Hogeschool promotieboek

INLEIDING ELEKTRISCHE ENERGIETECHNIEK Versie 1 December 2014

Bram Steennis

Inleiding Elektrische Energietechniek

Inleiding Elektrische Energietechniek Doelstelling Dit document is bedoeld voor cursisten die een cursus op hbo niveau gaan volgen in de richting van de elektrotechniek of elektrische energietechniek. De focus ligt op de noodzakelijke kennis ten aanzien van de inleidende sterkstroomtechniek. Zaken die alleen maar belangrijk zijn voor zwakstroomtechniek (zoals elektronicatechniek, telecommunicatie en digitale techniek) worden niet of zeer beperkt behandeld.

Dit dictaat sluit aan op de bestaande dictaten die hier het vervolg op zijn op het vakgebied van de elektrische energietechniek en hoogspanningstechniek, die bij de cursussen en de reguliere hbo bacheloropleidingen bij de HAN gegeven worden.

Verantwoording Alle foto’s zijn gemaakt in het lab van de HAN. De tekeningen en grafieken zijn gemaakt door de auteur.

Dit dictaat is geschreven in opdracht van SEECE. Deze uitgave is mede mogelijk gemaakt door de provincie Gelderland in het kader van het project ‘samen werken en leren met energie’.

Leeswijzer Indien de tekst staat in verkleinde letters, dan geeft dat aan dat dit achterliggende of verdiepende informatie is.

In dit dictaat wordt het vermenigvuldigingsteken * regelmatig gebruikt maar soms ook weggelaten.

Zo wordt bijvoorbeeld U = I*R geschreven en soms weer geschreven als U = IR. Indien getallen worden ingevuld moeten we wel met * werken. Bijvoorbeeld I = 4A en R = 2Ω, dan krijgen we U = IR = 4*2 = 8V. Kleine letter wordt gebruikt om variabele aan te geven. Een hoofdletter wordt gebruikt om constante aan te geven. Voorbeeld: U = gelijkspanning en u of u(t) is spanning welke varieert in de tijd.

Gevraagde voorkennis De voorkennis gaat uit van minimaal HAVO-wiskunde en natuurkunde en daarnaast een technische mbo opleiding of een niet technische hbo opleiding.

-

Weten dat bij schrijfwijze 1*10n de ‘n’ de verplaatsing van de komma is bij een getal. (bv 3*10–2 = 0,03 en 0,8*104 = 8000).

Symbolen en hun betekenis kennen: pico p = 10–12, nano n = 10–9, micro μ = 10–6, milli m = 10–3, kilo k = 103, Mega M = 106, Giga G = 109, e ≈ 2,718 en π ≈ 3,14.

Let ook op dat sommige Griekse tekens weer bij naam worden genoemd: dan is μ weer ‘mu’.

Zie bv Wikipedia voor meer informatie hierover.

Weten dat ap*aq = a(p+q) en ap/aq = a(p–q). (bv a3/a5 = a–2 = 1/a2)

HAN-FT-CPM

SEECE

1

Inleiding Elektrische Energietechniek

-

-

Voor het oplossen van een stelsel vergelijkingen geldt dat de vergelijkingen onafhankelijk moeten zijn EN het aantal vergelijkingen moet gelijk zijn aan het aantal onbekenden.

Grafieken kunnen tekenen en begrijpen en van twee lineaire functies het snijpunt kunnen uitrekenen.

Stelling van Pythagoras c2 = a2 + b2.

Begrijpen en kunnen tekenen van een functie met e–macht. Bijvoorbeeld y(t)=2+3e–2t Kunnen rekenen met sinus, cosinus en tangens in een rechthoekige driehoek (lengtes en hoeken). Idem tav de inverse van de sinus, cosinus en tangens.

Een sinus of cosinus kunnen beschrijven in tijdsignalen. Bijvoorbeeld y(t)=2 + 3sin(5t + 0,2) Sinus en cosinus vormen in elkaar over kunnen zetten, bv sin(90o + α) = cos(α) = cos(–α).

Begrippen radialen en graden kennen en door elkaar kunnen gebruiken (door delen of vermenigvuldigen met 57).

Het begrip frequentie in ω [rad/s] en frequentie [Hz] kennen en het verschil van rad/s en Hz begrijpen en in elkaar uit kunnen rekenen via ω = 2*π*f Enig begrip hebben van kernen, atomen en moleculen en hoe elektronen in schillen rond de kernen gaan.

Weten dat twee magnetische velden elkaar beïnvloeden, zoals het feit dat twee magneten met gelijke polen elkaar afstoten en omgekeerd aantrekken. Tevens weten dat als de magnetische velden haaks op elkaar staan ze onderling geen krachtwerking hebben.

Weten dat een stroomvoerende geleider een magnetisch veld heeft rond de geleider. De richting van het magnetisch veld bij bepaalde stroomrichting weten (kurkentrekker regel).

Weten dat elektronen een elektrisch veld rond zich hebben en daarmee elkaar ‘afstoten’.

Weten dat de lichtsnelheid c = 3*108 m/s.

Het begrip koppel T = F*r …. [Nm] kennen (met F is de kracht [N], r is de straal van de arm [m]).

Weten dat 10N ≈ 1kg

Copyright: Dit dictaat mag voor zelfstudiedoeleinden vrij worden gebruikt. Het is echter zonder uitdrukkelijke toestemming van de HAN niet toegestaan dit materiaal te gebruiken voor lesdoeleinden bij instanties buiten de HAN. Auteur; A.C. Steennis

HAN-FT-CPM

SEECE

2

Inleiding Elektrische Energietechniek

Inhoud Inleiding Elektrische Energietechniek .................................................................................................... 1 1.

Spanning en stroom ........................................................................................................................ 5 Watt vermogen ................................................................................................................................... 9 Blind vermogen ................................................................................................................................... 9

3.

Weerstand..................................................................................................................................... 10

4.

Meetapparatuur ........................................................................................................................... 14 Spanningsmeting .............................................................................................................................. 14 Stroommeting ................................................................................................................................... 15 Vermogensmeting ............................................................................................................................ 16 Weerstandsmeting ........................................................................................................................... 17

5.

Vermogensrichting ....................................................................................................................... 18

6.

Halfgeleiders ................................................................................................................................. 22 Diode ................................................................................................................................................. 23 Thyristor ............................................................................................................................................ 25

7.

Netwerken .................................................................................................................................... 27

8.

Condensator .................................................................................................................................. 39

9.

Spoel .............................................................................................................................................. 47 Krachten door magnetische velden ................................................................................................. 49 Inductie ............................................................................................................................................. 50 Zelfinductie ....................................................................................................................................... 53 Spoelen in serie en parallel .............................................................................................................. 56 Spoel aangesloten op een wisselspanning ...................................................................................... 56 Effect van het uitschakelen van een stroom door een spoel .......................................................... 58 Magnetische veldsterkte en magnetisch veld ................................................................................. 60

10.

Elektromagnetische velden en golven ..................................................................................... 65

11.

Vermogens bij wisselstroom .................................................................................................... 67

12.

Wisselstroomnetten ................................................................................................................. 70

Complexe notatie bij de weerstand, spoel en condensator ........................................................... 71 De verschillende complexe notaties ................................................................................................ 71 Complex rekenen in wisselstroomnetten ........................................................................................ 72 Resonantie ........................................................................................................................................ 78 13.

Transformator ........................................................................................................................... 82

HAN-FT-CPM

SEECE

3

Inleiding Elektrische Energietechniek

De ideale transformator ................................................................................................................... 83 De niet ideale transoformator ......................................................................................................... 90 Nullastproef en kortsluitproef ......................................................................................................... 94 Meting nullastproef ...................................................................................................................... 94 Meting kortsluitproef ................................................................................................................... 95 Aanvullende informatie.................................................................................................................... 97 De scheidstransformator .............................................................................................................. 97 De autotransformator .................................................................................................................. 98 De stroomtransformator .............................................................................................................. 98 De aanloopstroom van een transformator .................................................................................. 99 Niet lineair gedrag van een transformator ................................................................................ 100 14.

Drie fase .................................................................................................................................. 102

15.

Drie fase machines.................................................................................................................. 111

16.

Asynchrone machine .............................................................................................................. 113

Het elektrisch vervangschema van de asynchrone machine ........................................................ 115 Nullastproef bij de asynchrone machine ....................................................................................... 118 Kortsluitproef bij de asynchrone machine..................................................................................... 118 Aanloopkoppel................................................................................................................................ 121 17.

Synchrone machine ................................................................................................................ 125

Vervangschema van de synchrone machine.................................................................................. 127 Nullastproef .................................................................................................................................... 128 Machinediagram ............................................................................................................................. 136 De asynchrone machine versus de synchrone machine ................................................................ 138 Antwoorden ........................................................................................................................................ 140

HAN-FT-CPM

SEECE

4

Inleiding Elektrische Energietechniek

1. Spanning en stroom Een spanning tussen twee punten noemen we een spanningsverschil, ook wel genoemd potentiaal verschil, meestal aangeduid met U. De eenheid is Volt [V]. Bijvoorbeeld U = 60V. Een spanningsverschil bestaat uit een verschil in hoeveelheid elektronen tussen twee plaatsen. Aangezien elektronen negatief zijn, betekent dit dat op de plek waar meer elektronen zijn deze plek negatief is ten opzichte van een andere plek waar minder elektronen zijn. Hoe groter het verschil in elektronen, hoe groter het spanningsverschil of kortweg hoe hoger de spanning.

Het symbool voor een ideale spanningsbron is: U +

– …V

Symbool Ideale spanningsbron

In het symbool zien we een doorgetrokken lijn. Dit betekent dat in de ideale spanningsbron zelf geen weerstand is. Over het begrip ‘weerstand’ wordt verderop in dit dictaat meer uitgebreid stilgestaan. De spanningsbron is verantwoordelijk voor het continue handhaven van een verschil in aantal elektronen.

Drie voorbeelden van voedingen zijn onderstaand gegeven. Links een 1,5V batterij, in het midden een 12V accu. Beide zijn gelijkspanningsvoedingen. Rechts een wisselspanningsvoeding in de vorm van een wandcontactdoos waar een wisselspanning van 230V op staat.

Verder is hieronder een regelbare gelijkspanningsvoeding weergegeven

HAN-FT-CPM

SEECE

5

Inleiding Elektrische Energietechniek

Hoe het kan dat een spanningsbron het spanningsverschil in stand houdt, is een apart verhaal. Kort gezegd komt de werking neer op een chemisch proces (batterij*) of zetten we een kracht op de elektronen binnen de bron, door hen aldaar voort te duwen met behulp van magnetische velden (zoals bij een eenvoudige fietsdynamo of grote draaistroom generatoren). *) Bij een gewone batterij is het chemisch proces niet omkeerbaar. Na verloop van tijd is het materiaal chemisch zodanig anders geworden dat de batterij ‘leeg’ is. Bij een oplaadbare batterij kunnen we door het voeren van een tegengestelde stroom de batterij weer opladen. Het chemisch proces is dan wel omkeerbaar.

Bepalend voor het ‘aantal elektronen’ in een stof is feitelijk de hoeveelheid elektronen die in de buitenste schil rond een kern cirkelen. Spanningsverschillen bestaan al tussen twee verschillende stoffen, bijvoorbeeld tussen aluminium en hout of tussen papier en steen. Nu is een dergelijk elektronenverschil en dus spanningsverschil tussen twee willekeurige stoffen vrij klein en in de dagelijkse praktijk niet merkbaar, vooral niet omdat de elektronen meestal sterk gebonden zijn aan de kern van een bepaalde stof. Als deze elektronen zo sterk gebonden zijn aan die kern, dan kunnen ze daar niet van loskomen of verplaatsen. Dit noemen we isolatoren. Voorbeelden van isolatoren zijn glas, steen en plastic.

Bij bepaalde stoffen zijn de elektronen vrij om binnen de atoomstructuur in en zelfs buiten de buitenste schil te verplaatsen. Elektronen wisselen als het waren steeds van plaats, mits het aantal elektronen (min of meer) rond elke kern gelijk blijft aan het aantal dat hoort bij de bepaalde stof. Dergelijke stoffen noemen we geleiders. Voorbeelden van goede geleiders zijn koper, ijzer, aluminium, goud en zilver. Daarbij is goud de beste geleider en koper of aluminium zijn goede geleiders, zeker gezien de prijs/geleidbaarheid van het materiaal en het feit dat ze niet kunnen weg roesten.

Halfgeleiders zijn stoffen waarbij de elektronen wel uit de buitenste schil weg kunnen, maar daarbij is meer of minder energie van buitenaf nodig. Dat kan licht of warmte zijn. (Bij geleiders is dus vrijwel geen energie nodig om de elektronen binnen de stof vrij te laten bewegen). Halfgeleiders worden gebruikt voor bijvoorbeeld transistoren. Dit verklaart meteen dat transistoren temperatuurgevoelig zijn, omdat de werking van de halfgeleider zo is gekozen dat dit bij kamertemperatuur optimaal is. Voorbeelden van halfgeleidermateriaal zijn germanium en silicium.

Plaatsen we een geleider tussen de plus en min aan een spanningsbron, dan zullen de elektronen die aan de ene kant te veel aanwezig zijn, zich via de geleider gaan verplaatsen

HAN-FT-CPM

SEECE

6

Inleiding Elektrische Energietechniek

naar de andere kant, waar te weinig elektronen zijn. Dit komt omdat elektronen elkaar waarnemen. Ze stoten elkaar af en dus willen elektronen zich gelijkelijk verdelen over de ruimte. De afstotende werking wordt weergegeven door het zogenaamde ‘Elektrische veld’.

Het verplaatsen van deze elektronen noemen we de elektronenstroom. Nu is de stroomrichting waarmee we rekenen ooit verkeerd om gekozen. Verplaatsen elektronen zich van links naar rechts in een geleider, dan noemen we dat een stroom van rechts naar links.

Dit geven we in een schema aan met een stroompijl in of naast een geleider. Meestal staat daar een positief getal bij, bv 2A, maar het kan ook zijn dat de werkelijke stroomrichting andersom is. We draaien dan niet de pijl om, maar zetten bij de stroom de waarde die in werkelijkheid aanwezig is, bv –2A. De stroom zal buiten de spanningsbron in een gesloten circuit lopen van de plus naar de min van de spanningsbron (en binnen in de bron derhalve van min naar plus). Dit laatste is de eigenschap van de spanningsbron het spanningsverschil in stand te houden. Dat deze stroomrichting zo is valt eenvoudig te verklaren uit bovenstaand, waar de negatieve kant van de bron te veel elektronen heeft ten opzichte van de positieve kant van de bron. De elektronen buiten de bron verplaatsen zich dus van de min naar de plus van de bron. De stroom is dus buiten de bron van plus naar min. Als tussen de plus en min van een bronspanning een circuit is aangesloten (bijvoorbeeld via weerstanden), dan zal er stroom gaan lopen. De grootte van de stroom is afhankelijk van de hoogte van de spanning bij de bron en de grootte van de weerstand R die de bron ziet in haar circuit. Zie het plaatje hieronder, waarbij de spanning bijvoorbeeld 9V is en de stroom van bijvoorbeeld 3A. 9V 3A

3A

+

3A

R

–

3A

3A

De stroom die door een geleider gaat kan zich nagenoeg niet ophopen in de draad. Er kunnen ook op bepaalde plaatsen niet of nauwelijks minder elektronen zijn. Het enige dat bij een gewone geleider kan gebeuren, is dat als we aan de ene kant van de draad elektronen er uit halen we ergens anders bij die draad op hetzelfde moment er elektronen er in moeten stoppen.

De elektronen in de draad verplaatsen zich met een snelheid van ongeveer 200.000 km/s door de draad. Dat is twee derde van de lichtsnelheid c. Deze hoge snelheid danken we aan het feit dat de elektronen zo licht van gewicht zijn (m ≈ 9*10–31 kg). Een bekende formule uit de natuurkunde is dat de energie gelijk is aan E = ½mv2. Daarmee is eenvoudig uit te rekenen hoeveel energie er zit in een verplaatsend elektron. Niet veel dus. Dat we toch heel veel

HAN-FT-CPM

SEECE

7

Inleiding Elektrische Energietechniek

energie kunnen transporteren in een geleider, komt omdat we op hetzelfde moment miljarden en miljarden elektronen door een draad kunnen laten stromen.

De stroom wordt meestal aangeduid met symbool I. De eenheid is Ampère [A].

Bijvoorbeeld de stroom I = 12A. Een spanningsbron kan een gelijkspanning zijn (ten gevolge van een batterij) of wisselspanning (ten gevolge van een draaistroom generator). Het resultaat is dat ook de stroom dat gedrag krijgt, en bij een gelijkspanning de stroom in één richting zal stromen en bij een wisselspanning de stroom van richting zal wisselen. In dit dictaat, waarbij we ons richten op de sterkstroomtechniek, zullen we alleen kijken naar zuivere gelijkspanningen en zuivere sinusvormige wisselspanningen.

Bij een zuivere gelijkspanning blijft de spanning continue een vaste waarde. Bij een zuivere sinusvormige wisselspanning zal de spanning in de tijd van polariteit wisselen zoals weergegeven in onderstaand figuren.

+

+

Tijd

Tijd –

–

Zuivere gelijkspanning of stroom (links) en zuivere sinusvormige wisselspanning of –stroom (rechts)

Vraag: zie bovenstaand de rechter grafiek. Stel dat dit een stroom voorstelt. Geef aan in welk deel van de sinus de wisselstroom in de geleider van richting omkeert. Antwoord: het omkeren van de stroomrichting gebeurt als de sinus de 0-lijn (tijdas) passeert.

2. Vermogen en Energie Energie E = … Joule [J] is de hoeveelheid vermogen in de tijd. Het tarief dat we voor de stroom betalen bij een huishouden of bedrijf, de prijs per KWh (kilo Watt hour met hour = uur), is daar een voorbeeld van. Dat wij voor het betalen van het vermogen ook moeten kijken naar hoe lang we dat vermogen hebben gebruikt, is eigenlijk alleen maar interessant als we financieel moeten weten wat eea betekent. Voor dit dictaat is het vooral belangrijk dat we kijken naar het vermogen zelf, zijnde de energie per seconde.

Voorbeeld 2.1: we gebruiken in 2 uur aan energie 42kJ. Het vermogen is dan P = 42k/2*3600 = 5,8W. Dit laatste staat vermeld op bijvoorbeeld een voeding voor een mobiele telefoon.

Vraag: Uw computer gebruikt 56W en staat 4 uur aan. De energiekosten per kWh zijn € 0,38.

Wat kost het gebruik van deze computer in die vier uur? Antwoord: 56*4 = 224Wh = 0,224kWh. Dat kost dus € 0,08512 of afgerond € 0,09.

HAN-FT-CPM

SEECE

8

Inleiding Elektrische Energietechniek

Het vermogen wordt op twee manieren weergegeven.

Watt vermogen Het Watt vermogen is wat we ‘echt’ of ‘bruikbaar’ vermogen noemen. Eigenlijk is het een vorm van vermogen dat ‘verloren’ gaat, al kan het nuttig zijn zoals warmte of het verplaatsen van een last. We duiden dit aan als P = … Watt [W].

Vraag: geef enkele voorbeelden van warmte en idem van beweging. Antwoord: warmte bij een straalkachel en beweging bij een draaiende as van een motor.

Het vermogen in de wereld van de elektrische energie is het product van spanning en stroom, P = UI [W]. Het Watt vermogen in de wereld van de mechanica is P = ωT [W], waarbij ω = 2πf [rad/s] of omwentelingen in radialen per seconde. De frequentie f wordt in de mechanica meestal het toerental n genoemd, zijnde het aantal omwentelingen per seconde. T is het koppel in [Nm].

Een voorbeeld waarbij het verband tussen het elektrisch en mechanisch vermogen wordt gelegd: Stel we hebben een elektrische 12V accuboormachine. Deze trekt een stroom van 6A als een acht millimeter boortje met 600 omwentelingen/minuut rond draait in een muur. Als we er gemakshalve van uit gaan dat de accuboormachine geen verliezen heeft, dan is het koppel eenvoudig te berekenen. Het elektrisch vermogen is P=UI = 12*6 = 72W. Het mechanisch vermogen is dan ook 72W = 2*3,14*10*T, dus het koppel T is 1,15Nm. Nu is het koppel weer gelijk aan Fr (lees ‘kracht*arm’). De arm is de straal van het boortje = 4mm = 0,004m. Dus de kracht van het boortje in de muur is te berekenen via 1,15 = F*0,004, dus F = 288N.

Blind vermogen Blind vermogen is vermogen dat niet verloren gaat, maar afwisselend van de ene in de andere vorm voorkomt. Blind vermogen is net zo belangrijk in toepassingen als Watt vermogen.

Een voorbeeld in de mechanische wereld waar blind vermogen goed is te zien, is het slingeruurwerk van een klok. De potentiële energie (de uiterste stand van de slinger) wordt omgezet in kinetische energie (de hoogste snelheid van de slinger) en deze laatste zal door het doorslingeren weer zorgen voor maximale potentiële energie. De ene vorm van energie komt dus weer terug in de andere vorm van energie. De energie wordt dus steeds in elkaar omgezet en gaat niet verloren. We noemen dit dus Blind vermogen. Indien eea zonder verlies zou gebeuren, zou de slinger eeuwig doorslingeren en het blindvermogen gaat niet verloren (wordt niet omgezet in Watt vermogen). We hebben dus Blind vermogen nodig om iets voor elkaar te krijgen, namelijk dat er een goede vaste frequentie is en daarmee dat de klok gelijk blijft lopen.

Een voorbeeld van Blind vermogen in de elektriciteitswereld is een elektromagnetische golfbeweging dat we bij het omzetten naar Watt vermogen waarnemen als ‘zichtbaar licht’.

In een elektromagnetische golfbeweging wisselen elektrische en magnetische energievelden elkaar uit als het slingeren bovenstaande slinger van een klok (potentiële energie in het elektrisch veld wisselt uit met kinetische energie dat zit opgesloten in het magnetische veld).

Pas als deze golf van Blind vermogen een object raakt (en elektronen in beweging zet) wordt het Blind vermogen omgezet in Watt vermogen, zoals in de staafjes en kegeltjes in een oog

HAN-FT-CPM

SEECE

9

Inleiding Elektrische Energietechniek

waar we dit vermogen als licht ervaren. Om die reden kan een elektromagnetische golfbeweging in het heelal oneindig grote afstanden afleggen zonder dat het uitdempt. Pas als deze elektromagnetische golfbeweging iets tegenkomt, wordt een klein deel van het Blindvermogen omgezet in Watt vermogen en wordt ‘gebruikt’. Er blijft daarna minder Blind vermogen over. In tegenstelling tot de slinger van de klok wegen elektrische en magnetische velden niets, zodat licht zich ook nog eens verplaatst met de maximaal mogelijke snelheid, c = 3.108 m/s.

Andere voorbeelden van Blind vermogen worden gegeven als in dit dictaat de condensator en spoel zijn behandeld.

3. Weerstand Als een stroom door een weerstand R = … Ohm [Ω] gaat, zal een deel van de energie die in de stroom zit worden omgezet in warmte. De stroomdoorgang van elektronen zetten atomen aan om harder te trillen doordat de elektronen ‘in botsing’ komen met deze atomen.

Note: atomen trillen zelf al bij hun gewone omgevingstemperatuur (vaak kamertemperatuur).

Hoe groter de stroom, hoe warmer de weerstand wordt. Het effect is ook dat er daardoor een potentiaal verschil ontstaat over de weerstand. Dit drukken we uit in de wet van Ohm, namelijk: U = IR [V] Daarmee krijgen we ook: I = U/R [A] of R = U/I [Ω].

Note: de snelheid waarmee de stroom door de draad en de weerstand gaat verandert niet, wel de hoeveelheid elektronen die uiteindelijk door het hele circuit gaan (dus de grootte van de stroom).

R

…. Ω Symbool weerstand

Voorbeelden van weerstanden. Links met kleurcode (2,2kΩ 1W) en rechts zonder kleurcode (15Ω 5W)

Weerstanden krijgen veelal kleurcodes om de waarde van de weerstand te kunnen bepalen.

In de elektronica wordt daar veel gebruik van gemaakt. Voor dit dictaat is het kennen van de kleurcodes niet nodig.

Voorbeeld 3.1: Een berekening van de spanning over en vermogen in een weerstand bij een gegeven stroom door een weerstand: R 4A HAN-FT-CPM

100Ω

SEECE

10

Inleiding Elektrische Energietechniek

In dit voorbeeld loopt een stroom van 4A door een weerstand van 100Ω. De spanning over de weerstand zal nu U = IR = 4*100 = 400V bedragen. De linker kant van deze weerstand zal positief zijn ten opzichte van de rechterkant (verklaar dit).

Het vermogen dat in de weerstand wordt opgenomen (warmte) zal P = UI = 400*4 = 1600W = 1,6kW bedragen.

Voorbeeld 3.2: berekening met spanningsbron met aangesloten weerstand:

I

+ 10V

5Ω

–

Stel bovenstaande schakeling, waarbij de spanningsbron 10V is en de weerstand 5Ω. De stroom I zal dan 2A bedragen en rechtsom lopen (zie stroompijl). Deze stroom van 2A loopt in het gehele circuit en heeft overal dezelfde waarde, zowel in de draden, de weerstand als de bron. Zie het schema hieronder.

I

+ U

R

–

Over de weerstand zal nu een spanning vallen van 10V, met plus boven en min onder. Het zal logisch zijn dat de aangeboden spanning van 10V over de weerstand komt te staan, dus de plus en min over de weerstand zijn het gevolg van de aangeboden spanning. Zouden we in het circuit rondwandelen, dan zien we dat ook netjes gebeuren: + 10V – IR = + 10V – 2A*5Ω = + 10 – 10V = 0. De aangeboden spanning wordt dus ook weer afgebouwd in het circuit.

HAN-FT-CPM

SEECE

11

Inleiding Elektrische Energietechniek

Kijken we nu naar de vermogens dan krijgen we via P = UI steeds 20W. Daarbij levert de bron 20W aan de weerstand die 20W opneemt of dissipeert.

Aangezien U = IR [V] en P = UI [W] krijgen we daarmee ook nog enkele formules voor het vermogen bij een weerstand die vaak handig kunnen worden gebruikt: P = I2R [W] of P = U2/R [W].

Het vermogen dat de bron levert is dus P = UI = 10*2 = 20W. Het vermogen in de weerstand kan dus ook bepaald worden via P = I2R = 22*5 = 20W of U2/R = 102/5 = 20W. Overigens kunnen we ook zien dat de bron zelf geen vermogensverlies heeft. Deze ideale bron heeft namelijk zelf geen weerstand (vandaar in het symbool een doorgetrokken draad staat getekend), en daarom geldt Pverlies bron = I2R = 22*0 = 0. De bron wordt blijkbaar niet warm terwijl het vermogen afgeeft. In de praktijk gebeurt dat natuurlijk wel een klein beetje, maar zeer beperkt. Hoe beter de bron, hoe minder warm deze wordt. De warmteontwikkeling in een bron wordt bepaald door de inwendige weerstand van de bron.

Wij gaan voorlopig uit van een ideale bron zonder inwendige weerstand. Mocht de bron wel een inwendige weerstand hebben, dan zullen we in het schema die weerstand ook meenemen en een waarde geven. Het wordt daarmee gewoon een onderdeel van het circuit.

Datzelfde geldt voor de draden. We gaan uit van ideale draden zonder weerstand. Mocht er wel een weerstand zijn, dan tekenen we een weerstand en wordt het circuit ingewikkelder.

Weerstanden voor grotere of zeer grote vermogens worden vaak gekoeld, al dan niet actief met een geforceerde lucht– of waterstroom. Het zal duidelijk zijn dat dezelfde weerstand met een goede koeling meer vermogen aan kan zonder te verbranden.

weerstand met luchtkoeling

Vraag: hoe zou de weerstand van bovenstaande foto moeten worden gemonteerd in het circuit opdat de koeling het meest effectief is? Antwoord: door ten eerste de weerstand te plaatsen op een metalen plaat waardoor de afgifte van de warmte naar de lucht nog sneller verloopt. Verder zou het ook aan te bevelen zijn de ribben verticaal te plaatsen, zodat de opgewarmde lucht gemakkelijker wordt afgevoerd. Zorg er ten slotte voor dat de warme lucht via ventilatiegaten boven in het apparaat kan verlaten en dat koele lucht onder in het apparaat kan worden aangetrokken.

Vraag: wat zou er gebeuren als de ventilatieopeningen in een apparaat zijn afgesloten?

Antwoord: de temperatuur in het apparaat loopt nu zo ver op dat de weerstanden hun vermogenswarmte niet meer kwijt kunnen. De temperatuur in de weerstand neemt dan verder toe tot dat deze verbrandt.

HAN-FT-CPM

SEECE

12

Inleiding Elektrische Energietechniek

Voor wat betreft het koelen van halfgeleiders zoals transistoren, kan hetzelfde worden gezegd als bij weerstanden. Transistoren zijn tenslotte deels ook weerstanden. Een bepaalde transistor kan 2W vermogen hebben. Door diezelfde transistor goed te koelen zou het vermogen bijvoorbeeld 200W kunnen zijn. Zie foto hieronder.

halfgeleider op koelplaat

Bij een sinusvormige wisselspanning over een weerstand zal in de weerstand een sinusvormige wisselstroom gaan lopen. Voor het bereken van het vermogen in een weerstand kunnen we dan niet uitgaan van de topwaarde van de sinus of de stroom, omdat de sinus ook door de nul gaat. De waarde van de sinus die we mee moeten nemen zodat ook de berekeningen met de vermogens kloppen heet de effectieve waarde.

We bepalen de effectieve waarde als volgt: Stel dat een gelijkstroom door een weerstand R loopt. Het vermogen in de weerstand is dan P = I2R. Voor het bepalen van het gemiddelde vermogen bij een sinusvormig signaal moeten we ook uitgaan van het kwadraat van de sinus. We krijgen dan voor het gemiddelde vermogen: ܲ ൌ ଵ

்

ଵ

்

ܲ ൌ ் ‫׬‬଴ ݅ ଶ ሺ‫ݐ‬ሻܴ ݀‫׬ ் = ݐ‬଴ ሺÁ‫ݐ߱݊݅ݏ‬ሻଶ ܴ ݀‫ݐ‬ Dit is dus gelijk aan de ‘effectieve’ gelijkstroom die hetzelfde vermogen zou geven in dezelfde weerstand of wel; ‫ ܫ‬ଶ ܴ ଵ

்

Derhalve krijgen we ‫ ܫ‬ଶ ܴ = ‫׬‬଴ ሺÁ‫ݐ߱݊݅ݏ‬ሻଶ ܴ ݀‫ݐ‬ ் ଵ

்

Dus ‫ ܫ‬ൌ ට ‫׬‬଴ ሺÁ‫ݐ߱݊݅ݏ‬ሻଶ ݀‫ݐ‬ ்

HAN-FT-CPM

SEECE

13

Inleiding Elektrische Energietechniek

Werken we dit uit dan vinden we dat ૚

ࡵ = ૛ ξ૛ Á

of

Á= ξ૛ࡵ

Ditzelfde is ook voor de spanning van toepassing.

In de elektrotechniek worden sinusvormige wisselspanningen en stromen altijd weergegeven door de effectieve waarde te noemen en daarmee te rekenen. Dan volgen van daar uit ook de juiste waarden voor de vermogens.

De wisselspanning thuis is U = 230V. Dit is dus de effectieve waarde. De topwaarde is √2*230 = 325V. De voltmeter die de spanning meet geeft dus 230V aan. Zouden we met een oscilloscoop het signaal bekijken, dan zien we de sinusvormige wisselspanning met die û = 325V als topwaarde vanzelfsprekend wel in beeld.

Voorbeeld 3.3: Een sinusvormige wisselspanning is 230V. Deze wordt aangesloten op een straalkachel waarvan de warmtespiraal een weerstand van 100Ω heeft. Berekend het vermogen in de weerstand. Antwoord: P = U2/R = 529W. Vraag: We zien op een ocilloscoop een zuiver sinusvormig signaal met een topwaarde van 8V. Deze spanning wordt aangesloten op een weerstand van 4Ω. Bereken het vermogen dat de bron levert en de weerstand opneemt. Antwoord: P = U2/R =

ቀ

ఴ మ ቁ ξమ

ସ

ൌ ͺܹ

4. Meetapparatuur Om spanningen, stromen, vermogens en weerstanden te kunnen meten is apparatuur ontwikkeld. Tijdens de labopdrachten zullen we daar kennis mee maken.

Veel meters waren vroeger van zodanige kwaliteit dat ze veelal de meting zelf verstoorden. Tegenwoordig zijn de meters zo goed, dat dit nauwelijks nog speelt, en zeker niet voor de metingen die wij doen in ons lab. Wij gaan er van uit dat de meters ‘ideaal’ zijn.

We zullen in dit dictaat daarom slechts één opgave geven van een niet ideale voltmeter. Deze opgave staat verderop in dit dictaat. Nu volgt een korte uitleg van de meters zelf.

Voor het meten van spanningen, stromen en weerstanden gebruiken we een meter zoals hiernaast aangegeven.

professionele meter voor lab

Spanningsmeting Een voltmeter meet de spanning tussen twee punten. De twee draden die uit de voltmeter komen sluiten we daarom altijd OVER een component aan. De voltmeter moet wel goed ingesteld staan. Zouden we de voltmeter op ‘gelijkspanningsmeting’ zetten terwijl er een zuivere sinusvormige wisselspanning staat, dan meten we 0V. Dit komt omdat de voltmeter de gemiddelde spanning meet.

HAN-FT-CPM

SEECE

14

Inleiding Elektrische Energietechniek

Bij een zuivere sinusvormige spanning zetten we de meter op wisselspanning. De meter geeft dan de effectieve waarde van de spanning aan.

De meters die we in het lab gebruiken zijn digitaal en gaan na verloop van tijd vanzelf uit. Als we ze weer aanzetten moeten we vaak weer de keuze maken of we een gelijk- of een wisselspanning meten. In onderstaand circuit meten we de spanning over de weerstand en zal de voltmeter 10V aanwijzen. De voltmeter zelf heeft een inwendige weerstand die zo hoog is, dat ze ten opzichte van het circuit geen invloed heeft. Wij rekenen aldaar met een oneindig (∞) hoge weerstand.

Het zal logisch zijn dat als we bij een gelijkspanning de meter andersom aansluiten, de voltmeter –10V zal aangeven. Bij een wisselspanning maakt het niet uit of we de voltmeter andersom aansluiten.

2A

+ 10V

–

V

+ 10V

5Ω

–

V

Ⱶ

Stroommeting Een stroom meten we met een zogenaamde Ampèremeter zoals in de foto hierboven weergegeven, door IN een circuit, of beter gezegd IN een draad te meten. Zouden we de stroom willen meten in een bestaand circuit op bijvoorbeeld een printplaat, dan betekent dit dat we de draad aldaar moeten onderbreken om de meter er tussen te zetten. Dat is vaak niet te doen.

Zie onderstaand schema waar de meter vanzelfsprekend zelf nagenoeg geen inwendige weerstand heeft en daardoor de schakeling niet zal beïnvloeden. Wij rekenen met een inwendige weerstand van 0Ω.

Zie in onderstaande schakeling de stippellijn, zijnde de oorspronkelijke schakeling.

HAN-FT-CPM

SEECE

15

Inleiding Elektrische Energietechniek

Ⱶ

A A

+

2A

+ 10V

–

10V

5Ω –

Ook hier kan bij een gelijkstroom de meter verkeerd om zijn aangesloten en zal deze in plaats van + 2A dan – 2A aanwijzen.

Grote stromen kunnen we ook meten door rond de draad de sterkte van het bijbehorende magnetische veld te meten. Dat wordt met een stroomtang gedaan.

We kunnen de draad waar de stroom door meten in tact laten. De bek van de tang kan geopend worden en om de draad worden geplaatst. Hiernaast is een voorbeeld van een stroomtang gegeven. stroomtang

Vermogensmeting Het vermogen in een circuit meten we met een meter door tegelijk de spanning en de stroom te meten. Niet elke meter kan dit en vraagt om speciale meters.

We gebruiken bij een watt meter drie aansluitingen op de meter. De Ⱶ kant als basisingang en een kant voor de spanning (V) en een kant voor de stroomaansluiting (A). Zie de foto hiernaast. Het circuit ziet er dan als volgt uit:

meter met Watt meter

HAN-FT-CPM

SEECE

16

Inleiding Elektrische Energietechniek

Ⱶ

A W

+

2A

+

V 10V

10V

5Ω

–

–

Deze meter zal 20W aanwijzen, zijnde het vermogen dat door de bron geleverd wordt of door de weerstand wordt opgenomen.

Weerstandsmeting Tenslotte kunnen we ook de weerstand in een circuit meten. Normaal gesproken maken we het circuit spanningsloos, omdat de meter zelf een voeding heeft voor de weerstandsmeting.

Voor deze meting maken we het betreffende onderdeel aan ten minste één zijde los van het het circuit. Dit is vaak in bestaande circuits niet goed te doen. Weerstandsmetingen of ‘ohm– metingen’ worden derhalve niet vaak gedaan of er moet al redelijk duidelijk zijn dat een bepaalde weerstand echt de oorzaak is van een probleem. In dat geval loont het de moeite om een dergelijke stap te maken. Omgekeerd wordt de weerstandsmeting ook vaak gebruikt om te kijken of een bepaalde draad niet is doorgebrand. Door simpel de weerstand in een circuit te meten zouden we de draadweerstand van nagenoeg nul ohm moeten meten. Dat er hogere weerstanden in de buurt zijn doet er dan niet toe. Meten we wel een behoorlijke weerstandswaarde, dan kunnen we eenvoudig stellen dat de betreffende draad dus is doorgebrand of de printplaat aldaar een breuk vertoont.

Voor de meting van de weerstand zelf gebruikt de meter een eigen batterij en laat een stroom lopen in het circuit van de aangesloten weerstand. Op basis van de stroomgrootte kan dan vastgesteld worden wat de weerstandswaarde is.

In het schema hieronder wordt één bepaalde weerstand deels losgehaald (zie stippellijn, zijnde de oorspronkelijke schakeling) en met de weerstandsmeter gemeten.

HAN-FT-CPM

SEECE

17

Inleiding Elektrische Energietechniek

R3 U +

R4

R1

–

R2

Ω

Vraag: Waarom hoeft in bovenstaande schakeling maar één kant van de weerstand te worden onderbroken voor een weerstandsmeting? Antwoord: R1 vormt met de meter een gesloten circuit waar stroom kan lopen. Die stroom kan alleen vanuit de batterij van de meter komen. De spanning U en alle andere weerstanden hebben daarop geen enkele invloed. U vormt nu met R2, R3 en R4 wel een gesloten circuit, maar staat los van het circuit met R1 en de meter. Het maakt dus niet uit of U wel of geen spanning heeft. Bij een weerstandsmeting wordt de spanning om twee redenen wel uitgeschakeld.

Vraag: welke twee redenen zijn dat? Antwoord: 1) veiligheid en 2) omdat in een circuit gemeten wordt kan per ongeluk kortsluiting met meetpennen ontstaan, waardoor het circuit defect kan gaan.

In dit dictaat laten we verder de meters zo veel mogelijk weg. Tijdens de laboefeningen komen de meters vanzelfsprekend weer terug.

5. Vermogensrichting Voor het bepalen of een vermogen wordt geleverd of opgenomen, wordt de stroom die in de richting van een element (bron of weerstand) loopt positief genoemd, en vandaar uit wordt gerekend met P = UI. Voorbeeld 5.1: In onderstaande situatie loopt de stroom in de bovenste draad getekend in het circuit met de klok mee rechtsom. Over de weerstand staat 10V en de stroom door de weerstand is 2A. Het vermogen in de weerstand is dan P = UI = 10*2 = 20W. Bij de bron van 10V moeten we constateren dat de stroom bij de min zijde van de bron naar binnen gaat (of bij de plus van de bron er uit gaat).

HAN-FT-CPM

SEECE

18

Inleiding Elektrische Energietechniek

2A

+ 10V

+ 10V

5Ω

–

–

Voor het invullen van de formule voor het vermogen moeten echter de stroom nemen die bij de plus van de bron naar binnen gaat. De stroompijl moeten we dus feitelijk omkeren en de stroom daar –2A maken. Zie daartoe het volgende schema.

–2A

+

10V –

2A

+

5Ω –

Daarmee krijgen we bij de bron P = UI = 10*(–2) = –20W. We hadden overigens ook uit kunnen gaan van het oorspronkelijke schema en kunnen schrijven P = U*– (I), omdat de stroompijl voor de vermogensberekening verkeerd om staat. Invulling levert P = 10*–(2) = –20W. Let hierbij op de haakjes die nu op een andere plek staan. Deze laatste schrijfwijze is wel zo handig omdat we anders extra stroompijlen moeten tekenen en de tegenwaarden er bij moeten zetten. Dat is verwarrend en niet nodig.

Het resultaat zal met deze rekenwijze een positief of negatief vermogen worden. Een positief vermogen betekent dat het vermogen opgenomen wordt (bv in een weerstand die warm wordt) en een negatief vermogen betekent dat vermogen wordt geleverd (bv een bron die vermogen levert).

Verder geldt: In een willekeurige schakeling hebben we altijd vermogensevenwicht: Dus

HAN-FT-CPM

Pgeleverd – Popgenomen = 0

ofwel Pgeleverd = Popgenomen

SEECE

19

Inleiding Elektrische Energietechniek

Voorbeeld 5.2: Stel een bron met een spanning van 20V wordt via een weerstand van 4Ω aangesloten op een accubatterij met een spanning van 12V, volgens onderstaand schema.

8V +

+

I =2A

– 4Ω

+ 12V

20V –

–

Aangezien de bronspanning van 20V overheerst, zal de richting van de stroom in het gehele circuit logischerwijs rechtsom zijn. De waarde van de stroom is te vinden door de spanning over de weerstand te bepalen. Die spanning is 20V – 12V = 8V. De stroom door de weerstand is I = UR/R = 8/4 = 2A. Aangezien er geen vertakkingen zijn, is dit dus de stroom in het gehele circuit.

