Frank Fritzsche 13553
Proyecto #1
¿Qué es ISSUU? ISSUU es un sitio en internet que permite que los usuarios compartan libros, revistas, portafolios, etc. Para la visualización digital de ellos. Esta página permite visualizar dos páginas a la vez del libro y cambiar de página con una animación. Se fundó en el 2006 y se empezó a utilizar en diciembre del 2007. El link de la sitio es http://www.issuu.com Al meterme a la página de internet, logré ver que estaban publicadas las revistas de Cemaco, Maxim, entre otras así como la edición digital de La Prensa Libre y El Quetzalteco, y un libro llamado “Leyendas de Guatemala” escrito por Andrés Ávila.
Vector: Es un segmento de recta dirigido que representa el desplazamiento desde un punto A hasta otro punto B. Su característica principal es que tienen magnitud y dirección. Se denota con una letra minúscula y una flecha encima, o también con una letra minúscula en negrita, como por ejemplo:
⃗e
o e. Un vector también tiene una
parte inicial y una parte terminal. R2: También es conocido como el plano cartesiano. Recibe el nombre o notación de R2 porque está compuesto por dos ejes, el eje x y el eje y, en dónde en ambos ejes los números son Reales.
Punto en R2: Un punto P en el plano cartesiano está dado por dos coordenadas, una en el eje x y otra en el eje y. Se denota de esta forma: P=(x,y), dónde x y y son números reales. Coordenadas: Se utiliza uno o más números, dependiendo las dimensiones, para determinar la posición de un punto en R 2. Se denota por un par de paréntesis y dentro de ellas van los números separados de una coma, por ejemplo (10,3).
Componentes: Parte que relaciona un vector con un eje de coordenadas. Su notación es muy parecida a la de un punto, solo que en vez de paréntesis lleva corchetes, por ejemplo [6,4]
Longitud: Es la magnitud que expresa la distancia entre dos puntos. Por ejemplo, en base a la imagen 1, se tienen dos puntos que son A y B. El punto A es (2,3) mientras que el punto B es (5,5). Para calcular la longitud del vector, simplemente se restan las coordenadas del punto B con las del punto A. Por lo tanto, las componentes de la longitud del vector
⃗ AB = [3,2].
Vector en posición estándar: Un vector se encuentra en posición estándar cuando su punto de inicio está en el origen de R2, es decir en (0,0). Otra forma de decirlo es que su lado inicial es (0,0) y su lado terminal es el punto P.
Vectores iguales: Dos vectores,
⃗a
y
⃗b , son iguales si y
solo si tienen la misma longitud (magnitud o norma) y la misma dirección. Por ejemplo: Son iguales: [3,8] y
⃗a = [3,8] y
⃗b = [3,8] No son iguales:
⃗a =
⃗b = [8,3]
Vector cero o vector nulo: Es un vector con magnitud cero y una dirección arbitraria. Se denota como
⃗0 = [0,0]
Suma de vectores algebraicamente: La suma entre dos o más vectores se da solamente cuando se suman las componentes en x con las de x, las de y con las de y y así sucesivamente dependiendo el
número de dimensiones. Por ejemplo, se tiene
⃗a = [x1, y1] y b⃗ = [x2, y2], entonces a⃗ + ⃗b
= [x1+x2 , y1+y2]. En la suma de vectores se cumple la propiedad conmutativa, asociativa, elemento neutro y elemento opuesto. Suma de vectores gráficamente: Para sumar dos vectores gráficamente, vector
⃗a
vector
⃗b , y si existieran más vectores se hace así sucesivamente, hasta
en R2, y luego en el lado terminal de
⃗a
primero se traza el
se traza el
llegar al último vector, entonces el vector resultante se traza desde (0,0) hasta el lado terminal del último vector, es decir, se obtendrá un vector en posición estándar.
