‬‬ ‫ﺃﺟــــﺰﺍﺀ ﻣﺘﺴــــﺎﻭﻳﺔ ‪.‬‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﺗﻜﻮﻥ ﻣﺴﺎﺣﺔ‬ ‫ﺍﳉﺰﺀ ﺍﳌﻈﻠﻞ ﺗﺴﺎﻭﻱ ‪ ٣ = ١٢ :‬ﻭﺣﺪﺓ ﻣﺮﺑﻌﺔ‬ ‫‪٢ ٨‬‬ ‫ﻧﺴﺒﺔ ﺍﳉﺰﺀ ﺍﳌﻈﻠﻞ = ‪ ١ = ٤٥‬ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ‬ ‫‪٨ ٣٦٠‬‬ ‫ﻓﺘﻜﻮﻥ ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ‪ ٣ = ٣١٢ × ١‬ﻭﺣﺪﺓ ﻣﺮﺑﻌﺔ‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٨‬‬

‫‪.‬ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٣٥ −١‬‬ ‫) ‪( ٠٫٥٠١٢ ) × ( ١٩٨٫٢٨‬‬ ‫‪٢٫٠٢‬‬ ‫) ‪٧٥ ( β‬‬ ‫) ‪٢٥ ( δ‬‬ ‫) ‪١٠٠ ( α‬‬ ‫) ‪٥٠ ( χ‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﻣﻦ ﺍﳋﻄﺄ ﺇﺟﺮﺍﺀ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴـﺎﺕ ﺍﳊﺴـﺎﺑﻴﺔ ‪ ،‬ﻭﺍﻟﺴـﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﻓﻴـﻪ ﺇﳚـﺎﺩ ﺍﻟﻘﻴﻤـﺔ ﺍﻟﺘﻘﺮﻳﺒﻴـﺔ ﻟﻠﻤﻘـﺪﺍﺭ ‪،‬‬ ‫ﻟﺬﻟﻚ ﻧﻘﺮﺏ ﺍﳌﻘﺪﺍﺭ ﺑﺎﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪١ × ٢٠٠‬‬ ‫‪١٠٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺍﳌﻘﺪﺍﺭ‬ ‫= ‪٥٠‬‬ ‫=‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪χ‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٣٦ −١‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪ ٤٦ = λ٢٫٣ :‬ﻓﺈﻥ ‪= λ‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫)‪( χ‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫)‪٢٠٠ ( α‬‬

‫‪٩٢٫٦‬‬

‫‪٢‬‬ ‫‪٢٠‬‬

‫ﺭﲟﺎ ﻳﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺇﱃ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﺍﳋﻴﺎﺭ ‪ β‬ﻷﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ‬ ‫ﻓﻴﻪ ﻓﺎﺻﻠﺔ ﻋﺸﺮﻳﺔ ‪ ،‬ﻭﻟﻜﻦ ﻫﺬﺍ ﺧﻄـﺄ ﻭﺑﺎﻟﺘﻘﺮﻳـﺐ‬ ‫‪٤٦‬‬ ‫= ‪ ٢٣‬ﻭﻫﻮ ﻗﺮﻳﺐ ﻣﻦ ﺍﳋﻴﺎﺭ ‪χ‬‬ ‫ﳒﺪ ﺃﻥ ‪λ‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪٤٦٠ ٤٦‬‬ ‫=‬ ‫‪=λ‬‬ ‫‪٢٣ ٢٫٣‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪χ‬‬

‫= ‪٢٠‬‬

‫‪٣٠‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‪ ....‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ١‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٣٧ −١‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٣٨ −١‬‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸـــﻜﻞ ﺍ‪‬ـــﺎﻭﺭ‬

‫ﺻﻨﺪﻭﻕ ﳛﺘﻮﻱ ﻋﻠﻰ ﺃﺭﺑﻊ ﻛﺮﺍﺕ ﳐﺘﻠﻔـﺔ ﺍﻟﻠـﻮﻥ ‪:‬‬

‫ﺛﻼﺙ ﺩﻭﺍﺋﺮ ﻣﺘﻤﺎﺳﺔ ﻣـﻦ‬

‫ﲪــﺮﺍﺀ ‪ ،‬ﺯﺭﻗــﺎﺀ ‪ ،‬ﺻــﻔﺮﺍﺀ ‪ ،‬ﺧﻀــﺮﺍﺀ ‪ .‬ﺳــﺤﺒﻨﺎ‬

‫ﺍﳋــﺎﺭﺝ ﻭﻧﺼــﻒ ﻗﻄــﺮ‬

‫ﺍﻟﻜــﺮﺍﺕ ﺍﻷﺭﺑــﻊ ﻋﺸــﻮﺍﺋﻴ ﹰﺎ ﻣــﻦ ﺍﻟﺼــﻨﺪﻭﻕ ‪ ،‬ﻓــﺈﺫﺍ‬

‫ﺳﻢ ‪ .‬ﻓﻤﺎ‬

‫ﻛﺎﻧﺖ ﺃﻭﻝ ﻛﺮﺓ ﲪﺮﺍﺀ ‪ ،‬ﻓﻤﺎ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﻧﺴـﺤﺐ‬

‫ﻛ ﹰﻼ ﻣﻨﻬﺎ ‪١‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺰﺀ ﺍﳌﻈﻠﻞ ﺍﶈﺼﻮﺭ ﺑﲔ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﻭﺍﺋﺮ ؟‬

‫ﺍﻟﻜﺮﺓ ﺍﻟﺰﺭﻗﺎﺀ ﻗﺒﻞ ﺍﻟﺼﻔﺮﺍﺀ ؟‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫ﻧﺮﺳــﻢ ﺃﻧﺼــﺎﻑ ﺍﻷﻗﻄــﺎﺭ ﻟﻠــﺪﻭﺍﺋﺮ ﺍﻟــﺜﻼﺙ ﲝﻴــﺚ‬

‫ﻧﻀﻊ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﺑﺎﳊﻠﻮﻝ ﺍﶈﺘﻤﻠﺔ ‪ ،‬ﻭ ﻟﻨﺮﻣﺰ ﻟﻜﻞ ﻛﺮﺓ‬

‫ﺗﺸﻜﻞ ﻟﻨﺎ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻄﺎﺑﻖ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻛﻤﺎ ﰲ‬

‫ﺑﺄﻭﻝ ﺣﺮﻑ ﻓﻴﻬﺎ ‪.‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ ﻃـﻮﻝ‬

‫ﻓﺮﺍﻍ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﻷﻟﻮﺍﻥ ﺍﻟﻜﺮﺍﺕ ﺍﳌﺘﺒﻘﻴـﺔ ﺑﻌـﺪ ﺍﺳـﺘﺒﻌﺎﺩ‬

‫ﺿــﻠﻊ ﺍﳌﺜﻠــﺚ ﻳﺴــﺎﻭﻱ‬

‫ﺍﻟﻜﺮﺓ ﺍﳊﻤﺮﺍﺀ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ ‪:‬‬

‫‪ ٢‬ﺳﻢ ‪.‬‬

‫ﺯﺹﺥ‪،‬ﺯﺥﺹ‪،‬ﺹﺥﺯ‪،‬ﺹﺯﺥ‪،‬ﺥﺹﺯ‬

‫ﻧﻮﺟــﺪ ﻣﺴــﺎﺣﺔ ﺍﳌﺜﻠــﺚ‬

‫ﺥﺯﺹ‪.‬‬

‫ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫ﻳﻮﺟﺪ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺛﻼﺙ ﺣﺎﻻﺕ ﻣﻦ ﺍﳊـﺎﻻﺕ ﺍﻟﺴـﺖ ﺍﻟـﱵ‬

‫‪٢‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺜﻠﺚ = ‪ ٣ ∂ = ٣ ∂ ٢‬ﺳﻢ‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ﺍﳌﻈﻠﻠﺔ =‬

‫‪٢‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺜﻠﺚ ‪ ×٣ −‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻱ ‪.‬‬

‫ﻳﻜﻮﻥ ﻓﻴﻬﺎ ﺳﺤﺐ ﺍﻟﻜﺮﺓ ﺍﻟﺰﺭﻗﺎﺀ ﻗﺒﻞ ﺍﻟﺼﻔﺮﺍﺀ ‪.‬‬

‫∴ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺳﺤﺐ ﺍﻟﻜـﺮﺓ ﺍﻟﺰﺭﻗـﺎﺀ ﻗﺒـﻞ ﺍﻟﺼـﻔﺮﺍﺀ‬ ‫= ‪١=٣‬‬ ‫‪٢ ٦‬‬

‫ﲟﺎ ﺃﻥ ﺍﳌﺜﻠﺚ ﻣﺘﻄـﺎﺑﻖ ﺍﻷﺿـﻼﻉ ﻓـﺈﻥ ﻗﻴـﺎﺱ ﻛـﻞ‬ ‫ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻓﻴﻪ ﺗﺴﺎﻭﻱ‪. °٦٠‬‬

‫ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻱ = ‪ ١ = ٦٠‬ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ‬ ‫‪٦ ٣٦٠‬‬ ‫ﻓﺘﻜﻮﻥ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪ‬ ‫‪٢‬‬ ‫= ‪ π ١ = π ٢ ( ١) × ١‬ﺳﻢ‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺛﻼﺙ ﻗﻄﺎﻋﺎﺕ = ‪ π = π ١ × ٣‬ﺳﻢ‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ﺍﳌﻈﻠﻠﺔ = ∂ ‪ π − ٣‬ﺳﻢ ‪. ٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٣١‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ ) ‪( ١−١‬‬

‫‪ ( ٣‬ﺇﺫﺍ ﻛــﺎﻥ ‪ ٣١ = ١٣ + ε٥ :‬ﻓﻤــﺎ ﻗﻴﻤــﺔ ‪:‬‬

‫ﺃﻭ ﹰﻻ ‪ :‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ‬

‫∂ ‪ ٣١ + ε٥‬؟‬

‫ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﻋﺪﺩ ﻣﻦ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ‪ ،‬ﻳﺘﺒﻊ ﻛﻞ ﻣﻨـﻬﺎ ﺃﺭﺑﻌـﺔ‬ ‫ﺍﺧﺘﻴﺎﺭﺍﺕ ‪ .‬ﺍﺧﺘﺮ ﻣـﻦ ﺑﻴﻨـﻬﺎ ﺍﻹﺟﺎﺑـﺔ ﺍﻟﺼـﺤﻴﺤﺔ ﰒ‬ ‫ﻇﻠﻞ ﺣﺮﻑ ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ ﳍﺎ ﰲ ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬ ‫‪ ( ١‬ﰲ ﻋــﺎﻡ ‪ . γ ١٤٢٤‬ﻗــﺮﺃ ﳏﻤــﺪ ‪ ١٠‬ﻛﺘــﺐ ﰲ‬

‫ﺍﻟﺘــﺎﺭﻳﺦ ﻭ ‪ ٧‬ﻛﺘــﺐ ﰲ ﺍﻷﺩﺏ ‪ .‬ﻭﰲ ﻋــﺎﻡ ‪γ١٤٢٥‬‬ ‫ﻗــﺮﺃ ﳏﻤــﺪ ﻛﺘﺒـ ﹰﺎ ﺍﻷﺩﺏ ﺿــﻌﻒ ﻗﺮﺍﺀﺗــﻪ ﻟﻜﺘــﺐ‬ ‫ﺍﻟﺘــﺎﺭﻳﺦ ‪ .‬ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻤــﺖ ﺃﻥ ‪ ⊆ ٦٠‬ﻣــﻦ ﻗﺮﺃﺗــﻪ ﺧــﻼﻝ‬ ‫ﺍﻟﻌﺎﻣﲔ ﻫﻲ ﻛﺘﺐ ﰲ ﺍﻷﺩﺏ ‪ .‬ﻓﻜﻢ ﻛﺘـﺎﺏ ﺗـﺎﺭﻳﺦ‬ ‫ﻭﺃﺩﺏ ﻗﺮﺃ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪ γ ١٤٢٥‬؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫) ‪٣٩ ( β‬‬ ‫) ‪٤٨ ( α‬‬

‫‪١٦‬‬

‫) ‪٢٦ ( χ‬‬

‫ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ‪ ،‬ﻓـﺈﺫﺍ ﻋﻠﻤـﺖ ﺃﻥ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺮﺑﻊ ‪ . ٨‬ﻓﻤﺎ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ؟‬

‫) ‪π٨ ( δ‬‬ ‫) ‪٢∂π٨ ( χ‬‬

‫) ‪π١٦ ( β‬‬ ‫) ‪π٣٢ ( α‬‬

‫‪ (٥‬ﰲ ﺍﻟﺸــﻜﻞ ﺍ‪‬ــﺎﻭﺭ‬

‫‪ ٢ = χδ‬ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ﺍﳌﻈﻠﻠﺔ ‪.‬‬

‫ﻃــﻮﻝ ﺍﻟﻘﻄــﺮ ] ‪[ βχ‬‬

‫) ‪ ٢∂٥ ( β‬ﺳﻢ‬

‫) ‪ ١٠∂ ( χ‬ﺳﻢ ) ‪( α‬‬

‫ﻣﺮﺑـﻊ ﺃﺣــﺪ ﺭﺅﻭﺳــﻪ ﻋﻠــﻰ‬

‫ﺍﻷﺿﻼﻉ ‪ .‬ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ‬

‫ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ١٠‬ﺳﻢ ‪ .‬ﻣﺎ ﻫـﻮ‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪ ( ٤‬ﰲ ﺍﻟﺸــﻜﻞ ﺃﺩﻧــﺎﻩ ‪،‬‬

‫‪ γαβ‬ﻣﺘﻄــــــــﺎﺑﻖ‬

‫ﻧﺼــﻒ ﻗﻄــﺮ ﺍﻟــﺪﺍﺋﺮﺓ‬

‫∂‪ ٢‬ﺳﻢ‬

‫)‪٧ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٦٩‬‬

‫‪ αβχδ‬ﺭﺳﻢ ﺩﺍﺧﻠـﻪ‬

‫‪ (٢‬ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ـﺎﻭﺭ‬

‫ﰲ ‪ βκχδ‬؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫∂ ‪١٣‬‬

‫)‪(β‬‬

‫‪١٣‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫∂‪٣‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪٣‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫) ‪٣∂ −٤ (α‬‬

‫‪٣ ∂٢ − ٤‬‬

‫‪١٠‬ﺳﻢ‬ ‫‪١٫٠٠٠١٧ ) + ٣٤∂ − ٥ ( ٦‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪١−‬‬

‫)‪٠ ( χ‬‬

‫‪٣٢‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫)‪(α‬‬

‫(‪٣‬‬

‫≈‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‪ ....‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ١‬‬

‫‪ ( ١٠‬ﺻﺮﻑ ﺳﻠﻴﻢ ‪ ٢‬ﻣﻦ ﻣـﺎ ﻟﺪﻳـﻪ ﻣـﻦ ﻧﻘـﻮﺩ ‪ ،‬ﰒ‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﺃﻋﻄﻰ ‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ﻷﺧﺘﻪ ﻏﻴﺪﺍﺀ ‪ ،‬ﰒ ﻗﺴـﻢ ﻣـﺎ ﺑﻘـﻲ‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﻣﻌﻪ ﻋﻠﻰ ﺃﺧﻮﻳﻪ ﻣﺎﺟﺪ ﻭﻃﻼﻝ ﺑﺎﻟﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ .‬ﻓـﺄﻱ ﻣـﻦ‬

‫‪ (٧‬ﰲ ﺍﻟﺸـــــــــــﻜﻞ‬

‫ﺍ‪‬ـــــــــﺎﻭﺭ ‪βχδ‬‬

‫ﻣﺘﻄــﺎﺑﻖ ﺍﻷﺿــﻼﻉ ﺭﺳــﻢ‬ ‫ﺩﺍﺧﻞ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻃـﻮﻝ ﻧﺼـﻒ‬ ‫ﻗﻄﺮﻫـــــﺎ ‪ ٤‬ﺳـــــﻢ ‪.‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ‪. γα‬‬

‫)‪١ (δ‬‬ ‫) ‪٣∂ ( χ‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫)‪(α‬‬

‫‪٢‬‬ ‫‪٣ ∂٤‬‬

‫‪ ( ٨‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﳎﻤﻮﻉ ﻣﺎ ﻣﻊ ﻧﺎﻳﻒ ﻣﻦ ﻗﻄـﻊ ﻧﻘﺪﻳـﺔ‬ ‫‪ ١٣٢‬ﺭﻳﺎﻝ ‪ ،‬ﻣﻦ ﻓﺌﱵ ﺍﻟﻨﺼﻒ ﺭﻳﺎﻝ ﻭﺍﻟﺮﻳـﺎﻝ ‪ .‬ﻓـﺈﺫﺍ‬ ‫ﻛﺎﻥ ﻋﺪﺩ ﻓﺌﺔ ﺍﻟﻨﺼﻒ ﺭﻳﺎﻝ ﺿﻌﻒ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻨﻘﻮﺩ ﻓﺌﺔ‬ ‫ﺭﻳﺎﻝ ‪ .‬ﻓﻤﺎ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻨﻘﻮﺩ ﺍﻟﱵ ﻣﻦ ﻓﺌﺔ ﻧﺼﻒ ﺭﻳﺎﻝ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٨٨‬‬

‫) ‪٦٦ ( χ‬‬

‫) ‪٤٤ ( β‬‬ ‫) ‪٣٣ ( α‬‬

‫ﻛﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﺛﻼﺛﺔ ﺃﺿﻌﺎﻑ ﻣـﺎ ﻟـﺪﻯ ﺃﺧﺘـﻪ ﺳـﻬﻰ ‪،‬‬ ‫ﻭﳎﻤﻮﻉ ﻣﺎ ﻟﺪﻳﻬﻤﺎ ﻣـﻦ ﻛﺘـﺐ ﻛـﺎﻥ ‪ ٣٨‬ﻛﺘﺎﺑـ ﹰﺎ‬ ‫ﻓﻜﻢ ﻛﺘﺎﺑ ﹰﺎ ﻣﻊ ﺳﻬﻴﻞ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٢٢‬‬

‫) ‪٢٥ ( χ‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫) ‪٣٠ ( α‬‬

‫‪٢٨‬‬

‫ﲟﺒﻠﻎ ‪ ٢٤٠٠‬ﺭﻳﺎﻝ ‪ ،‬ﻭﻛﺎﻥ ﺭﲝـﻪ ‪ . ⊆ ٢٠‬ﰒ ﻋﻤـﻞ‬

‫] ‪ ، [ βχ ] ، [ χδ‬ﻭﺗﺮﺍﻥ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﱵ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ‪٥‬‬

‫ﲣﻔﻴﻀﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ ﺍﳉﻬﺎﺯ ﲝﻴـﺚ ﻳﻜـﻮﻥ ﺭﲝـﻪ‬ ‫ﻼ ﰲ ﻣﻮﺳـﻢ‬ ‫‪ . ⊆ ٨‬ﻓﺒﻜﻢ ﻳﺒﻴﻊ ﺫﻟﻚ ﺍﳉﻬﺎﺯ ﻣﺴﺘﻘﺒ ﹰ‬

‫ﺳﻢ ‪ .‬ﻓﻤﺎ ﻫﻮ ﳎﻤﻮﻉ ﺣﺎﺻﻞ‬

‫) ‪١٥ ( δ‬‬ ‫) ‪π٥ ( χ‬‬

‫‪ ( ١١‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻜﺘﺐ ﺍﻟﱵ ﻟﺪﻯ ﺳﻬﻴﻞ ﺗﺰﻳﺪ ﺑﺴﺘﺔ‬

‫‪ ( ١٢‬ﺇﺫﺍ ﺑﺎﻉ ﺻﺎﺣﺐ ﳏﻞ ﺃﺟﻬﺰﺓ ﻛﻬﺮﺑﺎﺋﻴﺔ ‪ ،‬ﺟﻬﺎﺯ‬

‫‪ (٩‬ﰲ ﺍﻟﺸــــﻜﻞ ﺍ‪‬ــــﺎﻭﺭ‬

‫ﻃﻮﻟﻴﻬﻤﺎ ؟‬

‫ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﳝﺜﻞ ﻣﺎ ﻧﺎﻟﻪ ﻃﻼﻝ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻘﻮﺩ ؟‬ ‫)‪١ (β‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫)‪١ (α‬‬ ‫)‪٢ ( χ‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥‬‬

‫ﺍﻟﺘﺨﻔﻴﻀﺎﺕ ؟‬

‫) ‪π١٠ ( β‬‬ ‫) ‪ ( α‬ﻻ ﳝﻜــــــﻦ‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٢٢٠٠‬‬

‫) ‪٢١٦٠ ( χ‬‬

‫) ‪٢١٠٠ ( β‬‬ ‫) ‪١٩٦٠ ( α‬‬

‫ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺫﻟﻚ‬

‫‪٣٣‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪ ( ١٣‬ﺗﺴﺘﻬﻠﻚ ﺳـﻴﺎﺭﺓ ‪ ٥٠‬ﻟﺘـﺮﹰﺍ ﻣـﻦ ﺍﻟـﺒﱰﻳﻦ ﻟﻘﻄـﻊ‬

‫‪ ( ١٧‬ﻭﺿﻊ ﰲ ﻛﻴﺲ ‪ ٣٠‬ﻛﺮﺓ ﻣﺮﻗﻤـﺔ ﻣـﻦ ‪ ١‬ﺇﱃ‬

‫‪ ٣٠٠‬ﻛﻢ ﰲ ﺍﻟﻄﺮﻳﻖ ﺍﻟﺴـﺮﻳﻊ ‪ .‬ﻭﺗﺴـﺘﻬﻠﻚ ‪ ٦٠‬ﻟﺘـﺮﹰﺍ‬

‫‪ . ٣٠‬ﰒ ﺳﺤﺐ ﻛﺮﺓ ﻣﻨﻪ ﻋﺸﻮﺍﺋﻴﺎ ‪ .‬ﻓﻤﺎ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ‬ ‫ﲢﻤﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻜﺮﺓ ﺭﻗﻤ ﹰﺎ ﻳﻘﺒـﻞ ﺍﻟﻘﺴـﻤﺔ ﻋﻠـﻰ ‪ ٤‬ﺃﻭ‬

‫ﻟﻘﻄــﻊ ﻣﺴــﺎﻓﺔ ﺇﲨﺎﻟﻴــﺔ ﻗــﺪﺭﻫﺎ ‪ ٣٦٠‬ﻛــﻢ ﻣﻨــﻬﺎ‬

‫‪٦‬؟‬

‫ﻟﻘﻄﻊ ‪ ٢٧٠‬ﻛﻢ ﺩﺍﺧﻞ ﺍﳌﺪﻳﻨﺔ ‪ .‬ﻓﻜﻢ ﻟﺘﺮﹰﺍ ﺗﺴـﺘﻬﻠﻚ‬ ‫‪ ٩٠‬ﻛﻢ ﺩﺍﺧﻞ ﺍﳌﺪﻳﻨﺔ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٧٥‬‬

‫) ‪٦٥ ( χ‬‬

‫) ‪٤٥ ( β‬‬ ‫) ‪٣٥ ( α‬‬

‫‪ ( ١٤‬ﺩﺍﺋﺮﺓ ﳏﻴﻄﻬﺎ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺿﻌﻒ ﻣﺴﺎﺣﺘﻬﺎ ﻋـﺪﺩﻳ ﹰﺎ‬ ‫‪ .‬ﻓﺈﻥ ﻣﺴﺎﺣﺘﻬﺎ ﺗﺴﺎﻭﻱ ‪:‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٢‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪π‬‬

‫) ‪π٢ ( β‬‬ ‫) ‪π٤ ( α‬‬

‫‪ ( ١٥‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺿﻌﻒ ﳎﻤﻮﻉ ﺛﻼﺛﺔ ﺃﻋـﺪﺍﺩ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴـﺔ‬ ‫ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ . ١٢‬ﻓﻤﺎ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﻛﱪ ﻣﻨﻬﺎ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٥‬‬

‫)‪٤ ( χ‬‬

‫)‪٣ (β‬‬ ‫)‪١ (α‬‬

‫‪ ( ١٦‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪ . ٢٥ = ٢ ( ١ − ε٢ ) ،٠ ε‬ﻓﻤﺎ‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ‪ ٢ ε‬؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٤−‬‬

‫)‪(χ‬‬

‫‪٢−‬‬

‫‪٣٤‬‬

‫)‪٢ (β‬‬ ‫)‪٤ (α‬‬

‫)‪(δ‬‬ ‫)‪(χ‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬

‫)‪١ (β‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫)‪٢ (α‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪ ( ١٨‬ﻣﻜﻌﺐ ﻣﻦ ﺍﳋﺸﺐ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺤﻪ ﺍﳋﺎﺭﺟﻲ‬ ‫‪٢‬‬

‫‪ ٢٤٠٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻧﺮﻳﺪ ﺗﻘﺴﻴﻤﻪ ﺇﱃ ﻣﻜﻌﺒﺎﺕ ﺻـﻐﲑﺓ‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ‪ ١٥٠‬ﺳﻢ ‪ .‬ﻛﻢ ﻣﻜﻌﺒـ ﹰﺎ‬ ‫ﳝﻜﻨﻨﺎ ﻋﻤﻠﻪ ﺇﺫﺍ ﱂ ﻧﻔﻘﺪ ﺃﻱ ﺟﺰﺀ ﺃﺛﻨﺎﺀ ﺍﻟﺘﻘﻄﻴﻊ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪١٦‬‬

‫) ‪٢٤ ( χ‬‬

‫) ‪٦٤ ( β‬‬ ‫) ‪١٠٠ ( α‬‬

‫‪ ( ١٩‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧـــﺖ ‪ . ε٥ = λ‬ﻓـــﺈﺫﺍ ﻋﻠﻤـــﺖ ﺃﻥ‬ ‫ﺍﻟﺰﻳﺎﺩﺓ ﰲ ﻗﻴﻤﺔ ‪ ε‬ﺗﺴﺎﻭﻱ ‪ . ٦‬ﻓﻜـﻢ ﺍﻟﺰﻳـﺎﺩﺓ ﰲ‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ‪ λ‬؟‬ ‫)‪٥ (δ‬‬

‫)‪٦ ( χ‬‬

‫) ‪١١ ( β‬‬ ‫) ‪٣٠ ( α‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‪ ....‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ١‬‬

‫ﺛﺎﻧﻴ ﹰﺎ ‪ :‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ }‪ { χ ، δ‬ﺗﻌﲏ ﺑﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ δ‬ﻋﻠﻰ ﺏ‬

‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ‪ :‬ﰲ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬

‫ﺃﻋﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ ﰲ ﺣﻞ ﺍﻟﺴﺆﺍﻟﲔ ‪. ٢٣ ، ٢٢‬‬

‫ﺻﻴﻐﺘﺎﻥ ‪ ،‬ﻭﺍﺣـﺪﺓ ﰲ ﺍﻟﻌﻤـﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪ ،‬ﻭﺍﻷﺧـﺮﻯ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜـﺎﱐ ‪ ،‬ﻗـﺎﺭﻥ ﺑـﲔ ﺍﻟﺼـﻴﻐﺘﲔ ﰒ ﻇﻠـﻞ ﰲ‬

‫‪(٢٢‬‬

‫}‪{ ٣، ٣١٠‬‬

‫ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﳊﺮﻑ‪:‬‬ ‫‪ ( δ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﻣﻨﻬﺎ‬ ‫ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬ ‫‪ ( χ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧــﺖ ﺍﻟﺼــﻴﻐﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﻤــﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﺻــﻐﺮ‬ ‫ﻣﻨﻬﺎ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬ ‫‪ (β‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺼﻴﻐﺘﺎﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﲔ‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫}‪{٥، ٥١٠‬‬

‫‪(٢٣‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛــﺎﻥ ‪ α،β‬ﻋــﺪﺩﺍﻥ ﺻــﺤﻴﺤﺎﻥ ﻣــﻮﺟﺒﲔ ‪،‬‬

‫ﲝﻴﺚ ‪α β‬‬

‫‪ ( α‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧــﺖ ﺍﳌﻌﻠﻮﻣــﺎﺕ ﺍﳌﻌﻄــﺎﺓ ﻏــﲑ ﻛﺎﻓﻴــﺔ‬

‫}‪{α،β‬‬

‫ﻟﻠﻤﻘﺎﺭﻧﺔ‪.‬‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫}‪{ β،α‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪:‬‬

‫‪( ٢٠‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﻗﻮﺍﺳﻢ ﺍﻟﻌـﺪﺩ ‪ ٣٠‬ﻋﺪﺩ ﻗﻮﺍﺳﻢ ﺍﻟﻌـﺪﺩ ‪٣٠‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺮﺩﻳﺔ ﺍﳌﻮﺟﺒﺔ‬

‫ﺍﻟﺰﻭﺟﻴﺔ ﺍﳌﻮﺟﺒﺔ‬

‫‪ ι − ٢ ι = ι‬ﺣﻴﺚ ‪ ، ٠ ι‬ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ‬ ‫ﺯﻭﺟﻲ‬ ‫‪ ι + ٢ ι = ι‬ﺣﻴﺚ ‪ ، ٠ ι‬ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ‬ ‫ﻓﺮﺩﻱ‬ ‫ﺃﻋﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ ﰲ ﺣﻞ ﺍﻟﺴﺆﺍﻟﲔ ‪. ٢٥ ، ٢٤‬‬

‫‪( ٢١‬‬

‫) ‪( ١١٥‬‬

‫‪(٢٤‬‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫‪٣‬‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫∂‬

‫‪٥ ٣‬‬ ‫‪١١‬‬

‫‪٦‬‬

‫‪٥‬‬ ‫‪(٢٥‬‬ ‫‪ ι‬ﻋﺪﺩ ﺯﻭﺟﻲ‬

‫‪ι‬‬ ‫‪١+ ι‬‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪ι‬‬ ‫‪١+ ι‬‬ ‫‪٣٥‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪( ٢٦‬‬

‫‪(٢٩‬‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃﺩﻧﺎﻩ ‪:‬‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸــﻜﻞ ﺃﻋــﻼﻩ ﻣﺮﺑــﻊ ﻃــﻮﻝ ﺿــﻠﻌﻪ ‪ ٤‬ﺳــﻢ ﰎ‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪χ+δ‬‬

‫‪γ +α‬‬

‫ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ‪ ١‬ﺳﻢ ‪.‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪( ٢٧‬‬

‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻜﻠﻲ‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃﺩﻧﺎﻩ ‪:‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪βδ :‬‬

‫ﻟﻠﻤﺮﺑﻌﺎﺕ‬

‫‪χβ‬‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪ε‬‬

‫‪λ‬‬

‫‪( ٢٨‬‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸــﻜﻞ ﺃﻋــﻼﻩ ‪ ،‬ﻣﺴــﺘﻄﻴﻞ ﰎ ﺗﻘﺴــﻴﻤﻪ ﺇﱃ‬ ‫ﻣﺴﺘﻄﻴﻼﺕ ﺻﻐﲑﺓ ‪.‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻜﻠﻲ‬ ‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻄﻴﻼﺕ‬

‫‪٣٦‬‬

‫ﺗﻘﺴﻴﻤﻪ ﺇﱃ ﻣﺮﺑﻌﺎﺕ ﺻﻐﲑﺓ ) ‪ ١٦‬ﻣﺮﺑﻊ ( ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ‬

‫‪١٥‬‬

‫‪٣٢‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫اﺳﺘﺮاﺗﻴﺠﻴﺎت ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ٢‬‬ ‫ﺳﻮﻑ ﻧﺴﺘﻌﺮﺽ ﰲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻔﺼـﻞ ﺑﻌـﺾ ﺍﻹﺭﺷـﺎﺩﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﱵ ﺗﺴﺎﻋﺪﻙ ﻋﻠـﻰ ﺍﻟﺘﻌﺎﻣـﻞ ﻣـﻊ ﺃﺳـﺌﻠﺔ ﺍﻻﺧﺘﻴـﺎﺭ‬ ‫ﺍﳌﺘﻌﺪﺩ‪ .‬ﻭﻫـﺬﻩ ﺍﻹﺭﺷـﺎﺩﺍﺕ ﻫـﻲ ﺗﻜﻤﻠـﺔ ﳌـﺎ ﺳـﺒﻖ‬ ‫ﻭﺗﻌﺮﺿﻨﺎ ﳍﺎ ﺑﺎﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ ‪ .‬ﻭﳚﺐ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻛﺎﻥ ﻣﺘﺄﻛﺪ ﻣﻦ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺍﳊﻞ ﺍﻟﱵ ﻳﺘﺒﻌﻬﺎ ﺃﻥ ﻳﻘﻮﻡ‬ ‫‪‬ﺎ ﺑﻐﺾ ﺍﻟﻨﻈﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﻄﺮﻕ ﺍﳌﺘﺒﻌﺔ ﻫﻨـﺎ ‪ ،‬ﻓﺎﳍـﺪﻑ‬ ‫ﻫﻮ ﺍﻟﻘﺪﺭﺓ ﻋﻠـﻰ ﺗﻄـﻮﻳﺮ ﻣﻬﺎﺭﺍﺗـﻚ ﰲ ﺍﻟﺘﻌﺎﻣـﻞ ﻣـﻊ‬ ‫ﺍﺧﺘﺒــﺎﺭ ﻗــﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿــﻴﺎﺕ ﻭﻟــﻴﺲ ﺗﻠﻘﻴﻨــﻚ ﻃــﺮﻕ‬ ‫ﺑﻌﻴﻨﻬﺎ ‪.‬‬ ‫ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ‬ ‫ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ‪ ،‬ﻳﻜﻮﻥ ﻫﻨﺎﻟﻚ ﺃﺭﺑﻊ ﺃﻭ ﲬـﺲ‬ ‫ﺧﻴــﺎﺭﺍﺕ ﺃﺣــﺪﳘﺎ ﺍﳋﻴــﺎﺭ ﺍﻟﺼــﺤﻴﺢ ) ﰲ ﺍﻟﻮﻗــﺖ‬ ‫ﺍﻟﺮﺍﻫﻦ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻌـﺪﺓ ﻣـﻦ ﻗﺒـﻞ ﺍﳌﺮﻛـﺰ ﺍﻟـﻮﻃﲏ‬ ‫ﻟﻠﻘﻴﺎﺱ ﺗﺘﻜـﻮﻥ ﻣـﻦ ﺃﺭﺑﻌـﺔ ﺍﺧﺘﻴـﺎﺭﺍﺕ ( ‪ ،‬ﻭﻏﺎﻟﺒـ ﹰﺎ‬ ‫ﺗﻜـــﻮﻥ ﺍﳋﻴـــﺎﺭﺍﺕ ﰲ ﺍﺧﺘﺒـــﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﻘـــﺪﺭﺍﺕ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿــﻴﺎﺕ ﻣﺮﺗﺒــﺔ ﺗﺼــﺎﻋﺪﻳ ﹰﺎ ﺃﻭ ﺗﻨﺎﺯﻟﻴ ـ ﹰﺎ ‪ .‬ﻭﻫــﺬﻩ‬ ‫ﺍﳌﻌﻠﻮﻣﺔ ﺗﺴﺎﻋﺪﻧﺎ ﻣﻦ ﺃﻳﻦ ﻧﺒﺪﺃ ؟ ﻭﻛﻴﻒ ؟‬ ‫ﻭﺳﻮﻑ ﻧﺴﺘﻌﺮﺽ ﺑﺄﻣﺜﻠﺔ ﺗﻮﺿﻴﺤﻴﺔ ﺍﻹﺭﺷﺎﺩﺍﺕ‪:‬‬ ‫‪ (١‬ﺍﳊﻞ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ‬

‫‪ ١‬اﻟﺤﻞ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ‬ ‫ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﻫﺬﺍ ﺍﻷﺳﻠﻮﺏ ﰲ ﺇﳚـﺎﺩ ﻗﻴﻤـﺔ ﳎﻬـﻮﻝ ‪،‬‬ ‫ﻭﻧﻌﺮﻑ ﻣﺎ ﻫﻮ ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﻭﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﻟﻮﺻﻮﻝ ﻟﻪ ﺭﻳﺎﺿﻴ ﹰﺎ‬ ‫ﻭﻟﻜﻦ ﺗﺮﻏﺐ ﰲ ﺍﺳﺘﻬﻼﻙ ﺃﻗـﻞ ﻭﻗـﺖ ﳑﻜـﻦ ﰲ‬

‫ﺍﳊﻞ ‪ .‬ﻭﺍﻟﺒﺪﺍﻳﺔ ﺑﺎﳋﻴﺎﺭ ‪ β‬ﺗﻜﻮﻥ ﺃﻛﺜـﺮ ﻓﺎﻋﻠﻴـﺔ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻫﻨﺎﻟـﻚ ﲬـﺲ ﺍﺧﺘﻴـﺎﺭﺍﺕ ﻓﻬـﺬﺍ ﺍﳋﻴـﺎﺭ‬ ‫ﻳﻜــﻮﻥ ﺑﺎﻟﻮﺳــﻂ ‪ .‬ﻭﺍﳍــﺪﻑ ﻣﻨــﻪ ﺍﺳــﺘﺒﻌﺎﺩ ﺑﻌــﺾ‬ ‫ﺍﳋﻴﺎﺭﺍﺕ ﻣﻦ ﺍﳊﻞ ﻛﻤﺎ ﺳﺘﺮﻯ ﻣﻦ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١− ٢‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛــﺎﻥ ﺍﻟﻮﺳــﻂ ﺍﳊﺴــﺎﰊ ﻟﻸﻋــﺪﺍﺩ ‪ε،٧،٢ :‬‬ ‫ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ١٢‬ﻓﻤﺎﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ‪ ε‬؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٩‬‬

‫) ‪١٢ ( χ‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫ﺑﺎﻟﺴﺆﺍﻝ ‪ ،‬ﻭﺑﺎﻟﺘـﺎﱄ ﻧﺴـﺘﺒﻌﺪ ﻫـﺬﺍ ﺍﳋﻴـﺎﺭ ﻭﲨﻴـﻊ‬ ‫ﺍﳋﻴﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻟﻪ ﻷ‪‬ﺎ ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻨﻪ ) ﺗﺬﻛﺮ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ﺍﳋﻴــﺎﺭﺍﺕ ﰲ ﺍﺧﺘﺒــﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﻘــﺪﺭﺍﺕ ﰲ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿــﻴﺎﺕ‬

‫‪ (٢‬ﺗﻌﻠﹼﻢ ﻣﱴ ﺗﺒﺪﺃ ﺑﺎﳋﻴﺎﺭ ‪. α‬‬ ‫‪ (٤‬ﺍﺧﺘﺮ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﳌﻨﺎﺳﺒﺔ‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪α‬‬

‫‪ (٥‬ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺑﻌﺾ ﺍﳌﻌﺎﺩﻻﺕ ﻭﺗﻌﺎﻣﻞ ﻣﻌﻬﺎ‬ ‫‪ (٦‬ﺍﻟﺘﺨﻤﲔ ﺍﻟﺬﻛﻲ‬

‫‪٣٨‬‬

‫‪٢٧‬‬

‫ﻧﺒﺪﺃ ﺑﺎﳋﻴﺎﺭ ‪ ) β‬ﺃﻱ ﻧﻀﻊ ﻗﻴﻤﺔ ‪( ٢١= ε‬‬ ‫∴ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ‪٢١ + ٧ + ٢‬‬ ‫= ‪١٠‬‬ ‫=‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﻭﻫﺬﺍ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﻟﺬﻱ ﺃﻭﺟﺪﻧﺎﻩ ﺃﺻﻐﺮ ﳑﺎ ﻫـﻮ ﻣﻌﻄـﻰ‬

‫ﻣﺮﺗﺒﺔ ﺗﺼﺎﻋﺪﻳ ﹰﺎ ﺃﻭ ﺗﻨﺎﺯﻟﻴ ﹰﺎ (‬

‫‪ (٣‬ﺍﺳﺘﺒﺪﻝ ﺍﳌﺘﻐﲑﺍﺕ ﺑﺄﺭﻗﺎﻡ‬

‫)‪(β‬‬ ‫)‪(α‬‬

‫‪٢١‬‬

‫ﻭﻳﺒﻘﻰ ﺍﳋﻴﺎﺭ ﺍﻟﻮﺣﻴﺪ ﻭﻫﻮ ‪α‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ ‪.......‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ٢‬‬

‫ﲟﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﺜﻼﺛﺔ ﺃﻋـﺪﺍﺩ ﻳﺴـﺎﻭﻱ ‪١٢‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﳎﻤﻮﻋﻬﺎ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪. ٣٦‬‬

‫∴‪٢٧ = ε ⇐ ٣٦ = ε + ٧ + ٢‬‬

‫ﺑﺎﻉ ﺻﺎﺣﺐ ﻗﺮﻃﺎﺳﻴﺔ ﰲ ﺍﻟﻴﻮﻡ ﺍﻷﻭﻝ ﻧﺼﻒ ﻛﻤﻴـﺔ‬ ‫ﺍﻷﻗﻼﻡ ﺍﻟﱵ ﻟﺪﻳـﻪ ‪ ،‬ﻭﰲ ﺍﻟﻴـﻮﻡ ﺍﻟﺜـﺎﱐ ﺑـﺎﻉ ﻗﻠﻤـﲔ‬ ‫ﻓﻘﻂ ‪ .‬ﻭﺑﻘﻲ ﻣﻌﻪ ‪ ٢‬ﻣﻦ ﻛﻞ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ‪ .‬ﻓﻜﻢ ﻋﺪﺩ‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﺍﻷﻗﻼﻡ ﺑﺎﻟﻘﺮﻃﺎﺳﻴﺔ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫) ‪٢٠ ( χ‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫) ‪٣٠ ( β‬‬ ‫) ‪٤٠ ( α‬‬

‫ﺍﺑﺪﺃ ﺑﺎﳋﻴﺎﺭ ‪ β‬ﺃﻱ ﺃﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻷﻗﻼﻡ ﺑﺎﻟﻘﺮﻃﺎﺳﻴﺔ‪٣٠‬‬ ‫ﺑﺎﻉ ﻧﺼﻔﻬﺎ ﺑﺎﻟﻴﻮﻡ ﺍﻷﻭﻝ ) ‪١٥‬ﻗﻠﻢ ( ﻭﻗﻠﻤﲔ ﰲ ﺍﻟﻴـﻮﻡ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪ ،‬ﻳﻜﻮﻥ ﳎﻤﻮﻉ ﻣﺎﺑﺎﻋﻪ ‪ ١٧‬ﻗﻠﻢ ﻭﺑﻘﻲ ﻟﺪﻳﻪ‬ ‫‪ ١٣‬ﻗﻠﻤ ﹰﺎ ‪.‬‬ ‫ﻫﻞ ‪ ٢‬ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺗﺴﺎﻭﻱ ‪ ١٣‬؟ ﳒﺮﺏ ‪:‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪١٣ ≠ ١٢ = ٣٠× ٢‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﻭﺍﺿــﺢ ﺃﻥ ﻫــﺬﺍ ﺍﳋﻴــﺎﺭ ﻛــﺒﲑ ﻭﺑﺎﻟﺘــﺎﱄ ﻧﺴــﺘﺒﻌﺪﻩ‬ ‫ﻭﻛﺬﻟﻚ ﺍﳋﻴﺎﺭ ‪. α‬‬

‫ﺩﻋﻨﺎ ﳒﺮﺏ ﺍﳋﻴﺎﺭ ‪: χ‬‬ ‫‪ ٢٠‬ﻗﻠﻢ ﺑﺎﻉ ﻧﺼﻔﻬﺎ ﺑﺎﻟﻴﻮﻡ ﺍﻷﻭﻝ )‪١٠‬ﻗﻠﻢ ( ﻭﻗﻠﻤـﲔ‬ ‫ﰲ ﺍﻟﻴﻮﻡ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪ ،‬ﻳﻜـﻮﻥ ﳎﻤـﻮﻉ ﻣﺎﺑﻌـﻪ ‪ ١٢‬ﻗﻠـﻢ‬ ‫ﻭﺑﻘﻲ ﻟﺪﻳﻪ ‪ ٨‬ﺃﻗﻼﻡ ‪.‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٣ −٢‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﳎﻤﻮﻉ ﲬﺴـﺔ ﺃﻋـﺪﺍﺩ ﻓﺮﺩﻳـﺔ ﺻـﺤﻴﺤﺔ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢− ٢‬‬

‫‪١٠‬‬

‫ﻫﻞ ‪ ٢‬ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺗﺴﺎﻭﻱ ‪ ٨‬؟ ﳒﺮﺏ ‪:‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪ ) ٨ = ٢٠× ٢‬ﺧ‪‬ﻤﺴﲔ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺗﺴﺎﻭﻱ ‪( ٨‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪χ‬‬

‫ﻣﺘﺘﺎﻟﻴــﺔ ﻳﺴــﺎﻭﻱ ‪ . ٧٣٥‬ﻓﻤــﺎ ﻫــﻮ ﺃﻛــﱪ ﻫــﺬﻩ‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪١٥٥‬‬

‫) ‪١٥١ ( χ‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫) ‪١٤٥ ( β‬‬ ‫) ‪١٤٣ ( α‬‬

‫ﺍﺑﺪﺃ ﺑﺎﳋﻴﺎﺭ ‪ ، β‬ﻓﺈﺫﺍ ﻛـﺎﻥ ﺃﻛـﱪ ﻋـﺪﺩ ﻓـﺮﺩﻱ‬ ‫ﺻﺤﻴﺢ ﻫﻮ ‪ ١٤٥‬ﻓﺈﻥ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻔﺮﺩﻳﺔ ﺍﻷﺧﺮﻯ ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪١٣٧،١٣٩،١٤١،١٤٣‬‬ ‫ﻭﺣﺎﺻﻞ ﲨﻊ ﻫﺬﻩ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪٧٣٥ ≠ ٧٠٥‬‬ ‫ﲟﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻦ ﺍﳌﻄﻠـﻮﺏ ) ‪( ٧٣٥ ٧٠٥‬‬ ‫ﺇﺫ ﹰﺍ ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭﻳﻦ ‪. α ، β‬‬

‫ﺑﻨﻔﺲ ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺧﺬ ﺍﳋﻴﺎﺭ ‪ ، χ‬ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪١٤٣،١٤٥،١٤٧،١٤٩،١٥١‬ﻭﺣﺎﺻﻞ ﲨﻌﻬﺎ ﻳﺴﺎﻭﻱ‬

‫‪٧٣٥‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪χ‬‬ ‫ﰲ ﺍﳋﻴﺎﺭ ‪ β‬ﻭﺟﺪﻧﺎ ﺃﻥ ﺍ‪‬ﻤﻮﻉ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ٧٠٥‬ﻭﻫﻮ‬ ‫ﺃﻗﻞ ﻣﻦ ﺍ‪‬ﻤﻮﻉ ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﰲ ﺍﻟﺴـﺆﺍﻝ ﲟﻘـﺪﺍﺭ ‪. ٣٠‬‬ ‫ﻭﺣﻴﺚ ﺃﻧﻪ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﲬﺴﺔ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻓﺈﻥ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﳚـﺐ‬ ‫ﺃﻥ ﻳﺰﻳﺪ ﲟﻘﺪﺍﺭ ‪ ٦‬ﺣﱴ ﻧﺼﻞ ﻟﻠﻤﻄﻠﻮﺏ ‪.‬‬

‫ﻭﻳﻜﻮﻥ ﺃﻛﱪ ﻋﺪﺩ = ‪١٥١ = ٦ + ١٤٥‬‬ ‫‪٣٩‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪٧٣٥ = ( ٨ + ι ) + ( ٦ + ι ) + ( ٤ + ι ) + ( ٢ + ι ) + ι‬‬

‫ﻧﻘﺴﻢ ﺍﳌﺒﻠﻎ ﻋﻠﻰ ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﻨﺴﺐ ‪ ،‬ﰒ ﻧﻀﺮﺏ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ‬

‫‪١٤٣ = ι ⇐ ٧٣٥ = ٢٠ + ι٥‬‬ ‫ﺃﻛﱪ ﻋﺪﺩ ﻫﻮ ‪٨ + ι‬‬

‫ﰲ ‪ ٦‬ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪٢٥٠٠٠ = ٢٥٠٠٠٠ = ٢٥٠٠٠‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪١+ ٣ + ٦‬‬ ‫ﻧﺼﻴﺐ ﺃﻛﱪ ﺣﺼﺔ = ‪١٥٠٠٠٠ = ٦ × ٢٥٠٠٠‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٤− ٢‬‬

‫ﺭﻳﺎﺿﻴ ﹰﺎ ‪:‬‬

‫∴‪١٥١ = ٨ + ١٤٣ = ٨ + ι‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻤﺖ ﺃﻥ ﺟﻮﺍﺋﺰ ﻣﺴـﺎﺑﻘﺔ ﻫـﻲ ‪ ٢٥٠٠٠٠‬ﺭﻳـﺎﻝ‬

‫ﲤﻨﺢ ﻟﺜﻼﺛﺔ ﻓﺎﺋﺰﻳﻦ ﻭﻓﻘ ﹰﺎ ﻟﻠﻨﺴـﺐ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴـﺔ ‪١: ٣ : ٦‬‬ ‫ﻓﻤﺎ ﻫﻮ ﻧﺼﻴﺐ ﺻﺎﺣﺐ ﺃﻛﱪ ﺟﺎﺋﺰﺓ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٧٥٠٠٠‬‬

‫) ‪١٠٠٠٠٠ ( χ‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫) ‪١٢٥٠٠٠ ( β‬‬ ‫) ‪١٥٠٠٠٠ ( α‬‬

‫ﺍﺑــﺪﺃ ﺑﺎﳋﻴــﺎﺭ ‪ ، β‬ﺃﻱ ﺃﻥ ﺻــﺎﺣﺐ ﺃﻛــﱪ ﺟــﺎﺋﺰﺓ‬ ‫ﳛﺼــﻞ ﻋﻠــﻰ ‪ ١٢٥٠٠٠‬ﺭﻳــﺎﻝ ‪ ،‬ﻓﻴﻜــﻮﻥ ﻣﺒﻠــﻎ‬ ‫ﺍﻟﺸــﺨﺺ ﺍﻟﺜــﺎﱐ ‪ ) ٦٢٥٠٠‬ﻷﻥ ‪( ١: ٢ = ٣ : ٦‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺸﺨﺺ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺳﻮﻑ ﳛﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺛﻠـﺚ ﻣﺎﺣﺼـﻞ‬ ‫ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﺃﻱ ﺗﻘﺮﻳﺒ ﹰﺎ ‪ ٢١٠٠٠‬ﺭﻳﺎﻝ‬ ‫ﻭﻳﻜﻮﻥ ﳎﻤﻮﻉ ﺍﳌﺒﺎﻟﻎ ﺍﳌﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﱵ ﺣﺼﻠﻮﺍ ﻋﻠﻴﻬﺎ‬

‫= ‪٢٠٨٥٠٠ = ٢١٠٠٠ + ٦٢٥٠٠ + ١٢٥٠٠٠‬‬ ‫ﻭﻫﻮ ﻣﺒﻠﻎ ﺃﻗﻞ ﻣﻦ ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ )‪( ٢٥٠٠٠٠‬‬

‫ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭ ‪ ، β‬ﻭﻛﺬﻟﻚ ﺍﳋﻴﺎﺭﻳﻦ ‪χ ، δ‬‬ ‫ﻭﻳﺒﻘﻰ ﺍﳋﻴﺎﺭ ﺍﻟﻮﺣﻴﺪ ﻭﻫﻮ ‪α‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪. α‬‬

‫‪٤٠‬‬

‫‪٢٥٠٠٠ = ε ⇐ ٢٥٠٠٠٠ = ε + ε٣ + ε٦‬‬ ‫‪١٥٠٠٠٠ = ε٦‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٥ − ٢‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ( ε٢ − ٥ )٢ = ε٣ :‬ﻓﺈﻥ ‪ = ε‬؟‬ ‫)‪١ (β‬‬ ‫)‪٠ (δ‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪١٠‬‬ ‫‪٧‬‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﳝﻜﻨﻚ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺍﻷﺳﻠﻮﺏ ﺍﳌﺘﺒﻊ ﺑﺎﳌﺜﺎﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ‪،‬‬ ‫ﺍﺑﺪﺃ ﺑﺎﳋﻴﺎﺭ ‪ ، β‬ﻓﻨﺠﺪ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﳝﻦ = ‪٣‬‬ ‫ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﺴﺮ = ‪٦‬‬

‫ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭ ‪ . β‬ﻭﻧﺄﺧﺬ ﺍﳋﻴﺎﺭ ‪α‬‬ ‫ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﳝﻦ = ‪٣٠‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﺴﺮ =‬

‫)‬

‫( )‬

‫(‬

‫‪٣٠ = ١٥ × ٢ = ٢٠ − ٣٥ ٢ = ١٠ × ٢ − ٥ ٢‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٧ ٧‬‬ ‫‪٧‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪α‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ ‪.......‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ٢‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٧ − ٢‬‬

‫‪ε٤ − ١٠ = ε٣ ⇔ ( ε٢ − ٥ )٢ = ε٣‬‬ ‫⇔ ‪١٠ = ε٧‬‬ ‫⇔ ‪١٠ = ε‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫ﳚﺐ ﺃﻥ ﻻ ﺗﺒﺪﺃ ﺑﺎﳋﻴـﺎﺭ ‪ β‬ﺇﻻ ﺇﺫﺍ ﻛـﺎﻥ ﺍﻟﺴـﺆﺍﻝ‬

‫ﻣﺎ ﻫﻮ ﺃﻛﱪ ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ‪ ι‬ﲝﻴﺚ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﳌﻘﺪﺍﺭ‬ ‫‪ ١١٢‬ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ؟‬ ‫‪ι‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫)‪٤ (β‬‬ ‫)‪٢ (δ‬‬

‫)‪٣ ( χ‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٥‬‬

‫ﺑﺎﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﳌﺴﺘﺨﺪﻣﺔ ﺑﺎﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﳋﻤﺴـﺔ ﺍﻟﺴـﺎﺑﻘﺔ ‪،‬‬

‫ﺍﺑﺪﺃ ﺑﺎﳋﻴﺎﺭ ‪α‬‬ ‫ﻫﻞ ‪ ١١٢‬ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ؟‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ ٧ = ١١٢ = ١١٢‬ﻭﻫﺬﺍ ﻟﻴﺲ ﻋﺪﺩﹰﺍ ﺻﺤﻴﺤ ﹰﺎ‪.‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٢ ٣٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭ ‪ α‬ﻭﳒﺮﺏ ﺍﳋﻴﺎﺭ ‪β‬‬ ‫ﻫﻞ ‪ ١١٢‬ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ؟‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ ٧ = ١١٢ = ١١٢‬ﻭﻫﺬﺍ ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪١٦‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻻﺣﻆ ﺃﻧﻨﺎ ﱂ ﳒﺮﺏ ﺍﳋﻴـﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺒﺎﻗﻴـﺔ ) ‪( χ ، δ‬‬

‫ﻟﺬﻟﻚ ﻧﺒﺪﺃ ﺑﺎﳋﻴﺎﺭ ‪ α‬ﻭﳒﺮﺏ ﺍﳊـﻞ ﻋﻠـﻰ ﺍﻟﺴـﺆﺍﻝ‬

‫ﺍﳌﺘﺒﻘﻴﺔ ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻦ ‪ ، ٤‬ﻭﺍﻟﱵ ﺣﻘﻘﺖ ﺍﳊﻞ ‪.‬‬

‫ﺻﻌﺐ ‪ ،‬ﻭﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﳉﱪﻳﺔ ﲢﺘﺎﺝ ﺇﱃ ﻭﻗـﺖ ﻭﺟﻬـﺪ‬ ‫ﺃﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﲡﺮﻳﺐ ﺍﳋﻴﺎﺭﺍﺕ ‪ .‬ﻭﻓﻴﻤﺎ ﻋﺪﺍ ﺫﻟﻚ ﺣﺎﻭﻝ‬ ‫ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﺃﺳﻬﻞ ﻭﺃﺳﺮﻉ ﺍﻟﻄﺮﻕ ﺑﺎﳊﻞ‪.‬‬

‫‪ ٢‬ﺗﻌّﻠﻢ ﻣﺘﻰ ﺗﺒﺪأ ﺑﺎﻟﺨﻴﺎر ‪α‬‬ ‫ﰲ ﺑﻌﺾ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ ﻻﳝﻜـﻦ ﺍﻟﺒـﺪﺀ‬ ‫ﻷﻧﻪ ﺑﺎﻟﻮﺍﻗﻊ ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺎ ﻳﻄﻠﺐ ﻣﻨﻚ ﺣﻠـﻪ ﺭﻳﺎﺿـﻴ ﹰﺎ ‪.‬‬ ‫ﺍﳌﻌﻄﻰ ‪ ،‬ﻭﺳﻮﻑ ﻧﻮﺿﺢ ﺫﻟﻚ ﺑﺎﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٦ − ٢‬‬

‫ﻭﺫﻟﻚ ﻷﻥ ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﺃﻛﱪ ﻗﻴﻤـﺔ ﻟــ ‪ ι‬ﻭﺍﳋﻴـﺎﺭﺍﺕ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪β‬‬

‫ﻣﺎ ﻫﻮ ﺃﻛﱪ ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ‪ ١٠٠١‬؟‬ ‫)‪٣ (δ‬‬ ‫) ‪١١ ( β‬‬

‫)‪٧ ( χ‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٣‬‬

‫ﺍﺑﺪﺃ ﺑﺎﳋﻴﺎﺭ ‪α‬‬

‫ﻫﻞ ‪ ١٣‬ﻋﺎﻣﻞ ﺃﻭﱃ ﻟﻠﻌﺪﺩ ‪ ١٠٠١‬؟‬ ‫‪ ٧٧ = ١٠٠١‬ﻧﻌﻢ ﻋﺎﻣﻞ ﺃﻭﱄ‬ ‫‪١٣‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪α‬‬ ‫‪٤١‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٨ −٢‬‬

‫‪ ٣‬اﺳﺘﺒﺪل اﻟﻤﺘﻐﻴﺮات ﺑﺄﻋﺪاد‬

‫ﺃﻱ ﳑﺎ ﻳﻠﻲ ﻻ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ٣‬؟‬ ‫‪٥‬‬ ‫) ‪٢٤ ( δ‬‬ ‫)‪(β‬‬ ‫‪٤٠‬‬ ‫)‪( α‬‬ ‫) ‪⊆ ٦٠ ( χ‬‬

‫ﻳﻮﺟﺪ ﺃﺣﻴﺎﻧ ﹰﺎ ﰲ ﻛﻞ ﺍﳋﻴﺎﺭﺍﺕ ﺍﳌﻌﻄﺎﺓ ﻣﻊ ﺍﻟﺴـﺆﺍﻝ‬

‫‪٧×٣‬‬ ‫‪٥ ٧‬‬ ‫‪٧÷٣‬‬ ‫‪٥ ٧‬‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫ﺍﺑﺪﺃ ﺑﺎﳋﻴﺎﺭ ‪α‬‬ ‫ﻫﻞ ‪ ٣ = ٧ ÷ ٣‬؟ ﻻ ﻷﻥ ‪:‬‬ ‫‪٥ ٥ ٧‬‬ ‫‪٣ ≠ ١٥ = ٥ × ٣ = ٧ ÷ ٣‬‬ ‫‪٥ ٤٩ ٧ ٧ ٥ ٧‬‬ ‫ﻻﺣﻆ ﺃﻥ ﺍﻟﻜﺴﺮ ‪ ٣‬ﻻ ﻳﻜﺎﻓﺊ ﺍﻟﻜﺴﺮ ‪ ١٥‬ﻷﻧﻪ‬ ‫‪٤٩‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﻻ ﻳﻮﺟــﺪ ﻋــﺪﺩ ﻧﻀــﺮﺑﻪ ﰲ ﻣﻘــﺎﻡ ﺍﻟﻜﺴــﺮ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﻭﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﻣﺴﺎﻭﻳ ﹰﺎ ﳌﻘﺎﻡ ﺍﻟﻜﺴﺮ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪٤٩‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪α‬‬

‫ﻣﺘﻐﲑﺍﺕ ﻭﻟﻴﺲ ﺃﻋﺪﺍﺩﹰﺍ ‪ ،‬ﻭﺍﻟﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻌﻬﺎ ﺟﱪﻳ ﹰﺎ ﺳﻮﻑ‬ ‫ﻳﺆﺩﻱ ﺑﺎﻟﻐﺎﻟﺐ ﺇﱃ ﺍﺭﺗﻜﺎﺏ ﺃﺧﻄﺎﺀ ‪ ،‬ﻟﺬﻟﻚ ﻟﻠﺘﻌﺎﻣـﻞ‬ ‫ﻣﻊ ﻫﺬﻩ ﺍﳌﺘﻐﲑﺍﺕ ﻧﺘﺒﻊ ﺍﳋﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ (١‬ﺍﺳﺘﺒﺪﻝ ﻛﻞ ﻣـﺘﻐﲑ ﺑـﺮﻗﻢ ﺳـﻬﻞ ﺍﻟﺘﻌﺎﻣـﻞ‬ ‫ﻣﻌﻪ‪.‬‬ ‫‪ (٢‬ﺣﻞ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﺑﺎﻷﺭﻗـﺎﻡ ﺍﻟـﱵ ﺍﺳـﺘﺨﺪﻣﺘﻬﺎ ﰲ‬ ‫ﺍﳋﻄﻮﺓ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ‪.‬‬ ‫‪ (٣‬ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻛﻞ ﺧﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﺍﳋﻴـﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟـﱵ‬ ‫ﺑﺎﻟﺴــﺆﺍﻝ ﺑﺎﻷﺭﻗــﺎﻡ ﺍﻟــﱵ ﺍﺳــﺘﺨﺪﻣﺘﻬﺎ ﰲ‬ ‫ﺍﳋﻄــﻮﺓ ﺍﻷﻭﱃ ﳌﻘﺎﺭﻧــﺔ ﻣــﺎﻫﻲ ﺍﻹﺟﺎﺑــﺔ‬ ‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﻭﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺳﻮﻑ ﺗﻮﺿﺢ ﺍﳋﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٩− ٢‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛــﺎﻥ ‪ ، βχ = δ :‬ﻓــﺄﻱ ﳑــﺎ ﻳﻠــﻲ ﻳﺴــﺎﻭﻱ‬ ‫‪χ‬‬ ‫؟‬ ‫‪β‬‬ ‫‪δ‬‬ ‫‪δ‬‬ ‫)‪(β‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪βχ‬‬ ‫‪β‬‬ ‫)‪δ (χ‬‬ ‫‪δ‬‬ ‫)‪(α‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪χ‬‬ ‫‪βχ‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﻼ‪:‬‬ ‫ﺍﺧﺘﺮ ﺛﻼﺛﺔ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﲢﻘﻖ ﺍﻟﺸﺮﻁ ‪ βχ = δ‬ﻣﺜ ﹰ‬ ‫‪٣ = β،٢ = χ،٦ = δ‬‬ ‫ﺣﻞ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻫﺬﻩ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ‪:‬‬ ‫‪٢= χ‬‬ ‫‪٣ β‬‬

‫‪٤٢‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ ‪.......‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ٢‬‬

‫ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻛﻞ ﺧﻴﺎﺭ ﺑﺎﺳﺘﺒﺪﺍﻝ ﺍﳌﺘﻐﲑﺍﺕ ﺑﺎﻷﺭﻗـﺎﻡ‬

‫) ‪ ( ٣ = β،٢ = χ،٦ = δ‬ﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ﺃﻱ ﻣﻨﻬﺎ ﻳﺴﺎﻭﻱ‬ ‫‪ ٢‬؟‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪) ٢ ≠ ١ = ٦ = δ ( δ‬ﻳﺴﺘﺒﻌﺪ (‪.‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣ × ٢ βχ‬‬ ‫‪ ) ٢ ≠ ٢ = ٦ = δ ( χ‬ﻳﺴﺘﺒﻌﺪ (‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣ χ‬‬ ‫‪ ) ٢ = ٦ = ٦ = δ ( β‬ﺻﺤﻴﺢ (‬ ‫‪٣ ٩ ٢٣ ٢ β‬‬ ‫‪٢ ≠ ١ = ٦ = ٦ = δ (α‬‬ ‫‪٣ ٣ ١٨ ٩ × ٢ ٢ βχ‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ﺃﻧﻪ ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺇﻻ ﺇﺟﺎﺑﺔ ﺻﺤﻴﺤﺔ ﻭﺍﺣـﺪﺓ ﻓﺈ‪‬ـﺎ‬ ‫ﺗﻜﻮﻥ ‪. β‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪. β‬‬

‫‪δ = χ ⇐ βχ = δ‬‬ ‫‪β‬‬ ‫∴‪β ÷ δ = β ÷ χ‬‬ ‫‪β‬‬ ‫⇐‪δ = ١× δ =χ‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪β β β β‬‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪: ( ١− ٢‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛــﺎﻥ ﳎﻤــﻮﻉ ﺃﺭﺑﻌــﺔ ﺃﻋــﺪﺍﺩ ﻓﺮﺩﻳــﺔ ﺻـﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ι‬ﻓﺈﻥ ﺃﻛﱪ ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ﻣﻦ ﻫـﺬﻩ‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪:‬‬ ‫) ‪١٢ − ι ( δ‬‬ ‫)‪٦+ ι (β‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫) ‪١٢ + ι ( α‬‬ ‫)‪٦ − ι (χ‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﺍﺧﺘﺮ ﺃﺭﺑﻌﺔ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻓﺮﺩﻳﺔ ﺻﺤﻴﺤﺔ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻭﻟﺘﻜﻦ‪:‬‬ ‫‪ ٧،٥،٣،١‬ﻓﻴﻜﻮﻥ ‪:‬‬

‫‪= + + + =ι‬‬ ‫ﻭﺃﻛﱪ ﻫﺬﻩ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ‬

‫‪.‬‬

‫ﰲ ﺍﳋﻴــﺎﺭﺍﺕ ﻭﻳﻜــﻮﻥ‬

‫ﺍﻵﻥ ﻧﻌــﻮﺽ ﻋــﻦ ‪= ι‬‬ ‫ﺍﳋﻴﺎﺭ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻫﻮ ﺍﳋﻴﺎﺭ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﻜﻮﻥ ﻧﺎﲡـﺔ‬ ‫ﺑﻌﺪ ﺍﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ ‪= ι‬‬ ‫ﺍﺑﺪﺃ ﺑﺎﳋﻴﺎﺭ ‪: α‬‬ ‫‪= + = ١٢ + ι (α‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪= + = ٦+ι ( β‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪= − = ٦−ι ( χ‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪= − = ١٢ − ι ( δ‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪........‬‬

‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬

‫‪٤٣‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﺃﻓــﺮﺽ ﺃﻥ ﺍﻷﻋــﺪﺍﺩ ﺍﻷﺭﺑﻌــﺔ ﺍﻟﻔﺮﺩﻳــﺔ ﺍﻟﺼــﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﻭﺍﳌﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪ ٦ + ε،٤ + ε ،٢ + ε ،ε‬ﻭﻟــﻴﻜﻦ ﳎﻤﻮﻋﻬــﺎ‬ ‫ﻫﻮ ‪ ι‬ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪٦ + ε+٤ + ε+ ٢ + ε+ε = ι‬‬

‫‪١٢ + ε٤ = ι‬‬ ‫∴‪١٢ − ι = ε‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻦ ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﻫﻮ ﺃﻛﱪ ﻋﺪﺩ ﻭﻟﻴﺲ ﺃﺻﻐﺮ ﻋﺪﺩ‬ ‫∴‪٦ + ١٢ − ι = ٦ + ε‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫= ‪٢٤ + ١٢ − ι‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫= ‪١٢ + ι‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١٠− ٢‬‬

‫ﻣﺘﻌﻬــﺪ ﻧﻈﺎﻓــﺔ ﻳــﻮﻓﺮ ﳌﺪﺭﺳــﺔ ﻋــﺪﺩ ﻃﻼ‪‬ــﺎ ‪ε‬‬

‫ﻃﺎﻟﺒـﺎﹰ‪ λ ،‬ﻗﺎﻟﺒـ ﹰﺎ ﻣــﻦ ﺍﻟﺼــﺎﺑﻮﻥ ﺃﺳــﺒﻮﻋﻴ ﹰﺎ ﻟﻜــﻞ‬

‫ﻃﺎﻟﺐ‪ .‬ﻓﺈﺫﺍ ﻭﻓﺮ ‪ Ψ‬ﻗﺎﻟﺒ ﹰﺎ ﻣﻦ ﺍﻟﺼﺎﺑﻮﻥ ﳍﺬﻩ ﺍﳌﺪﺭﺳﺔ‬ ‫ﻓﻜﻢ ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺳﺎﺑﻴﻊ ﺍﻟﻼﺯﻣﺔ ﺍﻟﱵ ﻳﺴﺘﻨﻔﺬ ﻓﻴﻬﺎ ﻫﺬﻩ‬ ‫ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫)‪(χ‬‬

‫‪٤٤‬‬

‫‪Ψ‬‬ ‫‪ελ‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫‪λΨ‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫)‪(α‬‬

‫‪Ψε‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪λΨ‬‬ ‫‪ε‬‬

‫ﺍﺧﺘﺮ ﺛﻼﺛﺔ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻋﺪﺩ ﻃـﻼﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳـﺔ ‪ ٥ = ε‬ﻃـﻼﺏ ‪،‬‬ ‫ﻭﻛﻞ ﻃﺎﻟﺐ ﳛﺘﺎﺝ ﺇﱃ ‪ ٢ = λ‬ﻗﺎﻟﺒ ﹰﺎ ﻣﻦ ﺍﻟﺼﺎﺑﻮﻥ‬ ‫ﺃﺳﺒﻮﻋﻴ ﹰﺎ ﻓـﺈﻥ ﻋـﺪﺩ ﺍﻟﻘﻮﺍﻟـﺐ ﺍﳌﺴـﺘﻬﻠﻜﺔ ﺑﺄﺳـﺒﻮﻉ‬ ‫‪١٠ = ٥ × ٢‬ﻗﻮﺍﻟﺐ ‪ ،‬ﻓـﺈﺫﺍ ﻛـﺎﻥ ﻟـﺪﻳﻨﺎ ‪٢٠ = Ψ‬‬ ‫ﻗﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﺍﻟﺼﺎﺑﻮﻥ ﻓﺈ‪‬ﺎ ﺗﻜﻔﻴﻬﻢ ﳌـﺪﺓ = ‪٢ = ٢٠‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫ﺃﺳـــﺒﻮﻉ ‪ ،‬ﺍﻵﻥ ﻧﻌـــﻮﺽ ﺑﺎﻷﺭﻗـــﺎﻡ ) ‪، ٥ =ε‬‬

‫‪ ( ٢٠ = Ψ ، ٢ = λ‬ﰲ ﺍﳋﻴﺎﺭﺍﺕ ﻟﻨﻮﺟﺪ ﺃﻱ ﻣﻦ‬ ‫ﺍﳋﻴﺎﺭﺍﺕ = ‪ ٢‬؟‬

‫‪ ) ٢ = ٢ = ٢٠ = ٢٠ = Ψ ( δ‬ﺻﺢ(‬ ‫‪١٠ ٥ × ٢ ελ‬‬ ‫‪٢ ≠ ١ = ٥ = ٥ = ε (χ‬‬ ‫‪٨ ٤٠ ٢ × ٢٠ λΨ‬‬ ‫‪٢ ≠ ٥٠ = ١٠٠ = ٢٠× ٥ = Ψε (β‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪٢ ≠ ٨ = ٤٠ = ٢ × ٢٠ = λΨ (α‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪δ‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﳌﺪﺭﺳﺔ ﲢﺘﺎﺝ ﺇﱃ ‪ λ‬ﻗﺎﻟﺒـ ﹰﺎ ﺑﺎﻷﺳـﺒﻮﻉ‬

‫ﻟﻜﻞ ‪ ε‬ﻃﺎﻟﺐ ‪ ،‬ﻓﺈ‪‬ﺎ ﲢﺘـﺎﺝ ﺑﺎﻷﺳـﺒﻮﻉ ﺍﻟﻮﺍﺣـﺪ‬ ‫ﺇﱃ ‪ λε‬ﻗﺎﻟﺐ ‪ .‬ﻭﺣﻴﺚ ﺃﻥ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﱵ ﺗﻮﻓﺮﻫـﺎ‬

‫ﺍﳌﺪﺭﺳﺔ ﻫﻲ ‪ Ψ‬ﻗﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﺍﻟﺼﺎﺑﻮﻥ‪ ،‬ﻓﺈ‪‬ﺎ ﺗﻜﻔـﻲ‬

‫ﳌﺪﺓ ‪Ψ‬‬ ‫‪λε‬‬

‫ﺃﺳﺒﻮﻉ ‪.‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ ‪.......‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ٢‬‬

‫ﺍﻵﻥ ﻧﻌــﻮﺽ ﻋــﻦ ﺍﳌــﺘﻐﲑﺍﺕ ﰲ ﺍﻻﺧﺘﻴــﺎﺭﺍﺕ ﺑــﺎﻟﻘﻴﻢ‬ ‫ﰲ ﻣﺜﻞ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﳚﺐ ﺍﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﺑﺎﻷﻋﺪﺍﺩ ﰲ‬ ‫ﻛﻞ ﺍﳋﻴﺎﺭﺍﺕ ﻭﺫﻟﻚ ﻷﻧـﻪ ﺍﺣﺘﻤـﺎﻝ ﺍﻷﻋـﺪﺍﺩ ﺍﻟـﱵ‬ ‫ﺍﺧﺘﺮﻧﺎﻫﺎ ﺗﺆﺩﻱ ﺇﱃ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﲞﻴﺎﺭﻳﻦ ﺃﻭ ﺃﻛﺜﺮ‬ ‫ﻭﰲ ﻫﺬﻩ ﺍﳊﺎﻟﺔ ﻧﺴﺘﺒﺪﻝ ﺗﻠﻚ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺑﺄﻋﺪﺍﺩ ﺃﺧﺮﻯ‬ ‫ﻭﺍﳌﺜﺎﻝ ﺍﻟﺘﺎﱄ ﻳﻮﺿﺢ ﺫﻟﻚ ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١١− ٢‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻋﺪﺩ ﻋﻤﺎﻝ ﺩﻫـﺎﻥ ﻳﺴـﺎﻭﻱ ‪ . ε‬ﻭﻳﻘﻮﻣـﻮﻥ‬ ‫ﺑﺪﻫﻦ ‪ λ‬ﻣﱰ ﹰﻻ ﰲ ‪ Ψ‬ﻳﻮﻡ ‪ ،‬ﻛـﻢ ﻣـﱰ ﹰﻻ ﻳﺴـﺘﻄﻴﻊ‬ ‫ﲬﺴﺔ ﻋﻤﺎﻝ ﺩﻫﻨـﻪ ﰲ ﻳـﻮﻣﲔ ؟ ﺇﺫﺍ ﻛـﺎﻥ ﻳﻌﻤﻠـﻮﻥ‬ ‫ﺑﻨﻔﺲ ﺍﻟﺴﺮﻋﺔ ‪.‬‬ ‫) ‪λε ٥ ( δ‬‬ ‫‪Ψ٢‬‬ ‫) ‪λε٢ ( χ‬‬ ‫‪Ψ٥‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫) ‪λ١٠ ( β‬‬ ‫‪εΨ‬‬ ‫) ‪εΨ١٠ ( α‬‬ ‫‪λ‬‬

‫ﻼ ﻭﺍﺣﺪﹰﺍ ﻳﺴﺘﻄﻴﻊ ﺩﻫﻦ ﻣـﱰﻝ ﻭﺍﺣـﺪ‬ ‫ﺃﻓﺮﺽ ﺃﻥ ﻋﺎﻣ ﹰ‬ ‫ﺧﻼﻝ ﻳﻮﻡ ﻭﺍﺣﺪ ‪ ،‬ﻓﻴﻜﻮﻥ ﻋـﺎﻣﻠﲔ ﻳﺴـﺘﻄﻴﻊ ﻛـﻞ‬ ‫ﻣﻨﻬﻤﺎ ﺩﻫﻦ ﻣﱰﻟﲔ ﰲ ﻳﻮﻣﲔ ﻭﲬﺴﺔ ﻋﻤﺎﻝ ﻳﺴﺘﻄﻴﻊ‬ ‫ﻛــﻞ ﻣﻨــﻬﻢ ﺩﻫــﻦ ﲬﺴــﺔ ﻣﻨــﺎﺯﻝ ﲞﻤﺴــﺔ ﺃﻳــﺎﻡ ‪..‬‬ ‫ﻭﻫﻜﺬﺍ ‪.‬‬ ‫ﻭﳝﻜﻦ ﺗﻮﺿﻴﺢ ﺍﻟﻔﺮﺽ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﳉـﺪﻭﻝ‬ ‫ﺍﻟﺘﺎﱄ‪:‬‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻌﻤﺎﻝ‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﳌﻨﺎﺯﻝ‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻷﻳﺎﻡ‬

‫‪١‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪١٠‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪ ١ = Ψ ،١ = λ ،١ = ε :‬ﰒ ﻧﺒﺤﺚ ﺃﻱ ﻣﻨﻬﺎ‬ ‫ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪١٠‬؟ ‪.‬‬ ‫‪λε٥‬‬ ‫= ‪١٠ ≠ ٥ = ١× ١× ٥‬‬ ‫‪(δ‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١× ٢‬‬ ‫‪Ψ٢‬‬ ‫‪١٠ ≠ ٢ = ١× ١× ٢ = λε٢ ( χ‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪١× ٥‬‬ ‫‪Ψ٥‬‬ ‫‪ ) ١٠ = ١× ١٠ = λ١٠ (β‬ﺻﺢ (‬ ‫‪١× ١ εΨ‬‬ ‫‪ ) ١٠ = ١× ١× ١٠ = εΨ١٠ ( α‬ﺻﺢ (‬ ‫‪١‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫ﺍﻵﻥ ﻧﺴــﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴــﺎﺭﻳﻦ ‪ . χ ، δ‬ﻭﻟﻜــﻦ ﺃﻱ ﻣــﻦ‬ ‫ﺍﳋﻴﺎﺭﻳﻦ ‪ β ،α‬ﳔﺘﺎﺭ ﻓﻜﻼﳘﺎ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ ؟‪.‬‬

‫ﻼ‪:‬‬ ‫ﰲ ﻣﺜﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﳊﺎﻟﺔ ﻧﻐﲑ ﺭﻗﻢ ﻭﺍﺣﺪ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﻣﺜ ﹰ‬

‫‪١ = Ψ ،١٠ = λ ،١ = ε‬‬ ‫ﺍﺭﺳﻢ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻮﺿﻴﺤﻲ ﻳﺴﺎﻋﺪﻙ ﺑﺎﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺬﻱ ﺗﺮﻏﺐ‬ ‫ﺍﻟﺒﺤﺚ ﻋﻨﻪ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻌﻤﺎﻝ‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﳌﻨﺎﺯﻝ‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻷﻳﺎﻡ‬

‫‪١‬‬

‫‪١٠‬‬

‫‪١‬‬

‫‪٢٠‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪١٠٠‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﰒ ﺍﺧﺘﱪ ‪ β ، α‬ﻓﻘﻂ ﻭﻧﺒﺤﺚ ﺃﻳﻬﻤﺎ ﻳﺴﺎﻭﻱ‪١٠٠‬؟‬ ‫ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪ )١٠٠ = ١٠× ١٠ = λ١٠ ( β‬ﺻﺢ (‬ ‫‪١× ١‬‬ ‫‪εΨ‬‬ ‫‪١٠٠ ≠ ١ = ١× ١× ١٠ = εΨ١٠ ( α‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪β‬‬

‫‪٤٥‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫) ‪٥ ≠ ٩ = ٣ − ٢ + ١٠ = Ψ − λ + ε ( χ‬‬ ‫ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﻣﻦ ﻫﺬﺍ ﺍﳌﺜﺎﻝ ﺃﻥ ﺍﺧﺘﻴـﺎﺭ ﺍﻟﻌـﺪﺩ ‪ ١‬ﰲ ﻣﺜـﻞ‬ ‫ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻨﻮﻋﻴﺔ ﻣﻦ ﺍﳌﺴﺎﺋﻞ ﻏـﲑ ﻣﻨﺎﺳـﺐ ﻷﻥ ﺣﺎﺻـﻞ‬ ‫ﺿﺮﺏ ﺃﻭ ﻗﺴﻤﺔ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻮﺍﺣـﺪ ﻳﺴـﺎﻭﻱ ﻧﻔـﺲ‬ ‫ﺍﳌﻘﺪﺍﺭ ‪ .‬ﻛﺬﻟﻚ ﻳﺴﺘﺤﺴﻦ ﺃﻥ ﻻ ﻧﻀﻊ ﻧﻔـﺲ ﺍﻟﻌـﺪﺩ‬ ‫ﻷﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻣﺘﻐﲑ ﺑﻞ ﳚﺐ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﳐﺘﻠﻔﺔ ‪.‬‬

‫) ‪٥ = ٣ − ٢ − ١٠ = Ψ − λ − ε ( β‬‬ ‫) ‪٥ ≠ ١١− = ٣ − ١٠ − ٢ = Ψ − ε − λ ( α‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪β‬‬ ‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪: ( ٢ − ٢‬‬

‫ﺭﲟﺎ ﻛﺎﻥ ﻣﻦ ﺃﻓﻀﻞ ﺍﳋﻴﺎﺭﺍﺕ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑﺍﺕ ﺍﻟﺴـﺎﺑﻘﺔ‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪، ١ + β٢ = χ ، ١ + χ = δ :‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ . ١ + α٣ = β‬ﻓﺈﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ α‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪ δ‬ﺗﺴﺎﻭﻱ ‪:‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫) ‪٣ − δ٢ ( β‬‬ ‫‪٢− δ‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫) ‪٢ − δ٣ ( α‬‬ ‫) ‪٣ − δ٢ ( χ‬‬ ‫‪١٨‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫) ‪Ψ + λ + ε( δ‬‬

‫ﺿﻊ ‪ ١ = α‬ﻓﻴﻜﻮﻥ ‪:‬‬ ‫‪= + = ١ + α٣ = β‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪= + × = ١ + β٢ = χ‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪= = + = ١+χ=δ‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺍﻵﻥ ﻋﻮﺽ ﻋﻦ ﻗﻴﻤﺔ ‪ = δ‬ﰲ ﺍﳋﻴﺎﺭﺍﺕ ﻭﺃﲝـﺚ‬

‫ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫‪٢ = Ψ ،٤ = λ ،٥ = ε‬‬ ‫ﻭﳝﻜﻨﻚ ﺍﺳﺘﺒﺪﺍﻝ ‪ λ‬ﺑﺄﻱ ﻋﺪﺩ ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١٢− ٢‬‬

‫ﺳﻮﻑ ﻳﻜﻮﻥ ﻋﻤﺮ ﳏﻤـﺪ ﺑﻌـﺪ ‪ λ‬ﺳـﻨﺔ ﻣـﻦ ﺍﻵﻥ‬ ‫‪ ε‬ﺳﻨﺔ ‪ .‬ﻓﻜﻢ ﻛﺎﻥ ﻋﻤﺮﻩ ﻗﺒﻞ ‪ Ψ‬ﺳﻨﺔ ؟‬

‫) ‪Ψ − λ + ε( χ‬‬ ‫) ‪Ψ − λ − ε( β‬‬ ‫) ‪Ψ − ε − λ( α‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﺃﻓﺮﺽ ﺃﻥ ﻋﻤﺮ ﳏﻤﺪ ﺳـﻮﻑ ﻳﻜـﻮﻥ ‪ ١٠‬ﺳـﻨﻮﺍﺕ‬ ‫ﺑﻌﺪ ﺳﻨﺘﲔ ‪ ،‬ﻓﻜﻢ ﻛﺎﻥ ﻋﻤﺮﻩ ﻗﺒﻞ ‪ ٣‬ﺳﻨﻮﺍﺕ ‪.‬‬ ‫ﻻﺣﻆ ﺑﺄﻧﻪ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻋﻤﺮ ﳏﻤﺪ ‪ ١٠‬ﺳـﻨﻮﺍﺕ ﺑﻌـﺪ‬ ‫ﺳﻨﺘﲔ ﻣﻦ ﺍﻵﻥ ‪ ،‬ﻓﺈﻥ ﻋﻤـﺮﻩ ﺍﳊـﺎﱄ ‪ ٨‬ﺳـﻨﻮﺍﺕ ‪،‬‬ ‫ﻭﻳﻜﻮﻥ ﻋﻤﺮﻩ ﻗﺒﻞ ‪ ٣‬ﺳﻨﻮﺍﺕ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ٥‬ﺳﻨﻮﺍﺕ ‪.‬‬ ‫ﺍﻵﻥ ﺍﺳﺘﺒﺪﻝ ﺍﳌﺘﻐﲑﺍﺕ ﺑﺄﻋﺪﺍﺩ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪ ٣ = Ψ ،٢ = λ،١٠ = ε‬ﰒ ﻧﻌﻮﺽ ﰲ ﺍﳋﻴﺎﺭﺍﺕ‬ ‫ﻭﺍﳋﻴﺎﺭ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ٥‬ﻫﻮ ﺍﳋﻴﺎﺭ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ‪.‬‬ ‫) ‪٥ ≠ ١٥ = ٣ + ٢ + ١٠ = Ψ + λ + ε ( δ‬‬ ‫‪٤٦‬‬

