Transformaciones lineales by Andrés González R.

UNIDAD IV

5.-Transformaciones Lineales 6.- Matriz asociada a una transformación lineal 5. Transformaciones lineales:

5.1 Transformaciones Lineales: Vamos a estudiar funciones de un F-espacio vectorial en otro F-espacio vectorial (que pudieran ser uno mismo) que presentan ciertas características particulares: las llamadas características de linealidad, y por lo cual reciben el nombre de funciones lineales o transformaciones lineales. En principio podemos adoptar la idea de que las transformaciones lineales son aquellas funciones que en término de componentes de los vectores de los espacios, se expresan mediante sistemas de ecuaciones lineales. La definición que vamos a dar permite seguir un tratamiento más simple que el tratamiento por sistema de ecuaciones, sin embargo, en pasos posteriores veremos que las transformaciones lineales son realmente representables por sistema de ecuaciones. Definición 5.1.1 Transformación lineal Sean V y W dos F-espacios vectoriales. Una transformación lineal de V en W es una función T : V → W tal que T ( cα + β ) = cT (α ) + T ( β ) para todo escalar

c y todo par

de vectores α y β de V. Observación: La definición dada es equivalente a la siguiente: Definición 5.1.1.1 Sea V y W dos F-espacios vectoriales. Una transformación lineal de V en W es una función T : V → W tal que i) T (α + β ) = T (α ) + T ( β ) , ∀α, β ∈V ii) T ( cα ) = cT (α) , ∀α ∈V , ∀c ∈ F . La demostración de la equivalencia de las dos definiciones es bastante sencilla y se deja como ejercicio. De la definición se deduce fácilmente que:

1. T (0V ) = 0W , donde 0V denota el elemento neutro de V y 0W denota el elemento neutro de W. 2. T (−α) = −α , ∀α ∈V .

 n  n 3. T  ∑ ciα i  = ∑ ci T (α i ) (Aplicar el método de inducción completa)  i =1  i =1 La condición T (0V ) = 0W es a menudo motivo de confusión para quien estudia algebra lineal por primera vez, ya que probablemente haya tenido una visión un poco diferente del uso del termino “función lineal”;

un breve comentario al respecto podrá aclarar esa

confusión. Supóngase que V es el espacio vectorial R 1 ; una transformación lineal de V en V es entonces un tipo especial de función real en el eje real. En un curso de cálculo es probable que se diga que tal función es función lineal si su grafico es una recta. Una transformación lineal de R 1 en R 1 , de acuerdo con la definición dada será una función de R en R cuyo gráfico es una recta que pasa por el origen. Ejemplos: 5.1.2. Sean V y W dos F-espacios vectoriales y consideremos la función que a todo vector de V hace corresponder al vector nulo de W. Es inmediato que esta transformación es lineal y se denomina transformación nula de V en W y la indicaremos por 0 , o sea 0 es tal que 0(α) = αW , ∀α ∈V .

5.1.3. Si V es cualquier F-espacio vectorial, la transformación identidad I definida por I (α ) = α , para todo

α de V, es una transformación de V en V.

5.1.4. Sea V un F-espacio vectorial y sea un elemento fijo de F. La transformación H c de V en V definida por el H c (α ) = cα , ∀α ∈V es lineal y reciba el nombre de homotecia de razón c. 5.1.5. Consideremos los R-espacios vectoriales R n y R . La aplicación de R n en R n que a todo α = ( a1 , a 2 ,..., a n ) ∈ R hace corresponder el escalar a1 (primera componente

α ) es una transformación lineal.

5.1.6. Con la mismas notaciones del ejemplo anterior, fijados c1 , c2 ,..., cn en R, la aplicación de R n en R , que a todo vector α = ( a1 , a 2 ,..., a n ) de R n hace corresponder n

al escalar

∑c a i =1

, es una transformación lineal.

5.1.7. Consideremos el conjunto C de los números complejos como un R-espacio-vectorial. La aplicación de C en C que a todo α = x + yi hace corresponder su conjugado α = x − yi , es una transformación lineal, ya que se cumple complejos α y β , y todo escalar

cα + β =cα + β

, para todo par de números

c de R.

5.1.8. Consideremos el R-espacio vectorial de los polinomios en una indeterminada

x , el

cual denotaremos por R[ x ] , y sea Tx : R[ x ] → R[ x ] la función tal que a todo polinomio f ( x ) ∈R[ x ] hace corresponder el polinomio xf (x ) . Es fácil verificar que T x es una

transformación lineal. n

i 5.1.9. Consideremos el mismo espacio R[ x ] . Dado f = ∑ ci x , se llama derivada de f i =0

i al polinomio f ′ = ∑ ici x . Es fácil verificar que la aplicación T : R[ x ] → R[ x ] tal que i =1

T ( f ) = f ′ es lineal. Recibe el nombre de transformación derivación.

5.1.10. Sea A una matriz

mxn dada con elementos en un cuerpo F. La función T definida

por T ( X ) = A. X es una transformación lineal de F nx1 en F mx1 . 5.1.11. Sea P una matriz

mxm dada con elementos en un cuerpo F, y sea

nxn dada sobre F. Se define una función T del espacio T ( A) = PAQ .

Esta

función

lineal

otra matriz

F mxn en sí mismo por que

cumple:

T (cA + B ) = P (cA + B )Q = c ( PAQ ) + ( PBQ) = cT ( A) + T ( B )

Teorema fundamental de las transformaciones lineales. Teorema 5.1.12. (Existencia de transformaciones lineales) Sea V un F-espacio vectorial de dimensión

n y sea {α1 , α 2 ,..., α n }

una base ordenada de V. Si W es un F-espacio vectorial y

{ β1 , β2 ,..., βn }

son

n vectores arbitrarios de W, entonces existe una única transformación lineal

T : V → W tal que

T (αi ) = βi , i = 1,2,..., n

Demostración: 1. Existencia. Un vector

α cualquiera de V puede escribirse de manera única de la forma:

i =1

α = ∑ ciα i , ci ∈ R .Definamos la función T : V → W , por T (α ) = ∑ ci β i . T es una correspondencia bien definida que asocia a cada vector

α de V un único vector

T (α) de

W. De la definición queda claro que T (α j ) = β j , j =1,2,..., n . Veamos que esa transformación así definida es lineal. n

Para ello, sea β = ∑ d iα i otro elemento cualquiera de V y k cualquier otro i =1

escalar,

tiene

entonces: kα + β = ∑ (kci + d i )α i ,

con

por

definición,

i =1

T (kα + β ) = ∑ (kci + d i ) β i i =1

i =1

Por otra parte, kT (α ) + T ( β ) = k ∑ ci β i + ∑ d i β i = ∑ (kci + d i ) β i , lo cual prueba T (cα + β ) = cT (α ) + T ( β ) , o sea, que T es una transformación lineal.

que

2. Unicidad. Si U es otra transformación lineal de V en W con

U (α j ) = β j , j =1,..., n n

entonces,

para

vector

α = ∑ ciα i , se

tiene:

i =1

n  n  n U (α ) = U  ∑ ciα i  = ∑ ciU (α i ) = ∑ ci β i = T (α ) , lo cual prueba que U es exactamente i =1  i =1  i =1

la misma correspondencia T que se definido antes, y por lo tanto, la transformación lineal

T con

T (α j ) = β j , es única.

Comentario:

Este teorema proporciona un método para construir muchas transformaciones lineales. Así por ejemplo, en las transformaciones lineales de

R 2 es, por ejemplo, el conjunto

{e1 , e2 } ,

R 2 en

R 2 , una base de

entonces cualquier par ordenado de

R2 ,

digamos β1 y β2 , determinan una transformación lineal que lleva e1 en β1 , y e2 en

β2 .

Vemos además que una transformación lineal queda determinada

una vez que son conocidos los transformados de los elementos de una base de V. Ejercicios 5.1.13. Determine cuales de las siguientes funciones T : R 2 → R 2 son transformaciones lineales. (a) T ( x, y ) = ( x − 2 y ,2 x + 3 y ) (b) T ( x, y ) = (1 + x, y ) (c) T ( x, y ) = (e x , e y ) (d) T ( x, y ) = ( Senx, 0) (e) T ( x, y ) = ( x − y, 0) 5.1.14 Demuestre que toda transformación lineal de R en R es una homotecia 5.1.15.

