ELEKTRISKE MASKINER
2. utgave
AC- OG DC-MASKINER
Lasse Sivertsen
ELEKTRISKE MASKINER
DC-MASKINER
AC- OG
2. utgave
Copyright © 2023 by Vigmostad & Bjørke AS
All Rights Reserved
1. utgave 2019
2. utgave 2023 / 1. opplag 2023
ISBN: 978-82-450-4604-5
Grafisk produksjon: John Grieg, Bergen Omslagsdesign ved forlaget
Omslagsbilde: Maxx-Studio/Shutterstock
Foto s. 9 © Vladimir Nenezic / Shutterstock
Foto s. 97 © phil Holmes / Shutterstock
Foto s. 181 © similis / Shutterstock
Spørsmål om denne boken kan rettes til: Fagbokforlaget
Kanalveien 51
5068 Bergen
Tlf.: 55 38 88 00
e-post: fagbokforlaget@fagbokforlaget.no
www.fagbokforlaget.no
Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling bare tillatt når det er hjemlet i lov eller avtale med Kopinor.
Vigmostad & Bjørke AS er Miljøfyrtårn-sertifisert, og bøkene er produsert i miljøsertifi serte trykkerier.
FORORD
Denne boken bygger på forelesningsnotater om elektriske maskiner for bachelorutdanningen ved Høgskolen på Vestlandet (tidligere Høgskolen i Bergen) gjennom flere år. Den er skrevet både for bachelor- og fagskolestudenter, men vil også passe for ingeniører som er i jobb og som ønsker en oppdatering innenfor dette fagområdet. Boken tar utgangspunkt i statiske- og roterende vekselstrømsmaskiner og likestrømsmaskiner.
Elektriske maskiner er et svært sentralt, men også til dels teoretisk, fagområde. Det er derfor forsøkt å legge inn en mest mulig praktisk vinkling i gjennomgangen av de forskjellige maskinene. Det er fokus på maskiner i «steady-state» og mindre fokusert på dynamiske forhold.
Gjennom hele boken er det benyttet kompleks tallteori som beregningsmetode. Komplekse tall passer svært bra innenfor dette fagområdet, og studentene bør beherske denne beregningsmetoden for å få full utnyttelse av bokens teorigjennomgang.
Kapittel 1, 2 og 3 omhandler AC-maskinene transformatoren, synkronmaskinen og asynkronmaskinen. Dette er de viktigste elektriske maskinene i norsk elforsyning og industri, og disse kapitlene vil gi studenten et godt innblikk i disse maskinenes oppbygning, drift og vedlikehold. Moderne industrielle maskiner som reluktansmaskin, permanent magnetiserte synkronmaskiner og dobbeltmatede asynkronmaskiner er også viet grundig gjennomgang.
Kapittel 4 omhandler likestrømsmaskiner (DC-maskiner). Det gir en gjennomgang av både tradisjonelle DC-maskiner og moderne børsteløse maskiner (Brushless DC-Machines BLDC).
Kapittel 5 gir en innføring i elektriske motordrifter. Dette er imidlertid et eget fagområde, så i denne boken gis bare en innføring i begreper og enkle regneeksempler.
5
Kapittel 6 er et oppgavekapittel. Her er det relevante regneoppgaver, for det meste eksamensoppgaver fra HVL, med fullstendig løsning. Erfaringsvis setter studentene stor pris på relevante regneoppgaver, og med fornuftig bruk av løsningene gir dette et godt utgangspunkt for effektive læringsmetoder.
Forfatteren benytter «Matlab» aktivt i sin undervisning. Dette er ikke omhandlet i boken, men hvis det er av interesse kan man ta kontakt direkte på lsi@hvl.no Forfatteren setter stor pris på tilbakemelding på boken.
