Issuu on Google+

Домашняя работа по алгебре за 10 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» Алимов Ш.А. и др., -М.: «Просвещение», 2001 г.


Содержание Глава I. Действительные числа ……………………………….……. 4 Глава II. Степенная функция……………………………………….. 37 Глава III. Показательная функция…………………………..…….. 65 Глава IV. Логарифмическая функция…………………………….. 85 Глава V. Тригонометрические формулы……………………..….. 123 Глава VI. Тригонометрические уравнения………………….…… 157 Глава VII. Тригонометрические функции………………….……. 193

3

www.5balls.ru


Глава I. Действительные числа 1. 1) Воспользуемся алгоритмом деления уголком: − 2,0 3 Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же цифра: 6. Следовательно, 18 0,66 2 − 20... = 0,666... = 0, (6) . 3

2) Воспользуемся алгоритмом деления уголком: − 8,0 3 Остатки повторяются, поэтому в частном 77 0,66 повторяется одна и та же группа цифр: 72. − 30

Следовательно,

22

8 = 0,7272... = 0, (72) . 11

… − 30...

3) 3 = 2 ⋅ 3 = 6 = 0,6

2 ⋅ 5 10 3 25 ⋅ 3 75 − =− =− − 0,75 4 25 ⋅ 4 100 2 56 + 2 58 −8 = − =− 7 7 7 5

4) 5)

− −58

7 – 8,2857142

−56 − − 20

Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же группа цифр: 285714. Сле-

−14

… −6 …

6) − 13,0 99 − 310

99 0,131

297

… 31...

довательно, − 8

2 = –8,2857142…=–8,( 285714). 7

Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же группа цифр: 13. 13 = 0,1313... = 0, (13) . Следовательно, 99

2. 1) 2 + 1 = 2 ⋅ 9 + 1 ⋅ 11 = 18 + 11 = 29 . 11 9 9 ⋅ 11 99 99 − 29,0

99

198 − 920

0,292

891 … 92...

Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же группа цифр: 29. 29 Следовательно, = 0,2929... = 0, (29) . 99

4

www.5balls.ru


2)

8 2 8 ⋅ 3 + 2 ⋅ 13 24 + 26 50 . + = = = 13 3 3 ⋅ 13 39 39

39 1,282051

− 50

39 − 110

цифр:

… 11 3)

Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же группа 282051.

Следовательно,

50 = 39

= 1,2820512... = 1, (282051) .

1 1 125 1 ⋅ 100 + 3 ⋅ 125 100 + 375 475 19 + 1,25 = + = = = = . 3 3 100 3 ⋅ 100 300 300 12

12 1,583

−19

12 70 − 60

Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же цифра: 3. Следовательно,

19 = 1,5833... = 1,58(3) . 12

4...

4) 1 + 0,33 = 1 + 33 = 1 ⋅ 50 + 33 ⋅ 3 = 50 + 99 = 149 . 6

6

− 149,0

1200 − 2900

100

300 0,4966

3 ⋅ 2 ⋅ 50

300

Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же цифра: 6. Следовательно,

2700

300

149 = 0,4966... = 0,49(6) 300

200...

5) 3 ⋅ 1,05 = 3 ⋅ 105 = 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 3 = 9 = 9 ⋅ 25 = 225 = 0,225 . 2 ⋅ 7 100 2 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 4 40 40 ⋅ 25 1000 14 7 7 ⋅ 17 119 6) ⋅1,7 = . = 9 9 ⋅ 10 90 − 119

90 290 − 270

90 1,32

Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же цифра: 2. Следовательно,

119 = 1,322... = 1,3(2) . 90

… 20... 3. 1) 0,(6). Пусть x = 0, (6) = 0,66... (1) Период этой дроби состоит из одной цифры. Поэтому, умножая обе части этого равенства на 10, находим 10x = 6,66... (2) Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем 9x = 6 .

5

www.5balls.ru


Отсюда x = 6 = 2 . 9

3

2) 1,(55). Пусть x = 1, (55) =1,5555… (1) Период этой дроби состоит из двух цифр, поэтому, умножая обе части этого равенства на 10 2 = 100, находим 100x = 155,55... (2) Вычитая из равенства (2) равенство (1), получим 99x = 154 . Отсюда x = 154 = 14 = 1 5 . 99

9

9

3) 0,1(2) Пусть x = 0,1(2) =0,1222…. Так как в записи этого числа до периода содержится только один десятичный знак, то, умножая на 10, получаем 10x = 1, (2) (1) Период этой дроби состоит из одной цифры. Поэтому, умножая обе части последнего равенства на 10, находим (2) 100x = 12, (2) Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем 90x = 11 . Отсюда x = 11 . 90

4) – 0,(8) Пусть x = −0, (8) =–0,888… (1) Период этой дроби состоит из одной цифры. Поэтому, умножая обе части этого равенства на 10, получаем (2) 10x = −8, (8) Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем 9x = −8 . Отсюда x = − 8 . 9

5) – 3,(27) Пусть x = −3, (27) =–3,2727… (1) Период этой дроби состоит из двух цифр. Поэтому, умножая обе части этого равенства на 10 2 = 100 , получаем 100x = −327, (27) (2) Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем 99x = −324 . Отсюда x=−

324 36 3 =− = −3 . 99 11 11

6) – 2,3(82) Пусть x = −2,3(82) =–2,38282… Так как в записи этого числа до периода содержится только один десятичный знак, то, умножая на 10, получаем 10x = −23, (82) (1) Период этой дроби состоит из двух цифр.

6

www.5balls.ru


Поэтому, умножая обе части этого равенства на 10 2 = 100 , получаем 1000x = −2382, (82) (2) Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем 990x = −2359 . Отсюда x = − 2359 = −2 379 . 990

990

4. 1) (20,88 : 18 + 45 : 0,36) : (19,59 + 11,95) =  2088 + 45 ⋅100  :  100 ⋅ 18

36

 1959 1195   2088 + 4500 ⋅ 50   3154  227088 100 4. : + ⋅ = = = : 100   50 ⋅ 2 ⋅ 12   100  100 ⋅ 18 3154  100

9⋅5 7 11 1 19 3 = + + = =4 . 4 ⋅8 2 ⋅5⋅ 2 ⋅9 4 4 4 4 4 4 3  2  79 ⋅ 4 24  215 2    1)  3 + 0,24  2,15 +  5,1625 − 2  =  + + (5,1625 − 2,1875) ⋅ = ⋅ 16  5  4 ⋅ 25 100  100 5  25  

2) 7 ⋅ 9 + 8 ⋅ 11 + 9 ⋅ 5 = 7 ⋅ 9 + 8 ⋅ 11 + 36

5. =

32

10 18

4⋅9

316 + 24 215 2975 2 35 ⋅ 215 595 ⋅ 5 ⋅ 2 7310 + 1190 8500 ⋅ + ⋅ = + = = = 8,5 . 1000 ⋅ 5 1000 1000 100 100 1000 5 10 ⋅ 100 2) 0,364 : 7 + 5 : 0,125 + 2 1 ⋅ 0,8 = 364 ⋅ 25 + 5 ⋅ 8 =

25 16 2 1000 7 16 10 7 ⋅ 52 ⋅ 25 5 ⋅ 8 ⋅ 125 5 ⋅ 2 ⋅ 4 13 25 20 58 = + + = + + = = 5,8 . 40 ⋅ 25 ⋅ 7 2 ⋅ 8 ⋅ 125 2 ⋅ 2 ⋅ 5 10 10 10 10

6. 1) 16, 9 — рациональное число. 2) 7, 25(4) — бесконечная периодическая десятичная дробь — рациональное число. 3) 1,21221222… (после каждой единицы стоит n двоек) — бесконечная непериодическая десятичная дробь — аррациональное число. 4) 99,1357911…(после запятой записаны подряд все нечетные числа) — бесконечная непериодическая десятичная дробь — иррациональное число. 7. С помощью микрокалькулятора находим 31 = 5,5677643... ≈ ≈ 5,57 . Значит пара чисел 5, 4 и 5, 5 образует десятичное приближения числа 31 с недостатком, а пара чисел 5, 5 и 5, 6 — с избытком. 8. 1) x = 5 − 7 ;

7 ≈ 2,6457513... , значит,

7 < 5 . Следовательно,

5 − 7 > 0 , значит, в данном случае является верным равенство |x|=x.

2) x = 4 − 3 5 . Нужно выяснить какое из чисел больше 4 или 3 5 , для этого возведем их в квадрат: 4 2 = 16 ; (3 5 ) 2 = 45 . Очевидно, что 45 > 16, следовательно, 3 5 > 4, а, значит, 4 − 3 5 < 0 , и верным в данном случае является равенство x = − x . 3) x = 5 − 10 . Возведем в квадрат числа 5 и

10 , получаем: 5 2 = 25 ;

( 10 ) = 10 , так как 25 > 10 , то и 5 > 10 , поэтому 5 − 10 > 0 , а, значит, в 2

данном случае верным является равенство x = x .

7

www.5balls.ru


9. 1) ( 8 − 3)(3 + 2 2 ) = ( 4 ⋅ 2 − 3)(2 2 − 3)(2 2 + 3) = (2 2 − 3) × × (2 2 + 3) = (2 2 ) 2 − 3 2 = 8 − 9 = −1 — рациональное число. 2) ( 27 − 2)(2 − 3 3 ) = −(2 − 3 3 )(2 − 3 3 ) = −(2 − 3 3 ) 2 = = −( 4 + 27 − 12 3 ) = 12 3 − 31 — иррациональное число. 3) ( 50 + 4 2 ) 2 = ( 52 ⋅ 2 + 4 2 ) 2 = (5 2 + 4 2 ) 2 = 9 2 ⋅ 2 = 18 — рациональное число. 4) (5 3 + 27 ) : 3 = (5 3 + 32 ⋅ 3 ) : 3 = (5 3 + 3 3 ) : 3 = 8 3 : 3 = 8 — рациональное число. 5) ( 3 − 1) 2 + ( 3 + 1)2 = 3 + 1 − 2 3 + 3 + 1 + 2 3 = 8 — рациональное число. 6) ( 5 − 1)2 − (2 5 + 1) 2 = 5 + 1 − 2 5 − 20 − 1 − 4 5 = −15 − 6 5 — иррациональное число. 10. 1)

63 ⋅ 28 = 7 ⋅ 3 2 ⋅ 2 2 ⋅ 7 = 3 ⋅ 2 ⋅ 7 = 42 ;

2)

20 ⋅ 5 = 2 2 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2 5 ⋅ 5 = 10 ;

3)

50 : 8 = 5 2 ⋅ 2 : 2 2 ⋅ 2 = 5 : 2 = 2,5 ; 2 12 : 27 = 3 ⋅ 2 2 : 3 2 ⋅ 3 = 2 : 3 = . 3

4)

11. 1) Сравнить

3,9 + 8 и 1,1 + 17 .

( 3,9 + 8 ) = 3,9 + 8 + 2 31,2 = 11,9 + 2 31,2 ; 2

( 1,1 + 17 ) 2 = 11 + 17 + 2 18,7 = 28 + 2 18,7 . Вычислим знак разности ( 28 + 2 18,7 ) − (28 + 2 31,2 ) , если он положительный, то 1,1 + 17 > 3,9 + 8 , если отрицательный, то 1,1 + 17 < 3,9 + 8 . Допустим, что он положительный, т.е. 28 + 2 18,7 > 11,9 + 2 31,2 , проверим

это:

28 − 11,9 + 2 18,7 > 2 31,2 ;

16,1 + 2 18,7 > 2 31,2 ;

259,21 + 74,8 + 64,4 18,7 > 124,8; 209,21 + 64,4 18,7 > 0 — верное неравенство, значит наше предположение было верным и 1,1 + 17 > 3,9 + 8 . 2) Сравнить Допустим, что

11 − 2,1 и 10 − 3,1 . 11 − 2,1 > 10 − 3,1 ;

11 + 2,1 − 2 23,1 > 10 + 3,1 − 2 31 ;

− 2 23,1 > −2 31 ;

2 23,1 < 2 31 ; 23,1 < 31 — верное неравенство, значит, наше предположение было верным и

11 − 2,1 > 10 − 3,1 .

8

www.5balls.ru


12. 1) = (

=

( 7 − 2 10 + 2 ) ⋅ 2 5 = (2 35 − 10 10 + 2 10) =

7+3 7−3 − + 2) ⋅ 2 5 = ( 5 − 2 5) = 10 . 2 2 16 + 2 16 − 2 − + 7) ⋅ 3 2 2

2)

( 16 − 6 7 + 7) ⋅ 3 = (

3)

( 8 + 2 15 − 8 − 2 15 ) ⋅ 2 + 7 =

(

= 2

= 3⋅3 = 3 .

8 + 64 − 60 8 − 64 − 60 8 + 64 − 60 8 − 64 − 60 + − + )⋅2+7 = 2 2 2 2 8− 4 8−2 ⋅2+7 = 2 ⋅2+7 = 2 2

4 3 +7 =

7 +1 7 −1 + = 2+ 3 . 2 2

13. 1) b n = −52n , получим: b1 = −52 , b 2 = −5 4 , b3 = −56 . 4 6 Итак, q = b 2 = 5 = 25 = b 3 = 5 = 25 , значит, данная последователь2 4

b1

b2

5

5

ность является геометрической прогрессией. 2) b n = 23n , получим b1 = 23 , b 2 = 26 , b 3 = 2 9 . 6 9 Итак, q = b2 = 2 = 8 = b3 = 2 , значит, данная последовательность яв3 6

b1

2

b2

2

ляется геометрической прогрессией. 14. 1) b 4 = 88, q = 2; b 4 = b1 ⋅ q3 ; 88 = b1 ⋅ 8; b1 = 11. S5 =

b1 (1 − q 5 ) 11(1 − 32) = = 31 ⋅11 = 341 . 1− q 1− 2

2) b1 = 11, b 4 = 88; b 4 = b1 ⋅ q 3 ; 88 = 11 ⋅ q 3 ; q 3 = 8; q = 2. S5 =

11(1 − 2 5 ) = 31 ⋅11 = 341 . 1− 2

1 1 1 1 b , , … Итак, b3 = , b 2 = ; q = 3 = 1 : 1 , q < 1 , зна5 25 25 5 b 2 25 5 чит, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. 1 1 1 1 1 2) , , , … Итак, b 3 = , b2 = ; 27 3 9 27 9 15. 1) 1,

q=

b3 1 1 1 , q < 1 , значит, данная геометрическая прогрессия = : = b 2 27 9 3

является бесконечно убывающей. 3) – 27, – 9, – 3… Итак, b 3 = −3, b 2 = −9 ; q = b 3 = 3 = 1 , q < 1 , значит, b2

9

3

данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

9

www.5balls.ru


4) – 64, – 32, – 16… Итак, b 3 = −16, b 2 = −32 ; q = b3 = 16 = 1 , q < 1 , b2

32

2

значит, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. 16. 1) b1 = 40 , b 2 = −20 ; q =

b 2 −20 1 = = − , так как q < 1 , то данная b1 40 2

геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. 2)

b 7 = 12 ,

b11 =

3 ; 4

b11 = b1 ⋅ q10 ;

b7 = b1 ⋅ q 6 ,

значит,

1 b11 b1 ⋅ q 10 3 1 = = q 4 = : 12 = , откуда получаем, что q = < 1, значит, дан2 b7 4 16 b1 ⋅ q 6

ная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. 3) b 7 = −30, b 6 = 15 ; q = b7 = −30 = −2 , q = 2 < 1 , значит, данная геоb6

15

метрическая прогрессия не является бесконечно убывающей. 1 b5 = b1 ⋅ q 4 ; b10 = b1 ⋅ q9 , значит, 4) b5 = 9 , ; b10 = − 27 1 1 b 10 b ⋅q9 1 5 = 1 = q5 = − : 9, откуда q = − 5 , то есть q = − , q =< 1, зна4 3 b5 27 3 b1 ⋅ q чит, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. 17. 1) lim 1 . Если n неограниченно возрастает, то 1 как угодно близn n n →∞ 4

4 1 1 ко приближается к нулю, т.е. → 0 при n → ∞ или lim n = 0 . n →∞ 4 4n

2) lim (0,2)n . Если n неограниченно возрастает, то (0,2) n как угодно n →∞

близко приближается к нулю, т.е. (0,2) n → 0 при n → ∞ или lim (0,2)n = 0 . n →∞

3) lim (1 + n →∞

1 7n

) . Если n неограниченно возрастает, то

близко приближается к нулю, т.е.

1 7n

1 7n

как угодно

1 → 0 при n → ∞ или lim n = 0 . Поn →∞ 7

этому, lim (1 + 1 ) = 1 . n n →∞

7

n n   4) lim   3  − 2  . Если n неограниченно возрастает, то  3  как угодно  5 n →∞   5    n

n

близко приближается к нулю, т.е.  3  → 0 при n → ∞ или lim  3  = 0 . 5

n

Поэтому, lim   3  − 2  = − 2 .  n→∞   5  

10

www.5balls.ru

n →∞  5 


1 1 1 1 2 1 . 8 18. 1) q = − , b1 = S = b1 = = ⋅ = 2 8 1− q 1− − 1 8 3 12 2

( )

1 1 1 1 1 1 2) q = , b5 = ; b5 = b5 ⋅ q 4 ; = b1 ⋅ ; = b1 ⋅ , значит, 3 81 81 34 81 81 b1 = 1 ; S = b1 = 1 = 1 = 1,5 . 1 2 1− q

1−

3

3

9 9 27 3) q = − 1 , b1 = 9 ; S = b1 = =4= = 6,75 . 3 1− q 1− − 1 4 3

( ) 3

3

4) q = − 1 , b 4 = 1 ; b4 = b1 ⋅ q3 ; 1 = b1  − 1  , откуда получаем b1 = −1 , 2

значит, S =

−1

( )

1− −

1 2

=

8 −1 3 2

 2

8

2 =− . 3

19. 1) 6, 1, 1 … b1 = 6, b 2 = 1 ; q = b 2 = 1 ; S = b1 = 6 = 6 = 36 = 7,2 . 1 5 6

b1

1− q

6

1−

5

6

6

2) −25 , −5 , −1 ,… b1 = −25, b 2 = −5 ; q = b 2 = 1 ; b1

5

b −25 −25 −125 S= 1 = = 4 = = −31,25 . 1− q 1− 1 4 5

5

20. 1) 0,(5). Составим следующую последовательность приближенных значений данной бесконечной дроби: a 1 = 0,5 =

5 , a 2 = 0,55 = 5 + 5 , … 10 10 10 2

a 3 = 0,555 =

5 5 5 + + ,... 10 102 103

Запись приближений показывает, что данную периодическую дробь можно представить в виде суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии: 5 5 5 + + +… a= 10 10 2 10 3

Получаем a = S =

5 10 1 1− 10

=

5 . 9

2) 0,(8). Составим следующую последовательность: 8 8 8 ,… , a 2 = 0,88 = + a 1 = 0,8 = 10 10 2 10 Запись приближений показывает, что данную периодическую дробь можно представить в виде суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии: 8 8 8 a = + 2 + 3 +… 10 10 10

Получаем a = S =

8 10 1 1− 10

=

8 . 9

11

www.5balls.ru


3) 0,(32). Составим следующую последовательность: 32 32 32 ,… + a 1 = 0,32 = , a 2 = 0,3232 = 100 100 1002 Запись приближений показывает, что данную периодическую дробь можно представить в виде суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии: a=

32 32 32 + + + ... 100 100 2 100 3

Получаем a = S =

32 100 1 1− 100

=

32 . 99

4) 0,2(5). Составим следующую последовательность: a 1 = 0,05 =

5 5 5 , ,… + a 2 = 0,055 = 100 1003 100

Запись приближений показывает, что данную периодическую дробь можно представить в виде суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии и числа 0,2: Получаем a = 0,2 + S = 1 + 5

5 100 1 1− 10

=

1 5 18 + 5 23 . + = = 5 90 90 90

21. 1) b n = 3 ⋅ (−2)n ; b1 = −6 ; b 2 = 12 ; b 3 = −24 ; q=

b b2 −24 12 , так как q = 2 > 1 , то данная последова= = −2 = 3 = b1 − 6 b2 12

тельность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. 2) b n = −5 ⋅ 4n ; b1 = −20 ; b 2 = −80 ; b 3 = −320 ; q=

b −320 b 2 80 , так как q = 4 > 1 , то данная последова= =4= 3 = b2 − 80 b1 20

тельность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. n −1 8 8 3) b n = 8 ⋅  − 1  ; b1 = 8 ; b 2 = − ; b3 = − ; 3 9 3   8

q=

b2 − 3 1 b = =− = 3 = b1 8 3 b2

8 9 8 − 3

, так как q =

1 < 1 , значит, данная последо3

вательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. n −1 3 3 4) b n = 3 ⋅  − 1  ; b1 = 3 ; b 2 = − ; b3 = ; 2 4  2 3

q=

3

1 b2 − 2 1 b = = − = 3 = 43 , q = < 1 , значит, данная последователь2 b1 8 2 b2 − 2

ность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. 1 22. 1) q = ; b5 = 2 ; b5 = b1 ⋅ q 4 ; 2 = b1 ⋅ 1 , 2 16 16 16

12

www.5balls.ru


откуда получаем: b1 = 2 , S = b1 =

2

1− q

1−

1 2

=2 2 .

9 3 9 3 3 ; b 4 = ; b 4 = b1 ⋅ q 3 ; = b1 ⋅ , 8 2 8 8

2) q =

откуда получаем: b1 = 3 , S = b1 = 1− q

23. 1) S = 30 , q =

3

= 2 3(2 + 3) .

3 2

1−

1 . Итак, S = b1 , значит, b1 = S ⋅ (1 − q ) = 30(1 − 1 ) = 24. 5 5 1− q

2) S = 30 , b1 = 20 . Итак, S = b1 , значит, 1 − q = b1 , 1− q

S

а q = 1 − b1 = 1 − 2 = 1 . S 3 3 n 24. 1) lim 3 − 2 = lim ( 3 − 1) . n n n →∞

n →∞

2

2

3

Если n неограниченно возрастает, то 3

ется к нулю, т.е.

2

n

2n

как угодно близко приближа3

→ 0 при n → ∞ или lim

n →∞ 2n

= 0.

Поэтому lim ( 3 − 1) = −1 . n n →∞

2) lim

n →∞

n+2

3

2

+2

n

= lim

9 ⋅ 3n + 2 3n

n →∞

3

= lim (9 + n →∞

2 3n

2

Если n неограниченно возрастает, то ется к нулю, т.е.

3 2n

).

3n

как угодно близко приближа2

→ 0 при n → ∞ или lim

n →∞ 3n

=0.

Поэтому lim (9 + 2 ) = 9 . n n →∞

3) lim

n →∞

(5n + 1) 2 5

2n

3

= lim

52n + 1 + 2 ⋅ 5n

n →∞

5

2n

= lim (1 + n →∞

Если n неограниченно возрастает, то

1 5

1 52 n

2n

и

+

2 5n

2 5n

).

как угодно близко при-

2 1 → 0 и n → 0 при n → ∞ или 5 5 2n 1 2 2 lim = 0 . Поэтому lim (1 + 2n + n ) = 1 . n →∞ 5n n →∞ 5 5

ближается к нулю, т.е.

lim

1

n → ∞ 52 n

=0 и

25. Стороны поставленных друг на друга кубов составляют бесконечную убывающую геометрическую прогрессию

13

www.5balls.ru


a , a , a , a , … значит, высота получившейся фигуры равна сумме 2

4

8

бесконечно убывающей геометрической прогрессией с q = S=

a 2

a

1 = ; 2

b1 a = = 2a . 1− q 1− 1 2

26. Расстояние от точки касания первой окружности со второй есть сумма бесконечно убывающей прогрессии диаметров окружностей с радиусами R2 R3… Rn…, то есть 2(R2+R2+…+R2+…), а, значит, расстояние от центра первой окружности до вершины угла равно R1+2(R2+R2+…+R2+…). Расстояние от вершины угла до центра первой окружности равно 1 R1 : sin 30o = R1 : = 2R1 . 2 Расстояние от вершины угла до центра второй окружности равно 2R1– –R2–R1=R1–R2 Из подобия треугольника следует R1 = R2

2R1 , откуда 2R 2 − R R = 1 1 2 R1 − R 2

= 2R1R 2 , R 2 = R1 , аналогично, R 3 = R 2 = R1 , таким образом R n = R1 . n −1 3

3

2

27. 1) 1 = 1 = 1;

0= 0

3

1 = 13 = 1;

16 = 4 1

(17) 2

3

0 = 0 3 = 0;

3

3

=

2

= 4;

1 . 17 3

125 = 5 3 = 5;

3

3 3 1 1 1 3 3 3 3 = 3 3 = ; 0,027 = (0,3) = 0,3; 0,064 = (0,4) = 0,4. 27 3 3

3

3) 4

3

9

= 0;

1 = 289

0,81 = (0,9) 2 = 0,9; 2)

2

4

4

0 = 0 4 = 0;

16 4  2  =   81 3

28. 1) 3)

4

4

3

1   2

30. 1)

3

=

4

1 = 14 = 1;

2 ; 3

4

4

4

16 = 2 4 = 2;

256 4  4  =   625 5

4

6

=

36 3 = 6 (6 2 ) 3 = 6 6 = 6 ; 2)

 1     25 

29. 1) 3)

6

4

4

2

=

4

 1   52

  

2

=

4

1   5

4

=

4 4 0,0016 = 4 (0,2) 4 = 0,2. ; 5

12

64 2 = 12 ( 2 6 ) 2 =

1; 5

4)

8

10 6 = 3 (10 2 ) 3 = 10 2 = 100 ; 12

 1 3  =     2     4

4

3

− 8 = 3 (−2) 3 = −2 ;

4) 2)

15

4

2

8

3 12

1    3

= 3 (3 4 ) 3 = 3 4 = 81 ;

3

16

 1 4  =     3     4

− 1 = 15 (−1)15 = −1 ;

14

www.5balls.ru

=2;

225 4 = 8 (15 2 ) 4 = 15 8 = 15 . 2)

1 1 =  = ; 2 8  

12 12

4

4

1 . 1 =  = 3 81  


3

1 1  1 = 3 −  = − ; 27 3  3

3)

3

5)

3

− 34 3 = − 34 3 = −34 ;

3

4)

5

− 1024 = 5 (−4) 5 = −4 ;

6)

7

− 8 7 = − 8 7 = −8 .

7

4

31. 1) x 4 = 256; x = ± 4 256 ; x = ± 4 4 ; x = 4 или x = −4. 2) x 5 = −

5 1 1 1 ; x = 5 − ; x = − 5  1  ; x = − . 32 32 2 2  

5

3) 5x 5 = −160; x = 5 − 32 = − 2 5 = −2. 6

4) 2 x 6 = 128; x 6 = 64; x = 6 64 = 26 = 2, отсюда, x = 2 или x = – 2. 32. 1)

3

− 125 +

16 16 6 2 1 3 64 = − 5 3 + 2 = −5 + = −5 + = −4,75 ; 8 8 8 4 5

3

32 − 0,53 − 216 = 2 5 + 0,5 6 3 = 2 + 3 = 5 ; 1 14 4 4 4 3) − 4 81 + 4 625 = − 3 + 5 = −1 + 5 = 4 ; 3 3 1 14 4 3 4) 3 − 1000 − 4 256 = − 10 3 − 4 = −10 − 1 = −11 ; 4 4

=

2)

5

5)

5

1 + 3 − 0 ,001 − 4 0 ,0016 = 243

5

1   3

5

+ 3 ( − 0 ,1) 3 − 4 ( 0 , 2 ) 4 =

1 1 3 10 − 9 1 . − 0 ,1 − 0 , 2 = − = = 3 3 10 30 30

33. 1)

3

343 ⋅ 0,125 = 3 (7) 3 ⋅ (0,5) 3 = 3 (7 ⋅ 0,5) 3 = 7 ⋅ 0,5 = 3,5 ; 3

2)

3

512 ⋅ 216 = 83 ⋅ 6 3 = 3 (8 ⋅ 6) 3 = 8 ⋅ 6 = 48 ;

3)

5

32 ⋅100000 = 2 5 ⋅10 5 = 5 (2 ⋅10) 5 = 2 ⋅10 = 20 .

5

34. 1)

3

53 ⋅ 7 3 = 3 (5 ⋅ 7) 3 = 5 ⋅ 7 = 35 ; 2) 4 114 ⋅ 34 = 4 (11 ⋅ 3) 4 = 11 ⋅ 3 = 33 ; 7

3)

5

1 1 1 (0,2)5 ⋅ 85 = 5 (0,2 ⋅ 8)5 = 0,2 ⋅ 8 = 1,6 ; 4) 7   ⋅ 217 = 7 ( ⋅ 21)7 = ⋅ 21 = 7 . 3 3  3

35. 1)

3

3

2 ⋅ 3 500 = 3 2 ⋅ 500 = 3 1000 = 10 3 = 10 ;

2)

3

0,2 ⋅ 3 0,04 = 3 0,2 ⋅ 0,04 = 3 0,008 = 3 (0,2) 3 = 0,2 ;

3)

4

324 ⋅ 4 4 = 4 324 ⋅ 4 = 4 81 ⋅ 2 4 = 4 3 4 ⋅ 2 4 = 3 ⋅ 2 = 6 ;

4)

5

2 ⋅ 5 16 = 5 2 ⋅16 = 5 25 = 2 .

36. 1)

5

310 ⋅ 215 = 32 ⋅ 2 3 = 9 ⋅ 8 = 72 ;

15

www.5balls.ru


2)

3

3)

4

4)

10

2 3 ⋅ 56 = 3 (2 ⋅ 5 2 ) 6 = 2 ⋅ 5 2 = 2 ⋅ 25 = 50 ; 4

6 2   1 2  1 1 1 312   = 4  33    = 33 ⋅   = 27 ⋅ = 3 ;  3  3 9 3   

1 4 30   2

2

1 1 = 4 3 ⋅   = 64 ⋅ = 16 . 4 2

3

3

37. 1)

10

  1 2  = 10  4 3     3   

20

64 x 3 z 6 = 4 3 x 3 z 6 = 3 (4 xz 2 ) 3 = 4 xz 2 ;

2)

4

a 8 b 12 = 4 (a 2 b 3 ) 4 = a 2 b 3 ;

3)

5

32 x 10 y 20 = 5 2 5 x 2⋅5 y 4⋅5 = 5 ( 2 x 2 y 4 ) 5 = 2 x 2 y 4 ;

4)

6

a 12 b 18 = a 2⋅6 b 3⋅6 = 6 (a 2 b 3 ) 6 = a 2 b 3 . 6

3

38. 1)

3

3

2ab 2 ⋅ 4a 2 b = 2 ⋅ 4a 3 b 3 = 3 (2 ⋅ a ⋅ b) 3 = 2ab ;

2)

4

2a 2 b 3 ⋅ 27a 2 b = 3 4 a 4 b 4 = 4 (3ab) 4 = 3ab ;

4

3)

4

ab 4 a 3 c 4 ab a 3 c 4 4 ⋅ = ⋅ = a =a; c b c b

4)

3

16a b

2

39. 1)

3

4

3

⋅3

1 16a 1 8 2 2 =3 ⋅ =3 =3  = . 2ab b b b 2 2ab b3 3

64 3 4 3 3  4  4 = =   = ; 2) 125 5 5 53

4

16 4 2 4 4  2  = =   81 3 34

4

=

2; 3

=

3 = 1,5 . 2

3

3)

3

3

3 3 27 3 3 3 3  3  3 = = =   = = 1,5 . 8 8 2 2 23

4)

5

7

19 5 32 ⋅ 7 + 19 5 224 + 19 5 243 5 35 5  3  = = = = =   32 32 32 32 25 2

40. 1)

4

5

324 : 4 4 = 4 324 : 4 = 4 34 = 3 ;

2) 3 128 : 3 2000 = 3 128 : 2000 = 3 0,064 = 3 (0,4) 3 = 0,4 ; 3)

3 3

16 2

:3

16 3 16 3 3 = = 8 = 23 = 2 ; 2 2

5) ( 25 –

45 ): 5 =

5( 5 − 9) 5

6) (3 625 − 3 5 ) : 3 5 = 41. 1)

5

5

3

4)

5

256 5

8

=5

256 5 5 = 32 = 2 5 = 2 ; 8

= 5 − 9 = 5 −3;

5 (3 125 − 1) = 3 125 − 1 = 5 – 1 = 4. 3 5 5

a 6 b 7 : ab 2 = 5 (a 6 b 7 ) : (ab 2 ) = a 5 b 5 = ab ;

16

www.5balls.ru


2)

3

3)

3

4)

4

3 81x 4 y : 3 3xy = 3 (81x 4 y) : 3xy = 27 ⋅ x 3 = 3x ;

3x y2 2b a3

y

:3

:4

9x 2 a 8b 3

=3

=4

3x

y

:

y 2 9x 2 2b

a

:

a 3 8b 3

=4

y3

16b 4 a4

3) (10 32)2 =

322 = 10 (25 ) 2 =

 2b  =4   a 

4

=

2b . a

2) ( 6 9)−3 = 6 9−3 = 6 1 = 6 1 = 1 ; 3 6

42. 1) ( 6 73 )2 = 6 73⋅2 = 6 76 = 7 ; 10

3

 3x  3x ; = 3   = y  y 

27 x 3

=3

9

10 10

2

3

3

= 2;

4) ( 8 16)−4 = 8 16−4 = 8 1 = 8 1 = 8 1 = 1 . 4 2⋅ 4 8 16

4

729 = 729 = 36 = 3 ; 6

4

4

1024 = 10 1024 =

43. 1) 3)

33

9

9 ⋅ 37 = 3 ⋅ 37 = 37 ⋅ 37 = 39 = 3 ;

4)

43

25 ⋅ 5 5 =

9

6

6

5

3

2 9

12

2)

9

6

10 10

2

=2;

9

6

6

6

5 2 ⋅ 55 = 6 5 ⋅ 55 = 5 ⋅ 55 = 56 = 5 .

44. 1) ( 3 x )6 = 3 x 6 = 3 (x 2 )3 = x 2 ; 2) ( 3 y 2 )3 = 3 (y2 )3 = y2 ; 3) ( a ⋅ 3 b )6 = a 6 ⋅ 3 b6 = a 2⋅3 ⋅ 3 b3⋅2 = a 8 ⋅ b9 ; 4) ( 3 a 2 ⋅ 4 b3 )12 = 3 (a 2 )12 ⋅ 4 (b3 )12 = (a 2 )4 ⋅ (b3 )3 = a8 ⋅ b9 ; 5) (

3 2

6

a b )6 = ( a 2 b)6 = 6 (a 2 b)6 = a 2 b ;

6) ( 3 4 27a 3 )4 = 12 (3a)3⋅4 = 12 (3a)12 = 3a . 45. 1) 6 2x − 3 , это выражение имеет смысл при 2х–3≥0; 2x ≥ 3; x ≥ 3 ; x ≥1,5 . 2

2)

6

x + 3 , это выражение имеет смысл при x + 3 ≥ 0; 2 x ≥ 3; x ≥ −3 .

2 2x 2 − x − 1 , это выражение имеет смысл при 2 x − x − 1 ≥ 0. Решим 1 + 3 1− 3 2 уравнение 2x 2 − x − 1 = 0. D = 1 + 8 = 9 = 3 ; x1 = = 1 или x 2 = = −0,5 . 4 4

3)

6

Так как ветви параболы 2 x 2 − x − 1 = 0 направлены вверх и точки пересечения этой параболы с осью абсцисс: (1; 0) и (–0,5; 0), то 2 x 2 − x − 1 ≥ 0 при x ≤ −0,5 и x ≥ 1 . 4)

4

2 − 3x 2 − 3x ; Это выражение имеет смысл при совокупности ≥ 0; 2x − 4 2x − 4

2 − 3x ≥ 0, что эквивалентно системе неравенств: x−2 2 − 3x ≤ 0  2 − 3x ≥ 0 или   x − 2 > 0 x − 2 < 0

2 ≤ 3x 2 ≥ 3x или   x > 2 x < 2

 x ≤ 2  x ≥ 2 3 или  3   x < 2  x > 2

17

www.5balls.ru


Первая система не имеет действительных решений, значит 2 ≤ x < 2. 3

46. 1) 9 + 17 ⋅ 9 ⋅ 17 = (9 + 17) (9 − 17) = 81 − 17 = 64 = 8 ; 2) ( 3 + 5 − 3 − 5 )2 = 3 + 5 − 2 3 + 5 ⋅ 3 − 5 + 3 − 5 = = 6 − 2 (3 + 5 )(3 − 5 ) = 6 − 2 9 − 5 = 6 − 2 22 = 6 − 4 = 2 ;

3) ( 5 + 21 + 5 − 21)2 = 5 + 21 + 2 5 + 21 ⋅ 5 − 21 + 5 − 21 = 10 + +2 (5 + 21)(5 − 21) = 10 + 2 25 − 21 = 10 + 2 4 = 10 + 2 2 2 = 10 + 4 = 14 .

2) 3)

3 4

4 4

32

4

2

=4

5 6

+ 272 −

49 ⋅ 112 3 73 ⋅ 2 ⋅ 8 3 73 ⋅ 23 3  14  14 = = = 2,8 ; =   = 250 250 5 53  5

=3

250

54 ⋅ 120

4

3

49 ⋅ 3 112

3

47. 1)

54 ⋅120 4 4 = 54 ⋅ 24 = 3 4 ⋅ 2 4 = 4 (3 ⋅ 2) 4 = 6 ; 5 3

64 = 4

4) 3 3 3 + 4 18 ⋅ 4 4 1 − 8

4 4 32 6 6 6 6 4 + 3 − 2 = 16 + 3 − 2 = 2 + 1 = 2 + 1 = 3 ; 2

256 = 3

2

24 + 3 4 8 + 1 4 4 3 33 4 9 + 18 ⋅ 4 − 4 = 3 + 9⋅2⋅ − 4 = 8 2 2 2

4

= 1,5 + 34 − 4 = 3 − 2,5 = 0,5 ;

5) 3 11 − 57 ⋅ 3 11 + 57 = 3 (11 − 57)(11 + 57) = 3 121 − 57 = 3 64 = 3 4 3 = 4 ; 6) 4 17 − 33 ⋅ 4 17 + 33 = 4 (17 − 33)(17 + 33) = 4 289 − 33 = 4 256 = 4 4 4 = 4 . 48. 1) 3 2ab ⋅ 3 4a 2b ⋅ 3 27b = 3 2ab ⋅ 4a 2b ⋅ 27b = 3 23 ⋅ 33a3b3 = 3 (2 ⋅ 3ab)3 = 6ab ; 2)

4

4

4

4

4

abc ⋅ a 3 b 2 c ⋅ b 5 c 2 = abc ⋅ a 3 b 2 c ⋅ b 5 c 2 = a 4 b 8 c 4 = 3 3 18

49. 1)

a

+(

3 4 3

9

6

4

(ab 2c) 4 = ab 2c .

6

a ) = a18 + ( a 4 )3 = 9 (a 2 )9 + a12 = a 2 + 6 (a 2 )6 =

= a 2 + a 2 = 2a 2 ; 2) ( 3)

3

3

6 6 8 x 2 )3 + 2( 4 x )8 = ( x 2 )3 + 2( 8 x )8 = x 6 + 2 x 8 = x + 2x = 3x;

x 6 y12 − ( 5 xy 2 )5 = 6 (xy 2 )6 − 5 (xy 2 )5 = xy 2 − xy 2 = 0 ;

4) (( 5 a 5 a )5 − 5 a ) : 10 a 2 = ( 5 (a 5 a )5 − 5 a ) : 5 a = (a 5 a − 5 a ) : : 5 a = ( 5 a (a − 1)) : 5 a = a − 1 .

3⋅39

50. 1) 2) 4

3

6

7 ⋅ 343 12

3

3

4

7

=

=

6 3 3 2

3 ⋅ 3 6

3

12 4 4 3

7 ⋅ 7 12

7

=6

33 3 2 6 2 3 2 3 3 2 3 3 3 2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 3⋅ 3 = 3 = 3 ; 3

= 12

7 4 4 3 12 3 4 3 4 4 3 = ⋅ 7 = 7 ⋅ 7 = 7⋅ 7 7

4 4

= 7⋅7 = 7 = 7 ;

18

www.5balls.ru


3) ( 3 9 + 3 6 + 3 4)( 3 3 − 3 2) = 3 32 ⋅ 3 3 − 3 32 ⋅ 3 2 + 3 6 ⋅ 3 3 − 3 6 ⋅ 3 2 + 3

3

3

3

3

3

3

3

+ 22 ⋅ 3 3 − 22 ⋅ 3 2 = 33 − 32 ⋅ 2 + 32 ⋅ 2 − 22 ⋅ 3 + 22 ⋅ 3 − 23 = 3 − 2 = 1 .

19

www.5balls.ru


51. 1) 3 ( x − 2)3 = x –2; а) при x ≥ 2 ;

3

( x − 2) 3 = x − 2 ;

3

( x − 2) 3 = x − 2 ;

3

(3 − x )6 = 3 − x ;

2)

3

б) при x > 3 ; 3 − x = ( x − 3)3 .

а) при x≤3; |3–x|3=(3–x)3; 3)

б) при x < 2 ;

4

( x + 6)4 + ( x − 3) 2 = x + 6 + x − 3 .

Если –1<x<2, то |x+6|=x+6; а |x–3|=3–x, значит, |x+6|+|x–3|=x+6+3–x=9. 4)

6

(2x + 1)6 + 4 (4 + x )2 = 2x + 1 − 4 + x .

Если −3 < x < −1 , то 2x + 1 = −(2 x + 1) = −2x − 1 ; а 4 + x = 4 + x , значит, 2 x + 1 − 4 + x = 2 x − 1 − 4 − x = −3 x − 5 .

52. 1)

3

3 3 63 < 3 64 = 43 = 4 , значит, − 63 > −4 ;

3

3 > 1 = 12 = 1 .

30 > 3 27 = 33 = 3 ;

3

Складываем эти неравенства и получаем: 3

3

30 + 3 − 3 63 > 3 + 1 − 4 ;

30 + 3 > 3 63 . 2)

3

3

7 < 3 8 = 23 = 2 , значит, − 3 7 > −2 ;

15 < 16 = 42 = 4 , значит, − 15 > −4 ; 10 > 9 = 32 = 3 ; Складывая эти неравенства, получим:

3

3

28 > 3 27 = 33 = 3 .

10 + 3 28 − 3 7 − 15 > 3 + 3 − 2 − 4 = 0 ;

10 + 3 28 > 3 7 + 15 .

53. 1) ( 4 + 2 3 − 4 − 2 3 )2 = 4 + 3 + 4 − 2 3 − 2 (4 + 2 3)(4 − 2 3) = = 8 − 2 16 − 4 ⋅ 3 = 8 − 2 4 = 8 − 2 22 = 8 − 4 = 4 = (2)2 ; 2) (3 9 + 80 − 3 9 − 80 )2 = 9 + 80 + 9 − 80 + 33 (9 + 80)(9 + 80)(9 − 80) + +33 (9 + 80)(9 + 80)(9 − 80) = 18 + 33 (9 − 80) (81 − 80 ) =

= 18 + 33 9 + 80 + 33 9 − 80 = x 3 ; x=

3

x3 − 6; ( x − 3)( x 2 + 3x + 6) = 0 ; 3

9 + 80 + 9 − 80 =

x3 − 6; 3

x 2 + 3x + 6 ≠ 0 , значит, x − 3 = 0;

x = 3 = 3 9 + 80 + 3 9 − 80 . 54. 1)

a− b 4

a −4 b

a − 4 ab 4

a +4 b

=

( 4 a + 4 b )( a − b ) − ( 4 a − 4 b )( a − 4 ab ) ( 4 a − 4 b)( 4 a + 4 b )

=

19

www.5balls.ru


4

= =

4

=

4

4

4

4

4

4

b ( a 2 − b2 ) = a− b

a−b 3

3

a− b

4

4

a+b 3

3

a+ b

(a − b ) ( 3 a + 3 b) − (a + b ) ( 3 a − 3 b) =

=

( 3 a − 3 b)( 3 a + 3 b)

a 3 a + a 3 b − b3 a − b3 b − a 3 a + a 3 b − b3 a + b3 b 3

3 2

=

3

a − b2

3

2 3 ab( a 2 − b 2 ) 3 2

3

a − b2

= 2 3 ab ;

a+ b

3

a + b − 3 ab( 3 a + 3 b) 3

3

3

3

3

3

3

2

x3 = x 3 :

4)

5

2)

1

x −1 = x 5 ;

6

5)

5 6

a = a3 ;

3)

3

4 3

1

a = a6 ;

6)

6

= a −5 ;

4) b

5) (2x) = 2x ;

1 3

7

3

2 − 3

= 3 (3b)−2 .

1 3

1

3

2) 27 = 3 27 = 33 = 3 ;

3

3

3) 8 = 82 = 3 (23 ) 2 = 43 = 4 ; 3

4

4) 814 = 4 (81)3 = 4 (34 )3 = 27 4 = 27 ;

6) 9−1,5 = 9 4

3 2

3 4

4

= 16−3 = 4 (24 )−3 = 2−3 =

= 9−3 = (32 ) −3 = 3−3 =

11

4 11 + 5

58. 1) 2 5 ⋅ 2 5 = 2 5 2

5

2 5 + 7

2

1

2

2) 5 7 ⋅ 5 7 = 5 7

=5

3) 9 3 : 9 6 = 9 3 ⋅ 9

3

b −3 = b 7 .

= b −1 ;

6) (3b)

57. 1) 64 2 = 64 = 82 = 8 ;

5) 16−0,75 = 16

3

b = b4 ;

2) y 5 = 5 y 2 ;

1 2

2 3

3

2

1

56. 1) x 4 = 4 x ; 3) a

3

a + b − a 2 b − ab 2

4

3 4

3

1 6

=2

2 +5 7

=9

4+11 5

1 = 0,125 ; 8

1 . 27

15

= 2 5 = 23 = 8 ;

7

= 5 7 = 51 = 5 ; 4 −1 6

=

a + b − a 2 b − ab 2

=

a 3 + ab 2 − 2 a 2 b + ba 2 + b3 − 2 ab 2

55. 1)

3

( a + 3 b)( a 2 + b 2 − 2 3 ab) 3

a + b − a 2 b − ab 2 3

=

3

a 2 − b2 3

2a 3 b − 2b 3 a

=

b( a − b) 4 = b; a− b

3) ( a + b − 3 ab ) : ( 3 a − 3 b)2 = 3 3 =

4

a− b

2) =

4

a 3 − ab 2 + ba 2 − b 3 − a 3 − a 2 b + ba 2 + ab 2

3

= 9 6 = 32 = 3 ;

20

www.5balls.ru

= 1.


1

5

1

4) 4 3 : 4 6 = 4 3 ⋅ 4 1

5) (8 2 )−4 = 8

4 − 12

5 6

2−5 6

=4 −

1

1

=8 3 =

8 2 5

2 5

=4

2 5

3 6

3

1 1 1 = = = 0,5 ; 2 2 4 2

=

1

=

1 3

1

=

8

2 5

=

3 3

2

4 5

6 5

1 = 0,5 . 2

4 6 + 5

59. 1) 9 ⋅ 27 = (3 )2 ⋅ (3 )3 = 3 ⋅ 3 = 3 5 2 3

2 3

2 3

2 3

2 3

4 3

2) 7 ⋅ 49 = 7 ⋅ (7 )2 = 7 ⋅ 7 = 7 3 4

3 4

3

3

3 4

3 − 4

2 4 + 3 3

= 32 = 9 ;

= 7 2 = 49 ;

6 4

6 4

6

3

6 6 − 4

3) 144 : 9 = (32 ⋅ 42 ) ⋅ (9 )2 = 4 ⋅ 3 ⋅ 3 4 = (22 ) 2 ⋅ 3 4 3

3

3

4) 150 2 : 6 2 = 25 2 ⋅ 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 6 0

3 2

3

3

3

3

= (52 ) 2 ⋅ 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 2 2 ⋅ 3

3 2

= 23 ⋅ 30 = 8 ⋅ 1 = 8 ; 3 3 −

3 3 − 2

= 53 ⋅ 2 2 2 ⋅ 3 2

=

0

= 125 ⋅ 2 ⋅ 3 = 5 ⋅ 1 ⋅ 1 = 125 .

1 60. 1)    16 

−0,75

4

4 4 3 3 1 3 +   = (16) 4 + (8) 3 = (24 ) 4 + (23 ) 3 = 2 3 + 2 4 = 8 + 16 = 24 ; 8 3 2

1

1

2 3

2

3

2) (0,04 )−1,5 − (0,125 ) 3 =   −   = ( 25 )2 − (8 )3 = (52 ) 2 − (23 ) 3 =  25  8 −

2

3

2

= 53 − 22 = 125 − 4 = 121 ; 9

2

6

4

9

2

6 4 + 5

3) 8 7 : 8 7 − 35 ⋅ 3 5 = 8 7 ⋅ 8 7 − 35

9 2 − 7

= 87

2 2 3 − ⋅5 1 4) (5 5 )−5 + ((0, 2) 4 ) −4 = 5 5 +   5

61. 1)

3

b:6 b =

4)

6

3

b 4

a⋅ a⋅

62. 1) a 1 2

1 3

= 12

b

6

=6

b

6 36

(b 2 ) 2

b

a

6

b

=

12

1 3

1 2

5

b3 6 2 3 = b = b; b

a4 ⋅

a =a a =a

1 3

1 3

1 2

6

12

1 1 + 3 2

3

1

1

b : b6 = b3b 4

4

1 6

a3 ⋅

=a

1 6

1 1 − 6

= b3

1

4

=b

4) a 3 : 3 a = a 3 : a 3 = a 3 ⋅ a 5) x1,7 ⋅ x 2,8 : x5 = x

17−28 10

при b = 27 ;

3

3

b = 3 27 = 3 3 = 3 .

b3 ⋅ b 4 6 6 = b = b = 1,3 . b

=6

12

1 3

a5 =

2+3 6

2) b ⋅ b ⋅ b = b ⋅ b ⋅ b = b 3)

= 52 + 53 = 25 + 125 = 150 .

a = 0,009 = (0,3) 2 = 0,3 .

6 3

3

b b2

3)

7

6 6 a ⋅6 a = a2 ⋅6 a = a3 = a ;

при a = 0,09 ; 2)

3 − ⋅4 4

10

− 3 5 = 8 7 − 32 = 8 − 9 = 1 ;

12 12

a

= а = 2,7.

=b

3+ 2+1 6

6

= b 6 = b1 ;

1

= b6 ;

=a 5

a4 ⋅a3 ⋅a5 =

=a ;

1 1 1 + + 2 3 6

2−1 6

12

5 6

4−1 3 45

3

= a 3 = a1 ;

: x 2 = x 10 ⋅ x

5 2

9

= x2 ⋅ x

5 2

9 5 − 2

= x2

4

= x 2 = x2 ;

21

www.5balls.ru


1

1 2,3+ −3,8 3

1 2

1 1 + 2 2

6) y−3,8 : y−2,3 ⋅ 3 y = y−3,8 ⋅ y2,3 ⋅ y 3 = y 1 2

1 2

1 2

2 2

63. 1) x + x = x + x1 = x + x = x + x 1 3

1 3

1 3

9

4

1 3

1 1 3 3

1 3

1

−1,5

= y3 1 2

1 2

1 3 − 2

= y3

=y

1 2

1 2

2−9 6

1 2

=y 1 2

7 6

=y

1 2

1 −1 6

.

