Løsningsforslag til Matematikk for fagskolen, 2. utgave (9788245044225) by Fagbokforlaget

Innhold

1 Regning med tall og bokstaver 7

Repetisjonsoppgaver 21

2 Geometri 27

Repetisjonsoppgaver 40

3 Trigonometri 47

Repetisjonsoppgaver 68

4 Rette linjer 77

Repetisjonsoppgaver 105

5 Polynomfunksjoner 112

Repetisjonsoppgaver 136

6 Derivasjon og integralregning 139

Repetisjonsoppgaver 158

7 Algebra 168

Repetisjonsoppgaver 182

8 Funksjoner i praktiske situasjoner 189

Repetisjonsoppgaver 213

9 Statistikk 223

Repetisjonsoppgaver 237

Regning med tall og bokstaver

1.1 Tall og regneregler

1.1.1

a) partall (delelig på 2) b) oddetall c) oddetall

1.1.2

a) partall b) partall c) oddetall d) oddetall

1.1.3

Vi skriver alle tallene med fem siffer bak kommaet. Det som er uthevet, er minst.

7 1

1,100 00 1,010 00 1,001 00 1,010 10 1,001 01 1.1.4 a) (1 + 6) + (2 + 5) + (3 + 4) = 7 + 7 + 7 b) (1 + 6) + (2 + 5) + (3 + 4) + 7 = 7 + 7 + 7 + 7 (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) = 9 + 9 + 9 + 9 c) (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + (4 + 97) + + (50 + 51) = 101 + 101 + 101 + + 101 = 50 101 = 5050 1.1.5 a) ( 3) ∙ ( 2) ∙ 4 = 6 ∙ 4 = 24 b) ( 1)( 2)( 3)( 4) = 2 12 = 24 c) 12 (7 2) = 12 5 = 7 d) 12 ( 7 + 2) = 12 – ( 5) = 12 + 5 = 17 1.1.6 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 = 7 9 1.1.7 a) 2 3 = 2 2 2 = 8 b) (–3) 4 = (–3) (–3) (–3) (–3) = 81 c) (–5) 3 = (–5) (–5) (–5) = –125 d) 10 6 = 10 10 10 10 10 10 = 1 000 000 1.1.8 a) 10 2 = 1 10 2 = 1 100 b) 10 4 = 1 10 4 = 1 10000 c) 10 1 = 1 10

8 1.1.9 a) 12 300 000 = 1, 23 10 7 b) 0,0123 = 1,23 10 2 c) 432,1 = 4,321 10 2 d) 0, 000 043 21 = 4, 321 10 5 1.1.10 a) 6 380 000 m = 6, 38 ∙ 10 6 m b) 2,82 ∙ 10 10 m 1.1.11 a) 2,3 10 7 kg + 3,2 10 7 kg = (2,3 + 3,2) 10 7 kg = 5,5 10 7 kg b) 5,0 10 5 kWh 6,0 10 4 kWh = (5,0 6,0) 10 5 kWh = 4,4 10 5 kWh c) 2,0 ∙ 10 4 m + 8,0 ∙ 10 5 m = (2,0 + 0,8) 10 4 m = 2,8 ∙ 10 4 m 1.1.12 a) 0,50 g = 0,50 10 3 kg = 5,0 10 4 kg b) Antall = 5,0 ∙ 10 4 kg 9,3 10 26 kg / atom = 5,4 10 21 atomer c) Total lengde = 2,0 10 10 m 5,4 10 21 = 1,1 10 12 m 1.1.13 a) Nøyaktigheten. 2,05 ∙ 10 5 < 2,1 ∙ 10 5 < 2,15 ∙ 10 5 og 2,095 ∙ 10 5 < 2,10 ∙ 10 5 < 2,105 ∙ 10 5 b) 3024 har fire gjeldende sifre, mens 0,0273 har tre. 3024 er mest nøyaktig. 1.1.14 a) 3,40 10 6 kWh b) 2,60 ∙ 10 2 kg c) 3,52 10 4 J d) 6,56 ∙ 10 5 V 1.1.15 Vi gjør alle enheter om til centimeter før vi regner ut volumet. V = l · b · h = 284 cm · 178,2 cm · 0, 21 cm = 1,1 · 104 cm3 1.1.16 a) 40 2 ∙ 3 2 = 40 2 ∙ 9 = 40 18 = 22 b) 1) 40 (2 ∙ 3) 2 = 40 6 2 = 40 36 = 4 2) (40 2) 3 2 = 342 3) (40 2 3) 2 = (40 6) 2 = 34 2 = 1156 3) ((40 2) 3) 2 = (38 3) 2 = 114 2 = 12 996 1.1.17 a) 2x + 4xy 3 x + 5 = x + 4xy + 2 b) 5 a 2 7ab + 3a a 2 + 5ab = 4 a 2 2ab + 3a c) 2a x 2 4 a 2 x + 6ax 3a(ax + x 2) = 2a x 2 4 a 2 x + 6ax 3 a 2 x 3a x 2 = a x 2 7 a 2 x + 6ax 1.1.18 a) 2a + 3a(2 a) = 2a + 6a 3 a 2 = 8a 3 a 2 b) b(a + 2) a(b 3) = ba + 2b ab + 3a = 3a + 2b c) 3x(x 2) 4(x 5) = 3 x 2 6x 4x + 20 = 3 x 2 10x + 20

