Introduzione 7 La pergamena del fiume Luo 39 222 L’osso di Ishango 10 208 L’asino di Buridano 40 222 Giorni sacri 11 208 Il terzo paradosso di Hui Shi 41 223 Tronco del solido 12 209 La prova dello zero 42 223 Triangoli di Babilonia 13 209 Lacrime di coccodrillo 43 224 I pani di Ahmes 14 210 La scala di Horus 44 224 Gli averi del sacerdote 15 210 Il crivello di Eratostene 45 225 Questione di quantità 16 211 La vendetta di Archimede 46 226 Problema frazionario 17 211 I nove capitoli 47 227 Grano robusto 18 212 Il problema della cisterna 48 227 Pani progressivi 19 212 Cane e lepre 49 228 Datteri 20 213 Polli in vendita 50 228 La regola del tre 21 213 Gamba e coscia 51 229 Quote progressive 22 214 Acquisto di un cavallo 52 229 Quadratura del cerchio 23 214 Avidità 53 229 Quesito quadrato 24 215 Gemelli postumi 54 230 Enigma sumero 25 215 La nave di Teseo 55 230 La stella di Ramesse 26 216 Uomini che trovano un portamonete 56 231 L’enigma della sfinge 27 216 L’indesiderato 57 231 Silente inquietudine 28 217 I cinque figli 58 232 Visitatori 29 217 Classico enigma di Sun Tzu 59 232 Cretesi 30 217 Il problema dei cammelli 60 233 La dicotomia di Zenone 31 218 La chiocciola nel pozzo 61 233 La freccia di Zenone 32 218 Il cammello di Alcuino 62 234 Lo stadio di Zenone 33 219 Fratelli e sorelle 63 234 Achille e la tartaruga 34 219 I fiaschi di Alcuino 64 235 Il mucchio 35 220 Il mercante d’Oriente 65 235 Quattro fratelli 36 220 Il grano di Alcuino 66 236 Il germoglio 37 221 Cento gradini 67 236 La stanza dei bambini 38 221 L’enigma di Alcuino 68 237
Il problema di Giuseppe 69 237 Il minatore 104 254 L’oasi nel deserto 70 237 L’abate cieco 105 254 Le noci della scimmia 71 238 La regina rinchiusa 106 255 Il libro delle cose preziose 72 238 Percorso a spirale 107 255 Indovinello medievale 73 239 Otto regine 108 256 Il marinaio 74 239 La cena 109 256 La ruota della memoria 75 240 La scimmia e la puleggia 110 257 Il triangolo di Jia Xian 76 240 Le scolare di Kirkman 111 257 Il vecchio 77 241 Banconota falsa 112 258 Conigli prolifici 78 241 Il commesso viaggiatore 113 258 Il gioco dell’anello 79 242 Matematici d’Etiopia 114 259 Il pozzo 80 242 Cantor e l’infinito 115 259 Nessuno 116 260 Il vino di Tartaglia 81 243 Tesseratto 117 260 Sottosopra 82 243 La scatola di Bertrand 118 260 Il vagabondo 83 244 Nulla è perduto 119 261 Il segugio 84 244 L’albergo di Hilbert 120 261 Angolo visuale 85 244 Acqua e vino 121 262 Il quesito dei punti 86 245 Il paradosso del barbiere 122 262 Modestia 87 245 L’età di mamma 123 262 Il quadrato di Dürer 88 246 Il problema di papà 124 263 Bizzarro regalo 89 247 Vola aquilone 125 263 Rintocchi 90 247 Il barile di birra 126 264 La cena 91 248 L’enigma del cento 127 264 Inganno al locandiere 92 248 Il rompicapo dell’operaio 128 264 Giro in tondo 93 248 Il problema del recinto 129 265 Le bilance di Bachet 94 249 L’indovinello di Pierrot 130 265 Il cubo di Rupert 95 249 I quattro sette 131 265 Il problema di Newton-Pepys 96 250 Mr. Gubbins nella nebbia 132 266 Domenica 97 250 La cesta di patate 133 266 Il turista negletto 98 251 Armadietti 134 266 I ponti di Königsberg 99 251 Strana moltiplicazione 135 267 A passeggio 100 252 Numeri curiosi 136 267 La capra legata 101 252 Tempo mutevole 137 267 L’ago di Buffon 102 253 Nove gettoni 138 268 Strumento tonante 103 253
