Ανακαλύπτω τα μαθηματικά με μαθη

«Ανακαλύπτω τα Μαθηματικά με Μαθη… μαγικά»

Συντελεστές Παρουσίασης Επιμέλεια Παρουσίαση:  Ομάδα Μαθητών 4ου Γυμνασίου Πύργου

Συντονιστής:

 Λουμιώτης Ευστάθιος – Μαθηματικός

Συμμετέχοντες Καθηγητές:  Ματσάγγου Φιλίτσα – Γαλλικής Γλώσσας  Τζάννε Ευαγγελία

–

Πληροφορικός

Συντελεστές Παρουσίασης 

Ομάδα Μαθητών 4ου Γυμνασίου Πύργου

1. Τριανταφυλλόπουλος Γεώργιος 2. Σιδηροκαστρίτης Ανδρέας 3. Δημητροπούλου Νάσια 4. Βορλόκα Νικολέτα 5. Γεωργάκης Παναγιώτης 6. Δημητρακόπουλος Φώτης 7. Βίλα Ερρίκος 8. Βασιλόπουλος Μάριος 9. Αποστολόπουλος Παναγιώτης 10. Θεοχαρίδης Χρήστος 11. Κλουκίνας Θεόδωρος 12. Σπυρόπουλος Κωνσταντίνος 13. Παπαγιάννη Βασιλική 14. Χριστοδουλόπουλος Εύχαρις 15. Ντοάς Θεόδωρος 16. Νικολοπούλου Χριστίνα 17. Τσατσαμπά Μαρία 18. Τάλας Ερκέλα

19. Στάσα Δέσποινα 20. Τρυφωνόπουλος Ιωάννης 21. Ράλλης Αθανάσιος 22. Τσατσαμπά Φωτεινή 23. Τσιρώνη Ελένη 24. Παπαπετρόπουλος Παναγιώτης 25. Φωτόπουλος Αλέξανδρος 26. Παπανδρέου Νίκη 27. Παπαδόπουλος Γεώργιος

Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Αρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί 2. Αριθμός Φ. – Χρυσή Τομή 3. Τα Άλυτα Προβλήματα της γεωμετρίας 4. Το τρίγωνο Pascal 5. Παράδοξο 1 -

Ο Ερατοσθένης και το ιστορικό πείραμα

6. Παράδοξο 2 -

Το άπειρο και τα παράδοξα του

7. Παράδοξο 3 -

Το παράδοξο του κουρέα

8. Τέλειοι Αριθμοί 9. Ακολουθία Fibonacci 10. Μαθηματικά και Τέχνη, Math’s and Art - Video

1. Αρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί

Αρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί

• Αναξαγόρας

Ο Αναξαγόρας (~500-428 π.Χ) ήταν σπουδαίος αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος και αστρονόμος. Γεννήθηκε στις Κλαζομενές της Ιωνίας με κυριότερο έργο του «Ο φυσικός κόσμος»

• Αναξίμανδρος

Ο Αναξίμανδρος (611 π.Χ. - 547 π.Χ.) ήταν ο δεύτερος από τους φυσικούς φιλόσοφους ή φυσιολόγους της Ιωνίας, πολίτης της Μιλήτου, όπως ο Θαλής, του οποίου άλλωστε υπήρξε μαθητής, σύντροφος και διάδοχος του στη Σχολή της Ιωνίας.

• Αναξιμένης

Ο Αναξιμένης ο Μιλήσιος (585 π.Χ. – 528 π.Χ.) ήταν αρχαίος Έλληνας προσωκρατικός φιλόσοφος που δραστηριοποιήθηκε στο δεύτερο μισό του 6ου αιώνα π.Χ. Ένας από τους τρεις Μιλήσιους φιλοσόφους (τον Θαλή και τον Αναξίμανδρο) αναγνωρίζεται ως μαθητής του Αναξιμάνδρου.

Αρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί

• Απολλώνιος ο Περγαίος

• Απολλώνιος ο Τυανέας

• Αρίσταρχος ο Σάμιος

Ο Απολλώνιος ο Περγαίος υπήρξε ένας από τους μεγαλύτερους Έλληνες μαθηματικούς – γεωμέτρες και αστρονόμους της αλεξανδρινής εποχής. Γεννήθηκε περί το 260 π.Χ. (ή σύμφωνα με άλλους μελετητές περί το 246 με 221 π.Χ.), στην Πέργη της Παμφυλίας, μια πόλη κοντά στην Αττάλεια της Μ. Ασίας. Ο Απολλώνιος ο Τυανέας (15 - 98) ήταν Έλληνας νεοπυθαγόρειος φιλόσοφος από τα Τύανα της ρωμαϊκής επαρχίας της Καππαδοκίας στη Μικρά Ασία. Ήταν ρήτορας και φιλόσοφος περίπου την εποχή του Ιησού Χριστού και συγκρίθηκε με τον Ιησού από τους χριστιανούς τον 4ο αιώνα και από άλλους συγγραφείς στη σύγχρονη εποχή. Ο Αρίσταρχος ο Σάμιος (310 π.Χ. - περίπου 230 π.Χ.) ήταν Έλληνας αστρονόμος και μαθηματικός, που γεννήθηκε στη Σάμο. Είναι ο πρώτος επιστήμονας (μετά τους Πυθαγορείους) ο οποίος πρότεινε το ηλιοκεντρικό μοντέλο του Ηλιακού Συστήματος, θέτοντας τον Ήλιο και όχι τη Γη, στο κέντρο του γνωστού Σύμπαντος

Αρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί

• Αρχιμήδης

• Βίων ο Αβδηρίτης

• Δαμώ

Ο Αρχιμήδης ο Συρακούσιος (περ. 287 π.Χ. – περ. 212 π.Χ.) ήταν αρχαίος Έλληνας μαθηματικός, μηχανικός, φυσικός, εφευρέτης και αστρονόμος. Θεωρείται ένας από τους κορυφαίους επιστήμονες στην κλασική αρχαιότητα. Η παρακαταθήκη του στη φυσική είναι, μεταξύ άλλων, οι βάσεις της υδροστατικής, της στατικής και μια εξήγηση της αρχής του μοχλού. Ο Βίων ο Αβδηρίτης (430 - 370 π.Χ.) ήταν αρχαίος Έλληνας αστρονόμος και μαθηματικός με καταγωγή από τα Άβδηρα της Θράκης. Έγραψε σε Ιωνική και Αττική διάλεκτο, και ήταν μαθητής του Δημόκριτου, ενώ ο Στράβωνας τον αναφέρει ως αστρολόγο. Η Δαμώ είναι σύμφωνα με την παράδοση, μετά το Μνήσαρχο και τον Τηλαύγη, το τρίτο παιδί του Πυθαγόρα του Σάμιου και της Θεανώς της Κροτωνιάτιδος. Μυήθηκε από μικρή στη διδασκαλία και τη φιλοσοφία του πατέρα της.

Αρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί •

•

•

Διόφαντος

Διόφαντος ο Αλεξανδρεύς ήταν Έλληνας μαθηματικός του τρίτου αιώνα (περίπου 210 – 290), ο οποίος έζησε στην Αλεξάνδρεια της ρωμαϊκής Αιγύπτου. Έχει αποκληθεί «πατέρας της άλγεβρας» .

Ερατοσθένης ο Κυρηναίος

Ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος (Κυρήνη 276 π.x. – Αλεξάνδρεια 194 π.x.) ήταν αρχαίος Έλληνας μαθηματικός, γεωγράφος, αστρονόμος, γεωδαίτης, ιστορικός και φιλόλογος. Θεωρείται ο πρώτος που υπολόγισε το μέγεθος της Γης

Εύδοξος ο Κνίδιος

Ο Εύδοξος ο Κνίδιος (~407-335 π.x) ήταν Έλληνας μαθηματικός, αστρονόμος και φιλόσοφος. Θεωρείται ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς της ελληνικής αρχαιότητας, εφάμιλλος του Αρχιμήδη.

Αρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί

•

•

Ευκλείδης

Ήρων

• Θαλής

Ο Ευκλείδης από την Αλεξάνδρεια (~ 300 π.x. - 270 π.x.), ήταν Έλληνας μαθηματικός, που δίδαξε και πέθανε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου. Στις μέρες μας είναι γνωστός ως ο «πατέρας» της Γεωμετρίας Ο Ήρων ο Αλεξανδρεύς (300 - 230 π.x.) ήταν Έλληνας μηχανικός και γεωμέτρης. Έζησε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου περίπου τον 3ο - 1ο π.x αιώνα. Η πιο διάσημη εφεύρεση του είναι o ατμοστρόβιλος, η πρώτη ατμομηχανή στην ιστορία. Ο Θαλής ο Μιλήσιος, (640 ή 624 π.x. - 546 π.x.) είναι ο αρχαιότερος προσωκρατικός φιλόσοφος, ο πρώτος των επτά σοφών της αρχαιότητας, μαθηματικός, φυσικός, αστρονόμος, μηχανικός, μετεωρολόγος και ιδρυτής της Ιωνικής Σχολής της φυσικής φιλοσοφίας στη Μίλητο.

Αρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί

• Θεανώ η Θουρία



Ιππίας ο Ηλείος

• Ίππαρχος ο Ρόδιος

Η Θεανώ η Θουρία ήταν αρχαία Ελληνίδα μαθηματικός και αστρονόμος. Καταγόταν από τους Θούριους της Κάτω Ιταλίας και άκμασε περί τον 6ο αιώνα π.x.

O Ιππίας ο Ηλείος ήταν σοφιστής των χρόνων του Σωκράτη, σύγχρονος του Πρωταγόρα (5ος π.x. αι.). Ο Ιππίας ασχολήθηκε επίσης με τα μαθηματικά Ο Πρόκλος αναφέρει στα "Σχόλια στο 1ο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη" ότι ο Ιππίας ασχολήθηκε με τη Γεωμετρία και δοξάστηκε από αυτή.

Ο Ίππαρχος ο Ρόδιος (190 π.x. – 120 π.x.), ήταν Έλληνας αστρονόμος, γεωγράφος, χαρτογράφος και μαθηματικός. Θεωρείται ο ιδρυτής της τριγωνομετρίας .

Αρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί  Ιπποκράτης ο Χίος

Ο Ιπποκράτης ο Χίος (περ. 470 – 400 π.x) ήταν αρχαίος Έλληνας μαθηματικός, που διακρίθηκε στη γεωμετρία και έζησε τον 5ο αιώνα π.x.

 Μενέλαος ο Αλεξανδρεύς

Ο Μενέλαος ο Αλεξανδρεύς (70 - 140 μ.Χ.) ήταν Έλληνας μαθηματικός και αστρονόμος, ο πρώτος ιστορικά που συνέλαβε και όρισε τη γεωδαισία.

 Πάππος

Ο Πάππος γεννήθηκε και έδρασε στην Αλεξάνδρεια κατά τον 4ο μ.χ αιώνα. Θεωρείται από τους τελευταίους Έλληνες μαθηματικούς της αρχαιότητας.

 Πυθαγόρας

Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος (580 π.Χ. - 496 π.Χ.) ήταν σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεωμέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι ο κατεξοχήν θεμελιωτής των ελληνικών μαθηματικών

Αρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί  Σέλευκος ο Σελεύκειος

 Σπεύσιππος

 Υπατία

Ο Σέλευκος ο Σελεύκειος ήταν σπουδαίος αρχαίος Έλληνας μαθηματικός και αστρονόμος. Άκμασε μεταξύ του 2ου και 1ου αιώνα π.Χ.. Καταγόταν από την Σελεύκεια επί του Τίγρη ποταμού, εξ ου και η επωνυμία του. Ο Σπεύσιππος (γεννήθηκε το 408 π.Χ. στην Αθήνα και πέθανε μεταξύ 339 και 338 π.Χ. στην Αθήνα) ήταν αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος και μαθηματικός και πρώτος σχολάρχης της Πλατωνικής Ακαδημίας για περίπου 10 χρόνια, μετά τον θάνατο του Πλάτωνα το 347 π.Χ.. Η Υπατία (370 - 8 Μαρτίου 415) Ελληνίδα νεοπλατωνική φιλόσοφος, αστρονόμος και μαθηματικός, διευθύντρια της νεοπλατωνικής σχολής στην Αλεξάνδρεια. Δίδαξε φιλοσοφία και αστρονομία στην Αλεξάνδρεια, όπου και δολοφονήθηκε από όχλο που αποτελούνταν από φανατικούς χριστιανούς

2. Αριθμός Φ. – Χρυσή Τομή

Αριθμός Φ. – Χρυσή Τομή Θεωρία: Στα Μαθηματικά και την τέχνη, δύο ποσότητες έχουν αναλογία χρυσής τομής αν ο λόγος του αθροίσματος τους προς τη μεγαλύτερη ποσότητα είναι ίσος με το λόγο της μεγαλύτερης ποσότητας προς τη μικρότερη. Η εικόνα που ακολουθεί αναπαριστά τη γεωμετρική ερμηνεία των παραπάνω.

Αριθμός Φ. – Χρυσή Τομή Ιστορία: Την χρυσή τομή εισήγαγε και υπολόγισε ο Πυθαγόρας, (-585 έως -500) που γεννήθηκε στη Σάμο, και ίδρυσε σημαντικότατη φιλοσοφική σχολή στον Κρότωνα της Μεγάλης Ελλάδας (Κάτω Ιταλία). Η χρυσή τομή συμβολίζεται με το γράμμα Φ προς τιμήν του Φειδία, ίσως τον γνωστότερο γλύπτη της Ελληνικής Αρχαιότητας, και τον σημαντικότερο της κλασικής περιόδου. Ο χρυσός λόγος ήταν γνωστός στους Πυθαγορείους. Στο μυστικό τους σύμβολο, την πεντάλφα, ο χρυσός λόγος εμφανίζεται στις πλευρές του αστεριού. Με βάση το χρυσό λόγο δημιουργήθηκαν πολλά έργα της κλασσικής εποχής, όπως ο Παρθενώνας, και της αναγεννησιακής εποχής, όπως είναι ζωγραφικά έργα του Λεονάρντο ντα Βίντσι. Ακόμη και σήμερα χρησιμοποιείται για την απόδοση της αρμονίας σε έργα, ή στην πλαστική χειρουργική για την ωραιοποίηση του ανθρώπινου προσώπου.

Αριθμός Φ. – Χρυσή Τομή Η χρυσή τομή συνεπαίρνει Δυτικούς διανοούμενους ποικίλων ενδιαφερόντων για τουλάχιστον 2.400 χρόνια. Οι Αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί πρώτοι μελέτησαν αυτό που τώρα ονομάζουμε χρυσή τομή γιατί εμφανιζόταν συχνά στη γεωμετρία. Η διαίρεση ενός τμήματος σε "άκρο και μέσο λόγο" (εξού και η χρυσή τομή) είναι σημαντική στη γεωμετρία των πενταγράμμων και πενταγώνων. Η αντίληψη αυτή αποδίδεται συνήθως στον Πυθαγόρα και τους ακολούθους του και λέγεται ότι η σχετική θεωρία διατυπώθηκε για πρώτη φορά από την πυθαγόρεια φιλόσοφο Θεανώ. Ο χρυσός λόγος ήταν γνωστός στους Πυθαγόρειους. Στο μυστικό τους σύμβολο, την πεντάλφα, ο χρυσός λόγος εμφανίζεται στις πλευρές τους αστεριού καθώς και στο πηλίκο του εμβαδού του κανονικού πενταγώνου με κορυφές τις άκρες της πεντάλφα προς το εμβαδόν του κανονικού πενταγώνου που σχηματίζεται εντός του αστεριού.