Regning med brøk

9 1.1.19 a) 4a + ( 6a 8b) = 4a 6a 8b = 2a 8b b) ( 3x + 2y) + (4y 6x) = 9x + 6y c) 8a 3b + (7b 3a + 6) + 13 ( 3a + 2b) 8a = 8a 3b + 7b 3a + 6 + 13 + 3a 2b 8a = 2b + 19 d) 3x + ( 3x + 6y + 2) (5y 12) + ( 19 8y + 7x) = 3x 3x + 6y + 2 5y + 12 19 8y + 7x = x 7y 5 1.1.20 a) 2(a + 3) (3 + 3a) = 2a + 6 3 3a = a + 3 b) 3x 2(4x 3) + 10 = 3x 8x + 6 + 10 = 5x + 16 c) 3(2a 5) (6 2a) + (3a + 1)2 = 6a 15 6 + 2a + 6a + 2 = 14a 19 d) 3(2a + 2) 2(3a 1) + (8a + 3)( 3) = 6a + 6 6a + 2 24a 9 = 24a 1 1.1.21 a) 8x + 2x(b 3) = 8x + 2xb 6x = 2x + 2bx b) ab 2a(3 2b) = ab 6a + 4ab = 5ab 6a c) 2(3 b 2 2) + (2 b 2 1) ∙ 3 = 6 b 2 + 4 + 6 b 2 3 = 1 d) u + u(2u 1) = u + 2 u 2 u = 2 u 2 e) u(2 u) + u 2 2(2u + 3) = 2u + u 2 + u 2 4u 6 = 2 u 2 6u 6 1.1.22 a) (t 1)(t 2) = t 2 2t t + 2 = t 2 3t + 2 b) (2x 3)(2 x 4) = (2x 3)( 2 x) = 4x 2 x 2 + 6 + 3x = 2 x 2 x + 6 c) (a 2 3a + 4)(a 1) = a 3 a 2 3 a 2 + 3a + 4a 4 = a 3 4 a 2 + 7a 4 d) (2x + y) 2 = (2x + y)(2x + y) = 4 x 2 + 2xy + y2x + y 2 = 4 x 2 + 4xy + y 2 e) (x + y + 1) 2 = (x + y + 1)(x + y + 1) = x 2 + xy + x + yx + y 2 + y + x + y + 1 = x 2 + y 2 + 2xy + 2x + 2y + 1

1.2.1 a) 10 15 = 2 5 3 ∙ 5 = 2 3 b) 14 49 = 2 7 7 ∙ 7 = 2 7 c) 42 630 = 2 21 63 ∙ 10 = 2 21 3 ∙ 21 ∙ 2 ∙ 5 = 1 15 d) 24 39 = 3 8 3 13 = 8 13 1.2.2 a) 5 9 = 5 4 9 4 = 20 36 b) 3 4 = 3 9 4 9 = 27 36 c) 7 12 = 7 3 12 3 = 21 36 d) 5 18 = 5 2 18 2 = 10 36 1.2.3 a) 1 2 + 1 3 = 1 3 2 3 + 1 2 3 2 = 3 6 + 2 6 = 5 6 b) 1 2 + 2 3 + 3 4 = 1 6 2 6 + 2 4 3 4 + 3 3 4 3 = 6 12 + 8 12 + 9 12 = 23 12 c) 4 9 + 2 15 = 4 5 9 5 + 2 3 15 3 = 20 45 + 6 45 = 26 45 d) 1 2 2 3 + 1 5 6 = 1 ∙ 3 2 3 2 ∙ 2 3 2 + 1 ∙ 6 6 5 6 = 3 4 + 6 5 6 = 0 6 = 0

1.2

Kunden betaler for to av tre bukser, som er 2/3. 1.2.9

Vi antar at kundene kjøper like mange planter hos begge gartneriene. Minste fellesnevner er 15. Vi utvider brøkene slik at de får samme nevner:

10 1.2.4 a) 1 3 + 2 3 = 3 3 = 1 b) 2 5 + 8 5 = 10 5 = 2 c) 6 5 1 5 = 5 5 = 1 1.2.5 a) 1 4 + 1 3 = 1 ∙ 3 4 ∙ 3 + 1 4 3 ∙ 4 = 3 + 4 12 + 7 12 > 6 12 = 1 2 . De får mer enn halvparten.

12 12 7 12 = 5 12 . Det blir 5 12 til

til

arvingene. 1.2.6 a) Jonas spiste 2 3 av de 2 3 som var igjen etter Jan: 2 3 2 3 = 4 9 > 3 9 = 1 3 Jonas spiste mest.

Vi trekker fra det som Jan og Jonas spiste

hele pizzaen. Det som var igjen: 9 9 3 9 4 9 = 9 3 4 9 = 2 9 1.2.7 a) 2 3 ∙ 6 7 = 2 ∙ 2 7 = 4 7 b) 3 4 16 9 = 1 4 1 3 = 4 3 c) 3 8 ∶ 9 4 = 3 4 ∙ 4 9 = 1 2 3 = 1 6 d) 15 16 ∶ 5 8 = 15 16 8 5 = 3 1 2 1 = 3 2 e) 6 ∶ 2 3 = 6 1 ∙ 3 2 = 3 3 1 = 9 f) 2 3 ∶ 6 = 2 3 ∶ 6 1 = 2 3 1 6 = 1 1 3 3 = 1 9 g) ( 3 5 + 4 5 ) 3 14 = 7 5 3 14 = 1 3 5 2 = 3 10 h) ( 1 2 + 1 3 ) ∶ 10 9 = ( 3 6 + 2 6 ) ∙ 9 10 = 5 6 ∙ 9 10 = 1 ∙ 3 2 ∙ 2 = 3 4

overs

de andre

1.2.8

Gartneri A: 2 3 = 2 ∙ 5 3 ∙ 5

10 15

betaler

B: 3 5 = 3 3 5 3

1.2.10 a) 14 x 2 49xy = 2 ∙ 7 ∙ x ∙ x 7 7 x y = 2 ∙ x 7 y = 2x 7y b) 20 ab 2 4b = 4 5 ab 2 4 ∙ b = 5ab 1 = 5ab c) 56 x 3 y 21 xy 2 = 8 7 x 3 y 3 7 xy 2 = 8 x 2 3y d) 4a + 8 5a + 10 = 4(a + 2) 5(a + 2) = 4 5 1.2.11 a) x + 3 5 = 2x 1 5 = x + 3 (2x 1) 5 = x + 3 2x + 1 5 = 4 x 5 b) x + 1 2 x 2 3 = (x + 1)3 2 3 (x 2)2 3 2 = 3x + 3 (2x 4) 6 = 3x + 3 2x + 4 6 = x + 7 6 c) 2 3 + 5 a a 2 = 2 ∙ 2a 3 ∙ 2a + 5 ∙ 6 a ∙ 6 a ∙ 3a 2 ∙ 3a = 4a + 30 3 a 2 6a d) 3 a + 5 b a 2b 2 ab = 3 2b a 2b + 5 2a b 2a a a 2b 2 ∙ 2 ab 2 = 6b + 10a a 2 4 2ab e) 2 b 1 3b ( 1 2 + 5 3b ) = 2 6 b ∙ 6 1 2 3b ∙ 2 1 3b 2 ∙ 3b 5 2 3b ∙ 2 = 12 2 3b 10 6b = 3b 6b = 1 2 f) 4 2a + 2 3b + a 2b ab = 4 3b 2a ∙ 3b + 2 2a 3b ∙ 2a + (a 2b) 6 ab ∙ 6 = 12b + 4a + 6a 12b 6ab = 10a 6ab = 5 3b

Kunden

for ti planter ved kjøp av femten. Gartneri

= 9

Kunden betaler for ni planter ved kjøp av femten. Det er billigst.

