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FEBRERO 2014 REVISTA NO. 0001

REVISTA Á L G E B R A

IRECCIÓN

“El álgebra es muy generosa. Siempre nos dice más de lo que le preguntamos”

Jean Le Rond D’Alembert

¡Con definiciones, ejemplos, y actividades que te servirán en álgebra lineal!

Suspendisse feugiat mi sed lectus aoreet nec interdum por Trenz Pruca

Vectores Rectas Planos ¡Todos los conceptos importantes de vectores aquí!

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Realizada por: Roberto Bonifasi 13124 Frank Fritzsche 13553 JosĂŠ Penagos 13253 Felipe SĂĄnchez 13356

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Vector: Es un segmento de recta dirigido que representa el desplazamiento desde un punto A hasta otro punto B. Su característica principal es que tienen magnitud y dirección. Se denota con una letra minúscula y una flecha encima, o también con una letra minúscula en negrita, como por ejemplo: o e. Un vector también tiene una parte inicial y una parte terminal.

R2: También es conocido como el plano cartesiano. Recibe el nombre o notación de R2 porque está compuesto por dos ejes, el eje x y el eje y, en dónde en ambos ejes los números son Reales.

Escalar: Un número entero que no tiene magnitud ni dirección y sirve para ponerle valor a un objeto o fuerza.

Longitud: Es la magnitud que expresa la distancia entre dos puntos. Por ejemplo, en base a la imagen 1, se tienen dos puntos que son A y B. El punto A es (2,3) mientras que el punto B es (5,5). Para calcular la longitud del vector, simplemente se restan las coordenadas del punto B con las del punto A. Por lo tanto, las componentes de la longitud del vector = [3,2].

Vector en posición estándar: Un vector se encuentra en posición estándar cuando su punto de inicio está en el origen de R2, es decir en (0,0). Otra forma de decirlo es que su lado inicial es (0,0) y su lado terminal es el punto P.

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Vectores iguales: Dos vectores, y , son iguales si y solo si tienen la misma longitud (magnitud o norma) y la misma dirección. Por ejemplo: Son iguales: = [3,8] y = [3,8] No son iguales: = [3,8] y = [8,3]

Vector cero o vector nulo: Es un vector con magnitud cero y una dirección arbitraria. Se denota como = [0,0] Propiedades de la Suma de Vectores Asociativa Dice que el resultado de una operación, en la que interviene tres o más vectores, es independiente del agrupamiento de los vectores.

+(

+

)=(

+

)+

Conmutativa Dice que resultado de una operación es el mismo cualquiera que sea el orden de los elementos con los que se opera.

+

=

+

Elemento neutro Un número que operado con cualquier otro número no lo altera

+

=

Inverso aditivo El inverso aditivo de un número real es el mismo número pero con signo contrario, que al sumarlos da como resultado 0

+ (−

)=

Distributiva Aquella por la que de dos o más números de una suma (o resta), multiplicada por otro número, es igual a la suma (o resta) de la multiplicación de cada término de la suma (o la resta) por el número. C(

+

)=C

+C

En el siguiente link podrán visualizar una presentación con las propiedades de los vectores, así como algunos ejercicios: http://www.slideshare.net/dmolinarym/vectores-y-propiedades

Combinación lineal: Se dice que un vector es combinación lineal cuando se puede expresar como una suma de vectores distintos. Es decir que si es una combinación lineal de los vectores

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Vectores paralelos: Dos o más vectores son paralelos si son múltiplos escalares, es decir que solo si . Pueden o no tener la misma dirección o el mismo tamaño, pero no necesariamente tienen que ser iguales.

Vectores ortogonales: Los vectores ortogonales o perpendiculares se dan cuando se interceptan y el ángulo entre ellos es de 90°. Su producto escalar es 0 y los dos vectores son unitarios.