Αριθμός Φ. – Χρυσή Τομή Τα Στοιχεία του Ευκλείδη παρέχουν τον πρώτο γραπτό ορισμό αυτού που σήμερα ονομάζουμε χρυσή τομή: "Μια ευθεία γραμμή λέγεται ότι έχει κοπεί σε άκρο και μέσο λόγο, όταν όλη η ευθεία είναι για το μεγαλύτερο κομμάτι ότι είναι το μεγαλύτερο κομμάτι για το μικρότερο". Ο Ευκλείδης παραθέτει μια για το χώρισμα της γραμμής σε "άκρο και μέσο λόγο". Σε όλα τα Στοιχεία αρκετές προτάσεις και οι αποδείξεις τους εμπεριέχουν τον χρυσό λόγο. Η πρώτη γνωστή προσέγγιση του (αντίστροφου) χρυσού λόγου από δεκαδικό κλάσμα, ως "περίπου 0,6180340", γράφτηκε το 1597 από τον Michael Maestlin του Πανεπιστήμιο του Τύμπιγκεν σε ένα γράμμα του προς τον πρώην φοιτητή του Γιοχάνες Κέπλερ. Από τον 20ο αιώνα, η χρυσή τομή παριστάνεται με τον ελληνικό γράμμα Φ ή φ (φ, από το αρχικό γράμμα του γλύπτη Φειδία ο οποίος λέγεται ότι ήταν από τους πρώτους που τον χρησιμοποίησε στα έργα του) και πιο σπάνια από το τ το αρχικό γράμμα της λέξης τομή.

Αριθμός Φ. – Χρυσή Τομή - Εφαρμογές και παρατηρήσεις  Μαθηματική Ομορφιά Ο φ ανήκει στους άρρητους αριθμούς Αυτή η ανακάλυψη προκάλεσε τέτοια αμηχανία στους Πυθαγόρειους, που την απέκρυψαν από τον υπόλοιπο κόσμο. Σήμερα για να υπολογίσουμε τον Χρυσό αριθμό, αρκεί να χρησιμοποιήσουμε ένα κομπιουτεράκι και να ακολουθήσουμε τις εξής απλές οδηγίες: 1. Υπολογίζουμε την τετραγωνική ρίζα του 5.

2. Προσθέτουμε 1 στο αποτέλεσμα.

3. Τέλος το διαιρούμε δια 2.

Αριθμός Φ. – Χρυσή Τομή - Αισθητική Το De Divina proportione, ένα τρίτομο έργο του Luca Pacioli, δημοσιεύθηκε το 1509. Ο Pacioli, ένας Φραγκισκανός μοναχός, ήταν κυρίως γνωστός ως μαθηματικός, αλλά είχε επίσης εκπαιδευτεί και έδειχνε έντονο ενδιαφέρον για την τέχνη. Στο De Divina proportione διερευνήθηκαν τα μαθηματικά της χρυσής αναλογίας. Παρ’ ότι λέγεται συχνά ότι ο Pacioli υποστήριζε την εφαρμογή της χρυσή αναλογίας για να δώσει ευχάριστες, αρμονικές αναλογίες, ο Livio επισημαίνει ότι η ερμηνεία έχει προήλθε από ένα λάθος το 1799, και ότι ο Pacioli υποστήριζε πραγματικά το Βιτρούβιο σύστημα των ρητών αναλογιών. Ο Pacioli επίσης παρατήρησε θρησκευτική σημασία στην αναλογία, η οποία οδήγησε στον τίτλο του έργου του. Το De Divina proportione περιλαμβάνει απεικονίσεις των κανονικών στερεών από τον Leonardo da Vinci, παλιό φίλο και συνεργάτη του Pacioli.

Αριθμός Φ. – Χρυσή Τομή - Ζωγραφική Η σχεδίαση του σώματος ενός άνδρα σε ένα πεντάγραμμο δείχνει τη σχέση με τη χρυσή αναλογία ο φιλόσοφος Χάινριχ Κορνέλιους Αγκρίπα του 16ου αιώνα ζωγράφισε έναν άνθρωπο πάνω σ’ ένα πεντάγραμμο μέσα σε ένα κύκλο, γεγονός που συνεπάγεται μια σχέση με τη χρυσή αναλογία. Οι εικονογραφήσεις του Λεονάρντο Ντα Βίντσι στα πολύεδρα στην de divina proportione (στην θεϊκή αναλογία) και οι απόψεις του ότι ορισμένες σωματικές αναλογίες εμφανίζουν την χρυσή αναλογία έχουν οδηγήσει ορισμένους επιστήμονες να εικάζουν ότι ενσωμάτωσε τη χρυσή αναλογία στα έργα του. Ωστόσο, η άποψη ότι στην μόνα Λίζα , για παράδειγμα, χρησιμοποιεί χρυσή αναλογία, δεν υποστηρίζεται σε κανένα από τα κείμενα του. Ομοίως, αν και ο άνθρωπος του Βιτρούβιου συχνά φαίνεται να είναι συνδεδεμένος με τη χρυσή αναλογία, οι αναλογίες του σχήματος στην πραγματικότητα δεν ταιριάζουν με αυτήν την άποψη, και το κείμενο αναφέρει μόνο αναλογίες ακεραίων αριθμών.

Αριθμός Φ. – Χρυσή Τομή - Μουσική Ο Ernő Lendvai αναλύει τα έργα του Μπέλα Μπάρτοκ σαν να είναι βασισμένα σε δύο αντιτιθέμενα συστήματα, της χρυσής αναλογίας και της ακουστικής κλίμακας , αν και άλλοι επιστήμονες μουσικής απορρίπτουν την ανάλυση αυτή. Στο Music for Strings, Percussion and Celesta του Bartok, η εξέλιξη του ξυλόφωνου συμβαίνει στα διαστήματα 1:2:3:5:8:5:3:2:1. Ο Γάλλος συνθέτης Ερίκ Σατιέ χρησιμοποίησε τη χρυσή αναλογία σε πολλά από τα κομμάτια του, συμπεριλαμβανομένου του Sonneries de la Rose + Croix. Η χρυσή αναλογία είναι επίσης εμφανής στην οργάνωση των τμημάτων στη μουσική του Κλωντ Ντεμπυσσύ Reflets dans l’ eau (Αντανακλάσεις στο νερό), από τις Εικόνες (1η σειρά, 1905), στις οποίες «η ακολουθία των πλήκτρων χαρακτηρίζεται από τα διαστήματα 34, 21, 13 και 8, και η κύρια κορύφωση εμφανίζεται στην θέση του φ’’.

Αριθμός Φ. – Χρυσή Τομή - Μουσική Ο μουσικολόγος Roy Howat έχει παρατηρήσει ότι τα τυπικά όρια της La Mer αντιστοιχούν ακριβώς στη χρυσή τομή. Ο Trezise βρίσκει τα εγγενή στοιχεία «αξιοσημείωτα», αλλά προειδοποιεί ότι κανένα γραπτό ή αναφερόμενο στοιχείο δεν δείχνει ότι ο Debussy αναζητούσε συνειδητά τέτοιες αναλογίες. Η εταιρία Pearl Drums τοποθετεί τους αεραγωγούς των Masters Premium μοντέλων της με βάση τη χρυσή αναλογία. Η εταιρεία ισχυρίζεται ότι η ρύθμιση αυτή βελτιώνει την απόκριση των μπάσων και έχει υποβάλει αίτηση για δίπλωμα ευρεσιτεχνίας για αυτή την καινοτομία.

