Óptica geométrica

Propagación rectilínea de la luz

Espejos planos

Espejos esféricos

Lentes

El ojo humano

Defectos de la visión

Instrumentos ópticos

Diversas experiencias (la formación de sombras y penumbras, los eclipses, la formación de imágenes en la cámara oscura...) ponen de manifiesto que:

En un medio transparente y homogéneo, la luz se propaga en línea recta.

La figura 8.1 permite explicar la formación de sombras y de penumbras: un objeto opaco se encuentra, en los tres casos, a la misma distancia de una pantalla. De una situación a la otra varía el tamaño de la fuente de luz. Las líneas a trazos representan rayos de luz tangentes al cuerpo opaco y determinan en la pantalla la sombra (zona privada de luz) y la penumbra (zona parcialmente iluminada). Según se observa en la figura, un foco puntual solo produce sombra, mientras que para focos extensos, al aumentar el tamaño del foco, la sombra disminuye, y la penumbra aumenta.

Los eclipses son consecuencia de la propagación rectilínea de la luz. El eclipse de Sol se produce cuando la Luna se interpone entre el Sol y la Tierra (queda eclipsado el Sol). Hay eclipse de Luna (la Luna queda eclipsada para los observadores terrestres) cuando la Tierra se interpone entre la Luna y el Sol.

Recuerda

Figura 8.3. Cámara oscura.

Segunda Ley De La Reflexi N

El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión: i = r V

Reflexi N Especular Y Reflexi N Difusa

Si la superficie en la que se refleja la luz es irregular, a un haz de rayos incidentes paralelos le corresponden rayos reflejados en diversas direcciones: en este caso, la reflexión es difusa (fig. 8.4). Si la superficie es lisa (fig. 8.5), los rayos reflejados que corresponden a rayos incidentes paralelos también son paralelos entre sí. En este caso se dice que la reflexión es especular, como sucede en los espejos, por lo general superficies opacas pulidas. La reflexión especular también se manifiesta en otras superficies regulares, como la superficie tranquila del agua, y cuando se produce la reflexión total.

Espejos Planos

Las imágenes que se observan en un espejo plano parecen estar dentro de él. Si percibimos una imagen es porque llega luz a nuestros ojos; pero, ¿puede venir luz de la zona posterior del espejo? La explicación está en la reflexión de la luz.

En la figura 8.6, de los infinitos rayos de luz que salen del punto O (punto objeto) se estudian dos que, al llegar al espejo, se reflejan; en ambos casos, el ángulo de incidencia y el de reflexión son iguales (segunda ley de la reflexión). La imagen observada del punto O es I (fig. 8.7), es decir, es el punto que se obtiene por la intersección de las prolongaciones de los rayos reflejados. Este punto imagen es virtual; no es real.

Una imagen virtual no puede recogerse sobre una pantalla, como sucede con las imágenes reales (por ejemplo, la de una diapositiva proyectada sobre una pantalla), pero nuestra vista nos permite percibirlas. Las imágenes virtuales las explicamos por la prolongación de rayos divergentes.

En la figura 8.7, los triángulos rectángulos OMP e IMP son iguales: tienen un cateto común (MP) y los ángulos a y b también son iguales (2.ª ley de la reflexión); por tanto, las distancias (OM) y (MI) son iguales.

La imagen de un objeto en un espejo plano es simétrica, de igual tamaño y virtual.

Ejemplo

Una persona de 1,70 m de estatura se coloca ante un espejo plano. Sabiendo que sus ojos distan del suelo 1,60 m, establece la longitud (mínima) del espejo para que se vea de pies a cabeza, así como la altura del suelo a la que debe colocarse.

En la figura 8.10, la imagen de la persona se ha construido teniendo en cuenta que es simétrica respecto del objeto. El punto imagen P l es percibido por los ojos por el rayo DO, que es el reflejado del PD Como el ángulo de incidencia es igual que el de reflexión, la altura a la que debe ponerse el espejo (distancia DB) es 1/2 OP, es decir, 0,80 m.

Siguiendo el mismo procedimiento, para observar el otro extremo de la persona (punto C), se trazan los rayos CE y EO, de donde se deduce que la persona ve íntegramente su imagen si la longitud (mínima) del espejo es: 1/2 CO + 1/2 OP, es decir, la mitad de su altura: 0,85 m.