1 2

= x + x ⋅ x = x + x ⋅ x = x (1 + x ) ;

1 3

1

2) (ab) + (ac) = a ⋅ b + a c = a (b + c 3 ) ; 1

3

4

3) y 4 − y 3 = y12 − y12 = y12 1

1

2

5 + 12

4

4

5

4

4

1

5

5

− y12 = y12 ⋅ y12 − y12 = y12 (y12 − 1) = y 3 (y12 − 1) ;

1

1

2

1

1

1

1

4) 12xy 2 − 3x 2 y = 3(4x 2 y 2 − x 2 y 2 ) = 3x 2 y 2 (4x 2 − y 2 ) . 1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

64. 1) a 2 − b 2 = a 4 ⋅ b 4 = (a 4 ) 2 − (b 4 ) 2 = (a 4 + b 4 )(a 4 − b 4 ) ; 2

1

1

1

2) y 3 − 1 = (y 3 )2 − 12 = (y 3 + 1)(y 3 − 1) ; 1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

3) a 3 − b 3 = a 6 − b 6 = (a 6 ) 2 − (b 6 ) 2 = (a 6 + b 6 )(a 6 − b 6 ) ; 2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

4) x − y = x1 − y1 = x 2 − y 2 = (x 2 ) 2 − (y 2 )2 = (x 2 + y 2 )(x 2 − y 2 ) ; 1

1

2

2

1

1

1

1

5) 4a 2 − b 2 = 22 a 4 − b 4 = (2a 4 )2 − (b 4 )2 = (2a 4 + b 4 )(2a 4 − b 4 ) ; 1

1

2

2

1

1

6) 0,01m 6 − n 6 = (0,1) 2 m 12 − n 12 = (0,1) 2 (m 12 ) 2 − (n 12 ) 2 = 1

1

1

1

1

1

= (0,1m 12 ) 2 − (n 12 ) 2 = (0,1m 12 + n 12 )(0,1m 12 − n 12 ) . 3

3

1

1

1

1

1

1

65. 1) a − x = a 3 − a 3 = (a 3 )3 − (х 3 )3 = (a 3 − x 3 )(0,1m 12 + n 12 ) ; 3

3

1

1

1

1

2

1

1

2

2

2

2

1

1

2) x 2 − y 2 = (x 2 )3 − (у 2 )3 = (x 2 − у 2 )(x 2 + y 2 + y 2 ) = (x 2 + y 2 )(x + х 2 y 2 + у) ; 1 2

3 6

1 2

3 6

3

3

2

1 1

2

1

1

1

1 1

1

3) a − b = a − b = (a6 )3 − (b6 )3 = (a6 − b6 )(a 6 + a6b6 + b6 ) = (a6 − b6 )(a3 + a6 b6 + b3 ; 3

1

3

1

1

1

1

1

1

1

2

4) 27a + c 2 = 33 a 3 + c 6 = (3a 3 )3 + (c 6 )3 = (3a 3 + c 6 )((3a 3 ) 2 − 3a 3 c 6 + c 6 ) = 1

1

2

1 1

1

= (3a 3 + c 6 )(9a 3 − 3a 3 c 6 + c 3 ) . a− b

66. 1)

1 4

a −b

2)

1 2

1 4

=

2

2

1 4

1 4

a 4 − b4 a −b

1 2

=

2

2

1 4

1 4

a 4 − b4 a −b

1 2

1

=

1

1

1 4

1 4

1

(a 4 + b 4 )(a 4 − b 4 ) a −b

1 2

1 2

1

1

= a 4 + b4 ;

1

m +n m +n m + n2 1 ; = = = 1 1 1 1 2 m + 2 mn + n ( m + n ) 2 (m 2 + n 2 ) m2 + n2 1

1

1

2 2 1 2 2 2 3) c − 2c + 1 = (c − 1) = (c 1 − 1) = c 2 − 1 .

c −1

67.

c 1 2

3 2

c +b

1 2

c −1

cb 1 2

1 2

b −c

1 2

+

c2 −1

2c2 − 4cb = c−b

3

1

c2 1 2

c +b

1 2

+

cb 2 1 2

c −b

22

www.5balls.ru

1 2

+

2c 2 − 4cb 1 2

1

1

1

(c + b 2 )(c 2 − b 2 )

=


3

=

1

1

1

1

3

1

c 2 (c 2 − b 2 ) + cb 2 (c 2 + b2 ) + 2c2 − 4cb 1

1

1

=

1

1

3

1

=

1

3

1

c2 − c 2 b 2 + c 2 b 2 + cb + 2c2 − 4cb 1 2

1 2

1 2

5

⋅ 2−

:9

2

= 32

2

3) (5 3 )

3

=5

3⋅ 3

=5

4) ((0,5)

2

)

8

= (0,5)

69. 1) 22 −3

5

⋅8

2) 32

2

3

2) 31+ 2 = 31+ 2

3

2

:9

3

2 −2 2

3

1

2)(1+

)

70. 1) 21−2 3

2

⋅ 31−

71. 1)

=

= 32

⋅ 3−2

2

2

= 32

2 −2 2

= 30 = 1 ;

= 53 = 125 ;

= (0,5)

42

5

)

: (3

3

5

⋅ (2

4

1 1 . = (0,5) 4 =   = 16 2 5

) = 31+ 2

2 2

3

= 2 2 −3 2

: 32

3

2

5

⋅ 23

= 22 −3

5 3

= 31+ 2

2

⋅ 3−2

3

5 +3 5

2

= 22 = 4 ;

=

2

= 21− 2

= 32−3

3

⋅ 3−2 −

3

2 )(1− 2 )

2

= 51− 2 = 5−1 =

2

⋅ (2

⋅ (3 3 )3 = 32−3

3

= (32 )1+

3

= 21− 2

2

)

⋅ 31−

3

3

2

⋅ 33

3 −2− 3

⋅ 22 3

2

= 21− 2

= 32−3

= 32 + 2

2 +2 2

2 =3 =9;

3 +3 3 3

= 21 = 2 ;

⋅ 3−1− 2

3

=

1

=3 =3;

=3

⋅ 21−

2

= 5(1+

⋅4

⋅ 27

2 + 2 3 −1− 2 3

4) 43+

32

2

1

= 20 = 1 ;

2

2⋅ 8

3

1

1 ; 5 0 1 1 1 − 625 624 2) . − ( 5)0 = 51−5 − 52 = 5−4 − 50 = 4 − 1 = −1 = =− 5 625 625 625

4) 5(1−

3) 91+

: 32

= 22 −3

5

1

= 31 = 3 ;

2 1− 2

3

5− 5

=2

= 31+ 2

2

3) (51+

2) 32−3

5

1 1 +

3c2 − 3cb 3c(c − b ) = 3c . = c−b c−b

=

1 2

(c + b )(c − b )

68. 1) 2

1

(c 2 + b 2 )(c 2 − b 2 )

(c 2 + b2 )(c 2 − b 2 ) 3

2 1 +

c 2 ⋅ c 2 − c 2 b 2 + c 2 2 b 2 + cb 2 2 + 2c2 − 4cb

2

⋅ 2−4−

102 + 102 +

7

7

⋅ 51+

7

2

=

= (22 )3+

2

102 + 102 +

⋅ 21− 7

⋅ 5(2 +

7

2 − 4− 2

7 ) −1

= 26 + 2

102 +

=

(2 ⋅ 5) 2 +

2 − 3− 2 2

7

=

3 = 2 = 8.

1 5−1

= (5−1 ) −1 =

7

⋅ 5 −1

=

36 61+ 5 36 =18; ⋅ = 2 (6)1+ 5 2

= 5(−1)⋅( −1) = 51 = 5 ;

2)

63+ 22 +

5

3) (251+ =5

5

⋅ 31+ 2

=2

2 3 −2 3

3

−4

−2

5

− 52

2 + 2 2 −1− 2 2

4) (22

=

−5

2

62 ⋅ 61+ 2 ⋅ 21+

) ⋅ 5−1− 2

2 2 −1− 2 2

3 −1

) ⋅ 2−2

2 3 −2

⋅2

5

5

⋅ 31+

5

=

= (52 )1+

36 61+ 5 ⋅ 2 (2 ⋅ 3)1+

5

⋅ 5−1− 2 2 − 52 1 4 = 51 − 5−1 = 5 − = 4 ; 5 5 2

3

= 22

−2 3

0

3

⋅ 2−2

= 2 −2

2

3

− (22 )

2 3 − 2−2 3

3 −1

⋅ 2−2

= 1− 2

−2

2

⋅ 5−1− 2

3

=

= 1−

1 22

2

=

= 1−

1 3 = . 4 4

23

www.5balls.ru


71

72. 1) 3 3

2)  1 

= 3−

3

3) 4−

1 5)   2

1, 4

2

, так как

1 ;   3

3

< 4−

3

69

>3

2

71 > 69 ;

= 3−

2

− 3

< 3−

; 3

1 = 2 −1, 4 ;   2

= 2−

2

, так как − 3 < − 2 ;

4) 2

3

> 21,7 , так как

; 2−1,4 > 2−

2

, так как − 1,4 > − 2 ;

, так как − 3 < − 2 ; 2

2

3 > 1,7 ;

π

3,14 1 −π 6)   = 9 −π ;  1  < 9 −3,14 , так как −3,14 > −π . = 9 −3,14 ; 9 9 9

73. 1) 2 − 2 =

1 2

5

2 7 3)   =   7 2

1 <1; 4

=

2

−5

2) (0,013) −1 =  13   1000 

3

5

 π 7)    4

5−2

1 8)    3

8−3

2

74. 1) a 3) (b 75. 1)

3

9

= 2−

3

1 > 0; 2

< 1 = 2 0 , так как − 3 < 0 ;

2− 5

 4 =   π

2− 5

 4 ; 1 < 4 ; 5 > 4 = 2; значит, 2 − 5 < 0, а   π  π

= 33− 8 ; 3 = 9 > 8 , значит, 3 − 8 > 0, то есть 33− ⋅ a1− 3

)

3

2 1000 = 76 > 1 ; 13 13

< 1 = 2 0 , так как − 5 < 0 ; 3

6)  1  2

=

= (3,5) −5 < 1 = (3,5) 0 , так как −5 < 0 ;

4) 271,5 = (33 ) 2 = 32 > 1 = 30 , так как 4 − 5) 2

−1

2

=a

2

:b = b

2 +1− 2

= a1 = a ;

3⋅ 3

−2

1 3

⋅b

3

= b ⋅b

−2

=b

1 3

2 = 2 < 3 3 = 3 , так как 3>2; 2)

1 76. 1)    16 

−0,75

3 −1

2) a 3− 2 4

⋅a

3 +1

=a

8

0

 4 <1=   ;  π

> 1 = 30 .

3 −1+ 3 +1

= a2

=b =b. 1

1

5 = 5 4 < 4 7 = 7 4 , так как 7>5.

1

1

3  35  5 3  224 + 19  5 4 4 3 −  = (2 ) + 30 −  5  = 2 + 30 − = 8 + 30 − 1,5 = 36,5 ; 2  32  2  

1 3

2) (0,001) − 2

−2

2 3

⋅ 64 − 8

1 −1 3

1

2 4 1  1 3 −2 6 3 3 −3 3 3 =  − 2 ⋅ (2 ) − (2 ) = (10 ) –  1000 

24

www.5balls.ru

;

1

3 1  19  5 + 8100000,25 −  7  = (16) 4 + (304 ) 4 −  32 

1

3


− 2− 2 ⋅ 24 − 2− 4 = 10 − 24− 2 − 2 3

3) 27 − (−2) 1  33  =3 − + 3 4  2 

2

−4

4) (−0,5) 8 +1 –    4 

−1

2+1 2

−2

 3 + 3   8

1 3

= 10 − 2 2 − 0,0625 = 9,9375 − 4 = 5,9375 ;

1

−1 3

1

 24 + 3  3 = (3 ) − + = 2  8    (−2) 2 3

3

1

1 2 9 ⋅ 12 − 3 + 2 ⋅ 4 108 − 3 + 8 113 5 + = = = =9 ; 12 12 12 4 3 12

=9−

− 625

1 24

 1 −2   4

0,25

1 −1 2

 1  =   −2 

−4

1

− (54 ) 4 −

432 − 135 − 8 289 19 . = = 10 27 27 27

= −

3

b4

2⋅6

2

77. 1) (a 4 ) 4 ⋅ (b 3 ) −6 = a −3 ⋅ b 3 = a −3 ⋅ b 4 = 1

a3

;

1

  a 6  4 12  a 6  3 1 2)   −3   =  −3  = (a 6 ⋅ b3 ) 3 = a 2 ⋅ b . b    b       4

a 3 (a

78. 1)

1 4

1 3

2

4

+ a3)

3 4

=

1 4

1 4

a (a + a ) 1

1

1 4

a ⋅ a (a

1

4

4 1 − 3

2 1 +

a 3 ⋅ a 3 (1 + a 3 3 ) 1 −

3 1 + 4 4

1

=

+ 1)

1 −

(1 + a ) =

a3 a

1 1 − 4 4

(a + 1)

a a

0

=

a =a; 1

1 1 −

4 1 +

5 5 b5 ( b4 − b−1) b5 (b5 − b 5 ) b5 ⋅ b 5 (b5 5 −1) −b ± b2 − 4ac b5 5 ( b −1) b0 1 2) 2 = 2 1 2 = 2 2 12 = 22 = 0 = =1 ; − − + − 2a 1 3 b3 (3 b − b−2 ) b3 (b3 − b 3 ) b3 ⋅ b 3 (b3 3 −1) b3 3 ( b −1) b 5

3)

2

=

3 2

a − b

−2

1 3

1 3

a

4)

1 3

a 3 b −1 − a

b+b 6

2

3

=

1

a +b

1

a

2 3

=

1 3

2 3

1 2

1 3

1

1

(

1

a 3 b −1 a 2 − b

5 1 +

a −b

a +6b

=

2 3

a −b

a b +b a

1 2

=

2 6

3 6

2

1

1

3

a b + b6a 6

a 6 + b6

2 3

);

2

2

1

1

a 6 b 6 (a 6 + b 6 )

=

1

a 6 + b6

1

=

a 6 + b6

1

a 6 b 6 (a 6 + b6 ) 1 6

a 3 (a 3 3 ⋅ b −1 − 1)

1 6

5

2

2

1

1

= a 6b 6 = a 3b3 .

1 −

5

1 −

1 −

1 −

6

6

1 −

1 −

79. 1) (23 ⋅ 3 3 − 33 ⋅ 2 3 ) ⋅ 3 6 = 3 3 ⋅ 2 3 (23 − 33 )3 6 = 6 3 ⋅ 6 3 (22 − 32 ) = = 6 = 4 − 9 = −5 ; 1

3

3

1 3 + 4

1

3

1

3

1

3

3

2) (5 4 : 2 4 − 2 4 : 5 4 ) 4 1000 = (5 4 ⋅ 2 4 − 2 4 ⋅ 5 4 ) ⋅ 10 4 = −

3

= 2 4 ⋅ 5 4 (5 4

1 3 +

3

3

3

− 2 4 4 ) ⋅ 10 4 = 10 4 ⋅ 10 4 (5 − 2) = 10

3 3 − + 4 4

⋅ 3 = 100 ⋅ 3 = 1 ⋅ 3 = 3 .

25

www.5balls.ru


1

1

80. 1) a 9 6 a 3 a = a 9 ⋅ 1

1

4

1 2 + 9

a = a 9 ⋅ a 6⋅3 = a 9 5

1

34 5

2) b12 3 b 4 b = b12 ⋅ 3

1

63 4

1

b = b12 ⋅ b 3−4 = b12

1

1

6

2

1

+

1

= a3 ;

5 12

1

1

= b2 ; 1

4

2

4

1

1

1

4

3) ( ab−2 + (ab) 6 ) ab 4 = (a 3 b 3 + a 6 b 6 )a 6 b 6 = (a 6 b 6 + a 6 b 6 )a 6 b 6 = −

1

4

3

3

1

4

1 1 −

1 1 −

1

1

1

1

1

1

= a 6 b 6 (a 6 + b 6 )a 6 b 6 = a 6 6 b 6 6 (a 2 + b 2 ) = a 0b0 (a 2 + b 2 ) = a 2 + b 2 ; 2

2

1

1

1

1

4) ( 3 a + 3 b)(a 3 + b 3 − 3 ab) = (a 2 + b 2 )(a 3 + b 3 ) × 1

1

1

1

1

1

×((a 3 )2 ��� a 3 b 3 + (b 3 )2 ) = (a 3 )3 + (b 3 )3 = a + b . 1 1 1 1 81. 1) (1 − 2 b + b ) : (a 2 − b 2 )2 = 1 (a − 2 ab + b) : (a 2 − b 2 )2 =

a

a

a

1 1 = ( a − b )2 : ( a − b )2 = ; a a 1

1

1 1 1 1 1 1 2 2 − − a 3b + ) = (a 3 + b 3 ) : (a 3 − b 3 ⋅ (2a 3 b 3 + a 3 + b 3 ) = b a

2) (a 3 − b 3 ) : (2 + 3 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

= (a 3 + b 3 ) ⋅ a 3 ⋅ b 3 : : (a 3 + b 3 )2 = a 3 ⋅ b 3 : (a 3 + b 3 ) ; 1

3)

9

a4 − a4 1 4

5 4

a −a

b

1 2

3

− b2

1 2

b +b

=

1 − 2

1

8

1 4

4 4

a 4 (1 − a 4 )

1

4

b 2 (1 − b 2 )

1 − 2

a (1 − a )

2 2

=

b (b + 1)

1 − a2 − 1− a

2

b − 1 (1 − a )(1 + a ) (1 − b)(1 + b) = − = 1+ a −1+ b = a + b ; 1+ b 1+ a 1+ b −

1

3

1

1

2

1

1

1

2

a − a 2b a2 − a 3b a 2 − a 2b a 3 − a 3b a 2 (a 2 − b) 4) − = − 1 = 1 1 − 1 1 1 1 1 1 − − − 1 − a − 1b 6 a + a 3 b 1 − a 2 b 2 a 6 + a 3 b 2 a − 2 (a 2 − b 2 ) −

1

3

a 3 (a 3 − b)

1

3

a−b

=

1

1

1

1

a 2 + b2

1

1

1

1

=

1

1

1

(a 2 − b 2 )(a 2 + b 2 ) 1

a 2 + b2

1

1

a 2 − b2

1

1

1

1

( mn ) 7

2

3

2+ 3

7 +1

⋅y

( xy )

a 2 + b2

1

7

−b

3

=

= x

(mn ) (mn ) 7

3

2+ 3

⋅y

7

( xy)

7

⋅y

= =

(mn )

3

2

(mn ) (mn ) ( xy) ( xy)

7

⋅y 7

3

=

1 (mn )2

;

= y;

+ b 3 ) = ((a 2 )2 − (b 3 )2 ) = a 2 2 − b2 3 ; 4) (2a −0,5 − 1 b− 3 )( 1 b− 3 + 2a −0,5 ) = (2a −0,5 )2 − (1 b− 3 )2 = 4a −1 − 1 b−2 9 3 3 3

3) (a

1

(a 2 − b 2 )(a 2 + b 2 )

−a 2 + b 2 = 2b 2 = 2 b .

3 82. 1) m n

2) x

1

a 2 − b2

a 3 (a 6 − b 2 )

1

a−b

)(a

2

26

www.5balls.ru

3

.

=


83. 1) (a1+ 2 )1−

= a (1+

2

1− 5

2) (m 1+ 5 ) −3 ⋅ m

3 5 2

2)(1− 2) 3 5 −3 3 5 + 2 5

= m 1+

3) (a 3

2 + 3 3 3 4 −3 6 + 3 9

4) (a 3

9 + 3 3 +1 1− 3 3

= a (1−3

)

6 5 −6+3 5 +3⋅5 2(1+ 5 )

=m

9

= m 2 = m 4,5 ;

8 −3 12 +3 18 +3 12 −3 18 +3 27

= a3

)

= a1− 2 = a −1 ;

1 2 1 3 )( 3 3 +13 ⋅ 3 +1)

23 +3 33

= a3

= a 2+3 = a5 ;

1 3

= a1

− (33 )3

= a −2 .

84. 1) 52 x = 54 ; 2 x = 4; x = 2 ; 2)  1 

2x

2

−1

1 1 =   ; 2 x = −1; x = − ; 2 2  

3) 9 x = 3 2 x

4) 16 = 2 85. 1) 7 x 2) 25x

2

( 2) 4) ( 3 )

x

3)

3x

2 8π

; 32 x = 32 ; 2

4x

=2

= 7 ; 7x

3

= 5 5 ; 52x 1

2

8π 3

2

; 2x = 2 2 ; x = 2 ;

; 4 x = 8π; x = 2π . 1

1 1 ; x= ; 2 2 3 1 1 3 3 ; = 5 2 ; 2x 2 = ; x = 2 4 2 = 72 ; x 3 =

x

1 1

x

3

x 3 = ; x = 3; 2 2 3 3x 3 = ; x =1. = 32 ; 2 2

= 2 2; 22 = 2 2 ; 2 2 = 22 ; 1

= 3 3 ; 32

⋅3x

1 1

3x

= 3 2; 3 2

86. 1) 3 10 = 15 10 5 = 15 100000 > 5 20 = 15 (20) 3 = 15 8000 ; 2)

4

5=

12 3

5 = 12 125 < 3 7 =

12

7 4 = 12 2401 ;

3) 17 = 6 17 3 = 6 4913 > 3 28 = 6 28 2 = 6 784 ; 4) 4 13 = 20 13 5 = 20 371293 > 5 23 = 20 23 4 = 20 279841 . 3

3

=

1

3

1

1

1

1

1

1

a 2 (b 2 − a 2 ) − ab 2 (b 2 + a 2 ) 2a 2 a2 ab 2 2a 2 + = − − = b−a a −b a+ b b − a a−b

87. 1) 3 1 +

1+

1

1

1 1 +

3

1

3

1

a 2 b 2 − a 2 2 − a 2 b 2 − ab 2 2 + 2a 2 a 2 b 2 − a 2 − a 2 b 2 − ab + 2a 2 a2 − ab a(a − b) = = = = −a ; b−a b−a b − a −(a − b) 2 2) 3xy − y −

x−y

y y x− y

y x

=

x+ y

3xy − y 2 − x−y

2

y xy + y + yx − y xy 3xy − y 2 − y 2 − xy 2xy − 2y 2 2(x − y)y = = 2y ; = = x−y x−y x−y x−y

3)

1 3

a +3b

3 2

2

a +3b 2

a 3 + 3 ab + b 3

2

2

2

1

1

a 3 − 3 ab + b 3 − a 3 − b 3 − 2a 3 b3 −33 ab ; = = a+b a+b

27

www.5balls.ru


4) 3 2

3

a − b2

3

a −3b

a −b 2

=

2

a 3 + 3 ab + b 3

1

( 3 a − 3 b)( 3 a + 3 b) 3

a −3b

1

2

2

(а 3 − b 3 )(a 3 + 3 ab + b 3 ) 2

2

a 3 + 3 ab + b 3

=

= 3 a + 3 b − 3 a + 3 b = 23 b .

88. 1)

a−b 3

a −3b

2

1

1

1 3

1

1 3

=

1

1+

1 3

1

1

1

2

2

1

1+

2

2

1

1

a 3 − b3 1

1

=

2

1

1 3

1

−2ba 3 ; = 2 2 a 3 − b3 1

(a + b ) (a 3 + b 3 ) − (a − b ) (a 3 − b 3 ) = a+b

a 3 + a 3b3 + b 3

1 3

1

+1

+ ab 3 − a 3 b − b 3 + ab 3 − ba 3 + b

a−b

a 3 − a 3b3 + b 3 1 3

a

a 3 + b3

a+b

2)

a+b

a−b

1 3

= a + b − a + b = 2b ; 2

2

2

3 3 3) a + b −

a−b 1

1

1

a 3 + b3

2

2

1

1

1

2

a 3 − a 3b3 + b3

x+y 2

1

1

1

1

1

2

1

1

2

1

1

2

x 3 + x 3 y3 + y 3 1

x−y

1

1

1 3

1 3

x −y

3

3

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

=

1

1

2

3

1

3

3

1

1

3

3 2

a −b

3 2

1

=

1

1

a −b

1

1

+

1

=

1

1

1

1

1

1

3

3

=

3

3 2

28

www.5balls.ru

=

(a 2 + b 2 )(a + a 2 b 2 + b) 3

1

3

1

(a + b)(a 2 + b 2 )(a 2 − b 2 ) 1

2(a 2 + b 2 )(a 2 + b 2 ) 3 2

1

1

a2 + b2 − 2ab(a + b)(a + b − 2a 2 b2 )

3

3

2(a 2 + b 2 − a 2 b 2 − a 2 b 2 )

1

1

a 2 − b2 =

1

x+y

a 2 − b2 3

1

1

( x + y ) (x 3 + y 3 ) +

1

a 2 + b 2 − 2ab + a 2 + b 2 + ab + ab − 2a 2 b 2 − 2a 2 b 2 3

=

1

a 2 − b2

a 2 − b2

1

1

(a − b)2

a 2 − b2

3

1

1

2

1

a2 + b2 − 2ab

=

1

1

x 3 + y3 + x 3 − y3 − x 3 − y3 = x 3 − y3 ;

(a + b ) (a 2 − b 2 )(a 2 − b 2 ) = = 1

2

1

(a 2 + b 2 )(a + a 2 b 2 + b)

1

2

x 3 − x 3 y3 + y 3

a 2 − b2

+

a 2 − b2

2

x 3 − y3

( x − y ) (x 3 − y 3 ) − (x 3 − y 3 )(x 3 + y 3 ) = + 2)

2

2

x−y

+

x 3 − x 3y3 + y3

(a − b)2

1

a 3 − b3 + a 3 + b3 2a 3 a 3 − b3 a 3 + b3 . = = = + a+b a+b a+b a+b

1 2

2

a 3 + b 3 a 3 + b 3 + a 3 b 3 a 3 + b 3 − a 3 − b 3 − a 3 b 3 −a 3 b 3 ; = = − = a−b a−b a−b a−b

1

3 3 4) a − b + a+b

89. 1)

1

1

1

= 2(a 2 + b 2 );

=


1 1 2 1  23   23  3x + 5x 3 1   13 1  3x + 5x 3 x 3 − x 3 + 1  3)  :  4x + 4 + 1  =  : + 1 +  x + 1     x + 1 x + 1  5 +1  3  x x    

 1   1 2 1  :  1   2x 3  + 4 ⋅ x 3 + 1  =       x3  2

1

4x 3 + 4x 3 + 1 = ⋅ x +1

1

x3 1

1 2 1  23   2 1 3 3 3  3x + 5x + x − x + 1  :  1  2x 3 + 1  =      1  x +1   3   x 1

x3 . = x +1

(2x 3 + 1) 2 90. Искомая сумма вычисляется по формуле сложных процентов: S=a(+

+= p )t , где а — первоначальная сумма вклада, р — число процентов начисляе100

мых за год, t — число лет: S=5000(1+ 2 )3 =5000(1,02)3=5306,04=5306 р. 4 коп. 100

91. Искомая сумма вычисляется по формуле сложных процентов: S = a(1 +

7 p t . ) a = 2000p; p = 3; t = 2 12 100

S = 200(1 +

31 3 2127 ) = 2000 ⋅ (1,03)12 = 2000 ⋅ 1,07935 = 2158,7 =185 р. 70 коп. 100

92. 1) (0,645: 0,3 −1107) ⋅ (4:6,25 −1:5 + 1 ⋅1,96) =  0,645 ⋅10 − 287  ⋅  4 ⋅100 − 1 + 196  = 180 7 3 180 625 5 7 ⋅100

   387 − 287 100 112 28 ;  2,15 ⋅ 180 − 287  ⋅1,12 = ⋅ = =  × (0,64 − 0,2 + 0,28) = 180 180 100 45 180   2) ( 1 − 0,375) : 0,125 +  5 − 7  : (0,358 − 0,108 ) = (0,5 − 0,375 ) : 2  6 12  3 4 10 − 7 : 0,125 + : 0,25 = 0,125 : 0,125 + ⋅ = 1 + 1 = 2 . 12 12 1

93. 1) 1,3(1) = x; 100x = 131, (1); 10x = 13, (1) ; 100 x − 10 x = 131, (1) − 13, (1) = 118 ;

90x = 118; x = 118 = 59 = 1 14 ; 90

45

45

2) 2,3( 2) = x ; 10x = 23, (2); 100 x = 232 , ( 2 ) ; 100x − 10 x = 232, (2) − 23, (2) = 209 ; 3) 0, ( 248 ) = x ; 1000 ⋅ x = 24,8(248) ;

209 29 ; =2 90 90 248 999 ⋅ x = 248; x = ; 999 90x = 209; x =

4) 0,(34) = x; 100 ⋅ x = 34,(34) ;

100 ⋅ x − x = 34,(34) − 0,(34) = 34 ;

99 ⋅ x = 34; x =

34 . 99

94. 1) 48o = 1; 10 − 2 = 1 = 1 = 0,01 ; 10 2 100

29

www.5balls.ru


2   3

−1

3  3 = 1,5; (0,3) −3 =   2  10 

=

 12  ( −1,2) − 2 =  −   10 

2)

3

−2

3

27 = 33 = 3;

 5 = −   6 4

−3

−2

=

3

1 1000  10  = 111 ; =  = 9 9  3

81 = 4 3 4 = 3;

6

5

8 2 = 6 (2 3 ) 2 = 2 6 = 2;

3

27 2 = 3 (33 ) 2 = 3 (32 ) 3 = 3 2 = 9 ; 1

2

−2

 9 = −   4

−2

2

16 ; 4 =  = 81 9

5

32 = 2 5 = 2; 8

6

1

8

 1 2   4

25 ; 36

16 2 = 8 (2 4 ) 2 = 28 = 2;

2

1

1

3) 8 3 = (23 ) 3 = 2; 27 3 = (33 ) 3 = 32 = 9; 10000 4 = (104 ) 4 = 10; 2

2

3

32 5 = (25 ) 5 = 22 = 4; 32 5 = (25 ) −

3 5

= 2 −3 =

1

1 = ; 8 2 3

2

2

2

3 3 2 3 3 9  27  3  3    3    3    =  3  =     =   = .  64   4    4    4  16

4 15

5 3 ⋅ 7 3 = 3 (5 ⋅ 7 )3 = 5 ⋅ 7 = 35 ; 4 324 ⋅ 4 4 = 4 324 ⋅ 4 = 6 4 = 6 ; 4

3

95. 1)

5 4 2 4 125 5 4  5  = ⋅ =   : 8 5 8 2 2

4

=

5 = 2,5 ; 2 1

2) 56 o : 8 −2 = 1 ⋅ 8 2 = 1 ⋅ 64 = 64 ; −1

1

54 ⋅ 5

52

1 4

4

7

1 1 −

= 5 4 4 ⋅ 5−2 =

(0,3) 0,3 ⋅ (0,3) −1 (0,3)1,3

96. 1) 3 −  2  4

3

1 ; 25

=

1

72

4 3

4 7−3

= 73 1

(0,3) 2

=

1 3

( ) ⋅ 161 ⋅16 = 2 ;

⋅ 7 −2 = 71− 2 = 7 −1 =

100 1 = 11 . 9 9

3 3 3⋅3⋅ 2 3 − = =− ; 4 2 4 4 −

2) (

73 ⋅ 7

= (0,3) 0,3−1−1,3 = (0,3) − 2 =

−1

1

1 1 8 3 ⋅   :16−1 = 23 2

1 1 1 2 2 2   : 9 = 15 : (3 ) = 15 : 3 = 5 ;  15 

3)

1

16 4 ⋅ 25 2 = (24 ) 4 ⋅ (52 ) 2 = 2 ⋅ 5 = 10 ;

1

1 1 1 1 − − − − 1 13 ⋅ 125−1 ) 3 =  3  ⋅ ((53 ) −1 ) 3 = (3−3 ) 3 ⋅ (5−3 ) 3 = 3⋅5 = 15; 27 3  2

( )

3) 27 3 + 9−1 = 33

2 3

+

1 1 1 1 = 32 + = 9 + = 9 ; 9 9 9 9 −2

1 1 1 4) (0,01)−2 :100− 2 =  1  ⋅ 100− 2 = (100 )2 ⋅ (102 ) 2 = 10000 ⋅10 = 100000 ; 100

30

www.5balls.ru

1 ; 7


1

1

− −1 2  2 2 5)  64   8  =   8   ⋅ 5 = 9 ⋅ 5 = 45 ;    81   5    9   8 8 8 64 2

2

 3 3 6)  2 10   3  =  64  ⋅ 9 =   3   27   4   27  16   4  −

97. 1) 2)

4

2

3

2

3 9 81 .  ⋅ = 16 256  3

3 3 1 3 3 3 9 3 3 ⋅ 9 3 27 3  3  3 ⋅ 2 = ⋅ = = =   = = 1,5 ; 2 4 2 4 2⋅4 8 2 2

3

3 4 4 4 3 4 27 4 3 ⋅ 27 4  3  ⋅ 6 = ⋅ = =   4 4 4 4 4⋅4 2

4

=

3 = 1,5 ; 2 4

3) 4 15 5 : 4 2 = 4 125 : 4 2 = 4 125 : 2 = 4 125 ⋅ 5 = 4  5  = 5 = 2,5 ; 8

5

8

5

8

8⋅2

5

2

2

3 3 4) 3 11 1 : 3 3 1 = 3 45 : 3 10 = 3 45 : 10 = 3 45 ⋅ 3 = 3 9 ⋅ 3 = 3  3  = = 1,5 ;

4

5) ( 6) (

3

3

4

2

3

2

4

4 ⋅ 10

3

6 3 2

6 6

6

6

8

2

2

27 ) = ( 6 27) = ( 3 ) = 3 = 3 ; 3

16 )2 = ( 6 16)3 = ( 42 )3 = 46 = 4 . −3

1 98. 1) 13,75 = 1; 2 −1 = 1 = 0,5;   =23=8, т.к. 8>1>0,5, то 2 2 2) 980=1,  3 

−1

7

=

−3

 1  >13,75>2–1;   2

1 1 1 3 7 1 5 = 2 , 32 5 = (2 ) 5 =2, т.к. 2 >2>1, то   7 3 7 7

−1

1

> 32 5 >980.

1

1 6

6 1 6  6 6 99. 1) (0,88) >   , т.к. 0,88 < 1, < 1 и 0,88 > , а > 0; 11 6 11  11  5 2)    12 

1 4

3) ( 4,09)3  11  4)    12 

1

2

− 5

 3  < 4   25 

 1 = 1   11 

a 2 a −0,5 a

2 3

3) (a 2,5 ) 2 5 a

3 2

5

= ( 4,12)3

 12  >   13 

− 5

2

, т.к. 4,09 < 4,12, а

 1  = 1   12 

5

, т.к. 1

3

2 > 0;

1 1 >1 , а 11 12

5 >0.

7

1 1

100. 1)

5 1 5 < 1, 0,41 < 1 и > 0,41, а − < 0; 12 4 12

< (0, 41) 4 , т.к.

=a

1 1 1 − 2 2

⋅a

2 3

=a

1−

2 3

1 3

= a ; 2)

a −3a 3 a

1 = a5 ⋅a 5

1 5+ =a 5

1 5 =a 5;

4)

1 3

7 2

=a 3

−3+

7 3

⋅a 2

1 3

3

=a

2 1 − − 3 3

2 3 + 7

a (a 14 )2 = a 7 ⋅ a 7 = a 7

= a −1 ; 5

= a7

31

www.5balls.ru


101. 1) x −2 = x −2

2

2

⋅ x 2 +1+ 2

= a 3+

3 −1− 3

102. 1)

7

= x 3+ 2

2 3 +1

 a 3   2)   b 3 −1   

2 +1

 1  ⋅  −2 2 −1  x 

a −1−

⋅ b(1−

b

2 −2 2

3

2

2

)

2 +1

= x −2

2

× (x (

3 −1)

3 +1

⋅ a −1−

3

⋅ b2 =

⋅ (x − ( −

2 −1)

2 +1)

)

2 +1

=

= x3 ;

3

= (a

−2

3 )(1+ 3 )

1 1  −   2 3

= x −2

3 +1

)

⋅ (b −(

)

⋅ b2 = a 2b1−3+ 2 = a 2 .

 3−2  =7   6 

2

1 =7  6

2

1 1 >7 −  3 4

2

 4−3 =7   12 

2

=

2

1 1  1  ; > = 7   , т.к. 6 12  12  2)

3

5

3

3

3

1  1 5 6  25 − 24   1  1 − 1  = 5  −  = 5   =5  > 5  4 4 5  20   20  3

3

3

3

1 1 1  1   1 7 8  49 − 48  . > > 5 1 − 1  = 5  −  = 5   = 5   , т.к. 20 42 6 6 6 6 42 42         1

103. 1) 62x = 6 5 ; 2 x =

1 ; x = 1 = 1 = 0,1 ; 5 5 ⋅ 2 10 3) 73x = 710 ; 3x = 10; x = 10 = 3 1 ;

2) 3 x = 27; 3 x = 3 3 ; x = 3 ; 4) 2

2 x +1

5) 2

2+ x

104. 1)

= 32; 2 = 4; 4

2 x +1

2+ x

y − 16y

1 2

1

=

4

2)

4

a 5 − b5 2 5

a −b 105. 1)

2 5

1

y 2 (y 2 − 16) 1

2

2

a5 − b

ab − b 1 2

1 2

a b −1

1

=

1

1

=

2 5

2

2

2 5

b (ab − 1) 1 2

a b −1

=

1 2

1

1

2 5

1

1

2

2

= a 5 + b5 . 1

b (a 2 b 2 − 1)(a 2 b 2 + 1) 1 2

1

y 2 (y 2 − 4) = ; 5

2

(а 5 + b 5 ) − (а 5 + b 5 ) a −b

1 2

1 2

5(y 4 + 4) 2

=

1

y 2 (y 2 − 4)(y 2 + 4)

5(y 4 + 4)

(а 5 ) 2 − (b 5 ) 2

3 2

1 2

= 40 ; 2 + x = 0; x = −2 .

2

=

3

= 2 ; 2 x + 1 = 5; 2 x = 4; x = 2 ;

1

5y 4 + 20

3

5

1 2

1

1

1

= b 2 (a 2 b 2 − 1) ;

a b −1

1 2

1

1

1

1

1

b + a 2b2 − b a 2b2 b b b b2 . 2) = + = + = a−b a−b a − b a 1 + b 1 (a 1 − b 1 )(a 1 + b 1 ) a 1 + b 1 2 2 2 2 2 2 2 2 106. 1) b 2 = −81; S 2 = 162; S2 = b1 + b 2 = b1 − 81 = 162 ;

32

www.5balls.ru


b1 = 243; b 2 = b1 ⋅ q; q = b 2 = − 81 = − 1 ; q = 1 < 1 ; b1

243

3

3

2) b 2 = 33, S 2 = 67; S2 = 67 = b1 + b 2 = b1 + 33 ; b1 = 34; q = b 2 = 33 ; b1

34

q =

33 <1; 34

3) b1 + b 2 = 130 ; 120  b1 + b1 ⋅ q = 130  b1 = 1−q 2 ;  , значит, q ≠ 1 ; b1 − b3 = 120 ;  b1 − b1 ⋅ q 2 = 120  120 + q 120 = 130 2 2 1−q 1−q

120 + 120q = 130 − 130q 2 ; 13q 2 + 12q − 1 = 0 ; − 12 + 144 + 5 2 1 или q=–1, чего быть не может, значит, q = 1 < 1 ; = 13 26 13 b 2 + b 4 = 68 ; 2b 2 = 68 + 60 = 128; b 2 = 64 ; 4)  b 2 − b 4 = 60 q=

b 2 − (− b 4 ) = 68 − 60 = 8 ; 2b 4 = 8; b 4 = 4 ; b 2 = b1 − q = 64 ; 3 b 4 = b1 − q 3 = 4, значит, b 4 = b1q = 4 ; q 2 = 12 , значит, q = 1 < 1 .

b2

b1q

64

16

4

107. 1) 1,10( 209) = x; 110, (209) = 100 ⋅ x; 100000 ⋅ x = 110209, (209); 100000 ⋅ x − 100 ⋅ x = 110209, (209) − 110, (209) ; 110099 = 99900 x; x = 110099 = 1 10199 ; 99900

99900

2) 0,108(32) = x; 108, (32) = 100 ⋅ x; 108,32(32) = 100000 ⋅ x; 100000 ⋅ x − 1000 ⋅ x = 10832, (32) − 108, (32) ; 10724 = 99000 ⋅ x; x = 10724 = 2681 . 99000

24750 108. b n > 0; b1 + b 2 + b3 = 39; 1 + 1 + 1 = 13 ; q < 1 ; b1 b 2 b3 27 b1 + b1q + b1q 2 = 39 b1 (1 + q + q 2 ) = 39 39   ; ; (1 + 1 + 1 ) ⋅ 27 = ; 1 1 13  2 1 13 2 13 2 q + + = q 1 + q + q2 q + q + 1 = b ⋅ q  b b ⋅q 1 2 27  27 b1 ⋅ q 1  1

(1 + q + q 2 ) 2 =

169 ⋅ q 2 ; 1 + q + q 2 = 13 ⋅ q или 1 + q + q 2 = − 13 ⋅ q ; 3 3 3

3q 2 − 10q + 3 = 0 ; или 3q 2 − 16q + 3 = 0 q1 =

10 + 8 ; q1 = 3 > 1, или q 3 = 10 − 8 = 1 ; q 4 = −16 + 220 < 0; 6 6 6 3

q2 =

1 −16 − 220 < 0; значит, q = ; 3 6

33

www.5balls.ru


b1 =

39 1 + q + q2

=

39 1 3

1+ +

1 9

=

39 ⋅ 9 = 27 ; 9 + 3 +1

34

www.5balls.ru

S=

b1 27 27 ⋅ 3 = = = 40,5 . 1− q 1− 1 2 3


43 + 432 − 1800 43 − 432 − 1800 + + 2 2

43 + 30 2 + 43 − 30 2 =

109.

43 + 432 − 1800 43 − 432 − 1800 43 − 1849 − 1800 43 + 49 − =2 =2 = 2 2 2 2

+ =2

43 + 7 50 =2 = 2 25 = 10 . 2 2

110. a = (4 − 3 2)2 + 8 34 − 24 2 − 5 = 16 ��� 24 2 + 18 +  34 + 1156 − 1152  34 + 1156 − 1152 + 8 − 2 2  

   − 5 = 34 − 

− 24 2 + 8 ⋅ (3 2 − 4) − 5 = 34 − 24 2 + 24 2 − 32 − 5 = = 2 − 5 ; 2 − 5 < 0 , так как 2 < 5 , значит, a < 0 . 2

111. 1) a = b=

5− 3

2

+

5 3+ 2 2

2

;

5− 3

2) a = 2 + 3 ; значит, a < b ;

2 < 1,4143;

4) a = 13 − 12 ; 13 < 3,604; a < 0,14 < 0,147 < b .

=

2 2− 3

5

=

5 + 10

=

2( 2 + 3 )

5 (5 − 10 ) (5 − 10 )(5 + 10 )

=

17 < 4,124; b < 1,124 < 1,127 < a ,

12 > 3,464;

( 2 − 3 )( 2 + 3 )

5 5 ( 5 )2 ⋅ 2 5 5 − 5 2 = = 15 15

=

4⋅ 2

5) =

3 4

5 −4 2

=

3

8

3

11 < 3,317;

2( 2 + 3 ) = −2( 2 + 3 ) ; 2−3

5 (5 − 10 ) = 25 − 10

5 (5 − 10 ) = 15

5− 2 ; 3

3 3 3 3 3) 3 = 3 ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 ; 4) 3 3 3

4

> 0,8;

3 < 1,7321; a < 3,1464 < 3,1622 < 10 = b,

3) a = 5 − 5 ; 15 < 3,873; a > 1,127; значит, b < a ;

2)

3+ 2 2

< 3,4; значит, b < 3,4 < 4,7 < a , значит, b < a;

8− 5

112. 1)

5

> 3,9;

2

(2) 3

3( 4 5 + 4 2 ) ( 4 5 − 4 2 )( 4 5 + 4 2 )

=

3( 4 5 + 4 2 ) 5− 2

2 4

27

=

24 3 4

27 ⋅ 4 27

=

=

3( 4 5 + 4 2 )( 5 + 2 ) 3( 4 5 + 4 2 )( 5 + 2 ) = ( 4 5 + 4 2 )( 5 + 2 ) ; = 5−2 3

34

www.5balls.ru

24 3 4

34

=

24 3 ; 3


6) 7) =

11 3+ 2

=

3

3

2

3

(1 + 2 − 3 ) (1 + 2 + 3 )(1 + 2 − 3 )

=

=

11( 3 9 − 3 6 + 3 4) 11( 3 9 − 3 6 + 3 4) ; = 3+ 2 5

(1 + 2 − 3 ) (1 + 2 2 + 2 − 3)

=

2 +2− 6 ; 4

=

1 3

2

3

( 3 + 2)(( 3) − 3 ⋅ 2 + ( 2) )

1

2 2

3

3

1+ 2 + 3

1+ 2 − 3

8)

11((3 3)2 − 3 3 ⋅ 3 2 + (3 2)2 )

=

3

3

4 +3 6 +3 9

=

(3 3 − 3 2 ) (3 3 − 3 2 )((3 2 ) 2 + 3 2 ⋅ 3 3 + (3 3 ) 2 )

=

3

3 −3 2 3 = 3 −3 2 . 3− 2

113. 1) (3 7 − 3 4 )(3 49 + 3 28 + 3 16 ) = (3 7 − 3 4 ) × × ((3 7 ) 2 + 3 7 ⋅ 3 4 + (3 4 ) 2 ) = (3 7 ) 3 − (3 4 ) 3 = 7 − 4 = 3 ; 2) (3 4 − 3 10 + 3 25 )(3 2 + 3 5 ) = ((3 2 )2 − 3 2 ⋅ 3 5 + (3 5 )) × × (3 2 + 3 5 ) = (3 2 ) 3 + (3 2 ) 5 = 2 + 5 = 7 . 114. 1)

x− y 4

x −4 y

x + 4 xy 4

x +4 y

=

( 4 x + 4 y )(4 x − 4 y ) 4

x −4 y

4

x (4 x + 4 y ) 4

x +4 y

=

= 4 x +4 y −4 x = 4 y ;

2)

x−y 3

−3

x −3 y

3

x+y x +3 y

=

3

(3 x − 3 y)( x2 + 3 xy + 3 y2 ) (3 x + 3 y)( x2 − 3 xy + 3 y2 ) − = 3 3 x −3 y x +3 y

3 3 = x 2 + 3 xy + 3 y 2 − x 2 + 3 xy − 3 y 2 = 23 xy ;

3)

x −3 y 4

x

+3

y

+3 y =

(4 x − 3 y )(4 x + 3 y ) 4

x +3 y

4 4 +3 y = x −3 y +3 y = x ;

3 3 4) x x − y y − 1 = ( x ) − ( y ) − 1 = ( x − y )(x + xy + y) −

x y −y x

−1 =

x + xy + y xy

xy ( x − y )

−1 =

x + y + xy − xy xy

4  43 a b + ab 3 1 ⋅ 1 1 115. 1)  1 1  3 3 a 3b3  a +b 1

1

1

1

xy ( x − y )

=

x+y . xy

3

1 1   3 3  =  ab(a + b ) ⋅ 1 1 1 1 1   3 3 a 3b3   a +b 1

3

 3 3  = a b = a 2b2 ;  b 

1

a 3 − b 3 ab 3 − a 3 b (a 3 − b 3 ) ⋅ 3 ab (( 3 a ) 2 − ( 3 b ) 2 ) 2) 3 ⋅ 3 = = 3 ab a +3b ab ⋅ ( 3 a + 3 b ) =

( 3 a − 3 b )( 3 a − 3 b )( 3 a + 3 b ) 3

a+3b

= ( 3 a − 3 b )2 ;

35

www.5balls.ru


2

2

2

2

1

1

1

1

2

2

a 3 − b3 a 3 + 3 ab + b3 (a 3 − b3 )(a 3 + b3 ) a 3 + 3 ab + b 3 3) 1 1 ⋅ = × 1 =1 ; 1 1 1 2 2 a −b a 3 + b3 a 3 + b3 (a 3 − b 3 )(a 3 + 3 ab + b 3 ) 4

4

4

a 3 − b3

4) 3

a −3b

2

2

3

2

2

4

3

a 3 − a 2b 2 + b 3 a +3b

=

2

2

2

2

2

3

(a 3 − b 3 )(a 3 + b 3 )((a 3 ) 2 − a 2 b 2 + (b 3 ) 2 ) 2

2

=

a 3 − b3 2

3

= (a 3 + b 3 )((a 3 ) 2 − a 2b 2 + (b 3 ) 2 ) = a 2 + b 2 . 2

2

2 2 −2 −2  −1 −1 −2   2 116. 1)  4a − 9a + 4a − 4 + 3a  =  (2a − 3a )(2a + 3a ) + 4a − 4 + 3a  = −1 −1 −1 −1   

 2a − 3a

−1

−1

a −a

 (2a − 3a )(a − a )a − 4 + 3a =  a − a −1  2

 

2a − 3a

−2  2

−2

a −a

 2a − −2 + 3 − 3a + a − 4 + 3a  =   a − a −1   2

−2  2

 =  

2

2

 3a(a − a −1   3a 2 − 3  2 = =   = (3a ) = 9a 2 ;   a − a −1   a − a −1     

1

2)  

 (a + b)

= (a + b ) 2 −

−2

 a−b  + 3   a + b3 

−1

 a 3 + b3 1 −1 )⋅ =  ⋅ ( ab ) = ((a + b) 2 −  a−b ab 

a 3 − ab 2 + ba 2 − b − a 3 + b 3 ab(a − b ) = =1. ab(a − b ) (a − b )⋅ ab 5

5

 (4 a + 4 b)2 + (4 a − 4 b)2  3 10  a + 24 ab + b − 24 ab + b  6 21 117. 1)   ⋅ a a =   ⋅ a =   a + ab a( a + b)     5

21

21 5

21 15

 2  a 6 == 32 ⋅ a 6 − 2 = 32 ⋅ a 6 − 6 = 32a ; =  ⋅  a

  a − a −1 3 2)  + a −1   ( 3 a −1 + 3 a + 1)( 3 a −1 − 3 a + 1)   

−3

−3

  a − a −1 3 = + a −1  = 2  3 −1  2  ( a + 1) − a 3 

−3

2 1 1 − −   1 a − a −1 + a −1 + 2a 3 + a 3 − a 3 3 −1   = + a = (a 3 ) −3 = a −1 ; 2 2   − 3 a 3 + 2 a −1 − a 3 + 1  

3

4

3

3 3 3   2 2 3 3)  a − b − ab a + b  ⋅ 1 =  ( a − b)(a + ab + b) − ab( a + b)  ⋅ 1 1   3 3

 a + b   1 1 ⋅ = (a + ab + b − ab ) ⋅ =1. a+b a+b  a− b 

118.

3

a 3 − b3

a− b

7 + 5 2 + 3 7 − 5 2 = 3 2 2 + 6 + 3 2 +1 =

= 3 1 − 2 2 − 3 2 + 6 = 3 ( 2 + 1)3 + 3 (1 − 2)3 = 2 + 1 + 1 − 2 = 2

36

www.5balls.ru

a− b

 


Глава II. Степенная функция 119. 1) y = x 6 ; область определения — R; множество значений — неотрицательные числа, т.е. y≥0.

Y X

Y

2) y = x 5 ; область определения — множество R; множество значений — множество R.

X Y

1 2

3) y = x ; область определения — неотрицательные числа x ≥ 0 ; множество значений — неотрицательные числа у ≥ 0.

X

4) y = x −2 ; область определения — множество R,

Y

кроме x = 0 ; множество значений — положительные числа y >0.

X

5) y = x −2 ; область определения — множество R, кроме x = 0 ; множество значений — множество R, кроме y = 0 . 1

6) y = x 3 ; область определения — неотрицательные числа x ≥ 0 ; множество значений — неотрицательные числа y≥0.

Y

X

Y X

120. 1) p = 7 — возрастающая при x > 0 ; 3 3 2) p = ; π > 3,14; < 1 — возрастающая при x > 0 ; π π 3) p = 1 − 3 ; 3 > 1; 1 − 3 < 0 — убывает при x > 0 ; 1 1 4) p = ; > 0 — возрастает при x > 0 ; π π 5) p = 3 − π; 3 − π < 0 — убывает при x > 0 ; 6) p = 0, (3); — возрастает при x > 0 . 2

121. 1) График функции y = x 5 проходит через точку (0; 0) расположен выше оси ОХ, функция возрастающая.

х у

1 1

32 4

Y

X

37

www.5balls.ru


Y

5

2) y = x 2 — график этой функции проходит через точку (0; 0) расположен выше оси ОХ, функция возрастающая.

х у

1 1

X

4 32

Y

1

3) y = x −5 = x 5 — график этой функции проходит через точку (1; 1) расположен выше оси ОХ, функция убывающая.

х у

0,5 4 32 1/32

X

4) y = x 3 — график этой функции проходит через точку (0; 0) расположен выше оси ОХ, функция возрастающая.

х у

Y

1 1

X

122. 1) 4,12,7 сравнить с 1, 1 = (4,1) 0 ; 4,12,7 > (4,1) 0 ; 2) (0,2) 0,3 < 1 = (0,2) 0 , так как 0,2 < 1 ; 3) (0,7) 9,1 < 1 = (0,7) 0 , так как 0,7 < 1 , а 9,1 > 0 ; 0,2

4)

39,1 = 3 2 = 30,1 > 1 = 30 , так как 0,1 > 0 . 2

123. 1) y = x

; x

2

= x1 , при x = 0 или x = 1 , так как

2 > 1 , то на

промежутке (0, 1), x 2 < x , а при x > 1 , x 2 > x ; 2) y = x π ; x π = x 1 , при x = 0 или x = 1 , так как π > 1 , то на промежутке (0, 1), x π < x , а при x > 1 , x π > x . 1

1

1 > 1 , то на проπ

124. 1) y = x π ; x π = x1 , при x = 0 или x = 1 , так как 1

1

межутке (0, 1), x π > x , а при x > 1 , x π < x ; o

o

2) y = x sin 45 ; x sin 45 = x1 , при x = 0 или x = 1 , так как sin 45 o < 1 , то o

o

на промежутке (0, 1), x sin 45 > 0 , а при x > 1 , x sin 45 < x . 125. 1) 3,17, 2 < 4,3 7, 2 , т.к. 3,1 < 4,3 ; 2)  10 

2,3

 11 

 12  <   11 

3) (0,3) 0,3 < (0,2) 0,3 , т.к. 0,3 < 0,2 ; 4) 2,5−3,1 <  1   2,5 

5)  7  9

−2

2

 8  9 =  >   10  7

−2

2

9 8  8  ; =   , т.к. > 7 10  10 

38

www.5balls.ru

2,3

0 ,3

, т.к.  10  <  12  ;  11   11 

, т.к. 2,5−3,1 = 1 ; 2,6


3

3

 14  4  15  4 6)   <   , т.к. 14 < 15 ; 15 16  15   16  2

2

7) (4 3) 5 > (3 4) 5 , т.к. 4 3 > 3 4 = 6 ;

( )

8) 23 6

− 0, 2

 1 =  23 6 

   

0, 2

 1 >  3 6 2

   

0, 2

( )

= 63 2

− 0, 2

1

, т.к.

3

2 6

>

126. 1) y = x 3 — область определения — множество R; множество значений — множество R;

1

.

3

6 2 Y 1

У= x 3

1

X

y = x 3 — область определения — x ≥ 0 ; множество значений — y ≥ 0 ; 2) y = x 4 — область определения — множество R; множество значений — y ≥ 0 ;

Y 1

У= x 4

1 4

y = x — область определения — x ≥ 0 ; множество значений — y ≥ 0 ;

X

Y

3) y = x 2 — область определения — множество R; множество значений — y ≥ 0 ; y = x −2 — область определения — множество R, кроме x = 0 ; множество значений — y ≥ 0 ;

X

Y

4) y = x 5 — область определения — множество R; множество значений — множество R; y = x −5 — область определения — множество R, кроме x = 0 ; множество значений — множество R, кроме y = 0 .

X

127. 1) y = x1− π , т.к. π > 1 , то 1 − π < 0 ; x1− π = x1 , если x = 1 , т.к. 1 − π < 1 , то на промежутке (0; 1), x1− π > x , а при x > 1 x1− π < x ; 2) y = x 1− x1− x1−

2

2

2

, т.к.

