3 ¿Qué es la proporcionalidad inversa?

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CARNÉ CALCULISTA 587 : 7,5

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Cinco agricultores recogen en 4 h una cosecha de aceitunas. ¿Cuánto tardará un solo agricultor en recoger la cosecha?

¿Qué son magnitudes inversamente proporcionales?

Un agricultor recoge en 60 h una cosecha de manzanas. Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando: a) Al aumentar una cantidad de una de ellas el doble, el triple, etc., el valor correspondiente de la otra queda disminuida a la mitad, a la tercera parte, etcétera. b) Al disminuir una cantidad de una de ellas a la mitad, a la tercera parte, etc., el valor correspondiente de la otra queda aumentada el doble, el triple, etcétera.

Constante de proporcionalidad inversa

La constante de proporcionalidad inversa se calcula multiplicando una cantidad cualquiera de la primera magnitud por la cantidad correspondiente de la segunda magnitud.

8 Un agricultor recoge en 60 h una cosecha de manzanas. N.º de agricultores 1 2 3 4 5 6 Tiempo (h) 60 30 20 15 12 10 Halla la constante de proporcionalidad.

Las magnitudes son inversamente proporcionales porque al aumentar el número de agricultores el doble, el triple, etc., el tiempo disminuye a la mitad, a la tercera parte, etc. La constante de proporcionalidad inversa es: 60 · 1 = 30 · 2 = 20 · 3 = … = 60

15. ¿Qué magnitudes de las siguientes son inversamente proporcionales? a) La altura de un árbol y su edad. b) La velocidad de un ciclista y el tiempo que tarda en recorrer una distancia fija. c) El número de obreros y el tiempo que tardan en hacer una obra. d) Las longitudes de los lados de un rectángulo de 20 cm2 de área. 16. Copia y completas las siguientes tablas para que las magnitudes sean inversamente proporcionales:

Magnitud A 1 3 5 10 15 Magnitud B 3

Magnitud A 4 6 9 12 36 Magnitud B 8

El esquema de estos problemas es similar al de la proporcionalidad directa. Se van a ver dos métodos de resolución, pero recuerda que lo primero que hay que hacer es determinar si las magnitudes son inversamente proporcionales.

Resuelve un problema por reducción a la unidad:

a) Se calcula el valor de la segunda magnitud, correspondiente a la unidad de la primera magnitud. b) Dividiendo ese valor por la cantidad que interese, se calcula cualquier valor deseado.

9 Cuatro obreros hacen una obra en 21 días. ¿Cuántos días tardarán en hacer la obra 7 obreros?

a) Si 4 obreros tardan 21 días, un obrero tardará: 4 · 21 = 84 días b) 7 obreros tardarán: 84 : 7 = 12 días

Resuelve un problema por el método de regla de tres inversa:

Para resolver los problemas de regla de tres inversa se sigue el procedimiento: a) Se identifican las magnitudes que intervienen y sus unidades. b) Se colocan las magnitudes y las cantidades poniendo en último lugar la incógnita. c) Se determina si la proporcionalidad es inversa. Es inversa cuando va de + a –o de – a + d) Se forma la proporción invirtiendo la primera razón y se calcula el cuarto proporcional.

Magnitud A (Unidad) (I) Magnitud B (Unidad)

Cantidad conocida: a ⎯→ Cantidad conocida: c Cantidad conocida: b ⎯→ Cantidad desconocida: x c c x bx

Razón invertida. a b & &= = a ·

Cuatro obreros hacen una obra en 21 días.

10 Un coche recorre una distancia en 5 h a una velocidad de 60 km/h. Si la velocidad aumenta a 75 km/h, ¿cuánto tardará?

• La magnitud de la pregunta es Tiempo (h); va en último lugar. • Es de proporcionalidad Inversa (I), porque al aumentar la velocidad, disminuye el tiempo que tarda en recorrer la distancia, va de + a –

Velocidad (km/h) (I) Tiempo (h)

60 75 x x h⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→ 52 x 5 60 75 & &= = 75 60 · 5 = 4

Razón invertida.

17. Escribe dos magnitudes que sean inversamente proporcionales. 18. Una piscina se llena en 15 h con un grifo que vierte 120 L/min. ¿Cuánto tiempo tardará en llenar la piscina otro grifo que tiene un caudal de 240 L/min? 19. Un rectángulo tiene 12 m de base y 7 m de altura. Otro rectángulo con la misma área tiene 5 m de base. ¿Cuánto mide de altura? 20. Siete obreros tardan 9 h en hacer una obra. ¿Cuánto tardarán 3 obreros?