Kijken we nu naar de vermogens dan zien we het volgende: Bij de bron loopt de stroom uit de plus en moeten we de stroom dus negatief nemen: Pbron = 20*–(2) = –40W. Bij de weerstand zal de spanning waar de stroom binnenkomt altijd positief en de andere kant altijd negatief zijn (ga na waarom), dus voor het bepalen van het vermogen krijgen we PR = URIR = 8*2 = 16W. (Dit kan natuurlijk ook via PR = IR2R = 22*4 = 16W of via PR = UR2/R = 82/4 = 16W. Door het kwadraat van de stroom zal PR dus altijd positief zijn). Ten slotte het vermogen van de accubatterij van 12V. Daar gaat de stroom bij de plus naar binnen, dus Paccu = 12*2 = 24W. Het resultaat van dit voorbeeld is dat de bron met een negatief vermogen van – 40W levert aan de weerstand en de accu. De accu wordt dus opgeladen en neemt vermogen op.

Inderdaad (Pgeleverd) + (Popgenomen) = (– 40W) + (+16W + 24W) = – 40W + 16W + 24W = 0 Kijken we nog even naar de spanningen die al rondwandelend op 0 moeten komen, dan vinden we volgens de + en – tekening: + (Ubron) – (UR) – (Uacc) = 0. Voor de haakjes staat dus wat de + en – van de spanningen volgens de tekening doen. Binnen de haakjes staat de werkelijke waarde. Vullen we nu de gegevens die berekend zijn in, dan krijgen we: + (+20V) – (+IR) – (+12V) = 20V – (2A*4Ω)– 12V = + 20V – 8V – 12V = 0. Dat klopt dus.

HAN-FT-CPM

SEECE

20

Inleiding Elektrische Energietechniek

Voorbeeld 5.3: Zie onderstaand schema. Zouden we hier ditzelfde doen dan krijgen we: + (+20) – (–2*4) – (U) = 0. Hieruit volgt dat U = 28V. +

+

I = –2A

– 4Ω

+ U

+20V

–

–

Bekijken we dit schema nog eens met de gevonden getallen, dan zien we dat de stroompijl inderdaad eigenlijk naar links zou moeten worden getekend. Dat kan ook, maar dan moet I = +2A er bij staan EN daardoor veranderen de plus en min over de weerstand ook! We krijgen dan onderstaand schema met bijbehorend de volgende vergelijking: +(+ 20) +(2*4) – U = 0.

Ook dan vinden we dat U = + 28V.

– +

I = +2A

+ 4Ω

+ U

+20V –

–

Vraag: Stel in onderstaand circuit de bronspanning 100V, de accu rechts is 25V en de weerstand is 5Ω. Bereken de stroom in het circuit, bepaal de vermogens bij alle elementen en controleer of spanningsop en -afbouw op 0V uit komt. Antw: I = 15A. Pbron = –1500W, Paccu = 375W en PR = 1125W. Dit klopt met Pneg = Ppos. Voor de spanningen krijgen we: + Ubron –UR – Uacc = + 100V – (IR) – 25V = + 100V – 75V – 25V = 0

HAN-FT-CPM

SEECE

21

Inleiding Elektrische Energietechniek

+

+

I

– 5Ω

+ 25V

100V

–

–

Vraag: Stel in bovenstaand circuit dezelfde gegevens als bij de vorige vraag, maar de accu wordt andersom aangesloten. Teken en bereken eea opnieuw.

Antw: I = 25A, Pbron = – 2500W, Paccu = – 625W en PR = 3125W. Dit klopt met Pneg = Ppos.

In meer ingewikkelde circuits is het vaak niet te zien in welke richting een stroom gaat lopen.

We kiezen de stroomrichting met een pijl willekeurig. Het komt achteraf, zoals zojuist aangetoond, vanzelf goed nadat we de berekening verder toepassen.

Het maakt niet uit hoe we de pijlrichting van de stroom tekenen. Maar het is wel belangrijk dat als een stroompijl wordt getekend, de bijbehorende + en – bij de weerstand juist worden gekozen.

6. Halfgeleiders Halfgeleiders zijn bijzondere componenten die vooral in de elektronicatechniek zoals de componenten van een computer een belangrijke rol vervullen. Een paar componenten zien we ook terug in de sterkstroomtechniek. Daar wordt bij het vak vermogenselektronica meer aandacht aan gegeven. Nu zullen we eea meenemen binnen netwerkberekeningen, zodat voor het totaalbeeld een goed begrip ontstaat.

De bekendste halfgeleiders zijn diodes en transistoren. De diodes zijn halfgeleiders die de stroom in één bepaalde richting doorlaten. De diodes zijn verder onder te verdelen in gewone diodes en thyristors.

Transistoren zijn in staat om de stroomgrootte te regelen. Ze zijn onder te verdelen in de gewone transitoren (BJT’s, Bipolaire Juntion Transistoren of Transistors) en veldgestuurde transistoren (FET’s, Field Effect Transistors).

We behandelen nu alleen de diodes en thyristors. transistor

HAN-FT-CPM

SEECE

22

Inleiding Elektrische Energietechniek

Diode Een diode is een halfgeleider die de stroom in één richting goed doorlaat (doorlaatrichting) en in de omgekeerde richting blokkeert (sperrichting). De maximale stroom in doorlaatrichting is beperkt omdat de diode ook in doorlaatrichting een eigen weerstand heeft. Daardoor zal de diode in doorlaatrichting warm worden en zo nodig gekoeld moeten worden. Tevens zal de diode in doorlaatrichting een spanningsval hebben die voor een deel vrijwel gelijk is bij elke stroom die door de diode loopt, maar voor een deel ook afhangt van de grootte van de inwendige weerstand van de diode. Omgekeerd zal de diode bij een te hoge sperspanning kunnen doorslaan, de zgn doorslagspanning. De maximaal in de praktijk gebruikte sperspanning is globaal 70% van de doorslagspanning.

Het symbool van een diode is als volgt:

anode

kathode

symbool diode

diode

De stroom zal alleen van links naar rechts kunnen lopen. De diode zal dan bij de anode iets positief zijn ten opzichte van de kathode. De meeste diodes hebben dan een spanning van ongeveer 0,3 tot 0,6V, afhankelijk van het type diode (0,3V bij Germanium = Ge of 0,6V bij Silicium = Si) en in zekere mate ook afhankelijk van de grootte van de stroom. Zie onderstaande grafiek voor een bepaalde Si diode. Het zal opvallen dat deze diode in sperrichting tot maximaal 30V is te gebruiken (70% van doorslagspanning). In sperrichting loopt er een uiterst kleine stroom die we over het algemeen kunnen verwaarlozen. De inwendige weerstand van de diode is daarom in sperrichting ‘oneindig’ hoog.

HAN-FT-CPM

SEECE

23

Inleiding Elektrische Energietechniek

Stroom I door de diode

-43V 0,6V Spanning U over de diode

In het vervangschema moeten we kijken in welke toestand de diode zich zal bevinden. Indien deze in geleiding is zal het vervangschema er uitzien als een spanningsbron van ongeveer 0,3V of 0,6V met in serie daarmee de inwendige weerstand Ri. Deze laatste is sterk afhankelijk van de toepassing. Hoe groter de gewenste stroomdoorgang, hoe kleiner deze Ri moet worden gekozen. In sperrichting wordt over het algemeen niets getekend, zijnde een ‘weerstand’ met een oneindig hoge waarde.

We krijgen dan als vervangschema in doorlaatrichting het volgende:

+

–

Ud

+

– Id

Ri

Vraag: Stel dat we te maken hebben met een silicium diode met een inwendige weerstand van 0,1Ω. De stroom in doorlaatrichting is 8A. Bepaal de spanning over en het vermogen in de diode. Antwoord: De spanning over de diode is bij deze stroom totaal 0,6V + 0,8V en het vermogen in de diode zal 4,8W + 6,4W zijn. Beide vermogens zijn positief en worden opgenomen.

Vraag: verklaar dat bij hoge spanningen en grote stromen bij een diode niet de 0,3V of 0,6V van de diode een rol speelt, maar vooral de inwendige weerstand. Antwoord: De 0,3V of 0,6V vallen in het niet bij een hoge spanning. Een grote stroom zal in de inwendige weerstand van de diode voor een groot vermogen zorgen en mogelijk ook een behoorlijke spanning geven over de inwendige weerstand.

Zouden we bijvoorbeeld een silicium diode in een wisselspanningsschakeling opnemen, dan zal in de positieve helft van de sinus de diode gaan geleiden en daarover dan 0,6V of een iets hogere spanning over komen te staan. De hogere spanning over de diode ontstaat dus als de

HAN-FT-CPM

SEECE

24

Inleiding Elektrische Energietechniek

stroom groot is. Indien over de diode de negatieve sinus komt te staan, dan zal er geen stroom lopen en zal de volledige negatieve spanning over de diode verschijnen. Zie onderstaande schakeling en bijbehorende grafiek.

+

–

+5V

+

I

5Ω

+

+0,6V

–

Si diode met Ri = 0,2Ω

–

Diodestroom Diodespanning Bronspanning

Vraag: Wat wordt de maximale diodestroom? Antwoord: Als de topwaarde van de bronspanning 5V bedraagt, wordt de topwaarde van de stroom in het circuit, en dus de stroom door de diode U/R = (5V – 0,6V)/(5Ω + 0,2Ω) = 0,85A. Vraag: idem met een bronspanning van 100V wisselspanning en een R van 20Ω. Antwoord: I ≈ 100/20 = 5A. De diodespanning van 0,6V en de Ri van 0,2Ω vallen dan in het niet ten opzichte van de andere waarden in de schakeling.

Thyristor Voor in dit dictaat is het alleen van belang dat de lezer weet wat een thyristor is. Er worden geen opgaven mee gemaakt.

anode

kathode

aansluiting voor stuurpuls symbool thyristor

HAN-FT-CPM

SEECE

25

Inleiding Elektrische Energietechniek

vermogens thyristor

Een thyristor is een diode die pas dan in geleiding komt als deze door middel van een kleine stuurstroom (puls) aangezet wordt. De thyristor gaat vanzelf weer uit als de spanning over de thyristor omkeert. Zie onderstaande grafiek. Hierin is het aanzetten via de puls op de stuuringang van de thyristor het verlate moment (in dit voorbeeld op ongeveer 100 graden vanaf het begin van de periode) dat de stroom de gegeven waarde krijgt.

+ +10V

+ +0,6V

I

– 5Ω

+ Si

–

-10V

–

Thyristorstroom Thyristorspanning Bronspanning

HAN-FT-CPM

SEECE

26

Inleiding Elektrische Energietechniek

7. Netwerken Om in een elektrisch net met bronnen en weerstanden te kunnen rekenen aan spanningen, stromen en vermogens zijn verschillende rekenmethoden ontwikkeld. Wij gebruiken in dit dictaat slechts één methode, namelijk de wetten van Kirchhoff. Soms werkt een andere methode handiger of sneller, maar een feit is dat de methode via de wetten van Kirchhoff redelijk gemakkelijk in gebruik zijn, en deze methode vrijwel altijd toe te passen is.

In dit dictaat beperken we ons tot eenvoudige netwerken.

Opzet De 1e Wet van Kirchhoff geeft aan dat de som van de stromen die in een knooppunt bij elkaar komen altijd 0 is. Kortweg ∑I = 0. We doen dit in een net voor alle knooppunten minus één. We noemen de stroom naar een knooppunt toe positief en als de stroom er vanaf gaat negatief.

De 2e Wet van Kirchhoff geeft aan dat als we in een net rondwandelen (en terugkomen waar we begonnen) de som van alle spanningen 0 zijn. Kortweg ∑U = 0. We doen dit voor elke zgn binnenmaas in een net. We wandelen vanaf een willekeurig punt rechtsom (met de klok mee) en noemen spanningsverhogingen positief en spanningsverlagingen negatief.

Voorbeeld 7.1 De 1e Wet van Kirchhoff: Zie onderstaande schema’s en merk op dat in de volgende knooppunten het volgende van toepassing is: Knooppunt P; + 3 + 7 – 10 = 0

Knooppunt Q; + 3 + 7 + (– 10) = 0

Knooppunt R; + 2 – 4 – (– 2) = 0

Knooppunt S; + 4 + 4 – 8 = 0

3A

2A

7A

R

4A

4A

S

–2A P

2A 3A

7A

4A

T I1

Q

HAN-FT-CPM

8A

10A

4A

U I2

–10A

SEECE

27

Inleiding Elektrische Energietechniek

Vraag: Bereken in bovenstaande schema’s in knooppunt T de waarde van I1, en in knooppunt U de waarde van I2.

Antwoord: knooppunt T; + 2 + 4 – I1 = 0, dus I1 = 6A en knooppunt U; – 4 – 4 + I2 = 0, dus I2 = 8A. Voor de keuze van het aantal knooppunten zien we in onderstaand schema twee knooppunten, knooppunt A en knooppunt B. Knooppunt A levert + I1 – I2 – I3 = 0 en knooppunt B levert – I1 + I2 + I3 = 0.

–

+

A I2

I1

–

–

+

+

I3

B

Dit zijn goed beschouwd twee dezelfde vergelijkingen (ze zijn afhankelijk). Daarom kiezen we één van de knooppunten A of B om mee te nemen in het rekenwerk. Dit is om afhankelijkheid in het rekenwerk te voorkomen (daarover later meer). Hebben we bijvoorbeeld in een netwerk 8 knooppunten, dan volstaan 7 knooppunten voor het rekenwerk. Welk knooppunt niet mee doet is mogelijk wat lastig om te zien, maar in de circuits die wij in dit dictaat behandelen beperken we ons tot maximaal 3 knooppunten, en is het eenvoudig te zien welk knooppunt wegvalt.

Voorbeeld 7.2: De 2e Wet van Kirchhoff: In onderstaande schema’s P, Q, R en S krijgen we: P;

+ (3) + (12) – (–4) – (U) = 0, dus U = 19V.

Q;

+ (– 3) – (12) – (4) + (U) = 0, dus U = 19V.

We gaan nu niet meer alle haakjes erbij zetten en kijken naar R en S (Let op, eerst de spanningspotentialen + en – rond de weerstanden zetten) R;

+ 3 + 12 – (3*10) – U = 0, dus U = – 15V.

S;

+ 3 + 12 – (– 3*10) – U = 0, dus U = 45V.

HAN-FT-CPM

SEECE

28

Inleiding Elektrische Energietechniek

– +

+

+ +

12V 3V

+

–

U

– +

Q

3V

+

+

– 3A

+

– U

+

3V

–

– 3A

12V

10Ω

R

–

–

+

12V

4V

– 3V

–

–

+

12V

– 4V

P

–

10Ω

S

– –

+

–

U

+ U

Voorbeeld 7.3: Bereken de spanning U en stromen I1 en I2 in onderstaand netwerk. Zet eerst bij de weerstanden volgens de gekozen pijlen van de stromen de juiste plus en min rond de weerstanden. Volgens de 2e Wet van Kirchhoff vinden we dan in de linker maas rondwandelend: – U + 3 + 12 – (2*10) = 0 en daaruit volgt U = – 5V. In de rechter maas vinden we ook rondwandelend + (2*10) – 11 + ( I2*9) = 0, dus I2 = –1A. Uit de 1e Wet van Kirchhoff kunnen we vervolgens I1 berekenen, als volgt: Stel we nemen het onderste knooppunt. We vinden daar – I1 + 2 – I2 = 0. Door de gevonden stroom I2 in te vullen krijgen we – I1 + 2 – (–1) = 0. Daaruit volgt I1 = 3A. – +

+ 2A

12V

11V 9Ω

10Ω

3V –

–

+

I1

I2

–

+ U

Passen we de wetten van Kirchhoff toe in een willekeurig net dan maakt het formeel niet uit of we stromen naar een punt positief noemen en dan de stromen die van een punt af gaan negatief, of andersom. Dat zelfde geldt voor de spanningen. Het maakt niet uit of we linksom of rechtsom wandelen en waar we beginnen, en het maakt ook niet uit of we een spanningsophoging positief of negatief noemen, mits we maar consequent dit voor het hele

HAN-FT-CPM

SEECE

29

Inleiding Elektrische Energietechniek

net op gelijke wijze doen. Voor dit vak spreken we af zoals het in de definitie staat genoemd, zodat we in de uitleg dezelfde opzet in het rekenwerk terug zien.

Als we met de wetten van Kirchhoff aan de slag gaan, ontstaan stelsels vergelijkingen. Om een wiskundige oplossing te krijgen moeten we het aantal vergelijkingen gelijk krijgen aan het aantal onbekenden. Daarbij moeten we oppassen dat er geen ‘afhankelijkheid’ ontstaat.

Bijvoorbeeld: I1 + I2 – I3 = 0 en I3 – I2 = I1 zijn dezelfde vergelijkingen. Deze zijn afhankelijk. Eén van beide nemen we mee als vergelijking. Nu is dat in dit geval snel te zien. In veel andere gevallen is het lastiger. Stel we hebben 3a + 2b = 6, a – b = 4 en 4a + b = 10. Nu blijkt dat de 3e vergelijking de som is van de eerste twee of de tweede is het verschil tussen de eerste en de derde enz, dus één van deze drie vergelijkingen is hier ‘afhankelijk’. Er zijn hier dus maar twee onafhankelijke vergelijkingen. Met welke twee vergelijkingen we verder rekenen is niet van belang, mits deze twee maar onafhankelijk zijn.

Om in elektrische netten te voorkomen dat we per ongeluk afhankelijke vergelijkingen opzetten voor het verdere rekenwerk, passen we daarom de regels toe zoals aangegeven bij de wetten van Kirchhoff.

We gaan de twee wetten van Kirchhoff nog eens nalopen en beginnen met een eenvoudig circuit met één maas. Zie onderstaand schema. In dit geval zijn er geen knooppunten en de stroom zal zich nergens verdelen. De 1e Wet van Kirchhoff vervalt dus. De stroompijl is willekeurig gekozen en zal bij deze keuze er voor zorgen dat bovenaan de weerstand een + en onderaan de weerstand een – komt. Volgens de 2e Wet van Kirchhoff krijgen we, als we rechtsonder beginnen (startpunt maakt overigens niet uit) en zoals afgesproken met de klok mee wandelen, de volgende spanningen: – (8) + (3) – (UR) = 0 Dit uitwerken levert – 8 + 3 – (I*10) = – 8 + 3 – I*10 = 0. Dus I = – 0,5A.

I

+

10Ω

3V –

8V –

+

Rekenen we ook de vermogens uit dan krijgen we: P3V = 3*– (– 0,5) = 1,5W, P8V = 8*(– 0,5) = – 4W en PR = I2R = 2,5W. De bron van 8V levert dus het vermogen aan de bron van 3V en de weerstand van 10Ω. De bron van 3V wordt dus opgeladen en is blijkbaar een accu.

Vraag: wat zou er gebeuren als in een transistorradio, waar normaal gesproken vier oplaadbare batterijen van 1,2V in zitten, één van de batterijen verkeerd om wordt geplaatst?

Antw: de totale spanning in het circuit wordt nu 3,6V – 1,2V = 2,4V. Teken dit schema. De stroom die, als de radio aan staat ten gevolge van die totaalspanning 2,4V gaat lopen, zal de verkeerd om zittende oplaadbare batterij in zijn eigen circuit verder opladen (of als deze al

HAN-FT-CPM

SEECE

30

Inleiding Elektrische Energietechniek

vol is niet verder kunnen opladen), terwijl de drie andere batterijen verder leeg raken. Het eindresultaat is dat de drie batterijen die op de juiste wijze in het apparaat zitten zo ver leeg raken dat ze totaal 1,2V afgeven en de volle verkeerd om zittende batterij zal dan 1,2V zijn.

De totale spanning in het circuit is dan 1,2 – 1,2 = 0. Het apparaat is dan stroomloos.

We gaan nu een netje maken met twee mazen: –

+ I1

+

30V

I2

15V

3Ω

10Ω

–

I3

De stroomrichtingen I1, I2 en I3 zijn ook hier willekeurig gekozen. De startpunten voor de 2e Wet van Kirchhoff zijn eveneens willekeurig gekozen (natuurlijk wel één startpunt per binnenmaas). Eerst kijken we naar de 1e Wet van Kirchhoff. Er zijn twee knooppunten waarbij we volkomen willekeurig (vrije keuze) het onderste knooppunt kiezen. We krijgen dan de eerste vergelijking: – I1 + I2 – I3 = 0 Aangezien er drie onbekenden zijn, moeten we nog twee andere vergelijkingen creëren. Die volgen uit de 2e Wet van Kirchhoff: + 30 – (I2*10) = 0 + (I2*10) – 15 + (I3*3) = 0 Uit de 2e vergelijking volgt I2 = 3A. Vullen we dit in de derde vergelijking in dat vinden we I3 = –5A. Zetten we dit in de 1e vergelijking dan krijgen we: – I1 + (3) – (– 5) = – I1 + 3 + 5 = – I1 + 8 = 0.

Dus I1 = 8A. De vermogens worden nu: P30V = 30*– (8) = – 240W, P15V = 15*– (– 5) = 75W, P10Ω = I22*10 = 32*10 = 9*10 = 90W en P3Ω = I32*3 = (–5)2*3 = 75W. De som van de vermogens is 0, dus dit klopt.

Vraag: doe bovenstaand opnieuw met de keuze van het bovenste knooppunt voor de 1e Wet van Kirchhoff. (De antwoorden blijven gelijk).

Vraag: Neem nu de voorgaande schakeling, maar we keren de pijl van I1 om. Zie onderstaande schakeling. Doe de berekening voor de stromen en de vermogens nogmaals.

HAN-FT-CPM

SEECE

31

Inleiding Elektrische Energietechniek

De antwoorden zullen gelijk zijn aan het voorgaande, behalve dat I1 = –8A. Ook het vermogen van de linker bron blijft gelijk. P30V = 30*(–8) = –240W. –

+ +

I2

I1

15V 3Ω

10Ω

30V –

I3

Vraag: gegeven onderstaande schakeling. Geef alle vergelijkingen volgens de Wetten van Kirchhoff. Antwoord: + 10 + I1R1 – 15 = 0, + 30 – I3R2 = 0, + I3R2 – 10 + I4R3 = 0, I1 + I2 + I5 = 0, – I2 – I3 + I6 = 0, – I6 – I1 + I4 = 0 en – I5 + I3 – I4 = 0, welke laatste vergelijking afhankelijk is en komt te vervallen (andere keuze had natuurlijk ook goed geweest).

Vraag: Stel dat R1 = R2 = R3 = 1kΩ. Berekend de stromen. Antwoord: Uit de eerste vergelijking volgt I1 = 5mA, uit de 2e vergelijking volgt I3 = 30mA, dan kunnen we daarmee via de 3e vergelijking I4 bepalen, met de 6e vergelijking I6, met de 5e vergelijking I2 en ten slotte met de 4e vergelijking I5.

Vraag: ga met bovenstaande gegevens en verdere berekeningen van alle stromen de vermogens bepalen en controleer of Pgeleverd = Popgenomen. + R1

I1

– 15V

10V I2

30V

HAN-FT-CPM

– I6

I3

+

–

+

R3

R2 I5

I4

SEECE

32

Inleiding Elektrische Energietechniek

Serie en parallel schakelen van weerstanden In veel gevallen kunnen we in een elektrisch net vormen zien van serie en parallel en daarmee het rekenwerk vereenvoudigen.

Daarbij geldt voor weerstanden die in serie staan: ࡾ࢜ ൌ ࡾ૚ ൅ ࡾ૛ ൅ ࡾ૜ ൅ ‫ڮ‬

R1

R2

R3

Voorbeeld 7.4: In onderstaand schema ziet de bron U de drie weerstanden in serie. De stroom die de bron aan deze weerstanden levert is U/(R1 + R2 + R3).

+

R1 R2

U R3

–

૚

૚

૚

૚

Bij parallelschakelingen geldt: ࡾ ൌ ࡾ ൅ ࡾ ൅ ࡾ ൅ ǥ ࢜

૚

૛

૜

Voorbeeld 7.5: de spanningsbron U ziet nu de onderstaande weerstanden parallel. De stroom die de bron levert aan de weerstanden is I = U/Rv

+

I

U

R1

R2

R3

–

en als er slechts twee weerstanden parallel staan geldt: ࡾ࢜ ൌ

ࡾ૚ ‫ࡾכ‬૛ ࡾ૚ ାࡾ૛

Voorbeeld 7.6: Zie onderstaande schakeling die we eerder tegenkwamen.

HAN-FT-CPM

SEECE

33

Inleiding Elektrische Energietechniek

I5

4Ω +

I1 10V

–

6Ω

I4

I2

I3

2Ω

8Ω

– 3,2V +

I6

Hier staan de twee weerstanden van 4Ω en 6Ω in serie en de twee weerstanden van 2Ω en 8Ω staan parallel. We zouden dus het schema nu kunnen vereenvoudigen en krijgen dan: I4

10Ω +

I1 10V

I2 + I3

– 3,2V

1,6Ω +

–

Let op, nu verdwijnen de individuele stromen I2, I3, I5 en I6. Wel kunnen we constateren dat de stroom door de weerstand van 1,6 Ω dezelfde waarde moet hebben als de oorspronkelijke I2 + I3. Doordat het schema vereenvoudigd is kan hier nu gemakkelijker worden gerekend.

Het is dan vervolgens de bedoeling om stapsgewijs weer terug te gaan naar het oorspronkelijke schema en de overgebleven stromen ed terug te vinden. In de loop van dit dictaat komen daar nog voorbeelden van.

Bij serie en parallel wordt zuiver serie en zuiver parallel bedoeld. Dit betekent dat als we bijvoorbeeld een seriekring hebben er geen enkele aftakking onderweg is. Eenvoudig gezegd betekent dit dat bij een seriekring in elk onderdeel dezelfde stroom loopt. Bij parallel betekent dit dat over elk onderdeel dezelfde spanning staan.

Bij een serieschakeling is de stroom overal gelijk en zal de spanning die over deze serieschakeling staat zich evenredig verdelen over de weerstanden.

Bij een parallelschakeling is de spanning over alle weerstanden gelijk en zullen de stromen zich evenredig door alle weerstanden verdelen, maar dan gaat de grootste stroom door de kleinste weerstand.

Er volgen nu enkele opgaven. De antwoorden staan verderop in dit dictaat.

HAN-FT-CPM

SEECE

34

Inleiding Elektrische Energietechniek

Opgave 7.1a. Geven onderstaande schakeling met een bron van 100V in serie met een weerstand van 1kΩ. Bereken de klemspanning Uk.

+ +

I

1kΩ Uk

100V

– – Opgave 7.1b. Veronderstel dat een persoon de open aansluitingen in dit circuit met de ene hand de + en de andere hand de – kant aanraakt. De persoon heeft tussen beide handen een eigen weerstand van ongeveer 14kΩ. (Ga dit in het lab eens na). In het circuit, waar het lichaam nu een onderdeel van is, zal een stroom door de hartstreek lopen. Hoeveel stroom loopt door het lichaam? Is deze stroom dodelijk? Verandert er veel aan de situatie als de weerstand van 1kΩ kleiner wordt gekozen?

Opgave 7.2a. U koopt een nieuwe batterij van 1,5V in de winkel. De spanningsmeter over de + en – geeft inderdaad precies 1,5V aan. Met een (ideale) stroommeter sluit je de + en – kort.

De stroom die blijkt te lopen is 3A. Hoe groot is de inwendige weerstand van de batterij?

Opgave7.2b. Vervolgens gaat u de batterij gebruiken. Na een paar maanden meet u de klemspanning opnieuw. Die is nog steeds 1,5V. Vervolgens meet u met de stroommeter de kortsluitstroom en meet dan een waarde van 3mA. Bereken opnieuw de inwendige weerstand van de batterij en verklaar wat er aan de hand is.

Opgave 7.3. Een spanning van 100V staat in serie met twee weerstanden. Eén weerstand is 10Ω en de ander is 40Ω. Bereken de stroom door de weerstanden, de spanningen over de weerstanden en de vermogens in de weerstanden.

Opgave 7.4. Dezelfde spanning en zelfde weerstanden als bij voorgaande opgave staan nu parallel. Bereken de spanningen, stromen en vermogens.

Opgave 7.5. Een spanningsbron van 90V staat in serie met twee weerstanden. Beide weerstanden zijn 100kΩ. De spanning over beide weerstanden zal 45V zijn (ga dit na). We sluiten nu over één weerstand van 100kΩ een niet ideale voltmeter aan om deze 45V te meten. De inwendige weerstand van de voltmeter is 400kΩ. Teken beide schema’s waarbij in het eerste geval de voltmeter niet en het tweede geval de voltmeter wel is aangesloten.

Bereken met de wetten van Kirchhoff de stromen en spanningen in beide circuits, waaronder dus ook de spanning die wordt gemeten door de voltmeter.

Opgave 7.6. Zie onderstaande schakeling. Bereken door alleen de 2e Wet van Kirchhoff toe te passen de stromen I1, I2 en I3. Bereken daarna de resterende stromen I4, I5 en I6 door de 1e

HAN-FT-CPM

SEECE

35

Inleiding Elektrische Energietechniek

Wet van Kirchhoff toe te passen. Bereken tenslotte alle vermogens en controleer of het totale opgenomen vermogen in evenwicht is met het totale afgegeven vermogen.

I5

4Ω I1

+

I2

I3

2Ω

8Ω

10V –

I4

3,2V +

I6

6Ω

–

Opgave 7.7. Bereken de spanning UAB in onderstaande schakeling op twee manieren. De eerste is door slim te kijken naar de schakeling en de tweede manier is via de 2e Wet van Kirchhoff.

5Ω

10Ω

+ 10V

A

B

– 15Ω

20Ω

Opgave 7.8. Veronderstel een bron U met een inwendige weerstand Ri daarmee in serie. Deze bron wordt aangesloten op een weerstand variabele Rb. Zie onderstaand schema. Vragen: a. Geef de formule van het vermogen P in Rb als functie van Rb (uitgedrukt in U, Rb en Ri. Hierin zijn U en Ri constant en is Rb dus variabel). b. Schets globaal het verloop van deze P als functie van Rb. c. Bepaal wiskundig bij welke Rb uitgedrukt in Ri het vermogen P in Rb maximaal zal zijn.

+

I

Ri U

Rb

–

HAN-FT-CPM

SEECE

36

Inleiding Elektrische Energietechniek

Opgave 7.9. Vereenvoudig onderstaande schakeling door de serie weerstanden en parallelweerstanden waar mogelijk bij elkaar te nemen en bepaal de weerstand die de bron ziet.

3Ω

+ 10Ω

8Ω

U –

9Ω

2Ω

7Ω

4Ω

Opgave 7.10. Stel bij opgave 7.9 de bronspanning 100V. Bereken met behulp van de gegevens van de antwoorden van de vorige opgave de stroom door de bron en de stroom door de 8Ω weerstand. Teken daartoe ook de noodzakelijke voorgaande stappen om de stroom door de 8Ω weerstand te kunnen berekenen.

Opgave 7.11. Stel onderstaande schakeling met een Ge-diode. De Ri van deze diode is 0,4Ω en de maximale sperspanning is 25V en maximaal vermogen van 100W. Bereken de stroom I, de spanningen en de vermogens.

I

+ 40V

3Ω

–

Opgave 7.12. Idem opgave 11, maar dan staat de diode andersom.

HAN-FT-CPM

SEECE

37

Inleiding Elektrische Energietechniek

Aarde Er wordt veel gebruik gemaakt van ‘aarde’. Dit wordt om verschillende redenen gedaan. Ten eerste voor de veiligheid, om te voorkomen dat er aanraakbare delen onder spanning kunnen komen te staan die gevaar op kunnen leveren. Ten tweede om een referentiepunt te hebben.

Voor de veiligheid, zie onderstaand schema, gaan we als volgt te werk. Daarbij is het schema getekend van een apparaat met een metalen kast als omhulsel, zoals een wasmachine. Komt nu een van de draden van het circuit per ongeluk in aanraking met de buitenkant van de kast, dan ontstaat er een onbekende situatie voor de buitenwereld die we op voorhand niet in kunnen schatten. Het kan zijn dat het gevaar oplevert (gesloten circuit), maar dat is niet zeker. In ieder geval zal de beveiliging (zekering) van de bron, getekend als het rechthoekje met doorlopende lijn van binnen en in dit voorbeeld een waarde van 10A, niets doen zodat het gevaar blijft bestaan.

10A +

230V

20Ω –

Om dit uit te sluiten, maken we één kant van de schakeling ‘aarde’ door deze aan te sluiten op de echte aarde (grondwater). We maken vanaf die aarde ook een aansluiting met de buitenkant van de metalen kast.

Zie onderstaand figuur. Mocht nu één van de andere punten van het circuit in aanraking komen met de metalen kast, zie gekronkelde lijn, dan ontstaat via de bron een kortsluiting en zal, als het goed is, de zekering doorslaan en de kast spanningsloos worden.

10A + 230V

20Ω –

HAN-FT-CPM

SEECE

38

Inleiding Elektrische Energietechniek

Bovenstaand heet ‘volle kortsluiting’. Er zijn ook situaties te bedenken dat er een minder harde kortsluiting is, bijvoorbeeld doordat een persoon met een eigen weerstand van ongeveer 10kΩ over de bronspanning komt te staan. De normale beveiliging met hier de zekering van 10A zal dan niet aanspreken en de stroom door de persoon is veel groter dan de paar mA die dodelijk zal zijn. Daartoe is de aardlekschakeling ontworpen. De precieze werking hiervan valt buiten de scope van dit dictaat. Eenvoudig gezegd meet de aardlekschakeling of er een verschilstroom is tussen twee voedingsdraden. Als dit verschil groter is dan een paar mA, dan schakelt de aardlekschakelaar beide voedingsdraden uit.

Opdracht: Bekijk onderstaand schema en verklaar dat beide beveiligingen nodig blijven. De aardlekschakelaar bestaat uit twee spoelen met twee schakelaars.

10A +

20Ω

230V –

Ten tweede gebruiken we aarde als referentiepunt. Als dat referentiepunt aarde is noemen we dat ‘nul volt’. Elke spanningswaarde op een andere plek in de schakeling heeft dan de waarde ten opzichte van aarde.

8. Condensator Een condensator bestaat uit twee platen goed geleidend materiaal die vlak tegenover elkaar zitten. De uiterst dunne tussenstof is isolerend, bijvoorbeeld lucht of papier.

De fysieke maat van de condensator is bepalend voor haar capaciteit, aangeduid met C. Deze wordt uitgedrukt in Farad. C = ….[ F].

Condensator

HAN-FT-CPM

SEECE

39

Inleiding Elektrische Energietechniek

C

+

…F –

Symbool van een condensator

Als een ‘lege’ condensator wordt aangesloten op een gelijkspanningsbron, dan zal het volgende gebeuren. De elektronen die zich in de platen van het geleidende materiaal bevinden worden bij de ene plaat aangevuld en bij de andere plaat weggetrokken door de gelijkspanningsbron. Er loopt derhalve een stroom in het circuit. Op het moment dat de condensator evenveel verschil in elektronen heeft in haar platen als de bron dit zelf heeft, dan stopt de stroom met lopen.

+ + U – –

Dit kan zo gebeuren omdat de platen vlak bij elkaar zitten waardoor de elektronen door hun elektrische velden via de dunne tussenlaag elkaars aan- en afwezigheid ‘merken’. Kort gezegd, ze willen met elkaar vereffenen. Het te veel aan elektronen bij de ene kant van de condensator wil naar het te kort aan elektronen aan de andere kant van de condensator. Dit kan alleen niet, omdat de isolerende tussenlaag voorkomt dat daar een stoom gaat lopen.

Dit betekent dat er bij een ‘geladen’ condensator tussen de platen van de condensator een Elektrisch veld staat, welke niets anders is dan de kracht die aangeeft dat er een verschil in elektronenhoeveelheid is. Hoe groter het spanningsverschil U, hoe groter het Elektrische veld. Dit Elektrische veld geeft aan dat er een afstotende kracht is tussen de elektronen en de elektronen daarmee in staat zijn elkaar ‘te voelen’.

Hoe groter de condensator, hoe meer elektronen er in kunnen. Vergelijk dit met ballon. Hoe groter de ballon, hoe meer lucht er in moet ‘stromen’ (= stroom I) voordat de ballon op eindspanning (= spanning U) komt.

HAN-FT-CPM

SEECE

40

Inleiding Elektrische Energietechniek

Dit verband wordt voor een eindsituatie (geladen condensator) aangegeven met de tijd dat een stroom een condensator in loopt en daarbij een spanning veroorzaakt. In de volgende formule zien we dit verband: It = CU. De lading die in een condensator komt te zitten doordat de stroom een tijd loopt is It. De lading wordt Q genoemd en heeft de eenheid Coulomb [C]. Dus Q = It [C].

Vraag: Stel een Condensator met een waarde van 200F is opgeladen tot een spanning van 4V. We sluiten op deze condensator een 4V lampje aan. Op het lampje staat dat het vermogen 1W is (bij een aangesloten spanning van 4V). Beschrijf wat er gebeurt. Antwoord: Een lampje van 1W zal bij 4V een stroom hebben van 0,25A. Daarmee zouden we volgens I*t=C*U dus gedurende t = 3200 sec stroom lopen. Maar aangezien de spanning over de condensator in die tijd zal dalen, zal ook de stroom afnemen en het totale proces langer duren, enkele uren.

Het lampje zal natuurlijk steeds zwakker branden. We zien iets dergelijks bij moderne fietsen waarbij het voorlicht nog even blijft doorbranden als de fietser niet meer fietst.

Het zal duidelijk zijn dat als we een stroom sturen in een lege condensator, dat de spanning begint bij 0 en maximaal is als de stroom stopt met lopen. De spanning verandert dus in de tijd. Dan krijgen we een iets nettere beschrijving: ࢏ࢉ ሺ࢚ሻ ൌ ࡯

ࢊ࢛ࢉ ሺ࢚ሻ ࢊ࢚

[A]

of

૚

࢚

࢛ࢉ ሺ࢚ሻ ൌ ࡯ ‫׬‬૙ ࢏ሺ࢚ሻࢊ࢚

[V]

Voorbeeld: Stel een stroom van 2mA loopt gedurende 30 seconden in een condensator van 5mF. De condensator is in het begin leeg. Bereken de eindspanning over de condensator.

Antwoord: ‫ݑ‬௖ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ

ଷ଴ ଵ ‫ݐ݀݉ʹ ׬‬ ହ௠ ଴

‫ ݑ ݏݑܦ‬ൌ

ଶ௠ ͵Ͳ ହ௠

െ

ଶ௠ Ͳ ହ௠

ൌ ͳʹܸ

Voorbeeld: Stel een spanning uc(t) = 4sin(30t + 400) V. Bepaal ic(t) en iC(4m). De condensator heeft een waarde van 5mF. Antwoord: iC(t) = 0,6cos(30t + 400) A en iC(4m) = 0,6cos(0,12 + 400) = 0,6cos(6,840 + 400) = 0,41A. Opbouw van de condensator Een condensator bestaat uit twee platen die op een zekere afstand van elkaar staan. Het zal logisch zijn dat hoe groter de platen zijn hoe groter de condensator waarde. De condensator wordt ook groter in waarde als de afstand tussen de platen kleiner wordt gemaakt. Ten slotte speelt ook het isolerende materiaal tussen de platen, het diëlectricum, een rol in de waarde van de condensator. Dit materiaal kan ‘meehelpen’ met het condensatorgedrag doordat elk onderdeeltje van dit materiaal gaat meedoen als condensator, zonder dat de elektronen van hun kern losraken (de tussenlaag is tenslotte een isolator). Dus de elektronen van alle kernen worden als het ware ook in hun gedrag beïnvloed. Dit noemen we de permitiviteit ε van de stof, als volgt: ࡯ൌࢿ

࡭ ࢊ

[F]

De permitiviteit van een stof wordt vergeleken met de permitiviteit van lucht. Lucht zelf heeft de voor wat betreft het meehelpen opbouwen van het Elektrische veld de minst goede eigenschappen van alle denkbare isolerende tussenstoffen. Lucht (of vacuum) wordt

HAN-FT-CPM

SEECE

41

Inleiding Elektrische Energietechniek

aangeduid met een absolute permitiviteit εo = 8,854.10–12 F/m. Dit getal is feitelijk het getal ஺

஺

dat de formule kloppend maakt met de relatie I*t = C*U waarin ‫ ܥ‬ൌ ߝ ௗ , dus I*t= ߝ ௗ ‫כ‬U. Hierin staan de maten van het oppervlak A in m2 en de afstand tussen de platen d in m vervolgens spanning in V, stroom in A en tijd is s. Allemaal zaken uit het SI eenhedenstelsel.

Zonder ߝ zou de formule niet kloppen. (Zie ook de μ bij de spoel verderop in dit dictaat).

Elke andere stof zal het Elektrische veld helpen vergroten en wordt nu aangegeven ten opzichte van lucht: de relatieve permitiviteit εr wordt vervolgens met εo vermenigvuldigd. ࡭

Zo krijgen we: ࡯ ൌ ࢿ࢕ ࢿ࢘ ࢊ [F] Enkele waarden van εr zijn: water ≈ 80, olie ≈ 5 en PVC ≈ 4.

De tussenstof is erg bepalend voor het gedrag van een condensator. Als een condensator tot aan haar grens wordt gebruikt en kan doorslaan (hoge spanning is groot Elektrische veld) is het juist handig om lucht als diëlectricum te gebruiken. Als de condensator dan doorslaat wordt geen materiaal als tussenstof beschadigd en zal de condensator zichzelf herstellen. Dit geld ook voor olie, maar niet voor PVC of papier.

Vraag: beschrijf wat er gebeurt met de stroom als we een lege condensator aansluiten op een gelijkspanningsbron. Antwoord; de stroom zal korte tijd zeer groot zijn.

Eigenlijk ziet de gelijkspanningsbron een ‘kortsluiting’ omdat de condensator nog leeg is. Na verloop van tijd (kan zeer kort zijn) is de condensator vol en loopt er geen stroom meer. De spanning over de condensator is dan gelijk aan de aangeboden spanning.

Vraag: Veronderstel een weerstand die aangesloten is op een gelijkspanningsbron. Verklaar dat als we een weerstand van de gelijkspanningsbron los koppelen, de spanning over de weerstand verdwijnt en dat als we dit bij een condensator doen, de spanning over een condensator aanwezig blijft. Antwoord: bij een weerstand zullen de elektronen altijd kunnen blijven lopen in de weerstand. Dus als de bronspanning weg valt, zal het potentiaal verschil over de weerstand verdwijnen omdat de elektronen zich geleidelijk gaan verdelen in de weerstand. Bij een condensator zal dat niet kunnen omdat het diëlectricum een oneindig hoge weerstand is.

Condensatoren worden gemaakt van bijvoorbeeld twee dunne laagjes zilverpapier met gewoon papier er tussen in en dan opgerold. Beide laagjes zilverpapier worden met een aansluiting als draad naar buiten uitgevoerd.