2 > 1 , то 1 − 2 < 0 ;

= x1 , если x = 1 , т.к. 1 − 2 < 1 , то на промежутке (0; 1),

> x , а при x > 1 , x1−

2

<x.

π +1

область определения — x ≥ 0 ; 128. 1) y = x множество значений — y ≥ 1 ;

Y X

39

www.5balls.ru


1

−1

2) y = x π область определения — x ≥ 0 ; множество значений — y ≥ −1 ;

Y

X

3) y = ( x − 2) π область определения — x ≥ 2 ; множество значений — y ≥ 0 ;

Y

4) y = ( x + 1) − 2 область определения — x > −1 ; множество значений — y > 0 ;

Y

X

X

5) y = ( x − 2)−2 область определения — множество R, кроме x = 2 ; множество значений — y > 0 ; 2 область определения — x > 0 ; x 2 множество значений — y > 0 . 6) y =

Y

X

Y

X Y

1

129. 1) y = x 3 область определения — множество R;

X

множество значений — y ≥ 0 ; 2) y = x

5

область определения — множество R;

Y

множество значений — y ≥ 0 ; 3

3) y = x + 1 область определения — множество R;

X

Y

множество значений — y ≥ 1 ;

X

1

Y

4) y = x 5 − 2 область определения — множество R;

X

множество значений — y ≥ −2 ; 1

5) y = x + 2 5 область определения — множество R;

Y X

множество значений — y ≥ −2 ; 6) y = 2x

−3

область определения — множество R,

Y

кроме x = 0 ; множество значений — y > 0 . 3

X 3

130. 1) y = 5 x и y = x 5 ; область определения функции y = x 5 — х ≥ 0;

40

www.5balls.ru


3

1

3

x = x 5 ; x 5 = x 5 ; x = x 3 — при x = 0 , x = 1 , или x = −1 , но x = −1 — не входит в область определения, значит, точки пересечения графиков (0; 0) и (1; 1). 5

5

2) y = 7 x и y = x 7 ; область определения функции x ≥ 0 ; 5

x = x 7 ; x = x 5 — при x = 0 , x = 1 , или x = −1 , но x = −1 — не входит в область определения, значит, точки пересечения графиков (0; 0) и (1; 1). 131. 1) y = 3x − 1 — обратима, т.к. каждое свое значение функция принимает один раз. 7

2) y = x 2 + 7 — не обратима, т.к., например, значение 8 она принимает при x = 1 или x = −1 . 1 — обратима, т.к. каждое свое значение функция принимает 3) y = x один раз. 4) y = x — обратима, т.к. каждое свое значение функция принимает один раз. 5) y = x 4 — не обратима, т.к., например, значение 1 она принимает при x = 1 или x = −1 . 6) y = x 4 , x < 0 — обратима, т.к. каждое свое значение функция принимает один раз. 132. 1) y = 2x −1 ; x = 1 (y +1) , значит, функция x = 1 (x + 1) — обратная к 2

2

данной. 2) y = −5x + 4 ; x = 1 (4 − y) , значит, функция x = 1 (4 − x) — обратная к данной. 5 5 1 2 3) y = x − ; x = 3y + 2 , значит, функция y = 3x + 2 — обратная к данной. 3 3 3x −1 4) y = ; x = 1 (2y +1) , значит, функция y = 1 (2x +1) — обратная к данной. 3 3 2

5) y = x 3 + 1 ; x = 3 y − 1 , значит, функция y = 3 x − 1 — обратная к данной. 6) y = x 3 − 3 ; x = 3 y + 3 , значит, функция y = 3 x + 3 — обратная к данной. 133. 1) y = −2 x + 1 — область определения — множество R; множество значений — множество R; область определения обратной функции — множество R; множество значений обратной функции — множество R; 2) y = 1 x − 7 — область определения — множество R; 4

множество значений — множество R; область определения обратной функции — множество R; множество значений обратной функции — множество R;

41

www.5balls.ru


3) y = x 3 − 1 — область определения — множество R; множество значений — множество R; область определения обратной функции — множество R; множество значений обратной функции — множество R; 4) y = ( x − 1) 3 — область определения — множество R; множество значений — множество R; область определения обратной функции — множество R; множество значений обратной функции — множество R; 5) y = 2 — область определения — множество R, кроме x = 0 ; x

множество значений — множество R, кроме y = 0 ; область определения обратной функции — множество R, кроме x = 0; множество значений обратной функции — множество R, кроме y = 0; 6) y =

3 — область определения — множество R, кроме x = 4 ; x−4

множество значений — множество R, кроме y = 0 ; область определения обратной функции — множество R, кроме x > 0; множество значений обратной функции — множество R, кроме y = 4. 134. Т.к. график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой у=х. а) точка симметричная точке (1, 1) относительно Y прямой y = x — точка (1,1). Точка симметричная точке (0, 2) относительно X прямой у=х — точка (2, 0). б) точка симметричная точке (0, 1) относительно Y прямой y = x — точка (1,0). X Точка симметричная точке (1, 2) относительно прямой y = x — точка (2, 1). в) точка симметричная точке ( — 2, 4) относительно прямой y = x — точка (4, — 2). Точка симметричная точке (0, 1) относительно прямой y = x — точка (1, 0). г) точка симметричная точке ( — 1, 1) относительно прямой y = x — точка (1, — 1). Точка симметричная точке ( − прямой y = x — точка (4,

1 2

1 2

, 4) относительно

Y

X Y X

).

135. 1) y = − x 3 ; x = 3 − y = −3 y , значит, функция x = −3 y — обратная к функции y = − x 3 , и данные функции взаимно обратимы. 2) y = − x 5 ; x = 5 − y = −5 y , значит, функция x = −5 y — обратная к функции y = − x 5 , и данные функции не являются взаимно обратимыми.

42

www.5balls.ru


3) y = x −3 =

1 x

; x=

3

1 3

y

, значит, функция x =

1 3

— обратная к

y

функции y = x −3 , и данные функции взаимно обратимы. 5

3

3

3

4) y = x 3 ; y = x 5 = y x 2 , значит, функция y = x x 2 — обратная 5

к функции y = x 3 , и данные функции взаимно обратимы. 1 y≤0 ; x = y 2 , значит, функция y = x 2 является об136. 1) y = − x ;  2 x ≥ 0 ратной к данной при x ≤ 0 . 3

2) y = − x 5 ; x = 3 − y 5 = −3 y 5 , значит, функция x = −3 y 5 является обратной к данной. 3

y≥0 3) y = x 2 ;  ; x = 3 y 2 , значит, функция x = 3 y 2 является обратx ≥ 0

ной к данной при x ≥ 0 . 1

4) y = − x 3 ; x = ( − y) 3 = − y 3 , значит, функция y = − x 3 является обратной к данной. 137. 1) y = 3x – 1 — область определения — множество R; множество значений — множество R; 1 1 x = ( y + 1) , значит, функция y = ( x + 1) — об3 3 ратная к данной — область определения — множество R, множество значений — множество R. 2x −1 2) y = — область определения — множество R; 3 множество значений — множество R; 1 1 x = (3y + 1) , значит, функция y = (3x + 1) — об2 2 ратная к данной — область определения — множество R, множество значений — множество R. 3) y = x 2 − 1 , при x ≥ 0 — область определения — множество R; множество значений — y ≥ −1 ; x = y + 1 , значит, функция y = x + 1 — обрат-

Y

X Y

X

Y

X

ная к данной — область определения — x ≥ −1 , множество значений — y ≥ 0 .

43

www.5balls.ru


4) y = ( x − 1) 2 , при x ≥ 1 — область определения — x ≥ −1 ; множество значений — y ≥ 0 ;

Y

X

x = y + 1 , значит, функция y = x + 1 — обратная к данной — область определения — x ≥ 0 , множество значений — y ≥ 1 . 5) y = x 3 − 2 — область определения — множество R; множество значений — множество R;

Y

3 y = x+2

x = 3 y + 2 , значит, функция y = 3 x + 2 — обратная к данной — область определения — множество R, множество значений — множество R. 6) y = ( x − 1) 3 — область определения — множество R; множество значений — множество R;

X

Y

x = 3 y + 1 , значит, функция y = 3 x + 1 — обратная к данной — область определения — множество R, множество значений — множество R. 7) y = x − 1 — область определения — x ≥ 1 ; множество значений — y ≥ 0 ;

3 y= x −2

y = ( x − 1)

x = 3 y +1

X

Y

x = y 2 + 1 , значит, функция y = x 2 + 1 — обратная к данной — область определения — x ≥ 0 , множество значений — y ≥ 1 . 8) y = x + 1 — область определения — x ≥ 0 ; множество значений — y ≥ 1 ;

X

Y

x = ( y − 1) 2 , значит, функция y = ( x − 1) 2 — обратная к данной — область определения — x ≥ 1 , множество значений — y ≥ 0 . 138. 1) ( x + 7) ⋅ 3 = 2 x + 14; 3x + 21 = 2x + 14; x + 7 = 0; x = −7. 2) x 2 +

1 x2 − 4

= 4+

1 x2 − 4

3

X

2 ; x − 4 = 0 , но решения этого уравнения обра-

щают знаменатели дробей исходного уравнения в 0, значит решений нет. 3) x − 2 = 1 − 2x , умножая обе части данного уравнения на x 2 − 1 мы 2 2 x −1

x −1

можем прибрести новые корни, значит, необходимо выполнить проверку. x − 2 = 1 − 2 x; 3x = 3; x = 1 , но при x = 1 знаменатель дробей в исходном уравнении обращается в 0, значит корней нет.

44

www.5balls.ru


4)

5x − 15 2 − = 0; ( x − 3)( x + 2) x + 2

5x − 15 2 = ; ( x − 3)( x + 2) x + 2

5x − 15 − 2 x + 6 = 0;

3x = 9; x = 3, но при x = 3 знаменатель дробей в исходном уравнении превращается в 0, значит корней нет. 139. 1) 3x − 7 = 5x + 5 равносильно уравнению 2x + 12 = 0 , т.к. каждое из них имеет единственный корень x = −6 . 1 2) (2x − 1); 2x − 1 = 5; 2x = 6; x = 3 ; 5 3x − 1 = 1; 3x − 1 = 8; 8

3x = 9; x = 3 , значит, данные уравнения равно-

сильны. 3) x 2 − 3x + 2 = 0; D = 9 − 8 = 1; x = 3 + 1 = 2 или x = 1 .

2 −3 + 1 x + 3x + 2 = 0; D = 9 − 8 = 1; x = = −1 или x = −2 , значит, данные 2 2

уравнения не равносильны. 4) (x − 5)2 = 3(x − 5); x 2 − 10x + 25 = 3x − 15; x 2 − 13x + 40 = 0; D = 169 − 160 = 9; x = 13 + 3 = 8 или x = 5 . 2

x − 5 = 3; x = 8 , значит, данные уравнения не равносильны. 5) x 2 − 1 = 0; x 2 = 1; x = 1 или x = −1 ; 2 x −1 = 0 — не имеет действительных корней, значит, данные уравнения не равносильны. 6) x − 2 = −3 — не имеет действительных корней, 3x = (−1)3 — не имеет действительных корней, значит, данные уравнения равносильны. 140. 1) 2 x − 1 ≥ 2; 2 x ≥ 3; x ≥ 1,5 . 2( x − 1) ≥ 1; x − 1 ≥ 0,5; x ≥ 1,5 , значит, данные неравенства равно-

сильны. 2) ( x − 1)( x + 2) < 0 . Решая это неравенство методом интервалов получаем: + – + −2 < x < 1 –2 1 x 2 + x < 2; x 2 + x − 2 < 0; x 2 + x − 2 = 0; решим уравнение D = 1 + 8 = 9; x =

−1 + 3 = 1 или x = −2 . Ветви этой параболы направ2

лены вверх, значит, x 2 + x − 2 < 0 при −2 < x < 1 , значит, данные неравенства равносильны. 45

www.5balls.ru


3) ( x − 2)( x + 1) < 3x + 3 ; x 2 + x − 2x − 2 − 3x − 3 < 0 ; x 2 − 4x − 5 < 0 ; решим уравнение x 2 − 4x − 5 = 0 , x =

4+6 = 5 или x = −1 , ветви этой 2

параболы направлены вверх, значит, x 2 − 4x − 5 < 0 при −1 < x < 5 . x − 2 < 3 ; x < 5 , значит, данные неравенства не равносильны. 4) x ( x + 3) ≥ 2x ; x 2 + 3x − 2x ≥ 0 ; x ( x + 1) ≥ 0 ; x ≥ 0 и x ≤ −1 ; x 2 ( x + 3) ≥ 2 x 2 ; x 2 ( x + 3 − 2) ≥ 0 x 2 ( x + 1) ≥ 0 , т.к. x 2 ≥ 0 , то x + 1 ≥ 0 ; x ≥ −1 , значит, данные неравенства не равносильны. 141. 1) x − 3 = 0; x = 3 ; x 2 − 5x + 6 = 0 , корни этого уравнения x = 3 и x = 2 . Значит, второе уравнение является следствием первого. 2  2 ( x − 2)(x − 1) = 0 2) x − 3x + 2 = 0; x − 3x + 2 = 0;  . Значит, это уравнение

x −1

x − 1 ≠ 0

x − 1 ≠ 0

имеет единственный корень х = 2, а уравнение х2 – 3х + 2 = 0 имеет два корня x = 1 и x = 2 , значит второе уравнение является следствием первого. 142. 1)

x ( x − 1) + 2x ( x + 1) 4x x 2x 4x ; + = = 2 ; 2 x + 1 x −1 x2 −1 x −1 x −1

x 2 − x + 2x 2 + 2x − 4x

3x 2 − 3x

3x 3x ( x − 1) = 0; x = 0 ; = 0; = 0; x +1 ( x − 1)( x + 1) x −1 x2 −1 2) x − 1 − 2 = 1 ; x − 1 − 1 − 2 = 0; x − 2 − 2 = 0; 1 − 2 = 0; x − 2 = 0; x x−2 x x−2 x−2 x x−2 x x 2

= 0;

x = 2; 3) ( x − 3)( x − 5) = 3( x − 5); ( x − 3)( x − 5) − 3( x − 5) = 0; ( x − 3 − 3)( x − 5) = 0; ( x − 6)( x − 5) = 0; x = 6 или x = 5 ; 4) ( x − 2)( x 2 + 1) = 2( x 2 + 1); ( x − 2)( x 2 + 1) − 2( x 2 + 1) = 0; ( x − 2 − 2)( x 2 + 1) = 0; ( x − 4)( x 2 + 1) = 0; x = 4 , т.к. x 2 + 1 = 0 не имеет действительных корней. 143. 1)

x+3 2+x

−3x 2 + x − 3 2+x

2

2

< 0;

< 3;

x + 3 − 3(2 + x 2 ) 2+x

3x 2 − x + 3 2 + x2

2

< 0;

x + 3 − 6 − 3x 2 2 + x2

< 0;

> 0; т.к. 2 + x 2 > 0 , найдем где 3x 2 − x + 3 > 0

решим 3x 2 − x + 3 = 0; D = 1 − 36 = 35 < 0 , т.к. ветви этой параболы направлены вверх, то она не пересекает ось абсцисс, и 3x 2 − x + 3 > 0 при x ∈ R . x−2 x −2−5+ x 2x − 7 2) > 1; > 0; > 0; 5−x 5−x 5−x

46

www.5balls.ru


 2x − 7 > 0  5 − x > 0

или

 2x − 7 < 0  5 − x < 0

 x > 3,5  x < 5

или

 x < 3,5 Эта система не имеет решений.  x > 5

Значит 3,5 < x < 5 . 144. 1) 2x − 1 = 3; 2x − 1 = 3 или 2x − 1 = −3 ;

x = 2 или x = −1 ;

2x − 1 = 3; x = 2 , значит, эти уравнения не равносильны. 2) 3x − 2 − 4 − x − 3x − 5 = 2x − 2; 6x − 4 − 12 + 3x − 3x + 5 − 12x + 12 = 0; 3

2

6

6

1 − 6x 1 10 1 1 = 0; x = ; 2x + 3 = ; 2x = ; x = . 6 6 3 3 6 Значит данные уравнения равносильны. 3 145. 1) 2 x − 1 = 4 − 1,5x; 3,5x = 5; x = 1 ; 7 3 3,5x − 5 = 0; 3,5x = 5; x = 1 , значит, данные уравнения равносильны. 7 2) x ( x − 1) = 2 x + 5; x 2 − x − 2 x − 5 = 0; x 2 − 3x − 5 = 0 . Поскольку в ходе этих преобразований мы данное уравнение не умножали и не делили на переменную, то мы не потеряли и не приобрели корней, значит, данные уравнения равносильны. 3) 23x +1 = 2−3 ; 3x + 1 = −3 , значит, данные уравнения равносильны. x + 2 = 3;

4)

( x + 2) 2 = (3)2 ;

x + 2 = 9;

x = 7 , делаем проверку

7 + 2 = 9 = 3 , значит, данные уравнения равносильны. 146. 1) x = 5 ; x = 5 или x = − 5 ; x 2 = 5; x 2 = 25; x = 5 или − 5 , все корни различны, значит,

ни одно из данных уравнений не является следствием другого. ( x − 2)( x + 2) = ( x − 3)( x + 3) ; x + 2 ≠ 0 

2) x − 2 = x − 3 ; x + 3 ≠ 0 x+2

x+3

x 2 − 4 = x 2 − 9  . x + 3 ≠ 0 x + 2 ≠ 0 

Эта система не имеет действительных решений. ( x − 2)( x + 2) = ( x − 3)( x + 3) , это уравнение не имеет действительных решений, значит, каждое из данных уравнений является следствием другого. 147.

1 2 5x 3x 2 3x − 1 − 2(3x + 1) − 5x 3x 2 − = 0; ; − − = 2 3x + 1 3x − 1 9x 2 − 1 1 − 9x 2 9x − 1 1 − 9x 2

− 2 x − 1 − 6x − 2 + 3x 2 2

9x − 1

= 0;

3x 2 − 8x − 3 9x 2 − 1

=0;

47

www.5balls.ru


3x 2 − 8x − 3 = 0 ; x = 3 или x = − 1 , но при x = − 1 знаменатель исходной 3

3

дроби обращается в 0, значит x = 3 . 148. 1)

3 4x − 1 x 2 + 5 3( x + 1) − (4x − 1)(x − 1) − ( x 2 + 5) + 5( x 2 − 1) − = − 5; = 0; 2 x −1 x + 4 x2 −1 x −1

3x + 3 − 4x 2 + 4 x + x − 1 − x 2 − 5 + 5x 2 − 5 x2 −1

8x − 8

= 0;

x2 −1

= 0; 8x = 8;

x = 1 , но при

x = 1 знаменатель обращается в 0, значит, действительных корней нет. 2 2 2) x + 2 − x ( x − 4) = x − 2 − 4(3 + x ) ; ( x + 2) − x ( x − 4) − ( x − 2) − 4(3 + x ) = 0; 2 2 2

x−2

x+2

x −4

2

2

x −4

4−x

2

x + 4x + 4 − x + 4 x − x + 4x − 4 − 12 − 4x 2

x −4

2

= 0;

− x + 8x − 12 2

x −4

= 0;

x 2 − 8x + 12 x2 −4

=0;

x 2 − 8x + 12 = 0; x = 6 или x = 2 , но при x = 2 знаменатель обращается в 0, значит x = 6 . 149. 1) x 3 − 3x 2 + 2x − 6 > 2 x 3 − x 2 + 4x − 2 ; x 3 − 3x 2 + 2 x − 6 − 2x 3 + x 2 − 4 x + 2 > 0 ; x 3 + 2x 2 + 2x + 4 < 0 ;

− x 3 − 2x 2 − 2x − 4 > 0 ;

x 2 ( x + 2) + 2( x + 2) < 0 ;

( x 2 + 2)( x + 2) < 0 .

Т.к. x 2 + 2 > 0 для любого действительного х, значит, x + 2 < 0 x < −2 . 2) x 3 − 3x 2 − 4 x + 12 > −3x 3 + x 2 + 12x − 4 ; x 3 − 3x 2 − 4 x + 12 + 3x 3 − x 2 − 12x + 4 > 0 ; 4 x 3 − 4 x 2 − 16 x + 16 > 0 ; 2 x 3 − 2 x 2 − 8x + 8 > 0 ;

x 3 − x 2 − 4 x + 4 > 0 ; x 2 (x − 1) − 4(x − 1) > 0 ;

( x 2 − 4)( x − 1) > 0 ;

– –2

+

( x − 2)( x + 2)( x − 1) > 0 .

+

1

2

х

Решая это неравенство методом интервалов получаем: −2 < x < 1 и x > 2 . 150. 1) ( x − 3) x

2

−x −2

x  = 1; ( x − 3)

2

−x −2

x − 3 ≠ 0

x 2 − x − 2 = 0 = ( x − 3)0 ;  ; x ≠ 3 x − 3 = 1 

x1 = 2

или x 2 = −1 или x 3 = 4 . 2) ( x 2 − x − 1) x x 2 − 1 = 0  2 x − x − 1 = 1 ;  2 x − x −1 ≠ 0 

2

−1

x  2 = 1; ( x − x − 1)

2

x 2 − x − 1 ≠ 0

( x − 1)( x + 1) = 0  ( x − 2)( x + 1) = 1 .  2 x − x − 1 ≠ 0

−1

= ( x 2 − x − 1)0 ;

Итак, x1 = 1; x 2 = −1 или x 3 = 2 .

48

www.5balls.ru


3) ( x + 3) x

2

−4

= ( x + 3)−3x ;

x + 3 = 1  ; x + 3 = 0  2 x 4 3 x − = − 

4) ( x + 3) x

2

−3

x − 3 = 2 x  x + 3 = 0 ; x + 3 = 1  2

 x1 = −2  .  x 2 = −3  2  x + 3x − 4 = 0

Итак, x 1 = −4, x 2 = −3, x 3 = −2, x 4 = 1.

= (x + 3)2 x ; x 2 − 2x − 3 = 0  . Итак, x1 = −3 , x 2 = −2 , x 3 = −1 , x 4 = 3 .  x1 = −3  x = −2  2

x = 2; ( x )2 = 22 ; x = 4 ; 2)

151. 1)

x = 7; ( x )2 = 7 2 ; x = 49 ;

3)

3

x = 2; ( 3 x )3 = 23 ; x = 8 ;

x = −3; ( 3 x )3 = −33 ; x = −27 ; 1 5) 3 1 − 3x = 0; ( 3 1 − 3x )3 = 03 ; 1 − 3x = 0; x = ; 3

6)

4

x = 1; ( 4 x )4 = 14 ; x = 1 ;

7)

4

2 − x = 0; ( 4 2 − x )4 = 04 ; 2 − x = 0; x = 2 .

4)

3

x + 1 = 3; ( x + 1) 2 = 32 ; x + 1 = 9; x = 8 ;

152. 1) 2)

x − 2 = 5; ( x − 2)2 = 52 ; x − 2 = 25; x = 27 ;

3)

4 + x = 2 x − 1; ( 4 + x ) 2 = ( 2x − 1) 2 ; 4 + x = 2 x − 1; x = 5 .

153. 1)

3

2x + 3 = 1; ( 3 2x + 3)3 = 13 ; 2 x + 3 = 1; x = −1 ;

2) 3 1 − x = 2; ( 3 1 − x )3 = 23 ; 1 − x = 8; x = −7 ; 3)

3

3

3x 2 − 3 = 3 8x ; ( 3x 2 − 3)3 = ( 3 8 x )3 ; 3x 2 − 3 = 8x;

3x 2 − 3 − 8x = 0; x 1 = 3; x 2 = − 1 . 3

154. 1) x + 1 = 1 − x ;

2

( x + 1)

= ( 1 − x )2 ; x 2 + 2x + 1 = 1 − x ;

x 2 + 3x = 0; x ( x + 3) = 0; x1 = 0 , x 2 = −3 ; Проверка показывает, что x 2 = −3 — посторонний корень, значит, х=0. 2) x = 1 + x + 11;

( x − 1)2 = (

x + 11)2 ; x 2 − 2 x + 1 = x + 11 ;

x 2 − 3x − 10 = 0; x1 = 5, x 2 = −2 ; Проверка показывает, что x 2 = −3 — посторонний корень, значит, х=5. 3)

x + 3 = 5 − x ; ( x + 3)2 = ( 5 − x )2 ; x + 3 = 5 − x; 2 x = 2; x = 1 ;

4) x2 − x − 3 = 3; ( x2 − x − 3)2 = 32; x2 − x − 3 = 9; x 2 − x − 12 = 0; x1 = 4; x2 = −3 ; 155. 1)

x − x = −12;

2

x = x − 12; ( x ) 2 = ( x − 12 ) ; x = x 2 − 24x + 144;

49

www.5balls.ru


x 2 − 25x + 144 = 0; x1 = 16, x 2 = 9 . Проверка показывает, что x 2 = 9 — посторонний корень, значит, х=16. 2) x + x = 2( x − 1);

x = 2 x − 2 − x;

2

x = x − 2; ( x )2 = ( x − 2 ) ;

x 2 − 5x + 4 = 0; x1 = 4 , x 2 = 1 . Проверка показывает, что x 2 = 1 — посторонний корень, значит, x = 4 . 3)

x − 1 = x − 3; x − 1 = x 2 − 6x + 9; x 2 − 7 x + 10 = 0; x1 = 5 , x 2 = 2 ;

Проверка показывает, что x 2 = 2 — посторонний корень, значит, х=5. 4)

6 + x − x 2 = (1 − x ); ( 6 + x − x 2 ) 2 = (1 − x) 2 ;

6 + x − x 2 = x 2 − 2 x + 1; 2 x 2 − 3x − 5 = 0; x 1 = 2,5 , x 2 = −1 . Проверка показывает, что x 1 = 2,5 — посторонний корень, значит, x = −1 . 156. 1)

2 x − 34 = 1 + x ; ( 2x − 34)2 = (1 + x )2 ; 2 x − 34 = 1 + 2 x + x;

( )

2

x − 35 = 2 x ; (x − 35)2 = 2 x ; x 2 − 70 x + 1225 = 4x ; x 2 − 74 x + 1225 = 0; x = 49 , x 2 = 25 . Проверка показывает, что х2 = 25 — посторонний корень, значит, х = 49. 2)

( 5x + 14 − x )2 = 82 ;

5x + 14 − x = 8;

70 x − 5x 2 = 25 − 2 x;

5x + 2 5x (14 − x ) + 14 − x = 64; 2

( 70x − 5x 2 ) 2 = ( 25 − 2x ) ; 70x − 5x 2 = 625 − 100 x + 4x 2 ; 9x 2 − 170 x + 625 = 0; x1 = 5 , x 2 = 3 8 .

9 8 Проверка показывает, что x 2 = 3 — посторонний корень, значит, х = 5. 9

3)

15 + x + 3 + x = 6; ( 15 + x + 3 + x )2 = 62 ;

15 + x + 2 (15 + x )(3 + x ) + 3 + x = 36; ( 45 + 18x + x 2 )2 = (9 − x)2 ; 45 + 18x + x 2 = 81 − 18x + x 2 ; x = 1 . 4)

3 − 2x − 1 − x = 1;

( 3 − 2x −

1− x

) =1 ; 2

2

2

3 − 2 x − 2 (3 − 2x )(1 − x ) + 1 − x = 1; (2 3 − 5x + 2x 2 ) 2 = (3x − 3) ; 12 − 20 x + 8x 2 = 9 x 2 − 18x + 9; x 2 + 2 x − 3 = 0 ; x 1 = 1 , x 2 = −3 . 157. 1)

x 2 + 1 + x 3 + x 2 = 0;

x 2 + 1 = − x3 + x 2 ;

( x 2 + 1) 2 = (− x 3 + x 2 ) 2 ; x 2 + 1 = x 3 + x 2 ; x 3 = 1; x = 1 . Проверка показывает, что x = 1 — посторонний корень, значит, данное уравнение не имеет действительных корней.

50

www.5balls.ru


2)

3

3

3

3

1 + x 4 = 1 + x 2 ; ( 1 + x 4 )3 = ( 1 + x 2 )3 ; 1 + x 4 = 1 + x 2 ;

x 2 (x 2 − 1) = 0; x1 = −1 , x 2 = 0 , x 3 = 1 .

5 − x − 5 + x = 2; ( 5 − x − 5 + x )2 = 22 ;

158. 1)

5 − x − 2 25 − x 2 + 5 + x = 4; (3)2 = ( 25 − x 2 ) 2 ; 9 = 25 − x 2 ; x 2 = 16; x1 = 4 , x 2 = −4 . Проверка показывает, что х1 = 4 — посторонний корень, значит, х = –4. 12 + x − 1 − x = 1; ( 12 + x − 1 − x )2 = 12 ;

2)

12 + x − 2 12 − 11x − x 2 + 1 − x = 1; 6 = 12 − 11x − x 2 ; x 2 + 11x + 24 = 0; x1 = −3 , x 2 = −8 . Проверка показывает, что х = –8 — посторонний корень, значит, х = –3. x − 2 + x + 6 = 0; ( x − 2)2 = (− x + 6)2 ; x − 2 = x + 6; −2 ≠ 6 — неверное равенство, значит, данное уравнение не имеет корней. 3)

x + 7 + x − 2 = 9; ( x + 7 + x − 2)2 = 92 ;

4)

2

x + 7 + 2 x 2 + 5x − 14 + x − 2 = 81; ( x 2 + 5x − 14)2 = (38 − x ) ; x 2 + 5x − 14 = 1444 − 76x + x 2 ; 81x = 1458; x = 18 . 1 − 2x − 13 + x = x + 4; ( 1 − 2x − 13 + x )2 = ( x + 4)2 ;

159. 1)

2

1 − 2x − 2 13 − 25x − 2x 2 + 13 + x = x + 4; ( 13 − 25x − 2x 2 )2 = (5 − x ) ; 13 − 25x − 2x 2 = 25 − 10x + x 2 ; 3x 2 + 15x + 12 = 0; x 2 + 5x + 4 = 0; x1 = −1 , x 2 = −4 . Проверка показывает, что х = – 1 — посторонний корень, значит, х = – 4. 7x + 1 − 6 − x = 15 + 2x; ( 7x + 1 − 6 − x ) 2 = ( 15 + 2x ) 2 ;

2)

7x + 1 − 2 41x − 7x 2 + 6 + 6 − x = 15 + 2x ; (2x − 4)2 = ( 41x − 7x 2 + 6)2 ; 4x 2 − 16x + 16 = 41x − 7x 2 + 6 ; 11x 2 − 57x + 10 = 0; x1 = 5 , x 2 = 2 . 11

2 — посторонний корень, значит, х = 5. Проверка показывает, что x 2 = 11 160. 1)

3

x − 2 = 2; ( 3 x − 2)3 = 23 ; x − 2 = 8; x = 10 .

2)

3

2x + 7 = 3 3(x + 7); ( 3 2x + 7 )3 = ( 3 3(x + 7))3 ; 2х + 7 = 3х – 3; х = 10.

3)

4

25x 2 − 144 = x; ( 25x 2 − 144)4 = x 4 ; 25x 2 − 144 = x 4 ;

4

x 4 − 25x 2 + 144 = 0; x12 = 16 , x 22 = 9; х1 = 4, х2 = – 4, х3= 3, x 4 = −3 .

51

www.5balls.ru


Проверка показывает, что х2 = – 4, х4 = –3 — посторонние корни, значит, х = 4или х = 3. 4) x 2 = 19x 2 − 34; (x 2 )2 = ( 19x 2 − 34)2 ; x 4 = 19 x 2 − 34; x 4 − 19x 2 + 34 = 0; x12, 2 = 2 , x 32, 4 = 17 ; x 1 = 2 , x 2 = − 2 , x 3 = − 17 , x 4 = 17 .

52

www.5balls.ru


161. 1)

3

x 3 − 2 = x − 2; ( 3 x 3 − 2)3 = (x − 2)3 ; x 3 − 2 = x 3 − 8 − 6x 2 + 12 x;

x 2 − 2x + 1 = 0; x = 1

2) 3 x 3 − 5x 2 + 16 − 5 = x − 2; ( 3 x 3 − 5x 2 + 16 − 5)3 = ( x − 2 )3 ; х1 = – 1, х2 = – 3. 162. 1) Построим на одном рисунке графики Y X x 3 − 5x 2 + 16 − 5 = x 3 − 8 − 6x 2 + 12x; x 2 + 4x + 3 = 0;

функций y = x − 6 и y = − x 2 .

Графики пересекаются в одной точке x ≈ 2,1 . y=

x −6

y = – x2

2) Построим на одном рисунке графики функций

Y

y= (x – 1)2

2

3

y = x и y = (x − 1) . Графики пересекаются в двух точках x1 ≈ 0,5 и x 2 ≈ 2,1 . 3)

x + 1 = x 2 − 7 . Построим на одном рисунке

Y

графики функций y = x + 1 и y = x 2 − 7 . Графики пересекаются в одной точке x = 3 , точность

проверяется

равенством

X

3 +1 = 2 =

2

= 3 −7 = 9−7. 4) x 3 − 1 = x − 1 . Построим на одном рисунке

Y

3

графики функций y = x − 1 и y = x − 1 . Графики пересекаются в одной точке x = 1 , точность проверяется равенством

y=

13 − 1 = 1 − 1 = 0 =

= 1− 1 . 163. 1)

x −1 X

2

4 x + 2 3x 2 + 4 = x + 2; ( 4x + 2 3x 2 + 4 ) 2 = ( x + 2 ) ;

4x + 2 3x 2 + 4 = x 2 + 4x + 4; (2 3x 2 + 4)2 = (x 2 + 4)2 ; 2 2 12x 2 + 16 = x 4 + 8x 2 + 16; x (x − 4) = 0; x1 = 0 , x 2 = 2 , x 3 = −2 .

2) 3 − x = 9 − 36 x 2 − 5x 4 ; (3 − x )2 = ( 9 − 36x 2 − 5x 4 ) 2 ; 9 − 6x + x 2 = 9 − 36x 2 − 5x 4 ; ( 36x 2 − 5x 4 ) 2 = (6x − x 2 ) 2 ;

52

www.5balls.ru


3 4 3 36x 2 − 5x 4 = 36x 2 − 12x 3 + x 4 ; 12x − 6x = 0; x (2 − x) = 0;

х1=0, х2=2.

3) x + 3x + 12 − x + 3x = 2; ( x + 3x + 12) = (2 + x + 3x )2 ; 2

2

2

2

2

x 2 + 3x + 12 = 4 + 4 x 2 + 3x + x 2 + 3x; (2)2 = ( x 2 + 3x )2 ;

х2 + 3х – 4 = 0;

х1 = 1, х2 = – 4. 4) x 2 + 5x + 10 − x 2 + 5x + 3 = 1; ( x 2 + 5x + 10)2 = (1 + x 2 + 5x + 3)2 ; x 2 + 5x + 10 = 1 + 2 x 2 + 5x + 3 + x 2 + 5x + 3;

(3)2 = (

2 9 = x 2 + 5x + 3; x + 5x − 6 = 0; x1 = 1 , x 2 = −6 2

2

2

x 2 + 5x + 3)2 ;

.

x + 1 ⋅ x − 2 = a; ( x − 2 − 2) = a ; x − 2 − (2 + a 2 ) = 0;

164. 1)

D = 1 + 8 + 4a 2 = 9 + 4a 2 ; x1 =

2

2 1 + 9 + 4a 2 , x 2 = 1 − 9 + 4a при a < 0 дейст2 2

2 вительных корней нет, при a ≥ 0 проверка показывает, что x 2 = 1 − 9 + 4a —

2

2 посторонний корень, значит, x = 1 + 9 + 4a . 2

x ⋅ x + 2 = a − 1 ; ( x 2 + 2)2 = (a − 1)2 ;

2)

x 2 + 2x − a 2 + 2a − 1 = 0 ; D = 4 + 4a 2 − 8a + 4 = 4a 2 − 8a + 8; x1 =

−2 + 2 a 2 − 2a + 2 2 = a 2 − 2a + 2 − 1 , x 2 = −1 − a − 2a + 2 , 2

при a < 1 действительных корней нет, при a ≥ 1 проверка показывает, что x 2 = −1 − a 2 − 2a + 2 — посторонний корень, значит, x = a 2 − 2a + 2 − 1 . 3 − x ≤ 2 1 ≤ x 165. 1)  , ;   2x + 1 ≤ 4

 x ≤ 1,5

значит, 1 ≤ x ≤ 1,5 .

 2 2) x − 1 ≥ 0 ; решение первого неравенства x ≥ 1 и x ≤ −1 , значит, х>2. x > 2

2  2  3) 9 − x ≤ 0 ; x ≥ 9 ; решение первого неравенства x ≥ 3 и x ≤ −3 ,

 x + 5 < 0

x < −5

значит, x < −5 . 166. 1)

x > 2; ( x )2 > (2)2 ; x > 4 ;

( x ) 2 < (2) 2  x < 9 ;  ; 0≤x<9; x < 3;   x ≥ 0 x ≥ 0

2) 3)

3

x ≥ 1; ( 3 x )3 ≥ 13 ; x ≥ 1 ;

4)

3

2x < 3; ( 3 2x )3 < (3)3 ; 2x < 27; x < 13,5 ;

53

www.5balls.ru


1 ( 3x )2 > (1)2 3x > 1 ;  ; x> ; 3x > 1;  ≥ 3x 0 3 3x ≥ 0   ( 2x )2 ≤ (2)2 2x ≤ 4  x ≤ 2 6) 2x ≤ 2;  ;  ;  ; 0≤x≤2. 2x ≥ 0 x ≥ 0 x ≥ 0 ( x − 2)2 > (3)2  x − 2 > 9  x − 2 > 11 ; x > 11 ; ;  ;  167. 1) x − 2 > 3;   x − 2 ≥ 0 x ≥ 2 x ≥ 2 5)

2) 3) 4) 5)

6)

7)

8)

( x − 2)2 < (1)2  x − 2 < 1  x < 3 ; 2 ≤ x < 3; ;  ;  x − 2 < 1;   x − 2 ≥ 0 x ≥ 2 x ≥ 2 ( 3 − x )2 < 52 3 − x < 25  x > −22 ; −22 < x ≤ 3 ; ;  ;  3 − x < 5;  3 − x ≥ 0 x ≤ 3 x ≤ 3 ( 4 − x )2 > 32 4 − x > 9  x < −5 ; − 22 < x ≤ 3 ; ;  ;  4 − x > 3;  4 − x ≥ 0 x ≤ 4 x ≤ 4 ( 2x − 3)2 > 42 2x − 3 > 16  x > 9,5 ; x > 9, 5 ; ;  ;  2x − 3 > 4;  2x − 3 ≥ 0  x ≥ 1,5 2x ≥ 3 2 2 4 5 2 2 ( x + 1) > ( )  x + 1 > 9  x ≥ − 9 3 ;  ;  ; x ≥−5 ; x +1 > ;  3 x + 1 ≥ 0 9  x ≥ − 1  x ≥ − 1    3x − 5 < 25  x < 10  ( 3x − 5)2 < 52  2 ;  3x − 5 < 5;  ;  2 2 ; 1 ≤ x < 10 ; ≥ x 1 3 3x − 5 ≥ 0    x ≥ 1 3 3 1 2  4x + 5 ≤ 1  x ≤ 1,1875 2 1  4 ; 4x + 5 ≤ ; ( 4x + 5) ≤ ( 2 ) ;  ;  1 2 4x + 5 ≥ 0  x ≥ −1, 25 x ≥ 1   4

− 1, 25 ≤ x < − 1,1875 .

168. 1)

( x 2 − 1) 2 > 12 x 2 − 1 > 1;  ;  x 2 − 1 ≥ 0

равносильно x 2 > 2 , значит, x < − ( 1 − x 2 ) 2 < 12 2) 1 − x 2 < 1;  ; 1 − x 2 ≥ 0

 x 2 − 1 > 12 ;  2  x ≥ 1

 x 2 > 2  2  x ≥ 1

2 и x> 2. 1 − x 2 < 12 ;  2  x ≤ 1

 x 2 > 0  x 2 ≠ 0 ;  ;  2 2  x ≤ 1  x ≤ 1

решение второго неравенства −1 ≤ x ≤ 1 , значит, −1 ≤ x < 0 и 0 < x ≤ 1 . 3)

2 2 2 2    2< 25 − x 2 > 4; ( 25 − x ) > 4 ;  25 − x > 16 ;  x 9 ; 2 25 − x ≥ 0

2  25 − x ≥ 0

равносильно x 2 < 9 , значит, −3 < x < 3 .

54

www.5balls.ru

2  x ≤ 25


4)

2 2 2 2    2< 25 − x 2 < 4; ( 25 − x ) < 4 ; 25 − x < 16 ;  x 9 ; 2  x ≤ 25

2  x ≤ 25

2 25 − x ≥ 0

значит, −5 ≤ x < −3 и 3 < x ≤ 5 . 169. 1)

2 2x 2 + 3x − 2 > 0 , равносильно 2х +3х–2>0, значит, x<–2 и x >

2)

2 + x − x 2 > −1 , равносильно 2 + x − x 2 ≥ 0 , значит, −1 ≤ x ≤ 2 .

3)

2 2 2 2   6 x − x 2 < 5; ( 6x − x ) < ( 5) ; 6x − x < 5 ;

6x − x 2 ≥ 0

1 . 2

x (6 − x ) ≥ 0

решения первого неравенства x < 1 и x > 5 ; решения второго неравенства 0 ≤ x ≤ x , значит, 0 ≤ x < 1 и 5 < x ≤ 6 . 4)

( x 2 − x ) 2 > ( 2)2 x 2 − x > 2 x 2 − x > 2;  ;  ; 2 x ( x − 1) ≥ 0  x − x ≥ 0

решения первого неравенства x < −1 и x > 2 ; решения второго неравенства x ≤ 0 и x ≥ 1 , значит, x < −1 и x > 2 . 5)

x 2 + 2x > −3 − x 2 ; найдем х, при которых x 2 + 2 x ≥ 0 , это x ≤ −2 и

x ≥ 0 . При этих х существует левая часть неравенства, а правая часть отрицательна для любого действительного х, значит, x ≤ −2 и x ≥ 0 . 6)

4x − x 2 > −2 − 3x 2 ; найдем х, при которых

4 x − x 2 ≥ 0 , это

0 ≤ x ≤ 4 . При этих х существует левая часть неравенства, а правая часть отрицательна для любого действительного х, значит, 0 ≤ x ≤ 4 . 170. 1)

( x + 2) 2 > ( 4 − x ) 2

x + 2 > 4 − x ;  x + 2 ≥ 0 4 − x ≥ 0 

2)

3 + 2 x ≥ x + 1;

( 3 + 2x ) 2 ≥ ( x + 1) 2  ; 3 + 2x ≥ 0 x + 1 ≥ 0 

 x ≥ −2  x ≥ 1,5; x ≥ −1 ;  x ≥ −1 

( 2x − 5) 2 < ( 5x + 4) 2  ; 2x − 5 ≥ 0 5x + 4 ≥ 0 

3)

2 x − 5 < 5x + 4 ;

4)

3x − 2 > x − 2; при x ≥

меньше 0 при x < 2 , значит

x > 1  ; x ≥ −2; 1 < x ≤ 4 ; x ≤ 4 

 x > −3   x ≥ 2,5 ; x ≥ 2,5 ;  x ≥ −0,8 

2 существует левая часть, правая часть 3

2 ≤ x < 2 входит в ответ; 3

55

www.5balls.ru


3x − 2 > x 2 − 4 x + 4 ���x 2 − 7 x + 6 < 0 ;  ,  x ≥ 2 x ≥ 2 2 значит, 2 ≤ x < 6 , объединяем ответ и имеем ≤ x < 6 ; 3 ( 3x − 2)2 > (x − 2) 2 ;   x ≥ 2

5) 5x + 11 > x + 3; при x ≥ −2,2 существует левая часть неравенства, при x ≥ −2,2 правая часть больше 0, значит, ( 5x + 11) 2 > (x + 3) 2 ;   x ≥ −2, 2

5x + 11 > x 2 + 6x + 9 ;  x ≥ −2,2

x 2 + x − 2 < 0 ,  x ≥ −2,2

значит, −2 ≤ x < 1 ; 6)

( 3 − x ) 2 > ( 3x − 5) 2

3 − x > 3x − 5 ; 3 − x ≥ 0

3x − 5 ≥ 0 

171. 1)

 x > 2  ; x ≤ 3 ; 2 < x ≤ 3 .  5  x ≥ 3

x + 1 − x < x − 1 , при x ≥ 1 существуют обе часть этого не-

( x + 1 − x )2 < ( x − 1)2 ; равенства, и обе не отрицательны, значит,   x ≥ 1 2 2 2   x + 1 − 2 x 2 + x + x < x − 1;  x + 2 < 2 x 2 + x ; ( x + 2 ) < (2 x + x ) ;     x ≥ 1 x ≥ 1  x ≥ 1

x 2 + 4x + 4 < 4x 2 + 4x ;  x ≥ 1

2)

x+3 <

2 3x 2 > 4 ; x>  3  x ≥ 1

( x + 3) 2 < ( 7 − x + 10 − x ) 2  7 − x + 10 − x ;  x + 3 ≥ 0 ; 7 − x ≥ 0 10 − x ≥ 0 

 2 x + 3 < 7 − x + 2 70 − 17 x + x + 10 − x ; x ≥ −3 x ≤ 7 

при − 3 ≤ x < 4

.

 2 3x − 4 < 2 70 − 17 x + x , x ≥ −3 x ≤ 7 

2 левая часть неравенства меньше 0, значит, неравенство 3

выполнено, (3x − 4 )2 < (2 70 − 17x + x 2 ) 2   2 ; x ≥ 4 3  x ≤ 7 

9x 2 − 84x + 196 < 280 − 68x + 4x 2   2 ; x ≥ 4 3   x ≤ 7

56

www.5balls.ru


5x 2 − 16x − 84 < 0  2 2  ; значит, 4 ≤ x < 6 , объединяя ответ, получаем −3 ≤ x < 6 . x ≥ 4 3 3  x ≤ 7 

172. 1) На одном рисунке построим графики

Y

функций y = x и y = x , из рисунка видно, что графики пересекаются в двух точках, и график функции X

y = x лежит ниже графика y = x при 0 ≤ x ≤ 1 . 2) На одном рисунке построим графики функций

Y

y = x и y = x , из рисунка видно, что графики пересекаются в двух точках, и график функции y = x лежит ниже графика y = x при x > 1 .

X

3) На одном рисунке построим графики функций

Y

y = x и y = x − 2 , из рисунка видно, что графики пересекаются в одной точке, и график функции у = х – 2

X

лежит ниже графика функции x при 0 ≤ x < 4 . 4) На одном рисунке построим графики функций

Y

y = x и y = x − 2 , из рисунка видно, что графики пересекаются в одной точке, и график функции у = лежит ниже графика функции у = х – 2 при x ≥ 4 . 173. 1)

x

x ≤ 2x. На одном рисунке построим гра-

Y

фики функций y = x и y = 2x, из рисунка видно, что гра-фики пересекаются в одной точке, график функции y= x лежит ниже графика функции y = 2x при x≥0. 2)

x ≤ 0,5x. На одном рисунке построим графи-

ки функций y = x и x ≤ 0,5x , из рисунка видно, что графики пересекаются в двух точках, и график функции

y= x

X

Y X

лежит выше графика функции

x ≤ 0,5x; при 0 < x < 4 .

57

www.5balls.ru


3)

x ≤ 2x − 1. На одном рисунке построим гра-

Y

фики функций y = x и y = 2 x − 1 , из рисунка видно, что графики пересекаются в одной точке, и график функции y = x лежит выше графика функции y = 2 x − 1; при 0 ≤ x ≤ 1 . 4)

X Y

x ≤ x 2 . На одном рисунке построим графики

функций y = x и y ≤ x 2 , из рисунка видно, что графики пересекаются в двух точках, и график функции у = =

X

x лежит выше графика функции y ≤ x 2 при 0 ≤ x ≤1 .

174. 1) x − 1 < a , при a ≤ 0 неравенство не имеет действительных решений, при a > 0 , ( x − 1) 2 < a 2 ;   x − 1 ≥ 0

2)

x − 1 < a 2 ;  x ≥ 1

x < a 2 + 1 2 ; 1 ≤ x < a +1 .  x ≥ 1

2 2 2  2ax − x 2 ≥ a − x , a ≤ 0 ( 2ax − x ) ≥ (a − x) ;

2ax − x 2 ≥ 0

2ax − x 2 ≥ a 2 − 2ax + x 2 ;  x (2a − x ) ≥ 0

2x 2 − 4ax + a 2 ≤ 0 a ; (2 + 2) ≤ x ≤ 0.  2 x (2a − x ) ≥ 0

175. 1) у=х9, область определения — множество

Y

y = x9

Y

y = 7x4

R; множество значений — множество R; 4

2) y = 7 x , область определения — множество R; множество значений — неотрицательные числа y≥0; 1

3) y = x 2 , область определения — множество x≥0; множество значений — y ≥ 0 ; 1

4) y = x 3 , область определения — множество x≥0; множество значений — y ≥ 0 ; 5) y = x −2 , область определения — множество R, кроме x = 0 ; множество значений — y > 0 ;

X

X Y X Y X

Y

X

58

www.5balls.ru


6) y = x −3 , область определения — множество R, кроме x = 0 ; множество значений — множество R, кроме y = 0 .

Y

X

1

Y

176. при x = 0 ; x 2 = x 2 = 0 ; 1

при x = 0,5 ; x 2 = 0, 25 < 0,5 = x 2 ; X

1

при x = 1 ; x 2 = x 2 = 1 ; при x =

1

1 3 9 1 ; x 2 = = 2 > 1,5 = x 2 ; 4 4 2

при x = 2 ; x 2 = 4 > 2 = x 2 ;

1

1

при x = 3 ; x 2 = 9 > 3 = x 2 ;

при x = 4 ; x 2 = 16 > 2 = x 2 ;

1

при x = 5 ; x 2 = 25 > 5 = x 2 . 177. 1) Т.к. 0,3 < 1 , а π > 3,1415 >

2 > 0,5 , 3

2

то 0,3 π < 0,3 3,1415 < 0,3 3 < 0,30,5 . 2) Т.к. π > 1,9 > 2 >

π

1

 1  , π > 0 , π π > 1,9 π > 2 π >   .  2 2 1

3) Т.к. 5 > 1, а 1 > −0,7 > −2 > −2,1, то 5 3 > 5−0,7 > 5−2 > 5−2,1 . 3

4) Т.к. − 2 < 0, а π > 2 > 1,3 > 0,5, то π 3

178. 1) построим

3

2 3

< 2

x = x 2 + x − 1 ; на одном рисунке

графики

функций

y=3 x

и

2 3

−2

2

Y

y = x 2 + x − 1 из рисунка видно, что графики пересекаются в точках (1, 1) и – 1, – 1), значит, x = 1 и x = −1 — решения данного уравнения. 2) x −2 = 2 − x 2 ; на одном рисунке построим

2

< 1,3 3 < < 0,5 3 .

X Y

2

графики функций y = x и y = 2 − x из рисунка видно, что графики пересекаются в точках ( – 1, – 1) и (1, 1), значит, x = −1 и x = 1 — решения данного уравнения.

X

59

www.5balls.ru


179. 1) y = 3 1 − x ; область определения — множество R. 3

2) y = (2 − x2)5 ; 2 − x 2 ≥ 0 , значит, область определения — − 2 ≤ x ≤ 2 . 3) y = (3x 2 + 1) −2 ;область определения — множество R. 4) y = x2 − x − 2 ;область определения: x2–x–2≥0, значит, x ≤ −1 и x ≥ 2 . 180. 1) y=0,6x+3; x=2y–6, значит, функция y=2x–6 — обратная к данной, ее область определения — множество R, множество значений — множество R. 2) y = 2 ; x = 2 + 3 , значит, функция y = 2 + 3 — обратная к данной, x −3

x

y

ее область определения — множество R, кроме x=0, множество значений — множество R, кроме y=3. 3) y = (x + 2) 2 ; x = 3 y − 2 , значит, функция y = 3 x − 2 — обратная к данной, ее область определения — множество R, множество значений — множество R. 4) y = x 3 − 1 ; x = 3 y +1 , значит, функция y = 3 x + 1 — обратная к данной, ее область определения — множество R, множество значений — множество R. 181. 1) 2) Y

Y

X

182. 1) 2 x

2

+ 3x

X

=22, значит, х2+3х=2, значит, данные уравнения равносильны.

x 2 + 3x = 2 ; x 2 + 3x − 2 = 0; x = − 3 + 17 и x = − 3 − 17 , значит,

2)

2

2

данные уравнения равносильны. 3) ( 3 x + 18)3 = ( 3 2 − x )3 ; x + 18 = 2 − x ; x = −8 , значит, данные уравнения равносильны. 183. 1) 3 − x = 2; ( 3 − x ) 2 = 2 2 ; 3 − x = 4; x = −1 . 3x + 1 = 8; 3x + 1 = 8 2 ; 3x + 1 = 64; x = 21 .

2)

3 − 4 x = 2 x; 3 − 4x = 4x 2 ; 4x 2 + 4x − 3 = 0 ; −4 + 8 −4 − 8 x1 = = 0,5 и x 2 = = −1,5 , проверка показывает, что х=–1,5 — 8 8

3)

посторонний корень, значит, x = 0,5 . 4) 5x −1 + 3x2 = 3x; 5x–1+3x2=9x2; 6x2–5x+1=0; x1 = 5 + 1 = 0,5 и x2 = 5 − 1 = 1 . 12

5)

3

x − 17 = 2; x − 17 = 8; x = 25 ; x1,2 = ±5 .

6)

4

x 2 + 17 = 3; x 2 + 17 = 81; x 2 = 64 ; x1,2 = ±8 .