Magnitud: La magnitud de un vector es un escalar. Esta nos indica la distancia entre el punto inicial y el punto terminal del vector. Se obtiene con la fórmula de Pitágoras, . En el siguiente link se encuentra un video que explica cómo obtener la magnitud de un vector. http://www.youtube.com/watch?v=d60Z2giZ2gY Con 2 vectores en R2 se puede calcular La distancia entre ellos El ángulo entre ellos La proyección de un vector sobre el otro Producto punto

Distancia entre dos vectores: La distancia entre dos vectores, y , en R2 está dada por: || , esto quiere decir que primero se realiza la resta entre , y luego se aplica Pitágoras a esas componentes. Por ejemplo, las componentes del vector son [4,4] y las del vector son [5,2]. Lo primero que se hace es la resta y nos queda [-1,2], luego se aplica Pitágoras. . En el siguiente link se encuentra un video que nos explica cómo sacar la distancia entre dos vectores. http://www.youtube.com/watch?v=79iQQuUXjQ0

Producto punto: El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. En el siguiente link se encuentra un video que explica cómo calcular el producto punto entre dos vectores que pertenecen a R3. http://www.youtube.com/watch?v=gRPzgx75_uo

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Ángulo entre dos vectores: el ángulo entre dos vectores está dado por la formula . La respuesta se puede dar en grados o en radianes. Por ejemplo, si y , entonces el resultado del producto punto entre es 23, mientras que la magnitud del vector es y la de es . Entonces . Para conocer el ángulo solamente se le aplica el coseno

Proyección de un vector: es encontrar el vector que tiene la misma o diferente dirección que el vector que recibe la proyección, pero su longitud depende del vector que se proyecta. Cuando <90° entre , la proyección de sobre , tiene la misma dirección de . Si 90< <180, la proyección de sobre tiene dirección opuesta a . Su formula está dada por: . En el siguiente link hay un video que explica como calcular la proyección de un vector, y lo demuestra gráficamente. http://xyzcalc.blogspot.com/2011/05/proyeccion-de-un-vector-sobreotro.html

Normalizar un vector : es el proceso mediante el cual se encuentra un vector unitario en la misma dirección de . La ecuación para la normalización es

Plano R3: Es un plano cartesiano en tres dimensiones, es decir tiene tres ejes que son x, y y z. Los puntos se expresan de esta forma, A=(x,y,z) y los vectores de esta forma =[x,y,z]. Para graficar un punto o un vector, se puede ver este video http://www.youtube.com/watch?v=EekCf0FByJ8

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Plano: Un plano se representa mediante un paralelogramo de lados menores oblicuos.

Producto vectorial o cruz: El producto vectorial o producto cruz de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v.

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Con experto en matemáticas: Dr. Roberto Bonifasi Graduado del Valle Verde Lic. en matemática de MIT Maestría en lógica aplicada Doctorado en educación

Si desea el número de télefono, haga el sigiente producto cruz, obtendrá 8 dígitos: [-30,2,1] x [3,-40,3]

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A continuación encontrarás un crucigrama con 12 palabras definidas anteriormente. ¡Encuéntralas!

Verticales: 1. Se dice que un vector

es __________ cuando se puede expresar como una suma de vectores

distintos. 2. Segmento de recta dirigido que representa el desplazamiento desde un punto A hasta otro punto B.

Horizontales: 1. 2. 3. 4.

Proceso mediante el cual se encuentra un vector unitario en la misma dirección que v. Tiene la misma longitud (magnitud o norma) y la misma dirección Este tipo de vectores se dan cuando se interceptan y el ángulo entre ellos es de 90°. Esta propiedad nos dice que el resultado de una operación, en la que interviene tres o más vectores, es independiente del agrupamiento de los vectores. 5. Es un número real, que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. 6. Vector con magnitud cero.

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7. 8. 9. 10.

Dos o más vectores son __________ si son múltiplos escalares. Un número entero que no tiene magnitud ni dirección. Se representa mediante un paralelogramo de lados menores oblicuos. Nos indica la distancia entre el punto inicial y el punto terminal del vector. Se obtiene con la fórmula de Pitágoras.

Rectas en R2 Vector normal: Es un vector perpendicular a una recta en el plano. Para obtenerlo lo único que se hace es cambiar las componentes del vector dirección y a una componente cambiarle el signo. Por ejemplo, si se tiene el vector =[4,2], el vector normal podría ser =[-2,4] o bien =[2,-4]. Existen cuatro formas de expresar la ecuación de una recta en R2, que son: Forma general Forma normal Forma vectorial Ecuaciones paramétricas

Toda recta tendrá un punto, un vector normal y su vector dirección. El vector normal es =[a,b], su punto terminal es P(x,y) y su vector dirección es =[x,y]. 