A dorso d’asino 139 268 Il paradosso di Berry 174 285 La macchia sul tavolo 140 269 Cruciverba 175 285 Al ladro, al ladro! 141 269 Il paradosso del cavallo 176 286 Che ore sono? 142 270 Lavando, lavando 177 286 Le trentatré perle 143 270 Fune intorno al mondo 178 286 I tre villaggi 144 271 Il gatto di Schrödinger 179 287 L’eterno 145 271 Il corvo di Hempel 180 287 Il paese di Simpleton 146 271 Due treni 181 288 L’ora del crimine 147 272 Impiccagione a sorpresa 182 288 Il ragno e la mosca 148 272 La dote del sultano 183 288 Quadrati in cerchio 149 273 Il paradosso di Fermi 184 289 Quadrato scomposto 150 273 Il dilemma del prigioniero 185 289 Naufragio 151 274 Catasta di volumi 186 290 La banca di Montecarlo 152 274 Buste problematiche 187 290 La parata di San Patrizio 153 275 Il problema del francobollo 188 291 La torta della pensionante 154 275 Matrimoni stabili 189 291 Complicazioni domestiche 155 276 Il paradosso di Quine 190 292 Il convento 156 276 Suiri 191 292 La vecchia torre del faro 157 276 Buon compleanno! 192 293 La mucca di Casey 158 277 Kakuro 193 293 Panini dolci 159 277 Cercaparola 194 294 Dispaccio cifrato 160 278 Il gioco di Monty Hall 195 294 I litigiosi pesci del Siam 161 278 Meta Tris 196 295 L’enigma del golfista 162 279 Sudoku 197 295 Bilance enigmatiche 163 279 Nonogramma 198 296 Problema legale 164 280 Slitherlink 199 296 La collana 165 280 Hashi 200 297 Il gioco delle caselle 166 281 Il numero di nugget 201 297 L’enigma del poliziotto 167 281 Il setaccio di Conway 202 298 Corse ippiche 168 282 Cokigen Naname 203 298 Stelle erratiche 169 282 Fillomino 204 299 Masyu 205 299 Il puzzle della trapunta 170 283 Quadrati magici 206 300 Ferrovia primordiale 171 283 Numberlink 207 300 Tiro al bersaglio 172 284 Lo stanco e il fiacco 173 284
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Gli enigmi costituiscono una sfera dell’esperienza umana che supera tutte le barriere culturali. Ogni nazione della terra ha i propri enigmi, e ne esistono, probabilmente, da quando il genere umano ha iniziato a ragionare. Di fronte all’ignoto, la nostra naturale curiosità ci porta a ricercare una qualche soluzione. E quando sappiamo che il quesito rappresenta una sfida, l’impulso a risolverlo – a metterci alla prova – diventa quasi incontrollabile. Probabilmente, la deduzione è lo strumento più grande che la specie umana ha a disposizione. La capacità di ragionare e teorizzare – di collegare causa ed effetto in un modello raffigurativo del mondo – ci ha condotti dalle caverne primordiali alla nostra attuale società delle meraviglie. Senza il processo deduttivo non ci sarebbero stati il progresso tecnologico, la reale comprensione degli altri, il linguaggio scritto… non ci sarebbe stata l’umanità stessa. La nostra capacità di ragionamento logico è la qualità principale che ci distingue dal resto delle specie animali. E non sorprende dunque che tutti noi ci divertiamo ad allenare tale capacità. I rompicapi ci offrono l’occasione di esercitare i muscoli cerebrali. Non è soltanto una metafora. Sotto molti punti di vista importanti, questa è una reale descrizione del modo in cui lavora la mente. Avvicinatevi ai vostri limiti mentali e la forza cerebrale aumenterà, diverrà più flessibile, veloce e sana. Ignorateli e si indebolirà, diventando più fiacca, esattamente come accade con il corpo. Recenti studi scientifici hanno dimostrato che il cervello risponde effettivamente all’esercizio mentale, e che risolvere i rompicapi può aiutare davvero a prevenire gli effetti di malattie come l’Alzheimer. I paralleli tra esercizio fisico e mentale sono ancora più profondi.