2

2

2

60

www.5balls.ru

12

3


184. 1)

2)

Y

Y

X

3)

4)

Y

Y

X X

xy − 4y = 10 − 3x 185. 1) y = 10− 3x ; x ≠ 4 ; x −4  y ≠ − 3  3xy − y = 3x − 6  2) y = 3x − 6 ;  x ≠ 1 ; 3 3x − 1   y ≠ 1

x = 10+ 4y y +3   ≠ x 4 , т.е. функции взаимообратные.  y ≠ −3  

x = y −6 3y − 3   1 т.е. функции взаимообратные. x ≠ 3 ,  y ≠ 1 

1 − x = 5 −1  y x = ( y − 5) y  −1   3) y = 5(1 − x ) ;  x ≠ 1 ; x ≠ 1 , т.е. функции не взаимообратные. y ≠ 0 y ≠ 0    2 y + yx = 2 − x 4) y = 2 − x ; x ≠ −2 ; 2+ x   y ≠ −1

 x = 2(1− 2y)  y +1  , т.е. функции не взаимообратные.  x ≠ −2  y ≠ −1  

186. 1) y=2+ x+2; y–2= x + 2; x=y2–4y+2, значит, у=х2–4у+2 — функция обратной к данной, ее область определения — x≥2, множество значений — y≥–2. 2) y=2– x + 4; x + 4 =2–y; x=y2–4y, значит, y=x2–4 — функция обратной к данной, ее область определения — x≤2, множество значений — y≥–4. 3) y = 3 − x −1; y +1 = 3 − x ; x=2–y2–2y, значит, y=2–x2–2x — функция обратной к данной, ее область определения — x≥–1, множество значений — y≤3.

61

www.5balls.ru


4) y = 1 − x +3; y–3= 1 − x ; x=6y–y2–8; значит, y=6x–x2–8 — функция обратной к данной, ее область определения — x≥3, множество значений — y≤1. 187. 1)

x − 4 = x − 3 − 2 x − 1; x − 4 = x − 3 − 2 2 x 2 − 7 x + 3 + 2x = 1;

2 2 2 2x 2 − 7 x + 3 = x; 2x –7x+3=x ; x –7x+3=0; x1 =

7 + 37 и x 2 = 7 − 37 , про2 2

верка показывает, что x2 = 7 − 37 — посторонний корень, значит, x = 7 + 37 . 2

2

2

2) 2 x + 3 − 2 x + 7 = x ; 4x + 12 = 2 2x + 7 x + 2x + 7; x + 5 = 2 2x 2 + 7 x ; x 2 + 25 + 10 x = 8x 2 + 28x; 7 x 2 + 18x − 25 = 0; x1 = 1 и x 2 = −3 4 , про-

7 4 верка показывает, что x = −3 — посторонний корень, значит, x = 1 . 7

x − 3 = 2x + 1 − x + 4 ; x − 3 = 2x + 1 + x + 4 − 2 2x 2 + 9x + 4 ;

3)

x + 4 = 2x 2 + 9 x + 4 ; x 2 + 8x + 16 = 2 x 2 + 9 x + 4; x 2 + x − 12 = 0; х1= 3 и х2=–4, проверка показывает, что х2=–4 — посторонний корень, значит, х= 3. 9 − 2x = 2 4 − x − 1 − x ; 9 − 2 x = 16 − 4 x + 1 − x − 4 x 2 − 5x + 4 ;

4)

4 x 2 − 5x + 4 = 8 − 3x; 16 x 2 − 80 x + 64 = 64 − 48 x + 9 x 2 ; 7 x 2 − 32 x = 0; х1=0 и 4 4 x 2 = 4 , проверка показывает, что x2 = 4 — посторонний корень, значит, х=0. 7 7

188. 1)

x + 4 − 34 x + 4 = 0;

x + 4 − 34 x + 4 + 4 = 2 − 4 x + 4 ;

2 − 4 x + 4 = 0 или x1=12 или x2=–3.

(2 − 4 x + 4) 2 = 2 − 4 x + 4;

x+4=16 или x+4=1; x − 3 = 34 x − 3 + 4;

2)

1− 4 x + 4 = 0 ;

x − 3 − 44 x − 3 + 4 = 8 − 44 x − 3 ;

4 (2 − 4 x − 3) 2 − (2 − 4 x − 3) − 6 = 0; пусть 2 − x − 3 = a , значит,

a 2 − a − 6 = 0 , a = 3 или a = −2 , значит, 4

3)

x − 3 = 4 или 6

4

x − 3 = 4 или

4

x − 3 = −1 ;

x − 3 = −1 ; х–3=256, х=259. Нет действительных корней.

3

1 − x − 5 1 − x = −6;

6 6

посторонний корень; 2

4

1 − x = a; 5a 2 − a − 6 = 0 , a = 1,2 и a = −1 —

1 − x = 1,2; 1 − x = 2,985984; x = −1,985984 .

4) x +3x+ x +3x =2; x +3x =2; a2+a–2=0, а=1 и а=–2 — посторонний корень; 2

2

x 2 + 3x = 1; х2 + 3х – 1 = 0; 5)

3− x + 3+ x = 2; 3− x − 3+ x

x1,2 =

−3 ± 13 . 2

 3 − x + 3 + x = 2 3 − x − 2 3 + x ;   x ≠ 0

3 3 + x = 3 − x  27 + 9x = 3 − x ; x = −2, 4 . ;    x ≠ 0 x ≠ 0

62

www.5balls.ru


6)

x + 6 − 4 x + 2 + 11 + x − 6 x + 2 = 1 ;

( x + 2 − 2)2 + ( x + 2 − 3) 2 = 1 ;

x+2 −2 +

x + 2 − 2 ≥ 0 или

x≥2

x+2−2<0

x +2 −3>0 ;

x + 2 − 3 =1;

x>7;

−2 ≤ x < 2

x +2 −3≤ 0 ;

−2 ≤ x ≤ 7 .

Если −2 ≤ x < 2 , тогда,

x + 2 − 2 + 3 − x + 2 = 1;

x + 2 = 2; x = 2.

Если – 2 ≤ x ≤ 7 , тогда,

x + 2 − 2 + x + 2 − 3 = 1;

x + 2 = 3; x = 7 .

189. 1)

2)

x −1 > 0 x > 1 x + 1 < x − 1;  x + 1 > 0 ; x >3. ;   x(x − 3) > 0  2 x + 1 < x − 2x + 1

1 − x > 0 1 − x < x + 1; 

x < 1 ; −3 < x < 0 . ;  2 − > + + 1 x x 2x 1  x(x + 3) < 0 

Но при x≤–3; x+1<0, значит, это множество удовлетворяет неравенство и x<0. x > 2 2 3 ; ; 1<x<6. Но при <x≤1;  2 3 3x − 2 > x − 4x + 4 (x − 1)(x − 6) < 0 x–2<0, значит, это множество тоже удовлетворяет неравенству и 2 <x<6. 3 3x − 2 > 0 3) 3x − 2 < x − 2; 

4)

 2x + 1 ≥ 0 2x + 1 ≤ x + 1;  x + 1 ≥ 0 ;  2 + ≤ + + 2x 1 x 2x 1 

x ≥ − 1 2  1  x ≥ 1 ; x ≥ − 2 .  2  x ≥ 0

2  x 2 − 13x + 40 ≤ 0 (x − 8)(x − 5) ≤ 0 190. 1) x − 13x + 40 ≤ 0;  ; 6< x ≤8. ; 

19x − x 2 − 78

2)

2 (x − 13)(x − 6) > 0 19x − x − 78 > 0 

x + 4 > 0 x 2 + 7x − 4 1  2 < ; x + 7x − 4 ≥ 0 ; x+4 2  2 2 x + 7x − 4 < x + 4

x > 4  ; 2(x + 4)(x − 0,5) ≥ 0  2 2 + − < + + 8x 28x 16 8x 28x 16 

x≥0 x ≥ 0 1  ;  ; 0,5 ≤ x < 1 . Но, если x<–4, левая часть  2 1 7 (x + 4)(x − 1 < 0 ) + − < 7x 20x 32 0   7 неравенства меньше 0 и неравенство выполняется, значит, x<–4и 0,5≤x< 1 1 . 7 3 + x > 0 x > −3 3) 3 + x > x − 3 ;  ;  2 ; 1< x < 6 . 2 3 + x > x − 6x + 9 x − 7x + 6 < 0

4)

3 + x > 7 + x + 10 + x;

3 − x ≥ 0 7 + x ≥ 0  ; 10 + x ≥ 0  3 − x < 7 + x + 10 + x + 2 x 2 + 17x + 70 

63

www.5balls.ru


x ≤ 3  ; x ≥ 7  2  −14 − 3x < 2 x + 17x + 70 −7 ≤ x ≤ 3  2 ;  x ≤ −4 3  2 5x + 16x − 84 < 0

 −7 ≤ x ≤ 3  ; 14 + 3x ≤ 0  2 2 196 + 84x + 9x < 4x + 68x + 280

−7 ≤ x ≤ 3  2 2 2 ; −6 < x ≤ −4 . Но при −4 < x ≤ 3 –14–3x<0,  x < −4 3 3 3  −6 < x < 2,8

а значит, это множество удовлетворяет данному уравнению, значит, –6<x≤3. 191. 1) x − 2 + x − 6 < a, при a≤0 действительных решений нет, значит, a>0. x − 2 ≥ 0  ; x − 6 ≥ 0  2 2 x − 2 + x − 6 + 2 x − 8x + 12 < a

x ≥ 6  a2  2 − x;  x − 8x + 12 < 4 + 2  x 2 − 8x + 12 ≥ 0 

x ≥ 6  ;  2 a4 + 4a 2 + (8 + a 2 ) x + x 2 x − 8x + 12 < 16 + 4 

x ≥ 6  16 + a 4 + 16a 2 значит,  2 , a x < 4  x 2 − 8x + 12 ≥ 0 

4 2 если a≤2, то действительных решений нет, если a>2, то 6 ≤ x < a + 16a + 16 . 2

4a  x 2 ≤ a 2 x 2 ≤ a 2 a 2 − x 2 ≥ 0   2 2  2) 2 x + a − x > 0;  ; a 2 − x 2 > 4 x 2 ; x ≤ 0 ;  a 2 − x 2 > −2 x − 2x ≥ 0  2 x 2 < a  5 

 − a ≤ x ≤ a a  ; если a = 0 , то нет решений, если a ≠ 0 , то − 5 < x ≤ 0 . x ≤ 0  − a < x < a  5 5

Но неравенство верно и при 0 ≤ x ≤ a , значит, −

64

www.5balls.ru

a 5

<x≤ a .


Глава III. Показательная функция 2)

192. 1) Y

Y

X

X 2

1

2) 3 3 ≈ 2 ;

3 = 3 2 ≈ 1,73 ;

193. 1)

1 − 1 = 3 2 ≈ 0,58 ; 3 194. 1)

4) 3 −1,5 ≈ 0,19 .

3)

2)

Y

Y

X

X

3)

4) Y

Y

X

X

195. 1) 1,7 3 > 1 = (1,7) 0 , т.к. 1,7 3 > 1 ; 3 > 0 ; 2) 0,3 2 < 1 = (0,3) 0 , т.к. 0,3 3 < 1 ; 2 > 0 ; 3) 3,21,5 < 3,21,6 , т.к. 3,2 > 1 ; 1,6 > 1,5 ; 4) 0,2 −3 < 0,2 −2 , т.к. 0,2 < 1 ; −3 < −2 ; 2

1,4

1 1 1 5)   <   , т.к. < 1 ; 5 5 5

2 > 1,4 ;

6) 3 π < 3 3,14 , т.к. 3 > 1 ; π > 3,14 . 196. 1) (0,1) 2) (3,5) 3) π

0,1

−2,7

  4)  5     5 

2

< 1 = (0,1) 0 , т.к. 0,1 < 1 ;

2 >0;

0

> 1 = (3,5) , т.к. 3,5 > 1 ; 0,1 > 0 ;

< 1 = π 0 , т.к. π > 1 ; −2,7 < 0 ; −1,2

0

 5 5 < 1 ; −1,2 < 0 . > 1 =   , т.к. 5  5 

65

www.5balls.ru


197. 1) y = 2 x и y = 8 ; 2 x = 8; 2 x = 2 3 ; x = 3 , значит, точка пересечения графиков (3; 8). 1 1 2) y = 3 x и y = ; 3 x = ; 3 x = 3 −1 ; x = −1 , значит, точка пересече3 3 1 ния графиков ( – 1; ). 3 x 1  1 x 1  1 x  1 2 ;   = ;   =   ; x = 2 , значит, точка пе3) y =  1  и y = 16  4  16  4  4 4 ресечения графиков (2;

1 ). 16

x

x

−2

x

4) y =  1  и y = 9 ;  1  = 9;  1  =  1  ; x = −2 , значит, точка пе3

3

3

3

ресечения графиков ( – 2; 9). 1 198. 1) 5 x = ; 5 x = 5 −1 ; x = −1 ; 5 2) 7 x = 49; 7 x = 7 2 ; x = 2 ; 1

− x x x 1 1 2 3)  1  = 3 ;  1  = 32 ;  1  =  1  ; x = − ; 2 3 3 3 3         1

− x x x 1 1 3 4)  1  = 3 7 ;  1  = 7 3 ;  1  =  1  ; x = − . 3 7 7 7 7

199. 1) y = (0,3) − x =  3   10 

−x

x

x

 1  10  =   = 3  ;  3  3

3

1 > 1 , значит, данная 3

функция является возрастающей. 2) y =  1  7

−x

= 7 x ; 7 > 1 , значит, данная функция является возрастающей.

3) y = 1,3 − 2 x =  1  1,3 

2x

x

1  1  =   ; 1,69 < 1 , значит, данная функция явля1 , 69  

ется убывающей. 4) y = (0,7 )−3x =  1   0,7  является возрастающей.

3x

x

x

 1   ; =   0,343  0

1 1 200. 1)   > 1 =   , из гра3  3

1 > 1 , значит, данная функция 0,343

x

фика видно, что

x

1 2)   < 1 , из графика видно, 2 x

1 1   > 1 , при что   < 1 , при x > 0 . 3 2

x<0.

66

www.5balls.ru


х

х

3) 5 x > 5 , из графика видно, что 5 x > 5 , при x > 1 .

4)

5x <

1 = 5 −1 , 5

из графика

видно, что 5 x < 5 −1 , при x < −1 .

Y

Y У= 5х

X

201. 1)

2) Y

Y

X

3)

X

4)

Y

Y

X

X x

202. y = 2 x и y =  1  = 2 − x , если точка (хо; уо) принадлежит графику 2

x

функции y = 2 , то точка (– хо; уо) принадлежит графику функции x

1 y =   , а точки (хо; уо) и (– хо; уо) симметричны относительно оси орди2

нат, значит данные графики симметричны относительно оси ординат. 203. Так как функция 2 x — возрастающая функция, то на отрезке [– 1; 2] наименьшее значение она принимает при x = −1 ; а наибольшее при x = 2 , значит, наименьшее значение y(−1) = 2−1 = 0,5 , а наибольшее y(2) = 22 = 4 .

67

www.5balls.ru


204. Поскольку функция y = 2 нат, а на отрезке [0; 1] 2

x

x

симметрична относительно оси орди-

x

= 2 , функция 2 x — возрастающая, значит, дан-

ная функция принимает наименьшее значение при x = 0 , y(0) = 20 = 1 , и наибольшее при x = 1 или x = −1 , y(−1) = 21 = 2 . 205. 1) 2) Y

Y

X

X

3)

4) Y

Y

X

X

206. T = 1; t1 = 1,5, t 2 = 3,5, m0 = 250 ; t1

1,5

 1 T 11 m ( t1 ) = m0   = 250 ⋅   ≈ 88, 42 ; 2 2 t2

3,5

 1T 1 1 m ( t 2 ) = m0   = 250 ⋅   ≈ 22,12 . 2 2 207. Пусть а — прирост деревьев за первый год, b — за второй год, с — за 3-й год, d — за четвертый год, е — за пятый год, тогда a = 4 ⋅ 105 ⋅ 0, 04 , b = (4 ⋅ 105 + a) ⋅ 0,04 ; c = (4 ⋅105 + b) ⋅ 0,04 ; d = (4 ⋅105 + c) ⋅ 0,04 ; e = (4 ⋅ 105 + d) ⋅ 0,04 ,

тогда

через

пять

5

лет 5

можно

будет

3

4 ⋅ 10 (a + b + c + d + e) ≈ 4,87 ⋅ 10 м .

208. 1) 4 x −1 = 1; 4 x −1 = 4 0 ; x − 1 = 0; x = 1 ; 2) 0,33x − 2 = 1; 0,3 3x − 2 = 0,3 0 ; 3x − 2 = 0; x = 2 ; 3

3) 22 x = 24 4)  1  3

3x

3

; 2x = 4 3 ; x = 2 3 ; −2

2 1 =   ; 3x = −2; x = − . 3 3

68

www.5balls.ru

заготовить


1 1 209. 1) 27 x = ; (33 ) x = 3−1; 3 3x = 3 −1 ; 3x = −1; x = − ; 3 3 1 2) 400 x = ; (20 2 ) x = 20 −1; 2 x = −1; x = −0,5 ; 20 x

3)  1  = 25; 5− x = 52 ; − x = 2; x = −2 ; 5

x

x

4

4)  1  = 1 ;  1  =  1  ; x = 4 .  3

81

3

3

x

2 x

210. 1) 3 ⋅ 9 = 81; (3 ) = 27; 3 2 x = 3 3 ; 2 x = 3; x = 1,5 ; 2) 2 ⋅ 4 x = 64; (22 ) x = 32; 22 x = 25 ; 2 x = 5; x = 2,5 ; x+

3) 3

1 2

1 x + + x −2 2

⋅ 3x − 2 = 1; 3

= 30 ; 2 x − 1,5 = 0; x = 0,75 ;

4) 0,5x + 7 ⋅ 0,51− 2 x = 2; 0,5x + 7 +1− 2 x = 0,5−1; 8 − x = −1; x = 9 ; 2x 5) 0,6 x ⋅ 0,63 = 0,6 ; 0,6 x +3 = 0,62 x −5 ; x + 3 = 2 x − 5; x = 8 ; 5

0,6

2x

6) 63x ⋅ 1 = 6 ⋅  1  ; 63x −1 = 61− 2 x ; 3x − 1 = 1 − 2 x; x = 6

6

2 . 5

211. 1) 32x–1+32x=108; 32x ( 1 + 1) = 108; 32 x ⋅ 4 = 108; 32x=81; 32x=34; 2x=4; x=2; 3

3

15 = 30; 23x=8; 23x=23; 3x=3; x=1; 2) 2 –2 =30; 23x (4 − 1 ) = 30; 23x ⋅ 4 4 3) 2 x +11 + 2 x −1 + 2 x = 28; 2x (2 + 1 + 1) = 28; 2 x ⋅ 7 = 28; 2x = 8; 2 x = 2 3 ; х = 3; 2 2 1 7 x −1 x x +1 x x 4) 3 − 3 + 3 = 63; 3 ( − 1 + 3) = 63; 3 ⋅ = 63; 3x = 27; 3 x = 3 3 ; х = 3. 3 3 3x+2

3x–2

212. 1) 5 x = 8 x ; x

x

1 1 2)   =   ; 2  3 3) 3x = 52 x ; x

5x

x

8x

8

() () 1 2 1 3

0

= 1;  5  =  5  ; x = 0 ; x

x

8

x

0

3 3  =  ; x = 0; 2 2

= 1;  x

3x

0

 3   3  = 1;   =   ; x = 0 ; x 25 25  25   

4) 4 x = 3 2 ; 4 x =

( 3) ; x

4x

x

0

 4   4   =  x = 0. = 1;    3 ; x ( 3)  3  

213. 1) 9 x − 4 ⋅ 3x + 3 = 0; 3 x = t; t 2 − 4t + 3 = 0 ; t = 1 и t = 3; 3x = 3; x1 = 1 или 3x = 1; 3x = 30 ; x = 0 ;

69

www.5balls.ru


2) 16 x − 17 ⋅ 4 x + 16 = 0; 4 x = t; t 2 − 17 t + 16 = 0 ; t = 1 и t = 16; 4 x = 1; 4 x = 40 ; x = 0 или 4 x = 16; 4 x = 42 ; x = 2 ; 3) 25x − 6 ⋅ 5x + 5 = 0; 5 x = t; t 2 − 6 t + 5 = 0 ; t = 1 и t = 5; 5x = 5; x = 1 или 5 x = 1; 5 x = 5 0 ; x = 0 ; 4) 64 x − 8x − 56 = 0; 8 x = t; t 2 − t − 56 = 0 ; t = 8 ; 8x = 8; x = 1 или t = −7; 8x = −7 — посторонний корень. 214. 1) 3 x 2) 2 x

2

2

+ x −12

− 7 x +10

x −1

= 1; 3 x

= 1; 2 x x −1

2

2

+ x −12

− 7 x +10

= 30 ; x 2 + x − 12 = 0 ; x = 3 или x=–4;

= 2 0 ; x 2 − 7 x + 10 = 0 ; x = 5 или x = 2 ;

x ≠ 2 x −1 = 2;  ; x =3; x−2  x − 1 = 2x − 4 − x − 1 = 2x 2 1 2 1  ; x=− . ; x ≠ 0 = 2 x +1 ; − = x x +1  3  x ≠ −1

3) 2 x −2 = 4; 2 x −2 = 22 ; 1

1

4) 0,5 x = 4 x +1 ; 2 215. 1) 0,3x

3

1 x

− x 2 + x −1

= 1; 0,3x

3

− x 2 + x −1

= 0,30 ; x 3 − x 2 + x − 1 = 0 ;

x 2 (x − 1) + (x − 1) = 0; (x 2 + 1)(x − 1) = 0; x = 1 ;  1 2)  2   3 1

3) 5,12

− x 2 − 2x +3

 1 = 1;  2   3

− x 2 − 2x +3

1

( x −3)

= 5,1 5,1; 5,12

( x −3)

2

= 101−5x ; 102x

2

4) 100x

−1

−2

0

 1 =  2  ; x 2 + 2x − 3 = 0 ; x = 1 или х = –3;  3 3 1 3 = 5,12 ; (x − 3) = ; x = 6 ; 2 2

= 101−5x ; 2x 2 − 2 = 1 − 5x;

2x 2 + 5x − 3 = 0, x = 0,5 или x = −3 . 2

;

216. 1) 10x = 3 100; 10x = 10 3 x = 4

;

2) 10x = 5 10000; 10x = 10 5 x = 3) 2252x

2 −24

= 15; 154x

2 −48

2 ; 3

4 ; 5

= 15; 4x 2 − 48 = 1 ; 4х2 = 49; x1,2 = ±3,5 ;

4) 10x = 4 10000; 10x = 10−1; x = −1 ; 5) ( 10) x = 10x 6) 100x

2

−1

2

−x

x

; 10 2 = 10x

= 101−5x ; 102x

2

−2

2

−x

;

x = x 2 − x; x1 = 0 и x 2 = 1,5 ; 2

= 101−5x ; 2 x 2 − 2 = 1 − 5x;

2 x 2 + 5x − 3 = 0, x = 0,5 или x = −3 .

70

www.5balls.ru


1

−4 х

2 1 217. 1) 2х    2

2) 50,1x ⋅  1 

−0,06

5

1

3 3 1 3 = 24 ; x2 − x = ; х2–х–3=0; х=1 или x =− . 4 4 4

−4х

2

= 4 8; 2х ⋅ 2

2

0,1x 0,06 ⋅5 = 5x ; 0,1x + 0,06 = x 2 ; = 5x ; 5 2

2

100 − 10 x − 6 = 0; 50x 2 − 5x − 3 = 0; x = 0,3 или x = −0, 2 . 3)  1  2

1− x

 

1 ⋅  2

−1

1 =  2

2x

1 − x − 1 = 2x; 1 − x = 4x 2 + 4x + 1;

;

x(4x + 5) = 0; x1 = 0 и x 2 = −1 4) 0,7

x+12

⋅ 0,7−2 = 0,7 x ;

1 — посторонний корень, значит, x = 0 . 4

x +12 − 2 = x; x+12=x+4 x +4; 8=4 x; 2= x ; x=4.

1 6 x 218. 1) 7 x − 7 x −1 = 6; 7 x (1 − ) = 6; 7 x ⋅ = 6; 7 = 7; x = 1 ; 7 7 2) 32y −1 + 32y − 2 − 32y − 4 = 315; 32y ( 1 + 1 − 1 ) = 315; 32y ⋅ 35 = 315; 9 y = 93 ; у=3;

3 9 81 81 3 28 3x 3 3x 3) 5 + 3 ⋅ 5 = 140; 5 (1 + ) = 140; 5 ⋅ = 140; 5 = 5 ; 3х = 3; х=1; 25 25 4) 2x +1 + 3 ⋅ 2x −1 − 5 ⋅ 2x + 6 = 0; 6 = 2x (5 − 3 − 2); 6 = 2 x ⋅ 1,5; 4 = 2x ; 2x = 22; х=2. 2 3x − 2

3x

3x

x−2

 1 219. 1) 7 x − 2 = 32 − x ; 7x−2 =    3 2) 2 x −3 = 33− x ; 2 x −3 =  1   3

3) 3 4) 4

x +2 4

;

7 x −2

()

1 x −2 3

2 x −3

()

1 x −3 3

4 x+2 43 = 5x + 2 ; ( 3) = 1;   x+2 

x+2

 5 

5

x −3 2

x −3

;

= 1; (21) x − 2 = (21)0 ; х–2=0; х=2;

x −3 = 60 ; x − 3 = 0; х = 3; = 1; 6

0

43 = ; x + 2 = 0; x = −2 ;  5   

x −3 0 x −3 2 2 = 32(x −3) ; 2 x −3 = 9 x −3 ; 2 = 1;   =   ; х–3=0; х=3. x −3 9 9

 

9

x 2 −4x +3

2x 2 + x +3

2

 

2

220. 1) (0,5) = (0,5) ; x − 4x + 3 = 2x + x + 3; x 2 − 5x = 0; x(x + 5) = 0; x = 0 или x = −5 ; 2

2) (0,1)3+ 2x = (0,1)2 − x ; 3 + 2х = 2 – х2; х2 + 2х + 1 = 0; (x + 1)2 = 0; х =–1; 3) 3

x −6

=3x;

x 4)  1  =  1 

3

3

x − 6 =x; x–6=x2; x2–x+6=0 не имеет действительных корней; 2− x

; x=

2 − x; x 2 = 2 − x; x 2 + x − 2 = 0; x = −2 — по-

сторонний корень, значит, x = 1 .

71

www.5balls.ru


221. 1) 2|x–2|=2|x+4|; x − 2 = x + 4 . Если x ≤ −4 , то 2 − x = − x − 4; 2 = −4 — нет действительных решений. Если −4 < x < 2 , то 2 − x = x + 4; x = −1 . Если x > 2 , то х – 2 = х + 4 — нет действительных решений, значит, х = –1. 2) 1,5|5–x|=1,5|x–1|; 5 − x = x − 1 ; x = 3 . 3) 3 x +1 = 32− x ; x + 1 = 2 − x ; x1 = −1,5 и x 2 = 0,5. 4) 3 x = 3 2 − x −1; x = 2 − x − 1; x = 0,5 . 222. 1) 3x −3 + 3x = 7 x +1 + 5 ⋅ 7 x ; 3 x (27 + 1) = 7 x (7 + 5); 3x ⋅ 7 = 7 x ⋅ 3; 3 3x −1 = 7 x −1;   7

x −1

0

3 =   ; x =1; 7

2) 3x + 4 + 3 ⋅ 5x +3 = 5x + 4 + 3x +3; 3x + 3 (3 − 1) = 5x + 3 (5 − 3); 3x + 3 ⋅ 2 = 5x + 3 ⋅ 2;  3 

x +3

5

8− x

3) 2

+7

3− x

=7

4− x

0

3 =   ; x = −3 ; 5

+ 23− x ⋅ 11; 23− x (25 − 11) = 73− x (7 − 1);

23− x ⋅ 7 = 73− x ⋅ 2; 22 − x = 7 2 − x ;  2  7

2−x

0

2 =  ; x = 2;   7 x +1 x −1 x −1 x −2 x −3 x −3 4) 2 + 2 − 3 =3 −2 + 2 ⋅ 3 ; 2 x (2 + 1 + 1 ) = 2 8

 2 21 14 1 2 1 x −4 = 3x − 4 ;   = 3x ⋅ ; 2 = 3x ( + + ); 2 x ⋅ x 27 9 27 3  3

x −4

0

 2 =  ; x = 4 .  3

223. 1) 8 ⋅ 4x − 6 ⋅ 2x + 1 = 0; 2 x = t; 8t x − 6t + 1 = 0 ; 1 1 1 1 t = и t = ; 2 x = ; x1 = −1; 2 x = ; x 2 = −2 ; 2 4 4 2 x

x

x

2)  1  +  1  − 6 = 0;  1  = t; t 2 + t − 6 = 0 ;  4

 2

 2

x

1 t = −3 — посторонний корень; t = 2;   = 2; x = −1 ;  2 3) 132 x +1 − 13x −12 = 0; 13 x = t; 13 ⋅ t 2 − t − 12 = 0 ; 12 t=− — посторонний корень, t = 1; 13 x = 13 0 ; x = 0 ; 13 4) 32 x +1 − 10 ⋅ 3x + 3 = 0; 3 x = t; 3t 2 − 10t + 3 = 0 ; 1 1 t = 3 или t = ; 3 x = 3; x1 = 1 ; 3 x = ; 3 x = 3 −1 ; x 2 = −1 ; 3 3 5) 23x + 8 ⋅ 2x − 6 ⋅ 22 x = 0; т.к. 2 x ≠ 0 , то 22 x − 6 ⋅ 2 x + 8 = 0; 2 x = t;

72

www.5balls.ru


t 2 − 6 t + 8 = 0; t1 = 4 и t 2 = 2; 2 x = 4; x1 = 2; 2 x = 2; x 2 = 1 ; 6) 53x +1 + 34 ⋅ 52 x − 7 ⋅ 5x = 0; т.к. 5 x ≠ 0 , то 5 ⋅ 52 x + 34 ⋅ 5x − 7 = 0; 5 x = t; 5t 2 + 34 t − 7 = 0 ; t = −7 — посторонний корень, t = 1 ; 5 x = 1 ; x = −1 .

5 3,25 b1 6,5 224. q = = 0,5; S = = = 13 ; 6,5 1 − q 1 − 0,5

5

13 1 1 1 2x −1 + 2x −4 + 2x − 2 = 13; 2x  + + ��� = 13; 2 x ⋅ = 13; 2 x = 16; 2 x = 24 ; х=4. 16  2 16 4  x+3

9 225. 1) 32x +6 = 2x +3; 32(x+3) = 2x +3; 9x +3 = 2x +3;    2

5 2) 2x–2=42x–4; 5 x − 2 = 4 2(x − 2) ; 5 x − 2 = 16 x − 2 ;    16 

0

9 =   ; х+3=0; х=–3;  2

x −2

0

5 =   ; х–2=0; х=2;  16  2 2 1 3) 2 x ⋅ 3x = 36 x ; (2 ⋅ 3) x = 62x ; 2х2 = х; х(2х – 1) = 0; х = 0 или x = ; 2 1 4) 9− x −1 = ; 3−2 x −1 = 3−3 ; −2 x − 1 = −3; x − 1 = 1,5; х–1=2,25; х=3,25; 27 x

x

x

2 9 2 226. 1) 4 ⋅ 9 x − 13 ⋅ 6 x + 9 ⋅ 4 x = 0; 4 ⋅   − 13   + 9 = 0;   = t; 4  3 3 x

x

2

9 3 3 t 2 = ;   =   ; x 2 = 2 ; 4 2 2

3 4t 2 − 13t + 9 = 0; t1 = 1;   = 1; х1 = 0; 2 x

x

9 3 2) 16 ⋅ 9x − 25 ⋅ 12x + 9 ⋅ 16x ; 16 ⋅   − 25   + 9 = 0;  16  4 x

x

x

2

9 3 2 3 3 3   = t; 16t –25t+9=0; t1=1;   = 1; х1=0; t 2 = ;   =   ; х2=2 16  4  4 4 4

227. 1) Т.к. функция y1=4x — возрастающая и функция y1=25x — тоже возрастающая, значит, у1+у2=4х+25х — возрастающая функция, и каждое свое значение принимает только один раз, значит х=1 — единственный корень уравнения 4х+25х=29. 2) Т.к. функция y1=7x — возрастающая, и функция y2=18x — возрастающая, то у1+у2=7х+18х — возрастающая функция, и каждое свое значение принимает только один раз, значит х=1 — единственный корень уравнения 7 x + 18x = 25 . x

x

2

228. 1) 3 x > 9; 3 x > 3 2 ; x > 2 ; 2)  1  > 1 ;  1  >  1  ; x < 2 ; 2

4

2

2

x

3)  1  < 2; 2−2 x < 21; −2 x < 1; x > − 1 ; 2 4  

73

www.5balls.ru


4) 4 x < 1 ; 22 x < 2−1; 2 x < −1; x < − 1 ; 2

5) 2

3x

6)  1  3

2 1 3x −1 1 ≥ ; 2 ≥ 2 ; 3x ≥ −1; x ≥ − ; 2 3

x −1

1 1 ;   9 3

x −1

2

1 ≤   ; x − 1 ≥ 2; x ≥ 3 . 3 1

229. 1) 5x −1 ≤ 5 ; 5 x−1 ≤ 5 2 ; x − 1 ≤ x

x

2) 3 2 > 9; 3 2 > 32 ;

1 ; x ≤ 1,5 ; 2

x > 2; x > 4 ; 2

3) 3x2–4≥1; 3x2–4≥30; x 2 − 4 ≥ 0; x ≤ −2 и x ≥ 2 ; 4) 52x–18<1; 52x–18<50; x2–9<0; –3<x<3. x

1 230. 1)   = x + 1 , из графика 3 видно, что графики функций

x

1  1 2)   = x − , из рисунка видно, 2  2 x

1 что графики функций y =   и  1  и y = x + 1 пересекаются  2 y=   3 1 y = x − пересекаются при x = 1 . при x = 0 . 2 x

x 3) 2 x = − x − 7 , из рисунка видно, 4) 3 = 11 − x , из рисунка видно, 4 что графики функций y = 3 x и что графики функций y = 2 x и y = 11 − x пересекаются при x = 2 . 7 y = − x − пересекаются при х = –2. 4 Y

Y

У=2х

X

74

www.5balls.ru


231. 1) 2− x 2)  7 

2

+ 3x

2

2 x + 3x

9

3)  13 

x 2 −3x

4)  2 2 

6x 2 + x

 3

9 7 ≥ ;   7 9 <

 11 

< 4; 2− x

2

+ 3x

2

2 x +3x

121  13  ;   169  11 

1 8 ≤7 ;   9  3

< 22 ; –х2+3х<2; x 2 − 3x + 2 > 0 х<1 и x>2;

−1 1 2 7 ≤ x ≤1; ≥   ; 2 x − 3x + 1 ≤ 0; 2 9

x 2 −3x

6x 2 + x

−2

2  13  <   ; x − 3x + 2 < 0; 1 < x < 2 ; 11  

64 6x 2 + x ≤ 0; − 2 ≤ x ≤ 1 . ; 3 2 9

1 232. 1) 3x + 2 + 3x −1 < 28; 3x (9 + ) < 28; 3x ⋅ 28 < 28; 3 x < 3; x < 1 ; 3 3 2) 2 x −1 + 2 x +3 > 17; 2x ( 1 + 8) > 17; 2 x 17 > 17; 2 x > 2; x > 1 ; 2

3) 2

2 x −1

+2

2x −2

+2

2 x −3

2

7 ≥ 448; 22 x  1 + 1 + 1  ≥ 448; 22 x ⋅ ≥ 448; 8 2 4 4

22 x ≥ 512; 2 2 x ≥ 2 9 ; 22 x ≥ 9; x ≥ 4,5 ; 4) 53x +1 − 53x −3 ≤ 624; 53x (5 − 1 ) ≤ 624; 53х ⋅ 624 ≤ 624; 5 3x ≤ 125; 125

5

3x

125

3

≤ 5 ; 3x ≤ 3; x ≤ 1 .

233. 1) 9x − 3x − 6 > 0; 3 x = t; t 2 − t − 6 > 0; t < −2 — нет действительных решений, t > 3; x > 1 , значит, целые решения данного неравенства на отрезке [– 3; 3] – x1 = 2 , x 2 = 3 . 2) 4 x − 2 x < 12; 2 x = t; t 2 − t − 12 < 0; −3 < t < 4; 2 x < 4; 2 x < 2; x < 2 , значит, целые решения данного неравенства на отрезке [– 3; 3] – x1 = −3 , x 2 = −2; x 3 = −1; x 4 = 0; x 5 = 1 . 3) 52 x +1 + 4 ⋅ 5x − 1 > 12; 5 x = t; 5t 2 + 4 t − 1 > 0; t < −1 — нет действительных решений, t > 1 ; 5 x > 1 ; 5 x > 5 −1 ; x > −1 , значит, целые решения 5

5

данного неравенства на отрезке [– 3; 3] – x1 = 0; x 2 = 1; x 3 = 2; x 4 = 3 . 4) 3⋅9x+11⋅3x<4; 3х=t; 3t 2 + 11t − 4 < 0; − 4 < t < 1 ; 3 x < 1 ; 3 x > 3 −1 ; x<–1, 3

3

значит, целые решения данного неравенства на отрезке [– 3; 3] – x1=–2; x2=–3. 234. 1) y = 25 x − 5 x , область определения — 25x − 5x ≥ 0 5 x (5 x − 1) ≥ 0; 5 x ≥ 1; 5 x ≥ 5 0 ; x ≥ 0 . 2) y = 4 x − 1 , область определения — 4 x − 1 ≥ 0 ; 4 x ≥ 1; 4 x ≥ 40 ; x≥0. x

x

235. Значения функции y =  1  больше значений функции y =  1  +12 ,  4

 2

75

www.5balls.ru


x

x

x

x

x

при  1  >  1  + 12 ;  1  >  1  − 12 > 0 ; t =  1  ; t 2 − t − 12 > 0; t<–3 — 4

не

4

2

имеет

2

действительных

x

1 1 t=  >  2 2

−2

2

решений,

значит,

t > 4;

x

1 t=  >4; 2

; x < −2 .

236. 1) Из рисунка видно, что графики функx

1 ций y =   и y = x + 1 пересекаются в точке  3 1 (0; 1), и график функции y =   3

x

лежит выше

графика функции y = x + 1 при x < 0 . Ответ: х ≤ 0. 2) Из рисунка видно, что графики функций x

1 1 1 y =   и y = x − пересекаются в точке (0; ), 2 2 2   1 и график функции y = x − лежит выше графика 2 x

1 функции y =   при x > 1 . 2 3) Из рисунка видно, что графики функций 1 y = 2 x и y = 9 − x пересекаются в точке (3; 8), и 3 1 график функции y = 9 − x лежит выше функции 3 y = 2 x при x < 3 . Ответ: х ≤ 3. 4) Из рисунка видно, что графики функций 2 1 пересекаются в точке y = 3x и y = − x − 3 3 1 (–1; ), и график функции y = 3 x лежит выше 3 2 1 графика функции y = − x − при x > −1 . 3 3

76

www.5balls.ru

х


237. 1) Графики функций x=2x и y = 3 − 2x − x

2

2) Графики функций y=3–x и 1 y = x пересекаются при x1 ≈ . 3

пересекаются при

x1 ≈ −3; x 2 ≈ 2 . 3

Y

У=22

У=3–х

Y

x

3) Графики функций y =  1  и 4) Графики функций y =  1  2

3

y=−

x +6

3

 x > −6

x + 6 > x;  x ≥ 0

> 11x ;

и

y=x3–1 пересекаются при x ≈ 1 1 .

3 пересекаются при x = −1 . x

238. 1) 11

x

 x + 6 > x

 x ≥ 0 x ≥ 0 ; ;  ;  2 x − x − 6 < 0  −2 < x < 3  2 

0 ≤ x < 3 , но при −6 < x ≤ 0 данное неравенство выполняется, значит, −6 < x < 3 .

2) 0,3

30 − x

x > 0

0 < x ≤ 30 >0,3x; 30 − x <x; 30 − x ≥ 0 ;  2  2 30 − x < x

0 < x ≤ 30 ; 5<x≤30. ;  x + x − 30 > 0 x > 5

x

x

239. 1) (0, 4) x − (2,5) x +1 > 1,5;  2  − 2,5  5  − 1,5 > 0 ; 5 2  

 

x

2 t =   ; t 2 − 1,5t − 2,5 > 0; t < −1 — не имеет действительных реше5 x

ний, значит, t > 2,5;  2  > 5 ; x < −1 . 2 5 −1 2 2 2) 25 ⋅ 0,042x > 0, 2 x(3− x) ;  1  ⋅ 0, 24x > 0, 23x − x ; 0,04−1 ⋅ 0,24x > 0,23x − x ; 25

77

www.5balls.ru


2

0, 24x − 2 > 0, 23x − x ; 4x − 2 < 3x − x 2 ; x 2 + x − 2 < 0; −2 < x < 1. 3)

4x 4x − 3x

< 4;

1

()

3 x 1− 4

( ) ; 4 ⋅ ( 34 )

 3 1 < 4 − 4 4  < 4;  x 1 ≠ 3  4

()

x

()

 3 x 3 <3  < ;  4 4 ; x > 1; x ≠ 0 x ≠ 0   x

x

3 если 1 −   < 0 , то данное неравенство выполняется, т.е. x < 0. 4 x

1 1 4)   − 32 ⋅   4   8 2x

1 1   <  2 2

3x 2 −3−5

x 2 −1

x

1 1 < 0;   < 32 ⋅   4   8

x 2 −1

( 1 1 ;   <  2 2 2x

)

3 x 2 −1

⋅ 25 ;

4 ⋅ 25 ; 2x > 3x 2 − 8; 3x 2 − 2x − 8 < 0; − < x < 2 . 3

2 x − y = 1  y = 2x − 1  y = 2x − 1 x = 1 240. 1)  . ;  ;  x + 2 x −1 ; x+y 2  5

= 25 5

x − y = 2 1; x2 +y = 3 9 

2) 

=5

 y = x − 2 ;  x 2 + x −2 3 = 3− 2

y = x−2 y = x − 2 или  ;  x = 0 x = −1

x + y = 1 3)  ; 2 x − y = 8

x + 2 y = 3 4)  − ; 3 x y = 81

3x − 1 = 2

y = 1

 y = x − 2 y = x − 2 ; ;   2 x + x − 2 = −2 x ( x + 1) = 0 y = −3  y = −2 или  .  x = 0 x = −1

 y = 1 − x y = 1 − x  y = −1 . ;  ;   x −1+ x 2 = 23 2x − 1 = 3 x = 2  x = 3 − 2 y ;  3− 2 y − y 3 = 34

4 x ⋅ 2 y = 32 241. 1)  ; 38x +1 = 3 3y

 x = 3 − 2 y ;  3− 2 y − y 3 = 34

1   y = − 3 .  x = 3 2  3

22 x + y = 25 2x + y = 5  y = 5 − 2x ;  ;  ;  8x + 1 = 3y 8x + 3y + 1 = 0 8x − 15 + 16x + 1 = 0

 y = 5 − 2x x = 1 . ;   14x = 14 y = 3 3 3x − 2 y = 81 33x − 2 y = 34 3x − 2 y = 4 y = 3 − 6x 2)  ; ;  ;  ;  3 6 x ⋅ 3 y = 27 36 x + y = 33 6x + y = 3 3x − 6 + 12x − 4 = 0

 y = 3 − 6x ;  15x = 10

x = 2  3 .   y = −1

2 x = 4  x + y = 6 2 ⋅ 2 y = 8 242. 1) 2 2 ;  ;  y x y x y

x = 2 x = 2 . ;  ;  2 − 2 = 2 2 + 2 = 6 4 + 2 = 6 2x = 2 y = 1

78

www.5balls.ru


3x + 3y = 8 2 ⋅ 3 x = 6 3 x = 3 2)  ;  ; 

3x − 5y = −2 3 x + 5 y = 8 y 5 x  x 243. 1) 5 − 5 = 100 ;  5 x −1 − 5 y −1 = 30 5 x

x = 1  x = 1 . ;  ;  3 + 5 y = 8 5x = 5  y = 1 − 5 y = 100 2 ⋅ 5 x = 250 ;  ; + 5 y = 150 5 x + 5 y = 150

x 3 5 x = 125 x = 3 5 = 5 . ;  ;  y y 125 + 5 = 150 5 = 25 y = 2

2 x − 9 ⋅ 3 y = 7 2x = u ; 8 ; y x y 3 =v 2 ⋅ 3 = 9 

u − 9 v = 7  8 ;  uv = 9 

2) 

u = 7 + 9v 8 — не ;; v=−  2 9 81v + 63 ⋅ v − 8 = 0

имеет действительных решений, значит, u = 7 + 9 v  ; 1  v = 9 

u = 8 ;  y 3 = 3 − 2

2 x = 2 3 x = 3 . ;    y = −2  y = −2

16 y − 16 x = 24 16 y − 16 x = 24  y = 2 − x 3)  ;  ;  16 x + y = 256

x + y = 2

y = 2 − x  2 t + 24t − 256 = 0;  x 16 = t  y = 2 − x ;  x 16 = 8

x ; 16 = t;

t = −32 — посторонний корень, значит, t = 8 ;

3   y = 2 − x y = 2 − x  x = 4 ; ; .   4x  2 = 23 4x = 3 y = 1 1  4

 x + x + y +1 = 5 3x = u 4) 3 2 ;

3x +1 − 2x + y = 1 2 x + y = v u = 1 3x = 1 x = 0 ;  ;  x+y ;  =2 2v = 4 v = 2 2

 5) 5

2−x − 16x − 24 = 0 16

u + 2v = 5 u + 2v = 5 u + 2v = 5 ;  ;  ;  ; 3u − v = 1

6u − 2v = 2 7u = 7

x = 0 x = 0 . ;   y 2 = 2 y = 1

x +1

⋅3 y = 75 ; перемножая уравнения системы, получаем: 3 ⋅5 y −1 = 3 (3 ⋅ 5) x + y = 225 15 x + y = 15 2 x + y = 2  x = 2 − y ;  2− y y ; ;  x y ;   x y x y  5 ⋅ = 5 3 15 ⋅3 = 15 5 ⋅3 = 15 5 ⋅3 = 15  x

x = 2 − y  ;  3 y 25 ⋅ 5 = 15   x ⋅ y= 6) 3 2 4; 3x ⋅2 y = 9

()

 x = 2 − y y = 1  y .  3 3;   5 = 5 x = 1  x y 3 x ⋅2 y = 4 3 ⋅2 = 4 ;  ;  (3 ⋅ 2) x + y = 36 6 x + y = 6 2

()

x + y = 2 ;  x y 3 ⋅ 2 = 4

x = 2 − y ;  2− y y 3 ⋅2 = 4

79

www.5balls.ru


x = 2 − y x = 2 − y   ;  2 y 4;  2 y 9 ⋅ 3 = 4  3 = 9   52 x +1 > 625 244. 1)  ; 2 116 x −10 x = 11

()

()

y = 2 .  x = 0 52 x +1 > 54 ;  2 6x − 10x = 9x − 15

2 x + 1 > 4 ; x = 1,5 —  2 6 x − 19 x + 15 = 0

посторонний корень, т.к. он не удовлетворяет первенству, значит, x = 1 2 . 3

 10x 2 −47 = 0,3−10x−7 2) 0,3 ; 2 3,7x < 3,74

10x 2 − 47x = −10x − 7 ;  2 x < 4

10 x − 37 x + 7 = 0 ; x=3,5 —  − 2 < x < 2 2

посторонний корень, т.к. он не удовлетворяет неравенству, значит, x = 0,2 . (5 ) = 5 5 = 5 xy = 21   245. 1) 5x ⋅ 5y = 510 ; 5x + y = 510 ; x + y = 10; x y

21

xy

21

x = 10 − y  2 10 y − y − 21 = 0; x > y 

x > y  x x > y y  3 > 3  x = 10 − y x = 3 x = 7  2 y − 10 y − 21 = 0;  y = 7 — не удовлетворяет неравенству, значит,  y = 3 .   x > y 

(0,2 y ) x = 0,008  2) (0,4) y = (0,4) 3,5− x ;  x 2 ⋅ 0,5 y < 1 

0,2 xy = 0,2 3   y = 3,5 − x ;  x 2 < 2 y

xy = 3   y = 3,5 − x; x < y 

3,5x − x 2 = 3   y = 3,5 − x ; x < y 

x 2 − 3,5x + 3 = 0 y = 1,5  — не удовлетворяет неравенству, значит, ;   y = 3,5 − x x = 2 x < y 

246. 1) 4−

3

< 4−

1,4

2

, т.к. 4 > 1; − 3 < − 2 ; 2) 2 π

2

3

< 21,7 , т.к. 2>1; 3 < 1,7 ;

1 1 1 1 1 3)   <   , т.к. < 1; 1,4 < 2 ; 4)   <   2  2  2 9 9 247. 1) 2 − 3

5

< 1 = 2 0 , т.к. 2 > 1; − 5 < 0 ; 0

1 1 1 2)   < 1 =   , т.к. < 1; 2  2  2 π 3)   4

5 −2

1 4)    3

8 −3

3 >0;

0

π π < 1 =   , т.к. < 1; 4 4  

5 −2 > 0;

0

1 1 > 1 =   , т.к. < 1; 3 3

8 −3< 0 .

80

www.5balls.ru

x = 1,5 .  y = 2

3,14

, т.к.

1 < 1; π < 3,14 . 9


248. 1) y=0,78x; 0,78<1; значит, y=0,78x — убывающая; 2) y=1,69x; 1,69<1; значит, y=1,69 — возрастающая; x

x

3) y =  1  = 2x ; 2 > 1 значит, y =  1  — возрастающая; 2

2

x

4) y = 4 x =  1  ; 1 < 1 значит, y = 4 x — убывающая. 4

4

249. 1) y = 5

x

— возрастающая функция, значит, при x ∈ [−1;2] ее зна-

чения находятся в промежутке [ y(−1); y(2)] , т.е. в промежутке  1 ;25 . 5

2) y = 5 − x

1 =  5

x

— возрастающая функция, значит, при x ∈ [−1;2] ее

значения находятся в промежутке [ y(2); y(−1)] , т.е. в промежутке  1 ;5 . 25 

2 250. 1) 1,55x −7 =   3

 1 2) 0,752x −3 = 1   3

3) 5x

2

−5 x − 6

1 4)   7

5− x

= 1; 5x

x 2 − 2x − 2

x +1

2

5x − 7

3 ;   2

3 ;   4

−5 x − 6

2x − 3

3 =  2

3 =  4

− x −1

x −5

; 5x − 7 = − x − 1; x = 1 ;

; 2 x − 3 = x − 5; x = −2 ;

= 50 ; x 2 − 5x − 6 = 0; x 1 = −1 ; x 2 = 6 ;

1 2 2 = ; x − 2 x − 2 = 1; x − 2 x − 3 = 0; x 1 = −1 ; x 2 = 3 . 7

9 1 251. 1) 2 x − 2 x −3 = 18; 2 x (1 + ) = 18; 2 x ⋅ = 18; 2 x = 16; x = 4 ; 8 8 2) 3x + 4 ⋅ 3x +1 = 13; 3x (1 + 12) = 13; 3 x ⋅13 = 13; 3 x = 1; x = 0 ; 3) 2 ⋅ 3x +1 − 6 ⋅ 3x −1 − 3x = 9; 3 x (6 − 2 − 1) = 9; 3x ⋅ 3 = 9; 3 x = 3; x = 1 ; 3 2 4) 5x +1 + 3 ⋅ 5x −1 − 6 ⋅ 5x + 10 = 0; 5x (5 + − 6) = −10; 5x ⋅ = 10; 5 5 5x=25; 5x=52; x = 2 . 252. 1) 52x–5x–600=0; 5x=t; t2–t–600=0; t=–24 — посторонний корень; t=25; 5x=52; x=2. 2) 9x–3x–6=0; 3x=t; t2–t–6=0; t=–2 — посторонний корень; t=3; 3x=3; x=1. 1 3) 3x–9x–1–810=0; t=3x; t + t 2 − 810 = 0; t2+9t–7290=0; t=–90 — посто9 ронний корень; t=81; 3x=34; x=4. 4) 4x+2x+1–80=0; t=2x; t2+2t–80=0; t=–10 — посторонний корень; t=8; 2x=23; x=3. 253. 1) 3x–2>9; 3x–2>32; x–2>2; x>4;

81

www.5balls.ru


2) 2 2 x < 1 ; 2 2 x < 5−2 ; 2 x < −2; x < −1 ; 25

3) 0,7

x 2 +2x

1 4)  

x

3

2

>

< 0,73 ; x 2 + 2 x > 3; x 2 + 2x − 3 > 0; x < −3 и x > 1 ; 1 1 ;   81  3 

x2

4

1 2 >   ; x < 4; −2 < x < 2 .  3

254. 1) 2− x = 3x + 10 , из ри-

−x

1 2)   =2x+5, из рисунка видно, что  3

сунка видно, что графики функций y = 2 − x и y = 3x + 10 пересекаются при x = −2 .

−x

1 графики функций y =    3 1 пересекаются при x ≈ −2 . 3

и y=2x+5

255. y=2x; y=(1)=2; y=(2)=4; y=(3)=8;… действительно, при каждом натуральном х, большем предыдущего, значение функции y=2x увеличивается в 2 раза, значит, данная функция при натуральных значениях х является геометрической прогрессией. 256. Искомая сумма вычисляется по формуле сложных процентов t

P  , где t — число лет, в течение которых предприятие наращи S = a 1 +   100 

вало свою прибыль, т.е. t = n − 1 , а S = a 1 + P  

n −1

100 

.