Forma general: una recta que pasa por el origen tiene intercepto con el eje y igual a cero, es decir que, en la ecuación de su forma general, C debe ser cero. La forma general, está dada por Ax+By=C.

De la forma general se deduce la forma normal, que está dada por: [ ] *

= 0. Esta forma

solo aplica cuando la recta pasa por el origen. 

La forma normal de una recta está dada por

, dónde:

es el vector normal

es el vector correspondiente a cualquier punto sobre la línea

es el vector correspondiente a un punto fijo conocido sobre la recta

Por ejemplo, encuentre la ecuación de la recta 6x+2y=8 en forma normal. Como bien se mencionó anteriormente, de aquí se puede encontrar el vector normal, que está dado por las componentes a y b de la forma general, en este caso el vector normal sería: [6,2]. Después de encontrar el vector normal, es necesario encontrar un punto que satisfaga la ecuación, pero como sabemos, existen infinitos puntos que satisfagan la ecuación y el primero que se nos viene a la mente es (1,1), por lo que la forma normal de la ecuación sería: [ ]*[ ] = [ ]* [ ]

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La forma vectorial de una recta está dada por:

, que es lo mismo a:


=[ 

De la forma vectorial se deducen las ecuaciones paramétricas, que son dos:

Por ejemplo, encuentre todas las formas de la ecuación de una recta, que pasa por el punto (3,5) y tiene vector dirección [-4,1]. Como bien se mencionó anteriormente, para encontrar el vector normal de una ecuación en R2, basta con conocer el vector dirección. En este caso, el vector normal sería [1,4]. o La forma normal de la recta sería: [ ]*[ ] = [ ]* [ ] o o

De la forma normal se puede obtener la general, que sería x+4y=23 La forma vectorial sería: [ ] = [ ] + t[

o

]

De la forma vectorial se obtienen las ecuaciones paramétricas que serían: X = 3 – 4t Y=5+t

Distancia de un punto a una recta: Es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde el punto, es decir, la longitud más corta. Por ejemplo, si se tiene la recta r y el punto P se hace lo siguiente: 1. 2. 3. 4.

Encontrar el vector que va de A a P. Realizar la proyección de PA sobre la recta r. Restar PA menos la proyección de PA sobre r. Encontrar la magnitud del paso 3.

Distancia desde un punto a un plano: es la menor de la distancia desde el punto a los infinitos puntos del plano. Es la distancia perpendicular trazada desde el punto al plano. Para poder sacar la distancia entre un punto y un plano es necesario conocer el vector normal del plano, un punto en el plano y un punto fuera del plano. Al conocer eso, se hace lo siguiente:

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1. Encontrar el vector que va del punto del plano hasta el punto fuera del plano, se llamará vector AB. 2. Realizar la proyección de AB sobre el vector normal del plano. 3. Encontrar la magnitud del paso 2.

Distancia entre rectas paralelas: Para hallar la distancia entre dos en rectas paralelas, se toma un punto P cualquiera de una recta y se calcula la distancia a la otra recta. Es decir, hay que conocer un punto de una recta y calcular la distancia a la otra recta, como fue explicado anteriormente.

Distancia entre dos planos paralelos: La distancia entre dos planos está dada por: , Dado que los planos indicados tengan

El problema con esta fórmula es que los valores de a, b y c no son iguales cuando nos dan las ecuaciones de los planos. Por lo que se deben de igualar, ya que son paralelas uno debe ser múltiplo del otro. Por ejemplo, si nos dan las ecuaciones

Sabemos que como son paralelas, las dos ecuaciones pueden ser el producto de un escalar y la otra ecuación. En este caso si multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segundo por dos, hemos igualado las ecuaciones y encontrado a, b, c, d1 y d2 = A= -6

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B=12

C=-18

d1=0

d2=-2


Ángulo entre dos planos: El ángulo entre dos planos está dado por la fórmula:

Donde cada vector N, es la normal del plano. coeficientes a, b y c en su ecuación ax + by + cz +d