‫ﺃﻳﻬﻢ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ١ = α‬؟‪.‬‬

‫‪−‬‬ ‫‪٦‬‬

‫=‬ ‫‪= ٢− δ ( δ‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪= ٣ − = ٣ − δ٢ ( χ‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪= ٣ − = ٣ − δ٢ ( β‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪= ٢ − = ٢ − δ٣ ( α‬‬ ‫‪١٨‬‬ ‫‪١٨‬‬ ‫‪١٨‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪......‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ ‪.......‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ٢‬‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪: ( ٣ − ٢‬‬

‫‪ ٤‬اﺧﺘﺮ اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﻨﺎﺳﺒﺔ‬

‫ﻗﺎﺩ ﳏﻤﺪ ﺳﻴﺎﺭﺗﻪ ﳌـﺪﺓ ‪ ε‬ﺳـﺎﻋﺔ ﺑﺴـﺮﻋﺔ ﺛﺎﺑﺘـﺔ‬ ‫ﺗﺴـــﺎﻭﻱ ‪ λ‬ﻛﻠـــﻢ ‪ /‬ﺍﻟﺴـــﺎﻋﺔ ‪ ،‬ﻛـــﻢ ﻋـــﺪﺩ‬ ‫ﺍﻟﻜﻴﻠﻮﻣﺘﺮﺍﺕ ﺍﻟﱵ ﻗﻄﻌﻬﺎ ﰲ ﺁﺧﺮ ‪ ٢٠‬ﺩﻗﻴﻘـﺔ ﻣـﻦ‬ ‫ﺭﺣﻠﺘﻪ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫)‪(χ‬‬

‫‪λε‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪λε٣‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫)‪(α‬‬

‫‪λε‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪٣‬‬

‫ﻫــﺬﻩ ﺍﻟﻨﻮﻋﻴــﺔ ﻣــﻦ ﺍﳌﺴــﺎﺋﻞ ‪ ،‬ﻭﻟﻜﻨــﻬﺎ ﻓ ‪‬ﻌﺎﻟــﺔ‬

‫ﺍﳌﻌﻄﺎﺓ ﺑﺎﻟﺴﺆﺍﻝ ‪ ،‬ﺃﻭ ﺍﻟﻨﺴﺐ ﺍﳌﺌﻮﻳـﺔ ﺣﻴـﺚ ﻳﻜـﻮﻥ‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﳌﻨﺎﺳﺐ ﻫﻮ ‪ . ١٠٠‬ﻭﺳﻮﻑ ﻧﻮﺿـﺢ ﺫﻟـﻚ ﻣـﻦ‬

‫∴ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﺴـﺎﻋﺘﲔ ) ﻣـﺪﺓ ﺍﻟﺮﺣﻠـﺔ ( ﻟﻨﻔﺘـﺮﺽ ﺃﻥ‬

‫ﺳﺮﻋﺔ ﳏﻤﺪ ‪ ٦٠‬ﻛﻠﻢ ‪ /‬ﺍﻟﺴـﺎﻋﺔ ‪ ،‬ﻓﻜـﻢ ﻗﻄـﻊ‬ ‫ﺧﻼﻝ ﺁﺧﺮ ‪ ٢٠‬ﺩﻗﻴﻘﺔ ﻣﻦ ﺭﺣﻠﺘﻪ ؟‬

‫ﺧﻼﻝ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١٣ − ٢‬‬ ‫ﰲ ﺇﺣــﺪﻯ ﺍﳌــﺪﺍﺭﺱ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻳــﺔ ﻣﻠــﺰﻡ ﻛــﻞ ﻃﺎﻟــﺐ‬ ‫ﺑﺎﻻﺷﺘﺮﺍﻙ ﰲ ﻧﺸﺎﻁ ﻻﺻـﻔﻲ ﻭﺍﺣـﺪ ﻓﻘـﻂ‪ ،‬ﻓـﺈﺫﺍ‬

‫ﺳﺎﻋﺔ‬

‫ﺍﳌﺴﺎﻓﺔ = ﺍﻟﺴﺮﻋﺔ × ﺍﻟﺰﻣﻦ = ‪× ٦٠‬‬

‫ﻛــﺎﻥ ﺛﻼﺛــﺔ ﺃﲬــﺎﺱ ﺍﻟﻄــﻼﺏ ﺃﺧــﺬﻭﺍ ﺍﻟﻨﺸــﺎﻁ‬

‫=‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻲ ‪ ،‬ﻭ ‪‬ﺭﺑﻊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﳌﺘﺒﻘﲔ ﺍﻟﺘﺤﻘﻮﺍ ﺑﺎﻟﻨﺸﺎﻁ‬

‫ﺍﻵﻥ ﻋﻮﺽ ﰲ ﺍﳋﻴﺎﺭﺍﺕ ﺑﺎﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ ٦٠ = λ،٢ = ε‬ﻭﺍﳋﻴﺎﺭ ﺍﻟـﺬﻱ ﻗﻴﻤﺘـﻪ‬ ‫ﺍﳋﻴﺎﺭ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ‪.‬‬ ‫‪= × = λε ( δ‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪× × = λε٣ ( χ‬‬ ‫‪= × = λε ( β‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪= =λ (α‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪............‬‬

‫ﺍﳌﺘﻐﲑﺍﺕ ﺑﺄﻋـﺪﺍﺩ ( ﻭﻟﻜـﻦ ﻻ ﻳﻮﺟـﺪ ﻣـﺘﻐﲑﺍﺕ ﰲ‬

‫ﻫــﻮ ﺍﳌﻀــﺎﻋﻒ ﺍﳌﺸــﺘﺮﻙ ﺍﻷﺻــﻐﺮ ﺑــﲔ ﺍﻟﻜﺴــﻮﺭ‬

‫ﻟﻨﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﺭﺣﻠﺘﻪ ﺍﺳﺘﻐﺮﻗﺖ ﺳﺎﻋﺘﲔ‬

‫‪ ٢٠‬ﺩﻗﻴﻘﺔ =‬

‫ﺑﻨﻔﺲ ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﻟﱵ ﺗﻌﺮﺿﻨﺎ ﳍﺎ ﺳـﺎﺑﻘ ﹰﺎ ) ﺍﺳـﺘﺒﺪﺍﻝ‬

‫ﰲ ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ ﺣﻴﺚ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﳌﻨﺎﺳـﺐ ﻟﻼﺧﺘﻴـﺎﺭ‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫=‬

‫ﰲ ﺑﻌﺾ ﺍﳌﺴﺎﺋﻞ ‪ ،‬ﲢﺘﺎﺝ ﺇﱃ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻟﺘﻌﻮﺽ ‪‬ـﺎ ‪،‬‬

‫ﻫـﻮ‬

‫ﺍﻟﻌﻠﻤﻲ ﻭﺑﻘﻴﺔ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﺘﺤﻘـﻮﺍ ﺑﺎﻟﻨﺸـﺎﻁ ﺍﻟﺜﻘـﺎﰲ ‪.‬‬ ‫ﻓﻜﻢ ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﺬﻳﻦ ﺍﺧﺘﺎﺭﻭﺍ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﻘﺎﰲ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫=‬

‫‪⊆ ١٥‬‬

‫) ‪⊆ ٢٠ ( χ‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫) ‪⊆ ٣٠ ( α‬‬

‫‪⊆ ٢٥‬‬

‫ﺍﳌﻀﺎﻋﻒ ﺍﳌﺸﺘﺮﻙ ﺍﻷﺻﻐﺮ ﳌﻘﺎﻣﻲ ﺍﻟﻜﺴﺮﻳﻦ ‪ ٣‬ﻭ‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪ ١‬ﻫﻮ ‪. ٢٠‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﺃﻓﺮﺽ ﺃﻥ ﻋﺪﺩ ﻃﻼﺏ ﺍﳌﺪﺭﺳﺔ = ‪ ٢٠‬ﻃﺎﻟﺐ ‪.‬‬ ‫ﻋــــــﺪﺩ ﻃــــــﻼﺏ ﺍﻟﻨﺸــــــﺎﻁ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿــــــﻲ‬ ‫= ‪١٢ = ٢٠× ٣‬ﻃﺎﻟﺒ ﹰﺎ‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٤٧‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﳌﺘﺒﻘﲔ = ‪ ٨ = ١٢ − ٢٠‬ﻃﻼﺏ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﻃﻼﺏ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﻌﻠﻤﻲ = ‪ ٢ = ٨ × ١‬ﻃﺎﻟﺒﲔ‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﻋﺪﺩ ﻃﻼﺏ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﻘﺎﰲ = ‪ ٦ = ٢ − ٨‬ﻃﻼﺏ‬ ‫ﻧﺴﺒﺔ ﻃﻼﺏ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﻘﺎﰲ‬ ‫= ‪⊆ ٣٠ =⊆ ٥١٠٠ × ٦‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪α‬‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١٤−٢‬‬ ‫ﰲ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪ γ ١٤٢٤‬ﻛﺎﻥ ﻋـﺪﺩ ﺃﻋﻀـﺎﺀ ﻧـﺎﺩﻱ ﺃﺩﰊ‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺟﺎﻝ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﻋـﺪﺩ ﺃﻋﻀـﺎﺀﻩ ﻣـﻦ ﺍﻟﻨﺴـﺎﺀ ﻭﰲ‬ ‫ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪ γ ١٤٢٥‬ﺍﳔﻔﺾ ﻋﺪﺩ ﺃﻋﻀـﺎﺀ ﺍﻟﻨـﺎﺩﻱ ﻣـﻦ‬ ‫ﺍﻟﺮﺟــﺎﻝ ﺑﻨﺴــﺒﺔ ‪ ، ⊆ ٢٠‬ﺑﻴﻨﻤــﺎ ﺯﺍﺩ ﻋــﺪﺩ ﺃﻋﻀــﺎﺀ‬ ‫ﺍﻟﻨﺎﺩﻱ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ ﺑﻨﺴﺒﺔ ‪ ، ⊆ ٢٠‬ﻛﻢ ﻧﺴـﺒﺔ ﻋـﺪﺩ‬ ‫ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ ﺇﱃ ﺍﻟﺮﺟﺎﻝ ﰲ ﻋﺎﻡ ‪ ١٤٢٥‬ﻫـ ؟‬ ‫‪٣‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫)‪١ (β‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫)‪٤ (α‬‬ ‫)‪٥ (χ‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﲟــﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺴــﺆﺍﻝ ﳛــﻮﻱ ﻧﺴــﺒﺔ ﻣﺌﻮﻳــﺔ ‪ ،‬ﻓﺴــﻮﻑ‬ ‫ﻧﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪. ١٠٠‬‬ ‫ﺃﻓﺮﺽ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﺎﺩﻱ ﰲ ﻋﺎﻡ ‪ ، γ ١٤٢٤‬ﻋﺪﺩ ﺃﻋﻀـﺎﺀﻩ‬ ‫‪ ١٠٠‬ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺟﺎﻝ ‪ ،‬ﻭﻛﺬﻟﻚ ‪ ١٠٠‬ﻣﻦ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ ‪.‬‬ ‫ﲟﺎ ﺃﻥ ‪ ⊆ ٢٠‬ﻣﻦ ‪ ١٠٠‬ﺗﺴﺎﻭﻱ ‪٢٠‬‬ ‫ﰲ ﻋﺎﻡ ‪ γ ١٤٢٥‬ﻋﺪﺩ ﺃﻋﻀﺎﺀ ﺍﻟﻨﺎﺩﻱ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‪:‬‬

‫ﻼ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺮﺟﺎﻝ = ‪ ٨٠ = ٢٠ − ١٠٠‬ﺭﺟ ﹰ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ = ‪ ١٢٠ = ٢٠ + ١٠٠‬ﺍﻣﺮﺃﺓ‬ ‫‪٤٨‬‬

‫ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ ﺇﱃ ﺍﻟﺮﺟﺎﻝ = ‪٣ = ١٢٠‬‬ ‫‪٢ ٨٠‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪δ‬‬ ‫ﺗﺪﺭﻳﺐ )‪: (٤ − ٢‬‬ ‫ﰲ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪ γ ١٤٢٤‬ﺍﳔﻔﺾ ﺑﻴﻊ ﻣﻜﺘﺒـﺔ ﻟﻌﻴﻨـﺔ ﻣـﻦ‬ ‫ﺍﻟﻜﺘﺐ ﺑﻨﺴـﺒﺔ ‪ ، ⊆ ٨٠‬ﻭﰲ ﺍﻟﻌـﺎﻡ ‪. γ ١٤٢٥‬ﺯﺍﺩﺕ‬

‫ﻣﺒﻴﻌﺎﺕ ﺗﻠﻚ ﺍﻟﻌﻴﻨـﺔ ﻧﻔﺴـﻬﺎ ﺑﻨﺴـﺒﺔ ‪ ، ⊆ ٨٠‬ﻛـﻢ‬ ‫ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﺰﻳﺎﺩﺓ ﰲ ﺍﳌﺒﻴﻌﺎﺕ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪ γ ١٤٢٤‬ﺇﱃ ﻋﺎﻡ‬ ‫‪ γ ١٤٢٥‬؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫) ‪⊆ ٤٠٠ ( β‬‬ ‫) ‪⊆ ٥٠٠ ( α‬‬

‫‪⊆ ١٠٠‬‬

‫) ‪⊆ ١٢٠ ( χ‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ‬

‫ﻋﺪﺩ ﻋﻴﻨﺔ ﺍﻟﻜﺘﺐ ﺍﳌﺒﺎﻋﺔ = ‪ ١٠٠‬ﻛﺘﺎﺏ‬

‫‪ ⊆ ٨٠‬ﻣﻦ ‪= ١٠٠‬‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻜﺘﺐ ﺍﳌﺒﺎﻋﺔ ﰲ ﻋﺎﻡ ‪γ ١٤٢٤‬‬ ‫= ‪٢٠ = ٨٠ −‬‬ ‫ﻭﰲ ﻋﺎﻡ ‪ γ ١٤٢٥‬ﺯﺍﺩﺕ ﺍﳌﺒﻴﻌﺎﺕ ﻣﻦ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ‬ ‫‪ ٨٠‬ﺃﻱ ﻣﻦ ‪ ) ٢٠‬ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﳊﺎﻟﻴﺔ ( ﺇﱃ ‪١٠٠‬‬ ‫ﺍﻟﺰﻳـــﺎﺩﺓ ﺍﻟﻔﻌﻠﻴـــﺔ‬ ‫×‪⊆ ١٠٠‬‬ ‫ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﺰﻳﺎﺩﺓ =‬ ‫ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﳊﺎﻟﻴــﺔ‬

‫=‬

‫×‬

‫⊆=‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪..........‬‬

‫⊆‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ ‪.......‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ٢‬‬

‫‪ ٥‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ﺑﻌﺾ اﻟﻤﻌﺎدﻻت وﺗﻌﺎﻣﻞ ﻣﻌﻬﺎ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١٥ − ٢‬‬

‫ﰲ ﺍﳌﺴﺎﺋﻞ ﺍﻟﱵ ﲢﺘﻮﻱ ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﲔ ‪ ،‬ﻓﺈﻧﻪ ﳚـﺐ‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪:‬‬

‫ﲨﻌﻬﻤﺎ ﺃﻭ ﻃﺮﺣﻬﻤﺎ ﻟﻠﻮﺻـﻮﻝ ﻟﻠﻤﻄﻠـﻮﺏ ‪ ،‬ﺃﻣـﺎ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ ﲢﻮﻱ ﺛﻼﺙ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﻓﺎﳉﻤﻊ ﻫﻮ ﺍﻷﻓﻀﻞ ‪،‬‬ ‫ﻭﳚﺐ ﺃﻥ ﺗﺘﺬﻛﺮ ﺃﻧﻪ ﰲ ﺍﻟﻐﺎﻟﺐ ﻟﻴﺲ ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﻣﻨـﻚ‬ ‫ﺇﳚــﺎﺩ ﻗﻴﻤــﺔ ﺍ‪‬ﺎﻫﻴــﻞ ﺑﺎﳌﻌــﺎﺩﻻﺕ ‪ ،‬ﻛــﺬﻟﻚ ﻻ‬ ‫ﳝﻜﻨﻚ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻣﻨﺎﺳﺒﺔ ﻷﻧﻪ ﺑﺎﻟﻐﺎﻟـﺐ ﻟـﺪﻳﻚ‬ ‫ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﻭﻟﻴﺲ ﻟﻚ ﺍﳊﺮﻳﺔ ﺑﺎﺧﺘﻴـﺎﺭ ﺍﻷﻋـﺪﺍﺩ ﻧﻈـﺮﹰﺍ‬ ‫ﻷﻥ ﺍﳌﻌﺎﺩﻻﺕ ﺑﺎﻟﻐﺎﻟﺐ ﲢﺘﻮﻱ ﻋﻠﻰ ﺷﺮﻭﻁ ﻣﻌﻴﻨﺔ‪.‬‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ )‪: (٥ − ٢‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪٣‬‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫)‪٥ (α‬‬

‫‪٣٫٥‬‬

‫ﲜﻤﻊ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺘﲔ ‪:‬‬ ‫‪١٤ = λ٥ + ε٣‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪٦= λ−ε‬‬

‫‪+‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺻﺤﻴﺤﺔ ‪:‬‬

‫‪ δ ( I‬ﻣﻮﺟﺒﺔ ‪χ ( II .‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪ I‬ﻓﻘﻂ‬

‫) ‪ II ( χ‬ﻓﻘﻂ‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫‪βχ ( III β‬‬

‫‪٠‬‬

‫) ‪ III ( β‬ﻓﻘﻂ‬

‫)‪(α‬‬

‫‪ I‬ﻭ ‪ II‬ﻓﻘﻂ‬

‫ﲜﻤﻊ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺘﲔ ﳒﺪ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫‪٧ = β + χ −δ‬‬

‫‪١١ = β − χ +δ‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛــــﺎﻥ ‪٦ = λ − ε ، ١٤ = λ٥ + ε٣‬‬ ‫ﻓﺄﻭﺟﺪ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ‪. λ ، ε‬‬

‫‪٢٫٥‬‬

‫‪ ١١ = β − χ+ δ ، ٧ = β + χ− δ‬ﻓــﺄﻱ ﻣــﻦ‬

‫=‬ ‫‪:‬‬

‫‪= +ε‬‬ ‫ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ‪ λ ، ε‬ﻫﻮ ﺣﺎﺻـﻞ‬

‫‪٩ = δ ⇐ ١٨ = δ٢‬‬ ‫ﲟﺎ ﺃﻥ ‪ ٩ = δ‬ﻓﺈﻥ ‪ I‬ﺻﺤﻴﺤﺔ ‪.‬‬

‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ ﻗﻴﻤﺔ ‪ δ‬ﰲ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺘﲔ ‪:‬‬ ‫‪٢− = β + χ− ⇐ ٧ = β + χ − ٩‬‬

‫‪٢ = β − χ ⇐ ١١ = β − χ + ٩‬‬ ‫∵ ‪ II ) β χ ⇐ ٢ = β − χ‬ﺻﺤﻴﺢ (‬ ‫ﻼ‬ ‫∵‪ ٢ + β = χ‬ﻭﺣﻴﺚ ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺷﺮﻭﻁ ﻋﻠﻰ ﻛ ﹰ‬

‫ﻣﻦ ‪ ، β، χ‬ﻓﻠﻮ ﻛﺎﻧﺖ ‪ ٢ = χ‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪ ٠ = ٢ − ٢ = β‬ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ‪:‬‬

‫∴‪ III ) ٠ = βχ‬ﻏﲑ ﺻﺤﻴﺤﺔ (‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪α‬‬

‫ﲨﻌﻬﻤﺎ ﻣﻘﺴﻮﻣ ﹰﺎ ﻋﻠﻰ ‪ ٢‬ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪= = λ+ε‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪..........‬‬ ‫‪٤٩‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١٦ −٢‬‬

‫ﻭﰲ ﲨﻴﻊ ﺍﻷﺣﻮﺍﻝ ﻧﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﺘﺨﻤﲔ ﺍﻟﺬﻛﻲ ‪ ،‬ﺇﺫﺍ‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪:‬‬

‫ﱂ ﻧﻌﺮﻑ ﻛﻴﻒ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﻭﺣـﱴ ﻻ ﻧﺴـﺘﻬﻠﻚ‬

‫‪ α = δ − β ، ٢ = β − χ ،١ = χ − δ‬ﻓﻤـــﺎ‬

‫ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ‪ α‬؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٣−‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪١−‬‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫)‪١ (β‬‬ ‫)‪٣ (α‬‬

‫ﲜﻤﻊ ﺍﳌﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺜﻼﺙ ﳒﺪ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫‪١= χ − δ‬‬

‫‪٢= β−χ‬‬ ‫‪α = δ−β‬‬ ‫‪٣ + α =٠‬‬ ‫⇐ ‪٣ − =α‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪δ‬‬

‫ﻭﻗﺖ ﰲ ﺍﻟـﺘﻔﻜﲑ ﰲ ﺍﻟﺴـﺆﺍﻝ ﻋﻠـﻰ ﺣﺴـﺎﺏ ﻭﻗـﺖ‬ ‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ‪.‬‬ ‫ﻭ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﺗﻮﺿﺢ ﺫﻟﻚ ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١٧ − ٢‬‬ ‫ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﻈﻠﻠﺔ ﺭﲰﺖ ﺩﺍﺧﻞ ﻧﺼـﻒ ﺩﺍﺋـﺮﺓ ‪ ،‬ﻧﺼـﻒ‬ ‫ﻗﻄﺮﻫﺎ ‪ . Ω‬ﻣﺎﻫﻲ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻫﺬﻩ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ؟‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫) ‪Ωπ ٢ ( β‬‬ ‫‪Ωπ ١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫) ‪Ωπ ٣ ( α‬‬ ‫) ‪Ωπ ١ ( χ‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﺲ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻓﻜﺮﺓ ﻛﻴـﻒ ﻧﻮﺟـﺪ ﻣﺴـﺎﺣﺔ ﺍﳌﻨﻄﻘـﺔ‬ ‫ﺍﳌﻈﻠﻠﺔ ؟ ﻓﻠﻢ ﻳﻌﻄﻴﻨﺎ ﺭﺳﻢ ﺗﻮﺿﻴﺤﻲ ﺣـﱴ ﻧﺴـﺘﻨﺒﻂ‬ ‫ﺍﳌﻌﻠﻮﻣــﺎﺕ ﻣﻨــﻪ ‪ .‬ﻭﻫﻨــﺎ ﳚــﺐ ﺃﻥ ﳔﻤــﻦ ﺍﻹﺟﺎﺑــﺔ‬

‫‪ ٦‬اﻟﺘﺨﻤﻴﻦ اﻟﺬآﻲ‬

‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪.‬‬

‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻮﺍﺟﻪ ﺳﺆﺍﻝ ﻻﲤﻠﻚ ﻓﻜﺮﺓ ﻋﻦ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺣﻠـﻪ‬

‫ﻻﺣﻆ ﺃﻥ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ = ‪ ٢ Ωπ‬ﻭﺑﺎﻟﺘـﺎﱄ ﻓـﺈﻥ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻧﺼﻒ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ = ‪. ٢ Ωπ ١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻓﺈﻥ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ﺍﳌﻈﻠﻠﺔ ﳚﺐ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ‬

‫ﻓﺈﻥ ﺍﳋﻴﺎﺭ ﺍﻷﻧﺴﺐ ﺃﻣﺎﻣـﻚ ﻫـﻮ ﺍﻟـﺘﺨﻤﲔ ﻭﺍﺧﺘﻴـﺎﺭ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑــﺔ ﺍﻟــﱵ ﺗــﺮﻯ ﺻــﺤﺘﻬﺎ ﻭﺫﻟــﻚ ﻭﻓــﻖ ﺑﻌــﺾ‬ ‫ﻼ‪:‬‬ ‫ﺍﻹﺭﺷﺎﺩﺍﺕ ﺍﻟﱵ ﳚﺐ ﻣﻼﺣﻈﺘﻬﺎ ﻭﻣﻨﻬﺎ ﻣﺜ ﹰ‬ ‫‪ (١‬ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﳚﺐ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ ﻣﻮﺟﺒـﺔ ‪ ،‬ﻭﻟﻜـﻦ‬ ‫ﻫﻨﺎﻙ ﺧﻴﺎﺭﺍﺕ ﺳﺎﻟﺒﺔ ‪.‬‬ ‫‪ (٢‬ﺍﻹﺟﺎﺑــﺔ ﳚــﺐ ﺃﻥ ﺗﻜــﻮﻥ ﻋــﺪﺩ ﺯﻭﺟــﻲ ‪،‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻦ ﻫﻨﺎﻙ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻓﺮﺩﻳﺔ ‪.‬‬ ‫‪ (٣‬ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﳚﺐ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ ﺃﺻﻐﺮ ﻣـﻦ ‪، ١٠٠‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻦ ﻫﻨﺎﻙ ﺇﺟﺎﺑـﺎﺕ ﺃﻛـﱪ ﻣـﻦ ‪... ١٠٠‬‬ ‫ﻭﻫﻜﺬﺍ ‪.‬‬ ‫‪٥٠‬‬

‫ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻦ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻧﺼﻒ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ‪.‬‬

‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴـﺎﺭﺍﺕ ‪ . α ، β ، χ :‬ﻭﻳﺒﻘـﻰ‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﳋﻴﺎﺭ ‪. δ‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪δ‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ ‪.......‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ٢‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١٨ − ٢‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١٩−٢‬‬

‫ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻸﻋﺪﺍﺩ ‪ ε،١٥،١٠،٥ :‬ﻳﺴﺎﻭﻱ‬ ‫‪ ٢٠‬ﻓﻤﺎ ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ‪ ε‬؟‬

‫ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻤــﺖ ﺃﻥ ﺟــﻮﺍﺋﺰ ﻣﺴــﺎﺑﻘﺔ ﻫــﻲ ‪ ٢٧٠٠٠‬ﺭﻳــﺎﻝ‬

‫)‪(δ‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫) ‪٥٠ ( α‬‬

‫‪٢٥‬‬

‫‪٠‬‬

‫) ‪٢٠ ( χ‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫ﻟﻨﻔﺘﺮﺽ ﺃﻧﻨﺎ ﻻ ﻧﻌﺮﻑ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻷﺭﺑﻌـﺔ ﺃﻋـﺪﺍﺩ ﻳﺴـﺎﻭﻱ‬ ‫‪ ، ٢٠‬ﻭﺛﻼﺛﺔ ﻣﻦ ﻫﺬﻩ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻦ ‪ . ٢٠‬ﻓﻬﺬﺍ‬ ‫ﻳﻌﲏ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ‪ . ٢٠‬ﻟﺬﻟﻚ ﺍﺳﺘﺒﻌﺪ‬ ‫ﺍﳋﻴﺎﺭﻳﻦ ‪.χ ، δ‬‬

‫ﻣﻦ ﻧﺎﺣﻴﺔ ﺃﺧﺮﻯ ﲟﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﻦ ‪ ١٠،٥‬ﺃﺻـﻐﺮ ﻣـﻦ‬

‫‪ ٢٠‬ﺑﻜﺜﲑ ‪ ،‬ﻓﺈﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ ε‬ﳚﺐ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ ﺃﻛﱪ‬ ‫ﺑﻜﺜﲑ ﻋﻦ ‪ . ٢٠‬ﺍﺳﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭ ‪β‬‬

‫ﺑﻘﻲ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺧﻴﺎﺭ ﻭﺍﺣﺪ ﻓﻘﻂ ﻭﻫﻮ ‪.α‬‬

‫ﲤﻨﺢ ﻟﺜﻼﺛﺔ ﻓـﺎﺋﺰﻳﻦ ﻭﻓﻘـ ﹰﺎ ﻟﻨﺴـﺐ ﻣﻌﻴﻨـﺔ ﻓﻤـﺎ ﻫـﻮ‬ ‫ﻧﺼﻴﺐ ﺻﺎﺣﺐ ﺃﻛﱪ ﺟﺎﺋﺰﺓ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪١٣٥٠٠‬‬

‫) ‪٨١٠٠ ( χ‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫) ‪٥٤٠٠ ( β‬‬ ‫) ‪٢٧٠٠ ( α‬‬

‫ﻟﻨﻔﺘﺮﺽ ﺃﻥ ﺍﳉﺎﺋﺰﺓ ﻗﺴﻤﺖ ﺑﺎﻟﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ ،‬ﻓﻜﻞ ﻓﺎﺋﺰ‬ ‫ﺳﻮﻑ ﻳﻜـﻮﻥ ﻧﺼـﻴﺒﻪ ‪ ٩٠٠٠‬ﺭﻳـﺎﻝ ‪ .‬ﻭﺇﺫﺍ ﻗﺴـﻤﺖ‬ ‫ﺑﻨﺴﺐ ﻏﲑ ﻣﺘﺴـﺎﻭﻳﺔ ﻓـﺈﻥ ﻧﺼـﻴﺐ ﺻـﺎﺣﺐ ﺃﻛـﱪ‬

‫ﺟﺎﺋﺰﺓ ﺳﻮﻑ ﻳﻜﻮﻥ ﺑﺎﻟﺘﺄﻛﻴﺪ ﺃﻛﺜـﺮ ﻣـﻦ ‪٩٠٠٠‬‬ ‫ﺭﻳﺎﻝ ‪ ،‬ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭﺍﺕ ‪α ، β ، χ‬‬ ‫ﻼ ﻣﻨﻬﺎ ﺃﻗﻞ ﻣﻦ ‪ ٩٠٠٠‬ﺭﻳﺎﻝ ‪ .‬ﻭﺗﺒﻘﻰ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬ ‫ﻷﻥ ﻛ ﹰ‬ ‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪. δ‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪. δ‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪α‬‬

‫‪ε+١٥ +١٠+ ٥‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫⇔ ‪٨٠ = ε + ٣٠‬‬ ‫∴‪٥٠ = ε‬‬ ‫= ‪٢٠‬‬

‫‪٥١‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢٠−٢‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢٢− ٢‬‬

‫ﺻﻨﺪﻭﻕ ﳛﺘﻮﻱ ﻋﻠﻰ ﻛﺮﺍﺕ ﲪﺮﺍﺀ ‪‬ﻭ ﺯﺭﻗـﺎﺀ ‪ .‬ﻓـﺈﺫﺍ‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸـــــﻜﻞ ﺍ‪‬ـــــﺎﻭﺭ‬

‫ﻛﺎﻧﺖ ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﻜـﺮﺍﺕ ﺍﳊﻤـﺮﺍﺀ ﺇﱃ ﺍﻟﺰﺭﻗـﺎﺀ ﻫـﻲ‬ ‫‪ . ٣ : ٥‬ﻓﻜــﻢ ﺍﻟﻨﺴــﺒﺔ ﺍﳌﺌﻮﻳــﺔ ﻟﻠﻜــﺮﺍﺕ ﺍﻟﺰﺭﻗــﺎﺀ‬ ‫ﺑﺎﻟﺼﻨﺪﻭﻕ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪⊆ ٦٢٫٥‬‬

‫) ‪⊆ ٦٠ ( χ‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫) ‪⊆ ٥٠ ( β‬‬ ‫) ‪⊆ ٣٧٫٥ ( α‬‬

‫ﲟﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺼﻨﺪﻭﻕ ﳛﺘﻮﻱ ‪ ٥‬ﻛﺮﺍﺕ ﲪﺮﺍﺀ ‪ ،‬ﻣﻘﺎﺑﻞ‬ ‫ﻛــﻞ ‪ ٣‬ﻛــﺮﺍﺕ ﺯﺭﻗــﺎﺀ ‪ ،‬ﻓﻬــﺬﺍ ﻳﻌــﲏ ﺃﻥ ﻋــﺪﺩ‬ ‫ﺍﻟﻜــﺮﺍﺕ ﺍﻟﺰﺭﻗــﺎﺀ ﺑﺎﻟﺼــﻨﺪﻭﻕ ﺃﻗــﻞ ﻣــﻦ ﺍﻟﻨﺼــﻒ‬

‫)‪ ، ( ⊆ ٥٠‬ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭﺍﺕ ‪β، χ، δ‬‬ ‫ﻭﻳﺒﻘﻰ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﳋﻴﺎﺭ ﺍﻟﻮﺣﻴﺪ ﻭﻫﻮ ‪α‬‬

‫‪ αβχδ‬ﻃـــﻮﻝ ﺿـــﻠﻌﻪ‬

‫‪٤‬ﺳﻢ ﺭﲰﻨﺎ ﺃﺭﺑﻌﺔ ﺃﻧﺼﺎﻑ‬ ‫ﻼ ﻣﻦ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺿـﻠﻊ ﻣـﻦ ﺃﺿـﻼﻉ‬ ‫ﺩﻭﺍﺋﺮ ﻣﺮﻛﺰ ﻛ ﹰ‬ ‫ﺍﳌﺮﺑﻊ ‪ .‬ﻓﻤﺎ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ﺍﳌﻈﻠﻠﺔ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫) ‪١٦ − π٨ ( α‬‬

‫‪π٨ − ٣٢‬‬

‫) ‪π٨ − ١٦ ( χ‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫‪٣٢ − π٨‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺮﺑﻊ = ‪١٦‬ﺳﻢ‬ ‫ﻭﲟﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻴـﺎﺱ ‪ ،‬ﻓـﻴﻤﻜﻦ ﺍﻻﻋﺘﻤـﺎﺩ‬ ‫ﻋﻠﻴﻪ ﰲ ﺍﺳﺘﺨﺮﺍﺝ ﺍﳌﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ‪ .‬ﻭﺍﺿﺢ ﻣـﻦ ﺍﻟﺮﺳـﻢ ﺃﻥ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺰﺀ ﺍﳌﻈﻠـﻞ ﺃﻛـﱪ ﻣـﻦ ﻣﺴـﺎﺣﺔ ﻧﺼـﻒ‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪α‬‬

‫ﺍﳌﺮﺑﻊ ‪ .‬ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻓﺈﻥ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺰﺀ ﺍﳌﻈﻠﻞ ﳚـﺐ ﺃﻥ‬ ‫ﺗﻜﻮﻥ ﻗﺮﻳﺒﺔ ﻣﻦ ‪ ٩‬ﺳﻢ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢١− ٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﳒﺪ ‪ π ٨‬ﰲ ﲨﻴﻊ ﺍﻹﺟﺎﺑـﺎﺕ ‪ ،‬ﻟـﺬﻟﻚ ﻧﻮﺟـﺪ ﳍـﺎ‬

‫ﺧﻼﻝ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﻣﻦ ﻋﺎﻡ ‪ γ١٤١٥‬ﺇﱃ ‪ . γ ١٤٢٥‬ﺯﺍﺩ ﻭﺯﻥ‬

‫ﻗﻴﻤﺔ ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ‪:‬‬

‫ﻛﻴﻠﻮﻏﺮﺍﻡ ‪ .‬ﻓﻜﻢ ﻛﺎﻥ ﻭﺯﻧﻪ ﰲ ﻋﺎﻡ ‪ γ ١٤١٥‬؟‬

‫‪٢٥ = ٣٫١٤ × ٨ π٨‬‬ ‫‪ ) ٧ = ٢٥ − ٣٢ π٨ − ٣٢ ( δ‬ﺻﻐﲑﺓ (‬ ‫‪ ) ٩− = ٢٥ − ١٦ π ٨ − ١٦ ( χ‬ﻣﺴﺘﺤﻴﻠﺔ (‬

‫ﻣﺎﺟﺪ ﺑﻨﺴـﺒﺔ ‪ . ⊆ ٢٥‬ﻓـﺈﺫﺍ ﻛـﺎﻥ ﻭﺯﻧـﻪ ﺣﺎﻟﻴـ ﹰﺎ ‪ε‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪ε١٫٧٥‬‬

‫) ‪ε١٫٢٥ ( χ‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫) ‪ε١٫٢ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪ε٠٫٨٠‬‬

‫ﲟﺎ ﺃﻥ ﻭﺯﻥ ﻣﺎﺟﺪ ﺯﺍﺩ ﺧﻼﻝ ﺍﻟﻌﺸـﺮ ﺳـﻨﻮﺍﺕ ‪ ،‬ﻓـﺈﻥ‬

‫‪) ٧ − = ٣٢ − ٢٥ ٣٢ − π٨ ( β‬ﻣﺴﺘﺤﻴﻠﺔ(‬ ‫‪ ) ٩ = ١٦ − ٢٥ ١٦ − π ٨ ( α‬ﺻﺤﻴﺤﺔ (‬ ‫ﻻﺣﻆ ﺍﺳﺘﺒﻌﺪﻧﺎ ﺍﳋﻴﺎﺭﻳﻦ ‪ β ، χ‬ﻷ‪‬ﻤﺎ ﺳـﺎﻟﺒﲔ‬

‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻧﺴـﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴـﺎﺭﺍﺕ ‪ . β ، χ ، δ‬ﻭﻳﺒﻘـﻰ‬

‫ﻓﻬﻮ ﺃﻗﻞ ﻣﻦ ﻧﺼﻒ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺮﺑﻊ ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻳﺴﺘﺒﻌﺪ‬

‫ﻭﺯﻧﻪ ﰲ ﻋﺎﻡ ‪ γ ١٤١٥‬ﺃﻗﻞ ﻣﻦ ‪. ε‬‬

‫ﻟﻨﺎ ﺍﳋﻴﺎﺭ ﺍﻟﺬﻱ ﺃﻗﻞ ﻣﻦ ‪ ε‬ﻫﻮ ‪α‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪α‬‬ ‫‪٥٢‬‬

‫ﻭﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﻣﺴﺘﺤﻴﻞ ﻛﻮ‪‬ﺎ ﺳـﺎﻟﺐ ‪ ،‬ﺃﻣـﺎ ﺍﳋﻴـﺎﺭ ‪δ‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻫﻲ ‪α‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ ‪.......‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ٢‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢٣ −٢‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛـــﺎﻥ ﺍﻟﻮﺳـــﻂ ﺍﳊﺴـــﺎﰊ ﻟﻌﺸـــﺮﺓ ﺃﻋـــﺪﺍﺩ‬ ‫ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ . ١٠−‬ﻭﳎﻤﻮﻉ ﺳـﺘﺔ ﺃﻋـﺪﺍﺩ ﻣﻨـﻬﺎ ﻳﺴـﺎﻭﻱ‬

‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﻧﺴﺒﺔ ‪ ٢٥‬ﻫﻠﻠﺔ ﻣﻦ ‪ ٢٠‬ﺭﻳﺎﻝ ﻫﻲ ﺃﻛﺜﺮ ﺑﻘﻠﻴـﻞ‬ ‫ﺟﺪﹰﺍ ﻣﻦ ‪ . ⊆ ١‬ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭ ‪β‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪α‬‬

‫‪ . ١٠٠‬ﻓﻤﺎ ﻫﻮ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻸﻋـﺪﺍﺩ ﺍﻷﺭﺑﻌـﺔ‬ ‫ﺍﻟﺒﺎﻗﻴﺔ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٥٠−‬‬

‫) ‪٢٥ ( χ‬‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫) ‪٥٠ ( β‬‬ ‫) ‪١٠٠ ( α‬‬

‫ﲟﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﺘﻠﻚ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺳﺎﻟﺐ ‪ ،‬ﻓﺈﻥ‬ ‫ﳎﻤﻮﻋﻬﺎ ﺳﺎﻟﺐ ‪ .‬ﻭﲟـﺎ ﺃﻥ ﳎﻤـﻮﻉ ﺍﻟﺴـﺘﺔ ﺃﻋـﺪﺍﺩ‬ ‫ﻣﻮﺟﺐ ‪ .‬ﻓﺈﻥ ﺍ‪‬ﻤﻮﻉ ) ﻭﻛﺬﻟﻚ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ(‬ ‫ﻟﺒﻘﻴﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻷﺭﺑﻌﺔ ﺳﺎﻟﺐ ‪.‬‬

‫‪ ٢٠‬ﺭﻳﺎﻝ = ‪ ٢٠٠٠ = ١٠٠× ٢٠‬ﻫﻠﻠﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﳌﺌﻮﻳﺔ ﺍﳌﻄﻠﻮﺑﺔ‬ ‫= ‪⊆ ١٫٢٥ =⊆ ٢٥ =⊆ ١٠٠× ٢٥‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪٢٠٠٠‬‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢٥ − ٢‬‬ ‫ﻛﻢ ‪ ⊆ ٣‬ﻣﻦ ‪ ⊆ ٤‬؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪⊆ ٠٫١٢‬‬

‫)‪⊆٧ (β‬‬ ‫) ‪⊆ ١٢ ( α‬‬

‫ﻧﺴــﺘﺒﻌﺪ ﲨﻴــﻊ ﺍﳋﻴــﺎﺭﺍﺕ ﺍﳌﻮﺟﺒــﺔ ﻭﻧﺒﻘــﻲ ﻋﻠــﻰ‬

‫) ‪⊆ ١٫٢ ( χ‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪δ‬‬

‫ﻭﺍﺿــﺢ ﺃﻥ ‪ ⊆ ٣‬ﻣــﻦ ‪ ⊆ ٤‬ﻫــﻲ ﺃﺻــﻐﺮ ﻣــﻦ ‪⊆ ٤‬‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭﻳﻦ ‪α ، β‬‬

‫ﺍﳋﻴﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ‪ .‬ﻭﻫﻮ ﺍﳋﻴﺎﺭ ﺍﻟﻮﺣﻴﺪ ‪δ‬‬

‫ﻭﺣﻴﺚ ﺃﻥ ‪ ⊆ ٣‬ﻫﻲ ﺟﺰﺀ ﺻﻐﲑ ﻣﻦ ﺃﻱ ﻋﺪﺩ ‪ ،‬ﻓﻬـﻲ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢٤− ٢‬‬ ‫ﻋﺎﻣﻞ ﰲ ﳏﻞ ‪ ،‬ﻳﺄﺧﺬ ‪ ٢٥‬ﻫﻠﻠﺔ ﻛﺄﺭﺑﺎﺡ ﺷﺨﺼـﻴﻪ‬ ‫ﻟﻪ ﻣﻘﺎﺑـﻞ ﺑﻴﻌـﻪ ﻷﻱ ﺳـﻠﻊ ﺑﻘﻴﻤـﺔ ‪ ٢٠‬ﺭﻳـﺎﻝ ‪ .‬ﻛـﻢ‬ ‫ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﳌﺌﻮﻳﺔ ﻷﺭﺑﺎﺣﻪ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪⊆ ٢٥‬‬

‫)‪⊆ ٥ (χ‬‬

‫) ‪⊆ ٢٫٥ ( β‬‬ ‫) ‪⊆ ١٫٢٥ ( α‬‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫ﻭﺍﺿﺢ ﺃﻥ ﻧﺴﺒﺔ ‪ ٢٥‬ﻫﻠﻠﺔ ﻣﻦ ‪ ٢٠‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ﺻﻐﲑﺓ ﺟﺪﹰﺍ‬ ‫ﻟﺬﻟﻚ ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ ‪χ ، δ‬‬

‫ﺗﻜﻮﻥ ﻣﻦ ‪ ⊆ ٤‬ﺻﻐﲑﺓ ﺟﺪﹰﺍ ‪ .‬ﻭﺍﳋﻴﺎﺭ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻫـﻮ‬ ‫‪.δ‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪δ‬‬

‫ﺃﻓﺮﺽ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ = ‪١٠٠‬‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ ⊆ ٤ :‬ﻣﻦ ‪٤ = ١٠٠‬‬ ‫‪ ⊆ ٣‬ﻣﻦ ‪⊆ ٠ℜ١٢ =⊆ ١٢ = ٤ × ٣ = ٤‬‬ ‫‪١٠٠‬‬ ‫‪١٠٠‬‬

‫ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ ‪ ⊆ ١ :‬ﻣﻦ ‪ ٢٠‬ﺭﻳﺎﻝ = ‪ ٢٠‬ﻫﻠﻠﺔ‬

‫‪٥٣‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫أﻣﺜﻠﺔ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢٦ − ٢‬‬ ‫ﳏﻞ ﺃﺟﻬﺰﺓ ﺍﻟﻜﺘﺮﻭﻧﻴﺔ ‪ ،‬ﻋﻤـﻞ ﲣﻔﻴﻀـ ﹰﺎ ﰲ ﺃﺣـﺪ‬ ‫ﺍﻷﻳــﺎﻡ ﻋﻠــﻰ ﺟﻬــﺎﺯ ‪ ،‬ﻭﻛﺎﻧــﺖ ﻧﺴــﺒﺔ ﺍﻟﺘﺨﻔــﻴﺾ‬ ‫‪ ، ⊆ ٣٣ ١‬ﻛﻢ ﺍﻟﻨﺴـﺒﺔ ﺍﻟـﱵ ﻳﻠـﺰﻡ ﺯﻳﺎﺩ‪‬ـﺎ ﻟﺒﻴـﻊ‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﺍﳉﻬﺎﺯ ﺑﺴﻌﺮﻩ ﺍﻷﺻﻠﻲ ﺇﺫﺍ ﺍﻧﺘﻬﻰ ﺍﻟﺘﺨﻔﻴﺾ ؟‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ﺃﻥ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﳛﺘﻮﻱ ﻋﻠﻰ ﻧﺴﺒﺔ ﻣﺌﻮﻳﺔ ‪ ،‬ﻓﻴﺠـﺐ‬ ‫ﺍﻟﺘﻔﻜﲑ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪. ١٠٠‬‬

‫ﻭﻟﻜﻦ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﳛﺘﻮﻱ ﻋﻠـﻰ ﺍﻟﻜﺴـﺮ ‪ ١‬ﻓﻴﻜـﻮﻥ‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﻣﻦ ﺍﳌﻨﺎﺳﺐ ﺟﺪﹰﺍ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪. ٣٠٠‬‬ ‫ﺃﻓﺮﺽ ﺃﻥ ﺳﻌﺮ ﺍﳉﻬﺎﺯ ﺍﻷﺻﻠﻲ = ‪ ٣٠٠‬ﺭﻳﺎﻝ‬ ‫∵ ‪ ⊆ ٣٣ ١‬ﻣﻦ ‪ ١ = ٣٠٠‬ﻣﻦ ‪١٠٠ = ٣٠٠‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﻭﻫﺬﺍ ﺍﻟﺮﻗﻢ ﻳﻌﲏ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺍﻟﺘﺨﻔﻴﺾ ﺑﺴﻌﺮ ﺍﳉﻬﺎﺯ‬ ‫ﺳﻌﺮ ﺍﳉﻬﺎﺯ ﺑﻌﺪ ﺍﻟﺘﺨﻔﻴﺾ ﻳﺴﺎﻭﻱ‬ ‫‪ ٢٠٠ = ١٠٠ − ٣٠٠‬ﺭﻳﺎﻝ ‪.‬‬ ‫ﺣﱴ ﻳﺒﻴﻊ ﺍﳉﻬﺎﺯ ﺑﺴﻌﺮﻩ ﺍﻷﺻـﻠﻲ ‪ ،‬ﻓﺈﻧـﻪ ﳚـﺐ ﺃﻥ‬ ‫ﻳﺰﻳﺪ ﰲ ﺳﻌﺮﻩ ﻣﺒﻠﻎ ‪ ١٠٠‬ﺭﻳﺎﻝ ‪ .‬ﻭﺗﻜﻮﻥ‬ ‫ﺍﻟﺰﻳـــﺎﺩﺓ ﺍﻟﻔﻌﻠﻴـــﺔ‬ ‫×‪⊆ ١٠٠‬‬ ‫ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﺰﻳﺎﺩﺓ =‬ ‫ﺍﻟﺴــﻌﺮ ﺍﳊــﺎﱄ‬ ‫= ‪⊆ ٥٠ =⊆ ١٠٠× ١٠٠‬‬ ‫‪٢٠٠‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢٧ − ٢‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺳﻌﺮ ﻋﻠﺒﺔ ﲢﺘﻮﻱ ‪ ٣‬ﺃﻗﻼﻡ ﺑﺮﻳﺎﻝ ‪ ،‬ﻭﺳـﻌﺮ‬ ‫ﻋﻠﺒﻪ ﺃﺧﺮﻯ ﲢﺘﻮﻱ ‪ ٥‬ﺃﻗﻼﻡ ﻣﻦ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻨﻮﻋﻴﺔ ﺑﺮﻳﺎﻝ‬ ‫ﻭﲬــﺲ ﻭﺗﺴــﻌﲔ ﻫﻠﻠــﺔ ) ‪ . (١٫٩٥‬ﻓﻜــﻢ ﻧﺴــﺒﺔ‬ ‫ﺍﻟﺰﻳﺎﺩﺓ ﰲ ﺳﻌﺮ ﻫﺬﻩ ﺍﻷﻗﻼﻡ ؟‬ ‫ﺍﳊﻞ‪:‬‬ ‫ﺍﳌﻀﺎﻋﻒ ﺍﳌﺸﺘﺮﻙ ﺍﻷﺻﻐﺮ ﺑﲔ ‪ ٥ ، ٣‬ﻫﻮ ‪.١٥‬‬ ‫ﻛــﺎﻥ ﺳــﻌﺮ ‪ ١٥‬ﻗﻠﻤــ ﹰﺎ ) ‪ ٥‬ﻋﻠــﺐ ( = ‪٥ = ١× ٥‬‬ ‫ﺭﻳﺎﻻﺕ‬ ‫ﻭﺃﺻﺒﺢ ﺍﻵﻥ ﺳﻌﺮ ‪ ١٥‬ﻗﻠﻤ ﹰﺎ ) ‪ ٣‬ﻋﻠﺐ (‬ ‫= ‪ ٥٫٨٥ = ١٫٩٥ × ٣‬ﺭﻳﺎﻻﺕ‬

‫ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺍﻟﺰﻳﺎﺩﺓ = ‪٠٫٨٥ = ٥ − ٥٫٨٥‬‬

‫ﺣﺎﻟﻴ ﹰﺎ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﱵ ﺗﺒـﺎﻉ ﻫـﻲ ﺍﻟـﱵ ﲢﺘـﻮﻱ ﻋﻠـﻰ‬ ‫ﲬﺴﺔ ﺃﻗﻼﻡ ﺑﺎﻟﻌﻠﺒﺔ ) ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﳊﺎﻟﻴﺔ (‬ ‫ﺍﻟﺰﻳـــﺎﺩﺓ ﺍﻟﻔﻌﻠﻴـــﺔ‬ ‫×‪⊆ ١٠٠‬‬ ‫ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﺰﻳﺎﺩﺓ =‬ ‫ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﳊﺎﻟﻴــﺔ‬ ‫‪٠٫٨٥‬‬ ‫×‪⊆ ١٧ =⊆ ٨٥ =⊆ ١٠٠‬‬ ‫=‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢٨ −٢‬‬

‫ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪ ، ٠ δ‬ﲝﻴﺚ ﺃﻥ ﻧﺎﺗﺞ ﻗﺴـﻤﺔ ‪ δ‬ﻋﻠـﻰ‬ ‫‪ ⊆ δ‬ﻣﻦ ‪ δ‬ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪. δ‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫‪ ⊆ δ ) ÷δ‬ﻣﻦ ‪( δ× ١٠٠δ ) ÷ δ = ( δ‬‬

‫) (‬

‫= ‪١٠٠ = ١٠٠ × δ = ٢ δ ÷ δ‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١٠٠‬‬ ‫‪δ‬‬ ‫‪δ‬‬ ‫ﳚﺐ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﳌﻘﺪﺍﺭ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ = ‪ δ‬ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪١٠ = δ ⇐ ١٠٠ = ٢ δ ⇐ δ = ١٠٠‬‬ ‫‪δ‬‬ ‫‪٥٤‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ ‪.......‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ٢‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢٩− ٢‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٣٠−٢‬‬

‫ﳝﻠﻚ ﳏﻤـﺪ ‪ ١٥٠‬ﻗﻄﻌـﺔ ﻧﻘﺪﻳـﺔ ‪ ،‬ﻭﲨﻴﻌﻬـﺎ ﻣـﻦ‬

‫ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﺧﺎﻟﺪ ﻭﻋﻤﺎﺩ ﻟﻌﺒﺔ ﺑﻘﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮﺩ ‪ ،‬ﲝﻴﺚ ﺇﺫﺍ‬

‫ﻓﺌﱵ ﺭﺑﻊ ﺭﻳﺎﻝ) ‪ ٢٥‬ﻫﻠﻠﺔ ( ﻭ ﺍﻟﻘﺮﺷﲔ )‪١٠‬ﻫﻼﻻﺕ (‬

‫ﺭﻣﻴﺖ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﻭﻇﻬﺮﺕ ﺻـﻮﺭﺓ ﳛﺼـﻞ ﺧﺎﻟـﺪ ﻋﻠـﻰ‬

‫ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻧـﺖ ﻗﻴﻤـﺔ ﻫـﺬﻩ ﺍﻟﻘﻄـﻊ ﺍﻟﻨﻘﺪﻳـﺔ ﺗﺴـﺎﻭﻱ‬

‫ﻧﻘﻄﺔ ‪ ،‬ﻭﺇﺫﺍ ﻇﻬﺮﺕ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﳛﺼﻞ ﻋﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﻧﻘﻄﺔ‬

‫‪ ٢٧٫٩٠‬ﺭﻳﺎﻝ ‪ .‬ﻛﻢ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻘﻄﻊ ﺍﻟﻨﻘﺪﻳـﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺌـﺔ‬

‫ﻭﺇﺫﺍ ﺣﺼــﻞ ﺃﻱ ﻣﻨــﻬﻤﺎ ﻋﻠــﻰ ﲬــﺲ ﻧﻘــﺎﻁ ﺗﻨﺘــﻬﻲ‬

‫ﺭﺑﻊ ﺭﻳﺎﻝ ؟‬

‫ﺍﻟﻠﻌﺒﺔ ‪ .‬ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻧـﺖ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠـﺔ ﺍﻵﻥ ‪ ٤‬ﻧﻘـﺎﻁ ﳋﺎﻟـﺪ‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫ﻣﻘﺎﺑﻞ ﺛﻼﺙ ﻧﻘﺎﻁ ﻟﻌﻤـﺎﺩ ‪ ،‬ﻭ ﻛـﺎﻥ ﺍﺣﺘﻤـﺎﻝ ﻓـﻮﺯ‬

‫ﺃﻓﺮﺽ ﺃﻥ ‪ = ε‬ﻋﺪﺩ ﻓﺌﺎﺕ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺭﻳﺎﻝ‬ ‫‪ = ε − ١٥٠‬ﻋﺪﺩ ﻓﺌﺎﺕ ﺍﻟﻘﺮﺷﲔ‬

‫ﺧﺎﻟﺪ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ε‬ﻣﺮﺓ ﻣﻘﺎﺭﻧﺔ ﻣﻊ ﻓﻮﺯ ﻋﻤﺎﺩ ‪ .‬ﻓﻤﺎﻫﻲ‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ‪ ε‬؟‬

‫ﺍﺧﺘﺮ ﺭﻗﻢ ﻭﻟﻴﻜﻦ ‪ ، ١٠٠‬ﰒ ﻛﻮﻥ ﺟـﺪﻭﻝ ﳛـﻮﻱ‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫ﲨﻴﻊ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ ‪ ،‬ﺣﻴﺚ ﺇﺫﺍ ﻛـﺎﻥ ﺍﻟﻨـﺎﺗﺞ ﺃﻛـﱪ‬

‫ﻳﻔﻮﺯ ﻋﻤـﺎﺩ ﺑﺎﻟﻠﻌﺒـﺔ ﺇﺫﺍ ﻇﻬـﺮ ﻛﺘﺎﺑـﺔ ﰲ ﺍﻟـﺮﻣﻴﺘﲔ‬

‫ﻣﻦ ‪ ٢٧٫٩٠‬ﻓﺼﻐﺮ ﺍﻟﺮﻗﻢ ‪ ، ε‬ﻭﺇﺫﺍ ﻛـﺎﻥ ﺃﺻـﻐﺮ‬ ‫ﻣﻦ ‪ ε‬ﻓﻜﱪ ﺍﻟﺮﻗﻢ ‪ ε‬ﻭﺫﻟﻚ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫ﻋﺪﺩ ﻓﺌﺎﺕ‬

‫ﻋﺪﺩ‬

‫ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺭﻳﺎﻝ‬

‫ﻓﺌﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ‬

‫ﺍﳌﺘﺒﻘﻴﺔ ﻟـﻪ ‪ ،‬ﻓﻴﻜـﻮﻥ ﺍﺣﺘﻤـﺎﻝ ﻇﻬـﻮﺭ ﻛﺘﺎﺑـﺔ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﺮﻣﻴﺘﲔ = ‪١ = ١ × ١‬‬ ‫‪٤ ٢ ٢‬‬ ‫ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﻓﻮﺯ ﺧﺎﻟﺪ = ‪٣ = ١ − ١‬‬ ‫‪٤ ٤‬‬ ‫ﻭﲟﺎ ﺃﻥ ‪١ ٣ = ٣‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫∴‪. ٣ = ε‬‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﻓﻮﺯ ﺧﺎﻟﺪ ﺑﺎﻟﻠﻌﺒﺔ ﻫﻮ ﺛﻼﺛـﺔ ﺃﺿـﻌﺎﻑ‬

‫)(‬

‫ﺍﻟﻘﺮﺷﲔ‬

‫‪١٠٠‬‬

‫‪٥٠‬‬

‫‪٨٠‬‬

‫‪٧٠‬‬

‫‪ ٣٠ = ٥ + ٢٥‬ﺭﻳﺎﻝ‬ ‫‪ ٢٧ = ٧ + ٢٠‬ﺭﻳﺎﻝ‬

‫‪٨٥‬‬

‫‪٦٥‬‬

‫‪٢٧٫٧٥ = ٦٫٥ + ٢١٫٢٥‬‬

‫ﻓﻮﺯ ﻋﻤﺎﺩ ‪.‬‬

‫‪٢٩٫٩٠ = ٦٫٤ + ٢١٫٥‬‬ ‫‪٦٤‬‬ ‫‪٨٦‬‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﻋﺪﺩ ﻓﺌﺔ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺭﻳﺎﻝ = ‪ ٨٦‬ﻗﻄﻌﺔ‬ ‫‪٢٧٩٠ = ( ε − ١٥٠)١٠ + ε٢٥‬‬ ‫⇔ ‪٢٧٩٠ = ε١٠ − ١٥٠٠ + ε٢٥‬‬ ‫⇔ ‪١٢٩٠ = ε١٥‬‬ ‫⇔ ‪٨٦ = ε‬‬

‫‪٥٥‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٣١− ٢‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٣٢− ٢‬‬

‫ﻭﺟﺪﺕ ﻋﻤـﺎﺩﺓ ﺷـﺆﻭﻥ ﺍﻟﻘﺒـﻮﻝ ﻭﺍﻟﺘﺴـﺠﻴﻞ ﺑﺈﺣـﺪﻯ‬ ‫ﺍﳉﺎﻣﻌﺎﺕ ﺃﻥ ‪ ١‬ﻃﻠﺒﺎﺕ ﺍﻟﻘﺒﻮﻝ ﻻ ﲢﻘـﻖ ﺍﻟﺸـﺮﻭﻁ‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﺍﻟــﺪﻧﻴﺎ ﻟﻠﻘﺒــﻮﻝ ‪ ،‬ﻭﺑﺎﻟﺘــﺎﱄ ﺗــﺮﻓﺾ ‪ .‬ﻭﺃﻥ ‪ ٢‬ﻣــﻦ‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﺍﻟﻄﻠﺒﺎﺕ ﺍﻟﱵ ﲢﻘﻖ ﺍﻟﺸﺮﻭﻁ ﺗﻘﺒﻞ ‪ .‬ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻋﺪﺩ‬

‫ﻧﺎﺩﻱ ﺃﺩﰊ ‪ ،‬ﺃﻋﻀﺎﺀﻩ ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺟـﺎﻝ ﻭﺍﻟﻨﺴـﺎﺀ ‪،‬ﺣﻴـﺚ‬ ‫ﺃﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻧﺼﻒ ﺃﻋﻀﺎﺀﻩ ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺟـﺎﻝ ‪ ،‬ﻭﻛـﺎﻥ ‪٤‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺟﺎﻝ ‪ ،‬ﻭ ‪ ٦‬ﻣﻦ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ ﺣﻀﺮﻭﺍ ﺑﺎﻟﻨـﺎﺩﻱ ﰲ‬ ‫‪١١‬‬ ‫ﺷﻬﺮ ﳏﺮﻡ ﻟﻠﻘﺎﺀ ﺍﻟﺴﻨﻮﻱ ‪ .‬ﻛﻢ ﺃﻗﻞ ﻋـﺪﺩ ﳑﻜـﻦ‬

‫ﺍﻟﻄﻠﺒﺎﺕ ﺍﳌﻘﺒﻮﻟﺔ ‪١٢٠٠‬ﻃﻠـﺐ ﻓﻜـﻢ ﻋـﺪﺩ ﻃﻠﺒـﺎﺕ‬

‫ﻣﻦ ﺍﻷﻋﻀﺎﺀ ﺣﻀﺮ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻠﻘﺎﺀ ؟‬

‫ﺍﻟﻘﺒﻮﻝ ﺍﻟﱵ ﻗﺪﻣﺖ ﻟﺘﻠﻚ ﺍﳉﺎﻣﻌﺔ ؟‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﺍﺧﺘــﺮ ﻋــﺪﺩ ﻣﻨﺎﺳــﺐ ‪ ،‬ﻭﻫــﻮ ﺍﳌﻀــﺎﻋﻒ ﺍﳌﺸــﺘﺮﻙ‬ ‫ﺍﻷﺻﻐﺮ ﳌﻘﺎﻡ ﺍﻟﻜﺴﺮﻳﻦ ‪ ٢ ، ١ :‬ﻭﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪٢٠‬‬ ‫‪٥ ٤‬‬ ‫ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﻋﺪﺩ ﻃﻠﺒﺎﺕ ﺍﻟﻘﺒﻮﻝ = ‪ ٢٠‬ﻃﻠﺒ ﹰﺎ‬ ‫ﻋــﺪﺩ ﺍﻟﻄﻠﺒــﺎﺕ ﺍﻟــﱵ ﻻ ﺗﻨﻄﺒ ـﻖ ﻋﻠــﻴﻬﻢ ﺍﻟﺸــﺮﻭﻁ‬ ‫ﻳﺴﺎﻭﻱ‪ ٥ = ١ × ٢٠ :‬ﻃﻠﺒﺎﺕ‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﻄﻠﺒﺎﺕ ﺍﳌﺘﺒﻘﻴﺔ ‪١٥‬ﻃﻠﺒ ﹰﺎ ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻨﻬﺎ ‪:‬‬ ‫‪ ٦ = ٢ × ١٥‬ﻃﻠﺒﺎﺕ‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﻧﺴــﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﻛــﻞ ‪ ٢٠‬ﻃﻠــﺐ ﻳﻘﺒــﻞ ﻣﻨــﻬﺎ ‪٦‬‬ ‫ﻃﻠﺒﺎﺕ ﻓﻘﻂ ‪.‬‬ ‫ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻄﻠﺒﺎﺕ = ‪ε‬‬ ‫‪٢٤٠٠٠ = ε٦ ⇐ ١٢٠٠ = ٦‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫∴ ‪ ٤٠٠٠ = ε‬ﻃﻠﺒ ﹰﺎ ‪.‬‬

‫‪٥٦‬‬

‫ﲟﺎ ﺃﻥ ‪ ٤‬ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺟﺎﻝ ﺣﻀﺮﻭﺍ ﺍﻟﻠﻘﺎﺀ ‪ ،‬ﻓﺈﻥ ﻋﺪﺩﻫﻢ‬ ‫‪٧‬‬ ‫ﳚﺐ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻦ ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪ ٧‬ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫ﺍﱁ‬

‫‪،٢١،١٤،٧‬‬ ‫ﲟﺎ ﺃﻥ ‪ ٧‬ﻣﻦ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ ﺣﻀﺮﻭﺍ ﺍﻟﻠﻘﺎﺀ ‪ ،‬ﻓﺈﻥ ﻋﺪﺩﻫﻢ‬ ‫‪١١‬‬ ‫ﳚﺐ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻦ ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪ ١١‬ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪،٣٣،٢٢،١١‬‬ ‫ﻭﲟﺎ ﺃﻧﻪ ﺣﻀﺮ ﺍﻟﻨﺎﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ‪١١‬ﻣـﻦ ﺍﻟﻨﺴـﺎﺀ ‪،‬‬ ‫ﻭﺣﻴﺚ ﺃﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺮﺟﺎﻝ ﺃﻛﺜـﺮ ﻣـﻦ ﻋـﺪﺩ ﺍﻟﻨﺴـﺎﺀ ‪،‬‬

‫ﻓﺈﻧﻪ ﳚﺐ ﺃﻥ ﳛﻀﺮ ﻣـﻦ ﺍﻟﺮﺟـﺎﻝ ﻋﻠـﻰ ﺍﻷﻗـﻞ ‪١٤‬‬ ‫ﻼ‪.‬‬ ‫ﺭﺟ ﹰ‬ ‫ﺃﻗﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻀﺮ ﺍﻟﻨﺎﺩﻱ = ‪ ٢٥ = ١١ + ١٤‬ﻋﻀﻮﹰﺍ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ ‪.......‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ٢‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٣٣ −٢‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٣٤−٢‬‬

‫ﺍﺷــﺘﺮﻯ ﳒــﺎﺭ ﺣﻘﻴﺒــﺔ ﲢﺘــﻮﻱ ﻋﻠــﻰ ﺑﻌــﺾ ﺃﺩﻭﺍﺕ‬

‫ﺃﻋﻄﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿـﻴﺎﺕ ﻷﺣـﺪ ﻃﻼﺑـﻪ ﻗﺎﺋﻤـﺔ ﻣـﻦ‬

‫ﺍﻟﻨﺠﺎﺭﺓ ‪ ،‬ﻭﺻﻨﺪﻭﻕ ﻣﺴـﺎﻣﲑ ﲟﺒﻠـﻎ ‪ ١٠٥‬ﺭﻳـﺎﻻﺕ ‪.‬‬

‫ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﻭﻃﻠﺐ ﻣﻨﻪ ﲨﻌﻬﺎ ‪ .‬ﻭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻄﺎﻟـﺐ ﺑـﺎﳉﻤﻊ ﻭ‬

‫ﻓﺈﺫﺍ ﻋﻠﻤﺖ ﺃﻥ ﺳـﻌﺮ ﺍﳊﻘﻴﺒـﺔ ﻳﺰﻳـﺪ ﲟﻘـﺪﺍﺭ ‪١٠٠‬‬ ‫ﺭﻳــﺎﻝ ﻋــﻦ ﺳــﻌﺮ ﺻــﻨﺪﻭﻕ ﺍﳌﺴــﺎﻣﲑ‪ ،‬ﻓﻜــﻢ ﻋــﺪﺩ‬

‫ﺍﺭﺗﻜﺐ ﺧﻄﺄ ﻭﺍﺣﺪ ﺣﻴﺚ ﲨﻊ ﺍﻟﺮﻗﻢ ‪ ٥٠٩٥‬ﺑـﺪ ﹰﻻ‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﺮﻗﻢ ‪ ٥٫٩٥‬ﻭﻛﺎﻥ ﺣﺎﺻﻞ ﺍﳉﻤﻊ ﺍﻟﺬﻱ ﻭﺟـﺪﻩ‬

‫ﺻﻨﺎﺩﻳﻖ ﺍﳌﺴﺎﻣﲑ ﺍﻟﱵ ﳝﻜـﻦ ﺃﻥ ﻳﺸـﺘﺮﻳﻬﺎ ﺑﺴـﻌﺮ‬

‫‪ . ٨٥٤٥٫٠٥‬ﻓﻤﺎ ﻫﻮ ﺣﺎﺻﻞ ﺍﳉﻤﻊ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ؟‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫ﺍﳊﻞ‪:‬‬

‫ﺣﱴ ﳓﺼـﻞ ﻋﻠـﻰ ﺍﻟﻨـﺎﺗﺞ ﺍﻟﺼـﺤﻴﺢ ‪ ،‬ﺍﻃـﺮﺡ ﻣـﻦ‬

‫ﻗﺪ ﻳﺘﺒﺎﺩﺭ ﺇﱃ ﺍﻟﺬﻫﻦ ﺃﻥ ﺳﻌﺮ ﺍﳊﻘﻴﺒﺔ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪١٠٠‬‬ ‫ﺭﻳﺎﻝ ‪ ،‬ﻭﺳﻌﺮ ﺻﻨﺪﻭﻕ ﺍﳌﺴﺎﻣﲑ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ٥‬ﺭﻳﺎﻻﺕ ‪.‬‬

‫ﺍ‪‬ﻤﻮﻉ ﺍﻟﺬﻱ ﻭﺟﺪﻩ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺍﻟﺮﻗﻢ ﺍﳋﻄﺄ ) ‪( ٥٠٩٥‬‬ ‫ﰒ ﺃﺿﻒ ﺍﻟﺮﻗﻢ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ) ‪ ( ٥٫٩٥‬ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬

‫ﻭﻫﺬﺍ ﻏﲑ ﺻﺤﻴﺢ ‪.‬‬

‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ‪:‬‬

‫ﺃﻓﺮﺽ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫= ‪٣٤٥٦ = ٥٫٩٥ + ٥٠٩٥ − ٨٥٤٥٫٠٥‬‬

‫‪ = ε‬ﺳﻌﺮ ﺻﻨﺪﻭﻕ ﺍﳌﺴﺎﻣﲑ‬ ‫‪ = ١٠٠ + ε‬ﺳﻌﺮ ﺍﳊﻘﻴﺒﺔ‬ ‫∴‪١٠٥ = ( ١٠٠ + ε ) + ε‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٣٥ − ٢‬‬

‫ﺍﳊﻘﻴﺒﺔ ؟‬

‫‪١٠٥ = ١٠٠ + ε٢‬‬ ‫‪٥ = ε٢‬‬ ‫‪ ٢٫٥ = ٥ = ε‬ﺭﻳﺎﻝ‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺳﻌﺮ ﺍﳊﻘﻴﺒﺔ = ‪ ١٠٢٫٥ = ١٠٠ + ٢٫٥‬ﺭﻳﺎﻝ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺻﻨﺎﺩﻳﻖ ﺍﳌﺴﺎﻣﲑ ﺍﻟﱵ ﳝﻜﻦ ﺷـﺮﺍﺀﻫﺎ ﺑﺴـﻌﺮ‬ ‫ﺍﳊﻘﻴﺒﺔ = ‪ ٤١ = ١٠٢٫٥‬ﺻﻨﺪﻭﻗ ﹰﺎ ‪.‬‬ ‫‪٢٫٥‬‬ ‫ﻻﺣﻆ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪٤١ = ٢٠٥ = ١٠٢٥ = ١٠٢٫٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫‪٢٫٥‬‬

‫ﻛــﻢ ﻋــﺪﺩ ﺍﻷﻋــﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼــﺤﻴﺤﺔ ﺍﶈﺼــﻮﺭﺓ ﺑــﲔ‬ ‫‪ . ١٠٠٠ ،١‬ﻭﺍﻟــﱵ ﺣﺎﺻــﻞ ﺿــﺮﺏ ﺃﻱ ﻋــﺪﺩﻳﻦ‬ ‫ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﲔ ﻓﻴﻬﺎ ﻻ ﻳﺰﻳﺪ ﻋﻦ ‪١٠٠٠‬؟‬ ‫ﺍﳊﻞ‪:‬‬ ‫ﻧﻀﻊ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﺑﺎﳊﻠﻮﻝ ﺍﶈﺘﻤﻠﺔ ‪:‬‬

‫‪..... ، ٢٥ × ٢٤ ، ..... ، ٣ × ٢ ، ٢ × ١‬‬ ‫ﻟﻴﺲ ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﺇﳚﺎﺩ ﺍﻟﻨﻮﺍﺗﺞ ‪ ،‬ﻭﻟﻜﻦ ﻣـﻦ ﺍﳌﻬـﻢ ﺃﻥ‬ ‫ﺗﻌﺮﻑ ﺃﻳﻦ ﺗﺘﻮﻗﻒ ‪ .‬ﻓﻨﻼﺣﻆ ﺃﻥ ﺃﻛﱪ ﻧﺎﺗﺞ ﻟﻀـﺮﺏ‬ ‫ﻋﺪﺩﻳﻦ ﺻﺤﻴﺤﲔ ﻻ ﻳﺰﻳﺪ ﻋﻦ ‪ ١٠٠٠‬ﻫﻮ ‪:‬‬

‫‪. ٩٩٢ = ٣٢ × ٣١‬‬

‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﻋﺪﺩ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ٣١‬ﻋﺪﺩﹰﺍ ‪.‬‬

‫‪٥٧‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ ) ‪( ١−٢‬‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪: ( ٦ − ٢‬‬

‫ﻋﻤﺮ ﳏﻤﺪ ﺍﻵﻥ ﺛﻼﺛﺔ ﺃﺿﻌﺎﻑ ﻋﻤﺮ ﺧﺎﻟﺪ ‪ ،‬ﻭﺑﻌﺪ ‪٧‬‬ ‫ﺳﻨﻮﺍﺕ ﺳﻮﻑ ﻳﻜﻮﻥ ﻋﻤﺮ ﳏﻤﺪ ﺿﻌﻒ ﻋﻤﺮ ﺧﺎﻟﺪ‪.‬‬ ‫ﻛﻢ ﻋﻤﺮ ﳏﻤﺪ ﺍﻵﻥ ؟‬ ‫ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺍﻟﺘﺎﱄ‪:‬‬ ‫ﺍﻵﻥ‬ ‫ﺑﻌﺪ ﺳﺒﻊ ﺳﻨﻮﺍﺕ‬

‫ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﻋﺪﺩ ﻣﻦ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ‪ ،‬ﻳﺘﺒﻊ ﻛﻞ ﻣﻨـﻬﺎ ﺃﺭﺑﻌـﺔ‬ ‫ﺍﺧﺘﻴﺎﺭﺍﺕ ‪ .‬ﺍﺧﺘﺮ ﻣـﻦ ﺑﻴﻨـﻬﺎ ﺍﻹﺟﺎﺑـﺔ ﺍﻟﺼـﺤﻴﺤﺔ ﰒ‬ ‫ﻇﻠﻞ ﺍﳊﺮﻑ ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ ﳍﺎ ﰲ ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻮﻗﺖ‬

‫ﺃﻭ ﹰﻻ ‪ :‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ‬

‫ﻋﻤﺮ ﺧﺎﻟﺪ‬

‫ﻋﻤﺮ ﳏﻤﺪ‬

‫‪ε‬‬ ‫‪٧+ε‬‬

‫‪ε٣‬‬ ‫‪٧+ε ٣‬‬

‫ﲟﺎ ﺃﻧﻪ ﺑﻌﺪ ‪ ٧‬ﺳﻨﻮﺍﺕ ﺳـﻮﻑ ﻳﻜـﻮﻥ ﻋﻤـﺮ ﳏﻤـﺪ‬ ‫ﺿﻌﻒ ﻋﻤﺮ ﺧﺎﻟﺪ‬ ‫∴ ‪= ( ٧ + ε )٢‬‬

‫‪+‬‬

‫⇔ ‪= ١٤ + ε٢‬‬

‫‪+ε‬‬

‫⇔‪=ε‬‬ ‫ﻋﻤﺮ ﳏﻤﺪ ﺍﻵﻥ = ‪× ٣ = ε٣‬‬

‫‪ (١‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪، ٦ + ε٢ − ٢ ε ٦ − ε٢ + ٢ ε‬‬ ‫ﻓﺄﻱ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺻﺤﻴﺤﺔ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪ε‬‬

‫)‪(χ‬‬

‫‪٣=ε‬‬

‫‪٣‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫)‪٤ = ε (α‬‬ ‫‪ε‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪ (٢‬ﻟﺪﻯ ﳏﻤﺪ ﺃﺭﺑﻌﺔ ﺃﺿﻌﺎﻑ ﺍﻟﻜﺘﺐ ﺍﻟﱵ ﻣﻊ ﺧﺎﻟﺪ‬

‫=‬

‫ﺳﻨﺔ‬

‫ﻭ ﲬﺴﺔ ﺃﺿﻌﺎﻑ ﺍﻟﻜﺘـﺐ ﺍﻟـﱵ ﻣـﻊ ﺑﺎﺳـﻞ ‪ .‬ﻓـﺈﺫﺍ‬ ‫ﻋﻠﻤﺖ ﺃﻥ ﺑﺎﺳﻞ ﻟﺪﻳﻪ ﺃﻛﺜﺮ ﻣﻦ ‪ ٤٠‬ﻛﺘﺎﺑ ﹰﺎ ‪ .‬ﻓﻜـﻢ‬ ‫ﺃﻗﻞ ﻋﺪﺩ ﳑﻜﻦ ﻣﻦ ﺍﻟﻜﺘﺐ ﻣﻊ ﳏﻤﺪ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٢٤٠‬‬

‫) ‪٢٢٠ ( χ‬‬

‫) ‪٢١٠ ( β‬‬ ‫) ‪٢٠٥ ( α‬‬

‫‪ (٣‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻋﻤﺮ ﻓﻬـﺪ ﺍﻵﻥ ﺿـﻌﻒ ﻋﻤـﺮ ﺳـﻌﺪ ‪،‬‬ ‫ﻭﻗﺒﻞ ﺳﺖ ﺳﻨﻮﺍﺕ ﻛﺎﻥ ﻋﻤﺮﻩ ﲬﺴﺔ ﺃﺿﻌﺎﻑ ﻋﻤﺮ‬ ‫ﺳﻌﺪ ﰲ ﺫﻟﻚ ﺍﻟﻮﻗﺖ ‪ .‬ﻛﻢ ﻋﻤﺮ ﻓﻬﺪ ﺍﻵﻥ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪١٠‬‬

‫) ‪١٦ ( χ‬‬

‫‪٥٨‬‬

‫) ‪٢٠ ( β‬‬ ‫) ‪٢٤ ( α‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ ‪.......‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ٢‬‬

‫‪ (٤‬ﻣﺎ ﺃﻛﱪ ﻋﺎﻣﻞ ﺃﻭﱃ ﻟﻠﻌﺪﺩ ‪ ٢٥٥‬؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٥‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪١٥‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫) ‪٥١ ( α‬‬

‫‪١٧‬‬

‫‪ (٥‬ﻣﺎ ﻫﻮ ﺃﻛﱪ ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ‪ ι‬ﳛﻘﻖ ﺍﳌﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ‪:‬‬

‫‪٨ + ι٧ + ٢ ι‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪ ٣ − ι٨ + ٢ ι‬؟‬

‫)‪٧ (β‬‬ ‫)‪١٠ ( α‬‬

‫‪٠‬‬

‫)‪٥ ( χ‬‬ ‫‪ (٦‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪δ :‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪β − δ٢‬‬

‫) ‪β − χ٢ ( χ‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫)‪χ + δ − β (α‬‬ ‫‪χ٢ − β‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪١٠٠‬‬

‫) ‪١٠٠ ( χ‬‬ ‫‪δ‬‬

‫)‪δ (β‬‬ ‫‪١٠٠‬‬ ‫) ‪١٠٠ ( α‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪δ‬‬

‫‪ (١٠‬ﻣﺎ ﻫﻮ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻠﻤﻘﺪﺍﺭﻳﻦ ‪:‬‬ ‫‪ ٣ + ε٤ ،١ − ε٢‬؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪١ + ε٣‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪٢ + ε٣‬‬

‫‪ . χ + δ = β ، χ‬ﻓﺄﻱ ﻣـﻦ‬

‫ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺍﳌﻮﺟﺐ ﺑﲔ ‪ χ،δ‬؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪ (٩‬ﻣﺎ ﻫﻮ ﻧﺎﺗﺞ ﻗﺴﻤﺔ ‪ δ‬ﻋﻠﻰ ‪ ⊆ δ‬ﻣﻦ ‪ δ‬؟‬

‫)‪(β‬‬ ‫) ‪١+ ε ( α‬‬

‫‪٤ + ε٣‬‬

‫‪ (١١‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ١ = χ٣ + δ١٢ :‬ﻭ ﻛﺎﻥ‬ ‫‪ ٩ = δ ٢ − χ ٧‬ﻓﻤﺎ ﻫﻮ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴـﺎﰊ ﻟــ ‪ δ‬ﻭ‬ ‫‪χ‬؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪ (٧‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺳﻌﺮ ‪ λ‬ﻗﻄﻌﺔ ﻣﻌﺪﻧﻴﺔ ﻳﻜﻠـﻒ ‪ε‬‬ ‫ﻫﻠﻠـﺔ ﻓﻜـﻢ ﻗﻄﻌــﻪ ﺗﺴـﺘﻄﻴﻊ ﺷـﺮﺍﺋﻬﺎ ﺑـــﻤﺒﻠﻎ ‪Ψ‬‬

‫‪٠٫١‬‬

‫)‪(χ‬‬

‫‪٠٫٥‬‬

‫ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ؟‬

‫‪ (١٢‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ε١٦ = ٤ −ε٢٨ :‬ﻓﻤـﺎ ﻫـﻲ ﻗﻴﻤـﺔ‬

‫)‪(δ‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪λΨ١٠٠‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫‪λΨ‬‬ ‫‪ε١٠٠‬‬

‫) ‪λΨε١٠٠ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪λΨ‬‬ ‫‪ε‬‬

‫‪ (٨‬ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻤﺖ ﺃﻥ ‪ ⊆ ١٢٠‬ﻣﻦ ‪ δ‬ﺗﺴﺎﻭﻱ‪ ⊆ ٨٠‬ﻣﻦ ‪χ‬‬ ‫ﻓﺄﻱ ﳑﺎ ﻳﻠﻲ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ χ+ δ‬؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪δ١٫٥‬‬

‫) ‪δ٢ ( χ‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫)‪(α‬‬

‫‪δ٢٫٥‬‬ ‫‪δ٣‬‬

‫‪ε‬؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٢‬‬

‫)‪(χ‬‬

‫‪٣‬‬

‫)‪١ (β‬‬ ‫) ‪٢٫٥ ( α‬‬

‫)‪٤ (β‬‬ ‫)‪٦ (α‬‬

‫‪ (١٣‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ⊆ ε :‬ﻣﻦ ‪ λ‬ﺗﺴﺎﻭﻱ ‪ ١٠‬ﻓﻤﺎ ﻫﻲ‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ‪ λ‬؟‬ ‫) ‪١٠٠٠ ( β‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫) ‪١٠٠ ( χ‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫)‪(α‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫‪١٠٠‬‬ ‫‪٥٩‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪ (١٤‬ﺇﺫﺍ ﻛـــﺎﻥ ‪ λ، ε :‬ﻋـــﺪﺩﻳﻦ ﺻـــﺤﻴﺤﲔ‬

‫‪ (١٧‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ε‬ﻋﺪﺩﹰﺍ ﺻﺤﻴﺤ ﹰﺎ ﻣﻮﺟﺒ ﹰﺎ ‪ ،‬ﲝﻴﺚ ﺃﻥ‬

‫ﲝﻴﺚ ﺃﻥ ‪ . ٢ λ = ٣ ε‬ﻓـﺄﻱ ﻣـﻦ ﺍﻟﻘـﻴﻢ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴـﺔ‬ ‫ﻻﳝﻜﻦ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﻟـ ‪ λ‬؟‬

‫‪ . ٢٠ ≠ ε‬ﻭﻋﺮﻓﻨﺎ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺘﲔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺘﲔ ‪:‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪١−‬‬

‫)‪١ (χ‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫) ‪١٦ ( α‬‬ ‫‪٨‬‬

‫‪ (١٥‬ﻳﺰﻭﺭ ﻃﻼﻝ ﻣﺪﻳﻨﺔ ﺃﻟﻌﺎﺏ ﺗﺮﻓﻴﻬﻴﺔ ﰲ ﻛﻞ ﺷﻬﺮ‬ ‫ﻣﺮﺓ ‪ ،‬ﻭﺛـﻼﺙ ﻣـﺮﺍﺕ ﰲ ﻛـﻞ ﻣـﻦ ﺷـﻬﺮﻱ ﳏـﺮﻡ‬ ‫ﻭﺻﻔﺮ ‪ .‬ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺳﻌﺮ ﺗﺬﻛﺮﺓ ﺍﻟﺪﺧﻮﻝ ﻟﻜﻞ ﻣﺮﺓ‬ ‫‪ ٣٫٥‬ﺭﻳﺎﻻﺕ ‪ .‬ﻭﺳﻌﺮ ﺗﺬﻛﺮﺓ ﺍﻟﺪﺧﻮﻝ ﻟﺜﻼﺛﺔ ﺃﺷـﻬﺮ‬ ‫ﻣﻔﺘﻮﺣﺔ ‪١٨‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ‪ .‬ﺃﻣﺎ ﺗـﺬﻛﺮﺓ ﺍﻟـﺪﺧﻮﻝ ﺍﳌﻔﺘﻮﺣـﺔ‬ ‫ﳌﺪﺓ ﺳﻨﺔ ﻓﺴﻌﺮﻫﺎ ‪ ٦٠‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ‪ .‬ﻓﻜﻢ ﺃﻗﻞ ﺳﻌﺮ ﻳﻨﻔﻘﻪ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺯﻳﺎﺭﺍﺗﻪ ﺧﻼﻝ ﺳﻨﺔ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٦٠‬‬

