Sommervoll- Matematikk for økonomifag

DAG EINAR SOMMERVOLL

Matematikk for økonomifag

Forord Økonomi er et matematikkbrukende fag. Matematikk forenkler og gjør økonomiske ˚ formulere et økonomisk resonnement i form av modell argumenter klarere. A med likninger og variabler kommer med en pris. Matematisk spra˚k krever matematisk forsta˚else og manipulasjonsferdigheter. Økonomistudenter har svært varierende matematikkunnskaper. Det gir særskilte utfordringer knyttet til matematikkundervisning for økonomistudenter.

Denne læreboken søker a˚ ta denne utfordringen pa˚ alvor. Det overordnede ma˚let for enhver lærebok i matematikk er a˚ gi studentene den nødvendige matematiske ballast. Utfordringen er at læring av regneteknikker og pugging av oppskrifter gir svært begrensede og lite robuste ferdigheter. De er ogsa˚ snart glemt. Slik sett minner denne læringsformen mer om pugging av passord enn om læring som setter studenten i stand til a˚ bruke matematikk pa˚ økonomiske problemstillinger ˚ utlede senere. Pa˚ den andre siden er matematikkforsta˚else mer krevende. A pq-formelen krever mer matematisk innsikt enn a˚ bruke den. Matematikk har to grunnpilarer: forsta˚else og teknikk. Det hjelper lite med forsta˚else hvis du ikke aner hvordan du skal regne. Og omvendt; kan du regne, hjelper det lite hvis du ikke evner a˚ omsette et matematisk problem til et regneproblem. Kapitlene er derfor skrevet etter en mal: Først fokuserer vi pa˚ forsta˚else. Spørsma˚let er da: Hvorfor? Hva er logikken? Etter denne motivasjonen spør vi: Hvordan regner vi i praksis? Hvilke metoder bringer oss til svaret? Vi illustrerer regneteknikker med eksempler av stigende vanskelighetsgrad. Vanskeligere oppgaver og avsnitt er stjernemerket.

I slutten av hvert avsnitt er det et sett med oppgaver som ligger tett opp til de gitte eksemplene. Løsningsforslag til alle disse avsnittsoppgavene finnes bakerst i boken. Flere oppgaver er gitt i slutten av hvert kapittel. Disse er delt i prinsipielle og blandede oppgaver. De prinsipielle oppgavene fordrer ingen regneferdigheter og søker bare a˚ teste forsta˚else. Løsning av de blandede oppgavene medfører en blanding av matematikkforsta˚else og regneferdigheter.

De tre første kapitlene dekker elementære matematikkferdigheter og kan brukes til forkurs i matematikk. Her blir sentrale begreper forklart i detalj, og disse tre kapitlene egner seg godt for selvstudium. Disse tre kapitlene tjener ogsa˚ som en hurtigreferanse for grunnleggende regneferdigheter som vi drar veksler pa˚ i resten av boken. Kapittel 4 og 5 omhandler rekker og finansmatematikk, kapittel 6–9 dekker funksjonsanalyse, og siste kapittel, 10, omhandler lineær algebra.

6

Forord

En rekke personer har bidratt aktivt til utformingen av denne boken.

Jeg ønsker spesielt a˚ takke Nils Ingar Arvidsen, som leste gjennom første versjon av boken og kom med mange konstruktive innspill. Videre vil jeg takke Knut Reidar Wangen, Eivind Eriksen, Arvid Siqveland, Erling Røed Larsen, ˚ vald Sommervoll, Petter Nordhaug, Erling Steigum, Ask Sommervoll, A Eirik Nymo, Jonas Meyer, Fredrik Gjørven og Christoffer Ephithite for mange innspill og retting av feil. Tom Wennemo har bidratt stort til a˚ gjøre bokens tre første kapitler egnet til selvstudium. Jeg vil ogsa˚ takke Tron Foss og Pa˚l Lauritzen for mange interessante diskusjoner knyttet til matematikk og matematikkforsta˚else.