Αριθμός Φ. – Χρυσή Τομή - Φύση Ο Adolf Zeising, του οποίου τα κύρια ενδιαφέροντα ήταν τα μαθηματικά και η φιλοσοφία, παρατήρησε τη χρυσή αναλογία να είναι εκφρασμένη στη διάταξη των κλαδιών ανάμεσα στους μίσχους των φυτών και τις φλέβες στα φύλλα. Επέκτεινε την έρευνα του στους σκελετούς των ζώων και στις διακλαδώσεις των φλεβών και των νεύρων τους, με τις αναλογίες των χημικών ενώσεων και τη γεωμετρία των κρυστάλλων, ακόμη και με τη χρήση της αναλογίας σε καλλιτεχνικές προσπάθειες. Σε αυτά τα φαινόμενα είδε τη χρυσή αναλογία να λειτουργεί σαν καθολικός νόμος. Σχετικά με το σχέδιό του για την χρυσή αναλογία με βάση τις ανθρώπινες αναλογίες του σώματος, ο Zeising έγραψε το 1854 για ένα καθολικό δίκαιο “στο οποίο περιέχεται το έδαφοςαρχή της όλης προσπάθειας για την ομορφιά και την πληρότητα στην σφαίρα τόσο της φύσης όσο και της τέχνης, και το οποίο διαπερνά, ως υψίστης σημασίας πνευματικό ιδεώδες, όλες τις δομές, μορφές και αναλογίες, είτε κοσμικές είτε μεμονωμένες, οργανικές ή ανόργανες, ηχητικές ή οπτικές . Και το οποίο βρίσκει την πληρέστερη υλοποίηση, ωστόσο, στην ανθρώπινη μορφή’’.

Αριθμός Φ. – Χρυσή Τομή - Φύση Το 2010, το περιοδικό Science ανέφερε ότι η χρυσή αναλογία είναι παρούσα σε ατομική κλίμακα στο μαγνητικό συντονισμό των περιστροφών στους κρυστάλλους κοβαλτίου νιοβίου.

Η Χρυσή αναλογία στην έλικα του DNA Αποτελείται από δύο αλληλένδετες έλικες. Αρκετοί ερευνητές έχουν προτείνει συνδέσεις μεταξύ της χρυσής αναλογίας και του ανθρώπινου DNA.

Το μήκος της καμπύλης σε κάθε μία από τις έλικες είναι 34 angstroms (1 angstrom=1010 m ).

21και 34 είναι διαδοχικοί αριθμοί Fibonacci και ο λόγος τους είναι: 1,6190476

Ωστόσο, ορισμένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι πολλές από τις εμφανείς περιπτώσεις της χρυσής τομής στη φύση, ιδίως σε σχέση με τις διαστάσεις των ζώων, στην πραγματικότητα είναι φανταστικές.

Αριθμός Φ. – Χρυσή Τομή - Φύση

Μία απεικόνιση της Aeonium tabuliforme στο Trädgårdsföreningen, Γκέτεμποργκ

Αριθμός Φ. – Χρυσή Τομή - Αρχιτεκτονική Πολλές από τις αναλογίες του Παρθενώνα φέρονται να εμφανίζουν την χρυσή αναλογία Η πρόσοψη του Παρθενώνα, καθώς και τα στοιχεία της πρόσοψης αυτού λέγεται από κάποιους ότι οριοθετήθηκαν από ορθογώνια με χρυσές αναλογίες

Άλλοι μελετητές αρνούνται ότι οι Έλληνες είχαν κάποια αισθητική συσχέτιση με τη χρυσή αναλογία. Για παράδειγμα, ο Midhat J. Gazale λέει, “…Ωστόσο, έπρεπε να φτάσουμε στον Ευκλείδη προκειμένου να μελετηθούν οι μαθηματικές ιδιότητες της χρυσής τομής. Στα Στοιχεία ( 308 π.χ. ), ο Έλληνας μαθηματικός απλώς θεωρούσε τον αριθμό αυτό ως έναν ενδιαφέροντα άρρητο αριθμό, σε σχέση με τις μεσαίες και ακραίες αναλογίες.

Αριθμός Φ. – Χρυσή Τομή - Αρχιτεκτονική Η εμφάνιση του σε κανονικά πεντάγωνα και δεκάγωνα ήταν δεόντως σεβαστή, καθώς επίσης και στο δωδεκάεδρο (ένα κανονικό πολύεδρο που έχει ως έδρες δώδεκα κανονικά πεντάγωνα ).

Είναι πράγματι υποδειγματικό ότι ο μεγάλος Ευκλείδης, σε αντίθεση με τις γενιές των μυστικιστών που ακολούθησαν, αντιμετώπισε με νηφαλιότητα τον αριθμό αυτό για αυτό που είναι, χωρίς να προσκολλήσει σε αυτόν άλλες από τις πραγματικές του ιδιότητές.

Αριθμός Φ. – Χρυσή Τομή - Αρχιτεκτονική Το μόνο πράγμα που γνωρίζουμε με βεβαιότητα είναι ότι ο Ευκλείδης, στο περίφημο βιβλίο του Στοιχεία , που γράφτηκε γύρω στο 300 π .Χ., έδειξε πώς υπολογίζεται η τιμή της χρυσής αναλογίας. Εγγύς πηγές της εποχής, όπως ο Βιτρούβιος συζητούν αποκλειστικά αναλογίες που μπορούν να εκφραστούν σε ακέραιους αριθμούς. Ο Π. Φουτάκης μελέτησε τις διαστάσεις 15 αρχαίων ναών, 18 μνημειακών τάφων, 8 σαρκοφάγων και 58 επιτύμβιων στηλών για το διάστημα από τον 5ο αιώνα π.χ. μέχρι τον 2ο αιώνα μ.χ Οι αρχαίοι ναοί αποτελούσαν το κατεξοχήν μέρος επικοινωνίας μεταξύ ανθρώπων και θεών, ενώ οι τάφοι, σαρκοφάγοι και επιτύμβιες στήλες συνδέονταν με το πέρασμα των θνητών από την υλική στην αιώνια ζωή.

Αριθμός Φ. – Χρυσή Τομή - Η μαγεία του αριθμού φ Η μαγεία του αριθμού φ Ο αριθμός φ δε θεωρείται σε καμία περίπτωση ένα απλό μαθηματικό κόλπο Δεν πρόκειται για κάποιο θεώρημα Είναι μια ΘΕΪΚΗ ΑΝΑΛΟΓΙΑ Ένα ΜΥΣΤΗΡΙΟ ΖΩΗΣ που συναντάμε καθημερινά Χωρίς, ωστόσο, να γνωρίζουμε κάτι γι’ αυτό Ίσως και να του χρωστάμε περισσότερα από ότι νομίζουμε … Ίσως και την ύπαρξή μας…!!

Αριθμός Φ. – Χρυσή Τομή - Μαθηματική σχέση .________________.__________. ΑΒ /ΑΓ = ΑΓ / ΓΒ Αν θέσουμε ( ΑΓ )=χ και ( ΑΒ )=α

τότε έχουμε την εξίσωση

α/χ = χ/(α-χ )

οπότε χ^2+αχ – α^2=0 (*1) Παίρνοντας α=1 καταλήγουμε : ΑΒ/ΑΓ = (1+(sqr5))/2 = Φ = 1, 618034… (*2) Η διαίρεση του ευθ. τμήματος λέγεται χρυσή τομή και η σχετική αναλογία Είναι η Θεία Αναλογία ( έτσι την αποκάλεσε και ο θεμελιωτής της νεότερης αστρονομίας Kepler ). Ο αριθμός φ= 1,618… λέγεται χρυσός αριθμός.

Αριθμός Φ. – Χρυσή Τομή - Δελφοί, ο ομφαλός της Γης : Το μαντείο των Δελφών είναι ένας πολύ ιδιαίτερος τόπος. Για τους αρχαίους Έλληνες αποτελούσε τον ομφαλό του κόσμου αλλά και τον ομφαλό της Γης. Οι Δελφοί είναι τοποθετημένοι σε μια θέση-κλειδί, που συνδέει τρεις ηπείρους και δύο ωκεανούς με απόλυτη μαθηματική ακρίβεια.