Men is technisch in staat om condensatoren te maken die een zeer dunne tussenlaag hebben. Ter dikte van een paar moleculen. Die moleculen worden ter plaatse gevormd door het diëlectricum als er een spanning wordt aangebracht. Dit zijn condensatoren met grote waarden, die echter uitsluitend kunnen worden gebruikt bij gelijkspanningen omdat dit proces andersom niet werkt. De capaciteitswaarde is weliswaar zeer groot, maar het nadeel is dat het diëlectricum zo dun is dat doorslag snel het geval kan zijn. Daarmee is de te gebruiken spanning weer erg laag. Dit type condensatoren noemt men elektrolytische condensatoren. Deze komen we veel tegen in de elektronica met lage spanningen. Er zijn

HAN-FT-CPM

SEECE

42

Inleiding Elektrische Energietechniek

tegenwoordig elektrolytische condensatoren met waarden tot vele honderden F die tot enkele volts kunnen worden gebruikt. Een nadeel van de elektrolytische condensator is dus dat deze op een vast potentiaal moet zijn aangesloten. Eén kant moet altijd positief ten opzichte van de ander zijde. Daarom kunnen deze condensatoren niet in wisselstroomcircuits worden toegepast. De – kant staat op de condensator duidelijk aangegeven (zie foto).

Elektrolytische condensator In de sterkstroomtechniek kunnen we vanwege de veelal hoge spanningen en het feit dat we met wisselspanningen te maken hebben, helaas geen* gebruik maken van condensatoren met dergelijk grote waarden. De waarden die we in de sterkstroom techniek tegenkomen zitten in de μF of hoogstens in de mF. *) Wel zien we het gebruik van elektrolytische condensatoren terug bij de vermogenselektronica. Dit onderwerp valt buiten dit dictaat.

Zouden we een condensator opnemen in een gelijkstroom net, dan zal voor het opladen van de condensator tijdelijk stroom de condensator(platen) in lopen en aan de andere kant uit de condensator(platen) lopen. Het lijkt er dus op dat de condensator zich in het begin als een spanningsbron met een spanning van 0V (dus kortsluiting) gedraagt en na verloop van tijd zich als een isolator gedraagt omdat er dan geen stroom meer loopt. De snelheid waarmee de condensator zich op– of ontlaadt hangt af van de grootte van de weerstand die rond de condensator zit. Men noemt dat de RC–tijd, τ (Tau). Na 5*R*C wordt geacht dat de condensator in de eindsituatie is gekomen.

Het proces zal zich als een e–macht in de tijd gedragen.

Voorbeeld 8.1: In onderstaand schema wordt de schakelaar gesloten. De condensator is in de begin situatie leeg.

Op het moment dat de schakelaar wordt gesloten gebeurt het volgende. De schakeling ervaart de condensator op dat moment als een kortsluiting (is nog leeg) en de bron ziet alleen de 5Ω weerstand. De weerstand van 10Ω speelt nu geen rol omdat deze parallel staat aan de ‘kortsluiting’. De stroom door de bron, weerstand van 5Ω en de condensator zal net nadat de schakelaar is gesloten 3A bedragen. (I1 = I2 = 3A en I3 = 0) De eindsituatie is dat de condensator vol is en daar geen stroom (I2 = 0) meer loopt. De bron ziet dan twee weerstanden in serie van totaal 15Ω. Er loopt dan door de bron, de weerstand van 5Ω en de weerstand van 10Ω een stroom van 1A. (I1 = I3 = 1A).

De condensator is en blijft dan verder stroomloos. De spanning over de condensator is dan wel volop aanwezig en wordt bepaald door het eindschema, dus de spanning over de weerstand van 10Ω, welke 10V bedraagt. Dus de condensator zal een spanningsverloop krijgen van 0 naar 10V. De RC tijd waarbij dit gebeurt is te bepalen door vanuit de condensator te kijken vanaf het moment dat de schakelaar is gesloten. De condensator ‘ziet’ dan een

+

I1

5Ω

I2

I3

10Ω

15V 10μF –

HAN-FT-CPM

SEECE

43

Inleiding Elektrische Energietechniek

parallelschakeling van 5Ω en 10Ω, dus 3,33Ω. (De bron van 15V heeft 0Ω weeerstand). Dit betekent dat na 5*3,33*10μ = 167μs de eindsituatie is bereikt waarbij de condensator een spanning heeft van 10V.

Op gelijke wijze kan de stroom in de condensator zo worden bekeken. In het begin is de stroom dus 3A en na 167μs is de stroom 0. Ook hier verloopt eea via een e–macht.

Op gelijke wijze kunnen we in elk onderdeel het verloop van de stroom en spanning vaststellen.

Vraag: Zie bovenstaand voorbeeld, waarbij de schakelaar wordt gesloten terwijl de condensator al een spanning heeft van 5V. Gevraagd: de stroom door de bron. Antwoord: de stroom door de bron start met een waarde van 2A en na 167μs zal de stroom de eindwaarde van 1A bereiken.

Vraag: Idem vorige opgave, maar dan heeft de condensator een spanning van –5V. Antwoord: de stroom door de bron start met een waarde van 4A en eindigt na 167μs weer met 1A.

Condensatoren komen we in elektrische netten veel tegen. Ze zijn niet alleen aanwezig als aparte componenten, maar we zien ze ook terug tussen twee aparte draden of tussen een geleidende buitenkant van een kast en een ander onderdeel. De elektrische velden tussen alle zaken waar spanningen tussen staan bepalen dus de aanwezigheid van condensatorgedrag, al dan niet bedoeld.

Elektrische velden zitten altijd tussen een potentiaal verschil. De E-velden beginnen bij de plus en eindigen loodrecht op het vlak bij de min van het potentiaal verschil. In onderstaand figuur als voorbeeld een positief geladen bol boven een vlakke plaat die ten opzichte van die bol negatief is geladen.

+

+ E

–

Condensatoren in serie en parallel Als meerdere condensatoren parallel staan, dan kunnen we de waarden van de condensatoren eenvoudig optellen.

Cv = C1 + C2 + C3 + …

Indien ze in serie staan dan is de vervangende waarde van de condensator: ૚ ࡯࢜

ൌ

HAN-FT-CPM

૚ ࡯૚

൅

૚ ࡯૛

൅

૚ ࡯૜

൅ ǥ

SEECE

44

Inleiding Elektrische Energietechniek

Of voor twee condensatoren in serie: ࡯ ࡯

࡯࢜ ൌ ࡯ ૚ା࡯૛ ૚

૛

Condensator aangesloten op een wisselspanning Als de aangesloten spanningsbron op een condensator nu geen gelijkspanning is maar een zuiver sinusvormige wisselspanning, dan zal er in de condensator een zuiver sinusvormige wisselstroom gaan lopen.

Als we de formule ݅௖ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ܥ‬

ௗ௨೎ ሺ௧ሻ ௗ௧

nemen en de uc(t)=û*sin(ωt) dan wordt de stroom ic(t)=

ûωC*cos(ωt). Hierin zien we twee dingen gebeuren. Ten eerste is er blijkbaar 90o faseverschuiving tussen de sinusvormige wisselspanning over de condensator en de cosinusvormige wisselstroom. De wisselstroom ijlt dus 90o voor op de wisselspanning. Dit is ook logisch omdat we eerst stroom de condensator in moeten sturen voordat er spanning over de condensator zich opbouwt.

Ten tweede zien we, afgezien van deze fasedraaiing, in het verband van de deling van de spanning over de spoel en de stroom door de spoel een weerstand, dus û/ûωC = 1/ωC. Dit is de wisselstroomweerstand Xc van een condensator voor zuiver sinusvormige signalen.

Dus ૚

ࢄ࡯ ൌ ࣓࡯ Voorbeeld 8.2: een condensator van 10μF wordt aangesloten op een sinusvormige wisselspanning van 10V met een frequentie van 50Hz. Gevraagd: de Xc en de grootte van de stroom door de condensator. Antwoord: Xc = 1/2*π*50*10μ = 318Ω. De wisselstroom is dan 10/318 = 31,4mA. Er is natuurlijk ook nog 90o faseverschuiving tussen de spanning en de stroom, maar dat volgt uit later rekenwerk.

De wisselstroomweerstand wordt ook wel ‘reactantie’ genoemd.

Het maakt niet uit of we een sinusvormige wisselspanning over de condensator aanbieden, met als gevolg een cosinusvormige wisselstroom door de condensator, of dat we een cosinusvormige wisselstroom door de condensator sturen met als gevolg een sinusvormige wisselspanning. De relatie ݅௖ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ܥ‬

ௗ௨೎ ሺ௧ሻ ௗ௧

is bepalend.

Het begrip sinus en cosinus loopt verder in dit dictaat door elkaar. Een cosinus in namelijk ook een sinus, maar dan 90o verschoven.

Kortom: Als we een sinusvormige wisselspanning op een ideale condensator zetten, dan zal er een sinusvormige wisselstroom door de condensator lopen. De wisselstroom ijlt 90o voor op de wisselspanning. De verhouding tussen de grootte van de wisselspanning en de wisselstroom wordt bepaald door de wisselstroomweerstand of reactantie Xc = 1/ωC [Ω].

HAN-FT-CPM

SEECE

45

Inleiding Elektrische Energietechniek

Hieronder de linker grafiek van een wisselspanning over een condensator en bijbehorende wisselstroom door de condensator. De rechter grafiek is hetzelfde maar dan met een gewone weerstand.

+

+

tijd

–

–

Vraag: ga in de bovenstaande linker grafiek na wat de wisselspanning over de condensator en wat de wisselstroom door de condensator voorstelt. Antwoord: omdat bij een condensator de wisselstroom 90o voorijlt op de wisselspanning, zal de grote sinus de wisselstroom voorstellen en de kleine sinus de wisselspanning.

Vraag: stel dat we een condensator van 2,2nF. De Xc = 40kΩ. Bereken de frequentie van de wisselstroom. Antwoord: ω = 11364rad/s of f = 1809Hz. Opgave 8.1. Hoe groot is de lading in een condensator van 10μF bij een spanning van 100V? Opgave 8.2. Gegeven een lege condensator met een waarde van 10μF. Over de condensator worden verschillende spanningen gezet. Bepaal in al deze gevallen de bijbehorende stroom en teken de spanningen en stromen voor al deze gevallen apart in een grafiek. a. 10V gelijkspanning b. Een lineair oplopende spanning u(t) = 3t [V] c. Een sinusvormige spanning volgens u(t) = 4cos2t [V] Opgave 8.3. Gegeven een condensator, waarbij de tussenlaag lucht is. De platen zitten tegen over elkaar op een afstand van 2mm uit elkaar. Beide platen hebben een oppervlak van 40cm2. Hoe groot is de waarde van de condensator?

Opgave 8.4. Een spanningsbron staat in serie met een weerstand van 20Ω en een condensator van 10μF. De spanningsbron heeft een spanning van 80V en de frequentie is 5kHz. Bepaal de wisselstroomweerstand (impedantie) van de condensator. Idem als de frequentie 50Hz bedraagt.

Opgave 8.5. Een condensator met een waarde van 5μF staat parallel aan een condensator van 8μF. Het geheel staat in serie met een condensator van 10μF. Bereken de totale condensatorwaarde.

HAN-FT-CPM

SEECE

46

Inleiding Elektrische Energietechniek

9. Spoel Een spoel is wat ingewikkelder dan een condensator. Deze paragraaf is dan ook verdeeld in meerdere subparagrafen.

De spoel is een geleidende draad die aan de buitenkant geïsoleerd is, en is opgerold rond een kern. De kern kan bestaan uit elke stof, ook uit lucht. Voor de 50Hz wordt de kern vaak gemaakt van ijzer. Daarover later meer.

De spoel heeft als symbool L en de waarde van de spoel wordt uitgedrukt in Henry [H], bijvoorbeeld L = 8H. De meeste spoelen hebben een kleinere waarden en zitten in de mH of μH. De draad van de spoel bestaat uit een goed geleidende geleider, meestal koper, waar om heen een isolatielaag zit om te voorkomen dat de draden met elkaar in aanraking komen.

spoel

symbool spoel L

De waarde van de spoel hangt af van: o N; het aantal wikkelingen o A; het oppervlakte in m2 (zie onderstaande figuur) o ݈; de lengte in m (zie onderstaande figuur)

HAN-FT-CPM

SEECE

47

Inleiding Elektrische Energietechniek

o

μ ; de permeabiliteit (in welke mate waarin de omgeving meewerkt aan het spoelgedrag door het magnetische veld sterker te maken).

oppervlakte A [m2] lengte ݈ [m] In formulevorm ‫ ܮ‬ൌ

ఓ ஺ே మ ௟

[H]

We komen op deze formule nog terug.

Om het gedrag van de spoel te verklaren beginnen we met het magnetische veld.

Als een stroom door een draad loopt is rond de draad een magnetisch veld, flux φ aanwezig.

Het magnetische veld draait rechtsom rond de geleider als de stroom volgens onderstaande figuur van links naar rechts loopt. We noemen dit de ‘kurkentrekker regel’. Rechts naast het zijaanzicht is ook het achteraanzicht en het vooraanzicht weergegeven.

I

φ I

Stroom van links naar rechts

φ

Stroom papier in

I

φ

Stroom papier uit

Het symbool voor het magnetisch veld is flux Ф of ‘inductie’ B. In geval van Ф wordt uitgegaan van ‘alle veldlijnen’ in [Vs] die het magnetische veld vertegenwoordigen en in geval inductie B wordt uitgegaan van ‘de veldlijnen per vierkante meter’ in [Vs/m2], ook wel eenheid Tesla. Over het verschil tussen Ф en B volgt later meer.

Vooralsnog worden begrippen door elkaar heen gebruikt om het magnetische veld aan te geven.

Magnetische veldlijnen zijn altijd gesloten. Dit in tegenstelling tot Elektrische veldlijnen.

Elektrische veldlijnen beginnen op een hoog potentiaal en eindigen op een laag potentiaal.

We verklaren eerst het effect van een magnetisch veld.

HAN-FT-CPM

SEECE

48

Inleiding Elektrische Energietechniek

Krachten door magnetische velden Als we twee draden die een gelijkstroom voeren parallel langs elkaar houden, dan zullen deze draden een kracht naar elkaar toe krijgen als de stromen in beide draden in dezelfde richting lopen. Ze zullen eenzelfde kracht van elkaar af krijgen als beide stromen in tegengestelde richting lopen. Dit is te verklaren doordat magnetische veldlijnen op bepaalde plaatsen zich ophopen en op ander plaatsen elkaar opheffen. De kracht op de draden ontstaat dus doordat magnetische veldlijnen elkaar ‘in de weg’ zitten en daardoor uit elkaar willen bewegen (rechts in onderstaand figuur), of elkaar ‘opheffen’ en daardoor naar elkaar toe willen bewegen (links in onderstaand figuur). De krachten die daarbij op de draden ontstaan zijn onderstaand getekend.

φ

φ F

F

F

F

Het zal duidelijk zijn dat als de bovengenoemde stromen erg groot zijn er zeer grote krachten optreden. Zo zal bij een kortsluiting in een net de heen en terugvoerende geleiders in sterke mate van elkaar af willen bewegen. Dit kan schade tot gevolg hebben.

De grootte van de kracht F op een geleider wordt bepaald met een ingewikkelde formule die hier nu verder niet van belang is. De kracht zelf wordt ook wel Lorentz kracht genoemd. Zie verder bv Wikipedia voor achterliggende informatie.

Vraag: Bovenstaand is uitgegaan van gelijkstroom. Ga na wat er gebeurt met een wisselstroom in een kabel met een wisselstroom. Antwoord: De stromen in beide draden lopen twee keer per periode altijd in tegengestelde richting. De draden zullen dus twee keer per periode van elkaar afgeduwd worden. Het effect bij de 50Hz wisselspanning is dat er een 100Hz krachtwerking tussen de draden zal ontstaan. Dit is het geluid dat we als bromtoon veelal waarnemen in verschillende elektrische apparaten.

Veronderstel een homogeen magnetisch veld B, bijvoorbeeld afkomstig van een vaste magneet, met binnen dit magnetische veld een haaks daarop staande stroomvoerende geleider, dan zal een kracht op deze geleider komen te staan. Dit is het principe waardoor de rotoren van elektrische motoren draaien. De grootte van deze kracht is ࡲ ൌ ࡮ࡵ࢒ o o

HAN-FT-CPM

[N]

de sterkte van het magnetische veld via inductie B [Vs/m2] de grootte van de stroom I [A]

SEECE

49

Inleiding Elektrische Energietechniek

o

de lengte van de draad binnen het magnetische veld ݈ [m]

Stroomvoerende geleider I

B

φ

݈

Zijaanzicht met de geleider haaks op magnetische veld

Vraag: Stel een magnetische veld B = 3Vs/m2. De stroom door een geleider, die haaks op dit magnetische veld is geplaatst, is 4A. De lengte van de draad is 20cm. Bereken de kracht op de draad. Antwoord: 2,4N. Vraag: Teken in voorgaande situatie het magnetisch veld rond de draad als gevolg van de stroom door de draad, en bepaal daaruit de richting van de kracht op de draad. Antwoord: het magnetische veld rond de draad is volgens de kurkentrekkerregel rechtsom. Dat betekent dat er een verdichting van beide magnetische velden ontstaat aan de voorzijde van de draad en een verdunning aan de achterzijde van de draad. De draad zal nu, parallel aan zichzelf, door kracht F naar achteren (het papier in) willen bewegen.

Vraag: Zie voorgaande vraag, maar nu maakt de draad een hoek van 90o ten opzichte van voorgaande situatie. Hoe groot is dan de kracht op de draad en in welke richting staat die kracht? Antwoord: de kracht op de draad zal nu nul zijn. Dit is te zien als we het magnetische veld van de geleider volgens de kurkentrekkerregel tekenen. Dit magnetische veld staat overal haaks op het B-veld, en beide velden hebben geen invloed op elkaar. Er is derhalve geen kracht op de draad.

De formule die we voor het berekenen van de kracht gebruiken is ࡲ ൌ ࡮ࡵ࢒࢙࢏࢔ሺࢻሻ

[N]

Hierin is α de hoek is die de geleider maakt ten opzichte van de haakse stand (zie voorgaande figuur).

Inductie Veronderstel een geleidende draad welke haaks op een magnetisch veld staat (zie figuur hieronder). In deze geleider loopt nu geen stroom. Gaan we deze draad nu parallel aan zichzelf naar achteren bewegen, dan zullen alle elektronen in de draad zich naar achteren verplaatsen.

HAN-FT-CPM

SEECE

50

Inleiding Elektrische Energietechniek

Niet stroomvoerende geleider welke parallel aan zichzelf naar achteren wordt verplaatst

B

φ

Elk elektron dat zich in een bepaalde richting verplaatst, is hetzelfde als een stroom in de tegenovergestelde richting. Volgens de kurkentrekkerregel is bij die stroomrichting rechtsom een magnetisch veld aanwezig. Er zijn nu twee magnetische velden. De eerste is het bestaande stilstaande magnetische veld B en het tweede is het magnetische veld ten gevolge de verplaatsing van de geleider. Voor alle elektronen geldt dan dat aan de ene kant een verdichting van beide magnetische velden ontstaat en aan de andere kant van dat elektron een verdunning. Zie onderstaand figuur.

Geleider welke parallel aan zichzelf naar achteren wordt verplaatst, waardoor om de elektronen in de geleider magnetische velden ontstaan B

φ

Daardoor worden alle elektronen de kant op geduwd waar de verdunning is, in dit geval naar boven. Dit betekent dat in de draad een spanning staat, waarbij de negatieve kant van de spanning daar is waar de elektronen naar toe willen. Hier wordt de bovenkant van de draad negatief ten opzichte van de onderkant van de draad. Men noemt dit de inductiespanning.

(Let op: zo lang de draad nergens op is aangesloten zal er geen stroom lopen). Het resultaat

HAN-FT-CPM

SEECE

51

Inleiding Elektrische Energietechniek

is dan dat de draad door de beweging een inwendig opgewekte spanning Ui krijgt, bovenaan een min en onderaan een plus, zie onderstaand figuur.

Nu maakt het niet uit of we de draad bewegen in stilstaand magnetische veld of het

-

B

Geleider welke parallel aan zichzelf naar achteren wordt verplaatst

Ui φ

+ magnetische veld beweegt en de draad stilstaat, of het een combinatie van daarvan is. We moeten dit relatief bekijken. Het effect is hetzelfde, namelijk dat een verandering van het magnetische veld in de tijd ten opzichte van de draad, een spanning veroorzaakt in de draad.

Men noemt dit de inductiespanning. ܷ௜ ൌ

ௗʣ ሾܸሿ ௗ௧

Voorbeeld 9.1: We gaan het magnetisch veld in grootte veranderen. Dat magnetische veld staat haaks op een draad. De verandering van het magnetische veld is in 3s van 8Vs naar 14Vs. De opgewekte spanning in de draad wordt dan (14Vs – 8Vs)/3s = 2V. Let ook op dat dit met de dimensies keurig klopt.

Voorbeeld 9.2. Nu verandert de draad binnen een constant magnetisch veld van haar plek.

Stel we hebben een draad welke haaks op een magnetisch veld staat. Het magnetische veld heeft een sterkte van 20Vs. De draad verplaatst parallel aan zichzelf en passeert haaks het magnetisch veld met een vaste snelheid in 2s. De in de draad geïnduceerde spanning is dan 20Vs/2s = 10V. Zouden we de draad, die we in het magnetisch veld verplaatsen, vervolgens aansluiten op een weerstand, dan zal er een stroom gaan lopen. Een voorbeeld daarvan is een fietsdynamo die aangesloten is op een lampje.

Zouden we in de boven berekende opgewekte spanning Ui =10V aansluiten op een weerstand van 4Ω, dan zal in de draad en door de weerstand een stroom lopen van I = U/R = 10/4 = 2,5A. Dit betekent dat er een vermogen in de weerstand wordt opgestookt van P = U*I = 10*2,5 = 25W. Maken we gebruik van meerdere draden, zoals bij een spoel, dan krijgen we: ܷ௜ ൌ ܰ

HAN-FT-CPM

ௗʣ ሾܸሿ ௗ௧

, waarbij N het aantal wikkelingen voorstelt.

SEECE

52

Inleiding Elektrische Energietechniek

Iets netter, omdat de flux mogelijk verandert in de tijd en eventueel ook de spanning: ࢁ࢏ ሺ࢚ሻ ൌ ࡺ

ࢊʣሺ࢚ሻ ሾࢂሿ ࢊ࢚

Nu volgt er nog een vrij belangrijke stap. Zojuist hebben we gezien dat als we een draad parallel aan zichzelf haaks op een homogeen magnetisch veld verplaatsen, er daardoor een spanning Ui in de draad ontstaat. Als die draad is aangesloten op een weerstand, zal er stroom gaan lopen. Deze stroom zal in de draad zelf ook weer voor een magnetisch veld zorgen. Dat is dan het derde magnetische veld. Het homogene magnetische veld zal nu door dit derde magnetische veld in de draad een kracht veroorzaken die precies tegengesteld is aan de beweging van de draad. In bovenstaand voorbeeld en onder in het opnieuw weergegeven plaatje zal deze kracht F naar boven gericht zijn en dus het papier uitgaan. Dit is de tegenkracht die we voelen als we een draad door een magnetisch veld duwen. We voelen die tegenkracht dus alleen als de draad is aangesloten op een weerstand en er dus stroom in de draad loopt. Hoe kleiner de aangesloten weerstand, hoe groter de stroom en hoe groter de tegenkracht F. Deze kracht F is weer gelijk aan de eerder gegeven formule ‫ ܨ‬ൌ ‫݊݅ݏ݈ܫܤ‬ሺߙሻ [N], waarbij in deze situatie geldt ‫ ܨ‬ൌ ‫[ ݈ܫܤ‬N]

F

v

Geleider welke parallel aan zichzelf naar achteren (papier in) wordt verplaatst met snelheid v, krijgt tegenkracht F naar voren (papier uit).

Ui

R

φ

+

I

Zelfinductie Het effect van de inductiespanning is nogal belangrijk in een spoel. Als we namelijk een spoel aansluiten op een gelijkspanning, dan zal vanuit de plus van de spanningsbron een gelijkstroom I door de spoel naar de min van de spanningsbron lopen. Zie onderstaand figuur. De stroom I en het bijbehorende magnetische veld rond de draad, zal in razend tempo toenemen. De vraag is nu of de stroom direct naar de hoge stroom die in het circuit geacht wordt aanwezig te zijn springt (zoals dit het geval is als we een spanningsbron op een gewone weerstand aansluiten) of daar meer geleidelijk naar toe gaat. Dit laatste is het geval.

Hoe kan dit?

HAN-FT-CPM

SEECE

53

Inleiding Elektrische Energietechniek

Tijdens het toenemen van de stroom gebeurt iets belangrijks.

_ Ui +

I

s

R

U +

_

Beschouw nu bij bovenstaande figuur een stukje spoel, waarbij twee vlak tegen elkaar aan liggende draden zijn getekend. Doordat een externe spanning U wordt aangesloten via schakelaar s, zal er in de spoel een stroom I gaan lopen. Deze neemt in waarde zeer snel toe en wil gaan naar de waarde U/R. De spoel zelf is namelijk een ideale draad welke geen weerstand heeft en dus een kortsluiting vormt. Het bijbehorende en dus ook groter wordende magnetische veld van de ene draad zal echter in de pal naastgelegen draad in de spoel een inductiespanning Ui veroorzaken welke tegengesteld is aan de polariteit van de aangesloten spanning U. Dit is het gevolg van wat in de voorgaande paragraaf over inductie is geschreven, waarbij het magnetische veld beweegt ten opzichte van de stilstaande draad.

Het resultaat is dat in de naastliggende draad een tegenspanning Ui ontstaat. Ga dit na. De grootte van de tegenspanning is afhankelijk van de grootte van de spoel. In ieder geval zal de tegenspanning een fractie kleiner zijn dan de aangeboden spanning en zal de stroom steeds verder in waarde toenemen. Dat moet ook wel, omdat er anders geen groter wordend magnetisch veld is en dus geen tegenspanning (zonder stroom I geen tegenspanning Ui) Als de stroom na verloop van tijd niet meer groter kan worden en derhalve de eindwaarde van U/R heeft bereikt, dan zal er geen stroomverandering meer zijn en er is in en rond de spoel een stilstaand magnetisch veld opgebouwd. Omdat dit magnetische veld nu stil staat zal er dus ook geen tegenspanning Ui meer zijn. De spoel vormt dan een kortsluiting.

Het effect is dat als we een gelijkspanningsbron via een weerstand aansluiten op een spoel, de stroom niet in ĂŠĂŠn klap de eindwaarde zal bereiken, maar door de tegenwerkende inwendige opgebouwde inductiespanning in de spoel geleidelijk aan deze waarde krijgen. Zie onderstaande grafiek.

HAN-FT-CPM

SEECE

54

Inleiding Elektrische Energietechniek

Alleen R

I [A]

L met R t [s]

0

t = 0 sluit schakelaar s

Vraag: wat gebeurt er als we een gelijkspanning van 50V aansluiten op een spoel met ohmse draadweerstand van 0,001Ω en verder geen andere weerstand? Antwoord: de stroom zal na verloop van tijd 50kA worden. Hoe lang dit duurt hangt o.a. af van de grootte van de spoel.

Het verband tussen de spanning over de spoel en de stroom door de spoel wordt aangegeven met de tegenspanning Ui, zijnde de spanning over de spoel: ࢁࡸ ሺ࢚ሻ ൌ ࡸ

ࢊ࢏ࡸ ሺ࢚ሻ ࢊ࢚

[V]

De afleiding van deze formule is met voorgaande en hier na komende formules te realiseren.

We slaan dit formele bewijs over, en benaderen dit anders en veel eenvoudiger.

We weten dat ܷ௜ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ܰ

ௗʣሺ௧ሻ . ௗ௧

Deze formule is in de praktijk onhandig om te gebruiken. We

kunnen het aantal wikkelingen N namelijk wel tellen, maar de flux Ф meten is erg onpraktisch. Wat we wel eenvoudig kunnen meten is een stroom door een spoel, iL(t). We weten dat de stroom en het magnetische veld rechtevenredig zijn met elkaar. Dus we krijgen dan: ʣሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ܺ݅ሺ‫ݐ‬ሻ, met X als willekeurige constante om deze rechtevenredigheid aan te geven.

We weten dat deze X in ieder geval afhankelijk is van het aantal wikkelingen van de spoel, het oppervlak en de lengte van de spoel. Allemaal meetbare zaken. Hoe meer wikkelingen en hoe groter het oppervlak van de spoel, hoe hoger de spanning, hoe langer de spoel, hoe kleiner de spanning. Dit is allemaal vrij logisch en eenvoudig meetbaar met proeven. We kunnen dat in X inbouwen als formule. Nu blijkt dat een bepaalde i(t) nog niet de u(t) oplevert die we meten. We corrigeren de formule met wat we noemen μ.

We krijgen dan dat ܺ ൌ ߤ

ே஺ , ௟

Dit ingevuld levert: ܷ௜ ൌ ܷ௅ ൌ ܰߤ

ே஺ ௗ௜ሺ௧ሻ ௟ ௗ௧

Het extra deel ߤ ࢁࡸ ൌ ࡸ

ࢊ࢏ሺ࢚ሻ ࢊ࢚

=ߤ

ே మ ஺ ௗ௜ሺ௧ሻ ௟ ௗ௧

ேమ ஺ noemen we ௟

ൌ‫ܮ‬

ௗ௜ሺ௧ሻ ௗ௧

L.

[V]

waarin

HAN-FT-CPM

SEECE

55

Inleiding Elektrische Energietechniek

ࡸൌ

ࣆ ࡭ࡺ૛ ࢒

[H]

Wat is dan die μ?

Dit is eenvoudig gezegd ‘het getal om de boel kloppend te krijgen’ in het SI-eenheden stelsel, waarin spanningen en stromen keurig zijn gedefinieerd. Maar toch moet μ een betekenis hebben. Wat nog mist is dat de grootte of sterkte van het magnetische veld rond de spoel afhankelijk is van de omgeving. Hoe beter de omgeving meewerkt om het magnetisch veld sterker te maken, hoe groter het getal van de μ waarin we dit zullen meenemen. Lucht (of vacuüm) werkt niet echt mee en daarmee blijkt μ voor lucht, genaamd de absolute permeabiliteit μo: μo = 4π10-7 [N/A2] Elke andere stof dan lucht of vacuüm die in of rond de spoel wordt gebruikt zal dit getal beïnvloeden. We noemen dit de relatieve permeabiliteit μr. Weekijzer heeft bijvoorbeeld een μr van 500 tot 5000. Er zijn materialen waarbij de waarde tot in de miljoenen loopt. Dit getal is overigens verder dimensieloos. Verderop in dit dictaat wordt hierop dieper ingegaan.

Spoelen in serie en parallel Schakelen we spoelen in serie dan krijgen we eenvoudig Lv = L1 + L2 + L3 + …

Schakelen we spoelen parallel, dan krijgen we ૚ ࡸ࢜

ൌ

૚ ࡸ૚

൅

૚ ࡸ૛

൅

૚ ࡸ૜

൅ ǥ

Of voor twee spoelen parallel:: ࡸ ࡸ

ࡸ࢜ ൌ ࡸ ૚ାࡸ૛ ૚

૛

Spoel aangesloten op een wisselspanning Als de aangesloten spanningsbron op een spoel nu geen gelijkspanning is maar een zuiver sinusvormige wisselspanning, dan zal er in de spoel een zuiver sinusvormige wisselstroom gaan lopen. Dit betekent weer dat er een altijd een wisselend magnetisch veld is en dus continue een tegenspanning Ui wordt opgewekt. Hoe hoger de frequentie van de sinusvormige wisselspanning, hoe hoger de tegenspanning Ui zal zijn. Nu heeft elke spoel een eigen gelijkstroomweerstand, de weerstand van de draad van de spoel. We gaan er nu van uit dat deze gelijkstroomweerstand nul is en bekijken alleen de ideale spoel. Mocht in de praktijk de gelijkstroomweerstand een rol spelen, dan kunnen we die altijd als gewone weerstand in het circuit er voor denken en verder rekenen.

Doordat de spoel op een wisselspanning is aangesloten en daardoor tegenwerking krijgt door de spoel zelf (zie bovenstaand verhaal over de zelfinductie), lijkt er als het ware een ‘wisselstroomweerstand’ in de spoel te zitten. De twee zaken die een rol spelen in de wisselstroomweerstand van de spoel zijn de grootte van spoel L en de frequentie van de

HAN-FT-CPM

SEECE

56

Inleiding Elektrische Energietechniek

wisselspanning. Deze ‘wisselstroomweerstand’ wordt XL genoemd. De waarde van XL = ωL, waarbij ω = 2πf, waarbij f de frequentie in Hertz is en L de waarde van de spoel in Henry.

De XL wordt net als bij gewone weerstanden uitgedrukt in Ω, bijvoorbeeld XL = 23 Ω.

De wisselstroomweerstand wordt ook wel ‘reactantie’ genoemd.

De wisselstroomweerstand bij sinusvormige signalen, kunnen we eenvoudig terugvinden in ‫ݑ‬௅ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ܮ‬

ௗ௜ಽ ሺ௧ሻ ௗ௧

door de stroom door de spoel sinusvormig te beschouwen: iL(t) = îsin(ωt).

Daarmee wordt uL(t) = îωLcos(ωt), waarbij îωL weer de maximale spanning voorstelt. Dus û = îωL ofwel binnen de formule uL(t) = ûcos(ωt).

Aangezien û = îωL geldt, zien we daarin de wet van Ohm terug, zodat we kunnen stellen dat volgens de wet van ohm de ωL de wisselstroomweerstand is.

Overigens zal het vanuit de formule opvallen dat, als de wisselstroom door de spoel sinusvormig verloopt, de bijbehorende wisselspanning over de spoel dan cosinusvormig is. Er is dus een fasedraaiing tussen de spanning over de spoel en de stroom door de spoel van precies 90o ontstaan. De wisselspanning ijlt daarmee 90o voor op de wisselstroom.

Het maakt niet uit of we een sinusvormige wisselstroom aan een spoel aanbieden, met als gevolg een cosinusvormige wisselspanning over de spoel, of dat we een cosinusvormige wisselspanning aan een spoel aanbieden welke een sinusvormige wisselstroom tot gevolg heeft. De relatie ‫ݑ‬௅ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ܮ‬

ௗ௜ಽ ሺ௧ሻ ௗ௧

is bepalend.

Kortom: Als we een sinusvormige spanning over een ideale spoel zetten, dan zal er een sinusvormige wisselstroom in de spoel ontstaan welke 90o naijlt ten opzichte van de wisselspanning. De verhouding tussen de grootte van de wisselspanning en de wisselstroom wordt bepaald door de wisselstroomweerstand XL = ωL [Ω].

Hieronder de linker grafiek van een wisselspanning over een spoel en bijbehorende wisselstroom door de spoel. De rechter grafiek is hetzelfde maar dan met een gewone weerstand.

+

+

tijd

–

–

spanning en stroom bij een ideale spoel (links) en bij een zuiver ohmse weerstand (rechts)

Vraag: ga in de bovenstaande linker grafiek na wat de wisselspanning en wat de wisselstroom voorstelt. Antwoord: omdat bij een spoel de wisselstroom 90o na-ijlt op de

HAN-FT-CPM

SEECE

57

Inleiding Elektrische Energietechniek

wisselspanning, zal de kleine sinus de wisselstroom voorstellen en de grote sinus de wisselspanning.

Vraag: Stel dat we een spoel hebben van 400mH. We sluiten deze spoel rechtstreeks aan op ons stopcontact. Hoe groot zal de wisselstroom zijn in de spoel? Antwoord: De wisselstroomweerstand van de spoel is ωL = 2πfL= 314*400m = 125,6Ω. De stroom zal dus zijn 230/125,6 = 1,83A. Effect van het uitschakelen van een stroom door een spoel Als er een stroom door een draad loopt, zal rond die draad een magnetisch veld aanwezig zijn. Dat magnetische veld is de representatie van de stroom in de draad. De stroom in de draad vertegenwoordigt een hoeveelheid kinetische energie, net als bij een rijdende trein.

Deze energie zit feitelijk in het magnetische veld opgeslagen. Als we in een circuit waar een stroom door een draad loopt, plotseling een schakelaar openzetten, dan zal de kinetische energie plotseling moeten stoppen. Het magnetische veld zal van een zekere waarde in één keer naar 0 gaan. Dat lukt normaal gesproken niet en de stroom zal door willen lopen. Vaak ontstaat bij het uitschakelen van een stroom dan ook vonken. Dat gebeurt ook bij lage spanningen. Bepalend is de stroomgrootte die we willen uitschakelen. Zeker als in het circuit een spoel is opgenomen, wordt dit effect nog veel groter. De spoel is er juist voor gemaakt om een grote spoelwaarde te hebben en dus een groot magnetisch veld te vertegenwoordigen. In de spoel is bij een stroomdoorgang dus veel kinetische energie opgeslagen. Het openzetten van een schakelaar in een circuit met een spoel zal al heel snel vonkvorming veroorzaken in de schakelaar zelf en dus ook bij andere componenten die door kunnen slaan, inclusief de spoel zelf. Dat komt omdat de spanning over de schakelaar en andere componenten, en zeker over de spoel zelf sterk zal oplopen.

Voorbeeld 9.3: Als we bij een spoel van 35mH een stroom van bv 20A in zeer korte tijd, stel t = 0,0001s stop willen zetten, dan zal de stroom van 20A naar 0 gaan in datzelfde tijdbestek.

De stroomverandering diL(t) is dan –20A terwijl de dt = 0,0001s. De spanning over de spoel wordt dan ‫ݑ‬௅ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ܮ‬

ௗ௜ಽ ሺ௧ሻ ௗ௧

= 35m*–20/0,0001 = –7kV!!

In ons elektriciteitsnet worden de stromen vanwege het sinusvormige karakter, 100 keer per seconde 0, dus voor het afschakelen van grote stromen in ons net kiest men het liefst dit soort momenten. Zouden we een gelijkstroomnet hebben, dan vraagt het uitschakelen van (een deel van) een net bijzondere maatregelen.

Voorbeeld 9.4: in onderstaand schema met een gelijkspanningsbron, wordt de schakelaar open gezet. Het openen van de schakelaar kost 0,002s. De weerstand is hier de eigen gelijkstroomweerstand van de draden van de spoel. Vraag: bepaal de spanning die over de spoel, de bron en de schakelaar komen te staan bij het openen van de schakelaar.

HAN-FT-CPM

SEECE

58

Inleiding Elektrische Energietechniek

+

– 200mH

+

+

20Ω

100V –

–

Antwoord: Doordat we te maken hebben met een gelijkspanning zal dit betekenen dat voordat de schakelaar wordt geopend in het circuit een gelijkstroom loopt. De spoel van 200mH zal daarom geen wisselstroomweerstand hebben. De wisselstroomweerstand van de spoel heeft dus een waarde van 0Ω ofwel deze vormt een kortsluiting ter plekke. Over blijft de gewone draadweerstand van de spoel. De gelijkstroom zal dus 100/20 = 5A zijn. Zie onderstaand figuur.

5A

+

+

20Ω

100V –

–

Tijdens het openen van de schakelaar zal de stroom van 5A naar 0 gaan in 0,002s. Dus UL = 200m*–5/0,002 = –500V. Er zal dus 500V over de spoel staan en de vraag is of die spoel dit kan hebben. Zie onderstaande figuur. Er zal er geen extra spanning staan over de bron. Die blijft 100V omdat de inwendige weerstand van deze (ideale) bron 0 is. Er zal volgens de optelling van de spanningen totaal 100V – (–500V) = 600V komen te staan. De totaalspanning staat vervolgens over de weerstand en de schakelaar samen. Aangezien de schakelaar een oneindig hoge weerstand heeft zal de spanning van 600V in zijn geheel over de schakelaar te zien zijn. Ook hier is het de vraag of de schakelaar dit aan kan. De linker kant van de schakelaar wordt negatief ten opzichte van de rechterkant van de schakelaar.

HAN-FT-CPM

SEECE

59

Inleiding Elektrische Energietechniek

-500V +

– 200mH

+

+

20Ω

100V –

–

Magnetische veldsterkte en magnetisch veld De ‘magnetische veldsterkte’ H bepaalt hoe groot het magnetisch veld kan worden. H zelf is dus NIET het magnetische veld. Deze H wordt bepaald door de grootte van de stroom in de spoel, het aantal windingen en de lengte van de spoel.

De formule is

ࡴൌ

ࡺ‫ࡵכ‬ ࡭ ቂ࢓ቃ, ࢒

met N het aantal wikkelingen van de spoel, I is de stroom

door de spoel [A] en l is de lengte van de spoel [m].

Om nu te achterhalen hoe groot het magnetische veld B wordt, moet ook bekeken worden welke tussenstof in en rond de spoel aanwezig is. De tussenstof bepaalt de mate van helpen opbouwen van het magnetische veld. Vacuüm of lucht helpen niet mee met het verder versterken van het magnetische veld van de spoel. Bepaalde tussenstoffen zijn wel zeer geschikt om mee te doen met het sterker maken van het magnetische veld. Zo is weekijzer verantwoordelijk voor een toename van het magnetische veld van een paar honderd tot een duizend keer ten opzichte van lucht. Dit komt omdat in het weekijzer rond de kern spinnende elektronen zitten die eigenlijk zelf ook kleine magneetjes zijn. Als de richting van het spinnende elektron rond een kern gemakkelijk te beïnvloeden is, zoals bij weekijzer, dan zullen de miljarden aanwezige magneetjes in het weekijzer zich mee richten met het aangeboden magnetische veld van de spoel. Daardoor wordt het totale magnetisch veld vele malen sterker. Deze ‘versterker’ voor het magnetisch veld wordt aangeduid met de permeabiliteit μ.

De permeabiliteit μ geeft aan hoe goed de tussenstof het oorspronkelijke magnetische veld van een spoel versterkt.

De magnetische flux per m2 wordt aangegeven met inductie B, en wel als volgt: B = μ*H [VS/m2].

De permeabiliteit voor vacuüm of lucht is μo . Voor alle stoffen ten opzichte van lucht nemen we de relatieve permeabiliteit μr.

De waarde μo = 4*π*10–7. Daarna volgt een lange lijst met waarden voor de relatieve permeabiliteit μr, welke voor het gebruik van kernen voor transformatoren tussen de paar honderd tot paar duizend liggen.

HAN-FT-CPM

SEECE

60

Inleiding Elektrische Energietechniek

De totale formule wordt dan B = μo* μr *H

[Vs/m2] is het aantal veldlijnen per m2.