257. Y

Y

Y

1)

2) 258. 1) 0,6x ⋅  25   9 

x 2 −12

3) 3

x

 27   3   3  =  ;   ⋅   125   5   5 

24 − 2 x 2

82

www.5balls.ru

9

 3 =  ; 5


3   5

x + 24 = 2x 2

2) 2

4+ x −5

9

2 2 3 =   ; x + 24 − 2 x = 9; 2 x − x − 15 = 0; х1=–2,5; х2=3. 5 x +1

=2

4

;

2 2 x − 5 = x + 1; x − x + 1 = x + 1; x − 3 x = 0; 4 16 2 16 2

x  x  − 3  = 0; x = 0 — посторонний корень, значит, x = 24. 8 

259. 1) 2 ⋅ 33x −1 + 27

x− 2

3x = 9x −1 + 2 ⋅ 32x −1; 2 ⋅ 33x + 1 = 1 32 x + 2 ⋅ 32 x ;

3

3 9 2 1   1 2  2 x 33x 32 x ; 3x = 2 x; x = 0. = 3  +  =  + 3 ; 3 9 9 3

9

3

3x 

x +2

2) 2 x

2

=2

x +1

= 12 + 2

x −1

; 2

x

1   4 − 2 −  = 12; 2 2 

x

3 = 12; 2 2

x

= 8;

= 23 ; x = 9 .

3) 22 ⋅ 9x −1 − 1 ⋅ 3x +3 + 1 ⋅ 3x +2 = 4 ; 22 ⋅ 9x+3x(3–9)–4=0; 3x=t; 22t2–54t–36=0;

9 3 3 6 — посторонний корень, значит, t = 3; 3 x = 3; x = 1 . t=− 11 4) 5 ⋅ 4x −1 −16x + 0,25⋅ 22x +2 + 7 = 0; 5 ⋅ 4x − 16x + 4x + 7 = 0; 4x=t t 2 − ( 5 + 1)t − 7 = 0; 4 4 x 4 t 2 − 9 t − 28 = 0; t = −1,75 — посторонний корень, значит, t=4 4 = 4; x=1. x

260. 1) 2x+4+2x+2=5x+1+3⋅5x; 2x(16+4)=5x(5+3); 2 x = 8 ;  2  = 2 ; x=1; 20

5

x

5

x

0

2) 52x–7x–52x⋅17–7x⋅17=0; 52x(1–17)=7x(1–17);  2  = 1;  2  =  2  ; x=0; 5

2 2 3) 2 x −1 − 3x ⋅ 4 ;   3 3

x2

5

5

3

2 2 =   ; x = 3; x1,2 = ± 3 ; 3

4) 3 ⋅ 4 x + 1 ⋅ 9x + 2 = 6 ⋅ 4 x +1 − 1 9 x +1; 4 x (3 − 24) = 9 x ( − 9 − 27) ; 3

4

x

9x

=

2

2

x

63  4  3 3 ;   = ;   42  9  2 2 x −3

−2 x

=

1 3 −2 x = 1; x=− ; 2 2

.

x −3

261. 1) 8, 4 x 2 +1 < 1; 8, 4 x 2 +1 < 8, 40 ; x − 3 < 0; 2 x +1

x2

2) x<3 2 ⋅ 5 х

3) 4 + 2

x +1

1− x

2

x2

−3

3− x 2

< 10 (10

+8

) ; 10

x2

<106–2x–3; x2<3–2x; x2+2x–3<0; –3<x<1;

x x 3x −x < 8x ; 4 − 2 ⋅ 2 + 8 < 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ;

22x–2⋅2x+8–2⋅22x<0; 22x+2⋅2x–8>0; t=2x; t2+2t–8>0; t<–4 — нет действительных корней, t>2; 2x>2; x>1;

83

www.5balls.ru


4)

1

x

3 +5

1 x +1

3

3 ⋅ 3x − 1 ≤ 3x + 5 ;  ; − 1 3x +1 −1 > 0

2 ⋅ 3x ≤ 6 ;  x +1 3 −1 > 30

3x ≤ 3 x ≤ 0 ; –1<x≤1. ;   x +1 > 0 x > −1

2x − y = 27 x − y = 7  ; ; ; x − 2y +1 1 3  1 x − 2y +1 1  1 x − 2 y + 1 = 3 = =   2 8 2 2   2

262. 1) 

x−y

= 128

()

()

x = 7 + y x = 7 + y ; ;;   7 + y − 2 y = 2  y = 5 x  x y 2) 2 ⋅ 5 = 10; u = 2 ; y x 5 − 2 = 3 v − u = 3

()

x = 12 .  y = 5

v = 3 + u ;  3u + u 2 − 10 = 0

u = 2 2 x = 2 x = 1 u = −5 — посторонний корень;  . ;  ; 

263. 1)

y = 1

v = 5 5y = 5

y

y

2)

х

х

264. 1)

0, 2x +0,5 1 = 5 ⋅ 0,04x ;   5 5

x +0,5+0,5

−1

2x

1 1 =   ⋅   ; х+1=2х–1; x = 2 ; 5 5 x

x

x

x x 3 3 2 3 2 2) 4 ⋅ 3x − 9 ⋅ 2x = 5 ⋅ 3 2 ⋅ 2 2 ; 4   − 5   − 9 = 0 ;   = t; 4t2–5t–9=0; 2 2     2 x

t=–1 — посторонний корень; t = 2⋅4x–3⋅10x–5⋅25x=0;

3)

x

9  3  2 9  3  2  3 2 x ; = 2; x = 4 ; = ;   =  ; 2 4  2  4 2 2 x

x

2  4  2  − 3  − 5 = 0; 5  25 

x

2 2  5

2x

x

2 − 3  − 5 = 0; 5 −1

x

2 5 2 2 2 t =   ; 2t –3t–5=0 t=–1 — посторонний корень; t = ;   =   ; x=–1; 2 5 5 5

x

x

4) 4 ⋅ 9 x + 12 x − 3 ⋅16 x = 0; 4 ⋅  9  +  3  − 3 = 0 ;  16 

4

x

x

2 3 3 3 3   = t; 4t +t–3=0; t=–1 — посторонний корень, t = ;   = ; x=1. 4 4 4 4

265. 1) 3|x-2|<9; 3|x–2|<32; |x–2|<2; 0<x<4. 2) 4|x+1|>16; 4|x+1|>42; |x+1|>2; x<–3 и x>1. 3) 2|x–2|>4|x+1|; 2|x-2|>22|x+1|; |x-2|>2|x+1|. Если x ≥ 2 , то x – 2 > 2x + 2, x < – 4, следовательно, нет решений. Если – 1 < x < 2, то 2 – x > 2x + 2, 3x < 0, x < 0, следовательно, – 1 <x< 0. Если x≤–1, то 2–x>–2x–2, x>–4, следовательно, –4<x ≤ –1. Ответ: (–4; 0). 4) 5|x+4|<25|x|; 5|x+4|<52|x|; |x+4|<2|x|; x<–1 1 и x > 4. 3

84

www.5balls.ru


Глава IV. Логарифмическая функция 266. log = 1; log3 y = 2log3 9 = 2; log3 81 = 4 ⋅ log3 3 = 4; log 3  1  = −1; 3

3

1 1 1 3  1  1 = −1,5; log 3 94 3 = 2 . log 3   = −2; log 3   = −5; log 3 3 = ; log3 3 4 3 3 9  243  267. 1) log 2 16 = log 2 2 4 = 4 ⋅ log 2 2 = 4 ;

3) log 2 2 = 1 ;

6

2) log 2 64 = log 2 2 = 6 ⋅ log 2 2 = 6 ;

4) log 2 1 = 0 .

268. 1) log 2 1 = log 2 2 −1 = −1⋅ log 2 2 = −1 ; 2) log 2 1 = log 2 2 −3 = −3 ⋅ log 2 2 = −3 ; 2 8 1 1 1 3) log2 2 = log2 22 = ⋅ log2 2 = ; 2 2

1 − 1 1 1 4) log3 4 = log3 3 4 = − ⋅ log3 3 = − . 4 4 3

269. 1) log 3 27 = log 3 3 3 = 3 ⋅ log 3 3 = 3 ;

3) log 3 3 = 1 ;

4

2) log 3 81 = log 3 3 = 4 ⋅ log 3 3 = 4 ; 4) log 3 1 = 0 . 1 1 1 1 = log3 3−2 = −2 ⋅ log3 3 = −2 ; 3) log3 3 4 = log3 34 = − ⋅ log3 3 = ; 9 4 4 1 − 1 1 1 1 2) log3 = log3 3 −1 = −1⋅ log3 3 = −1 ; 4) log3 4 = log3 3 4 = − ⋅ log3 3 = − . 4 4 3 3

270. 1) log3

5

1 1 1 = log 1   = 5 ⋅ log 1 = 5 ; 2 32 2  2 2 2

271. 1) log 1

−2

1 1 2) log 1 4 = log 1   = −2 ⋅ log 1 = −2 ; 2 2  2 2 2 3) log 0,5 0,125 = log 0,5 (0,5)3 = 3 ⋅ log 0,5 0,5 = 3 ;

4) log 0,5 1 = log 0,5 (0,5)1 = 1 ⋅ log 0,5 0,5 = 1 ; 2

5) log 0,5 1 = log 0,5 (0,5)0 = 0 ⋅ log 0,5 0,5 = 0 ⋅1 = 1 ; 6) log 1 2

3

1 2 = log 1   22

1 3

1 1 1 = − ⋅ log 1 = − . 3 3 2 2

272. 1) log 5 625 = log 5 5 4 = 4 ⋅ log 5 5 = 4 ; 2) log 6 216 = log 6 6 3 = 3 ⋅ log 6 6 = 3 ; 3) log 4 1 = log 4 4 −2 = −2 ⋅ log 4 4 = −2 ; 4) log 5 1 = log 5 5 −3 = −3 ⋅ log 5 5 = −3 . 16

125

−3

1 1 273. 1) log 1 125 = log 1   = −3 ⋅ log 1 = −3 ; 5 5 5 5 5  −3

1 1 2) log 1 27 = log 1   = −3 ⋅ log 1 = −3 ; 3 3  3 3 3

85

www.5balls.ru


3

3) log 1 4

1 1 1 = log 1   = 3 ⋅ log 1 = 3 ; 64 4  4 4 4 −2

1 1 4) log 1 36 = log 1   = −2 ⋅ log 1 = −2 ; 6 6 6 6 6  274. 1) 3log3 18 = 18 ;

2) 5log5 16 = 16 ;

3) 10log10 2 = 2 ;

1 4)   4

5 log3 2

275. 1) 3

(

) =2

log3 2 5

= 3

5

4

1 2)    2

= 32 ;

1

log 0,3 6 2

3) 0,32log0,3 6 = (0,3

log 1 6

) = 62 = 36 ;

4) 7 2

=6. 6 log 1 2

log 7 9

2

6

  1 log 1 2  =    2  = 26 = 64 ;  2     1

1

= (7 log7 9 )2 = 9 2 = 3 .

276. 1) 8log 2 5 = 23log 2 5 = (2log 2 5 )3 = 53 = 125 ; 2) 9log 3 12 = 32log 3 12 = (3log 3 12 ) 2 = 122 = 144 ; 3) 16log 4 7 = 42log 4 7 = (4log 4 7 ) 2 = 7 2 = 49 ; 4) 0,125

log 0,5 1

3log0,5 1

= 0,5

= (0,5

log 0,5 1 3

) = 13 = 1 .

277. 1) log6 x = 3 ⋅ 1; log 6 x = 3 log 6 6; log 6 x = log 6 6 3 ; x = 6 3 = 216 ; 2) log 5 x = 4 ⋅1; log 5 x = 4 log 5 5; log 5 x = log 5 5 4 ; x = 5 4 = 625 ; 3) log 2 (5 − x ) = 3 ⋅ 1; log 2 (5 − x ) = 3 log 2 2; log 2 (5 − x ) = log 2 2 3 ; 5 − x = 2 3 ; 5 − x = 8; x = −3 ; 4) log3 ( x + 2) = 3 ⋅ 1; log 3 ( x + 2) = 3 log 3 3; log 3 ( x + 2) = log 3 3 3 ; x + 2 = 3 3 ; x + 2 = 27; x = 25 ; 1 5) log 1 (0,5 + x) = −1 ⋅ 1; log 1 (0,5 + x) = −1 ⋅ log 1 ; 6 6 6 6 −1

1 log 1 (0,5 + x) = log 1   ; 0,5 + x = 6; x = 5,5 . 6 6 6 278. 1) log 1 (4 − x) существует при 4 − x > 0; x < 4 ; 2

2) log0, 2 (7 − x ) существует при 7 − x > 0; x < 7 ;

1 1 1 > 0; 1 > 2x; x < ; существует при 1 − 2x 1 − 2x 2 5 5 1 > 0; 2 x − 1 > 0; x < ; 4) log 8 существует при 2x − 1 2x − 1 2

3) log6

86

www.5balls.ru


5) log 1 (− x 2 ) существует при − x 2 > 0 — не имеет действительных ре4

шений, значит log 1 (− x 2 ) — не существует; 4

3

6) log0,7 (−2x ) существует при − 2x 3 > 0; x < 0 . 1

279. 1) log 2 4 2 = log 2 2 4 = 1

2) log 3

1 1 ⋅ log 2 2 = ; 4 4

= log 3 3 −1,5 = −1,5 ⋅ log 3 3 = −1,5 ;

3 3

5

3) log 0,5

1  1 2 5 = log 0,5   = ⋅ log 0,5 0,5 = 2,5 ; 2 32  2

3

1 −2+ 7 2 2 = log 7 7 3 = −1 ⋅ log 7 7 = −1 . 49 3 3

4) log 7

280. 1) 92log3 5 = 34log3 5 = (3log3 5 )4 = 54 = 625 ; 1

 1 2 2)   9

1 3)   4

log 4 3

= 3−1⋅log3 4 = (3log3 4 )−1 = 4−1 =

−5log 2 3

−4 log 1 5

4) 27

3

= 2( −2)⋅( −5) log 2 3 = (2log 2 3 )10 = 310 = 59049 ;

1 =  3

5) 103−log10 5 =

7

( −3)( −4) log 1 5

103 10log10 5

1+ 2 log 1 3

1 6)   7

1 ; 4

3

=

12

 1 log 1 5  3  = 3   

= 512 ;

1000 = 200 ; 5 2

log 3 1  1  1  1 2 = ⋅    7  = ⋅ 32 = 1 .  7  7  7 7  

281. 1) log 2 (log3 81) = log2 (log3 34 ) = log2 (4(log3 3)) = log2 22 = 2 ⋅ log2 2 = 2 ; 2) log 3 (log 2 8) = log 3 (log 2 2 3 ) = log 3 (3 ⋅ log 2 2) = log 3 3 = 1 ; 3) 2 log 27 (log10 1000) = 2 log 27 (log10 10 3 ) = 2 log 27 (3 log10 10) = 1 2 2 = 2log 27 3 = 2log 27 27 3 = log 27 27 = ; 3 3 1 1 1 3 4) log 9 (log 2 8) = log 9 (log 2 2 ) = log 9 (3 log 2 2) = 3 3 3 1 1 1 1 1 1 = log9 3 = log9 9 2 = ⋅ log9 9 = ; 3 3 3 2 6

87

www.5balls.ru


−1

1 5) 3log 2 (log 4 16) + log 1 2 = 3log 2 (log 4 42 ) + log 1   = 2 22 1 = 3log 2 (2log 4 4) − log 1 = 3log 2 2 − 1 = 3 − 1 = 2 . 2 2 282. 1) log x 27 = 3; log x 27 = 3 log x x; logx27=logxx3; x3=27; x3=33; x=3; 1 1 1 1 1 = ; x=7; = −1; log x = −1 ⋅ log x x; log x = log x x −1 ; 7 7 7 7 x 1 3) log x 5 = −4; log x 5 = −4 log x x; log x 5 = log x x −4 ; 5 = ; x4 2) log x

1

 1 8 x = ; x =  . 5 5 1

4

283. 1) log 6 (49 − x 2 ) — существует при 49 − x 2 > 0; −7 < x < 7 ; 2) log7 ( x 2 + x − 6) — существует при x 2 + x − 6 > 0; x < −3 и x > 2 ; 3) log 1 (x 2 + 2x + 7) — существует при х2 + 2х + 7 > 0, т.е. при любом x . 5

284. 1) log 3 (1 − x 3 ) — существует при 1 − x 3 > 0; x 3 < 1; x < 1 ; 2) log 2 ( x 3 + 8) — существует при x 3 + 8 > 0; x 3 > −8; x > −2 ; 3) log 1 (x 3 + x 2 − 6x) — существует при x 3 + x 2 − 6x > 0; 4

2

x ( x + x − 6) > 0; −3 < x < 0 и x > 2 ; 4) log 1 (x 3 + x 2 − 2x) — существует при x 3 + x 2 − 2 x > 0; 3

x ( x 2 + x − 2) > 0; −2 < x < 0 и x > 1 . 285. 1) 2 x = 5; x = log 2 5 ; 2) 1,2 x = 4; x = log1, 2 4 ; 1 (log 4 5 − 3) ; 2 1 = 2; 1 − 2x = log7 2; x = (1 − log 7 2) . 2

3) 42 x +3 = 5; 2 x + 3 = log 4 5; x = 4) 71− 2 x

286. 1) 7 2 x + 7 x − 12 = 0; 7 x = t; t 2 + t − 12 = 0; t = −4 — посторонний корень, t = 3; 7 x = 3; x = log 7 3 ; 2) 9x – 3x – 12 = 0; 32x – 3x – 12 = 0; 3x = t; t2 – t – 12 = 0; t = – 3 — посторонний корень, t = 4; 3x = 4; x = log34.; 1 3) 8 x +1 − 82 x −1 = 30; 8 x = t; t 2 − 8t + 30 = 0; t 2 − 64 t + 240 = 0; t = 4 ; 8

88

www.5balls.ru


t1 = 3; 8x = 4; 2 3x = 2 2 ; 3x = 2; x1 = x

2 ; 3

t 2 = 60; 8 x = 60; x 2 = log8 60 ;

x

x

x

−1

x

4)  1  − 5 1  + 6 = 0;  1  = t; t 2 − 5t + 6 = 0; t1=3  1  = 3;  1  =  1  ; 9

3

3

 3

 3

 3

x1 = −1 ; t 2 = 2; x 2 = log 1 2 . 3

x

x

x

x

287. 1) (3 + 2 )(3 + 3 ⋅ 2 ) = 8 ⋅ 6x ; 32 x + 3 ⋅ 6x + 6x + 3 ⋅ 22 x − 8 ⋅ 6 x = 0; 32 x − 4 ⋅ 6x + 3 ⋅ 22 x = 0;  3  2

2x

x

x

2 3 3 −   + 3 = 0;   = t; t − 4t + 3 = 0; t1 = 3; 2 2 x

x

3 3   = 3; x1 = log 3 3; t 2 = 1;   = 1; x = log 3 1; x 2 = 0 2 2 2 2

2) (3 ⋅ 5x + 2,5 ⋅ 3x )(2 ⋅ 3x − 2 ⋅ 5x ) = 8 ⋅ 15x ; 6 ⋅ 15x − 6 ⋅ 52 x + 5 ⋅ 32 x − 5 ⋅ 15x − 8 ⋅ 15x = 0; 5 ⋅ 32 x − 7 ⋅ 15x − 6 ⋅ 52 x = 0; 3 5⋅  5

2x

x

x

2 3  3 − 7  − 6 = 0; t =   ; 5t − 7 t − 6 = 0; t = −0,6 — посторон5 5 x

ний корень, t = 2;  3  = 2; log 3 2 = x . 5

5

x > 0 288. 1) log x (2x − 1) существует при  x ≠ 1 ; 2x − 1 > 0 

 x > 0 1  x ≠ 1 ; 2 < x < 1 и x > 1 ;  1 x > 2 

x − 1 > 0

x > 1

x + 1 > 0 

 x > −1 

2) log x −1 (x + 1) существует при  x − 1 ≠ 1 ;  x ≠ 2 ; 1 < x < 2 и x > 2 . 289. 9x + 9a(1 − a)3x − 2 − a 3 = 0; 9x + 9a(1 − a)3x − a 3 = 0; t = 3x ; t 2 + a(1 − a)t − a 3 = 0; t1,2 =

a2 − a ± a2 + a 2

.

При a>0, a=–1, то x=log3a2; если a<0, a ≠ −1, то x1=log3a2, x2=log3(–a). 290. 1) log10 5 + log10 2 = log10 5 ⋅ 2 = log10 10 = 1 ; 2) log10 8 + log10 125 = log10 8 ⋅125 = log10 10 3 = 3 ⋅ log10 10 = 3 ; 3) log12 2 + log12 72 = log12 2 ⋅ 72 = log12 12 2 = 2 ⋅ log12 12 = 2 ; 4) log 3 6 + log 3

3 3 = log 3 6 ⋅ = log 3 32 = 2 log 3 3 = 2 . 2 2

291. 1) log 2 15 − log 2

15 15 = log 2 15 ⋅ = log 2 2 4 = 4 ⋅ log 2 2 = 4 ; 16 16

89

www.5balls.ru


2) log 5 75 − log 5 3 = log 5

75 = log 5 5 2 = 2 ⋅ log 5 5 = 2 ; 3 −3

54 1 1 = log 1   = −3 ⋅ log 1 = −3 ; 2 3 3 3 3 3  3 3 1 1 − log 8 32 = log 8 = log 8 8 −3 = −3 ⋅ log 8 8 = −3 . 4) log 8 16 16 ⋅ 32 2 2 2 292. 1) log13 5 169 = log13 135 = log13 13 = ; 5 5 2 2 2 2) log11 3 121 = log11113 = log1111 = ; 3 3

3) log 1 54 − log 1 2 = log 1

5

5 1 1 1 4 3) log 1 243 = log 1   = − log 1 = −1 ; 4 33 4 3 3  3 7 − 1 7 1 = log 2 2 6 = − log 2 2 = −1 . 4) log 2 6 6 6 128 3 12 ⋅ 20 4 1 = log8 8 4 = log8 8 = 1 ; 293. 1) log8 12 − log8 15 + log8 20 = log8 15 3 3 3 15 ⋅ 18 3 1 2) log9 15 + log9 18 − log9 10 = log9 = log9 9 2 = log9 9 = 1 ; 10 2 2 1 3 1 3 3 3) log 7 36 − log 7 14 − 3log 7 21 = log 7 36 2 − log 7 14 − log7 21 = 2 6 = log 7 6 − log 7 14 − log 7 21 = log 7 = −2 ⋅ log 7 = −2 ; 14 ⋅ 21 1 1 4) 2log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 3 45 = log 1 62 − log 1 400 2 + 2 3 3 3 3 3 4

( )

+ log 1 3

( 3 45 )

3

294. 1)

−4

1 36 ⋅ 45 1 = log 1   = −4log1 = −4 . 3 20 3 3 3   3

= log 1 36 − log 1 20 + log 1 45 = log 1 3

3

3

3

log 3 8 log 3 2 3 ⋅ log 3 2 3 = = = ; log 3 16 log 3 2 4 4 ⋅ log 3 2 4

2)

log 5 27 log 5 33 3 log5 3 3 1 = = = =1 ; 2 log 5 9 2 log 5 3 2 2 log 5 3

3)

log5 36 − log5 12 log5 12 log5 3 1 = = = ; log 5 9 log5 32 2log 5 3 2

4)

log 7 8 log 7 23 3 ⋅ log 7 2 −3 ⋅ log 7 2 = = = = −3 . log15 − log 7 30 log 15 log 7 2−1 1 ⋅ log 7 2 7

36

30

90

www.5balls.ru


295. 1) loga x = loga (a 3b2 c) = loga a 3 + loga b2 + loga c = = 3 log a a + 2 log a b +

2) loga x = loga

1 1 log a c = 3 + 2 ⋅ 3 + (−2) = 8 ; 2 2

a43 b c3

= loga a 4 + loga 3 6 + loga c−3 =

1 1 = 4 log a a + log a 6 − 3 ⋅ log a c = 4 + ⋅ 3 − 3 ⋅ (−2) = 11 . 3 3 24 1 log 2 log 2 24 − log 2 72 72 2 296. 1) = = = 3 1 18 log 3 18 − log 3 72 log 3 18 − log 3 72 log 3 3 3 72 3 3 log 2 2 2 2 log 2 2 9 1 = = = =1 3 3 8 8 log3 3 log3 3 4 4 14 1 log 7 log 7 14 − log 7 56 3 56 log 7 14 − log 7 3 56 3

log 2 24 − log 2 72

2)

1 2

log 6 30 − log 6 150 2

2

=

log 7 7 3 log 6 6

1 2

=3

⋅ log 7 7

=

1 ⋅ log 6 6 2

=

log 6 30 − log 6 150

=

log 6

=

30 150

4 1 =1 3 3 1

log 2 22 + log 2 (2 − 5) 2 3) log 2 4 + log 2 10 = = 2 log 2 20 + 3log 2 2

log 2 2 + 3

1 1 2log 2 2 + (log 2 2 − log 2 5 ) (5 + log 2 5) 1 2 = =2 =

2log 2 2 + log 2 5 + 3

5 + log 2 5

2

;

1 1 3log 7 2 − log 7 26 0 2 2 = = 0. = 1 1 5 log 3 52 4log5 2 + log5 27 4log5 2 + log5 3 3 3 297. 1) log3 x = 4log3 a + 7 log3 b = log3 a4 + log3 b7 = log3 a4 ⋅ b7

4)

3log 7 2 − log 7 64

х=а4b7; 2) log5 x = 2 log5 a − 3 log5 b = log5 a 2 − log5 b3 = log5

= log3 (a 4 ⋅ b7 );

a2

a2

b

b3

; x= 3

;

2 1 2 1 3) log 1 x = log 1 a − log 1 b; log 1 x = log 1 a 3 − log 1 b 5 ; 3 5 2 2 2 2 2 2 2

log 1 x = log 1 ( 2

2

a3 1

);

b5

91

www.5balls.ru


4 4 1 1 4 1 1 4 4) log 2 x = log 2 a + log 2 b = log 2 a 4 + log 2 b 7 = log 2 a 4 â&#x2039;&#x2026; b 7 ; x = a 4 â&#x2039;&#x2026; b 7 . 4 7 3 3 3 3 3 3

92

www.5balls.ru


(

)

= 52 +

10

2

298. 1) 36log 6 5 + 101−log10 2 − 8log 2 3 = 6log 6 5 +

10log10 2

(

− 2log 2 3

)= 3

10 3 − 3 = 25 + 5 − 27 = 3 ; 2 1 1 − log 9 2

2) (814

×(7log7 2 )2 = (9

4

1

+ 25log125 8 ) ⋅ 49log7 2 = (9 2

3 log 4 9

− log9

4

2

+ (125log125 8 ) 3 ) ×

2 3 + 8 3 ) ⋅ 22 = ( + 4) ⋅ 4 = 3 + 16 = 19 ; 4 1

3) 161+ log4 5 + 4 2

log 3 2

+ 3log5 5 = 16 ⋅ (4log4 5 ) 2 + 2log2 3 ⋅ (8log8 5 ) 2 =

= 16 ⋅ 52 + 3 ⋅ 52 = 19 ⋅ 25 = 475 ; 1

4) 72 ⋅ (49 2

log7 9 − log7 6

+5

− log

5

4

  log7 9   1 ) = 72 ⋅   7 +   (7log7 6 )2   log 5    

  4  5 

2

 = 72 ⋅  9 + 1  =     36 16  

1 72  9 = 72 ⋅  +  = 18 + = 22,5 . 16  36 16  1

1

1

1

1 299. a loga pb = (a ploga pb ) p = b p = (a loga b ) p = a p loga b , значит, logap b = loga b ; p 1 1 1 1) log 36 2 − log 1 3 = log 62 2 − log 6−1 3 = log 6 2 2 − log 6 −1 3 = 2 2 2 6 =

1 1 1 1 1 log 6 2 − log 6 3 = log 6 (2 ⋅ 3) = log 6 6 = ; 2 2 2 2 2

30 = log5 5 = 1 . 6 300. 1) log 3 50 = log 1 (50 ) = 2 log 3 50 = 2(log 3 5 + log 3 10 ) = 2) 2log2530+ log0,2 6 = 2log52 (30) + log5−1 (6) = log5 30+ log5 6 = log5 32

= 2(log3 3 + log3 5 + log3 10 − 1) = 2(log3 15 + log3 10 − 1) = 2(a + b − 1) ;

1 1 1 (log 2 54 + log 2 2) = 2log 2 5 + = 2a + . 2 2 2 2) lg 7 ≈ 0,845 ; 2 4) lg ≈ −0,176 . 3 2) ln 2 ≈ 0,693 ; 6 4) ln ≈ −0,154 . 7 lg 8 2) log5 8 = ≈ 1,65 ; ≈ 1,29 ; lg 5

2) log 4 1250 = log 22 (54 ⋅ 2) = 301. 1) lg 23 ≈ 1,362 ; 3) lg 0,37 ≈ −0,432 ; 302. 1) ln 81 ≈ 4,394 ; 3) ln 0,17 ≈ 1,772 ; 303. 1) log7 25 =

lg 25 lg 7

3) log9 0,75 = lg 0,75 ≈ −0,13 ; lg 9

4) log0,75 1,13 = lg1,13 ≈ −0,42 .

92

www.5balls.ru

lg 0,75


2) log8 15 = ln 15 ≈ 1,3 ;

304. 1) log7 5 = ln 5 ≈ −0,83 ; ln 7 ln 9 3) log0,7 9 = ≈ −6,16 ; ln 0,7 305. 1) log5 3 = log7 3 ; log7 5

ln 8 4) log1,1 0,23 = ln 0,23 ≈ −15,42 . ln1,1 log 6 7 2) lg 6 = ; log 7 10

3) log2 7 = log7 7 =

1 ; log7 2

4) log5 1 =

5) lg7 1 = log7 7 =

1 ; log7 10

6) log3 7 = log7 7 =

log7 2

3

log7 10

lg 625

306. 1) 5 lg 25 = 5

lg( 25)2 lg 25

3

log7

1 3

log 7 5

log7 3

; 1 . log7 3

2 lg 25

= 5 lg 25 = 52 = 25 ;

2) log 1 (log3 4 ⋅ log 2 3) = log 1 (log3 22 ⋅ log 2 3) = − 4

4

1 1 log 2 2 = − . 2 2

307. 1) log5 x = 2 log5 3 + 4 log 25 2; log5 x = log5 32 + 4 log52 2; log5 x = log5 32 + log52 22 = log5 9 ⋅ 4; log5 x = log5 36; x = 36 ; 2) log 2 x − 2log 1 x = 9; log 2 x + log 2 x 2 = 9 log 2 2; log 2 x 3 = log 2 2 9 ; 2

3

9

3

x =2 ; x =2 =8; 3) log3 x = 9 log 27 8 − 3 log3 4; log3 x = 9 log33 8 − log3 43 ;  83  log3 x = 3 log3 8 − log3 64; log3 x = log3  ; x = 8 ;  64    1 2 2 4) log9 x + log x = 3; log3 x + 2 log3 x = 3 ⋅ log3 3; 3 2

log3 x + log3 x 2 = log3 33 ; log 3 x 3 = log 3 3 3 ; x 3 = 3 3 ; x = 3 ; 1 3

5) log2 x + log8 x = 8; log 2 x + log 2 x = 8 log 2 2; 1

4

4

log 2 x + log 2 x 3 = log 2 28 ; log 2 x 3 = log 2 28 ; x 3 = 28 ; x = 64 ; 6) log 4 x − log16 x = 1 ; log 4 x − 1 log 4 x = 1 log 4 4; 4

1 2

2

1 2

4

1 2

1

1

1

log 4 x − log 4 x = log 4 2 ; log 4 x = log 4 2 2 ; x 2 = 2 2 ; x = 2 . 1 1 1 1 308. log49 28 = log72 28 = log7 (22 ⋅ 7) = (log7 22 + log7 7) = log7 2 + = m + . 2 2 2 2 lg3 lg10 lg 3 + 1 m +1 + = = 309. log15 30 = log15 3 + log15 10 = . lg15 lg15 lg 3 + lg 5 m + n

93

www.5balls.ru


310. log 24 72 =

log 6 72 log 6 62 + log 6 2 2 + log 6 2 2+m . = = = log 6 24 log 6 6 + log 6 22 1 + 2log 6 22 1 + 2m

311. log36 9 = log36

2 36 = log36 36 − log36 4 = 1 − log36 8 3 = 4

2 2 = 1 − log36 8 = 1 − m . 3 3 312.

1)

log3 216 log3 24 log3 63 log3 24 − = − = 3log 3 6 ⋅ 3log3 2 − log3 3 log3 3 log8 3 log 72 3 log3 8

log3 72

− log 3 24 ⋅ log 3 72 = 9(log 3 3 + log 3 2) log 3 2 − (log 3 3 + 3 log 3 2) × × (2 log 3 3 + 3 log 3 2) = 9(log 3 2 + (log 3 2) 2 ) − (2 + 3 log 3 2 + + 6 log 3 2 + 9(log 3 2) 2 ) = −2 ;

2)

log 2 192 log 2 24 log 2 192 log 2 24 − = − = log 2 (3 ⋅ 26 ) ⋅ log 2 (3 ⋅ 22 ) − log 2 2 log 2 2 log12 2 log96 2 log12 2

log12 96

− log 2 (3 ⋅ 23 ) ⋅ log 2 (3 ⋅ 25 ) = (log 2 3 + 6log 2 2) ⋅ (log 2 3 + 2log 2 2) − (log 2 3 + +3log 2 2) × (log2 3 + 5 log 2 2) = (log2 3) 2 + 2 log 2 2 + 6 log 2 3 + 12 − (log 2 3) 2 − −5 log 2 3 − 3 log 2 3 − 15 = −3 . 313. 1) log 22 x − 9 log8 x = 4; log 22 x − 3 log 2 x − 4 = 0; log 2 x = t; 1 1 t 2 − 3t − 4 = 0; t1=–1; log 2 x = −1; log 2 x = log 2 ; x1 = ; t2=4; 2 2 log 2 x = 4; log 2 x = log 2 2 4 ; x 2 = 16 ; 2 2) 16 log16 x + 3 log 4 x − 1 = 0; 4 log 24 x + 3 log 4 x − 1 = 0; log 4 x = t;

1 1 1 4 t 2 + 3t − 1 = 0; t1 = −1; log 4 x = −1; log 4 x = log 4 ; x1 = ; t 2 = ; 4 4 4 1

log 4 x = log 4 4 4 ; x 2 = 2 ; 3) log32 x + 5 log9 x − 1,5 = 0; log32 x + 2,5 log3 x − 1,5 = 0; log3 x = t; t 2 + 2,5t − 1,5 = 0; t1 = −1,3; log3 x = −3; log3 x = log3 3−3 ; x1 = 3−3 =

1 1 1 ; t2 = 12 ; log3 x = ; log3 x = log3 3 2 ; x 2 = 3 ; 27 2

4) log32 x − 15 log 27 x + 6 = 0; log32 x − 5 log3 x + 6 = 0; log3 x = t; t 2 − 5t + 6 = 0; t1 = 2; log3 x = 2; log3 x = log3 32 ; x1 = 9; t 2 = 3;

94

www.5balls.ru


log3 x = 3; log 3 x = log 3 3 3 ; x 2 = 27 . 314. 1)

log5 2 log4 3 + = log6 2 + log6 3 = log6 (2 ⋅ 3) = 1 ; log5 6 log4 6

2) (log 7 2 +

log5 5 log 7 7 1 ) lg 7 = (log 7 2 + ) = log5 7 log 5 7 log 7 10

= (log7 2 + log7 5)⋅ 3)

1 log7 (2 ⋅ 5) = = 1; log7 10 log7 10

log2 3 2 ⋅ log2 3 2 ⋅ log 2 3 = = = 2. log 4 9 log 2 32 log 2 3 2

315. 8-ми процентное увеличение жителей города, начальное количество которых а, через n лет становится равным a (1,08) n , число жителей удвоится через 2a = a (1,08) n ; 2 = (1,08) n ; n = log1,08 2 ≈ 9 лет. 316. Пусть первоначальная масса воздуха а, тогда через n качаний 1

поршневого насоса в нем останется a (1 − 0,012)n =

a 1016

; n = log 0,988

1 1016

1016

первоначальной массы:

= −16 log 0,988 10 ≈ 3052 .

317. 1) n = 7; e ≈ 2,7182539 ; 2) n = 8; e ≈ 2,7182788 ; 3) n = 9; e ≈ 2,7182815 ; 4) n = 10; e ≈ 2,7182819 . 6 5 1 6 5 < 1; 9<17; 318. 1) log3 > log3 ; 3 > 1; > ; 2) log 1 9 > log 1 17; 5 6 3 5 6 3 3 1 3) log 1 l > log 1 π; 4) log 2 5 > log 2 3 ; 2 > 1; 5 > 3 . < 1; l > π ; 2 2 2 2 2 2 2 319. 1) log3 4,5 > 0 = log3 1, т.к. 3 > 1; 4,5 > 1 ; 2) log3 0,45 < 0 = log3 1, т.к. 3 > 1; 0,45 < 1 ; 3) log5 25,3 > 0 = log5 1, т.к. 5 > 1; 25,3 > 1 ; 4) log0,5 9,6 < 0 = log0,5 1, т.к. 0,5 < 1; 9,6 > 1 . 320. 1) log3 x = −0,3; log3 x = log3 3−0,3; x = 3−0,3 < 1 = 30 , т.к. 3 > 1; –0,3 < 0; 1,7

1,7

0

1 1 1 2) log 1 x = 1,7; log 1 x = log 1   ; x =   < 1 =   ; т.к. 1 < 1; 1,7>0; 3 3 3 3  3  3  3 3) log 2 x = 1,3; log 2 x = log 2 21,3; x = 21,3 > 1 = 20 ; т.к. 2 > 1; 1,3 > 0 . 321. 1) y = log0,075 x — убывающая, т.к. 0 < 0,075 < 1 ; 2) y = log

3 2

x — убывающая, т.к. 0 < 3 < 1 ; 2

95

www.5balls.ru


3) y = lg x = log10 x — возрастающая, т.к. 10 > 1 ; 4) y = ln x = log e x — возрастающая, т.к. e > 1 . 322. 1) 2) у

у

323. log 2 3 ≈ 16;

у

log 2 0,3 ≈ −1,7; log 2 5 ≈ 2,3; log 2 0,7 ≈ −0,5 . 324. 1)

2)

у

у

3)

4)

у

у

325. 1) log5 x > log5 3; x > 3, т.к. 5 > 1 ;

1 1 1 2) log 1 x > log 1 ; x ≥ , т.к. < 1 ; 8 8 5 5 5 3) lg x > lg 4; x < 4, т.к. 10 > 1 ; 4) ln x > ln 0,5; x > 0,5, т.к. e > 1 . 326. 1) log3 x < 2; log3 x < log3 32 ; x < 9, т.к. 3 > 1 ; 2) log 0,4 x > 2; log 0,4 x > log 0,4 (0, 4)2 ; x < 0,16, т.к. 0,4 < 1 ; 16

16

1 1 1 3) log 1 x ≥ 16; log 1 x ≥ log 1   ; x ≤   , т.к. < 1 ; 2 2 2 22 2 4) log 0,4 x ≤ 2; log 0,4 x ≤ log 0,4 0, 42 ; x ≥ 0,16, т.к. 0,4 < 1 .

96

www.5balls.ru


327. 1) log3 (5x − 1) = 2; log3 (5x − 1) = log3 32 ; 5x − 1 = 9; x = 2 ; 2) log5 (3x + 1) = 2; log5 (3x + 1) = log5 52 ; 3x + 1 = 2 ; x = 8 ; 3) log 4 (2x − 3) = 1; log 4 (2x − 3) = log 4 4; 2x − 3 = 4; x = 3,5 ; 4) log 7 (x + 3) = 2; log 7 (x + 3) = log 7 7 2 ; x + 3 = 49; x = 46 ;

5) lg(3x − 1) = 0; lg(3x − 1) = lg1; 3x − 1 = 1; x =

2 ; 3

6) lg(2 − 5x) = 1; lg(2 − 5x) = lg10; 2 − 5x = 10; x = −1,6 . 328. 1) y = log 4 ( x − 1) — область определения x − 1 > 0; x > 1 ; 2) y = log0,3 (1 + x ) — область определения 1 + x > 0; x > −1 ; 3) y = log3 ( x 2 + 2 x ) — область определения x2 + 2x>0; x < −2 и x > 0 ; 4) y = log

(4 − x 2 ) — область определения 4 − x 2 > 0; −2 < x < 2 .

2

329. y = log 2 ( x 2 − 1) — область определения x 2 − 1 > 0; x < − 1; x > 1 , т.к. x > 1 — входит в область определения и 2 > 1, то данная функция возрастает на промежутке x > 1 . 3 1 1 1 330. 1) + lg 3 = lg 3 2 + lg3 = lg 3 2 < lg19 − lg 2 = lg 9,5 , т.к. 10>1; 3 2 < 9,5 ; 2 2) lg 5 + lg 7 = lg

5

2

7

< lg

5 + 7 т.к. 10 > 1, , 2

5 5+ 7 ; < 2 7

3) 3(lg 7 − lg 5) = lg(1,4) 3 > lg 9 − 2 lg 8 = lg 9 = lg 2,25, т.к. 10 > 1; 3

4

3

(1,4) = 2,744 > 2,25 ; 4) lg lg lg 50 < lg3 50. 331. 1) y = log 8 ( x 2 − 3x − 4) — область определения x 2 − 3x − 4 > 0; x < –1 и x > 4; 2) y = log

3

(− x 2 + 5x + 6) — область определения x 2 − 5x − 6 < 0;

–1<x<6; 3) y = log 0,7 x > 3; 4) y = log 1 3

x2 −9 x2 − 9 — область определения > 0; –5 < x < –3 и x +5 x+5

x−4 2

x +4

— область определения

x−4 x2 + 4

> 0; x > 4 ;

5) y = log π (2 x − 2) — область определения 2 x − 2 > 0; 2 x > 2; x > 1 ; 6) y = log 3 (3 x −1 − 9) — область определения 3 x −1 > 9; x − 1 > 2 ; x > 3 .

97

www.5balls.ru


332. 1) y = log 3 ( x − 1) — область определения

у

x − 1 > 0; x > 1 ; множество значений — множество R.

2)

y = log 1 (x + 1)

область

определения

у

3

x + 1 > 0; x > −1 ; множество значений — множество R. 3) y = 1 + log 3 x — область определения x > 0 ; множество значений — множество R.

у

4) y − log 1 x − 1 — область определения x > 0 ;

у

3

множество значений — множество R.

5)

y = 1 + log3 (x − 1)

область

определения

у

x − 1 > 0; x > 0 ; множество значений — множество R. 2) Из рисунка видно, что графи333. 1) log 2 x = − x + 1; из рисунка ки функций y = log 1 x и y = 2 x − 5 видно, что графики функций 2 y = log 2 x и y = − x + 1 пересекаются пересекаются при x = 2 . в точке (1; 0), т.е. при x = 1 . у

у

3) Из рисунка видно, что графи-

4) Из рисунка видно, что графи-

ки функций y = lg x и y = x не ки функций y = lg x и y = 2 − x пепересекаются. ресекаются при x ≈ 2 .

98

www.5balls.ru


у

у

334. 1) y = log 3 x область определения — x > 0, множество значений y ≥ 0 ; данная функция убывает при 0 < x ≤ 1, возрастает при x > 1 .

у

2) y = log 3 x обл��сть определения — множество

у

R, кроме x = 0 ; множество значений — множество R, данная функция убывает при x < 0, возрастает при x>0. 3) y = log 2 3 − x

х

область определения — мно-

жество R, кроме x = 3 ; множество значений — множество R, данная функция убывает при x < 3, возрастает при x > 3 . 4) y = 1 − log 2 x область определения — x > 0 ,

у

х

у

кроме x = 3 ; множество значений — y ≥ 0 , данная функция убывает при 0 < x ≤ 2, возрастает при x > 2 .

335. 1) y = log 2 3 − x − log 2 x 3 − 8 — область определения 3− x > 0  , т.е. x ≠ 3; и x 3 − 8 ≠ 0; x ≠ 3 и x ≠ 2 ;  3 x − 8 > 0 

x ∈ (−∞;2) ∪ (2;3) ∪ (3; ∞). 2) y = log 0,3 x + 1 + log 0,4 (1 − 8x 3 ) — область определения x + 1 > 0 ;  1 − 8x 3 > 0

 x > −1   3 1;  x < 8

 x > −1 1   1 ; −1 < x < . 2 x <  2

336. 1) x2–5x+6=0; x1=3; x2=2; x–3=0; x=3, значит x2–5x+6=0 является следствием x–3=0;

99

www.5balls.ru


2) x = 5; x1, 2 = ±5 ;

x 2 = 5; x1, 2 = ±5 , значит, каждое из двух уравне-

ний является следствием другого. 2  2 3) x − 3x + 2 = 0 x − 3x + 2 = 0; x = 2 ; x2–3x+2=0; x1=1 и x2=2, значит,

x −1

x − 1 ≠ 0

2 x2–3x+2=0 — следствие уравнения x − 3x + 2 = 0 .

x −1

4) log8+log8(x–2)=1; log8(x2–2x)=log88; x2–2x–8=0; х1=–2 — посторонний корень, x2=4; log8(x–2)=1; log8x2–2x=log88; x2–2x–8=0; x1=–2; x2=4, значит, уравнение log8(x2–2x)=1; является следствием уравнения log8+log8(x–2)=1. 337. 1) log2(x–5)+log2(x+2)=3; log2(x–5)(x+2)=log223; x2–3x–10=8; x2 – 3x – 18 = 0; x = – 3 — посторонний корень, значит, x = 6. 2) log3 (x − 2) + log3 (x + 6) = 2; log3 (x − 2)(x + 6) = log3 32 ; x 2 + 4 x − 12 = 9; x 2 + 4 x − 21 = 0; x = −7 — посторонний корень, x = 3 . 3) lg(x + 3) + lg(x − 3) = 0; lg(x + 3)(x − 3) = lg1; x2–3=1; x2=4; x=–2 — посторонний корень, x=2. 4) lg(x–1)+lg(x+1)=0; lg(x–1)(x+1)=lg1; x2–1=1; x2=2; x = − 2 — посторонний корень, значит, x = 2 . 338. 1) lg(x − 1) − lg(2x − 11) = lg 2; lg x − 1 = lg 2; 2 x − 11

x–1=4x–22; 3x=21; x=7;

x −1 = 2; 2 x − 11

2) lg(3x–1)–lg(x+5)=lg5; lg 3x − 1 = lg 5; 3x − 1 = 5; 3x-1=5x+25; 2x=–26; x +5

x +5

x=–13 — посторонний корень, значит, данное уравнение не имеет действительных решений. 3 3) log3 (x 3 − x) − log3 x = log3 3; log 3 x − x = log 3 3; x 2 − 1 = 3; x 2 = 4;

x

x=–2 — посторонний корень; x=2. 339. 1) 1 lg(x2 + x − 5) = lg5x + lg 1 ; lg x 2 + x − 5 = lg 5x ; 2

5x

x2+x–6=0; x=–3 — посторонний корень; x=2.