T : R2 → R2

Sea

una

transformación

lineal

tal

que

T (e1 ) = (1,2), y T (e2 ) = (1,−1)

(a) Determinar T (3,2) (b) Determinar T ( x, y ) para un par ( x, y ) cualquiera de R 2

e1 y e 2

lados 5.1.16

T : R3 → R3

Sea

transformación

lineal

tal

que

T (e1 ) = (0,0,0), y T (e2 ) = e1 , T (e3 ) = e 2 . Describir y dibujar la imagen del cubo

unitario

{( x , x , x ) ∈ R 1

}

0 ≤ xi ≤ 1, i = 1,2,3

5.1.17 ¿Existe una transformación lineal T : R 3 → R 2 , tal que T(1,-1,1) = (1,0) y T(1,1,1) = (0,1)? 5.1.18. Si α1 = (1,−1), α2 = (2,−1), α3 = ( −3,2) , β1 = (1,0), β2 = (0,1), β3 = (1,1) . ¿Existe una transformación lineal T : R 2 → R 2 tal que

T (αi ) = βi ?

5.1.19. La definición de transformación lineal entre dos espacios vectoriales exige que se cumplan

las

dos

para cualquier escalar

T (α + β ) = T (α ) + T ( β )

condiciones

c y cualquier par de vectores

T (cα) = cT (α)

α y β del dominio de T . Dar un

ejemplo de una función entre dos espacios vectoriales que cumpla con la primera igualdad pero no satisfaga la segunda igualdad. En forma similar, dar un ejemplo de una función entre dos espacios que satisfaga la segunda igualdad y no satisfaga la primera. 5.1.20. Consideremos un R-espacio vectorial V, T1 y T2 dos transformaciones lineales de V en R. Sea T : V → R 2 definida por T (α ) = ( T1 (α ), T2 (α ) ) . Prueba que T es una transformación lineal. 5.1.21. Probar que la compuesta de dos aplicaciones lineales, es una aplicación lineal. 5.2. Núcleo E Imagen De Una Transformación Lineal. Definición 5.2.1. Imagen De Un Subconjunto Del Dominio De Una T.L Sea T : V → W una transformación lineal entre dos F-espacios vectoriales V y W y sea A un subconjunto de V. Se denomina imagen de A mediante T al conjunto de vectores

w de W tales que existe α ∈ A con según

definición

T (α) = w . Tal conjunto se denota por T ( A) , y

T ( A) = { w ∈W : α ∈ A y T (α ) = w} ,

tiene:

también,

T ( A) = {T (α ) : α ∈ A}

Ejemplos 5.2.2. La imagen del subconjunto A = {(1,−1), ( 3,0 )} de R 2 mediante la transformación T : R 2 → R 3 tal

T ( x , y ) = ( x − y ,0 )

que

T ( A) = {T (1,−1), T (3,0)} = {(2,−1,0), (3,0,0)}

5.2.3. Si U: U : R 3 → R 3 es la transformación lineal tal que U ( x, y, z ) = (2 x, y + z , y − z ) , entonces

imagen

del

{

}

A = ( x, y , z ) ∈ R 3 : x − y = 0

subconjunto

U ( A) = [( 2,1,1), (0,1,−1)] . En efecto U ( A) = {U (α ) : α ∈ A} = {U (α ) : α = ( x, x, z ); x, z ∈ R}

{

(por la definición5.2.1) (por la definición de A)

}

= w ∈ R 3 : w = ( 2 x, x + z , x − z ); x, z ∈ R (por la definición de U)

{

= w ∈ R 3 : w = (2 x, x, x) + (0, z ,− z ); x, z ∈ R

R3 )

}

(por la definición de la adición en

{

}

= w ∈ R 3 : w = x(2,1,1) + z (0,1,−1); x, z ∈ R (por la definición de la ley externa en

R3 ) = [(2,1,1), (0,1,−1)]

(por el teorema 3.2.13)

Definición 5.2.4. Imagen De Una Transformación Sea T : V → W una transformación lineal. Sea llama imagen de T (notación Im(T ) ) al conjunto de vectores β de W tales que existe α ∈V con T (α) = β ; es decir,

la imagen de T es otra manera de nombrar la imagen del dominio de una transformación lineal. Se tiene entonces que: Im(T ) = T (V ) = {T (α ) : α ∈V } Definición 5.2.5. Núcleo De Una Transformación Lineal Sea T : V → W una transformación lineal. Se llama espacio nulo de T ó núcleo de

T (notación ker(T ) ) al conjunto de todos los vectores α ∈V tales que T (α) = 0 , es decir ker(T ) = {α ∈ V : T (α ) = 0} Ejemplos: 5.2.6. El núcleo de la transformación nula 0 de V en W es V mismo; la imagen de esta transformación es {0} . 5.2.7. El núcleo de la transformación lineal identidad I de V es el conjunto {0} y su imagen es el propio de V. 5.2.8. El núcleo de la homotecia

H c , c ≠ 0 , de V es

{0} ; la imagen es el conjunto V ya

que si α ∈V se tiene H c (c −1α ) = c(c −1α ) = α

5.2.9. El núcleo de la aplicación T : R n → R tal que T ( x1 , x 2 ,..., x n ) = x1 es el conjunto de los α = ( x1 , x 2 ,..., x n ) de R n tales que x1 = 0 . La imagen es el conjunto R. 5.2.10. El núcleo de la transformación lineal T : C → C que transforma un

α de

C en su

conjugado α ∈ C es el conjunto que se reduce al vector nulo; su imagen es el propio C , ya que si α ∈ C se sabe que α = α .

5.2.11. El núcleo de la transformación lineal llamada derivada de un polinomio f , está formado por todos los polinomios constantes, ya que si, f = c ∈ R , entonces f ′ = 0 . La imagen de tal transformación es el propio espacio R[ x ] (Ver ejemplo 5.1.9) Teorema 5.2.12. Imagen De Un Subespacio Por Una Transformación

Sea T : V → W una T.L., y sea U ⊂ V un subespacio vectorial de V, entonces la imagen T (U ) de U es un subespacio de W. Demostración: T (U ) es obviamente no vacío porque 0 ∈T (U ) . Sean α ′ y β ′ elementos de T (U ) y son imágenes de ciertos vectores

β ′ = T ( β ) , con

α y

c u n escalar cualquiera, entonces α ′ y β ′

β de U respectivamente, o sea, α ′ = T (α ) y

β en U

Obsérvese que cα ′ + β ′ = cT (α ) + T ( β ) = T (cα + β ) Y como U es subespacio vectorial de V, cα + β pertenece a U , luego cα ′ + β ′ es un elemento de T (U ) por ser imagen de un elemento de U . Esto prueba que T (U ) es subespacio de W. Corolarios al teorema 5.2.12. 5.2.12.1. El subespacio de V generado por un conjunto de vectores α1 , α2 ,..., αn de V se transforman, mediante T , en el subespacio de W generado por el conjunto de vectores T (α1 ), T (α2 ),..., T (αn ) , es decir, T (

[α1 , α 2 ,..., α n ] ) = [T (α1 ), T (α 2 ),..., T (α n )]

5.2.12.2 Sea T : V → W una T.L., entonces Im(T ) es un subespacio vectorial de W. 5.2.12.3 Sea T : V → W una T.L. Si A es un conjunto de generadores de V, entonces T ( A) es un conjunto de generadores de Im(T ) .

5.2.12.4. Si V es un espacio de dimensión finita y T : V → W es una T.L. de V en otro espacio W, entonces Im(T ) es de dimensión finita. Nota: Haga las demostraciones de estos corolarios. Definición 5.2.14. Imagen Inversa De Un Subconjunto Por Una Función Sea f : A → B una función entre dos conjuntos A y B , y sea N un subconjunto de B . Llamaremos imagen inversa de N al conjunto de los elementos f (x ) pertenece a N . Tal conjunto lo denotamos por f

tiene: f

−1

( N ) = { x ∈ A : f ( x) ∈ N } .

Ejemplo 5.2.15.