Finn Holme fortjener ogsa˚ en takk fordi han en gang for lenge siden viste meg at matematikk er spennende og utfordrer fantasien. Videre en stor takk til Per Oskar Andersen, Vegard Brekke, Arve Michaelsen og David Keeping for storartet arbeid med redigering, ombrekking og figurarbeid. Sist, men ikke minst, ˚ slaug Helland. Hennes støtte, og ikke minst hjelp, underen takk til min kone A veis har vært uvurderlig.

Oslo, april 2011 Dag Einar Sommervoll

Forord til 3. utgave Tredjeutgaven søker a˚ rendyrke forskjellige oppgavetyper myntet pa˚ ulike faser i matematikklæringen. Den første er rene drilloppgaver, hvor ny teori og regneteknikk trenes isolert. Den andre er prinsipielle oppgaver. Dette er oppgaver uten regning, og tester kun spørsma˚l av prinsipiell art. Den tredje er blandede oppgaver som kombinerer flere elementer fra teori og regneteknikk. Den fjerde er flervalgsoppgaver hvor studenten skal finne riktig svaralternativ. Ma˚let med disse er a˚ teste spesifikke regnetekniske ferdigheter. Den femte oppgavetypen er eksamensoppgaver som tester kunnskaper i en litt bredere setting. Ny teknologi har gitt oss nye løsningsstrategier. Vi er i større grad enn før, vant til a˚ prøve og feile, for sa˚ a˚ prøve igjen. En slik strategi er avhengig av «instant feedback», noe vi ikke fa˚r na˚r vi regner matematikkoppgaver. Derfor er det viktig til a˚ trene feilsøking uten «feilmeldinger». I denne utgaven har vi derfor inkludert «Finn eventuelle feil»oppgaver. De trener kritisk sans, og setter fingeren pa˚ logiske og regnetekniske overganger hvor feil har en lei evne til a˚ snike seg inn.

Denne utgaven har løsninger og fasitsvar pa˚ alle oppgaver bak i boka.

Oslo, mars 2016 Dag Einar Sommervoll

Innhold 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10

Tall, likninger og nyttige løsningsverktøy 11 Heltall 11 Brøk og desimaltall 15 Skrivemåter for store og små tall 18 Enkel prosentregning 21 Parenteser, likningsløsning, regneteknikker og tips Ulikheter 29 To likninger med to ukjente 33 Tre likninger med tre ukjente 34 Røtter og regning med røtter 36 Løsning av likninger med røtter 38 Oppsummering 40 Tips og vanlige feil 42 Prinsipielle oppgaver 42 Blandede oppgaver 45 Flervalgsoppgaver 49 Finn eventuelle feil 52

2 2.1 2.2 2.3

Mengder, logikk og funksjoner Mengdelære 54 Elementær logikk 61 Funksjoner dypest sett 67 Oppsummering 74 Prinsipielle oppgaver 76 Blandede oppgaver 77 Flervalgsoppgaver 78

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

Funksjoner og grafer 79 Lineære funksjoner 79 Andregradspolynomer 88 Andregradspolynomer og faktorisering 94 Polynomer av høyere grad og polynomdivisjon 98 Asymptoter: styrelinjer mot uendeligheten 103 Omvendte funksjoner 111 Eksponentialfunksjoner 119 To nyttige funksjoner: ex og ln x 120 Oppsummering 125 Tips og vanlige feil 128 Prinsipielle oppgaver 129 Blandede oppgaver 134 Flervalgsoppgaver 141 Finn eventuelle feil 143

54

24

8

Innhold

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

Følger og rekker 146 Prosentregning og bankinnskudd 147 Summer og summetegn 151 Regneregler for summer 154 Aritmetiske rekker 156 Geometriske rekker 163 Uendelige rekker 166 Rekker med både positive og negative ledd 173 Følger 176 Oppsummering 177 Tips og vanlige feil 178 Prinsipielle oppgaver 179 Blandede oppgaver 180 Eksamensoppgaver 184 Finn eventuelle feil 185