Bergen, mars 2023
Lasse Sivertsen
6 elektriske maskiner
7 INNHOLD Kapittel 1 Transformator ....................................................................... 9 Innledning 9 Transformatorens virkemåte .......................................................... 10 Transformatoren i tomgang 12 Transformatoren i belastning ......................................................... 14 Ekvivalentskjema 15 Kortslutningsspenninger.............................................................. 18 Spenningsfall i transformatoren 19 Tap og virkningsgrad ................................................................. 21 Transformatorens merkeverdier 22 Trafokoplinger ........................................................................ 26 Koplingsgrupper og parallellkopling 30 Inrush-strømmer ..................................................................... 33 Trafokjerner, viklinger og kjøling 35 Spesialtransformatorer 40 Autotransformator 41 Treviklingstransformator 42 Drift og vedlikehold 44 Kapittel 2 Synkronmaskiner 47 Innledning 47 Konstruksjon og oppbygning ......................................................... 48 Stator og rotors magnetiske felter 51 Synkronmaskinens karakteristikker og elektriske parametre ......................... 56 Synkronmaskinen i drift 63 Generatorer i kraftstasjoner ........................................................... 84 Permanentmagnetiserte synkronmaskiner 86 Synkronmaskinens effektbegrensninger ved drift ..................................... 92 Kapittel 3 Asynkronmaskiner .................................................................. 97 Innledning 97 Konstruksjon og oppbygning ......................................................... 98
8 elektriske
Statorviklingens dreiefelt. Sakking .................................................... 101 Moment- og effektforhold. Virkningsgrad 103 Merkeskilt og motordokumentasjon .................................................. 105 Ekvivalentskjema. Eksakt beregningsmetode 107 Forenklede beregningsmetoder ....................................................... 111 Thevenins beregningsmetode av asynkronmaskin 118 Startmetoder 122 Driftstilstander 127 Akselerasjon og starttid 131 Dimensjonering av elektriske motordrifter 134 Motorhensyn ved frekvensomformerdrift 148 Strømfortrengningsrotor 152 Høyeffektivitetsmotorer 155 Reluktansmotorer 159 Dobbeltmatede induksjonsgeneratorer 163 Direktekoplet asynkrongenerator i vindkraftverk ..................................... 169 Estimering av motorparametre 174 Kapittel 4 DC-maskiner ........................................................................ 181 Fremmedmagnetisert likestrømsmotor 183 Shuntmagnetisert likestrømsmotor ................................................... 184 Dynamisk modellering av DC-motor 195 Børsteløse DC-maskiner (BLDC) 206 Kapittel 5 Innføring i elektriske motordrifter ................................................ 209 Innledning 209 Frekvensomformeren ................................................................. 209 Kort om fluks-vektorteori 223 Kapittel 6 Oppgaver med løsning 227 Kapittel 6.1 Transformatoroppgaver ................................................ 227 Kapittel 6.2 Synkronmaskinoppgaver 229 Kapittel 6.3 Asynkronmaskinoppgaver ............................................. 237 Kapittel 6.4 Oppgaver i AC – og DC motordrifter 244 Kapittel 6.5 Løsning på oppgaver ................................................... 245 Litteraturliste 282 Vedlegg Beregningseksempler i Matlab ..................................................... 283
maskiner
INNLEDNING
Transformatoren er kanskje den viktigste komponenten i kraftsystemet når vi fokuserer på overføring og fordeling av elektrisk energi. Praktiske isolasjonsnivåer og ønske om lave tap ved overføringen danner noe av grunnlaget og behovet for transformatorer. Generatorspenningene ligger vanligvis i området fra 8–20 kV for kraftstasjoner med installert tilsynelatende effekt på over 10 MVA. For småkraftverk (mindre enn 10 MVA) benyttes vanligvis lavere spenninger. Typisk 1000 V, 690 V eller 400 V.
I overføringssystemene ligger spenningsnivået på 66, 132, 300 eller 400 kV. Transformatorene benyttes derfor i koplingspunktene mellom produksjon–overføring og mellom overføring–lastuttak.
9
Kapittel 1 TRANSFORMATOR
TRANSFORMATORENS VIRKEMÅTE
Den gjensidige induksjonen mellom to strømkretser danner grunnlaget for virkemåten til transformatoren. Det enkleste trafo-prinsipp har vi som figur 1.1 viser ved å legge to spoler rundt en jernkjerne. Den ene spolen kalt primærviklingen, med N1 antall viklingstørn, påtrykkes en vekselspenning U1. Det vil da flyte en strøm i primærviklingen. Denne vekselstrømmen vil sette opp en vekslende magnetfluks Φ i jernkjernen. I henhold til Lenz’ lov vil spolen sette opp en motindusert spenning E1 i spolen som er proporsjonal med antall viklingstørn og endringshastigheten av fluksen:
Store bokstaver indikerer effektivverdier E eller amplitudeverdier EMAX, mens små bokstaver brukes for øyeblikksverdier e.
Fluksen Φ vil også gå gjennom transformatorens sekundærvikling. Det må da bli indusert like høy spenning pr. viklingstørn i begge viklingene. Indusert spenning i sekundærviklingen betegnes E2.
Forholdet mellom de induserte spenningene og antall viklingstørn kalles transformatorens omsetningsforhold:
Hvis vi regner ideell transformator, det vil si uten indre effekttap og spenningsfall, vil indusert spenning og påtrykt spenning være like i de respektive viklingssystemene.
Dette er selvfølgelig ikke riktig i en virkelig transformator, men likevel gjør vi lite feil om vi skriver omsetningsforholdet:
10 elektriske maskiner
e1 = N1 ⋅ dΦ dt (1.1)
Figur 1.1 Prinsippskisse av en ideell transformator
E1 N1 = E2 N2
(1.2)
Forsidebilde
1.1 Last U2 I2 U1 I1 N1 N2
Figur
I figur 1.1 ser vi at vår ideelle transformator er belastet med en lastimpedans Z = R + jX
Det vil da flyte en strøm I2 i sekundærviklingen. I og med at vi regner tapsfri trafo vil lastens effektfaktor være den samme som nettet opplever mot transformatoren.
Det vil si at cos φ1 = cos φ2
Effektene blir da P1 = U1I1 cos φ1 = P2 = U2I2 cos φ2
Dette betyr at omsetningsforholdet også kan uttrykkes
I henhold til Lenz’ lov vil magnetisk fluks og indusert spenning ha samme form men være forskjøvet i tid i forhold til hverandre.
Vi antar at den tidsvariable fluksen har sinusform
Indusert spenning kan da uttrykkes
Dette betyr at indusert spenning ligger 90° foran fluksen. Dette betyr også at når vi skal beskrive magnetisk fluks i et elektrisk system, må de presenteres som reaktanser for å få fram forskyvningen mellom fluks og spenning.
Når vi regner på induserte spenninger er vi mest interessert i effektivverdien av disse.
For sinusformede spenninger fås
Her er f nettspenningens frekvens i Hz og Φ er fluksens maksimalverdi.
Tilsvarende uttrykk kan settes opp for indusert spenning i sekundær viklingen
k apittel 1: t ransformator 11 U1 U2 = N1 N2 (1.3)
U1 U2 = N1 N2 = I2 I1 (1.4)
Φ(t ) = Φ MAX ⋅ sin ωt
e1 = N1 ⋅ dΦ dt = N1 ⋅ Φ ⋅ ω ⋅ cos ωt = E1MAX ⋅ cos ωt = E1MAX ⋅ sin (ωt + 90° )
E1 = E1MAX √2 = 1 √2 ⋅ ω ⋅ N1 ⋅ Φ = 2 π √2 ⋅ f ⋅ N1 ⋅ Φ = 4, 44 ⋅ f ⋅ N1 ⋅ Φ (1.5)
E2 = 4, 44 ⋅ f ⋅ N2 ⋅ Φ (1.6)
TRANSFORMATOREN I TOMGANG
Tomgangsdrift vil si at transformatoren er tilkoplet en primærspenning mens sekundærsiden er åpen. Den trekker da en relativt liten strøm fra nettet I0. Denne tomgangsstrømmen er for en krafttransformator i størrelsesorden 0,5–1,5 % av nominell strøm. Tomgangsstrømmen, som har svært lav effektfaktor, går til å dekke inn tomgangstapene og frambringe hovedfluksen Φ.
På grunn av den lave tomgangsstrømmen kan man se bort fra spenningsfall i primærkretsen og dermed regne tomgangsspenningen E lik påtrykt fasespenning U1.
Tomgangstapene P0 består av hysterese- og virvelstrømstap: P 0 = PH + PV (1.7)
Hysteresetap oppstår når en jernkjerne magnetiseres med vekselstrøm. Den magnetiske feltstyrken I · N og flukstettheten B vil følge hysteresefunksjonen som vist i figur 1.3. Jernkjernen remagnetiseres i takt med frekvensen og inne i jernet oppstår en indre friksjon når atomene må omgrupperes. I jernet vil det også oppstå restmagnetisme (remanens) som må overvinnes før jernet blir magnetisert i motsatt retning. Disse tapene kalles hysteresetap PH.