−1

x de A tales que

( N ) . De acuerdo a esto se

Sea T : R 3 → R 2 la función (transformación lineal) definida mediante la igualdad

{

}

T ( x, y, z ) = ( x, y ) y sea N = ( x, y ) ∈ R 2 : x + y = 0

entonces T −1 ( N ) = {( x, y, z ) ∈ R 3 : x + y = 0} = [ (1,−1,0), (0,0,1)] En efecto: T −1 ( N ) = {( x, y, z ) ∈ R 3 : T ( x, y, z ) ∈ N } = {( x, y, z ) ∈ R 3 : ( x, y ) ∈ N } O sea, T −1 ( N ) = {( x, y, z ) ∈ R 3 : x + y = 0} = {( x, y , z ) ∈ R 3 : y = − x}

{

}

= α ∈ R 3 : α = ( x,− x, z ); x, z ∈ R

{

}

= α ∈ R 3 : α = x (1,−1,0) + z (0,0,1); x, z ∈ R = [ (1,−1,0), (0,0,1)]

Teorema 5.2.16 Imagen Inversa De Un Subespacio Por Una Transformación Lineal Si T : V → W es una transformación lineal entre dos espacios V y W y U es un subespacio vectorial de W, entonces T −1 (U ) es subespacio vectorial de V. Demostración: 1. T (0) = 0 por una propiedad de las transformaciones lineales y 0 ∈U por ser U subespacio vectorial de W. Esto indica que 0 ∈T −1 (U ) por lo que T −1 (U ) ≠ Φ 2. Sean

α y

β elementos de T −1 (U ) y

c un escalar. Entonces se cumple:

T (α) y T ( β) están en U por la definición de T −1 (U ) . Así cT (α ) + T ( β ) ∈U por ser

U un subespacio de W, es decir, T (cα + β ) ∈U por ser T transformación lineal Por lo tanto, cα + β ∈T −1 (U ) . De (1) y (2) se deduce que T −1 (U ) es subespacio vectorial de V. Corolario Al Teorema 5.2.16. 5.2.16.1. Si T : V → W es una transformación lineal, entonces ker(T ) es un subespacio vectorial de V (obsérvese que ker(T ) = T −1 ( {0} ) ) Definición 5.2.17 Rango De Una Transformación Lineal Si T : V → W es una transformación lineal entre dos espacios V y W, se denomina rango de T a la dimensión de la imagen de T. Si denotamos al rango de T por rango(T ) , se tiene: rango (T ) = dim(Im(T )) Definición 5.2.18. Nulidad De Una Transformación Lineal

Si T : V → W es una transformación lineal entre dos espacios vectoriales V y W, se llama nulidad de T (notación: nulidad (T ) ) a la dimensión del núcleo de T , esto es, nulidad (T ) = dim(ker(T ))

El siguiente teorema es uno de los resultados más interesantes del álgebra lineal. Teorema 5.2.19. Sean V y W dos F-espacios vectoriales y T : V → W una transformación lineal de V a W. Si V es de dimensión finita, entonces se cumple: dim V = rango(T ) + nulidad (T ) Demostración: Del corolario 5.2.12.4 se deduce que rango (T ) < ∞ , por lo tanto la igualdad que se va a demostrar tiene sentido. n = dim V .

Sea una

base

ker(T ) .

dim ker(T ) = k ≠ 0 .

Extendamos

esta

base

B = {α1 ,..., α k , α k +1 ,..., α n }

{α1 , α 2 ,..., α k }

Sea ker(T )

una

base

de V.

(En caso de que sea ker(T ) = {0} basta tomar una base cualquiera de V). Si demostramos que B1 = {T (α k +1 ),..., T (α n )} es una base de Im(T ) quedará demostrado el teorema. Sea entonces

β ∈Im(T ) , luego β = T (α) para algún

α de V. Ese α puede n

escribirse

manera

única

forma

α = ∑ ciα i ,

luego

i =1

n  n  n β = T (α ) = T  ∑ ciα i  = ∑ ci T (α i ) = ∑ ci T (α i ) i = k +1  i =1  i =1

que

T (αi ) = 0 si i =1,2,..., k , porque α j ∈ker(T ) para j =1,2,..., k

Esto muestra que concluye que Im(T ) = [ B1 ]

Im(T ) ⊂ [ B1 ] , y como [ B1 ] ⊂ Im(T ) (¿por qué?), entonces se .

Demostraremos que B1 es un subconjunto L.I de W. n

Supongamos que existen escalares c k +1 , c k +2 ,..., c n tales que

∑c T (α ) = 0

i =k +1

tiene

{α1 , α 2 ,..., α k }

entonces

n  n  T  ∑ ciα i  = 0 → ∑ ciα i ∈ ker(T ) i = k +1  i =k +1 

que

como

∑c α

es una base de ker(T ) el vector

i =k +1

puede

escribirse como combinación de los elementos de esta base, o sea,

para ciertos escalares

d j , j =1,2,..., k

∑c α i

i =k +1

∑(−d j )α j +

. Por lo tanto,

j =1

= ∑d jα j j =1

∑d α

i =k +1

= 0, y

como B es una base de V se deduce que todos los coeficientes de esta relación son nulos, en particular c k +1 = c k +2 = ... = c n = 0

Teorema 5.2.20. Una transformación lineal T es inyectiva si, y sólo si, ker(T ) = {0} . Demostración: Si existiera

α ≠0

con

α ∈ker(T ) , entonces T (α) = 0 = T (0) y T no sería

inyectiva. Sea ker(T ) = {0} ,y sean entonces

T (α) − T ( β ) = 0 ,

α − β ∈ ker(T ) , luego

α y

β y elementos de V tales que T (α) = T ( β) T (α − β ) = 0 ,

sea,

cual

implica

que

α − β = 0 y así α = β . En consecuencia T es inyectiva.

Corolarios: Puesto que dim V = dim(ker(T )) + dim(Im(T )) , se cumple: 1.

inyectiva,

ker(T ) = {0} y

entonces

por

tanto

dim V = dim(Im(T )) ≤ dim W , o sea, dim V ≤ dim W

sobreyectiva,

entonces

Im(T ) = W ,

luego

dim V = dim(ker(T )) + dim W y por lo tanto dim V ≥ dim W

3. Si T es biyectiva se deduce que dim V = dim W . Nota: Los recíprocos no son ciertos. Ejercicios. 5.2.21. Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones. Justifique cada una de las respuestas.

1.- Toda base del dominio de una transformación lineal contiene un subconjunto que es una base del núcleo de la transformación. B = {α1 , α 2 ,..., α n } es una base de un espacio V y T es una transformación

2.- Si

lineal de dominio V tal que T (αi ) ≠ 0 para todo i , entonces ker(T ) = {0} 3.- Si T : V → W es una transformación lineal entre dos espacios finito dimensionales tales que dim > dim W , entonces ker(T ) ≠ {0}

4.- Si S es una subespacio de un espacio vectorial V de dimensión finita, existe una transformación lineal T : V → V tal que ker(T ) = S 5.- Todo subespacio S de un espacio es imagen de alguna transformación lineal. 6.-

Sea

T :V →W

elementos de V. Si

una

transformación

lineal

sean

α1 , α2 ,..., αr

T (α1 ), T (α2 ),..., T (αr ) son L.I. en W, entonces, α1 , α2 ,..., αr

son L.I en V. 5.2.22 Buscar una transformación lineal T : V → W y vectores α1 , α2 ,..., αn en V linealmente independientes tales que

T (α1 ), T (α2 ),..., T (αn )

sean linealmente

independientes 5.2.23 Buscar una transformación lineal T : V → W y vectores α1 , α2 ,..., αr en V tales que T (α1 ), T (α2 ),..., T (αr ) genere a Im(T ) , aunque α1 , α2 ,..., αr no genere a V. 5.2.24 Sea V=W el espacio de los polinomios de grado menor o igual que 2 y T : V → W la 2 2 transformación definida por T (a 0 + ax + a 2 x ) = (a 0 + a1 ) + (a1 + a 2 ) x + (a 2 + a 0 ) x

(a) Demuestra que T es una transformación lineal (b) Calcula ker(T ) 5.2.25 Da un ejemplo de una transformación lineal T : R 3 → R 3 cuyo núcleo tenga dimensión cero. 5.2.26 Da un ejemplo de una transformación lineal T : R 3 → R 3 cuyo núcleo tenga dimensión uno. 5.2.27 Da un ejemplo de una transformación lineal T : R 3 → R 3 cuyo núcleo tenga dimensión dos. 5.2.28 ¿Es posible que exista una transformación lineal T : R 2 → R 3 sobreyectiva?, ¿por qué?

5.2.29 ¿Es posible que exista una transformación lineal T : R 3 → R 2 inyectiva?, ¿por qué? 5.2.30 Sea T : R 2 → R 2 una transformación lineal. Muestra que si T no es sobreyectiva, entonces T no es inyectiva 5.2.31 Muestra que si V y W son espacios vectoriales de la misma dimensión y T : V → W es una T.L, entonces T es inyectiva si, y sólo si, T es sobreyectiva. 5.2.32 Sea

T : R2 → R2

la transformación lineal dada por

T (e1 ) = (−1,2)

T (e 2 ) = ( −2,4) . ¿Es T sobreyectiva? Describe Im(T ) .

5.2.33 Determine una transformación lineal T : R 3 → R 3 tal que Im(T ) = [ (1,2,3), (4,5,6)] . 5.2.34

Determine

una

transformación

lineal

T : R4 → R4

tal

que

ker(T ) = [(1,2,3,4), (0,1,1,1)] .

n y sea T : V → W una transformación lineal tal que Im(T ) = ker(T ) . Demostrar que n es par. Dar un ejemplo 5.2.35 sea V un F-espacio vectorial de dimensión finita de una tal transformación. 5.2.36 Considérese un espacio vectorial V de dimensión finita y A un subespacio de V. Sea

T :V → W

una

transformación

lineal.

Demostrar

que

dim(T ( A)) = dim( A) − dim(ker(T ) ∩ A) .