Espejos Planos Que Forman Ngulo Entre S

La experiencia pone de manifiesto que, si se pone un objeto entre dos espejos planos perpendiculares, se pueden observar tres imágenes (fig. 8.11).

En la figura 8.12 se expone la formación de la imagen I3: la luz que permite observarla se ha reflejado dos veces antes de llegar al ojo del observador, mientras que las otras dos imágenes corresponden a rayos que han experimentado una única reflexión.

En este ejemplo, las imágenes y el objeto se encuentran en una circunferencia cuyo centro está en la línea de intersección de los espejos. Esto puede generalizarse para cualquier ángulo, {, entre dos espejos. Además, si este ángulo (expresado en grados) es divisor de 360°, el número de imágenes (n.º) que se forman viene dado por: n.º = 360º { – 1

Si los dos espejos son paralelos, el número de imágenes es infinito.

La recta que muestra la dirección de propagación de la luz se llama rayo.

En el estudio que sigue se considera que los rayos de luz son paraxiales, es decir, marchan muy poco separados del eje principal.

Los espejos curvos (esféricos, parabólicos...) se utilizan en diversas aplicaciones; por ejemplo, los que se instalan en algunas esquinas y en establecimientos comerciales para ampliar el campo de visión, los retrovisores de los vehículos, los que proporcionan imágenes deformadas (en ciertos parques de atracciones), los que se utilizan en los hornos solares (que concentran en un punto o en una línea un haz de luz paralelo)... También son curvos los espejos de tocador que amplían la imagen del rostro, aunque al tacto parezcan superficies planas.

Un espejo esférico es una porción de superficie esférica pulimentada. Son cóncavos cuando la superficie reflectante es la interior, y convexos cuando lo es la exterior.

Elementos Pticos De Los Espejos Esf Ricos

„ El centro de curvatura (C ) es el centro de la esfera a la que pertenece el espejo.

„ El centro de figura (O ) es el centro o polo del espejo.

„ El eje principal es la recta que pasa por el centro de curvatura y por el centro de figura.

„ El foco (F ) de un espejo cóncavo es el punto del eje principal en el que se cortan los rayos reflejados que corresponden a rayos de luz incidentes paralelos al eje principal.

Figura 8.16. En esta fotografía, los rayos incidentes son rayos paralelos al eje principal del espejo cóncavo (se propagan de izquierda a derecha). Los rayos reflejados en el espejo se cortan en un punto del eje principal: el foco.

La posición del foco (F) se explica por las leyes de la reflexión. El radio de la circunferencia es normal a la misma.

„ El foco de un espejo convexo es el punto de su eje principal en el que convergen las prolongaciones de los rayos reflejados que provienen de rayos incidentes paralelos a dicho eje. El foco de los espejos convexos es virtual (lo explicamos por la intersección de prolongaciones de rayos), mientras que el de los cóncavos es real.

La normal en un punto de una circunferencia es la recta que pasa por dicho punto y el centro de la circunferencia.

La distancia focal (f ) de un espejo esférico, es decir, la distancia entre el foco y el centro de figura, es la mitad del radio del espejo: f = R 2

Ejemplo

Traza la marcha de los rayos reflejados de la figura 8.21.

Aplicando la segunda ley de la reflexión, y teniendo en cuenta que la normal en un punto de una circunferencia es el diámetro que pasa por dicho punto:

Nótese que:

„ La normal en el punto O es el eje principal.

„ El ángulo de incidencia del rayo de color verde es de 0°, con lo que el ángulo de reflexión también es nulo y, por tanto, el rayo reflejado se superpone al incidente.

Para el estudio que sigue es recomendable disponer de papel milimetrado, escuadra y semicírculo graduado.

Puedes estudiar la formación de imágenes con una cuchara (espejo cóncavo o convexo, según la parte que utilices). Por ejemplo, acerca un

Im Genes En Un Espejo Esf Rico

Las imágenes en los espejos esféricos se obtienen siguiendo el mismo procedimiento que en los espejos planos; es decir, de cada punto del objeto se sigue la marcha de dos (o más) de los infinitos rayos que parten de él y llegan al espejo; si los rayos reflejados se cortan, ese punto de corte es el punto imagen y esa imagen es real, mientras que, si son divergentes, el punto imagen es el punto donde se cortan sus prolongaciones y es una imagen virtual.