Vermenigvuldigen we B met het aantal m2, dan krijgen we de totale flux Ф = B*A De flux Ф stelt dan het totale aantal veldlijnen voor in een bepaalde oppervlak.

[Vs].

Soms is het handig om B, het aantal veldlijnen per m2 te gebruiken, soms juist weer het totale aantal veldlijnen flux Ф. In beide gevallen spreken we over ‘het magnetische veld’.

Dit betekent overigens niet dat het slechts aanbrengen van een stuk weekijzer in de kern van een spoel zo maar een geweldig groot magnetisch veld oplevert. Dat komt omdat nog steeds een groot deel van het magnetische veld buiten de kern door de lucht moet. Pas bij een gesloten kern zal het magnetisch veld zeer groot zijn. Een kleine sleuf in de kern betekent al dat het magnetisch veld direct overal (zowel in de kern van weekijzer als in de sleuf met lucht) een stuk kleiner zal zijn. Vergelijk daarbij de grootte van het magnetische veld met een stroom. Hoe groter de (magnetische) weerstand, hoe kleiner de (magnetische) stroom.

Willen we dus een groot magnetisch veld, dan zullen spoelen over het algemeen gemaakt worden rond een gesloten kern. Meestal zijn deze kernen rechthoekig of rond. Daarbij hoeft dus niet de hele kern met de spoel te worden omwikkeld. Het gaat er om dat het magnetische veld vanuit de spoel een goede ‘geleider’ voor het veld heeft. Zie onderstaande figuren waar een gelijkstroom van 2A in alle gevallen door dezelfde spoel loopt. De magnetische veldsterkte H is overal gelijk terwijl de inductie B toeneemt. Dit laatste is vooral

2A

2A

2A 2A het geval in het plaatje rechtsonder, omdat daar geen grote magnetische weerstand van lucht aanwezig is.

De magnetische veldlijnen die niet in de kern of bijbehorende luchtspleet zitten noemen we het lekveld.

Verder zijn er paar punten die nog aandacht verdienen bij het maken van een kern.

HAN-FT-CPM

SEECE

61

Inleiding Elektrische Energietechniek

Het eerste punt is dat als de stroom door de spoel steeds groter wordt gemaakt, meer en meer magneetjes in de kern mee zullen doen. Bij een zekere grootte van de stroom zijn de meeste magneetjes al mee gericht en wordt het steeds lastiger om ‘meeliggers’ mee te krijgen. De kern raakt in verzadiging.

2A

Stel in bovenstaand figuur dat de stroom van 2A nog lang geen verzadigingsstroom is. Dan zal bij 4A het magnetische veld in de kern EN het lekveld twee keer groter worden. Als de 2A wel de verzadigingsstroom is, dan zal bij 4A het magnetische veld in de kern niet groter worden terwijl het lekveld wel groter wordt.

Een spoelen zonder kern kan niet in verzadiging raken, omdat de lucht zelf niet meedoet aan het vergroten van het magnetische veld. Een spoel met een kern kan wel in verzading raken.

De meeste spoelen met een kern zijn zo gemaakt dat bij de maximale stroom die de draad van de spoel niet laat verbranden, de kern zelf nog net niet in verzadiging is. Al met al kunnen we vaststellen dat een spoel met kern vrij snel in verzadiging kan raken en daarom moet bij het ontwerp goed gekeken worden of de spoel en de kern wel bij elkaar passen. Overigens zullen we bij de transformatoren en spoelen die in drie fasenetten worden gebruikt het verzadigingsprobleem ontlopen. Daarover later meer.

Het tweede punt van belang is dat als de stroom in de spoel met een kern vanuit een bepaalde grootte weer kleiner wordt gemaakt, het juist weer lastig is om de miljarden magneetjes in de kern in het gareel te krijgen. Ze helpen elkaar de oude positie te handhaven. Het kost dus weer energie om ze uit de bestaande stand te halen. Als de stroom in de spoel naar waarde 0 is gebracht kunnen nog tal van ‘magneetjes’ in de kern in een bepaalde richting staan. Men noemt dit het remanent magnetisme. (Zie ook onderstaand figuur).

De stroom zal negatief moeten worden gemaakt om het totale magnetische veld nul te krijgen. Een andere methode is wat ruiger, er met een hamer op slaan*. *) Daarom is het onverstandig om met dure luidsprekerboxen te gaan gooien. De permanente magneten die daar in zitten zullen een deel van hun sterke kwijt kunnen raken. Na verloop van tijd verdwijnt ook vanzelf al een deel van het magnetische veld en krijgen de luidsprekerboxen dan een dof geluid. Die tijd wordt een stuk korter als met de boxen niet voorzichtig wordt omgesprongen. Overigens is de kwaliteit van de permanente magneten ook zeer bepalend.

Permanente magneten worden veelal gemaakt door grote stromen te gebruiken rond sterk verhit materiaal en dit materiaal langzaam te laten afkoelen.

HAN-FT-CPM

SEECE

62

Inleiding Elektrische Energietechniek

Vraag: waarom merken we in een losse kern met weekijzer niets van dit magnetisch veld terwijl er toch miljarden magneetjes in zitten (zijnde de rond de kern spinnende elektronen)?

Antwoord: de miljarden magneetjes, die overigens in elke stof aanwezig zijn, zullen normaal gesproken allemaal in hun eigen willekeurige richting staan, zodat het totale magnetisch veld nul zal zijn.

Vraag: ga na wat er gebeurt bij ijzer of plastic met de spinnende elektronen als er een magnetisch veld in de buurt komt. Antwoord: bij ijzer zijn de elektronen die rond een kern spinnen in staat om dit vrij gemakkelijk ook te kunnen doen in een andere richting. De andere kernen van de atomen van het ijzer weerhouden dit niet. Bij plastic en veel andere materialen kunnen de elektronen niet uit hun richting spinnen.

Het derde punt dat aandacht vraagt is dat als een wisselstroom wordt gebruikt door de spoel met kern, vanuit nul bij groter wordende stroom naar verzadiging toe gaat, maar op de terugweg bij steeds kleiner wordende stroom het magnetische veld achterblijft. Bij stroom 0 zal er, zoals in het voorgaande beschreven, remanent magnetisme overblijven. We kunnen ook stellen dat we een negatieve stroom moeten hebben om het magnetische veld 0 te maken. We kunnen de stroom zo weer verder negatief maken en weer in verzadiging komen.

Enz. Het oorspronkelijke nul-punt (geen stroom en geen magnetisch veld) wordt niet meer bereikt.

Laten we de stroom in beide richtingen tot in verzadiging van het magnetisch veld komen, dan ontstaat de zogenaamde ‘hysteresislus’. De grootte van het oppervlak van de hysteresislus is een maat voor het vermogen dat nodig is om de miljarden magneetjes in de kern steeds om te draaien. We kunnen dit vermogen bij de kern van een spoel ook merken omdat deze iets warm wordt.

remanent magnetisme

B

verzadiging

I

Het vierde punt is dat bij een wisselstroom door de spoel rond de kern, de kern zelf ook mee kan doen als stukje spoel. Dit is helemaal het geval indien de kern zelf een gesloten lus vormt. In deze kern ontstaan overal in het materiaal ‘wervelstromen’, die door de grootte van de stroom in staat zijn de kern op te warmen. Het zijn onbedoelde stromen en gebruiken onbedoeld energie. We blokkeren in de praktijk deze wervelstromen zo veel mogelijk door

HAN-FT-CPM

SEECE

63

Inleiding Elektrische Energietechniek

kernen in plaatjes met isolerend materiaal er tussen te maken. Men noemt dit lamellen. In onderstaande foto zijn de buitenranden in het bovenvlak van deze lamellen te zien.

lamellen in een kern

De opwarming van de kern bij wisselstromen komt dus door twee oorzaken. Ten eerste doordat het magnetische veld via de hysteresis lus loopt en dat energie kost, en ten tweede vanwege de wervelstromen in de kern. De som van beide noemt met de ijzerverliezen van een kern.

Het vijfde punt is dat het opbouwen van het magnetisch veld in een kern de hoogte van de frequentie van de wisselstroom door de spoel bij bepaalde kernmaterialen beperkt is.

Gebruiken we weekijzer als kern dan is de frequentie al beperkt tot enkele tientallen Hz. Dit komt door de traagheid en het vermogen dat het kost van het ompolen van de spinnende elektronen rond de kernen. Gaan we hoger in frequentie (kHz) dan kunnen alleen nog zeer speciale materialen als ijzerpoeder of kernen van koolstof (ferrietkernen) worden gebruikt.

Gaan we nog hoger in frequentie (MHz) dan is er geen enkele geschikte kern meer en blijft lucht of vacu端m over. In de wereld van de elektrische energietechniek gebruiken we 50Hz en volstaan weekijzerkernen.

Het zesde punt is het skin effect. Door hert skin effect zullen in een geleider waar een wisselstroom in loopt, wervelstromen ontstaan die in de geleider naar binnen toe de bestaande stroom opheffen, en naar de buitenkant van de geleider het tegenovergestelde laat gebeuren. De wervelstromen ontstaan door de inductiewerking.

Doordat bijvoorbeeld de wisselstroom op een bepaald moment groter wordt, zullen de magnetische velden overal in de geleider naar buiten toe zich uitbreiden. Alle elektronen die deelnemen aan de stroom zullen daardoor door hun eigen stroomtoename een magnetische veld door de inductiespanning krijgen en een wervelstroom veroorzaken. Het effect is dan dat de stromen aan de binnenkant van de geleider kleiner zullen zijn en naar buiten toe in de geleider groter. Hoe hoger de frequentie van de wisselstroom hoe sterker dit effect. Bij 50Hz zal dit effect pas ontstaan bij enkele centimeters doorsnede van een geleider. Voor de wereld van de elektrische energietechniek speelt dit dus vrijwel niet. Bij hogere frequenties zoals in de radiotechniek of mircogolven zoals bij radartechniek zal de stroom alleen aan de buitenkant van de geleider lopen. Deze geleiders kunnen dan ook hol gemaakt worden.

Opgave 9.1 Stel de sterkte van een homogeen magnetisch veld is 10Vs/m2. Haaks op dit magnetische veld staat een draad waardoor een stroom loopt van 2A. De lengte van de draad is 10cm. a. Verklaar dat de draad een kracht krijgt. b. Bepaal de richting en bereken de grootte van deze kracht.

HAN-FT-CPM

SEECE

64

Inleiding Elektrische Energietechniek

Opgave 9.2a Verklaar hoe het kan dat bij een spoel het effect van ‘zelfinductie’ is ontstaat en wat het effect daarvan is.

Opgave 9.2b Verklaar dat een afnemend magnetisch veld rond een draad de elektronen in de draad door blijft duwen (in stand houden van de stroom).

Opgave 9.3 Bereken de waarde in [H] van een spoel met 400 wikkelingen als de kern uit lucht bestaat, de doorsnede 1,4cm is en de lengte van de spoel 4cm.

Opgave 9.4 De spoel uit opgave 9.3 heeft een dunne draad, waardoor de inwendige gelijkstroom weerstand 20Ω blijkt te zijn. a. Hoe kunnen we deze gelijkstroomweerstand meten. b. Teken het totale elektrische schema.

Opgave 9.5 Wat zal er gebeuren met de waarde van de spoel uit opgave 9.3 als we de kern van de spoel opvullen met weekijzer met μr = 800?

Opgave 9.6 Idem opgave 9.5, maar dan bestaat het weekijzer uit een gesloten juk.

Opgave 9.7 Stel een spoel met een waarde van 10μH. Bereken de spanning over de spoel in de volgende gevallen. a. de stroom door de spoel is een gelijkstroom van 2A, b. de stroom neemt lineair toe in de tijd als volgt i(t) = 6t, c. de stroom door de spoel is sinusvormig met i(t) = 4sin2t, d. de stroom door de spoel heeft een waarde van 6A en gaat naar 0 in 0,02s. e. idem in 2μs.

Opgave 9.8 Beschrijf wat permeabiliteit betekent.

Opgave 9.9 Waardoor wordt een kern van bijvoorbeeld weekijzer in een spoel warm als op de spoel een wisselspanning staat?

10. Elektromagnetische velden en golven De eigenschap van een spoel is feitelijk het omgekeerde als dat van een condensator. Bij een condensator kunnen we de stilstaande hoeveelheid elektronen middels het elektrische veld gezien worden als ‘potentiële energie’. Bij een spoel zijn het de bewegende elektronen via het magnetisch veld een representatie is van de ‘kinetische energie’.

Stel dat we een geladen ideale condensator koppelen aan een ideale spoel. De condensator zal zich ontladen via de spoel. De veroorzaker is niet de spanning zelf, maar het Elektrisch veld. De spanning is daar het resultaat van. Het Elektrisch veld in de condensator zal afnemen en dus ook de spanning over de condensator. De stroom die dan door de spoel gaat lopen maakt een Magnetisch veld en dat Magnetische veld zal in de tijd dat het Elektrisch veld in de condensator afneemt toch steeds sterker worden. (Potentiële energie wordt kinetische energie). Op een zeker moment is de spanning over en het Elektrisch veld in de condensator verdwenen, maar er is op dat moment nog wel een Magnetisch veld en bijbehorende stroom in de spoel. Deze stroom duwt door, waardoor de spanning in de condensator nu negatief oploopt en de stroom en daardoor het magnetisch veld weer kleiner wordt. Om precies te zijn is het niet de stroom die het magnetisch veld veroorzaakt, maar het magnetisch veld

HAN-FT-CPM

SEECE

65

Inleiding Elektrische Energietechniek

veroorzaakt de stroom in de spoel. Het afnemende magnetische veld zorgt dat de stroom doorloopt of beter gezegd wordt doorgeduwd. Als het Elektrische veld in, en dus de spanning over de condensator nu omgekeerd en maximaal is zal het Magnetisch veld en dus de stroom door de spoel nul zijn. De condensator zal nu weer over de spoel ontladen enz enz. Eea verloopt sinusvormig. De spanning loopt bij de spoel daarbij 90o voor op de stroom en precies andersom bij de condensator.

Daarmee zien we dat het Elektrisch veld het Magnetisch veld maakt en het Magnetisch veld daarna weer een Elektrisch veld maakt enz. Hierbij wisselen de twee vormen van potentiële en kinetische energie (het Blind vermogen) steeds in elkaar uit en wordt er geen werkzaam Watt vermogen verbruikt. Dit proces blijft eeuwig doorgaan.

Omdat er elektronen zijn nemen we via de aanwezigheid van Elektrische en Magnetische velden de spanningen en stromen waar omdat ze daarop reageren. Het kan ook zonder elektronen. Het uitwisselen van de Elektrische en Magnetische velden zien we bijvoorbeeld terug bij zeer hoge frequenties als zichtbaar licht. Zolang deze elektrische en magnetische velden elkaar uitwisselen blijft de energie als Blind vermogen onaangetast heen en weer slingeren tussen beiden. Pas als het licht een object tegen komt en daarbij energie omzet in werkbaar Watt vermogen, gebeurt er iets dat we bijvoorbeeld met onze ogen kunnen zien. ஺

‫ ܤ‬ൌ ߤ ‫ ܪ כ‬ሾܸ‫ݏ‬Ȁ݉ଶ ሿ , ‫ ܥ‬ൌ ߝ ሾ‫ܨ‬ሿ en ‫ ݐ כ ܫ‬ൌ ‫ܷ כ ܥ‬

Opdracht: We weten uit voorgaande dat

ௗ

π௦

௦

௠

π௠

Toon nu aan dat de eenheid voor ߤ ݅‫ ݏ‬ቂ ቃ en de eenheid voor ߝ ݅‫ ݏ‬ቂ

ቃ en daarmee krijgen we dat ͳȀξߤߝ

een snelheid voorstelt. Als een Elektromagnetische golf zich in de lucht verplaatst, dan is snelheid ͳȀξߤ௢ ߝ௢ = 3.108 m/s, zijnde de lichtsnelheid! Dit is heel bijzonder, omdat zowel μ als ε eigenblijk restgetallen zijn (zie voorgaande) om de fysieke maten te laten kloppen met het SI-eenhedenstelsel.

HAN-FT-CPM

SEECE

66

Inleiding Elektrische Energietechniek

11. Vermogens bij wisselstroom Indien we in een wisselstroomnet met zuiver sinusvormige signalen, het vermogen bekijken, dan kunnen we uitgaan van de basisformule ‫݌‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ݅ሺ‫ݐ‬ሻ ሾܹሿǤ Het resultaat van het vermenigvuldigen van een sinusvormige spanning en stroom is weergegeven in onderstaande figuur. Daarbij is de doorgetrokken dunne sinusvormige lijn de spanning, de p(t) +

tijd i(t) – u(t)

dikke sinusvormige lijn de stroom (welke hier in fase is met de spanning) en het product van beide, de gestreepte sinusvormige lijn het vermogen zijn. Daarin zien we dat het vermogen altijd positief is, de dubbele frequentie heeft gekregen en het gemiddelde vermogen precies de helft van de topwaarde van het vermogen. Zie onderstaand figuur. We noemen het gemiddelde vermogen Pgem, soms ook Peff of gewoon P, zijnde het ‘effectieve’ vermogen of het Watt vermogen. p(t) + Pgem

0

tijd

T i(t)

– u(t)

Pgem = Peff = P kunnen we bepalen uit ଵ

்

ଵ

்

ܲ ൌ ‫׬‬଴ ‫݌‬ሺ‫ݐ‬ሻ݀‫ ݐ‬ൌ ‫׬‬଴ ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ݅ሺ‫ݐ‬ሻ݀‫ݐ‬ ் ்

[W]

Invulling levert ଵ

்

ðÁ ଵ ðÁ ் ܶ ‫݊݅ݏ ׬‬ଶ ߱‫ ݐ݀ݐ‬ൌ ் ଶ ሺ߱‫ ݐ‬െ ‫ݐ߱ݏ݋ܿ כ ݐ߱݊݅ݏ‬ሻ ൌ ் ଴ Ͳ ðÁ ଵ ðÁ ଵ ሺ߱Ͳ െ ‫Ͳ߱ݏ݋ܿ כ Ͳ߱݊݅ݏ‬ሻ ൌ ሺʹߨ െ Ͳ ‫ͳ כ‬ሻ ‫ܶ߱ݏ݋ܿ כ‬ሻ െ ்ଶ ்ଶ ௎೐೑೑ ξଶ‫כ‬ூ೐೑೑ ξଶ ðÁ ଵ ðÁ ଵ ðÁ ʹߨ ൌ ଶగ ଶ ʹߨ ൌ ଶ ൌ ൌ ܷ௘௙௙ ‫ܫ כ‬௘௙௙ ൌ ܷ‫ܫ‬ ்ଶ ଶ

ܲ ൌ ் ‫׬‬଴ ð‫ כ ݐ߱݊݅ݏ‬Á‫ ݐ݀ כ ݐ߱݊݅ݏ‬ൌ ðÁ ଵ ሺ߱ܶ െ ‫ܶ߱݊݅ݏ‬ ்ଶ ðÁ ଵ ሺͲ െ Ͳ ‫ͳ כ‬ሻ ൌ ்ଶ

HAN-FT-CPM

SEECE

െ

67

Inleiding Elektrische Energietechniek

De conclusie is dat het gemiddelde (effectieve) vermogen de vermenigvuldiging is van de effectieve waarde van de spanning en de stroom.

Zouden we ditzelfde doen door de stroom 90o te verschuiven ten opzichte van de spanning, dan krijgen we onderstaande grafiek, waarbij het vermogen, net als in de vorige situatie, met een sinus met de dubbele frequentie aanwezig is. Alleen wordt deze sinus nu wel positief en negatief en is deze sinus evenredig verdeeld rond de tijd-as. De berekening van P levert dan vanzelfsprekend = 0 op omdat het gemiddelde vermogen dan nul is.

u(t) +

p(t) i(t) tijd

–

Een condensator of spoel, waar de stroom en spanning precies 90o onderling verschoven zijn, zal dus twee keer per periode het Watt vermogen positief en negatief zijn, dus twee keer per periode zal vermogen worden opgenomen en afgeven. Omdat al het vermogen dat wordt opgenomen ook weer wordt afgegeven, wordt er gemiddeld geen Watt vermogen ‘verbruikt’. Dit uitwisselen van vermogen is zoals eerder aangegeven het zogenaamde Blind vermogen.

We gaan het gemiddelde Watt vermogen beschrijven door de fasehoek tussen de spanning en stroom mee te nemen. Als er geen faseverschuiving is zal het gemiddelde Watt vermogen maximaal zijn, en als er 90 graden faseverschuiving is zal er gemiddeld geen Watt vermogen zijn. Daarmee krijgen we, zonder verder bewijs, de volgende formule voor het Watt vermogen bij sinusvormige signalen, waarbij de U en I weer de effectieve waarden zijn: ࡼ ൌ ࢁࡵࢉ࢕࢙ሺ࣐ࢁ െ ࣐ࡵ ሻ ሾࢃሿ

of verkort weergegeven ࡼ ൌ ࢁࡵࢉ࢕࢙࣐ ሾࢃሿ

Hoe kleiner het faseverschil tussen de spanning en de stroom, hoe groter het Watt vermogen. Dit noemt met de arbeidsfactor ࢉ࢕࢙ሺ࣐ࢁ െ ࣐ࡵ ሻ of kortweg ࢉ࢕࢙࣐.

Het omgekeerde voor het Watt vermogen geldt voor het Blind vermogen. Deze is maximaal als er 90 graden faseverschuiving is tussen de spanning en de stroom, en is nul als er geen faseverschuiving is tussen de spanning en de stroom. De algemene formule voor het Blind vermogen is dan: ࡽ ൌ ࢁࡵ࢙࢏࢔ሺ࣐ࢁ െ ࣐ࡵ ሻ ሾࢂ࡭ࡾሿ

of verkort weergegeven ࡽ ൌ ࢁࡵ࢙࢏࢔࣐ ሾࢃሿ

Voorbeeld 11.1: In onderstaand circuit is de effectieve spanning 100V en gegeven is dat de stroom een effectieve waarde heeft van 4A, waarbij de fase van de stroom 30o naijlt op de spanning.

HAN-FT-CPM

SEECE

68

Inleiding Elektrische Energietechniek

+ I

+

˜

– 10Ω

100V –

Dan krijgen we Pbron =100*(– (4))*cos((0o) – (– 30o)) = –346W. (De min voor de 4 is omdat de stroom bij de plus van de bron weg gaat). De bron levert dus Watt vermogen omdat het antwoord negatief is. Voor het Blind vermogen in de bron krijgen we Qbron =100*(– (4))*sin((0o) – (– 30o)) = – 200VAR. Vervolgens kijken we wat er bij de weerstand gebeurt. De stroom door de weerstand en de spanning over de weerstand zijn altijd met elkaar in fase. Dus de effectieve spanning over de weerstand is UR = IRR = 40V, met een faseverschuiving van – 30o ten opzichte van de bronspanning. Het vermogen in de weerstand wordt dan PR = 40*(+ (4))*cos((– 30o) – (– 30o)) = 160W. De weerstand neemt dus vermogen op.

Aangezien we bij de weerstand altijd het cosinus deel wegvalt (= 1), kunnen we gemakshalve ook direct gebruik maken van PR = IR2R of PR = UR2/R. De bedoelde stroom en spanning zijn de effectieve waarde van de stroom door de weerstand en de spanning over de weerstand.

In bovenstaand circuit krijgen we dus de volgende situatie: De bron levert –346W en de weerstand neemt 160W op. Elders in het circuit (achter de gestreepte lijnen, zal dus het resterende Watt vermogen worden opgenomen). Dat geldt ook voor het Blind vermogen.

Opgave 11.1: Bereken de Watt en Blind vermogens in alle elementen van onderstaande schakeling. De spanning van 130V heeft een fase van 800. De 400V bron ijlt 1500 voor op de fase van de spanning van 130V. De stroom van 4A heeft een fase van 300. + 4A

˜

–

–

+

130V

400V

˜

˜

Schijnbaar vermogen

40Ω

Als we een stroom meten in een draad, dan zal een deel van deze stroom voor het Watt vermogen en een deel voor het Blind vermogen verantwoordelijk zijn. Uit de vermogensformules volgen deze; ࡵࢃࢇ࢚​࢚ ൌ ࡵࢉ࢕࢙࣐ ሾ࡭ሿ ࡵ࡮࢒࢏࢔ࢊ ൌ ࡵ࢙࢏࢔࣐ ሾ࡭ሿ

HAN-FT-CPM

SEECE

69

Inleiding Elektrische Energietechniek

Deze stromen meten we dus niet. De stroom die wij meten is gewoon ࡵ ሾ࡭ሿ .

Het product van de spanning en de stroom heet het Schijnbaar vermogen; S = UI [VA].

Daarbij is de stroomrichting en de fase niet van belang. We kijken dus niet of de stroom bij de plus van de bron naar binnen gaat of andersom.

Voorbeeld 11.2: Zie onderstaand schema met een bronspanning U van 230V. De stroom heeft een waarde van 8A en ijlt 400 voor op de spanning. Bepaal bij de bron het Watt, Blind en Schijnbaar vermogen. Antwoord: S = 230*8 = 1840VA, P = 230*–8*cos(0 – 400) = –1,4kW en Q = 230*–8*sin(0 – 400) = 1183VAR.

+

˜

I

U –

In literatuur wordt ook wel gebruik gemaakt van ࡿ ൌ ඥࡼ૛ ൅ ࡽ૛

[VA]

We zien in deze formule dat P en Q negatief kunnen zijn terwijl S toch positief is.

12. Wisselstroomnetten De elektriciteitsnetten bestaan vooral uit wisselspanningsnetten met wisselspanningsbronnen, wisselstromen, weerstanden, spoelen en condensatoren. Daarbij maken we gebruik van complex rekenen om de waarden van de spanningen, stromen, weerstanden en vermogens te kunnen bepalen.

In dit dictaat gaan we er van uit dat de frequentie in de wisselstroomnetten altijd 50Hz is, tenzij expliciet een andere frequentie is gegeven. De wisselspanningen en -stromen zijn altijd als effectieve waarde gegeven, tenzij anders aangegeven.

Om aan te geven dat we complex rekenen zullen we de complexe notatie gebruiken door een streep zetten onder de aanduidingen spanningen U, stromen I en zo nodig de combinaties van meerdere complexe weerstanden en reactanties, aangeven met impedanties Z. De hoofdletters in de complexe notaties geven, zoals eerder aangegeven, aan dat de spanningen en stromen sinusvormig zijn EN dat effectieve waarden zijn aangegeven.

HAN-FT-CPM

SEECE

70

Inleiding Elektrische Energietechniek

Complexe notatie bij de weerstand, spoel en condensator Bij een gewone weerstand is geen fasedraaiing. De spanning over een weerstand en de stroom door de weerstand zijn altijd met elkaar in fase. Berekeningen bij de weerstand gaan daarom eenvoudig met U = IR. Dus als de stroom door een weerstand een fase van 300 heeft, dan zal de spanning over de weerstand eveneens een fase hebben van 300.

De spoelen en condensatoren worden in het complexe rekenwerk meegenomen als reactanties, waarbij de 90o fasedraaiing tussen de spanning en de stroom met j wordt aangegeven.

De verhouding tussen de grootte van sinusvormige wisselspanning over de spoel en de sinusvormige wisselstroom door de spoel is de grootte van de wisselstroomweerstand; XL = ωL. Omdat daarnaast de sinusvormige wisselspanning over de spoel precies 90o voorijlt op de sinusvormige wisselstroom door de spoel, krijgen we een j voor de reactantie XL. We schrijven bij complex rekenen dan voor de ideale spoel de reactantie jXL. Het resultaat is dan dat UL = ILjXL. Voor een ideale condensator krijgen we een reactantie van – jXC. De – j omdat de sinusvormige wisselspanning over de condensator 90o naijlt ten opzichte van de sinusvormige wisselstroom door de condensator. De verhouding tussen de grootte van de sinusvormige wisselspanning en de grootte van de sinusvormige wisselstroom is de wisselstroomweerstand, welke wordt vertegenwoordigd met XC = 1/ωC. Vraag: Toon aan dat – j/ωC = 1/jωC. De verschillende complexe notaties De complexe notatie worden twee schrijfwijzen door elkaar gebruikt. Beide manieren kunnen in elkaar omgeschreven worden (zie aparte dictaat ‘complex rekenen’): z = a + jb = ȁ‫ݖ‬ȁ ߮ De eerste is de cartesiaanse notatie en de tweede is de polaire notatie. ௕ ௔

Daarin is ȁ‫ݖ‬ȁ ൌ ξܽଶ ൅ ܾ ଶ en de fasehoek ߮ ൌ ܽ‫ ݊ܽݐܿݎ‬.

De positieve draairichting van ߮ is linksom, tegen de wijzers van de klok in.

Omgekeerd is ܽ ൅ ݆ܾ ൌ ȁ‫ݖ‬ȁሺܿ‫ ߮ݏ݋‬൅ ݆‫߮݊݅ݏ‬ሻ

jb

+

a+jb

߮ a

HAN-FT-CPM

SEECE

71

Inleiding Elektrische Energietechniek

Complex rekenen in wisselstroomnetten Bij het rekenen in wisselstroomnetten zullen we te maken krijgen met Watt en Blind vermogens. Watt vermogen wordt opgenomen door zuivere ohmse weerstanden en Blind vermogen gaat niet verloren, en zal in een elektriciteitsnet heen en weer slingeren tussen condensatoren en spoelen. De wisselspanningsbron speelt hierin een belangrijke rol, omdat deze bron het Watt vermogen moet leveren of opnemen EN zo nodig moet bijspringen om te veel of te weinig Blind vermogen in het net te compenseren. Dit betekent dat een wisselspanningsbron in een net meerdere functies heeft. Ten eerste moet deze zoals aangegeven het Watt vermogen normaal gesproken moet kunnen leveren dat gevraagd wordt door het net, maar tevens moet de bron zich inductief (als spoel) of capacitief (als condensator) gedragen, al naar gelang wat het net vraagt. Zitten er bijvoorbeeld in een net veel spoelen en naar verhouding te weinig condensatoren, dan zal de bron zich ‘capacitief’ moeten gedragen om dit te compenseren. Dit zal duidelijk worden als er een paar eenvoudige wisselstroomnetten zijn berekend.

Voorbeeld 12.1. We gaan een eerste elektriciteitsnet bekijken met wisselspanningen. Zie onderstaande figuur. +

+

˜

I

– 5Ω

+ 10μF

100V 1,5kHz –

–

We zetten dit schema eerst om naar een schema met alleen nog de complexe notaties.

Hierin hebben we een condensator welke zich gedraagt als een – jXc = – j(1/2*π*1500*10μ) = – j10,6Ω. De gewone weerstand heeft alleen een reële waarde en blijft 5Ω en de bron wordt complex weergegeven als U =100 0o. De frequentie van 1,5kHz van de bron zien we niet terug bij de bron zelf, maar zien we terug in de grootte van de reactantie van de condensator. De keuze van 0o als fasehoek voor de bronspanning is geheel vrij en zal als resultaat hebben dat de stroom een bepaalde fasedraaiing krijgt ten opzichte van die 0o.

(Zouden we een andere hoek kiezen, dan blijft het verschil in hoek tussen de spanning en stroom gelijk. We zullen dit zien door dit voorbeeld later nogmaals te berekenen, maar dan met een andere starthoek).

Het complexe schema met U = 100 0oV is onderstaand weergegeven. Alle spanningen en stromen en reactanties of impedanties zijn complex genoteerd, dus als U en I aangegeven, zo ook bij de weerstand en de condensator, waarbij alleen de waarde van de reactantie staat.

HAN-FT-CPM

SEECE

72

Inleiding Elektrische Energietechniek

+

+

I

– 5Ω

+ -j10,6Ω

U =100 0o –

–

We kunnen de stroom bepalen door in dit circuit de 2e wet van Kirchhoff toe te passen. We vinden dan + (U) – (UR) – (UC) = 0. Vullen we dit in dan krijgen we: (100 0o ) – (I*5) – (I*–j10,6) = 100 0o – I(5 – j10,6) = 0 De stroom wordt dan I = 100 0o /(5 – j10,6) = 100 0o /11,7 295o = 8,55A -295o = 8,55 +65o A. De totale impedantie die de bron ziet is dus Z = 5 – j10,6 [Ω].

De stroom heeft dus een effectieve waarde van 8,55A met een positieve fasedraaiing +65o ten opzichte van de bronspanning (of een negatieve fasedraaiing van -295o. Dit is om het even. Het maakt dus niet uit waar we verder mee rekenen).

De spanning over de weerstand is nu UR = IR = 8,55 +65o *5 = 42,8 +65oV De spanning over de condensator is nu UC = I(–jXC) = 8,55 +65o * –j10,6 = 90,63 –25oV. Vraag: ga wiskundig na klopt dat UR + UC = 100 0oV Zetten we dit in een complex diagram dan zien we:

UR = 42,8 +65oV I = 8,55 +65oA

Ubron = 100 0oV

UC = 90,63 –25oV. In dit diagram zal opvallen dat, en zoals is te verwachten, de stroom in fase is met de spanning over de weerstand en diezelfde stroom 90o voorijlt op de spanning over de condensator. Verder zien we dat de som van de spanning over de weerstand en de spanning over de condensator de bronspanning oplevert welke hier op 0o fase gesteld is. Dit is een

HAN-FT-CPM

SEECE

73

Inleiding Elektrische Energietechniek

momentopname. Zouden we iets eerder of later in de tijd kijken, dan verdraaien allen vectoren in het complexe vlak mee.

We kunnen de signalen in de tijd ook tekenen. Zie onderstaand. De spanningen zijn de dunne lijnen en de stroom is de dikke lijn. Let op, de topwaarde is onderstaand geschetst, maar met de effectieve waarde wordt gerekend. De effectieve waarde wordt daarom gebruikt in het vectordiagram bij complex rekenen.

Vraag: Geef door onderstaand te vergelijken met het complexe diagram hierboven, zelf aan welke sinus de bronspanning, de spanning over de weerstand en de condensatorspanning is.

Laat in dit tijdplaatje ook zien dat grafisch de spanning over de weerstand en de spanning over de condensator de bronspanning weer oplevert.

+

t [s]

Kijken we nu naar de vermogens, dan vinden we: Pbron = UIcos(߮U – ߮I) [W]. Omdat de stroompijl bij de + van de bron er uit gaat krijgen we dus Pbron = 100*–(8,55)*cos(0o – 65o) = –361W. Dit watt vermogen wordt vanzelfsprekend alleen geleverd aan de weerstand van 5Ω welke het vermogen opneemt. Dat klopt, want daar vinden we PR = I2R = (8,55)2*5 = +366W. (Let niet op de afrondingsfouten).

Verder vinden we: Qbron = UIsin(߮U – ߮I) [VAR], Qbron = 100*– (8,55)*sin(0o – 65o) = +775VAR. De bron gedraagt zich vanwege het positieve Blind vermogen inductief om de condensator te compenseren.

Het Blind vermogen van de bron wisselt dus uit met de condensator. Het Blind vermogen in de condensator kan worden berekend met QC = UIsin(߮U – ߮I) [VAR]. Dan krijgen we, met UC = 90,63 –25oV en I = 8,55 +65oA, het volgende QC = 90,63*8,55*sin(–25o – 65o) = – 775VAR. Aangezien we bij een condensator altijd een negatief blind vermogen zullen vinden (sin –900 = –1), kunnen we voortaan ook sneller eea berekenen door gebruik de stroom door

HAN-FT-CPM

SEECE

74

Inleiding Elektrische Energietechniek

de condensator te nemen en te schrijven QC = –1 (I2XC). Dus QC = –IC2XC ofwel – (8,55)2*10,6 = –775VAR of via de spanning over de condensator QC = –1 (U2/XC), dus QC = –UC2/XC = – (90,63)2/10,6 = –775VAR. Let op; het negatieve VAR vermogen dat we altijd bij condensatoren zullen vinden, betekent niet dat een condensator Blind vermogen levert, zoals dat wel het geval is bij het Watt vermogen. Het negatieve teken betekent dat de condensator zich capacitief gedraagt.

Vraag: Zie bovenstaand complexe vlak en teken dit nogmaals met allen spanningen en stromen, maar dan 3,6ms eerder in de tijd. Antwoord: omdat we te maken hebben met 50Hz, zal een volledige rondgang (periode) van 3600 precies 20ms duren. Dus 3,6ms ≈ 650.

We krijgen dan: I = 8,55 0oA UR = 42,8 0oV

Ubron = 100 -65oV UC = 90,63 -90oV

Sinusvormige grafieken met signalen in de tijd worden vaak niet getoond. Het vectordiagram geeft voor het rekenwerk en het begrip voldoende informatie.

Opgave 12.1: Stel nu in bovenstaande situatie de fasehoek van de spanningsbron op –70o en bereken eea opnieuw.

Opgave 12.2: Onderstaande serieschakeling heeft een wisselspanningsbron van 230V met een fasehoek van 400. De spoel is 200mH. De weerstand is 40Ω. De stroompijl is tegen de verwachting in naar links gekozen. Deze keuze is bewust gemaakt om te laten zien dat deze keuze niet uitmaakt en na het berekenen van eea alles vanzelf goed komt. Gevraagd: Teken het complexe schema, bereken de spanningen, stroom en vermogens en teken het complexe vlak met de berekende spanningen en stroom. Geef ook de conclusie ten aanzien van de vermogensverdeling.

HAN-FT-CPM

SEECE

75

Inleiding Elektrische Energietechniek

I +

200mH 40Ω

U =230V

˜ –

Voorbeeld 12.2: In onderstaand schema is een 10kV spanning welke een weerstand van 50Ω voedt. Deze weerstand staat parallel aan een spoel 127,4mH. Het complexe schema is getekend. De fasehoek van de 10kV is gesteld op 00. Bereken de Watt en Blind vermogens.

+

I

+

+

–

j40Ω

50Ω

U =10k 0oV –

–

De stroom door de weerstand wordt nu IR = 10k 0o/ 50 = 200 0oA. De stroom door de spoel is IL = 10k 0o/j40 = 250 –90oA. De totaal stroom I = 200 0o + 250 –90o = 200 – j250 = 320 309oA. Daarmee wordt het bronvermogen ten aanzien van het Watt vermogen wordt Pbron = 10k*(–320)*cos(0o – 309o) = –2MW. Als het goed is zal dat vermogen in de weerstand worden opgenomen. Dat klopt omdat PR = I2R = 2002*50 = 2MW. (Kan ook via of PR =U2/R = (10k)2/50 = 2MW). Het bronvermogen ten aanzien van het Blind vermogen wordt Qbron = 10k*(–320)*sin(0o – 309o) = –2,5MVAR. Als het goed is zal de spoel datzelfde getal krijgen, maar dan positief: QL = I2XL = (250)2 *40 = 2,5MVAR (of via QL = U2/XL = (10k)2/40 = 2,5MVAR).

Plaatsen we bovenstaand voorbeeld 12.2 in de praktijk, dan is de bron een centrale die 10kV opwekt en via een lange lijn bijvoorbeeld een spoel van een elektromotor voedt, waarbij de weerstand van 50Ω het daadwerkelijke vermogen is om een as te laten draaien. Het Blindvermogen voor de spoel is voor de motor wel nuttig, maar het is jammer dat de bron daarmee moet compenseren via een grote afstand en lange lijn. Daarom worden er in de praktijk condensatoren dicht bij de spoelen geplaatst.

HAN-FT-CPM

SEECE

76

Inleiding Elektrische Energietechniek

Veronderstel nu dat er een condensator wordt geplaatst die precies – j40Ω is. (De waarde van die condensator kunnen we vinden via 1/ωC = 40Ω, dus C ≈ 80μF). We krijgen dan het volgende complexe schema:

I

+

+

+

+

–j40Ω j40Ω

50Ω

U =10k 0oV

– –

–

–

Vraag: Bereken opnieuw de stromen en vermogens. Antwoord: De stroom door de weerstand blijft IR = 200 0oA. De stroom door de spoel blijft IL = 250 –90oA. De stroom door de condensator is IL = 250 +90oA. De totaal stroom I = 200 0o + 250 –90o + 250 +90o = 200 0oA. Daarmee wordt het bronvermogen ten aanzien van het Watt vermogen Pbron = 10k*(–200)*cos(0o – 0o) = –2MW. Dat is niet veranderd ten opzichte van de situatie dat de condensator nog niet er bij was gezet. Als het goed is zal dat vermogen in de weerstand worden opgenomen. Dat klopt omdat PR = I2R = 2002*50 = 2MW. Het bronvermogen ten aanzien van het Blind vermogen wordt Qbron = 10k*(–200)*sin(0o – 0o) = 0. Blijkbaar is de bron niet meer betrokken bij de Blindstroomcompensatie van het net. Dat klopt, want het Blindvermogen in de spoel blijft QL = I2XL = (250)2*40 = 2,5MVAR en het Blindvermogen in de condensator is het eenvoudigst te bepalen via QC = –U2/XC = (10k)2/40 = –2,5MVAR. Het Blindvermogen speelt blijkbaar alleen tussen de spoel en de condensator onderling. Aldaar loopt dus nog wel de eerder berekende forse wisselstroom van 250A. Deze stroom slingert heen en weer tussen de spoel en de condensator. De bron voedt alleen maar de weerstand.

De grootte van de wisselstroom vanuit de bron is door de toevoeging van de juiste condensator gezakt van 320A naar 200A. In de praktijk betekent dit dat de aanvoer van Blind vermogen vanuit de bron voorheen extra dikke draden kost. Dat wordt nu door de toevoeging van de juiste condensator voorkomen. Zie onderstaand schema.

250A

+

+

+

+

200A

C

L

R

U =10kV

– –

HAN-FT-CPM

–

SEECE

–

77

Inleiding Elektrische Energietechniek

We kunnen dit ook bekijken doordat de spoel en de condensator parallel aan elkaar staan.

De vervangende impedantie wordt dan ZLC = (j40*–j40)/(j40 + –j40) = –1600 j2/0 = 1600/0 → ∞. Dus de bron ziet de L en C niet. Vandaar we dan een veel eenvoudiger schema hebben, namelijk de spanningsbron van 10kV die alleen een weerstand ziet van 50Ω. Het resultaat is dus een stroom van 200A. Wat nu vergeten zou kunnen worden is de aanzienlijke Blindstroom die elders in het circuit, tussen de L en C, toch loopt. Dat gaat dan helemaal mis als we onderstaande schakeling bekijken, waarbij de condensator links van de spoel is geplaatst. In de tak die vet gemaakt is lopen dus twee stromen, de 200A vanuit de bron om R te voeden en de 250A Blindstroom die tussen de L en C wisselt. Als L met R een machine vormt en C de compensatie daarvoor, moeten de kabels daartussen extra dik worden gemaakt.

+

R

L

C

U =10kV

˜

+

+

+

– – –

–

Vraag; Stel de condensator in bovenstaande vraag met een andere waarde, namelijk 40μF. Bereken eea opnieuw. Antwoord: de reactantie van de condensator wordt nu – j80Ω. De stroom door de condensator zal nu worden IC = 125 +90oA. De stromen door de spoel en weerstand blijven gelijk aan de voorgaande situatie. De totale stroom uit de bron wordt nu I = 200 0o + 250 –90o + 125 +90o = 235,8 328oA. Daarmee wordt het bronvermogen ten aanzien van het Watt vermogen Pbron = 10k*(–235,8)*cos(0o – 328o) = –2MW. Dat is opnieuw niet veranderd ten opzichte van voorgaande situatie. Als het goed is zal dat vermogen in de weerstand worden opgenomen. Dat klopt omdat PR = I2R = 2002*50 = 2MW. (Let op, de stroom door de weerstand is nog steeds 200A). Het bronvermogen ten aanzien van het Blind vermogen wordt Qbron = 10k*(–235,8)*sin(0o – 328o) = –1,25MVAR. Dat Blind vermogen moet totaal in de spoel en de condensator gaan zitten. Dat klopt, want het Blindvermogen in de spoel blijft QL = I2XL = (250)2*40 = 2,5MVAR en het Blindvermogen in de condensator is het eenvoudigst te bepalen via QC = –U2/XC = (10k)2/80 = –1,25MVAR. Het totale Blindvermogen van de spoel en de condensator is dus +1,25MVAR. De bron ziet dus een net dat zich inductief gedraagt. De bron zal zich dus zelf capacitief moeten gedragen om het inductieve gedrag van het net te compenseren.

Resonantie Elektrische netten kunnen in resonantie komen. In de elektronica is die vaak de bedoeling om bijvoorbeeld zo goed mogelijk een signaal via een antenne in een ontvanger te krijgen. In de elektrotechniek ligt dit meestal anders en wordt het in resonantie komen als ongewenst ervaren.

HAN-FT-CPM

SEECE

78

Inleiding Elektrische Energietechniek

De resonantiefrequentie van een elektrisch net kan worden berekend door uit te gaan van de situatie dat alle Blindvermogen continue tussen een spoel en een condensator heen en weer slingert. Staan een spoel en condensator met elkaar in serie, zoals in onderstaand schema, dan kunnen we stellen dat QL = QC, zodat I2XL = I2XC. Dus ωL = 1/ωC. Daarmee krijgen we dat ߱௥௘௦ ൌ

ଵ ξ௅஼

of ݂௥௘௦ ൌ

ଵ ଶగξ௅஼

+ +

L

C – –

Door de eigen weerstand van o.a. de draden zal het heen en weer slingeren van het Blind vermogen snel uitgedempt zijn.

Onvoorspelbaar gedrag door resonantie zal optreden als de voedende bron, in ons geval met een frequentie van 50Hz, dezelfde frequentie krijgt als de resonantiefrequentie van het aangesloten net. We zullen hiervan twee voorbeelden laten zien. De eerste is dat de resonantiefrequentie van het net een behoorlijk stuk anders is dan de frequentie van de bron, en de situatie dat deze beide frequentie hetzelfde zijn.

Voorbeeld: Een bron heeft een wisselspanning van 230V en is aangesloten op een serienetwerk van een weerstand van 10Ω, een spoel met een waarde van 10mH en een condensator van 100μF.

R

C

L U

˜ De wisselspanning ziet een Z = 10 + j3,14 – j31,85 = 10 – j28,7. De stroom in het circuit wordt I = 230 0o/(10 – j28,7) = 7,57 71oA. De groottes van de spanningen over de verschillende componenten is vervolgens eenvoudig uit te rekenen. Kijken we alleen naar de spanning over de condensator, dan zal deze 241V worden. Deze spanning over de condensator is daarmee hoger dan de bronspanning!

HAN-FT-CPM

SEECE

79

Inleiding Elektrische Energietechniek

Gaan we nu de spoel groter maken, bijvoorbeeld 100mH, dan wordt de XL van de spoel groter en zou men verwachten dat er een totaal hogere weerstand in het circuit wordt verkregen.

Echter zal de reactantie van de spoel de negatieve reactantie van de condensator juist meer opheffen en krijgen we een totale Z = 10 – j0,45. Dan wordt de totale stroom in het circuit niet alleen fors groter, namelijk 23 3oA, maar zal ook de spanning over de condensator verder oplopen tot in dit voorbeeld 732V. We zien dus dat als het circuit in resonantie komt met de voedende bron, de spanningen en/of stromen fors op zullen lopen.

Opgave 12.3: Teken van onderstaand schema het complexe schema en bereken alle spanningen, stromen en vermogens.

Ib

318mH

20Ω

U =400V

˜

IL

IR

64,7μF

+

–

Opgave 12.4: In onderstaande schakeling staan twee bronnen. De rechter bronspanning ijlt 20 graden voor op de linker bronspanning. Gevraagd: alle spanningen, stromen en vermogens en benoem hoe de bronnen zich gedragen. Bereken ook de schijnbare vermogens.

I1 +

˜

647μF

IR

40Ω

U1 =400V

SEECE

I2

U2 =400V –

–

HAN-FT-CPM

+

˜

80

Inleiding Elektrische Energietechniek

Opgave 12.5: In onderstaande schakeling is een sterk vereenvoudig elektriciteitsnet getekend, waarbij de voedende bron in serie staat met een eigen inwendige spoel met een waarde van j10Ω. De belasting is ook een spoel met waarde j20Ω. Om een netspanning van 230V te hebben zal de voedende bron een spanning moeten hebben van 345V. (Ga dit na). a. Om de netspanning iets omhoog of omlaag te krijgen kunnen we de voedende bron een iets hogere of lagere waarde geven. We doen dit nu echter niet via de voedende bron, maar door in het net (parallel aan de spoel van j20Ω) een kleine condensator, bijvoorbeeld met een waarde van - j1000Ω, of een grote spoel, bijvoorbeeld met een waarde van + j1000Ω te plaatsen. Bereken nu voor beide gevallen de spanningen. b. Als één condensator van –j1000Ω de spanning in het net verhoogt, kan men deze weer omlaag brengen op welke drie(!) manieren. Noem deze en geef aan wat de enige juiste manier is.

+

I

j10Ω

+

U =230V

j20Ω

U =345V

˜ –

–

c. Veronderstel dat door het parallel schakelen van 10 condensatoren met –j1000Ω en 10 spoelen met + j1000Ω uiteindelijk het volgende schema ontstaat. Welke stromen lopen nu in het circuit?

I1 +

j10Ω

–j100Ω

j100Ω

j20Ω

U =345V

˜

I2

+

U =230V – –

Opgave 12.6: Een spanningsbron U staat parallel aan een serie schakeling met een R = 50Ω en een L = 63,7mH en parallel aan een serieschakeling met een R = 40Ω en een parallel staande L = 95,54mH en C = 318μF. Over de L en C staat een spanning van 300V. Bereken alle spanningen en stromen.

HAN-FT-CPM

SEECE

81

Inleiding Elektrische Energietechniek

13. Transformator Een transformator is ontwikkeld om wisselspanningen om te zetten naar hogere en lagere waarden. Men stond vroeger voor het dilemma dat de gelijkspanningscircuits na verloop van afstand steeds lagere spanningen kregen. Zie onderstaand schema. De spanningsbron is een gelijkspanning. Deze voedt verschillende gebruikers van 40Ω. Deze staan op een zekere afstand van de bron, zodat de weerstand van de draden naar de verbruikers, hier 5Ω gesteld, in dit voorbeeld wordt meegenomen. De spanning die voor de gebruikers over blijft is nu zo’n 70V. Nog meer gebruikers betekent een nog lagere spanning bij de gebruikers. De oplossing is dan dat de spanning van de bronspanning zich zal aanpassen aan het aantal gebruikers, om de gevraagde spanning bij de verbruikers te handhaven. Dit is allemaal nog wel te doen. +

–

+

5Ω

+

=

40Ω

U = 100V –

+

+

40Ω

40Ω

–

–

–

In onderstaand schema wordt het lastiger. De verbruikers staan onderling ook op zekere afstand. De gelijkspanningsbron kon nu onmogelijk één vaste spanning aanbieden over alle verbruikers. +

+

=

–

5Ω

+

40Ω

U = 100V –

+

+

–

40Ω

40Ω –

–

Om deze reden is men in het verleden overgestapt naar wisselspanning. Transformatoren kunnen dan uitkomst bieden omdat ze wisselspanningen omhoog en omlaag kunnen transformeren. Een andere belangrijke overweging was dat voor het transport van grote vermogens ( = UI) de draden steeds dikker moesten worden. Door de spanning bij een bron (lees centrale) omhoog te transformeren, kon de stroom laag blijven, en dus kon men volstaan met dunne draden voor het transport over lange afstanden.

HAN-FT-CPM

SEECE

82

Inleiding Elektrische Energietechniek

De ideale transformator Transformatoren werken met spoelen rond een ijzerkern. We maken rond dezelfde ijzerkern twee spoelen. De primaire en de secundaire spoel. Zie onderstaand figuur.

ip(t)

up(t)

Np

us(t)

Ns

Zetten we op de primaire spoel een sinusvormige wisselspanning, dan zal er door de primaire spoel een sinusvormige wisselstroom gaan lopen. Deze wisselstroom ijlt natuurlijk 900 na op de wisselspanning. Deze wisselstroom zorgt er weer voor dat er in de kern een sinusvormig wisselend magnetisch veld aanwezig zal zijn. Dit wisselende magnetisch veld is vrijwel helemaal in de kern aanwezig en passeert de secundaire spoel en zal daar een secundaire sinusvormige wisselspanning maken. Dit is het gevolg van de bekende formule ‫ݑ‬௜ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ܰ

ௗఝሺ௧ሻ . ௗ௧

Aangezien in de primaire en in de secundaire spoel met dezelfde formule te maken hebben, en hetzelfde magnetische veld aanwezig is, zal de secundaire spanning bepaald worden door het aantal wikkelingen van de secundaire spoel ten opzichte van de primaire spoel. We zien dit in de volgende afleiding terug:

௨೛ ሺ௧ሻ ே೛

ൌ

௨ೞ ሺ௧ሻ ேೞ

ൌ

ௗఝሺ௧ሻ ௗ௧

Dus

௨೛ ሺ௧ሻ ே೛

ൌ

௨ೞ ሺ௧ሻ ேೞ

We gaan verder uit van sinusvormige signalen en waarden die effectief worden weergegeven. Tevens pakken we de draad op van het complexe rekenen. In de ideale situatie dat het gehele veld van de primaire zijde de volledige spoel aan de secundaire zijde bereikt, zal de volgende formule ontstaan: ௎೛ ௎ೞ

ൌ

ே೛ ேೞ

Hieruit zou blijken dat er geen fasedraaiing is tussen de primaire en de secundaire spanningen. Dit klopt. De primaire spanning levert namelijk een primaire wisselstroom die 900 naijlt op deze wisselspanning. Deze wisselstroom maakt weer een magnetisch veld in de kern van de transformator. Dat sinusvormige magnetische veld passeert weer de secundaire spoel, zodat de sinusvormige wisselspanning die het gevolg daar van is, weer 900 fase gedraaid is ten opzichten van dat magnetische veld, maar dan in positieve richting. Ga dit na in ‫ݑ‬௜ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ܰ

HAN-FT-CPM

ௗఝሺ௧ሻ . ௗ௧

SEECE

83

Inleiding Elektrische Energietechniek

Sluiten we nu een belasting aan op de secundaire spoel, dan zal er een secundaire stroom gaan lopen. Zie onderstaande figuur. De secundaire spanning vormt een nieuwe bronspanning die bij belasting R een stroom IR levert.

IR

Ip +

+

+

Us

Up

R

–

– –

Als de transformator zelf ideaal is (geen ijzerverliezen en geel lekvelden), en de draden zelf zijn ideaal, dan zal het vermogen dat de transformator in gaat gelijk zijn aan het vermogen dat de transformator uit gaat. Daarom is UpIp = UsIs. We zullen verder voor de ideale transformator onderstaand symbool gebruiken. Het zal opvallen dat als de secundaire spanning als nieuwe spanningsbron wordt gezien welke de secundaire stroom veroorzaakt, deze secundaire stroom normaal gesproken rechtsom zal lopen. Dat klopt ook. Het symbool is internationaal zo vastgelegd. In de voorbeelden die hierna komen zullen we die stroom ook zo weergeven.

De dubbel strepen tussen de wikkelingen geven aan dat er een kern in de transformator zit.

Ip

Is

+

+

Up

Np

Ns

Us

–

–

T = Ns/Np

symbool transformator Hierdoor krijgen we voor de stroomtransformatie de volgende formule. ூೞ ூ೛

HAN-FT-CPM

ൌെ

ே೛ ேೞ

SEECE

84

Inleiding Elektrische Energietechniek

Vaak is het niet duidelijk wat precies de primaire en wat de secundaire zijde van een transformator is. In dit dictaat staat de linker wikkeling voor de primaire en de rechter wikkeling voor de secundaire zijde.

Voor de berekening kunnen we de secundaire spanning eenvoudig als volledig nieuwe bron nemen en daar mee verder gaan werken.

Voorbeeld 13.1: In onderstaande schakeling kunnen we alle stromen en vermogens volgens de gewone wetten van Kirchhoff berekenen. We stellen de spanningsbron op 100V en de weerstand is zuiver ohms en heeft een waarde van 20Ω. De wikkelverhouding van primair naar secundair is 1:10.

I1 +

U1 –

Ip

Is

+

+

Up

Us

–

–

IR

R

T

We stellen de fasehoek van U1 op 00, dus U1 = 100 0oV. Verder is U1 = Up, I1 = Ip en IR = – Is. Met de gegeven transformatieverhouding krijgen we Us = 10Up en Ip = –10Is. Dit uitwerkend vinden we: Us = 10*100 0oV = 1000 0oV. Dan wordt IR = Us/R = 1000 0o/20 = 50 0oA. Daarmee wordt Ip = –10Is = 10IR = 500 0oA = I1.

Voor de vermogens vinden we dan bij de linker spanningsbron: ܲ௎ଵ ൌ ܷଵ ‫ܫ‬ଵ ܿ‫ݏ݋‬ሺ߮௎ െ ߮ூ ሻ. Dit ingevulde PU1 = 100*–500*cos(00 – 00) = –50kW. De stroom wordt hier negatief genomen omdat de stroom bij de plus van de spanningsbron weggaat. Kijken we naar het vermogen dat de primaire zijde van de trafo in gaat, dan vinden we ܲ௣ ൌ ܷ௣ ‫ܫ‬௣ ܿ‫ݏ݋‬ሺ߮௎ െ ߮ூ ሻ, waarbij de stroom Ip positief is, omdat deze bij plus van Up naar binnen gaat. Dus Pp = 100*500*cos(00 – 00) = 50kW. Aangezien dit vermogen positief is, lijkt het er op dat de transformator Watt vermogen opneemt en dus warm zal worden. Toch is dat niet het geval. Dat komt omdat de transformator dit vermogen aan de secundaire zijde weer afgeeft: ܲ௦ ൌ ܷ௦ ‫ܫ‬௦ ܿ‫ݏ݋‬ሺ߮௎ െ ߮ூ ሻ, waarbij de stroom Is negatief moet worden ingevuld, omdat deze stroom bij de bron Us uit de plus weg loopt. Ingevuld Pp = 1000*–50*cos(00 – 00) = –50kW. De secundaire zijde van de transformator levert dus Watt vermogen. Deze gaat ongetwijfeld zitten in de weerstand.

Daar vinden we PR = I2R = 502*20 = 50kW. De conclusie hier is dat het vermogen door de transformator heen gaat. De (ideale) transformator geeft het vermogen via de primaire zijde door naar de secundaire zijde, welke het weer afgeeft aan het aangesloten circuit.

HAN-FT-CPM

SEECE

85

Inleiding Elektrische Energietechniek

Wat opmerkelijk is, is dat de transformator, ondanks de fysieke aanwezigheid van spoelen, zich vrijwel niet als spoel gedraagt. Dat komt omdat bij het doorgeven van het vermogen de wikkelingen van de primaire en secundaire zijde van de transformator elkaar 100% tegenwerken. Dat is ook precies de bedoeling. Daardoor volgt nu een zeer belangrijke eigenschap van de ideale transformator, nl dat het aan de primaire zijde opgewekte magnetische veld ten gevolge van het aantal primaire windingen waar de primaire stroom door loopt (Np*Ip) exact gelijk is aan het precies tegenover gestelde magnetische veld van de secundaire zijde (Ns*Is). Daarmee heft het magnetische veld van de secundaire wikkeling het magnetische veld van de primaire wikkeling op. Bij een ideale transformator is geen magnetisch veld in de kern aanwezig! Dit is niet helemaal realistisch. We zullen dat zien als de niet ideale transformator wordt bekeken. Feit is wel dat het magnetische veld in een transformator vrij klein is en dat daardoor de transformator, ondanks grote stromen in de primaire en secundaire wikkelingen, niet in verzadiging zal komen.

Vraag: hoe kan de transformator wel in verzadiging komen? Antwoord: door de primaire (of secundaire) aangeboden spanning te hoog kiezen.

Vraag: omdat de transformator niet in verzadiging kan komen, ondanks de grootte van de primaire en secundaire stroom, zou dat beteken dat we daar oneindig grote stromen kunnen gebruiken. Klopt dit wel? Antwoord: nee, want de spoelen van een niet ideale transformator hebben ook een eigen ohmse weerstand. Daardoor worden bij grotere stromen de spoelen warm en kunnen de draden verbranden.

In bovenstaand voorbeeld 13.1 levert de spanningsbron U1 = 100 0oV een stroom I1 = 500 0oA. Blijkbaar ‘ziet’ de spanningsbron een weerstand van U1/I1 = 0,2Ω, wat het gevolg is van de weerstand van 20Ω die via de transformator blijkbaar met een andere waarde doorgegeven naar de primaire zijde. Dat klopt omdat de spanning van de secundaire zijde naar de primaire zijde omlaag wordt getransformeerd en tegelijk de stroom omhoog wordt getransformeerd. De weerstand die de bron ziet wordt daardoor T2 lager of hoger, in dit geval met T = 0,1 wordt dit 20*(0,1)2 = 0,2Ω.

Daarmee krijgen we dat de ‘equivalente’ weerstand R’= T2R. Let bij het gebruik goed op dat de weerstand groter of kleiner wordt in de richting van de wikkelverhouding. In bovenstaand voorbeeld 13.1 gaat, beredeneerd vanuit de weerstand van 20Ω, de wikkelverhouding van 10 naar 1, dus moet de R’ kleiner worden.

In het algemeen geldt: Z’ = T2Z. Het begrip equivalent wordt ook gebruikt voor de spanningen en stromen die naar links of rechts worden getransformeerd.

Het schema zoals hierboven weergegeven zouden we nu als volgt kunnen tekenen:

HAN-FT-CPM

SEECE

86

Inleiding Elektrische Energietechniek

I1

Ip

Is +

+

R’

U1 –

IR

Us

R

–

Voorbeeld 13.2: Een wisselspanning met U = 200V wordt via een transformator met aan de primaire zijde 400 wikkelingen en aan de secundaire zijde 100 wikkelingen, aangesloten op een weerstand van 5Ω in serie met een condensator van 1000μF. Hoe groot is het Watt en Blind vermogen dat de bron levert? Antwoord: De weerstand wordt R’ = 16*5 = 80Ω en de reactantie –jXC = –j(1/ωC) = –j3,18Ω wordt dan via de transformator naar de primaire zijde een reactantie van –jX’C = –j51Ω. De bron ziet dus een Z’ = 80Ω – j51Ω. De primaire stroom uit de bron wordt dan I1 = 200 0o/(80 – j51) = 200 0o/94,9 327o = 2,11 –327o = 2,11 33oA. Daarmee krijgen we de vermogens van de spanningsbron: P = 200*–2,11*cos(00 – 330) = –354W en Q = 200*–2,11*sin(00 – 330) = 230VAR. Zouden we in dit voorbeeld 13.2 kijken naar bijvoorbeeld het Watt vermogen dat aan de secundaire zijde in de weerstand wordt opgenomen, dan moet dat vanzelfsprekend kloppen, omdat de transformator zelf geen vermogen verbruikt. De secundaire stroom is 4 maal groter dan de primaire stroom en wordt 2,11*4 = 8,44A. Het vermogen in de weerstand wordt dan 8,442*5 = 356W. Daaruit blijkt dat na transformatie de spanningen, stromen, weerstanden en reactanties wel veranderen, maar niet de vermogens. Dat komt omdat de vermogens het product zijn van spanning en stroom. Als de spanning bijvoorbeeld omlaag wordt getransformeerd, wordt de stroom evenredig omhoog getransformeerd. Het vermogen blijft dus gelijk.

In onderstaand voorbeeld gaan we een berekening rond een transformator maken, waarbij we geen elementen verschuiven. We passen alleen de wetten van Kirchhoff toe. Daarna doen we het nogmaals, door wel de elementen te verschuiven.

Voorbeeld 13.3: Zie onderstaande schakeling. Bereken de spanningen, stromen en vermogens door gebruik te maken van de 2e wet van Kirchhoff.

HAN-FT-CPM

SEECE

87

Inleiding Elektrische Energietechniek

I1

2Ω

Ip

Is

U1 = 100 00V –

Up

I2

+

+

+

100Ω

Us

–j200Ω

–

–

T = 1/10

Voor de volledigheid staan hier rond de transformator de primaire en secundaire spanningen en stromen, die eigenlijk vanzelfsprekend zijn, er toch bij.

Volgens de 2e Wet van Kirchhoff vinden we (let op de keuze van de stroom en bijbehorende spanningen over de weerstanden en de condensator!): 100 00 – 2Ip – Up = 0 Us – 100I2 + j200I2 = 0 Ip = –10Is = 10I2 Us = 10Up Om twee vergelijkingen met twee onbekenden over te houden zetten we de laatste twee vergelijkingen in de eerste. Dan krijgen we 100 – 20I2 – 0,1Us = 0. De 2e vergelijking heeft dezelfde onbekenden en schrijven we als Us = I2(100 – j200). Dit wordt weer ingevuld in de voorgaande vergelijking en dan vinden we na enig rekenwerk dat I2 = 2,77 340A. Dan vinden we van daar uit weer Us door dit weer terug in te vullen; Us = 2,77 340(100 + j200) = 619,4 3310V. Daaruit vinden we weer met Us = 10Up zodat Up = 61,94 3310V en met Ip = 10I2 vinden we Ip = 27,7 340A. Dit is gelijk aan I1. Tenslotte vinden we nog Is = –2,77 340A of zonder het minteken voor de 2,77 een nettere schrijfwijze Is = 2,77 2140A. De spanning over de weerstand wordt U2Ω, met links plus en rechts min, U2Ω = I1R2Ω = 55,4 340V. Vraag: bereken nu zelf alle Watt en Blind vermogens. Antwoord: P1 = –2296W, Q1 = 1549VAR, P2Ω = 1535W, Pp = 779W, Qp = –1515VAR, Ps = –779W, Qs = 1515VAR, P100Ω = 767W en QC = –1534VAR. (als voorbeeld Qs uitgewerkt = 619,4*–2,77*sin(3310 – 340) = 1515VAR).

Voorbeeld 13.4: We gaan uit van voorbeeld 13.3, maar transformeren alles van de secundaire zijde naar de primaire zijde. We krijgen dan onderstaand schema:

HAN-FT-CPM

SEECE

88

Inleiding Elektrische Energietechniek

I1

2Ω

–j2Ω

1Ω

Ip

Is

+

+

I2

+

Up –

U1 = 100 00V

–

–

T = 1/10 De weerstand van 100Ω en de reactantie van –j200Ω worden gedeeld door het kwadraad van de transformatieverhouding = 100, dus krijgen respectievelijk de waarden van 1Ω en –j2Ω.

De transformator bevat aan de secundaire zijde nog slechts een kortsluiting. Deze kortsluiting naar de primaire zijde getransformeerd levert het volgende schema:

I1

2Ω

–j2Ω

1Ω

Ip = I’2 = – I’s

+

+

Up = U’s –

U1 = 100 00V

–

Daarin zien we nog wel de primaire spanning terug. De equivalente (getransformeerde) secundaire spanning U’s is natuurlijk de primaire spanning Up. Idem voor de equivalente secundaire stromen die naar de primaire zijde zijn getransformeerd. Let ook op de plek waar Up in het schema staat!

De bron U1 ziet nu een Z = 3 – j2. De stroom I1 = Ip = 100 00/(3 – j2) = 27,7 340A. Dan is volgens de 2e Wet van Kirchhoff + U1 – I1*2 – Up = 0. Daaruit volgt Up = … = 61,94 3310V. Nu wordt Us = 10Up = 619,4 3310V en I2 = 0,1Ip = 2,77 340A. De vermogens worden dan P1 = –2296W, Q1 = 1549VAR, P2Ω = 1535W, Pp = 779W en Qp = –1515VAR. We weten dat Ps = – Pp = –779W, Qs = – Qp =1515VAR. Het vermogen in de secundaire kring wordt hetzelfde als het vermogen die we nu aan de primaire zijde berekenen; P’100Ω = P1Ω = (Ip)21 = (27,7)21 = 767W of in de denkwereld aan de secundaire zijde via P100Ω = (I2)2*100 = (2,77)2*100 = 767W. Op gelijke wijze krijgen we QC = –1534VAR.

Opgave 13.1: verklaar dat de transformator niet met gelijkspanning kan werken.

HAN-FT-CPM

SEECE

89

Inleiding Elektrische Energietechniek

Opgave 13.2: Transformeer in onderstaand schema alles van de primaire naar de secundaire zijde en bereken de spanningen, stromen en vermogens.

I1

2Ω

Ip

Is

U1 = 100 00V –

I2

+

+

+

100Ω

Up

–j200Ω

Us –

–

T = 1/10 Opgave 13.3: Ga uit van onderstaand schema. Np:Ns = 2:1. Bereken alle spanningen, stromen en vermogens.

Ip

I1 +

j60Ω 2Ω U1 = 10k 00V

–

Is

I2

+

+

Up

Us

20Ω

–

–

T Opgave 13.4: Geef van opgave 13.3 het vervangschema voor apart de primaire zijde en apart de secundaire zijde.

Opgave 13.5: Bij een elektriciteitsnet met een spanning van wisselspanning van 230V loopt de stroom door een lange lijn. De totale weerstand van de lijn is 3Ω. De verbruiker heeft een weerstand van 23Ω. Daardoor zakt de spanning bij de verbruiker naar 203V (ga dit na). De stroom door het circuit is nu 8,85A. Met een transformator vlak voor de verbruiker peppen we de spanning weer op naar 230V. Bereken de transformatieverhouding T en de nieuwe stromen in het circuit.

Een voorbeeld waar transformatoren in de zwakstroomtechniek een grote rol spelen, is bij de radio of televisie. De coaxkabel heeft bij optimale signaaloverdracht namelijk een eigen weerstand van ongeveer 60Ω. De ether heeft echter een ‘weerstand’ ఓ೚

van ට

ఌ೚

ൌ ͵͹͹Ω. Om zo veel mogelijk vermogen vanuit de ether in de coaxkabel te krijgen, moet een transformator zorgen dat

de 377Ω wordt omgezet naar 60Ω. Daarmee halen we het maximale vermogen (50%) vanuit de ether in de coaxkabel. De transformatieverhouding is dus 2,5. Men noemt dit de eigenschap van de antenne.

De niet ideale transoformator Vanzelfsprekend zijn transformatoren niet ideaal. Om te beginnen hebben zowel de primaire wikkelingen als de secundaire wikkelingen een eigen ohmse weerstand. Deze weerstanden zijn vrij eenvoudig met een ohm meter te meten.

HAN-FT-CPM

SEECE

90

Inleiding Elektrische Energietechniek

transformator

Ten tweede hebben zowel de primaire spoel als de secundaire spoel last van het feit dat de door hun geproduceerde magnetische velden niet volledig in de kern van de transformator terecht komen en ze elkaars spoelen dus niet bereiken. We noemen dit lekvelden. We beschouwen deze lekvelden alsof ze afkomstig zijn van een deel van de spoelen om de kernen, die niet meedoen aan het transformatoreffect. Het lijken dus ‘losse’ spoelen jX1 en jX2, die we in serie meenemen met de effectieve delen van de spoelen en de eigen draadweerstanden R1 en R2 van de transformator. Dan krijgen we het volgende schema:

jX1 R1

R2

jX2

+

U1 –

T Ten derde is er nog een effect, namelijk dat de kern van de transformator warm wordt. Dit komt door de ijzerverliezen (zie voorgaande). We kunnen dit warm worden simuleren door een weerstand mee te nemen die parallel staat aan de spanningbron U1. Dat we deze weerstand parallel zetten, komt omdat de ijzerverliezen niet te maken hebben met het al dan niet belasten van de transformator. Het wisselende magnetische veld in de transformator zal namelijk niet groter of kleiner worden (zie voorgaande) door de transformator te belasten. Het wisselende magnetische veld is alleen maar afhankelijk van de aangeboden spanningbron U1.

Ten vierde en als laatste is er nog een eigenschap. Er is steeds van uit gegaan dat er in de transformator een wisselend magnetisch veld aanwezig is, afkomstig van de primaire spoel.

Als bij een ideale transformator de secundaire spoel niet belast wordt, loopt daar geen stroom. Dit zou bij een ideale transformator betekenen dat er in de primaire spoel ook geen stroom loopt. Dit betekent weer dat er dus geen magnetische veld is. Toch is er een

HAN-FT-CPM

SEECE

91

Inleiding Elektrische Energietechniek

wisselend magnetisch veld aanwezig in de transformator. Dit magnetische veld is niet erg groot, maar moet minimaal aanwezig zijn om te zorgen dat de transformator haar werk kan doen. (Het magnetische veld wordt verder bij belasting van de transformator niet groter, omdat de secundaire spoel gelijktijdig een tegen gericht magnetisch veld maakt als het primaire magnetische veld groter wordt). Dit betekent dat het ‘vaste’ wisselende magnetische veld bij de transformator alleen afhankelijk is van de primair aangeboden spanning U1. Deze kunnen we daarom dus net als de weerstand die de ijzerverliezen Rij vertegenwoordigt, als een spoel Xμ parallel zetten aan U1. Het totale vervangingsschema van de transformator wordt dan:

jX1 R1

R2

jX2

+

Rij –

jXμ

U1 T

Wat over blijft is een vervangingsschema met van binnen een ideale transformator. In het stuk waar de ideale transformator aanwezig is zal het magnetische veld van de primaire spoel volledig terug te zien zijn in de secundaire spoel en omgekeerd. De koppeling van beide spoelen is dan 100%. Men noemt dit de koppelfactor k = 1. Het feit dat de koppeling bij een niet ideale transformator niet 100% is, wordt hier meegenomen door uit te gaan van de spoelen X1 en X2 die de lekvelden vertegenwoordigen. In al onze gevallen is met bovenstaand schema daarom k = 1.

We gaan nog één stap maken, en dat is dat het voor de ontwerpers van transformatoren wellicht goed is om apart te weten hoe groot de verschillende waarden van X en R zijn, maar voor ons als gebruikers zijn we alleen geïnteresseerd in de totale effecten in een elektriciteitsnet. Daarom kunnen we voor het totaal beeld veel beter de X 2 en R2 met hun equivalente waarden naar de primaire zijde van de transformator verhuizen. Dan komt aan de primaire zijde te staan X1 + X’2. De totale X noemen we dan Xk. Dus Xk = X1 + X’2. Dit doen we ook met R1 en R’2. We krijgen dan Rk = R1 + R’2. Het vervangingsschema wordt dan:

HAN-FT-CPM

SEECE

92

Inleiding Elektrische Energietechniek

jXk Rk +

Rij –

jXμ

U1 T

Algemene transformator vervangschema

We krijgen vervolgens twee situaties waarin we dit schema gesplitst zullen gaan gebruiken.

De eerste is de dat de transformator aan de secundaire zijde niet belast wordt. Dit noemt men de nullast. Als een transformator in het net staat, maar niet wordt belast, zal er in de secundaire geen stroom lopen. Omdat de transformator in het vervangschema ideaal is, zal er ook in de primaire zijde van de ideale transformator geen stroom lopen. Het vervangschema voor de nullastsituatie is daarom te vereenvoudigen tot:

I0 +

Rij –

jXμ

U1

Vervangschema transformator in nullast

De nullaststroom Io is de stroom die U1 levert.

Het andere uiterste, waar we gemakshalve van uitgaan, is dat de transformator in een normale belaste situatie, de zogenaamde nominale belasting, uit de spanningsbron U1 een stroom I1 trekt die vele malen groter is dan de nullaststroom. Daarmee kunnen we voor de belaste situatie de ‘nullast verliezen’ vooralsnog verwaarlozen. Alleen door gebruik te maken van ingewikkeld rekenwerk, geavanceerde rekenprogramma’s en/of simulatoren kunnen we alles tegelijk meenemen, maar voor het begrip hoe zaken werken, kunnen we uitgaan van het bovenstaande vereenvoudigde nullast schema of van het onderstaande vereenvoudigde vollast schema:

HAN-FT-CPM

SEECE

93

Inleiding Elektrische Energietechniek

jXk Rk

I1 +

U1 –

T Vervangschema transformator voor nominale belasting

Opdracht: Teken uit het hoofd de vervangschema’s van de niet ideale transformator (het algemene vervangschema, het nullast vervangschema en het nominale vervangschema). Zet ook alle standaard spanningen, stromen, weerstanden en reactanties daar op de juiste manier in.

Opgave 13.6: Geef het vervangschema van de transformator voor de situatie dat de secundaire zijde is kortgesloten.

Nullastproef en kortsluitproef Om de eigenschappen van de transformator te bepalen moeten we een paar zaken achterhalen door middel van metingen. Enkele basisgegevens van de transformator staan meestal gewoon op de transformator vermeld. We lezen bijvoorbeeld Up/Us = 400/5k. Dit betekent dat de transformatieverhouding bekend is, maar ook de nominale primaire spanning 400V en de nominale secundaire spanning 5kV zal zijn. Verder wordt het Schijnbaar vermogen gegeven, bijvoorbeeld S = 40kVA. Hieruit halen we de waarden van de maximale primaire stroom 100A en de maximale secundaire stroom 8A. Ga dit na.

Meting nullastproef We gaan nu een nullast meting doen om de waarden Rij en Xμ te meten. We gaan uit van het vervangschema van de transformator bij nullast. We zetten op de primaire zijde van de transformator de normale, nominale, spanning U1. We sluiten niets aan op de secundaire zijde. We meten vervolgens de grootte van deze spanning U1, de grootte van de stroom I0 en het Watt vermogen P0 dat de bron levert aan de transformator. Uit deze gegevens zijn de Rij en Xμ terug te rekenen.

Voorbeeld 13.5: Bij een transformator in nullast meten we de aangesloten nominale spanning U1 = 400V, I0 = 0,3A en P0 = 80W. Zie onderstaand schema.

HAN-FT-CPM

SEECE

94

Inleiding Elektrische Energietechniek

I0 = 0,3A +

P0 = 80W

Rij

jXμ

–

U1 = 400V

Let op dat hier geen ‘complexe’ tekens staan bij de spanning en stroom. We meten namelijk niet de fasehoeken en kunnen dus alleen de grootte van U1, I0 en P0 noteren!

Daar P0 = UIcosϕ, (waarin ϕ het faseverschil is tussen de spanning en de stroom) kunnen we berekenen cosϕ = 80/400*0,3 = 0,67. Dus ϕ = 480. Dan is het Blind vermogen Q0 ook uit te rekenen. Dit wordt dan Q0 = UIsinϕ = 89VAR. Het Watt vermogen gaat volledig zitten in Rij en het Blind vermogen gaat volledig zitten in Xμ. De stroom door Rij is natuurlijk niet I0 zelf, dus kunnen we niet uitgaan van PR =I2R. Wel weten we de spanning over Rij. Dat is U1 zelf.

Daarom achterhalen we Rij via PR = U12/Rij. Derhalve wordt Rij = U12/PR = 4002/80 ≈ 2kΩ. Zo kunnen we ook Xμ bepalen door uit te gaan van QX = U12/Xμ. Derhalve wordt Xμ = U12/QX = 4002/89 ≈ 1,8kΩ.

Voor het berekenen van de nullast zijn er ook andere methoden, zoals apart de stroom door Rij te bepalen en dan complex uitrekenen hoe groot de stroom is door Xμ. Maar dan moeten we in eens complex rekenen. De in het voorbeeld 13.5 gebruikte methode is zonder complex rekenen en daardoor de eenvoudigste methode en wordt veel gebruikt.

Meting kortsluitproef Voor het bepalen van de waarden van Rk en Xk gaan we uit van het vervangschema van de transformator bij nominale belasting. We sluiten de secundaire zijde kort en sluiten op de primaire zijde een lage spanning aan. We voeren deze lage spanning van nul volt op totdat in de primaire zijde maximaal de nominale stroom loopt. Welke waarde deze maximale primaire stroom heeft wordt over het algemeen gehaald uit de gegevens van de transformator.

Voor de ‘kortsluitproef’ gaan we weer uit van de kentallen van de transformator zoals die door de fabrikant zijn gegeven. In ons voorbeeld Up/Us = 400/5k en S = 40kVA. We gaan de primaire stroom opvoeren tot minimaal 50% en maximaal 90% van de waarde van de maximale primaire stroom. De maximale primaire stroom is S/Up = 100A. Stel we laten de primaire stroom 80A worden. Deze stroom wordt veroorzaakt door een bepaalde primaire spanning die daarvoor verantwoordelijk is. Vanwege de kortsluitsituatie is deze primaire spanning veel lager dan de nominale primaire spanning. We noemen dit de kortsluitspanning Uk en drukken dit in procenten uit ten opzichte van de nominale spanning. Bijvoorbeeld: de kortsluitspanning is 14% van de nominale spanning. In ons voorbeeld is de kortsluitspanning

HAN-FT-CPM

SEECE

95

Inleiding Elektrische Energietechniek

dan Uk = 0,14*400 = 56V. We meten op dezelfde manier als bij de nullastproef het Watt vermogen dat de bron levert. Stel dat dit Pk = 2kW. We krijgen dan het volgende schema: jXk

Ik = 80A

Rk

+

Uk = 56V –

Pk = 2kW

Let op dat ook hier geen ‘complexe’ tekens staan bij de spanning en stroom. We kennen namelijk niet de fasehoeken en kunnen dus alleen de grootte van Uk en Ik noteren!

Net als bij de nullastproef gaan we ook nu het Watt en Blind vermogen gebruiken om de waarden van Rk en Xk te achterhalen. Pk = UIcosϕ waaruit volgt cosϕ = 2k/56*80 = 0,45. Dus ϕ = 630, zodat we Qk kunnen bepalen. Dit wordt dan Qk = UIsinϕ = 4kVAR. Het Watt vermogen gaat in Rk zitten en kunnen we berekenen met Pk = Ik2Rk zodat Rk = 2k/802 ≈ 0,3Ω.

Op gelijke wijze is nu ook Xk te berekenen met Qk = Ik2Xk zodat Xk = 4k/802 ≈ 0,6Ω.

Als we de nullast- en kortsluitproef uitkomsten naast elkaar leggen, zal het duidelijk zijn dat de nullastverliezen bij nominaal gebruik van de transformator verwaarloosd mogen worden.

Het totale vervangschema kunnen we nu tekenen:

jXk = j0,6Ω

+

U1 = 400 00V

Rk = 0,3Ω

Rij= 2kΩ jXμ = j1,8kΩ

–

T

Opgave 13.7: Toon aan dat de nullastverliezen wegvallen bij nominaal gebruik.

Opgave 13.8: Stel een transformator met een Np/Ns = 230/10k en een S = 30kVAR. Bij de nullastproef is de nullaststroom 0,3A en het vermogen is dan 35W. Bij de kortsluitproef wordt de primaire spanning op 14% van de nominale spanning. Daarbij is de kortsluitstroom op 90% van de maximale waarde gekomen. Het kortsluitvermogen is dan 2,3kW. Bereken de eigenschappen van de transformator en zet eea in het totale vervangschema.

HAN-FT-CPM

SEECE

96

Inleiding Elektrische Energietechniek

Opgave 13.9: We gaan de transformator uit opgave 13.8 belasten met een weerstand van 4kΩ. Toon aan dat de nullastverliezen mogen worden verwaarloosd en bereken het Watt vermogen in de bron en de weerstand van 4kΩ en van daar uit het rendement, de secundaire spanning over de belasting en het Blind vermogen in de bron.

Opgave 13.10: Een 10kV/400V trafo is aan de primaire zijde aangesloten op de 10KV. De Rk = 20Ω en Xk = 40Ω. De secundaire zijde is aangesloten op een belasting. Deze belasting wordt per ongeluk kortgesloten. Bereken de stroom I2 in deze kortsluiting door uit te gaan van het nominale vervangingsschema van de transformator, waarbij de primaire Rk en Xk en de 10kV naar de secundaire zijde van de transformator worden verplaatst.

Aanvullende informatie Een transformator kan ook meerdere aftakkingen hebben. Zie onderstaand schema. De berekeningen zoals bovenstaand aangegeven blijven voor al die situaties apart gelijk. De totale uitgangsspanning is de som van de verschillende deelspanningen.

