МОДУЛЬ 2. Паралельність прямих і площини
§ 2.4.
Властивості паралельних площин
Властивості паралельних площин є наслідками з означень та теорем попереднього пункту. Властивість 1. Якщо дві паралельні площини перетнути третьою, то прямі їх перетину паралельні. Доведення. Нехай c – січна площина для площин a і b і c + a = a, і c + b = b (рис. 2.33). Тоді маємо дві прямі а і b, які можуть не перетинатися або перетинатися лише в одній точці як прямі однієї площини c. Однак, a f a, b f b причому a z b, то прямі а і b не перетинаються і лежать в одній площині c, тому вони паралельні, a z b щ. в. д.
γ а
α
b
β
Рис. 2.33
Властивість 2. Паралельні площини, перетинаючи дві паралельні прямі, відтинають на них рівні відрізки. Доведення. Нехай а і b – вказані паралельні прямі, а a і b – паралельні площини, що перетинають їх відповідно в точках А, В, А1, В1 (рис. 2.34). Оскільки прямі а і b – паралельні, то вони лежать в одній площині c. Площина c перетинає площину a по прямій АВ, а площину b по прямій А1В1, які за властивістю 1 паралельні. Тому АВВ1А1 – паралелограм. Отже, АА1 = ВВ1, щ. в. д.
b а A
β
α
В
A1
B1
Рис. 2.34
Властивість 2 інколи формулюється так: відрізки паралельних прямих, які містяться між двома паралельними площинами, рівні. Властивість 3. Дві площини, паралельні третій площині, паралельні між собою. Доведення. Нехай a z c, b z c. Припустимо, що площини a і b не паралельні. Тоді площини a і b мають спільну точку. Через цю точку проходить дві площини (a і b), які паралельні площині c. Проте відомо, що через цю точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній і до того ж тільки одну, тому ми прийшли до протиріччя. Отже, a z b, щ.в.д.
60