RPP Integral by Gunawan H

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Mata Pelajaran : Matematika Kelas/Semester : XII/I Pertemuan Ke : 1, 2, dan 3 Alokasi Waktu : 6 Ă&#x2014; 45 Menit ( 3 TM ) Standar Kompetensi : Menerapkan integral tak tentu dan integral tentu. Kompetensi Dasar : Menjelaskan dan menerapkan integral tak tentu dan integral tentu. Indikator : 1. Fungsi aljabar dan trigonometri ditentukan integral tak tentunya 2. Fungsi aljabar dan trigonometri ditentukan integral tentu-nya 3. Menyelesaikan masalah yang melibatkan integral tentu dan tak tentu I. Tujuan Pembelajaran Pertemuan ke 1 1. Mengenal integral tak tentu sebagai anti turunan 2. Menentukan integral tak tentu dari fungsi sederhana Pertemuan ke 2 1. Mengenal integral tak tentu dari fungsi aljabar dan trigonometri 2. Merumuskan sifat-sifat integral tak tentu dari fungsi aljabar Pertemuan ke 3 1. Merumuskan sifat integral tentu 2. Menyelesaikan masalah aplikasi integral tak tentu dan integral tentu II. Materi Ajar : Meliputi : Integral tentu dan integral tak tentu III.Metode dan Pendekatan Pembelajaran 1. Metode Pembelajaran : Ekspositori, Ceramah, Diskusi dan Tanya jawab 2. Pendekatan Pembelajaran : Deduktif IV. Langkah-Langkah Pembelajaran Pertemuan ke 1 ( 2 x 45 menit ) 1. Kegiatan Awal ( 10 menit ) a. Guru menyiapkan fisik dan mental siswa untuk siap mengikuti pelajaran, memberikan motivasi tentang pentingnya belajar, penjelasan tentang tujuan mempelajari standar kompetensi menerapkan konsep integral tak tentu dalam pemecahan masalah. b. Guru menugasi siswa untuk mengelompok sesuai dengan kelompok masing-masing. c. Guru menugasi siswa untuk menyimak materi (modul) integral tak tentu. 2. Kegiatan Inti (70 menit) Ekplorasi Dalam kegiatan eksplorasi : a. Guru memfasilitasi siswa agar terjadi interaksi antar siswa, siswa dan guru dengan menggunakan sumber belajar, serta menugasi siswa untuk mempelajari tentang integral tak tentu. b. Guru mengawasi dan membimbing.

Elaborasi Dalam kegiatan elaborasi : a. Guru memfasilitasi siswa dengan berdiskusi kelompok untuk memunculkan pendapat atau gagasan baru yang berkaitan dengan penyelesaian integral tak tentu baik secara lisan maupun tulisan. b. Guru memberikan kesempatan siswa untuk berfikir, menganalisis, menyelesaikan masalah dan mengutarakan pendapatnya tanpa rasa takut dalam kegiatan berdiskusi kelompok. Konfirmasi Dalam kegiatan konfirmasi : a. Guru memberikan umpan balik positif dan penguatan dalam bentuk lisan, tulisan berupa pujian terhadap keberhasilan siswa dalam menyelesaikan tugas dengan berdiskusi kelompok. b. Guru memfasilitasi siswa melakukan refleksi untuk memperoleh pengalaman belajar yang telah dilakukan. c. Guru sebagai nara sumber dan fasilitator dalam menjawab pertanyaan siswa yang mendapat kesulitan. Uraian Materi Kegiatan Belajar 1. Pengertian Integral sebagai invers diferensial Misalkan f adalah fungsi turunan dari fungsi F yang kontinu pada suatu domain. Untuk setiap x pada domain tersebut, berlaku : dF ( x) F ' ( x)   f ( x) dx Perhatikan pendiferensialan di bawah ini : F(x) = 3x4- 10, maka F’(x) = f(x) = 12x3 F(x) = 3x4 + 12 , maka F’(x) = f(x) = 12x3 F(x) = 3x4 + c maka F’(x) = f(x) = 12x3 (c adalah suatu konstanta) Suatu operasi yang digunakan untuk menentukan fungsi F merupakan invers dari operasi derivatif. Invers dan operasi derivatif disebut integral. Integral disebut juga anti derivatif atau anti turunan. Pada contoh di atas, Jika F(x) adalah integral dari f(x) = 12x3, maka F(x) = 3x4 + c, dengan c suatu konstanta real. Contoh : Tentukan fungsi turunan dari fungsi berikut : 1. F ( x)  4 x 5  8 x  c 2. F ( x)  8 x 3  3 x 2  2  c 3. F ( x)  5 x 2  2 x  c 4. F ( x)  2 x 4  3 x 3  2 x 2  x  c 5. F ( x)  9 x 3  4 x 2  c Kunci Jawaban : 1. F ( x)  4 x 5  8 x  c , maka F’(x) = 20x4 + 8 2. F ( x)  8 x 3  3 x 2  2  c , maka F’(x) = 24x2 – 6x 3. F ( x)  5 x 2  2 x  c , maka F’(x) = 10x – 2 4. F ( x)  2 x 4  3 x 3  2 x 2  x  c , maka F’(x) = 8x3 – 9x2 + 4x + 1 5. F ( x)  9 x 3  4 x 2  c , maka F’(x) = 27x2 + 8x