‫) ‪٥٦ ( χ‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫) ‪٤٨ ( α‬‬

‫‪٤٩٫٥‬‬

‫‪ (١٦‬ﺟﺴﻴﻢ ﻳﺘﺤﺮﻙ ﺑﺴﺮﻋﺔ ‪ ٣٦‬ﻛﻠﻢ ‪ /‬ﺍﻟﺴـﺎﻋﺔ ‪.‬‬ ‫ﻛﻢ ﻋﺪﺩ ﺍﻷﻣﺘﺎﺭ ﺍﻟﱵ ﻳﻘﻄﻌﻬﺎ ﰲ ﺛﺎﻧﻴﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪١٠‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪٣٦‬‬

‫) ‪١٠٠ ( β‬‬ ‫) ‪٣٦٠ ( α‬‬

‫⊗ = ‪ . ε − ٢٠ = ⊕ ، ٢٠ + ε‬ﻓــﺈﺫﺍ ﻛــﺎﻥ‪:‬‬ ‫⊗ = ‪ . ٤‬ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤﺔ ‪ ε‬؟‬ ‫⊕‬ ‫) ‪١٢ ( β‬‬ ‫) ‪٢٠ ( δ‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪١٥‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٠‬‬

‫‪ (١٨‬ﰲ ﺍﻟﺸــــــــﻜﻞ‬

‫ﺍ‪‬ــــﺎﻭﺭ ‪. αβχδ‬‬ ‫ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻌﻪ ‪ ١٢‬ﺳﻢ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻛﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪ ٨ = λε = πγ = ικ = ϖτ‬ﺳﻢ‬ ‫ﻼ ﻣﻨﻬﻢ ﻃﻮﻝ ﻗﻄﺮ ﺩﺍﺋـﺮﺓ ‪ .‬ﺭﺳـﻢ ﻧﺼـﻒ ﻛـﻞ‬ ‫ﻭﻛ ﹰ‬ ‫ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻣﻨـﻬﺎ ﻛﻤـﺎ ﰲ ﺍﻟﺸـﻜﻞ ﺃﻋـﻼﻩ ‪ .‬ﻓﻤـﺎ ﻫـﻲ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﳌﻈﻠﻞ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪π١٢٨ − ١٤٤‬‬

‫) ‪π٦٤ − ١٤٤ ( χ‬‬

‫) ‪π٣٢ − ١٤٤ ( β‬‬ ‫) ‪π١٦ − ١٤٤ ( α‬‬

‫‪ (١٩‬ﻳﻌﻤﻞ ﰲ ﻣﺴﺘﻮﺻـﻒ ﻋـﺪﺩ ﻣـﻦ ﺍﳌـﻮﻇﻔﲔ ﻣـﻦ‬ ‫ﺟﻨﺴﻴﺎﺕ ﳐﺘﻠﻔﺔ ‪ ،‬ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻤﺖ ﺃﻥ ‪ ٢‬ﻣـﻦ ﺍﳌـﻮﻇﻔﲔ‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﺭﺟﺎﻝ ﻭ ‪ ٣‬ﻫﻮﻻﺀ ﺍﳌﻮﻇﻔﲔ ﺳـﻌﻮﺩﻳﲔ ‪ ،‬ﻭﻛـﺎﻥ ‪٣‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫ﺍﳌﻮﻇﻔﲔ ﻣﻦ ﺟﻨﺴﻴﺔ ﻏﲑ ﺳﻌﻮﺩﻳﺔ ﻓﻤﺎ ﻫﻮ ﺍﻟﻜﺴـﺮ‬ ‫ﺍﻟﺬﻱ ﳝﺜﻞ ﻋﺪﺩ ﺍﳌﻮﻇﻔﺎﺕ ﺍﻟﺴﻌﻮﺩﻳﺎﺕ ؟‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫)‪(β‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫) ‪١١ ( χ‬‬ ‫)‪(α‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٦٠‬‬

‫‪٦٠‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ ‪.......‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ٢‬‬

‫‪ (٢٠‬ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﳌﻘﺎﺑـﻞ‬

‫‪ (٢٤‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ‬

‫‪ αβχδ‬ﻃــﻮﻝ ﻗﻄــﺮﻩ‬

‫) ‪β − εχ −٢ ε = (٥ − ε٢)(٢ + ε٣‬‬

‫‪ βδ‬ﺭﺳــــﻢ ﺩﺍﺧﻠــــﻪ‬ ‫‪ ξψζσ‬ﻭﺍﻟﺬﻱ ﻃـﻮﻝ‬

‫ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﳌﻘﺪﺍﺭ ‪ χ + β − δ‬؟‬ ‫)‪(β‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫‪٧‬‬

‫ﻗﻄﺮﻩ‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪ . βδ ١ = ψσ‬ﻓﻤﺎ ﻫﻲ ﻧﺴﺒﺔ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺍﳌﻈﻠﻠﺔ ﺇﱃ ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪. αβχδ‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫∂‪١: ٢‬‬

‫)‪٤: ٣ ( χ‬‬

‫) ‪٢∂ : ٢ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١: ٢‬‬

‫‪ (٢١‬ﻛﻢ ﻋﺪﺩ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﶈﺼـﻮﺭﺓ ﺑـﲔ ‪٤٠٠،٢٠٠‬‬ ‫ﻭﺍﻟﱵ ﺗﺒﺪﺃ ﺃﻭ ﺗﻨﺘﻬﻲ ﺑﺎﻟﺮﻗﻢ ‪ ٣‬؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪١٢٠‬‬

‫)‪(χ‬‬

‫‪١١٥‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫) ‪١١٠ ( α‬‬

‫‪١١٢‬‬

‫‪٨‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٩‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫‪ (٢٥‬ﺗﻌﻤﻞ ﺭﻏﺪ ﰲ ﻣﻌﺮﺽ ﺑﻴﻊ ﻣﻼﺑﺲ ﻧﺴـﺎﺋﻴﺔ ‪ ،‬ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻛﺎﻥ ﺳﻌﺮ ﻓﺴﺘﺎﻥ ‪ ε‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ﻭﻳﺒﺎﻉ ﳐﻔﻀـ ﹰﺎ ﺑﻨﺴـﺒﺔ‬ ‫‪ ، ⊆١٥‬ﻭﳝﻜﻦ ﻟﻠﻌﺎﻣﻠﲔ ﺑﺎﳌﻌﺮﺽ ﺍﳊﺼﻮﻝ ﻋﻠـﻰ‬ ‫ﺧﺼﻢ ﻗﺪﺭﻩ ‪ ⊆١٠‬ﻣﻦ ﺍﻟﺴﻌﺮ ﺍﳌﺨﻔﺾ ‪ .‬ﻓﺈﺫﺍ ﺍﺷﺘﺮﺕ‬ ‫ﺭﻏﺪ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻔﺴﺘﺎﻥ ﻓﻜﻢ ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ﺳﺘﺪﻓﻊ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪ε٠٫٧٦‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪ε٠٫٧٦٥‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫) ‪ε٠٫٨٠٥ ( α‬‬ ‫‪ε٠٫٧٧٥‬‬

‫‪ (٢٢‬ﻣﺎ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﱵ ﻳﺼﻨﻌﻬﺎ ﻋﻘﺮﺏ ﺍﻟﺴﺎﻋﺎﺕ‬ ‫ﻣﻊ ﻋﻘﺮﺏ ﺍﻟﺪﻗﺎﺋﻖ ﻋﻨﺪ ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ‪ ٢:٣٠‬؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪°١٢٠‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪°١٠٥‬‬

‫) ‪°٩٠ ( β‬‬ ‫) ‪°٧٥ ( α‬‬

‫‪ (٢٣‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺳﻌﺮ ﺩﺭﺍﺟﺔ ﺧﻔـﺾ ﺑﻨﺴـﺒﺔ ‪ ⊆ ٢٥‬ﰒ‬ ‫ﺧﻔﺾ ﺍﻟﺴﻌﺮ ﺍﳉﺪﻳﺪ ﺑﻨﺴﺒﺔ ‪ ⊆ ٢٠‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺘﺨﻔﻴﻀﺎﻥ‬ ‫ﻣﻌ ﹰﺎ ﻳﺴﺎﻭﻳﺎﻥ ‪:‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪⊆ ٤٥‬‬

‫) ‪⊆ ٤٠ ( χ‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫) ‪⊆ ٣٠ ( α‬‬

‫‪⊆ ٣٥‬‬

‫‪٦١‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺎﺕ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ‪ /‬ﺍﻟﻄﺎﻟﺒﺔ ﺍﳋﺎﺻﺔ‬

‫‪٦٢‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫اﺳﺘﺮاﺗﻴﺠﻴﺎت ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ٣‬‬ ‫ﺳﻮﻑ ﻧﺴﺘﻌﺮﺽ ﰲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻔﺼـﻞ ﺑﻌـﺾ ﺍﻹﺭﺷـﺎﺩﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﱵ ﺗﺴﺎﻋﺪﻙ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣـﻊ ﺃﺳـﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧـﺔ ‪ .‬ﻭ‬ ‫ﺳﺒﻖ ﻭﺗﻌﺮﻓﻨـﺎ ﺑﺎﻟﻔﺼـﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻋﻠـﻰ ﻣﺎﻫﻴـﺔ ﺃﺳـﺌﻠﺔ‬ ‫ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ‪ ،‬ﻓﺴﻮﻑ ﻧﺴﺘﻌﺮﺽ ﰲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻔﺼﻞ ﻛﻴﻔﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﳌﺜﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻨﻮﻋﻴﺔ ﻣﻦ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ‪.‬‬ ‫ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ‬ ‫ﺗﻌﺘﱪ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ‪ ،‬ﺟﺪﻳﺪﺓ ﺇﱃ ﺣـﺪ ﻣـﺎ ﺑﺎﻟﻨﺴـﺒﺔ‬ ‫ﻟﻠﻄﻼﺏ ‪ ،‬ﻓﺄﺳﺌﻠﺔ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ ﺳﺒﻖ ﻭﺗﻌﺎﻣـﻞ‬ ‫ﻣﻌﻬﺎ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ‪.‬ﺃﻣﺎ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ﳍﺎ ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﻭﺻﻴﻐﺔ‬ ‫ﻣﻌﻴﻨﺔ ﻧﻌﻴﺪ ﺗﺬﻛﲑﻙ ‪‬ﺎ ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ‪ :‬ﰲ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫ﺻﻴﻐﺘﺎﻥ ‪ ،‬ﻭﺍﺣـﺪﺓ ﰲ ﺍﻟﻌﻤـﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪ ،‬ﻭﺍﻷﺧـﺮﻯ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪ ،‬ﻗـﺎﺭﻥ ﺑـﲔ ﺍﻟﺼـﻴﻐﺘﲔ ﰒ ﺍﺧﺘـﺮ ﰲ‬ ‫ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﳊﺮﻑ ‪:‬‬ ‫‪ ( δ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﻣﻨﻬﺎ‬ ‫ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬ ‫‪ ( χ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧــﺖ ﺍﻟﺼــﻴﻐﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﻤــﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﺻــﻐﺮ‬ ‫ﻣﻨﻬﺎ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬ ‫‪ (β‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺼﻴﻐﺘﺎﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﲔ‬ ‫‪ ( α‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧــﺖ ﺍﳌﻌﻠﻮﻣــﺎﺕ ﺍﳌﻌﻄــﺎﺓ ﻏــﲑ ﻛﺎﻓﻴــﺔ‬ ‫ﻟﻠﻤﻘﺎﺭﻧﺔ‪.‬‬

‫‪٦٤‬‬

‫ﻋﻨﺪ ﻣﻘﺎﺭﻧﺔ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﺑﺎﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻊ ﺍﻟﺼـﻴﻐﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﻓﺈﻥ ‪:‬‬

‫‪ -١‬ﺍﻹﺟﺎﺑــﺔ ﺗﻜــﻮﻥ ‪ : δ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧـﺖ ﺍﻟﺼــﻴﻐﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﺼـﻴﻐﺔ ﺑـﺎﻟﻌﻤﻮﺩ‬ ‫ﺍﻟﺜــﺎﱐ ﺩﺍﺋﻤــ ﹰﺎ ﻭﻟــﻴﺲ ﻟــﺒﻌﺾ ﺍﻟﻌﺒــﺎﺭﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ﻓﻘﻂ ‪.‬‬

‫‪ -٢‬ﺍﻹﺟﺎﺑــﺔ ﺗﻜــﻮﻥ ‪ : χ‬ﺇﺫﺍ ﻛــﺎﻥ ﺍﻟﺼــﻴﻐﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﺼـﻴﻐﺔ ﺑـﺎﻟﻌﻤﻮﺩ‬ ‫ﺍﻟﺜــﺎﱐ ﺩﺍﺋﻤــ ﹰﺎ ﻭﻟــﻴﺲ ﻟــﺒﻌﺾ ﺍﻟﻌﺒــﺎﺭﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ﻓﻘﻂ ‪.‬‬

‫‪ -٣‬ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺗﻜـﻮﻥ ‪ : β‬ﺇﺫﺍ ﻛـﺎﻥ ﺍﻟﺼـﻴﻐﺔ‬ ‫ﺑ ـﺎﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺗﺴــﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼــﻴﻐﺔ ﺑ ـﺎﻟﻌﻤﻮﺩ‬ ‫ﺍﻟﺜــﺎﱐ ﺩﺍﺋﻤــ ﹰﺎ ﻭﻟــﻴﺲ ﻟــﺒﻌﺾ ﺍﻟﻌﺒــﺎﺭﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ﻓﻘﻂ ‪.‬‬

‫‪ -٤‬ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺗﻜﻮﻥ ‪ : α‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﳌﻌﻠﻮﻣـﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟــﱵ ﺃﻋﻄﻴــﺖ ﺑﺎﻟﺴــﺆﺍﻝ ﻏــﲑ ﻛﺎﻓﻴــﺔ‬ ‫ﻟﻠﻤﻘﺎﺭﻧﺔ ‪.‬‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ ﺗﻠﻚ ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧـﺔ‪ ،‬ﻭﺍﻟـﱵ ﳚـﺐ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺣﻔﻈﻬﺎ ﻭﺍﺳـﺘﻴﻌﺎ‪‬ﺎ ﺣـﱴ ﻻ ﻳﺴـﺘﻐﺮﻕ‬ ‫ﻭﻗﺖ ﺑﻘﺮﺍﺀ‪‬ﺎ ﺃﺛﻨﺎﺀ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ‪.‬‬ ‫ﻭﻫﺬﻩ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻘﻮﺍﻋـﺪ ﺍﻟﺴـﺮﻳﻌﺔ ﺍﻟـﱵ ﺗﺴـﺎﻋﺪﻙ ﰲ‬ ‫ﲣﻤﲔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪.‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‪.......‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ٣‬‬

‫‪ ١‬ﺍﺳﺘﺒﺪﻝ ﺍﳌﺘﻐﲑﺍﺕ ﺑﺄﻋﺪﺍﺩ‬ ‫‪ (١‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﺑﺎﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ‬ ‫ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﺑـﺎﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜـﺎﱐ ﻟـﺒﻌﺾ ﺍﻟﻌﺒـﺎﺭﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ‪ ،‬ﻓﻤﺒﺎﺷﺮﺓ ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭﻳﻦ ‪χ‬‬

‫ﻭ ‪ . β‬ﻭﺗﺒﻘﻰ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺇﺣﺪﻯ ﺍﳋﻴﺎﺭﻳﻦ ‪ δ‬ﺃﻭ‬

‫‪.α‬‬

‫‪ (٢‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺼـﻴﻐﺔ ﺑـﺎﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﺻـﻐﺮ‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﺑﺎﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﻟﺒﻌﺾ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺍﺕ‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ‪ ،‬ﻓﻤﺒﺎﺷﺮﺓ ﻧﺴـﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴـﺎﺭﻳﻦ ‪δ‬‬

‫ﻭ ‪ . β‬ﻭﺗﺒﻘﻰ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺇﺣﺪﻯ ﺍﳋﻴـﺎﺭﻳﻦ ‪χ‬‬ ‫ﺃﻭ ‪. α‬‬

‫‪ (٣‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﺑـﺎﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺗﺴـﺎﻭﻱ‬ ‫ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﺑـﺎﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜـﺎﱐ ﻟـﺒﻌﺾ ﺍﻟﻌﺒـﺎﺭﺍﺕ‬

‫ﲢﺘﻮﻱ ﺑﻌﺾ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺘﻐﲑﺍﺕ ‪ ،‬ﻭﻳﻄﻠـﺐ‬ ‫ﻣﻨــﻚ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧــﺔ ﺑــﲔ ﺍﻟﺼــﻴﻐﺘﲔ ﰲ ﺍﻟﻌﻤــﻮﺩﻳﻦ ‪ ،‬ﻭﰲ‬ ‫ﺍﻟﻐﺎﻟﺐ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﺳﺘﺒﺪﺍﻝ ﺗﻠﻚ ﺍﳌـﺘﻐﲑﺍﺕ ﺑﺄﻋـﺪﺍﺩ ﻫـﻮ‬ ‫ﺍﻷﻓﻀﻞ ﻣﻦ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻧﻔﺲ ﺍﳌﺘﻐﲑﺍﺕ ﻭﺍﻟﱵ‬ ‫ﲢﺘﺎﺝ – ﺃﻱ ﺍﳌﺘﻐﲑﺍﺕ ‪ -‬ﰲ ﺍﻟﻌﺎﺩﺓ ﺇﱃ ﻣﻬﺎﺭﺍﺕ ﻋﺎﻟﻴﺔ‬ ‫ﰲ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿــﻴﺎﺕ ﻭﺇﱃ ﻭﻗــﺖ ﻭﺟﻬــﺪ ﺃﻧــﺖ ﰲ ﺃﻣــﺲ‬ ‫ﺍﳊﺎﺟﺔ ﻟﻪ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ‪ .‬ﻭﻫﻨﺎﻙ ﺑﻌﺾ‬ ‫ﺍﻟﻘﻮﺍﻋﺪ ﺍﻟﱵ ﻳﻨﺼـﺢ ﺑﺄﺗﺒﺎﻋﻬـﺎ ﰲ ﺍﺧﺘﻴـﺎﺭ ﺍﻷﻋـﺪﺍﺩ‬ ‫ﻭﺳﻮﻑ ﻧﺴﺘﻌﺮﺿﻬﺎ ﺑﻌﺪ ﺍﺳﺘﻌﺮﺍﺿﻨﺎ ﻟﻠﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﺘﺎﱄ‪:‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١− ٣‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪δ :‬‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ‪ ،‬ﻓﻤﺒﺎﺷﺮﺓ ﻧﺴـﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴـﺎﺭﻳﻦ ‪δ‬‬

‫ﻭ ‪ . χ‬ﻭﺗﺒﻘﻰ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺇﺣﺪﻯ ﺍﳋﻴـﺎﺭﻳﻦ ‪β‬‬ ‫ﺃﻭ ‪. α‬‬

‫ﻭﺳﻨﺴﺘﻌﺮﺽ ﺑﺄﻣﺜﻠﺔ ﺗﻮﺿﻴﺤﻴﺔ ) ﻣﻊ ﺗﻮﺿﻴﺢ ﺧﻄﻮﺍﺕ‬ ‫ﺍﳊﻞ ( ﺍﻻﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ (١‬ﺍﺳﺘﺒﺪﻝ ﺍﳌﺘﻐﲑﺍﺕ ﺑﺄﻋﺪﺍﺩ‬ ‫‪ (٢‬ﺍﺧﺘﺮ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﳌﻨﺎﺳﺒﺔ‬ ‫‪ (٣‬ﺳﻬﻞ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ‪ ،‬ﺑﻌﻤﻞ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴـﺎﺕ ﻋﻠـﻰ‬ ‫ﺍﻟﺼﻴﻐﺘﲔ ‪.‬‬ ‫‪ (٤‬ﺃﺳﺄﻝ ﻫـﻞ ﳝﻜـﻦ ﺃﻥ ﺗﻜـﻮﻥ ﺍﻟﺼـﻴﻐﺘﺎﻥ‬ ‫ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﲔ ؟ ﺃﻭ ﻫﻞ ﳚﺐ ﺃﻥ ﺗﺘﺴﺎﻭﻯ ؟‬ ‫‪ (٥‬ﻻ ﺗﺴﺘﻬﻠﻚ ﺍﻟﻮﻗﺖ ﺑﺎﳊﺴﺎﺑﺎﺕ‬

‫‪ (٦‬ﺗﻌﻠﹼﻢ ﻣﱴ ﺗﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭ ‪α‬‬

‫‪χ‬‬

‫‪β‬‬

‫‪α‬‬

‫‪χδ‬‬

‫‪αβ‬‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﺍﺳﺘﺒﺪﻝ ﺍﳌﺘﻐﲑﺍﺕ ﺑﺄﻋﺪﺍﺩ ﺳﻬﻠﺔ ﺍﻻﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻭﲢﻘـﻖ‬ ‫ﺍﻟﺸﺮﻁ ﺍﳌﻮﺟﻮﺩ ﺑﺎﻟﺴﺆﺍﻝ ‪ .‬ﻭﻟﻨﻔﺮﺽ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫‪١٠ = α ،٥ = β، ٢ = χ،١ = δ‬‬ ‫ﻭﺍﺿﺢ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪٢ = ( ٢ )( ١) = χδ‬‬

‫‪٥٠ = ( ١٠)( ٥ ) = αβ‬‬ ‫ﳑﺎ ﺳﺒﻖ ﳒﺪ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﺃﻛﱪ ﻣـﻦ ﺍﻟﻌﻤـﻮﺩ‬ ‫ﺍﻷﻭﻝ ‪ ،‬ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭﻳﻦ ‪β ، δ‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﳚﺐ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ ‪ χ‬ﺃﻭ ‪ . α‬ﻭﺇﺫﺍ ﱂ ﺗﺴـﺘﻄﻊ‬ ‫ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ﻓﻴﺠﺐ ﺍﺧﺘﻴـﺎﺭ ﺃﺣـﺪﳘﺎ ‪ ،‬ﻭﺳـﻮﻑ ﺗﻀـﻤﻦ‬

‫‪ (٧‬ﺗﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻜﺒﲑﺓ‬ ‫‪٦٥‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺑﻨﺴﺒﺔ ‪ ⊆ ٥٠‬ﻣﻦ ﺃﻥ ﺍﳊﻞ ﺻـﺤﻴﺢ ‪ .‬ﺩﻋﻨـﺎ ﻧﻜﻤـﻞ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﺎﺵ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﺍﻵﻥ ‪ :‬ﻫﻞ ‪ χδ αβ‬ﺩﺍﺋﻤ ﹰﺎ ؟‬ ‫ﻼ‪:‬‬ ‫ﺍﺧﺘﺮ ﺃﺭﻗﺎﻡ ﺃﺧﺮﻯ ﻭﻟﺘﻜﻦ ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻣﺜ ﹰ‬

‫‪١− = α ،٢ − = β، ٣ − = χ،١ − = δ‬‬ ‫ﻭﺍﺿﺢ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪١٥ = ( ٥ − )( ٣ − ) = χδ‬‬

‫‪٢ = ( ١− )( ٢− ) = αβ‬‬ ‫ﺍﻵﻥ ﳒﺪ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ‬

‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭ ‪ χ‬ﻷﻧﻪ ﻟﻴﺲ ﺻـﺤﻴﺢ ﺩﺍﺋﻤـ ﹰﺎ ‪.‬‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ‪:‬‬

‫ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻘﻮﺍﻋﺪ ﺍﻟﱵ ﺗﺴﺎﻋﺪﻙ ﻋﻠﻰ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﺍﻷﻋـﺪﺍﺩ‬ ‫ﺍﳌﻨﺎﺳﺒﺔ ‪:‬‬ ‫‪ (١‬ﺃﻓﻀﻞ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﱵ ﳛﺴﻦ ﺍﺳـﺘﺨﺪﺍﻣﻬﺎ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﺒﺪﺍﻳﺔ ﻫﻲ ‪.١،٠،١−‬‬ ‫‪ (٢‬ﰲ ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﻛﺴﻮﺭ ﺑـﲔ ﺍﻟﺼـﻔﺮ‬ ‫ﻭﺍﻟﻮﺍﺣﺪ‬ ‫‪ (٣‬ﳝﻜﻨﻚ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻜـﺒﲑﺓ ﻣﺜـﻞ‬ ‫‪.١٠٠،١٠‬‬ ‫‪ (٤‬ﳚﺐ ﺃﻥ ﲣﺘﺎﺭ ﻟﻜﻞ ﻣـﺘﻐﲑ ﻋـﺪﺩ ﳜﺘﻠـﻒ‬ ‫ﻋــﻦ ﺍﻷﻋــﺪﺍﺩ ﺍﻷﺧــﺮﻯ ﺍﻟــﱵ ﺍﺧﺘﺮ‪‬ــﺎ‬ ‫ﻟﻠﻤﺘﻐﲑﺍﺕ ﺍﻷﺧﺮﻯ ‪.‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪α‬‬

‫‪ (٥‬ﻻ ﺗﻀﻊ ﺷﺮﻭﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﻏﲑ ﻣﻮﺟﻮﺩﺓ ‪،‬‬ ‫ﻼ ﺗﻔﺘﺮﺽ ﺃﻥ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﳚـﺐ ﺃﻥ ﺗﻜـﻮﻥ‬ ‫ﻣﺜ ﹰ‬

‫‪ (١‬ﺇﺫﺍ ﺍﺧﺘﺮﺕ ﺃﻋـﺪﺍﺩ ﻣﻮﺟﺒـﺔ ﲢﻘـﻖ ﺍﻟﺸـﺮﻁ‬ ‫ﺑﺎﻟﺴﺆﺍﻝ ﻓﺴﻮﻑ ﺗﻼﺣﻆ ﺩﺍﺋﻤـ ﹰﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺼـﻴﻐﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜـﺎﱐ ﺩﺍﺋﻤـ ﹰﺎ ﺃﻛـﱪ ﻣـﻦ ﺍﻟﻌﻤـﻮﺩ‬ ‫ﺍﻷﻭﻝ ﻭﻫــﺬﻩ ﺻــﺤﻴﺤﺔ ﰲ ﺣﺎﻟــﺔ ﻛــﻮﻥ‬ ‫ﺍﻟﺸـــــﺮﻁ ﺑﺎﻟﺴــــــﺆﺍﻝ ﻛﺎﻟﺘــــــﺎﱄ ‪:‬‬

‫‪δ ٠‬‬

‫‪χ‬‬

‫‪β‬‬

‫‪.α‬‬

‫‪ (٢‬ﰲ ﺍﻟﺴــﺆﺍﻝ ‪ ،‬ﱂ ﻳﺸــﺘﺮﻁ ﻫــﻞ ﺍﳌــﺘﻐﲑﺍﺕ‬ ‫ﻣﻮﺟﺒﺔ ﺃﻡ ﺳﺎﻟﺒﺔ ﺃﻡ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻭﺳـﺎﻟﺒﺔ ‪ .‬ﻭﻫـﺬﻩ‬ ‫ﺗﺆﺩﻱ ﺑﺎﻟﻄﺎﻟﺐ ﺇﱃ ﺍﺭﺗﻜﺎﺏ ﺃﺧﻄﺎﺀ ﻷﻧﻪ ﰲ‬ ‫ﻣﺜﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﳊﺎﻟﺔ ﳚﺐ ﻋﻠﻴﻚ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﺃﻋـﺪﺍﺩ‬ ‫ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻭﻣﻮﺟﺒﺔ ‪.‬‬

‫‪٦٦‬‬

‫ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻓﻘﻂ ‪ ،‬ﻭﱂ ﻳﺬﻛﺮ ﻟﻚ ﺫﻟﻚ ﺍﻟﺸﺮﻁ‬ ‫ﺑﺎﻟﺴﺆﺍﻝ ‪.‬‬ ‫‪ (٦‬ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻟﻴﺴﺖ ﺩﺍﺋﻤ ﹰﺎ ﺧﻴـﺎﺭﹰﺍ ﺟﻴـﺪﹰﺍ‬ ‫ﺗﺒﺪﺃ ﺑﻪ ‪.‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‪.......‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ٣‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢− ٣‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ι :‬‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪: (١− ٣‬‬

‫‪١ ≠ ι ،٠‬‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪ι‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪ι‬‬

‫‪١٠+ ε‬‬

‫‪٣‬‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫ﺍﺳﺘﺒﺪﻝ ‪ ι‬ﺑﻌﺪﺩ ﳛﻘﻖ ﺍﻟﺸﺮﻁ ‪١ ≠ ι،٠ ι :‬‬

‫ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺷﺮﻭﻁ ﻋﻠﻰ ‪ ، ε‬ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺃﻓﻀﻞ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﻧﺘﻴﺠــﺔ ﺍﳋﻴﺎﺭﺍﺕ‬

‫ﺍﻟﻌﻤــﻮﺩ ﺍﻟﻌﻤــﻮﺩ ﻧﺘﻴﺠـــﺔ ﺍﳋﻴﺎﺭﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﱐ‬

‫ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ‬

‫‪χ‬‬

‫‪١١− ε‬‬

‫ﺍﳌﺴﺘﺒﻌﺪﺓ‬ ‫‪ δ‬ﻭ ‪β‬‬

‫‪٨‬‬ ‫‪٤ ٢= ι‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١ ١=ι‬‬ ‫‪χ‬‬ ‫‪δ‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٤ ٢‬‬ ‫ﺍﳋﻴﺎﺭ ﺍﻟﻮﺣﻴﺪ ﺍﳌﺘﺒﻘﻲ – ﺍﻟﺬﻱ ﱂ ﻳﺴﺘﺒﻌﺪ ‪ -‬ﻫﻮ ‪α‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪α‬‬

‫ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﺜﺎﱐ‬

‫ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ﺍﳌﺴﺘﺒﻌﺪﺓ‬

‫‪١= ε‬‬

‫‪......‬‬

‫‪٠= ε‬‬ ‫‪١− = ε‬‬

‫‪........‬‬

‫‪ .....‬ﻭ ‪.....‬‬

‫‪.......‬‬

‫ﺍﺳﺘﺨﺪﻣﻨﺎ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻭﺳﺎﻟﺒﺔ ﻭﺍﻟﺼﻔﺮ ﻭﺍﻟﻨﺘﻴﺠـﺔ‬ ‫ﺃﻥ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﺑﺎﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﺑﺎﻟﻌﻤﻮﺩ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪........‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٣ − ٣‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪ε١٣‬‬

‫‪ε١١‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺷﺮﻭﻁ ﻋﻠﻰ ‪ ، ε‬ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺃﻓﻀﻞ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﻧﺘﻴﺠــﺔ ﺍﳋﻴﺎﺭﺍﺕ‬ ‫‪١= ε‬‬

‫ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﺜﺎﱐ‬

‫‪١١‬‬

‫‪١٣‬‬

‫‪٠ ٠= ε‬‬ ‫‪١١− ١− = ε‬‬

‫‪٠‬‬ ‫‪١٣−‬‬

‫∵ ‪ ١١− ١٠‬ﻓﺒﺈﺿــــــﺎﻓﺔ ‪ ε‬ﺇﱃ ﺍﻟﻄــــــﺮﻓﲔ‬ ‫∴‪. ١١−ε ١٠ + ε‬‬

‫ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ﺍﳌﺴﺘﺒﻌﺪﺓ‬

‫‪χ‬‬

‫‪ δ‬ﻭ ‪β‬‬

‫‪β‬‬

‫‪χ‬‬

‫‪δ‬‬

‫‪ β‬ﻭ ‪χ‬‬

‫ﺍﳋﻴﺎﺭ ﺍﻟﻮﺣﻴﺪ ﺍﳌﺘﺒﻘﻲ – ﺍﻟﺬﻱ ﱂ ﻳﺴﺘﺒﻌﺪ ‪ -‬ﻫﻮ ‪α‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪α‬‬

‫‪٦٧‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٤− ٣‬‬

‫ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤـﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪،‬‬ ‫ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭ ‪. β‬‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫ﳏﻴﻂ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ‬

‫ﳏﻴﻂ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ ‪١٨‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ ‪ ٢٨‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﺍﺧﺘــﺮ ﻣﺴــﺘﻄﻴﻠﲔ ﳛﻘﻘــﺎﻥ ﺍﻟﺸــﺮﻭﻁ ﺍﳌﻄﻠﻮﺑــﺔ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﰒ ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ ﳏﻴﻄﻴﻬﻤﺎ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪ :‬ﳔﺘﺎﺭ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ ‪:‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ = ‪ ١٨ = ٩ × ٢‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫ﳏﻴﻄﻪ = ‪ ٢٢ = ( ٩ + ٢ )٢‬ﺳﻢ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪ :‬ﳔﺘﺎﺭ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ ‪:‬‬

‫ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ ﺍﳋﻴﺎﺭ ﺍﻟﻮﺣﻴﺪ ﺍﳌﺘﺒﻘﻲ ﻭﺍﻟﺬﻱ ﱂ ﻳﺴﺘﺒﻌﺪ‬

‫ﻫﻮ ﺍﳋﻴﺎﺭ ‪. α‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪α‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٥ − ٣‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪χ ٣ = β ، ε٥ = χ ، ε ٢ = δ‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪δ٣‬‬

‫‪β٤‬‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫ﻼ ﻣـﻦ ‪χ ، δ‬‬ ‫ﺍﺧﺘﺮ ‪ . ٠ = ε‬ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻳﻜﻮﻥ ﻛـ ﹰ‬

‫‪ β‬ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺻﻔﺮﹰﺍ ‪.‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ = ‪ ٢٨ = ٧ × ٤‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫ﳏﻴﻄﻪ = ‪ ٢٢ = ( ٧ + ٤ )٢‬ﺳﻢ‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﺍﻟﺼــﻴﻐﺘﺎﻥ ﺑــﺎﻟﻌﻤﻮﺩﻳﻦ ﻣﺘﺴــﺎﻭﻳﺘﺎﻥ ﻭﺑﺎﻟﺘــﺎﱄ‬

‫ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭﻳﻦ ‪. χ ، δ‬‬

‫ﺃﺑﻘﻲ ﻋﻠـﻰ ﺍﳌﺴـﺘﻄﻴﻞ ﰲ ﺍﻟﻌﻤـﻮﺩ ﺍﻟﺜـﺎﱐ ‪ ،‬ﻭﺍﺧﺘـﺮ‬ ‫ﻼ ﺁﺧﺮﹰﺍ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﰒ ﻗﺎﺭﻧﻪ ﻣﻊ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ‬ ‫ﻣﺴﺘﻄﻴ ﹰ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪ :‬ﳔﺘﺎﺭ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ ‪:‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ = ‪ ١٨ = ٦ × ٣‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫ﳏﻴﻄﻪ = ‪ ١٨ = ( ٦ + ٣ )٢‬ﺳﻢ‬ ‫‪٦٨‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ = ‪٠ = ٠× ٣‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ = ‪٠ = ٠× ٤‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴـﺎﺭﻳﻦ ‪، δ‬‬ ‫‪.χ‬‬

‫ﺍﺧﺘﺮ ﻋﺪﺩ ﺁﺧﺮ ﻟـ ‪ ) ε‬ﻳﻔﻀـﻞ ﻳﻜـﻮﻥ ﺍﳌﻀـﺎﻋﻒ‬ ‫ﺍﳌﺸﺘﺮﻙ ﺍﻷﺻﻐﺮ ﻟﻠﻌﺪﺩﻳﻦ ‪ ٦ ،٣‬ﺣﱴ ﻻ ﺗﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣـﻊ‬ ‫ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ (‬

‫ﻟﻨﻔﺘﺮﺽ ﺃﻥ ‪٦ = ε :‬‬ ‫‪٤ = ٦× ٢ = δ‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٥ = ٦× ٥ = χ‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٣ = ٥× ٣ = β‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ = ‪١٢ = ٤ × ٣‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‪.......‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ٣‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ = ‪١٢ = ٣ × ٤‬‬ ‫ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻳﻦ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ ﺃﻳﻀ ﹰﺎ ‪ .‬ﻓﺘﻜﻮﻥ‪:‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪. β‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٦ − ٣‬‬ ‫ﺃﺣﺪ ﺍﻟﻔﺼﻮﻝ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻴﺔ ﺃﻋﻤﺎﺭ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﻓﻴﻪ ﺇﻣﺎ ‪١٥‬‬ ‫ﺃﻭ ‪ ١٦‬ﺃﻭ ‪ ١٧‬ﺳﻨﺔ ‪ .‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺛﻠﺚ ﻃـﻼﺏ ﺍﻟﻔﺼـﻞ‬ ‫ﺃﻋﻤــﺎﺭﻫﻢ ‪ ١٦‬ﺳــﻨﺔ ‪ ،‬ﻭﻫــﻢ – ﺃﻱ ﺍﻟﻄــﻼﺏ ﺍﻟــﺬﻳﻦ‬

‫) (‬

‫‪ε١ = β ⇐ ε٥ ٣ = χ ٣ = β‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٦ ٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫⇐ ‪ε = β٢‬‬ ‫∵‪ε٢ = β٤ ⇐ ε = β٢‬‬ ‫∵ ‪ε٢ = δ٣ ⇐ ε ٢ = δ‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫∴ ﺍﻟﺼﻴﻐﺘﺎﻥ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻳﻦ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﲔ ‪.‬‬

‫ﺃﻋﻤــﺎﺭﻫﻢ ‪ ١٦‬ﺳــﻨﺔ ‪ -‬ﺿــﻌﻒ ﺍﻟﻄــﻼﺏ ﺍﻟــﺬﻳﻦ‬ ‫ﺃﻋﻤﺎﺭﻫﻢ ‪ ١٥‬ﺳﻨﺔ ‪.‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﺬﻳﻦ‬

‫ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﺬﻳﻦ‬

‫ﺃﻋﻤﺎﺭﻫﻢ ‪ ١٧‬ﺳﻨﺔ‬

‫ﺃﻋﻤﺎﺭﻫﻢ ‪ ١٥‬ﻭ ‪١٦‬‬ ‫ﺳﻨﺔ‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﺃﻓﺮﺽ ﺃﻥ ﻋﺪﺩ ﻃﻼﺏ ﺍﻟﻔﺼﻞ = ‪ ٦‬ﻃﻼﺏ‬

‫‪ ٢‬ﺍﺧﺘﺮ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﳌﻨﺎﺳﺒﺔ‬ ‫ﻭﺍﳌﻘﺼﻮﺩ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺗﺴﺎﻋﺪﻙ ﰲ ﺍﳊـﻞ ‪ ،‬ﻣﺜـﻞ‬ ‫ﺍﻟﺮﻗﻢ ‪ ١٠٠‬ﰲ ﺍﻟﻨﺴﺐ ﺍﳌﺌﻮﻳﺔ ‪ ،‬ﻭﺍﳌﻀﺎﻋﻒ ﺍﳌﺸـﺘﺮﻙ‬ ‫ﺍﻷﺻﻐﺮ ﳌﻘﺎﻣﺎﺕ ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ ‪ .‬ﻭﻏﺎﻟﺒ ﹰﺎ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻨﻮﻋﻴﺔ ﻣﻦ‬ ‫ﺍﳌﺴﺎﺋﻞ ﻻ ﲢﺘـﻮﻱ ﻣـﺘﻐﲑﺍﺕ ﻛﻤـﺎ ﻭﺭﺩ ﰲ ﺍﻷﻣﺜﻠـﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ‪.‬‬

‫ﻋــــــﺪﺩ ﺍﻟــــــﺬﻳﻦ ﺃﻋﻤــــــﺎﺭﻫﻢ ‪ ١٦‬ﺳــــــﻨﺔ‬ ‫= ‪ ٢ = ( ٦ ) ١‬ﻃﺎﻟﺒﲔ‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺬﻳﻦ ﺃﻋﻤﺎﺭﻫﻢ ‪ ١٥‬ﺳﻨﺔ = ‪ ١‬ﻃﺎﻟﺐ ) ﻭﺍﺣﺪ (‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺬﻳﻦ ﺃﻋﻤﺎﺭﻫﻢ ‪ ١٧‬ﺳﻨﺔ = ‪ ٣‬ﻃﻼﺏ‬ ‫ﻭﺍﺿﺢ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻳﻦ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪. β‬‬

‫‪٦٩‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪: (٢ − ٣‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٧ − ٣‬‬

‫ﺃﻗﺘﺴﻢ ﺳﻬﻴﻞ ﻭﺳﺎﱂ ﺟﺎﺋﺰﺓ ﻣﺎﻟﻴﺔ ‪ ،‬ﻭﻛـﺎﻥ ﻧﺼـﻴﺐ‬ ‫ﺳﻬﻴﻞ ﻣﻨﻬﺎ ‪ ، ⊆ ٥٠‬ﻭﺃﻧﻔﻖ ‪ ٣‬ﻣﻨـﻬﺎ ﻋﻠـﻰ ﻛﺘـﺐ ‪.‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﻭﻧﺼــﻴﺐ ﺳــﺎﱂ ‪ ، ⊆ ٤٠‬ﻭﺃﻧﻔــﻖ ﻣﻨــﻬﺎ ‪ ٣‬ﻋﻠــﻰ‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﻣﺸﺘﺮﻳﺎﺗﻪ‪.‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫ﺍﳌﺒﻠﻎ ﺍﻟﺬﻱ ﺃﻧﻔﻘﻪ ﺳﻬﻴﻞ ﺍﳌﺒﻠﻎ ﺍﻟﺬﻱ ﺃﻧﻔﻘﻪ ﺳﺎﱂ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺷﺮﺍﺀ ﺍﻟﻜﺘﺐ‬

‫ﻋﻠﻰ ﻣﺸﺘﺮﻳﺎﺗﻪ‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﺃﻓﺮﺽ ﺃﻥ ﺍﳉﺎﺋﺰﺓ = ‪ ١٠٠‬ﺭﻳﺎﻝ ‪.‬‬ ‫ﺭﻳﺎﻝ ‪.‬‬

‫ﻧﺼﻴﺐ ﺳﻬﻴﻞ ﻣﻨﻬﺎ =‬ ‫ﻣﻘﺪﺍﺭ ﻣﺎ ﺃﻧﻔﻘﻪ ﻣﻨﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺷﺮﺍﺀ ﺍﻟﻜﺘﺐ‬ ‫= ‪ = × ٣‬ﺭﻳﺎﻝ‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﻧﺼﻴﺐ ﺳﺎﱂ ﻣﻦ ﺍﳉﺎﺋﺰﺓ = ﺭﻳﺎﻝ ‪.‬‬

‫ﻣﻘﺪﺍﺭ ﻣﺎ ﺃﻧﻔﻘﻪ ﻣﻨﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺸﺘﺮﻳﺎﺗﻪ‬ ‫= ‪ = × ٣‬ﺭﻳﺎﻝ‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﻧﻼﺣﻆ ﺃ‪‬ﻤـﺎ ﺃﻧﻔﻘـﺎ ‪ ...................‬ﺍﳌﺒﻠـﻎ ﻣـﻦ‬ ‫ﺍﳌﺎﻝ ﻋﻠﻰ ﻣﺸﺘﺮﻳﺎ‪‬ﻢ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪. .......‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺳﺮﻋﺔ ﳏﻤﺪ ﰲ ﺍﻟﻜﺘﺎﺑـﺔ ﻋﻠـﻰ ﻟﻮﺣـﺔ‬ ‫ﺍﳌﻔﺎﺗﻴﺢ ﺿﻌﻒ ﺳﺮﻋﺔ ﺧﺎﻟﺪ ‪ .‬ﻭﳛﺼـﻞ ﺧﺎﻟـﺪ ﻋﻠـﻰ‬ ‫‪ ⊆ ٥٠‬ﻣﻦ ﺍﻷﺟﺮ ﺯﻳﺎﺩﺓ ﻋﻦ ﳏﻤﺪ ﻋﻦ ﻛﻞ ﺻـﻔﺤﺔ‬ ‫ﻳﻜﺘﺒﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺩﺧﻞ ﳏﻤﺪ‬

‫ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺩﺧﻞ ﺧﺎﻟﺪ‬

‫ﺧﻼﻝ ‪ ٩‬ﺳﺎﻋﺎﺕ‬

‫ﺧﻼﻝ ‪ ١٢‬ﺳﺎﻋﺔ‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﺃﻓﺮﺽ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ﺧﺎﻟﺪﹰﺍ ﻳﻜﺘﺐ ﺻﻔﺤﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﺑﺎﻟﺴﺎﻋﺔ‬ ‫ﻭﺃﻥ ﳏﻤﺪﹰﺍ ﻳﻜﺘﺐ ﺻﻔﺤﺘﲔ ﺑﺎﻟﺴﺎﻋﺔ ‪.‬‬ ‫ﻭﺃﻓﺮﺽ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ﳏﻤﺪﹰﺍ ﻳﺘﻘﺎﺿﻰ ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ﻭﺍﺣﺪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻔﺤﺔ ‪.‬‬ ‫ﻭﺧﺎﻟﺪ ﻳﺘﻘﺎﺿﻰ ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ﻭﻧﺼﻒ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻔﺤﺔ‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻳﻜﻮﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺼﻔﺤﺎﺕ ﺍﻟﱵ ﻛﺘﺒﻬﺎ ﳏﻤﺪ‬ ‫ﺧﻼﻝ ‪ ٩‬ﺳﺎﻋﺎﺕ = ‪ ١٨ = ٢ × ٩‬ﺻﻔﺤﺔ ‪.‬‬ ‫ﻭﺗﻜﻮﻥ ﺃﺟﺮﺗﻪ ﺍﳌﺴﺘﺤﻘﺔ = ‪ ١٨ = ١× ١٨‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ‬

‫ﻭﻋﺪﺩ ﺍﻟﺼـﻔﺤﺎﺕ ﺍﻟـﱵ ﻛﺘﺒـﻬﺎ ﺧﺎﻟـﺪ ﺧـﻼﻝ ‪١٢‬‬ ‫ﺳﺎﻋﺔ = ‪ ١٢ = ١ × ١٢‬ﺻﻔﺤﺔ ‪.‬‬ ‫ﻭ ﺃﺟﺮﺗﻪ ﺍﳌﺴﺘﺤﻘﺔ = ‪ ١٨ = ١٫٥ × ١٢‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ‬ ‫ﻼ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﺣﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻷﺟﺮ‬ ‫ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ ﻛ ﹰ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪β‬‬

‫‪٧٠‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‪.......‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ٣‬‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪: ( ٣ − ٣‬‬

‫ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟﻘﺴـﻤﺔ ﺃﻭ ﺍﻟﻀـﺮﺏ ﻋﻠـﻰ ﻋـﺪﺩ ﺳـﺎﻟﺐ ﻓـﺈﻥ‬

‫ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻤﺖ ﺃﻥ ﳏﻴﻂ ﻣﺮﺑﻊ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﳏﻴﻂ ﺩﺍﺋﺮﺓ‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ ﻣﺴﺎﺣﺔ‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ‬

‫ﻭﳝﻜﻨﻨﺎ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻧﻔـﺲ ﺍﻟﻔﻜـﺮﺓ ﻟﻠﻤﻘﺎﺭﻧـﺔ ﺑـﲔ‬ ‫ﺍﻟﺼﻴﻐﺘﲔ ﰲ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ‪.‬‬

‫ﺍﳌﺮﺑﻊ‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﺃﻓﺮﺽ ﺃﻥ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ١‬ﺳﻢ‬ ‫ﳏﻴﻂ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ =‬

‫ﺍﲡﺎﻫﻬﺎ ﻳﺘﻐﲑ ‪.‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٨ − ٣‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫ﺳﻢ‬

‫=‬

‫‪ ٣٫١٤‬ﺳﻢ‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺘﻬﺎ = ‪π = ٢ Ωπ‬‬ ‫ﺃﻓﺮﺽ ﺃﻥ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ ﺍﳌﺮﺑﻊ = ‪ε‬‬ ‫ﲟﺎ ﺃﻥ ﳏﻴﻂ ﺍﳌﺮﺑﻊ = ﳏﻴﻂ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ‬

‫‪١٠+ ε‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪=ε⇐٦‬‬ ‫( ‪ = ٢‬ﺳﻢ‬

‫=‬ ‫∴‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺮﺑﻊ )‬ ‫ﻭﺍﺿﺢ ﺃﻥ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺮﺑﻊ‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪. ...........‬‬

‫‪١١− ε‬‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬ ‫ﺳﺒﻖ ﻭﺃﻥ ﰎ ﺗﻌﺮﺿﻚ ﳍﺬﺍ ﺍﳌﺜﺎﻝ ﻛﺘﺪﺭﻳﺐ ) ﺃﻧﻈـﺮ‬

‫ﺗــﺪﺭﻳﺐ ) ‪ ( ( ١− ٣‬ﻭﺳــﻮﻑ ﻧﺴــﺘﻌﺮﺽ ﺣﻠــﻪ ﺍﻵﻥ‬

‫ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﺃﺧﺮﻯ‬ ‫ﺑﻄﺮﺡ ‪ ε‬ﻣﻦ ﺍﻟﺼﻴﻐﺘﲔ ﳒﺪ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ = ‪١٠ = ε − ١٠ + ε‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ = ‪١١− = ε − ١١ − ε‬‬

‫ﺍﻵﻥ ﺃﺻﺒﺢ ﺳﻬﻞ ﺟﺪﹰﺍ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ﺑﲔ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻳﻦ‬ ‫‪ ٣‬ﺳﻬﻞ ﺍﻟﺴـﺆﺍﻝ ‪ ،‬ﺑﻌﻤـﻞ ﻧﻔـﺲ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴـﺎﺕ ﻋﻠـﻰ‬ ‫ﺍﻟﺼﻴﻐﺘﲔ ‪.‬‬ ‫ﰲ ﺍﳌﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﻭﺍﳌﻌﺎﺩﻻﺕ ﻧﺴـﺘﻄﻴﻊ ﺩﺍﺋﻤـ ﹰﺎ ﺇﺿـﺎﻓﺔ ﺃﻭ‬

‫ﻭﺍﺿﺢ ﺃﻥ ‪١١− ١٠ :‬‬ ‫ﻭﻫﺬﺍ ﻳﻌﲏ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪δ‬‬

‫ﻃﺮﺡ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻄﺮﻓﲔ ﻭﺗﺒﻘﻰ ﺍﳌﺴـﺎﻭﺍﺓ ﺃﻭ‬ ‫ﺍﳌﺘﺒﺎﻳﻨــﺔ ﻗﺎﺋﻤــﺔ ‪ .‬ﻭﻛــﺬﻟﻚ ﳝﻜﻨﻨــﺎ ﺃﻳﻀــ ﹰﺎ ﰲ‬ ‫ﺍﳌﻌﺎﺩﻻﺕ ﻗﺴﻤﺔ ﻃﺮﰲ ﺍﳌﺴﺎﻭﺍﺓ ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻜﻤﻴـﺔ‬ ‫ﺃﻭ ﺿــﺮﺏ ﻃــﺮﰲ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟــﺔ ﺑــﻨﻔﺲ ﺍﻟﻜﻤﻴــﺔ ﻭﺗﺒﻘــﻰ‬ ‫ﺍﳌﺴﺎﻭﺍﺓ ﻗﺎﺋﻤﺔ ‪.‬‬ ‫ﺃﻣﺎ ﰲ ﺍﳌﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﻓﺈﻧﻪ ﳝﻜﻨﻨﺎ ﺍﻟﻘﺴـﻤﺔ ﺃﻭ ﺍﻟﻀـﺮﺏ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻋﺪﺩ ﻣﻮﺟﺐ ﺣﱴ ﺗﺒﻘـﻰ ﺍﳌﺘﺒﺎﻳﻨـﺔ ﻗﺎﺋﻤـﺔ ‪ ،‬ﻭﰲ‬

‫‪٧١‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٩− ٣‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪ε١٣‬‬

‫‪ε١١‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫ﺳﺒﻖ ﻭﺃﻥ ﰎ ﺗﻌﺮﺿﻚ ﳍﺬﺍ ﺍﳌﺜﺎﻝ ﺳﺎﺑﻘ ﹰﺎ ) ﺃﻧﻈﺮ ﻣﺜﺎﻝ‬

‫) ‪ ( ( ٣ − ٣‬ﻭﺳــﻮﻑ ﻧﺴــﺘﻌﺮﺽ ﺣﻠــﻪ ﺍﻵﻥ ﻫﻨــﺎ‬

‫ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﺃﺧﺮﻯ ‪:‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ = ‪ε٢ = ε١١ − ε١٣‬‬ ‫ﻭﲟﺎ ﺃﻧـﻪ ﻻ ﻳﻮﺟـﺪ ﺷـﺮﻭﻁ ﻋﻠـﻰ ‪ ε‬ﻓـﻴﻤﻜﻦ ﺃﻥ‬ ‫ﺗﻜﻮﻥ ‪ ε٢‬ﺃﻛﱪ ﺃﻭ ﺃﺻﻐﺮ ﺃﻭ ﺗﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺮ‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﻻ ﳝﻜﻨﻨﺎ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ﺑﲔ ﺍﻟﻌﻤـﻮﺩﻳﻦ ‪ ،‬ﺣﻴـﺚ ﻻ‬ ‫ﺗﻮﺟﺪ ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻛﺎﻓﻴﺔ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪α‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ι :‬‬

‫‪١ ≠ ι ،٠‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪ι‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪ι‬‬

‫‪٣‬‬

‫ﺍﳊﻞ‬ ‫ﺳﺒﻖ ﻭﺃﻥ ﰎ ﺣﻞ ﻫﺬﺍ ﺍﳌﺜﺎﻝ ﺑﻄﺮﻳﻘـﺔ ) ﺃﻧﻈـﺮ ﻣﺜـﺎﻝ‬ ‫) ‪ ( ( ٢− ٣‬ﻭﺳﻮﻑ ﳓﻠﻪ ﺍﻵﻥ ﻫﻨﺎ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﺃﺧﺮﻯ ‪:‬‬

‫ﺑﻘﺴﻤﺔ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻳﻦ ﻋﻠﻰ ‪ ) ٢ ι‬ﻻﺣﻆ ﺃﻥ ‪ ٢ ι‬ﻋـﺪﺩ‬ ‫ﻣﻮﺟﺐ ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻻ ﻳﺘﻐﲑ ﺍﲡﺎﻩ ﺍﳌﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ( ﳒﺪ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ = ‪١ = ٢ ι‬‬ ‫‪ι‬‬

‫‪٧٢‬‬

‫ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪ‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﻻ ﳝﻜﻨﻨﺎ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ﺑﲔ ﺍﻟﻌﻤـﻮﺩﻳﻦ ‪ ،‬ﺣﻴـﺚ ﻻ‬ ‫ﺗﻮﺟﺪ ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻛﺎﻓﻴﺔ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪α‬‬

‫ﺑﻄﺮﺡ ‪ ε١١‬ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻳﻦ ﳒﺪ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ = ‪٠ = ε١١ − ε١١‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١٠− ٣‬‬

‫‪٣‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ = ‪ι = ٢ ι‬‬ ‫‪ι‬‬ ‫ﻭﲟﺎ ﺃﻧﻪ ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺷﺮﻭﻁ ﻋﻠﻰ ‪ ι‬ﺳـﻮﻯ ﺍﻟﺸـﺮﻃﲔ‬ ‫‪ ١ ≠ ι ،٠ ι‬ﻓﻴﻤﻜﻦ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ ‪ ι‬ﺃﻛـﱪ ﺃﻭ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١١− ٣‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪١+ ١+١‬‬ ‫‪٥ ٣ ٩‬‬

‫‪١+١+ ١‬‬ ‫‪٩ ٤ ٣‬‬

‫ﺍﳊﻞ‬

‫ﻧﻼﺣــﻆ ﻭﺟــﻮﺩ ﺍﻟﻜﺴــﺮﻳﻦ ‪ ١ ، ١‬ﰲ ﺍﻟﻌﻤــﻮﺩﻳﻦ‬ ‫‪٣ ٩‬‬ ‫ﻭﺑﻄﺮﺣﻬﻤﺎ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻳﻦ ﳒﺪ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ = ‪١ = ١ − ١ − ١ + ١ + ١‬‬ ‫‪٥ ٣ ٩ ٥ ٣ ٩‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ = ‪١ = ١ − ١ − ١ + ١ + ١‬‬ ‫‪٤ ٩ ٣ ٩ ٤ ٣‬‬ ‫ﺍﻵﻥ ﺃﺻﺒﺢ ﻣﻦ ﺍﻟﺴﻬﻞ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ﺑﲔ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻳﻦ‬ ‫ﻭﺍﺿﺢ ﺃﻥ ‪١ ١‬‬ ‫‪٥ ٤‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪χ‬‬ ‫ﻛﺎﻥ ﺑﺎﻹﻣﻜﺎﻥ ﺍﻻﺧﺘﺼﺎﺭ ﺑﺎﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬

‫‪١ +١+ ١ ١+ ١ + ١‬‬ ‫‪٩ ٤ ٣ ٥ ٣ ٩‬‬ ‫‪١ ١‬‬ ‫‪٤ ٥‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‪.......‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ٣‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١٤− ٣‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١٢− ٣‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ε‬ﻋﺪﺩ ﺳﺎﻟﺐ‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫) ‪( ٦ − ١٧ )( ٥٩ + ٤٣‬‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫) ‪( ٦ + ١٧ )( ٥٩ + ٤٣‬‬

‫ﺍﳊﻞ‬

‫‪ε‬‬

‫ﺑﻘﺴﻤﺔ ﺍﻟﻌﻤـﻮﺩﻳﻦ ﻋﻠـﻰ ) ‪ ) ( ٥٩ + ٤٣‬ﻻﺣـﻆ ﺃﻥ‬ ‫) ‪ ( ٥٩ + ٤٣‬ﻋﺪﺩ ﻣﻮﺟﺐ ﻭﺑﺎﻟﺘـﺎﱄ ﻻ ﻳـﺘﻐﲑ ﺍﲡـﺎﻩ‬ ‫ﺍﳌﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ( ﳒﺪ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫ﺍﻷﻭﻝ ) ‪( ٦ − ١٧ ) ( ٥٩ + ٤٣‬‬ ‫=‬ ‫) ‪( ٥٩ + ٤٣‬‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﱐ ) ‪( ٦ + ١٧ ) ( ٥٩ + ٤٣‬‬ ‫=‬ ‫= ) ‪( ٦ + ١٧‬‬ ‫) ‪( ٥٩ + ٤٣‬‬ ‫= ) ‪( ٦ − ١٧‬‬

‫ﻭﺍﺿﺢ ﺃﻥ ) ‪( ٦ − ١٧ ) ( ٦ + ١٧‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪χ‬‬

‫ﺍﳊﻞ‬ ‫ﺑﺈﺿﺎﻓﺔ ‪ ٢ ε‬ﺇﱃ ﺍﻟﻄﺮﻓﲔ ‪ ،‬ﳒﺪ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ = ‪ε٢ = ٢ ε + ٢ ε‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ = ‪٠ = ٢ ε − ٢ ε‬‬ ‫ﻭﲟﺎ ﺃﻥ ‪ ε‬ﻋﺪﺩ ﺳـﺎﻟﺐ ﻓـﺈﻥ ‪ ٢ ε٢‬ﻋـﺪﺩ ﻣﻮﺟـﺐ‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻳﻜـﻮﻥ ﺍﻟﻌﻤـﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛـﱪ ﻣـﻦ ﺍﻟﻌﻤـﻮﺩ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﱐ‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪δ‬‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪: (٤ − ٣‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١٣ − ٣‬‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫) ‪( ٢٦ − ١٧ )( ٥٩ − ٤٣‬‬ ‫ﺍﳊﻞ‬

‫‪٢‬‬

‫‪ε−‬‬

‫‪٢‬‬

‫∂‪٢٠‬‬ ‫‪٢‬‬

‫) ‪( ٢٦ + ١٧ )( ٥٩ − ٤٣‬‬

‫ﻻﺣﻆ ﺃﻥ‪ = ٥٩ − ٤٣ :‬ﻋﺪﺩ ﺳﺎﻟﺐ ‪ ،‬ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻋﻨﺪ‬ ‫ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻴﻪ ﺳﻮﻑ ﺗـﺘﻐﲑ ﺇﺷـﺎﺭﺓ ﺍﳌﺘﺒﺎﻳﻨـﺔ ‪ .‬ﻭﻫـﺬﻩ‬ ‫ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﻏﲑ ﳎﺪﻳﺔ ﻫﻨﺎ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪ :‬ﻣﻮﺟﺐ ﻷﻧﻪ ﺣﺎﺻـﻞ ﺿـﺮﺏ ﻋـﺪﺩﻳﻦ‬ ‫ﺳﺎﻟﺒﲔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪ :‬ﺳـﺎﻟﺐ ﻷﻧـﻪ ﺣﺎﺻـﻞ ﺿـﺮﺏ ﻋـﺪﺩ‬ ‫ﻣﻮﺟﺐ ﰲ ﻋﺪﺩ ﺳﺎﻟﺐ‬

‫‪٥‬‬ ‫∂‪٥‬‬

‫ﺍﳊﻞ‬ ‫ﺑﺘﺮﺑﻴﻊ ﻛﻞ ﻋﻤﻮﺩ ‪ ،‬ﳒﺪ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ = ) (‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ = ) (‬

‫=‬

‫ﻭﺍﺿﺢ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ‪ ...............‬ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪...........‬‬

‫ﻭﺍﺿﺢ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪.δ‬‬

‫‪٧٣‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪ ٤‬ﺃﺳــﺄﻝ ﻫــﻞ ﳝﻜــﻦ ﺃﻥ ﺗﻜــﻮﻥ ﺍﻟﺼــﻴﻐﺘﺎﻥ‬ ‫ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﲔ ؟ ﺃﻭ ﻫﻞ ﳚﺐ ﺃﻥ ﺗﺘﺴﺎﻭﻯ ؟‬ ‫ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻄﺮﻳﻘـﺔ ﰲ ﻛـﺜﲑ ﻣـﻦ ﺍﻟﺘﻄﺒﻴﻘـﺎﺕ‬ ‫ﻭﻟﻜﻦ ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﺑﺸﻜﻞ ﻓﻌـﺎﻝ ﻋﻨـﺪ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧـﺔ ﺑـﲔ‬ ‫ﻋﻤﻮﺩﻳﻦ ﺃﺣـﺪﳘﺎ ﳛﺘـﻮﻱ ﻋﻠـﻰ ﻣـﺘﻐﲑﺍﺕ ﻭﺍﻵﺧـﺮ‬ ‫ﳛﺘﻮﻱ ﻋﻠﻰ ﺃﺭﻗﺎﻡ ‪.‬‬ ‫ﻭﺳﻮﻑ ﻧﺴﺘﻌﺮﺽ ﺫﻟﻚ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬

‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﳝﻜــﻦ ﺃﻥ ﻳﻜــﻮﻥ ﺍﻟﻌﻤــﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛــﱪ ﺃﻭ‬ ‫ﺃﺻﻐﺮ ﺃﻭ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪α‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١٦ − ٣‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪٧٥ ε٤ ٦٩‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١٥ − ٣‬‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ε،٤،٣‬ﺃﻃﻮﺍﻝ ﺃﺿﻼﻉ ﻣﺜﻠﺚ‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪ε‬‬

‫‪٥‬‬

‫ﺍﳊﻞ‬ ‫ﺍﺑــﺪﺃ ﺑﻄــﺮﺡ ﺍﻟﺴــﺆﺍﻝ ‪ :‬ﻫــﻞ ﳝﻜــﻦ ﺃﻥ ﻳﻜــﻮﻥ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﲔ ؟ ﲟﻌـﲎ ﺁﺧـﺮ ﻫـﻞ ﳝﻜـﻦ ﺃﻥ‬ ‫ﺗﻜﻮﻥ ‪ ٥ = ε‬؟‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬ﻧﻌﻢ ﻷﻥ ‪ ٥،٤،٣‬ﻫﻲ ﺃﻃﻮﺍﻝ ﺃﺿﻼﻉ ﺍﳌﺜﻠـﺚ‬ ‫ﺍﳌﺸﻬﻮﺭ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ‪.‬‬

‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭﻳﻦ ‪χ ، δ‬‬

‫ﺍﻟﺴــﺆﺍﻝ ﺍﻟﺜــﺎﱐ ‪ :‬ﻫــﻞ ﳚــﺐ ﺃﻥ ﺗﻜــﻮﻥ ‪٥ = ε‬‬ ‫ﻓﻘﻂ ؟‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬ﻻ‪ ،‬ﻓﻨﺤﻦ ﻧﻌﻠﻢ ﻣﻦ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﺍﳌﺜﻠﺚ ﺃﻥ ﻃـﻮﻝ‬ ‫ﺃﻱ ﺿﻠﻊ ﻓﻴﻪ ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻦ ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﻀﻠﻌﲔ ﺍﻵﺧﺮﻳﻦ ‪،‬‬

‫ﻭﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﺃﻱ ﺃﻥ ‪٧ ε ١ :‬‬ ‫ﻭﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﻟﺘﻮﺍﱄ ﺗﻮﺿﺢ ﺫﻟﻚ ‪:‬‬

‫‪ε‬‬

‫‪١٨‬‬

‫ﺍﳊﻞ‬ ‫ﺍﺑــﺪﺃ ﺑﻄــﺮﺡ ﺍﻟﺴــﺆﺍﻝ ‪ :‬ﻫــﻞ ﳝﻜــﻦ ﺃﻥ ﻳﻜــﻮﻥ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﲔ ؟ ﲟﻌـﲎ ﺁﺧـﺮ ﻫـﻞ ﳝﻜـﻦ ﺃﻥ‬ ‫ﺗﻜﻮﻥ ‪ ١٨ = ε‬؟‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑــﺔ ‪ :‬ﻧﻌــﻢ ﻷﻧــﻪ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧــﺖ ‪١٨ = ε‬ﻓــﺈﻥ‬ ‫‪ ٧٢ = ε٤‬ﲢﻘﻖ ﺍﻟﺸﺮﻁ ﰲ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ‪.‬‬

‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭﻳﻦ ‪χ ، δ‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﺍﻟﺜـﺎﱐ ‪ :‬ﻫـﻞ ﳚـﺐ ﺃﻥ ﺗﻜـﻮﻥ ‪١٨ = ε‬‬ ‫ﻓﻘﻂ ؟ ﲟﻌﲎ ﺁﺧﺮ ﻫﻞ ﳝﻜﻦ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ ‪ ε‬ﺃﻛﱪ‬ ‫ﺃﻭ ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻦ ‪ ١٨‬ﻭﲢﻘﻖ ﺍﻟﺸﺮﻁ ﺑﺎﻟﺴﺆﺍﻝ؟‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ‪:‬‬

‫‪٦٨ = ١٧ × ٤ = ε٤ ⇐ ١٧ = ε‬‬

‫‪٦٩‬‬

‫‪٧٥ ٧٦ = ١٩ × ٤ = ε٤ ⇐ ١٩ = ε‬‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﺍﻟﺬﻱ ﳛﻘﻖ ﺷﺮﻁ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﻫﻮ‬ ‫‪. ١٨ = ε‬‬

‫ﻭﻟﻜﻦ ﱂ ﻳﺸﺘﺮﻁ ﺃﻥ ‪ ε‬ﻋـﺪﺩ ﺻـﺤﻴﺢ ‪ .‬ﺣﻴـﺚ ﺃﻥ‬ ‫ﺍﻟﺸﺮﻁ ﺍﻟﻮﺣﻴﺪ ﻫﻮ ‪. ٧٥ ε٤ ٦٩‬‬ ‫‪٧٤‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‪.......‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ٣‬‬

‫ﻓﻠﻮ ﻛﺎﻧﺖ ‪ ٧٠ = ε٤‬ﺃﻭ ‪ ٧١٫٦‬ﺃﻭ ‪ ٧٣‬ﻓﺈﻥ ﻗﻴﻤـﺔ‬ ‫‪ ε‬ﻋﻨﺪﻫﺎ ﺳﻮﻑ ﺗﻜﻮﻥ ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻦ ‪١٨‬‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﻻ ﺗﻮﺟﺪ ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻛﺎﻓﻴﺔ ﻟﻠﻤﻘﺎﺭﻧﺔ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪α‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١٨ − ٣‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪:‬‬

‫) ‪٧٢٠ = ( ٣ + ε )( ٢ + ε )( ١ + ε‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫‪٢+ ε‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١٧ − ٣‬‬ ‫ﺍﻟﺒﻨــﻚ ‪ δ‬ﻓﻴــﻪ ﻋﺸــﺮﺓ ﺻــﺮﺍﻓﲔ ‪ ،‬ﻭﺍﻟﺒﻨــﻚ ‪ χ‬ﻓﻴــﻪ‬ ‫ﻋﺸﺮﻳﻦ ﺻﺮﺍﻑ ‪ ،‬ﻭﻛﻞ ﺑﻨﻚ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺼـﺮﺍﻓﲔ ﻓﻴـﻪ‬ ‫ﺍﻟﺴﻌﻮﺩﻳﲔ ﺃﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﺼﺮﺍﻓﲔ ﺍﻟﻐﲑ ﺳﻌﻮﺩﻳﲔ‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺼﺮﺍﻓﲔ‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺼﺮﺍﻓﲔ‬

‫ﺍﻟﺴﻌﻮﺩﻳﲔ ﰲ ﺍﻟﺒﻨﻚ ‪δ‬‬

‫ﺍﻟﺴﻌﻮﺩﻳﲔ ﰲ ﺍﻟﺒﻨﻚ ‪χ‬‬

‫ﺍﳊﻞ‬

‫‪١٠‬‬

‫ﺍﳊﻞ‬ ‫ﺍﺑــﺪﺃ ﺑﻄــﺮﺡ ﺍﻟﺴــﺆﺍﻝ ‪ :‬ﻫــﻞ ﳝﻜــﻦ ﺃﻥ ﻳﻜــﻮﻥ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ ؟ ﲟﻌـﲎ ﺁﺧـﺮ ﻫـﻞ ﳝﻜـﻦ ﺃﻥ‬ ‫ﺗﻜﻮﻥ ‪ ١٠ = ٢ + ε‬؟‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑــﺔ ‪ :‬ﻻ ﻷﻧــﻪ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧــﺖ ‪١٠ = ٢ + ε‬ﻓــﺈﻥ‬ ‫‪ ١١ = ٣ + ε ، ٩ = ١ + ε‬ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻳﻜﻮﻥ‪:‬‬ ‫) ‪٧٢٠ ٩٩٠ = ( ٣ + ε )( ٢ + ε )( ١ + ε‬‬

‫ﻭﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﻫﻨﺎ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﺸﺮﻁ ﺍﳌﻌﻄﻰ ﰲ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫ﺍﺑــﺪﺃ ﺑﻄــﺮﺡ ﺍﻟﺴــﺆﺍﻝ ‪ :‬ﻫــﻞ ﳝﻜــﻦ ﺃﻥ ﻳﻜــﻮﻥ‬

‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭ ‪. β‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﲔ ؟ ﲟﻌـﲎ ﺁﺧـﺮ ﻫـﻞ ﳝﻜـﻦ ﺃﻥ‬

‫ﻭﺣﱴ ﻳﺘﺤﻘﻖ ﺍﻟﺸﺮﻁ ﳚﺐ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ‪:‬‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺼﺮﺍﻓﲔ ﺍﻟﺴﻌﻮﺩﻳﲔ ﰲ ﺍﻟﺒﻨﻜﲔ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ؟‬

‫‪١٠ ٢ + ε‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪χ‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬ﻻ ﻷﻥ ﺃﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻧﺼﻒ ﺍﻟﺼﺮﺍﻓﲔ ﺑﺎﻟﺒﻨـﻚ‬

‫‪ χ‬ﺳﻌﻮﺩﻳﲔ ) ﻭﻫﺬﺍ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﻋـﺪﺩ‬ ‫ﺍﻟﺼﺮﺍﻓﲔ ﰲ ﺍﻟﺒﻨﻚ ‪. ( δ‬‬

‫ﻭﺍﺿﺢ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪χ‬‬

‫‪٧٥‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ١٩ − ٣‬‬

‫‪ ٥‬ﻻ ﺗﺴﺘﻬﻠﻚ ﺍﻟﻮﻗﺖ ﺑﺎﳊﺴﺎﺑﺎﺕ‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫ﳏﻴﻂ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ ‪ ٢١‬ﺳﻢ‬

‫‪ ٢٠‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﺑــﺪﺃ ﺑﻄــﺮﺡ ﺍﻟﺴــﺆﺍﻝ ‪ :‬ﻫــﻞ ﳝﻜــﻦ ﺃﻥ ﻳﻜــﻮﻥ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﲔ ؟ ﲟﻌـﲎ ﺁﺧـﺮ ﻫـﻞ ﳝﻜـﻦ ﺃﻥ‬

‫ﻳﻜﻮﻥ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ ﺍﻟﺬﻱ ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ ‪ ٢١‬ﺳﻢ ‪ ٢‬ﳏﻴﻄـﻪ‬ ‫ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ٢٠‬ﺳﻢ ؟‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬ﻧﻌﻢ ‪ .‬ﺧﺬ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ ﺍﻟـﺬﻱ ﺃﺑﻌـﺎﺩﻩ ‪٣ ، ٧‬‬ ‫ﺳﻢ ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﳏﻴﻄﻪ = ‪ ٢٠ = ( ٣ + ٧ )٢‬ﺳﻢ‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭﻳﻦ ‪χ ، δ‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪ :‬ﻫﻞ ﳚﺐ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ ﺍﻟﺬﻱ‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ ‪ ٢١‬ﺳﻢ ‪ ٢‬ﳏﻴﻄﻪ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ٢٠‬ﺳﻢ ﻓﻘـﻂ ؟‬ ‫ﲟﻌﲎ ﺁﺧﺮ ﻫﻞ ﳝﻜﻦ ﺃﻥ ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻣﺴـﺎﺣﺘﻪ‬

‫‪ ٢١‬ﺳﻢ ‪ ٢‬ﻭﳏﻴﻄﻪ ﻟﻴﺲ ﺑﺎﻟﻀﺮﻭﺭﺓ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ٢٠‬ﺳﻢ ؟‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬ﻧﻌـﻢ ‪ ،‬ﻓﻬﻨـﺎﻙ ﻋـﺪﺓ ﻣﺴـﺘﻄﻴﻼﺕ ﲢﻘـﻖ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑـﺔ ﻋــﻦ ﺍﻟﺴــﺆﺍﻝ ﺃﻋــﻼﻩ ﻛﻤــﺎ ﰲ ﺍﻷﺷــﻜﺎﻝ‬ ‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪α‬‬ ‫‪٧٦‬‬

‫ﺻﻴﻐﺘﲔ ﲢﺘﻮﻳﺎﻥ ﻋﻤﻠﻴﺎﺕ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ ﻫﻮ ﳏﺎﻭﻟﺔ ﺇﳚﺎﺩ‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺼـﺤﻴﺤﺔ ﻟﻜـﻞ ﻋﻤـﻮﺩ ﻭﻣـﻦ ﰒ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧـﺔ‬

‫ﺍﳊﻞ‪:‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ = ‪ ٢١ = ٣ × ٧‬ﺳﻢ‬

‫ﻣﻦ ﺍﻷﺧﻄﺎﺀ ﺍﻟﱵ ﻳﺮﺗﻜﺒﻬﺎ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﰲ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ﺑـﲔ‬

‫ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ‪ .‬ﻭﻟﻜﻦ ﻟﻴﺲ ﻣﻦ ﺍﻟﻀﺮﻭﺭﻱ ﺍﺳﺘﻬﻼﻙ ﺍﻟﻮﻗﺖ‬ ‫ﰲ ﺍﳊﺴــﺎﺑﺎﺕ ﻷﻥ ﺍﳌﻄﻠــﻮﺏ ﻣﻨــﻚ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧــﺔ ﻭﻟــﻴﺲ‬ ‫ﺇﳚﺎﺩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪.‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢٠− ٣‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪٤١× ٥٥‬‬

‫‪٣٧ × ٥١‬‬

‫ﺍﳊﻞ‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﻮﺍﺿﺢ ﺃﻥ ‪ ٥١ ٥٥‬ﻭﻛﺬﻟﻚ ‪٣٧ ٤١‬‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻓﺄﻥ ‪٣٧ × ٥١ ٤١× ٥٥ :‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪δ‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‪.......‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ٣‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢٢− ٣‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢١− ٣‬‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺴﻨﻮﺍﺕ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺴﻨﻮﺍﺕ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﺎﻡ‬ ‫‪ γ ١١٢٠‬ﺇﱃ ﻋﺎﻡ‬

‫‪ γ ١١٠٠‬ﺇﱃ ﻋﺎﻡ‬

‫‪γ١٤١٥‬‬

‫‪γ١٤٢٥‬‬

‫ﺍﳊﻞ‬ ‫ﻟﻴﺲ ﻫﻨـﺎﻙ ﺩﺍﻋـﻲ ﻟﻌﻤـﻞ ﺍﳊﺴـﺎﺑﺎﺕ ‪ ،‬ﻭﺍﺿـﺢ ﺃﻥ‬ ‫ﺑﺪﺍﻳﺔ ﺍﻟﺴﻨﻮﺍﺕ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﻗﺒﻞ ﺑﺪﺍﻳﺔ ﺍﻟﺴﻨﻮﺍﺕ‬ ‫ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪ ،‬ﻭ‪‬ﺎﻳﺔ ﺍﻟﺴﻨﻮﺍﺕ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ‬ ‫ﺑﻌﺪ ‪‬ﺎﻳﺔ ﺍﻟﺴﻨﻮﺍﺕ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫) ‪( ٢٧ + ٤٣‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢٧ + ٢٤٣‬‬ ‫ﺍﳊﻞ‬

‫ﺗﻮﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻛﻞ ﻋﻤـﻮﺩ ﺇﺫﺍ ﻛﻨـﺖ ﻻ ﺗﻌـﺮﻑ ﻫـﺬﻩ‬ ‫ﺍﳊﻘﻴﻘﻴﺔ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ‪:‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ χ ، δ‬ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻣﻮﺟﺒﲔ ﻓﺈﻥ ‪:‬‬

‫)‪(χ + δ‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪χ + ٢δ‬‬

‫ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﻭﺍﺿﺢ ﺃﻥ ﻋـﺪﺩ ﺍﻟﺴـﻨﻮﺍﺕ ﰲ ﺍﻟﻌﻤـﻮﺩ ﺍﻟﺜـﺎﱐ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪χ‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢٣ − ٣‬‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺴﻨﻮﺍﺕ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫= ‪ ٢٩٦ = ١ + ١١٢٠ − ١٤١٥‬ﺳﻨﺔ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺴﻨﻮﺍﺕ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ‬ ‫= ‪ ٣٢٦ = ١ + ١١٠٠ − ١٤٢٥‬ﺳﻨﺔ‬

‫‪٢‬‬

‫ﻭﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺗﻠﻚ ﺍﳊﻘﻴﻘﺔ ﻭﺍﺿﺢ ﺃﻥ ‪ :‬ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜـﺎﱐ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪. χ‬‬

‫ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺴﻨﻮﺍﺕ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪٢‬‬

‫‪( ٥٦ + ٣٤ )١٢‬‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪٥٦ × ١٢ + ٣٤ × ١٢‬‬

‫ﺍﳊﻞ‬ ‫ﺗﻮﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻛﻞ ﻋﻤـﻮﺩ ﺇﺫﺍ ﻛﻨـﺖ ﻻ ﺗﻌـﺮﻑ ﻫـﺬﻩ‬ ‫ﺍﳊﻘﻴﻘﻴﺔ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ‪:‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ β ، χ ، δ‬ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪χβ + δβ = ( χ + δ ) β‬‬

‫ﻭﺍﺿﺢ ﺃﻥ ‪ :‬ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪. β‬‬

‫‪٧٧‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢٤ − ٣‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﻌـﺪﻝ ﺩﺭﺟـﺎﺕ ﻃﺎﻟـﺐ ﺑﺎﻟﺮﻳﺎﺿـﻴﺎﺕ ﻷﻭﻝ‬ ‫ﺛﻼﺛﺔ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ‪ ٧٥‬ﺩﺭﺟﺔ ‪ ،‬ﻭﺣﺼﻞ ﰲ ﺍﻻﺧﺘﺒـﺎﺭﻳﻦ‬ ‫ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ﻭﺍﳋﺎﻣﺲ ‪ ٨٠‬ﺩﺭﺟﺔ‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫ﻣﻌــﺪﻝ ﺍﻟﻄﺎﻟــﺐ ﺑﻌــﺪ ﻣﻌــﺪﻝ ﺍﻟﻄﺎﻟــﺐ ﺑﻌــﺪ‬ ‫ﺍﺧﺘﺒﺎﺭﻩ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫ﺍﺧﺘﺒﺎﺭﻩ ﺍﳋﺎﻣﺲ‬

‫ﺍﳊﻞ‬ ‫ﺗﺬﻛﺮ ﺃﻥ ﺍﳌﻄﻠـﻮﺏ ﺃﻱ ﻣـﻦ ﺍﳌﻌـﺪﻟﲔ ﺃﻋﻠـﻰ ﻭﻟـﻴﺲ‬ ‫ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﺇﳚﺎﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﻫﺬﺍ ﺍﳌﻌﺪﻝ ‪.‬‬

‫ﻭﺍﺿﺢ ﺃﻥ ﻣﻌﺪﻟﻪ ﺑﻌﺪ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ﺃﺻﻐﺮ ﻣـﻦ ‪٨٠‬‬ ‫ﺩﺭﺟﺔ ‪ .‬ﻭ ﻣﻌﺪﻟﻪ ﺑﻌـﺪ ﺣﺼـﻮﻟﻪ ﻋﻠـﻰ ‪ ٨٠‬ﺩﺭﺟـﺔ ﰲ‬ ‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﳋﺎﻣﺲ ‪ ،‬ﺳﻮﻑ ﻳﺮﺗﻔﻊ ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪ ٦‬ﺗﻌﻠﹼﻢ ﻣﱴ ﺗﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭ ‪α‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﳌﻌﻄﻴﺎﺕ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻳﻦ ﻫﻲ ﺃﺭﻗﺎﻡ ‪ ،‬ﻓـﺈﻥ‬ ‫ﺍﳋﻴﺎﺭ ‪ α‬ﻣﺴﺘﺒﻌﺪ ﲤﺎﻣ ﹰﺎ ‪ .‬ﻷﻥ ﺃﻱ ﺭﻗﻤﲔ ﺇﻣﺎ ﻳﻜﻮﻧﺎ‬

‫ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﲔ ﺃﻭ ﺃﺣﺪﳘﺎ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻵﺧﺮ ﺃﻭ ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻨﻪ‬ ‫ﻭﺇﺫﺍ ﻭﺟﺪﺕ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﻦ ﻫـﺬﻩ ﺍﻟﻨﻮﻋﻴـﺔ ﻭﻻ ﺗﺴـﺘﻄﻴﻊ‬ ‫ﺣﻠﻬﺎ ‪ ،‬ﻓﻘﻂ ﻓﻜﺮ ﺑﺎﳋﻴﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺜﻼﺙ ﺍﻷﺧﺮﻯ ﻏـﲑ‬ ‫ﺍﳋﻴﺎﺭ ‪. α‬‬

‫ﻭﺳﻮﻑ ﻧﺴﺘﻌﺮﺽ ﺃﻣﺜﻠﺔ ﺗﻮﺿﻴﺤﻴﺔ ‪.‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢٥ − ٣‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ ﻋﺪﺩ‬ ‫ﺍﻟﺜﻮﺍﻥ ﰲ ﻳﻮﻡ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﻷﻳﺎﻡ ﰲ ﻗﺮﻥ ﻭﺍﺣﺪ‬

‫ﺍﳊﻞ‪:‬‬

‫ﻭﺍﺿــﺢ ﰲ ﺍﳌﺜــﺎﻝ ﺍﻟﺴــﺎﺑﻖ ﺍﺳــﺘﺒﻌﺎﺩ ﺍﳋﻴــﺎﺭ ‪، α‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪χ‬‬

‫ﻛﺬﻟﻚ ﻭﺍﺿﺢ ﺃ‪‬ﻤﺎ ﻏﲑ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﲔ ‪ ،‬ﻟﺬﻟﻚ ﺍﺳﺘﺒﻌﺪ‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬ ‫‪٧٦٫٢٥ = ٣٠٥ = ٨٠ + ٧٥ + ٧٥ + ٧٥‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪:‬‬ ‫‪٧٧ = ٣٨٥ = ٨٠ + ٨٠ + ٧٥ + ٧٥ + ٧٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﻓﻘﻂ ﲬﻦ ﺑﲔ ﺍﳋﻴﺎﺭﻳﻦ ‪. χ ، δ‬‬

‫ﺍﳋﻴﺎﺭ ‪ ، β‬ﺇﺫﺍ ﱂ ﺗﻜﻦ ﺗﻌﺮﻑ ﲢﻞ ﺍﳌﺜﺎﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪δ‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬

‫‪٨٦٤٠٠ = ٦٠× ٦٠× ٢٤‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ‪:‬‬ ‫‪٣٦٥٠٠ = ٣٦٥ × ١٠٠‬‬ ‫ﻭﺍﺿﺢ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ‬

‫‪٧٨‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‪.......‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ٣‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢٧ − ٣‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢٦ − ٣‬‬

‫ﻗﺬﻓﺖ ﺛﻼﺙ ﻗﻄﻊ ﻧﻘﺪﻳﺔ ﻣﺮﺓ ﻭﺍﺣﺪﺓ‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﺮﺑﻊ ﻃﻮﻝ‬

‫ﺿﻌﻒ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﺜﻠﺚ‬

‫ﺿﻠﻌﻪ ‪ ٤‬ﺳﻢ‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫ﻣﺘﻄﺎﺑﻖ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻃﻮﻝ‬

‫ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﳊﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ‬

‫ﺿﻠﻌﻪ ‪ ٤‬ﺳﻢ‬

‫ﺻﻮﺭﺓ ﻓﻘﻂ‬

‫ﺻﻮﺭﺗﲔ ﻓﻘﻂ‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫ﻣﻦ ﺍﻟﻮﺍﺿﺢ ﺃﻧﻪ ﳚﺐ ﺍﺳﺘﺒﻌﺎﺩ ﺍﳋﻴﺎﺭ ‪ ، α‬ﻷﻥ ﻛﻞ‬

‫ﺑﺪﻭﻥ ﺇﺟﺮﺍﺀ ﺣﺴﺎﺑﺎﺕ ‪ ،‬ﻋﻨـﺪﻣﺎ ﺗﺮﻣـﻲ ﺛـﻼﺙ ﻗﻄـﻊ‬

‫ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻳﻦ ﳛﺘﻮﻱ ﻋﻠﻰ ﺃﺭﻗﺎﻡ ‪.‬‬

‫ﻧﻘﺪﻳﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﳊﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﺻـﻮﺭﺗﲔ ﻳﻌـﲏ ﺍﳊﺼـﻮﻝ‬

‫ﲟﺎ ﺃﻥ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﳌﺜﻠـﺚ ﺃﺻـﻐﺮ ﻣـﻦ ‪ ٤‬ﻓـﺈﻥ ﻣﺴـﺎﺣﺘﻪ‬ ‫ﺳﻮﻑ ﺗﻜﻮﻥ ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻦ ‪ ٨ = ٤ × ٤ × ١‬ﺳ ﻢ‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻓﺈﻥ ﺿـﻌﻒ ﻣﺴـﺎﺣﺘﻪ ﺳـﻮﻑ ﺗﻜـﻮﻥ ﺣﺘﻤـ ﹰﺎ‬

‫ﻋﻠﻰ ﻛﺘﺎﺑﺔ ‪ ،‬ﻭﻫﺬﺍ ﻳﻌﲏ ﺃﻥ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺍﳊﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ‬

‫ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻦ ‪ ١٦ = ٨ × ٢‬ﺳ‬ ‫ﻭﲟﺎ ﺃﻥ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺮﺑﻊ = ‪ ١٦ = ٢٤‬ﺳ ﻢ‪٢‬‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﻣﺴــﺎﺣﺔ ﺍﳌﺮﺑــﻊ ﺃﻛــﱪ ﻣــﻦ ﺿــﻌﻒ ﻣﺴــﺎﺣﺔ‬ ‫ﻢ‪٢‬‬

‫ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ ‪.‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪δ‬‬

‫ﺻﻮﺭﺗﲔ ﻳﺴـﺎﻭﻱ ﺍﺣﺘﻤـﺎﻝ ﺍﳊﺼـﻮﻝ ﻋﻠـﻰ ﻛﺘﺎﺑـﺔ‬ ‫ﻭﺍﺣﺪﺓ ‪ ،‬ﻭﻫﺬﻩ ﺗﺴﺎﻭﻱ ﺍﳊﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﻭﺍﺣﺪﺓ‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ ‪.‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪β‬‬

‫ﻓﺮﺍﻍ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﺳﻮﻑ ﻳﻜﻮﻥ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ ‪:‬‬ ‫}‪ΘΘλ،λΘλ،Θλλ،λλλ‬‬

‫‪{ ΘΘΘ،λΘΘ،ΘλΘ،λλΘ،‬‬ ‫ﺣﻴﺚ‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ‪:‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺮﺑﻊ = ‪ ١٦ = ٢٤‬ﺳ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪:‬‬

‫‪ : λ‬ﺗﻌﲏ ﺻﻮﺭﺓ ‪.‬‬ ‫‪ : Θ‬ﺗﻌﲏ ﻛﺘﺎﺑﺔ‬

‫ﻢ‪٢‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺜﻠﺚ ‪٣ ∂٤‬‬ ‫=‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﺿﻌﻒ ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ = ‪ ٣ ∂ ٢‬ﺳ ﻢ‪٢‬‬ ‫ﻭﻭﺍﺿﺢ ﺃﻥ ‪١٦ ٣ ∂ ٢‬‬

‫= ∂‪ ٣‬ﺳ‬

‫ﻢ‪٢‬‬

‫ﻋﺪﺩ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻓﺮﺍﻍ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ = ‪٨‬‬

‫ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﻇﻬﻮﺭ ﺻﻮﺭﺓ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﻓﻘﻂ = ‪٣‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﻇﻬﻮﺭ ﺻﻮﺭﺗﲔ ﻓﻘﻂ = ‪٣‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ ‪.‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪β‬‬

‫‪٧٩‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢٨ − ٣‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫ﺍﻟﻮﻗﺖ ﺍﳌﺴﺘﻐﺮﻕ ﻟﻘﻄﻊ‬

‫ﺍﻟﻮﻗﺖ ﺍﳌﺴﺘﻐﺮﻕ ﻟﻘﻄﻊ‬

‫ﻣﺴﺎﻓﺔ ‪ ٤٠‬ﻛﻠﻢ‬

‫ﻣﺴﺎﻓﺔ ‪ ٣٥‬ﻛﻠﻢ‬ ‫ﺑﺴﺮﻋﺔ ‪ ٤٠‬ﻛﻠﻢ‪/‬ﺱ‬

‫ﺑﺴﺮﻋﺔ ‪ ٣٥‬ﻛﻠﻢ‪ /‬ﺱ‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﻭﺍﺿﺢ ﺃﻥ ﺍﻟﺴﺮﻋﺔ ﺃﻗﻞ ﻣﻦ ﺍﳌﺴﺎﻓﺔ‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﺳﻮﻑ ﳛﺘﺎﺝ ﻷﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﺳﺎﻋﺔ ﻟﻘﻄﻌﻬﺎ ‪.‬‬

‫‪ ٧‬ﺗﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻜﺒﲑﺓ‬ ‫ﰲ ﺑﻌــﺾ ﺍﻟﺘﻤــﺎﺭﻳﻦ ‪ ،‬ﳒــﺪ ﰲ ﺍﻟﻌﻤــﻮﺩﻳﻦ ﺃﻋــﺪﺍﺩﹰﺍ‬ ‫ﻼ ﻣﻨـﻬﺎ ﲢﺘـﺎﺝ ﺇﱃ ﻭﻗـﺖ‬ ‫ﻛﺒﲑﺓ ﻹﳚﺎﺩ ﻗﻴﻤـﺔ ﻛـ ﹰ‬ ‫ﻃﻮﻳﻞ ﻧﻮﻋ ﹰﺎ ﻣـﺎ ‪ .‬ﻭﻟﻜـﻦ ﺑﺎﺳـﺘﺨﺪﺍﻡ ﺑﻌـﺾ ﺍﳌﻨﻄـﻖ‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻲ ﻭﺍﻻﺳﺘﻘﺮﺍﺀ ﺳﺘﺠﺪ ﺃﻥ ﺍﳊﻞ ﺃﻛﺜﺮ ﺳﻬﻮﻟﺔ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٢٩− ٣‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫ﻭﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﺍﻟﺴﺮﻋﺔ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﳌﺴﺎﻓﺔ ‪،‬‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﺳﻮﻑ ﳛﺘﺎﺝ ﻷﻗﻞ ﻣﻦ ﺳﺎﻋﺔ ﻟﻘﻄﻌﻬﺎ ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪δ‬‬

‫‪٦‬‬

‫‪٦ + ٥٥‬‬ ‫ﺍﳊﻞ‬

‫ﻣﻦ ﺍﻟﺼﻌﺐ ﺣﺴـﺎﺏ ﻗﻴﻤـﺔ ﻛـﻞ ﻋﻤـﻮﺩ ‪ ،‬ﻭﻟﻜـﻦ‬ ‫ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪٦ + ٥٥‬‬

‫ﺍﳌﺴـــﺎﻓﺔ‬ ‫ﺍﻟﺰﻣﻦ =‬ ‫ﺍﻟﺴﺮﻋﺔ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪ :‬ﺍﻟﺰﻣﻦ = ‪١٫١٤٢ = ٤٠‬ﺳﺎﻋﺔ‬ ‫‪٣٥‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪ :‬ﺍﻟﺰﻣﻦ = ‪٠٫٨٧٥ = ٣٥‬ﺳﺎﻋﺔ‬ ‫‪٤٠‬‬

‫‪٧‬‬

‫‪٦‬‬

‫‪٦ × ٢ = ٦٦ + ٦٦‬‬

‫‪٦ = ٦٦ × ٦‬‬

‫‪٧‬‬

‫ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪χ‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٣٠− ٣‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫‪٩٩‬‬

‫‪٩٩ + ٩٨٩٨‬‬ ‫ﺍﳊﻞ‬

‫‪١٠٠‬‬

‫ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺍﻻﺳﺘﻘﺮﺍﺀ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻲ ‪:‬‬

‫∵ ‪٥ = ٢٢ + ١١‬‬ ‫∵ ‪٣١ = ٣ ٣ + ٢٢‬‬ ‫‪٩٩‬‬

‫∴ ‪٩٩ + ٩٨٩٨‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪χ‬‬

‫‪٨٠‬‬

‫‪٧‬‬

‫‪٢٧ = ٣ ٣‬‬ ‫‪٢٥٦ = ٤٤‬‬ ‫‪١٠٠‬‬

‫‪١٠٠‬‬

‫‪٧‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‪.......‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ٣‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ) ‪: ( ٣١− ٣‬‬ ‫‪!١٠٠‬‬ ‫‪!٩٨‬‬

‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ ) ‪( ١ -٣‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪!٥٠ ٢‬‬ ‫)‬ ‫‪( !٤٩‬‬

‫ﺍﳊﻞ‬ ‫ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺍﻻﺳﺘﻘﺮﺍﺀ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻲ ‪:‬‬ ‫‪٤ = !٢ ٢ ١٢ = !٤‬‬ ‫‪!١‬‬ ‫‪!٢‬‬ ‫‪٦ = !٣ ٢ ٣٠ = !٦‬‬ ‫‪!٢‬‬ ‫‪!٤‬‬

‫) (‬ ‫) (‬

‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ‪ :‬ﰲ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫ﺻﻴﻐﺘﺎﻥ ‪ ،‬ﻭﺍﺣـﺪﺓ ﰲ ﺍﻟﻌﻤـﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪ ،‬ﻭﺍﻷﺧـﺮﻯ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜـﺎﱐ ‪ ،‬ﻗـﺎﺭﻥ ﺑـﲔ ﺍﻟﺼـﻴﻐﺘﲔ ﰒ ﻇﻠـﻞ ﰲ‬ ‫ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﳊﺮﻑ‪:‬‬ ‫‪ ( δ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﻣﻨﻬﺎ‬ ‫ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬ ‫‪ ( χ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧــﺖ ﺍﻟﺼــﻴﻐﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﻤــﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﺻــﻐﺮ‬ ‫ﻣﻨﻬﺎ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬

‫‪!٥٠ ٢‬‬ ‫)‬ ‫‪( !٤٩‬‬

‫‪!١٠٠‬‬ ‫‪!٩٨‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪δ‬‬

‫‪ (β‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺼﻴﻐﺘﺎﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﲔ‬ ‫‪ ( α‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧــﺖ ﺍﳌﻌﻠﻮﻣــﺎﺕ ﺍﳌﻌﻄــﺎﺓ ﻏــﲑ ﻛﺎﻓﻴــﺔ‬ ‫ﻟﻠﻤﻘﺎﺭﻧﺔ‪.‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬

‫‪٩٩٠٠ = !٩٨ × ٩٩ × ١٠٠ = !١٠٠‬‬ ‫‪!٩٨‬‬ ‫‪!٩٨‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪:‬‬

‫) ( )‬

‫(‬

‫‪١٠٠ = !٤٩ × ٥٠ ٢ = !٥٠ ٢‬‬ ‫‪!٤٩‬‬ ‫‪!٤٩‬‬

‫‪ ( ١‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪٠ δ‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪δ‬‬

‫‪δ٤‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪ ( ٢‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪٠ δ‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪١٠‬‬ ‫‪δ‬‬

‫‪δ١٠‬‬

‫‪ ( ٣‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪٠ χ δ‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫)‪( χ + δ‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪χ + ٢δ‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٨١‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪ ( ١٠‬ﳏﻼﻥ ﻟﺒﻴﻊ ﺃﺟﻬـﺰﺓ ﺗﻠﻔـﺎﺯ‪ ،‬ﺇﺫﺍ ﻛـﺎﻥ ﺍﶈـﻞ‬

‫‪ ( ٤‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪٠ ε‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫∂‪ε‬‬

‫‪ε‬‬

‫ﺍﻷﻭﻝ ﻳﺒﻴﻊ ﺟﻬﺎﺯ ﺍﻟﺘﻠﻔﺰﻳـﻮﻥ ﺑﺘﺨﻔـﻴﺾ ﻗـﺪﺭﻩ ‪⊆ ١٠‬‬ ‫ﺃﻗﻞ ﻣﻦ ﺳﻌﺮ ﺑﻴﻊ ﺍﶈﻞ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﻟﻨﻔﺲ ﺍﻟﺘﻠﻔﺰﻳﻮﻥ‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ ﺳﻌﺮ ﺍﻟﺘﻠﻔﺰﻳﻮﻥ ﻋﻨﺪﻣﺎ‬

‫‪ ( ٥‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪٤ ε ١‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪ε‬‬

‫‪επ‬‬ ‫‪٥ = λ+ε‬‬ ‫‪ ( ٦‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪٥ − = ε−λ‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫‪λ‬‬

‫‪ ( ١١‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ٣ γ ، ٢γ ،١γ‬ﻫﻲ ﻗﻴﺎﺳﺎﺕ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺍﳌﺜﻠﺚ‬ ‫ﺍﳌﻨﻔﺮﺝ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ‪، βχ δ‬ﻭﻛﺎﻧـﺖ ‪ ٣ κ، ٢κ، ١κ‬ﻫـﻲ‬

‫ﻗﻴﺎﺳﺎﺕ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺍﳌﺜﻠﺚ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ‪ςλε‬‬ ‫‪٠‬‬

‫)‪ ( ٢،٥ ) ،( ١،١‬ﻭﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ‪τ ⊥ κ‬‬ ‫‪τ‬‬

‫‪κ‬‬

‫‪ ( ٨‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ε‬ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ﻣﻮﺟﺐ‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ ﻋﺪﺩ ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﺍﻟﻌﺪﺩ‬ ‫‪ ٣‬ﻭﺍﶈﺼﻮﺭﺓ ﺑﲔ‬ ‫‪ ١٠٠‬ﻭ ‪١٠٠+ε‬‬

‫ﺑﺘﺨﻔﻴﺾ ‪⊆ ١٠‬‬

‫ﺑﺘﺨﻔﻴﺾ ‪⊆ ٢٠‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪ ( ٧‬ﺇﺫﺍ ﻛـــﺎﻥ ﺍﳌﺴـــﺘﻘﻴﻢ ‪ τ‬ﳝـــﺮ ﺑـــﺎﻟﻨﻘﻄﺘﲔ‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ ﻣﻴﻞ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫ﻳﺒﻴﻌﻪ ﺍﶈﻞ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﻳﺒﻴﻌﻪ ﺍﶈﻞ ﺍﻟﺜﺎﱐ‬

‫‪ ٧‬ﻭﺍﶈﺼﻮﺭﺓ ﺑﲔ‬ ‫‪ ١٠٠‬ﻭ ‪١٠٠+ε‬‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﺰﻭﺍﻳﺎ‬ ‫‪ςλε‬‬ ‫‪βχ δ‬‬ ‫‪ ( ١٢‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪٥ = ٢ ε٥‬‬ ‫‪٧ ٢ ε٧‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫‪ε‬‬

‫‪ ( ١٣‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺴـﻨﺘﻴﻤﺘﺮﺍﺕ ﺍﳌﺮﺑﻌـﺔ ﳌﺴـﺎﺣﺔ‬ ‫ﺳﻄﺢ ﺧﺎﺭﺟﻲ ﳌﻜﻌﺐ ﻳﺴـﺎﻭﻱ ﻋـﺪﺩ ﺍﻟﺴـﻨﺘﻴﻤﺘﺮﺍﺕ‬ ‫ﺍﳌﻜﻌﺒﺔ ﳊﺠﻤﻪ‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ ﺍﳌﻜﻌﺐ‬

‫‪ ( ٩‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪ ς ،λ،ε‬ﺛﻼﺛﺔ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺻـﺤﻴﺤﺔ‬

‫ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺑﲔ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﻦ ‪٤٠٠،٣٠٠‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ‬ ‫ﻟﻠﻌﺪﺩﻳﻦ ‪ς ،ε‬‬ ‫‪٨٢‬‬

‫ﻟﻸﻋﺪﺍﺩ ‪ς ،λ،ε‬‬

‫‪١‬‬

‫‪ ٦‬ﺳﻢ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‪.......‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ٣‬‬

‫‪( ١٤‬‬

‫‪٤٩٩ + ٢٩٩ + ٩٩‬‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪٥٠٧ + ٣٠٥ + ١٠٣‬‬

‫‪( ١٥‬‬

‫‪٧‬‬ ‫‪٨‬‬

‫‪λ‬‬

‫) ‪( ٨٧‬‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪٥‬‬

‫ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ ﻣﺮﺑﻊ‬

‫‪ χ‬ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ٢٦‬ﺳﻢ‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ ‪٤‬ﺳﻢ‬

‫ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ ﻣﻜﻌﺐ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺣﺠﻤﻪ ‪ ٨‬ﺳﻢ‬

‫‪٣‬‬

‫‪( ٢٢‬‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ‪:‬‬

‫‪χ‬‬

‫‪ ( ١٨‬ﺩﻓﻊ ﺃﲪﺪ ﻓﺎﺗﻮﺭﺓ ﻫﺎﺗﻔﻪ ﲟﺒﻠ ٍﻎ ﻳﺰﻳﺪ ‪ ٦٠٠‬ﺭﻳﺎﻝ‬ ‫ﻋﻦ ﻓـﺎﺗﻮﺭﺓ ﻳﻮﺳـﻒ ‪ ،‬ﻟﻜـﻦ ﻓـﺎﺗﻮﺭﺓ ﻳﻮﺳـﻒ ﺗﻘـﻞ‬ ‫ﲟﻘــﺪﺍﺭ ‪ ٤٠٠‬ﺭﻳــﺎﻝ ﻋــﻦ ﻓــﺎﺗﻮﺭﺓ ﻣﺎﺟــﺪ ﺍﻟﺒﺎﻟﻐــﺔ‬ ‫‪١٨٠٠‬ﺭﻳﺎﻝ‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫ﻣﺎ ﺩﻓﻌﻪ ﺃﲪﺪ ‪‬ﻭﻳﻮﺳﻒ‬

‫‪ε‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪( ٢١‬‬

‫‪ ( ١٧‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﳏﻴﻂ ﻛـﻞ ﻣـﻦ ﺍﳌﺴـﺘﻄﻴﻠﲔ ‪ δ‬ﻭ‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ‪δ :‬‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫ﻗﻄﺮﻫﺎ ‪ ٣٥‬ﺳﻢ‬

‫‪( ١٦‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪٤‬‬

‫‪ ( ٢٠‬ﺇﺫﺍ ﻛـــــــﺎﻥ ‪ ε٢ λ + ε‬ﺣﻴـــــــﺚ‬ ‫‪Η ∈ λ،ε‬‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺩﺍﺋﺮﺓ‬ ‫ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ‪ ١٧‬ﺳﻢ‬

‫‪ ( ١٩‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪٨١ = ٤ ε‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫‪ε‬‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫‪١ ÷ ١‬‬ ‫‪١ ε‬‬ ‫‪ε‬‬

‫‪ ( ٢٣‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ، ٣١ ε ٠ :‬ﺣﻴﺚ ‪ ε‬ﻗﺎﺑﻠـﺔ‬ ‫ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ٣‬ﻭﻋﻠﻰ ‪. ٩‬‬

‫‪ε‬‬ ‫‪ ٣٢٠٠‬ﺭﻳﺎﻝ‬

‫‪١× ١‬‬ ‫‪ε ε‬‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪٢٧‬‬

‫‪٨٣‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪ (٢٤‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﻣـﻦ ﺩﺭﺟـﺔ ﺍﳊـﺮﺍﺭﺓ ﺍﳌﺌﻮﻳـﺔ‬

‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ ﻋﺎﻣﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺒﺎب اﻷول‬

‫) ‪ ( °κ‬ﺇﱃ ﺩﺭﺟــﺔ ﺍﳊــﺮﺍﺭﺓ ﺑﺎﻟﻔﻬﺮ‪‬ﺎﻳــﺖ ) ‪( °ν‬‬

‫ﺃﻭ ﹰﻻ ‪ :‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ‬

‫ﺗﻌﻄﻰ ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ‪٣٢ + °κ ٩ = °ν :‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫‪°κ ٢٥٠‬‬ ‫‪°ν٤٧٠‬‬ ‫‪ ( ٢٥‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ε‬‬

‫‪١‬‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪ε‬‬

‫∂‪λε ∂ × ε٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪λ‬‬

‫ﺍﺧﺘﻴﺎﺭﺍﺕ ‪ .‬ﺍﺧﺘﺮ ﻣـﻦ ﺑﻴﻨـﻬﺎ ﺍﻹﺟﺎﺑـﺔ ﺍﻟﺼـﺤﻴﺤﺔ ﰒ‬ ‫ﻇﻠﻞ ﺍﳊﺮﻑ ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ ﳍﺎ ﰲ ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬ ‫‪ ( ١‬ﺃﻱ ﻣﻦ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ‪ ١‬؟‬ ‫‪٢‬‬ ‫)‪٤ (β‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫)‪٥ (α‬‬ ‫)‪٤ (χ‬‬ ‫‪١١‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪ (٢‬ﺟﺴﻴﻢ ﻳﺘﺤﺮﻙ ﺑﺴﺮﻋﺔ ‪ ٥‬ﻡ ‪ /‬ﺙ ‪ .‬ﻛﻢ ﺍﳌﺴـﺎﻓﺔ‬ ‫ﺍﻟﱵ ﻳﻘﻄﻌﻬﺎ ﰲ ﺳﺎﻋﺔ ؟‬

‫‪( ٢٦‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪٣‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪١+ ١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻼ ﻣﻨـﻬﺎ ﺃﺭﺑﻌـﺔ‬ ‫ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﻋﺪﺩ ﻣﻦ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ‪ ،‬ﻳﺘﺒﻊ ﻛ ﹰ‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٣٠٠‬‬

‫) ‪٧٢٠ ( χ‬‬

‫) ‪١٨٠٠ ( β‬‬ ‫) ‪١٨٠٠٠ ( α‬‬

‫‪ (٣‬ﻣﺎ ﻫـﻮ ﺍﻟﻮﺳـﻂ ﺍﳊﺴـﺎﰊ ﳌﻀـﺎﻋﻔﺎﺕ ﺍﻟﻌﺸـﺮﺓ‬

‫‪(٢٧‬‬

‫ﻟﻸﻋﺪﺍﺩ ﻣﻦ ‪ ١٠‬ﺇﱃ ‪ ١٩٠‬؟‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫‪١٤‬‬

‫‪١٧‬‬

‫‪١١‬‬

‫‪٣١‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٩٠‬‬

‫) ‪٩٥ ( χ‬‬

‫) ‪١٠٠ ( β‬‬ ‫) ‪١٠٥ ( α‬‬

‫‪ (٤‬ﻗﻄﻌﺔ ﻣﻌﺪﻧﻴﺔ ﻣﻜﻌﺒﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺗﺰﻥ ‪ ٦‬ﻛﺠـﻢ‪.‬‬ ‫ﻛﻢ ﻭﺯﻥ ﻗﻄﻌﺔ ﺃﺧﺮﻯ ﻣﻜﻌﺒﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻭﻣﻦ ﻧﻔـﺲ‬ ‫ﺍﳌﻌﺪﻥ ﺇﺫﺍ ﺣﺮﻓﻬﺎ ﺿﻌﻒ ﺣﺮﻑ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻷﻭﱃ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٤٨‬‬

‫) ‪٣٢ ( χ‬‬

‫‪٨٤‬‬

‫) ‪٢٤ ( β‬‬ ‫) ‪١٨ ( α‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‪.......‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ٣‬‬

‫‪ ( ٥‬ﺻﻒ ﺑﻪ ‪ ٧٨‬ﻃﺎﻟﺒ ﹰﺎ ‪ ٤١ ،‬ﻣﺸﺘﺮﻛﻮﻥ ﺑﺎﻟﻨﺸﺎﻁ‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻲ ‪ ٢٢ ،‬ﻣﺸﺘﺮﻛﻮﻥ ﺑﺎﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻻﺟﺘﻤﺎﻋﻲ ‪،‬‬ ‫‪ ٩‬ﻣﺸﺘﺮﻛﲔ ﺑﺎﻟﻨﺸﺎﻃﲔ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻲ ﻭﺍﻻﺟﺘﻤـﺎﻋﻲ ‪.‬‬ ‫ﻛﻢ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﺬﻳﻦ ﱂ ﻳﺸﺘﺮﻛﻮﺍ ﺑﺄﻱ ﻧﺸﺎﻁ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫) ‪٢٤ ( β‬‬ ‫) ‪٣٣ ( α‬‬

‫‪٦‬‬

‫) ‪١٥ ( χ‬‬

‫‪( ٣ ∂ + ٢∂ ) ( ٦‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٦ ∂٢ + ٥‬‬

‫) ‪٦∂ − ٥ ( χ‬‬

‫‪٢‬‬

‫=؟‬

‫) ‪٦ ∂٢ − ١ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٢∂ − ١‬‬

‫‪ ⊆ ٥ ∂ ( ١٠‬ﻣﻦ ﺍﳌﻘﺪﺍﺭ ‪ ٥ ∂ ٥‬ﺗﺴﺎﻭﻱ ‪:‬‬ ‫) ‪٠٫٥ ( β‬‬ ‫) ‪٠٫٠٥ ( δ‬‬ ‫) ‪٢٫٥ ( α‬‬ ‫) ‪٠٫٢٥ ( χ‬‬

‫‪ ( ١١‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪١٢ = ٢ ε‬ﻓﺈﻥ ‪= ٤ ε‬‬ ‫) ‪٣٦ ( β‬‬ ‫) ‪١٤٤ ( δ‬‬ ‫) ‪٧٢ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٢٤‬‬

‫‪( ١٢‬‬

‫ﻳﺮﻳﺪ ﳏﻤﺪ ﺍﻻﻧﺘﻘـﺎﻝ ﻣـﻦ ﺍﳌﺪﻳﻨـﺔ ‪ δ‬ﺇﱃ ﺍﳌـﺪﻳﻨﺘﲔ‬ ‫‪ β،χ‬ﺑﺄﻱ ﺗﺮﺗﻴﺐ ‪ ،‬ﻭﺍﻟﻄﺮﻕ ﺗﺮﺑﻂ ﺍﳌﺪﻥ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ‬

‫ﻣﻮﺿﺢ ﺑﺎﻟﺮﺳﻢ ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ‪ .‬ﻛﻢ‬

‫‪ = ٣٠٢ + ٣٠٢ + ٣٠٢ + ٣٠٢ ( ٧‬؟‬ ‫‪١٢٠‬‬ ‫‪٣٢‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫)‪٢ (β‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫‪٣٠‬‬ ‫‪٣٠‬‬ ‫)‪٢ (α‬‬ ‫)‪٨ ( χ‬‬

‫ﳏﻤﺪ ﻣﻦ ‪ δ‬ﻋﺎﺋﺪﹰﺍ ﻟﻨﻔﺲ ﺍﳌﺪﻳﻨﺔ ‪ ،‬ﻭﻣﺎﺭﹰﺍ ﺑﺎﳌـﺪﻳﻨﺘﲔ‬

‫‪ ( ٨‬ﻟﺪﻯ ﳏﻤﺪ ﻓﺌﺎﺕ ﻧﻘﺪﻳـﺔ ‪ :‬ﺳـﻌﻮﺩﻳﺔ ‪ ،‬ﻭﻫﻨﺪﻳـﺔ‬

‫ﺍﻟﺮﺣﻠﺔ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪﺓ ؟‬

‫ﻭﺑﺮﻳﻄﺎﻧﻴﺔ ‪ ،‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﺴﻌﻮﺩﻳﺔ ﺇﱃ ﺍﳍﻨﺪﻳﺔ‬ ‫‪ ٢: ٥‬ﻭﻧﺴﺒﺔ ﺍﳍﻨﺪﻳﺔ ﺇﱃ ﺍﻟﱪﻳﻄﺎﻧﻴﺔ ‪ ١: ٥‬ﻓﻤﺎ ﻫـﻲ‬ ‫ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﻨﻘﻮﺩ ﺍﻟﺴﻌﻮﺩﻳﺔ ﺇﱃ ﺍﻟﱪﻳﻄﺎﻧﻴﺔ ؟‬ ‫) ‪٢: ٢٠ ( β‬‬ ‫) ‪٥ :١٠ ( δ‬‬

‫)‪(χ‬‬

‫‪٢ :١٥‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٢: ٢٥‬‬

‫‪ ( ٩‬ﺭﺳﻢ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﺩﺍﺧﻞ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺃﺑﻌﺎﺩﻩ ‪ ٣‬ﺳﻢ ‪٤ ،‬ﺳﻢ‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻄﺮﻕ ﺍﻟﱵ ﻳﺴﻠﻜﻬﺎ‬ ‫‪ β،χ‬ﲝﻴﺚ ﻻ ﳝﺮ ﺑﺎﻟﻄﺮﻳﻖ ﺃﻛﺜـﺮ ﻣـﻦ ﻣـﺮﺓ ﰲ‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪١٠‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪٨‬‬

‫‪٤‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪= ٦ − ٦ ( ١٣‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫)‪٦ ( χ‬‬

‫)‪٦ (β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٤‬‬

‫)‪٦ (β‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫)‪٦ (α‬‬ ‫‪٤‬‬

‫ﻓﻤﺎ ﻫﻮ ﳏﻴﻂ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ؟‬ ‫) ‪π٥ ( β‬‬ ‫) ‪π٢٫٥ ( δ‬‬

‫) ‪π٣ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪π١٠‬‬

‫‪٨٥‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪ ( ١٤‬ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ‬

‫‪ ( ١٧‬ﺣﺎﻓﻠــﺔ ﻧﻘــﻞ ﲨــﺎﻋﻲ ‪ ،‬ﲪﻠــﺖ ﺭﻛــﺎﺏ ﻣــﻦ‬

‫‪ ٣ = χδ‬ﺳﻢ‬

‫ﺍﶈﻄﺔ ﺍﻷﻭﱃ ‪ ،‬ﻓﺈﺫﺍ ﻋﻠﻤﺖ ﺑﺄﻧـﻪ ﰲ ﻛـﻞ ﳏﻄـﺔ‬

‫‪ ٤ = αδ‬ﺳﻢ ‪ ٩ = αβ‬ﺳﻢ ‪ .‬ﺍﺣﺴـﺐ ﻣﺴـﺎﺣﺔ‬ ‫ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ﺍﳌﻈﻠﻠﺔ‬ ‫)‪٩ (β‬‬ ‫‪١٨‬‬ ‫)‪(δ‬‬

‫) ‪١٣٫٥ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٤٫٥‬‬

‫ﺍﳌﻘﺎﺑــــﻞ‪ ،‬ﺍﳌﺮﺑــــﻊ‬

‫ﺿﻠﻌﻪ ‪ ٣‬ﺳﻢ ‪γ ،‬‬ ‫ﺗﻘﻊ ﻣﻨﺘﺼﻒ ] ‪ κ ، [ χδ‬ﺗﻘـﻊ ﻣﻨﺘﺼـﻒ ] ‪. [ αδ‬‬ ‫ﺍﺣﺴﺐ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ﺍﳌﻈﻠﻠﺔ ‪.‬‬ ‫) ‪٤٫٥ ( β‬‬ ‫)‪٣ (δ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٦‬‬

‫‪ ( ١٦‬ﺳﻜﺐ ‪ ١٢‬ﻟﺘﺮﹰﺍ ﰲ ﺣﻮﺽ ﻣﺎﺀ ﻃﻮﻟـﻪ‪ ٥٠‬ﺳـﻢ‬ ‫ﻭﻋﺮﺿــﻪ ‪ ٣٠‬ﺳــﻢ ‪،‬ﻭﺍﺭﺗﻔﺎﻋــﻪ ‪ ٤٠‬ﺳــﻢ ‪ .‬ﻓﻤــﺎ ﻫــﻮ‬ ‫ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﳌﺎﺀ ﰲ ﺍﳊﻮﺽ ﺑﺎﻟﺴﻨﺘﻴﻤﺘﺮ ؟‬ ‫) ‪١٠ ( β‬‬ ‫)‪٦ (δ‬‬

‫)‪(χ‬‬

‫ﺭﺍﻛﺐ ﻭﺍﺣﺪ ﰲ ﺍﶈﻄﺔ ﺭﻗـﻢ ﺳـﺒﻌﺔ ‪ .‬ﻛـﻢ ﻛـﺎﻥ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺭﻛﺎﺏ ﺍﳊﺎﻓﻠﺔ ﰲ ﺍﶈﻄﺔ ﺍﻷﻭﱃ ؟‬ ‫) ‪٣٢ ( β‬‬ ‫‪١٢٨‬‬ ‫)‪(δ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٢٠‬‬

‫ﻭﺩﻓﺘﺮ ﻣﻦ ﺑﲔ ﺛﻼﺛﺔ ﺃﻗـﻼﻡ ﻭﺛﻼﺛـﺔ ﻣﺴـﺎﻃﺮ ﻭﺛﻼﺛـﺔ‬ ‫ﺩﻓﺎﺗﺮ ﳐﺘﻠﻔﺔ ﺍﻷﻟﻮﺍﻥ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٩‬‬

‫) ‪١٢ ( χ‬‬

‫) ‪١٨ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٢٧‬‬

‫‪ ( ١٩‬ﻳﻌﻤﻞ ﳏﻤﺪ ‪ ٨‬ﺳﺎﻋﺎﺕ ﺃﻳﺎﻡ ﺍﻟﺴﺒﺖ ‪ ،‬ﺍﻻﺛـﻨﲔ‬ ‫ﺍﻷﺭﺑﻌﺎﺀ ‪ ٦ ،‬ﺳﺎﻋﺎﺕ ﻳﻮﻣﻲ ﺍﻷﺣـﺪ ‪ ،‬ﺍﻟﺜﻼﺛـﺎﺀ ‪ .‬ﻭﻻ‬ ‫ﻳﻌﻤ ـﻞ ﻳــﻮﻣﻲ ﺍﳋﻤــﻴﺲ ﻭﺍﳉﻤﻌــﺔ ‪ .‬ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻤــﺖ ﺃﻧــﻪ‬ ‫ﳛﺼﻞ ﻋﻠـﻰ ‪ ٣٢٤‬ﺭﻳـﺎﻝ ﺃﺳـﺒﻮﻋﻴ ﹰﺎ ‪ .‬ﻓﻜـﻢ ﺃﺟـﺮﻩ‬ ‫ﺑﺎﻟﺴﺎﻋﺔ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪﺓ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪١١‬‬

‫) ‪١٠ ( χ‬‬

‫‪٨٦‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٦‬‬

‫‪ ( ١٨‬ﺑﻜﻢ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﳝﻜﻨﻨﺎ ﺍﺧﺘﻴـﺎﺭ ﻗﻠـﻢ ﻭﻣﺴـﻄﺮﺓ‬

‫‪ αβχ δ‬ﻃــــــﻮﻝ‬

‫‪٨‬‬

‫ﺑﺮﻛﻮﺏ ﺃﻱ ﺭﺍﻛﺐ ﺑﻌﺪ ﺍﶈﻄﺔ ﺍﻷﻭﱃ ‪ ،‬ﻓﺈﺫﺍ ﻧـﺰﻝ‬

‫) ‪٦٤ ( χ‬‬

‫‪ ( ١٥‬ﰲ ﺍﻟﺸـــــﻜﻞ‬

‫)‪٤ (χ‬‬

‫ﺗﻮﻗﻒ ﻳﻐـﺎﺩﺭ ﺍﳊﺎﻓﻠـﺔ ﻧﺼـﻒ ﺭﻛﺎ‪‬ـﺎ ﻭﻻ ﻳﺴـﻤﺢ‬

‫)‪٩ (β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٨‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‪.......‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ٣‬‬

‫‪ ( ٢٠‬ﰲ ﺍﻟﺸــﻜﻞ ﺍﳌﻘﺎﺑــﻞ ‪،‬‬

‫‪ (٢٤‬ﰲ ﺍﻟﺸــــــﻜﻞ‬

‫ﺿﻠﻌﺎ ﺍﳌﺮﺑﻊ ﳑﺎﺳﺎﻥ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺓ‬

‫ﺍﳌﻘﺎﺑــــﻞ‪ ،‬ﺑﻄﺎﻗــــﺔ‬

‫ﺍﻟﱵ ﻣﺴﺎﺣﺘﻬﺎ ‪. π٢δ٤‬‬

‫ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﻃﻮﳍﺎ‬

‫ﻓﻤﺎ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺮﺑﻊ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪δ٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫) ‪δ٤ ( χ‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪ ١٦‬ﺳــﻢ ‪ ،‬ﻭﻋﺮﺿــﻬﺎ ‪ ٨‬ﺳــﻢ ‪ ،‬ﻗﺼــﺖ ﺩﺍﺋﺮﺗــﺎﻥ‬ ‫ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﺎﻥ ﺣﻴﺚ ﻗﻄﺮ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﺃﻛﱪ ﻣﺎ ﳝﻜـﻦ ‪.‬‬

‫) ‪δ١٦ ( β‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫) ‪δ٦٤ ( α‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻣﺎ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ﺍﳌﻈﻠﻠﺔ ﺗﻘﺮﻳﺒ ﹰﺎ ؟‬ ‫) ‪٢٧ ( β‬‬ ‫) ‪٧٨ ( δ‬‬

‫‪ ( ٢١‬ﻣﺜﻠــﺚ ﳏﻴﻄــﻪ ‪ ١٣‬ﺳــﻢ ‪ ،‬ﻭﻃــﻮﱄ ﺿــﻠﻌﻴﻪ‬ ‫ﺍﻟﻘﺼﲑﻳﻦ ‪ ١ + ι ،ι‬ﺳﻢ ‪ .‬ﻓﻤـﺎ ﻫـﻮ ﻃـﻮﻝ ﺿـﻠﻌﻪ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٢‬‬

‫)‪٤ ( χ‬‬

‫)‪٦ (β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫ﻛﻢ ﻋﺪﺩ ﺍﳌﺼﺎﻓﺤﺎﺕ ﺍﻟﱵ ﲤﺖ ؟‬ ‫) ‪١٨ ( β‬‬ ‫) ‪٣٠ ( δ‬‬

‫‪٨‬‬

‫‪ ( ٢٢‬ﻣــﺎ ﺧﺎﻧــﺔ ﺍﻵﺣــﺎﺩ ﰲ ﺍﻟﻌــﺪﺩ ‪٢‬‬ ‫ﻧﻀﺎﻋﻔﻪ ؟‬ ‫)‪٦ (β‬‬ ‫)‪٢ (δ‬‬ ‫)‪٤ (χ‬‬

‫‪ ( ٢٥‬ﺗﻘﺎﺑــﻞ ﺳــﺘﺔ ﺃﺷــﺨﺎﺹ ﰲ ﻣﻜــﺎﻥ ﻣــﺎ ‪ ،‬ﺇﺫﺍ‬ ‫ﺻﺎﻓﺢ ﻛﻞ ﺷﺨﺺ ﻣﻨﻬﻢ ﺍﻵﺧﺮ ﻣﺮﺓ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﻓﻘـﻂ ‪.‬‬

‫‪٣٢٠‬‬

‫)‪(α‬‬

‫) ‪٥٤ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٣‬‬

‫ﻋﻨــﺪﻣﺎ‬

‫‪٨‬‬

‫‪= ( ١٠× ٤ ) + ( ٢١٠× ٢ ) + ( ٤١٠× ٣ ) ( ٢٣‬‬ ‫) ‪٣٠٢٤٠ ( β‬‬ ‫) ‪٣٠٢٤٠٠ ( δ‬‬ ‫) ‪٣٢٤٠ ( α‬‬ ‫) ‪٣٢٤٠٠ ( χ‬‬

‫) ‪٢١ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٥‬‬

‫‪ ( ٢٦‬ﺇﺫﺍ ﻛــــــــــــــﺎﻥ ‪، ٥٥ = ٢ λ − ٢ ε‬‬ ‫‪ ١١= λ − ε‬ﻓﺈﻥ ‪= λ‬‬ ‫) ‪٨− ( β‬‬ ‫)‪٥ (δ‬‬

‫)‪(χ‬‬

‫‪٣‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٣−‬‬

‫‪٨٧‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪ ( ٢٧‬ﰲ ﺍﻟﺸــــــﻜﻞ‬

‫‪ ( ٣٠‬ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺣﺪﻫﺎ ﺍﻷﻭﻝ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ١‬ﻭﺣﺪﻫﺎ ﺍﻟﺜـﺎﱐ‬

‫ﺍ‪‬ـــﺎﻭﺭ ﻣﺴـــﺘﻄﻴﻞ‬

‫ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ، ٥‬ﻭﺑﺪﺀ ﻣﻦ ﺍﳊﺪ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﻛـﻞ ﺣـﺪ ﻓﻴﻬـﺎ‬

‫ﳏﻴﻄــﻪ ‪ ٢٦‬ﺳــﻢ ‪،‬‬

‫ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻜﻞ ﺍﳊﺪﻭﺩ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻟـﻪ‬

‫ﺭﲰﺖ ﻧﺼﻒ ﺩﺍﺋﺮﺓ‬

‫‪ .‬ﻓﻤﺎ ﻫﻮ ﺣﺪﻫﺎ ﺍﳋﺎﻣﺲ ﻭﺍﻟﻌﺸﺮﻭﻥ ؟‬ ‫) ‪٢٫٥ ( δ‬‬ ‫)‪٥ (β‬‬

‫ﻃﻮﻝ ﻗﻄﺮﻫﺎ ‪ αβ‬ﺳﻢ ‪ .‬ﻭﻣﺴـﺎﺣﺘﻬﺎ ‪ π ٨‬ﺳـﻢ‬ ‫ﻣﺎ ﳏﻴﻂ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ﻏﲑ ﺍﳌﻈﻠﻠﺔ ؟‬ ‫) ‪π٤ − ١٤ ( β‬‬ ‫) ‪π٤ − ٢٦ ( δ‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪π٤ − ١٨‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪π٨ − ١٨‬‬

‫‪ ( ٢٨‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺃﺟﺮﺓ ﻃﺮﺩ ﺑﺮﻳﺪﻱ ﶈﻄﺔ ﻣﻌﻴﻨـﺔ ‪٦٥‬‬ ‫ﻫﻠﻠﺔ ﻷﻭﻝ ‪ ٢٥٠‬ﺟﺮﺍﻡ ‪ ،‬ﻭ ‪ ١٠‬ﻫﻼﻻﺕ ﻟﻜـﻞ ‪١٠٠‬‬

‫ﺟﺮﺍﻡ ﺇﺿﺎﰲ ﺃﻭ ﺟﺰﺀ ﻣﻨﻪ ‪ .‬ﻛﻢ ﻳﻜﻮﻥ ﻭﺯﻥ ﺍﻟﻄـﺮﺩ‬ ‫ﺍﻟﺬﻱ ﻳﻜﻠﻒ ‪ ١٫٥٥‬ﺭﻳﺎﻝ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪١١٥٥‬‬

‫) ‪١١٥٠ ( χ‬‬

‫) ‪١١٤٥ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٠٤٠‬‬

‫‪ ( ٢٩‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻮﺯﻥ ﺍﻹﲨﺎﱄ ﻟﻌﻠﺒﺔ ﻃﻌـﺎﻡ ﳑﺘﻠﺌـﺔ‬ ‫ﺑﻄﻌﺎﻡ ‪ ٢‬ﻛﺠﻢ ‪ .‬ﻭﺑﻌﺪ ﺃﻛـﻞ ‪ ٣‬ﺍﻟﻄﻌـﺎﻡ ‪،‬ﺃﺻـﺒﺢ‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﻭﺯﻥ ﺍﻟﻌﻠﺒﺔ ‪ ٠٫٨‬ﻛﺠﻢ ‪ .‬ﻛﻢ ﻭﺯﻥ ﺍﻟﻌﻠﺒﺔ ﻓﺎﺭﻏﺔ ؟‬ ‫) ‪ ٠٫٤ ( β‬ﻛﺠﻢ‬ ‫) ‪ ٠٫٢ ( δ‬ﻛﺠﻢ‬

‫)‪(χ‬‬

‫‪ ٠٫٣‬ﻛﺠﻢ‬

‫)‪(α‬‬

‫‪ ٠٫٥‬ﻛﺠﻢ‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪ ( ٣١‬ﺇﺫﺍ ﻋﺮﻓﻨ‪‬ـــﺎ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴـــﺔ ‪ ε λ‬ﻛﺎﻟﺘـــﺎﱄ ‪:‬‬ ‫‪ ε٢ λ = ε λ‬ﻟﻜـــﻞ ﺍﻷﻋـــﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼـــﺤﻴﺤﺔ‬

‫ﺍﳌﻮﺟﺒﺔ ‪ .‬ﻓﺈﻥ ) ‪= ٢ ( ٤ ٣‬‬ ‫‪٢٤‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫)‪٣ (β‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫)‪( δ‬‬ ‫‪٣٢‬‬ ‫‪١٦‬‬ ‫)‪٣ (α‬‬ ‫)‪٣ (χ‬‬

‫‪ ( ٣٢‬ﺇﺫﺍ ﻛـــــﺎﻥ ‪ ، ∈λ،ε :‬ﻭﻛـــــﺎﻥ‬ ‫‪ . ١٣ = λ٢ + ε٣‬ﻓﺄﻱ ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﳝﻜﻦ‬

‫ﺗﻜﻮﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﻟـ ‪ λ‬؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪١‬‬

‫)‪٢ ( χ‬‬

‫)‪٣ (β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪ ( ٣٣‬ﺍﻷﻋــﺪﺍﺩ ‪ α ، β ، χ ، δ‬ﲤﺜــﻞ ﺃﺭﻗﺎﻣــ ﹰﺎ ﰲ‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﳉﻤﻊ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬

‫‪δ ٥‬‬ ‫‪β χ +‬‬ ‫‪α ٤ ٣‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﺣﺎﺻﻞ ﺍﳉﻤﻊ ‪ α + β + χ + δ :‬؟‬ ‫) ‪١٨ ( β‬‬ ‫‪٢٣‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫) ‪٢٢ ( χ‬‬

‫‪٨٨‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٢٥‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٦‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‪.......‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ٣‬‬

‫‪( ٣٤‬‬

‫‪ ( ٣٨‬ﰲ ﺍﻟﺸــﻜﻞ‬

‫• • •‬ ‫• • •‬ ‫• • •‬

‫ﺍﳌﻘﺎﺑـــﻞ ﺍﳌﺜﻠـــﺚ‬ ‫‪ βχδ‬ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃﻋﻼﻩ ‪ ،‬ﺃﻱ ﻧﻘﻄـﺔ ﺗﺒﻌـﺪ ﻋـﻦ ﺍﻷﺧـﺮﻯ‬ ‫ﻭﺣﺪﺗﲔ ﺃﻓﻘﻴ ﹰﺎ ﻭﻛﺬﻟﻚ ﺭﺃﺳﻴ ﹰﺎ ‪ .‬ﻣﺎ ﻫﻮ ﻃـﻮﻝ ﺃﻛـﱪ‬ ‫ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﳝﻜﻦ ﺭﲰﻬـﺎ ﲝﻴـﺚ ﺗـﺮﺑﻂ ﺑـﲔ‬ ‫ﻧﻘﻄﺘﲔ ﺑﺄﻱ ﺍﲡﺎﻩ ﺑﺸﺮﻁ ﺃﻥ ﻻ ﲤﺮ ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺛﺎﻟﺜﺔ ؟‬ ‫)‪٢ (δ‬‬ ‫) ‪١٠∂ ( β‬‬

‫) ‪٢ ∂٢ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٥ ∂٢‬‬

‫‪ ( ٣٥‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﳝﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( ٥،٥‬ﻭﻣﻴﻠـﻪ ‪ ٥‬ﻓـﺄﻱ‬ ‫‪٦‬‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻻ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻴﻪ ؟‬ ‫) ‪( ٧٫٥،٨ ) ( β‬‬ ‫) ‪( ٢،٢٫٥ ) ( δ‬‬

‫) ‪( ١٠،١١) ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫) ‪(٠،١−‬‬

‫‪ ( ٣٦‬ﺃﻱ ﳑﺎ ﻳﻠـﻲ ﻻ ﳝﻜـﻦ ﺃﻥ ﻳﻜـﻮﻥ ﺣـﺪﹰﺍ ﻣـﻦ‬ ‫ﺣﺪﻭﺩ ﺍﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ‪ "،٨ − ،١٢− ،١٦ − ،٢٠− :‬؟‬ ‫) ‪٦٦٨ ( β‬‬ ‫) ‪٢٠٠ ( δ‬‬

‫) ‪٤٤٠ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٧٦٢‬‬

‫‪ ٤٠‬ﺳــــــــﻢ ‪، ٢‬ﻭﻓﻴــــــــﻪ ‪، χι = ιδ‬‬ ‫] ‪ ، [ βχ] & [ ιγ‬ﺍﺣﺴﺐ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺜﻠﺚ ‪ιγδ‬‬ ‫) ‪٢٠ ( β‬‬ ‫) ‪١٠ ( δ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫) ‪١٥ ( χ‬‬

‫‪٣٠‬‬

‫‪ ( ٣٩‬ﰲ ﺍﻟﺸـــﻜﻞ‬ ‫ﺍﳌﻘﺎﺑـــــــــــــﻞ‬

‫] ‪، αβ ] & χδ‬‬ ‫ﻭﻗﻴــﺎﺱ ‪n‬‬ ‫‪ ، °٣٠ = γδχ‬ﻭﻗﻴــﺎﺱ ‪n‬‬ ‫‪. °٥٠ = αβγ‬‬ ‫ﻛﻢ ﻗﻴﺎﺱ ‪n‬‬ ‫‪ βγδ‬؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪°١٠٠‬‬

‫) ‪°٩٠ ( χ‬‬ ‫‪٢‬‬

‫) ‪°٨٠ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪°٧٠‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪= χ − δ ( ٤٠‬‬ ‫‪χ−δ‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪χ − δ ( ) ١+ χ + ٢ δ‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫) ‪χδ ( α‬‬ ‫)‪χ + δ ( χ‬‬

‫‪ ( ٣٧‬ﺃﺟﺎﺏ ﻃﻼﻝ ﰲ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﻣـﺎ ﻋـﻦ ﺍﻷﺳـﺌﻠﺔ ﻣـﻦ‬ ‫‪ ٧٤‬ﺇﱃ ‪ .١٢٥‬ﻛﻢ ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﱵ ﺃﺟﺎﺏ ﻋﻨﻬﺎ؟‬ ‫) ‪٥١ ( β‬‬ ‫‪٥٣‬‬ ‫)‪(δ‬‬

‫) ‪٥٢ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٥٠‬‬

‫‪٨٩‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪ ( ٤٣‬ﻣﺎ ﻗﻴﻤـﺔ ‪ ε‬ﰲ‬

‫‪( ٤١‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ ؟‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸــﻜﻞ ﺃﻋــﻼﻩ ﺭﺑــﻊ ﺩﺍﺋــﺮﺓ ‪ ،‬ﺭﺳــﻢ ﺩﺍﺧﻠــﻬﺎ‬ ‫ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻃﻮﻟﻪ ‪ ٨‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻭﻋﺮﺿﻪ ‪ ٦‬ﺳﻢ ‪ .‬ﻣﺎ ﻃـﻮﻝ‬ ‫ﺍﻟﻘﻮﺱ ⎤ ‪qδ‬‬ ‫‪( q‬‬ ‫‪ ⎡⎣ βχ‬؟ ) ‪βχ δ‬‬ ‫⎦‬ ‫‪π٥‬‬ ‫) ‪٢٥ ( β‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫) ‪π١٠ ( χ‬‬ ‫) ‪١٤ ( α‬‬ ‫‪( ٤٢‬‬

‫‪ε‬‬

‫‪λ‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪١٠‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪١٧‬‬

‫‪°١٤٠‬‬

‫‪ ( ٤٤‬ﻛــﻢ ﻋــﺪﺩ ﺍﻟــﺪﺭﺟﺎﺕ ﺍﻟــﱵ ﻳﻘﻄﻌﻬــﺎ ﻋﻘــﺮﺏ‬ ‫ﺍﻟﺴﺎﻋﺎﺕ ﺧﻼﻝ ‪ ٨٠‬ﺩﻗﻴﻘﺔ ؟‬ ‫)‪(β‬‬ ‫) ‪°٢٠ ( δ‬‬

‫‪°٦٠‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪°٨٠‬‬

‫‪ ( ٤٥‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪١٠ = λ − ε ، ٢٠ = ٢ λ − ٢ ε‬‬

‫ﻓﻤﺎ ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ‪ λ‬؟‬

‫) ‪١ − ε٣ ( β‬‬

‫) ‪( α ) ١ + ε٢ = λ ( χ‬‬

‫)‪°٥٠ ( χ‬‬

‫)‪°٤٠ ( χ‬‬

‫‪٢٦‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﰲ ﺍﳉــﺪﻭﻝ ﺃﻋــﻼﻩ ‪ ،‬ﺍﻟﻌﻼﻗــﺔ ﺍﻟــﱵ ﺗــﺮﺑﻂ ﺑــﲔ‬ ‫‪ λ ، ε‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫)‪٤ + ε = λ (δ‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪°٤٠‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫)‪(α‬‬

‫‪°٩٠‬‬

‫‪١+ ٢ ε‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٦−‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪٤−‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫)‪٦ (α‬‬ ‫‪٤‬‬

‫‪ ( ٤٦‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ χ،δ :‬ﳘﺎ ﻃﻮﱄ ﺿﻠﻌﻲ ﺍﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﰲ‬ ‫ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻃﻮﻝ ﻭﺗـﺮﻩ ‪١٠‬ﺳـﻢ ‪ ،‬ﻭﻣﺴـﺎﺣﺘﻪ‬ ‫‪ ٢٠‬ﺳﻢ ‪ . ٢‬ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤﺔ ) ‪ ٢ ( χ+ δ‬؟‬ ‫) ‪١٤٠ ( β‬‬ ‫) ‪١٠٠ ( δ‬‬ ‫) ‪١٨٠ ( α‬‬ ‫)‪١٢٠ ( χ‬‬

‫‪٩٠‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‪.......‬ﺍﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ) ‪( ٣‬‬

‫‪ ( ٤٧‬ﺇﺫﺍ ﻛـــﺎﻥ ‪ . ١٢ = ١ + ١ + ١ :‬ﻓـــﺈﻥ‬ ‫‪ε ε ε‬‬ ‫‪=ε‬‬ ‫)‪(δ‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٤‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫)‪(α‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪٢٢٢٤٫٢٤٤٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﳊﺮﻑ‪:‬‬ ‫‪ ( δ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﻣﻨﻬﺎ‬

‫)‪(β‬‬ ‫) ‪٢٢٤٦٫٢٤٦٢ ( α‬‬ ‫‪٢٢٤٢٫٤٢٤٢‬‬

‫‪ ( ٤٩‬ﻓﺮﻳﻖ ﻛﺮﺓ ﻗـﺪﻡ ﻟﻌـﺐ ‪ ، ε‬ﻭﻛﺴـﺐ ﻣﻨـﻬﺎ‬

‫‪ λ‬ﻣﺒﺎﺭﺍﺓ ‪ .‬ﻓﻤﺎ ﻫﻮ ﺍﻟﻜﺴﺮ ﺍﻟﺬﻱ ﳝﺜـﻞ ﺧﺴـﺎﺭﺗﻪ‬

‫ﰲ ﺍﳌﺒﺎﺭﻳﺎﺕ ؟‬ ‫‪ε−λ‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫)‪ε − λ ( χ‬‬ ‫‪ε‬‬

‫)‪(β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪λ−ε‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫‪λ−ε‬‬

‫‪ ( ٥٠‬ﺩﺧﻞ ﺑﺴﺎﻡ ﰲ ﻣﺸﺮﻭﻉ ﲡﺎﺭﻱ ﲟﺒﻠﻎ ‪ ε‬ﺭﻳـﺎ ﹰﻻ‬

‫ﻓﺨﺴﺮ ﻓﻴﻪ ‪ ، ⊆ ١٠‬ﰒ ﻛﺴـﺐ ﻓﻴـﻪ ﻻﺣﻘـ ﹰﺎ ‪⊆ ١٠‬‬ ‫ﻓﻜﻢ ﻧﺴﺒﺔ ‪ ε١٠‬؟ ‪.‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪⊆٩‬‬ ‫‪⊆ ٩٫٩‬‬

‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﺗﺴﺎﻭﻱ ﺧﺎﻧﺔ ﺍﳌﺌﺎﺕ ﰲ ﺟﺰﺀﻩ ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ‪ :‬ﰲ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬

‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪ ( ٤٨‬ﻣﺎ ﺍﻟـﺮﻗﻢ ﺍﻟـﺬﻱ ﻓﻴـﻪ ﺧﺎﻧـﺔ ﺍﳌﺌـﺎﺕ ﰲ ﺟـﺰﺀﻩ‬

‫‪٢٢٠٠٫٠٠٢٢‬‬

‫ﺛﺎﻧﻴ ﹰﺎ ‪ :‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ‬

‫) ‪⊆ ١٠ ( β‬‬ ‫) ‪⊆ ٩٩ ( α‬‬

‫ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬ ‫‪ ( χ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧــﺖ ﺍﻟﺼــﻴﻐﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﻤــﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﺻــﻐﺮ‬ ‫ﻣﻨﻬﺎ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬ ‫‪ (β‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺼﻴﻐﺘﺎﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﲔ‬ ‫‪ ( α‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧــﺖ ﺍﳌﻌﻠﻮﻣــﺎﺕ ﺍﳌﻌﻄــﺎﺓ ﻏــﲑ ﻛﺎﻓﻴــﺔ‬ ‫ﻟﻠﻤﻘﺎﺭﻧﺔ‪.‬‬ ‫‪( ٥١‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪δ‬‬ ‫‪χ‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪α‬‬

‫‪α×δ‬‬ ‫‪β×χ‬‬

‫‪ ( ٥٢‬ﺇﺫﺍ ﻛــﺎﻥ ﺍﻟﻮﺳــﻂ ﺍﳊﺴــﺎﰊ ﻷﺭﺑﻌــﺔ ﺃﻋــﺪﺍﺩ‬

‫ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ٢٠‬ﻭﳎﻤﻮﻉ ﺛﻼﺛﺔ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻣﻨﻬﺎ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪٦٠‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪٢٠‬‬

‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪٩١‬‬

‫‪ ١‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪( ٥٣‬‬

‫‪( ٥٨‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫∂‪١٦ ∂ + ٩‬‬

‫‪ ( ٥٤‬ﻳﻘﻮﺩ ﺭﺟﻞ ﺑﺴﺮﻋﺔ ‪ ٤‬ﻛﻠﻢ ‪ /‬ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ‪ ،‬ﺩﺭﺍﺟﺔ‬ ‫ﺑﻌﺠﻠــﺘﲔ ﳐــﺘﻠﻔﱵ ﺍﳊﺠــﻢ ‪ .‬ﻃــﻮﻝ ﻗﻄــﺮ ﺍﻟﻌﺠﻠــﺔ‬ ‫ﺍﻷﻣﺎﻣﻴﺔ ‪ ٥٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻭﻃـﻮﻝ ﻗﻄـﺮ ﺍﻟﻌﺠﻠـﺔ ﺍﳋﻠﻔﻴـﺔ‬ ‫‪ ٧٦‬ﺳﻢ ‪.‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ ﻣﺎ ﲡﺘﺎﺯﻩ ﰲ ﺳﺎﻋﺔ‬ ‫ﺍﻟﻌﺠﻠﺔ ﺍﻷﻣﺎﻣﻴﺔ‬

‫ﺍﻟﻌﺠﻠﺔ ﺍﳋﻠﻔﻴﺔ‬

‫‪ ( ٥٥‬ﳏﻴﻂ ﺍﳌﺮﺑﻊ ‪٤ + ι٤ = αβχδ‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪ι٢‬‬

‫‪βχ + χδ‬‬

‫‪ ( ٥٦‬ﺍﻗﺘﺴــﻢ ﻃــﻼﻝ ﻭﻣﺎﺟــﺪ ‪ ٥٠٠٠‬ﺭﻳــﺎﻝ ﺑﻨﺴــﺒﺔ‬ ‫‪ ٣ : ٥‬ﰒ ﺍﻗﺘﺴﻢ ﻣﺎﺟﺪ ﺣﺼـﺘﻪ ﻣـﻊ ﺑﺎﺳـﻞ ﻭﺳـﻬﻴﻞ‬ ‫ﺑﻨﺴﺒﺔ ‪١:١: ٣‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫ﺣﺼﺔ ﺑﺎﺳﻞ‬

‫ﺣﺼﺔ ﺳﻬﻴﻞ‬

‫‪ ( ٥٧‬ﰲ ﺍﳌﺴـــــﺘﻘﻴﻤﲔ ‪ ٠ = ٣ − λ + ε٦ :‬ﻭ‬ ‫‪٠ = ٣ − ε٤ − λ‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫ﻣﻴﻞ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪٩٢‬‬

‫‪ ⊆ ٤٠‬ﻣﻦ ‪١‬‬ ‫‪٤‬‬

‫∂ ‪١٦ + ٩‬‬

‫ﻣﻴﻞ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺜﺎﱐ‬

‫‪ ⊆ ٢٥‬ﻣﻦ ‪٢‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪( ٥٩‬‬ ‫ﻼ ﳏﺪﺩﹰﺍ ﺧﻼﻝ ‪ ٣٥‬ﻳﻮﻣ ﹰﺎ ‪ .‬ﻓﺈﺫﺍ‬ ‫ﻼ ﻋﻤ ﹰ‬ ‫ﻳﻨﺠﺰ ‪٤٠‬ﻋﺎﻣ ﹰ‬ ‫ﺯﺍﺩ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻌﻤﺎﻝ ﲟﻘﺪﺍﺭ ‪. ١٠‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻷﻳﺎﻡ ﺍﻟﱵ‬ ‫ﳝﻜﻨﻬﻢ ﺇ‪‬ﺎﺀ ﺍﻟﻌﻤﻞ‬ ‫ﻧﻔﺴﻪ‬

‫‪ ٢٧‬ﻳﻮﻡ‬

‫ﻣﻘﺪﻣﺔ ﻟﻠﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫ﻣﻘﺪﻣﺔ‬ ‫ﰲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﻧﺘﻨﺎﻭﻝ ﳕﺎﺫﺝ ﻣﻦ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻴﺔ ‪ ،‬ﻭﺍﳍﺪﻑ ﻣﻨﻬﺎ ﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺐ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴـﺮﻋﺔ ﻣـﻊ ﺍﻹﺗﻘـﺎﻥ ﰲ‬ ‫ﺍﳊﻞ ﻭﺍﻟﺘﻌﺮﺽ ﻟﻨﻤﺎﺫﺝ ﳐﺘﻠﻔﺔ ﻣﻦ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﻭﻳﺘﻜﻮﻥ ﻛﻞ ﳕﻮﺫﺝ ﻣﻦ ‪ ٦٠‬ﺳﺆﺍ ﹰﻻ ﻣﻮﺿـﻮﻋﻴ ﹰﺎ ﻣﻨـﻬﺎ ‪ ٥١‬ﺳـﺆﺍ ﹰﻻ‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﺍﳌﺘﻌﺪﺩ ﻭ ‪ ٩‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﻣﻦ ﻧﻮﻉ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺎﺕ ﻭﺍﻟﺰﻣﻦ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﻜﻞ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﲡﺮﻳﱯ ﻫـﻮ ﺳـﺎﻋﺔ ‪‬ﻭ ﲬﺴـﺔ‬ ‫ﻋﺸﺮ ﺩﻗﻴﻘﺔ ) ‪ ٧٥‬ﺩﻗﻴﻘﺔ ( ﻭﺳﻮﻑ ﲡﺪ ﺑﺄﺧﺮ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺃﻭﺭﺍﻕ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﻟﻜﻞ ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ ﲡﺮﻳﱯ ‪.‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﻓﻌ‪‬ﺎﻝ ‪ ،‬ﻓﻴﺠﺐ ﻋﻠﻴﻚ ﺍﻻﻟﺘﺰﺍﻡ ﺑﺎﻟﺘﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟـﻮﺍﺭﺩﺓ ﰲ ﺑﺪﺍﻳـﺔ ﻛـﻞ ﻗﺴـﻢ ﻣـﻦ ﺃﻗﺴـﺎﻡ‬ ‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪ ‪ ،‬ﻭﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﳌﺮﻓﻘﺔ ﺑﺂﺧﺮ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ‪ ،‬ﻭﺳـﻮﻑ ﲡـﺪ ﺍﻟﻄﺮﻳﻘـﺔ ﺍﳌﺴـﺘﺨﺪﻣﺔ ﰲ‬ ‫ﺍﺣﺘﺴﺎﺏ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﺍﻻﺧﺘﺒـﺎﺭ ﻫـﻲ ﺍﻟﻄﺮﻳﻘـﺔ ﺍﳌﺴـﺘﺨﺪﻣﺔ ﰲ ﺍﻻﺧﺘﺒـﺎﺭ ﺍﻻﻣﺮﻳﻜـﻲ ﺍﳌﺸـﻬﻮﺭ ) ‪ ، ( SAT‬ﻭﻫـﺬﻩ‬ ‫ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺃﻭﺭﺩﺕ ﻫﻨﺎ ﻛﻨﻮﻉ ﻣﻦ ﺃﻧﻮﺍﻉ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﳌﺴﺘﻮﻯ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺍﳌﺘﺪﺭﺏ ‪.‬‬ ‫ﺑﻴﻨﻤﺎ ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﳌﺴﺘﺨﺪﻣﺔ ﰲ ﺣﺴﺎﺏ ﺩﺭﺟﺎﺕ ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ ﺍﳌﺮﻛﺰ ﺍﻟﻮﻃﲏ ﻟﻠﻘﻴﺎﺱ ﻭﺍﻟﺘﻘﻮﱘ ﻫﻲ ﻃﺮﻳﻘـﺔ‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺟﺎﺕ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻳﺔ ﺣﻴﺚ ﲢﻮﻝ ﺍﻟﺪﺭﺟﺎﺕ ﺍﳋﺎﻡ ﺇﱃ ﺩﺭﺟﺎﺕ ﻣﻌﻴﺎﺭﻳﺔ ﲟﺘﻮﺳﻂ ﻭﺍﳓﺮﺍﻑ ﻣﻌﻴﺎﺭﻱ ﻣﻌﲔ ﰒ ﺗﻔﺴﺮ‬

‫ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﻭﻓﻖ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺍﳌﻨﺤﲎ ﺍﻻﻋﺘﺪﺍﱄ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻲ‪. ١‬‬ ‫ﻭﳛﺘﻮﻱ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﻋﻠﻰ ﻓﺼﻠﲔ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬ ‫‪ (١‬ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪ :‬ﺍﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﲡﺮﻳﺒﻴﺔ‬ ‫‪ .١‬ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﱯ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫‪ .٢‬ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﱯ ﺍﻟﺜﺎﱐ‬ ‫‪ .٣‬ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﱯ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫‪ .٤‬ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﱯ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬ ‫‪ (٢‬ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﳋﺎﻣﺲ ‪ :‬ﺇﺭﺷﺎﺩﺍﺕ ﺍﳊﻠﻮﻝ‬

‫‪ .١‬ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺒﺎﺕ ﻭ ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩﺓ ﺑﺎﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫‪ .٢‬ﻣﻔﺎﺗﻴﺢ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﻟﻼﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻴﺔ‬

‫‪ ١‬اﻧﻈﺮ ‪ :‬دﻟﻴﻞ اﻟﻄﺎﻟﺐ اﻟﺘﺪرﻳﺒﻲ ﻻﺧﺘﺒﺎر اﻟﻘﺪرات اﻟﻌﺎﻣﺔ ‪ ،‬ص ‪ ) ٣٢‬ﻣﺮﺟﻊ ﺳﺎﺑﻖ (‬

‫‪٩٤‬‬

‫ﻧﻤﻮﺫﺝ )‪(١‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ‪ :‬ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﻳﺘﻜﻮﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻘﺴﻢ ﻣـﻦ ‪ ٢٥‬ﺳـﺆﺍ ﹰﻻ ﻣﻮﺿـﻮﻋﻴ ﹰﺎ ﻣﻨـﻬﺎ ‪ ٢١‬ﺳـﺆﺍ ﹰﻻ ﻣـﻦ ﻧـﻮﻉ‬

‫ﺍﻟﺰﻣﻦ ‪ ٣٠ :‬ﺩﻗﻴﻘﺔ‬

‫ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ ‪‬ﻭ ‪ ٤‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﻣﻦ ﻧﻮﻉ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺎﺕ ‪ .‬ﻭﻫﻨـﺎﻙ ﺇﺟﺎﺑـﺔ ﺻـﺤﻴﺤﺔ‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ‪ ٢٥ :‬ﺳﺆﺍﻝ‬

‫ﻭﺍﺣﺪﺓ ﻟﻜﻞ ﺳﺆﺍﻝ ﻇﻠﻞ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼـﺤﻴﺤﺔ ﰲ ﻭﺭﻗـﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑـﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﻤـﻮﺩ‬ ‫ﺍﳌﺨﺼﺺ ﳍﺬﺍ ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺑﻮﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ‪.‬‬

‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ‪:‬‬ ‫‪ – ٣‬ﲨﻴﻊ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩﺓ ﻫﻲ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ‪.‬‬

‫‪ -١‬ﻏﲑ ﻣﺴﻤﻮﺡ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﳊﺎﺳﺒﺔ‬

‫‪ -٢‬ﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﳌﺼﺎﺣﺒﺔ ﰲ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺭﲰﺖ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻴـﺎﺱ ‪ -٤‬ﺍﺳــﺘﺨﺪﻡ ﻭﺭﻗــﺔ ﺧﺎﺭﺟﻴــﺔ ﻛﻤﺴــﻮﺩﺓ ﻭ ﻻ‬ ‫ﺗﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ‪.‬‬

‫ﻣﺎ ﱂ ﻳﺬﻛﺮ ﺧﻼﻑ ﺫﻟﻚ‬

‫ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻭﺃﺷﻜﺎﻝ ﻫﻨﺪﺳﻴﺔ ﳝﻜﻨﻚ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻬﺎ ﺇﻥ ﺍﺣﺘﺠﺖ ﳍﺎ ‪:‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ‪λε‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ‪π٢Ω‬‬ ‫ﺍﶈﻴﻂ = ‪πΩ٢‬‬

‫ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ‬

‫= ‪°١٨٠‬‬

‫ﺍﶈﻴﻂ = ‪(λ + ε) ٢‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ‬

‫ﺍﳊﺠﻢ = ‪Ψελ‬‬

‫ﺍﳊﺠﻢ = ‪ςπ٢Ω‬‬

‫‪αδ × χβ‬‬ ‫=‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ‬

‫ﻣﺜﻠﺚ‬

‫ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ‬

‫ﺛﻼﺛﻴﲏ – ﺳﺘﻴﲏ‬

‫ﺍﻟﺴﺎﻗﲔ‬

‫ﺇﺫﺍ ﺗﺸﺎﺑﻪ ﻣﻀﻠﻌﺎﻥ ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﲔ ﻣﺴﺎﺣﺘﻴﻬﻤﺎ ﺗﺴﺎﻭﻱ ﻣﺮﺑﻊ ﻧﺴﺒﺔ‬ ‫‪βδ +٢ βχ =٢ χδ‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺃﻭ ﹰﻻ ‪ :‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ‬ ‫ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪ ٢١‬ﺳﺆﺍ ﹰﻻ ) ‪ ،( ٢١-١‬ﻳﺘﺒﻊ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﺃﺭﺑﻌﺔ‬ ‫ﺍﺧﺘﻴﺎﺭﺍﺕ ‪ .‬ﺍﺧﺘﺮ ﻣـﻦ ﺑﻴﻨـﻬﺎ ﺍﻹﺟﺎﺑـﺔ ﺍﻟﺼـﺤﻴﺤﺔ ﰒ‬ ‫ﻇﻠﻞ ﺣﺮﻑ ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ ﳍﺎ ﰲ ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ‪.‬‬

‫‪= ٤٩ × ٥١ ( ١‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٥٤٩‬‬

‫) ‪٢٢١٩ ( χ‬‬

‫‪٩٨‬‬

‫) ‪٢٤٩٩ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٢٥٤٩‬‬

‫ﺍﻟﺘﺸﺎﺑﻪ ‪.‬‬

‫‪ ( ٢‬ﻣﺎ ﺧﺎﻧﺔ ﺍﻵﺣﺎﺩ ﻟﻠﻌﺪﺩ ‪١٦ × ٩١× ٦٣ × ٦٢٤‬؟‬ ‫)‪٤ (β‬‬ ‫)‪٢ (δ‬‬

‫)‪(χ‬‬

‫‪٣‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٦‬‬

‫‪ ( ٣‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪ ٢٥ = ε‬ﻓﺈﻥ ‪= ε∂ − ε‬‬ ‫) ‪٥٩٦ ( β‬‬ ‫‪٤٢٨‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫‪٢‬‬

‫) ‪٥١٤ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٦٢٠‬‬

‫‪١‬‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻲ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪(٤‬‬

‫‪ ( ٨‬ﻣﺎ ﻫﻮ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻸﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺑﲔ‬

‫ﻛﻢ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﳊﺎﺩﺓ‬

‫‪ ٣‬ﻭ ‪ ١١‬؟‬ ‫)‪٥ (δ‬‬

‫)‪٧ (β‬‬

‫)‪٦ (χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ـﺎﻭﺭ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻛﺎﻥ ‪n‬‬ ‫‪ °٩٠ = χκδ‬؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٤‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪٧‬‬

‫‪٨‬‬

‫)‪٩ (β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٠‬‬

‫‪ ( ٩‬ﺇﺫﺍ ﺭﲰﻨــــﺎ ﺍﳌﺴــــﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟــــﺬﻱ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘــــﻪ‬ ‫‪ ٠ = β + λχ + εδ‬ﰲ ﺍﳌﺴـــﺘﻮﻯ ﺍﻹﺣـــﺪﺍﺛﻲ‬

‫‪ ( ٥‬ﻛﻢ ﻫﻠﻠﺔ ﰲ ‪ ε٣‬ﻗﺮﺷ ﹰﺎ ؟‬ ‫) ‪ε٣٠ ( β‬‬ ‫‪ε٣‬‬ ‫)‪(δ‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪ε١٥‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪ε٧٥‬‬

‫‪ ( ٦‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ١‬ﻋﺪﺩ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ⊆ ٥٠‬ﻣﻦ ﺍﻟﻌـﺪﺩ ‪. ٦‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﻓﻤﺎ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ؟‬ ‫)‪٤ (β‬‬ ‫) ‪٣٠ ( δ‬‬

‫) ‪١٢ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١‬‬

‫ﲝﻴﺚ ﻛﺎﻥ ‪ ٠ β ، δ‬ﻭ ‪ . ٠ χ‬ﻓﺈﻧﻪ ﻟﻦ ﳝﺮ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻊ‪-:‬‬ ‫) ‪ ( β‬ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫) ‪ ( δ‬ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫) ‪ ( χ‬ﺍﻟﺜﺎﱐ‬

‫‪= ١ ( ١٠‬‬ ‫‪١+ ١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫)‪٢ (δ‬‬

‫)‪(χ‬‬ ‫‪(٧‬‬ ‫ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ـﺎﻭﺭ ﺇﺫﺍ‬

‫ﻛﺎﻧــــــﺖ ‪، ( ٣،٧ ) δ‬‬ ‫‪ ( ٣،٣ ) χ‬ﻓﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﻴـﻞ‬

‫ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ‪χδ‬‬ ‫)‪٥ (δ‬‬ ‫)‪٤ ( χ‬‬

‫)‪٣ (β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬

‫)‪(α‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫)‪(α‬‬

‫ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬

‫ﻓﺈﻥ ‪χ + δ٢‬‬ ‫‪ ( ١١‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪٢ = χ ،٣ = δ‬‬ ‫=‬ ‫‪δ‬‬ ‫‪δ‬‬ ‫)‪٨ (β‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫) ‪١١ ( α‬‬ ‫)‪٤ ( χ‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪٩٩‬‬

‫ﻧﻤﻮﺫﺝ )‪(١‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪( ١٢‬‬

‫‪ ( ١٦‬ﻋــﺪﺩ ﺿــﺮﺑﻨﺎﻩ ﰲ ‪ ٢‬ﻭﺃﺿــﻔﻨﺎ ﻟﻠﻨــﺎﺗﺞ ‪ ٥‬ﰒ‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ـﺎﻭﺭ ﺇﺫﺍ‬

‫ﺿﺮﺑﻨﺎ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﺍﻷﺧﲑ ﰲ ‪ ٥‬ﻭﻃﺮﺣﻨـﺎ ﻣـﻦ ﺫﻟـﻚ ‪٢٥‬‬ ‫ﻭﻗﺴﻤﻨﺎ ﺍﻟﻜﻞ ﻋﻠﻰ ‪ ، ١٠‬ﻣﺎ ﺍﻟﻌـﺪﺩ ﺍﻟـﺬﻱ ﳓﺼـﻞ‬

‫ﻛــﺎﻥ ‪ ٢τ & ١ τ‬ﻓﻤــﺎ‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ‪ ε‬؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٤٠‬‬

‫) ‪٥٥ ( χ‬‬

‫) ‪٧٥ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٩٥‬‬

‫‪ ( ١٣‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪ ، ٠ ≠ ε‬ﻭﻋﺮ‪‬ﻓﻨـﺎ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴـﺔ " ‪" S‬‬ ‫ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪ ١+ λ = λ S ε :‬ﻓﺈﻥ ‪= ٢ S ٣‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫)‪٣ (β‬‬ ‫)‪١ (δ‬‬ ‫)‪٢ (α‬‬ ‫)‪٢ ( χ‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪ ( ١٤‬ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻨﻘـﻮﺩ ﺍﻟـﱵ ﻣـﻊ ﻃـﻼﻝ ﺗﺰﻳـﺪ ﲟﻘـﺪﺍﺭ‬ ‫ﲬﺴﺔ ﺭﻳﺎﻻﺕ ﻋﻦ ﺿﻌﻒ ﺍﻟﻨﻘﻮﺩ ﺍﻟﱵ ﻣـﻊ ﻣﺎﺟـﺪ ‪،‬‬ ‫ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﻊ ﻣﺎﺟﺪ ﺭﻳﺎﻟﲔ ‪ .‬ﻓﻜﻢ ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ﻣﻊ ﻃﻼﻝ ؟‬ ‫)‪٨ (β‬‬ ‫)‪٦ (δ‬‬

‫)‪(χ‬‬

‫‪٧‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٩‬‬

‫‪( ١٥‬‬ ‫ﰲ ﺍﻟﺸـــﻜﻞ ﺍ‪‬ـــﺎﻭﺭ‬

‫) ‪ ( χ‬ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻧﻔﺴﻪ‬

‫)‪(α‬‬

‫ﻣﺮﺑﻊ ﺍﻟﻌﺪﺩ‬

‫‪ ( ١٧‬ﺃﻱ ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻻ ﳝﻜﻦ ﺃﻥ ﻳﻜـﻮﻥ‬ ‫ﳎﻤﻮﻉ ﻗﻴﺎﺳﺎﺕ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﺪﺍﺧﻠﻴﺔ ﳌﻀﻠﻊ ؟‬ ‫) ‪°٢٠٠٠ ( β‬‬ ‫) ‪°٢٧٠٠ ( δ‬‬

‫) ‪°٢٣٤٠ ( χ‬‬ ‫‪=١١ ( ε− ) ( ١٨‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪١١‬‬

‫‪ε−‬‬ ‫‪ε١١ −‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪°١٩٨٠‬‬

‫) ‪ε١١ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١١‬‬

‫‪ε‬‬

‫‪ ( ١٩‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ κ = ε ، κ = δ‬ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤﺔ ‪ δ‬؟‬ ‫‪χ‬‬ ‫‪δ‬‬ ‫)‪χ + ε (δ‬‬ ‫) ‪χε∂ ( β‬‬ ‫)‪ε ( χ‬‬ ‫) ‪χε∂ ± ( α‬‬

‫‪ ٤٠‬ﺳﻢ ‪ .‬ﻓﻤﺎ ﻃﻮﻝ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻀﻠﻌﲔ ﺍﳌﺘﻄﺎﺑﻘﲔ ﺇﺫﺍ‬

‫∂ ‪١٣‬‬

‫) ‪٥ ∂٢ ( χ‬‬

‫‪١٠٠‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫ﻧﺼﻒ ﺍﻟﻌﺪﺩ‬

‫) ‪ ( β‬ﺿﻌﻒ ﺍﻟﻌﺪﺩ‬

‫‪ ( ٢٠‬ﻣﺜﻠــﺚ ﻣﺘﻄــﺎﺑﻖ ﺍﻟﻀــﻠﻌﲔ ﳏﻴﻄــﻪ ﻳﺴــﺎﻭﻱ‬

‫‪= χδ‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫ﻋﻠﻴﻪ ﰲ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ؟‬

‫)‪٥ (β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫∂‪٣١‬‬

‫ﻛﺎﻥ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ١٦‬ﺳﻢ ؟‬ ‫) ‪١٣ ( β‬‬ ‫) ‪١٥ ( δ‬‬

‫) ‪١٤ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٢‬‬

‫‪١‬‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻲ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪ ( ٢٢‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪٠ ≠ λ ،٠ ≠ ε‬‬

‫‪( ٢١‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﳌﻘﺎﺑـﻞ ﳝﺜـﻞ‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫ﻣﺼـــﺮﻭﻓﺎﺕ ﺃﺳـــﺮﺓ ﰲ‬

‫‪λε‬‬

‫ﺇﺣــﺪﻯ ﺍﻷﺷــﻬﺮ ‪ .‬ﻣــﺎ‬ ‫ﻧﺴﺒﺔ ﻣﺎ ﺗﺼﺮﻓﻪ ﺍﻷﺳﺮﺓ‬

‫‪ ( ٢٣‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪١ = λ − ε٣ ،٤ = λ + ε٢‬‬

‫ﻣﻦ ﺩﺧﻠﻬﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﳌﺪﺍﺭﺱ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪⊆ ١٥‬‬

‫) ‪⊆ ٢٠ ( χ‬‬

‫‪٠‬‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫) ‪⊆ ٢٥ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪⊆ ٣٠‬‬

‫ﺍﻧﺘﻬﺖ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ ﻟﻠﻘﺴﻢ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫ﺍﻵﻥ ﺍﻧﺘﻘﻞ ﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ‪.‬‬ ‫ﺛﺎﻧﻴ ﹰﺎ ‪ :‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ) ‪( ٢٥ – ٢٢‬‬ ‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ‪ :‬ﰲ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫ﺻﻴﻐﺘﺎﻥ ‪ ،‬ﻭﺍﺣـﺪﺓ ﰲ ﺍﻟﻌﻤـﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪ ،‬ﻭﺍﻷﺧـﺮﻯ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜـﺎﱐ ‪ ،‬ﻗـﺎﺭﻥ ﺑـﲔ ﺍﻟﺼـﻴﻐﺘﲔ ﰒ ﻇﻠـﻞ ﰲ‬ ‫ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﳊﺮﻑ‪:‬‬

‫‪λ‬‬

‫‪ε‬‬ ‫‪ ( ٢٤‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪٣ = ε‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫) ‪( ٣ − ε )( ٢ − ε )( ١ − ε‬‬

‫) ‪( ٢ − ε )( ١ − ε )( ٥ + ε‬‬

‫‪ ( ٢٥‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺭﺍﺗـﺐ ﻣﻮﻇـﻒ ﻗـﺪ ﺯﺍﺩ ﻣـﻦ ‪٤٠٠٠‬‬ ‫ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ﺇﱃ ‪ ٦٠٠٠‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ‪.‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﺰﻳﺎﺩﺓ‬

‫‪⊆ ٦٠‬‬

‫‪ ( δ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﻣﻨﻬﺎ‬ ‫ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬ ‫‪ ( χ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧــﺖ ﺍﻟﺼــﻴﻐﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﻤــﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﺻــﻐﺮ‬ ‫ﻣﻨﻬﺎ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬ ‫‪ (β‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺼﻴﻐﺘﺎﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﲔ‬ ‫‪ ( α‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧــﺖ ﺍﳌﻌﻠﻮﻣــﺎﺕ ﺍﳌﻌﻄــﺎﺓ ﻏــﲑ ﻛﺎﻓﻴــﺔ‬ ‫ﻟﻠﻤﻘﺎﺭﻧﺔ‪.‬‬

‫ﺗﻮﻗﻒ !‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻭﺻﻠﺖ ﻫﻨﺎ ﻗﺒﻞ ‪‬ﺎﻳـﺔ ﺍﻟﻮﻗـﺖ‬ ‫ﺍﳌﺨﺼﺺ ﳍـﺬﺍ ﺍﻟﻘﺴـﻢ ﳝﻜﻨـﻚ‬ ‫ﻣﺮﺍﺟﻌــﺔ ﺇﺟﺎﺑﺎﺗــﻚ ﻭﳚــﺐ ﻋــﺪﻡ‬ ‫ﺍﻻﻧﺘﻘﺎﻝ ﻟﻠﻘﺴﻢ ﺍﻟﺘﺎﱄ ﻗﺒـﻞ ‪‬ﺎﻳـﺔ‬ ‫ﺍﻟﻮﻗﺖ ‪.‬‬

‫‪١٠١‬‬

‫ﻧﻤﻮﺫﺝ )‪(١‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ‪ :‬ﺍﻟﺜﺎﱐ‬

‫ﻳﺘﻜﻮﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻘﺴﻢ ﻣـﻦ ‪ ٢٥‬ﺳـﺆﺍ ﹰﻻ ﻣﻮﺿـﻮﻋﻴ ﹰﺎ ﻣﻨـﻬﺎ ‪ ٢٠‬ﺳـﺆﺍ ﹰﻻ ﻣـﻦ ﻧـﻮﻉ‬

‫ﺍﻟﺰﻣﻦ ‪ ٣٠ :‬ﺩﻗﻴﻘﺔ‬

‫ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ ‪‬ﻭ ‪ ٥‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﻣﻦ ﻧﻮﻉ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺎﺕ ‪ .‬ﻭﻫﻨـﺎﻙ ﺇﺟﺎﺑـﺔ ﺻـﺤﻴﺤﺔ‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ‪ ٢٥ :‬ﺳﺆﺍﻝ‬

‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ‪:‬‬ ‫‪ – ٣‬ﲨﻴﻊ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩﺓ ﻫﻲ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ‪.‬‬

‫‪ -١‬ﻏﲑ ﻣﺴﻤﻮﺡ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﳊﺎﺳﺒﺔ‬

‫ﻣﺎ ﱂ ﻳﺬﻛﺮ ﺧﻼﻑ ﺫﻟﻚ‬

‫ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻭﺃﺷﻜﺎﻝ ﻫﻨﺪﺳﻴﺔ ﳝﻜﻨﻚ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻬﺎ ﺇﻥ ﺍﺣﺘﺠﺖ ﳍﺎ ‪:‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ‪λε‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ‪π٢Ω‬‬ ‫ﺍﶈﻴﻂ = ‪πΩ٢‬‬

‫ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ‬

‫= ‪°١٨٠‬‬

‫ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ‬

‫ﻣﺜﻠﺚ‬

‫ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ‬

‫ﺛﻼﺛﻴﲏ – ﺳﺘﻴﲏ‬

‫ﺍﶈﻴﻂ = ‪(λ + ε) ٢‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ‬

‫ﺍﳊﺠﻢ = ‪Ψελ‬‬

‫ﺍﳊﺠﻢ = ‪ςπ٢Ω‬‬ ‫‪ (٢‬ﺑﺎﻉ ﺗﺎﺟﺮ ﺑﻀﺎﻋﺔ ﻓﺮﺑﺢ ﻓﻴﻬـﺎ ‪ ⊆١٥‬ﻣـﻦ ﺍﻟﺴـﻌﺮ‬ ‫ﺍﻷﺻﻠﻲ ‪ ،‬ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺳﻌﺮ ﺑﻴﻌﻬﺎ ‪ ٣٤٥‬ﺭﻳـﺎ ﹰﻻ ‪ .‬ﻓﻤـﺎ‬

‫‪αδ × χβ‬‬ ‫=‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺍﻟﺴﺎﻗﲔ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺃﻭ ﹰﻻ ‪ :‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ‬

‫ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠـﻲ ‪ ٢٠‬ﺳـﺆﺍ ﹰﻻ ) ‪ ،( ٢٠ -١‬ﻳﺘﺒـﻊ ﻛـﻞ ﻣﻨـﻬﺎ‬ ‫ﺃﺭﺑﻌﺔ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭﺍﺕ ‪ .‬ﺍﺧﺘﺮ ﻣﻦ ﺑﻴﻨﻬﺎ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﰒ ﻇﻠﻞ ﺣﺮﻑ ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ ﳍﺎ ﰲ ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ‪.‬‬

‫) (‬

‫‪= ٢( ٣ − ) ÷ ٣ − ٣ − ÷ ٤( ٢ − ) × ٥( ١ − ) (١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫) ‪١− ( β‬‬ ‫)‪٦ (δ‬‬

‫)‪( χ‬‬ ‫‪١٠٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٢−‬‬

‫ﺍﻟﺘﺸﺎﺑﻪ ‪.‬‬

‫ﻫﻮ ﺳﻌﺮﻫﺎ ﺍﻷﺻﻠﻲ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٢٥٠‬‬

‫) ‪٣٠٠ ( χ‬‬

‫) ‪٣٢٥ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٣٤٠‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻲ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪ (٣‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ∂ ‪ ε + λ = ٢λ +٢ ε‬ﻓـﺄﻱ ﻣـﻦ‬ ‫ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺻﺤﻴﺤﺔ ؟‬ ‫) ‪٠= λ+ ε ( β‬‬ ‫‪λ=ε‬‬ ‫)‪(δ‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪١= ε‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٠ = λε‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٤ + ε٣‬‬

‫‪١١‬‬

‫‪ ( ٧‬ﺳﻌﺮ ﺳﻠﻌﺔ ‪ ٤٠٠‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ‪ ،‬ﺑﻴﻌﺖ ﺑﺴﻌﺮ ‪ ٣٠٠‬ﺭﻳﺎﻝ‬ ‫ﻛﻢ ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﺘﺨﻔﻴﺾ ؟‬ ‫) ‪⊆ ٥٠ ( β‬‬ ‫) ‪⊆ ٧٥ ( δ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٠ = ١٨ − ε٧ +٢ ε٣ ( χ‬‬ ‫‪٠ = ε٥ +٢ ε ( β‬‬

‫‪ι − ١٨٠‬‬

‫‪ (٦‬ﻳﻨﻬﻲ ‪ ٩‬ﻋﻤﺎﻝ ﻣﺸﺮﻭﻋ ﹰﺎ ﰲ ‪ ١٢‬ﻳﻮﻡ ‪ .‬ﻛـﻢ ﻳﻮﻣـ ﹰﺎ‬ ‫ﳛﺘﺎﺟﻮﻥ ﻹ‪‬ﺎﺀ ﺍﻟﻌﻤﻞ ﻧﻔﺴﻪ ﺇﺫﺍ ﺯﻳﺪ ﻋﺪﺩﻫﻢ ﺛﻼﺛﺔ ؟‬ ‫) ‪١٠ ( β‬‬ ‫)‪٨ (δ‬‬

‫) ‪⊆ ٦٠ ( χ‬‬

‫‪٠ = ٢٤ + ε٥ −٢ ε (δ‬‬

‫) ‪ι + ٩٠ ( β‬‬

‫‪ (٥‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ε‬ﻋﺪﺩﹰﺍ ﻓﺮﺩﻳـ ﹰﺎ ‪ ،‬ﻓـﺄﻱ ﳑـﺎ ﻳﻠـﻲ ﻻ‬ ‫ﳝﻜﻦ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﻋﺪﺩﹰﺍ ﻓﺮﺩﻳ ﹰﺎ ؟‬ ‫) ‪٣ + ε٣ ( β‬‬ ‫‪٢+ ε‬‬ ‫)‪(δ‬‬

‫)‪٩ ( χ‬‬

‫) ‪١٠ + ε٢ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٠ + ε٤‬‬

‫ﺿﺮﺏ ﺟﺬﺭﻳﻬﺎ ﻋﺪﺩ ﺳﺎﻟﺐ ؟‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﳌﻘﺎﺑـﻞ ﻣـﺎ ﻗﻴﻤـﺔ‬

‫) ‪١ + ε٢ ( χ‬‬

‫‪ (٨‬ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻋﺮﺿﻪ ‪ ε‬ﺳـﻢ ‪ ،‬ﻭﻃﻮﻟـﻪ ﻳﺰﻳـﺪ ﻋـﻦ‬ ‫ﻋﺮﺿﻪ ﲟﻘﺪﺍﺭ ‪ ٥‬ﺳﻢ ‪ .‬ﻓﻤﺎ ﳏﻴﻄﻪ ؟‬ ‫) ‪١٠ + ε٣ ( β‬‬ ‫) ‪١٠+ ε ( δ‬‬

‫‪ (٩‬ﺃﻱ ﻣﻦ ﺍﳌﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﳚﺐ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺣﺎﺻـﻞ‬

‫‪(٤‬‬ ‫‪ε‬؟‬ ‫) ‪ι − ٩٠ ( δ‬‬ ‫) ‪٩٠ ( χ‬‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫‪⊆ ٢٥‬‬

‫‪٠ = ١٥ + ε٢ +٢ ε (α‬‬ ‫‪ (١٠‬ﻭﻋﺎﺀ ﳛﺘﻮﻱ ﻋﻠﻰ ‪ ١٠‬ﻛﺮﺍﺕ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠـﺔ ﺇﻻ ﻣـﻦ‬ ‫ﺣﻴﺚ ﺍﻟﻠﻮﻥ ﻓﻴﻪ ‪ ٦‬ﻛـﺮﺍﺕ ﲪـﺮﺍﺀ ‪ ،‬ﻭ ‪ ٤‬ﺑﻴﻀـﺎﺀ ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﺳﺤﺒﻨﺎ ﻛﺮﺓ ﻋﺸﻮﺍﺋﻴ ﹰﺎ ﻓﻤـﺎ ﺍﺣﺘﻤـﺎﻝ ﺃﻥ ﺗﻜـﻮﻥ‬ ‫ﲪﺮﺍﺀ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٠٫٣‬‬

‫) ‪٠٫٤ ( χ‬‬

‫) ‪٠٫٥ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٠٫٦‬‬

‫‪(١١‬‬ ‫ﺭﲰﺖ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺩﺍﺧﻞ ﻣﺮﺑـﻊ ﻃـﻮﻝ‬ ‫ﺿــﻠﻌﻪ ‪ ٨‬ﻛﻤــﺎ ﰲ ﺍﻟﺸــﻜﻞ‬ ‫ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ ‪ . ،‬ﻓﻤﺎ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﳌﻨﻄﻘﺔ‬ ‫ﺍﳌﻈﻠﻠﺔ ؟‬

‫) ‪( π + ٤ )١٦ ( δ‬‬ ‫) ‪( π + ١)١٦ ( χ‬‬

‫) ‪( π − ٤ )١٦ ( β‬‬ ‫) ‪π٤ + ١٦ ( α‬‬ ‫‪١٠٣‬‬

‫ﻧﻤﻮﺫﺝ )‪(١‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪ (١٢‬ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻤﺖ ﺃﻥ ﻗﻴﺎﺱ ﻣﺘﻤﻤﺔ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ‪m‬‬ ‫‪ λ‬ﺗﺴﺎﻭﻱ‬ ‫‪ ، °ε‬ﻓﺈﻥ ﻣﻜﻤﻠﺘﻬﺎ ﺗﺴﺎﻭﻱ ‪:‬‬ ‫) ‪ε − ١٨٠ ( β‬‬ ‫) ‪ε − ٩٠ ( δ‬‬

‫) ‪ε + ٩٠ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪ε٢‬‬

‫‪(١٣‬‬

‫‪(١٥‬‬ ‫ﻣــﺎ ﺣﺠــﻢ ﺍﳌﻨﻄﻘــﺔ‬ ‫ﺍﳌﻈﻠﻠﺔ ﺑﺎﻟﺴـﻨﺘﻴﻤﺘﺮ‬ ‫ﺍﳌﻜﻌـــــــــﺐ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪١٥٢٠٠‬‬

‫) ‪١٣٦٠٠ ( χ‬‬

‫) ‪١٢٦٠٠ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١١٢٠٠‬‬

‫‪ (١٦‬ﰲ ﺍﻟﺸـــﻜﻞ‬ ‫ﻣﺎ ﻧﺴـﺒﺔ ﻣﺴـﺎﺣﺔ‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃﻋﻼﻩ ‪ ،‬ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻤﺖ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫‪ αβ & γι & χδ‬ﻭ ‪ϕγ & βχ & ικ‬‬ ‫ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤﺔ ‪ ε‬؟‬ ‫) ‪°٩٦ ( β‬‬ ‫) ‪°٧٢ ( δ‬‬

‫) ‪°٨٤ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪°١٠٦‬‬

‫‪ (١٤‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺩﺭﺟﺎﺕ ﺍﳊـﺮﺍﺭﺓ ﺍﳌﺴـﺠﻠﺔ ﰲ ﺃﺣـﺪ‬ ‫ﺃﺷﻬﺮ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻛﻢ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪١٧ ١٦ ١٦ ١٥ ١٤‬‬

‫‪١٨ ١٩ ١٩ ١٨ ١٨ ١٨ ١٧‬‬ ‫‪٢٠ ٢٠ ١٩ ١٨ ١٨ ١٧ ١٧‬‬ ‫‪٢٠ ١٩ ١٨ ١٧ ١٨ ١٩ ١٩‬‬ ‫‪٢٠ ٢٠ ٢٠ ١٩‬‬ ‫ﻓﻤﺎ ﻫﻮ ﺍﳌﻨﻮﺍﻝ ؟‬ ‫) ‪١٩ ( β‬‬ ‫‪١٧‬‬ ‫)‪(δ‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪١٠٤‬‬

‫‪١٨‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٢٠‬‬

‫‪ ακδ+‬ﺇﱃ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪ χκδ+‬؟‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫)‪٥ ( χ‬‬ ‫‪٣‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫)‪(α‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪ (١٧‬ﻣﺎ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﱵ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻬﺎ ‪:‬‬ ‫‪ ٠ = ٦ −٢ λ ١ +٢ ε ١‬؟‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫) ‪π٢٤ ( β‬‬ ‫) ‪π٦ ( δ‬‬

‫) ‪π١٢ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪π٤٨‬‬

‫‪ (١٨‬ﻣﺎ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ﺍﻟﺬﻱ ﺭﺅﻭﺳﻪ ‪:‬‬ ‫) ‪ (٢− ،٣ − ) ، (٢،٣ − ) ، (٤،٣ )، (٤،٣ −‬؟‬ ‫) ‪٢٥ ( β‬‬ ‫) ‪٢٤ ( δ‬‬

‫) ‪٣٦ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٦‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻲ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪ (١٩‬ﺻﻨﺒﻮﺭ ﻣﺎﺀ ﳝـﻸ ﺧﺰﺍﻧـ ﹰﺎ ﰲ ﺳـﺎﻋﺔ ﻭﻧﺼـﻒ ‪،‬‬

‫ﺛﺎﻧﻴ ﹰﺎ ‪ :‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ) ‪( ٢٥-٢٢‬‬

‫ﻭﺻﻨﺒﻮﺭﹰﺍ ﺁﺧﺮ ﳝﻸ ﺍﳋـﺰﺍﻥ ﻧﻔﺴـﻪ ﰲ ‪ ٤٥‬ﺩﻗﻴﻘـﺔ ‪.‬‬

‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ‪ :‬ﰲ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬

‫ﻓﻜــﻢ ﺳــﺎﻋﺔ ﻳﺴــﺘﻐﺮﻕ ﻣــﻞﺀ ﺍﳋــﺰﺍﻥ ﺇﺫﺍ ﻓــﺘﺢ‬ ‫ﺍﻟﺼﻨﺒﻮﺭﺍﻥ ﻣﻌ ﹰﺎ ؟‬ ‫‪١‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫)‪١ (χ‬‬ ‫‪٢‬‬

‫)‪٥ (β‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫) ‪١١ ( α‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪ (٢٠‬ﲤﻠﻚ ﺭﱘ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻘـﻮﺩ " ‪ " Θ‬ﺭﻳـﺎ ﹰﻻ ‪ ،‬ﺃﻗﺮﺿـﺖ‬ ‫ﺯﻣﻴﻠﺔ ﳍﺎ ﺭ‪‬ﺑﻊ ﻣﺎ ﻋﻨﺪﻫﺎ ‪ ،‬ﻭﺻـﺮﻓﺖ ﺛﹸﻠـﺚ ﺍﻟﺒـﺎﻗﻲ ‪.‬‬ ‫ﻓﻜﻢ ﺃﺻﺒﺢ ﻣﻌﻬﺎ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫)‪(χ‬‬

‫‪Θ‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪Θ‬‬ ‫‪٤‬‬

‫)‪Θ (β‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫)‪Θ (α‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪(٢١‬‬

‫ﺻﻴﻐﺘﺎﻥ ‪ ،‬ﻭﺍﺣـﺪﺓ ﰲ ﺍﻟﻌﻤـﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪ ،‬ﻭﺍﻷﺧـﺮﻯ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜـﺎﱐ ‪ ،‬ﻗـﺎﺭﻥ ﺑـﲔ ﺍﻟﺼـﻴﻐﺘﲔ ﰒ ﻇﻠـﻞ ﰲ‬ ‫ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﳊﺮﻑ‪:‬‬ ‫‪ ( δ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﻣﻨﻬﺎ‬ ‫ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬ ‫‪ ( χ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧــﺖ ﺍﻟﺼــﻴﻐﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﻤــﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﺻــﻐﺮ‬ ‫ﻣﻨﻬﺎ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬ ‫‪ (β‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺼﻴﻐﺘﺎﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﲔ‬ ‫‪ ( α‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧــﺖ ﺍﳌﻌﻠﻮﻣــﺎﺕ ﺍﳌﻌﻄــﺎﺓ ﻏــﲑ ﻛﺎﻓﻴــﺔ‬ ‫ﻟﻠﻤﻘﺎﺭﻧﺔ‪.‬‬

‫‪ (٢٢‬ﺇﺫﺍ ﻋﺮ‪‬ﻓﻨﺎ ‪ +ε‬ﺑﺎﻟﺼﻮﺭﺓ ‪١+ ε = + ε‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸـــﻜﻞ ﺍ‪‬ـــﺎﻭﺭ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺃﺳﻄﻮﺍﻧﺔ ﺩﺍﺋﺮﻳـﺔ ﻗﺎﺋﻤـﺔ‬ ‫ﳏﻴﻂ ﻗﺎﻋﺪ‪‬ﺎ ‪ ٦‬ﺳـﻢ‬ ‫ﻭﺍﺭﺗﻔﺎﻋﻬــﺎ ‪ ٤‬ﺳــﻢ ‪ .‬ﻣــﺎ‬

‫‪ (٢٣‬ﺃﻟﻘﻲ ﺣﺠﺮ ﻧﺮﺩ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻣﺮﺓ ﻭﺍﺣﺪﺓ‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ‬

‫ﻫﻲ ﺃﻗﺼﺮ ﻣﺴﺎﻓﺔ ﺑﲔ‬

‫ﺍﻟﻨﻘﻄﺘﲔ ‪ χ ، δ‬ﻋﻠﻰ ﺳﻄﺢ ﺍﻷﺳﻄﻮﺍﻧﺔ ؟‬ ‫)‪٥ (β‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫)‪(δ‬‬

‫)‪٤ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٦‬‬

‫ﺍﻧﺘﻬﺖ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ ﻟﻠﻘﺴﻢ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫ﺍﻵﻥ ﺍﻧﺘﻘﻞ ﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ‬

‫‪+‬‬

‫‪٣‬‬

‫ﻇﻬﻮﺭ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪ ٢‬ﺃﻭ ‪٣‬‬

‫ﻇﻬﻮﺭ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪٥‬‬

‫‪(٢٤‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪٢−٣‬‬ ‫‪٥ ٢‬‬ ‫‪١ + ١−‬‬ ‫‪٤ ٥‬‬

‫‪١١ −‬‬

‫‪١٠٥‬‬

‫ﻧﻤﻮﺫﺝ )‪(١‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪(٢٥‬‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫ﳎﻤﻮﻉ ﻗﻴﺎﺳﺎﺕ‬

‫ﳎﻤﻮﻉ ﻗﻴﺎﺳﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﱵ ﻭﺿﻊ‬

‫ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﺪﺍﺧﻠﻴﺔ‬

‫ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻋﻼﻣﺔ " × "‬

‫ﻟﻠﺮﺑﺎﻋﻲ ‪αβχδ :‬‬

‫‪١٠٦‬‬

‫‪٣‬‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻲ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ‪ :‬ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫ﻳﺘﻜﻮﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻘﺴﻢ ﻣﻦ ‪ ١٠‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﻣﻮﺿﻮﻋﻴﺔ ﻣﻦ ﻧﻮﻉ ﺍﻻﺧﺘﻴـﺎﺭ ﻣـﻦ ﻣﺘﻌـﺪﺩ‬

‫ﺍﻟﺰﻣﻦ ‪ ١٥ :‬ﺩﻗﻴﻘﺔ‬

‫ﻭﻫﻨﺎﻙ ﺇﺟﺎﺑﺔ ﺻﺤﻴﺤﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﻟﻜﻞ ﺳﺆﺍﻝ ﻇﻠﻞ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﰲ ﻭﺭﻗﺔ‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ‪ ١٠ :‬ﺃﺳﺌﻠﺔ‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﳌﺨﺼﺺ ﳍﺬﺍ ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺑﻮﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ‪.‬‬

‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ‪:‬‬ ‫‪ – ٣‬ﲨﻴﻊ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩﺓ ﻫﻲ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ‪.‬‬

‫‪ -١‬ﻏﲑ ﻣﺴﻤﻮﺡ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﳊﺎﺳﺒﺔ‬

‫ﻣﺎ ﱂ ﻳﺬﻛﺮ ﺧﻼﻑ ﺫﻟﻚ‬

‫ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻭﺃﺷﻜﺎﻝ ﻫﻨﺪﺳﻴﺔ ﳝﻜﻨﻚ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻬﺎ ﺇﻥ ﺍﺣﺘﺠﺖ ﳍﺎ ‪:‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ‪π٢Ω‬‬ ‫ﺍﶈﻴﻂ = ‪πΩ٢‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ‪λε‬‬

‫ﺍﶈﻴﻂ = ‪(λ + ε) ٢‬‬

‫ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ‬ ‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ‬

‫= ‪°١٨٠‬‬

‫‪αδ × χβ‬‬ ‫=‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ‬ ‫ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ‬

‫ﻣﺜﻠﺚ‬

‫ﺛﻼﺛﻴﲏ – ﺳﺘﻴﲏ‬

‫ﺍﻟﺴﺎﻗﲔ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﺗﺸﺎﺑﻪ ﻣﻀﻠﻌﺎﻥ ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﲔ ﻣﺴﺎﺣﺘﻴﻬﻤﺎ ﺗﺴﺎﻭﻱ ﻣﺮﺑﻊ ﻧﺴﺒﺔ‬

‫ﺍﻟﺘﺸﺎﺑﻪ ‪.‬‬

‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ βδ + βχ = χδ‬ﺍﳊﺠﻢ = ‪ Ψελ‬ﺍﳊﺠﻢ = ‪ςπ٢Ω‬‬ ‫‪ (٢‬ﺳﺎﺭ ﺷﺨﺺ ﻣﺴﺎﻓﺔ ‪ ١٦‬ﻣﺘﺮﹰﺍ ﴰﺎ ﹰﻻ ﰒ ‪ ١٢‬ﻣﺘﺮﹰﺍ‬ ‫ﺷﺮﻗ ﹰﺎ ‪ .‬ﻣﺎ ﺑﻌﺪ ﺍﻟﺸﺨﺺ ﻋﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻻﻧﻄﻼﻕ ؟‬ ‫ﺃﻭ ﹰﻻ ‪ :‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ‬ ‫) ‪٢٠ ( β‬‬ ‫)‪٤ (δ‬‬ ‫ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪ ١٠‬ﺃﺳﺌﻠﺔ )‪ ،( ١٠ -١‬ﻳﺘﺒﻊ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﺃﺭﺑﻌﺔ‬

‫ﺍﺧﺘﻴﺎﺭﺍﺕ ‪ .‬ﺍﺧﺘﺮ ﻣـﻦ ﺑﻴﻨـﻬﺎ ﺍﻹﺟﺎﺑـﺔ ﺍﻟﺼـﺤﻴﺤﺔ ﰒ‬ ‫ﻇﻠﻞ ﺣﺮﻑ ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ ﳍﺎ ﰲ ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ‪.‬‬

‫) ‪١٤ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٢٨‬‬

‫‪ (٣‬ﻣﺮﺑﻊ ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ ﺛﻼﺛﺔ ﺃﺿﻌﺎﻑ ﻣﺴـﺎﺣﺔ ﻣﺴـﺘﻄﻴﻞ‬ ‫‪ (١‬ﺃﻱ ﻣﻦ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻳﻘﺒﻞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠـﻰ ﻛـﻞ‬

‫ﻣﻦ ‪ ٣‬ﻭ ‪ ٥‬ﻭﻻ ﻳﻘﺒﻞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪٢‬‬ ‫) ‪٢٥ ( β‬‬ ‫) ‪٧٥ ( δ‬‬ ‫) ‪٣٠ ( χ‬‬ ‫) ‪٢١ ( α‬‬

‫ﺃﺑﻌﺎﺩﻩ ‪ ٥‬ﺳﻢ ‪ ١٥ ،‬ﺳﻢ ‪ .‬ﻓﻤﺎ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺮﺑﻊ ؟‬ ‫) ‪٧٥ ( β‬‬ ‫) ‪٢٠ ( δ‬‬ ‫) ‪٦٠ ( χ‬‬ ‫) ‪٢٢٥ ( α‬‬

‫‪١٠٧‬‬

‫ﻧﻮﺫﺝ )‪(١‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪ (٤‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻏﺎﺩﻩ ﺍﻵﻥ ﺗﻜﱪ ﺭﻏـﺪ ﺑــ ‪ ١٢‬ﻋﺎﻣـ ﹰﺎ‬

‫‪ (٨‬ﻳﺼﻞ ﺳﺎﱂ ﻟﻌﻤﻠﻪ ﺍﻟﺘﺎﺳﻌﺔ ﺻﺒﺎﺣ ﹰﺎ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮﻥ‬

‫ﻓﺒﻜﻢ ﺗﻜﱪﻫﺎ ﺑﻌﺪ ﻋﺸﺮﺓ ﺃﻋﻮﺍﻡ ؟‬ ‫) ‪١٢ ( β‬‬ ‫)‪٢ (δ‬‬

‫ﺳــﺮﻋﺘﻪ ‪ ٣٠‬ﻛﻠــﻢ ‪ /‬ﺍﻟﺴــﺎﻋﺔ ‪ .‬ﺑﻴﻨﻤــﺎ ﻳﺼــﻞ ﰲ‬ ‫ﺍﳊﺎﺩﻳــﺔ ﻋﺸــﺮﺓ ﺻــﺒﺎﺣ ﹰﺎ ﻋﻨــﺪﻣﺎ ﺗﻜــﻮﻥ ﺳــﺮﻋﺘﻪ‬

‫) ‪١٠ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٢٢‬‬

‫‪ (٥‬ﻣﺎ ﺍﳊﺪ ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ ﰲ ﺍﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ‪:‬‬ ‫‪"،٥٨،٣٣،١٧،٨،٤‬‬ ‫) ‪٤٤ ( β‬‬ ‫) ‪٤٠ ( δ‬‬

‫) ‪٤٢ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٩٤‬‬

‫‪ (٦‬ﺇﺫﺍ ﻛــﺎﻥ ﺗﺮﺗﻴــﺐ ﻫﻴــﺜﻢ ﺍﻟﻮﺍﻗــﻒ ﰲ ﺻــﻒ ﻣــﻦ‬ ‫ﺍﻟﻴﻤﲔ ﺍﻟﺴﺎﺑﻊ ‪ ،‬ﻭﻣﻦ ﺍﻟﻴﺴـﺎﺭ ﺍﻟﺜﺎﻟـﺚ ﻋﺸـﺮ ‪ .‬ﻛـﻢ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻮﺍﻗﻔﲔ ﰲ ﺍﻟﺼﻒ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪١٣‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪١٧‬‬

‫) ‪١٩ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪ ٣٠٠‬ﺭﻳــﺎﻝ ‪ ،‬ﻭﺭﻣــﻰ ﻣﻨــﻬﺎ ﺻــﻨﺪﻭﻗﲔ ﻓﺎﺳــﺪﻳﻦ ‪.‬‬ ‫ﻓﺒﻜﻢ ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ﳚﺐ ﺃﻥ ﻳﺒﻴﻊ ﺍﻟﺼﻨﺪﻭﻕ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪ ﻟﻴﺤﻘـﻖ‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٣٠‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪٣٦‬‬

‫) ‪٤٥ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫) ‪٢٤ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٢٢‬‬

‫‪ (٩‬ﻗﻄﺎﺭ ﺷﺤﻦ ﻃﻮﻟﻪ ‪ ١‬ﻛﻠﻢ ﻳﺴـﲑ ﺑﺴـﺮﻋﺔ ﺛﺎﺑﺘـﺔ‬ ‫ﻗﺪﺭﻫﺎ ‪ ٢٠‬ﻛﻠﻢ ‪ /‬ﺍﻟﺴـﺎﻋﺔ ‪ .‬ﺇﺫﺍ ﺩﺧـﻞ ﻧﻔـﻖ ﻃﻮﻟـﻪ‬ ‫‪ ١‬ﻛﻠﻢ ﺍﻟﺴـﺎﻋﺔ ‪ ١:٠٠‬ﻣﺴـﺎ ًﺀ ‪.‬ﻓﻤـﺎ ﺍﻟﻮﻗـﺖ ﺍﻟـﺬﻱ‬ ‫ﻼ ﺑﻌﺪ ﺧﺮﻭﺟﻪ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻔﻖ ؟‬ ‫ﻳﺸﺎﻫﺪ ﻓﻴﻪ ﺍﻟﻘﻄﺎﺭ ﻛﺎﻣ ﹰ‬ ‫) ‪١:٠٥ ( β‬‬ ‫‪١:٠٣‬‬ ‫)‪(δ‬‬

‫) ‪١:٠٤ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١:٠٦‬‬

‫‪٢٠‬‬

‫‪ (٧‬ﺍﺷﺘﺮﻯ ﺑﺎﺋﻊ ﻓﺎﻛﻬﺔ ‪ ١٠‬ﺻﻨﺎﺩﻳﻖ ﺑﺮﺗﻘـﺎﻝ ﺑﻘﻴﻤـﺔ‬

‫ﺭﺑﺢ ﻗﺪﺭﻩ ‪ ⊆ ٢٠‬؟‬

‫‪ ٢٠‬ﻛﻠﻢ ‪ /‬ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ‪ .‬ﻛﻢ ﳚﺐ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ ﺳـﺮﻋﺘﻪ‬ ‫ﻟﻴﺼﻞ ﰲ ﺍﻟﻌﺎﺷﺮﺓ ﺻﺒﺎﺣ ﹰﺎ ؟‬ ‫) ‪٢٣ ( β‬‬ ‫) ‪٢٥ ( δ‬‬

‫‪ (١٠‬ﻋﻘﺪ ﻣﻜﻮﻥ ﻣﻦ ‪ ٤‬ﺧﺮﺯﺍﺕ ﺑﻴﻀﺎﺀ ‪ ٥ ،‬ﺳﻮﺩﺍﺀ‬ ‫‪ ٧‬ﲪﺮﺍﺀ ‪ .‬ﻛﻢ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻌﻘﻮﺩ ﺍﻟﱵ ﳝﻜﻦ ﺗﻜﻮﻳﻨﻬﺎ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ ٥٠‬ﺧﺮﺯﺓ ﻣﻦ ﻛﻞ ﻧﻮﻉ ؟‬ ‫)‪٩ (β‬‬ ‫)‪٧ (δ‬‬

‫)‪(χ‬‬

‫‪٨‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٠‬‬

‫‪٥٠‬‬ ‫ﺗﻮﻗﻒ !‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻭﺻﻠﺖ ﻫﻨﺎ ﻗﺒﻞ ‪‬ﺎﻳـﺔ ﺍﻟﻮﻗـﺖ‬ ‫ﺍﳌﺨﺼﺺ ﳍـﺬﺍ ﺍﻟﻘﺴـﻢ ﳝﻜﻨـﻚ‬ ‫ﻣﺮﺍﺟﻌﺔ ﺇﺟﺎﺑﺎﺗﻚ ‪.‬‬

‫‪١٠٨‬‬

‫ﻧﻤﻮﺫﺝ )‪(٢‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ‪ :‬ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﻳﺘﻜﻮﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻘﺴﻢ ﻣـﻦ ‪ ٢٥‬ﺳـﺆﺍ ﹰﻻ ﻣﻮﺿـﻮﻋﻴ ﹰﺎ ﻣﻨـﻬﺎ ‪ ٢٢‬ﺳـﺆﺍ ﹰﻻ ﻣـﻦ ﻧـﻮﻉ‬

‫ﺍﻟﺰﻣﻦ ‪ ٣٠ :‬ﺩﻗﻴﻘﺔ‬

‫ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ ‪‬ﻭ ‪ ٣‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﻣﻦ ﻧﻮﻉ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺎﺕ ‪ .‬ﻭﻫﻨـﺎﻙ ﺇﺟﺎﺑـﺔ ﺻـﺤﻴﺤﺔ‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ‪ ٢٥ :‬ﺳﺆﺍﻝ‬

‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ‪:‬‬ ‫‪ – ٣‬ﲨﻴﻊ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩﺓ ﻫﻲ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ‪.‬‬

‫‪ -١‬ﻏﲑ ﻣﺴﻤﻮﺡ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﳊﺎﺳﺒﺔ‬

‫ﻣﺎ ﱂ ﻳﺬﻛﺮ ﺧﻼﻑ ﺫﻟﻚ‬

‫ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻭﺃﺷﻜﺎﻝ ﻫﻨﺪﺳﻴﺔ ﳝﻜﻨﻚ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻬﺎ ﺇﻥ ﺍﺣﺘﺠﺖ ﳍﺎ ‪:‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ‪λε‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ‪π٢Ω‬‬ ‫ﺍﶈﻴﻂ = ‪πΩ٢‬‬

‫ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ‬

‫= ‪°١٨٠‬‬

‫ﺍﶈﻴﻂ = ‪(λ + ε) ٢‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ‬

‫ﺍﳊﺠﻢ = ‪Ψελ‬‬

‫ﺍﳊﺠﻢ = ‪ςπ٢Ω‬‬

‫‪αδ × χβ‬‬ ‫=‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ‬

‫ﻣﺜﻠﺚ‬

‫ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ‬

‫ﺛﻼﺛﻴﲏ – ﺳﺘﻴﲏ‬

‫ﺍﻟﺴﺎﻗﲔ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺃﻭ ﹰﻻ ‪ :‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ‬ ‫ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠـﻲ ‪ ٢٢‬ﺳـﺆﺍ ﹰﻻ ) ‪ ،( ٢٢ -١‬ﻳﺘﺒـﻊ ﻛـﻞ ﻣﻨـﻬﺎ‬ ‫ﺃﺭﺑﻌﺔ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭﺍﺕ ‪ .‬ﺍﺧﺘﺮ ﻣﻦ ﺑﻴﻨﻬﺎ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﰒ ﻇﻠﻞ ﺣﺮﻑ ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ ﳍﺎ ﰲ ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ‪.‬‬

‫‪= ١٠٠× ٢ − (٢٨ + ٧٢) ٧ ( ١‬‬ ‫) ‪٥٦٠ ( β‬‬ ‫) ‪٤٦٢ ( δ‬‬

‫) ‪٥٠٠ ( χ‬‬

‫‪١١٠‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٦٢٨‬‬

‫ﺍﻟﺘﺸﺎﺑﻪ ‪.‬‬

‫‪ ⊆ ١ ( ٢‬ﻣﻦ ‪= ١٠٠٠‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫)‪٨ (δ‬‬

‫) ‪٢٫٥ ( β‬‬

‫)‪٤ (χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١‬‬

‫‪ ( ٣‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪ ٨١= ε‬ﻓﺈﻥ ‪= ε∂٤ −٢ ε‬‬ ‫) ‪٦٥٤٦ ( β‬‬ ‫) ‪٦٥٤٢ ( δ‬‬ ‫) ‪٦٥٤٤ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٦٥٥٨‬‬

‫‪١‬‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻲ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫‪ ( ٤‬ﳎﻤﻮﻉ ﺛﻼﺛﺔ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻓﺮﺩﻳﺔ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﺴﺎﻭﻱ ‪٥٧‬‬ ‫ﻓﻤﺎ ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻷﻭﻝ ﻭﺍﻟﺜﺎﱐ ﻣﻦ ﺗﻠﻚ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ؟‬ ‫) ‪٤٠ ( β‬‬ ‫) ‪٣٦ ( δ‬‬ ‫) ‪٣٩ ( χ‬‬ ‫‪ ( ٥‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ‬

‫)‪(δ‬‬ ‫)‪( χ‬‬

‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٤١‬‬

‫‪ ، ١ = ε ١‬ﻓﺈﻥ ‪= ε‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫)‪١ (β‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫)‪٦ (α‬‬

‫‪ ( ٦‬ﺇﺫﺍ ﻛـــــــــــﺎﻥ ‪، ٨ = α + β + χ + δ‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪ ، ١٠ = χ + δ‬ﻓﺈﻥ ‪= α + β‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫)‪٨ (β‬‬ ‫)‪٦ (δ‬‬ ‫)‪٩ (α‬‬ ‫)‪٧ ( χ‬‬

‫‪ (٩‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺳﻌﺮ ﻟﺘـﺮ ﺍﻟـﺒﱰﻳﻦ ﻣـﻦ ﳏﻄـﺔ ﺩﺍﺧـﻞ‬ ‫ﺍﳌﺪﻳﻨﺔ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ٩٠‬ﻫﻠﻠﺔ ﻭﻣﻦ ﳏﻄـﺔ ﺧـﺎﺭﺝ ﺍﳌﺪﻳﻨـﺔ‬ ‫ﻳﺴــﺎﻭﻱ ‪ ٩٦‬ﻫﻠﻠــﺔ ‪ .‬ﻓﻤــﺎ ﺍﻟﺰﻳــﺎﺩﺓ ﺍﻟــﱵ ﺳــﻴﺪﻓﻌﻬﺎ‬ ‫ﺍﻟﺴﺎﺋﻖ ) ﺑﺎﻟﺮﻳـﺎﻝ ( ﺍﻟـﺬﻱ ﱂ ﻳﺸـﺘﺮﻱ ﺍﻟـﺒﱰﻳﻦ ﻣـﻦ‬ ‫ﳏﻄﺔ ﺍﳌﺪﻳﻨﺔ ﻭﺷﺮﺍﻩ ﻣﻦ ﺧﺎﺭﺟﻬﺎ ﲟﺒﻠﻎ ‪ ٤٨‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ؟‬ ‫)‪٤ (β‬‬ ‫)‪٢ (δ‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪٣‬‬

‫ﺍﻟﺰﻭﺟﻴﺔ ﺍﶈﺼﻮﺭﺓ ﺑﲔ ‪ ٣‬ﻭ ‪ ١٣‬؟‬ ‫)‪٨ (β‬‬ ‫)‪٤ (δ‬‬

‫)‪٦ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٠‬‬

‫‪ ( ٨‬ﺇﺫﺍ ﻛــﺎﻥ ﺍﻟﻴــﻮﻡ ﺍﻷﺭﺑﻌــﺎﺀ ‪ .‬ﻓﺒﻌــﺪ ‪ ٦٠‬ﻳــﻮﻡ‬ ‫ﺳﻴﻜﻮﻥ ‪:‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫ﺍﻷﺣﺪ‬

‫) ‪ ( χ‬ﺍﻻﺛﻨﲔ‬

‫) ‪ ( β‬ﺍﻟﺜﻼﺛﺎﺀ‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪ ( ١٠‬ﻛﻢ ﻫﻠﻠﺔ ﰲ )‪ ( ٣ + ε٢‬ﻗﺮﺷ ﹰﺎ ؟‬ ‫) ‪( ٣ + ε٢ )٢٥ ( β ) ( ٣ + ε٢ )٥ ( δ‬‬

‫) ‪( α ) ( ٣ + ε٢ )١٠ ( χ‬‬

‫‪( ٣ + ε٢ )١٠٠‬‬

‫‪ ( λ+ε‬ﻓـﺈﻥ‬ ‫‪ ( ١١‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪ ) ε = λ S ε‬‬

‫‪= (٤ S ٣ ) S ٢‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٢٤‬‬

‫) ‪٣٢ ( χ‬‬ ‫‪ ( ٧‬ﻣــﺎ ﺍﻟﻮﺳــﻂ ﳊﺴــﺎﰊ ﻟﻸﻋــﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼــﺤﻴﺤﺔ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫) ‪٣٤ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٤٦‬‬

‫‪( ١٢‬‬ ‫ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ـﺎﻭﺭ ﺃﻱ‬ ‫ﻣــﻦ ﺍﻟﻌﺒــﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴــﺔ‬ ‫ﺻﺤﻴﺤﺔ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪γα & βδ‬‬

‫) ‪γα & χδ ( χ‬‬

‫) ‪ια & βδ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪ια & χδ‬‬

‫ﺍﳉﻤﻌﺔ‬

‫‪١١١‬‬

‫ﻧﻤﻮﺫﺝ )‪(٢‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪ ( ١٣‬ﰲ ﺍﻟﺸــــﻜﻞ‬

‫‪ ( ١٧‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﳏﻴﻂ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ )‪ (κ‬ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ π٦‬ﺳﻢ‬

‫ﺍﳌﻘﺎﺑـــﻞ ﺇﺫﺍ ﻛـــﺎﻥ‬

‫ﻭﳏﻴﻂ ﺍﻟـﺪﺍﺋﺮﺓ ) ‪ ( ι‬ﻳﺴـﺎﻭﻱ ‪ π١٢‬ﺳـﻢ ‪ .‬ﻓـﺈﺫﺍ‬

‫‪ ٢ = βδ‬ﻓــــــﺈﻥ‬

‫ﻋﻠﻤﺖ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺗﲔ ﺗﺘﻘﺎﻃﻌﺎﻥ ﻣﻦ ﺍﳋـﺎﺭﺝ ﰲ ﻧﻘﻄـﺔ‬

‫‪= αδ‬‬

‫ﻭﺍﺣﺪﺓ ﻓﻘﻂ ﻓﻤﺎ ﻫﻲ ﺍﳌﺴﺎﻓﺔ ﺑﲔ ﻣﺮﻛﺰﻳﻬﻤﺎ ؟‬ ‫) ‪١٢ ( β‬‬ ‫‪١٨‬‬ ‫)‪(δ‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫∂‪٢‬‬

‫)‪(χ‬‬

‫∂‪٣‬‬

‫) ‪٦∂ ( β‬‬ ‫) ‪٣ ∂٢ ( α‬‬

‫‪ ( ١٨‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧـــﺖ ‪ ( ٢ − ،٣ ) β‬ﻫـــﻲ ﻣﻨﺘﺼـــﻒ‬

‫‪( ١٤‬‬ ‫ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﳌﻘﺎﺑـﻞ‬ ‫ﻣﺎ ﻗﻴﻤﺔ ‪ ε‬؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪°٥٠‬‬

‫) ‪°٦٠ ( χ‬‬

‫) ‪°٧٠ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪ ٠= β + λχ + εδ‬ﰲ ﺍﳌﺴـــﺘﻮﻯ ﺍﻹﺣـــﺪﺍﺛﻲ‬ ‫ﲝﻴﺚ ﺃﻥ ‪ ٠ β ،٠ χ ،٠ δ‬ﻓﺈﻧﻪ ﻟـﻦ ﳝـﺮ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻊ ‪:‬‬ ‫ﺍﻷﻭﻝ‬

‫) ‪ ( χ‬ﺍﻟﺜﺎﱐ‬

‫) ‪ ( β‬ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫)‪(α‬‬

‫ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪ ( ١٦‬ﻣﺎ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﳌﺌﻮﻳﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ‪ ٣٠‬ﺇﱃ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪ ١٥‬؟‬ ‫) ‪⊆ ٥٠ ( β‬‬ ‫) ‪⊆ ٢٠٠ ( δ‬‬

‫) ‪⊆ ١٠٠ ( χ‬‬

‫‪١١٢‬‬

‫)‪(α‬‬

‫⎤‪ ⎡χδ‬ﻭﻛﺎﻧﺖ ‪ ( ٣،٢) δ‬ﻓﺈﻥ ﺇﺣﺪﺍﺛﻲ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪χ‬‬ ‫⎦ ⎣‬ ‫ﻫﻮ ‪:‬‬ ‫) ‪( ٧ −،٤) ( β‬‬ ‫) ‪( ٤،٧ − ) ( δ‬‬

‫) ‪( ٨،٥ − ) ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫) ‪( ٥ − ،٨‬‬

‫‪°٧٥‬‬

‫‪ ( ١٥‬ﺇﺫﺍ ﺭﲰﻨــــﺎ ﺍﳌﺴــــﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟــــﺬﻱ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘــــﻪ‬

‫)‪(δ‬‬

‫) ‪١٥ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٩‬‬

‫‪⊆ ٢٠‬‬

‫‪ ( ١٩‬ﰲ ﻋﺎﻡ ‪ ١٩٤٠‬ﻡ ﻛﺎﻥ ﻋﺪﺩ ﺳﻜﺎﻥ ﺍﳌﻤﻠﻜـﺔ‬ ‫‪ ٢‬ﻣﻠﻴﻮﻥ ﻧﺴﻤﺔ ‪ ،‬ﻓـﺈﺫﺍ ﻋﻠﻤـﺖ ﺃﻥ ﻋـﺪﺩ ﺍﻟﺴـﻜﺎﻥ‬ ‫ﻳﺘﻀــﺎﻋﻒ ﻛــﻞ ‪ ٢٠‬ﺳــﻨﺔ ‪ .‬ﻓﻜــﻢ ﻳﻜــﻮﻥ ﻋــﺪﺩ‬ ‫ﺳﻜﺎﻥ ﺍﳌﻤﻠﻜﺔ ) ﺑﺎﳌﻠﻴﻮﻥ ( ﻋﺎﻡ ‪ ٢٠٢٠‬ﻡ ؟‬ ‫) ‪٣٢ ( β‬‬ ‫)‪٨ (δ‬‬

‫) ‪١٦ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٦٤‬‬

‫‪١‬‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻲ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫ﺍﻷﺳـﺌﻠﺔ ﺍﻟﺜﻼﺛـﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴـﺔ ) ‪ ( ٢٢ ، ٢١ ، ٢٠‬ﺗﺘﻌﻠــﻖ‬ ‫ﺑﺎﻟﺮﺳﻢ ﺍﻟﺘﺎﱄ ﻭﺍﻟﺬﻱ ﻓﻴﻪ ﻧﺘﻴﺠـﺔ ﺳـﺆﺍﻝ ﻛـﻞ ﻣـﻦ‬ ‫‪ ٣٠‬ﻃﺎﻟﺒ ﹰﺎ ﻋﻦ ﻋﺪﺩ ﺇﺧﻮﺍﻧﻪ ‪:‬‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻧﺘﻬﺖ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ ﻟﻠﻘﺴﻢ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫ﺍﻵﻥ ﺍﻧﺘﻘﻞ ﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ‬ ‫ﺛﺎﻧﻴ ﹰﺎ ‪ :‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ) ‪( ٢٥ -٢٣‬‬ ‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ‪ :‬ﰲ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫ﺻﻴﻐﺘﺎﻥ ‪ ،‬ﻭﺍﺣـﺪﺓ ﰲ ﺍﻟﻌﻤـﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪ ،‬ﻭﺍﻷﺧـﺮﻯ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜـﺎﱐ ‪ ،‬ﻗـﺎﺭﻥ ﺑـﲔ ﺍﻟﺼـﻴﻐﺘﲔ ﰒ ﻇﻠـﻞ ﰲ‬ ‫ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﳊﺮﻑ‪:‬‬

‫‪ ( ٢٠‬ﻣــﺎ ﻋــﺪﺩ ﺍﻟﻄــﻼﺏ ﺍﻟــﺬﻳﻦ ﻟــﺪﻳﻬﻢ ﺃﺧ ـﻮ‪‬ﺍﻥ ﺃﻭ‬ ‫ﺃﻛﺜﺮ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٨‬‬

‫) ‪١٦ ( χ‬‬

‫) ‪٢٢ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٢٦‬‬

‫‪ ( δ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﻣﻨﻬﺎ‬ ‫ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬ ‫‪ ( χ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧــﺖ ﺍﻟﺼــﻴﻐﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﻤــﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﺻــﻐﺮ‬ ‫ﻣﻨﻬﺎ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬ ‫‪ (β‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺼﻴﻐﺘﺎﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﲔ‬

‫‪ ( ٢١‬ﻛﻢ ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺧﻮ‪‬ﺓ ﳉﻤﻴﻊ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﺜﻼﺛﲔ ؟‬ ‫) ‪٣٠ ( β‬‬ ‫)‪٤ (δ‬‬

‫) ‪٢٦ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﺬﻳﻦ ﻟﺪﻳﻬﻢ ‪ ٤‬ﺃﺧﻮﺓ ﻫﻢ ‪:‬‬ ‫) ‪ ( β‬ﻣﺘﺴﺎﻭﻭﻥ ﻋﺪﺩﹰﺍ‬ ‫) ‪ ( δ‬ﺃﻛﺜﺮ ﻋﺪﺩﹰﺍ‬ ‫) ‪ ( χ‬ﺃﻗﻞ ﻋﺪﺩﺃ‬

‫ﻟﻠﻤﻘﺎﺭﻧﺔ‪.‬‬

‫‪٥٢‬‬

‫‪ ( ٢٢‬ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﺬﻳﻦ ﻟﻴﺲ ﻟﺪﻳﻬﻢ ﺃﺧـﻮ‪‬ﺓ ﻣﻘﺎﺭﻧـﺔ ﻣـﻊ‬

‫)‪(α‬‬

‫‪ ( α‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧــﺖ ﺍﳌﻌﻠﻮﻣــﺎﺕ ﺍﳌﻌﻄــﺎﺓ ﻏــﲑ ﻛﺎﻓﻴــﺔ‬

‫ﻻﳝﻜــــــﻦ‬ ‫ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ‬

‫‪( ٢٣‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٥ −٢ ٩‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪٢ × ٧ × ٣ × ٢ × ι ( ٢٤‬‬ ‫‪١٣ ٢٩ ١٣ ١١‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫‪ι‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪١١٣‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪( ٢٥‬‬

‫ﻧﻤﻮﺫﺝ )‪(٢‬‬

‫‪١= λ − ε‬‬ ‫‪٥=٣+λ‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪λ‬‬

‫‪ε‬‬

‫ﺗﻮﻗﻒ !‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻭﺻﻠﺖ ﻫﻨﺎ ﻗﺒﻞ ‪‬ﺎﻳﺔ ﺍﻟﻮﻗـﺖ‬ ‫ﺍﳌﺨﺼﺺ ﳍﺬﺍ ﺍﻟﻘﺴـﻢ ﳝﻜﻨـﻚ‬ ‫ﻣﺮﺍﺟﻌــﺔ ﺇﺟﺎﺑﺎﺗــﻚ ﻭﳚــﺐ ﻋــﺪﻡ‬ ‫ﺍﻻﻧﺘﻘﺎﻝ ﻟﻠﻘﺴﻢ ﺍﻟﺘﺎﱄ ﻗﺒﻞ ‪‬ﺎﻳـﺔ‬ ‫ﺍﻟﻮﻗﺖ ‪.‬‬

‫‪١١٤‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻲ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ‪ :‬ﺍﻟﺜﺎﱐ‬

‫ﻳﺘﻜﻮﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻘﺴﻢ ﻣـﻦ ‪ ٢٥‬ﺳـﺆﺍ ﹰﻻ ﻣﻮﺿـﻮﻋﻴ ﹰﺎ ﻣﻨـﻬﺎ ‪ ٢٠‬ﺳـﺆﺍ ﹰﻻ ﻣـﻦ ﻧـﻮﻉ‬

‫ﺍﻟﺰﻣﻦ ‪ ٣٠ :‬ﺩﻗﻴﻘﺔ‬

‫ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ ‪‬ﻭ ‪ ٥‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﻣﻦ ﻧﻮﻉ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺎﺕ ‪ .‬ﻭﻫﻨـﺎﻙ ﺇﺟﺎﺑـﺔ ﺻـﺤﻴﺤﺔ‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ‪ ٢٥ :‬ﺳﺆﺍﻝ‬

‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ‪:‬‬ ‫‪ – ٣‬ﲨﻴﻊ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩﺓ ﻫﻲ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ‪.‬‬

‫‪ -١‬ﻏﲑ ﻣﺴﻤﻮﺡ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﳊﺎﺳﺒﺔ‬

‫ﻣﺎ ﱂ ﻳﺬﻛﺮ ﺧﻼﻑ ﺫﻟﻚ‬

‫ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻭﺃﺷﻜﺎﻝ ﻫﻨﺪﺳﻴﺔ ﳝﻜﻨﻚ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻬﺎ ﺇﻥ ﺍﺣﺘﺠﺖ ﳍﺎ ‪:‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ‪λε‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ‪π٢Ω‬‬ ‫ﺍﶈﻴﻂ = ‪πΩ٢‬‬

‫ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ‬

‫= ‪°١٨٠‬‬

‫ﺍﶈﻴﻂ = ‪(λ + ε) ٢‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ‬

‫ﺍﳊﺠﻢ = ‪Ψελ‬‬

‫ﺍﳊﺠﻢ = ‪ςπ٢Ω‬‬

‫‪αδ × χβ‬‬ ‫=‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ‬

‫ﻣﺜﻠﺚ‬

‫ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ‬

‫ﺛﻼﺛﻴﲏ – ﺳﺘﻴﲏ‬

‫ﺍﻟﺴﺎﻗﲔ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺃﻭ ﹰﻻ ‪ :‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ‬ ‫ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪ ٢٠‬ﺳﺆﺍ ﹰﻻ ) ‪ ، ( ٢٠ – ١‬ﻳﺘﺒـﻊ ﻛـﻞ ﻣﻨـﻬﺎ‬ ‫ﺃﺭﺑﻌﺔ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭﺍﺕ ‪ .‬ﺍﺧﺘﺮ ﻣﻦ ﺑﻴﻨﻬﺎ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬

‫ﺍﻟﺘﺸﺎﺑﻪ ‪.‬‬

‫‪ (٢‬ﺃﻱ ﻣﻦ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻏﲑ ﻧﺴﱯ ؟‬ ‫) ‪٥٠∂ ( β‬‬ ‫∂‪١٦٩‬‬ ‫)‪(δ‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫∂ ‪٢ ∂ × ٣٢‬‬

‫)‪(α‬‬

‫ﰒ ﻇﻠﻞ ﺣﺮﻑ ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ ﳍﺎ ﰲ ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ‪.‬‬ ‫‪ (١‬ﻛﻢ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﱵ ﲤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﲔ‬ ‫)‪ (٦،٦) ،( ٣،٢‬؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٢‬‬

‫)‪٤ (χ‬‬

‫)‪٥ (β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪= ٠٫٠٠٠٩ ∂ (٣‬‬ ‫‪٠٫٠٠٠٣‬‬ ‫)‪(δ‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪٠٫٠٠٣‬‬

‫∂ ‪١٨‬‬ ‫‪٢‬‬

‫) ‪٠٫٠٣ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٦‬‬ ‫‪١١٥‬‬

‫ﺍﻟﻨﻤﻮﺫﺝ )‪(٢‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪ (٤‬ﻣﺎ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﻘﺴﻢ ﻋﻠﻰ ‪ ١٨‬ﻭﻳﺒﻘﻰ ‪ ٣‬؟‬ ‫) ‪٦٣٥ ( β‬‬ ‫) ‪٦٣٠ ( δ‬‬

‫)‪(χ‬‬

‫‪٦٣٣‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٦٣٨‬‬

‫‪ (٥‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺆﺷﺮ ﺧﺰﺍﻥ ﺍﻟﺒﱰﻳﻦ ﰲ ﺳﻴﺎﺭﺓ ﺇﺑﺮﺍﻫﻴﻢ‬ ‫ﻋﻨﺪ ﺍﻟﻌﻼﻣﺔ ‪ ، ٣‬ﺃﺿﺎﻑ ﺇﻟﻴﻪ ‪ ٦٠‬ﻟﺘﺮﹰﺍ ﻣﻦ ﺍﻟﺒﱰﻳﻦ‬ ‫‪٨‬‬ ‫ﻓــﺎﻣﺘﻸ ﺍﳋــﺰﺍﻥ ‪ .‬ﻛــﻢ ﻟﺘــﺮﹰﺍ ﺳــﻌﺔ ﺧــﺰﺍﻥ ﺳــﻴﺎﺭﺓ‬ ‫ﺇﺑﺮﺍﻫﻴﻢ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٨٠‬‬

‫) ‪٩٠ ( β‬‬

‫)‪(χ‬‬

‫‪٨٦‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٩٦‬‬

‫‪ (٦‬ﻳﺴﺘﻄﻴﻊ ‪ ٣‬ﻋﻤﺎﻝ ﺇﳒﺎﺯ ﻋﻤـﻞ ﻣـﺎ ﰲ ‪ ١٢‬ﻳﻮﻣـ ﹰﺎ‬ ‫ﻛﻢ ﻳﺴﺘﻐﺮﻕ ‪ ٩‬ﻋﻤﺎﻝ ﻹﳒﺎﺯ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻌﻤﻞ ؟‬ ‫)‪٦ (β‬‬ ‫)‪٤ (δ‬‬

‫)‪٥ (χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٣٦‬‬

‫‪ (٧‬ﺍﺷﺘﺮﻯ ﺭﺟﻞ ﻗﻄﻌـﺔ ﺃﺭﺽ ﺑﺴـﻌﺮ ‪ ٨٠٠٠٠‬ﺭﻳـﺎﻝ‬ ‫ﻓﺪﻓﻊ ‪ ٥‬ﺍﳌﺒﻠﻎ ‪ .‬ﻓﻜﻢ ﺑﻘﻲ ﻣﻦ ﲦﻦ ﻗﻄﻌﺔ ﺍﻷﺭﺽ ؟‬ ‫‪٨‬‬ ‫) ‪٥٠٠٠٠ ( β‬‬ ‫) ‪١٠٠٠٠ ( δ‬‬ ‫) ‪٧٠٠٠٠ ( α‬‬ ‫) ‪٣٠٠٠٠ ( χ‬‬ ‫‪ (٨‬ﳎﻤﻮﻉ ﻋﻤﺮ‪‬ﻱ ﳏﻤﺪ ﻭﺃﲪﺪ ﻳﺴـﺎﻭﻱ ‪ ٢٠‬ﺳـﻨﺔ‬ ‫ﻭﺑﻌﺪ ﺳﻨﺘﲔ ﻳﺼﺒﺢ ﻋﻤﺮ ﳏﻤﺪ ﺿﻌﻒ ﻋﻤﺮ ﺃﲪﺪ ‪،‬‬ ‫ﻓﻤﺎ ﻋﻤﺮ ﳏﻤﺪ ﺍﻵﻥ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٦‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪٨‬‬

‫‪١١٦‬‬

‫) ‪١٤ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٦‬‬

‫‪ (٩‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺘﻮﺳـﻂ ﺃﻋﻤـﺎﺭ ‪ ٥‬ﺃﺷـﺨﺎﺹ ﻳﺴـﺎﻭﻱ‬ ‫‪ ٢٥‬ﻋﺎﻣ ﹰﺎ ‪ ،‬ﻓﺈﺫﺍ ﺃﺧﺬﻧﺎ ﺃﺣﺪﻫﻢ ﺻﺎﺭ ﺍﳌﺘﻮﺳـﻂ ‪٢٧‬‬ ‫ﻋﺎﻣ ﹰﺎ ‪ .‬ﻓﻜﻢ ﻋﻤﺮ ﺍﻟﺸﺨﺺ ﺍﳋﺎﻣﺲ ؟‬ ‫) ‪١٧ ( β‬‬ ‫) ‪١٥ ( δ‬‬

‫) ‪١٦ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٨‬‬

‫‪(١٠‬‬ ‫ﰲ ﺍﻟﺸـــﻜﻞ ﺍ‪‬ـــﺎﻭﺭ‬ ‫‪ αβχδ‬ﻣﺘــــــﻮﺍﺯﻱ‬ ‫ﺃﺿﻼﻉ ‪.‬‬ ‫ﻣﺎ ﻧﺴﺒﺔ ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪ χκγ+‬ﺇﱃ ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪ αβκ+‬؟‬ ‫)‪٢ (β‬‬ ‫)‪١ (δ‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫)‪٤ (α‬‬ ‫)‪١ ( χ‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪ ( ١١‬ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﺩﻟﻮ ﺳـﻌﺘﻪ ‪ ٣κ٠٫٠٠٤‬ﻟـﻴﻤﻸ ﺣـﻮﺽ‬ ‫ﻣﺎﺀ ﺳﻌﺘﻪ ‪ ، ٣κ٤‬ﻛﻢ ﺩﻟﻮﹰﺍ ﺳﻨﺤﺘﺎﺝ ؟‬ ‫) ‪١٠٠٠ ( β‬‬ ‫) ‪١٠ ( δ‬‬

‫) ‪١٠٠ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٠٠٠٠‬‬

‫‪ (١٢‬ﻣﻮﻇــﻒ ﺭﺍﺗﺒــﻪ ﺍﻟﺸــﻬﺮﻱ ‪ ٣٠٠‬ﺭﻳــﺎﻝ ‪ ،‬ﻓــﺰﺍﺩ‬ ‫ﻟﻴﺼﺒﺢ ‪ ١٢٠٠‬ﺭﻳﺎﻝ ‪ .‬ﻛﻢ ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﺰﻳﺎﺩﺓ ﰲ ﺍﻟﺮﺍﺗﺐ ؟‬ ‫) ‪⊆ ٣٠٠ ( β‬‬ ‫) ‪⊆ ٢٠٠ ( δ‬‬

‫) ‪⊆ ٢٥٠ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪⊆ ٤٠٠‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻲ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫‪ (١٣‬ﺑﺎﻉ ﺭﺟﻞ ﺳﻴﺎﺭﺗﲔ ﺑﺴﻌﺮ ‪ ٦٠٠٠٠‬ﺭﻳـﺎ ﹰﻻ ﻟﻜـﻞ‬ ‫ﻣﻨﻬﻤﺎ ‪ ،‬ﻓﺈﺫﺍ ﺭﺑﺢ ﰲ ﺍﻟﺴـﻴﺎﺭﺓ ﺍﻷﻭﱃ ‪ ⊆ ٢٠‬ﻭﺧﺴـﺮ‬ ‫ﰲ ﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺓ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ‪ . ⊆ ٢٠‬ﻓﻜﻢ ﺇﲨﺎﱄ ﺧﺴﺎﺭﺗﻪ ؟‬ ‫) ‪ ٥٠٠٠ ( β‬ﺭﻳﺎﻝ‬ ‫) ‪١٢٠٠٠ ( δ‬ﺭﻳﺎﻝ‬ ‫) ‪١٠٠٠٠ ( χ‬ﺭﻳﺎﻝ‬

‫)‪(α‬‬

‫ﱂ ﳜﺴﺮ‬

‫‪ (١٤‬ﺭﻣﻲ ﻣﻜﻌﺐ ﺳﺪﺍﺳﻲ ﺍﻷﻭﺟـﻪ ﻣﻜﺘـﻮﺏ ﻋﻠـﻰ‬

‫ﺃﻭﺟﻬﻪ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ }‪ { ٦،٥،٤،٣،٢،١‬ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘ ٍﻮ ﺃﻓﻘـﻲ‬ ‫ﻓﻤﺎ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻋﻠـﻰ ﺍﻟﺴـﻄﺢ ﺍﻟﻌﻠـﻮﻱ‬ ‫ﺯﻭﺟﻲ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪٠٫٢‬‬

‫) ‪٠٫٥ ( β‬‬

‫‪٠٫٣‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٠٫٦٦‬‬

‫‪ (١٥‬ﻗﺎﺩ ﳏﻤﺪ ﺳـﻴﺎﺭﺗﻪ ﺑـﲔ ﺑﻴﺘـﻪ ﻭﻋﻤﻠـﻪ ﺑﺴـﺮﻋﺔ‬

‫‪ ς ،λ،ε ( ١٧‬ﲤﺜﻞ ﺃﺭﻗﺎﻣ ﹰﺎ ﺻﺤﻴﺤﺔ ﰲ ﻋﻤﻠﻴـﺔ‬ ‫ﺍﳉﻤﻊ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪١ ε ٣‬‬

‫‪٤ λ ٦ +‬‬ ‫‪ς ٧‬‬ ‫‪٧ ١ ٦‬‬ ‫ﻓﻤﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﳌﻤﻜﻨﺔ ﻟـ ‪ ς‬؟‬

‫‪٩ ( III‬‬ ‫‪٤ ( II‬‬ ‫‪١(I‬‬ ‫) ‪ II ، I ( β‬ﻓﻘﻂ‬ ‫) ‪ II ( δ‬ﻓﻘﻂ‬ ‫) ‪ III ، II ( α‬ﻓﻘﻂ‬ ‫) ‪ III ( χ‬ﻓﻘﻂ‬ ‫‪( ١٨‬‬ ‫ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ـﺎﻭﺭ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ‪:‬‬ ‫‪ ٣ = γδ‬ﺳﻢ‬

‫‪ ٦٠‬ﻛﻠﻢ ‪ /‬ﺍﻟﺴـﺎﻋﺔ ﺫﻫﺎﺑـ ﹰﺎ ‪ ،‬ﻭﻋﻨـﺪ ﻋﻮﺩﺗـﻪ ﻣـﻦ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻞ ﻟﻠﺒﻴﺖ ﻛﺎﻧﺖ ﺳﺮﻋﺘﻪ ‪ ٤٠‬ﻛﻠـﻢ ‪ /‬ﺍﻟﺴـﺎﻋﺔ ‪.‬‬

‫‪ ٦ = κγ‬ﺳﻢ‬

‫ﻓﻤﺎ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺳﺮﻋﺘﻪ ﺫﻫﺎﺑ ﹰﺎ ﻭﺇﻳﺎﺑ ﹰﺎ ؟‬ ‫) ‪٤٦ ( β‬‬ ‫) ‪٥٠ ( δ‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪٤٨‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٤٤‬‬

‫‪ ( ١٦‬ﻣﺎﺩﺓ ﺗﻀﺎﻋﻒ ﺣﺠﻤﻬﺎ ﻛﻞ ﺩﻗﻴﻘـﺔ ‪ ،‬ﻭﺿـﻌﺖ‬ ‫ﰲ ﺣﺎﻭﻳــﺔ ﺍﻟﺴــﺎﻋﺔ ‪ ٩:٠٠‬ﺻــﺒﺎﺣ ﹰﺎ ‪ ،‬ﻭﺑﻌــﺪ ﺳــﺎﻋﺔ‬ ‫ﺍﻣﺘﻸﺕ ﺍﳊﺎﻭﻳﺔ ‪ .‬ﻓﻤﺎ ﺍﻟﻮﻗﺖ ﺍﻟﺬﻱ ﻛﺎﻧﺖ ﻓﻴﻪ ﻫـﺬﻩ‬ ‫ﺍﳌﺎﺩﺓ ﲤﻸ ﺭﺑﻊ ﺍﳊﺎﻭﻳﺔ ؟‬ ‫‪٩ :١٥‬‬ ‫)‪(δ‬‬

‫) ‪٩: ٥٨ ( β‬‬

‫) ‪٩ : ٣٠ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٩: ٥٩‬‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫‪١٢ = αχ‬ﺳﻢ ‪ = κ ،‬‬ ‫‪ ، α‬ﻓﺈﻥ ‪= χδ‬‬ ‫‪٣‬‬

‫)‪٦ ( χ‬‬

‫) ‪١٢ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٨‬‬

‫‪(١٩‬‬ ‫ﰲ ﺍﻟﺸــﻜﻞ ﺍ‪‬ــﺎﻭﺭ‬ ‫ﻣﺘــﻮﺍﺯﻱ ﺃﺿــﻼﻉ ﻣــﺎ‬ ‫ﻗﻴﺎﺱ ‪ ε‬ﻓﻴﻪ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪°٦٠‬‬

‫) ‪°٨٠ ( χ‬‬

‫) ‪°١٢٠ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪°١٨٠‬‬

‫‪١١٧‬‬

‫ﺍﻟﻨﻤﻮﺫﺝ )‪(٢‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪(٢١‬‬

‫‪(٢٠‬‬ ‫ﰲ ﺍﻟﺸـــــــﻜﻞ‬

‫ﺍﻟﻨﻘﻄـــﺔ ‪ κ‬ﺗﻘـــﻊ‬

‫ﻋﻠﻰ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻗﻄﺮ‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ ﻓﺈﺫﺍ ﻛـﺎﻥ ]‪ [βχ] & [γκ‬ﻓﻤـﺎ ﻧﺴـﺒﺔ‬ ‫‪ γκ‬ﺇﱃ ‪ βχ‬؟‬ ‫) ‪٢ :١ ( δ‬‬

‫)‪(χ‬‬

‫‪٣ :١‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫)‪(α‬‬

‫‪٤:١‬‬ ‫‪٨ :١‬‬

‫ﺍﻧﺘﻬﺖ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ ﻟﻠﻘﺴﻢ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫ﺍﻵﻥ ﺍﻧﺘﻘﻞ ﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ‬ ‫ﺛﺎﻧﻴ ﹰﺎ ‪ :‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ) ‪( ٢٥ -٢١‬‬ ‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ‪ :‬ﰲ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫ﺻﻴﻐﺘﺎﻥ ‪ ،‬ﻭﺍﺣـﺪﺓ ﰲ ﺍﻟﻌﻤـﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪ ،‬ﻭﺍﻷﺧـﺮﻯ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜـﺎﱐ ‪ ،‬ﻗـﺎﺭﻥ ﺑـﲔ ﺍﻟﺼـﻴﻐﺘﲔ ﰒ ﻇﻠـﻞ ﰲ‬ ‫ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﳊﺮﻑ‪:‬‬ ‫‪ ( δ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﻣﻨﻬﺎ‬ ‫ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬ ‫‪ ( χ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧــﺖ ﺍﻟﺼــﻴﻐﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﻤــﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﺻــﻐﺮ‬ ‫ﻣﻨﻬﺎ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬ ‫‪ (β‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺼﻴﻐﺘﺎﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﺎﻥ‬ ‫‪ ( α‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧــﺖ ﺍﳌﻌﻠﻮﻣــﺎﺕ ﺍﳌﻌﻄــﺎﺓ ﻏــﲑ ﻛﺎﻓﻴــﺔ‬ ‫ﻟﻠﻤﻘﺎﺭﻧﺔ‪.‬‬

‫‪١١٨‬‬

‫‪ε‬‬

‫‪λ‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪ (٢٢‬ﺇﺫﺍ ﻛـﺎﻥ ﻣــﺪﻯ ‪ ε‬ﻣــﻦ ‪ ٠٫٠٢‬ﺇﱃ ‪ ٢‬ﻭﻣــﺪﻯ‬ ‫‪ λ‬ﻣﻦ ‪ ٠٫٠٠٢‬ﺇﱃ ‪. ٠٫٠٢‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻘﺼﻮﻯ‬ ‫ﻟﻠﻜﺴﺮ ‪ε‬‬ ‫‪λ‬‬

‫‪١٠٠٠‬‬

‫‪(٢٣‬‬ ‫ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻛﻞ ﻣﻦ‬ ‫ﺍﳌـــــــــــــﺮﺑﻌﲔ‬

‫‪γϖµκ ، αβχδ‬‬ ‫ﳍﻤــﺎ ﻧﻔــﺲ ﻃــﻮﻝ‬ ‫ﺍﻟﻀﻠﻊ ‪ ١٠‬ﺳﻢ ‪.‬‬

‫ﻭﺭﺃﺱ ﺍﳌﺮﺑﻊ ‪ γϖµκ‬ﰲ ﻣﺮﻛﺰ ﺍﳌﺮﺑﻊ ‪αβχδ‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﺍﳌﻈﻠﻞ‬

‫‪٢٥‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻲ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫‪(٢٤‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪( ٢ ) × ٢٢‬‬

‫ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ ﻣﺮﺑﻊ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ ‪ ١٢١‬ﺳﻢ‬

‫‪١−‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪(٢٥‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪ ⊆ ٣٠‬ﻣﻦ ‪١٢٥‬‬

‫‪ ⊆ ١٢٥‬ﻣﻦ ‪٣٠‬‬ ‫ﺗﻮﻗﻒ !‬

‫ﺇﺫﺍ ﻭﺻﻠﺖ ﻫﻨﺎ ﻗﺒﻞ ‪‬ﺎﻳـﺔ ﺍﻟﻮﻗـﺖ‬ ‫ﺍﳌﺨﺼﺺ ﳍـﺬﺍ ﺍﻟﻘﺴـﻢ ﳝﻜﻨـﻚ‬ ‫ﻣﺮﺍﺟﻌــﺔ ﺇﺟﺎﺑﺎﺗــﻚ ﻭﳚــﺐ ﻋــﺪﻡ‬ ‫ﺍﻻﻧﺘﻘﺎﻝ ﻟﻠﻘﺴﻢ ﺍﻟﺘﺎﱄ ﻗﺒـﻞ ‪‬ﺎﻳـﺔ‬ ‫ﺍﻟﻮﻗﺖ ‪.‬‬

‫‪١١٩‬‬

‫ﻧﻤﻮﺫﺝ )‪(٢‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ‪ :‬ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫ﻳﺘﻜﻮﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻘﺴﻢ ﻣﻦ ‪ ١٠‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﻣﻮﺿﻮﻋﻴﺔ ﻣﻦ ﻧﻮﻉ ﺍﻻﺧﺘﻴـﺎﺭ ﻣـﻦ ﻣﺘﻌـﺪﺩ‬

‫ﺍﻟﺰﻣﻦ ‪ ١٥ :‬ﺩﻗﻴﻘﺔ‬

‫ﻭﻫﻨﺎﻙ ﺇﺟﺎﺑﺔ ﺻﺤﻴﺤﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﻟﻜﻞ ﺳﺆﺍﻝ ﻇﻠﻞ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﰲ ﻭﺭﻗﺔ‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ‪ ١٠ :‬ﺃﺳﺌﻠﺔ‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﳌﺨﺼﺺ ﳍﺬﺍ ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺑﻮﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ‪.‬‬

‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ‪:‬‬ ‫‪ – ٣‬ﲨﻴﻊ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩﺓ ﻫﻲ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ‪.‬‬

‫‪ -١‬ﻏﲑ ﻣﺴﻤﻮﺡ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﳊﺎﺳﺒﺔ‬

‫ﻣﺎ ﱂ ﻳﺬﻛﺮ ﺧﻼﻑ ﺫﻟﻚ‬

‫ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻭﺃﺷﻜﺎﻝ ﻫﻨﺪﺳﻴﺔ ﳝﻜﻨﻚ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻬﺎ ﺇﻥ ﺍﺣﺘﺠﺖ ﳍﺎ ‪:‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ‪λε‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ‪π٢Ω‬‬ ‫ﺍﶈﻴﻂ = ‪πΩ٢‬‬

‫ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ‬

‫= ‪°١٨٠‬‬

‫ﺍﶈﻴﻂ = ‪(λ + ε) ٢‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ‬

‫ﺍﳊﺠﻢ = ‪Ψελ‬‬

‫ﺍﳊﺠﻢ = ‪ςπ٢Ω‬‬

‫‪αδ × χβ‬‬ ‫=‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ‬ ‫ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ‬

‫ﻣﺜﻠﺚ‬

‫ﺛﻼﺛﻴﲏ – ﺳﺘﻴﲏ‬

‫ﺍﻟﺴﺎﻗﲔ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﺗﺸﺎﺑﻪ ﻣﻀﻠﻌﺎﻥ ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﲔ ﻣﺴﺎﺣﺘﻴﻬﻤﺎ ﺗﺴﺎﻭﻱ ﻣﺮﺑﻊ ﻧﺴﺒﺔ‬

‫‪βδ +٢ βχ =٢ χδ‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺃﻭ ﹰﻻ ‪ :‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ‬ ‫ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪ ١٠‬ﺃﺳﺌﻠﺔ )‪ ،( ١٠ -١‬ﻳﺘﺒﻊ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﺃﺭﺑﻌﺔ‬ ‫ﺍﺧﺘﻴﺎﺭﺍﺕ ‪ .‬ﺍﺧﺘﺮ ﻣـﻦ ﺑﻴﻨـﻬﺎ ﺍﻹﺟﺎﺑـﺔ ﺍﻟﺼـﺤﻴﺤﺔ ﰒ‬ ‫ﻇﻠﻞ ﺣﺮﻑ ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ ﳍﺎ ﰲ ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ‪.‬‬

‫‪ (١‬ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ﺍﻵﻥ ‪ . ٩:٤٥‬ﻓﻜﻢ ﺳـﺘﻜﻮﻥ ﺑﻌـﺪ ‪٤٣‬‬ ‫ﺳﺎﻋﺔ ؟‬ ‫) ‪٣ :٤٥ ( β‬‬ ‫‪٥ :٤٥‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫) ‪٤ :٤٥ ( χ‬‬

‫‪١٢٠‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٢:٤٥‬‬

‫ﺍﻟﺘﺸﺎﺑﻪ ‪.‬‬

‫‪ (٢‬ﻟﺪﻯ ﺭﺟـﻞ ‪ ٧٥٠‬ﺭﻳـﺎ ﹰﻻ ‪ ،‬ﺃﻋﻄـﻰ ﺃﺑﻨـﻪ ﺍﻷﻭﻝ ‪٢‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﺍﳌﺒﻠﻎ ‪،‬ﰒ ﺃﻋﻄـﻰ ﺃﺑﻨـﻪ ﺍﻟﺜـﺎﱐ ‪ ١‬ﺍﳌﺒﻠـﻎ ﺍﳌﺘﺒﻘـﻲ ‪.‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻓﻜﻢ ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ﺑﻘﻲ ﻣﻌﻪ ؟‬ ‫) ‪٣٠٠ ( β‬‬ ‫) ‪٢٢٥ ( δ‬‬ ‫) ‪٢٥٠ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٤٥٠‬‬

‫‪٣‬‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻲ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫‪ (٧‬ﻟﺮﻓﻊ ﺩﺭﺟﺔ ﺣﺮﺍﺭﺓ ﳏﻠﻮﻝ ﻛﻴﻤﻴﺎﺋﻲ ﻣـﻦ ‪°٨ −‬‬ ‫ﺇﱃ ‪ °٧‬ﳓﺘﺎﺝ ﳌﺪﺓ ‪ ٩٠‬ﺩﻗﻴﻘـﺔ ‪ .‬ﻓﻤـﺎ ﻫـﻮ ﺍﻟﻮﺳـﻂ‬

‫‪ (٣‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ٢∂ =١− ε‬ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤﺔ ‪ ε‬؟‬ ‫‪٦‬‬ ‫) ‪٣∂ ( β‬‬ ‫) ‪٢ ∂٦ ( δ‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫) ‪٢∂ ( α‬‬ ‫) ‪٢ ∂٣ ( χ‬‬ ‫‪٦‬‬

‫) ‪°٦ ( χ‬‬

‫‪ ( ٤‬ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ـﺎﻭﺭ‬

‫‪ (٨‬ﻣﻜﻌﺐ ﻣﻦ ﺍﳋﺸﺐ ‪ ،‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺴﻄﺢ ﺍﳋﺎﺭﺟﻲ‬

‫ﻣــﺎ ﻣﺴـــﺎﺣﺔ ﺍﳌﻨﻄﻘـــﺔ‬

‫ﻟﻪ ‪ ٦٠٠‬ﺳﻢ ‪ . ٢‬ﻗﻄﻊ ﺇﱃ ﻣﻜﻌﺒﺎﺕ ﺻﻐﲑﺓ ﻣﺴـﺎﺣﺔ‬

‫ﺍﳌﻈﻠﻠﺔ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪( π − ٤ )١٨‬‬

‫) ‪( π − ٤ ) ٧٢ ( β‬‬

‫) ‪( α ) ( π٢ − ٣ ) ٣٦ ( χ‬‬

‫‪( π٢ − ٤ ) ٧٢‬‬

‫ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﺰﻳﺎﺩﺓ ﺩﺭﺟﺔ ﺍﳊﺮﺍﺭﺓ ﰲ ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ؟‬ ‫) ‪°١٠ ( β‬‬ ‫) ‪°٥ ( δ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪°١١‬‬

‫ﺍﻟﺴﻄﺢ ﺍﳋﺎﺭﺟﻲ ﻟﻜﻞ ﻣﻨﻬﺎ ‪ ١٥٠‬ﺳـﻢ ‪ . ٢‬ﻛـﻢ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﻫـﺬﻩ ﺍﳌﻜﻌﺒـﺎﺕ ﺇﺫﺍ ﱂ ﻧﻔﻘـﺪ ﺃﻱ ﺟـﺰﺀ ﺃﺛﻨـﺎﺀ‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﺘﻘﻄﻴﻊ ؟‬

‫‪ (٥‬ﺑﺎﻉ ﳏﻤﺪ ﻗﻄﻌﺔ ﺃﺭﺽ ﲟﺒﻠﻎ ‪ ٢٠٠٠٠٠‬ﺭﻳـﺎﻝ ‪،‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺭﲝﻪ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ . ⊆ ٢٥‬ﻓﻜﻢ ﺩﻓﻊ ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ﲦﻨ ﹰﺎ‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٥‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪٨‬‬

‫ﻟﺸﺮﺍﺋﻬﺎ ؟‬

‫‪ ( ٩‬ﺍﳉــﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘــﺎﱄ ﻳﻮﺿــﺢ ﻋــﺪﺩ ﻭ ﺃﺟــﻮﺭ ﻋﻤــﺎﻝ‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪١٢٠٠٠٠‬‬

‫) ‪١٥٠٠٠٠ ( χ‬‬

‫) ‪١٦٠٠٠٠ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٧٥٠٠٠‬‬

‫) ‪١١ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٠‬‬

‫ﺑﺎﻟﺴﺎﻋﺔ ﰲ ﺇﺣﺪﻯ ﺍﳌﺆﺳﺴﺎﺕ ‪:‬‬ ‫ﺍﻷﺟﺮ ﺑﺎﻟﺮﻳﺎﻝ ‪ /‬ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻌﻤﺎﻝ‬

‫‪ ٦‬ﺭﻳﺎﻻﺕ‬

‫‪٣‬‬

‫‪٨‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪١٠‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪١٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪ (٦‬ﻣﺎ ﺍﳊﺪ ﺍﻟﻨﺎﻗﺺ ﰲ ﺍﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ‪."،٩،٧،٥،٣،١:‬‬ ‫) ‪١٢ ( β‬‬ ‫) ‪١٠ ( δ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫)‪٦ (β‬‬

‫‪١٣‬‬

‫ﻓﻤــﺎ ﻫــﻮ ﺍﻟﻮﺳــﻂ ﺍﳊﺴــﺎﰊ ﻟﻠﻤﻨــﻮﺍﻝ ﻭﺍﻟﻮﺳــﻴﻂ‬ ‫ﻟﻸﺟﻮﺭ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫)‪(χ‬‬

‫‪٤٫٥‬‬

‫) ‪٨٫٥ ( β‬‬

‫‪٨‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٩‬‬

‫‪١٢١‬‬

‫ﻧﻤﻮﺫﺝ )‪(٢‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪( ١٠‬‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃﻋﻼﻩ ‪ ،‬ﻣﺎ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ﺍﳌﻈﻠﻠﺔ ؟‬ ‫) ‪٥٫٥ ( β‬‬ ‫)‪٤ (δ‬‬

‫)‪٥ (χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٦‬‬

‫ﺗﻮﻗﻒ !‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻭﺻﻠﺖ ﻫﻨﺎ ﻗﺒﻞ ‪‬ﺎﻳـﺔ ﺍﻟﻮﻗـﺖ‬ ‫ﺍﳌﺨﺼﺺ ﳍـﺬﺍ ﺍﻟﻘﺴـﻢ ﳝﻜﻨـﻚ‬ ‫ﻣﺮﺍﺟﻌﺔ ﺇﺟﺎﺑﺎﺗﻚ ‪.‬‬

‫‪١٢٢‬‬

‫ﻧﻤﻮﺫﺝ )‪(٣‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ‪ :‬ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﻳﺘﻜﻮﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻘﺴﻢ ﻣـﻦ ‪ ٢٥‬ﺳـﺆﺍ ﹰﻻ ﻣﻮﺿـﻮﻋﻴ ﹰﺎ ﻣﻨـﻬﺎ ‪ ٢١‬ﺳـﺆﺍ ﹰﻻ ﻣـﻦ ﻧـﻮﻉ‬