Se puede usar cualquier rayo que, partiendo del objeto, alcance el espejo, pero facilita la representación gráfica usar aquellos cuyo rayo reflejado es más fácil trazar.

Rayo incidente Rayo reflejado a Es paralelo al eje principal. Pasa por el foco. b Pasa por el foco. Es paralelo al eje principal. c Pasa por el centro de curvatura. Regresa en la misma dirección.

Al estudiar la construcción de imágenes en los espejos esféricos suele considerarse como objeto una flecha perpendicular al eje principal. En las figuras 8.26 a 8.28 se muestra la formación de la imagen en un espejo cóncavo según la posición del objeto respecto del espejo. En ellas se ha construido la imagen de la punta de la flecha; la imagen de la base está en el eje principal, porque esta base es un punto (objeto) de dicho eje (fig 8.25).

Las características que se indican de la imagen son:

„ Naturaleza (real o virtual).

„ Tamaño relativo (mayor, menor o igual que el objeto).

„ Orientación respecto del objeto (derecha o invertida).

Se pueden comprobar fácilmente los otros dos casos posibles para espejos cóncavos: si el objeto está en C, la imagen es igual, invertida y real; si está en F , no se forma imagen (se forma en el infinito).

La figura 8.29 muestra que:

En un espejo convexo, la imagen siempre es menor, derecha y virtual.

En los espejos retrovisores, y en los que hay en algunos cruces y establecimientos, la imagen siempre es derecha y menor: son espejos convexos.

●●● Convenio de signos y notación

En la figura 8.30, la distancia s se denomina distancia objeto y s l es la distancia imagen, mientras que y e y l corresponden a la altura del objeto y de la imagen, respectivamente.

Figura 8.29. En un espejo convexo, la imagen siempre es derecha, menor y virtual, con independencia de cual sea la posición del objeto respecto del espejo.

8.30. La flecha AB es el objeto. Su imagen se ha obtenido considerando dos rayos que parten de B: uno que pasa por el foco y otro que incide en el centro de la figura, O.

El convenio de signos y notación adoptado es:

„ Sentido de la luz. El sentido de la luz incidente es de izquierda a derecha.

„ Sistema de coordenadas. El centro de figura (O ) se toma como origen de coordenadas. El eje de abscisas es el eje principal y el de ordenadas es la tangente al espejo en dicho centro de figura.

Las distancias en los ejes se consideran positivas o negativas según es habitual (positivas a la derecha de O y por encima de él). Así, en la figura 8.30: y l, s y s l son negativas, mientras que y es positiva.

„ Notación. Las magnitudes que se refieren a la imagen tienen la misma notación que sus correspondientes al objeto, pero afectadas por el carácter «l» (prima).

En general, si hay varios elementos ópticos (por ejemplo, una lente y un espejo o dos espejos), para cada elemento óptico se considera como sentido positivo, para las magnitudes que se miden sobre el eje óptico, el de propagación de la luz que incide sobre él.

Según el convenio de signos adoptado, el radio (y la distancia focal) de los espejos cóncavos es negativo, mientras que el de los convexos es positivo.

En la construcción de imágenes:

„ Usa papel milimetrado y transportador de ángulos.

„ Traza el eje principal.

„ Elige la escala adecuada.

„ Señala O, C y F

„ Haz los trazos con la máxima precisión (utiliza lápiz con punta fina).

„ Los rayos deben ser paraxiales: conviene que estén próximos al eje principal y/o que el radio de curvatura sea grande.

3.3

Ecuaciones De Los Espejos Esf Ricos

Si se construyen imágenes a escala, se puede establecer su posición y altura. Sin embargo, cuando se requiere un estudio cuantitativo más preciso, debe recurrirse a un método analítico.

Según la figura 8.31, en la que, para facilitar la deducción, se ha omitido el rayo que pasa por el foco y su reflejado: triángulo OAB : tan a = AB AO ; triángulo OAlBl: tan b

El ángulo de incidencia, a, es igual al de reflexión, b; por tanto:

Ptica

La Óptica estudia las propiedades y la naturaleza de la luz y sus interacciones con la materia.

