Cap´ıtulo XII
Factorizaci´ on ideal En este cap´ıtulo nos adentraremos en la teor´ıa de la divisibilidad, cuyo estudio comenzamos en el cap´ıtulo IV. Nuestro objetivo es demostrar que, a pesar de los ejemplos que hemos visto en el cap´ıtulo anterior, los anillos de enteros algebraicos s´ı tienen factorizaci´ on u ´nica siempre que admitamos la existencia de divisores ‘ideales’ que no se corresponden con elementos del anillo. Esta factorizaci´on u ´nica se comporta de modo extremadamente regular y, aunque no es tan potente como la factorizaci´on u ´nica ‘real’, en muchos casos es suficiente para comprender el comportamiento de estos anillos y, en parte, el comportamiento de los n´ umeros enteros. El origen de las ideas que vamos a exponer se remontan al estudio de Kummer sobre los enteros ciclot´omicos. Kummer quer´ıa averiguar si los anillos de enteros ciclot´omicos tienen factorizaci´on u ´nica, y para ello se dedico a buscar factorizaciones de primos racionales por si encontraba alg´ un contraejemplo. En este proceso lleg´o a desarrollar una teor´ıa que le permit´ıa determinar a priori el n´ umero de divisores primos que deb´ıa tener un primo racional p, sus multiplicidades, as´ı como criterios expl´ıcitos que le permit´ıan determinar a qu´e enteros ciclot´omicos deb´ıa dividir cada factor, todo esto antes de encontrar dichos factores primos. Cuando lleg´ o por fin a encontrar un contraejemplo a la factorizaci´ on u ´nica su teor´ıa estaba tan perfeccionada y era tan coherente que Kummer pudo demostrar que era consistente hablar de divisores ‘ideales’ que se comportaran seg´ un las reglas que hab´ıa obtenido, aunque no se correspondieran con ning´ un divisor real en el anillo (del mismo modo que los antiguos algebristas trabajaban con n´ umeros ‘imaginarios’ aunque no se correspondieran con ning´ un n´ umero real). A finales del siglo XIX Dedekind formaliz´ o la teor´ıa de Kummer identificando sus divisores ideales con los ideales en el sentido usual de la teor´ıa de anillos y probando que los resultados de Kummer son v´ alidos en una clase muy general de anillos que ahora introducimos.
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