b. Es importante que les explique que el producto cartesiano es una relación que se establece entre los elementos de dos conjuntos. Presente la representación gráfica mediante diagramas sagitales y acláreles que cuando los conjuntos que se usan para el producto cartesiano son numéricos como Z x Z, el diagrama cartesiano conforma el plano cartesiano.
4.1 Relaciones Explora Observa los elementos de los conjuntos A y B. A 2 3 4
1 2
R AXB El conjunto A se llama conjunto de partida y el conjunto B se llama conjunto de llegada (figura 1). Ejemplo 1 Es una relación:
Figura 1
¿Cuántos pares ordenados se pueden formar?
Cada persona está relacionada con un nombre Esto es similar a decir que: A cada persona le corresponde un nombre. Ejemplo 2
Ten en cuenta Producto cartesiano El producto cartesiano A X B se define como: A X B = {(x, y) x [ A y y [ B} AXBÞBXA Si A define el número natural n y B define el número natural m, entonces A X B define el número n X m.
Sean los conjuntos A= {2,3,4} y B={1,2} El producto cartesiano A X B = {(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)} Del producto cartesiano A X B se podrían extraer varias relaciones como: Relación 1: Conjunto de los pares ordenados tales que los dos elementos del par ordenado sean impares: {(1,5),(3,5)} Relación 2: Conjunto de los pares ordenados tales que la suma de sus elementos sea impar: {(2,1),(3,2),(4,1)} Las relaciones se representan gráficamente mediante el plano cartesiano o un diagrama sagital así: Plano Cartesiano
Ten en cuenta
Diagrama Sagital B
Las relaciones son subconjuntos de pares ordenados que se forman del producto cartesiano entre los elementos de dos conjuntos, como se indica en el ejemplo 2.
c. Proponga ejercicios de refuerzo y pídales verificar que la cantidad de parejas ordenadas que se obtienen en un producto cartesiano es el producto de multiplicar de la cantidad de elementos del primer conjunto por la cantidad de elementos del segundo.
6 5
2
4
2
0
2
4
1
-1
1
3
3
-2
0
1
2
3
4
5
Relación 1
Relación 2
Figura 2
Actividad resuelta
En referencia a la figura 1, escribe los pares ordenados de las siguientes relaciones: a. Conjunto de los pares ordenados cuyo resultado de la suma de sus elementos sea 5 o 6. b. Conjunto de los pares ordenados tales que el valor absoluto de la diferencia de sus elementos sea 1 o 2. Solución
1
d. Explique a los estudiantes que una relación de equivalencia se da en un mismo conjunto y debe cumplir con las propiedades simétrica, reflexiva y transitiva. Según el diagrama sagital, determine si la relación R es de equivalencia.
a. {(3,2),(4,2)} b. {(2,1), (3,1), (3,2), (4,2)} 154
162
B
Una relación de un conjunto A en un conjunto B es el conjunto R de pares ordenados que satisfacen una regla o propiedad y tales que, el primer elemento pertenece a A y el segundo elemento pertenece a B.
APPLICA © EDICIONES SM
a. Para introducir el tema proponga una situación en la cual se empleen elementos de la aula, por ejemplo, hay dos estudiantes y tenemos cinco libros, dígales que formen las posibles parejas entre estudiantes y libros, teniendo en cuenta que todos los libros pueden ser escogidos por cada estudiante, es decir cada niño puede estar relacionado con todos los libros para obtener así diez parejas. Pueden ayudarse con una gráfica que represente esta situación.
Relaciones
APPLICA © EDICIONES SM
Recomendaciones para desarrollar la lección
4
Bloque de Geometría y medida
Libro del alumno