11 1.2.12 a) 2a 3 3 + a 6 = 2a 2 3 2 3 + a 6 = 4a (3 + a) 6 = 3a 3 6 = 3(a 1) 3 2 = a 1 2 b) a 12 + a 2 4 a 3 = a 12 + 3 (a 2) 3 4 a 4 3 4 = a + 3 (a 2) 4a 12 = a + 3a 6 4a 12 = 6 12 = 1 2 c) a b a b a b = (a b)b a b (b a)a b a = ab b 2 ab + a 2 ab = a 2 b 2 ab 1.2.13 a) 15 a 2 7b 21 b 2 5a = 3 5 a 2 7b 3 7 b 2 5a = 9ab b) 3x + 9 4 12 2x + 6 = 3(x + 3) 4 4 3 2(x + 3) = 9 2 c) 2a + 6 5 ∶ a + 3 15 = 2(a + 3) 5 5 3 (a + 3) = 6 1.2.14 a) a 4 + 1 2 (3a + 5) 1 3 (5 2a) = a 4 + 3a 2 + 5 2 5 3 + 2a 3 = 3a + 18a + 30 20 + 8a 12 = 29a + 10 12 b) 2( a 3 5) 2 3 (3 a 2 ) + 1 2 (a + 4) = 2a 3 10 6 3 + 2a 6 + a 2 + 4 2 = 4a 60 12 + 2a + 3a + 12 6 = 9a 60 6 = 3(3a 20) 3 ∙ 2 = 3a 20 2 c) 3x + x 2 (x 3) x 3 (4 2x) = 3x + x 2 2 3x 2 4x 3 + 2 x 2 3 = 18x + 3 x 2 9x 8x + 4 x 2 6 = 7 x 2 35x 6 1.2.15 6 a 2 (3a 1 2 )(2a 1 4 ) + 1 4 a = 6 a 2 (6 a 2 3a 4 a + 1 8 ) + 1 4 a = 3a 4 + 4a 4 + a 4 1 8 = 2a 1 8 = 16a 1 8 1.2.16 a) 1 + 1 2 4 = (1 + 1 2 ) ∙ 2 4 ∙ 2 = 2 + 1 8 = 3 8 b) 5 2 + 3 4 = 5 4 (2 + 3 4 ) 4 = 20 8 + 3 = 20 11 c) 1 2 + 2 1 3 + 1 = ( 1 2 + 2) 6 ( 1 3 + 1) 6 = 3 + 12 2 + 6 = 15 8 d) 3 2 2 3 4 5 + 5 6 = ( 3 2 2 3 ) 30 ( 4 5 + 5 6 ) 30 = 45 20 24 + 25 = 25 49 1.2.17 a) 3 + 2 a 1 2 3 a = (3 + 2 a ) 2a ( 1 2 3 a ) 2a = 6a + 4 a 6 b) 1 a + 1 b 1 ab = ( 1 a + 1 b ) ab ( 1 ab ) ∙ ab = b + a 1 = a + b c) a b 1 1 b a = ( a b 1) ab (1 b a ) ∙ ab = a 2 ab ab b 2 = a (a b) b ∙ (a b) = a b d) 1 a + b a + 1 b = ( 1 a + b) ab (a + 1 b ) ab = b + a b 2 a 2 b + a = b (1 + ab) a (ab + 1) = b a 1.3 Prosentregning 1.3.1 a) 10 % = 0,10 b) 36 % = 0,36 c) 5 % = 0,05 d) 5,2 % = 0,052 e) 0,39 % = 0,0039 f) 150 % = 1,50 1.3.2 a) 0,10 = 10 % b) 0,46 = 46 % c) 0,03 = 3 % d) 0,068 = 6,8 % e) 0,392 = 39,2 % f) 1,40 = 140 %

1.3.3

a) Vi har at 72 kr svarer til 12 %.

Grunnlag = 72 kr 0,12 = 600 kr

b) Mengden 1,36 mill. tonn svarer til 4,3 %.

c) Vekten 10 550 kg svarer til 15,44 %.

Grunnlag = 10 550 kr 0,1544 = 68 330 kr

Grunnlag = 1,36 millioner tonn 0,043 = 31,6 millioner tonn

1.3.4

Vi skal finne hvor stor andel endringene er i prosent.

a) 15 110 = 0,136 = 13,6 %

b) 0,24 17,90 = 0,0134 = 1,34 %

1.3.5

c) 6 253 = 0,0237 = 2,37 %

d) 450000 2340000 = 0,192 = 19,2 %

Vi finner hvor stor del økningen er av den opprinnelige lønna: 8 122 = 0,0656 = 6,6%

1.3.6

a) Prosenttillegget gis før det faste tillegget:

Lønn Astri: 280 000 kr ∙ 1,026 + 12 000 kr = 299 280 kr

Lønn Birger: 390 000 kr ∙ 1,026 + 12 000 kr = 412 140 kr

b) Prosenttillegget gis etter det faste tillegget:

Lønn Astri: (280 000 kr + 12 000 kr) 1,026 = 299 592 kr

Lønn Birger: (390 000 kr + 12 000 kr) 1,026 = 412 452 kr

c) I det siste tilfellet får også 12 000 kr et tillegg på 2,6 prosent.