Escalar: Es un número real. Tiene magnitud pero no dirección. Multiplicación escalar: Se da cuando un número real multiplica a un vector, entonces, cada una de sus componentes se ve afectada por ese número. Por ejemplo, el escalar C multiplica al vector
⃗f ⃗ =[5,2], entonces el vector resultante sería C f =[5C,2C].
Las ocho propiedades que se cumplen de los vectores en R 2 son:
w )=( u⃗ + v⃗ ) + ⃗ w ⃗u + ( ⃗v + ⃗
•
Asociativa:
•
Conmutativa:
•
Neutro aditivo:
u⃗ + ⃗0= u⃗
•
Inverso aditivo:
u⃗ + (−u⃗ )=0
•
Distributiva:
•
Identidad:
1 ⃗u =⃗u
•
Asociativa:
c ( d ⃗u ) =(cd ) ⃗u
⃗u + ⃗v = ⃗v + ⃗u
c ( ⃗u + ⃗v )=c ⃗u + c v⃗
así como:
( c +d ) ⃗u =c ⃗u + d ⃗u
En el siguiente link podrán visualizar una presentación con las propiedades de los vectores, así como algunos ejercicios: http://www.slideshare.net/dmolinarym/vectores-y-propiedades
Combinación lineal: Se dice que un vector
⃗u
es
combinación lineal cuando se puede expresar como una suma de vectores distintos. Es decir que si
u 1+ b ⃗ u 2+ c ⃗ u 3 +…+ x ⃗ un ⃗u =a ⃗ lineal de los vectores
es una combinación
u1 , ⃗ u2 , ⃗ u3 , … , ⃗ un ⃗
Vectores paralelos: Dos o más vectores son paralelos si son múltiplos escalares, es decir que
⃗u ∨¿ v⃗
solo si
⃗u =a ⃗v
.
Pueden o no tener la misma dirección o el mismo tamaño, pero no necesariamente tienen que ser iguales.
Vectores ortogonales: Los vectores ortogonales o perpendiculares se dan cuando se interceptan y el ángulo entre ellos es de 90°. Su producto escalar es 0 y los dos vectores son unitarios.
Magnitud: La magnitud de un vector es un indica la distancia entre el punto inicial y el vector. Se obtiene con la fórmula de
√ x2 + y2
. En el siguiente link se encuentra
explica cómo obtener la magnitud de un http://www.youtube.com/watch?
escalar. Esta nos punto terminal del Pitágoras, un
video
vector. v=d60Z2giZ2gY
que
Distancia entre dos vectores: La distancia entre dos vectores,
u⃗ y v⃗ , en R2 está dada por: || u ⃗ −v⃗ ∨¿ , esto quiere decir que primero se realiza la resta entre
⃗u y ⃗v , y luego se
aplica Pitágoras a esas componentes. Por ejemplo, las componentes del vector
⃗a
son [4,4] y las del vector
⃗b
son [5,2]. Lo primero que se hace es la resta y nos queda [1,2], luego se aplica Pitágoras.