5x

2) 1 lg(x 2 − 4x − 1) = lg8x − lg 4x; lg x 2 − 4 x − 1 = lg 8x ; 4x

2

x2 + x − 5 = 1; x 2 − 4 x − 1 = 2;

x2–4x–5=0; x=–1 — посторонний корень; x=5. 340. 1) log3(5x+3)=log3(7x+5); 5x+3=7x+5; x=–1 — посторонний корень, значит, данное уравнение не имеет действительных решений. 2) log 1 (3x − 1) = log 1 (6x + 8); 3x − 1 = 6 x + 8; x = −3 — посторонний ко2

2

рень, значит, данное уравнение не имеет действительных решений. log х = 0 341. 1) log 7 (x-1) log 7 x = log 7 x ;  7

log x = log 7 1 ;  7

log 7 (х − 1) = 1 log 7 (x − 1) = log 7 7

100

www.5balls.ru

;


x + 1 — посторонний корень; x − 1 = 7 ; x = 8 log 1 (3x − 2) = 0 ; 2) log 1 x log1 (3x − 2) = log1 (3x − 2);  3 3

3

log 13 x = 1

3

log 1 (3x − 2) = log 1 1 3  3 :  1 log 1 x = log 1 3 3  3

3x − 2 = 1; x1 = 1; x 2 =

1 − посторонний корень 3

;

log (3x + 1) = 0 3) log 2 (3x + 1)log3 x = 2log 2 (3x + 1) ;  2 ; 2 log 3 x = log3 3 log 2 (3x + 1) = log 2 1 ; 3x + 1 = 1; x = 0 − посторонний корень, значит, х = 9  ; log3 x = log3 9

4) log

3

(x − 2)log5 x = 2log3 (x − 2) ; 2log3 (x − 2)log5 x = 2log3 (x − 2) ;

log 3 (x − 2) = 0 ;  log 5 x = 1

log 3 (x − 2) = log 3 1 ; x1 = 3 ; x 2 = 5 .  log 5 x = log 5 5

x lgx − lg y = 2 lg = lg102 342. 1)  ; y ; x = 100y

x = 100y ;  ; x 10y 900 100y − = = 900 + 10y = + x 900 10y   x = 900 + 10y  log x + log3 y = 2 log3 xy = log 3 32  xy = 9 2)  3 ;  ;  ; 2 2 2  x y − 2y + 9 = 0  x y − 2y + 9 = 0  x y − 2y + 9 = 0 x = 9  y ;  81 − 2y + 9 = 0  y

 y = 10 .  x = 1000

x = 9 y=9  y ; y = −4,5 − посторонний корень, значит,  .  x = 1 2y2 − 9y − 81 = 0 

343. 1) log5x2=0; log5x2=log51; x2=1; x1,2= ± 1; 2) log4x2=3; log4x2=log443; x2=64; x1,2= ± 8; 3) log3x3=0; log3x3=log31; x3=1; x=1; 4) log4x3=6; log4x3=log4x346; x3=4096; x=16; 5) lgx4+lg4x=2+lgx3; lg(4⋅x5)=lg102+lgx3; lg(4x5)=lg(100x3); 4x5=100x3; x3(x2–25)=0; x=0 — посторонний корень; х=–5 — посторонний корень, значит, х=5. 6) lgx+lgx2=lg9x; lgx3=lg9x; x3=9x; x(x2–9)=0; x1=0 и x2=–3 — посторонние корени, значит х=3. 344. log 4 (x + 2)(x + 3) + log 4 x − 2 = 2 ; log 4 (x 2 − 4) = log 4 42 ; x 2 − 4 = 16 ; x+3

1) х 2 = 20; x1,2 = ± 20 = ±2 5 ; 2) log 2 x − 1 +log2(x–1)(x+4)=2; log2(x–1)2=log222; (x–1)2=4; х=–1 — поx+4

сторонний корень, значит х = 3; x 3) log3 x2 − log3 = 3 ; log3 x(x + 6) = log3 33 ; x 2 + 6x − 27 = 0 ; х1=–9; х2=3; x +6

101

www.5balls.ru


4) log2 x + 4 +log2x2; log2((x+4)x)=log225; х=(х+4)=32; х2+4х–32=0; х1=4; х2=–8. x

345. 1) 23logx⋅5lgx=1600; (23⋅5)lgx=1600; 40lgx=402; lgx=2; lgx=lg102; x=102; x=100; 2

2) 2log3 x ⋅ 5log3 x = 400 ; 2 2 log3 x ⋅ 5 log3 x = 400 ; (4 ⋅ 5) log3 x = 20 2 ; 20 log3 x = 20 2 ; log 3 x = log 3 3 2 ; x = 3 2 ; x = 9 ; 3)

1 2 + = 1 ; 2 − lg x + 8 + 2 lg x = (4 + lg x )(2 − lg x ) ; 4 + lg x 2 − lg x

10 + lg x = 8 − 2 lg x − lg 2 x ; lg 2 x + 3 lg x + 2 = 0 ; lg x = t ; t 2 + 3t + 2 = 0 ; 1 1 t1=–1; lgx=–1; lg x = lg 10 −1 ; x1 = ; t2=–2; lgx=–2; lg x = lg 10 −2 ; x 2 = ; 100 10 1 2 + = 1 ; 1 + lg x + 10 − 2 lg x = (5 − lg x )(1 + lg x ) ; 4) 5 − lg x 1 + lg x 11–lgx=5+4lgx–lg2x; lg2x–5lgx+6=0; t=lgx; t2–5t+6=0; t1=3; lgx=lg103; x1=1000; t2=2; lgx=lg102; x=102; x2=100. 346. 1) 23x+1=2–3 и 3x+1=–3 — равносильны, т.к. корни первого уравнения являются корнями второго, и наоборот. 2) log3(x–1)=2 и x–1=9 — равносильны, т.к. корни первого уравнения являются корнями второго, и наоборот. lg x − lg y = 7 2 lg x = 12 ;  347. 1)  lg x + lg y = 5

lg x + lg y = 5 

1

log 2 2 + log 2 1 = log 2 24 y y 

 xy = 2

x = 2  y ;  1  =8  y y

6

6

lg y = lg10

 y = 10

x = 2

2

x= log x + log  y 2 =4;  2)  2 2 y  1

x = 10  ; lg x = lg 10 ;  . 1 −1 6 + lg y = 5

lg x = 6 ; 

 ; 

y

log 2 2 = log 2 16 y y 

;

x = 2 x = 2 x = 8  y ;  y ;   1.    y = 1  y = 1  y = 4  2  4

348. 1) log 2 x − 2 log x 2 = −1 ; log 2 x − 2 log 2 2 = −1 ; log 2 x

log22x+log2x–2=0; log2x=t; t2+t–2=0; t=1; log2x=t; log2x=log22; x1=2; t2=–2; log 2 x = log 2 2 −2 ; x 2 =

1 ; 4

2 2) log2 x + logx 2 = 2,5 ; log 2 x + log 2 − 2,5 = 0 ; log22 x − 2,5 ⋅ log2 x + 1 = 0 ;

log 2 x

1

t = log2 x ; t 2 − 2,5⋅ t +1 = 0 ; t1=2; log2 x = log2 22 ; x1=4; t2 = 1 ; log2 x = log2 22 ; x2 = 2 2

3 3) log3 x + 2 logx = 3 ; log 3 x + 2 log 3 − 3 = 0 ; log 2 3 x − 3 log 3 x + 2 = 0 ; log 3 x

3

102

www.5balls.ru


t=log3x; t2–3t+2=0; t1=1; log3x=log33; x1=3; t2=2; log3x=log332; x 2 = 9 3

4) log 3 x − 6 log x 3 = 1 ; log 3 x − 6 log 3 − 1 = 0 ; log 2 3 x − log 3 x − 6 = 0 ; log 3 x

t = log3 x ; t − t − 6 = 0 ; t=3; log3 x = log3 33 ; x=27; t=–2; log 3 x = log 3 3 −2 ; x = 1 . 2

9

349. 1) log x 2 9 + log 2

x

1 4 = 2 ; log x 9 + 2log x 4 = 2log x x ; 2

2

logx3+logx4 =logxx ; logx48=logxx2; x2=48; x=–4 3 — постоянный корень, значит, x = 4 3 ; 1 log x 16 − 2 log x 7 = 2 log x x ; 2 4 4 2 — посторонlogx 4 − logx 7 2 = logx x 2 ; log x = log x x 2 ; = x2 ; x = − 49 49 7 ний корень, значит, x = 2 . 7

2) log x 2 16 − log

x

7=2;

x x x x 350. 1) lg(6⋅5x–25⋅20x)–lg25=x; lg 6 ⋅ 5 − 25 ⋅ 20 = lg10x ; 6 ⋅ 5 − 25 ⋅ 20 = 10 x ;

25

25

25⋅10x+25⋅20x–6⋅5x=0; 25⋅4x+25⋅2x–6=0; 2x=t; 25t2+25t–6=0; t=–1,2 — посторонний корень; t=0,2; 2x=0,2; x=log20,2; 2) lg(2x+x+4)=–xlg5; lg(2x+x+4)=lg10x–lg5x; lg(2x+x+4)=lg2x; 2x+x+4=2x; x+4=0; x=–4. 351. 1) lg2(x+1)=lg(x+1)lg(x–1)+2lg2(x+1); 2

 lg (x + 1)   lg (x + 1)  2 lg (x + 1) lg(x + 1)   −   − 2 = 0 ; = t ; t –t–2=0; t=–1; = −1 ; lg(x − 1) lg (x − 1)  lg (x − 1)   lg (x − 1)  1 ; (x+1)= 1 ; x2–1=1; x2=2; x=– 2 — постоянный коlg(x + 1) = lg x −1 (x − 1)

рень; x1 = 2 ; t 2 = 2 ; lg(x + 1) = 2 ; lg(x − 1)

lg(x+1)=lg(x–1)2; x+1=x2–2x+1; x(x–3)=0; x=0 — посторонный корень; x2=3. 2) 2log5(4–x)⋅log2x(4–x)=3log5(4–x)–log52x; 2log5 ( 4 − x ) ⋅

log5 (4 − x) = 3log 5 ( 4 − x ) − log 5 2x ; log5 2x 2

 log 5 (4 − x)  log5 ( 4 − x ) log 5 (4 − x ) 2 = t ; 2 t − 3t + 1 = 0 ; t1=1; +1 = 0 ; 2  −3 log 5 2x log5 2x  log5 2x 

1 log 5 (4 − x ) = 1 ; log 5 (4 − x ) = log 5 2 x ; 4 − x = 2 x ; 4 = 3x ; x1 = 1 ; 3 log 5 2x 1 log 5 (4 − x ) 1 ; = ; log 5 (4 − x ) = log 5 2 x ; 4 − x = 2 x ; 2 log 5 2 x 2 x2–8x+16=2x; x2–10x+16=0; x=8 — посторонний корень; x2=2. t2 =

103

www.5balls.ru


352. 1)

log x 25 + 3 =

1 ; log 5 x

log x 25 + 3 =

log 5 5 ; log 5 x

log x 25 + 3 = log x 5 ;

log2x5–2logx5–3=0; logx5=t; t2–2t–3=0; t1=–1; 1 1 1 1 log x 5 = log x ; x1 = ; t 2 = 3 ; log x = log x x 3 ; x = 3 5 , но x = — x 5 5 5 посторонний корень, значит, x 2 = 3 5 2)

2log 2 2 x + 3log 2 x − 5 = log 2 2x ;

2 log 2 2 x + 3 log 2 x − 5 = 1 + log 2 x ;

2 log 2 2 x + 3 log 2 x − 5 = 1 + 2 log 2 x + log 2 2 x ; log 2 2 x + log 2 x − 6 = 0 ; log2x=t; t2+t–6=0; t1 = −3 ; log2x=–3 — посторонний корень; t2=2; log2x=log222; x=4. 353. 5 log 5 x + log a x − 4 log 25 x = a ; 5 log 5 x + log 5 x − 2 log 5 x = a ; log 5 a a log a 5

1

− 3log a+1 a ⋅ log5 x 1 ⋅ log5 5 ; x = 5 5 ; a > 0 ; a ≠ 1 ; a ≠ 5 3 . log5 x ⋅ (3 + ) = a ; log5 x = 3 log5 a + 1 log5 a

354. 1) y = lg(3x − 2) — область определения 3x − 2 > 0 ; x > 2 ;

3 2 2) y = log 2 (7 − 5x ) — область определения 7 − 5x > 0 ; x < 1 ; 5

3) y = log 1 (x 2 − 2) — область определения x2 – 2 > 0; x < − 2 и x > 2

2

2;

2

4) y=log7(4–x ) — область определения 4–x >0; –2<x<2. 355. 1) log3(x+2)<3; log3(x+2)<log333; т.к. 3>1, то x2+2<27; x2<25; –5<x<25, значит, –2<x<5; 2) log8(4–2x)≥2; log8(4–2x)≥log882; т.к. 8>1, то 4–2x≥64; 2x≤–60; x≤–30; 1 3) log 3 (x + 1) < −2 ; log 3 (x + 1) < log 3 3 −2 ; т. к. 3 > 1 , то x + 1 < ; 9 8 8 x < − , значит, − 1 < x < − ; 9 9 −2 1 4) log 1 ( x − 1) ≥ −2 ; log 1 ( x − 1) ≥ log 1  1  , т. к. < 1 , то x–1≤9; x≤10, 3 3 3 3  3 значит, 1<x≤10; −1

 1 5) log1 ( 4 − 3x ) ≥ −1 ; log1 ( 4 − 3x) ≥ log1   , т. к. 1 < 1 , то 4 − 3x ≤ 5 ; x ≥ − 1 ; 3 5 5 5  5 5 −2

2 6) log 2 (2–5x)<–2; log 2 (2–5x)< log 2   ; т. к. 2 < 1 ; то 2–5x> 9 ; x<–0,05. 3 4 3 3 33 356. 1) lg x > lg 8 + 1 ; lg x > lg 8 + lg10 ; lg x > 80 ; т. к. 10 > 1 , то x > 80 ; 2) lg > 2 − lg 4 ; lg x > lg10 2 − lg 4 ; lg x > lg 100 ; т. к. 10 > 1 , то x > 25 ; 4

104

www.5balls.ru


3) log2(x–4)<1; log2(x–4)<log22; т. к. 2>1, то x–4<2; x<6, значит, 4<x<6; 4) log1 (3x − 5) > log1 ( x +1) , т. к. 1 <1, то 3x–5x+1; x< 3 , значит, 12 < x < 3 ; 5

5

5

3

357. 1) log15(x–3)+log15(x–5)<1; log15 (x − 3)(x − 5) < log15 15 , т.к. 15>1; x2–8x+15<15; x(x–8)<0; 0<x<8, значит, 5<x<8; −2

1 2) log 1 ( x − 2 ) + log 1 (12 − x ) ≥ −2 ; log 1 ( x − 2 )(12 − x ) ≥ log 1   , т.к. 3 3 3 3 3 1 < 1 , то 14x–x2–24≤93; x2–14x+33≥0; x≤3 и x≥11, значит, 2<x≤3, и 11≤x<12. 3 358. 1) y = log5(x2 − 4x + 3) — область определения x2–4x+3>0; x<1, x>3; 2) y = log 6 3x + 2 — область определения 3x + 2 > 0 ; − 2 < x < 1 ; 1− x

1− x

3

x > 0 3) y = lg x + lg(x + 2) — область определения  x + 2 > 0 ; lg x(x + 2) ≥ 0 

x > 0  ; x≥ x > −2  2 x + 2 x − 1 ≥ 0

2 −1 ; x − 1 > 0

4) y = lg(x − 1) + lg(x + 1) — область определения x + 1 > 0

;

 2 lg(x − 1) ≥ 0

x > 1 ;  2 x − 1 ≥ 1

x > 1 ; x≥ 2.  2 x ≥ 2 359. 1) log 5 3x − 2 > 0 ; log 5 3x − 2 > log 5 1 ; т. к. 5 > 1 , то 3x − 2 > 1 ; x2 +1 x2 +1 x2 +1 2 2 x − 3x + 3 > 0 ; x> ;  3 3x − 2 > 0

2) log 1 2

2 2x 2 + 3 2x 2 + 3 1 < 0 ; log 1 < log 1 1 ; т. к. < 1 , то 2 x + 3 > 1 ; 2 x−7 x−7 x−7 2 2

2 x 2 − x + 10 > 0 ; x >7;  x − 7 > 0

3x − 4 < 2 x + 1 3) lg(3x − 4) < lg(2x + 1) , т. к. 10>1, то 2 x + 1 > 0 ; 3x − 4 > 0 

 x < 5 1  1 ; 1 < x < 5; x > − 2 3  x > 1 1  3

105

www.5balls.ru


2 x + 3 < x + 1 4) log 1 ( 2x + 3) > log 1 ( x + 1) , т. к. 1 < 1 , то 2x + 3 > 0 ; 2 2 2 x + 1 > 0  нет действительных решений 360. 1) log8(x2–4x+3)<1; log8(x2–4x+3)<log88, т. к. 8>1, то x 2 − 4x + 3 < 8 x 2 − 4x − 5 < 0 ;  ; −1 < x < 1 , и 3 < x < 5 ;  2 x − 4x + 3 > 0 x 2 − 4x + 3 > 0 2) log 6 (x 2 − 3x + 2) ≥ 1 ; log 6 (x 2 − 3x + 2) ≥ log 6 6 , т. к. 6>1, то x 2 − 3x + 2 ≥ 6 ;  2 x − 3x + 2 > 0

x < −2  x > −1,5 —  x > −1 

x 2 − 3x − 4 ≥ 0 ; x ≤ −1 , и x ≥ 4 ;  2 x − 3x + 2 > 0

3) log3 (x 2 + 2x) > 1 ; log3 (x 2 + 2x) > log3 3 , т. к. 3 > 1 ,  2 то x + 2x > 3 ; 2

x 2 + 2x > 0

x +2x–3>0; x<–3, и x>1.

(

(

)

−1

)

2 2 4) log 2 x 2 − 2,5x < −1 ; log 2 x 2 − 2,5x < log 2   , т. к. < 1 , то 3 3 3 33 x2–2,5x>1,5; x2–2,5x–1,5>0; x<–0,5, и x>3. 361. 1) lg(x2–8x+13)>0; lg(x2–8x+13)>lg1, т. к. 10>1, то x2–8x+13>1; x2–8x+12>0; x<2, и x>6; 1 2) log 1 (x 2 − 5x + 7) < 0 ; log 1 (x 2 − 5x + 7) < log 1 1 ; т. к. < 1 , то 5 5 5 5 x2–5x+7>1; x2–5x+6>0; x<2, и x>3; 3) log2(x2+2x)<3; log2(x2+2x)<log223, т. к. 2>1, то 2 x + 2 x < 8  x 2 + 2x − 8 < 0 ;  ; −4 < x < −2 , и 0 < x < 2 ;  2 x + 2 x > 0  x(x + 2) > 0 −3

1 1 4) log 1 (x 2 − 5x − 6) ≥ −3 ; log 1 (x 2 − 5x − 6) ≥ log 1   , т. к. < 1 , то 2 2 2 2 2 x 2 − 5x − 6 ≤ 8 ;  2 x − 5x − 6 > 0

x 2 − 5x − 14 ≤ 0 ; −2 ≤ x < −1 , и 6 < x ≤ 7 .  2  x − 5x − 6 > 0

362. 1) log 1 log 2 x 2 > 0 ; log 1 log 2 x 2 > log 1 1 , т. к. 3

3

3

x 2 < 2 ; − 2 < x < −1 ; и 1 < x < 2  2 x > 1

106

www.5balls.ru

1 < 1 , то 3

log 2 x 2 < 1 ;  log 2 x 2 > 0


2) log 3 log 1 (x 2 − 1) < 1 ; log3 log 1 (x 2 − 1) < log33 , т. к. 3 > 1 , то 2

2

log 1 (x 2 − 1) < 3  2 ; т. к. 1 < 1 , то  2 2 log 1 (x − 1) > 0  2

x 2 − 1 > 0   2 1 x − 1 > 2  x 2 − 1 < 1 

(); 3

− 2<x<−

3 2 2

3

<x< 2. 2 2 363. log 0,2 x − log5 (x − 2) < log 0,2 3 ; log 0,2 x + log 0,2 (x − 2) < log 0,2 3 , т.к.

и

x 2 − 2 x > 3 x 2 − 2 x − 3 > 0  ;  ; 1) 0,2<1, то log 0,2 x(x − 2) < log 0,2 3 ; x > 0 x > 2 x − 2 > 0  x >3; 2) lg x − log 0,1 (x − 1) > log 0,1 0,5 ; lg x + log 0,1 (x − 1) > log 0,5 ;

x 2 − x > 2  lg x(x − 1) > lg 2 , т. к. 10 > 1 , то x > 0 ; x − 1 > 0 

x 2 − x − 2 > 0 ; x > 2.  x > 1

364. 1) log02, 2 x − 5 log0, 2 x < −6 ; log0,2 x = a; a2 – 5a + 6 < 0; 2 < a < 3; log0,2 0,04 < log0,2 x < log0,2 0,008; 2 < log0,2 x < 3; x > 0 .  0,04 > x > 0,008 Итак, 0,008 < x < 0,04. 2) log02,1 x + 3 log0,1 x > 4 ; log0,1 x = a; a2 + 3a – 4 > 0; a < –4 или a > 1; log0,1 x < –4 или log0,1 x > 1; или log0,1 x > log0,1 0,1 log0,1 x < log0,1 10000 x > 0 x > 0 ; 0 < x < 0,1. ; x > 10000 или   x < 0,1 x > 10000 Ответ: 0 < x < 0,1 и x > 10000. 1 2 365. 1) + < 1; 5 − log x 1 + lg x lgx = a;

1 + a + 2(5 − a ) − (5 − a )(1 + a ) < 0; (5 − a )(1 + a )

a 2 − 5a + 6 < 0; (5 − a )(1 + a )

107

www.5balls.ru


a 2 − 5a + 6 < 0 ;  (5 − a)(1 + a) > 0

2 < a < 3 ,  −1 < a < 5

т.е. 2 < a < 3 или

a 2 − 5a + 6 > 0 a < 2, a > 3 , т.е. a < – 1, a > 5; ;   (5 − a)(1 + a) < 0 a < −1, a > 5 lgx < – 1, 2 < lgx < 3, lgx > 5 x > 0 .  x < 0,1, 100 < x < 1000, x > 100000

Итак, 0 < x < 0,1, 100 < x < 1000, x > 100000. Ответ: 0 < x < 0,1, 100 < x < 1000, x > 100000. log3 (8 – 4 ⋅ 3 – x) < log3 3x + 1; 2) log3 (2 – 3 – x) < x + 1 – log3 4; 8 − 4 ⋅ 3− x > 0 3− x < 2 ; ;  8 − 4 ⋅ 3− x < 3x ⋅ 3 8 ⋅ 3x − 4 < 3 ⋅ 3x ⋅ 3x log 2 −x 3 < 3 3 ;  x 2 x 3(3 ) − 8 ⋅ 3 + 4 > 0

 x > − log3 2  ;  x 2 x 3 < , 3 >2 3 

 x > − log 2 = log 1 3 3  2 ;  2  x < log3 , x > log3 2 3 

1 2 < x < log 3 , x>log32. 2 3 1 2 Ответ: log 3 < x < log 3 , x>log32. 2 3 3) log x 2 −3 (4x + 7) > 0; log x 2 −3 (4 x + 7) > log x 2 −3 1 ; Итак, log 3

x > − 7 4 4x + 7 > 0    3 4x 7 1 ; x ; + > > −   2  2  x − 3 > 1 x 2 > 4 

7 <x<– 4

x > − 7  4  x < − 3 ;  2 −2 < x < 2  − 3 > x , x > 3 

3.

Ответ: − 7 < x < – 4

4x + 7 > 0 4x + 7 < 1 x > 2 или  ;  2 x − 3 < 1 x 2 − 3 > 0 

3 , x > 2.

4) log x −1 ( 6 − 2x) < 0; log x −1 ( 6 − 2x) < log x −1 1 5x −6

 6  x < 2 − > 6 2x 0     6 −1  6 − 2x < 1 ;  x > 2 ;  x −1  >1   −4x + 5 > 0  5x − 6  5x −6 

5x −6

 6 −1 6 <x<  2 2 ;  6 < x < 5  5 4

108

www.5balls.ru

5x −6

6 6 <x< 5 2

или


  6 − 2x > 1  x −1  5x −6 > 0 ;   x −1 < 1  5x −6

 6 −1 x < 2  6   x < 1, x > 5 ;   −4x +5 < 0  5x −6

Ответ: x < 6 − 1 , 6 < x < 2

5

 6 −1 x < 2  6   x < 1, x > 5 ;  x > 6 , x > 5  5 4

x<

6 −1 . 2

6 . 2

109

www.5balls.ru


2

366.

3x − 1

7 9x − 2

2 2(a − 2) ≤ 7(a − 1) ;  2 (a − 1)(a − 2) > 0

итак,

; 3х = а;

2 2a − 7a + 3 ≤ 0 ;  2 (a − 1)(a − 2) > 0

1 ≤ a < 1, и 2

2 2(a − 2) ≥ 7(a − 1) ;  2 (a − 1)(a − 2) < 0

2 7 ; ≤ a −1 a2 − 2 1 2 ≤ a ≤ 3 ;  − 2 < a < 1, a > 2

2 < a ≤ 3 или 2 2a − 7a + 3 ≥ 0 ;  2 (a − 1)(a − 2) < 0

1 3х < 1; ≤ 2

1  a ≤ 2 , a ≥ 3 ;  a < − 2, 1 < a < 2

2 < 3x ≤ 3;

– log32 ≤ x < 0;

log3 2 < x ≤ 1.

3x < –

a<− 2

2;

В третьем случае решений нет.

Ответ: – log32 ≤ x < 0, log3 2 < x ≤ 1. 367. 4х ( 161− х − 1 + 2) < 4 |4x – 1|; 4x ⋅ 161− х − 1 < 4 |4x – 1| - 2 ⋅ 4x. Левая часть неравенства всегда неотрицательна, поэтому неравенство возможно только при 1− x 16 − 1 ≥ 0 ;  x x 4 | 4 − 1| −2 ⋅ 4 > 0

161− x ≥ 1 ;  x x 2 | 4 − 1|> 4

x ≤ 1

x ≤ 1

x 4 < 1

 x < 0

1 − x ≥ 0  x 4 > 2 ;  x 4 ≥ 1

x ≤ 1 1  x > 2 ,   x ≥ 0

т.е.

1 <x≤1 2

 1 или 3 ⋅ 4x < 2;  x < log 4 2 ; т.е. x < 0, итак, х<0 и < x ≤ 1. 2 3  

а) Пусть x < 0, перепишем неравенство, раскрыв модуль 4х 161− х − 1 < 4 (1 – 4x) – 2 ⋅ 4x; 16x (161 – x – 1) < 16 – 48 ⋅ 4x + 36 ⋅ 16x; 37a2 – 48a > 0; x < 0   x 48 ;  4 > 37

б)

4х 161− х − 1 < 4 – 6 ⋅ 4x; 4x = a; 48 a < 0 — решений нет или a > , т.е. 37 решений нет.

1 < x ≤ 1, перепишем неравенство, раскрыв модуль 2

4х 161− х − 1 < 4 (4x – 1) – 2 ⋅ 4x; 4х 16х (161 – х – 1) < 4 ⋅ 16x + 16; 5a2 – 16a > 0;

161− х − 1 < 2 ⋅ 4x – 4; 4x = a; 16 a < 0 — решений нет или a > , т.е. 5

108

www.5balls.ru


1 < x ≤ 1 1 2  < x ≤1 ; 2 ; итак, 1 ≥ х > 2 – log45.   4x > 16  x > 2 − log 4 5 5  Ответ: 2 – log45 < x ≤ 1. 368. 1) log15225 = log15152 = 2; 2) log4256 = log444 = 4;

3) log3 1 = log33 – 5 = – 5;

4) log7 1

243

343

= log77 – 3 = – 3.

−3

−4

1 1 369. 1) log 1 64 = log 1   = −3; 2) log 1 81 = log 1   = −4; 3 3 3 4 44 3

6

1 1 = log 1   = 3; 3 27 3  3 370. 1) log11 1 = log11 (11)° = 0;

1 1 = log 1   = 6 . 2 64 22 2) log7 7 = log7 71 = 1;

3) log 1

4) log 1

3) log16 64 = log 24 26 = 6 log2 2 = 6 ; 4

371. 1) (0,1) − lg 0,3 = (0,1) 3) 5− log5 3 = 5

log

1 53

=

4) log27 9 = log33 32 = 2 log3 3 = 2 .

4

log 0 ,1 0,3

3

2) 10− lg 4 = 10

= 0,3 ;

1 ; 3

1 4)   6

− log 4 6

1 lg 4

1 =  6

=

log

1 6

3

1 ; 4 4

=4.

2 372. 1) 4log1 3 − log1 27 − 2log1 6 = 4log1 3 − 2log1 3 − 2log1 3 − 2log1 2 = 2log2 2 = 2 ; 3 2 2 2 2 2 2 2

2) 2 lg 0,001 + lg 3 1000 − 3 lg 10000 = − 2 lg103 + lg10 − 3 lg100 = = – 2 + 1 –

3 6 – = – 11 = – 2,2. 5 5

5

3

5

373. Вычислить с помощью микрокалькулятора. 2) y = log 1 x 374. 1) у = log4 x; 4

у

у х х

Функция у = log4x является возрастающей, а y = log 1 x — убывающая. 4

Функция у = log4x принимает положительные значения при x > 1, а y = = log 1 x принимает положительные значения при x < 1. 4

Функция у = log4x принимает отрицательные значения при x < 1, а y = = log 1 x принимает отрицательные значения при x > 1. 4

Обе функции принимают значения, равные нулю, в точке х = 1.

109

www.5balls.ru


375. 1) у = log0,2 x — убывающая, т.к. 0,2 < 1; 2) y = log

5

x — возрастающая, т.к.

3) у = log 1 x — убывающая, т.к. е

4) у = log

3 2

x — убывающая, т.к.

1 е

5 > 1;

< 1; 3 2

376. 1) log3 x = 5 – x;

< 1. 2) log 1 x = 3x. 3

1) Построим графики функций у1 = log3 x и у2 = 5 – х. Видим, что они пересекаются в точке х1 ≈ 3,8. Это и есть решение уравнения.

2) Построим графики функций у1 = log 1 х и у2 = 3х. Видим, что они 3

пересекаются в точке х1 =

1 . Это и 3

есть решение исходного уравнения. у

х

x

377. 1) y = log7 (5 – 2x); 5 – 2x > 0; x < 2,5. Ответ: x < 2,5. 2) y = log2 (x2 – 2x); x2 – 2x > 0; x < 0 и x > 2. Ответ: x < 0, x > 2. 7 − 8х = 4 378. 1) log 1 (7 – 8х) = – 2;  ;х= 3. 2

7 − 8х > 0

х 2 − 2 = х  2 2) lg (x – 2) = lgx; х 2 − 2 > 0 ; x > 0 

8

Ответ: х = 3 . 8

x = −1, x = 2  x < − 2 , x > 2 ; х = 2. Ответ: х = 2. x > 0 

х 2 − 2x > 0 379. 1) lg (x2 – 2x) = lg30 – 1; lg (x2 – 2x) = lg3;  ;  x 2 − 2 x = 3

Ответ: х1 = 3, х2 = – 1. х1 = 3, х2 = – 1. 2) log3 (2x2 + x) = log3 6 – log3 2; log3 (2x2 + x) = log3 3; 2 х 2 + x = 3 3 Ответ: х1 = 1, х2 = – 1,5. ; х1 = 1, х2 = – .  2 2 2 x + x > 0

3) lg2 x – 3lgx = 4; lgx = a; a2 – 3a – 4 = 0; a = – 1, a = 4; Ответ: x1 = 0,1, x2 = 10000. lgx = – 1, lgx = 4; x1 = 0,1, x2 = 10000.

110

www.5balls.ru


4) log22 x − 5 log2 x + 6 = 0; log2 x = a; a 2 − 5a + 6 = 0; а = 2, а = 3; Ответ: x1 = 4, x2 = 8. log2 x = 2, log2 x = 3; x1 = 4, x2 = 8. 380. 1) log2 (x – 2) + log2 (x – 3) = 1; log 2 ( x − 2)( x − 3) = log 2 2 x 2 − 5x + 6 = 2 x = 1, x = 4 ; ;  ;   x > 3 x > 3 x − 2 > 0, x − 3 > 0 х = 4. Ответ: х = 4. 2) log3 (5 – x) + log3 ( – 1 – x) = 3; log3 ( х − 5)( х + 1) = log3 27 x 2 − 4 x − 32 = 0 x = 8, x = −4 ;  ;   x < −1  x < −1 5 − х > 0, − 1 − х > 0 х = – 4. Ответ: х = – 4. 3) lg (x – 2) + lg x = lg 3; lg ((x – 2) ⋅ x) = lg 3; x = 3, x = −1 x 2 − 2 x − 3 = 0 ; ;   x − 2 > 0, x > 0 x > 2 x = 3. Ответ: х = 3. 4) log 6 (х – 1) + log 6 (х + 4) = log 6 6; log 6 ( х − 1)( х + 4) = log  x − 1 > 0, x + 4 > 0

6 x 2 + 3x − 10 = 0 x = −5, x = 2 ;  ;  x > 1 x > 1 Ответ: х = 2. log 2 ( x − 5) ≤ log 2 4;

6

х = 2. 381. 1) log 2 ( x − 5) ≤ 2; x − 5 ≤ 4  x ≤ 9 ; 5 < x ≤ 9. ;   x − 5 > 0  x > 5 2) log3 (7 – x) > 1; log3 (7 – x) > log3 3; 7 − x > 3 x < 4 ; x < 4. ;   7 − x > 0 x < 7

Ответ: 5 < x ≤ 9.

Ответ: х < 4.

3) log 1 (2 x + 1) > −2; log 1 (2 x + 1) > log 1 4; 2

2

2

x 3 1 3 2x + 1 < 4  < 2 1 3 Ответ: − < x < . ; ; − <x< .   1 2 2 2x 1 0 + > 2 2  x > − 2  4) log 1 (3 − 5x) < −3; log 1 (3 − 5x) < log 1 8; 2

2

2

x < −1 3 − 5x > 8  ;   3 ; х < – 1. 3 − 5x > 0  x < 5

Ответ: х < – 1.

111

www.5balls.ru


x > 6  5  5 6 5 x < ; <x< .  4 5 4  x > 1  6 5 Ответ: < x < . 5 4 x ≤ −4  2x + 5 ≤ x + 1    5 2x + 5 > 0 ;  x > − 2 ; x + 1 > 0    x > −1

5 − 4x < x − 1 382. 1) log3 (5 – 4x) < log3 (x – 1); 5 − 4x > 0 ; x − 1 > 0 

2) log0,3 (2x + 5) ≥ log0,3 (x + 1);

решений нет. Ответ: решений нет. x 2 + 2x + 2 < 10 x 2 + 2x − 8 < 0 383. 1) lg (x2 + 2x + 2) < 1;  ;  ; −4< x < 2 x 2 + 2x + 2 > 0 x ∈ R Ответ: −4 < x < 2 . 2  x + 7 x − 5 > 3 ; x2 + 7x – 8 > 0; 2) log3 (x2 + 7x – 5) > 1;  x 2 + 7 x − 5 > 0 x < – 8 и x > 1. Ответ: х < – 8 и x > 1. 4 − 1 8 8 8 384. 1) log 3 3 = log 31 3 3 = − log3 3 = − . Ответ: − . 3 3 3 2 3 3 2) log

1 5

4

25 5

3) 22− log 2 5 = 4) 3,6

9 4

52

2

2

2log 2 5

log3, 6 10+1

5) 2 log5

= log 1 5 =

9 9 = − log5 5 = − . 2 2

Ответ: −

4 . 5

Ответ:

= 3,6 ⋅ 10 = 36 .

9 . 2

4 . 5

Ответ: 36.

1 5 + 3 log 2 8 = 2 ⋅ + 3 ⋅ 3 = 10 . 2

Ответ: 10.

Ответ: 2. 6) log2 log2 log2 216 = log2 log216 = log2 4 = 2. 1 1 1 385. 1) log 1 и log 1 ; log 1 = log2 3 > log2 2 = 1, 2 3 3 2 2 3 1 1 1 log 1 = log3 2 < log3 3 = 1. Значит, log 1 > log 1 . 3 2 2 3 3 2 2 log 2 5+ log 1 9

2) 2

9

2 log 2 5+ log 1 9

и

2

8;

2 log 2 5+ log 1 9

Значит, 2

9

>

8.

112

www.5balls.ru

9

= 22 log 2 25−1 =

25 > 8. 2


386. log30 64=

lg 26 6 lg 2 6(lg10 − lg 5) 6 − 6 lg 5 1,806 = = = ≈ ≈ 1,223 . lg(3 ⋅10) lg 3 + 1 lg 3 + 1 1 + lg 3 1,4771

Ответ: ≈ 1,223 . 387. l og36 15 =

lg 5 + lg 3 lg 5 + lg 3 1,1761 ≈ ≈ 0,756 . = 2 lg 3 + 2 lg 2 2 lg 3 + 2 − 2 lg 5 1,5562

Ответ: ≈ 0,756 . 388. 1) logx 8 < logx 10; т.к. 8 < 10 и logx 8 < logx 10, то функция возрастает, значит, x > 1. 2) log x 3 < log x 1 ; т.к. 3 > 1 и log x 3 < log x 1 , то функция убывает, зна4

2

4

2

4

2

чит, 0 < x < 1. 389. 1) Построим графики функ- 2) Построим графики функций у1 = х ций y1=log3 x и y2= 3 . Видим, что = 2 и у2 = log 1 х. Видим, что они пех

2

они пересекаются в точке х1=3. Зна- ресекаются в точке х1 ≈ 0,4. Значит, х ≈ 0,4 есть решение уравнения. чит х = 3 — решение уравнения. у

у

y1 = log3 x х

х

390. 1) 34х = 10; 4х = log3 10; x = 1 log3 10. Ответ: x = 1 log3 10. 4

4

2) 23х = 3; 3х = log2 3; x = 1 log2 3.

Ответ: x = 1 log2 3.

3

3х – 2

3) 1,3

3

= 3; 3х – 2 = log1,3 3; x = 1 (log1,3 3 + 2). 3 Ответ: x = 1 (log1,3 3 + 2). 3

4)  1 

5+ 4 х

 3

= 1,5; 5 + 4х = log 1 1,5; х = 1 ( log 1 1,5 – 5). 3

4

3

Ответ: х = 1 ( log 1 1,5 – 5). 5) 16х – 4х + 1 – 14 = 0; 4х = а; а2 – 4а – 14 = 0;

4

3

а1 = 4 + 6 2 , а2 = 4 − 6 2 ; 4х = (2 + 3 2 ); х = log4 (2 + 3 2 ) 2

2

4−6 2 < 0; решений нет. Ответ: х = log4(2 + 3 2 ). 2 6) 25х + 2 ⋅ 5х – 15 = 0; 5х = а; а2 + 2а – 15 = 0; а1 = 3, а2 = – 5; или 4х =

113

www.5balls.ru


5х = 3; х = log5 3 или 5x = – 5 < 0 — решений нет. Ответ: х = log5 3. 1 1 11 11 391. 1) log3 x + log9 x + log27 x = ; log3 x + log3 x + log3 x = ; 12 2 3 12 11 1 11 log3 x = ; log3 x = ; x = 3 . 6 12 2 Ответ: x = 3 . 2) log3 x + log 3 х + log 1 х = 6; log3 x + 2log3 x – log3 x = 6; 3

log3 x = 3; х = 27.

Ответ: х = 27. log3 x = 4 log3 2; 3) log3 x ⋅ log2 x = 4 log3 2; log3 x ⋅ log3 2 log32 x = 4 log32 2 ; log3 x = 2 log3 2 или log3 x = – 2 log3 2; х1 = 4 или х2 =

1 . 4

Ответ: х1 = 4; х2 =

1 . 4

4) log3 x ⋅ log3 x = 9 log5 3; log5 х ⋅ log5 x = 9 log5 3; log5 3

log52 x = 9 log52 3 ; log5 x = 3log5 3 или log5 x = – 3 log5 3; 1 . 27 2 392. 1) log3 (2 – x ) – log3 ( – x) = 0;  x < 0 − x > 0   2 ; − 2 < x < 2 ; 2 − x > 0   2 2 log3 x − 2 = log3 1  x − 2 = x  x х1 = 27 или х2 =

Ответ: х1 = 27; х2 =

1 . 27

x < 0  − 2 < x < 2, x = −1 .   x = 2, x = −1

Ответ: х = – 1. 2) log5 (x2 – 12) – log5 ( – x) = 0;  2  x < − 2 3, х > 2 3  x < − 2 3, x > 2 3  x − 12 > 0    ; x < 0 ;  x < 0, ; − x > 0    2 2  x = − 4, x = 3  log 5 12 − х = log 5 1 12 − x = x x  х = – 4. Ответ: х = – 4. 3) log 2 x − 3 + log 2 3x − 7 = 2 ; x − 3 > 0  ; 3x − 7 > 0  log (x − 3)(3x − 7) = log 4 2  2

x > 3  7 ; x > 3  (x − 3)(3x − 7) = 16

114

www.5balls.ru

x > 3  7  ; x > 3  2 3x − 16x + 5 = 0


x > 3  1;   x = 5, x = 3

х = 5.

Ответ: х = 5.

4) lg (x + 6) – lg 2 x − 3 = lg4; x + 6 > 0  ; 2x − 3 > 0  (х + 6) = 4 2х − 3

x > 3  2 ;   х 2 + 12х + 36 = 32х − 48

x > 3  ; x1 = 14, х2 = 6. 2   x = 14 , х = 6

393. 1) log

2

x > 3  2 ;   x 2 − 20x + 84 = 0

Ответ: x1 = 14, х2 = 6.

1 x + 4 log 4 x + log8 x = 13; 2 log 2 x + 2 log 2 x + log 2 x = 13 ; 3

log 2 x = 3; х = 8.

Ответ: х = 8.

1 2) log 0,5 (x + 2) − log 2 (x − 3) = log 1 (−4x − 8); 2 2 − log2 ( x + 2) − log2 ( х − 3) = − log2 (−4x − 8) ; x + 2 > 0 x − 3 > 0  ;  −4x − 8 > 0 (x + 2)(x − 3) = −4x − 8

 x > −2 x > 3  ; решений нет.  x < −2   2  x + 3x + 2 = 0

Ответ: решений нет. 1 1 1 394. 1) log 1 5 + log 1 12 + logx 3 = 1; − logx 5 − logx 12 + logx 3 = logx x ; 2 2 2 x x2 3 = log x x; 12 ⋅ 5

log x

2)

x = 1 1  . ;х= 10  10  x ≠ 1, x > 0

Ответ: х = 0,1.

1 1 1 logx 7 − log 1 9 − logx2 28 = 1; log x 7 + 2log x 3 − log x 28 = log x x; 2 2 2 x

log x

9⋅ 7 = log x x; 28

x = 9  2 ; x = 4,5 .   x > 0, x ≠ 1

 2 >0  x −1 395. 1) log 2 = log x;  x > 0 ; 2 2 x −1  2 =x   x −1

Ответ: х = 4,5.

x > 1  x > 1 ; ;  x > 0  x = 2, x = −1  2 x − x − 2 = 0

х = 2.

Ответ: х = 2.

115

www.5balls.ru


 10 > 0  7− x 2) log 1 10 = log 1 x;  x > 0 ; 2 7−x 2  10 =x   7− x

x < 7  ; x > 0  2  x − 7x + 10 = 0

х1 = 2, х2 = 5.

 x +8 > 0  x −1 3) lg x + 8 = lg x;  x > 0 ; x −1  x +8 =x   x −1

 x < −8, x > 1  ; x > 0  2  x − 2x − 8 = 0

 x −4 > 0  x −2 4) lg x − 4 = lg x;  x > 0 ; x−2  x −4 =x   x −2

 x < 2, x > 4  ; x > 0  2 x 3x 4 0  − + =

Ответ: х1 = 2, х2 = 5. x > 1 ;   x = 4, x = −2

х = 4.

решений нет. 396. 1) log 6 ( x − 4) + log x − 4 > 0  x + 1 > 0 log ( x − 4)( x + 1) ≤ log 6 

Ответ: х = 4.  x < 2, x > 4  ; x > 0  решений нет 

Ответ: решений нет.

( x + 1) ≤ 2; 6

x > 4  ; x > −1 ;  2 6 6 x − 3x − 4 ≤ 6

x > 4 ; 4 < x ≤5.  − 2 ≤ x ≤ 5

2) log 3

2

( x − 5) + log 3

2

x < 7  ; x > 0  x = 2, x = 5 

x > 4 ;  2 x − 3x − 10 ≤ 0

Ответ: 4 < x ≤ 5 . ( x + 12) ≤ 2;

x − 5 > 0  x + 12 > 0 log  3 2 ( x − 5)( x + 12) ≤ log3

x > 5  x > 5 ; x > −12 ;  ; − 13 ≤ x ≤ 6  2 18 2 x + 7 x − 78 ≤ 0

5< x ≤ 6. 3) log3 (8x 2 + x ) > 2 + log3 x 2 + log3 x; 8x 2 + x > 0  ; x > 0  2 3 log3 (8x + x ) > log3 9 x

1  x < − 8 , x > 0  ; x > 0  2 x (9 x − 8x − 1) < 0 

x < 0  ; 0 < x < 1.  1 − 9 < x < 1  4) log2 x + log2 ( x − 3) > log2 4;  x > 0 ;  2 9 x − 8x − 1 < 0

116

www.5balls.ru

Ответ: 5 < x ≤ 6 .

x > 0 ;  x (9x 2 − 8x − 1) < 0

Ответ: 0<x<1.


x > 0  ; x − 3 > 0 log x ( x − 3) > log 4 2  2

x > 0  x > 3 ;  ; x > 3 x < −1, x > 4  2 x − 3x − 4 > 0

x > 4. 5) log 1 (x − 10) − log 1 (x + 2) ≥ −1; 5

Ответ: x > 4.

5

  x − 10 > 0  x > 10  x > 10   ;  x > −2 ;  ; x + 2 > 0   x − 10 ≤ 5x + 10  x ≥ −4 x −10 ≥ log 1 5  log 1 5  5 x+2 x > 10. 6) log 1 (x + 10) + log 1 (x + 4) > −2; 7

Ответ: x > 10.

7

 x + 10 > 0  x + 4 > 0 log ( x + 10)( x + 4) > log 1   7

1

x > −4 x > −4 ;  2 ;  ; x + 14 x + 33 < 0 − 11 < x < −3 7 

7

– 4 < x < – 3. Ответ: – 4 < x < – 3. 397. 1) 4 log4 x – 33 logx 4 ≤ 1; 4log x − 33 − 1 ≤ 0  4 log 24 −log 4 x −33 ≤0 4   log 4 x ;  ; обозначим log 4 x = а; log 4 x   x ≠ 1, x > 0    x ≠ 1, x > 0

4a 2 − a − 33 ≤ 0  ; a > 0  x ≠ 1, x > 0  1< x ≤ 4

1− 265 1+ 265  8 ≤a≤ 8  1+ 265  0 < log 4 x ≤ ;  8 ; a > 0  x ≠ 1, x > 0  x ≠ 1, x > 0   

1+ 265 8

или  1− 265 1+ 265 4a 2 − a − 33 ≥ 0 a ≤ 8 , a ≥ 8  1− 265   log x ≤ ; a < 0 ;  4 8 ; a < 0  x ≠ 1, x > 0  x ≠ 1, x > 0  x ≠ 1, x > 0    1− 265

0<x≤4 8 . 2) logх 3 ≤ 4 (1 + log 1 х);

1− 265 8

Ответ: 0 < x ≤ 4

и 1< x ≤ 4

1+ 265 8

.

3

117

www.5balls.ru


 1 ≤ 4 − 4log x 3  log x ;  3  x > 0, x ≠ 1 

 4 log 2 x − 4 log x +1 3 3  ≤0 ; log3 x    x > 0, x ≠ 1

т.к. 4 log32 x − 4 log3 x + 1 ≥ 0 при любых х ∈ R, то log3 x < 0 ; 0 < x <1  x > 0, x ≠ 1

4 log32 x − 4 log3 x + 1 = 0;

или

1 Ответ: 0 < x < 1, x = 3 . , x= 3. 2 398. Пусть а1, а2, … — геометрическая прогрессия из положительных чисел; тогда ai + 1 = ai ⋅ q. Рассмотрим последовательность logba1, log ba2, … В этой последовательности logbai + 1 = logb (ai ⋅ q) = logbai + logbq, т.е это арифметическая прогрессия с разностью d = logbq. 399. Пусть a1, a1q, a1q2 — искомая последовательность, тогда a1 + a1q + a1q2 = 62, lga1 + lga1 + lgq + lga1 + 2lgq = 3lga1 + 3lgq = 3 (lga1q) = 3, lga1q = 1, a1q = 10. log3 x =

a1 (1 + q + q2) = 62; a1q = 10; a1 = 10 ; 10 (1 + q + q2) = 62; q

q

10 + 10 + 10q = 62; 10 + 10q – 52 = 0; 10q2 – 52q + 10 = 0; q q

q1 = 5 или q2 = 1 ; a1 = 2 или a1 = 50. 5

В обоих случаях искомые числа: 2, 10, 50. 400. 1) 2) у

у

х

х

log x 9

1

401. 1) x lg 9 + 9lg x = 6; x log x 10 + 9lg x = 6; 9 log x 10 + 9lg x = 6 ; 9lg x = 3; lg x = 2) x

2 3 lg3 x − lg x 3

1 ; x = 10 . 2

Ответ: x = 10 .

2 7 = 100 3 10; lg x(3lg3 x − lg x) = ; lg 2 x = a; 3 3

118

www.5balls.ru


9а2 – 2а – 7 = 0; а1 = 1 или а2 = –

7 ; lg2x = 1, lgx = ± 1, x1 = 10 9

или x2 = 1 или lg2x = – 7 — решений нет. 10

9

Ответ: х1 = 10, х2 = 1 . 10

402. 1) 3 + 2 logx + 13 = 2 log3 (x + 1); log3 x + 1 = a; 2 1    2a = + 3  2a 2 − 3a − 2 = 0 a = 2, a = − a 2; ;  ;    x ≠ 0  x ≠ 0  x + 1 ≠ 1 log (x + 1) = 2, log (x + 1) = 1  3 3 2;   x ≠ 0

x = 8, x = 3 − 1 ; x1 = 8, x 2 = 3 − 1 .  x ≠ 0

Ответ: х1 = 8, x 2 = 3 − 1 . 2) 1 + 2 logx + 2 5 = log5 (x + 2); log5 (x + 2) = a; 2  a = + 1 a 2 − a − 2 = 0 a = −1, a = 2 log5 (x + 2) = −1, log5 (x + 2) = 2 ; a ;  ;  ;    x ≠ −1 x ≠ −1  x + 2 ≠ 1  x ≠ −1 9 9 x1 = 23; x2 = – . Ответ: x1 = 23; x2 = – . 5 5 403. 1) log2 (2x – 5) – log2 (2x – 2) = 2x;  x 2 − 5 > 0  x > log 2 5 x  x  ;  x 2 − 2 > 0 4 ; 2 = a; x 2 5 (2 2) − = − ⋅  x 2x  log 2 2x −5 = log 2 22 − x 2 −2   x > log 2 5  x > log 2 5   x > log 2 5 ;  ;  8 ;  2 a − 5 = 4 − a a − 9a + 8 = 0 a = 1, a = 8 x > log 2 5 x > log 2 5 ;  ; х = 3.  x 2 = 1, 2 x = 8 x = 0, x = 3 2) log1 – x (3 – x) = log 3 – x (1 – x);  3 − x > 0, 3 − x ≠ 1  ; 1 − x > 0, 1 − x ≠ 1  1 log1− x (3 − x) = log1−x (3− x) 

Ответ: х = 3.

 x < 3, x ≠ 2  x < 1, x ≠ 0  ; ;   x < 1, x ≠ 0 log (3 − x) = ±1 3 − x = 1 − x  1− x

 x < 1, x ≠ 0 ;  3 = 1

нет решений. x < 1, x ≠ 0 x < 1, x ≠ 0  ;  1 ;  3− x = (3 − x)(1 − x) = 1 1−x 

x < 1, x ≠ 0 ;  2 x − 4x + 2 = 0

x = 2− 2 .

x < 1, x ≠ 0 ;  x = 2 + 2, x = 2 − 2

Ответ: x = 2 − 2 .

119

www.5balls.ru


3) log2 (2x + 1) ⋅ log2 (2x + 1 + 2) = 2; log2 (2x + 1) ⋅ (1 + log2 (2x + 1)) = 2; log2 (2x + 1) = a; a2 + a – 2 = 0; a = 1, a = – 2; log2 (2x + 1) = 1 или log2 (2x + 1) = – 2; 2x + 1 = 2 или 2x + 1 = 1 ; 2x = 1, x = 0 4

или 2 = – 3 — решений нет. 4 x

Ответ: х = 0.

4) log 3x + 7 (5x + 3) = 2 – log 5x + 3 (3x + 7), log 3x + 7 (5x + 3) = a;  3x + 7 ≠ 1, 3x + 7 > 0  5x + 3 ≠ 1, 5x + 3 > 0 ;  1 a = 2 − a 

x ≠ − 2 , x > − 3  5 5 ;  log 3x + 7 (5x + 3) = 1

 x ≠ −2, x > − 7  3 2 3   2 3 x ≠ − , x > − 5 5 ; x ≠ − 5 , x > − 5 ;   a = 1 a 2 − 2a + 1 = 0 

x ≠ − 2 , x > − 3 x ≠ − 2 , x > − 3   5 5 ;  5 5.  3x + 7 = 5x + 3  x = 2 Ответ: х = 2.

404. 1) log 1 (2x + 2 − 4x ) ≥ −2 ; 2 x = a ; log 1 (4a − a 2 ) ≥ log 1 9 ; 3

3

 4a − a 2 > 0 0 < a < 4 ;  2 ;  2  4a − a ≤ 9 a − 4a + 9 ≥ 0

0 < 2x < 4; x < 2. 2) log 1 (6

x +1

3

0 < a < 4 ; 0 < a < 4;  a ∈ R

Ответ: x < 2. x

x

− 36 ) ≥ −2 ; 6 = a ; log 1 (6a − a 2 ) ≥ log 1 5 ;

5

5

5

6a − a 2 > 0 a 2 − 6a < 0 0 < a < 6 ;  ;  ; 0 < a ≤ 1, 5 ≤ a < 6 .  2 2 6a − a ≤ 5 a − 6a + 5 ≥ 0 a ≤ 1, a ≥ 5 0 < 6 x ≤ 1, 5 ≤ 6x < 6; x ≤ 0 и log6 5 ≤ x < 1 .

Ответ: x ≤ 0, log6 5 ≤ x < 1 . 405. log2 x ⋅ log2 (x – 3) + 1 = log2 (x2 – 3x); log2 x ⋅ log2 (x – 3) = log2 x + log2 (x – 3) – 1; log2 x (log2 (x – 3) – 1) = log2 (x – 3) – 1; (log2 (x – 3) – 1)( log2 x – 1) = 0; log 2 ( x − 3) = 1 x = 5 ;х=5 ;   − > > x 3 0 , x 0 x > 3 

log x = 1 или  2 ; x > 3

Ответ: х = 5. 1 1 3 406. + < − ; log a x = b; log a x − 1 log a x 2 + 1 2 x > 0 x > 0   3 ;  1 1 3 ;  2b +1+ b −1+ (b −1)(2b +1) + < − 2  b −1 2b +1  <0 2 (b −1)(2b +1) 

120

www.5balls.ru

нет решений.


x > 0  2 3 3 ;  3b + b − 2 2 <0   (b −1)(2b +1)

x > 0  ;  2b2 + b −1  (b −1)(2b +1) < 0 

x > 0  ;  1 1  −1 < log a x < − 2 , 2 < log a x < 1

x > 0  ;  1 1 −1 < b < − 2 , 2 < b < 1

x > 0  1 1 ; a < x < a  a > 1

или

x > 0 x > 0 x > 0  1   1 или  a > x > a .  a < x < a или  a > x > a  a > 1 0 < a < 1   0 < a < 1 1 1 и a >x>a, Ответ: при 0 < a < 1: > x > a a 1 1 и a <x<a. а при a > 1: < x < a a

121

www.5balls.ru


Глава V. Тригонометрические формулы ° 407. 1) 40° = 40 ⋅ π = 2π ; °

9

180

180

12

°

9

° 4) 2 = 2 ⋅180 =  360  ;

3) 3π = 3 ⋅ 180 = 135° ;

π

4

°

π

а)

°

π

 π 

в

 π 

° 6) 0,36 ≈ 0,36 ⋅ 180 =  64,8  .

5) 3 = 3 ⋅ 180 =  540  ; 409.

9

°

°

°

9

2) π = 180 = 20° ;

6

4

180

°

408. 1) π = 180 = 30° ; 6

6) 140° = 140 ⋅ π = 7π . °

45

180

6

180

°

5) 32° = 32 ⋅ π = 8π ; °

4) 75° = 75 ⋅ π = 5π ; ° 180

3

°

°

° 3) 150° = 150 ⋅ π = 5π ; °

° 2) 120° = 120 ⋅ π = 2π ; °

равностороннем

треугольнике

 π 

все

три

угла

равны

°

π = ; 3 180° б) в равнобедренном прямоугольном треугольнике один угол равен

60° =

60 ⋅ π

π , а два других равны 45 ° ⋅ π π ; 45 ° = = 2 4 180 180 ° π ° в) в квадрате все углы равны 90 = ; 2

90 ° =

90 ° ⋅ π °

=

°

г) в правильном шестиугольнике все углы равны 120° = 120 ⋅ π = 2π .

3 180° l 0,36м = 0,4м. 410. ℓ = 0,36м, α = 0,9рад. R — ? ℓ = αR, R = = 0,9 α 411. ℓ = 0,03м, R = 0,015м, α — ? ℓ = αR, α = l = 0,03м = 2рад. R 0,015м

412. α =

3π рад., R = 0,01м, S — ? 4

S=

R2 0,0003 2 α= πм . 2 8

2 413. R = 0,025м, S = 0,000625м2, α — ? α = 2S = 2 ⋅ 0,000625м = 2рад. 2 2

R

0,000625м

414. Градусы

0,5

36

159

108

150

54

450 π

324 π

Радианы

π 360

π 5

159 π 180

3π 5

5π 6

3π 10

2,5

1,8

415. Угол, °

30

36

90 π

720 π

360 π

180 π

Угол, рад.

π 6

π 5

0,5

4

2

1

122

www.5balls.ru


Радиус, см

2

10 π

10

5

5

10

Длина дуги, см

π 3

2

5

20

10

10

Площадь сектора, см2

π 3

10 π

25

50

25

50

2 2 ℓ = αR, S = R α , S = l .

2

416. 1) 4π – (1; 0); 4)

2) –

π   –  2; 2;  2 4 2  

417. π 1) − M 1 ; 4 3π − M3 ; 3) − 4 5 5) − π − M 5 ; 4 418. π 1) ± 2π − M1 ; 4 2π 3) ± 6π − M 3 ; 3

3π – (0; 1); 3) – 6,5π – (0; – 1); 2

π   – 1; 3 ; 2 3 2  

5)

  6) – 45° –  2 ; − 2  .  2 

2 

π − M2 ; 3 4π 4) − − M4 3

2) −

6) − 225o − M5 . π ± 2π − M 2 ; 3 3π 4) − ± 8π − М 4 . 4

2) −

419. 3π 1) + 2πk , k ∈ Ζ − M1 ; 4 3π 2) − + 2πk , k ∈ Ζ − M 2 ; 4 3) − π + 2πk , k ∈ Ζ − M3 ; 4) −

π + 2πk , k ∈ Ζ − M 4 . 4

420. 1) 3π-(-1,0);

2) − 7 π − (0,1) ;

3) − 15π − (0,1) ;

4) 5π − (−1,0 ) ;

5) 540 − (− 1,0 ) ;

6) 810o − (− 1,0) .

2

421. 1) − 3π + 2πk − (0,1) ; 2

2

o

2) 5π + 2πk − (0,1) ; 2

123

www.5balls.ru


3) 7 π + 2πk − (0,−1) ;

4) − 9π + 2πk − (0,−1) .

2

2

2) π ± π − (− 422. 1) π ± π − (0,−1) ; 2 4 (0,1), k = ... − 4,−2,0,2,4... 3π 3) − + πk − ; 4) − π + πk − (0,−1), k = ... − 3,−1,1,3... 2

2 2 ,− ); 2 2 (−1,0), k = ... − 4,−2,0,2,4...

(1,0), k = ... − 3,−1,1,3...

.

423. 1) (1;0) : +2πk , k ∈ Ζ ; π 3) (0;1) : − + 2πk , k ∈ Ζ ; 2 424. 1) 1-I-четв.; 2) 2,75-II-четв.;

2) (−1;0) : −π + 2πk, k ∈ Ζ ; π 4). (0; -1): − + 2πk, k ∈ Z . 2 3) 3,16-III-четв.; 4) 4,95-IV-четв.

425. 1) a=9,8π, x=1,8π , k=4;

2) a = 7 1 π , x = 1 1 π , k=3 ; 3 3 17 5 4) a = π , x = π , k=2. 3 3

3) a = 11 π , x = 3 π , k=2; 2 2 426. 1) π ± 2π − M1 ;

2) − π ± 2π − M 2 ;

2π 3) ± 6π − M 3 ; 3 5) 4,5π-M5;

3π ± 8π − M 4 ; 4 6) 5,5π-M6;

7) –6π-M7;

8) –7π-M8.

3

4

4) −

427. 1) − 3π + 2πk ,−(0;1) ;

2) 5π + 2πk ,−(0;1) ;

3) 7 π + 2πk ,−(0;−1) ;

4) − 9π + 2πk ,−(0;−1) .

2

2

2

2

  428. 1)  2 ;− 2  : − π + 2πk , k ∈ Z ;

  2)  − 2 ;− 2  : − 3π + 2πk , k ∈ Z ;

  3)  − 1 ;− 3  : − 2π + 2πk , k ∈ Z ;

  4)  − 3 ;− 1  : − 5π + 2πk , k ∈ Z .

 2 

2 

4

 2 

2  3 429. 1) sin α = 1 − M1 ;

 

 

2) sin α = 0 − M 2иM′2 ; 3) cos α = −1 − M3 ; 4) cos α = 0 − M 4иM′4 ; 5) sin α = −0,6 − M5иM′5 ; 6) sin α = 0,5 − M6иM′6 ; 7) cos α = 1 ,− M 7иM′7 . 3

124

www.5balls.ru

2

2

2 

2 

4

6


π 3π π  π + sin = 1 + (−1) = 0 ; 2) sin −  + cos = (−1) + 0 = −1 ; 2 2 2 2   4) sin 0 − cos 2 π = 0 − 1 = −1 ; 3) sin π − cos π = 0 − (−1) = 1 ; 5) sin π + sin 1,5 π = 0 − 1 = − 1 ; 6) sin 0 + cos 2 π = 0 + 1 = 1 . 431. 1) β=3π, sinβ=0, cosβ=-1; 2) β=4π, sinβ=0, cosβ=1;

430. 1) sin

4) β = 5π , sinβ=1, cosβ=0;

3) β=3,5π, sinβ=-1, cosβ=0;

2

5) β=πk, k ∈ Z , sinβ=0, cos β = (− 1)k ; 6) β=(2k+1)π, k ∈ Z , sinβ=0, cosβ=-1. 3π 432. 1) sin 3π − cos = 0−0 = 0; 2 2) cos 0 − cos 3π + cos 3,5π = 1 − ( −1) + 0 = 2 ; 3) sin πk + cos 2πk = (k ∈ Z) = 0 + 1 = 1 ; ( 2k + 1) π − sin ( 4k + 1) π = 0 − 1 = −1 . 4) cos 2 2 433. 1) tgπ + cos π = 0 − 1 = −1 ; 3) tgπ + sin π = 0 + 0 = 0 ; 434. 1) 3 sin

2) tg 0o − tg180o = 0 − 0 = 0 ; 4) cos π − tg 2π = −1 − 0 = −1 .

π π π 1 3 3 + 2 cos − tg = 3 ⋅ + 2 ⋅ − 3= ; 6 6 3 2 2 2

2 π π π π 2 2) 5sin + 3tg − 5cos − 10ctg = 5 ⋅ + 3 − 5⋅ − 10 = −7 ; 2 2 4 4 4 4 1 1 1 π π π 3) (2tg − tg ) : cos = (2 ⋅ ; − 3) : = 6 3 6 2 3 3 π π π 1 3 3 ⋅ cos − tg = ⋅ −1 = . 3 6 4 2 2 2 435. 1) 2sinx = 0; x = πk,k ∈Ζ ;

4) sin

1 π cos x = 0; x = + πk, k ∈ Ζ ; 2 2 3) cos x − 1 = 0; cos x = 1; x = 2 πk, k ∈ Ζ ;

2)

π + 2πk, k ∈ Ζ . 2 436. 1) 0,049 может т.к. 0,049 ≤ 1 ; 2)-0,875-может т.к. 0,875 ≤ 1 ; 4) 1 − sin x = 0; sin x = 1; x =

3) − 2 не может, т.к. − 2 > 1 ;

4) 2 + 2 - не может, т.к. 2 + 2 > 1 .

2 2 π 437. 1) 2sin α + 2 cos α = (α = ) = 2 ⋅ + 2 = 2 +1 ; 4 2 2 1 1 3 5 2) 0,5cos α − 3 sin α = (α = 60o ) = ⋅ − 3 ⋅ =− ; 2 2 2 4

125

www.5balls.ru


π 1 2 3) sin 3α − cos 2α = (α = ) = 1 − = ; 6 3 3

4) cos

2 1 α α π + sin = (α = ) = + = 2 3 2 2 2 π 4

π 4

π 3

2 +1 . 2

2 2 3 3 1 π = ⋅ − ⋅ =− ; 6 2 2 2 2 4 2 2 1 1 11 π π π π 2) 2 tg 2 ctg 2 − sin cos = 2 ⋅ 3 − 3 + ⋅ = ; 3 6 6 3 2 2 4 π π π π 1 1 2 3) (tg − ctg )(ctg + tg ) = (1 − )(1 + )= ; 4 3 4 6 3 3 3

438. 1) sin cos − sin cos

( ) ( )

2

2

π π π π  3  3 1 1 3 1 13 4) 2cos2 − sin2 + tg ctg = 2  −   + ⋅ = + = . 6 3 6 3  2   2  3 3 4 3 12 π 439. 1) sin x = −1 : x = − + 2πk , k ∈ Ζ ; 2 2) cos x = −1 : x = π + 2πk, k ∈ Ζ ; π 3) sin 3x = 0;3x = πk , x = k , k ∈ Ζ ; 3 x x π 4) cos = 0; = + πk , x = π + 2πk , k ∈ Ζ ; 2 2 2 x x π 5) sin( + 6π) = 1: + 6π = + 2πk, x = −11π + 4πk, k ∈ Ζ ; 2 2 2 4π 2π 6) cos(5x + 4π ) = 1 : 5x + 4π = 2πk , x = − k, k ∈ Ζ . + 5 5 440. Используя микрокалькулятор, проверить равенство.

441. 1) sin 1,5 ≈ 1 ; 4) cos 45o12′ ≈ 0,7 ; 7) tg12o ≈ 0,21 ; 442. 1) α = π ; I четв.;

2) cos 4,81 ≈ 0,1 ; π 5) sin ≈ 0,59 ; 5 19 π 8) sin ≈ 0,34 . 9

3) sin 38o ≈ 0,62 ; 10 π 6) cos ≈ −0,22 ; 7

2) α = 3π ; II четв.;

3) α = − 3π ; III четв.;

4) α = 7 π ; III четв.; 6

4 5) α = − 7π ; II четв.; 6

7) α=-1,31; IV четв.;

8) α=-2,7; III четв.

6

443. 1) π − α ; I четв.; 2) α − π ; III четв.; 2 5) α − π ; IV четв.; 4) π + α ; II четв.; 2 2 5π 444. 1) α = ; sin α<0, т.к. α∈III четв.; 4

126

www.5balls.ru

4

6) α=4,8; IV четв.; 3) 3π − α ; III четв.; 2

6) π − α ; II четв.


2) α = − 33π ; sin α<0, т.к. α∈III четв.; 7 4 3) α = π ; sin α<0, т.к. α∈III четв.; 3

4) α=5,1: sin α<0, т.к. α∈IV четв.; 5) α=-0,1π; sin α<0, т.к. α∈IV четв.; 6) α = −470 o ; sin α<0, т.к. α∈III четв. 445. 1) α = 2π ; cos α < 0, т.к.α ∈ II четв.; 2) α = 7 π ; cos α < 0, т.к.α ∈ III четв.

3 6 2π 3) α = − ; cos α > 0, т.к.α ∈ IV четв.; 4) α = 4,6; cos α < 0, т.к.α ∈ III четв. 5

5) α = −5,3; cos α > 0, т.к.α ∈ I четв.;

6) α = −150o ; cos α < 0, т.к.α ∈ III четв.

446. 1) α = 5π ; tgα < 0, т.к.α ∈ II четв.; 2) α = 12π ; tgα > 0, т.к.α ∈ I четв.; 6 5π 3) α = − ; tgα < 0, т.к.α ∈ II четв.; 4

5) α = −1,3; tgα < 0, т.к.α ∈ IV четв.; 447. 1) π < α <

5

4) α = 3, 7; tgα > 0, т.к.α ∈ III четв.; 6) α = 283o ; tgα < 0, т.к.α ∈ IV четв.

3π ;sin α < 0,cos α < 0, tgα > 0 ; 2

3π 7π <α< ;cos α > 0,sin α < 0, tgα < 0 ; 2 4 7π 3) < α < 2π;sin α < 0,cos α > 0, tgα < 0 ; 4 4) 2π < α < 2,5π;sin α > 0,cos α > 0, tgα > 0 . 448. 1) α = 1;sin α > 0,cos α > 0, tgα > 0, т.к.α ∈ I четв.; 2) α = 3;sin α > 0,cos α < 0, tgα < 0, т.к.α ∈ II четв.; 3) α = −3, 4;sin α > 0,cos α < 0, tgα < 0, т.к.α ∈ II четв.; 4) α = −1,3;sin α < 0,cos α > 0, tgα < 0, т.к.α ∈ IV четв. π π 2) cos( + α) < 0 ; 3) cos (α − π > 0 ) ; 449. 1) sin( − α) > 0 ; 2 2 3π π 5) tg( − α ) > 0 ; 4) tg(α − ) < 0 ; 6) sin (π − α ) > 0 . 2 2 2)

450. 1) 3π < α <

10 π ;sin α < 0, cos α < 0, tg α > 0, ctg α > 0, т.к.α ∈ III четв.; 8

5π 11π <α< ;sin α > 0, cos α < 0, tgα < 0, ctgα < 0, т.к.α ∈ II четв. 2 4 451. Знаки синуса и косинуса совпадают, если α ∈ I или III четверти, то 3π π и π≤α≤ . есть если 0 ≤ α ≤ 2 2 2)

127

www.5balls.ru


Знаки синуса и косинуса различны, если α ∈ II или IV четверти, то есть если π ≤ α ≤ π и 3π ≤ α ≤ 2π .

2 2π 452. 1) sin sin 3π > 0 , т.к. 2π , и 3π ∈II четв. и sin 2π > 0 и sin 3π > 0 . 3 3 4 3 4 4 2π 2π π π π 2) cos cos < 0 , т.к. ∈I четв. и cos > 0 , а ∈II четв. и cos 2π < 0 . 3 3 6 6 3 6 π 5π 5π π π 5π 3) tg + sin > 0 , т.к. ∈ I четв. и sin > 0 , а ∈ III четв. и tg > 0 . 4 4 4 4 4 4

2

453. а) sin 0,7 и sin 4; sin 0,7>0, т.к. 0,7∈I четв., а sin 4<0, т.к. 4∈III четв., значит, sin 0,7 > sin 4. б) cos 1,3 и cos 2,3; cos 1,3 >0, т.к. 1,3∈I четв., а cos 2,3 <0, т.к. 2,3∈II четв., значит, cos 1,3 > cos 2,3. 454. 1) sin (5π+x)=1; 5π+x= π +2πk, k∈Z, x= − 9π +2πk, k∈Z. 2 2 5π π +πk, k∈Z. 2) cos (x+3π)=0; x+3π= +πk, x= − 2 2 3) cos ( 5π +x)=-1; 5π + x=π+2πk, x= − 3π +2πk, k∈Z. 2 2 2 π 9π 9π +x)=-1; + x= − +2πk, x=-5π+2πk, k∈Z. 4) sin ( 2 2 2

455. 1) sinα + cosα=-1,4; т.к. sin α ≤ 1 и cos α ≤ 1 , то sinα<0 и cosα<0, значит, α∈III четв.; 2) sinα – cosα=1,4; т.к. sin α ≤ 1 и cos α ≤ 1 , то sinα>0 и cosα<0, значит, α∈II четв. 456. Т.к. sin α ≤ 1 и cos α ≤ 1 , то синус (косинус) может принимать значения 0,03; 2 ; 11 , и не может принимать значения 5 ;− 13 ; 2 . 3

3 13

11

2 3 2 3 5 и cos α = ; не могут, т.к. sin2 α + cos2 α = + = ≠ 1 , 457. 1) sin α = 3 3 9 9 9 что противоречит основному тригонометрическому тождеству sin2 α + cos2 α = 1 ; 4 3 16 9 2) sin α = − и cos α = − ; могут, т.к. sin 2 α + cos 2 α = + =1; 5 25 25 5 3 23 ; не могут, т.к. и cos α = 5 5 3 23 26 sin 2 α + cos 2 α = + = ≠ 1; 25 25 25 4) sin α = 0,2и cos α = 0,8 ; не могут, т.к.

3) sin α = −

128

www.5balls.ru


sin 2 α + cos 2 α =

1 16 17 + = ≠ 1. 25 25 25

3 π 9 4 = ; 458. 1) sin α, tgα, ctgα , если cos α = − и < α < π;sin α = 1 − 5 2 25 5 sin α 4 1 3 tgα = = − , ctgα = =− ; cos α 3 tgα 4 2 3π 4 2 =− 2) cos α, tgα, ctgα , если sin α = − иπ < α < ;cos α = − 1 − ; 5 2 25 5 tgα =

sin α 2 1 21 . = , ctgα = = cos α α tg 2 21

5 3π 25 12 sin α 12 = − , tg = =− , и < α < 2π;sin α = − 1 − 13 2 169 13 cos α 5 1 5 ctgα = =− ; tgα 12

459. 1) cos α =

16 3 sin α 4 π 3 2) sin α = 0,8и < α < π;cos α = − 1 − = − , tgα = = − , ctgα = − ; 2 25 5 cos α 3 4

3) tgα =

15 3π 1 1 8 иπ < α < ;cos α = ± ,cos α = − =− , 2 225 8 2 17 1 + tg α 1+ 64

15 3 sin α = tgα ⋅ cos α = − , ctgα = − ; 17 4

4) ctgα = −3и

3π 1 1 1 ,sin α = − < α < 2π;sin α = ± =− 2 2 1 9 + 10 1 + ctg α

cos α = sin α ⋅ ctgα =

3 10

, tgα =

1 1 =− ; ctgα 3

16 3 sin α 3 π 1 4 5) cos α = 0,8и0 < α < ;sin α = 1 + = , tg = = , ctgα = = ; 2 25 5 cos α 4 tgα 3

5 3π 25 12 sin α 5 и < α < 2π;cos α = 1 − = − , tgα = =− , 13 2 169 13 cos α 12 1 12 ctgα = =− ; tgα 5

6) sin α = −

7) tgα = −2, 4и

1 5 π < α < π;cos α = − =− 144 2 13 1+ 25

12 1 5 sin α = tgα ⋅ cos α = , ctgα = =− ; 13 tgα 12

129

www.5balls.ru


8) ctgα =

7 3π 1 1 24 и π<α< ; sin α = − ; sinα = ± =− ; 49 2 24 25 1 + ctg2α 1+ 576

1 3 7 ; tgα= =3 . cos α = sin α ⋅ ctgα = − 25 ctgα 7

460. 1) cos α, если sin α = 2) sin α, еслиcos α = − 3) sin α , если cos α = 4) cos α, если sin α = −

1 5

12 13 2 3 ; : cos α = ± 1 − =± 25 5 5 : sin α = ± 1 −

1 2 ; =± 5 5

2 4 5 ; : sin α = ± 1 − = ± 3 9 3 1 3

: cos α = ± 1 −

1 2 . =± 3 3

sin α 1 1 = ; cos α = и tgα = tgα 5 24 — верно, значит, может. 461. 1) sin α =

2) ctgα =

24 ; sin 2 α + cos2 α = 1 5

7 3 cosα 9 ; и cosα = ; sinα = = ctgα 4 7 5 4

cos2 α + sin2 α = 462. sin α =

9 81 144 + = ≠ 1 — значит, не может. 16 112 112

2 10 40 9 sin α 2 10 π ; cosα = 1 − . = , т.к. 0 < α ≤ , tgα = = 11 121 11 2 cos α 9 1

+2 ctgα + tgα 1 1 5 463. 1) = (ctgα = = )= 2 =− . 1 ctgα − tgα tgα 2 3 −2 2 sin α cos α sin α − cos α cos α − cos α tgα − 1 2 − 1 1 2) = = = = . sin α + cos α sin α + cos α tgα + 1 2 + 1 3 cos α cos α

sin α cos α 2 +3 2 sin α + 3 cos α cos α = 2 tgα + 3 = 7 = 7 . = cos α 3) 3 sin α − 5 cos α 3 sin α − 5 cos α 3tgα − 5 1 cos α cos α sin 2 α cos 2 α 2 +2 2 2 cos α cos α = tg α + 2 = 6 = 2 . 4) = sin 2 α cos 2 α sin 2 α − cos 2 α tg 2α − 1 3 − cos 2 α cos 2 α

sin 2 α + 2cos 2 α

130

www.5balls.ru


1 1 1 1 3 (cos α + sin α )2 − (cos2 α + sin 2 α) = − = − ; 2 2 8 2 8 1 9 10 5 2) sin3 α + cos3 α = (sin α + cos α )3 − 3sin α cos α(cos2 α + sin 2 α) = + = = . 8 8 8 4

464. 1) sin α cos α =

465. 1) (1 – cos α)(1 + cos α) = 1 − cos2 α = sin2 α , что и требовалось док-ть. 2) (1 – sin α)(1 + sin α) = 1 − sin 2 α = cos 2 α , что и требовалось док-ть. 3) 4) 5)

sin 2 α 1 − sin 2 α cos 2 α 1 − cos 2 α

1 2

sin 2 α

=

cos 2 α

=

cos 2 α sin 2 α

+ sin 2 α =

1 + tg α требовалось доказать. 1

= tg 2α , что и требовалось док-ть. = ctg 2α , что и требовалось док-ть.

cos 2 α 2

sin α + cos 2 α

2 2 + sin 2 α = cos α + sin α = 1 ,

что

и

sin 2 α

2 2 + cos 2 α = sin α + cos α = 1 , 1 + ctg 2 α sin 2 α + cos 2 α что и требовалось доказать. 466. 1) cos α tg α – 2sin α = sinα – 2sinα = – sinα; 2) cosα – sinα ctgα = cosα – cosα = 0;

6)

+ cos 2 α =

3)

sin 2 α 1 − cos 2 α (1 + cos α )(1 − cos α ) = = = 1 − cos α ; 1 + cos α 1 + cos α 1 + cos α

4)

cos 2 α 1 − sin 2 α (1 − sin α )(1 + sin α ) = = = 1 + sin α . 1 − sin α 1 − sin α 1 − sin α sin 2 α − 1

sin 2 α − 1

1 π = (α = ) = 1 − = 1 − 2 = −1 ; 2 4  2  2    π 2 2 2 2 2 2) cos α + ctg α + sin α = ctg α = (α = ) = ( 3) = 3 ; 6

467. 1)

3)

1 − cos 2 α

1 2

cos α

−1 =

=

sin 2 α

1 − cos2 α 2

cos α

=

=1−

1

sin 2 α

sin2 α

π = tg2α = (α = ) = ( 3)2 = 3 ; 3 cos α 2

4) cos α + tg α ⋅ ctg2α + sin 2 α =1+1=2 при любом α, в частности при α = π . 2

2

3

468. 1) (1 – sin2α)(1 + tg2α) = cos2 α ⋅

требовалось док-ть.

2

cos α + sin α

что и требовалось док-ть. 2) sin2α(1 + ctg2α) = sin 2 α ⋅

2

cos2 α

cos2 α + sin 2 α sin 2 α

= cos2α + sin2α = 1,

= 1, 1 – cos2α = sin2α,что и

131

www.5balls.ru


469. 1) (1 + tg2α)cos2α – 1 =

sin 2 α + cos2 α cos 2 α

2) 1 – sin2α(1 + ctg2α) = 1 − sin 2 α 3) 1 + tg2α +

1 2

sin α

=

sin2 α + cos2 α 2

cos α

+

cos 2 α − 1 = 1 – 1 = 0;

sin 2 α + cos2 α sin 2 α 1 2

sin α

=

= 1−1 = 0 ;

sin2 α + cos2 α 2

2

sin α ⋅ cos α

=

1 2

sin α ⋅ cos2 α

;

2 2 2 4) 1 + tg α = 1 + tg α = 1 + tg α = tg 2α . 2 2

1 + ctg α

1+

1 tg 2α

1+ tg α tg 2 α

470. 1 (1 – cos2α)(1 + cos2α)=1 – cos22α= sin22α, что и требовалось доказать. sin α − 1 1 sin α − 1 sin α − 1 2) , что и требовалось = =− = 1 + sin α cos 2 α 1 − sin 2 α (1 + sin α )(1 − sin α ) доказать. 3) cos4α – sin4α = (cos2α + sin2α)(cos2α –sin2α) = cos2α – sin2α, что и требовалось док-ть 4) (sin2α – cos2α)2 +2cos2αsin2α = sin4α + cos4α – 2sin2αcos2α + + 2cos2αsin2α = sin4α + cos4α, что и требовалось доказать 2 (1 + cos α ) sin α 1 + cos α sin 2 α + 1 + cos 2 α + 2cos α 2 5) + = = = 1 + cos α sin α (1 + cos α ) sin α sin α (1 + cos α )sin α , что и требовалось доказать. 6) казать.

sin 2 α (1 − cos α )(1 + cos α ) = 1 + cos α , что и требовалось до= (1 − cos α )sin α sin α (1 − cos α )sin α

1

1

cos 2 α

sin 2 α

= sin 2 α + cos 2 α = 1 1 + tg α 1 + ctg α sin α + cos α sin α + cos 2 α , что и требовалось доказать. 2  1 − cos2 α   =sin2α ⋅ sin α =sin2α tg2α, 8) tg2α–sin2α=sin2α ( 1 − 1) =sin2α  2 2  cos α  cos 2 α cos α   что и требовалось доказать. 1 1 9 1 16 8 471. sin α ⋅ cos α = − (cos α − sin α )2 + (cos2 α + sin 2 α) = − + = = 2 2 50 2 50 25 472. Если cosα–sinα=0,2, то cos3α–sin3α=(cosα–sinα)3+3cosα sinα(cosα– 1 –sinα)=(cosα–sinα)3+3( − 1 (cosα–sinα)2+ (cos2α–sin2α))(cosα–sinα)= 2 2

7)

2

+

2

=

2

2

+

2

= 1 + 3 ⋅  − 1 + 1  ⋅ 1 = 1 + 36 = 37 . 125

 50 2

2 5 2

125

125

125

2

473. tg α + ctg α = (tgα + ctgα) – 2 tgα ctgα = ( tgα + ctgα)2 – 2 = 7. 474. 1) 2sin x + sin2x + cos2x = 1; 2sin x = 0, x = πk, k∈Z.

132

www.5balls.ru


2) 2sin2x + 3cos2x – 2 = 0; 2(sin2x + cos2x) – 2 + cos2x = 0; cos2x = 0; x=

π + πk , k∈Z. 2

3) 3cos2x – 2sin x = 3 – 3sin2x; 3(cos2x + sin2x) – 3 = 2sin x; sin x = 0; x = πk, k∈Z. 4) cos2x – sin2x = 2sin x – 1 – 2sin2x; cos2x + sin2x + 1 = 2sin x; sin x = 1, π + 2πk , k∈Z. 2

x=

3 3 7 π π π  π  π  π 475. 1) cos −  sin −  + tg −  = − cos sin − tg = − ⋅ −1 = − ; 6 3 4 2 2 4  6  3  4

( ) = 1 + tg 2) 1 + ctg ( − ) 1 + ctg 1 + tg 2 − 2

π 6 π 6

1 1+ 6 = 3 =1; 2π 1+ 3 3 6

 π  π  π  π 3) 2 sin  −  cos  −  + tg  −  + sin 2  −  =  6  6  3  4 = −2 sin

π π π 3 1 1 − 3 3 +1 π ; ⋅ − 3+ = cos − tg + sin 2   = −2 6 6 3 4 2 2 2 2  

4) cos(−π) + ctg − π  − sin − 3π  + ctg − π  = cosπ − ctg π + sin 3π − ctg − π  =  2

2

 4

2

2

 4

= – 1 – 0 – 1 – 1 = – 3; 5)

( ) − cos (− ) = 3 − sin − cos 2cos 2cos ( − )

3 − sin 2 −

π 3

2

π 3

3

π 4

2π 3

π 4

=

3 4

3− − 2

2 2

1 4 =

2;

1 3 1 3 π π 6) 2sin  −  + 3 + 7,5tg ( −π) + cos π = −2sin + 3 − 7,5tgπ + cos π = 8 2 6 8 2  6 = −1 + 3 − 0 + 0 = 2 . 476. 1) tg( – α) cosα + sinα = – tgα cosα + sinα = – sinα + sinα = 0; 2) cosα – ctgα( – sinα) = cosα + ctgα sinα = cosα + cosα = 2cosα; cos(−α ) + sin (−α ) cos α − sin α 1 3) ; = = 2 2 cos sin cos sin cos α − α α + α α + sin α ( )( ) cos α − sin α 4) tg( – α)ctg( – α) + cos2( – α) + sin2α = 1 + cos2α + sin2α = 1 + 1 = 2.

477. 1)

( ) + cos (− ) = 2 − sin 2cos 2cos ( − ) + sin ( − ) π 6 π 3

2 − sin 2 −

π 3

2

π 6

π 1 1 + cos 2 2− + 6 3 = 4 4 =4; π π 1 1− − sin 3 6 2

π π  π  π  3  3sin  −  − 2ctg  −  + 4cos  − π  = 3sin + 2ctg + 3 4  3  4  2  3π 3 1 +4cos =− +2+0= . 2 2 2

2)

133

www.5balls.ru


478. 1) =

sin3 (− α ) + cos3 (− α ) − sin3 α + cos3 α = = 1 − sin(− α )cos(− α ) 1 + sin α cos α

(cos α − sin α )(cos2 α + cos α sin α + sin 2 α ) = cos α − sin α ; 1 + sin α cos α

1 − (sin α + cos(− α ))2 1 − (sin α + cos α ) 2) = = sin α − sin (− α )

=

(

)

1 − cos2 α + sin 2 α + 2 cos α sin α − 2 sin α cos α = = − cos α . sin α sin α

 sin2 α + cos2 α  cos α = 479. 1) cos αsin(6π−α) ⋅ (1 + ctg2 (−α)) = cos αsin(−α) ⋅  =−   sin α sin2 α   = −ctgα = ctg(−α) , что и требовалось доказать. 2) =

1 − sin 2 ( −α ) sin(α − 2π) 1 − sin 2 α ( − sin(2π − α )) ⋅ = ⋅ = cos(4π − α ) 1 − cos 2 ( −α ) cos(−α ) 1 − cos 2 α

cos2 α sin α cos α ⋅ = = ctgα , что и требовалось доказать. cos α sin 2 α sin α

480. 1) sin( – x) = 1; – sin x = 1; sin x = – 1; x = − π + 2πk , k∈Z. 2

π 2) cos( – 2x) = 0; cos2x = 0; 2 x = + πk ; x = π + π k , k∈Z. 2 4 2 3) cos( – 2x) = 1; cos2x = 1; 2x = 2πk, x = πk, k∈Z.

4) sin( – 2x) = 0; – sin 2x = 0; sin 2x = 0; 2x = πk, x = π k , k∈Z. 2

5) cos2( – x) + sin( – x) = 2 – sin2x; cos2x + sin2x – 2 = sinx; sinx = – 1; x=−

π + 2πk , k∈Z. 2

6) 1 – sin2( – x) + cos(4π – x) = cos(x – 2π); cos2x + cos x = cos x; cosx = 0; x = π + 2πk , k∈Z. 2

(

)

481. 1) cos135o = cos 90o + 45o = cos 90o ⋅ cos 45o − sin 90o ⋅ sin 45o = −

(

)

2 . 2

1 2) cos120o = cos 90o + 30o = cos 90o ⋅ cos 30o − sin 90o ⋅ sin 30o = − . 2

( ) = cos (180 + 60 ) = cos180 ⋅ cos 60 − sin 180 ⋅ sin 60

3) cos150o = cos 90o + 60o = cos 90o ⋅ cos 60o − sin 90o ⋅ sin 60o = − 4) cos 240o

o

o

o

o

o

o

3 . 2 1 =− . 2

482. 1) cos57o30′ cos 27o30′ + sin 57o30′ sin 27o30′ = cos(57o30′ − 27o30′) =

134

www.5balls.ru


= cos30o =

3 ; 2

2) cos19o30′ cos 25o30′ − sin19o30′ sin 25o30′ = cos(19o30′ − 25o30′) = 2 ; 2 7π 11π 7π 11π  7 π 11π  3) cos cos − sin sin = cos  +  = cos 2 π = 1 ; 9 9 9 9 9   9

= cos45o =

4) cos

8π π 8π π  8π π  cos + sin sin = cos  −  = cos π = − 1 . 7 7 7 7 7  7

1 π 1 2 π 483. 1) cos( + α ) , если sin α = ; ,0 < α < ;cos α = 1 − = 2 3 3 3 3 π π π 1 2 3 1 1 1 cos( + α ) = cos cos α − sin sin α = ⋅ − ⋅ = − ; 3 3 3 2 3 2 3 6 2 1 π 1 2 2 π 2) cos(α − ) , если cos α == − и < α < π;sin α = 1 − = ; 4 3 2 9 3

1 2 2 2 2 π π π 2 2 4− 2 . cos(α − ) = cos α cos + sin α sin = − ⋅ + ⋅ =− + = 4 4 4 3 2 3 2 6 3 6 484. 1) cos 3α cos α − sin α sin 3α = cos(3α + α ) = cos 4α ; 2) cos 5β cos 2β + sin 5β sin 2β = cos(5β − 2β ) = cos 3β ; 5π 5π π π 3) cos( + α)cos( − α) − sin( + α)sin( − α) = 7 14 7 14 π 5π π = cos( + + α − α ) = cos = 0 ; 7 14 2 7π 2π 7π 2π 7π 2π 4) cos( + α) cos( + α) + sin( + α)sin( + α) = cos( + α − − α) = 5 5 5 5 5 5 = cos π = − 1 .

485. 1) sin 73o cos17 o + cos 73o sin17 o = sin(73o + 17 o ) = sin 90 o = 1 ; 2) sin 73o cos13o − cos 73o sin13o = sin(73o − 13o ) = sin 60 o = 3) sin

5π π π 5π  5π π  π cos + sin cos = sin  +  = sin   = 1 ; 12 12 12 12  12 12  2

4) sin

7π π π 7π  7π π  π cos − sin cos = sin  −  = sin   = 1 . 12 12 12 12 12 12 2  

3 ; 2

3 3π 9 4 π 486. 1) sin(α + ),cos α = − , π < α < : sin α = − 1 − =− ; 6 5 2 25 5 4 3 3 1 4 3 +3 π π π ; sin(α + ) = sin α cos + cos α sin = − ⋅ − ⋅ =− 6 6 6 5 2 5 2 10

135

www.5balls.ru


2 π 2 7 π 2) sin( − α ),sin α = ; , < α < π : cos α = − 1 − = − 4 3 2 9 3 2 7 2 2 14 − 2 π π π . sin( − α ) = sin cos α − cos sin α = − ⋅ − ⋅ =− 4 4 4 2 3 2 3 6 487. 1) sin(α+β) + sin( – α)cos( – β) = sinαcosβ + cosαsinβ – sinαcosβ = = cosαsinβ. 2) cos( – α)sin( – β) – sin(α – β) = – cosαsinβ – sinαcosβ + sinβcosα = = – sinαcosβ. π π π π 3) cos( − α )sin( − β) − sin (α − β ) = (cos cos α + sin sin α ) × 2 2 2 2 π π ×(sin cos β − cos sin β) − sin (α − β) = sin α cos β − sin α cos β + sin β cos α = sinβcosα . 2 2 π π π 4) sin (α + β) + sin( − α)sin ( −β) = sin (α + β) − (sin cos α − cos sin α) × 2 2 2 × sin β = sin α cos β + sin β cos α − sin β cos α = sin α cos β . 3 3π 8 π 488. Если sin α = − , < α < 2π и sin β = ,0 < β < , то 5 2 17 2

cos α = 1 −

9 4 = ; 25 5

cos β = 1 −

64 15 ; = 289 17

cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ = 4 ⋅ 15 + 3 ⋅ 8 = 84 ;

5 17 5 17 85 cos(α – β) = cosαcosβ + sinαsinβ = 4 ⋅ 15 − 3 ⋅ 8 = 36 . 5 17 5 17 85 4 π 489. Если cos α = − , < α < π и sin β = − 12 , π < β < 3π , то 5 2 13 2

sin α = 1 −

16 3 = ; 25 5

144 5 =− ; 169 13

cos β = − 1 −

sin(α – β) = sinαcosβ – sinβcosα = 3 ⋅  − 15  − 4 ⋅ 12 = − 63 . 5  13 

5 13

65

490. Вычислить tg(α + β), если 4 π 8 3 sin α = , < α < π и cos β = , π < β < 2π ; 17 2 5 2 cos α = − 1 −

16 3 =− ; 25 5

sin β = − 1 − 4

8

64 15 =− ; 289 17

3 15

⋅ + ⋅ sin α cos β + sin β cos α 77 5 . tg (α + β ) = = 5 17 5 17 = =2 cos α cos β − sin α sin β − 3 ⋅ 8 + 15 ⋅ 4 36 36 5 17

17 5

491. 1) cos(α – β) – cos(α + β) = cosαcosβ + sinαsinβ – cosαcosβ + + sinαsinβ = 2sinαsinβ

136

www.5balls.ru


π π 1 π π 2) cos( + α ) cos( − α ) + sin 2 α = (cos cos α − sin sin α ) × 4 4 2 4 4 1 2 1 1 2 1 1 π π 2 ×(cos cos α + sin sin α) + sin α = cos α − sin α + sin 2 α = cos 2 α ; 4 4 2 2 2 2 2 3) cos 3α + sin α sin 2α = cos(α + 2α ) + sin α sin 2α = cos α cos 2α − − sin α sin 2α + sin α sin 2α = cos α cos 2α ; 4) cos 2α − cos α cos 3α = cos 2α − (cos α cos 3α + sin α sin 3α ) + + sin α sin 3α = cos 2α − cos 2α + sin α sin 3α = sin α sin 3α . sin α cos β

sin β cos α

cos α cos β

cos β cos α

+ sin (α + β ) sin α cos β + sin β cos α cos α cos β cos β cos α tgα + tgβ 492. 1) = = = sin α cos β sin β cos α tgα − tgβ sin (α − β ) sin α cos β − sin β cos α −

, что и треб. док-ть. cos α cos β

+1 cos(α − β ) cos α cos β + sin β sin α ctgαctgβ + 1 sin α sin β , что и 2) = = = cos α cos β cos(α + β ) cos α cos β − sin β sin α − 1 ctgαctgβ − 1 sin α sin β

треб. док-ть 2 π π π 3) cos( + α) = cos cos α − sin sin α = (cos α − sin α ) , что т. д. 4 4 4 2 cos(α + β) cos α cos β − sin α sin β cos β sin α 4) = = − = ctgβ − tgα , что и т. д. cos α sin β cos α sin β sin β cos α 1 1 5) (cos (α + β) − cos (α − β)) = cos α cos β − sin α sin β + cos α cos β + sin α sin β = 2 2 = cos α cos β , ч.т.д. 1 1 6) (cos (α − β) − cos (α + β)) = cos α cos β + sin α sin β − cos α cos β + sin α sin β = 2 2 = sin α sin β , ч.т.д. 493. 1)

2)

3) 4)

tg 29o + tg31o 1 − tg 29o tg31o

(

)

= tg 29o + 31o = tg 60o = 3 ;

7π 3π − tg 16 16 = tg  7 π − 3π  = tg π = 1 ;   7 π 3π 4  16 16  1 + tg tg 16 16

tg

1 + tg10o tg55o o

o

tg55 tg10

1 − tg13o tg17o tg17o + tg13o

= =

1 o

o

tg(55 − 10 ) 1 tg(17o + 13o )

= =

1 tg45o 1 tg30o

=1; = 3.

3 494. 1) tg(α + β), если tgα = − , tgβ = 2,4 ; 4

137

www.5balls.ru


3

12

33

4 5

20

tgα + tgβ − 4 + 5 33 tg (α + β ) = ; = = 20 = 1 − tgαtgβ 1 + 3 ⋅ 12 56 56 4 3 2) tg(α – β), если ctgα = , ctgβ = −1 ; tgα = , tgβ = −1 ; 3 4 3

ctg ( α − β ) =

( ) − cos ( ) = sin ( ) + cos ( ) sin

495.

=

1

1 1 + tgαtgβ 1 − 4 4 1 = = = = . tg(α − β) tgα − tgβ 3 + 1 7 7

π +α 6 π +α 6

π +α 3 π +α 3

4

1 cos α + 2 1 cos α + 2

4

3 1 sin α − cos α + 2 2 3 1 sin α + cos α − 2 2

3 sin α 2 = 3 sin α 2

3 sin α = 3tgα . cos α 496. 1) sinαcos(2α)+sin(2α)cosα=sin(α+2α)=sin(3α). 2) sin(5β)cos(3β)-sin(3β)cos(5β)=sin(5β-3β)=sin(2β). 497. 1) cos(6x) cos(5x) + sin(6x) sin(5x) = – 1; cos(6x – 5x) = – 1; cos x=– 1; x = π + 2πk, k∈Z. 2) sin(3x) cos(5x) – sin(5x) cos(3x) = – 1; sin(– 2х) = – 1; sin(2x) = 1 : π π 2 x = + 2πk , x = + πk , k∈Z. 2 4 3)

π  2 cos + x  − cos x = 1 ;  4

sin x = 1; sin x = – 1; x = −

 2  2 2 cos x − sin x  − cos x = 1 ;  2  2  

π + 2πk , k∈Z. 2  2 x 2 x x 2 cos − sin  + sin = 1 :  2  2 2 2 2  

4)

x π x 2 sin  −  + cos = 1 ; 4 2 2  

cos

x x = 1 : = 2πk , x = 4πk , k∈Z. 2 2

498. 1) sin 48o = 2 sin 24o cos 24o ; 2) cos164o = cos 2 82o − sin 2 82o ; 3) tg92o =

2tg 46o 1 − tg 2 46o

;

4) sin

4π 2π 2π = 2 sin ; cos 3 3 3

5π 5π 5π . = cos 2 − sin 2 3 6 6 π  π α π α 499. 1) sin  + α  = 2 sin  +  sin  +  ; 2  4 2 4 2 5) cos

138

www.5balls.ru


2) sin  π + β  = 2 sin  π + β  cos  π + β  ;

5) sin α = 2 sin α cos α ;

3) cos π − α  = cos 2  π − α  − sin 2  π − α  ; 2  8 2 8 2

6) cos α = cos 2 α − sin 2 α . 2 2

4

8

2

8

2

2

2

4) cos 3π + α  = cos 2  3π + α  − sin 2  3π + α  ;  2

 4

2

 4

2

139

www.5balls.ru


500. 1) 2 sin15o cos15o = sin 30o = 3)

2tg15o 1 − tg 215o

= tg30o =

1 ; 2

2) cos2 15o − sin2 15o = cos30o =

3 ; 2

1 3

4) (cos75o − sin 75o )2 = cos 2 75o + sin 2 75o − 2cos 75o sin 75o = 1 − sin150o =

=1−

1 1 = 2 2 π π π 2 cos = sin = ; 8 8 4 2

501. 1) 2 sin

3)

2tg

π 8

= tg

π 1 − tg 8 2

2) 2 cos 2

2 π π π ; − sin 2 = cos = 8 8 4 2

π =1; 4 2

4) =

2  2π π π π π π 2  −  sin + cos 2 + 2sin cos  = −  cos + sin  = 2  8 8 2  8 8 8 8

2  2  π 2  = −1 . − 1 + sin  = − 1+  2  4 2  2 

502. 1) 2 sin 75o ⋅ cos 75o = sin150o = 3)

6 tg 75o 2

o

1 − tg 75

= 3tg150o = −

3 3

3 1 ; 2) cos2 75o − sin2 75o = cos(150o ) = − ; 2 2

= 3 ; 4)

tg 2 22o30′ − 1 2 =− = −2 . tg 22o30′ tg 45o

3 π 9 4 = − ; sin 2α = 2sin α cos α = 503. 1) sin α = , < α < π;cos α = − 1 − 5 2 25 5 3  4 24 = 2⋅ ⋅−  = − ; 5  5 25

4 3π 16 3 = − ;sin 2α = 2sin α cos α = 2) cos α = − , π < α < ;sin α = − 1 − 5 2 25 5  3   4  24 . = 2⋅−  ⋅−  =  5   5  25 4 16 17 504. 1) cos α = ;cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2cos 2 α − 1 = 2 ⋅ − 1 = 5 25 25 3 5

2) sin α = − ;cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 1 − 2sin 2 α = 1 − 2 ⋅

9 7 = 25 25

505. Если tgα = 1 : tg2α = 2tgα = 1 = 4 . 2 1 2

1 − tg α

1−

4

3

506. 1) 2cos 40o ⋅ cos50o = 2cos 40o cos(90o − 40o ) = 2cos 40o sin 40o = sin80o ;

140

www.5balls.ru


2) 2sin 25o ⋅ sin 65o = 2sin 25o sin(90o − 25o ) = 2sin 25o cos 25o = sin 50o ; 3) sin 2α + (sin α − cos α )2 = sin 2α + sin 2 α + cos 2 α − 2sin α cos α = = sin 2 α + 1 − sin 2 α = 1 ; 4) cos 4α + sin 2 2α = cos 2 2α − sin 2 2α + sin 2 2α = cos 2 2α . 507. 1)

sin 2α 2

(sin α + cos α) − 1

=

sin 2α 2

2

sin α + cos α + 2sin α cos α − 1

=

sin 2α =1; sin 2α

2

1 + cos 2α 1 + cos α − sin 2 α 2cos 2 α = = = ctg 2α . 1 − cos 2α 1 − cos2 α + sin 2 α 2sin 2 α 508. 1) sin2α = 2sinαcosα = sin2α + 2sinαcosα + cos2α – 1 = (sinα + +cosα)2 – 1, что и треб. док-ть. 2) (sinα – cosα)2 = sin2α + 2sinαcosα + cos2α = 1 – sinα, что и треб. док-ть. 3) cos4α – sin4α = (cos2α – sin2α)(cos2α + sin2α) = cos2α, что и треб. док-ть. 4) 2cos2α–cos2α =2cos2α–cos2α + sin2α=cos2α + sin2α=1, что и треб. док-ть. 1 1 3 2 509. 1) sin α + cos α = ; sin 2α = (sin α + cos α ) − 1 = − 1 = − ; 2 4 4 1 1 8 2 2) sin α − cos α = − ; sin 2α = − (sin α − cos α ) + 1 = − + 1 = . 3 9 9 cos α − sin α )(cos α + sin α ) cos α − sin α cos 2α ( 510. 1) = = = sin α (cos α + sin α ) sin α sin α cos α + sin 2 α

2)

= ctgα − 1 , что и треб. док-ть. 2cos α sin 2α − 2cos α 2cos α (sin α − 1) 2) = −2ctgα , ч.т.д. = = − sin α sin α (1 − sin α ) sin α − sin 2 α 3) tgα (1 + cos 2α ) = tgα(1 + cos2 α − sin 2 α) = 2cos 2 α ⋅

sin α = 2sin α cos α = cos α

= sin 2α , ч.т.д. 4) ⋅

2sin2 α + sin2α 2sin α(cos α + sin α) 1 − cos 2α + sin 2α ⋅ ctgα = ⋅ ⋅ ctgα = 2cos α(cos α + sin α) 1 + cos 2α + sin 2α 2cos2 α + sin2α

cos α = 1 , ч.т.д. sin α (1 − 2cos 2 α)(2sin 2 α − 1)

(− cos 2α)(− cos 2α)

cos2 2α

= ctg 2 2α , ч. т. д. 4sin 2 α cos2 α sin 2 2α sin 2 2α π α π 6) 1 − 2sin 2  −  = cos  − α  = sin α , что и т. д. 4 2 2  sin α + sin 2α sin α (1 + 2 cos α ) sin α (1 + 2cos α ) 7) = = = tgα , ч.т.д. 1 + cos α + cos 2α 2cos 2 α + cos α cos α (1 + 2cos α )

5)

=

=

141

www.5balls.ru


π

2 2 sin(α − ) sin 2 α cos 2 α 4 ; 511. − = cos α(1 + ctgα) sin α(1 + tgα) sin 2α

sin 2 α cos 2 α sin 3 α cos3 α − = − = cos α(1 + ctgα) sin α(1 + tgα) cos α(sin α + cos α) sin α(cos α + sin α ) =

sin 4 α − cos 4 α sin α − cos α = ; sin α(cos α + sin α)cos α sin α cos α π 2 2 − 2 2 ⋅ (sin α ⋅ cos α) sin α − cos α 4 = 2 2 левая и правая =

2 2 sin(α − )

sin 2α 2sin α cos α sin α cos α части совпадают, значит, тождество верно. 512. 1) sin2x – 2cosx = 0; 2cosx(sinx – 1) = 0; cos x = 0 или sin x = 1; π π x = + πk , k∈Z или x = + 2πk , k∈Z (входит в 1-ю серию корней) 2 2 π Ответ: x = + πk , k∈Z. 2 2) cos2x+sin2x=1; cos2x– sin2x+sin2x=1; cos2x=1; cos x=1 или cosx=–1: x=π + 2πk, k∈Z или x = 2πk, k∈Z, обобщая x = 2πk, k∈Z. Ответ: x = 2πk, k∈Z. 3) 4cos x = sin2x; 2cos x(2 – sin x) = 0; cos x = 0 или sin x = 2; π π x = + πk , k∈Z, а во втором случае решения нет. Ответ: x = + πk , k∈Z. 2 2 π 4) sin2x = – cos2x; sin2x = sin2x – cos2x; cos x = 0; x = + πk , k∈Z. 2 π Ответ: x = + πk , k∈Z. 2 π x x 1 5) sin cos + = 0 ; sin x + 1 = 0; sin x = – 1; x = − + 2πk , k∈Z. 2 2 2 2 π Ответ: x = − + 2πk , k∈Z. 2 π x x x x 6) cos 2 = sin 2 ; cos 2 − sin 2 = 0 ; cos x = 0; x = + πk , k∈Z. 2 2 2 2 2 π Ответ: x = + πk , k∈Z. 2

513. 1) sin 2 15o =

1 − cos 30o ; 2 π

π  1 + cos( 2 − 2α) 3) cos 2  − α  = ; 2 4 

1

2) cos 2

1 1 + cos 2 ; = 4 2 π

π  1 + cos( 2 + 2α) 4) sin 2  + α  = ; 2 4 

142

www.5balls.ru


514. 1) 2 cos 2 2) 1 + 2sin 2 3)

π π π 2 − 1 = 1 + cos − 1 = cos = ; 8 4 4 2

π π π 3  ; = 1 −  1 − cos  = cos = 12 6 6 2 

(

)

3 3 3 3 + 2 sin 2 15o = + 1 − cos 30o = +1− = 1; 2 2 2 2 3 3 3 3 + 2 cos 2 15o = − + 1 + cos 30o = − +1+ =1. 2 2 2 2

4) −

3

3 1− 1+ 1 − cos α α 2 + cos α α 5 = 1 5 = 2 ; = 515. 1) sin = ; 2) cos = = 2 2 2 2 2 2 5 5

3

1− α 1 − cos α 5 =1; 3) tg = = 3 2 2 1 + cos α 1+ 5

516. 1) sin 2) cos

3

1+ α 1 + cos α 5 =2. 4) ctg = = 3 2 1 − cos α 1− 5

1+ 1− 1 − cos α 1 + 1 − sin 2 α α = = = 2 2 2 2

9 25

=

3 ; 10

α 1 + cos α 1 − 1 − sin 2 α 1 ; = = = 2 2 2 10 4

3) tg

1+ α 1 − cos α 1 + 1 − sin 2 α 5 =3; = = = 4 2 1 + cos α 1− 1 − 1 − sin 2 α 5 4

4) ctg

1− 1 + cos α 1 − 1 − sin 2 α α 5 =1. = = = 4 3 2 2 1 − cos α 1+ 1 + 1 − sin α 5

3

1− 1 − cos 30o 2 = 517. 1) sin15 = = 2 2 o

2) cos15o =

1 + cos 30o == 2

1 3 ; + 2 4

2

o 1− 2 = 2− 2 = 3) tg22o30′ = 1− cos45 = o

1+ cos45

4) ctg 22 o30′ =

2+ 2

2 1+ 2

1 + cos 45o 1 − cos 45

o

=

1 3 ; − 2 4

2 +1 = 2 −1

2 −1 = 2 +1

(

(

)

2

2 −1 = 3 − 2 2 ;

2 +1

)

2

=

3+ 2 2 ;

143

www.5balls.ru


518. 1) 1 − cos α =

2sin 2

α 2

=

α 2 = tg α 1 ; α 22 cos 2

sin

α α 2 2 α α α 2sin cos sin 2 2 = 2 = tg α ; 2) sin α = α 2α 1 + cos α 2 2cos cos 2 2

sin α

2sin cos

2 2sin α (sin α + cos α ) 3) 1 − cos 2α + sin 2α = 2sin α + 2sin α cos α = = tgα ; 2

1 + cos 2α + sin 2α

4) 1 + cos 4α = sin 4α

2cos α (sin α + cos α )

2cos α + 2sin α cos α

2cos 2 2α cos 2α = = ctg2α ; 2cos 2α sin 2α sin 2α

1 + cos2α + sin 2α 2 sin α cosα + 2 cos2 α 2 cosα(sin α + cosα) = = = 2 cosα ; sin α + cosα sin α + cosα sin α + cosα cos α 6) (1 – cos2)ctgα = 2sin2α⋅ = 2 sin α cos α = sin 2α . sin α

5)

519. 1) 2 cos 2  π − α  = 1 + cos  π − α  = 1 + sin α , ч.т.д. 4 2 2  α π   2) 2sin  −  = 1 − cos  − α  = 1 − sin α , ч.т.д. 4 2 2  2π

2

3)

3 − 4cos2α + cos4α 2cos2 2α − 4cos2α + 2  cos 2α − 1  4 = =  = tg α , ч.т.д. 3 + 4cos2α + cos4α 2cos2 2α + 4cos2α + 2  cos 2α + 1 

4)

1 − sin2α + cos2α 2 cos2 α − 2 cosα sinα 2 cosα(sinα + cosα) = ctgα , ч.т.д. = = 1 + sin2α − cos2α 2 sin2 α + 2sinα cosα 2sinα(sinα + cosα)

1 − cos 2α 2sin 2 α ⋅ cos α ⋅ ctgα = = 1 ,ч.т.д. sin 2α 2sin α cos α sin α sin 2α 2sin α cos α sin α 2) = = = tgα ,ч.т.д. 1 + cos 2α cos α 2cos 2 α

520. 1)

3)

=

1 − 2sin 2 α (cos α − sin α)(cos α + sin α) = = 1 + sin 2α cos 2 α + 2cos α sin α + sin 2 α

(cos α − sin α )(cos α + sin α ) (cos α + sin α ) 2 2

4) =

cos α

sin α

cos α

cos α

cos α − sin α cos α − cos α 1 − tgα , ч.т.д. = = = cos α + sin α cos α + sin α 1 + tgα 2

1 + sin 2α sin α + 2sin α cos α + cos α (sin α + cos α) 2 = = = 2 2 cos 2α (cos α − sin α)(cos α + sin α) cos α − sin α

sin α + cos α 1 + tgα tg45o + tgα π  = = = tg 45o + α = tg  + α  , ч.т.д. cos α − sin α 1 − tgα 1 − tg45o ⋅ tgα 4 

(

144

www.5balls.ru

)


521. Т.к. 0 < α < sin

α α π α π , то 0 < < и, следовательно sin > 0,cos > 0, 2 2 2 2 4

α α < cos , значит, sin α + cosα − sin α − cosα = sin α + cosα − sin α + cosα = 2sin α . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

522.

tg2α tg2α − cos4α cos2α sin2α⋅ cos4α⋅ cos2α = = = cos4α . tg4α − tg2α sin4α cos2α − sin2α cos4α sin2α cos2α

x x x x x  523. 1) 1 − cos x = 2sin ; 2sin 2 − 2sin = 0; 2sin  sin − 1  = 0; 2 2 2 2 2  x x x x π sin = 0 или sin = 1; = πk , x = 2πk, k∈Z или = + 2πk 2 2 2 2 2 x = π + 4πk, k∈Z. Ответ: x = 2πk, x = π + 4πk, k∈Z. x x x x x  2) 1 + cos x = 2 cos ; 2 cos 2 − 2 cos = 0;2 cos  cos − 1 = 0; 2 2 2 2 2  x x x π cos = 0 или cos = 1; = + πk , x = π + 2πk, k∈Z или 2 2 2 2 x = 2πk x = 4πk, k∈Z. Ответ: x = π + 2πk, x = 4πk, k∈Z. 2 x  x 3π   x 3π  2x 3) 1 + cos = 2sin  − − 2sin  −  = 0;  ; 2cos 2 4 2 4   4 2   x 3π   x 3π   x 3π    x 3π   2sin 2  −  − 2sin  −  = 0;2sin  −   sin  −  − 1 = 0; 4 2  4 2   4 2   4 2   π

π

π

π

+α+ −α +α− +α π  π  3 3 = sin  + α  + sin  − α  = 2sin 3 cos 3 3 3 2 2     x 3π  x 3π  или sin  −  = 1; − = πk , x = 6π + 4πk, k∈Z 4 2 4 2  или x − 3π = π + 2πk , x = 8π + 8πk, k∈Z. 4

2

2

Ответ: x = 6π + 4πk, x = 8π + 8πk, k∈Z. 4) 1 + cos8x = 2cos4x; 2cos24x – 2cos4x = 0; 2cos4x(cos4x – 1) = 0; π π π cos4x = 0 или cos4x = 1, 4 x = + πk , x = + k , k∈Z или 2 8 4 π π π π Ответ: x = + k , x = k , k∈Z . 4x = 2πk, x = k , k∈Z. 2 8 4 2 x 1 5) 2 sin 2 + sin 2x = 1 ; sin x cos x – cos x = 0; cos x(sin x – 1) = 0; cos x = 0 2 2 π π или sin x = 1, x = + πk , k∈Z или x = + 2πk , k∈Z (вход. в 1 – ю с.к.) 2 2

145

www.5balls.ru


Ответ: x = π + πk , k∈Z .

