ECUACIONES EN LAS QUE LA DERIVADA APARECE IMPL´ICITAMENTE
Son las que tienen la forma F (x, y, y ′) = 0. APARTADO 7. F algebraica en y ′ de grado n. Supongamos que tenemos (y ′ )n + a1 (x, y)(y ′ )n−1 + · · · + an−1 (x, y)y ′ + an (x, y) = 0. Si pensamos en la expresi´on anterior como en un polinomio en y ′ de grado n igualado a cero, y logramos resolver la expresi´on algebraica, obtenemos las ra´ıces y ′ = fi (x, y), i = 1, 2, . . . , n. Es decir, (y ′ − f1 (x, y))(y ′ − f2 (x, y)) · · · (y ′ − fn (x, y)) = 0. Por lo tanto, las soluciones de la E. D. de partida ser´an las de cada una de las nuevas ecuaciones diferenciales y ′ − fi (x, y) = 0, i = 1, 2, . . . , n, que habr´a que resolver. De esta forma obtenemos n familias uniparam´etricas de soluciones.
RECETA 7. F algebraica en y ′ de grado n. Tenemos (y ′ )n + a1 (x, y)(y ′ )n−1 + · · · + an−1 (x, y)y ′ + an (x, y) = 0. Resolvi´endolo como un polinomio en y ′ de grado n igualado a cero obtenemos (y ′ − f1 (x, y))(y ′ − f2 (x, y)) · · · (y ′ − fn (x, y)) = 0. Por tanto, las soluciones de la E. D. de partida ser´an las soluciones de cada una de las ecuaciones y ′ − fi (x, y) = 0, i = 1, 2, . . . , n.
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