Us1 +

Us U1

Us2

–

De scheidingstransformator Transformatoren zijn er in verschillende uitvoeringen. De meest bekende is zoals hierboven aangegeven, dat er twee spoelen op een kern worden gewikkeld. Deze wikkelingen kunnen ook op elkaar liggen. Als we gebruik maken van twee aparte wikkelingen, dan spreken we van ‘galvanische scheiding’. Dit betekent dat het circuit aan de primaire kant van de transformator voor wat betreft de spanning en de stroom elektrisch gescheiden is van het circuit aan de secundaire zijde van de transformator. Dit kan van belang zijn in bijvoorbeeld de situatie dat de ene zijde van de transformator een aarde aansluiting heeft en de andere zijde niet. Denk daarbij aan de transformator die in badkamers wordt gebruikt. Zowel de primaire als secundaire zijde hebben 230V. De primaire zijde is echter geaard, net als alle andere metalen delen in de badkamer. Dit laatste is bewust gedaan om te voorkomen dat een persoon niet via een metaal deel in aanraking kan komen met de fase van de 230V. Zou iemand zonder deze ‘badkamertransformator’ via het stopcontact de fase aanraken en tegelijk een metalen deel in de badkamer, dan is dit zonder het toepassen van een scheidingstransformator erg gevaarlijk. Door de scheidingstransformator te gebruiken is er

HAN-FT-CPM

SEECE

97

Inleiding Elektrische Energietechniek

wel een wisselspanning van 230V, maar geen terugweg naar aarde, zodat er geen gesloten circuit meer kan worden gemaakt bij aanraking. Zie onderstaand schema. Ga dit na.

fase +

+

+

U1 = 230 00V –

nul

Up

Us –

–

T = 1/1

De autotransformator Transformatoren worden ook wel zonder galvanische scheiding gemaakt. Alle berekeningen blijven zoals hiervoor aangegeven. De secundaire aftakkingen zitten op dezelfde spoel. Er is geen tweede spoel. Zie bovenstaand schema. De primaire spanning heeft hier een aangeboden spanning van bijvoorbeeld 100V. De secundaire spanning kan hoger of lager kan zijn, afhankelijk van de aftakking. Zo heeft de onderste aftakking een spanning van 50V ten opzichte van de onderkant van transformator en de bovenste aansluiting een spanning van 175V ten opzichte van de onderkant van de transformator. Men noemt dit wel een ‘autotransformator’.

U = 175V

+

U1 = 100V

U = 50V –

De stroomtransformator Voor het meten van zeer grote stromen zijn normale ampèremeters niet geschikt. Daartoe wordt de stroomtransformator gebruikt. De stroomtransformator heeft de eigenschap dat een grote stroom door de primaire zijde van de transformator loopt. Door de wikkelverhouding zo te kiezen dat de stroom aan de secundaire zijde beperkt is, kan de secundaire stroom eenvoudig worden gemeten met een stroommeter. De stroommeter zelf

HAN-FT-CPM

SEECE

98

Inleiding Elektrische Energietechniek

heeft een zeer kleine weerstand. De secundaire ziet praktisch gezien een kortsluiting. Via de transformator ziet de primaire zijde dan ook een kortsluiting, waarbij de weerstand vanwege de transformatorverhouding nog veel kleiner is dan de weerstand aan de secundaire zijde.

I

Us

stroom meter

Zouden we de secundaire zijde open maken, dan is dat een zeer hoge weerstand. De primaire zijde ervaart dit via de transformator vanzelfsprekend ook, en dus zal de weerstand in de draad aan de primaire zijde, waar veel stroom loopt, oplopen zodat de grote primaire stroom een forse weerstand gaat zien. De stroomtransformator moet daarom altijd aan de secundaire zijde min of meer kortgesloten zijn via bijvoorbeeld een ampèremeter.

Opgave 13.11: Een stroomtransformator moet een stroom meten van 3kA. De te gebruiken ampèremeter die we secundair aansluiten kan maximaal 3A meten. Dan valt er 0,06V over de ampèremeter. Bereken de wikkelverhouding en de weerstand die de 3kA door de stroomtransformator ziet. Bereken ook het vermogen aan de primaire en secundaire zijde van de stroomtransformator. Bereken vervolgens wat er gebeurt met spanningen, stromen en vermogens als de ampèremeter per ongeluk op spanningsmeting wordt gezet, waarbij de inwendige weerstand 10kΩ bedraagt.

De aanloopstroom van een transformator We bekijken nu het aanzetten van een transformator. Tot op heden gingen we er van uit dat alle spanningen en stromen, en dus het magnetische veld in de transformator, zuiver sinusvormig waren. Bij het aanzetten van een transformator gaan we kijken hoe het magnetische veld ten gevolgen van de aangeboden wisselspanning zich ontwikkelt.

We gaan uit van de formule ‫ݑ‬௜ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ܰ We herschrijven dit als ߮ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ

ௗఝሺ௧ሻ . ௗ௧

ଵ ‫ݑ ׬‬ሺ‫ݐ‬ሻ݀‫ݐ‬ ே ଵ

ð

Met u(t) = ûsinωt wordt dit ߮ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ே ‫ ׬‬ð ߱‫ = ݐ݀ݐ‬ఠே ሺെܿ‫ݐ߱ݏ݋‬ሻ ൅ ‫ܥ‬Ǥ Op ߮ሺͲሻ ൌ

ð ሺെܿ‫Ͳ߱ݏ݋‬ሻ ൅ ఠே

‫ ܥ‬ൌ ͲǤ Dit omdat er bij het aanzetten van de transformator nog

geen sprake is van een magnetisch veld. Dus

ð ሺെͳሻ ൅ ఠே

ð

‫ ܥ‬ൌ ͲǤ Hieruit volt ‫ ܥ‬ൌ ఠே

De totale formule wordt dan:

HAN-FT-CPM

SEECE

99

Inleiding Elektrische Energietechniek

ð

߮ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ఠே ሺͳ െ ܿ‫ݐ߱ݏ݋‬ሻ De flux begint op 0 en zal op het moment van inschakelen van een sinusvormige spanning bij t =0,5T een flux geven die twee keer de waarde is die normaal van toepassing is (ga dit na).

Daarmee zou bij het aanzetten van de transformator op ‘het verkeerde moment’ de transformator in verzadiging kunnen raken. De stroom wordt dan zeer groot en de beveiliging kan aanspringen en de transformator afschakelen.

Normaal gesproken zullen de spanning voor een transformator op elk moment ingeschakeld kunnen worden zonder dat de transformator bij het aanzetten in verzadiging kan komen.

Willen we een transformator aan de grenzen van zijn kunnen gebruiken, dan moeten we bijvoorbeeld inschakelen als de sinus van de spanning op de primaire zijde om en nabij de maximale waarde zit. Ga dit na door in bovenstaand niet uit te gaan van u(t) = ûsinωt, maar van u(t) = ûcosωt. Dan krijgen we ߮ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ

ð ‫ݐ߱݊݅ݏ‬ ఠே

en zal de flux direct een normaal

sinusvormig gedrag vertonen.

Onderstaand is de ongunstige situatie van het inschakelen van de spanning en het gevolg van de flux getekend waarbij we ver in de verzadiging komen. Het zal opvallen dat daardoor de stroom zeer groot is. ϕ

I

Niet lineair gedrag van een transformator Bij het aanbieden van een zuiver sinusvormige spanning vanwege de formule ‫ݑ‬௜ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ܰ

ௗఝሺ௧ሻ ௗ௧

een zuiver sinusvormige magnetisch veld veroorzaken. Maar omdat de hysteresuslus niet lineair verloopt zal de resulterende wisselstroom niet helemaal sinusvormig zijn. Een wat overdreven getekende spanning en resulterende stroom (vet) is onderstaand weergegeven, om dit duidelijk te maken. Het resultaat is dat blijkt dat de niet zuiver sinusvormige stroom bestaat uit meerdere frequenties, zijnde de grondgolf van 50Hz, en verder de oneven

HAN-FT-CPM

SEECE

100

Inleiding Elektrische Energietechniek

harmonischen. (zie onderwerp Fourieranalyse). De hogere harmonischen zullen warmte in het net veroorzaken. In dit dictaat gaan we daar nu niet verder op in.

Spanning en stroom

t

HAN-FT-CPM

SEECE

101

Inleiding Elektrische Energietechniek

14. Drie fase Bij een drie fase net zijn er drie sinusvormige wisselspanningen op drie eigen netten aangesloten, waarbij de spanningen onderling 1200 verschoven zijn. Zie onderstaand figuur. +

t

Het belangrijkste nadeel van een één fase systeem is dat het Watt vermogen in de tijd bekeken per periode sinusvormig tussen nul en een maximum zit volgens p1(t) = P + Psinωt.

Opdracht; bewijs voorgaande formule in geval u en i in fase zijn met elkaar. Antwoord: p(t) = u(t)i(t) = ûsinωtîsinωt = ûîsin2ωt. Met sin2x = ½ - ½cosx krijgen we p(t) = ûî(½ - ½cos2ωt) = P + Pcos2ωt. De ω in p1(t) = P + Psinωt is dus de dubbele frequentie van de sinus van de spanning en de stroom. Zie onderstaande figuur.

Het nadeel dat het vermogen bij een één fase systeem niet continue is, heffen we op door drie spanningsbronnen te nemen die in fase 1200 met elkaar verschoven zijn. Het totaal vermogen zal dan wel continue zijn. Dit is nogal van belang omdat de voedende eenheid, bijvoorbeeld een centrale, zelf continue vermogen levert. Om het hoogste rendement te krijgen moeten we dan elektrisch ook een continue vermogen hebben.

Een bijkomend voordeel van 3-fase systemen is dat we vrij eenvoudig elektrisch draaiende machines kunnen maken.

Een 3-fase systeem bestaat uit drie één fase wisselspanningen die als bronnen in ‘ster’ of ‘driehoek’ gekoppeld zijn en zo op een net worden aangesloten. De belasting ofwel verbruikers zijn eveneens in ‘ster’ of ‘driehoek’ geschakeld. De spanningsbronnen hebben onderling een faseverschuiving van 1200. We noemen dit de fasespanningen Uf.

Links één fase vermogen en rechts drie maal één fase vermogen

HAN-FT-CPM

SEECE

102

Inleiding Elektrische Energietechniek

p(t)

+

+

Pgem = P

tijd

–

–

Het bewijs dat met 3-fasen een continue vermogen ontstaat, is als volgt. We nemen een willekeurige fase ϕ en tellen de drie vermogens op.

De eerste fase heeft een p1(ϕ) = P + Psinϕ, de tweede fase heeft vermogen p2(ϕ) = P + Psin(ϕ –1200) en zo wordt p3(ϕ) = P + Psin (ϕ – 2400). Deze vermogens opgeteld wordt dan: P3f(ϕ) = P + Psin ϕ + P + Psin (ϕ –1200) + P + Psin (ϕ – 2400) Met sin(α – β) = sin α cos β – cos α sin β krijgen we: P3f(ϕ) = 3P + Psin ϕ – 0,5Psinϕ – 0,866Pcosϕ – 0,5Psinϕ + 0,866Pcosϕ = 3P. Dus het 3-fase vermogen als functie van de tijd is in tegenstelling tot het één fase vermogen continue en 3 maal het gemiddelde één fase vermogen, ofwel P3f(t) = 3P Kortom: P1f(t) = P + Psin߱‫ݐ‬ P3f(t)= 3P We gaan in veel gevallen uit van symmetrie. Met symmetrie wordt hier bedoeld dat alle drie de spanningsbronnen op gelijke wijze even zwaar worden belast.

De drie bronnen krijgen allemaal dezelfde grootte van spanning, maar verschillende fasen.

Dan krijgen we de volgende complexe notaties: Uf1 = Uf 0oV Uf2 = Uf –120oV Uf3 = Uf –240oV Meestal worden deze bronnen in de stand van de betreffende fase getekend, maar dat hoeft natuurlijk niet. Beide vormen staan onderstaand weergegeven. De rechter vorm geeft echter wel een goed beeld dat we met driefase systemen bezig zijn. Het zal dan opvallen dat de fasehoek van 00 nu naar boven is getekend in plaats van naar rechts staat getekend. Het is een keuze en de gewoonte om dit bij 3-fase systemen zo te doen. Het kan in het begin even verwarrend werken, omdat we gewend waren aan een vector met een fasehoek van 900 die dan naar boven wijst.

HAN-FT-CPM

SEECE

103

Inleiding Elektrische Energietechniek

Een sterschakeling betekent dat alle bronnen met de zelfde polariteit aan elkaar verbonden zijn. Een driehoekschakeling betekent dat alle bronnen met de plus en de min met elkaar verbonden zijn. Zie onderstaande schema’s.

–

+ Uf1 =Uf 0o

–

Uf1 =Uf 0o

+ Uf2 =Uf –120o

–

+

–

Uf3 =Uf –240o

Uf2 =Uf –120o

–

+ +

Uf3 =Uf –240o

–

+

N

N

sterschakeling

–

Uf2 =Uf –120o

+ –

Uf1 =Uf 0o Uf1 =Uf 0o –

+

+ –

–

Uf2 =Uf –120o

–

+

+

Uf3 =Uf –240o

+ Uf3 =Uf –240o

driehoekschakeling

Beide vormen komen even vaak voor. In dit dictaat zullen we ons beperken tot de sterschakeling voor de bronnen. De ster- en driehoekschakeling zien we vooral terug bij de belastingen in de aangesloten netten.

Vraag: bereken de stroom in het circuit van de driehoekschakeling van bovenstaand schema.

Antwoord: Volgens de 2e Wet van Kirchhoff zal de rondgaande spanning zijn Uf 0o + Uf –120o + Uf –240o = 0. Werken we het linker deel uit dan komt daar inderdaad 0

HAN-FT-CPM

SEECE

104

Inleiding Elektrische Energietechniek

uit, dus er zal geen stroom lopen. We kunnen deze schakeling dus ongestraft zo maken, mits de spanningen en fasen precies kloppen.

Vraag: stel dat één van de fasespanningen in een driehoekaansluiting iets hoger is dan de andere fasespanningen. Wat gebeurt er met de rondgaande stroom binnen de driehoek?

Antwoord: die zal oneindig groot worden.

In bovenstaande schema’s zal opvallen dat bij de sterschakeling een derde draad aanwezig is, namelijk de NUL draad ofwel ‘nulleider’. Dit is de gemeenschappelijke draad die we wel bij de sterschakeling maar niet bij de driehoekschakeling kunnen meenemen.

Voor alle drie de ‘fasedraden’ staat ten opzichte van de nulleider de fasespanning.

We gaan eerst wat dieper in op de sterschakeling van de bronnen.

De lijnspanningen UL12, UL23 en UL31 zijn de spanningen tussen de fasedraden onderling. Zie onderstaand schema. Deze spanningen zijn te berekenen via de 2e Wet van Kirchhoff, als volgt: Uf1 – UL12 – Uf2 = 0. Daaruit volgt dat UL12 = Uf1 – Uf2 = Uf 0o– Uf –120o = √3Uf 30o.

De andere lijnspanningen kunnen zo ook getekend worden.

+

+ Uf1 =Uf 0oUf1 UL12 =√3Uf 30o

–

Uf3 =Uf –240o – +

Uf2 =Uf –120o

–

– +

N

In de praktijk krijgen we daarom het volgende: De grootte van de lijnspanning = √3 keer de grootte van de fasespanning.

In de praktijk zijn we vooral geïnteresseerd in het feit dat de lijnspanning in een net √3 hoger is dan de fasespanning. In de meeste woonhuizen worden één of meer fasespanningen aangeboden ten opzichte van de nulleider, de ‘fase’ en de ‘nul’. Soms worden alle drie de fasen in een woonhuis aangeboden. Dit gebeurt vooral als er zwaardere eenheden moeten worden gevoed, zoals een elektrisch fornuis. We zullen verderop zien waarom. In ieder geval is onze bekende ‘huis’-spanning 230V terwijl de lijnspanning 230*√3 = 400V is.

HAN-FT-CPM

SEECE

105

Inleiding Elektrische Energietechniek

In de industrie wordt vooral met de lijnspanningen gewerkt omdat daar over het algemeen alleen zwaardere belastingen zijn zoals drie fase machines. We hebben dan alle drie de fasespanningen nodig en gaan dan verder uit van de aanwezige lijnspanningen.

Sluiten we een driefase sterspanning aan op een driefase belasting in ster, dan krijgen we de volgende schakeling:

I1

+

Uf1 =Uf 0o Z1 –

Uf3 =Uf –240o

Z3

– –

+

Z2

Uf2 =Uf –120

o

+ N I2

I3

Bij een symmetrische belasting zijn niet alleen de fasespanningen gelijk, maar ook de fasebelastingen.

De stromen door elke fasedraad zijn op hun faseverschil na allemaal gelijk en eenvoudig per fase uit te rekenen. Het resultaat is dat we bij symmetrische belasting in de nulleider geen stroom hebben lopen. Dit is eenvoudig te bewijzen volgens de 1e Wet van Kirchhoff: I1 + I2 + I3 = 0. Als het goed is zal de invulling van de stromen links van het = teken inderdaad ook hier nul opleveren. We weten nog niet welke impedanties Z zijn, alleen dat ze gelijk zijn.

Dus de stromen zullen allemaal een bepaalde en dezelfde faseverschuiving ϕ, krijgen, en nog steeds onderling 1200 in fase verschoven. Dus I1 = I (ϕ + 0o), I2 = I (ϕ – 120o) en I3 = I (ϕ – 240o).

Vraag: Bewijs I1 + I2 + I3 = 0. Antwoord: I ϕ + I (ϕ – 120o) + I (ϕ – 240o) = I(cosϕ + jsinϕ) + I(cos(ϕ – 1200) + jsin(ϕ – 1200) + I(cos(ϕ – 2400) + jsin(ϕ – 2400) = I((cosϕ + cos(ϕ – 1200) + cos(ϕ – 2400) +j(sinϕ + sin(ϕ – 1200) + sin(ϕ – 2400)) = I((cosϕ + cosϕcos1200 + sinϕsin1200 + cosϕcos2400 + sinϕsin2400) + j(sinϕ + sinϕcos1200 – cosϕsin1200 + sinϕcos2400 – cosϕsin2400)) = I(cosϕ – 0,5cosϕ + 0,866sinϕ – 0,5cosϕ – 0,866sinϕ) + j(sinϕ – 0,5sinϕ – 0,866cosϕ – 0,5sinϕ + 0,866cosϕ) = 0. Dit klopt dus voor elke hoek ϕ, dus voor elke symmetrische belasting.

HAN-FT-CPM

SEECE

106

Inleiding Elektrische Energietechniek

Dit kunnen we ook eenvoudig zien door eea complex te tekenen. De hoek ϕ is dan een willekeurige aanname (dus geen bewijs), hier is ϕ = –300 genomen. Onderstaand is dit getekend.

I ϕ ϕ I (ϕ – 2400)

I (ϕ – 1200)

Vraag : Tel deze vectoren grafisch op en controleer of het resultaat nul is.

De conclusie is dat er bij symmetrische belasting in de nulleider geen stroom loopt. Daarom kunnen we deze draad net zo goed weglaten voor hetzelfde resultaat. Bij de bron en soms bij de belasting wordt het sterpunt wel aan aarde gelegd. Zie onderstaand schema:

I1

+ Uf1 =Uf 0o

Z

–

Uf3 =Uf –240o

–

–

Uf2 =Uf –120o

Z

Z

+

+ N

I2

I3

HAN-FT-CPM

SEECE

107

Inleiding Elektrische Energietechniek

Vraag: Wat gebeurt er met de spanning in het sterpunt van de belasting als de belasting asymmetrisch wordt? Antwoord: de spanning is dan niet meer 0. Zonder nulleider kan de spanning alle kanten op gaan. Door wel de nulleider toe te passen zal de retourstroom, die nu niet meer nul is, wel daar door heen lopen en het sterpunt van de belasting op nul houden. We kunnen het sterpunt van de belasting ook aan aarde te leggen. Het sterpunt zal dan niet helemaal nul volt blijven, omdat de echte ‘aarde’ een zekere weerstand heeft die sterk afhangt van de omstandigheden (grondwaterpeil, soort grond, ..).

Voor het berekenen van de spanningen en stromen bij symmetrische belasting, kijken we eigenlijk naar het één fase schema en berekenen daar alles. De twee andere fasen doen toch precies hetzelfde. Voor het 3-fase vermogen hoeven we slechts het één fase vermogen te nemen en dit te vermenigvuldigen met drie. Daar de fasestromen hetzelfde zijn als de lijnstromen, maken we daar geen onderscheid in, dus IL = If = I. Daaruit volgt dat P3f = 3UfIcos(ϕU – ϕI) Q3f = 3UfIsin(ϕU – ϕI) S3f = 3UfI Gaan we uit van de lijnspanningen, vooral omdat we die eenvoudig kunnen meten, dan krijgen we: P3f = 3Pf = 3ULIcos(ϕU – ϕI)/√3 = √3ULIcos(ϕU – ϕI).

De formules uitgaande van de lijnspanningen en stromen worden dan: P3f = √3ULIcos(ϕU – ϕI) Q3f = √3ULIsin(ϕU – ϕI) S3f = √3ULI Bij deze laatste formules moet er wel op worden gelet dat de fasehoeken ϕU horen bij de fasespanningen!!! Daar worden veel fouten mee gemaakt. In dit dictaat wordt daarom in principe uitgegaan van de vermogensformules, uitgaande van de fasespanningen en stromen, zodat deze fout niet onnodig wordt gemaakt. Mocht de lijnspanning gegeven zijn of gemeten worden, dan deze lijnspanning delen door √3 om verder te rekenen met de fasespanning.

Voorbeeld 14.1: Een 3-fase bronspanning met lijnspanning 10kV staat in ster en wordt aangesloten op een symmetrische belasting welke ook in ster staat. De belasting is per fase een serieweerstand van 20Ω met een spoel van 100mH. Bereken de 3-fase vermogens P en Q. Antwoord: Per fase hebben we een spanningsbron van 10k/√3 = 5850V. De impedantie per fase is Z = 20 + j31,4 ohm. Dus de lijnstroom is de fasestroom I = 5850 0o/(20 + j31,4) = 157 –58oA. Dan zijn de 3-fase vermogens P3f = 3*5850*–157*cos(0 + 580) = –1,47MW en Q3f = 3*5850*–157*sin(0 + 580) = –2,33MVAR. In de 3-fase weerstanden gaat totaal zitten

HAN-FT-CPM

SEECE

108

Inleiding Elektrische Energietechniek

PR = 3*(157)2*20 = 1,47MW en in de 3-fase spoelen QL = 3*(157)2*31,4 =2,33MVAR. Dit klopt dus zo. Voor de andere fasen dan de bovenstaand berekende fasen moeten we de 1200 en 2400 meenemen. Bijvoorbeeld de twee andere fasestromen worden 157 (–58o – 1200) = 157 –178oA en 157 (–58o – 2400) = 157 –298oA. We bekijken nu de belasting die in driehoek is aangesloten. Opnieuw gaan we uit van volledige symmetrie. Zie onderstaand schema.

I1

+ Uf1 =Uf 0o

– +

+

UL12 =√3Uf 30o

–

Uf3 =Uf –240o

IL31

–

–

Z

Z IL12

+ IL23

Uf2 =Uf –120o

I2

Z

I3

De lijnspanning UL12 zal door de linker Z een stroom laten lopen van IL12 = UL12/Z. Dit is NIET de fasestroom I1. De fasestroom is weer uit de 1e Wet van Kirchhoff te halen door te stellen dat I1 + IL31 – IL12 = 0. Dus I1 = IL12 – IL31. Werken we dit uit dan blijkt dat de fasestroom I1 √3 groter is dan de IL12 en tevens 300 in negatieve richting draait. Als bijvoorbeeld IL12 =8 –12oA, dan is I1 = 2,92 –42oA. Aangezien alles verder symmetrisch is, zijn de andere getallen hetzelfde met 1200 gedraaid.

Dus UL = √3 Uf (ϕ + 30)o waarbij ϕ de oorspronkelijke fasehoek van de fasespanning is.

Als we de belasting omschakelen van een sterschakeling naar een driehoekschakeling, dan zal de spanning √3 keer hoger worden en ten gevolge daarvan zal de stroom √3 keer groter worden. Dus als dezelfde belasting vanuit ster naar driehoek wordt omgeschakeld zal het vermogen (√3)2 = 3 keer toenemen. Dat geldt dus ook voor de lijnstroom die 3 keer groter wordt. Eenvoudig gezegd: Als we een belasting in plaats van in ster in driehoek aansluiten op dezelfde netspanning, worden de lijnstroom EN het vermogen drie keer groter.

Dus bij een belasting in driehoek wordt IL = 3 IL (ϕ – 30)o waarbij ϕ de oorspronkelijke fasehoek van de lijnstroom is indien de belasting in ster zou staan.

Daarom geldt dat als we dezelfde belasting nemen en deze omschakelen van ster naar driehoek; Pdriehoek = 3Pster.

HAN-FT-CPM

SEECE

109

Inleiding Elektrische Energietechniek

Voorbeeld 14.2: In voorbeeld 14.1 met de belasting in driehoek. De lijnspanning staat over de Z, dan wordt IL12 = UL12/Z = 10k 30o/(20 + j31,4) = 270 –27oA. Dan is I1 = 462 –57oA. Voor de bronvermogens krijgen we dan : P3f = 3UfIcos(ϕU – ϕI) = 3*5850*–462*cos(00 + 570) = –4,4MW. Dit is inderdaad drie keer het in bovenstaand berekende 3-fase vermogen als deze belasting in ster zou staan.

Bereken we het 3-fase vermogen van de bronspanningen via P3f = √3ULIcos(ϕU – ϕI), dan krijgen we natuurlijk hetzelfde antwoord (let op, wel rekening houden dat de ϕU van de fasespanning van toepassing is!).

Het vermogen in de belasting wordt weer berekend met PR = 3I2R enz enz.

Op gelijke wijze is het 3-fase Blind vermogen te bepalen via Q3f = 3UfIsin(ϕU – ϕI) Opgave 14.1: Gegeven een 3-fase net met een lijnspanning van 400V. Het wordt belast met een 3 fase belasting met impedanties met Z = 20 + j20 ohm. Bereken de lijnstromen en het Watt vermogen in het net in de volgende twee situaties: a) De belasting is in ster aangesloten. b) De belasting is in driehoek aangesloten.

Opgave 14.2: Het in onderstaand schema gegeven net is niet symmetrisch, maar de sterpunten zijn via de nulleider gekoppeld. De fasespanningen zijn 230V. Bereken de a) lijnstromen. b) stroom door de nulleider. c) vermogens P en Q van de belastingen. d) totale vermogens van het net.

I1

+

Uf1 =Uf 0o 400Ω –

Uf3 =Uf –240o

200mH

– –

+

10μF

Uf2 =Uf –120o + N I2

I0

I3

HAN-FT-CPM

SEECE

110

Inleiding Elektrische Energietechniek

15. Drie fase machines Bij 3-fase machines hebben we twee hoofddelen, de stator en de rotor. De stator staat vast terwijl binnen de stator een rotor kan ronddraaien. De stator krijgt voor elke fase een spoel die op een pool is gewikkeld. De polen staan in de fasehoek van de 00, –1200 en –2400.

Een 3-fase wisselspanning welke is aangesloten op een 3-fase stator van een elektrische machine, zal binnen de stator een ronddraaiend magnetisch veld veroorzaken. De stator bestaat uit een lamellenstructuur waarbinnen spoelen zitten die in ster of driehoek zijn aangesloten. Onderstaand het voorbeeld voor de steraansluiting.

Elke spoel (L1, L2 en L3) bestaat uit steeds twee delen. Eén deel zit aan één kant van de stator en recht daar tegenover zit het tweede deel van dezelfde spoel.

I1

+ Uf1 =Uf 0

o

L1

–

Uf3 =Uf –240o –

Uf2 =Uf –120

o

–

+

L3

L2

+ I2

I3 L1 maakt een N1-Z1 magnetisch veld, idem voor L2 en L3. Het magnetische veld draait rond met de snelheid van de frequentie van het net. In Europa is dat 50Hz, zodat het magnetisch veld ronddraait met een snelheid van 50 omwentelingen per seconde of 3000 omwentelingen per minuut. Zie onderstaande tekening en een foto van een stator, waarbij slechts een deel van één spoel is te zien. De spoelen zitten in sleuven om het magnetische veld tijdens het draaien in de overgang naar de volgende spoel zo gelijkmatig mogelijk te krijgen.

HAN-FT-CPM

SEECE

111

Inleiding Elektrische Energietechniek

In bovenstaand plaatje is de stroom door L1 maximaal en zal een maximaal magnetisch veld tussen de polen geven. Dan loopt natuurlijk ook stroom door L2 en L3. Deze laatste twee magnetische velden zijn kleiner en staan in een zodanige richting dat het totale veld van de drie spoelen als één magnetisch veld kan worden gezien.

Het totale ronddraaiende magnetische veld heeft elk moment dezelfde sterkte.

De draairichting hangt af van de aansluitingen van de spoelen op het net. Als bijvoorbeeld de

N1

Z3

Z2

Ф N3

N2

Z1

opbouw stator 3 fase machine

aansluitingen op L1 met L2 verwisseld worden, zal het magnetisch veld in tegenovergestelde richting gaan draaien.

Door meerdere polen te maken per spoel, kunnen we de draaisnelheid van het magnetische veld aanpassen. Onderstaand een voorbeeld van een stator met een ‘dubbel’ poolpaar. Eén periodetijd van de netfrequentie zal het magnetische veld dan 1800 laten verdraaien. Het ‘toerental’ van het totale, overigens dubbele magnetische veld is dan 25 omwentelingen per seconde. We gaan vooralsnog steeds uit van een enkel poolpaar, tenzij anders aangegeven.

N1 Z2

Z3

N3

N2

Ф

Z1

Z1

N3

N2

Z3

Z2 N1

stator met dubbel poolpaar

Binnen in de stator komt de rotor. Deze rotor is draaibaar opgesteld. Kogellagers zorgen er voor dat de rotor in de draaibeweging op haar plaats blijft. Dit luistert erg nauw, omdat de luchtspleet tussen de rotor en de stator zo klein mogelijk moet zijn.

HAN-FT-CPM

SEECE

112

Inleiding Elektrische Energietechniek

Op hoofdlijnen zijn er twee type rotors. De asynchrone en de synchrone rotor. De stator voor beide type machines blijft gelijk.

Vraag: waarom worden voor de stator lamellen gebruikt? Antwoord: omdat in de stator een wisselend magnetisch veld aanwezig zal zijn is de kans groot dat er wervelstromen in de stator zullen ontstaan.

Vraag: waarom moet de luchtspleet tussen de stator en de rotor zo klein mogelijk zijn?

Antwoord: Lucht heeft een zeer grote weerstand voor het magnetische veld. Hoe kleiner de luchtspleet, hoe sterker het magnetische veld.

Een machine kan een motor zijn of een generator. Indien de machine een motor is, zal het aangesloten elektriciteitsnet vermogen leveren om de as te laten draaien. Indien de machine als generator draait zal er asvermogen worden aangevoerd zodat we elektrisch vermogen van de stator afnemen. Zie onderstaande tekening.

Pas

Pelektrisch Generator negatief

positief

Pas

Pelektrisch

Motor

positief

negatief

16. Asynchrone machine De rotor van een asynchrone machine bestaat uit staven die in de lengterichting vlak langs het oppervlak van de binnenwand van de stator lopen. Alle staven zijn aan de voor en achterkant met elkaar kortgesloten. Zie onderstaande foto.

HAN-FT-CPM

SEECE

113

Inleiding Elektrische Energietechniek

staaf

rotor van asynchrone machine

We bekijken eerst het motorgedrag. We gaan er van uit dat de machine niet is aangesloten op het net en de rotor nog stilstaat. Als nu de stator wordt aangesloten op het net, zal binnen in de stator direct een magnetisch veld gaan ronddraaien met 50 omwentelingen per seconde. Dit magnetische veld passeert de kortgesloten staven van de stilstaande rotor.

Hierdoor zal in elke staaf van de rotor waar het magnetisch statorveld passeert, net als in de secundaire wikkelingen van een gewone transformator, een inductiespanning ontstaan.

Aangezien de staaf is kortgesloten, zal daarom in de staaf een kortsluitstroom gaan lopen.

Door deze kortsluitstroom zal loodrecht op de staaf in de draairichting van het magnetische statorveld een kracht ontstaan. Bij een gewone transformator gebeurt dat ook, maar is de stator vast opgesteld en wordt deze kracht niet gebruikt. Omdat de rotor kan draaien, zal deze kracht een draaibeweging veroorzaken. De kracht zal er voor zorgen dat alle staven die de passage van het magnetische statorveld ervaren, gaan meedraaien in de draairichting van dit statorveld.

Opdracht: ga na dat de passage van het statorveld een inductiespanning veroorzaakt in de staaf van de rotor, met als gevolg dat er een kortsluitstroom gaat lopen en vervolgens ten gevolge van die stroom een kracht op de staaf in de richting van de draaibeweging van het statorveld ontstaat.

Zo lang deze krachten op de staven van de rotor staan, zal de rotor steeds harder gaan draaien. Uiteindelijk zal de rotor zo hard ronddraaien, dat er net voldoende inductiespanning, en dus stroom en dus kracht op de rotorstaven aanwezig blijft, om de wrijvingsverliezen te overwinnen.

Vanzelfsprekend zal een last, welke de draaibeweging van de as gaat tegenwerken, er voor zorgen dat de rotatiesnelheid van de as vermindert. Hierdoor zal de fluxverandering van het statorveld in de rotor weer toenemen en daardoor de inductiespanning, de kortsluitstroom en de kracht op de rotor weer toenemen, totdat er een nieuw evenwicht is bereikt.

Uit bovenstaand zal duidelijk zijn dat als de rotor even snel ronddraait als het statorveld, er geen kracht op de rotor is en de rotor zal weer langzamer gaan draaien en weer het evenwicht zoeken.

Omdat de rotor niet synchroon meedraait met het statorveld, noemen we deze machine de ‘asynchrone’ 3-fase machine. Soms wordt deze machine ook wel ‘inductie machine’ genoemd. Het zal duidelijk zijn waarom.

HAN-FT-CPM

SEECE

114

Inleiding Elektrische Energietechniek

De normale draaisnelheid van een asynchrone rotor in een belaste motorsituatie is rond de 48 omwentelingen per seconde. De afwijking ten opzichte van de netfrequentie noemen we de slip ‘s’ als volgt: ‫ ݏ‬ൌ

௙೙೐೟ ି௙ೝ೚೟೚ೝ ௙೙೐೟

Voorbeeld 16.1: Stel het toerental van de rotor is 48 omwentelingen per seconde. Bepaal de slip. Idem voor de situaties dat het toerental van de rotor stilstaat, het toerental 50 omwentelingen per seconde is en dat het toerental 52 omwentelingen per seconde is.

Antwoord: s = (50 – 48)/50 = 2/50 = 0,04 = 4%; s = (50 – 0)/50 = 1 = 100%; s = (50 – 50)/50 = 0 = 0% en s = (50 – 52)/50 = –0,04 = –4%.

De asynchrone machine als generator is niet zonder meer mogelijk. Veronderstel dat er geen netspanning op de stator is aangesloten. Er is dan geen ronddraaiend statorveld en er is geen fluxverandering in de staven, dus geen inductiespanning enz. Er gebeurt dus niets. Als we van buitenaf aan de rotor gaan draaien gebeurt er, behalve een draaiende rotor, niets omdat er nergens sprake is van magnetische velden. Er wordt dan geen wisselspanning in de stator opgewekt.

Toch kunnen we de asynchrone machine op een zeer goede manier gebruiken als generator.

We sluiten de 3-fase netspanning dan wel aan op de stator en de rotor gaat in eerste instantie als motor draaien. We gaan vervolgens de rotor harder laten draaien door van buiten af de as extra vermogen te geven (denk aan een windmolen). Hierdoor gaat het asvermogen er voor zorgen dat het net elektrisch vermogen gaat opnemen. De asynchrone machine is dan generator. Wat er dan precies gebeurt volgt verderop. In ieder geval zijn we dan wel in staat asvermogen om te zetten in elektrisch vermogen.

Het elektrisch vervangschema van de asynchrone machine Het elektrisch vervangschema maken we voor het één fase schema. Voor de vermogens moeten we alles nog wel met drie vermenigvuldigen voor het totaal plaatje, maar ingewikkelder is het niet.

Zoals hierboven aangegeven is de stator in combinatie met de asynchrone rotor eigenlijk een transformator. De primaire zijde is de stator en de secundaire zijde is de rotor. Bij een transformator is de stator niet draaibaar. Bij een asynchrone machine is de ‘secundaire zijde’ als rotor wel draaibaar opgesteld. De opgewekte ‘secundaire’ spanning in de rotor is de jX1 R1

R2

+

+

Rij –

jsX2

jXμ

sUs

U1

Ir

–

T

HAN-FT-CPM

SEECE

115

Inleiding Elektrische Energietechniek

rotorspanning. De grootte van de rotorspanning hangt af van de draaisnelheid van de rotor.

Als de rotor precies het toerental heeft van de draaisnelheid van het statorveld (s = 0), is er geen opgewekte rotorspanning. Als de rotor stilstaat (s = 1) hebben we de maximale rotorspanning. In onderstaand figuur is het algemeen vervangschema van de transformator gegeven. De rotorspanning Us wordt met de slip s vermenigvuldigd en is sUs. Verder zijn de staven van de rotor kortgesloten, dus is de secundaire in het schema ook kortgesloten. Ook zien we de koperweerstand van de staven via R2 en tenslotte zien we X2, zijnde het lekveld van de rotor. De grootte van het lekveld is weer afhankelijk van de slip. We krijgen dan net als bij de statorspanning de schrijfwijze sX2.

Omdat de ijzerverliezen (vertegenwoordigd in Rij en XÎź) ook bij de asynchrone machine bij nominaal gebruik verwaarloosbaar zijn laten we deze hier tijdelijk even weg. We krijgen dat het volgende schema: jX1 R1

jsX2

R2

+

+

Ir

sUs –

U1

–

T Volgens de 2e Wet van Kirchhoff krijgen we voor de secundaire zijde: sUs –IrR2 – IrjsX2 = 0.

Delen we links en rechts door s, dan krijgen we

ௌ Ȃ ‍܍‏௼

ோఎ Č‚ ‍܍‏௼ ÂŒ ଶ ŕľŒ ௌ

Ͳ, waardoor alles

weer vergelijkbaar is met het gewone transformatorschema, behalve dat R2 in dit geval wordt gedeeld door s. Aangezien R2 als zuivere ohmse weerstand echt bestaat, gaan we omschrijven als volgt:

ோఎ ௌ

ŕľŒ ܴଶ ŕľ… ܴଶ

ଵି௦ . ௦

ோఎ ௌ

Deze schijfwijze betekent dat we het voormalige

transformator-vervangschema kunnen gebruiken door dit iets aan te passen, als volgt: jX1 R1

jX2

R2

+ ŕĄžŕŤ› –

ŕŤšŕľ†ŕ˘™ ࢙

Ir

U1

T

HAN-FT-CPM

SEECE

116

Inleiding Elektrische Energietechniek

Zetten we dan weer de secundaire zaken naar de primaire zijde, dan krijgen we met Rk = R1 + R’2 en Xk = X1 + X’2. Op dezelfde manier is ࡾ૛ ૚ି࢙ weerstand ࡾԢ૛ ࢙ .

૚ି࢙ ࢙

meegenomen als equivalente

Verder zijn voor de volledigheid de ijzerverliezen er weer bij gezet. Zo

ontstaat het algemene vervangschema van de transformator: jXk Rk

I1 +

Rij –

ࡾԢ૛

jXμ

U1

૚െ࢙ ࢙

I’R

Algemene vervangschema asynchrone machine

Met dit vervangschema van de asynchrone machine zijn U1 de fasespanning van het aan te sluiten net en I1 de fasestroom. Rk en Xk zijn de verlieseigenschappen van de asynchrone machine bij nominale belasting. De Rij en Xμ zijn de nullastverliezen. De rotorstroom is als equivalente waarde ook naar de primaire zijde overgebracht.

Als we bovenstaand schema vergelijken met het vervangschema van de transformator, dan hebben we nu extra de ࡾԢ૛

૚ି࢙ . ࢙

Dit is de elektrische vertaling van de ronddraaiende as. Als

de rotorstroom door deze weerstand gaat zal in de ronddraaiende as vermogen ontstaan.

We beschouwen net als bij de transformator twee vervangschema’s. Het eerste vervangschema is het schema met alleen de nullastverliezen. Het tweede vervangschema is het schema waarbij de machine in nominale belasting staat en de nullastverliezen mogen worden verwaarloosd. Zie onderstaande schema’s.

I1 = I0 +

Rij –

jXμ

U1

Nullast vervangschema asynchrone machine

HAN-FT-CPM

SEECE

117

Inleiding Elektrische Energietechniek

jXk I1 = Ik

Rk = R1 + R’2

+ ࡾԢ૛ –

U1

૚െ࢙ ࢙

I’R

Nominaal vervangschema van de asynchrone machine

Het asvermogen is voor de 3-fase situatie is: ࡼࢇ࢙ ൌ ૜ࡵԢ૛ࡾ ࡾԢ૛

૚ି࢙ ࢙

Opdracht: Ga dit in het nominale vervangschema van de asynchrone machine.

Nullastproef bij de asynchrone machine Vanuit het totale vervangschema van de asynchrone machine kijken we hoe we het nullastschema kunnen realiseren. Dat lukt als s = 0. In dat geval is frotor = fstator. Dan is ܴԢଶ

ଵି௦ ௦

= ∞ en dus de I’R = 0. Dit betekent in de praktijk dat de rotoras op een of andere

manier precies mee moet draaien met het statorveld. Dit doen we met een extern aangesloten hulpmotor. De stator kan dan geen invloed meer hebben op de rotor.

Vraag: verklaar dit. Antwoord: de fluxverandering in de rotor is nul. Dan is er geen inductiespanning in de rotor en dus geen stroom in de rotor. Daarmee is I’R = 0.

In deze nullastsituatie meten we de statorspanning, de statorstroom en het statorvermogen.

Uit deze gegevens kunnen we, net als bij de nullastproef bij de transformator, de ijzerverliezen bepalen.

Kortsluitproef bij de asynchrone machine Vanuit het totale vervangschema van de asynchrone machine kijken we hoe we het nominale vervangschema kunnen realiseren. Daartoe moeten we s = 1 te maken. Dit doen we door de as van de rotor te blokkeren. Dan wordt ܴԢଶ

HAN-FT-CPM

ଵି௦ ௦

SEECE

= 0. We krijgen dan het volgende schema:

118

Inleiding Elektrische Energietechniek

jXk Ik

Rk = R1 +R’2

+

Uk –

Pk

Kortsluit vervangschema van de asynchrone machine

Net als bij de kortsluitproef van de transformator doen we dit niet op de volle spanning op de stator, maar op een veel lagere spanning Uk = єU1. We meten deze spanning, de bijbehorende kortsluitstroom en het vermogen. Uit deze gegevens kan net als bij de kortsluitproef van de transformator de Xk en Rk worden bepaald. Tenslotte gebruiken we de informatie dat Rk = R1 + R’2. De R1 is de gewone gelijkstroomweerstand van de statorwikkeling die we eenvoudig met een ohmmeter kunnen bepalen. Daaruit volgt R’2. Het nominale vervangschema van de asynchrone machine is daarmee compleet.