Mindre kantete og smalere midt på
12 elektriske maskiner
Figur 1.2 Ekvivalentskjema og viserdiagram i tomgang
Figur 1.2
Φ I0 I0q X m R m E I0p U1 U1 I0p I0q I0 B [T] H [A/m] Metning Metning Positiv remanens Negativ remanens Nykurve
Figur 1.3
Figur 1.3 tegnesav forlaget
Positiv remanens
Negativ remanens Metning
Som vist i figur 1.3 vil jernet gå i metning når den magnetiske feltstyrken overskrider en gitt verdi.
Hvis det benyttes massivt jern til å lage en elektromagnet vil jernet få svært høye virvelstrømmer som vist i figur 1.4.
Dette problemet løses ved å laminere jernet som vist i figur 1.5. Virvelstrømstapet blir da kraftig redusert.
Virvelstrømmer
AC-forsyning
k apittel 1: t ransformator 13
Figur 1.3 Hysteresekurve for trafojern
B [T] Metning
Figur 1.4 Virvelstrømmer i massiv jernkjerne
Nykurve H [A/m]
Figur 1.4
AC-forsyning
TRANSFORMATOREN I BELASTNING
Når transformatoren belastes vil det flyte strøm i både primær- og sekundærviklingen. Viklingene, som består av koppertråd, har en indre resistans henholdsvis R1 og R2 i primær- og sekundærviklingen. Det oppstår et belastningstap i viklingene som betegnes PK.
Inne i transformatorkassen vil det også oppstå lekkflukser som vist i figur 1.6. Noen flukslinjer vil danne lukkede kretser i luft (eller olje) utenom jernkjernen. Differansen mellom den totale fluksen i primærviklingen og hovedfluksen i jernet Φ kalles vi den primære lekkfluks eller spredefluks Φs1. På tilsvarende måte vil det oppstå en sekundær spredefluks Φs2 når sekundærviklingen belastes.
Lekkfluksene representeres med reaktanser i det elektriske ekvivalentskjema. Lekkreaktansene X1 og X2 vil være fiktive reaktanser som skal synliggjøre 90° forskyvning som oppstår mellom påtrykt spenning og den reaktive strømmen som vil være i fase med lekkfluksen.
14 elektriske maskiner
Figur 1.5 Laminert jernkjerne
PK = 3 ⋅ I1 2 ⋅ R1 + 3 ⋅ I2 2 ⋅ R2 (1.8)
Figur 1.5
EKVIVALENTSKJEMA
Med utgangspunkt i betraktningene rundt transformatoren i tomgang og belastning ser vi at den kan representeres i et elektrisk system med seks impedanser. R1 og R2 gir viklingsresistans i primær- og sekundærvikling. X1 og X2 gir lekkreaktansene i primær- og sekundærvikling, mens Rm og Xm representerer henholdsvis jerntapet og hovedfluksen i trafojernet.
Med disse seks impedansene kan man skissere transformatorens ekvivalentskjema.
k apittel 1: t ransformator 15
Figur 1.6 Transformator under belastning
Figur 1.6
1.7 Last I2 I1 U1 U2 Φ ΦS1 ΦS2 R1 R2 X1 X2 X m R m 2 I1 U2 U1 E1 E2 I0 I0p I0q I Figur 1.6 Figur 1.7 Last I2 I1 U1 U2 Φ ΦS1 ΦS2 R1 R2 X1 X2 X m R m 2 I1 U2 U1 E1 E2 I I0p I0q I
Figur 1.7 Transformatorens fullstendige ekvivalentskjema
Figur
I 0 består av to komponenter, I0p i fase med E1 og I0q som ligger faseforskjøvet 90° etter indusert spenning E1. For å forenkle trafoberegningene blir vanligvis trafoparametrene regnet om til samme spenningsnivå. Sekundærspenningen multipliseres med omsetningsforholdet N1/N2 og gis et merke for å indikere at spenningen er omregnet til primærspenningsnivå. Skal en regne om strømmene fra sekundær- til primærspenningsnivå må man multiplisere med det omvendte omsetningsforhold. Vi kan skrive:
Hvis vi regner ideell transformator kan de aktive og reaktive tap i sekundærviklingen skrives på to måter:
Vi ser fra uttrykkene at transformatorparametrene kan transformeres til den andre siden av transformatorene ved å multiplisere med omsetningsforholdet i andre potens.