Muchos fenómenos luminosos se pueden analizar prescindiendo de la naturaleza de la luz, por simples métodos geométricos: así procede la Óptica geométrica. Aquellos fenómenos que exigen para su estudio tener en cuenta el carácter ondulatorio de la luz (como, por ejemplo, las interferencias y la difracción) son estudiados por la Óptica física.

●●● Aumento lateral

La relación AlB l / AB (con el signo que le corresponde por los ejes de coordenadas) se conoce como aumento lateral, A, puesto que relaciona el tamaño de la imagen con el del objeto. En la última ecuación, si se expresa con las magnitudes s, s l, y e y l :

El signo «–» se comprende fácilmente por la simple observación de las figuras.

Esta ecuación, deducida para un caso particular, es general para los espejos esféricos (cóncavos y convexos).

„ En los esquemas el objeto está a la izquierda del espejo, y s será siempre negativa.

„ Si la imagen es real, se forma a la izquierda y, por tanto, s l es negativa; si s l es positiva, la imagen es virtual (se forma detrás de la superficie reflectante).

„ Si y e y l tienen el mismo signo, el objeto y la imagen presentan la misma orientación; cuando esto no sucede, su signo es opuesto.

„ Si la imagen y el objeto tienen la misma orientación, el cociente y l / y es positivo; por tanto, según la ecuación [8.1], s y s l deben tener signo opuesto y la imagen obtenida es virtual.

●●● Ecuación fundamental de los espejos esféricos

Como se observa en la figura 8.32, si solo se consideran rayos paraxiales, los puntos F, G1 y O forman un triángulo rectángulo.

Los rayos de luz paraxiales son aquellos cuya separación respecto del eje principal es muy pequeña.

Para el ángulo { de la figura 8.33, se tiene que:

„ Triángulo ABF. tan { = AB AF = AB AO – FO

„ Triángulo FOG. tan { = OG FO = AlBl FO

Utilizando el convenio de signos y notación: AB AO – FO = AlB

Teniendo en cuenta la ecuación [8.1], conduce a:

Se trata de la ecuación fundamental de los espejos esféricos, en la cual debe tenerse muy en cuenta que los valores numéricos s, s l y f se sustituyen con el signo que les corresponda según el convenio adoptado.

Según el convenio de signos adoptado:

„ s l > 0: imagen virtual.

„ s l < 0: imagen real.

„ y l > 0: imagen derecha.

„ y l < 0: imagen invertida.

„ Espejo cóncavo: R < 0.

„ Espejo convexo: R > 0.

Ejemplo

Una cerilla de 4,0 cm de altura se coloca a 40,0 cm de un espejo cóncavo de 60,0 cm de radio. Halla la posición, tamaño y naturaleza de la imagen.

Según el convenio de signos, los datos del enunciado son:

„ Distancia objeto: s = –0,400 m.

„ Distancia focal: f = 1 2 R = –0,300 m

„ Altura del objeto (supuesto derecho): y = 0,040 m.

Aplicando la ecuación fundamental de los espejos esféricos:

Si R es el radio de un espejo esférico, su distancia focal, f, es: f = R

1 s + 1 s l = 1 f → 1 s l = 1 f –1 s → s l = sf s – f s l = (–0,400 m) · (–0,300 m) (–0,400 m) – (–0,300 m) = –1,20 m

Como s l es negativa, la imagen obtenida es real.

El tamaño se deduce de la fórmula del aumento lateral: y  l y = –s  l s → y l = – y s l s = –0,040 m –1,20 m –0,040 m = –0,12 m

La imagen tiene 12 cm de altura (el triple que el objeto) y, como el signo de y l es negativo, es invertida respecto del objeto.

Según se deduce de la ecuación fundamental de los espejos esféricos, la distancia imagen de un objeto no depende de la altura del mismo; solo depende de su posición y de las características del espejo.

Ejemplo

Realiza el ejemplo anterior, pero suponiendo que el espejo es convexo.

Los datos son:

„ Distancia objeto: s = –0,400 m.

„ Distancia focal: f = 1 2 R = 0,300 m

„ Altura del objeto (supuesto derecho): y = 0,040 m.

Aplicando la ecuación fundamental de los espejos esféricos: s l = s f s – f = (–0,400 m) · 0,300 m (–0,400 m) – 0,300 m = 0,171 m Como s l es positiva, la imagen de la cerilla es virtual. El tamaño de la imagen es: y l= – y s  l s = –0,040 m 0,171 m – 0,400 m = 0,017 m

La altura de la imagen es de 1,7 cm y, como el signo de y l es positivo, es derecha respecto del objeto.