Η θέση του ιερού των Δελφών είναι σημείο χρυσής τομής, τόσο για τον γνωστό αρχαίο κόσμο- Ευρώπη [Ηράκλειες στήλες (Γιβραλτάρ)- Παροπάμισος όρος ( Ιμαλάια) ], αλλά και όλης την υδρογείου [ Σαν Φρανζίσκο ( Ειρηνικός)Αν. Ιαπωνία]. Επομένως δίκαια οι πρόγονοί μας θεωρούσαν τους Δελφούς ως ομφαλό της

Αριθμός Φ. – Χρυσή Τομή H θελκτικότητα λέγεται πως βασίζεται στη «Xρυσή Tομή», τον μαγικό αριθμό 1,618033... που ορίζει την αρμονία και την ομορφιά! Σε τι συνίσταται όμως η ιδιαιτερότητα και παράλληλα η μαγεία αυτού του αριθμού που απεικονίζεται παγκοσμίως και με το γράμμα φ (προς τιμήν του αρχαίου γλύπτη Φειδία) και έχει απασχολήσει την επιστημονική κοινότητα όσο κανένας άλλος αριθμός στην ιστορία των Μαθηματικών.

Αριθμός Φ. – Χρυσή Τομή -

Το όστρακο του ναυτίλου

Οι κυκλώνες

Οι σπειροειδείς Γαλαξίες Είναι τρία αντικείμενα στη φύση που έχουν σχήμα λογαριθμικής σπείρας.

Αριθμός Φ. – Χρυσή Τομή Ο Χρυσός Λόγος Φ ή Χρυσή Τομή Φ ή Χρυσός Κανόνας Φ ή Θεϊκή Αναλογία ορίζεται ως το πηλίκο των θετικών αριθμών όταν ισχύει που ισούται περίπου με 1,618.

3. Τα Άλυτα Προβλήματα της γεωμετρίας

Τα Άλυτα Προβλήματα της γεωμετρίας ΟΙ ΕΠΤΑ ΘΡΥΛΙΚΟΙ ΓΡΙΦΟΙ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1.

Η θεωρία των Yang - Mills και το χάσμα της μάζας

2.

Η υπόθεση του Riemann

3.

Το πρόβλημα «P versus NP»

4.

Οι εξισώσεις Navier – Stokes

5.

Η εικασία του Hodge

6. Η υπόθεση των Birch και Swinnerton - Dyer 7.

Η εικασία του Poincare

Το μόνο αποδεδειγμένο «θρυλικό» πρόβλημα

Τα Άλυτα Προβλήματα της γεωμετρίας ΤΑ ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 1. Ο τετραγωνισμός του κύκλου Να κατασκευαστεί με χάρακα και διαβήτη τετράγωνο εμβαδού ίσο με το εμβαδόν δοθέντος κύκλου.

2. Ο διπλασιασμός του κύβου Να κατασκευαστεί με χάρακα και διαβήτη κύβος όγκου διπλάσιου του όγκου δοθέντος κύκλου.

3. Η τριχοτόμηση γωνίας Να χωριστεί με χάρακα και διαβήτη δοθείσα γωνία σε τρία ίσα μέρη

Τα Άλυτα Προβλήματα της γεωμετρίας Τα προβλήματα αυτά απασχόλησαν σχεδόν όλους τους γεωμέτρες της αρχαιότητας και έγιναν ευρέως γνωστά, όπως φαίνεται από την αναφορά τους, ήδη από τον 5ο αιώνα π.χ. σε τουλάχιστον δύο θεατρικά έργα της εποχής. Ο Ευριπίδης(485-407 π.χ.) αναφέρει το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου και ο Αριστοφάνης (452-385 π.χ.) το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου.

Τι σημαίνει κατασκευή με χάρακα και διαβήτη? Γεωμετρικά σημαίνει ότι στη λύση επιτρέπεται η χρήση μόνο ευθειών και κύκλων. Οι Αρχαίοι Έλληνες έλυσαν όλα τα παραπάνω προβλήματα χωρίς όμως τον περιορισμό η κατασκευή να γίνει με χάρακα και διαβήτη, δηλαδή εκτός από ευθείες και κύκλους στη λύση χρησιμοποίησαν και άλλες καμπύλες. Από τότε που τέθηκαν τα παραπάνω προβλήματα πέρασαν περισσότερα από δύο χιλιάδες χρόνια ώσπου οι μαθηματικοί να καταφέρουν να αποδείξουν ότι τα προβλήματα αυτά δεν λύνονται μόνο με χάρακα και διαβήτη

4. Το τρίγωνο Pascal

Το τρίγωνο Pascal Ο Μπλέζ Πασκάλ γεννήθηκε το 1623, στο Κλερμόν της Γαλλίας.

Η μητέρα του πέθανε όταν ήταν πολύ μικρός, οπότε τον ανέθρεψε και τον μόρφωσε ο πατέρας του, δικηγόρος και ερασιτέχνης μαθηματικός. Ο πατέρας του είχε μάλλον ανορθόδοξες απόψεις για την διδασκαλία, πίστευε ότι ο Μπλέζ δεν έπρεπε να διδαχτεί μαθηματικά προτού γίνει 15 ετών, οπότε απομάκρυνε κάθε βιβλίο μαθηματικών από το σπίτι. Επόμενο ήταν, ο Μπλέζ να γίνει πολύ περίεργος σχετικά με το απαγορευμένο αυτό θέμα και έμαθε μόνος του γεωμετρία. Ένα έξυπνο τέχνασμα για νέους μπαμπάδες που θέλουν να μυήσουν αναίμακτα τα παιδιά τους τα μαθηματικά, όπως και να’ χει, μέχρι την ηλικία των 12 ετών ο Μπλέζ είχε ανακαλύψει ότι το άθροισμα των γωνιών τριγώνου ισούται με δυο ορθές γωνίες.

Το τρίγωνο Pascal Στα μαθηματικά, το τρίγωνο του Πασκάλ είναι μία τριγωνική γεωμετρική διάταξη των δυωνυμικών συντελεστών. Ονομάστηκε έτσι προς τιμήν του μαθηματικού Μπλέζ Πασκάλ στο μεγαλύτερο μέρος του δυτικού κόσμου παρόλο που άλλοι μαθηματικοί το είχαν μελετήσει αιώνες πριν στην Ινδία, την Περσία, την Κίνα και την Ιταλία. Οι σειρές στο τρίγωνο του Πασκάλ αριθμούνται ξεκινώντας από την γραμμή 0, και οι αριθμοί κάθε σειράς είναι συνήθως σχετικοί με τις διπλανές τους. Μια απλή κατασκευή του τριγώνου γίνεται με τον ακόλουθο τρόπο. Στην σειρά 0 γράφεται μόνο ο αριθμός 1. Μετά, για την κατασκευή των στοιχείων των ακόλουθων σειρών προστίθεται ο αριθμός που βρίσκεται αμέσως από πάνω και αριστερά με τον αριθμό αμέσως από πάνω και δεξιά. Αν οποιοσδήποτε από τους αριθμούς δεξιά ή αριστερά δεν υπάρχει, υποκαθίσταται με μηδέν. Για παράδειγμα, ο πρώτος αριθμός της πρώτης γραμμής είναι 0 + 1 = 1, ενώ οι αριθμοί 1 και 3 της τρίτης σειρά προτίθενται ώστε να δώσουν τον αριθμό 4 της τέταρτης σειράς

Το τρίγωνο του Πασκάλ γενικεύεται και σε περισσότερες διαστάσεις. Η τρισδιάστατη εκδοχή αποκαλείται Πυραμίδα του Πασκάλ ή Τετράεδρο του Πασκάλ, ενώ η γενική εκδοχή αποκαλείται Simplex του Πασκάλ

Το τρίγωνο Pascal - Τριγωνικοί Αριθμοί Τριγωνικοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που ισούνται με το άθροισμα ορισμένων διαδοχικών ακεραίων με πρώτο τον αριθμό 1, δηλαδή είναι οι αριθμοί της μορφής:

Tν=ν∑κ=1k=1+2+...+ν=ν(ν+1)2 Για παράδειγμα οι πρώτοι τριγωνικοί αριθμοί είναι οι: 1=1 3=1+2 6=1+2+3 10 = 1 + 2 + 3 + 4 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 Ονομάζονται τριγωνικοί γιατί αν τους αναπαραστήσουμε ως σημεία τότε σχηματίζουν ισόπλευρα τρίγωνα όπως στο παρακάτω σχήμα. Ο ν - οστός τριγωνικός αριθμός παριστάνει ένα τρίγωνο με ν σημεία σε κάθε πλευρά του. Για παράδειγμα 3ος τριγωνικός αριθμός είναι ο 6 και παριστάνει ένα τρίγωνο με 3 σημεία σε κάθε πλευρά του.