1.3.7

a) Vekstfaktor = 1 + 24 100 = 1,24

b) Vekstfaktor = 1 + 3,4 100 = 1,034

c) Vekstfaktor = 1 + 123 100 = 2,23

d) Vekstfaktor = 1 + 0,7 100 = 1,007

b) Ny pris = 799 kr 1,31 = 1050 kr 1.3.9

a) Ny pris = 14,80 kr 1,063 = 15,73 kr

a) Vekstfaktor = 1 24 100 = 0,76

b) Vekstfaktor = 1 3,4 100 = 0,966

c) Vekstfaktor = 1 + 0,7 100 = 0,993 1.3.10

a) Ny pris = 1900 kr 0,75 = 1425 kr

b) Ny pris = 3950 kr 0,85 = 3360 kr 1.3.11

Ny verdi = 218 500 kr ∙ 0,96 = 209 800 kr

1.3.8

1.3.12

a) Vekstfaktor = 1 + 17 100 = 1,17

Gammel verdi = 672 1,17 = 574 kr

b) Vekstfaktor = 1 + 7,3 100 = 1,073

c) Vekstfaktor = 1 + 13,3 100 = 1,133

Gammel verdi = 322,24 1,133 = 284,41 kr

Gammel verdi = 1,63 mill. tonn 1,073 = 1,52 millioner tonn

1.3.13

a) Vekstfaktor = 1 17 100 = 0,83

Gammel verdi = 672 kr 0,83 = 810 kr

b) Vekstfaktor = 1 7,3 100 = 0,927

c) Vekstfaktor = 1 + 13,3 100 = 0,867

Gammel verdi = 322,24 kr 0,867 = 371,67 kr

Gammel verdi = 1,63 mill tonn 0,927 = 1,76 millioner tonn

1.3.14

a) Vekstfaktor = 0,93 = 1 7 100

Reduksjonen er 7 prosent.

b) Vekstfaktor = 0,83 = 1 17 100

Reduksjonen er 17 prosent.

1.3.15

c) Vekstfaktor = 0,933 = 1 6,7 100 Reduksjonen er 6,7 prosent.

d) Vekstfaktor = 0,667 = 1 33,3 100 Reduksjonen er 33,3 prosent.

Vi finner vekstfaktoren ved å dividere sluttverdien med grunnlaget:

a) Vekstfaktor = 110 125 = 0,88 Reduksjonen er 7 prosent.

b) Vekstfaktor = 17,66 17,90 = 0,987

Reduksjonen er 1,3 prosent.

1.3.16

a) Ny verdi = 1,65 kr ∙ 1,285 = 2,12 kr

b) Ny verdi = 2,12 kr 2,283 = 4,84 kr

c) Vekstfaktor = 247 253 = 0,976 Reduksjonen er 2,4 prosent.

1.3.17

a) Ny pris = 2600 kr 1,20 = 3120 kr

b) Ny pris = 3120 kr 0,80 = 2496 kr

1.3.18

a) Etter ett år: 6000 kr ∙ 1,05 = 6300 kr

b) Etter to år: 6000 kr 1,05 2 = 6615 kr

c) Vekstfaktoren fra 1975 til 1985 er lik produktet av vekstfaktorene: 1,285 2,283 = 2,934 Det svarer til 293,4 %.

Økningen fra 1975 til 1985 var 293,4 % 100 % = 193,4%

c) Grunnlaget for prosentberegningene er ikke like.

c) Etter fem år: 6000 kr ∙ 1,05 2 = 7568 kr

d) Etter 22,5 år får vi: 6000 kr 1,05 22,5 = 18 000 kr

1.3.19

a) Vekstfaktor = 1,017

b) Folketallet i 1960:

F = 2, 5 · 1,01710 milliarder = 3, 0 milliarder

c) Folketallet i 1970:

F = 2, 5 · 1,01720 milliarder = 3, 5 milliarder

1.3.20

a) Vekstfaktoren: 1,00 – 0,15 = 0,85

b) Bilens verdi i 2011 og i 2012:

V = 380 000 kr · 0,85 = 323 000 kr og

V = 380 000 kr · 0,852 = 274 550 kr

1.3.21

a) Vekstfaktorene: 1,045 , 1,059 , 1,022

d) Folketallet passerte 5 milliarder 41 år senere, i 1991: F = 2,5 · 1, 01741,1 milliarder = 5, 0 milliarder

e) Folketallet passerte 6 milliarder nesten 52 år senere, på slutten av 2001:

F = 2, 5 · 1, 01751,9 milliarder = 6, 0 milliarder

c) Verdien etter 10 år, det vil si i 2020:

V = 380 000 kr · 0,8510 = 74 812 kr

d) Verdien passerte 50 000 kr etter 12,5 år

b) Verdien etter de tre økningene: V = 244,00 kr · 1,045 · 1,059 · 1,022 = 275,96 kr

c) Total vekst = 1,045 · 1,059 · 1,022 = 1,131 . Det svarer til 13,1 prosent.

1.3.22

a) Vekstfaktoren er 1 – 0,37 = 0,63. Derfor er verdien etter x år 6900 kr · 0,63x

b) Verdien i 2015: V = 6900 kr · 0,63 = 4347 kr

Verdien i 2016: V = 6900 kr · 0,632 = 2739 kr

c) Når verdien er redusert til 10 %, er pc‐en utrangert, det vil si når 0,63x = 0,10. Da er x = 4,98 ≈ 5. Etter fem år er pc‐en utrangert.

1.3.23

a) Prisen i mai: P = 1200 kr · 1,167 · 0,88 · 0,775 = 955 kr

b) Total vekst: 1,167 · 0,88 · 0,775 = 0,796. Det svarer til en nedgang på 20,4 prosent.