5.2.37 Sea T : V → W una transformación lineal entre dos F-espacios vectoriales V y W tal que ker(T ) e Im(T ) son finito dimensionales. Probar que V es finito dimensional. 5.2.38 determina el valor de verdad de la siguiente proposición: Si T : V → W es una T.L entre dos espacios vectoriales finito dimensionales, y S1 y S 2 son subespacios de V, entonces dim( S1 ) + dim( S 2 ) = dim T ( S1 + S 2 ) + dim T ( S1 ∩ S 2 )

El espacio vectorial L(V , W ) Sean V y W dos F-espacios vectoriales e indiquemos por L(V , W ) el conjunto de las transformaciones lineales de V en W (algunos autores lo denotan por Hom(V,W)), es decir, L(V , W ) = {T : V →W es una transformación lineal } .

Queremos introducir en L(V , W )

una estructura algebraica definiendo leyes de composición sobre las transformaciones lineales, a tal efecto consideremos: Definición 5.3.1 Adición de transformaciones lineales L(V , W ) Consideremos en la ley + : L(V , W ) xL(V , W ) →L(V , W ) (T , U ) →H

definida por

composición

interna

H (α) = T (α) + U (α), ∀α ∈V ,

imagen H se denota T + U y escribimos (T + U ) (α) = T (α) + U (α), ∀α ∈V . Para que esta ley de composición (llamada adición de transformaciones lineales) esté bien definida es necesario probar que T + U es efectivamente un elemento de L(V , W ) , esto es cierto por lo siguiente, para todo escalar c ∈ F y todo par de vectores

α y

β de V se cumple:

( T + U ) (cα + β ) = T (cα + β ) + U (cα + β ) = cT (α ) + T ( β ) + cU (α ) + U ( β )

= c( T (α ) + U (α ) ) + T ( β ) + U ( β ) = c( T + U ) (α ) + ( T + U ) ( β ) , lo cual prueba que T + U es

una transformación lineal. Definición 5.3.1 Multiplicación de un escalar por una transformación lineal Consideremos en L(V , W ) la ley de composición externa: definida por M (α) = kT (α), ∀α ∈V , la imagen M

• : FxL(V , W ) → L(V , W ) ( k , T ) →M

se denota kT y escribimos

( kT )(α) = k (T (α)), ∀α ∈V . Análogamente a la definición anterior hay que verificar que esta ley de composición está bien definida, es decir, que efectivamente es un elemento de L(V , W ) , esto es cierto por lo siguiente, para todo escalar

vectores

α y

c de F y todo par de

β de V se cumple: ( kT ) (cα + β ) = kT (cα + β ) = k (cT (α ) + T ( β ))

= k (cT (α)) + kT ( β ) = ( kc)T (α) + ( kT )( β ) = (ck )T (α) + ( kT )( β )

= c(kT (α)) + (kT )( β ) = c((kT )(α)) + (kT )( β ) , lo cual prueba que kT ∈L(V , W ) . Teorema 5.3.3 El conjunto L(V , W ) con las operaciones de adición y multiplicación por un escalar así definidas tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo F . Demostración. Hay que verificar directamente que se cumple la axiomática que define la estructura de espacio vectorial (se deja como ejercicio). Comentario: En el espacio L(V , W ) el vector nulo es la transformación lineal nula que aplica cada vector de V en el vector nulo de W, se observa además que las propiedades de

las operaciones definidas en L(V , W ) son consecuencia de las correspondientes propiedades de las operaciones definidas en W. Es conveniente también decir lo siguiente: si se definen la adición y la multiplicación por un escalar como se hizo antes, y W es un Fespacio vectorial, entonces el conjunto de todas las funciones de un conjunto V en un espacio vectorial W es un espacio vectorial, no es necesaria la condición de que V sea un espacio vectorial, sólo se requiere que V sea un conjunto no vacío. Cuando V es también un F-espacio vectorial se puede definir una transformación lineal de V en W, y el teorema 5.3.3 afirma que el conjunto de las transformaciones lineales de V en W forman un subespacio del espacio de todas las funciones de V en W (se recuerda que este subespacio L(V , W ) se define sólo si V y W son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo F).

Ejercicios.

n y m respectivamente, es de dimensión finita y su dimensión es m.n . Sugerencia:

5.3.4. Si V y W son F-espacios vectoriales de dimensión finita entonces el espacio L(V , W )

Considere B = {α1 ,..., α n } una base de V y B2 = { β1 ,..., β m } una base de W, defina las  0,

siguientes transformaciones lineales Eij : V →W por Eij (α k ) = β 

m.n transformaciones lineales. Demuestre que el conjunto

k ≠i . Se tienen así k =i

{E }

ij 1≤ i≤ n forma una base de 1≤ j ≤ m

L(V , W ) , en consecuencia dim( L (V , W )) = n.m = dim V . dim W .

5.3.5. Sea V un F-espacio vectorial de dimensión finita

n . Demuestre que

dim( L(V , V ) ) = n 2 .

5.3.6. Sean T y S transformaciones lineales entre dos espacios vectoriales V y W. Demuestre que rang ( T + S ) ≤ rang ( T ) + rang ( S ) . 5.3.7. Sean V, W y U F-espacios vectoriales y sean T : V → W , transformaciones lineales. Demuestre que rang ( S  T ) ≤ min{rangS , rangT } . 5.4 Transformaciones lineales inversibles. Isomorfismos. Definición 5.4.1 Función inversible

S :W → U

Si A y B son conjuntos, una función f : A → B se dice que es inversible si existe una función h : B → A , tal que se cumpla: f  h = I B y h  f = I A , donde I A y I B son las funciones identidad sobre A y B respectivamente. Además, sabemos que: (1) Si f es inversible, h es única y se denota f

−1

(2) f es inversible, si y sólo si, f es biyectiva. Luego, tiene sentido hablar de transformaciones lineales inversibles, interesa saber si la inversa de una transformación lineal es también una transformación lineal. Teorema 5.4.2 Si T : V → W es una T.L inversible, entonces su inversa T −1 : W → V es también una transformación lineal. Demostración Queremos demostrar que T −1 cumple T −1 ( cβ 1 + β 2 ) = cT −1 ( β 1 ) + T −1 ( β 2 ) para todo escalar

c del cuerpo F y todo par de vectores β1 y β2 de W. Para ello, como T es

sobreyectiva e inyectiva, existen únicos α1 y α2 en V tales que T (α1 ) = β1 y T (α 2 ) = β 2 .

Como

una

transformación

lineal,

tiene

T (cα 1 + α 2 ) = cT (α 1 ) + T (α 2 ) = cβ 1 + β 2 , luego cα 1 + α 2 es el vector de V cuya imagen es cβ1 + β 2 , por lo tanto se tiene T −1 (cβ 1 + β 2 ) = cα 1 + α 2 = cT −1 ( β 1 ) + T −1 ( β 2 ) .

Definición 5.4.3 Transformación lineal no singular Una transformación lineal T : V → W se dice que es no singular si se cumple que ker T = {0} , es decir si se cumple que T es inyectiva.

Teorema 5.4.4 Sea T : V → W una transformación lineal, entonces se cumple: T es no singular si, y sólo si, T

aplica cada subconjunto linealmente independiente de V sobre un conjunto

linealmente independiente de W. Demostración

( ⇒) Supongamos que T es no singular, y sea S un conjunto L.I de V. Si α1 , α2 ,...,αn son vectores L.I de S, veamos que T (α1 ), T (α2 ),..., T (αn ) son vectores L.I de W. En efecto, si c1 , c 2 ,..., c n son escalares tales que c1T (α1 ) + c 2T (α 2 ) + ... + c n T (α n ) = 0 , entonces como T

es lineal se deduce que T (c1α1 + c 2α 2 + ... + c nα n ) = 0 y como

ker T = {0} se tiene que c1α1 + c 2α 2 + ... + c nα n = 0 y como

{αi }1≤i ≤n

es un conjunto

linealmente independiente resulta c1 = c 2 = ...c n = 0 , lo que demuestra {T (αi )}1≤i ≤n es un conjunto L.I. Luego, T(S) es un subconjunto de W que cumple que cualquier subconjunto finito suyo es L.I, en consecuencia T(S) es L.I.

( ⇐) Supongamos que T aplica subconjuntos L.I de V en subconjuntos L.I de W, queremos probar que T es no singular. En efecto, sea α ≠ 0 un vector de V, el conjunto

{α} es L.I, por lo tanto

T (α) ≠ 0 pues el conjunto que consta sólo del vector nulo es L.D,

y esto muestra que ker T = {0} , o sea, T es no singular. Corolario 5.4.4.1 Sea T una T.L entre espacios vectoriales de dimensión finita, entonces: T es inversible si, y sólo si, T transforma una base de V en una base de W. Demostración.

