Nota matemática
Para calcular la pendiente de la línea, reste la ecuación (1) de la ecuación (2) para obtener: y b x
(3)
y ahora divida la ecuación (3) entre x para obtener:
Todas las relaciones positivas tienen una pendiente positiva. En la ecuación de la línea, la constante b es positiva. En este ejemplo, el intercepto en y, a, es igual a 100. La pendiente b es igual a y/ x, que corresponde a 100/200 o 0.5. La ecuación de la línea es: y 100 0.5x.
y/ x b. Por lo tanto, la pendiente de la línea es b.
Posición de la línea El intercepto en y determina la posición de la línea en la gráfica. La figura 3 ilustra la relación entre el intercepto en y y la posición de la línea en la gráfica. En esta gráfica, el eje y mide el ahorro y el eje x mide el ingreso. Cuando el intercepto en y, a, es positivo, la línea toca el eje y en un valor positivo de y, como ocurre con la línea azul. Su intercepto en y es igual a 100. Cuando el intercepto en y, a, es igual a cero, la línea toca el eje y en el origen, como ocurre con la línea violeta. Su intercepto en y es igual a 0. Cuando el intercepto en y, a, es negativo, la línea toca el eje y en un valor negativo de y, como ocurre con la línea roja. Su intercepto en y es igual a 100. Como muestran las ecuaciones de las tres líneas, el valor del intercepto en y no influye en la pendiente de la línea. Las tres líneas tienen una pendiente igual a 0.5.
Relaciones positivas
Ahorro (dólares a la semana)
La figura 1 muestra una relación positiva, es decir, ambas variables, x y y, se mueven en la misma dirección.
Relaciones negativas La figura 4 muestra una relación negativa, es decir, ambas variables, x y y, se mueven en direcciones opuestas. Todas las relaciones negativas tienen una pendiente negativa. En la ecuación de la línea, la constante b es negativa. En el ejemplo de la figura 4, el intercepto en y, a, es igual a 30. La pendiente, b, es igual a y/ x, que corresponde a 20/2 o 10. La ecuación de la línea es: y 30 ( 10)x o y 30 10x.
Ejemplo Una línea recta tiene un intercepto en y de 50 y una pendiente de 2. ¿Cuál es la ecuación de esta línea? La ecuación de una línea recta es: y a bx donde a es el intercepto en y y b es la pendiente. Por lo tanto, la ecuación es: y 50 2x.
y 300
Intercepto en y positivo, a = 100
y = 100 + 0.5x
200
y = 0.5x
100
y = –100 + 0.5x
20
Intercepto en y positivo, a = 30
30 Pendiente, b = –10
20 0
–100 –200
100
200
300 400 500 600 Ingreso (dólares a la semana)
10
Intercepto en y negativo, a = –100
y = 30 – 10x 0
Figura 3 El intercepto en y
27
1
2
Figura 4 Relación negativa
x