c. Integral tak tentu dari fungsi aljabar Integral fungsi f(x) dinotasikan dengan

 f ( x) dx , yaitu operasi yang digunakan untuk

dF ( x)  f ( x) , untuk setiap x pada dx domainnya. Integral dari fungsi f(x) adalah F(x) ditambah dengan sembarang konstanta, yaitu F(x) + c.  f ( x) dx  F ( x)  c

menentukan fungsi F sedemikian sehingga dipenuhi

 f ( x) dx = Notasi dari integral tak tentu.

Dengan

F(x) + c = Fungsi anti turunan f(x) = Fungsi integran c = Konstanta Dengan mengingat integral adalah operasi invers dari pendiferensialan, maka akan diperoleh rumus-rumus pengintegralan : (1)  dx  x  c (2)  a dx  ax  c

1 n 1 x  c, n  1 n 1 Dari integral adalah invers diferensial maka : (4)  ( f ( x)  g ( x)) dx   f ( x) dx   g ( x) dx

(3)

x

dx 

(5)  a. f ( x) dx  a  f ( x) dx

Contoh : Tentukan hasil integral fungsi berikut : a.  2 dx b.  3 x 4 dx

 x dx d .  x dx 5

 2x

Kunci jawaban : a.  2 dx = 2  dx  2 x  c

3 41 3 x  c  x5  c 4 1 5 1 51 1 c.  x 5 dx  x  c  x6  c 5 1 6 2 2 5 5 1 1 1 3 d.  3 x 2 dx   x 3 dx  x3  c  x3  c  x3  c 2 5 5 1 3 3

b.  3 x 4 dx = 3 x 4 dx 

 2x

1 5 1 x dx   x 5 dx 2 2 1 1 1 1 4 1 = . x 51  c  . x  c   x 4  c 2  5 1 2 4 8

dx  

Lembar Kerja Siswa (LKS) Kerjakan soal-soal di bawah ini kemudian diskusikan hasilnya dengan kelompok anda! 1. Tentukan fungsi turunan dari fungsi berikut : a. F ( x)  3 x 3  8 x 2  4 x  2  c b. F ( x)  2 x 5  4 x  c c. F ( x)  7 x 4  3 x 2  c d. F ( x)  5 x 2  3 x  c e. F ( x)  8 x 3  9 x 2  c 2. Tentukan hasil integral fungsi dari : a.  10 x 2  2 x dx b. c. d. e.

 3x  3x dx  2 x  4 x  2 dx  5 x  3x dx  3x dx 4

3. Kegiatan Akhir a. Guru bersama siswa membuat rangkuman atau simpulan pelajaran b. Melakukan penilaian terhadap kegiatan yang sudah dilaksanakan secara konsisten dan terprogram c. Memberikan umpan balik terhadap proses dan hasil pembelajaran d. Menugasi siswa untuk mempelajari materi selanjutnya Pertemuan ke 2 ( 2 x 45 menit ) 1. Kegiatan Awal ( 10 menit ) a. Guru menyiapkan fisik dan mental siswa untuk siap mengikuti pelajaran, memberikan motivasi tentang pentingnya belajar, penjelasan tentang tujuan mempelajari standar kompetensi menerapkan konsep integral tak tentu dari fungsi trigonimetri dalam pemecahan masalah. b. Guru menugasi siswa untuk mengelompok sesuai dengan kelompok masing-masing. c. Guru menugasi siswa untuk menyimak materi (modul) integral tak tentu dari fungsi trigonometri 2. Kegiatan Inti (70 menit) Ekplorasi Dalam kegiatan eksplorasi : a. Guru memfasilitasi siswa agar terjadi interaksi antar siswa, siswa dan guru dengan menggunakan sumber belajar, serta menugasi siswa untuk mempelajari tentang integral tak tentu dari fungsi trigonometri b. Guru mengawasi dan membimbing.

