il termine inerziale ha una forma sicuramente pi`u complessa di quella che abbiamo ottenuto: teniamo presente che, avendo scritto le equazioni cardinali ed in particolare la seconda, in ℑI il cui orientamento `e fisso durante il moto del velivolo, il tensore d'inerzia I `e una quantit`a dipendente dal tempo, in quanto il velivolo ruota rispetto a ℑI ; tale tensore diventa invece una costante se lavoriamo in una terna di riferimento solidale al velivolo (e perci`o non inerziale). Cerchiamo di capire quale sia la correzione che dobbiamo apportare per lavorare con derivate di vettori5 in un riferimento non inerziale; consideriamo una terna inerziale ℑI e una terna generica ℑB in moto rispetto alla precedente con una certa velocit`a angoG lare ω .
G Vettore A solidale alla terna mobile - Figura 4 G Indichiamo con A un generico vettore che supponiamo applicato nell'origine di ℑB (ci`o non lede la generalit`a del discorso) e solidale con ℑB . La relazione che lega le derivate G G di A nella terna mobile e le derivate di A nella terna fissa `e G G G ⎛ dA ⎞ G ⎜ ⎟ = AB + ω B × AB ⎜ dt ⎟ I ⎠ ⎝ dove la simbologia a primo membro indica che la derivata `e fatta in ℑI , ma viene scritta per componenti in ℑB ; a secondo membro invece il pedice B sta ad indicare che tutte quelle quantit`a sono scritte per componenti in ℑB . A verifica di quanto detto alla nota 5, si G G consideri che se ad esempio il vettore A `e costante nel riferimento mobile, il vettore A , G che rappresenta appunto la derivata di A fatta in ℑB , `e nullo mentre, come si pu`o vedere G dall’equazione precedente, la derivata di A fatta in ℑI non `e nulla, perch´e il termine G G G ω B × AB in generale non `e nullo (il vettore A cio`e non varia nella terna mobile, ma la sua G derivata `e diversa da zero se la calcoliamo in ℑI , perch´e A ruota con la stessa velocit`a angolare di ℑB ). Da notare che per quanto detto, se `e giustificabile il fatto che la seconda equazione cardinale del moto venga di solito scritta in un sistema di riferimento solidale al velivolo, non `e 5
Se il vettore `e una quantit`a invariante rispetto al sistema di riferimento, la sua derivata potrebbe non essere invariante, perci`o, cambiando il riferimento, dobbiamo tener conto di questo differenza.
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