‫ﺍﻟﺰﻣﻦ ‪ ٣٠ :‬ﺩﻗﻴﻘﺔ‬

‫ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ ‪‬ﻭ ‪ ٤‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﻣﻦ ﻧﻮﻉ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺎﺕ ‪ .‬ﻭﻫﻨـﺎﻙ ﺇﺟﺎﺑـﺔ ﺻـﺤﻴﺤﺔ‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ‪ ٢٥ :‬ﺳﺆﺍﻝ‬

‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ‪:‬‬ ‫‪ – ٣‬ﲨﻴﻊ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩﺓ ﻫﻲ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ‪.‬‬

‫‪ -١‬ﻏﲑ ﻣﺴﻤﻮﺡ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﳊﺎﺳﺒﺔ‬

‫ﻣﺎ ﱂ ﻳﺬﻛﺮ ﺧﻼﻑ ﺫﻟﻚ‬

‫ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻭﺃﺷﻜﺎﻝ ﻫﻨﺪﺳﻴﺔ ﳝﻜﻨﻚ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻬﺎ ﺇﻥ ﺍﺣﺘﺠﺖ ﳍﺎ ‪:‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ‪λε‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ‪π٢Ω‬‬ ‫ﺍﶈﻴﻂ = ‪πΩ٢‬‬

‫ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ‬

‫= ‪°١٨٠‬‬

‫ﺍﶈﻴﻂ = ‪(λ + ε) ٢‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ‬

‫ﺍﳊﺠﻢ = ‪Ψελ‬‬

‫ﺍﳊﺠﻢ = ‪ςπ٢Ω‬‬

‫‪αδ × χβ‬‬ ‫=‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ‬

‫ﻣﺜﻠﺚ‬

‫ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ‬

‫ﺛﻼﺛﻴﲏ – ﺳﺘﻴﲏ‬

‫ﺍﻟﺴﺎﻗﲔ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺃﻭ ﹰﻻ ‪ :‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ‬ ‫ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪ ٢١‬ﺳـﺆﺍ ﹰﻻ ) ‪ ، ( ٢١ -١‬ﻳﺘﺒـﻊ ﻛـﻞ ﻣﻨـﻬﺎ‬ ‫ﺃﺭﺑﻌﺔ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭﺍﺕ ‪ .‬ﺍﺧﺘﺮ ﻣﻦ ﺑﻴﻨﻬﺎ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﰒ ﻇﻠﻞ ﺣﺮﻑ ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ ﳍﺎ ﰲ ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ‪.‬‬

‫{‬

‫}‬

‫‪= ١٥ − ⎡⎣١١+ ( ٧ − ٢٠) ⎤⎦ − ٦٤ ( ١‬‬ ‫) ‪٤٧ ( β‬‬ ‫) ‪٢٥ ( δ‬‬

‫)‪( χ‬‬ ‫‪١٢٤‬‬

‫‪٣٣‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٥٥‬‬

‫ﺍﻟﺘﺸﺎﺑﻪ ‪.‬‬

‫‪ (٢‬ﻋــﺪﺩﺍﻥ ﻧﺴــﺒﻴﺎﻥ ﳎﻤﻮﻋﻬﻤــﺎ ‪ ، ٥‬ﺇﺫﺍ ﻛــﺎﻥ‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﺃﺣﺪﳘﺎ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ، ١‬ﻓﻤﺎ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻵﺧﺮ ؟‬ ‫‪٢‬‬ ‫)‪٦ (β‬‬ ‫)‪٦ (δ‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫)‪٦ (α‬‬ ‫)‪٦ ( χ‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪٨‬‬

‫‪١‬‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻲ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫‪ ( ٣‬ﻣﻜﻴﻨﺘــﺎﻥ ﻟﻠﻄﺒﺎﻋــﺔ ﺗــﺪﻭﺭ ﺍﻷﻭﱃ ‪ ٢٠‬ﺩﻭﺭﺓ ﰲ‬

‫‪ ( ٧‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻋﻘﺮﺏ ﺍﻟﺪﻗﺎﺋﻖ ﻳﺪﻭﺭ ﺩﻭﺭﺓ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﻛﻞ‬

‫ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻮﻗﺖ ﺍﻟﺬﻱ ﺗﺪﻭﺭ ﻓﻴﻪ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ‪ ١٤‬ﺩﻭﺭﺓ ‪ .‬ﻓـﺈﺫﺍ‬

‫‪ ٦٠‬ﺩﻗﻴﻘﺔ ‪ .‬ﻓﻜﻢ ﺩﻭﺭﺓ ﻳﺪﻭﺭ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺑﺪﺍﻳﺘﻪ ﻋﻨﺪ‬ ‫ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ‪ ١٠:١٠‬ﻗﺒﻞ ﺍﻟﻈﻬﺮ ﺇﱃ ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ‪ ٣ :٢٥‬ﺑﻌﺪ‬

‫ﻛﺎﻧــﺖ ﺍﻷﻭﱃ ﺗﻄﺒــﻊ ‪ ٣٢٠‬ﺻــﻔﺤﺔ ‪ .‬ﻓﻜــﻢ ﻋــﺪﺩ‬ ‫ﺍﻟﺼــﻔﺤﺎﺕ ﺍﻟــﱵ ﺗﻄﺒﻌﻬــﺎ ﺍﻵﻟــﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴــﺔ ﰲ ﻧﻔــﺲ‬ ‫ﺍﻟﻮﻗﺖ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪١٤٠‬‬

‫) ‪١٦٠ ( χ‬‬

‫) ‪٢٢٤ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫ﺍﻟﻈﻬﺮ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٤‬‬

‫)‪٥ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٥٥‬‬

‫‪٣١٤‬‬

‫‪ ( ٤‬ﺇﺫﺍ ﻛــــﺎﻥ ‪ ٥ = λ + ε٣‬ﻓﻤــــﺎ ﻗﻴﻤــــﺔ‬ ‫‪ λ٢ + ε٦‬؟‬ ‫) ‪١٥ ( δ‬‬

‫)‪٥ (β‬‬

‫) ‪١٠ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪ ( ٨‬ﺗﺒﻴﻊ ﺷﺮﻛﺔ ‪ ٢٠‬ﺳﻴﺎﺭﺓ ﺳﻨﻮﻳ ﹰﺎ ﰲ ﺍﻟﻌـﺎﺩﺓ ‪ ،‬ﻭﰲ‬ ‫ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺑﺎﻋﺖ ﺍﻟﺸﺮﻛﺔ ‪ ٤‬ﺳﻴﺎﺭﺍﺕ ﰲ ﺑﺪﺍﻳﺘﻬﺎ ‪،‬‬ ‫ﻛﻢ ﻳﻠﺰﻣﻬﺎ ﺃﻥ ﺗﺒﻴﻊ ﻓﻴﻤﺎ ﺗﺒﻘﻰ ﻣـﻦ ﺍﻟﺴـﻨﺔ ﻟﻴﺼـﺒﺢ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﳌﺒﻴﻌﺎﺕ ‪ ⊆ ٨٠‬ﻣﻦ ﺍﳌﺒﻴﻌﺎﺕ ﺍﳌﻌﺘﺎﺩﺓ ؟‬ ‫) ‪١٠ ( β‬‬ ‫) ‪١٦ ( δ‬‬

‫) ‪١٢ ( χ‬‬ ‫‪ ( ٥‬ﻣﺎ ﻫﻮ ﺃﻛﱪ ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫)‪(β‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫)‪٧ ( χ‬‬ ‫)‪(α‬‬ ‫‪٨‬‬

‫)‪٦ (β‬‬

‫‪٧‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١٩‬‬ ‫‪٢٤‬‬

‫‪ ( ٦‬ﺍﻧﻄﻠﻘﺖ ﺳﻴﺎﺭﺗﺎﻥ ﰲ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻮﻗﺖ ﻭﺑﻨﻔﺲ ﺍﻻﲡﺎﻩ‬ ‫ﻭﻛﺎﻧــﺖ ﺳــﺮﻋﺔ ﺍﻷﻭﱃ ‪ ١٠٠‬ﻛﻠــﻢ ‪ /‬ﺍﻟﺴــﺎﻋﺔ ‪،‬‬ ‫ﻭﺳﺮﻋﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ‪ ١١٠‬ﻛﻠـﻢ ‪ /‬ﺍﻟﺴـﺎﻋﺔ ‪ .‬ﺑﻌـﺪ ﻛـﻢ‬ ‫ﺳﺎﻋﺔ ﺗﺼﺒﺢ ﺍﳌﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ‪ ٢٠‬ﻛﻠﻢ ؟‬ ‫)‪١ (δ‬‬ ‫)‪٢ (β‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫)‪٣ (α‬‬ ‫) ‪١١ ( χ‬‬ ‫‪٢‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٨‬‬

‫‪ ( ٩‬ﻛــﻢ ﻣــﺮﺓ ﺣﺼــﻞ ﺗﺼــﺎﻓﺢ ﺇﺫﺍ ﺗﺼــﺎﻓﺢ ﺳــﺘﺔ‬ ‫ﺃﺷــﺨﺎﺹ ‪ ،‬ﻭﱂ ﻳﺘﺼــﺎﻓﺢ ﺍﺛﻨــﺎﻥ ﻣﻨــﻬﻤﺎ ﺑﻌﻀــﻬﻤﺎ‬ ‫ﺃﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻣﺮﺓ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪١٠‬‬

‫) ‪١٢ ( χ‬‬

‫) ‪١٥ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٢٠‬‬

‫‪ ( ١٠‬ﻣﺜﻠﺚ ﻳﺰﻳـﺪ ﺍﺭﺗﻔﺎﻋـﻪ ﻋـﻦ ﻗﺎﻋﺪﺗـﻪ ﺳـﻨﺘﻴﻤﺘﺮﹰﺍ‬ ‫ﻭﺍﺣﺪﹰﺍ ﻓﻘﻂ ‪ ،‬ﻭﻣﺴـﺎﺣﺘﻪ ﺗﺴـﺎﻭﻱ ‪ ٢١‬ﺳـﻢ ‪ . ٢‬ﻓﻤـﺎ‬ ‫ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ؟‬ ‫)‪٦ (β‬‬ ‫)‪٤ (δ‬‬

‫)‪٥ (χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٧‬‬

‫‪١٢٥‬‬

‫ﻧﻤﻮﺫﺝ )‪(٣‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﺜﻼﺛﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ ( ، ١٢ ، ١١‬ﺗﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﺮﺳﻢ‬

‫ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﺜﻼﺛﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ ( ١٧ ، ١٦ ، ١٥‬ﺗﺘﻌﻠﻖ‬

‫ﺍﻟﺘﺎﱄ ‪:‬‬

‫ﺑﺎﳌﻌﻄﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺍﻟﺒﻴـﺎﱐ ﺍ‪‬ـﺎﻭﺭ‬ ‫ﳝﺜـــﻞ ﻧﺘـــﺎﺋﺞ ﻃـــﻼﺏ‬

‫ﻣﺪﺭﺳــﺔ ﻋــﺪﺩﻫﻢ ‪٣٠٠‬‬ ‫ﻃﺎﻟﺐ ‪.‬‬ ‫‪= ιχ ( ١١‬‬ ‫‪ε−٨‬‬ ‫)‪(δ‬‬

‫) ‪ε٢ − ١٠ ( β‬‬

‫)‪ε − ٩ (χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪ε٣ − ١١‬‬

‫‪ ( ١٥‬ﻛﻢ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﺮﺍﺳﺒﲔ ؟‬ ‫) ‪١٢٠ ( β‬‬ ‫) ‪٦٠ ( δ‬‬

‫) ‪٩٠ ( χ‬‬ ‫‪ ( ١٢‬ﻣﺎ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺷﺒﻪ ﺍﳌﻨﺤﺮﻑ ‪ αγκδ‬؟‬ ‫) ‪٩ + ε٩ ( β‬‬ ‫‪ε−٨‬‬ ‫)‪(δ‬‬

‫)‪ε − ٩ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٠ + ε١٠‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪٦ ε‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٣− ε −‬‬

‫‪ ( ١٤‬ﺛﻼﺛﺔ ﻋﻤﺎﻝ ﻋﻤﻠـﻮﺍ ﰲ ﻣـﱰﻝ ﳌـﺪﺓ ‪ ٦‬ﺳـﺎﻋﺎﺕ‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٥٠‬‬

‫‪ (١٦‬ﻛﻢ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﻐﺎﺋﺒﲔ ؟‬ ‫) ‪١٢٠ ( β‬‬ ‫) ‪٦٠ ( δ‬‬

‫) ‪٩٠ ( χ‬‬ ‫‪ ( ١٣‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ١٢ ٣ − ε٥‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫) ‪٣− ε− ( β‬‬ ‫)‪٤ ε (δ‬‬

‫) ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻟﻴﺲ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ (‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٥٠‬‬

‫‪ ( ١٧‬ﻛﻢ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﱵ ﳝﺜﻠﻬﺎ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﻟﺮﺍﺳﺒﲔ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﱐ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪°١٢٠‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪°١٠٨‬‬

‫) ‪°٧٢ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪°٤٠‬‬

‫ﻭﺗﻘﺎﺿﻮﺍ ﻣﺒﻠﻎ ﻗـﺪﺭﻩ ‪ ١١٠٠‬ﻧﻈـﲑ ﻋﻤﻠـﻬﻢ ‪ ،‬ﻓـﺈﺫﺍ‬ ‫ﻋﻤﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﻛﻞ ﺍﳌـﺪﺓ ‪ ،‬ﻭﺍﻟﺜـﺎﱐ ﻧﺼـﻒ ﺍﳌـﺪﺓ ‪ ،‬ﻭ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺛﻠﺚ ﺍﳌﺪﺓ ‪ .‬ﻓﻜﻢ ﻧﺼﻴﺐ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﻣﻨﻬﻢ ؟‬ ‫) ‪٣٠٠ ( β‬‬ ‫) ‪٦٠٠ ( δ‬‬

‫) ‪٥٥٠ ( χ‬‬

‫‪١٢٦‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٢٠٠‬‬

‫‪ ( ١٨‬ﺇﺫﺍ ﻛـــﺎﻥ ‪ ٠ = ٩ − ε‬ﻭ ‪ ٦٤∂ = λ‬ﻓـــﺈﻥ‬ ‫‪= λε‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫∂‪٦٤‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫∂‪٧٠‬‬

‫)‪(β‬‬ ‫) ‪٧٢ ( α‬‬

‫‪٧٢±‬‬

‫‪١‬‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻲ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫‪ ( ١٩‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ αβχδ‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺃﺿﻼﻉ ﻓﻴﻪ ﻗﻴﺎﺱ‬ ‫ ‪ . °٧٥ = δ‬ﻓﻤﺎ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍ‪‬ﺎﻭﺭﺓ ﳍﺎ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪°١٥٠‬‬

‫) ‪°١٠٥ ( χ‬‬

‫) ‪°٧٥ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪°٥٧‬‬

‫‪ ( ٢٠‬ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ ٠ = β + ε٦ +٢ ε‬ﺟﺬﺭ ﻣﻜـﺮﺭ‬

‫) ﺣﻠﲔ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﲔ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪= β‬‬ ‫)‪٣ (β‬‬ ‫‪٩−‬‬ ‫)‪(δ‬‬

‫)‪(χ‬‬

‫‪٣−‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٩‬‬

‫‪ ( ٢١‬ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﺔ ﻟﻜﺜﲑﺓ ﺍﳊﺪﻭﺩ ‪:‬‬ ‫‪ ١− ε٣ + ε‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ ٢− = ε‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫)‪٥ (β‬‬ ‫‪١١ −‬‬ ‫)‪(δ‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪٩−‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١١‬‬

‫ﺍﻧﺘﻬﺖ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ ﻟﻠﻘﺴﻢ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫ﺍﻵﻥ ﺍﻧﺘﻘﻞ ﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺛﺎﻧﻴ ﹰﺎ ‪ :‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ) ‪( ٢٥ – ٢٢‬‬ ‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ‪ :‬ﰲ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫ﺻﻴﻐﺘﺎﻥ ‪ ،‬ﻭﺍﺣـﺪﺓ ﰲ ﺍﻟﻌﻤـﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪ ،‬ﻭﺍﻷﺧـﺮﻯ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜـﺎﱐ ‪ ،‬ﻗـﺎﺭﻥ ﺑـﲔ ﺍﻟﺼـﻴﻐﺘﲔ ﰒ ﻇﻠـﻞ ﰲ‬ ‫ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﳊﺮﻑ‪:‬‬ ‫‪ ( δ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﻣﻨﻬﺎ‬ ‫ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬ ‫‪ ( χ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧــﺖ ﺍﻟﺼــﻴﻐﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﻤــﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﺻــﻐﺮ‬ ‫ﻣﻨﻬﺎ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬ ‫‪ (β‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺼﻴﻐﺘﺎﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﲔ‬ ‫‪ ( α‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧــﺖ ﺍﳌﻌﻠﻮﻣــﺎﺕ ﺍﳌﻌﻄــﺎﺓ ﻏــﲑ ﻛﺎﻓﻴــﺔ‬ ‫ﻟﻠﻤﻘﺎﺭﻧﺔ‪.‬‬

‫‪ (٢٢‬ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺎﻥ ﳎﻤﻮﻋﻬﻤﺎ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪٣٣‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﻛﱪ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ‬

‫‪١٧‬‬

‫‪(٢٣‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫) ‪(١− )(١− )(١−‬‬

‫) ‪( ١− ) + ( ١−‬‬

‫‪١٢٧‬‬

‫ﻧﻤﻮﺫﺝ )‪(٣‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪(٢٤‬‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃﻋﻼﻩ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﰎ ﺗﻘﺴﻴﻤﻪ ﺇﱃ ﻋﺪﻭ‬ ‫ﻣﺴﺘﻄﻴﻼ ﺻﻐﲑﺓ‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻼﺕ‬

‫‪١٧‬‬

‫ﺍﻟﻜﻠﻲ‬

‫‪ (٢٥‬ﺯﻭﺍﻳﺎ ﻣﺜﻠﺚ ﻫﻲ ‪١٠ + γ ،٤٠ − γ٢ ، γ٣ :‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫ﺃﺻﻐﺮ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺍﳌﺜﻠﺚ‬

‫‪°٣٥‬‬

‫‪١٢٨‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻲ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ‪ :‬ﺍﻟﺜﺎﱐ‬

‫ﻳﺘﻜﻮﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻘﺴﻢ ﻣـﻦ ‪ ٢٥‬ﺳـﺆﺍ ﹰﻻ ﻣﻮﺿـﻮﻋﻴ ﹰﺎ ﻣﻨـﻬﺎ ‪ ٢٠‬ﺳـﺆﺍ ﹰﻻ ﻣـﻦ ﻧـﻮﻉ‬

‫ﺍﻟﺰﻣﻦ ‪ ٣٠ :‬ﺩﻗﻴﻘﺔ‬

‫ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ ‪‬ﻭ ‪ ٥‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﻣﻦ ﻧﻮﻉ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺎﺕ ‪ .‬ﻭﻫﻨـﺎﻙ ﺇﺟﺎﺑـﺔ ﺻـﺤﻴﺤﺔ‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ‪ ٢٥ :‬ﺳﺆﺍﻝ‬

‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ‪:‬‬ ‫‪ – ٣‬ﲨﻴﻊ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩﺓ ﻫﻲ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ‪.‬‬

‫‪ -١‬ﻏﲑ ﻣﺴﻤﻮﺡ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﳊﺎﺳﺒﺔ‬

‫ﻣﺎ ﱂ ﻳﺬﻛﺮ ﺧﻼﻑ ﺫﻟﻚ‬

‫ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻭﺃﺷﻜﺎﻝ ﻫﻨﺪﺳﻴﺔ ﳝﻜﻨﻚ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻬﺎ ﺇﻥ ﺍﺣﺘﺠﺖ ﳍﺎ ‪:‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ‪λε‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ‪π٢Ω‬‬ ‫ﺍﶈﻴﻂ = ‪πΩ٢‬‬

‫ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ‬

‫= ‪°١٨٠‬‬

‫ﺍﶈﻴﻂ = ‪(λ + ε) ٢‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ‬

‫ﺍﳊﺠﻢ = ‪Ψελ‬‬

‫ﺍﳊﺠﻢ = ‪ςπ٢Ω‬‬

‫‪αδ × χβ‬‬ ‫=‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ‬

‫ﻣﺜﻠﺚ‬

‫ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ‬

‫ﺛﻼﺛﻴﲏ – ﺳﺘﻴﲏ‬

‫ﺍﻟﺴﺎﻗﲔ‬

‫‪٢‬‬

‫‪ ( ٢‬ﺃﻱ ﻣﻦ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﺴـﺘﻄﻴﻊ ﻛﺘﺎﺑﺘـﻪ ﻋﻠـﻰ‬

‫ﺃﻭ ﹰﻻ ‪ :‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ‬ ‫ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪ ٢٠‬ﺳـﺆﺍ ﹰﻻ ) ‪ ، ( ٢٠ -١‬ﻳﺘﺒـﻊ ﻛـﻞ ﻣﻨـﻬﺎ‬ ‫ﺃﺭﺑﻌﺔ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭﺍﺕ ‪ .‬ﺍﺧﺘﺮ ﻣﻦ ﺑﻴﻨﻬﺎ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﰒ ﻇﻠﻞ ﺣﺮﻑ ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ ﳍﺎ ﰲ ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ‪.‬‬ ‫‪ ( ١‬ﻣﺎ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺬﻱ ﺇﺫﺍ ﺃﺿـﻔﺖ ﺇﻟﻴـﻪ ﻣﺮﺑﻌـﻪ ﻛـﺎﻥ‬ ‫ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ٢٠‬؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٢‬‬

‫)‪(χ‬‬

‫‪٣‬‬

‫)‪٤ (β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫ﺍﻟﺘﺸﺎﺑﻪ ‪.‬‬

‫ﺷﻜﻞ ‪ κ٣‬ﺣﻴﺚ ‪ κ‬ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ؟‬ ‫) ‪٢٢٢٢٢ ( β‬‬ ‫) ‪٢٢ ( δ‬‬ ‫) ‪٢٢٢٢٢٢ ( α‬‬ ‫) ‪٢٢٢٢ ( χ‬‬

‫∂‪٣٢∂ + ٥٠‬‬ ‫‪(٣‬‬ ‫∂‪٢‬‬ ‫) ‪٤١ ( δ‬‬

‫=‬

‫) ‪٢ ∂٥ + ٤ ( χ‬‬

‫) ‪٢∂٤ + ٥ ( β‬‬ ‫)‪٩ (α‬‬

‫‪٥‬‬ ‫‪١٢٩‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪ ( ٤‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ٢‬ﻣـﻦ ‪ ٣‬ﻣـﻦ ‪ ε‬ﺗﺴـﺎﻭﻱ ‪ ٦‬ﻓﻤـﺎ‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ﻣﻘﺪﺍﺭ ‪ ١‬ﻣﻦ ‪ ε‬؟‬ ‫‪٣‬‬ ‫)‪٩ (β‬‬ ‫)‪٢ (δ‬‬ ‫) ‪١٥ ( α‬‬ ‫)‪٥ ( χ‬‬

‫ﻧﻤﻮﺫﺝ ) ‪(٣‬‬

‫‪ ( ٨‬ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺳﻠﻚ ﻃﻮﻟﻪ ‪ ε ٨‬ﻣﺘﺮﹰﺍ ﰲ ﻋﻤـﻞ ﺳـﻮﺭ‬ ‫ﺣﻮﻝ ﻗﻄﻌﺔ ﺃﺭﺽ ﻣﺮﺑﻌـﺔ ﺍﻟﺸـﻜﻞ ﻃـﻮﻝ ﳏﻴﻄﻬـﺎ‬ ‫)‪ (٤ + ε٢‬ﻣﺘﺮﹰﺍ ‪ .‬ﻓﻜﻢ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﺴﻠﻚ ﺍﳌﺘﺒﻘـﻲ ﺑﻌـﺪ‬

‫ﻋﻤﻞ ﺍﻟﺴﻮﺭ ؟‬ ‫‪٤ − ε٦ −‬‬ ‫)‪(δ‬‬

‫)‪( χ‬‬ ‫‪ ( ٥‬ﻋــﺪﺩ ﻛﺴــﺮﻱ ﻳﻜــﺎﰲﺀ ‪ ١‬ﻭﺇﺫﺍ ﺃﺿــﻔﻨﺎ ﺇﱃ‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﺑﺴﻄﻪ ‪ ١‬ﻭﺇﱃ ﻣﻘﺎﻣﻪ ‪ ٥‬ﺃﺻـﺒﺢ ﻳﻜـﺎﰲﺀ ‪ .‬ﻓﻤـﺎ‬ ‫‪٩‬‬ ‫ﻫﻮ ﺍﻟﻜﺴﺮ ﺍﻷﺻﻠﻲ ؟‬ ‫)‪٦ (β‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١٩‬‬ ‫) ‪١١ ( α‬‬ ‫)‪٧ (χ‬‬ ‫‪٢٢‬‬ ‫‪١٤‬‬ ‫‪ (٦‬ﲦﻦ ﺛﻮﺏ ﻭﻏﺘﺮﺓ ‪ ٩٠‬ﺭﻳـﺎ ﹰﻻ ‪ ،‬ﻭﲦـﻦ ‪ ٣‬ﺃﺛـﻮﺍﺏ ﻭ‬ ‫ﻏﺘــﺮﺗﲔ ‪ ٢٤٠‬ﺭﻳــﺎ ﹰﻻ ‪ .‬ﻣــﺎ ﲦــﻦ ﻛــﻞ ﻣــﻦ ﺍﻟﺜــﻮﺏ‬ ‫ﻭﺍﻟﻐﺘﺮﺓ ؟‬

‫) ‪ ( δ‬ﺍﻟﺜﻮﺏ =‪ ٦٠‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ‪ ،‬ﺍﻟﻐﺘﺮﺓ =‪ ٣٠‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ‪.‬‬ ‫) ‪ ( χ‬ﺍﻟﺜﻮﺏ = ‪ ٥٠‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ‪ ،‬ﺍﻟﻐﺘﺮﺓ = ‪ ٤٠‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ‪.‬‬

‫) ‪ ( β‬ﺍﻟﺜﻮﺏ =‪ ٤٠‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ‪ ،‬ﺍﻟﻐﺘﺮﺓ = ‪ ٥٠‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ‪.‬‬

‫‪٤ − ε٦‬‬

‫) ‪٤ + ε٦ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٤ − ε١٠‬‬

‫‪ ( ٩‬ﺃﻗﺎﻡ ﻣﺎﺟﺪ ﺣﻔﻠﺔ ﲟﻨﺎﺳﺒﺔ ﳒﺎﺣﻪ ﺑﺘﻔـﻮﻕ ﻭﺩﻋـﺎ‬ ‫ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺯﻣﻼﺋﻪ ‪ ،‬ﻓﺈﺫﺍ ﻋﻠﻤﺖ ﺃﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﳌﺼﺎﻓﺤﺎﺕ ﺍﻟﱵ‬ ‫ﲤﺖ ﰲ ﺍﳊﻔﻠﺔ ‪ ٢٨‬ﻣﺼﺎﻓﺤﺔ ‪ ،‬ﺣﻴﺚ ﺻﺎﻓﺢ ﻛـﻞ‬ ‫ﺷــﺨﺺ ﺍﻵﺧــﺮ ﻣــﺮﺓ ﻭﺍﺣــﺪﺓ ﻓﻘــﻂ ‪ .‬ﻓﻜــﻢ ﻋــﺪﺩ‬ ‫ﺍﳌﺪﻋﻮﻳﻦ ﰲ ﺍﳊﻔﻠﺔ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٥٦‬‬

‫)‪(χ‬‬

‫‪٢٨‬‬

‫)‪٨ (β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٧‬‬

‫‪ ( ١٠‬ﻣﻜﻌﺐ ﻣﺴـﺎﺣﺔ ﺳـﻄﺤﻪ ﺍﳋـﺎﺭﺟﻲ ﺗﺴـﺎﻭﻱ‬ ‫‪٢‬‬

‫‪ ٥٤‬ﺳﻢ ‪ .‬ﻓﻤﺎ ﺣﺠﻤﻪ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٢٩١٦‬‬

‫) ‪٧٢٩ ( χ‬‬

‫) ‪٨١ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٢٧‬‬

‫) ‪ ( α‬ﺍﻟﺜﻮﺏ =‪ ٣٠‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ‪ ،‬ﺍﻟﻐﺘﺮﺓ =‪ ٦٠‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ‪.‬‬

‫‪= ٢٦١ + ١٠٠∂ ( ٧‬‬

‫∂‪١٨ ( β ) ٢٦١∂ + ١٠٠‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫) ‪١٥ ( α‬‬ ‫) ‪١٩ ( χ‬‬

‫‪ (١١‬ﺧﻼﻝ ﻋﻤﻠﻪ ﰲ ﺧﻂ ﺍﻹﻧﺘﺎﺝ ﺍﺧـﺮﺝ ﳏﻤـﺪ ‪⊆ ٥‬‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻄﻊ ﺍﻟﱵ ﻣﺮﺕ ﻋﻠﻴﻪ ﺑﺴﺒﺐ ﺗﻠﻔﻬـﺎ ‪ .‬ﺇﺫﺍ ﻛـﺎﻥ‬ ‫ﳏﻤﺪ ﻗﺪ ﺍﺧﺮﺝ ‪ ٤‬ﻗﻄﻊ ‪ .‬ﻓﻜﻢ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺮﺕ ﻋﻠﻴﻪ ؟‬ ‫) ‪٨٠٠ ( β‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫)‪(δ‬‬

‫) ‪٨٠ ( χ‬‬

‫‪١٣٠‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٨٠٠٠‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻲ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫‪ ( ١٢‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧــــﺖ }‪ ٢χ −٢ δ = {χ + δ‬ﻓــــﺈﻥ‬

‫}‪= ( λ + ε) ÷ {λ + ε‬‬ ‫)‪λ−ε (β‬‬ ‫)‪١ (δ‬‬

‫‪ ( ١٣‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ Θ‬ﻋﺪﺩ ﺻـﺤﻴﺢ ﻣﻮﺟـﺐ ﻓـﺄﻱ ﻣـﻦ‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺃﺩﻧﺎﻩ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ١+ Θ٦‬؟‬ ‫) ‪٧٢ ( β‬‬ ‫) ‪٧٠ ( δ‬‬

‫) ‪٧١ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٧٣‬‬

‫‪ ( ١٤‬ﺳــﺠﺎﺩﺓ ﻃﻮﳍــﺎ ‪ ٩‬ﻡ ‪ ،‬ﻭﻋﺮﺿــﻬﺎ ‪ ٦‬ﻡ‪ ،‬ﻓــﺈﺫﺍ‬ ‫ﺍﺯﺩﺍﺩﺕ ﻣﺴﺎﺣﺘﻬﺎ ﲟﻘﺪﺍﺭ ‪٤٢‬ﻡ ‪ ، ٢‬ﻭﻛﺎﻧـﺖ ﻧﺴـﺒﺔ‬ ‫ﺍﻟﺰﻳﺎﺩﺓ ﰲ ﺍﻟﻄﻮﻝ ﻭﺍﻟﻌﺮﺽ ﻣﺘﺴـﺎﻭﻳﺔ ‪ .‬ﻓﻜـﻢ ﻣﺘـﺮﹰﺍ‬ ‫ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻄﻮﻝ ﺍﳉﺪﻳﺪ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪١٠‬‬

‫) ‪١١ ( χ‬‬

‫) ‪١٢ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٣‬‬

‫‪ ( ١٥‬ﺍﺟﺘﻤـــﻊ ‪ ٥٠‬ﻃﺎﻟﺒـ ـ ﹰﺎ ﰲ ﺇﺣـــﺪﻯ ﻣﺴـــﺎﺑﻘﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿــﻴﺎﺕ ﺍﻟﺪﻭﻟﻴــﺔ ‪ ،‬ﻓــﺈﺫﺍ ﻛــﺎﻥ ‪ ٣٠‬ﻃﺎﻟﺒــ ﹰﺎ‬ ‫ﻳﺘﺤﺪﺛﻮﻥ ﺍﻟﻠﻐﺔ ﺍﻟﻌﺮﺑﻴﺔ ‪ ،‬ﻭ ‪ ٣٠‬ﻃﺎﻟﺒ ﹰﺎ ﻳﺘﺤﺪﺛﻮﻥ ﺍﻟﻠﻐﺔ‬ ‫ﺍﻻﳒﻠﻴﺰﻳﺔ ‪ .‬ﻛﻢ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺬﻳﻦ ﻳﺘﺤﺪﺛﻮﻥ ﺍﻟﻠﻐﺘﲔ ﻣﻌ ﹰﺎ ؟‬ ‫) ‪٣٠ ( β‬‬ ‫) ‪١٠ ( δ‬‬

‫) ‪٢٠ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫ﻻ ﳝﻜــــــﻦ‬ ‫ﺍﻟﺘﺤﺪﻳﺪ‬

‫‪ ( ١٦‬ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﺎﱄ ﻳﺒﲔ ﻋﺪﺩ ﺍﳍﻮﺍﺓ ﻭﺍﶈﺘـﺮﻓﲔ ﰲ‬

‫ﻟﻠﻔﺌﺎﺕ ﺍﻟﻌﻤﺮﻳﺔ ﺍﻟﱵ ﺃﻗﻞ ﻣﻦ ‪ ١٨‬ﻭﺑـﲔ ) ‪( ٣٠ − ١٨‬‬ ‫ﻭﺃﻛﱪ ﻣﻦ ‪ ٣٠‬ﺳﻨﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺌﺎﺕ ﺍﻟﻌﻤﺮﻳﺔ‬ ‫ﺃﻛﱪ‬

‫ﺃﻗﻞ ﻣﻦ ‪٣٠ − ١٨‬‬ ‫ﺍﳍﻮﺍﺓ‬ ‫ﳏﺘﺮﻓﲔ‬

‫ﺍ‪‬ﻤﻮﻉ‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪ε−λ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫)‪( λ + ε‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫ﻣﻦ ‪٣٠‬‬

‫‪١٨‬‬ ‫‪٨‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪١٥‬‬

‫‪٣٠‬‬

‫‪٣٣‬‬

‫‪٣٦‬‬

‫‪٩٩‬‬

‫‪٣٨‬‬

‫‪١١٤‬‬

‫ﺍ‪‬ﻤﻮﻉ‬ ‫‪٣٨‬‬ ‫‪٣٨‬‬ ‫ﻓﺄﻱ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺻﺤﻴﺤﺔ ‪:‬‬

‫‪ ( δ‬ﺍﻟﻌﻤﺮ ﻟﻴﺲ ﻣﻌﻴﺎﺭﹰﺍ ﰲ ﲢﺪﻳﺪ ﺍﳍﻮﺍﺓ ﻭﺍﶈﺘﺮﻓﲔ‬ ‫‪ ( χ‬ﻳﺰﺩﺍﺩ ﻋﺪﺩ ﺍﶈﺘﺮﻓﲔ ﺑﺎﺯﺩﻳﺎﺩ ﺍﻟﻌﻤﺮ‬ ‫‪ ( β‬ﻳﻘﻞ ﻋﺪﺩ ﺍﳍﻮﺍﺓ ﺑﺎﺯﺩﻳﺎﺩ ﺍﻟﻌﻤﺮ‬ ‫‪ (α‬ﻳﺰﺩﺍﺩ ﻋﺪﺩ ﺍﶈﺘﺮﻓﲔ ﺑﺎﺯﺩﻳﺎﺩ ﺍﻟﻌﻤـﺮ ﻭﻳﻘـﻞ ﺑـﻪ‬

‫ﺍﳍﻮﺍﺓ ﺃﻳﻀ ﹰﺎ‬

‫‪( ( ٧١ ) + ( ٥١) + ( ٣١ ) + ( ٢١)) ( ١٧‬‬ ‫‪١−‬‬

‫)‪( δ‬‬

‫‪١−‬‬

‫‪١٧‬‬

‫)‪(β‬‬

‫) ‪١٥ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١−‬‬

‫‪=١−‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪١٥‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١٧‬‬

‫‪ ( ١٨‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ١٥ = ε٣‬ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤﺔ ‪ ε‬؟‬ ‫)‪٥± (β‬‬ ‫‪٥+‬‬ ‫)‪( δ‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪٣+‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٥−‬‬

‫‪١٣١‬‬

‫ﻧﻤﻮﺫﺝ ) ‪(٣‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪ ( ١٩‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺆﺷﺮ ﺍﻟﺴﺮﻋﺔ ﰲ ﺳﻴﺎﺭﺓ ﻫﻴﺜﻢ ﻳﻌﻄﻲ‬

‫ﺛﺎﻧﻴ ﹰﺎ ‪ :‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ) ‪( ٢٥ -٢١‬‬

‫ﻗــﺮﺍﺀﺓ ﺧﺎﻃﺌــﺔ ﺗﺰﻳــﺪ ﲟﻘــﺪﺍﺭ ‪ ⊆١٠‬ﻋــﻦ ﺳــﺮﻋﺘﻬﺎ‬

‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ‪ :‬ﰲ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬

‫ﺍﳊﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ .‬ﻓﻜﻢ ﺳﺮﻋﺔ ﺳﻴﺎﺭﺓ ﻫﻴـﺜﻢ ﺍﳊﻘﻴﻘﻴـﺔ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻛــــﺎﻥ ﻣﺆﺷــــﺮ ﺍﻟﺴــــﺮﻋﺔ ﻳﻌﻄــــﻲ ﻗــــﺮﺍﺀﺓ‬ ‫‪ ١٠٠‬ﻛﻠﻢ ‪ /‬ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ؟‬

‫)‪( δ‬‬

‫‪١١٠‬‬

‫) ‪٩٠١٠ ( χ‬‬ ‫‪١١‬‬

‫) ‪٩٠ ٥ ( β‬‬ ‫‪١١‬‬ ‫) ‪٩٠ ( α‬‬

‫‪ ( ٢٠‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ ، ٤ = ε‬ﺇﺫﺍ ﺃﺭﺩﻧﺎ ﺃﻥ ﻧﻀﺎﻋﻒ ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪ ε‬ﻧﻘﻮﻡ ﲟﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫‪ (δ‬ﻧﻀﺮﺏ ‪ ٢× ٤‬ﻭﻧﻀﺮﺏ ‪٤ × λ‬‬

‫‪ ( χ‬ﻧﻘﺴﻢ ‪ ٤‬ﻋﻠﻰ ‪ ٢‬ﻭﻧﻘﺴﻢ ‪ λ‬ﻋﻠﻰ ‪. ٢‬‬ ‫‪ ( β‬ﻧﻘﺴﻢ ‪ λ‬ﻭﺣﺪﻫﺎ ﻋﻠﻰ ‪٢‬‬

‫‪ (α‬ﻧﻘﺴﻢ ‪ λ‬ﻋﻠﻰ ‪ ٢‬ﻭ ﻧﻀﺮﺏ ‪. ٢× ٤‬‬

‫) ‪(٢−‬‬

‫ﺍﻧﺘﻬﺖ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ ﻟﻠﻘﺴﻢ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫ﺍﻵﻥ ﺍﻧﺘﻘﻞ ﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ‪.‬‬

‫‪٨‬‬

‫‪٦‬‬

‫‪ ( ٢٢‬ﺇﻧﺎﺀﺍﻥ ﺣﺠﻢ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﺜﺎﱐ‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ‬ ‫ﺍﳉﺎﻧﺒﻴﺔ ﻟﻸﻭﻝ‬

‫ﺍﳉﺎﻧﺒﻴﺔ ﻟﻠﺜﺎﱐ‬

‫‪ ( ٢٣‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪٠ = ٧ + λ + ε‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫ﻣﻴﻞ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫‪١٣٢‬‬

‫‪١−‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻲ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫‪( ٢٤‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫ﻋﺪﺩ‬

‫ﻟﻔﺎﺕ‬

‫ﻋﻘﺮﺏ‬

‫ﺍﻟﺪﻗﺎﺋﻖ ﺇﺫﺍ ﲢﺮﻙ ﻣﻦ‬

‫‪٧‬‬

‫ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ‪ ١٤:٢٠‬ﺇﱃ‬ ‫ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ‪ ٧:٢٠‬ﻣﺴﺎ ًﺀ‬ ‫‪ ( ٢٥‬ﺷﺨﺺ ﻳﻌﻤـﻞ ‪ ٤٠‬ﺳـﺎﻋﺔ ﰲ ﺍﻷﺳـﺒﻮﻉ ﺑـﺄﺟﺮﺓ‬ ‫ﻗﺪﺭﻫﺎ ‪ ٦‬ﺭﻳﺎﻻﺕ ﻟﻠﺴﺎﻋﺔ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪﺓ ‪ ،‬ﻭﺍﻵﺧـﺮ ﻳﻌﻤـﻞ‬ ‫‪ ٥٥‬ﺳــﺎﻋﺔ ﰲ ﺍﻷﺳــﺒﻮﻉ ﺑــﺄﺟﺮﺓ ﻗــﺪﺭﻫﺎ ‪ ٤‬ﺭﻳــﺎﻻﺕ‬ ‫ﻟﻠﺴﺎﻋﺔ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪﺓ‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫ﺃﺟﺮﺓ ﺍﻟﺜﺎﱐ‬

‫ﺃﺟﺮﺓ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪١٣٣‬‬

‫ﻧﻤﻮﺫﺝ ) ‪(٣‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ‪ :‬ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫ﻳﺘﻜﻮﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻘﺴﻢ ﻣﻦ ‪ ١٠‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﻣﻮﺿﻮﻋﻴﺔ ﻣﻦ ﻧﻮﻉ ﺍﻻﺧﺘﻴـﺎﺭ ﻣـﻦ ﻣﺘﻌـﺪﺩ‬

‫ﺍﻟﺰﻣﻦ ‪ ١٥ :‬ﺩﻗﻴﻘﺔ‬

‫ﻭﻫﻨﺎﻙ ﺇﺟﺎﺑﺔ ﺻﺤﻴﺤﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﻟﻜﻞ ﺳﺆﺍﻝ ﻇﻠﻞ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﰲ ﻭﺭﻗﺔ‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ‪ ١٠ :‬ﺃﺳﺌﻠﺔ‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﳌﺨﺼﺺ ﳍﺬﺍ ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺑﻮﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ‪.‬‬

‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ‪:‬‬ ‫‪–٣‬ﲨﻴﻊ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩﺓ ﻫﻲ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ‪.‬‬

‫‪ -١‬ﻏﲑ ﻣﺴﻤﻮﺡ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﳊﺎﺳﺒﺔ‬

‫ﻣﺎ ﱂ ﻳﺬﻛﺮ ﺧﻼﻑ ﺫﻟﻚ‬

‫ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻭﺃﺷﻜﺎﻝ ﻫﻨﺪﺳﻴﺔ ﳝﻜﻨﻚ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻬﺎ ﺇﻥ ﺍﺣﺘﺠﺖ ﳍﺎ ‪:‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ‪λε‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ‪π٢Ω‬‬ ‫ﺍﶈﻴﻂ = ‪πΩ٢‬‬

‫ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ‬

‫= ‪°١٨٠‬‬

‫ﺍﶈﻴﻂ = ‪(λ + ε) ٢‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ‬

‫ﺍﳊﺠﻢ = ‪Ψελ‬‬

‫ﺍﳊﺠﻢ = ‪ςπ٢Ω‬‬

‫‪αδ × χβ‬‬ ‫=‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ‬ ‫ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ‬

‫ﻣﺜﻠﺚ‬

‫ﺛﻼﺛﻴﲏ – ﺳﺘﻴﲏ‬

‫ﺍﻟﺴﺎﻗﲔ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﺗﺸﺎﺑﻪ ﻣﻀﻠﻌﺎﻥ ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﲔ ﻣﺴﺎﺣﺘﻴﻬﻤﺎ ﺗﺴﺎﻭﻱ ﻣﺮﺑﻊ ﻧﺴﺒﺔ‬

‫‪βδ +٢ βχ =٢ χδ‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪= ٩− − ٧ ( ٢‬‬

‫ﺃﻭ ﹰﻻ ‪ :‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ‬ ‫ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠـﻲ ‪ ١٠‬ﺃﺳـﺌﻠﺔ ) ‪ ،( ١٠ -١‬ﻳﺘﺒـﻊ ﻛـﻞ ﻣﻨـﻬﺎ‬ ‫ﺃﺭﺑﻌﺔ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭﺍﺕ ‪ .‬ﺍﺧﺘﺮ ﻣﻦ ﺑﻴﻨﻬﺎ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﰒ ﻇﻠﻞ ﺣﺮﻑ ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ ﳍﺎ ﰲ ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ‪.‬‬ ‫‪ ( ١‬ﻣﺎ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺬﻱ ﺇﺫﺍ ﻃﺮﺣﺖ ﻣﻨﻪ ‪ ٨‬ﰒ ﺃﺿﻔﺖ ﺇﱃ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﺍﻟﻄﺮﺡ ‪ ٣‬ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ‪ ٧‬؟‬ ‫) ‪٤− ( δ‬‬ ‫) ‪١٢ ( β‬‬

‫)‪٢ ( χ‬‬

‫‪١٣٤‬‬

‫)‪(α‬‬

‫ﺍﻟﺘﺸﺎﺑﻪ ‪.‬‬

‫‪١٨‬‬

‫)‪(δ‬‬ ‫)‪٢ ( χ‬‬

‫‪١٦‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪ε٢٠‬‬

‫) ‪ε٩ ( χ‬‬

‫‪١٦ −‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪= ε٥ × ε٤ ( ٣‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫) ‪٢− ( β‬‬

‫‪٦‬‬

‫) ‪ε٢٠ ( β‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫) ‪ε٩ ( α‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪٣‬‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻲ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫‪ ( ٤‬ﻋﺪﺩﺍﻥ ﳎﻤﻮﻋﻬﻤﺎ ‪ ، ٢٥‬ﻭﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ‪ ٧‬ﻓﻤـﺎ‬ ‫ﻧﺴﺒﺔ ﻧﺎﺗﺞ ﺍ‪‬ﻤﻮﻉ ﻭﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﺇﱃ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﻛﱪ‬ ‫ﻣﻨﻬﻤﺎ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫ﺛﻠﺜﻪ‬

‫) ‪ ( χ‬ﻧﺼﻔﻪ‬

‫) ‪ ( β‬ﺿﻌﻔﻪ‬

‫)‪(α‬‬

‫ﺛﻼﺛﺔ ﺃﺿﻌﺎﻓﻪ‬

‫‪ ( ٥‬ﺍﺷﺘﺮﻯ ﻋﻠﻲ ‪ ١٥‬ﻗﻠﻤ ﹰﺎ ﺑﺴـﻌﺮ ‪ ٣‬ﺭﻳـﺎﻻﺕ ﻟﻠﻘﻠـﻢ‬ ‫ﺍﻟﻮﺍﺣﺪ ‪ ،‬ﻭﺧﺼـﻢ ﻟـﻪ ‪ ⊆١٠‬ﻣـﻦ ﺍﻟﺴـﻌﺮ ﺍﻹﲨـﺎﱄ‬ ‫ﻟﻸﻗﻼﻡ ‪ .‬ﻓﻜﻢ ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ﺩﻓﻌﻪ ﻋﻠﻲ ؟‬ ‫) ‪٤٢٫٥ ( β‬‬ ‫) ‪٣٨٫٥ ( δ‬‬

‫) ‪٤٠٫٥ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٤٣٫٥‬‬

‫‪ ( ٦‬ﻣﺎ ﻫـﻲ ﺇﺣـﺪﺍﺛﻴﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻄــﺔ ‪ δ‬ﰲ ﺍﻟﺸــﻜﻞ‬ ‫ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ ؟‬ ‫)‪(β‬‬ ‫) ‪( ١٠،٨ ) ( δ‬‬

‫) ‪( ٨،١٠) ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫‪ ( ٨‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺗﻮﻗﻴﺖ ﺍﳌﻤﻠﻜﺔ ﻳﺘﻘـﺪﻡ ﺑﻌـﺾ ﺍﳌـﺪﻥ‬ ‫ﺍﻷﻣﺮﻳﻜﻴﺔ ﲟﻘﺪﺍﺭ ‪ ٨‬ﺳﺎﻋﺎﺕ ‪ ،‬ﻭﺗﺘﺄﺧﺮ ﻫﺬﻩ ﺍﳌﺪﻥ‬ ‫ﻋــﻦ ﻓﺮﻧﺴــﺎ ﲟﻘــﺪﺍﺭ ‪ ٥‬ﺳــﺎﻋﺎﺕ ‪ .‬ﻓﻜــﻢ ﺗﻜــﻮﻥ‬ ‫ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ﰲ ﺗﻠﻚ ﺍﳌﺪﻥ ﺍﻷﻣﺮﻳﻜﻴﺔ ﻭﰲ ﻓﺮﻧﺴـﺎ ﻋﻠـﻰ‬ ‫ﺍﻟﺘــﻮﺍﱄ ‪ ،‬ﻋﻨــﺪﻣﺎ ﻳﻜــﻮﻥ ﺍﻟﻮﻗــﺖ ﰲ ﺍﻟﺴــﻌﻮﺩﻳﺔ‬ ‫ﺍﻟﻮﺍﺣﺪﺓ ﻣﺴﺎ ًﺀ ؟‬ ‫‪١٢ ،٧‬‬ ‫)‪(δ‬‬

‫)‪(χ‬‬

‫‪٤ ،٩‬‬

‫) ‪٦ ،١ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٠،٥‬‬

‫‪ ( ٩‬ﻣﺎ ﻫﻮ ﻧﺼﻒ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪ ٢‬؟‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫)‪٢ (β‬‬ ‫)‪٢ (δ‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫)‪٢ (α‬‬ ‫)‪٢ (χ‬‬ ‫‪٨‬‬

‫‪ ( ١٠‬ﺗﻄﲑ ﻃﺎﺋﺮﺓ ﺑﺴﺮﻋﺔ ‪ ٨٠٠‬ﻛﻠﻢ ‪ /‬ﺍﻟﺴـﺎﻋﺔ ‪،‬‬ ‫ﰲ ﺍﻟﺜﻠﺚ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻦ ﺭﺣﻠﺘﻬﺎ ‪ ،‬ﻓﻤﺎ ﻣﺘﻮﺳـﻂ ﺳـﺮﻋﺘﻬﺎ‬

‫) ‪( ٨،٦‬‬ ‫) ‪( ١٠،٦‬‬

‫ﻟﺒﻘﻴﺔ ﺍﻟﺮﺣﻠـﺔ ﺇﺫﺍ ﻛـﺎﻥ ﻣﺘﻮﺳـﻂ ﺳـﺮﻋﺘﻬﺎ ﺧـﻼﻝ‬ ‫ﺍﻟﺮﺣﻠﺔ ﻛﺎﻣﻠﺔ ﻛﺎﻥ ‪ ٧٠٠‬ﻛﻠﻢ ‪ /‬ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ؟‬ ‫) ‪٦٥٠ ( β‬‬ ‫) ‪٧٥٠ ( δ‬‬

‫) ‪٧٠٠ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٦٠٠‬‬

‫‪ ( ٧‬ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﳌﻘﺎﺑـﻞ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺭﺅﻭﺱ ﺍﳌﺜﻠﺚ‬ ‫‪ βχδ‬ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺃﺿﻼﻉ ﺍﳌﺜﻠﺚ ‪ ιγα‬ﻓﻤـﺎ ﻧﺴـﺒﺔ ﻣﺴـﺎﺣﺔ‬ ‫ﺍﳌﺜﻠﺚ ﺍﻷﺻﻐﺮ ﺇﱃ ﺍﻷﻛﱪ ؟‬ ‫) ‪٣ :٢ (β‬‬ ‫) ‪٣ :١ ( δ‬‬

‫) ‪٤ :١ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١:٤‬‬

‫‪١٣٥‬‬

‫ﻧﻤﻮﺫﺝ )‪(٤‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ‪ :‬ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﻳﺘﻜﻮﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻘﺴﻢ ﻣـﻦ ‪ ٢٥‬ﺳـﺆﺍ ﹰﻻ ﻣﻮﺿـﻮﻋﻴ ﹰﺎ ﻣﻨـﻬﺎ ‪ ٢١‬ﺳـﺆﺍ ﹰﻻ ﻣـﻦ ﻧـﻮﻉ‬

‫ﺍﻟﺰﻣﻦ ‪ ٣٠ :‬ﺩﻗﻴﻘﺔ‬

‫ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ ‪‬ﻭ ‪ ٤‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﻣﻦ ﻧﻮﻉ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺎﺕ ‪ .‬ﻭﻫﻨـﺎﻙ ﺇﺟﺎﺑـﺔ ﺻـﺤﻴﺤﺔ‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ‪ ٢٥ :‬ﺳﺆﺍﻝ‬

‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ‪:‬‬ ‫‪ – ٣‬ﲨﻴﻊ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩﺓ ﻫﻲ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ‪.‬‬

‫‪ -١‬ﻏﲑ ﻣﺴﻤﻮﺡ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﳊﺎﺳﺒﺔ‬

‫ﻣﺎ ﱂ ﻳﺬﻛﺮ ﺧﻼﻑ ﺫﻟﻚ‬

‫ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻭﺃﺷﻜﺎﻝ ﻫﻨﺪﺳﻴﺔ ﳝﻜﻨﻚ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻬﺎ ﺇﻥ ﺍﺣﺘﺠﺖ ﳍﺎ ‪:‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ‪λε‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ‪π٢Ω‬‬ ‫ﺍﶈﻴﻂ = ‪πΩ٢‬‬

‫ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ‬

‫= ‪°١٨٠‬‬

‫ﺍﶈﻴﻂ = ‪(λ + ε) ٢‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ‬

‫ﺍﳊﺠﻢ = ‪Ψελ‬‬

‫ﺍﳊﺠﻢ = ‪ςπ٢Ω‬‬

‫‪αδ × χβ‬‬ ‫=‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ‬

‫ﻣﺜﻠﺚ‬

‫ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ‬

‫ﺛﻼﺛﻴﲏ – ﺳﺘﻴﲏ‬

‫ﺍﻟﺴﺎﻗﲔ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﻟﺘﺸﺎﺑﻪ ‪.‬‬

‫ﺃﻭ ﹰﻻ ‪ :‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ‬

‫‪ ( ٢‬ﻟﺪﻯ ﺃﲪﺪ ﻣﺒﻠﻎ ﻣﻦ ﺍﳌﺎﻝ ﺃﻋﻄﻰ ﻧﺼﻔﻪ ﻷﻣـﻪ ﰒ‬

‫ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪ ٢١‬ﺳـﺆﺍ ﹰﻻ ) ‪ ، ( ٢١ -١‬ﻳﺘﺒـﻊ ﻛـﻞ ﻣﻨـﻬﺎ‬

‫ﺃﻋﻄﻰ ﺭﺑﻊ ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ﻟﺰﻭﺟﺘـﻪ ﰒ ﺃﻋﻄـﻰ ﺛﻠـﺚ ﺍﻟﺒـﺎﻗﻲ‬

‫ﺃﺭﺑﻌﺔ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭﺍﺕ ‪ .‬ﺍﺧﺘﺮ ﻣﻦ ﺑﻴﻨﻬﺎ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﰒ ﻇﻠﻞ ﺣﺮﻑ ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ ﳍﺎ ﰲ ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ‪.‬‬

‫‪ ( ١‬ﻧﺴﺒﺔ ﺯﻛـﺎﺓ ﺍﳌـﺎﻝ ‪ ⊆ ٢٫٥‬ﻓـﺈﺫﺍ ﺩﻓﻌـﺖ ‪٢٠٠‬‬ ‫ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ‪ ،‬ﻓﻤﺎ ﺍﳌﺒﻠﻎ ﺍﻟﺬﻱ ﺯﻛﻴﺘﻪ ؟‬ ‫) ‪٦٠٠٠ ( β‬‬ ‫) ‪٣٠٠٠ ( δ‬‬ ‫) ‪٤٠٠٠ ( χ‬‬ ‫‪١٣٨‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٨٠٠٠‬‬

‫ﻷﺧﻴﻪ ‪ ،‬ﰒ ﺃﻋﻄﻰ ﻧﺼﻒ ﻣﺎ ﺗﺒﻘـﻰ ﻣـﻦ ﺫﻟـﻚ ﻷﺑﻨـﻪ‬ ‫ﺍﻟﺬﻱ ﻛﺎﻥ ﻧﺼﻴﺒﻪ ﺭﻳﺎﻟﲔ ‪ .‬ﻓﻜﻢ ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ﻛـﺎﻥ ﻋﻨـﺪ‬ ‫ﺃﲪﺪ ﰲ ﺍﻟﺒﺪﺍﻳﺔ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٤٨‬‬

‫) ‪٢٤ ( χ‬‬

‫) ‪١٦ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٨‬‬

‫‪١‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪ε‬‬

‫‪١‬‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻲ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫ﻓﺈﻥ ‪= ε‬‬

‫‪ ( ٣‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪٢ =٩٩ ٢ −١٠٠ ٢‬‬ ‫) ‪٩٩ ( β‬‬ ‫)‪١ (δ‬‬ ‫)‪٢ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٠٠‬‬

‫‪(٨‬‬ ‫ﻣــﺎ ﳏــﻴﻂ ﺍﻟﺸــﻜﻞ‬ ‫ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ ﺇﺫﺍ ﻛـﺎﻥ ﻃـﻮﻝ‬ ‫ﻛﻞ ﺿﻠﻊ ﻣﻦ ﺃﺿﻼﻉ‬

‫‪(٤‬‬

‫ﺍﳌﺮﺑﻌﺎﺕ ﺍﻷﺭﺑﻌﺔ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ٥‬ﺳﻢ ؟‬ ‫) ‪٥٠ ( β‬‬ ‫) ‪٤٠ ( δ‬‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ـﺎﻭﺭ‬

‫)‪( χ‬‬

‫ﻣﺎ ﳏﻴﻂ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻧﺼﻒ‬ ‫ﻗﻄﺮ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺗﲔ )‪ ( ι ) ، (κ‬ﺍﻟﱵ ﺑﺪﺍﺧﻠﻪ‬ ‫ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ٢‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻭ ‪ ١ = ε‬ﺳﻢ ؟‬ ‫)‪(β‬‬ ‫‪٢٢‬‬ ‫) ‪٢٦ ( δ‬‬ ‫)‪(α‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫) ‪٢٤ ( χ‬‬

‫‪=١٠٠ (١− ) + " +٣ (١− ) +٢ (١− ) +١ (١− ) ( ٥‬‬ ‫)‪١ (β‬‬ ‫‪١−‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫)‪٠ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٠٠‬‬

‫‪ ( ٦‬ﻣﺜﻠﺚ ﺍﻟﻨﺴـﺐ ﺑـﲔ ﺯﻭﺍﻳـﺎﻩ ﻫـﻲ ‪ . ٣ :٢:١‬ﻓﻤـﺎ‬ ‫ﺃﻛﱪ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻓﻴﻪ ؟‬ ‫) ‪°١١٩ ( β‬‬ ‫) ‪°٩٠ ( δ‬‬

‫)‪(χ‬‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪°١٠٨‬‬

‫‪٤‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪= ٦− ٦ ( ٧‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫)‪٦ (δ‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫)‪٦ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٤٥‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٨٠‬‬

‫‪ ( ٩‬ﺇﺫﺍ ﻛــﺎﻥ ‪ ١٠ = ς٢ + λ٢ + ε٢‬ﻭ ‪٣ = ς ١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤﺔ ‪ ς + λ + ε‬؟‬ ‫‪λ+ε‬‬ ‫)‪١ (β‬‬ ‫‪٥−‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫)‪٥ − (χ‬‬ ‫)‪٣ (α‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ ( ١٠‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻟﺘﺮﹰﺍ ﻭﺍﺣﺪﹰﺍ ﻣﻦ ﺍﻟﺒﱰﻳﻦ ﻳﻜﻔﻲ ﻧﻮﻋـ ﹰﺎ‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺍﺕ ﻟﻘﻄﻊ ﻣﺴـﺎﻓﺔ ‪ ١٢٫٥‬ﻛﻠـﻢ ‪ .‬ﻓﻜـﻢ‬ ‫ﻟﺘﺮﹰﺍ ﻣﻦ ﺍﻟﺒﱰﻳﻦ ﲢﺘﺎﺝ ﺗﻠﻚ ﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺓ ﻟﺘﻘﻄـﻊ ﻣﺴـﺎﻓﺔ‬ ‫‪ ١٠٠‬ﻛﻠﻢ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٨‬‬

‫) ‪١٠ ( χ‬‬

‫) ‪١٢ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٤‬‬

‫‪°٢٤٤‬‬ ‫‪ ( ١١‬ﻛﻢ ﺍﳌﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﱵ ﻳﻘﻄﻌﻬﺎ ﺭﺟﻞ ﻳﺴﲑ ﺑﺴـﺮﻋﺔ‬

‫)‪٦ (β‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫)‪٦ (α‬‬ ‫‪٤‬‬

‫‪ ٥‬ﻛﻠﻢ ‪ /‬ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ﰲ ﺯﻣﻦ ﻗﺪﺭﻩ ‪ ١٠‬ﺩﻗﺎﺋﻖ ؟‬ ‫)‪٥ (β‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫)‪١ (α‬‬ ‫)‪٥ ( χ‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪١٣٩‬‬

‫ﻧﻤﻮﺫﺝ )‪(٤‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪ ( ١٢‬ﻋﺪﺩ ﲬﺴﺔ ﺃﻣﺜﺎﻟﻪ ‪ ، ١٥‬ﻛﻢ ﺗﺴﺎﻭﻱ ﲦﺎﻧﻴـﺔ‬

‫‪ ( ١٦‬ﳎﺴــﻢ ﻫﻨﺪﺳــﻲ ﻳﺘﻜــﻮﻥ ﻣــﻦ ﻭﺟﻬــﲔ ﻋﻠــﻰ‬

‫ﺃﻣﺜﺎﻟﻪ ؟‬

‫ﺷﻜﻞ ﻣﺮﺑﻊ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ‪ ٤‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻭ ﺃﺭﺑﻌـﺔ‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪١٣‬‬

‫) ‪٢٠ ( χ‬‬

‫) ‪٢٣ ( β‬‬

‫ﺃﻭﺟﻪ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃﺑﻌﺎﺩ ﻛﻞ ﻣﻨـﻬﺎ ‪ ٤‬ﺳـﻢ ‪‬ﻭ‬

‫‪٢٤‬‬

‫‪ ٨‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻋﻤﻮﺩﻳﺔ ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﳌﺮﺑﻌﲔ ‪ .‬ﻓﻤﺎ ﺣﺠﻢ‬ ‫ﺍ‪‬ﺴﻢ ؟‬ ‫) ‪١٢٨ ( β‬‬ ‫) ‪٣٢ ( δ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪( ١٣‬‬

‫)‪(χ‬‬

‫ﻣﺎ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑـﲔ ﻣﺴـﺎﺣﱵ‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٤٨‬‬

‫‪١٦٠‬‬

‫ﺍﻟــــﺪﺍﺋﺮﺓ ﻭﺍﳌﺮﺑــــﻊ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ ﺇﺫﺍ‬

‫‪( ١٧‬‬

‫ﻛﺎﻥ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ ﺍﳌﺮﺑﻊ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ٤‬ﺳﻢ ؟ )‪( ٢٢٧ = π‬‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸـــــــﻜﻞ‬

‫) ‪٢٠٠ ( δ‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫) ‪٩٠ ( χ‬‬ ‫‪٧‬‬

‫) ‪٦٨ ( β‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫) ‪٢٤ ( α‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪ ( ١٤‬ﻣﺎ ﺳﺮﻋﺔ ﺍﻟﺮﺍﻛﺐ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﻘﻄﻊ ﰲ ‪ ١٧‬ﺳـﺎﻋﺔ‬ ‫‪‬ﻭ ‪ ٥‬ﺩﻗﺎﺋﻖ ﺍﳌﺴﺎﻓﺔ ﻧﻔﺴﻬﺎ ﺍﻟﱵ ﻳﻘﻄﻌﻬﺎ ﺭﺍﻛﺐ ﺁﺧﺮ‬ ‫ﰲ ‪ ١٠‬ﺳﺎﻋﺎﺕ ‪‬ﻭ ‪ ١٥‬ﺩﻗﻴﻘﺔ ﺣﻴﻨﻤـﺎ ﻳﺴـﲑ ﺑﺴـﺮﻋﺔ‬ ‫‪ ٥‬ﻛﻠﻢ ‪ /‬ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٦‬‬

‫)‪٥ ( χ‬‬

‫‪١٤٠‬‬

‫ﻛﺎﻧــﺖ ﻣﺴــﺎﺣﺔ‬

‫ﺍﻟـــــــﺪﺍﺋﺮﺓ ‪τ‬‬ ‫ﺗﺴﺎﻭﻱ ‪ π‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫ﻓﻜﻢ ﻃﻮﻝ ]‪ [κε‬؟ ) ﻣﻼﺣﻈﺔ ‪ :‬ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻜـﺒﲑﺓ‬ ‫‪،κ‬ﰒ ‪µ‬ﰒ ‪ Θ‬ﰒ ‪(τ‬‬ ‫)‪٤ (β‬‬ ‫)‪١ (δ‬‬ ‫)‪٨ (α‬‬ ‫)‪٢ ( χ‬‬

‫)‪٤ (β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪ ( ١٥‬ﲬﺴﺔ ﻋﻤﺎﻝ ﻳﻨﺘﺠﻮﻥ ‪ ٥‬ﺻﻨﺎﺩﻳﻖ ﰲ ‪ ٥‬ﺩﻗـﺎﺋﻖ‬ ‫ﻛﻢ ﺻﻨﺪﻭﻗ ﹰﺎ ﻳﻨﺘﺞ ‪ ١٠‬ﻋﻤﺎﻝ ﰲ ‪ ١٠‬ﺳﺎﻋﺎﺕ ؟‬ ‫) ‪٦٠٠ ( β‬‬ ‫) ‪٣٠٠ ( δ‬‬

‫) ‪٥٠٠ ( χ‬‬

‫ﺍ‪‬ــــــــﺎﻭﺭ ﺇﺫﺍ‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٢٠٠‬‬

‫‪ ( ١٨‬ﻣﻴﻞ ﺍﳌﺴـﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻌﻤـﻮﺩﻱ ﻋﻠـﻰ ﺍﳌﺴـﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌـﺎﺭ‬

‫ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﲔ ) ‪ ( ١،٠ ) ، (٠،٣‬ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪:‬‬ ‫)‪١ (β‬‬ ‫‪٣−‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫)‪١ − ( χ‬‬ ‫)‪٣ (α‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪١‬‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻲ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪ ( ١٩‬ﺗﻘﻀﻲ ﻧـﻮﺍﻝ ﺛﻠـﺚ ﺍﻟﻴـﻮﻡ ﰲ ﺍﻟﻨـﻮﻡ ‪‬ﻭ ﺭﺑﻌـﻪ ﰲ‬

‫ﺛﺎﻧﻴ ﹰﺎ ‪ :‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ) ‪( ٢٥ – ٢٢‬‬

‫ﺍﳌﺪﺭﺳﺔ ‪ .‬ﻓﻤﺎ ﻫﻮ ﺍﻟﻜﺴﺮ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﻌﱪ ﻋﻦ ﻣﺎ ﺗﻘﻀﻴﻪ‬

‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ‪ :‬ﰲ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬

‫ﻧﻮﺍﻝ ﰲ ﺑﻘﻴﺔ ﺍﻟﻴﻮﻡ ﻣﻦ ﺃﻋﻤﺎﻝ ؟‬ ‫‪١÷ ١‬‬ ‫) ‪١ + ١ −١ ( β‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫‪٤ ٣‬‬ ‫‪٤ ٣‬‬ ‫)‪١ + ١ (α‬‬ ‫)‪١ ÷ ١ (χ‬‬ ‫‪٤ ٣‬‬ ‫‪٣ ٤‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪ (٢٠‬ﺍﺷﺘﺮﻯ ﺣﺴﲔ ﺣﻘﻴﺒﺘﲔ ﺍﻷﻭﱃ ﺳﻌﺮﻫﺎ ‪ ٧٥‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ‬ ‫ﻭﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺳـﻌﺮﻫﺎ ﺃﻗـﻞ ﻣـﻦ ﺍﻷﻭﱃ ﲟﺒﻠـﻎ ‪ ٥٠‬ﺭﻳـﺎ ﹰﻻ‬ ‫ﻓﻜﻢ ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ﺩﻓﻊ ﲦﻨ ﹰﺎ ﻟﻠﺤﻘﻴﺒﺘﲔ ؟‬ ‫)‪(β‬‬ ‫) ‪١٢٥ ( δ‬‬

‫‪٩٨‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٩٦‬‬

‫) ‪١٠٠ ( χ‬‬

‫‪ (٢١‬ﺗﻨﻄﻠﻖ ﺳﻴﺎﺭﺗﲔ ﰲ ﺍﲡﺎﻫﲔ ﳐﺘﻠﻔﲔ ﰲ ﻧﻔـﺲ‬ ‫ﺍﻟﻮﻗــﺖ ‪ ،‬ﺍﻷﻭﱃ ﺑﺴــﺮﻋﺔ ‪ ٩٥‬ﻛﻠــﻢ ‪ /‬ﺍﻟﺴــﺎﻋﺔ ‪،‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﺴﺮﻋﺔ ‪ ٧٥‬ﻛﻠﻢ ‪ /‬ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ‪ .‬ﻓﻤﺎ ﺍﳌﺴـﺎﻓﺔ‬ ‫ﺑــﲔ ﺍﻟﺴــﻴﺎﺭﺗﲔ ) ﺑــﺎﻟﻜﻴﻠﻮﻣﺘﺮ ( ﺑﻌــﺪ ﺳــﺎﻋﺔ ﻣــﻦ‬ ‫ﺍﻧﻄﻼﻗﻬﻤﺎ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٥‬‬

‫) ‪١٠ ( χ‬‬

‫) ‪٢٠ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٧٠‬‬

‫ﺍﻧﺘﻬﺖ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ ﻟﻠﻘﺴﻢ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫ﺍﻵﻥ ﺍﻧﺘﻘﻞ ﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ‬

‫‪( ٢٢‬‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫ﳏﻴﻂ ﺍﻟﺸﻜﻞ‬

‫ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪αβχδ‬‬

‫‪٣٥‬‬

‫‪( ٢٣‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪١‬‬ ‫‪١ +١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪٨‬‬

‫‪١٤١‬‬

‫ﻧﻤﻮﺫﺝ )‪(٤‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪ ( ٢٤‬ﺻــﻨﺪﻭﻗﺎ ﺗﻔــﺎﺡ ﺑﻜــﻞ ﻭﺍﺣــﺪ ﻣﻨــﻬﻤﺎ ‪١٠٠‬‬ ‫ﺗﻔﺎﺣﺔ ‪ .‬ﺇﺫﺍ ﺃﺧﺬ ﺧﺎﻟﺪ ﻣﻦ ﺃﺣﺪﳘﺎ ‪ ⊆ ٣٠‬ﻣﻦ ﺍﻟﺘﻔﺎﺡ‬ ‫ﻭﺃﺧﺬ ﺃﲪﺪ ‪ ٠٫٣‬ﻣﻦ ﺍﻟﺼﻨﺪﻭﻕ ﺍﻵﺧﺮ ‪.‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ ﻣﺎ ﺃﺧﺬﻩ‬ ‫ﺃﲪﺪ‬

‫ﺧﺎﻟﺪ‬

‫‪ ( ٢٥‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪٩ = λ ،٣ = ε‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫∂‪λ‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪ε‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪١٤٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻲ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ‪ :‬ﺍﻟﺜﺎﱐ‬

‫ﻳﺘﻜﻮﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻘﺴﻢ ﻣـﻦ ‪ ٢٥‬ﺳـﺆﺍ ﹰﻻ ﻣﻮﺿـﻮﻋﻴ ﹰﺎ ﻣﻨـﻬﺎ ‪ ٢٠‬ﺳـﺆﺍ ﹰﻻ ﻣـﻦ ﻧـﻮﻉ‬

‫ﺍﻟﺰﻣﻦ ‪ ٣٠ :‬ﺩﻗﻴﻘﺔ‬

‫ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ ‪‬ﻭ ‪ ٥‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﻣﻦ ﻧﻮﻉ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺎﺕ ‪ .‬ﻭﻫﻨـﺎﻙ ﺇﺟﺎﺑـﺔ ﺻـﺤﻴﺤﺔ‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ‪ ٢٥ :‬ﺳﺆﺍﻝ‬

‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ‪:‬‬ ‫‪ – ٣‬ﲨﻴﻊ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩﺓ ﻫﻲ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ‪.‬‬

‫‪ -١‬ﻏﲑ ﻣﺴﻤﻮﺡ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﳊﺎﺳﺒﺔ‬

‫ﻣﺎ ﱂ ﻳﺬﻛﺮ ﺧﻼﻑ ﺫﻟﻚ‬

‫ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻭﺃﺷﻜﺎﻝ ﻫﻨﺪﺳﻴﺔ ﳝﻜﻨﻚ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻬﺎ ﺇﻥ ﺍﺣﺘﺠﺖ ﳍﺎ ‪:‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ‪λε‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ‪π٢Ω‬‬ ‫ﺍﶈﻴﻂ = ‪πΩ٢‬‬

‫ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ‬

‫= ‪°١٨٠‬‬

‫ﺍﶈﻴﻂ = ‪(λ + ε) ٢‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ‬

‫ﺍﳊﺠﻢ = ‪Ψελ‬‬

‫ﺍﳊﺠﻢ = ‪ςπ٢Ω‬‬

‫‪αδ × χβ‬‬ ‫=‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ‬

‫ﻣﺜﻠﺚ‬

‫ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ‬

‫ﺛﻼﺛﻴﲏ – ﺳﺘﻴﲏ‬

‫ﺍﻟﺴﺎﻗﲔ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺃﻭ ﹰﻻ ‪ :‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ‬ ‫ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪ ٢٠‬ﺳﺆﺍ ﹰﻻ )‪ ،(٢٠ - ١‬ﻳﺘﺒﻊ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﺃﺭﺑﻌﺔ‬ ‫ﺍﺧﺘﻴﺎﺭﺍﺕ ‪ .‬ﺍﺧﺘﺮ ﻣـﻦ ﺑﻴﻨـﻬﺎ ﺍﻹﺟﺎﺑـﺔ ﺍﻟﺼـﺤﻴﺤﺔ ﰒ‬ ‫ﻇﻠﻞ ﺣﺮﻑ ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ ﳍﺎ ﰲ ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ‪.‬‬

‫ﺍﻟﺘﺸﺎﺑﻪ ‪.‬‬

‫‪ ( ١‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧــﺖ ﺗﻜﻠﻔــﺔ ‪ ٧‬ﺃﺛــﻮﺍﺏ ‪ ٥٦٠‬ﺭﻳــﺎ ﹰﻻ ‪،‬‬ ‫ﻓﻜﻢ ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ﺗﻜﻠﻔﺔ ﺛﻮﺑﲔ ؟‬ ‫) ‪١٥٠ ( β‬‬ ‫) ‪١٧٠ ( δ‬‬

‫) ‪١٦٠ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٤٠‬‬

‫‪١٤٣‬‬

‫ﻧﻤﻮﺫﺝ )‪(٤‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪ ( ٢‬ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍ‪‬ـﺎﻭﺭ‬

‫‪ ( ٥‬ﺇﺫﺍ ﻛــﺎﻥ ‪ ⊆ ٥‬ﻣــﻦ ﻃــﻼﺏ ﺇﺣــﺪﻯ ﺍﳉﺎﻣﻌــﺎﺕ‬

‫ﻛـــﻢ ﻃـــﻮﻝ ﺍﻟﻘﻄﻌـــﺔ‬

‫ﻣﺴــﺠﻠﲔ ﰲ ﻗﺴــﻢ ﺍﻟﻜﻴﻤﻴــﺎﺀ ‪ ،‬ﻭ ‪ ⊆١٥‬ﰲ ﻗﺴــﻢ‬

‫ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ؟‬

‫ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ ،‬ﻭﻛﺎﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻄﻼﺏ ﺍﳌﺴـﺠﻠﲔ ‪٢٢٠‬‬ ‫ﻃﺎﻟﺒـ ﹰﺎ ‪ .‬ﻓﻜــﻢ ﻋــﺪﺩ ﺍﻟﻄــﻼﺏ ﺍﳌﺴــﺠﻠﲔ ﰲ ﺑﻘﻴــﺔ‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٥‬‬

‫)‪٤ ( χ‬‬

‫)‪٣ (β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١‬‬

‫‪ ( ٣‬ﺇﺫﺍ ﻛـــــــﺎﻥ ‪ λ + ε = µ‬ﺣﻴـــــــﺚ‬ ‫‪١ + ١‬‬ ‫‪λ ε‬‬ ‫‪ ، ٥ = λ ،٣ = ε‬ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤﺔ ‪ µ‬؟‬ ‫) ‪١٥ ( β‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫)‪(δ‬‬

‫) ‪١٠ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٢٥‬‬

‫‪(٤‬‬

‫ﺍﻷﻗﺴﺎﻡ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪١٢٠‬‬

‫) ‪١٤٠ ( χ‬‬

‫) ‪١٧٦ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٨٠‬‬

‫‪ ( ٦‬ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺪﻭﺭﻱ ‪ ٠٫٣١٧٥٢‬ﻳﺘﻜﺮﺭ ﺇﱃ ﻣﺎ ﻻ‪‬ﺎﻳﺔ‬ ‫ﻓﺄﻱ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﳝﺜﻞ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﳌﻮﺟـﻮﺩ ﰲ ﺍﳋﺎﻧـﺔ‬ ‫ﺭﻗﻢ ‪ ٩٦٨‬؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪١‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪٣‬‬

‫)‪٥ (β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٧‬‬

‫‪ ( ٧‬ﻟﺪﻯ ﺃﻡ ﺧﺎﻟـﺪ ‪ ١٠٠‬ﺭﻳـﺎﻝ ‪ ،‬ﺍﺷـﺘﺮﺕ ﺣﺎﺟﻴـﺎﺕ‬ ‫ﰲ ﺍﻟﺸــﻜﻞ ﺃﻋــﻼﻩ ‪ ،‬ﺇﺫﺍ ﻛــﺎﻥ ﻣﺘﻮﺳــﻂ ﻃــﻮﻝ‬

‫ﺍﻟﻘﻄﻌﺘﲔ ⎤‪ [βχ]،⎡χδ‬ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ٦٥‬ﺳﻢ ‪ .‬ﻓﻜﻢ‬ ‫⎦ ⎣‬ ‫ﻃﻮﻝ ]‪ [βχ‬؟‬ ‫) ‪٧٨ ( β‬‬ ‫) ‪٥٢ ( δ‬‬

‫) ‪٦٥ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٣٠‬‬

‫ﲟﺒﻠﻎ ‪ ٤٠‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ‪ .‬ﻛﻢ ﻋﺪﺩ ﺍﳌﺮﻃﺒﺎﺕ ﺍﻟـﱵ ﳝﻜـﻦ‬ ‫ﺷﺮﺍﺅﻫﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﲦﻦ ﺍﻟﻌﻠﺒﺔ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪﺓ ‪ ٤‬ﺭﻳﺎﻻﺕ ؟‬ ‫) ‪٢٥ ( β‬‬ ‫) ‪١٥ ( δ‬‬

‫) ‪٢٠ ( χ‬‬

‫‪ ( ٨‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﺸﻤﺲ ‪ ، °٣٠‬ﻭﻃـﻮﻝ‬ ‫ﻇﻞ ﺍﻟﻨﺨﻠﺔ ‪ ٣ ∂٤٠‬ﻡ ‪ .‬ﻛﻢ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻨﺨﻠﺔ ؟‬ ‫) ‪٣٥ ( β‬‬ ‫) ‪٢٠ ( δ‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪١٤٤‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٣٠‬‬

‫‪٢٣‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٤٠‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻲ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪ ( ٩‬ﻣﺜﻠــﺚ ﺯﺍﻭﻳﺘــﻪ ﺍﻷﻭﱃ ﺗﺴــﺎﻭﻱ ‪ ، °٦٥‬ﻭﺯﺍﻭﻳﺘــﻪ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺗﺴﺎﻭﻱ ‪ . °ι‬ﻓﻜﻢ ﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺘﻪ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ؟‬

‫‪(ι − ٦٥) − ١٨٠ (δ‬‬ ‫‪١٨٠ − ι + ٦٥ ( χ‬‬ ‫‪ι − ١١٥ ( β‬‬ ‫‪( ι + ٦٥ + ١١٥) − ٣٦٠ (α‬‬

‫‪ ( ١٠‬ﺇﺫﺍ ﻛــﺎﻥ ﻋﻤــﺮﻱ ﺑﻌــﺪ ‪ ١٠‬ﺳــﻨﻮﺍﺕ ﻳﺴــﺎﻭﻱ‬ ‫ﺿﻌﻒ ﻋﻤﺮﻱ ﻣﻨﺬ ‪ ٢٠‬ﺳﻨﺔ ‪ .‬ﻓﻤﺎ ﻋﻤﺮﻱ ﺍﻵﻥ ؟‬ ‫) ‪٥٠ ( β‬‬ ‫) ‪٢٥ ( δ‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪٤٥‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٦٠‬‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫‪( ١٣‬‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃﻋﻼﻩ ‪ ،‬ﻣﺎ ﳎﻤﻮﻉ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺘﲔ ‪ ١‬ﻭ‬ ‫ ‪ ٢‬؟‬ ‫) ‪°١٤٣ ( β‬‬ ‫) ‪°٢٢٠ ( δ‬‬

‫) ‪°١٥٠ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪°١٤٢٫٥‬‬

‫‪ ( ١٤‬ﺻــﻨﺪﻭﻕ ﳛﺘــﻮﻱ ﻋﻠــﻰ ﺗﻔــﺎﺡ ﻭﺑﺮﺗﻘــﺎﻝ ‪ ،‬ﺇﺫﺍ‬

‫ﻣــﺎ ﻧﺴــﺒﺔ ﻣﺴــﺎﺣﺔ‬

‫ﺳﺤﺒﻨﺎ ﻣﻦ ﺍﻟﺼـﻨﺪﻭﻕ ﺣﺒـﺔ ﻋﺸـﻮﺍﺋﻴ ﹰﺎ ﻓﺎﺣﺘﻤـﺎﻝ ﺃﻥ‬ ‫ﺗﻜﻮﻥ ﺗﻔﺎﺣﺔ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ، ٢‬ﻓﺈﺫﺍ ﻋﻠﻤـﺖ ﺑـﺄﻥ ﻋـﺪﺩ‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻔﺎﺡ ﰲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺼﻨﺪﻭﻕ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ١٢‬ﺗﻔﺎﺣﺔ ‪ .‬ﻓﻜـﻢ‬

‫ﺍﳌﺜﻠــﺚ ﺍﻟﺼــﻐﲑ ﺇﱃ‬

‫ﺑﺮﺗﻘﺎﻟﺔ ﻓﻴﻪ ؟‬

‫‪( ١١‬‬ ‫ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ ‪،‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫ﻣﺴــــﺎﺣﺔ ﺍﳌﺜﻠــــﺚ‬

‫‪٣‬‬

‫)‪٦ (χ‬‬

‫ﺍﻟﻜﺒﲑ ؟‬ ‫) ‪٣ :١ ( δ‬‬

‫) ‪٩:٤ ( β‬‬

‫)‪٣ :٢ (χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫)‪٩ (β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٢‬‬

‫‪٩: ٦‬‬

‫‪ ( ١٥‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻣﺴـﺎﺣﺔ ﻛـﻞ ﻭﺟﻬـﺔ ﻣـﻦ ﺃﻭﺟﻬـﺔ‬

‫‪ ( ١٢‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻸﻋﺪﺍﺩ ‪:‬‬

‫ﺍﳌﻜﻌــﺐ ﻳﺴــﺎﻭﻱ ‪ ٦٤‬ﺳــﻢ ‪ . ٢‬ﻓﻜــﻢ ﺣﺠﻤــﻪ‬ ‫ﺑﺎﻟﺴﻨﺘﻴﻤﺘﺮ ﺍﳌﻜﻌﺐ ؟‬ ‫) ‪٤٠٠ ( β‬‬ ‫) ‪٢٥٦ ( δ‬‬

‫‪ ٥ + ε،١+ ε ،ε‬ﻳﺴـــﺎﻭﻱ ‪ ٦‬ﻓـــﺈﻥ ﺍﻟﻮﺳـــﻴﻂ‬ ‫ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪:‬‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٤‬‬

‫)‪٥ (χ‬‬

‫)‪٦ (β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫) ‪٣٨٤ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٥١٢‬‬

‫‪٩‬‬ ‫‪١٤٥‬‬

‫ﻧﻤﻮﺫﺝ )‪(٤‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪ ( ١٦‬ﰲ ﺍﻟﺸــــــﻜﻞ‬

‫‪ ( ٢٠‬ﺗﻘﻄﻊ ﺳـﻴﺎﺭﺓ ﻧﺼـﻒ ﻃﺮﻳـﻖ ﻃﻮﻟـﻪ ‪ ٤٠‬ﻛﻠـﻢ‬

‫ﺍﳌﻘﺎﺑـــﻞ ﻣـــﺎ ﻗﻴـــﺎﺱ‬

‫ﺑﺴﺮﻋﺔ ‪ ٤٠‬ﻛﻠﻢ ‪ /‬ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ‪ .‬ﻭﺗﻘﻄﻊ ﺑﻘﻴﺘﻪ ﺑﺴـﺮﻋﺔ‬