En este ejemplo, que se refiere a la imagen dada por un espejo convexo, antes de realizar los cálculos se puede prever que dicha imagen debe ser virtual (s l > 0), derecha (y l > 0) y menor (y > y l )

La superficie de separación de dos medios transparentes de diferente índice de refracción se llama dioptrio. Por ejemplo, la superficie de separación del aire y el agua es un dioptrio plano.

La superficie esférica AOB de la figura 8.34, que separa dos medios transparentes de distinto índice de refracción, es un ejemplo de dioptrio esférico; si el material de índice de refracción n l fuese vidrio y el medio de índice de refracción n fuese aire, y se cortase por los puntos ACB, se tendría una lupa (con una superficie plana y otra convexa).

„ El centro (C ) de la superficie esférica se denomina centro de curvatura.

„ El centro (O ) del casquete esférico es el centro de figura o vértice.

„ La recta que pasa por el centro de curvatura y el de figura se llama eje principal o eje óptico.

Un sistema óptico centrado es el formado por una sucesión de dioptrios esféricos cuyos centros se encuentran sobre una misma recta, que es el eje óptico del sistema.

Una lente esférica es un sistema óptico centrado constituido por una sucesión de dos dioptrios, de los cuales al menos uno es esférico, en el que los medios refringentes extremos tienen el mismo índice de refracción (generalmente es aire).

Las lentes se clasifican en dos grupos: a) Biconvexa, b) plano-convexa y c) cóncavo-convexa (también llamada menisco convergente). a) Bicóncava; b) plano-cóncava y c) convexo-cóncava (también llamada menisco divergente).

„ Lentes convergentes: son más gruesas en el centro que en los bordes. Como indica su nombre, y como se verá a continuación, tienden a concentrar los rayos. La figura 8.35 muestra las diversas secciones de lentes convergentes y el símbolo que se utiliza en los esquemas. Un ejemplo bien conocido de lente convergente es la lupa.

„ Lentes divergentes: son más gruesas en los bordes que en el centro; tienden a abrir el haz de rayos de luz. La figura 8.36 muestra las diversas secciones de lentes divergentes y el símbolo que se utiliza en los esquemas. Las lentes de las mirillas de las puertas y las que se utilizan para corregir la miopía son divergentes.

Figura 8.35. Secciones de lentes convergentes y su símbolo.

Una lente se considera delgada si su grosor es pequeño comparado con los radios de curvatura de sus dioptrios.

Figura 8.36. Secciones de lentes divergentes y su símbolo.

Elementos Pticos De Las Lentes

Tanto si la lente es convergente como si es divergente, los elementos que interesa considerar son:

„ Centros de curvatura, C y C l: son los centros de los dioptrios que la forman, es decir, de sus superficies esféricas. Si una de las caras es plana, su centro está en el infinito.

„ Eje principal o eje óptico: es la recta que une los centros de curvatura de los dos dioptrios. Si uno de ellos es plano, el eje principal es la perpendicular al mismo que pasa por el centro de curvatura del otro.

„ Centro óptico (O ) de una lente delgada: es un punto interior de la misma, que está en su eje óptico, y que tiene la propiedad de que todo rayo que pasa por él no cambia de dirección.

„ Foco imagen (F l ).

„ Si sobre una lente convergente inciden rayos paralelos a su eje óptico, los rayos refractados correspondientes convergen en un punto de dicho eje: es el foco imagen (F l ).

„ Si sobre una lente divergente inciden rayos paralelos a su eje principal, los rayos refractados correspondientes emergen de forma que sus prolongaciones convergen en un punto del eje principal de la lente: este punto (F l ) es el foco imagen de la lente.

„ El foco objeto (F ) es el punto del eje principal con respecto al cual todo rayo (o prolongación) que lo atraviesa emerge de la lente paralelo al eje principal.

„ La distancia focal imagen (f l ), es la distancia que hay entre el foco imagen (F l ) y el centro óptico (O). Según el convenio de signos:

„ En las lentes convergentes, la distancia focal imagen es positiva (f l > 0).

„ En las lentes divergentes, la distancia focal imagen es negativa (f  l < 0).

●●● Potencia de una lente. Dioptría

El inverso de la distancia focal imagen (f l ) se conoce como potencia o convergencia de una lente: P = 1 f l

La unidad de potencia es la dioptría: si la distancia focal se expresa en metros, la potencia se obtiene en dioptrías. Una lente tiene una potencia de una dioptría si su distancia focal es de un metro.

En las lentes delgadas se cumple que:

=

„ Cuando se tienen varias lentes en contacto unas con otras, la potencia del conjunto es la suma de las potencias de las lentes que lo forman.

4.2

FORMACIÓN DE IMÁGENES EN LAS LENTES

Las imágenes en las lentes delgadas se pueden construir siguiendo el mismo procedimiento que en los espejos, es decir:

Según el convenio de signos, la distancia focal (imagen) de las lentes convergentes es positiva; por tanto, su potencia también es positiva. La potencia de las lentes divergentes es negativa (f l < 0).

La potencia de una lente convergente está relacionada con su capacidad de hacer converger los rayos que la atraviesan. A más capacidad de convergencia, menor distancia focal imagen y, en definitiva, más potencia.

F l F l P l P l P P F F O O

Figura

8.41. Imagen de un punto eje óptico.

Se puede utilizar cualquier rayo que, partiendo del objeto, alcance la lente, pero es más fácil dibujar aquellos cuyo refractado es más sencillo de trazar:

Rayo incidente Rayo emergente a Es paralelo al eje óptico. Pasa por el foco imagen. b Pasa por el centro óptico. No cambia su dirección.

Al construir imágenes, conviene tener en cuenta las normas indicadas para los espejos esféricos: l < 0; y l > 0.

„ Usar papel milimetrado.

„ Trazar el eje óptico.

„ Elegir la escala adecuada.

„ Señalar los focos.

„ Realizar los trazos con la máxima precisión.

Estos rayos se han utilizado en las figuras 8.42 y 8.43. Con dos de ellos basta y, además, si el dibujo se realiza a escala, se puede hacer un estudio cuantitativo. En la figura 8.42, la imagen es real puesto que se forma por la intersección de rayos de luz, mientras que, en la figura 8.43, la imagen es virtual y no podrá recogerse sobre una pantalla.

Figura 8.42 Formación de la imagen en una lente convergente. En este caso, la imagen es invertida, real y mayor (es el caso de un proyector de diapositivas: el objeto es la diapositiva).

Figura 8.43. Formación de la imagen en una lente divergente. La imagen es menor, derecha y virtual. Nótese que el rayo c emerge paralelo al eje óptico.

En estos ejemplos, como el objeto tiene un extremo en el eje principal, la imagen de dicho punto también está sobre el eje; por tanto, para construir la imagen del objeto, solo es preciso establecer la del otro extremo.

En la figura 8.44, la imagen es invertida y real, pero es menor. Si el objeto se encuentra muy próximo a la lente convergente (entre O y F, figura 8.45), la imagen es mayor, derecha y virtual: actúa como lupa.

Figura 8.44. Si el objeto está alejado de la lente convergente, la imagen es invertida, menor y real. De acuerdo con el convenio de signos, en este ejemplo s < 0; y > 0; f l > 0; s l > 0; y l < 0.

„ En las lentes divergentes, la imagen siempre es derecha, menor y virtual.

„ En las lentes convergentes, la naturaleza, posición y tamaño de la imagen dependen de la posición del objeto respecto de la lente. La tabla siguiente recoge las distintas posibilidades.

●●● Imagen en un sistema óptico

Cuando el sistema consta de dos lentes separadas, como sucede, por ejemplo, en un microscopio, se empieza por establecer la imagen que forma la primera lente, prescindiendo de la segunda. Después, la imagen dada por la primera lente se toma como objeto de la segunda lente y, siguiendo el procedimiento habitual, se establece la imagen que proporciona de ella esta segunda lente.

F Rmulas De Las Lentes Delgadas

Observa la figura 8.46. Teniendo en cuenta el mismo convenio de signos que en los espejos esféricos, se puede deducir: triángulo ABO: tan a = AB AO ; triángulo OBlAl: tan a = A l B l A l O

AB AO = A l B l A l O → A l B  l AB = A l O AO

Figura 8.46.

