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Modalidades em lógicas de conhecimento e crença
É óbvio que a relação /C é reflexiva, e que B é serial, e que B ç /C. Não tão óbvio é o fato de que as condições para C e Q valem, mas o leitor pode fa-
cilmente verificar isso. Além disso, uma vez que a,(p) = O, (M,a,_1)Jz! Kp, e, finalmente, (M,a0 )Jz! K"p. Por outro lado, uma vez que cada estado dá 1 a p, exceto a,, e uma vez que a, não é /C-accessfvel a ao, (M,a0 ) I= Km p. Logo, P p ~ K" p é falsa neste modelo, e não é, portanto, um teorema. Segue-se que, para qualquer n, há uma modalidade de comprimento n consistindo apena<; de Ks. Isso é suficiente para mostrar que XCQ tem um número infinito de modalidades distintas. Uma variação no modelo anterior mostra que P<p ~ K"<p também não é um teorema de XQVBk: ba<;ta substituir os requisitos (c) e (e) acima por (c) '1'/x(JCxbA/Cbx); (e) "i/i< n: (JCa;ai+tAICa,+la,).
É fácil verificar que o modelo satisfaz as condições necessárias para os axiomas
de XQVB·\ contudo, Kmp ~ K"p é falsa nele.
•
Thorema 2. O número de modalidades distintas em XPC4k e X4b5k é infinito. Prova. Suponhamos que houvesse um teorema da fonna <p =B" p H x"' p, onde n > m, e xm é uma modalidade de comprimento m. Por razões análoga<; às apresentadas no teorema anterior - teríamos B" p ~ JC-1-,p, e assim B" p ~
•P como teoremas - podemos supor que xm é uma modalidade afirmativa Vamos examinar alguns casos para ver que forma esta modalidade pode tomar. (I) xm contém apenas ocorrências de B. Se cp fosse um teorema, então B" p ~
sm p também seria um teorema. Vamos mostrar que não é. Para isto, consideremos um modelo M =({ao, ... ,a,},JC,B), tal que:
(a) (b) (c) (d)
ao(p)= ... =am(p)=O, am+t(P) = ... =a,(p) '1'/x"i/y/Cxy; Ba,a,; '1'/i,j,i < j ~ n, Ba;ai.
=1;
É fácil ver que JC é uma relação de equivalência, que B é serial e transitiva, e queB ç;, /C. Também é fácil de verificar que (M,ao)Jz! Bmp, e que (M.ao) I= B" p, e B" p ~ sm p é assim falsa; logo, <p não é um teorema. Segue-se que, para qualquer n, há uma modalidade de comprimento n consistindo apenas de Bs, e não-redutível a uma modalidade de comprimento menor. Substituindo, no modelo acima, o requisito de que IC seja uma relação universal (de equivalência) pelo requisito de que seja apenas reflexiva e transitiva,