Disse betraktninger gir følgende ekvivalentskjema og viserdiagram:
16
elektriske maskiner
E2 \ = E1 = E2 ⋅ N1 N2 I2 \ = I2 ⋅ N2 N1
R2 ⋅ I2 2 = R2 ⋅ (I2 \ ⋅ N1 N2 ) 2 = R2 \ ⋅ I2 \2 X2 I2 2 = X2 (I2 \ N1 N2 ) 2 = X2 \ I2 \2
R2 \ = R2 ⋅ ( N1 N2 ) 2 ≈ R2 ⋅ ( U1 U2 ) 2 X2 \ = X2 ⋅ ( N1 N2 ) 2 ≈ X2 ⋅ ( U1 U2 ) 2 (1.9)
For krafttransformatorer kan man bruke et forenklet ekvivalentskjema ved å se bort fra magnetiseringskretsen.
Tomgangsstrømmen I0 i en krafttransformator er svært liten i forhold til nominell strøm. Typisk rundt 1 %. Dette innebærer at ved driftsbetraktninger vil ikke tomgangskretsen ha noen praktisk betydning ved beregning av effekttap og spenningsfall i kopperviklingene.
Hvis lasten kortsluttes ser vi at kortslutningsstrømmen kun begrenses av transformatorviklingens resistanser og lekkreaktanser. Disse kalles derfor transformatorens kortslutningsresistans og kortslutningsreaktans.
k apittel 1: t ransformator 17
Figur 1.8 Ekvivalentskjema med omregnede verdier og viserdiagram
Figur 1.9 Forenklet ekvivalentskjema
RK = R1 + R2 \ XK = X1 + X2 \ (1.10)
1.8
1.9 R1 R\2 X1 X m R m I1 U1 I I0p I0q X \ 2 I \ 2 U \ 2 RK= R1 + R\2 I1 = I \ 2 U1 U \ 2 XK= X1 + X \ 2 Figur 1.8 Figur 1.9 R1 R\2 X1 X m R m I1 U1 I0 I0p I0q X \ 2 I \ 2 U \ 2 RK= R1 + R\2 I1 = I \ 2 U1 U \ 2 XK= X1 + X \ 2
Figur
Figur
Kortslutningsimpedansen kan da skrives:
Transformatorens totale aktive viklingstap ved merkestrøm kan uttrykkes:
For en trefasetransformator blir da uttrykket:
KORTSLUTNINGSSPENNINGER
Ved transformatorberegninger benyttes et begrep som kalles relativ kortslutningsspenning eZ. Denne verdien defineres som den spenningen en transformator må påtrykkes i kortslutning for å trekke en kortslutningsstrøm lik nominell strøm.
Relativ kortslutningsspenning ez:
For en trefasetransformator vil uttrykket bli helt likt med unntak for at man må benytte fasespenning UNf.
18 elektriske
maskiner
RK
ZK = √
2 + XK 2 (1.11)
PK
IN
⋅ RK
=
2
(1.12)
PK = 3 ⋅ IN 2 ⋅ RK (1.13)
Figur 1.10 Forenklet ekvivalentskjema ved kortslutning
eZ = UK UN = IK ZK UN = IN ZK UN = ZK UN IN = ZK ZN (1.14)
RK IK UK XK U1 φ IN · XK I · X ·cos φ
Figur 1.10
Relativ kortslutningsspenning oppgis vanligvis i prosent av nominell spenning. På samme måte kan det resistive spenningsfallet over viklingene ved kortslutningsstrøm lik merkestrøm uttrykkes:
Det reaktive kortslutningsspenningsfallet over lekkreaktansene blir:
Med utgangspunkt i uttrykk 1.11 ser vi at sammenhengen mellom de relative kortslutningsspenningene blir:
SPENNINGSFALL I TRANSFORMATOREN
Ved beregning av spenningsfallet i transformatoren kan vi benytte det forenklede ekvivalentskjema i figur 1.10. (Spenningsfallene er svært forstørret dvs. ingen målestokk)
k apittel 1: t ransformator 19
e r = URK UN = IK ⋅ RK UN = RK ZN = IN ⋅ RK UN ⋅ IN IN = IN 2 ⋅ RK UN IN = PK SN (1.15)
e x = UXK UN = IK ⋅ XK UN = IN ⋅ XK UN = XK UN IN = XK ZN (1.16)
e z = √e r 2 + e x 2 (1.17)
Figur 1.11 Viserdiagram for forenklet ekvivalentskjema
Figur 1.10
RK IK
XK U1 U\2 ψ φ φ φ IN · XK IN · RK IN IN · XK ·sin φ IN · RK ·cos φ IN · XK ·cos φ IN · RK ·sin φ
Figur 1.11
UK
Spenningsbalansen kan uttrykkes:
Ved reelle driftsverdier kan vi se bort fra siste ledd under rot-tegnet og skrive
Spenningsfallet i transformatoren kan da uttrykkes
Dette uttrykket vil da være det totale spenningsfall i en enfaset transformator og fasespenningsfall i en trefasetransformator.