La normal del plano está dada por sus

Ángulo entre una recta y un plano: Para encontrar el ángulo que hace la intersección de una recta y un plano se deben de hacer diferentes pasos para poder entender lo que sucede. 1. Atravesar la recta por el plano, en un punto cualquiera en el plano al que llamaremos I. 2. Se escoge un punto cualquiera en la recta que se llamara X 3. Se dibuja un vector perpendicular hacia la el plano desde el punto X. El cual atravesara un punto en el plano al cual lo determinaremos como J 4. Ahora hay dos vectores que se pueden usar para encontrar el ángulo de la misma manera que se encuentra el ángulo entre dos rectas. 5. Las rectas serían IX & IJ

Vectores en R3: Cuando se habla de vectores en un plano de tres dimensiones, las tres dimensiones de un vector en R3 son los ejes X, Y y Z. A continuación se presenta un ejemplo de cómo se escribe un vector en R3.

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Ej. V=[ x , y, z ] → V= [ 1 , 3, 6 ] Lo que quiere decir que X=1 , Y= 3 y Z=6. A continuación se presenta una forma gráfica en R3, la cual presenta la ubicación de sus ejes y signos.

Rectas en R3 Para trazar una recta en R3 se puede demostrar de dos maneras diferentes. Estas dos maneras son a través de una ecuación o de una gráfica. Sin embargo, cuando se escribe ecuaciones en R 3 se tiene ciertas formulas ya estandarizadas para la realización de las mismas. A continuación se presentan las cuatro formas que se pueden escribir las rectas en R3.

De las ecuaciones paramétricas, se generan las ecuaciones simétricas que son:

Para poder realizar la operación, hay que entender que significa cada una de estas variables la cual se presentara a continuación. n = Vector normal de la recta p = punto especifico en la recta a = coeficiente de X b = coeficiente de Y c = coeficiente de Z d = vector dirección de la recta Ya sabiendo que significa cada variable, se presentara unos ejemplos para tener una idea más clara.

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Ej. Encuentre el vector dirección cuando te dan los puntos P = (3,1,-1) y Q =(0,4,2). d= qp = p – q = [3-0 , 1-4 , -1 – 2] = [3 , -3 , -3] d = [3 , -3 , -3] Ahora, ya teniendo el vector dirección de la recta, se escribe la forma norma, general, vectorial y paramétrica. Forma Vectorial: x = p + td [x,y,z] = [3,1,-1] +t [3,-3,-3] Forma Paramétrica: x = p # + t d#  x = 3 + 3t y = = p # + t d# y = 1 -3t z = = p # + t d# z = -1 -3t Ecuaciones simétricas:

Forma Normal: (Se necesita 2 ecuaciones para poder realizar esta forma) Forma General: (Se necesita 2 ecuaciones para poder realizar esta forma)

Planos en R3 Un plano es un objeto bidimensional el cual necesita de dos parámetros para realizar la ecuación en forma paramétrica o vectorial. Es importante recordar que un plano tiene dos vectores de dirección y la recta únicamente una en R3. De la misma forma de una recta, los planos tienen distintas formas para escribir sus ecuaciones. A continuación se presenta lass cuatro formas de escribir una ecuación de un plano en R3.

n = Vector normal del plano p = punto especifico en el plano

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a = coeficiente de X b = coeficiente de Y c = coeficiente de Z s y t = escalares llamados parámetros u y v = vectores dirección Es importante hacer énfasis que para identificar un plano, es necesario que tenga dos vectores dirección y así poder escribir sus diferentes formas. Ejemplo – Escriba la ecuación de un plano cuando pasa por P = (0,0,0) con vectores directores u= [2,1,2] y v = [-3,2,1] en su forma vectorial y paramétrica. Forma Vectorial: [x,y,z] = s[2,1,2] + t[-3,2,1] Forma Paramétrica: X = 2s -3t Y = s + 2t Z = 2s +t Cabe recalcar que elos ejemplos propuestos en R3 unicamente se puedieron escribir en su forma vectorial y paramétrica, ya que los datos que daban en sus instrucciones solo permitian sacar de esta forma.

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Revista Dirección de algebra lineal