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osso di ishango
La tribù degli Ishango visse in Zaire, in Africa, attorno al 9000 a.C. e potrebbe aver avuto tra i propri membri gli avi del popolo africano moderno. Tra le molte scoperte archeologiche riguardanti gli Ishango, la più significativa è, probabilmente, un piccolo utensile, composto da un’impugnatura d’osso e un pezzo di quarzo inserito all’estremità. Si pensa che l’osso di Ishango fosse utilizzato per fare delle iscrizioni di qualche tipo – forse addirittura per scrivere. Soltanto questo lo renderebbe di per sé affascinante. Ma l’osso di Ishango contiene tre serie di numeri, disposti in colonne di graffi verticali segnati ai lati. Pur tra qualche incertezza accademica, si pensa che ciascuno dei tre gruppi raffiguri la conoscenza dei processi matematici posseduta dalla tribù; stupefacente, vista l’epoca. La prima colonna è la più semplice. C’è un 3 vicino a un 6, un 4 vicino a un 8 e un 10 vicino a un 5, accanto a un ulteriore 5 e un 7. Lasciando da parte l’ultima, per il momento, queste coppie indicano chiaramente la moltiplicazione per due. Quali processi matematici indicano le altre due serie e a cosa si legano i restanti 5 e 7 della prima serie?
FILA (A) FILA (B)
FILA (C)
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Zaire 9000 a.C. vedi risposta 1
I
14
pani di ahmes
La più antica raccolta di enigmi a noi nota è una collezione di problemi matematici dell’antico Egitto. Furono redatti nel 1650 a.C. da uno scriba di nome Ahmes che trascrisse pergamene ora perdute, di almeno 200 anni precedenti, e che potrebbero essere state addirittura più antiche. La collezione è oggi nota con il nome di Papiro di Rhind, dopo che lo scozzese con tale nome comprò il documento, come oggetto d’arte egiziano, negli anni ’50 del 1800. Il Papiro di Rhind ci fornisce un incommensurabile panorama delle tecniche matematiche e del pensiero logico egiziani. Una delle più interessanti peculiarità del sistema egiziano era il metodo di suddivisione dei numeri interi. Avevano compreso il concetto di frazione, a un livello alquanto sofisticato, ma non avevano la concezione dei multipli frazionari. In altre parole, comprendevano facilmente il concetto di ¼, ma il concetto di ¾ era loro totalmente alieno. In effetti, addirittura l’idea di ripetere la stessa frazione per un dato numero li avrebbe confusi. Quindi, se gli antichi egizi sottraevano ¼ da 1, non pensavano al resto come ¾ o ¼ + ¼ + ¼, ma come ½ + ¼. Tenendo questo a mente, uno degli enigmi di Ahmes chiede al lettore di dividere tre pani tra cinque uomini. Quale soluzione avrebbe potuto trovare l’autore? Potrebbe essere di aiuto pensare in maniera pratica al problema: ciascun uomo deve ricevere non soltanto la stessa quantità di pane, ma anche lo stesso tipo e numero di pezzi, ciascuno dei quali deve essere di grandezza diversa.