Ofte er det ønskelig å beregne det prosentuelle spenningsfall i forhold til nominell spenning. Det prosentuelle spenningsfall kan uttrykkes:
I dette uttrykket kan man sette inn de relative kortslutningsspenningene er og ex og dermed beregne det relative spenningsfallet hvis man kjenner belastningens effektfaktor. Begrensningen i dette uttrykket er selvfølgelig at det bare er gyldig i nominell drift.
For å gjøre spenningsfallsuttrykket generelt gyldig, innføres transformatorens belastningsgrad n:
Ved forutsetning av at sekundærspenningen er lik nominell spenning kan belastningsgraden også uttrykkes:
20 elektriske maskiner
U1 = √(U2 \ + IN ⋅ RK ⋅ cos φ + IN ⋅ XK ⋅ sin φ) 2 + (IN ⋅ XK ⋅ cos φ IN ⋅ RK ⋅ sin φ) 2
U1
U2 \ + IN ⋅ RK ⋅ cos φ + IN ⋅ XK ⋅ sin φ
=
ΔU
⋅ RK ⋅ cos φ
⋅ XK ⋅ sin φ
= IN
+ IN
Δu = ΔU UN = IN ⋅ RK ⋅ cos φ + IN ⋅ XK ⋅ sin φ UN = IN ⋅ RK ⋅ cos φ UN + IN ⋅ XK ⋅ sin φ UN = e r ⋅ cos φ + e x ⋅ sin φ
n = I2 I2N (1.18)
n = I2 I2N = P2 P2N = S2 S2N (1.19)
Ved å benytte belastningsgraden fås et uttrykk for beregning av spenningsfall hvis vi kjenner belastningens effektfaktor:
Dette uttrykket gir ved praktiske driftsbetraktninger et godt nok resultat. Hvis man er avhengig av mest mulig nøyaktige spenningsfallsberegninger bør det benyttes beregning ved hjelp av komplekse tall med utgangspunkt i ekvivalentskjema fra figur 1.9.
TAP OG VIRKNINGSGRAD
En transformators virkningsgrad vil, som for alle type maskiner, være forholdet mellom avgitt effekt dividert på tilført effekt.
Tomgangstapet P0 er hysterese- og virvelstrømstap. Uavhengig av last, men må korrigeres hvis U2L avviker fra U2N. Belastningstapet PK fra uttrykk 1.13 må lastkorrigeres med belastningsgraden i andre potens.
For å bestemme maksimal virkningsgrad kan vi bestemme dη dn = 0
Det viser seg at maksimal virkningsgrad oppnås ofte ved rundt 50 % av merkelast. Dette har imidlertid liten betydning i og med at transformatoren har en svært høy virkningsgrad i forhold til andre maskiner. Typisk verdi ligger i området 97–99 %. Årsaken til transformatorens høye virkningsgrad ligger naturligvis i det at det er en statisk maskin uten friksjonstap som er bestemmende for virkningsgraden til en roterende maskin.