Likninger

1.3.24

a) Verdien om fem år: V = 350 000 · 1,075 = 491 000 kr

1.4

1.4.1

3x = 12 3x 3 = 12 3 x = 4 b) 5,8x = 9,2 x = 9,2 5,8 = 1,6 c) 0,012x = 4800 x = 4800 0,012 = 400 000 d) 1,2 10 2 x = 4,8 10 3 x = 4,8 ∙ 10 3 1,2 10 2 = 4,0 10 5

Verdien for fem år siden: V = 350 000 · 1,07–5 = 250 000 kr

15 1.4.2

3x 5 = 10 3x = 10 + 5 3x = 15 x = 5 b) 8x 12 = 5x 8x 5x = 12 3x = 12 x = 4

4 x = 2 4 2 = x x = 2

16 3x = 2x 9 16 + 9 = 2x + 3x 25 = 5x x = 5

2(x + 4) + 3 = 15 2x + 8 = 15 3 2x = 12 8 2x = 4 x = 2

1 x 2 + 2x = 8x + 1 2 1 = 8x 3x 3 = 5x x = 3 5

5x = 5 2 5x = 3 x = 3 5

2 =

) 3

2 = x 4 + x 3x 2x = 4 + 11 x = 7 1.4.3 a) 3,7(2,4x 8,1) = 4,2x 8,88x 29,97 = 4,2x 8,88x 4,2x = 29,97 4,68x = 29,97 x = 29,97 4,68 = 6,404 ≈ 6,4 b) 10,8 ∙ 10 5(1,10 ∙ 10 3 x + 9,78 ∙ 10 4) = 3,24 ∙ 10 3 1188x + 1056 = 3240 1188x = 3240 1056 1188x = 2184 x = 2184 1188 = 1,84 1.4.4 a) x 2 = 3 x = 3 2 = 6 b) x 3 = 5 6 x 3 3 = 5 6 3 x = 5 6 ∙ 3 = 5 2 c) 2 x = 1 3 2 x ∙ 3x = 1 3 ∙ 3x 2 ∙ 3 = x x = 6 d) 2 3 = 6 x 2 3 ∙ 3x = 6 x ∙ 3x 2x = 18 x = 9 e) 5x 9 = 1 8 5x 9 72 = 1 8 72 40x = 9 x = 9 40 f) 2 3 = 4x 5 2 3 ∙ 15 = 4x 5 ∙ 15 10 = 12x x = 10 12 = 5 6

f) x 2(1 x) = 8x + 1

2 + 2x = 8x +

g) (x + 1) 2 = 5(1 x) + 2x

x + 2 = 5 5x + 2x

x 3)

x (4 x

x 9

16 1.4.5 a) x 339,9 = 56,5 478,2 x 339,9 ∙ 339,9 = 56,5 478,2 ∙ 339,9 x = 40,2 b) x 102,4 ∙ 102,4 = 97,5 114,5 ∙ 102,4 x = 87,2 c) 14,8 19,7 = x 86,7 14,8 19,7 ∙ 86,7 = x 86,7 ∙ 86,7 x = 65,1 1.4.6 La s være vekta av jordbærene. Da er s 2 = 1 4 s 2 2 = 1 4 2 s = 1 2 = 0,5 Sukkeret veier 0,5 kg. 1.4.7 a) 3x 2 4 = x 2 + 1 3x 2 ∙ 2 4 ∙ 2 = x 2 ∙ 2 + 1 ∙ 2 3x 8 = x + 2 2x = 10 x = 5 b) 5x 2 2 5 = x 10 + 1 2 5x 2 ∙ 10 2 5 ∙ 10 = x 10 ∙ 10 + 1 2 ∙ 10 25x 4 = x + 5 24x = 9 x = 9 24 = 3 8 c) 15x 4 1 2 = 1 2 (3x + 1) 15x 4 1 2 = 3x 2 + 1 2 15x 4 4 1 2 4 = 3x 2 4 + 1 2 4 15x 2 = 6x + 2 15x 6x = 2 + 2 9x = 4 x = 4 9 1.4.8 a) 1 2 (x + 3) + 2 3 = x 1 3 x 2 + 3 2 + 2 3 = x 1 3 x 2 ∙ 6 + 3 2 ∙ 6 + 2 3 ∙ 6 = x ∙ 6 1 3 ∙ 6 3x + 9 + 4 = 6x 2 13 + 2 = 6x 3x 15 = 3x x = 5 b) 2 5 1 3 (2x + 5) = 1 2 (5 2x) 3 5 x 2 5 2x 3 5 3 = 5 2 2x 2 3 5 x 2 5 ∙ 30 2x 3 ∙ 30 5 3 ∙ 30 = 5 2 ∙ 30 2x 2 ∙ 30 3 5 x ∙ 30 12 20x 50 = 75 30x 18x 20x + 48x = 75 + 50 12 28x = 113 x = 113 28 c) 2x 1 3 (x + 3 4 ) = 1 + 1 2 ( 5 6 x 5) 2x x 3 1 4 = 1 + 5x 12 5 2 2x ∙ 12 x 12 3 1 ∙ 12 4 = 1 ∙ 12 + 5x 12 12 5 12 2 24x 4x 3 = 12 + 5x 30 15x = 15 x = 1 d) 1 x 5 + x 20 = x 5 –x + 1 4 1 x 5 ∙ 20 + x 20 ∙ 20 = x 5 ∙ 20 x + 1 4 ∙ 20 (1 x) 4 + x = 4x (x + 1) 5 4 4x + x = 4x 5x 5 4 + 5 = x + 3x 9 = 2x x = 9 2

15x = 48,00

x = 48,00 15 = 3,20

Prisen per eple er 3,20 kr.

1.4.11

Det er x/4 mynter av hvert slag. Derfor blir

x 4

(1 + 5 + 10 + 20) = 144 x 36 = 144 4

x = 144 4 36 = 4 4 = 16

Nina har 16 mynter.

17 e) 2x 4x 3 3 = 1 2 (3x 1) 2x ∙ 6 4x 3 3 ∙ 6 = 1 2 (3x 1) ∙ 6 12x 2(4x 3) = 3(3x 1) 12x 8x + 6 = 9x 3 6 + 3 = 9x 4x 9 = 5x x = 9 5 f) 3 2(x + 1 4 ) = 1 3 (x + 1 2 ) 3 2x 1 2 = 1 3 x + 1 6 3 6 2x 6 1 2 6 = 1 3 x 6 + 1 6 6 18 12x 3 = 2x + 1 15 1 = 2x + 12x 14 = 14x x = 1 1.4.9 a) 3 ( 7 3 1 6 (x 1 5 )) = x 3 ( 7 3 1 6 x + 1 30 ) = x ∣⋅ FN = 30 90 70 + 5x 1 = 30x 19 = 25x x = 19 25 b) 3 5 x 1 = 4 2x 3 + 1 3 5 ∙ 5 (x 1) ∙ 5 = 4 3 ( 2x 3 + 1) 3 3 5(x 1) = 4 ∙ 3 2x + 3 ∣⋅ FN = 5 (x – 1) (2x + 3) 3 (2x + 3) = 3 4 ⋅ 5 (x 1) 2x + 3 = 20 (x 1) 23 = 18x x = 23 18 c) 5 2 x 3 2 3 x + 2 = 3 8 ∣⋅ FN = 8( 2 3 x + 2) 8 ( 5 2 x 3) = 3 ( 2 3 x + 2) 20x 24 = 2x + 6 18x = 30 x = 5 3 d) 1 2 3 4 1 x = 5 1 2 3x 4x 1 = 5 ∣⋅ FN =(2 3x 4x 1 ) 1 = 5(2 3x 4x 1 ) 1 = 10 15x 4x 1 15x 4x 1 = 9 15x = 9(4x 1) 9 = 21x x = 3 7