Voorbeeld 16.2: Van een asynchrone machine is gegeven S3f = 60kVA en U = 400/230V. Bij de nullastproef is I0 = 0,2A en P0 = 30W per fase. De kortsluitproef wordt gedaan op 80% van de maximale nominale stroom. Daarbij is de kortsluitspanning 20V. Daarbij is P k = 1kW per fase.

Tenslotte meten we tussen twee fase de ohmse weerstand van de statordraden. Deze is 0,1Ω. Vervolgens belasten we de rotor zodanig dat de slip s = 5%. Bereken de vermogens van de as en het Watt en Blind vermogen van het net en ook het rendement. Doe dit opnieuw, waarbij de slip = 7% en idem waarbij het toerental van de rotor nog steeds meedraait met het statorveld, maar dan met 3100 omw/min.

Antwoord: Uit de gegevens blijkt dat de fasespanning 230V is. De maximale nominale stroom per fase is Sf/Uf = 20k/230 = 87A. Bij de nullastproef hebben we U0 = 230V, I0 = 0,2A en P0 = 30W. Daaruit volgt met P = UIcosϕ dat 30 = 230*0,2*cosϕ, dus cosϕ = 0,652, dus ϕ = 490 en sinϕ = 0,758 en Q = UIsinϕ = 35VAR. Het Watt vermogen P gaat zitten in Rij en het Blind vermogen Q gaat zitten in Xμ. Met P = U2/R en Q = U2/X krijgen we Rij = 1760Ω en Qμ = 1520Ω. Bij de kortsluitproef vinden we Uk = 20V, Ik = 0,8*87A = 69,6A met Pk = 1kW. Met P = UIcosϕ krijgen we dat 1k = 20*69,6*cosϕ, dus cosϕ = 0,72, dus ϕ = 440 en sinϕ = 0,696 en Q = UIsinϕ = 968VAR. Dan volgen uit P = I2R en Q = I2X weer de Rk en Xk. Rk = 0,206Ω en Xk = 0,2Ω. Met Rk = R1 + R’2 kunnen we R’2 bepalen. De R1 per statorwikkeling is de helft van de gemeten 0,1Ω. Rus R’2 = Rk – R1 = 0,206 – (0,1/2) = 0,156Ω.

HAN-FT-CPM

SEECE

119

Inleiding Elektrische Energietechniek

Zetten we dit in het algemene vervangschema voor de nominale situatie van de asynchrone machine, dan krijgen we: j0,2Ω 0,206Ω

I1 +

1760Ω j1520Ω

Ͳǡͳͷ͸

U1

–

ͳെ

I’R

Bij een s = 0,07 wordt dit: j0,2Ω 0,206Ω

I1 +

1760Ω

j1520Ω

2,964Ω

U1

–

I’R

We zien dat Rij en Xμ voor het verdere rekenwerk kunnen worden verwaarloosd. Dan krijgen we: j0,2Ω 0,206Ω

I1 +

2,964Ω

U1 I’R

–

Met U1 =230 0o wordt I1 = 230 0o/(0,206 + 2,964 + j0,2) = 230 0o/(3,17 + j0,2) = 72,4 –3,6oA. Daarmee wordt P3f = 3*230*–72,4*cos(00 + 3,60) = –49,9kW. Q3f = 3*230*–72,4*sin(00 + 3,60) = –3137VAR. Het asvermogen wordt ܲ௔௦ ൌ ͵‫ܫ‬Ԣଶோ ܴԢଶ ܲ௔௦ ൌ

HAN-FT-CPM

ଵି௦ ͵‫ܫ‬ଵଶ ܴԢଶ ௦

ଵି௦ ௦

≈

= 3*͹ʹǡͶଶ ‫ʹ כ‬ǡͻ͸Ͷ ൌ 46,6kW. Het rendement is dan 46,6k/49,9k = 93%.

SEECE

120

Inleiding Elektrische Energietechniek

Berekenen we bovenstaand nogmaals bij een slip van 7%, dan volgt daar uit dat de statorstroom (= is fasestroom = lijnstroom) groter wordt dan de maximale nominale stroom van 87A. Ga dit na (antw: I1 = 101A). De beveiliging zal in gaan of de machine zal verbranden.

De vermogens zijn verder net als bovenstaand uit te rekenen.

Bij een toerental van 3100 omw/min = 51,667 omw/sec zal s = (50 – 51,667)/50 = –0,033333 zijn. Dan krijgen we dat R’2*(1 – s)/s = –31Ω. We zien dus een negatieve weerstand ontstaan.

Dit is een weerstand die geen vermogen opneemt, maar afgeeft!!!

Het vervangschema wordt nu: j0,2Ω 0,206Ω

I1 +

–31Ω

U1 I’R

–

Berekenen we alles opnieuw dan zal blijken dat de fasestroom I1 min of meer omdraait in richting (let op de fase). We zien vervolgens dat de vermogens dan ook van teken zullen wisselen en er een generator ontstaat. Als volgt: I1 = 230 0o/(0,206 – 31 + j0,2) = 230 0o/(–30,8 + j0,2) = 7,47 –179oA. Daarmee wordt het netvermogen P3f = 3*230*–7,47*cos(00 + 1790) = +5154W. Q3f = 3*230*–7,99*sin(00 + 1790) = –96VAR. Het asvermogen wordt ܲ௔௦ ൌ ͵‫ܫ‬Ԣଶோ ܴԢଶ

ଵି௦ ௦

≈ ܲ௔௦ ൌ ͵‫ܫ‬ଵଶ ܴԢଶ

ଵି௦ ௦

= 3*͹ǡͶ͹ଶ ‫ כ‬െ͵ͳ ൌ –5189W.

Het net neemt dus vermogen op en de as levert vermogen. Het rendement is dan 5154/5189 = 99%.

Aanloopkoppel Als we de machine als motor gebruiken, dan blijkt dat het aanloopkoppel erg slecht is. De formule om dit te bekijken gaan we als volgt bepalen. Eerst gaan we daartoe het koppel uitdrukken in de slip. Het asvermogen is Pas = ωasTas ≈ ͵‫ܫ‬ଵଶ ܴԢଶ

ଵି௦ . ௦

(nullastverlies wordt

verwaarloosd).

Met ωas = ωnet(1 – s) krijgen we Tas = 3I12R’2/sωnet Hieruit volgt dat een s rond 0 (rotor draait bijna even snel rond als het statorveld) een veel groter koppel levert dan een s rond 1 (als rotor stilstaat). De twee mogelijkheden om het koppel bij aanloop te beïnvloeden is door R’2 of door ωnet te beïnvloeden.

De 1e methode om dat te doen is om bij het aanlopen van de motor de R’2 een grotere waarde te geven. Dit betekent dat de elektrische weerstand van de rotorstaven op een of andere manier instelbaar moet kunnen zijn. Dat kan op twee manieren. De eerste is de

HAN-FT-CPM

SEECE

121

Inleiding Elektrische Energietechniek

rotorstaven niet kort te sluiten, maar de aansluitingen via sleepringen naar buiten toe te brengen. Daar zetten we tijdens het aanlopen extra weerstanden in. Men noemt dit een sleepringankermotor. Als de rotor eenmaal op gang gekomen is kunnen deze extra weerstanden worden weg geschakeld en zo de kortsluitsituatie weer realiseren. Dit laatste is dan niet binnen in de machine, maar buitenom. Dit is wat ouderwets maar komt nog steeds voor.

De 2e methode om R’2 te beïnvloeden komt veel vaker voor. De rotor krijgt, naast de gewone staven, dieper in de rotor extra staven die veel dikker zijn dan de staven die aan de buitenzijde liggen. Daardoor is de ohmse weerstand daar lager. De staven die aan de buitenzijde liggen hebben bijna geen L effect, omdat een groot deel van het magnetische veld dan door de lucht moet. De staven aan de binnenzijde hebben een veel groter L effect, omdat de magnetische velden binnen de rotor blijven en veel sterker zijn. Bij het aanlopen is de verandering van de flux erg groot. Dan zal een beetje spoel een grote weerstand zijn (XL = ωL). De rotorstroom zal bij het aanlopen dan voornamelijk door de staven gaan die aan de buitenkant van de rotor zitten. Die staven hebben een zekere ohmse weerstand die optimaal is om de machine goed aan te laten lopen. Als de rotor op toeren komt wordt de fluxverandering steeds kleiner en zal het magnetisch veld meer en meer de rotor kunnen binnendringen. De lage ohmse weerstand van de dieper gelegen staven zorgt er dan voor dat de kleinere weerstand voor de rotor aanwezig is.

Het totaal beeld is onderstaand weergegeven. Hierin zien we het koppel Tas als functie van de slip staan. Bij s = 1 (aanlopen) hebben we nu een optimaal koppel.

Tas

-1

HAN-FT-CPM

0

1

SEECE

s

122

Inleiding Elektrische Energietechniek

Als we nu een lastkoppel inbrengen, bijvoorbeeld motor in een voertuig, dan zal bij een hoger toerental (s gaat meer in de richting van 0, bijvoorbeeld 0,1) het lastkoppel toenemen doordat de luchtweerstand toeneemt. Zie onderstaand figuur. We zien dat de motor met een maximaal koppel aanloopt (verschil tussen beide grafieken). Het instelpunt is het evenwichtspunt van het aangeboden koppel (Tas) en het gevraagde koppel (Tlast).

Het bijbehorende vermogen is eenvoudig te berekenen via Pas = ωasTas, waarbij ωas = ωnet(1 – s) = 314(1 – s).

In bovenstaande grafiek zal bij aanlopen van de motor, bij s = 1, het verschil tussen T as en Tlast er voor zorgen dat de motor steeds sneller gaat lopen.

Hoe kleiner R’2, hoe steiler de lijn Tas(s) rond s = 0 loopt.

Vraag: stel in bovenstaand grafiek dat het voertuig meer tegenwind krijgt. Daardoor zal de Tlast in bovenstaande grafiek naar boven schuiven. Beredeneer wat er dan gebeurt met de snelheid van het voertuig en idem met het vermogen? Antwoord: Als Tlast groter wordt en de lijn in de grafiek naar boven schuift, zal de s zal toenemen, dus de snelheid van het voertuig afnemen. Met P = ωT = 314(1 – s)T zal het vermogen ook toenemen (In de formule zien we dat bij een iets grotere s de P zal afnemen. Tegelijk zal echter T veel groter worden. De grafiek loopt daar vrij steil omhoog.T wint het van s).

Vraag: hoe kunnen wij er voor zorgen dat de snelheid ondanks meer en minder tegenwind zo constant mogelijk blijft? Antwoord: door de steilheid van de lijn groter te maken. Dit Tas

Taanloop

Tlast

-1

0

1

s

betekent dat R’2 zo klein mogelijk moet worden gekozen, ofwel een duurdere machine aanschaffen.

De 3e methode om binnen de formule Tas = 3I12R’2/sωnet het aanloopkoppel te beïnvloeden is door de netfrequentie te regelen. Bij aanloop zorgen we dan voor een zeer lage netfrequentie. Dit levert een zeer hoog koppel op. Met doet dit met frequentieregelaars.

HAN-FT-CPM

SEECE

123

Inleiding Elektrische Energietechniek

Opgave 16.1 Bij een asynchrone machine staat in ster geschakeld en heeft een nominale spanning van 400/230V en een Schijnbaar 3-fase vermogen van 90kVA. De volgende metingen worden gedaan. De faseweerstand tussen twee statorwikkelingen is 0,04Ί. De nullaststroom is 0,4A bij een 3-fase vermogen van 180W. De kortsluitproef wordt gedaan op 5% van de nominale spanning en 60% van de nominale maximale stroom. Het 3-fase kortsluitvermogen is dan 1,5kW. Bereken alle gegevens voor het algemene vervangingsschema van de asynchrone machine en verklaar dat in de nominale situatie de nullastverliezen kunnen worden verwaarloosd.

Opgave 16.2 De asynchrone machine uit opgave 16.1 wordt als motor zodanig belast dat de netstroom 80A is. Het rendement van de machine is 95%. Bereken het verlies in de machine, het net- en asvermogen, de slip en het koppel op de as.

Opgave 16.3 De asynchrone machine uit opgave 16.1 wordt nu generator door het toerental van de as op te voeren tot 52 omw/s. Bereken het vermogen dat bij de as naar binnen gaat en vervolgens naar het net gaat. Bereken ook het rendement en de arbeidsfactor cosϕ. Teken het vectordiagram van U1 en I1.

Opgave 16.4 Op welke drie manieren wordt ervoor gezorgd dat het aanloopkoppel voldoende hoog is?

Opgave 16.5 Op welke manier kunnen we het vermogen van de asynchrone machine veel groter maken?

HAN-FT-CPM

SEECE

124

Inleiding Elektrische Energietechniek

17. Synchrone machine De rotor van de synchrone machine is totaal anders dan die van de asynchrone machine. De rotor bestaat namelijk uit een vaste magneet of uit een elektromagneet. In beide gevallen zal de rotor een constant magnetisch veld hebben. Dit magnetische veld haakt in op het magnetische veld van de stator. Het ronddraaiende magnetische veld van de stator neemt daarom de rotor mee in haar draaibeweging. De rotor draait daarom met een vast toerental van 50 omwentelingen per seconde rond. Dit verklaart de naam ‘synchrone machine’.

N1

Z

Z2

Z3

N3

N2

N

Z1

opbouw stator 3 fase machine met rotor van synchrone machine

Het Noord-Zuid-veld van een vaste magneet is in vergelijking met het Noord-Zuid-veld van een elektromagneet vrij zwak. Dit betekent dat als we bijvoorbeeld de as gaan belasten, de krachten op de rotorkoppeling met het statorveld zo groot kan worden dat deze de koppeling los laat, met alle gevolgen van dien.

Vraag: welke gevolgen zijn dat? Antwoord: de rotor zal gaan stilstaan en in deze stand gaan staan trillen door de snelle passage van het statorveld.

In dit dictaat behandelen we verder alleen de grotere synchrone machines. Deze hebben over het algemeen een elektromagneet. De spoel om een stuk weekijzer wordt daarbij gevoed door een gelijkstroom.

N1

Z2

Z

N3

N

Z3

N2

Z1

opbouw stator 3 fase machine met rotor met een elektromagneet van een synchrone machine

HAN-FT-CPM

SEECE

125

Inleiding Elektrische Energietechniek

Vraag: In welke richting loopt de stroom in de bovenste draad bij bovenstaand figuur?

Antwoord: Omdat N aan de onderkant zit, zal de stroom linksom lopen (stroompijl in de bovenste draad is naar links).

De gelijkstroom moet via sleepringen van buitenaf worden aangevoerd OF binnen in de rotor zelf worden opgewekt. Vooralsnog behandelen we alleen de versie waarbij de gelijkstroom extern wordt aangevoerd. We zien dan altijd twee sleepringen voor deze voeding op de as van de rotor. Zie onderstaande foto’s, links een rotor voor een enkel poolpaar en rechts die voor een dubbel poolpaar.

rotor van een synchrone machine uit de labopstelling, links met ĂŠĂŠn poolpaar en rechts met twee poolparen.

Het voordeel van de rotor met de elektromagneet is tweeledig. Ten eerste is, zoals aangegeven, het magnetische veld van een elektromagneet veel sterker dan die van een vaste magneet. Daardoor is er een veel sterkere koppeling met het stator veld en kunnen we de machine veel zwaarder belasten. Ten tweede, en dat is eigenlijk nog veel belangrijker, kunnen we het magnetische veld van de rotor in grootte regelen door de gelijkstroom te regelen. Zoals we eerder zagen kan de asynchrone machine zich uitsluitend inductief gedragen. De synchrone machine kunnen we, met dank aan het regelen van het rotorveld, zowel inductief als capacitief laten gedragen. De verklaring volgt verderop.

Dat de synchrone machine zich zowel inductief als capacitief kan gedragen is voor de toepassing van groot belang, omdat we een achterliggend net moeten gaan voeden. Als het net zich capacitief gedraagt, kunnen we dit capacitieve gedrag misschien nog compenseren met een asynchrone machine, maar als het net zich inductief gedraagt, kan dat niet meer met een asynchrone machine. We moeten dan een synchrone machine gebruiken. Overigens ligt het inductieve gedrag van een asynchrone machine vast en is niet regelbaar. Dit betekent weer dat een aangesloten net alleen kan worden gecompenseerd als het capacitief gedrag daarbij precies klopt. Kortom, een asynchrone machine als generator om een net te voeden is vrijwel niet mogelijk, tenzij in het net elders een synchrone machine staat om voldoende capacitief gedrag te compenseren. Dus windmolens met asynchrone machines kunnen alleen hun werk doen als elders in het net centrales staan met synchrone machines. We kunnen in het net zelf natuurlijk ook met condensatoren en spoelen compenseren. Dat wordt ook gedaan.

HAN-FT-CPM

SEECE

126

Inleiding Elektrische Energietechniek

Vervangschema van de synchrone machine Omdat er bij de synchrone machine geen transformator effect is, zoals dat bij de asynchrone machine wel het geval was, hebben we hier vrijwel geen last van de ijzerverliezen. Wat bij de transformator en de asynchrone machine namelijk gebeurde was, dat het magnetische veld door de stroom in de primaire zijde van de spoel werd opgeheven door de stroom in de secundaire zijde van de spoel. Dat is bij de synchrone machine niet het geval. De statorspoel van de synchrone machine zal in haar volle glorie aanwezig zijn en blijven. De X waarde van de statorspoel van een synchrone machine is dan ook veel groter dan bij de asynchrone machine, zoveel groter zelfs dat de ohmse weerstand van de statorspoel volledig in het niet valt. We nemen deze ohmse weerstand wel mee in het vervangschema, maar we gaan daar niet mee rekenen.

We krijgen zonder rotor het onderstaande éénfase vervangschema voor de steraansluiting.

Dan zien we de statorspoel X1 en de ohmse weerstand van de statorspoel R1. Links zitten de aansluitpunten van de stator (fase en nul). Daar kunnen we straks de fasespanning U1 van het net aansluiten. De fasestroom I1 is ook al meegenomen.

R1

I1

jX1

Er is in deze situatie, waarbij geen netspanning is aangesloten, geen statorveld. We gaan nu een rotor met 50 omwentelingen per seconde laten ronddraaien. Dan zal, indien een stroom door de rotorspoel loopt, een magnetische veld van de rotor in de statorspoel X1 een 50Hz wisselspanning veroorzaken. We tekenen deze spanning buiten de spoel in het schema en noemen deze spanning U12. (U één twee; de één slaat op de stator en de twee op de rotor.

Het is de spanning die in de statorspoel ontstaat door de rotor). De fase ϕ12 van de spanning U12 hangt af van de stand van de rotor ten opzichte van spanning U1. We krijgen dan het volgende algemene vervangschema van de synchrone machine:

R1

I1

jX1

+

+

U12 = U12 ϕ12o V

o

U1 = U1 ϕ1 V –

–

HAN-FT-CPM

SEECE

127

Inleiding Elektrische Energietechniek

De gelijkstroom voor de elektromagneet van de rotor is natuurlijk bepalend voor de sterkte van het magnetische veld, en dus voor de grootte van U12. Deze gelijkstroom noemen we de bekrachtigingsstroom I2. Voor elke synchrone machine is er een vast verband tussen U12 en I2. We noemen die relatie in dit dictaat λ (lamda), als volgt U12 = λI2.

Note: verwar de bekrachtigingsstroom I2 niet met I2. De eerste is de gelijkstroom naar de rotor en de tweede is een wisselstroom, zijnde de 2e fase- of lijnstroom in een 3-fase net.

Vraag: Verklaar waarom de synchrone machine niet zomaar geschikt is als motor. Antwoord: Als de rotor stil staat en we de stator aansluiten op een 3-fase wisselspanning, dan zal het ronddraaiende statorveld te snel voorbij de stilstaande rotorpolen langslopen om de rotor mee te krijgen. Daarvoor is de massatraagheid van de rotor veel te groot. De rotor zal daarom gaan trillen (krijgt 100 keer per seconde een aantrekkende en afstotende krachtwerking).

De synchrone machine wordt vooral gebruikt als generator. Dit, zoals reeds aangegeven, omdat we met deze machine naast Watt vermogen ook Blind vermogen (inductief of capacitief gedrag) kunnen realiseren. Om de eigenschappen van de machine te kunnen achterhalen doen we weer een nullastproef en een kortsluitproef, maar niet zoals bij de asynchrone machine door het net aan te sluiten en de machine als motor te zien, maar bij de synchrone machine door deze als generator te bekijken. We sluiten dus nog geen netspanning aan maar wekken die zelf op.

Nullastproef Tijdens de nullastproef gaan we via een externe motor de rotor op een toerental van 50 omwentelingen per seconde zetten. Vervolgens zetten we de bekrachtigingsstroom I2 op nul en draaien deze langzaam op. We meten intussen de spanning op de klemmen. Deze is gelijk aan U12. (De R1 en X1 spelen geen rol omdat I1 nul is). Zie onderstaande grafiek.

Het zal opvallen dat de fasespanning langzaam afvlakt omdat de rotor in verzadiging komt.

Dat is logisch, omdat hier geen sprake is van de tegenwerking van het magnetische veld zoals bij een transformator of asynchrone machine.

Vanzelfsprekend gaan we met het opvoeren van de bekrachtigingsstroom I2 niet verder dan de door de fabrikant opgegeven maximum.

Met deze grafiek kunnen we de relatie U12 = λI2 vastleggen. Zoals we zien is λ niet overal dezelfde waarde. Daarom nemen we de λ daar waar U12 de nominale fasespanning Unom van de machine is. In onderstaand voorbeeld is bij een bekrachtigingsstroom van 2A een nominale spanning van 230V aanwezig.

HAN-FT-CPM

SEECE

128

Inleiding Elektrische Energietechniek

U12

Unom

230V

I2 2A Kortsluitproef De kortsluitproef voeren we uit door opnieuw de rotor op 50 omwentelingen per seconde te brengen. De aansluitklemmen van de stator sluiten we kort en meten daar de kortsluitstroom. We voeren nu de bekrachtigingsstroom I2 zover op tot ongeveer de 80% van de maximale nominale waarde van de fasestroom I1 welke we voor de ‘kortsluitproef’ Ik noemen. Daarmee ligt de relatie tussen I2 en Ik vast.

We zetten dit verband in de nullast grafiek er bij, zie hieronder, bijvoorbeeld bij een bekrachtigingsstroom van opnieuw 2A gelijkstroom zal de wisselstroom Ik = 10A zijn.

Ik, U12

Nullastproef

Unom

Kortsluitproef

10A I2 2A

Omdat bij de nullastproef de relatie tussen I2 en U12 al was gevonden, kunnen we van daar uit de relatie tussen Ik en U12 bepalen. Deze relatie is formeel U12/Ik = R1 + jX1. Omdat we weten dat X1 >> R1 kunnen we eenvoudig stellen dat U12/Ik ≈ jX1 en of nog eenvoudiger U12/Ik = X1 De R1 meten we apart door de ohmse weerstand tussen twee fasen te meten en dit te delen door twee, of de ohmse waarde tussen een fasedraad en het sterpunt direct te bepalen.

HAN-FT-CPM

SEECE

129

Inleiding Elektrische Energietechniek

In alle gevallen gaan we er van uit dat het toerental van de rotor op 50 omwentelingen per seconde staat.

Voorbeeld 17.1: We hebben een synchrone machine die in ster is aangesloten met S3f = 60kVA met een U = 400/230 V. Tijdens de nullastproef is bij een bekrachtigingsstroom I2 = 4A de nominale fasespanning bereikt. Voor de kortsluitproef gaan we uit van een maximale stroom van 70A. (De S1f = 20kVA bij Uf = 230V, wordt Inom = 87A. Dan is 80% van die waarde 70A). De bijbehorende I2 om die kortsluitstroom te bereiken blijkt nu 12A te zijn. Omdat de lijn van de nullastproef niet lineair verloopt gaan we de kortsluitproef lijn volgen, die wel lineair verloopt. Dan zou de kortsluitstroom bij een bekrachtigingsstroom van 4A dus worden 70A*4/12 = 23,3A. De U12 is dan 230V. Dus de X1 = 230/23,3 = 9,86Ω.

We meten vervolgens de ohmse weerstand van de statorspoelen tussen twee fasen, en die blijkt 0,032Ω te zijn. Dus dan is voor één spoel R1 = 0,016Ω. We zien dat R1 inderdaad veel kleiner is dat X1.

Ik, U12

Nullastproef

230V 70A

Kortsluitproef

23,3A

4A

12A

I2

Voorbeeld 17.2: We gaan deze synchrone machine gebruiken om een net te voorzien van een fasespanning van 230V en deze te belasten met een impedantie Z. Deze impedantie is een serieschakeling van een weerstand met een spoel; Z = 3 + j2 ohm, zie onderstaand schema, waarin R1 niet is meegenomen omdat deze veel kleiner in waarde is dan X1 en Z.

I1

IZ

j9,86Ω +

–

+

Z = 3 + j2

+

–

–

HAN-FT-CPM

U12 = U12 ϕ12o V

U1 = 230 0o V

SEECE

130

Inleiding Elektrische Energietechniek

Dan is IZ = 63,7 –34oA. Dan is I1 = 63,7 146oA. Uit de 2e Wet v Kirchhoff volgt U1 – I1*j9,86 – U12 = 0. Dus U12 = U1 – I1*j9,86 = 230 0o – 63,7 146o*j9,86 = 230 0o – 628,1 236o = 230 + 351,2 + j520,7 = 581,2 + j520,7 = 780 42o = U12 ϕ12o.

Bij deze U12 = 780V is de bijbehorende bekrachtigingsstroom te bepalen uit het gegeven dat als U12 een spanning heeft van 230V, de bekrachtigingsstroom 4A is (zie boven). Dus λ = 230/4 = 57,5. Dus bij 780V wordt die stroom I2 = 780V/57,5 = 13,56A.

U12 = 780 420V

U1 = 230 00V

δ

ϕ1

I1 = 63,7 1460A

We zien dat de aangeboden fasespanning U1 een andere fasehoek heeft dan de door de rotor in X1 opgewekte spanning U12. Het statorveld en het rotorveld hebben dus onderling een hoek. De Noord-Zuid aantrekking wil er voor zorgen dat de rotor exact gelijk in het statorveld staat en dus beide fasen precies gelijk zijn, maar door de last van de machine (motor of generator) zal dat in de praktijk niet zo zijn. We noemen dit de lasthoek δ (delta).

De lasthoek hier is dus δ = 420.

Het rotor- en statorveld blijven wel aan elkaar trekken met kracht die afhankelijk en evenredig is met de grootte van de lasthoek. Het is alsof er een elastiek tussen zit. Het gevolg daarvan is dat als er een plotselinge lastverandering optreedt, de rotor heen en weer kan gaan slingeren tussen de oude en de nieuwe lasthoek. Vooral bij grote lastverandering kan de machine gaan staan trillen en beschadigen. Men voorkomt dit in de praktijk door een asynchrone wikkeling mee te nemen op de rotor.

De lasthoek kan in de praktijk niet groter worden dan ±700.

HAN-FT-CPM

SEECE

131

Inleiding Elektrische Energietechniek

Opdracht : Verklaar waarom deze asynchrone wikkeling het slingeren van de rotor rond de lasthoek voorkomt. Verklaar ook waarom de lasthoek beperkt is tot bovengenoemde waarden.

Het asvermogen bepalen we bij de bron U12 en daar vinden we Pas = 3*780*63,7*cos(420 – 1460) = –36060W ≈ –36kW. Dit Watt vermogen van de as moet gaan zitten in het weerstandsdeel van Z, welke aldaar is P3f = 3I2R = 3*63,72*3 = 36519W. Dit klopt, gezien de afrondingen heel aardig en we zien dat de as van de synchrone machine inderdaad het gevraagde Watt vermogen levert aan het net. Kijken we naar het Blind vermogen, dan moet eea natuurlijk ook kloppen. De belasting in het net is dan Q3f = 3I2X = 3*63,72*2 = 24346VAR ≈ 24kVAR. Bij de bron U12 vinden we Q3f = 3*780*63,7*sin(420 – 1460) = –144639VAR ≈ –145kVAR. Vergeleken met het Blind vermogen in het net missen we nog +121kVAR. Dat klopt, want dat Blind vermogen zit nog in de eigen statorspoelen van de synchrone machine ; Q3f = 3I2X1 = 3*63,72*9,86 = 120kVAR. Conclusie : de synchrone machine gedraagt zich in totaal capacitief (–145kVAR + 120kVAR = – 25kVAR) en het net gedraagt zich voor datzelfde getal inductief (+24kVAR). Dit betekent dat de synchrone machine via haar draaiende rotor met het magnetische veld toch capacitief gedrag oplevert.

Wat overigens ook opvallend is, is dat U12 een veel hogere spanning heeft dan de nominale fasespanning. Dit komt weer omdat X1 een behoorlijk grote waarde heeft ten opzichte van de Z van het net. Een grote X1 ten opzichte van het net betekent dus dat de spanning U12, die in de spoel X1 wordt opgewekt door de rotor, zelf behoorlijk op kan lopen. Bij de constructie van de machine moet daar rekening mee worden gehouden.

Voorbeeld 17.3: We gaan bovenstaande machine nogmaals gebruiken, maar nu gaan we deze rechtstreeks aan het (sterke) net hangen. We stellen I1 = 50 20oA. Gezien de fasehoek (de stroom gaat uit de bron U1 naar de machine) krijgen we de indruk dat het net via U1 vermogen zal leveren aan de machine. We gaan dit uitwerken en krijgen dan onderstaand schema:

Inet

I1

jX1 = j9,86 +

– +

+

U12 = U12 ϕ12o V

U1 = 230 0o V –

–

Volgens de 2e Wet van Kirchhoff krijgen we U1 – I1*j9,86 – U12 = 0. Dus U12 = U1 – I1*j9,86 = 230 0o – 50 20o*j9,86 = 230 – 493 110o = 230 + 168,6 –j463 = 398,6 – j463 = 611 311oV = 611 –49oV. Zetten we dit in het complexe vlak dan krijgen we:

HAN-FT-CPM

SEECE

132

Inleiding Elektrische Energietechniek

U12 = 611 –410V

U1 = 230 00V

ϕ1 δ I1 = 50 200A

Voor de vermogens krijgen we de volgende berekeningen: Voor het net geldt P3f = 3*230*–50*cos(00 – 200) = –32420W en Q3f = 3*230*–50*sin(00 – 200) = 11800VAR. Voor de machine geldt QX1 = 3*502*9,86 = 73950VAR en PU12 =Pas = 3*611*50*cos(–490 – 200) = 32844W en QU12 = 3*611*50*sin(–490 – 200) = –85563VAR. De machine gedraagt zich als motor en de as neemt 32844W op uit het net. Verder gedraagt de machine zich met QX1 + QU12 = 73950VAR – 85563VAR = – 11613VAR capacitief. Het net zelf gedraagt zich inductief met dezelfde waarde.

Bekijken we nu achteraf hoe de R1 in dit spel meedoet, dan kunnen we daar nog enig vermogensverlies door krijgen. Het 3-fase vermogensverlies van de machine is dan P = 3I2R = 3*502*0,016 = 120W. Vergeleken met de eerder berekende vermogens speelt dit geen enkele rol.

Bekijken we het bovenstaande complexe vlak, dan zien we dat de stroom I1 net als U1 naar boven wijst. Dit geeft aan dat deze stroom ongeveer dezelfde fase heeft als U1 en de stroom vanuit U1 naar de machine gaat. De machine zal dus als motor draaien. In het antwoord bij opgave 16.3 bij de asynchrone machine zien we dat I1 ten opzichte van U1 naar beneden wijst. Dat betekent dat de stroom I1 bij U1 naar binnen gaat, dus dat de machine als generator werkt.

Dus als I1 in het complexe vlak naar boven wijst is de machine een motor. Wijst I1 naar beneden dan is de machine een generator.

In het laatste vectordiagram zien we nog iets, nl dat U12 naijlt op U1. Dit geeft aan dat de netspanning U1 de rotor via U12 meetrekt. Dit is typisch motorgedrag. Zou U12 voorijlen op U1, dan is het omgekeerde het geval, namelijk dat de rotor via U12 de netspanning meetrekt, dus generatorgedrag.

We kunnen op twee manieren aan de fasen van de spanningen en stromen, en dus in het vectordiagram zien of de machine zich als motor of generator gedraagt, maar ook of de

HAN-FT-CPM

SEECE

133

Inleiding Elektrische Energietechniek

machine zich inductief of capacitief gedraagt. Zie onderstaande figuur, zijnde het vier kwadranten vectordiagram.

U1 = U1 00V

I1 wijst naar boven; dan motor

I1 I1

I1 wijst naar beneden; dan generator

I1

I1

I1 ijlt voor op U1 Machine heeft ohms-capacitief gedrag (en net ohms-inductief gedrag).

I1 ijlt na op U1 Machine heeft ohms-inductief gedrag (en net ohms-capacitief gedrag).

Voorbeeld 17.4: We gaan het schema van bovenstaande opzet nog eens herhalen en stellen nu dat de bron U1 links belast is met een ohmse weerstand van 10Ω. We krijgen dan het volgende schema. Hierin stellen we opnieuw dat I1 = 50 200A.

IR

Inet +

10Ω

jX1 = j9,86

I1

+

+

Ib

U12 = U12 ϕ12o V

U1 = 230 0o V –

–

HAN-FT-CPM

–

SEECE

134

Inleiding Elektrische Energietechniek

Opnieuw gaan we met de 2e Wet van Kirchhoff in de rechter maas aan de slag en vinden dezelfde waarden als bij opgaven 17.3 voor U12. Blijkbaar heeft de extra belasting van de 10Ω weerstand in het net geen invloed op deze U12. De vermogens bij U12 en X1 blijven dan ook allemaal zoals ze eerder waren bepaald. Wat wel verandert is het vermogen in U1. Volgen we de 2e Wet van Kirchhoff in de linker maas, dan vinden we dat IR = 23 0o A. Met de 1e Wet van Krichhoff kunnen we vervolgens Ib uitrekenen. Deze stroom wordt Ib = – IR – I1 = – 23 0o – 50 200 = – 23 – (47 + j17,1) = – 70 – j17,1 = 72,1 1940A. De 3-fase vermogens in de weerstand en de bron U1 zijn dan als volgt : PR = 3*232*10 = 15870W en PU1 = 3*230*72,1*cos(00 – 1940) = –48271W en QU1 = 3*230*72,1*sin(00 – 1940) = 12035VAR. Pakken we de voorgaande vermogens in de machine er nog even bij, dan zijn dat : QX1 = 73950VAR, PU12 =Pas = 32844W en QU12 = –85563VAR. Onderstaand is dan bij de betreffende elementen gezet.

QX1 = 73950VAR

+

+

PU1= –48271W QU1 = 12035VAR

PR = 15870W –

Net

PU12 = 32844W QU12 = –85563VAR

–

Synchrone machine

Als we beide bovenstaande situaties in voorbeelden 17.3 en 17.4 (zonder en met extra 10Ω weerstand) vergelijken, blijkt dat het net zoveel meer vermogen gaat leveren, dat de betreffende weerstand gevoed wordt. In het net zitten dus centrales en windmolens die samen de gewenste spanning verzorgen. Dit noemt men een ‘sterk net’. De definitie van een sterk net is dat ongeacht de vraag de spanning altijd gelijk blijft en elke vraag aan Blind en Watt vermogen kan worden beantwoord.

Vraag: Controleer van bovenstaand figuur of het vermogensevenwicht klopt en geef het gedrag van de verschillende bronnen aan. Antwoord: De linker bron levert Watt vermogen aan de weerstand links en de machine rechts. De rechter bron neemt Watt vermogen op (motorgedrag) en gedraagt zich aldaar capacitief.

Vraag: Stel nu in bovenstaand plaatje dat de windmolen wel het betreffende Watt vermogen kan leveren, maar dat de Q van de windmolen vast ligt op 5kVAR. Wat moet er dan gebeuren om de netspanning op 230V te houden (en de bijbehorende stromen dan ook blijven kloppen)? Antwoord: De Q van de machine (QX + QU12) moet nu anders worden, nl totaal – 5kVAR. De synchrone machine moet op een of andere manier in samenwerking met het net en de belastingen zorgen dat het totale vermogensevenwicht altijd blijft kloppen. Dat geldt dus

HAN-FT-CPM

SEECE

135

Inleiding Elektrische Energietechniek

voor het Watt en Blind vermogen. Dit doen we bij de synchrone machine door het Blind vermogen via de bekrachtigingsstroom I2 en het Watt vermogen via het askoppel te regelen.

(Let op, het toerental van de as blijft precies 50 omwentelingen per seconde).

Het zal logisch zijn dat het veranderen van de gelijkstroom I2 geen echt Watt vermogen kost, vandaar we via de grootte van de bekrachtigingsstroom het Blind vermogen kunnen regelen.

Als we het Watt vermogen willen regelen gaan we het koppel op de as veranderen. Bij een motor doen we dat door de last groter of kleiner te maken. Bij een generator is dat bijvoorbeeld door meer of minder brandstof aan de aandrijvende motor te geven. Daardoor zal de positie van de rotor (U12) ten opzichte van het netveld (U1) worden beïnvloed. Geven we minder brandstof dan zal de rotor langzamer gaan lopen en U12 steeds meer gaan achterlopen (naijlen op U1) zodat we na enige tijd de synchrone machine als motor hebben draaien. Geven we weer meer brandstof, dan zal U12 uiteindelijk weer gaan voorijlen op U1 en de synchrone machine gaat zich weer als generator gedragen. In al deze situaties verandert de lasthoek en blijft het toerental 50 omw/sec.

Zouden we een synchrone machine in een windmolen zetten, dan zal het toerental van de rotor van de windmolen altijd 50 omwentelingen per seconde zijn (via tandwielen of een ander poolpaar zal het werkelijke toerental van de schoepen natuurlijk veel minder zijn). Als er geen wind staat is de windmolen een ventilator en als er voldoende wind staat is het een generator. Het eerste geval is natuurlijk niet gewenst en wordt de machine van het net afgeschakeld.

Machinediagram Elke machine kent zijn grenzen. Het Watt vermogen moet elektrisch passen bij het asvermogen. Het heeft geen zin het asvermogen met bijbehorende kogellagers zo te ontwikkelen dat tientallen MW’s kunnen worden gerealiseerd terwijl we elektrisch niet verder komen dan een paar kW. Zo zijn de maximale statorspanning U1 de maximale stroom I1 in de statorspoelen en de maximale bekrachtingsstroom I2 in één diagram gezet. Dit wordt verder gekoppeld aan het maximale lastkoppel δ, welke in positieve richting mogelijk iets anders ligt dan in negatieve richting en het maximale asvermogen (dat bij de synchrone machine vrijwel gelijk is aan het maximale elektrische vermogen omdat R1 vrijwel geen rol speelt. Daaruit volgen dan ook weer de minimale en maximale Blindstroom.

Machinediagrammen zijn er in verschillende vormen en maten. Soms wordt uitgegaan van de officiele notaties van de vectorrichtingen, zoals in dit dictaat behandeld. Daarbij wijst I1 als generator naar beneden. Juist bij het gebruik van synchrone machines als generator wordt dit diagram belangrijk. Men gebruikt dan de Inet die naar boven wijst. In het machine diagram worden daarom weliswaar de grenzen van de machine gegeven, maar uitgedrukt in de netstroom en netvermogens.

HAN-FT-CPM

SEECE

136

Inleiding Elektrische Energietechniek

Onderstaand een voorbeeld van een machinediagram:

Pnet

Pas max

δmax

I2 ϕ1

Smax = UI [VA]

Inet

δ Qnet ind [VAR]

Qnet cap [VAR] Machinediagram Synchrone generator

In bovenstaand machinediagram van een generator zien we de lasthoek, welke alleen linksom en dus positief kan zijn. Dat klopt, want de bekrachtigingsstroom I2 is een relatie van U12 via U12 = λI2. Bij een generator ijlt U12 altijd voor op U1 en is de lasthoek δ positief en tussen de 00 en maximaal (ongeveer) 700. We zien verder dat het maximale asvermogen Pas in dit voorbeeld iets kleiner is dan het elektrisch Watt vermogen (dat evengoed iets hoger had kunnen liggen).

Voorbeeld 17.5: We laten bovenstaande situatie nog even zien bij het volgende voorbeeld met Inet = 15 00A en dus I1 = 15 1800A. U1 = 230 00V en jX1 = j10Ω. We stellen λ = 9,2. Dan volgt na enig rekenwerk dat U12 = 275 340V en daarmee is I2 = 30A. Als we Pnet berekenen dan krijgen we Pnet = 3*230*15*cos(00 – 00) = 10,35kW.

Inet = 15 00A

I1 = 15 1800A

jX1 = j10 +

– +

+

U12 = U12 ϕ12o V

U1 = 230 0o V –

HAN-FT-CPM

–

SEECE

137

Inleiding Elektrische Energietechniek

In het machinediagram zouden we dan zitten op de plek zoals onder weergegeven:

Pnet Pas max

δmax I2 = 30A

δ = 340

10,35kW

Inet = 15 00A

Smax = UI [VA]

Qnet ind [VAR]

Qnet cap [VAR]

De asynchrone machine versus de synchrone machine Vergelijken we de asynchrone machine nog met de synchrone machine, dan kunnen we stellen dat de asynchrone machine eenvoudig en goedkoop is terwijl de synchrone machine die wij voor ogen hebben sleepringen heeft en duurder is. Meestal is het dan maatwerk.

De synchrone machine heeft een regelbaar Blindvermogen en kan zich derhalve inductief EN capacitief gedragen. Dat kan de asynchrone machine niet. Deze kan zich alleen op een vaste waarde inductief gedragen.

Opgave 17.1: Bij een synchrone machine met de nominale spanning 230/400V en een S3f = 56,679kVA wordt de nullastproef gedaan. Dan is de bekrachtigingsstroom I2 = 2,3A als aan de klemmen de nominale fasespanning staat. Bij de kortsluitproef, welke wordt gedaan op 80% van de maximale waarde van de statorstatorstroom, is de bekrachtigingsstroom I2 = 9,2A. De ohmse weerstand tussen twee fasen is 0,01Ω. Bereken λ en X1 en toon aan dat R1 wegvalt tov X1.

Opgave 17.2: De machine van opgave 17.1 wordt als generator aangesloten op een net dat een 3-fase Watt vermogen vraagt van 30kW bij een cosϕ = 0,8. Het net gedraagt zich capacitief. Bereken Inet en Znet, I1, U12, I2 en alle vermogens. Wat valt op bij de lasthoek? Teken twee schema’s; de eerste door de netspanning als bron en de tweede als impedantie te bekijken. Bereken ook het askoppel.

