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En este momento, se debe decidir cuál de los dos enunciados, el relativo a la relación entre recta, punto y plano o el relativo a los puntos en el plano, se tomará como postulado y cuál como teorema. La disasuntos de índole metamatemática respecto a la construcción de un sistema axiomático, que es arbitraria. En nuestro caso, optamos por dejar el segundo enunciado como P. Puntos-plano. Finalmente, se tiene el siguiente teorema:
Teorema Dos rectas – plano Si m y k son dos rectas que se intersecan, entonces existe un único plano que las contiene.
Caracterización de semiplanos De manera análoga a la forma como se introdujo el concepto de semirelaciones de los segmentos y los semiplanos, para puntos en diferentes posiciones. Definición de Semiplanos Una recta m separa al plano α en dos subconjuntos H y K, llamados semiplanos (Figura 12) tales que: 1. H m K m 2. H K 3. H K m = α A
Carmen Samper - Óscar Molina
H
C
D
B
K
Figura 12: Semiplanos H y K Nota El semiplano H se denota con SCD,A o Sm,A si la recta que separa al plano se llama m (Figura 12); a su vez el semiplano K se denota con Sm,B o SCD,B , B). Si X Sm,B significa que X m o X Sm,A. Cuando A y B están en distintos semiplanos determinados por una recta m en un plano α se usará la siguiente notación: B Sm,~A.