10.2. Determinantes
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Con la notaci´ on del teorema 10.11, tenemos adem´as que f (e1 , . . . , en ) = f (In ) = |In C| = |C|, luego f ha de ser la aplicaci´ on construida en la prueba de dicho teorema para a = |C| (f´ ormula (10.1)), que en t´erminos de matrices y determinantes es simplemente f (B) = |B|a. As´ı pues: |BC| = f (B) = |B||C|. Ahora vamos a dar algunas propiedades elementales que permiten manipular determinantes. Teorema 10.15 Sea A un dominio y B, C ∈ Matn (A).Entonces 1. Si C resulta de intercambiar dos filas o columnas de la matriz B, entonces |C| = −|B|. 2. Si C resulta de multiplicar una fila o columna de B por un cierto a ∈ A, entonces |C| = a|B|. 3. Si C resulta de sumar a la fila (o columna) i-´esima de B la fila (o columna) j-´esima de B con i = j, multiplicada por un a ∈ A, entonces |C| = |B|. ´ n: 1) y 2) son consecuencias inmediatas de la definici´ Demostracio on de determinante (las variantes con columnas se cumplen por el teorema 10.13). 3) Se cumple porque |C| se descompone por multilinealidad en dos sumandos, uno es |B| y otro el determinante de la matriz que resulta de repetir en el lugar i-´esimo la columna j-´esima (multiplicado por a), y ´este es nulo. Estos resultados nos permiten calcular determinantes de cualquier orden mediante manipulaciones adecuadas. Basta notar que si una matriz cuadrada B tiene nulos todos los coeficientes bajo la diagonal principal, es decir, si bij = 0 cuando i > j, entonces |B| es el producto de los coeficientes de la diagonal principal (pues la u ´nica permutaci´ on que no da lugar a un sumando nulo en la definici´ on de determinante es la identidad). Por otro lado conviene observar que si A es un dominio ´ıntegro y K es su cuerpo de cocientes, una matriz en Matn (A) est´a tambi´en en Matn (K) y su determinante es el mismo en cualquier caso. Por ello a la hora de calcular determinantes podemos trabajar siempre en los cuerpos de cocientes, es decir, podemos hacer divisiones cuando convenga. Calculemos por ejemplo: 2 −3 2 2 3 3 2 −3 4 9 1 −6 3 5 0 0 = 13 15 3 −3 − 2 = 2 0 −3 0 2 5 2 4 7 0 19 −1 − 1 2 2 El segundo determinante resulta de sumar a la segunda fila la primera multiplicada por −2, a la tercera fila la primera multiplicada por −3/2 y a la cuarta la primera multiplicada por −5/2. De este modo conseguimos ceros bajo el t´ermino a11 .