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Egitto ca. 1850 a.C. vedi risposta 5
E
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nigma sumero
Sumer, in quello che oggi è l’Iraq meridionale, è considerata la culla della civiltà. La nazione nacque nel momento in cui i suoi abitanti cominciarono la coltivazione intensiva, qualcosa come sette o ottomila anni fa, e la disponibilità di cibo conservato permise alla popolazione di andare oltre la semplice caccia e la raccolta dei frutti della terra, per elaborare regole sociali non finalizzate direttamente al procacciamento del cibo o alla difesa. Era dunque necessaria una complessa documentazione per mantenere tutta questa attività e, come diretta conseguenza, ne derivò la nascita della scrittura. Questo indovinello risale all’ultima fase della storia sumera: la civiltà sumera sarebbe infine decaduta, in larga parte per via dei risultati ambientali delle sue imprese agricole, e sarebbe stata sostituita da quella babilonese. C’è un edificio. Si entra ciechi. Si esce vedendo. Cos’è?
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Sumer 1600 a.C. vedi risposta 16
L
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a stella di ramesse
Il faraone Ramesse II governò sull’Antico Egitto all’epoca della sua massima gloria, ed ebbe un impatto immenso sul regno. La sua più grande opera architettonica fu il tempio funerario Ramesseum a Kurna. Esso rappresentò un importante centro di studio e di culto per secoli dopo la morte di Ramesse. Il tempio fu scoperto da alcuni scienziati europei alla fine del XVIII secolo. Tra i geroglifici e le decorazioni, gli studiosi scoprirono un curioso rompicapi dipinto sul soffitto: la stella di Ramesse. È uno dei più antichi rompicapi mai rinvenuti e potrebbe essere stato il precursore del gioco medievale del Morris di Nove Uomini. Lo scopo del gioco è riempire nove dei dieci cerchi sulla stella con delle monete, dei chicchi di grano o qualsiasi altra cosa a disposizione. Si posiziona una moneta su uno qualsiasi dei cerchi vuoti della stella e la si fa saltare in linea retta oltre il cerchio successivo (vuoto o pieno) per arrivare su un altro cerchio vuoto. È possibile riempire nove dei dieci cerchi in questo modo, ma la cosa si complica se ci si trova in panne alla soglia dei sei o sette cerchi. Allora bisognerà perseverare, e tentare magari con il pensiero laterale.
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Egitto 1213 a.C. vedi risposta 17
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a dicotomia di zenone
Zenone di Elea era un filosofo greco vissuto nel periodo che va dal 490 a.C. al 430 a.C. circa. Fu messo in un grande mortaio e pestato a morte per aver preso parte a un fallimentare tentativo di detronizzare il tiranno Demilo. Era membro della scuola filosofica eleatica, secondo la quale tutta l’esistenza e il tempo non sono altro che un solo costrutto, e tutte le apparenze del contrario – come la molteplicità, il moto, il cambiamento e così via – sono illusorie. Da giovane, scrisse un libro di quaranta paradossi logici a sostegno della filosofia eleatica e del suo maestro, Parmenide. Zenone non aveva ancora deciso se pubblicare il libro o meno quando questo gli fu rubato e pubblicato senza il suo consenso. Otto dei suoi paradossi sono sopravvissuti, grazie ai commentari di Aristotele e Simplicio. Oggi, essi rappresentano la sua più famosa e durevole eredità. Nella sua Dicotomia, anche nota come “La gara di Zenone”, egli fa notare che il moto è impossibile perché ciò che si muove passa necessariamente attraverso uno stadio intermedio prima di arrivare alla meta. Ma a questo punto lo stadio intermedio diventa una nuova meta, che ha anch’essa uno stadio intermedio e così via. In realtà, anche il più piccolo movimento ha un’infinità di ancor più piccoli stadi intermedi che devono essere raggiunti, e nessuna quantità di tempo finita sarà mai abbastanza per raggiungere l’infinito numero di stadi. Ignorando il fatto che questa sia una reductio ad absurdum che dal punto di vista sperimentale è ovviamente errata – perché le cose si muovono –, dov’è che il ragionamento evidenzia il proprio limite?