1.4.10

∙

Vi kan også regne slik: La x være antall mynter av hvert slag. Da får vi denne likningen: x + 5x + 10x + 20x = 144 36x = 144 x = 4

Nina har fire mynter av hvert slag, til sammen 16 mynter.

Det skal være 2,8 kg sukker.

1.4.13 x + (x + 2) = 36 2x = 34 x = 17

Karianne er 17 år og Knut er 19 år.

1.4.14

Vi kaller antall store flasker for x. Da er antall små flasker lik 3x. Vi får:

2,50x + 1,00 3x = 110 5,5x = 110 x = 20

Hun har 20 store flasker og 60 små flasker.

1.4.15

Vi regner først ut totalt antall arbeidsdager: 8 · 12 = 96 . Vi dividerer 96 med antall dager som er til rådighet og får:

96 : 5 = 19,2 . Med 19 deltakere blir de litt forsinket. Det må være 20 deltakere.

1.4.16

La x være strekningen som Sigvart løper. Da er strekningen for Sigurd 3x og Sigrid løper halvparten av det, som er 1,5x. Vi får:

x + 3x + 1,5x = 11

5,5x = 11 x = 2

Sigvart løper 2 km, Sigurd løper 6 km og Sigrid løper 3 km.

s b

2 5 ⇒ s 7 = 2 5 ⇒ 5s = 2 · 7 ⇒ s = 14 5 = 2,8

1.4.12

1.4.17

Det er til sammen 3 + 6 = 9 flere jenter enn gutter. Vi får da 37 – 9 = 28 speider fordelt likt på begge kjønn. Det er 14 gutter og 14 + 9 = 23 jenter. Til sammen 37 speidere.

1.4.18

Vi kaller lengden til kortsida for x. Da er langsiden lik x + 6. Vi har to kortsider og to langsider. Vi får:

2x + 2(x + 6) = 24

2x + 2x + 12 = 24

4x = 12 x = 3

Kortsida er 3 m og langsida er 9 m. Arealet er 27 m2

1.4.19

a) Vi lar x være antall kilometer. Da får vi likningen

20,50x + 60 = 347

20,50x = 287 x = 287 20,5 = 14

Natalie har kjørt 14 km.

b) Vi lar x være antall kilometer. Da blir

20,50x + 60 = 22,00x + 48 12 = 1,50x x = 12 1,50 = 8

Strekningen var på 8 km.

c) Vi lar igjen x være antall kilometer. Da blir

22,00x + 48 = 20,50x + 60 + 15

1,50x = 27

x = 27 1,50 = 18

Annika måtte reise 18 km med taxi for å komme heim.

1.4.20

Svaret må være mellom kl. 3.15 og 3.20. Klokka 3.16 er minuttviseren på 16. Fra 3 til 4 er det på klokka 5 minutter. Timeviseren har da tilbakelagt 16/60 av de fem minuttene, som svarer til 15 + (16 / 60) 5 = 16,33. Det er altså noe mer enn kl. 3.16. Vi velger å løse en likning. Vi setter antall minutter for minuttviseren lik x

x = 15 + 5x 60

x = 15 + x 12

11 12 x = 15

x = 15 · 12 11 = 16,36

Når minuttviseren er 16,36 minutter (16 minutter og 21,6 sekunder) over klokken 3, ligger viserne over hverandre.

1.5 Regning med formler

1.5.1

I denne oppgaven bruker vi implikasjonspilen ⇒ , som du kan lese som «derfor er».

1.5.2

Vi løser formelen med hensyn på I. Deretter setter vi inn de kjente størrelsene, og regner ut:

1.5.3

Vi løser formelen med hensyn på I. Deretter setter vi inn de kjente størrelsene, og regner ut:

1.5.4

Vi løser formelen med hensyn på h. Setter alle lengdemål til dm og regner ut:

a) U = R · I ⇒ I = U R b) F = m v 2 r ⇒ Fr = m v 2 ⇒ r = m v 2 F F = m v 2 r ⇒ Fr = m v 2 ⇒ m = Fr v 2 c) v = v0 + at ⇒ v v0 = at ⇒ t = v v0 a d) mgh = 1 2 m v 2 + W ⇒ h = m v 2 2mg + W mg ⇒ h = v 2 2g + W mg mgh = 1 2 m v 2 + W ⇒ W = mgh 1 2 m v 2 mgh = 1 2 m v 2 + W ⇒ 2mgh m v 2 = 2W ⇒ m(2gh v 2) = 2W ⇒ m = 2W 2gh v 2 mgh = 1 2 m v 2 + W ⇒ 2mgh 2W = m v 2 ⇒ 2mgh 2W m = v 2 ⇒ v = √ 2mgh 2W m e) Q = cm(t2 t1) ⇒ c = Q m(t2 t1) Q = cm(t2 t1) ⇒ Q = cm t2 cm t1 ⇒ Q + cm t1 = cm t2 ⇒ t2 = t1 + Q cm

U = R · I ⇒ I = U R = 12 V 720 Ω = 0,0167 A = 17 mA

= U I ⇒ I = P U = 750 W 12 Ω = 62,5 A

V = π r 2 h ⇒ h = V π r 2 = 200 dm 3 π (2,5 dm) 2 = 10,2 dm = 1,0 m 1.5.5

1 R = 1 R1 + 1 R2 1 = ( 1 R1 + 1 R2 )R R = 1 ( 1 R1 + 1 R2 ) · R1 R2 R1 R2 = R1 R2 R1 + R2 b) R = 40 100 40 + 100 Ω = 4000 140 Ω = 28,6 Ω