(4)  cos ec 2 x dx   cot x  c

(5)  sec x tan x dx  sec x  c

(6)  cos ec x cot x dx   cos ec x  c (7)  e x dx  e x  c

dx  ln x  c x Contoh : Tentukan integral dari :

(8)



 x  sin x dx b.  cos 2 x dx c.  sin( 4 x   ) dx 2

Kunci Jawaban :

1 3 x  cos x  c 3 1 1 b.  cos 2 x dx   cos 2 x d (2 x)  sin 2 x  c 2 2 1 1 c.  sin( 4 x   ) dx   sin( 4 x   ) d (4 x   )   cos(4 x   )  c 4 4

a.  ( x 2  sin x) dx 

Lembar Kerja Siswa (LKS) Kerjakan soal-soal di bawah ini kemudian diskusikan hasilnya dengan kelompok anda! 1. Tentukan fungsi turunan dari fungsi trigonometri berikut : a. F(x) = sin 4x b. F(x) = cos 2x c. F(x) = tan 4x d. F(x) = sec 2x 1 e. F(x) = x 2  cos x 2 2. Tentukan integral dari: a.  2 x 2  sin x dx





 sin 2 x dx c.  cos(4 x   ) dx d .  4 x  2 x  cos x dx e.  tan 4 x dx

2. Kegiatan Inti (70 menit) Ekplorasi Dalam kegiatan eksplorasi : a. Guru memfasilitasi siswa agar terjadi interaksi antar siswa, siswa dan guru dengan menggunakan sumber belajar, serta menugasi siswa untuk mempelajari tentang integral tentu b. Guru mengawasi dan membimbing. Elaborasi Dalam kegiatan elaborasi : c. Guru memfasilitasi siswa dengan berdiskusi kelompok untuk memunculkan pendapat atau gagasan baru yang berkaitan dengan penyelesaian integral tentu baik secara lisan maupun tulisan. d. Guru memberikan kesempatan siswa untuk berfikir, menganalisis, menyelesaikan masalah dan mengutarakan pendapatnya tanpa rasa takut dalam kegiatan berdiskusi kelompok. Konfirmasi Dalam kegiatan konfirmasi : a. Guru memberikan umpan balik positif dan penguatan dalam bentuk lisan, tulisan berupa pujian terhadap keberhasilan siswa dalam menyelesaikan tugas dengan berdiskusi kelompok. b. Guru memfasilitasi siswa melakukan refleksi untuk memperoleh pengalaman belajar yang telah dilakukan. c. Guru sebagai nara sumber dan fasilitator dalam menjawab pertanyaan siswa yang mendapat kesulitan. Uraian Materi Kegiatan Belajar Integral Tertentu b

 f ( x)dx  F ( x)]

b a

 F (b)  F (a )

Dengan : F(x) = fungsi hasil integral dari f(x) F(b) = Nilai fungsi F(x) untuk x = b F(a) = Nilai fungsi F(x) untuk x = a a = fungsi bawah b = fungsi atas Sifat – Sifat Integral Tertentu 1.

 f ( x)dx    f ( x)dx a

 a

f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx ; a < b < c

 f ( x)dx = 0 a

4.  kf ( x)dx = k  f ( x)dx ; k = konstanta

Contoh: 2

1  1  1  1 3 1)  x dx  x 4    .24    .14   4   3 4 1  4   4  4 4 1 2)

 2 x  3x dx  x 2

  1

 



 x 3 0  12  13  02  03  2  0  2

1 1   1   1  16  1 15  3)  x 3dx  x 4    .24    .14   2 8 1  8   8  8 8 1 LEMBAR KERJA SISWA (LKS) Tentukan integral tertentu berikut ini ! a.

 7  x dx

1  b.   x 2  dx 2 1 2

1 c.  x 2 dx 3 0

1



  t



1 dt t2 

3x 4  4 x 3  2 dx 2 x2 1

f.  12 x( x  1)( x  1)dx 1

Gunawan Bagya H, S.Kom