( ⇒) Supongamos que T es inversible, y sea {α1 ,..., αn } una base de V, por el teorema demostrado resultará que {T (α1 ),..., T (αn )} es L.I. Como T es sobreyectiva se tiene T(V)=W, pero T (V ) = T ( [α1 ,..., α n ] ) , y por el corolario 5.2.12.1 se sabe que

T ( [α 1 ,..., α n ] ) = [T (α 1 )..., T (α n )] ,

{T (α1 ),..., T (αn )}

por

W = [T (α1 )..., T (α n )] ,

tanto

siendo

un conjunto L.I, lo cual demuestra que una base de V se transforma en

una base de W.

( ⇐) Como por hipótesis T transforma una base de V en una base de W, se tiene que dim(V)=dim(W)= n . Veamos que T es inyectiva. Sea {α1 ,..., α r } ( r ≤ n ) cualquier subconjunto L.I de V, por el teorema de extensión a una base existen αr +1 , αr +2 ,..., αn vectores de V tales que {α1 ,..., α r , α r +1 , αr +2 ,..., α n } es una base de V. Como estamos suponiendo que T transforma una base de V en una base de W, se deduce que

{T (α1 ),..., T (αr ), T (αr +1 ), T (αr +2 ),..., T (αn )}

{T (α1 ),..., T (α r )}

L.I,

consecuencia

es L.I (por ser subconjunto de un conjunto L.I), luego por el teorema

5.4.4 T es no singular (es decir inyectiva); y al ser dimV=dimW es sobreyectiva, obteniéndose finalmente que T es inversible. Corolario 5.4.4.2 Sea T : V → W una T.L entre espacios vectoriales de dimensión finita, entonces: Si T es inversible, entonces dimV=dimW (lo recíproco no es cierto).

Demostración. Evidente… Comentario: El teorema demostrado hace ver que las transformaciones lineales no singulares son las que preservan la independencia lineal. Cuando se estudian transformaciones lineales pueden darse ejemplos de ellas que sen inyectivas y no sobreyectivas, y viceversa. El teorema que enunciaremos a continuación ilustra un importante caso en que esto no puede ocurrir. Teorema 5.4.5 Sea T : V → W una transformación lineal entre dos F-espacios vectoriales de dimensión finita tal que dimV=dimW. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: (1) T es inversible (2) T es sobreyectiva (3) T transforma bases en bases. Demostración Por el Corolario 5.4.4.1 sabemos que (1) y (4) son equivalentes. Usando que dim V = rang (T ) + N (T ) y la hipótesis dim V=dimW se deduce fácilmente que (1), (2) y

(3) son equivalentes (Hacer la demostración). Definición 5.4.6 Isomorfismo. Una transformación lineal T : V → W inversible se dice que un isomorfismo de V sobre W. Los espacios vectoriales se dice que son isomorfos y se usa la notación V ≅ W . Teorema 5.4.7 Dos espacios vectoriales V y W finito dimensionales son isomorfos si, y sólo si, tienen la misma dimensión. Demostración

( ⇒) Si V ≅ W , entonces existe una bisección de V sobre W y por el corolario 5.4.4.2 se deduce que dimV=dimW.

( ⇐) Si dimV=dimW= n , sea {α1 ,..., αn } una base de V y { β1 ,..., βn } una base de W. Porr el teorema 5.1.12 (Existencia de transformaciones lineales) existe una T.L T : V → W tal que T (αi ) = βi , ( i = 1,2,..., n ) . Veamos que T es una bisección. En efecto: (a) es inyectiva, si T (α) = 0 , como {αi }1≤i ≤n es una base de V se tiene que α =

∑c α ,c i =1

∈F ,

n  n  n por lo tanto: 0 = T  ∑ ciα i  = ∑ ci T (α i ) = ∑ ci β i y como {βi }1≤i ≤n es L.I se tiene que i =1  i =1  i =1

c1 = c 2 = ... = c n = 0 y por tanto α = 0 , lo que prueba que T

sobreyectiva:

sobreyectividad

deduce

es inyectiva;

fácilmente

(b) Es que

T (V ) = T ( [α 1 ,..., α n ] ) = [T (α 1 )..., T (α n )] = [ β 1 , β 2 ,..., β n ] = W . Corolario 5.4.7.1 Todo F-espacio vectorial de dimensión finita

n es isomorfo a F n .

Comentario: Observe que: (i) V ≅ V ya que la T.L identidad es un isomorfismo de V sobre W. (ii) V ≅ W ⇒ W ≅ V ya que si V ≅ W existe un isomorfismo T : V → W , por tanto T −1 : W → V es un isomorfismo y W ≅ V .

(iii) (V ≅ W y W ≅ Z ) ⇒ V ≅ Z . Se basa en que la composición de isomorfismos es un isomorfismo. Esto hace ver que el isomorfismo es una relación de equivalencia en el conjunto de los espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo F, las clases de equivalencia vienen dadas por los espacios vectoriales de la misma dimensión. Ejercicios 1) Dé un ejemplo de una T.L que sea inyectiva y no sobreyectiva 2) Dé un ejemplo de una T.L que sea sobreyectiva y no inyectiva 3) Demuestre que no existe una T.L T : R 4 → R 3 que sea inversible 4) Determine cuáles de las T.L T : R 3 → R 3 son isomorfismos (a) T1 ( x, y, z ) = ( x − y, y − z, z − x) , (b), T2 ( x, y, z ) = (2 x, x + y, x + y + z ) , (c) T3 ( x, y , z ) = ( x, y + z , y − z ) , (d) T4 ( x, y, z ) = ( x + z, x + y,2 x + y + z ) . En caso afirmativo hallar una fórmula para Ti −1 , i =1,2,3,4 . 5) Sea F

un cuerpo y T : F 2 → F 2 la T.L definida por T ( x1 , x 2 ) = ( x1 + x 2 , x1 ) .

Demuestre que T es un isomorfismo y calcule T −1 . 6) Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones (a) Si T ∈L(V , V ) y T es sobreyectiva, entonces T es un isomorfismo (b) Si T ∈L(V , V ) y T es inyectiva, entonces T es un isomorfismo.

7) ¿Existe una T.L T : R 2 → R 3 sobreyectiva? 8) Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números complejos y supóngase que existe un isomorfismo T de V sobre C 3 . Sean α1 , α2 , α3 , α4 vectores en V tales que T (α1 ) = (1,0, i ), T (α2 ) = ( −2,1 + i,0), T (α3 ) = (−1,1,1), T (α4 ) = (2, i,3) .

(a) ¿ α 1 ∈ [α 2 , α 3 ] ? (b) Sean W1 = [α 1 , α 2 ] , W2 = [α 3 , α 4 ] . Calcular W1 ∩W2 . (c) Halla una base para el subespacio de V generado por los cuatro vectores α1 , α2 , α3 , α4 . 9) Si

m y n son enteros positivos tales que n > m , probar que existe un isomorfismo de

F n en F m cuyo núcleo es isomorfo a F n −m . 10) Sean V y W dos F-espacios vectoriales y U un isomorfismo de V sobre W. Demostrar que la T.L Ψ : L(V , V ) → L(W , W ) definida por Ψ(T ) =U .T .U −1 e un isomorfismo de L (V , V ) sobre L(W , W ) .

Unidad IV MATRICES Y TRANSFORMACIONES LINEALES 6.I- MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACION LINEAL DEF 6.1.1.- (BASE ORDENADA DE UN ESPACIO) Si V es un espacio vectorial de dimensión finita, una base ordenada de V es una sucesión finita de vectores linealmente independientes que generan a V. Es decir, una base ordenada de V, es una base como se ha definido en la unidad III, con un orden dado. Usaremos la misma notación que teníamos en la unidad III, para indicar una base ordenada. Sea V un espacio vectorial finito dimensional sobre un cuerpo F y sea B = {α1 ,..., α n } una base ordenada de V. Sabemos que todo vector n

α de V se descompone

de manera única como α = ∑ xiα i . Se llamará xi la i-ésima coordenada de i =1

la base ordenada B = {α1 ,..., α n }

α respecto a

NOTA: Cada base ordenada de V determina un isomorfismo entre el F-espacio V y el Fespacio F n (establecer este isomorfismo) MATRIZ DE COORDENADAS DE UN VECTOR