Το τρίγωνο Pascal - Συνδυασμοί Το τρίγωνο του Pascal μας βοηθά να υπολογίσουμε το πλήθος των συνδυασμών ν στοιχείων ανά κ όταν η σειρά δεν μας ενδιαφέρει. Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε πόσες δυνατές ομάδες των 4 ατόμων μπορούμε να σχηματίσουμε από ένα σύνολο 7 ατόμων. Αρκεί να κοιτάξουμε στην 7η σειρά του τριγώνου το 4ο στοιχείο. (Μην ξεχνάμε ότι η πρώτη σειρά του τριγώνου είναι η μηδενική αλλά και το πρώτο στοιχείο κάθε γραμμής είναι το μηδενικό). Εκεί θα βρούμε τον αριθμό 35. Οπότε μπορούμε να κάνουμε 35 ομάδες των τεσσάρων ατόμων από ένα σύνολο 7 ατόμων. Το πλήθος των συνδυασμών των ν στοιχείων ανά κ συμβολίζεται με (νκ) και ισούται με:

(νκ)=ν(ν−1)(ν−2)...(ν−κ+1)κ(κ−1)(κ−2)...1=ν!κ!(ν−κ)!,κ≤ν

Το τρίγωνο Pascal - Αντίστροφο του θεωρήματος του Pascal Εάν οι απέναντι πλευρές ενός εξαγώνου τέμνονται επ' ευθείας, τότε το εξάγωνο εγγράφεται σε κωνική (που μπορεί να είναι εκφυλισμένη). Για την απόδειξη θεώρησε λ.χ. στο προηγούμενο σχήμα την κωνική που διέρχεται από τα πέντε σημεία A,...,E. Εάν η κωνική διέρχεται και από το σημείο F' της ευθείας EH, τότε η ευθεία EF' (κατά Pascal) θα τέμνει την CD στο O. Έπεται ότι το F' είναι επί της ευθείας AO άρα συμπίπτει με το F.

5.

Παράδοξο 1

Ο Ερατοσθένης και το ιστορικό πείραμα

Ο Ερατοσθένης και το ιστορικό πείραμα Ο Ερατοσθένης (3ος π.Χ. αιώνας) ήταν Διευθυντής της μεγάλης Βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας, όπου σε έναν πάπυρο διάβασε ότι το μεσημέρι της 21ης Ιουνίου (θερινό ηλιοστάσιο), στα νότια όρια της πόλης Συήνη (Ασσουάν), οι κατακόρυφοι στύλοι δεν ρίχνουν καθόλου σκιά και ο Ήλιος καθρεφτίζεται ακριβώς στον πυθμένα ενός πηγαδιού (δηλαδή, βρίσκεται στο Ζενίθ του τόπου). Ως επιστήμονας, λοιπόν, ο Ερατοσθένης διερωτήθηκε, εάν συμβαίνει το ίδιο ταυτόχρονα και σε μια άλλη πόλη πχ. στην Αλεξάνδρεια. Όμως στην Αλεξάνδρεια, κατά την ίδια μέρα και ώρα, οι κατακόρυφοι στύλοι έριχναν σκιά. Αν η Γη ήταν επίπεδη, οι κατακόρυφοι στύλοι στις δυο πόλεις θα ήταν παράλληλοι και θα έπρεπε και οι δυο να ρίχνουν σκιά. Αφού, λοιπόν, αυτό δεν είναι αλήθεια, τι μπορεί να συμβαίνει;

Ο Ερατοσθένης και το ιστορικό πείραμα Την απάντηση έδωσε ο Ερατοσθένης υποστηρίζοντας ότι η επιφάνεια της Γης δεν είναι επίπεδη αλλά σφαιρική. Αυτό το συμπέρασμα είναι, προφανώς, θεμελιώδους σημασίας και επιπλέον επέτρεψε στον Ερατοσθένη να προσδιορίσει την ακτίνα και το μήκος της περιφέρειάς της Γης. Πραγματικά, από το μήκος της σκιάς υπολογίζεται αμέσως η διαφορά των γεωγραφικών πλατών των δύο πόλεων, ίση περίπου με 7 μοίρες. Επειδή η απόσταση των δύο πόλεων ήταν γνωστή από αφηγήσεις βηματιστών και ίση περίπου με 800 Km (φημολογείται ότι ο Ερατοσθένης μίσθωσε βηματιστές για τη μέτρησή της), η περιφέρεια της Γης υπολογίστηκε ίση με 40.000 Km. Αυτή είναι η σωστή απάντηση και ο Ερατοσθένης την έδωσε χρησιμοποιώντας ως μόνα εργαλεία ράβδους, μάτια, πόδια, μυαλό με απλότητα σκέψης και επινοητικότητα. Το λάθος στον υπολογισμό ήταν μόνο 2%, ένα πραγματικά αξιοσημείωτο επίτευγμα για περίπου πριν από 2,5 χιλιετίες. Άρα, ο Ερατοσθένης ήταν ο πρώτος άνθρωπος που μέτρησε τις διαστάσεις του πλανήτη Γη, γι' αυτό και θεωρείται δημιουργός της μαθηματικής γεωγραφίας.

6.

Παράδοξο 2 Το άπειρο και τα παράδοξα του

Το άπειρο και τα παράδοξα του Η έννοια του απείρου είναι τόσο αρχαία όσο και η Ιόνιος Φιλοσοφία με το οποίο ασχολήθηκε πρώτη. Το “άπειρο” ανέκαθεν προξενούσε και προξενεί αρκετές δυσκολίες και προβλήματα στον καθορισμό του όπως και στην κατανόησή του. Με την έννοια “άπειρο” εννοούμε συνήθως κάτι το οποίο αντίκειται στο πεπερασμένο, κάτι χωρίς πέρας, κάτι έξω από το οποίο δεν υπάρχει τίποτα, κάτι το οποίο δεν επιδέχεται περαιτέρω αύξηση. Το άπειρο προκάλεσε από την αρχή διαφορές, αντινομίες, πολλές από τις οποίες αποτελούν μέχρι σήμερα αντικείμενο μελέτης. Θα αρκεστούμε στα 2 γνωστά σοφίσματα του Ζήνωνα του Ελεάτη (496-429 π.Χ.). Αυτά σήμερα έχουν ιστορική μόνο σημασία.

Το άπειρο και τα παράδοξα του Το Παράδοξο της Διχοτομίας Το συγκεκριμένο Παράδοξο καταλήγει στο συμπέρασμα ότι “η κίνηση είναι αδύνατη” κινείται, πριν φτάσει στο τέρμα του πρέπει να φτάσει στη μέση της πορείας του.

διότι ότι

Ο Ζήνωνας λέει ότι για να μεταβεί ένα σώμα από μια θέση Α σε μια θέση Β οφείλει να διανύσει το μισό της απόστασης ΑΒ. Στη συνέχεια το μισό του υπολοίπου, ακολούθως το μισό του νέου υπολοίπου και ούτω καθ’ εξής. Οι αποστάσεις αυτές γίνονται συνεχώς μικρότερες, αλλά απαιτείται για κάθε μια απ’ αυτές ένας ορισμένος χρόνος για να διανυθεί. Και έτσι συμπέρανε ότι “το άθροισμα ενός απείρου αριθμού ορισμένων χρονικών διαστημάτων οφείλει να είναι άπειρο”. Κατά συνέπεια η πραγματικότητα της κίνησης και ακριβέστερα της έκτασης είναι αδύνατη. Γι’ αυτή την αντινομία έχουν προταθεί αρκετές λύσεις.