5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

Finansmatematikk 188 Renter og nåverdi 188 Nåverdi og diskonteringsrate 189 Renter og kontinuerlig forrenting 193 Effektiv rente 197 Nåverdi og geometriske rekker 199 Månedsrenter og årsrenter. Omregninger 204 Ulike låneformer: serie- og annuitetslån 204 Ordbruk: annuitet, amortisering 207 Oppsummering 207 Tips og vanlige feil 209 Prinsipielle oppgaver 209 Blandede oppgaver 210 Eksamensoppgaver 213 Finn eventuelle feil 215

6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

Funksjonsanalyse. Den deriverte 217 Kontinuitet og grenser 219 Den deriverte til en funksjon 228 Ulike skrivemåter for den deriverte 232 Basale regneregler for derivasjon 233 Noen flere derivasjonsregler 236 Anvendelse av den deriverte: L’Hoˆpitals regel for grenser 242 Den deriverte og tangenter 246 Enkel funksjonsanalyse 249

6.7 6.8

Forord til 3. utgave

6.9 6.10 6.11

Et overblikk over viktige definisjoner Elastisiteter 256 Profittmaksimering 259 Oppsummering 263 Tips og vanlige feil 266 Prinsipielle oppgaver 266 Blandede oppgaver 267 Eksamensoppgaver 269 Flervalgsoppgaver 270 Finn eventuelle feil 276

7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

Deriverte av høyere orden 279 Dobbeltderiverte 280 Vendepunkter og vendetangenter 285 Funksjonsdrøfting med deriverte og dobbeltderiverte 289 Tilnærming til funksjoner. Et første eksempel 296 Tilnærming av funksjoner. Taylor-polynomer og restledd 300 Noen ord om Taylor-rekker 306 Geometriske rekker, konvergensradier og Taylor-rekker 307 Oppsummering 310 Tips og vanlige feil 311 Prinsipielle oppgaver 311 Blandede oppgaver 312 Eksamensoppgaver 314 Flervalgsoppgaver 315 Finn eventuelle feil 316

8 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12

Funksjoner av flere variabler 322 Tre dimensjoner tegnet i to 324 Nivåkurver 327 Partiellderiverte 329 Topp- og bunnpunkter 332 Høyere ordens deriverte 335 Hvordan ser grafene til funksjoner av to variabler ut?

Topper og bunner og ... sadler 341 Flater med rand. Globale topper og bunner 346 Derivasjon og implisitte funksjoner 352 Totalderiverte 357 Maksimering under bibetingelser 362 Funksjoner i flere enn to variabler 370 Oppsummering 371 Tips og vanlige feil 373 Prinsipielle oppgaver 373 Blandede oppgaver 375 Eksamensoppgaver 377 Flervalgsoppgaver 381 Finn eventuelle feil 386

253

338

9

10

Innhold

9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9

Integrasjon 388 Integrasjon som det motsatte av derivasjon 391 Antideriverte og ubestemte integraler 396 Antiderivasjon: baklengsregning med kjente funksjoner 398 Enkel regning med arealfunksjoner og bestemte integraler 401 Into the wild: integrasjon utenfor polynomenes trygge verden 405 Delvis integrasjon I 410 Delvis integrasjon II. Noen nyttige eksempler 413 Integrasjon ved substitusjon 415 Integrasjon av rasjonale funksjoner 419 Oppsummering 423 Tips og vanlige feil 424 Prinsipielle oppgaver 425 Blandede oppgaver 426 Eksamensoppgaver 429 Finn eventuelle feil 432

10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 10.10 10.11

Lineær algebra 435 Gauss–Jordan-eliminasjon 438 Matrisemultiplikasjon 444 Matriser 447 Ordbruk i forbindelse med matriser 451 Matrisemultiplikasjon, vektorer og avbildninger 454 Matriser som lineære avbildninger 457 Determinanter 461 Anvendelse av determinanter: Cramers regel 466 Bruk av determinanter: lineær avhengighet 470 Anvendelse av determinanter: inverse matriser 474 Gauss–Jordan-eliminasjon og inverse matriser 479 Oppsummering 482 Tips og vanlige feil 487 Prinsipielle oppgaver 487 Blandede oppgaver 488 Eksamensoppgaver 490 Finn eventuelle feil 494

Oppgaveløsninger 495 Stikkord

709