‫ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟـﱵ ﻳﺼـﻨﻌﻬﺎ‬

‫‪ ٦٠‬ﻛﻠﻢ ‪ /‬ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ‪ .‬ﻓﻜﻢ ﺩﻗﻴﻘﺔ ﺗﺴـﺘﻐﺮﻕ ﻟﻘﻄـﻊ‬ ‫ﻼ؟‬ ‫ﺍﻟﻄﺮﻳﻖ ﻛﺎﻣ ﹰ‬ ‫) ‪٥٠ ( β‬‬ ‫) ‪٤٠ ( δ‬‬

‫ﻋﻘــﺮﺏ ﺍﻟــﺪﻗﺎﺋﻖ ﻣــﻊ‬ ‫ﻋﻘﺮﺏ ﺍﻟﺴﺎﻋﺎﺕ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪°٩٥‬‬

‫)‪(χ‬‬

‫‪°١١٧٫٥‬‬

‫) ‪°١٢٠ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪ ٧٩−‬ﻭ ‪ ٨٠‬؟‬ ‫) ‪٠٫٥ ( δ‬‬

‫) ‪٤٠ ( β‬‬

‫)‪١ (χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫ﻓﻤــﺎ ﻗﻴﻤــﺔ‬

‫‪٧٢‬‬

‫‪ ( ١٩‬ﺻﻨﺪﻭﻕ ﳛﺘﻮﻱ ﻋﻠﻰ ‪ ٣٥‬ﻛﺮﺓ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺇﻻ ﻣﻦ‬ ‫ﺣﻴﺚ ﺍﻟﻠﻮﻥ ‪ ،‬ﺇﺫﺍ ﺳﺤﺒﻨﺎ ﻛﺮﺓ ﻋﺸﻮﺍﺋﻴ ﹰﺎ ﻓﺈﻥ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ‬ ‫ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ ﲪﺮﺍﺀ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ . ٣‬ﻛﻢ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻜـﺮﺍﺕ‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﻏﲑ ﺍﳊﻤﺮﺍﺀ ﺑﺎﻟﺼﻨﺪﻭﻕ ؟‬ ‫) ‪٢١ ( β‬‬ ‫)‪٧ (δ‬‬

‫) ‪١٤ ( χ‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٣٠‬‬

‫ﺛﺎﻧﻴ ﹰﺎ ‪ :‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ) ‪( ٢٥ – ٢١‬‬ ‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ‪ :‬ﰲ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬

‫) ‪٤٥ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫ﺍﻧﺘﻬﺖ ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ ﻟﻠﻘﺴﻢ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫ﺍﻵﻥ ﺍﻧﺘﻘﻞ ﻷﺳﺌﻠﺔ ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ‪.‬‬

‫‪١٦٠‬‬

‫⎫‪λ=ε‬‬ ‫‪ ( ١٨‬ﺇﺫﺍ ﻛــﺎﻥ ⎬‬ ‫⎭ ‪٢٧ = λ٥ − ε٨‬‬ ‫‪٢٧‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫)‪٩ (χ‬‬

‫‪٤٥‬‬

‫‪°١٢٥‬‬

‫‪ ( ١٧‬ﻣﺎ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻸﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼـﺤﻴﺤﺔ ﺑـﲔ‬

‫‪ λ٥‬؟‬

‫)‪( χ‬‬

‫ﺻﻴﻐﺘﺎﻥ ‪ ،‬ﻭﺍﺣـﺪﺓ ﰲ ﺍﻟﻌﻤـﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪ ،‬ﻭﺍﻷﺧـﺮﻯ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜـﺎﱐ ‪ ،‬ﻗـﺎﺭﻥ ﺑـﲔ ﺍﻟﺼـﻴﻐﺘﲔ ﰒ ﻇﻠـﻞ ﰲ‬ ‫ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﳊﺮﻑ‪:‬‬

‫‪ ( δ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﻣﻨﻬﺎ‬ ‫ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬

‫‪ ( χ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺼـﻴﻐﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﻤـﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﺻـﻐﺮ‬ ‫ﻣﻨﻬﺎ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬

‫‪ (β‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﺼﻴﻐﺘﺎﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﲔ‬

‫‪ ( α‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧــﺖ ﺍﳌﻌﻠﻮﻣــﺎﺕ ﺍﳌﻌﻄــﺎﺓ ﻏــﲑ ﻛﺎﻓﻴــﺔ‬ ‫ﻟﻠﻤﻘﺎﺭﻧﺔ‪.‬‬ ‫‪( ٢١‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪١٠× ٤ × ٦٣‬‬ ‫‪١٤٦‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪٥٥‬‬

‫‪٩× ٨ × ٥ × ٧‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻲ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪ ( ٢٢‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪٠ λ ،٠ ε‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪λε‬‬

‫‪( ٢٥‬‬ ‫‪ε−‬‬ ‫‪λ‬‬

‫‪(٢٣‬‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃﻋﻼﻩ ‪ ،‬ﳏﻴﻂ ﺍﻟـﺪﺍﺋﺮﺓ )‪ ( β‬ﻳﺴـﺎﻭﻱ‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬ ‫‪ε‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫‪٦٤‬‬

‫‪ π١٢‬ﺳــﻢ ‪ ،‬ﻭﳏــﻴﻂ ﺍﻟــﺪﺍﺋﺮﺓ )‪ = ( χ‬ﳏــﻴﻂ‬

‫ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ )‪ π٨ = (δ‬ﺳﻢ‬

‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪( ٢٤‬‬

‫‪βχ‬‬

‫‪χδ‬‬

‫ﺗﻮﻗﻒ !‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻭﺻﻠﺖ ﻫﻨﺎ ﻗﺒﻞ ‪‬ﺎﻳـﺔ ﺍﻟﻮﻗـﺖ‬ ‫ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃﻋﻼﻩ ﺷﺒﻪ ﻣﻨﺤﺮﻑ ﻓﻴﻪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ‬ ‫ﺍﳌﻈﻠﻠﺔ ﺗﺴﺎﻭﻱ ‪ ٢٤‬ﺳﻢ ‪. ٢‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺑﲔ‬

‫‪ακ‬‬

‫ﺍﳌﺨﺼﺺ ﳍـﺬﺍ ﺍﻟﻘﺴـﻢ ﳝﻜﻨـﻚ‬ ‫ﻣﺮﺍﺟﻌــﺔ ﺇﺟﺎﺑﺎﺗــﻚ ﻭﳚــﺐ ﻋــﺪﻡ‬ ‫ﺍﻻﻧﺘﻘﺎﻝ ﻟﻠﻘﺴﻢ ﺍﻟﺘﺎﱄ ﻗﺒـﻞ ‪‬ﺎﻳـﺔ‬ ‫ﺍﻟﻮﻗﺖ ‪.‬‬

‫‪βα + γκ‬‬

‫‪١٤٧‬‬

‫ﻧﻤﻮﺫﺝ )‪(٤‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ‪ :‬ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫ﻳﺘﻜﻮﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻘﺴﻢ ﻣﻦ ‪ ١٠‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﻣﻮﺿﻮﻋﻴﺔ ﻣﻦ ﻧﻮﻉ ﺍﻻﺧﺘﻴـﺎﺭ ﻣـﻦ ﻣﺘﻌـﺪﺩ‬

‫ﺍﻟﺰﻣﻦ ‪ ١٥ :‬ﺩﻗﻴﻘﺔ‬

‫ﻭﻫﻨﺎﻙ ﺇﺟﺎﺑﺔ ﺻﺤﻴﺤﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﻟﻜﻞ ﺳﺆﺍﻝ ﻇﻠﻞ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﰲ ﻭﺭﻗﺔ‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ‪ ١٠ :‬ﺃﺳﺌﻠﺔ‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﳌﺨﺼﺺ ﳍﺬﺍ ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺑﻮﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ‪.‬‬

‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ﻋﺎﻣﺔ ‪:‬‬ ‫‪–٣‬ﲨﻴﻊ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻮﺍﺭﺩﺓ ﻫﻲ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ‪.‬‬

‫‪ -١‬ﻏﲑ ﻣﺴﻤﻮﺡ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﳊﺎﺳﺒﺔ‬

‫ﻣﺎ ﱂ ﻳﺬﻛﺮ ﺧﻼﻑ ﺫﻟﻚ‬

‫ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺕ ﻭﺃﺷﻜﺎﻝ ﻫﻨﺪﺳﻴﺔ ﳝﻜﻨﻚ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻬﺎ ﺇﻥ ﺍﺣﺘﺠﺖ ﳍﺎ ‪:‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ‪λε‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ‪π٢Ω‬‬ ‫ﺍﶈﻴﻂ = ‪πΩ٢‬‬

‫ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ‬

‫= ‪°١٨٠‬‬

‫ﺍﶈﻴﻂ = ‪(λ + ε) ٢‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ‬

‫ﺍﳊﺠﻢ = ‪Ψελ‬‬

‫ﺍﳊﺠﻢ = ‪ςπ٢Ω‬‬

‫‪αδ × χβ‬‬ ‫=‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻣﺜﻠﺚ‬

‫ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ‬

‫ﺛﻼﺛﻴﲏ – ﺳﺘﻴﲏ‬

‫ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ‬

‫ﺍﻟﺴﺎﻗﲔ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﺗﺸﺎﺑﻪ ﻣﻀﻠﻌﺎﻥ ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﲔ ﻣﺴﺎﺣﺘﻴﻬﻤﺎ ﺗﺴﺎﻭﻱ ﻣﺮﺑﻊ ﻧﺴﺒﺔ‬

‫‪βδ +٢ βχ =٢ χδ‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺃﻭ ﹰﻻ ‪ :‬ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﻻﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ‬ ‫ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠـﻲ ‪ ١٠‬ﺃﺳـﺌﻠﺔ )‪ ،( ١٠ – ١‬ﻳﺘﺒـﻊ ﻛـﻞ ﻣﻨـﻬﺎ‬ ‫ﺃﺭﺑﻌﺔ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭﺍﺕ ‪ .‬ﺍﺧﺘﺮ ﻣﻦ ﺑﻴﻨﻬﺎ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﰒ ﻇﻠﻞ ﺣﺮﻑ ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ ﳍﺎ ﰲ ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ‪.‬‬ ‫‪ (١‬ﺻﻨﺪﻭﻕ ﺑﺪﺍﺧﻠﻪ ﺛﻼﺛـﺔ ﺻـﻨﺎﺩﻳﻖ ﰲ ﻛـﻞ ﻣﻨـﻬﺎ‬ ‫ﺛﻼﺛﺔ ﺻﻨﺎﺩﻳﻖ ‪ .‬ﻣﺎ ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﺼﻨﺎﺩﻳﻖ ؟‬ ‫) ‪١٢ ( β‬‬ ‫) ‪١٠ ( δ‬‬

‫) ‪١١ ( χ‬‬

‫‪١٤٨‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٣‬‬

‫ﺍﻟﺘﺸﺎﺑﻪ ‪.‬‬

‫‪ (٢‬ﺧﺰﺍﻥ ﳛﻤﻞ ‪ ٣ κ٣‬ﻣﻦ ﺍﳌﺎﺀ ‪ .‬ﻛﻢ ﺧـﺰﺍﻥ ﻳﻠﺰﻣﻨـﺎ‬ ‫ﳊﻤﻞ ‪ ٣ κ١٥‬؟‬ ‫)‪٥ (β‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫)‪(δ‬‬

‫)‪٤ (χ‬‬

‫‪ (٣‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪µ = ٣‬‬ ‫‪١+ε‬‬ ‫‪µ‬‬ ‫)‪(δ‬‬ ‫‪٢+ε‬‬ ‫)‪µ (χ‬‬

‫)‪(α‬‬ ‫‪ε‬‬

‫‪٦‬‬

‫ﻓﺈﻥ ‪= µ٣‬‬ ‫‪٣+ε‬‬ ‫)‪µ (β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪µ‬‬

‫‪ε٣‬‬

‫‪٣‬‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫ﺍﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻲ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫‪ (٤‬ﺍﻧﻄﻠﻘــــﺖ ﺳــــﻴﺎﺭﺗﺎﻥ ﺍﻷﻭﱃ ﺑﺴــــﺮﻋﺔ ‪١٠٠‬‬ ‫ﻛﻠـــﻢ ‪ /‬ﺍﻟﺴـــﺎﻋﺔ ‪ ،‬ﻭﺍﻷﺧـــﺮﻯ ﺑﺴـــﺮﻋﺔ ‪١٢٠‬‬

‫‪ (٨‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ‪ ١٢‬ﻇﻬـﺮﹰﺍ ﰲ ﺍﳌﺪﻳﻨـﺔ ‪δ‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ﰲ ﺍﳌﺪﻳﻨﺔ ‪ χ‬ﺗﻜﻮﻥ ‪ ٩‬ﺻﺒﺎﺣ ﹰﺎ ‪ .‬ﻓﺈﺫﺍ‬

‫ﻛﻠﻢ ‪ /‬ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ‪ .‬ﺑﻌﺪ ﻛـﻢ ﺳـﺎﻋﺔ ﻳﺼـﺒﺢ ﺍﻟﻔـﺎﺭﻕ‬

‫ﺃﻗﻠﻌـﺖ ﻃــﺎﺋﺮﺓ ﻣـﻦ ﺍﳌﺪﻳﻨــﺔ ‪ δ‬ﺍﻟﺴـﺎﻋﺔ ‪ ٧‬ﺻــﺒﺎﺣ ﹰﺎ‬ ‫ﺑﺘﻮﻗﻴﺖ ﺍﳌﺪﻳﻨﺔ ‪ δ‬ﻭﻭﺻﻠﺖ ﺍﳌﺪﻳﻨـﺔ ‪ χ‬ﺍﻟﺴـﺎﻋﺔ ‪١٠‬‬

‫ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ‪ ٢٠‬ﻛﻠﻢ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪١‬‬

‫)‪٢ ( χ‬‬

‫)‪٥ (β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٠‬‬

‫‪ (٥‬ﻣﺎ ﻣﻌﺪﻝ ﻃﺎﻟﺐ ﺣﺼﻞ ﻋﻠﻰ ‪ ⊆ ٧٥‬ﰲ ﻣﺎﺩﺓ ﺗﻮﺯﻥ‬ ‫ﺑﻀﻌﻔﲔ ) ﺃﻱ ﻛﻤـﺎﺩﺗﲔ ( ﻭﺣﺼـﻞ ﻋﻠـﻰ ‪ ⊆ ٩٠‬ﰲ‬ ‫ﺍﳌﺎﺩﺓ ﺍﻷﺧﺮﻯ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪⊆ ٩٠‬‬

‫) ‪⊆ ٨٠ ( β‬‬

‫)‪(χ‬‬

‫‪⊆ ٨٥‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪⊆ ٧٥‬‬

‫‪ ⊆ ٥ (٦‬ﻣﻦ ﻋﺪﺩ )‪ (κ‬ﺗﺴﺎﻭﻱ ‪ ⊆١٠‬ﻣﻦ ﻋﺪﺩ ) ‪( ι‬‬ ‫‪ .‬ﻓﻤﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﳌﺌﻮﻳﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ )‪ (κ‬ﺑﺎﻟﻨﺴـﺒﺔ ﻟﻠﻌـﺪﺩ‬ ‫)‪ (ι‬؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫ﺍﻟﻨﺼﻒ‬

‫) ‪ ( χ‬ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ‬

‫) ‪ ( β‬ﺍﻟﻀﻌﻒ‬

‫)‪(α‬‬

‫ﻻ ﳝﻜــــــﻦ‬ ‫ﺍﻟﺘﺤﺪﻳﺪ‬

‫‪ (٧‬ﺇﺫﺍ ﻭﺯﻋﻨﺎ ‪ ٤٥‬ﻣﺮﺑﻌ ﹰﺎ ﻋﻠﻰ ﻋـﺪﺩ ﻣـﻦ ﺍﻟﺼـﻔﻮﻑ‬ ‫ﲝﻴﺚ ﳛﻮﻱ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﺮﺑﻌ ﹰﺎ ﻭﺍﺣـﺪﹰﺍ ‪ ،‬ﻭﺍﻟﺼـﻒ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﱐ ﻣﺮﺑﻌﲔ ‪ ،‬ﻭﺍﻟﺼﻒ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺛﻼﺛـﺔ ﻣﺮﺑﻌـﺎﺕ ‪....‬‬ ‫ﻭﻫﻜﺬﺍ ‪ ،‬ﻓﻜﻢ ﻳﻜﻮﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﳌﺮﺑﻌـﺎﺕ ﰲ ﺍﻟﺼـﻒ‬ ‫ﺍﻷﺧﲑ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٨‬‬

‫)‪٩ (χ‬‬

‫) ‪١٠ ( β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫ﺻﺒﺎﺣ ﹰﺎ ﺑﺘﻮﻗﻴﺖ ﺍﳌﺪﻳﻨﺔ ‪ . χ‬ﻓﻜﻢ ﺳﺎﻋﺔ ﺍﺳﺘﻐﺮﻗﺖ‬

‫ﺍﻟﺮﺣﻠﺔ ؟‬

‫)‪(δ‬‬

‫‪٣‬‬

‫)‪٥ (χ‬‬

‫)‪٦ (β‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٠‬‬

‫‪ (٩‬ﺷﺎﺭﻉ ﻃﻮﻟﻪ ‪ ٣٠‬ﻛﻠـﻢ ‪ .‬ﻓﻜـﻢ ﻳﻜـﻮﻥ ﻃﻮﻟـﻪ‬ ‫ﺑﺎﻟﺴﻨﺘﻴﻤﺘﺮ ﻋﻠﻰ ﺧﺎﺭﻃﺔ ﻣﻘﺎﺳﻬﺎ ‪ ١‬؟‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪١٠× ٢‬‬ ‫) ‪١٫٥ ( δ‬‬ ‫) ‪٣٠ ( β‬‬ ‫) ‪١٥٠ ( α‬‬ ‫) ‪١٥ ( χ‬‬ ‫‪ (١٠‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺣﻨﻔﻴﺔ ﲤﻸ ﺧﺰﺍﻥ ﺳـﻌﺘﻪ ‪ ٣ κ٢٤‬ﰲ‬ ‫ﺳﺎﻋﺘﲔ ‪ ،‬ﻭﺣﻨﻔﻴﺔ ﺃﺧـﺮﻯ ﲤـﻸ ﺍﳋـﺰﺍﻥ ﻧﻔﺴـﻪ ﰲ‬ ‫ﺃﺭﺑﻊ ﺳﺎﻋﺎﺕ ‪ .‬ﻓﺈﺫﺍ ﻓﺘﺤـﺖ ﺍﳊﻨﻔﻴـﺘﲔ ﻣﻌـ ﹰﺎ ﻓﻜـﻢ‬ ‫ﻣﺘﺮﹰﺍ ﻣﻜﻌﺒ ﹰﺎ ﲤﻸ ﺍﳊﻨﻔﻴﺔ ﺍﻷﺧﺮﻯ ﻣﻦ ﺍﳋﺰﺍﻥ ؟‬ ‫) ‪١٢ ( β‬‬ ‫)‪٦ (δ‬‬

‫)‪( χ‬‬

‫‪٨‬‬

‫)‪(α‬‬

‫‪١٦‬‬

‫‪١١‬‬

‫‪١٤٩‬‬

‫‪ ٢‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺒﺎﺕ ﺍﻟـﻮﺍﺭﺩﺓ ﺑﺎﻟﻜﺘـﺎﺏ ﻣﺮﺗﺒـﺔ ﺣﺴـﺐ‬ ‫ﻭﺭﻭﺩﻫﺎ‬ ‫ﲨﻴــﻊ ﺍﻟﻔﺮﺍﻏــﺎﺕ ﰲ ﺍﻟﺘــﺪﺭﻳﺒﺎﺕ ﻛﹸﺘﺒــﺖ ﺑــﺎﻟﻠﻮﻥ‬ ‫ﺍﻷﲪﺮ‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪( ١-١‬‬ ‫ﻟﻨﻔـــﺮﺽ ﺃﻥ ﻣـــﺎ ﺣﺼـــﻞ ﻋﻠﻴـــﻪ ﰲ ﺍﻟﻴـــﻮﻡ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫= ‪ ε‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ‬

‫ﳕﺜﻞ ﻣﻌﻄﻴﺎﺕ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﱄ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻴﻮﻡ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﺜﺎﱐ‬

‫ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫‪ε‬‬

‫‪ε٢‬‬

‫‪ε‬‬

‫ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬ ‫‪ε١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫∴‪٤٥ = ε ١ + ε + ε٢ + ε‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٤٥ = ε٩‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٩٠ = ε٩‬‬ ‫‪١٠ = ε‬‬ ‫ﳎﻤﻮﻉ ﻣﺎ ﺣﺼﻞ ﻋﻠﻴﻪ ﰲ ﺍﻟﻴﻮﻣﲔ ﺍﻷﻭﻟﲔ ﻫﻮ ‪:‬‬

‫∴‪ ٣٠ = ٢٠ + ١٠ = ε٢ + ε‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ‪.‬‬ ‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪( ٢-١‬‬ ‫ﻭﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮﺭﺱ ﳒﺪ ﺃﻥ‪:‬‬

‫‪ϖδ‬‬

‫‪٢‬‬

‫= ‪ϖχ + χδ‬‬ ‫= ‪١٤٤ + ٢٥‬‬

‫‪١٤٤ + ٢٥ ∂ = ϖδ‬‬ ‫= ‪١٣‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪δ‬‬ ‫‪١٥٢‬‬

‫ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻮﺗﺮ = ‪ ١٠‬ﻷﻥ‬ ‫‪ ١٠،٨،٦‬ﻫﻲ ﺃﻃﻮﺍﻝ ﺃﺿﻼﻉ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫∵ ‪١٠ = ε٤ ⇐ ١٠ = ε + ε٣‬‬

‫∴ ‪٢٫٥ = ١٠ = ε‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪χ‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪( ٣-١‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪( ٤-١‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪γβ × χδ ١ = βχδ‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫= ‪ ٣٠ = ١٠× ٦ × ١‬ﺳﻢ‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪ωβ × αδ ١ = αβδ‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫= ‪ ٨ = ٤ × ٤ × ١‬ﺳﻢ‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪ ٣٨ = ٨ + ٣٠ = αβχδ‬ﺳﻢ‬ ‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪( ٥-١‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ = ‪ ١٠ = ٥ × ٢‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺘﺎ ﺭﺑﻌـﺎ ﺍﻟـﺪﺍﺋﺮﺗﲔ = ﻣﺴـﺎﺣﺔ ﻧﺼـﻒ ﺩﺍﺋـﺮﺓ‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ‪ ٢‬ﺳﻢ = ‪ π٢ = ٢ ( ٢ )π ١‬ﺳﻢ‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺸـﻜﻞ ﺍﳌﻈﻠـﻞ = ﻣﺴـﺎﺣﺔ ﺍﳌﺴـﺘﻄﻴﻞ ‪−‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻧﺼﻒ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﳌﻈﻠﻞ = ‪π٢ − ١٠‬‬

‫= ‪ ( π − ٥ )٢‬ﺳﻢ‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪χ‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺇﺭﺷﺎﺩﺍﺕ ﺍﻟﺤﻠﻮﻝ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺨﺎﻣﺲ‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪( ٦-١‬‬ ‫∴ ‪٢∂ = αχ ١ = κχ‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻃﻮﻝ ﻗﻄﺮ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ = ‪٢ = πϖ‬‬

‫∴ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ = ‪١ = γκ‬‬ ‫∴ ‪γκ − κχ = γχ‬‬ ‫= ∂‪١ − ٢‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪α‬‬ ‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪( ٧-١‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ =‬ ‫=‬

‫‪( χδ + αβ ) × κδ‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪(٩ + ٤) × ٣‬‬ ‫‪٢‬‬

‫= ‪١٩.٥ = ٣٩‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪δ‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﱐ‬ ‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪( ١-٢‬‬ ‫ﺍﺧﺘﺮ ﺃﺭﺑﻌﺔ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﻓﺮﺩﻳﺔ ﺻﺤﻴﺤﺔ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻭﻟﺘﻜﻦ‪:‬‬ ‫‪ ٧،٥،٣،١‬ﻓﻴﻜﻮﻥ ‪:‬‬

‫‪١٦ = ٧ + ٥ + ٣ +١ = ι‬‬ ‫ﻭﺃﻛﱪ ﻫﺬﻩ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪. ٧‬‬ ‫ﺍﻵﻥ ﻧﻌــﻮﺽ ﻋــﻦ ‪ ١٦ = ι‬ﰲ ﺍﳋﻴــﺎﺭﺍﺕ ﻭﻳﻜــﻮﻥ‬

‫ﺍﺑﺪﺃ ﺑﺎﳋﻴﺎﺭ ‪: α‬‬ ‫‪ ) ٧ = ٢٨ = ١٢ + ١٦ = ١٢ + ι (α‬ﺻﺤﻴﺢ(‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٧ ≠ ١١ = ٢٢ = ٦ + ١٦ = ٦ + ι ( β‬‬ ‫‪٢ ٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٧ ≠ ٥ = ١٠ = ٦ − ١٦ = ٦ − ι ( χ‬‬ ‫‪٢ ٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٧ ≠ ١ = ٤ = ١٢ − ١٦ = ١٢ − ι ( δ‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪α‬‬ ‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪( ٢-٢‬‬ ‫ﺿﻊ ‪ ١ = α‬ﻓﻴﻜﻮﻥ ‪:‬‬ ‫‪٧ = ١ + ٣ = ١ + α٣ = β‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢ ٢‬‬ ‫‪١٥ = ١ + ٧ × ٢ = ١ + β٢ = χ‬‬ ‫‪٢ ٢ ٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٨ = ١٦ = ١ + ١٥ = ١ + χ = δ‬‬ ‫‪٢ ٢ ٢ ٢‬‬ ‫ﺍﻵﻥ ﻋﻮﺽ ﻋﻦ ﻗﻴﻤﺔ ‪ ٨ = δ‬ﰲ ﺍﳋﻴـﺎﺭﺍﺕ ﻭﺃﲝـﺚ‬ ‫ﺃﻳﻬﻢ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪. ١ = α‬‬

‫‪ ) ١ = ٦ = ٢ − ٨ = ٢ − δ ( δ‬ﺻﺢ (‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪١ ≠ ١٣ = ٣ − ١٦ = ٣ − δ٢ ( χ‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪١ ≠ ١٣ = ٣ − ١٦ = ٣ − δ٢ ( β‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١ ≠ ٢٢ = ٢ − ٢٤ = ٢ − δ٣ ( α‬‬ ‫‪١٨‬‬ ‫‪١٨‬‬ ‫‪١٨‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪δ‬‬

‫ﺍﳋﻴﺎﺭ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻫﻮ ﺍﳋﻴﺎﺭ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﻜـﻮﻥ ﻧﺎﲡـﺔ ‪٧‬‬ ‫ﺑﻌﺪ ﺍﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ ‪١٦ = ι‬‬

‫‪١٥٣‬‬

‫‪ ٢‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪( ٣-٢‬‬ ‫‪ ٢٠‬ﺩﻗﻴﻘﺔ = ‪ ١ = ٢٠‬ﺳﺎﻋﺔ‬ ‫‪٣ ٦٠‬‬ ‫ﺍﳌﺴﺎﻓﺔ = ﺍﻟﺴﺮﻋﺔ × ﺍﻟﺰﻣﻦ = ‪٢٠ = ١ × ٦٠‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﺍﻵﻥ ﻋﻮﺽ ﰲ ﺍﳋﻴﺎﺭﺍﺕ ﺑﺎﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ ٦٠ = λ،٢ = ε‬ﻭﺍﳋﻴﺎﺭ ﺍﻟـﺬﻱ ﻗﻴﻤﺘـﻪ ‪ ٢٠‬ﻫـﻮ‬ ‫ﺍﳋﻴﺎﺭ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ‪.‬‬ ‫‪٢٠ ≠ ٤٠ = ٦٠× ٢ = λε ( δ‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢٠ ≠ ٣٦٠ = ٦٠× ٢ × ٣ = λε٣ ( χ‬‬ ‫‪٢٠ ≠ ٦ = ٦٠× ٢ = λε ( β‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪ ) ٢٠ = ٦٠ = λ ( α‬ﺻﺢ (‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪α‬‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪( ٥-٢‬‬ ‫ﲜﻤﻊ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺘﲔ ‪:‬‬ ‫‪١٤ = λ٥ + ε٣‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪٦= λ−ε‬‬

‫‪٢٠ = λ٤ + ε٤‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪: ٤‬‬ ‫‪٥= λ+ε‬‬ ‫ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ‪ λ ، ε‬ﻫﻮ ﺣﺎﺻـﻞ‬

‫ﲨﻌﻬﻤﺎ ﻣﻘﺴﻮﻣ ﹰﺎ ﻋﻠﻰ ‪ ٢‬ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪٢٫٥ = ٥ = λ + ε‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪δ‬‬ ‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪( ٦-٢‬‬ ‫ﲟﺎ ﺃﻧﻪ ﺑﻌﺪ ‪ ٧‬ﺳﻨﻮﺍﺕ ﺳـﻮﻑ ﻳﻜـﻮﻥ ﻋﻤـﺮ ﳏﻤـﺪ‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪( ٤-٢‬‬

‫ﺿﻌﻒ ﻋﻤﺮ ﺧﺎﻟﺪ‬ ‫∴ ‪٧ + ε٣ = ( ٧ + ε )٢‬‬

‫ﻋﺪﺩ ﻋﻴﻨﺔ ﺍﻟﻜﺘﺐ ﺍﳌﺒﺎﻋﺔ = ‪ ١٠٠‬ﻛﺘﺎﺏ‬

‫‪٧ + ε٣ = ١٤ + ε٢‬‬ ‫∴‪٧ = ε‬‬ ‫ﻋﻤﺮ ﳏﻤﺪ ﺍﻵﻥ = ‪ ٢١ = ٧ × ٣ = ε٣‬ﺳﻨﺔ‬

‫ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ‬

‫‪ ⊆ ٨٠‬ﻣﻦ ‪٨٠ = ١٠٠‬‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻜﺘﺐ ﺍﳌﺒﺎﻋﺔ ﰲ ﻋﺎﻡ ‪γ ١٤٢٤‬‬ ‫= ‪٢٠ = ٨٠ − ١٠٠‬‬ ‫ﻭﰲ ﻋﺎﻡ ‪ γ ١٤٢٥‬ﺯﺍﺩﺕ ﺍﳌﺒﻴﻌﺎﺕ ﻣﻦ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ‬ ‫‪ ٨٠‬ﺃﻱ ﻣﻦ ‪ ) ٢٠‬ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﳊﺎﻟﻴﺔ ( ﺇﱃ ‪١٠٠‬‬ ‫ﺍﻟﺰﻳـــﺎﺩﺓ ﺍﻟﻔﻌﻠﻴـــﺔ‬ ‫×‪⊆ ١٠٠‬‬ ‫ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﺰﻳﺎﺩﺓ =‬ ‫ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﳊﺎﻟﻴــﺔ‬ ‫= ‪⊆ ٤٠٠ =⊆ ١٠٠× ٨٠‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪β‬‬

‫‪١٥٤‬‬

‫ﺇﺭﺷﺎﺩﺍﺕ ﺍﻟﺤﻠﻮﻝ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺨﺎﻣﺲ‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪( ٣-٣‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫ﺃﻓﺮﺽ ﺃﻥ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ١‬ﺳﻢ‬ ‫ﳏﻴﻂ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ = ‪ π٢ = Ωπ٢‬ﺳﻢ‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪( ١-٣‬‬

‫ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺷﺮﻭﻁ ﻋﻠﻰ ‪ ، ε‬ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺃﻓﻀﻞ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﻧﺘﻴﺠــﺔ ﺍﳋﻴﺎﺭﺍﺕ‬

‫‪١= ε‬‬

‫ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﺜﺎﱐ‬

‫ﺍﳌﻘﺎﺭﻧﺔ ﺍﳌﺴﺘﺒﻌﺪﺓ‬

‫‪١١‬‬

‫‪١٠−‬‬

‫‪ χ‬ﻭ ‪β‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪δ‬‬

‫‪٠= ε‬‬ ‫‪δ ١٢ −‬‬ ‫‪٩ ١− = ε‬‬ ‫ﺍﺳﺘﺨﺪﻣﻨﺎ ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻭﺳﺎﻟﺒﺔ ﻭﺍﻟﺼـﻔﺮ ﻭﺍﻟﻨﺘﻴﺠـﺔ‬ ‫‪١٠‬‬

‫‪١١−‬‬

‫ﺃﻥ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﺑﺎﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﺑﺎﻟﻌﻤﻮﺩ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪δ‬‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪( ٢-٣‬‬ ‫ﺃﻓﺮﺽ ﺃﻥ ﺍﳉﺎﺋﺰﺓ = ‪ ١٠٠‬ﺭﻳﺎﻝ ‪.‬‬ ‫ﻧﺼﻴﺐ ﺳﻬﻴﻞ ﻣﻨﻬﺎ = ‪ ٥٠‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ‪.‬‬ ‫ﻣﻘﺪﺍﺭ ﻣﺎ ﺃﻧﻔﻘﻪ ﻣﻨﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺷﺮﺍﺀ ﺍﻟﻜﺘﺐ‬ ‫= ‪ ٣٠ = ٥٠× ٣‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﻧﺼﻴﺐ ﺳﺎﱂ ﻣﻦ ﺍﳉﺎﺋﺰﺓ = ‪ ٤٠‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ‪.‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺘﻬﺎ = ‪ ٣٫١٤ π = ٢ Ωπ‬ﺳﻢ‬ ‫ﺃﻓﺮﺽ ﺃﻥ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ ﺍﳌﺮﺑﻊ = ‪ ε‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫ﲟﺎ ﺃﻥ ﳏﻴﻂ ﺍﳌﺮﺑﻊ = ﳏﻴﻂ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ‬ ‫∴‪١٫٥ = ε ⇐ ٦ π٢ = ε٤‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺮﺑﻊ ) ‪ ٢٫٢٥ = ( ١٫٥‬ﺳﻢ‬ ‫ﻭﺍﺿﺢ ﺃﻥ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺮﺑﻊ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪. δ‬‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ) ‪( ٤-٣‬‬ ‫ﺑﺘﺮﺑﻴﻊ ﻛﻞ ﻋﻤﻮﺩ ‪ ،‬ﳒﺪ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ⎞ ∂‪⎛ ٢٠‬‬ ‫⎜ = ‪٥ = ٢٠‬‬ ‫=⎟‬ ‫‪٤‬‬ ‫⎠ ‪⎝ ٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫⎛‬ ‫⎞‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ = ⎟ ‪٥ = ٢٥ = ⎜ ٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫⎠ ∂‪⎝ ٥‬‬ ‫ﻭﺍﺿﺢ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪β‬‬

‫ﻣﻘﺪﺍﺭ ﻣﺎ ﺃﻧﻔﻘﻪ ﻣﻨﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺸﺘﺮﻳﺎﺗﻪ‬ ‫= ‪٣٠ = ٤٠× ٣‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﻧﻼﺣﻆ ﺃ‪‬ﻤﺎ ﺃﻧﻔﻘﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﳌﺒﻠﻎ ﻣﻦ ﺍﳌﺎﻝ ﻋﻠـﻰ‬ ‫ﻣﺸﺘﺮﻳﺎ‪‬ﻢ‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪. β‬‬

‫‪١٥٥‬‬

‫‪ ٢‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ) ‪( ١-١‬‬

‫ﺷﺮﺡ ﺍﳊﻠﻮﻝ ‪.‬‬

‫ﻣﻔﺎﺗﻴﺢ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ‪:‬‬

‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻹﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺔ ﺭﻗﻢ )‪ ، (١‬ﻧﻀـﻊ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧـﺎﺕ‬

‫‪α (١‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪١‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪α‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٨‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٩‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١١‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪١٢‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪١٣‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪١٤‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪١٥‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪١٦‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪١٧‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪١٨‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١٩‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٢٠‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٢١‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٢٢‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٢٣‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٢٤‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٢٥‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٢٦‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٢٧‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٢٨‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٢٩‬‬

‫‪χ‬‬

‫‪δ‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪χ‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫ﰲ ﺟﺪﻭﻝ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫ﺗﺎﺭﻳﺦ‬

‫‪٧‬‬

‫ﺃﺩﺏ‬

‫ﺱ‬

‫ﺗﺎﺭﻳﺦ‬

‫‪٢‬ﺱ‬

‫ﺃﺩﺏ‬

‫‪٣+١٧‬ﺱ‬

‫‪ ١٤٢٥‬ﻫـ‬ ‫ﺍ‪‬ﻤﻮﻉ‬

‫ﻋﺪﺩ ﻛﺘﺐ ﺍﻷﺩﺏ ﺍﻟﱵ ﻗﺮﺍﺀﻫـﺎ ﳏﻤـﺪ ﰲ ﺍﻟﻌـﺎﻣﲔ‬ ‫ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ٧ + ε٢‬ﻭﻫﻲ ﺗﺸﻜﻞ ‪ ⊆ ٦٠‬ﻣﻦ ﻗﺮﺍﺀﺗﻪ‬ ‫∵ ‪٣ = ٧ + ε٢ ⇐ ٣ = ٦٠ =⊆ ٦٠‬‬ ‫‪٥ ١٧ + ε٣ ٥ ١٠٠‬‬ ‫⇐ ‪٥١+ ε٩ = ٣٥ + ε١٠‬‬

‫∴ ‪١٦ = ε‬‬ ‫ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻟﻜﺘﺐ ﺍﻟﱵ ﻗﺮﺍﺀﻫﺎ ﻋﺎﻡ ‪ ١٤٢٥‬ﻫـ ﻳﺴـﺎﻭﻱ‬ ‫‪ ٤٨ = ١٦ × ٣ = ε٣‬ﻛﺘﺎﺏ‬

‫♦‬ ‫‪α (٢‬‬

‫∵ ﻗﻄﺮﺍ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﲔ‬

‫∴ ‪ ١٠ = Ω = κδ‬ﺳﻢ‬ ‫♦‬

‫‪١٥٦‬‬

‫‪ ١٤٢٤‬ﻫـ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺨﺎﻣﺲ‬

‫‪χ (٣‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻹﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺔ ﺭﻗـﻢ )‪ ( ٧‬ﻧﻮﺟـﺪ ﺍﳌﻄﻠـﻮﺏ‬ ‫ﺑﺪﻭﻥ ﺇﳚﺎﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺱ ‪.‬‬ ‫‪١٨ = ε٥ ⇐ ٣١ = ١٣ + ε٥‬‬

‫∴‪٣١ + ١٨ = ٣١ + ε٥‬‬ ‫‪٤٩ = ٣١+ ε٥‬‬

‫♦‬ ‫‪β(٤‬‬

‫∂ ‪٤٩ ∂ = ٣١+ ε٥‬‬ ‫=‪٧‬‬

‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻹﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺔ ﺭﻗﻢ ) ‪ ، ( ٥‬ﺃﺭﺳﻢ ﺍﻟﻘﻄﻌـﺔ‬

‫ﺇﺭﺷﺎﺩﺍﺕ ﺍﻟﺤﻠﻮﻝ‬

‫‪δ (٦‬‬

‫ﺑﺎﺳــﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻹﺳــﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺔ ﺭﻗــﻢ ) ‪ ، ( ٩‬ﻧﺴــﺘﺨﺪﻡ‬ ‫ﺍﻟﺘﻘﺮﻳﺐ‬

‫)‪(١٫٠٠٠١٧‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪١ =٣ ١‬‬

‫∂ ‪٦ = ٣٦ ∂ ٣٥ ∂ = ١+ ٣٤‬‬

‫∴‪(١٫٠٠٠١٧) + ٣٤ ∂ − ٥‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪١− = ٦ − ٥‬‬

‫♦‬ ‫‪β(٧‬‬

‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻹﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺔ ﺭﻗﻢ )‪ ، ( ٥‬ﻧﺮﺳـﻢ ﻧﺼـﻒ‬

‫ﻗﻄﺮ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻣﻦ ﺍﳌﺮﻛﺰ ﺇﱃ ﺍﻟﺮﺃﺱ ‪χ‬‬

‫⎤‪ ⎡κδ‬ﻭﻃﻮﳍﺎ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ‪.‬‬ ‫⎦ ⎣‬ ‫ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ ﺍﳌﺮﺑﻊ = ∂ ‪٨‬‬ ‫‪ ) ٤ = ٨ ∂ × ٢∂ = κδ‬ﻷﻥ ﻗﻄــﺮ ﺍﳌﺮﺑــﻊ ﻳﺴــﺎﻭﻱ‬ ‫∂‪ ×٢‬ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ ﺍﳌﺮﺑﻊ ( ‪.‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ = ‪π١٦ = π٢ (٤) = π٢Ω‬‬ ‫♦‬ ‫‪α (٥‬‬

‫ﺑﺎﺳـــﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻹﺳـــﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺔ ﺭﻗـــﻢ ) ‪ ، ( ٦‬ﻧﻄـــﺮﺡ‬ ‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺘﲔ ﻟﻨﻮﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ﺍﳌﻈﻠﻠﺔ ﳒﺪ ﺃﻥ‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺮﺑﻊ = ‪٤‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺜﻠﺚ ‪٣ ∂٢٢‬‬ ‫= ∂‪٣‬‬ ‫=‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ﺍﳌﻈﻠﻠﺔ = ‪٣ ∂ − ٤‬‬

‫∵ ‪αγ − ٤ = αγ − ακ = γκ‬‬ ‫∵ ‪ βχδ‬ﻣﺘﻄﺎﺑﻖ ﺍﻷﺿﻼﻉ ⇐ ‪°٦٠ = χ‬‬ ‫ﺍﳌﺜﻠﺚ ‪ γχκ‬ﺛﻼﺛﻴﲏ – ﺳﺘﻴﲏ ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﳒﺪ ﺃﻥ‬ ‫‪ ٢ = γκ‬ﺳــﻢ ) ﺍﻟﻀــﻠﻊ ﺍﳌﻘﺎﺑــﻞ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳــﺔ ‪ °٣٠‬ﰲ‬ ‫ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﻧﺼﻒ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻮﺗﺮ (‬

‫∵ ‪ ٢ = ٢ − ٤ = αγ ⇐ αγ − ακ = γκ‬ﺳﻢ‬

‫♦‬

‫‪١٥٧‬‬

‫‪ ٢‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫‪α ( ١١‬‬

‫‪δ (٨‬‬

‫ﺍ‪‬ﻤﻮﻉ‬

‫ﻓﺌﺔ ﺍﻟﺮﻳﺎﻝ‬

‫ﻓﺌﺔ ﺍﻟﻨﺼﻒ ﺭﻳﺎﻝ‬

‫‪٢‬ﺱ‬

‫ﺱ‬

‫‪١٣٢ = ε٢ + ε‬‬

‫‪٤٤ = ε ⇐ ١٣٢ = ε٢ + ε‬‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻨﻘﻮﺩ ﻣﻦ ﻓﺌﺔ ﺍﻟﺮﻳﺎﻝ = ‪٨٨ = ٤٤ × ٢ = ε٢‬‬ ‫♦‬ ‫‪α (٩‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻹﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺔ ﺭﻗﻢ ) ‪ ، ( ٣‬ﳝﻜﻨﻚ ﺭﺳﻢ‬ ‫ﺍﻟﻮﺗﺮﻳﻦ ﺑﺄﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻃﺮﻳﻘﺔ ‪ ،‬ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻟـﻦ ﺗﺴـﺘﻄﻴﻊ‬ ‫ﺃﻥ ﺗﺘﻮﺻﻞ ‪‬ﻤﻮﻋﻬﻤﺎ‬ ‫♦‬ ‫‪α ( ١٠‬‬

‫ﰲ ﻣﺜﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﳌﺴﺎﺋﻞ ﳚﺐ ﺃﻥ ﳔﺘﺎﺭ ﻋﺪﺩ ﻣﻨﺎﺳﺐ ‪.‬‬ ‫ﻟﻨﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﻣﺎ ﳝﻠﻜـﻪ ﺳـﻠﻴﻢ ﻳﺴـﺎﻭﻱ ‪ ) ١‬ﻛﺎﻣـﻞ‬ ‫ﺍﳌﺒﻠﻎ (‬

‫ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ﺑﻌﺪ ﺍﻟﺼﺮﻑ = ‪٣ = ٢ − ١‬‬ ‫‪٥ ٥‬‬ ‫ﻣﺎ ﺣﺼﻠﺖ ﻋﻠﻴﻪ ﻏﻴﺪﺍﺀ = ‪١ = ٣ × ١‬‬ ‫‪٥ ٥ ٣‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ﻷﺧﻮﻳﻪ = ‪٢ = ١ − ٣‬‬ ‫‪٥ ٥ ٥‬‬ ‫ﻧﺼﻴﺐ ﻃﻼﻝ = ‪١ = ٢ × ١‬‬ ‫‪٥ ٥ ٢‬‬ ‫♦‬

‫‪١٥٨‬‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻜﺘﺐ‬

‫ﺳﻬﻴﻞ‬

‫ﺳﻬﻰ‬

‫ﺱ‬

‫ﺹ‬

‫ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﻗﻴﻤﺔ ﺱ ﺑﻌﺪ ﺣﻞ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ‪:‬‬

‫⎫‪٣٨ = λ + ε‬‬ ‫⎬‬ ‫⎭ ‪٦ = λ٣ − ε‬‬ ‫ﲝﻞ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪٣٠ = ε‬‬ ‫♦‬ ‫‪χ ( ١٢‬‬ ‫ﺃﻓﺮﺽ ﺃﻥ ﺳﻌﺮ ﺍﳉﻬﺎﺯ ﺍﻷﺳﺎﺳﻲ = ‪ ε‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ‪.‬‬ ‫اﻟ ﺮﺑﺢ‬

‫‪٢٤٠٠ = ε١٫٢ ⇐ ٢٤٠٠ = ε + ε×٠٫٢‬‬ ‫‪٢٤٠٠ = ε‬‬ ‫‪١٫٢‬‬ ‫= ‪٢٠٠٠‬‬ ‫ﺳـــــﻌﺮ ﺍﳉﻬـــــﺎﺯ ﰲ ﻣﻮﺳـــــﻢ ﺍﻟﺘﺨﻔﻴﻀـــــﺎﺕ‬ ‫اﻟ ﺮﺑﺢ اﻟﻤﺴ ﺘﻬﺪف‬

‫=‪+ε‬‬

‫‪ε ٠٫٠٨‬‬

‫= ‪ ٢١٦٠ = ٢٠٠٠×٠٫٠٨ + ٢٠٠٠‬ﺭﻳﺎﻝ‬

‫♦‬

‫ﺇﺭﺷﺎﺩﺍﺕ ﺍﻟﺤﻠﻮﻝ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺨﺎﻣﺲ‬

‫‪χ ( ١٣‬‬

‫‪α ( ١٦‬‬

‫ﳓﺴﺐ ﻛﻤﻴﺔ ﺍﻟﺒﱰﻳﻦ ﺍﳌﺴﺘﻬﻠﻜﺔ ﻟﻜﻞ ﻛﻴﻠـﻮﻣﺘﺮ‬

‫ﻗﻴﻤﺔ ‪ ) ٠≤٢ ε‬ﲟﻌﲎ ﺃﺻﺢ ﻟﻴﺴﺖ ﺳﺎﻟﺒﺔ (‬

‫ﺩﺍﺧﻞ ﺍﳌﺪﻳﻨﺔ ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﻄﺮﻳﻖ ﺍﻟﺴﺮﻳﻊ‬

‫ﻟﺬﻟﻚ ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭﻳﻦ ‪χ ، δ‬‬

‫ﻛﻤﻴﺔ ﺍﻟﺒﱰﻳﻦ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻄﺮﻳـﻖ ﺍﻟﺴـﺮﻳﻊ = ‪١ = ٥٠‬‬ ‫‪٦ ١٠٠‬‬ ‫ﻟﺘﺮ ‪ /‬ﻛﻠﻢ‬ ‫ﻛﻤﻴـــﺔ ﺍﻟـــﺒﱰﻳﻦ ﺩﺍﺧـــﻞ ﺍﳌﺪﻳﻨـــﺔ = ‪٢ = ٦٠‬‬ ‫‪٩ ٢٧٠‬‬ ‫ﻟﺘﺮ ‪ /‬ﻛﻠﻢ ‪.‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﻓﺔ‬

‫ﺩﺍﺧﻞ ﺍﳌﺪﻳﻨﺔ‬

‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻄﺮﻳﻖ ﺍﻟﺴﺮﻳﻊ‬

‫‪٩٠‬‬

‫‪٢٧٠‬‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻠﺘﺮﺍﺕ = ‪ ٦٥ = ١ × ٢٧٠ + ٢ × ٩٠‬ﻟﺘﺮ ‪.‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫♦‬ ‫‪χ ( ١٤‬‬ ‫‪٢‬‬

‫∵‪Ω = Ω ⇐ π٢Ω٢ = πΩ٢‬‬

‫‪٠ = Ω −٢ Ω‬‬ ‫‪٠ = (١− Ω ) Ω‬‬

‫∵ )‪٥ ± = ١ − ε٢ ⇐ ٢٥ =٢ (١− ε٢‬‬

‫ﺃﻣـــــــــﺎ ‪٩ =٢ ε ⇐ ٦ = ε٢ ⇐ ٥ = ١− ε٢‬‬ ‫)ﺗﺴﺘﺒﻌﺪ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﻟﻌﺪﻡ ﺇﺩﺭﺍﺟﻬﺎ ﰲ ﳋﻴﺎﺭﺍﺕ (‬

‫ﺃﻭ ‪٤ =٢ ε ⇐ ٤− = ε٢ ⇐ ٥ − = ١− ε٢‬‬ ‫♦‬ ‫‪χ ( ١٧‬‬

‫ﻋﺪﺩ ﻣﻀـﺎﻋﻔﺎﺕ ﺍﻟـﺮﻗﻢ ‪ ) ٧ = ⎡ ٣٠⎤ = ٤‬ﺗـﺬﻛﺮ‬ ‫⎦‪⎣٤‬‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ ﺻﺤﻴﺢ ﺱ ( ‪.‬‬

‫ﻋﺪﺩ ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﺍﻟﺮﻗﻢ ‪٥ = ⎡ ٣٠⎤ = ٦‬‬ ‫⎦‪⎣٦‬‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ = ‪١٢ = ٥ + ٧‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻦ ﻫﻨﺎﻙ ﺍﺣﺘﻤﺎﻻﻥ ﻣﻜﺮﺭﺍﻥ ﺑﺴـﺒﺐ ﻭﺟﻮﺩﳘـﺎ‬ ‫ﻣﻌـ ـ ﹰﺎ ﰲ ﻣﻀـــﺎﻋﻔﺎﺕ ﺍﻟﻌـــﺪﺩﻳﻦ ﻭﳘـــﺎ ‪٢٤ ، ١٢‬‬ ‫ﻭﺑﺎﺳﺘﺒﻌﺎﺩﳘﺎ ﻳﻜﻮﻥ ‪ :‬ﻋﺪﺩ ﺍﻻﺣﺘﻤﺎﻻﺕ‬

‫ﺇﻣﺎ ‪ ٠= Ω‬ﻭﻫﺬﺍ ﻣﺴﺘﺤﻴﻞ‬ ‫ﺃﻭ ‪ ١= Ω‬ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﺗﻜﻮﻥ ‪:‬‬

‫ﺑﺪﻭﻥ ﺗﻜﺮﺍﺭ = ) ‪١٠ = ٢ − (٥ + ٧‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ‪π = π٢ (١) = π٢Ω‬‬

‫♦‬ ‫‪β ( ١٥‬‬

‫ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﺜﺎﱐ‬

‫ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫ﺱ‬

‫ﺱ‪١ +‬‬

‫ﺱ‪٢ +‬‬

‫∴ ﺍﺣﺘﻤﺎﻝ ﺃﻥ ﻳﻘﺒﻞ ﺭﻗﻢ ﺍﻟﺒﻄﺎﻗﺔ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠـﻰ ‪ ٤‬ﺃﻭ‬ ‫‪ ٦‬ﻫﻮ ‪١ = ١٠‬‬ ‫‪٣ ٣٠‬‬ ‫♦‬

‫‪١٢ = ⎡⎣(٢ + ε) + (١+ ε) + ε⎤⎦ ٢‬‬

‫⇔ ‪٦ = ٣ + ε٣‬‬ ‫⇔ ‪١= ε‬‬ ‫∴ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﻛﱪ = ‪٣ = ٢ + ١ = ٢ + ε‬‬ ‫♦‬ ‫‪١٥٩‬‬

‫‪ ٢‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫‪β ( ١٨‬‬

‫‪δ ( ٢٢‬‬

‫ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﳌﻜﻌﺒـﺎﺕ ﺍﻟﺼـﻐﲑﺓ‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ‪:‬‬

‫∴ ‪٥ = ε ⇐ ٢٥ =٢ ε ⇐ ١٥٠ =٢ ε٦‬‬

‫‪١+ ٣٣٣ × ٣ = ٣ ÷ ١٠٠٠‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪:‬‬

‫ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ε‬‬

‫∴ ‪١٢٥ =٣ ٥ =٣ ε = η‬‬ ‫ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ ﺍﳌﻜﻌﺐ ﺍﻷﻛﱪ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪λ‬‬ ‫∴ ‪٢٠ = λ ⇐ ٤٠٠ =٢ λ ⇐ ٢٤٠٠ =٢ λ٦‬‬ ‫∴ ‪٨٠٠٠ =٣ ٢٠ =٣ λ = η‬‬ ‫∴ ﻋﺪﺩ ﺍﳌﻜﻌﺒﺎﺕ = ‪ ٦٤ = ٨٠٠٠‬ﻣﻜﻌﺐ ‪.‬‬ ‫‪١٢٥‬‬ ‫♦‬ ‫‪α ( ١٩‬‬

‫∵‪(٦ + ε)٥ = λ ⇐ ε٥ = λ‬‬

‫= ‪٣٠ + ε٥‬‬ ‫♦‬ ‫‪β ( ٢٠‬‬

‫ﻗﻮﺍﺳﻢ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪{٣٠،١٥،١٠،٦،٥،٣،٢،١} = ٣٠‬‬ ‫ﻭﻧﻼﺣﻆ ﺃﻥ ﻋـﺪﺩ ﺍﻟﻘﻮﺍﺳـﻢ ﺍﻟﻔﺮﺩﻳـﺔ ﻳﺴـﺎﻭﻱ ﻋـﺪﺩ‬ ‫ﺍﻟﻘﻮﺍﺳﻢ ﺍﻟﺰﻭﺟﻴﺔ‬

‫‪ι‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪ιε‬‬

‫ﻧﻔﻜﺮ ﰲ ﺍﳊﻞ ﺑﺪﻭﻥ ﺁﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ‬

‫) ‪(١١٥‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪٣ ٥‬‬ ‫∵‪٥‬‬ ‫∵‪٥‬‬ ‫‪١١‬‬ ‫‪١١ ١١‬‬ ‫∴ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫♦‬

‫‪١٦٠‬‬

‫♦‬ ‫‪δ ( ٢٣‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬

‫∵ ‪β + α×٠ = β ⇐ α β‬‬ ‫‪α‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪:‬‬

‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻧﻘﺴـﻢ ‪ α‬ﻋﻠـﻰ ‪ β‬ﻓـﺈﻥ ﺍﻟﺒـﺎﻗﻲ ﳚـﺐ ﺃﻥ‬

‫ﻳﻜﻮﻥ ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻦ ‪. β‬‬

‫∴ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ‬ ‫♦‬ ‫‪β ( ٢٤‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٣٠ = ٥ + ٢٥ = ٥ + ٥ = ٥‬‬

‫‪٣٠ = ٦ − ٣٦ = ٦ −٢ ٦ = ٦‬‬

‫♦‬ ‫‪χ ( ٢١‬‬

‫) (‬

‫∴ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﺜﺎﱐ‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪:‬‬

‫∴ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ‬

‫ﻗﺎﻋﺪﺓ ‪ε ⇐ ١ ε ٠ :‬‬

‫∵ ‪ ٥١٠‬ﺗﻘﺒﻞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ٥‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ﺻﻔﺮ ‪.‬‬

‫∴ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ‬ ‫♦‬

‫ﺇﺭﺷﺎﺩﺍﺕ ﺍﻟﺤﻠﻮﻝ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺨﺎﻣﺲ‬

‫‪δ ( ٢٥‬‬

‫‪δ ( ٢٨‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬

‫ﻗﺎﻋﺪﺓ ‪:‬‬

‫∵ ‪ ι‬ﻋﺪﺩ ﺯﻭﺟﻲ ⇐ ‪ ١+ ι‬ﻋﺪﺩ ﻓﺮﺩﻱ‬ ‫‪ι‬‬ ‫‪ι −٢ ι‬‬ ‫=‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪(١+ ι ) + (١+ ι ) ١+ ι‬‬

‫‪(١− ι ) ι‬‬ ‫=‬ ‫) ‪⎡⎣١+ (١+ ι ) ⎤⎦ (١+ ι‬‬ ‫= ‪(١− ι ) ι‬‬ ‫) ‪(٢ + ι )(١+ ι‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪:‬‬

‫∵ ‪ι‬‬ ‫‪١+ ι‬‬

‫‪(١− ι ) ι‬‬ ‫) ‪(٢ + ι )(١+ ι‬‬

‫ﻷﻥ ‪١ ١ − ι‬‬ ‫‪٢+ ι‬‬ ‫♦‬ ‫‪χ ( ٢٦‬‬

‫∵‪ γ + α = χ‬ﻷ‪‬ﺎ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺧﺎﺭﺟﻴﺔ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ﺍﻷﻳﺴﺮ‬

‫∴‪γ + α δ + χ ⇐ δ + γ + α = δ + χ‬‬ ‫∴ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫♦‬ ‫‪χ ( ٢٧‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻹﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺔ ﺭﻗﻢ ) ‪ ( ٣‬ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ‬ ‫ﺃﻭ ﻣﻦ ﺣﻘﺎﺋﻖ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ‪:‬‬ ‫∵ ‪βδ‬‬

‫‪ ⇐ χβ‬ﺍﻟﺰﺍﻭﻳـــﺔ ﺍﳌﻘﺎﺑﻠـــﺔ ﻟﻠﻀـــﻠﻊ‬

‫⎦⎤‪ ⎡⎣βδ‬ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﻀﻠﻊ ]‪[βχ‬‬

‫ﻟﻨﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺼﻔﻮﻑ ﰲ ﺍﻟﺸـﻜﻞ ﺍﻟﻨـﺎﺗﺞ ﻣـﻦ‬

‫ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪κ‬‬

‫ﻟﻨﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻷﻋﻤـﺪﺓ ﰲ ﺍﻟﺸـﻜﻞ ﺍﻟﻨـﺎﺗﺞ ﻣـﻦ‬

‫ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ι‬‬

‫ﻓﻴﻜــﻮﻥ ﻋــﺪﺩ ﺍﳌﺴــﺘﻄﻴﻼﺕ ﺍﻟﻨﺎﺷــﺌﺔ ﻣــﻦ ﺗﻘﺴــﻴﻢ‬ ‫ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﺇﱃ ﻣﺴـﺘﻄﻴﻼﺕ ﺻـﻐﲑﺓ ﻳﻌﻄـﻰ ﺑﺎﻟﻘـﺎﻧﻮﻥ‬ ‫ﺍﻟﺘﺎﱄ ‪:‬‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻼﺕ‬

‫= ‪(١+ ι ) ι (١+ κ)κ‬‬

‫‪٤‬‬ ‫∴ ﻋﺪﺩ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻼﺕ ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﳌﻌﻄﻰ ‪:‬‬ ‫= ‪ ١٨ = ٤ × ٣ × ٣ × ٢‬ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ‪.‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫♦‬ ‫‪χ ( ٢٩‬‬

‫ﻗﺎﻋﺪﺓ ‪:‬‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﳌﺮﺑﻌﺎﺕ ﺍﻟﻨﺎﺷﺌﺔ ﻣﻦ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻣﺮﺑﻊ ﻃﻮﻝ ﺿـﻠﻌﻪ‬ ‫‪ ι‬ﻳﻌﻄﻰ ﺑﺎﻟﻘﺎﻧﻮﻥ ﺍﻟﺘﺎﱄ ‪:‬‬ ‫‪ι‬‬

‫∑ ‪ ٢ϕ‬ﺣﻴﺚ ‪ℵ٢،١= ϕ‬‬

‫‪ιℵ‬‬

‫‪١=ϕ‬‬

‫∴ ﻋﺪﺩ ﺍﳌﺮﺑﻌﺎﺕ ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﳌﻌﻄﻰ ‪:‬‬ ‫‪ ٣٠ =٢ ٤ +٢ ٣ +٢ ٢ +٢ ١‬ﻣﺮﺑﻊ‬ ‫♦‬

‫∴‪. ε λ‬‬

‫♦‬

‫‪١٦١‬‬

‫‪ ٢‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫‪χ (٢‬‬

‫ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ) ‪( ١-٢‬‬

‫ﻟﻨﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﺃﻗﻞ ﻋﺪﺩ ﳑﻜﻦ ﻣﻦ ﺍﻟﻜﺘﺐ ﻣﻊ ﺑﺎﺳـﻞ‬ ‫ﺗﺴﺎﻭﻱ ‪ ٤١‬ﻛﺘﺎﺑ ﹰﺎ ‪.‬‬

‫ﻣﻔﺎﺗﻴﺢ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪١‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪β‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٨‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٩‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪١١‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١٢‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪١٣‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪١٤‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪١٥‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪١٦‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١٧‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪١٨‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١٩‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٢٠‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٢١‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٢٢‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٢٣‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٢٤‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٢٥‬‬

‫‪χ‬‬

‫‪δ‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪χ‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫ﺷﺮﺡ ﺍﳊﻠﻮﻝ ‪.‬‬

‫‪β(١‬‬ ‫∵ ‪٦ + ε٢ −٢ ε ٦ − ε٢ +٢ ε‬‬

‫ﻓﻴﻜﻮﻥ ﻣﻊ ﳏﻤﺪ ‪ ٢٠٥ = ٤١× ٥‬ﻛﺘﺎﺑ ﹰﺎ ‪.‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻦ ﻋـﺪﺩ ﺍﻟﻜﺘـﺐ ﺍﻟـﱵ ﻣـﻊ ﳏﻤـﺪ ﳚـﺐ ﺃﻥ‬ ‫ﺗﻜــﻮﻥ ﻣــﻦ ﻣﻀــﺎﻋﻔﺔ ﺍﻟﻌــﺪﺩ ‪ ) ٤‬ﻛﺘــﺐ ﺧﺎﻟــﺪ (‬ ‫ﻭﺍﻟﻌﺪﺩ ‪ ) ٥‬ﻛﺘﺐ ﺑﺎﺳﻞ ( ‪.‬‬ ‫ﺍﳌﻀﺎﻋﻒ ﺍﳌﺸﺘﺮﻙ ﺍﻷﺻﻐﺮ ﻟﻠﻌﺪﺩﻳﻦ ‪ ٥ ، ٤‬ﻳﺴـﺎﻭﻱ‬ ‫‪. ٢٠‬‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻳﻜـﻮﻥ ﺃﺻـﻐﺮ ﻋـﺪﺩ ﻣـﻦ ﻣﻀـﺎﻋﻔﺎﺕ ‪٢٠‬‬ ‫ﻭﺃﻛﱪ ﻣﻦ ‪ ٢٠٥‬ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪. ٢٢٠‬‬ ‫ﻋﺪﺩ ﻛﺘﺐ ﳏﻤﺪ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ٢٢٠‬ﻛﺘﺎﺑ ﹰﺎ‬ ‫♦‬ ‫‪χ (٣‬‬

‫ﺍﻵﻥ‬

‫ﻗﺒﻞ ‪ ٦‬ﺳﻨﻮﺍﺕ‬

‫ﺳﻌﺪ‬

‫ﺱ‬

‫ﺱ‪٦-‬‬

‫ﻓﻬﺪ‬

‫‪٢‬ﺱ‬

‫‪٢‬ﺱ ‪٦ -‬‬

‫‪(٦ − ε)٥ = ٦ − ε٢‬‬

‫∴‪٨ = ε‬‬ ‫ﻋﻤﺮ ﻓﻬﺪ ﺍﻵﻥ = ‪ ١٦ = ٨ × ٢ = ε٢‬ﺳﻨﺔ‬ ‫♦‬ ‫‪β(٤‬‬ ‫‪٥١× ٥ = ٢٥٥‬‬

‫⇐ ‪٦ + ε٢− ٦ − ε٢‬‬ ‫⇐ ‪١٢ ε٤‬‬ ‫⇐‪٣ ε‬‬ ‫♦‬

‫‪١٦٢‬‬

‫= ‪١٧ × ٣ × ٥‬‬ ‫♦‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺨﺎﻣﺲ‬

‫‪α(٥‬‬ ‫ﳝﻜﻨﻚ ﺍﳊﻞ ﺑﺎﺳﺘﺒﺪﺍﻝ ﺍﳌﺘﻐﲑﺍﺕ ﺑﺄﻋﺪﺍﺩ ﺃﻭ ﺟﱪﻳـ ﹰﺎ‬ ‫ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫‪٣ − ι٨ +٢ ι ٨ + ι٧ +٢ ι‬‬ ‫‪٣ − ι٨ ٨ + ι٧‬‬

‫ﺇﺭﺷﺎﺩﺍﺕ ﺍﻟﺤﻠﻮﻝ‬

‫‪χ (٩‬‬

‫‪⊆δ) ÷ δ‬ﻣﻦ ‪(δ× ١٠٠δ ) ÷ δ = (δ‬‬ ‫‪δ ÷ δ = δ× δ ÷ δ‬‬ ‫)‪( ١٠٠‬‬ ‫‪١٠٠‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪١١ ι‬‬ ‫∴‪ ) ١٠= ι‬ﻷ‪‬ﺎ ﺃﻛﱪ ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ (‬ ‫♦‬ ‫‪χ (٦‬‬

‫∵‪χ − β = δ ⇐ χ + δ = β‬‬ ‫∴‪β − χ٢ = ( χ − β ) − χ = δ − χ‬‬ ‫♦‬ ‫‪δ (٧‬‬

‫ﳝﻜﻨــﻚ ﺍﳊــﻞ ﺑﺎﺳــﺘﺒﺪﺍﻝ ﺍﳌــﺘﻐﲑﺍﺕ ﺑﺄﻋــﺪﺍﺩ ﺃﻭ‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪ ς‬ﺭﻳﺎﻝ = ‪ ς١٠٠‬ﻫﻠﻠﺔ ‪.‬‬

‫ﻟﻨﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻘﻄﻊ = ‪ µ‬ﻗﻄﻌﺔ‬ ‫‪λς١٠٠ = εµ ⇐ µ = λ‬‬ ‫‪ς١٠٠ ε‬‬ ‫‪λς١٠٠‬‬ ‫‪=µ‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫♦‬ ‫‪β(٨‬‬ ‫ﺑﺎﺧﺘﻴﺎﺭ ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻣﻨﺎﺳﺒﺔ‬

‫∵‪ ⊆١٢٠‬ﻣﻦ ‪ ⊆ ٨٠ = ٨٠‬ﻣﻦ ‪١٢٠‬‬ ‫ﺧﺬ ‪٨٠ = χ ،١٢٠ = δ‬‬ ‫∴‪٢٠٠= χ + δ‬‬

‫♦‬ ‫‪δ ( ١٠‬‬

‫= ‪١٠٠ ×δ‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪δ‬‬ ‫= ‪١٠٠‬‬ ‫‪δ‬‬

‫ﻹﳚﺎﺩ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﳒﻤﻊ ﺍﳌﻘﺪﺍﺭﻳﻦ ﻭﻧﻘﺴﻢ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﻋﻠﻰ ‪٢‬‬

‫ﺣﺎﺻﻞ ﲨﻊ ﺍﳌﻘﺪﺍﺭﻳﻦ = ‪٢ + ε٦‬‬ ‫ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ = ‪١+ ε٣ = ٢ + ε٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫♦‬ ‫‪χ ( ١١‬‬ ‫ﻹﳚﺎﺩ ﺍﻟﻮﺳﻂ ﳒﻤﻊ ﺍﳌﻘﺪﺍﺭﻳﻦ ﻭﻧﻘﺴﻢ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﻋﻠﻰ ‪٢‬‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﲨﻊ ﺍﳌﻘﺪﺍﺭﻳﻦ ‪:‬‬

‫‪١ = χ + δ ⇐ ١٠ = χ١٠ + δ١٠‬‬ ‫ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ = ‪٠٫٥ = ١ = χ + δ‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫♦‬ ‫‪α ( ١٢‬‬ ‫)‬ ‫(= ‪٢‬‬ ‫‪٢ ⇔ε ١٦ =٤−ε٢ ٨‬‬ ‫⇔ ‪ε٤ = ١٢ − ε٦‬‬ ‫⇔ ‪١٢ = ε٢‬‬ ‫⇔‪٦=ε‬‬ ‫♦‬ ‫‪٤−ε٢ ٣‬‬

‫‪ε٤‬‬

‫⇐ ‪٢٫٥ = ٨٠ ÷ ٢٠٠‬‬ ‫♦‬ ‫‪١٦٣‬‬

‫‪ ٢‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫‪β ( ١٣‬‬

‫‪ -٣‬ﻳﺸﺘﺮﻯ ﺗﺬﻛﺮﺓ ﻣﻔﺘﻮﺣﺔ ﳌﺪﺓ ‪ ٣‬ﺷﻬﻮﺭ ﻭﺑﻘﻴﺔ‬ ‫‪ ٩‬ﺷﻬﻮﺭ ﻳﺸﺘﺮﻱ ﺗﺬﻛﺮﺓ ﻛﻞ ﻣﺮﺓ‬

‫ﺑﺎﺧﺘﻴﺎﺭ ﺃﻋﺪﺍﺩﹰﺍ ﻣﻨﺎﺳﺒﺔ‬

‫ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﺘﻜﻠﻔﺔ ‪:‬‬

‫∵‪ ⊆١٠٠‬ﻣﻦ ‪١٠ = ١٠‬‬ ‫ﺧﺬ ‪١٠ = λ ،١٠٠ = ε‬‬ ‫ﻧﻌــﻮﺽ ﻋــﻦ ﺱ ﰲ ﺍﳋﻴــﺎﺭﺍﺕ ﺍﳋﻴــﺎﺭ ﺍﻟــﺬﻱ ﻗﻤﺘــﻪ‬ ‫ﺗﺴﺎﻭﻱ ‪ ١٠‬ﻫﻮ ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ‪.‬‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﳒﺪ ﺃﻥ ﺍﳋﻴﺎﺭ ﺍﻟﻮﺣﻴﺪ ﺍﻟﺬﻱ ﳛﻘﻖ ﺫﻟﻚ‬

‫ﻫﻮ ‪β‬‬

‫♦‬ ‫‪α ( ١٤‬‬

‫ﺍﺑﺪﺃ ﺑﺎﳋﻴﺎﺭ ‪. α‬‬

‫ﻭﺍﺿﺢ ﺃﻧﻪ ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﻗﻴﻤـﺔ ﺻـﺤﻴﺤﺔ ﻟﻠﻤـﺘﻐﲑ ﺱ ﰲ‬ ‫ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬

‫‪٢٥٦ =٢ ١٦ =٣ ε‬‬ ‫∴‪١٦ ≠ λ‬‬ ‫♦‬ ‫‪β ( ١٥‬‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﳌﺮﺍﺕ ﺍﻟﱵ ﺳـﻮﻑ ﻳـﺰﻭﺭ ﻓﻴﻬـﺎ ﻃـﻼﻝ ﻣﺪﻳﻨـﺔ‬ ‫ﺍﻷﻟﻌﺎﺏ = ‪ ٦ + ١٠‬ﺯﻳﺎﺭﺓ ‪.‬‬ ‫) ﻷﻧﻪ ﺳﻮﻑ ﻳﺰﻭﺭﻫﺎ ﻣﺮﺓ ﻛﻞ ﺷﻬﺮ ﳌﺪﺓ ﻋﺸﺮﺓ ﺃﺷﻬﺮ‬ ‫ﰒ ‪ ٦‬ﺯﻳﺎﺭﺍﺕ ﺧﻼﻝ ﺷﻬﺮﻳﻦ ﺑﻮﺍﻗﻊ ﺛﻼﺙ ﺯﻳﺎﺭﺍﺕ ﻟﻜﻞ‬ ‫ﻣﻨﻬﻤﺎ ( ‪.‬‬ ‫ﺍﻵﻥ ﻧﻨﺎﻗﺶ ﺍﳊﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -١‬ﺍﺷﺘﺮﺍﻙ ﺳﻨﻮﻱ ﺳﻌﺮﻩ ‪ ٦٠‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ‪.‬‬ ‫‪ -٢‬ﻳﺸﺘﺮﻱ ﺗﺬﻛﺮﺓ ﰲ ﻛﻞ ﺯﻳﺎﺭﺓ‬ ‫ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﺘﻜﻠﻔﺔ = ‪ ٥٦ = ٣٫٥ ×١٦‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻳﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭ ﺍﻟﺴﻨﻮﻱ ‪.‬‬ ‫‪١٦٤‬‬

‫‪ ٤٩٫٥ = ٣١٫٥ + ١٨ = ٣٫٥ × ٩ + ١٨‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ‬ ‫ﺍﳋﻴﺎﺭ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﻫﻮ ﺍﻷﻗﻞ ﺗﻜﻠﻔﺔ ‪.‬‬

‫♦‬ ‫‪δ ( ١٦‬‬

‫ﺍﳌﺴـــﺎﻓﺔ‬ ‫∵ ﺍﻟﺴﺮﻋﺔ =‬ ‫ﺍﻟﺰﻣﻦ‬

‫ﺑﺎﻻﻧﺘﺒﺎﻩ ﻟﻠﻮﺣﺪﺍﺕ ﻭﲢﻮﻳﻠﻬﺎ‬ ‫ﺍﻟﺴﺮﻋﺔ = ‪ ١٠ = ١٠٠٠× ٣٦‬ﻡ ‪ /‬ﺙ‬ ‫‪٣٦٠٠‬‬ ‫♦‬ ‫‪δ ( ١٧‬‬ ‫ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﺣﻞ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ‪٤ = ٢٠ + ε :‬‬ ‫‪ε − ٢٠‬‬ ‫‪ε٤ − ٨٠ = ٢٠ + ε ⇔ ٤ = ٢٠ + ε‬‬ ‫‪ε − ٢٠‬‬ ‫⇔ ‪١٠٠ = ε٥‬‬

‫⇔ ‪٢٠ = ε‬‬ ‫♦‬ ‫‪β ( ١٨‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺮﺑﻊ = ‪ ١٤٤ =٢ ١٢‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪﺓ = ‪ π١٦ = π Ω‬ﺳﻢ‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﻣﺴــﺎﺣﺔ ﺃﺭﺑﻌــﺔ ﺃﻧﺼــﺎﻑ ﺍﻟــﺪﻭﺍﺋﺮ ﻳﺴــﺎﻭﻱ ﻣﺴــﺎﺣﺔ‬ ‫ﺩﺍﺋﺮﺗﲔ = ‪ π٣٢‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫ﻣﺴــﺎﺣﺔ ﺍﳌﻨﻄﻘــﺔ ﺍﳌﻈﻠﻠــﺔ ﺗﺴــﺎﻭﻱ ﻣﺴــﺎﺣﺔ ﺍﳌﺮﺑــﻊ‬ ‫ﻣﻄﺮﻭﺣ ﹰﺎ ﻣﻨﻬﺎ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺩﺍﺋﺮﺗﲔ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ﺍﳌﻈﻠﻠﺔ = ‪ π٣٢ − ١٤٤‬ﺳﻢ‬ ‫♦‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺨﺎﻣﺲ‬

‫‪δ ( ١٩‬‬ ‫ﺑﺎﺧﺘﻴﺎﺭ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﳌﻨﺎﺳﺒﺔ‬ ‫ﻧﻔــﺮﺽ ﺃﻥ ﻋــﺪﺩ ﺍﳌــﻮﻇﻔﲔ =‪ ١٢٠‬ﻣﻮﻇــﻒ ) ‪١٢٠‬‬ ‫ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻦ ﺍﳌﻀﺎﻋﻒ ﺍﳌﺸﺘﺮﻙ ﺍﻷﺻﻐﺮ ﻟﻸﻋـﺪﺍﺩ ‪، ٣‬‬ ‫‪ ٥ ، ٨‬ﻭﺍﻟﱵ ﻫﻲ ﻣﻘﺎﻣﺎﺕ ﺍﻟﻜﺴﻮﺭ ( ‪.‬‬ ‫ﻼ‪.‬‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺮﺟﺎﻝ = ‪ ٨٠ = ٣ ×١٢٠‬ﺭﺟ ﹰ‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ = ‪ ٤٠ = ٨٠ − ١٢٠‬ﺍﻣﺮﺃﺓ ‪.‬‬ ‫ﻼ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺮﺟﺎﻝ ﺍﻟﺴﻌﻮﺩﻳﲔ = ‪ ٣٠ = ٣ × ٨٠‬ﺭﺟ ﹰ‬ ‫‪٨‬‬ ‫ﻋﺪﺩ ﻏﲑ ﺍﻟﺴﻌﻮﺩﻳﲔ = ‪ ٧٢ = ٣ ×١٢٠‬ﻣﻮﻇﻔ ﹰﺎ‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﻋــﺪﺩ ﺍﻟﺴــﻌﻮﺩﻳﲔ ﻣــﻦ ﺍﳉﻨﺴــﲔ ﻭﺍﻟﻌــﺎﻣﻠﲔ ﰲ‬ ‫ﺍﳌﺴﺘﻮﺻﻒ = ‪ ٤٨ = ٧٢ − ١٢٠‬ﺳﻌﻮﺩﻳ ﹰﺎ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻨﺴﺎﺀ ﺍﻟﺴﻌﻮﺩﻳﺎﺕ = ‪ ١٨ = ٣٠ − ٤٨‬ﺳﻌﻮﺩﻳﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﺴﺮ ﺍﻟﺬﻱ ﳝﺜﻞ ﺍﻟﺴﻌﻮﺩﻳﺎﺕ ﻫﻮ ‪٣ = ١٨‬‬ ‫‪٢٠ ١٢٠‬‬ ‫♦‬ ‫‪χ ( ٢٠‬‬

‫ﺇﺭﺷﺎﺩﺍﺕ ﺍﻟﺤﻠﻮﻝ‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﱵ ﺗﺒـﺪﺃ ﺑـﺎﻟﺮﻗﻢ ‪ ٣‬ﺑـﲔ ‪ ٣٠٠‬ﻭ ‪٤٠٠‬‬ ‫ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ١٠‬ﺃﻋﺪﺍﺩ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﱵ ﺗﻨﺘﻬﻲ ﺑـﺎﻟﺮﻗﻢ ‪ ٣‬ﺑـﲔ ‪ ٣٠٠‬ﻭ ‪٤٠٠‬‬ ‫ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ١٠٠‬ﻋﺪﺩ‬ ‫ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﱵ ﺗﺒﺪﺃ ﺃﻭ ﺗﻨﺘﻬﻲ ﺑﺎﻟﺮﻗﻢ ‪ ٣‬ﻳﺴﺎﻭﻱ‬ ‫‪ ١٢٠ = ١٠٠ + ١٠ + ١٠‬ﻋﺪﺩﹰﺍ‪.‬‬ ‫♦‬ ‫‪χ ( ٢٢‬‬

‫ﻼ ﺗﻮﺿﻴﺤﻴ ﹰﺎ‬ ‫ﻧﺮﺳﻢ ﺷﻜ ﹰ‬

‫‪ ١γ‬ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳـﺔ ﺍﻟـﱵ ﻗﻄﻌﻬـﺎ ﻋﻘـﺮﺏ ﺍﻟﺴـﺎﻋﺎﺕ‬ ‫ﺧﻼﻝ ﺳﺎﻋﺘﲔ ﻭﻧﺼﻒ ‪.‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪°٧٥ = ٣٦٠× = ٣٦٠× ٢ =١ γ‬‬ ‫‪٢٤‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪ ٢γ‬ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﱵ ﻗﻄﻌﻬﺎ ﻋﻘﺮﺏ ﺍﻟﺪﻗﺎﺋﻖ ﺧﻼﻝ‬

‫ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﻣﻦ ﺍﳋﻴﺎﺭﺍﺕ ﻛﻞ ﺧﻴﺎﺭ ﻓﻴﻪ ﺍﳊﺪ ﺍﻷﻭﻝ ﻣﻦ‬

‫ﻧﺼﻒ ﺳﺎﻋﺔ ‪.‬‬ ‫‪°١٨٠ = °٣٦٠× ٣٠ = ٢ γ‬‬ ‫‪٦٠‬‬ ‫ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﻫﻮ ‪:‬‬

‫ﻭﻳﺒﻘﻰ ﻟﻨﺎ ﺍﳋﻴﺎﺭ ﺍﻟﻮﺣﻴﺪ ‪. χ‬‬

‫♦‬

‫ﻭﺍﺿﺢ ﻣﻦ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺃﻥ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ﺍﳌﻈﻠﻠﺔ ﺃﻗـﻞ‬ ‫ﻣﻦ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺮﺑﻊ‬ ‫ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﳊﺪ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬

‫‪°١٠٥ = ٢γ − ١γ‬‬

‫♦‬ ‫‪δ ( ٢١‬‬

‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﱵ ﺗﺒﺪﺃ ﺑﺎﻟﺮﻗﻢ ‪ ٣‬ﺑﲔ ‪ ٣٠٠ ، ٢٠٠‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪،٢٥٣،٢٤٣،٢٣٣،٢٢٣،٢١٣،٢٠٣‬‬

‫‪٢٩٣،٢٨٣،٢٧٣،٢٦٣‬‬ ‫ﻭﻋﺪﺩﻫﺎ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ١٠‬ﺃﻋﺪﺍﺩ ‪.‬‬ ‫‪١٦٥‬‬

‫‪ ٢‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫‪χ ( ٢٣‬‬

‫ﺣﻠﻮﻝ ﲤﺎﺭﻳﻦ ) ‪( ١ -٣‬‬

‫ﳔﺘﺎﺭ ﻋﺪﺩﹰﺍ ﻣﻨﺎﺳﺒ ﹰﺎ‬ ‫ﺃﻓﺮﺽ ﺃﻥ ﺳﻌﺮ ﺍﻟﺪﺭﺍﺟﺔ = ‪ ١٠٠‬ﺭﻳﺎﻝ‬ ‫ﺍﻟﺴﻌﺮ ﺑﻌﺪ ﺍﻟﺘﺨﻔﻴﺾ ﺍﻷﻭﻝ = ‪ ٧٥‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ‬ ‫ﺍﻟﺴﻌﺮ ﺑﻌﺪ ﺍﻟﺘﺨﻔﻴﺾ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪٦٠ = ٧٥ ×٠٫٢ − ٧٥‬‬

‫ﺍﻟﺘﺨﻔﻴﻀﺎﻥ ﻣﻌ ﹰﺎ = ‪⊆٤٠ =⊆ ٦٠− ⊆١٠٠‬‬ ‫♦‬ ‫‪δ ( ٢٤‬‬ ‫∵‪β − εχ −٢ εδ = ١٠ − ε١١−٢ ε٦‬‬ ‫∴ ‪١٠ = β ،١١ = χ ، ٦ = δ‬‬

‫‪٧ = ١١+ ١٠ − ٦ = χ + β − δ‬‬ ‫♦‬ ‫‪χ ( ٢٥‬‬ ‫ﳔﺘﺎﺭ ﻋﺪﺩﹰﺍ ﻣﻨﺎﺳﺒ ﹰﺎ‬ ‫ﺃﻓﺮﺽ ﺃﻥ ﺳﻌﺮ ﺍﻟﻔﺴﺘﺎﻥ = ‪ ١٠٠‬ﺭﻳﺎﻝ‬ ‫ﺍﻟﺴﻌﺮ ﺑﻌﺪ ﺍﻟﺘﺨﻔﻴﺾ ﺍﻷﻭﻝ = ‪ ٨٥‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ‬ ‫ﺍﻟﺴﻌﺮ ﺍﻟﺬﻱ ﳝﻜﻦ ﺗﺪﻓﻌﻪ ﺭﻏـﺪ ﰲ ﺣﺎﻟـﺔ ﺷـﺮﺍﺋﻬﺎ‬ ‫ﻟﻠﻔﺴﺘﺎﻥ = ‪ ٧٦٫٥ = ٨٥ ×٠٫١ − ٨٥‬ﺭﻳﺎﻝ‬ ‫ﻧﺴﺒﺔ ﻣﺎ ﺳﺘﺪﻓﻌﻪ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﺴﻌﺮﻩ ﺱ ﺭﻳﺎ ﹰﻻ‬ ‫= ‪ε ٠٫٧٦٥ = ε× ٧٦٫٥‬‬ ‫‪١٠٠‬‬ ‫♦‬

‫ﻣﻔﺎﺗﻴﺢ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪١‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٨‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٩‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪١١‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪١٢‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١٣‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪١٤‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١٥‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪١٦‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١٧‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪١٨‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪١٩‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٢٠‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٢١‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٢٢‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٢٣‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٢٤‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪β‬‬ ‫‪٢٥‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٢٦‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٢٧‬‬