Το άπειρο και τα παράδοξα του Μια από αυτές θεωρεί ότι το λάθος του συλλογισμού έγκειται στην αληθοφανή πρόταση “το άθροισμα ενός απείρου αριθμού ορισμένων χρονικών διαστημάτων είναι άπειρο”. Αυτή η πρόταση ισχύει αλλά όχι πάντα. Ας υποθέσουμε για παράδειγμα ότι (ΑΒ) = 2 Κm και η ταχύτητα του κινητού είναι u = 1 Km/min. Τότε το μισό της απόστασης έστω (ΑΜ 1) θα διανυθεί σε χρόνο t1 = 1 min ,το μισό του υπολοίπου απόστασης το (Μ1Μ2) σε χρόνο t2 = 1/2 ,το μισό του υπολοίπου, δηλ. το (Μ 2Μ3) σε χρόνο t3 = 1/4 min, κ.τ.λ. Έτσι ο χρόνος t που απαιτείται για να διανυθεί η απόσταση (ΑΒ) δίνεται από τη σειρά t=t 1+t2+..... +tn+... , δηλαδή t = 1+1/2 +1/4 +...+1/2ν+... Το άθροισμα, όμως , δεν είναι άπειρο. Ισχύει ότι t τείνει στο 2, αλλά ποτέ δεν το υπερβαίνει. Κατά συνέπεια ο χρόνος είναι t = 2 min και όχι άπειρος. Έτσι, απορρίπτεται το συμπέρασμα του Ζήνωνα ότι η κίνηση είναι αδύνατη.

Το άπειρο και τα παράδοξα του Το Παράδοξο του Αχιλλέα και της Χελώνας Το συγκεκριμένο παράδειγμα καταλήγει στο συμπέρασμα ότι “ο βραδύτερος ουδέποτε θα προσπεραστεί από τον ταχύτερο’’. Για να παρουσιαστεί αυτή η αντινομία πιο κατανοητή ας υποθέσουμε ότι η χελώνα προσπερνά τον Αχιλλέα 100 m και ότι η ταχύτητα uA του Αχιλλέα είναι uA=10 m/sec και της χελώνας, ux, είναι ux=1 m/sec. Τότε ο Αχιλλέας σε χρόνο t1=10 sec θα διανύσει την απόσταση (ΑΧ1)=100 m, την οποία τον προσπερνούσε η χελώνα. Κατά τη διάρκεια αυτού του χρόνου t1 η χελώνα θα διανύσει το διάστημα (x1x2) =10 m. Στη συνέχεια για να διατρέξει αυτή την απόσταση ο Αχιλλέας θα χρειαστεί χρόνο t 2 =1 sec.

Το άπειρο και τα παράδοξα του Κατά το χρόνο t2 η χελώνα θα διανύσει το διάστημα (x 2x3) =1 m και ο Αχιλλέας θα το διατρέξει σε χρόνο t3=1/10 sec. Η κίνηση αυτή θα συνεχίζεται επ’ άπειρο. Έτσι κατέληξε ο Ζήνων, ότι ο Αχιλλέας δε θα φτάσει ποτέ τη χελώνα.

Όμως και η αντινομία αυτή αίρεται όπως και η προηγούμενη.

Έτσι ο χρόνος t θα δίνεται από τη σχέση t=t1+t2+.....+tn ή t=10+1+1/10+...+1/10ν. Όμως και αυτή η σειρά έχει πεπερασμένο άθροισμα και είναι ίσο με t=111/9 sec.

7.

Παράδοξο 3 Το παράδοξο του κουρέα

Το παράδοξο του κουρέα Το παράδοξο του κουρέα Αποδίδεται στον μαθηματικό και φιλόσοφο Bertrand Russell [18721970] Ας υποθέσουμε ότι σε μία πόλη υπάρχει ένας μόνο κουρέας και ότι όλοι οι άνδρες της πόλης ξυρίζονται καθημερινά Οι άνδρες χωρίζονται σε δύο κατηγορίες

Ο Bertrand Russell φρεσκοξυρισμένος

Α. Αυτοί που ξυρίζονται μόνοι τους και Β. Αυτοί που ξυρίζονται στον κουρέα Για να μην υπάρχει πρόβλημα, ο κουρέας αποφασίζει να ακολουθεί τον παρακάτω κανόνα "Ο κουρέας ξυρίζει μόνο όσους πολίτες δεν μπορούν να ξυριστούν μόνοι τους" Το άμεσο ερώτημα που προκύπτει είναι αν ο κουρέας ξυρίζει τον εαυτό του.

Το παράδοξο του κουρέα Η κατάσταση είναι αδιέξοδη γιατί  Aν ο κουρέας δεν ξυρίζει τον εαυτό του, τότε δεν ανήκει στην κατηγορία Α, άρα ανήκει στην κατηγορία Β, άρα πρέπει να πάει στον κουρέα για ξύρισμα.  Aν ο κουρέας ξυρίζεται μόνος του, ανήκει στην κατηγορία Α άρα δεν πρέπει να πηγαίνει στον κουρέα για ξύρισμα. Σαν αποτέλεσμα του παραπάνω αδιεξόδου, ο κουρέας είναι ο μόνος κάτοικος της πόλης που είναι συνεχώς αξύριστος.

8. Τέλειοι Αριθμοί

Τέλειοι Αριθμοί Τέλειος αριθμός Τέλειος λέγεται ένας φυσικός αριθμός όταν το άθροισμα των διαιρετών του, εκτός του αριθμού, είναι ίσο τον αριθμό Οι πρώτοι 23 τέλειοι αριθμοί        

6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128,

 2658455991569831744654692615953842176,

Τέλειοι Αριθμοί Το άγνωστο  Είναι άγνωστο αν υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθμοί. Υπάρχουν ωστόσο μια σειρά αποτελέσματα χωρίς όμως οι μαθηματικοί να έχουν φτάσει στην απάντηση της ερώτησης αν υπάρχουν ή όχι.

 Τα μέχρι σήμερα γνωστά αποτελέσματα μας λένε ότι κάθε περιττός τέλειος αριθμός N πρέπει να είναι της μορφής 12m + 1 ή 36m + 9

9.

Ακολουθία Fibonacci

Ακολουθία Fibonacci ΟΡΙΣΜΟΣ Η ακολουθία ανακαλύφθηκε από τον Leonardo της Πίζα (γνωστότερο ως Fibonacci) στις αρχές του 13 ου αιώνα. Ήταν η απάντηση σε ένα διάσημο πρόβλημα που είχε θέσει ο ίδιος ο Fibonacci, το γνωστό ως «πρόβλημα των κουνελιών».

Ακολουθία Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, ...

(κάθε αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων)

Ακολουθία Fibonacci ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΛΥΣΗ  Πόσα ζευγάρια κουνελιών θα έχουμε στο τέλος του χρόνου, αν ξεκινήσουμε από ένα ζευγάρι και όλα τα ζευγάρια γεννούν κάθε μήνα ένα καινούργιο το οποίο φτάνει σε ηλικία αναπαραγωγής σε δυο μήνες.

Αριθμός ζευγαριών

1 1

2

Πολλαπλασιασμός κουνελιών κατά Fibonacci Ξεκινάμε στην αρχή του 1ου μηνά µε ένα ζευγάρι κουνελιών. Στο τέλος του 1ου μήνα έχουμε ακόμη ένα ζευγάρι, διότι τα κουνέλια μπορούν να αναπαραχθούν μετά το δεύτερο μήνα Μετά το τέλος του 2ου μήνα έχουμε πλέον δυο ζευγάρια, διότι, το πρώτο έχει φτάσει σε ηλικία αναπαραγωγής (ενώ το δεύτερο όχι )

3 5

Το σχήμα θα μπορούσε να εξακολουθήσει επ’ άπειρο.