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Grecia ca. 470 a.C. vedi risposta 22
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nove capitoli
I Nove capitoli dell’arte matematica è una raccolta di insegnamenti matematici dell’antica Cina. Il libro era noto nel 179 d.C. e, in realtà, potrebbe esserlo stato anche molti secoli prima; il suo più famoso commentario, scritto nel 263 d.C. dal matematico Liu Hui, riporta Zhang Cang, morto nel 142 a.C., quale primo compilatore dell’opera. I veri autori originali sono anonimi, ma il libro ha illuminato e plasmato il pensiero matematico d’Oriente fino ad almeno il 1600. Uno dei concetti più importanti di questo volume è quello della numerazione astratta. La numerazione concreta è ovvia a tutti – una mela è una mela, tre acini d’uva e tre prugne sono gruppi di tre, e così via. I numeri astratti sono più difficili da cogliere. I Nove capitoli contengono problemi che, per essere risolti, richiedono l’utilizzo sia dello 0 sia di numeri negativi. Entrambi sono estremamente controintuitivi, e richiedono che si riesca a pensare in assenza di qualcosa di concreto, di solido. Questo rompicapo è preso dall’ottavo capitolo, “Fang Cheng”. Ci sono tre gradi di raffinazione del granturco, ciascuno dei quali va a finire in una cesta di particolari dimensioni. Due ceste di granturco di primo grado non fanno una misura, e nemmeno tre ceste del granturco di secondo grado o quattro ceste del granturco di terzo grado. Tuttavia, se si somma una cesta di granturco di secondo grado con due ceste di granturco di primo grado, oppure una cesta di granturco di terzo grado con tre di secondo grado, ovvero una cesta di granturco di primo grado con quattro di terzo grado, allora si otterrà una misura in ciascuno di questi casi. Quale proporzione di una misura contiene ciascuna cesta?
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Cina ca. 150 a.C. vedi risposta 38
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amba e coscia
L’intero capitolo 9 dei Nove capitoli dell’arte matematica tratta dei triangoli rettangoli, probabilmente perché erano davvero fondamentali nella stima della distribuzione dei terreni per l’attività agricola. Il capitolo è denominato Kou Ku, un termine derivante dai nomi dati ai lati di un triangolo rettangolo. I due lati che formano l’angolo retto di un triangolo rettangolo erano infatti denominati Kou e Ku, gamba e coscia. L’ipotenusa che si stende tra le due estremità era nota con il nome di Hsien, corda di liuto. In questo rompicapo si chiede di scoprire la misura del quadrato più grande che possa essere inserito all’interno di un triangolo rettangolo, utilizzando nella sua costruzione il preesistente angolo retto. C’è un triangolo rettangolo con un Kou di 5 ch’ih, e Ku di 12. Quanti ch’ih misura il quadrato più grande che si possa inserire al suo interno?
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Cina ca. 150 a.C. vedi risposta 42
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a chiocciola nel pozzo
L’indovinello della Chiocciola nel Pozzo apparve per la prima volta in India, con i grandi matematici Jain. La sua primissima comparsa è successiva all’opera dei celebrati matematici del VII secolo Bhaskara e Brahmagupta. Una chiocciola si trova in fondo a un pozzo profondo 4 piedi e mezzo. Il primo giorno si arrampica per due piedi e poi, durante la notte, scivola indietro di uno. Tuttavia, si sta stancando e così, il giorno seguente, si arrampica per il 10% in meno rispetto al giorno prima. Durante la notte scivola indietro sempre di un piede. Riuscirà mai la chiocciola a uscire dal pozzo e se sì, quando?