( x1 , x 2 ,..., x n ) es

α de un F-espacio vectorial V respecto a una base ordenada B de V, llamaremos matriz de coordenadas de α Si

la n-upla de coordenadas de un vector

 x1  .    nx1 respecto a B, a la matriz .  de F , para indicar la dependencia de esta matriz respecto .    x n   

a la base B se usa el símbolo [α ] B Ejemplos 1) Sea V = R 2 y B = { e1 , e2 , e3 } la base canónica (ordenada) de R 2 la matriz de

coordenadas de un vector α = ( x, y, z ) ∈ R

respecto a B es [α ] B

La matriz de coordenadas del mismo vector

B = { e2 , e3 , e1 } es [α ] B

matriz

x =  y   z 

α respecto a la base ordenada

 y =  z   x 

coordenadas

del

B3 = {(1,1,0), (0,−1,1), (−1,0,0)} es [α ] B

mismo

vector

respecto

base

 y+z   =  z  − x + y + z 

2) Sea V el espacio de las funciones reales de variable real, y sea W el subespacio generado por las funciones sen y cos, esto es, W= [sen, cos]. La función f : R → R definida por f ( x ) = sen( x + p ) ( p fijo ) es un vector de W, y la matriz de coordenadas de dicho vector

respecto a la base ordenada B= {cos, sen} es

[ f ]B

 senp  =  , ya que se cumple cos p 

f ( x ) = sen( x + p ) = senp. cos x + cos p.senx

MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Sean V y W dos F-espacios vectoriales finito dimensionales, de dimensiones n y m respectivamente. Si B1 = {α1 ,..., α n } es una base ordenada de V y B2 = { β1 ,..., β m } es una base ordenada de W y T: V → W es una T.L, llamaremos MATRIZ ASOCIADA A T RESPECTO A LAS BASES B1 y B2 a la matriz A = [ Aij ] mxn sobre F, tal que m

T (α j ) = ∑ Aij β i ( j =1,..., n ) i =1

Es decir, si se tiene: T (α1 ) = A11 β1 + A21 β2 + A31 β3 + ... + Am1 βm T (α 2 ) = A12 β1 + A22 β 2 + A32 β3 + ... + Am 2 βm

… T (α n ) = A1n β1 + A2 n β 2 + A3n β3 + ... + Amn β m

Entonces A = [ Aij ] mxn

 A11  A21 decir A =  ...  Am1

A12 A22 ... Am 2

 A11  resulta ser la transpuesta de la matriz  ...  A1n

A21 ... A2 n

... ... ...

Am1  ...  es Amn  nxm

A1n  A2 n  ...  . ...  ... Amn  mxn ...

Se usa la notación [ Aij ] mxn = [T ] B B (observe que la j-ésima columna de [T ] B1B2 1 2

está formada por las coordenadas del vector T (αj ) en la relación a la base B2 ) Ejemplos 1) Sea T : R 3 → R 2 la T.L definida por T ( x, y, z) = ( x + y, x + z ) y consideremos las bases

B1 = { (1,0,0 ) , ( 0,1,0 ) , ( 0,0,1)} de R 3 y B2 = { (1,0 ) , ( 0,1)} de R 2 ( bases ordenadas). La matriz de T respecto a las bases B1 y B2 la expresamos calculando las imágenes de los elementos de B1 como combinación lineal de los elementos de B2

T ( 1, 0, 0 ) = ( 1, 1 ) = 1 ( 1, 0 ) + 1 ( 0, 1 ) T ( 0, 1, 0) = ( 1, 0 ) = 1 ( 1, 0 ) + 0 ( 0, 1 ) T ( 0, 0, 1) = ( 0, 1 ) = 0 ( 1, 0) + 1 ( 0, 1 ) 1

0

Por tanto [T ] B B = 1 0 1  2 x 3 1

ejemplo

toma

como

base

ordenada

R3 a

B3 = {( − 2,0,3), (1,0,−1), ( 0,3,0)} y para R 2 a B4 = { ( 3,0 ) , ( − 2,−2 )} , entonces la matriz de

T respecto a las bases ordenadas B3 y B4 es:

[T ] B B

3 4

 − 1 13 1 =  −1 , ya que:   2 0 0 2 x 3

T ( -2, 0, 3) = -1(3, 0) + ( −21 ) ( -2, -2) T ( 1, 0, -1) = (

1 3

) ( 3, 0) + 0 ( -2, -2)

T ( 0, 3,0) = 1 ( 3, 0) + 0 ( -2, -2) NOTA: En el caso de ser T un operador lineal sobre un espacio vectorial V, la matriz asociada a T respecto a una base ordenada B de V, la denotamos simplemente por [T ] B 3) Sea V el espacio de las matrices cuadradas 2 x 2 sobre el cuerpo de los reales, y sea T el operador sobre V definido por T (A) = A t donde A t denota la transpuesta de A. Si elegimos

para

1 Bij (r , s ) =  0 0 B22 =  0

base

ordenada

(i, j ) = (r , s )

1

β = { B11 , B12 , B21 , B22 } 0

, es decir B11 =  , (i, j ) ≠ (r , s ) 0 0

0 entonces como: 1 

T ( B11 ) = B11 = 1B11 + 0 B12 + 0 B21 + 0 B22 , T ( B12 ) = B21 = 0 B11 + 0 B12 + 1B21 + 0 B22 , T ( B21 ) = B12 = 0 B11 + 1B12 + 0 B21 + 0 B22 , T ( B22 ) = B22 = 0 B11 + 0 B12 + 0 B21 + 1B22 .

0 B12 =  1

tal

que

0 0 , B21 =   0 0

1 y 0 

Se tiene [T ] B

1 0 = 0  0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0  0  1

4) Si en (3) se toma como base para el dominio la misma base B y como base para el

1 0 = 0  0

codominio a β1 = { B11 , B21 , B12 , B22 } , entonces [T ] B B 1

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0  0  1

Teorema 6.1.4.Si T: V → W es una T.L entre dos espacios vectoriales de dimensión finita, de bases B1 en V y B2 en W, entonces, para todo vector

α de V se cumple: [T (α )] B = [T ] B B .[α ] B

Demostración: Supongamos dim V= n, dimW = m;

1 2

B1 = {α1 ,..., α n } base ordenada de V y

B2 = { β1 ,..., β m } base ordenada de W. Sea A = [ Aij ] mxn = [T ] B1B2 , entonces de acuerdo a la

 x1    definición 6.A.3 se tiene: T (α j ) = ∑ Aij β i , j =1,2,..., n . Sea X =  ...  la matriz de i =1  x n  m

coordenadas de un vector

α de V respecto a la base

B1 , es decir α = ∑ x j α j , con esta j =1

notación debemos demostrar que la matriz de coordenadas de T (α) en la base B2 es AX. En

efecto,

evaluando

n  n  n  m  T (α ) = T  ∑ x j α j  = ∑ x j T (α j ) = ∑ x j  ∑ Aij β i  = j =1  i =1   j =1  j =1

T (α)

tenemos:

n m m n m  n  = ∑ ∑ x j ( Aij β i ) = ∑ ∑ ( Aij x j ) β i = ∑  ∑ Aij x j β i . j =1 i =1 i =1 j =1 i =1  j =1 

decir,

tenemos:

m  n  T (α ) = ∑ ∑ Aij x j βi , por tanto la matriz de coordenadas de T (α) en la base B2 es: i =1  j =1 

 n   ∑ A1 j x j   j =1  Y =  ...  y esto es precisamente AX , que era lo que se deseaba demostrar. n  A x  mj j  ∑  j =1  mx1 Teorema 6.1.5.Para todo par de F-espacios vectoriales finito dimensionales V y W de bases B1 y B2 respectivamente, se cumple: 1) [T + S ] B1B2 = [T ] B1 + [ S ] B2 , ∀T , S ∈L(V , W ) 2) [ cT ] B1B2 = c[T ] B1B2 , ∀T ∈L(V , W ) , ∀c ∈ F Demostración 1) Sean S y T elementos de L (V, W ) y supongamos que A y B son las matrices de T y S respectivamente, respecto a las bases B1 y B2 , es decir: m

T (α j ) = ∑ Aij β i , j =1,2,..., n i =1 m

S (α j ) = ∑ Bij β i , j =1,2,..., n i =1

Siendo B1 = {α1 ,..., α n } y B2 = { β1 ,..., β m } . Por la definición de suma de funciones se

[T + S ](α j ) = T (α j ) + S (α j ) ;

tiene m

i =1

[T + S ](α j ) = ∑ Aij β i + ∑ Bij β i = ∑ ( Aij + Bij )β i

por

tanto:

lo que indica que la matriz asociada a T

+ S respecto a las bases B1 y B2 es [T + S ] B B = [ Aij + Bij ] mxn [ T + S ] , pero por teoría de 1 2

matrices sabemos: [ Aij + Bij ] = [ Aij ] + [ Bij ] y se tendrá [T + S ] B1B2 = [T ] B1B2 + [ S ] B1B2 . m

2) Con igual notación que en (1) se tiene T (α j ) = ∑ Aij β i , j =1,2,..., n , si c ∈ F es un i =1

escalar

cualquiera,

acuerdo

(cT )(α j ) = c(T (α j )) , por tanto

definición

función

cT se

tiene

 m  m (cT )(α j ) = c ∑ Aij β i  = ∑ ( cAij ) β i , lo cual indica que  i =1  i =1

la matriz asociada a cT , respecto a las bases B1 y B2 es la matriz cA Teorema 6.1.6.Sean V y W dos F-espacios vectoriales finito dimensionales, de dimensiones

n y m

respectivamente, sean B1 y B2 bases ordenadas elegidas en V y W, entonces la función Φ : L(V , W ) → M mxn ( F ) Φ(T ) = [T ] B1B2 es un isomorfismo.