1.5.6

Vi løser formelen med hensyn på antall viklinger på primærspolen N1 , setter inn verdier og regner ut:

t η = Ptilført P tap

tap = Ptilført Ptilført η

tap = Ptilført · (1

tilført = P tap (1 η)

Repetisjonsoppgaver

U2 U1 = N2 N1 U2 N1 = U1 N2 N1 = U1 N2 U2 = 230 V · 30 15 V = 440

b) Ptilført = P tap (1 η) = 600 W 1 0,70 = 600 W 0,30 = 2000 W

1.5.7 a) η = Ptilført P tap Ptilført

tilfør

η)

R1.1 a) 5 (3 8) = 5 ( 5) = 5 + 5 = 10 b) 14 3 2( 2) = 14 9( 2) = 14 + 18 = 32 c) 20 + ( 4) 2 = 20 + 16 = 36 d) 4 10 2 12 25 = 4 100 300 = 400 300 = 100 e) 3,2 ∙ 10 3 ∙ 2,7 ∙ 10 2 = 3,2 ∙ 2,7 ∙ 10 3+2 = 8,64 ∙ 10 5 R1.2 a) 5a + 3b (2a + b) = 5a + 3b 2a b = 3a + 2b b) 6(3a 2b) 7a = 18a 12b 7a = 11a 12b c) (9a 6b) 4(a b) = 9a 6b 4a + 4b = 5a 2b d) 3 2 + 2(a 5) = 9 + 2a = 2a 1 e) (2a + 1)(a 2) = 2 a 2 4a + a 2 = 2 a 2 3a 2 f) a(2a b) + (a + 2)(1 b) = 2 a 2 ab + a ab + 2 2b = 2 a 2 2ab + a 2b + 2 R1.3 a) 5(x 7) + 2x = 5x 35 + 2x = 7x 35 b) 3x + 5y (x + 2y) = 3x + 5y x 2y = 2x + 3y c) 7y (6x 3y) ∙ 4 3(x + y) = 7y 24x + 12y 3x 3y = 16y 27x d) 3x + 2 x 2 x + 5 4 x 2 = 5 + 2x 2 x 2 e) x(3x + 5) y(2 3x) 2x(x 2y) = 3 x 2 + 5x 2y + 3xy 2 x 2 + 4xy = x 2 + 5x 2y + 7xy f) 5x(x + 3) 3x(x + 4) = 5 x 2 + 15x 3 x 2 12x = 2 x 2 + 3x

R1.4

a) Uansett hvilket naturlig tall n er, vil n eller n + 1 være et partall. Det vil si at det ene av dem har 2 som faktor. Da vil også produktet n(n + 1) ha 2 som faktor. Derfor er n(n + 1) et partall.

b) Dersom n er odde, er også n + 2 odde. Da inneholder ikke n(n + 2) faktoren 2. Det vil si at n(n + 2) ikke alltid er et partall.

Merk

Slik spørsmålet er formulert, kan vi svare med et konkret eksempel: Dersom n = 3 , er n(n + 2) = 3 ∙ 5 = 15, som er et odde tall.

Det er 1000 g i 1,0 kg. Vi dividerer antall karbonatomer med 12 for å finne hvor mange atomer det er i 1,0 g og multipliserer deretter med 1000. Vi får:

R1.5 Potens Produkt Verdi 32 3 · 3 9 54 5 · 5 · 5 · 5 625 52 5 · 5 25 10–2 1 10 1 10 1 100 10–3 1 10 ⋅ 1 10 ⋅ 1 10 1 1000 10–6 1 10 · 1 10 · 1 10 · 1 10 · 1 10 · 1 10 1 1 000 000 0,93 0,9 ⋅ 0,9 ⋅ 0,9 0,729 11,992 11,99 · 11,99 143,8 3,144 3,14 3,14 3,14 3,14 97,2 10–2 1 10 · 1 10 1 100 R1.6 a) 4,13 10 3 1,06 10 7 3,15 10 2 = 4,13 1,06 3,15 10 3+7 2 = 1,39 10 8 b) 4,2 10 3 1,4 10 2 2,7 10 –5 = 4,2 1,4 2,7 10 3+2+5 = 2,2 10 10 R1.7

Antall = 6,02 10 23 1000 12 = 5,02 10 25

R1.8

a) Et tall som er skrevet som et tall a i intervallet: 1,0 ≤ a < 10, multiplisert med en tierpotens, 10n med heltallseksponent n, er skrevet på standardform.

b) 0,000043 = 4,3 10 5

c) Massen til 1,67 10 27 9,11 10 31 = 1833

svarer til massen til et proton.

R1.9 Land Areal [km2] Folketall Innbyggere/km2 Australia 7, 682 · 106 2,561 107 3,3 Brasil 8,547 · 106 2,085 ·108 24,4 Canada 9,97 · 106 3,5703 · 107 3,6 India 3,065 · 106 1,349218 · 109 440 Kina 9,584 · 106 1,409517 · 109 147 USA 9,809 · 106 3,26626 · 108 33,3 R1.10 a) 2,295 m < 2,30 m < 2,305 m (mindre enn 2,305 m er i praksis 2,304 m) b) 3,995 10 4 kg < 4,00 10 4 kg < 4,005 10 4 kg R1.11 a) 2,998 ∙ 10 8 m/s b) 3,00 ∙ 10 8 m/s c) 3,0 ∙ 10 8 m/s R1.12 a) V = b l t = 83,4 423,4 0,62 cm 3 = 22 000 cm 3 = 2,2 10 4 cm 3 (to gjeldende siffer). b) d = m V = 173,5 kg 2,2 · 10 4 · 10 6 m 3 = 7,9 10 3 kg / m 3 R1.13 a) V = l ∙ s ∙ s = 22,87 ∙ 0,95 ∙ 0,95 dm 3 = 21 dm 3 b) 9,45 cm < s < 9,54 cm 2,2865 m < 1 < 2,2874 m c) Vmaks = l s s = 22,874 0,954 0,954 dm 3 = 20,8 dm 3 d) Vmin = l s s = 22,865 0,945 0,945 dm 3 = 20,4 dm 3 e) s har to gjeldende siffer. Da skal volumet også ha to gjeldende siffer. Det stemmer bra med svarene i c) og d).