k apittel 1: t ransformator 21
Δu = n ⋅ (e r ⋅ cos φ + e x ⋅ sin φ) (1.20)
η = P2 P1 = P2 P2 + PTap = n ⋅ √3 ⋅ U2L ⋅ I2N ⋅ cos φ2 n ⋅ √3 ⋅ U2L ⋅ I2N ⋅ cos φ2 + P 0 + n 2 ⋅ PK (1.21)
n = √ P 0 PK (1.22)
Dette gir ηMAX ved en belastningsgrad
TRANSFORMATORENS MERKEVERDIER
Transformatorens viktigste data finnes på merkeskiltet. Figur 1.12 viser en trafo med merkeytelse på 200 kVA med omsetningsforhold 22 000/240 V. Den er koplet i stjerne både primært og sekundært, og nullpunktet er lagt ut på trafokassen for begge sidene. (YNyn0) Koplingstallet er 0 noe som indikerer at høy- og lavspenningen i R, S og T-fasen er i fase med hverandre.
Videre kan vi lese av merkeskiltet:
Merkestrøm i primærviklingen I1N = 5,2 A
Merkestrøm i sekundærviklingen I2N = 481 A
Tomgangstap ved merkespenning P 0 = 426 W
Belastningstap ved merkestrøm
Relative kortslutningspenninger
= 2175 W
= uk = 4,02 %
= 1,09 %
Denne transformatoren har mulighet for en forenklet spenningsregulering som innebærer at omsetningsforholdet kan reguleres i 5 trinn hvert på 2,5 %.
22 elektriske maskiner
Figur 1.12 Merkeskilt for 200 kVA transformator
PK
e
e z
r = u r
Figur 1.12
1.13 Yy0 UA UB UC UA UB UC U a U a Ub Ub U c U c A B C a b c 0
Figur
EKSEMPEL 1.1
I datablad til transformatoren i figur 1.12 har vi funnet at tomgangsstrømmen io = 1,2 %.
a) Bestem transformatorens parametre referert til høyspenningssiden.
b) Transformatoren belastes med 150 kVA ved en effektfaktor på 0,82.
Regner uttaksspenningen lik merkespenning. Bestem hvilken primær linjespenning transformatoren må ha for å opprettholde sekundær merkespenning i dette lasttilfelle.
c) Bestem transformatorens virkningsgrad ved dette lasttilfelle.
I praksis er det ofte slik at det ikke er hensiktsmessig å regulere høyspenningen for å oppnå ønsket sekundærspenning. En annen mulighet er å trinne transformatoren.
d) Bestem spenningen som blir sekundært på transformatoren når vindingstallet reguleres 1 trinn. Forutsetter primær linjespenning lik merkespenning.
Vil du anbefale å trinne transformatoren, eller kan den opprinnelige spenningen beholdes?
LØSNING EKSEMPEL 1.1
a) Ved å snu på formeluttrykk 1.15 og 1.16 kan RK og XK bestemmes.
En trefasetransformator har seks viklinger som alle vil ha samme effekttap ved symmetrisk belastning. I den viklingssiden med lavest spenning vil det være færrest antall tørn, høyere strøm og dermed større viklingstverrsnitt med lavere motstand. I viklingen med høyest spenningsnivå vil det være motsatt med flere viklingstørn, mindre strøm, mindre viklingstverrsnitt og dermed høyere motstand. I vår modell
k apittel 1: t ransformator 23
RK = e r ⋅ UN √3 IN = e r ⋅ UN √3 IN ⋅ UN UN = e r ⋅ UN 2 SN = 1, 09 100 ⋅ 22000 2 200 ⋅ 10 3 = 26, 4 Ω ZK = e z ⋅ UN 2 SN = 4, 02 100 ⋅ 22000 2 200 ⋅ 10 3 = 97, 3 Ω XK = √ZK 2 RK 2 = √97, 3 2 26, 4 2 = 93, 6 Ω
er motstandsverdiene transformert slik at alle er på samme spenningsnivå. Der vil det i modellen gå samme strøm i alle faser og det vil innebære at reell R og X i en fase må være lik transformert R og X fra den andre viklingen i samme fase. Dette fordi effekttapet er likt i alle seks viklinger.