Demostración a) El teorema 6.1.5 garantiza que Φ es una transformación lineal. b) Como dim( L(V , W ) ) = n.m = m.n = dim M mxn ( F ) para probar que Φ es biyectiva, bastará probar que KerΦ = {0} L (V ,W ) . En efecto: si Φ(T ) = 0 mxn para algún T ∈ L (V,W), entonces [T ] B1B2 = 0 mxn [T], es decir T (α j ) = 0 ,

∀ j =1,2,..., n

y por tanto T es la

transformación nula y así KerΦ es el subespacio nulo de L(V,W). De a) y b) se deduce que Φ es un isomorfismo. Teorema iii a.7. Sean U, V, W, F-espacios vectoriales finitos dimensionales de bases B1 , B2 y B3 respectivamente.

[ ST ] B B

1 3

T ∈ L(U,V)

S∈ L

(V,

entonces

cumple:

= [ S ] B2 B3 .[T ] B1B2

Demostración Supongamos: dim U= p, dim V= n y dim W= m Consideremos las bases B1 = {α1 ,..., α p } , B2 = { β1 ,..., β n } y B3 = {δ1 ,..., δ m } de U, V y W respectivamente y las matrices asociadas: A = [ Aij ] nxp = [T ] B B , B = [ Bij ] mxn = [ S ] B B , 1

i =1

entonces se tiene T (α k ) = ∑ A jk β j , ( k =1,2,..., p ) y S ( β j ) = ∑ Bij δ i , ( j =1,2,..., n  n  ). Por lo tanto, para k entre 1 y p se cumple: ( ST ) (α k ) = S ( T (α k ) ) = S  ∑ A jk β j  =  j =1  n

∑A jk S ( β j ) = j =1

m m  n   m  n m   B A δ A B δ = A β δ   = = ∑ ∑∑ jk ij i ∑ jk ∑ ij i  ∑ ij jk  i ∑ ( BA) ik δ i . Se i =1  j =1 i =1 j =1  i =1  j =1 i =1 

tiene entonces:

( ST ) (α k ) = ∑ ( BA) ik δ i ( k =1,2,..., p ),

lo cual indica que la matriz

i =1

asociada a ST es BA con lo cual concluye la demostración. Corolario 6.1.7.1.Si V es un F-espacio vectorial finito dimensional y B es una base ordenada de V, entonces la función Φ : L(V ) → M m ( F ) definida por Φ(T ) = [T ] B es un isomorfismo de algebra. Ejercicios 1) Sean B1 = {(2,1,3), (0,1,0), (0,0,1)} y B2 = { (1,2), ( 2,1)} bases ordenadas de R 3 y R 2 respectivamente. Calcular [Ti ] B1B2 para: (a) T1 ( x, y, z ) = (3x + 2 y, y − z ) (b) T2 ( x, y, z ) = ( x, y + x) 2) sea T el operador lineal sobre C 2 definido por T ( x, y ) = ( x,0) . Sea B la base ordenada canónica de C 2 y B ′ = {(1, i ), (−i,2)} , calcular: [T ] B , [T ] B′ , [T ] BB′ , [T ] B′B 3) Sea T : R 3 → R 2 la transformación lineal cuya matriz respecto las bases canónicas de 2

R 3 y R 2 es −1 1 

4  − 2 

(a) Determinar las imágenes de ( 1, 0, 1) y de (2, 1, -3) (b) Determinar una base para Im(T) y rang(T) (c) Determinar una base para ker(T ) y la nulidad de T (Resolver el ejercicio trabajando con la matriz dada) 4) sea V un espacio vectorial de dimensión 2, y sea B una base ordenadas de V. Si T es un a

operador lineal sobre V, y [T ] B =  c 

b , demostrar: T 2 − (a + d )T + (ad − bc) I = 0 d 

5) Demuestre la siguiente proposición: Un operador lineal T sobre un espacio vectorial V es inversible, si y solo si, la matriz [T ] B de T en relación a cualquier base B de V es

[ ]

inversible. Además, si T es inversible, se cumple: [T ] −B1 = T −1 −1 4

6) Sea A la matriz 2x3 , dada por A = 

0 −2

3 . Dese un ejemplo de una 1 

transformación lineal T : R 3 → R 2 y de bases B1 y B2 para R 3 y R 2 respectivamente diferentes de las bases canónicas, tales que [T ] B1B2 = A 7) Sea V un espacio vectorial, T un operador lineal de V y {α1 , α 2 , α 3 } una base ordenada de V, determinar la matriz de T en relación a la base ordenada indicada, sabiendo que T (α1 ) = α 2 y que T deja fijos todos los vectores cuyas coordenadas ( x1 , x 2 , x3 ) satisfacen

la relación x1 − x 2 + x3 = 0 MATRIZ DE CAMBIO DE BASE Sea V un F-espacio vectorial de dimensión finita n y B1 = {α1 ,..., α n } , bases ordenadas de V. Llamaremos matriz de cambio de la base B1 a la base B2 , a la matriz A = [ Aij ] nxn tal n

que β j = ∑ Aij α i , j =1,..., n i =1

Observe: la j-ésima columna de la matriz A está formada por los componentes del vector βj en relación a la base B1 ; esto es, la matriz de cambio de la base B1 a la base B2 es

la matriz asociada a la transformación lineal U: V → V definida por U (α j ) = β j respecto a la base B1 . Ejemplo: Sea V = R 3 y sean B1 = { e1 , e 2 , e3 } base canónica y . Se tiene entonces: (1,2,0) = 1 e1 + 2 e 2 + 0 e3 ( 0, 1, 2 ) = 0 e1 + 1 e2 + 2 e3 ( 1, 0, 2 ) = 1 e1 + 0 e 2 + 2 e3 . De modo que la matriz de cambio de la base B1 a la base B2

1  es A = 2  0

0 1 2

1 0  2 

Observe que ésta es la matriz asociada al operador U : R 3 → R 3 , definido por U (1, 0, 0 ) = U ( 1, 2, 0 ) , U( 0, 1, 0 ) = ( 0, 1, 2 ) y U( 0, 0, 1 ) = ( 1, 0, 2 ) respecto a la base B1 ya que: U ( 1, 0, 0 ) = 1 ( 1, 0, 0 ) + 2 ( 0, 1, 0 ) + 0 ( 0, 0, 1 ) U ( 0, 1, 0 ) = 0 ( 1, 0, 0 ) + 1 ( 0, 1, 0 ) + 2 ( 0, 0, 1 ) U ( 0, 0, 1 ) = 1 ( 1, 0, 0 ) + 0 ( 0, 1, 0 ) + 2 ( 0, 0, 1 ) Teorema 6.1.10 Si P es la matriz de cambio de la base B1 a la base B2 de un espacio V, y

α es un vector

de V, se cumple: [α ] B1 = P[α ] B2 . Demostración: Consideremos las bases B1 = {α1 ,..., α n } y B2 = { β1 ,..., β n } del espacio V y las matrices

coordenadas

[α ] B

 x1  =  ...   x n 

[α ] B

 y1  =  ...  ,  y n 

entonces

tiene:

n n  n  α = ∑ y j β j =∑ y j  ∑ Pij α j  , donde P = [ Pij ]nxn es la matriz de cambio de base, luego: j =1 j =1  i =1 

n  n  α = ∑ y j  ∑ Pij y i α i , como las coordenadas de un vector respecto a una base son únicas, i =1  j =1 

n  P1 j y j  ∑   x1   y1  n  j =1      se deduce que: xi = ∑ Pij y j , o sea  ...  =  ...  = P. ...  , lo cual indica que n j =1  xn   ∑ Pnj y j   y n   j =1   

[α ] B

= P[α ] B2

Teorema 6.a.11.La matriz de cambio de una base B1 a la base B2 de un espacio vectorial es inversible: Demostración:

Sea P la matriz en cuestión. Demostremos que el sistema PX= 0 admite sólo la solución trivial. Supongamos que existe una matriz S nx1 tal que S ≠ 0 y PS = 0. Si

α es un vector cuyas

componentes en la base B2 son los elementos de S, se tiene que , P[α ] B2 = 0 , o sea

[α ] B

= 0 , esto indica que

componentes de

α es el vector nulo, lo que nos permite afirmar que las

α en la base

B2 son nulas (por que?) lo cual va contra el supuesto S ≠ 0

. Por tanto el sistema PX = 0 admite sólo la solución trivial y así P es inversible. NOTA: En el teorema III.A.10 se probó que [α ] B1 = P[α ] B2 , de la proposición III.A.11 se −1 sabe que P es inversible y podemos escribir [α ] B2 = P [α ] B1 .