El término AlB l / AB, relación entre el tamaño de la imagen y el del objeto, es el aumento lateral (A); con la notación convenida: A = y  l y = s  l s [8.4]

En los triángulos OFlG y FlBlAl, se tiene que: triángulo OFlG: tan b = OG OF l ; triángulo FlBlAl: tan b = A l B l F l A l

Como OG = AB = y, teniendo en cuenta el convenio de signos y la ecuación del aumento lateral:

AB OF l = A l B l F l A l ; y f l = –y l s l – f l ; y l y = f l – s l f l = s l s ; f l s – ss l = f l s l s l –1 s = 1 f l [8.5]

La anterior es la ecuación fundamental de las lentes delgadas, también conocida como ecuación de Gauss (de las lentes delgadas).

Como el inverso de la distancia focal imagen es la potencia de la lente: s  l –1 s = P [8.6]

Recuerda

„ Lentes convergentes: potencia positiva.

„ Lentes divergentes: potencia negativa.

Ejemplos

Al mirar un dedo a través de las gafas que lleva una persona miope, empezando con el dedo en contacto con la lente y alejándolo progresivamente, se observa que, a medida que se separa, su imagen es cada vez menor, pero siempre es derecha. Justifica estas observaciones y deduce qué tipo de lente llevan las personas miopes. ●

Si con el objeto muy próximo a la lente su imagen es menor, dicha lente no es convergente, puesto que, si lo fuese, a distancias pequeñas actuaría como lupa. Por tanto, los miopes utilizan lentes divergentes, lo cual se comprueba al comparar el grosor del centro de las lentes con el de los bordes: son más gruesas en estos.

La figura 8.47 permite deducir que, a medida que el objeto se aleja, la imagen obtenida, que es virtual, es menor.

Un objeto de 4,0 cm de altura está situado a 20,0 cm de una lente delgada cuya potencia es de –5,0 dioptrías. ¿De qué tipo de lente se trata (convergente o divergente)? Determina analíticamente las características de la imagen.

Dado que la potencia es negativa, la lente es divergente. Los datos del enunciado son:

„ Altura del objeto: y = + 0,040 m.

„ Distancia objeto: s = –0,200 m.

„ Potencia, P = –5,0 dioptrías.

A partir de la ecuación fundamental de las lentes delgadas se determina la distancia imagen, s':

Sustituyendo los valores numéricos:

Que la distancia imagen sea negativa significa que la imagen es virtual.

La altura de la imagen se obtiene a partir de la ecuación del aumento lateral:

El signo positivo de la altura de la imagen, y', significa que la imagen tiene la misma orientación que el objeto. Por tanto, la imagen obtenida es menor, derecha y virtual.

Ejemplos

La figura 8.48 muestra un objeto, de 10 cm de altura, que se encuentra delante de una lente. ¿De qué tipo de lente se trata (convergente o divergente)? Determina analíticamente las características de la imagen que se obtiene del objeto.

La lente es convergente. Los datos del enunciado son:

„ Altura del objeto: y = +0,10 m.

„ Distancia objeto: s = –0,30 m.

„ Distancia focal, f' = +0,20 m.

A partir de la ecuación fundamental de las lentes delgadas se determina la distancia imagen, s': 1 s l –1 s = 1 f  l → = 1 s  l = 1 s + 1 f  l → 1 s  l = f l + s s f l → s l = s f l f l + s

Sustituyendo los valores numéricos: s l = s f l f l + s = (–0,30 m) · (0,20 m) (0,20 m) + (–0,30 m) = 0,60 m

Que la distancia imagen sea positiva significa que es una imagen real. La altura de la imagen se obtiene a partir de la ecuación del aumento lateral:

A = y  l y = s  l s → y  l = y s l s = 0,10 m 0,60 m –0,30 m = –0,20 m

El signo negativo de la altura de la imagen, y l , significa que la imagen es invertida respecto del objeto. Por tanto, la imagen obtenida es mayor, invertida y real.

Resuelve gráficamente el ejemplo anterior.

La figura 8.49 muestra la resolución gráfica, utilizando papel milimetrado y a escala 1:10.

En la construcción de la imagen se han utilizado dos rayos de luz que pasan por el extremo superior del objeto:

„ Uno paralelo al eje principal; su refractado pasa por el foco imagen, F l

„ Otro que pasa por el centro óptico y, por ello, no experimenta desviación al atravesar la lente.