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India ca. 700 d.C. vedi risposta 52
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IRO IN TONDO
Il Re Sole, Luigi XIV, viene ricordato come il sovrano che governò la Francia al culmine della tendenza monarchica verso il lusso e l’autoindulgenza. Suo padre, Luigi XIII, era stato il re che il cardinale Richelieu aveva servito in qualità di primo ministro, all’epoca in cui è ambientato I tre moschettieri di Dumas. Questo indovinello risale a quel periodo sebbene sia, per ammissione di tutti, di ambizioni più modeste rispetto agli eccessi del tempo. Cos’è che gira attorno alla casa e dentro la casa ma non tocca mai la casa?
Francia Ca. 1600 d.C.
VEDI RISPOSTA 84
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L TURISTA NEGLETTO
Questo è uno degli indovinelli tradizionali più enigmatici. Per risolverlo, è richiesta una certa ingegnosità. Mi hanno portato in città. Lì d’un tratto mi sono fermato. Se ne sono accorti Solo quando si sono rivolti a me Per sapere qualcosa
Svizzera Ca. 1700 d.C.
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AGO DI BUFFON
Un metodo davvero sbalorditivo per ottenere un valore approssimato del pi greco fu scoperto da Georges-Louis Leclerc, conte di Buffon, matematico e naturalista francese del XVIII secolo. La tecnica derivava da una domanda che Buffon pose in uno dei suoi libri: se un pavimento è composto di assi di legno parallele e di uguale larghezza, quale è la probabilità che un ago, fatto cadere sul pavimento, finisca sulla linea tra due assi? La soluzione al problema si rivelò essere ragionevolmente diretta, sebbene un po’ complicata. La probabilità P che l’ago cada su una linea tra le assi dipende dalla lunghezza dell’ago L e dalla distanza tra le assi, d. Dati questi valori, la risposta è P = 2L/pi*d. Potete semplificare il tutto assicurandovi che l’ago sia della stessa lunghezza dello spazio tra le assi, in tal caso P = 2/pi, e quindi pi = 2/P, che schematizzato diventa pi = 2* (numero totale dei lanci)/(numero dei lanci in cui l’ago si mette di traverso). In altre parole, sorprendentemente, potete calcolare pi greco semplicemente lanciando tanti aghi sul pavimento e contando quanti cadranno di traverso tra le assi. Ma perché?
Francia 1777 d.C.
VEDI RISPOSTA 93
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ETÀ DI MAMMA
Herny Dudeney, 1857-1930, fu uno dei più grandi geni britannici dell’enigmistica. Matematico, fervido teologo dilettante, pastore autodidatta e funzionario pubblico, aveva una vasta conoscenza di base e una grande passione per i giochi numerici. Fu anche un appassionato studioso di scacchi, soprattutto da giovane. Sua moglie Alice fu una famosa autrice spesso paragonata a Thomas Hardy per i suoi racconti di vita rurale realistici ed emozionanti. Dudeney elaborò rompicapi per tutta la vita. I suoi enigmi erano caratterizzati da una certa delicatezza, come chiaramente si evince anche da quello proposto qui di seguito. Tommy: “Quanti anni hai mamma?” Mamma: “Fammi pensare, Tommy. Beh, gli anni di noi tre sommati fanno esattamente 70 anni”. Tommy: “Sono tanti, vero? E quanti anni hai tu, papà?” Papà: “Giusto sei volte i tuoi anni, figliolo”. Tommy: “Avrò mai la metà dei tuoi anni, papà?” Papà: “Sì, Tommy e quando accadrà gli anni di noi tre sommati arriveranno esattamente al doppio di quanto sono adesso”. Tommy: “E supponiamo che fossi nato prima di te, papà; e supponiamo che la mamma se ne fosse completamente dimenticata e non fosse stata a casa quando sono arrivato. E supponiamo…” Mamma: “Supponiamo, Tommy, di andare a letto. Andiamo, caro”. Ora, se Tommy fosse più grande di qualche anno potrebbe calcolare esattamente l’età dei genitori dalle informazioni che ha ricevuto. Riuscite a calcolare l’età esatta della mamma?
Regno Unito Ca. 1900 d.C.
VEDI RISPOSTA 114