HAN-FT-CPM

SEECE

138

Inleiding Elektrische Energietechniek

Opgave 17.3: Een synchrone machine met een lijnspanning van 10kV en X1 van 25Ω. De R1 mag verwaarloosd worden. De λ = 400. De machine wordt als motor gebruikt en aangesloten op het net. De lijnstroom is dan 100A met een cosϕ = 0,45. De machine gedraagt zich inductief.

Bereken I1, U12, I2 en alle vermogens. Wat valt nu op bij de lasthoek? Teken het schema en teken de spanningen U1 en U12 en stroom I1 in het complexe vlak.

Opgave 17.4: Verklaar a. hoe het kan dat een synchrone machine geen last heeft van een slingerende rotor bij variërende belasting, b. waarom de rotor van een synchrone machine niet van lamellen hoeft te worden gemaakt, c. hoe we de Blind- en Wattvermogens bij synchrone machines kunnen beïnvloeden, d. of de lasthoek groter of kleiner wordt als we de rotorstroom groter maken.

Opgave 17.5: Bereken en teken de situatie in het machinediagram bij voorbeeld 17.5 met Inet = 15 –30o V en verklaar wat er gebeurt.

HAN-FT-CPM

SEECE

139

Inleiding Elektrische Energietechniek

Antwoorden 7.1a: Volgens de 2e Wet van Kirchhoff krijgen we +100 – (IR) – Uk = 0. Aangezien I = 0 krijgen we Uk = 100V. Note: de grootte van de weerstand in dit circuit is dus blijkbaar niet van belang. De klemspanning van 100V blijft 100V. 7.1b: De stroom die door het lichaam gaat lopen is I = 100V/(14kΩ + 1kΩ) = 6,7mA. Stromen van 10mA en groter zijn dodelijk. Zouden we de weerstand van 1kΩ kleiner maken, dan zal de stroom nauwelijks toenemen, omdat de 14kΩ weerstand van het lichaam daarmee in serie blijft staan. De maximale stroom krijgen we als de 1kΩ teruggebracht wordt tot 0. De stroom door het lichaam wordt dan 7,1mA. Nog steeds niet dodelijk (maar niet iets om uit te proberen!). Zouden we de spanning hoger maken, dan wordt het natuurlijk wel gevaarlijker.

Een lichaam kan vochtig zijn en een lagere eigen weerstand hebben. De stroom wordt daardoor groter.

7.2a: 0,5Ω.

7.2b: 500Ω. De weerstand van de batterij is groter geworden wat betekent dat het chemisch proces slechter is gaan werken. Een lege batterij kan dus nog wel 1,5V zijn, maar deze spanningsbron kan niet meer voldoende stroom leveren aan een apparaat omdat zijn eigen weerstand te groot is geworden.

7.3: We kunnen dit eenvoudig uitrekenen zonder de Wetten van Kirchhoff toe te passen. De stroom zal de totale spanning over het circuit zijn gedeeld door de totale weerstand, dus I = 100/(10 + 40) = 2A. De spanning over de eerste weerstand is dan 2*10 = 20V en de spanning over de tweede weerstand is dan 2*40 = 80V. Merk op dat de som van de spanningen over beide weerstanden weer gelijk is aan 100V. Voor wat betreft de vermogens zal de bron –200W zijn en de weerstanden respectievelijk 40W en 160W. 7.4: Ook dit kunnen we zonder de wetten van Kirchhoff goed uitrekenen. Over beide weerstanden staat 100V. Dus door de ene weerstand loopt 10A en de andere 2,5A. De totale stroom is dan 12,5A (evt de 1e Wet van Kirchhoff toepassen om dit te berekenen). Het bronvermogen is dan – 1,25kW en de vermogens van de weerstanden zijn dan 1kW en 250W. Merk op dat de grootste stroom gaat door de kleinste weerstand.

7.5: Bij het eerste circuit is de spanning over elke weerstand 45V. Bij het tweede circuit is de spanning over de weerstand waar de voltmeter over staat gezakt naar 40V en over de andere weerstand staat dan een spanning van 50V. 7.6: Bij het toepassen van de 2e Wet van Kirchhoff krijgen we in de linker maas: + 10 – 4I1 – 2I2 – 6I1 = 0. De middelste maas levert: 2I2 – 8I3 = 0 en de rechter maas levert: 8I3 + 3,2 = 0. Uitwerken hiervan geeft I3 = – 0,4A, I2 = – 1,6A en I1 = 1,32A. Met de 1e Wet van Kirchhoff krijgen we I1 – I2 – I5 = 0, I5 – I3 – I4 = 0 en I2 + I6 – I1 = 0. We laten één afhankelijke vergelijking, bijvoorbeeld I3 + I4 – I6 = 0 dan buiten beschouwing. Met invulling van eerder gevonden stromen krijgen we nu I5 = 2,92A, I4 = 3,32A en I6 = 2,92A. De vermogens worden gevonden met P10V = 10*(–1,32) = –13,2W, P3,2V = 3,2*(–3,32) = –10,62W, De vermogens bij

HAN-FT-CPM

SEECE

140

Inleiding Elektrische Energietechniek

de weerstanden worden allemaal berekend met P = I2R. Zo vinden we P4Ω = 6,97W, P6Ω = 10,45W, P2Ω = 5,12W, P8Ω = 1,28W. Daarmee is Pgeleverd = Popgenomen.

7.7: Bij de methode zonder de wet van Kirchhoff toe te passen gaan we als volgt te werk. We zien dat de spanning over beide linker weerstanden 10V is en de totale weerstand aldaar 20Ω. De stroom zal aldaar 0,5A bedragen. Als we datzelfde doen met de rechter twee weerstanden, dan blijkt de stroom 0,3333A te zijn. Stel dat we de onderkant als referentiepunt nemen en daar 0V stellen. Dan is de spanning in punt A gelijk aan 0,5*15 = +7,5V en in punt B wordt dat +6,67V. De spanning in A is meer positief dan in B, dus de spanning UAB = 0,83V. Doen we dit via de 2e Wet van Kirchhoff, dan krijgen we + 10 – 5I1 – 15I1 = 0, 5I1 – 10I2 + UAB = 0 en 15I1 – UAB – 20I2 = 0. In de laatste twee vergelijkingen gaan we er van uit dat UA een hogere spanning heeft dan UB. Nu blijkt na uitwerking dat UAB = 0,83V, en klopt deze stelling.

Uit het voorgaande blijkt dat slim kijken naar een schakeling niet altijd ingewikkeld hoeft te zijn. Soms kunnen we echter niet anders dan de wetten van Kirchhoff toepassen om achter de waarden van spanningen en stromen te komen.

7.8: a. P = U2*Rb/(Ri+Rb)2 b.

P

Ru

c. Het maximale vermogen is daar waar de grafiek uit b. horizontaal loopt. We kunnen dus de formule uit antwoord a. differentiëren naar variabele Rb en het resultaat = 0 stellen om de bijbehorende Rb, waar de grafiek horizontaal loopt, te vinden. Daartoe moeten we bij het differentiëren de quotiëntregel toepassen, omdat de variabele Rb zowel in de teller als in de noemer in de formule bij a. staat. We krijgen dan ௗ௉ ௗோ್

ൌ

௎ మ ሺோ೔ ାோ್ ሻమ ିଶ௎ మ ோ್ ሺோ೔ ାோ್ ሻ ሺோ೔ ାோ್ ሻర

ൌ Ͳ.

Werken we dit uit, dan krijgen we Rb = Ri. Dit betekent dat het maximale vermogen uit een systeem (spanningsbron U met inwendige weerstand Ri) wordt overgedragen aan de buitenwereld (Rb) als de buitenwereld dezelfde weerstand heeft als de weerstand van het systeem.

Dat Rb = Ri voor maximaal vermogen is een belangrijke eigenschap die we in en buiten de techniek erg veel tegenkomen. Een voorbeeld daarvan is dat de luidsprekers die op een versterker worden aangesloten bijna altijd een weerstand van ongeveer 8Ω hebben. Deze waarde vinden we namelijk ook als we de versterker inwendig zouden bekijken aan de uitgang. Zo krijgen we maximaal vermogen vanuit de versterker in de luidspreker. Let op … dit maximale vermogen is niet gelijk aan het maximale rendement. Het rendement is zelfs zeer slecht. Het is maar net wat belangrijk is. We zullen hier veel mee te maken krijgen als het onderwerp transformatoren voorbij

HAN-FT-CPM

SEECE

141

Inleiding Elektrische Energietechniek

komt. Een voorbeeld uit de mechanica is dat een sleepboot bij het wegslepen van een object zo veel mogelijk vermogen in haar schroef wil hebben. Daartoe stelt men de (verstelbare) bladen van de schroef zo in dat deze dezelfde weerstand in het water ondervinden als de weerstand die de zuigers van de motor ondervinden. Hier telt ook niet het rendement maar, al is het maar tijdelijk, het maximale vermogen.

7.9: 7Ω + 4Ω = 11Ω. Deze 11Ω staat parallel aan de 2Ω. Dan wordt de vervangweerstand van deze twee weerstanden 11*2/(11 + 2) = 22/13 = 1,692Ω. Verder zien we 10Ω // 9Ω staan. Die vervangweerstand wordt 10*9/(10 + 9) = 4,737Ω. Deze laatste weerstand staat weer in serie met de 1,692Ω. Die twee opgeteld levert weer 6,428Ω. Die staat weer parallel aan de 8Ω. De vervangweerstand wordt dan weer 8*6,428/(8 + 6,428) = 3,564Ω. Deze laatste weerstand staat weer in serie met de 3Ω. De bron ziet dus 6,564Ω.

7.10: Ibron = 15,235A en zo vinden we ook I8Ω = 15,235*6,428/(8 + 6,428) = 6,789A. Deze laatste formule ontstaat omdat de stroom zich omgekeerd evenredig verdeelt door de weerstanden van 8Ω en 6,428Ω.

7.11: Omdat de diode in geleiding staat, tekenen we op de plek van de diode een bron van 0,3V, met links een plus en rechts een min. Tevens tekenen we daar een extra weerstand Ri van 0,4Ω. De totale spanning wordt dan 40V – 0,3V = 39,7V en de totale weerstand wordt dan 3 Ω + 0,4 Ω = 3,4Ω. De stroom I = 39,7/3,4 = 11,676A. Het vermogen bij de bron wordt Pb = – 467,06W, Pd = 58,03W (54,5W voor de Ri en 3,5W voor Ud) en PR = 409W. Het vermogen van de diode is niet te hoog (zie gegevens). De spanningen zijn vervolgens: De totale spanning over de diode is 0,3V + IRi = 0,3V + 4,67V ≈ 5V en de spanning over de weerstand is IR ≈ 35V. Totaal opgeteld is dat weer de bronspanning van 40V. 7.12: De diode staat nu duidelijk in sperrichting. Het circuit zal stroomloos zijn en de volledige spanning van 40V zal nu over de diode staan. Deze spanning is hoger dan de doorslagspanning en de diode zal vervolgens doorslaan. Toelichting: dit doorslaan begint met de doorslagspanning over de diode, nl de gegeven doorslagspanning van 25V die de diode nog even zal volhouden. Er zal over de weerstand van 3 Ω nu 15V overblijven. Daardoor loopt er in het circuit een stroom van 5A. Het vermogen in de diode is dan 125W. Dit vermogen is te hoog (zie gegevens bij de opgave) en de diode zal vervolgens verbranden. Dan volgen twee mogelijkheden: Meestal betekent dit een kortsluiting. Het nieuwe schema is dan een doorgetrokken draad in plaats van de diode. De spanning van 40V komt dan over de weerstand van 3Ω te staan en de stroom zal dan 13,33A worden. Het kan ook zijn dat de diode door het verbranden wegvalt. Dan zal het circuit verder stroomloos zijn en de volle spanning van 40V komt dan over de (kapotte) diode te staan. Voor het meten in een werkende schakeling kunnen we een snelle actie doen door eenvoudig kijken of over de diode een spanning van 0V staat. Dat is in alle gevallen niet de bedoeling.

8.1: 1mC 8.2: a. I = 0, b. I = 30μA (gelijkstroom) en c. I(t) = –80μ*sin(2t) 8.3: 17,8pF 8.4: Dat er een weerstand in serie staat met de condensator doet er niet toe. De hoogte van de spanning is ook niet van belang. De wisselstroomweerstand van de condensator wordt

HAN-FT-CPM

SEECE

142

Inleiding Elektrische Energietechniek

alleen bepaald door de waarde van de condensator en de frequentie, dus Xc = 1/ωC. Bij 5kHz is XC = 3,18Ω. Bij 50Hz is XC = 318Ω 8.5: De twee condensatoren parallel kunnen we optellen tot 13μF. Deze 13μF staat in serie met een condensator van 10μF. Dus Cv = 13μ*10μ/(13μ + 10μ) = 130μ/23 = 5,65μF. 9.1 a. Zie theorie. b. 2N. 9.2a Zie theorie. Het effect is dat er bij een sinusvormige wisselspanning een bepaalde wisselstroom loopt, waarvan de grootte van de wisselstroom wordt bepaald door de wisselstroomweerstand van de spoel.

9.2b Zie theorie. Als een magnetisch veld ‘terug zakt’ op de draad zal het tegenover gestelde gebeuren in vergelijking met het passerend magnetische veld dat een inductiespanning Ui veroorzaakt. We krijgen dus een negatieve Ui. Deze negatieve spanning zal een zodanige stroom willen leveren die de oorspronkelijke stroom in stand houdt.

9.3 A = πr2 = 3,14*(0,7*10-2)2 = 154μm2. Dit ingevuld in L = 4*π*10-7*4002*154μ/0,04 = 774μH. 9.4 a. Met behulp van een gewone ohm meter. b. een gewone weerstand R in serie met een spoel L. 9.5 De μr voor het stuk weekijzer in de kern zal een veel betere geleiding voor het magnetisch veld willen zorgen, maar een groot deel van het magnetische veld is buiten de spoel en dus buiten de kern. Dus moet het magnetische veld voor zeker de helft van de afstand door lucht, welke nog steeds een zeer grote weerstand heeft. Daarmee wordt het totale magnetische veld in en buiten de kern nauwelijks groter dan dat de kern alleen lucht zou bevatten.

9.6 De ur speelt nu overal mee en de spoelwaarde wordt nu wel 800 keer groter, dus L = 619mH. 9.7 a. 0 b. een gelijkspanning van 60μV c. u(t) = 80μ*cos2t d. –0,003V

e. –30V.

9.8 Zie theorie.

9.9 Door ten eerste de wervelstroomverliezen in de kern en ten tweede door de hysteresis verliezen in de kern. Overigens zal de geleider van de spoeldraad in de praktijk een eigen ohmse gelijkstroomweerstand hebben, welke ook warm zal kunnen worden. Het geheel, de draden van de spoel en de kern zelf zullen de totale warmte geven.

11.1: P130V = 334W, Q130V = 398VAR, P400V = 1504W, Q400V = 547VAR en PR = 640W.

HAN-FT-CPM

SEECE

143

Inleiding Elektrische Energietechniek

12.1: We zetten dit schema eerst om naar een complex netwerkschema. Hierin wordt de bronspanning U =100 –70oV. UR + I

+

– 5Ω

+ UC

U =100 –70o –

–j10,6Ω –

Na berekening volgt dat I = 8,55A –365oA of 8,55 –5o A. Rekenen we met de laatste vorm verder dan krijgen we UR = 42,8 –5oV, UC = 90,63 –95oV. En dan volgt weer UR + UC = 100 –70oV. De vermogens blijven verder dezelfde waarden houden namelijk; Pbron = –361W, PR = 366W, Qbron = 775VAR en QC = –775VAR. Het vectordiagram verdraait ten opzichte van de voorgaande situatie met –70o rechtsom en in de grafiek verschuift de y-as naar links met eenzelfde waarde, aangegeven met een pijl.

+

-70o -70

o

I UR

UC

Ubron

Het zal misschien opvallen dat de lengte van bijvoorbeeld Ubron in het vectordiagram links, niet gelijk is aan de topwaarde van de bronspanning in de daar naast staande grafiek rechts.

Dit komt, zoals eerder aangegeven, omdat in het vectordiagram de effectieve waarden staan en in de grafiek met het sinusvormig verloop van de spanningen, stromen en vermogens het beeld weergeeft met de topwaarden.

HAN-FT-CPM

SEECE

144

Inleiding Elektrische Energietechniek

12.2: Hieronder is het complexe schema met de spanningen over de spoel en de weerstand volgens de gekozen stroomrichting meegenomen ten behoeve van de tweede wet van Kirchhoff.

–

+

I +

j62,8Ω

–

40Ω

U =230 +40oV –

+

We krijgen nu + (U) + (UL) + (UR) = 0. Bovenstaand invullend vinden we: + (230 40oV) + (I*j62,8Ω) + (I*40Ω) = 0. Dan krijgen we I = (-230 40o)/(40 + j62,8). Het minteken voor de 230 schrijven we nu binnen de hoek door daar 180o bij op te tellen (aftrekken zou ook kunnen) zodat I = (+230 (180o + 40o))/( 74,5 58o) = 230 220o/74,5 58o = 3,09 162oA. De stroom heeft een effectieve waarde van 3,09A en heeft een fase van 162o. De fasedraaiing van de stroom ten opzichte van de bronspanning is 162o – 40o = 122o.

Vraag: De stroom heeft een fasehoek van 162o, dus bijna 180o. Beredeneer wat dit betekent.

Antwoord: de stroompijl staat min of meer verkeerd om. Zou de fasehoek precies 180o zijn geweest dan had de stroompijl precies verkeerd om gestaan. Het schema en de getallen laten we echter zoals het is. We gaan naar aanleiding van berekeningen, waar bijvoorbeeld negatieve stromen uit komen, vervolgens geen pijlen omkeren en getallen veranderen. Als we dat zouden doen wordt het een chaos, omdat ook de bijbehorende plussen en minnen en berekeningen moeten worden aangepast.

De spanning over de spoel wordt nu UL = 3,09 162o *j62,8 = 194,1 252oV. De spanning over de weerstand wordt UR = 3,09 162o *40 = 123,6 162oV. Het complexe vlak is uit bovenstaande informatie eenvoudig te tekenen.

De vermogens worden nu : Pbron = 230*3,09*cos(40o – 162o) = – 377W. Qbron = 230*3,09*sin(40o – 162o) = – 603VAR. Het Watt vermogen in de weerstand is P = I2R = (3,09)2*40 = 382W en het Blind vermogen in de spoel is QL = 194,1*3,09*sin(252o – 162o) = 600VAR. Dit Blind vermogen zal bij een spoel altijd zo zijn dat de sinus wegvalt (= +1), zodat we bij ideale spoelen net zo goed kunnen uit gaan van QL = (IL2XL) = (3,09)2*62,8 = 600VAR of QL = (UL2/XL) = (194,1)2/62,8 = 600VAR. Conclusie: De bron levert Watt vermogen aan de weerstand die dit ook vanzelfsprekend opneemt. Verder gedraagt de bron zich capacitief om de spoel te compenseren.

HAN-FT-CPM

SEECE

145

Inleiding Elektrische Energietechniek

12.3: Het complexe schema is onderstaand weergegeven, waarbij ook de plus en min ten gevolge van de stromen zijn aangegeven. We krijgen nu 3 vergelijking: volgens de 2e Wet van Kirchhoff vinden we 400 – Ib(–j50) – IR20 = 0 en IR20 – ILj100 = 0 en volgens de 1e Wet van Kirchhoff krijgen we Ib – IR – IL = 0.

–

+

Ib +

IR

+

-j50Ω

IL

+

j100Ω

20Ω

U =400 0oV –

–

–

De 2e vergelijking is te herschrijven naar IR = IL5j. Dit zetten we in de 1e en 3e vergelijking, zodat we 2 vergelijkingen met 2 onbekenden over houden; 400 + Ibj50 – ILj100 = 0 en Ib = IL(5j+1). Vullen we dit in de voorgaande vergelijking, dan krijgen we 400 + IL(5j+1)j50 – ILj100 = 0. Na uitwerking hiervan volgt IL = 1,569 –11,3oA, en dan dit weer terug invullend levert Ib = 8 67,4oA en IR = 7,845 78,7oA. Nu zijn ook de vermogens te berekenen Pb = –1230W, Qb = 2954VAR, PR = 1231W, QC = –3200VAR en QL = 246VAR. De spanning over de weerstand en de spoel zijn natuurlijk gelijk en is 156,9 78,7oV. De spanning over de condensator is 400 -22,6oV. De spanning over de spoel (en weerstand) en de spanning over de condensator zijn samen weer de bronspanning op; U =400 0oV. Ga dit na.

12.4: We tekenen eerst het complexe schema. Daarin stellen we de linker bron op 0 graden fase en de rechter bron krijgt dan + 20 graden fase. (We hadden hier ook kunnen kiezen voor de linker bron op 0 graden fase en de rechter op plus 20 graden fase, of de linker bron op bv 140 graden en de rechter op 160 graden … het is om het even). +

I1 +

–

-j5Ω

+

HAN-FT-CPM

+

I2

U2 = 400 20oV

40Ω

U1 = 400 0oV –

IR

–

–

SEECE

146

Inleiding Elektrische Energietechniek

Volgens de 2e Wet van Kirchhoff krijgen we de eerste twee vergelijkingen; 400 0o – I1(–j5) – IR40 = 0 en IR40 – 400 20o = 0. Volgens de 1e Wet van Kirchhoff krijgen we I1 – IR + I2 = 0. Uit de 2e vergelijking volgt dat IR = 10 20oA. Dit verder invullend in de 1e vergelijking levert op dat I1 = 27,78 10oA. Dan volgt uit de 3e vergelijking I2 = 18,02 184oA. Voor de vermogens krijgen we; P1 = –10.941W, Q1 = 1.941VAR, PR = 4kW, P2 = 6.921W, Q2 = 1.985VAR en QC = –3.859VAR. De linker bron levert dus Watt vermogen aan de weerstand en idem aan de rechter bron. De linker bron gedraagt zich inductief. De rechter bron neemt Watt vermogen op en gedraagt zich eveneens inductief.

Het schijnbaar vermogen voor de twee bronnen is als volgt: S1 = 400*27,78 = 11112VA en S2 = 400*18,02 = 7208VA. 12.5a: De condensator van –j1000Ω parallel aan j20Ω levert een Znet = j20,41Ω (is nu het totale net) en daarmee wordt de Z die de bron ziet Ztot = j30,41Ω. De totale stroom wordt dan I = 11,34 -90o A en de spanning over het net wordt dan Unet = 231,6V. Als we in plaats van een condensator een spoel van +j1000Ω parallel aan j20Ω plaatsen, dan wordt Znet = j19,61Ω, Ztot = j29,61Ω en zo wordt Unet = 228V. We kunnen dus met condensatoren en spoelen de netspanning regelen.

12.5b. We kunnen de bronspanning omlaag brengen OF de extra condensator die parallel aan de spoel staat weghalen OF parallel aan de condensator een extra spoel inbrengen.

Alleen de tweede oplossing is de juiste, omdat anders zaken tegen elkaar in kunnen gaan werken. Bijvoorbeeld dat iemand de spanning iets te laag vindt, en dan een condensator in het net er bij zet, vervolgens vindt iemand anders die spanning juist te hoog en plaatst een spoel bij, waarna men weer een condensator bijplaatst enz. Tussen de bijgeplaatste condensatoren en spoelen gaat dan een steeds grotere blindstroom lopen, zonder dat dit ergens toe dient of erger nog, men kan een te grote blindstroom waarnemen en de beveiliging laten aanspreken, waardoor een heel net wordt afgeschakeld ….

12.5c. Omdat –j100Ω parallel aan j100Ω staat, zal dit een Z → ∞ opleveren. De bron ziet dus alleen j10Ω in serie met j20Ω. De stroom I1 vanuit de bron is derhalve 11,5A. Tegelijk blijft over de –j100Ω en j100Ω wel 230V staan. Daarom loopt tussen de –j100Ω en j100Ω een stroom I2 van 2,3A. Dit is extra de blindstroom tussen –j100 Ω en j100Ω.

HAN-FT-CPM

SEECE

147

Inleiding Elektrische Energietechniek

12.6

I1

+

I2

+

I3

40Ω

50Ω

+

Ub

–

–

+

I5

+

–

j30Ω

–j10Ω j20Ω

U =300 0o V I4

–

–

We stellen U = 300V met een fasehoek van 0o. Dan wordt I5 = -j10A en I4 = j30A. Met I3 – I4 – I5 = 0 volgt nu dat I3 = j30 – j10 = j20A = 20 90oA. Daarmee wordt U40Ω = I3*40 = j800 = 800 90oV. Met Ub – U40Ω – U = 0 vinden we Ub = 300 + j800 = 854 69oV. Van hier uit krijgen we dan I2 = Ub/(50+j20) = (854 69o)/(54 22o)= 15,8 47oA. Tenslotte vinden we U50Ω = I2*50 = 790 69oV en Uj20 = I2*j20 = 316 137oV. ௗఝሺ௧ሻ ௗ௧

13.1: uit de formule ‫ݑ‬௜ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ܰ

blijkt dat alleen een veranderend magnetisch veld effect

heeft.

13.2: Zie onderstaand schema.

I’1

200Ω

100Ω

Is +

+

–j200Ω

Us –

I2

U’1 = 1000 00V

–

De stroom I’1 = I’p = –Is = I2 = 1000 00/(300 – j200) = 2,77 340A. Daarmee wordt I1 = Ip = 10I’1 = 27,7 340A. Via de 2e Wet van Kirchhoff is Us weer te bereken, bijvoorbeeld door uit te gaan van + U’1 – 200I’1 – Us = 0 of via + U’1 + 200Is – Us = 0. Daarmee krijgen we Us = 619,4 3310V, waaruit weer Up te vinden is door te delen door 10 enz enz. De vermogens zijn krijgen dezelfde antwoorden als in de voorbeelden. Op een rij: P1 = –2296W, Q1 = 1549VAR,

HAN-FT-CPM

SEECE

148

Inleiding Elektrische Energietechniek

P2Ω = 1535W, Pp = 779W, Qp = –1515VAR, Ps = –779W, Qs =1515VAR, P100Ω = 767W en QC = –1534VAR. 13.3: I1 = Ip = 100 –370A. I2 = –Is = 200 –370A. Up = 8k –370V, Us = UR =4k –370V, UL =6k 1270V, P1 = –800kW, Q1 = – 602kVAR, QL = 600kVAR, Pp = 800kW, Qp = 0, Ps = –800kW, Qs = 0, PR = 800kW. (Voorbeeld uitwerking Pp = 8kV*100A*cos(–370 – –370) = 800kW).

13.4: In onderstaand schema kan verder eenvoudig worden gerekend, waarbij uit T volgt dat Us = 0,5Up. In het schema rekenen we verder door eerst Ip en Up uit te rekenen, dan volgt vanzelf Us en kan I2 worden bepaald enz. Dit schema geeft ook goed aan wat de bron U1 door aan de primaire zijde van de transformator zien, nl een weerstand van 80Ω. De secundaire zijde kan weer worden gezien als een nieuwe start met een bron Us.

I1

Ip j60Ω 2Ω

+

U1 = 10k 00V –

+

Up

I2

Is + 0

80Ω

Us = 10k 0 V

20Ω

–

–

13.5: Het nieuwe schema is onderstaand gegeven, waarbij we nu starten met het gegeven dat Us bekend is, zodat we de fasehoek daar 00 stellen. Aangezien nergens fasedraaiing wordt gecreëerd, zal U1 ook fase 00 hebben.

I1

3Ω

Is

U1 = 230 0 0V

I2

+

+

+

–

Ip

Up

Us

23Ω

–

–

T=?

We krijgen dan Us = 230 00V en dus is I2 = 10 00 A. Daarmee stellen we ook vast dat alle stromen geen fasedraaiing hebben. Het vermogen Ps is daarmee –2300W en Qs = 0. Dan wordt Pp = 2300W en Qp = 0. Daar Pp = Up*Ip = 2300W hebben we een eerste vergelijking. De tweede halen we uit de 2e Wet van Kirchhoff: + U1 – Ip*3 – Up = 0. Dan vullen we dit in en krijgen 230 00 – Ip*3 – Up 00 = 0, dus 230 – Ip*3 – Up = 0. Vullen we vervolgens in dat Up*Ip

HAN-FT-CPM

SEECE

149

Inleiding Elektrische Energietechniek

= 2300, dan vinden we 230Up – 3*2300 – Up2 = 0. Dit wordt Up2 – 230Up + 6900 = 0. We vinden twee oplossingen: Up1,2 = 194,5V of 35,5V. In het eerste geval is T = 1,8557 en in het tweede geval is T = 6,48. (Ga dit na). In het eerste geval zal de primaire stroom 11,8A gaan bedragen en in het tweede geval krijgen we een primaire stroom van ruim 76A. Wiskundig klopt de tweede mogelijkheid wel, maar het rendement is bizar slecht, omdat de bron 17,5kW gaat leveren. Dat vermogen wordt vervolgens vrijwel in zijn geheel opgestookt in de lijnweerstand van 3Ω. (Ga dit na). Het eerste geval met T = 1,8557 is daarom de normale situatie. De primaire stroom wordt nu groter ten opzichte van de oude situatie (was 8,85A), maar we hebben wel ons doel bereikt, nl het ophogen van de spanning bij de verbruikers. De bronspanning kan zelf 230V blijven, maar zal nu ipv 2kW meer vermogen, namelijk 2,7kW moeten gaan leveren.

13.6: Als de secundaire zijde van een transformator is kortgesloten, betekent een extreme vorm van nominale belasting (denk aan kortsluiting van een net). We gaan dus uit van het vervangschema bij nominale belasting. Als de secundaire zijde is kortgesloten, wordt de kortsluiting vanuit de primaire zijde ook gezien. We krijgen dan onderstaand schema: jXk Rk

I1 +

U1 –

13.7: Als we in nullast slechts een stroom van 0,3A hebben, terwijl we bij nominaal gebruik een stroom van 50 tot 100A hebben, dan zal het duidelijk zijn dat de nullastverliezen geen rol van betekenis vormen bij nominaal gebruik van de transformator. Waar de grenzen liggen is moeilijk om aan te geven. Het is maar hoe nauwkeurig men wil kijken.

13.8: De waarden staan in onderstaand schema: jXk = j0,22Ω Rij= 1511Ω

Rk = 0,17Ω

+

U1 = 230 00V

jXμ = j889Ω –

T

HAN-FT-CPM

SEECE

150

Inleiding Elektrische Energietechniek

13.9: De nullaststroom is 0,3A terwijl de nominale stroom rond de 100A zal zitten. Daarmee kunnen we vaststellen dat de nullastverliezen hier geen rol spelen. We krijgen dan het volgende schema:

I1

jXk = j0,22Ω

Rk = 0,17Ω

+

R = 4kΩ

U1 = 230 00V –

T = 230:10k

Het vervangschema, waarbij de equivalente waarde van R naar de primaire zijde is verplaatst, wordt dan:

I1

jXk = j0,22Ω

Rk = 0,17Ω

+

R’ = 2,116Ω

U1 = 230 00V –

De stroom I1 = 230 00/(2,116 + 0,17 + j0,22) = 230 00/(2,286 + j0,22) = 230 00/2,297 5,50 = 100 –5,50A. Het vermogen in de bron wordt dan P = 230*–100*cos(0 – –5,50) ≈ 22,9kW. Het vermogen in de weerstand R’ = 1002*2,116 ≈ 21,2kW. Het rendement is dus Ƞ = 100*21,2k/22,9k = 93%. De klemspanning over de secundaire wikkeling wordt berekend door bijvoorbeeld de secundaire stroom te bepalen. Die wordt I1/(10k/230) = 2,3 –5,50A. Deze stroom loopt door de 4kΩ weerstand. De secundaire spanning wordt dus U = IR = 2,3 –5,50 *4k = 9,2kV. (Note: zoals bekend is het vermogen aan de secundaire zijde berekend via PR = 2,32*4k ≈ 21,2kW hetzelfde als dat we dit doen via de primaire stroom met R’, dus PR = 1002*2,116 ≈ 21,2kW).

Het Blind vermogen in de bron is Q = 230*–100*sin(0 – –5,50) ≈ –2,2kVAR.

HAN-FT-CPM

SEECE

151

Inleiding Elektrische Energietechniek

13.10: Een eerste opzet is de kortsluiting met de standaardgegevens te tekenen. Zie onderstaand schema. Vervolgens verplaatsen we de spoel en weerstand naar de secundaire zijde.

jXk = j40Ω

I1

Rk = 20Ω

I2

+

U1 = 10k 00V –

T = 10k:400

Vervolgens verplaatsen we de spoel en weerstand naar de secundaire zijde.

I1

R’k = 0,032Ω

jX’k = j0,064Ω

+

I2

U1 = 10k 00V –

T = 10k:400 Nu kunnen we ook de spanningsbron verplaatsen naar de secundaire zijde:

Daarin zijn alle waarden die verplaatst zijn als equivalente gegevens meegenomen. I’1 is dan

I’1

R’k = 0,032Ω

jX’k = j0,064Ω

+

I2

U’1 = 400 00V –

gelijk aan I2. Het gaat nu om de kortsluitstroom aan de secundaire zijde. Dit is I2 = 400 00/(0,032 + j0,064) = 400 00/0,071554 630 = 5,6k 630A.

HAN-FT-CPM

SEECE

152

Inleiding Elektrische Energietechniek

13.11: De secundaire zijde van de stroomtransformator heeft 1000 keer meer wikkelingen dan de primaire zijde. De weerstand van de ampèremeter is R = U/I = 0,06/3 = 20mΩ. De primaire zijde ziet dan een weerstand van 20nΩ. Daar loopt een stroom door van 3kA. De spanning over de primaire zijde wordt dan eveneens 60μV. Het vermogen dat aan de primaire zijde wordt afgegeven is dan P=UI =0,18W. Aan de secundaire zijde is het vermogen vanzelfsprekend gelijk daaraan en is P=I2R = 0,18W. Wordt ipv een amperemeter aan de secundaire zijde een spanningsmeter aangesloten met een weerstand van 10kΩ, dan ziet de primaire zijde dit als een weerstand van 0,01Ω. Dan valt daar over een spanning van U = IR = 3k*0,01 = 30V. Het vermogen is dan 90kW. De stroomtransformator zal hoogstwaarschijnlijk uitbranden.

14.1: a. De lijnstromen zijn 8,13 (–45o – k*1200)A, met k є Z. Daarbij is het P3f = 4kW. b. De lijnstromen zijn 24,54 (–75o – k*1200)A, met k є Z. Daarbij is P3f = 12kW. Dit is inderdaad 3*P3f in ster. b. I0 = 4,61 19oA, 14.2 : a. I1 = 0,575 0oA, I2 = 0,7222 –300A en I3 = 3,662 –330oA. c. PR = 132,3W, QC = –166,1VAR en QL = 842,3VAR. d. P3f = –132,3W en Q3f = –676,2VAR. 16.1: Rij = 882Ω, Xμ = 759Ω, Rk = 0,0816Ω en Xk = 0,1222Ω. R’2 = 0,0616Ω. De ijzerverliezen zijn veel kleiner dan de kortsluitverliezen. Daarom kunnen ze worden verwaarloosd.

16.2: Pverlies = 3I12Rk = 1567W. Bij een rendement van 95% gaat 5% in het verliesvermogen zitten. Het aangevoerde vermogen is dan 20*1567 = 31334W en het asvermogen Pas = 31334W – 1567W = 29767W. Met Pas = ωasTas ≈ ͵‫ܫ‬ଵଶ ܴԢଶ

ଵି௦ ௦

krijgen we s = 0,0382 ≈ 3,8%. Het

koppel wordt T = P/ω = 29767/ωas. Uit s volgt fas = 48,09 omw/sec, dus ω = 302 rad/s. En vervolgens Tas = 98,6Nm. 16.3: We krijgen nu onderstaand schema:

j0,1222Ω 0,0816Ω

I1 +

–1,6016Ω

U1 = 230 0o V I’R

–

Daarin I1 = 150,8 –175o A. Dan is Pnet = 3*230*–150,8*cos(00 + 1750) = 103656W ≈ 104kW en Qnet = 3*230*–150,8*sin(00 + 1750) = –9069VAR ≈ 9kVAR. Pas = ͵‫ܫ‬ଵଶ ሺെͳǡ͸Ͳͳ͸ሻ ൌ െͳͲͻʹ͸Ͷܹ ൎ െͳͲͻܹ݇Ǥ Het rendement is 95%. Het verliesvermogen is overigens Pverlies = 3I12Rk = 5567W. Dat klopt dus. Verder krijgen we QL = 3I12Xk = 8338VAR. Afgezien van wat afrondingsfouten klopt dit allemaal.

HAN-FT-CPM

SEECE

153

Inleiding Elektrische Energietechniek

De arbeidsfactor cosϕ = –0,996. (Note: het minteken wordt hier vaak genegeerd).

Lengtes vectoren zijn willekeurig gekozen

U1 = 230 00V

ϕ = – 1750

I1 = 150,8 – 1750A Het zal wellicht al opgevallen zijn dat een asynchrone machine zich altijd inductief gedraagt.

16.4: a. door een dubbel kooianker rotor te nemen of b. een sleepringanker machine of c. een frequentieregelaar.

16.5: door de machine niet in ster maar in driehoek aan te sluiten. De vraag is natuurlijk wel of de maximale stromen en spanningen dit aankunnen.

17.1: λ = 100, Bij 18893VA/230V = 82,14A = I1max wordt Ik = 0,8*82,14 = 65,71A. Dan volgt X1 = 14Ω en R1 = 0,005Ω << X1.

17.2: We gaan uit van een U1 = 230 0o V. Pnet = 3*230*Inet*0,8 = 30kW, dus Inet = 54,35A met ϕ = 370. Omdat het net zich capacitief gedraagt zal Inet = 54,35 +37o A. Znet = U1/Inet = 4,23 – 37o Ω = 3,38 – j2,55 ohm. Duidelijk een ohmse weerstand met in serie een condensator.

Daarmee wordt I1 = 54,35 (+37o+1800) A = 54,35 217o A. Volgens 2e Wet van Kirchhoff krijgen we dan U1 – I1*j14 – U12 = 0. Dus U12 = 230 0o – 54,35 217o*j14 = 230 – 760,9 307o = 649 110oV. Daarmee is δ = 1100 en dat is ver buiten de grens van ±700. De rotor ontkoppelt van het statorveld. Met λ = 100 wordt I2 = 649/100 = 6,49A. De vermogens zijn: Qnet = 3*230*54,35*sin(00 – 370) = –22569VAR (inderdaad capacitief), PU12 = 3*649*54,35*cos(1100 – 2170) = –30939W, QU12 = 3*649*54,35*sin(1100 – 2170) = –101196VAR en QX1 = 3*54,352*14 = 124065VAR. 54,35 37o A

54,35 217o A

j14Ω +

– +

+

649 110oV

230 0o V –

–

HAN-FT-CPM

SEECE

154

Inleiding Elektrische Energietechniek

Als we alle vermogens optellen klopt dit met vraag en aanbod. Overigens kan de machine vanwege de te grote lasthoek niet werken. Het gaat hier meer om de berekeningen.

54,35 37o A

54,35 217o A

j14Ω +

– +

+

649 110oV

230 0o V

3,38 – j2,55 Ω

–

–

Het askoppel halen we uit Pas = ωasTas. Dus Tas = PU12/(2*π*50) = –30939/314 = –98,5Nm. 17.3: I1 = 100 –63o A. U12 = 5774 0o – 100 –63o *j25 = 5774 – 2500 27o= 3714 –18o V. Met λ = 400 wordt I2 = 3714/400 = 9,285A. De lasthoek valt binnen de maximale grenzen.

Omdat de lasthoek positief is, ijlt de rotor met 180 na op de fasespanning van het net. Dit is inderdaad motorgedrag (het net trekt de rotor mee). Omdat I1 in het vectordiagram ook omhoog wijst, klopt dit ook met motorgedrag.

100 –63o A

j25Ω +

– +

+

3714 –18oV

5774 0o V –

–

De vermogens zijn nu: Pnet = 3*5774*–100*cos(00 + 630) = 786kW, Qnet = 3*5774*–100*sin(00 + 630) = –1543kVAR ≈ –1,54MVAR, PU12 = 3*3714*100*cos(–180 + 630) = 788kW, QU12 = 3*3714*100*sin(–180 + 630) = 788kVAR en QX1 = 3*1002*24 = 750kVAR.

HAN-FT-CPM

SEECE

155

Inleiding Elektrische Energietechniek

U1 = 5774 00V

U12 = 3714 –180V δ

I1 = 100 –630A ϕ1

17.4: a. doordat er op de rotor asynchrone wikkelingen liggen zal de fluxverandering worden tegengewerkt (zie theorie asynchrone machine). Deze wikkeling wordt ook gebruikt om de asynchrone machine te helpen met aanlopen als motor. Eenmaal op toeren neemt het statorveld de rotor als synchrone machine verder mee en is de fluxverandering nul en staat de asynchrone wikkeling buiten spel. b. als de fluxverandering nul is zullen er geen wervelstromen optreden. c. Door de bekrachtigingsstroom groter en kleiner te maken veranderen we het Blindvermogen. Door het askoppel groter en kleiner te maken veranderen we het Wattvermogen. d. als de bekrachtigingsstroom van de rotor groter wordt zal het magnetische veld van de rotor sterker worden. De aantrekking met het statorveld is dan krachtiger en de lasthoek zal dan kleiner worden.

17.5: Na berekening volgt dat U12 = 322 230V, en dan volgt daaruit dat I2 = 36A. De vermogens worden Pnet = 3*230*15*cos(00 + 300) = 8963kW en Qnet = 3*230*15*sin(00 + 300) = 5175VAR. Uit het machinediagram volgt dat eea keurig binnen de toelaatbare grenzen past (zie figuur hieronder). Het net neemt dus vermogen op en gedraagt zich inductief. De machine vertoont het tegenovergestelde gedrag en levert vermogen en gedraagt zich capacitief.

Vraag : Ga dit laatste na. Antwoord, waarbnij met Inet wordt verder gerekend: PU12 = 3*332*–15*cos(230 + 300) = –8991W, QU12 = 3*332*–15*sin(230 + 300) = –11932VAR en QX1 = 3*152*10 = 6750VAR. Qmachine = QU12 + QX1 = –5182VAR.

HAN-FT-CPM

SEECE

156

Inleiding Elektrische Energietechniek

Pnet

Pas max

δmax

8963W

I2 = 36A

Inet = 15 -300A

ϕ1 Smax = UI [VA]

δ = 230 5185VAR Qnet cap [VAR]

HAN-FT-CPM

Qnet ind [VAR]

SEECE

157