For å bestemme tomgangsparametrene Rm og Xm må vi tilbake til figur 1.2. Vi vet at tomgangseffekten P0 utvikles i Rm. I og med at ekvivalentskjemaene alltid er pr. fase skjema
24 elektriske maskiner
R1 = R2 \ = RK 2 = 26, 4 2 = 13, 2 Ω X1 = X2 \ = XK 2 = 93, 6 2 = 46, 8 Ω
må tomgangseffekten uttrykkes: P 0 = 3 ⋅ UNf 2 R m = 3 ⋅ ( UN √3 ) 2 R m = UN 2 R m Dette gir R m = UN 2 P 0 = 22000 2 426 = 1136 kΩ Tomgangstapet kan også uttrykkes P 0 = √3 ⋅ UN ⋅ I 0 ⋅ cos φ0 = √3 ⋅ UN ⋅ I 0p Tomgangsstrømmens aktive komponent kan da uttrykkes
I 0p = P 0 √3 ⋅ UN = 426 √3 ⋅ 22000 = 0, 0112 A Tomgangsstrøm I 0 = i0 100 ⋅ IN = 1, 2 100 ⋅ 5, 2 = 0, 0624 A Reaktiv komponent blir I 0q = √I 0 2 I 0p 2 = √0, 0624 2 0, 012 2 = 0, 0614 A Dette gir magnetiseringsreaktans X m = UN √3 I 0q = 22000 √3 0, 0614 = 206, 9 kΩ
(se figur 1.2)
b)Belastning 150 kVA ved effektfaktor 0,82. U2L = 240 V
For å opprettholde 240 V sekundært må primærspenningen være
c)Virkningsgrad
Spenningen ut av trafo blir tilnærmet lik nominell spenning.
kapittel 1: transformator 25
Laststrøm ILast = S √ 3 ⋅ U2L = 150 ⋅ 10 3 √ 3 ⋅ 240 = 360, 8 A Belastningsgrad n = 360, 8 481 = 0, 75 e x = √e z 2 − e r 2 = √4, 02 2 − 1, 09 2 = 3, 87 % Relativt spenningsfall Δu = n ⋅ (e r ⋅ cos φ + e x ⋅ sin φ) = 0, 75 ⋅ (1, 09 ⋅ 0, 82 + 3, 87 ⋅ 0, 57) = 2, 33 %
U1L = 22000 (1 + 2, 33 100 ) = 22513 V
η = P2 P2 + n 2 ⋅ PK + P 0 = 150 ⋅ 0, 82 150 ⋅ 0, 82 + 0, 75 2 ⋅ 2, 175 + 0, 426 = 0, 987
= 22000 V Δu = 2,
U2L = 240 ⋅ (1 − 2, 33 100 ) = 234, 4 V U1N U2N = N1 N2 = 22000 240 = 91, 67
d)U1L
33 %
( N1 N2 ) * = 91, 67 ⋅ (1 − 2, 5 100
=
38
2L * = 22000 89, 38 ⋅
1 −
.
Reduserer omsetningsforholdet med 2,5 %
)
89,
U
(
2
33 100 ) = 240, 4 V
Denne boken gir en gjennomgang av industrielle elektriske maskiner og en innføring i elektriske motordrifter. Den er beregnet på studenter i elkraftteknikk og energiteknologi på bachelornivå ved universitet og høgskoler. Den kan også benyttes ved tekniske fagskoler. Boken vil også være aktuell for ingeniører og andre faginteresserte som trenger en oppdatering på nye elektriske maskiner og anvendelsesmetoder som har kommet de senere år. Boken gir, ved teorigjennomgang og regneeksempler/oppgaver, en praktisk tilnærming til et omfattende fagområde i stor utvikling.
Tema som er omhandlet:
• Transformatoren
• Synkronmaskinen (tradisjonelle og permanentmagnetiserte maskiner)
• Asynkronmaskinen (tradisjonelle maskiner, reluktansmaskiner og dobbeltmatede induksjonsmaskiner)
• DC-maskiner (tradisjonelle og børsteløse maskiner)
• Innføring i elektriske motordrifter
Lasse Sivertsen er førstelektor ved Høgskolen på Vestlandet, Bergen. Han er utdannet sivilingeniør ved NTNU (1990) og har tidligere arbeidet i norsk energiforsyning. Han har siden 1998 vært ansatt ved Høgskolen i Bergen, senere Høgskolen på Vestlandet, med undervisning og forskning innenfor elektriske maskiner og høyspenningssystemer.
ISBN 978-82-450-4604-5