Ακολουθία Fibonacci ΣΥΝΝΕΧΕΙΑ ΛΥΣΗΣ Παρατηρήστε ότι το πλήθος των ζευγαριών κάθε μήνα αντιστοιχεί στους όρους της ακολουθίας Fibonacci . Έτσι έχουμε τα εξής πλήθη ζευγαριών κουνελιών στο τέλος κάθε μήνα του έτους :

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233 Επομένως ,η απάντηση στο πρόβλημα μας είναι ότι έπειτα από δώδεκα μήνες θα έχουμε συνολικά 233 ζευγάρια κουνελιών. Αφού η ακολουθία Fibonacci είναι άπειρη, μπορούμε εύκολα να βρούμε το πλήθος των ζευγαριών έπειτα από οποιοδήποτε χρονικό διάστημα. Ο συναρτησιακός συμβολισμός για την ακολουθία δόθηκε για πρώτη φορά από τον Kepler το 1611

Ακολουθία Fibonacci Την περιέγραψε ως Fn+Fn+1=Fn+2 όπου Fn είναι ο νιοστός όρος της ακολουθίας Fibonacci, Fo=0, F1=1 Η ακολουθία Fibonacci εμφανίζεται σε μια μεγάλη ποικιλία εφαρμογών. Δείτε: Πιθανότητες Οι αριθμοί Fibonacci εμφανίζονται σε ποικιλία προβλημάτων πιθανοτήτων και συνδυαστικής Για αρχή αν παρατηρήσουμε το τρίγωνο του Pascal θα δούμε ότι τα αθροίσματα των διαγωνίων παράγουν του όρους της ακολουθίας Fibonacci

Ακολουθία Fibonacci ΑΝΘΗ ΚΑΙ ΦΥΛΛΑ Ο αριθμός των πετάλων σε πολλά άνθη τις περισσότερες φορές είναι ένας αριθμός Fibonacci. Ας φέρουμε κάποια παραδείγματα: 1. Τα περισσότερα τριφύλλια έχουν τρία ή πέντε φύλλα ενώ τα τετράφυλλα τριφύλλια είναι πολύ σπάνια όπως λέει και το τραγούδι.

2. Οι περισσότερες μαργαρίτες έχουν 34, 55 ή 89 πέταλα που είναι αριθμοί Fibonacci.

Ακολουθία Fibonacci

3. Το άγριο τριαντάφυλλο,

η ακουιλέγια

ενώ το αστράκι και η πικραλίδα με 21.

η νεραγκούλα,

εμφανίζονται συνήθως με 5 πέταλα

Ακολουθία Fibonacci

4. Το χρυσάνθεμο έχει συνήθως 34 πέταλα όπως και ο ηλίανθος

Ακολουθία Fibonacci ΦΥΛΛΟΤΑΞΙΑ Τα φύλλα βλαστάνουν πάνω στους βλαστούς με τρόπο που δεν καλύπτει το ένα το άλλο για να μπορούν να παίρνουν φως και να κάνουν φωτοσύνθεση. Ποια είναι η καλύτερη διευθέτηση για να μπορεί κάθε φύλλο να παίρνει το μέγιστο δυνατό φως; Ας πάρουμε για παράδειγμα τα φύλλα του ηλιοτροπίου Έχει παρατηρηθεί συχνά ότι η γωνία μεταξύ δύο διαδοχικών φύλλων είναι 137 º, 30΄ 28΄΄. Αυτό ισοδυναμεί με γωνιά 360º/Φ² αν την μετρήσεις δεξιόστροφα ή 360/Φ αν μετρηθεί αριστερόστροφα Στη δεύτερη περίπτωση το μέτρο της γωνίας είναι 222º 29΄ 32΄΄.

Ακολουθία Fibonacci Πόσα φύλλα πρέπει να μετρήσουμε για να βρούμε ένα φύλλο ακριβώς πάνω από το προηγούμενο; Αν μετρήσουμε δεξιόστροφα 8 φύλλα βλέπουμε ότι σχηματίζουν γωνία 1100º δηλαδή 3,05 στροφές των 360º. Έχουμε κατά προσέγγιση τρεις στροφές και οκτώ φύλλα. Οι αριθμοί 3 και 8 είναι αριθμοί Fibonacci. Αν μετρήσουμε 13 φύλλα βλέπουμε ότι σχηματίζουν γωνία 1788º δηλαδή πέντε περίπου πλήρεις στροφές. [ κατ’ ακρίβεια 4,96 ] Και πάλι οι αριθμοί 13 και 5 ανήκουν στην ακολουθία Fibonacci. Αν πάμε στα 21 φύλλα έχουμε 8,02 στροφές των 360º. Εδώ και πάλι εμφανίζονται οι αριθμοί Fibonacci 8 και 21.

Ακολουθία Fibonacci Το ίδιο το άνθος του Ηλιοτροπίου παρουσιάζει δεξιόστροφες και αριστερόστροφες σπείρες. Οι αριθμοί των σπειρών είναι διαδοχικοί αριθμοί Fibonacci. Συνήθως παρουσιάζονται οι ακόλουθοι αριθμοί: 13 αριστερόστροφες σπείρες και 21 δεξιόστροφες ή 21 αριστερόστροφες και 34 δεξιόστροφες Είναι αξιοσημείωτο ότι, αν πάρουμε μια τυχαία μεμονωμένη σπείρα και μετρήσουμε τους κόκκους της και πάλι βρίσκουμε κάποιο διψήφιο αριθμό Fibonacci Το ίδιο παρατηρούμε και στον κόμβους πάνω στην εξωτερική επιφάνεια του ανανά, ή ενός κάκτου

Ακολουθία Fibonacci ΔΙΑΚΛΑΔΩΜΕΝΑ ΦΥΤΑ

Ο αριθμός των κλάδων που αναπτύσσονται πάνω σε ένα αρχικό κλαδί ακολουθεί συχνά την ακολουθία Fibonacci. Στο τέλος του 1ου μήνα έχουμε ένα κλάδο, ενώ στο τέλος του δεύτερου έχουμε δεύτερο κλαδί. Στο τέλος του τρίτου μήνα τα κλαδιά γίνονται τρία, αφού το αρχικό κλαδί διακλαδώνεται ξανά Στο τέλος του τέταρτου μήνα οι κλάδοι γίνονται πέντε Διακλαδώνονται ο πρώτος και ο δεύτερος κλάδος Στο τέλος του πέμπτου μήνα οι διακλαδώσεις γίνονται οκτώ εφόσον διακλαδώνονται ο πρώτος δεύτερος και τρίτος κλάδος. Η διακλάδωση βέβαια μπορεί να συνεχιστεί μέχρι κάποιο όριο με αυτό το ρυθμό. Αν δεν πιστεύετε ότι αυτό γίνεται στην πράξη παρατηρείστε και θα βρείτε τα δικά σας παραδείγματα χρυσής διακλάδωσης φυτών.

Ακολουθία Fibonacci XΡΗΣΗ Η ακολουθία των αριθμών Fibonacci χρησιμοποιείται κυρίως: 1.

Για την εύρεση επίπεδων στήριξης/αντίστασης.

2. Για την εύρεση χρονικών σημείων στο μέλλον με αυξημένη την πιθανότητα σημαντικής κίνησης της τιμής.

10. Μαθηματικά

και Τέχνη

Μαθηματικά και Τέχνη Μαθηματικά και Τέχνη Τα Μαθηματικά μια επιστήμη της λογικής και οι τέχνες που απευθύνονται στο συναίσθημα, αποτελούν δύο ξεχωριστά πεδία της ανθρώπινης δραστηριότητας Εντούτοις είναι δυνατόν να συνδυαστούν και να δώσουν δημιουργίες οι οποίες αποτελούν αξιοθαύμαστο μείγμα εντυπωσιακής πολυπλοκότητας και εκπληκτικής ομορφιάς. Στο Video που ακολουθεί θα δούμε μια τέτοια προσέγγιση της χρήσης των Μαθηματικών εννοιών σε έργα τέχνης

Ευχαριστούμε τον υπεύθυνο του Ε.Κ.Φ.Ε Παιδαγωγό Φυσικό κ. Καλογήρου για τα ενδιαφέροντα πειράματα που μας παρουσίασε.

Ευχαριστούμε