elektroner

24 R1.14 a) a 3 4 a + 2 3 = (a 3)3 4 3 (a + 2)4 3 4 = 3a 9 4a 8 12 = a 17 12 b) a 6 + 3a 4 2 a 3 3 = a 6 + (3a 4)3 2 3 (a 3)2 3 2 = a + 9a 12 2a + 6 6 = 8a 6 6 = 4a 3 3 c) a 4 7a 8 4 + a 2 = a (7a 8) 4 + 2a 2 2 = a 7a + 8 + 2a 4 = 8 4a 4 = 4(2 a) 4 = 2 a d) a 2 + 1 2 ( a 3 2) + 1 = a 2 + ( a 6 1) + 1 = a 2 + a 6 = 3a + a 6 = 4a 6 = 2a 3 e) 1 3 (2a 1) 1 2 (4a 2) = 2 6 (2a 1) 3 6 (4a 2) = 4a 2 12a + 6 6 = 4 8a 6 = 2 4a 3 f) a 4 + 3a 2 3 a = a 3 4 3 + (3a 2) 4 3 4 12a 12 = 3a + 12a 8 12a 12 = 3a 8 12 R1.15 a) 6a x 2 y 4 a 2 xy = 3x 2a b) 1 x 2 y + 1 x y 2 = 1 y x 2 y y + 1 x x y 2 x = y + x x 2 y 2 c) 2 x 2 5 2x xy 3 y = (2 x 2 5) y 2x · y (xy 3) · 2x y · 2x = 2 x 2 y 5y 2 x 2 y + 6x 2xy = 6x 5y 2xy d) (3a b + 4)(b a) = 3ab 3 a 2 b 2 + ab + 4b 4a = 4ab 3 a 2 b 2 + 4b 4a e) (x 3 2 )( x 3 + 2 1 x ) = x 2 3 + 2x 1 x 2 3 + 3 2x = x 2 3 + 3x 2 4 + 3 2x f) 3a + 2 x a 2x 3 a x = (3a + 2 x ) x ax a(2x 3 a ) ax = 3ax + 2 2ax + 3 ax = ax + 5 ax R1.16 a) Antall avganger og landinger med innenlandsfly på Gardermoen: 530 000 ∙ 0,19 = 100 700 b) Antall avganger og landinger utenlands: 700 000 530 000 = 170 000 Vi får: 170 000 ∙ 0,117 = 19 900 R1.17 a) Verdien et år etter 2000: V = 880 000 0,80 = 704 000 kr b) Verdien i 2005: V = 880 000 kr ∙ 0, 80 5 = 288 000 kr c) Verdien i 1999: V = 880 000 kr ∙ 0, 75 1 = 1 173 000 kr d) Verdien i 1997: V = 880 000 kr 0, 75 3 = 2 086 000 kr R1.18 a) x 3(x 2) = 5 4(x 1) x 3x + 6 = 5 4x + 4 4x 2x = 9 6 2x = 3 x = 2 3 b) 7(x 4) 4x = 2x 3 (5 6x) 7x 28 4x = 2x 3 5 + 6x 28 + 8 = 8x 3x 20 = 5x x = 4 c) 4x + 1 3 = 2(x 1) 4x + 1 = 6(x 1) 4x + 1 = 6x + 6 4x + 6x = 6 1 10x = 5 x = 1 2 d) 2x 4(x + 1) + 3(2 x) = 4 2x 4x 4 + 6 3x = 4 5x = 4 2 x = 2 5

R1.20

a) Forbruk på 15 mil: 15 · 0, 65 liter = 9, 75 liter

b) Kjørelengde med 50 liter: (50 : 0, 65) km = 77 mil

c) Først regner vi ut hvor mange mil vi kan «få» i en gallon: 3,785 : 0,65 = 5,823 mil. Vi regner så ut hvor mange miles som svarer til 58,23 km: 58,23 : 1,609 = 36,2 miles/gallon.

R1.21

La x være antall poeng som Trygve fikk. Da blir (x + 12) + 1,10x + x = 260

3,10x = 260 12

3,10x = 248 x = 80

Trygve fikk 80 poeng, Ole fikk 88 poeng og Kari fikk 92 poeng.

25 e) 2x 2x 3 3 = 19 6 12x 2(2x 3) = 19 12x 4x + 6 = 19 8x = 19 6 x = 13 8 R1.19 a) 3 4x 1 5 = x 15 (4x 1) = 5x 15 4x + 1 = 5x 16 = 9x x = 16 9 b) x 3 2 ( 2 5 x + 1) = 9 10 x 3x 5 3 2 = 9 10 10x 6x 15 = 9 4x = 9 + 15 4x = 24 x = 6 c) 2 3 ( 1 2 x 1) 3x 8 4 = 1 2 3 ( x 2 2 ) 3x 8 4 = 1 4(x 2) 3(3x 8) = 12 4x 8 9x + 24 = 12 16 12 = 5x x = 4 5 d) 10x 7 9 (3x + 3 2 ) x 1 = 5 6 6 (10x 7 3 ( 6x 2 + 3 2 )) = 5(x 1) 6 · (10x 7 3 ( 2x 2 + 1 2 )) = 5x 5 60x 7(2x + 1) = 5x 5 60x 14x 7 = 5x 5 46x 5x = 7 5 41x = 2 x = 2 41

R1.22

La x være strekningen som Kari har gått. Da har Per gått 2x og Lars 2x – 100. Til sammen blir det

2x + x + (2x 100) = 900

5x = 1000

x = 200

Per har gått 400 km, Kari har gått 200 km og Lars har gått 300 km. R1.23

a) d = m V ⇒ m = d V = 3,45 dm 3 0,746 kg / dm 3 = 2,57 kg b) d = m V ⇒ d · V = m ⇒ V = m d = 345 kg 7,8 10 3 kg / m 3 = 0,044 m 3