En el ejemplo de la página 26 se tenía B1 = { e1 , e2 , e3 } y ,

 13  A −1 =  −32  23

1 3 1 3 −1 3

−1 6 1 3 1 6

1 A = 2  0

0 1 2

1 0  y la inversa 2 

   . Si (x, y, z) son las coordenadas de un vector en la base canónica 

, las coordenadas de dicho vector en la base B2 vienen dadas por A

coordenadas de dicho vector en la base B2 son:

(

x 3

−1

x  y    , o sea las  z  

+ 3y − 6z , −32 x + 3y + 3z , 23 x − 13 y + 16 z

)

Teorema 6.a.12.Sea V un F-espacio vectorial, y sean B1 , B2 y B3 bases de V. Si A es la matriz de cambio de la base B1 a la base B2 y B es la matriz de cambio de la base B2 a la base B3 , entonces AB es la matriz de cambio de la base B1 a la B3 Demostración:

Sean B1 = {α1 ,..., α n } , B2 = { β1 ,..., β n } y B3 = {δ1 ,..., δ m } . De acuerdo a la n

definición

III.A.9

tiene: β j = ∑ Aijα i i =1

δ k = ∑ B jk β j , j =1

por

tanto

  n  n  n δ k = ∑ B jk  ∑ Aij α i  = ∑ ∑ Aij B jk αi (I). j =1  i =1  i =1  j =1  n

Si P = [ Pij ] nxn es la matriz de cambio de la base B1 a la base

B2 , se tiene:

δ k = ∑ Pik α i (II). De (I) y (II) y del hecho de que las coordenadas de un vector, respecto i =1

a una base son únicas, se deduce que: Pik = ∑ Aij B jk ,o sea Pik = ( AB ) ik lo que indica j =1

P = AB Teorema 6.1.13 Sea V un F-espacio vectorial, B1 y B2 bases de V. Si A es la matriz de cambio de la base B1 a la base B2 y B es la matriz de cambio de la base B1 a la B2 , se cumple que: AB = BA = I n , donde

I n es la matriz identidad de orden

n , siendo n la dimensión de

V. Demostración: Sean B1 = {α1 ,..., α n } , B2 = { β1 ,..., β n } bases de V. De la def. 6.1.9, se deduce: n n n  n  n  n  β j = ∑ Aijα i y α i = ∑ Bki β k . Luego, β j = ∑ Aij  ∑ Bki β k  = ∑ Aij  ∑ Bki Aij β k lo i =1 k =1 i =1  k =1  k =1  i =1 

cual indica que

∑B i =1

0, k ≠ j Aij = δ kj =  . O sea, ( BA) kj = ( I n ) kj de donde BA= I n . De 1, k = j

manera análoga se demuestra AB= I n (Nota: este teorema también puede demostrarse combinando las proposiciones III.A.10 y IV.A.11) Teorema 6.1.14.Si V es un F-espacio vectorial, B1 y B2 bases de V. A la matriz de paso de B1 a B2 y −1 T es un operador sobre V, se cumple [T ] B2 = A [T ] B1 A Demostración.

Sea [T ] B2 = Q y [T ] B1 = P , debemos demostrar Q = A −1 PA Si B1 = {α1 ,..., α n } , B2 = { β1 ,..., β n } , y B es la matriz de paso de B1 a B2 debemos demostrar que Q = BPA ( y por el teorema 6.1.13 es B = A −1 ). Por la definición n

k =1

i =1

6.1.9, se tiene que: β l = ∑ Akl α k (3) y α j = ∑ Bij β i (4) . Por la definición de matriz n

j =1

i =1

asociada a una transformación lineal se tiene: T (α k ) = ∑ Pjk α j (5) y T ( β l ) = ∑ Qil β i n n  n   n    ( ) T β = T A α = A T ( α ) = A   (6); por tanto ∑ ∑ ∑ l kl k kl k kl  ∑ Pjk α j  = k =1 j = 1  k =1  k =1  

n n n  n  = ∑ ∑ Pjk Akl α j = ∑∑ Pjk Akl ∑ Bij βi j =1  k =1 j =1 k =1 i =1  n

n  n n n  = ∑ ∑∑Bij Pjk Akl βi = ∑( BPA) il βi , i =1  j =1 k =1 i =1 

luego

hemos

demostrado

que:

T ( βl ) = ∑ ( BPA) il βi (7). Comparando (6) y (7) se deduce que Qil = ( BPA) il , lo cual i =1

indica que Q = BPA . Otra demostración más simple de este teorema es la siguiente: Sabemos que si

α es

−1 −1 un vector de V, se cumple: [T ] B2 .[α ] B2 = [T (α )] B2 = A [T (α )] B1 = A .[T ] B1 .[α ] B1 −1 = A .[T ] B1 . A.[α] B2 (justifique

[T ] B .[α ] B 2

Ejercicios 1) En

(

lector

)

los

pasos).

Esto

indica

que:

= A −1 [T ] B1 . A [α ] B2 de donde [T ] B = A. −1 [T ] B . A , (¿Por qué?) R 3 considérense

las

bases

B1 = {(1,0,−2), (1,1,1), (0,0,−1)} ,

B2 = { (1,0,0), (0,1,0, (0,0,1)} . Determinar la matriz de cambio de la base B1 a la base B2

¿Cuál es la matriz de cambio de B2 a B1 ?

2) Demuestre la siguiente proposición: Si V es un espacio vectorial de dimensión una base de V y M es una matriz

mxn inversible, entonces existe una base

B2 de V tal

que la matriz de paso de B1 a B2 es M. 3) En R 3 considere las bases B1 = {α 1 , α 2 , α 3 } , B2 = { β1 , β 2 , β 3 } , donde α1 = (1,−1,1) ,

α 2 = (1,0,1) , α3 = (0,1,1) , β1 = (2,−1,2) , β2 = (1,1,2) y β3 = (1,0,2) a) Determinar la matriz de paso de B1 a B2 b) Si w = α1 + 2α 2 − α 3 , expresar

w como combinación lineal de los βi haciendo uso de

la matriz de cambio de base. c) Consideremos el subespacio W de R 3 definido por:

W = { x ∈ R 3 x = c1α 1 + c 2α 2 + c3α 3 ; c1 + c 2 + c3 = 0} . Determinar una condición equivalente

para los d1 , d 2 , d 3 , si x = d1 β1 + d 2 β2 + d 3 β3 4) Sea V un espacio de dimensión finita

n sobre un cuerpo F y sea H el conjunto de

todas las bases de V. Consideremos la función de HxH en el conjunto de las matrices inversibles sobre F de orden

n , que manda a un par ( B1 , B2 ) en la matriz de cambio de la

base B1 a la base B2 . Demuestre que esta función es sobreyectiva pero no inyectiva. Ilustrar para el caso de V= R 3 el modo de utilizar una misma matriz para cambios de bases diferentes. 5) Sean V y W dos F-espacios vectoriales de dimensión finita y T un elemento de L(V,W). Supongamos que B1 y B2 son bases de V, y P es la matriz de paso de B1 a B2 . Así mismo, sean B3 y B4 bases de W y Q la matriz de paso de B3 a B4 . Probar:

[T ] B B 2

= Q −1 .[T ] B1B3 .P

6) Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita y T

∈ L(V, W). Decimos que una

matriz M representa a la transformación lineal T si M es la matriz asociada a T para ciertas bases de V y W. Decimos que dos matrices cuadradas A y B de orden existe una matriz inversible P de orden

n son similares, si

n tal que B = P −1 AP .

Demuestre que dos matrices representan el mismo operador lineal, si y solo si, son similares. 7) Demostrar la siguiente proposición:

Si V es un F-espacio vectorial y B1 y B2 son bases de V, entonces se cumple que det[T ] B1 = det[T ] B2 , para cualquier operador lineal T sobre V.

8) El ejercicio (7) asegura que el determinante de la matriz asociada a un operador lineal respecto a cualquier base no depende de la base seleccionada y permite dar la siguiente definición: Llamaremos DETERMINANTE DE UN OPERADOR LINEAL sobre un espacio V al determinante de la matriz asociada a dicho operador respecto a cualquier base de

Determine

determinante

del

operador

T : R3 → R3 ,

tal

que

T ( x, y , z ) = ( 2 x − y ,4 x,−5 y ) .

9) Pruebe o desapruebe: Sea T un operador lineal sobre un espacio V de dimensión finita n . Si la matriz asociada a T respecto a bases B y B ′ de V es la matriz identidad entonces, T es la transformación identidad de V en V.