2 6) 2 cos x − 1 sin 4x = 1 ; cos2x – cos2x sin2x = 0; cos2x(1 – sin2x) = 0; 2 2

cos2x = 0 или sin2x = 1; 2 x = 2x =

π π π + πk , x = + k , k∈Z или 2 4 2

π π + 2πk , x = + πk , k∈Z (входит в первую серию корней) 2 4

Ответ: x = π + π k , k∈Z . 4

2

524. 1) cos 75o = cos(90o − α); α = 15o ; 2) sin150o = sin(90o + α); α = 60o ; 3) sin150o = sin(180o − α); α = 30o ; 4) cos310o = cos(270o + α ); α = 40o ; 5 π π π 3π 6) tg = tg( − α); α = ; 5) sin π = sin(π + α); α = ; 4 4 5 2 10 7) cos 7 π = cos( 3 π + α ); α = π ; 4

2

4

8) ctg 4 π = ctg(2π − α); α = π . 6

6

525. 1) cos150o = cos(180o − 30o ) = − cos 30o = − 2) sin 135o = sin(90o + 45o ) = cos 45o =

3 ; 2

3 ; 2

3) ctg135o = ctg(90o + 45o ) = − tg 45o = −1 ; 4) cos120o = cos(90o + 30o ) = − sin 30o = −

1 ; 2 2 ; 2

5) cos225° = cos(180° + 45°) = – cos45° = – 6) sin210° = sin(180° + 30°) = – sin30° = – 7) ctg240° = ctg(180° + 60°) = ctg60° =

1 3

1 ; 2 ;

2 . 2 7π π π 1 5π π π   526. 1) tg = sin  π +  = − sin = − ; = tg π +  = tg = 1 ; 2) sin 6 6 6 2 4 4 4   8) sin315° = sin(270° + 45°) = – sin45° = –

3) cos

5π π 1 5π π π 1  π  ; = cos 2π −  = cos = ; 4) ctg = ctg 2π  = −ctg = − 3 3 3 3 3 2 3  3 

π π 1  13π   5) sin  −  = sin  − 2π −  = − sin = − ; 6 6 2  6  

146

www.5balls.ru


π π 1  7π   6) cos −  = cos − 2π −  = cos = ; 3 3 2  3   π π   2π  7) tg −  = tg − π +  = tg = 3 ; 3 3  3   π π   7π  8) ctg −  = ctg − 2π +  = ctg = 1 . 4 4  4   ctg

527. 1)

2)

π 2

3π −α 2

cos( π + α )

π 2 3π tg( − α ) 2

sin ( π − α ) + cos( + α ) + ctg ( π − α )

sin

528. 1)

2)

( − α ) − tg (π + α ) + sin (

sin

2

(

3π +α 2

) ⋅ tg (

π +α 2

( π + α ) + sin cos(

( + α)

3π + α) 2

2

− cos α

=

sin α − sin α − ctgα = −1 . ctgα

) = − cos α ⋅ −ctgα = ctgα ;

ctg(2π − α ) sin(π + α ) 2 π

) = tgα − tgα − cos α = 1 ;

− ctgα − sin α

2 2 1  3π  sin α + cos α . ⋅ ctg  − α = ⋅ tgα = sin α cos α  2 

529. 1) cos 750o = cos(720o + 30o ) = cos 30o = 2) sin 1140o = sin(1080o + 60o ) = sin 60o =

3 ; 2

3 ; 2

3) tg 405o = tg (360o + 45o ) = tg 45o = 1 ; 4) cos 840o = cos(720o + 120o ) = cos120o = cos(90o + 30o ) = − sin 30o = −

1 ; 2

47 π π 1 π = sin(8π − ) = − sin = − ; 6 6 6 2 25 π π 27 π π 6) tg π = tg (6π + ) = tg = 1 ; 7) ctg π = ctg (7 π − ) = −ctg = −1 ; 4 4 4 4 4 4

5) sin

8) cos

21 π π 2 . π = cos(5π + ) = − cos = − 4 4 4 2

(

) (

)

530. 1) cos 630o − sin 1470o − ctg1125o = cos 720o − 90o − sin 1440o + 30o − 1 3 − ctg 1080o + 45o = cos 90o − sin 30o − ctg 45o = 0 − − 1 = − ; 2 2

(

)

147

www.5balls.ru


(

)

(

)

2) tg1800o − sin 495o + cos 945o = 0 − sin 540o − 45o + cos 900o + 45o = o

o

= 0 − sin 45 − cos 45 = − 2 ;

(

)

(

)

(

)

3) 3 cos 3660o + sin − 1560o + cos − 450o = 3 cos 3600o + 60o +

(

) ( ) 3 3 3 3 = − sin (90 + 30 )+ 0 = − cos 30 = − ; 2 2 2 2 4) cos 4455 − cos(− 945 )+ tg1035 − ctg (− 1500 ) = cos(4500 − 45 )− − cos(− 900 − 45 )+ tg (1080 − 45 )− ctg (− 1440 − 60 ) = o

o

+ sin − 1440 − 120 + cos − 360 − 90 = 3 cos 60 − sin 120 + cos 90o = o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

= − cos 45o + cos 45o − tg 45o − ctg 60o = −1 − 531. 1) cos

o

o

o

o

o

o

1

3

o

o

o

.

23π 15π π π  11π    − sin − ctg −  = cos 6π −  − sin 4π −  − 4 4 4 4  2   

π π π π  − ctg − 6π +  = cos + sin − ctg = 2 ; 2 4 4 2 

2) sin

π π 25π 10π  17π    − cos − = sin 8π +  − cos − 8π −  −  − tg 3 2 3 3 2     

2π  π π 2π 3 3  ; − tg 4π − = − 3=−  = sin − cos + tg 3  3 2 3 2 2 

3) sin (− 7 π ) − 2 cos

π π 31π 7π   − tg = 0 − 2 cos10π +  − tg 2π −  = 3 4 3 4   

π π + tg = −1 + 1 = 0 ; 3 4 π  49π   21π   4) cos(− 9) + 2 sin  −  − ctg −  = −1 + 2 sin  − 8π −  − 6  6   4  

= −2 cos

π π π  − ctg − 5π −  = −1 − 2 sin + ctg = −1 − 1 + 1 = −1 . 4 6 4  π  π  532. 1) sin  + α  − cos  − α  = 4  4  π π   π  π  π  = sin  −  − α   − cos − α  = cos − α  − cos − α  = 0 ; ч.т.д.  4  4  4  2 4 π  π  2) cos  − α  − sin  + α  = 6  3  π π   π  π  π = cos − α  − sin −  − α   = cos − α  − cos − α  = 0 ; ч.т.д. 6   6  6  2 6

148

www.5balls.ru


3)

) ⋅ ctg ( + α) = − cos α ⋅ −tgα = − cos αtgα = −sin α ; ч.т.д. tg ( π + α ) tg α − ( ) tgα −ctgα

sin

(

3π −α 2

π 2

3π 2

  π π 7π 533. 1) sin  + α  = sin  π +  + α   = −sin  + α  ; 6 6    6   

2) sin  5π + α  = sin  2π −  3π −α   = −sin  3π − α  ; 4  4  4     π π 2π 3) cos α −  = cos −π+  + α  = −cos  + α  ; 3  3  3  

 2π 4π   4π    4) cos  α −  = cos − 2π +  α +   = cos α +  ; ч.т.д. 3  3  3     

534. Пусть α1α2,α3 — углы треугольника, тогда α1 + α 2 + α3 = 180o и sin (α1 + α 2 ) = sin(180o − α3 ) = sin α3 , ч.т.д. π π 535. 1) cos( − x) = 1;sin x = 1; x = + 2 πk, k ∈ Z . 2 2  3π  2) sin  + x  = 1; − cos x = 1;cos x = −1; x = π + 2πk, k ∈ Z .  2  π 3) cos ( x − π ) = 0;cos ( π − x ) = 0; − cos x = 0;cos x = 0; x = + πk, k ∈ Z . 2 π π 4) sin(x − ) = 1; − sin( − x) = 1; − cos x = 1;cos x = −1; x = π + 2πk, k ∈ Z . 2 2 3π 5) sin ( 2x + 3π )sin(3x + ) − sin 3x cos 2x = −1; 2 sin 2x cos 3x − sin 3x cos 2x = 0;sin ( − x ) = 0;sin x = 0; x = πk, k ∈ Z . 3π ) cos ( 2x + 4π ) − sin (5x + π ) sin 2x = 0; 2 π π π cos 5x cos 2 x + sin 5x sin 2 x = 0 : cos 3x = 0 : 3x = + πk , x = + k , k ∈ Z . 2 6 3 536. Пусть β – любой угол. Тогда β = πk + α, где k-какое-то целое число, а 0 ≤ α < π . И по формулам приведения sinβ = sinα, если k-четное и sinβ = =–sinα, если k-нечетное, cosβ = cosα, если k-четное и cosβ=–cosα, если k — π π нечетное, а tgβ = tgα и cgβ = ctgα. Тогда α = ± γ , где 0 ≤ γ ≤ . И по 2 2 формулам приведения : sin α = cos γ, cos α = ± sin γ ,

6) sin(5x −

tgα = ± ctgγ, ctgα = ± tgγ . Далее: sin γ = 2 sin γ cos γ , 2

2

149

www.5balls.ru


γ

cos γ = cos 2

γ

2tg 1 − tg 2 γ γ 2 ,ctgγ = 2, − sin 2 , tgγ = γ γ 2 2 1 − tg 2 2tg 2

2

γ π γ т.е. зная значения sin, cos, tg, ctg для угла , где 0 ≤ ≤ , мы можем вы2 2 4 числить значения sin, cos, tg, ctg для угла β. Ч.т.д. π

π

π

π

+α+ −α +α− +α π π 3 3 537. 1) sin  + α  + sin  − α  = 2sin 3 cos 3 = 2 2 3  3  π = 2 sin cos α = 3 cos α ; 3 π

π

π

π

−β+ +β −β− −β π π 4 4 2) cos  − β  − cos  + β  = −2sin 4 = sin 4 2 2 4  4  π = 2 sin sin β = 2 sin β ; 4

π π  π π  3) sin 2  + α  − sin 2  − α  =  sin  + α  − sin  − α   × 4  4   4  4   π π  π  ×  sin  + α  + sin  − α   = 2sin α cos ⋅ 2sin 4 4 4      

π cos α = 2sin α cos α = sin 2α ; 4

π π  π π  4) cos 2  α −  − cos 2  α −  =  cos  α −  − cos  α +   × 4 4  4 4     

  π π  π π  × cos  α −  + cos  α +   = 2sin α sin ⋅ 2cos α cos = 2sin α cos α = sin 2α . 4 4  4 4   

538. 1) cos105o + cos 75o = 2 cos 90o cos15o = 0 ; 2) sin 105o − sin 75o = 2 sin 15o cos 90o = 0 ; 3) cos

π 11π 5π 2π 2 + cos = 2 cos cos = ; 12 12 3 4 2

4) cos

π 11π 5π 2π 6 − cos = −2 sin ; sin = 12 12 3 4 2

5) sin

7π π π π 2 − sin = 2 sin cos = ; 12 12 4 3 2

6) sin105o + sin165o = 2 sin135o cos 30o = −

6 . 2

1 30o + α 30o − α ; 539. 1) 1 + 2sin α = 2( + sin α) = 2(sin30o + sin α) = 4sin cos 2 2 2

150

www.5balls.ru


1 30o − α 30o + α 2) 1 − 2sin α = 2( − sin α) = 2(sin 30o − sin α) = 4sin ; cos 2 2 2 1 60o + α 60o − α 3) 1 + 2cos α = 2( + cos α) = 2(cos60o + cos α) = 4cos ; cos 2 2 2  π +α  π −α π  2  4) 1 + sin α = sin + sin α = 2sin  2 cos   2 . 2 2         sin α + sin 3α 2sin 2α cos(−α) 540. 1) = = tg2α , ч.т.д. cos α + cos3 2cos 2α cos(−α)

2)

sin 2α + sin 4α 2sin 3α cos(−α) cos α = = = ctg α , ч.т.д. cos 2α − cos 4α −2sin 3α sin(−α) sin α

541. 1) =

4cos 2α cos α 2cos 2α 2cos 2α ctg 2α = = = ; 2sin α cos α + 2sin 3α cos α sin α + sin 3α 2sin α cos(−α) cos α 2)

=

2(cos α + cos3α) 4cos2α cos(−α) 4cos2α cos α = = = 2sin 2α + sin 4α sin 2α + sin 2α + sin 4α sin 2α + 2sin3α cos(−α)

1 + sin α − cos 2α − sin 3α 2

2 sin α + sin α − 1

=

1 + cos2 α + sin 2 α + sin α − sin 3α 2 sin 2 α + sin α − 1

=

2sin2 α + 2sin(−α)cos2α 2sin α(sin α − cos2α) 2sin α(2sin2 α + sin α −1) = = = 2sin α . 2sin2 α + sin α −1 2sin2 α + sin α −1 2sin2 α + sin α −1

542. 1) cos 4 α − sin 4 α + sin 2α = cos 2α + sin 2α = π π π  π   = cos 2α + cos  − 2α  = 2cos cos  2α −  = 2 cos 2α −  , ч.т.д. 2 4 4 4      2π 2π   2π  2) cos α + cos  + α  + cos  − α  = cos α + 2 cos cos α = 3  3   3  = cos α − cos α = 0 , ч.т.д. sin 2α + sin 5α − sin 3α = 3) cos α + 1 − 2sin 2 2α 2sin α cos α + 2sin α cos 4α 2sin α(cos α + cos 4α) = = = 2sin α , ч.т.д. cos α + cos 4α cos α + cos 4α 543. 1) cos22o + cos24o + cos26o + cos28o = 2cos1ocos23o + 2cos1ocos27o = = 2cos1o(cos23o + cos27o) = 4cos1ocos2ocos25o; π π 5π π π π π π 1 2) cos + cos + cos = 2 cos cos − cos = 2 cos  cos −  = 12 4 6 6 12 6 6 12 2  π π π π π π 5π 5π = 2 cos  cos − cos  = 4cos sin sin = 2 3 sin sin . 6 24 8 24 8 6 12 3

151

www.5balls.ru


544. tgα + tgβ =

sin α sin β sin α cos β + sin β cos α sin(α + β) + = = , ч.т.д. cos α cos β cos α cos β cos α cos β sin 360o

1) tg267o + tg93o =

=0 cos 267o cos93o 5π 7π sin π 2) tg + tg = =0. 12 12 cos 5π ⋅ cos 7 π 12

12

545. 1) 1 – cosα + sinα = cos0 – cosα + sinα = α  α α α α α α = −2 sin sin −  + 2 sin cos = 2 sin  sin + cos  ; 2 2 2 2 2 2 2    2) 1 – 2cosα + cos2α = cos0 + cos2α – 2cosα = 2cosαcos( – α) – 2cosα = = 2cosα(cosα – 1); cos α + sin α cos α − cos 2 α − sin α = cos α cos α(1 − cos α ) − sin α(1 − cos α ) (1 ��� cos α )(cos α − sin α ) = = = (1 − cos α )(1 − tgα ) ; cos α cos α 1  sin α + cos α  4) 1 + sin α + cos α + tgα = sin α + cos α + = (sin α + cos α)1 + . cos α cos α 

3) 1 + sin α − cos α − tgα =

546. 1) cosα, если sin α =

3 π и < α < π ; cos α = − 1 − 1 = − 2 ; 2 3 3 3

5 3π 1 9 2 ; ; tgα = , π<α< −1 = −1 = 2 3 2 5 cos α 5 π 3) sinα, если tgα = 2 2 и 0 < α < ; 2 2) tgα, если cos α = −

sin α = tgα cos α = tgα ⋅

1 2

1 + tg α

=2 2⋅

1 2 2 ; = 9 3

3π ; 2     1  = 2 ⋅− 1  = − 2 . cos α = ctgα ⋅ sin α = ctgα ⋅  −   1 + ctg 2 α  3  3    π  π  547. 1) 2 sin (π − α )cos − α  + 3 sin 2  − α  − 2 = 2  2 

4) cosα, если ctgα = 2 и π < α <

= 2 sin α sin α + 3 cos 2 α − 2 = 2 cos 2 α + 3 cos 2 α = cos 2 α ; π  3π   sin (π + α )cos − α  tg α −  2 2  − sin α(− sin α )(− ctgα ) ctg 2α .    2) = = − sin α ⋅ sin α ⋅ tgα  π   3π + α  tg (π + α ) cos + α  cos  2   2

152

www.5balls.ru


548. 1) sin 47π = sin 8π − π  = − sin π = − 1 ; 2) tg 25π = tg 6π + π  = tg π = 1 ; 6

6

6

4

2

4

4

3) ctg 27π = ctg 7π − π  = −ctg π = −1 ; 4) cos 21π = cos 5π + π  = − cos π = − 2 . 4

4

4

4

4

4

2

23π 15π π π π π   549. 1) cos − sin = cos 6π −  − sin  4π −  = cos + sin = 2 ; 4 4 4 4 4 4    

2) sin

25π π π π π 10π 3   ; − tg = sin  8π +  − tg 3π +  = sin − tg = − 4 3 3 3 3 3 2  

3) 3cos3660o + sin(−1560o ) = 3cos(360o ⋅ 10 + 60o ) + sin(−180o ⋅ 9 + 60o ) = = 3 cos 60 o − sin 60 o =

(

)

3− 3 ; 2

(

) (

)

4) cos − 945 o + tg1035 o = cos − 180 o ⋅ 5 − 45 o + tg 360 o ⋅ 3 − 45 o = = − cos 45 o − tg 45 o = −

2 −1 . 2

 1 + cos2 α 1  1 + cos2 α − sin2 α  sin α ⋅ 550. 1)  − sin α tgα =  =  sin α 2   2 cosα sin α    

=

2cos 2 α sin α ⋅ = cos α ; sin α 2cos α

 1 + sin2 α  cosα  1 + sin 2 α − cos2 α  cos α 2sin2 α  = 2) ctgα ⋅ = 2sin α. − cosα  =  cosα  sin α   sin α cos α cosα    

( + α) − cos( + α) = sin 551. 1) sin ( + α) + cos ( + α) sin sin

π 4 π 4

π 4 π 4

π π π π cos α + sin α cos − cos cos α + sin sin α 4 4 4 4 = π π π π cos α + sin α cos + cos cos α − sin sin α 4 4 4 4

2 2 2 2 cos α + sin α − cos α + sin α 2 sin α 2 2 2 2 = = = tgα ; 2 2 2 2 2 cos α cos α + sin α + cos α − sin α 2 2 2 2 π π π π π π sin − α − cos − α sin cos α − sin α cos + cos α cos − sin sin α 4 4 4 4 4 4 2) = = π π π π π π α − α − α − α sin cos sin cos cos cos sin sin sin − α + cos − α 4 4 4 4 4 4

( ) ( ) ( ) ( )

=

2 (cos α − sin α ) 2 sin α

= 1 − ctgα

552. 1) 1 + tgαtgβ = 1 +

sin α sin β cos α cos β + sin α sin β cos(α − β) , ч.т.д. = = cos α cos β cos α cos β cos α cos β

153

www.5balls.ru


2) tgα − tgβ =

sin α sin β sin α cos β − sin β cos α sin(α − β) , ч.т.д. − = = cos α cos β cos α cos β cos α cos β

 π  π   553. 1) 2 sin 6α cos 2  + 3α  − sin 6α = sin 6α 2 cos 2  + 3α  − 1 = 4 4     

5π  5π   π = = sin 6α ⋅ cos + 6α  = − sin 2 6α =  α =  = − sin 2 24  4   2 1 π π  = − sin 2  π +  = − sin 2 = − ; 4 4 2    π π 2) cos3α + 2cos ( π − 3α ) sin 2  − 1,5α  = cos3α 1 − 2sin 2  − 1,5α   = 4  4  

1 5π  1  5π  1  π  = cos3α cos  − 3α  = cos 3α sin 3α = sin 6α =  α =  = sin   = . 2 36  2  5  4 2  

554. 1)

(

3 cos75o − cos15o 1 − 2sin2 15o

) = −2 2sin45o sin30o = −2 cos30o

2⋅ 3 2

2 1 ⋅ 2 2

=−

2 ; 3

π 2 π −1 cos 2 8 4 2 2) . = = = π π π 1+1 4 1 + 8sin 2 cos2 1 + 2sin 2 8 8 4

2cos 2

555. 1)

2 sin 2α − sin 4α 2 sin 2α(1− cos2α) 1− cos2α 2 sin2 α = = = = 2tg 2α , ч.т.д. 2 sin 2α + sin 4α 2 sin 2α(1+ cos2α) 1+ cos2α 2 cos2 α π

(1 − cos( − 2α)) 1 − sin2α 2 cos2α(1− sin 2α) 2 cos2α − sin 4α π 2 2) tg2 ( − α) = , = = = π 4 (1 + cos( + 2α)) 1 + sin2α 2 cos2α(1+ sin 2α) 2 cos2α + sin 4α 2

ч.т.д. 556. 1) sin35o + sin24o = 2sin30ocos5o = cos5o; 2) cos12o – cos48o = – 2sin( – 18o)sin30o = – sin( – 18o) = sin18o.  cos β sin β  1 − cos 4α 557.  + = ⋅  sin α cos α  cos(π − β + α ) =

(cos α cos β + sin α sin β) ⋅

2 sin 2 2α 2 cos(α − β )sin 2 2α = = −4sin 2α . 1 1 − cos(α − β ) sin 2α − sin 2α cos(α − β ) 2 2  7π  7π 7π sin(2α − 3π) + 2 cos + 2α  −sin2α + 2cos cos2α − 2sin sin2α 6   6 6 558. 1) = = π π π  2 cos − 2α + 3 cos(2α − 3π) 2cos cos2α + 2sin sin2α − 3cos2α 6 6 6 

154

www.5balls.ru


=

=

− sin 2α − 3 cos 2α + sin 2α

− 3 cos 2α = = − 3ctg 2α , ч.т.д. sin 2α 3 cos 2α + sin 2α − 3 cos 2α  π 2 cos − 2α  − 3 sin(2,5π − 2α) 2cos π cos2α + 2sin π sin 2α − 3cos2α 6   6 6 2) = = π π π  sin 2α + 2cos cos2α − 2sin sin 2α cos(4,5π − 2α) + 2 cos + 2α  6 6 6  3 cos 2α + sin 2α − 3 cos 2α sin 2α + 3 cos 2α − sin 2α

559. 1)

2)

=

sin 2α 3 cos 2α

=

tgα 3

, ч.т.д.

1 − cos α + cos 2α 2cos 2 α cos α(2cos α − 1) = = = ctgα , ч.т.д. sin 2α − sin α sin 2α − sin α sin α(2cos α − 1)

sin α + sin

α 2

1 + cos α + cos

α 2

=

α 2

α α α + 1) sin (2cos + 1) α 2 2 2 = = tg , ч.т.д. α α α 2α 2 2cos cos (2cos + 1) + cos 2 2 2 2

sin (2cos

3

1+ π α π 1 − cos α 5 =2 560. < < и tgα = = 3 4 2 2 1 + cos α 1− 5

1 1 1 1 3 561. sin α cos α = − (sin α − cos α )2 + = − + = ; 2 2 8 2 8 1 11

sin 2 α cos2 α sin3 α − cos3 α (sin α − cos α)(1 + sin α cos α) 2 ⋅ 8 11 − = = = = . 3 cos α sin α sin α cos α sin α cos α 6

8 8 ctg 2α − 1 − 9 4 562. ctg2α = = =− ; 2 2ctgα 3 3 4sin 2α 5cos 2α 20 2 + 4− − 4sin 2α + 5cos 2α sin 2α = 4 + 5ctg2α = 3 = 3 =−4 . = sin 2α 2sin 2α − 3cos 2α 2sin 2α − 3cos 2α 2 − 3ctg2α 2 + 12 6 9 sin 2α sin 2α 3

563. 1) sin2(α + β) = (sinαcosβ + sinβcosα)2 = sin2αcos2β + sin2βcos2α + + 2sinαsinβcosαcosβ = sin2α – sin2αsin2β + sin2βsin2α + 2sinαcosαsinβcosβ = = sin2α + sin2β + 2sinαsinβ(cosαcosβ – sinαsinβ) = sin2α + sin2β+2sinαsinβ × ⋅ × cos(α + β), ч.т.д. 2) sinα + 2sin3α + sin5α = 2sin3αcos2α + 2sin3α = 2sin3α(cos2α + 1) = = 4sin3αcos2α, ч.т.д. sin α + sin3α + sin5α 2sin3α cos2α + sin3α 564. = = cos α + cos3α + cos5α 2cos3α cos2α + cos3α sin3α(2cos2α+1) sin3α = = tg3α , ч.т.д. cos3α(2cos2α+1) cos3α

155

www.5balls.ru


565. =

sin α 3

3

sin α + 3cos α

(

)

1 sin α tgα  2  tgα 1 + tg 2α 3  cos α  cos α = = = = 3

3

tg α + 3

tg α + 3

3

tg α + 3

2 ⋅ 5 10 = . 8 + 3 11

π  π  566. sin 2 α + cos − α  cos + α  = 3 3     π π π π 2 = sin α + (cos cos α + sin sin α )(cos cos α − sin sin α ) = 3 3 3 3 1 1 1 π π = sin 2 α + cos 2 cos 2 α − sin 2 sin 2 α = sin 2 α + cos 2 α = , ч.т.д. 3 3 4 4 4 1 1 1 567. 1) (5 + 3cos 4α ) = (6 cos 2 2α + 2) = (6(cos 2 α − sin 2 α ) 2 + 2) = 8 8 8 1 1 2 2 2 2 2 = (6(sin α + cos α) − 24sin α cos α + 2) = (8 − 24sin 2 α cos 2 α ) = 8 8 = 1 − 3sin 2 α cos 2 α = (sin 2 α + cos 2 α )(sin 2 α + cos 2 α ) − 3sin 2 α cos 2 α =

= sin 4 α + cos 4 α − sin 2 α cos 2 α = (sin 2 α + cos 2 α )(sin 4 α + cos 4 α ) − − sin 2 α cos 2 α (sin 2 α + cos 2 α ) = sin 6 α + cos 6 α + sin 2 α cos 4 α + + sin 4 α cos 2 α − sin 2 α cos 4 α = sin 6 α + cos 6 α , ч.т.д.

2) sin 8 α + cos8 α = (sin 4 α + cos 4 α ) 2 − 2sin 4 α cos 4 α = = ((sin 2 α + cos 2 α ) 2 − 2sin 2 α cos 2 α ) 2 − 2sin 4 α cos 4 α = (1 − 2sin 2 α cos 2 α ) 2 − 1 −2sin 4 α cos 4 α = 1 − 4sin 2 α cos 2 α + 2sin 4 α cos 4α = 1 − sin 2 α + sin 4 2α = 8 1 1 1 1 2 (1 − cos 4α ) = 1 − + cos 4α + = 1 − (1 − cos 4α ) + 2 32 2 2 1 1 1 1 cos 2 4α = cos 2 4α + 14 cos 4α + 17 , ч.т.д. + − cos 4α + 32 16 32 32

(

156

www.5balls.ru

)


Глава VI. Тригонометрические уравнения 568. 1) arccos 0 = 3) arccos

π ; 2

2 π = ; 2 4

2) arccos1 = 0; 4) arccos

1 π = ; 2 3

 π 5π 3  3 5) arccos − ; = π − arccos = π− =  2  2 6 6     2 2   = π − π = 3π . 6) arccos − = π − arccos  2   2  4 4     π 569. 1) 2 arccos 0 + 3 arccos 1 = 2 ⋅ + 3 ⋅ 0 = π ; 2 π 2) 3 arccos(− 1) − 2 arccos 0 = 3 ⋅ π − 2 ⋅ = 2π ; 2

3) 12 arccos

3 π 2π  1 − arccos −  = 12 ⋅ − 3 ⋅ =0; 2 6 3  2

  2  2  3π 2π 4) 4 arccos − − 6 arccos − = 4⋅ −6⋅ = 3π − 4π = −π .  2   2  4 3    

3 π π 3 1 1 = < = arccos , т.е. arccos < arccos ; 2 6 3 2 2 2 3 3     2) arccos −  < π = arccos(− 1) , т.е. arccos −  < arccos(− 1) ;  4  4 570. 1) arccos

 2  3π 2π  2   =  , т.е. arccos − 2  > arccos − 1  . 3) arccos − > = arccos −  2   2  4  2  3  2      

571. 1) cos x = 2) cos x = −

2 ; 2

3 ; 2

x = ± arccos

2 + 2πk ; 2

 3  x = ± π − arccos + 2πk ;   2  

x=±

π + 2πk , k ∈ Z ; 4

x=±

5π + 2πk , k ∈ Z ; 6

 1  3π  + 2πk ; x = ± π − arccos x=± + 2πk , k ∈ Z .  4 2   3 3 572. 1) cos x = ; x = ± arccos + 2πk, k ∈ Z ; 4 4 2) cosx = – 0,3; x = ±(π – arccos0,3) + 2πk, k ∈ Z 3) cos x = −

3) cos x = −

1

2

;

3 ; 2

 3  ; x = ± π − arccos   2  

x=±

5π + 2πk , k ∈ Z . 6

157

www.5balls.ru


π k, k ∈ Z . 2 2) cos2x = – 1; 2x = ±(π – arccos1) + 2πk; 2x = ±π + 2πk; π x = ± + πk, k ∈ Z . 2 x 1 x x 3π 3) 2 cos = −1 ; = ± (− arccos ) + 2πk ; = ± + 2πk ; 4 4 4 4 2 x = ±3π + 8πk, k ∈ Z. 573. 1) cos4x = 1; 4x = ±arccos1 + 2πk; 4x = 2πk; x =

4) 2 cos

x 3 x x π + 2πk ; = ± + 2πk ; = 3 ; = ± arccos 3 2 3 3 6

π + 6πk , k ∈ Z . 2 π π π  5) cos x +  = 0 ; x + = ± arccos 0 + 2πk ; x = − + 2πk , k ∈ Z . 3 3 3   x=±

π π π  6) cos 2x −  = 0 ; 2 x − = ± arccos 0 + 2πk ; 2 x = + 2πk ; 4 4 4   π x = + πk , k ∈ Z . 8 574. 1) cosxcos3x = sin3xsinx; cosxcos3x – sin3xsinx = 0; π π π cos4x = 0; 4 x = + πk ; x = + k, k ∈ Z . 2 8 4 π 2) cos2xcosx + sin2xsinx = 0; x = + πk , k ∈ Z . 2

(

)

575. 1) arccos 6 − 3 — имеет, т.к.

6 −3 <1;

( ) 7 −2 <1; 3) arccos(2 − 10 ) — не имеет, т.к. 2 − 10 > 1 ; 4) arccos(1 − 5 ) — не имеет, т.к. 1 − 5 > 1 ; 2) arccos 7 − 2 — имеет, т.к.

1 1 3π π 5) tg(3arccos ) — имеет, т.к. 3 arccos = = π+ . 2 3 2 2 cos22x – sin22x = 1; 576. 1) cos22x = 1 + sin22x; π cos4x = 1; 4x = 2πk; x = k, k ∈ Z . 2 2) 4cos2x = 3;

cos x = ±

3 ; 2

158

www.5balls.ru


π 5π π + 2πk и x = ± + 2πk , k ∈ Z , т.е. x = ± + πk , k ∈ Z . 6 6 6 1 cos2 x − sin 2 x = ; 3) 2cos2x = 1 + 2sin2x; 2 1 π π 2 x = ± + 2πk ; x = ± + πk , k ∈ Z . cos 2 x = ; 2 3 6 x=±

(

)

2 2 cos 2 x − 1 = 1 ; 4) 2 2 cos 2 x = 1 + 2 ; 1 π π cos 2 x = ; 2 x = ± + 2πk ; x = ± + πk , k ∈ Z ; 4 8 2 5) (1 + cosx)(3 – 2cosx) = 0; 3 cos = – 1 и cos x = ; x = π + 2πk, k ∈ Z; во втором случае решений нет. 2 4 6) (1 – cosx)(4 + 3cos2x) = 0; cosx = 1 и cos x = − ; 3 х = 2πk, k ∈ Z; во втором случае решений нет. 1 1 7) (1 + 2cosx)(1 – 3cosx) = 0; cos x = − и cos x = ; 2 3 2π 1 x=± + 2πk и x = ± arccos + 2πk , k ∈ Z . 3 3 1 2 8) (1 – 2cosx)(2 + 3cosx) = 0 cos x = и cos x = − ; 2 3 2 π x = ± + 2πk и x = ±( π − arccos ) + 2πk, k ∈ Z . 3 3 π 1 2π 577. cos 2 x = − ; 2x = ± + 2πk ; x = ± + πk , k ∈ Z ; 2 3 3  π 5π  среди них отрезку − ;  принадлежат:  2 2 x1 = −

2π 4π 5π 7π π π . , x2 = , x3 = ,x4 = , x5 = , x6 = 3 3 3 3 3 3

π π π + 2πk ; x = ± + k , k ∈ Z , 4 16 2 π π . x1 = − , x 2 = 16 16 1 7 π π 579. 1) arccos(2x − 3) = ; 2x − 3 = ; x= ; 2 x − 3 = cos ; 3 3 2 4 x +1 x + 1 2π 2π 5  1 ; 2) arccos ; x=− . = cos = x +1 = 3⋅−  ; 3 3 3 3 2 2  

2 ; 2 π среди них с x < ; 4 578. cos 4 x =

4x = ±

580. arccos a = α, такое, что cosα = a, и 0 ≤ α ≤ π, по определнию.

159

www.5balls.ru


Тогда cos(arccos a) = cosα = a, ч.т.д. 2) cos(arccos(− 2 )) = − 2 ;

1) cos(arccos0,2) = 0,2;

3

3) cos(π + arccos 3 ) = − cos(arccos 3 ) = − 3 ;

4 4 4 π 1 1 1 4) sin( + arccos ) = cos(arccos ) = ; 2 3 3 3

5) sin(arccos 4 ) = 1 − cos 2 (arccos 4 ) = 1 − 16 = 3 , т.к. 5 5 25 5 4 arccos ∈ [0; π] и sinα ≥ 0 для всех α ∈ [0; π]; 5

6) tg (arccos 3 ) = 10

arccos

1 cos 2 (arccos

3 ) 10

−1 =

10 1 − 1 = , т.к. 9 3

 π > 0 и tgα > 0, для всех α ∈ 0;  . 10  2 3

160

www.5balls.ru

3


581. arccos(cosα) = β, 0 ≤ β ≤ π, что cos β = cosα, так что α = β и arccos(cosα) = α, ч.т.д. π π 2) 3arccos(cos2) = 6; 1) 5arccos(cos ) = ; 10 2 8π π π 6π 3) arccos(cos ) = arccos(− cos ) = π − arccos(cos ) = ; 7 7 7 7 4) arccos(cos4) = arccos( – cos(4 – π)) = π – arccos(cos(4 – π)) = 2π – 4. 1 2 2 1 2 2 582. 1) sin(arccos + arccos ) = sin(arccos ) ⋅ cos(arccos )+ 3 3 3 3 1 2 2 1 2 2 1 8 8 1 + cos(arccos ) ⋅ sin(arccos ) = 1− ⋅ + ⋅ 1− = + = 1 . 3 3 9 3 3 9 9 9

4 3 4 3 2) cos(arccos − arccos ) = cos(arccos ) ⋅ cos(arccos ) + 5 5 5 5 4 3 4 3 16 9 4 3 3 4 24 . + sin(arccos ) ⋅ sin(arccos ) = ⋅ + 1 − = ⋅ + ⋅ = 1− 5 5 5 5 25 25 5 5 5 5 25

583. 1) cos(2arccosa) = 2cos2(arccosa) – 1 = 2a2 – 1; 3π 2) cos( + arcsin a) = sin (arcsin a ) = a . 2 584. 2 arccos 1 + a = arccos a ; 2

2arccos

1+ a 1 + cos(arccos a) 1 = 2arccos = 2arccos(cos( arccos a)) = 2 2 2

1 = 2 ⋅ arccos a = arccos a , ч.т.д. 2

585. 1) cosx = 0,35; x = ±arccos0,35 + 2πk, k ∈ Z, с помощью микрокалькулятора находим arccos0,35; 2) cosx = – 0,27; x = ±(π – arccos0,27) + 2πk, k ∈ Z, с помощью микрокалькулятора находим arccos0,27. 586. 1) arcsin0 = 0;

2) arcsin 1 = π ;

3) arcsin 3 = π ;

4) arcsin 1 = π ;

  5) arcsin − 2  = − π ;  2  4  

  6) arcsin − 3  = − π .  2  3  

2

2

2

6

3

587. 1) arcsin1 – arcsin(– 1) = 2arcsin1 = π4 2) arcsin 1 + arcsin − 1  = 0 ;   2

2

3) arcsin 1 + arcsin 3 = π + π = π ; 2

  4) arcsin − 3  + arcsin − 1  = − π − π = − π .  

2  3  2 588. 1) arcsin 1 и arcsin  − 1  ; 4  4

6

2

160

www.5balls.ru

2

6

3

2


arcsin

1 1  1 > 0 > − arcsin = arcsin  −  , т.е. 4 4  4

arcsin

1  1 > arcsin  −  ; 4  4

2) arcsin  − 3  и arcsin( – 1);  4

π  3 arcsin  −  > − = arcsin(−1) , т.е. 2  4

589. 1) sin x = 3 ;

 3 arcsin −  > arcsin (− 1) .  4

x = (− 1)k arcsin

2

3 + πk ; 2

2 + πk ; 2

x = (− 1)k

π + πk , k ∈ Z ; 3

π + πk , k ∈ Z ; 4

2) sin x = 2 ;

x = (− 1)k arcsin

3) sin x = − 1 ;

 1  π  + πk ; x = (− 1)k +1 + πk , k ∈ Z . x = (− 1)k arcsin −  4 2   2 x = (− 1)k arcsin + πk , k ∈ Z ; 7 1 x = (− 1)k +1 arcsin + πk , k ∈ Z ; 4

2

2

590. 1) sin x = 2 ; 7

2) sin x = − 1 ; 4 3) sin x = 5 ;

3x =

591. 1) sin3x = 1; 2) sin2x = – 1; 2 x = − 2 sin

4) 2 sin

5 + πk , k ∈ Z . 3

x = (− 1)k arcsin

3

3)

x = (− 1)k

π + 2πk ; 2

π + 2πk ; 2

x=−

x=

π 2π k, k ∈ Z ; + 6 3

π + πk , k ∈ Z ; 4

x x 1 3π k +1 = −1 ; = ( −1) arcsin + 3πk , k ∈ Z ; + πk; x = (− 1)k +1 3 4 3 2

x = 3; 2

5) sin( x + 3π ) = 0 ;

4 6) sin(2 x + π ) = 0 ; 2

x 3 2π = (− 1)k arcsin + πk ; x = (− 1)k + πk , k ∈ Z ; 3 2 2 3π = 0 + πk ; 4 π 2 x + = πk ; 2

x+

3π + πk , k ∈ Z ; 4 π π x = − + k, k ∈ Z . 4 2

x=−

592. 1) sin4xcos2x = cos4xsin2x; sin4xcos2x – cos4xsin2x = 0;

sin2x = 0;

2x = πk;

x=

π k, k ∈ Z . 2

2) cos2xsin3x = sin2xcos3x; cos2xsin3x – sin2xcos3x = 0; sinx = 0; x = πk, k ∈ Z. 593. 1) arcsin( 5 − 2) — имеет, т.к. 5 − 2 ≤ 1 ; 2) arcsin( 5 − 3) — имеет, т.к. 3) arcsin(3 –

5 −3 ≤1;

17 ) arcsin(3 − 17) — не имеет, т.к. 3 –

17 < – 1;

161

www.5balls.ru


10 ) — не имеет, т.к. 2 – 10 < – 1; 1 1 π 5) tg(6arcsin ) — имеет, т.к. tg(6arcsin ) = tg(6 ⋅ ) = tgπ = 0 ; 2 2 6

4) arcsin(2 –

6) tg(2srcsin

2 ) — не имеет, т.к. tg(2arcsin 2 ) = tg(2 ⋅ π ) = tg π — не су2 2 4 2

ществует. 594. 1) 1 – 4sinxcosx = 0; 2 x = (− 1)k

π + πk ; 6

1 – 2sin2x = 0; x = (− 1)k

3 + 4 sin x cos x = 0 ;

2)

sin 2 x =

1 ; 2

π π + k, k ∈ Z ; 12 2

3 + 2 sin 2 x = 0 ;

3 π π π 2 x = (− 1)k +1 + πk ; x = (− 1)k +1 + k , k ∈ Z ; 3 6 2 2 x x x 1 x 1 + 6 sin cos = 0 ; 1 + 3 sin = 0 ; sin = − ; 2 3 2 4 4 1 1 x = (− 1)k +1 arcsin + 2πk , k ∈ Z ; = (− 1)k +1 arcsin + πk ; 3 3 x x 2x 1 − 8 sin cos = 0 ; 1 − 4 sin = 0; 3 3 3

sin 2 x = − 3) x 2 4)

sin

2x 1 = (− 1)k arcsin + πk ; 3 4

x = (− 1)k

3 1 3 arcsin + πk , k ∈ Z . 2 4 2

595. 1) 1 + cos5xsin4x = cos4xsin5x; cos4xsin5x – cos5xsin4x = 1;

sinx = 1; x = π + 2πk , k ∈ Z ; 2

2) 1 – sinxcos2x = cos2xsinx; π + 2πk ; x = π + 2π k , k ∈ Z . 2 6 3 3 1 596. 1) (4sinx – 3)(2sinx + 1) = 0; sin x = или sin x = − ; 4 2 3 k k +1 π x = (− 1) arcsin + πk или x = (− 1) + πk , k ∈ Z ; 4 6 1 3 2) (4sin3x – 1)(2sinx + 3) = 0; sin 3x = или sin x = − ; 4 2

sinxcos2x – sin2xcosx = 1; sin3x = 1; 3x =

3x = (− 1)k arcsin

1 + πk , k ∈ Z , а во втором случае решений нет, значит, 4

1 1 π arcsin + k , k ∈ Z . 3 4 3 1 π 597. sin 2 x = ; 2 x = (− 1)k + πk ; 2 6 x = (− 1)k

162

www.5balls.ru

x = (− 1)k

π π + k, k ∈ Z ; 12 2


из них промежутку [0; 2π] принадлежат: x1 = π , x 2 = 5π , x 3 = 13π , x 4 = 17π . 12 x k π  2 = ( −1) 3 + πk, k ∈ Z  x 3 598. sin 2 = 2 ;  x − 4π < π ; log π ( x − 4π ) < 1   x − 4π > 0  

Решением системы является x =

12 12 12  x = ( −1)k 2π + 2πk, k ∈ Z  3  .  x < 5π  x > 4π  

14π . 3

599. Пусть arcsina — α, тогда α ∈ − π ; π  и sinα = a. Следовательно,  2 2

sin(arcsina) = sinα = a, ч.т.д.  1 1 1  1  1) sin(arcsin ) = ; 2) sin  arcsin −   = − ; 7 7 5  5   3 3 3 3) sin(π + arcsin ) = − sin(arcsin ) = − ; 4 4 4 3π 1 1 1 4) cos( − arcsin ) = − sin(arcsin ) = − ; 2 3 3 3 4 4 16 3 5) cos(arcsin ) = 1 − sin 2 (arcsin ) = 1 − = ; 5 5 25 5 1

6) tg(arcsin

) (sin arcsin 1 1 1 10 )= = = . 1 3 3 10 ) cos(arcsin 10 ⋅ 10

10

600. Пусть arcsin(sinα)=β, тогда sin α =sinβ и − π ≤ β ≤ π и − π ≤ α ≤ π , 2

2

2

2

т.е. α=β. Значит, arcsin(sinα) = α, ч.т.д. π π 1 1 2) 4arcsin(sin ) = 4 ⋅ = 2 ; 1) 7 arcsin(sin ) = 7 ⋅ = π ; 7 7 2 2 π π 6π 3) arcsin(sin ) = arcsin(sin ) = ; 7 7 7 4) arcsin(sin5) = arcsin(sin(5 – 2π) = 5 – 2π. 601. 1) cos(arcsin 3 ) = 1 − sin 2 (arcsin 3 ) = 1 − 9 = 4 ; 5

5

25

5

2) cos arcsin − 4   = 1 − sin 2  arcsin − 4   = 1 − 16 = 3 ;     25 5  5   5    3) cos arcsin − 1   = 1 − sin 2  arcsin − 1   = 1 − 1 = 2 2 ;     

 3 

 3 

9

3

163

www.5balls.ru


4) cos(arcsin 1 ) = 1 − sin 2 (arcsin 1 ) = 1 − 1 = 15 . 4

4

16

4

602. 1) sin(arccos 2 ) = 1 − cos2 (arccos 2 ) = 1 − 4 = 5 ; 3 3 9 3 2) sin  arccos − 1   = 1 − cos 2  arccos − 1   = 1 − 1 = 3 .     

 2 

 2 

4

2

603. 1) sin(arcsin 1 + arccos 2 2 ) = sin(arcsin 1 ) ⋅ cos(arccos 2 2 ) + 3

3

3

3

2 2 1 2 2 1 + sin(arccos ) ⋅ cos(arcsin ) = ⋅ + 3 3 3 3 2 2 1 1 2 2 4 2 2 2 1 ; ⋅ + ⋅ = ) ⋅ 1 − sin 2 (arcsin ) = 3 3 3 3 9 2 3 3 4 3 4 3 2) cos(arcsin + arccos ) = cos(arcsin ) ⋅ cos(arccos ) − sin(arcsin ) ⋅ 5 5 5 5 5

+ 1 − cos 2 (arccos

4 4 3 3 4 ⋅ sin(arccos ) = 1 − sin 2 (arcsin ) − 1 − cos 2 (arccos ) = 5 5 5 5 5  −1 ≤ x − 3 ≤ 1  2 ≤ x ≤ 4 2 604. 1) arcsin( x − 3) = π ;  ;  2 ; 2 6 x π x = 3+ 1 − 3 = sin 2 2 6 2

2) arcsin(3 − 2x) = −

4 4 3 3 7 . ⋅ − ⋅ = 5 5 5 5 25 4 ≤ x ≤ 8 . Ответ: х = 7.  x = 7

π ; 4

−1 ≤ 3 − 2x ≤ 1 −4 ≤ −2x ≤ −2   ;  π ;  2 3 − 2x = sin − 4 2x = 3 + 2 605. Т.к. 0≤а≤1, то arcsin a ∈ 0; π   2

( )

1 ≤ x ≤ 2  .  6+ 2  x = 4

Ответ: x =

6+ 2 . 4

и 2arcsina=[0; π], и arccos(1 − 2a 2 ) ∈ [0; π] ;

cos(2arcsina) = 1 – 2sin2(arcsina) = 1 – 2a2 = cos(arccos(1 – 2a2)), т.е. 2arcsina = arccos(1 – 2a2), ч.т.д. 606. 1) sinx = 0,65 x = ( – 1)karcsin0,65 + πk, k ∈ Z, с помощью микрокалькулятора находим arcsin0,65. 2) sinx = – 0,31 x = ( – 1)k + 1arcsin0,31 + πk, k ∈ Z, с помощью микрокалькулятора находим arcsin0,31.   607. 1) arctg0 = 0; 2) arctg (− 1) = − π ; 3) arctg − 3  = − π ; 4) arctg 3 = π .  

4

3 

6

  608. 1) 6arctg 3 − 4 arcsin − 1  = 6 ⋅ π − 4 ⋅  − π  = 2π + π = 3π ;   2

3

 4

2) 2arctg1 +3 arcsin − 1  = 2 ⋅ π + 3 ⋅  − π  = π − π = 0 ;  2

4

 6

2

2

164

www.5balls.ru

3


( )

  3) 5arctg − 3 − 3 arccos − 2  = 5 ⋅  − π  − 3 ⋅  3π  = − 5π − 9π = − 47 π .  

2 

 3

 4 

3

4

12

    609. 1) arctg( – 1) и arcsin − 3  ; arctg(− 1) = − π > − π = arcsin − 3  ,  

2 

4

3

 

2 

  т.е. arctg(− 1) > arcsin − 3  ;  

2 

1 1 1 π ; arctg 3 = = arccos , т.е. arctg 3 = arccos ; 2 2 2 3 3) arctg( – 3) и arctg2; arctg( – 3) < 0 < arctg2, т.е. arctg( – 3) < arctg2; 4) arctg( – 5) и arctg0; arctg( – 5) < 0 < arctg0, т.е. arctg( – 5) < arctg0. 1 1 π ; x = arctg + πk ; 610. 1) tgx = x = + πk , k ∈ Z ; 6 3 3

2) arctg 3 и arccos

2) tgx = 3 ;

x = arctg 3 + πk ;

3) tgx = − 3 ;

x = arctg(− 3) + πk ;

4) tgx = – 1;

x = atctg(– 1) + πk;

5) tgx = 4; 6) tgx = – 5;

x = arctg4 + πk, k ∈ Z; x = arctg(– 5) + πk;

π + πk , k ∈ Z ; 3 π x = − + πk , k ∈ Z ; 3 π x = − + πk , k ∈ Z ; 4 x=

x = – arctg5 + πk, k ∈ Z. π x = k, k ∈ Z ; 611. 1) tg3x = 0; 3x = πk; 3 x x x π 3π 2) 1 + tg = 0 ; tg = −1 ; = − + πk ; x = − + 3πk , k ∈ Z ; 3 3 3 4 4 x x x π 3) 3 + tg = 0 ; tg = − 3 ; = − + πk ; x = – 2π + 6πk, k ∈ Z. 6 6 6 3 612. 1) (tgx − 1)(tgx + 3) = 0 ; tgx = 1 или tgx = − 3 ;

x=

π π + πk или x = − + πk , k ∈ Z ; 4 3

2) ( 3tgx + 1)(tgx − 3) = 0 ; 1 π π tgx = − или tgx = 3 ; x = − + πk или x = + πk , k ∈ Z ; 6 3 3 3) (tgx – 2)(2cosx – 1) = 0; 1 π x = arctg2 + πk или x = ± + 2πk , k ∈ Z ; tgx = 2 или cos x = ; 2 3 4) (tgx – 4,5)(1 + 2sinx) = 0; 1 π tgx = 4,5 или sin x = − ; x = arctg4,5 + πk или x = (− 1)k +1 + πk , k ∈ Z ; 2 6

165

www.5balls.ru


x − 1) = 0 ; 2 x tgx = – 4 или tg = 1 ; 2

5) (tgx + 4)(tg

x = – arctg4 + πk или x =

x = – arctg4 + πk или

x π = + πk , k ∈ Z , т.е. 2 4

π + 2πk , k ∈ Z ; 2

π Последняя серия корней не подходит, т.к. tg( + 2πk) — не существу2 ет, т.е. x = – arctg4 + πk, k ∈ Z; x x 6) ( tg + 1)( tgx − 1) = 0; tg = −1 или tgx = 1; 6 6 х π π = − + πk или x = + πk, k ∈ Z ; 6 4 4 π −3π x= + 6π или x = + πk, k ∈ Z . Первая серия корней не подходит, 4 2 π 3π т.к. tg (− + 6πk) — не существует, значит, х = + πk, k ∈ Z . 2 4 613. tgx =

3 ; 3

x=

π + πk , k ∈ Z ; 6

Наименьший положительный корень x 1 = π , а наибольший отрицатель6

ный x 2 = − 5π . 6 614. 1) arctg(5x − 1) =

π ; 4

5x − 1 = tg

π ; 4

5х = 2;

x=

2 ; 5

3+ 3  π . 5x = 3 + 3 ; x = 3 − 5x = tg −  ; 5 3   615. Пусть arctga=α, тогда − π < α < π и tgα=a, т.е. tg(arctga)=tgα=a, ч.т.д. 2 2 2) arctg(3 − 5x ) = −

π ; 3

1) tg(arctg2,1) = 2,1;

2) tg(arctg( – 0,3)) = – 0,3;

3) tg(π – arctg7) = – tg(arctg7) = – 7; 4) ctg( π + arctg6) = − tg(arctg6) = −6 . 2

616. Пусть arctg(tgα) = β, тогда − π < α < π ;− π < β < π и tgβ = tgα, зна2

2

2

2

чит, α = β, т.е. arctg(tgα) = α, ч.т.д. 1) 3arctg(tg π ) = 3 ⋅ π = 3π ;

3) arctg tg 7 π  = arctg tg − π   = − π ;  

2) 4arctg(tg0,5) = 4 ⋅ 0,5 = 2;

4) arctg(tg13) = arctg(tg(13 – 4π))=13 – 4π.

7

7

7

8 

166

www.5balls.ru

  8 

8


617. 1) arctg ctg 5π  = arctg tg − π   = − π ;  

  3  2) arctg(ctg 3π ) = arctg(− tg π ) = − π ; 4 4 4 

6 