‫‪δ‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪β‬‬

‫‪δ‬‬

‫ﺷﺮﺡ ﺍﳊﻠﻮﻝ ‪.‬‬

‫‪χ (١‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬

‫∵ ‪٠ δ٤ ⇐٠ δ‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪:‬‬ ‫∵ ‪٠ ٤ δ ⇐٠ δ‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻷﻭﻝ ‪.‬‬ ‫♦‬

‫‪١٦٦‬‬

‫ﺇﺭﺷﺎﺩﺍﺕ ﺍﻟﺤﻠﻮﻝ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺨﺎﻣﺲ‬

‫‪α (٢‬‬

‫‪α (٤‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬

‫ﻋﻨــﺪﻣﺎ ‪ ١= ε‬ﻳﻜــﻮﻥ ﺍﻟﻌﻤــﻮﺩﺍﻥ ﻣﺘﺴــﺎﻭﻳﲔ ‪،‬‬

‫∵‪١٠ = δ١٠ ⇐ ٠ δ‬‬ ‫‪δ‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪:‬‬

‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭﻳﻦ ‪χ،δ‬‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ ٤ = ε‬ﻳﻜﻮﻥ ‪:‬‬

‫ﺿﻊ ‪ ١= δ‬ﺃﺻﺒﺢ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﺍﻥ ﻣﺘﺴـﺎﻭﻳﲔ ﺇﺫﹰﺍ ﻧﺴـﺘﺒﻌﺪ‬

‫ﺍﳋﻴﺎﺭﻳﻦ ‪χ،δ‬‬ ‫ﺿﻊ ‪ ٥ = δ‬ﺃﺻﺒﺢ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤـﻮﺩ‬ ‫ﺍﻷﻭﻝ ‪ ،‬ﺇﺫﹰﺍ ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭ ‪β‬‬

‫ﺍﳋﻴﺎﺭ ﺍﻟﻮﺣﻴﺪ ﺍﳌﺘﺒﻘﻲ ﻫﻮ ‪. α‬‬ ‫♦‬ ‫‪χ (٣‬‬

‫ﺍﻟﻮﺣﻴﺪ ﺍﳌﺘﺒﻘﻲ ﻫﻮ ‪. α‬‬ ‫♦‬ ‫‪α (٥‬‬

‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ ٢ = ε‬ﻳﻜﻮﻥ ‪:‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪ ، ٦‬ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ = ‪٤‬‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭﻳﻦ ‪β،χ‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬

‫)‪χ + χδ٢ +٢ δ =٢ ( χ + δ‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪:‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪χ +٢ δ‬‬ ‫ﺑﻄﺮﺡ ‪ ٢χ +٢ δ‬ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻳﻦ ﻳﻜﻮﻥ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ = ‪ ) ٠ χδ٢‬ﻷﻥ ‪( ٠ χδ‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ =‪٠‬‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫♦‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ = ∂ ‪ ، ٢ = ٤‬ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ = ‪٤‬‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﺘــﺎﱄ ﻧﺴــﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴــﺎﺭ ‪ ، β‬ﻭﻳﻜــﻮﻥ ﺍﳋﻴــﺎﺭ‬

‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ ٣ = ε‬ﻳﻜﻮﻥ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪ ، ٩‬ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ = ‪٩‬‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﺘــﺎﱄ ﻧﺴــﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴــﺎﺭ ‪ ، β‬ﻭﻳﻜــﻮﻥ ﺍﳋﻴــﺎﺭ‬ ‫ﺍﻟﻮﺣﻴﺪ ﺍﳌﺘﺒﻘﻲ ﻫﻮ ‪. α‬‬ ‫♦‬ ‫‪β(٦‬‬

‫ﲝﻞ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ﳒﺪ ﺃﻥ ‪٠ = λ ⇐٠ = λ٢‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ ‪.‬‬ ‫♦‬

‫‪١٦٧‬‬

‫‪ ٢‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪:‬‬

‫‪δ (٧‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬

‫ﻣﻴﻞ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ‪١ = ١− ٢ = τ‬‬ ‫‪٤ ١− ٥‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪:‬‬ ‫ﻣﻴﻞ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ ) ٤− = κ‬ﻷﻥ ‪( τ ⊥ κ‬‬ ‫∴ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬ ‫♦‬ ‫‪α (٨‬‬

‫ﻳﻮﺟﺪ ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﻟﻠﻌﺪﺩ ‪ ٣‬ﺑﲔ ‪ ١٠٠‬ﻭ ‪ ١٠١‬ﻭﻛﺬﻟﻚ‬ ‫ﻻ ﻳﻮﺟــﺪ ﻣﻀــﺎﻋﻔﺎﺕ ﻟﻠﻌــﺪﺩ ‪ ٧‬ﺑــﲔ ‪ ١٠٠‬ﻭ ‪١٠١‬‬

‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭﻳﻦ ‪χ،δ‬‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ ١٠٠ = ε‬ﻳﻜﻮﻥ ‪:‬‬ ‫ﻋﺪﺩ ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪ ٣‬ﺑﲔ ‪ ٢٠٠ ، ١٠٠‬ﺃﻛﱪ ﻣﻦ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﻣﻀـﺎﻋﻔﺎﺕ ﺍﻟﻌـﺪﺩ ‪ ٧‬ﺑـﲔ ‪ ١٠٠‬ﻭ ‪ ) ٢٠٠‬ﻷﻥ‬ ‫ﻛﻞ ﺛﺎﻟﺚ ﻋـﺪﺩ ﺻـﺤﻴﺢ ﻣـﻦ ﻣﻀـﺎﻋﻔﺎﺕ ﺍﻟﻌـﺪﺩ ‪٣‬‬ ‫ﻭﻛﻞ ﺳﺎﺑﻊ ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ﻣﻦ ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪( ٧‬‬

‫ﻭﺑﺎﻟﺘــﺎﱄ ﻧﺴــﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴــﺎﺭ ‪ ، β‬ﻭﻳﻜــﻮﻥ ﺍﳋﻴــﺎﺭ‬

‫ﺍﻟﻮﺣﻴﺪ ﺍﳌﺘﺒﻘﻲ ﻫﻮ ‪. α‬‬

‫♦‬ ‫‪δ ( ١٠‬‬

‫ﲣﻔﻴﺾ ﺁﺧﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﺘﺨﻔﻴﺾ ﺍﻷﻭﻝ ﲟﻘﺪﺍﺭ ‪ ⊆ χ‬ﻓﺈﻥ‬ ‫ﻫﺬﻳﻦ ﺍﻟﺘﺨﻔﻴﻀﲔ ﺩﺍﺋﻤ ﹰﺎ ﺃﻗﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺘﺨﻔﻴﺾ ﺍﻷﺻـﻠﻲ‬

‫ﲟﻘﺪﺍﺭ )‪. ⊆ ( χ + δ‬‬

‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﺴـﺎﺑﻘﺔ ﻳﻜـﻮﻥ ﺍﻟﺘﺨﻔـﻴﺾ ﰲ‬ ‫ﺍﶈﻞ ﺍﻷﻭﻝ ) ‪ ⊆١٠‬ﰒ ‪ ( ⊆١٠‬ﺃﻗﻞ ﻣـﻦ ﺍﻟﺘﺨﻔـﻴﺾ‬ ‫ﰲ ﺍﶈﻞ ﺍﻷﺧﺮ) ‪. ( ⊆ ٢٠‬‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﺳﻌﺮ ﺍﻟﺘﻠﻔﺎﺯ ﰲ ﺍﶈﻞ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻏﻠﻰ ﻣﻨﻪ ﰲ ﺍﶈﻞ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬ ‫ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺃﺧﺮﻯ ‪ :‬ﺃﻓـﺮﺽ ﺃﻥ ﺳـﻌﺮ ﺍﻟﺘﻠﻔـﺎﺯ ﰲ ﺍﶈـﻞ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﱐ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ١٠٠‬ﺭﻳﺎﻝ ‪.‬‬ ‫ﺍﶈﻞ ﺍﻷﻭﻝ ‪ :‬ﺳـﻌﺮ ﺍﻟﺘﻠﻔـﺎﺯ ﺍﳌﻌﺘـﺎﺩ ﰲ ﺍﶈـﻞ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ٩٠‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ‪.‬‬

‫♦‬ ‫‪β(٩‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻋﻤﻞ ﲣﻔﻴﺾ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﻌﺮ ﻳﺼﺒﺢ‬

‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻷﻭﻝ = ‪ε‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ = ‪١+ ε = λ‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ = ‪٢+ ε = ς‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬

‫‪(٢ + ε ) + ε = ς + ε‬‬

‫‪١٦٨‬‬

‫‪٣‬‬ ‫= ‪١+ ε = ٣ + ε٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫∴ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ‬

‫‪٣‬‬

‫ﻗﺎﻋﺪﺓ ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﺑﻴﻌﺖ ﺳﻠﻌﺔ ﺑﺘﺨﻔﻴﺾ ﺃﻭﻝ ﻗـﺪﺭﻩ ‪ ⊆δ‬ﰒ‬

‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ ١= ε‬ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﲔ ‪،‬ﻷﻧـﻪ ﻻ‬

‫‪٢‬‬

‫‪(٢ + ε) + (١+ ε) + ε = ς + λ + ε‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪ ٨١ = ٩ − ٩٠ = ٩٠×٠٫١− ٩٠‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪ :‬ﺳﻌﺮ ﺍﻟﺘﻠﻔﺎﺯ ﰲ ﺍﶈﻞ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﻳﺴﺎﻭﻱ‬ ‫‪ ٨٠‬ﺭﻳﺎ ﹰﻻ ‪.‬‬ ‫♦‬

‫= ‪١+ ε‬‬

‫ﺇﺭﺷﺎﺩﺍﺕ ﺍﻟﺤﻠﻮﻝ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺨﺎﻣﺲ‬

‫‪β ( ١١‬‬

‫‪χ ( ١٥‬‬

‫ﳎﻤﻮﻉ ﺯﻭﺍﻳﺎ ﺃﻱ ﻣﺜﻠﺚ = ‪°١٨٠‬‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ ﰲ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻳﻦ ﻳﺴﺎﻭﻱ‬ ‫‪. °٦٠ = ١٨٠‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫♦‬ ‫‪α ( ١٢‬‬

‫ﺑــﺪﻭﻥ ﺣﺴــﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﻌﻤــﻮﺩ ﺍﻟﺜــﺎﱐ ﺃﻛــﱪ ﻷﻥ ﻗﻄــﺮ‬

‫ﲟﺎ ﺃﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﰲ ﻋﻤـﻮﺩ ﻭﻣـﺘﻐﲑﺍﺕ ﰲ ﺍﻵﺧـﺮ‬ ‫ﻧﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻹﺳﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺔ ﺭﻗﻢ ) ‪. ( ٤‬‬ ‫ﻫﻞ ﳝﻜﻦ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ ؟ ﲟﻌـﲎ‬ ‫ﻫﻞ ﳝﻜﻦ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ ‪ ١= ε‬؟‬

‫ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻓﻴﻪ ‪ ٣٥‬ﺳـﻢ ﺃﻛـﱪ ﻣـﻦ ﻗﻄـﺮ ﺍﻟـﺪﺍﺋﺮﺓ ﰲ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪ ٣٤‬ﺳﻢ ‪.‬‬ ‫♦‬ ‫‪δ ( ١٦‬‬

‫ﻗﺎﻋــﺪﺓ ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻛــﺎﻥ ‪ ) ١ ε ٠‬ﻛﺴــﺮ ﻣﻮﺟــﺐ‬ ‫ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪ ( ‪‬ﻭ ‪ ١ ι‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪ι‬‬

‫‪ε ε‬‬ ‫ﺑﺘﻄﺒﻴــﻖ ﺍﻟﻘﺎﻋــﺪﺓ ﺍﻟﺴــﺎﺑﻘﺔ ﳒــﺪ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﻤــﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬ﻧﻌﻢ ‪.‬ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭﻳﻦ ‪χ،δ‬‬

‫ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ )‪(٥ = ι ، ٨٧ = ε‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬ﻷ ) ﻋﺪﺍ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ ﺻﻔﺮ ( ﺧﺬ ﺱ=‪١ -‬‬

‫♦‬ ‫‪α ( ١٧‬‬

‫ﻫﻞ ﳚﺐ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ ‪ ١= ε‬ﻓﻘﻂ ؟‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ ﳝﻜﻦ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﺃﻭ ﺃﺻـﻐﺮ‬ ‫ﺃﻭ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬ ‫♦‬ ‫‪β ( ١٣‬‬

‫ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﻧﻔـﺲ ﺍﻹﺳـﺘﺮﺍﺗﻴﺠﻴﺔ ﺍﳌﺴـﺘﺨﺪﻣﺔ ﰲ ﺣـﻞ‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ‪.‬‬ ‫♦‬ ‫‪χ ( ١٤‬‬

‫ﺑﺪﻭﻥ ﺣﺴﺎﺑﺎﺕ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﺃﻛـﱪ ﻷﻥ ﻛـﻞ ﻣـﻦ‬

‫ﺍﻟﻄﻮﻝ ‪ +‬ﺍﻟﻌﺮﺽ = ‪١٣‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬ ‫ﺧﺬ ﺍﻟﻄﻮﻝ = ‪ ، ١٠‬ﺍﻟﻌﺮﺽ = ‪٣‬‬ ‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ‪٣٠‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪:‬‬ ‫ﺧﺬ ﺍﻟﻄﻮﻝ = ‪ ، ١٠‬ﺍﻟﻌﺮﺽ = ‪٣‬‬ ‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ‪٣٠‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤــﻮﺩﺍﻥ ﻣﺘﺴــﺎﻭﻳﺎﻥ ﻭﺑﺎﻟﺘــﺎﱄ ﻧﺴــﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴــﺎﺭﻳﻦ‬

‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺜﻼﺛﺔ ﺍﳌﺴﺘﺨﺪﻣﺔ ﻓﻴﻪ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﻧﻈﺎﺋﺮﻫـﺎ‬

‫‪χ،δ‬‬ ‫ﺍﻵﻥ ﺧــﺬ ﺍﻟﻄــﻮﻝ ﻟﻠﻤﺴــﺘﻄﻴﻞ ﰲ ﺍﻟﻌﻤــﻮﺩ ﺍﻟﺜــﺎﱐ ‪٧‬‬

‫♦‬

‫ﻭﺍﻟﻌﺮﺽ ‪ ٦‬ﻓﺘﻜﻮﻥ ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ ‪ ٤٢‬ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﻣﺴـﺎﺣﺔ‬

‫ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪.‬‬

‫ﺍﳌﺴــﺘﻄﻴﻞ ﺑــﺎﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ) ‪ . ( ٣٠‬ﻧﺴــﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴــﺎﺭ‬ ‫‪ . β‬ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﳌﺘﺒﻘﻴﺔ ﻫﻲ ‪. α‬‬

‫♦‬

‫‪١٦٩‬‬

‫‪ ٢‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫‪δ ( ١٨‬‬ ‫ﻓﺎﺗﻮﺭﺓ ﻣﺎﺟﺪ =‪١٨٠٠‬ﺭﻳﺎﻝ‬ ‫ﻓﺎﺗﻮﺭﺓ ﻳﻮﺳﻒ = ‪ ١٤٠٠ = ٤٠٠ − ١٨٠٠‬ﺭﻳﺎﻝ‬ ‫ﻓﺎﺗﻮﺭﺓ ﺃﲪﺪ = ‪ ٢٠٠٠ = ٦٠٠ + ١٤٠٠‬ﺭﻳﺎﻝ‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪٣٤٠٠ = ٢٠٠٠ + ١٤٠٠ :‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪٣٢٠٠:‬‬ ‫ﻭﺍﺿﺢ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬ ‫♦‬ ‫‪χ ( ١٩‬‬

‫‪٣± = ε ⇐٤ ٣ =٤ ε ⇐ ٨١ =٤ ε‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪ ٣ − :‬ﺃﻭ ‪٣‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪٤ :‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﰲ ﺍﳊﺎﻟﺘﲔ ‪.‬‬ ‫♦‬ ‫‪α ( ٢٠‬‬

‫∵‪ε λ ⇐ ε٢ λ + ε‬‬ ‫ﺧﺬ ‪٢ = λ ،٢ − = ε‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ = ‪٤ =٢ ε‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ = ‪٤ =٢ λ‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤــﻮﺩﺍﻥ ﻣﺘﺴــﺎﻭﻳﺎﻥ ﻭﺑﺎﻟﺘــﺎﱄ ﻧﺴــﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴــﺎﺭﻳﻦ‬ ‫‪. χ،δ‬‬

‫ﺍﻵﻥ ﺧﺬ ‪٢ = λ ،٣ − = ε‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ = ‪٩ = ε‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ = ‪٤ =٢ λ‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﻣـﻦ ﺍﻟﻌﻤـﻮﺩ ﺍﻟﺜـﺎﱐ ‪ ،‬ﻭﺑﺎﻟﺘـﺎﱄ‬ ‫ﻧﺴﺘﺒﻌﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭ ‪. β‬‬

‫ﺍﳋﻴﺎﺭ ﺍﻟﻮﺣﻴﺪ ﺍﳌﺘﺒﻘﻲ ﻫﻮ ‪α‬‬ ‫♦‬

‫‪١٧٠‬‬

‫‪β ( ٢١‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬

‫ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ ﺍﳌﺮﺑﻊ = ∂ ‪٢ = ٤‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪:‬‬

‫ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ ﺍﳌﻜﻌﺐ = ‪٢ = ٨ ∂ ٣‬‬ ‫ﻭﺍﺿﺢ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻳﻦ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ ‪.‬‬ ‫♦‬ ‫‪β ( ٢٢‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬ ‫‪١× ١ = ١ ÷ ١‬‬ ‫‪ε ε ١ ε‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪١ × ١ :‬‬ ‫‪ε ε‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ ‪.‬‬ ‫♦‬ ‫‪α ( ٢٣‬‬

‫‪{٣٠،٢٧،١٨،٩} ∈ε‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﳑﻜﻦ ﻳﻜـﻮﻥ ﺃﺻـﻐﺮ ﺃﻭ ﻳﺴـﺎﻭﻱ ﺃﻭ‬ ‫ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﺣﺴﺐ ﻣﺎ ﳔﺘﺎﺭﻩ ﻣـﻦ ﻗـﻴﻢ‬ ‫ﺱ‪.‬‬ ‫♦‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺨﺎﻣﺲ‬

‫‪δ ( ٢٤‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻃﺮﻳﻘﺘﺎﻥ ﺇﻣﺎ ﳓﻮﻝ ﺍﻟﺪﺭﺟﺎﺕ ﺇﱃ ﻓﻬﺮ‪‬ﺎﻳﺖ ﺃﻭ‬ ‫ﺍﻟﻔﻬﺮ‪‬ﺎﻳﺖ ﺇﱃ ﺩﺭﺟﺎﺕ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬ ‫‪٤٨٢ = ٣٢ + ٢٥٠× ٩ = ν‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪:‬‬

‫ﺇﺭﺷﺎﺩﺍﺕ ﺍﻟﺤﻠﻮﻝ‬

‫♦‬ ‫‪δ ( ٢٧‬‬ ‫‪١١‬‬

‫‪١١‬‬

‫∵ ‪١٧‬‬ ‫∵‪٣١‬‬ ‫‪١٧‬‬ ‫♦‬

‫‪( ٢) = ١٦‬‬ ‫‪( ٢) = ٣٢‬‬

‫‪١٤‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٥٦‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪١٤ ٤‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪٥٥‬‬

‫‪٥٦‬‬

‫=‪٢‬‬

‫‪٢ =١١‬‬

‫‪٥٥‬‬

‫‪١٧ ⇐١١ ٣١‬‬

‫‪١٤‬‬

‫‪١١‬‬

‫‪٣١‬‬

‫‪٤٧٠‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﺜﺎﱐ‬ ‫♦‬ ‫‪β ( ٢٥‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬ ‫‪ε٢‬‬ ‫‪ ∂ = λε‬س‪ε = ε = ٢‬‬ ‫∂‪٢ ∂× λ‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪ε :‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ ‪.‬‬ ‫♦‬ ‫‪β ( ٢٦‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪١= ٢×٣ = ٤ = ٤‬‬ ‫‪٢ ٣ ٤ ٣ ١+ ١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪١ :‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫♦‬

‫‪١٧١‬‬

‫‪ ٢‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻳﻦ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪٤٩‬‬

‫‪٥٠‬‬

‫‪٥١‬‬

‫‪٥٢‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪β‬‬ ‫‪٥٣‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٥٤‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٥٥‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٥٦‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٥٧‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٥٨‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٥٩‬‬

‫‪β‬‬

‫‪χ‬‬

‫‪β‬‬

‫‪δ‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫ﻣﻔﺎﺗﻴﺢ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ‪:‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪١‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٨‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪α‬‬ ‫‪٩‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١١‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪١٢‬‬

‫ﺷﺮﺡ ﺍﳊﻠﻮﻝ ‪.‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١٣‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪١٤‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪١٥‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪١٦‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪١٧‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪١٨‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١٩‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٢٠‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٢١‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٢٢‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٢٣‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٢٤‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٢٥‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٢٦‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٢٧‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٢٨‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٢٩‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٣٠‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٣١‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٣٢‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٣٣‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٣٤‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٣٥‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٣٦‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٣٧‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٣٨‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٣٩‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٤٠‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٤١‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٤٢‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٤٣‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٤٤‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٤٥‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٤٦‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٤٧‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٤٨‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪χ‬‬

‫‪α‬‬

‫‪χ‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪١٧٢‬‬

‫‪χ (١‬‬

‫∵ ‪δ‬‬ ‫‪χ‬‬ ‫‪١ (δ‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١ (χ‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١ (β‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١ (α‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫♦‬ ‫‪α (٢‬‬

‫‪β× χ α×δ ⇔ β‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪٤ ٥⇔ ٢‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٨ ٧⇔ ٤‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٨ ٩⇔ ٤‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪١٠ ١١ ⇔ ٥‬‬ ‫‪١١‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﻓﺔ = ﺍﻟﺴﺮﻋﺔ × ﺍﻟﺰﻣﻦ‬ ‫♦‬ ‫‪β(٣‬‬

‫= ‪١٨٠٠٠ = ٣٦٠٠× ٥‬ﻡ‬

‫ﺍﻟﻮﺳﻂ ﺍﳊﺴﺎﰊ = ‪١٠٠ = ١٩٠٠‬‬ ‫‪١٩‬‬ ‫♦‬

‫ﺇﺭﺷﺎﺩﺍﺕ ﺍﻟﺤﻠﻮﻝ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺨﺎﻣﺲ‬

‫‪α (٨‬‬

‫‪δ (٤‬‬ ‫ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﻃـﻮﻝ ﺣـﺮﻑ ﺍﻷﻭﱃ ﻳﺴـﺎﻭﻱ ﺱ ﻭﺍﻟﺜﺎﻧﻴـﺔ‬

‫ﺳﻌﻮﺩﻳﺔ‬

‫ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺹ ‪.‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪٦ ∂ ٣ = ε ⇐ ٦ =٣ ε‬‬ ‫∵‪ε٢ = λ‬‬

‫(‬

‫)‬

‫♦‬ ‫‪α (٥‬‬

‫‪:‬‬

‫‪٥‬‬ ‫‪:‬‬

‫‪٢٥‬‬ ‫♦‬ ‫‪β(٩‬‬

‫‪:‬‬

‫‪١٠‬‬

‫‪١‬‬

‫‪:‬‬

‫‪٢‬‬

‫∵ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ ﻣﺮﺳﻮﻡ ﺩﺍﺧﻞ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻓـﺈﻥ ﻃـﻮﻝ ﻗﻄـﺮﻩ‬ ‫ﻳﺴﺎﻭﻱ ﻃﻮﻝ ﻗﻄﺮ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ‪.‬‬

‫ﻣﻦ ﺷﻜﻞ ﻓﻦ ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ‬

‫ﻃــﻮﻝ ﻗﻄــﺮﻩ = ‪ ٥‬ﺳــﻢ ) ﻷﻥ ‪ ٥ ، ٤ ، ٣‬ﺃﻃــﻮﺍﻝ‬

‫ﳒـــــﺪ ﺃﻥ ﻋـــــﺪﺩ‬

‫ﺃﺿﻼﻉ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ( ‪.‬‬

‫ﺍﳌﺸﺘﺮﻛﲔ ﺑﺎﻷﻧﺸﻄﺔ‬ ‫ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ٥٤ = ١٣ + ٩ + ٢٢‬ﻃﺎﻟﺐ ‪.‬‬

‫ﻋﺪﺩ ﻣﻦ ﱂ ﻳﺸﺘﺮﻛﻮﺍ ﺑﺄﻱ ﻧﺸﺎﻁ ‪٣٣ = ٥٤ − ٧٨‬‬ ‫♦‬ ‫‪δ (٦‬‬

‫∵ )‪χ + χδ٢ +٢ δ =٢ ( χ + δ‬‬

‫‪٢‬‬

‫(‬

‫∴ ∂‪٣ + ٦ ∂ ٢ + ٢ =٢ ٣ ∂ + ٢‬‬

‫∂ ‪٥ ∂٥ × ٥‬‬ ‫∂‪٥‬‬ ‫= ‪٠٫٢٥ = ٢٥ = ٥ × ٥‬‬ ‫× ‪= ٥ ∂٥‬‬ ‫‪١٠٠ ١٠٠‬‬ ‫‪١٠٠‬‬ ‫‪١٠٠‬‬ ‫♦‬ ‫‪δ ( ١١‬‬ ‫‪٤‬‬

‫‪٢‬‬

‫= ‪١٤٤ = ε ⇐ ١٢‬‬

‫♦‬ ‫‪χ ( ١٢‬‬ ‫‪٣٠‬‬

‫‪٢× ٤ =٣٠ ٢ +٣٠ ٢ +٣٠ ٢ +٣٠ ٢‬‬

‫‪٣٠‬‬

‫= ‪٢ ×٢ ٢‬‬ ‫=‪٢‬‬

‫♦‬ ‫‪χ ( ١٠‬‬

‫)‪( ε‬‬

‫♦‬ ‫‪β(٧‬‬

‫‪٣٢‬‬

‫ﳏﻴﻂ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ = ‪ π ٥ = πΩ٢‬ﺳﻢ‬

‫‪٢ ٢‬‬

‫= ‪٦∂٢ + ٥‬‬

‫♦‬

‫‪٢‬‬

‫‪:‬‬

‫‪٤٨ =٣ ٦ ∂ ٣٢ =٣ λ ⇐ ٦ ∂ ٣٢ = λ‬‬

‫)‬

‫‪ :‬ﻫﻨﺪﻳﺔ‬

‫‪:‬‬

‫ﺑﺮﻳﻄﺎﻧﻴﺔ‬

‫ﺑﻌﺪ ﺍﳌﺴﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﱵ ﻳﺴﻠﻜﻬﺎ ﳏﻤﺪ ﺳﻮﻑ ﲡﺪ ﺃ‪‬ﺎ‬ ‫ﲦﺎﻥ ﻣﺴﺎﺭﺍﺕ ﳑﻜﻨﺔ ﻟﻪ ‪.‬‬

‫♦‬ ‫‪α ( ١٣‬‬

‫‪٤‬‬ ‫‪١− ٦) ٦ ٤٦ −٥ ٦‬‬ ‫(‬ ‫‪٤‬‬ ‫=‬ ‫=‪٦‬‬

‫♦‬

‫‪٥‬‬

‫‪١٧٣‬‬

‫‪ ٢‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫‪α ( ١٤‬‬

‫‪χ ( ١٧‬‬

‫ﺑﺎﻟﺘﻨﺎﻇﺮ ﰲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﳒﺪ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫ﳓﻞ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﺑﻄﺮﻳﻘـﺔ ﻋﻜﺴـﻴﺔ ﺑـﺪﺀ ﻣـﻦ ﺍﶈﻄـﺔ‬

‫‪ ٣ = χδ = γα‬ﺳﻢ‬

‫ﺍﻷﺧﲑﺓ ﰒ ﻧﻀﺎﻋﻒ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺮﻛﺎﺏ ﰲ ﻛـﻞ ﳏﻄـﺔ‬

‫∴ ‪ ١= γδ‬ﺳﻢ ‪.‬‬

‫ﺳﺎﺑﻘﺔ ﳍﺎ ﺣﱴ ﻧﻮﺻﻞ ﻟﻠﻤﺤﻄﺔ ﺍﻷﻭﱃ‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ‪ ٤٫٥ = ٩ ×١× ١‬ﺳﻢ‬ ‫‪٢‬‬ ‫♦‬ ‫‪β ( ١٥‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﻣﺴــﺎﺣﺔ ﺍﳌﻨﻄﻘــﺔ ﺍﳌﻈﻠﻠــﺔ ﺗﺴــﺎﻭﻱ ﻣﺴــﺎﺣﺔ ﺍﳌﺮﺑــﻊ‬ ‫ﻣﻄﺮﻭﺣ ﹰﺎ ﻣﻨﻬﺎ ﻣﺴﺎﺣﱵ ﺍﳌﺜﻠﺜﲔ ﺍﳌﺘﻄﺎﺑﻘﲔ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺜﻠﺚ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪ‬ ‫= ‪ ٢٫٢٥ = ٩ = ٣ × ٣ × ١‬ﺳﻢ‪٢‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٢ ٢‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺮﺑﻊ = ‪ ٩‬ﺳﻢ‪٢‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ﺍﳌﻈﻠﻠﺔ‬

‫= ‪ ٤٫٥ = ٢٫٢٥ × ٢ − ٩‬ﺳﻢ‪٢‬‬

‫♦‬ ‫‪χ ( ١٦‬‬

‫∵ ‪١‬ﻟﺘﺮ =‪ ١٠٠٠‬ﺳﻢ‬

‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬

‫∴ ‪١٢‬ﻟﺘﺮ =‪ ١٢٠٠٠‬ﺳﻢ‬ ‫ﺍﳊﺠﻢ‬ ‫∴ ﺍﺭﺗﻔــﺎﻉ ﺍﳌــﺎﺀ =‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ‬ ‫♦‬

‫‪١٧٤‬‬

‫= ‪ ٨ = ١٢٠٠٠‬ﺳﻢ‬ ‫‪٥٠× ٣٠‬‬

‫ﺍﶈﻄﺔ ‪٧‬‬

‫‪٦‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪١‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪٨‬‬

‫‪١٦‬‬

‫‪٣٢‬‬

‫‪٦٤‬‬

‫ﺍﻟﻌﺪﺩ‬

‫♦‬ ‫‪α ( ١٨‬‬

‫ﻋﺪﺩ ﻃﺮﻕ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﻗﻠﻢ ﻭﺍﺣﺪ = ‪٣‬‬ ‫ﻋﺪﺩ ﻃﺮﻕ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﺩﻓﺘﺮ ﻭﺍﺣﺪ = ‪٣‬‬

‫ﻋﺪﺩ ﻃﺮﻕ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﺴﻄﺮﺓ ﻭﺍﺣﺪﺓ = ‪٣‬‬ ‫ﻋــــــﺪﺩ ﻃــــــﺮﻕ ﺍﻻﺧﺘﻴــــــﺎﺭ ﺍﳌﻄﻠﻮﺑــــــﺔ‬ ‫= ‪ ٢٧ = ٣ × ٣ × ٣‬ﻃﺮﻳﻘﺔ‬

‫♦‬ ‫‪β ( ١٩‬‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺴﺎﻋﺎﺕ ﺍﻟﱵ ﻳﻌﻤﻠﻬﺎ ﺑﺎﻷﺳﺒﻮﻉ‬ ‫‪ ٣٦ = ٢× ٦ + ٣ × ٨‬ﺳﺎﻋﺔ‬ ‫ﺃﺟﺮﺓ ﺑﺎﻟﺴﺎﻋﺔ = ‪ ٩ = ٣٢٤‬ﺭﻳﺎﻻﺕ ‪.‬‬ ‫‪٣٦‬‬ ‫♦‬ ‫‪β ( ٢٠‬‬

‫‪δ٢ = Ω ⇐ π٢δ٤ = π٢Ω‬‬ ‫ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ ﺍﳌﺮﺑﻊ = ‪δ٤ = δ٢ × ٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺮﺑﻊ = ‪δ١٦‬‬ ‫♦‬

‫ﺇﺭﺷﺎﺩﺍﺕ ﺍﻟﺤﻠﻮﻝ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺨﺎﻣﺲ‬

‫‪β ( ٢١‬‬

‫‪β ( ٢٣‬‬

‫ﺃﻓﺮﺽ ﺃﻥ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ = ‪ε‬‬ ‫ﻭﻣﻦ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﺍﳌﺜﻠﺚ ﺗﻜﻮﻥ ﺱ ‪:‬‬

‫‪٣٠٢٤٠ = ٣٠٠٠٠ + ٢٠٠ + ٤٠‬‬ ‫♦‬ ‫‪β ( ٢٤‬‬

‫) ‪١ + ι٢ ε ١ ⇐ (١ + ι ) + ι ε ι − (١+ ι‬‬

‫∵ ) ‪ι٢ − ١٢ = ε ⇐ ١٣ = ε + ι + (١+ ι‬‬ ‫‪١+ ι٢ ι٢ − ١٢‬‬ ‫‪١١− ι٤ −‬‬ ‫‪١١ ι‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫∴‪٣ = ι‬‬ ‫∵‪٦ = ٣ × ٢ − ١٢ = ε ⇐ ι٢ − ١٢ = ε‬‬ ‫♦‬ ‫‪α ( ٢٢‬‬

‫ﺍﻟﻔﻜﺮﺓ ﻫﻲ ﺇﳚﺎﺩ ﺧﺎﻧﺔ ﺍﻵﺣﺎﺩ ﰲ ﺍﻟﺮﻗﻢ ﺍﳌﻌﻄﻰ ﰒ‬ ‫ﻣﻀﺎﻋﻔﺘﻪ ‪.‬‬ ‫ﻹﳚﺎﺩ ﺧﺎﻧﺔ ﺍﻵﺣﺎﺩ ﻧﺮﻓﻊ ﺍﻟﻌﺪﺩ ) ﺍﻷﺳﺎﺱ ﺍﳌﻌﻄـﻰ (‬ ‫ﺇﱃ ﻗﻮﻯ ﻛﻠﻴﺔ ﻣﺘﻮﺍﻟﻴﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺼﻔﺮ ﺣـﱴ ﻳﻈﻬـﺮ ﻟﻨـﺎ‬ ‫ﺍﻟﺮﻗﻢ ﻣﺘﻜﺮﺭ ﻭﻳﻜﻮﻥ ﻫﻮ ﺧﺎﻧﺔ ﺍﻵﺣﺎﺩ ‪.‬‬

‫ﻧﻼﺣـــﻆ ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴـــﺎﺕ ‪١ =٠ ٢‬‬ ‫ﺍ‪‬ﺎﻭﺭﺓ ﺃﻥ ﺍﻟﻌـﺪﺩ " ‪٢ =١ ٢ " ٤‬‬ ‫ﻫـــﻮ ﺃﻭﻝ ﻋـــﺪﺩ ﺑـــﺪﺃ‬ ‫ﺍﻟﺘﻜــﺮﺍﺭ ﰲ ﻋﻤﻠﻴــﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺮﻓﻊ ﻟﻠﻘـﻮﻯ ﺍﳌﺘﺘﺎﻟﻴـﺔ ‪،‬‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﺘــﺎﱄ ﻳﻜــﻮﻥ ﺧﺎﻧــﺔ‬ ‫ﺍﻵﺣـــــﺎﺩ ﺍﻟـــــﺮﻗﻢ ‪٤‬‬ ‫ﻭﲟﻀﺎﻋﻔﺘﻪ ﻳﻜﻮﻥ ‪٨‬‬

‫‪٤ =٢ ٢‬‬ ‫‪٨ =٣ ٢‬‬ ‫‪٦ ← ١٦ =٤ ٢‬‬ ‫‪٢← ٣٢ =٥ ٢‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪٤ ← ٦٤ = ٢‬‬

‫ﺃﻛﱪ ﻃﻮﻝ ﻗﻄﺮ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺓ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﻋﺮﺽ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ﺍﳌﻈﻠﻠﺔ ﺗﺴـﺎﻭﻱ ﻣﺴـﺎﺣﺔ ﺍﳌﺴـﺘﻄﻴﻞ‬ ‫ﻣﻄﺮﻭﺣ ﹰﺎ ﻣﻨﻬﺎ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺩﺍﺋﺮﺗﲔ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺘﲔ ‪.‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪﺓ‬

‫= ‪π١٦ = π٢ (٤) = π٢Ω‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ‬

‫ﺳﻢ‪٢‬‬

‫= ‪ ١٢٨ = ٨ × ١٦‬ﺳﻢ‪٢‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ﺍﳌﻈﻠﻠﺔ ‪:‬‬

‫‪٢٧ π٣٢ − ١٢٨ = π١٦ × ٢ − ١٢٨‬‬ ‫♦‬ ‫‪α ( ٢٥‬‬

‫ﺳﻢ‪٢‬‬

‫⎞‪⎛ ٦‬‬ ‫⎟ ⎜ = ‪ ١٥ = ٥ × ٦‬ﻣﺼﺎﻓﺤﺔ ‪.‬‬ ‫⎠‪١× ٢ ⎝ ٢‬‬ ‫♦‬ ‫‪α ( ٢٦‬‬ ‫)‪٥٥ = ( λ − ε)( λ + ε‬‬ ‫)‪٥٥ = ١١× ( λ + ε‬‬ ‫∴‪٥ = λ + ε‬‬ ‫⎫‪١١ = λ − ε‬‬ ‫ﻭﲝﻞ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ‪⎬ :‬‬ ‫⎭ ‪٥=λ+ε‬‬ ‫ﳒﺪ ﺃﻥ ‪. ٣− = λ‬‬ ‫♦‬

‫♦‬

‫‪١٧٥‬‬

‫‪ ٢‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫‪χ ( ٢٧‬‬

‫‪χ ( ٣٠‬‬

‫ﻃﻮﻝ ﻗﻄﺮ ﻧﺼﻒ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﻃﻮﻝ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ‬ ‫‪π ٨ = π٢Ω × ١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪π ٨×٢ ٢‬‬ ‫‪= Ω‬‬ ‫= ‪ ٤ = Ω ⇐ ١٦‬ﺳﻢ‬ ‫‪π‬‬ ‫ﻃﻮﻝ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ = ‪ ٨ = ٤ × ٢ = ε‬ﺳﻢ‬

‫ﺍﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻫﻲ ‪٣،٣،٥،١‬‬ ‫) ﻻﺣﻆ ﺑﺄﻥ ﺣﺪﻭﺩ ﺍﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺑﺪﺀ ﻣﻦ ﺍﳊﺪ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ﺇﱃ‬

‫ﻋﺮﺽ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ = ‪λ‬‬ ‫∵‪ ٥ = ٨ − ١٣ = λ ⇐ ١٣ = λ + ε‬ﺳﻢ‬

‫ﳏﻴﻂ ﻧﺼﻒ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ = ‪π٤ = πΩ‬‬ ‫ﳏﻴﻂ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ﺍﳌﻈﻠﻠﺔ = ﳏﻴﻂ ﻧﺼﻒ ﺍﻟـﺪﺍﺋﺮﺓ ‪+‬‬ ‫ﻃﻮﻝ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ = ‪ π٤ + ٨‬ﺳ ﻢ‬ ‫ﳏﻴﻂ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ﺍﻟﻐﲑ ﻣﻈﻠﻠﺔ ‪:‬‬

‫‪ ١٫٥٥‬ﺭﻳﺎﻝ = ‪ ١٥٥‬ﻫﻠﻠﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺴﻌﺮ) ﺑﺎﳍﻠﻠﺔ (‬ ‫ﺍﻟﻮﺯﻥ ) ﺑﺎﳉﺮﺍﻡ (‬ ‫♦‬ ‫‪β ( ٢٩‬‬

‫‪٦٥‬‬ ‫‪٢٥٠‬‬

‫ﺃﻓﺮﺽ ﺃﻥ ﻭﺯﻥ ﺍﻟﻌﻠﺒﺔ ﻓﺎﺭﻏﺔ = ‪λ‬‬ ‫ﻭﺯﻥ ﺍﻟﻄﻌﺎﻡ = ‪ε‬‬

‫⎫‪٢ = λ + ε‬‬ ‫⎪‬ ‫ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﺣﻞ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ‪⎬ :‬‬ ‫‪١‬‬ ‫⎪ ‪٠٫٨ = λ + ε‬‬ ‫⎭‪٤‬‬ ‫ﻭﲝﻞ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ﳒﺪ ﺃﻥ ‪ ٠٫٤ = λ‬ﻛﺠﻢ ‪.‬‬ ‫♦‬

‫‪١٧٦‬‬

‫ﺍﳊﺪ ﺍﳋﺎﻣﺲ ﻭﺍﻟﻌﺸﺮﻭﻥ ﻓﻴﻬﺎ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪٣‬‬ ‫♦‬ ‫‪α ( ٣١‬‬ ‫‪ε٢‬‬

‫∵‪λ = ε λ‬‬

‫∴ ‪٣ =٤×٢ ٣ = ٤ ٣‬‬ ‫⇐‪٣‬‬

‫‪٨‬‬

‫‪( ٣) = ٢‬‬

‫‪٨‬‬

‫‪٢×٢ ٨‬‬

‫=‪٣‬‬

‫‪٤×٨‬‬

‫=‪٣‬‬

‫‪٣٢‬‬

‫♦‬ ‫‪χ ( ٣٢‬‬ ‫ﻧﻮﺟﺪ ﺱ ﺑﺪﻻﻟﺔ ﺹ‬ ‫∵ ‪λ٢ − ١٣ = ε‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﻗﻴﻤﺔ ﺹ ﻣﻦ ﺃﺣﺪ ﺍﳋﻴﺎﺭﺍﺕ ﲝﻴﺚ ﻳﻜـﻮﻥ‬

‫= ‪ π٤− ١٨ = (π٤+ ٨ ) − ٢٦‬ﺳﻢ‬ ‫♦‬ ‫‪χ ( ٢٨‬‬

‫‪٩٠‬‬ ‫‪٩٠٠‬‬

‫ﻣﺎ ﻻ‪‬ﺎﺋﻴﺔ ﺗﻜﻮﻥ ﺛﺎﺑﺘﺔ ﻭﺗﺴﺎﻭﻱ ‪( ٣‬‬

‫‪١٥٥‬‬ ‫‪١١٥٠‬‬

‫ﺍﻟﺒﺴﻂ ﻳﻘﺒﻞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ٣‬ﰲ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺃﻋﻼﻩ ‪.‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺠﺮﻳﺐ ﺳﻮﻑ ﲡﺪ ﺃﻥ ‪. ٢ = λ‬‬ ‫♦‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺨﺎﻣﺲ‬

‫‪χ ( ٣٣‬‬ ‫‪٥‬‬

‫ﺇﺭﺷﺎﺩﺍﺕ ﺍﻟﺤﻠﻮﻝ‬

‫ﻷﻥ ‪:‬‬

‫‪δ‬‬

‫‪β χ +‬‬ ‫‪α ٤ ٣‬‬ ‫ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﳚﺐ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪٨ = χ‬‬ ‫) ﻷﻥ ‪ ) (١٣ = ٨ + ٥‬ﻧﻜﺘﺐ ‪ ٣‬ﻭﺑﺎﻟﻴﺪ ‪( ١‬‬ ‫ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪:‬‬

‫‪ )١٣ = β + δ ⇐ ١٤ = β + δ + ١‬ﻧﻜﺘــــــﺐ ‪٤‬‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﻴﺪ ‪( ١‬‬ ‫ﰲ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ‪:‬‬

‫‪α = ١=٠+ ١‬‬

‫∴‪٢٢ = ١ + ١٣ + ٨ = α + β + χ + δ‬‬ ‫♦‬ ‫‪α ( ٣٤‬‬ ‫ﻣــﻦ ﺍﻟﺸــﻜﻞ ﺍﳌﻘﺎﺑــﻞ‬ ‫ﺃﻛـــﱪ ﻃـــﻮﻝ ﻗﻄﻌـــﺔ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﻮﺗﺮ ﰲ‬

‫ﺍﳌﺜﻠﺚ ﺍﻟﺬﻱ ﺿﻠﻌﺎﻩ ﺍﻟﻘﺎﺋﻤﺎﻥ ‪٤،٢‬‬ ‫ﻭﻃﻮﳍﺎ = ∂‪ ٥ ∂٢ = ٥ × ٤ ∂ = ٢٠‬ﻭﺣﺪﺓ ‪.‬‬ ‫♦‬ ‫‪δ ( ٣٥‬‬ ‫ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪٢٥ − ε٥ = ٣٠ − λ٦ ⇐ ٥ = ٥ − λ‬‬ ‫‪٦ ٥−ε‬‬

‫∴ ‪٥ = ε٥ −λ٦‬‬ ‫ﺑﺘﺠﺮﻳﺐ ﺍﳋﻴـﺎﺭﺍﺕ ﰲ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟـﺔ ﺍﳌﺴـﺘﻨﺘﺠﺔ ﳒـﺪ ﺃﻥ‬

‫‪٥ ≠ ٠٫٥ = ١٢٫٥ − ١٢ ⇐ ε٥ −λ٦‬‬ ‫♦‬ ‫‪α ( ٣٦‬‬ ‫ﻭﺍﺿﺢ ﺃﻥ ﻛﻞ ﺣﺪ ﻣﻦ ﺣﺪﻭﺩ ﺍﳌﺘﺘﺎﺑﻌـﺔ ﺃﻛـﱪ ﻣـﻦ‬ ‫ﺍﳊﺪ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﺴﺒﻘﻪ ﲟﻘﺪﺍﺭ ﺛﺎﺑﺖ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪. ٤‬‬ ‫ﻭﺣﻴﺚ ﺃﻥ ﺃﻭﻝ ﺣﺪ ﻫﻮ ﻣﻦ ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﺍﻟﻌـﺪﺩ ‪ ٤‬ﻓـﺈﻥ‬ ‫ﻛــﻞ ﺣــﺪ ﻣــﻦ ﺣــﺪﻭﺩﻫﺎ ﳚــﺐ ﺃﻥ ﻳﻜــﻮﻥ ﻣــﻦ‬ ‫ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪. ٤‬‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﳒﺮﺏ ﺍﳋﻴﺎﺭﺍﺕ ﻓﺎﳋﻴﺎﺭ ﺍﻟﺬﻱ ﻻ ﻳﻘﺒﻞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪ ٤‬ﻫﻮ ﺍﳋﻴﺎﺭ ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ‪.‬‬ ‫♦‬ ‫‪χ ( ٣٧‬‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ = ‪ ٥٢ = ١+ ٧٤ − ١٢٥‬ﺳﺆﺍ ﹰﻻ‬ ‫♦‬ ‫‪δ ( ٣٨‬‬

‫ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﻥ ‪ βχδ،διγ‬ﻣﺘﺸﺎ‪‬ﺎﻥ ﻷﻥ ‪:‬‬ ‫‪ δ‬ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﺸﺘﺮﻛﺔ ‪.‬‬

‫‪ ιβχ = διγ‬ﺑﺎﻟﺘﻨﺎﻇﺮ ﻷﻥ ]‪[βχ] [ιγ‬‬ ‫‪ ιγδ = βχγ‬ﺑﺎﻟﺘﻨﺎﻇﺮ ﻷﻥ ]‪[βχ] [ιγ‬‬

‫ﻧﺴﺒﺔ ﺍﻟﺘﺸﺎﺑﻪ = ‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪γιδ κ‬‬ ‫= ‪ ١٠ = γιδ κ ⇐٢ ١‬ﺳ ﻢ‪٢‬‬ ‫∵‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٤٠‬‬ ‫) ‪ γιδ κ‬ﺗﻌﲏ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺜﻠﺚ ‪( γιδ‬‬

‫)(‬

‫♦‬

‫ﺍﳋﻴﺎﺭ ﺍﻷﻭﻝ ﻫﻮ ﺍﻟﻮﺣﻴﺪ ﺍﻟﺬﻱ ﻻ ﳛﻘﻘﻬﺎ‬

‫‪١٧٧‬‬

‫‪ ٢‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫‪β ( ٣٩‬‬

‫‪δ ( ٤٣‬‬

‫ﰲ ﺍﻟﺸــﻜﻞ ﺍ‪‬ــﺎﻭﺭ‬

‫ﲟﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﻳﻮﺟﺪ ﻓﻴﻪ ﻣﺮﺑﻌﲔ ﺻﻐﲑﻳﻦ ‪ ،‬ﻓﻬـﺬﺍ‬

‫ﺭﲰﻨـــــــــــــــــﺎ‬

‫ﻼ‬ ‫ﻳﻌﲏ ﺃﻥ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﻱ ﻫﻮ ﻋﻤـﻮﺩﻱ ﻋﻠـﻰ ﻛـ ﹰ‬

‫] ‪αβ] χδ⎤⎦ κγ‬‬ ‫‪ °٥٠ = βγκ = αβγ‬ﺑﺎﻟﺘﺒﺎﺩﻝ‬

‫ﻣﻦ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻤﲔ ﺍﻷﻓﻘﻴﲔ ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﺍﻷﻓﻘﻴﺎﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ ‪.‬‬ ‫ﲟﺎ ﺃﻥ ﻛﻞ ﺯﺍﻭﻳﺘﲔ ﺩﺍﺧﻠﻴﺘﲔ ﻭﰲ ﺟﻬﺔ ﻭﺍﺣـﺪﺓ ﻣـﻦ‬

‫‪°٣٠ = κγδ = γδχ‬‬

‫ﺍﻟﻘﺎﻃﻊ ﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺘﺎﻥ ‪.‬‬ ‫∵ ‪°١٨٠ = ١٤٠ + ε‬‬

‫∴‪°٨٠ = ٣٠ + ٥٠ = βγδ‬‬ ‫♦‬ ‫‪χ ( ٤٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪= χ− δ‬‬ ‫‪χ−δ‬‬

‫)‪( χ − δ) ( χ + δ‬‬ ‫‪χ−δ‬‬

‫=‪χ+δ‬‬

‫♦‬ ‫‪δ ( ٤١‬‬ ‫ﻃــﻮﻝ ﻧﺼــﻒ ﻗﻄــﺮ ﺍﻟــﺪﺍﺋﺮﺓ ﻳﺴــﺎﻭﻱ ﻃــﻮﻝ ﻗﻄــﺮ‬

‫ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻞ =‪١٠‬‬ ‫ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ ﺍﳌﻘﺎﺑﻠـﺔ ﻟﻠﻘـﻮﺱ ﺑﺎﻟﺮﺍﺩﻳـﺎﻥ‬ ‫ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ π‬ﺭﺍﺩﻳﺎﻥ ‪.‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻘﻮﺱ‬ ‫= ‪ π ٥ = ١٠× π = Ω × α = τ‬ﺳﻢ‬ ‫‪٢‬‬ ‫♦‬ ‫‪α ( ٤٢‬‬ ‫ﻛﻞ ﻗﻴﻤﺔ ﻟـ ﺹ ﺗﻨﺘﺞ ﻣﻦ ﺗﺮﺑﻴـﻊ ﻗـﻴﻢ ﺱ ﺍﳌﻨـﺎﻇﺮﺓ‬ ‫ﳍﺎ ﻭﺇﺿﺎﻓﺔ ‪. ١‬‬ ‫♦‬

‫∴‪°٤٠ = ١٤٠ − ١٨٠ = ε‬‬ ‫♦‬ ‫‪χ ( ٤٤‬‬ ‫ﻳﻜﻤﻞ ﻋﻘـﺮﺏ ﺍﻟﺴـﺎﻋﺎﺕ ﺩﻭﺭﺓ ﻛﺎﻣﻠـﺔ ﺧـﻼﻝ ‪١٢‬‬ ‫ﺳﺎﻋﺔ ‪ .‬ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻓﺈﻥ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺪﺭﺟﺎﺕ ﺍﻟﱵ ﻳﻘﻄﻌﻬﺎ ﰲ‬ ‫ﻛﻞ ﺳﺎﻋﺔ = ‪°٣٠ = °٣٦٠‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫ﺃﻱ ﰲ ﻛﻞ ‪ ٦٠‬ﺩﻗﻴﻘﺔ ﻳﻘﻄﻊ ﻋﻘﺮﺏ ﺍﻟﺴﺎﻋﺎﺕ ‪°٣٠‬‬ ‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻓﺈﻧﻪ ﰲ ‪ ٨٠‬ﺩﻗﻴﻘﺔ ﺳﻮﻑ ﻳﻘﻄﻊ ‪:‬‬ ‫‪°٤٠ = °٣٠× ٨٠‬‬ ‫‪٦٠‬‬ ‫♦‬ ‫‪χ (٤٥‬‬

‫∵ ‪( λ − ε )( λ + ε ) = ٢ λ − ٢ ε‬‬

‫‪λ − ٢ε‬‬ ‫∴‪= λ + ε‬‬ ‫‪λ−ε‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫=‬ ‫‪١٠‬‬ ‫⇐‪٢=λ+ε‬‬ ‫ﻭﲝﻞ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺘﲔ‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢ = λ + ε ، ١٠ = λ − ε‬‬

‫ﳒﺪ ﺃﻥ ‪♦٤ − = λ‬‬ ‫‪١٧٨‬‬

‫ﺇﺭﺷﺎﺩﺍﺕ ﺍﻟﺤﻠﻮﻝ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺨﺎﻣﺲ‬

‫‪χ ( ٥٠‬‬

‫‪α ( ٤٦‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫) ‪χ+ χδ٢ + ٢ δ = ( χ+ δ‬‬

‫‪٢‬‬

‫∵‪١٠٠ = ٢ χ+ ٢ δ‬‬ ‫‪١‬‬ ‫∵ ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ‪٢٠ = χδ‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫∴‪٤٠ = χδ‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫∵ ) ‪χδ٢ + ( ٢ χ+ ٢ δ ) = ( χ+ δ‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫∴ ) ‪١٨٠ = ( ٤٠)٢ + ١٠٠ = ( χ+ δ‬‬ ‫♦‬ ‫‪χ ( ٤٧‬‬ ‫∵ ‪١٢ = ٣ ⇐ ١٢ = ١ + ١ + ١‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫‪ε ε ε‬‬ ‫∴‪١ = ٣ = ε ⇐ ٣ = ε١٢‬‬ ‫‪٤ ١٢‬‬ ‫♦‬ ‫‪β ( ٤٨‬‬ ‫ﺧﺎﻧﺔ ﺍﳌﺌﺎﺕ ﰲ ﺍﳉﺰﺀ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻫﻲ ﺛﺎﻟﺚ ﺧﺎﻧﺔ ﻋﻠـﻰ‬ ‫ﻳﺴﺎﺭ ﺍﻟﻔﺎﺻﻠﺔ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ‪ ،‬ﻭﺧﺎﻧـﺔ ﺍﳌﺌـﺎﺕ ﰲ ﺍﳉـﺰﺀ‬ ‫ﺍﻟﻌﺸﺮﻱ ﻫﻲ ﺛﺎﱐ ﺧﺎﻧﺔ ﻋﻠﻰ ﳝﲔ ﺍﻟﻔﺎﺻﻠﺔ ﺍﻟﻌﺸﺮﻳﺔ‬

‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﳌﻄﻠﻮﺏ ﻫﻮ ‪٢٢٤٢٫٤٢٤٢ :‬‬ ‫♦‬ ‫‪β ( ٤٩‬‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﳌﺒﺎﺭﻳﺎﺕ ﺍﻟﱵ ﺧﺴﺮﻫﺎ = ‪λ − ε‬‬

‫ﺍﻟﻜﺴــﺮ ﺍﻟــﺬﻱ ﳝﺜــﻞ ﺧﺴــﺎﺭﺗﻪ ﰲ ﺍﳌﺒﺎﺭﻳــﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪λ−ε‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫♦‬

‫ﺃﻓﺮﺽ ﺃﻥ ﺍﳌﺒﻠﻎ = ‪ ١٠‬ﺭﻳﺎﻻﺕ‬ ‫ﺧﺴﺮ ‪ ⊆ ١٠‬ﻣﻦ ‪ ١ = ١٠‬ﺭﻳﺎﻝ ﻭﺍﺣﺪ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ﺑﻌﺪ ﺧﺴﺎﺭﺗﻪ = ‪ ٩ = ١ − ١٠‬ﺭﻳﺎﻻﺕ ‪.‬‬ ‫ﺭﺑﺢ ‪ ⊆ ١٠‬ﻣﻦ ‪ ٠٫٩ = ٩‬ﺭﻳﺎﻝ ‪.‬‬ ‫ﺍﳌﺒﻠﻎ ﺑﻌﺪ ﺍﻟﺮﺑﺢ = ‪ ٩٫٩ = ٠٫٩ + ٩‬ﺭﻳﺎﻝ‬

‫∴ﻧﺴﺒﺔ ‪ ε١٠‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫) ‪ ⊆ ٩٫٩‬ﻣﻦ ‪١٠× ( ١٠‬‬

‫= ‪ ٩٫٩‬ﻣﻦ ‪⊆ ٩٫٩ = ١٠٠‬‬ ‫♦‬ ‫‪β ( ٥١‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬ ‫‪δ‬‬ ‫‪χ‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪α‬‬

‫= ‪α×δ = α × δ = β ÷ δ‬‬ ‫‪β× χ β χ α χ‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪:‬‬

‫‪α×δ‬‬ ‫‪β× χ‬‬ ‫∴ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ‬ ‫♦‬ ‫‪β ( ٥٢‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪٢٠ :‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪:‬‬ ‫ﳎﻤﻮﻉ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻷﺭﺑﻌﺔ = ‪٨٠ = ٢٠× ٤‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ = ‪٢٠ = ٦٠ − ٨٠‬‬ ‫♦‬

‫‪١٧٩‬‬

‫‪ ٢‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫‪δ ( ٥٣‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪٧ = ٤ + ٣ = ١٦ ∂ + ٩ ∂ :‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪٥ = ٢٥ ∂ = ١٦ + ٩ ∂ :‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪.‬‬ ‫♦‬ ‫‪β ( ٥٤‬‬

‫ﺑﺪﻭﻥ ﺇﺟﺮﺍﺀ ﺣﺴﺎﺑﺎﺕ ﲟﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺠﻠـﺘﲔ ﻋﻠـﻰ ﻧﻔـﺲ‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺍﺟﺔ ﻓﺈ‪‬ﻤﺎ ﺳﻮﻑ ﻳﻘﻄﻌﺎﻥ ﺍﳌﺴﺎﻓﺔ ﻧﻔﺴﻬﺎ‬ ‫♦‬ ‫‪δ ( ٥٥‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬ ‫‪ = βχ + χδ‬ﻧﺼﻒ ﺍﶈﻴﻂ‬

‫∴ ‪٢ + ι٢ = βχ + χδ‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪ι٢ :‬‬ ‫ﻭﺑﻄﺮﺡ ‪ ι٢‬ﻣـﻦ ﺍﻟﻌﻤـﻮﺩﻳﻦ ﳒـﺪ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﻤـﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ) ﻷﻥ ‪( ٠ ٢‬‬ ‫♦‬ ‫‪β ( ٥٦‬‬

‫‪χ ( ٥٧‬‬

‫ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺱ‬‫∵ ﺍﳌﻴـــﻞ =‬ ‫ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺹ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬ ‫‪٦− = ٦ − = κ‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪:‬‬

‫‪(٤ − ) − = κ‬‬

‫=‪٤‬‬

‫‪١‬‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫♦‬ ‫‪β ( ٥٨‬‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬ ‫‪ ⊆ ٤٠‬ﻣﻦ ‪⊆ ١٠ = ١× ⊆ ٤٠ = ١‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪:‬‬ ‫‪ ⊆ ٢٥‬ﻣﻦ ‪⊆ ١٠ = ٢× ⊆ ٢٥ = ٢‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ‬ ‫♦‬ ‫‪δ ( ٥٩‬‬

‫ﺑﺪﻭﻥ ﺇﺟﺮﺍﺀ ﺣﺴﺎﺑﺎﺕ ﲟﺎ ﺃﻥ ﺑﺎﺳﻞ ﻭﺳـﻬﻴﻞ ﻛﺎﻧـﺖ‬

‫ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬ ‫∴ ‪ε × ( ١٠ + ٤٠) = ٣٥ × ٤٠‬‬

‫ﻧﻔﺲ ﺍﳌﺒﻠﻎ ‪.‬‬

‫∴ ‪٣٥ × ٤٠ = ε‬‬ ‫‪٥٠‬‬ ‫= ‪٢٨‬‬ ‫ﺇﺫﹰﺍ ‪ :‬ﻋﺪﺩ ﺍﻷﻳﺎﻡ ﺍﳌﻄﻠﻮﺑﺔ = ‪ ٢٨‬ﻳﻮﻣ ﹰﺎ ‪.‬‬ ‫ﻭﺍﺿﺢ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻷﻭﻝ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﺜﺎﱐ‬

‫ﻧﺴﺒﺘﻬﻤﺎ ﻫﻲ ‪ ١ : ١‬ﻓـﺈﻥ ﻛـﻞ ﻣﻨـﻬﻤﺎ ﺣﺼـﻞ ﻋﻠـﻰ‬ ‫∴ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ ‪.‬‬ ‫♦‬

‫♦‬

‫‪١٨٠‬‬

‫ﻣﻔﺎﺗﻴﺢ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﻟﻼﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻴﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺨﺎﻣﺲ‬

‫ﻣﻔﺎﺗﻴﺢ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﻟﻼﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﱯ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪١٧‬‬

‫‪١٨‬‬

‫‪١٩‬‬

‫‪٢٠‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٢١‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٢٢‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٢٣‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٢٤‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪β‬‬ ‫‪٢٥‬‬

‫‪β‬‬

‫‪δ‬‬

‫‪β‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪١‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪β‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٨‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٩‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪١١‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١٢‬‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‪:‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪١٣‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١٤‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪١٥‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪١٦‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪١٧‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪١٨‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪١٩‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٢٠‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٢١‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٢٢‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٢٣‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٢٤‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٢٥‬‬

‫‪α‬‬

‫‪χ‬‬

‫‪δ‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪χ‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪١‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٨‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪α‬‬ ‫‪٩‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫‪β‬‬

‫‪χ‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪α‬‬

‫‪δ‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪١‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٨‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٩‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪١١‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪١٢‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪χ‬‬ ‫‪١٣‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪١٤‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١٥‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪١٦‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪β‬‬

‫‪χ‬‬

‫‪α‬‬

‫‪δ‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪١٨١‬‬

‫‪ ٢‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫ﻣﻔﺎﺗﻴﺢ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﻟﻼﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﱯ ﺍﻟﺜﺎﱐ‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪١٧‬‬

‫‪١٨‬‬

‫‪١٩‬‬

‫‪٢٠‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪α‬‬ ‫‪٢١‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٢٢‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٢٣‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٢٤‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪β‬‬ ‫‪٢٥‬‬

‫‪β‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪١‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٨‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٩‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١١‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪١٢‬‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‪:‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪١٣‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪١٤‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪١٥‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪١٦‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪١٧‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪١٨‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪١٩‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٢٠‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٢١‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٢٢‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٢٣‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٢٤‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪α‬‬ ‫‪٢٥‬‬

‫‪δ‬‬

‫‪α‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪δ‬‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪١‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪β‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٨‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٩‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪١١‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١٢‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪β‬‬ ‫‪١٣‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪١٤‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١٥‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١٦‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪β‬‬

‫‪χ‬‬

‫‪β‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪١٨٢‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪١‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٨‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪β‬‬ ‫‪٩‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫‪β‬‬

‫‪χ‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪β‬‬

‫‪δ‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫ﻣﻔﺎﺗﻴﺢ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﻟﻼﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻴﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺨﺎﻣﺲ‬

‫ﻣﻔﺎﺗﻴﺢ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﻟﻼﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﱯ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪١٧‬‬

‫‪١٨‬‬

‫‪١٩‬‬

‫‪٢٠‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪α‬‬ ‫‪٢١‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٢٢‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٢٣‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٢٤‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪β‬‬ ‫‪٢٥‬‬

‫‪α‬‬

‫‪β‬‬

‫‪χ‬‬

‫‪δ‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪١‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٨‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٩‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪١١‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪١٢‬‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‪:‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١٣‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١٤‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪١٥‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪١٦‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪١٧‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١٨‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪١٩‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٢٠‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٢١‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٢٢‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٢٣‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٢٤‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٢٥‬‬

‫‪β‬‬

‫‪δ‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪δ‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪١‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪β‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٨‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٩‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫‪χ‬‬

‫‪α‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪α‬‬

‫‪β‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪١‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪β‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٨‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٩‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪١١‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪١٢‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪β‬‬ ‫‪١٣‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪١٤‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪١٥‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١٦‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪α‬‬

‫‪β‬‬

‫‪δ‬‬

‫‪α‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪١٨٣‬‬

‫‪ ٢‬ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫ﻣﻔﺎﺗﻴﺢ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﻟﻼﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﱯ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪١٧‬‬

‫‪١٨‬‬

‫‪١٩‬‬

‫‪٢٠‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٢١‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٢٢‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٢٣‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٢٤‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪β‬‬ ‫‪٢٥‬‬

‫‪χ‬‬

‫‪α‬‬

‫‪δ‬‬

‫‪χ‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪١‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪α‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٨‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٩‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١١‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١٢‬‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‪:‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪١٣‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪١٤‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪١٥‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪١٦‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪١٧‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪١٨‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪١٩‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٢٠‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٢١‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪٢٢‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٢٣‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٢٤‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪α‬‬ ‫‪٢٥‬‬

‫‪χ‬‬

‫‪δ‬‬

‫‪β‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪β‬‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪١‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪χ‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٨‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٩‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪١١‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪١٢‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪β‬‬ ‫‪١٣‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١٤‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١٥‬‬

‫‪χ‬‬ ‫‪١٦‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪χ‬‬

‫‪α‬‬

‫‪χ‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪١٨٤‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪١‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪α‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪δ‬‬ ‫‪٨‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬

‫‪β‬‬ ‫‪٩‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫‪χ‬‬

‫‪β‬‬

‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫‪χ‬‬

‫ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ‬ ‫ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫ﺍﳌﻼﺣﻖ‬

‫‪9‬‬

‫ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﻟﻼﺧﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻴﺔ‬

‫‪9‬‬

‫ﺍﳌﺮﺍﺟﻊ‬

‫ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺨﺎﻣﺲ‬

‫ﻭﺭﻗﺔ ﺇﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﻨﻤﻮﺫﺝ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫اﻟﻨﻤﻮذج اﻷول‬ ‫اﻟﻘﺴﻢ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫اﻟﻘﺴﻢ اﻷول‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫‪١٤‬‬ ‫‪١٥‬‬ ‫‪١٦‬‬ ‫‪١٧‬‬ ‫‪١٨‬‬ ‫‪١٩‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪٢١‬‬ ‫‪٢٢‬‬ ‫‪٢٣‬‬ ‫‪٢٤‬‬ ‫‪٢٥‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫‪١٤‬‬ ‫‪١٥‬‬ ‫‪١٦‬‬ ‫‪١٧‬‬ ‫‪١٨‬‬ ‫‪١٩‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪٢١‬‬ ‫‪٢٢‬‬ ‫‪٢٣‬‬ ‫‪٢٤‬‬ ‫‪٢٥‬‬

‫اﻟﻘﺴﻢ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫‪١٨٧‬‬

‫ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫ﺍﻟﻤﻼﺣﻖ ) ﺃ (‬

‫ﺻﻔﺤﺔ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ‪:‬‬

‫ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ‬

‫ﺍﻟﺜﺎﱐ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫ﺃﺭﻗﺎﻡ‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ‬

‫ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ‬

‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬

‫ﺍﳋﺎﻃﺌﺔ‬

‫‪٢١− ١‬‬ ‫‪٢٥ − ٢٢‬‬ ‫‪٢٢ − ١‬‬ ‫‪٢٥ − ٢٢‬‬ ‫‪١٠ − ١‬‬

‫)""(‬ ‫)""(‬ ‫)""(‬ ‫)""(‬ ‫)""(‬

‫ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ‬

‫‪("") ×٠٫٢٥ −‬‬ ‫‪("") ×٠٫٣٣ −‬‬ ‫‪("") ×٠٫٢٥ −‬‬ ‫‪("") ×٠٫٣٣ −‬‬ ‫‪("") ×٠٫٢٥ −‬‬

‫= ""‬ ‫= ""‬

‫= ""‬

‫ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ) ﻣﻦ ‪( ٦٠‬‬ ‫= ""‬ ‫ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺃﺩﻧﺎﻩ ‪ ،‬ﻹﳚﺎﺩ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ ﺍﳌﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﱵ ﺣﺼﻠﺖ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻣﻦ ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ‪ ،‬ﰒ‬ ‫ﻋﻮﺽ ‪‬ﺎ ﰲ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﱵ ﺃﺳﻔﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺼﻔﺤﺔ ﻹﳚﺎﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﳌﺌﻮﻳﺔ ﻟﺪﺭﺟﺘﻚ ‪.‬‬ ‫اﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫‪٦٠‬‬ ‫‪٥٩‬‬ ‫‪٥٨‬‬ ‫‪٥٧‬‬ ‫‪٥٦‬‬ ‫‪٥٥‬‬ ‫‪٥٤‬‬ ‫‪٥٣‬‬ ‫‪٥٢‬‬ ‫‪٥١‬‬ ‫‪٥٠‬‬ ‫‪٤٩‬‬ ‫‪٤٨‬‬ ‫‪٤٧‬‬ ‫‪٤٦‬‬ ‫‪٤٥‬‬ ‫‪٤٤‬‬ ‫‪٤٣‬‬ ‫‪٤٢‬‬

‫اﻟﻨﻘﺎط‬ ‫‪٨٠٠‬‬ ‫‪٨٠٠‬‬ ‫‪٧٩٠‬‬ ‫‪٧٧٠‬‬ ‫‪٧٦٠‬‬ ‫‪٧٤٠‬‬ ‫‪٧٢٠‬‬ ‫‪٧١٠‬‬ ‫‪٧٠٠‬‬ ‫‪٦٩٠‬‬ ‫‪٦٨٠‬‬ ‫‪٦٧٠‬‬ ‫‪٦٦٠‬‬ ‫‪٦٥٠‬‬ ‫‪٦٤٠‬‬ ‫‪٦٣٠‬‬ ‫‪٦٢٠‬‬ ‫‪٦١٠‬‬ ‫‪٦٠٠‬‬

‫اﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫‪٤١‬‬ ‫‪٤٠‬‬ ‫‪٣٩‬‬ ‫‪٣٨‬‬ ‫‪٣٧‬‬ ‫‪٣٦‬‬ ‫‪٣٥‬‬ ‫‪٣٤‬‬ ‫‪٣٣‬‬ ‫‪٣٢‬‬ ‫‪٣١‬‬ ‫‪٣٠‬‬ ‫‪٢٩‬‬ ‫‪٢٨‬‬ ‫‪٢٧‬‬ ‫‪٢٦‬‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫‪٢٤‬‬ ‫‪٢٣‬‬

‫اﻟﻨﻘﺎط‬ ‫‪٦٠٠‬‬ ‫‪٥٩٠‬‬ ‫‪٥٨٠‬‬ ‫‪٥٧٠‬‬ ‫‪٥٦٠‬‬ ‫‪٥٦٠‬‬ ‫‪٥٥٠‬‬ ‫‪٥٤٠‬‬ ‫‪٥٤٠‬‬ ‫‪٥٣٠‬‬ ‫‪٥٢٠‬‬ ‫‪٥١٠‬‬ ‫‪٥١٠‬‬ ‫‪٥٠٠‬‬ ‫‪٤٩٠‬‬ ‫‪٤٩٠‬‬ ‫‪٤٨٠‬‬ ‫‪٤٧٠‬‬ ‫‪٤٦٠‬‬

‫ﺍﻟﻨﻘــﺎﻁ ﺍﳌﻘﺎﺑﻠــﺔ ﻟﻠﺪﺭﺟــﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﳌﺌﻮﻳﺔ =‬ ‫‪٨٠٠‬‬ ‫‪١٨٨‬‬

‫اﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫‪٢٢‬‬ ‫‪٢١‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪١٩‬‬ ‫‪١٨‬‬ ‫‪١٧‬‬ ‫‪١٦‬‬ ‫‪١٥‬‬ ‫‪١٤‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١١‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٤‬‬

‫×‪⊆ "" =⊆١٠٠‬‬

‫اﻟﻨﻘﺎط‬ ‫‪٤٦٠‬‬ ‫‪٤٥٠‬‬ ‫‪٤٤٠‬‬ ‫‪٤٣٠‬‬ ‫‪٤٢٠‬‬ ‫‪٤٢٠‬‬ ‫‪٤١٠‬‬ ‫‪٤١٠‬‬ ‫‪٤٠٠‬‬ ‫‪٣٩٠‬‬ ‫‪٣٨٠‬‬ ‫‪٣٧٠‬‬ ‫‪٣٦٠‬‬ ‫‪٣٥٠‬‬ ‫‪٣٤٠‬‬ ‫‪٣٣٠‬‬ ‫‪٣٢٠‬‬ ‫‪٣١٠‬‬ ‫‪٣٠٠‬‬

‫اﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬‫‪٢‬‬‫‪ ٣ -‬ﻓﺄﻗﻞ‬

‫اﻟﻨﻘﺎط‬ ‫‪٢٨٠‬‬ ‫‪٢٧٠‬‬ ‫‪٢٥٠‬‬ ‫‪٢٤٠‬‬ ‫‪٢٢٠‬‬ ‫‪٢١٠‬‬ ‫‪٢٠٠‬‬

‫ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺨﺎﻣﺲ‬

‫ﻭﺭﻗﺔ ﺇﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﻨﻤﻮﺫﺝ ﺍﻟﺜﺎﱐ‬ ‫اﻟﻨﻤﻮذج اﻷول‬ ‫اﻟﻘﺴﻢ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫اﻟﻘﺴﻢ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫‪١٨٩‬‬

‫ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫ﺍﻟﻤﻼﺣﻖ ) ﺃ (‬

‫ﺗﻔﺴﲑ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ‪:‬‬

‫ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ‬

‫ﺍﻟﺜﺎﱐ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫ﺃﺭﻗﺎﻡ‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ‬

‫ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ‬

‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬

‫ﺍﳋﺎﻃﺌﺔ‬

‫‪٢١− ١‬‬ ‫‪٢٥ − ٢٢‬‬ ‫‪٢٢ − ١‬‬ ‫‪٢٥ − ٢٢‬‬ ‫‪١٠ − ١‬‬

‫)""(‬ ‫)""(‬ ‫)""(‬ ‫)""(‬ ‫)""(‬

‫ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ‬

‫‪("") ×٠٫٢٥ −‬‬ ‫‪("") ×٠٫٣٣ −‬‬ ‫‪("") ×٠٫٢٥ −‬‬ ‫‪("") ×٠٫٣٣ −‬‬ ‫‪("") ×٠٫٢٥ −‬‬

‫= ""‬ ‫= ""‬

‫= ""‬

‫ﺍﻟﻨﻘــﺎﻁ ﺍﳌﻘﺎﺑﻠــﺔ ﻟﻠﺪﺭﺟــﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﳌﺌﻮﻳﺔ =‬ ‫‪٨٠٠‬‬ ‫‪١٩٠‬‬

‫×‪⊆ "" =⊆١٠٠‬‬

‫اﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬‫‪٢‬‬‫‪ ٣ -‬ﻓﺄﻗﻞ‬

‫اﻟﻨﻘﺎط‬ ‫‪٢٨٠‬‬ ‫‪٢٧٠‬‬ ‫‪٢٥٠‬‬ ‫‪٢٤٠‬‬ ‫‪٢٢٠‬‬ ‫‪٢١٠‬‬ ‫‪٢٠٠‬‬

‫ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺨﺎﻣﺲ‬

‫ﻭﺭﻗﺔ ﺇﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﻨﻤﻮﺫﺝ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫اﻟﻨﻤﻮذج اﻷول‬ ‫اﻟﻘﺴﻢ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫اﻟﻘﺴﻢ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫‪١٩١‬‬

‫ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫ﺍﻟﻤﻼﺣﻖ ) ﺃ (‬

‫ﺗﻔﺴﲑ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ‪:‬‬

‫ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ‬

‫ﺍﻟﺜﺎﱐ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫ﺃﺭﻗﺎﻡ‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ‬

‫ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ‬

‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬

‫ﺍﳋﺎﻃﺌﺔ‬

‫‪٢١− ١‬‬ ‫‪٢٥ − ٢٢‬‬ ‫‪٢٢ − ١‬‬ ‫‪٢٥ − ٢٢‬‬ ‫‪١٠ − ١‬‬

‫)""(‬ ‫)""(‬ ‫)""(‬ ‫)""(‬ ‫)""(‬

‫ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ‬

‫‪("") ×٠٫٢٥ −‬‬ ‫‪("") ×٠٫٣٣ −‬‬ ‫‪("") ×٠٫٢٥ −‬‬ ‫‪("") ×٠٫٣٣ −‬‬ ‫‪("") ×٠٫٢٥ −‬‬

‫= ""‬ ‫= ""‬

‫= ""‬

‫ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ) ﻣﻦ ‪( ٦٠‬‬ ‫= ""‬ ‫ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺃﺩﻧﺎﻩ ‪ ،‬ﻹﳚﺎﺩ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ ﺍﳌﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﱵ ﺣﺼﻠﺖ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻣﻦ ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ‪ ،‬ﰒ‬ ‫ﻋﻮﺽ ‪‬ﺎ ﰲ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﱵ ﺃﺳﻔﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺼﻔﺤﺔ ﻹﳚﺎﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﳌﺌﻮﻳﺔ ﻟﺪﺭﺟﺘﻚ‬ ‫اﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫‪٦٠‬‬ ‫‪٥٩‬‬ ‫‪٥٨‬‬ ‫‪٥٧‬‬ ‫‪٥٦‬‬ ‫‪٥٥‬‬ ‫‪٥٤‬‬ ‫‪٥٣‬‬ ‫‪٥٢‬‬ ‫‪٥١‬‬ ‫‪٥٠‬‬ ‫‪٤٩‬‬ ‫‪٤٨‬‬ ‫‪٤٧‬‬ ‫‪٤٦‬‬ ‫‪٤٥‬‬ ‫‪٤٤‬‬ ‫‪٤٣‬‬ ‫‪٤٢‬‬

‫ﺍﻟﻨﻘــﺎﻁ ﺍﳌﻘﺎﺑﻠــﺔ ﻟﻠﺪﺭﺟــﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﳌﺌﻮﻳﺔ =‬ ‫‪٨٠٠‬‬ ‫‪١٩٢‬‬

‫×‪⊆ "" =⊆١٠٠‬‬

‫اﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬‫‪٢‬‬‫‪ ٣ -‬ﻓﺄﻗﻞ‬

‫اﻟﻨﻘﺎط‬ ‫‪٢٨٠‬‬ ‫‪٢٧٠‬‬ ‫‪٢٥٠‬‬ ‫‪٢٤٠‬‬ ‫‪٢٢٠‬‬ ‫‪٢١٠‬‬ ‫‪٢٠٠‬‬

‫ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺨﺎﻣﺲ‬

‫ﻭﺭﻗﺔ ﺇﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﻨﻤﻮﺫﺝ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ‬ ‫اﻟﻨﻤﻮذج اﻷول‬ ‫اﻟﻘﺴﻢ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫اﻟﻘﺴﻢ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫‪١٩٣‬‬

‫ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ‬

‫ﺍﻟﻤﻼﺣﻖ ) ﺃ (‬

‫ﺗﻔﺴﲑ ﺍﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ‪:‬‬

‫ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ‬

‫ﺍﻟﺜﺎﱐ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻢ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫ﺃﺭﻗﺎﻡ‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻹﺟﺎﺑﺎﺕ‬

‫ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ‬

‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬

‫ﺍﳋﺎﻃﺌﺔ‬

‫‪٢١− ١‬‬ ‫‪٢٥ − ٢٢‬‬ ‫‪٢٢ − ١‬‬ ‫‪٢٥ − ٢٢‬‬ ‫‪١٠ − ١‬‬

‫)""(‬ ‫)""(‬ ‫)""(‬ ‫)""(‬ ‫)""(‬

‫ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ‬

‫‪("") ×٠٫٢٥ −‬‬ ‫‪("") ×٠٫٣٣ −‬‬ ‫‪("") ×٠٫٢٥ −‬‬ ‫‪("") ×٠٫٣٣ −‬‬ ‫‪("") ×٠٫٢٥ −‬‬

‫= ""‬ ‫= ""‬

‫= ""‬

‫ﺍﻟﻨﻘــﺎﻁ ﺍﳌﻘﺎﺑﻠــﺔ ﻟﻠﺪﺭﺟــﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﳌﺌﻮﻳﺔ =‬ ‫‪٨٠٠‬‬ ‫‪١٩٤‬‬

‫×‪⊆ "" =⊆١٠٠‬‬

‫اﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬‫‪٢‬‬‫‪ ٣ -‬ﻓﺄﻗﻞ‬

‫اﻟﻨﻘﺎط‬ ‫‪٢٨٠‬‬ ‫‪٢٧٠‬‬ ‫‪٢٥٠‬‬ ‫‪٢٤٠‬‬ ‫‪٢٢٠‬‬ ‫‪٢١٠‬‬ ‫‪٢٠٠‬‬

‫ﺍﻟﻤﺮﺍﺟﻊ‬

(‫ﺍﻟﻤﻠﺤﻖ ) ﺏ‬

: ‫ﺍﳌﺮﺍﺟﻊ ﺍﻟﻌﺮﺑﻴﺔ‬

‫ ﻣﺮﻛﺰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ‬، ( 1 ‫ ﺭﺍﺋﺰ ﺍﻷﻫﻠﻴﺔ ﺍﳌﺪﺭﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﺒﻮﻝ ﺍﳉﺎﻣﻌﻲ ) ﺭﺍﻡ‬. ( ‫ ﻫـ‬1423 ). ‫( ﻋﻄﻴﺔ ﻧﻌﻴﻢ‬1 . ‫ ﺍﻟﻈﻬﺮﺍﻥ‬، ‫ ﺟﺎﻣﻌﺔ ﺍﳌﻠﻚ ﻓﻬﺪ ﻟﻠﺒﺘﺮﻭﻝ ﻭﺍﳌﻌﺎﺩﻥ‬، ‫ﻭﺍﻟﺘﻘﻴﻴﻢ‬ ‫ ﺍﻟﻄﺒﻌﺔ‬، ‫ ﺩﻟﻴﻞ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬.( ‫ ﻫـ‬1425 ). ‫( ﺍﳌﺮﻛﺰ ﺍﻟﻮﻃﲏ ﻟﻠﻘﻴﺎﺱ ﻭﺍﻟﺘﻘﻮﱘ‬2 ‫ ﺍﻟﺮﻳﺎﺽ‬، ‫ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ ‫ ﺗﻌﻠﻴﻢ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻳﺔ – ﺃﺳﺎﻟﻴﺐ ﻭﻭﺣﺪﺍﺕ ﺇﺛﺮﺍﺋﻴﺔ‬.( ‫ ﻡ‬2002 ). Jey،Stepelman (3 . ‫ ﺍﻟﻌﲔ‬، ‫ ﺍﻟﻄﺒﻌﺔ ﺍﻟﺴﺎﺩﺳﺔ‬، ‫ ﺩﺍﺭ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﳉﺎﻣﻌﻲ‬، ، ‫ ﺣﺴﻦ ﻣﻈﻔﺮ ﺍﻟﺮﺯﻭ‬: ‫ﺗﺮﲨﺔ‬ ‫ ﺍﻟﻄﺒﻌﺔ ﺍﻷﻭﱃ‬، ‫ ﻓﺼﻮﻝ ﰲ ﻣﺒﺎﺩﻱﺀ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬. ( ‫ ﻡ‬2004). ‫ ﺍﻟﺴﻴﺪ ﺍﻟﺴﻌﻴﺪ‬، ‫ ﻋﺒﺪﺍﷲ‬، ‫( ﺍﳉﻮﻋﻲ‬4 . ‫ ﺍﻟﺮﻳﺎﺽ‬، ‫ ﻣﻜﺘﺒﺔ ﺍﻟﺮﺷﺪ‬،

: ‫ﺍﳌﺮﺍﺟﻊ ﺍﻷﺟﻨﺒﻴﺔ‬ 1) College Board. (2005). The Official SAT Study Guide: For the New SAT,usa 2) Kaplan.(2005).New SAT Math Workbook,USA. 3) Kaplan.(2005).New SAT,USA. 4) Lawrnce S,Leff.(2005).Barron’s Math Workbook For The SAT I , Barron’s Educational Series,USA. 5) Taylor,PJ.(2003). International Mathematics Tournament of Towns 1984-1989 , 1rd edition, AMT Publishing , Canberra , Australia . 6) Liza, Kleinman,MaureenSteddin.(2002).SAT SUCCESS, Peterson’s Thomson Learning,USA. 7) W ATKINS.(2003).Problem Solving VIA the AMC,3rd edition, AMT Publishing , Canberra , Australia . 8) Plank ,A.W,Williams . ( 2000). Mathematical Toolchest , 3rd edition, AMT Publishing , Canberra , Australia . 9) Sharon Green,K.Wolf.(2002).How to prepare for the SAT*I,20TH edition ,Barron’s Educational Series,USA.