11
ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ ǥ. Ǎ. ǍǸǵǹǻǯǭ ǵ DZǽ. M2(x) 9x2 – 6x – 2. Решая уравнение M2(x) 0, видим, что оно имеет только комплексные корни. Таким образом, исходное уравнение имеет один действительный корень. Ответ: x –2.
3) x4 + x3 – 5x2 + x – 6 0. Найдем все целые корни уравнения. Делителями числа –6 явлются числа: –1; 1; –2; 2; –3; 3; –6; 6. Проверим: P4(–1) z 0, P4(1) z 0, P4(–2) z z 0, P4(2) 0, P4(–3) 0, P4(3) z 0, P4(–6) z 0, P4(6) 0. Поэтому P4(x) (x – 2)(x + 3)M2(x) (x2 + x – 6)M2(x). Найдем M2(x): 2 x4 + x3 − 5x2 + x − 6 x + x − 6 x4 + x3 − 6x2 x2 + 1
x2 + x − 6 x2 + x − 6 0 M2(x) x2 + 1. Решая уравнение M2(x) 0, узнаем, что оно имеет комплексные корни. Таким образом, исходное уравнение имеет только два действительных корня. Ответ: x 2, x –3. 4) 2x4 – 2x3 – 11x2 – x – 6 0. Найдем все целые корни уравнения. Делителями числа –6 явлются числа: –1; 1; –2; 2; –3; 3; –6; 6. Проверим: P4(–1) z 0, P4(1) z 0, P4(–2) 0, P4(2) z 0, P4(–3) z 0, P4(3) 0, P4(–6) z z 0, P4(6) 0. Поэтому P4(x) (x + 2)(x – 3)M2(x) (x2 – x – 6)M2(x). Найдем M2(x): 2 2x4 − 2x3 − 11x2 − x − 6 x − x − 6 2x4 − 2x3 − 12x2 2x2 + 1
x2 − x − 6 x2 − x − 6 0 M2(x) 2x2 + 1. Уравнение M2(x) 0 имеет комплексные корни. Следовательно, исходное уравнение имеет только два действительных корня. Ответ: x –2; x 3. 12. 1) 6x3 – 25x2 + 3x + 4 P3(x). Найдем целые корни многочлена P3(x). Делителями числа 4 являются: –1; 1; –2; 2; –4; 4. Проверим: P3(–1) z 0, P3(1) z 0, P3(–2) z 0, P3(2) z z 0, P3(–4) z 0, P3(4) 0. Поэтому P3(x) (x – 4)M2(x). Найдем M2(x): 6x3 − 25x2 + 3x + 4 x − 4 6x3 − 24x2 6x2 − x − 1 − x + 3x − x 2 + 4x −x+4 −x+4 0 2
6x2 – x – 1. 1 1 0; 6 x2 − x − = 0. 6 6 1 1 По теореме Виета x = − , x = . 3 2
M2(x)
6x2 – x – 1
1 1 Таким образом, P3 (x) = 6(x − 4) x + x − . 3 2
2) 4x3 + 12x2 – 3x – 9 P3(x). Сгруппируем слагаемые: первое со вторым, третье с четвертым: P3(x) (4x3 + 12x2) – (3x + 9). Вынесем общие множители за скобки и разложим двучлен на множители: P3(x) 4x2(x + 3)– – 3(x + 3) (x + + 3)(4x2 – 3)
(
)(
)
(x + 3) 2x − 3 2x + 3 .
3) 4x4 + 4x3 – 25x2 – x + 6 P4(x). Найдем целые корни многочлена P4(x). Делителями числа 6 явлются числа: –1; 1; –2; 2; –3; 3; –6; 6. Проверим: P4(–1) z 0, P4(1) z 0, P4(–2) z 0, P4(2) 0, P4(–3) 0, P4(3) z 0, P4(–6) z 0, P4(6) z 0. Поэтому P4(x) (x – 2)(x + 3)M2(x) (x2 + x – 6)M2(x). Найдем M2(x):