D= √−11+ 22 =√ 5 . En el siguiente link se encuentra un video
que nos explica cómo sacar la distancia entre dos vectores. http://www.youtube.com/watch? v=79iQQuUXjQ0
Producto punto: También es conocido como el producto escalar. El resultado de esta operación es un escalar, es decir, un número real. Si
⃗u =[ a ,b ] y ⃗v =[c , d ] , y pertenecen a R2, entonces el
producto punto está dado por: (a*c)+(b*d). En el siguiente link se encuentra un video que explica cómo calcular el producto punto entre dos vectores que pertenecen a R 3. http://www.youtube.com/watch?v=gRPzgx75_uo
Ángulo entre dos vectores: el ángulo entre dos vectores está dado por la formula
cosθ =
⃗u • v⃗ ¿∨u⃗ ∨¿∨¿ ⃗v ∨¿ . La
respuesta se puede dar en grados o en radianes. Por ejemplo, si
u ⃗ =[3,2]
y
v⃗ =[7,1] , entonces el
resultado del producto punto entre mientras que la magnitud del vector de
v⃗
es
√ 50
. Entonces
cosθ =
⃗u
⃗u y ⃗v es
es 23,
√ 13
y la
23 √13∗√ 50 . Para conocer el ángulo solamente se le −1
aplica el coseno inverso a toda la expresión, por lo que
θ=cos (
23 .) y el resultado √ 13∗√50
es 25.56°. En el siguiente link se encuentra un video que explica cómo obtener el ángulo entre dos vectores. http://www.youtube.com/watch?v=Iyqquisz7UI
Proyección de un vector: es encontrar el vector que tiene la misma o diferente dirección que el vector que recibe la proyección, pero su longitud depende del vector que se proyecta. Cuando
⃗u
sobre
θ <90° entre u⃗ y v⃗ , la proyección de
⃗v , tiene la misma dirección de
⃗v . Si 90<
θ <180, la proyección de ⃗u sobre ⃗v tiene dirección opuesta a
⃗v . Su formula está dada por:
proy ⃗v u⃗ =(
⃗u ∙ ⃗v ) ⃗v . En el siguiente link hay un video ⃗v ∙ ⃗v
que explica como calcular la proyección de un vector, y lo demuestra gráficamente. http://xyzcalc.blogspot.com/2011/05/proyeccion-de-un-vector-sobre-otro.html
Normalizar un vector
⃗v : es el proceso mediante el cual se
vector unitario en la misma dirección de es
u⃗ =(
v⃗ . La ecuación para
encuentra
un
la normalización
1 ) v⃗ ⃗ ¿∨v ∨¿
Plano R3: Es un plano cartesiano en tres dimensiones, es decir tiene tres ejes que son x, y y z. Los puntos se expresan de esta forma, A=(x,y,z) y los vectores de esta forma
u⃗ =[x,y,z]. Para graficar un
punto o un vector, se puede ver http://www.youtube.com/watch?v=EekCf0FByJ8
Rectas en R2
este
video
Vector normal: Es un vector perpendicular a una recta en el plano. Para obtenerlo lo único que se hace es cambiar los puntos y a uno cambiarle el signo. Por ejemplo, si se tiene el vector =[4,2], el vector normal podría ser
⃗u
⃗n =[-2,4] o bien n ⃗ =[2,-4].
Existen cuatro formas de expresar la ecuación de una recta en R 2, que son: •
Forma general
•
Forma normal
•
Forma vectorial
•
Ecuaciones paramétricas
Toda recta tendrá un punto, un vector normal y su vector dirección. El vector normal es =[a,b], su punto terminal es P(x,y) y su vector dirección es
⃗n
⃗ d =[x,y].
Forma general: una recta que pasa por el origen tiene intercepto con el eje y igual a cero, es decir que, en la ecuación de su forma general, C debe ser cero. La forma general, está dada por Ax+By=C.
a
De la forma general se deduce la forma normal, que está dada por: [ b ] * forma solo aplica cuando la recta pasa por el origen. La forma normal de una recta está dada por
⃗x ⃗n =⃗p ⃗n , dónde:
n⃗ es el vector normal
⃗x es el vector correspondiente a cualquier punto sobre la línea
⃗p es el vector correspondiente a un punto fijo conocido sobre la recta
La forma vectorial de una recta está dada por:
⃗x =⃗p+t ⃗ d , que es lo mismo a:
P d [ x ] =[ 1 ¿+t [ 1 ] P2 d2 y De la forma vectorial se deducen las ecuaciones paramétricas, que son dos:
[ x] y
= 0. Esta
x= P1 +t d 1
y=P 2 +t d 2
Una presentaci贸n en power point d贸nde explica el cap铆tulo http://www.slideshare.net/pomales/leccion-4-1-vectores-conceptos-bsicos-cel
de
Producto escalar y vectorial: http://www.youtube.com/watch?v=6ABR37--Yr4 Algebraicamente que son vectores: http://www.youtube.com/watch?v=giv2TlMLOE8
vectores: